Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.2 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 103 16560 982816 979119 2026-05-14T15:01:39Z ~2026-28923-31 80366 /* Lapolitique durige par Aristotle et son objects */ nouvelle section 982816 wikitext text/x-wiki <div style="margin-bottom:1em; padding:0.8em; background-color:#{{Idfaculté/pastel/philosophie}}; border:2px solid #{{Idfaculté/couleur/philosophie}}; font-size:100%;text-align:justify;border-radius: 8px;" class="plainlinks"> Mettre en place le projet ''Philosophie'' nécessite une organisation. Cette page de discussion nous permet donc de discuter des plans des cours, des sections etc. de manière à élaborer harmonieusement la faculté ''Philosophie''. <br /> <div style="text-align: center;"> [[Image:{{Idfaculté/logo/philosophie}}|80px|left]] {|class="wikitable" style="background-color:#B07050" width="30%" height="20%" |<div class="plainlinks"> <div style="text-align: center;"><span style="font-size:0.82em">'''[{{fullurl:{{NAMESPACE}}:{{PAGENAME}}|action=edit&section=new}} Laisser un message]'''</span></div> </div> |} </div> <br /> __TOC__ <br /> == Création d'un nouveau département ? == Je propose la création d'un département "Philosophie au lycée" (ce titre ou un autre) qui serait une sorte d'inroduction à la philosophie. Un niveau inférieur à la fac mais qui serait pratique pour retrouver le point de vue d'auteurs tres divers sur des thèmes tres divers. À moins que je devrais l'intégrer au département "Philosophie comparée" ? [[Utilisateur:Xavier|Xavier ]]<small>^{[[Discussion Utilisateur:Xavier| blablater]]}</small> 6 mai 2007 à 03:00 (UTC) :Salut Xav, c’est l'téernel débat sur les niveaux...Je pense qu’il vaut mieux proposer des cours par niveaux, et ensuite créer une page d'entrée pour les lycéens, sur le modèle de ce qui se fait en maths.Mais sans en faire un département ou une faculté à part. enfin pour l'instant il n'y a pas beaucoup de contributeurs : peut-être peut-on faire des transwiki de wp mais je ne sais pas faire ça. Si je te signale des pages à importer, tu saurais le faire?[[Utilisateur:Nicostella|Nicostella]] ^{<small> &#91;[[Discussion Utilisateur:Nicostella|discut]]&#93;</small>} 24 juillet 2007 à 08:45 (UTC) == Création d'un nouveau département ? == Je propose à mon tour la création d'un département intitulé "Philosophie et rationalité". Ce département aurait pour objet de réflechir sur les rapports qu'entretiennent la Raison et la Philosophie. S'il est besoin que je développe l’idée n'hésitez pas à me le dire. :Salut et bienvenue Galadiel. :Je m'étonne de l'intitulé "philosophie et rationalité", surtout venant de la part d'un "expert" (sur ta page il est indiqué que tu possèdes un DEA de philo). Je ne vois pas trop pour ma part ce que serait une philosophie non rationnelle, du moins dans l'acception classique du mot philosophie en usage dans les universités françaises. D'autre part, il n'existe dans aucune de ces universités de département portant le nom que tu proposes. Pour moi, ce serait plus un sujet de dissertation "philosophie et rationalité" que l’on pourrait poser au bac. J’aimerais comprendre un peu mieux ce que tu proposes, si ce n’est pas tout simplement de la philosophie. :Cordialement [[Utilisateur:Nicostella|Nicostella]] ^{<small> &#91;[[Discussion Utilisateur:Nicostella|discut]]&#93;</small>} 9 novembre 2007 à 18:22 (UTC) ::Bonjour Nicostella, ::Tout d’abord je te remercie pour la rapidité de ta réponse et les questions pertinentes que tu soulèves. Il sera difficile d’y répondre en quelques lignes mais je vais tâcher de faire de mon mieux en étant clair et concis. Je reprendrai donc une à une tes questions et tenterai d’y apporter un éclairage. ::S'il est vrai que la raison est rapidement présentée comme la faculté reine de la philosophie pour atteindre la vérité, il n’en demeure pas moins qu’elle n’a cessé d’être l’objet de nombreuses critiques. L'une des plus célèbre étant celle de Kant dans sa " Critique de la Raison Pure " dans laquelle l'entendement est définie comme la faculté de connaître par concepts et la raison comme achèvement de la connaissance cherchant pour un conditionné la totalité des conditions. Ainsi la raison produit les idées transcendantales que sont l'Âme, le Monde et Dieu. Toutefois ces idée auxquels rien ne correspond dans l'intuition ne peuvent fonder une quelconque connaissances mais seulement servir d'idées directrices. Nous voyons bien dès lors que le domaine de la raison, sans pour autant être rejeté de la philosophie au profit d'un irrationalisme, se trouve redéfinie. ::La critique ne s'est pas arrêtée, ni même débutée avec Kant, mais poursuivie au travers de l'histoire de la philosophie chez des auteurs comme Bergson, Nietzsche et bien d'autres. La question n'est donc pas de retirer ou non la raison du domaine de la philosophie mais de chercher à savoir la place qu'occupe cette même Raison au sein de la philosophie. ::En ce qui concerne te seconde question, je ne connais pas tous les départements universitaires ou autre de philosophie. Mais je peux avancer avec prudence que cette problématique doit être soulevée dans au moins un département de philosophie. ::Enfin au sujet de ta troisième interrogation, je peux dire que tout peut être sujet de dissertation philosophique, c’est d'ailleurs la grande force ou faiblesse de la philosophie. Par exemple le département "la philosophie des sciences" peut être tourné en question comme "Qu'est ce que la philosophie peut apporter aux sciences". ::Voilà, j’espère avoir répondu à tes questions. ::[[Utilisateur:Galadiel|Galadiel]] ^{<small> &#91;[[Discussion Utilisateur:Galadiel|discut]]&#93;</small>} 10 novembre 2007 à 16:47 (UTC) == la naissance aux yeux de l'âme comme mort aux yeux naturel == == Texte du titre == == idéalisme == la naissance aux yeux de l'âme comme mort aux yeux naturel == Monsieur Phi wikifié == Pour ceux qui ne connaissent pas la chaîne, je vous invite à la consulter : [https://www.youtube.com/channel/UCqA8H22FwgBVcF3GJpp0MQw Monsieur Phi] Reconnaissant l'apport d'une structure narrative dans la transmission de cette discipline et trouvant moi-même le travail de Monsieur Phi de grande qualité, je me suis dit ceci : "Une version BD de ces épisodes serait super cool (genre si je dois faire des cours de philo à mes enfants lorsqu'il-elle-s seront ado). Images et figures + script ou transcription. Ce qui permettrait par traduction du texte de décliner linguistiquement cette production" Et de conclure qu'il me fallait faire tourner l'idée ici. En espérant que ça vous inspire. --[[Utilisateur:RP87|RP87]] ([[Discussion utilisateur:RP87|discussion]]) 16 octobre 2018 à 07:25 (UTC) == Philosophie juive == creation d'un département [[Spécial:Contributions/2.4.105.79|2.4.105.79]] 9 octobre 2022 à 14:52 (UTC) == Philosophie et sociétés chez Nkrumah == Fais un rapport de ce sujet [[Utilisateur:Mareme aweuh|Mareme aweuh]] ([[Discussion utilisateur:Mareme aweuh|discuter]]) 10 août 2024 à 15:12 (UTC) == Philosophie et sociétés chez Nkrumah == Fais un rapport philosophique de ce sujet [[Utilisateur:Mareme aweuh|Mareme aweuh]] ([[Discussion utilisateur:Mareme aweuh|discuter]]) 10 août 2024 à 15:14 (UTC) == Lapolitique durige par Aristotle et son objects == , [[Spécial:Contributions/&#126;2026-28923-31|&#126;2026-28923-31]] ([[Discussion utilisateur:&#126;2026-28923-31|discussion]]) 14 mai 2026 à 15:01 (UTC) cpf1rclptpc1opvket2dh29v5tlqras 0 62231 982815 974053 2026-05-14T14:51:46Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982815 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 19 | niveau = 14 | précédent = [[../Intégrales généralisées (ou impropres)/]] | suivant = [[../Vecteurs polaires ou axiaux, invariance par principe de Curie/]] }} <center>L'espace physique considéré dans ce chapitre étant <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\;</math> « orienté à droite »<ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace == === Définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace === {{Al|5}}<u>Introduction </u> : nous avons étudié la caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champs_(ou_fonctions)_scalaire_et_vectoriel(le)_de_l'espace,_différentielle_d'un_champ_de_deux_variables#Caractérisation_de_la_variation_du_champ_(ou_de_la_fonction)_scalaire_de_l'espace|caractérisation de la variation du champ (ou de la fonction) scalaire de l'espace]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction ; nous avons }}indiqué dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champs_(ou_fonctions)_scalaire_et_vectoriel(le)_de_l'espace,_différentielle_d'un_champ_de_deux_variables#Commentaire_final|commentaire final]] » du même chap.<math>13</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » qu'il existe une méthode plus compacte pour faire cette caractérisation utilisant la notion de [[w:Gradient|gradient]] de fonction scalaire. {{Définition|titre=Gradient du champ scalaire <math>U(M)</math>|contenu = {{Al|5}}Le [[w:Gradient|gradient]] du champ scalaire <math>\;U(M)\;</math> noté «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)\;</math>» est le champ vectoriel tel que « sa circulation élémentaire »<ref> La circulation élémentaire d'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> est <math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{A}) = \vec{A}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dM}\;</math> <math>\rightsquigarrow\;</math> voir paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Circulation_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_le_long_d'une_courbe_continue|circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courne continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est égale à « la différentielle de la fonction scalaire <math>\;U(M)\;</math>»<ref name="différentielle d'une fonction de plusieurs variables"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonction_de_plusieurs_variables_indépendantes#Définition_de_la_différentielle_d'une_fonction_de_deux_variables_indépendantes|définition de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », définition généralisée à une fonction scalaire de trois variables indépendantes.</ref> soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) \cdot \overrightarrow{dM} = dU(M)\;</math>»<ref> Ou, de façon plus concise «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right] \cdot \overrightarrow{dM} = dU\;</math>» <math>\rightsquigarrow</math> définition à connaître sans hésitation.</ref>.</div>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : la définition du [[w:Gradient|gradient]] du champ scalaire <math>\;U(M)\;</math> donnée ci-dessus est essentiellement utilisée pour déterminer les composantes <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}du champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)\;</math> dans les différents repérages cartésien, cylindro-polaire <math>\;\big(</math>ou cylindrique<math>\big)\;</math> ou sphérique, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}explicitation exposée dans les trois paragraphes suivants. === Composantes cartésiennes du gradient d'une fonction scalaire de l'espace === {{Al|5}}Appelons «<math>\;A_x(M),\, A_y(M),\, A_z(M)\;</math> les composantes cartésiennes de <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)\;</math>», * d'une part sa définition «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) \cdot \overrightarrow{dM} = dU(M)\;</math>» se réécrit «<math>\;A_x(M)\, dx + A_y(M)\, dy + A_z(M)\, dz = dU(M)\;</math>»<ref name="dM en cartésien"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cartésien|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cartésien]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et * d'autre part la différentielle de <math>\;U\;</math> s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon «<math>\;dU(M) = \left( \dfrac{\partial U}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}\!(M)\, dx + \left( \dfrac{\partial U}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}\!(M)\, dy + \left( \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}\!(M)\, dz\;</math>»<ref name="différentielle d'une fonction de plusieurs variables" />, {{Al|5}}des deux formes de <math>\;dU(M)</math>, vraies quels que soient <math>\;dx</math>, <math>\;dy\;</math> et <math>\;dz</math>, on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}A_x(M) = \left( \dfrac{\partial U}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}\!(M)\\A_y(M) = \left( \dfrac{\partial U}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}\!(M)\\A_z(M) = \left( \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}\!(M)\end{array}\right\rbrace\;</math>» d'où : {{Proposition|titre= À retenir <math>\;\rightsquigarrow\;</math> Gradient du champ scalaire <math>\;U(M)\;</math> en cartésien| contenu = <div style="text-align: center;">«<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) = \left( \dfrac{\partial U}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}\!(M)\; \vec{u}_x + \left( \dfrac{\partial U}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}\!(M)\; \vec{u}_y + \left( \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}\!(M)\; \vec{u}_z\;</math>»<ref> Peut servir de définition <math>\;\big(</math>équivalente<math>\big)\;</math> du [[w:Gradient|gradient]] d'une fonction scalaire de l'espace en repérage cartésien mais ne dispense pas de retenir la définition intrinsèque.</ref>.</div>}} === Composantes cylindro-polaires du gradient d'une fonction scalaire de l'espace === {{Al|5}}Appelons «<math>\;A_\rho(M),\, A_\theta(M),\, A_z(M)\;</math> les composantes cylindro-polaires <math>\;\big(</math>ou cylindriques<math>\big)\;</math> de <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)\;</math>», * d'une part sa définition «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) \cdot \overrightarrow{dM} = dU(M)\;</math>» se réécrit «<math>\;A_\rho(M)\, d\rho + A_\theta(M)\, \rho\, d\theta + A_z(M)\, dz = dU(M)\;</math>»<ref name="dM en cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et * d'autre part la différentielle de <math>\;U\;</math> s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon «<math>\;dU(M) = \left( \dfrac{\partial U}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!(M)\, d\rho + \left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!(M)\, d\theta + \left( \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!(M)\, dz\;</math>»<ref name="différentielle d'une fonction de plusieurs variables" />, {{Al|5}}des deux formes de <math>\;dU(M)</math>, vraies quels que soient <math>\;d\rho</math>, <math>\;d\theta\;</math> et <math>\;dz</math>, on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}A_\rho(M) = \left( \dfrac{\partial U}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!(M)\\A_\theta(M)\, \rho = \left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!(M)\\A_z(M) = \left( \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!(M)\end{array}\right\rbrace\;</math>» d'où : {{Proposition|titre= À retenir <math>\;\rightsquigarrow\;</math> Gradient du champ scalaire <math>\;U(M)\;</math> en cylindro-polaire| contenu = <div style="text-align: center;">«<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) = \left( \dfrac{\partial U}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!(M)\; \vec{u}_\rho + \dfrac{1}{\rho} \left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!(M)\; \vec{u}_\theta + \left( \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!(M)\; \vec{u}_z\;</math>»<ref> Peut servir de définition <math>\;\big(</math>équivalente<math>\big)\;</math> du [[w:Gradient|gradient]] d'une fonction scalaire de l'espace en repérage cylindro-polaire mais ne dispense pas de retenir la définition intrinsèque.</ref>{{,}}<ref> Les composantes de [[w:Gradient|gradient]] de <math>\;U\;</math> s'exprimant en <math>\;\left[ U \right]\! \cdot\! m^{-1}\;</math> avec <math>\;\left[ U \right]\;</math> désignant l'unité de <math>\;U\;</math> et la dérivée partielle de <math>\;U\;</math> relativement à un angle s'exprimant en <math>\;\left[ U \right]</math>, un facteur homogène à l'inverse d'une longueur précédant la dérivée partielle de <math>\;U\;</math> relativement à <math>\;\theta\;</math> est nécessaire pour des raisons dimensionnelles ; le cœfficient précédant la dérivée partielle relativement à <math>\;\theta\;</math> <math>\bigg[</math>en l'occurrence <math>\;\dfrac{1}{\rho}\bigg]\;</math> est l'inverse de celui qui précède l'élément différentiel <math>\;d\theta\;</math> <math>\big[</math>en l'occurrence <math>\;\rho\big]\;</math> dans le vecteur déplacement élémentaire en cylindro-polaire <math>\;\overrightarrow{dM} =</math> <math>d\rho\, \vec{u}_\rho + \color{red}\rho\, \color{black}d\theta\, \vec{u}_\theta + dz\, \vec{u}_z</math>.</ref>.</div>}} === Composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace === {{Al|5}}Appelons «<math>\;A_r(M),\, A_\theta(M),\, A_\varphi(M)\;</math> les composantes sphériques de <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)\;</math>», * d'une part sa définition «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) \cdot \overrightarrow{dM} = dU(M)\;</math>» se réécrit «<math>\;A_r(M)\, dr + A_\theta(M)\, r\, d\theta + A_\varphi(M)\, r\, \sin(\theta)\, d\varphi = dU(M)\;</math>»<ref name="dM en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et * d'autre part la différentielle de <math>\;U\;</math> s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon «<math>\;dU(M) = \left( \dfrac{\partial U}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!(M)\, dr + \left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}\!(M)\, d\theta + \left( \dfrac{\partial U}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!(M)\, d\varphi\;</math>»<ref name="différentielle d'une fonction de plusieurs variables" />, {{Al|5}}des deux formes de <math>\;dU(M)</math>, vraies quels que soient <math>\;dr</math>, <math>\;d\theta\;</math> et <math>\;d\varphi</math>, on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}A_r(M) = \left( \dfrac{\partial U}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!(M)\\A_\theta(M)\, r = \left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}\!(M)\\A_\varphi(M)\, r\, \sin(\theta) = \left( \dfrac{\partial U}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!(M)\end{array}\right\rbrace\;</math>» d'où : {{Proposition|titre= À retenir <math>\;\rightsquigarrow\;</math> Gradient du champ scalaire <math>U(M)</math> en sphérique| contenu = <div style="text-align: center;">«<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) = \left( \dfrac{\partial U}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!(M)\; \vec{u}_r + \dfrac{1}{r} \left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}\!(M)\; \vec{u}_\theta + \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial U}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!(M)\; \vec{u}_\varphi\;</math>»<ref> Peut servir de définition <math>\;\big(</math>équivalente<math>\big)\;</math> du [[w:Gradient|gradient]] d'une fonction scalaire de l'espace en repérage sphérique mais ne dispense pas de retenir la définition intrinsèque.</ref>{{,}}<ref> Les composantes de [[w:Gradient|gradient]] de <math>\;U\;</math> s'exprimant en <math>\;\left[ U \right]\! \cdot\! m^{-1}\;</math> avec <math>\;\left[ U \right]\;</math> désignant l'unité de <math>\;U\;</math> et les dérivées partielles de <math>\;U\;</math> relativement à un angle s'exprimant en <math>\;\left[ U \right]</math>, un facteur homogène à l'inverse d'une longueur précédant la dérivée partielle de <math>\;U\;</math> relativement à <math>\;\theta\;</math> et celle de <math>\;U\;</math> relativement à <math>\;\varphi\;</math> est nécessaire pour des raisons dimensionnelles ; <br>{{Al|3}}le cœfficient précédant la dérivée partielle relativement à <math>\;\theta\;</math> <math>\bigg[</math>en l'occurrence <math>\;\dfrac{1}{r}\bigg]\;</math> et celui précédant la dérivée partielle relativement à <math>\;\varphi\;</math> <math>\bigg[</math>en l'occurrence <math>\;\dfrac{1}{r\; \sin(\theta)}\bigg]\;</math> sont respectivement l'inverse de celui qui précède l'élément différentiel <math>\;d\theta\;</math> <math>\big[</math>en l'occurrence <math>\;r\big]\;</math> et de celui qui précède l'élément différentiel <math>\;d\varphi\;</math> <math>\big[</math>en l'occurrence <math>\;r\, \sin(\theta)\big]\;</math> dans le vecteur déplacement élémentaire en sphérique <math>\;\overrightarrow{dM} = dr\, \vec{u}_r + \color{red}r\, \color{black}d\theta\, \vec{u}_\theta + \color{red}r\, \sin(\theta)\, \color{black}d\varphi\, \vec{u}_\varphi</math>.</ref>.</div>}} === Caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace à l'aide de son gradient === {{Al|5}}«<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)\;</math> traduit la variation de la grandeur <math>\;U\;</math> dans l'espace », par exemple <br />{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)}\;</math> traduit la variation }}<math>\bullet\;</math>« si <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)\;</math> est un champ uniforme <math>\;\parallel</math> à <math>\vec{u}_z\;</math> et de même sens », c'est-à-dire <br />{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)}\;</math> traduit la variation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}si, en repérage cartésien ou cylindro-polaire, «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)\;</math> s'écrit <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) = A\; \vec{u}_z\\ \text{avec } A = cste > 0\end{array}\right\rbrace\;</math>», cela signifiera que <br />{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)}\;</math> traduit la variation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)}\;</math> est un champ uniforme <math>\;\color{transparent}{\parallel}</math> à <math>\color{transparent}{\vec{u}_z}\;</math> et de même sens » }}«<math>\;U\;</math> ne varie pas avec <math>\;x\;</math> et <math>\;y\;</math>»<ref name="Pas de composantes"> <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)\;</math> n'ayant pas de composantes sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> et sur <math>\;\vec{u}_y\;</math> <math>\big[</math>ou n'ayant pas de composantes sur <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> et sur <math>\;\vec{u}_\theta\big]</math>.</ref> <math>\big[</math>ou « ne varie pas avec <math>\;\rho\;</math> et <math>\;\theta\;</math>»<ref name="Pas de composantes" /><math>\big]\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)}\;</math> traduit la variation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)}\;</math> est un champ uniforme <math>\;\color{transparent}{\parallel}</math> à <math>\color{transparent}{\vec{u}_z}\;</math> et de même sens » }}«<math>\;U \nearrow\;</math> quand <math>\;z \nearrow\;</math>», cette <math>\;\nearrow\;</math> étant uniforme ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)}\;</math> traduit la variation }}<math>\bullet\;</math><u>variation de la température</u><math>\;T\;</math><u>de l’espace autour d'une conduite cylindrique verticale d'eau chaude</u> : <br />{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)}\;</math> traduit la variation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>variation de la température<math>\;\color{transparent}{T}\;</math>}}il y a invariance de la répartition de température par rotation autour de l'axe vertical <math>\;\uparrow\;</math> choisi comme axe <math>\;Oz</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)}\;</math> traduit la variation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>variation de la température<math>\;\color{transparent}{T}\;</math> il y a invariance}}avec choix du repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;Oz\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T\;</math> ne dépend pas de <math>\;\theta</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)}\;</math> traduit la variation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>variation de la température<math>\;\color{transparent}{T}\;</math>}}l'eau étant à une température supérieure à celle de l'air ambiant, <math>\;T \searrow\;</math> quand <math>\;\rho \nearrow\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)}\;</math> traduit la variation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>variation de la température<math>\;\color{transparent}{T}\;</math>}}il est raisonnable de supposer que la « température de l'eau ne dépende pas de l'altitude <math>\;z\;</math>»<ref> Si le débit de l'eau dans la conduite n'est pas trop lent.</ref> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)}\;</math> traduit la variation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>variation de la température<math>\;\color{transparent}{T}\;</math>}}nous résumons tout ceci dans le [[w:Gradient|gradient]] de la température au voisinage de la conduite <br />{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)}\;</math> traduit la variation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>variation de la température<math>\;\color{transparent}{T}\;</math>nous résumons tout ceci }}par [[w:Gradient|gradient]] « <u>radial</u> plus précisément “<u>axipète</u>”<ref name="axipète"> Lacune <math>\;\big(</math>actuelle<math>\big)\;</math> de la langue française, le seul terme existant étant « centripète » utilisé dans le repérage sphérique pour un « champ radial et dirigé vers le pôle », mais aucun terme équivalent en cylindro-polaire pour un “champ radial et dirigé vers l'axe” <math>\;\big[</math>l'usage est alors de qualifier ce champ de “ centripète ”, mais ce n'est pas correct étymologiquement d'où le remplacement par “axipète” <math>\;\ldots\;</math> Attention cet adjectif ne figure pas <math>\;\big(</math>encore<math>\big)\;</math> dans la langue française<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ T \right](M) = \dfrac{dT}{dr}(M)\, \vec{u}_r\\ \text{avec }\dfrac{dT}{dr}(M) < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)}\;</math> traduit la variation }}<math>\bullet\;</math><u>variation de la pression</u><math>\;p\;</math><u>d'un lac</u> : il y a invariance de la répartition de pression par translation horizontale suivant <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y</math>, <math>\Rightarrow</math> <math>\;p\;</math> ne dépend, ni <math>\;x</math>, ni de <math>\;y</math>, et <br />{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)}\;</math> traduit la variation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>variation de la pression<math>\;\color{transparent}{p}\;</math>d'un lac :}}<math>\;p \nearrow\;</math> quand la profondeur <math>\;z \nearrow\;</math> <math>\big[</math>l'axe vertical étant orienté dans le sens <math>\;\downarrow\;</math> et l'origine de l'axe choisi à la surface du lac<math>\big]</math> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)}\;</math> traduit la variation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>variation de la pression<math>\;\color{transparent}{p}\;</math>d'un lac : }}nous résumons tout ceci dans le [[w:Gradient|gradient]] de la pression dans le lac, <br />{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)}\;</math> traduit la variation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>variation de la pression<math>\;\color{transparent}{p}\;</math>d'un lac : nous résumons tout ceci }}par [[w:Gradient|gradient]] « <u>vertical</u> plus précisément <math>\;\downarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ p \right](M) = \dfrac{dp}{dz}(M)\, \vec{u}_z\\ \text{avec }\dfrac{dp}{dz}(M) > 0\\ \vec{u}_z\; \downarrow\;\; \text{et } z \text{ profondeur}\end{array}\right\rbrace\;</math>». === Propriétés du gradient d'une fonction scalaire de l'espace U relativement aux surfaces iso-U === {{Al|5}}« Une surface iso-U est une surface où <math>\;U = cste\;</math>» ; elle est caractérisée par <math>\;dU = 0\;</math> lorsqu'on se déplace de façon élémentaire de <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir d'un point <math>\;M\;</math> de cette surface en y restant<ref> C.-à-d. en se déplaçant dans le plan tangent à la surface en <math>\;M</math>.</ref> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Une surface iso-U }}à partir de «<math>\;dU(M) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» avec un déplacement élémentaire tel que <math>\;dU = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) \cdot \overrightarrow{dM} = 0,\;\; \forall\; \overrightarrow{dM}\;\text{de la surface}\;</math>» ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Une surface iso-U à partir de «<math>\;\color{transparent}{dU(M) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math>» avec un déplacement élémentaire tel que <math>\;\color{transparent}{dU = 0}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) \perp\;</math> à tous les <math>\overrightarrow{dM}\;</math> de la surface construits à partir de <math>\;M\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Une surface iso-U à partir de «<math>\;\color{transparent}{dU(M) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math>» avec un déplacement élémentaire tel que <math>\;\color{transparent}{dU = 0}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) \perp}\;</math> à tous les}}<math>\Downarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Une surface iso-U à partir de «<math>\;\color{transparent}{dU(M) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math>» avec un déplacement élémentaire tel que <math>\;\color{transparent}{dU = 0}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) \perp\;</math> à la surface <math>U = cste\;</math> passant par <math>\;M\;</math>» ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Une surface iso-U à partir de «<math>\;\color{transparent}{dU(M) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math>» avec un déplacement élémentaire tel que <math>\;\color{transparent}{dU = 0}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) \perp\;</math> à la surface iso-U passant par <math>\;M\;</math>» ; {{Al|5}}dans les exemples considérés au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Caractérisation_de_la_variation_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace_à_l'aide_de_son_gradient|caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace à l'aide de son gradient]] » plus haut dans ce chapitre : <br />{{Al|5}}{{Transparent|dans les exemples }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ T \right](M)\;</math> est radial plus précisément “axipète”<ref name="axipète" /> » et « les isothermes<ref name="isotherme"> C.-à-d. les surfaces iso-<math>T</math>.</ref> sont des [[w:Cylindre_de_révolution|tuyaux cylindriques de révolution]] »<ref> D'équation <math>\;\rho = cste</math>.</ref> d'où « la perpendicularité » ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|dans les exemples }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ p \right](M)\;</math> est vertical plus précisément <math>\;\downarrow\;</math>» et « les isobares<ref name="isobare"> C.-à-d. les surfaces iso-<math>p</math>.</ref> sont des plans horizontaux »<ref> D'équation <math>\;z = cste</math>.</ref> d'où « la perpendicularité ». == Introduction de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” == === Définition de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage cartésien === {{Al|5}}L'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «<math>\;\vec{\nabla}\;</math>» est, en repérage cartésien, construit sur les vecteurs de base cartésienne et <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla}}\;</math>» est, en repérage cartésien, construit sur }}les [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateurs]] scalaires du 1^er ordre “dérivations partielles par rapport aux coordonnées cartésiennes”<ref name="dérivées partielles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonction_de_plusieurs_variables_indépendantes#Définition_des_dérivées_partielles|définition des dérivées partielles]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” }}avec, pour domaine d'application, les fonctions scalaires différentiables de l'espace, soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” }}«<math>\;\vec{\nabla} \left[ \; \right] = \left\lbrace \vec{u}_x\, \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} + \vec{u}_y\, \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math>». === Lien entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaire === {{Al|5}}Appliquant l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” à la fonction scalaire de l'espace <math>\;U(M)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{\nabla} \left[ U \right](M) = \vec{u}_x\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M) + \vec{u}_y\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M) + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M)\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Appliquant l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” à la fonction scalaire de l'espace}}identifiable à «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)\;</math>» ; {{Al|5}}en conclusion on peut écrire l'application suivante «<math>\;U\;\; \overset{\vec{\nabla}}{\rightarrow}\;\; \vec{\nabla} \left[ U \right] = \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right]\;</math>»<ref name="cartésien"> Pour l'instant ce n'est vérifié qu'en repérage cartésien, mais cela reste valable dans tous les repérages.</ref> où «<math>\;U\;</math> est une fonction scalaire différentiable de l'espace », <br />{{Al|5}}{{Transparent|en conclusion }}l'image de la fonction scalaire différentiable de l'espace «<math>\;U\;</math>» par l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «<math>\;\vec{\nabla}\;</math>» est le champ vectoriel “[[w:Gradient|gradient]] de <math>\;U</math>” «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)\;</math>». === Proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” === {{Al|5}}Partant de la définition intrinsèque du « champ vectoriel [[w:Gradient|gradient]] de la fonction scalaire de l'espace <math>\;U(M)\;</math>» à savoir <br />{{Al|5}}{{Transparent|Partant de la définition intrinsèque du }}«<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) \cdot \overrightarrow{dM} = dU(M)\;</math>»<ref name="définition intrinsèque du gradient"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et {{Al|5}}y substituant l'expression équivalente «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right] = \vec{\nabla} \left[ U \right]\;</math>»<ref name="cartésien" /> utilisant l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] “nabla” <br />{{Al|48}}on obtient «<math>\;\vec{\nabla} \left[ U \right](M) \cdot \overrightarrow{dM} = dU(M)\;</math>» ou, la multiplication scalaire entre vecteurs étant commutative<ref name="commutativité de la multiplication scalaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire, 1^ère propriété) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br />{{Al|64}}«<math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ U \right](M) = dU(M)\;</math>» ou, en mettant en évidence, dans chaque membre, un « [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire agissant sur la fonction scalaire de l'espace <math>\;U(M)\;</math>» <br />{{Al|64}}«<math>\;\left\lbrace \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace \left[ U \right](M) = \left\lbrace d \right\rbrace \left[ U \right](M)\;</math>», les [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateurs]] scalaires étant «<math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \; \right]\;</math> et <math>\;d \left[ \; \right]\;</math>» ; {{Al|5}}cette relation étant valable pour toute fonction scalaire différentiable de l'espace, on peut identifier les deux [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateurs]] scalaires et <br />{{Al|5}}{{Transparent|cette relation étant valable pour toute fonction scalaire différentiable de l'espace, on peut }}donner la définition intrinsèque de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” exposée ci-dessous : {{Proposition|titre= Proposition de définition intrinsèque de l'opérateur “nabla”|contenu = {{Al|5}}L'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla”, noté <math>\;\vec{\nabla}</math>, est un [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] tel que l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire “vecteur déplacement élémentaire scalaire nabla” «<math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \; \right]\;</math>» est identique à l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire “différenciation” «<math>\;d \left[ \; \right]\;</math>» soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \; \right] = d \left[ \; \right]\;</math>»<ref> Pour l'instant le domaine d'application de cet [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire est l'ensemble des fonctions scalaires différentiables de l'espace mais nous verrons ultérieurement qu'il peut aussi s'appliquer à une fonction vectorielle différentiable de l'espace.</ref>.</div>}} === Définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage cylindro-polaire === {{Al|5}}Selon la proposition de définition intrinsèque de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel linéaire “nabla”<ref name="signification intrinsèque"> Admettre cette définition revient à dire qu'elle est valable quel que soit le repérage.</ref> «<math>\;\vec{\nabla} \left[ \; \right]\;</math>», « [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] tel que <math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] = d \left[ \; \right]\;</math>»<ref name="définition intrinsèque de l'opérateur nabla"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Proposition_de_définition_intrinsèque_de_l'opérateur_vectoriel_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”|proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla”]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Selon la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire “nabla” }}appliquée à une fonction scalaire <math>\;U(M)\;</math> de l'espace, «<math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla}\left[ U \right](M) = d \left[ U \right](M)\;</math>», <br />{{Al|5}}on obtient, en explicitant le vecteur déplacement élémentaire en repérage cylindro-polaire «<math>\;\overrightarrow{dM} = d \rho\;\vec{u}_\rho + \rho\;d \theta\;\vec{u}_\theta + dz\;\vec{u}_z\;</math>»<ref name="dM en cylindro-polaire" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|on obtient }}«<math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] = \left\lbrace d \rho\;\vec{u}_\rho + \rho\;d \theta\;\vec{u}_\theta + dz\;\vec{u}_z \right\rbrace \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] = d \rho\;\vec{u}_\rho \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] + \rho\;d \theta\;\vec{u}_\theta \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] + dz\;\vec{u}_z \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right]\;</math>»<ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> La multiplication scalaire étant distributive relativement à l'addition vectorielle voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire, 2^ème propriété) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|on obtient }}«<math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] = d \rho\, \left\lbrace \vec{u}_\rho \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] \right\rbrace + d \theta\, \left\lbrace \rho\;\vec{u}_\theta \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] \right\rbrace + dz\, \left\lbrace \vec{u}_z \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br />{{Al|5}}parallèlement la différentielle de <math>\;U(M)\;</math> dans le même repérage cylindro-polaire s'écrivant «<math>\;dU = \left( \dfrac{\partial U}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z}\;d \rho + \left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z}\;d \theta + \left( \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta}\;dz \;</math>»<ref name="différentielle d'une fonction de plusieurs variables" /> ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|parallèlement la différentielle de <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> dans le même repérage cylindro-polaire s'écrivant }}«<math>\;dU = d \rho\,\left( \dfrac{\partial U}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z} + d \theta\,\left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z} + dz\,\left( \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta}\;</math>», <br />{{Al|5}}on en déduit l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] différenciation «<math>\;d \left[ \; \right]\;</math>» en repérage cylindro-polaire «<math>\;d \left[ \; \right] = d \rho\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z}\left[ \; \right] + d \theta\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z}\left[ \; \right] + dz\,\left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta}\left[ \; \right]\;</math>» soit, <br />{{Al|5}}{{Transparent|on en déduit }}en identifiant membre à membre les cœfficients des éléments différentiels <math>\;d\rho</math>, <math>\;d\theta\;</math> et <math>\;dz\;</math> de «<math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] = d \left[ \; \right]\;</math>», <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vec{u}_\rho \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] = \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z}\left[ \; \right]\\ \rho\;\vec{u}_\theta \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] = \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z}\left[ \; \right]\\ \vec{u}_z \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] = \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta}\left[ \; \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vec{u}_\rho \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] = \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z}\left[ \; \right]\\ \vec{u}_\theta \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] = \dfrac{1}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z}\left[ \; \right]\\ \vec{u}_z \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] = \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta}\left[ \; \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>» d'où</center> {{Al|5}}la définition <math>\;\big(</math>équivalente<math>\big)\;</math> de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] “nabla” en cylindro-polaire «<math>\;\vec{\nabla} \left[ \; \right] = \left\lbrace \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math>»<ref> Pour établir les composantes cylindro-polaires de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] “nabla” on peut aussi utiliser le lien, établi en cartésien, entre le champ vectoriel [[w:Gradient|gradient]] d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] “nabla” de cette fonction scalaire en admettant qu'il reste valide en cylindro-polaire <math>\ldots</math></ref>. === Définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage sphérique === {{Al|5}}Selon la proposition de définition intrinsèque de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel linéaire “nabla”<ref name="signification intrinsèque" /> «<math>\;\vec{\nabla} \left[ \; \right]\;</math>», « [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] tel que <math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] = d \left[ \; \right]\;</math>»<ref name="définition intrinsèque de l'opérateur nabla" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Selon la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire “nabla” }}appliquée à une fonction scalaire <math>\;U(M)\;</math> de l'espace, «<math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla}\left[ U \right](M) = d \left[ U \right](M)\;</math>», <br />{{Al|5}}on obtient, en explicitant le vecteur déplacement élémentaire en repérage sphérique «<math>\;\overrightarrow{dM} = dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi\;</math>»<ref name="dM en sphérique" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|on obtient }}«<math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] = \left\lbrace dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right\rbrace \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] = dr\;\vec{u}_r \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right]\;</math>»<ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle" /> ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|on obtient }}«<math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] = dr\, \left\lbrace \vec{u}_r \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] \right\rbrace + d \theta\, \left\lbrace r\;\vec{u}_\theta \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] \right\rbrace + d \varphi\, \left\lbrace r\;\sin(\theta)\;\vec{u}_\varphi \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br />{{Al|5}}parallèlement la différentielle de <math>\;U(M)\;</math> dans le même repérage sphérique s'écrivant «<math>\;dU = \left( \dfrac{\partial U}{\partial r} \right)_{\!\theta,\,\varphi}\;dr + \left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!r,\,\varphi}\;d \theta + \left( \dfrac{\partial U}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\,\theta}\;d \varphi \;</math>»<ref name="différentielle d'une fonction de plusieurs variables" /> ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|parallèlement la différentielle de <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> dans le même repérage sphérique s'écrivant }}«<math>\;dU = dr\,\left( \dfrac{\partial U}{\partial r} \right)_{\!\theta,\,\varphi} + d \theta\,\left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!r,\,\varphi} + d \varphi\,\left( \dfrac{\partial U}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\,\theta}\;</math>», <br />{{Al|5}}on en déduit l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] différenciation «<math>\;d \left[ \; \right]\;</math>» en repérage sphérique «<math>\;d \left[ \; \right] = dr\,\left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\,\varphi}\left[ \; \right] + d \theta\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\,\varphi}\left[ \; \right] + d \varphi\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\,\theta}\left[ \; \right]\;</math>» soit, <br />{{Al|5}}{{Transparent|on en déduit }}en identifiant membre à membre les cœfficients des éléments différentiels <math>\;dr</math>, <math>\;d\theta\;</math> et <math>\;d\varphi\;</math> de «<math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] = d \left[ \; \right]\;</math>», <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vec{u}_r \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] = \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\,\varphi}\left[ \; \right]\\ r\;\vec{u}_\theta \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] = \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\,\varphi}\left[ \; \right]\\ r\;\sin(\theta)\;\vec{u}_\varphi \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] = \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\,\theta}\left[ \; \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vec{u}_r \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] = \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\,\varphi}\left[ \; \right]\\ \vec{u}_\theta \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] = \dfrac{1}{r}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\,\varphi}\left[ \; \right]\\ \vec{u}_\varphi \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] = \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\,\theta}\left[ \; \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>» d'où</center> {{Al|5}}la définition <math>\;\big(</math>équivalente<math>\big)\;</math> de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] “nabla” en sphérique «<math>\;\vec{\nabla} \left[ \; \right] = \left\lbrace \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} + \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math>»<ref> Pour établir les composantes sphériques de l'opérateur “nabla” on peut aussi utiliser le lien, établi en cartésien, entre le champ vectoriel [[w:Gradient|gradient]] d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] “nabla” de cette fonction scalaire en admettant qu'il reste valide en sphérique <math>\ldots</math></ref>. == En compléments : Autres champs scalaire ou vectoriel d'une fonction vectorielle ou scalaire de l'espace définis à l'aide de l'opérateur “nabla” == === Champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace === ==== Construction de l'opérateur du premier ordre “nabla scalaire ...” ==== {{Al|5}}L'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «<math>\;\vec{\nabla} \cdot\;</math>» est construit à partir <math>\bullet\;</math>de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “nabla” «<math>\;\vec{\nabla}\;</math>» et <br />{{Al|6}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla} \cdot}\;</math>» est construit à partir }}<math>\bullet\;</math>de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] entre grandeurs vectorielles « multiplication scalaire »<ref name="prolongement de la multiplication scalaire"> On admet l'applicabilité de la notion de multiplication scalaire avec au moins une des grandeurs vectorielles remplacée par un [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel comme l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] “nabla” «<math>\;\vec{\nabla}\;</math>», la définition utilisée étant alors celle du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\cdot\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” }}avec pour domaine d'application, les fonctions vectorielles différentiables de l'espace soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” }}«<math>\;\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \right\rbrace \left[ \; \right] = \left\lbrace \Bigg[ \vec{u}_x\, \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} + \vec{u}_y\, \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \Bigg]\; \cdot \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math>» en repérage cartésien<ref name="opérateur nabla en cartésien"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_de_l'opérateur_vectoriel_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_repérage_cartésien|définition de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” en repérage cartésien]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” }}«<math>\;\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \right\rbrace \left[ \; \right] = \left\lbrace \Bigg[ \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \Bigg]\; \cdot \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math>» en repérage cylindro-polaire<ref name="opérateur nabla en cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_(équivalente)_de_l'opérateur_vectoriel_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_repérage_cylindro-polaire|définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” en repérage cylindro-polaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ou encore <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” }}«<math>\;\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \right\rbrace \left[ \; \right] = \left\lbrace \Bigg[ \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} + \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \Bigg]\; \cdot \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math>» en repérage sphérique<ref name="opérateur nabla en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_(équivalente)_de_l'opérateur_vectoriel_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_repérage_sphérique|définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” en repérage sphérique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \right\rbrace \left[ \; \right] =}</math> }}appliqué à la fonction vectorielle <math>\;\vec{A}(M) = A_x(M)\, \vec{u}_x + A_y(M)\, \vec{u}_y + A_z(M)\, \vec{u}_z\;</math> en représentation cartésienne <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” }}«<math>\;\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \right\rbrace \left[ \vec{A} \right](M) = \left\lbrace \Bigg[ \vec{u}_x\, \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} + \vec{u}_y\, \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \Bigg]\; \cdot \right\rbrace \left[ A_x(M)\, \vec{u}_x + A_y(M)\, \vec{u}_y + A_z(M)\, \vec{u}_z \right]\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \right\rbrace \left[ \vec{A} \right](M)}</math> }}<math>= \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M)\;</math>»<ref name="justification de la divergence ou du laplacien en cartésien"> Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Expression obtenue }}en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire, 2^ème propriété) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Expression obtenue }}en sachant que les vecteurs de base cartésienne sont constants et qu'ils forment une base orthonormée.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \right\rbrace \left[ \; \right] =}</math> }}appliqué à la fonction vectorielle <math>\;\vec{A}(M) = A_\rho(M)\, \vec{u}_\rho(M) + A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) + A_z(M)\, \vec{u}_z\;</math> en représentation cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” }}«<math>\;\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \right\rbrace \left[ \vec{A} \right](M) = \left\lbrace \Bigg[ \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \Bigg]\; \cdot \right\rbrace \left[ A_\rho(M)\, \vec{u}_\rho(M) + A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) + A_z(M)\, \vec{u}_z \right]\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \right\rbrace \left[ \vec{A} \right](M)}</math> }}<math>= \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M) + \dfrac{1}{\rho}\, A_\rho(M) + \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M)\;</math>»<ref name="justification de la divergence en cylindro-polaire"> Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Expression obtenue }}en utilisant la formule de dérivation de deux fonctions dont l'une est vectorielle, cette dernière ne dépendant que d'une variable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Expression obtenue }}sachant que les deux 1^ers vecteurs de base cylindro-polaire dépendent de <math>\;\theta</math>, le 3^ème étant constant et qu'ils forment une base orthonormée ; <br>{{Al|3}}compte tenu de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire, 2^ème propriété) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> on trouve, après développement, une somme de neuf termes : * «<math>\;T_{\rho,\, \rho} = \left[ \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \right] \cdot \left[ A_\rho(M)\, \vec{u}_\rho(M) \right] = \vec{u}_\rho(M)\, \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M) \cdot \vec{u}_\rho(M) + \cancel{\vec{u}_\rho(M) \cdot A_\rho(M)\, \dfrac{d \vec{u}_\rho}{d \rho}(M)} = \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M)\;</math>», * «<math>\;T_{\rho,\, \theta} = \left[ \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \right] \cdot \left[ A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) \right] = \cancel{\vec{u}_\rho(M)\, \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M) \cdot \vec{u}_\theta(M)} + \cancel{\vec{u}_\rho(M) \cdot A_\theta(M)\, \dfrac{d \vec{u}_\theta}{d \rho}(M)} = 0\;</math>», * «<math>\;T_{\rho,\, z} = \left[ \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \right] \cdot \left[ A_z(M)\, \vec{u}_z \right] = \cancel{\vec{u}_\rho(M)\, \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M) \cdot \vec{u}_z} + \cancel{\vec{u}_\rho(M) \cdot A_z(M)\, \dfrac{d \vec{u}_z}{d \rho}} = 0\;</math>», * «<math>\;T_{\theta,\, \rho} = \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} \right] \cdot \left[ A_\rho(M)\, \vec{u}_\rho(M) \right] = \cancel{\vec{u}_\theta(M) \cdot \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M)\, \vec{u}_\rho(M)} + \vec{u}_\theta(M) \cdot \dfrac{1}{\rho}\, A_\rho(M)\, \dfrac{d \vec{u}_\rho}{d \theta}(M) = \dfrac{1}{\rho}\, A_\rho(M)\;</math>» <math>\;\bigg[</math>en effet on utilise <math>\;\dfrac{d \vec{u}_\rho}{d \theta}(M) = \vec{u}_\theta(M)\;</math> correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive » <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] (à retenir) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\bigg]</math>, * «<math>\;T_{\theta,\, \theta} = \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} \right] \cdot \left[ A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) \right] = \vec{u}_\theta(M) \cdot \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!\!(M)\, \vec{u}_\theta(M) + \cancel{\vec{u}_\theta(M) \cdot \dfrac{1}{\rho}\, A_\theta(M)\, \dfrac{d \vec{u}_\theta}{d \theta}(M)} = \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!\!(M)\;</math>» <math>\;\bigg[</math>en effet on utilise <math>\;\dfrac{d \vec{u}_\theta}{d \theta}(M) =</math> <math>-\vec{u}_\rho(M)\;</math> correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive » <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] (à retenir) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\bigg]</math>, * «<math>\;T_{\theta,\, z} = \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} \right] \cdot \left[ A_z(M)\, \vec{u}_z \right] = \cancel{\vec{u}_\theta(M) \cdot \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M)\, \vec{u}_z} + \cancel{\vec{u}_\theta(M) \cdot \dfrac{1}{\rho}\, A_z(M)\, \dfrac{d \vec{u}_z}{d \theta}} = 0\;</math>», * «<math>\;T_{z,\, \rho} = \left[ \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right] \cdot \left[ A_\rho(M)\, \vec{u}_\rho(M) \right] = \cancel{\vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M) \cdot \vec{u}_\rho(M)} + \cancel{\vec{u}_z \cdot A_\rho(M)\, \dfrac{d \vec{u}_\rho}{d z}(M)} = 0\;</math>», * «<math>\;T_{z,\, \theta} = \left[ \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right] \cdot \left[ A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) \right] = \cancel{\vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M) \cdot \vec{u}_\theta(M)} + \cancel{\vec{u}_z \cdot A_\theta(M)\, \dfrac{d \vec{u}_\theta}{d z}(M)} = 0\;</math>» et * «<math>\;T_{z,\, z} = \left[ \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right] \cdot \left[ A_z(M)\, \vec{u}_z \right] = \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M) \cdot \vec{u}_z + \cancel{\vec{u}_z \cdot A_z(M)\, \dfrac{d \vec{u}_z}{d z}} = \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M)\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \right\rbrace \left[ \; \right] =}</math> }}appliqué à la fonction vectorielle <math>\;\vec{A}(M) = A_r(M)\, \vec{u}_r(M) + A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) + A_\varphi(M)\, \vec{u}_\varphi(M)\;</math> en représentation sphérique <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” }}«<math>\;\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \right\rbrace \left[ \vec{A} \right](M) = \left\lbrace \Bigg[ \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} + \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \Bigg]\; \cdot \right\rbrace \left[ A_r(M)\, \vec{u}_r(M) + A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) + A_\varphi(M)\, \vec{u}_\varphi(M) \right]\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \right\rbrace \left[ \vec{A} \right](M)}</math> }}<math>= \left( \dfrac{\partial A_r}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}(M) + \dfrac{2}{r}\, A_r(M) + \dfrac{1}{r} \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}(M) + \dfrac{\cos(\theta)}{r\, \sin(\theta)}\, A_\theta(M) + \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}(M)\;</math>»<ref name="justification de la divergence en sphérique"> Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Expression obtenue }}en utilisant la formule de dérivation de deux fonctions dont l'une est vectorielle, cette dernière pouvant dépendre de deux variables, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Expression obtenue }}sachant que les deux 1^ers vecteurs de base sphérique dépendent de <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi</math>, le 3^ème ne dépendant que de <math>\;\varphi\;</math> et qu'ils forment une base orthonormée ; <br>{{Al|3}}compte tenu de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire, 2^ème propriété) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> on trouve, après développement, une somme de neuf termes : * «<math>\;T_{r,\, r} = \left[ \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \right] \cdot \left[ A_r(M)\, \vec{u}_r(M) \right] = \vec{u}_r(M) \cdot \left( \dfrac{\partial \left[ A_r \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}(M)\; \vec{u}_r(M) = \left( \dfrac{\partial \left[ A_r \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}(M)\;</math>», * «<math>\;T_{r,\, \theta} = \left[ \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \right] \cdot \left[ A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) \right] = \cancel{\vec{u}_r(M) \cdot \left( \dfrac{\partial \left[ A_\theta \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}(M)\; \vec{u}_\theta(M)} = 0\;</math>», * «<math>\;T_{r,\, \varphi} = \left[ \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \right] \cdot \left[ A_\varphi(M)\, \vec{u}_\varphi(M) \right] = \cancel{\vec{u}_r(M) \cdot \left( \dfrac{\partial \left[ A_\varphi \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}(M)\; \vec{u}_\varphi(M)} = 0\;</math>», * «<math>\;T_{\theta,\, r} = \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \right] \cdot \left[ A_r(M)\, \vec{u}_r(M) \right] = \cancel{\vec{u}_\theta(M) \cdot \dfrac{1}{r} \left( \dfrac{\partial \left[ A_r \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}(M)\; \vec{u}_r(M)} + \vec{u}_\theta(M) \cdot \dfrac{A_r}{r} \left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_r \right]}{\partial \theta} \right)_\varphi(M) = \dfrac{1}{r}\, A_r(M)\;</math>» <math>\;\bigg[</math>en effet on utilise <math>\;\left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_r \right]}{\partial \theta} \right)_\varphi(M) =</math> <math>\vec{u}_\theta(M)\;</math> <math>\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_1er_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive »<math>\big\}\bigg]</math>, * «<math>\;T_{\theta,\, \theta} = \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \right] \cdot \left[ A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) \right] = \vec{u}_\theta(M) \cdot \dfrac{1}{r} \left( \dfrac{\partial \left[ A_\theta \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}(M)\; \vec{u}_\theta(M) + \cancel{\vec{u}_\theta(M) \cdot \dfrac{A_\theta}{r} \left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_\theta \right]}{\partial \theta} \right)_\varphi(M)} = \dfrac{1}{r} \left( \dfrac{\partial \left[ A_\theta \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}(M)\;</math>» <math>\;\bigg[</math>en effet on utilise <math>\;\left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_\theta \right]}{\partial \theta} \right)_\varphi(M)</math> <math>= -\vec{u}_r(M)\;</math> <math>\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_2nd_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive »<math>\big\}\bigg]</math>, * «<math>\;T_{\theta,\, \varphi} = \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \right] \cdot \left[ A_\varphi(M)\, \vec{u}_\varphi(M) \right] = \cancel{\vec{u}_\theta(M) \cdot \dfrac{1}{r} \left( \dfrac{\partial \left[ A_\varphi \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}(M)\; \vec{u}_\varphi(M)} = 0 \;</math>», * «<math>\;T_{\varphi,\, r} = \left[ \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right] \cdot \left[ A_r(M)\, \vec{u}_r(M) \right] = \cancel{\vec{u}_\varphi(M) \cdot \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial \left[ A_r \right]}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}(M)\; \vec{u}_r(M)} + \vec{u}_\varphi(M) \cdot \dfrac{A_r}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_r \right]}{\partial \varphi} \right)_\theta(M) = \dfrac{1}{r}\, A_r(M) \;</math>» <math>\;\bigg[</math>en effet on utilise <math>\;\left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_r \right]}{\partial \varphi} \right)_\theta(M) =</math> <math>\sin(\theta)\;\vec{u}_\varphi(M)\;</math> <math>\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_1er_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans laquelle on utilise la décomposition de <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive »<math>\big\}\bigg]</math>, * «<math>\;T_{\varphi,\, \theta} = \left[ \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right] \cdot \left[ A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) \right] = \cancel{\vec{u}_\varphi(M) \cdot \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial \left[ A_\theta \right]}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}(M)\; \vec{u}_\theta(M)} + \vec{u}_\varphi(M) \cdot \dfrac{A_\theta}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_\theta \right]}{\partial \varphi} \right)_\theta(M) = \dfrac{\cos(\theta)}{r\, \sin(\theta)} A_\theta(M)\;</math>» <math>\;\bigg[</math>en effet on utilise <math>\;\left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_\theta \right]}{\partial \varphi} \right)_\theta(M) =</math> <math>\cos(\theta)\;\vec{u}_\varphi(M)\;</math> <math>\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_2nd_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans laquelle on utilise la décomposition de <math>\;\vec{u}_\theta(M)\;</math> dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive »<math>\big\}\bigg]\;</math> et * «<math>\;T_{\varphi,\, \varphi} = \left[ \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right] \cdot \left[ A_\varphi(M)\, \vec{u}_\varphi(M) \right] = \vec{u}_\varphi(M) \cdot \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial \left[ A_\varphi \right]}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}(M)\; \vec{u}_\varphi(M) + \cancel{\vec{u}_\varphi(M) \cdot \dfrac{A_\varphi}{r\, \sin(\theta)}(M)\, \dfrac{d \left[ \vec{u}_\varphi \right]}{d \varphi}(M)} = \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial \left[ A_\varphi \right]}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}(M)\;</math>» <math>\;\bigg[</math>en effet on utilise <math>\;\dfrac{d \left[ \vec{u}_\varphi \right]}{d \varphi}(M) =</math> <math>-\sin(\theta)\;\vec{u}_r(M) - \cos(\theta)\;\vec{u}_\theta(M)\;</math> <math>\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_de_la_dérivée_du_3ème_vecteur_de_base_sphérique|détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive » puis la décomposition de <math>\;\vec{u}_\rho(M)\;</math> dans la base sphérique<math>\big\}\bigg]</math>.</ref>. ==== Définition du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla scalaire ...” de cette fonction vectorielle ==== {{Al|5}}Appliquant l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 1^er ordre “nabla scalaire ...”<ref name="opérateur nabla scalaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Construction_de_l'opérateur_du_premier_ordre_“nabla_scalaire_...”|construction de l'opérateur du 1^er ordre “nabla scalaire ...”]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> au champ vectoriel de l'espace <math>\;\vec{A}(M)\;</math> on obtient l'« image <math>\;\vec{\nabla}\! \cdot\! \vec{A}(M)\;</math>» définissant <br />{{Al|9}}{{Transparent|Appliquant l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” au champ vectoriel de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> on obtient}}le « <u>champ scalaire divergence du champ vectoriel</u><math>\;\vec{A}(M)\;</math>» «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math>»<ref> Comme pour le « champ vectoriel [[w:Gradient|gradient]] d'une fonction scalaire » qui a « une définition intrinsèque <math>\;\big\{</math>voir « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|ici]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Comme pour le « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire » qui a }}« une définition utilisant l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel “nabla” <math>\;\big\{</math>voir « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Lien_entre_le_champ_vectoriel_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace_et_l'image_par_l'opérateur_“nabla”_de_cette_fonction_scalaire|là]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\;</math>», <br>{{Al|3}}{{Transparent|Comme pour }}le « champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace » a « une définition utilisant l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] “nabla scalaire ...” <math>\;\big\{</math>énoncée ici<math>\big\}\;</math>» mais aussi <br>{{Al|3}}{{Transparent|Comme pour le « champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace » a }}« une définition intrinsèque <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_(équivalente)_du_champ_scalaire_divergence_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace|définition (équivalente) du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big\}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}en conclusion le « champ scalaire <math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math> divergence de la fonction vectorielle différentiable de l'espace <math>\;\vec{A}(M)\;</math>» résulte de l'application suivante «<math>\;\vec{A}\;\; \overset{\vec{\nabla} \cdot}{\rightarrow}\;\; \vec{\nabla}\! \cdot\! \vec{A} = \mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\;</math>». ==== Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien ==== {{Al|5}}En cartésien «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M) = \vec{\nabla}\! \cdot\! \vec{A}(M) = \left\lbrace \vec{u}_x\, \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} + \vec{u}_y\, \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \right\rbrace \cdot \left[ A_x(M)\, \vec{u}_x + A_y(M)\, \vec{u}_y + A_z(M)\, \vec{u}_z \right]\;</math>», ce qui donne<ref> Voir l'explication à la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#cite_note-justification_de_la_divergence_et_du_laplacien_en_cartésien-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> : {{Proposition|titre = Divergence d'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> en cartésien| contenu = <div style="text-align: center;">«<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M) = \vec{\nabla}\! \cdot\! \vec{A}(M) = \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M)\;</math>».</div>}} ==== Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire ==== {{Al|5}}En cylindro-polaire «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M) = \vec{\nabla}\! \cdot\! \vec{A}(M) = \left\lbrace \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right\rbrace \cdot \left[ A_\rho(M)\, \vec{u}_\rho(M) + A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) + A_z(M)\, \vec{u}_z \right]\;</math>», ce qui donne<ref> Voir l'explication à la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#cite_note-justification_de_la_divergence_en_cylindro-polaire-36|³⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> : {{Proposition|titre = Divergence d'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> en cylindro-polaire| contenu = <div style="text-align: center;">«<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \vec{\nabla}\! \cdot\! \vec{A}(M) = \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!(M) + \dfrac{1}{\rho}\, A_\rho(M) + \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!(M) + \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!(M)\;</math>» <br />ou <br />{{Al|17}}«<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial \left[ \rho\, A_\rho \right]}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!(M) + \dfrac{1}{\rho} \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!(M) + \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!(M)\;</math>»<ref> On vérifie l'identité de ces deux expressions car «<math>\;\dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial \left[ \rho\, A_\rho \right]}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!(M) = \dfrac{1}{\rho} \left[ A_\rho(M) + \rho\, \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!(M) \right]\;</math>» <math>\ldots</math></ref>.</div>}} ==== Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique ==== {{Al|5}}En sphérique «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M) = \vec{\nabla}\! \cdot\! \vec{A}(M) = \left\lbrace \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} + \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right\rbrace \cdot \left[ A_r(M)\, \vec{u}_r(M)\; +\; A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M)\; + A_\varphi(M)\, \vec{u}_\varphi(M) \right]\;</math>», ce qui donne<ref> Voir l'explication à la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#cite_note-justification_de_la_divergence_en_sphérique-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> : {{Proposition|titre = Divergence d'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> en sphérique| contenu = <div style="text-align: left;">{{Al|10}}«<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M) = \vec{\nabla}\! \cdot\! \vec{A}(M)</math> <br />{{Al|12}}<math>\;\color{transparent}{\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M)} \color{black}= \left( \dfrac{\partial A_r}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}(M) + \dfrac{2}{r}\, A_r(M) + \dfrac{1}{r} \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}(M) + \dfrac{\cos(\theta)}{r\, \sin(\theta)}\, A_\theta(M) + \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}(M)\;</math>» </div> <div style="text-align: center;">ou, après regroupement, <br />«<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \dfrac{1}{r^2} \left( \dfrac{\partial \left[ r^2\, A_r \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!\!(M) + \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\, A_\theta \right]}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\, \varphi}\!\!(M) + \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!\!(M)\;</math>»<ref> On vérifie l'identité de ces deux expressions car d'une part «<math>\;\dfrac{1}{r^2}\, \left( \dfrac{\partial \left[ r^2\, A_r \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!(M) = \dfrac{1}{r^2} \left[ 2\, r\, A_r(M) + r^2\, \left( \dfrac{\partial A_r}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!(M) \right]\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|On vérifie l'identité de ces deux expressions car }}d'autre part «<math>\;\dfrac{1}{r\, \sin(\theta)}\, \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\, A_\theta \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}\!(M) = \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left[ \cos(\theta)\, A_\theta(M) + \sin(\theta)\, \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}\!(M) \right]\;</math>» <math>\ldots</math></ref>.{{Al|11}}</div>}} ==== Définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace ==== {{Al|5}}La « divergence <math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|La « divergence <math>\;\color{transparent}{\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)}\;</math> }}est le « champ scalaire défini en <math>\;M\;</math>» par le « quotient du [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] <math>\;\delta \Phi[\vec{A}(M)]\;</math> de <math>\;\vec{A}(M)\;</math> à travers une surface élémentaire fermée <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math> entourant <math>\;M\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|La « divergence <math>\;\color{transparent}{\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)}\;</math> est le « champ scalaire défini en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» par le « quotient du flux élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \Phi[\vec{A}(M)]}\;</math> }}sur le volume élémentaire <math>\;d\mathcal{V}_M\;</math> mesurant l'intérieur de <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math>»<ref name="flux élémentaire d'un champ vectoriel"> Le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] d'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> à travers une surface ouverte est défini par «<math>\;\delta \Phi[\vec{A}(M)] = \vec{A}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dS}\;</math>» <math>\rightsquigarrow</math> voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] (flux élémentaire d'un champ vectoriel) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ou le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Flux_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace,_notion_de_champ_vectoriel_à_flux_conservatif#Définition_du_flux_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_tridimensionnel|définition du flux élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel]] » du chap.<math>29</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}Ici la surface élémentaire <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math> étant fermée, il faut la décomposer en éléments de surface <math>\;(\delta^2 \mathcal{S})\;</math> infiniment petits relativement à <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math> et le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] de <math>\;\vec{A}(M)\;</math> à travers la surface fermée <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math> est défini par «<math>\;\delta \Phi[\vec{A}(M)] = \color{transparent}{\Bigg[}\!\!\color{black}\displaystyle\oiint\limits_{M'\,\in\,(\delta \mathcal{S})} \vec{A}(M')\! \cdot\! \overrightarrow{d^2S}_{\text{lat.}}(M')\;</math>» avec «<math>\;\overrightarrow{d^2S}_{\text{lat.}}(M')\;</math> vecteur surface élémentaire en <math>\;M'\;</math> de la surface élémentaire fermée <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math> entourant <math>\;M\;</math>», vecteur orienté vers l'extérieur <math>\Rightarrow</math> le flux est alors qualifié de « sortant » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Flux_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace,_notion_de_champ_vectoriel_à_flux_conservatif#Définition_du_flux_sortant_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_tridimensionnel_à_travers_une_surface_fermée|définition du flux sortant d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermé]] » du chap.<math>29</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|La « divergence <math>\;\color{transparent}{\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)}\;</math> est }}«<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \dfrac{\delta \Phi[\vec{A}(M)]}{d\mathcal{V}_M} = \dfrac{\color{transparent}{\Bigg[}\!\!\color{black}\displaystyle\oiint\limits_{M'\,\in\,(\delta \mathcal{S})} \vec{A}(M')\! \cdot\! \overrightarrow{d^2S}_{\text{lat.}}(M')}{d\mathcal{V}_M}\;</math>»<ref name="flux élémentaire d'un champ vectoriel" />{{,}}<ref> Ou, de façon plus concise «<math>\;\delta \Phi[\vec{A}(M)] = \color{transparent}{\Bigg[}\!\!\color{black}\displaystyle\oiint\limits_{M'\,\in\,(\delta \mathcal{S})} \vec{A}(M')\! \cdot\! \overrightarrow{d^2S}_{\text{lat.}} = \mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\; d\mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{d^2S}_{\text{lat.}}(M')\;</math> vecteur surface élémentaire en <math>\;M'\,\in\,(\delta \mathcal{S})\;</math> entourant <math>\;M\;</math>», <br />{{Al|38}}{{Transparent|La « divergence <math>\;\color{transparent}{\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)}\;</math> est «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \delta \Phi[\vec{A}(M)] = \vec{A}(M')\! \cdot\! \overrightarrow{d^2S}_{\text{lat.}}(M')}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{d^2S}_{\text{lat.}}(M')}\;</math> }}vecteur surface orienté vers l'extérieur, <br />{{Al|38}}{{Transparent|La « divergence <math>\;\color{transparent}{\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)}\;</math> est «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \delta \Phi[\vec{A}(M)] = \vec{A}(M')\! \cdot\! \overrightarrow{d^2S}_{\text{lat.}}(M')}\;</math>» }}l'intérieur de cette surface fermée <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math> étant de volume <math>\;d\mathcal{V}_M</math>. ==== Justification de l'équivalence entre la définition intrinsèque du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace et celle de l'image de cette fonction vectorielle par l'opérateur “nabla scalaire ...” ==== {{Al|5}}Ayant obtenu l'« image de la fonction vectorielle <math>\;\vec{A}(M)\;</math> par l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 1^er ordre <math>\;\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \right\rbrace\left[ \; \right]\;</math>» dans tous les « repérages précédemment introduits »<ref name="repérages précédemment introduits"> Parmi les repérages introduits ceux qui sont valables pour tous les points de l'espace c.-à-d. « cartésien », « cylindro-polaire » et « sphérique » <math>\big[</math>le repérage de Frenet nécessitant de connaître la courbe n'est donc valable que localement sur cette courbe<math>\big]\;</math> mais il existe d'autres repérages non introduits valables pour tous les points de l'espace comme <br>{{Al|20}}{{Transparent|Parmi }}le « [[w:Système de coordonnées bifocales|repérage bifocale]] » substituant les coordonnées <math>\;(r,\, \theta)\;</math> du repérage sphérique d'un point dans le demi-plan méridien <math>\;\varphi = cste\;</math> par <math>\;(r_1,\, r_2)\;</math> distance respective du point à deux points fixes de l'axe <math>\;z'z\;</math> symétriques par rapport à <math>\;O</math>, notés <math>\;A_1\;</math> pour <math>\;(z_1 = a > 0)</math>, <math>\;A_2\;</math> pour <math>\;(z_2 = -a < 0)\;</math> et appelés « foyers du repérage » <math>\ldots</math></ref>{{,}}<ref> Comme, par exemple, dans le repérage cartésien «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M) = \vec{\nabla}\! \cdot\! \vec{A}(M) = \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M)\;</math>».</ref>, il nous suffit de « retrouver l'expression de l'image dans le repérage choisi à partir de la définition intrinsèque du champ scalaire divergence de <math>\;\vec{A}(M)\;</math>»<ref> Et il faudrait faire de même dans les deux autres repérages <math>\ldots</math></ref>. ===== Justification en repérage cartésien ===== {{Al|5}}Pour cela « on considère, à partir du point <math>\;M\, \left(x,\, y,\, z \right)</math>, l'expansion tridimensionnelle élémentaire parallélépipédique de longueur <math>\;dx\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_x</math>, <math>\;dy\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_y\;</math> et <math>\;dz\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math>», « la surface fermée <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math> limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ; <br />{{Al|5}}on évalue alors le « [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] à travers <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M') = A_x(M')\, \vec{u}_x + A_y(M')\, \vec{u}_y + A_z(M')\, \vec{u}_z</math>, noté <math>\;\delta \Phi(\vec{A})\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le « flux élémentaire à travers <math>\;\color{transparent}{(\delta \mathcal{S})}\;</math> }}en faisant la somme des [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaires]] à travers les six faces orientées du parallélépipède<ref name="orienté vers l'extérieur"> L'orientation de chaque face pointant vers l'extérieur de l'expansion tridimensionnelle élémentaire.</ref>, soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le }}«<math>\;\delta \Phi(\vec{A}) = \sum\limits_{k = 1}^6 \delta \Phi_{\text{face}_k}(\vec{A}) = \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{à}\,yOz}(x)}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{à}\,yOz}(x + dx)}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{à}\,xOz}(y)}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{à}\,xOz}(y + dy)}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{à}\,xOy}(z)}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{à}\,xOy}(z + dz)}(\vec{A})\;</math>», avec <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{à}\,yOz}(x)}(\vec{A}) = \vec{A}(x,\, y_i,\, z_i) \cdot \left[ dy\, dz \right] \left[ -\vec{u}_x \right]\\ \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{à}\,yOz}(x + dx)}(\vec{A}) = \vec{A}(x + dx,\, y_i,\, z_i) \cdot \left[ dy\, dz \right] \left[ \vec{u}_x \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> La face <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;yOz</math>, d'abscisse <math>\;x\;</math> est d'aire <math>\;dy\, dz</math>, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est <math>\;-\vec{u}_x</math> ; <br>{{Al|3}}la face <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;yOz</math>, d'abscisse <math>\;x + dx\;</math> est d'aire <math>\;dy\, dz</math>, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est <math>\;\vec{u}_x</math> ; <br>{{Al|3}}l'ordonnée et la cote du point générique de chaque face sont notées <math>\;y_i\;</math> et <math>\;z_i</math>, elles peuvent prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;y\;</math> et <math>\;y + dy\;</math> pour l'ordonnée et n'importe quelle valeur entre <math>\;z\;</math> et <math>\;z + dz\;</math> pour la cote.</ref>, «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{à}\,xOz}(y)}(\vec{A}) = \vec{A}(x_i,\, y,\, z_i) \cdot \left[ dx\, dz \right] \left[ -\vec{u}_y \right]\\ \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{à}\,xOz}(y + dy)}(\vec{A}) = \vec{A}(x_i,\, y + dy,\, z_i) \cdot \left[ dx\, dz \right] \left[ \vec{u}_y \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> La face <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;xOz</math>, d'ordonnée <math>\;y\;</math> est d'aire <math>\;dx\, dz</math>, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est <math>\;-\vec{u}_y</math> ; <br>{{Al|3}}la face <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;xOz</math>, d'ordonnée <math>\;y + dy\;</math> est d'aire <math>\;dx\, dz</math>, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est <math>\;\vec{u}_y</math> ; <br>{{Al|3}}l'abscisse et la cote du point générique de chaque face sont notées <math>\;x_i\;</math> et <math>\;z_i</math>, elles peuvent prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;x\;</math> et <math>\;x + dx\;</math> pour l'abscisse et n'importe quelle valeur entre <math>\;z\;</math> et <math>\;z + dz\;</math> pour la cote.</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{à}\,xOy}(z)}(\vec{A}) = \vec{A}(x_i,\, y_i,\, z) \cdot \left[ dx\, dy \right] \left[ -\vec{u}_z \right]\\ \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{à}\,xOy}(z + dz)}(\vec{A}) = \vec{A}(x_i,\, y_i,\, z + dz) \cdot \left[ dx\, dy \right] \left[ \vec{u}_z \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> La face <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;xOy</math>, de cote <math>\;z\;</math> est d'aire <math>\;dx\, dy</math>, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est <math>\;-\vec{u}_z</math> ; <br>{{Al|3}}la face <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;xOy</math>, de cote <math>\;z + dz\;</math> est d'aire <math>\;dx\, dy</math>, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est <math>\;\vec{u}_z</math> ; <br>{{Al|3}}l'abscisse et l'ordonnée du point générique de chaque face sont notées <math>\;x_i\;</math> et <math>\;y_i</math>, elles peuvent prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;x\;</math> et <math>\;x + dx\;</math> pour l'abscisse et n'importe quelle valeur entre <math>\;y\;</math> et <math>\;y + dy\;</math> pour l'ordonnée.</ref> ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons : <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{à}\,yOz}(x)}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{à}\,yOz}(x + dx)}(\vec{A}) = -A_x(x,\, y_i,\, z_i)\; dy\, dz + A_x(x + dx,\, y_i,\, z_i)\; dy\, dz = \left[ \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}\!\!(M)\, dx \right] dy\, dz\;</math>»<ref name="approximation linéaire"> Par généralisation de l'« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Approximation linéaire d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs|approximation linéaire d'une fonction scalaire d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs]] » vue au chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » à une fonction scalaire de plusieurs variables indépendantes, la dérivée droite étant remplacée par la dérivée partielle relativement à la variable dont on cherche l'approximation au voisinage d'une de ses valeurs, les autres variables étant figées.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{à}\,xOz}(y)}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{à}\,xOz}(y + dy)}(\vec{A}) = -A_y(x_i,\, y,\, z_i)\; dx\, dz + A_y(x_i,\, y + dy,\, z_i)\; dx\, dz = \left[ \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}\!\!(M)\, dy \right] dx\, dz\;</math>»<ref name="approximation linéaire" /> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{à}\,xOy}(z)}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{à}\,xOy}(z + dz)}(\vec{A}) = -A_z(x_i,\, y_i,\, z)\; dx\, dy + A_z(x_i,\, y_i,\, z + dz)\; dx\, dy = \left[ \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}\!\!(M)\, dz \right] dx\, dy\;</math>»<ref name="approximation linéaire" /> soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le }}en ajoutant tous les termes, en mettant en facteur l'élément de volume commun «<math>\;dx\, dy\, dz = d\mathcal{V}\;</math>» puis, <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le en ajoutant tous les termes, }}en divisant par ce dernier, pour obtenir l'expression de <math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math> par définition intrinsèque<ref name="abus de définition de M"> En fait la définition intrinsèque de <math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math> nécessite que l'expansion tridimensionnelle de volume <math>\;d\mathcal{V}\;</math> soit limitée par une surface fermée <math>\;(\delta S)\;</math> entourant <math>\;M</math>, <br>{{Al|3}}ici le point <math>\;M\,\in\,(\delta S)</math>, ce n'est donc qu'une approximation de <math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math> mais le centre de <math>\;(\delta S)\;</math> étant infiniment proche de <math>\;M</math>, la définition intrinsèque reste applicable en <math>\;M\;</math> à des infiniment petits d'ordre supérieur près.</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le }}«<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \dfrac{\delta \Phi(\vec{A})}{d\mathcal{V}} = \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}\!\!(M) + \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}\!\!(M) + \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}\!\!(M)\;</math>» dans lequel <br />{{Al|50}}{{Transparent|on évalue alors le }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial A_x}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}\!\!(M) + \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}\!\!(M) + \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}\!\!(M) = \vec{\nabla}\! \cdot\! \vec{A}(M)\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_de_la_divergence_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_en_cartésien|expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br />{{Al|32}}{{Transparent|on évalue alors le }}«<math>\;\dfrac{\delta \Phi(\vec{A})}{d\mathcal{V}} = \vec{\nabla}\! \cdot\! \vec{A}(M)\;</math>» définissant toutes deux «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math>», « la 1^ère de façon intrinsèque » et « la 2^nde par [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] <math>\;\vec{\nabla}\! \cdot \;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>. ===== Justification en repérage cylindro-polaire ===== {{Al|5}}On se propose de refaire la justification en repérage cylindro-polaire, essentiellement dans le but de trouver une façon plus élégante de déterminer l'expression de <math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math> dans ce repérage ; <br />{{Al|5}}pour cela « on considère, à partir du point <math>\;M\, \left(\rho,\, \theta,\, z \right)</math>, l'expansion tridimensionnelle élémentaire d'une portion d'un [[w:Cylindre_de_révolution|tuyau cylindrique de révolution]] d'axe <math>\;z'z</math>, d'épaisseur <math>\;d\rho\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_\rho</math>, d'ouverture angulaire <math>\;d\theta\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> et de hauteur <math>\;dz\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math>», « la surface fermée <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math> limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ; <br />{{Al|5}}on évalue alors le « [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] à travers <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M') = A_\rho(M')\, \vec{u}_\rho(M') + A_\theta(M')\, \vec{u}_\theta(M') + A_z(M')\, \vec{u}_z</math>, noté <math>\;\delta \Phi(\vec{A})\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le « flux élémentaire à travers <math>\;\color{transparent}{(\delta \mathcal{S})}\;</math> }}en faisant la somme des [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaires]] à travers les six faces orientées de <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math><ref name="orienté vers l'extérieur" />, soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le }}«<math>\;\delta \Phi(\vec{A}) = \sum\limits_{k = 1}^6 \delta \Phi_{\text{face}_k}(\vec{A}) = \delta \Phi_{d^2S_{\text{cylind.}(\rho)}}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\text{cylind.}(\rho + d\rho)}}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{au mérid.}}(\theta)}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{au mérid.}}(\theta + d\theta)}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{à}\,xOy}(z)}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{à}\,xOy}(z + dz)}(\vec{A})\;</math>», avec <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l}\delta \Phi_{d^2S_{\text{cylind.}(\rho)}}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(\rho,\, \theta_i,\, z_i) \cdot \left[ \rho\, d\theta\, dz \right] \left[ -\vec{u}_\rho \right]\\ \delta \Phi_{d^2S_{\text{cylind.}(\rho + d\rho)}}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(\rho + d\rho,\, \theta_i,\, z_i) \cdot \left[ \left( \rho + d\rho \right) d\theta\, dz \right] \left[ \vec{u}_\rho \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> La face cylindrique de rayon <math>\;\rho\;</math> est d'aire <math>\;\rho\, d\theta\, dz</math>, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est <math>\;-\vec{u}_\rho</math> ; <br>{{Al|3}}la face cylindrique de rayon <math>\;\rho + d\rho\;</math> est d'aire <math>\;\left( \rho + d\rho \right) d\theta\, dz</math>, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est <math>\;\vec{u}_\rho</math> ; <br>{{Al|3}}l'abscisse angulaire et la cote du point générique de chaque face sont notées <math>\;\theta_i\;</math> et <math>\;z_i</math>, elles peuvent prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\theta + d\theta\;</math> pour l'abscisse angulaire et n'importe quelle valeur entre <math>\;z\;</math> et <math>\;z + dz\;</math> pour la cote ; <br>{{Al|3}}attention les aires des deux portions de faces cylindriques en regard ne sont pas égales, la différence provient du fait que les rayons des tuyaux cylindriques n'étant pas les mêmes, les arcs correspondant à <math>\;d\theta\;</math> sur chaque tuyau ne sont pas de même longueur.</ref>, «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l}\delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{au mérid.}}(\theta)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(\rho_i,\, \theta,\, z_i) \cdot \left[ d\rho\, dz \right] \left[ -\vec{u}_\theta \right]\\ \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{au mérid.}}(\theta + d\theta)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(\rho_i,\, \theta + d\theta,\, z_i) \cdot \left[ d\rho\, dz \right] \left[ \vec{u}_\theta \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> La face <math>\;\parallel\;</math> au méridien, d'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> est d'aire <math>\;d\rho\, dz</math>, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est <math>\;-\vec{u}_\theta</math> <br>{{Al|3}}la face <math>\;\parallel\;</math> au méridien, d'abscisse angulaire <math>\;\theta + d\theta\;</math> est d'aire <math>\;d\rho\, dz</math>, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est <math>\;\vec{u}_\theta</math> ; <br>{{Al|3}}le rayon polaire et la cote du point générique de chaque face sont notés <math>\;\rho_i\;</math> et <math>\;z_i</math>, ils peuvent prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;\rho\;</math> et <math>\;\rho + d\rho\;</math> pour le rayon polaire et n'importe quelle valeur entre <math>\;z\;</math> et <math>\;z + dz\;</math> pour la cote.</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l}\delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{à}\,xOy}(z)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(\rho_i,\, \theta_i,\, z) \cdot \left[ d\rho\, \rho\, d\theta \right] \left[ -\vec{u}_z) \right]\\ \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{à}\,xOy}(z + dz)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(\rho_i,\, \theta_i,\, z + dz) \cdot \left[ d\rho\, \rho\, d\theta \right] \left[ \vec{u}_z) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> La face <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;xOy</math>, de cote <math>\;z\;</math> est d'aire <math>\;d\rho\, \rho\, d\theta</math>, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est <math>\;-\vec{u}_z</math> <br>{{Al|3}}la face <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;xOy</math>, de cote <math>\;z + dz\;</math> est d'aire <math>\;d\rho\, \rho\, d\theta</math>, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est <math>\;\vec{u}_z</math> ; <br>{{Al|3}}le rayon polaire et l'abscisse angulaire du point générique de chaque face sont notés <math>\;\rho_i\;</math> et <math>\;\theta_i</math>, ils peuvent prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;\rho\;</math> et <math>\;\rho + d\rho\;</math> pour le rayon polaire et n'importe quelle valeur entre <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\theta + d\theta\;</math> pour l'abscisse angulaire.</ref> ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons : <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \Phi_{d^2S_{\text{cylind.}(\rho)}}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\text{cylind.}(\rho + d\rho)}}(\vec{A}) = -A_\rho(\rho,\, \theta_i,\, z_i)\; \rho\, d\theta\, dz + A_\rho(\rho + d\rho,\, \theta_i,\, z_i)\; \left( \rho + d\rho \right) d\theta\, dz = \left\lbrace \left( \dfrac{\partial \left[ \rho\, A_\rho \right]}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!\!(M)\, d\rho \right\rbrace d\theta\, dz\;</math>»<ref> Observant une différence de valeurs de la fonction <math>\;\rho\, A_\rho(\rho,\, \theta,\, z)\;</math> entre celle pour <math>\;\rho + d\rho\;</math> et celle pour <math>\;\rho</math>, on peut réécrire <br>{{Al|3}}{{Transparent|Observant }}la somme des deux termes, « après factorisation par <math>\;d\theta\, dz\;</math>», selon «<math>\;\delta \Phi_{d^2S_{\text{cylind.}(\rho)}}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\text{cylind.}(\rho + d\rho)}}(\vec{A}) = \left[ -\rho\, A_\rho(\rho,\, \theta_i,\, z_i) + \left( \rho + d\rho \right) A_\rho(\rho + d\rho,\, \theta_i,\, z_i) \right] d\theta\, dz\;</math>», <br>{{Al|3}}puis, on peut utiliser l'approximation linéaire à la fonction <math>\;\rho\, A_\rho(\rho,\, \theta,\, z)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#cite_note-Approximation_linéaire-54|⁵⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{au mérid.}}(\theta)}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{au mérid.}}(\theta + d\theta)}(\vec{A}) = -A_\theta(\rho_i,\, \theta,\, z_i)\; d\rho\, dz + A_\theta(\rho_i,\, \theta + d\theta,\, z_i)\; d\rho\, dz = \left[ \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!\!(M)\, d\theta \right] d\rho\, dz\;</math>»<ref name="approximation linéaire" /> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{à}\,xOy}(z)}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{à}\,xOy}(z + dz)}(\vec{A}) = -A_z(\rho_i,\, \theta_i,\, z)\; d\rho\, \rho\, d\theta + A_z(\rho_i,\, \theta_i,\, z + dz)\; d\rho\, \rho\, d\theta = \left[ \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!\!(M)\, dz \right] d\rho\, \rho\, d\theta\;</math>»<ref name="approximation linéaire" /> soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le }}en ajoutant tous les termes, en mettant en facteur l'élément de volume commun «<math>\;d\rho\, \rho\, d\theta\, dz = d\mathcal{V}\;</math>» puis, <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le en ajoutant tous les termes, }}en divisant par ce dernier, pour obtenir l'expression de <math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math> par définition intrinsèque<ref name="abus de définition de M" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le }}«<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \dfrac{\delta \Phi(\vec{A})}{d\mathcal{V}} = \dfrac{1}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial \left[ \rho\, A_\rho \right]}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!\!(M) + \dfrac{1}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!\!(M) + \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!\!(M)\;</math>» dans lequel <br />{{Al|50}}{{Transparent|on évalue alors le }}«<math>\;\dfrac{1}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial \left[ \rho\, A_\rho \right]}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!\!(M) + \dfrac{1}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!\!(M) + \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!\!(M) = \vec{\nabla}\! \cdot\! \vec{A}(M)\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_de_la_divergence_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_en_cylindro-polaire|expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|32}}{{Transparent|on évalue alors le }}«<math>\;\dfrac{\delta \Phi(\vec{A})}{d\mathcal{V}} = \vec{\nabla}\! \cdot\! \vec{A}(M)\;</math>» définissant toutes deux «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math>», « la 1^ère de façon intrinsèque » et « la 2^nde par [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] <math>\;\vec{\nabla}\! \cdot \;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. ===== Justification en repérage sphérique ===== {{Al|5}}La justification en repérage sphérique est plus laborieuse, elle constitue néanmoins une façon plus élégante <math>\;\big(</math>mais aussi plus délicate<math>\big)\;</math> de déterminer l'expression de <math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math><ref> Surtout intéressante dans le cas de champs vectoriels particuliers pour lesquels il ne reste qu'une seule composante sphérique comme les champs vectoriels radiaux «<math>\;\vec{A}(M) = A_r(r,\, \theta,\, \varphi)\, \vec{u}_r\;</math>».</ref> ; <br />{{Al|5}}pour cela « on considère, à partir du point <math>\;M\, \left(r,\, \theta,\, \varphi \right)</math>, l'expansion tridimensionnelle élémentaire d'une portion de boule de centre <math>\;O</math>, d'épaisseur <math>\;dr\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_r</math>, d'ouverture de colatitude <math>\;d\theta\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> et d'ouverture de longitude <math>\;d\varphi\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math>», « la surface fermée <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math> limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ; <br />{{Al|5}}on évalue alors le « [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] à travers <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M') = A_r(M')\, \vec{u}_r(M') + A_\theta(M')\, \vec{u}_\theta(M') + A_\varphi(M')\, \vec{u}_\varphi(M')</math>, noté <math>\;\delta \Phi(\vec{A})\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le « flux élémentaire à travers <math>\;\color{transparent}{(\delta \mathcal{S})}\;</math> }}en faisant la somme des [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaires]] à travers les six faces orientées de <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math><ref name="orienté vers l'extérieur" />, soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le }}«<math>\;\delta \Phi(\vec{A}) = \sum\limits_{k = 1}^6 \delta \Phi_{\text{face}_k}(\vec{A}) = \delta \Phi_{d^2S_{\text{sphér.}(r)}}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\text{sphèr.}(r + dr)}}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{au paral.}}(\theta)}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{au paral.}}(\theta + d\theta)}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{au mérid.}}(\varphi)}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{au mérid.}}(\varphi + d\varphi)}(\vec{A})\;</math>», <br />{{Transparent|on évalue alors }}avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l}\delta \Phi_{d^2S_{\text{sphèr.}(r)}}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(r,\, \theta_i,\, \varphi_i) \cdot \left[ r^2\, d\theta\, \sin(\theta)\,d\varphi \right] \left[ -\vec{u}_r \right]\\ \delta \Phi_{d^2S_{\text{sphèr.}(r + dr)}}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(r + dr,\, \theta_i,\, \varphi_i) \cdot \left[ \left( r + dr \right)^2 d\theta\, \sin(\theta)\,d\varphi \right] \left[ \vec{u}_r \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> La face sphérique de rayon <math>\;r\;</math> est d'aire <math>\;r^2\, d\theta\, \sin(\theta)\,d\varphi</math>, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est <math>\;-\vec{u}_r</math> ; <br>{{Al|3}}la face sphérique de rayon <math>\;r + dr\;</math> est d'aire <math>\;\left( r + dr \right)^2 d\theta\, \sin(\theta)\,d\varphi</math>, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est <math>\;\vec{u}_r</math> ; <br>{{Al|3}}la colatitude et la longitude du point générique de chaque face sont notées <math>\;\theta_i\;</math> et <math>\;\varphi_i</math>, elles peuvent prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\theta + d\theta\;</math> pour la colatitude et n'importe quelle valeur entre <math>\;\varphi\;</math> et <math>\;\varphi + d\varphi\;</math> pour la longitude ; <br>{{Al|3}}attention les aires des deux portions de faces sphériques en regard ne sont pas égales, la différence provient du fait que les rayons des sphères n'étant pas les mêmes, les arcs correspondant à <math>\;d\theta\;</math> et à <math>\;d\varphi\;</math> ne sont pas de même longueur.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l}\delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{au paral.}}(\theta)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(r_i,\, \theta,\, \varphi_i) \cdot \left[ r\, dr\, \sin(\theta)\,d\varphi \right] \left[ -\vec{u}_\theta \right]\\ \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{au paral.}}(\theta + d\theta)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(r_i,\, \theta + d\theta,\, \varphi_i) \cdot \left[ r\, dr\, \sin(\theta + d\theta)\,d\varphi \right] \left[ \vec{u}_\theta \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> La face <math>\;\parallel\;</math> au parallèle, de colatitude <math>\;\theta\;</math> est d'aire <math>\;r\, dr\, \sin(\theta)\,d\varphi</math>, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est <math>\;-\vec{u}_\theta</math> <br>{{Al|3}}la face <math>\;\parallel\;</math> au parallèle, de colatitude <math>\;\theta + d\theta\;</math> est d'aire <math>\;r\, dr\, \sin(\theta + d\theta)\,d\varphi</math>, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est <math>\;\vec{u}_\theta</math> ; <br>{{Al|3}}le rayon polaire et la longitude du point générique de chaque face sont notés <math>\;r_i\;</math> et <math>\;\varphi_i</math>, ils peuvent prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;r\;</math> et <math>\;r + dr\;</math> pour le rayon polaire et n'importe quelle valeur entre <math>\;\varphi\;</math> et <math>\;\varphi + d\varphi\;</math> pour la longitude ; <br>{{Al|3}}attention les aires des deux portions de faces en regard ne sont pas égales, la différence provient du fait que les colatitudes n'étant pas les mêmes, les rayons des parallèles sont différents et les arcs correspondant à <math>\;d\varphi\;</math> ne sont pas de même longueur.</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l}\delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{au mérid.}}(\varphi)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(r_i,\, \theta_i,\, \varphi) \cdot \left[ dr\, r\, d\theta \right] \left[ -\vec{u}_\varphi) \right]\\ \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{au mérid.}}(\varphi + d\varphi)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(r_i,\, \theta_i,\, \varphi + d\varphi) \cdot \left[ dr\, r\, d\theta \right] \left[ \vec{u}_\varphi) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> La face <math>\;\parallel\;</math> au méridien, de longitude <math>\;\varphi\;</math> est d'aire <math>\;dr\, r\, d\theta</math>, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est <math>\;-\vec{u}_\varphi</math> <br>{{Al|3}}la face <math>\;\parallel\;</math> au méridien, de longitude <math>\;\varphi + d\varphi\;</math> est d'aire <math>\;dr\, r\, d\theta</math>, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est <math>\;\vec{u}_\varphi</math> ; <br>{{Al|3}}le rayon polaire et la colatitude du point générique de chaque face sont notés <math>\;r_i\;</math> et <math>\;\theta_i</math>, ils peuvent prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;r\;</math> et <math>\;r + dr\;</math> pour le rayon polaire et n'importe quelle valeur entre <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\theta + d\theta\;</math> pour la colatitude.</ref> ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons : <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \Phi_{d^2S_{\text{sphèr.}(r)}}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\text{sphèr.}(r + dr)}}(\vec{A}) = -A_r(r,\, \theta_i,\, \varphi_i)\; r^2\, d\theta\, \sin(\theta)\,d\varphi + A_r(r + dr,\, \theta_i,\, \varphi_i)\; \left( r + dr \right)^2 d\theta\, \sin(\theta)\,d\varphi</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\delta \Phi_{d^2S_{\text{sphèr.}(r)}}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\text{sphèr.}(r + dr)}}(\vec{A})}</math> }}<math>= \left\lbrace \left( \dfrac{\partial \left[ r^2\, A_r \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, z}\!\!(M)\, dr \right\rbrace d\theta\, \sin(\theta)\,d\varphi\;</math>»<ref> Observant une différence de valeurs de la fonction <math>\;r^2\, A_r(r,\, \theta,\, \varphi)\;</math> entre celle pour <math>\;r + dr\;</math> et celle pour <math>\;r</math>, on peut réécrire la somme des deux termes, « après factorisation par <math>\;d\theta\, \sin(\theta)\,d\varphi\;</math>», <br>{{Al|3}}{{Transparent|Observant }}selon «<math>\;\delta \Phi_{d^2S_{\text{sphèr.}(r)}}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\text{sphèr.}(r + dr)}}(\vec{A}) = \left[ -r^2\, A_r(r,\, \theta_i,\, \varphi_i) + \left( r + dr \right)^2\, A_r(r + dr,\, \theta_i,\, \varphi_i) \right] d\theta\, \sin(\theta)\,d\varphi\;</math>», <br>{{Al|3}}puis, on peut utiliser l'approximation linéaire à la fonction <math>\;r^2\, A_r(r,\, \theta,\, \varphi)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#cite_note-Approximation_linéaire-54|⁵⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{au paral.}}(\theta)}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{au paral.}}(\theta + d\theta)}(\vec{A}) = -A_\theta(r_i,\, \theta,\, \varphi_i)\; r\, dr\, \sin(\theta)\,d\varphi + A_\theta(r_i,\, \theta + d\theta,\, \varphi_i)\; r\, dr\, \sin(\theta + d\theta)\,d\varphi</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{au paral.}}(\theta)}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{au paral.}}(\theta + d\theta)}(\vec{A})}</math> }}<math>= \left\lbrace \left( \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\,A_\theta \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}\!\!(M)\, d\theta \right\rbrace r\, dr\, d\varphi\;</math>»<ref> Observant une différence de valeurs de la fonction <math>\;\sin(\theta)\, A_\theta(r,\, \theta,\, \varphi)\;</math> entre celle pour <math>\;\theta + d\theta\;</math> et celle pour <math>\;\theta</math>, on peut réécrire la somme des deux termes, « après factorisation par <math>\;r\,dr\,d\varphi\;</math>», <br>{{Al|3}}{{Transparent|Observant }}selon «<math>\;\delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{au paral.}}}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{au paral.}}}(\vec{A}) = \left[ -\sin(\theta)\, A_\theta(r_i,\, \theta,\, \varphi_i) + \sin\!\left( \theta + d\theta \right)\, A_\theta(r_i,\, \theta + d\theta,\, \varphi_i) \right]\, r\,dr\,d\varphi\;</math>», <br>{{Al|3}}puis, on peut utiliser l'approximation linéaire à la fonction <math>\;\sin(\theta)\, A_\theta(r,\, \theta,\, \varphi)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#cite_note-Approximation_linéaire-54|⁵⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{au mérid.}(\varphi)}}(\vec{A}) + \delta \Phi_{d^2S_{\parallel\,\text{au mérid.}(\varphi + d\varphi)}}(\vec{A}) = -A_\varphi(r_i,\, \theta_i,\, \varphi)\; dr\, r\, d\theta + A_\varphi(\rho_i,\, \theta_i,\, \varphi + d\varphi)\; dr\, r\, d\theta = \left[ \left( \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!\!(M)\, d\varphi \right]\, dr\, r\, d\theta\;</math>»<ref name="approximation linéaire" /> soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le }}en ajoutant tous les termes, en mettant en facteur l'élément de volume commun «<math>\;dr\, r^2\, \sin(\theta)\,d\theta\, d\varphi = d\mathcal{V}\;</math>» puis, <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le en ajoutant tous les termes, }}en divisant par ce dernier, pour obtenir l'expression de <math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math> par définition intrinsèque<ref name="abus de définition de M" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|on évalue alors le }}«<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \dfrac{\delta \Phi(\vec{A})}{d\mathcal{V}} = \dfrac{1}{r^2}\,\left( \dfrac{\partial \left[ r^2\, A_r \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!\!(M) + \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\, A_\theta \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}\!\!(M) + \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!\!(M)\;</math>» dans lequel <br />{{Al|50}}{{Transparent|on évalue alors le }}«<math>\;\dfrac{1}{r^2}\,\left( \dfrac{\partial \left[ r^2\, A_r \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!\!(M) + \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\, A_\theta \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}\!\!(M) + \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!\!(M) = \vec{\nabla}\! \cdot\! \vec{A}(M)\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_de_la_divergence_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_en_sphérique|expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br />{{Al|32}}{{Transparent|on évalue alors le }}«<math>\;\dfrac{\delta \Phi(\vec{A})}{d\mathcal{V}} = \vec{\nabla}\! \cdot\! \vec{A}(M)\;</math>» définissant toutes deux «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math>», « la 1^ère de façon intrinsèque » et « la 2^nde par [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] <math>\;\vec{\nabla}\! \cdot \;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. === Champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace === ==== Construction de l'opérateur linéaire du premier ordre “nabla vectoriel ...” ==== {{Al|5}}L'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «<math>\;\vec{\nabla} \wedge\;</math>» est construit à partir <math>\bullet\;</math>de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “nabla” «<math>\;\vec{\nabla}\;</math>» et <br />{{Al|6}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla} \wedge}\;</math>» est construit à partir }}<math>\bullet\;</math>de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] entre grandeurs vectorielles « multiplication vectorielle »<ref name="prolongement de la multiplication vectorielle"> On admet l'applicabilité de la notion de multiplication vectorielle avec au moins une des grandeurs vectorielles remplacée par un [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel comme l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] “nabla” «<math>\;\vec{\nabla}\;</math>», la définition utilisée étant alors celle du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\wedge\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” }}avec pour domaine d'application, les fonctions vectorielles différentiables de l'espace soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” }}«<math>\;\left\lbrace \vec{\nabla} \wedge \right\rbrace \left[ \; \right] = \left\lbrace \Bigg[ \vec{u}_x\, \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} + \vec{u}_y\, \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \Bigg]\; \wedge \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math>» en repérage cartésien<ref name="opérateur nabla en cartésien" />, ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” }}«<math>\;\left\lbrace \vec{\nabla} \wedge \right\rbrace \left[ \; \right] = \left\lbrace \Bigg[ \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \Bigg]\; \wedge \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math>» en repérage cylindro-polaire<ref name="opérateur nabla en cylindro-polaire" /> ou encore <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” }}«<math>\;\left\lbrace \vec{\nabla} \wedge \right\rbrace \left[ \; \right] = \left\lbrace \Bigg[ \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} + \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \Bigg]\; \wedge \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math>» en repérage sphérique<ref name="opérateur nabla en sphérique" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{\nabla} \wedge \right\rbrace \left[ \; \right] =}</math> }}appliqué à la fonction vectorielle <math>\;\vec{A}(M) = A_x(M)\, \vec{u}_x + A_y(M)\, \vec{u}_y + A_z(M)\, \vec{u}_z\;</math> en représentation cartésienne <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” }}«<math>\;\left\lbrace \vec{\nabla} \wedge \right\rbrace \left[ \vec{A} \right](M) = \left\lbrace \Bigg[ \vec{u}_x\, \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} + \vec{u}_y\, \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \Bigg]\; \wedge \right\rbrace \left[ A_x(M)\, \vec{u}_x + A_y(M)\, \vec{u}_y + A_z(M)\, \vec{u}_z \right]\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{\nabla} \wedge \right\rbrace \left[ \vec{A} \right](M)}</math> }}<math>= \left[ \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M) \right]\,\vec{u}_x + \left[ \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M) - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M) \right]\,\vec{u}_y \;\cdots</math> <br />{{Al|77}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{\nabla} \wedge \right\rbrace \left[ \vec{A} \right](M)}</math> }}<math>\cdots\; + \left[ \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M) \right]\, \vec{u}_z\;</math>»<ref name="justification du rotationnel en cartésien"> Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication vectorielle entre grandeurs vectorielles, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Expression obtenue }}en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle, 2^ème propriété) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Expression obtenue }}en sachant que les vecteurs de base cartésienne sont constants, qu'ils forment une base orthonormée directe d'un espace orienté à droite <math>\;\big\{</math>Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » et le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », cette dernière définition utilisant la règle de la main droite <math>\;\big[</math>voir la description de celle-ci et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_x \wedge \vec{u}_y = \vec{u}_z</math>, <math>\;\vec{u}_y \wedge \vec{u}_z = \vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_x = \vec{u}_y\;</math> et en utilisant la propriété d'anticommutativité de la multiplication vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle, 1^ère propriété) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{\nabla} \wedge \right\rbrace \left[ \; \right] =}</math> }}appliqué à la fonction vectorielle <math>\;\vec{A}(M) = A_\rho(M)\, \vec{u}_\rho(M) + A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) + A_z(M)\, \vec{u}_z\;</math> en représentation cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” }}«<math>\;\left\lbrace \vec{\nabla} \wedge \right\rbrace \left[ \vec{A} \right](M) = \left\lbrace \Bigg[ \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \Bigg]\; \wedge \right\rbrace \left[ A_\rho(M)\, \vec{u}_\rho(M) + A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) + A_z(M)\, \vec{u}_z \right]\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{\nabla} \wedge \right\rbrace \left[ \vec{A} \right](M)}</math> }}<math>= \left[ \dfrac{1}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M) \right]\,\vec{u}_\rho + \left[ \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M) - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M) \right]\,\vec{u}_\theta \;\cdots</math> <br />{{Al|80}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{\nabla} \wedge \right\rbrace \left[ \vec{A} \right](M)}</math> }}<math>\cdots\; + \left[ \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M) + \dfrac{1}{\rho}\;A_\theta(M) - \dfrac{1}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M) \right]\, \vec{u}_z\;</math>»<ref name="justification du rotationnel en cylindro-polaire"> Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication vectorielle entre grandeurs vectorielles, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Expression obtenue }}en utilisant la formule de dérivation de deux fonctions dont l'une est vectorielle, cette dernière ne dépendant que d'une variable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Expression obtenue }}sachant que les deux 1^ers vecteurs de base cylindro-polaire dépendent de <math>\;\theta</math>, le 3^ème étant constant, qu'ils forment une base orthonormée <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_\rho \wedge \vec{u}_\theta = \vec{u}_z</math>, <math>\;\vec{u}_\theta \wedge \vec{u}_z = \vec{u}_\rho\;</math> et <math>\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_\rho = \vec{u}_\theta\;</math> et en utilisant la propriété d'anticommutativité de la multiplication vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle, 1^ère propriété) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}compte tenu de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle, 2^ème propriété) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> on trouve, après développement, une somme de neuf termes : * «<math>\;\overrightarrow{S_{\rho,\, \rho}} = \left[ \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \right] \wedge \left[ A_\rho(M)\, \vec{u}_\rho(M) \right] = \cancel{\vec{u}_\rho(M)\, \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M) \wedge \vec{u}_\rho(M)} + \cancel{\vec{u}_\rho(M) \wedge A_\rho(M)\, \dfrac{d \vec{u}_\rho}{d \rho}(M)} = \vec{0}\;</math>», * «<math>\;\overrightarrow{S_{\rho,\, \theta}} = \left[ \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \right] \wedge \left[ A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) \right] = \vec{u}_\rho(M)\, \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M) \wedge \vec{u}_\theta(M) + \cancel{\vec{u}_\rho(M) \wedge A_\theta(M)\, \dfrac{d \vec{u}_\theta}{d \rho}(M)} = \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M)\;\vec{u}_z\;</math>», * «<math>\;\overrightarrow{S_{\rho,\, z}} = \left[ \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \right] \wedge \left[ A_z(M)\, \vec{u}_z \right] = \vec{u}_\rho(M)\, \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M) \wedge \vec{u}_z + \cancel{\vec{u}_\rho(M) \wedge A_z(M)\, \dfrac{d \vec{u}_z}{d \rho}} = -\left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M)\;\vec{u}_\theta\;</math>», * «<math>\;\overrightarrow{S_{\theta,\, \rho}} = \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} \right] \wedge \left[ A_\rho(M)\, \vec{u}_\rho(M) \right] = \vec{u}_\theta(M) \wedge \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M)\, \vec{u}_\rho(M) + \cancel{\vec{u}_\theta(M) \wedge \dfrac{1}{\rho}\, A_\rho(M)\, \dfrac{d \vec{u}_\rho}{d \theta}(M)} = -\dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M)\,\vec{u}_z\;</math>» <math>\;\bigg[</math>en effet on utilise <math>\;\dfrac{d \vec{u}_\rho}{d \theta}(M)</math> <math>= \vec{u}_\theta(M)\;</math> correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive » <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] (à retenir) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\bigg]</math>, * «<math>\;\overrightarrow{S_{\theta,\, \theta}} = \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} \right] \wedge \left[ A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) \right] = \cancel{\vec{u}_\theta(M) \wedge \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!\!(M)\, \vec{u}_\theta(M)} + \vec{u}_\theta(M) \wedge \dfrac{1}{\rho}\, A_\theta(M)\, \dfrac{d \vec{u}_\theta}{d \theta}(M) = \dfrac{1}{\rho}\, A_\theta(M)\,\vec{u}_z\;</math>» <math>\;\bigg[</math>en effet on utilise <math>\;\dfrac{d \vec{u}_\theta}{d \theta}(M) =</math> <math>-\vec{u}_\rho(M)\;</math> correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive » <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] (à retenir) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\bigg]</math>, * «<math>\;\overrightarrow{S_{\theta,\, z}} = \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} \right] \wedge \left[ A_z(M)\, \vec{u}_z \right] = \vec{u}_\theta(M) \wedge \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M)\, \vec{u}_z + \cancel{\vec{u}_\theta(M) \wedge \dfrac{1}{\rho}\, A_z(M)\, \dfrac{d \vec{u}_z}{d \theta}} = \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M)\, \vec{u}_\rho\;</math>», * «<math>\;\overrightarrow{S_{z,\, \rho}} = \left[ \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right] \wedge \left[ A_\rho(M)\, \vec{u}_\rho(M) \right] = \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M) \wedge \vec{u}_\rho(M) + \cancel{\vec{u}_z \wedge A_\rho(M)\, \dfrac{d \vec{u}_\rho}{d z}(M)} = \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M)\;\vec{u}_\theta\;</math>», * «<math>\;\overrightarrow{S_{z,\, \theta}} = \left[ \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right] \wedge \left[ A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) \right] = \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M) \wedge \vec{u}_\theta(M) + \cancel{\vec{u}_z \wedge A_\theta(M)\, \dfrac{d \vec{u}_\theta}{d z}(M)} = -\left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M)\;\vec{u}_\rho\;</math>» et * «<math>\;\overrightarrow{S_{z,\, z}} = \left[ \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right] \wedge \left[ A_z(M)\, \vec{u}_z \right] = \cancel{\vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M) \wedge \vec{u}_z} + \cancel{\vec{u}_z \wedge A_z(M)\, \dfrac{d \vec{u}_z}{d z}} = \vec{0}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{\nabla} \wedge \right\rbrace \left[ \; \right] =}</math> }}appliqué à la fonction vectorielle <math>\;\vec{A}(M) = A_r(M)\, \vec{u}_r(M) + A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) + A_\varphi(M)\, \vec{u}_\varphi(M)\;</math> en représentation sphérique <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” }}«<math>\;\left\lbrace \vec{\nabla} \wedge \right\rbrace \left[ \vec{A} \right](M) = \left\lbrace \Bigg[ \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} + \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \Bigg]\; \wedge \right\rbrace \left[ A_r(M)\, \vec{u}_r(M) + A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M)\; \cdots \right.</math> <br />{{Al|205}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” }}<math>\left. \cdots\;+ A_\varphi(M)\, \vec{u}_\varphi(M) \right]\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{\nabla} \wedge \right\rbrace \left[ \vec{A} \right](M)}</math> }}<math>= \left\lbrace \dfrac{1}{r} \left( \dfrac{\partial \left[ A_\varphi \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}(M) - \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial \left[ A_\theta \right]}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}(M) + \dfrac{\cos(\theta)}{r\, \sin(\theta)}\;A_\varphi(M) \right\rbrace\,\vec{u}_r\;\cdots</math> <br />{{Al|42}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{\nabla} \wedge \right\rbrace \left[ \vec{A} \right](M)}</math> }}<math>\cdots\;+ \left\lbrace \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial \left[ A_r \right]}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}(M) -\left( \dfrac{\partial \left[ A_\varphi \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}(M) - \dfrac{1}{r}\;A_\varphi(M) \right\rbrace\,\vec{u}_\theta \;\cdots</math> <br />{{Al|60}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{\nabla} \wedge \right\rbrace \left[ \vec{A} \right](M)}</math> }}<math>\cdots\; + \left\lbrace \left( \dfrac{\partial \left[ A_\theta \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}(M) + \dfrac{1}{r}\; A_\theta(M) - \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial \left[ A_r \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}(M) \right\rbrace\, \vec{u}_\varphi\;</math>»<ref name="justification du rotationnel en sphérique"> Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication vectorielle entre grandeurs vectorielles, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Expression obtenue }}en utilisant la formule de dérivation de deux fonctions dont l'une est vectorielle, cette dernière pouvant dépendre de deux variables, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Expression obtenue }}sachant que les deux 1^ers vecteurs de base sphérique dépendent de <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi</math>, le 3^ème ne dépendant que de <math>\;\varphi</math>, qu'ils forment une base orthonormée <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta = \vec{u}_\varphi</math>, <math>\;\vec{u}_\theta \wedge \vec{u}_\varphi = \vec{u}_r\;</math> et <math>\;\vec{u}_\varphi \wedge \vec{u}_r = \vec{u}_\theta\;</math> et en utilisant la propriété d'anticommutativité de la multiplication vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle, 1^ère propriété) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; ; <br>{{Al|3}}compte tenu de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle, 2^ème propriété) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> on trouve, après développement, une somme de neuf termes : * «<math>\;\overrightarrow{S_{r,\, r}} = \vec{u}_r \wedge \left( \dfrac{\partial \left[ A_r(M)\, \vec{u}_r(M) \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} = \cancel{\vec{u}_r \wedge \left( \dfrac{\partial \left[ A_r \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}(M)\; \vec{u}_r(M)} + \cancel{\vec{u}_r \wedge A_r(M)\,\left( \dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}(M)} = \vec{0}\;</math>», * «<math>\;\overrightarrow{S_{r,\, \theta}} = \left[ \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \right] \wedge \left[ A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) \right] = \vec{u}_r(M) \wedge \left( \dfrac{\partial \left[ A_\theta \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}(M)\; \vec{u}_\theta(M) + \cancel{\vec{u}_r(M) \wedge A_\theta(M)\,\left( \dfrac{\partial \vec{u}_\theta }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}(M)} = \left( \dfrac{\partial \left[ A_\theta \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}(M)\; \vec{u}_\varphi(M)\;</math>», * «<math>\;\overrightarrow{S_{r,\, \varphi}} = \left[ \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \right] \wedge \left[ A_\varphi(M)\, \vec{u}_\varphi(M) \right] = \vec{u}_r(M) \wedge \left( \dfrac{\partial \left[ A_\varphi \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}(M)\; \vec{u}_\varphi(M) + \cancel{\vec{u}_r(M) \wedge A_\varphi(M)\,\left( \dfrac{\partial \vec{u}_\varphi }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}(M)} = -\left( \dfrac{\partial \left[ A_\varphi \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}(M)\; \vec{u}_\theta(M)\;</math>», * «<math>\;\overrightarrow{S_{\theta,\, r}} = \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \right] \wedge \left[ A_r(M)\, \vec{u}_r(M) \right] = \vec{u}_\theta(M) \wedge \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial \left[ A_r \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}(M)\; \vec{u}_r(M) + \cancel{\vec{u}_\theta(M) \wedge \dfrac{A_r(M)}{r} \left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_r \right]}{\partial \theta} \right)_\varphi(M)} = -\dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial \left[ A_r \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}(M)\; \vec{u}_\varphi(M)\;</math>» <math>\;\bigg[</math>en effet on utilise <math>\;\left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_r \right]}{\partial \theta} \right)_\varphi(M) =</math> <math>\vec{u}_\theta(M)\;</math> <math>\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_1er_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive »<math>\big\}\bigg]</math>, * «<math>\;\overrightarrow{S_{\theta,\, \theta}} = \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \right] \wedge \left[ A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) \right] = \cancel{\vec{u}_\theta(M) \wedge \dfrac{1}{r} \left( \dfrac{\partial \left[ A_\theta \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}(M)\; \vec{u}_\theta(M)} + \vec{u}_\theta(M) \wedge \dfrac{A_\theta(M)}{r} \left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_\theta \right]}{\partial \theta} \right)_\varphi(M) = \dfrac{1}{r}\; A_\theta(M)\;\vec{u}_\varphi(M)\;</math>» <math>\;\bigg[</math>en effet on utilise <math>\;\left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_\theta \right]}{\partial \theta} \right)_\varphi(M)</math> <math>= -\vec{u}_r(M)\;</math> <math>\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_2nd_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive »<math>\big\}\bigg]</math>, * «<math>\;\overrightarrow{S_{\theta,\, \varphi}} = \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \right] \wedge \left[ A_\varphi(M)\, \vec{u}_\varphi(M) \right] = \vec{u}_\theta(M) \wedge \dfrac{1}{r} \left( \dfrac{\partial \left[ A_\varphi \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}(M)\; \vec{u}_\varphi(M) + \cancel{\vec{u}_\theta(M) \wedge \dfrac{A_\varphi(M)}{r}\;\left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_\varphi \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}(M)} = \dfrac{1}{r} \left( \dfrac{\partial \left[ A_\varphi \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}(M)\; \vec{u}_r(M)\;</math>», * «<math>\;\overrightarrow{S_{\varphi,\, r}} = \left[ \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right] \wedge \left[ A_r(M)\, \vec{u}_r(M) \right] = \vec{u}_\varphi(M) \wedge \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial \left[ A_r \right]}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}(M)\; \vec{u}_r(M) + \cancel{\vec{u}_\varphi(M) \wedge \dfrac{A_r(M)}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_r \right]}{\partial \varphi} \right)_\theta(M)} =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial \left[ A_r \right]}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}(M)\; \vec{u}_\theta(M)\;</math>»}} <math>\;\bigg[</math>en effet on utilise <math>\;\left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_r \right]}{\partial \varphi} \right)_\theta(M) =</math> <math>\sin(\theta)\;\vec{u}_\varphi(M)\;</math> <math>\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_1er_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans laquelle on utilise la décomposition de <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive »<math>\big\}\bigg]</math>, * «<math>\;\overrightarrow{S_{\varphi,\, \theta}} = \left[ \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right] \wedge \left[ A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) \right] = \vec{u}_\varphi(M) \wedge \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial \left[ A_\theta \right]}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}(M)\; \vec{u}_\theta(M) + \cancel{\vec{u}_\varphi(M) \wedge \dfrac{A_\theta}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_\theta \right]}{\partial \varphi} \right)_\theta(M)} =</math> {{Nobr|<math>-\dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial \left[ A_\theta \right]}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}(M)\; \vec{u}_r(M)\;</math>»}}<math>\;\bigg[</math>en effet on utilise <math>\;\left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_\theta \right]}{\partial \varphi} \right)_\theta(M) =</math> <math>\cos(\theta)\;\vec{u}_\varphi(M)\;</math> <math>\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_2nd_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans laquelle on utilise la décomposition de <math>\;\vec{u}_\theta(M)\;</math> dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive »<math>\big\}\bigg]\;</math> et * «<math>\;\overrightarrow{S_{\varphi,\, \varphi}} = \left[ \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right] \wedge \left[ A_\varphi(M)\, \vec{u}_\varphi(M) \right] = \cancel{\vec{u}_\varphi(M) \wedge \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial \left[ A_\varphi \right]}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}(M)\; \vec{u}_\varphi(M)} + \vec{u}_\varphi(M) \wedge \dfrac{A_\varphi(M)}{r\, \sin(\theta)}\, \dfrac{d \left[ \vec{u}_\varphi \right]}{d \varphi}(M) =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{A_\varphi(M)}{r\, \sin(\theta)}\, \left[ -\sin(\theta)\;\vec{u}_\theta(M) + \cos(\theta)\;\vec{u}_r(M) \right]\;</math>»}} <math>\;\bigg[</math>en effet on utilise <math>\;\dfrac{d \left[ \vec{u}_\varphi \right]}{d \varphi}(M) =</math> <math>-\sin(\theta)\;\vec{u}_r(M) - \cos(\theta)\;\vec{u}_\theta(M)\;</math> <math>\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_de_la_dérivée_du_3ème_vecteur_de_base_sphérique|détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive » puis la décomposition de <math>\;\vec{u}_\rho(M)\;</math> dans la base sphérique<math>\big\}\bigg]</math>.</ref>. ==== Définition du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla vectoriel ...” de cette fonction vectorielle ==== {{Al|5}}Appliquant l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 1^er ordre “nabla vectoriel ...”<ref name="opérateur nabla vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Construction_de_l'opérateur_du_premier_ordre_“nabla_vectoriel_...”|construction de l'opérateur du 1^er ordre “nabla vectoriel ...”]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> au champ vectoriel de l'espace <math>\;\vec{A}(M)\;</math> on obtient l'« image <math>\;\vec{\nabla}\! \wedge\! \vec{A}(M)\;</math>» définissant <br />{{Al|9}}{{Transparent|Appliquant l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” au champ vectoriel de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> on obtient}}le « <u>champ vectoriel rotationnel du champ vectoriel</u><math>\;\vec{A}(M)\;</math>» «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math>»<ref> Comme pour le « champ vectoriel [[w:Gradient|gradient]] d'une fonction scalaire » qui a « une définition intrinsèque <math>\;\big\{</math>voir « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|ici]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Comme pour le « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire » qui a }}« une définition utilisant l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel “nabla” <math>\;\big\{</math>voir « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Lien_entre_le_champ_vectoriel_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace_et_l'image_par_l'opérateur_“nabla”_de_cette_fonction_scalaire|là]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\;</math>», <br>{{Al|3}}{{Transparent|Comme pour }}le « champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace » a « une définition utilisant l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] “nabla vectoriel ...” <math>\;\big\{</math>énoncée ici<math>\big\}\;</math>» mais aussi <br>{{Al|3}}{{Transparent|Comme pour le « champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace » a }}« une définition intrinsèque <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_(équivalente)_du_champ_vectoriel_rotationnel_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace|définition intrinsèque (équivalente) du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big\}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}en conclusion le « champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> rotationnel de la fonction vectorielle différentiable de l'espace <math>\;\vec{A}(M)\;</math>» résulte de l'application suivante «<math>\;\vec{A}\;\; \overset{\vec{\nabla} \wedge}{\rightarrow}\;\; \vec{\nabla}\! \wedge\! \vec{A} = \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\;</math>». ==== Expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien ==== {{Al|5}}En cartésien «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M) = \vec{\nabla} \wedge \vec{A}(M) = \left\lbrace \vec{u}_x\, \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} + \vec{u}_y\, \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \right\rbrace \wedge \left[ A_x(M)\, \vec{u}_x + A_y(M)\, \vec{u}_y + A_z(M)\, \vec{u}_z \right]\;</math>», ce qui donne<ref> Voir l'explication à la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#cite_note-justification_du_rotationnel_en_cartésien-71|⁷¹]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}}<ref name="autre méthode de détermination des composantes cartésiennes du rotationnel d'un champ vectoriel"> Cette méthode est applicable en cartésien car les vecteurs de bases dont fixes, elle consiste à appliquer la règle dite du <math>\;\gamma\;</math> exposée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » en remplaçant le 1^er vecteur par l'opérateur “nabla” : <br>{{Al|3}}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c} & & \vec{\nabla} & \wedge & \vec{A} & = & \vec{\nabla} \wedge \vec{A}\\ \vec{u}_x &|& \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} & & A_x & & \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y} \right)_{\!x,\, z} - \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}\\ \vec{u}_y &|& \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} & ^{+}{\searrow} & A_y & & \\ \vec{u}_z &|& \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} & _{-}{\nearrow} & A_z & & \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\;\bigg[</math>disposant verticalement les trois composantes de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel et du vecteur, on forme la somme des termes « [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] de dérivation - composante » en suivant les flèches avec le signe les précédant <math>\;\big(</math>pour la 1^ère composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre les lignes des 2^èmes et 3^èmes composantes de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel et du vecteur<math>\big)</math> : suivant la flèche descendante, le terme <math>\;\left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z}\!\left[ A_z \right]\;</math> avec signe «<math>\;+\;</math>» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme <math>\;\left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y}\! \left[ A_y \right]\;</math> avec signe «<math>\;-\;</math>» soit «<math>\;\left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M)\;</math>» comme 1^ère composante du produit vectoriel<math>\bigg]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c} & & \vec{\nabla} & \wedge & \vec{A} & = & \vec{\nabla} \wedge \vec{A}\\ \vec{u}_x &|& \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} & & A_x & & \\ \vec{u}_y &|& \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} & & A_y & & \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial z} \right)_{\!x,\, y} - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \right)_{\!y,\, z} \\ \vec{u}_z &|& \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} & ^{+}{\searrow} & A_z & & \\ \vec{u}_x &|& \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} & _{-}{\nearrow} & A_x & & \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\;\bigg[</math>pour la 2^ème composante du produit vectoriel les flèches devant être positionnées entre les lignes des 3^èmes et 1^ères composantes de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel et du vecteur, on recopie la 1^ère ligne en 4^ème ligne pour pouvoir suivre la même règle de calcul et on positionne les flèches entre la 3^ème et 4^ème ligne : suivant la flèche descendante, le terme <math>\;\left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \; \left[ A_x \right]\;</math> avec signe «<math>\;+\;</math>» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme <math>\;\left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} \; \left[ A_z \right]\;</math> avec signe «<math>\;-\;</math>» soit {{Nobr|«<math>\;\left( \dfrac{\partial A_x}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M) - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M)\;</math>»}} comme 2^ème composante du produit vectoriel<math>\bigg]\;</math> et <br>{{Al|3}}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c} & & \vec{\nabla} & \wedge & \vec{A} & = & \vec{\nabla} \wedge \vec{A}\\ \vec{u}_x &|& \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} & ^{+}{\searrow} & A_x & & \\ \vec{u}_y &|& \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} & _{-}{\nearrow} & A_y & & \\ \vec{u}_z &|& \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} & & A_z & & \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!y,\, z} - \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!x,\, z} \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\;\bigg[</math>pour la 3^ème composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre la 1^ère ligne et 2^ème et on suit la règle de calcul exposée précédemment : suivant la flèche descendante, le terme <math>\;\left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} \; \left[ A_y \right]\;</math> avec signe «<math>\;+\;</math>» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme <math>\;\left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} \; \left[ A_x \right]\;</math> avec signe {{Nobr|«<math>\;-\;</math>»}} soit «<math>\;\left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M)\;</math>» comme 3^ème composante du produit vectoriel<math>\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\bullet\;</math>une fois obtenue la 1^ère composante, on peut obtenir les deux autres par permutation circulaire <math>\;(x \rightsquigarrow y \rightsquigarrow z \rightsquigarrow x)\;</math> ce qui donne <center>«<math>\;\left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M) \rightsquigarrow \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M) - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M) \rightsquigarrow \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!z,\, x}(M)\;</math>».</center></ref> : {{Proposition|titre = Rotationnel d'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> en cartésien| contenu = <div style="text-align: center;">«<math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M) = \vec{\nabla} \wedge \vec{A}(M) = \left\lbrace \begin{array}{c}\left[ \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M) \right]\;\text{sur}\; \vec{u}_x \\ \left[ \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M) - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M) \right]\;\text{sur}\; \vec{u}_y \\ \left[ \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M) \right]\;\text{sur}\; \vec{u}_z\end{array} \right\rbrace\;</math>».</div>}} ==== Expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire ==== {{Al|5}}En cylindro-polaire «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M) = \left\lbrace \vec{\nabla} \wedge \right\rbrace \left[ \vec{A} \right](M) = \left\lbrace \Bigg[ \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \Bigg]\; \wedge \right\rbrace \left[ A_\rho(M)\, \vec{u}_\rho(M) + A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) + A_z(M)\, \vec{u}_z \right]\;</math>», ce qui donne<ref> Voir l'explication à la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#cite_note-justification_du_rotationnel_en_cylindro-polaire-72|⁷²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}}<ref name="autre méthode de détermination des composantes cylindro-polaires du rotationnel d'un champ vectoriel"> Bien que les vecteurs de base ne soient pas tous fixes, on peut appliquer la règle dite du <math>\;\gamma\;</math> exposée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » en remplaçant le 1^er vecteur par l'opérateur “nabla” et en faisant l'hypothèse que les vecteurs de base sont fixes, puis il convient de faire les rectifications tenant compte de la dépendance de ces vecteurs de base relativement aux coordonnées cylindro-polaires du point : <br>{{Al|3}}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c} \text{si fixes} & & \vec{\nabla} & \wedge & \vec{A} & = & \vec{\nabla} \wedge \vec{A}\\ \vec{u}_\rho &|& \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} & & A_\rho & & \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} - \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\\ \vec{u}_\theta &|& \dfrac{1}{\rho}\;\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} & ^{+}{\searrow} & A_\theta & & \\ \vec{u}_z &|& \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} & _{-}{\nearrow} & A_z & & \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\;\bigg[</math>disposant verticalement les trois composantes de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel et du vecteur on forme la somme des termes « [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] de dérivation - composante » en suivant les flèches avec le signe les précédant <math>\;\big(</math>pour la 1^ère composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre les lignes des 2^èmes et 3^èmes composantes de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel et du vecteur<math>\big)</math> : suivant la flèche descendante, le terme <math>\;\dfrac{1}{\rho}\;\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\;\left[ A_z \right]\;</math> avec signe «<math>\;+\;</math>» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme <math>\;\left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\; \left[ A_\theta \right]\;</math> avec signe «<math>\;-\;</math>» soit «<math>\;\dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M)\;</math>» comme 1^ère composante du produit vectoriel, éventuellement à rectifier<math>\bigg]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c} \text{si fixes} & & \vec{\nabla} & \wedge & \vec{A} & = & \vec{\nabla} \wedge \vec{A}\\ \vec{u}_\rho &|& \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} & & A_\rho & & \\ \vec{u}_\theta &|& \dfrac{1}{\rho}\;\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} & & A_\theta & & \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \\ \vec{u}_z &|& \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} & ^{+}{\searrow} & A_z & & \\ \vec{u}_\rho &|& \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} & _{-}{\nearrow} & A_\rho & & \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\;\bigg[</math>pour la 2^ème composante du produit vectoriel les flèches devant être positionnées entre les lignes des 3^èmes et 1^ères composantes de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel et du vecteur, on recopie la 1^ère ligne en 4^ème ligne pour pouvoir suivre la même règle de calcul et on positionne les flèches entre la 3^ème et 4^ème ligne : suivant la flèche descendante, le terme <math>\;\left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \; \left[ A_\rho \right]\;</math> avec signe «<math>\;+\;</math>» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme <math>\;\left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \; \left[ A_z \right]\;</math> avec signe «<math>\;-\;</math>» soit {{Nobr|«<math>\;\left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M) - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M)\;</math>»}} comme 2^ème composante du produit vectoriel éventuellement à rectifier<math>\bigg]\;</math> et <br>{{Al|3}}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c} \text{si fixes} & & \vec{\nabla} & \wedge & \vec{A} & = & \vec{\nabla} \wedge \vec{A}\\ \vec{u}_\rho &|& \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} & ^{+}{\searrow} & A_\rho & & \\ \vec{u}_\theta &|& \dfrac{1}{\rho}\;\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} & _{-}{\nearrow} & A_\theta & & \\ \vec{u}_z &|& \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} & & A_z & & \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} - \dfrac{1}{\rho}\;\left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} \end{array} \right\rbrace</math>» <math>\;\bigg[</math>pour la 3^ème composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre la 1^ère ligne et 2^ème et on suit la règle de calcul exposée précédemment : suivant la flèche descendante, le terme <math>\;\left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \; \left[ A_\theta \right]\;</math> avec signe «<math>\;+\;</math>» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme <math>\;\dfrac{1}{\rho}\;\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} \; \left[ A_\rho \right]\;</math> avec signe {{Nobr|«<math>\;-\;</math>»}} soit «<math>\;\left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M) - \dfrac{1}{\rho}\;\left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M)\;</math>» comme 3^ème composante du produit vectoriel éventuellement à rectifier<math>\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\bullet\;</math>puis on tient compte de la dépendance relativement à <math>\;\theta\;</math> des deux vecteurs de base cylindro-polaire <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> et <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|3}}<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\succ\;</math>«<math>\;\vec{\nabla} \wedge \vec{u}_\rho = \vec{u}_\theta\;\dfrac{1}{\rho}\;\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} \wedge \vec{u}_\rho = \vec{u}_\theta \wedge \dfrac{1}{\rho}\;\dfrac{d \vec{u}_\rho }{d \theta} = \vec{u}_\theta \wedge \dfrac{1}{\rho}\;\vec{u}_\theta = \vec{0}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>en effet on utilise <math>\;\dfrac{d \vec{u}_\rho}{d \theta} = \vec{u}_\theta\;</math> correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive » <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] (à retenir) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\bigg]\;</math> <math>\Rightarrow</math> la dépendance de <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> avec <math>\;\theta\;</math> n'entraîne aucune rectification des résultats obtenus par la règle du <math>\;\gamma</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\succ\;</math>«<math>\;\vec{\nabla} \wedge \vec{u}_\theta = \vec{u}_\theta\;\dfrac{1}{\rho}\;\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} \wedge \vec{u}_\theta = \vec{u}_\theta \wedge \dfrac{1}{\rho}\;\dfrac{d \vec{u}_\theta }{d \theta} = \vec{u}_\theta \wedge \dfrac{1}{\rho} \left( -\vec{u}_\rho \right) = \dfrac{1}{\rho}\; \vec{u}_z\;</math>» <math>\;\bigg[</math>en effet on utilise <math>\;\dfrac{d \vec{u}_\theta}{d \theta}(M) =</math> <math>-\vec{u}_\rho(M)\;</math> correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive » <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] (à retenir) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\bigg]\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;A_\theta\;\vec{\nabla} \wedge \vec{u}_\theta = \dfrac{A_\theta}{\rho}\; \vec{u}_z\;</math>» d'où une rectification de la composante de <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_z\;</math> nécessitant l'« ajout de <math>\;\dfrac{A_\theta}{\rho}\;</math>», c'est donc la seule rectification des résultats obtenus par la règle du <math>\;\gamma</math>.</ref> : {{Proposition|titre = Rotationnel d'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> en cylindro-polaire| contenu = <div style="text-align: center;">«<math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \vec{\nabla} \wedge \vec{A}(M) = \left\lbrace \begin{array}{l r}\left[ \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M) \right]\!\!&\!\!\text{sur}\; \vec{u}_\rho \\ \left[ \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M) - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M) \right]\!\!&\!\!\text{sur}\; \vec{u}_\theta \\ \dfrac{1}{\rho} \left[ A_\theta(M) + \rho\, \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M) \right]\!\!&\!\!\text{sur}\; \vec{u}_z\end{array} \right\rbrace\;</math>» <br />ou encore, en compactant partiellement la dernière composante, <br /><math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \vec{\nabla} \wedge \vec{A}(M) = \left\lbrace \begin{array}{l r}\left[ \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M) \right]\!\!&\!\!\text{sur}\; \vec{u}_\rho \\ \left[ \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M) - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M) \right]\!\!&\!\!\text{sur}\; \vec{u}_\theta \\ \dfrac{1}{\rho} \left[ \left( \dfrac{\partial \left[ \rho\;A_\theta \right]}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M) \right]\!\!&\!\!\text{sur}\; \vec{u}_z\end{array} \right\rbrace\;</math>».</div>}} ==== Expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique ==== {{Al|5}}En sphérique «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M) = \left\lbrace \vec{\nabla} \wedge \right\rbrace \left[ \vec{A} \right](M) = \left\lbrace \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} + \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right\rbrace \wedge \left[ A_r(M)\, \vec{u}_r(M)\; + A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) + A_\varphi(M)\, \vec{u}_\varphi(M) \right]\;</math>», <math>\Rightarrow\;</math><ref> Voir l'explication à la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#cite_note-justification_du_rotationnel_en_sphérique-73|⁷³]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}}<ref name="autre méthode de détermination des composantes sphériques du rotationnel d'un champ vectoriel"> Bien que les vecteurs de base ne soient pas fixes, on peut appliquer la règle dite du <math>\;\gamma\;</math> exposée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » en remplaçant le 1^er vecteur par l'opérateur “nabla” et en faisant l'hypothèse que les vecteurs de base sont fixes, puis il convient de faire les rectifications tenant compte de la dépendance de ces vecteurs de base relativement aux coordonnées sphériques du point : <br>{{Al|3}}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c} \text{si fixes} & & \vec{\nabla} & \wedge & \vec{A} & = & \vec{\nabla} \wedge \vec{A}\\ \vec{u}_r &|& \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} & & A_r & & \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} - \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial A_\theta }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\\ \vec{u}_\theta &|& \dfrac{1}{r}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} & ^{+}{\searrow} & A_\theta & & \\ \vec{u}_\varphi &|& \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} & _{-}{\nearrow} & A_\varphi & & \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\;\bigg[</math>disposant verticalement les trois composantes de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel et du vecteur on forme la somme des termes « [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] de dérivation - composante » en suivant les flèches avec le signe les précédant <math>\;\big(</math>pour la 1^ère composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre les lignes des 2^èmes et 3^èmes composantes de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel et du vecteur<math>\big)</math> : suivant la flèche descendante, le terme <math>\;\dfrac{1}{r}\;\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}\;\left[ A_\varphi \right]\;</math> avec signe «<math>\;+\;</math>» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme <math>\;\dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\; \left[ A_\theta \right]\;</math> avec signe «<math>\;-\;</math>» soit «<math>\;\dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}\!\!(M) - \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial A_\theta }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!\!(M)\;</math>» comme 1^ère composante du produit vectoriel, éventuellement à rectifier<math>\bigg]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c} \text{si fixes} & & \vec{\nabla} & \wedge & \vec{A} & = & \vec{\nabla} \wedge \vec{A}\\ \vec{u}_r &|& \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} & & A_r & & \\ \vec{u}_\theta &|& \dfrac{1}{r}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} & & A_\theta & & \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial A_r }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} - \left( \dfrac{\partial A_\varphi }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \\ \vec{u}_\varphi &|& \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} & ^{+}{\searrow} & A_\varphi & & \\ \vec{u}_r &|& \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} & _{-}{\nearrow} & A_r & & \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\;\bigg[</math>pour la 2^ème composante du produit vectoriel les flèches devant être positionnées entre les lignes des 3^èmes et 1^ères composantes de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel et du vecteur, on recopie la 1^ère ligne en 4^ème ligne pour pouvoir suivre la même règle de calcul et on positionne les flèches entre la 3^ème et 4^ème ligne : suivant la flèche descendante, le terme <math>\;\dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \; \left[ A_r \right]\;</math> avec signe «<math>\;+\;</math>» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme <math>\;\left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \; \left[ A_\varphi \right]\;</math> avec signe «<math>\;-\;</math>» soit «<math>\;\dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial A_r }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_\varphi }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!\!(M)\;</math>» comme 2^ème composante du produit vectoriel éventuellement à rectifier<math>\bigg]\;</math> et <br>{{Al|3}}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c} \text{si fixes} & & \vec{\nabla} & \wedge & \vec{A} & = & \vec{\nabla} \wedge \vec{A}\\ \vec{u}_r &|& \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} & ^{+}{\searrow} & A_r & & \\ \vec{u}_\theta &|& \dfrac{1}{r}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} & _{-}{\nearrow} & A_\theta & & \\ \vec{u}_\varphi &|& \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} & & A_\varphi & & \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} - \dfrac{1}{r}\;\left( \dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\;\bigg[</math>pour la 3^ème composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre la 1^ère ligne et 2^ème et on suit la règle de calcul exposée précédemment : suivant la flèche descendante, le terme <math>\;\left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \; \left[ A_\theta \right]\;</math> avec signe «<math>\;+\;</math>» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme <math>\;\dfrac{1}{r}\;\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \; \left[ A_r \right]\;</math> avec signe {{Nobr|«<math>\;-\;</math>»}} soit «<math>\;\left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}(M) - \dfrac{1}{r}\;\left( \dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}(M)\;</math>» comme 3^ème composante du produit vectoriel éventuellement à rectifier<math>\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\bullet\;</math>puis on tient compte de la dépendance relativement à <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> des deux vecteurs de base sphérique <math>\;\vec{u}_r\;</math> et <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> et de celle relativement à <math>\;\varphi\;</math> du 3^ème vecteur de base sphérique <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|3}}<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\succ\;</math>«<math>\;\vec{\nabla} \wedge \vec{u}_r = \left[ \vec{u}_\theta\;\dfrac{1}{r}\;\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} + \vec{u}_\varphi\;\dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\;\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right] \wedge \vec{u}_r = \cancel{\vec{u}_\theta \wedge \dfrac{1}{r}\;\left( \dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}} + \cancel{\vec{u}_\varphi \wedge \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\;\left( \dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}} = \vec{0}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>en effet on utilise <math>\;\left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_r \right]}{\partial \theta} \right)_\varphi(M) =</math> <math>\vec{u}_\theta(M)\;</math> <math>\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_1er_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive »<math>\big\}\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_r \right]}{\partial \varphi} \right)_\theta(M) =</math> <math>\sin(\theta)\;\vec{u}_\varphi(M)\;</math> <math>\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_1er_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans laquelle on utilise la décomposition de <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive »<math>\big\}\bigg]\;</math> <math>\Rightarrow</math> la dépendance de <math>\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> n'entraîne aucune rectification des résultats obtenus par la règle du <math>\;\gamma</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\succ\;</math>«<math>\;\vec{\nabla} \wedge \vec{u}_\theta = \left[ \vec{u}_\theta\;\dfrac{1}{r}\;\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} + \vec{u}_\varphi\;\dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\;\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right] \wedge \vec{u}_\theta = \vec{u}_\theta \wedge \dfrac{1}{r}\;\left( \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} + \cancel{\vec{u}_\varphi \wedge \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\;\left( \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}} = \dfrac{1}{r}\; \vec{u}_\varphi\;</math>» <math>\;\bigg[</math>en effet on utilise en effet on utilise <math>\;\left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_\theta \right]}{\partial \theta} \right)_\varphi(M)</math> <math>= -\vec{u}_r(M)\;</math> <math>\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_2nd_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive »<math>\big\}\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_\theta \right]}{\partial \varphi} \right)_\theta(M) =</math> <math>\cos(\theta)\;\vec{u}_\varphi(M)\;</math> <math>\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_2nd_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans laquelle on utilise la décomposition de <math>\;\vec{u}_\theta(M)\;</math> dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive »<math>\big\}\bigg]\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;A_\theta\;\vec{\nabla} \wedge \vec{u}_\theta = \dfrac{A_\theta}{r}\; \vec{u}_\varphi\;</math>» d'où une rectification de la composante de <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> nécessitant l'« ajout de <math>\;\dfrac{A_\theta}{r}\;</math>», <br>{{Al|3}}<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\succ\;</math>«<math>\;\vec{\nabla} \wedge \vec{u}_\varphi = \vec{u}_\varphi\;\dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\;\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \wedge \vec{u}_\varphi = \vec{u}_\varphi \wedge \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\;\dfrac{d \vec{u}_\varphi}{d \varphi} = \dfrac{\cos(\theta)}{r\,\sin(\theta)}\; \vec{u}_r - \dfrac{1}{r}\; \vec{u}_\theta\;</math>» <math>\;\bigg[</math>en effet on utilise <math>\;\dfrac{d \left[ \vec{u}_\varphi \right]}{d \varphi}(M) =</math> <math>-\sin(\theta)\;\vec{u}_r(M) - \cos(\theta)\;\vec{u}_\theta(M)\;</math> <math>\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_de_la_dérivée_du_3ème_vecteur_de_base_sphérique|détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive » puis la décomposition de <math>\;\vec{u}_\rho(M)\;</math> dans la base sphérique<math>\big\}\bigg]\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;A_\varphi\;\vec{\nabla} \wedge \vec{u}_\varphi = \dfrac{A_\varphi\;\cos(\theta)}{r\,\sin(\theta)}\; \vec{u}_r - \dfrac{A_\varphi}{r}\; \vec{u}_\theta\;</math>» d'où une rectification de la composante de <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> nécessitant l'« ajout de <math>\;\dfrac{A_\varphi\;\cos(\theta)}{r\,\sin(\theta)}\;</math>» et la composante de <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> nécessitant l'« ajout de <math>\;- \dfrac{A_\varphi}{r}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\succ\;</math>finalement l'expression sphérique de <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> doit être rectifiée relativement aux résultats obtenus par la règle du <math>\;\gamma\;</math> en « ajoutant <math>\;\dfrac{A_\varphi\;\cos(\theta)}{r\,\sin(\theta)}\; \vec{u}_r - \dfrac{A_\varphi}{r}\; \vec{u}_\theta + \dfrac{A_\theta}{r}\; \vec{u}_\varphi\;</math>».</ref> : {{Proposition|titre = Rotationnel d'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> en sphérique| contenu = <div style="text-align: center;">«<math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M) = \vec{\nabla} \wedge \vec{A}(M) = \left\lbrace \begin{array}{l r}\left[ \dfrac{1}{r} \left( \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} + \dfrac{A_\varphi\,\cos(\theta)}{r\, \sin(\theta)} - \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial \left[ A_\theta \right]}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right]\!\!&\!\!\text{sur}\; \vec{u}_r \\ \left[ \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial \left[ A_r \right]}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} - \left( \dfrac{\partial \left[ A_\varphi \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} - \dfrac{A_\varphi}{r} \right]\!\!&\!\!\text{sur}\; \vec{u}_\theta \\ \left[ \left( \dfrac{\partial \left[ A_\theta \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} + \dfrac{A_\theta}{r} - \dfrac{1}{r} \left( \dfrac{\partial \left[ A_r \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \right]\!\!&\!\!\text{sur}\; \vec{u}_\varphi\end{array} \right\rbrace\;</math>» <br />ou, après regroupement, <br />«<math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \left\lbrace \begin{array}{l r}\dfrac{1}{r\,\sin(\theta)} \left\lbrace \left( \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\, A_\varphi \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} - \left( \dfrac{\partial \left[ A_\theta \right]}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right\rbrace\!\!&\!\!\text{sur}\; \vec{u}_r \\ \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial \left[ A_r \right]}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} - \dfrac{1}{r} \left( \dfrac{\partial \left[ r\;A_\varphi \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!\!&\!\!\text{sur}\; \vec{u}_\theta \\ \dfrac{1}{r} \left\lbrace \left( \dfrac{\partial \left[ r\;A_\theta \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} - \left( \dfrac{\partial \left[ A_r \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \right\rbrace\!\!&\!\!\text{sur}\; \vec{u}_\varphi\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref> On vérifie l'identité de ces deux expressions car «<math>\;\dfrac{1}{r\,\sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\, A_\varphi \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} = \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)} \left[ \cos(\theta)\, A_\varphi + \sin(\theta)\, \left( \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \right]\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{r} \left( \dfrac{\partial \left[ r\;A_\varphi \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} =</math> <math>\dfrac{1}{r} \left[ A_\varphi + r\, \left( \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \right]\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{r} \left( \dfrac{\partial \left[ r\;A_\theta \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}</math>}} <math>= \dfrac{1}{r} \left[ A_\theta + r\, \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \right]\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref>.</div>}} ==== Définition intrinsèque (équivalente) du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace ==== {{Al|5}}Le « rotationnel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Le « rotationnel <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)}\;</math> }}est le « champ vectoriel défini en <math>\;M\;</math>» dont le « [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] <math>\;\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right)\;</math> à travers une surface élémentaire ouverte <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math><ref name="flux élémentaire du champ vectoriel rotationnel"> Le flux élémentaire du champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math> est «<math>\;\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dS}\;</math>» <math>\rightsquigarrow</math> voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] (flux élémentaire d'un champ vectoriel) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ou le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Flux_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace,_notion_de_champ_vectoriel_à_flux_conservatif#Définition_du_flux_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_tridimensionnel|définition du flux élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel]] » du chap.<math>29</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> entourant <math>\;M\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Le « rotationnel <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)}\;</math> est le « champ vectoriel défini en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» dont le « flux élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right)}\;</math> }}est égal à la circulation du champ <math>\;\vec{A}(M)\;</math> le long du contour fermé <math>\;(\delta \Gamma)\;</math><ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour"> La circulation élémentaire du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> le long d'un contour <math>\;( \Gamma )\;</math> est défini par «<math>\;\delta \mathcal{C}_{(\Gamma)}\! \left[ \vec{A}(M) \right] = \vec{A}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Circulation_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_le_long_d'une_courbe_continue|circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, la circulation du champ vectoriel le long de <math>\;( \Gamma )\;</math> de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> se calculant par «<math>\;\mathcal{C}_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2}\! \left[ \vec{A}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2} \vec{A}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du même chap.<math>15</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> et, dans le cas où la courbe continue <math>\;( \Gamma )\;</math> est fermée, la circulation du champ vectoriel s'écrivant «<math>\;\mathcal{C}_{(\Gamma)}\! \left[ \vec{A}(M) \right] = \color{transparent}{\Bigg[}\!\!\color{black}\displaystyle\oint\limits_{M'\,\in\,(\Gamma)} \vec{A}(M')\! \cdot\! \overrightarrow{dM'}\;</math>». <br>{{Al|3}}Ici le contour fermé <math>\;(\delta \Gamma)\;</math> limitant la surface élémentaire <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math> étant fermé, il faut le décomposer en élément de courbe <math>\;(\delta^2 \Gamma)\;</math> infiniment petits relativement à <math>\;(\delta \Gamma)\;</math> et la circulation élémentaire de <math>\;\vec{A}(M)\;</math> le long du contour fermé <math>\;(\delta \Gamma)\;</math> est défini par «<math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)}\![\vec{A}(M)] = \color{transparent}{\Bigg[}\!\!\color{black}\displaystyle\oint\limits_{M'\,\in\,(\delta \Gamma)} \vec{A}(M')\! \cdot\! \overrightarrow{d^2 M'}\;</math>» avec «<math>\;\overrightarrow{d^2 M'}\;</math> vecteur déplacement élémentaire en <math>\;M'\;</math> du contour élémentaire fermé <math>\;(\delta \Gamma)\;</math> entourant <math>\;M\;</math>».</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Le « rotationnel <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)}\;</math> est le « champ vectoriel défini en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» dont le « flux élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right)}\;</math> est égal à la circulation du champ <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> }}limitant la surface élémentaire <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math>» soit, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Le « rotationnel <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)}\;</math> est }}tel que «<math>\;\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)}\![\vec{A}(M)]\;</math>» ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|Le « rotationnel <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)}\;</math> est tel que }}«<math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dS} = \color{transparent}{\Bigg[}\!\!\color{black}\displaystyle\oint\limits_{M'\,\in\,(\delta \Gamma)} \vec{A}(M')\! \cdot\! \overrightarrow{d^2 M'}\;</math>»<ref name="flux élémentaire du champ vectoriel rotationnel" />{{,}}<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" /> avec «<math>\;\overrightarrow{dS}\;</math> vecteur surface élémentaire de la surface ouverte <math>\;( \delta \mathcal{S} )\;</math> en <math>\;M\;</math>», « le contour fermé <br />{{Al|110}}{{Transparent|Le « rotationnel <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)}\;</math> est tel que }}<math>\;(\delta \Gamma)\;</math> limitant la surface ouverte <math>\;( \delta \mathcal{S} )\;</math> orienté en accord avec l'orientation de la surface <br />{{Al|110}}{{Transparent|Le « rotationnel <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)}\;</math> est tel que <math>\;\color{transparent}{(\delta \Gamma)}\;</math> limitant la surface ouverte <math>\;\color{transparent}{( \delta \mathcal{S} )}\;</math> orienté en accord avec l'orient }}ouverte <math>\;(\delta S)\;</math>»<ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant"> Dans la mesure où l'espace tridimensionnel est orienté à droite <math>\;\big\{</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> avec choix d'une base orthonormée directe <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, on peut appliquer la <u>règle du tire-bouchon de Maxwell</u> pour déterminer l'orientation de la courbe fermée <math>\;(\delta \Gamma)\;</math> limitant la surface ouverte <math>\;(\delta S)\;</math> à partir de l'orientation de cette dernière : « plaçant le tire-bouchon de Maxwell en un point <math>\;P\;</math> de <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math> et effectuant une translation dans le sens choisi sur <math>\;(\delta \mathcal{S})</math>, le sens défini sur <math>\;(\delta \Gamma)\;</math> correspond au sens de rotation du tire-bouchon ».</ref>. ==== Justification de l'équivalence entre la définition intrinsèque du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace et celle de l'image de cette fonction vectorielle par l'opérateur “nabla vectoriel ...” ==== {{Al|5}}Ayant obtenu l'« image de la fonction vectorielle <math>\;\vec{A}(M)\;</math> par l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 1^er ordre <math>\;\left\lbrace \vec{\nabla} \wedge \right\rbrace\left[ \; \right]\;</math>» dans tous les « repérages précédemment introduits »<ref name="repérages précédemment introduits" />{{,}}<ref> Comme, par exemple, dans le repérage cartésien «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M) = \vec{\nabla} \wedge \vec{A}(M) = \left\lbrace \begin{array}{c}\left[ \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M) \right]\;\text{sur}\; \vec{u}_x \\ \left[ \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M) - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M) \right]\;\text{sur}\; \vec{u}_y \\ \left[ \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M) \right]\;\text{sur}\; \vec{u}_z\end{array} \right\rbrace\;</math>».</ref>, il nous suffit de « retrouver l'expression de l'image dans le repérage choisi à partir de la définition intrinsèque du champ vectoriel rotationnel de <math>\;\vec{A}(M)\;</math>»<ref> Et il faudrait faire de même dans les deux autres repérages <math>\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}la méthode la plus simple, dans un repérage donné, consiste à choisir une surface élémentaire ouverte <math>\;( \delta S )</math> <math>\;\perp\;</math> à un des trois vecteurs de base du repérage, le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] du vecteur <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> à travers cette surface ne faisant intervenir que la composante de <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> sur le vecteur de base choisi, le calcul de la circulation de <math>\;\vec{A}(M)\;</math> le long du contour <math>\;( \Gamma )\;</math> limitant la surface <math>\;( \delta S )</math>, ne permet de vérifier que la composante <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> sur ce vecteur de base et par suite {{Al|5}}{{Transparent|la méthode la plus simple, dans un repérage donné, }}il faut recommencer la vérification sur deux autres surfaces élémentaires ouvertes <math>\;( \delta S )</math> <math>\;\perp\;</math> aux deux autres des trois vecteurs de base du repérage <math>\;\ldots</math> ===== Justification en repérage cartésien ===== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour cela « on considère, à partir du point <math>\;M\, \left(x,\, y,\, z \right)</math>, l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire <math>\;( \delta S )_z\;</math> de longueur <math>\;dx\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;dy\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_y</math>, orientée dans le sens de <math>\;\vec{u}_z\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour cela « on considère, à partir du point <math>\;\color{transparent}{M\, \left(x,\, y,\, z \right)}</math>, }}« le contour fermé <math>\;(\delta \Gamma)_z\;</math> limitant <math>\;( \delta S )_z\;</math> étant orienté de <math>\;\vec{u}_x\;</math> vers <math>\;\vec{u}_y\;</math> en accord avec l'orientation de <math>\;( \delta S )_z\;</math>»<ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant" /> ; <br />{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_z}(\vec{A})\;</math> le long de <math>\;(\delta \Gamma)_z\;</math> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M) = A_x(M)\, \vec{u}_x + A_y(M)\, \vec{u}_y + A_z(M)\, \vec{u}_z\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_z}(\vec{A})}\;</math> }}en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés du rectangle<ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle" />, soit <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}«<math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_z}(\vec{A}) = \sum\limits_{k = 1}^4 \delta \mathcal{C}_{\text{côté}_k}(\vec{A}) = \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Ox}(y)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oy}(x + dx)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Ox}(y + dy)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oy}(x)}(\vec{A})\;</math>», avec <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_z}(\vec{A})}\;</math> }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l}\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Ox}(y)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(x_i,\, y,\, z) \cdot dx\,\left[ \vec{u}_x \right]\\ \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Ox}(y + dy)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(x_i,\, y + dy,\, z) \cdot dx\, \left[ -\vec{u}_x \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />{{,}}<ref> Le côté <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Ox</math>, d'ordonnée <math>\;y\;</math> est de longueur <math>\;dx > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;\vec{u}_x</math>, la cote étant <math>\;z</math> ; <br>{{Al|3}}le côté <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Ox</math>, d'ordonnée <math>\;y + dy\;</math> est de longueur <math>\;dx > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;-\vec{u}_x</math>, la cote étant <math>\;z</math> ; <br>{{Al|3}}l'abscisse du point générique de chaque côté est notée <math>\;x_i</math>, elle peut prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;x\;</math> et <math>\;x + dx</math>.</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_z}(\vec{A})}\;</math> }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l}\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oy}(x + dx)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(x + dx,\, y_i,\, z) \cdot dy\, \left[ \vec{u}_y \right]\\ \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oy}(x)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(x,\, y_i,\, z) \cdot dy\, \left[ -\vec{u}_y \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />{{,}}<ref> Le côté <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oy</math>, d'abscisse <math>\;x + dx\;</math> est de longueur <math>\;dy > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;\vec{u}_y</math>, la cote étant <math>\;z</math> ; <br>{{Al|3}}le côté <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oy</math>, d'abscisse <math>\;x\;</math> est de longueur <math>\;dy > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;-\vec{u}_y</math>, la cote étant <math>\;z</math> ; <br>{{Al|3}}l'ordonnée du point générique de chaque côté est notée <math>\;y_i</math>, elle peut prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;y\;</math> et <math>\;y + dy</math>.</ref> ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons : <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Ox}(y)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Ox}(y + dy)}(\vec{A}) = A_x(x_i,\, y,\, z)\; dx - A_x(x_i,\, y + dy,\, z)\; dx = \left[ -\left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}\!\!(M)\, dy \right] dx\;</math>»<ref name="approximation linéaire" /> et <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oy}(x + dx)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oy}(x)}(\vec{A}) = A_y(x + dx,\, y_i,\, z)\; dy - A_y(x,\, y_i,\, z)\; dy = \left[ \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}\!\!(M)\, dx \right] dy\;</math>»<ref name="approximation linéaire" /> soit, en faisant la somme : <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}«<math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_z}(\vec{A}) = \left[ \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}\!\!(M) \right]\,dx\;dy = \left[ \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}\!\!(M) \right]\,dS_z\;</math>» <br />{{Al|139}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_z}(\vec{A})}</math> }}<math>\;\big\{</math>avec <math>\;dS_z = dx\;dy\;</math> aire de <math>\;( \delta S )_z\big\}\;</math><ref name="dS en cartésien"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Expressions_en_paramétrage_cartésien|expressions en paramétrage cartésien]] (à retenir) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire <math>\;( \delta S )_z\;</math> limitée par <math>\;(\delta \Gamma)_z\;</math> étant orientée par <math>\;\vec{u}_z</math>, son vecteur surface élémentaire s'écrit «<math>\;\overrightarrow{dS}_z = dS_z\;\vec{u}_z\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}le « [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] du champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math> à travers <math>\;( \delta \mathcal{S} )_z\;</math> s'écrit <math>\;\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_z}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dS}_z = \overline{\mathrm{rot}}_z\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\,dS_z\;</math>»<ref name="flux élémentaire du champ vectoriel rotationnel" /> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}de <math>\;\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_z}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_z}(\vec{A})\;</math> ou <math>\;\overline{\mathrm{rot}}_z\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\,dS_z = \left[ \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}\!\!(M) \right]\,dS_z\;</math> on en déduit <br />{{Al|3}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors de <math>\;\color{transparent}{\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_z}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_z}(\vec{A})}\;</math> ou }}«<math>\;\overline{\mathrm{rot}}_z\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \left[ \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}\!\!(M) \right]\;</math>»<ref name="expression du rotationnel en cartésien"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_du_rotationnel_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_en_cartésien|expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Puis « on considère, à partir du point <math>\;M\, \left(x,\, y,\, z \right)</math>, l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire <math>\;( \delta S )_x\;</math> de longueur <math>\;dy\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_y\;</math> et <math>\;dz\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, orientée dans le sens de <math>\;\vec{u}_x\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Puis « on considère, à partir du point <math>\;\color{transparent}{M\, \left(x,\, y,\, z \right)}</math>, }}« le contour fermé <math>\;(\delta \Gamma)_x\;</math> limitant <math>\;( \delta S )_x\;</math> étant orienté de <math>\;\vec{u}_y\;</math> vers <math>\;\vec{u}_z\;</math> en accord avec l'orientation de <math>\;( \delta S )_x\;</math>»<ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant" /> ; <br />{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_x}(\vec{A})\;</math> le long de <math>\;(\delta \Gamma)_x\;</math> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M) = A_x(M)\, \vec{u}_x + A_y(M)\, \vec{u}_y + A_z(M)\, \vec{u}_z\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_x}(\vec{A})}\;</math> }}en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés du rectangle<ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle" />, soit <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}«<math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_x}(\vec{A}) = \sum\limits_{k = 1}^4 \delta \mathcal{C}_{\text{côté}_k}(\vec{A}) = \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oy}(z)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oz}(y + dy)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oy}(z + dz)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oz}(y)}(\vec{A})\;</math>», avec <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_x}(\vec{A})}\;</math> }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l}\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oy}(z)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(x,\, y_i,\, z) \cdot dy\,\left[ \vec{u}_y \right]\\ \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oy}(z + dz)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(x,\, y_i,\, z + dz) \cdot dy\, \left[ -\vec{u}_y \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />{{,}}<ref> Le côté <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oy</math>, de cote <math>\;z\;</math> est de longueur <math>\;dy > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;\vec{u}_y</math>, l'abscisse étant <math>\;x</math> ; <br>{{Al|3}}le côté <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oy</math>, de cote <math>\;z + dz\;</math> est de longueur <math>\;dy > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;-\vec{u}_y</math>, l'abscisse étant <math>\;x</math> ; <br>{{Al|3}}l'ordonnée du point générique de chaque côté est notée <math>\;y_i</math>, elle peut prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;y\;</math> et <math>\;y + dy</math>.</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_x}(\vec{A})}\;</math> }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l}\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oz}(y + dy)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(x,\, y + dy,\, z_i) \cdot dz\, \left[ \vec{u}_z \right]\\ \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oz}(y)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(x,\, y,\, z_i) \cdot dz\, \left[ -\vec{u}_z \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />{{,}}<ref> Le côté <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oz</math>, d'ordonnée <math>\;y + dy\;</math> est de longueur <math>\;dz > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;\vec{u}_z</math>, l'abscisse étant <math>\;x</math> ; <br>{{Al|3}}le côté <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oz</math>, d'ordonnée <math>\;y\;</math> est de longueur <math>\;dz > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;-\vec{u}_z</math>, l'abscisse étant <math>\;x</math> ; <br>{{Al|3}}la cote du point générique de chaque côté est notée <math>\;z_i</math>, elle peut prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;z\;</math> et <math>\;z + dz</math>.</ref> ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons : <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oy}(z)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oy}(z + dz)}(\vec{A}) = A_y(x,\, y_i,\, z)\; dy - A_y(x,\, y_i,\, z + dz)\; dy = \left[ -\left( \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}\!\!(M)\, dz \right] dy\;</math>»<ref name="approximation linéaire" /> et <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oz}(y + dy)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oz}(y)}(\vec{A}) = A_z(x,\, y + dy,\, z_i)\; dz - A_z(x,\, y,\, z_i)\; dz = \left[ \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}\!\!(M)\, dy \right] dz\;</math>»<ref name="approximation linéaire" /> soit, en faisant la somme : <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}«<math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_x}(\vec{A}) = \left[ \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}\!\!(M) \right]\,dy\;dz = \left[ \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}\!\!(M) \right]\,dS_x\;</math>» <br />{{Al|139}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_x}(\vec{A})}</math> }}<math>\;\big\{</math>avec <math>\;dS_x = dy\;dz\;</math> aire de <math>\;( \delta S )_x\big\}\;</math><ref name="dS en cartésien" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire <math>\;( \delta S )_x\;</math> limitée par <math>\;(\delta \Gamma)_x\;</math> étant orientée par <math>\;\vec{u}_x</math>, son vecteur surface élémentaire s'écrit «<math>\;\overrightarrow{dS}_x = dS_x\;\vec{u}_x\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}le « [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] du champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math> à travers <math>\;( \delta \mathcal{S} )_x\;</math> s'écrit <math>\;\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_x}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dS}_x = \overline{\mathrm{rot}}_x\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\,dS_x\;</math>»<ref name="flux élémentaire du champ vectoriel rotationnel" /> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}de <math>\;\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_x}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_x}(\vec{A})\;</math> ou <math>\;\overline{\mathrm{rot}}_x\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\,dS_x = \left[ \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}\!\!(M) \right]\,dS_x\;</math> on en déduit <br />{{Al|3}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors de <math>\;\color{transparent}{\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_x}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_x}(\vec{A})}\;</math> ou }}«<math>\;\overline{\mathrm{rot}}_x\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \left[ \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}\!\!(M) \right]\;</math>»<ref name="expression du rotationnel en cartésien" />. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Enfin « on considère, à partir du point <math>\;M\, \left(x,\, y,\, z \right)</math>, l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire <math>\;( \delta S )_y\;</math> de longueur <math>\;dz\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;dx\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_x</math>, orientée dans le sens de <math>\;\vec{u}_y\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Puis « on considère, à partir du point <math>\;\color{transparent}{M\, \left(x,\, y,\, z \right)}</math>, }}« le contour fermé <math>\;(\delta \Gamma)_y\;</math> limitant <math>\;( \delta S )_y\;</math> étant orienté de <math>\;\vec{u}_z\;</math> vers <math>\;\vec{u}_x\;</math> en accord avec l'orientation de <math>\;( \delta S )_y\;</math>»<ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant" /> ; <br />{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_y}(\vec{A})\;</math> le long de <math>\;(\delta \Gamma)_y\;</math> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M) = A_x(M)\, \vec{u}_x + A_y(M)\, \vec{u}_y + A_z(M)\, \vec{u}_z\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_y}(\vec{A})}\;</math> }}en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés du rectangle<ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle" />, soit <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}«<math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_y}(\vec{A}) = \sum\limits_{k = 1}^4 \delta \mathcal{C}_{\text{côté}_k}(\vec{A}) = \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oz}(x)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Ox}(z + dz)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oz}(x + dx)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Ox}(z)}(\vec{A})\;</math>», avec <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_y}(\vec{A})}\;</math> }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l}\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oz}(x)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(x,\, y,\, z_i) \cdot dz\,\left[ \vec{u}_z \right]\\ \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oz}(x + dx)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(x + dx,\, y,\, z_i) \cdot dz\, \left[ -\vec{u}_z \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />{{,}}<ref> Le côté <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oz</math>, d'abscisse <math>\;x\;</math> est de longueur <math>\;dz > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;\vec{u}_z</math>, l'ordonnée étant <math>\;y</math> ; <br>{{Al|3}}le côté <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oz</math>, d'abscisse <math>\;x + dx\;</math> est de longueur <math>\;dz > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;-\vec{u}_z</math>, l'ordonnée étant <math>\;y</math> ; <br>{{Al|3}}la cote du point générique de chaque côté est notée <math>\;z_i</math>, elle peut prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;z\;</math> et <math>\;z + dz</math>.</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_y}(\vec{A})}\;</math> }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l}\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Ox}(z + dz)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(x_i,\, y,\, z + dz) \cdot dx\, \left[ \vec{u}_x \right]\\ \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Ox}(z)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(x_i,\, y,\, z) \cdot dx\, \left[ -\vec{u}_x \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />{{,}}<ref> Le côté <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Ox</math>, de cote <math>\;z + dz\;</math> est de longueur <math>\;dx > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;\vec{u}_x</math>, l'ordonnée étant <math>\;y</math> ; <br>{{Al|3}}le côté <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Ox</math>, de cote <math>\;z\;</math> est de longueur <math>\;dx > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;-\vec{u}_x</math>, l'ordonnée étant <math>\;y</math> ; <br>{{Al|3}}l'abscisse du point générique de chaque côté est notée <math>\;x_i</math>, elle peut prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;x\;</math> et <math>\;x + dx</math>.</ref> ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons : <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oz}(x)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oz}(x + dx)}(\vec{A}) = A_z(x,\, y,\, z_i)\; dz - A_z(x + dx,\, y,\, z_i)\; dz = \left[ -\left( \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}\!\!(M)\, dx \right] dz\;</math>»<ref name="approximation linéaire" /> et <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Ox}(z + dz)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Ox}(z)}(\vec{A}) = A_x(x_i,\, y,\, z + dz)\; dx - A_x(x_i,\, y,\, z)\; dx = \left[ \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}\!\!(M)\, dz \right] dx\;</math>»<ref name="approximation linéaire" /> soit, en faisant la somme : <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}«<math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_y}(\vec{A}) = \left[ \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}\!\!(M) \right]\,dz\;dx = \left[ \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}\!\!(M) \right]\,dS_y\;</math>» <br />{{Al|139}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_y}(\vec{A})}</math> }}<math>\;\big\{</math>avec <math>\;dS_y = dz\;dx\;</math> aire de <math>\;( \delta S )_y\big\}\;</math><ref name="dS en cartésien" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire <math>\;( \delta S )_y\;</math> limitée par <math>\;(\delta \Gamma)_y\;</math> étant orientée par <math>\;\vec{u}_y</math>, son vecteur surface élémentaire s'écrit «<math>\;\overrightarrow{dS}_y = dS_y\;\vec{u}_y\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}le « [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] du champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math> à travers <math>\;( \delta \mathcal{S} )_y\;</math> s'écrit <math>\;\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_y}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dS}_y = \overline{\mathrm{rot}}_y\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\,dS_y\;</math>»<ref name="flux élémentaire du champ vectoriel rotationnel" /> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}de <math>\;\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_y}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_y}(\vec{A})\;</math> ou <math>\;\overline{\mathrm{rot}}_y\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\,dS_y = \left[ \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}\!\!(M) \right]\,dS_y\;</math> on en déduit <br />{{Al|3}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors de <math>\;\color{transparent}{\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_y}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_y}(\vec{A})}\;</math> ou }}«<math>\;\overline{\mathrm{rot}}_y\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \left[ \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}\!\!(M) \right]\;</math>»<ref name="expression du rotationnel en cartésien" />. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En conclusion «<math>\;\dfrac{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_s}(\vec{A})}{dS_s} = \overline{\vec{\nabla}\! \wedge\! \vec{A}}_s(M)\;</math> avec <math>\;s\,\in\,\left\lbrace x,\, y,\, z \right\rbrace\;</math>» définissant toutes deux «<math>\;\overline{\mathrm{rot}}_s\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math>» « la 1^ère de façon intrinsèque » et « la 2^nde par [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] <math>\;\vec{\nabla}\! \wedge \;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. ===== Justification en repérage cylindro-polaire ===== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour cela « on considère, à partir de <math>\;M\, \left(\rho,\, \theta,\, z \right)</math>, l'expansion surfacique élémentaire cylindrique <math>\;( \delta S )_\rho\;</math> de hauteur <math>\;dz\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et d'arc <math>\;\rho\, d \theta\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_\theta</math>, orientée dans le sens de <math>\;\vec{u}_\rho\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour cela « on considère, à partir de <math>\;\color{transparent}{M\, \left(\rho,\, \theta,\, z \right)}</math>, }}« le contour fermé <math>\;(\delta \Gamma)_\rho\;</math> limitant <math>\;( \delta S )_\rho\;</math> étant orienté sur l'arc de cercle de cote <math>\;z\;</math> dans le sens de <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour cela « on considère, à partir de <math>\;\color{transparent}{M\, \left(\rho,\, \theta,\, z \right)}</math>, « le contour fermé <math>\;\color{transparent}{(\delta \Gamma)_\rho}\;</math> limitant <math>\;\color{transparent}{( \delta S )_\rho}\;</math> étant orienté }}en accord avec l'orientation de <math>\;( \delta S )_\rho\;</math>»<ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant" /> ; <br />{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\rho}(\vec{A})\;</math> le long de <math>\;(\delta \Gamma)_\rho\;</math> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M) = A_\rho(M)\, \vec{u}_\rho + A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta + A_z(M)\, \vec{u}_z\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\rho}(\vec{A})}\;</math> }}en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de <math>\;(\delta \Gamma)_\rho\;</math><ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle" />, soit <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}«<math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\rho}(\vec{A}) = \sum\limits_{k = 1}^4 \delta \mathcal{C}_{\text{côté}_k}(\vec{A}) = \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de cercle}}(z)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oz}(\theta + d \theta)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de cercle}}(z + dz)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oz}(\theta)}(\vec{A})\;</math>», avec <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\rho}(\vec{A})}\;</math> }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l}\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de cercle}}(z)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(\rho,\, \theta_i,\, z) \cdot \rho\,d \theta\,\left[ \vec{u}_\theta \right]\\ \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de cercle}}(z + dz)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(\rho,\, \theta_i,\, z + dz) \cdot \rho\,d \theta\, \left[ -\vec{u}_\theta \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />{{,}}<ref> L'arc de cercle de rayon <math>\;\rho\;</math> et cote <math>\;z\;</math> est de longueur <math>\;\rho\,d \theta > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;<math>\;\vec{u}_\theta</math> ; <br>{{Al|3}}l'arc de cercle de rayon <math>\;\rho\;</math> et cote <math>\;z + dz\;</math> est de longueur <math>\;\rho\,d \theta > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;-\vec{u}_\theta</math> ; <br>{{Al|3}}l'abscisse angulaire du point générique de chaque arc de cercle est notée <math>\;\theta_i</math>, elle peut prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\theta + d \theta</math>.</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\rho}(\vec{A})}\;</math> }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l}\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oz}(\theta + d \theta)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(\rho,\, \theta + d \theta,\, z_i) \cdot dz\, \left[ \vec{u}_z \right]\\ \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oz}(\theta)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(\rho,\, \theta,\, z_i) \cdot dz\, \left[ -\vec{u}_z \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />{{,}}<ref> Le côté <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oz</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta + d \theta\;</math> est de longueur <math>\;dz > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;\vec{u}_z</math> ; <br>{{Al|3}}le côté <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oz</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> est de longueur <math>\;dz > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;-\vec{u}_z</math> ; <br>{{Al|3}}la cote du point générique de chaque côté est notée <math>\;z_i</math>, elle peut prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;z\;</math> et <math>\;z + dz</math>.</ref> ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons : <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de cercle}}(z)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de cercle}}(z + dz)}(\vec{A}) = A_\theta(\rho,\, \theta_i,\, z)\; \rho\,d \theta - A_\theta(\rho,\, \theta_i,\, z + dz)\; \rho\,d \theta = \left[ -\left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!\!(M)\, dz \right] \rho\, d \theta\;</math>»<ref name="approximation linéaire" /> et <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oz}(\theta + d \theta)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oz}(\theta)}(\vec{A}) = A_z(\rho,\, \theta + d \theta,\, z_i)\; dz - A_z(\rho,\, \theta,\, z_i)\; dz = \left[ \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!\!(M)\, d \theta \right] dz\;</math>»<ref name="approximation linéaire" /> soit, en faisant la somme : <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}«<math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\rho}(\vec{A}) = \left[ \dfrac{1}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!\!(M) \right]\,\rho\,d \theta\;dz = \left[ \dfrac{1}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!\!(M) \right]\,dS_\rho\;</math>» <br />{{Al|173}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}<math>\;\big\{</math>avec <math>\;dS_\rho = \rho\,d \theta\;dz\;</math> aire de <math>\;( \delta S )_\rho\big\}\;</math><ref name="dS en cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Expressions_en_paramétrage_cylindro-polaire|expressions en paramétrage cylindro-polaire]] (à retenir) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}l'expansion surfacique élémentaire cylindrique <math>\;( \delta S )_\rho\;</math> limitée par <math>\;(\delta \Gamma)_\rho\;</math> étant orientée par <math>\;\vec{u}_\rho</math>, son vecteur surface élémentaire s'écrit «<math>\;\overrightarrow{dS}_\rho = dS_\rho\;\vec{u}_\rho\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}le « [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] du champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math> à travers <math>\;( \delta \mathcal{S} )_\rho\;</math> s'écrit <math>\;\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_\rho}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dS}_\rho = \overline{\mathrm{rot}}_\rho\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\,dS_\rho\;</math>»<ref name="flux élémentaire du champ vectoriel rotationnel" /> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}de <math>\;\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_\rho}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\rho}(\vec{A})\;</math> ou <math>\;\overline{\mathrm{rot}}_\rho\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\,dS_\rho = \left[ \dfrac{1}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!\!(M) \right]\,dS_\rho\;</math> on en déduit <br />{{Al|3}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors de <math>\;\color{transparent}{\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_\rho}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\rho}(\vec{A})}\;</math> ou }}«<math>\;\overline{\mathrm{rot}}_\rho\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \left[ \dfrac{1}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!\!(M) \right]\;</math>»<ref name="expression du rotationnel en cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_du_rotationnel_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_en_cylindro-polaire|expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Puis « on considère, à partir de <math>\;M\, \left(\rho,\, \theta,\, z \right)</math>, l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire <math>\;( \delta S )_\theta\;</math> de hauteur <math>\;dz\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et de largeur <math>\; d \rho\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_\rho</math>, orientée dans le sens de <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Puis « on considère, à partir de <math>\;\color{transparent}{M\, \left(\rho,\, \theta,\, z \right)}</math>, }}« le contour fermé <math>\;(\delta \Gamma)_\theta\;</math> limitant <math>\;( \delta S )_\theta\;</math> étant orienté sur le rayon de cote <math>\;z\;</math> dans le sens de <math>\;-\vec{u}_\rho\;</math> en accord avec l'orientation de <math>\;( \delta S )_\theta\;</math>»<ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant" /> ; <br />{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\theta}(\vec{A})\;</math> le long de <math>\;(\delta \Gamma)_\theta\;</math> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M) = A_\rho(M)\, \vec{u}_\rho + A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta + A_z(M)\, \vec{u}_z\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\theta}(\vec{A})}\;</math> }}en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de <math>\;(\delta \Gamma)_\theta\;</math><ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle" />, soit <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}«<math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\theta}(\vec{A}) = \sum\limits_{k = 1}^4 \delta \mathcal{C}_{\text{côté}_k}(\vec{A}) = \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{rayon}}(z)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oz}(\rho + d \rho)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{rayon}}(z + dz)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oz}(\rho)}(\vec{A})\;</math>», avec <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\theta}(\vec{A})}\;</math> }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l}\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{rayon}}(z)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(\rho_i,\, \theta,\, z) \cdot d \rho\,\left[ -\vec{u}_\rho \right]\\ \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{rayon}}(z + dz)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(\rho_i,\, \theta,\, z + dz) \cdot d \rho\, \left[ \vec{u}_\rho \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />{{,}}<ref> Le rayon élémentaire d'abscisse angulaire <math>\;\theta</math>, de cote <math>\;z\;</math> est de longueur <math>\;d \rho > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;-\vec{u}_\rho</math> ; <br>{{Al|3}}le rayon élémentaire d'abscisse angulaire <math>\;\theta</math>, de cote <math>\;z + dz\;</math> est de longueur <math>\;d \rho > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;\vec{u}_\rho</math> ; <br>{{Al|3}}le rayon polaire du point générique de chaque segment élémentaire est noté <math>\;\rho_i</math>, il peut prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;\rho\;</math> et <math>\;\rho + d \rho</math>.</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\theta}(\vec{A})}\;</math> }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l}\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oz}(\rho + d \rho)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(\rho + d \rho,\, \theta,\, z_i) \cdot dz\, \left[ -\vec{u}_z \right]\\ \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oz}(\rho)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(\rho,\, \theta,\, z_i) \cdot dz\, \left[ \vec{u}_z \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />{{,}}<ref> Le côté <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oz</math>, de rayon polaire <math>\;\rho + d \rho\;</math> est de longueur <math>\;dz > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;-\vec{u}_z</math> ; <br>{{Al|3}}le côté <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oz</math>, de rayon polaire <math>\;\rho\;</math> est de longueur <math>\;dz > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;\vec{u}_z</math> ; <br>{{Al|3}}la cote du point générique de chaque côté est notée <math>\;z_i</math>, elle peut prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;z\;</math> et <math>\;z + dz</math>.</ref> ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons : <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{rayon}}(z)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{rayon}}(z + dz)}(\vec{A}) = -A_\rho(\rho_i,\, \theta,\, z)\; d \rho + A_\rho(\rho_i,\, \theta,\, z + dz)\; d \rho = \left[ \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!\!(M)\, dz \right]\, d \rho\;</math>»<ref name="approximation linéaire" /> et <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oz}(\rho + d \rho)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\parallel\,\text{à}\,Oz}(\rho)}(\vec{A}) = -A_z(\rho + d \rho,\, \theta,\, z_i)\; dz + A_z(\rho,\, \theta,\, z_i)\; dz = \left[ -\left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!\!(M)\, d \rho \right] dz\;</math>»<ref name="approximation linéaire" /> <math>\Rightarrow</math> par somme : <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}«<math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\theta}(\vec{A}) = \left[ \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!\!(M) \right]\,d\rho\;dz = \left[ \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!\!(M) \right]\,dS_\theta\;</math>» <br />{{Al|161}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}<math>\;\big\{</math>avec <math>\;dS_\theta = d\rho\;dz\;</math> aire de <math>\;( \delta S )_\theta\big\}\;</math><ref name="dS en cylindro-polaire" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire <math>\;( \delta S )_\theta\;</math> limitée par <math>\;(\delta \Gamma)_\theta\;</math> étant orientée par <math>\;\vec{u}_\theta</math>, son vecteur surface élémentaire s'écrit «<math>\;\overrightarrow{dS}_\theta = dS_\theta\;\vec{u}_\theta\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}le « [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] du champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math> à travers <math>\;( \delta \mathcal{S} )_\theta\;</math> s'écrit <math>\;\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_\theta}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dS}_\theta = \overline{\mathrm{rot}}_\theta\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\,dS_\theta\;</math>»<ref name="flux élémentaire du champ vectoriel rotationnel" /> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}de <math>\;\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_\theta}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\theta}(\vec{A})\;</math> ou <math>\;\overline{\mathrm{rot}}_\theta\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\,dS_\theta = \left[ \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!\!(M) \right]\,dS_\theta\;</math> on en déduit <br />{{Al|3}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors de <math>\;\color{transparent}{\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_\theta}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\theta}(\vec{A})}\;</math> ou }}«<math>\;\overline{\mathrm{rot}}_\theta\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \left[ \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!\!(M) \right]\;</math>»<ref name="expression du rotationnel en cylindro-polaire" /> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Enfin « on considère, à partir de <math>\;M\, \left(\rho,\, \theta,\, z \right)</math>, l'expansion surfacique élémentaire sectorielle <math>\;( \delta S )_z\;</math> de largeur <math>\;d \rho\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_\rho</math>, d'ouverture angulaire <math>\;d \theta\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_\theta</math>, orientée dans le sens de <math>\;\vec{u}_z\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Enfin « on considère, à partir de <math>\;\color{transparent}{M\, \left(\rho,\, \theta,\, z \right)}</math>, }}« le contour fermé <math>\;(\delta \Gamma)_z\;</math> limitant <math>\;( \delta S )_z\;</math> étant orienté sur l'arc de rayon <math>\;\rho + d \rho\;</math> dans le sens de <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> en accord avec l'orientation de <math>\;( \delta S )\;</math>»<ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant" /> ; <br />{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_z}(\vec{A})\;</math> le long de <math>\;(\delta \Gamma)_z\;</math> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M) = A_\rho(M)\, \vec{u}_\rho + A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta + A_z(M)\, \vec{u}_z\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_z}(\vec{A})}\;</math> }}en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de <math>\;(\delta \Gamma)_z\;</math><ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle" />, soit <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}«<math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_z}(\vec{A}) = \sum\limits_{k = 1}^4 \delta \mathcal{C}_{\text{côté}_k}(\vec{A}) = \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{rayon}}(\theta)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de cercle}}(\rho + d \rho)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{rayon}}(\theta + d \theta)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de cercle}}(\rho)}(\vec{A})\;</math>», avec <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_z}(\vec{A})}\;</math> }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l}\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{rayon}}(\theta)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(\rho_i,\, \theta,\, z) \cdot d \rho\,\left[ \vec{u}_\rho \right]\\ \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{rayon}}(\theta + d \theta)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(\rho_i,\, \theta + d \theta,\, z) \cdot d \rho\, \left[ -\vec{u}_\rho \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />{{,}}<ref> Le rayon élémentaire de cote <math>\;z</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> est de longueur <math>\;d \rho > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;\vec{u}_\rho</math> ; <br>{{Al|3}}le rayon élémentaire de cote <math>\;z</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta + d \theta\;</math> est de longueur <math>\;d \rho > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;-\vec{u}_\rho</math> ; <br>{{Al|3}}le rayon polaire du point générique de chaque segment élémentaire est notée <math>\;\rho_i</math>, il peut prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;\rho\;</math> et <math>\;\rho + d \rho</math>.</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_z}(\vec{A})}\;</math> }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l}\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de cercle}}(\rho + d \rho)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(\rho + d \rho,\, \theta_i,\, z) \cdot (\rho + d \rho)\, d \theta\,\left[ \vec{u}_\theta \right]\\ \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de cercle}}(\rho)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(\rho,\, \theta_i,\, z) \cdot \rho\, d \theta\, \left[ -\vec{u}_\theta \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />{{,}}<ref> L'arc de cercle de cote <math>\;z</math>, de rayon <math>\;\rho + d \rho\;</math> est de longueur <math>\;(\rho + d \rho)\,d \theta > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> ; <br>{{Al|3}}l'arc de cercle de cote <math>\;z</math>, de rayon <math>\;\rho\;</math> est de longueur <math>\;\rho\;d \theta > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;-\vec{u}_\theta</math> ; <br>{{Al|3}}l'abscisse angulaire du point générique de chaque arc est notée <math>\;\theta_i</math>, elle peut prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\theta + d \theta</math>.</ref> ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons : <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{rayon}}(\theta)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{rayon}}(\theta + d \theta)}(\vec{A}) = A_\rho(\rho_i,\, \theta,\, z)\; d \rho - A_\rho(\rho_i,\, \theta + d \theta,\, z)\; d \rho = \left[ -\left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!\!(M)\, d \theta \right]\, d \rho\;</math>»<ref name="approximation linéaire" /> et <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de cercle}}(\rho + d \rho)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de cercle}}(\rho)}(\vec{A}) = A_\theta(\rho + d \rho,\, \theta_i,\, z)\, (\rho + d \rho)\, d \theta - A_\theta(\rho,\, \theta_i,\, z)\; \rho\, d \theta = \left\lbrace \left[ \dfrac{\partial \left( \rho\; A_\theta \right)}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\, z}\!\!(M)\, d \rho \right\rbrace\, d \theta\;</math>»<ref name="approximation linéaire" /> soit, <br />{{Al|35}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de cercle}}(\rho + d \rho)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de cercle}}(\rho)}(\vec{A}) = A_\theta(\rho + d \rho,\, \theta_i,\, z)\, (\rho + d \rho)\, d \theta - A_\theta(\rho,\, \theta_i,\, z)\; \rho\, d \theta =}</math> }}en faisant la somme : <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}«<math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_z}(\vec{A}) = \left\lbrace \left[ \dfrac{\partial \left( \rho\; A_\theta \right)}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\, z}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!\!(M) \right\rbrace\,d\rho\;d\theta = \dfrac{1}{\rho}\,\left\lbrace \left[ \dfrac{\partial \left( \rho\; A_\theta \right)}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\, z}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!\!(M) \right\rbrace\,dS_z\;</math>» <math>\;\big\{</math>avec <math>\;dS_z = \rho\;d\theta\;d\rho\;</math> <br />{{Al|210}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}aire de <math>\;( \delta S )_z\big\}\;</math><ref name="dS en cylindro-polaire" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}l'expansion surfacique élémentaire sectorielle <math>\;( \delta S )_z\;</math> limitée par <math>\;(\delta \Gamma)_z\;</math> étant orientée par <math>\;\vec{u}_z</math>, son vecteur surface élémentaire s'écrit «<math>\;\overrightarrow{dS}_z = dS_z\;\vec{u}_z\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}le « [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] du champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math> à travers <math>\;( \delta \mathcal{S} )_z\;</math> s'écrit <math>\;\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_z}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dS}_z = \overline{\mathrm{rot}}_z\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\,dS_z\;</math>»<ref name="flux élémentaire du champ vectoriel rotationnel" /> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}de <math>\;\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_z}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_z}(\vec{A})\;</math> ou <math>\;\overline{\mathrm{rot}}_z\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\,dS_z = \dfrac{1}{\rho}\,\left\lbrace \left[ \dfrac{\partial \left( \rho\; A_\theta \right)}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\, z}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!\!(M) \right\rbrace\,dS_z\;</math> on en déduit <br />{{Al|3}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors de <math>\;\color{transparent}{\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_z}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_z}(\vec{A})}\;</math> ou }}«<math>\;\overline{\mathrm{rot}}_z\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \dfrac{1}{\rho}\,\left\lbrace \left[ \dfrac{\partial \left( \rho\; A_\theta \right)}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\, z}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!\!(M) \right\rbrace\;</math>»<ref name="expression du rotationnel en cylindro-polaire" /> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En conclusion «<math>\;\dfrac{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_s}(\vec{A})}{dS_s} = \overline{\vec{\nabla}\! \wedge\! \vec{A}}_s(M)\;</math> avec <math>\;s\,\in\,\left\lbrace \rho,\, \theta,\, z \right\rbrace\;</math>» définissant toutes deux «<math>\;\overline{\mathrm{rot}}_s\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math>» « la 1^ère de façon intrinsèque » et « la 2^nde par [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] <math>\;\vec{\nabla}\! \wedge \;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. ===== Justification en repérage sphérique ===== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour cela « on considère, à partir de <math>\;M\, \left(r,\, \theta,\, \varphi \right)</math>, l'expansion surfacique élémentaire sphérique <math>\;( \delta S )_r\;</math> de rayon <math>\;r</math>, d'ouvertures angulaires <math>\;d \theta\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_\theta</math>, <math>\;d \varphi\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_\varphi</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour cela « on considère, à partir de <math>\;\color{transparent}{M\, \left(r,\, \theta,\, \varphi \right)}</math>, l'expansion surfacique élémentaire sphérique <math>\;\color{transparent}{( \delta S )_r}\;</math> }}orientée dans le sens de <math>\;\vec{u}_r\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour cela « on considère, à partir de <math>\;\color{transparent}{M\, \left(r,\, \theta,\, \varphi \right)}</math>, }}« le contour fermé <math>\;(\delta \Gamma)_r\;</math> limitant <math>\;( \delta S )_r\;</math> étant orienté sur l'arc de cercle de colatitude <math>\;\theta\;</math> dans le sens de <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour cela « on considère, à partir de <math>\;\color{transparent}{M\, \left(r,\, \theta,\, \varphi \right)}</math>, « le contour fermé <math>\;\color{transparent}{(\delta \Gamma)_r}\;</math> limitant <math>\;\color{transparent}{( \delta S )_r}\;</math> étant orienté }}en accord avec l'orientation de <math>\;( \delta S )_r\;</math>»<ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant" /> ; <br />{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_r}(\vec{A})\;</math> le long de <math>\;(\delta \Gamma)_r\;</math> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M) = \vec{A}(M) = A_r(M)\, \vec{u}_r + A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta + A_\varphi(M)\, \vec{u}_\varphi\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_r}(\vec{A})}\;</math> }}en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de <math>\;(\delta \Gamma)_r\;</math><ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle" />, soit <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}«<math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_r}(\vec{A}) = \sum\limits_{k = 1}^4 \delta \mathcal{C}_{\text{côté}_k}(\vec{A}) = \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de méridien}}(\varphi)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de parallèle}}(\theta + d \theta)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de méridien}}(\varphi + d \varphi)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de parallèle}}(\theta)}(\vec{A})\;</math>», avec <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_r}(\vec{A})}\;</math> }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l}\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de méridien}}(\varphi)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(r,\, \theta_i,\, \varphi) \cdot r\,d \theta\,\left[ \vec{u}_\theta \right]\\ \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de méridien}}(\varphi + d \varphi)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(r,\, \theta_i,\, \varphi + d \varphi) \cdot r\,d \theta\, \left[ -\vec{u}_\theta \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />{{,}}<ref> L'arc de méridien de rayon <math>\;r\;</math> et longitude <math>\;\varphi\;</math> est de longueur <math>\;r\,d \theta > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;<math>\;\vec{u}_\theta</math> ; <br>{{Al|3}}l'arc de méridien de rayon <math>\;r\;</math> et longitude <math>\;\varphi + d\varphi\;</math> est de longueur <math>\;r\,d \theta > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;-\vec{u}_\theta</math> ; <br>{{Al|3}}la colatitude du point générique de chaque arc est notée <math>\;\theta_i</math>, elle peut prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\theta + d \theta</math>.</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_r}(\vec{A})}\;</math> }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l}\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de parallèle}}(\theta + d \theta)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(r,\, \theta + d \theta,\, \varphi_i) \cdot r\,\sin(\theta + d \theta)\,d \varphi\, \left[ \vec{u}_\varphi \right]\\ \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de parallèle}}(\theta + d \theta)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(r,\, \theta,\, \varphi_i) \cdot r\,\sin(\theta)\,d \varphi\, \left[ -\vec{u}_\varphi \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />{{,}}<ref> L'arc de parallèle à la distance <math>\;r\;</math> de <math>\;O\;</math> de colatitude <math>\;\theta + d \theta</math> est de longueur <math>\;r\;\sin(\theta + d \theta)\;d \varphi > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;\vec{u}_\varphi</math> ; <br>{{Al|3}}l'arc de parallèle à la distance <math>\;r\;</math> de <math>\;O\;</math> de colatitude <math>\;\theta\;</math> est de longueur <math>\;r\;\sin(\theta)\;d \varphi > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;-\vec{u}_\varphi</math> ; <br>{{Al|3}}la longitude du point générique de chaque arc est notée <math>\;\varphi_i</math>, elle peut prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;\varphi\;</math> et <math>\;\varphi + d \varphi</math>.</ref> ; en regroupant les termes deux à deux <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de méridien}}(\varphi)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de méridien}}(\varphi + d \varphi)}(\vec{A}) = A_\theta(r,\, \theta_i,\, \varphi)\; r\,d \theta - A_\theta(r,\, \theta_i,\, \varphi + d \varphi)\; r\,d \theta = \left[ -\left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!\!(M)\, d \varphi \right] r\, d \theta\;</math>»<ref name="approximation linéaire" /> et <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de parallèle}}(\theta + d \theta)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de parallèle}}(\theta)}(\vec{A}) = A_\varphi(r,\, \theta + d \theta,\, \varphi_i)\; r\,\sin(\theta + d \theta)\,d \varphi - A_\varphi(r,\, \theta,\, \varphi_i)\; r\,\sin(\theta)\,d \varphi</math> <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de parallèle}}(\theta + d \theta)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de parallèle}}(\theta)}(\vec{A})}</math> }}<math>= \left\lbrace \left[ \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\,A_\varphi \right]}{\partial \theta} \right]_{\!r,\, \varphi}\!\!(M)\, d \theta \right\rbrace r\,d \varphi\;</math>»<ref name="approximation linéaire" /> soit, en faisant la somme : <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}«<math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_r}(\vec{A}) = \left\lbrace \left[ \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\,A_\varphi \right]}{\partial \theta} \right]_{\!r,\, \varphi}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!\!(M) \right\rbrace\,r\,d \theta\;d \varphi = \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left\lbrace \left[ \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\,A_\varphi \right]}{\partial \theta} \right]_{\!r,\, \varphi}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!\!(M) \right\rbrace\,dS_r\;</math>» <br />{{Al|160}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}<math>\;\big\{</math>avec <math>\;dS_r = r^2\,\sin(\theta)\,d \theta\,d \varphi\;</math> aire de <math>\;( \delta S )_r\big\}\;</math><ref name="dS en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Expressions_en_paramétrage_sphérique|expressions en paramétrage sphérique]] (à retenir) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}l'expansion surfacique élémentaire sphérique <math>\;( \delta S )_r\;</math> limitée par <math>\;(\delta \Gamma)_r\;</math> étant orientée par <math>\;\vec{u}_r</math>, son vecteur surface élémentaire s'écrit «<math>\;\overrightarrow{dS}_r = dS_r\;\vec{u}_r\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}le « [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] du champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math> à travers <math>\;( \delta \mathcal{S} )_r\;</math> s'écrit <math>\;\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_r}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dS}_r = \overline{\mathrm{rot}}_r\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\,dS_r\;</math>»<ref name="flux élémentaire du champ vectoriel rotationnel" /> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}de <math>\;\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_r}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_r}(\vec{A})\;</math> ou <math>\;\overline{\mathrm{rot}}_r\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\,dS_r = \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left\lbrace \left[ \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\,A_\varphi \right]}{\partial \theta} \right]_{\!r,\, \varphi}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!\!(M) \right\rbrace\,dS_r\;</math> on en déduit <br />{{Al|3}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors de <math>\;\color{transparent}{\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_r}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_r}(\vec{A})}\;</math> ou }}«<math>\;\overline{\mathrm{rot}}_r\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left\lbrace \left[ \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\,A_\varphi \right]}{\partial \theta} \right]_{\!r,\, \varphi}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!\!(M) \right\rbrace\;</math>»<ref name="expression du rotationnel en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_du_rotationnel_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_en_sphérique|expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Puis « on considère, à partir de <math>\;M\, \left(r,\, \theta,\, \varphi \right)</math>, l'expansion surfacique élémentaire tronconique <math>\;( \delta S )_\theta\;</math> d'[[w:Cône_(géométrie)#Cas_général_2|apothème]] <ref name="apothème d'un tronc de cône"> On appelle [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général_2|apothème]] d'un [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]], la distance le long d'une génératrice quelconque entre le sommet du cône et un point de sa base <math>\;\big(</math>respectivement entre les deux bases le long d'une génératrice quelconque<math>\big)</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|On appelle }}[[w:Cône_(géométrie)#Cas_général_2|apothème]] d'un [[w:Cône_de_révolution#Aire_latérale_et_volume_d'un_tronc_de_cône|tronc de cône de révolution]], la distance entre les deux bases le long d'une génératrice quelconque.</ref> <math>\;dr\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_r\;</math> et d'ouverture angulaire <math>\;d \varphi\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_\varphi</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Puis « on considère, à partir de <math>\;\color{transparent}{M\, \left(r,\, \theta,\, \varphi \right)}</math>, l'expansion surfacique élémentaire tronconique <math>\;\color{transparent}{( \delta S )_\theta}\;</math> }}orientée dans le sens de <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Puis « on considère, à partir de <math>\;\color{transparent}{M\, \left(\rho,\, \theta,\, z \right)}</math>, }}« le contour fermé <math>\;(\delta \Gamma)_\theta\;</math> limitant <math>\;( \delta S )_\theta\;</math> étant orienté sur le rayon de longitude <math>\;\varphi\;</math> dans le sens de <math>\;-\vec{u}_r\;</math> en accord avec l'orientation de <math>\;( \delta S )_\theta\;</math>»<ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant" /> ; <br />{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\theta}(\vec{A})\;</math> le long de <math>\;(\delta \Gamma)_\theta\;</math> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M) = A_r(M)\, \vec{u}_r + A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta + A_\varphi(M)\, \vec{u}_\varphi\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\theta}(\vec{A})}\;</math> }}en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de <math>\;(\delta \Gamma)_\theta\;</math><ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle" />, soit <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}«<math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\theta}(\vec{A}) = \sum\limits_{k = 1}^4 \delta \mathcal{C}_{\text{côté}_k}(\vec{A}) = \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{rayon}}(\varphi)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de parallèle}}(r + dr)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{rayon}}(\varphi + d \varphi)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de parallèle}}(r)}(\vec{A})\;</math>», avec <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\theta}(\vec{A})}\;</math> }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l}\mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{rayon}}(\varphi)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(r_i,\, \theta,\, \varphi) \cdot dr\,\left[ -\vec{u}_r \right]\\ \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{rayon}}(\varphi + d \varphi)}(\vec{A})(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(r_i,\, \theta,\, \varphi + d \varphi) \cdot dr\, \left[ \vec{u}_r \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />{{,}}<ref> L'[[w:Cône_(géométrie)#Cas_général_2|apothème]] élémentaire de longitude <math>\;\varphi\;</math> est de longueur <math>\;dr > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;-\vec{u}_r</math> ; <br>{{Al|3}}l'[[w:Cône_(géométrie)#Cas_général_2|apothème]] élémentaire de longitude <math>\;\varphi + d \varphi\;</math> est de longueur <math>\;d \rho > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;\vec{u}_r</math> ; <br>{{Al|3}}la distance au pôle <math>\;O\;</math> du point générique de chaque segment élémentaire est notée <math>\;r_i</math>, il peut prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;r\;</math> et <math>\;r + dr</math>.</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\theta}(\vec{A})}\;</math> }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l}\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de parallèle}}(r + dr)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(r + dr,\, \theta,\, \varphi_i) \cdot (r + dr)\,\sin(\theta)\,d \varphi \left[ -\vec{u}_\varphi \right]\\ \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de parallèle}}(r)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(r,\, \theta,\, \varphi_i) \cdot r\,\sin(\theta)\,d \varphi \left[ \vec{u}_\varphi \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />{{,}}<ref> L'arc de parallèle à la distance <math>\;r + dr\;</math> de <math>\;O\;</math> est de longueur <math>\;(r + dr)\,\sin(\theta)\,d \varphi > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;-\vec{u}_\varphi</math> ; <br>{{Al|3}}l'arc de parallèle à la distance <math>\;r\;</math> de <math>\;O\;</math> est de longueur <math>\;r\,\sin(\theta)\,d \varphi > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;\vec{u}_\varphi</math> ; <br>{{Al|3}}la longitude du point générique de chaque côté est notée <math>\;\varphi_i</math>, elle peut prendre n'importe quelle va leur entre <math>\;\varphi\;</math> et <math>\;\varphi + d \varphi</math>.</ref> ; regroupant les termes deux à deux <br />{{Al|52}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\theta}(\vec{A})}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de parallèle}}(r + dr)}(\vec{A}) = \vec{A}(r + dr,\, \theta,\, \varphi_i) \cdot (r + dr)\,\sin(\theta)\,d \varphi \left[ -\vec{u}_\varphi \right] \right\rbrace}\;</math>» }}nous obtenons : <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{rayon}}(\varphi)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{rayon}}(\varphi + \varphi)}(\vec{A}) = -A_r(r_i,\, \theta,\, \varphi)\; dr + A_r(r_i,\, \theta,\, \varphi + d \varphi)\; dr = \left[ \left( \dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!\!(M)\, d \varphi \right]\, dr\;</math>»<ref name="approximation linéaire" /> et <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de parallèle}}(r + dr)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de parallèle}}(r)}(\vec{A}) = -A_\varphi(r + dr,\, \theta,\, \varphi_i)\, (r + dr)\,\sin(\theta)\,d \varphi + A_\varphi(r,\, \theta,\, \varphi_i)\, r\,\sin(\theta)\,d \varphi</math> <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de parallèle}}(r + dr)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de parallèle}}(r)}(\vec{A})}</math> }}<math>= \left\lbrace -\left[ \dfrac{\partial \left[ r\;A_\varphi \right]}{\partial r} \right]_{\!\theta,\, \varphi}\!\!(M)\, d r \right\rbrace\, \sin(\theta)\,d \varphi\;</math>»<ref name="approximation linéaire" /> soit, en faisant la somme : <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}«<math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\theta}(\vec{A}) = \left[ \left( \dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!\!(M) - \sin(\theta)\,\left[ \dfrac{\partial \left[ r\;A_\varphi \right]}{\partial r} \right]_{\!\theta,\, \varphi}\!\!(M) \right]\,dr\;d\varphi = \left[ \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!\!(M) - \dfrac{1}{r}\,\left[ \dfrac{\partial \left[ r\;A_\varphi \right]}{\partial r} \right]_{\!\theta,\, \varphi}\!\!(M) \right]\,dS_\theta\;</math>» <br />{{Al|161}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}<math>\;\big\{</math>avec <math>\;dS_\theta = r\;dr\;\sin(\theta)\;d\varphi\;</math> aire de <math>\;( \delta S )_\theta\big\}\;</math><ref name="dS en sphérique" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}l'expansion surfacique élémentaire tronconique <math>\;( \delta S )_\theta\;</math> limitée par <math>\;(\delta \Gamma)_\theta\;</math> étant orientée par <math>\;\vec{u}_\theta</math>, son vecteur surface élémentaire s'écrit «<math>\;\overrightarrow{dS}_\theta = dS_\theta\;\vec{u}_\theta\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}le « [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] du champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math> à travers <math>\;( \delta \mathcal{S} )_\theta\;</math> s'écrit <math>\;\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_\theta}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dS}_\theta = \overline{\mathrm{rot}}_\theta\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\,dS_\theta\;</math>»<ref name="flux élémentaire du champ vectoriel rotationnel" /> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}de <math>\;\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_\theta}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\theta}(\vec{A})\;</math> ou <math>\;\overline{\mathrm{rot}}_\theta\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\,dS_\theta = \left[ \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!\!(M) - \dfrac{1}{r}\,\left[ \dfrac{\partial \left[ r\;A_\varphi \right]}{\partial r} \right]_{\!\theta,\, \varphi}\!\!(M) \right]\,dS_\theta\;</math> on en déduit <br />{{Al|3}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors de <math>\;\color{transparent}{\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_\theta}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\theta}(\vec{A})}\;</math> ou }}«<math>\;\overline{\mathrm{rot}}_\theta\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \left[ \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!\!(M) - \dfrac{1}{r}\,\left[ \dfrac{\partial \left[ r\;A_\varphi \right]}{\partial r} \right]_{\!\theta,\, \varphi}\!\!(M) \right]\;</math>»<ref name="expression du rotationnel en sphérique" /> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Enfin « on considère, à partir de <math>\;M\, \left(r,\, \theta,\, \varphi \right)</math>, l'expansion surfacique élémentaire méridienne <math>\;( \delta S )_\varphi\;</math> de hauteur <math>\;dr\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_r\;</math> et d'ouverture angulaire <math>\; d \theta\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_\theta</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Enfin « on considère, à partir de <math>\;\color{transparent}{M\, \left(r,\, \theta,\, \varphi \right)}</math>, l'expansion surfacique élémentaire méridienne <math>\;\color{transparent}{( \delta S )_\varphi}\;</math> }}orientée dans le sens de <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Enfin « on considère, à partir de <math>\;\color{transparent}{M\, \left(r,\, \theta,\, \varphi \right)}</math>, }}« le contour fermé <math>\;(\delta \Gamma)_\varphi\;</math> limitant <math>\;( \delta S )_\varphi\;</math> étant orienté sur le rayon de colatitude <math>\;\theta\;</math> dans le sens de <math>\;\vec{u}_r\;</math> en accord avec l'orientation de <math>\;( \delta S )_\varphi\;</math>»<ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant" /> ; <br />{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\varphi}(\vec{A})\;</math> le long de <math>\;(\delta \Gamma)_\varphi\;</math> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M) = A_r(M)\, \vec{u}_r + A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta + A_\varphi(M)\, \vec{u}_\varphi\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\varphi}(\vec{A})}\;</math> }}en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de <math>\;(\delta \Gamma)_\varphi\;</math><ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle" />, soit <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}«<math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\varphi}(\vec{A}) = \sum\limits_{k = 1}^4 \delta \mathcal{C}_{\text{côté}_k}(\vec{A}) = \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{rayon}}(\theta)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de cercle}}(r + dr)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{rayon}}(\theta + d \theta)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de cercle}}(r)}(\vec{A})\;</math>», avec <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\varphi}(\vec{A})}\;</math> }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l}\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{rayon}}(\theta)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(r_i,\, \theta,\, \varphi) \cdot dr\,\left[ \vec{u}_r \right]\\ \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{rayon}}(\theta + d \theta)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(r_i,\, \theta + d \theta,\, \varphi) \cdot dr\, \left[ -\vec{u}_r \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />{{,}}<ref> Le rayon élémentaire de longitude <math>\;\varphi</math>, de colatitude <math>\;\theta\;</math> est de longueur <math>\;dr > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;\vec{u}_r</math> ; <br>{{Al|3}}le rayon élémentaire de longitude <math>\;\varphi</math>, de colatitude <math>\;\theta + d \theta\;</math> est de longueur <math>\;dr > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;-\vec{u}_r</math> ; <br>{{Al|3}}la distance entre le pôle <math>\;O\;</math> et le point générique de chaque segment élémentaire est notée <math>\;r_i</math>, elle peut prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;r\;</math> et <math>\;r + dr</math>.</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\varphi}(\vec{A})}\;</math> }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l}\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de cercle}}(r + dr)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(r + dr,\, \theta_i,\, \varphi) \cdot (r + dr)\, d \theta\,\left[ \vec{u}_\theta \right]\\ \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de cercle}}(r)}(\vec{A}) \!\!&=&\!\! \vec{A}(r,\, \theta_i,\, \varphi) \cdot r\, d \theta\, \left[ -\vec{u}_\theta \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour" />{{,}}<ref> L'arc de cercle de longitude <math>\;\varphi</math>, de rayon <math>\;r + dr\;</math> est de longueur <math>\;(r + dr)\,d \theta > 0\;</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> ; <br>{{Al|3}}l'arc de cercle de longitude <math>\;\varphi</math>, de rayon <math>\;r\;</math> est de longueur <math>\;r\;d \theta > 0</math>, le vecteur l'orientant étant <math>\;-\vec{u}_\theta</math> ; <br>{{Al|3}}la colatitude du point générique de chaque arc est notée <math>\;\theta_i</math>, elle peut prendre n'importe quelle valeur entre <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\theta + d \theta</math>.</ref> ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons : <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{rayon}}(\theta)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{rayon}}(\theta + d \theta)}(\vec{A}) = A_r(r_i,\, \theta,\, \varphi)\; dr - A_r(r_i,\, \theta + d \theta,\,\varphi)\; dr = \left[ -\left( \dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}\!\!(M)\, d \theta \right]\, dr\;</math>»<ref name="approximation linéaire" /> et <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de cercle}}(r + dr)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de cercle}}(r)}(\vec{A}) = A_\theta(r + dr,\, \theta_i,\, \varphi)\, (r + dr)\, d \theta - A_\theta(r,\, \theta_i,\, \varphi)\; r\, d \theta = \left\lbrace \left[ \dfrac{\partial \left( r\; A_\theta \right)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\, \varphi}\!\!(M)\, dr \right\rbrace\, d \theta\;</math>»<ref name="approximation linéaire" /> soit, <br />{{Al|35}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de cercle}}(r + dr)}(\vec{A}) + \delta \mathcal{C}_{d^2\mathit{l}_{\,\text{arc de cercle}}(r)}(\vec{A}) = A_\theta(r + dr,\, \theta_i,\, \varphi)\, (r + dr)\, d \theta - A_\theta(r,\, \theta_i,\, \varphi)\; r\, d \theta =}</math> }}en faisant la somme : <br />{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}«<math>\;\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\varphi}(\vec{A}) = \left\lbrace \left[ \dfrac{\partial \left( r\; A_\theta \right)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\, \varphi}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}\!\!(M) \right\rbrace\,dr\;d\theta = \dfrac{1}{r}\,\left\lbrace \left[ \dfrac{\partial \left( r\; A_\theta \right)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\, \varphi}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}\!\!(M) \right\rbrace\,dS_\varphi\;</math>» <math>\;\big\{</math>avec <math>\;dS_\varphi = r\;d\theta\;dr\;</math> <br />{{Al|210}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors la « circulation élémentaire }}aire de <math>\;( \delta S )_\varphi\big\}\;</math><ref name="dS en sphérique" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}l'expansion surfacique élémentaire méridienne <math>\;( \delta S )_\varphi\;</math> limitée par <math>\;(\delta \Gamma)_\varphi\;</math> étant orientée par <math>\;\vec{u}_\varphi</math>, son vecteur surface élémentaire s'écrit «<math>\;\overrightarrow{dS}_\varphi = dS_\varphi\;\vec{u}_\varphi\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}le « [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] du champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math> à travers <math>\;( \delta \mathcal{S} )_\varphi\;</math> s'écrit <math>\;\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_\varphi}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dS}_\varphi = \overline{\mathrm{rot}}_\varphi\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\,dS_\varphi\;</math>»<ref name="flux élémentaire du champ vectoriel rotationnel" /> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors }}de <math>\;\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_\varphi}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\varphi}(\vec{A})\;</math> ou <math>\;\overline{\mathrm{rot}}_\varphi\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\,dS_\varphi = \dfrac{1}{r}\,\left\lbrace \left[ \dfrac{\partial \left( r\; A_\theta \right)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\, \varphi}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}\!\!(M) \right\rbrace\,dS_\varphi\;</math> on en déduit <br />{{Al|3}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on exprime alors de <math>\;\color{transparent}{\delta \Phi_{(\delta \mathcal{S})_\varphi}\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_\varphi}(\vec{A})}\;</math> ou }}«<math>\;\overline{\mathrm{rot}}_\varphi\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \dfrac{1}{r}\,\left\lbrace \left[ \dfrac{\partial \left( r\; A_\theta \right)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\, \varphi}\!\!(M) - \left( \dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}\!\!(M) \right\rbrace\;</math>»<ref name="expression du rotationnel en sphérique" /> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En conclusion «<math>\;\dfrac{\delta \mathcal{C}_{(\delta \Gamma)_s}(\vec{A})}{dS_s} = \overline{\vec{\nabla}\! \wedge\! \vec{A}}_s(M)\;</math> avec <math>\;s\,\in\,\left\lbrace r,\, \theta,\, \varphi \right\rbrace\;</math>» définissant toutes deux «<math>\;\overline{\mathrm{rot}}_s\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math>» « la 1^ère de façon intrinsèque » et « la 2^nde par [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] <math>\;\vec{\nabla}\! \wedge \;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. === Champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace === ==== Construction de l'opérateur linéaire du second ordre “nabla scalaire nabla” ==== {{Al|5}}L'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” «<math>\;\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} = \vec{\nabla}^2\;</math>» est construit à partir <math>\bullet\;</math>de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “nabla” «<math>\;\vec{\nabla}\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} = \vec{\nabla}^2}\;</math>» est construit à partir }}<math>\bullet\;</math>de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] entre grandeurs vectorielles « multiplication scalaire »<ref name="prolongement de la multiplication scalaire" /> «<math>\;\cdot\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” }}avec pour domaine d'application, les fonctions scalaires [[w:Différentielle#Cas_général|deux fois différentiables]] de l'espace soit <br />{{Al|56}}en repérage cartésien «<math>\;\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace \left[ \; \right] = \left\lbrace \Bigg[ \vec{u}_x\, \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} + \vec{u}_y\, \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \Bigg] \cdot \Bigg[ \vec{u}_x\, \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} + \vec{u}_y\, \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \Bigg] \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math><ref name="opérateur nabla en cartésien" /> <br />{{Al|56}}{{Transparent|en repérage cartésien «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace \left[ \; \right]}</math> }}<math>= \left\lbrace \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial x^2} \right)_{\!y,\, z} + \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial y^2} \right)_{\!x,\, z} + \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial z^2} \right)_{\!x,\, y} \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math>»<ref name="justification de la divergence ou du laplacien en cartésien" />{{,}}<ref name="justification du laplacien en cartésien"> En effet <math>\bullet\;</math><math>\left\lbrace \vec{u}_x\, \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} \cdot \Bigg[ \vec{u}_x\, \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} + \vec{u}_y\, \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \Bigg] \right\rbrace\, \left[ \; \right] = \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial x^2} \right)_{\!y,\, z} \left[ \; \right]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\bullet\;</math><math>\left\lbrace \vec{u}_y\, \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} \cdot \Bigg[ \vec{u}_x\, \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} + \vec{u}_y\, \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \Bigg] \right\rbrace\, \left[ \; \right] = \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial y^2} \right)_{\!x,\, z} \left[ \; \right]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\bullet\;</math><math>\left\lbrace \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \cdot \Bigg[ \vec{u}_x\, \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} + \vec{u}_y\, \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \Bigg] \right\rbrace\, \left[ \; \right] = \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial z^2} \right)_{\!x,\, y} \left[ \; \right]</math>.</ref>, ou <br />{{Al|46}}en repérage cylindro-polaire «<math>\;\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace \left[ \; \right] = \left\lbrace \Bigg[ \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \Bigg] \cdot \Bigg[ \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \Bigg] \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math>»<ref name="opérateur nabla en cylindro-polaire" /> <br />{{Al|46}}{{Transparent|en repérage cylindro-polaire «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace \left[ \; \right]}</math> }}<math>= \left\lbrace \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial \rho^2} \right)_{\!\theta,\, z} + \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} + \dfrac{1}{\rho^2}\, \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial \theta^2} \right)_{\!\rho,\, z} + \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial z^2} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math>»<ref name="justification du laplacien en cylindro-polaire"> Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] vectoriels, <br>{{Al|23}}{{Transparent|Expression obtenue }}en utilisant la formule de dérivation d'un couple “fonction - [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]]” dont la fonction est vectorielle ne dépendant que d'une variable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Expression obtenue }}sachant que les deux 1^ers vecteurs de base cylindro-polaire dépendent de <math>\;\theta</math>, le 3^ème étant constant et qu'ils forment une base orthonormée ; <br>{{Al|3}}compte tenu de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire, 2^ème propriété) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> on trouve, après développement, une somme de neuf termes <math>\;\big\{</math>l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur]] nul étant noté «<math>\;\hat{0}\;</math>»<math>\big\}</math> : * «<math>\;T_{\rho,\, \rho} \left[ \; \right] = \left[ \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \right] \cdot \left[ \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \right] \left[ \; \right] = \cancel{\vec{u}_\rho(M) \cdot \dfrac{d \vec{u}_\rho}{d \rho}(M)\; \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \left[ \; \right]} + \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial \rho^2} \right)_{\!\theta,\, z} \left[ \; \right] = \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial \rho^2} \right)_{\!\theta,\, z} \left[ \; \right]\;</math>», * «<math>\;T_{\rho,\, \theta} \left[ \; \right] = \left[ \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \right] \cdot \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} \right] \left[ \; \right] = \cancel{\vec{u}_\rho(M) \cdot \dfrac{d \vec{u}_\theta}{d \rho}(M)\; \dfrac{1}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} \left[ \; \right]} + \cancel{\vec{u}_\rho(M) \cdot \vec{u}_\theta(M)\; \dfrac{-1}{\rho^2}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} \left[ \; \right]} + \cancel{\vec{u}_\rho(M) \cdot \vec{u}_\theta(M)\; \dfrac{1}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial^2 }{\partial \rho\, \partial \theta} \right) \left[ \; \right]} = \hat{0}\,\left[ \; \right]\;</math>», * «<math>\;T_{\rho,\, z} \left[ \; \right] = \left[ \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \right] \cdot \left[ \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right] \left[ \; \right] = \cancel{\vec{u}_\rho(M) \cdot \dfrac{d \vec{u}_z}{d \rho}(M)\; \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \left[ \; \right]} + \cancel{\vec{u}_\rho(M) \cdot \vec{u}_z\; \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial \rho\, \partial z} \right) \left[ \; \right]} = \hat{0}\,\left[ \; \right]\;</math>», * «<math>\;T_{\theta,\, \rho} \left[ \; \right] = \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} \right] \cdot \left[ \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \right] \left[ \; \right] = \vec{u}_\theta(M) \cdot \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{d \vec{u}_\rho}{d \theta}(M)\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\, \left[ \; \right] + \cancel{\vec{u}_\theta(M) \cdot \dfrac{1}{\rho}\, \vec{u}_\rho(M)\, \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial \theta\, \partial \rho} \right) \left[ \; \right]} = \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\, \left[ \; \right]\;</math>» <math>\;\bigg[</math>en effet on utilise <math>\;\dfrac{d \vec{u}_\rho}{d \theta}(M) =</math> <math>\vec{u}_\theta(M)\;</math> correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive » <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] (à retenir) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\bigg]</math>, * «<math>\;T_{\theta,\, \theta} \left[ \; \right] = \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} \right] \cdot \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} \right] \left[ \; \right] = \cancel{\vec{u}_\theta(M) \cdot \dfrac{1}{\rho^2}\, \dfrac{d \vec{u}_\theta}{d \theta}(M)\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} \left[ \; \right]} + \dfrac{1}{\rho^2}\, \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial \theta^2} \right)_{\!\rho,\, z} \left[ \; \right] = \dfrac{1}{\rho^2}\, \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial \theta^2} \right)_{\!\rho,\, z} \left[ \; \right]\;</math>» <math>\;\bigg[</math>en effet on utilise <math>\;\dfrac{d \vec{u}_\theta}{d \theta}(M) =</math> <math>-\vec{u}_\rho(M)\;</math> correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive » <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] (à retenir) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\bigg]</math>, * «<math>\;T_{\theta,\, z} \left[ \; \right] = \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} \right] \cdot \left[ \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right] \left[ \; \right] = \cancel{\vec{u}_\theta(M) \cdot \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{d \vec{u}_z}{d \theta}(M)\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \left[ \; \right]} + \cancel{\vec{u}_\theta(M) \cdot \dfrac{1}{\rho}\, \vec{u}_z\, \dfrac{\partial^2 }{\partial \theta\, \partial z} \left[ \; \right]} = \hat{0}\,\left[ \; \right]\;</math>», * «<math>\;T_{z,\, \rho} \left[ \; \right] = \left[ \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right] \cdot \left[ \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \right] \left[ \; \right] = \cancel{\vec{u}_z\, \cdot \dfrac{d \vec{u}_\rho}{d z}(M)\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \left[ \; \right]} + \cancel{\vec{u}_z \cdot \vec{u}_\rho(M)\, \dfrac{\partial^2 }{\partial z\, \partial \rho} \left[ \; \right]} = \hat{0}\,\left[ \; \right]\;</math>», * «<math>\;T_{z,\, \theta} \left[ \; \right] = \left[ \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right] \cdot \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} \right] \left[ \; \right] = \cancel{\vec{u}_z\, \cdot \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{d \vec{u}_\theta}{d z}(M)\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} \left[ \; \right]} + \cancel{\vec{u}_z \cdot \vec{u}_\theta(M)\, \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial^2 }{\partial z\, \partial \theta} \left[ \; \right]} = \hat{0}\,\left[ \; \right]\;</math>» et * «<math>\;T_{z,\, z} \left[ \; \right] = \left[ \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right] \cdot \left[ \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right] \left[ \; \right] = \cancel{\vec{u}_z \cdot \dfrac{d \vec{u}_z}{d z}\; \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \left[ \; \right]} + \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial z^2} \right)_{\!\rho,\, \theta} \left[ \; \right] = \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial z^2} \right)_{\!\rho,\, \theta} \left[ \; \right]\;</math>».</ref> ou <br />{{Al|54}}en repérage sphérique «<math>\;\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace \left[ \; \right] = \left\lbrace \Bigg[ \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} + \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \Bigg] \;\cdots\right.</math> <br />{{Al|130}}{{Transparent|en repérage sphérique «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace \left[ \; \right] = \left\lbrace \right.}</math> }}<math>\left. \cdot\, \Bigg[ \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} + \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \Bigg] \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math><ref name="opérateur nabla en sphérique" /> <br />{{Al|54}}{{Transparent|en repérage sphérique «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace \left[ \; \right]}</math> }}<math>= \left\lbrace \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial r^2} \right)_{\!\theta,\, \varphi} + \dfrac{2}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} + \dfrac{1}{r^2} \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial \theta^2} \right)_{\!r,\, \varphi} + \dfrac{\cos(\theta)}{r^2\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} + \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial \varphi^2} \right)_{\!r,\, \theta} \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math>»<ref name="justification du laplacien en sphérique"> Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] vectoriels, <br>{{Al|23}}{{Transparent|Expression obtenue }}en utilisant la formule de dérivation d'un couple “fonction - [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]]” dont la fonction est vectorielle, cette dernière pouvant dépendre de deux variables, <br>{{Al|23}}{{Transparent|Expression obtenue }}sachant que les deux 1^ers vecteurs de base sphérique dépendent de <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi</math>, le 3^ème ne dépendant que de <math>\;\varphi\;</math> et qu'ils forment une base orthonormée ; <br>{{Al|3}}compte tenu de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire, 2^ème propriété) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> on trouve, après développement, une somme de neuf termes : * «<math>\;T_{r,\, r} \left[ \; \right] = \left[ \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \right] \cdot \left[ \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \right] \left[ \; \right] = \cancel{\vec{u}_r(M) \cdot \left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_r \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}(M)\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \left[ \; \right]} + \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial r^2} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \left[ \; \right] = \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial r^2} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \left[ \; \right]\;</math>», * «<math>\;T_{r,\, \theta} \left[ \; \right] = \left[ \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \right] \cdot \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \right] \left[ \; \right] = \cancel{\vec{u}_r(M) \cdot \left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_\theta \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}(M)\, \dfrac{1}{r}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \left[ \; \right]} + \cancel{\vec{u}_r(M) \cdot \vec{u}_\theta(M)\,\dfrac{-1}{r^2}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \left[ \; \right]} + \cancel{\vec{u}_r(M) \cdot \vec{u}_\theta(M)\,\dfrac{1}{r}\,\left( \dfrac{\partial^2 }{\partial r\, \partial \theta} \right) \left[ \; \right]} = \hat{0}\,\left[ \; \right]\;</math>», * «<math>\;T_{r,\, \varphi} \left[ \; \right] = \left[ \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \right] \cdot \left[ \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right] \left[ \; \right] = \cancel{\vec{u}_r(M) \cdot \left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_\varphi \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}(M)\, \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \left[ \; \right]} + \cancel{\vec{u}_r(M) \cdot \vec{u}_\varphi(M)\,\dfrac{-1}{r^2\,\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \left[ \; \right]} + \cdots</math> <br>{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{T_{r,\, \varphi} \left[ \; \right] = \left[ \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \right] \cdot \left[ \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right] \left[ \; \right] =}</math> }}<math>\cancel{\vec{u}_r(M) \cdot \vec{u}_\varphi(M)\,\dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial^2 }{\partial r\, \partial \varphi} \right) \left[ \; \right]} = \hat{0}\,\left[ \; \right]\;</math>», * «<math>\;T_{\theta,\, r} \left[ \; \right] = \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \right] \cdot \left[ \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \right] \left[ \; \right] = \vec{u}_\theta(M) \cdot \dfrac{1}{r} \left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_r \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}(M)\; \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \left[ \; \right] + \cancel{\vec{u}_\theta(M) \cdot \vec{u}_r(M)\,\dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial \theta\,\partial r} \right) \left[ \; \right]} = \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \left[ \; \right]\;</math>» <math>\;\bigg[</math>en effet on utilise <math>\;\left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_r \right]}{\partial \theta} \right)_\varphi(M) =</math> <math>\vec{u}_\theta(M)\;</math> <math>\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_1er_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive »<math>\big\}\bigg]</math>, * «<math>\;T_{\theta,\, \theta} \left[ \; \right] = \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \right] \cdot \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \right] \left[ \; \right] = \cancel{\vec{u}_\theta(M) \cdot \dfrac{1}{r^2} \left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_\theta \right]}{\partial \theta} \right)_{\!\varphi}(M)\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \left[ \; \right]} + \dfrac{1}{r^2} \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial \theta^2} \right)_{\!r,\, \varphi} \left[ \; \right] = \dfrac{1}{r^2} \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial \theta^2} \right)_{\!r,\, \varphi} \left[ \; \right]\;</math>» <math>\;\bigg[</math>en effet on utilise <math>\;\left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_\theta \right]}{\partial \theta} \right)_\varphi(M)</math> <math>= -\vec{u}_r(M)\;</math> <math>\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_2nd_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive »<math>\big\}\bigg]</math>, * «<math>\;T_{\theta,\, \varphi} \left[ \; \right] = \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \right] \cdot \left[ \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right] \left[ \; \right] = \cancel{\vec{u}_\theta(M) \cdot \dfrac{1}{r^2\,\sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_\varphi \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}(M)\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \left[ \; \right]} + \cancel{\vec{u}_\theta(M) \cdot \vec{u}_\varphi(M)\,\dfrac{1}{r^2\,\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial \theta\, \partial \varphi} \right) \left[ \; \right]} = \hat{0} \left[ \; \right]\;</math>», * «<math>\;T_{\varphi,\, r} \left[ \; \right] = \left[ \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right] \cdot \left[ \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \right] \left[ \; \right] = \vec{u}_\varphi(M) \cdot \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_r \right]}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}(M)\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \left[ \; \right] + \cancel{\vec{u}_\varphi(M) \cdot \vec{u}_r(M)\,\dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial \varphi\, \partial r} \right)\,\left[ \; \right]} = \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \left[ \; \right]\;</math>» <math>\;\bigg[</math>en effet on utilise <math>\;\left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_r \right]}{\partial \varphi} \right)_\theta(M) =</math> <math>\sin(\theta)\;\vec{u}_\varphi(M)\;</math> <math>\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_1er_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans laquelle on utilise la décomposition de <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive »<math>\big\}\bigg]</math>, * «<math>\;T_{\varphi,\, \theta} \left[ \; \right] = \left[ \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right] \cdot \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \right] \left[ \; \right] = \vec{u}_\varphi(M) \cdot \dfrac{1}{r^2\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_\theta \right]}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}(M)\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \left[ \; \right] + \cancel{\vec{u}_\varphi(M) \cdot \vec{u}_\theta(M)\,\dfrac{1}{r^2\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial \varphi\, \partial \theta} \right) \left[ \; \right]}</math> <br>{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{T_{\varphi,\, \theta} \left[ \; \right] = \left[ \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right] \cdot \left[ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \right] \left[ \; \right]}</math> }}<math>= \dfrac{\cos(\theta)}{r^2\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \left[ \; \right]\;</math>» <math>\;\bigg[</math>en effet on utilise <math>\;\left( \dfrac{\partial \left[ \vec{u}_\theta \right]}{\partial \varphi} \right)_\theta(M) =</math> <math>\cos(\theta)\;\vec{u}_\varphi(M)\;</math> <math>\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_2nd_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans laquelle on utilise la décomposition de <math>\;\vec{u}_\theta(M)\;</math> dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive »<math>\big\}\bigg]\;</math> et * «<math>\;T_{\varphi,\, \varphi} \left[ \; \right] = \left[ \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right] \cdot \left[ \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right] \left[ \; \right] = \cancel{\vec{u}_\varphi(M) \cdot \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)} \dfrac{d \left[ \vec{u}_\varphi \right]}{d \varphi}(M)\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \left[ \; \right]} + \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial \varphi^2} \right)_{\!r,\, \theta}\,\left[ \; \right] = \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial \varphi^2} \right)_{\!r,\, \theta}\,\left[ \; \right]\;</math>» {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>en}} effet on utilise <math>\;\dfrac{d \left[ \vec{u}_\varphi \right]}{d \varphi}(M) =</math> <math>-\sin(\theta)\;\vec{u}_r(M) - \cos(\theta)\;\vec{u}_\theta(M)\;</math> <math>\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_de_la_dérivée_du_3ème_vecteur_de_base_sphérique|détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur que l'on dérive » puis la décomposition de <math>\;\vec{u}_\rho(M)\;</math> dans la base sphérique<math>\big\}\bigg]</math>.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace \left[ \; \right] =}</math> }}appliqué à la fonction scalaire <math>\;U(M) = U(x,\,y,\,z)\;</math> en représentation cartésienne <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” }}«<math>\;\vec{\nabla}^2\! \left[ U \right](M) = \Bigg[ \vec{u}_x\, \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} + \vec{u}_y\, \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \Bigg] \cdot \Bigg[ \vec{u}_x\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M) + \vec{u}_y\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M) + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M) \Bigg]\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla}^2\! \left[ U \right](M)}</math> }}<math>= \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2} \right)_{\!y,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial y^2} \right)_{\!x,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial z^2} \right)_{\!x,\, y}(M)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace \left[ \; \right] =}</math> }}appliqué à la fonction scalaire <math>\;U(M) = U(\rho,\,\theta,\,z)\;</math> en représentation cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” }}«<math>\;\vec{\nabla}^2\! \left[ U \right](M) = \Bigg[ \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \Bigg] \cdot \Bigg[ \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M) + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M) + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M) \Bigg]\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla}^2\! \left[ U \right](M)}</math> }}<math>= \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial \rho^2} \right)_{\!\theta,\, z}(M) + \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M) + \dfrac{1}{\rho^2}\, \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial \theta^2} \right)_{\!\rho,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial z^2} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace \left[ \; \right] =}</math> }}appliqué à la fonction scalaire <math>\;U(M) = U(r,\,\theta,\,\varphi)\;</math> en représentation sphérique <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” }}«<math>\;\vec{\nabla}^2\! \left[ U \right](M) = \left\lbrace \Bigg[ \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} + \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \Bigg] \;\cdots\right.</math> <br />{{Al|65}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla}^2\! \left[ U \right](M) = \left\lbrace \right.}</math> }}<math>\left. \cdot\, \Bigg[ \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}(M) + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}(M) + \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}(M) \Bigg] \right\rbrace\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla}^2\! \left[ U \right](M)}</math> }}<math>= \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial r^2} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!(M) + \dfrac{2}{r}\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!(M) + \dfrac{1}{r^2} \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial \theta^2} \right)_{\!r,\, \varphi}\!(M) + \dfrac{\cos(\theta)}{r^2\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}\!(M) + \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial \varphi^2} \right)_{\!r,\, \theta}\!(M)\;</math>». ==== Définition du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par l'image de l'opérateur “nabla scalaire nabla” sur cette fonction scalaire ==== {{Al|5}}Appliquant l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” au champ scalaire de l'espace <math>\;U(M)\;</math> on obtient l'« image scalaire <math>\;\vec{\nabla}^2\! \left[ U \right](M)\;</math>» définissant <br />{{Al|3}}{{Transparent|Appliquant l'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” au champ scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> on obtient}}le « champ scalaire laplacien<ref name="Laplace"> Nom donné pour rendre hommage à '''[[w:Pierre-Simon_de_Laplace|Pierre-Simon Laplace]] (1749 - 1827)''' mathématicien, astronome et physicien français, à qui on doit des contributions fondamentales dans différents champs des mathématiques, de l'astronomie et de la [[w:Théorie_des_probabilités|théorie des probabilités]] <math>\;\big\{</math>dans cette dernière il utilise la [[w:Transformation_de_Laplace|transformation de Laplace]] <math>\;\big(</math>portant son nom pour lui rendre hommage<math>\big)\;</math> découverte par '''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]]'''<math>\big\}</math> ; dans le domaine de la physique pratique on lui doit la théorie de l'[[w:Capillarité|attraction capillaire]] <math>\;\big(</math>expliquant ce qui se passe dans les [[w:Tube_capillaire|tubes capillaires]] ou dans les bulles d'air d'un liquide<math>\big)\;</math> ainsi que la raison expliquant pourquoi le calcul de '''[[w:Isaac_Newton|Newton]]''' sur la vitesse du son sous-estime cette dernière. <br>{{Al|3}}'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier en [[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en [[w:Dynamique_des_fluides|dynamique des fluides]], en optique et en astronomie. <br>{{Al|3}}'''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] <math>\;\big(</math>partagée de façon plus ou moins indépendante avec [[w:Gottfried_Wilhelm_Leibniz|Gottfried Leibniz]]<math>\big)</math> ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Gottfried_Wilhelm_Leibniz|Gottfried Leibniz]] (1646 - 1716)''' entre autres philosophe, scientifique, mathématicien allemand dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>[[w:Calcul_différentiel|calcul différentiel]]}} et [[w:Calcul_intégral|calcul intégral]]<math>\big)\;</math> dont la paternité doit être partagée avec [[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]].</ref> du champ scalaire <math>\;U(M)\;</math>»<ref> Comme pour « le champ vectoriel [[w:Gradient|gradient]] d'une fonction scalaire » <math>\;\big(</math>ou « le champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle » ou encore « le champ vectoriel rotationnel d'une fonction {{Nobr|vectorielle »<math>\big)\;</math>}} qui a « une définition intrinsèque » et « une définition utilisant l'opérateur vectoriel “nabla” » <math>\;\big(</math>ou « l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] “nabla scalaire” » ou encore « l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] “nabla vectoriel” »<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Comme pour }}« le champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace » a « une définition utilisant l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] “nabla scalaire nabla” » <math>\;\big[</math>énoncée ici<math>\big]\;</math> mais aussi « une définition intrinsèque » {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_(équivalente)_du_champ_scalaire_laplacien_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> «<math>\;\Delta\!\left[ U \right](M)\;</math>» ; {{Al|5}}en conclusion « le champ scalaire laplacien<ref name="Laplace" /> de la fonction scalaire [[w:Différentielle#Cas_général|deux fois différentiable]] de l'espace <math>\;U(M)\;</math>» résulte de l'application suivante «<math>\;U\;\; \overset{\vec{\nabla}^2}{\rightarrow}\;\; \vec{\nabla}^2\! U = \Delta\!\left[ U \right]\;</math>». ==== Expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cartésien ==== {{Al|5}}En cartésien «<math>\;\Delta\!\left[ U \right](M) = \vec{\nabla}^2\! U(M) = \left\lbrace \vec{u}_x\, \dfrac{\partial }{\partial x} + \vec{u}_y\, \dfrac{\partial }{\partial y} + \vec{u}_z\, \dfrac{\partial }{\partial z} \right\rbrace \cdot \left\lbrace \vec{u}_x\, \dfrac{\partial U}{\partial x} + \vec{u}_y\, \dfrac{\partial U}{\partial y} + \vec{u}_z\, \dfrac{\partial U}{\partial z} \right\rbrace(M)\;</math>»<ref name="notations simplifiées dérivées partielles" > Pour simplifier l'écriture, les paramètres figés lors de la définition d'une dérivée partielle ont été omis <math>\;\big(</math>à condition, bien sûr, qu'il n'y ait aucune ambiguïté<math>\big)</math>.</ref>, ce qui donne<ref name="justification de la divergence ou du laplacien en cartésien" />{{,}}<ref name="justification du laplacien en cartésien" /> : {{Proposition|titre = Laplacien d'un champ scalaire <math>\;U(M)\;</math> en cartésien| contenu = <div style="text-align: center;">«<math>\;\Delta\!\left[ U \right](M) = \vec{\nabla}^2\! U(M) = \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2} \right)_{\!y,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial y^2} \right)_{\!x,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial z^2} \right)_{\!x,\, y}(M)\;</math>»<ref name="laplacien en cartésien"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Construction_de_l'opérateur_linéaire_du_second_ordre_“nabla_scalaire_nabla”|construction de l'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla”]] (en repérage cartésien) » plus haut dans ce chapitre.</ref>.</div>}} ==== Expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cylindro-polaire ==== {{Al|5}}En cylindro-polaire «<math>\;\Delta\!\left[ U \right](M) = \vec{\nabla}^2\! U(M) = \left\lbrace \vec{u}_\rho\, \dfrac{\partial }{\partial \rho} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial }{\partial \theta} + \vec{u}_z\, \dfrac{\partial }{\partial z} \right\rbrace \cdot \left\lbrace \vec{u}_\rho\, \dfrac{\partial U}{\partial \rho} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial U}{\partial \theta} + \vec{u}_z\, \dfrac{\partial U}{\partial z} \right\rbrace(M)\;</math>»<ref name="notations simplifiées dérivées partielles" />, ce qui donne<ref name="justification du laplacien en cylindro-polaire" /> : {{Proposition|titre = Laplacien d'un champ scalaire <math>\;U(M)\;</math> en cylindro-polaire| contenu = <div style="text-align: center;">«<math>\;\Delta\!\left[ U \right](M) = \vec{\nabla}^2\! U(M) = \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial \rho^2} \right)_{\!\theta,\, z}(M) + \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M) + \dfrac{1}{\rho^2}\, \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial \theta^2} \right)_{\!\rho,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial z^2} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M)\;</math>»<ref name="laplacien en cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Construction_de_l'opérateur_linéaire_du_second_ordre_“nabla_scalaire_nabla”|construction de l'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla”]] (en repérage cylindro-polaire) » plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br />{{Al|9}}«<math>\;\Delta\!\left[ U \right](M) = \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial \left[ \rho\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \right]}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!(M) + \dfrac{1}{\rho^2}\, \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial \theta^2} \right)_{\!\rho,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial z^2} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M)\;</math>»<ref> On vérifie l'identité de ces deux expressions car «<math>\;\dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial \left[ \rho\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \right]}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!(M) = \dfrac{1}{\rho} \left[ \left( \dfrac{\partial U}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M) + \rho\, \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial \rho^2} \right)_{\!\theta,\, z}(M) \right] = \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial \rho^2} \right)_{\!\theta,\, z}(M)\;</math>».</ref>.</div>}} ==== Expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en sphérique ==== {{Al|5}}En sphérique «<math>\;\Delta\!\left[ U \right](M) = \vec{\nabla}^2\! U(M) = \left\lbrace \vec{u}_r\, \dfrac{\partial }{\partial r} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \dfrac{\partial }{\partial \theta} + \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right\rbrace \cdot \left\lbrace \vec{u}_r\, \dfrac{\partial U}{\partial r} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \dfrac{\partial U}{\partial \theta} + \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \dfrac{\partial U}{\partial \varphi} \right\rbrace(M)\;</math>»<ref name="notations simplifiées dérivées partielles" />, ce qui donne<ref name="justification du laplacien en sphérique" /> : {{Proposition|titre = Laplacien d'un champ scalaire <math>\;U(M)\;</math> en sphérique| contenu = {{Al|5}}«<math>\;\Delta\!\left[ U \right](M) = \vec{\nabla}^2\! U(M) = \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial r^2} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!(M) + \dfrac{2}{r}\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!(M) + \dfrac{1}{r^2} \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial \theta^2} \right)_{\!r,\, \varphi}\!(M) + \dfrac{\cos(\theta)}{r^2\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}\!(M) + \cdots</math> {{Al|152}}<math>\cdots\;\dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial \varphi^2} \right)_{\!r,\, \theta}\!(M)\;</math>»<ref name="laplacien en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Construction_de_l'opérateur_linéaire_du_second_ordre_“nabla_scalaire_nabla”|construction de l'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla”]] (en repérage sphérique) » plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br />{{Al|28}}«<math>\;\Delta\!\left[ U \right]\!(M) = \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial\! \left[ r^2 \dfrac{\partial U}{\partial r} \right]}{\partial r}(M) + \dfrac{1}{r^2 \sin(\theta)} \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta) \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right]}{\partial \theta}(M) + \dfrac{1}{r^2 \sin^2(\theta)} \dfrac{\partial^2 U}{\partial \varphi^2}(M)\;</math>»<ref name="notations simplifiées dérivées partielles" />{{,}}<ref> On vérifie l'identité de ces deux expressions car «<math>\;\dfrac{1}{r^2} \left\lbrace \dfrac{\partial\! \left[ r^2 \left( \dfrac{\partial U}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} \right]}{\partial r} \right\rbrace_{\!\theta,\, \varphi}(M) = \dfrac{1}{r^2} \left[ 2\,r\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}(M) + r^2\, \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial r^2} \right)_{\!\theta,\, \varphi}(M) \right] = \dfrac{2}{r}\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!(M) + \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial r^2} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!(M)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|On vérifie l'identité de ces deux expressions car }}«<math>\;\dfrac{1}{r^2 \sin(\theta)} \left\lbrace \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta) \left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \right]}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\, \varphi}\!(M) = \dfrac{1}{r^2 \sin(\theta)} \left[ \cos(\theta)\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}(M) + \sin(\theta)\, \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial \theta^2} \right)_{\!r,\, \varphi}(M) \right]</math> <br>{{Al|159}}<math>= \dfrac{\cos(\theta)}{r^2\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}\!(M) + \dfrac{1}{r^2} \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial \theta^2} \right)_{\!r,\, \varphi}\!(M)\;</math>».</ref>.}} ==== Définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace ==== {{Al|5}}À la fonction scalaire <math>\;U\;</math> on associe par l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel “nabla” <br />{{Al|5}}{{Transparent|À la fonction scalaire <math>\;\color{transparent}{U}\;</math> on associe }}le champ vectoriel [[w:Gradient|gradient]] de la fonction scalaire <math>\;U\;</math> selon «<math>\;U\;\; \overset{\vec{\nabla}}{\rightarrow}\;\; \vec{\nabla} \left[ U \right] = \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right]\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Lien_entre_le_champ_vectoriel_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace_et_l'image_par_l'opérateur_“nabla”_de_cette_fonction_scalaire|lien entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, puis <br />{{Al|5}}à la fonction vectorielle <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right]\;</math> on associe par l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] “nabla scalaire ...” <br />{{Al|5}}{{Transparent|à la fonction vectorielle <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right]}\;</math> on associe }}le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right]\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right]\;\; \overset{\vec{\nabla} \cdot}{\rightarrow}\;\; \vec{\nabla}\! \cdot\! \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right] = \mathrm{div}\!\left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right] \right\rbrace\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_du_champ_scalaire_divergence_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_par_l'image_que_donne_l'opérateur_“nabla_scalaire...”_de_cette_fonction_vectorielle|définition du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla scalaire ...” de cette fonction vectorielle]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br />{{Al|5}}en composant les deux [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateurs]] on a donc «<math>\;U\;\; \overset{\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \right\rbrace \left[ \vec{\nabla} \right]}{\longrightarrow}\;\; \mathrm{div}\!\left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right] \right\rbrace\;</math>» ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|en composant les deux opérateurs on a donc }}«<math>\;U\;\; \overset{\vec{\nabla}^2}{\rightarrow}\;\; \mathrm{div}\!\left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right] \right\rbrace\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{\nabla}^2\!\left[ U \right] = \Delta\! \left[ U \right]\;</math>» d'où <br />{{Al|5}}{{Transparent|en composant les deux opérateurs on a donc }}la définition intrinsèque <math>\;\big(</math>équivalente<math>\big)\;</math> du champ scalaire laplacien<ref name="Laplace" /> d'une fonction scalaire de l'espace : {{Définition|titre=Laplacien du champ scalaire <math>\;U(M)\;</math>|contenu = {{Al|5}}« Le laplacien<ref name="Laplace" /> <math>\;\Delta\!\left[ U \right](M)\;</math> de la fonction scalaire <math>\;U(M)\;</math>» <br />{{Al|12}}{{Transparent|« Le laplacien <math>\;\color{transparent}{\Delta\!\left[ U \right](M)}\;</math> }}est « le champ scalaire divergence du champ vectoriel [[w:Gradient|gradient]] de la fonction scalaire <math>\;U(M)\;</math>» soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\Delta\!\left[ U \right](M) = \mathrm{div}\!\left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right] \right\rbrace(M)\;</math>».</div>}} ==== Expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par définition intrinsèque ==== {{Al|5}}La façon la plus simple de déterminer l'expression du laplacien<ref name="Laplace" /> de la fonction scalaire <math>\;U\;</math> dans n'importe quel repérage <br />{{Al|5}}{{Transparent|La façon la plus simple }}est d'« utiliser sa définition intrinsèque » avec les « expressions de la divergence et du [[w:Gradient|gradient]] dans le repérage considéré ». ===== Expression cartésienne du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par définition intrinsèque ===== {{Al|5}}Nous allons donc appliquer l'expression de la divergence en représentation cartésienne à celle du [[w:Gradient|gradient]] de la fonction scalaire [[w:Différentielle#Cas_général|deux fois différentiable]] <math>\;U(M)\;</math> dans la même représentation soit : * <u>expression cartésienne de</u><math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)</math> : «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) = \left( \dfrac{\partial U}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}\!(M)\; \vec{u}_x + \left( \dfrac{\partial U}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}\!(M)\; \vec{u}_y + \left( \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}\!(M)\; \vec{u}_z\;</math>»<ref name="expression du gradient en cartésien"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_cartésiennes_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes cartésiennes du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] (à retenir) » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * <u>expression cartésienne de</u><math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)</math> : «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \left( \dfrac{\partial \left[ A_x \right]}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}\!(M) + \left( \dfrac{\partial \left[ A_y \right] }{\partial y} \right)_{\!x,\, z}\!(M) + \left( \dfrac{\partial \left[ A_z \right]}{\partial z} \right)_{\!x,\, \theta}\!(M)\;</math>»<ref name="expression du la divergence en cartésien"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_de_la_divergence_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_en_cartésien|expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où * <u>expression cartésienne de</u><math>\;\Delta\!\left[ U \right](M)</math> : «<math>\;\Delta\!\left[ U \right](M) = \mathrm{div}\!\left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right] \right\rbrace(M) = \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ \left( \dfrac{\partial U}{\partial x} \right)_{\!y,\, z} \right]}{\partial x} \right\rbrace_{\!y,\, z}\!(M) + \left\lbrace( \dfrac{\partial \left[ \left( \dfrac{\partial U}{\partial y} \right)_{\!x,\, z} \right] }{\partial y} \right\rbrace_{\!x,\, z}\!(M) + \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ \left( \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \right]}{\partial z} \right\rbrace_{\!x,\, \theta}\!(M)\;</math> <br />{{Transparent|expression cartésienne de<math>\;\color{transparent}{\Delta\!\left[ U \right](M)}</math> : «<math>\;\color{transparent}{\Delta\!\left[ U \right](M) = \mathrm{div}\!\left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right] \right\rbrace(M)}</math> }}<math>= \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2} \right)_{\!y,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial y^2} \right)_{\!x,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial z^2} \right)_{\!x,\, y}(M)\;</math>»<ref name="laplacien en cartésien" /> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. ===== Expression cylindro-polaire du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par définition intrinsèque ===== {{Al|5}}Nous appliquons l'expression de la divergence en représentation cylindro-polaire à celle du [[w:Gradient|gradient]] de la fonction scalaire [[w:Différentielle#Cas_général|deux fois différentiable]] <math>\;U(M)\;</math> dans la même représentation soit : * <u>expression cylindro-polaire de</u><math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)</math> : «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) = \left( \dfrac{\partial U}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!(M)\; \vec{u}_\rho + \dfrac{1}{\rho} \left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!(M)\; \vec{u}_\theta + \left( \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!(M)\; \vec{u}_z\;</math>»<ref name="expression du gradient en cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_cylindro-polaires_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes cylindro-polaires du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] (à retenir) » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * <u>expression cylindro-polaire de</u><math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)</math> : «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial \left[ \rho\, A_\rho \right]}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!(M) + \dfrac{1}{\rho} \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!(M) + \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!(M)\;</math>»<ref name="expression du la divergence en cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_de_la_divergence_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_en_cylindro-polaire|expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où * <u>expression cylindro-polaire de</u><math>\;\Delta\!\left[ U \right](M)</math> : «<math>\;\Delta\!\left[ U \right](M) = \mathrm{div}\!\left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right] \right\rbrace(M) = \dfrac{1}{\rho}\, \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ \rho\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \right]}{\partial \rho} \right\rbrace_{\!\theta,\, z}\!(M) + \dfrac{1}{\rho} \left\lbrace \dfrac{\partial\left[ \dfrac{1}{\rho} \left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} \right]}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!\rho,\, z}\!(M) + \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ \left( \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right]}{\partial z} \right\rbrace_{\!\rho,\, \theta}\!(M)\;</math> <br />{{Transparent|expression cylindro-polaire de<math>\;\color{transparent}{\Delta\!\left[ U \right](M)}</math> : «<math>\;\color{transparent}{\Delta\!\left[ U \right](M) = \mathrm{div}\!\left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right] \right\rbrace(M)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{\rho}\, \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ \rho\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \right]}{\partial \rho} \right\rbrace_{\!\theta,\, z}\!(M) + \dfrac{1}{\rho^2}\, \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial \theta^2} \right)_{\!\rho,\, z}\!(M) + \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial z^2} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!(M)\;</math>»<ref name="laplacien en cylindro-polaire - bis"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_du_laplacien_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace_en_cylindro-polaire|expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cylindro-polaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. ===== Expression sphérique du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par définition intrinsèque ===== {{Al|5}}Nous appliquons l'expression de la divergence en représentation sphérique à celle du [[w:Gradient|gradient]] de la fonction scalaire [[w:Différentielle#Cas_général|deux fois différentiable]] <math>\;U(M)\;</math> dans la même représentation soit : * <u>expression sphérique de</u><math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)</math> : «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) = \left( \dfrac{\partial U}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!(M)\; \vec{u}_r + \dfrac{1}{r} \left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}\!(M)\; \vec{u}_\theta + \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial U}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!(M)\; \vec{u}_\varphi\;</math>»<ref name="expression du gradient en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] (à retenir) » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * <u>expression sphérique de</u><math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)</math> : «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \dfrac{1}{r^2} \left( \dfrac{\partial \left[ r^2\, A_r \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!\!(M) + \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\, A_\theta \right]}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\, \varphi}\!\!(M) + \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!\!(M)\;</math>»<ref name="expression du la divergence en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_de_la_divergence_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_en_sphérique|expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où * <u>expression sphérique de</u><math>\;\Delta\!\left[ U \right](M)</math> : «<math>\;\Delta\!\left[ U \right](M) = \mathrm{div}\!\left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right] \right\rbrace(M)</math> <br />{{Transparent|expression sphérique de<math>\;\color{transparent}{\Delta\!\left[ U \right](M)}</math> : «<math>\;\color{transparent}{\Delta\!\left[ U \right](M)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{r^2}\, \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r^2\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial r} \right) \right]}{\partial r} \right\rbrace(M) + \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left\lbrace \dfrac{\partial\left[ \dfrac{\sin(\theta)}{r} \left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right) \right]}{\partial \theta} \right\rbrace(M) + \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial U}{\partial \varphi} \right) \right]}{\partial \varphi} \right\rbrace(M)\;</math><ref name="notations simplifiées dérivées partielles" /> <br />{{Transparent|expression sphérique de<math>\;\color{transparent}{\Delta\!\left[ U \right](M)}</math> : «<math>\;\color{transparent}{\Delta\!\left[ U \right](M)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{r^2}\, \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r^2\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial r} \right) \right]}{\partial r} \right\rbrace(M) + \dfrac{1}{r^2\, \sin(\theta)} \left\lbrace \dfrac{\partial\left[ \sin(\theta)\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right) \right]}{\partial \theta} \right\rbrace(M) + \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \left[ \dfrac{\partial^2 U}{\partial \varphi^2} \right]\,(M)\;</math>»<ref name="notations simplifiées dérivées partielles" />{{,}}<ref name="laplacien en sphérique - bis"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_du_laplacien_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace_en_sphérique|expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en sphérique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Intégrales généralisées (ou impropres)/]] | suivant = [[../Vecteurs polaires ou axiaux, invariance par principe de Curie/|Vect. polaires ou axiaux, invariance par principe de Curie]] }} 7zamr5mbpw2ny5mtvb9t8bdelyqs8cg 0 62521 982817 974054 2026-05-14T15:56:45Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982817 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Optique géométrique : sources lumineuses, milieu transparent, approximation de l'optique géométrique/]] | suivant = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] }} == Notion de miroirs et de dioptres == === Miroir === {{Définition|titre=Définition d'un miroir|contenu = {{Al|5}}« Surface » séparant un milieu « transparent » d’un milieu « opaque » sur lequel se produit une « réflexion »<ref> C.-à-d. un renvoi de puissance lumineuse dans le milieu d'où elle vient.</ref>.}} {{Al|5}}<u>Exemples</u> : miroir « plan », miroir « sphérique concave », miroir « sphérique convexe », miroir « parabolique » <math>\;\big(</math>concave ou convexe<math>\big)\;</math> <math>\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}Voir schémas ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>à l'exception des miroirs paraboliques<math>\big)</math> : <gallery mode="packed" heights="197px"> Miroirs plan et sphériques.jpg|<div style="text-align:left;">Schémas de miroirs plan {{Al|5}}et {{Al|20}}sphériques convexe et concave</div> Dioptres plan et sphériques.jpg|<div style="text-align:left;">{{Al|10}}Schémas de dioptres plan {{Al|15}}et {{Al|30}}{{Transparent|Schémas de dioptres }}sphériques</div> </gallery> === Dioptre === {{Définition|titre=Définition d'un dioptre|contenu = {{Al|5}}« Surface » séparant deux milieux « transparents » d’indice « différent » sur laquelle peut se produire une « réfraction »<ref> C.-à-d. une transmission de puissance lumineuse d'un milieu vers un autre mais nous verrons que cette transmission n'est pas toujours possible <math>\ldots</math></ref>.}} {{Al|5}}<u>Exemples</u> : dioptre « plan », dioptre « sphérique » <math>\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}Voir schémas ci-dessus à droite : == Réflexion métallique == [[File:Facteur de réflexion énergétique.jpg|thumb|300px|Graphe du facteur de réflexion énergétique en fonction de l'angle d'incidence]] {{Al|5}}Considérons un rayon lumineux arrivant sur une surface métallique en <math>\;I</math>, point d'incidence, et faisant un angle d'incidence non orienté <math>\;i\;</math> avec la normale en <math>\;I\;</math> à la surface métallique ; la puissance lumineuse transportée par ce rayon subit, <u>en grande partie</u>, à l'arrivée sur la surface métallique, une « <u>réflexion</u> » <math>\;\big(</math>c'est-à-dire que la puissance lumineuse est renvoyée dans le milieu d’où elle vient<math>\big)</math>, qualifiée de « <u>métallique</u> » ; {{Al|5}}il existe néanmoins <u>une faible partie qui se propage dans le métal en s’atténuant très fortement</u> <math>-</math> on dit qu’il y a « <u>absorption</u> » pour cette partie, ceci entraînant un léger échauffement du métal <math>-</math> et on définit un « facteur de réflexion énergétique <math>\;R\;</math>» donnant le « pourcentage de puissance lumineuse réfléchie relativement à la puissance lumineuse reçue » : * en incidence normale <math>\;\big(</math>angle d'incidence non algébrisé <math>\;i = 0\big)</math>, <math>\;R(i = 0) = 93\,\%\;</math> pour « l’un des meilleurs conducteurs métalliques l'<math>Ag\;</math>»<ref> <math>\;R(i = 0) = 84\,\%\;</math> pour l'<math>Au\;</math> <math>\big(</math>or<math>\big)</math>, <math>\;R(i = 0) = 72\,\%\;</math> pour le <math>\;Cu\;</math> <math>\big(</math>cuivre<math>\big)\;</math> et <math>\;R(i = 0) = 55\,\%\;</math> pour l'acier <math>\;\big[</math>alliage métallique constitué de <math>\;Fe\;</math> <math>\big(</math>fer<math>\big)\;</math> et d'une faible proportion de <math>\;C\;</math> {{Nobr|<math>\big(</math>carbone}} à proportion de <math>\;0,02\,\%\;</math> à <math>\;2\,\%\;</math> en masse<math>\big)\big]</math>.</ref> ; * le facteur de réflexion énergétique <math>\;R\;</math> dépend de l'angle d'incidence <math>\;i\;</math> et aussi de l'état de polarisation de la lumière<ref> Sur la figure on distingue le facteur de réflexion énergétique suivant l'état de polarisation de l'onde incidente, <math>\;R_{\perp}\;</math> quand le champ électrique est perpendiculaire au plan d'incidence <math>\;\big(</math>c.-à-d. le plan normal en <math>\;I</math>, point d'incidence à la surface métallique et contenant le rayon incident<math>\big)\;</math> et <math>\;R_{\parallel}\;</math> quand le champ électrique est dans le plan d'incidence.</ref> <math>\;\big(</math>voir graphe ci-contre<math>\big)</math> ; * le facteur de réflexion énergétique <math>\;R\;</math> dépend aussi de la longueur d’onde dans le vide <math>\;\lambda_0</math> : pour « l’un des meilleurs conducteurs métalliques l'<math>Ag\;</math>» la réflexion est « relativement sélective »<ref> On peut rendre l’<math>Ag\;</math> moins sélectif du point de vue réflexion en déposant une couche mince de <math>\;ZnS\;</math> <math>\big(</math>sulfure de zinc<math>\big)\;</math> <math>\ldots</math></ref>, seulement <math>\;5\,\%\;</math> pour l’U.V. proche au lieu de <math>\;93\,\%\;</math> pour le jaune du visible. {{Al|5}}La réflexion métallique est dite « <u>parfaite</u> »<ref> Seul cas étudié à ce niveau.</ref> si le facteur de réflexion énergétique <math>\;R = 100\,\%\;</math> quelle que soit la longueur d’onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> et l’angle d’incidence non algébrisé <math>\;i</math>. == Réflexion et réfraction dioptriques == [[File:Facteur de réflexion énergétique dioptrique.jpg|thumb|left|350px|Graphe du facteur de réflexion énergétique dioptrique pour onde polarisée perpendiculairement en fonction de l'angle d'incidence pour le dioptre air - verre]] {{Al|5}}Considérons toujours un rayon lumineux arrivant sur une surface dioptrique en <math>\;I</math>, point d'incidence, et faisant un angle d'incidence non orienté <math>\;i\;</math> avec la normale en <math>\;I\;</math> à la surface dioptrique ; la puissance lumineuse peut se propager partiellement dans le milieu situé au-delà du dioptre <math>-</math> ceci définissant une « réfraction » <math>-</math> en changeant de direction<ref> Sauf dans le cas où <math>\;i = 0\;</math>.</ref>, le reste subissant une réflexion « partielle »<ref> Dans certains cas <math>\;\big(</math>pour certains milieux en présence et certains angles d’incidence non algébrisés<math>\big)</math>, la réfraction peut ne pas se produire, il n’y a alors que réflexion et cette dernière est qualifiée de « totale ».</ref> et qualifiée de « dioptrique » ; [[File:Facteur de réflexion énergétique dioptrique_bis.jpg|thumb|right|350px|Graphe du facteur de réflexion énergétique dioptrique pour onde polarisée parallèlement en fonction de l'angle d'incidence pour le dioptre air - verre]] {{Al|5}}on définit également un « facteur de réflexion énergétique <math>\;R\;</math>» donnant le « pourcentage de puissance lumineuse réfléchie relativement à la puissance lumineuse reçue »<ref> Le complément à <math>\;100\,\%\;</math> définissant le facteur de réfraction <math>\;\big(</math>ou transmission<math>\big)\;</math> énergétique c.-à-d. le pourcentage de puissance lumineuse transmise relativement à la puissance lumineuse reçue.</ref> : * En incidence normale, le facteur de réflexion énergétique est « très faible »<ref> On établit <math>\;\big(</math>à considérer comme complément<math>\big)\;</math> que <math>\;R = \left( \dfrac{n_2 - n_1}{n_2 + n_1} \right)^{\!2}\;</math> et donc que le facteur énergétique de réflexion dioptrique sous incidence normale est d'autant plus petit que les indices sont proches <math>\ldots</math></ref> : seulement <math>\;4\,\%\;</math> pour le « dioptre air - verre », <math>\;2\,\%\;</math> pour le « dioptre air - eau », <math>\;0,4\,\%\;</math> pour le « dioptre eau - verre » <math>\dots</math> * Le facteur de réflexion énergétique <math>\;R\;</math> varie fortement avec l’angle d’incidence non algébrisé <math>\;i</math>, atteignant <math>\;100\,\%\;</math> en « incidence rasante » <math>\;\big(</math>c'est-à-dire quand l'angle d'incidence non algébrisé <math>\;i\;</math> tend vers <math>\;90\,\text{°}\big)</math> : pour le « dioptre air - verre » le « facteur de réflexion énergétique moyen »<ref> On utilise un facteur de réflexion énergétique moyen car le coefficient de réflexion énergétique dépend aussi de l’état de polarisation de l’onde.</ref> vaut <math>\;R_{\text{moy}}(i = 60\,\text{°}) = 10\, \%</math>, <math>\;R_{\text{moy}}(i = 75\,\text{°})</math> <math>= 30\, \%</math>, <math>\;R_{\text{moy}}(i = 85\,\text{°})</math> <math>= 70\, \%\;</math> <math>\big(</math>voir « figures »<ref> Sur ces figures on distingue le facteur de réflexion énergétique suivant l'état de polarisation de l'onde incidente, <math>\;R_{\perp}\;</math> quand le champ électrique est perpendiculaire au plan d'incidence et <math>\;R_{\parallel}\;</math> quand le champ électrique est dans le plan d'incidence ; <br>{{Al|3}}on remarque que <math>\;R_{\parallel}\;</math> s'annule <math>-</math> et par conséquent le facteur de transmission énergétique <math>\;T_{\parallel}\;</math> vaut 1 <math>-</math> pour une valeur particulière d'angle d'incidence appelé « angle d'incidence de Brewster » ; si l'onde incidente n'est pas polarisée et si l'angle d'incidence a la valeur de Brewster, l'onde réfléchie est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence <math>\,\big(</math>puisque la composante <math>\,\parallel\,</math> n'est pas {{Nobr|réfléchie<math>\big)</math> ;}} <br>{{Al|3}}'''[[w:David_Brewster|David Brewster]] (1781 - 1868)''' physicien, inventeur et écrivain écossais, dans le domaine de la physique ses travaux portèrent sur la polarisation de la lumière par réflexion.</ref> ci-contre à gauche pour l'onde polarisée perpendiculairement et à droite pour l'onde polarisée parallèlement<math>\big)</math>. == Les deux lois de Snell-Descartes de la réflexion == {{Al|5}}Les lois de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes"> '''[[w:Willebrord_Snell|Willebrord Snell Van Royen]] ou Snellius (1580 - 1626)''' humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes <math>\;\big(</math>sans que ce soit assuré<math>\big)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> de la réflexion sont des postulats de l'optique géométrique, elles sont validées par vérification expérimentale<ref name="principe de Fermat"> Il y a une autre approche remplaçant les deux lois de Snell - Descartes de la réflexion considérées comme postulats par un principe de l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] « le [[w:Principe_de_Fermat|principe de Fermat]] » <math>\;\big[</math>« La lumière se propage d'un point à un autre sur des trajectoires telles que <u>la durée du parcours soit localement minimale</u> <math>\;\big(</math>si on considère deux points voisins de la trajectoire, toute modification de cette dernière entre ces deux points figés correspondra à une augmentation de la durée de parcours<math>\big)\;</math>»<math>\big]\;</math> et les lois de Snell - Descartes de la réflexion en découlent par application du [[w:Principe_de_Fermat|principe de Fermat]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Pierre_de_Fermat|Pierre de Fermat]] (1^ère décennie du XVII^ème siècle - 1665)''' magistrat, [[w:Polymathie|polymathe]] <math>\;\big(</math>qui a une connaissance approfondie d'un grand nombre de sujets différents dans le domaine des arts et des {{Nobr|sciences<math>\big)\;</math>}} et mathématicien français, surnommé « le prince des amateurs », habile latiniste et helléniste, s'étant intéressé, entre autres, à l'optique <math>\;\big(</math>il a énoncé le [[w:Principe_de_Fermat|principe « de Fermat »]] en <math>\;1657\;</math> mais n'a soumis son mémoire « ''Synthèse pour les réfractions'' » qu'en <math>\;1662\big)\;</math> et à l'[[w:Arithmétique|arithmétique]] <math>\;\big[</math>il est surtout connu par le [[W:Petit_théorème_de_Fermat|petit théorème de Fermat]] énoncé en <math>\;1640</math> <math>\;\big(</math>mais sans démonstration « faute de place »<math>\big)\;</math> et par le [[W:Dernier_théorème_de_Fermat|dernier théorème de Fermat]] encore appelé [[W:Dernier_théorème_de_Fermat|grand théorème de Fermat]] énoncé en tant que [[W:conjecture|conjecture]] et démontré en <math>\;1994\;</math> par '''[[w:Andrew_Wiles|Andrew John Wiles]] (né en 1953)''' mathématicien britannique <math>\;\big(</math>depuis ce théorème est judicieusement appelé « [[W:Dernier_théorème_de_Fermat|théorème de Fermat-Whiles]] »<math>\big)\big]</math>.</ref>. === Quelques définitions relatives à la réflexion métallique ou dioptrique === {{Al|5}}On donnera ces définitions relativement à un miroir <math>\;\big(</math>sur lequel il y a réflexion métallique<math>\big)</math>, mais elles restent valables pour la réflexion sur un dioptre. [[File:Réflexion métallique ou dioptrique.jpg|thumb|Schéma de définitions intervenant dans une réflexion métallique ou dioptrique]] {{Al|5}}Soit un rayon incident quelconque <math>\;\overrightarrow{SI}\;</math> avec <math>\;I\;</math> appelé « <u>point d'incidence</u> », on lui associe <math>\;(\Delta)\;</math> la normale au miroir en <math>\;I\;</math> orientée dans le sens incident par <math>\;\vec{N}\;</math> et dans le sens réfléchi par <math>\;\vec{N}' = -\vec{N}\;</math><ref> <math>\;\vec{N}\;</math> et <math>\;\vec{N}'\;</math> étant des vecteurs unitaires.</ref> ; <br>{{Al|5}}soit <math>\;\vec{u}_1\;</math> le vecteur unitaire orientant le rayon incident<ref name="vecteur unitaire incident"> Donc de direction « le rayon incident » et de sens « le sens de propagation » appelé « sens incident ».</ref>, on définit <math>-</math> dans le cas où le rayon incident n'est pas normal <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;\perp\;</math> au miroir en <math>\;I\big)\;-</math> le plan <math>\;\left( I,\; \vec{N},\; \vec{u}_1 \right)\;</math> comme « <u>plan d'incidence</u> associé au rayon incident »<ref name="Cas rayon incident normal"> Dans le cas où le rayon incident est normal, <math>\;\vec{u}_1\;</math> étant colinéaire à <math>\;\vec{N}</math>, tout plan <math>\;\perp\;</math> au miroir en <math>\;I\;</math> peut jouer le rôle de plan d'incidence associé au rayon incident normal <math>\;\big[</math>non unicité de la notion de plan d'incidence dans ce cas<math>\big]</math>.</ref>, le plan d'incidence étant orienté de façon arbitraire<ref name="Choix sens d'orientation plan d'incidence"> Mais on choisit usuellement le sens «<math>\;+\;</math>» de telle façon que l'angle d'incidence associé au rayon incident particulier considéré soit positif <math>\;\big(</math>notion d'angle d'incidence définie ci-après<math>\big)</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}l'angle orienté <math>\;\widehat{\left( \vec{N}\;,\;\vec{u}_1 \right)} = i_1\;</math> est appelé « <u>angle d'incidence</u> associé au rayon incident »<ref name="Choix orientation plan d'incidence bis"> L'angle étant orienté, son signe dépend du sens d'orientation arbitraire choisi dans le plan d'incidence mais, quand plusieurs rayons incidents sont définis dans un même plan d'incidence, on choisit usuellement le sens «<math>\;+\;</math>» de façon que le plus grand nombre d'angles d'incidence soit positif ; <br>{{Al|3}}dans le cas où le rayon incident est normal, l'angle d'incidence est nul et peu importe le choix du sens «<math>\;+\;</math>».</ref>, il peut prendre toute valeur de <math>\;\left] -\dfrac{\pi}{2}\, \text{;}\, \dfrac{\pi}{2} \right[\;</math> en <math>\;rad\;</math><ref name="Intervalle en degrés"> Ou de l'intervalle <math>\;\left] -90\, \text{;}\, 90 \right[\;</math> en <math>\;\text{°}</math>.</ref> <math>\;\bigg\{</math>les bornes de cet intervalle ne sont pas des valeurs permettant une réflexion mais, un angle d'incidence tendant vers la borne inférieure par valeur supérieure <math>\;\bigg(i_1 \rightarrow \left[ -\dfrac{\pi}{2} \right]^{+}\bigg)\;</math> ou vers la borne supérieure par valeur inférieure <math>\;\bigg(i_1 \rightarrow \left[ \dfrac{\pi}{2} \right]^{-}\bigg)\;</math> conduit à une réflexion, le rayon incident étant dit « rasant »<math>\bigg\}</math>. {{Al|5}}Soit <math>\;\overrightarrow{IR}\;</math> le rayon « réfléchi » correspondant au rayon incident précédemment défini<ref> Sur la figure ci-dessus, il est représenté, en rouge, dans le plan d'incidence car nous verrons que la « première loi régissant la réflexion » le positionne dans le plan d'incidence mais, avant d'appliquer cette première loi, le rayon réfléchi pourrait être « dans n'importe quel plan contenant <math>\;I\;</math>» d'où les définitions liées aux rayons réfléchi et incident indépendantes de cette première loi.</ref>, on l’oriente par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_2\;</math> <math>\big(</math>dans le sens de propagation du rayon réfléchi<math>\big)</math>, et on définit <math>-</math> dans le cas où le rayon réfléchi n'est pas normal <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;\perp\;</math> au miroir en <math>\;I\big)\;-</math> le plan <math>\;\left( I,\; \vec{N}',\; \vec{u}_2 \right)\;</math> comme « <u>plan de réflexion</u> associé au rayon réfléchi »<ref> Dans le cas où le rayon réfléchi est normal, <math>\;\vec{u}_2\;</math> étant colinéaire à <math>\;\vec{N}'</math>, tout plan <math>\;\perp\;</math> au miroir en <math>\;I\;</math> peut jouer le rôle de plan de réflexion associé au rayon réfléchi normal <math>\;\big[</math>non unicité de la notion de plan de réflexion dans ce cas<math>\big]</math>.</ref>, le plan de réflexion étant « orienté en liaison avec celle du plan d’incidence »<ref> Si nous tenons compte de la « première loi régissant la réflexion » qui identifie le plan de réflexion et le plan d'incidence, l'orientation du plan de réflexion est identique à celle du plan d'incidence.</ref> ; <br>{{Al|5}}l'angle orienté <math>\;\widehat{\left( \vec{N}'\;,\;\vec{u}_2 \right)} = i_2\;</math> est appelé « <u>angle de réflexion</u> associé au rayon réféchi », il peut prendre toute valeur de <math>\;\left] -\dfrac{\pi}{2}\, \text{;}\, \dfrac{\pi}{2} \right[\;</math> en <math>\;rad\;</math><ref name="Intervalle en degrés" /> <math>\;\bigg\{</math>là encore les bornes de cet intervalle ne sont pas des valeurs correspondant à une réflexion mais, un angle de réflexion tendant vers la borne inférieure par valeur supérieure <math>\;\bigg(i_2 \rightarrow \left[ -\dfrac{\pi}{2} \right]^{+}\bigg)\;</math> ou vers la borne supérieure par valeur inférieure <math>\;\bigg(i_2 \rightarrow \left[ \dfrac{\pi}{2} \right]^{-}\bigg)\;</math> correspond à une réflexion effective, le rayon réfléchi étant dit « rasant »<math>\bigg\}</math>. === Première loi de Snell-Descartes de la réflexion === {{Théorème|titre=Énoncés équivalents|contenu= <center>« Le rayon réfléchi est contenu dans le plan d'incidence » <br>ou <br>« le plan de réflexion est confondu avec le plan d'incidence »<ref name="Confusion orientation"> Raison pour laquelle on peut confondre les orientations des deux plans.</ref>.</center>}} === Deuxième loi de Snell-Descartes de la réflexion === {{Théorème|titre=Énoncés équivalents|contenu= <center>« L'angle de réflexion est opposé à l'angle d'incidence » <br>ou <br>{{Al|10}}«<math>\;i_2 = -i_1\;</math>»<ref> Ou encore, d'une part les rayons réfléchi et incident sont situés de part et d'autre de la normale en <math>\;I\;</math> à la surface réfléchissante et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ou encore, }}d'autre part les angles d'incidence et de réflexion « non orientés » sont égaux.</ref>.</center>}} == Les deux lois de Snell-Descartes de la réfraction == {{Al|5}}La « réfraction dioptrique » est la poursuite de la propagation au-delà du dioptre avec un éventuel changement de direction<ref> En fait il y a toujours changement de direction sauf quand le rayon incident est normal <math>\;\big(</math>c.-à-d. quand le rayon incident est <math>\;\perp\;</math> à la surface dioptrique au point d'incidence <math>\;I\big)</math>.</ref>. {{Al|5}}Les lois de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction<ref name="Snell par Huygens"> En ce qui concerne les lois de Snell - Descartes de la réfraction, il n'est pas assuré que '''[[w:Willebrord_Snell|Snell]]''' les ait pour la 1^ère fois énoncées car il ne les a pas explicitement publiées mais la paternité lui en a été reconnue sous l'influence entre autres de '''[[w:Christian_Huygens|Huygens]]''' qui, outré de la prétention des Français de revendiquer cette découverte pour le seul '''[[w:René_Descartes|Descartes]]''', mentionne dans ses publications, soixante-dix ans plus tard, les travaux de '''[[w:Willebrord_Snell|Snell]]''' dont il a eu connaissance <math>\;\big[</math>'''[[w:Willebrord_Snell|Snell]]''' a développé des travaux lesquels aboutirent à la publication en <math>\;1621\;</math> de sa table des sinus permettant de positionner tout rayon réfracté connaissant le rayon incident<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:René_Descartes|Descartes]]''' a publié en <math>\;1637\;</math> la loi de la réfraction dans son traité « ''Dioptrique'' », annexe du « ''Discours de la Méthode'' » <math>\;\big[</math>'''[[w:Johannes_Kepler|Kepler]]''' avait déjà publié dans son « ''dioptrique'' » en <math>\;1611</math>, une loi de réfraction qui n'était applicable que pour les petits angles <math>\;n_1\, i_1 = n_2\, i_2\;</math> avant que '''[[w:Willebrord_Snell|Snell]]''' ne publie, en <math>\;1621</math>, sa table des sinus<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' <math>\;\big[</math>ou '''[[w:Christian_Huygens|Christian Huyghens]]'''<math>\big]\;</math> mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière. <br>{{Al|3}}'''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Kepler]] (1571 - 1630)''' <math>\;\big[</math>ou '''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Keppler]]'''<math>\big]\;</math> astronome allemand, surtout connu pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]] (1473 - 1543)''' <math>\;\big[</math>chanoine, médecin et astronome polonais<math>\big]\;</math> et avoir découvert que les planètes suivent une trajectoire elliptique autour du Soleil <math>\big[</math>c'est lors de l'étude de l'orbite de Mars qu'il voit la nécessité de se pencher sur l'optique à cause de la réfraction atmosphérique<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Willebrord_Snell|Willebrord Snell Van Royen]] ou Snellius (1580 - 1626)''' humaniste, mathématicien et physicien néerlandais et '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français : voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#cite_note-Snell_-_Descartes-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.</ref> sont également des postulats de l'optique géométrique, elles sont validées par vérification expérimentale<ref name="principe de Fermat" />. === Quelques définitions relatives à la réfraction dioptrique === [[File:Réfraction_dioptrique.jpg|thumb|Schéma de définitions intervenant dans une réfraction dioptrique]] {{Al|5}}Soit un rayon incident quelconque <math>\,\overrightarrow{SI}\,</math> avec <math>\,I\,</math> appelé « <u>point d'incidence</u> », on lui associe <math>\,(\Delta)\,</math> la normale au dioptre en <math>\,I\,</math> orientée le vecteur unitaire {{Nobr|<math>\,\vec{N}\;</math><ref> Sur la normale <math>\;(\Delta)</math>, les sens incident et émergent étant identiques, on ne définit qu'un seul vecteur unitaire <math>\;\vec{N}\;</math> orientant la normale pour l'incidence et la réfraction.</ref> ;}} <br>{{Al|5}}soit <math>\;\vec{u}_1\;</math> le vecteur unitaire orientant le rayon incident<ref name="vecteur unitaire incident" />, on définit <math>-</math> dans le cas où le rayon incident n'est pas normal <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;\perp\;</math> au miroir en <math>\;I\big)\;-</math> le plan <math>\;\left( I,\; \vec{N},\; \vec{u}_1 \right)\;</math> comme « <u>plan d'incidence</u> associé au rayon incident »<ref name="Cas rayon incident normal" />, le plan d'incidence étant orienté de façon arbitraire<ref name="Choix sens d'orientation plan d'incidence" /> ; <br>{{Al|5}}l'angle orienté <math>\;\widehat{\left( \vec{N}\;,\;\vec{u}_1 \right)} = i_1\;</math> est appelé « <u>angle d'incidence</u> associé au rayon incident »<ref name="Choix orientation plan d'incidence bis" />, il peut prendre toute valeur de <math>\;\left] -\dfrac{\pi}{2}\, \text{;}\, \dfrac{\pi}{2} \right[\;</math> en <math>\;rad\;</math><ref name="Intervalle en degrés" /> <math>\;\bigg\{</math>les bornes de cet intervalle ne sont pas des valeurs permettant une réfraction mais, un angle d'incidence tendant vers la borne inférieure par valeur supérieure <math>\;\bigg(i_1 \rightarrow \left[ -\dfrac{\pi}{2} \right]^{+}\bigg)\;</math> ou vers la borne supérieure par valeur inférieure <math>\;\bigg(i_1 \rightarrow \left[ \dfrac{\pi}{2} \right]^{-}\bigg)\;</math> peut conduire à une réfraction<ref> Nous verrons qu'il peut ne pas y avoir réfraction pour une incidence rasante suivant la valeur de l'indice du milieu émergent <math>\;n_2\;</math> relativement à celle du milieu incident <math>\;n_1\;\big(</math>plus précisément nous verrons que l'incidence rasante ne conduit pas à une réfraction si <math>\;n_2 < n_1\big)</math>.</ref>, le rayon incident étant dit « rasant »<math>\bigg\}</math>. {{Al|5}}Soit <math>\;\overrightarrow{IT}\;</math> le rayon « réfracté » correspondant au rayon incident précédemment défini<ref> Sur la figure ci-dessus, il est représenté, en rouge, dans le plan d'incidence car nous verrons que la « première loi régissant la réfraction » le positionne dans le plan d'incidence mais, avant d'appliquer cette première loi, le rayon réfracté pourrait être « dans n'importe quel plan contenant <math>\;I\;</math>» d'où les définitions liées aux rayons réfracté et incident indépendantes de cette première loi.</ref>, on l’oriente par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_2\;</math> <math>\big(</math>dans le sens de propagation du rayon réfracté<math>\big)</math>, et on définit <math>-</math> dans le cas où le rayon réfracté n'est pas normal <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;\perp\;</math> au dioptre en <math>\;I\big)\;-</math> le plan <math>\;\left( I,\; \vec{N},\; \vec{u}_2 \right)\;</math> comme « <u>plan de réfraction</u> associé au rayon réfracté »<ref> Dans le cas où le rayon réfracté est normal, <math>\;\vec{u}_2\;</math> étant colinéaire à <math>\;\vec{N}</math>, tout plan <math>\;\perp\;</math> au dioptre en <math>\;I\;</math> peut jouer le rôle de plan de réfraction associé au rayon réfracté normal <math>\;\big[</math>non unicité de la notion de plan de réfraction dans ce cas<math>\big]</math>.</ref>, le plan de réfraction étant « orienté en liaison avec l'orientation du plan d’incidence »<ref> Si nous tenons compte de la « première loi régissant la réfraction » qui identifie le plan de réfraction et le plan d'incidence, l'orientation du plan de réfraction est identique à celle du plan d'incidence.</ref> ; <br>{{Al|5}}l'angle orienté <math>\;\widehat{\left( \vec{N}\;,\;\vec{u}_2 \right)} = i_2\;</math> est appelé « <u>angle de réfraction</u> associé au rayon réfracté », il peut prendre une valeur de <math>\;\left] -\dfrac{\pi}{2}\, \text{;}\, \dfrac{\pi}{2} \right[\;</math> en <math>\;rad\;</math><ref name="Intervalle en degrés" /> <math>\;\bigg\{</math>les bornes de cet intervalle ne sont pas des valeurs correspondant à une réfraction mais, un angle de réfraction tendant vers la borne inférieure par valeur supérieure <math>\;\bigg(i_2 \rightarrow \left[ -\dfrac{\pi}{2} \right]^{+}\bigg)\;</math> ou vers la borne supérieure par valeur inférieure <math>\;\bigg(i_2 \rightarrow \left[ \dfrac{\pi}{2} \right]^{-}\bigg)\;</math> peut <math>-</math> sous réserve de positionnement de l'indice du milieu émergent <math>\;n_2\;</math> relativement à celui du milieu incident <math>\;n_1\;</math><ref> Nous verrons plus précisément qu'il peut y avoir une émergence rasante pour une valeur d'angle d'incidence si <math>\;n_2 < n_1</math>.</ref> <math>-</math> correspondre à une réfraction effective, le rayon réfracté étant dit « rasant »<math>\bigg\}</math>. === Première loi de Snell-Descartes de la réfraction === {{Théorème|titre=Énoncés équivalents|contenu= <center>« Le rayon réfracté est contenu dans le plan d'incidence » <br>ou <br>« le plan de réfraction est confondu avec le plan d'incidence »<ref name="Confusion orientation" />.</center>}} === Deuxième loi de Snell-Descartes de la réfraction === {{Théorème|titre=Énoncé|contenu= <center>« Les angles d'incidence et de réfraction sont liés par la " relation des sinus " : <br><math>\;n_1\; \sin(i_1) = n_2\; \sin(i_2)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : <math>\;\sin(i_2) = \dfrac{n_1}{n_2}\, \sin(i_1)\;</math> permet de comparer <math>\;i_1\;</math> à <math>\;i_2\;</math> suivant le rapport <math>\;\dfrac{n_1}{n_2}</math> : * tout d'abord <math>\;i_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i_2 = 0\;</math> montrant qu'« un rayon incident normal traverse le dioptre sans déviation », * ensuite, <math>\;i_2\;</math> et <math>\;i_1\;</math> sont de même signe, montrant qu'« un incident et son réfracté au point d'incidence <math>\;I\;</math> sont toujours situés de part et d'autre de la normale en <math>\;I\;</math> à la surface dioptrique », * enfin, « si <math>\;n_1 < n_2\;</math> <math>\big(</math>exemple dioptre air - verre<math>\big)\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_1}{n_2} < 1</math>, nous en déduisons «<math>\;\dfrac{n_1}{n_2}\, \vert \sin(i_1)\, \vert < \vert \sin(i_1)\, \vert\;</math>»<ref> En multipliant de part et d'autre <math>\;\dfrac{n_1}{n_2} < 1\;</math> par <math>\;\vert \sin(i_1)\, \vert</math>.</ref> soit, sachant que <math>\;\sin(i_2) =</math> <math>\dfrac{n_1}{n_2}\, \sin(i_1)</math>, «<math>\;\vert \sin(i_2)\, \vert < \vert \sin(i_1)\, \vert\;</math>» <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\vert i_2 \vert < \vert i_1 \vert\;</math>»<ref> <math>\;\vert \sin(i_2) \vert < \vert \sin(i_1) \vert\;</math> étant équivalent à <math>\;\sin(\vert i_2 \vert) < \sin(\vert i_1 \vert)\;</math> et la fonction sinus étant <math>\;\nearrow</math>.</ref>}} c'est-à-dire « un rayon <u>passant d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent</u> se réfracte en <u>se rapprochant de la normale</u> » <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à gauche<math>\big)</math>, <gallery mode="packed" heights="300px"> Réfraction air-verre.jpg|<div style="text-align:center;">Disposition du rayon réfracté relativement au rayon incident dans une réfraction air - verre</div> Réfraction verre-air.jpg|<div style="text-align:center;">Disposition du rayon réfracté relativement au rayon incident dans une réfraction verre - air</div> </gallery> * alors que « si <math>\;n_1 > n_2\;</math> <math>\big(</math>exemple dioptre verre - air<math>\big)\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_1}{n_2} > 1</math>, nous en déduisons «<math>\;\dfrac{n_1}{n_2}\, \vert \sin(i_1)\, \vert > \vert \sin(i_1)\, \vert\;</math>»<ref> En multipliant de part et d'autre <math>\;\dfrac{n_1}{n_2} > 1\;</math> par <math>\;\vert \sin(i_1)\, \vert</math>.</ref> soit, dans la mesure où il y a réfraction et sachant que <math>\,\sin(i_2) =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{n_1}{n_2}\, \sin(i_1)</math>,}} «<math>\;\vert \sin(i_2)\,\vert > \vert \sin(i_1)\, \vert\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert i_2 \vert > \vert i_1 \vert\;</math><ref> <math>\;\vert \sin(i_2)\, \vert > \vert \sin(i_1)\, \vert\;</math> étant équivalent à <math>\;\sin(\vert i_2 \vert) > \sin(\vert i_1 \vert)\;</math> et la fonction sinus étant <math>\;\nearrow</math>.</ref> c'est-à-dire « un rayon <u>passant d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent</u> se réfracte en <u>s'éloignant de la normale</u> »<ref> On pouvait aussi invoquer la loi de retour inverse de la lumière <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_sources_lumineuses,_milieu_transparent,_approximation_de_l'optique_géométrique#Troisième_loi_:_loi_du_retour_inverse_de_la_lumière|3^ème loi : loi du retour inverse de la lumière]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> par rapport au cas précédent : le milieu d'indice le plus faible était le milieu d'entrée, il devient le milieu de sortie si on envisage un retour inverse <math>\;\big(</math>simultanément les rayons incident et réfracté permutent<math>\big)</math>, le rayon réfracté était plus proche de la normale que le rayon incident, le rayon incident devient plus proche de la normale que le rayon réfracté par application de la loi du retour inverse <math>\;\big(</math>en fait il suffit de permuter les indices <math>\;_1\;</math> et <math>\;_2\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>voir ci-dessus à droite<math>\big)</math>. === Cône limite de réfraction dans le cas du passage d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent === <div style="text-align: center;">La lumière passe d'un milieu d'indice <math>\;n_1\;</math> à un milieu d'indice <math>\;n_2 > n_1</math>.</div> {{Al|5}}Le rayon réfracté étant plus proche de la normale que le rayon incident, la variation de <math>\;i_1\;</math> de <math>-90\, \text{°}\;</math> à <math>\;+90\, \text{°}\;</math> entraîne une « variation moindre de <math>\;i_2\;</math> de <math>\;-\mathit{l}\;</math> à <math>\;\mathit{l}\;</math>» où «<math>\;\mathit{l}\;</math> est l’angle limite de réfraction » défini par <div style="text-align: center;">«<math>\;\sin(\mathit{l}) = \dfrac{n_1}{n_2}\quad</math> soit <math>\quad\mathit{l} = \arcsin\! \left( \dfrac{n_1}{n_2} \right)\;</math>» ;</div> [[File:Cône limite de réfraction.jpg|thumb|300px|Coupe longitudinale du cône limite de réfraction issu de I pour un dioptre air - eau]] {{Al|5}}à un rayon incident quelconque arrivant en un point d’incidence <math>\;I\;</math> fixé, correspondra un rayon réfracté issu de <math>\;I\;</math> et se trouvant à l’intérieur d’un cône de révolution<ref name="Justification cône"> Au lieu de considérer que le rayon réfracté <math>\;\big(</math>ou incident<math>\big)\;</math> passant par <math>\;I\;</math> peut décrire un demi-plan situé d'un même côté du dioptre pour le rayon réfracté <math>\;\big(</math>ou son opposé pour le rayon incident<math>\big)</math>, correspondant à un angle de réfraction <math>\;\big(</math>ou d'incidence<math>\big)\;</math> pouvant être positif ou négatif, nous considérons que le rayon réfracté <math>\;\big(</math>ou incident<math>\big)\;</math> passant par <math>\;I\;</math> décrit un quart de plan situé d'un même côté du dioptre pour le rayon réfracté <math>\;\big(</math>ou son opposé par <math>\;I\;</math> pour le rayon incident<math>\big)\;</math> et correspondant à un angle de réfraction <math>\;\big(</math>ou d'incidence<math>\big)\;</math> positif, les valeurs négatives considérées précédemment s'obtenant maintenant avec les valeurs positives simultanément à une rotation du plan de réfraction <math>\;\big(</math>ou d'incidence<math>\big)\;</math> de <math>\;180\,\text{°}\;</math> autour de la normale <math>\;(\Delta)\;</math> en <math>\;I\;</math> à la surface dioptrique.</ref>, de sommet <math>\;I</math>, d’axe <math>\;(\Delta)\;</math> normal au dioptre en <math>\;I\;</math> et de demi-angle au sommet <math>\;\mathit{l}</math> ; ce cône est appelé « <u>cône limite de réfraction en</u>{{Nobr|<math>\;I\;</math>»,}} voir figure ci-contre <math>\;\big(</math>plaçant un diaphragme sur le dioptre, ne permettant de faire passer la lumière qu’à travers <math>\;I</math>, et supposant que la seule source de lumière se trouve du côté de l’air, seul le cône de réfraction en <math>\;I\;</math> sera éclairé, le reste étant dans l’obscurité et par suite, un poisson situé hors de ce cône ne pourra pas être vu par le pêcheur situé dans le milieu « air » car aucun rayon incident arrivant en <math>\;I\;</math> ne pourra atteindre le poisson<math>\big)</math>. {{Al|5}}Passage air - eau : «<math>\;\mathit{l} = \arcsin\! \left( \dfrac{1}{1,33} \right)\simeq 48,8\,\text{°}\;</math>», {{Al|5}}passage air - verre : «<math>\;\mathit{l} = \arcsin\! \left( \dfrac{1}{1,50} \right)\simeq 41,8\,\text{°}\;</math>»<ref name="indice du verre"> Tous les verres ne sont pas d'indice <math>\;1,50</math>.</ref> et {{Al|5}}passage eau - verre : «<math>\;\mathit{l} = \arcsin\! \left( \dfrac{1,33}{1,50} \right)\simeq 62,5\,\text{°}\;</math>»<ref name="indice du verre" />. === Cône limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction dans le cas d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent === <div style="text-align: center;">La lumière passe d'un milieu d'indice <math>\;n_1\;</math> à un milieu d'indice <math>\;n_2 < n_1</math>.</div> {{Al|5}}Le rayon réfracté étant plus éloigné de la normale que le rayon incident, la variation de <math>\;i_2\;</math> de <math>-90\, \text{°}\;</math> à <math>\;+90\, \text{°}\;</math> correspond à une « variation moindre de <math>\;i_1\;</math> de <math>\;-i_{\text{max}}\;</math> à <math>\;i_{\text{max}}\;</math>» où «<math>\;i_{\text{max}}\;</math> est l’angle limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction » défini par [[File:Cône limite d'incidence.jpg|thumb|left|300px|Coupe longitudinale du cône limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction en I pour un dioptre verre - air et représentation de rayons incidents subissant la réfraction]] [[File:Cône limite d'incidence bis.jpg|thumb|right|300px|Coupe longitudinale du cône limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction en I pour un dioptre verre - air et représentation de rayons incidents hors cône subissant une réflexion totale]] <div style="text-align: center;">«<math>\;\sin(i_{\text{max}}) = \dfrac{n_2}{n_1}\,\sin(90\,\text{°}) = \dfrac{n_2}{n_1}\quad</math> soit <math>\quad i_{\text{max}} = \arcsin\! \left( \dfrac{n_2}{n_1} \right)\;</math>» ;</div> {{Al|5}}à un rayon réfracté quelconque issu d'un point d’incidence <math>\;I</math>, correspond un rayon incident passant par <math>\;I\;</math> et se trouvant à l’intérieur d’un cône de révolution<ref name="Justification cône" />, de sommet <math>\;I</math>, d’axe <math>\;(\Delta)\;</math> normal au dioptre en <math>\;I\;</math> et de demi-angle au sommet <math>\;i_{\text{max}}</math> ; ce cône est appelé « <u>cône limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction en</u><math>\;I\;</math>»<ref> Pour justifier de ce cône nous pouvons aussi invoquer la loi de retour inverse de la lumière <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_sources_lumineuses,_milieu_transparent,_approximation_de_l'optique_géométrique#Troisième_loi_:_loi_du_retour_inverse_de_la_lumière|3^ème loi : loi du retour inverse de la lumière]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> par rapport au cas précédent : le milieu d'indice le plus faible était le milieu d'entrée, il devient le milieu de sortie, le rayon réfracté permutant avec le rayon incident ; le rayon réfracté était plus proche de la normale que le rayon incident et était localisé dans le cône limite de réfraction de demi-angle au sommet égal à <math>\;\mathit{l} = \arcsin\! \left( \dfrac{n_{\text{entrée}}}{n_{\text{sortie}}} \right)</math>, par loi du retour inverse le rayon incident devient plus proche que le rayon réfracté et est localisé <math>-</math> pour qu'il y ait réfraction <math>-</math> dans le cône limite d'incidence de demi-angle au sommet égal à <math>\;\mathit{l} =</math> <math>\arcsin\! \left( \dfrac{n_{\text{sortie}}}{n_{\text{entrée}}} \right)</math>.</ref>, voir figure ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>plaçant un diaphragme sur le dioptre, ne permettant de faire passer la lumière qu’à travers <math>\;I</math>, et supposant que la seule source de lumière se trouve du côté du {{Nobr|verre<ref> Plus exactement on suppose qu'aucune source de lumière n'est située du côté de l'air, donc la seule lumière ne peut provenir que d'une source du côté du verre mais bien sûr la source n'est pas dans le verre ; c'est l'exemple d'une pièce sans source d'éclairage interne mais dont la lumière arrive en traversant une vitre.</ref>,}} on peut restreindre le cône incident de lumière en <math>\;I\;</math> à son cône limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction sans qu'il y ait une quelconque modification sur la puissance lumineuse reçue du côté de l'air<math>\big)</math> ; {{Al|5}}sur la figure ci-contre à droite, représentation d'un rayon incident situé hors du cône limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction en <math>\;I</math>, ce rayon subissant une réflexion totale <math>\;\big(</math>il ne faut pas perdre de vue que « la réfraction n'est toujours que partielle, le reste subissant une réflexion »<ref> Plus exactement une partie de la puissance incidente est réfractée, le reste étant réfléchi.</ref> par conséquent, si la réfraction n'est pas possible, « la réflexion devient totale »<math>\big)</math> ; « si <math>\;\vert i_1 \vert > i_{\text{max}}\;</math>»<ref> Ici nous considérons de nouveau qu'un rayon incident passant par <math>\;I\;</math> peut décrire tout le demi-plan situé d'un même côté du dioptre, l'angle d'incidence correspondant pouvant prendre une valeur positive ou négative.</ref> <math>\;\big(</math>ou, si un rayon incident passant par <math>\;I\;</math> est situé « hors du cône limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction en <math>\;I\;</math>»<math>\big)</math>, il y a « <u>réflexion totale</u> » <math>\;\big(</math>voir figure ci-dessus à droite<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : L'angle limite de réfraction <math>\;\mathit{l}\;</math> pour le dioptre « air - eau » étant défini par <math>\;\mathit{l} = \arcsin\! \left( \dfrac{n_{\text{air}}}{n_{\text{eau}}} \right) \simeq \arcsin\! \left( \dfrac{1}{1,33} \right) \simeq 48,8\,\text{°}\;</math> et l'angle limite d'incidence <math>\;i_{\text{max}}\;</math> pour qu'il y ait réfraction sur le dioptre « eau - air » par <math>\;i_{\text{max}} = \arcsin\! \left( \dfrac{n_{\text{air}}}{n_{\text{eau}}} \right) \simeq \arcsin\! \left( \dfrac{1}{1,33} \right) \simeq 48,8\,\text{°}</math>, nous constatons qu'il s'agit de la même relation de définition d'où «<math>\;i_{\text{max}} = \mathit{l}\;</math>» <math>\;\big(</math>valable quel que soit le dioptre<math>\big)</math>. === Angle limite d'un dioptre === {{Al|5}}Pour tout dioptre séparant deux milieux d'indices différents, l'un des deux est nécessairement le plus petit, nous définissons alors <div style="text-align: center;">l'« angle limite du dioptre » par «<math>\;\mathit{l} = \arcsin\! \left( \dfrac{n_{\text{min}}}{n_{\text{max}}} \right)\quad</math> tel que <math>\quad\sin(\mathit{l}) = \dfrac{n_{\text{min}}}{n_{\text{max}}}\;</math>», cet angle limite étant :</div> * l'angle limite de réfraction si la lumière passe du milieu le moins réfringent au milieu le plus réfringent, * l'angle limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction si la lumière passe du milieu le plus réfringent au milieu le moins réfringent. === Retour sur la propagation dans un milieu inhomogène === <div style="text-align: center;">On rappelle qu'il ne s'agit que d'un complément mais qui, me semble-t-il, doit faire partie de la culture générale.</div> {{Al|5}}Nous avons indiqué dans la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_sources_lumineuses,_milieu_transparent,_approximation_de_l'optique_géométrique#cite_note-38|³⁸]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » que « la propagation cesse d'être rectiligne dans un milieu inhomogène » <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_sources_lumineuses,_milieu_transparent,_approximation_de_l'optique_géométrique#Propagation_dans_un_milieu_transparent_inhomogène|milieu inhomogène]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> en précisant la forme de la propagation dans une solution saturée saline d'une part et d'autre part celle dans l'air des régions « chaude ou froide » <ref> Ce n'est pas la température qui importe mais la variation de température ; pour qu'un mirage soit observable il faut qu'il y ait une variation de température d'au moins <math>\;2\, \text{°C}\;</math> par mètre d'altitude <math>\;\big(</math>soit au moins <math>\;20\, \text{°C}\;</math> sur <math>\;10\, m\;</math> de dénivellation<math>\big)\;</math> et plus la variation de température par mètre d'altitude est grande, mieux observable est le mirage.</ref> créant l'apparition de mirages <math>\;\big(</math>rappel ci-dessous<math>\big)</math> ; <div style="text-align: center;"><gallery mode="packed" heights="125px"> Propagation - milieu inhomogène.jpg|Propagation incurvée d'un faisceau cylindrique laser dans une solution saline saturée Mirage chaud.jpg|Mirage chaud <math>\;\big(</math>ou inférieur<math>\big)\;</math> dû à un gradient de température d'air vertical descendant Mirage froid.jpg|Mirage froid <math>\;\big(</math>ou supérieur<math>\big)\;</math> dû à un gradient de température d'air vertical ascendant </gallery></div> {{Al|5}}nous expliquons ces phénomènes simplement en remplaçant le milieu inhomogène dans lequel l'indice varie continûment avec l'altitude par une juxtaposition verticale de couches planes de faible épaisseur de milieux homogènes d'indices différents d'une couche à l'autre ainsi : * dans une solution saline saturée non homogénéisée <math>\;\big(</math>telle que la concentration <math>\;c \nearrow\;</math> quand <math>\;z \searrow\;</math> et, comme <math>\;n\;</math> est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;c</math>, <math>\;n \nearrow\;</math> quand <math>\;z \searrow\big)\;</math> nous pouvons considérer une succession verticale de couches de faible épaisseur de concentration constante donc d'indice constant, entraînant l'existence d'une succession de dioptres plans séparant deux milieux d'indices très voisins ; le milieu supérieur étant moins réfringent que le milieu inférieur, nous observons qu'un « rayon incident du milieu supérieur se réfracte vers le milieu inférieur en se rapprochant de la normale » d'où une courbure de la direction de propagation vers le bas <math>\;\big(</math>voir figure ci-dessous à gauche<math>\big)</math> ; <div style="text-align: center;"><gallery mode="packed" heights="90px"> Propagation - milieu inhomogène - explication.jpg|Explication de la propagation incurvée d'un faisceau cylindrique laser dans une solution saline saturée par réfraction à travers des couches horizontales de faible épaisseur Mirage chaud - explication.jpg|Explication d'un mirage chaud <math>\;\big(</math>ou inférieur<math>\big)\;</math> dû à un gradient de température d'air vertical descendant par réfraction à travers des couches horizontales de faible épaisseur Mirage froid - explication.jpg|Explication d'un mirage froid <math>\;\big(</math>ou supérieur<math>\big)\;</math> dû à un gradient de température d'air vertical ascendant par réfraction à travers des couches horizontales de faible épaisseur </gallery></div> * dans une région chaude à forte variation de température par mètre d'altitude <math>\;\big(</math>telle que la température <math>\;T \searrow\;</math> quand <math>\;z \nearrow\;</math> et, comme <math>\;n\;</math> est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;T</math>, <math>\;n \nearrow\;</math> quand <math>\;z \nearrow\big)\;</math> nous pouvons considérer une succession verticale de couches de faible épaisseur de température constante donc d'indice constant, entraînant l'existence d'une succession de dioptres plans séparant deux milieux d'indices très voisins ; le milieu supérieur étant plus réfringent que le milieu inférieur, nous observons tout d'abord qu'un « rayon incident du milieu supérieur se réfracte vers le milieu inférieur en s'éloignant de la normale » jusqu'à ce que l'incidence devienne rasante, la composante verticale de la propagation se faisant alors dans l'autre sens et on observe qu'« un rayon incident du milieu inférieur se réfracte vers le milieu supérieur en se rapprochant de la normale » d'où une courbure de la direction de propagation vers le haut <math>\;\big(</math>voir figure ci-dessus au centre<math>\big)</math> ; * dans une région froide à forte variation de température par mètre d'altitude <math>\;\big(</math>telle que la température <math>\;T \nearrow\;</math> quand <math>\;z \nearrow\;</math> et, comme <math>\;n\;</math> est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;T</math>, <math>\;n \searrow\;</math> quand <math>\;z \nearrow\big)\;</math> nous pouvons considérer une succession verticale de couches de faible épaisseur de température constante donc d'indice constant, entraînant l'existence d'une succession de dioptres plans séparant deux milieux d'indices très voisins ; le milieu inférieur étant plus réfringent que le milieu supérieur, nous observons tout d'abord qu'un « rayon incident du milieu inférieur se réfracte vers le milieu supérieur en s'éloignant de la normale » jusqu'à ce que l'incidence devienne rasante, la composante verticale de la propagation se faisant alors dans l'autre sens et on observe qu'« un rayon incident du milieu supérieur se réfracte vers le milieu inférieur en se rapprochant de la normale » d'où une courbure de la direction de propagation vers le bas <math>\;\big(</math>voir figure ci-dessus à droite<math>\big)</math>. == Interprétation des deuxièmes lois de Snell-Descartes à l'aide du modèle ondulatoire == === Introduction === {{Al|5}}Nous avons considéré les lois de « Snell - Descartes »<ref name="Snell - Descartes" /> comme postulats de l'optique géométrique mais il est possible d'avoir une autre approche en restant d'abord dans le cadre de l'optique ondulatoire pour déterminer quelques propriétés puis en se plaçant dans l'approximation de l'optique géométrique <math>\;\big(</math>ce qui revient à considérer <math>\;\lambda_0\;</math> comme un infiniment petit relativement aux autres dimensions<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}une « O.P.H. »<ref> Onde Plane Harmonique <math>\;\big(</math>ou onde plane progressive sinusoïdale<math>\big)\;</math> donc nécessairement monochromatique.</ref> de longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> a une « phase instantanée égale à <math>\;\Phi = \omega\, t - k\, r = \dfrac{2\, \pi}{T}\, t - \dfrac{2\, \pi}{\lambda}\, r\;</math>» soit encore «<math>\;\Phi =</math> <math>2\, \pi \left( \dfrac{t}{T} - \dfrac{n\, r}{\lambda_0} \right)\;</math>» en utilisant le « lien entre longueur d'onde <math>\;\lambda\;</math> dans le milieu et celle <math>\;\lambda_0\,</math> dans le vide <math>\;\lambda = \dfrac{\lambda_0}{n}\;</math>», soit enfin, <br>{{Al|11}}{{Transparent|une « O.P.H. » de longueur d'onde dans le vide <math>\;\color{transparent}{\lambda_0}\;</math> }}en définissant le « <u>chemin optique</u> » <math>\;\mathcal{L}\;</math> comme « <u>la distance que la lumière parcourrait dans le vide pendant la même durée que celle qu'elle parcourt dans le milieu d'indice</u><math>\;n\;</math>» soit, pour une « distance géométrique <math>\;r\;</math> dans un milieu d'indice <math>\;n\;</math>», un chemin optique égal à «<math>\;\mathcal{L} = n\, r\;</math>», la réécriture de la phase instantanée selon <div style="text-align: center;">«<math>\;\Phi = 2\, \pi \left( \dfrac{t}{T} - \dfrac{\mathcal{L}}{\lambda_0} \right)\;</math>».</div> === Interprétation de la deuxième loi de Snell-Descartes de la réfraction par utilisation du modèle ondulatoire === [[File:Réfraction - optique ondulatoire.jpg|thumb|350px|Schéma d'explication de la réfraction d'un pinceau par optique ondulatoire]] {{Al|5}}Un « pinceau parallèle monochromatique » <ref name="Pinceau parallèle"> C'est un pinceau monochromatique issu du point à l'infini dans la direction faisant l'angle d'incidence cité après.</ref> arrivant sur le dioptre avec un angle d'incidence <math>\;i_1\;</math> est associé, dans le modèle ondulatoire, à une « O.P.H. » <ref name="O.P.H."> Celle-ci ayant une expansion limitée dans l'espace, est soumise à une diffraction qui doit être inobservable pour que l'approximation de l'optique géométrique soit applicable <math>\;\big[</math>c.-à-d. la longueur d'onde dans le vide de l'O.P.H. <math>\;\lambda_0\;</math> doit être très petite devant la dimension transversale du pinceau associé<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_sources_lumineuses,_milieu_transparent,_approximation_de_l'optique_géométrique#Approximation_de_l'optique_géométrique|approximation de l'optique géométrique]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> se propageant dans la direction faisant, avec la normale au dioptre, l'angle <math>\;i_1\;</math> et <br>{{Al|5}}cette « O.P.H. » émerge de la surface dioptrique en « O.P.H. » <ref name="Justification O.P.H."> Pour la justification du fait que l'onde émergeant de la surface dioptrique <math>\;\big(</math>ou réfléchissante<math>\big)\;</math> est « plane » revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Tentative_d'explication_du_phénomène_de_diffraction_à_l'infini_d'une_onde_plane_par_une_fente_infiniment_longue|tentative d'explication de la diffraction à l'infini d'une O.P.H. par une fente infiniment longue]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », utilisant le « [[w:Principe_de_Huygens-Fresnel|principe de Huygens - Fresnel]] <math>\;\big(</math>[[w:Diffraction_de_Fraunhofer|contribution de Fraunhofer]]<math>\big)\;</math>» <math>\;\big\{</math>voir les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Principe_de_Huygens_-_Fresnel_(1820)|principe de Huygens - Fresnel]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Contribution_de_Fraunhofer|contribution de Fraunhofer]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> où on considère que chaque point de la surface dioptrique <math>\;\big(</math>ou réfléchissante<math>\big)\;</math> atteint par l'onde plane incidente peut être considéré comme une source secondaire réémettant une ondelette <math>\;\big(</math>de Huygens<math>\big)</math>, l'ensemble des ondelettes interférant pour donner une onde résultante également plane <math>\;\big(</math>le schéma d'explication du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Tentative_d'explication_du_phénomène_de_diffraction_à_l'infini_d'une_onde_plane_par_une_fente_infiniment_longue|précité]] » ayant été fait avec une onde plane incidente normale, l'onde réfractée <math>-</math> à l'exclusion des bords <math>-</math> est plane également normale mais la justification est indépendante de cette particularité et la réfraction peut être remplacée sans inconvénient par une réflexion<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' <math>\;\big[</math>ou '''[[w:Christian_Huygens|Christian Huyghens]]'''<math>\big]\;</math> mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière. <br>{{Al|3}}'''[[w:Augustin_Fresnel|Augustin Fresnel]] (1788 – 1827)''' physicien français, considéré comme le fondateur de l'optique moderne, a expliqué tous les phénomènes optiques connus de son temps dans le cadre de la théorie ondulatoire de la lumière.<br>{{Al|3}}'''[[w:Joseph_von_Fraunhofer|Joseph von Fraunhofer]] (1787 – 1826)''' opticien et physicien allemand est, entre autres, inventeur du [[w:Spectroscope|spectroscope]] avec lequel il repéra les raies du spectre solaire.</ref> se propageant dans une direction faisant, avec la normale au dioptre, un angle <math>\;i_2</math>, cette « O.P.H. réfractée » étant associée à un « pinceau parallèle monochromatique » <ref name="diffraction négligée"> Le pinceau est parallèle car, bien que l'« O.P.H. réfractée <math>\;\big(</math>ou réfléchie<math>\big)\;</math>» ait également une expansion limitée dans l'espace, on est dans le cadre de l'approximation de l'optique géométrique négligeant tout phénomène de diffraction.</ref> d'angle de réfraction <math>\;i_2</math> ; {{Al|5}}admettant la 1^ère loi de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction, les directions des pinceaux incident et réfracté sont considérées dans un même plan normal passant par <math>\;I\;</math> « le plan d'incidence » <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|admettant la 1^ère loi de Snell - Descartes de la réfraction, }}nous nous proposons de démontrer la 2^ème loi de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction à savoir «<math>\;n_1\, \sin(i_1) =</math> <math>n_2\, \sin(i_2)\;</math>» ; {{Al|5}}les plans d'onde dont les traces sur le plan d'incidence sont respectivement <math>\;AA'\;</math> et <math>\;BB'</math>, étant des surfaces équiphases, nous en déduisons que le « chemin optique entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math>» est le même que « celui entre <math>\;A'\;</math> et <math>\;B'\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{L}_{AB} = \mathcal{L}_{A'B'}\;</math>» ou «<math>\;n_2\, AB = n_1\, A'B'\;\; (\mathfrak{1})\;</math>» ; <br>{{Al|5}}deux angles à côtés respectivement <math>\;\perp\;</math> étant égaux nous en déduisons «<math>\;\widehat{(\overrightarrow{AB'}\,\text{;}\,\overrightarrow{AA'})} = i_1\;</math>» et «<math>\;\widehat{(\overrightarrow{B'A}\,\text{;}\,\overrightarrow{B'B})} =</math> <math>i_2\;</math>» d'où «<math>\;AB =</math> <math>AB'\, \sin(i_2)\;</math>» et «<math>\;A'B' = AB'\, \sin(i_1)\;</math>» soit, par report dans <math>\;(\mathfrak{1})</math>, «<math>\;n_2\, AB'\, \sin(i_2) = n_1\, AB'\, \sin(i_1)\;</math>» ou, par simplification par <math>\;AB'</math>, <div style="text-align: center;">«<math>\;n_2\, \sin(i_2) = n_1\, \sin(i_1)\;</math>» c'est-à-dire la 2^ème loi de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction.</div> === Interprétation de la deuxième loi de Snell-Descartes de la réflexion par utilisation du modèle ondulatoire === [[File:Réflexion - optique ondulatoire.jpg|thumb|300px|Schéma d'explication de la réflexion d'un pinceau par optique ondulatoire]] {{Al|5}}Dans le cadre de l'optique ondulatoire et en admettant la 1^ère loi de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion nous pouvons procéder de même pour démontrer la 2^ème loi de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion ; pour cela nous considérons un « pinceau parallèle monochromatique » <ref name="Pinceau parallèle" /> arrivant sur la surface réfléchissante avec un angle d'incidence <math>\;i_1\;</math> et nous lui associons une « O.P.H. »<ref name="O.P.H." /> se propageant dans la direction faisant, avec le vecteur unitaire <math>\;\vec{N}\;</math> normal à la surface réfléchissante orienté dans le sens incident, l'angle <math>\;i_1</math> ; {{Al|5}}cette « O.P.H. » se réfléchit alors en « O.P.H. » <ref name="Justification O.P.H." /> se propageant dans une direction faisant, avec le vecteur unitaire normale <math>\;\vec{N}'\;</math> à la surface réfléchissante orienté dans le sens réfléchi, un angle <math>\;i_2</math>, et à cette « onde plane réfléchie » on associe un « pinceau parallèle monochromatique » <ref name="diffraction négligée" /> d'angle de réflexion <math>\;i_2</math> ; {{Al|5}}admettant la 1^ère loi de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion, les directions des pinceaux incident et réfléchi sont considérées dans un même plan normal passant par <math>\,I\,</math> « le plan d'incidence » <math>\,\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)\;</math> et nous nous proposons de démontrer la 2^ème loi de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion à savoir «<math>\;i_2 =</math> {{Nobr|<math>-i_1\;</math>» ;}} {{Al|5}}les plans d'onde dont les traces sur le plan d'incidence sont respectivement <math>\;AA'\;</math> et <math>\;BB'</math>, étant des surfaces équiphases, nous en déduisons que le « chemin optique entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math>» est le même que « celui entre <math>\;A'\;</math> et <math>\;B'\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{L}_{AB}</math> <math>= \mathcal{L}_{A'B'}\;</math>» ou «<math>\;n\, AB = n\, A'B'\;\; (\mathfrak{2})\;</math>»<ref> En supposant que le M.T.H.I. <math>\;\big(</math>Milieu Transparent Homogène Isotrope<math>\big)\;</math> limité par la surface réfléchissante est d'indice <math>\;n</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}deux angles à côtés respectivement <math>\;\perp\;</math> étant égaux nous en déduisons «<math>\;\widehat{(\overrightarrow{B'B}\,\text{;}\,\overrightarrow{B'A})} = i_1 > 0\;</math>» et «<math>\;\widehat{(\overrightarrow{AA'}\,\text{;}\,\overrightarrow{AB'})}</math> <math>= i_2 < 0\;</math>» d'où «<math>\;AB = AB'\, \vert \sin(i_1) \,\vert\;</math>» et «<math>\;A'B' = AB'\, \vert \sin(i_2)\,\vert\;</math>» soit, par report dans <math>\;(\mathfrak{2})</math>, «<math>\;n\, AB'\, \vert \sin(i_1)\, \vert =</math> <math>n\, AB'\, \vert \sin(i_2) \,\vert\;</math>» dont on déduit «<math>\;\vert i_2 \vert = \vert i_1 \vert\;</math>» et, compte-tenu du signe des angles visualisés sur la figure<ref> Il est nécessaire que les angles <math>\;i_1\;</math> et <math>\;i_2\;</math> soient de signe contraire pour que « le retard de phase de l'onde en <math>\;B'\;</math> sur celle de l'onde en <math>\;A'\;</math> du rayon <math>\;-\!\!\!>\!\!-\!\!\!>\;</math> corresponde à un retard de phase de l'onde en <math>\;B\;</math> sur celle de l'onde en <math>\;A\;</math> du rayon <math>\;-\!\!\!>\;</math>» <math>\;\big(</math>il suffirait de faire un schéma avec <math>\;i_1\;</math> et <math>\;i_2\;</math> tous deux positifs pour se rendre compte que le retard de phase de l'onde en <math>\;B'\;</math> sur celle de l'onde en <math>\;A'\;</math> correspondrait à une avance de phase de l'onde en <math>\;B\;</math> sur celle de l'onde en <math>\;A\;</math> ce qui est effectivement à rejeter<math>\big)</math>.</ref> <div style="text-align: center;">«<math>\;i_2 = -i_1\;</math>» c'est-à-dire la 2^ème loi de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion.</div> == Conditions de réflexion totale dioptrique == === Généralités === {{Al|5}}Nous avons vu, d'une part, qu'il y avait toujours réfraction quel que soit l'angle d'incidence si la lumière passait d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent car le rayon réfracté est plus proche de la normale que le rayon incident d'où une <u>1^ère C.N<ref name="C.N."> Condition Nécessaire.</ref>. pour qu'il n'y ait pas réfraction</u> : <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><u>la lumière doit passer d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent</u> <math>\;n_1 > n_2</math>, exemple : dioptre « verre - air » ou « eau - air » ; {{Al|5}}nous avons vu, d'autre part, que dans ce cas, la condition de réfraction est que l'angle d'incidence soit strictement inférieur à l'angle limite du dioptre d'où une <u>2^ème C.N<ref name="C.N." />. pour qu'il y ait réflexion totale</u> {{Nobr|<math>\;\big(</math>associée}} à la 1^ère C.N<ref name="C.N." />., ces conditions s'avèrent suffisantes<math>\big)</math> : <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><u>l'angle d'incidence doit être supérieur</u><math>\;\big(</math>au sens large<math>\big)\;</math><u>à l'angle limite du dioptre</u><ref> Mais en pratique l'égalité n'est jamais à considérer ; si on faisait un grand nombre d'expériences en donnant à l'angle d'incidence la valeur de l'angle limite <math>\;\big(</math>plus exactement on souhaiterait une valeur vraie égale à l'angle limite mais la valeur donnée serait une valeur proche par défaut ou par excès, la donne étant aléatoire<math>\big)</math>, on trouverait que <math>\;50\, \%\;</math> des cas correspondent à une réflexion totale, les <math>\;50</math> autres <math>\%\;</math> à une réflexion partielle accompagnant une réfraction rasante.</ref> ou «<math>\;i_1 \geqslant \arcsin\! \left( \dfrac{n_2}{n_1} \right)\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\; \sin(i_1) \geqslant \dfrac{n_2}{n_1}\;</math>». === Applications === {{Al|5}}Les applications de la réflexion totale sont nombreuses, citons en deux exemples : ==== Prisme à réflexion totale ==== [[File:Équerre optique.jpg|thumb|left|200px|Utilisation de la réflexion totale dans une équerre optique]] [[File:Périscope.jpg|thumb|right|400px|Translation verticale à l'aide de deux équerres optiques dans un périscope ou un appareil photo réflex]] <div style="text-align: center;">Utilisé dans les périscopes ou les premiers appareils photographiques « réflex »<ref> Dans les premiers appareils photographiques « non réflex », le photographe regardait à travers un viseur mais le trajet de la lumière reçue par son œil n'était pas le même que celui de la lumière devant réaliser l'impression sur la pellicule d'où un cadrage non assuré <math>\;\big(</math>surtout pour les portraits<math>\big)</math> ; avec l'arrivée des appareils photographiques « réflex », la lumière reçue par l'œil passe d'abord par les lentilles avant d'être réfléchie totalement en direction du viseur à l'aide d'un prisme à réflexion totale ou d'un miroir plan incliné de <math>\;45\, \text{°}</math>, ceci permettant de faire un cadrage correct de la photographie à prendre <math>-</math> mais bien sûr le prisme à réflexion totale ou le miroir plan incliné à <math>\;45\, \text{°}\;</math> est retiré du trajet de la lumière lors de la prise d'impression.</ref>.</div> {{Al|5}}L'angle limite pour un dioptre « verre - air » avec un verre d'indice <math>\;n_1 = 1,53\;</math> et l'air d'indice <math>\;n_2 = 1,00\;</math> étant «<math>\;\mathit{l} = \arcsin\! \left( \dfrac{1,00}{1,53} \right)</math> <math>\simeq 40,8\, \text{°}\;</math>», si un rayon se propageant dans le verre arrive sur une des surfaces dioptriques « verre - air » avec un angle d'incidence supérieur à <math>\;40,8\, \text{°}</math>, il sera totalement réfléchi comme sur les schémas ci-contre à gauche ou à droite : {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>« équerre optique » sur le schéma de gauche <math>\;\big[</math>un rayon incident normal entre par la face d'entrée <math>\;AC\;</math> sans être dévié, il rencontre le dioptre « verre - air » <math>\;AB\;</math> sous l'angle d'incidence <math>\;45\, \text{°}\;</math><ref> La section droite du prisme étant un triangle rectangle isocèle les angles non droits sont égaux à <math>\;45\, \text{°}</math>.</ref> supérieur à l'angle limite <math>\;\mathit{l} = 40,8\, \text{°}\;</math> d'où réflexion totale sur la face <math>\;AB\;</math> renvoyant le rayon perpendiculairement au rayon incident et enfin le rayon réfléchi arrivant normalement à la face de sortie <math>\,BC\,</math> n'est pas {{Nobr|dévié<math>\big]</math>,}} {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>réalisation d'une « translation verticale » à l'aide de « deux équerres optiques » comme cela est nécessaire dans un périscope ou un appareil photographique « réflex » sur le schéma de droite. {{clr}} ==== Fibre optique guide de lumière ==== [[File:Fibre optique - réflexion totale.jpg|thumb|300px|Principe de propagation dans une fibre optique courbée par réflexion totale sur la surface séparant l'âme de la gaine]] {{Al|5}}Une [[w:Fibre_optique|fibre optique]] est constituée d'une âme cylindrique d'indice <math>\;n_a\;</math> <math>\big(</math>exemple <math>\;n_a = 1,66\big)\;</math> entourée d'une gaine, enveloppe cylindrique, d'indice <math>\;n_g < n_a\;</math> <math>\big(</math>pour le même exemple <math>\;n_g = 1,52\big)</math> ; {{Al|5}}une fibre est utilisée pour guider la lumière incidente pénétrant dans son âme par une extrémité et devant ressortir par l'autre extrémité sans avoir subi de réfraction sur la surface dioptrique « âme - gaine », il faut donc qu'un rayon qui atteindrait cette surface y arrive sous un angle d'incidence de valeur absolue supérieure à l'angle limite de ce dioptre «<math>\;\mathit{l} = \arcsin\! \left( \dfrac{1,52}{1,66} \right) \simeq 66,3\, \text{°}\;</math>»<ref> Cette condition, non très exigeante, n'est certainement pas réalisée pour n'importe quel rayon incident pénétrant par la face d'entrée mais elle l'est assurément pour la grande majorité des rayons incidents <math>-</math> avec une légère perte de puissance correspondant aux quelques rayons qui ne subiraient pas la réflexion totale.</ref> <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre où la fibre est courbée<math>\big)\;</math><ref> Sur la figure seule l'âme a été représentée.</ref>. {{clr}} == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : sources lumineuses, milieu transparent, approximation de l'optique géométrique|Opt. géomét. : sources lumin., milieu transp., approxim. de l'opt. géomét.]] | suivant = [[../Optique géométrique : miroir plan|Opt. géomét. : miroir plan]] }} jl1mr0bvnli0xbvnqs30xgktyunly3a 0 62522 982818 974055 2026-05-14T16:10:35Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982818 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Optique géométrique : réflexion, réfraction, lois de Descartes/]] | suivant = [[../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] }} == Notion de stigmatisme rigoureux == {{Al|5}}L'introduction du stigmatisme n'ayant pas encore été introduite en cours, l'est dans ce chapitre mais, ce n'est pas une notion spécifique au miroir plan, elle concerne tous les [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Notion_de_système_optique|systèmes optiques]] qu'ils soient composés de dioptres ou de miroirs quelle que soit leur forme. === Notion de système optique === {{Al|5}}Un système optique est l'espace optique entre deux surfaces, il est destiné à permettre la transmission de la lumière, la surface sur laquelle arrive la lumière incidente est appelée « face d'entrée » et celle à partir de laquelle émerge la lumière « face de sortie » ; {{Al|5}}il peut être composé d'une « succession de dioptres », dans ce cas le système est dit « <u>dioptrique</u> »<ref> Dans un système « dioptrique » à direction de propagation « unidirectionnelle », la lumière émergente est dans le « même sens » que la lumière incidente.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|il peut être }}composé d'une « succession de dioptres et d'un miroir », dans ce cas le système est dit « <u>catadioptrique</u> »<ref> Dans un système « catadioptrique » à direction de propagation « unidirectionnelle », la lumière émergente est dans le « sens contraire » de la lumière incidente ;<br>{{Al|3}}on prolonge la définition des systèmes « catadioptriques » en permettant qu'ils contiennent plus d'un miroir ; <br>{{Al|3}}dans le cas où la propagation est « unidirectionnelle » <math>\;\big(</math>par abus on parle encore de système « catadioptrique unidirectionnel »<math>\big)</math>, * si le nombre de miroirs est pair, le système catadioptrique est équivalent à un système dioptrique car le sens émergent est identique au sens incident et * si le nombre de miroirs est impair, le système catadioptrique est équivalent à un miroir, le sens émergent étant opposé au sens incident.</ref>. === Notion de point objet, espaces objets, nature réelle ou virtuelle === {{Al|5}}Un objet <math>\;\big(</math>lumineux<math>\big)\;</math> est une « source lumineuse » ou un « objet sans émission interne de lumière mais éclairé par une source lumineuse »<ref> Dans ce cas l'objet peut « absorber puis réémettre » ou « réfléchir » la lumière reçue, pour éviter les complications on dira que l'objet « émet la lumière <math>\;\big(</math>qu'il a reçu<math>\big)\;</math>».</ref> ; il est qualifié de ponctuel s'il est « de dimension mésoscopique »<ref> On parle alors de « point objet ».</ref>, il peut être situé <br>{{Al|10}}<u>en-deçà de la face d'entrée du système optique étudié</u>, il « émet » alors un faisceau « <u>divergent</u> » en direction de la face d'entrée et ayant une existence réelle il est qualifié d'« <u>objet réel</u> » ou <br>{{Al|10}}<u>au-delà de la face d'entrée du système optique étudié</u>, il résulte alors de la <u>convergence</u> d'un faisceau lumineux en un point dont l'existence serait réelle si la face d'entrée n'était pas située en-deçà de ce point, il est alors qualifié d'« <u>objet virtuel</u> » ; {{Al|5}}on définit alors deux « espaces optiques de positionnement des objets »<ref> Voir la partie gauche du schéma ci-dessous.</ref> : * un « espace objet réel » situé en-deçà de la face d'entrée et * un « espace objet virtuel » situé au-delà de la face d'entrée. <div style="text-align: center;"><gallery mode="packed" heights="200px"> Espaces objet et image.jpg|Positionnement des espaces objets réel et virtuel à gauche, des espaces images réelle et virtuelle à droite<ref name="espaces images"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Espaces_images,_nature_réelle_ou_virtuelle|espaces images, nature réelle ou virtuelle]] » plus bas dans ce chapitre.</ref> </gallery></div> === Notion d'axe optique principal (associé à un point objet), plans transverses === {{Al|5}}On appelle « axe optique principal <math>\;\big(</math>associé à un point objet<math>\big)\;</math>»<ref> Ce n'est pas la définition la plus générale qui est énoncée ci-après mais celle qui est donnée est applicable à tous les systèmes à l'exception d'une fibre optique courbée.</ref> la succession du « rayon incident passant par le point objet et normal à la face d'entrée »<ref> Ce rayon <math>-</math> ainsi que son prolongement « virtuel » au-delà de la face d'entrée <math>-</math> définit la partie incidente de l'axe optique principal.</ref> et des « rayons correspondants se propageant dans les espaces optiques successifs »<ref> Le rayon émergent <math>-</math> ainsi que son prolongement « virtuel » en-deçà de la face de sortie <math>-</math> définit la partie émergente de l'axe optique principal.</ref> ; {{Al|5}}les plans <math>\underline{\;\perp\;}</math><u>à l'axe optique principal</u> sont qualifiés de « <u>plans transverses</u> ». <div style="text-align: center;"><gallery mode="packed" heights="200px"> Axe optique principal.jpg|Exemples d'axe optique principal d'un dioptre ou d'un miroir <ref name="Ao supposé avoir une image Ai"> On a supposé que le faisceau incident issu du point objet <math>\;A_o\;</math> donnait un faisceau convergent en un point <math>\;A_i</math>, ceci n'est vrai que pour le miroir plan, pour les autres la convergence n'est pas ponctuelle pour une ouverture non petite <math>\;\ldots</math></ref> </gallery> <gallery mode="packed" heights="200px"> Axe optique principal bis.jpg|Exemples d'axe optique principal d'un prisme à réflexion totale<ref name="Ao supposé avoir une image Ai" /> ou d'un fibre optique courbée<ref> Pour une fibre optique courbée la définition d'un axe optique principal associé à un point objet doit être celle qui est donnée en remarque ci-dessous.</ref> </gallery> </div> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : La succession d'un « rayon incident passant par le point objet mais non normal à la face d'entrée » et des « rayons correspondants se propageant dans les espaces optiques successifs » définit un <u>axe optique secondaire</u> ; pour un point objet il n'y a qu'un axe optique principal mais une infinité d'axes optiques secondaires. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}La définition « la plus générale »<ref> Cette définition englobe la définition précédente et n'est vraiment utile que pour une fibre optique courbée pour laquelle la définition précédente ne s'applique pas.</ref> d'un « axe optique »<ref> Principal ou secondaire <math>\;\big(</math>associé à un point objet<math>\big)</math>.</ref> d’un système optique est la « trajectoire moyenne » des rayons lumineux d’un pinceau arrivant sur le système optique lors de la propagation de ces derniers à travers le système <math>\;\big(</math>voir la partie droite du schéma immédiatement au-dessus<math>\big)</math>. === Notion d'image d'un point objet par un système optique === {{Al|5}}Un faisceau issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math> étant constitué de rayons incidents indépendants les uns des autres, on détermine le trajet des rayons intermédiaires et émergents correspondant aux rayons incidents du faisceau et deux cas se présentent : * tous les rayons émergents sont concourants, le système optique donne alors du faisceau incident issu de <math>\;A_o\;</math> un faisceau convergent en un point <math>\;A_i</math>, <math>\;A_i\;</math> définit alors l'« image de <math>\;A_o\;</math> par le système optique » et cette image est « ponctuelle »<ref> On parle alors de « point image ».</ref>, * tous les rayons émergents ne sont pas concourants mais leur ensemble possède une zone de resserrement à éclairement maximal qui peut être considérée comme l'image « non ponctuelle »<ref> Et par conséquent apparaissant « floue ».</ref> de <math>\;A_o\;</math> par le système optique. === Stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet === {{Al|5}}Si le point objet <math>\;A_o\;</math> admet un point image <math>\;A_i\;</math> par le système optique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident issu de <math>\;A_o</math>, on dit qu'il y a « <u>stigmatisme rigoureux</u> du système optique pour le point objet <math>\;A_o\;</math>» ; {{Al|5}}si la propriété est vraie pour tous les points objets possibles, on dit que « <u>le système optique est stigmatique rigoureux</u> »<ref> Le stigmatisme rigoureux d'un système optique pour tous les points objets est très rare ; comme nous le verrons, le miroir plan en est un exemple mais c'est en fait le seul.</ref>. === Conjugaison rigoureuse d'un couple de points par un système optique === {{Al|5}}S'il y a stigmatisme rigoureux d'un système optique pour le point objet <math>\;A_o</math>, le point image étant noté <math>\;A_i\;</math>, on dit encore que « le couple de points <math>\;\left( A_o\,,\,A_i \right)\;</math> est <u>conjugué rigoureux</u> par le système optique ». === Espaces images, nature réelle ou virtuelle === {{Al|5}}S'il y a stigmatisme rigoureux du système optique, tout point objet <math>\;A_o\;</math> admet un point image <math>\;A_i\;</math> unique par le système optique ; <math>\;A_i\;</math> peut être situé {{Al|5}}<math>\succ\;</math><u>au-delà de la face de sortie du système optique étudié</u>, correspondant au point de « convergence du faisceau émergent », et ayant une existence réelle il est qualifié d'« <u>image réelle</u> » ou {{Al|5}}<math>\succ\;</math><u>en-deçà de la face de sortie du système optique étudié</u>, il résulte alors de la « divergence du faisceau émergent » à partir d'un point sans existence réelle, il est alors qualifié d'« <u>image virtuelle</u> » ; {{Al|5}}on définit alors deux « espaces optiques de positionnement des images »<ref> Voir la partie droite du schéma du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Notion_de_point_objet,_espaces_objets,_nature_réelle_ou_virtuelle|notion de point objet, espaces objets, nature réelle ou virtuelle]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> : * un « espace image réelle » situé au-delà de la face de sortie et * un « espace image virtuelle » situé en-deçà de la face de sortie. == Construction de l'« image » d'un objet ponctuel par un miroir plan, stigmatisme rigoureux d'un miroir plan == === Construction fondamentale d'un émergent correspondant à un incident donné === [[File:Miroir plan - construction émergent.jpg|thumb|300px|Construction d'un émergent par un miroir plan correspondant à un incident donné]] {{Al|5}}<u>Méthode de construction du réfléchi de l'incident '''AI'''</u> : : {{Al|5}}<math>\;A\;</math> étant un point quelconque de l’incident, construire <math>\;A'\;</math> symétrique de <math>\;A\;</math> par rapport au miroir, <math>\;A'I\;</math> est alors le prolongement virtuel du rayon réfléchi <math>\;IR</math>. {{Al|5}}<u>Justification de la construction ci-contre</u> : : {{Al|5}}Soit le rayon incident ci-contre qui se réfléchit sur le miroir plan en <math>\;I\;</math> <math>\big(</math>point d’incidence<math>\big)</math>, d'angle d'incidence «<math>\;\widehat{(\vec{N}\, \text{;}\, \overrightarrow{AI})} = i_1\;</math>» avec <math>\;A\;</math> un point quelconque de la partie réelle du rayon incident, le plan d’incidence <math>\;\big(</math>c'est-à-dire le plan contenant <math>\;\vec{N}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{AI}\big)\;</math> étant le plan de l'écran ; : {{Al|5}}de la 1^ère loi de Snell-Descartes<ref name="Snell"> '''[[w:Willebrord_Snell|Willebrord Snell Van Royen]] ou Snellius (1580 - 1626)''' humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant '''[[w:René_Descartes|Descartes]]''' {{Nobr|<math>\;\big(</math>sans}} que ce soit assuré<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la philosophie moderne, en physique a contribué à l'optique géométrique et en mathématiques est à l'origine de la géométrie analytique.</ref> de la réflexion<ref name="1ère loi de Snell-Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Première_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|1^ère loi de Snell-Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, on déduit que le rayon réfléchi <math>\;IR\;</math> est dans le plan de l'écran ; : {{Al|5}}de 2^ème loi de Snell-Descartes<ref name="Snell" />{{,}}<ref name="Descartes" /> de la réflexion<ref name="2ème loi de Snell-Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|2^ème loi de Snell-Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, on déduit l'angle de réflexion «<math>\;i_2 = \widehat{(\vec{N}'\, \text{;}\, \overrightarrow{IR})} = -i_1\;</math>», c'est-à-dire l'opposé de l'angle d'incidence, d'où le prolongement « virtuel » du réfléchi est symétrique de l'incident par rapport au miroir ; on en déduit que <math>\;A'\;</math> <math>\big(</math>symétrique de <math>\;A\;</math> par rapport au miroir<math>\big)\;</math> appartient à ce prolongement virtuel <math>\;\big(</math>C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>.<math>\big)</math>. === Stigmatisme rigoureux d'un miroir plan === [[File:Miroir plan - stigmatisme rigoureux.jpg|thumb|300px|Justification du stigmatisme rigoureux d'un miroir plan pour un point objet réel]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_o\;</math> un point objet réel <math>\;\big(</math>point source d’un faisceau incident dont on a représenté deux rayons incidents sur la figure ci-contre<ref name="algébrisation physique"> Sur cette figure a été indiquée l'[[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] définie au paragraphe précité plus loin dans ce chapitre.</ref> à droite<math>\big)</math> ; {{Al|5}}chaque rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> admet un réfléchi dont le prolongement virtuel passe par le symétrique <math>\;A_i\;</math> de <math>\;A_o\;</math> par rapport au miroir et par suite tous les rayons réfléchis étant issus de <math>\;A_i</math>, appartiennent à un même faisceau de sommet <math>\;A_i</math> ; {{Al|5}}<math>\;A_i</math>, <u>le symétrique</u> de <math>\;A_o\;</math> <u>par rapport au miroir</u>, est donc <u>le point image conjuguée du point objet</u> <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>la conjugaison entre <math>\;A_o\;</math> et <math>\;A_i\;</math> est rigoureuse car il n’y a aucune restriction sur le rayon incident issu de <math>\;A_o\big)\;</math> d'où le « stigmatisme rigoureux du miroir plan pour tous les points objets réels ». [[File:Miroir plan - stigmatisme rigoureux bis.jpg|thumb|left|300px|Justification du stigmatisme rigoureux d'un miroir plan pour un point objet virtuel]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_o\;</math> un point objet virtuel <math>\;\big(</math>c'est-à-dire le point de convergence d'un faisceau incident situé au-delà du miroir plan<math>\big)\;</math><ref> Pour créer un point objet virtuel <math>\;A_o\;</math> relativement au miroir plan, on crée un point image réelle <math>\;A_o\;</math> par un 1^er système optique d'une source ponctuelle <math>\;{A'}_{\!o}\;</math> <math>\big(</math>on crée donc un point de convergence réelle <math>\;A_o\;</math> par ce 1^er système optique d'un faisceau provenant d'une source ponctuelle <math>\;{A'}_{\!o}\big)</math>, mais on empêche la convergence réelle en <math>\;A_o\;</math> en interposant le miroir plan avant <math>\;A_o</math>, le faisceau rencontrant maintenant la face d'entrée du miroir avant son point de convergence <math>\;A_o</math>, ce dernier devient virtuel.</ref> <math>\;\big(</math>voir la figure ci-contre<ref name="algébrisation physique" /> à gauche<math>\big)</math> ; {{Al|5}}chaque rayon incident dont le prolongement aboutit à <math>\;A_o\;</math> admet un réfléchi passant par le symétrique <math>\;A_i\;</math> de <math>\;A_o\;</math> par rapport au miroir et par suite tous les rayons réfléchis aboutissant à <math>\;A_i</math>, appartiennent à un même faisceau de sommet <math>\;A_i</math> ; {{Al|5}}<math>\;A_i</math>, <u>le symétrique</u> de <math>\;A_o\;</math> <u>par rapport au miroir</u>, est donc <u>le point image conjuguée du point objet</u> <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>la conjugaison entre <math>\;A_o\;</math> et <math>\;A_i\;</math> est rigoureuse car il n’y a aucune restriction sur le rayon incident aboutissant à <math>\;A_o\big)\;</math> d'où le « stigmatisme rigoureux du miroir plan pour tous les points objets virtuels ». {{Al|5}}Finalement, ayant démontré le stigmatisme rigoureux du miroir plan pour tous les points objets réels ou virtuels, on peut affirmer <div style="text-align: center;">« <u>le stigmatisme rigoureux des miroirs plans</u> » ;<br>de plus <u>l'image et l'objet sont toujours de nature différente</u>, l'image d'un objet réel étant virtuel et l'image d'un objet virtuel, réelle.</div> {{clr}} === Points doubles d'un miroir plan et la nature afocale de ce dernier === {{Al|5}}On appelle « <u>point double</u> » d'un système optique stigmatique rigoureux, « <u>un point objet qui est son propre conjugué rigoureux par le système optique</u> »<ref> On peut dire aussi qu'un point double est un point objet qui est sa propre image par le système optique.</ref> ; {{Al|5}}considérant un miroir plan et les objets ponctuels situés sur un même axe optique principal, on peut définir sur cet axe deux points doubles : <div style="text-align: center;"><gallery mode="packed" heights="200px"> Miroir plan - point double.jpg|Justification de la propriété de point double pour les points d'un miroir plan Miroir plan - point double bis.jpg|Justification de la propriété de point double pour les points à l'infini d'un miroir plan </gallery> </div> * le « <u>sommet</u> <math>\;S\;</math> du miroir » c'est-à-dire « l'<u>intersection du miroir et de l'axe optique principal</u> », voir vérification sur figure ci-dessus à gauche, <br>{{Al|5}}un faisceau convergeant en <math>\;S\;</math> se réfléchit en faisceau divergeant à partir de <math>\;S\;</math> d'où « le sommet <math>\;S\;</math> du miroir plan est un point double de ce dernier pour l'axe optique principal considéré »<ref> Le miroir plan étant la « face d'entrée » du système optique, si on définit l'espace objet réel comme l'espace strictement situé en-deçà du miroir plan dans le sens incident et l'espace objet virtuel comme l'espace strictement situé au-delà du miroir plan dans le sens incident, les deux espaces objets n'ayant pas d'intersection, un objet est donc soit réel, soit virtuel ; <br>{{Al|3}}de même le miroir plan étant la « face de sortie » du système optique, si on définit l'espace image réelle comme l'espace strictement situé en-deçà du miroir plan dans le sens réfléchi et l'espace image virtuelle comme l'espace strictement situé au-delà du miroir plan dans le sens réfléchi, les deux espaces images n'ayant pas d'intersection, une image est donc soit réelle, soit virtuelle ; <br>{{Al|3}}avec cette définition, le point objet situé au sommet du miroir n'a ni caractère réel, ni caractère virtuel et il en est de même du point image positionné au sommet du miroir, ce qui, mettant le sommet à part relativement aux autres objets ou aux autres images, n'est pas satisfaisant ; <br>{{Al|3}}en fait il est impossible de mettre une source ponctuelle exactement sur le miroir, le plus simple pour essayer de réaliser l'expérience <math>\;\big(</math>avec un point objet sur le miroir plan<math>\big)\;</math> est de créer, par un autre système optique, une image ponctuelle <math>\;A_o\;</math> qui servira d'objet pour le miroir et de positionner ce dernier sur <math>\;A_o\;</math> mais dans la pratique le miroir sera très légèrement au-delà de <math>\;A_o\;</math> dans le sens incident rendant <math>\;A_o\;</math> réel ou très légèrement en-deçà de <math>\;A_o\;</math> dans le sens incident rendant <math>\;A_o\;</math> virtuel, aussi est-il possible de considérer qu'en théorie <math>\;A_o\;</math> sur le miroir est réel à <math>\;50\, \%\;</math> et virtuel à <math>\;50\, \%\;</math> ainsi que son image par le miroir confondue avec <math>\;A_o\;</math> est à la fois virtuelle à <math>\;50\, \%\;</math> et réelle à <math>\;50\, \%\;</math> <math>\big[</math>si en pratique le miroir est très légèrement au-delà de <math>\;A_o\;</math> dans le sens incident rendant <math>\;A_o\;</math> réel, l'image de ce dernier par le miroir sera très légèrement en-deçà du miroir dans le sens réfléchi rendant l'image virtuelle et si en pratique le miroir est au contraire très légèrement en-deçà de <math>\;A_o\;</math> dans le sens incident rendant <math>\;A_o\;</math> virtuel, l'image de ce dernier par le miroir sera très légèrement au-delà du miroir dans le sens réfléchi rendant l'image réelle<math>\big]\;</math> d'où l'intérêt de donner une autre définition des espaces objets réel et virtuel ainsi que des espaces images réelle et virtuelle d'un miroir plan permettant de ne plus particulariser le sommet du miroir sur un axe optique principal quelconque ; <br>{{Al|3}}pour cela il suffit de considérer que la « face d'entrée » appartient à la fois aux espaces objet réel et objet virtuel et que la « face de sortie » appartient à la fois aux espaces image réelle et image virtuelle, dans ces conditions le point double « sommet <math>\;S\;</math> du miroir plan pour l'axe optique principal considéré » situé sur le miroir dans l'intersection des espaces objet réel et image virtuelle ou des espaces objet virtuel et image réelle est bien tel que l'objet et l'image par le miroir plan sont confondues en étant de nature différente.</ref>, * le « <u>point à l'infini</u> de l'axe optique principal » voir vérification sur figure ci-dessus à droite, <br>{{Al|5}}un « faisceau <math>\;\parallel\;</math> de direction <math>\;\Delta\;</math> normale au miroir » se réfléchit sur lui-même<ref> Sur la figure considérée, les rayons réfléchis de point d'incidence respectif <math>\;S_A\;</math> et <math>\;S_B\;</math> ont été décalé relativement aux rayons incidents pour une question de lisibilité du schéma.</ref> d'où « le point à l'infini est un point double du miroir pour l'axe optique principal considéré »<ref> Pour que le point à l'infini sur l'axe optique principal soit un point double, il faut admettre qu'il est à la fois réel et virtuel <math>\;\big(</math>les points conjugués par un miroir plan étant de nature différente<math>\big)\;</math> c.-à-d. considérer <br>{{Al|3}}que l'espace objet réel <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'espace objet situé en-deçà de la face d'entrée du miroir dans le sens incident<math>\big)\;</math> et à l'espace image virtuelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'espace image situé en-deçà de la face de sortie du miroir dans le sens émergent<math>\big)\;</math> se rejoignent à l'infini ou que l'espace objet virtuel <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'espace objet situé au-delà de la face d'entrée du miroir dans le sens incident<math>\big)\;</math> et à l'espace image réelle {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} l'espace image situé au-delà de la face de sortie du miroir dans le sens émergent<math>\big)\;</math> se rejoignent aussi à l'infini ou encore, <br>{{Al|3}}qu'une droite en tant que « limite d'un cercle dont le centre est situé perpendiculairement à la droite à une distance tendant vers l'infini, le rayon du cercle tendant également vers l'infini » est une courbe qui se ferme à l'infini <math>\;\big(</math>le cercle dont la droite est la limite étant une courbe fermée<math>\big)</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}de cette propriété on en déduit que le miroir plan est un système « <u>afocal</u> » <math>\;\big(</math>voir définition ci-dessous<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Définition de système focal, de système afocal</u> : {{Al|10}}Un système optique est dit « <u>focal</u> » si « le point à l'infini de l'axe optique principal est le conjugué d'un point à distance finie », {{Al|8}}{{Transparent|Un système optique}}il est dit « <u>afocal</u> » si « le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double ». == Notion d'aplanétisme rigoureux == === Définition d'un objet linéique transverse === {{Al|5}}Un « <u>objet étendu</u> » peut être considéré comme une « <u>juxtaposition de points objets indépendants</u> », nous ne considérerons par la suite que des « objets étendus à une dimension »<ref> Un « objet étendu à deux dimensions » étant une « juxtaposition continue d'objets étendus à une dimension indépendants » et un « objet étendu à trois dimensions », une « juxtaposition continue d'objets étendus à deux dimensions indépendants ».</ref> ; {{Al|5}}un objet étendu à une dimension est dit « <u>linéique</u> » si les points objets le constituant sont « <u>alignés</u> », {{Al|5}}un objet linéique est dit « <u>transverse</u> » si les points objets alignés le constituant sont « <u>dans un même plan transverse</u> ». === Conséquence du caractère "stigmatisme rigoureux" d'un système optique sur un objet linéique transverse === {{Al|5}}Le système optique étant « stigmatique rigoureux », tous les points objets <math>\;M_o\;</math> constituant l'objet linéique transverse «<math>\;A_oB_o\;</math>» admettent un point image unique <math>\;M_i\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système optique étant « stigmatique rigoureux », }}« <u>le système optique donne de l'objet linéique transverse</u> <math>\;A_oB_o\;</math> <u>une image unique</u> <math>\;A_iB_i\;</math>»<ref> L'image «<math>\;A_iB_i\;</math>» étant composée d'images ponctuelles est donc « nette ».</ref> ; mais ''a priori'' <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système optique étant « stigmatique rigoureux », }}les points images composant <math>\;A_iB_i\;</math> ne sont pas nécessairement alignés <math>\;\big(</math><u>l'image n'est donc pas nécessairement linéique</u><math>\big)\;</math> et s'ils le sont <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système optique étant « stigmatique rigoureux », }}ils ne se situent pas nécessairement dans un même plan transverse <math>\;\big(</math><u>si l'image est linéique, elle n'est pas nécessairement transverse</u><math>\big)</math>. === Définition de l'aplanétisme rigoureux d'un système optique stigmatique rigoureux === {{Al|5}}Un système optique stigmatique rigoureux est « <u>aplanétique rigoureux</u> » si « <u>l'image d'un objet linéique transverse est elle-même linéique transverse quelles que soient la position et la dimension de l'objet</u> » ; <br>{{Al|5}}l'« <u>aplanétisme rigoureux</u> d'un système optique stigmatique rigoureux » est donc la <u>conservation du caractère « linéique transverse » lors de la conjugaison rigoureuse du système optique quel que soit l'objet</u>. == Construction de l'image d'un objet linéique transverse par un miroir plan, aplanétisme rigoureux d'un miroir plan == === Construction de l'image d'un objet linéique transverse par un miroir plan === [[File:Miroir plan - aplanétisme rigoureux.jpg|thumb|Justification de l'aplanétisme rigoureux d'un miroir plan pour un objet linéique transverse réel]] {{Al|5}}Soit l'objet linéique transverse réel <math>\;A_oB_o\;</math> de point objet générique <math>\;M_o\;</math> <math>\big(</math>voir figure ci-contre<ref> Sur cette figure sont indiquées l'algébrisation physique de l'axe optique principal ainsi que l'orientation des espaces objet et image qui seront définies aux paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principale (associé à un objet ponctuel)]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Orientation_des_espaces_objets_et_images|orientation des espaces objets et images]] » plus loin dans ce chapitre.</ref><math>\big)\;</math> dont on cherche l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de point image générique <math>\;M_i\;</math> par le miroir plan ; {{Al|5}}chaque point objet <math>\;M_o\;</math> ayant pour image <math>\;M_i</math>, le symétrique de <math>\;M_o\;</math> par rapport au miroir plan nous en déduisons que <br>{{Al|10}}« l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est symétrique de l'objet <math>\;A_oB_o\;</math>», l'image de l'objet réel étant virtuelle ; {{Al|5}}on pourrait faire la construction à partir d'un objet linéique transverse virtuel <math>\;A_oB_o\;</math> de point objet générique <math>\;M_o</math>, on trouverait que <br>{{Al|10}}« l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est symétrique de l'objet <math>\;A_oB_o\;</math>», l'image de l'objet virtuel étant réelle. === Aplanétisme rigoureux d'un miroir plan === {{Al|5}}Reprenons la figure ci-contre, <math>\;M_o\;</math> restant à distance constante du miroir <math>\;\big(</math>caractère linéique transverse de l'objet<math>\big)</math>, il en est de même de <math>\;M_i\;</math> d'où <br>{{Al|10}}le « caractère linéique transverse » de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> quelles que soient la position et la dimension de l'objet réel <math>\;\big(</math>ou virtuel<math>\big)</math> <math>\;A_oB_o\;</math> ; {{Al|5}}on en déduit l'« <u>aplanétisme rigoureux du miroir plan</u> » étant donné que la propriété est vraie pour tous les objets réels <math>\;\big(</math>ou virtuels<math>\big)</math>. == Natures différentes de l'objet et de son image par un miroir plan == {{Al|5}}D'après ce qui précède, « un miroir plan donne d'un objet réel une image virtuelle » et <br>{{Al|3}}{{Transparent|D'après ce qui précède, « un miroir plan donne}}« d'un objet virtuel, une image réelle » ; <center>« <u>un objet et son image conjuguée par miroir plan</u> » sont donc de « <u>natures différentes</u> »<ref> On rappelle qu'en englobant dans l'espace objet réel et l'espace objet virtuel, la face d'entrée du miroir, de même <br>{{Al|3}}{{Transparent|On rappelle }}qu'en englobant dans l'espace image réelle et l'espace image virtuelle, la face de sortie du miroir, <br>{{Al|3}}le point double « sommet du miroir sur l'axe optique principal considéré » peut être considéré comme un objet réel, son image confondue avec lui étant alors virtuelle ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|le point double « sommet du miroir sur l'axe optique principal considéré » peut être }}considéré comme un objet virtuel, son image confondue avec lui étant alors réelle ; de même <br>{{Al|3}}le point double « point à l'infini sur l'axe optique principal associé » <math>\;\big(</math>le point à l'infini d'une droite étant considéré comme le point de fermeture de la droite, limite d'un cercle dont le centre est situé perpendiculairement à la droite à une distance tendant vers l'infini, le rayon du cercle tendant également vers l'infini<math>\big)\;</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|le point double « point à l'infini sur l'axe optique principal associé » }}peut être considéré comme un objet réel, son image confondue avec lui étant alors virtuelle ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|le point double « point à l'infini sur l'axe optique principal associé » peut être }}considéré comme un objet virtuel, son image confondue avec lui étant alors réelle.</ref>.</center> == Algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel), algébrisation associée des plans transverses, orientation dissociée des plans d'incidence ou d'émergence == {{Al|5}}L'algébrisation physique de l'axe optique principal <math>\;\big(</math>associé à un objet ponctuel<math>\big)\;</math> n'ayant pas encore été introduite en cours, l'est dans ce chapitre mais, ce n'est pas une notion spécifique au miroir plan, elle concerne tous les [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Notion_de_système_optique|systèmes optiques]] qu'ils soient composés de dioptres ou de miroirs quelle que soit leur forme ; il en est de même des notions qui en découlent à savoir l'algébrisation associée des plans transverses et l'orientation dissociée des plans d'incidence ou d'émergence. === Algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel) === {{Al|5}}On oriente l'axe optique principal « <u>dans le sens de propagation de la lumière</u> » ce qui donne, suivant la nature du système optique, les sens suivants : [[File:Axe optique principal - dioptres.jpg|thumb|400px|Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un système dioptrique unidirectionnel]] * dans un système dioptrique « unidirectionnel »<ref name="unidirectionnel"> Le qualificatif « unidirectionnel » appliqué à un système dioptrique ou catadioptrique signifiant que ce système dioptrique ou catadioptrique est à « axe optique principal unidirectionnel » ;<br>{{Al|3}}avec la définition pratique de l'axe optique principal <math>\;\big(</math>applicable à pratiquement tous les systèmes à l'exception des fibres optiques courbées<math>\big)</math>, l'axe optique principal est constitué de rayons ayant tous même support.</ref>, l'axe optique principal est constitué de rayons incident, intermédiaires et émergent de même direction où les sens incident et émergent sont les mêmes<ref> L'application de cette propriété se prolonge aux systèmes catadioptriques unidirectionnels à nombre pair de miroirs.</ref>, <br>il n'y a donc qu'« <u>un seul sens</u><math>\underline{\;+\;}</math>»<ref> [[File:Axe optique principal - périscope.jpg|thumb|Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un périscope]] Dans un système catadioptrique polydirectionnel comme celui du système optique formant un périscope <math>\;\big(</math>le système est qualifié de catadioptrique car on observe des réflexions totales<math>\big)</math>, l'axe optique principal est constitué * de rayon incident <math>\;\perp\;</math> à la face d'entrée, de rayon intermédiaire de même direction et de même sens que le rayon incident avant la 1^ère réflexion totale, * de rayons intermédiaires de direction <math>\;\perp\;</math> au rayon incident après la 1^ère réflexion, * de rayon intermédiaire de même direction et de même sens que le rayon incident après la 2^ème réflexion totale, de rayon émergent de même direction et de même sens que le rayon incident, {{Al|3}}on dénombre donc « deux sens <math>\;+\;</math>», <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> le sens <math>\;+\;</math> incident ou émergent <math>\;\big(</math>ainsi qu'intermédiaire juste avant le 1^ère réflexion totale ou juste après la 2^ème<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> le sens <math>\;+\;</math> pour les rayons intermédiaires correspondant à une rotation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math> en valeur absolue relativement au sens <math>\;+\;</math> commun précédent.</ref> <math>\;\big(</math>voir schémas ci-contre à droite<math>\big)</math>, [[File:Axe optique principal - miroirs.jpg|thumb|left|400px|Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un miroir]] * dans un système catadioptrique « unidirectionnel »<ref name="unidirectionnel" />, l'axe optique principal est là encore constitué de rayons incident et émergent de même direction<ref> Si le système catadioptrique contient des dioptres intermédiaires <math>\;\big(</math>les faces d'entrée et de sortie étant les faces d'un miroir, les dioptres séparant des espaces optiques intermédiaires<math>\big)</math>, en plus des rayons incident et émergent il y a des rayons intermédiaires mais pour un système « unidirectionnel » les rayons intermédiaires sont de même direction que les rayons incident et émergent ;<br>{{Al|3}}si au contraire le miroir est intermédiaire il y a également en plus des rayons incident et émergent aboutissant ou issu des dioptres extrêmes, des rayons intermédiaires dont ceux aboutissant et issu du miroir, tous ces rayons ayant même direction.</ref> mais où les sens incident et émergent sont contraires<ref> Si le système catadioptrique « unidirectionnel » contient des dioptres intermédiaires, il y a des rayons intermédiaires de même direction que les rayons incident et émergent ; le sens des rayons intermédiaires est alors identique au sens incident ;<br>{{Al|3}}si au contraire le miroir est intermédiaire il y a donc des rayons intermédiaires de même direction que les rayons incident et émergent, le sens des rayons intermédiaires avant le miroir étant identique au sens incident et celui des rayons intermédiaires après le miroir identique au sens émergent.</ref>, <br>il y a donc « <u>deux sens</u><math>\underline{\;+\;}</math>», <br><math>\;\succ\;</math>« <u>le sens incident</u> » et <br><math>\;\succ\;</math>« <u>le sens émergent</u> » <br><math>\;\big(</math>voir schémas ci-contre à gauche<ref> [[File:Axe optique principal - équerre optique.jpg|thumb|200px|Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'une équerre optique]] Dans un système catadioptrique polydirectionnel comme dans le cas d'un prisme à réflexion totale formant une équerre optique <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à droite<math>\big)</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>le}} système est qualifié de catadioptrique car on observe des réflexions totales, dans le cas d'une équerre optique on n'en observe qu'une<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Dans un système catadioptrique polydirectionnel comme dans le cas d'un prisme à réflexion totale formant une équerre optique }}« il y a deux sens <math>\;+\;</math>», <br>{{Al|3}}{{Transparent|Dans un système catadioptrique polydirectionnel comme dans le cas d'un prisme à réflexion totale formant une équerre optique }}<math>\bullet\;</math>le sens <math>\;+\;</math> incident et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Dans un système catadioptrique polydirectionnel comme dans le cas d'un prisme à réflexion totale formant une équerre optique }}<math>\bullet\;</math>le sens <math>\;+\;</math> émergent, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Dans un système catadioptrique polydirectionnel comme dans le cas d'un prisme à réflexion totale formant une équerre optique }}le sens du rayon intermédiaire avant réflexion étant identique au sens incident et celui du rayon intermédiaire après réflexion identique au sens émergent ; [[File:Axe optique principal - prisme à réflexion totale.jpg|left|450px|caption|Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un prisme à réflexion totale]] un autre exemple de système catadioptrique polydirectionnel est le cas du prisme à réflexion totale dans lequel on observe deux réflexions totales <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à gauche exposant l'algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un prisme à réflexion totale<math>\big)</math>, il y a alors « trois sens <math>\;+\;</math>», * le sens <math>\;+\;</math> incident pour les rayons incident et intermédiaire avant la 1^ère réflexion totale, * le sens <math>\;+\;</math> intermédiaire correspondant à une rotation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math> en valeur absolue relativement au sens <math>\;+\;</math> incident pour le rayon intermédiaire après la 1^ère réflexion totale et avant la 2^ème, * le sens <math>\;+\;</math> émergent opposé au sens <math>\;+\;</math> incident pour les rayons émergent et intermédiaire après la 2^ème réflexion totale.</ref><math>\big)</math>. {{clr}} [[File:Axe optique principal - fibre optique courbée.jpg|thumb|400px|Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un fibre optique courbée]] {{Al|5}}Pour terminer un exemple où l'axe optique principal associé à un point objet n'est pas une succession de rayons incident, intermédiaires et émergent car la partie intermédiaire n'est pas constituée de rayons <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}c'est l'exemple déjà cité de « fibre optique courbée » <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|c'est l'exemple déjà cité de « fibre optique courbée » }}dans ce cas « il n'y a qu'un seul sens <math>\;+\;</math>». === Repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal === {{Al|5}}La position d’un point objet ou celle d'un point image de l'axe optique principal « d'un dioptre ou d'un miroir »<ref> Avec un dioptre ou un miroir, l'axe optique principal associé à un point objet est constitué * du rayon incident issu du point objet <math>\;\perp\;</math> à la surface dioptrique ou réfléchissante et * du rayon émergent de même direction et de même sens que le rayon incident pour un dioptre ou de sens contraire pour un miroir.</ref> est repérée par rapport à une « origine liée à la surface dioptrique ou réfléchissante » <ref> Le plus souvent on choisit le sommet <math>\;S\;</math> de la surface dioptrique ou réfléchissante, c.-à-d. l'intersection de cette dernière avec l'axe optique principal.</ref> sur laquelle tous les rayons incidents issus du point objet arrivent et de laquelle tous les rayons émergents repartent en direction du point image<ref name="point image"> Pour définir un couple de points conjugués, il faut bien sûr que le système optique soit stigmatique rigoureux pour le point objet.</ref>, le point commun du rayon incident et du rayon émergent correspondant étant le point d'incidence situé sur la surface dioptrique ou réfléchissante, voir schémas ci-dessous, * « surface dioptrique » à gauche et * « surface réfléchissante » <ref> Seul le cas d'un objet réel et d'une image virtuelle a été représenté <math>\;\big(</math>l'image n'étant ''a priori'' pas celle de l'objet positionné<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si l'objet était virtuel il serait au-delà du miroir sur la partie incidente de l'axe optique principal <math>\;\big(</math>donc à droite<math>\big)\;</math> et si l'image envisagée était réelle elle serait au-delà du miroir sur la partie réfléchie de l'axe optique principal <math>\;\big(</math>donc à gauche<math>\big)</math>.</ref> au centre ; <div style="text-align: center;"> <gallery mode="packed" heights="140px"> Repérage - dioptre.jpg|Repérage d'un point objet ou image sur l'axe optique principal d'un dioptre, lien entre la réalité ou la virtualité du point et le signe de son abscisse Repérage - miroir.jpg|Repérage d'un point objet ou image sur l'axe optique principal d'un miroir, lien entre la réalité ou la virtualité du point et le signe de son abscisse Repérage - prisme à réflexion totale.jpg|Repérage d'un point objet ou image sur l'axe optique principal d'un prisme à réflexion totale, lien entre réalité ou virtualité du point et signe de son abscisse </gallery> </div> {{Al|5}}dans un système « dioptrique à plus d'un dioptre » ou « catadioptrique à un miroir et plusieurs dioptres »<ref> Dans ce cas le miroir ne pouvant constituer la face d'entrée <math>\;\big(</math>sinon les dioptres ne seraient pas utilisés<math>\big)</math>, le système optique comprend au moins deux dioptres, celui dont la surface dioptrique sert de face d'entrée aboutissant directement <math>\;\big(</math>ou par l'intermédiaire d'autres dioptres<math>\big)\;</math> au miroir lequel, par retour inverse de la lumière, renvoie directement <math>\;\big(</math>ou par l'intermédiaire des dioptres inverses<math>\big)\;</math> vers le dioptre inverse de celui d'entrée, la surface dioptrique de ce dioptre inverse servant de face de sortie.</ref> ou « catadioptrique à plus d'un miroir ou surface réfléchissante »<ref name="surface réfléchissante"> Une surface réfléchissante qui n'est pas un miroir étant par exemple une surface dioptrique sur laquelle on observe une réflexion totale.</ref> ou encore, dans un système à axe optique principal possédant une portion courbée<ref> Comme une fibre optique courbée.</ref>, que le système soit unidirectionnel ou polydirectionnel<ref> C.-à-d. que l'axe optique principal soit constitué de rayons de même direction ou de directions différentes.</ref>, la position d’un point objet ou d'un point image<ref name="point image" /> de l'axe optique principal est repérée par rapport à une « origine liée à la face d'entrée ou la face de sortie »<ref> Le plus souvent on choisit le sommet <math>\;S_e\;</math> de la face d'entrée, c.-à-d. l'intersection de cette dernière avec l'axe optique principal pour repérer un point objet et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Le plus souvent on choisit }}le sommet <math>\;S_s\;</math> de la face de sortie, c.-à-d. l'intersection de cette dernière avec l'axe optique principal pour repérer un point image.</ref> en utilisant le « sens <math>\;+\;</math> incident » ou le « sens <math>\;+\;</math> émergent »<ref> Le sens <math>\;+\;</math> incident servant à repérer le point objet et le sens <math>\;+\;</math> émergent à repérer le point image.</ref>, voir ci-dessus à droite sur l'exemple du prisme à réflexion totale. === Précautions à prendre lors de l'utilisation de l'algébrisation physique de l'axe optique principal d'un système pour lequel il y a plusieurs sens + définis sur l'axe optique principal === {{Al|5}}Dans le cas d'un miroir, <u>une même position géométrique ayant une abscisse différente</u>, <u>suivant qu’elle est occupée par un point objet ou un point image</u>, il faut préciser nettement s'il s’agit d'un point du rayon incident ou d'un point du rayon réfléchi et pour cela une façon consiste à <u>rappeler</u> « <u>le sens d’orientation de la partie incidente ou réfléchie</u> de l’axe optique principal » <ref> Dans le cas où le miroir est vertical avec l'espace objet réel sur sa gauche, le sens incident est <math>\;\rightarrow\;</math> et le sens réfléchi <math>\;\leftarrow</math> ; <br>{{Al|4}}{{Transparent|Dans le cas où }}si le miroir est retourné, l'espace objet réel étant maintenant sur sa droite, le sens incident devient <math>\;\leftarrow\;</math> et le sens réfléchi <math>\;\rightarrow</math> ; <br>{{Al|4}}{{Transparent|Dans le cas }}si le miroir est horizontal avec l'espace objet réel au-dessus, le sens incident est <math>\;\downarrow\;</math> et le sens réfléchi <math>\;\uparrow\;</math> etc <math>\;\ldots</math></ref> <u>en indice de la mesure algébrique considérée</u>. === Orientation des espaces objets et images === {{Al|5}}Orientant les « espaces objets » <math>\;\big(</math>réels et virtuels<math>\big)\;</math> « <u>à droite</u> »<ref name="orienté à droite ou à gauche"> Orientation de l'espace définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteur]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref> et y choisissant une « <u>base directe</u> »<ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire déterminée par la « règle de la main droite »<ref name="règle de la main droite"> Levant le pouce de la main droite dans le sens du 1^er vecteur, l'index pointant dans le sens du 2^ème vecteur, « le sens du 3^ème vecteur est donné par le majeur courbé vers la paume de la main droite » <math>\;\big(</math>ceux qui se souviennent de leur enfance pourraient encore appeler cette règle « la règle de l'apprenti cow-boy droitier »<math>\big)</math> ; il existe d'autres règles équivalentes : <br> {{Al|3}}« ''règle de l'auto-stoppeur (droitier)'' » : l'avant bras <math>\;\big(</math>droit<math>\big)\;</math> étant dans le sens du 1^er vecteur, la poigne de la main <math>\;\big(</math>droite<math>\big)\;</math> courbée dans le sens du 2^ème vecteur, le pouce est alors levé dans le sens du 3^ème vecteur, <br> {{Al|3}}« ''règle du tire-bouchon de Maxwell'' » : le tire-bouchon tournant du 1^er vecteur vers du 2^ème, il s'enfonce dans le bouchon fixe dans le sens de du 3^ème vecteur, <br>{{Al|3}}« ''règle du bonhomme d'Ampère'' » : le bonhomme d'Ampère se couchant sur la direction du 1^er vecteur, ce vecteur lui entrant par les pieds et lui sortant par la tête, regardant droit devant dans le sens du 2^ème vecteur, il tend le bras gauche perpendiculairement à son corps dans le sens du 3^ème vecteur, <br> {{Al|3}}et ''bien d'autres règles'' que vous pouvez vous-même inventer. <br> {{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur. <br>{{Al|3}}'''[[w:André-Marie_Ampère|André-Marie Ampère]] (1775 - 1836)''', mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'[[w:Électronique|électronique]] de la matière ; c'est lui qui inventa le bonhomme fictif portant son nom et permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs.</ref><math>\big)</math>, l'orientation des espaces images {{Nobr|<math>\;\big(</math>réelles}} et virtuelles<math>\big)\;</math> dépend du système optique considéré : * si le système optique est « dioptrique », les « espaces images » <math>\;\big(</math>réelles et virtuelles<math>\big)\;</math> sont « orientés à droite »<ref name="orienté à droite ou à gauche"/> avec choix d'une « <u>base directe</u> »<ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire déterminé par la « règle de la main {{Nobr|droite »<ref name="règle de la main droite" /><math>\big)</math>}} <math>\;\big\{</math>image de la base directe des espaces objets <math>\;\big(</math>réels et virtuels<math>\big)\;</math> par le système dioptrique<math>\big\}</math>, * si le système optique est « catadioptrique »<ref name="sens premier de catadioptrique"> Au sens premier du terme, c.-à-d. contenant un miroir et éventuellement des dioptres.</ref>, les « espaces images » <math>\;\big(</math>réelles et virtuelles<math>\big)\;</math> sont « orientés à gauche »<ref name="orienté à droite ou à gauche"/> avec choix d'une « <u>base indirecte</u> <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math>»<ref name="base directe d'un espace orienté à gauche"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire déterminée par la « règle de la main gauche »<ref name="règle de la main gauche"> Levant le pouce de la main gauche dans le sens du 1^er vecteur, l'index pointant dans le sens du 2^ème vecteur, « le sens du 3^ème vecteur est donné par le majeur courbé vers la paume de la main gauche » <math>\;\big(</math>pourraient encore être appelée « la règle de l'auto-stoppeur gaucher »<math>\big)</math>.</ref><math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>la base indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math><ref name="base directe d'un espace orienté à gauche" /> des espaces images <math>\;\big(</math>réelles et virtuelles<math>\big)\;</math> est l'image de la base directe<ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /> des espaces objets {{Nobr|<math>\;\big(</math>réels}} et virtuels<math>\big)\;</math> par le système catadioptrique<ref name="sens premier de catadioptrique" /><math>\big\}</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Si le système optique est catadioptrique avec plusieurs miroirs <math>\;\big(</math>ou surfaces réfléchissantes<ref name="surface réfléchissante" /><math>\big)</math>, l'orientation des espaces images <math>\;\big(</math>réelles et virtuelles<math>\big)\;</math> dépend du nombre de miroirs <math>\;\big(</math>ou de surfaces réfléchissantes<ref name="surface réfléchissante" /><math>\big)</math> ; * après un <u>nombre pair de réflexions</u>, les « espaces images » <math>\;\big(</math>réelles et virtuelles<math>\big)\;</math> sont « orientés à droite »<ref name="orienté à droite ou à gauche" /> avec choix d'une « <u>base directe</u> »<ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire déterminée par la « règle de la main {{Nobr|droite »<ref name="règle de la main droite" /><math>\big)</math>}} <math>\;\big\{</math>la base directe<ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /> des espaces images <math>\;\big(</math>réelles et virtuelles<math>\big)\;</math> est l'image de la base directe<ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /> des espaces objets <math>\;\big(</math>réels et {{Nobr|virtuels<math>\big)\;</math>}} par le système catadioptrique à nombre pair de réflexions<math>\big\}</math>, * après un <u>nombre impair de réflexions</u>, les « espaces images » <math>\;\big(</math>réelles et virtuelles<math>\big)\;</math> sont « orientés à gauche »<ref name="orienté à droite ou à gauche" /> avec choix d'une « <u>base indirecte</u> <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math>»<ref name="base directe d'un espace orienté à gauche" /> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire déterminée par la « règle de la main gauche »<ref name="règle de la main gauche" /><math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>la base indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math><ref name="base directe d'un espace orienté à gauche" /> des espaces images <math>\;\big(</math>réelles et virtuelles<math>\big)\;</math> est l'image de la base directe<ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /> des espaces objets <math>\;\big(</math>réels et virtuels<math>\big)\;</math> par le système catadioptrique à nombre impair de réflexions<math>\big\}</math>. === Algébrisation associée des plans transverses === {{Al|5}}L'axe optique principal du système optique étant algébrisé physiquement, le(s) vecteur(s) unitaire(s) associé(s) à cette algébrisation défini(ssen)t le 1^er vecteur de base orientant l'espace objet <math>\;\big(</math>ou image<math>\big)</math>, les 2^ème et 3^ème vecteurs de base orthonormée orientant cet espace objet <math>\;\big(</math>ou image<math>\big)\;</math> définissant l'algébrisation des plans transverses de l'espace considéré, plus précisément : * si le système optique est « <u>dioptrique unidirectionnel</u> », l'axe optique principal n'ayant qu'une seule orientation, le vecteur unitaire associé est noté <math>\;\vec{u}_1</math>, les espaces objet et image étant tous deux « orientés à droite »<ref name="orienté à droite ou à gauche" /> avec choix d'une « base orthonormée directe »<ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire déterminée par la « règle de la main droite »<ref name="règle de la main droite" /><math>\big)</math>, nous la choisissons commune et la notons <math>\;(\vec{u}_1,\, \vec{u}_2,\, \vec{u}_3)</math>, ceci entraînant une <u>algébrisation identique des plans transverses des espaces objet ou image</u><ref name="algébrisation comparée"> On peut faire la comparaison de l'algébrisation des plans transverses des espaces objets et celle des plans transverses des espaces images car ces derniers sont parallèles dans un système optique unidirectionnel.</ref> par <math>\;(\vec{u}_2,\, \vec{u}_3)</math> ; [[File:Miroir plan - aplanétisme rigoureux.jpg|thumb|300px|Algébrisation identique des plans transverses des espaces objets et images d'un miroir plan]] * si le système optique est « <u>catadioptrique unidirectionnel</u> », l'axe optique principal a une orientation différente suivant qu'il s'agit d'un point objet ou d'un point image, <br><math>\;\succ\;</math>le vecteur unitaire associé de la partie incidente de l'axe optique principal étant noté <math>\;\vec{u}_1</math>, les espaces objets <math>\;\big(</math>réel ou virtuel<math>\big)\;</math> sont « orientés à droite »<ref name="orienté à droite ou à gauche" /> avec choix d'une « base orthonormée directe »<ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /> notée <math>\;(\vec{u}_1,\, \vec{u}_2,\, \vec{u}_3)</math>, ceci entraînant l'algébrisation des plans transverses des espaces objets <math>\;\big(</math>réel ou {{Nobr|virtuel<math>\big)\;</math>}} par <math>\;(\vec{u}_2,\, \vec{u}_3)\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math>le vecteur unitaire associé de la partie émergente de l'axe optique principal étant noté <math>\;{\vec{u}'}_1 = -\vec{u}_1</math>, les espaces images <math>\;\big(</math>réelles ou virtuelles<math>\big)\;</math> sont « orientés à gauche »<ref name="orienté à droite ou à gauche" /> avec choix d'une « base orthonormée indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math>»<ref name="base directe d'un espace orienté à gauche" /> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire déterminée par la « règle de la main gauche »<ref name="règle de la main gauche" /><math>\big)</math>, notée <math>\;({\vec{u}'}_1,\, \vec{u}_2,\, \vec{u}_3)\;</math><ref> Le vecteur unitaire <math>\;{\vec{u}'}_1\;</math> étant égal à <math>\;-\vec{u}_1</math>, les bases <math>\;(\vec{u}_1,\, \vec{u}_2,\, \vec{u}_3)\;</math> et <math>\;({\vec{u}'}_1,\, \vec{u}_2,\, \vec{u}_3)\;</math> ont des orientations opposées, la 1^ère étant directe, la 2^ème est donc indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)</math>.</ref>, ceci entraînant la <u>même algébrisation des plans transverses des espaces images</u> <math>\;\big(</math>réelles ou virtuelles<math>\big)\;</math> par <math>\;(\vec{u}_2,\, \vec{u}_3)</math> <u>que celle des plans transverses des espaces objets</u><math>\;\big(</math>réels ou virtuels<math>\big)\;</math><ref name="algébrisation comparée" /> <math>\;\big[</math>voir schéma ci-contre dans l'exemple d'un miroir plan où <math>\;\vec{u}_1\;</math> est noté <math>\;\vec{u}_x</math>, <math>\;{\vec{u}'}_1\;</math> noté <math>\;{\vec{u}'}_x\;</math> et <math>\;(\vec{u}_2,\, \vec{u}_3)\;</math> notés <math>\;(\vec{u}_y,\, \vec{u}_z)\big]</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On rappelle que pour un système catadioptrique avec plusieurs miroirs <math>\;\big(</math>ou surfaces réfléchissantes<ref name="surface réfléchissante" /><math>\big)</math>, l'orientation des espaces images <math>\;\big(</math>réelles ou virtuelles<math>\big)\;</math> dépend du nombre de miroirs <math>\;\big(</math>ou de surfaces réfléchissantes<ref name="surface réfléchissante" /><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\bullet\;</math>après un <u>nombre pair de réflexions</u>, les « espaces images » <math>\;\big(</math>réelles ou virtuelles<math>\big)\;</math> sont « orientés à droite »<ref name="orienté à droite ou à gauche" /> avec choix d'une « <u>base orthonormée directe</u> »<ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\bullet\;</math>après un <u>nombre impair de réflexions</u>, les « espaces images » <math>\;\big(</math>réelles ou virtuelles<math>\big)\;</math> sont « orientés à gauche »<ref name="orienté à droite ou à gauche" /> avec choix d'une « <u>base orthonormée indirecte</u> {{Nobr|<math>\;\big(</math>au}} sens de la physique<math>\big)\;</math>»<ref name="base directe d'un espace orienté à gauche" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}toutefois, dans les deux cas, les plans transverses des espaces objets ou images sont algébrisés selon la règle citée en introduction de ce paragraphe respectant l'orientation de l'espace auquel appartient le plan transverse considéré<ref> Néanmoins l'algébrisation des plans transverses des espaces objets <math>\;\big(</math>réels ou virtuels<math>\big)\;</math> et celle des plans transverses des espaces images <math>\;\big(</math>réelles ou virtuelles<math>\big)\;</math> ne peuvent être comparées que si les plans transverses sont <math>\;\parallel</math>.</ref>. === Orientation des plans d'incidence et d'émergence === ==== Rappel de l'orientation des angles d'un plan d'un espace à trois dimensions ==== {{Al|5}}L'espace étant « orienté à droite »<ref name="orienté à droite ou à gauche" /> avec choix d'une base orthonormée « directe »<ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire déterminée par la « règle de la main droite »<ref name="règle de la main droite" /><math>\big)\;</math> ou {{Al|5}}{{Transparent|L'espace étant }}« orienté à gauche »<ref name="orienté à droite ou à gauche" /> avec choix d'une base orthonormée « indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math>»<ref name="base directe d'un espace orienté à gauche" /> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire déterminée par la « règle de la main gauche »<ref name="règle de la main gauche" /><math>\big)\;</math>, {{Al|5}}les angles d'un plan quelconque de cet espace sont orientés par un <u>vecteur unitaire normal</u> <math>\;\vec{n}\;</math> et {{Al|5}}<math>\;\vec{e}_1\;</math> et <math>\;\vec{e}_2\;</math> étant deux vecteurs non colinéaires quelconques du plan dont les angles sont orientés par <math>\;\vec{n}</math>, le signe de l'angle algébrisé <math>\;\widehat{( \vec{e}_1\,,\, \vec{e}_2 )}\;</math> se détermine par la règle suivante : * si « le trièdre <math>\;(\vec{n},\, \vec{e}_1,\, \vec{e}_2)\;</math> est direct » <math>\;\big(</math>c'est-à-dire suivant la « règle de la main droite »<ref name="règle de la main droite" /><math>\big)\;</math> dans un espace « orienté à droite »<ref name="orienté à droite ou à gauche" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\widehat{( \vec{e}_1\,,\, \vec{e}_2 )} > 0</math>, <br>si « le trièdre <math>\;(\vec{n},\, \vec{e}_1,\, \vec{e}_2)\;</math> est indirect » <math>\;\big(</math>c'est-à-dire suivant la « règle de la main gauche »<ref name="règle de la main gauche" /><math>\big)\;</math> dans un espace « orienté à droite »<ref name="orienté à droite ou à gauche" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\widehat{( \vec{e}_1\,,\, \vec{e}_2 )} < 0</math>, * si « le trièdre <math>\;(\vec{n},\, \vec{e}_1,\, \vec{e}_2)\;</math> est indirect <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math>» <math>\;\big(</math>c'est-à-dire suivant la « règle de la main gauche »<ref name="règle de la main gauche" /><math>\big)\;</math> dans un espace « orienté à gauche »<ref name="orienté à droite ou à gauche" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\widehat{( \vec{e}_1\,,\, \vec{e}_2 )} > 0</math>, <br>si « le trièdre <math>\;(\vec{n},\, \vec{e}_1,\, \vec{e}_2)\;</math> est direct <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math>» <math>\;\big(</math>c'est-à-dire suivant la « règle de la main droite »<ref name="règle de la main droite" /><math>\big)\;</math> dans un espace « orienté à gauche »<ref name="orienté à droite ou à gauche" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\widehat{( \vec{e}_1\,,\, \vec{e}_2 )} < 0</math>. ==== Orientation des plans d'incidence et d'émergence ==== {{Al|5}}Si le système optique est « unidirectionnel », les plans d'incidence et d'émergence sont confondus et il est souhaitable <math>-</math> comme cela a été fait pour la réfraction et la réflexion <math>-</math> de définir un « même sens <math>\;+\;</math> d'orientation des angles » ; * si le système est « dioptrique unidirectionnel », l'axe optique principal n'a qu'« une seule orientation de vecteur unitaire noté <math>\;\vec{u}_1\;</math>», les espaces objet et image sont tous deux « orientés à droite »<ref name="orienté à droite ou à gauche" /> avec choix d'une base « directe commune »<ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire déterminée par la « règle de la main droite »<ref name="règle de la main droite" /><math>\big)\;</math> «<math>\;(\vec{u}_1,\, \vec{u}_2,\, \vec{u}_3)\;</math>» et <br>{{Transparent|si le système est « dioptrique unidirectionnel », }}si le plan d'incidence est le plan <math>\;(\vec{u}_1,\, \vec{u}_2)</math>, le plan d'émergence est aussi <math>\;(\vec{u}_1,\, \vec{u}_2)</math>, tous les deux étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{u}_3</math>, le choix d'orienter les angles de ce plan par <math>\;\vec{u}_3\;</math> <math>\Rightarrow</math> « le sens <math>\;+\;</math> des angles de ce plan est de <math>\;\vec{u}_1\;</math> vers <math>\;\vec{u}_2\;</math>» car «<math>\;(\vec{u}_3,\, \vec{u}_1,\, \vec{u}_2)\;</math> est direct »<ref name="influence d'une permutation circulaire sur le caractère direct ou indirect d'une base"> Toute permutation circulaire sur une base conservant son caractère direct ou indirect.</ref> ; * si le système est « catadioptrique unidirectionnel », la partie incidente de l'axe optique principal est orientée par le vecteur de base <math>\;\vec{u}_1\;</math> 1^er vecteur de la base des espaces objets « orientés à droite »<ref name="orienté à droite ou à gauche" />, base choisie « directe <math>\;(\vec{u}_1,\, \vec{u}_2,\, \vec{u}_3)\;</math>»<ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire déterminée par la « règle de la main droite »<ref name="règle de la main droite" /><math>\big)\;</math> alors que <br>{{Transparent|si le système est « catadioptrique unidirectionnel », }}sa partie émergente par le vecteur de base <math>\;{\vec{u}'}_1 = -\vec{u}_1\;</math> 1^er vecteur de la base des espaces images « orientés à gauche »<ref name="orienté à droite ou à gauche" />, base choisie « indirecte {{Nobr|<math>\;\big(</math>au}} sens de la physique<math>\big)</math> <math>\;({\vec{u}'}_1,\, \vec{u}_2,\, \vec{u}_3)\;</math>»<ref name="base directe d'un espace orienté à gauche" /> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire déterminée par la « règle de la main gauche »<ref name="règle de la main gauche" /><math>\big)\;</math> et <br>{{Transparent|si le système est « catadioptrique unidirectionnel », }}si le plan d'incidence est le plan <math>\;(\vec{u}_1,\, \vec{u}_2)</math>, le plan d'émergence est le plan <math>\;({\vec{u}'}_1,\, \vec{u}_2)</math>, tous deux étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{u}_3</math>, le choix d'orienter les angles de ce plan commun par <math>\;\vec{u}_3\;</math> aurait pour conséquences : <br>{{Transparent|si le système est « catadioptrique unidirectionnel », }}« le sens <math>\;+\;</math> des angles du plan d'incidence est de <math>\;\vec{u}_1\;</math> vers <math>\;\vec{u}_2\;</math>» car «<math>\;(\vec{u}_3,\, \vec{u}_1,\, \vec{u}_2)\;</math> est direct »<ref name="influence d'une permutation circulaire sur le caractère direct ou indirect d'une base" /> <math>\;\big(</math>suivant la « règle de la main droite »<ref name="règle de la main droite" /><math>\big)\;</math> dans un espace « orienté à droite »<ref name="orienté à droite ou à gauche" /> mais <br>{{Transparent|si le système est « catadioptrique unidirectionnel », }}« le sens <math>\;+\;</math> des angles du plan d'émergence étant, avec le choix d'orientation par <math>\;\vec{u}_3</math>, de <math>\;{\vec{u}'}_{\!1}\;</math> vers <math>\;\vec{u}_2\;</math>» car «<math>\;(\vec{u}_3,\, {\vec{u}'}_{\!1},\, \vec{u}_2)\;</math> est indirect <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math>»<ref name="influence d'une permutation circulaire sur le caractère direct ou indirect d'une base" /> <math>\;\big(</math>suivant la « règle de la main gauche »<ref name="règle de la main gauche" /><math>\big)\;</math> dans un espace « orienté à gauche »<ref name="orienté à droite ou à gauche" />, ce sens <math>\;+\;</math> des angles du plan d'émergence serait le sens <math>\;-\;</math> des angles du plan d'incidence, ce qui n'est pas ce que nous souhaitions, aussi <br>{{Al|5}}{{Transparent|si le système est « catadioptrique unidirectionnel », }}« les angles du plan d'incidence étant orientés par <math>\;\vec{u}_3\;</math>» c'est-à-dire « de <math>\;\vec{u}_1\;</math> vers <math>\;\vec{u}_2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|si le système est « catadioptrique unidirectionnel », }}« les angles du plan d'émergence doivent être orientés par <math>\;-\vec{u}_3\;</math>» c'est-à-dire « de <math>\;\vec{u}_2\;</math> vers <math>\;{\vec{u}'}_{\!1}\;</math>» <math>\;\big(</math>même orientation que « de <math>\;\vec{u}_1\;</math> vers <math>\;\vec{u}_2\;</math>»<ref> En effet un sens <math>\;+\;</math> de <math>\;\vec{u}_1\;</math> vers <math>\;\vec{u}_2\;</math> est aussi le sens <math>\;+\;</math> de <math>\;\vec{u}_2\;</math> vers <math>\;-\vec{u}_1 = {\vec{u}'}_{\!1}</math>.</ref><math>\big)\;</math> ceci étant en accord avec «<math>\;(-\vec{u}_3,\, \vec{u}_2,\,{\vec{u}'}_{\!1})\;</math> indirect <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math>»<ref> En effet le trièdre «<math>\;({\vec{u}'}_{\!1},\,\vec{u}_2,\,\vec{u}_3)\;</math>» étant indirect, une permutation circulaire conduit à «<math>\;(\vec{u}_3,\, {\vec{u}'}_{\!1},\,\vec{u}_2)\;</math>» indirect puis une permutation entre le 2^ème et le 3^ème vecteur à un trièdre direct et enfin le remplacement du 1^er vecteur par son opposé le retour à un trièdre indirect.</ref> <math>\;\big(</math>suivant la « règle de la main gauche »<ref name="règle de la main gauche" /><math>\big)\;</math> dans un espace « orienté à gauche »<ref name="orienté à droite ou à gauche" />. == Relation de conjugaison de position de Descartes d'un miroir plan == === Repérage « physique » de Descartes === {{Al|5}}On choisit comme « origine des parties incidente et réfléchie de l'axe optique principal » « le sommet <math>\;S\;</math> du miroir plan <math>\;\big(</math>associé à cet axe optique principal<math>\big)\;</math>» et, <br>{{Al|5}}pour rappeler que les sens <math>\;+\;</math> des parties incidente et réfléchie de l'axe optique principal sont différents dans l'algébrisation de l'axe optique principal, <br>{{Al|5}}on notera l'abscisse « physique » de Descartes<ref name="Descartes" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> par «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math>»<ref name="indices abscisses"> Dans la mesure où le miroir est vertical avec l'espace objet réel à gauche du miroir plan, le sens incident est <math>\;\rightarrow\;</math> et le sens réfléchi <math>\;\leftarrow</math> ;<br>{{Al|3}}bien entendu les indices doivent être adaptées à la situation du miroir plan par exemple : <br>{{Al|22}}{{Transparent|Dans la mesure }}si le miroir est horizontal avec l'espace objet réel au-dessus du miroir plan, le sens incident est <math>\;\downarrow\;</math> et le sens réfléchi <math>\;\uparrow</math> <math>\;\ldots</math></ref> ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|on notera }}l'abscisse « physique » de Descartes<ref name="Descartes" /> du point image <math>\;A_i\;</math> par «<math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>»<ref name="indices abscisses" />. === Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes d'un miroir plan === <div style="text-align: center;"> Bien qu'il s'agisse d'une conjugaison rigoureuse, il n'est pas d'usage de le rappeler dans le nom de la relation.</div> {{Al|5}}On utilise le fait que « <u>les points conjugués par un miroir plan sont symétriques par rapport à ce dernier</u> » ce qui entraîne qu'ils ont des abscisses « physiques » de Descartes<ref name="Descartes" /> de même valeur absolue {{Nobr|c'est-à-dire}} «<math>\;\vert p_i \vert = \vert p_o \vert\;</math>» ; * si « le point objet <math>\;A_o\;</math> est réel », <math>\;A_o\;</math> est situé avant le sommet <math>\;S\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;p_0 < 0\;</math>» et « le point image <math>\;A_i</math>, symétrique de <math>\;A_o\;</math> par rapport au miroir plan, est virtuel », <math>\;A_i\;</math> étant alors situé avant le sommet <math>\;S\;</math> sur le rayon réfléchi <math>\Rightarrow</math> «<math>\;p_i < 0\;</math>» d'où l'égalité des abscisses « physiques » de Descartes<ref name="Descartes" />, * si « le point objet <math>\;A_o\;</math> est virtuel », <math>\;A_o\;</math> est situé après le sommet <math>\;S\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;p_0 > 0\;</math>» et « le point image <math>\;A_i</math>, symétrique de <math>\;A_o\;</math> par rapport au miroir plan, est réel », <math>\;A_i\;</math> étant alors situé après le sommet <math>\;S\;</math> sur le rayon réfléchi <math>\Rightarrow</math> «<math>\;p_i > 0\;</math>» d'où l'égalité des abscisses « physiques » de Descartes<ref name="Descartes" /> ; {{Al|5}}finalement la relation de conjugaison de position <math>\;\big(</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big)\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> d'un miroir plan est <div style="text-align: center;"> «<math>\;p_i = p_o\;</math>» ou «<math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math>»<ref> On peut utiliser cette relation pour déterminer la position du point image connaissant celle du point objet ou ''vice versa'' ; <br>{{Al|3}}toutefois, en ce qui concerne le miroir plan, les positions respectives d'un objet et de son image sont suffisamment simples à déterminer géométriquement <math>\;\big(</math>les deux étant symétriques l'un de l'autre par rapport au miroir plan<math>\big)\;</math> pour qu'on n'utilise pas, dans la pratique, la relation de conjugaison de position de Descartes pour le faire.</ref>.</div> == Grandissement transverse d'un objet linéique transverse, relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes d'un miroir plan == === Définition du grandissement transverse d'un objet linéique transverse dans le cas d'un système optique « unidirectionnel » aplanétique === <div style="text-align: center;"> Le contenu de ce paragraphe s'applique à tout système dioptrique ou catadioptrique « unidirectionnel » aplanétique, <br>il n'est pas spécifique à un miroir plan.</div> {{Al|5}}Pour un système optique « unidirectionnel », les plans transverses de l'espace image sont <math>\;\parallel\;</math> à ceux de l'espace objet et, dans le cas d'aplanétisme <math>\;\big(</math>rigoureux<math>\big)\;</math> « l'image <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref> <math>\;A_o\;</math> étant sur l'axe optique principal définissant le sommet <math>\;S\;</math> du miroir plan servant d'origine du repérage « physique » de Descartes, <math>\;B_o\;</math> étant en dehors, la conjugaison donne <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal et <math>\;B_i\;</math> en dehors ; les points <math>\;A_o\;</math> et <math>\;A_i\;</math> sont encore appelés respectivement « pied » de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> et « pied » de l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i</math>.</ref> étant <math>\;\parallel\;</math> à ce dernier »<ref> L'aplanétisme <math>\;\big(</math>rigoureux<math>\big)\;</math> pour un couple de points conjugués <math>\;(A_o\,,\,A_i)\;</math> signifie simplement que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> est linéique transverse, mais a priori l'image <math>\;A_iB_i\;</math> pourrait ne pas être dans le plan contenant l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> et l'axe optique principal ; <br>{{Al|3}}la raison pour laquelle l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est <math>\;\parallel\;</math> à l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> est que tout plan d'émergence est géométriquement confondu avec le plan d'incidence correspondant, ceci étant une conséquence de la « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Première_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|1^ère loi de Snell-Descartes de la réflexion]] » ou de la « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Première_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|1^ère loi de Snell-Descartes de la réfraction]] » <math>\;\big[</math>du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est dans le plan contenant l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> et l'axe optique principal.</ref> on définit le grandissement transverse de cet objet linéique transverse par <div style="text-align: center;">«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» <math>\;\big(</math>nombre sans dimension<math>\big)</math>, <br> «<math>\;\overline{A_oB_o}\;</math>» et «<math>\;\overline{A_iB_i}\;</math>» étant les longueurs algébrisées respectivement de l'objet et de l'image <br>selon le vecteur de base commun <math>\;\vec{u}_2\;</math> ou <math>\;\vec{u}_3\;</math><ref> Ou une combinaison linéaire des deux.</ref> des plans transverses ;</div> {{Al|5}}suivant le signe du grandissement transverse, on déduit le sens de l'image relativement à l'objet : * «si <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», « l'image est dans le même sens que l'objet », on parle alors d'image « <u>droite</u> », * «si <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», « l'image est dans le sens contraire de l'objet », on parle alors d'image « <u>inverse</u> »<ref> Ou d'image « <u>inversée</u> ».</ref>. === Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes d'un miroir plan === <div style="text-align: center;"> Bien qu'il s'agisse d'une conjugaison rigoureuse, il n'est pas d'usage de le rappeler dans le nom de la relation.</div> {{Al|5}}« L'image étant symétrique de l'objet par rapport au miroir plan » avec « objet et image » tous deux <math>\;\parallel\;</math> au miroir, « l'image est dans le même sens que l'objet et de même dimension » ; {{Al|5}}de cette dernière affirmation « l'image de même dimension que l'objet » on tire que « le grandissement transverse est de valeur absolue égale à <math>\;1\;</math>» et {{Al|5}}de la première affirmation {{Al|3}}« l'image de même sens que l'objet » {{Al|10}}{{Transparent|on tire }}que « le grandissement transverse est positif » <math>\;\big(</math>les plans transverses objets et images étant orientés par les mêmes vecteurs de base<math>\big)\;</math> d'où : {{Al|5}}l'expression de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big(</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big)\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> d'un miroir plan <div style="text-align: center;">«<math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>» ou «<math>\;\overline{A_iB_i} = \overline{A_oB_o}\;</math>»<ref> Le grandissement transverse est donc indépendant de la position de l'objet par rapport au miroir ainsi que de sa taille.</ref>{{,}}<ref> On peut utiliser cette relation pour déterminer la taille de l'image linéique transverse connaissant celle de l'objet linéique transverse ou ''vice versa'' ; <br>{{Al|3}}toutefois, en ce qui concerne le miroir plan, les grandeurs respectives d'un objet et de son image sont suffisamment simples à déterminer géométriquement <math>\;\big(</math>les deux étant de même taille<math>\big)\;</math> pour qu'on n'utilise pas, dans la pratique, la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour le faire.</ref>.</div> == Grandissement angulaire d'un pinceau lumineux, relation de Lagrange-Helmholtz == <div style="text-align: center;"> Les deux 1^ers paragraphes ci-dessous s'appliquent à tout système dioptrique ou catadioptrique « unidirectionnel » aplanétique, <br>ils ne sont pas spécifiques à un miroir plan.</div> === Repérage d'un pinceau incident ou émergent === {{Al|5}}Un pinceau étant la matérialisation pratique d'un rayon, on le repère par l'angle orienté que fait sa direction de propagation avec celle de même nature sur l'axe optique principal<ref> C.-à-d. qu'un pinceau incident sera repéré par rapport à la partie incidente de l'axe optique principal et <br>{{Al|3}}{{Transparent|C.-à-d. }}qu'un pinceau émergent sera repéré par rapport à la partie émergente de l'axe optique principal.</ref>, ainsi : * dans un système dioptrique « unidirectionnel », un pinceau incident de direction de propagation <math>\;\vec{e}_o\;</math> est repéré par l'angle «<math>\;\theta_o = \widehat{( \vec{u}_1\,\text{;}\,\vec{e}_o)}\;</math>» du plan d'incidence « orienté de <math>\;\vec{u}_1\;</math> vers <math>\;\vec{u}_2\;</math>»<ref name="orientation plan d'incidence et d'émergence d'un système dioptrique unidirectionnel"> Le vecteur orientant le plan d'incidence est donc <math>\;\vec{u}_3\;</math> selon la règle d'« [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Orientation_des_angles_d'un_plan_d'un_espace_à_trois_dimensions|orientation des angles d'un plan d'un espace à trois dimensions]] » rappelée plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\vec{u}_1\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe optique principal », «<math>\;\vec{u}_2\;</math> et <math>\;\vec{u}_3\;</math> algébrisant les plans transverses » et «<math>\;(\vec{u}_1,\,\vec{u}_2,\,\vec{u}_3)\;</math> la base directe » commune choisie dans les espaces objets et images tous deux « orientés à droite »<ref name="orienté à droite ou à gauche" />{{,}} <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /> <math>\;\big(</math>la base étant déterminée par la « règle de la main droite »<ref name="règle de la main droite" /><math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|dans un système dioptrique « unidirectionnel » }}un pinceau émergent de direction de propagation <math>\;\vec{e}_i\;</math> est repéré par l'angle «<math>\;\theta_i = \widehat{( \vec{u}_1\,\text{;}\,\vec{e}_i)}\;</math>» du plan d'émergence « orienté de <math>\;\vec{u}_1\;</math> vers <math>\;\vec{u}_2\;</math>»<ref name="orientation plan d'incidence et d'émergence d'un système dioptrique unidirectionnel" /> ; * dans un système catadioptrique « unidirectionnel » <math>\;\big(</math>voir un exemple ci-dessous à droite, le miroir plan ; repérage d'un pinceau incident et du pinceau émergent correspondant<math>\big)</math>, [[File:Pinceaux - repérage sur miroir plan.jpg|right|530px]]<br>{{Transparent|dans un système catadioptrique « unidirectionnel » }}un pinceau incident de direction de propagation <math>\;\vec{e}_o\;</math> est repéré par l'angle «<math>\;\theta_o =</math> <math>\widehat{( \vec{u}_1\,\text{;}\,\vec{e}_o)}\;</math>» du plan d'incidence orienté de «<math>\;\vec{u}_1\;</math> vers <math>\;\vec{u}_2\;</math>»<ref name="orientation plan d'incidence et d'émergence d'un système catadioptrique unidirectionnel"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Orientation_des_plans_d'incidence_et_d'émergence_2|orientation des plans d'incidence et d'émergence]] (si le système est catadioptrique unidirectionnel) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\vec{u}_1\;</math> étant le vecteur unitaire orientant la partie incidente de l'axe optique principal », «<math>\;\vec{u}_2\;</math> et <math>\;\vec{u}_3\;</math> algébrisant les plans transverses » et {{Nobr|«<math>\;(\vec{u}_1,\,\vec{u}_2,\,\vec{u}_3)\;</math>}} la base directe » choisie dans les espaces objets « orientés à droite »<ref name="orienté à droite ou à gauche" />{{,}} <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /> <math>\;\big(</math>la base étant déterminée par la « règle de la main droite »<ref name="règle de la main droite" /><math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|dans un système catadioptrique « unidirectionnel » }}un pinceau émergent de direction de propagation <math>\;\vec{e}_i\;</math> est repéré par l'angle «<math>\;\theta_i = \widehat{( {\vec{u}'}_1\,\text{;}\,\vec{e}_i)}\;</math>» du plan d'émergence orienté de «<math>\;\vec{u}_2\;</math> vers <math>\;{\vec{u}'}_1\;</math>»<ref> Le vecteur orientant les angle du plan d'émergence étant <math>\;-\vec{u}_3\;</math> en accord avec <math>\;(-\vec{u}_3,\,\vec{u}_2,\,{\vec{u}'}_1)\;</math> « indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math>» des espaces images orientés à gauche, ceci ayant pour conséquence que le plan d'émergence est orienté dans le même sens que le plan d'incidence ; <br>{{Al|3}}on rappelle, d'une part, que le caractère « indirect <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math>» de la base d'un espace orienté à gauche suit la règle de la main gauche et, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on rappelle, }}d'autre part, que le lien entre le vecteur normal orientant le plan et le sens <math>\;+\;</math> des angles du plan dans un espace orienté à gauche suit la règle du tire-bouchon des farces et attrapes <math>\;\big(</math>ou du tire-bouchon pour gaucher<math>\big)</math>.</ref>, «<math>\;{\vec{u}'}_1\;</math> étant le vecteur unitaire orientant la partie émergente de l'axe optique principal », «<math>\;\vec{u}_2\;</math> et <math>\;\vec{u}_3\;</math> algébrisant les plans transverses » et {{Nobr|«<math>\;({\vec{u}'}_1,\,\vec{u}_2,\,\vec{u}_3)\;</math>}} la base indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math> choisie dans les espaces images orientés à gauche »<ref name="orienté à droite ou à gauche" />{{,}} <ref name="base directe d'un espace orienté à gauche" /> <math>\;\big(</math>la base étant déterminée par la « règle de la main gauche »<ref name="règle de la main gauche" /><math>\big)</math>. === Définition du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet === [[File:Miroir plan - grandissement angulaire.jpg|thumb|300px|Schéma de définition du grandissement angulaire, par un miroir plan, d'un pinceau lumineux issu d'un point objet]] {{Al|5}}Ayant défini, dans un « système dioptrique ou catadioptrique unidirectionnel » <math>\;\big(</math>voir le schéma ci-contre pour un système catadioptrique {{Nobr|unidirectionnel<math>\big)</math>,}} * l'angle <math>\;\theta_o\;</math> d'inclinaison de la direction du pinceau incident issu du point objet <math>\;A_o\;</math> ainsi que * l'angle <math>\;\theta_i\;</math> d'inclinaison de la direction du pinceau émergent du point image <math>\;A_i</math>, {{Al|5}}tous deux comptés positivement selon le « même sens <math>\;+\;</math>», on appelle <div style="text-align: center;">« grandissement angulaire du pinceau lumineux issu du point objet <math>\;A_o\;</math>, noté <math>\;G_a(A_0)\;</math>» <br>le rapport algébrique «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <math>\;\big(</math>nombre sans dimension<math>\big)</math>.</div> === Valeur du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet par un miroir plan === {{Al|5}}« Le point image <math>\;A_i\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math> par un miroir plan étant le symétrique de <math>\;A_o\;</math> par rapport au miroir plan », on vérifie aisément <br>{{Al|10}}que les « angles <math>\;\theta_i\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> ont même valeur absolue » <math>\;\big(</math>en effet les triangles <math>\;A_oSI\;</math> et <math>\;A_iSI</math>, <math>\;I\;</math> étant le point d'incidence du pinceau incident et réfléchi sur le miroir, sont égaux<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|10}}qu'ils sont de signe contraire <math>\;\big(</math>en effet <math>\;\theta_i\;</math> étant égal à l'angle de réflexion du rayon médian du pinceau émergent et <math>\;\theta_o\;</math> à l'angle d'incidence du rayon médian du pinceau incident, ces deux angles obéissant à la 2^ème loi de Snell-Descartes<ref name="Snell" />{{,}}<ref name="Descartes" /> de la réflexion<ref name="2ème loi de Snell-Descartes de la réflexion" /><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}on en déduit le grandissement angulaire cherché soit <div style="text-align: center;">«<math>\;G_a(A_o) = -1\;</math>»<ref> Le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet par un miroir plan est donc indépendant de la position de l'objet par rapport au miroir ainsi que de l'inclinaison du pinceau incident issu du point objet.</ref>.</div> === Lien entre le grandissement transverse d'un objet linéique transverse et le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu du point objet pied de l'objet linéique transverse par un miroir plan, relation de Lagrange-Helmholtz === {{Al|5}}Ayant établi que le grandissement transverse par un miroir plan d'un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o\;</math> est «<math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant établi }}que le grandissement angulaire par le même miroir plan d'un pinceau lumineux issu de <math>\;A_o\;</math> est «<math>\;G_a(A_o) = -1\;</math>», <br>{{Al|5}}on en déduit une « relation liant les grandissements transverse et angulaire relatifs à un même point objet <math>\;A_o\;</math>» ne dépendant pas de ce dernier, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on en déduit une « }}relation appelée « relation de Lagrange – Helmholtz »<ref name="Lagrange"> '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Joseph Louis Lagrange]] (1736 - 1813)''' mathématicien, mécanicien et astronome italien, naturalisé français vers la fin du XVIII^ème siècle <math>\;\big(</math>son nom italien était '''Giuseppe Luigi Lagrangia'''<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}on lui doit, entre autres, d'avoir jeté en mathématiques les bases du [[w:Calcul_des_variations|calcul variationnel]], calcul qu'il appliqua en mécanique pour résoudre quelques problèmes <math>\;\big[</math>propagation du son, corde vibrante, [[w:Libration|librations]] de la Lune <math>\;\big(</math>c.-à-d. petites variations de son orbite<math>\big)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}en <math>\;1788</math>, alors installé à Paris, il publia son livre de ''[[w:mécanique analytique|mécanique analytique]]'' dont le formalisme a permis, un siècle et demi plus tard, l'ébauche de la mécanique quantique, il est aussi l'un des pères du [[w:système métrique|système métrique]] et de la division décimale des unités ; <br>{{Al|3}}on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]]''' un domaine privilégié <math>\;\big(</math>ni pour '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Helmholtz]]''' non plus<math>\big)</math> !</ref>{{,}}<ref name="Helmholtz"> '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz]] (1821 - 1894)''' [[w:Physiologie|physiologiste]] et physicien allemand, à qui on doit d'importantes contributions dans la perception des sons et des couleurs ainsi que surtout dans le domaine de la thermodynamique ;<br>{{Al|3}}on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Helmholtz]]''' un domaine privilégié <math>\;\big(</math>ni pour '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]]''' non plus<math>\big)</math> !</ref>, cette relation s'écrivant pour un miroir plan <math>\;\big(</math>et pour tout système catadioptrique unidirectionnel<math>\big)\;</math> <div style="text-align: center;">«<math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = -1\;</math>»<ref> On admet que cette relation est applicable à tout système catadioptrique unidirectionnel dont le miroir plan n'est qu'un exemple très particulier ; <br>{{Al|3}}appliquée à un miroir plan la relation de Lagrange - Helmholtz n'a aucun intérêt car elle donne moins d'informations que n'en donnent les deux valeurs des grandissements transverse et angulaire prises indépendamment l'une de l'autre ; <br>{{Al|3}}la relation acquiert de l'intérêt pour des systèmes catadioptriques unidirectionnels pour lesquels les grandissements transverses et angulaires dépendent de la position de <math>\;A_o\;</math> relativement à la surface réfléchissante, comme l'exemple des miroirs sphériques : la relation nous informe alors que * d'une part les grandissements sont toujours de signe contraire et * d'autre part plus le grandissement transverse est grand en valeur absolue <math>\;\big(</math>plus l'image est de grande dimension par rapport à celle de l'objet<math>\big)</math>, plus le grandissement angulaire est petit en valeur absolue <math>\;\big(</math>plus les faisceaux émergents sont resserrés relativement aux faisceaux incidents<math>\big)</math>.</ref>.</div> === Sensibilisation de l'utilisation de la relation de Lagrange-Helmholtz à un système catadioptrique, exemple d'un miroir sphérique concave === <div style="text-align: center;"> Il ne s'agit pas d'étudier dans les détails toutes les propriétés des « miroirs sphériques »<ref> Ces derniers ne figurant pas au programme de physique de P.C.S.I..</ref>, mais uniquement <br>d'« utiliser les lois de Snell–Descartes de la réflexion »<ref name="1ère loi de Snell-Descartes de la réflexion" />{{,}}<ref name="2ème loi de Snell-Descartes de la réflexion" /> appliquées à un « miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math>» pour <br>souligner l'intérêt de la « relation de Lagrange-Helmholtz »<ref name="Lagrange" />{{,}}<ref name="Helmholtz"/>.</div> {{Al|5}}Comme nous l'avons évoqué en note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#cite_note-77|⁷⁷]] » plus haut dans ce chapitre, la « relation de Lagrange-Helmholtz »<ref name="Lagrange" />{{,}}<ref name="Helmholtz"/> n'a aucun intérêt pour un miroir plan, par contre <br>{{Al|10}}{{Transparent|Comme nous l'avons évoqué en note « 77 » plus haut dans ce chapitre, la « relation de Lagrange-Helmholtz » }}elle en acquiert un pour un « miroir sphérique ». {{Al|5}}<u>Quelques données relatives au miroir sphérique</u> : <math>\succ\;</math>le centre de courbure <math>\;C\;</math> est sa propre image par le miroir sphérique quelle que soit l'ouverture du faisceau issu de <math>\;C</math>, il y a donc <br>{{Al|10}}{{Transparent|Quelques données relatives au miroir sphérique : }}d'une part « <u>stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son centre de courbure</u><math>\underline{\;C\;}</math>»<ref> Il y a stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour un autre point « le sommet <math>\;S\;</math> du miroir ».</ref> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Quelques données relatives au miroir sphérique : }}d'autre part « <u>le centre de courbure</u><math>\underline{\;C\;}</math><u>du miroir sphérique est un point double</u> » <ref> Il y a aussi un autre point double du miroir sphérique « son sommet <math>\;S\;</math>».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quelques données relatives au miroir sphérique : }}<math>\succ\;</math><u>pour tous les autres point objets</u> <math>\;\big(</math>à l'exception du sommet <math>\;S\big)</math>, <u>il n'y a pas stigmatisme rigoureux</u> du miroir sphérique mais, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Quelques données relatives au miroir sphérique : }}si on limite les angles intervenant dans la réflexion <math>-</math> c'est-à-dire si on se place dans les « <u>[[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]]</u> »<ref name="Gauss"> '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777 - 1855)''', mathématicien, astronome et physicien allemand, est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps <math>\;\big(</math>il fut surnommé « le prince des mathématiciens »<math>\big)</math>, on lui doit d'importantes contributions dans les trois domaines. <br>{{Al|3}}En <math>\;1796</math>, à l'âge de dix-neuf ans, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie il publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de Maxwell gérant l'électromagnétisme ; <br>{{Al|3}}certaines de ses contributions n'ont été mises à jour qu'à titre posthume, à la fin du XIX^ème siècle, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' n'ayant publié qu'une partie de ses découvertes. <br>{{Al|5}}'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie. <br>{{Al|5}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.</ref> du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » <math>-</math> <u>il y a stigmatisme approché</u> du miroir sphérique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quelques données relatives au miroir sphérique : }}<math>\succ\;</math><u>pour tous les objets linéiques transverses</u> <math>\;\big(</math>de pied autre que <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\big)\;</math> <u>vu du miroir sous un angle non petit</u><ref> Cette notion d'angle non petit étant bien sûr à préciser <math>\;\ldots</math></ref>, <u>il n'y a pas aplanétisme rigoureux</u> du miroir sphérique, mais <br>{{Al|10}}{{Transparent|Quelques données relatives au miroir sphérique : }}si l'objet linéique transverse est « vu du miroir » sous un petit angle <math>-</math> c'est-à-dire si on se place dans les « <u>[[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique__«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché d'un système optique centré]]</u> »<ref name="Gauss" /> du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » <math>-</math> <u>il y a aplanétisme approché</u> du miroir sphérique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quelques données relatives au miroir sphérique : }}<math>\succ\;</math>on peut donc, dans les « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss|conditions de Gauss]] »<ref name="Gauss" /> du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », évaluer les grandissements <br>{{Al|15}}{{Transparent|Quelques données relatives au miroir sphérique : }}angulaire d'un pinceau passant par le point objet <math>\;A_o\;</math> et <br>{{Al|15}}{{Transparent|Quelques données relatives au miroir sphérique : }}transverse d'un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Quelques données relatives au miroir sphérique : }}ce qui permet de vérifier la « relation de Lagrange-Helmholtz »<ref name="Lagrange" />{{,}}<ref name="Helmholtz"/> par construction effectuée sur un schéma : [[File:Miroir sphérique - grandissements transverse et angulaire.jpg|thumb|300px|Sensibilisation de la relation de Lagrange - Helmholtz sur un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}<u>Construction utilisant un miroir sphérique concave </u> : voir schéma d'analyse ci-contre <math>\;\big(</math>les angles représentés sont supposés petits de façon à ce que les « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions de Gauss de stigmatisme approché]]<ref name="Gauss" /> et [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique__«_centré_»|celles supplémentaires d'aplanétisme approché]] » introduites au chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » soient réalisées<math>\big)</math> ; {{Al|5}}On construit le rayon réfléchi sur le miroir sphérique du rayon incident issu du point objet réel <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal, rayon incident incliné de <math>\;\theta_o > 0\;</math> relativement à la partie incidente de l'axe optique principal <br>{{Al|5}}{{Transparent|On construit }}par utilisation de la 1^ère et 2^ème loi de Snell–Descartes<ref name="Snell" />{{,}}<ref name="Descartes" /> de la réflexion<ref name="1ère loi de Snell-Descartes de la réflexion" />{{,}}<ref name="2ème loi de Snell-Descartes de la réflexion" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On construit }}l'intersection de l'axe optique principal et du rayon réfléchi incliné de <math>\;\theta_i > 0\;</math> relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal définit le point image <math>\;A_i\;</math> réel ; {{Al|5}}on construit le point image <math>\;B_i\;</math> du point objet réel <math>\;B_o</math>, extrémité située hors axe optique principal de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on construit }}en utilisant le rayon incident issu de <math>\;B_o\;</math> et passant par le centre de courbure <math>\;C</math>, rayon qui se réfléchit sur lui-même, et, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on construit }}compte-tenu de l'aplanétisme approché, le point image <math>\;B_i\;</math> ayant pour pied sur l'axe optique principal le point image <math>\;A_i\;</math> est le point réel du rayon réfléchi se projetant orthogonalement sur l'axe optique principal en <math>\;A_i</math> ; {{Al|5}}on observe que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est inversée par rapport à l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> et que la taille de la 1^ère est inférieure à celle du 2^ème d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|on observe que }}« le grandissement transverse <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;\in\, \left] -1\,,\, 0 \right[\;</math>» d'une part <br>{{Al|5}}{{Transparent|on observe }}que les angles <math>\;\theta_i\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> de même signe sont tels <math>\;\theta_i\;</math> est supérieur à <math>\;\theta_o\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|on observe que }}« le grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;\in\, \left] +1\,,\, +\infty \right[\;</math>» d'autre part, <br>{{Al|5}}l'observation graphique de ces résultats est donc conforme à la « relation de Lagrange-Helmholtz »<ref name="Lagrange" />{{,}}<ref name="Helmholtz"/> laquelle, bien sûr, nécessiterait d'être démontrée <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : réflexion, réfraction, lois de Descartes/]] | suivant = [[../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] }} ak0l656syt8o1r78tpiyjskxz9d0mtq 0 62523 982819 974059 2026-05-14T16:10:45Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982819 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] }} == Notion de stigmatisme approché d'un système optique == === Retour sur la notion d'image d'un point objet par un système optique === {{Al|5}}Un faisceau issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math> étant constitué de rayons incidents indépendants les uns des autres, la détermination du trajet des rayons intermédiaires et émergents correspondant aux rayons incidents du faisceau nous conduit à deux possibilités : * tous les rayons émergents sont concourants, le système optique donne alors du faisceau incident issu de <math>\;A_o\;</math> un faisceau convergent en un point <math>\;A_i</math>, <math>\;A_i\;</math> définissant alors l'« image de <math>\;A_o\;</math> par le système optique » appelé « point image », * tous les rayons émergents ne sont pas concourants mais leur ensemble possède une zone de resserrement à éclairement maximal considérée comme l'image « non ponctuelle » <ref> Qualifiée de « floue ».</ref> de <math>\;A_o\;</math> par le système optique. === Stigmatisme d'un système optique pour un point objet === {{Al|5}}Cette notion a déjà été vue dans le chap.<math>12</math> de la leçon [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » sous son aspect « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Stigmatisme_rigoureux_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet]] », elle est rappelée ci-après puis sera prolongée sous son aspect « stigmatisme approché » ; * si le point objet <math>\;A_o\;</math> admet un point image <math>\;A_i\;</math> par le système optique <u>quelle que soit l'ouverture du faisceau incident</u> issu de <math>\;A_o</math>, on dit qu'il y a « <u>[[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Stigmatisme_rigoureux_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme rigoureux du système optique pour le point objet]]</u> <math>\;A_o\;</math>» mais, * si le point objet <math>\;A_o\;</math> admet, par le système optique, une image floue dans l'hypothèse d'une grande ouverture du faisceau incident issu du point objet <math>\;A_o</math>, « <u>il n'y a pas stigmatisme rigoureux du système optique pour le point objet</u> <math>\;A_o\;</math>», toutefois <br>{{Transparent|si le point objet <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> admet, par le système optique, une image floue }}dans l'hypothèse où l'ouverture du faisceau incident issu de <math>\;A_o\;</math> est réduite dans des « conditions à préciser » <ref> Qui constitueront les conditions de Gauss du « stigmatisme approché du système optique pour le point objet <math>\;A_o\;</math>».</ref>, les rayons émergents peuvent devenir concourants en un point <math>\;A_i\;</math> qui est alors appelé « point image approchée par le système optique du point objet <math>\;A_o\;</math>» et on dit qu'il y a « <u>stigmatisme approché</u> du système optique pour le point objet <math>\;A_o\;</math>» <math>\;\big[</math>on dit aussi que le point objet <math>\;A_o\;</math> et le point image approchée <math>\;A_i\;</math> sont conjugués <math>\;\big(</math>approchés<math>\big)\;</math> par le système optique<math>\big]</math>. == Conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique « centré » == {{Al|5}}'''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777 - 1855)''', mathématicien, astronome et physicien allemand, est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps<ref> Il fut surnommé « le prince des mathématiciens ».</ref>, on lui doit d'importantes contributions dans les trois domaines « mathématiques, astronomie et physique »<ref name="Gauss"> En <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de '''Maxwell''' gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math>.</ref> dont certaines n'ont été mises à jour qu'à titre posthume, à la fin du XIX^ème siècle, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' n'ayant publié qu'une partie de ses découvertes. === Définition d'un système optique « centré » === {{Al|5}}Un système optique est dit « <u>centré</u> » si les éléments constitutifs <math>\;\big(</math>dioptres, miroirs<math>\big)\;</math> ont un « <u>axe de symétrie commun</u> » ; <br>{{Al|5}}le système optique étant alors « <u>unidirectionnel</u> », on choisit toujours <u>l'axe optique principal porté par l'axe de symétrie</u>, les plans transverses étant encore appelés « plans de front ». === Énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique « centré » === {{Al|5}}Dans l'hypothèse où le système optique « centré » n'est pas stigmatique rigoureux pour un point objet <math>\;A_o</math>, <br>{{Al|5}}on envisage de limiter l'ouverture du faisceau incident issu de <math>\;A_o\;</math> jusqu'à <br>{{Al|5}}{{Transparent|on envisage de limiter l'ouverture du faisceau incident }}l'observation d'une convergence ponctuelle des rayons émergents correspondant aux rayons incidents du faisceau et <br>{{Al|5}}on démontre qu'il y a effectivement convergence ponctuelle des rayons émergents si [[File:Miroir sphérique - rayons paraxiaux.jpg|thumb|500px|Exemples de rayons paraxiaux et non paraxiaux sur un miroir sphérique concave]] * « les rayons incidents issu de <math>\;A_o\;</math> sont <u>peu inclinés par rapport à l'axe optique principal</u> associé à <math>\;A_o\;</math> et <br>{{Transparent|« les rayons incidents issu de <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}<u>restent proches de ce dernier</u> » ou * « les rayons incidents issu de <math>\;A_o\;</math> sont <u>peu inclinés par rapport à l'axe optique principal</u> associé à <math>\;A_o\;</math> et <br>{{Transparent|« les rayons incidents issu de <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}leurs points d'incidence sur la face d'entrée <u>restent proches du point d'intersection de l'axe optique principal avec la face d'entrée</u> », {{Al|10}}avec l'une ou l'autre couple de conditions, les rayons incidents sont alors qualifiés de « <u>paraxiaux</u> » ; {{Al|5}}il y a alors « stigmatisme approché du système optique pour le point objet <math>\;A_o\;</math>» et ces conditions définissent les « <u>conditions de Gauss<ref name="Gauss" /> du stigmatisme approché du système optique</u> ». {{Al|5}}Voir ci-contre sur l'exemple d'un « miroir sphérique concave » <ref name="miroir sphérique par rapport au programme"> Il est rappelé que les miroirs sphériques ne sont pas au programme de physique de P.C.S.I. mais ils peuvent être introduits pour utiliser des notions au programme comme les lois de Snell-Descartes de la réflexion ou les notions de stigmatisme <math>\;\big(</math>et d'aplanétisme<math>\big)\;</math> approchés ; on aurait eu une situation identique avec un miroir sphérique convexe. <br>{{Al|3}}'''[[w:Willebrord_Snell|Willebrord Snell Van Royen]] ou Snellius (1580 - 1626)''' humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes <math>\;\big(</math>sans que ce soit {{Nobr|assuré<math>\big)</math>.}} <br>{{Al|3}}'''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref>. == Notion d'aplanétisme approché d'un système optique == {{Al|5}}Cette notion a déjà été vue dans le chap.<math>12</math> de la leçon [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » sous son aspect « rigoureux » dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_de_l'aplanétisme_rigoureux_d'un_système_optique_stigmatique_rigoureux|définition de l'aplanétisme rigoureux d'un système optique stigmatique rigoureux]] », elle est rappelée ci-après puis sera prolongée sous son aspect « approché ». {{Al|5}}Dans l'hypothèse où il y a « stigmatisme rigoureux ou approché d'un système optique », un « objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math>» <ref> <math>\;A_o\;</math> étant le pied de l'objet situé sur l'axe optique principal.</ref> admet une « image nette <math>\;A_iB_i\;</math>» <ref> La netteté étant assurée par le fait que tous les points objets de <math>\;A_oB_o\;</math> admettent des images ponctuelles ; <br>{{Al|3}}<u>commentaire sur le pluriel</u> de « point objet », la règle usuelle consiste à accorder les deux noms au pluriel comme « choux-fleurs » ou « bateaux-mouches » mais il me semble qu'on devrait pouvoir accepter le pluriel en « point objets » avec l'absence de « s » à point, des point objets étant alors interprétés comme « des objets en forme de point ».</ref> mais <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans l'hypothèse où il y a « stigmatisme rigoureux ou approché d'un système optique », un « objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math>» admet une « image nette » }}non nécessairement « linéique » et si elle l'est, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans l'hypothèse où il y a « stigmatisme rigoureux ou approché d'un système optique », un « objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math>» admet une « image nette » }}non nécessairement « transverse » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans l'hypothèse où il y a « stigmatisme rigoureux ou approché d'un système optique », }}on distingue deux possibilités théoriques : * l'image <math>-</math> que le stigmatisme soit rigoureux <math>\;\big(</math>ou approché<math>\big)\;</math> <math>-</math> est <u>linéique transverse quelle que soit la dimension de l'objet</u> <math>\;A_oB_o</math>, on dira alors qu'il y a « <u>[[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_de_l'aplanétisme_rigoureux_d'un_système_optique_stigmatique_rigoureux|aplanétisme rigoureux du système optique stigmatique rigoureux]]</u> <math>\;\big(</math>ou approché<math>\big)\;</math><ref> Bien que théoriquement on pourrait avoir « aplanétisme rigoureux avec un système stigmatique approché », pratiquement il n'y a « aplanétisme rigoureux » que pour des systèmes « stigmatiques rigoureux ».</ref> pour l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math>» ou, * l'image est <u>linéique transverse uniquement si l'angle sous lequel l'objet</u><math>\;A_oB_o\;</math><u>est vu de la face d'entrée est réduit</u> dans « des conditions restant à préciser » <ref> Qui constitueront les conditions de Gauss d'« aplanétisme approché du système optique pour l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math>».</ref>, on dit alors qu'il y a « <u>aplanétisme approché du système optique</u> pour l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math>». == Conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché d'un système optique « centré » == {{Al|5}}Dans l'hypothèse où le système optique « centré » n'est pas aplanétique rigoureux pour des objets linéiques transverses de pied <math>\;A_o</math>, <br>{{Al|5}}on envisage, pour obtenir un aplanétisme approché : * en <math>\;A_o\;</math> fixé, de choisir des objets de dimensions réduites ou, * pour un objet linéique transverse de dimension fixée, d'éloigner <math>\;A_o\;</math> de la face d'entrée, {{Al|5}}{{Transparent|on envisage }}de façon à ce que « <u>l'angle</u><math>\;\beta\;</math><u>sous lequel l'objet est vu du sommet</u><math>\;S_e\;</math><u>de la face d'entrée du système optique</u> <ref> Le « sommet <math>\;S_e\;</math> de la face d'entrée » est l'intersection de celle-ci avec l'axe optique principal ; dans le cas où les faces d'entrée et de sortie sont confondues, le point commun est simplement appelé « sommet du système optique ».</ref> <u>soit petit</u> » dans l'hypothèse où l'objet n'est pas proche de la face d'entrée et {{Al|5}}{{Transparent|on envisage de façon à ce que}}« <u>l'angle</u><math>\;\alpha\;</math><u>sous lequel l'objet est vu du centre de courbure</u><math>\;C_e\;</math><u>de la face d'entrée du système optique</u> <ref> Dans le cas où les faces d'entrée et de sortie sont confondues, le centre de courbure commun est simplement appelé « centre de courbure du système optique ».</ref> <u>soit petit</u> » si l'objet est proche de la face d'entrée ; {{Al|10}}avec l'une ou l'autre des conditions ci-dessus on démontre alors que l'image est effectivement linéique transverse ; [[File:Miroir sphérique - aplanétisme approché.jpg|thumb|500px|Exemples d'objets linéiques transverses pour lesquels il y a ou il n'y a pas aplanétisme approché sur un miroir sphérique convexe]] {{Al|5}}il y a donc « aplanétisme approché du système optique pour ces objets linéiques transverses » et ces conditions définissent les « <u>conditions supplémentaires de Gauss<ref name="Gauss" /> de l'aplanétisme approché du système optique</u> », voir ci-contre sur l'exemple d'un « miroir sphérique convexe » <ref name="miroir sphérique par rapport au programme - bis"> Il est rappelé que les miroirs sphériques ne sont pas au programme de physique de P.C.S.I. mais ils peuvent être introduits pour utiliser des notions au programme comme les lois de Snell-Descartes de la réflexion ou les notions de stigmatisme <math>\;\big(</math>et d'aplanétisme<math>\big)\;</math> approchés ; on aurait eu une situation identique avec un miroir sphérique concave. <br>{{Al|3}}'''[[w:Willebrord_Snell|Willebrord Snell Van Royen]] ou Snellius (1580 - 1626)''' humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes <math>\;\big(</math>sans que ce soit {{Nobr|assuré<math>\big)</math>.}} <br>{{Al|3}}'''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> : {{Al|5}}on y remarque les quatre situations suivantes * un objet pour lequel il y a aplanétisme approché du miroir car il en est à une distance « modérée » <math>\;\big(</math>objet « droit » le plus à gauche<math>\big)</math>, * un objet pour lequel il n'y a pas aplanétisme approché du miroir bien qu'en étant à une distance « modérée » car l'objet est de taille trop grande <math>\;\big(</math>objet « inversé »<ref name="objet inversé"> L'objet est inversé uniquement pour une question de lisibilité du schéma.</ref> le plus à gauche<math>\big)</math>, * un objet de taille identique au 1^er cité pour lequel il n'y a plus aplanétisme approché car cet objet a été trop rapproché du miroir <math>\;\big(</math>objet « inversé » <ref name="objet inversé" /> le plus à droite<math>\big)\;</math> et * un objet situé au même endroit que le précédent mais pour lequel l'aplanétisme approché réapparaît bien que restant très proche du miroir car la taille de l'objet a été réduite <math>\;\big(</math>objet « droit » le plus à droite de même pied que le 2^ème objet<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math> == Choix d'un détecteur pour satisfaire les conditions de Gauss pour un système optique « centré » == === Système optique « centré » diaphragmé, taille du diaphragme pour satisfaire les conditions de Gauss du stigmatisme approché === {{Al|5}}Un système optique « centré » non stigmatique rigoureux ne peut devenir « stigmatique approché pour les points objets de l'axe optique principal » que <u>si on impose aux rayons issus des points objets d'être paraxiaux</u> et pour cela il convient que le système optique soit « <u>diaphragmé</u> », c'est-à-dire qu'il faut <u>ajouter un diaphragme centré sur l'axe optique principal du système</u>, diaphragme qui peut être positionné avant la face d'entrée, après la face de sortie ou entre les deux ; [[File:Miroir sphérique - diaphragmé.jpg|thumb|500px|Choix de la dimension du diaphragme pour qu'un miroir sphérique concave soit stigmatique approché pour un point objet suivant la position de ce dernier]] {{Al|5}}<math>\succ\;</math>supposant que le <u>diaphragme</u> est <u>accolé à la face d'entrée</u>, ce dernier joue le rôle de « <u>[[w:Pupille_(optique)#Pupille_d'entrée|pupille d'entrée]]</u> »<ref name="pupille d'entrée"> Plus généralement la [[w:Pupille_(optique)#Pupille_d'entrée|pupille d'entrée]] est l'image du diaphragme d'ouverture par la partie du système optique située en amont du diaphragme mais comme le diaphragme est accolé à la face d'entrée du système, la [[w:Pupille_(optique)#Pupille_d'entrée|pupille d'entrée]] est confondue avec lui.</ref> et, {{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans l'hypothèse où les conditions d'aplanétisme approché sont réalisées pour le diaphragme, <u>l'image de la pupille d'entrée par le système optique</u> joue le rôle de « <u>[[w:Pupille_(optique)#Pupille_de_sortie|pupille de sortie]]</u> »<ref name="pupille de sortie"> Plus généralement la [[w:Pupille_(optique)#Pupille_de_sortie|pupille de sortie]] est l'image du diaphragme d'ouverture par la partie du système optique située en aval du diaphragme mais comme le diaphragme est accolé à la face d'entrée du système <math>\Rightarrow</math> la [[w:Pupille_(optique)#Pupille_d'entrée|pupille d'entrée]] est confondue avec le diaphragme d'une part et d'autre part la partie du système optique située en aval du diaphragme est le système entier.</ref> ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math>tous les rayons issus du point objet et traversant le diaphragme devant être paraxiaux pour que le système optique soit stigmatique approché, il faut que * « <u>l'angle sous lequel le diaphragme est vu du point objet</u> soit <u>petit</u> » mais il faut aussi * « <u>la dimension du diaphragme petite</u> » pour que les points d'incidence restent proches du sommet de la face d'entrée ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math>« plus l'objet est proche de la face d'entrée », « plus le diaphragme doit être fermé » pour que le stigmatisme approché soit maintenu, voir ci-contre dans le cas d'un miroir concave. === Caractéristiques d'un détecteur pour satisfaire les conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique « centré » === {{Al|5}}La plupart des systèmes optiques « centrés » ne sont pas « stigmatiques rigoureux » <ref> Le seul exemple de système optique « centré » stigmatique rigoureux pour tout point est le miroir plan de forme circulaire.</ref> sauf pour un ou deux points particuliers mais ils sont « stigmatiques approchés » dès lors qu'ils sont utilisés dans les conditions de Gauss<ref name="Gauss" /> ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math>considérant des angles d'inclinaison des rayons incidents petits et faisant des D.L<ref name="D.L."> Développements limités.</ref>. à l'ordre un en ces angles, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la conséquence est que le système optique « centré » donne du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal, une image ponctuelle <math>\;A_i\;</math> à l'ordre un en ces angles mais <math>\;\ldots\;</math> {{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|la conséquence est que }}<u>en réalité les rayons émergents correspondant aux rayons incidents</u> issus de <math>\;A_o\;</math> <u>ne sont pas parfaitement concourants</u>, l'endroit considéré comme « le point image <math>\;A_i\;</math> étant en fait le centre d'une tâche d'éclairement maximal, de diamètre <math>\;a\;</math>» au moins d'ordre deux en les angles d'inclinaison des rayons incidents ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math>si on positionne un détecteur centré sur <math>\;A_i\;</math> <u>à quelle condition l'image apparaîtra-t-elle réellement ponctuelle</u> ? {{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Il faut savoir que tout détecteur est composé d'une mosaïque de cellules élémentaires correspondant chacune à un pixel <math>\;\big(</math>c'est-à-dire un point de l'image finale<math>\big)\;</math> dont la taille est fixée ; notons «<math>\;g\;</math> le diamètre d'un pixel », <u>l'image</u> de <math>\;A_o\;</math> <u>apparaîtra ponctuelle si le diamètre de la tache d'éclairement maximal</u> centrée en <math>\;A_i\;</math> <u>est inférieur au diamètre du pixel</u> centré au même point c'est-à-dire si «<math>\;a < g\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si ceci est réalisé on peut affirmer que les conditions de Gauss<ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché du système optique « centré » sont suffisantes pour le détecteur utilisé ; {{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le diamètre «<math>\;g\;</math> <ref> Par exemple le diamètre d'un pixel d'un capteur C.C.D. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Polarisation_rectiligne_de_la_lumière,_loi_de_Malus#Capteur_CCD|capteur CCD]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> est de l'ordre de « quelques <math>\;\mu m\;</math>».</ref> des pixels du détecteur » étant imposé, pour améliorer des conditions de Gauss<ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché d'un système optique « centré » qui seraient insuffisantes, il convient de « diminuer le diamètre <math>\;a\;</math> de la tache d'éclairement maximal centrée en <math>\;A_i\;</math>» et pour cela de « diminuer l'inclinaison maximale des rayons incidents relativement à l'axe optique principal », ceci étant obtenu en « diminuant le diamètre du diaphragme » <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] }} 6futmv4mxdiyvd2ltlp95hhz9efdmgr 0 62524 982820 974069 2026-05-14T16:13:22Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982820 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 14 | niveau = 14 | précédent = [[../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | suivant = [[../Optique géométrique : l'œil/]] }} == Retour sur les systèmes dioptriques « centrés », exemple des lentilles sphériques, cas particulier des précédentes : les lentilles minces == {{Al|5}}<u>Rappel</u> : Un système dioptrique centré est un cas particulier de « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Notion_de_système_optique|système optique]] (dioptrique) » <math>\big[</math>paragraphe du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math> à caractère « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Définition_d'un_système_optique_«_centré_»|centré]] » <math>\;\big[</math>paragraphe du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire possédant un axe de symétrie de révolution<math>\big)</math>. === Retour sur les systèmes dioptriques « centrés » === {{Al|5}}Il n'y a « pas stigmatisme rigoureux » pour les systèmes dioptriques centrés<ref> Sauf pour un ou deux points particuliers <math>\;\ldots</math></ref>, mais on admet que l'utilisation de « rayons incidents [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|paraxiaux]] » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] »<ref name="Gauss"> '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777 - 1855)''', mathématicien, astronome et physicien allemand, est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps <math>\;\big(</math>il fut surnommé « le prince des mathématiciens »<math>\big)</math>, on lui doit d'importantes contributions dans les trois domaines. <br>{{Al|3}}En <math>\;1796</math>, à l'âge de dix-neuf ans, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie il publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de Maxwell gérant l'électromagnétisme ; <br>{{Al|3}}certaines de ses contributions n'ont été mises à jour qu'à titre posthume, à la fin du XIX^ème siècle, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' n'ayant publié qu'une partie de ses découvertes. <br>{{Al|5}}'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie. <br>{{Al|5}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.</ref> du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> confère aux systèmes dioptriques centrés le « stigmatisme approché » ; {{Al|5}}de même il n'y a « pas aplanétisme rigoureux » pour les systèmes dioptriques centrés, mais on admet que l'utilisation d'« objets linéiques transverses [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|“vus de la face d'entrée” sous un petit angle]] » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché d'un système optique centré]] »<ref name="Gauss" /> du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<ref name="rappel des conditions supplémentaires de Gauss pour aplanétisme approché"> Plus précisément « objets linéiques transverses non proches de la face d'entrée et vus du sommet <math>\;S_e\;</math> de celle-ci sous un petit angle » ou « proches de la face d'entrée et vus du centre de courbure <math>\;C_e\;</math> de celle-ci sous un petit angle ».</ref><math>\big]\;</math> confère aux systèmes dioptriques centrés l'« aplanétisme approché » ; {{Al|5}}un système dioptrique centré est dit [[File:Système dioptrique centré afocal.jpg|thumb|300px|Schéma de définition d'un système dioptrique centré afocal]] * « afocal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double, cela entraîne que <br>{{Transparent|« afocal » }}<math>\succ\;</math> tout rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal émerge parallèlement à ce même axe, et que <br>{{Transparent|« afocal » }}<math>\succ\;</math> tout pinceau incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal émerge en un pinceau <math>\;\parallel\;</math> à ce même axe mais non nécessairement de même diamètre {{Nobr|<math>\;\big(</math>voir}} figure ci-contre<math>\big)</math> ; : {{Al|5}}{{Transparent|« afocal » }}comme il y a aplanétisme approché, « un objet linéique transverse du plan de front à l'infini donne une image linéique transverse du même plan de front à l'infini » mais non nécessairement superposable, cela entraîne que <br>{{Transparent|« afocal » }}<math>\succ\;</math> tout pinceau incident <math>\;\parallel\;</math> de direction inclinée relativement à l'axe optique principal émerge en un pinceau <math>\;\parallel\;</math> d'inclinaison par rapport à ce même axe ''a priori'' différente <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math> ; [[File:Système dioptrique centré focal.jpg|thumb|left|500px|Schémas de définition des foyers principaux d'un système dioptrique centré focal]] * « focal » si le point objet à l'infini de l'axe optique principal est conjugué d'un point image à distance finie, ce dernier étant le « foyer principal image » noté <math>\;F_i\;</math> soit «<math>\;A_{o,\, \infty}\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; F_i\;</math>» <math>\;\big(</math>voir la disposition de gauche de la figure ci-contre<math>\big)\;</math> et <br>{{Transparent|« focal » }}si le point image à l'infini de l'axe optique principal a pour conjugué un point objet à distance finie, ce dernier étant le « foyer principal objet » noté <math>\;F_o\;</math> soit «<math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; A_{i,\, \infty}\;</math>» <math>\;\big(</math>voir la disposition de droite de la figure ci-contre<math>\big)</math> ; [[File:Système dioptrique centré focal - bis.jpg|thumb|540px|Schémas de définition de foyers secondaires d'un système dioptrique centré focal suivant l'axe optique secondaire choisi]] :{{Transparent|« focal » }}chacun des points du « plan focal image », c'est-à-dire du plan de front passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math>, étant l'image du point objet à l'infini d'une direction <math>\;(\delta_o)\;</math> inclinée relativement à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> est appelé « foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta_o)\;</math><ref> Noté simplement <math>\;\varphi_i\;</math> en absence d'ambiguïté.</ref> associé à la direction <math>\;(\delta_o)\;</math> soit <math>\;B_{o,\, \infty\,\text{de}\, \delta_o}\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta_o)\;</math>» <math>\;\big(</math>voir la disposition de gauche de la figure {{Nobr|ci-contre<math>\big)\;</math>}} et <br>{{Transparent|« focal » }}chacun des points du « plan focal objet », c'est-à-dire du plan de front passant par le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, étant conjugué du point image à l'infini d'une direction <math>\;(\delta_i)\;</math> inclinée relativement à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> est appelé « foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta_i)\;</math><ref> Noté simplement <math>\;\varphi_o\;</math> en absence d'ambiguïté.</ref> associé à la direction <math>\;(\delta_i)\;</math> soit <math>\;\varphi_o(\delta_i)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\;B_{i,\, \infty\,\text{de}\, \delta_i}\;</math>» <math>\;\big(</math>voir la disposition de droite de la figure ci-contre<math>\big)</math>. === Exemple de systèmes dioptriques « centrés » : les lentilles sphériques === {{Al|5}}Une lentille sphérique « épaisse »<ref> Les lentilles sphériques « épaisses » ne sont introduites que pour préciser leur cas particulier, les lentilles sphériques « minces », la définition de ces dernières étant donnée relativement aux 1^ères.</ref> est la juxtaposition de deux « dioptres sphériques »<ref> Il est rappelé que les dioptres sphériques ne sont pas au programme de physique de PCSI mais qu'ils peuvent être introduits pour utiliser des notions au programme comme les lois de Snell–Descartes de la réfraction ou les notions de stigmatisme <math>\;\big(</math>et aplanétisme<math>\big)\;</math> approchés.</ref> de même espace optique intermédiaire d'indice <math>\;n</math>, les deux espaces optiques extrêmes <math>\;\big(</math>celui d'entrée et celui de sortie<math>\big)\;</math> étant le plus souvent l'air d'indice <math>\;n_{\text{air}} \simeq 1,00</math> ; {{Al|5}}le 1^er dioptre sphérique « le dioptre d'entrée » noté <math>\;\mathcal{D}_e\;</math><ref> Lequel définit la face d'entrée.</ref> ayant pour centre de courbure <math>\;C_e\;</math> et pour sommet <math>\;Se\;</math><ref name="définition sommet"> C.-à-d. l'intersection du dioptre avec l'axe optique principal.</ref> et <br>{{Al|5}}le 2^ème dioptre sphérique « le dioptre de sortie » noté <math>\;\mathcal{D}_s\;</math><ref> Lequel définit la face de sortie.</ref> ayant pour centre de courbure <math>\;C_s\;</math> et pour sommet <math>\;S_s\;</math><ref name="définition sommet" />, <br>{{Al|5}}on algébrise physiquement l'axe optique principal de la face d'entrée vers la face de sortie en définissant l'épaisseur de la lentille sphérique par <math>\;e = \overline{S_eS_s}\;</math><ref> Qui est toujours positive par définition de l'algébrisation.</ref> ; <br>{{Al|5}}on introduit également les rayons de courbure « algébrisés »<ref> Même si leur algébrisation ne nous sert pas par la suite.</ref> : * le rayon de courbure <math>\;\big(</math>algébrisé<math>\big)\;</math> de la face d'entrée <math>\;\overline{R}_e = \overline{S_eC_e}\;</math><ref> Positif si le dioptre d'entrée est convexe c.-à-d. si le centre de courbure <math>\;C_e\;</math> est au-delà du sommet <math>\;S_e\;</math> dans le sens de la propagation, <br>{{Al|3}}négatif si le dioptre d'entrée est concave c.-à-d. si le centre de courbure <math>\;C_e\;</math> est en-deçà du sommet <math>\;S_e\;</math> dans le sens de la propagation.</ref>, * le rayon de courbure <math>\;\big(</math>algébrisé<math>\big)\;</math> de la face de sortie <math>\;\overline{R}_s = \overline{S_sC_s}\;</math><ref> Négatif si le dioptre de sortie est concave c.-à-d. si le centre de courbure <math>\;C_s\;</math> est en-deçà du sommet <math>\;S_s\;</math> dans le sens de la propagation, <br>{{Al|3}}positif si le dioptre de sortie est convexe c.-à-d. si le centre de courbure <math>\;C_s\;</math> est au-delà du sommet <math>\;S_s\;</math> dans le sens de la propagation.</ref>. <div style="text-align: center;"><gallery mode="packed" heights="145px"> Lentilles convergentes.jpg|Exemples de lentilles convergentes : biconvexe, plan-convexe et ménisque convergent Lentilles divergentes.jpg|Exemples de lentilles divergentes : biconcave, plan-concave et ménisque divergent </gallery></div> {{Al|5}}Une lentille sphérique peut être : * <u>biconvexe</u> <math>\;\big(</math>voir ci-dessus le 1^er schéma à partir de la gauche<math>\big)\;</math> si la face d'entrée est « convexe », la face de sortie étant « concave »<ref name="définition concavité d'un dioptre"> En fait les faces d'entrée et de sortie ne sont définies qu'à partir du moment où la lentille sphérique est insérée dans un montage, ceci définissant le sens de propagation de la lumière ; <br>{{Al|3}}avant insertion le caractère convexe <math>\;\big(</math>ou concave<math>\big)\;</math> d'un dioptre sphérique air-verre est défini « de l'air vers le verre », « convexe » si le centre de courbure est du côté du verre et « concave » s'il est du côté de l'air d'où <br>{{Al|3}}un dioptre qualifié de « convexe » avant insertion de la lentille dans un montage définit une « face convexe » s'il est à l'« entrée » de la lentille et une « face concave » s'il est à sa « sortie ».</ref> <math>\;\big[</math>on peut citer un cas particulier de lentille biconvexe, la lentille « boule », les rayons de courbure non algébrisés y sont les mêmes, les centres de courbure étant confondus et l'épaisseur égale à deux fois le rayon de courbure commun non algébrisé<ref> La lentille boule est simplement une boule.</ref><math>\big]</math>, * <u>plan - convexe</u> <math>\;\big(</math>voir ci-dessus les 2^èmes schémas à partir de la gauche<math>\big)\;</math> si la face d'entrée est « convexe », la face de sortie étant « plane »<ref> Ou si la face d'entrée est « plane », la face de sortie étant « concave » <math>\;\big[</math>voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#cite_note-définition_concavité_d'un_dioptre-15|¹⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big[</math>cas particulier de lentille plan - convexe, la lentille « demi-boule », le centre de courbure de la face sphérique étant confondu avec le sommet de la face plane et l'épaisseur étant égale au rayon de courbure non algébrisé de la face sphérique<ref> La lentille demi-boule est simplement une demi-boule.</ref><math>\big]</math>, * <u>ménisque convergent</u> <math>\;\big(</math>voir ci-dessus les 3^èmes schémas à partir de la gauche<math>\big)\;</math> si la face d'entrée est « convexe », la face de sortie étant « convexe » de rayon non algébrisé plus grand que celui de la face d'entrée<ref> Ou, en inversant la lentille, si la face d'entrée <math>\;\big(</math>qui était celle de sortie<math>\big)\;</math> est « concave », la face de sortie étant également « concave » de rayon non algébrisé plus petit que celui de la face d'entrée {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#cite_note-définition_concavité_d'un_dioptre-15|¹⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}on démontre que cette lentille est convergente dans les conditions de stigmatisme approché de Gauss d'où son nom.</ref>, * <u>biconcave</u> <math>\;\big(</math>voir ci-dessus le 4^ème schéma à partir de la gauche<math>\big)\;</math> si la face d'entrée est « concave », la face de sortie étant « convexe »<ref name="définition concavité d'un dioptre" />, * <u>plan - concave</u> <math>\;\big(</math>voir ci-dessus les 5^èmes schémas à partir de la gauche<math>\big)\;</math> si la face d'entrée est « concave », la face de sortie étant « plane »<ref> Ou si la face d'entrée est « plane », la face de sortie étant « convexe » <math>\;\big[</math>voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#cite_note-définition_concavité_d'un_dioptre-15|¹⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref> et * <u>ménisque divergent</u> <math>\;\big(</math>voir ci-dessus les 6^èmes schémas à partir de la gauche<math>\big)\;</math> si la face d'entrée est « concave », la face de sortie étant « concave » de rayon non algébrisé plus grand que celui de la face d'entrée<ref> Ou, en inversant la lentille, si la face d'entrée <math>\;\big(</math>qui était celle de sortie<math>\big)\;</math> est « convexe », la face de sortie étant également « convexe » de rayon non algébrisé plus petit que celui de la face d'entrée {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#cite_note-définition_concavité_d'un_dioptre-15|¹⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}on démontre que cette lentille est divergente dans les conditions de stigmatisme approché de Gauss d'où son nom.</ref>. [[File:Lentille demi-boule.jpg|thumb|500px|Lentille demi-boule non diaphragmée et absence de stigmatisme rigoureux pour le point à l'<math>\infty\;</math> de l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, stigmatisme approché pour le même point si la lentille demi-boule est suffisamment diaphragmée]] {{Al|5}}<u>Caractère « stigmatique non rigoureux mais approché » d'une lentille « demi-boule » pour le point à l'infini de son axe optique principal</u> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre, la demi-boule étant d'indice «<math>\;n \simeq 1,50\;</math>»<math>\big)</math> : {{Al|5}}les rayons incidents étant <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal traversent le 1^er dioptre plan air - verre sans être déviés puis <br>{{Al|7}}{{Transparent|les rayons incidents étant // à l'axe optique principal }}arrivant sur le 2^ème dioptre sphérique verre - air sous un angle d'incidence d'autant plus grand en valeur absolue que le point d'incidence sur ce dioptre sphérique est éloigné de l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|les rayons incidents étant // à l'axe optique principal }}subissent une réflexion totale sur ce dioptre sphérique verre - air dès lors que « leur angle d'incidence est, en valeur absolue <math>\,\geqslant\,</math> à l'angle limite du dioptre<ref name="angle limite d'un dioptre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Angle_limite_d'un_dioptre|angle limite d'un dioptre]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\mathit{l} = \arcsin \left( \dfrac{1}{n} \right) \simeq</math> {{Nobr|<math>41,8\, \text{°}\;</math>»<ref> Les rayons incidents plus éloignés de l'axe que les deux limites d'angle d'incidence en valeur absolue égal à l'angle limite <math>\;\mathit{l} = \arcsin \left( \dfrac{1}{n} \right) = \arcsin \left( \dfrac{1}{1,50} \right) \simeq 41,8\, \text{°}\;</math> ne sont pas représentés, ils subiraient une réflexion totale sur l'« intérieur » de la face de sortie <math>\;\ldots</math></ref>}} <math>\;\bigg\{</math>c'est-à-dire pour les rayons incidents dont la distance à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> est <math>\;h \geqslant R\;\sin(\mathit{l}) = \dfrac{R}{n}</math> <math>\simeq \dfrac{2\;R}{3}\bigg\}\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|les rayons incidents étant // à l'axe optique principal }}émergent par réfraction sur ce dioptre sphérique verre - air en suivant les 1^ère et 2^ème lois de Snell-Descartes<ref name="Snell"> '''[[w:Willebrord_Snell|Willebrord Snell Van Royen]] ou Snellius (1580 - 1626)''' humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant '''[[w:René_Descartes|Descartes]]''' <math>\;\big(</math>sans que ce soit {{Nobr|assuré<math>\big)</math>}} <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la philosophie moderne, en physique a contribué à l'optique géométrique et en mathématiques est à l'origine de la géométrie analytique.</ref> de la réfraction<ref name="lois de Snell-Descartes de la réfraction"> Voir les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Première_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|1^ère loi de Snell-Descartes de la réfraction]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|2^ème loi de Snell-Descartes de la réfraction]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> dès lors que « leur angle d'incidence est, en valeur absolue <math>\;\leqslant\;</math> à l'angle limite du dioptre<ref name="angle limite d'un dioptre" /> <math>\;\big\{</math>les rayons réfractés étant d'autant plus inclinés en direction de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> que la distance séparant le rayon incident de <math>\;\Delta\;</math> est grande<ref name="Positionnement algébrique de quelques rayons réfractés"> Pour le rayon incident arrivant sur le dioptre sphérique verre - air sous l'angle d'incidence limite «<math>\;\mathit{l} = \arcsin \left( \dfrac{1}{n} \right) \simeq 41,8\, \text{°}\;</math>», l'émergence étant rasante et par suite « l'inclinaison du rayon réfracté rasant sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> étant égale à <math>\;\dfrac{\pi}{2} - \mathit{l}\;</math>», le point d'intersection <math>\;A_i(\mathit{l})\;</math> de ce rayon réfracté rasant avec l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> a pour abscisse, à partir de <math>\;C_s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>le}} centre de courbure du dioptre sphérique, lequel est situé sur la face d'entrée de la lentille demi-boule<math>\big)</math>, «<math>\;\overline{C_sA_i(\mathit{l})} = \overline{C_sH(\mathit{l})} + \overline{H(\mathit{l})A_i(\mathit{l})}\;</math>» avec «<math>\;H(\mathit{l})\;</math> le projeté orthogonal du point d'incidence <math>\;I(\mathit{l})\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> d'une part «<math>\;\overline{C_sH(\mathit{l})} = R\;\cos(\mathit{l}) = R\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{n^2}} \simeq R\;\sqrt{1 - \dfrac{4}{9}} = \dfrac{R\;\sqrt{5}}{3}\;</math>» et d'autre part l'inclinaison du rayon réfracté sur <math>\;\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \mathit{l} \right) = \dfrac{H(\mathit{l})I(\mathit{l})}{\overline{H(\mathit{l})A_i(\mathit{l})}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\cos(\mathit{l})}{\sin(\mathit{l})} =</math> <math>\dfrac{R\;\sin(\mathit{l})}{\overline{H(\mathit{l})A_i(\mathit{l})}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{H(\mathit{l})A_i(\mathit{l})} = \dfrac{R\;\sin^2(\mathit{l})}{\cos(\mathit{l})} = \dfrac{R}{n^2\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{n^2}}} \simeq \dfrac{4\;R}{9\;\sqrt{1 - \dfrac{4}{9}}} = \dfrac{4\;R}{3\;\sqrt{5}}\;</math>» d'où «<math>\;\overline{C_sA_i(\mathit{l})} \simeq \dfrac{R\;\sqrt{5}}{3} + \dfrac{4\;R}{3\;\sqrt{5}} = \dfrac{3\;R}{\sqrt{5}}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un rayon incident très proche de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> arrivant sur le dioptre sphérique verre - air sous un angle d'incidence <math>\;\varepsilon\;</math> de valeur absolue très petite <math>\;\big(\varepsilon\;</math> étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un<math>\big)</math>, l'émergence se fait sous l'angle de réfraction <math>\;r(\varepsilon)\;</math> déterminé par les lois de Snell-Descartes de la réfraction <math>\;\big(</math>référence note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#cite_note-lois_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> soit, en utilisant la 2^ème loi «<math>\;n\;\sin(\varepsilon) = \sin\! \left[ r(\varepsilon) \right]\;</math>» dont le développement limité <math>\;\big(</math>D.L.<math>\big)\;</math> à l'ordre un est «<math>\;\sin\! \left[ r(\varepsilon) \right] \simeq n\;\varepsilon\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;r(\varepsilon) \simeq \arcsin(n\;\varepsilon) \simeq n\;\varepsilon\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> l'angle de réfraction «<math>\;r(\varepsilon) \simeq n\;\varepsilon\;</math>» est aussi un infiniment petit d'ordre un de valeur absolue légèrement plus grande dont la conséquence est que « le rayon réfracté se dirige vers l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> incliné par rapport à ce dernier d'un angle <math>\;r(\varepsilon) - \varepsilon \simeq (n - 1)\;\varepsilon\;</math>» également un infiniment petit d'ordre un ; le point d'intersection <math>\;A_i(\varepsilon)\;</math> de ce rayon réfracté avec l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> a pour abscisse, à partir de <math>\;C_s</math>, «<math>\;\overline{C_sA_i(\varepsilon)} = \overline{C_sH(\varepsilon)} + \overline{H(\varepsilon)A_i(\varepsilon)}\;</math>» avec «<math>\;H(\varepsilon)\;</math> le projeté orthogonal du point d'incidence <math>\;I(\varepsilon)\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> d'une part «<math>\;\overline{C_sH(\varepsilon)} = R\;\cos(\varepsilon) \simeq R\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et d'autre part l'inclinaison du rayon réfracté sur <math>\;\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan\! \left[ (n - 1)\;\varepsilon \right] = \dfrac{H(\varepsilon)I(\varepsilon)}{\overline{H(\varepsilon)A_i(\varepsilon)}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\sin\! \left[ (n - 1)\;\varepsilon \right]}{\cos\! \left[ (n - 1)\;\varepsilon \right]} \simeq</math> <math>\dfrac{R\;\sin(\varepsilon)}{\overline{H(\varepsilon)A_i(\varepsilon)}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{H(\varepsilon)A_i(\varepsilon)} \simeq</math> <math>\dfrac{R}{n - 1}\;</math>» d'où «<math>\;\overline{C_sA_i(\varepsilon)} \simeq R + \dfrac{R}{n - 1} = 3\;R\;</math>» ; <br>{{Al|3}}les rayons émergents correspondant aux rayons incidents choisis ci-dessus provenant du même point objet <math>\;A_{o,\,\infty\,\text{de}\,\Delta}\;\in\,\Delta\;</math> ne recoupant pas l'axe <math>\;\Delta\;</math> au même endroit, la lentille demi-boule n'est donc pas stigmatique rigoureuse pour le point <math>\;A_{o,\,\infty\,\text{de}\,\Delta}</math>.</ref><math>\big\}</math> ; * on observe l'absence de convergence ponctuelle d'un faisceau parallèle à l'axe optique principal couvrant la quasi totalité de la face d'entrée <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> d'où l'« absence de stigmatisme rigoureux de la lentille demi-boule pour le point à l'infini de l'axe optique principal »<ref name="Positionnement algébrique de quelques rayons réfractés" />, par contre * si on limite suffisamment la largeur du faisceau parallèle à l'aide d'un diaphragme positionné contre la face d'entrée <math>\;\big(</math>en rouge sur le schéma ci-dessus à droite<math>\big)</math>, on observe l'apparition d'une « convergence ponctuelle en <math>\;F_i\;</math>»<ref> Utiliser un diaphragme suffisamment étroit ayant pour axe l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> de la lentille demi-boule, revient à ne considérer que les rayons incidents très proches de <math>\;\Delta</math> ; ces derniers arrivant sur le dioptre sphérique verre - air sous un angle d'incidence <math>\;\varepsilon\;</math> de valeur absolue très petite <math>\;\big(\varepsilon\;</math> considéré comme un infiniment petit d'ordre un<math>\big)</math>, l'émergence se fait alors sous un angle de réfraction <math>\;r(\varepsilon)\;</math> déterminé par les lois de Snell-Descartes de la réfraction <math>\;\big(</math>référence note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#cite_note-lois_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> soit, en utilisant la 2^ème loi «<math>\;n\;\sin(\varepsilon) = \sin\! \left[ r(\varepsilon) \right]\;</math>» dont le D.L. à l'ordre un est {{Nobr|«<math>\;\sin\! \left[ r(\varepsilon) \right]</math>}} <math>\simeq n\;\varepsilon\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;r(\varepsilon) \simeq \arcsin(n\;\varepsilon) \simeq n\;\varepsilon\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> l'angle de réfraction «<math>\;r(\varepsilon) \simeq n\;\varepsilon\;</math>» est aussi un infiniment petit d'ordre un de valeur absolue légèrement plus grande dont la conséquence est que « les rayons réfractés sélectionnés se dirigent vers l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> inclinés par rapport à ce dernier d'un angle <math>\;r(\varepsilon) - \varepsilon \simeq (n - 1)\;\varepsilon\;</math>» également un infiniment petit d'ordre un ; l'intersection <math>\;A_i(\varepsilon)\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> et des rayons réfractés sélectionnés ayant été déterminée dans la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#cite_note-Positionnement_algébrique_de_quelques_rayons_réfractés-27|²⁷]] » plus haut dans ce chapitre <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{C_sA_i(\varepsilon)} \simeq R + \dfrac{R}{n - 1} = 3\;R\;</math> à l'ordre un en <math>\;\varepsilon\;</math>» et cette abscisse étant indépendante de <math>\;\varepsilon\;</math> nous en déduisons qu'il y convergence de tous les rayons réfractés en un point fixe noté «<math>\;F_i\;</math>», cette convergence assurant le stigmatisme approché de la lentille demi-boule pour <math>\;A_{o,\,\infty\,\text{de}\,\Delta}</math>.</ref>, ce qui justifie le « stigmatisme approché de la lentille demi-boule pour le point à l'infini de l'axe optique principal ». === Cas particulier de lentilles sphériques : les lentilles minces === {{Al|5}}Une lentille sphérique est dite « mince » si « son épaisseur est très petite »<ref> Plus précisément si «<math>\;e \ll R_e</math>, <math>\;e \ll R_s\;</math> et <math>\;e \ll \vert \overline{R_e} - \overline{R_s} \vert\;</math>» ; <br>{{Al|3}}comme «<math>\;\overline{R_e} - \overline{R_s} = \overline{S_eC_e} - \overline{S_sC_s} = \overline{S_eS_s} + \overline{S_sC_e} - \overline{S_sC_s} = e + \overline{C_sC_e}\;</math>», la condition «<math>\;e \ll \vert \overline{R_e} - \overline{R_s} \vert\;</math>» peut être remplacée par «<math>\;\vert \overline{C_sC_e} \vert\;</math> non petit ».</ref> soit encore si « les sommets des faces d'entrée et de sortie peuvent être confondus » ou «<math>\;S_e \simeq S_s\;</math>» ; {{Al|5}}nous admettrons le stigmatisme et l'aplanétisme « approchés »<ref> Sauf pour un point qui sera précisé ultérieurement où le stigmatisme est rigoureux.</ref> d'une lentille sphérique mince dans les conditions de Gauss<ref name="Gauss" /> à savoir * l'utilisation de « rayons incidents [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|paraxiaux]] » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] »<ref name="Gauss" /> du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> pour le stigmatisme approché et * {{Al|9}}celle d'« objets linéiques transverses [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|“vus de la face d'entrée” sous un petit angle]] » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché d'un système optique]] {{Nobr|[[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|centré]] »<ref name="Gauss" />}} du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<ref name="rappel des conditions supplémentaires de Gauss pour aplanétisme approché" /><math>\big]\;</math> pour l'aplanétisme approché. == Centre optique d'une lentille mince, son axe optique principal et ses axes optiques secondaires == === Définition du centre optique d'une lentille mince === {{Définition| titre= Centre optique d'une lentille mince| contenu={{Al|5}}Le « centre optique d'une lentille mince, usuellement noté <math>\;O\;</math>», est le « sommet commun <math>\;S_e \simeq S_s\;</math> des dioptres d'entrée et de sortie de la lentille sphérique que la lentille mince modélise dans les conditions de faible épaisseur ».}} === Axe optique principal d'une lentille mince === {{Al|5}}L'« axe optique principal d'une lentille mince » est l'« axe de symétrie, noté <math>\;\Delta</math>, de la lentille sphérique que la lentille mince modélise dans les conditions de faible épaisseur », <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'« axe optique principal d'une lentille mince » }}son algébrisation physique est dans le sens de la propagation <math>\;\big(</math>comme pour tout système dioptrique centré<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'« axe optique principal d'une lentille mince » }}«<math>\;\Delta\;</math> est la <math>\;\perp\;</math> commune en <math>\;O</math>, centre optique de la lentille mince, aux faces d'entrée et de sortie de cette dernière ». === Axes optiques secondaires d'une lentille mince === {{Al|5}}Les « axes optiques secondaires d'une lentille mince » sont les « associations d'un rayon incident passant par le centre optique <math>\;O</math>, incliné par rapport à l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les « axes optiques secondaires d'une lentille mince » sont les « associations }}de l'émergent correspondant »<ref> Nous voyons, dans le paragraphe «[[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Conséquence_sur_les_axes_optiques_secondaires_d'une_lentille_mince|conséquence sur les axes optiques secondaires d'une lentille mince]]» plus bas dans ce chapitre, que l'émergent est dans le prolongement de l'incident correspondant, ce qui fait que l'« axe optique secondaire associé un incident est une droite, usuellement notée <math>\;\delta\;</math>».</ref>. === Rappel des conditions de Gauss de stigmatisme et d'aplanétisme approchés d'une lentille mince === {{Al|5}}<u>Conditions de Gauss du stigmatisme approché d'une lentille mince</u> : « les rayons incidents doivent être paraxiaux » <math>\;\big[</math>c'est-à-dire peu inclinés relativement à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et dont le point d'incidence reste proche du centre optique <math>\;O\;</math><ref> En effet le rayon incident sur le dioptre d'entrée ainsi que le rayon réfracté servant de rayon incident sur le dioptre de sortie doivent rester proches du sommet de chaque dioptre donc du point commun les modélisant.</ref><math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché d'une lentille mince</u> : « si l'objet linéique transverse n'est pas proche du centre optique <math>\;O\;</math> il doit être vu de <math>\;O\;</math> sous un petit angle <math>\;\beta\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché d'une lentille mince : }}« s'il en est proche il doit être de petites dimensions »<ref> En effet si l'objet est accolé à la face d'entrée, il ne peut être « considéré comme linéique » que si on peut négliger la courbure de la face d'entrée et ceci nécessite que l'arc de cercle puisse être confondu avec un segment c.-à-d. qu'il soit petit ;<br>{{Al|3}}ceci est effectivement en accord avec les conditions générales qui sont que l'angle <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet accolé à la face d'entrée <math>\;\big(</math>respectivement de sortie<math>\big)\;</math> est vu du centre de courbure du dioptre d'entrée <math>\;\big(</math>respectivement de sortie<math>\big)\;</math> sous un petit angle car les centres de courbure du dioptre d'entrée et de sortie sont éloignés du centre optique.</ref>. == Propriété d'un rayon incident passant par le centre optique d'une lentille mince, stigmatisme rigoureux de cette dernière pour son centre optique et notion de point double == === Propriété d'un rayon incident passant par le centre optique d'une lentille mince === {{Proposition|titre=Propriété des rayons incidents passant par le centre optique d'une lentille mince| contenu = {{Al|5}}« Tout rayon incident passant par le centre optique <math>\;O\;</math> d'une lentille mince » <u>n'est pas dévié</u> « quelle que soit l'inclinaison du rayon par rapport à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math>».}} [[File:Lentille sphérique - centre optique.jpg|thumb|250px|Déviation d'un rayon incident par une lentille sphérique d'épaisseur <math>\;e\;</math> tel que le rayon intermédiaire passe par <math>\;O\;</math> et limite quand <math>\;e \rightarrow 0</math>]] {{Al|5}}<u>Tentative de justification à partir de l'observation du tracé sur une lentille sphérique épaisse biconvexe quand cette dernière devient mince</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Tentative de justification }}Ci-contre un rayon incident de point d'incidence <math>\;I\;</math> sur la face d'entrée d'une lentille sphérique d'épaisseur <math>\;e\;</math> donnant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Tentative de justification Ci-contre }}un rayon émergent de point d'incidence <math>\;J\;</math> sur la face de sortie de cette dernière avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Tentative de justification Ci-contre }}un rayon intermédiaire coupant l'axe optique principal de celle-ci en un point <math>\;O\;\in\, \left[ IJ \right]</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Tentative de justification }}en <math>\;I\;</math> le rayon intermédiaire s'est rapproché de la normale au dioptre d'entrée par rapport au rayon incident<ref> En effet la lumière passant d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent, l'angle d'émergence est plus petit que l'angle d'incidence.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Tentative de justification }}en <math>\;J\;</math> il est plus éloigné de la normale au dioptre de sortie que le rayon émergent<ref> En effet la lumière passant d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, l'angle d'émergence est plus grand que l'angle d'incidence.</ref>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|Tentative de justification }}ces deux effets antagonistes n'étant pas réalisés relativement à une même direction <math>\;\big[</math>la normale au dioptre d'entrée en <math>\;I\;</math> n'étant pas confondue avec la normale au dioptre de sortie en <math>\;J\big]</math>, cela fournit une direction pour le rayon émergent ''a priori'' différente de celle du rayon incident ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Tentative de justification }}toutefois si on fait tendre, par la pensée, l'épaisseur <math>\;e\;</math> vers <math>\;0</math>, le point <math>\;I\;</math> et le point <math>\;J\;</math> tendent tous deux vers le centre optique <math>\;O\;</math> de la lentille mince qui modélise la lentille sphérique d'épaisseur infiniment petite et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Tentative de justification toutefois si on fait tendre, par la pensée, l'épaisseur e vers 0, }}la normale au dioptre d'entrée en <math>\;I\;</math> et celle au dioptre de sortie en <math>\;J\;</math> tendent toutes deux vers la normale commune aux faces d'entrée et de sortie de la lentille mince en <math>\;O\;</math> c'est-à-dire vers l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> de cette dernière, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Tentative de justification toutefois si on fait tendre, par la pensée, l'épaisseur e vers 0, }}le rayon incident tendant vers un rayon incident faisant l'angle d'incidence <math>\;i_e\;</math> avec <math>\;\Delta</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Tentative de justification toutefois si on fait tendre, par la pensée, l'épaisseur e vers 0, }}le rayon intermédiaire tendant vers un rayon intermédiaire de longueur tendant vers <math>\;0\;</math> faisant un angle <math>\;i_{\text{interm}}\;</math> avec <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Tentative de justification toutefois si on fait tendre, par la pensée, l'épaisseur e vers 0, }}le rayon émergent tendant vers un rayon émergent faisant l'angle d'émergence <math>\;i_s\;</math> avec <math>\;\Delta\;</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Tentative de justification toutefois si on fait tendre, par la pensée, l'épaisseur e vers 0, }}tels que «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \sin(i_e) = n\, \sin(i_{\text{interm}})\\ n\, \sin(i_{\text{interm}}) = \sin(i_s) \end{array} \right\rbrace\;</math>» c'est-à-dire tels que «<math>\;i_e = i_s\;</math>», donc une absence de déviation du rayon émergent relativement au rayon incident et ceci quelle que soit la valeur de l'angle d'incidence. === Conséquence sur les axes optiques secondaires d'une lentille mince === {{Al|5}}Une 1^ère conséquence est qu'« un axe optique secondaire d'une lentille mince formé d'un rayon incident passant par le centre optique de cette dernière en étant incliné d'un angle <math>\;\beta\;</math> relativement à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et de l'émergent correspondant » est une « <u>droite</u><math>\underline{\;(\delta)\;}</math><u>passant par</u><math>\underline{\;O}\;</math> en étant inclinée de l'angle <math>\;\beta\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>», <u>l'inclinaison pouvant être quelconque</u>. === Centre optique, point double de la lentille mince et stigmatisme rigoureux de cette dernière pour le centre optique === {{Al|5}}Une 2^ème conséquence est qu'« un faisceau convergent au centre optique <math>\;O\;</math> d'une lentille mince poursuit sans déviation en divergeant à partir de <math>\;O\;</math>» et on en déduit que : * <math>\;O\;</math> étant sa propre image <math>\;\big[O\; \stackrel{\mathcal{L}}{\longrightarrow}\; O\big]\;</math> est un « <u>point double</u> », * le caractère ponctuel de l'image étant indépendant de l'ouverture du faisceau, « la lentille sphérique mince est <u>stigmatique rigoureux pour le centre optique</u> ». == Caractère focal d'une lentille mince, foyers principal objet et principal image, plans focaux, foyers secondaire objet et secondaire image associés à un axe optique secondaire == === Lentille sphérique mince : système focal === {{Al|5}}Une lentille sphérique mince est un système « <u>focal</u> » c'est-à-dire que * le point à l'infini de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> a pour image un point de <math>\;\Delta\;</math> à distance finie<ref> Il s'agit de stigmatisme approché et non rigoureux comme nous l'avons vu dans le dernier schéma du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Exemple_de_systèmes_dioptriques_«_centrés_»_:_les_lentilles_sphériques|exemple de systèmes dioptriques centrés, les lentilles sphériques]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * il existe un point de <math>\;\Delta\;</math> à distance finie ayant pour image le point à l'infini de <math>\;\Delta\;</math><ref> Il s'agit de stigmatisme approché et non rigoureux comme le justifie la loi du retour inverse appliqué au résultat précédent.</ref> ; {{Al|5}}on peut également dire que « <u>le point à l'infini de</u><math>\underline{\;\Delta\;}</math><u>n'est pas un point double</u> ». === Foyer principal objet, foyer principal image === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le « foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> d'une lentille mince » est le « point de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> ayant pour image <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> le point à l'infini de <math>\;\Delta\;</math>» <div style="text-align: center;">soit «<math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{L}}{\longrightarrow}\; A_{i,\, \infty}\;</math>» ; une conséquence est que </div> {{Al|13}}{{Transparent|Le « foyer principal objet F_o d'une lentille mince »}}« tout rayon incident passant <math>\;\big(</math>réellement ou virtuellement<math>\big)\;</math> par <math>\;F_o\;</math> émerge parallèlement à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le « foyer principal image <math>\;F_i\;</math> d'une lentille mince » est le « point de l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, image de <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> le point à l'infini de <math>\;\Delta\;</math>» <div style="text-align: center;">soit «<math>\;A_{o,\, \infty}\; \stackrel{\mathcal{L}}{\longrightarrow}\;F_i\;</math>» ; une conséquence est que </div> {{Al|13}}{{Transparent|Le « foyer principal image F_i d'une lentille mince »}}« tout rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> émerge en passant <math>\;\big(</math>réellement ou virtuellement<math>\big)\;</math> par <math>\;F_i\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On établit que «<math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> occupent des <u>positions géométriquement symétriques</u> relativement à <math>\;O\;</math>»<ref> Les points <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> n'appartenant pas au même espace optique <math>\;\big[</math>le 1^er étant dans l'espace objet et le 2^ème dans l'espace image<math>\big]\;</math> ce ne sont que leurs positions géométriques qui peuvent être qualifiées de symétriques relativement à <math>\;O</math>.</ref>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On distingue deux types de lentilles minces suivant le caractère réel ou virtuel des foyers principaux : * les lentilles <u>convergentes</u> <math>\;\big(</math>biconvexe, plan convexe et ménisque convergent<math>\big)\;</math><ref> Voir les 1^er, 2^èmes et 3^èmes schémas à partir de la gauche du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Exemple_de_systèmes_dioptriques_«_centrés_»_:_les_lentilles_sphériques|exemple de systèmes dioptriques centrés : les lentilles sphériques]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> pour lesquelles les foyers principaux objet et image sont <u>réels</u> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à gauche avec la représentation symbolique d'une lentille convergente<math>\big)\;</math> et * les lentilles <u>divergentes</u> <math>\;\big(</math>biconcave, plan concave et ménisque divergent<math>\big)\;</math><ref> Voir les 4^ème, 5^èmes et 6^èmes schémas à partir de la gauche du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Exemple_de_systèmes_dioptriques_«_centrés_»_:_les_lentilles_sphériques|exemple de systèmes dioptriques centrés : les lentilles sphériques]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> pour lesquelles les foyers principaux objet et image sont <u>virtuels</u> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite avec la représentation symbolique d'une lentille divergente<math>\big)</math>. <div style="text-align: center;"> <gallery mode="packed" heights="190px"> Lentilles minces convergentes - foyers principaux.jpg|Positionnement des foyers principaux objet et image d'une lentille mince convergente avec la représentation symbolique de cette dernière Lentilles minces divergentes - foyers principaux.jpg|Positionnement des foyers principaux objet et image d'une lentille mince divergente avec la représentation symbolique de cette dernière </gallery></div> === Plan focal objet, plan focal image, foyer secondaire objet associé à un axe optique secondaire, foyer secondaire image associé à un axe optique secondaire === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le « <u>plan focal objet</u> est le plan de front passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math>», il est de même nature que le foyer principal objet à savoir « réel pour une lentille convergente » et « virtuel pour une lentille divergente » ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math>le « <u>plan focal image</u> est le plan de front passant par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math>», il est de même nature que le foyer principal image à savoir « réel pour une lentille convergente » et « virtuel pour une lentille divergente ». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>L'« intersection d'un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> avec le plan focal objet » définit « <u>le foyer secondaire objet</u> associé à cet axe optique secondaire » noté «<math>\;\varphi_{o,\, \delta}\;</math>»<ref> Ou encore <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou simplement <math>\;\varphi_o\;</math> en absence d'ambiguïté.</ref> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'« intersection d'un axe optique secondaire δ avec le plan focal objet » }}c'est aussi, dans la mesure où l'axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> est peu incliné relativement à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math><ref name="Gauss pour a.o.s."> C.N. pour qu'il y ait stigmatisme approché de la lentille pour les points de cet axe, la 2^ème condition de paraxialité étant évidemment réalisée puisque l'axe optique secondaire passe par le centre optique.</ref>, « <u>le point de l'axe optique secondaire ayant pour image le point à l'infini de cet axe</u> » <div style="text-align: center;">soit «<math>\;\varphi_{o,\, \delta}\; \stackrel{\mathcal{L}} {\longrightarrow}\; B_{i,\; \infty\, \text{de}\, \delta}\;</math>» ; une conséquence est que</div> {{Al|12}}{{Transparent|L'« intersection d'un axe optique secondaire δ avec le plan focal objet » }}« tout rayon incident passant <math>\;\big(</math>réellement ou virtuellement<math>\big)\;</math> par <math>\;\varphi_{o,\, \delta}\;</math> émerge parallèlement à <math>\;\delta\;</math>»<ref name="conditions de Gauss de stigmatisme"> Dans les conditions de Gauss de stigmatisme approché bien sûr.</ref> ; <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'« intersection d'un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> avec le plan focal image » définit « <u>le foyer secondaire image</u> associé à cet axe optique secondaire » noté «<math>\;\varphi_{i,\, \delta}\;</math>»<ref> Ou encore <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> ou simplement <math>\;\varphi_i\;</math> en absence d'ambiguïté.</ref> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|l'« intersection d'un axe optique secondaire δ avec le plan focal image » }}c'est aussi, dans la mesure où l'axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> est peu incliné relativement à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math><ref name="Gauss pour a.o.s." />, « <u>le point de l'axe optique secondaire, image du point à l'infini de cet axe</u> » <div style="text-align: center;">soit «<math>\;B_{o,\; \infty\, \text{de}\, \delta}\; \stackrel{\mathcal{L}} {\longrightarrow}\; \varphi_{i,\, \delta}\;</math>» ; une conséquence est que</div> {{Al|12}}{{Transparent|l'« intersection d'un axe optique secondaire δ avec le plan focal image » }}« tout rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\delta\;</math> émerge en passant <math>\;\big(</math>réellement ou virtuellement<math>\big)\;</math> par <math>\;\varphi_{i,\, \delta}\;</math>»<ref name="conditions de Gauss de stigmatisme" />. == Distance focale et vergence d'une lentille mince == {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La « <u>distance focale objet</u> d'une lentille mince est la distance algébrique <math>\;f_o = \overline{OF_o}\;</math>»<ref name="repérage de Descartes"> Nous verrons, plus bas dans ce chapitre, que le « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Repérage_de_Descartes_des_points_objet_et_image|repérage de Descartes des points objet et image]] » sur l'axe optique principal se fait à partir du centre optique choisi comme origine, ceci étant en accord avec le repérage de Descartes du point relativement à chaque dioptre sphérique à condition que l'origine de ces repérages soit le sommet de chaque dioptre, sommets qui se confondent avec le centre optique dans la limite de lentille sphérique mince.</ref>{{,}}<ref> C'est aussi l'abscisse de Descartes du foyer principal objet de la lentille mince.</ref>, elle est telle que : * «<math>\;f_o < 0\;</math> pour une lentille mince convergente » et * «<math>\;f_o > 0\;</math> pour une lentille mince divergente » ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math>la « <u>distance focale image</u><ref> Quand on parle de « distance focale » sans préciser c'est « toujours la distance focale image » ; c'est donc elle qui joue le rôle le plus important.</ref> d'une lentille mince est la distance algébrique <math>\;f_i = \overline{OF_i}\;</math>»<ref name="repérage de Descartes />{{,}}<ref> C'est aussi l'abscisse de Descartes du foyer principal image de la lentille mince.</ref>, elle est telle que : * «<math>\;f_i > 0\;</math> pour une lentille convergente » et * «<math>\;f_i < 0\;</math> pour une lentille divergente » ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math>les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i\;</math> d'une lentille mince étant géométriquement symétriques relativement au centre optique <math>\;O\;</math> de cette dernière, <br>{{Al|10}}les « distances focale objet et image de la lentille mince sont opposées » c'est-à-dire «<math>\;f_o = -f_i\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La « <u>vergence</u> d'une lentille mince est définie selon <math>\;C = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>»<ref> La justification de la définition de la vergence d'une lentille mince est faite dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] » plus bas dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|26}}elle est exprimée en « ''dioptries'' de symbole <math>\;\delta\;</math>», les distances focales étant alors en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;1\; \delta = 1\; m^{-1}\;</math>» ; * si «<math>\;C > 0\;</math> la lentille est <u>convergente</u> », les foyers principaux objet et image étant « <u>réels</u> » ; <br>{{Al|20}}<math>\blacktriangleright\;</math> « un faisceau incident divergeant à partir de <math>\;F_o\;</math> émerge parallèlement » et <br>{{Al|20}}<math>\blacktriangleright\;</math> « un faisceau incident <math>\;\parallel\;</math> converge vers <math>\;F_i\;</math>» ; * si «<math>\;C < 0\;</math> la lentille est <u>divergente</u> », les foyers principaux objet et image étant « <u>virtuels</u> » ; <br>{{Al|20}}<math>\blacktriangleright\;</math> « un faisceau incident convergeant virtuellement vers <math>\;F_o\;</math> <math>\big(</math>situé au-delà de <math>\;\mathcal{L}\big)\;</math> émerge parallèlement » et <br>{{Al|20}}<math>\blacktriangleright\;</math> « un faisceau incident <math>\;\parallel\;</math> diverge virtuellement à partir de <math>\;F_i\;</math> <math>\big(</math>situé en-deçà de <math>\;\mathcal{L}\big)\;</math>». == Construction de l'image d'un objet linéique transverse situé à distance finie (ou de l'objet conjugué d'une image linéique transverse située à distance finie) à l'aide de rayons lumineux == === Construction de l'image d'un objet linéique transverse situé à distance finie à l'aide de rayons lumineux judicieusement choisis === {{Al|5}}Soit «<math>\;A_oB_o\;</math> l'objet linéique transverse dont on cherche à déterminer l'image <math>\;A_iB_i\;</math> dans les conditions de stigmatisme et d'aplanétisme approchés de la lentille mince », pour faire ceci il suffit de <br>{{Al|28}}déterminer « l'image <math>\;B_i\;</math> de l'objet <math>\;B_o\;</math>», <br>{{Al|28}}{{Transparent|déterminer «l'image}}«<math>\;A_i\;</math> le pied de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}on considère alors « deux rayons incidents issus du point objet <math>\;B_o\;</math> parmi les trois particuliers » : * un rayon incident passant par <math>\;O\;</math> n'étant pas dévié, le point image <math>\;B_i\;</math> appartient <math>\;\big(</math>réellement ou virtuellement<math>\big)\;</math> à ce rayon émergent, * un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> émergeant en passant <math>\;\big(</math>réellement ou virtuellement<math>\big)\;</math> par le foyer principal image <math>\;F_i</math>, le point image <math>\;B_i\;</math> appartient <math>\;\big(</math>réellement ou virtuellement<math>\big)\;</math> à ce rayon émergent ou * un rayon incident passant <math>\;\big(</math>réellement ou virtuellement<math>\big)\;</math> par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> émergeant parallèlement à l'axe optique principal<math>\;\Delta</math>, le point image <math>\;B_i\;</math> appartient <math>\;\big(</math>réellement ou {{Nobr|virtuellement<math>\big)\;</math>}} à ce rayon émergent ; {{Al|5}}au final le point image <math>\;B_i\;</math> est l'intersection des deux rayons émergents « choisis »<ref name="vérification construction"> On peut vérifier à l'aide du 3^ème rayon l'exactitude de la construction, mais ce n'est pas indispensable.</ref> ; {{Al|5}}voir schémas ci-dessous : <u>à gauche</u>, objet réel en deçà du plan focal objet d'une lentille mince convergente, l'image est réelle inversée, <br>{{Al|5}}{{Transparent|voir schémas ci-dessous : }}<u>au centre</u>, objet réel entre plan focal objet et face d'entrée d'une lentille mince convergente, l'image est virtuelle droite agrandie<ref> Positionnement de l'objet lors de son observation à travers une loupe, l'objet réel doit donc être placé entre la face d'entrée et le plan focal objet de la loupe, ceci permettant d'obtenir une image virtuelle droite et agrandie.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|voir schémas ci-dessous : }}<u>à droite</u>, objet virtuel, l'image par une lentille mince convergente est réelle droite. <div style="text-align: center;"><gallery mode="packed" heights="170px"> Lentilles minces convergentes - construction image.jpg|Construction de l'image par une lentille mince convergente d'un objet linéique transverse situé en deçà du plan focal objet Lentilles minces convergentes - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par une lentille mince convergente d'un objet linéique transverse situé entre le plan focal objet et la face d'entrée Lentilles minces convergentes - construction image - ter.jpg|Construction de l'image par une lentille mince convergente d'un objet linéique transverse virtuel </gallery> <gallery mode="packed" heights="180px"> Lentilles minces divergentes - construction image.jpg|Construction de l'image par une lentille mince divergente d'un objet linéique transverse réel Lentilles minces divergentes - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par une lentille mince divergente d'un objet linéique transverse virtuel situé entre la face de sortie et le plan focal objet Lentilles minces divergentes - construction image - ter.jpg|Construction de l'image par une lentille mince divergente d'un objet linéique transverse virtuel situé au-delà du plan focal objet </gallery></div> {{Al|5}}voir schémas ci-dessus : <u>à gauche</u>, objet réel, l'image par une lentille mince divergente est virtuelle droite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|voir schémas ci-dessus : }}<u>au centre</u>, objet virtuel entre face de sortie et plan focal objet d'une lentille mince divergente, l'image est réelle droite agrandie, <br>{{Al|5}}{{Transparent|voir schémas ci-dessus : }}<u>à droite</u>, objet virtuel au-delà du plan focal objet d'une lentille mince divergente, l'image est virtuelle inversée. === Construction de l'objet conjugué d'une image linéique transverse située à distance finie à l'aide de rayons lumineux judicieusement choisis === {{Al|5}}Soit «<math>\;A_iB_i\;</math> l'image linéique transverse dont on cherche à déterminer l'objet conjugué <math>\;A_oB_o\;</math> dans les conditions de stigmatisme et d'aplanétisme approchés de la lentille mince », pour faire ceci il suffit <br>{{Al|27}}de déterminer «<math>\;B_o\;</math> l'objet conjugué de l'image <math>\;B_i\;</math>», <br>{{Al|27}}{{Transparent|de déterminer }}«<math>\;A_o\;</math> le pied de l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_o\;</math> sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}on considère alors « deux rayons émergents passant par le point image <math>\;B_i\;</math> parmi les trois particuliers » : * un rayon émergent passant par <math>\;O\;</math> provenant d'un rayon incident non dévié, le point objet <math>\;B_o\;</math> appartient <math>\;\big(</math>réellement ou virtuellement<math>\big)\;</math> à ce rayon incident, * un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> correspondant à un incident passant <math>\;\big(</math>réellement ou virtuellement<math>\big)\;</math> par le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, le point objet <math>\;B_o\;</math> appartient <math>\;\big(</math>réellement ou virtuellement<math>\big)\;</math> à ce rayon incident ou * un rayon émergent passant <math>\;\big(</math>réellement ou virtuellement<math>\big)\;</math> par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> correspondant à un incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, le point objet <math>\;B_o\;</math> appartient <math>\;\big(</math>réellement ou virtuellement<math>\big)\;</math> à ce rayon incident ; {{Al|5}}au final le point objet <math>\;B_o\;</math> est l'intersection des deux rayons émergents « choisis »<ref name="vérification construction" /> ; <div style="text-align: center;">schémas identiques à ceux du paragraphe précédent mais en partant de l'image et en remontant vers l'objet.</div> == Construction de l'image d'un objet linéique transverse situé à distance infinie ou dans le plan focal objet == === Construction de l'image d'un objet linéique transverse situé à l'infini et tracés des pinceaux émergents associés aux pinceaux incidents parallèles === {{Al|5}}Soit «<math>\;A_{o,\,\infty}B_{o,\,\infty\,\text{de}\,\delta}\;</math> l'objet linéique transverse à l'infini dont on cherche l'image par une lentille mince, <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal de cette dernière » ; <br>{{Al|42}}« l'image de <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> étant le foyer principal image <math>\;F_i\;</math>» et <br>{{Al|42}}la lentille étant aplanétique <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math>, l'image de <math>\;A_{o,\,\infty}B_{o,\,\infty\,\text{de}\,\delta}\;</math> est dans le plan focal image de la lentille, par suite <br>{{Al|42}}{{Transparent|la lentille étant aplanétique ( approchée ),}}« l'image de <math>\;B_{o,\,\infty\,\text{de}\,\delta}\;</math> est le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math>», c'est-à-dire que <br>{{Al|42}}{{Transparent|la lentille étant aplanétique ( approchée ),}}« l'image de <math>\;A_{o,\,\infty}B_{o,\,\infty\,\text{de}\,\delta}\;</math> est <math>\;A_iB_i = F_i\varphi_{i,\,\delta}\;</math>» ; <br>{{Al|42}}il suffit alors de déterminer « le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math>», <br>{{Al|42}}{{Transparent|il suffit alors de déterminer }}les pinceaux émergents correspondant aux pinceaux <math>\;\parallel\;</math> issus de <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> convergeant en <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|34}}{{Transparent|il suffit alors de déterminer les pinceaux émergents}}ceux correspondant aux pinceaux <math>\;\parallel\;</math> issus de <math>\;B_{o,\,\infty\,\text{de}\,\delta}\;</math> convergeant en <math>\;\varphi_{i,\,\delta}</math> ; {{Al|5}}voir schémas ci-dessous : <u>à gauche</u> l'image de l'objet réel <math>\;A_{o,\,\infty}B_{o,\,\infty\,\text{de}\,\delta}\;</math><ref name="réalité d'un objet à l'infini"> Le point à l'infini de l'axe optique principal est le point commun « de fermeture » de l'axe sur lui-même <math>\;\big(</math>une droite étant la limite d'un cercle dont le rayon tend vers l'infini<math>\big)</math>, il est donc à la fois « réel » et « virtuel » mais dans la pratique le point objet est à une distance finie très grande que l'on considère comme infinie, il est donc réel.</ref> par une lentille convergente, l'image est réelle inversée dans le plan focal image, <br>{{Al|5}}{{Transparent|voir schémas ci-dessous : }}<u>à droite</u> l'image de l'objet réel <math>\;A_{o,\,\infty}B_{o,\,\infty\,\text{de}\,\delta}\;</math><ref name="réalité d'un objet à l'infini" /> par une lentille divergente, l'image est virtuelle droite dans le plan focal image. <div style="text-align: center;"><gallery mode="packed" heights="155px"> Lentille mince convergente - construction de l'image d'un objet à l'infini.png|Construction de l'image, par une lentille mince convergente, d'un objet linéique transverse situé à l'infini Lentille mince divergente - construction de l'image d'un objet à l'infini.png|Construction de l'image, par une lentille mince divergente, d'un objet linéique transverse situé à l'infini </gallery></div> === Construction de l'image d'un objet linéique transverse situé dans le plan focal objet et tracé du cheminement des pinceaux === {{Al|5}}Soit «<math>\;A_oB_o\;</math> l'objet linéique transverse dans le plan focal objet dont on cherche l'image par une lentille mince, <math>\;A_o\;</math> étant le point de l'axe optique principal de cette dernière » ; <br>{{Al|42}}«<math>\;A_o\;</math> coïncidant avec le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math>», « son image est le point à l'infini <math>\;A_{i,\,\infty}\;</math> de l'axe optique principal » et <br>{{Al|42}}la lentille étant aplanétique <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math>, l'image de <math>\;A_oB_o\;</math> est dans le plan focal image de la lentille, par suite <br>{{Al|42}}{{Transparent|la lentille étant aplanétique ( approchée ),}}« l'image de <math>\;B_o\;</math> coïncide avec le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math>», c'est-à-dire que <br>{{Al|42}}{{Transparent|la lentille étant aplanétique ( approchée ),}}« l'image de <math>\;A_oB_o = F_o\varphi_o\;</math> est <math>\;A_{i,\,\infty}B_{i,\,\infty\,\text{de}\,\delta}\;</math>» ; <br>{{Al|42}}il suffit alors de déterminer « l'axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé au foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o = B_o\;</math>», <br>{{Al|42}}{{Transparent|il suffit alors de déterminer }}les pinceaux émergents correspondant aux pinceaux incidents issus de <math>\;A_o\;</math> émergeant <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et <br>{{Al|34}}{{Transparent|il suffit alors de déterminer les pinceaux émergents}}ceux correspondant aux pinceaux incidents issus de <math>\;B_o\;</math> émergeant <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;\delta</math> ; {{Al|5}}voir schémas ci-dessous : <u>à gauche</u> l'image de l'objet réel <math>\;A_oB_o\;</math> dans le plan focal objet d'une lentille convergente, l'image est réelle<ref name="réalité d'une image à l'infini"> L'image étant à l'infini elle n'est ''a priori'' ni réelle ni virtuelle mais si la lentille convergente est utilisée comme projecteur <math>\;\big(</math>c.-à-d. dont le but est de donner une image réelle agrandie<math>\big)</math>), l'objet est positionné à une distance très légèrement plus grande que la distance focale ce qui entraîne une image « réelle » très éloignée considérée comme à l'infini.</ref> inversée à l'infini, <br>{{Al|5}}{{Transparent|voir schémas ci-dessous : }}<u>à droite</u> l'image de l'objet virtuel <math>\;A_oB_o\;</math> dans le plan focal objet d'une lentille divergente, l'image est réelle<ref name="réalité d'une image à l'infini - bis"> L'image étant à l'infini elle n'est ''a priori'' ni réelle ni virtuelle mais si la lentille divergente est utilisée pour agrandir un objet virtuel, l'objet est positionné à une distance très légèrement plus petite que la distance focale ce qui entraîne une image « réelle » très éloignée considérée comme à l'infini.</ref> droite à l'infini. <div style="text-align: center;"><gallery mode="packed" heights="172px"> Lentille mince convergente - construction de l'image d'un objet du plan focal.png|Construction de l'image, par une lentille mince convergente, d'un objet linéique transverse réel situé dans le plan focal objet Lentille mince divergente - construction de l'image d'un objet du plan focal.png|Construction de l'image, par une lentille mince divergente, d'un objet linéique transverse virtuel situé dans le plan focal objet </gallery></div> == Construction de l'image d'un objet ponctuel situé sur l'axe optique principal à distance finie (ou de l'objet conjugué d'une image ponctuelle située sur l'axe optique principal à distance finie) par utilisation de la notion de foyers secondaires == === Construction de l'image d'un objet ponctuel situé sur l'axe optique principal à distance finie par utilisation des foyers secondaires === {{Al|5}}Soit «<math>\;A_o\;</math> un objet ponctuel de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> d'une lentille mince » par laquelle on cherche à déterminer l'image <math>\;A_i</math>, <math>\;\big(</math>avec l'objet ponctuel à distance finie sur <math>\;\Delta\;</math><ref> Si l'objet ponctuel était à l'infini sur <math>\;\Delta</math>, son image serait le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et ne serait donc pas à déterminer.</ref><math>\big)</math>, la lentille étant stigmatique <math>\;\big(</math>approché<math>\big)\;</math> il suffit de <br>{{Al|22}}« choisir un rayon incident paraxial passant par <math>\;A_o\;</math>» et de <br>{{Al|22}}« déterminer le rayon émergent correspondant », <br>{{Al|22}}ce dernier devant « passer par <math>\;A_i\;</math>» d'une part et d'autre part « l'image d'un point de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> étant un point de <math>\;\Delta\;</math>», <br>{{Al|22}}«<math>\;A_i\;</math> est déterminée par l'intersection du rayon émergent avec l'axe optique principal » ; <br>{{Al|5}}les rayons incidents les plus pratiques parmi ceux possibles à choisir sont : * un rayon incident <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passant <math>\;\big(</math>réellement ou virtuellement<math>\big)\;</math> par <math>\;A_o\;</math> coupant le plan focal objet en <math>\;\varphi_o\;</math> d'axe optique secondaire associé <math>\;\delta</math>, support de <math>\;O\varphi_o</math>, émerge, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur la lentille, parallèlement à <math>\;\delta\;</math> ou * un rayon incident <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passant <math>\;\big(</math>réellement ou virtuellement<math>\big)\;</math> par <math>\;A_o</math>, <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire <math>\;\delta'\;</math><ref> C.-à-d. que le rayon incident passe par le point à l'infini de cet axe <math>\;B_{o,\,\infty\,\text{de}\,\delta'}</math>.</ref>, l'axe optique secondaire <math>\;\delta'\;</math> coupant le plan focal image de la lentille en <math>\;\varphi_{i,\; \delta'}</math>, foyer secondaire image associé à <math>\;\delta'</math>, émerge, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur la lentille, en passant <math>\;\big(</math>réellement ou virtuellement<math>\big)\;</math> par <math>\;\varphi_{i,\; \delta'}</math> ; {{Al|5}}voir schémas ci-dessous : <u>à gauche</u> la construction de l'image par une lentille mince convergente d'un objet réel avec utilisation de la notion de foyer secondaire objet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|voir schémas ci-dessous : }}<u>à droite</u> la construction de l'image par une lentille mince convergente d'un objet réel avec utilisation de la notion de foyer secondaire image. <div style="text-align: center;"><gallery mode="packed" heights="146px"> Lentille mince convergente - foyer secondaire objet.jpg|Construction de l'image par une lentille mince convergente<ref name="nature de lentille"> La méthode de construction est la même quelle que soit la nature de la lentille mince, convergente ou divergente.</ref> d'un objet ponctuel réel par utilisation de la notion de foyer secondaire objet Lentille mince convergente - foyer secondaire image.jpg|Construction de l'image par une lentille mince convergente<ref name="nature de lentille" /> d'un objet ponctuel réel par utilisation de la notion de foyer secondaire image </gallery></div> === Construction de l'objet conjugué d'une image ponctuelle située sur l'axe optique principal à distance finie par utilisation des foyers secondaires === {{Al|5}}Soit «<math>\;A_i\;</math> une image ponctuelle de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> d'une lentille mince » par laquelle on cherche à déterminer l'objet conjugué <math>\;A_o</math>, <math>\;\big(</math>avec l'image ponctuelle à distance finie sur <math>\;\Delta\;</math><ref> Si l'image ponctuelle était à l'infini sur <math>\;\Delta</math>, son objet conjugué serait le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et ne serait donc pas à déterminer.</ref><math>\big)</math>, la lentille étant stigmatique <math>\;\big(</math>approché<math>\big)\;</math> il suffit de <br>{{Al|22}}« choisir un rayon émergent paraxial passant par <math>\;A_i\;</math>» et de <br>{{Al|22}}« déterminer le rayon incident correspondant », <br>{{Al|22}}ce dernier devant « passer par <math>\;A_o\;</math>» d'une part et d'autre part « l'objet conjugué d'un point de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> étant un point de <math>\;\Delta\;</math>», <br>{{Al|22}}«<math>\;A_o\;</math> est déterminée par l'intersection du rayon incident avec l'axe optique principal » ; <br>{{Al|5}}les rayons émergents les plus pratiques parmi ceux possibles à choisir sont : * un rayon émergent <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passant <math>\;\big(</math>réellement ou virtuellement<math>\big)\;</math> par <math>\;A_i\;</math> coupant le plan focal image en <math>\;\varphi_i\;</math> d'axe optique secondaire associé <math>\;\delta</math>, support de <math>\;O\varphi_i</math>, correspond à un incident, en deçà du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur la lentille, <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\delta\;</math> ou * un rayon émergent <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passant <math>\;\big(</math>réellement ou virtuellement<math>\big)\;</math> par <math>\;A_i</math>, <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire <math>\;\delta'\;</math><ref> C.-à-d. que le rayon émergent passe par le point à l'infini de cet axe <math>\;B_{i,\,\infty\,\text{de}\,\delta'}</math>.</ref>, l'axe optique secondaire <math>\;\delta'\;</math> coupant le plan focal objet de la lentille en <math>\;\varphi_{o,\; \delta'}</math>, foyer secondaire objet associé à <math>\;\delta'</math>, correspond à un incident, en deçà du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur la lentille, passant <math>\;\big(</math>réellement ou virtuellement<math>\big)\;</math> par <math>\;\varphi_{o,\; \delta'}</math> ; {{Al|5}}voir schémas ci-dessous : <u>à gauche</u> la construction de l'objet conjugué par une lentille mince divergente d'une image réelle avec utilisation de la notion de foyer secondaire image, <br>{{Al|5}}{{Transparent|voir schémas ci-dessous : }}<u>à droite</u> la construction de l'objet conjugué par une lentille mince divergente d'une image réelle avec utilisation de la notion de foyer secondaire objet. <div style="text-align: center;"><gallery mode="packed" heights="164px"> Lentille mince divergente - foyer secondaire image.jpg|Construction de l'objet conjugué par une lentille mince divergente<ref name="nature de lentille" /> d'une image ponctuelle réelle par utilisation de la notion de foyer secondaire image Lentille mince divergente - foyer secondaire objet.jpg|Construction de l'objet conjugué par une lentille mince divergente<ref name="nature de lentille" /> d'une image ponctuelle réelle par utilisation de la notion de foyer secondaire objet </gallery></div> == Relations de conjugaison approchée de Descartes et de Newton d'une lentille mince == === Orientation des espaces objet et image === {{Al|5}}Chaque espace objet ou image est « orienté à droite »<ref name="orienté à droite"> Orientation de l'espace définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteur]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref> avec choix d'une « base <math>\;\big(</math>commune<math>\big)\;</math> orthonormée directe »<ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire déterminée par la « règle de la main droite »<ref name="règle de la main droite"> Levant le pouce de la main droite dans le sens du 1^er vecteur, l'index pointant dans le sens du 2^ème vecteur, « le sens du 3^ème vecteur est donné par le majeur courbé vers la paume de la main droite » <math>\;\big(</math>ceux qui se souviennent de leur enfance pourraient encore appeler cette règle « la règle de l'apprenti cow-boy droitier »<math>\big)</math> ; il existe d'autres règles équivalentes : <br> {{Al|3}}« ''règle de l'auto-stoppeur (droitier)'' » : l'avant bras <math>\;\big(</math>droit<math>\big)\;</math> étant dans le sens du 1^er vecteur, la poigne de la main <math>\;\big(</math>droite<math>\big)\;</math> courbée dans le sens du 2^ème vecteur, le pouce est alors levé dans le sens du 3^ème vecteur, <br> {{Al|3}}« ''règle du tire-bouchon de Maxwell'' » : le tire-bouchon tournant du 1^er vecteur vers du 2^ème, il s'enfonce dans le bouchon fixe dans le sens de du 3^ème vecteur, <br>{{Al|3}}« ''règle du bonhomme d'Ampère'' » : le bonhomme d'Ampère se couchant sur la direction du 1^er vecteur, ce vecteur lui entrant par les pieds et lui sortant par la tête, regardant droit devant dans le sens du 2^ème vecteur, il tend le bras gauche perpendiculairement à son corps dans le sens du 3^ème vecteur, <br> {{Al|3}}et ''bien d'autres règles'' que vous pouvez vous-même inventer. <br> {{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur. <br>{{Al|3}}'''[[w:André-Marie_Ampère|André-Marie Ampère]] (1775 - 1836)''', mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'[[w:Électronique|électronique]] de la matière ; c'est lui qui inventa le bonhomme fictif portant son nom et permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs.</ref><math>\big)\;</math> dont * « le 1^er vecteur est celui orientant l'axe optique principal dans sa partie incidente ou émergente »<ref> Ici, s'agissant d'un système dioptrique, les sens incident et émergent de l'axe optique principal sont les mêmes.</ref>, * « les 2^ème et 3^ème orientant les plans transverses objets ou images », <br><math>\;\succ\;</math>« le 2^ème étant commun aux deux espaces, choisi <math>\;\parallel\;</math> à l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> étudié », <br><math>\;\succ\;</math>« le 3^ème, également commun aux deux espaces, orientant les angles du plan d'incidence et d'émergence ». === Repérage de Descartes des points objet et image === {{Al|5}}L'« origine des abscisses objet et image de Descartes<ref name="Descartes" /> des points de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> d'une lentille mince », <math>\;\big(\Delta\;</math> étant préalablement algébrisé dans le sens incident de propagation de la lumière<math>\big)</math>, « est commune choisie au centre optique <math>\;O\;</math> de cette dernière » ; * un « point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal est repéré par son abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;p_o = \overline{OA_o}\;</math>» «<math>\;< 0\;</math> pour un objet réel » et «<math>\;> 0\;</math> pour un objet virtuel »<ref> En effet «<math>\;p_o < 0\;</math>» correspond à <math>\;A_o\;</math> situé avant la face d'entrée de la lentille donc dans l'espace objet réel et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }} «<math>\;p_o > 0\;</math>» correspond à <math>\;A_o\;</math> situé après la face d'entrée de la lentille donc dans l'espace objet virtuel.</ref> ; * un « point image <math>\;A_i\;</math> de l'axe optique principal est repéré par son abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math>» «<math>\;> 0\;</math> pour une image réelle » et «<math>\;< 0\;</math> pour une image virtuelle »<ref> En effet «<math>\;p_i > 0\;</math>» correspond à <math>\;A_i\;</math> situé après la face de sortie de la lentille donc dans l'espace image réelle et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }} «<math>\;p_i < 0\;</math>» correspond à <math>\;A_i\;</math> situé avant la face de sortie de la lentille donc dans l'espace image virtuelle.</ref>. === Repérage de Newton des points objet et image === {{Al|5}}L'« origine des abscisses objet et image de Newton<ref name="Newton"> '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]].</ref> des points de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> d'une lentille mince », <math>\;\big(\Delta\;</math> étant préalablement algébrisé dans le sens incident de propagation de la lumière<math>\big)</math>, « est choisie différemment suivant la nature objet ou image du point à repérer », l'origine étant choisie <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'« origine des abscisses objet et image de Newton }}au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de la lentille pour un point objet et <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'« origine des abscisses objet et image de Newton }}au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de cette dernière pour un point image ; * un « point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal est repéré par son abscisse objet de Newton<ref name="Newton" /> <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>» «<math>\;< 0\;</math> pour un objet situé en deçà du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math>» et «<math>\;> 0\;</math> pour un objet situé au-delà du foyer principal objet »<ref> En effet «<math>\;\sigma_o < 0\;</math>» correspond à <math>\;A_o\;</math> situé avant le plan focal objet de la lentille <math>\;\Big(</math>pour une lentille convergente, le point objet est réel avec <math>\;\left[ OA_o \right] > \left[ OF_o \right]</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En effet « σ_o < 0 » correspond à A_o situé avant le plan focal objet de la lentille ( }}pour une lentille divergente, le point objet est réel quelle que soit la distance <math>\;\left[ OA_o \right]\;</math> ou <br>{{Al|12}}{{Transparent|En effet « σ_o < 0 » correspond à A_o situé avant le plan focal objet de la lentille (pour une lentille divergente, le point objet est }}virtuel avec <math>\;\left[ OA_o \right] < \left[ OF_o \right]\Big)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}«<math>\;\sigma_o > 0\;</math>» correspond à <math>\;A_o\;</math> situé après le plan focal objet de la lentille <math>\;\Big(</math>pour une lentille convergente, le point objet est réel avec <math>\;\left[ OA_o \right] < \left[ OF_o \right]\;</math> ou <br>{{Al|12}}{{Transparent|En effet « σ_o > 0 » correspond à A_o situé après le plan focal objet de la lentille (pour une lentille convergente, le point objet est }}virtuel quelle que soit la distance <math>\;\left[ OA_o \right]</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En effet « σ_o > 0 » correspond à A_o situé après le plan focal objet de la lentille ( }}pour une lentille divergente, le point objet est virtuel avec <math>\;\left[ OA_o \right] > \left[ OF_o \right]\Big)</math>.</ref> ; * un « point image <math>\;A_i\;</math> de l'axe optique principal est repéré par son abscisse image de Newton<ref name="Newton" /> <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>» «<math>\;> 0\;</math> pour une image située au-delà du foyer principal image <math>\;F_i\;</math>» et «<math>\;< 0\;</math> pour une image située en deçà du foyer principal image <math>\;F_i\;</math>»<ref> En effet «<math>\;\sigma_i > 0\;</math>» correspond à <math>\;A_i\;</math> situé après le plan focal image de la lentille <math>\;\Big(</math>pour une lentille convergente, le point image est réel avec <math>\;\left[ OA_i \right] > \left[ OF_i \right]</math>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|En effet « σ_i > 0 » correspond à A_i situé après le plan focal image de la lentille ( }}pour une lentille divergente, le point image est réel quelle que soit la distance <math>\;\left[ OA_i \right]\;</math> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|En effet « σ_i > 0 » correspond à A_i situé après le plan focal image de la lentille (pour une lentille divergente, le point image est }}virtuel avec <math>\;\left[ OA_i \right] < \left[ OF_i \right]\Big)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent| En effet }}«<math>\;\sigma_i < 0\;</math>» correspond à <math>\;A_i\;</math> situé avant le plan focal image de la lentille <math>\;\Big(</math>pour une lentille convergente, le point image est virtuel quelle que soit la distance <math>\;\left[ OA_i \right]\;</math> ou <br>{{Al|14}}{{Transparent|En effet « σ_i < 0 » correspond à A_i situé avant le plan focal image de la lentille (pour une lentille convergente, le point image est }}réel avec <math>\;\left[ OA_i \right] > \left[ OF_i \right]</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|En effet « σ_i < 0 » correspond à A_i situé avant le plan focal image de la lentille ( }}pour une lentille divergente, le point image est virtuel avec <math>\;\left[ OA_i \right] > \left[ OF_i \right]\Big)</math>.</ref>. === Relations de conjugaison approchée de Descartes === {{Al|5}}La 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> traduit le stigmatisme approché de la lentille mince pour un point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal et {{Al|5}}la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> {{Transparent|traduit }}l'aplanétisme approché de cette lentille mince pour un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o</math>. ==== Première relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes ==== {{théorème|titre=1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille mince |contenu= {{Al|5}}Les abscisses objet et image de Descartes<ref name="Descartes" /> des points <math>\;A_o\;</math> et <math>\;A_i\;</math> conjugués sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> d'une lentille mince de centre optique <math>\;O\;</math> sont liées, si <math>\;A_o \neq O\;</math><ref> La restriction n'est pas gênante car la position de l'image de <math>\;O\;</math> est connue, <math>\;O\;</math> étant un point double.</ref>, par la relation <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» où <math>\;V\;</math> est la vergence de la lentille mince, <br><math>\;p_o = \overline{OA_o}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math> étant respectivement les abscisses de Descartes<ref name="Descartes" /> de <math>\;A_o\;</math> et <math>\;A_i</math>.</div>}} {{Al|5}}L'application de la relation de conjugaison de position de Descartes<ref name="Descartes" /> au couple <math>\;\left( F_o\,,\, A_{i,\,\infty} \right)\;</math> conduit à <math>\;\cancel{\dfrac{1}{p_i \rightarrow \infty}} - \dfrac{1}{f_o} = V\;</math> soit «<math>\;V = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|L'application de la relation de conjugaison de position de Descartes }}au couple <math>\;\left( A_{o,\,\infty}\,,\,F_i \right)\;</math> {{Transparent|conduit à }} <math>\;\dfrac{1}{f_i} - \cancel{\dfrac{1}{p_o \rightarrow \infty}} = V\;</math> soit «<math>\;V = \dfrac{1}{f_i}\;</math>». ==== Deuxième relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes ==== {{Al|5}}<u>Rappel de la définition du grandissement transverse d'un objet linéique transverse</u><ref name="grandissement transverse"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_du_grandissement_transverse_d'un_objet_linéique_transverse_dans_le_cas_d'un_système_optique_«_unidirectionnel_»_aplanétique|définition du grandissement transverse d'un objet linéique transverse dans le cas d'un système optique unidirectionnel aplanétique]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> : <math>\;A_oB_o\;</math> étant un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o\;</math> sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> d'une lentille mince et <math>\;A_iB_i\;</math> son image <math>\;\big(</math>linéique transverse<ref> Dans la mesure où l'objet obéit aux conditions de Gauss d'aplanétisme approché de la lentille, l'image est effectivement linéique transverse.</ref><math>\big)\;</math> par cette dernière, on définit la grandissement transverse de l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> par la lentille selon «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>». {{théorème|titre=2^ème relation de conjugaison de Descartes d'une lentille mince |contenu= {{Al|5}}Les abscisses objet <math>\;p_o = \overline{OA_o}\;</math> et image <math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> des pieds des objet et image linéiques transverses <math>\;A_oB_o\;</math> et <math>\;A_iB_i\;</math> conjugués par une lentille mince de centre optique <math>\;O\;</math> étant liées, si <math>\;A_o \neq O\;</math><ref> La restriction n'est pas gênante car tous les points de la lentille mince étant des points d'incidence sur cette dernière sont leur propre image et par suite le grandissement transverse d'un objet accolé à la lentille vaut <math>\;G_t(O) = +1</math>.</ref>, par la 1^ère relation de conjugaison de position de Descartes<ref name="Descartes" />, le grandissement transverse de <math>\;A_oB_o\;</math> par la lentille obéit à la relation <div style="text-align: center;">«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>».</div>}} {{Al|5}}Si «<math>\;(p_o\,,\, p_i)\;</math> sont de même signe », le grandissement transverse est « positif », l'image est qualifiée de « droite »<ref> L'image sera droite pour un objet réel <math>\;p_o < 0\;</math> donnant une image virtuelle <math>\;p_i < 0\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|L'image sera droite }}pour un objet virtuel <math>\;p_o > 0\;</math> donnant une image réelle <math>\;p_i > 0</math>.</ref> et {{Al|5}}si «<math>\;(p_o\,,\, p_i)\;</math> sont de signe contraire », le grandissement transverse est « négatif », l'image est qualifiée d'« inversée »<ref> L'image sera inversée pour un objet réel <math>\;p_o < 0\;</math> donnant une image réelle <math>\;p_i > 0\;</math> <math>\bigg[</math>non réalisable avec une lentille divergente correspondant à <math>\;V < 0\;</math> car, pour un objet réel, <math>\;\dfrac{1}{p_i} =</math> <math>V + \dfrac{1}{p_o} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> l'image est virtuelle<math>\bigg]\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|L'image sera inversée }}pour un objet virtuel <math>\;p_o > 0\;</math> donnant une image virtuelle <math>\;p_i < 0\;</math> <math>\bigg[</math>non réalisable avec une lentille convergente correspondant à <math>\;V > 0\;</math> car, pour un objet virtuel, <math>\;\dfrac{1}{p_i} =</math> <math>V + \dfrac{1}{p_o} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> l'image est réelle<math>\bigg]</math>.</ref>. === Relations de conjugaison approchée de Newton === {{Al|5}}Comme pour celles de Descartes<ref name="Descartes" />, la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math> de position<math>\big]\;</math> de Newton<ref name="Newton" /> traduit le stigmatisme approché de la lentille mince pour un point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et {{Al|10}}{{Transparent|Comme pour celles de Descartes, }}la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton<ref name="Newton" /> {{Transparent|traduit }}l'aplanétisme approché de cette lentille mince pour un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o</math>. ==== Première relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton ==== {{théorème|titre=1^ère relation de conjugaison de Newton d'une lentille mince |contenu= {{Al|5}}Les abscisses objet et image de Newton<ref name="Newton" /> des points <math>\;A_o\;</math> et <math>\;A_i\;</math> conjugués sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> d'une lentille mince de foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i\;</math> sont liées, si <math>\;A_o \neq F_o\;</math> et <math>\;\neq A_{o,\,\infty}\;</math><ref> La restriction n'est pas gênante car la position de l'image de <math>\;F_o\;</math> et celle de l'image de <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> est connue, ce sont respectivement <math>\;A_{i,\,\infty}\;</math> et <math>\;F_i</math>.</ref>, par la relation <div style="text-align: center;">«<math>\;\sigma_i\; \sigma_o = f_i\;f_o\;</math>»<ref> Qui peut encore s'écrire «<math>\;\sigma_i\; \sigma_o = -f_i^2\;</math>» montrant que les abscisses image et objet de Newton sont nécessairement de signe contraire soit : <br>{{Al|3}}si <math>\;A_o\;</math> est en deçà du foyer objet <math>\;F_o</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;\sigma_o < 0\big)</math>, <math>\;A_i\;</math> est au-delà du foyer image <math>\;F_i</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;\sigma_i > 0\big)\;</math> et <br>{{Al|3}}si <math>\;A_o\;</math> est au-delà du foyer objet <math>\;F_o\;</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;\sigma_o > 0\big)</math>, <math>\;A_i\;</math> est en deçà du foyer image <math>\;F_i\;</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;\sigma_i < 0\big)</math>.</ref> avec <br>où «<math>\;f_i\;</math>» et «<math>\;f_o = -f_i\;</math>» respectivement les distances focales image et objet de la lentille, <br>«<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>» et «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>» respectivement les abscisses de Newton<ref name="Newton" /> de <math>\;A_o\;</math> et <math>\;A_i</math>.</div>}} {{Al|5}}L'application de la relation de conjugaison de position de Newton<ref name="Newton" /> au point objet « centre optique <math>\;O\;</math> de la lentille », permet de vérifier la « propriété de point double de ce dernier » car <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'application de la relation de conjugaison de position de Newton }}l'abscisse objet de Newton<ref name="Newton" /> de <math>\;O\;</math> valant «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oO} = -f_o\;</math>», la 1^ère relation de conjugaison de Newton<ref name="Newton" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'application de la relation de conjugaison de position de Newton }}l'abscisse image de Newton<ref name="Newton" /> de l'image de <math>\;O</math>, «<math>\;\sigma_i = \dfrac{f_i\;f_o}{\sigma_o} = -f_i = \overline{F_iO}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> l'« image de <math>\;O\;</math> est <math>\;O\;</math>»<ref> Nous n'avons vérifié la propriété «<math>\;O\;</math> point double » que du point de vue de la « conjugaison approchée » mais nous savons que cette propriété est encore valable du point de vue de la conjugaison rigoureuse <math>\;\big(</math>la lentille mince étant stigmatique rigoureux pour son centre optique<math>\big)</math>.</ref>. ==== Deuxième relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton ==== {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Descartes|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes]] (rappel de la définition du grandissement transverse d'un objet linéique transverse) » plus haut dans ce chapitre. {{théorème|titre=2^ème relation de conjugaison de Newton d'une lentille mince |contenu= {{Al|5}}L'abscisse objet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> de Newton<ref name="Newton" /> du pied de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> étant connue, le grandissement transverse de <math>\;A_oB_o\;</math> par la lentille obéit à la relation <div style="text-align: center;">«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math>» si <math>\;A_o \neq F_o\;</math> et <math>\;\neq A_{o,\,\infty}\;</math><ref> La restriction n'est pas gênante car si <math>\;A_o \rightarrow F_o</math>, <math>\;\sigma_o \rightarrow 0\;</math> et <math>\;G_t(A_o) \rightarrow \infty</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|La restriction n'est pas gênante car }}si <math>\;A_o \rightarrow A_{o,\,\infty}</math>, <math>\;\sigma_o \rightarrow \infty\;</math> et <math>\;G_t(A_o) \rightarrow 0</math>.<br>{{Al|3}}Moyen mnémotechnique pour retenir la formule : retenir le signe <math>\;-\;</math> et que la valeur absolue du grandissement faire intervenir un rapport de grandeurs objets mais s'agit-il de <math>\;\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> ou <math>\;\dfrac{\sigma_o}{f_o}</math> ? <br>{{Al|3}}{{Transparent|Moyen mnémotechnique pour retenir la formule : }}Pour cela se souvenir que le grandissement sera nul si l'objet est à l'infini d'où <math>\;\sigma_o\;</math> doit être au dénominateur et par suite <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}</math>.</ref> ;</div> {{Al|5}}l'abscisse objet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> de Newton<ref name="Newton" /> du pied de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> étant connue et l'abscisse image <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math> de Newton<ref name="Newton" /> du pied de l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> étant déterminée par la 1^ère relation de conjugaison de Newton<ref name="Newton" />, le grandissement transverse de <math>\;A_oB_o\;</math> par la lentille obéit à la relation <div style="text-align: center;">«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math>» si <math>\;A_o \neq F_o\;</math> et <math>\;\neq A_{o,\,\infty}\;</math><ref> La restriction n'est pas gênante car si <math>\;A_o \rightarrow F_o</math>, <math>\;A_i \rightarrow A_{i,\,\infty}</math>, <math>\;\sigma_i \rightarrow \infty\;</math> et <math>\;G_t(A_o) \rightarrow \infty</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|La restriction n'est pas gênante car }}si <math>\;A_o \rightarrow A_{o,\,\infty}</math>, <math>\;A_i \rightarrow F_i</math>, <math>\;\sigma_i \rightarrow 0\;</math> et <math>\;G_t(A_o) \rightarrow 0</math>.<br>{{Al|3}}Moyen mnémotechnique pour retenir la formule : retenir le signe <math>\;-\;</math> et que la valeur absolue du grandissement faire intervenir un rapport de grandeurs images mais s'agit-il de <math>\;\dfrac{f_i}{\sigma_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_i}</math> ? <br>{{Al|3}}{{Transparent|Moyen mnémotechnique pour retenir la formule : }}Pour cela se souvenir que le grandissement sera infini si l'image est à l'infini d'où <math>\;\sigma_i\;</math> doit être au numérateur et par suite <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}</math>.</ref>.</div>}} {{Al|5}}Si «<math>\;(\sigma_o\,,\, f_o)\;</math> <math>\big[</math>respectivement <math>\;(\sigma_i\,,\, f_i)\big]\;</math> sont de même signe », le grandissement transverse est « négatif », l'image est qualifiée d'« inversée »<ref> L'image sera inversée pour une lentille convergente <math>\;\big(f_o < 0\big)\;</math> <math>\big[</math>respectivement <math>\;f_i > 0\big]\;</math> si l'objet est en deçà du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> <math>\big(\sigma_o < 0\big)\;</math> <math>\big[</math>respectivement si l'image est au-delà du foyer principal image <math>\;F_i\;\big(\sigma_i > 0\big)\big]\;</math> correspondant nécessairement à un objet réel <math>\;\big[</math>respectivement une image réelle<math>\big]\;</math> et<br>{{Al|3}}{{Transparent|L'image sera inversée }}pour une lentille divergente <math>\;\big(f_o > 0\big)\;</math> <math>\big[</math>respectivement <math>\;f_i < 0\big]\;</math> si l'objet est au-delà du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> <math>\big(\sigma_o > 0\big)\;</math> <math>\big[</math>respectivement si l'image est en deçà du foyer principal image <math>\;F_i\;\big(\sigma_i < 0\big)\big]\;</math> correspondant nécessairement à un objet virtuel <math>\;\big[</math>respectivement une image virtuelle<math>\big]</math>.</ref> et {{Al|5}}si «<math>\;(\sigma_o\,,\, f_o)\;</math> <math>\big[</math>respectivement <math>\;(\sigma_i\,,\, f_i)\big]\;</math> sont de signe contraire », le grandissement transverse est « positif », l'image est qualifiée de « droite »<ref> L'image sera droite pour une lentille convergente <math>\;\big(f_o < 0\big)\;</math> <math>\big[</math>respectivement <math>\;f_i > 0\big]\;</math> si l'objet est au-delà du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> <math>\big(\sigma_o > 0\big)\;</math> <math>\big[</math>respectivement si l'image est en deçà du foyer principal image <math>\;F_i\;\big(\sigma_i < 0\big)\big]\;</math> correspondant à un objet réel entre le plan focal objet et la lentille ou un objet virtuel <math>\;\big[</math>respectivement une image réelle entre le plan focal image et la lentille ou une image virtuelle<math>\big]\;</math> et<br>{{Al|3}}{{Transparent|L'image sera droite }}pour une lentille divergente <math>\;\big(f_o > 0\big)\;</math> <math>\big[</math>respectivement <math>\;f_i < 0\big]\;</math> si l'objet est en deçà du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> <math>\big(\sigma_o < 0\big)\;</math> <math>\big[</math>respectivement si l'image est au-delà du foyer principal image <math>\;F_i\;\big(\sigma_i > 0\big)\big]\;</math> correspondant à un objet virtuel entre le plan focal objet et la lentille ou un objet réel <math>\;\big[</math>respectivement une image virtuelle entre le plan focal image et la lentille ou une image réelle<math>\big]</math>.</ref>. == Établissement des relations de conjugaison d'une lentille mince à partir de la construction de l'image d'un objet linéique transverse == === Constructions fondamentales de l'image d'un objet linéique transverse pour démontrer les relations de conjugaison de Descartes et de Newton === [[File:Lentille mince convergente - construction démonstrative image.jpg|thumb|400px|Construction de l'image réelle <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse réel <math>\;A_oB_o\;</math> par une lentille mince convergente utilisant trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br><math>\succ\;</math>le 1^er passant par <math>\;O</math>, <br><math>\succ\;</math>le 2^ème <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et <br><math>\succ\;</math>le 3^ème passant par <math>\;F_o\;</math>]] {{Al|5}}On construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> d'un « objet linéique transverse réel » <math>\;A_oB_o\;</math> par une lentille sphérique mince<ref> <math>\;A_o\;</math> étant comme d'habitude le pied de l'objet sur l'axe optique principal de la lentille mince.</ref> « convergente »<ref> Nous choisissons de démontrer les relations de conjugaison de Descartes et de Newton pour une lentille mince convergente, nous admettrons que ces relations restent inchangées pour une lentille mince divergente <math>\big(</math>mais la démonstration pourrait y être faite de la même façon<math>\big)</math>.</ref> dans le cas où « l'image est réelle »<ref> Pour cela il faut que <math>\;A_o\;</math> soit en deçà du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de la lentille mince convergente <math>\;\big(</math>ce choix est fait pour que la figure soit étendue donc la plus claire possible, nous admettrons qu'un autre choix, quel qu'il soit, conduise aux mêmes relations de conjugaison de Descartes et de Newton<math>\big)</math> ;<br>{{Al|3}}pour démontrer les relations de conjugaison de Descartes et de Newton pour une lentille mince divergente et pour que la figure soit étendue on pourrait choisir un objet linéique transverse virtuel de pied <math>\;A_o\;</math> au-delà du foyer principal objet <math>\;F_o</math>, l'image, alors virtuelle, conduirait à une extension de la figure de part et d'autre de la lentille.</ref> en utilisant trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : * un 1^er représenté par <math>\;-\!\!\!>\!\!-\;</math> passant par le centre optique <math>\;O</math>, n'est pas dévié <math>\;\big(</math>son émergent est aussi représenté par <math>\;-\!\!\!>\!\!-\big)</math>, * un 2^nd représenté par <math>\;-\!\!\!>\!\!>\!\!-\;</math> <math>\parallel\;</math> à l'axe optique principal, émerge par le point d'incidence <math>\;H\;</math> sur la lentille en passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> <math>\;\big(</math>cet émergent est aussi représenté par <math>\;-\!\!\!>\!\!>\!\!-\big)\;</math> et * un 3^ème représenté par <math>\;-\!\!\!>\!\!>\!\!>\!\!-\;</math> passant par le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, émerge par le point d'incidence <math>\;K\;</math> sur la lentille parallèlement à l'axe optique principal <math>\;\big(</math>cet émergent est aussi représenté par <math>\;-\!\!\!>\!\!>\!\!>\!\!-\big)</math> ; {{Al|5}}le point image <math>\;B_i</math>, conjugué de <math>\;B_o\;</math> par la lentille, est alors à l'intersection des trois rayons émergents, <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal de cette dernière. === Démonstration des trois relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes et de Newton === {{Al|5}}On utilise la similitude de triangles ayant pour sommet commun respectivement <math>\;O</math>, <math>\;F_i\;</math> et <math>\;F_o</math> ; * on évalue la valeur absolue du grandissement transverse par «similitude des triangles <math>\;A_oB_oO\;</math> et <math>\;A_iB_iO\;</math>» soit «<math>\;\dfrac{A_iB_i}{A_oB_o} = \dfrac{OA_i}{OA_o}\;</math>» et on détermine le signe en passant aux mesures algébriques d'où «<math>\;\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{\overline{OA_i}}{\overline{OA_o}}\;</math>» en effet sur la figure <math>\;\overline{A_iB_i} > 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} < 0</math>, <math>\;\overline{OA_i} > 0\;</math> et <math>\;\overline{OA_o} < 0\;</math> soit finalement « la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes »<ref name="Descartes" /> <div style="text-align: center;"> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{OA_i}}{\overline{OA_o}} = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» ;</div> * on évalue la valeur absolue du grandissement transverse par similitude des triangles «<math>\;OHF_i\;</math> et <math>\;A_iB_iF_i\;</math>» soit, avec «<math>\;OH = A_oB_o</math>, <math>\;\dfrac{A_iB_i}{A_oB_o} = \dfrac{F_iA_i}{OF_i}\;</math>» et on détermine le signe en passant aux mesures algébriques d'où «<math>\;\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{OF_i}}\;</math>» en effet sur la figure <math>\;\overline{A_iB_i} > 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} < 0</math>, <math>\;\overline{F_iA_i} > 0\;</math> et <math>\;\overline{OF_i} > 0\;</math> soit finalement « une des deux relations de conjugaison de grandissement transverse de Newton »<ref name="Newton" /> <div style="text-align: center;"> «<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{OF_i}} = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math>» ;</div> * on évalue la valeur absolue du grandissement transverse par similitude des triangles «<math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;OKF_o\;</math>» soit, avec «<math>\;OK = A_iB_i</math>, <math>\;\dfrac{A_iB_i}{A_oB_o} = \dfrac{OF_o}{F_oA_o}\;</math>» et on détermine le signe en passant aux mesures algébriques d'où «<math>\;\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{OF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math>» en effet sur la figure <math>\;\overline{A_iB_i} > 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} < 0</math>, <math>\;\overline{F_oA_o} < 0\;</math> et <math>\;\overline{OF_o} < 0\;</math> soit finalement « l'autre des deux relations de conjugaison de grandissement transverse de Newton »<ref name="Newton" /> <div style="text-align: center;"> «<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{OF_o}}{\overline{F_oA_o}} = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math>».</div> === Démonstration des deux relations de conjugaison de position de Descartes et de Newton === {{Al|5}}<u>Introduction</u> : On se sert des relations de conjugaison de grandissement transverse déterminées précédemment <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Démonstration_des_trois_relations_de_conjugaison_de_grandissement_transverse_de_Descartes_et_de_Newton|démonstration des trois relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes et de Newton]] »<ref> Ces dernières étant valables pour une lentille mince convergente ou divergente quelles soient la nature et la position de l'objet, il en est donc de même des relations de conjugaison de position que l'on établit dans ce paragraphe.</ref> plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Démonstration de la relation de conjugaison de position de Newton</u><ref name="Newton" /> : on égale les deux expressions de grandissement transverse de Newton<ref name="Newton" /> d'où <math>\;G_t(A_o) =</math> «<math>\;-\dfrac{\sigma_i}{f_i} = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math>» et par « égalité des produits des extrêmes et des moyens » <ref> Quand on a l'égalité entre deux fractions <math>\;\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\;</math> les grandeurs <math>\;(a\, ,\, d)\;</math> sont appelées « extrêmes » et <math>\;(b\, ,\, c)\;</math> « moyens », l'égalité des deux fractions étant équivalente à «<math>\;a \; d = b \; c\;</math>» c.-à-d. à l'égalité du produit des extrêmes et celui des moyens <math>\;\big(</math>on parle encore de l'égalité des produits en croix<math>\big)</math>.</ref> on obtient « la relation de conjugaison de position de Newton »<ref name="Newton" /> <div style="text-align: center;">«<math>\;\sigma_i\; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math>».</div> {{Al|5}}<u>Démonstration de la relation de conjugaison de position de Descartes</u><ref name="Descartes" /> : on égale une des expressions de grandissement transverse de Newton<ref name="Newton" />, par exemple «<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Démonstration de la relation de conjugaison de position de Descartes : on égale }}à celle de Descartes<ref name="Descartes" /> «<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» d'où «<math>\;-\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Démonstration de la relation de conjugaison de position de Descartes : }}on fait le changement d'origine sur l'abscisse de Newton<ref name="Newton" /> de <math>\;A_i\;</math> de façon à ne conserver que le repérage de Descartes<ref name="Descartes" /> {{Nobr|«<math>\;\sigma_i =</math>}} <math>\overline{F_iA_i} = \overline{OA_i} - \overline{OF_i} = p_i - f_i\;</math>» ce qui donne «<math>\;-\dfrac{p_i - f_i}{f_i} = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» ou encore «<math>\;-\dfrac{p_i}{f_i} + 1 = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Démonstration de la relation de conjugaison de position de Descartes : }}en divisant de part et d'autre par <math>\;p_i</math>, la relation «<math>\;-\dfrac{1}{f_i} + \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o}\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|8}}{{Transparent|Démonstration de la relation de conjugaison de position de Descartes : en divisant de part et d'autre par <math>\;\color{transparent}{p_i}</math>, }}« la relation de conjugaison de position de {{Nobr|Descartes »<ref name="Descartes" />}} <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» encore écrit selon «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» où «<math>\;V = \dfrac{1}{f_i}\;</math> est la vergence de la lentille ».</div> == Grandissement angulaire d'un pinceau lumineux, relation de Lagrange-Helmholtz == === Expression de Descartes du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet de l'axe optique principal === [[File:Lentille mince convergente - grandissement angulaire.jpg|thumb|400px|Schéma de définition du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet de l'axe optique principal d'une lentille mince convergente]] {{Al|5}}On considère un pinceau lumineux issu du point objet <math>\;A_o\;</math><ref> Seul le rayon moyen du pinceau a été représenté sur le schéma pour rendre ce dernier le plus clair possible ; il en a été de même pour le pinceau émergent de la lentille.</ref> de direction d'abscisse angulaire «<math>\;\theta_o = \widehat{(\overrightarrow{\Delta}\, ,\, \overrightarrow{A_oI})}\;</math>» où <math>\;\overrightarrow{\Delta}\;</math> est l'axe optique principal orienté dans le sens de la propagation et <math>\;I\;</math> le point d'incidence du rayon moyen du pinceau sur la lentille, le pinceau émergent correspondant passant par <math>\;A_i\;</math><ref> Pour que l'image de <math>\;A_o\;</math> soit la même quelle que soit la direction moyenne du pinceau issu de <math>\;A_o</math>, il faut que « la condition de paraxialité du rayon moyen de ce pinceau soit réalisée c.-à-d. <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math>» et aussi que «<math>\;I\;</math> reste proche de <math>\;O\;</math>».</ref> de direction d'abscisse angulaire définie par «<math>\;\theta_i = \widehat{(\overrightarrow{\Delta}\, ,\, \overrightarrow{IA_i})}\;</math>»<ref name="thetai petit"> On admet que « la condition de paraxialité du rayon moyen de ce pinceau issu de <math>\;A_o\;</math>» ainsi que « la proximité entre le point d'incidence et le centre optique de la lentille » entraîne « la paraxialité du pinceau émergent convergeant en <math>\;A_i</math>, d'où <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math>».</ref> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le grandissement angulaire du pinceau issu de <math>\;A_o\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_du_grandissement_angulaire_d'un_pinceau_lumineux_issu_d'un_point_objet|définition du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> se définit selon <div style="text-align: center;">«<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>».</div> * Pour évaluer <math>\;\theta_o</math>, on explicite <math>\;\tan(\vert \theta_o \vert) = \dfrac{OI}{OA_o}\;</math> puis on algébrise en utilisant le schéma <math>\;\theta_o > 0</math>, <math>\;\overline{OI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{OA_o} < 0\;</math> soit <math>\;\tan(\theta_o)</math> <math>= -\dfrac{\overline{OI}}{\overline{OA_o}}\;</math> et enfin on utilise une « condition de Gauss de stigmatisme approché <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math>» d'où «<math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>» et par suite «<math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{OI}}{\overline{OA_o}} = -\dfrac{\overline{OI}}{p_o}\;</math>» ; * pour évaluer <math>\;\theta_i</math>, on explicite <math>\;\tan(\vert \theta_i \vert) = \dfrac{OI}{OA_i}\;</math> puis on algébrise en utilisant le schéma <math>\;\theta_i < 0</math>, <math>\;\overline{OI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{OA_i} > 0\;</math> soit <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{OI}}{\overline{OA_i}}\;</math> et enfin on utilise une « conséquence des deux conditions de Gauss de stigmatisme<ref name="thetai petit" /> <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math>» d'où «<math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>» et par suite «<math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{OI}}{\overline{OA_i}} = -\dfrac{\overline{OI}}{p_i}\;</math>» ; * on en déduit le grandissement angulaire «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{-\dfrac{\overline{OI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{OI}}{p_o}}\;</math>» donnant, après simplification, «<math>\;G_a(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i}\;</math>» d'où l'expression de Descartes<ref name="Descartes" /> du grandissement angulaire <div style="text-align: center;">«<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{p_o}{p_i}\;</math>»<ref> On écrit l'égalité car, dans les conditions de Gauss, on ne considère que les termes prépondérants d'ordre un mais en fait ce n'est qu'une approximation à l'ordre un d'où, dans la démonstration, {{Nobr|«<math>\;G_a(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i}\;</math>».}}</ref>.</div> === Relation de Lagrange-Helmholtz d'une lentille (sphérique) mince === {{Al|5}}La « relation de Lagrange - Hemholtz »<ref name="Lagrange"> '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Joseph Louis Lagrange]] (1736 - 1813)''' mathématicien, mécanicien et astronome italien, naturalisé français vers la fin du XVIII^ème siècle <math>\;\big(</math>de nom italien '''Giuseppe Luigi Lagrangia'''<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}on lui doit, entre autres, d'avoir jeté en mathématiques les bases du [[w:Calcul_des_variations|calcul variationnel]], calcul qu'il appliqua en mécanique pour résoudre quelques problèmes <math>\;\big[</math>propagation du son, corde vibrante, [[w:Libration|librations]] de la Lune <math>\;\big(</math>c.-à-d. petites variations de son orbite<math>\big)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}en <math>\;1788</math>, alors installé à Paris, il publia son livre de ''[[w:mécanique analytique|mécanique analytique]]'' dont le formalisme a permis, un siècle et demi plus tard, l'ébauche de la mécanique quantique, il est aussi l'un des pères du [[w:système métrique|système métrique]] et de la division décimale des unités ; <br>{{Al|3}}on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]]''' un domaine privilégié <math>\;\big(</math>ni pour '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Helmholtz]]''' non plus<math>\big)</math> !</ref>{{,}}<ref name="Helmholtz"> '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz]] (1821 - 1894)''' [[w:Physiologie|physiologiste]] et physicien allemand, à qui on doit d'importantes contributions dans la perception des sons et des couleurs ainsi que surtout dans le domaine de la thermodynamique ;<br>{{Al|3}}on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Helmholtz]]''' un domaine privilégié <math>\;\big(</math>ni pour '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]]''' non plus<math>\big)</math> !</ref> est le lien entre le grandissement transverse d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> et le grandissement angulaire d'un pinceau issu du point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes<ref name="Descartes" /> pour une lentille mince étant «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» et l'expression de Descartes<ref name="Descartes" /> du grandissement angulaire pour la même lentille mince «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{p_o}{p_i}\;</math>» on en déduit aisément la « relation de Lagrange - Helmholtz »<ref name="Lagrange" />{{,}}<ref name="Helmholtz" /> d'une lentille <math>\;\big(</math>sphérique<math>\big)\;</math> mince <div style="text-align: center;">«<math>\;G_t(A_o)\;G_a(A_o) = +1\;</math>»<ref> La relation de Lagrange - Helmholtz d'une lentille mince est généralisable à tout système dioptrique pour lequel les espaces d'entrée et de sortie sont de même indice, plus précisément on démontre que la relation de Lagrange - Helmholtz s'écrit «<math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\;G_a(A_o)\;G_t(A_o) = +1\;</math> pour un système dioptrique quelconque » ce qui donne effectivement «<math>\;G_a(A_o)\;G_t(A_o) = +1\;</math> quand <math>\;n_i = n_o\;</math>» ;<br>{{Al|3}}nous avons vu la relation de Lagrange - Helmholtz pour un miroir plan <math>\;\big(</math>relation généralisable à tout système catadioptrique unidirectionnel<math>\big)\;</math> «<math>\;G_a(A_o)\;G_t(A_o) = -1\;</math>», le signe du produit « grandissement angulaire - grandissement transverse » caractérisant la nature dioptrique ou catadioptrique du système.</ref>.</div> == Conditions de Bessel séparant un objet linéique transverse réel et son image par une lentille mince convergente pour que l'image soit réelle == === Position du problème === {{Al|5}}On veut projeter l'image d'un objet « [[w:Rétroéclairage|rétroéclairé]] » <ref> Le [[w:Rétroéclairage|rétroéclairage]] est une technique d'éclairage par l'arrière, exemple d'objet rétroéclairé « diapositive éclairée par source située derrière ».</ref> sur un écran de façon à obtenir une image agrandie tout en restant aussi lumineuse et nette que possible, avec une distance <math>\;D\;</math> entre l'objet et l'écran imposée par les conditions extérieures. === Nécessité de choix d'une lentille convergente === {{Al|5}}L'objet étant réel et l'image devant être réelle, la seule possibilité est une lentille « convergente » <ref> L'image par une lentille divergente est réelle si l'objet est virtuel entre la face de sortie de la lentille et son plan focal objet, alors qu'une lentille convergente donne une image réelle pour un objet réel situé en deçà du plan focal objet <math>\;\big(</math>pour mémoire l'image d'un objet virtuel par une lentille convergente est aussi réelle<math>\big)</math>.</ref> séparée de l'objet d'une « distance supérieure à la distance focale <math>\;f_i\;</math> de la lentille » d'où le choix de <math>\;f_i\;</math> nécessairement inférieure à la distance <math>\;D\;</math> entre l'écran et l'objet<ref> Cette condition nécessaire n'est toutefois pas suffisante.</ref>. === « Condition de Bessel » du choix de lentille pour avoir une image nette sur l'écran === {{Al|5}}<u>La distance</u><math>\underline{\;D\;}</math><u>entre l'objet et l'écran étant imposée</u> comment choisir la distance focale <math>\;f_i\;</math> de la lentille et où la placer <math>\;\big(</math>c'est-à-dire où placer son centre optique<math>\big)</math> ? [[File:Méthode de Bessel - schéma d'analyse.jpg|thumb|400px|Schéma de recherche de la distance focale et de la position de la lentille mince convergente en fonction de la distance D fixée entre l'objet et l'écran]] {{Al|5}}On cherche simultanément la « distance focale <math>\;f_i\;</math> de la lentille mince convergente » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On cherche simultanément }}« la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> séparant celle-ci de l'objet » et pour cela <br>{{Al|5}}on va écrire que les plans de front contenant l'objet et l'écran sont conjugués avec, pour <br>{{Al|5}}{{Transparent|on va écrire }}« abscisse de Descartes<ref name="Descartes" /> de l'objet <math>\;p_o = -\mathit{l}\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|on va écrire }}« celle de Descartes<ref name="Descartes" /> de l'image <math>\;p_i = D - \mathit{l}\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|on va écrire }}par 1^ère relation de conjugaison de Descartes<ref name="Descartes" /> «<math>\;\dfrac{1}{D - l} - \dfrac{1}{-l} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>»<ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, équation algébrique en <math>\;\mathit{l}\;</math> paramétrée par <math>\;f_i</math>, que l'on peut réécrire selon «<math>\;\dfrac{l + \left( D - \mathit{l} \right)}{\left( D - \mathit{l} \right)\,\mathit{l}} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» ou «<math>\;D\; f_i = \left( D - \mathit{l} \right)\,\mathit{l}\;</math>» soit enfin {{Al|5}}{{Transparent|on va écrire }}l'équation du 2^ème degré en <math>\;\mathit{l}\;</math> «<math>\;\mathit{l}^{\,2} - D\; \mathit{l} + D\; f_i = 0\;</math>» ; {{Al|5}}cette équation admet des solutions réelles si son discriminant est positif soit «<math>\;\Delta = D^2 - 4\;D\;f_i \geqslant 0\;</math>» ou «<math>\;D \left( D - 4\; f_i \right) \geqslant 0\;</math>» nécessitant que <div style="text-align: center;">«<math>\;D \geqslant 4\; f_i\;</math>» connue sous le nom de « <u>condition (nécessaire) de Bessel</u><ref name="Bessel"> '''[[w:Friedrich_Wilhelm_Bessel|Friedrich Wilhelm Bessel]] (1784 - 1846)''' astronome, mathématicien, géodésien et physicien allemand, connu pour avoir défini les [[w:Fonction_de_Bessel|fonctions de Bessel]] et aussi avoir effectué en <math>\;1838\;</math> les 1^ères mesures précises de la distance d'une étoile fixe l'« [[w:Étoile_binaire|étoile binaire]] et [[w:Objet_circumpolaire|circumpolaire]] [[w:61_Cygni|61 Cygni]] » <math>\;\big(</math>[[w:Étoile_binaire|système binaire]] d'[[w:Naine_orange|étoiles naines oranges]] quasi identiques situées dans la [[w:Constellation|constellation]] du [[w:Cygne_(constellation)|Cygne]]<math>\big)</math>.</ref> de netteté de l'image sur l'écran » ;</div> {{Al|5}}avec le choix nécessaire «<math>\;f_i \leqslant \dfrac{D}{4}\;</math>», la distance séparant la lentille de l'objet : * est « unique si <math>\;D = 4\;f_i\;</math>» <math>\;\big(</math>distance de Silbermann<ref name="Silbermann"> '''[[w:Jean_Thiébault_Silbermann|Jean Thiébault Silbermann]] (1806 - 1865)''' physicien français à qui on doit les 1^ères mesures de thermochimie et quelques inventions en optique <math>\;\big(</math>dont un focomètre<math>\big)</math>.</ref><math>\big)</math>, correspondant à «<math>\;f_i = \dfrac{D}{4}\;</math>», sa valeur étant <div style="text-align: center;">«<math>\;\mathit{l}_{\,\text{Silbermann}} = \dfrac{D}{2} = 2\;f_i\;</math>»,</div> * a « deux valeurs si <math>\;D > 4\;f_i\;</math>» <math>\;\big(</math>distances de Bessel<ref name="Bessel" /><math>\big)</math>, correspondant à «<math>\;f_i < \dfrac{D}{4}\;</math>», ses valeurs étant <div style="text-align: center;">«<math>\;\mathit{l}_{\,\text{Bessel},\,1} = \dfrac{D - \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)}}{2}\;</math>» et «<math>\;\mathit{l}_{\,\text{Bessel},\,2} = \dfrac{D + \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)}}{2}\;</math>» <br>l'une ou l'autre des valeurs constituant la <u>1^ère condition de Bessel<ref name="Bessel" /> pour avoir une image nette sur l'écran</u> ;</div> ces deux positions de lentilles sont symétriques par rapport à <math>\;\dfrac{D}{2}\;</math> c'est-à-dire l'abscisse du plan séparant l'espace entre le plan objet et l'écran en deux sous-espaces d'expansion tridimensionnelle géométriquement identique. === « Condition de Bessel » du choix de la position de la lentille pour avoir un grandissement transverse suffisant === {{Al|5}}Remarquons d'abord que si « la distance séparant l'objet de la lentille est <math>\;\mathit{l}_{\,\text{Bessel},\, 1}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarquons d'abord que si }}« celle séparant la lentille de l'écran est <math>\;D - \mathit{l}_{\,\text{Bessel},\, 1} = D - \dfrac{D - \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)}}{2} = \dfrac{D + \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)}}{2} =</math> <math>\mathit{l}_{\,\text{Bessel},\, 2}\;</math>» et vice-versa ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarquons }}le grandissement transverse vaut donc : * si « la distance séparant l'objet de la lentille est <math>\;\mathit{l}_{\,\text{Bessel},\, 1}\;</math>», «<math>\;G_{t,\, 1}(A_o) = \dfrac{\mathit{l}_{\,\text{Bessel},\, 2}}{-\mathit{l}_{\,\text{Bessel},\, 1}}\;</math>» soit encore «<math>\;G_{t,\, 1}(A_o) = -\dfrac{D + \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)}}{D - \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)}} < 0\;</math>» de valeur absolue «<math>\;|G_{t,\, 1}(A_o)| > 1\;</math>», * si « la distance séparant l'objet de la lentille est <math>\;\mathit{l}_{\,\text{Bessel},\, 2}\;</math>», «<math>\;G_{t,\, 2}(A_o) = \dfrac{\mathit{l}_{\,\text{Bessel},\, 1}}{-\mathit{l}_{\,\text{Bessel},\, 2}}\;</math>» soit encore «<math>\;G_{t,\, 2}(A_o) = -\dfrac{D - \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)}}{D + \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)}} < 0\;</math>» de valeur absolue «<math>\;|G_{t,\, 2}(A_o)| < 1\;</math>», avec {{Nobr|«<math>\;\vert G_{t,\, 2}(A_o) \vert =</math>}} <math>\dfrac{1}{|G_{t,\, 1}(A_o)|}\;</math>» ; {{Al|5}}on constate que les grandissements transverses tous deux négatifs correspondent à une image inversée ; {{Al|5}}« la position de lentille donnant le plus grand grandissement transverse en valeur absolue est celle correspondant à la plus petite distance séparant la lentille de l'objet soit <math>\;\mathit{l}_{\,\text{Bessel},\, 1}\;</math>», ce choix définissant la <u>2^ème condition de Bessel<ref name="Bessel" /> pour avoir un grandissement transverse suffisant</u>, ce dernier en valeur absolue étant égal à «<math>\;\vert G_{t,\, 1}(A_o) \vert = \dfrac{D + \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)}}{D - \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)}}\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarques</u> : <math>\succ\;</math> Vérifiant que «<math>\;\vert G_{t,\, 1}(A_o) \vert = \dfrac{D + \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)}}{D - \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)}}\;</math> est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;f_i\;</math> à <math>\;D\;</math> fixée »<ref> En effet la dérivée partielle de la valeur absolue du grandissement transverse «<math>\;\vert G_{t,\, 1}(A_o) \vert = \dfrac{D + \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)}}{D - \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)}}\;</math>» relativement à <math>\;f_i\;</math> à <math>\;D\;</math> fixée se calcule selon «<math>\;\left( \dfrac{\partial \left[ \vert G_{t,\, 1}(A_o) \vert \right]}{\partial f_i} \right)_{\!\!D} =</math> <math>\dfrac{\left[ D - \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)} \right] \dfrac{-4\;D}{2\; \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)}} - \left[ D + \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)} \right] \dfrac{4\;D}{2\; \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)}}}{\left[ D - \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)} \right]^2}\;</math>» soit «<math>\;\left( \dfrac{\partial \left[ \vert G_{t,\, 1}(A_o) \vert \right]}{\partial f_i} \right)_{\!\!D} = \dfrac{-4\;D^2}{\sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)} \left[ D - \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)} \right]^2} < 0\;</math>» après simplification.</ref>, il faut donc choisir <math>\;f_i\;</math> <u>assez éloigné de</u> <math>\;\dfrac{D}{4}\;</math> <u>par valeur inférieure</u> pour avoir un grandissement suffisant ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\succ\;</math> vérifiant que «<math>\;\vert G_{t,\, 1}(A_o) \vert = \dfrac{D + \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)}}{D - \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)}}\;</math> est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;D\;</math> à <math>\;f_i\;</math> fixée »<ref> En effet la dérivée partielle de la valeur absolue du grandissement transverse «<math>\;\vert G_{t,\, 1}(A_o) \vert = \dfrac{D + \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)}}{D - \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)}}\;</math>» relativement à <math>\;D\;</math> à <math>\;f_i\;</math> fixée se calcule selon «<math>\;\left( \dfrac{\partial [|G_{t,\, 1}(A_o)|]}{\partial D} \right)_{\!\!f_i} =</math> <math>\dfrac{\left[ D - \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)} \right] \left[ 1 + \dfrac{2\;D - 4\;f_i}{2\; \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)}} \right] - \left[ D + \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)} \right] \left[ 1 - \dfrac{2\;D - 4\;f_i}{2\; \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)}} \right]}{\left[ D - \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)} \right]^2}\;</math>» soit «<math>\;\left( \dfrac{\partial [|G_{t,\, 1}(A_o)|]}{\partial D} \right)_{\!\!f_i} = \dfrac{4\;D\;f_i}{\sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)} \left[ D - \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)} \right]^2} > 0\;</math>» après simplification.</ref>, nous en déduisons, dans la mesure où on travaille avec une lentille de distance focale fixée, qu'il faut choisir une distance <math>\;D\;</math> <u>assez éloignée de</u> <math>\;4\;f_i\;</math> <u>par valeur supérieure</u> pour avoir un grandissement suffisant. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\succ\;</math>Si on choisit la distance de Silbermann<ref name="Silbermann" /> «<math>\;D_{\text{Silbermann}} = 4\; f_i\;</math>», la lentille étant au milieu de l'espace séparant l'objet de l'écran, «<math>\;p_o = -\dfrac{D}{2}\;</math>» et «<math>\;p_i = \dfrac{D}{2}\;</math>» d'où un grandissement transverse égal à «<math>\;G_{t,\, \text{Silbermann}}(A_o) = -1\;</math>», l'image étant alors de même taille que l'objet <math>\;\big(</math>mais inversée<math>\big)</math>, nous sommes loin du but recherché. === Prise en compte des conditions de Gauss === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour que l'image soit suffisamment nette les conditions de stigmatisme et d'aplanétisme de Gauss<ref name="Gauss" /> doivent être respectées <center>« rayons paraxiaux, points d'incidence restant proches de <math>\;O\;</math> et petitesse de l'angle sous lequel de <math>\;O\;</math> on voit l'objet » et</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>pour que l'image soit suffisamment grande la 2^ème condition de Bessel<ref name="Bessel" /> précise qu'il faut choisir * d'une part la position de Bessel<ref name="Bessel" /> la plus proche de l'objet <math>\;\big(</math>pour avoir la valeur absolue du grandissement transverse soit la plus grande des deux<math>\big)\;</math> avec * d'autre part <math>\;f_i\;</math> aussi petit que possible <math>\;\big(</math>pour que le grandissement transverse en valeur absolue soit suffisamment grand<math>\big)</math> ; {{Al|10}}or le choix de <math>\;f_i\;</math> aussi petit que possible pour « réaliser au mieux la 2^ème partie de la 2^ème condition de Bessel<ref name="Bessel" /> » entraîne * un rapprochement de la lentille de l'objet <math>\;\bigg\{</math>en effet «<math>\;\mathit{l}_{\,\text{Bessel},\,1} = \dfrac{D - \sqrt{D \left( D - 4\; f_i \right)}}{2} \;\searrow\;</math> si <math>\;f_i\;\searrow\;</math> à <math>\;D\;</math> fixée »<math>\bigg\}\;</math> et par suite * une augmentation de l'angle sous lequel l'objet est vu du centre optique <math>\;O\;</math> donc « une moins bonne réalisation de la condition d'aplanétisme <math>\;\big(</math>approché<math>\big)\;</math> de Gauss » <ref name="Gauss" /> simultanément à * une augmentation de l'inclinaison des rayons issus des point objets donc « une moins bonne réalisation de l'une des conditions de stigmatisme <math>\;\big(</math>approché<math>\big)\;</math> de Gauss » <ref name="Gauss" /> <math>\;\big\{</math>on peut toutefois limiter l'augmentation de l'inclinaison des rayons issus des point objets par utilisation d'un diaphragme placé légèrement avant la lentille<math>\big\}</math>. {{Al|10}}En conclusion il y a un <u>compromis</u> à trouver entre une <u>taille d'image suffisamment grande</u> nécessitant de « diminuer la focale » de la lentille et une <u>image suffisamment nette</u> qui requiert d'« augmenter sa focale » pour éloigner la lentille de l'objet. === Éclairage de l'objet === [[File:Rétroéclairage sans condenseur.jpg|thumb|400px|[[w:Rétroéclairage|Rétroéclairage]] sans [[w:Condenseur_optique|condenseur]] et perte de lumière ne traversant pas la lentille de projection]] {{Al|5}}L'objet est éclairé de façon optimale si tous les rayons provenant de l'objet traverse la lentille de projection et pour que ceci soit réalisé il convient d'utiliser une lanterne munie d'un « [[w:Condenseur_optique|condenseur]] » pour éclairer l'objet. {{Al|5}}<u>Définition d'un [[w:Condenseur_optique|condenseur]]</u> : un [[w:Condenseur_optique|condenseur]] est souvent formé de l’association de deux lentilles plan convexes dont les faces bombées sont en regard, la distance focale habituelle est de l’ordre de <math>\;10\; cm</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition d'un condenseur : }}souvent utilisé hors conditions de Gauss, le but n'étant pas de former une image, il n’a pas besoin d’être de grande qualité optique, on lui demande seulement d’être de grande dimension car c’est ce qui limite la taille de l’objet projetable, et d’être assez convergent, pour des problèmes d’encombrement. {{Al|5}}En effet un montage sommaire conduirait à la situation ci-contre, la lentille de projection ne recevant qu'une petite partie de la lumière qui traverse l'objet, la partie visible de l'objet serait fortement réduite. [[File:Rétroéclaiarge avec condenseur.jpg|thumb|left|400px|[[w:Rétroéclairage|Rétroéclairage]] avec [[w:Condenseur_optique|condenseur]] permettant que toute la lumière traverse la lentille de projection]] {{Al|5}}Pour y remédier on place donc un « [[w:Condenseur_optique|condenseur]] » entre la lanterne et l'objet ce qui conduit à la situation ci-contre à gauche, la lentille de projection « recevant ainsi toute la lumière qui a traversé l'objet ». {{Al|5}}<u>Réglage d'un [[w:Condenseur_optique|condenseur]]</u> : L'idéal est de « placer le [[w:Condenseur_optique|condenseur]] de façon à ce que l'image du filament de la lampe par le [[w:Condenseur_optique|condenseur]] se fasse sur la lentille de projection », cette dernière donnant alors une image de cette image de filament également confondue sur la lentille et par suite ne se retrouvant pas au-delà de la lentille ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Réglage d'un condenseur : L'idéal est }}de faire, comme sur le schéma ci-contre à gauche, l'image du filament légèrement au-delà de la lentille de projection, de façon à ce que l'image qu'en donnera la lentille de projection soit certes réelle <math>\;\big(</math>l'image de filament jouant le rôle d'objet virtuel pour cette lentille de projection, son image sera réelle<math>\big)\;</math> mais rapprochée de la lentille de projection donc ne risquant pas de se retrouver sur l'écran. == Modélisation d'un dispositif dioptrique d'utilisation courante à l'aide de plusieurs lentilles minces en série == === Introduction, réglage pour une observation par un œil n'accommodant pas === {{Al|5}}L'œil sera étudié de façon plus approfondie au chapitre suivant mais dès à présent il faut savoir modéliser un œil par une « lentille de vergence variable, le cristallin » et par un « écran, la rétine », cette dernière restant à distance constante du cristallin ; par contraction plus ou moins grande, le cristallin réalise la conjugaison d'un plan de front situé à la distance <math>\;d\;</math> de l'œil avec la rétine : * quand le cristallin ne se contracte pas, on dit que « l’œil n'accommode pas », la distance <math>\;d\;</math> est alors infinie pour un œil « normal » et le plan de front est au « punctum remotum » de l'œil, * quand le cristallin se contracte au maximum, on dit que « l’œil accommode au maximum », la distance <math>\;d\;</math> est alors de <math>\;25\; cm\;</math> pour un œil « normal » et le plan de front est au « punctum proximum » de l'œil ; {{Al|5}}pour un minimum de fatigue visuelle il convient de faire les réglages des dispositifs dioptriques d'utilisation courante de façon à ce que l'œil de l'observateur n'accommode pas et par suite l'image d'un objet observé à travers un dispositif dioptrique doit être à l'infini, cette image servant d'objet pour l'œil de l'observateur, ce dernier donnera une image définitive localisée sur la rétine donc visuellement nette. === Lunette de Galilée === {{Al|5}}Lunette la plus simple permettant d'observer des objets terrestres situés à grande distance donc considérés comme localisés à l'infini ; on modélise la lunette par deux lentilles minces : * l'une <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> appelée « objectif » située du côté de l'objet observé et par laquelle la lumière provenant de cet objet entrera <math>\;-\;</math> cette lentille jouera donc le rôle de « face d'entrée » <math>\;-\;</math> convergente à grande focale dans le cas de la lunette de Galilée<ref name="Galilée"> '''[[w:Galilée_(savant)|Galileo Galilei]] (1564 - 1642)''' mathématicien, géomètre, physicien et astronome italien <math>\;\big(</math>plus exactement pour l'époque « florentin », l'unification de l'[[w:Italie|Italie]] ne datant que de <math>\;1861\big)</math>, à qui on doit en <math>\;1609\;</math> l'amélioration de la longue vue inventée par l'opticien hollandais '''[[w:Hans_Lippershey|Hans Lippershey]] (1570 - 1619)''' en lunette d'observation des objets célestes sans inversion de l'image par ajout d'une lentille divergente ; dès <math>\;1610\;</math> en observant les phases de Vénus, il est convaincu que le [[w:Géocentrisme|géocentrisme]] ne permet pas une explication simple de cette observation contrairement à l'[[w:Héliocentrisme|héliocentrisme]] <math>\;\big[</math>théorie physique dont l'essor est essentiellement dû à '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]] (1473 - 1543)''' chanoine, médecin et astronome polonais<math>\big]\;</math> et défend cette thèse en poursuivant ses observations jusqu'en <math>\;1633\;</math> où il fût déclaré [[w:Galilée_(savant)#Galilée_attaqué_et_condamné_par_les_autorités|suspect d'hérésie]] par l'[[w:Inquisition#XVIe_et_XVIIe_siècles,_réforme_et_Renaissance|Inquisition romaine]] et dût adjurer ; il a aussi posé les bases de la mécanique en étudiant l'équilibre et le mouvement des corps solides <math>\;\big(</math>en particulier leur chute, leur translation rectiligne et leur inertie<math>\big)\;</math> ainsi que la généralisation des mesures de temps <math>\;\big(</math>en particulier par l'étude de l'[[w:Isochrone|isochronisme]] du pendule<math>\big)</math>.</ref>, exemple <math>\;f_{i,\, 1} = 60\; cm</math>, * l'autre <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> appelée « oculaire » située du côté de l'œil de l'observateur et par laquelle la lumière sortira pour ensuite pénétrer dans l'œil <math>\;-\;</math> cette lentille jouera donc le rôle de « face de sortie » <math>\;-\;</math> divergente à petite focale en valeur absolue dans le cas de la lunette de Galilée, exemple <math>\;f_{i,\, 2} = -5\; cm</math>. ==== Nécessité du caractère afocal de la lunette et conséquence sur la disposition des deux lentilles ==== {{Al|5}}Un objet à l'infini de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> devant être conjugué par la lunette d'une image à l'infini de <math>\;\Delta</math>, la « lunette de Galilée doit être <u>afocale</u> » ; on a donc, * en partant de l'objet observé situé à l'infini, la conjugaison par l'objectif «<math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1}\;</math>» et, * en partant de l'image finale également à l'infini, la conjugaison par l'oculaire «<math>\; F_{o,\,2}\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\;</math>» {{Al|5}}donnant globalement «<math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\text{lun. de Gal.}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\;</math>» dans la mesure où <div style="text-align: center;">«<math>\;F_{i,\, 1} = F_{o,\, 2}\;</math>» c'est-à-dire si <br>« <u>le plan focal image de l'objectif est confondu avec le plan focal objet de l'oculaire</u> » <br><math>\;\big(</math>condition pour qu'un doublet de lentilles soit <u>afocal</u><math>\big)</math>.</div> ==== Conséquence sur l'encombrement de la lunette ==== {{Al|5}}L'encombrement de la lunette est défini comme la distance séparant la face d'entrée de la lunette de celle de sortie soit «<math>\;O_1O_2 =</math> <math>\overline{O_1F_{i,\,1}} + \overline{F_{o,\, 2}O_2}\;</math>»<ref name="conséquence afocalité"> Le foyer principal image de l'objectif étant le foyer principal objet de l'oculaire.</ref> ou «<math>\;O_1O_2 = \overline{O_1F_{i,\,1}} + \overline{O_2F_{i,\, 2}}\;</math>»<ref name="propriété foyers principaux lentille mince"> En effet <math>\;F_{i,\, 2}\;</math> est géométriquement symétrique <math>\;F_{o,\, 2}\;</math> relativement à <math>\;O_2</math>.</ref> <div style="text-align: center;">soit «<math>\;O_1O_2 = f_{i,\, 1} + f_{i,\, 2}\;</math>»<ref> Une 1^ère influence d'un oculaire divergent est une diminution de l'encombrement de la lunette.</ref> <br>donnant numériquement «<math>\;O_1O_2 = 60 - 5 = 55\;cm\;</math>».</div> ==== Tracé de l'image d'un objet linéique transverse et cheminement des pinceaux parallèles issus des points extrêmes de l'objet ==== <div style="text-align: center;"><gallery mode="packed" heights="244px"> Lunette de Galilée - cheminement de pinceaux.jpg|Cheminement, à travers une lunette de Galilée, de pinceaux lumineux <math>\;\parallel\;</math> issus des extrémités d'un objet linéique transverse à l'infini <math>\;\big(</math>schéma hors échelle<math>\big)</math> </gallery></div> {{Al|5}}On sait que «<math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1} = F_{o,\,2}\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\;</math>» pour le point objet à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> donnant au final le point image à l'infini <math>\;A_{i,\,\infty}\;</math> de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On sait }}que «<math>\;B_{o,\,\infty\,\text{de}\,\delta}\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;\varphi_{i,\,1,\,\delta} = \varphi_{o,\,2,\,\delta'}\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\; B_{i,\,\infty\,\text{de}\,\delta'}\;</math>» pour le point objet à l'infini <math>\;B_{o,\,\infty\,\text{de}\,\delta}\;</math> de l'axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> de l'objectif <math>\;\big[B_{o,\,\infty\,\text{de}\,\delta}\;</math> étant l'autre extrémité de l'objet linéique transverse à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}B_{o,\,\infty\,\text{de}\,\delta}\big]</math>, ce point objet à l'infini <math>\;B_{o,\,\infty\,\text{de}\,\delta}\;</math> donnant au final le point image à l'infini <math>\;B_{i,\,\infty\,\text{de}\,\delta'}\;</math> de l'axe optique secondaire <math>\;\delta'\;</math> de l'oculaire<ref name="lien axe secondaire et foyer secondaire objet de l'oculaire"> <math>\;\delta'\;</math> étant l'axe optique secondaire de l'oculaire associé au foyer secondaire objet de ce dernier <math>\;\varphi_{o,\,2,\,\delta'}\;</math> <math>\big\{\!= \varphi_{i,\,1,\,\delta}\;</math> c.-à-d. le foyer secondaire image associé à l'axe secondaire <math>\;\delta\;</math> de l'objectif<math>\big\}</math>.</ref> d'où le schéma ci-dessus : ==== Définition du grossissement de la lunette de Galilée et son évaluation ==== {{Al|5}}«<math>\;\alpha'\;</math> étant l'angle algébrisé sous lequel l'observateur voit l'objet à travers la lunette » et «<math>\;\alpha\;</math> l'angle algébrisé sous lequel il le voit à l'œil nu », <div style="text-align: center;">le grossissement de la lunette est défini par «<math>\;G = \dfrac{\alpha'}{\alpha}\;</math>»<ref name="sans dimension"> Nombre sans unité, <math>\;\alpha'\;</math> et <math>\;\alpha\;</math> devant être exprimés dans la même unité.</ref>{{,}}<ref name=positivité"> Les angles étant algébrisés, la positivité du grossissement définit une image droite <math>\;\big(</math>respectivement la négativité une image inversée<math>\big)\;</math> à l'infini d'un objet à l'infini.</ref> ;</div> {{Al|5}}son évaluation se fait par l'intermédiaire de la « tangente des angles » <ref name="petitesse angles"> Sous conditions de Gauss les angles sont petits et on peut confondre la tangente d'un angle avec la valeur de l'angle en <math>\;rad\;</math> à l'ordre un en cet angle.</ref> dans les triangles rectangles faisant intervenir la hauteur <math>\;\big(</math>algébrisée<math>\big)\;</math> de l'image intermédiaire «<math>\;\overline{F_{i,\,1}\varphi_{i,\,1,\,\delta}} = \overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2,\,\delta'}}\;</math>» <math>\;\big(\!< 0\;</math> sur le schéma du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Tracé_de_l'image_d'un_objet_linéique_transverse_et_cheminement_des_pinceaux_parallèles_issus_des_points_extrêmes_de_l'objet|tracé de l'image d'un objet linéique transverse et cheminement des pinceaux parallèles issus des points extrêmes de l'objet]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> à savoir les triangles «<math>\;O_1\varphi_{i,\,1,\,\delta}F_{i,\,1}\;</math>» et «<math>\;O_2\varphi_{o,\,2,\,\delta'}F_{o,\,2}\;</math>» : * « dans le triangle rectangle <math>\;O_1\varphi_{i,\,1,\,\delta}F_{i,\,1}\;</math>» on a «<math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{\overline{F_{i,\,1}\varphi_{i,\,1,\,\delta}}}{\overline{O_1F_{i,\, 1}}}\;</math>»<ref name="signes corrects"> Les signes sont satisfaisants car <math>\;\overline{F_{i,\,1}\varphi_{i,\,1,\,\delta}} < 0</math>, <math>\;\overline{O_1F_{i,\,1}} > 0\;</math> et <math>\;\alpha < 0</math>.</ref> ou, avec <math>\;\vert \alpha \vert \ll 1</math>, l'évaluation «<math>\;\alpha \simeq \dfrac{\overline{F_{i,\,1}\varphi_{i,\,1,\,\delta}}}{f_{i,\, 1}}\;</math>» ; * « dans le triangle rectangle <math>\;O_2\varphi_{o,\,2,\,\delta'}F_{o,\,2}\;</math>» on a «<math>\;\tan(\alpha') = \dfrac{\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2,\,\delta'}}}{\overline{O_2F_{o,\, 2}}}\;</math>»<ref name="signes satisfaisants"> Les signes sont satisfaisants car <math>\;\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2,\,\delta'}} < 0</math>, <math>\;\overline{O_2F_{o,\,2}} > 0\;</math> et <math>\;\alpha' < 0</math>.</ref> ou, avec <math>\;|\alpha'| \ll 1</math>, l'évaluation «<math>\;\alpha' \simeq \dfrac{\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2,\,\delta'}}}{f_{o,\, 2}}\;</math>» ; {{Al|5}}faisant le rapport nous en déduisons le grossissement cherché «<math>\;G = \dfrac{\alpha'}{\alpha} \simeq \dfrac{\dfrac{\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2,\,\delta'}}}{f_{o,\, 2}}}{\dfrac{\overline{F_{i,\,1}\varphi_{i,\,1,\,\delta}}}{f_{i,\, 1}}}\;</math>» et, utilisant <math>\;\overline{F_{i,\,1}\varphi_{i,\,1,\,\delta}} = \overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2,\,\delta'}}</math>, nous obtenons <div style="text-align: center;">«<math>\;G = \dfrac{f_{i,\, 1}}{f_{o,\, 2}}\;</math>»<ref name="égalité"> On écrit l'égalité car, dans les conditions de Gauss, on ne considère que les termes prépondérants d'ordre un mais en fait ce n'est qu'une approximation à l'ordre un d'où, dans la démonstration, «<math>\;G \simeq \dfrac{f_{i,\, 1}}{f_{o,\, 2}}\;</math>».</ref>{{,}}<ref> Une seconde influence d'un oculaire divergent est l'obtention d'une image droite due au fait que le grossissement est positif <math>\Rightarrow</math> <math>\;\alpha'\;</math> de même signe que <math>\;\alpha</math>.</ref> ou numériquement «<math>\;G = \dfrac{60}{5} = 12\;</math>».</div> ==== Définition du cercle oculaire, établissement de sa position et de sa taille ==== {{Al|5}}Tous les rayons pénétrant dans la lunette traversent inévitablement sa face d'entrée c'est-à-dire l'objectif de la lunette, ils sortiront de la lunette en passant nécessairement par l'image de l'objectif par la lunette ; <br>{{Al|5}}sachant que «<math>\;\text{objectif}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;\text{objectif}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;?\;</math>» on constate que « l'image de l'objectif par la lunette est aussi l'image de l'objectif par l'oculaire » d'où la définition du « cercle oculaire » ci-dessous et sa conséquence sur la traversée des rayons. ===== Définition du cercle oculaire de la lunette et propriétés des rayons traversant la lunette ===== {{Al|5}}« Le cercle oculaire de la lunette est l'<u>image de l'objectif par l'oculaire</u> » ; {{Al|5}}« tous les rayons pénétrant dans la lunette ressortent en traversant le cercle oculaire » et <br>{{Al|5}}comme ce dernier est aussi l'endroit de « resserrement maximal autour de l'axe optique principal des rayons émergents » <math>\;\big(</math>propriété admise<math>\big)</math>, c'est sur le cercle oculaire que l'éclairement est maximal, <br>{{Al|5}}<u>c'est donc sur le cercle oculaire qu'il serait préférable de positionner l'œil de l'observateur</u> <math>\;\big(</math>à condition toutefois que ce soit possible c'est-à-dire que le cercle oculaire soit réel et non virtuel<ref name="cas d'un cercle oculaire virtuel"> Dans l'hypothèse où le cercle oculaire serait virtuel, l'œil de l'observateur ne pourrait évidemment pas y être positionné, il conviendrait alors de placer ce dernier dans l'espace image réelle le plus près possible du cercle oculaire c.-à-d. sur la face de sortie de la lunette laquelle est l'oculaire lui-même.</ref><math>\big)</math> <math>\;\ldots</math> ===== Position du centre du cercle oculaire ===== {{Al|5}}Notant «<math>\;{O'}_{\!1}\;</math> le centre du cercle oculaire », c'est-à-dire le conjugué du centre optique <math>\;O_1\;</math> de l'objectif par l'oculaire «<math>\;O_1\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;{O'}_{\!1}\;</math>», on obtient <br>{{Al|17}}{{Transparent|Notant }}sa position en utilisant l'une des relations de conjugaison de position de Descartes<ref name="Descartes" /> ou de Newton<ref name="Newton" />, <br>{{Al|17}}{{Transparent|Notant }}par exemple celle de Newton<ref name="Newton" /> avec «<math>\;\sigma_{o,\,2} = \overline{F_{o,\,2}O_1} = \overline{F_{i,\,1}O_1}\;</math>»<ref name="C.N. de doublet afocal"> On rappelle que le foyer principal objet de l'oculaire est confondu avec le foyer principal image de l'objectif pour que la lunette soit afocale.</ref> soit «<math>\;\sigma_{o,\,2} = -f_{i,\,1}\;</math>» et «<math>\;\sigma_{i,\,2} = \overline{F_{i,\,2}{O'}_{\!1}} = \text{?}\;</math>» déterminée par «<math>\;\sigma_{o,\,2}\;\sigma_{i,\,2} = f_{o,\,2}\;f_{i,\,2} = -f_{i,\,2}^{\,2}\;</math>»<ref name="1ère relation de conjugaison de Newton"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Notant }}d'où «<math>\;\sigma_{i,\,2} = \dfrac{-f_{i,\,2}^{\,2}}{-f_{i,\,1}}\;</math>» positionnant le centre <math>\;{O'}_{\!1}\;</math> du cercle oculaire relativement au foyer principal image <math>\;F_{i,\,2}\;</math> de l'oculaire soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\overline{F_{i,\,2}{O'}_{\!1}} = \dfrac{f_{i,\,2}^2}{f_{i,\,1}}\;</math>» donnant numériquement <math>\;\overline{F_{i,\,2}{O'}_1} = \dfrac{5^2}{60}\;cm\;</math> ou «<math>\;\overline{F_{i,\,2}{O'}_1} \simeq 0,42\;cm\;</math>» ;</div> {{Al|5}}« le centre du cercle oculaire <math>\;{O'}_{\!1}\;</math> se trouve légèrement au-delà du foyer principal image de l'oculaire, à <math>\;4,2\; mm\;</math> au-delà de <math>\;F_{i,\,2}\;</math>», il est donc <u>virtuel</u> « pratiquement confondu avec <math>\;F_{i,\,2}\;</math>», plus exactement «<math>\;\overline{O_2{O'}_{\!1}} = \overline{O_2F_{i,\,2}} + \overline{F_{i,\,2}{O'}_{\!1}} \simeq -5 + 0,42\;</math> en <math>\;cm\;</math>» soit finalement «<math>\;\overline{O_2{O'}_{\!1}} \simeq -4,58\;cm\;</math>» et <u>l'observateur ne pourra pas y positionner son œil</u> <ref name="cas d'un cercle oculaire virtuel" /> ! ===== Taille du cercle oculaire pour un objectif de taille précisée ===== {{Al|5}}Pour déterminer la taille du cercle oculaire il suffit d'évaluer « le grandissement transverse par l'oculaire de l'objet linéique transverse <math>\;O_1P_1\;</math>», <math>\;P_1\;</math> étant le bord « supérieur » de l'objectif dans le plan d'incidence contenant l'axe optique principal de la lunette de Galilée<ref name="Galilée" /> et <math>\;\parallel\;</math> au vecteur unitaire <math>\;\overrightarrow{(2)}\;</math> <math>\big\{</math>voir le [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Schéma_de_positionnement_du_cercle_oculaire_et_des_rayons_extrêmes_traversant_l'objectif|schéma de positionnement du cercle oculaire et des rayons extrêmes traversant l'objectif]] plus bas dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;{O'}_{\!1}{P'}_{\!1}\;</math> étant l'image correspondante par l'oculaire » le grandissement transverse par l'oculaire de l'objet linéique transverse <math>\;O_1P_1\;</math> valant, * «<math>\;G_{t,\,2}(O_1)\; \stackrel{\text{déf}}{=} \dfrac{\overline{{O'}_1{P'}_1}}{\overline{O_1P_1}}\;</math>» par définition et * «<math>\;G_{t,\,2}(O_1)\; \stackrel{\text{rel. Newt.}}{=}\;-\dfrac{f_{o,\,2}}{\sigma_{o,\,2}}\;</math>»<ref name="2ème relation de conjugaison de Newton"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> par une 2^ème relation de conjugaison de Newton<ref name="Newton" /> soit, avec «<math>\;\sigma_{o,\,2} = -f_{i,\,1}\;</math>», «<math>\;G_{t,\,2}(O_1)\; \stackrel{\text{rel. Newt.}}{=}\;-\dfrac{f_{o,\,2}}{-f_{i,\,1}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>\;\dfrac{\overline{{O'}_1{P'}_1}}{\overline{O_1P_1}} = \dfrac{f_{o,\,2}}{f_{i,\,1}}\;</math>» dont on déduit la taille de l'image linéique transverse <div style="text-align: center;">«<math>\;\overline{{O'}_1{P'}_1} = \dfrac{f_{o,\,2}}{f_{i,\,1}}\;\overline{O_1P_1}\;</math>» soit, numériquement, «<math>\;\overline{{O'}_1{P'}_1} = \dfrac{5}{60}\;\overline{O_1P_1} = \dfrac{\overline{O_1P_1}}{12}\;</math>»,</div> {{Al|5}}ce qui donne, pour un objectif de <math>\;10\; cm\;</math> de diamètre <math>\;\big(</math>ou <math>\;5\; cm\;</math> de rayon<math>\big)\;</math> un cercle oculaire virtuel de «<math>\;\dfrac{5}{12}\;cm \simeq 0,42\;cm\;</math> de rayon », <div style="text-align: center;">soit un cercle oculaire de «<math>\;8,5\; mm\;</math> de diamètre ».</div> ===== Schéma de positionnement du cercle oculaire et des rayons extrêmes traversant l'objectif ===== [[File:Lunette de Galilée - cercle oculaire.jpg|thumb|700px|Schéma de positionnement du cercle oculaire d'une lunette de Galilée et des rayons extrêmes traversant l'objectif]] {{Al|5}}Voir ci-contre : ===== Inconvénient de la lunette de Galilée ===== {{Al|5}}Le cercle oculaire étant virtuel il y a impossibilité d'y positionner l'œil, il faut donc le mettre dans l'espace image réelle de la lunette de Galilée<ref name="Galilée" /> au plus près de sa face de sortie {{Nobr|c'est-à-dire}} l'oculaire<ref name="cas d'un cercle oculaire virtuel" /> mais {{Al|5}}{{Transparent|Le cercle oculaire étant virtuel }}il y a nécessairement perte de puissance lumineuse {{Nobr|<math>\;\big(</math>moyenne<math>\big)\;</math>}} car c'est alors la « pupille de l'œil » <ref name="diamètre pupille de l'œil" > Le diamètre de la pupille de l'œil varie entre <math>\;2\;</math> et <math>\;8\; mm</math>, <math>\;2\;mm\;</math> à fort éclairement et <math>\;8\;mm\;</math> dans l'obscurité.</ref> qui la limite, celle-ci étant certainement de diamètre inférieur à celui de l'oculaire <math>\;\ldots</math> ===== Avantage de la lunette de Galilée ===== {{Al|5}}Relativement à la « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Lunette_astronomique|lunette astronomique]] » étudiée plus bas dans ce chapitre : L'encombrement est moins grand et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Relativement à la « lunette astronomique » étudiée plus bas dans ce chapitre : }}l'image est droite ce qui est utile lorsque l'on fait une observation terrestre <math>\;\big(</math>pour des objets éloignés bien sûr<math>\big)\;</math> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Relativement à la « lunette astronomique » étudiée plus bas dans ce chapitre : l'image est droite ce qui }}n'est pas indispensable pour une observation céleste. === Lunette astronomique === {{Al|5}}Lunette permettant d'observer des objets célestes <math>\;\big(</math>situés à très grande distance<math>\big)\;</math> donc considérés comme localisés à l'infini ; on modélise la lunette par deux lentilles minces : * l'une <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> appelée « objectif » située du côté de l'objet observé et par laquelle la lumière provenant de cet objet entrera <math>\;-\;</math> cette lentille jouera donc le rôle de « face d'entrée » <math>\;-\;</math> convergente à grande focale dans le cas de la lunette astronomique, exemple <math>\;f_{i,\, 1} = 60\; cm</math>, * l'autre <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> appelée « oculaire » située du côté de l'œil de l'observateur et par laquelle la lumière sortira pour ensuite pénétrer dans l'œil <math>\;-\;</math> cette lentille jouera donc le rôle de « face de sortie » <math>\;-\;</math> également convergente à petite focale dans le cas de la lunette astronomique, exemple <math>\;f_{i,\, 2} = 5\; cm</math>. ==== Nécessité du caractère afocal de la lunette et conséquence sur la disposition des deux lentilles ==== {{Al|5}}Un objet à l'infini de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> devant être conjugué par la lunette d'une image à l'infini de <math>\;\Delta\;</math> pour un œil n'accommodant pas, la « lunette astronomique doit être <u>afocale</u> » ; <br>{{Al|5}}on a donc, * en partant de l'objet observé situé à l'infini, la conjugaison par l'objectif «<math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1}\;</math>» et, * en partant de l'image finale également à l'infini, la conjugaison par l'oculaire «<math>\; F_{o,\,2}\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\;</math>» {{Al|5}}donnant globalement «<math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\text{lun. de Gal.}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\;</math>» dans la mesure où <div style="text-align: center;">«<math>\;F_{i,\, 1} = F_{o,\, 2}\;</math>» c'est-à-dire si <br>« <u>le plan focal image de l'objectif est confondu avec le plan focal objet de l'oculaire</u> » <br><math>\;\big(</math>condition pour qu'un doublet de lentilles soit <u>afocal</u><math>\big)</math>.</div> ==== Conséquence sur l'encombrement de la lunette ==== {{Al|5}}L'encombrement de la lunette est défini comme la distance séparant la face d'entrée de la lunette de celle de sortie soit «<math>\;O_1O_2 =</math> <math>\overline{O_1F_{i,\,1}} + \overline{F_{o,\, 2}O_2}\;</math>»<ref name="conséquence afocalité" /> ou «<math>\;O_1O_2 = \overline{O_1F_{i,\,1}} + \overline{O_2F_{i,\, 2}}\;</math>»<ref name="propriété foyers principaux lentille mince" /> <div style="text-align: center;">«<math>\;O_1O_2 = f_{i,\, 1} + f_{i,\, 2}\;</math>»<ref> Pour la même vergence de l'objectif et une vergence opposée de l'oculaire, la lunette astronomique est plus encombrante <math>\;\big(</math>plus longue<math>\big)\;</math> que la lunette de Galilée.</ref> <br>donnant numériquement «<math>\;O_1O_2 = 60 + 5 = 65\;cm\;</math>».</div> ==== Tracé de l'image d'un objet linéique transverse et cheminement des pinceaux parallèles issus des points extrêmes de l'objet ==== <div style="text-align: center;"><gallery mode="packed" heights="214px"> Lunette astronomique - cheminement de pinceaux.jpg|thumb|Cheminement, à travers une lunette astronomique, de pinceaux lumineux <math>\;\parallel\;</math> issus des extrémités d'un objet linéique transverse à l'infini <math>\;\big(</math>schéma hors échelle<math>\big)</math> </gallery></div> {{Al|5}}On sait que «<math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1} = F_{o,\,2}\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\;</math>» pour le point objet à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> donnant au final le point image à l'infini <math>\;A_{i,\,\infty}\;</math> de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On sait }}que «<math>\;B_{o,\,\infty\,\text{de}\,\delta}\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;\varphi_{i,\,1,\,\delta} = \varphi_{o,\,2,\,\delta'}\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\; B{i,\,\infty\,\text{de}\,\delta'}\;</math>» pour le point objet à l'infini <math>\;B_{o,\,\infty\,\text{de}\,\delta}\;</math> de l'axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> de l'objectif <math>\;\big[B_{o,\,\infty\,\text{de}\,\delta}\;</math> étant l'autre extrémité de l'objet linéique transverse à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}B_{o,\,\infty\,\text{de}\,\delta}\big]</math>, ce point objet à l'infini <math>\;B_{o,\,\infty\,\text{de}\,\delta}\;</math> donnant au final le point image à l'infini <math>\;B_{i,\,\infty\,\text{de}\,\delta'}\;</math> de l'axe optique secondaire <math>\;\delta'\;</math> de l'oculaire<ref name="lien axe secondaire et foyer secondaire objet de l'oculaire" /> d'où le schéma ci-dessus : {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Contrairement au résultat obtenu avec une lunette de Galilée, l'image par une lunette astronomique est inversée<ref name="image inversée"> Ceci n'est pas à considérer comme un défaut majeur car le but d'une lunette astronomique est d'observer les objets d'une voûte céleste en rotation, le haut devenant le bas après quelques heures.</ref>. ==== Définition du grossissement de la lunette astronomique et son évaluation ==== {{Al|5}}«<math>\;\alpha'\;</math> étant l'angle algébrisé sous lequel l'observateur voit l'objet à travers la lunette » et «<math>\;\alpha\;</math> l'angle algébrisé sous lequel il le voit à l'œil nu », <div style="text-align: center;">le grossissement de la lunette astronomique se définit de la même façon que pour une lunette de Galilée par «<math>\;G = \dfrac{\alpha'}{\alpha}\;</math>»<ref name="sans dimension" />{{,}}<ref name=positivité" /> ;</div> {{Al|5}}son évaluation se fait par l'intermédiaire de la « tangente des angles »<ref name="petitesse angles" /> dans les triangles rectangles faisant intervenir la hauteur <math>\;\big(</math>algébrisée<math>\big)\;</math> de l'image intermédiaire «<math>\;\overline{F_{i,\,1}\varphi_{i,\,1,\,\delta}} = \overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2,\,\delta'}}\;</math>» <math>\;\big(\!< 0\;</math> sur le schéma du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Tracé_de_l'image_d'un_objet_linéique_transverse_et_cheminement_des_pinceaux_parallèles_issus_des_points_extrêmes_de_l'objet_2|tracé de l'image d'un objet linéique transverse et cheminement des pinceaux parallèles issus des points extrêmes de l'objet]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> à savoir les triangles «<math>\;O_1\varphi_{i,\,1,\,\delta}F_{i,\,1}\;</math>» et «<math>\;O_2\varphi_{o,\,2,\,\delta'}F_{o,\,2}\;</math>» : * « dans le triangle rectangle <math>\;O_1\varphi_{i,\,1,\,\delta}F_{i,\,1}\;</math>» on a «<math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{\overline{F_{i,\,1}\varphi_{i,\,1,\,\delta}}}{\overline{O_1F_{i,\, 1}}}\;</math>»<ref name="signes corrects" /> ou, avec <math>\;\vert \alpha \vert \ll 1</math>, l'évaluation «<math>\;\alpha \simeq \dfrac{\overline{F_{i,\,1}\varphi_{i,\,1,\,\delta}}}{f_{i,\, 1}}\;</math>» ; * « dans le triangle rectangle <math>\;O_2\varphi_{o,\,2,\,\delta'}F_{o,\,2}\;</math>» on a «<math>\;\tan(\alpha') = \dfrac{\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2,\,\delta'}}}{\overline{O_2F_{o,\, 2}}}\;</math>»<ref name="signes satisfaisants - bis"> Les signes sont satisfaisants car <math>\;\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2,\,\delta'}} < 0</math>, <math>\;\overline{O_2F_{o,\,2}} < 0\;</math> et <math>\;\alpha' > 0</math>.</ref> ou, avec <math>\;\vert \alpha' \vert \ll 1</math>, l'évaluation «<math>\;\alpha' \simeq \dfrac{\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2,\,\delta'}}}{f_{o,\, 2}}\;</math>» ; {{Al|5}}faisant le rapport nous en déduisons le grossissement cherché «<math>\;G = \dfrac{\alpha'}{\alpha} \simeq \dfrac{\dfrac{\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2,\,\delta'}}}{f_{o,\, 2}}}{\dfrac{\overline{F_{i,\,1}\varphi_{i,\,1,\,\delta}}}{f_{i,\, 1}}}\;</math>» et, utilisant <math>\;\overline{F_{i,\,1}\varphi_{i,\,1,\,\delta}} = \overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2,\,\delta'}}</math>, nous obtenons <div style="text-align: center;">«<math>\;G = \dfrac{f_{i,\, 1}}{f_{o,\, 2}}\;</math>»<ref name="égalité"/>{{,}}<ref> Un second léger inconvénient d'un oculaire convergent est l'obtention d'une image inversée dû au fait que le grossissement est négatif.</ref> ou numériquement «<math>\;G = \dfrac{60}{-5} = -12\;</math>».</div> ==== Définition du cercle oculaire, établissement de sa position et de sa taille ==== {{Al|5}}Voir aussi le sous paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Définition_du_cercle_oculaire,_établissement_de_sa_position_et_de_sa_taille|définition du cercle oculaire, établissement de sa position et de sa taille]] » du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Lunette_de_Galilée|lunette de Galilée]] »<ref name="Galilée" /> plus haut dans ce chapitre, nous rappelons ci-dessous les résultats justifiant la définition du cercle oculaire : {{Al|5}}Tous les rayons pénétrant dans la lunette traversent inévitablement sa face d'entrée c'est-à-dire l'objectif de la lunette, ils sortiront de la lunette en passant nécessairement par l'image de l'objectif par la lunette ; <br>{{Al|5}}sachant que «<math>\;\text{objectif}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;\text{objectif}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;?\;</math>» on constate que « l'image de l'objectif par la lunette est aussi l'image de l'objectif par l'oculaire » d'où la définition du « cercle oculaire » ci-dessous et sa conséquence sur la traversée des rayons. <div style="text-align: center;">« Le cercle oculaire de la lunette est l'<u>image de l'objectif par l'oculaire</u> » ;</div> {{Al|5}}« tous les rayons pénétrant dans la lunette ressortent en traversant le cercle oculaire » et <br>{{Al|5}}comme ce dernier est aussi l'endroit de « resserrement maximal autour de l'axe optique principal des rayons émergents » <math>\;\big(</math>propriété admise<math>\big)</math>, c'est sur le cercle oculaire que l'éclairement est maximal, <br>{{Al|5}}<u>c'est donc sur le cercle oculaire qu'il serait préférable de positionner l'œil de l'observateur</u> <math>\;\big(</math>à condition toutefois que ce soit possible c'est-à-dire que le cercle oculaire soit réel et non virtuel<ref name="cas d'un cercle oculaire virtuel"> Dans l'hypothèse où le cercle oculaire serait virtuel, l'œil de l'observateur ne pourrait évidemment pas y être positionné, il conviendrait alors de placer ce dernier dans l'espace image réelle le plus près possible du cercle oculaire c.-à-d. sur la face de sortie de la lunette laquelle est l'oculaire lui-même.</ref><math>\big)</math> <math>\;\ldots</math> ===== Position du centre du cercle oculaire ===== {{Al|5}}Notant «<math>\;{O'}_{\!1}\;</math> le centre du cercle oculaire », c'est-à-dire le conjugué du centre optique <math>\;O_1\;</math> de l'objectif par l'oculaire «<math>\;O_1\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;{O'}_{\!1}\;</math>», on obtient <br>{{Al|17}}{{Transparent|Notant }}sa position en utilisant l'une des relations de conjugaison de position de Descartes<ref name="Descartes" /> ou de Newton<ref name="Newton" />, <br>{{Al|17}}{{Transparent|Notant }}par exemple celle de Newton<ref name="Newton" /> avec «<math>\;\sigma_{o,\,2} = \overline{F_{o,\,2}O_1} = \overline{F_{i,\,1}O_1}\;</math>»<ref name="C.N. de doublet afocal" /> soit «<math>\;\sigma_{o,\,2} = -f_{i,\,1}\;</math>» et «<math>\;\sigma_{i,\,2} = \overline{F_{i,\,2}{O'}_{\!1}} = \text{?}\;</math>» déterminée par «<math>\;\sigma_{o,\,2}\;\sigma_{i,\,2} = f_{o,\,2}\;f_{i,\,2} = -f_{i,\,2}^{\,2}\;</math>»<ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Notant }}d'où «<math>\;\sigma_{i,\,2} = \dfrac{-f_{i,\,2}^{\,2}}{-f_{i,\,1}}\;</math>» positionnant le centre <math>\;{O'}_{\!1}\;</math> du cercle oculaire relativement au foyer principal image <math>\;F_{i,\,2}\;</math> de l'oculaire soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\overline{F_{i,\,2}{O'}_{\!1}} = \dfrac{f_{i,\,2}^2}{f_{i,\,1}}\;</math>» donnant numériquement <math>\;\overline{F_{i,\,2}{O'}_1} = \dfrac{5^2}{60}\;cm\;</math> ou «<math>\;\overline{F_{i,\,2}{O'}_1} \simeq 0,42\;cm\;</math>» ;</div> {{Al|5}}« le centre du cercle oculaire <math>\;{O'}_{\!1}\;</math> se trouve légèrement au-delà du foyer principal image de l'oculaire, à <math>\;4,2\; mm\;</math> au-delà de <math>\;F_{i,\,2}\;</math>», il est donc <u>réel</u> « pratiquement confondu avec <math>\;F_{i,\,2}\;</math>», plus exactement «<math>\;\overline{O_2{O'}_{\!1}} = \overline{O_2F_{i,\,2}} + \overline{F_{i,\,2}{O'}_{\!1}} \simeq 5 + 0,42\;</math> en <math>\;cm\;</math>» soit finalement «<math>\;\overline{O_2{O'}_{\!1}} \simeq 5,42\;cm\;</math>» et <u>l'observateur y positionne son œil</u>. ===== Taille du cercle oculaire pour un objectif de taille précisée ===== {{Al|5}}Pour déterminer la taille du cercle oculaire il suffit d'évaluer « le grandissement transverse par l'oculaire de l'objet linéique transverse <math>\;O_1P_1\;</math>», <math>\;P_1\;</math> étant le bord « supérieur » de l'objectif dans le plan d'incidence contenant l'axe optique principal de la lunette astronomique et <math>\;\parallel\;</math> au vecteur unitaire <math>\;\overrightarrow{(2)}\;</math> <math>\big\{</math>voir le [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Schéma_de_positionnement_du_cercle_oculaire_et_des_rayons_extrêmes_traversant_l'objectif_2|schéma de positionnement du cercle oculaire et des rayons extrêmes traversant l'objectif]] plus bas dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;{O'}_{\!1}{P'}_{\!1}\;</math> étant l'image correspondante par l'oculaire » le grandissement transverse par l'oculaire de l'objet linéique transverse <math>\;O_1P_1\;</math> valant, * «<math>\;G_{t,\,2}(O_1)\; \stackrel{\text{déf}}{=} \dfrac{\overline{{O'}_1{P'}_1}}{\overline{O_1P_1}}\;</math>» par définition et * «<math>\;G_{t,\,2}(O_1)\; \stackrel{\text{rel. Newt.}}{=}\;-\dfrac{f_{o,\,2}}{\sigma_{o,\,2}}\;</math>»<ref name="2ème relation de conjugaison de Newton" /> par une 2^ème relation de conjugaison de Newton<ref name="Newton" /> soit, avec «<math>\;\sigma_{o,\,2} = -f_{i,\,1}\;</math>», «<math>\;G_{t,\,2}(O_1)\; \stackrel{\text{rel. Newt.}}{=}\;-\dfrac{f_{o,\,2}}{-f_{i,\,1}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>\;\dfrac{\overline{{O'}_1{P'}_1}}{\overline{O_1P_1}} = \dfrac{f_{o,\,2}}{f_{i,\,1}}\;</math>» dont on déduit la taille de l'image linéique transverse <div style="text-align: center;">«<math>\;\overline{{O'}_1{P'}_1} = \dfrac{f_{o,\,2}}{f_{i,\,1}}\;\overline{O_1P_1}\;</math>» soit, numériquement, «<math>\;\overline{{O'}_1{P'}_1} = \dfrac{-5}{60}\;\overline{O_1P_1} = -\dfrac{\overline{O_1P_1}}{12}\;</math>», <br> ou, en valeur absolue «<math>\;\rho_{\text{cercle oculaire}} = \dfrac{\rho_{\text{objectif}}}{12}\;</math>»</div> {{Al|5}}ce qui donne, pour un objectif de <math>\;10\; cm\;</math> de diamètre <math>\;\big(</math>ou <math>\;5\; cm\;</math> de rayon<math>\big)\;</math> un cercle oculaire réel de «<math>\;\dfrac{5}{12}\;cm \simeq 0,42\;cm\;</math> de rayon », <div style="text-align: center;">soit un cercle oculaire de «<math>\;8,5\; mm\;</math> de diamètre ».</div> ===== Schéma de positionnement du cercle oculaire et des rayons extrêmes traversant l'objectif ===== [[File:Lunette astronomique - cercle oculaire.jpg|thumb|700px|Schéma de positionnement du cercle oculaire d'une lunette astronomique et des rayons extrêmes traversant l'objectif]] {{Al|5}}Voir ci-contre : ===== Avantage de la lunette astronomique (relativement à la lunette de Galilée) ===== {{Al|5}}Le cercle oculaire étant réel il y a possibilité d'y positionner l'œil <math>\;-\;</math> et c'est ce qui est effectivement fait <math>\;-\;</math> <br>{{Al|5}}la taille du cercle oculaire étant de même ordre de grandeur que le diamètre de la pupille de l'œil dans l'obscurité<ref name="diamètre pupille de l'œil" /> <math>\;\big(</math>ce qui représente effectivement les conditions d'observation du ciel nocturne<math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> pas de perte de puissance lumineuse <math>\;\big(</math>moyenne<math>\big)</math> ! ===== « Inconvénient » de la lunette astronomique ===== {{Al|5}}L'image est inversée<ref name="image inversée" /> ! === Microscope === {{Al|5}}Appareil dioptrique permettant d'observer des objets de très petites dimensions <math>\;\big(</math>« localisés à distance finie »<math>\big)\;</math> avec un grand grossissement <math>\;\big(</math>représentant le facteur multiplicatif de l'angle sous lequel on voit l'objet à travers le microscope relativement à l'angle sous lequel on voit l'objet directement<math>\big)\;</math><ref> Il est difficile de dire qui a inventé le 1^er microscope optique : <br>{{Al|3}}les 1^ers à s'en être prévalu sont l'opticien hollandais '''Hans Janssen''' et son fils '''[[w:Zacharias_Janssen|Zacharias Janssen]] (v.1588 - v.1631)''' devenu à l'âge adulte, lunetier et fabricant de lentilles mais la date que ce dernier mentionne étant <math>\;1590\;</math> est pour le moins improbable en ce qui le concerne <math>\;\big(</math>ou en ce qui concerne la date<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}le 2^nd à être cité est '''[[w:Galilée_(savant)|Galileo Galilei]] (1564 - 1642)''' mathématicien, géomètre, physicien et astronome italien <math>\;\big(</math>plus exactement pour l'époque « florentin », l'unification de l'[[w:Italie|Italie]] ne datant que de <math>\;1861\big)</math>, qui a développé un microscope composé d'une lentille convexe et d'une autre concave en <math>\;1609</math>.</ref> on modélise le microscope par deux lentilles minces : * l'une <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> appelée « objectif » située du côté de l'objet observé et par laquelle la lumière provenant de cet objet entrera <math>\;-\;</math> cette lentille jouera donc le rôle de « face d'entrée » <math>\;-\;</math> convergente à très petite focale, exemple <math>\;f_{i,\, 1} = 5\; mm</math>, * l'autre <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> appelée « oculaire » située du côté de l'œil de l'observateur et par laquelle la lumière sortira pour ensuite pénétrer dans l'œil <math>\;-\;</math> cette lentille jouera donc le rôle de « face de sortie » <math>\;-\;</math> convergente également à petite focale, exemple <math>\;f_{i,\, 2} = 2,5\; cm</math>. ==== Caractère focal du microscope, notion d'intervalle optique et ordre de grandeur de sa valeur pour avoir un fort grossissement ==== {{Al|5}}Un objet à distance finie de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> devant être conjugué par le microscope d'une image à l'infini sur <math>\;\Delta\;</math> pour un œil n'accommodant pas, le « microscope est <u>focal</u> » ; {{Al|5}}<u>l'endroit de l'axe optique principal où il faut centrer le petit objet à visualiser</u> devant être le conjugué, par le microscope et <u>pour un œil n'accommodant pas</u>, du point image <math>\;A_{i,\,\infty}\;</math> à l'infini sur <math>\;\Delta</math>, est <br>{{Al|5}}le « <u>foyer principal objet</u> <math>\;F_o\;</math> <u>du microscope</u> » c'est-à-dire tel que «<math>\;F_o\; \stackrel{\text{microscope}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\;</math>» ou, <br>{{Al|8}}{{Transparent|le « foyer principal objet F_o du microscope » }}en le définissant relativement aux lentilles composant le microscope «<math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\; F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math>»<ref name="antécédent du point à l'infini par l'oculaire"> L'antécédent par l'oculaire du point image <math>\;A_{i,\,\infty}\;</math> à l'infini de <math>\;\Delta\;</math> étant son foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}</math>.</ref> d'où <br>{{Al|8}}{{Transparent|le « foyer principal objet F_o du microscope » }}le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du microscope est l'antécédent par l'objectif du foyer principal objet de l'oculaire <div style="text-align: center;">«<math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\; F_{o,\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>pour un œil n'accommodant pas<math>\big)</math> ;</div> {{Al|5}}on définit « l'<u>intervalle optique du microscope</u> » comme la « distance séparant le foyer principal image de l'objectif du foyer principal objet de l'oculaire » c'est-à-dire «<math>\;e = \overline{F_{i\,1}F_{o,\,2}}\;</math>»<ref> L'intervalle optique est usuellement noté <math>\;\Delta\;</math> mais dans ce cours <math>\;\Delta\;</math> représente l'axe optique principal !</ref> ; <br>{{Al|5}}l'intervalle optique doit être choisi grand relativement à la distance focale de l'objectif pour que le grossissement du microscope soit grand en valeur absolue<ref> Sera justifié dans les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Évaluation_du_grandissement_transverse_de_l'objet_par_l'objectif_ainsi_que_de_sa_position|évaluation du grandissement transverse de l'objet par l'objectif ainsi que de sa position]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Retour_sur_le_calcul_du_grossissement_commercial_du_microscope|retour sur le calcul du grossissement commercial du microscope]] » plus bas dans ce chapitre.</ref>, exemple «<math>\;e = 25\; cm\;</math>». ==== Conséquence sur l'encombrement du microscope ==== {{Al|5}}L'encombrement du microscope est défini comme la distance séparant la face d'entrée du microscope de celle de sortie soit «<math>\;O_1O_2 =</math> <math>\overline{O_1F_{i,\,1}} + \overline{F_{i\,1}F_{o,\,2}} + \overline{F_{o,\, 2}O_2}\;</math>» s'écrivant encore «<math>\;O_1O_2 =</math> <math>\overline{O_1F_{i,\,1}} + e + \overline{O_2F_{i,\, 2}}\;</math>»<ref name="propriété foyers principaux lentille mince" /> <div style="text-align: center;">«<math>\;O_1O_2 = f_{i,\, 1} + f_{i,\, 2} + e\;</math>» <br>donnant numériquement «<math>\;O_1O_2 = 0,5 + 2,5 + 25 = 28\;cm\;</math>».</div> ==== Tracé de l'image d'un objet linéique transverse et cheminement des pinceaux parallèles issus des points extrêmes de l'objet ==== <div style="text-align: center;"><gallery mode="packed" heights="260px"> Microscope - objectif et oculaire - cheminement de pinceaux.jpg|thumb|Cheminement, à travers un microscope, de pinceaux lumineux issus des extrémités d'un objet linéique transverse réel à distance finie donnant des pinceaux émergents <math>\;\parallel</math> <math>\;\big(</math>schéma hors échelle<math>\big)</math> </gallery></div> {{Al|5}}On sait que <math>\;A_o\;</math> point objet de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> doit avoir pour conjugué, par le microscope, le point à l'infini de <math>\;\Delta\;</math> <math>\big(</math>l'œil n'accommodant pas<math>\big)\;</math> soit «<math>\;A_o\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\;</math>»<ref name="antécédent du point à l'infini par l'oculaire" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On sait }}que le point objet <math>\;B_o</math>, autre extrémité de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o</math>, a pour conjugué le point image à l'infini <math>\;B_{i,\,\infty\,\text{de}\,\delta'}\;</math> sur l'axe optique secondaire <math>\;\delta'\;</math> de l'oculaire<ref name="lien axe secondaire et foyer secondaire objet de l'oculaire - bis"> <math>\;\delta'\;</math> étant l'axe optique secondaire de l'oculaire associé au foyer secondaire objet de ce dernier <math>\;\varphi_{o,\,2,\,\delta'}\;</math> <math>\big\{</math>lequel se détermine comme intersection du rayon émergent de l'objectif et du plan focal objet de l'oculaire<math>\big\}</math>.</ref> c'est-à-dire {{Nobr|«<math>\;B_o\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;\varphi_{o,\,2,\,\delta'}\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\; B_{i,\,\infty\,\text{de}\,\delta'}\;</math>»<ref name="antécédent du point à l'infini d'un axe secondaire par l'oculaire"> L'antécédent par l'oculaire du point image <math>\;B_{i,\,\infty\,\text{de}\,\delta'}\;</math> à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\delta'\;</math> étant le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{o,\,2\,\text{de}\,\delta'}\;</math> associé à <math>\;\delta'</math>.</ref>,}} <br>{{Al|5}}l'objet linéique transverse réel <math>\;A_oB_o\;</math> donnant par l'objectif une image intermédiaire réelle «<math>\;F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2\,\text{de}\,\delta'}\;</math> quasi à l'infini de l'objectif car <math>\;e \gg f_{i,\,1}\;</math>», ce qui nécessite que l'objet soit positionné légèrement en deçà du plan focal objet de l'objectif, d'où le schéma ci-dessus. ==== Définition du grossissement commercial du microscope et son évaluation ==== [[File:Objet au punctum proximum.jpg|thumb|700px|Schéma de positionnement d'un objet linéique transverse au punctum proximum d'un œil normal]] {{Al|5}}Le grossissement du microscope nécessite une définition autre que celle utilisée pour une lunette afocale car l'objet ici étant de petites dimensions ne serait pas visible directement avec un œil n'accommodant pas, un objet de petites dimensions placé à l'infini étant quasi ponctuel ! <br>{{Al|5}}Il faut donc préciser la manière dont l'objet est vu à l'œil nu avant de le comparer à son observation à travers le microscope et pour cela il y a « plusieurs façons » mais une seule est indépendante des caractéristiques géométriques du microscope, son choix aboutissant à la définition du grossissement dit « commercial » <ref> En fait cette manière de définir le grossissement donne une valeur toujours inférieure aux autres façons de le définir.</ref> : {{Définition| titre = Grossissement commercial d'un microscope | contenu = {{Al|5}}Le <u>grossissement commercial</u> d'un microscope est défini comme le rapport de deux angles algébrisés «<math>\;G_c = \dfrac{\alpha'}{\alpha_0}\;</math>» où <center>«<math>\;\alpha'\;</math> est l'angle algébrisé sous lequel l'observateur voit l'objet à travers le microscope » et <br>«<math>\;\alpha_0\;</math> l'angle algébrisé sous lequel il le voit à l'œil nu quand il le place dans le même sens au punctum proximum de son œil » <ref> Une autre façon de définir le grossissement est de comparer <math>\;\alpha'\;</math> à <math>\;\alpha\;</math> l'angle algébrisé sous lequel l'observateur verrait l'objet en gardant la « même distance objet - œil » mais par observation directe sans passer par le microscope.</ref> c'est-à-dire <br>{{Al|65}}dans le même sens à la distance <math>\;d = 25\; cm\;</math><ref> Distance encore appelée « distance minimale de vision distincte ».</ref> d'un œil « normal ».</center>}} {{Al|5}}Son évaluation se fait par l'intermédiaire de la « tangente des angles »<ref name="petitesse angles" /> dans le triangle rectangle faisant intervenir la hauteur <math>\;\big(</math>algébrisée<math>\big)\;</math> de l'image intermédiaire «<math>\;\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2,\,\delta'}}\;</math>» <math>\;\big(\!< 0\;</math> sur le schéma du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Tracé_de_l'image_d'un_objet_linéique_transverse_et_cheminement_des_pinceaux_parallèles_issus_des_points_extrêmes_de_l'objet_3|tracé de l'image d'un objet linéique transverse et cheminement des pinceaux parallèles issus des points extrêmes de l'objet]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> à savoir le triangle {{Nobr|«<math>\;O_2\varphi_{o,\,2,\,\delta}F_{o,\,2}\;</math>»}} et aussi dans le triangle rectangle d'observation directe de l'objet faisant intervenir la hauteur <math>\;\big(</math>algébrisée<math>\big)\;</math> de l'objet «<math>\;\overline{A_oB_o}\;</math>» <math>\;\big(\!> 0\;</math> sur le schéma ci-dessus<math>\big)\;</math> à savoir le triangle {{Nobr|«<math>\;OA_oB_o\;</math>»}} dans lequel <math>\;O\;</math> est la position de l'œil : * « dans le triangle rectangle <math>\;O_2\varphi_{o,\,2,\,\delta}F_{o,\,2}\;</math>» on a «<math>\;\tan(\alpha') = \dfrac{\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2,\,\delta'}}}{\overline{O_2F_{o,\, 2}}}\;</math>»<ref name="signes satisfaisants - bis" /> ou, avec <math>\;\vert \alpha' \vert \ll 1</math>, l'évaluation «<math>\;\alpha' \simeq \dfrac{\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2,\,\delta'}}}{f_{o,\, 2}}\;</math>» ; * « dans le triangle rectangle <math>\;OA_oB_o\;</math>» on a «<math>\;\tan(\alpha_0) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{d}\;</math>»<ref> Les signes sont satisfaisants car <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\alpha_0 < 0\;</math> d'où le signe <math>\;-</math>.</ref> ou, avec <math>\;\vert \alpha_0 \vert \ll 1</math>, l'évaluation «<math>\;\alpha_0 \simeq -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{d}\;</math>» ; {{Al|5}}faisant le rapport nous en déduisons le grossissement commercial cherché «<math>\;G_c = \dfrac{\alpha'}{\alpha_0} \simeq \dfrac{\dfrac{\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2,\,\delta'}}}{f_{o,\, 2}}}{-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{d}} = -\dfrac{d}{f_{o,\, 2}}\;\dfrac{\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2,\,\delta'}}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» et, <br>{{Al|5}}{{Transparent|faisant le rapport }}en reconnaissant dans le dernier facteur la définition du <u>grandissement transverse de l'objet par l'objectif</u> «<math>\;G_{t,\, 1}(A_o) = \dfrac{\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2,\,\delta'}}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on peut réécrire <div style="text-align: center;">le grossissement commercial du microscope selon «<math>\;G_c = \dfrac{d}{f_{i,\, 2}}\;G_{t,\, 1}(A_o)\;</math>»<ref> On a utilisé <math>\;f_{o,\, 2} = -f_{i,\, 2}</math>.</ref>.</div> ==== Évaluation du grandissement transverse de l'objet par l'objectif ainsi que de sa position ==== {{Al|5}}On peut déterminer le grandissement transverse de <math>\;A_oB_o\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> à l'aide de la 2^ème relation de conjugaison de Newton<ref name="Newton" /> «<math>\;G_{t,\, 1}(A_o) = -\dfrac{\sigma_{i,\, 1}}{f_{i,\, 1}}\;</math>»<ref name="2ème relation de conjugaison de Newton" />{{,}}<ref> Bien sûr on pourrait utiliser la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Descartes|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> mais à condition d'utiliser simultanément la 1^ère car si <math>\;p_i\;</math> est connue, <math>\;p_o\;</math> ne l'est pas avant d'avoir utilisé la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> ; l'avantage de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton c'est qu'elle nécessite de connaître l'abscisse image ou objet mais qu'il n'est pas nécessaire de connaître les deux.</ref> ou «<math>\;G_{t,\, 1}(A_o) = -\dfrac{\overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}}}{f_{i,\,1}}\;</math>» soit <div style="text-align: center;">finalement «<math>\;G_{t,\, 1}(A_o) = -\dfrac{e}{f_{i,\,1}}\;</math>»<ref> On vérifie qu'il faut choisir l'intervalle optique <math>\;e\;</math> grand devant la distance focale <math>\;f_{i,\,1}\;</math> de l'objectif pour obtenir un grandissement transverse de l'objet par l'objectif grand en valeur absolue.</ref> ou numériquement «<math>\;G_{t,\, 1}(A_o) = -\dfrac{250}{5} = -50\;</math>».</div> {{Al|5}}La position de <math>\;A_o\;</math> se détermine à l'aide de la 1^ère relation de conjugaison de Newton<ref name="Newton" /> «<math>\;\sigma_{o,\, 1}\;\sigma_{i,\,1} = f_{o,\,1}\;f_{i,\,1}\;</math>»<ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> soit, avec <math>\;f_{o,\,1} = -f_{i,\,1}</math>, «<math>\;\sigma_{o,\, 1}\;\sigma_{i,\,1} = -f_{i,\,1}^{\,2}\;</math>» dont on déduit «<math>\;\sigma_{o,\, 1} =</math> <math>-\dfrac{f_{i,\,1}^2}{\sigma_{i,\,1}}\;</math>» ou encore «<math>\;\overline{F_{o,\,1}A_o} = -\dfrac{f_{i,\,1}^2}{\overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}}}\;</math>» et <div style="text-align: center;">finalement «<math>\;\overline{F_{o,\,1}A_o} = -\dfrac{f_{i,\,1}^2}{e}\;</math>» donnant numériquement <math>\;\overline{F_{o,\,1}A_o} = -\dfrac{(5)^2}{250}\;</math> en <math>\;mm\;</math> ou «<math>\;\overline{F_{o,\,1}A_o} = -0,1\;mm\;</math>» <br>c'est-à-dire « <math>\;0,1\; mm\;</math> en deçà du foyer principal objet de l'objectif <math>\;F_{o,\, 1}\;</math>» <ref> L'objet est donc quasiment dans le plan focal objet de l'objectif.</ref> ou encore <br> «<math>\;\overline{O_1A_o} = \overline{O_1F_{o,\,1}} + \overline{F_{o,\,1}A_o} = f_{o,\,1} + \overline{F_{o,\,1}A_o} = -5 - 0,1\;</math> en <math>\;mm\;</math>» soit «<math>\;\overline{O_1A_o} = -5,1\;mm\;</math>» <br>c'est-à-dire «<math>\;5,1\; mm\;</math> en deçà du centre optique de l'objectif <math>\;O_1\;</math>».</div> ==== Retour sur le calcul du grossissement commercial du microscope ==== {{Al|5}}Reportant la valeur du grandissement transverse de l'objet par l'objectif dans l'expression du « grossissement commercial du microscope <math>\;G_c = \dfrac{d}{f_{i,\, 2}}\;G_{t,\, 1}(A_o)\;</math>» on trouve effectivement un grossissement commercial de grande valeur absolue, en effet * la distance focale <math>\;f_{i,\,2}\;</math> de l'oculaire du microscope est nettement <math>\;<\;</math> à la distance minimale de vision distincte <math>\;d\;</math> et * la valeur absolue du grandissement transverse de l'objet par l'objectif du microscope <math>\;\vert G_{t,\, 1}(A_o) \vert\;</math> est grand <math>\;\big(</math>l'intervalle optique <math>\;e\;</math> du microscope étant choisi grand devant la distance focale <math>\;f_{i,\,1}\;</math> de son objectif<math>\big)</math>, {{Al|5}}sa valeur numérique étant <math>\;G_c = \dfrac{25}{2,5} \times (-50)\;</math> soit finalement <div style="text-align: center;">«<math>\;G_c = -500\;</math>»<ref> Nous avons vu dans la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#cite_note-130|¹³⁰]] » plus haut dans ce chapitre qu'une autre façon possible de définir le grossissement est de comparer <math>\;\alpha'\;</math> à <math>\;\alpha\;</math> l'angle algébrisé sous lequel l'observateur verrait l'objet en gardant la « même distance objet - œil » mais par observation directe sans passer par le microscope, nous ferons le calcul de ce grossissement dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Position_du_centre_du_cercle_oculaire_3|position du centre du cercle oculaire]] (autre façon de définir le grossissement d'un microscope) » plus bas dans ce chapitre.</ref>.</div> ==== Définition du cercle oculaire, établissement de sa position et de sa taille ==== {{Al|5}}Voir aussi le sous paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Définition_du_cercle_oculaire,_établissement_de_sa_position_et_de_sa_taille|définition du cercle oculaire, établissement de sa position et de sa taille]] » du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Lunette_de_Galilée|lunette de Galilée]] »<ref name="Galilée" /> plus haut dans ce chapitre, nous rappelons ci-dessous les résultats justifiant la définition du cercle oculaire : {{Al|5}}Tous les rayons pénétrant dans le microscope traversent inévitablement sa face d'entrée c'est-à-dire l'objectif du microscope, ils en sortiront en passant nécessairement par l'image de l'objectif par le microscope ; <br>{{Al|5}}sachant que «<math>\;\text{objectif}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;\text{objectif}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;?\;</math>» on constate que « l'image de l'objectif par le microscope est aussi l'image de l'objectif par l'oculaire » d'où la définition du « cercle oculaire » ci-dessous et sa conséquence sur la traversée des rayons. <div style="text-align: center;">« Le cercle oculaire du microscope est l'<u>image de l'objectif par l'oculaire</u> » ;</div> {{Al|5}}« tous les rayons pénétrant dans le microscope ressortent en traversant le cercle oculaire » et <br>{{Al|5}}comme ce dernier est aussi l'endroit de « resserrement maximal autour de l'axe optique principal des rayons émergents » <math>\;\big(</math>propriété admise<math>\big)</math>, c'est sur le cercle oculaire que l'éclairement est maximal, <br>{{Al|5}}<u>c'est donc sur le cercle oculaire qu'il serait préférable de positionner l'œil de l'observateur</u> <math>\;\big(</math>à condition toutefois que ce soit possible c'est-à-dire que le cercle oculaire soit réel et non virtuel<ref name="cas d'un cercle oculaire virtuel - bis"> Dans l'hypothèse où le cercle oculaire serait virtuel, l'œil de l'observateur ne pourrait évidemment pas y être positionné, il conviendrait alors de placer ce dernier dans l'espace image réelle le plus près possible du cercle oculaire c.-à-d. sur la face de sortie du microscope laquelle est l'oculaire lui-même.</ref><math>\big)</math> <math>\;\ldots</math> ===== Position du centre du cercle oculaire ===== {{Al|5}}Notant «<math>\;{O'}_{\!1}\;</math> le centre du cercle oculaire », c'est-à-dire le conjugué du centre optique <math>\;O_1\;</math> de l'objectif par l'oculaire «<math>\;O_1\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;{O'}_{\!1}\;</math>», on obtient <br>{{Al|17}}{{Transparent|Notant }}sa position en utilisant l'une des relations de conjugaison de position de Descartes<ref name="Descartes" /> ou de Newton<ref name="Newton" />, <br>{{Al|17}}{{Transparent|Notant }}par exemple celle de Newton<ref name="Newton" /> avec «<math>\;\sigma_{o,\,2} = \overline{F_{o,\,2}O_1} = \overline{F_{o,\,2}F_{i,\,1}} + \overline{F_{i,\,1}O_1}\;</math>» soit «<math>\;\sigma_{o,\,2} = -e - f_{i,\,1}\;</math>» et «<math>\;\sigma_{i,\,2} = \overline{F_{i,\,2}{O'}_{\!1}} = \text{?}\;</math>» déterminée par «<math>\;\sigma_{o,\,2}\;\sigma_{i,\,2} = f_{o,\,2}\;f_{i,\,2}\;</math>»<ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Notant }}d'où, après remplacement de <math>\;f_{o,\,2}\;</math> par <math>\;-f_{i,\,2}</math>, «<math>\;\sigma_{i,\,2} = \dfrac{-f_{i,\,2}^{\,2}}{-f_{i,\,1} - e}\;</math>» positionnant le centre <math>\;{O'}_{\!1}\;</math> du cercle oculaire relativement au foyer principal image <math>\;F_{i,\,2}\;</math> de l'oculaire soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\overline{F_{i,\,2}{O'}_{\!1}} = \dfrac{f_{i,\,2}^2}{f_{i,\,1} + e}\;</math>» donnant numériquement <math>\;\overline{F_{i,\,2}{O'}_1} = \dfrac{(2,5)^2}{0,5 + 25}\;cm\;</math> ou «<math>\;\overline{F_{i,\,2}{O'}_1} \simeq 0,25\;cm\;</math>» ;</div> {{Al|5}}le centre du cercle oculaire <math>\;{O'}_{\!1}\;</math> se trouve légèrement au-delà du foyer principal image de l'oculaire, à <math>\;2,5\; mm\;</math> au-delà de <math>\;F_{i,\,2}</math>, il est donc <u>réel</u> « pratiquement confondu avec <math>\;F_{i,\,2}\;</math>», plus exactement <math>\;\overline{O_2{O'}_{\!1}} = \overline{O_2F_{i,\,2}} + \overline{F_{i,\,2}{O'}_{\!1}} \simeq 2,5 + 0,25\;</math> en <math>\;cm\;</math> soit finalement «<math>\;\overline{O_2{O'}_{\!1}} \simeq 2,75\;cm\;</math>» et <u>l'observateur y positionne son œil</u>. {{Al|5}}<u>Autre façon de définir le grossissement d'un microscope</u> : Nous avons vu, dans la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#cite_note-130|¹³⁰]] » plus haut dans ce chapitre, une autre façon de définir le grossissement en comparant <math>\;\alpha'\;</math> à <math>\;\alpha\;</math> angle algébrisé sous lequel l'observateur verrait l'objet en gardant la « même distance objet - œil » mais par observation directe sans passer par le microscope ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autre façon de définir le grossissement d'un microscope : }}dans cette définition la « distance minimale de vision distincte » <math>\;d = 25\; cm\;</math> intervenant pour définir <math>\;\alpha_0\;</math> est remplacée, dans la définition de <math>\;\alpha</math>, par «<math>\;d' = \overline{A_o{O'}_1} = \overline{A_oO_1} + \overline{O_1O_2} + \overline{O_2{O'}_1} \simeq 0,51 + 27,5 + 2,75\;</math> en <math>\;cm\;</math>» soit «<math>\;d' \simeq 30,75\; cm\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autre façon de définir le grossissement d'un microscope : dans cette définition }}un « grossissement <math>\;G = \dfrac{\alpha'}{\alpha} = \dfrac{d'}{f_{i,\, 2}}\;G_{t,\,1}(A_o) \simeq \dfrac{30,75}{2,5} \times (-50) \simeq -615\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autre façon de définir le grossissement d'un microscope : dans cette définition un « grossissement }}de valeur absolue légèrement supérieure à celle du grossissement commercial. ===== Taille du cercle oculaire pour un objectif de taille précisée ===== {{Al|5}}Pour déterminer la taille du cercle oculaire il suffit d'évaluer « le grandissement transverse par l'oculaire de l'objet linéique transverse <math>\;O_1P_1\;</math>», <math>\;P_1\;</math> étant le bord « supérieur » de l'objectif dans le plan d'incidence contenant l'axe optique principal du microscope et <math>\;\parallel\;</math> au vecteur unitaire <math>\;\overrightarrow{(2)}\;</math> <math>\big\{</math>voir le [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Schéma_de_positionnement_du_cercle_oculaire_et_des_rayons_extrêmes_traversant_l'objectif_3|schéma de positionnement du cercle oculaire et des rayons extrêmes traversant l'objectif]] plus bas dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;{O'}_{\!1}{P'}_{\!1}\;</math> étant l'image <math>\;\big(</math>inversée<math>\big)\;</math> correspondante par l'oculaire » le grandissement transverse par l'oculaire de l'objet linéique transverse <math>\;O_1P_1\;</math> valant, * «<math>\;G_{t,\,2}(O_1)\; \stackrel{\text{déf}}{=} \dfrac{\overline{{O'}_1{P'}_1}}{\overline{O_1P_1}}\;</math>» par définition et * «<math>\;G_{t,\,2}(O_1)\; \stackrel{\text{rel. Newt.}}{=}\;-\dfrac{f_{o,\,2}}{\sigma_{o,\,2}}\;</math>»<ref name="2ème relation de conjugaison de Newton" /> par une 2^ème relation de conjugaison de Newton<ref name="Newton" /> soit, avec «<math>\;\sigma_{o,\,2} = -f_{i,\,1} - e\;</math>», «<math>\;G_{t,\,2}(O_1)\; \stackrel{\text{rel. Newt.}}{=}\;-\dfrac{f_{o,\,2}}{-f_{i,\,1} - e}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>\;\dfrac{\overline{{O'}_1{P'}_1}}{\overline{O_1P_1}} = \dfrac{f_{o,\,2}}{f_{i,\,1} + e}\;</math>» dont on déduit la taille de l'image linéique transverse <div style="text-align: center;">«<math>\;\overline{{O'}_1{P'}_1} = \dfrac{f_{o,\,2}}{f_{i,\,1} + e}\;\overline{O_1P_1}\;</math>» soit, numériquement, «<math>\;\overline{{O'}_1{P'}_1} = \dfrac{-2,5}{25 + 0,5}\;\overline{O_1P_1} = -\dfrac{\overline{O_1P_1}}{10,2}\;</math>», <br> ou, en valeur absolue «<math>\;\rho_{\text{cercle oculaire}} = \dfrac{\rho_{\text{objectif}}}{10,2}\;</math>»</div> {{Al|5}}ce qui donne, pour un objectif de <math>\;4\; cm\;</math> de diamètre <math>\;\big(</math>ou <math>\;2\; cm\;</math> de rayon<math>\big)\;</math> un cercle oculaire réel de «<math>\;\dfrac{2}{10,2}\;cm \simeq 0,20\;cm\;</math> de rayon », <div style="text-align: center;">soit un cercle oculaire de «<math>\;4\; mm\;</math> de diamètre ».</div> {{Al|5}}Le positionnement de l'œil dans le plan du cercle oculaire est possible dans la mesure où ce dernier est réel <math>\;-\;</math> et c'est ce qui est fait <math>\;-\;</math> la taille du cercle oculaire étant de même ordre de grandeur que le diamètre de la pupille de l'œil sous éclairement modéré<ref name="diamètre pupille de l'œil" />, il n'y a pas de perte de puissance lumineuse <math>\;\big(</math>moyenne<math>\big)</math>. ===== Schéma de positionnement du cercle oculaire et des rayons extrêmes traversant l'objectif ===== [[File:Microscope - cercle oculaire.jpg|thumb|700px|Schéma de positionnement du cercle oculaire d'un microscope et des rayons extrêmes traversant l'objectif]] {{Al|5}}Voir ci-contre : {{Al|5}}Il existe de nombreux perfectionnements ou utilisations spécifiques d'un microscope optique que l'on peut consulter au paragraphe [[w:Microscope_optique#Utilisations_et_perfectionnement|utilisations et perfectionnement]] de l'article « [[w:Microscope_optique|Microscope optique]] » de wikipédia ; {{Al|5}}Il y a d'autre part des techniques non optiques de microscopie comme celles décrites dans le paragraphe [[w:Microscopie#Principaux_types_de_microscopie|principaux types de microscopie]] de l'article « [[w:Microscopie|Microscopie]] » de wikipédia. ==== Latitude de mise au point du microscope tenant compte de l'accommodation de l'œil de l'observateur ==== {{Al|5}}En accommodant, un œil normal peut observer nettement un objet situé à une distance comprise entre <math>\;d = 25\; cm\;</math> <math>\big(</math>distance minimale de vision directe avec accommodation maximale<math>\big)\;</math> et l'infini <math>\;\big(</math>sans accommodation<math>\big)</math>. {{Al|5}}Ayant déterminé la position <math>\;A_{o,\, s}\;</math> du pied <math>\;A_o\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> pour qu'un œil normal, n'accommodant pas, puisse observer son image à l'infini à travers le microscope soit {{Nobr|«<math>\;\overline{F_{o,\,1}A_{o,\, s}}</math>}} <math>= -\dfrac{f_{i,\,1}^2}{\overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}}} = -\dfrac{f_{i,\,1}^2}{e} = -0,1\;mm\;</math>» ou «<math>\;\overline{O_1A_{o,\, s}} = -5,1\;mm\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;5,1\; mm\;</math> en deçà du centre optique de l'objectif <math>\;O_1\;</math>», <br>{{Al|8}}{{Transparent|Ayant déterminé la position A_{o, s} }}on se propose d'évaluer de quelle distance et dans quel sens il faut déplacer l'objet pour qu'un œil normal, accommodant au maximum, puisse observer l'image de l'objet à la distance <math>\;d\;</math> de la position de l'œil <math>\;\big(</math>ce dernier restant situé au centre du cercle oculaire du microscope<math>\big)</math>, cette variation définissant la <u>latitude de mise au point</u> du microscope ; {{Al|5}}pour un œil normal, accommodant au maximum, le pied <math>\;A_{i,\, a}\;</math> de l'image de l'objet <math>\;A_{o,\,a}B_{o,\,a}\;</math> doit être situé <math>\; d = 25\;cm\;</math> en avant du centre du cercle oculaire <math>\;{O'}_{\!1}\;</math> lequel est positionné selon {{Nobr|«<math>\;\overline{F_{i,\,2}{O'}_{\!1}}</math>}} <math>= \dfrac{f_{i,\,2}^2}{f_{i,\,1} + e} \simeq 0,25\;cm\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Position_du_centre_du_cercle_oculaire_3|position du centre du cercle oculaire]] (d'un microscope) » plus haut dans ce chapitre.</ref> ou «<math>\;\overline{O_2{O'}_{\!1}} \simeq 2,75\;cm\;</math>», d'où la position de <math>\;A_{i,\, a}\;</math> relativement au foyer principal image de l'oculaire «<math>\;\overline{F_{i,\,2}A_{i,\, a}} = \overline{F_{i,\,2}{O'}_{\!1}} - d = \dfrac{f_{i,\,2}^2}{f_{i,\,1} + e} - d \simeq</math> <math>-24,75\;cm\;</math>» ou relativement au centre optique de l'oculaire «<math>\;\overline{O_2A_{i,\, a}} =</math> <math>\overline{O_2{O'}_{\!1}} - d \simeq -22,25\;cm\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|pour un œil normal, accommodant au maximum, }}pour déterminer la position du pied <math>\;A_{o,\, a}\;</math> de l'objet <math>\;A_{o,\,a}B_{o,\,a}\;</math> on utilise les conjugaisons suivantes «<math>\;A_{o,\, a}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\; A_{1,\,a}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\; A_{i,\,a}\;</math>» et, à partir de la position de <math>\;A_{i,\, a}\;</math> on remonte à celle de <math>\;A_{o,\, a}\;</math> par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Newton<ref name="Newton" /> <math>\;\big(</math>ou de Descartes<ref name="Descartes" /><math>\big)\;</math> appliquée à l'oculaire puis à l'objectif : * «<math>\;A_{1,\,a}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\; A_{i,\,a}\;</math>» avec «<math>\;\sigma_{i,\, 2}(A_{i,\,a}) = \overline{F_{i,\, 2}A_{i,\,a}} = \dfrac{f_{i,\,2}^2}{f_{i,\,1} + e} - d \simeq -24,75\;cm\;</math>» et «<math>\;\sigma_{o,\, 2}(A_{1,\,a}) = \overline{F_{o,\,2}A_{1,\,a}} = \text{?}\;</math>» que nous déterminons par application de la 1^ère relation de conjugaison de Newton<ref name="Newton" /> «<math>\;\sigma_{o,\, 2}(A_{1,\,a})\;\sigma_{i,\, 2}(A_{i,\,a}) = f_{o,\,2}\;f_{i,\,2}\;</math>»<ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> soit, en utilisant <math>\;f_{o,\,2} = -f_{i,\,2}</math>, «<math>\;\sigma_{o,\, 2}(A_{1,\,a}) = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{\sigma_{i,\, 2}(A_{i,\,a})} = \dfrac{f_{i,\, 2}^2}{d - \dfrac{f_{i,\,2}^2}{f_{i,\,1} + e}} \simeq \dfrac{(2,5)^2}{24,75}\;</math> en <math>\;cm\;</math>» soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\sigma_{o,\, 2}(A_{1,\,a}) = \overline{F_{o,\, 2}A_{1,\,a}} = \dfrac{f_{i,\, 2}^2\, (f_{i,\,1} + e)}{d\, (f_{i,\,1} + e) - f_{i,\,2}^2} \simeq 0,25\;cm\;</math>» ;</div> * «<math>\;A_{o,\, a}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\; A_{1,\,a}\;</math>» avec «<math>\;\sigma_{i,\, 1}(A_{1,\,a}) = \overline{F_{i,\, 1}A_{1,\,a}} = \overline{F_{i,\, 1}F_{o,\,2}} + \overline{F_{o,\, 2}A_{1,\,a}} = e + \dfrac{f_{i,\, 2}^2\, (f_{i,\,1} + e)}{d\, (f_{i,\,1} + e) - f_{i,\,2}^2} \simeq 25 + 0,25\;</math> en <math>\;cm\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sigma_{i,\, 1}(A_{1,\,a}) = \dfrac{e\, d\, (f_{i,\,1} + e) + f_{i,\, 2}^2\, f_{i,\, 1}}{d\, (f_{i,\,1} + e) - f_{i,\,2}^2} \simeq 25,25\;cm\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\sigma_{o,\, 1}(A_{o,\,a}) =</math>}} <math>\overline{F_{o,\,1}A_{o,\,a}} = \text{?}\;</math>» que nous déterminons par application de la 1^ère relation de conjugaison de Newton<ref name="Newton" /> «<math>\;\sigma_{o,\, 1}(A_{o,\,a})\;\sigma_{i,\, 1}(A_{1,\,a}) = f_{o,\,1}\;f_{i,\,1}\;</math>»<ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> soit, en utilisant <math>\;f_{o,\,1} = -f_{i,\,1}</math>, {{Nobr|«<math>\;\sigma_{o,\, 1}(A_{o,\,a})</math>}} <math>= -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{\sigma_{i,\, 1}(A_{1,\,a})} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{\dfrac{e\, d\, (f_{i,\,1} + e) + f_{i,\, 2}^2\, f_{i,\, 1}}{d\, (f_{i,\,1} + e) - f_{i,\,2}^2}} \simeq -\dfrac{(0,5)^2}{25,25}\;</math> en <math>\;cm\;</math>» soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\sigma_{o,\, 1}(A_{o,\,a}) = \overline{F_{o,\, 1}A_{o,\,a}} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2 \left[ d\, (f_{i,\,1} + e) - f_{i,\,2}^2 \right]}{e\, d\, (f_{i,\,1} + e) + f_{i,\, 2}^2\, f_{i,\, 1}} \simeq -0,01\;cm\;</math>».</div> {{Al|5}}Finalement définissant la « latitude de mise au point algébrisée du microscope selon <math>\;\overline{A_{o,\,s}A_{o,\,a}} = \overline{F_{o,\, 1}A_{o,\,a}} - \overline{F_{o,\, 1}A_{o,\,s}}\;</math>» nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Finalement }}en reportant les expressions précédemment trouvées, «<math>\;\overline{A_{o,\,s}A_{o,\,a}} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2 \left[ d\, (f_{i,\,1} + e) - f_{i,\,2}^2 \right]}{e\, d\, (f_{i,\,1} + e) + f_{i,\, 2}^2\, f_{i,\, 1}} + \dfrac{f_{i,\,1}^2}{e}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Finalement }}en factorisant par «<math>\;\dfrac{f_{i,\,1}^2}{e}\;</math>», «<math>\;\overline{A_{o,\,s}A_{o,\,a}}</math> <math>= \dfrac{f_{i,\,1}^2}{e} \left[ 1 - \dfrac{d\, (f_{i,\,1} + e) - f_{i,\,2}^2}{d\, (f_{i,\,1} + e) + \dfrac{f_{i,\, 2}^2\, f_{i,\, 1}}{e}} \right] = \dfrac{f_{i,\,1}^2}{e}\; \dfrac{f_{i,\,2}^2 \left( 1 + \dfrac{f_{i,\, 1}}{e} \right)}{d\, (f_{i,\,1} + e) + \dfrac{f_{i,\, 2}^2\, f_{i,\, 1}}{e}}\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Finalement }}en tenant compte de «<math>\;f_{i,\,1} = \dfrac{f_{i,\, 2}}{5} = \dfrac{e}{50} = \dfrac{d}{50}\;</math>», «<math>\;\overline{A_{o,\,s}A_{o,\,a}} = \dfrac{f_{i,\,1}^2}{e}\; \dfrac{f_{i,\,2}^2 \left( 1 + \cancel{\dfrac{f_{i,\, 1}}{e}} \right)}{d\, (\cancel{f_{i,\,1}} + e) + \cancel{\dfrac{f_{i,\, 2}^2\, f_{i,\, 1}}{e}}}\;</math>» et finalement <div style="text-align: center;">«<math>\;\overline{A_{o,\,s}A_{o,\,a}} \simeq \dfrac{f_{i,\,1}^2\;f_{i,\,2}^2}{e^2\;d} = \dfrac{(0,5)^2 \times (2,5)^2}{(25)^3}\;</math> en <math>\;cm\;</math>» soit «<math>\;\overline{A_{o,\,s}A_{o,\,a}} \simeq 0,0001\;cm = 1\; \mu m\;</math>» ;</div> {{Al|5}}il convient donc de rapprocher l'objet de <math>\;1\; \mu m\;</math> de l'objectif pour que la vision à travers le microscope par un œil n'accommodant pas initialement reste nette lorsque ce dernier accommode au maximum, on dira que <u>la latitude de mise au point du microscope est de</u><math>\underline{\;1\; \mu m}</math>. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | suivant = [[../Optique géométrique : l'œil/]] }} a8is3wa3190t3ars1avo7ei7a6px18c 0 62525 982822 974070 2026-05-14T16:28:50Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982822 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 15 | niveau = 14 | précédent = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] | suivant = [[../Introduction au monde quantique : dualité onde-particule/]] }} == Modélisation de l'œil comme association d'une « pseudo-lentille » de vergence variable et d'un capteur fixe == === Description sommaire de l'œil === {{Al|5}}L'œil <math>\;\big(</math>humain<math>\big)\;</math> est un système optique complexe puisqu’il comporte une succession de dioptres qui ne sont pas parfaitement sphériques et que ses milieux extrêmes sont différents ; {{Al|5}}un œil se présente comme un globe, de <math>\;25\; mm\;</math> de diamètre environ, limité par une membrane résistante, « la sclérotique ». <center> <gallery mode="packed" heights="350px"> Schéma œil humain.svg|Coupe d'un œil humain </gallery> </center> {{Al|5}}On distingue principalement, comme le montre la figure ci-dessus : * « la [[w:Cornée|cornée]] », partie antérieure de la sclérotique, transparente, d'indice <math>\;1,337</math>, * « l'[[w:Humeur_aqueuse|humeur aqueuse]] », liquide transparent d'indice <math>\;1,336</math>, * « le [[w:Cristallin|cristallin]] », lentille biconvexe élastique d'indice <math>\;1,413\;</math><ref> La perte <math>\;\big(</math>accidentelle ou par vieillesse<math>\big)\;</math> de transparence du [[w:Cristallin|cristallin]] s'appelle « la [[w:Cataracte_(maladie)|cataracte]] ».</ref>, * « l'humeur vitreuse », liquide gélatineux d'indice <math>\;1,336\;</math> et * « la [[w:Rétine|rétine]] », membrane sensible aux radiations lumineuses, située au fond de l’œil. {{Al|5}}La [[w:Rétine|rétine]] a une structure « discontinue » formée de cellules coniques les « [[w:Cône_(photorécepteur)|cônes]] », de cellules cylindriques « les [[w:Bâtonnet|bâtonnets]] » et de cellules nerveuses les « [[w:Neurone|neurones]] » ; * les 1^ères <math>\;\big(</math>les [[w:Cône_(photorécepteur)|cônes]]<math>\big)</math>, concentrées au centre de la [[w:Rétine|rétine]], sont surtout excitées en « vision diurne », dite « [[w:Domaines_de_vision#Domaine_photopique|photopique]] » ; elles sont de trois types « les rouges, les verts et les bleus » <ref> Et vraisemblablement un 4^ème type chez <math>\;10\, \%\;</math> des hommes et <math>\;50\, \%\;</math> des femmes « les oranges ». <br>{{Al|3}}Le dysfonctionnement d'un des trois types de [[w:Cône_(photorécepteur)|cônes]] est le « [[w:Daltonismae|daltonisme]] » et celui des trois types l'« [[w:Achromatopsie|achromatopsie]] ».</ref> et sont au nombre d'environ <math>\;7</math> millions par œil, elles permettent de distinguer jusqu'à <math>\;300 000\;</math> couleurs <ref> En proportion plus grande dans les nuances de vert et de rouge que celles de bleu.</ref> ; leurs tailles varient entre <math>\;1,5\; \mu m\;</math> et <math>\;5\; \mu m</math>, autour d’une valeur moyenne de <math>\;4\; \mu m\;</math> environ ; * les 2^ndes <math>\;\big(</math>les [[w:Bâtonnet|bâtonnets]]<math>\big)</math>, localisées sur le pourtour de la [[w:Rétine|rétine]], sont surtout stimulées en « vision nocturne », dite « [[w:Domaines_de_vision#Domaine_scotopique|scotopique]] » ; sensibles à l'éclairement et non aux couleurs, elles sont au nombre d'environ <math>\;120</math> millions par œil ; leur taille correspond à une longueur de <math>\;60\; \mu m\;</math> en moyenne. {{Al|5}}« La sensibilité de la [[w:Rétine|rétine]] est maximale sur un petit cercle voisin de l’axe », de rayon <math>\;1\; mm</math>, appelé « tache jaune » ou « [[w:Macula|macula]] » ; {{Al|5}}il existe aussi une « [[w:Point_aveugle|tache aveugle]] ou [[w:Papille#Papille_optique|papille]] », zone où les fibres nerveuses de la [[w:Rétine|rétine]] se réunissent pour former le « [[w:Nerf_optique|nerf optique]] » <ref> Conduisant les informations visuelles jusqu'au cerveau.</ref> et qui ne renferme aucune cellule photosensible ; {{Al|5}}enfin une petite zone « la [[w:Fovéa|fovéa]] » dépourvue de [[w:Bâtonnet|bâtonnets]] est particulièrement sensible aux couleurs, elle est pratiquement confondue avec la « [[w:Macula|macula]] » ; la « [[w:Fovéa|fovéa]] » est donc la zone la plus sensible en journée mais « la moins sensible la nuit » <ref> En conséquence on voit mieux les objets en « [[w:Vision_périphérique|vision périphérique]] » la nuit qu'en « vision axiale », fixer les objets la nuit n'est donc pas la bonne façon pour les distinguer.</ref>. {{Al|5}}La « sensibilité de la [[w:Rétine|rétine]] dépend de la nature spectrale du rayonnement » <ref> La sensibilité de la [[w:Rétine|rétine]] <math>\;\nearrow\;</math> progressivement dans l'obscurité, elle atteint une accoutumance maximale au bout d'une heure mais cette adaptation disparaît très rapidement au moindre éblouissement, avec la nécessité d'une même durée pour la retrouver.</ref> : {{Al|5}}ci-dessous à gauche la comparaison de la sensibilité spectrale normalisée des trois types de [[w:Cône_(photorécepteur)|cônes]] <ref> Les [[w:Cône_(photorécepteur)|cônes]] rouges ayant une sensibilité maximale approximativement <math>\;2\;</math> fois plus grande que celle des [[w:Cône_(photorécepteur)|cônes]] verts et approximativement <math>\;50\;</math> fois plus grande que celle des bleus.</ref> et des [[w:Bâtonnet|bâtonnets]] : {{Al|5}}Ci-dessous à droite la comparaison de la sensibilité spectrale normalisée de l'ensemble des [[w:Cône_(photorécepteur)|cônes]] utilisé en vision diurne <math>\;\big(</math>ou [[w:Domaines_de_vision#Domaine_photopique|photopique]]<math>\big)\;</math> et des [[w:Bâtonnet|bâtonnets]] en vision nocturne <math>\;\big(</math>ou [[w:Domaines_de_vision#Domaine_scotopique|scotopique]]<math>\big)</math>. <div style="text-align: center;"> <gallery mode="packed" heights="284px"> Cone-response-fr.svg|Réponse normalisée de chaque type de [[w:Cône_(photorécepteur)|cônes]] et de celle des [[w:Bâtonnet|bâtonnets]] Efficacité lumineuse relative spectrale v.jpg|Comparaison des courbes de sensibilités relatives en visions [[w:Domaines_de_vision#Domaine_photopique|photopique]] et [[w:Domaines_de_vision#Domaine_scotopique|scotopique]] </gallery> </div> {{Al|5}}En avant du [[w:Cristallin|cristallin]], un diaphragme, appelé « [[w:Pupille|pupille]] », limite la quantité de lumière incidente à celle nécessaire à la détection. Grâce à une membrane, « l'[[w:Iris_(anatomie)|iris]] », diversement colorée, le diamètre de la [[w:Pupille|pupille]] peut varier entre <math>\;2\;</math> et <math>\;8\; mm\;</math><ref> La dimension maximale de la [[w:Pupille|pupille]] est affectée par la vieillesse d'où le besoin d'un éclairage plus intense pour les personnes âgées.</ref>. === Modélisation de l'œil en association d'une « pseudo-lentille » de vergence variable et d'un capteur fixe === {{Al|5}}On peut modéliser l'œil en « 1^ère approximation » par « l'œil réduit de Listing »<ref name="Listing"> '''[[w:Johann_Benedict_Listing|Johann Benedict Listing]] (1808 - 1882)''' mathématicien et [[w:Physiologie|physiologiste]] allemand à qui on doit la découverte de quelques propriétés [[w:Topologie|topologiques]] de surface dont celle du [[w:Ruban_de_Möbius|ruban de Möbius]] qu'il découvrit indépendamment de ce dernier, ainsi que la [[w:Loi_de_Listing|loi de Listing]] de physiologie de l'œil, gouvernant les orientations de ce dernier dans son orbite lors de [[w:saccade_oculaire|saccades oculaires]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:August_Ferdinand_Möbius|August Ferdinand Möbius]] (1790 - 1868)''' mathématicien et astronome théoricien allemand essentiellement connu pour sa découverte du [[w:Ruban_de_Möbius|ruban de Möbius]], surface non [[w:Orientabilité|orientable]] à deux dimensions avec seulement une face quand elle est plongée dans un [[w:Espace_euclidien|espace euclidien]] à trois dimensions, cette surface fut découverte indépendamment par [[w:Johann_Benedict_Listing|Listing]]'''.</ref> c'est-à-dire l'association d'une « pseudo lentille »<ref name="pseudo lentille"> Dans le programme de physique de P.C.S.I., il est dit « lentille » mais en fait il ne s'agit pas de lentille mais de « dioptre sphérique », la différence du point de vue « conjugaison » est minime, il faut tenir compte de l'indice de l'espace image qui est différent de celui de l'espace objet alors qu'ils sont usuellement identiques dans une lentille <math>\;\Bigg[</math>la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes d'un dioptre sphérique avec origine au sommet <math>\;S\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}</math>}} <math>= V\;</math> avec <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> vergence du dioptre sphérique où <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math> et <math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math> sont les distances focales image et objet de ce dioptre sphérique », la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse de Descartes du même dioptre sphérique avec origine au sommet <math>\;S\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;G_t(A_o)\; \stackrel{\text{déf}}{ = }\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>}} <math>= \dfrac{n_o}{n_i}\; \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math>» <math>\big\{</math>voir la solution des questions « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_dioptre_sphérique_(concave_convergent)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_(approchée)_de_grandissement_transverse_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)_2|relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_et_aplanétisme_approchés_d'un_dioptre_sphérique_sous_conditions_de_Gauss|stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss]] » de la série <math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> soit, sachant que l'espace objet est usuellement l'air, «<math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}} = V\;</math> avec <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;G_t(A_o)\;</math>}} <math>\stackrel{\text{déf}}{ = }\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math> <math>= \dfrac{1}{n_i}\; \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math>» semblable aux relations d'une lentille à condition de remplacer l'abscisse de Descartes <math>\;\overline{SA_i}\;</math> de l'image <math>\;A_i\;</math> par le dioptre par l'abscisse de Descartes d'une image corrigée <math>\;{A'}_{\!i}\;</math> utilisée par la lentille se substituant au dioptre <math>\;\overline{S{A'}_{\!i}} = \dfrac{\overline{SA_i}}{n_i}\Bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}les « dioptres sphériques » n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. et les relations de conjugaison étant semblables nous employons le terme « pseudo lentille ».</ref> sphérique de vergence variable « le [[w:Cristallin|cristallin]] » <ref> En fait la « pseudo lentille » modélise les dioptres sphériques successifs et le [[w:Cristallin|cristallin]], mais pour plus de commodité nous appellerons « [[w:Cristallin|cristallin]] » la « pseudo lentille » de modélisation.</ref> et d'un capteur fixe « la [[w:Rétine|rétine]] » ; pour affiner on ajoute la présence d'un diaphragme « la [[w:Pupille|pupille]] » situé légèrement en deçà de la pseudo lentille<ref name="pseudo lentille" />. === Propriété de la « pseudo-lentille » de vergence variable modélisant les dioptres sphériques successifs et le cristallin === {{Al|5}}Le [[w:Cristallin|cristallin]] est constitué d'un assemblage ordonné de cellules ; son centre est formé de cellules « mortes » en forme de prisme qui contiennent en grande quantité une protéine « la [[w:Cristalline|cristalline]] », responsable de la forte vergence du [[w:Cristallin|cristallin]] ; une mince couche faite de cellules « vivantes » cubiques recouvre le centre du [[w:Cristallin|cristallin]] et sont responsables de la croissance du [[w:Cristallin|cristallin]] ; {{Al|5}}le [[w:Cristallin|cristallin]] peut, grâce à de petits muscles, changer de vergence, cette propriété est essentielle pour obtenir des objets localisés à une distance variable du [[w:Cristallin|cristallin]] une image nette sur la [[w:Rétine|rétine]] fixe relativement à ce dernier ; {{Al|5}}pour faire « converger fortement la lumière » <ref> Et donc voir nets des objets situés à courte distance de l'œil.</ref>, le [[w:Cristallin|cristallin]] se bombe, <math>\;\nearrow\;</math> ainsi sa vergence <math>\;\big(</math>vergence maximale de la « pseudo lentille<ref name="pseudo lentille" /> équivalente aux dioptres sphériques successifs et au [[w:Cristallin|cristallin]] bombé » <math>63\; \delta\;</math><ref name="dioptrie"> La dioptrie de symbole <math>\;\delta\;</math> est l'unité de mesure de la vergence «<math>\;1\;\delta = 1\;m^{-1}\;</math>».</ref>{{,}}<ref name="positionnement plan focal image"> On rappelle que de cette « pseudo lentille » modélisant un dioptre sphérique entre l'air et un milieu d'indice <math>\;n_i</math> <math>\simeq 1,357\;</math> <math>\big(</math>représentant une moyenne des indices du [[w:Cristallin|cristallin]] et des différentes humeurs<math>\big)\;</math> utilise des images corrigées <math>\;{A'}_{\!i}\;</math> d'abscisse de Descartes <math>\;\overline{S{A'}_{\!i}} =</math> <math>\dfrac{\overline{SA_i}}{n_i}</math> ; ainsi la vergence de la pseudo lentille est <math>\;V = \dfrac{1}{{f'}_{\!i}} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> avec <math>\;{f'}_{\!i} = \dfrac{f_i}{n_i}\;</math> la distance focale image de la pseudo lentille conduisant à une distance focale image du dioptre sphérique équivalent égale à <math>\;f_i = n_i\; {f'}_{\!i} = \dfrac{n_i}{V}\;</math> positionnant le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du dioptre sphérique équivalent à la distance <math>\;f_i\;</math> du sommet <math>\;S\;</math> <math>\big(</math>alors que le foyer principal image <math>\;{F'}_{\!i}\;</math> de la pseudo lentille serait positionné à la distance <math>\;{f'}_{\!i} = -f_o\;</math> de son centre optique <math>\;S\big)</math>.</ref><math>\big)\;</math> et <math>\;\searrow\;</math> la distance focale image de la pseudo lentille<ref name="pseudo lentille" /> <math>\;{f'}_{\!i} = -f_o = \dfrac{1}{V} = \dfrac{1}{63} \simeq</math> <math>0,015873\; m^{-1} \simeq 15,87\;mm\;</math> <math>\big(</math>la distance focale image minimale du dioptre sphérique modélisé par la pseudo lentille<ref name="pseudo lentille" /> étant finalement <math>\;f_i = n_i\;{f'}_{\!i} \simeq</math> <math>1,357 \times 15,87 \simeq 21,5\; mm\;</math><ref name="positionnement plan focal image" /><math>\big)</math> ; {{Al|5}}pour faire « converger faiblement la lumière »<ref> Et donc voir nets des objets situés à grande distance de l'œil.</ref>, le [[w:Cristallin|cristallin]] s'amincit, <math>\;\searrow\;</math> ainsi sa vergence <math>\;\big(</math>vergence minimale de la « pseudo lentille<ref name="pseudo lentille" /> équivalente aux dioptres sphériques successifs et au [[w:Cristallin|cristallin]] non bombé » <math>59\;\delta\;</math><ref name="dioptrie" />{{,}}<ref name="positionnement plan focal image" /><math>\big)\;</math> et <math>\;\nearrow\;</math> la distance focale image de la pseudo lentille<ref name="pseudo lentille" /> <math>\;{f'}_{\!i} = -f_o = \dfrac{1}{V} = \dfrac{1}{59} \simeq</math> <math>0,01695\; m^{-1} \simeq 17\;mm</math> <math>\;\big(</math>la distance focale image maximale du dioptre sphérique modélisé par la pseudo lentille<ref name="pseudo lentille" /> étant <math>\;f_i = n_i\;{f'}_{\!i} \simeq 1,357 \times 17 \simeq</math> <math>23\; mm\;</math><ref name="positionnement plan focal image" /><math>\big)\;</math> ; {{Al|5}}cette capacité de l'œil à faire varier la vergence du [[w:Cristallin|cristallin]] selon les situations est appelée « [[w:Accommodation|accommodation]] ». {{Al|5}}Un œil « normal » <ref> La signification de « normal » ici est « moyen » c.-à-d. le plus couramment rencontré.</ref> est qualifié d'« [[w:Emmétropie|emmétrope]] », le contraire étant « [[w:Troubles_de_la_réfraction|amétrope]] ». == Plage d'accommodation de l'œil == === Œil emmétrope n'accommodant pas et punctum remotum ou PR de cet œil === {{Al|5}}Un œil « [[w:Emmétropie|emmétrope]] »<ref name="emmétrope"> C.-à-d. normal au sens de le plus couramment rencontré.</ref> est dit « <u>n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas</u> » quand il est dans la situation où le [[w:Cristallin|cristallin]] a son amincissement maximal, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Un œil « emmétrope » }}il <u>donne alors d’un objet situé à l’infini une image nette sur la [[w:Rétine|rétine]] située à une distance moyenne du [[w:Cristallin|cristallin]] de</u><math>\;23\; mm\;</math><ref name="signification distance dans œil"> Plus précisément cette distance représente l'écart séparant « le sommet du dioptre sphérique équivalent <math>\;\big(</math>ou du centre optique de la pseudo lentille<math>\big)\;</math> situé sur l'axe optique principal <math>\;2\;mm\;</math> au-delà du sommet de la [[w:Cornée|cornée]] » et « le point de la [[w:Rétine|rétine]] sur l'axe optique principal », c.-à-d. très grossièrement la profondeur moyenne d'un œil « [[w:Emmétropie|emmétrope]] » quelle que soit l'[[w:Accommodation|accommodation]] de ce dernier.</ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Un œil « emmétrope » il donne alors d’un objet situé à l’infini une image nette sur la rétine }}la « [[w:Rétine|rétine]] étant dans le plan focal image du dioptre sphérique modélisant l'œil » <ref> En effet lorsque le [[w:Cristallin|cristallin]] s'amincit au maximum la vergence de la pseudo lentille est <math>\;V \simeq 59\;\delta\;</math> et sa distance focale image <math>\;{f'}_{\!i} =</math> <math>\dfrac{f_i}{n_i} \simeq 17\;mm\;</math> correspondant à une distance focale image du dioptre sphérique équivalent <math>\;f_i = n_i\; {f'}_{\!i} \simeq 23\;mm\;</math> c.-à-d. que le foyer principal image de ce dioptre est situé à <math>\;23\;mm\;</math> au-delà du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre.</ref>{{,}}<ref name="rétine réduite"> On rappelle que, travaillant dans les conditions d'aplanétisme de Gauss, la [[w:Rétine|rétine]] est limitée à la partie transversale plane relativement à l'axe optique principal.</ref> ou, <br>{{Al|5}}pour rester dans le cadre de la pseudo lentille<ref name="pseudo lentille" />, correspondant à une distance focale image de cette dernière <math>\;{f'}_{\!i} = \dfrac{f_i}{n_i}</math> <math>\simeq 17\;mm\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|11}}{{Transparent|pour rester dans le cadre de la pseudo lentille, correspondant à }}une vergence de cette dernière ou du dioptre sphérique équivalent <math>\;V = \dfrac{1}{{f'}_{\!i}} =</math> <math>\dfrac{n_i}{f_i} \simeq 59\;\delta\;</math><ref name="dioptrie" /> ; <br>{{Al|5}}quand l'« œil n'[[w:Accommodation|accommode]] pas » on dit encore que l'objet est situé au « <u>[[w:Punctum_remotum|punctum remotum]] ou [[w:Punctum_remotum|PR]]</u> » de l'œil<ref> Le [[w:Punctum_remotum|PR]] d'un œil [[w:Emmétropie|emmétrope]] est donc situé à l'infini de l'œil.</ref>. === Œil emmétrope accommodant au maximum et punctum proximum ou PP de cet œil === {{Al|5}}Un œil « [[w:Emmétropie|emmétrope]] »<ref name="emmétrope" /> est dit « <u>[[w:Accommodation|accommodant]] au maximum</u> » quand il est dans la situation où le [[w:Cristallin|cristallin]] se déforme au maximum <br>{{Al|9}}{{Transparent|Un œil « emmétrope » }}<math>\;\big(</math>la [[w:Rétine|rétine]] étant toujours située à la distance moyenne de <math>\;23\; mm\;</math> du [[w:Cristallin|cristallin]] bombé<ref name="signification distance dans œil" /><math>\big)\;</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Un œil « emmétrope » }}il <u>donne alors une image nette d'un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_d'un_objet_linéique_transverse|définition d'un objet linéique transverse]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> situé à la distance minimale de vision distincte</u><math>\;d_{\text{min}}\;</math><ref> Usuellement notée <math>\;d\;</math> en absence d'ambiguïté.</ref> de valeur moyenne <math>\;25\;cm\;</math><ref name="valeur moyenne de la distance minimale de vision distincte"> Cette distance varie d’un individu à un autre et change avec l’âge.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Un œil « emmétrope » }}<u>la [[w:Rétine|rétine]] devient alors le plan conjugué</u> par le dioptre sphérique équivalent <math>\;\big(</math>ou par la pseudo lentille<ref name="pseudo lentille" /><math>\big)\;</math><u>de celui contenant l'objet</u><ref name="rétine réduite" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Un œil « emmétrope » }}la vergence du dioptre sphérique équivalent <math>\;\big(</math>ou de la pseudo lentille<ref name="pseudo lentille" /><math>\big)\;</math> [[w:Accommodation|accommodant]] au maximum étant <math>\;V = 63\;\delta\;</math><ref name="dioptrie" />{{,}}<ref> La relation de conjugaison de Descartes de la pseudo lentille s'écrit <math>\;\dfrac{1}{{p'}_{\!i}} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> avec <math>\;{p'}_{\!i} = \overline{S{A'}_{\!i}} = \dfrac{\overline{SA_i}}{n_i} = \dfrac{p_i}{n_i}\;</math> l'abscisse de Descartes de l'image corrigée <math>\;{A'}_{\!i}\;</math> utilisée par la {{Nobr|pseudo lentille}} <math>\;\bigg(\!</math>relation identique à la relation de conjugaison de Descartes du dioptre sphérique équivalent <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> avec <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> l'abscisse de Descartes de l'image <math>\;A_i\;</math> donnée par le dioptre<math>\!\bigg)</math> ; <br>{{Al|3}}de la valeur de la vergence ainsi que du positionnement de la [[w:Rétine|rétine]], plan conjugué du plan contenant l'objet quand ce dernier est au plus proche de l'œil, on en déduit la valeur de la distance minimale de vision distincte <math>\;d_{\text{min}}\;</math> par «<math>\;\dfrac{1}{{p'}_{\!i}} + \dfrac{1}{d_{\text{min}}} = V\;</math>» car <math>\;p_o = -d_{\text{min}}\;</math> ou, avec <math>\;{p'}_{\!i} = \dfrac{p_i}{n_i}</math>, «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} + \dfrac{1}{d_{\text{min}}} = V\;</math>» soit <math>\;\dfrac{1}{d_{\text{min}}} = V - \dfrac{n_i}{p_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{1}{d_{\text{min}}} = \dfrac{V\;p_i - n_i}{p_i}\;</math> et enfin «<math>\;d_{\text{min}} =</math> <math>\dfrac{p_i}{V\;p_i - n_i} = \dfrac{23\;10^{-3}}{63 \times 23\;10^{-3} - 1,357} \simeq 0,25\;m\;</math>» ou «<math>\;d_{\text{min}} \simeq 25\;cm\;</math>».</ref> correspondant à <br>{{Al|11}}{{Transparent|Un œil « emmétrope » }}une distance focale image de la pseudo lentille<ref name="pseudo lentille" /> <math>\;{f'}_{\!i} = \dfrac{1}{V} \simeq</math> <math>15,9\;mm\;</math> ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Un œil « emmétrope » une distance focale image }}du dioptre sphérique équivalent <math>\;f_i = n_i\;{f'}_{\!i} \simeq 21,5\;mm</math>, positionnant la [[w:Rétine|rétine]] <math>\;1,5\;mm\;</math> au-delà du plan focal image de ce dernier quand le [[w:Cristallin|cristallin]] est déformé au maximum<ref> On peut donc affirmer l'assertion suivante “quand l'œil passe de l'absence d'accommodation à l'accommodation maximale, le foyer image se rapproche de <math>\;1,5\;mm\;</math> du [[w:Cristallin|cristallin]]”.</ref> ; <br>{{Al|5}}quand l'« œil [[w:Accommodation|accommode]] au maximum » on dit encore que l'objet est situé au « <u>[[w:Punctum_proximum|punctum proximum]] ou [[w:Punctum_proximum|PP]]</u> » de l'œil. === Coupe du modèle de Listing d'un œil emmétrope === <div style="text-align: center;"> <gallery mode="packed" heights="400px"> Œil de Listing.jpg|Coupe du modèle de Listing<ref name="Listing" /> d'un œil [[w:Emmétropie|emmétrope]] avec position <math>\;\big(</math>en rouge<math>\big)\;</math> de son foyer principal image sans [[w:Accommodation|accommodation]] associée à son [[w:Punctum_remotum|PR]] et position <math>\;\big(</math>en bleu<math>\big)\;</math> de son foyer principal image avec [[w:Accommodation|accommodation]] maximale associée à son [[w:Punctum_proximum|PP]] </gallery> </div> {{Al|5}}Ci-dessus une coupe du modèle de Listing<ref name="Listing" /> d'un œil [[w:Emmétropie|emmétrope]] utilisant le dioptre sphérique équivalent<ref> L'utilisation de la pseudo lentille introduisant un espace image corrigé pour tenir compte de l'indice de ce dernier <math>\;\neq 1\;</math> avec une image corrigée <math>\;{A'}_{\!i}\;</math> liée à l'image effective <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\overline{S{A'}_{\!i}} = \dfrac{\overline{SA_i}}{n_i}</math>, soit une application du facteur multiplicateur <math>\;\dfrac{1}{n_i} = \dfrac{1}{1,357}\;</math> pour positionner les images corrigées à partir des images effectives le long de l'axe optique principal ; dans ce modèle la [[w:Rétine|rétine]] corrigée serait à <math>\;\dfrac{23\;mm}{1,357} \simeq 17\;mm\;</math> du centre optique de la pseudo lentille.</ref>, le schéma n'étant pas fait à l'échelle : * en rouge on suppose que l'œil [[w:Emmétropie|emmétrope]] n'[[w:Accommodation|accommode]] pas, <br>{{Transparent|en rouge }}le foyer principal image du dioptre sphérique équivalent <math>\;F_{i,\,\text{sans accomm}}</math>, centré sur la [[w:Rétine|rétine]] <ref> Le foyer principal image corrigé de la pseudo lentille <math>\;{F'}_{i,\,\text{sans accomm}}\;</math> est centré sur la [[w:Rétine|rétine]] corrigée c.-à-d. à <math>\;\dfrac{23\;mm}{1,357} \simeq 17\;mm\;</math> au-delà du centre optique de la pseudo lentille.</ref>, est l'image du [[w:Punctum_remotum|PR]] de l'œil, situé à l'infini sur l'axe optique principal, <br>{{Transparent|en rouge }}le foyer principal objet <math>\;F_{o,\,\text{sans accomm}}\;</math> <math>\big(</math>non représenté<math>\big)\;</math> serait situé <math>\;\dfrac{23}{1,357} \simeq 17\;mm\;</math> en deçà du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sphérique équivalent <math>\;\big(</math>ou de la pseudo lentille<ref name="pseudo lentille" />{{,}}<ref name="correction pour pseudo lentille"> On rappelle que la relation de conjugaison de Descartes de la pseudo lentille, avec l'introduction des images corrigées selon <math>\;\overline{S{A'}_{\!i}} =</math> <math>\dfrac{\overline{SA_i}}{n_i}</math>, est <math>\;\dfrac{1}{\overline{S{A'}_{\!}i}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}} = V</math>.</ref>{{,}}<ref> Ceci ayant pour conséquence que le foyer principal objet <math>\;F_{o,\,\text{sans accomm}}\;</math> de la pseudo lentille est symétrique, relativement au centre optique <math>\;S\;</math> de cette dernière, du foyer principal image corrigé <math>\;{F'}_{\!i,\,\text{sans accomm}}\;</math> de la pseudo lentille.</ref><math>\big)</math> ; * en bleu on suppose que l'œil [[w:Emmétropie|emmétrope]] [[w:Accommodation|accommode]] au maximum, <br>{{Transparent|en bleu }}le foyer principal image du dioptre sphérique équivalent <math>\;F_{i,\,\text{avec accomm max}}</math>, situé <math>\;1,5\;mm\;</math> en deçà de la [[w:Rétine|rétine]] <ref> Le foyer principal image corrigé de la pseudo lentille <math>\;{F'}_{i,\,\text{avec accomm max}}\;</math> est situé <math>\;\dfrac{1,5\;mm}{1,357} \simeq 1,1\;mm\;</math> en deçà de la [[w:Rétine|rétine]] corrigée c.-à-d. à <math>\;\dfrac{21,5\;mm}{1,357} \simeq 15,9\;mm\;</math> au-delà du centre optique de la pseudo lentille.</ref>, est l'image du [[w:Punctum_proximum|PP]] de l'œil, situé à <math>\;d_{\text{min}} =</math> <math>25\;cm\;</math> sur l'axe optique principal en deçà du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sphérique équivalent, <br>{{Transparent|en bleu }}le foyer principal objet <math>\;F_{o,\,\text{avec accomm max}}\;</math> <math>\big(</math>non représenté<math>\big)\;</math> serait situé <math>\;\dfrac{21,5}{1,357} \simeq 15,9\;mm\;</math> en deçà du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sphérique équivalent <math>\;\big(</math>ou de la pseudo lentille<ref name="pseudo lentille" />{{,}}<ref name="correction pour pseudo lentille" />{{,}}<ref> Ceci ayant pour conséquence que le foyer principal objet <math>\;F_{o,\,\text{avec accomm max}}\;</math> de la pseudo lentille est symétrique, relativement au centre optique <math>\;S\;</math> de cette dernière, du foyer principal image corrigé <math>\;{F'}_{\!i,\,\text{avec accomm max}}\;</math> de la pseudo lentille.</ref><math>\big)</math>. == Limite de résolution angulaire de l'œil == === Condition pour que deux images ponctuelles sur la rétine soient séparées === {{Al|5}}La structure granulaire limite la capacité de l’œil à distinguer des détails. En effet, si la distance de deux images ponctuelles sur la [[w:Rétine|rétine]] est trop faible, une seule cellule est impressionnée et le cerveau ne fait aucune différence entre ces deux points. {{Al|5}}« Pour une séparation des points objet faite sans ambiguïté, il faut que les images ponctuelles correspondantes se forment sur deux cellules séparées par une 3^ème » <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Pour une séparation des points objet faite sans ambiguïté, }}ce qui correspond, en notant «<math>\;g\;</math> le diamètre d'une cellule », et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Pour une séparation des points objet faite sans ambiguïté, ce qui correspond, }}en supposant « les images ponctuelles centrées sur les cellules qu'elles impressionnent », <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Pour une séparation des points objet faite sans ambiguïté, ce qui correspond, }}à une « <u>distance séparant les images ponctuelles correspondantes de</u><math>\;\dfrac{g}{2} + g + \dfrac{g}{2} = 2\;g\;</math>» ; {{Al|5}}nous adoptons donc le critère moyen<ref> Qualificatif « moyen » car ce critère suppose que les images ponctuelles sont centrées sur les cellules qu'elles impressionnent ; dans le cas où ce ne serait pas le cas, le critère peut être trop ou pas assez restrictif.</ref> suivant de séparation des points image sur la [[w:Rétine|rétine]] : {{Al|5}}en conclusion : si « la distance séparant les points image sur la [[w:Rétine|rétine]] est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;g\;</math>», les points image impressionnent la même cellule ou deux cellules voisines et ils <u>ne sont pas séparables</u> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|en conclusion : si « la distance séparant les points image sur la rétine est }}<math>\;\gtrsim\;</math> à <math>\;2\;g\;</math>», les points image impressionnent deux cellules séparées par au moins une 3^ème et ils <u>sont séparables</u>. === Axes optiques secondaires de l'œil de Listing === {{Al|5}}Un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> de l'œil de Listing<ref name="Listing" /> est l'association * d'un rayon incident passant par le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sphérique équivalent <math>\;\big(</math>ou par le centre optique <math>\;S\;</math> de la pseudo lentille<ref name="pseudo lentille" /><math>\big)\;</math> incliné d'un angle <math>\;\varepsilon_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et * du rayon émergent associé, incliné d'un angle <math>\;\varepsilon_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Un axe optique secondaire <math>\;\color{transparent}{\delta}\;</math> }}les deux angles d'inclinaison obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes"> '''[[w:Willebrord_Snell|Willebrord Snell Van Royen]] ou Snellius (1580 - 1626)''' humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes <math>\;\big(</math>sans que ce soit {{Nobr|assuré<math>\big)</math>.}} <br>{{Al|3}}'''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> de la réfraction<ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> appliquée aux petits angles<ref name="2ème loi de Kepler de la réfraction"> Ou 2^ème loi de Kepler de la réfraction, on rappelle que les angles étant petits, la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction se réécrit en omettant les sinus <math>\;\big(</math>relation approchée de Kepler<math>\big)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Kepler]] (1571 - 1630)''' <math>\;\big[</math>ou '''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Keppler]]'''<math>\big]\;</math> astronome allemand, surtout connu pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]] (1473 - 1543)''' <math>\;\big[</math>chanoine, médecin et astronome polonais<math>\big]\;</math> et avoir découvert que les planètes suivent une trajectoire elliptique autour du Soleil <math>\big[</math>c'est lors de l'étude de l'orbite de Mars qu'il voit la nécessité de se pencher sur l'optique à cause de la réfraction atmosphérique<math>\big]</math>.</ref> soit «<math>\;\varepsilon_o = n_i\;\varepsilon_i\;</math> avec <math>\;n_i = 1,357\;</math>» ; <div style="text-align: center;"> <gallery mode="packed" heights="420px"> Œil de Listing - axe optique secondaire.jpg|Coupe du modèle de Listing<ref name="Listing" /> d'un œil [[w:Emmétropie|emmétrope]] avec axe optique secondaire, position <math>\;\big(</math>en rouge<math>\big)\;</math> de son foyer secondaire image sans [[w:Accommodation|accommodation]] associée à son [[w:Punctum_remotum|PR]], position <math>\;\big(</math>en bleu<math>\big)\;</math> de son foyer secondaire image avec [[w:Accommodation|accommodation]] maximale associée à son [[w:Punctum_proximum|PP]] </gallery> </div> {{Al|5}}ci-dessus « l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> représenté est écarté de l'angle minimal par rapport à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math>» tel que « les impacts sur la [[w:Rétine|rétine]] de <math>\;(\delta)\;</math> et de <math>\;\Delta\;</math> sont séparés de <math>\;2\;g\;</math>»<ref> <math>\;g\;</math> étant le diamètre d'une cellule de la [[w:Rétine|rétine]].</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-dessus « l'axe optique secondaire <math>\;\color{transparent}{(\delta)}\;</math> représenté est écarté de l'angle minimal par rapport à l'axe optique principal <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math>» tel que }}« condition minimale de séparation des deux images ponctuelles ». === Notion de limite de résolution angulaire de l'œil === {{Al|5}}La « [[w:Pouvoir de résolution#Pouvoir de résolution de la vision humaine|limite de résolution angulaire]] de l'œil est la valeur minimale de <math>\;\varepsilon_o</math>, angle entre un axe optique secondaire et l'axe optique principal<ref> Ou la valeur minimale de <math>\;\varepsilon_o</math>, angle séparant deux axes optiques secondaires.</ref> pour que les deux impacts sur la [[w:Rétine|rétine]] soient séparables »<ref> En France les opticiens utilisent préférentiellement l'[[w:Acuité_visuelle#Le_minimum_séparable|acuité visuelle]] <math>\;AV\;</math> de l'œil exprimée en « dixièmes d'[[w:Acuité_visuelle#Le_minimum_séparable|acuité]] », le lien entre <math>\;AV\;</math> et la [[w:Pouvoir de résolution#Pouvoir de résolution de la vision humaine|limite de résolution angulaire]] <math>\;\varepsilon_{o,\,\text{min}}\;</math> en <math>\;'\;\text{d'angle}\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\varepsilon_{o,\,\text{min}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{AV}\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi «<math>\;AV = 10/10\;</math> c.-à-d. <math>\;10\;</math> dixièmes d'[[w:Acuité_visuelle#Le_minimum_séparable|acuité]] » correspond à une « [[w:Pouvoir de résolution#Pouvoir de résolution de la vision humaine|limite de résolution angulaire]] <math>\;\varepsilon_{o,\,\text{min}} = 1'\;\text{d'angle}\;</math>» et une « [[w:Acuité_visuelle#Le_minimum_séparable|acuité visuelle]] de <math>\;2,5\;</math> dixièmes ou <math>\;AV</math> <math>= 2,5/10\;</math>» correspond à une « [[w:Pouvoir de résolution#Pouvoir de résolution de la vision humaine|limite de résolution angulaire]] <math>\;\varepsilon_{o,\,\text{min}} = 4'\;\text{d'angle}\;</math>»<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}on rappelle qu'il y a «<math>\;60\;'\;\text{d'angle}\;</math> dans <math>\;1\;\text{°}\;</math>».</ref>. {{Al|5}}Sachant que le « diamètre moyen d'un [[w:Cône_(photorécepteur)|cône]] est <math>\;g = 4\;\mu m\;</math>», on en déduit «<math>\;\varepsilon_{i,\, \text{min}} \simeq \dfrac{2\;g}{f_{i,\,\text{sans accomm}}} = \dfrac{2 \times 4\; 10^{-3}}{23} \simeq 3,5\; 10^{-4}\;rad \simeq 1,2\;'\;\text{d'angle}\;</math>»<ref> « Une minute d'angle <math>\;1\;'\;\text{d'angle}\;</math> étant <math>\;=\;</math> à <math>\;\left( \dfrac{1}{60} \right)\!\!\!\!\color{white}\dfrac{\color{black}\text{°}\color{white}}{}\color{black}\;</math>».</ref>, et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sachant que le « diamètre moyen d'un cône est <math>\;\color{transparent}{g = 4\;\mu m}\;</math>», on en déduit }}la « [[w:Pouvoir de résolution#Pouvoir de résolution de la vision humaine|limite de résolution angulaire]] de l'œil <math>\;\varepsilon_{o,\,\text{min}} = n_i\;\varepsilon_{i,\,\text{min}} \simeq 1,357 \times 3,5\; 10^{-4}\;rad</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sachant que le « diamètre moyen d'un cône est <math>\;\color{transparent}{g = 4\;\mu m}\;</math>», on en déduit la « limite de résolution angulaire de l'œil <math>\;\color{transparent}{\varepsilon_{o,\,\text{min}}}</math> }}<math>\simeq 4,72\; 10^{-4}\;rad \simeq 1,6\;'\;\text{d'angle}\;</math>» ; <div style="text-align: center;">en conclusion la « [[w:Pouvoir de résolution#Pouvoir de résolution de la vision humaine|limite de résolution angulaire]] d'un œil [[w:Emmétropie|emmétrope]] est <math>\simeq 1,6\;'\;\text{d'angle}\;</math>»<ref name="ordre de grandeur"> Ou, en ordre de grandeur, «<math>\;1,5\;'\;\text{d'angle}\;</math>».</ref>{{,}}<ref> Il s'agit d'une valeur moyenne, on rencontre assez souvent la valeur simplifiée de <math>\;1\; '\;\text{d'angle}\;</math> comme [[w:Pouvoir de résolution#Pouvoir de résolution de la vision humaine|limite de résolution angulaire]] de l'œil.</ref>.</div> === Distance angulaire minimale entre deux étoiles permettant de les distinguer à l'œil nu === {{Al|5}}La « distance angulaire minimale entre deux étoiles permettant de les distinguer à l'œil nu est, par définition, la [[w:Pouvoir de résolution#Pouvoir de résolution de la vision humaine|limite de résolution angulaire]] de l'œil soit <math>\;\varepsilon_{o,\,\text{min}} \simeq 1,6\;'\;\text{d'angle}\;</math>»<ref name="ordre de grandeur" /> ; <br>{{Al|5}}on peut soi-même <math>\;\big(</math>de façon très élémentaire<math>\big)\;</math> vérifier l’ordre de grandeur de cette distance angulaire minimale <math>\;\big(</math>ou de la [[w:Pouvoir de résolution#Pouvoir de résolution de la vision humaine|limite de résolution angulaire]] de l'œil<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|on peut soi-même <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>de façon très élémentaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> vérifier l’ordre de grandeur }}en divisant le [[w:Taille_apparente|diamètre apparent]]<ref name="diamètre apparent"> C.-à-d. l'angle entre les droites qui relient les extrémités de l'objet et l'observateur, encore appelé [[w:Taille_apparente|taille apparente]].</ref> de la [[w:Lune|Lune]] <math>\;\big(\!\simeq\;31\; '\;\text{d'angle}\big)</math>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|on peut soi-même <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>de façon très élémentaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> vérifier l’ordre de grandeur en divisant le diamètre apparent de la Lune }}par le nombre d’éléments <math>\big(</math>une vingtaine<math>\big)\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|on peut soi-même <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>de façon très élémentaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> vérifier l’ordre de grandeur en divisant le diamètre apparent de la Lune par le nombre d’éléments }}que l’on peut distinguer sur l’un de ses diamètres. === Distance minimale séparant deux points placés au PP de l'œil pour les distinguer à l'œil nu === {{Al|5}}« Deux points objet situés au [[w:Punctum_proximum|PP]] de l'œil sont séparables si leur distance mutuelle est <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;d_{\text{min}}\; \varepsilon_{o,\,\text{min}}\;</math>»<ref> La [[w:Pouvoir de résolution#Pouvoir de résolution de la vision humaine|limite de résolution angulaire]] de l'œil dans cette formule doit être en <math>\;rad</math>.</ref> où «<math>\;d_{\text{min}} \simeq 25\; cm\;</math> est la distance minimale de vision distincte »<ref name="valeur moyenne de la distance minimale de vision distincte" /> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Deux points objet situés au PP de l'œil sont séparables }}pour une « distance mutuelle minimale de <math>\;0,25 \times 4,7\; 10^{-4}\;</math> en <math>\;m\;</math><ref> Valeur de <math>\;\varepsilon_{o,\,\text{min}}\;</math> en <math>\;rad\;</math> voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_l'œil#Notion_de_limite_de_résolution_angulaire_de_l'œil|notion de limite de résolution angulaire de l'œil]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> donnant <math>\;1,2\; 10^{-4}\;m \simeq 120\; \mu m\;</math>» ; <div style="text-align: center;">en conclusion « deux points objets situés au [[w:Punctum_proximum|PP]] de l'œil sont séparables si leur distance mutuelle est au moins de <math>\;0,1\;mm\;</math>»<ref> En effet, en utilisant <math>\;\varepsilon_{o,\,\text{min}} \simeq 1,5\;'\;\text{d'angle}\;</math> soit <math>\;\varepsilon_{o,\,\text{min}} \simeq 1,5 \times \dfrac{\pi}{60 \times 180} \simeq 4,4\; 10^{-4}\;rad</math>, on obtient une distance minimale de <math>\;0,25 \times 4,4\; 10^{-4}\;m \simeq 1,1\; 10^{-4}\;m \simeq 110\; \mu m\;</math> que l'on peut arrondir à <math>\;100\;\mu m</math>.</ref>{{,}}<ref> Cette distance correspond aussi à « deux points positionnés à <math>\;1\; m\;</math> de l'œil séparés de <math>\;0,4\; mm\;</math>» ou à « deux points séparés de <math>\;1\; mm\;</math> et positionnés à <math>\;2,5\; m\;</math> de l'œil ». <br>{{Al|3}}Conventionnellement, un œil a une [[w:Acuité_visuelle#Le_minimum_séparable|acuité visuelle]] de <math>\;10\;</math> dixièmes, s'il fait la résolution de deux points séparés de <math>\;1\; mm\;</math> et positionnés à <math>\;3,4\; m\;</math> ce qui présuppose une [[w:Pouvoir de résolution#Pouvoir de résolution de la vision humaine|limite de résolution angulaire]] de <math>\;\dfrac{10^{-3}}{3,4} \simeq 2,9\;10^{-4}\;rad \simeq 1\;'\;\text{d'angle}</math>.</ref>.</div> == Compléments, principaux défauts de l'œil == {{Al|5}}Il existe plusieurs défauts bien connus de l’œil, appelés « [[w:Troubles_de_la_réfraction|amétropies]] ». Les plus répandus sont la « [[w:Myopie|myopie]] », l’« [[w:Hypermétropie|hypermétropie]] », la « [[w:Presbytie|presbytie]] » et l’« [[w:Astigmatisme_(médecine)|astigmatisme]] ». === La myopie === [[File:Œil myope non corrigé.jpg|thumb|370px|Positionnement du foyer principal image d'un œil [[w:Myopie|myope]] n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas ainsi que de son [[w:Punctum_remotum|punctum remotum]] <math>\;\big(</math>[[w:Punctum_remotum|PR]]<math>\big)\;</math> dans le cas où il n'[[w:Accommodation|accommode]] pas]] {{Al|5}}Un œil « [[w:Myopie|myope]] » est « trop convergent ou trop profond » <ref> Ce sont les deux principales causes de [[w:Myopie|myopie]], la plus fréquente étant que l'œil est trop long <math>\;\big(</math>la distance séparant la « pseudo lentille » modélisant l'association « dioptres sphériques - [[w:Cristallin|cristallin]] » et la [[w:Rétine|rétine]] étant supérieure à <math>\;23\; mm\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce sont les deux principales causes de myopie, }}la 2^ème cause correspondant à une « pseudo lentille » trop convergente pouvant résulter d'un excès de courbure de la [[w:Cornée|cornée]] ou du [[w:Cristallin|cristallin]] ; <br>{{Al|3}}parmi les autres causes de [[w:Myopie|myopie]] citons un « indice de [[w:Cristallin|cristallin]] trop grand » induisant une <math>\;\nearrow\;</math> de l'indice de l'espace image de la « pseudo lentille » et par suite une <math>\;\nearrow\;</math> de la vergence <math>\;\bigg[</math>la vergence d'un dioptre sphérique <math>\;\big(</math>et par conséquent de la pseudo lentille modélisant le dioptre sphérique équivalent<math>\big)\;</math> valant <math>\;V = \dfrac{n_i - 1}{\overline{R}}\;</math> voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_dioptre_sphérique_(concave_convergent)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché d'un dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_et_aplanétisme_approchés_d'un_dioptre_sphérique_sous_conditions_de_Gauss|Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss]] » de la série <math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\bigg]</math>, ce type de [[w:Myopie|myopie]] étant qualifiée « d'indice ».</ref> ; {{Al|5}}quel que soit le type de [[w:Myopie|myopie]], quand l'œil n'[[w:Accommodation|accommode]] pas, « un faisceau <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> converge en un point image <math>\;F_{i,\,\text{sans accomm}}\;</math> situé en deçà de la [[w:Rétine|rétine]] » <ref> Cela est évident si l'œil est trop profond, la vergence de la « pseudo lentille » restant égale à celle d'un œil [[w:Emmétropie|emmétrope]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. normal<math>\big)</math> ; si la [[w:Myopie|myopie]] correspond à un excès de courbure ou dans le cas d'une [[w:Myopie|myopie]] d'indice, la vergence de la « pseudo lentille » <math>\;\nearrow\;</math> <math>\big(</math>plus exactement la vergence sans [[w:Accommodation|accommodation]] <math>\;V_{\text{min}}\;</math> <math>\nearrow\;</math> devenant <math>\;>\;</math> à <math>\;59\; \delta\;</math> et celle avec [[w:Accommodation|accommodation]] maximale <math>\;V_{\text{max}}\;</math> aussi devenant <math>\;>\;</math> à <math>\;63\; \delta\big)\;</math> et la distance focale image <math>\;f_i = \dfrac{n_i}{V}\;</math> se réécrivant avec l'expression de la vergence du dioptre sphérique équivalent <math>\;V = \dfrac{n_i - 1}{\overline{R}}\;</math> selon <math>\;f_i = \dfrac{n_i}{n_i - 1}\;\overline{R}</math> <math>= \left( 1 + \dfrac{1}{n_i - 1} \right) \overline{R}</math>, <math>\;\searrow\;</math> car <math>\;\overline{R}\;\searrow\;</math> à indice constant dans le cas d'un excès de courbure ou car <math>\;n_i\;\nearrow\;</math> à courbure constante dans le cas d'une [[w:Myopie|myopie]] d'indice.</ref> établissant que le [[w:Punctum_remotum|punctum remotum]] <math>\;\big(</math>[[w:Punctum_remotum|PR]]<math>\big)\;</math> d'un œil [[w:Myopie|myope]] n'est pas le point à l'infini de <math>\;\Delta\;</math> mais un point réel de <math>\;\Delta\;</math> à distance finie du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sphérique équivalent <math>\;\big(</math>ou encore à distance finie du centre optique <math>\;S\;</math> de la pseudo lentille<ref name="pseudo lentille" /><math>\big)\;</math><ref> En effet si nous supposons que la [[w:Myopie|myopie]] est due à une trop grande convergence de l'œil n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas, par exemple <math>\;V_{\text{min},\,\text{myopie}} = 59,5\;\delta\; >\;</math> à <math>\;V_{\text{min},\,\text{norm}} = 59\;\delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,\text{myopie},\,\text{sans accomm}}</math> <math>= \dfrac{n_i}{V_{\text{min},\,\text{myopie}}} = \dfrac{1,357}{59,5}\;m \simeq 22,807\;mm\;</math> au lieu de <math>\;23\;mm\;</math> et l'application de la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes positionne le [[w:Punctum_remotum|PR]] comme conjugué par la pseudo lentille du point <math>\;A_{i,\,\text{rétine}}\;</math> de la [[w:Rétine|rétine]] soit <math>\;V_{\text{min},\,\text{myopie}}</math> <math>= \dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} - \dfrac{1}{p_{o,\,PR}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{1}{p_{o,\,PR}} = \dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} - V_{\text{min},\,\text{myopie}} = \dfrac{n_i - V_{\text{min},\,\text{myopie}}\;p_{i,\,\text{rétine}}}{p_{i,\,\text{rétine}}}\;</math> dont on déduit <math>\;p_{o,\,PR} =</math> <math>\dfrac{p_{i,\,\text{rétine}}}{n_i - V_{\text{min},\,\text{myopie}}\;p_{i,\,\text{rétine}}}\;</math> soit numériquement <math>\;p_{o,\,PR} =</math> <math>\dfrac{23\;10^{-3}}{1,357 - 59,5 \times 23\; 10^{-3}} = -2\;m\;</math> plaçant le [[w:Punctum_remotum|PR]] <math>\;2\;m\;</math> en deçà de l'œil [[w:Myopie|myope]] ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}si nous supposons que la [[w:Myopie|myopie]] est due à une trop grande profondeur de l'œil n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas, par exemple <math>\;23,2\;mm</math>, la vergence de l'œil [[w:Myopie|myope]] n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas étant <math>\;V_{\text{min}} = 59\;\delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,\text{sans accomm}} = 23\;mm</math>, l'application de la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes positionne le [[w:Punctum_remotum|PR]] comme conjugué par la pseudo lentille du point <math>\;A_{i,\,\text{rétine}}\;</math> de la [[w:Rétine|rétine]] soit <math>\;V_{\text{min}} = \dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} - \dfrac{1}{p_{o,\,PR}}\;</math> <math>\ldots\;\Rightarrow</math> <math>\;p_{o,\,PR} =</math> <math>\dfrac{p_{i,\,\text{rétine}}}{n_i - V_{\text{min}}\;p_{i,\,\text{rétine}}}\;</math> et numériquement <math>\;p_{o,\,PR} = \dfrac{23,2\;10^{-3}}{1,357 - 59 \times 23,2\; 10^{-3}} \simeq -1,97\;m\;</math> plaçant le [[w:Punctum_remotum|PR]] <math>\;2\;m\;</math> en deçà de l'œil [[w:Myopie|myope]].</ref> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> ; de même {{Al|5}}{{Transparent|quel que soit le type de myopie, }}quand un œil [[w:Myopie|myope]] [[w:Accommodation|accommode]] au maximum, son [[w:Punctum_proximum|punctum proximum]] <math>\;\big(</math>[[w:Punctum_proximum|PP]]<math>\big)\;</math> est situé plus près du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sphérique équivalent <math>\;\big(</math>ou encore plus près du centre optique <math>\;S\;</math> de la pseudo lentille<ref name="pseudo lentille" /><math>\big)\;</math> que celui d'un œil [[w:Emmétropie|emmétrope]] <math>\;\big(</math>c'est-à-dire normal<math>\big)\;</math><ref> En effet si nous supposons que la myopie est due à une trop grande convergence de l'œil [[w:Accommodation|accommodant]] au maximum, par exemple <math>\;V_{\text{max},\,\text{myopie}} =</math> <math>63,5\;\delta\; >\; V_{\text{max},\,\text{norm}} = 63\;\delta\;</math> dont nous déduisons <math>\;f_{i,\,\text{myopie},\,\text{avec accomm max}} = \dfrac{n_i}{V_{\text{max},\,\text{myopie}}} = \dfrac{1,357}{63,5}\;m \simeq 21,370\;mm\;</math> <math>\big(</math>au lieu de <math>\;21,540\;mm\;</math> pour un œil normal<math>\big)\;</math> et l'application de la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes positionne le [[w:Punctum_proximum|PP]] comme conjugué par la pseudo lentille du point <math>\;A_{i,\,\text{rétine}}\;</math> de la [[w:Rétine|rétine]] soit <math>\;V_{\text{max},\,\text{myopie}} = \dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} - \dfrac{1}{p_{o,\,PP}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{1}{p_{o,\,PP}} = \dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} - V_{\text{max},\,\text{myopie}} =</math> <math>\dfrac{n_i - V_{\text{max},\,\text{myopie}}\;p_{i,\,\text{rétine}}}{p_{i,\,\text{rétine}}}\;</math> dont on déduit <math>\;p_{o,\,PP} = \dfrac{p_{i,\,\text{rétine}}}{n_i - V_{\text{max},\,\text{myopie}}\;p_{i,\,\text{rétine}}} = \dfrac{23\;10^{-3}}{1,357 - 63,5 \times 23\; 10^{-3}} \simeq -0,222\;m\;</math> plaçant le [[w:Punctum_proximum|PP]] <math>\;22\;cm\;</math> en deçà de l'œil [[w:Myopie|myope]] au lieu de <math>\;25\;cm</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}si nous supposons que la [[w:Myopie|myopie]] est due à trop grande profondeur de l'œil n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas, par exemple <math>\;23,2\;mm</math>, la vergence de l'œil [[w:Myopie|myope]] [[w:Accommodation|accommodant]] au maximum étant <math>\;V_{\text{max}}</math> <math>= 63\;\delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,\text{avec accomm max}} = 21,37\;mm</math>, l'application de la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes positionne le [[w:Punctum_proximum|PP]] comme conjugué par la pseudo lentille du point <math>\;A_{i,\,\text{rétine}}\;</math> de la [[w:Rétine|rétine]] soit <math>\;V_{\text{max}} = \dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} - \dfrac{1}{p_{o,\,PP}}\;</math> <math>\ldots\;\Rightarrow</math> <math>\;p_{o,\,PP} = \dfrac{p_{i,\,\text{rétine}}}{n_i - V_{\text{max}}\;p_{i,\,\text{rétine}}}\;</math> et numériquement <math>\;p_{o,\,PP} = \dfrac{23,2\;10^{-3}}{1,357 - 63 \times 23,2\; 10^{-3}} \simeq -0,222\;m\;</math> plaçant le [[w:Punctum_proximum|PP]] <math>\;22\;cm\;</math> en deçà de l'œil [[w:Myopie|myope]] au lieu de <math>\;25\;cm</math>.</ref>, schéma de situation non représenté. === L'hypermétropie === [[File:Œil hypermétrope non corrigé.jpg|thumb|left|450px|Positionnement du foyer principal image d'un œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas ainsi que de son [[w:Punctum_remotum|punctum remotum]] ([[w:Punctum_remotum|PR]]) dans le cas où il n'[[w:Accommodation|accommode]] pas]] {{Al|5}}Un œil « [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] » est « à convergence trop faible ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un œil « hypermétrope » est « à convergence }}trop courte » ; {{Al|5}}quel que soit le type d'[[w:Hypermétropie|hypermétropie]], quand l'œil n'[[w:Accommodation|accommode]] pas, un faisceau <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> converge en un point image <math>\;F_{i,\,\text{sans accomm}}\;</math> situé au-delà de la [[w:Rétine|rétine]] <ref> Cela est évident si l'œil est trop court, la vergence de la « pseudo lentille » restant égale à celle d'un œil [[w:Emmétropie|emmétrope]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. normal<math>\big)</math> ; si l'[[w:Hypermétropie|hypermétropie]] correspond à un défaut de courbure, la vergence de la « pseudo lentille » <math>\;\searrow\;</math> <math>\big(</math>plus exactement la vergence sans [[w:Accommodation|accommodation]] <math>\;V_{\text{min}}\;</math> <math>\searrow\;</math> devenant <math>\;<\;</math> à <math>\;59\; \delta\;</math> et celle avec [[w:Accommodation|accommodation]] maximale <math>\;V_{\text{max}}\;</math> aussi devenant <math>\;<\;</math> à <math>\;63\; \delta\big)\;</math> et la distance focale image <math>\;f_i = \dfrac{n_i}{V}\;</math> se réécrivant avec l'expression de la vergence du dioptre sphérique équivalent <math>\;V = \dfrac{n_i - 1}{\overline{R}}\;</math> selon <math>\;f_i = \dfrac{n_i}{n_i - 1}\;\overline{R}</math> <math>= \left( 1 + \dfrac{1}{n_i - 1} \right) \overline{R}</math>, <math>\;\nearrow\;</math> car <math>\;\overline{R}\;\nearrow\;</math> à indice constant dans le cas d'un défaut de courbure.</ref> établissant que le [[w:Punctum_remotum|punctum remotum]] <math>\;\big(</math>[[w:Punctum_remotum|PR]]<math>\big)\;</math> d'un œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] n'est pas le point à l'infini de <math>\;\Delta\;</math> mais un point virtuel de <math>\;\Delta\;</math> à distance finie au-delà du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sphérique équivalent <math>\;\big(</math>ou à distance finie au-delà du centre optique <math>\;S\;</math> de la pseudo lentille<ref name="pseudo lentille" /><math>\big)\;</math><ref> En effet si nous supposons que l'[[w:Hypermétropie|hypermétropie]] est due à une trop faible convergence de l'œil n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas, par exemple <math>\;V_{\text{min},\,\text{hyperm}} = 58,5\;\delta\; <\;</math> à <math>\;V_{\text{min},\,\text{norm}} = 59\;\delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,\text{hyperm},\,\text{sans accomm}}</math> <math>= \dfrac{n_i}{V_{\text{min},\,\text{hyperm}}} = \dfrac{1,357}{58,5}\;m \simeq 23,197\;mm\;</math> au lieu de <math>\;23\;mm\;</math> et l'application de la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes positionne le [[w:Punctum_remotum|PR]] comme conjugué par la pseudo lentille du point <math>\;A_{i,\,\text{rétine}}\;</math> de la [[w:Rétine|rétine]] soit <math>\;V_{\text{min},\,\text{hyperm}}</math> <math>= \dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} - \dfrac{1}{p_{o,\,PR}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{1}{p_{o,\,PR}} = \dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} - V_{\text{min},\,\text{hyperm}} = \dfrac{n_i - V_{\text{min},\,\text{hyperm}}\;p_{i,\,\text{rétine}}}{p_{i,\,\text{rétine}}}\;</math> dont on déduit <math>\;p_{o,\,PR} =</math> <math>\dfrac{p_{i,\,\text{rétine}}}{n_i - V_{\text{min},\,\text{hyperm}}\;p_{i,\,\text{rétine}}}\;</math> soit numériquement <math>\;p_{o,\,PR} =</math> <math>\dfrac{23\;10^{-3}}{1,357 - 58,5 \times 23\; 10^{-3}} = +2\;m\;</math> plaçant le [[w:Punctum_remotum|PR]] <math>\;\big(</math>virtuel<math>\big)</math> <math>\;2\;m\;</math> au delà de l'œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}si nous supposons que l'[[w:Hypermétropie|hypermétropie]] est due à une trop courte profondeur de l'œil n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas, par exemple <math>\;22,8\;mm</math>, la vergence de l'œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas étant <math>\;V_{\text{min}} = 59\;\delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,\text{sans accomm}} = 23\;mm</math>, l'application de la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes positionne le [[w:Punctum_remotum|PR]] comme conjugué par la pseudo lentille du point <math>\;A_{i,\,\text{rétine}}\;</math> de la [[w:Rétine|rétine]] soit <math>\;V_{\text{min}} = \dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} - \dfrac{1}{p_{o,\,PR}}\;</math> <math>\ldots\;\Rightarrow</math> <math>\;p_{o,\,PR} =</math> <math>\dfrac{p_{i,\,\text{rétine}}}{n_i - V_{\text{min}}\;p_{i,\,\text{rétine}}}\;</math> et numériquement <math>\;p_{o,\,PR} = \dfrac{22,8\;10^{-3}}{1,357 - 59 \times 22,8\; 10^{-3}} \simeq +1,93\;m\;</math> plaçant le [[w:Punctum_remotum|PR]] <math>\;\big(</math>virtuel<math>\big)</math> <math>\;1,9\;m\;</math> au delà de l'œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]].</ref> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> ; de même {{Al|5}}{{Transparent|quel que soit le type d'hypermétropie, }}quand un œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] [[w:Accommodation|accommode]] au maximum, son [[w:Punctum_proximum|punctum proximum]] <math>\;\big(</math>[[w:Punctum_proximum|PP]]<math>\big)\;</math> est situé plus éloigné du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sphérique équivalent <math>\;\big(</math>ou encore plus éloigné du centre optique <math>\;S\;</math> de la {{Nobr|pseudo lentille<ref name="pseudo lentille" /><math>\big)\;</math>}} quel que soit le type d'[[w:Hypermétropie|hypermétropie]], que celui d'un œil [[w:Emmétropie|emmétrope]] <math>\;\big(</math>c'est-à-dire normal<math>\big)\;</math><ref> En effet si nous supposons que l'[[w:Hypermétropie|hypermétropie]] est due à trop faible convergence de l'œil [[w:Accommodation|accommodant]] au maximum, par exemple <math>\;V_{\text{max},\,\text{hyperm}} =</math> <math>62,5\;\delta\; <\; V_{\text{max},\,\text{norm}} = 63\;\delta\;</math> dont nous déduisons <math>\;f_{i,\,\text{hyperm},\,\text{avec accomm max}} = \dfrac{n_i}{V_{\text{max},\,\text{hyperm}}} = \dfrac{1,357}{62,5}\;m \simeq 21,712\;mm\;</math> <math>\big(</math>au lieu de <math>\;21,540\;mm\;</math> pour un œil normal<math>\big)\;</math> et l'application de la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes positionne le [[w:Punctum_proximum|PP]] comme conjugué par la pseudo lentille du point <math>\;A_{i,\,\text{rétine}}\;</math> de la [[w:Rétine|rétine]] soit <math>\;V_{\text{max},\,\text{hyperm}} = \dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} - \dfrac{1}{p_{o,\,PP}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{1}{p_{o,\,PP}} = \dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} - V_{\text{max},\,\text{hyperm}} =</math> <math>\dfrac{n_i - V_{\text{max},\,\text{hyperm}}\;p_{i,\,\text{rétine}}}{p_{i,\,\text{rétine}}}\;</math> dont on déduit <math>\;p_{o,\,PP} = \dfrac{p_{i,\,\text{rétine}}}{n_i - V_{\text{max},\,\text{hyperm}}\;p_{i,\,\text{rétine}}} = \dfrac{23\;10^{-3}}{1,357 - 62,5 \times 23\; 10^{-3}} \simeq -0,286\;m\;</math> plaçant le [[w:Punctum_proximum|PP]] <math>\;29\;cm\;</math> en deçà de l'œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] au lieu de <math>\;25\;cm</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}si nous supposons que l'[[w:Hypermétropie|hypermétropie]] est due à trop faible profondeur de l'œil n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas, par exemple <math>\;22,8\;mm</math>, la vergence de l'œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] [[w:Accommodation|accommodant]] au maximum étant <math>\;V_{\text{max}}</math> <math>= 63\;\delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,\text{avec accomm max}} = 21,37\;mm</math>, l'application de la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes positionne le [[w:Punctum_proximum|PP]] comme conjugué par la pseudo lentille du point <math>\;A_{i,\,\text{rétine}}\;</math> de la [[w:Rétine|rétine]] soit <math>\;V_{\text{max}} = \dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} - \dfrac{1}{p_{o,\,PP}}\;</math> <math>\ldots\;\Rightarrow</math> <math>\;p_{o,\,PP} = \dfrac{p_{i,\,\text{rétine}}}{n_i - V_{\text{max}}\;p_{i,\,\text{rétine}}}\;</math> et numériquement <math>\;p_{o,\,PP} = \dfrac{22,8\;10^{-3}}{1,357 - 63 \times 22,8\; 10^{-3}} \simeq -0,287\;m\;</math> plaçant le [[w:Punctum_proximum|PP]] <math>\;29\;cm\;</math> en deçà de l'œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] au lieu de <math>\;25\;cm</math>.</ref>, schéma de situation non représenté. {{clr}} === Correction de la myopie et de l'hypermétropie === {{Al|5}}On corrige ces défauts à l’aide de verres ou de [[w:Lentille_cornéenne|lentilles cornéennes]] <math>\;\big(</math>voir figures ci-dessous<math>\big)</math>, * « divergents si l’œil est [[w:Myopie|myope]] » et * « convergents si l’œil est [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] » ==== Correction de la myopie ==== <div style="text-align: center;"> <gallery mode="packed" heights="350px"> Œil myope corrigé par verre divergent.jpg|Correction d'un œil [[w:Myopie|myope]] n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas avec un verre divergent conjuguant le point à l'infini et le [[w:Punctum_remotum|punctum remotum]] <math>\;\big(</math>[[w:Punctum_remotum|PR]]<math>\big)\;</math> de l'œil [[w:Myopie|myope]] </gallery> </div> {{Al|5}}<u>Correction d'un œil [[w:Myopie|myope]] n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas avec un verre divergent</u> <math>\;\big(</math>voir la figure ci-dessus<math>\big)</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil myope n'accommodant pas }}<math>\succ\;</math>dans le cas où la [[w:Myopie|myopie]] est due à une vergence trop grande de l'œil n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas {{Nobr|«<math>\;V_{\text{min, myope}} > V_{\text{min, norm}}</math>}} <math>= 59\;\delta\;</math>»<ref name="dioptrie" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil myope n'accommodant pas <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas }}si on accole à l'œil [[w:Myopie|myope]] une lentille divergente de vergence <math>\;V_{\text{lent div}} < 0</math>, la vergence de l'œil [[w:Myopie|myope]] corrigé n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas, égale à {{Nobr|«<math>\;V_{\text{min, myope corr}}</math>}} <math>= V_{\text{min, myope}} + V_{\text{lent div}}\;</math>», est celle d'un œil [[w:Emmétropie|emmétrope]] n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas si «<math>\;V_{\text{lent div}} =</math> <math>V_{\text{min, norm}} - V_{\text{min, myope}} < 0\;</math>»<ref> Dans le cas où la vergence de l'œil [[w:Myopie|myope]] n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas serait «<math>\;V_{\text{min},\,\text{myopie}} = 59,5\;\delta\, >\, V_{\text{min},\,\text{norm}} = 59\;\delta\;</math>», la vergence de la lentille divergente à accoler serait «<math>\;V_{\text{lent div}} =</math> <math>V_{\text{min, norm}} - V_{\text{min, myope}} = -0,5\;\delta\;</math>» pour que le [[w:Punctum_remotum|PR]] de l'œil [[w:Myopie|myope]] corrigé soit à l'infini.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil myope n'accommodant pas }}<math>\succ\;</math>dans le cas où la [[w:Myopie|myopie]] est due à une trop grande profondeur de l'œil, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil myope n'accommodant pas <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas }}la vergence de l'œil [[w:Myopie|myope]] n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas étant «<math>\;V_{\text{min, myope}} = V_{\text{min, norm}} = 59\;\delta\;</math>»<ref name="dioptrie" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f_{i,\,\text{sans accomm}} = 23\;mm\;</math>» mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil myope n'accommodant pas <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas }}la profondeur de l'œil «<math>\;p_{i,\,\text{rétine}}\;</math> étant telle que <math>\;p_{i,\,\text{rétine}}\, >\, f_{i,\,\text{sans accomm}}\;</math>» empêchant le [[w:Punctum_remotum|PR]] de l'œil [[w:Myopie|myope]] d'être à l'infini, il convient, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil myope n'accommodant pas <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas }}pour que le [[w:Punctum_remotum|PR]] de l'œil [[w:Myopie|myope]] corrigé soit à l'infini, d'<math>\nearrow\;</math> la distance focale image sans [[w:Accommodation|accommoder]] <br>{{Transparent|Correction d'un œil myope n'accommodant pas <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas pour que le PR de l'œil myope corrigé soit à l'inf.}}<math>\;\big(</math>ou de <math>\;\searrow\;</math> la vergence sans [[w:Accommodation|accommoder]]<math>\big)\;</math> de ce dernier, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil myope n'accommodant pas <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas pour que le PR de l'œil myope corrigé soit à l'infini, }}ce qui se fait encore en accolant une lentille divergente de vergence <math>\;V_{\text{lent div}} < 0</math>, telle que «<math>\;V_{\text{min, myope corr}} =</math> <math>V_{\text{min, myope}} + V_{\text{lent div}}\;</math>» dont on tire «<math>\;V_{\text{lent div}} =</math> <math>V_{\text{min, myope corr}} - V_{\text{min, myope}} < 0\;</math> car <math>\;V_{\text{min, myope corr}} =</math> <math>\dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} < \dfrac{n_i}{f_{i,\,\text{sans accomm}}} = V_{\text{min, myope}}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil myope n'accommodant pas <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas pour que le PR de l'œil myope corrigé soit à l'infini, }}«<math>\;V_{\text{lent div}} =</math> <math>\dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} - V_{\text{min, myope}}\;</math>»<ref> Dans le cas où « la profondeur de l'œil [[w:Myopie|myope]] serait <math>\;p_{i,\,\text{rétine}} = 23,2\;mm\;</math>», la vergence de la lentille divergente à accoler serait égale à «<math>\;V_{\text{lent div}} = \dfrac{1,357}{23,2\;10^{-3}} - 59 \simeq -0,509\;\delta \simeq</math> {{Nobr|<math>-0,51\;\delta\;</math>».}}</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : L'ajout d'une lentille divergente accolée à un œil [[w:Myopie|myope]] permettant de renvoyer le [[w:Punctum_remotum|PR]] à l'infini, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : L'ajout d'une lentille divergente accolée à un œil myope }}a aussi une action sur le [[w:Punctum_proximum|PP]] de ce dernier lequel, sans lentille additionnelle, est plus proche que celui d'un œil [[w:Emmétropie|emmétrope]]. {{Al|5}}<u>Correction d'un œil [[w:Myopie|myope]] [[w:Accommodation|accommodant]] au maximum avec un verre divergent</u> <math>\;\big(</math>figure non représentée<math>\big)</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil myope accommodant au maximum }}<math>\succ\;</math>dans le cas où la [[w:Myopie|myopie]] est due à une vergence trop grande de l'œil [[w:Accommodation|accommodant]] au maximum «<math>\;V_{\text{max, myope}} > V_{\text{max, norm}}</math> <math>= 63\;\delta\;</math>»<ref name="dioptrie" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil myope accommodant au maximum <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas }}si on accole à l'œil [[w:Myopie|myope]] la même lentille divergente que précédemment de vergence «<math>\;V_{\text{lent div}} = V_{\text{min, norm}} - V_{\text{min, myope}}\;</math>», la vergence de l'œil [[w:Myopie|myope]] corrigé [[w:Accommodation|accommodant]] au maximum, égale à «<math>\;V_{\text{max, myope corr}} = V_{\text{max, myope}} + V_{\text{lent div}} = V_{\text{max, myope}} - V_{\text{min, myope}} + V_{\text{min, norm}}\;</math>», serait celle d'un œil [[w:Emmétropie|emmétrope]] [[w:Accommodation|accommodant]] au maximum <math>\;V_{\text{max, norm}}\;</math> si «<math>\;V_{\text{max, myope}} - V_{\text{min, myope}} = V_{\text{max, norm}} - V_{\text{min, norm}}\;</math>»<ref> Ce qui est le cas dans l'exemple que nous avons considéré jusqu'à présent avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}V_{\text{max},\,\text{myopie}} = 63,5\;\delta\\ V_{\text{min},\,\text{myopie}} = 59,5\;\delta \end{array}\right\rbrace\;</math> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}V_{\text{max},\,\text{norm}} = 63\;\delta\\ V_{\text{min},\,\text{norm}} = 59\;\delta \end{array}\right\rbrace\;</math> mais ce n'est pas toujours le cas ; <br>{{Al|3}}par exemple, dans le cas suivant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}V_{\text{max},\,\text{myopie}} = 64\;\delta\\ V_{\text{min},\,\text{myopie}} = 59,5\;\delta \end{array}\right\rbrace</math>, il faudrait remplacer la lentille divergente de <math>\;-0,5\;\delta\;</math> pour la vision de loin par une lentille divergente de <math>\;-1\;\delta\;</math> pour la vision de près.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil myope accommodant au maximum }}<math>\succ\;</math>dans le cas où la [[w:Myopie|myopie]] est due à une trop grande profondeur de l'œil, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil myope accommodant au maximum <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas }}la vergence de l'œil [[w:Myopie|myope]] [[w:Accommodation|accommodant]] au maximum étant «<math>\;V_{\text{max, myope}} =</math> <math>V_{\text{max, norm}} = 63\;\delta\;</math>»<ref name="dioptrie" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil myope accommodant au maximum <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas }}la profondeur de l'œil «<math>\;p_{i,\,\text{rétine}}\, >\, p_{i,\,\text{rétine, norm}}\;</math>» rapprochant le [[w:Punctum_proximum|PP]] de l'œil [[w:Myopie|myope]] de ce dernier relativement à un œil [[w:Emmétropie|emmétrope]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>le}} [[w:Punctum_proximum|PP]] étant le conjugué par le dioptre sphérique équivalent <math>\;\big(</math>ou par la pseudo lentille<ref name="pseudo lentille" /><math>\big)\;</math> du point de la rétine sur l'axe optique principal<math>\big]\;</math> soit «<math>\;d_{\text{min, myope}} < d_{\text{min, norm}}\;</math>», il convient, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil myope accommodant au maximum <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas }}pour que le [[w:Punctum_proximum|PP]] de l'œil [[w:Myopie|myope]] corrigé soit au même endroit que le [[w:Punctum_proximum|PP]] d'un œil [[w:Emmétropie|emmétrope]], <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil myope accommodant au maximum <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas pour que le PP de l'œil myope corrigé soit au même endroit }}d'<math>\nearrow\;</math> la distance focale image avec [[w:Accommodation|accommodation]] maximale <br>{{Transparent|Correction d'un œil myope accommodant au maximum <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas pour que le PP de l''œil myope corrigé soit au même endr.}}<math>\;\big(</math>ou de <math>\;\searrow\;</math> la vergence avec [[w:Accommodation|accommodation]] maximale<math>\big)\;</math> de ce dernier, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil myope accommodant au maximum <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas pour que le PP de l'œil myope corrigé soit au même endroit }}ce qui se fait encore en accolant une lentille divergente de vergence <math>\;V_{\text{lent div}} < 0</math>, telle que «<math>\;V_{\text{max, myope corr}} =</math> <math>V_{\text{max, myope}} + V_{\text{lent div}}\;</math>» dont on tire «<math>\;V_{\text{lent div}} = V_{\text{max, myope corr}} - V_{\text{max, myope}} < 0\;</math>» car les vergences de l'œil [[w:Myopie|myope]] corrigé ou non <math>\;\big(</math>[[w:Accommodation|accommodant]] au maximum<math>\big)\;</math> sont égales à <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}V_{\text{max, myope corr}} = \dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} - \dfrac{1}{p_{o,\,\text{PP, myope corr}}} = \dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} - \dfrac{1}{-d_{\text{min, norm}}}\\ V_{\text{max, myope}} = \dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} - \dfrac{1}{p_{o,\,\text{PP, myope}}} = \dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} - \dfrac{1}{-d_{\text{min, myope}}}\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où, avec <math>\;d_{\text{min, myope}} < d_{\text{min, norm}}\!</math>, «<math>\;V_{\text{max, myope}} > V_{\text{max, myope corr}}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil myope accommodant au maximum <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas pour que le PP de l'œil myope corrigé soit au même endroit }}«<math>\;V_{\text{lent div}} = \dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} + \dfrac{1}{d_{\text{min, norm}}} - V_{\text{max, myope}}\;</math>»<ref> Dans le cas où la profondeur de l'œil [[w:Myopie|myope]] serait <math>\;p_{i,\,\text{rétine}} = 23,2\;mm</math>, la vergence de la lentille divergente à accoler serait égale à <math>\;V_{\text{lent div}} = \dfrac{1,357}{23,2\;10^{-3}} + \dfrac{1}{0,25} - 63 \simeq -0,509\;\delta \simeq</math> <math>-0,51\;\delta</math> <math>\;\big(</math>il s'agit donc de la même lentille divergente que celle nécessaire pour éloigner à l'infini le [[w:Punctum_remotum|PR]] de l'œil [[w:Myopie|myope]]<math>\big)</math>.</ref>. ==== Correction de l'hypermétropie ==== <div style="text-align: center;"> <gallery mode="packed" heights="350px"> Œil hypermétrope corrigé par verre convergent.jpg|Correction d'un œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas avec un verre convergent conjuguant le point à l'infini et le [[w:Punctum_remotum|punctum remotum]] <math>\;\big(</math>[[w:Punctum_remotum|PR]]<math>\big)\;</math> de l'œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] </gallery> </div> {{Al|5}}<u>Correction d'un œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas avec un verre convergent</u> <math>\;\big(</math>voir la figure ci-dessus<math>\big)</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil hypermétrope n'accommodant pas }}<math>\succ\;</math>dans le cas où l'[[w:Hypermétropie|hypermétropie]] est due à une vergence trop faible de l'œil n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas {{Nobr|«<math>\;V_{\text{min, hyperm}} < V_{\text{min, norm}}</math>}} <math>= 59\;\delta\;</math>»<ref name="dioptrie" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil hypermétrope n'accommodant pas <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas }}si on accole à l'œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] une lentille convergente de vergence <math>\;V_{\text{lent conv}} > 0</math>, la vergence de l'œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] corrigé n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas, égale à {{Nobr|«<math>\;V_{\text{min, hyperm corr}}</math>}} <math>= V_{\text{min, hyperm}} + V_{\text{lent conv}}\;</math>», est celle d'un œil [[w:Emmétropie|emmétrope]] n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas si «<math>\;V_{\text{lent conv}} =</math> <math>V_{\text{min, norm}} - V_{\text{min, hyperm}} > 0\;</math>»<ref> Dans le cas où la vergence de l'œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas serait «<math>\;V_{\text{min},\,\text{hyperm}} = 58,5\;\delta\, <\, V_{\text{min},\,\text{norm}} = 59\;\delta\;</math>», la vergence de la lentille convergente à accoler serait «<math>\;V_{\text{lent conv}} =</math> <math>V_{\text{min, norm}} - V_{\text{min, hyperm}} = +0,5\;\delta\;</math>» pour que le [[w:Punctum_remotum|PR]] de l'œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] corrigé soit à l'infini.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil hypermétrope n'accommodant pas }}<math>\succ\;</math>dans le cas où l'[[w:Hypermétropie|hypermétropie]] est due à une trop faible profondeur de l'œil, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil hypermétrope n'accommodant pas <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas }}la vergence de l'œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas étant «<math>\;V_{\text{min, hyperm}} = V_{\text{min, norm}} = 59\;\delta\;</math>»<ref name="dioptrie" /> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil hypermétrope n'accommodant pas <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas la vergence de l'œil hypermétrope n'accommodant pas étant }}«<math>\;f_{i,\,\text{sans accomm}} = 23\;mm\;</math>» mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil hypermétrope n'accommodant pas <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas }}la profondeur de l'œil «<math>\;p_{i,\,\text{rétine}}\;</math> étant <math>\;p_{i,\,\text{rétine}}\, <\, f_{i,\,\text{sans accomm}}\;</math>» empêchant le [[w:Punctum_remotum|PR]] de l'œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] d'être à l'<math>\infty</math>, il convient, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil hypermétrope n'accommodant pas <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas }}pour que le [[w:Punctum_remotum|PR]] de l'œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] corrigé soit à l'infini, de <math>\;\searrow\;</math> la distance focale image sans [[w:Accommodation|accommoder]] <br>{{Al|1}}{{Transparent|Correction d'un œil hypermétrope n'accommodant pas <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas pour que le PR de l'œil hypermétrope corrigé soit à l'infini }}<math>\;\big(</math>ou d'<math>\nearrow\;</math> la vergence sans [[w:Accommodation|accommoder]]<math>\big)\;</math> de ce dernier, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil hypermétrope n'accommodant pas <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas pour que le PR de l'œil hypermétrope corrigé soit à l'infini, }}ce qui se fait encore en accolant une lentille convergente de vergence <math>\;V_{\text{lent conv}} > 0</math>, telle que «<math>\;V_{\text{min, hyperm corr}} = V_{\text{min, hyperm}} + V_{\text{lent conv}}\;</math>» dont on tire «<math>\;V_{\text{lent conv}} =</math> <math>V_{\text{min, hyperm corr}} - V_{\text{min, hyperm}} > 0\;</math> car <math>\;V_{\text{min, hyperm corr}} = \dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} > \dfrac{n_i}{f_{i,\,\text{sans accomm}}} =</math> <math>V_{\text{min, hyperm}}\;</math>» conduisant effectivement à <math>\;V_{\text{min, hyperm corr}} - V_{\text{min, hyperm}} > 0\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil hypermétrope n'accommodant pas <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas pour que le PR de l'œil hypermétrope corrigé soit à l'infini, }}«<math>\;V_{\text{lent conv}} =</math> <math>\dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} - V_{\text{min, hyperm}}\;</math>»<ref> Dans le cas où « la profondeur de l'œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] serait <math>\;p_{i,\,\text{rétine}} = 22,8\;mm\;</math>», la vergence de la lentille convergente à accoler serait égale à «<math>\;V_{\text{lent conv}} = \dfrac{1,357}{22,8\;10^{-3}} - 59 \simeq +0,518\;\delta</math> {{Nobr|<math>\simeq +0,52\;\delta\;</math>».}}</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : L'ajout d'une lentille convergente accolée à un œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] permettant de fixer le [[w:Punctum_remotum|PR]] à l'infini, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : L'ajout d'une lentille convergente accolée à un œil hypermétrope }}a aussi une action sur le [[w:Punctum_proximum|PP]] de ce dernier lequel, sans lentille additionnelle, est plus éloigné que celui d'un œil [[w:Emmétropie|emmétrope]]. {{Al|5}}<u>Correction d'un œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] [[w:Accommodation|accommodant]] au maximum avec un verre convergent</u> <math>\;\big(</math>figure non représentée<math>\big)</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil hypermétrope accommodant au maximum }}<math>\succ\;</math>dans le cas où l'[[w:Hypermétropie|hypermétropie]] est due à une vergence trop faible de l'œil [[w:Accommodation|accommodant]] au maximum <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil hypermétrope accommodant au maximum <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas où l'hypermétropie est due à }}«<math>\;V_{\text{max, hyperm}} < V_{\text{max, norm}} = 63\;\delta\;</math>»<ref name="dioptrie" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil hypermétrope accommodant au maximum <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas }}si on accole à l'œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] la même lentille convergente que précédemment de vergence «<math>\;V_{\text{lent conv}} =</math> <math>V_{\text{min, norm}} - V_{\text{min, hyperm}}\;</math>», la vergence de l'œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] corrigé [[w:Accommodation|accommodant]] au maximum, égale à «<math>\;V_{\text{max, hyperm corr}} = V_{\text{max, hyperm}} + V_{\text{lent conv}} = V_{\text{max, hyperm}} - V_{\text{min, hyperm}} + V_{\text{min, norm}}\;</math>», serait celle d'un œil [[w:Emmétropie|emmétrope]] [[w:Accommodation|accommodant]] au maximum <math>\;V_{\text{max, norm}}\;</math> si «<math>\;V_{\text{max, hyperm}} - V_{\text{min, hyperm}} = V_{\text{max, norm}} - V_{\text{min, norm}}\;</math>»<ref> Ce qui est le cas dans l'exemple que nous avons considéré jusqu'à présent avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}V_{\text{max},\,\text{hyperm}} = 62,5\;\delta\\ V_{\text{min},\,\text{hyperm}} = 58,5\;\delta \end{array}\right\rbrace\;</math> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}V_{\text{max},\,\text{norm}} = 63\;\delta\\ V_{\text{min},\,\text{norm}} = 59\;\delta \end{array}\right\rbrace\;</math> mais ce n'est pas toujours le cas ; <br>{{Al|3}}par exemple, dans le cas suivant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}V_{\text{max},\,\text{hyperm}} = 62\;\delta\\ V_{\text{min},\,\text{hyperm}} = 59,5\;\delta \end{array}\right\rbrace</math>, il faudrait remplacer la lentille convergente de <math>\;+0,5\;\delta\;</math> pour la vision de loin par une lentille convergente de <math>\;+1\;\delta\;</math> pour la vision de près.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil hypermétrope accommodant au maximum }}<math>\succ\;</math>dans le cas où l'[[w:Hypermétropie|hypermétropie]] est due à une trop faible profondeur de l'œil, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil hypermétrope accommodant au maximum <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas }}la vergence de l'œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] [[w:Accommodation|accommodant]] au maximum étant «<math>\;V_{\text{max, hyperm}} =</math> <math>V_{\text{max, norm}} = 63\;\delta\;</math>»<ref name="dioptrie" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil hypermétrope accommodant au maximum <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas }}la profondeur de l'œil «<math>\;p_{i,\,\text{rétine}}\, <\, p_{i,\,\text{rétine, norm}}\;</math>» éloignant le [[w:Punctum_proximum|PP]] de l'œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] de ce dernier relativement à un œil [[w:Emmétropie|emmétrope]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>le}} [[w:Punctum_proximum|PP]] étant le conjugué par le dioptre sphérique équivalent <math>\;\big(</math>ou par la pseudo lentille<ref name="pseudo lentille" /><math>\big)\;</math> du point de la rétine sur l'axe optique principal<math>\big]\;</math> soit «<math>\;d_{\text{min, hyperm}} > d_{\text{min, norm}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil hypermétrope accommodant au maximum <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas }}il convient, pour que le [[w:Punctum_proximum|PP]] de l'œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] corrigé soit au même endroit que le [[w:Punctum_proximum|PP]] d'un œil [[w:Emmétropie|emmétrope]], <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil hypermétrope accommodant au maximum <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas il convient, }}de <math>\;\searrow\;</math> la distance focale image avec [[w:Accommodation|accommodation]] maximale <br>{{Transparent|Correction d'un œil hypermétrope accommodant au maximum <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas il convient, }}<math>\;\big(</math>ou d'<math>\nearrow\;</math> la vergence avec [[w:Accommodation|accommodation]] maximale<math>\big)\;</math> de ce dernier, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil hypermétrope accommodant au maximum <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas il convient, }}ce qui se fait encore en accolant une lentille convergente de vergence <math>\;V_{\text{lent conv}} > 0</math>, telle que «<math>\;V_{\text{max, hyperm corr}}</math> <math>= V_{\text{max, hyperm}} + V_{\text{lent conv}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V_{\text{lent conv}} = V_{\text{max, hyperm corr}} - V_{\text{max, hyperm}} > 0\;</math>» car les vergences de l'œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] corrigé ou non <math>\;\big(</math>[[w:Accommodation|accommodant]] au maximum<math>\big)\;</math> sont <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}V_{\text{max, hyperm corr}} = \dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} - \dfrac{1}{p_{o,\,\text{PP, hyperm corr}}} = \dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} - \dfrac{1}{-d_{\text{min, norm}}}\\ V_{\text{max, hyperm}} = \dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} - \dfrac{1}{p_{o,\,\text{PP, hyperm}}} = \dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} - \dfrac{1}{-d_{\text{min, hyperm}}}\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où, avec <math>\;d_{\text{min, hyperm}} > d_{\text{min, norm}}\!</math>, «<math>\;V_{\text{max, hyperm}} < V_{\text{max, hyperm corr}}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Correction d'un œil hypermétrope accommodant au maximum <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dans le cas il convient, }}«<math>\;V_{\text{lent conv}} = \dfrac{n_i}{p_{i,\,\text{rétine}}} + \dfrac{1}{d_{\text{min, norm}}} - V_{\text{max, hyperm}}\;</math>»<ref> Dans le cas où la profondeur de l'œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] serait <math>\;p_{i,\,\text{rétine}} = 22,8\;mm</math>, la vergence de la lentille convergente à accoler serait <math>\;= V_{\text{lent conv}} = \dfrac{1,357}{22,8\;10^{-3}} + \dfrac{1}{0,25} - 63 \simeq +0,518\;\delta \simeq</math> <math>+0,52\;\delta</math> <math>\;\big(</math>il s'agit donc de la même lentille convergente que celle nécessaire pour fixer à l'infini le [[w:Punctum_remotum|PR]] de l'œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]]<math>\big)</math>.</ref>. === La presbytie === {{Al|5}}La [[w:Presbytie|presbytie]] est le défaut d’[[w:Accommodation|accommodation]] d’un œil ; elle se manifeste par un rapprochement du [[w:Punctum_proximum|punctum proximum]] ([[w:Punctum_proximum|PP]]) du [[w:Punctum_remotum|punctum remotum]] <math>\;\big(</math>la position du [[w:Punctum_remotum|PR]] restant usuellement inchangée<math>\big)</math> ; {{Al|5}}ce défaut peut affecter toutes les vues avec l'âge, il est usuellement rectifié à l’aide de [[w:Verre_progressif|verres à correction progressive]], la partie supérieure du [[w:Verre_progressif|verre]] permettant la vision éloignée <math>\;\big(</math>si besoin est<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|ce défaut peut affecter toutes les vues avec l'âge, il est usuellement rectifié à l’aide de verres à correction progressive, }}la partie inférieure {{Transparent|du verre permettant }}la vision proche : * pour un œil [[w:Emmétropie|emmétrope]] devenu [[w:Presbytie|presbyte]], les [[w:Verre_progressif|verres]] sont pratiquement afocaux en vision éloignée et <br>{{Transparent|pour un œil emmétrope devenu presbyte, les verres sont }}convergents en vision proche, * pour un œil [[w:Myopie|myope]] devenu [[w:Presbytie|presbyte]], les [[w:Verre_progressif|verres]] sont fortement divergents pour voir de loin et <br>{{Transparent|pour un œil myope devenu presbyte, les verres sont }}faiblement divergents pour voir de près et enfin * pour un œil [[w:Hypermétropie|hypermétrope]] devenu [[w:Presbytie|presbyte]], les [[w:Verre_progressif|verres]] sont faiblement convergents pour voir de loin et <br>{{Transparent|pour un œil hypermétrope devenu presbyte, les verres sont }}fortement convergents pour voir de près. === L'astigmatisme === {{Al|5}}L’[[w:Astigmatisme_(médecine)|astigmatisme]] d’un œil est « la différence de focalisation de deux objets linéiques transverses<ref name="objet linéique transverse" /> de directions <math>\;\perp\;</math>»<ref> Suivant les plans d'incidence utilisés l'œil [[w:Astigmatisme_(médecine)|astigmate]] n'[[w:Accommodation|accommodant]] pas n'a pas les mêmes positions des foyers principaux image, le [[w:Punctum_remotum|punctum remotum]] <math>\;\big(</math>et aussi le [[w:Punctum_proximum|punctum proximum]] obtenu avec l'œil [[w:Astigmatisme_(médecine)|astigmate]] [[w:Accommodation|accommodant]] au maximum<math>\big)\;</math> a une position dépendant du plan d'incidence utilisé ; <br>{{Al|3}}par exemple si le [[w:Punctum_proximum|punctum proximum]] est de <math>\;25\; cm\;</math> pour une direction d'objet transverse verticale, il peut être de <math>\;30\; cm\;</math> pour la direction transverse horizontale <math>\;\big(</math>ces valeurs ne sont que des exemples<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}un objet plan situé à <math>\;25\;cm\;</math> de l'œil [[w:Astigmatisme_(médecine)|astigmate]] [[w:Accommodation|accommodant]] au maximum verra net verticalement et flou horizontalement alors que <br>{{Al|3}}si cet œil [[w:Accommodation|accommode]] un peu moins pour faire la mise au point sur la direction horizontale, la direction verticale apparaîtra floue.</ref> ; <br>{{Al|5}}on attribue l'[[w:Astigmatisme_(médecine)|astigmatisme]] au défaut de symétrie de révolution de la [[w:Cornée|cornée]] ; <br>{{Al|5}}on compense cet [[w:Astigmatisme_(médecine)|astigmatisme]] à l’aide de verres eux-mêmes [[w:Astigmatisme_(médecine)|astigmatiques]]. === Corrections actualisées des défauts de l'œil === {{Al|5}}De nos jours, on cherche à corriger les défauts de l’œil, notamment la [[w:Myopie|myopie]] et l’[[w:Astigmatisme_(médecine)|astigmatisme]], par modification de la géométrie de la surface de la [[w:Cornée|cornée]] ; {{Al|5}}avec un « [[w:Laser_à_excimère|laser à excimère]] »<ref> Un [[w:Excimère|excimère]] est un dimère qui n'est stable qu'à l'état excité et se dissocie à l'état fondamental, par exemple le diargon <math>\;Ar_2^{*}\;</math> ou le dikrypton <math>\;Kr_2^{*}\;</math> ou encore le dixenon <math>\;Xe_2^{*}\;</math> sont des [[w:Excimère|excimères]] obtenus par stimulation électrique des gaz rares correspondant, ces [[w:Excimère|excimères]] stables quand ils sont excités se désexcite en leur monomère en émettant un rayonnement laser ultraviolet <math>\;\big(</math>par exemple laser à <math>\;Kr_2^{*}\;</math> émettant un rayonnement de <math>\;146\; nm\big)</math>.</ref> ou un « [[w:Laser_à_excimère|laser à exciplexe]] » <ref> Un [[w:Exciplexe|exciplexe]] est un complexe qui n'est stable qu'à l'état excité et se dissocie à l'état fondamental, par exemple le fluorure de Krypton <math>\;KrF^{*}\;</math> <math>\big(</math>le plus couramment utilisé<math>\big)\;</math> ou le fluorure d'Argon <math>\;ArF^{*}\;</math> <math>\big(</math>laser autorisé en chirurgie ophtalmologique<math>\big)</math>, ces [[w:Exciplexe|exciplexes]] stables quand ils sont excités se désexcite en leurs composants en émettant un rayonnement laser ultraviolet <math>\;\big(</math>par exemple laser à <math>\;KrF^{*}\;</math> émettant un rayonnement de <math>\;248\; nm\;</math> et laser à <math>\;ArF^{*}\;</math> un rayonnement de <math>\;193\; nm\big)</math>.</ref>, on réalise une « photoablation » <ref> C.-à-d. une [[w:Ablation_(médecine)|ablation]] de matière par photon ; l'action des photons émis par « [[w:Laser_à_excimère|laser à exciplexe]] » <math>\;\big(</math>le plus couramment utilisé<math>\big)\;</math> sur la [[w:Cornée|cornée]] est d'enlever de fines couches de matière par rupture de liaison et non de brûler les cellules visées ; <br>{{Al|3}}le domaine d'utilisation des « [[w:Laser_à_excimère|lasers à exciplexe]] » <math>\;\big(</math>ou des « [[w:Laser_à_excimère|lasers à excimère]] »<math>\big)\;</math> ne se limite pas à la chirurgie ophtalmologique, mais ils ont également un grand intérêt dans les domaines de la micromécanique <math>\;\big(</math>nécessitant une grande précision dans la définition des pièces utilisées<math>\big)\;</math> et de l'industrie des semi-conducteurs.</ref> d’une partie de la [[w:Cornée|cornée]], ce qui modifie sa courbure et donc sa vergence. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] | suivant = [[../Introduction au monde quantique : dualité onde-particule/]] }} ibxxq069e5dgtbujbuzfow2yevlgpy1 0 63034 982823 974105 2026-05-14T17:21:26Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982823 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Optique géométrique : réflexion, réfraction, lois de Descartes | idfaculté = physique | numéro = 11 | chapitre = [[../../Optique géométrique : réflexion, réfraction, lois de Descartes/]] | précédent = [[../Optique géométrique : sources lumineuses, milieu transparent, approximation de l'optique géométrique/]] | suivant = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Éclairage d'un bassin == {{Al|5}}Un bassin de profondeur «<math>\;h = 1,00\, m\;</math>» est totalement rempli d'eau, d'indice «<math>\;n \simeq \dfrac{4}{3}\;</math>», l'indice de l'air étant «<math>\;n_{\text{air}} \simeq 1,00\;</math>». {{Al|5}}Au fond du bassin est placée une source ponctuelle émettant de la lumière dans toutes les directions. {{Al|5}}Quel est le rayon du disque lumineux qui se forme à la surface de l'eau ? {{Solution|contenu =[[File:Éclairage d'un bassin par source placée au fond.png|thumb|400px|Schéma de coupe verticale d'éclairage d'un bassin par une source ponctuelle placée au fond de ce dernier<ref name="Fond"> Fond non représenté sur le schéma.</ref>]] {{Al|5}}Les rayons issus de la source ponctuelle <math>\;S\;</math> placée au fond du bassin<ref name="Fond" /> sortiront de ce dernier si l'angle d'incidence «<math>\;i\;</math>» sur la surface libre de l'eau est inférieur à «<math>\;l = \arcsin\! \left( \dfrac{n_{\text{air}}}{n} \right)</math> <math>\;\big(</math>angle limite<ref name="angle limite d'un dioptre"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Angle_limite_d'un_dioptre|angle limite d'un dioptre]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\;</math>»<ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction]] (n₁ > n₂ exemple dioptre verre - air) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> Le problème étant à symétrie de révolution autour de la verticale <math>\;SH</math>, le rayon incident est repéré par deux angles, * le 1^er <math>\;\varphi \in \left[ 0 \text{ ; } 2\, \pi \right[</math> <math>\;\big(</math>non précisé<math>\big)\;</math> définissant le demi-plan méridien correspondant au plan d'incidence <math>\;\big(</math>partie de la figure située à droite de la verticale <math>\;SH</math>, la partie située à gauche représentant le demi-plan méridien <math>\;\varphi + \pi\big)\;</math> et * le 2^nd correspondant à l'inclinaison du rayon incident par rapport la verticale <math>\;SH\;</math> c.-à-d. à l'angle d'incidence <math>\;i \in \left[ 0 \text{ ; } \dfrac{\pi}{2} \right[</math>.</ref> ; {{Al|5}}cela nous donne donc le rayon du disque lumineux cherché «<math>\;R = HA = SA\, \sin(l) \simeq \dfrac{SA}{n}\;</math>» avec «<math>\;SA = \sqrt{R^2 + h^2}\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela nous donne donc }}«<math>\;n\, R \simeq \sqrt{R^2 + h^2}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;n^2\, R^2 \simeq R^2 + h^2</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;R^2\, (n^2 - 1) \simeq h^2\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|cela nous donne donc }}«<math>\;R \simeq \dfrac{h}{\sqrt{n^2 - 1}}\;</math>». {{Al|5}}<u>A.N.</u><ref name="A.N."> Application Numérique.</ref> : <math>\;R \simeq \dfrac{1,00}{\sqrt{\dfrac{16}{9} - 1,00}}\; m \simeq \dfrac{3}{\sqrt{7}}\; m\;</math> soit «<math>\;R \simeq 1,14\, m\;</math>».}} == Déplacement latéral d'un rayon à la traversée d'une lame à faces parallèles ; stigmatisme approché de la lame et distance séparant le point image du point objet associé == === Déplacement latéral d'un rayon à la traversée d'une lame à faces parallèles === [[File:Lame à faces parallèles - déplacement.jpg|thumb|400px|Déplacement latéral d'un rayon à la traversée d'une lame à faces <math>\;\parallel</math>]] {{Al|5}}On considère une lame à faces <math>\;\parallel\;</math> d'épaisseur <math>\;e\;</math> et d'indice <math>\;n\;</math> plongée dans l'air <math>\;\big(</math>d'indice <math>\;\simeq 1\big)\;</math> et un rayon incident d'angle d'incidence <math>\;i\;</math> <math>\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}montrer que le rayon émerge parallèlement au rayon incident et {{Al|5}}déterminer son déplacement latéral <math>\;\delta\;</math> en fonction des données. {{Al|5}}<u>A.N.</u><ref name="A.N." /> : Calculer numériquement <math>\;\delta\;</math> pour <math>\;e = 2\, mm</math>, <math>\;n = 1,50\;</math> et <math>\;i = 30\, \text{°}</math>. {{clr}} {{Solution|contenu = [[File:Lame à faces parallèles - déplacement - bis.jpg|thumb|400px|Introduction des grandeurs intermédiaires expliquant le déplacement latéral d'un rayon à la traversée d'une lame à faces <math>\;\parallel</math>]] {{Al|5}}On considère une lame à faces <math>\;\parallel\;</math> d'épaisseur <math>\;e\;</math> et d'indice <math>\;n\;</math> plongée dans l'air et un rayon incident d'angle d'incidence <math>\;i\;</math> <math>\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> ; le rayon traverse la face d'entrée et en sort, dans le plan d'incidence<ref name="1ère loi de Snell - Descartes de la réfraction"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Première_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|1^ère loi de Snell - Descartes de la réfraction]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, avec un angle de réfraction <math>\;r\;</math> tel que <math>\;\sin(i) = n\, \sin(r)\;</math><ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction - bis"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, puis rencontre la face de sortie sous un angle d'incidence égal à <math>\;r' = r\;</math><ref> En effet les deux faces étant <math>\;\parallel</math>, les deux angles sont égaux en tant qu'angles alternes internes.</ref> et en sort sous l'angle de réfraction égal à <math>\;i' = i\;</math><ref> Le rayon émergent est dans le plan d'incidence <math>\;\big[</math>d'après la 1^ère loi de Snell - Descartes de la réfraction <math>\;\big(</math>voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#cite_note-1ère_loi_de_Snell_-_Descartes_de_la_réfraction-1|¹]] » plus haut dans cet exercice<math>\big)\big]\;</math> et tel que <math>\;n\, \sin(r') = \sin(i')\;</math> <math>\big[</math>d'après la 2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction <math>\;\big(</math>voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#cite_note-2ème_loi_de_Snell_-_Descartes_de_la_réfraction-2|²]] » plus haut dans cet exercice<math>\big)\big]\;</math> ou, avec <math>\;r' = r</math>, <math>\;n\, \sin(r) = \sin(i')\;</math> d'où <math>\;i' = i</math>.</ref>, d'où <u>le rayon émerge, de la lame à faces</u><math>\;\parallel</math>, <u>parallèlement au rayon incident</u>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On pouvait aussi démontrer <math>\;i' = i\;</math> par retour inverse de la lumière<ref name="retour inverse de la lumière"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_sources_lumineuses,_milieu_transparent,_approximation_de_l'optique_géométrique#Troisième_loi_:_loi_du_retour_inverse_de_la_lumière|3^ème loi : loi du retour inverse de la lumière]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> car <math>\;r' = r\;</math> <math>\Rightarrow</math> “ on a le même angle pour le rayon réfracté <math>\;IM\;</math> entrant dans le milieu d'indice <math>\;n\;</math> par la face d'entrée et le rayon incident <math>\;MJ\;</math> sortant du milieu d'indice <math>\;n\;</math> par la face de sortie ”, le retour inverse de la lumière nous permet d'affirmer “ on a le même angle pour le rayon incident <math>\;AI\;</math> arrivant de l'air vers le milieu d'indice <math>\;n\;</math> par la face d'entrée et le rayon réfracté <math>\;JT\;</math> entrant dans l'air en provenance du milieu d'indice <math>\;n\;</math> par la face de sortie ” ; le rayon émerge donc de la lame à faces <math>\;\parallel</math>, parallèlement au rayon incident. {{Al|5}}Le déplacement latéral <math>\;\delta\;</math> est défini sur la figure ci-contre et se détermine en travaillant dans le triangle rectangle <math>\;IJH\;</math> selon : <math>\;\sin(\alpha) = \dfrac{IH}{IJ}\;</math> avec <math>\;\alpha = \widehat{IJH} = i - r\;</math> d'où <math>\;IH = IJ\, \sin(\alpha)\;</math> ou, avec <math>\;IH = \delta</math>, <math>\;\delta =</math> <math>IJ\, \sin(i - r)</math> ; {{Al|5}}on explicite <math>\;IJ\;</math> en travaillant dans le triangle rectangle <math>\;IJK\;</math> soit : <math>\;\cos(r) = \dfrac{IK}{IJ}\;</math> ou, avec <math>\;IK = e</math>, <math>\;IJ = \dfrac{e}{\cos(r)}</math> ; {{Al|5}}on en déduit <math>\;\delta = e\, \dfrac{\sin(i - r)}{\cos(r)}\;</math> ou, en développant <math>\;\sin(i - r)</math>, <math>\;\delta = e\, \dfrac{\sin(i) \cos(r) - \sin(r) \cos(i)}{\cos(r)}</math> ; {{Al|5}}on utilise alors la 2^ème relation de réfraction de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes"> '''[[w:Willebrord_Snell|Willebrord Snell Van Royen]] ou Snellius (1580 - 1626)''' humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes <math>\;\big(</math>sans que ce soit {{Nobr|assuré<math>\big)</math>.}} <br>{{Al|3}}'''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref>{{,}}<ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction - bis" /> pour éliminer <math>\;r\;</math> par <math>\;\sin(r) = \dfrac{\sin(i)}{n}\;</math> et par <math>\;\cos(r) = \sqrt{1 - \sin^2(r)}\;</math> <ref> En effet <math>\;\cos(r)\;</math> est <math>\;> 0\;</math> d'une part et d'autre part <math>\;\cos^2(r) = 1 - \sin^2(r)\;</math> <math>= \sqrt{1 - \dfrac{\sin^2(i)}{n^2}}\;</math> soit <math>\;\cos(r) = \dfrac{\sqrt{n^2 - \sin^2(i)}}{n}</math>.</ref>, la relation explicitant <math>\;\delta\;</math> se réécrivant <math>\;\delta = e\, \dfrac{\sin(i) \dfrac{\sqrt{n^2 - \sin^2(i)}}{n} - \dfrac{\sin(i)}{n} \cos(i)}{\dfrac{\sqrt{n^2 - \sin^2(i)}}{n}}\;</math> ou encore <center><math>\;\delta = e\, \sin(i)\! \left[ 1 - \dfrac{\cos(i)}{\sqrt{n^2 - \sin^2(i)}} \right]</math>.</center> {{Al|5}}<u>A.N.</u><ref name="A.N." /> : <math>\;\delta = 2\, \sin(30\,\text{°})\! \left[ 1 - \dfrac{\cos(30\,\text{°})}{\sqrt{(1,50)^2 - \sin^2(30\,\text{°})}} \right]\;</math> exprimé en <math>\;mm\;</math> soit finalement <math>\;\delta \simeq 0,39\, mm</math>.}} === Absence de stigmatisme rigoureux de la lame === [[File:Lame à faces parallèles - stigmatisme.jpg|thumb|400px|Stigmatisme approché d'une lame à faces <math>\;\parallel\;</math> et distance séparant un point objet de son point image par la lame]] {{Al|5}}Un système est « stigmatique » pour un point objet <math>\;A_o\;</math> s'il fournit, de ce dernier, une image ponctuelle <math>\;A_i</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un système est « stigmatique » pour un point objet <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}si ceci est vrai quelle que soit l'ouverture du faisceau issu du point objet <math>\;A_o</math>, le stigmatisme est dit « rigoureux », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un système est « stigmatique » pour un point objet <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}si ce n'est vrai que pour un pinceau de faible ouverture <math>\big(</math>usuellement les conditions dites de Gauss<ref name="Gauss"> '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777 - 1855)''', mathématicien, astronome et physicien allemand, est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps <math>\;\big(</math>il fut surnommé « le prince des mathématiciens »<math>\big)</math>, on lui doit d'importantes contributions dans les trois domaines « mathématiques, astronomie et physique » ; <br>{{Al|3}}en <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de '''Maxwell''' gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}certaines de ses importantes contributions n'ont été mises à jour qu'à titre posthume, à la fin du XIX^ème siècle, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' n'ayant publié qu'une partie de ses découvertes.</ref>{{,}}<ref name="conditions de Gauss du stigmatisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique “ centré ”]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, le stigmatisme est dit « approché »<ref name="stigmatisme"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}On considère un point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>que l'on pourra supposer réel c'est-à-dire situé dans l'espace d'entrée <math>\;\mathcal{E}_e\;</math> voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> à partir duquel diverge un faisceau incident de révolution autour de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et d'ouverture quelconque ; le problème étant symétrique de révolution autour de <math>\;\Delta</math>, si la lame est stigmatique rigoureusement pour <math>\;A_o\;</math><ref name="stigmatisme" />, son point image <math>\;A_i\;</math> doit être sur l'axe <math>\;\Delta</math> ; {{Al|5}}montrer qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux<ref name="stigmatisme" /> en déterminant la distance <math>\;\overline{A_oA_i(i)}\;</math> séparant <math>\;A_o\;</math> de l'intersection <math>\;A_i(i)\;</math> de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et du rayon émergent correspondant au rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et d'angle d'incidence <math>\;i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On considère un point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>supposé réel c'est-à-dire situé dans l'espace d'entrée <math>\;\mathcal{E}_e\big)\;</math> à partir duquel diverge un faisceau incident de révolution autour de l'axe optique principal <math>\;(\Delta)\;</math> et d'ouverture quelconque {{Nobr|<math>\;\big(</math>voir}} schéma ci-dessus<math>\big)</math> ; le problème étant symétrique de révolution autour de <math>\;(\Delta)</math>, si la lame est stigmatique rigoureusement pour <math>\;A_o\;</math><ref name="stigmatisme" />, son point image <math>\;A_i\;</math> doit être sur l'axe <math>\;(\Delta)</math> ; {{Al|5}}on se propose de déterminer la distance <math>\;\overline{A_oA_i(i)}\;</math> séparant <math>\;A_o\;</math> de l'intersection <math>\;A_i(i)\;</math> de l'axe <math>\;(\Delta)\;</math> et du rayon émergent correspondant au rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et d'angle d'incidence <math>\;i</math> ; s'il y a stigmatisme rigoureux de la lame à faces <math>\;\parallel\;</math> pour <math>\;A_o\;</math><ref name="stigmatisme" />, cette distance <math>\;\overline{A_oA_i(i)}\;</math> doit être indépendante de <math>\;i</math> ; {{Al|5}}dans le triangle rectangle <math>\;A_oA_i(i)L\;</math><ref> Voir schéma de la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Déplacement_latéral_d'un_rayon_à_la_traversée_d'une_lame_à_faces_parallèles|déplacement latéral d'un rayon à la traversée d'une lame à faces parallèles]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, on remarque que <math>\;\sin(i) = \dfrac{\delta}{\overline{A_oA_i(i)}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{A_oA_i(i)} = \dfrac{\delta}{\sin(i)}\;</math> ce qui, avec l'expression de <math>\;\delta\;</math> trouvée précédemment, donne : <center><math>\;\overline{A_oA_i(i)} = e\! \left[ 1 - \dfrac{\cos(i)}{\sqrt{n^2 - \sin^2(i)}} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i(i)\;</math> dépend de <math>\;i\;</math> <math>\Rightarrow</math> <u>pas de stigmatisme rigoureux de la lame à faces parallèles</u> ;</center> {{Al|5}}par exemple : on trouve <math>\;\overline{A_oA_i(5\, \text{°})} = 2\! \left[ 1 - \dfrac{\cos(5\, \text{°})}{\sqrt{(1,50)^2 - \sin^2(5\, \text{°})}} \right] \simeq 0,67\, mm</math>, <math>\;\overline{A_oA_i(30\, \text{°})} \simeq 0,78\, mm</math>, <math>\;\overline{A_oA_i(60\, \text{°})} \simeq 1,18\, mm</math>, <math>\;\overline{A_oA_i(75\, \text{°})} \simeq 1,51\, mm\;</math> et par suite, un faisceau divergent à partir de <math>\;A_o</math>, de rayon angulaire d'ouverture <math>\;75\, \text{°}</math>, donnera une image dont l'étalement sur <math>\;(\Delta)\;</math> est approximativement de <math>\;1\, mm\;</math><ref> Plus exactement <math>\;1,51 - 0,67 = 0,84\, mm</math>.</ref>.}} === Stigmatisme approché de la lame et distance séparant le point image du point objet associé === {{Al|5}}On considère maintenant un pinceau incident issu de <math>\;A_o\;</math> ayant pour direction l'axe optique principal <math>\;\Delta</math> ; les rayons incidents de ce pinceau étant quasi-normaux <math>\;\big(</math>c'est-à-dire que les angles d'incidence <math>\;i\;</math> sont petits<math>\big)</math>, montrer qu'il y a stigmatisme approché de la lame à faces <math>\;\parallel\;</math><ref name="stigmatisme" /> en réévaluant la distance <math>\;\overline{A_oA_i(i)}\;</math> tenant compte de <math>\;\vert i \vert \ll 1\;</math><ref> L'écriture <math>\;\vert i \vert \ll 1\;</math> signifie que <math>\;\vert i \vert\;</math> est considéré comme un infiniment petit d'ordre un <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert i \vert^n\;</math> est un infiniment petit d'ordre <math>\;n</math> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Infiniment_petits_d'ordres_successifs|infiniment petits d'ordres successifs]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, nous cherchons un développement de <math>\;\overline{A_oA_i(i)}\;</math> limité à l'ordre un <math>\;\big[</math>D.L. à l'ordre un de <math>\;\overline{A_oA_i(i)}\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> tout ordre <math>\;> 1\;</math> doit être éliminé dans une somme.</ref>{{,}}<ref name="D.L. à l'ordre un d'un produit de facteurs"><math>\;\overline{A_oA_i(i)}\;</math> dépendant d'un produit de facteurs <math>\;P(i)\;</math> et <math>\;Q(i)</math>, le D.L. à l'ordre un de ce produit <math>\;P(i)\, Q(i)\;</math> va être obtenu * tout d'abord en prenant le D.L. à l'ordre un de chaque facteur «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}P(i) \simeq P_0 + p_1 i\\ \text{et}\\ Q(i) \simeq Q_0 + q_1 i\end{array}\right\rbrace\;</math>» * puis en effectuant le développement du produit, avec élimination de l'ordre deux, d'où «<math>\;P(i)\, Q(i) \simeq P_0\, Q_0 + (p_1 + q_1) i\;</math>» ; {{Al|3}}si, dans le produit de facteurs, l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre un, pour obtenir le D.L. à l'ordre un de ce produit, il suffit de prendre le D.L. des autres facteurs à l'ordre zéro <math>\;\big[</math>en effet si <math>\;P(i) \simeq p_1\, i\;</math> <math>\big(P_0\;</math> étant nul<math>\big)</math> <math>\;P(i)\;</math> est donc un infiniment petit d'ordre un, prendre un D.L. à l'ordre un de <math>\;Q(i)\;</math> nous conduit à <math>\;Q(i) \simeq Q_0 + q_1\, i \Rightarrow P(i)\, Q(i) \simeq p_1\, Q_0\, i + p_1\, q_1\, i^2\;</math> et l'on voit apparaître un ordre deux que l'on doit éliminer car on cherche un D.L. à l'ordre un de <math>\;P(i)\, Q(i)</math>, or ce terme d'ordre deux dans <math>\;P(i)\, Q(i)\;</math> provient du terme d'ordre un dans <math>\;Q(i)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|si, dans le produit de facteurs, l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre un, }}en conclusion il suffit de prendre un D.L. à l'ordre zéro de <math>\;Q(i)\;</math> soit <math>\;Q(i) \simeq Q_0\;</math> et l'on aura un D.L. à l'ordre un de <math>\;P(i)\, Q(i)\;</math> soit <math>\;P(i)\, Q(i) \simeq p_1\, Q_0\, i\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Déterminer_le_développement_limité_à_l'ordre_n_d'un_produit_de_deux_fonctions_dont_le_développement_limité_d'une_des_fonctions_a_pour_terme_prépondérant_un_infiniment_petit_d'ordre_p|déterminer le D.L. à l'ordre n d'un produit de deux fonctions dont le D.L. d'une des fonctions a pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre p]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et en constatant qu'elle ne dépend plus de <math>\;i\;</math> <math>\big(</math>il existe alors un point image unique <math>\;A_i\;</math> associé au point objet <math>\;A_o\;</math> et la distance entre ces deux points s'écrit simplement <math>\;\overline{A_oA_i}\big)</math>. {{Al|5}}<u>A.N.</u><ref name="A.N." /> : Calculer numériquement <math>\;\overline{A_oA_i}\;</math> pour <math>\;e = 2\, mm\;</math> et <math>\;n = 1,50</math>. {{Al|5}}<u>Nature de l'image</u> : Vérifier que l'image d'un objet réel est alors virtuelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Nature de l'image : }}discuter de la nature de l'image d'un objet virtuel ? {{Al|5}}{{Transparent|Nature de l'image : }}Où doit être situé l'objet virtuel pour que l'image soit réelle ? {{Solution|contenu ={{Al|5}}Considérant maintenant que le faisceau incident issu de <math>\;A_o</math>, de direction <math>\;(\Delta)\; \perp\;</math> à la face d'entrée, est un pinceau, c'est-à-dire que le rayon angulaire d'ouverture <math>\;i\;</math> est maintenant <math>\;\ll 1</math>, on cherche le D.L<ref name="D.L."> Développement limité.</ref>. à l'ordre un de <math>\;\overline{A_oA_i}(i)\;</math> <math>\big(i \ll 1\;</math> étant l'infiniment petit d'ordre un<math>\big)</math>, et si le D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre un de <math>\;\overline{A_oA_i}(i)\;</math> ne dépend pas de <math>\;i</math>, cela signifiera que <math>\;A_i(i)\;</math> est indépendant de <math>\;i\;</math> dans la mesure où ce dernier est un infiniment petit d'ordre un, donc qu'il y a stigmatisme approché de la lame à faces <math>\;\parallel\;</math><ref name="stigmatisme" /> ; {{Al|5}}«<math>\;i \ll 1 \Rightarrow \sin(i) \simeq i \text{ à l'ordre un en }i\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sin^2(i) \simeq 0 \text{ à l'ordre un en }i\;</math>»<ref> En effet, dans la mesure où on limite le développement à l'ordre un, tout terme d'ordre strictement <math>\;>\;</math> à un doit être éliminé, c'est donc le cas de <math>\;i^2\;</math> qui est un ordre deux.</ref> d'où «<math>\;\sqrt{n^2 - \sin^2(i)} \simeq \sqrt{n^2 - 0} = n \text{ à l'ordre un en }i\;</math>» ; {{Al|5}}«<math>\;i \ll 1 \Rightarrow \cos(i) \simeq 1 \text{ à l'ordre un en }i\;</math>»<ref> En effet <math>\;\cos(i)\;</math> étant une fonction paire, son D.L. à n'importe quel ordre ne doit contenir que des termes respectant cette parité <math>\Rightarrow</math> le D.L. ne contient que des termes d'ordre pair <math>\Rightarrow</math> l'ordre un de <math>\;\cos(i)\;</math> est nécessairement nul.</ref> d'où, en reportant dans <math>\;\dfrac{\cos(i)}{\sqrt{n^2 - \sin^2(i)}}\;</math> on obtient «<math>\;\dfrac{\cos(i)}{\sqrt{n^2 - \sin^2(i)}} \simeq \dfrac{1}{n} \text{ à l'ordre un en }i\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\overline{A_oA_i(i)} \simeq e\! \left( 1 - \dfrac{1}{n} \right) \text{ à l'ordre un en }i\;</math>» d'où <u>stigmatisme approché de la lame à faces parallèles</u><ref name="stigmatisme" /> ;</center> {{Al|5}}d'autre part « <u>l'image</u><math>\;A_i\;</math><u>se déduit de l'objet</u><math>\;A_o\;</math><u>par une translation indépendante de la position de l'objet</u><math>\;A_o\;</math> selon <math>\;\overline{A_oA_i} = e\! \left( 1 - \dfrac{1}{n} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>A.N.</u><ref name="A.N." /> : Numériquement <math>\;\overline{A_oA_i} = 2 \left( 1 - \dfrac{1}{1,50} \right)\;</math> en <math>\;mm\;</math> soit «<math>\;\overline{A_oA_i} \simeq 0,67\, mm\;</math>». [[File:Lame à faces parallèles - stigmatisme - bis.jpg|thumb|400px|Stigmatisme approché d'une lame à faces <math>\;\parallel</math>, caractère réel ou virtuel de l'image d'un objet suivant la position et le caractère réel ou virtuel de ce dernier]] {{Al|5}}Pour vérifier que l'image d'un objet réel est virtuelle, il suffit de montrer que «<math>\;\overline{S_eA_o} < 0 \Rightarrow \overline{S_sA_i} < 0\;</math>» avec <math>\;S_e\;</math> et <math>\;S_s\;</math> les intersections de l'axe optique principal respectivement avec les faces d'entrée et de sortie de la lame à faces <math>\;\parallel</math> <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}or «<math>\;\overline{S_sA_i} = \overline{S_sS_e} + \overline{S_eA_o} + \overline{A_oA_i} = -e + \overline{S_eA_o} + e\! \left( 1 - \dfrac{1}{n} \right) = \overline{S_eA_o} - \dfrac{e}{n}\;</math>», ceci nous permettant d'écrire «<math>\;\overline{S_eA_o} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{S_sA_i}</math> <math>= \overline{S_eA_o} - \dfrac{e}{n} < -\dfrac{e}{n} < 0\;</math>» prouvant que « <u>l'image d'un objet réel est toujours virtuelle</u> ». {{Al|5}}Pour un objet virtuel, on a «<math>\;\overline{S_eA_o} > 0\;</math> et toujours <math>\;\overline{S_sA_i} = \overline{S_eA_o} - \dfrac{e}{n}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour un objet virtuel, }}<u>l'image d'un objet virtuel sera réelle si</u><math>\;\overline{S_sA_i} > 0\;</math> ce qui est équivalent à <math>\;\overline{S_eA_o} - \dfrac{e}{n} > 0\;</math> ou «<math>\;\overline{S_eA_o} > \dfrac{e}{n}\;</math>» ; numériquement on obtient «<math>\;\overline{S_eA_o} > 1,33\, mm\;</math>» c'est-à-dire <math>\;A_o\;</math> à plus de <math>\;1,33\, mm\;</math> de la face d'entrée dans le sens incident de la lumière <math>\;\big(A_o\;</math> dans le verre à moins de <math>\;0,67\, mm\;</math> de la face de sortie ou au-delà du verre dans l'espace de sortie<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour un objet virtuel, }}<u>l'image d'un objet virtuel sera virtuelle si</u><math>\;\overline{S_sA_i} < 0\;</math> ce qui est équivalent à <math>\;\overline{S_eA_o} - \dfrac{e}{n} < 0\;</math> ou <math>\;SeAo < \dfrac{e}{n}\;</math> ou, en tenant compte du caractère virtuel de l'objet, «<math>\;0 < \overline{S_eA_o} < \dfrac{e}{n}\;</math>» ; numériquement on obtient «<math>\;0 < \overline{S_eA_o} < 1,33\, mm\;</math>» c'est-à-dire à moins de <math>\;1,33\, mm\;</math> de la face d'entrée dans le sens incident de la lumière <math>\;\big(A_o\;</math>dans le verre à plus de <math>\;0,67\, mm\;</math> de la face de sortie<math>\big)</math>.}} == Utilisation d'une fibre optique == === Rayon de courbure minimal d'une fibre optique pour transmission d'un faisceau parallèle, normal à la face d'entrée et la recouvrant entièrement === [[File:Fibre optique courbée - transmission d'un faisceau parallèle.png|thumb|300px|Schéma, hors échelle, d'une fibre optique courbée de rayon de courbure <math>\;R</math>, soumise à un faisceau <math>\;\parallel\;</math> normal à la face d'entrée]] {{Al|5}}Une fibre optique est constituée d'une âme en verre d'indice <math>\;n_a = 1,66</math>, de diamètre <math>\;d = 0,05\, mm\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Une fibre optique est }}entourée d'une gaine en verre d'indice <math>\;n_g = 1,52</math>. {{Al|5}}On courbe la fibre optique comme indiqué sur la figure ci-contre. {{Al|5}}Déterminer littéralement, puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}numériquement, le rayon de courbure minimal <math>\;R_{\text{min}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Déterminer numériquement, le rayon de courbure minimal }}pour que le faisceau <math>\;\parallel</math>, normal à la face d'entrée de l'âme et la recouvrant entièrement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Déterminer numériquement, le rayon de courbure minimal pour que le faisceau <math>\;\color{transparent}{\parallel}</math>, }}soit transmis intégralement par la fibre. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}Une fibre optique constituée d'une âme en verre d'indice <math>\;n_a = 1,66\;</math> et entourée d'une gaine en verre d'indice «<math>\;n_g < n_a\;</math>» est courbée dans le but de guider le faisceau <math>\;\parallel</math>, pénétrant normalement à la face d'entrée de l'âme et la recouvrant entièrement, vers la face de sortie et ceci sans aucune perte. {{Al|5}}<u>Pour que tous les rayons incidents</u><math>\;\perp\;</math> à la face d'entrée de la fibre optique <u>soient transmis intégralement</u> par cette dernière, il suffit qu'une fois entrés sans déviation dans l'âme de la fibre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que tous les rayons incidents <math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math> à la face d'entrée de la fibre optique soient transmis intégralement par cette dernière, il suffit qu’}}<u>ils subissent une réflexion totale sur la surface interne de la gaine</u>, ce qui a pour effet de les renvoyer dans l'âme et donc de les maintenir guidés par la fibre de façon à ce qu'ils émergent par la face de sortie de cette dernière <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessous<math>\big)</math>. <gallery mode="packed" heights="200px"> Fibre optique courbée - transmission d'un faisceau parallèle - bis.png|Schéma, hors échelle, du cheminement interne d'un faisceau <math>\;\parallel\;</math> arrivant normalement à la face d'entrée d'une fibre optique courbée de rayon de courbure <math>\;R\;</math> et émergeant par la face de sortie </gallery> {{Al|5}}Appelant «<math>\;i\;</math>» l'angle d'incidence du rayon rencontrant la surface interne de la gaine, et «<math>\;l\;</math>» l'angle limite de l'interface « âme - gaine », la condition de réflexion totale est <center>«<math>\;i > l\;</math>»<ref name="condition de réflexion totale"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Cône_limite_d'incidence_pour_qu'il_y_ait_réfraction_dans_le_cas_d'un_milieu_plus_réfringent_à_un_milieu_moins_réfringent|cône limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction dans le cas d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> On a choisi le sens <math>\;+\;</math> de mesure des angles de façon à ce qu'ils soient tous <math>\;> 0</math>, sinon la condition aurait été «<math>\;\vert i \vert > l\;</math>».</ref> avec «<math>\;\sin(l) = \dfrac{n_g}{n_a}\;</math>»<ref name="angle limite d'un dioptre" /> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Angle_limite_d'un_dioptre|angle limite d'un dioptre]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>soit «<math>\;\sin(i) > \dfrac{n_g}{n_a}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}cette condition sera vérifiée pour tous les rayons si «<math>\;\min\limits_{i\, \in\, \mathcal{D}} \left[ \sin(i)\right ] > \dfrac{n_g}{n_a}\;</math>» <math>\;\big(\mathcal{D}\;</math> étant le domaine de définition de <math>\;i\;</math> dans les conditions du faisceau incident<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette condition sera vérifiée pour tous les rayons si }}le minimum correspondant au rayon incident du plan de courbure de la fibre le plus éloigné de l'axe de courbure dans le sens de cette dernière <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette condition sera vérifiée pour tous les rayons si le minimum correspondant}}<math>\big(</math>c'est-à-dire le rayon incident « inférieur » de la figure ci-dessus<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|cette condition sera vérifiée pour tous les rayons si le minimum correspondant}}pour ce rayon <math>\;\big(i\;</math> est minimal et noté <math>\;i_{\text{min}}\big)\;</math> on a «<math>\;\sin(i_{\text{min}}) = \dfrac{R - \dfrac{d}{2}}{R + \dfrac{d}{2}} = \dfrac{2\, R - d}{2\, R + d}\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|cette condition sera vérifiée pour tous les rayons si }}la condition de réflexion totale pour tous les rayons du faisceau incident se réécrit <math>\;\dfrac{2\, R - d}{2\, R + d} > \dfrac{n_g}{n_a}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;2\, R\, (n_a - n_g) > d\, (n_a + n_g)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;R > \dfrac{d}{2} \dfrac{n_a + n_g}{n_a - n_g}\;</math>». {{Al|5}}Nous en déduisons la valeur minimale du rayon de courbure de la fibre optique «<math>\;R_{\text{min}} = \dfrac{d}{2}\; \dfrac{n_a + n_g}{n_a - n_g}\;</math>». {{Al|5}}L'A.N<ref name="A.N." />. nous donne, avec <math>\;d = 50\, 10^{-6}\, m</math>, <math>\;n_a = 1,66\;</math> et <math>\;n_g = 1,52</math>, <math>\;R_{\text{min}} = \dfrac{50\, 10^{-6}}{2}\, \dfrac{1,66 + 1,52}{1,66 - 1,52} \simeq 5,68\, 10^{-4}\, m\;</math> soit «<math>\;R_{\text{min}} \simeq 0,57\, mm\;</math>» <math>\;\big(</math>c'est un rayon de courbure excessivement petit <math>\Rightarrow</math> non atteignable pratiquement et par suite la condition pour qu'un faisceau incident <math>\;\parallel</math>, normal à la face d'entrée de la fibre, soit transmis intégralement est toujours réalisée en pratique<math>\big)</math>.}} === Angle d'incidence d'un rayon arrivant sur la face d'entrée d'une fibre optique non courbée pour qu'il soit transmis === [[File:Fibre optique non courbée.png|thumb|350px|Schéma d'une fibre optique non courbée constituée d'une âme d'indice <math>\;n_a\;</math> entourée d'une gaine d'indice <math>\;n_g</math>, recherche de la condition pour qu'un rayon incident incliné par rapport à l'axe de la fibre soit transmis]] {{Al|5}}Une fibre optique est constituée d'une âme en verre d'indice <math>\;n_a = 1,66</math>, entourée d'une gaine en verre d'indice <math>\;n_g = 1,52</math>. {{Al|5}}Cette fibre n'est pas courbée et on considère un rayon incident d'angle d'incidence <math>\;i\;</math> <math>\big(</math>supposé positif<math>\big)\;</math> comme indiqué sur la figure ci-contre {{Nobr|<math>\;\big[</math>le}} rayon représenté a un point d'incidence sur l'axe de la fibre mais ce point pourrait n'importe où sur la face d'entrée de cette dernière à condition que le plan d'incidence <math>\;\big(</math>plan contenant le rayon et <math>\;\perp\;</math> à la face d'entrée<math>\big)\;</math> contienne l'axe de la fibre<math>\big]</math>. {{Al|5}}Déterminer littéralement, puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}numériquement, l'angle d'incidence maximal <math>\;i_{\text{max}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Déterminer numériquement, l'angle d'incidence maximal }}pour lequel le rayon émerge par la face de sortie de la fibre non courbée. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}Une fibre optique constituée d'une âme en verre d'indice <math>\;n_a\;</math> entourée d'une gaine en verre d'indice <math>\;n_g\;</math> est maintenue rectiligne ; <br>{{Al|5}}on souhaite déterminer l'angle d'incidence limite qu'un rayon incident doit avoir pour émerger par la face de sortie <math>\;\big(</math>cet angle limite s'appelle « <u>angle d'acceptance</u> »<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|on souhaite déterminer l'angle d'incidence limite }}les choix <math>\;(\alpha)\;</math> et <math>\;(\beta)\;</math> des sens <math>\;+\;</math> de mesure des angles <math>\;\big(</math>voir figure ci-dessous<math>\big)\;</math> ont été choisis pour que tous les angles y soient a priori de même signe <br>{{Al|5}}{{Transparent|on souhaite déterminer l'angle d'incidence limite les choix <math>\;\color{transparent}{(\alpha)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{(\beta)}\;</math> des sens <math>\;\color{transparent}{+}\;</math> de mesure des angles <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>voir figure ci-dessous<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> ont été choisis pour que tous les angles y soient}}<math>\big(</math>en l'occurrence <math>\;> 0\big)</math>. <gallery mode="packed" heights="200px"> Fibre optique non courbée - bis.png|Schéma du cheminement interne d'un rayon incident incliné par rapport à l'axe d'une fibre optique non courbée constituée d'une âme d'indice <math>\;n_a\;</math> entourée d'une gaine d'indice <math>\;n_g</math>, recherche de l'inclinaison maximale pour que le rayon soit intégralement transmis </gallery> {{Al|5}}Le rayon incident arrivant sur la <u>face d'entrée de la fibre optique</u> y subit <u>toujours une réfraction</u> <math>\;\big\{</math>passage d'un milieu moins réfringent <math>\;\big(</math>air d'indice <math>\;n_{\text{air}} \simeq 1\big)\;</math> à un plus réfringent <math>\;\big(</math>l'âme d'indice <math>\;n_a = 1,66\big)\big\}\;</math><ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction - ter"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction]] (n₁ < n₂ exemple dioptre air - verre) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|2}}{{Transparent|Le rayon incident }}il émerge en faisant un angle de réfraction «<math>\;r\;</math>» lié à l'angle d'incidence «<math>\;i\;</math>» par «<math>\;\sin(i) = n_a \sin(r)\;</math>»<ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction - bis" />{{,}}<ref name="orientation des angles d'incidence et de réfraction de la face d'entrée"> Les angles <math>\;i\;</math> et <math>\;r\;</math> sont orientés selon la convention <math>\;(\alpha)\;</math> précisée sur la figure ci-dessus.</ref> ; {{Al|5}}ce rayon réfracté arrive alors sur la <u>surface interne de la gaine</u> avec un angle d'incidence «<math>\;r'\;</math>»<ref name="orientation de l'angle r'"> L'angle «<math>\;r'\;</math>» est orienté selon la convention <math>\;(\beta)\;</math> précisée sur la figure ci-dessus.</ref> où il doit subir <u>une réflexion totale</u> de façon à revenir dans l'âme, l'angle de réflexion y valant alors «<math>\;r'\;</math>»<ref name="exception d'application de la 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion"> L'angle de réflexion est orienté selon la convention <math>\;(\alpha)\;</math> précisée sur la figure ci-dessus, alors que l'angle d'incidence l'est selon la convention opposée <math>\;(\beta)</math>, ceci permettant d'écrire l'égalité des deux angles au lieu d'écrire qu'ils sont opposés selon la 2^ème loi de Snell - Descartes de la réflexion <math>\;\big(</math>voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#cite_note-2ème_loi_de_Snell_-_Descartes_de_la_réflexion-65|⁶⁵]] » plus bas dans cette série d'exercices<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|ce rayon réfracté arrive alors sur la surface interne de la gaine avec un angle d'incidence «<math>\;\color{transparent}{r'}\;</math>» où il doit }}pouvoir continuer en direction de la face de sortie de cette dernière ; {{Al|5}}arrivé sur la <u>face de sortie</u>, il y aura <u>toujours réfraction</u>, l'angle d'incidence sur cette dernière valant «<math>\;r\;</math>» et l'angle de réfraction «<math>\;i\;</math>»<ref name="orientation des angles d'incidence et de réfraction de la face de sortie"> Les angles d'incidence et de réfraction sur la face de sortie, respectivement <math>\;r\;</math> et <math>\;i</math>, sont orientés selon la convention <math>\;(\beta)\;</math> précisée sur la figure ci-dessus.</ref>, justification par retour inverse relativement aux rayons de la face d'entrée<ref name="retour inverse de la lumière" />. {{Al|5}}La <u>condition de réflexion totale sur la surface interne de la gaine étant</u> «<math>\;r' > l\;</math>»<ref name="condition de réflexion totale" /> avec <math>\;l</math>, angle limite du dioptre « âme - gaine », défini par «<math>\;\sin(l) = \dfrac{n_g}{n_a}\;</math>»<ref name="angle limite d'un dioptre" />, elle peut se réécrire «<math>\;\sin(r') > \sin(l) = \dfrac{n_g}{n_a}\;</math>» ; {{Al|5}}pour <u>évaluer</u><math>\;r'</math>, on remarque que <u>c'est le complémentaire de </u><math>\;r'\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sin(r') = \cos(r)\;</math>» ; {{Al|5}}on termine en utilisant la <u>2^ème loi de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes" /> appliquée à la réfraction sur la face d'entrée<ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction - bis" /></u> soit «<math>\;\sin(i) = n_a\, \sin(r)\;</math>» d'où : {{Al|5}}«<math>\;\sin(i) = n_a\, \sin(r) = n_a \sqrt{1 - \cos^2(r)} = n_a \sqrt{1 - \sin^2(r')}\;</math>» ou, en utilisant «<math>\;\sin(r') > \sin(l) = \dfrac{n_g}{n_a}\;</math>» on en tire «<math>\;\sin(i) < n_a \sqrt{1 - \dfrac{n_g^2}{n_a^2}}\;</math>» ou encore «<math>\;\sin(i) < \sqrt{n_a^2 - n_g^2}\;</math>» soit, <math>\;i\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <center>«<math>\;i < \arcsin\! \left( \sqrt{n_a^2 - n_g^2} \right)\;</math>».</center> {{Al|5}}L'A.N<ref name="A.N." />. nous donne : <math>\;i < \arcsin (\sqrt{1,66^2 - 1,52^2})\;</math> soit «<math>\;i \lesssim 41,85\,\text{°}\;</math>» <math>\;\big(</math>l'angle d'acceptance de cette fibre optique est donc <math>\;41,85\,\text{°}\big)</math>.}} == Réfraction dans un prisme, formules du prisme == [[File:Prisme - réfraction.jpg|thumb|320px|Section droite d'un prisme et cheminement d'un rayon incident avec précision de l'algébrisation des angles]] {{Al|5}}Un prisme, d'indice <math>\;n\;</math> et d’angle <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;A</math>, est plongé dans l'air ; les rayons lumineux incidents sont contenus dans le plan de section principale du prisme<ref> On déduit, d'après la 1^ère loi de Snell - Descartes de la réfraction, que le rayon émergent par la face d'entrée <math>\;II'\;</math> est aussi dans le plan de section principale du prisme et comme c'est encore le rayon incident arrivant sur la face de sortie, le rayon émergent par cette dernière <math>\;I'T'\;</math> est également dans le plan de section principale du prisme d'où le schéma ci-contre où tous les rayons sont dans le plan de section droite.</ref> et leurs composantes monochromatiques sont considérées séparément. {{Al|5}}On définit après orientation particulière de ce plan <math>\;\big[i\;</math> et <math>\;r\;</math> angles « d'entrée », respectivement d'incidence et de réfraction sur la face d'entrée, algébrisés selon le sens «<math>\;+\;(\alpha)\;</math>» défini à gauche du schéma, <math>\;r'\;</math> et <math>\;i'\;</math> angles « de sortie », respectivement d'incidence et de réfraction sur la face de sortie, algébrisés selon le sens «<math>\;+\;(\beta)\;</math>» défini à droite du schéma<ref> On remarque que les deux algébrisations sont de sens opposés, ceci étant imposés pour que les formules du prisme soient les plus simples possibles.</ref><math>\big]</math>, la déviation <math>\;D\;</math> comme étant l'angle orienté <math>\;\big[</math>selon le sens «<math>\;+\;(\beta)\;</math>» des angles « de sortie »<math>\big]\;</math> que fait le rayon émergent avec le rayon incident ; dans ce qui suit <math>-</math> sauf dans la question traitant de la dispersion <math>-</math> le rayon incident étant considéré « monochromatique », l'indice est supposé constant. === Les quatre formules du prisme === {{Al|5}}Établir les quatre formules du prisme <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\sin(i) = n\, \sin(r)&(\mathfrak{1})\\ n\, \sin(r') = \sin(i')&(\mathfrak{2})\\ A = r + r'&(\mathfrak{3})\\ D = i + i' - A&(\mathfrak{4})\end{array} \right\rbrace\;</math> liant les cinq angles définissant les réfractions dans le prisme. {{Solution|contenu ={{Al|5}}La 1^ère et 2^ème formules correspondent à la 2^ème loi de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes" /> pour la réfraction sur les faces d'entrée et de sortie<ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction - bis" /> ; <br>{{Al|5}}la 3^ème formule se démontre en travaillant dans le triangle <math>\;II'L\;</math> <math>\big(I\;</math> point d'incidence sur la face d'entrée, <math>\;I'\;</math> point d'incidence sur la face de sortie et <math>\;L\;</math> point d'intersection des normales en <math>\;I\;</math> et <math>\;I'\big)\;</math> <ref> Le schéma est fait avec <math>\;i > 0\;</math> et dans ce cas usuellement tous les autres angles sont positifs avec le choix des sens «<math>\;+\;</math>» précités sans toutefois que ce soit systématique.</ref>, <math>\;r\;</math> et <math>\;r'\;</math> sont deux des angles intérieurs au triangle, <math>\;A\;</math> étant le 3^ème angle extérieur à ce triangle<ref> En effet les côtés de cet angle extérieur étant les normales aux faces et les faces faisant un angle <math>\;A\;</math> entre elles, l'angle extérieur vaut également <math>\;A\;</math> selon la propriété " deux angles à côtés respectivement <math>\;\perp\;</math> sont égaux ".</ref>, on en déduit <math>\;r + r' = A\;</math> selon la propriété <math>\;(\Sigma)\;</math> des angles d'un triangle : " la somme de deux des angles intérieurs à un triangle est égale au 3^ème angle extérieur à ce triangle "<ref> En effet sachant que la somme des trois angles intérieurs à un triangle est égale à <math>\;\pi\;</math> soit <math>\;\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = \pi\;</math> ou en transposant l'un des angles intérieurs dans le membre de droite <math>\;\alpha_1 + \alpha_2 =</math> <math>\pi - \alpha_3</math>, <math>\;\pi - \alpha_3\;</math> étant l'angle extérieur associé à l'angle intérieur <math>\;\alpha_3</math>.</ref>{{,}}<ref name="propriété Sigma des angles d'un triangle"> La somme de deux des angles intérieurs à un triangle est égale au 3^ème angle extérieur à ce triangle.</ref> ; <br>{{Al|5}}la 4^ème formule se démontre en travaillant dans le triangle <math>\;II'K\;</math> <math>\big(K\;</math> point d'intersection entre le rayon émergent <math>\;I'T'\;</math> et le rayon incident <math>\;SI\big)</math> ; <math>\;D\;</math> étant un angle extérieur à ce triangle, les deux autres angles intérieurs sont <math>\;i - r\;</math> et <math>\;i' - r'\;</math> d'où, par propriété <math>\;(\Sigma)\;</math> des angles d'un triangle<ref name="propriété Sigma des angles d'un triangle" /> <math>\;(i - r) + (i' - r') = D\;</math> ou <math>\;D = i + i' - (r + r')\;</math> soit enfin, en utilisant la formule <math>\;(\mathfrak{3})</math>, <math>\;D = i + i' - A</math>.}} === Conditions pour que le rayon émergent de la face d'entrée rencontre la face de sortie === {{Al|5}}Vérifier qu'un rayon incident subit toujours une réfraction sur la face d'entrée quel que soit l'angle d'incidence et {{Al|5}}déterminer la condition sur cet angle d'incidence pour que le rayon émergent de la face d'entrée rencontre la face de sortie <math>\;\big(</math>on notera <math>\;l\;</math> l'angle limite<math>\big)</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Condition de réfraction sur la face d'entrée</u> : quand <math>\;i \searrow\;</math> de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math> à <math>\;-\dfrac{\pi}{2}</math>, <math>\;r \searrow\;</math> de <math>\;+l_e\;</math> à <math>\;-l_e\;</math> <math>\bigg[</math>où <math>\;l_e = l\;</math> est l'angle limite du dioptre d'entrée<ref name="même angle limite en entrée et en sortie"> Comme les espaces d'entrée et de sortie sont les mêmes, c.-à-d. l'air, l'angle limite du dioptre d'entrée <math>\;l_e\;</math> est égal à celui du dioptre de sortie <math>\;l_s\;</math> d'où une notation simplifiée <math>\;l</math>.</ref> tel que <math>\;\sin(l) = \dfrac{1}{n}\;</math> ou encore <math>\;l = \arcsin\! \left( \dfrac{1}{n} \right)\bigg]</math>, la réfraction sur la face d'entrée est donc toujours possible ; {{Al|5}}<u>condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie</u> : le rayon intermédiaire fait alors avec la face d'entrée<ref> Plus exactement le rayon intermédiaire fait avec la trace de la face d'entrée sur la section principale.</ref> l'angle, compté positivement selon le sens <math>\;(\alpha)</math>, <math>\;\dfrac{\pi}{2} + r\;</math> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : le rayon intermédiaire fait alors avec la face d'entrée l'angle, }}dans la mesure où cet angle est <math>\;>\;</math> à <math>\;A</math>, il rencontre la face de sortie ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : le rayon intermédiaire fait alors avec la face d'entrée l'angle, }}le point <math>\;I'\;</math> existe donc si <math>\;i\;</math> est tel que <math>\;\dfrac{\pi}{2} + r > A\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;r > A - \dfrac{\pi}{2}</math> ; {{Al|2}}{{Transparent|condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : le rayon intermédiaire }}il existera toujours <math>\;\forall\; i\;</math> si <math>\;\min\! \left( \dfrac{\pi}{2} + r \right)\! > A\;</math> soit <math>\;\dfrac{\pi}{2} - l_e > A\;</math> ou encore «<math>\;\dfrac{\pi}{2} - l > A\;</math>» ; <br>{{Al|2}}{{Transparent|condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : le rayon intermédiaire }}la condition d'existence de <math>\;I'\;\forall\; i\;</math> à savoir <math>\;A < \dfrac{\pi}{2} - l\;</math> est toutefois un peu trop stricte<ref> En effet il suffira que <math>\;I'\;</math> existe quand la réfraction sur la face de sortie est possible, le fait que <math>\;I'\;</math> existe dans le cas où il doit y avoir ensuite réflexion totale sur la face de sortie ne nous intéresse pas.</ref> <math>\;\big(</math>par exemple, pour un prisme d'indice <math>\;n = 1,50</math>, <math>\;l = 41,8\, \text{°}</math>, la condition d'existence de <math>\;I'\;</math> pour tout angle d'incidence s'écrit alors <math>\;A < 48,2 \text{°}\;</math> <math>\Rightarrow</math> condition non réalisée pour un prisme d'angle <math>\;A = 60\, \text{°}\;</math><ref> Ce qui signifie que pour certains angles d'incidence dans le cas où <math>\;A = 60\, \text{°}</math>, le rayon intermédiaire ne rencontrera pas la face de sortie <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : }}dans la mesure où le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie pour au moins une valeur de <math>\;i</math>, il est nécessaire que l'angle de réfraction sur la face d'entrée suive «<math>\;r > A - \dfrac{\pi}{2}\;</math>» c'est-à-dire encore que l'angle d'incidence <math>\;i\;</math> soit tel que <math>\;\sin(r) > \sin\! \left( A - \dfrac{\pi}{2} \right) = -\cos(A)\;</math> ou encore «<math>\;\sin(i) > -n\, \cos(A)\;</math>» <math>\;\big[</math>par exemple pour un angle <math>\;A = 60\, \text{°}\;</math> et un indice <math>\;n = 1,50</math>, la condition d'existence de <math>\;I'\;</math> pour la valeur <math>\;i\;</math> nécessite que <math>\;i\;</math> soit tel que <math>\;\sin(i) > -1,50 \times \cos(60\, \text{°}) = -0,75\;</math> ou «<math>\;i > -48,6\, \text{°}\;</math>»<ref> Ce qui est beaucoup moins strict que la condition de réfraction sur la face de sortie que l'on détermine par la suite à savoir <math>\;i > i_0\;</math> avec <math>\;\sin(i_0) = n\, \sin(A - l)\;</math> <math>\big[</math>voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Conditions_d'émergence_d'un_rayon_incident|conditions d'émergence d'un rayon incident]] » plus loin dans cet exercice<math>\big]\;</math> ce qui donne numériquement <math>\;\sin(i_0) = 1,50 \times \sin(60\, \text{°} - 41,8\, \text{°})\;</math> ou <math>\;i_0 \simeq 27,9\, \text{°}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour les valeurs de <math>\;i\;</math> tel que <math>\;i < -48,6\, \text{°}</math>, <math>\;I'\;</math> n'existe pas et il n'y aura évidemment pas émergence par la face de sortie puisque celle-ci ne sera pas atteinte, <br>{{Al|3}}alors que pour <math>\;i\;</math> tel que <math>\;-48,6\, \text{°} < i < 27,9\, \text{°}</math>, <math>\;I'\;</math> existe mais le rayon intermédiaire subira une réflexion totale sur la face de sortie comme nous le verrons par la suite <math>\big[</math>voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Conditions_d'émergence_d'un_rayon_incident|conditions d'émergence d'un rayon incident]] » plus loin dans cet exercice<math>\big]</math>, ce qui ne nous intéresse pas.</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : }}nous supposerons par la suite que <math>\;I'\;</math> existe pour la valeur de <math>\;i\;</math> considérée c'est-à-dire que «<math>\;r > A - \dfrac{\pi}{2}\;</math>»<ref> En effet si <math>\;I'\;</math> n'existe pas il ne peut y avoir émergence par la face de sortie.</ref>.}} === Conditions d'émergence d'un rayon incident === {{Al|5}}Étudier les conditions d’émergence du rayon incident, en particulier on montrera que : * si «<math>\;A > 2\, \mathit{l}\;</math>»,{{Al|8}}il n'y a jamais émergence, * si «<math>\;\mathit{l} < A < 2\, \mathit{l}\,</math>», il y a émergence pour <math>\;i\;</math> compris entre une valeur <math>\;i_0 > 0\;</math> et <math>\;\mathit{l}</math>, * si «<math>\;A < \mathit{l}\;</math>»,{{Al|10}}il y a émergence pour <math>\;i\;</math> compris entre une valeur <math>\;i_0 < 0\;</math> et <math>\;\mathit{l}</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, c'est-à-dire qu'il y ait émergence</u> : de «<math>\;i \searrow\;</math> de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math> à <math>\;-\dfrac{\pi}{2}\;</math>» on déduit «<math>\;r \searrow\;</math> de <math>\;l_e\;</math> à <math>\;-l_e\;</math>» et, dans le cas où le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie, que «<math>\;r' = A - r \nearrow\;</math> de <math>\;A - l_e\;</math> à <math>\;A + l_e\;</math>» par utilisation de la formule <math>\;(\mathfrak{3})</math>, que l'on peut réécrire «<math>\;r' = A - r \nearrow\;</math> de <math>\;A - l\;</math> à <math>\;A + l\;</math>»<ref name="même angle limite en entrée et en sortie" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, }}or, <u>pour qu'il y ait émergence</u>, il faut que <math>\;r'\;</math> soit compris entre <math>\;-l_s\;</math> et <math>\;+l_s\;</math> <math>\big[</math>où <math>\;l_s\;</math> est l'angle limite du dioptre de sortie, c'est-à-dire également ici celui d'entrée d'où <math>\;l_s = l\;</math><ref name="même angle limite en entrée et en sortie" /><math>\big]\;</math> soit encore «<math>\;r'\;</math> compris entre <math>\;-l\;</math> et <math>\;+l\;</math>»<ref name="même angle limite en entrée et en sortie" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, }}si <math>\;A - l > l\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;A > 2\, l\;</math>», l'intervalle de variations de <math>\;r'\;</math> résultant de celles de <math>\;i\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si <math>\;\color{transparent}{A - l > l}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{A > 2\, l}\;</math>», }}l'intervalle d'appartenance de <math>\;r'\;</math> pour qu'il y ait réfraction par la face de sortie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si <math>\;\color{transparent}{A - l > l}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{A > 2\, l}\;</math>», }}n'ont aucune intersection <math>\Rightarrow</math> <u>il n'y a jamais émergence par la face de sortie</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si <math>\;\color{transparent}{A - l > l}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{A > 2\, l}\;</math>», }}le rayon intermédiaire étant réfléchi sur la face de sortie <math>\;\big[r' > A - l > l\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, }}si <math>\;A - l < l\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;A < 2\, l\;</math>», l'intervalle de variations de <math>\;r'\;</math> résultant de celles de <math>\;i\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si <math>\;\color{transparent}{A - l < l}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{A < 2\, l}\;</math>», }}l'intervalle d'appartenance de <math>\;r'\;</math> pour qu'il y ait réfraction par la face de sortie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si <math>\;\color{transparent}{A - l < l}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{A < 2\, l}\;</math>», }}ont pour intersection l'intervalle <math>\;\left[ A - l\; \text{ ; } l \right]\;</math> correspondant à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si <math>\;\color{transparent}{A - l < l}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{A < 2\, l}\;</math>», }}l'intervalle de variation de <math>\;r = A - r'\;</math> à savoir <math>\;\left[ A - l\; \text{ ; } l \right]\;</math><ref name="Valeurs correspondantes"> Quand <math>\;r' = A - l</math>, <math>\;r = l\;</math> correspondant à une incidence rasante <math>\;i = \dfrac{\pi}{2}\;</math> et quand <math>\;r' = l</math>, correspondant à une émergence rasante <math>\;i' = \dfrac{\pi}{2}</math>, <math>\;r = A - l\;</math> obtenu pour un angle d'incidence <math>\;i_0</math>.</ref> et à <br>{{Al|33}}{{Transparent|Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si <math>\;\color{transparent}{A - l < l}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{A < 2\, l}\;</math>», }}celui de <math>\;i\;</math> à savoir «<math>\;\left[ i_0\; \text{ ; } \dfrac{\pi}{2} \right]\;</math>»<ref name="Valeurs correspondantes" /> <br>{{Al|33}}{{Transparent|Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si <math>\;\color{transparent}{A - l < l}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{A < 2\, l}\;</math>», }}où <math>\;i_0\;</math> est défini par «<math>\;\sin(i_0) = n\, \sin(A - l)\;</math>»<ref name="signe de i0"> Pour <math>\;A > l</math>, <math>\;i_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et pour <math>\;A < l</math>, <math>\;i_0\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si <math>\;\color{transparent}{A - l < l}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{A < 2\, l}\;</math>», }}<u>il y a émergence par la face de sortie</u> si «<math>\;i > i_0\;</math>»<ref> Quand <math>\;i = i_0</math>, le rayon émerge en réfraction rasante <math>\;i' = \dfrac{\pi}{2}</math>, correspondant à <math>\;r' = l\;</math> et à <math>\;r = A - l</math>, la définition de <math>\;i_0\;</math> suivant alors la 1^ère formule du prisme.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si <math>\;\color{transparent}{A - l < l}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{A < 2\, l}\;</math>», }}si «<math>\;i < i_0\;</math>», <math>\;r < A - l\;</math> et <math>\;r' > l\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si <math>\;\color{transparent}{A - l < l}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{A < 2\, l}\;</math>», si «<math>\;\color{transparent}{i < i_0}\;</math>», }}<u>le rayon intermédiaire est alors réfléchi sur la face de sortie</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si <math>\;\color{transparent}{A - l < l}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{A < 2\, l}\;</math>», si «<math>\;\color{transparent}{i < i_0}\;</math>», }}il n'y a donc pas émergence du prisme par la face de sortie. <center>il faut toujours avoir en tête les correspondances suivantes : <math>\;\begin{array}{|c|c c c|} \hline i & i_0 & \nearrow & \dfrac{\pi}{2}\\ \hline r & A - l & \nearrow & l\\ \hline r' & l & \searrow & A - l\\ \hline i' & \dfrac{\pi}{2} & \searrow & i_0\\ \hline \end{array}\;</math> </center>}} === Variation de la déviation en fonction de l'angle d'incidence sur la face d'entrée pour un prisme dans lequel le rayon incident monochromatique conduit à une émergence par la face de sortie === {{Al|5}}On suppose <math>\;A\;</math> quelconque mais dans les conditions où il y a émergence et on fait varier <math>\;i</math>. {{Al|5}}Montrer que la déviation <math>\;D\;</math> passe par un minimum noté <math>\;D_m\;</math> quand <math>\;r = r'\;</math> ou <math>\;i = i'\;\big(</math>valeur commune notée <math>\;i_m\big)</math>. {{Al|5}}Montrer que <math>\;\sin(i_m) = n\, \sin\! \left( \dfrac{A}{2} \right)\;</math> et que <math>\;D_m = 2\, i_m - A</math>. {{Al|5}}En déduire que la mesure de <math>\;A\;</math> et de <math>\;D_m\;</math> pour une couleur déterminée permet de connaître l’indice <math>\;n\;</math> pour cette couleur ; on montrera que <math>\;n = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{A + D_m}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{A}{2} \right)}</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Tableau de variation de</u><math>\;D\;</math><u>relativement à</u><math>\;i</math> : Le rayon étant monochromatique, <math>\;n\;</math> est constant ; {{Al|5}}{{Transparent|Tableau de variation de<math>\;\color{transparent}{D}\;</math>relativement à<math>\;\color{transparent}{i}</math> : }}quand l'angle d'incidence varie de <math>\;i\;</math> à <math>\;i + di</math>, on cherche à évaluer la variation <math>\;dD\;</math> de la déviation en fonction, entre autres, de <math>\;di\;</math> de façon à en déduire <math>\;\dfrac{dD}{di}</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Tableau de variation de<math>\;\color{transparent}{D}\;</math>relativement à<math>\;\color{transparent}{i}</math> : }}pour cela on différencie les quatre formules du prisme selon <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\cos(i)\, di &=& n\, \cos(r)\, dr&(\mathfrak{1}')\\ n\, \cos(r')\, dr' &=& \cos(i')\, di'&(\mathfrak{2}')\\ 0 &=& dr + dr'&(\mathfrak{3}')\\ dD &=& di + di'&(\mathfrak{4}')\end{array} \right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Tableau de variation de<math>\;\color{transparent}{D}\;</math>relativement à<math>\;\color{transparent}{i}</math> : pour cela }}on exprime <math>\;di'\;</math> en fonction de <math>\;dr'\;</math> par <math>\;(\mathfrak{2}')</math>, puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Tableau de variation de<math>\;\color{transparent}{D}\;</math>relativement à<math>\;\color{transparent}{i}</math> : pour cela on exprime <math>\;\color{transparent}{di'}\;</math> }}en fonction de <math>\;dr\;</math> par <math>\;(\mathfrak{3}')\;</math> et enfin <br>{{Al|5}}{{Transparent|Tableau de variation de<math>\;\color{transparent}{D}\;</math>relativement à<math>\;\color{transparent}{i}</math> : pour cela on exprime <math>\;\color{transparent}{di'}\;</math> }}en fonction de <math>\;di\;</math> par <math>\;(\mathfrak{1}')</math>, expression que l'on reporte dans <math>\;(\mathfrak{4}')\;</math> soit : {{Al|5}}{{Transparent|Tableau de variation de<math>\;\color{transparent}{D}\;</math>relativement à<math>\;\color{transparent}{i}</math> : }}<math>\;dD = di + \dfrac{n\, \cos(r')}{\cos(i')}\, dr'\;</math><ref> <math>\;\cos(i') \neq 0</math>, l'émergence rasante correspondant à <math>\;i' \rightarrow \left( \dfrac{\pi}{2} \right)^{\!-}\;</math> et non à <math>\;i' = \dfrac{\pi}{2}</math>.</ref> ou <math>\;dD = di - \dfrac{n\, \cos(r')}{\cos(i')}\, dr = di - \dfrac{n\, \cos(r')}{\cos(i')}\, \dfrac{\cos(i)}{n\, \cos(r)}\, di\;</math><ref> <math>\;\cos(r) \neq 0\;</math> car <math>\;r\;</math> varie entre <math>\;A - l\;</math> et <math>\;l</math>.</ref> ou <math>\;dD = \left[ 1 - \dfrac{\cos(r')\, \cos(i)}{\cos(r)\, \cos(i')} \right] di\;</math> <math>\Rightarrow</math> <center>«<math>\;\dfrac{dD}{di} = 1 - \dfrac{\cos(r')\, \cos(i)}{\cos(r)\, \cos(i')}\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Condition d'annulation de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence</u> : Une solution évidente est «<math>\;r = r'\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;i = i'\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Condition d'annulation de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence : }}la formule <math>\;(\mathfrak{3})\;</math> du prisme donne alors, pour valeur commune de <math>\;r = r'\;</math> «<math>\;\dfrac{A}{2}\;</math>»<ref> On constate que l'annulation de <math>\;\dfrac{dD}{di}\;</math> pour <math>\;r = r'\;</math> et <math>\;i = i'\;</math> fait jouer un rôle symétrique aux grandeurs d'entrée et de sortie ; retenant la symétrisation entre entrée et sortie du prisme lors de cette annulation, il est alors aisé de déterminer la valeur commune <math>\;r_m\;</math> de <math>\;r = r'\;</math> par <math>\;(\mathfrak{3})\;</math> se réécrivant <math>\;r_m + r_m = A</math> ; <br>{{Al|3}}si on applique la loi du retour inverse de la lumière, cette valeur commune <math>\;r_m\;</math> correspond encore à l'annulation de <math>\;\dfrac{dD}{di'}\;</math> de la fonction déviation exprimée en fonction de <math>\;i'</math>, l'expression de <math>\;\dfrac{dD}{di'}\;</math> s'obtenant en permutant <math>\;r\;</math> et <math>\;r'\;</math>, <math>\;i\;</math> et <math>\;i'</math>, soit <math>\;\dfrac{dD}{di'} = 1 - \dfrac{\cos(r)\, \cos(i')}{\cos(r')\, \cos(i)}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Condition d'annulation de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence : }}la valeur commune de <math>\;i = i'\;</math> notée <math>\;i_m\;</math> est fournie par la formule <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> du prisme c'est-à-dire «<math>\;\sin(i_m) = n\, \sin\! \left( \dfrac{A}{2} \right)\;</math>» ; ainsi <br>{{Al|5}}{{Transparent|Condition d'annulation de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence : }}on peut affirmer que la déviation <math>\;D\;</math> passe par un extremum pour <math>\;r = r' = \dfrac{A}{2}\;</math> correspondant à <math>\;i = i' = i_m\;</math> <ref> Un extremum est soit un maximum <math>\big[</math>c.-à-d. correspondant à <math>\;D \nearrow\;</math> pour <math>\;i \nearrow</math> en étant <math>< i_m\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> pour <math>\;i \nearrow</math> en étant <math>> i_m\big]</math>, soit un minimum <math>\big[</math>c.-à-d. correspondant à <math>\;D \searrow\;</math> pour <math>\;i \nearrow</math> en étant <math>< i_m\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> pour <math>\;i \nearrow</math> en étant <math>> i_m\big]</math>, soit une valeur stationnaire de <math>\;D\;</math> définie par l'annulation de <math>\;\dfrac{dD}{di}\;</math> avec une monotonie inchangée de part et d'autre <math>\big[</math>c.-à-d. correspondant à <math>\;D \nearrow\;</math> pour <math>\;i \nearrow</math> en étant <math>< i_m\;</math> puis, après l'annulation de sa dérivée, <math>\;\nearrow\;</math> pour <math>\;i \nearrow</math> en étant <math>> i_m\big]</math>, ce dernier cas étant bien souvent omis en physique car nettement plus rare.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Condition d'annulation }}<u>est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence</u> ? La réponse est affirmative et elle se justifie en cherchant d'autres zéros éventuels : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? }}les zéros devant être solutions de <math>\;\dfrac{\cos(i)}{\cos(r)} = \dfrac{\cos(i')}{\cos(r')}\;</math><ref> En effet <math>\;\dfrac{dD}{di} = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\cos(r')\, \cos(i) = \cos(r)\, \cos(i')\;</math> d'une part et d'autre part on regroupe les angles de sortie dans un membre et les angles d'entrée dans l'autre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? }}on élimine <math>\;i\;</math> au profit de <math>\;r\;</math> par la formule <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? on élimine }}<math>\;i'\;</math> au profit de <math>\;r'\;</math> par la formule <math>\;(\mathfrak{2})</math>, ce qui donne l'équation suivante <br>{{Al|5}}{{Transparent|Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? }}<math>\;\dfrac{\sqrt{1 - n^2\, \sin^2(r)}}{\cos(r)} = \dfrac{\sqrt{1 - n^2\, \sin^2(r')}}{\cos(r')}\;</math><ref> On utilise <math>\;\cos(i) = \sqrt{1 - \sin^2(i)}\;</math> car <math>\;\cos(i) > 0\;</math> d'une part puis on y reporte <math>\;\sin(i) = n\, \sin(r)\;</math> d'autre part ; on fait de même pour <math>\;i'\;</math> au profit de <math>\;r'</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? }}<math>\;\sqrt{\dfrac{1}{\cos^2(r)} - n^2\, \tan^2(r)} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{1}{\cos^2(r')} - n^2\, \tan^2(r')}\;</math> ou, à l'aide de <math>\;\dfrac{1}{\cos^2(r)} = 1 + \tan^2(r)\;</math><ref> Ainsi que <math>\;\dfrac{1}{\cos^2(r')} = 1 + \tan^2(r')</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? }}<math>\;\sqrt{1 + (1 - n^2)\, \tan^2(r)} = \sqrt{1 + (1 - n^2)\, \tan^2(r')}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\tan^2(r) = \tan^2(r')\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? }}«<math>\;r' = \pm r\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? }}la solution <math>\;r' = - r\;</math> étant exclue car <math>\;r' + r = A \neq 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? }}<u>la seule solution est donc bien la solution évidente trouvée précédemment</u> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? }}«<math>\;r' = r = r_m\;</math> avec <math>\;r_m = \dfrac{A}{2}\;</math>». {{Al|5}}Le tableau de variation de <math>\;D\;</math> en fonction de <math>\;i\;</math> est alors le suivant, montrant effectivement que la déviation est « minimale » pour <math>\;i = i_m\;</math><ref> Pour cela il faut déterminer le signe de <math>\;\dfrac{dD}{di}\;</math> de part et d'autre de <math>\;i_m</math> ; en utilisant la continuité de <math>\;\dfrac{dD}{di}</math>, si on détermine le signe de <math>\;\dfrac{dD}{di}\;</math> pour une valeur du domaine <math>\;i > i_m</math>, ce sera le signe pour toutes les valeurs du domaine, de même pour le domaine <math>\;i < i_m</math> ; on détermine alors <math>\;\dfrac{dD}{di}\!\! \left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 1\;</math> d'où <math>\;\dfrac{dD}{di}(i) > 0\;</math> pour tout <math>\;i > i_m\;</math> et <math>\;\lim\limits_{i \rightarrow i_0^{+}} \left[ \dfrac{dD}{di}(i) \right] = \lim\limits_{i' \rightarrow \left( \dfrac{\pi}{2} \right)^{\!-}} \left[ \dfrac{dD}{di}(i) \right] = -\infty\;</math> <math>\big[\cos(i')\;</math> étant au dénominateur précédé d'un signe «<math>\;-\;</math>»<math>\big]\;</math> d'où <math>\;\dfrac{dD}{di}(i) < 0\;</math> pour tout <math>\;i < i_m</math>.</ref> : <center><math>\;\begin{array}{|c|l c c c r|} \hline & & & & & \\ \qquad i \qquad & \;\,i_0 & & i_m & & +\dfrac{\pi}{2}\\ & & & & & \\ \hline & \ \ \| & &| & &| \ \ \\ \qquad \dfrac{\mathrm dD}{\mathrm di} \qquad & -\infty & < 0 & 0 & > 0 & +1\\ & \ \ \| & &| & &| \ \ \\ \hline & D_M & & & & D_M\\ D & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & D_m & & \\ \hline \end{array}\;</math></center> [[File:Déviation par un prisme - graphe.jpg|thumb|400px|Graphe de la déviation, par un prisme, d'un rayon monochromatique en fonction de l'angle d'incidence de ce dernier]] {{Al|5}}la valeur de la « déviation minimale est alors <math>\;D_m = 2\, i_m - A\;</math>» alors que {{Al|11}}celle de la « déviation maximale <math>\;D_M\;</math> est obtenue pour une <u>émergence rasante</u> <math>\;\big(</math>correspondant à une incidence d'angle <math>\;i_0\big)\;</math> ou une <u>incidence rasante</u> <math>\;\big(</math>correspondant à une émergence d'angle <math>\;i_0\big)\;</math> soit <math>\;D_M = i_0 + \dfrac{\pi}{2} - A\;</math>». {{Al|5}}<u>Tracé du graphe de la déviation en fonction de l'angle d'incidence</u> : voir ci-contre. {{Al|5}}<u>Expression de l'indice du prisme en fonction de son angle et du minimum de déviation</u> : de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sin(i_m) = n\, \sin\!\left( \dfrac{A}{2} \right)\\ \text{et } \;D_m = 2\, i_m - A \end{array}\right\rbrace\;</math> on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression de l'indice du prisme en fonction de son angle et du minimum de déviation : }}«<math>\;i_m = \dfrac{A + D_m}{2}\;</math>» de la 2^ème relation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression de l'indice du prisme en fonction de son angle et du minimum de déviation : }}le report dans la 1^ère réécrite <math>\;n = \dfrac{\sin(i_m)}{\sin\!\left( \dfrac{A}{2} \right)}\;</math> conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression de l'indice du prisme en fonction de son angle et du minimum de déviation : }}«<math>\;n = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{A + D_m}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{A}{2} \right)}\;</math>»<ref> Relation fondamentale utilisée en [[W:Goniomètre#En optique|goniométrie du prisme]].</ref>.}} === Cas où d'un prisme de petit angle sous incidence quasi-normale === {{Al|5}}Donner une expression simplifiée de <math>\;D\;</math> en fonction de <math>\;n\;</math> et <math>\;A\;</math> lorsque l'angle du prisme ainsi que l'angle d'incidence sur la face d'entrée sont petits. {{Al|5}}Commenter quant à la variation de <math>\;D\;</math> en fonction de la couleur incidente<ref> On rappelle que l'indice <math>\;n\;</math> est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0</math>.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Nous supposons <math>\;A \ll 1\;</math> et <math>\;\vert i \vert \ll 1</math> ; de la formule <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> on en déduit <math>\;\vert r \vert \ll 1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous supposons <math>\;\color{transparent}{A \ll 1}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\vert i \vert \ll 1}</math> ; la formule }}de <math>\;(\mathfrak{3})\;</math> {{Transparent|on en déduit }}<math>\;\vert r' \vert \ll 1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous supposons <math>\;\color{transparent}{A \ll 1}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\vert i \vert \ll 1}</math> ; la formule }}de <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> {{Transparent|on en déduit }}<math>\;\vert i' \vert \ll 1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous supposons <math>\;\color{transparent}{A \ll 1}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\vert i \vert \ll 1}</math> ; la formule }}de <math>\;(\mathfrak{4})\;</math> {{Transparent|on en déduit }}<math>\;D \ll 1\;</math> d'où : {{Al|5}}les 2^èmes relations de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction<ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction - bis" /> se réécrivent «<math>\;i \simeq n\, r\;</math>» et «<math>\;n\, r' \simeq i'\;</math>»<ref> Dans le cas des petits angles les formules <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> deviennent les relations de Kepler ; en effet, historiquement '''[[w:Johannes_Kepler|Kepler]]''' a trouvé ces formules mais sans supposer que les angles étaient petits, c'était donc faux mais le nom est resté ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Kepler]] (1571 - 1630)''' <math>\;\big[</math>ou '''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Keppler]]'''<math>\big]\;</math> astronome allemand, surtout connu pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic (1473 - 1543)]]''' <math>\;\big[</math>chanoine, médecin et astronome polonais<math>\big]\;</math> et avoir découvert que les planètes suivent une trajectoire elliptique autour du Soleil <math>\;\big[</math>c'est lors de l'étude de l'orbite de Mars qu'il voit la nécessité de se pencher sur l'optique à cause de la réfraction atmosphérique<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}la déviation devient <math>\;D = i + i' - A \simeq n\, r + n\, r' - A = n\, ( r + r' ) - A\;</math> soit enfin, avec la formule <math>\;(\mathfrak{3})\;</math> <center>«<math>\;D \simeq (n - 1)\, A\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Si <math>\;\lambda_0\;</math> varie, <math>\;n\;</math> varie <math>\;\big(</math>le milieu constituant le prisme est toujours considéré comme dispersif<math>\big)</math>, on constate alors que la déviation <math>\;D\;</math> a la même variation que <math>\;n\;</math> pour un prisme de petit angle sous incidence quasi normale<ref> Ce résultat est généralisé dans le cas d'un prisme d'angle quelconque et d'incidence quelconque dans la question suivante.</ref>.}} === Étude de la dispersion dans le prisme === {{Al|5}}Le rayon incident étant maintenant considéré dans son ensemble c'est-à-dire constitué de toutes ses composantes monochromatiques et <br>{{Al|5}}« l'angle d'incidence sur la face d'entrée du prisme <math>\;i\;</math> restant maintenant constant », <br>{{Al|5}}on envisage d'étudier la variation de la déviation <math>\;D\;</math> en fonction de la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> c'est-à-dire de la couleur de la composante monochromatique sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|on envisage d'étudier la variation de la déviation <math>\;\color{transparent}{D}\;</math> en fonction de la longueur d'onde dans le vide <math>\;\color{transparent}{\lambda_0}\;</math> }}l'indice <math>\;n\;</math> du prisme est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> selon la formule de Cauchy<ref name="Cauchy"> '''[[w:Augustin_Louis_Cauchy|Augustin Louis Cauchy]] (1789 - 1857)''', mathématicien français à qui on doit, entre autres, dans le domaine de l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse]], des critères de [[w:Suite_de_Cauchy#Suite_réelle_ou_complexe_de_Cauchy|convergence des suites]] et une règle de [[w:Règle_de_Cauchy|convergence des séries entières]] et dans celui de l'optique, des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques.</ref> «<math>\;n = A + \dfrac{B}{\lambda_0^2}\;</math>» où <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> sont des constantes dépendant du milieu considéré, la 1^ère sans dimension et la 2^nde ayant la dimension du carré d'une longueur ; {{Al|5}}établir la relation <math>\;\left( \dfrac{\partial D}{\partial \lambda_0} \right)_{\!i} = \dfrac{\sin(A)}{\cos(r)\, \cos(i')}\, \dfrac{dn}{d{\lambda_0}}\;</math> et {{Al|5}}en déduire le sens de variation de <math>\;D\;</math> avec la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0</math>, en particulier on comparera la déviation de la composante violette <math>\;D_{\text{violet}}(i)\;</math> à celle de la composante rouge <math>\;D_{\text{rouge}}(i)</math>. {{Solution| contenu ={{Al|5}}Le prisme est un milieu dispersif car <math>\;n\;</math> dépend de <math>\;\lambda_0</math>, plus exactement <math>\;n\;</math> est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\lambda_0</math> ; {{Al|5}}contrairement à certains systèmes optiques pour lesquels la dispersion est un handicap <math>\;\big(</math>comme les verres de lunette ou les pare-brise<ref> Pour rappel « pare-brise » est invariable.</ref> de voiture<ref> Le défaut engendré par la nature dispersive non souhaitée du milieu est appelé « [[w:Aberration_chromatique|aberrations chromatiques]] ».</ref><math>\;\big)</math>, le prisme est d'autant meilleur que le milieu est dispersif. {{Al|5}}<u>Recherche du signe de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à la longueur d'onde dans le vide</u> : <center>«<math>\;\dfrac{dD}{d \lambda_0} = \dfrac{dD}{dn}\; \dfrac{dn}{d \lambda_0}\;</math>» avec <math>\;\dfrac{dn}{d \lambda_0} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dD}{d \lambda_0}\;</math> de signe contraire à <math>\;\dfrac{dD}{dn}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<u>Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime</u> : on différencie les quatre formules du prisme à <math>\;i\;</math> fixé mais <math>\;n\;</math> variable <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : }}<math>\;r</math>, <math>\;r'</math>, <math>\;i'\;</math> et <math>\;D\;</math> varient d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : }}<math>\; \left\lbrace \begin{array}{c} 0 &=& n\, \cos(r)\, dr + \sin(r)\, dn & (\mathfrak{1}'')\\ n\, \cos(r')\, dr' + \sin(r')\, dn &=& \cos(i')\, di' & (\mathfrak{2}'')\\ dr + dr' &=& 0 & (\mathfrak{3}'')\\ dD &=& di' & (\mathfrak{4}'') \end{array} \!\!\right\rbrace</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : }}on exprime alors <math>\;dD\;</math> qui est égale à <math>\;di'\;</math> en fonction de <math>\;dr'\;</math> et <math>\;dn\;</math> par <math>\;(\mathfrak{2}'')</math>, puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : on exprime alors }}<math>\;dr'\;</math> en fonction de <math>\;dr\;</math> par <math>\;(\mathfrak{3}'')</math> <math>\big[</math>reporté dans <math>\;(\mathfrak{2}'')\big]\;</math> et enfin <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : on exprime alors }}<math>\;dr\;</math> en fonction de <math>\;dn\;</math> par <math>\;(\mathfrak{1}'')</math> <math>\big[</math>reporté dans <math>\;(\mathfrak{2}'')\big]\;</math> soit : {{Al|5}}{{Transparent|Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : }}<math>\;dD = \dfrac{n\, \cos(r')}{\cos(i')}\, dr' + \dfrac{\sin(r')}{\cos(i')}\, dn = -\dfrac{n\, \cos(r')}{\cos(i')}\, dr + \dfrac{\sin(r')}{\cos(i')}\, dn\;</math><ref> L'éventuelle émergence rasante correspondant à <math>\; i' \rightarrow \dfrac{\pi}{2}\;</math> en restant <math>\;\neq \dfrac{\pi}{2}</math>.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : }}<math>\;dr = -\dfrac{\sin(r)}{n\, \cos(r)}\, dn\;</math> <ref> <math>\;|r| < l < \dfrac{\pi}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\cos(r) \neq 0</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;dD =</math> <math>\left[ -\dfrac{n\, \cos(r')}{\cos(i')} \right] \left[ -\dfrac{\sin(r)}{n\, \cos(r)}\, dn \right] + \dfrac{\sin(r')}{\cos(i')}\, dn\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : }}<math>\;dD = \dfrac{\sin(r)\, \cos(r') + \sin(r')\, \cos(r)}{\cos(i')\, \cos(r)}\, dn = \dfrac{\sin(r + r')}{\cos(i')\, \cos(r)}\, dn\;</math> et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : }}avec la formule <math>\;(\mathfrak{3})\;</math> du prisme «<math>\;\dfrac{dD}{dn} = \dfrac{\sin(A)}{\cos(i')\, \cos(r)}\;</math>». {{Al|5}}<u>Signe de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime et conséquences</u> : on constate que «<math>\;\dfrac{dD}{dn}\;</math> est toujours <math>\;> 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dD}{d \lambda_0} < 0\;</math>» <math>\;\bigg(</math>car toujours de même signe que <math>\;\dfrac{dn}{d \lambda_0}\bigg)</math>, donc <u>la déviation d'un rayon polychromatique par le prisme est une fonction décroissante de la longueur d'onde dans le vide</u> <math>\big(D\;</math> fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\lambda_0\big)\;</math> et par suite <center><math>\;D_{\text{rouge}}(i) < D_{\text{violet}}(i)\;</math><ref> Le violet est toujours le plus dévié et le rouge le moins dévié.</ref>.</center>}} == Arcs-en-ciel == [[File:Réflexions internes dans goutte d'eau.jpg|thumb|520px|Cheminement d'un rayon incident subissant une réflexion interne dans une goutte d'eau]] {{Al|5}}Un pinceau de rayons <math>\;\parallel\;</math> dans l’air éclaire une sphère d’eau d’indice <math>\;n(\lambda_0)</math> ; les rayons pénètrent dans la sphère sous l'incidence <math>\;i\;</math> et en ressortent après avoir subi <math>\;p\;</math> réflexions intérieures ; l'angle algébrisé que fait un rayon émergent de la sphère par rapport au rayon incident correspondant est appelé déviation et est noté <math>\;D</math>. === Étude de la variation de la déviation d'une composante monochromatique du rayon incident après p réflexions internes dans une goutte d'eau en fonction de son angle d'incidence === {{Al|5}}On considère une composante monochromatique de longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> du pinceau lumineux pour laquelle l'indice de l'eau est notée <math>\;n(\lambda_0) = n_0</math>. ==== Expression de la déviation de la composante monochromatique des rayons lumineux après p réflexions internes dans une goutte d'eau ==== {{Al|5}}Montrer que la déviation <math>\;D\;</math> de la composante monochromatique des rayons lumineux peut s’exprimer en fonction de <math>\;p</math>, <math>\;i\;</math> et <math>\;r\;</math> <math>\big(</math>angle de réfraction correspondant à l’angle d’incidence <math>\;i\big)\;</math> selon <center>«<math>\;D = p\, \pi + 2\,(p + 1)\,r - 2\,i\;</math>»<ref> On rappelle que <math>\;D\;</math> est orienté et défini à <math>\;2\,\pi</math> près.</ref>{{,}}<ref> Pour établir cette relation on pourra rechercher de quel angle algébrique le rayon tourne lors d'une réfraction ou d'une réflexion <math>\ldots</math></ref>.</center> {{Solution| contenu = [[File:Réflexions internes dans goutte d'eau - bis.jpg|thumb|520px|Cheminement d'un rayon incident subissant une réflexion interne dans une goutte d'eau pour évaluer sa déviation suivant son angle d'incidence]] {{Al|5}}Voir schéma ci-contre avec une réflexion : * 1^ère réfraction « on passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent », le rayon réfracté est plus proche de la normale que le rayon incident <math>\;r < i\;</math><ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction - ter" /> <math>\;\big(</math>tous deux <math>\;> 0\big)</math>, « le rayon tourne de <math>\;D_1 < 0\;</math> avec <math>\;D_1 = r - i\;</math>» ; * 1^ère réflexion : le triangle <math>\;OAB\;</math> est isocèle <math>\Rightarrow</math> <math>\;\widehat{OAB} = \widehat {ABO}\;</math>, l'angle d'incidence <math>\;\widehat{(\overrightarrow{OB}\, \text{,}\, \overrightarrow{AB})}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> on en tire <math>\;\widehat{(\overrightarrow{OB}\, \text{,}\, \overrightarrow{AB})} = -r\;</math> et l'angle de réflexion <math>\;\widehat{(\overrightarrow{BO}\, \text{,}\, \overrightarrow{BC})}\;</math> lui étant opposé<ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|2^ème loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <math>\;\widehat{(\overrightarrow{BO}\, \text{,}\, \overrightarrow{BC})} = r</math>, « l'angle dont tourne le rayon lors de la réflexion est alors <math>\;D_2 = \widehat{(\overrightarrow{AB}\, \text{,}\, \overrightarrow{BC})}\;</math> soit <math>\;D_2 = 2\,r - \pi\;</math>» ; * chaque réflexion interne entraînant la même déviation <math>\;D_2\;</math> du rayon réfléchi par rapport au rayon incident de la réflexion interne, il faudra « compter, dans la déviation totale <math>\;D</math>, autant de fois <math>\;D_2\;</math> qu'il y a de réflexions internes » ; * 2^ème réfraction « on passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent », le rayon réfracté est plus éloigné de la normale que le rayon incident<ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction]] (n₁ > n₂ exemple dioptre verre - air) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, l'angle d'incidence <math>\;\widehat{(\overrightarrow{OC}\, \text{,}\, \overrightarrow{BC})}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et le triangle <math>\;OCB\;</math> isocèle, on en tire <math>\;\widehat{(\overrightarrow{OC}\, \text{,}\, \overrightarrow{BC})} = -r</math>, l'angle de réfraction est alors <math>\;< 0\;</math> et vaut <math>\;\big(</math>par retour inverse de la lumière relativement à la 1^ère réfraction<ref name="retour inverse de la lumière" /><math>\big)</math> <math>\;-i\;</math> et par suite « le rayon tourne de <math>\;D_3 < 0\;</math> avec <math>\;D_3 = r - i\;</math>». <br>{{Al|5}}La déviation totale est donc, pour <math>\;p\;</math> réflexions internes, <math>\;D = D_1 + D_3 + p\,D_2\;</math> c'est-à-dire <math>\;D = 2\,(r - i) + p\, (2\,r - \pi)\;</math> soit encore <math>\;D = 2\, (p + 1)\,r - 2\,i - p\, \pi\;</math> ou, en ajoutant <math>\;2\, p\, \pi\;</math> <math>\big(D\;</math> étant défini à <math>\;2\, \pi</math> près<math>\big)</math>, <center>«<math>\;D = 2\, (p + 1)\,r - 2\,i + p\, \pi\;\; (\mathfrak{1})\;</math>».</center>}} ==== Expression de l'angle d'incidence pour lequel la déviation est extrémale et évaluation de celle-ci ==== {{Al|5}}Exprimer <math>\;\sin(i_m)\;</math> en fonction de <math>\;n_0\;</math> et <math>\;p</math>, <math>\;\big(i_m\;</math> étant l’angle d'incidence pour lequel la déviation <math>\;D\;</math> est extrémale, la valeur correspondante de cette dernière étant notée <math>\;D_m\big)</math> ; {{Al|5}}calculer numériquement <math>\;i_m\;</math> et <math>\;D_m\;</math> pour <math>\;p = 1\;</math> et <math>\;p = 2</math>, la valeur de l'indice de l'eau pour cette longueur d'onde dans le vide étant <math>\;n_0 \simeq 1,33</math>. {{Solution| contenu ={{Al|5}}La composante du rayon incident étant supposée monochromatique, <math>\;n\;</math> est constant ; <math>\;i_m\;</math> étant l'angle d'incidence pour lequel la déviation <math>\;D\;</math> est extrémale, sa valeur se détermine en résolvant <math>\;\dfrac{dD}{di}(i_m) = 0</math> ; {{Al|5}}pour obtenir <math>\;\dfrac{dD}{di}</math>, on différencie <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}D = 2\, (p + 1)\,r - 2\,i + p\, \pi\;\; (\mathfrak{1})\\ \text{et }\;\;\sin(i) = n_0\, \sin(r)\end{array}\right\rbrace\;</math> ce qui donne <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}dD & = & 2\, (p + 1)\, dr - 2\, di\\ \cos(i)\, di & = & n_0\, \cos(r)\, dr\end{array}\right\rbrace\;</math> puis, <br>{{Al|5}}{{transparent|pour obtenir <math>\;\color{transparent}{\dfrac{dD}{di}}</math>, }}tirant l'expression de <math>\;dr\;</math> en fonction de <math>\;di\;</math> de la 2^ème relation et la reportant dans la 1^ère on obtient <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}dD & = & 2\, (p + 1)\, \dfrac{\cos(i)}{n_0\, \cos(r)}\, di - 2\, di\\ dr & = & \dfrac{\cos(i)}{n_0\, \cos(r)}\, di\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> Comme on passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent, <math>\;\vert r \vert < \vert i \vert < \dfrac{\pi}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\cos(r) \neq 0</math>.</ref> soit <br>{{Al|5}}{{transparent|pour obtenir <math>\;\color{transparent}{\dfrac{dD}{di}}</math>, }}<math>\;\dfrac{dD}{di} = 2 \left[ (p + 1)\, \dfrac{\cos(i)}{n_0\, \cos(r)} - 1 \right]\;</math> ou, « en éliminant <math>\;r\;</math> au profit de <math>\;i\;</math> par <math>\;\cos(r) = \sqrt{1 - \sin^2(r)} = \sqrt{1 - \dfrac{\sin^2(i)}{n_0^2}}\;</math>»<ref> On rappelle que <math>\;\vert r \vert < \dfrac{\pi}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\cos(r) > 0</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;n_0\, \cos(r) = \sqrt{n_0^2 - \sin^2(i)}</math>, on obtient l'expression <center>«<math>\;\dfrac{dD}{di}(i) = 2 \left[ \dfrac{(p + 1)\, \cos(i)}{\sqrt{n_0^2 - \sin^2(i)}} - 1 \right]\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;i_m\;</math> est donc « solution de <math>\;\dfrac{(p + 1)\, \cos(i)}{\sqrt{n_0^2 - \sin^2(i)}} - 1 = 0\;</math>» ou «<math>\;(p + 1)\, \cos(i) = \sqrt{n_0^2 - \sin^2(i)}\;</math>» ou encore «<math>\;(p + 1)^2\, \cos^2(i) = n_0^2 - \sin^2(i)\;</math>» soit enfin, en remplaçant <math>\;\cos^2(i)\;</math> par <math>\;1 - sin^2(i)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{i_m}\;</math> est donc }}« solution de <math>\;(p + 1)^2 - n_0^2 = \left[ (p + 1)^2 - 1 \right] \sin^2(i)\;</math>» se réécrivant «<math>\;(p + 1)^2 - n_0^2 = \left[ p^2 + 2\, p \right] \sin^2(i)\;</math>» d'où les deux expressions équivalentes des solutions<ref> Ces solutions existent car d'une part <math>\;(p + 1)^2 - n_0^2\;</math> est <math>\;> 0\;</math> <math>\big[</math>en effet, <math>\forall\; p \in \mathbb{N}^{*},\; (p + 1)\;</math> est <math>\;\geqslant 2\;</math> alors que <math>\;n_0 = 1,33\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ces solutions existent car }}d'autre part <math>\;(p + 1)^2 - n_0^2\;</math> est <math>\;< (p + 1)^2 - 1\;</math> <math>\big[</math>en effet, <math>\;n_0 = 1,33\;</math> étant <math>\;> 1\big]</math>.</ref> <center>«<math>\;\sin(i_m) = \pm \sqrt{\dfrac{(p + 1)^2 - n_0^2}{(p + 1)^2 - 1}} = \pm \sqrt{\dfrac{(p + 1)^2 - n_0^2}{p\, (p + 2)}}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}il y a donc deux valeurs opposées possibles de <math>\;i_m</math>, que nous noterons par la suite <math>\;\pm \vert i_m \vert</math>, rendant extrémale la déviation d'un rayon incident monochromatique, la valeur extrémale correspondante s'obtenant par la relation <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> soit <center>«<math>\;D_m( \vert i_m \vert) = \pm 2\,(p + 1)\,\vert r_m \vert \mp 2\,\vert i_m \vert + p\, \pi\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Cas d'une réflexion interne</u> : pour <math>\;p = 1</math>, <math>\;\sin( \vert i_m \vert) = \sqrt{\dfrac{(1 + 1)^2 - (1,33)^2}{1 \times (1 + 2)}} \simeq 0,8624\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vert i_m \vert \simeq 59,58\;\text{°}\;</math>» dont on déduit <math>\;\sin( \vert r_m \vert) = \dfrac{\sin( \vert i_m \vert)}{1,33} \simeq 0,6484\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vert r_m \vert \simeq 40,42\; \text{°}\;</math>» ; * pour «<math>\;i_m \simeq 59,58\;\text{°}\;</math>» et <math>\;r_m \simeq 40,42\; \text{°}</math>, on trouve <math>\;D_m(\vert i_m \vert) \simeq 2 \times (1 + 1) \times 40,42 - 2 \times 59,58 + 180\;</math><ref name="En degrés"> Exprimant <math>\;D\;</math> en <math>\;\text{°}\;</math> on remplace <math>\;\pi\;</math> par <math>\;180</math>.</ref> soit «<math>\;D_m(\vert i_m \vert) \simeq 222,52\;\text{°}\;</math>», * pour «<math>\;i_m \simeq -59,58\;\text{°}\;</math>» et <math>\;r_m \simeq -40,42\; \text{°}</math>, on trouve <math>\;D_m(-\vert i_m \vert) \simeq 2 \times (1 + 1) \times (-40,42) - 2 \times (-59,58) + 180\;</math><ref name="En degrés" /> soit «<math>\;D_m(-\vert i_m \vert) \simeq 137,48\;\text{°}\;</math>». {{Al|5}}<u>Cas de deux réflexions internes</u> : pour <math>\;p = 2</math>, <math>\;\sin(\vert i_m \vert) = \sqrt{\dfrac{(2 + 1)^2 - (1,33)^2}{2 \times (2 + 2)}} \simeq 0,9507\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vert i_m \vert \simeq 71,94\;\text{°}\;</math>» d'où <math>\;\sin(\vert r_m \vert) = \dfrac{\sin(\vert i_m \vert)}{1,33} \simeq 0,7148\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vert r_m \vert \simeq 45,63\; \text{°}\;</math>» ; * pour «<math>\;i_m \simeq 71,94\;\text{°}\;</math>» et <math>\;r_m \simeq 45,63\; \text{°}</math>, on trouve <math>\;D_m(\vert i_m \vert) \simeq 2 \times (2 + 1) \times 45,63 - 2 \times 71,94 + 2 \times 180\;</math><ref name="En degrés" /> soit <math>\;D_m(\vert i_m \vert) \simeq 489,90\;\text{°}\;</math> ou, en prenant la détermination principale comprise entre <math>\;0\;\text{°}\;</math> et <math>\;360\;\text{°}</math>, «<math>\;D_m(\vert i_m \vert) \simeq 129,90\;\text{°}\;</math>», * pour «<math>\;i_m \simeq -71,94\;\text{°}\;</math>» et <math>\;r_m \simeq -45,63\; \text{°}</math>, on trouve <math>\;D_m(-\vert i_m \vert) \simeq 2 \times (2 + 1) \times (-45,63) - 2 \times (-71,94) + 2 \times 180\;</math><ref name="En degrés" /> soit «<math>\;D_m(-\vert i_m \vert) \simeq 230,10\;\text{°}\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Vérifions qu'il s'agit effectivement d'un extremum <math>\;\big(</math>minimum ou maximum<math>\big)\;</math> et non d'un point stationnaire <math>\;\big(</math>point d'inflexion à tangente <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des abscisses<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour cela raisonnons d'abord sur <math>\;\left[ 0\, \text{;}\, \dfrac{\pi}{2} \right[</math>, <math>\;\dfrac{dD}{di}\;</math> s'annulant pour <math>\;i_m = \vert i_m \vert\;</math> vaut <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{dD}{di}(0) = 2 \left( \dfrac{p + 1}{n_0} - 1 \right) > 0\\ \dfrac{dD}{di}\! \left[ \left( \dfrac{\pi}{2} \right)^{-} \right] = -2 < 0\end{array}\right\rbrace\;</math> <ref name="Justification signe"> Pour la 1^ère valeur on rappelle que <math>\;\min\limits_{p\; \in\; \mathbb{N}^{*}} \left( p + 1 \right) = 2\;</math> est plus grand que <math>\;n_0 = 1,33\;</math> d'où la positivité de la dérivée.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;D(i)\;</math> est <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\, \text{;}\, \vert i_m \vert \right[\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> sur <math>\;\left] \vert i_m \vert\, \text{;}\, \dfrac{\pi}{2} \right[</math>, ce qui correspond à un <u>maximum</u> donc effectivement un extremum, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : pour }}puis raisonnons sur <math>\;\left] -\dfrac{\pi}{2} \, \text{;}\, 0 \right]</math>, <math>\;\dfrac{dD}{di}\;</math> s'annulant pour <math>\;i_m = -\vert i_m \vert\;</math> vaut <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{dD}{di}(0) = 2 \left( \dfrac{p + 1}{n_0} - 1 \right) > 0\\ \dfrac{dD}{di}\! \left[ \left( -\dfrac{\pi}{2} \right)^{+} \right] = -2 < 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="Justification signe" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;D(i)\;</math> est <math>\;\searrow\;</math> sur <math>\;\left] -\dfrac{\pi}{2}\, \text{;}\, -\vert i_m \vert \right[\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left] -\vert i_m \vert\, \text{;}\, 0 \right]</math>, ce qui correspond à un <u>minimum</u> c'est-à-dire encore un extremum.}} ==== Justification de pics de diffusion pour les pinceaux parallèles d'angle d'incidence correspondant à une déviation extrémale ==== {{Al|5}}Les composantes monochromatiques des rayons d'un pinceau <math>\;\parallel\;</math> incident ont un angle d’incidence <math>\;i\;</math> dépendant de leur point d'impact <math>\;A\;</math> sur la sphère <math>\;\big(A</math> étant le point d'incidence du rayon considéré dans le pinceau<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}les rayons ayant un angle d’incidence de valeur <math>\;i\;</math> restant au voisinage d’une valeur fixée <math>\;i_0\;</math> sont déviés d’un angle <math>\;D(i)\;</math> différant de <math>\;D(i_0)\;</math> selon <center>«<math>\;D(i) \simeq D(i_0) + \left( \dfrac{\partial D}{\partial i} \right)_{\!\lambda_0}\, (i - i_0)\;</math>»<ref> En effet, si «<math>\;i = i_0 + \delta i\;</math> où <math>\;\delta i = (i - i_0)\;</math> est l'écart supposé petit relativement à <math>\;i_0\;</math>», le caractère « petit » de <math>\;\delta i\;</math> permet de confondre ce dernier avec la différentielle <math>\;di\;</math> et par suite, <br>{{Al|3}}la variation correspondante de <math>\;D\;</math> <math>\big[</math>également petite relativement à <math>\;D(i_0)\big]\;</math> «<math>\;\delta D = D(i) - D(i_0) = D(i_0 + \delta i) - D(i_0)\;</math>» peut être confondue avec la différentielle de <math>\;D\;</math> c.-à-d. «<math>\;\delta D \simeq</math> <math>\left( \dfrac{\partial D}{\partial i} \right)_{\!\lambda_0}\, (i - i_0)\;</math>» d'où «<math>\;D(i) \simeq D(i_0) + \left( \dfrac{\partial D}{\partial i} \right)_{\!\lambda_0}\, (i - i_0)\;</math>» s'identifiant au D.L. à l’ordre un en <math>\;i - i_0\;</math> de <math>\;D(i)\;</math> au voisinage de <math>\;i_0\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs|développement limité à l'ordre un d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}Justifier, à l’aide de ce qui précède, que ce sont les composantes monochromatiques des rayons ayant un angle d’incidence de valeur <math>\;i\;</math> restant au voisinage de <math>\;i_m</math>, qui fourniront des rayons émergeant parallèlement entre eux <math>\big(</math>variation de <math>\;D\;</math> nulle à l’ordre un en <math>\;i - i_m\big)\;</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justifier, à l’aide de ce qui précède, que ce sont }}les composantes monochromatiques des rayons ayant un angle d’incidence de valeur <math>\;i\;</math> restant au voisinage de <math>\;i_0 \neq i_m</math>, fourniront des rayons émergeant non parallèlement entre eux <math>\big(</math>variation de <math>\;D\;</math> non nulle à l’ordre un en <math>\;i - i_0\big)\;</math><ref name="pics de diffusion"> Cela se traduit physiquement par des « pics de diffusion » <math>\;\big(</math>c.-à-d. des accumulations d’énergie lumineuse<math>\big)\;</math> dans la direction d'un extremum de déviation <math>-</math> les rayons émergeant dans cette direction sont donc nettement plus visibles que ceux émergeant dans toute autre direction et à la limite, on ne voit qu'eux.</ref>. {{Solution| contenu = [[File:Dispersion sur goutte d'eau.jpg|thumb|520px|Dispersion à une seule réflexion interne des rayons d'un pinceau <math>\;\parallel\;</math> monochromatique à travers une goutte d'eau suivant l'impact du rayon]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre <math>\;\big(</math>réalisé avec une seule réflexion interne<math>\big)</math>, nous constatons que la dispersion<ref name="signification de dispersion"> Au sens courant d'« éparpillement des directions » et non au sens physique du terme <math>\;\big(</math>phénomène dépendant de la longueur d'onde<math>\big)</math>.</ref> est a priori relativement grande et le faisceau <math>\;\parallel\;</math> tombant sur la goutte est dévié suivant pratiquement toutes les directions<ref> La dispersion <math>\;\big(</math>au sens courant du terme<math>\big)\;</math> obtenue avec deux réflexions internes serait aussi prononcée que celle obtenue avec une seule réflexion interne.</ref>. {{Al|5}}Considérant les rayons ayant un angle d'incidence de valeur <math>\;i\;</math> restant au voisinage d'une valeur fixée <math>\;i_0</math>, ceux-ci sont « déviés d'un angle <math>\;D(i)\;</math> différant peu de <math>\;D(i_0);</math>», l'écart étant égal à «<math>\;D(i) - D(i_0) \simeq \dfrac{dD}{di}(i_0)\,(i - i_0)\;</math> à l'ordre un en <math>\;(i - i_0)\;</math>», la dispersion<ref name="signification de dispersion"/> autour de <math>\;D(i_0)\;</math> étant « d'autant plus faible que <math>\;\bigg\vert \dfrac{dD}{di}(i_0) \bigg\vert\;</math> est petit » ; {{Al|5}}c'est donc pour <math>\;i_0 = \pm \vert i_m \vert\;</math> que la dispersion<ref name="signification de dispersion"/> est la plus faible puisque <math>\;\dfrac{dD}{di}(\pm \vert i_m \vert) = 0\;</math><ref> Cela signifie que l'écart entre <math>\;D(i)\;</math> et <math>\;D(i_m)\;</math> est au moins d'ordre deux en <math>\;(i - i_m)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Énoncé_du_théorème_de_Taylor-Young|énoncé du théorème de Taylor - Young]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », <br>{{Al|3}}{{Transparent|Cela signifie que }}le 1^er terme non nul <math>\;\big(</math>autre que celui d'ordre zéro<math>\big)\;</math> du D.L. de la fonction <math>\;D(i)\;</math> au voisinage de <math>\;i_m\;</math> est au moins d'ordre deux soit «<math>\;D(i) \simeq D(i_m) + \dfrac{1}{2}\,\dfrac{d^2D}{di^2}(i_m)\,(i - i_m)^2\;</math> à l'ordre deux en <math>\;(i - i_m)\;</math>». <br>{{Al|3}}'''[[w:Brook_Taylor|Brook Taylor]] (1685 - 1731)''' est un mathématicien anglais à qui on doit essentiellement le théorème connu sous le nom de Taylor établi en <math>\;1715\;</math> et qui possède plusieurs variantes dont celle de Taylor-Young. <br>{{Al|3}}'''[[w:William_Henry_Young|William Henry Young]] (1863 - 1942)''' est un mathématicien anglais ayant travaillé dans de nombreux domaines dont les [[w:Série_de_Fourier|séries de Fourier]] et le [[w:Calcul_différentiel|calcul différentiel]], il apporta aussi une contribution au théorème de Taylor, ce qui donna le théorème <math>\;\big(</math>ou formule<math>\big)\;</math> de Taylor-Young.</ref>, c'est-à-dire que <br>{{Al|5}}ce sont les rayons ayant un angle d'incidence de valeur <math>\;i\;</math> restant au voisinage des deux valeurs <math>\;\pm \vert i_m \vert\;</math> qui fourniront des rayons émergeant parallèlement entre eux en faisant un angle <math>\;D(\pm \vert i_m \vert)\;</math> avec la direction incidente<ref> La dispersion <math>\;\big(</math>au sens courant du terme<math>\big)\;</math> étant nulle à l'ordre un en <math>\;(i - i_m)\;</math>.</ref>, alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|ce sont }}les rayons ayant un angle d'incidence de valeur <math>\;i\;</math> restant au voisinage des autres valeurs <math>\;i_0 \neq \pm \vert i_m \vert\;</math> fourniront des rayons émergeant non parallèlement entre eux<ref> La dispersion <math>\;\big(</math>au sens courant du terme<math>\big)\;</math> étant non nulle à l'ordre un en <math>\;(i - i_0)\;</math>.</ref> et ceci d'autant plus que <math>\;\bigg\vert \dfrac{dD}{di}(i_0) \bigg\vert\;</math> sera grand<ref name="pics de diffusion" />.}} === Justification des arcs-en-ciel primaire et secondaire par dispersion de la lumière blanche émise par le Soleil à travers les gouttelettes d'eau de l'atmosphère === {{Al|5}}Le pinceau lumineux incident résulte de la lumière blanche émise par le Soleil ; comme l'eau est dispersive, son indice <math>\;n\;</math> varie avec la longueur d’onde dans le vide <math>\;\lambda_0</math>, et par suite <math>\;i_m\;</math> et <math>\;D_m\;</math> aussi. {{Al|5}}On admettra que <math>\;n\;</math> varie de <math>\;n_V = 1,343\;</math> à <math>\;n_R = 1,329\;</math> entre les extrémités violette et rouge du spectre visible. ==== Variation de la déviation extrémale en fonction de la couleur ==== {{Al|5}}Exprimer, en fonction de <math>\;p\;</math> et <math>\;n</math>, la dérivée <math>\;\dfrac{dD_m}{dn}\;</math> caractérisant la variation de la déviation extrémale en fonction de la couleur<ref> En effet l'indice de l'eau étant une fonction monotone <math>\;\big(</math>plus précisément <math>\;\searrow\big)\;</math> de la longueur d'onde dans le vide, il y a une relation biunivoque entre les valeurs d'indice et celles de longueur d'onde dans le vide d'où, une couleur peut aussi être caractérisée par une valeur d'indice de l'eau.</ref>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}«<math>\;i_m\;</math> dépendant de <math>\;n\;</math> a des valeurs différentes suivant la longueur d'onde <math>\;\lambda_0\;</math>» ; il en est « de même pour <math>\;D_m = D(i_m) = 2\,(p + 1)\,r_m - 2\,i_m + p\,\pi\;</math>» ; {{Al|5}}différenciant cette dernière expression ainsi que celles définissant <math>\;i_m\;</math> et <math>\;r_m</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}\sin^2(i_m) = \dfrac{(p + 1)^2 - n^2}{p\, (p + 2)}\\ n\, \sin(r_m) = \sin(i_m)\end{array}\right\rbrace</math>, on obtient respectivement <center>«<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}dD_m &=& 2\,(p + 1)\,dr_m - 2\,di_m\\ 2\, \sin(i_m)\, \cos(i_m)\, di_m &=& -\dfrac{2\, n}{p\, (p + 2)}\, dn\\ n\, \cos(r_m)\, dr_m + \sin(r_m)\, dn &=& \cos(i_m)\, di_m\end{array}\right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}de la 2^ème relation on tire <math>\;di_m\;</math> en fonction de <math>\;dn\;</math> soit «<math>\;di_m = -\dfrac{n}{p\, (p + 2)\, \sin(i_m)\, \cos(i_m)}\, dn\;</math>» et, après son report dans la 3^ème relation, {{Al|5}}on tire de cette dernière <math>\;dr_m\;</math> en fonction de <math>\;dn\;</math> soit <math>\;n\, \cos(r_m)\, dr_m + \sin(r_m)\, dn = -\dfrac{n}{p\, (p + 2)\, \sin(i_m)}\, dn\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;dr_m = - \left[ \dfrac{1}{p\, (p + 2)\, \sin(i_m)\, \cos(r_m)} + \dfrac{\sin(r_m)}{n\, \cos(r_m)} \right] dn\;</math>» ; {{Al|5}}ces deux expressions reportées dans la 1^ère relation donne «<math>\;dD_m = \left[ - \dfrac{2\, (p + 1)}{p\, (p + 2)\, \sin(i_m)\, \cos(r_m)} - \dfrac{2\, (p + 1)\, \sin(r_m)}{n\, \cos(r_m)} + \dfrac{2\, n}{p\, (p + 2)\, \sin(i_m)\, \cos(i_m)} \right] dn\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|ces deux expressions reportées dans la 1^ère relation donne }}«<math>\;\dfrac{dD_m}{dn} = 2 \left[ \dfrac{n}{p\, (p + 2)\, \sin(i_m)\, \cos(i_m)} - \dfrac{p + 1}{p\, (p + 2)\, \sin(i_m)\, \cos(r_m)} - \dfrac{(p + 1)\, \sin(r_m)}{n\, \cos(r_m)} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}on élimine alors <math>\;r_m\;</math> au profit de <math>\;i_m\;</math> par <math>\;\sin(r_m) = \dfrac{\sin(i_m)}{n}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\cos(r_m) = \sqrt{1 - \sin^2(r_m)} = \dfrac{\sqrt{n^2 - \sin^2(i_m)}}{n}\;</math><ref> On rappelle que <math>\;\vert r_m \vert < \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow \cos(r_m) > 0</math>.</ref> d'où «<math>\;\dfrac{1}{\cos(r_m)} = \dfrac{n}{\sqrt{n^2 - \sin^2(i_m)}}\;</math>» et <br>{{Al|10}}{{Transparent|on élimine alors <math>\;\color{transparent}{r_m}\;</math> au profit de <math>\;\color{transparent}{i_m}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\sin(r_m) = \dfrac{\sin(i_m)}{n}}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\cos(r_m) = \sqrt{1 - \sin^2(r_m)} = \dfrac{\sqrt{n^2 - \sin^2(i_m)}}{n}}\;</math> d'où }}«<math>\;\dfrac{\sin(r_m)}{n\, \cos(r_m)} = \dfrac{\sin(i_m)}{n\, \sqrt{n^2 - \sin^2(i_m)}}\;</math>» conduisant à <br>{{Al|5}}{{Transparent|on élimine alors <math>\;\color{transparent}{r_m}\;</math> au profit de <math>\;\color{transparent}{i_m}\;</math> }}«<math>\;\dfrac{dD_m}{dn} = 2 \left[ \dfrac{n}{p\, (p + 2)\, \sin(i_m)\, \cos(i_m)} - \dfrac{n\, (p + 1)}{p\, (p + 2)\, \sin(i_m)\, \sqrt{n^2 - \sin^2(i_m)}} - \dfrac{(p + 1)\, \sin(i_m)}{n\, \sqrt{n^2 - \sin^2(i_m)}} \right]\;</math>» ou encore, en mettant <math>\;\sin(i_m)\;</math> en facteur, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on élimine alors <math>\;\color{transparent}{r_m}\;</math> au profit de <math>\;\color{transparent}{i_m}\;</math> }}«<math>\;\dfrac{dD_m}{dn} = 2\, \sin(i_m) \left[ \dfrac{n}{p\, (p + 2)\, \sin^2(i_m)\, \cos(i_m)} - \dfrac{n\, (p + 1)}{p\, (p + 2)\, \sin^2(i_m)\, \sqrt{n^2 - \sin^2(i_m)}} - \dfrac{(p + 1)}{n\, \sqrt{n^2 - \sin^2(i_m)}} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}on termine en éliminant <math>\;i_m\;</math> au profit de <math>\;n\;</math> par <math>\;\sin(i_m) = \pm\sqrt{\dfrac{(p + 1)^2 - n^2}{p\, (p + 2)}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sin^2(i_m) = \dfrac{(p + 1)^2 - n^2}{p\, (p + 2)}\;</math>» soit, par unique report de <math>\;\sin^2(i_m)\;</math> dans <math>\;\dfrac{dD_m}{dn}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on termine en éliminant <math>\;\color{transparent}{i_m}\;</math> au profit de <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> }}<math>\;\dfrac{dD_m}{dn} = 2\, \sin(i_m) \left\lbrace \dfrac{n}{\left[ (p + 1)^2 - n^2 \right] \cos(i_m)} - \dfrac{(p + 1)}{\sqrt{n^2 - \dfrac{(p + 1)^2 - n^2}{p\, (p + 2)}}} \left[ \dfrac{n}{(p + 1)^2 - n^2} + \dfrac{1}{n} \right] \right\rbrace\;</math> que l'on peut réécrire <br>{{Al|5}}{{Transparent|on termine en éliminant <math>\;\color{transparent}{i_m}\;</math> au profit de <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> }}<math>\;\dfrac{dD_m}{dn} = 2\, \sin(i_m) \left\lbrace \dfrac{n}{\left[ (p + 1)^2 - n^2 \right] \cos(i_m)} - \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{n^2 - 1}{p\, (p + 2)}}} \left[ \dfrac{n}{(p + 1)^2 - n^2} + \dfrac{1}{n} \right] \right\rbrace\;</math> <ref> L'argument de la racine carrée du dénominateur du 1^er facteur du 2^ème terme de la partie entre accolades se simplifiant à l'aide du remplacement de <math>\;p\, (p + 2)\;</math> par <math>\;(p + 1)^2 - 1\;</math> selon <math>n^2 - \dfrac{(p + 1)^2 - n^2}{p\, (p + 2)} = \dfrac{n^2 \left[ (p + 1)^2 - 1 \right] - \left[ (p + 1)^2 - n^2 \right]}{p\, (p + 2)} = \dfrac{(p + 1)^2 \left[ n^2 - 1 \right]}{p\, (p + 2)}</math>.</ref> soit, après factorisation par <math>\;\dfrac{1}{(p + 1)^2 - n^2}\;</math> et simplification<ref> Le terme entre crochets du 2^ème terme de la partie entre accolades <math>\;\dfrac{n}{(p + 1)^2 - n^2} + \dfrac{1}{n}\;</math> se simplifiant, après factorisation par <math>\;\dfrac{1}{(p + 1)^2 - n^2}\;</math> selon <math>\;\dfrac{n^2 + \left[ (p + 1)^2 - n^2 \right]}{\left[ (p + 1)^2 - n^2 \right] n} =</math> <math>\dfrac{(p + 1)^2}{\left[ (p + 1)^2 - n^2 \right] n}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|on termine en éliminant <math>\;\color{transparent}{i_m}\;</math> au profit de <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> }}<math>\;\dfrac{dD_m}{dn} = \dfrac{2\, \sin(i_m)}{(p + 1)^2 - n^2} \left[ \dfrac{n}{\cos(i_m)} - \sqrt{\dfrac{p\, (p + 2)}{n^2 - 1}}\; \dfrac{(p + 1)^2}{n} \right]\;</math> puis, en reportant <math>\;\cos(i_m) = \sqrt{1 - \sin^2(i_m)}\;</math><ref> On rappelle que <math>\;\vert i_m \vert < \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow \cos(i_m) > 0</math>.</ref> soit <math>\;\cos(i_m) = \sqrt{1 - \dfrac{(p + 1)^2 - n^2}{p\, (p + 2)}}\;</math> ou <br>{{Al|4}}{{Transparent|on termine en éliminant <math>\;\color{transparent}{i_m}\;</math> au profit de <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> <math>\;\color{transparent}{\dfrac{dD_m}{dn} = \dfrac{2\, \sin(i_m)}{(p + 1)^2 - n^2} \left[ \dfrac{n}{\cos(i_m)} - \sqrt{\dfrac{p\, (p + 2)}{n^2 - 1}}\; \dfrac{(p + 1)^2}{n} \right]}\;</math> puis, en reportant }}«<math>\;\cos(i_m) = \sqrt{\dfrac{n^2 - 1}{p\, (p + 2)}}\;</math>»<ref> En effet <math>\;p\, (p + 2) = (p + 1)^2 - 1\;</math> d'où, après réduction au même dénominateur de l'argument de la racine carrée, ce dernier se réécrit <math>\;\dfrac{\left[ (p + 1)^2 - 1 \right] - \left[(p + 1)^2 - n^2 \right]}{p\, (p + 2)}\;</math> <math>\;\ldots</math></ref> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on termine en éliminant <math>\;\color{transparent}{i_m}\;</math> au profit de <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> <math>\;\color{transparent}{\dfrac{dD_m}{dn} = \dfrac{2\, \sin(i_m)}{(p + 1)^2 - n^2} \left[ \dfrac{n}{\cos(i_m)} - \sqrt{\dfrac{p\, (p + 2)}{n^2 - 1}}\; \dfrac{(p + 1)^2}{n} \right]}\;</math> }}après factorisation par <math>\;\dfrac{1}{\cos(i_m)} = \sqrt{\dfrac{p\, (p + 2)}{n^2 - 1}}</math>, <br>{{Al|4}}{{Transparent|on termine en éliminant <math>\;\color{transparent}{i_m}\;</math> au profit de <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> }}«<math>\;\dfrac{dD_m}{dn} = \dfrac{2\, \sin(i_m)}{(p + 1)^2 - n^2}\, \sqrt{\dfrac{p\, (p + 2)}{n^2 - 1}} \left[ n - \dfrac{(p + 1)^2}{n} \right] = -\dfrac{2\, \sin(i_m)}{n}\, \sqrt{\dfrac{p\, (p + 2)}{n^2 - 1}}\;</math>»<ref> La dernière simplification résultant de <math>\;n - \dfrac{(p + 1)^2}{n} = \dfrac{n^2 - (p + 1)^2}{n}</math>.</ref> et, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on termine en éliminant <math>\;\color{transparent}{i_m}\;</math> au profit de <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> }}en reportant l'expression de <math>\;\sin(i_m) = \pm\sqrt{\dfrac{(p + 1)^2 - n^2}{p\, (p + 2)}}</math>, on obtient, après simplification, <center>«<math>\;\dfrac{dD_m}{dn} = \mp \dfrac{2}{n}\, \sqrt{\dfrac{(p + 1)^2 - n^2}{n^2 - 1}}\;</math>»<ref> Le signe «<math>\;-\;</math>» pour <math>\;i_m > 0\;</math> et le signe «<math>\;+\;</math>» pour <math>\;i_m < 0</math>.</ref>.</center>}} ==== Conditions d'observation d'arcs-en-ciel pour un observateur situé au sol, description des arcs-en-ciel primaire et secondaire ==== {{Al|5}}En pratique, on n'observe que les accumulations de lumière correspondant à <math>\;p = 1\;</math> et à <math>\;p = 2\;</math> <math>\big(</math>ces dernières étant toutefois moins visibles<math>\big)\;</math><ref> Les accumulations correspondant à <math>\;p \geqslant 3\;</math> étant d’intensité trop faible pour être observables.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|En pratique, }}un observateur au niveau du sol doit tourner le dos au Soleil pour voir un arc-en-ciel ; ce dernier sera observable du sol si les rayons émergents se dirigent vers la Terre c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|En pratique, un observateur au niveau du sol doit tourner le dos au Soleil pour voir un arc-en-ciel ; ce dernier sera observable du sol }}pour un signe déterminé de <math>\;i_m</math>, {{Al|5}}{{Transparent|En pratique, }}on admettra que pour voir l'arc-en-ciel primaire au niveau du sol, <math>\;i_m\;</math> doit être <math>\;> 0\;</math><ref> Pour <math>\;i_m < 0</math>, les rayons émergents s'éloignant de la Terre fourniront un arc-en-ciel visible de l'espace.</ref> et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|En pratique, on admettra que }}pour voir l'arc-en-ciel secondaire, toujours au niveau du sol, <math>\;i_m\;</math> doit être <math>\;< 0\;</math><ref> Pour <math>\;i_m > 0</math>, l'arc-en-ciel secondaire sera visible de l'espace.</ref>. {{Al|5}}Justifier, dans les conditions expérimentales optimales, l'observation des deux arcs-en-ciel ; {{Al|5}}décrire la disposition des couleurs qui se succèdent dans un arc-en-ciel primaire<ref name="Représentation arc-en-ciel"> On représentera les arcs-en-ciel vus de l'observateur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|décrire la disposition des couleurs qui se succèdent }}dans un arc-en-ciel secondaire<ref name="Représentation arc-en-ciel" />. {{Solution | contenu ={{Al|5}}L'observateur au niveau du sol tourne le dos au Soleil pour voir l'arc-en-ciel primaire <math>\;(p = 1)</math> ; <br>{{Al|5}}ce dernier est observable du sol si les rayons émergents se dirigent vers la Terre et cela est réalisé pour <math>\;i_m \simeq 59,58\,\text{°}\;</math> correspondant à <math>\;D_m \simeq 222,52\,\text{°}\;</math> <math>\big(</math>alors que <math>\;i_m \simeq -59,58\,\text{°}\;</math> donne <math>\;D_m \simeq 137,48\,\text{°}</math>, en tiretés sur schéma ci-dessous à gauche et non observable du sol<math>\big)</math> ; pour <math>\;i_m > 0</math>, on a vu que <math>\;\dfrac{dD_m}{dn} = -\dfrac{2}{n}\, \sqrt{\dfrac{(p + 1)^2 - n^2}{n^2 - 1}} = -\dfrac{2}{n}\, \sqrt{\dfrac{4 - n^2}{n^2 - 1}} < 0\;</math><ref name="variation de la déviation extrémale en fonction de n"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Variation_de_la_déviation_extrémale_en_fonction_de_la_couleur|variation de la déviation extrémale en fonction de la couleur]] » plus haut dans cet exercice.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;D_m\;</math> est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;n\;</math>» d'où <center>« pour l'arc-en-ciel primaire <math>\;D_{m,\,\text{violet}} < D_{m,\,\text{rouge}}\;</math>» car <math>\;n_{\text{violet}} > n_{\text{rouge}}</math> ;</center> {{Al|5}}nous avons donc la disposition des composantes monochromatiques émergentes des couleurs extrêmes correspondant à un même rayon incident polychromatique représentée sur le schéma ci-dessous à droite, « le rouge étant au-dessus du violet »<ref> Sur les deux schémas, ont été représentés les rayons incidents situés dans le plan vertical de l'observateur contenant le Soleil <math>\;\big(</math>ce dernier est donc situé dans le dos de l'observateur<math>\big)\;</math> et par suite les rayons émergents correspondants se trouvent également dans ce plan.</ref> ; <center><gallery mode="packed" heights="400px"> Arc-en-ciel primaire - Soleil - Observateur au sol.jpg|Disposition du Soleil relativement à l'observateur pour que ce dernier, situé au sol, voit un arc-en-ciel primaire Arc-en-ciel primaire - Soleil - Observateur au sol bis.jpg|Arc-en-ciel primaire vu du sol : <br>composantes émergentes monochromatiques provenant d'un même rayon incident polychromatique </gallery></center> [[File:Arc-en-ciel primaire - Soleil - Observateur au sol ter.jpg|thumb|400px|Observation d'un arc-en-ciel primaire à partir du sol : cône de révolution constitué des composantes émergentes d'une même couleur]] {{Al|5}}l'observateur peut voir toute composante monochromatique émergente provenant du nuage pourvu qu'elle aboutisse sur son œil et qu'elle fasse l'angle <math>\;D_m\;</math> avec la direction incidente ; cela correspond à <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'observateur peut voir }}l'ensemble des composantes émergentes de même couleur se dirigeant vers l'œil et se trouvant sur le cône de révolution caractérisé, pour cette couleur, par son sommet « l'œil », son axe « la direction incidente » et son demi angle au sommet <math>\;\alpha = D_m - 180\,\text{°}\;</math><ref> En effet tout rayon émergent situé sur une génératrice du cône fera l'angle <math>\;\alpha + 180\,\text{°} = D_m\;</math> avec la direction incidente, l'ajout de <math>\;180\,\text{°}\;</math> résultant du fait que le rayon se dirige vers le sommet du cône.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|l'observateur peut voir }}bien sûr ces composantes émergentes de même couleur n'existent que si elles proviennent de gouttelettes c'est-à-dire que seule la partie du cône de révolution de cette couleur ayant une intersection avec le nuage fournira de telles composantes émergentes<ref name="Partie du cône observable"> De plus toute la partie du cône de révolution de cette couleur se trouvant au-dessous du plan horizontal passant par l'œil n'existe pas si ce dernier est au niveau du sol car elle ne peut correspondre à aucun nuage, ces derniers ayant la propriété d'être en altitude et non en profondeur !</ref> <math>\;\big(</math>voir le schéma ci-contre à droite<math>\big)</math>. [[File:Arc-en-ciel primaire - Soleil - Observateur au sol tetra.jpg|thumb|left|400px|Disposition des couleurs dans un arc-en-ciel primaire observé à partir du sol]] {{Al|5}}Il existe autant de cônes supports de composantes monochromatiques émergentes qu'il y a de couleurs dans la lumière blanche du Soleil et <br>{{Al|5}}dans l'hypothèse d’une seule réflexion <math>\;\big(</math>nécessaire pour que l'arc-en-ciel soit primaire<math>\big)</math>, les couleurs rouge et violette sont respectivement vers l'extérieur et vers l'intérieur, voir schéma ci-contre à gauche avec <br>{{Al|5}}un demi angle au sommet pour le rouge <math>\;D_{m,\,p = 1,\,\text{en °}}(n_R) - 180\,\text{°}</math> <math>= 4\,r_m(n_R) - 2\,i_m\;</math><ref name="expression de Dm et de rm"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Expression_de_l'angle_d'incidence_pour_lequel_la_déviation_est_extrémale_et_évaluation_de_celle-ci|expression de l'angle d'incidence pour lequel la déviation est extrémale et évaluation de celle-ci]] » plus haut dans cet exercice.</ref> avec <math>\;i_m \simeq 59,58\,\text{°}\;</math><ref name="im dépend de la couleur"> En fait l'expression définissant <math>\;i_m > 0\;</math> pour une seule réflexion interne est «<math>\;\sin(i_m) = \sqrt{\dfrac{(2)^2 - n_0^2}{(2)^2 - 1}}\;</math>» <math>\;\big(</math>voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Expression_de_l'angle_d'incidence_pour_lequel_la_déviation_est_extrémale_et_évaluation_de_celle-ci|expression de l'angle d'incidence pour lequel la déviation est extrémale et évaluation de celle-ci]] » plus haut dans cet exercice<math>\big)</math>, elle dépend donc de la couleur <math>\;\big(</math>mais très faiblement<math>\big)</math>, pour simplifier nous ne tenons pas compte de cette faible variation.</ref> et <math>\;r_m(n_R) =</math> <math>\arcsin\! \left[ \dfrac{\sin(i_m)}{n_R} \right]\;</math><ref name="expression de Dm et de rm" /> <math>\simeq \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin(59,58\,\text{°})}{1,329} \right] \simeq 40,46\,\text{°}\;</math> d'où <math>\;D_{m,\,p = 1,\,\text{en °}}(n_R) - 180\,\text{°} \simeq 42,68\,\text{°}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|un demi angle au sommet }}pour le violet <math>\;D_{m,\,p = 1,\,\text{en °}}(n_V) - 180\,\text{°} = 4\,r_m(n_V) - 2\,i_m\;</math><ref name="expression de Dm et de rm" /> avec <math>\;i_m \simeq 59,58\,\text{°}\;</math><ref name="im dépend de la couleur" /> et <math>\;r_m(n_V) =</math> <math>\arcsin\! \left[ \dfrac{\sin(i_m)}{n_V} \right]\;</math><ref name="expression de Dm et de rm" /> <math>\simeq \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin(59,58\,\text{°})}{1,343} \right] \simeq 39,95\,\text{°}\;</math> d'où <math>\;D_{m,\,p = 1,\,\text{en °}}(n_V) - 180\,\text{°} \simeq 40,64\,\text{°}</math>. {{Al|5}}L'observateur au niveau du sol reste dos tourné au Soleil pour espérer voir l'arc-en-ciel secondaire <math>\;(p = 2)</math> ; <br>{{Al|5}}ce dernier est observable du sol si les rayons émergents se dirigent vers la Terre et cela est réalisé pour <math>\;i_m \simeq -71,94\,\text{°}\;</math> correspondant à <math>\;D_m \simeq 230,10\,\text{°}\;</math> <math>\big(</math>alors que <math>\;i_m \simeq 71,94\,\text{°}\;</math> donne <math>\;D_m \simeq 129,90\,\text{°}</math>, non observable du sol<math>\big)</math> ; pour <math>\;i_m < 0</math>, on a vu que <math>\;\dfrac{dD_m}{dn} = \dfrac{2}{n}\, \sqrt{\dfrac{(p + 1)^2 - n^2}{n^2 - 1}} = \dfrac{2}{n}\, \sqrt{\dfrac{9 - n^2}{n^2 - 1}} > 0\;</math><ref name="variation de la déviation extrémale en fonction de n" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;D_m\;</math> est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;n\;</math>» d'où <center>« pour l'arc-en-ciel secondaire <math>\;D_{m,\,\text{violet}} > D_{m,\,\text{rouge}}\;</math>» car <math>\;n_{\text{violet}} > n_{\text{rouge}}</math> ;</center> {{Al|5}}nous avons donc la disposition des composantes monochromatiques émergentes des couleurs extrêmes correspondant à un même rayon incident polychromatique telle que « le violet est au-dessus du rouge »<ref> La disposition des couleurs de l'arc-en-ciel secondaire est donc inversée relativement à celle de l'arc-en-ciel primaire.</ref> ; [[File:Arc-en-ciel secondaire bis.jpg|thumb|400px|Disposition des couleurs dans un arc-en-ciel secondaire observé à partir du sol]] {{Al|5}}l'observateur peut voir toute composante monochromatique émergente provenant du nuage pourvu qu'elle aboutisse sur son œil, qu'elle transporte une puissance lui permettant d'être perçue par son œil et qu'elle fasse l'angle <math>\;D_m\;</math> avec la direction incidente ; cela correspond à <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'observateur peut voir }}l'ensemble des composantes émergentes de même couleur, se dirigeant avec une puissance suffisante vers l'œil et se trouvant sur le cône de révolution dont les caractéristiques, pour cette couleur, s'obtiennent de la même façon que celles obtenues lors de l'observation d'un arc-en-ciel primaire ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'observateur peut voir }}là encore ces composantes émergentes de même couleur n'existent que si elles proviennent de gouttelettes c'est-à-dire que seule la partie du cône de révolution de cette couleur ayant une intersection avec le nuage fournira de telles composantes émergentes<ref name="Partie du cône observable" />. {{Al|5}}Il existe autant de cônes supports de composantes monochromatiques émergentes qu'il y a de couleurs dans la lumière blanche du Soleil et <br>{{Al|5}}dans l'hypothèse de deux réflexions internes <math>\;\big(</math>nécessaire pour que l'arc-en-ciel soit secondaire<math>\big)</math>, les couleurs violette et rouge sont respectivement vers l'extérieur et vers l'intérieur, voir schéma ci-contre avec <br>{{Al|5}}un demi angle au sommet pour le rouge <math>\;D_{m,\,p = 2,\,\text{en °}}(n_R) - 180\,\text{°} = 6\,r_m(n_R) - 2\,i_m + 180\,\text{°}\;</math><ref name="expression de Dm et de rm" /> avec <math>\;i_m \simeq -71,94\,\text{°}\;</math><ref name="im dépend de la couleur - bis"> En fait l'expression définissant <math>\;i_m < 0\;</math> pour deux réflexions internes est «<math>\;\sin(i_m) = -\sqrt{\dfrac{(3)^2 - n_0^2}{(3)^2 - 1}}\;</math>» <math>\;\big(</math>voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Expression_de_l'angle_d'incidence_pour_lequel_la_déviation_est_extrémale_et_évaluation_de_celle-ci|expression de l'angle d'incidence pour lequel la déviation est extrémale et évaluation de celle-ci]] » plus haut dans cet exercice<math>\big)</math>, elle dépend donc de la couleur <math>\;\big(</math>mais très faiblement<math>\big)</math>, pour simplifier nous ne tenons pas compte de cette faible variation.</ref> et <math>\;r_m(n_R) =</math> <math>\arcsin\! \left[ \dfrac{\sin(i_m)}{n_R} \right]\;</math><ref name="expression de Dm et de rm" /> <math>\simeq \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin(-71,94\,\text{°})}{1,329} \right] \simeq -45,67\,\text{°}\;</math> d'où <math>\;D_{m,\,p = 2,\,\text{en °}}(n_R) - 180\,\text{°} \simeq 49,86\,\text{°}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|un demi angle au sommet }}pour le violet <math>\;D_{m,\,p = 2,\,\text{en °}}(n_V) - 180\,\text{°} = 6\,r_m(n_V) - 2\,i_m + 180\,\text{°}\;</math><ref name="expression de Dm et de rm" /> avec <math>\;i_m \simeq -71,94\,\text{°}\;</math><ref name="im dépend de la couleur - bis" /> et <math>\;r_m(n_V) =</math> <math>\arcsin\! \left[ \dfrac{\sin(i_m)}{n_V} \right]\;</math><ref name="expression de Dm et de rm" /> <math>\simeq \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin(-71,94\,\text{°})}{1,343} \right] \simeq -45,07\,\text{°}\;</math> d'où <math>\;D_{m,\,p = 2,\,\text{en °}}(n_V) - 180\,\text{°} \simeq 53,46\,\text{°}</math> ; <br>{{Al|5}}dans la mesure où l'arc-en-ciel secondaire est observable, il est situé légèrement au-dessus de l'arc-en-ciel primaire, les deux étant séparés approximativement de <math>\;7\,\text{°}\;</math> de hauteur angulaire.}} ==== Largeur angulaire du spectre de l'arc-en-ciel primaire et de celui de l'arc-en-ciel secondaire ==== {{Al|5}}Calculer <math>\;\delta \theta_1\;</math> et <math>\;\delta \theta_2\;</math> les largeurs angulaires des spectres des arcs-en-ciel respectivement primaire et secondaire définies selon <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \delta \theta_1 = \vert D_{m,\, p = 1}(n_R) - D_{m,\, p = 1}(n_V) \vert \simeq \Bigg\vert \dfrac{d D_{m,\, p = 1}}{dn}(n_{\text{moy}})\; (n_R - n_V) \Bigg\vert\\ \delta \theta_2 = \vert D_{m,\, p = 2}(n_R) - D_{m,\, p = 2}(n_V) \vert \simeq \Bigg\vert \dfrac{d D_{m,\, p = 2}}{dn}(n_{\text{moy}})\; (n_R - n_V)\Bigg\vert\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> La justification de ce calcul provient encore du fait que <math>\;n_R - n_V\;</math> est petit et peut être confondu avec la différentielle <math>\;dn\;</math> c.-à-d. «<math>\;\delta n \simeq</math> <math>\dfrac{d n}{d \lambda}\, (\lambda_R - \lambda_V)\;</math>» d'où «<math>\;n_R \simeq n_V + \dfrac{d n}{d \lambda}\, (\lambda_R - \lambda_V)\;</math>» s'identifiant au D.L. à l’ordre un en <math>\;\lambda_R - \lambda_V\;</math> de <math>\;n(\lambda_R)\;</math> au voisinage de <math>\;\lambda_V\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs|développement limité à l'ordre un d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>.</center> {{Solution | contenu ={{Al|5}}<u>Largeur angulaire du spectre de l'arc-en-ciel primaire</u> : <math>\;\delta \theta_1 = \vert D_{m,\, p = 1}(n_R) - D_{m,\, p = 1}(n_V) \vert \simeq \Bigg\vert \dfrac{d D_{m,\, p = 1}}{dn}(n_{\text{moy}})\; (n_R - n_V) \Bigg\vert\;</math> se réécrit en utilisant la dérivée <math>\;\dfrac{d D_{m,\, p = 1}}{dn}(n)\;</math> calculée précédemment<ref name="variation de la déviation extrémale en fonction de n" />, <math>\;\delta \theta_1 \simeq \Bigg\vert - \left( \dfrac{2}{n_{\text{moy}}}\, \sqrt{\dfrac{(p + 1)^2 - n_{\text{moy}}^2}{n_{\text{moy}}^2 - 1}} \right)_{\!\!p = 1}\; (n_R - n_V) \Bigg\vert \;</math> soit finalement, avec <math>\;n_R \simeq = 1,329</math>, <math>\;n_V \simeq = 1,343\;</math> et <math>\;n_{\text{moy}} = \dfrac{n_R + n_V}{2} \simeq \dfrac{1,329 + 1,343}{2} \simeq 1,336</math>, <center><math>\;\delta \theta_1 \simeq \dfrac{2}{1,336} \times \sqrt{\dfrac{4 - (1,336)^2}{(1,336)^2 - 1}} \times (1,343 - 1,329) \simeq 3,521\, 10^{-2}\, rad\;</math> ou encore «<math>\;\delta \theta_1 \simeq 2,017\,\text{°}\;</math>»<ref> Le calcul effectué dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Conditions_d'observation_d'arcs-en-ciel_pour_un_observateur_situé_au_sol,_description_des_arcs-en-ciel_primaire_et_secondaire|conditions d'observation d'arcs-en-ciel pour un observateur situé au sol, description des arcs-en-ciel primaire et secondaire]] » plus haut dans cet exercice donnait «<math>\;\left[ D_{m,\,p = 1,\,\text{en °}}(n_R) - 180\,\text{°} \right] - \left[ D_{m,\,p = 1,\,\text{en °}}(n_V) - 180\,\text{°} \right] \simeq 42,68\,\text{°} - 40,64\,\text{°} \simeq 2,04\,\text{°}\;</math>», l'écart entre ce résultat et celui trouvé dans ce paragraphe <math>\;\simeq 2,017\,\text{°} \simeq 2,02\,\text{°}</math>, de l'ordre de <math>\;\dfrac{2,04\,\text{°} - 2,02\,\text{°}}{2,02\,\text{°}} \simeq 1\,%</math>, étant négligeable.</ref> ;</center> {{Al|5}}<u>Largeur angulaire du spectre de l'arc-en-ciel secondaire</u> : <math>\;\delta \theta_2 = \vert D_{m,\, p = 2}(n_R) - D_{m,\, p = 2}(n_V) \vert \simeq \Bigg\vert \dfrac{d D_{m,\, p = 2}}{dn}(n_{\text{moy}})\; (n_R - n_V) \Bigg\vert\;</math> se réécrit en utilisant la dérivée <math>\;\dfrac{d D_{m,\, p = 1}}{dn}(n)\;</math> calculée précédemment<ref name="variation de la déviation extrémale en fonction de n" />, <math>\;\delta \theta_2 \simeq \Bigg\vert \left( \dfrac{2}{n_{\text{moy}}}\, \sqrt{\dfrac{(p + 1)^2 - n_{\text{moy}}^2}{n_{\text{moy}}^2 - 1}} \right)_{p = 2}\; (n_R - n_V) \Bigg\vert \;</math> soit finalement, avec les mêmes valeurs de <math>\;n_R</math>, <math>\;n_V\;</math> et <math>\;n_{\text{moy}}</math>, <center><math>\;\delta \theta_2 \simeq \dfrac{2}{1,336} \times \sqrt{\dfrac{9 - (1,336)^2}{(1,336)^2 - 1}} \times (1,343 - 1,329) \simeq 6,354\, 10^{-2}\, rad\;</math> ou encore «<math>\;\delta \theta_2 \simeq 3,641\,\text{°}\;</math>»<ref> Le calcul effectué dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Conditions_d'observation_d'arcs-en-ciel_pour_un_observateur_situé_au_sol,_description_des_arcs-en-ciel_primaire_et_secondaire|conditions d'observation d'arcs-en-ciel pour un observateur situé au sol, description des arcs-en-ciel primaire et secondaire]] » plus haut dans cet exercice donnait «<math>\;\left[ D_{m,\,p = 2,\,\text{en °}}(n_V) - 180\,\text{°} \right] - \left[ D_{m,\,p = 2,\,\text{en °}}(n_R) - 180\,\text{°} \right] \simeq 53,46\,\text{°} - 49,86\,\text{°} \simeq 3,60\,\text{°}\;</math>», l'écart entre ce résultat et celui trouvé dans ce paragraphe <math>\;\simeq 3,641\,\text{°} \simeq 3,64\,\text{°}</math>, de l'ordre de <math>\;\dfrac{3,64\,\text{°} - 3,60\,\text{°}}{3,64\,\text{°}} \simeq 1\,%</math>, étant négligeable.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Le spectre de l'arc-en-ciel secondaire est peu visible car, d'une part, plus étendu que celui du primaire <math>\;\big(3,64\,\text{°}\;</math> au lieu de <math>\;2,02\,\text{°}\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Le spectre de l'arc-en-ciel secondaire est peu visible car, }}d'autre part, résultant d'une réflexion interne supplémentaire avec un facteur de réflexion énergétique <math>\;R < 1</math>.}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : sources lumineuses, milieu transparent, approximation de l'optique géométrique/|Opt. géomét. : sources lumin., milieu transp., approxim. de l'opt. géomét.]] | suivant = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] }} fmmab3a7ye02sg9oucqfk6nnqrna8ur 0 63482 982824 974110 2026-05-14T17:38:12Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982824 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Optique géométrique : conditions de Gauss | idfaculté = physique | numéro = 13 | chapitre = [[../../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un miroir sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> <math>\big(</math>centre de courbure de la surface sphérique réfléchissante<ref> Si le miroir est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le miroir est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref><math>\big)</math>, * son rayon de courbure <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;R\;</math> <math>\big(</math>rayon de courbure de la surface sphérique réfléchissante<math>\big)</math>, * l'axe optique principal dont la partie incidente <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>point objet dont on étudiera l'image éventuelle<math>\big)\;</math> et * son sommet <math>\;S\;</math> <math>\big(</math>intersection de l'axe optique principal et de la surface réfléchissante<math>\big)</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal avec les espaces objets réel et virtuel respectivement situés à gauche et à droite du miroir, <br>{{Al|3}}la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être {{Nobr|quelconque<math>\big)\;</math>}} mesurée dans ce sens, le sens étant rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}la partie réfléchie de l'axe optique principal est alors orientée dans le sens <math>\;\leftarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être quelconque et différente de celle des points de la partie incidente de l'axe<math>\big)\;</math> mesurée dans ce sens, le sens étant aussi rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}voir les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Repérage_d'un_point_objet_ou_d'un_point_image_sur_l'axe_optique_principal|repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal]] (surface réfléchissante) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> et, pour unifier l'étude des miroirs sphériques, algébrisons le rayon de courbure du miroir selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du miroir caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est virtuel, correspondant à un miroir « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est réel, correspondant à un miroir « concave ». <center> <gallery mode="packed" heights="330px"> Miroir sphérique convexe - algébrisation.jpg|Miroir sphérique convexe : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé Miroir sphérique concave - algébrisation.jpg|Miroir sphérique concave : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé </gallery> </center> {{Al|5}}Dans la suite nous supposerons le miroir sphérique concave<ref> En précisant la modification des résultats pour un miroir sphérique convexe.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la suite nous }}admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique<ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Stigmatisme_rigoureux_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du miroir<ref name="Définition sommet"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le miroir, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du miroir peut être considéré comme un sommet.</ref>. === Démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss === [[File:Miroir sphérique concave - stigmatisme approché.jpg|thumb|350px|Schéma d'un miroir sphérique concave dans le but d'établir le stigmatisme approché du miroir<ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tout point objet autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math><ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du miroir ; <br>{{Al|3}}sur le schéma <math>\;[SA_o]\;</math> est <math>\;> [SC]</math>, ceci entraînant que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, est telle que <math>\;[SA_i]\;</math> est <math>\;< [SC]</math> ; <br>{{Al|3}}pour traiter le cas correspondant à <math>\;[SA_o] < [SC]</math>, ce qui entraînerait que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, serait telle que <math>\;[SA_i] > [SC]</math>, il suffirait de permuter l'objet et l'image pour retrouver le cas précédent aussi nous nous contenterons de traiter le cas du schéma <math>\;[SA_o] > [SC]</math>.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> c'est-à-dire tel que l'angle que fait la normale au miroir en <math>\;I\;</math> dans le sens incident avec la partie incidente de l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})} =</math> <math>\omega\;</math> est tel que <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math><ref name="paraxial"> Les rayons incidents sont donc paraxiaux, conditions de Gauss <math>\;\big(</math>admises<math>\big)\;</math> pour que le système recevant ces rayons soit stigmatique approché pour le point objet considéré, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes"> '''[[w:Willebrord_Snell|Willebrord Snell Van Royen]] ou Snellius (1580 - 1626)''' humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes <math>\;\big(</math>sans que ce soit {{Nobr|assuré<math>\big)</math>.}} <br>{{Al|3}}'''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> de la réflexion<ref name="1ère loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Première_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|1^ère loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|2^ème loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon réfléchi <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfléchi par rapport à la partie réfléchie de l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\big(</math>c'est-à-dire indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss<ref name="Gauss"> En <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de '''Maxwell''' gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math>.</ref> de stigmatisme approché<ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\big(\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une 1^ère relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une 2^ème relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i'\;\big(</math>angle de réflexion du rayon réfléchi en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion<ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i\;</math> et <math>\;\omega</math> : <center>«<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>»<ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Cette relation reste applicable quels que soient les ordres de grandeur de <math>\;\vert \theta_o \vert\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert</math>, elle ne nécessite donc pas de se placer dans les conditions de Gauss de stigmatisme approché.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, «<math>\;\omega = \theta_o + (-i)\;</math>»<ref name="relation dans un triangle"> On utilise la propriété suivante : « dans un triangle, un angle extérieur est égal à la somme des deux autres angles intérieurs » <math>\;\big(</math>propriété utilisant des angles non algébrisés<math>\big)</math>.</ref>{{,}}<ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i)</math>.</ref> et {{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, «<math>\;\theta_i = \omega + i'\;</math>»<ref name="relation dans un triangle" />{{,}}<ref> On remarque, sur le schéma, que tous les angles <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega\;</math> et <math>\;i'\;</math> sont positifs.</ref> ; en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes" /> pour la réflexion<ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> «<math>\;i' = -i\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la relation ci-dessus se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}«<math>\;\theta_i = \omega - i\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}on élimine alors <math>\;i\;</math> entre ces deux relations en faisant la différence soit : <math>\;\omega - \theta_i = \theta_o - \omega\;</math> ou <math>\;2\,\omega = \theta_o + \theta_i\;</math> soit enfin «<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>»<ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché" />.}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss<ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché<ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfléchi est peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal c'est-à-dire <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math><ref name="définition de H"> <math>\;H\;</math> étant le projeté orthogonal du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur l'axe optique principal.</ref> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})</math>, un lien entre «<math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}</math>, <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math> et <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[</math>relation <math>\,(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = 2\, \omega - \theta_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}des conditions de Gauss<ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché<ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vert \theta_o \vert \ll 1\\ \vert \omega \vert \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> on en déduit <center>«<math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math>» c'est-à-dire que le rayon réfléchi est aussi peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal.</center> # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|En travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_oIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>»<ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_i > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i}_\leftarrow > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>»<ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, «<math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{CIH}</math>, }}«<math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math>»<ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;2\, \omega = \theta_i + \theta_o</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{-2\, \overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow} - \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, après simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, <br>{{Transparent|des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> réécrite selon <math>\;\color{transparent}{2\, \omega = \theta_i + \theta_o}</math>, on en déduit }}«<math>\;\dfrac{-2}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{{\mathrm{HA}_i}_\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math><ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du miroir à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="H et S confondus"> Ceci nécessite que <math>\;[HS]\;</math> soit un infiniment petit au moins d'ordre deux en <math>\;\omega</math>.</ref> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="ω infiniment petit d'ordre un"> <math>\;\vert \omega \vert\;</math> étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un.</ref>, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>»<ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#D.L._d'ordre_deux_de_quelques_fonctions_usuelles_au_voisinage_de_zéro|développements limités à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> Voir aussi la remarque du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» ou finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math>» ; {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss<ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché<ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center>«<math>\; \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}}<ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du miroir.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}le stigmatisme approché du miroir sphérique<ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que }}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}}<ref name="indépendance de la nature"> Nous admettrons que cette relation <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> établie dans le cas d'un miroir sphérique concave est encore applicable, sans modification, à un miroir sphérique convexe.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du miroir sphérique exprimée en dioptries <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math><ref name="dioptrie"> Pour que la vergence s'exprime en dioptries, les abscisses doivent l'être en <math>\;m\;\big(</math>la dioptrie étant liée au mètre par <math>\;1\, \delta = 1\,m^{-1}\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V}\;</math>» }}exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes<ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave ou convexe<math>\big)</math>, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>»<ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"> C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Descartes|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », nous obtenons la même relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big\{</math>ou de grandissement transverse<math>\big\}\;</math> de Descartes <math>\;\big[</math>ou de Newton<math>\big]\;</math> que celle d'une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que l'algébrisation de l'axe optique du miroir sphérique soit l'algébrisation physique adoptée dans ce cours<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique<ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> « pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math>»<ref name="Ao autre que C et S"> <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que l'axe optique principal associé à <math>\;A_o\;</math> soit unique et <br>{{Al|20}}<math>\;\color{transparent}{A_o}</math><math>\;\neq S\;</math> pour que l'abscisse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> ne soit pas nulle, ce qui permet à son inverse d'exister</ref> puisque, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique « }}pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\;\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}}<ref name="indépendance de la nature" /> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la « vergence » du miroir sphérique selon <center>«<math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}}<ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> rayon algébrisé du miroir.</center> {{Al|5}}Avec les « abscisses de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> du miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>»<ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />.</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math><ref name="Définition sommet" /> du miroir sont des points <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}pour lesquels le miroir est stigmatique rigoureux et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}dont l'image est confondue avec l'objet <math>\;\big(</math>c'est-à-dire des points doubles<math>\big)</math>. {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> est applicable à <math>\;C</math>, centre du miroir, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est applicable à <math>\;\color{transparent}{C}</math>, }}bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du miroir<ref> Mais évidemment pas sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle <math>\;\ldots</math></ref>, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}vérifier, sur cette dernière forme, que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;S\;</math> est effectivement un point double » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>« il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C\;</math>». {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - points doubles.jpg|thumb|600px|Schémas de vérification du fait que, pour <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, le miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math> est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave<ref name="indépendance de la nature"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir sphérique concave étant normal au miroir se réfléchit sur lui-même, donnant un ensemble de rayons réfléchis convergeant en un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c'est-à-dire prouvant que le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave se réfléchissant en suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et l'ensemble des rayons réfléchis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son sommet<ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> à <math>\;C</math>, centre du miroir, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque<ref> Le fait que les autres rayons convergent également en <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la convergence des rayons réfléchis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes<ref name="Descartes" /> ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i\;</math> l'image du point objet <math>\;C</math>, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_o(C) = \overline{SC}_{\rightarrow} = \overline{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, si on appelle <math>\;\color{transparent}{C_i}\;</math> l'image du point objet <math>\;\color{transparent}{C}</math>, ce dernier }}<math>\;C_i\;</math> d'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow}\;</math>», nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, }}en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>, «<math>\;\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» d'où <math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}\;</math> soit «<math>\;\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\overline{SC_i}_{\rightarrow} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>»<ref name="conséquence du changement de sens d'orientation"> En effet quand on change le sens d'orientation d'un axe les abscisses sont changées en leurs opposées.</ref> prouvant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, en remplaçant <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{-2}{\overline{R}}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}}\;</math>» d'où <math>\;\color{transparent}{p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}<math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que «<math>\;C\;</math> est un point double ». {{Al|5}}De <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit «<math>\;p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}\;</math>» <math>\;\big(</math>forme permettant à l'abscisse objet d'être nulle<math>\big)</math> ; sous cette forme on vérifie que {{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» }}le point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(S) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}a une image d'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = 0</math>, c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, a }}une image confondue avec <math>\;S</math>, prouvant que «<math>\;S\;</math> est bien un point double » ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> s'écrivant «<math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d}_{\leftarrow} =</math> <math>-\overline{SA_d}_{\rightarrow} = -p_d\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}}<ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" /> avec «<math>\;p_i(A_d) = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» obéissent à l'équation «<math>\;-p_d = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ 1 + V\, p_d = -1\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> sommet du miroir et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 2^ème équation conduisant à «<math>\;p_d = \dfrac{-2}{V} = \overline{R}\;</math>» c'est-à-dire <math>\;C\;</math> centre du miroir ; <center>le centre et le sommet d'un miroir sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un miroir sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image === {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes<ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal »<ref name="définition focal"> Un système « afocal » étant tel que le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double, un système sera « focal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est conjugué à un point de ce même axe optique principal à distance finie.</ref> puis {{Al|5}}déterminer <math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c'est-à-dire le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer }}<math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c'est-à-dire le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent<ref name ="Antécédent"> C.-à-d. pour point objet.</ref> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math> ; {{Al|5}}quelle particularité ces deux points possèdent-ils en ce qui concerne leurs positions absolues d'une part et leur position relative d'autre part ? {{Al|5}}Définissant <math>\;\succ\;</math>la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définissant }}<math>\;\succ\;</math>la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> du foyer principal image <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o\;</math> et distance focale image <math>\;f_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un miroir sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double<ref name="caractère non double du point à l'infini de l'axe optique principal"> En effet nous avons établi que les seuls points doubles du miroir sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_miroir_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles]] » plus haut dans cet exercice.</ref>. * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, }}étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, étant l'image du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{o,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;\dfrac{1}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, }}étant l'antécédent<ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, étant l'antécédent du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{i,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;0 - \dfrac{1}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Les positions géométriques respectives des foyers principaux objet et image étant telles que «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = - \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>le changement de sens d'algébrisation conduisant à <math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = -\overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}}<ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" />, on en déduit «<math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c'est-à-dire la <u>coïncidence des positions géométriques des foyers principaux objet et image</u><ref> Cette coïncidence n'est que géométrique, car ce sont des points d'espaces optiques différents, l'un est dans un espace objet et l'autre dans un espace image.</ref> ; * <u>leur position géométrique commune</u> étant telle que «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{R}}{2} = \dfrac{\overline{SC}_{\rightarrow}}{2}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> on vérifie qu'elle <u>coïncide avec le milieu du segment joignant le sommet et le centre du miroir</u>. {{Al|5}}<u>Notion de distances focales objet et image</u> : * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_i = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_o = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; <center>on en déduit la relation «<math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>»<ref name="interprétation de la vergence"> Pratiquement « la vergence <math>\;V\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>», appliquée au couple de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> on trouve <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} - 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pratiquement « la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}}\;</math>», }}appliquée au couple de points conjugués <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>, <math>\;V = 0 - \dfrac{1}{f_o}</math> ; <br>{{Al|3}}pour mémoire, <math>\;C\;</math> étant un point double, l'invariant en <math>\;C\;</math> donne la valeur «<math>\;V = \dfrac{1}{\overline{SC}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = -\dfrac{2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>».</ref>.</center>}} === Quelques propriétés découlant du caractère focal d'un miroir sphérique === ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du miroir sphérique, caractère convergent ou divergent du miroir et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du miroir sphérique puis {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » <math>\;\big(</math>respectivement « négative »<math>\big)\;</math> est dit « convergent » <math>\;\big(</math>respectivement « divergent »<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> on en déduit que la vergence est de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du miroir sphérique, ainsi : * un miroir <u>concave</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}}<ref name="nature de C"> Correspondant au caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)</math>.</ref>, donc une vergence <math>\;V > 0</math>, c'est un système « <u>convergent</u> », * un miroir <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}}<ref name="nature de C" />, donc une vergence <math>\;V < 0</math>, c'est un système « <u>divergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> on en déduit la nature <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image suivant la nature <math>\;\big(</math>convergente ou divergente<math>\big)\;</math> du miroir sphérique : * un miroir <u>concave</u> étant convergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir concave étant convergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u><ref name="nature des foyers"> Pour un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)\;</math> le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> avec le fait que la position géométrique commune des foyers principaux est le milieu du segment joignant le centre et le sommet, entraîne le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image.</ref>, * un miroir <u>convexe</u> étant divergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir convexe étant divergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u><ref name="nature des foyers" />.}} ==== Démonstration de l'absence de conjugaison non rigoureuse du miroir sphérique (concave) pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal ==== {{Al|5}}En reprenant la démonstration faite dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice<ref> Plus exactement dans la solution des questions successives « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Établissement_de_la_relation_liant_θo,_θi_et_ω|établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Évaluation_des_angles_θo,_θi_et_ω_en_fonction_des_abscisses_de_Ao,_Ai_et_C_repérées_relativement_à_H|évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H]] » plus haut dans cet exercice.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}avec <math>\;A_o\;</math> situé à l'infini <math>\;\big(</math>ce qui correspond à <math>\;\theta_o = 0\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}en conservant les notations introduites dans « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|cette question]] » <math>\;\big[</math>à l'exception de <math>\;A_i\;</math> qui sera noté <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω"> Fonction de <math>\;\omega\;</math> car ce point <math>-</math> hors condition de Gauss <math>-</math> en dépend effectivement <math>\big[</math>c'est d'ailleurs, en ce qui concerne <math>\;F_i</math>, le but de cette question<math>\big]</math>.</ref> et de <math>\;H\;</math> qui sera noté <math>\;H(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]</math>, {{Al|5}}déterminer la position de <math>\;F_i(\omega)\;</math> <math>\big[</math>point de l'axe optique principal par lequel passe le rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]\;</math> et {{Al|5}}vérifier que <math>\;F_i(\omega)\;</math> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérifier }}qu'il n'y a pas conjugaison rigoureuse du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> pour le point situé à l'infini de l'axe optique principal. {{Solution|contenu = <center><gallery mode="packed" heights="355px"> Miroir sphérique concave - absence stigmatisme rigoureux.jpg|Schéma de démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave<ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal </gallery> </center> {{Al|5}}Montrons algébriquement qu'un miroir sphérique concave<ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas rigoureusement stigmatique pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> de l'axe optique principal<ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> et pour cela il suffit de montrer <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}qu'un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" />, repéré par l'angle <math>\;\omega\;</math> que fait le rayon incident avec <math>\;\overrightarrow{CI}(\omega)\;</math> tel que <math>\;\vert \omega \vert\; \cancel{\ll}\; 1\;</math><ref> Voir schéma ci-dessus.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement qu'un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal, }}donne un réfléchi qui recoupe l'axe optique principal en <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}l'absence de stigmatisme rigoureux du miroir pour <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; {{Al|5}}l'angle d'incidence étant <math>\;i = -\omega\;</math><ref> En effet les angles sont alternes-internes, leurs mesures ont donc mêmes valeurs absolues mais <math>\;i\;</math> est <math>\;< 0\;</math> sur le schéma alors que <math>\;\omega\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, l'angle de réflexion est donc <math>\;i' = -i = \omega\;</math> d'après la 2^ème relation de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion<ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> ; on en déduit alors «<math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace} = 2\; \omega\;</math>»<ref> En effet l'angle que fait <math>\;\left[ F_i(\omega)I(\omega) \right]\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal et celui que fait le rayon réfléchi en <math>\;I(\omega)\;</math> avec la <math>\;\parallel\;</math> en <math>\;I(\omega)\;</math> à la partie réfléchie à l'axe optique principal sont alternes-internes, la mesure de la valeur absolue du 1^er étant <math>\;\vert i \vert + \vert i' \vert = 2\;\vert \omega \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> la mesure de <math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace}\;</math> sachant qu'il est <math>\;> 0\;</math> sur le schéma tout comme <math>\;\omega</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> se détermine par <math>\;\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}}<ref> Toutes les grandeurs étant positives sur le schéma.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}\, \cos(2\; \omega)}{\sin(2\; \omega)}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{H(\omega)I(\omega)} = CI(\omega)\; \sin(\omega) = R\; \sin(\omega)\\ \sin(2\; \omega) = 2\; \sin(\omega)\; \cos(\omega)\end{array}\right\rbrace\;</math> et simplification par <math>\;\sin(\omega)</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math> se détermine par <math>\;\color{transparent}{\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}}\;</math>{{,}} <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}on peut alors évaluer «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} - \overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, expression dans laquelle <math>\;\overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega)\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega) - \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)} = R\; \dfrac{2\; \cos^2(\omega)- \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, sachant que <math>\;\cos(2\; \omega) = 2\; \cos^2(\omega) - 1</math>, l'expression finale <center>«<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}}<ref> L'expression simple du résultat indique qu'il doit y avoir une méthode plus rapide pour sa détermination ; en effet les angles non algébrisés <math>\;\widehat{SCI(\omega)}\;</math> et <math>\;\widehat{CI(\omega)F_i(\omega)}\;</math> étant égaux <math>\;\big(</math>à <math>\;\vert \omega \vert\big)</math>, le triangle <math>\;F_i(\omega)CI(\omega)\;</math> est isocèle <math>\Rightarrow</math> la hauteur issue de <math>\;F_i(\omega)\;</math> est aussi médiatrice d'où, en notant <math>\;K(\omega)\;</math> son pied, <math>\;CK(\omega) = \dfrac{CI(\omega)}{2} = \dfrac{R}{2}\;</math> et <math>\;\dfrac{CK(\omega)}{\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow}} = \cos(\omega)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} =</math> <math>\dfrac{CK(\omega)}{\cos(\omega)} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math> ce qui est indéniablement plus rapide.</ref> <br><math>\Downarrow</math> <br><math>\;F_i\;</math> dépend effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>le miroir sphérique concave<ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas stigmatique rigoureux pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> de l'axe optique principal<ref> La démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave pour n'importe quel point objet <math>\;\big(</math>autre que le centre et le sommet<math>\big)\;</math> de l'axe optique principal pourrait être faite en suivant une démarche analogue.</ref>.</center>}} === Aplanétisme approché d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On considère le miroir sphérique concave introduit à la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_d'un_objet_linéique_transverse|définition d'un objet linéique transverse]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math><ref name="support axe optique principal"> Ce qui signifie que l'axe optique principal a pour support <math>\;(A_oC)</math>.</ref> tel qu'il y ait stigmatisme approché du miroir<ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math><ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\;\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le miroir<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|15}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché }}l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math><ref name="Nette"> L'image est qualifiée de « nette » car tous les points objet <math>\;M_o\;</math> ont une image ponctuelle <math>\;M_i</math>.</ref> mais a priori<ref> C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|20}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> admet une image }}ni « linéique »<ref name="Linéique"> Linéique signifiant « rectiligne ».</ref> ni « transverse ». {{Al|5}}On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> est, quand l'objet n'est pas proche du miroir, vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c'est-à-dire <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}quand l'objet est proche du miroir, vu du centre <math>\;C\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c'est-à-dire <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}ces deux exigences constituant les conditions de Gauss<ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché<ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> quelconque<ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du miroir dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss<ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché<ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> d'un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="façon plus simple"> C'est cette façon que nous adopterons car elle conduit à une démonstration plus rapide de l'aplanétisme.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir, il doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, il doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, <br>{{Al|5}}nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous considérons }}l'angle <math>\;\beta\;</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position <math>\;\big(</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big)\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> établie dans la solution de [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|la question plus bas dans cet exercice]] »<ref name="méthode moins aisée"> Il est possible de se contenter de la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> mais la méthode est alors moins aisée.</ref> à savoir «<math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite ; {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math>dd"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au centre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>, }}vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal c'est-à-dire qu'elle est linéique transverse<ref> Il y a donc aplanétisme approché du miroir sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math><ref name="définition des côtés triangle rectangle"> <math>\;[CB_o]\;</math> étant l'hypoténuse du triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> rectangle en <math>\;A_o\;</math> et <math>\;[CA_o]\;</math> le côté adjacent à l'angle de mesure <math>\;\alpha</math>.</ref>, soit plus précisément «<math>\;[CA_o] = [CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math>»<ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement «<math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math>» prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math><ref name="axe optique secondaire"> Cet axe optique secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\;</math> est en fait un axe optique principal relativement au point objet <math>\;M_o</math>.</ref>, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref> donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c'est-à-dire que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet <math>\;A_oB_o</math>, c'est-à-dire assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal de support <math>\,(CA_i)\,</math><ref name="justification choix"> Il s'agit effectivement d'un choix car le segment aurait pu être choisi <math>\;\perp\;</math> à n'importe quel axe optique secondaire de support <math>\;(CM_i)</math>.</ref>, c'est-à-dire que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>nous avons donc établi l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du miroir</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="paraxial - bis"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du miroir pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite }}de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image <math>\;\color{transparent}{M_i}</math>, }}a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math>, pour cela : * déterminer l'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i\;</math> de <math>\;A_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer l'abscisse image de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{p_i}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{A_i}\;</math> en fonction }}de l'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens incident et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du miroir orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math><ref name="définition ε"> L'abscisse de <math>\;M_o\;</math> est évidemment celle de <math>\;B_o\;</math> et son ordonnée sera notée <math>\;\varepsilon \times\;</math> l'ordonnée de <math>\;B_o</math>, <math>\;\varepsilon\;</math> variant entre <math>\;0\;</math> et <math>\;1</math> ;<br>{{Al|3}}ici intervient une 1^ère condition de Gauss d'aplanétisme approché <math>\;\beta \ll 1\;</math> qui assure que le point <math>\;M_o\;</math> est suffisamment proche de l'axe optique principal pour que deux rayons incidents judicieusement choisis travaillent dans les conditions de stigmatisme approché.</ref>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx'}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens réfléchi <math>\;\big(</math>donc de sens contraire à celui de l'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\big)\;</math> et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant le même que précédemment à savoir porté par la représentation symbolique du miroir et orienté vers le haut.</ref> déterminer les équations des rayons réfléchis, puis leur intersection <math>\;M_i</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i</math>, * conclure à l'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre du miroir. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - aplanétisme.jpg|thumb|560px|Schéma positionnant un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre d'un miroir sphérique concave pour démontrer l'aplanétisme approché du miroir pour cet objet]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss<ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché<ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes<ref name="Descartes" /> du miroir sphérique <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_miroir_sphérique_(concave)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> de vergence <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant la distance focale image du miroir d'où : <center><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{f_i + p_o}{p_o\, f_i}\;</math> soit finalement «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0\;</math>» et «<math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math>» avec «<math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1\;</math>», on en déduit <math>\;\tan(\beta) =</math> <math>-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> d'où, avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" />, <center>«<math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o\;</math>» ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy" />, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math>»<ref name="vérification signes"> On vérifie sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;< 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> et passant par le foyer principal objet du miroir sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{F_o} = f_o = -f_i\, , \, y_{F_o} = 0)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x + f_i \right)\;</math>» # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy" /> le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction symétrique de celle de ce dernier relativement à l'axe optique principal est de même pente <math>\;-\varepsilon\, \beta\;</math><ref> En effet le rayon réfléchi a une pente opposée à celle du rayon incident dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> mais, quand on passe dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> correspondant à une inversion du sens de l'axe des abscisses sans que celui de l'axe des ordonnées ne soit changé, la pente doit être multipliée par un facteur <math>\;(-1)\;</math> d'où le rayon réfléchi a une pente identique à celle du rayon incident <math>\;\big(</math>la raison étant que les pentes sont définies dans deux repères différents<math>\big)</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x'\;</math>»<ref name="vérification signes bis"> On vérifie bien sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le miroir, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> établie plus haut soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left[ x(I) + f_i \right] = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis a pour abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i} = -\varepsilon\, \beta\, {x'}_{\!M_i}\;</math> soit <center>«<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # l'abscisse «<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» de l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis est identique à l'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» du point image <math>\;A_i</math> ; # le projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal se superposant à <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique</u><math>\;A_oB_o\;</math><u>de pied proche du centre du miroir</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== [[File:Miroir sphérique - symbole.jpg|thumb|550px|Représentation symbolique <math>\;\big(</math>sans les foyers<math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique concave <math>\;\big(</math>à gauche<math>\big)\;</math> et d'un miroir sphérique convexe <math>\;\big(</math>à droite<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Dès lors qu'un miroir sphérique est utilisée sous conditions de Gauss<ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés<ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}}<ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce miroir sous une forme symbolique dans laquelle figurent * l'axe optique principal, * le centre <math>\;C</math>, * les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math> <math>\;\big(</math>non représentés ci-contre<ref name="Foyers à ajouter"> La position des foyers principaux sont à ajouter au milieu du segment <math>\;\left[ CS \right]</math>.</ref><math>\big)</math>, * le sommet <math>\;S\;</math> et * la partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal<ref> Cette partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers <math>\;C</math>, ainsi un miroir concave à centre <math>\;C\;</math> réel a des bords inclinés vers la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet réel<math>\big)\;</math> et un miroir convexe à centre <math>\;C\;</math> virtuel a des bords inclinés vers la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet virtuel<math>\big)</math>.</ref>, partie de miroir sur laquelle est rappelée l'algébrisation physique de l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes<ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du miroir et qui se réfléchit sur lui-même<ref name="rayon incident passant par C"> En effet le rayon réfléchi doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le miroir c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du miroir et qui se réfléchit en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion<ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" />{{,}}<ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique"> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du miroir est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du miroir car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du miroir <math>\;\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du miroir en <math>\;I\;</math> n'est pas <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique du miroir en <math>\;I\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}le point d'intersection de ces deux rayons réfléchis étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfléchis correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss<ref name="Gauss" />{{,}}<ref> Car le miroir est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}il suffit de projeter orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir le point image <math>\;A_i\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math><ref name="miroir aplanétique approché pour AoBo"> Car le miroir est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le miroir sphérique concave de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» en fonction des abscisses objet et image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}la relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> pour tout objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée"> Elle ne peut évidemment pas s'appliquer sous la forme indiquée pour <math>\;A_o = S\;</math> car elle correspondrait à une forme indéterminée mais <br>{{Al|3}}on vérifie, dans la solution de la sous question suivante, qu'elle s'applique sous cette forme pour <math>\;A_o = C</math>.</ref>{{,}}<ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math><ref> Bien que démontrée sur un miroir sphérique concave elle reste applicable à un miroir sphérique convexe.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant exposé la construction de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> dans l'énoncé de la question <math>\;\big\{</math>pour rappel on positionne <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondant à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même<ref name="rayon incident passant par C" /> et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal<ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique" />{{,}}<ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i\;</math> devant être mesuré et reporté symétriquement par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous le choisissons car il est utilisé dans la démonstration qui suit.</ref>, puis on projette orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir <math>\;A_i\;</math><ref name="miroir aplanétique approché pour AoBo" /><math>\big\}</math> ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(i)\;</math> et <math>\;\tan(-i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(i) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}}<ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(i) \simeq i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\Bigg]</math>, * «<math>\;\tan(-i) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;(-i)\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}}<ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(-i) \simeq -i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;-i \simeq -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\Bigg]</math> ; {{Al|5}}égalant les deux expressions de <math>\;i</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c'est-à-dire la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u><ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math><u>avec origine au sommet</u><math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = C\;</math><ref> Le miroir sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du miroir c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\;\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le miroir<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c'est-à-dire l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math>, qu'elle est symétrique de <math>\;A_oB_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal et * comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" />{{,}}<ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" /> en considérant <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S\;</math><ref> L'objet, collé contre le miroir sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique <math>\;\big(</math>c.-à-d. rectiligne<math>\big)\;</math> car il suit la courbure du miroir mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour tous les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le miroir, jouent le rôle de sommet <math>\;\big(</math>secondaire<math>\big)\;</math> pour lequel le miroir est stigmatique rigoureux.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c'est-à-dire l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math><ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le miroir puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|400px|Construction de l'image d'un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> de pied au centre d'un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> a pour image, par le miroir, une image de pied <math>\;C</math>, de plus, comme le miroir sphérique est aplanétique approché pour tout objet de pied <math>\;A_o\;</math> quelconque, l'image de <math>\;CB_o</math>, notée <math>\;CB_i</math>, est linéique transverse ; <br>{{Al|5}}pour obtenir cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette dernière il suffit de choisir }}le rayon passant par le sommet <math>\;S\;</math> qui se réfléchit suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et recoupe le plan transverse passant par <math>\;C\;</math> au point <math>\;B_i</math>, symétrique de <math>\;B_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal d'où <center>«<math>\;\overline{CB_i} = -\overline{CB_o}\;</math>» et par suite <br>«<math>\;G_t(C) = -1\;</math>» ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" />{{,}}<ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" /> nous conduit, en considérant <math>\;A_o = C</math>, à «<math>\;G_t(C) = \dfrac{\overline{SC}_{\leftarrow}}{\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, soit, avec <math>\;\overline{SC}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <center>«<math>\;G_t(C) = -1\;</math>»<ref> Le centre est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse inversée de même taille.</ref>.</center> {{clr}} {{Al|5}}Tous les points du miroir sphérique étant des points doubles de ce dernier<ref> Chaque point du miroir jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le miroir est donc sa propre image ; <br>{{Al|5}}dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; <center>comme «<math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math>» on en déduit, par définition, <br>«<math>\;G_t(S) = +1\;</math>»<ref> Le sommet <math>\;\big(</math>et plus généralement tout point de la surface réfléchissante sphérique<math>\big)\;</math> est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse droite de même taille.</ref>.</center>}} ==== Construction de l'image par un miroir sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du miroir, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se réfléchissant sur elle-même pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent<ref name ="Antécédent" /> le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # propriété du foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur la partie réfléchie de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se réfléchit sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\;</math>» # propriété du foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent<ref name ="Antécédent" /> le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le miroir étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent<ref name ="Antécédent" /> également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon réfléchi issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> s'est réfléchi sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du miroir, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le miroir de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math><ref name="un seul rayon incident suffit"> Un seul rayon incident suffit car <math>\;A_o\;</math> appartenant à l'axe optique principal son image est sur cet axe.</ref> <math>\;\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir convexe. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - construction image.jpg|thumb|450px|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal]] {{Al|5}}<math>\;1.\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à droite<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se réfléchissant sur lui-même, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\parallel\;</math> à l'axe optique principal et se réfléchissant en passant par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{1.}\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;\color{transparent}{B_o}\;</math> }}l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfléchis correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtient en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. [[File:Miroir sphérique concave - construction image - bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire]] {{Al|5}}<math>\;2.\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à gauche<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c'est-à-dire, pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfléchie se superposant à la partie incidente mais orientée en sens contraire<math>\big]</math>, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et se réfléchissant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{2.}\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfléchis correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtient comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, }}en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery mode="packed" heights="285px"> Miroir sphérique convexe - construction image.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal Miroir sphérique convexe - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et * l'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}}<ref name="Applicabilité relation de Descartes de position avec origine en C"> Cette relation est applicable à tout point objet <math>\;A_o \neq C\;</math> de l'axe optique principal, le cas <math>\;A_o = C\;</math> conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math>» avec <math>\;V\;</math> vergence du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} =</math> <math>\overline{SC}_{\rightarrow} + \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou «<math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math>» et * l'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} =</math> <math>\overline{SC}_{\leftarrow} + \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou «<math>\;p_i = -\overline{R} + \pi_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes<ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>»<ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" />{{,}}<ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{1}{\pi_i - \overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\pi_o + \overline{R}) - (\pi_i - \overline{R})}{(\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} =</math> <math>\dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens<ref name="produits des extrêmes et des moyens"> Quand on a l'égalité entre deux fractions <math>\;\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\;</math> les grandeurs <math>\;(a\, ,\, d)\;</math> sont appelées « extrêmes » et <math>\;(b\, ,\, c)\;</math> « moyens », l'égalité des deux fractions étant équivalente à <math>\;a \; d = b \; c\;</math> c.-à-d. à l'égalité du produit des extrêmes et celui des moyens <math>\;\big(</math>on parle encore de l'égalité des produits en croix<math>\big)</math>.</ref> <math>\;-2\, (\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = (\pi_o - \pi_i + 2\, \overline{R})\, \overline{R}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + 2\, \overline{R}\, \pi_o - 2\, \overline{R}\, \pi_i + 2\, \overline{R}^2 =</math> <math>\pi_o\, \overline{R} - \pi_i\, \overline{R} + 2\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + \overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou «<math>\;\overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 2\, \pi_o\, \pi_i\;</math>» et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math><ref name="C.N."> Cela nécessite que <math>\;\pi_o \neq 0\;</math> et <math>\;\pi_i \neq 0\;</math> c.-à-d. <math>\;A_o \neq C</math>.</ref> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes<ref name="Descartes" /></u><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit donc <center>«<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math>»<ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}} = -V</math>.</ref> avec «<math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> vergence du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> }} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes<ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;C\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_(approchée)_de_grandissement_transverse_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="Applicabilité relation de Descartes de grandissement transverse avec origine en C"> Cette relation est applicable à tout objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C</math>, le cas <math>\;A_o = C\;</math> conduisant à une forme indéterminée.</ref>. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>»<ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet"> Applicable en tout point <math>\;A_o \neq S</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i - \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i - \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} - 1}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} + 1} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} \left[ 1 - \dfrac{\overline{R}}{\pi_i} \right]}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left[ 1 + \dfrac{\overline{R}}{\pi_o} \right]} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} \left[ \dfrac{1}{\overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_i} \right]}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left[ \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right]} = -\dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}\;</math><ref> Le but de cette avant dernière transformation étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o}</math> <math>= \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>», voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> <math>\Bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>»<ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> se réécrit «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{1}{\pi_o} + \dfrac{1}{\overline{R}}\;</math>» d'où la simplification<math>\Bigg]</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes<ref name="Descartes" /></u><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math>»<ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où «<math>\;G_t(A_o) =</math> <math>-(-1) = +1\;</math>».</ref>{{,}}<ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même<ref name="rayon incident passant par C" /> et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal<ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique" />, <br>{{Al|5}}le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math><ref name="Angles non algébrisés"> Les angles précités étant non algébrisés.</ref> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}}<ref name="hors centre"> On suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i}_{\leftarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}}<ref name="hors centre bis"> Ayant suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> et <math>\;C\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq C\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iC</math>.</ref> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c'est-à-dire la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u>{{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}}<u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u><ref name="Descartes" /><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i + \overline{R}\;</math> <math>\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du miroir sphérique et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On repère maintenant }}le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton<ref name="Newton"> '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]].</ref> de <math>\;A_o\;</math> par «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et * l'abscisse image de Newton<ref name="Newton" /> de <math>\;A_i\;</math> par «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Newton<ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\; \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\; \overline{F_oA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\; \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}}<ref name="Applicabilité relation de Newton"> Applicable pour tout point objet <math>\;A_o \neq F_o</math> et <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}</math>, ces cas conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou «<math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math>»<ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" /> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton<ref name="Newton" /> utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton<ref name="Newton" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow} + \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou {{Nobr|«<math>\;p_o =</math>}} <math>f_o + \sigma_o = -f_i + \sigma_o\;</math>» et * l'abscisse image de Newton<ref name="Newton" /> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow} + \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou {{Nobr|«<math>\;p_i =</math>}} <math>f_i + \sigma_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Newton<ref name="Newton" /> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes<ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>»<ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" />{{,}}<ref name="validité en tout point autre que S"> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet.</ref> ou «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\bigg\}</math>, soit <math>\;\dfrac{1}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{1}{\sigma_o - f_i} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\sigma_o - f_i) - (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens<ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)</math> <math>= (\sigma_o - \sigma_i - 2\, f_i)\, f_i\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i + f_i\, \sigma_o - f_i\, \sigma_i - f_i^2 =</math> <math>\sigma_o\, f_i - \sigma_i\, f_i - 2\, f_i^2\;</math> soit, après simplification «<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = -f_i^2\;</math>» et enfin, sachant que <math>\;f_o = -f_i\;</math><ref> On remplacera une seule fois <math>\;f_i\;</math> par <math>\;-f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation.</ref>, «<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u><ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>»<ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du miroir <math>\;\big(</math>en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> avec «<math>\;f_i = -f_o = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math> distance focale image du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center>}} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|550px|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton<ref name="Newton" /> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de {{Nobr|Newton<ref name="Newton" />{{,}}<ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton"> Cette relation a deux formes possibles suivant qu'elle est exprimée en fonction de l'abscisse objet de Newton et de la distance focale objet ou en fonction de l'abscisse image de Newton et de la distance focale image.</ref>{{,}}<ref name="Applicabilité relation de Newton" />.}} {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement les deux formes de cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>»<ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o - f_i \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o - f_i}\;</math> ou, en mettant en facteur les grandeurs image adéquates, <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{f_i \left( \dfrac{\sigma_o}{f_i} - 1 \right)} = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\Bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Newton<ref name="Newton" /> établie dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o = -f_i^2\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\sigma_o}{f_i} = -\dfrac{f_i}{\sigma_i}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{\sigma_o}{f_i} - 1 = - \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)\;</math>» d'où la simplification<math>\Bigg]</math> ; une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u><ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math>»<ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> <math>\big(</math>respectivement <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref>{{,}}<ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}la 1^ère relation de conjugaison de Newton<ref name="Newton" /> s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Newton"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice.</ref> est équivalente à «<math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math>», on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u><ref name="Newton" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math>»<ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" />{{,}}<ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui se réfléchit parallèlement à l'axe optique principal et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 2^ème <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal qui se réfléchit en passant par <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|5}}le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})\;</math><ref name="Angles non algébrisés" />{{,}}<ref> Dans toute la solution de cette question <math>\;F_i\;</math> représente le point géométrique du foyer principal image et non le point optique, il est donc considéré confondu avec le point géométrique du foyer principal objet.</ref> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;KF_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}}<ref name="hors foyer bis" > On suppose <math>\;A_i \neq F_i\;</math> c.-à-d. que <math>\;A_o\;</math> n'est pas le point à l'infini de l'axe optique principal, pour que le triangle <math>\;A_iB_iF_i\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit «<math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c'est-à-dire une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Newton</u><ref name="Newton" /> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}le grandissement transverse «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» peut aussi être déterminé en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})\;</math><ref name="Angles non algébrisés" />{{,}}<ref> Dans toute la solution de cette question <math>\;F_o\;</math> représente le point géométrique du foyer principal objet et non le point optique, il est donc considéré confondu avec le point géométrique du foyer principal image.</ref> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;HF_oS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}}<ref name="hors foyer"> On suppose <math>\;A_o \neq F_o\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oF_o\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit «<math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c'est-à-dire une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Newton</u><ref name="Newton" /> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|400px|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes<ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal, le pinceau se réfléchissant sur le miroir en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec la partie réfléchie de l'axe optique principal, est défini selon <center>«<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>»<ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceau par un système catadioptrique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_du_grandissement_angulaire_d'un_pinceau_lumineux_issu_d'un_point_objet|définition du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="Angles petits"> Les angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math> sont de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \theta_i| \vert \ll 1</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>»<ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceau par un système catadioptrique" />{{,}}<ref name="Angles petits" /> en fonction des abscisses objet et image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math>, respectivement «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}}<ref> L'expression du grandissement angulaire est établie en utilisant un miroir sphérique concave mais elle reste applicable pour un miroir sphérique convexe.</ref>. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>»<ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceau par un système catadioptrique" />{{,}}<ref name="Angles petits" /> par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math> <math>\;\big(</math>tous deux <math>\;> 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)\;</math> <br>{{Al|21}}{{Transparent|On détermine le grandissement angulaire «<math>\;\color{transparent}{G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}}\;</math>» }}respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> <math>\big[</math>l'angle <math>\;\widehat{SA_iI}\;</math> étant égal à <math>\;\theta_i\big]\;</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\big]\;</math> ou «<math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math>» soit, avec <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles />, «<math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math>» ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\big]\;</math> ou «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math>» soit, avec <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles />, «<math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math>» soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, <center>l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( A_o\,,\,A_i \right)</math> <br>«<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\;</math>».</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Á l'aide }}de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage<ref name="grandissement angulaire de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Expression_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)_du_grandissement_angulaire_d'un_pinceau_incident_issu_d'un_point_objet|expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, <center>vérifier la « relation de Lagrange - Helmholtz »<ref name="Lagrange"> '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Joseph Louis Lagrange]] (1736 - 1813)''' mathématicien, mécanicien et astronome italien, naturalisé français vers la fin du XVIII^ème siècle <math>\;\big(</math>son nom italien était '''Giuseppe Luigi''' {{Nobr|'''Lagrangia'''<math>\big)</math> ;}} <br>{{Al|3}}on lui doit, entre autres, d'avoir jeté en mathématiques les bases du [[w:Calcul_des_variations|calcul variationnel]], calcul qu'il appliqua en mécanique pour résoudre quelques problèmes <math>\;\big[</math>propagation du son, corde vibrante, [[w:Libration|librations]] de la Lune <math>\;\big(</math>c.-à-d. petites variations de son orbite<math>\big)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}en <math>\;1788</math>, alors installé à Paris, il publia son livre de ''[[w:mécanique analytique|mécanique analytique]]'' dont le formalisme a permis, un siècle et demi plus tard, l'ébauche de la mécanique quantique, il est aussi l'un des pères du [[w:système métrique|système métrique]] et de la division décimale des unités ; <br>{{Al|3}}on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]]''' un domaine privilégié <math>\;\big(</math>ni pour '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Helmholtz]]''' non plus<math>\big)</math> !</ref>{{,}}<ref name="Helmholtz"> '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz]] (1821 - 1894)''' [[w:Physiologie|physiologiste]] et physicien allemand, à qui on doit d'importantes contributions dans la perception des sons et des couleurs ainsi que surtout dans le domaine de la thermodynamique ;<br>{{Al|3}}on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Helmholtz]]''' un domaine privilégié <math>\;\big(</math>ni pour '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]]''' non plus<math>\big)</math> !</ref> <br>«<math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = -1\;</math>»<ref> Cette relation est différente de celle établie dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Relation_de_Lagrange-Helmholtz_d'une_lentille_(sphérique)_mince|relation de Lagrange-Helmholtz d'une lentille (sphérique) mince]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » dans laquelle il n'y a aucune réflexion, la relation de Lagrange - Hemholtz s'écrivant alors «<math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = +1\;</math>» <math>\;\big(</math>à condition, toutefois, que les espaces image et objet soient de même indice<math>\big)</math>.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transverse donné par la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>»<ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Connaissant }}l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage «<math>\;G_a(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\;</math>»<ref name="grandissement angulaire de Descartes (avec origine au sommet)" />, <br>{{Al|5}}on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transverse indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <center>«<math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = -1\;</math>» <br>ce qui constitue la « relation de Lagrange - Helmholtz »<ref name="Lagrange" />{{,}}<ref name="Helmholtz" /> cherchée<ref> Il s'agit de la même relation de Lagrange - Helmholtz que celle explicitée pour un miroir plan mais contrairement à cette dernière dans laquelle les grandissements transverse et angulaire valent respectivement <math>\;+1\;</math> et <math>\;-1\;</math> quelle que soit la position du point objet <math>\;A_o</math>, dans un miroir sphérique les grandissements transverse et angulaire dépendent explicitement de la position de l'objet <math>\;A_o</math>, plus la valeur absolue du grandissement transverse est grande plus celle du grandissement angulaire est petite.</ref>.</center>}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un dioptre sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> <math>\big[</math>centre de courbure de la surface sphérique dioptrique<ref> Si le dioptre est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le dioptre est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref><math>\big]</math>, * son rayon de courbure <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;R\;</math> <math>\big[</math>rayon de courbure de la surface sphérique dioptrique<math>\big]</math>, * l'axe optique principal dont la partie incidente <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>point objet dont on étudiera l'image éventuelle<math>\big)</math>, * son sommet <math>\;S\;</math> <math>\big[</math>intersection de l'axe optique principal et de la surface dioptrique<math>\big]\;</math> et * l'indice de l'espace objet réel <math>\;n_o\;</math> ainsi que celui de l'espace image réelle <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système dioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal, l'espace objet réel étant situé à gauche du dioptre, la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow</math> et l'espace image réelle étant alors situé à droite du dioptre, la partie émergente est orientée dans le même sens <math>\;\rightarrow</math> ; il est donc inutile de préciser en indice le sens de l'orientation de l'axe optique principal contrairement à ce qui doit être fait dans le cas d'un miroir sphérique.</ref> et, pour unifier l'étude des dioptres sphériques, algébrisons le rayon de courbure du dioptre selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système dioptrique"/> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du dioptre caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet virtuel, correspondant à un dioptre « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet réel, correspondant à un dioptre « concave ». <center> <gallery mode="packed" heights="235px"> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique concave air - verre.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent </gallery> <gallery mode="packed" heights="266px"> Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent </gallery> </center> {{Al|5}}Dans la suite nous supposerons le dioptre sphérique concave faisant passer d'un espace plus réfringent à un espace moins réfringent <math>\;\big(</math>figure de gauche de la 1^ère ligne de la galerie ci-dessus<math>\big)\;</math><ref> En précisant la modification des résultats pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la suite nous }}admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique<ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du dioptre<ref name="Définition sommet dioptre"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le dioptre, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du dioptre ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du dioptre peut être considéré comme un sommet.</ref>. === Démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique concave convergent - stigmatisme approché.jpg|thumb|750px|Schéma d'un dioptre sphérique concave convergent dans le but d'établir le stigmatisme approché du dioptre<ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tout point objet autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math> <ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du dioptre.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> <math>\Big[</math>l'angle que fait la normale au dioptre en <math>\;I\;</math> avec l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})}</math> <math>= \omega\;</math> est donc petit en valeur absolue <math>\;\big(\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math><ref name="paraxial" /><math>\Big]</math>. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction<ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon émergent <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfracté par rapport à l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\;\big(</math>c'est-à-dire indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss<ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché<ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\big(\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i, ω, n_o et n_i ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une 1^ère relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i_o\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une 2^ème relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i_i\;\big(</math>angle de réfraction du rayon émergent en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction<ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> sous conditions de Gauss<ref name="Gauss" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i\;</math> <center>«<math>\;\omega = \dfrac{n_o\; \theta_o - n_i\; \theta_i}{n_o - n_i}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>».</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, «<math>\;\omega = \theta_o + (-i_o)\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>»<ref name="relation dans un triangle" />{{,}}<ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i_o\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_o)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, «<math>\;-i_i = \omega - \theta_i\;</math>»<ref name="relation dans un triangle" />{{,}}<ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> est positif mais <math>\;i_i\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math> étant négatifs, leur valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_i)\;</math> et <math>\;(-\theta_i)</math>.</ref> ou, en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes" /> pour la réfraction<ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> et, <br>{{Al|19}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, «<math>\;\color{transparent}{-i_i = \omega - \theta_i}\;</math>» ou, }}en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle d'incidence <math>\;\big(\Rightarrow</math>la petitesse de la valeur absolue de l'angle de réfraction<math>\big)</math> <br>{{Al|31}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, «<math>\;\color{transparent}{-i_i = \omega - \theta_i}\;</math>» ou, en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes pour la réfraction }}<math>\;n_o\, i_0 = n_i\, i_i\;</math><ref name="relation de Kepler"> On rappelle que les angles étant petits, la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction se réécrit en omettant les sinus <math>\;\big(</math>relation approchée de Kepler<math>\big)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Kepler]] (1571 - 1630)''' <math>\;\big[</math>ou '''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Keppler]]'''<math>\big]\;</math> astronome allemand, surtout connu pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]] (1473 - 1543)''' <math>\;\big[</math>chanoine, médecin et astronome polonais<math>\big]\;</math> et avoir découvert que les planètes suivent une trajectoire elliptique autour du Soleil <math>\big[</math>c'est lors de l'étude de l'orbite de Mars qu'il voit la nécessité de se pencher sur l'optique à cause de la réfraction atmosphérique<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>, la relation ci-dessus se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}«<math>\; -\dfrac{n_o}{n_i}\, i_o = \omega - \theta_i\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}on élimine alors <math>\;i_o\;</math> entre ces deux relations en formant la C.L<ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref>. «<math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; (\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2})\;</math>» soit : <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; \omega = \dfrac{n_o}{n_i}\; \theta_o + \omega - \theta_i\;</math> ou <math>\;n_o\,\omega = n_o\, \theta_o + n_i\, \omega - n_i\, \theta_i\;</math> soit enfin, la relation <center>«<math>\; \omega = \dfrac{n_o\, \theta_o - n_i\, \theta_i}{n_o - n_i}\;\;(\mathfrak{a}) \;</math>».</center>}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss<ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché<ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal c'est-à-dire <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})</math>, un lien entre <math>\;\overline{HA_o}</math>, <math>\;\overline{HA_i}\;</math> et <math>\;\overline{HC}\;</math> <math>\big[</math>relation <math>\;(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, \theta_o - \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \omega\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}des conditions de Gauss<ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché<ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vert \theta_o \vert \ll 1\\ \vert \omega \vert \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> dont on déduit <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert \ll 1\;</math> d'où <center>«<math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert \ll 1\;</math>» c'est-à-dire que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal.</center> # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}}\;</math>» car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o} < 0</math> ; <br>{{Transparent|En travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_oIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>»<ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}\;</math> car sur le schéma <math>\;\theta_i < 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) < 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i} > 0</math> <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>»<ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, <math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC} < 0</math> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{CIH}</math>, }}«<math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math>»<ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC}}</math> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;(n_o - n_i)\, \omega = n_o\,\theta_o - n_i\, \theta_i</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)\, \overline{HI}}{\overline{HC}} = \dfrac{n_i\, \overline{HI}}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o\, \overline{HI}}{\overline{HA_o}}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, <br>{{Transparent|des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> réécrite selon <math>\;\color{transparent}{(n_o - n_i)\, \omega = n_o\,\theta_o - n_i\, \theta_i}</math>, on en déduit }}«<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{HC}} = \dfrac{n_i}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{HA_o}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>».}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math><ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="H et S confondus" /> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="ω infiniment petit d'ordre un" />, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>»<ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» ou finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math>» ; {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss<ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché<ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center>«<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>»<ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du dioptre.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}le stigmatisme approché du dioptre sphérique<ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que }}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math>»<ref name="indépendance de la nature du dioptre"> Nous admettrons que cette relation <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> établie dans le cas d'un dioptre sphérique concave convergent est encore applicable, sans modification, à un dioptre sphérique concave divergent ou à un dioptre sphérique convexe convergent ou divergent.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du dioptre sphérique exprimée en dioptries <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math><ref name="dioptrie" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V}\;</math>» }}exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un dioptre sphérique concave ou convexe, convergent ou divergent, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math>}} de Descartes<ref name="Descartes" /> d'un dioptre sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>».</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique<ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> « pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math>»<ref name="Ao autre que C et S" /> puisque, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique « }}pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\;\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math>»<ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la « vergence » du dioptre sphérique selon <center>«<math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>»<ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> rayon algébrisé du dioptre.</center> {{Al|5}}Avec les « abscisses de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>», la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> du dioptre sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>».</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math><ref name="Définition sommet" /> du dioptre sont des points <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}pour lesquels le dioptre est stigmatique rigoureux et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}dont l'image est confondue avec l'objet <math>\;\big(</math>c'est-à-dire des points doubles<math>\big)</math>. {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> est applicable à <math>\;C</math>, centre du dioptre, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est applicable à <math>\;\color{transparent}{C}</math>, }}bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du dioptre<ref> Mais évidemment pas sous la forme «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>» qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle <math>\;\ldots</math></ref>, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}vérifier, sur cette dernière forme, que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;S\;</math> est effectivement un point double » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>« il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C\;</math>». {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - points doubles.jpg|thumb|650px|Schémas de vérification du fait que, pour <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, le dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math> est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent<ref name="indépendance de la nature du dioptre"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent étant normal au dioptre poursuit son chemin sans changer de direction, donnant un ensemble de rayons transmis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c'est-à-dire prouvant que le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent se réfractant à partir du point d'incidence <math>\;S\;</math> lui-même<ref> En suivant une direction plus rapprochée de l'axe optique principal que ne l'est celle du rayon incident.</ref> et l'ensemble des rayons réfractés divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique pour son sommet<ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> à <math>\;C</math>, centre du dioptre, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque<ref> Le fait que les autres rayons divergent également à partir de <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la divergence des rayons transmis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes<ref name="Descartes" /> ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i</math>, l'image du point objet <math>\;C</math>, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_o(C) = \overline{SC} = \overline{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, si on appelle <math>\;\color{transparent}{C_i}\;</math> l'image du point objet <math>\;\color{transparent}{C}</math>, ce dernier }}<math>\;C_i\;</math> d'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}\;</math>», nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, }}en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>, «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} - \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} = \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> soit <math>\;p_i(C_i) = \overline{R}\;</math> ou <math>\;\overline{SC_i} = \overline{R} = \overline{SC}\;</math> prouvant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, en remplaçant <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} - \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}}\;</math>» soit <math>\;\color{transparent}{p_i(C_i) = \overline{R}}\;</math> ou «<math>\;\color{transparent}{\overline{SC_i} = \overline{R} = \overline{SC}}\;</math>» }}<math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que «<math>\;C\;</math> est un point double ». {{Al|5}}De <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit «<math>\;p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}}\;</math>» }}le point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(S) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}a une image d'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = 0</math>, c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, a }}une image confondue avec <math>\;S</math>, prouvant que «<math>\;S\;</math> est bien un point double » ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> s'écrivant «<math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d} = p_d\;</math>» avec «<math>\;p_i(A_d) = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math>» obéissent à l'équation «<math>\;p_d = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math>» qui se décompose en «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ n_o + V\, p_d = n_i\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> sommet du miroir et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 2^ème équation conduisant à «<math>\;p_d = \dfrac{n_i - n_o}{V} = \overline{R}\;</math>» c'est-à-dire <math>\;C\;</math> point double ; <center>le centre et le sommet d'un dioptre sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un dioptre sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image, signe de la vergence === ==== Caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image ==== {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes<ref name="Descartes" /> d'un dioptre sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal »<ref name="définition focal" /> puis déterminer {{Al|5}}déterminer <math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c'est-à-dire le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer }}<math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c'est-à-dire le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent<ref name="Antécédent" /> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math>. {{Al|5}}Définissant <math>\;\succ\;</math>la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définissant }}<math>\;\succ\;</math>la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> du foyer principal image <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math>», {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o</math>, distance focale image <math>\;f_i</math>, indice espace objet <math>\;n_o\;</math> et indice espace image <math>\,n_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un dioptre sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double<ref name="caractère non double du point à l'infini de l'axe optique principal - bis"> En effet nous avons établi que les seuls points doubles du dioptre sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_dioptre_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles]] » plus haut dans cet exercice.</ref>. * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}\;</math> <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, }}étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_o}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, étant l'image du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{o,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>». * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}\;</math> <br>{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, }}étant l'antécédent<ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, étant l'antécédent du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{i,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;0 - \dfrac{n_o}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>». {{Al|5}}<u>Notion de distances focales objet et image</u> : * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par «<math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math>» est liée à la vergence par «<math>\;f_i = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>» ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par «<math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math>» est liée à la vergence par «<math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>» ; <center>on en déduit la relation «<math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math>»<ref name="interprétation de la vergence - bis"> Pratiquement « la vergence <math>\;V\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}\;</math>», appliquée au couple de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> on trouve <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} - 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pratiquement « la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}}\;</math>», }}appliquée au couple de points conjugués <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>, <math>\;V = 0 - \dfrac{n_o}{f_o}</math> ; <br>{{Al|3}}pour mémoire, <math>\;C\;</math> étant un point double, l'invariant en <math>\;C\;</math> donne la valeur «<math>\;V = \dfrac{n_i}{\overline{SC}} - \dfrac{n_o}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i - n_o}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i - n_o}{\overline{R}}\;</math>».</ref>.</center>}} ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du dioptre sphérique et la valeur de l'indice de l'espace objet comparé à celle de l'espace image, caractère convergent ou divergent du dioptre et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du dioptre sphérique et du signe de <math>\;n_o - n_i\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » est dit « convergent » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Déterminer son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal }}à « vergence négative » {{Transparent|est dit }}« divergent » ainsi que {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}la nature « réelle » ou « virtuelle » de ses foyers principaux. {{Al|5}}Pour terminer, on précisera, dans chacun des quatre cas possibles, les positions absolues des foyers principaux objet et image relativement au centre et au sommet du dioptre considéré. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> on déduit que la vergence <math>\;V\;</math> est <math>\;\succ\;</math>de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)\;</math><ref name="plus réfringent à moins réfringent"> Exemple passage du verre à l'air ou de l'eau à l'air ou encore du verre à l'eau.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}}\;</math> on déduit que la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est }}<math>\;\succ\;</math>de même signe que le rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)\;</math><ref name="moins réfringent à plus réfringent"> Exemple passage de l'air au verre ou de l'air à l'eau ou encore de l'eau au verre.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit les quatre possibilités suivant la nature du dioptre sphérique et le signe de <math>\;n_o - n_i</math> : * un dioptre sphérique <u>concave</u> ayant un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0\;</math><ref name="nature de C dioptre"> Le centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave est réel alors que celui d'un dioptre sphérique convexe est virtuel.</ref>, <br>{{Transparent|un dioptre sphérique concave }}a une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)\;</math><ref name="plus réfringent à moins réfringent" />, c'est un système « <u>convergent</u> », <br>{{Transparent|un dioptre sphérique concave }}a une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)\;</math><ref name="moins réfringent à plus réfringent" />, c'est un système « <u>divergent</u> », * un dioptre sphérique <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0\;</math><ref name="nature de C dioptre" />, <br>{{Transparent|un dioptre sphérique convexe }}a une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)\;</math><ref name="plus réfringent à moins réfringent" />, c'est un système « <u>divergent</u> », <br>{{Transparent|un dioptre sphérique convexe }}a une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)\;</math><ref name="moins réfringent à plus réfringent" />, c'est un système « <u>convergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> on déduit la nature « réelle ou virtuelle » des foyers principaux objet et image suivant le caractère « convergent ou divergent » du dioptre sphérique : * pour un dioptre sphérique <u>concave convergent</u> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} < 0 \\ V > 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name = "concave convergent"> Pour qu'un dioptre concave soit convergent il faut que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent c.-à-d. <math>\;n_o > n_i</math>.</ref>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour un dioptre sphérique concave convergent <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} < 0 \\ V > 0 \end{array}\right\rbrace}\;</math>» , }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>concave divergent</u> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} < 0 \\ V < 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name = "concave divergent"> Pour qu'un dioptre concave soit divergent il faut que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent c.-à-d. <math>\;n_o < n_i</math>.</ref>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour un dioptre sphérique concave divergent <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} < 0 \\ V < 0 \end{array}\right\rbrace}\;</math>» , }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe divergent</u> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} > 0 \\ V < 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name = "convexe divergent"> Pour qu'un dioptre convexe soit divergent il faut que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent c.-à-d. <math>\;n_o < n_i</math>.</ref>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour un dioptre sphérique convexe divergent <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} > 0 \\ V < 0 \end{array}\right\rbrace}\;</math>» , }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe convergent</u> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} > 0 \\ V > 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name = "convexe convergent"> Pour qu'un dioptre convexe soit convergent il faut que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent c.-à-d. <math>\;n_o > n_i</math>.</ref>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour un dioptre sphérique convexe convergent <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} > 0 \\ V > 0 \end{array}\right\rbrace}\;</math>» , }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Les distances focales objet et image étant, dans les quatre cas possibles, de signe contraire, les foyers principaux objet et image sont situés de part et d'autre de la surface dioptrique, par exemple : {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\succ\;</math>pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)\;</math><ref name="plus réfringent à moins réfringent" />, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à <math>\;\vert f_o \vert = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\color{transparent}{\big(n_o > n_i\big)}\;</math>, }}le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> est situé à <math>\;\vert f_i \vert = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <center><math>\;\vert f_i \vert < \vert f_o \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est plus éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math><ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à gauche<math>\big)\;</math> et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à droite<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec, }}pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à droite<math>\big)\;</math> et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à gauche<math>\big)</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\succ\;</math>pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)\;</math><ref name="moins réfringent à plus réfringent" />, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à <math>\;\vert f_o \vert = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\color{transparent}{\big(n_o < n_i\big)}\;</math>, }}le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> est situé à <math>\;\vert f_i \vert = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <center><math>\;\vert f_i \vert > \vert f_o \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est moins éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math><ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à droite<math>\big)\;</math> et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à gauche<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec, }}pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à gauche<math>\big)\;</math> et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à droite<math>\big)</math>.</ref>.</center>}} === Aplanétisme approché d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On considère le dioptre sphérique concave convergent introduit à la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_dioptre_sphérique_concave_convergent_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math><ref name="support axe optique principal" /> tel qu'il y ait stigmatisme approché du dioptre<ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math><ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\;\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le dioptre<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|15}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché }}l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math><ref name="Nette" /> mais a priori<ref> C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|20}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> admet une image }}ni « linéique »<ref name="Linéique" /> ni « transverse ». {{Al|5}}On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> est, quand l'objet n'est pas proche du dioptre, vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c'est-à-dire <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}quand l'objet est proche du dioptre, vu du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c'est-à-dire <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}ces deux exigences constituant les conditions de Gauss<ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché<ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> quelconque<ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du dioptre dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss<ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché<ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> d'un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="façon plus simple" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre, il doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, il doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, <br>{{Al|5}}nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous considérons }}l'angle <math>\;\beta\;</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position <math>\;\big(</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big)\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> établie dans la solution de [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|la question plus bas dans cet exercice]] »<ref name="méthode moins aisée" /> à savoir «<math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite ; {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position Descartes (avec origine au centre) - ter"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au centre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>, }}vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal c'est-à-dire qu'elle est linéique transverse<ref> Il y a donc aplanétisme approché du dioptre sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math><ref name="définition des côtés triangle rectangle" />, soit plus précisément «<math>\;[CA_o] = [CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math>»<ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement «<math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math>» prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support {{Nobr|<math>\;(CM_o)\;</math><ref name="axe optique secondaire" />,}} l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) - ter"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref> donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c'est-à-dire que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet <math>\;A_oB_o</math>, c'est-à-dire assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal de support <math>\,(CA_i)\,</math><ref name="justification choix" />, c'est-à-dire que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>nous avons donc établi l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du dioptre</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du dioptre et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="paraxial - ter"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du dioptre pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite }}de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite de montrer que le point image <math>\;\color{transparent}{M_i}</math>, }}a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math>, pour cela : * déterminer l'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i\;</math> de <math>\;A_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer l'abscisse image de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{p_i}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{A_i}\;</math> en fonction }}de l'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy - bis"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal orienté dans le sens incident et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du dioptre orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math><ref name="définition ε" />, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy - bis" /> déterminer les équations des rayons réfractés, puis leur intersection <math>\;M_i</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i</math>, * conclure à l'aplanétisme approché du dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math> pour l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre du dioptre. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - aplanétisme.jpg|thumb|500px|Schéma positionnant un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre d'un dioptre sphérique concave convergent pour démontrer l'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet<ref> Sur le schéma ci-dessus « la distance focale objet vaut <math>\;\big(</math>avec <math>\;n_o \simeq 1,5\;</math> et <math>\;n_i \simeq 1,0\big)</math> <math>\;f_o = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\;\overline{R} = 3\;\overline{R} = -3\;R\;</math>», <br>{{Al|3}}{{Transparent|Sur le schéma ci-dessus }}« la distance focale image, quant à elle, valant <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\;\overline{R} = -2\;\overline{R} = 2\;R\;</math>».</ref>]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss<ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché<ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}</math>, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes<ref name="Descartes" /> du dioptre sphérique <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_dioptre_sphérique_(concave_convergent)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)_2|conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> de vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math> étant la distance focale image du dioptre d'où : <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{n_o}{n_i\, p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{n_o\, f_i + n_i\, p_o}{n_i\, p_o\, f_i}\;</math> soit finalement «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{n_i\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math>».</center> # «<math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math>» et «<math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> <math>\;> 0\;</math>» avec «<math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1\;</math>», on en déduit <math>\;\tan(\beta) =</math> <math>-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> d'où, avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" />, <center>«<math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o\;</math>» ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy - bis" />, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math>»<ref name="vérification signes" />, <br>{{Al|7}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> et passant par le foyer principal objet du dioptre sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;\left(x_{F_o} = f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\,f_i\, , \, y_{F_o} = 0\right)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} =</math> <math>\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\,f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y =</math> <math>\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right)\;</math>» ; # dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy - bis" /> le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction déterminée par la 2^ème relation de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction<ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> <math>\;\big(</math>écrite pour de petits angles<math>\big)\;</math> est de pente <math>\;-\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\;</math><ref> En effet le rayon réfracté de pente égale à la tangente de l'angle de réfraction c.-à-d. égale à l'angle de réfraction <math>\;i_i\;</math> à l'ordre un de ce dernier <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}le rayon incident étant de pente égale à la tangente de l'angle d'incidence c.-à-d. égale à l'angle d'incidence <math>\;i_o\;</math> à l'ordre un de ce dernier <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}l'utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction <math>\;\big(</math>écrite pour de petits angles<math>\big)\;</math> conduit à <math>\;n_i\, i_i = n_o\, i_o\;</math> d'où <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> «<math>\;y = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x\;</math>»<ref name="vérification signes bis" />, <br>{{Al|7}}{{Transparent|dans le même repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le dioptre, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> établie plus haut soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left[ x_I + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math>» ; <br>{{Al|7}}{{Transparent|dans le même repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfractés a pour abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x_{M_i}\;</math> soit <center>«<math>\;x_{M_i} = \dfrac{n_i\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math>» ;</center> # l'abscisse «<math>\;x_{M_i} = \dfrac{n_i\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math>» de l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfractés est identique à l'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{n_i\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math>» de <math>\;A_i</math> ; # le projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal se superposant à <math>\;A_i</math>, <math>\Rightarrow</math> l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <u>pour tout objet linéique</u><math>\;A_oB_o\;</math><u>de pied proche du centre du dioptre</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Dès lors qu'un dioptre sphérique est utilisée sous conditions de Gauss<ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés<ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}}<ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce dioptre sous une forme symbolique dans laquelle figurent l'axe optique principal, le centre <math>\;C</math>, les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math>, le sommet <math>\;S\;</math> et la partie de dioptre <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal<ref> Cette partie de dioptre <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers la droite pour un dioptre convergent et vers la gauche pour un dioptre divergent.</ref> <center>voir ci-dessous les quatre types de dioptres sphériques à gauche et leur représentation symbolique<ref name="Foyers à ajouter - bis"> La position des foyers principaux sont à ajouter suivantleur détermination de la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Caractère_focal_d'un_dioptre_sphérique,_définition_des_foyers_principaux_objet_et_image,_lien_de_la_vergence_avec_les_distances_focales_objet_et_image|caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image]] » plus haut dans cet exercice.</ref> à droite. <br><gallery mode="packed" heights="215px"> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg|Dioptre sphérique concave convergent <math>\;\big(</math>passage d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent<math>\big)</math> Dioptre sphérique concave convergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave convergent </gallery> <br><gallery mode="packed" heights="235px"> Dioptre sphérique concave air - verre.jpg|Dioptre sphérique concave divergent <math>\;\big(</math>passage d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent<math>\big)</math> Dioptre sphérique concave divergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave divergent </gallery> <br><gallery mode="packed" heights="240px"> Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg|Dioptre sphérique convexe divergent <math>\;\big(</math>passage d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent<math>\big)</math> Dioptre sphérique convexe divergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe divergent </gallery> <br><gallery mode="packed" heights="240px"> Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg|Dioptre sphérique convexe convergent <math>\;\big(</math>passage d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent<math>\big)</math> Dioptre sphérique convexe convergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe convergent </gallery> </center> [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|500px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes<ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\;\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du dioptre et qui poursuit dans l'espace image réel sans être dévié<ref name="rayon incident passant par C - bis"> En effet le rayon émergent doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le dioptre c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre et qui se réfracte en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction<ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" />{{,}}<ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction sur la représentation symbolique d'un dioptre sphérique"> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction en travaillant sur la représentation symbolique du dioptre car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du dioptre <math>\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du dioptre en <math>\;I\;</math> n'est pas <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique du dioptre en <math>\;I\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}le point d'intersection de ces deux rayons émergents étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfractés correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss<ref name="Gauss" />{{,}}<ref> Car le dioptre est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref> <br>{{Al|5}}il suffit de projeter orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir le point image <math>\;A_i\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math><ref name="dioptre aplanétique approché pour AoBo"> Car le dioptre est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref> {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le dioptre de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» en fonction des abscisses objet et image de Descartes<ref name="Descartes" /> {{Nobr|<math>\;\big(</math>avec}} origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math> ; {{Al|5}}la relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> pour tout objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du dioptre sphérique pour l'objet linéique transverse de pied <math>\;A_o\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" />. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant exposé la construction de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> dans l'énoncé de la question <math>\;\big\{</math>pour rappel on positionne <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfractés correspondant à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation<ref name="rayon incident passant par C - bis" /> et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>\;n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math><ref name="relation de Kepler" />{{,}}<ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i_o\;</math> devant être mesuré puis l'angle <math>\;i_i\;</math> calculé et enfin reporté par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous l'utilisons dans la démonstration d'où ce choix.</ref>{{,}}<ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction sur la représentation symbolique d'un dioptre sphérique" />, puis on projette orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir <math>\;A_i\;</math><ref name="dioptre aplanétique approché pour AoBo" /><math>\big\}</math> ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(i_o)\;</math> et <math>\;\tan(i_i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(i_o) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}\;</math>», <math>\;i_o\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o} < 0\;</math><ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(i) \simeq i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}\Bigg]</math> ; * «<math>\;\tan(i_i) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}\;</math>», <math>\;i_i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i} > 0\;</math> <ref> Ayant supposé <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i_i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(i_i) \simeq i_i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;i_i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}\Bigg]</math> ; {{Al|5}}écrivant la 2^ème relation de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction<ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> pour les petits angles <math>\;n_i\, i_i \simeq n_o\, i_o\;</math><ref name="relation de Kepler" /> on en déduit «<math>\;n_o\, \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}} \simeq n_i\, \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}\;</math>» d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math>» c'est-à-dire la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u><ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math><u>avec origine au sommet</u><math>\big)\;</math> d'un dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = C\;</math><ref> Le dioptre sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du dioptre c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le dioptre<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c'est-à-dire l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> et utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes<ref name="Snell - Descartes" /> de réfraction<ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> dans les conditions de Gauss<ref name="Gauss" />, qu'elle est se superpose à <math>\;A_oB_o\;</math> avec un cœfficient d'agrandissement dépendant du rapport des indices des espaces objet et image, * comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" /> en considérant <math>\;A_o = C\;</math> et * en déduire l'applicabilité de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S\;</math><ref> L'objet, collé contre le dioptre sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique <math>\;\big(</math>c.-à-d. rectiligne<math>\big)\;</math> car il suit la courbure du dioptre mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour tous les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le dioptre, jouent le rôle de sommet <math>\;\big(</math>secondaire<math>\big)\;</math> pour lequel le dioptre est stigmatique rigoureux.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c'est-à-dire l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math><ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le dioptre puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S</math> puis * vérifier que cette valeur est la limite de celle du grandissement transverse <math>\;G_t(A_o)\;</math> pour un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> quand ce dernier tend vers <math>\;S\;</math><ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet - bis"> Nous pouvons donc affirmer que la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> d'un dioptre sphérique est applicable à tout objet linéiqua transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> ou <math>\;A_o = S\;</math> par levée de l'indétermination.</ref>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|450px|Construction de l'image d'un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> de pied au centre d'un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> a pour image, par le dioptre, une image de pied <math>\;C</math>, de plus, comme le dioptre sphérique est aplanétique approché pour tout objet de pied <math>\;A_o\;</math> quelconque, l'image de <math>\;CB_o</math>, notée <math>\;CB_i</math>, est linéique transverse ; <br>{{Al|5}}pour obtenir cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette dernière il suffit de choisir }}le rayon passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> qui se propage dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, le point image <math>\;B_i\;</math> étant alors l'intersection de ce rayon émergent avec le plan transverse passant par <math>\;C</math> ; on vérifierait graphiquement que <center>«<math>\;\overline{CB_i} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \overline{CB_o}\;</math>» et par suite «<math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" /> nous conduit, en considérant <math>\;A_o = C</math>, à «<math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SC}}{\overline{SC}}\;</math>», soit effectivement «<math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}\;</math>». {{clr}} {{Al|5}}Tous les points du dioptre sphérique étant des points doubles de ce dernier<ref> Chaque point du dioptre jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le dioptre est donc sa propre image ; <br>{{Al|5}}dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; <center>comme «<math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math>» on en déduit, par définition, «<math>\;G_t(S) = +1\;</math>».</center> {{Al|5}}Nous avons établi, dans la solution de la sous question précédente, la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(A_o)\;</math> pour un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_dioptre_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaions du dioptre sphérique est rigoureuse et points double]] » plus haut dans cet exercice, l'expression de <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o</math>, de la vergence <math>\;V = \dfrac{n_o - n_i}{\overline{R}}\;</math><ref> Voir l'expression de la vergence dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_dioptre_sphérique_(concave_convergent)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de postion de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et de l'indice des espaces image et objet, «<math>\;p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}\;</math>» expression déduite de la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison de position<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit, en reportant l'expression de la vergence, «<math>\;p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + \dfrac{n_o - n_i}{\overline{R}}\, p_o} = \dfrac{n_i}{n_o}\, \dfrac{p_o}{1 + \left( 1 - \dfrac{n_i}{n_o} \right)\, \dfrac{p_o}{\overline{R}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{n_i}{n_o}\, \dfrac{1}{1 + \left( 1 - \dfrac{n_i}{n_o} \right)\, \dfrac{p_o}{\overline{R}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math>, par report dans l'expression de «<math>\;G_t(A_o)</math> <math>= \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» précédemment rappelée, «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{1}{1 + \left( 1 - \dfrac{n_i}{n_o} \right)\, \dfrac{p_o}{\overline{R}}}\;</math> pour un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math>» ; on en déduit <center>quand <math>\;A_o \rightarrow S</math>, <math>\;p_o \rightarrow 0\;</math> et par suite «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{1}{1 + \left( 1 - \dfrac{n_i}{n_o} \right)\, \dfrac{p_o}{\overline{R}}} \rightarrow 1 = G_t(S)\;</math>» d'où le prolongement de <br>l'applicabilité de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> <br>à tout objet linéiqua transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> à <math>\;S\;</math> par levée de l'indétermination<ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet - bis" />.</center>}} ==== Construction de l'image par un dioptre sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du dioptre, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se prolongeant sans être dévié pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # propriété du foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se prolonge dans l'espace image sans déviation, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\;</math>», # propriété du foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le dioptre étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon émergent issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> est le prolongement d'un rayon incident sans changement de direction, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)</math>».}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du dioptre <math>\;\big[</math>pour la construction on prendra <math>\;n_o = 1,5\;</math> <math>\big(</math>indice du verre<math>\big)\;</math> et <math>\;n_i = 1,0\;</math> <math>\big(</math>indice de l'air<math>\big)\big]</math>, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le dioptre de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math><ref name="un seul rayon incident suffit" /> <math>\;\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un dioptre sphérique concave divergent <math>\;\big(</math>obtenu en permutant les espaces objet et image<math>\big)</math>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image.jpg|thumb|450px|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal]] {{Al|5}}<math>\;1.\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se prolongeant sans déviation, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et émergeant dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\parallel\;</math> à l'axe optique principal et émergeant dans l'espace image en passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{1.}\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;\color{transparent}{B_o}\;</math> }}l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfractés correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtient en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image - bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire]] {{Al|5}}<math>\;2.\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à gauche<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> {{Nobr|<math>\big[</math>point}} d'intersection du rayon incident et du plan focal {{Nobr|objet<math>\big]\;</math>}} et émergeant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c'est-à-dire, pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfractée en étant le prolongement sans déviation<math>\big]</math>, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et émergeant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{2.}\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfractés correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtient comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un dioptre sphérique concave divergent, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche puis en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery mode="packed" heights="315px"> Dioptre sphérique concave divergent - construction image.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : <br>passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal Dioptre sphérique concave divergent - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : <br>passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}\;</math> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) - bis" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math>»<ref name="Applicabilité relation de Descartes de position avec origine en C" /> ou «<math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math>» avec <math>\;V\;</math> vergence du dioptre sphérique.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} =</math> <math>\overline{SC} + \overline{CA_o}\;</math> ou «<math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math>» et * l'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} =</math> <math>\overline{SC} + \overline{CA_i}\;</math> ou «<math>\;p_i = \overline{R} + \pi_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes<ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{-(n_i - n_o)}{\overline{R}}\;</math>»<ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) - bis" />{{,}}<ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-(n_i - n_o)}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\pi_i + \overline{R}} - \dfrac{n_o}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i\,(\pi_o + \overline{R}) - n_o\, (\pi_i + \overline{R})}{(\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens<ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;-(n_o - n_i)\, (\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = \left[ n_i\, \pi_o - n_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R} \right]\, \overline{R}\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_o - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2 = n_i\, \pi_o\, \overline{R} - n_o\, \pi_i\, \overline{R} - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification évidente <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - n_o\, \overline{R}\, \pi_o + n_i\, \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou <math>\;-n_o\, \overline{R}\, \pi_o + n_i\, \overline{R}\, \pi_i = (n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;n_o\, \overline{R}\, \pi_o - n_i\, \overline{R}\, \pi_i = -(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i\;</math>» et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math><ref name="C.N." /> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes<ref name="Descartes" /></u>{{Nobr|<math>\;\big(</math><u>avec</u>}}<u> origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit donc <center>«<math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math>»<ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} = V</math>.</ref> avec «<math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> vergence du dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace\;</math>».</center>}} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes<ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;C\;</math> pour un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_(approchée)_de_grandissement_transverse_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)_2|relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="Applicabilité relation de Descartes de grandissement transverse avec origine en C" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) - bis" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>»<ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet - bis" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i + \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\pi_i + \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}\left( \dfrac{1}{\pi_i} + \dfrac{1}{\overline{R}} \right)}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left( \dfrac{1}{\pi_o} + \dfrac{1}{\overline{R}} \right)}\;</math><ref> Le but de cette avant dernière transformation étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o}</math> <math>= \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>», voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> <math>\Bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} =</math> <math>\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>»<ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) - tetra"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> se réécrit «<math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} + \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{n_i}{\pi_o} + \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;n_0\,\left( \dfrac{1}{\pi_i} + \dfrac{1}{\overline{R}} \right) = n_i\, \left( \dfrac{1}{\pi_o} + \dfrac{1}{\overline{R}} \right)\;</math>» d'où la simplification suivante<math>\Bigg]</math>, «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}} = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math>» ; la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes<ref name="Descartes" /></u><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit donc <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math>»<ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre sans levée d'indétermination, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où «<math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>».</ref>{{,}}<ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation<ref name="rayon incident passant par C - bis" /> et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>\;n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math><ref name="relation de Kepler" />{{,}}<ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction sur la représentation symbolique d'un dioptre sphérique" />,, <br>{{Al|5}}le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math><ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}}\;</math>», <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o} < 0\;</math><ref name="hors centre" />, * «<math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}\;</math>», <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i} < 0\;</math><ref name="hors centre bis" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}\;</math>» d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math>» c'est-à-dire la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u>{{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}}<u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u><ref name="Descartes" /><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> d'un dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i} \end{array}\right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i - \overline{R}\;</math> <math>\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du dioptre sphérique et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On repère maintenant }}le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton<ref name="Newton" /> de <math>\;A_o\;</math> par «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>» et * l'abscisse image de Newton<ref name="Newton" /> de <math>\;A_i\;</math> par «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>». ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) - bis" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Newton<ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\; \overline{F_iA_i}\; \overline{F_oA_o} = \overline{SF_i}\; \overline{SF_o}\;</math>»<ref name="Applicabilité relation de Newton" /> ou «<math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math>»<ref name="relations de conjugaison communes dioptre - lentille"> C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », nous obtenons la même relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big\{</math>ou de grandissement transverse<math>\big\}\;</math> de Newton<math>\big]\;</math> que celle d'une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison de Newton soient explicitées uniquement en fonction des abscisses objets ou des abscisses images et non simultanément des deux<math>\big)</math>.</ref> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton<ref name="Newton" /> utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton<ref name="Newton" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SF_o} + \overline{F_oA_o}\;</math> ou «<math>\;p_o = f_o + \sigma_o =</math> <math>-\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i + \sigma_o\;</math>»<ref name="vergence dioptre"> On rappelle la vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> <math>\big\{</math>voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Caractère_focal_d'un_dioptre_sphérique,_définition_des_foyers_principaux_objet_et_image,_lien_de_la_vergence_avec_les_distances_focales_objet_et_image|caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image]] » plus haut dans cet exercice<math>\big\}\;</math> d'où <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math>.</ref> et * l'abscisse image de Newton<ref name="Newton" /> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SF_i} + \overline{F_iA_i}\;</math> ou «<math>\;p_i = f_i + \sigma_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Newton<ref name="Newton" /> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes<ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>»<ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) - bis" />{{,}}<ref name="validité en tout point autre que S" /> ou «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>la vergence valant <math>\;\dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math><ref name="vergence dioptre" /><math>\bigg\}</math>, soit <math>\;\dfrac{n_i}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{n_o}{\sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i}</math> <math>= \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right) - n_o\, (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens<ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;n_i\, (\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right) = (n_i\, \sigma_o - n_o\, \sigma_i - 2\, n_o\, f_i)\, f_i\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i + n_i\, f_i\, \sigma_o - n_o\, f_i\, \sigma_i - n_o\, f_i^2 = n_i\, \sigma_o\, f_i - n_o\, \sigma_i\, f_i - 2\, n_o\, f_i^2\;</math> soit, après simplification, «<math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i = -n_o\, f_i^2\;</math>» et enfin, sachant que <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i\;</math><ref name="vergence dioptre" />{{,}}<ref> On remplacera une seule fois <math>\;n_o\, f_i\;</math> par <math>\;-n_i\, f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation puis on simplifiera l'équation obtenue par <math>\;n_i</math>.</ref>, «<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u><ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>»<ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du dioptre <math>\;\big(</math>en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre sans levée d'indétermination, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref>{{,}}<ref name="relations de conjugaison communes dioptre - lentille" /> <br>avec «<math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o}\,f_o = -\dfrac{(n_o - n_i)}{n_i}\,\overline{R}\;</math> distance focale image du dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}\end{array} \right\rbrace\;</math>».</center>}} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|460px|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton<ref name="Newton" /> pour un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) - bis" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de {{Nobr|Newton<ref name="Newton" />{{,}}<ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton" />{{,}}<ref name="Applicabilité relation de Newton" />.}} {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre <math>\;\big(</math>avec <math>\;n_o \simeq 1,50\;</math> et <math>\;n_i \simeq 1,00\big)\;</math> vérifier directement les deux formes de cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) - bis" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>»<ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet - bis" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o + f_o \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math>»}} soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o + f_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{f_o \left( 1 + \dfrac{\sigma_o}{f_o} \right)}\;</math><ref name="conséquence de la 1ère relation de conjugaison de Newton"> Le but de cette opération étant de faire apparaître, au numérateur et au dénominateur, deux grandeurs égales découlant de la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o \Leftrightarrow \dfrac{\sigma_o}{f_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_i}\;</math> ou encore «<math>\;1 + \dfrac{\sigma_o}{f_o} = 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i}\;</math>».</ref> d'où, comme «<math>\;1 + \dfrac{\sigma_o}{f_o} = 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i}\;</math>»<ref> Voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#cite_note-conséquence_de_la_1ère_relation_de_conjugaison_de_Newton-191|¹⁹¹]] » précédente.</ref> la simplification en <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i}{f_o} = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math><ref name="vergence dioptre" /> c'est-à-dire une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u><ref name="Newton" /> s'écrivant selon <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math>»<ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton dioptre"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> <math>\big(</math>respectivement <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref>{{,}}<ref name="indépendance de la nature du dioptre" />{{,}}<ref name="relations de conjugaison communes dioptre - lentille" /> avec «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>».</center> {{Al|5}}comme la 1^ère relation de conjugaison de Newton<ref name="Newton" /> <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Newton - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice.</ref> est équivalente à <math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u><ref name="Newton" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math>»<ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" />{{,}}<ref name="indépendance de la nature du dioptre" />{{,}}<ref name="relations de conjugaison communes dioptre - lentille" /> avec «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>».</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfractés correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui émerge en <math>\;K\;</math> parallèlement à l'axe optique principal et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 2^ème <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal qui se réfracte en <math>\;H\;</math> en passant par <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|5}}le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})\;</math><ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;HF_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}}\;</math>», <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i} < 0\;</math><ref name="hors foyer bis" />, * «<math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_i}}\;</math>», <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i} > 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit «<math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}\;</math>» ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}\;</math>» d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math>» c'est-à-dire une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Newton</u><ref name="Newton" /> d'un dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>».</center> {{Al|5}}le grandissement transverse «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» peut aussi être déterminé en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})\;</math><ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;KF_oS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math>», <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o} > 0\;</math><ref name="hors foyer" />, * «<math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_o}}\;</math>», <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o} < 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit «<math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}\;</math>» ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}\;</math>» d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math>» c'est-à-dire une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Newton</u><ref name="Newton" /> d'un dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== [[File:Dioptre sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|400px|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes<ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec l'axe optique principal, le pinceau se réfractant sur le dioptre en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec l'axe optique principal, est défini selon <center>«<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>»<ref name="Angles petits" /> ;</center> {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>»<ref name="Angles petits" /> en fonction des abscisses objet et image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math>, respectivement «<math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math>»<ref> L'expression du grandissement angulaire est établie en utilisant un dioptre sphérique concave convergent mais elle reste applicable pour tout type de dioptre sphérique.</ref>. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>»<ref name="Angles petits" /> par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math> <math>\;\big(</math>tous deux <math>\;> 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|On détermine le grandissement angulaire «<math>\;\color{transparent}{G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}}\;</math>» }}respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}}\;</math>» <math>\;\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o} < 0\big]\;</math> ou «<math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math>» soit, avec <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles />, «<math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math>» ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}}\;</math>» <math>\;\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{SA_i} > 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\big]\;</math> ou «<math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math>» soit, avec <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles />, «<math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{-\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math>» soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, <center>l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( A_o\,,\,A_i \right)</math> <br>«<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{p_o}{p_i}\;</math>».</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) - bis" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Á l'aide }}de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage<ref name="grandissement angulaire de Descartes (avec origine au sommet) - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Expression_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)_du_grandissement_angulaire_d'un_pinceau_incident_issu_d'un_point_objet_2|expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, <center>vérifier la « relation de Lagrange - Helmholtz »<ref name="Lagrange" />{{,}}<ref name="Helmholtz" /> <br>«<math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math>»<ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre"> Cette relation est la même que celle établie dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Relation_de_Lagrange-Helmholtz_d'une_lentille_(sphérique)_mince|relation de Lagrange-Helmholtz d'une lentille (sphérique) mince]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » dans laquelle il n'y a aucune réflexion, la relation de Lagrange - Hemholtz s'écrivant alors «<math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = +1\;</math>» dans le cas usuel d'une lentille mince où les espaces image et objet sont de même indice.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transvere donné par la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>»<ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) - bis" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Connaissant }}l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage «<math>\;G_a(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i}\;</math>»<ref name="grandissement angulaire de Descartes (avec origine au sommet) - bis" />, <br>{{Al|5}}on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transverse indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i} \times \dfrac{n_o}{n_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\;</math> soit finalement <center>«<math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math>» <br>ce qui constitue la « relation de Lagrange - Helmholtz »<ref name="Lagrange" />{{,}}<ref name="Helmholtz" /> cherchée<ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre" />.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] }} orzbhg8r2htux6fmri84q6xmn2ln2no 0 63756 982825 974115 2026-05-14T18:16:38Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982825 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Optique géométrique : lentilles minces | idfaculté = physique | numéro = 14 | chapitre = [[../../Optique géométrique : lentilles minces/]] | précédent = [[../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | suivant = [[../Optique géométrique : l'œil/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Projection d'une diapositive == {{Al|5}}Une lentille mince convergente <math>\;\mathcal{L}</math>, de distance focale image <math>\;f_i = 5,0\; cm</math>, donne d'une diapositive de <math>\;24\; mm\;</math> de hauteur, située devant elle, une image sur un écran de projection placé à <math>\;4,00\; m\;</math> derrière <math>\;\mathcal{L}</math>. {{Al|5}}Calculer <math>\;\succ\;</math>la vergence <math>\;V\;</math> de <math>\;\mathcal{L}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calculer }}<math>\;\succ\;</math>la position de l'objet « diapositive » par rapport à <math>\;\mathcal{L}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calculer }}<math>\;\succ\;</math>la hauteur de l'image sur l'écran de projection. {{Solution|contenu =[[File:Projection de diapositive sur écran.png|thumb|400px|Schéma de positionnement d'une diapositive et d'un écran par rapport à la lentille de projection]] {{Al|5}}<u>Vergence de la lentille de projection </u> : La vergence de <math>\;\mathcal{L}\;</math> se détermine à partir de sa distance focale image «<math>\;f_i = 5,0\;10^{-2}\; m\;</math>» par la relation <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}\;</math><ref name="lien entre vergence et distance focale image"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Distance_focale_et_vergence_d'une_lentille_mince|distance focale et vergence d'une lentille mince]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> soit <math>\;V = \dfrac{1}{5\, 10^{-2}}\, m^{-1}\;</math> et finalement «<math>\;V = 20\; \delta\;</math>»<ref name="dioptrie"> La dioptrie de symbole <math>\;\delta\;</math> est l'unité de mesure de la vergence «<math>\;1\;\delta = 1\;m^{-1}\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Position de la diapositive par rapport à la lentille de projection </u> : La position de la diapositive centrée en <math>\;A_o\;</math> est donnée par la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> «<math>\;\dfrac{1}{\overline{OA_i}} - \dfrac{1}{\overline{OA_o}} = V\;</math>»<ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;\overline{OA_o} = -d\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\overline{OA_i}</math>}} <math>= D\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{d} = V - \dfrac{1}{D} = \dfrac{C\, D - 1}{D}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;d = \dfrac{D}{C\, D - 1}\;</math>» soit numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Position de la diapositive par rapport à la lentille de projection : }}<math>\;d = \dfrac{4,00}{20 \times 4,00 - 1} = \dfrac{4,00}{79}\; m\;</math> ou «<math>\;d \simeq 5,06\, cm\;</math>»<ref> La diapositive doit être quasiment dans le plan focal <math>\;\big(</math>objet<math>\big)\;</math> de la lentille car l'image étant à «<math>\;4,00\, m \gg 5\, cm\;</math>» peut être considérée, en 1^ère approximation, comme étant à l'infini.</ref>. {{Al|5}}<u>Hauteur de l'image sur l'écran de projection </u> : La hauteur de l'image «<math>\;H\;</math>» est donnée par la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> «<math>\;G_t(A_o)\; \stackrel{\text{déf}}=\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\; \stackrel{\text{loi}}=\; \dfrac{\overline{OA_i}}{\overline{OA_o}}\;</math>»<ref name="2ème relation de conjugaison de Descartes"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement transverse)_de_Descartes|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> ou <math>\;\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} =</math> <math>\dfrac{D}{-d} < 0\;</math> d'où une « image inversée » et la hauteur de l'image d'une pellicule de hauteur «<math>\;h\;</math>» est «<math>\;H = h\, \dfrac{D}{d}\;</math>» soit numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Hauteur de l'image sur l'écran de projection : }}<math>\;H = 24\, 10^{-3} \times \dfrac{4,00}{5,06\, 10^{-2}}\;</math> en <math>\;m\;</math> ou «<math>\;H \simeq 1,90\, m\;</math>».}} == Appareil photographique et objectif longue focale == {{Al|5}}Un appareil photographique est équipé d'un objectif longue focale constitué d'une lentille mince de « focale image <math>\;f_i = 135\, mm\;</math>» et tel que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un appareil photographique est équipé d'un objectif longue focale }}son champ transversal est limité par les dimensions du film de « format <math>\;24 \times 36\; \text{en}\; mm\;</math>». === Champ angulaire de l'objectif longue focale === {{Al|5}}Calculer le champ angulaire dans les directions <math>\;\parallel\;</math> à la largeur et à la longueur du film <math>\;\big[</math>le champ angulaire étant défini comme l'ouverture angulaire sous lequel le centre optique <math>\;O\;</math> de l'objectif longue focale voit l'objet placé à l'infini<math>\big]</math>. {{Solution|contenu =[[File:Champ angulaire d'un objectif.png|thumb|400px|Schéma de définition du champ angulaire d'un objectif d'appareil photographique]] {{Al|5}}On suppose que le film est situé dans le plan focal image de l'objectif, c'est-à-dire que la mise au point est faite sur l'infini mais, même avec une mise au point à distance finie, la distance du film à l'objectif reste voisine de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> <math>\big[</math>voir figure ci-contre<math>\big]</math> ; {{Al|5}}dans les conditions de Gauss<ref name="Gauss"> En <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de '''Maxwell''' gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math>.</ref>{{,}}<ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le champ angulaire correspondant à la longueur d'une image du film vaut <math>\;\alpha_L \simeq \dfrac{L}{f_i} \simeq \dfrac{36}{135}\, rad \simeq</math> <math>\dfrac{36}{135} \times \dfrac{180}{\pi}\;\text{en °}\;</math> soit «<math>\;\alpha_L \simeq 15,3\;\text{°}\;</math>» et <br>{{Al|20}}{{Transparent|dans les conditions de Gauss, le champ angulaire }}correspondant à la hauteur d'une image du film <math>\;\alpha_H \simeq \dfrac{H}{f_i} \simeq \dfrac{24}{135}\, rad \simeq</math> <math>\dfrac{24}{135} \times \dfrac{180}{\pi}\;\text{en °}\;</math> soit «<math>\;\alpha_H \simeq 10,2\;\text{°}\;</math>».}} === Dimension d'une image par l'objectif longue focale et comparaison avec celle obtenue par un objectif normal === {{Al|5}}Déterminer la dimension de l'image d'un objet de hauteur <math>\;h = 200\, m\;</math> situé à une distance <math>\;D = 2\, km\;</math> de l'objectif. {{Al|5}}Comparer à l'image du même objet que donnerait un objectif normal de « focale image <math>\;f_i = 50\, mm\;</math>». {{Solution|contenu ={{Al|5}}On calcule l'ouverture angulaire de l'objet de hauteur <math>\;h = 200\, m\;</math> situé à la distance <math>\;D = 2\, km\;</math> par «<math>\;\beta \simeq \dfrac{h}{D} = \dfrac{200}{2000} \simeq 0,100\, rad\;</math>», l'angle dans les conditions supplémentaires de Gauss<ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché<ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> étant petit ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|On calcule l'ouverture angulaire de l'objet }}c'est aussi l'angle sous lequel du centre optique <math>\;O\;</math> de l'objectif longue focale on voit l'image d'où la hauteur <math>\;h_i\;</math> de l'image donnée par «<math>\;\beta \simeq \dfrac{h_i}{f_i}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|On calcule l'ouverture angulaire de l'objet c'est aussi l'angle sous lequel du centre optique <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de l'objectif longue focale on voit l'image d'où la hauteur}}«<math>\;h_i \simeq f_i\, \beta \simeq 135 \times 0,100\;\text{en}\;mm\;</math>» soit «<math>\;h_i \simeq 13,5\, mm\;</math>». {{Al|5}}Avec un objectif de distance focale <math>\;{f'}_{\!i} = 50\, mm</math>, l'ouverture angulaire de l'objet de hauteur <math>\;h = 200\, m\;</math> situé à la distance <math>\;D = 2\, km\;</math> ayant la même valeur «<math>\;\beta \simeq \dfrac{h}{D} = \dfrac{200}{2000} \simeq 0,100\, rad\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec un objectif de distance focale <math>\;\color{transparent}{{f'}_{\!i} = 50\, mm}</math>, l'ouverture angulaire de l'objet }}étant l'angle sous lequel du centre optique <math>\;O'\;</math> de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur <math>\;{h'}_{\!i}\;</math> de l'image donnée par «<math>\;\beta \simeq \dfrac{{h'}_{\!i}}{{f'}_{\!i}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|Avec un objectif de distance focale <math>\;\color{transparent}{{f'}_{\!i} = 50\, mm}</math>, l'ouverture angulaire de l'objet étant l'angle sous lequel du centre optique <math>\;\color{transparent}{O'}\;</math> de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur}}«<math>\;{h'}_{\!i} \simeq {f'}_{\!i}\, \beta \simeq 50 \times 0,100\;\text{en}\;mm\;</math>» soit <br>{{Al|4}}{{Transparent|Avec un objectif de distance focale <math>\;\color{transparent}{{f'}_{\!i} = 50\, mm}</math>, l'ouverture angulaire de l'objet étant l'angle sous lequel du centre optique <math>\;\color{transparent}{O'}\;</math> de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur}}«<math>\;{h'}_{\!i} \simeq 5,0\, mm\;</math>» {{Al|5}}<u>Remarque</u> : le fait que «<math>\;{h'}_{\!i} \simeq 5,0\, mm\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;h_i \simeq 13,5\, mm\;</math>» explicite un des intérêts d'un téléobjectif par rapport à un objectif normal.}} == Discussion graphique de Bouasse pour visualiser les propriétés comparées d'un objet linéique transverse et de son image par une lentille mince de focale connue == === Préliminaire, réécriture de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince === ==== Équation cartésienne de la droite passant par les points (x₀, 0) et (0, y₀) avec x₀ et y₀ non nuls ==== {{Al|5}}Montrer que l'équation cartésienne de la droite passant par les points <math>\;(x_0,\, 0)\;</math> et <math>\;(0,\, y_0)\;</math> avec <math>\;x_0 \neq 0\;</math> et <math>\;y_0 \neq 0\;</math> peut s'écrire : <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{x}{x_0} + \dfrac{y}{y_0} = 1\;</math>».</div> {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'équation cartésienne de cette droite s'écrit «<math>\;a\, x + b\, y = c\;</math> avec <math>\;c \neq 0\;</math>»<ref> Car la droite ne passe pas par le point <math>\;(0,\, 0)</math>.</ref> ou, en divisant par <math>\;c\;</math> et en notant <math>\;\alpha = \dfrac{a}{c}\;</math> et <math>\;\beta = \dfrac{b}{c}</math>, l'équation de la droite se réécrit «<math>\;\alpha\, x + \beta\, y = 1\;</math>». {{Al|5}}On écrit alors que le point <math>\;(x_0,\, 0) \in\;</math> à la droite <math>\Rightarrow</math> <math>\;\alpha\; x_0 + \beta \times 0 = 1\;</math> ou «<math>\;\alpha = \dfrac{1}{x_0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On écrit alors }}que le point <math>\;(0,\, y_0) \in\;</math> à la droite <math>\Rightarrow</math> <math>\;\alpha \times 0 + \beta\; y_0 = 1\;</math> ou «<math>\;\beta = \dfrac{1}{y_0}\;</math>» ; <center>finalement l'équation de la droite se réécrit «<math>\;\dfrac{x}{x_0} + \dfrac{y}{y_0} = 1\;</math>».</center>}} ==== Préliminaire : Réécriture de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince ==== {{Al|5}}Déduire de la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> d'une lentille sphérique mince<ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> que les points objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;p_o = \overline{OA_o}\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> d'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math> sont conjugués si leurs abscisses sont liées par : <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{f_o}{p_0} + \dfrac{f_i}{p_i} = 1\;</math>»<ref name="spécifique Bouasse"> Cette forme de la relation de conjugaison de position de Descartes n'a un intérêt que pour la discussion graphique envisagée dans cet exercice, il serait contreproductif <math>\;big(</math>mais non impossible<math>\big)\;</math> de l'utiliser à la place de celle vue dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>.</div> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> d'une lentille sphérique mince<ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> s'écrit, avec «<math>\;p_o = \overline{OA_o}\;</math>», «<math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math>» et la vergence {{Nobr|«<math>\;V =</math>}} <math>\dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>», selon «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> soit, en multipliant de part et d'autre par <math>\;f_i</math>, la relation <math>\;\dfrac{f_i}{p_i} - \dfrac{f_i}{p_o} = 1\;</math> ou encore, en utilisant <math>\;f_i = -f_o</math>, <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{f_i}{p_i} + \dfrac{f_o}{p_o} = 1\;</math>»<ref name="spécifique Bouasse" />.</div>}} ==== Traduction graphique de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince dans un diagramme « axe des x : abscisses des objets », « axe des y : abscisses des images » ==== {{Al|5}}Associant à tout couple de points conjugués <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> caractérisé par le couple de paramètres <math>\;(p_o,\, p_i)</math>, la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> du plan cartésien passant par les points <math>\;(p_o,\, 0)\;</math> et <math>\;(0,\, p_i)</math>, montrer que la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" />{{,}}<ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> écrite pour le couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> se traduit par <div style="text-align: center;">« la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> associée au couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> passe par le point fixe de coordonnées <math>\;(f_o,\, f_i)\;</math>».</div> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Associons à tout couple de points conjugués <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> caractérisé par le couple de paramètres <math>\;(p_o,\, p_i)</math>, la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> du plan cartésien passant par les points <math>\;(p_o,\, 0)\;</math> et <math>\;(0,\, p_i)</math>, cette droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> a pour équation cartésienne «<math>\;\dfrac{x}{p_0} + \dfrac{y}{p_i} = 1\;</math>» ; {{Al|5}}la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" />{{,}}<ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> se réécrivant sous la forme «<math>\;\dfrac{f_i}{p_i} + \dfrac{f_o}{p_o} = 1\;</math>» s'interprète par <div style="text-align: center;">« la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> passe par le point <math>\;(f_o,\, f_i)\;</math>».</div>}} === Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince convergente === {{Al|5}}Considérant les différentes positions possibles du point objet <math>\;A_o\;</math> sur l'axe optique principal relativement aux points réels «<math>\;W_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;2\, f_o\;</math>»<ref name="points de Weierstrass"> Ce point objet <math>\;W_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <math>\;2\, f_o\;</math> appelé « point objet de Weierstrass », <br>{{Al|20}}{{Transparent|Ce point objet <math>\;\color{transparent}{W_o}\;</math> }}admet comme conjugué <math>\;W_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <math>\;2\, f_i\;</math> appelé « point image de Weierstrass », <br>{{Al|20}}{{Transparent|Ce point objet <math>\;\color{transparent}{W_o}\;</math> admet comme conjugué <math>\;\color{transparent}{W_i}\;</math> }}symétrique de <math>\;W_o\;</math> par rapport à <math>\;O\;</math> <math>\bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> avec <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> est vérifiée pour le couple <math>\;\left( p_o = 2\,f_o\,,\, p_i = 2\,f_i \right)\;</math> car <math>\;\dfrac{1}{2\,f_i} - \dfrac{1}{2\,f_o} = \dfrac{1}{2\,f_i} - \dfrac{1}{-2\,f_i} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> c.-à-d. <math>\;V\bigg]\;</math> et <br>{{Al|20}}{{Transparent|Ce point objet <math>\;\color{transparent}{W_o}\;</math> }}le grandissement transverse pour un objet linéique transverse de pied en <math>\;W_o\;</math> est égal à <math>\;G_t(W_o) = -1\;</math> <math>\bigg[</math>en effet la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> appliquée au couple <math>\;\left( p_o = 2\,f_o\,,\, p_i = 2\,f_i \right)\;</math> donne <math>\;G_t(W_o) = \dfrac{2\,f_i}{2\,f_o} = -1\bigg]</math> ;<br>{{Al|3}}<u>remarque</u> : on pourrait montrer <math>\;\big(</math>mais on ne le fera pas<math>\big)\;</math> que la lentille mince est stigmatique rigoureuse pour le couple de points conjugués de Weierstrass <math>\;\big[</math>le seul autre point pour lequel il y a stigmatisme rigoureux de la lentille mince étant le point double <math>\;O</math>, centre optique de la lentille, le grandissement transverse d'un objet linéique transverse de pied en <math>\;O\;</math> y valant <math>\;G_t(O) = +1\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Karl_Weierstrass|Karl Theodor Wilhelm Weierstrass]] (1815 - 1897)''' mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les [[w:Fonction elliptique|fonctions elliptiques]].</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant les différentes positions possibles du point objet <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> sur l'axe optique principal relativement aux points réels }}«<math>\;F_o\;</math> <math>\big(</math>foyer principal objet<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant les différentes positions possibles du point objet <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> sur l'axe optique principal relativement aux points réels }}«<math>\;O\;</math> <math>\big(</math>centre optique<math>\big)\;</math>», * tracer les droites <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> correspondantes et * déduire du signe de <math>\;p_i\;</math> la nature « réelle » ou « virtuelle » du point image <math>\;A_i\;</math> en précisant nettement la « nature et la position correspondante du point objet <math>\;A_o\;</math>» dont <math>\;A_i\;</math> est l'image ; {{Al|5}}considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_d'un_objet_linéique_transverse|définition d'un objet linéique transverse]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> de pied <math>\;A_o</math>, ce dernier prenant les différentes positions possibles considérées précédemment, déterminer à partir des signes et des grandeurs comparées de <math>\;p_i\;</math> et <math>\;p_o</math>, la nature « droite » ou « inversée » de l'image ainsi que son caractère « agrandi » ou « rapetissé ». {{Al|5}}Vérifier chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;p_o\;</math> choisi dans la discussion de Bouasse<ref name="Bouasse"> '''[[w:Henri_Bouasse|Henri Pierre Maxime Bouasse]] (1866 - 1953)''' physicien français surtout connu pour avoir rédigé, entre <math>\;1912\;</math> et <math>\;1931</math>, un vaste traité de physique en <math>\;45\;</math> volumes nommé « ''Bibliothèque scientifique de l'ingénieur et du physicien'' » avec l'actualisation de certains volumes jusqu'en <math>\;1947</math> ; il a contre lui la méfiance qu'il avait de la « nouvelle physique » du XX^ème siècle {{Nobr|<math>\;\big(</math>[[w:Théorie_de_la_relativité|relativité]]}} et [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]]<math>\big)\;</math> envers lesquelles il écrivit des préfaces très polémiques.</ref> précédente. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On pourra déterminer la nature <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> de l'image connaissant celle <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> de l'objet ponctuel suivant sa position par rapport à <math>\;O</math>, <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<ref name="Weierstrass"> '''[[w:Karl_Weierstrass|Karl Theodor Wilhelm Weierstrass]] (1815 - 1897)''' mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les [[w:Fonction elliptique|fonctions elliptiques]].</ref> symétrique de <math>\;O\;</math> relativement à <math>\;F_o\;</math><ref name="positions respectives de O, Fo et Wo"> En effet l'abscisse objet de Descartes de <math>\;F_o\;</math> <math>\big(</math>foyer principal objet<math>\big)\;</math> est <math>\;f_o\;</math> et celle de <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<math>\big)</math>, <math>\;2\;f_o</math>.</ref><math>\big)\;</math><ref name="nature réel ou virtuel"> On rappelle qu'un objet est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{réel si }\;p_o < 0,\\ \text{virtuel si }\;p_o > 0 \end{array} \right\rbrace </math>, qu'une image est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{réelle si }\;p_i > 0,\\ \text{virtuelle si }\;p_i < 0 \end{array} \right\rbrace </math>.</ref> ; {{Al|5}}on pourra aussi en déduire la disposition <math>\;\big(</math>droite ou inversée<math>\big)\;</math> et la dimension <math>\;\big(</math>agrandie ou rapetissée<math>\big)\;</math> de l'image d'un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> suivant sa position par rapport à <math>\;O</math>, <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;W_o\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée"> On rappelle qu'une image est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{droite si }\;\dfrac{p_i}{p_o} > 0,\\ \text{inversée si }\;\dfrac{p_i}{p_o} < 0 \end{array} \right\rbrace </math>, qu'elle est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{agrandie si }\;\bigg\vert \dfrac{p_i}{p_o} \bigg\vert > 1,\\ \text{rapetissée si }\;\bigg\vert \dfrac{p_i}{p_o} \bigg\vert < 1 \end{array} \right\rbrace </math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Principe de la discussion</u> : On positionne le point <math>\;(f_o,\, f_i)\;</math> dans le plan cartésien et on trace la famille de droites <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> passant par ce point ; {{Al|5}}{{Transparent|Principe de la discussion : }}suivant la position graphique de <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}</math>, on peut préciser la nature « réelle ou virtuelle » de l'objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>par le signe de <math>\;p_o\big)\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Principe de la discussion : suivant la position graphique de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}}</math>, on peut }}en déduire la nature « réelle ou virtuelle » de l'image <math>\;A_i\;</math> <math>\big(</math>par le signe de <math>\;p_i\big)\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Principe de la discussion : suivant la position graphique de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}}</math>, on peut en déduire }}le caractère « droit ou inversé », « agrandi ou rapetissé » de l'image si l'objet est linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> <math>\;\big(</math>par les signes comparés de <math>\;p_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> d'une part, et suivant leurs valeurs absolues comparées d'autre part<math>\big)\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" />. {{Al|5}}<u>Discussion graphique et vérification par construction</u> : [[File:Lentille mince convergente - discussion Bouasse.jpg|thumb|450px|Distinction des <math>\;4\;</math> cas de la discussion graphique de Bouasse<ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince convergente]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel en deçà de</u><math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<ref name="Weierstrass" /><math>\big)</math>, <math>\;p_o < 2\, f_o < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel entre</u><math>\;F_i\;</math><u>et</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass<ref name="Weierstrass" /><math>\big)</math>, <math>\;p_i > 0\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" /> et <math>\;\in \left] f_i\, \text{ ; } 2\, f_i \right[\;</math>» ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 1' \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en bleu<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel entre</u><math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><u>et</u><math>\;F_o</math>, <math>\;p_o < 0\;</math> et <math>\;\in \left] 2\, f_o \text{ ; } f_o \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1' \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en bleu<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel au-delà de</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass<ref name="Weierstrass" /><math>\big)</math>, <math>\;p_i > 2\, f_i > 0\;</math>»<ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1' \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 2 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en rouge<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel entre</u><math>\;F_o\;</math><u>et</u><math>\;O</math>, <math>\;p_o < 0\;</math> et <math>\;\in \left] f_o \text{ ; } 0 \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en rouge<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel</u><math>\;\big(</math>c'est-à-dire en deçà de <math>\;O\big)</math>, <math>\;p_i < 0\;</math>»<ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} > 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 3 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en vert<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel</u><math>\;\big(</math>c'est-à-dire au-delà de <math>\;O\big)</math>, <math>\;p_o > 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en vert<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel entre</u><math>\;O\;</math><u>et</u><math>\;F_i</math>, <math>\;p_i > 0\;</math> et <math>\;\in \left] 0 \text{ ; } f_i \right[\;</math>»<ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} > 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" />. {{Al|5}}<u>On vérifie chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet linéique transverse</u> <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> d'abscisse <math>\;p_o\;</math> choisie dans la discussion de Bouasse<ref name="Bouasse" /> précédente : [[File:Lentille mince convergente - construction image.jpg|thumb|400px|Construction de l'image, par une lentille mince convergente, d'un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> réel de pied en deçà du foyer principal objet]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> réel en deçà de <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel entre <math>\;F_i\;</math> et <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass<ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> avec image réelle inversée et rapetissée <math>\;\big(</math>figure ci-contre à droite<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 1 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 1' \right)\;</math> <math>\big(</math>en bleu<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> réel entre <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> et <math>\;F_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel au-delà de <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass<ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> avec image inversée et agrandie <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 1' \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> réel entre le foyer principal objet <math>\;F_i\;</math> et le point objet de Weierstrass<ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> réel au-delà du point image de Weierstrass<ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant réelle, inversée et agrandie relativement à l'objet réel <math>\;A_iB_i\big]</math> ; [[File:Lentille mince convergente - construction image bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image, par une lentille mince convergente, d'un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> réel de pied entre le foyer principal objet et le centre optique ou d'un objet virtuel]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 2 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> réel entre <math>\;F_o\;</math> et <math>\;O\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel avec image droite et agrandie <math>\;\big(</math>figure ci-contre à gauche<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 2 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 3 \right)\;</math> <math>\big(</math>en vert<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> virtuel <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel entre <math>\;O\;</math> et <math>\;F_i\;</math> avec image droite et rapetissée <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 3 \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> virtuel <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> réel entre le centre optique <math>\;O\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant réelle, droite et rapetissée relativement à l'objet virtuel <math>\;A_iB_i\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résumé des résultats trouvés par discussion graphique de Bouasse<ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince convergente</u> : {{Al|5}}Pour que l'image d'un objet réel soit réelle il faut que l'objet ne soit pas entre la lentille mince convergente et le plan focal objet de cette dernière et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que }}l'image est agrandie si l'objet est entre le plan focal objet et le plan objet de Weierstrass<ref name="Weierstrass" />{{,}}<ref name="plan objet de Weierstrass"> Plan transverse de pied <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<math>\big)\;</math> c.-à-d. situé à une distance <math>\;2\, \vert f_o \vert\;</math> en deçà de la lentille.</ref>, <math>\;\big[</math>l'objet réel doit être à une distance de la lentille strictement comprise entre <math>\;f_i\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue infinie<math>\big)\;</math> et <math>\;2\, f_i\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que }}l'image est rapetissée si l'objet est en deçà du plan objet de Weierstrass<ref name="Weierstrass" />{{,}}<ref name="plan objet de Weierstrass" />, <math>\;\big[</math>l'objet réel doit être à une distance de la lentille supérieure à <math>\;2\, f_i\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)</math>), le grandissement transverse tendant vers <math>\;0\;</math> quand la distance tend vers l'infini<math>\big]</math>. <center> <gallery mode="packed" heights="330px"> Lentille mince convergente - résumé discussion Bouasse.jpg|Résumé de la discussion graphique de Bouasse<ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince convergente </gallery> </center>}} === Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince divergente === {{Al|5}}On se propose de refaire l'étude précédente mais appliquée à une lentille sphérique mince divergente. {{Al|5}}Répondre aux mêmes questions, les points <math>\;F_o\;</math> et <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<ref name="points de Weierstrass" /><math>\big)\;</math> par rapport auxquels on repère la position du point objet <math>\;A_o\;</math> étant maintenant virtuels, le point <math>\;O\;</math> étant quant à lui toujours réel, et {{Al|5}}vérifier, de même, chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;p_o\;</math> choisi dans la discussion de Bouasse<ref name="Bouasse" /> précédente. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On développe ci-dessous le même principe de discussion … {{Al|5}}<u>Discussion graphique et vérification par construction</u> : [[File:Lentille mince divergente - discussion Bouasse.jpg|thumb|thumb|435px|Distinction des <math>\;4\;</math> cas de la discussion graphique de Bouasse<ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince divergente]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel</u>, <math>\;p_o < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;F_i\;</math><u>et</u><math>\;O</math>, <math>\;p_i < 0\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" /> et <math>\;\in \left] f_i\, \text{ ; } 0 \right[\;</math>» ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} > 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 2 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en bleu<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;O\;</math><u>et</u><math>\;F_o</math>, <math>\;p_o > 0\;</math> et <math>\;\in \left] 0 \text{ ; } f_o \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en bleu<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel</u>, <math>\;p_i > 0\;</math>»<ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 3 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en rouge<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;F_o\;</math><u>et</u><math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente"> Pour une lentille divergente, les points conjugués de Weierstrass <math>\;W_o\;</math> et <math>\;W_i</math>, d'abscisses respectives <math>\;2\, f_o > 0\;</math> et <math>\;2\, f_i < 0</math>, sont tous deux virtuels.</ref>, <math>\;p_o > 0\;</math> et <math>\;\in \left] f_o \text{ ; } 2\,f_o \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en rouge<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel en deçà de</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass<ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" />, <math>\;p_i < 0\;</math> et <math>\;\in \left] -\infty \text{ ; } 2\, f_i \right[\;</math>»<ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 3' \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en vert<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel au-delà de</u><math>\;W_o</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" />, <math>\;p_o > 0\;</math> et <math>\;\in \left] 2\, f_o \text{ ; } \,+\infty \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3' \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en vert<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass<ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /><u>et</u><math>\;F_i</math>, <math>\;p_i < 0\;</math> et <math>\;\in \left] 2\,f_i \text{ ; } f_i \right[\;</math>»<ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3' \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" />. {{Al|5}}<u>On vérifie chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet linéique transverse</u> <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> d'abscisse <math>\;p_o\;</math> choisie dans la discussion de Bouasse<ref name="Bouasse" /> précédente : [[File:Lentille mince divergente - construction image.jpg|thumb|400px|Construction de l'image, par une lentille mince divergente, d'un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> réel ou virtuel de pied entre le centre optique et le foyer principal objet]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> réel <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel entre <math>\;F_i\;</math> et <math>\;O\;</math> avec image virtuelle droite et rapetissée <math>\;\big(</math>figure ci-contre à droite<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 1 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 2 \right)\;</math> <math>\big(</math>en bleu<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> virtuel entre <math>\;O\;</math> et <math>\;F_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel avec image droite et agrandie <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 2 \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> virtuel entre le centre optique <math>\;O\;</math> et le foyer principal objet <math>\;F_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> réel entre le centre optique <math>\;O\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant réelle, droite et agrandie relativement à l'objet réel <math>\;A_iB_i\big]</math> ; [[File:Lentille mince divergente - construction image bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image, par une lentille mince divergente, d'un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> virtuel de pied au-delà du foyer principal objet]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 3 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> virtuel entre <math>\;F_o\;</math> et <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel en deçà de <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass<ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /> avec image inversée et agrandie <math>\;\big(</math>figure ci-contre à gauche<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 3 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 3' \right)\;</math> <math>\big(</math>en vert<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> virtuel au-delà de <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de {{Nobr|Weierstrass<ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" />}} <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel entre <math>\;F_i\;</math> et <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass<ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /> avec image inversée et rapetissée <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 3' \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> virtuel au-delà du point objet de Weierstrass<ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> virtuel entre le foyer principal image <math>\;F_o\;</math> et le point image de Weierstrass<ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant virtuelle, inversée et rapetissée relativement à l'objet virtuel <math>\;A_iB_i\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résumé des résultats trouvés par discussion graphique de Bouasse<ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince divergente</u> : {{Al|5}}L'image et l'objet sont toujours de nature différente<ref> On vérifie ainsi qu'il est impossible d'avoir simultanément un objet et son image correspondante par une lentille divergente tous deux réels d'où l'impossibilité de faire l'image sur un écran d'un objet réel avec une lentille divergente.</ref> <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>pour qur l'image réelle d'un objet virtuel soit agrandie il faut que ce dernier soit entre la lentille et le plan objet de Weierstrass<ref name="Weierstrass" />{{,}}<ref name="plan objet de Weierstrass - bis"> Plan transverse de pied <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<math>\big)\;</math> c.-à-d. situé à une distance <math>\;2\, \vert f_o \vert\;</math> au-delà de la lentille divergente.</ref>, <math>\;\big[</math>l'objet virtuel doit être à une distance de la lentille strictement comprise entre <math>\;0\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait <math>\;+ 1\big)\;</math> et <math>\;2\, f_o\;</math> {{Nobr|<math>\big(</math>où}} le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)\;</math> en passant par <math>\;f_o\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait infini<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>sinon l'image réelle d'un objet virtuel est rapetissée, l'objet étant alors en deçà du plan objet de Weierstrass<ref name="Weierstrass" />{{,}}<ref name="plan objet de Weierstrass - bis" />, <math>\;\big[</math>l'objet virtuel doit être à une distance de la lentille supérieure à <math>\;2\, f_o\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)</math>, le grandissement transverse tendant vers <math>\;0\;</math> quand la distance tend vers l'infini<math>\big]</math> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>l'image virtuelle d'un objet réel est toujours rapetissée. <center> <gallery mode="packed" heights="330px"> Lentille mince divergente - résumé discussion Bouasse.jpg|Résumé de la discussion graphique de Bouasse<ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince divergente </gallery> </center>}} == Objectif photographique, profondeur de champ de netteté due au grain de la pellicule et temps de pose == {{Al|5}}L’objectif d’un appareil photographique est modélisé par une lentille sphérique mince convergente de distance « focale image <math>\;f_i = 38\; mm\;</math>»<ref> Objectif de la famille des « grands angles ».</ref>. {{Al|5}}Le diaphragme d’ouverture de l’objectif a un « diamètre réglable <math>\;2\,R = \dfrac{f_i}{N}\;</math>» où <math>\;N</math>, appelé « nombre d'ouverture »<ref> Ou simplement « ouverture ».</ref>, peut varier par « valeurs discrètes de <math>\;N = 2,0\;</math> à <math>\;N = 11,3\;</math>»<ref> Les valeurs discrètes de <math>\;N\;</math> forment une progression géométrique de raison <math>\;\sqrt{2} \simeq 1,4</math>, la puissance lumineuse moyenne traversant le diaphragme étant <math>\;\propto\;</math> à la surface de ce dernier c.-à-d. à <math>\;\pi\, R^2</math>, on en déduit que la puissance lumineuse moyenne reçue par le film forme une progression géométrique de raison <math>\;2</math> ; <br>{{Al|3}}la valeur la plus faible <math>\;N = 2,0\;</math> correspond au plus grand diamètre de diaphragme et donc à la plus grande puissance lumineuse moyenne reçue, <br>{{Al|3}}la valeur suivante <math>\;N = 2,0 \times \sqrt{2} \simeq 2,8\;</math> donne une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;2\;</math> fois plus faible, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la valeur suivante }}<math>\;N = 2,0 \times \left( \sqrt{2} \right)^2 \simeq 4,0\;</math> {{Transparent|donne }}une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;4\;</math> fois plus faible, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la valeur suivante }}<math>\;N = 2,0 \times \left( \sqrt{2} \right)^3 \simeq 5,6\;</math> {{Transparent|donne }}une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;8\;</math> fois plus faible etc <math>\;\ldots\;</math> <br>{{Al|3}}la dernière valeur <math>\;N = 2,0 \times \left( \sqrt{2} \right)^5 \simeq 11,3\;</math> {{Transparent|donne }}une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;32\;</math> fois plus faible.</ref>. {{Al|5}}La pellicule ayant une structure granulaire, « la tache image d’un objet ponctuel a le diamètre d’un grain soit <math>\;a = 30\; \mu m\;</math>». === Détermination de la profondeur de champ de netteté liée à la nature granulaire de la pellicule === {{Al|5}}L’objectif étant « mis au point sur un point objet <math>\;A_o\;</math> situé à la distance <math>\;\vert p_o \vert = 2,50\; m\;</math> de l’objectif », <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'objectif étant « mis au point sur }}des points situés au-delà de <math>\;A_o\;</math> c'est-à-dire à une distance <math>\;\vert {p'}_{o,\,M} \vert > 2,50\; m\;</math> de l’objectif, donnent une image ponctuelle en deçà du film, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'objectif étant « mis au point sur }}des points situés en deçà de <math>\;A_o\;</math> c'est-à-dire à une distance <math>\;\vert {p'}_{o,\,m} \vert < 2,50\; m\;</math> de l’objectif, donnent une image ponctuelle au-delà du film, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'objectif étant « mis au point sur des points situés au-delà de <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}dans les deux cas, apparaît une tache sur le film, laquelle semblera <u>ponctuelle</u> si « son diamètre est inférieur à celui du grain du film ». {{Al|5}}On définit la « profondeur de champ de netteté »<ref name="profondeur de champ"> Par abus on parle simplement de « profondeur de champ ».</ref> de l'objectif diaphragmé pour une mise au point sur un objet donné <br>{{Al|11}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}comme l'intervalle de distance séparant l'objectif et les objets ponctuels à <u>image granulaire considérée comme ponctuelle sur la pellicule</u>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » comme }}« intervalle noté <math>\;\left[ \vert p_{o,\,m} \vert\, ; \, \vert p_{o,\,M} \vert \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}le minimum de la profondeur de champ<ref name="profondeur de champ" /> est donc <math>\;\vert p_{o,\,m} \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}le maximum {{Al|5}}{{Transparent|de la profondeur de champ est donc }}<math>\;\vert p_{o,\,M} \vert</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}la largeur étant définie par «<math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \vert p_{o,\,M} \vert - \vert p_{o,\,m} \vert\;</math>»<ref> Simplement noté <math>\;\Delta x\;</math> quand il n'y a pas d'ambiguïté.</ref>. {{Al|5}}Exprimer, en fonction du grain <math>\;a\;</math> de la pellicule, de la distance focale image <math>\;f_i</math>, du nombre d'ouverture <math>\;N\;</math> et de la distance de mise au point <math>\;\vert p_o \vert</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exprimer, }}le minimum de la profondeur de champ<ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\,m} \vert</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exprimer, }}le maximum {{Al|5}}{{Transparent|de la profondeur de champ }}<math>\;\vert p_{o,\,M} \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exprimer, }}la largeur {{Al|10}}{{Transparent|de la profondeur de champ }}<math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N)</math>. {{Al|5}}Faire l'application numérique pour les valeurs extrêmes d'ouverture. {{Solution|contenu =[[File:Objectif - minimum de profondeur de champ.jpg|thumb|420px|Schéma de définition du minimum de profondeur de champ<ref name="profondeur de champ" /> d'un objectif à ouverture et grain de pellicule fixés]] {{Al|5}}<u>Minimum de profondeur de champ</u><ref name="profondeur de champ" /> : La mise au point étant rigoureusement faite pour la distance <math>\;\vert p_o \vert</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}des points <math>\;{A'}_{\!o, \,m}\;</math> situés sur l'axe optique principal entre <math>\;A_o\;</math> et <math>\;O\;</math> donneront des images <math>\;{A'}_{\!i, \,m}\;</math> situées derrière la pellicule et par conséquent le faisceau issu de <math>\;{A'}_{\!o, \,m}\;</math> et limité par le diaphragme émergera selon un faisceau convergeant en <math>\;{A'}_{\!i, \,m}\;</math> laissant une tache <math>\;\big(</math>et non un point<math>\big)\;</math> sur la diapositive <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}ces taches seront vues comme des points pour un diamètre de tache <math>\;<\;</math> au grain de la pellicule c'est-à-dire <br>{{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points }}pour «<math>\;HH'({A'}_{\!o, \,m}) < a\;</math>» ou, en notant <math>\;(HH')_m\;</math> la valeur maximale du diamètre de la tache pouvant être considérée comme ponctuelle<ref> Correspondant donc à <math>\;(HH')_m = HH'({A}_{o, \,m})</math>.</ref>, «<math>\;(HH')_{\!m} = a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}on écrit tout d'abord la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}} de position<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" />{{,}}<ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> soit «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{-\vert p_o \vert} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{\vert p_o \vert} = \dfrac{\vert p_o \vert - f_i}{f_i\, \vert p_o \vert}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;p_i = \dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{1})\;</math>» puis, {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}en raisonnant dans le cas limite, la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" />{{,}}<ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_{o,\, m},\, A_{i,\, m})\;</math> soit «<math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,m}} - \dfrac{1}{-\vert p_{o,\,m} \vert} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,m}} =</math> <math>\dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{\vert p_{o,\,m} \vert} = \dfrac{\vert p_{o,\,m} \vert - f_i}{f_i\, \vert p_{o,\,m} \vert}\;</math> soit «<math>\;p_{i,\,m} = \dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,m} \vert}{\vert p_{o,\,m} \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{2})\;</math>» enfin, {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}les triangles <math>\;KK'A_{i,\, m}\;</math> et <math>\;HH'A_{i,\, m}\;</math> étant semblables, on en déduit : <math>\;\dfrac{OA_{i,\, m}}{KK'} = \dfrac{A_iA_{i,\, m}}{(HH')_m}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{p_{i,\, m}}{2\, R} = \dfrac{p_{i,\, m} - p_i}{(HH')_m}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;(HH')_m =</math> <math>2\, R\, \dfrac{p_{i,\, m} - p_i}{p_{i,\, m}}\;</math> qui vaut, dans le cas limite, <math>\;a\;</math>» d'où la condition «<math>\;2\, R \left( 1 - \dfrac{p_i}{p_{i,\ ,m}} \right) = a\;\;(\mathfrak{3})\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}en reportant les formules <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{3})</math>, on obtient <math>\;2\, R \left( 1 - \dfrac{\dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}}{\dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,m} \vert}{\vert p_{o,\,m} \vert - f_i}} \right) = a\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;1 - \dfrac{\vert p_o \vert \left( \vert p_{o,\,m} \vert - f_i \right)}{\vert p_{o,\, m} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> soit encore <math>\;1 - \dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i} + \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, m} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> ou <math>\;-\dfrac{f_i}{\vert p_o \vert - f_i} + \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, m} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_{o,\, m} \vert} = \dfrac{a \left( \vert p_o \vert - f_i \right)}{2\, R\, f_i} + 1\;</math> donnant <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert = \vert p_o \vert\;\dfrac{2\,R\, f_i}{a \left( \vert p_o \vert - f_i \right) + 2\,R\, f_i} = \dfrac{\vert p_o \vert}{\dfrac{a}{2\, R} \left( \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i} - 1 \right) + 1}\;</math> et finalement, avec «<math>\;\vert p_o \vert \gg f_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 \ll \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}\;</math>», «<math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 + \dfrac{a}{2\, R}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math>» ou, avec <math>\;2\, R = \dfrac{f_i}{N}</math>, <div style="text-align: center;">le « minimum de profondeur de champ<ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 + \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math>».</div> [[File:Objectif - maximum de profondeur de champ.jpg|thumb|420px|Schéma de définition du maximum de profondeur de champ<ref name="profondeur de champ" /> d'un objectif à ouverture et grain de pellicule fixés]] {{Al|5}}<u>Maximum de profondeur de champ</u><ref name="profondeur de champ" /> : La mise au point étant rigoureusement faite pour la distance <math>\;\vert p_o \vert</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}des points <math>\;{A'}_{\!o, \,M}\;</math> situés sur l'axe optique principal entre <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> et <math>\;A_o\;</math> donneront des images <math>\;{A'}_{\!i, \,M}\;</math> situées devant la pellicule et par conséquent le faisceau issu de <math>\;{A'}_{\!o, \,M}\;</math> et limité par le diaphragme émergera selon un faisceau convergeant en <math>\;{A'}_{\!i, \,M}\;</math> laissant une tache <math>\;\big(</math>et non un point<math>\big)\;</math> sur la diapositive <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}ces taches seront vues comme des points pour un diamètre de tache <math>\;<\;</math> au grain de la pellicule c'est-à-dire <br>{{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points }}pour «<math>\;HH'({A'}_{\!o, \,M}) < a\;</math>» ou, en notant <math>\;(HH')_M\;</math> la valeur maximale du diamètre de la tache pouvant être considérée comme ponctuelle<ref> Correspondant donc à <math>\;(HH')_M = HH'({A}_{o, \,M})</math>.</ref>, «<math>\;(HH')_{\!M} = a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}ayant écrit tout d'abord la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}} de position<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" />{{,}}<ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> et y ayant obtenu «<math>\;p_i = \dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{1})\;</math>», on poursuit {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}en raisonnant dans le cas limite, la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" />{{,}}<ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_{o,\, M},\, A_{i,\, M})\;</math> donnant «<math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,M}} - \dfrac{1}{-\vert p_{o,\,M} \vert} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,M}}</math> <math>= \dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{\vert p_{o,\,M} \vert} = \dfrac{\vert p_{o,\,M} \vert - f_i}{f_i\, \vert p_{o,\,M} \vert}\;</math> soit «<math>\;p_{i,\,M} = \dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,M} \vert}{\vert p_{o,\,M} \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{2}')\;</math>» enfin, {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}les triangles <math>\;KK'A_{i,\, M}\;</math> et <math>\;HH'A_{i,\, M}\;</math> étant semblables, on en déduit : <math>\;\dfrac{OA_{i,\, M}}{KK'} = \dfrac{A_{i,\, M}A_i}{(HH')_M}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{p_{i,\, M}}{2\, R} = \dfrac{p_i - p_{i,\, M}}{(HH')_M}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;(HH')_M =</math> <math>2\, R\, \dfrac{p_i - p_{i,\, M}}{p_{i,\, M}}\;</math> qui vaut, dans le cas limite, <math>\;a\;</math>» d'où la condition «<math>\;2\, R \left( \dfrac{p_i}{p_{i,\, M}} - 1 \right) = a\;\;(\mathfrak{3}')\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}en reportant les formules <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{2}')\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{3}')</math>, on obtient <math>\;2\, R \left( \dfrac{\dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}}{\dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,M} \vert}{\vert p_{o,\,M} \vert - f_i}} - 1 \right) = a\;</math> ou <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert \left( \vert p_{o,\,M} \vert - f_i \right)}{\vert p_{o,\, M} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} - 1 = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> soit encore <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i} - \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, M} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} - 1 = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> ou <math>\;\dfrac{f_i}{\vert p_o \vert - f_i} - \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, M} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_{o,\, M} \vert} = -\dfrac{a \left( \vert p_o \vert - f_i \right)}{2\, R\, f_i} + 1\;</math> donnant <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert = \vert p_o \vert\;\dfrac{2\,R\, f_i}{-a \left( \vert p_o \vert - f_i \right) + 2\,R\, f_i} = \dfrac{\vert p_o \vert}{-\dfrac{a}{2\, R} \left( \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i} - 1 \right) + 1}\;</math> et finalement, avec «<math>\;\vert p_o \vert \gg f_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 \ll \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}\;</math>», «<math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 - \dfrac{a}{2\, R}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math>» ou, avec <math>\;2\, R = \dfrac{f_i}{N}</math>, <div style="text-align: center;">le « maximum de profondeur de champ<ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 - \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}</math>».</div> {{Al|5}}<u>Largeur de profondeur de champ</u><ref name="profondeur de champ" /> : La largeur de profondeur de champ<ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N)\;</math> définie selon «<math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \vert p_{o,\,M} \vert - \vert p_{o,\,m} \vert\;</math>» se calcule en reportant les expressions de <math>\;\vert p_{o,\,m} \vert\;</math> et <math>\;\vert p_{o,\,M} \vert\;</math> précédemment établies soit <math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \dfrac{\vert p_o \vert}{1 - \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}} - \dfrac{\vert p_o \vert}{1 + \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math> ou, en réduisant au même dénominateur, <div style="text-align: center;">la « largeur de profondeur de champ<ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \vert p_o \vert\; \dfrac{2\; \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}{1 - \dfrac{N^2\;a^2}{f_i^2}\; \dfrac{p_o^{\!2}}{f_i^2}}\;</math>».</div> {{Al|5}}<u>A.N.</u><ref name="A.N."> Application Numérique.</ref> : <math>\;\blacktriangleright\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;N = 2,0</math>, une distance de mise au point <math>\;\vert p_o \vert = 2,50\;m</math>, une distance focale <math>\;\big(</math>image<math>\big)</math> <math>\;f_i = 38\;mm\;</math> et un grain de pellicule de diamètre <math>\;a = 30\;\mu m\;</math> on obtient : <br>{{Al|11}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un minimum de profondeur de champ<ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 + \dfrac{2,0 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq 2,265\;m\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un maximum de profondeur de champ<ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 - \dfrac{2,0 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq 2,790\;m\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> une largeur de profondeur de champ<ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) = 2,50 \times \dfrac{2 \times \dfrac{2,0 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38 \; 10^{-3}}}{1 - \dfrac{(2,0)^2 \times (30\; 10^{-6})^2}{(38\; 10^{-3})^2} \times \dfrac{(2,50)^2}{(38\; 10^{-3})^2}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> une largeur de profondeur de champ }}«<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) \simeq 0,525\;m\;</math>»<ref> Se calcule aussi directement par «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) = \vert p_{o,\, M} \vert - \vert p_{o,\, m} \vert \simeq 2,790 - 2,265\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) \simeq 0,525\;m\;</math>».</ref> ; {{Al|12}}{{Transparent|A.N. : }}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;N = 11,3</math>, une distance de mise au point <math>\;\vert p_o \vert = 2,50\;m</math>, une distance focale <math>\;\big(</math>image<math>\big)</math> <math>\;f_i = 38\;mm\;</math> et un grain de pellicule de diamètre <math>\;a = 30\;\mu m\;</math> on obtient : <br>{{Al|12}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un minimum de profondeur de champ<ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 + \dfrac{11,3 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq 1,575\;m\;</math>», <br>{{Al|12}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un maximum de profondeur de champ<ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 - \dfrac{11,3 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq 6,052\;m\;</math>» et <br>{{Al|12}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> une largeur de profondeur de champ<ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) = 2,50 \times \dfrac{2 \times \dfrac{11,3 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38 \; 10^{-3}}}{1 - \dfrac{(11,3)^2 \times (30\; 10^{-6})^2}{(38\; 10^{-3})^2} \times \dfrac{(2,50)^2}{(38\; 10^{-3})^2}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <br>{{Al|17}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> une largeur de profondeur de champ }}«<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) \simeq 4,477\;m\;</math>»<ref> Se calcule aussi directement par «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) = \vert p_{o,\, M} \vert - \vert p_{o,\, m} \vert \simeq 6,052 - 1,575\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) \simeq 4,477\;m\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : La largeur de profondeur de champ<ref name="profondeur de champ" /> est d'autant plus grande que le nombre d'ouverture est grand <math>\;\big(</math>c'est-à-dire que le diaphragme est fermé<math>\big)\;</math><ref> Si on souhaite faire une photographie de paysage avec un 1^er plan flou, il faut faire la mise au point à l'infini et réduire la largeur de profondeur de champ en ouvrant le diaphragme au maximum {{Nobr|<math>\;\big(</math>correspondant}} à un nombre d'ouverture petit<math>\big)</math> ;<br>{{Al|3}}si au contraire on veut une photographie de 1^er plan avec un fond de paysage flou, on réduit la profondeur de champ en ouvrant le diaphragme au maximum <math>\;\big(</math>correspondant à un nombre d'ouverture petit<math>\big)\;</math> mais en faisant la mise au point sur le 1^er plan <math>\;\ldots</math></ref>, mais une augmentation du nombre d'ouverture <math>\;\big(</math>c'est-à-dire une fermeture du diaphragme<math>\big)\;</math> entraînant une diminution de la puissance moyenne reçue par la pellicule, il faut compenser par une augmentation du temps d'exposition<ref> Plus précisément quand le nombre d'ouverture est multiplié par <math>\;\sqrt{2}\; \big(\simeq 1,4\big)</math>, l'aire de la surface limitée par le diaphragme est divisée par <math>\;2\;</math> et le temps d'exposition, pour obtenir la même impression de la pellicule, doit être multiplié par <math>\;2</math> : <br>{{Al|3}}par exemple une ouverture du diaphragme à <math>\;2,0\;</math> pendant <math>\;\dfrac{1}{1000}\;s\;</math> est, du point de vue de l'énergie reçue, équivalente à une ouverture à <math>\;11,3 = 2,0 \times (\sqrt{2})^5\;</math> pendant <math>\;\dfrac{1}{1000} \times 2^5 \simeq \dfrac{1}{30}\;s\;</math> mais, dans le 2^ème cas, la largeur de profondeur de champ étant plus grande, les divers plans transverses se trouvant sur le trajet de la lumière donneront vraisemblablement une image nette <math>\;\big(</math>si toutefois il s'agit d'objets fixes<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>le cas d'objets latéralement mobiles étant envisagé dans la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Temps_de_pose_maximal_pour_que_l’image_d’un_objet_se_déplaçant_latéralement_soit_nette|temps de pose maximal pour que l'image d'un objet se déplaçant latéralement soit nette]] » plus bas dans cet exercice<math>\big\}</math>.</ref>.}} === Temps de pose maximal pour que l’image d’un objet se déplaçant latéralement soit nette === {{Al|5}}L’objectif est mis au point sur un objet situé à une distance de <math>\;\vert p_o \vert = 8,00\; m</math>, objet se déplaçant perpendiculairement à l’axe de visée, à la vitesse de <math>\;v_o = 9,0\; km \cdot h^{-1}</math>. {{Al|5}}Quel temps de pose maximum <math>\;\tau_{\text{max}}\;</math> doit-on choisir pour que le déplacement de l'objet photographié n’altère pas la netteté de la photographie ? {{Solution|contenu ={{Al|5}}L’objet se déplaçant transversalement à la vitesse <math>\;v_o\;</math> émet de la lumière pendant tout le temps de pose <math>\;\tau\;</math> à partir de positions différentes du plan transverse, il y a donc ''a priori'' une tache image sur la pellicule ; <br>{{Al|5}}toutefois si le déplacement transversal de l’objet <math>\;d_o = v_o\; \tau\;</math> correspond à un déplacement transversal de l’image <math>\;d_i\;</math> <math><\;</math> au diamètre <math>\;a\;</math> du grain de la pellicule, il n’y aura qu’un seul point image et cette dernière sera considérée comme nette ; {{Al|5}}on détermine <math>\;d_i\;</math> à partir de <math>\;d_o = v_o\; \tau\;</math> à l’aide de la valeur absolue du grandissement transverse définie par <math>\;\vert G_t(A_o) \vert = \dfrac{d_i}{d_o}\;</math> dont la valeur algébrique est évaluée par la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math><ref name="2ème relation de conjugaison de Descartes" />, l’objet étant dans un plan transverse situé à <math>\;\vert p_o \vert = 8,00\; m\;\gg f_i = 38\;mm\;</math> correspondant à un objet positionné quasiment à l'infini de l'objectif <math>\Rightarrow</math> <math>\;p_i \simeq f_i = 38\; 10^{-3}\;m\;</math> d'où <math>\;\vert G_t(A_o) \vert = \dfrac{d_i}{d_o} \simeq \dfrac{f_i}{\vert p_o \vert}\;</math> donnant «<math>\;d_i \simeq \dfrac{f_i}{\vert p_o \vert}\; v_o\; \tau\;</math>» dans laquelle «<math>\;v_o = 9,0\; km\! \cdot\! h^{-1} = \dfrac{9,0}{3,6}\; m\! \cdot\! s^{-1} = 2,5\; m\! \cdot\! s^{-1}\;</math>» ; {{Al|5}}la condition de netteté <math>\;d_i < a\;</math> se réécrivant «<math>\;\dfrac{f_i}{|p_o|}\; v_o\; \tau < a\;</math>» conduit à <math>\;\tau < \dfrac{a}{v_o}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}\;</math> ou finalement <div style="text-align: center;">«<math>\;\tau_{\text{max}} = \dfrac{a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{v_o}\;</math>» ou numériquement <math>\;\tau_{\text{max}} = \dfrac{30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{8,00}{2,5}\;</math> en <math>\;s\;</math> soit <br><math>\;\tau_{\text{max}} \simeq 0,00253\; s\;</math> ou «<math>\;\tau_{\text{max}} \simeq 2,53\; ms\;</math>»<ref> Parmi les valeurs de temps d'exposition que l'on trouve sur un appareil photographique partant de <math>\;\dfrac{1}{1000}\;s = 1,00\;ms\;</math> avec toutes les valeurs multipliées par <math>\;2^n,\; n \in \mathbb{N}</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Parmi les valeurs de temps d'exposition }}on choisira «<math>\;\tau_{\text{max}} = \dfrac{1}{500}\;s = 2,00\;ms\;</math>» car la valeur suivante <math>\;\dfrac{1}{250}\;s = 4,00\;ms\;</math> donnerait une traînée de l'image sur la pellicule.</ref>.</div>}} == Viseur == {{Al|5}}On constitue un viseur à l'aide d'un « objectif de distance focale image <math>\;f_{i,\,1} = 30\, cm\;</math>»<ref name="modélisé par une lentille mince"> L'objectif et l'oculaire étant tous deux modélisés par une lentille mince.</ref> et d'un « oculaire de distance focale image <math>\;f_{i,\,2}\;</math>»<ref name="modélisé par une lentille mince" />. {{Al|5}}L'objet placé à une « distance <math>\;d\;</math> en avant de l'objectif » est vu à travers l'oculaire à l'infini par l'observateur qui n'accommode pas<ref name="œil n'accommodant pas"> Un œil n'accommodant pas conjugue le plan transverse situé à l'infini et la rétine.</ref>. {{Al|5}}Calculer quelle doit être la plage de translation de l'oculaire, relativement à l'objectif, pour que la distance de visée <math>\;d\;</math> soit « réglable de <math>\;1,00\, m\;</math> à l'infini » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calculer quelle doit être la plage de translation de l'oculaire, }}<math>\big\{</math>on définira cette plage de translation par le « tirage de l'oculaire <math>\;t = \overline{F_{i,\,1}F{o,\,2}}\;</math>»<math>\big\}</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Il convient bien sûr de faire un schéma explicatif <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire pour que la distance de visée <math>\big(</math>distance séparant le plan transverse où on place l'objet réel de pied <math>\;A_o</math>, de la face d'entrée du viseur<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire pour que la distance de visée }}soit « réglable de <math>\;1,00\, m\;</math> à l'<math>\infty\;</math>», c'est-à-dire tel que «<math>\;A_o \stackrel{\text{objectif}}\longrightarrow \;A'\; \stackrel{\text{oculaire}}\longrightarrow A_{i,\, \infty}\;</math>»<ref name="œil n'accommodant pas" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}l'objet de pied <math>\;A_o</math> est donc dans le plan focal objet du viseur de foyer principal objet <math>\;F_o</math> <math>\;\big\{A_o = F_o\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}l'image intermédiaire de pied <math>\;A'\;</math> dans le plan focal objet de l'oculaire de foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}</math> <math>\;\big\{\;A' = F_{o,\,2}\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}il suffit d'écrire la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Newton<ref name="Newton"> '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]].</ref> pour l'objectif<ref name="1ère relation de conjugaison de Newton"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}soit «<math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o}\; \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} = f_{o,\,1}\;f_{i,\,1} = -f_{i,\,1}^2\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire soit }}pour abscisse objet de Newton<ref name="Newton" /> du point objet <math>\;F_o\;</math><ref name="repérage de Newton des points objet et image"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Repérage_de_Newton_des_points_objet_et_image|repérage de Newton des points objet et image]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o} = \overline{F_{o,\,1}O_1} + \overline{O_1F_o} = f_{i,\,1} - d\;</math>»<ref> On rappelle que la distance de visée «<math>\;d\;</math>» sépare le plan transverse où on place l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. le plan focal objet du viseur<math>\big)\;</math> de la face d'entrée du viseur <math>\;\big(</math>c.-à-d. le plan transverse passant par <math>\;O_1\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire soit pour }}l'abscisse image de Newton<ref name="Newton" /> du point image <math>\;F_{o,\,2}\;</math><ref name="repérage de Newton des points objet et image" /> étant le tirage de l'oculaire <math>\;t = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}}\;</math> <center>soit «<math>\;t = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} = \dfrac{f_{i,\,1}^2}{d - f_{i,\,1}}\;</math>».</center> {{Al|5}}numériquement le tirage de l'oculaire «<math>\;t\;</math>» varie <math>\;\succ\;</math>de «<math>\;t_{d_1} = \dfrac{30^2}{100 - 30}\;</math> en <math>\;cm\;</math>» soit «<math>\;t_{d_1} \simeq 12,9\, cm\;</math> quand <math>\;d = 1,00\, m\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|numériquement le tirage de l'oculaire «<math>\;\color{transparent}{t}\;</math>» varie }}<math>\;\succ\;</math>à «<math>\;t_{d_2} = 0\;</math> quand <math>\;d\;</math> est <math>\;\infty\;</math>», le viseur étant alors afocal.}} == Oculaire de Plössl == {{Al|5}}L'oculaire de Plössl<ref name="Plössl"> '''[[w:Simon_Plössl|Georg Simon Plössl]] (1794 - 1868)''' opticien autrichien, connu pour le caractère achromatique de ses objectifs <math>\;\big(</math>au sens doublet de lentilles<math>\big)</math>.</ref> est le « doublet de lentilles minces du type <math>\;\left(3,\, 1,\, 3\right)\;</math>»<ref name="notation pour doublet de lentilles non accolées"> Un doublet de lentilles non accolées est de type <math>\;\left(n_1,\, n_2,\, n_3\right)\;\in \mathbb{Z}^3\;</math> si * la 1^ère lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,1} = n_1\;a\;</math>», * la distance séparant les centres optiques <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est «<math>\;e = \overline{O_1O_2} = n_2\;a\;</math>» et * la 2^ème lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,2} = n_3\;a_;</math>» <br>où <math>\;a\;</math> est une longueur <math>\;\big(</math>a priori arbitraire<math>\big)\;</math> servant d'unité.</ref> <math>\Rightarrow</math> la 1^ère lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,1} = 3\;a\;</math>»<ref name="a unité arbitraire de longueur"> <math>\;a\;</math> étant une longueur <math>\;\big(</math>a priori arbitraire<math>\big)\;</math> servant d'unité.</ref>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|L'oculaire de Plössl est le « doublet de lentilles minces du type <math>\;\color{transparent}{\left(3,\, 1,\, 3\right)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}la distance séparant les centres optiques <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est «<math>\;e = \overline{O_1O_2} = a\;</math>»<ref name="a unité arbitraire de longueur" /> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|L'oculaire de Plössl est le « doublet de lentilles minces du type <math>\;\color{transparent}{\left(3,\, 1,\, 3\right)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}la 2^ème lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,2} = 3\;a_;</math>»<ref name="a unité arbitraire de longueur" />. === Détermination des caractéristiques de l'oculaire de Plössl === ==== Nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image ==== {{Al|5}}Vérifier, sur un schéma à l'échelle, que l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> est focal<ref name="focal"> Pour cela il suffit de montrer qu'il n'est pas afocal c.-à-d. que la disposition des lentilles minces ainsi que leur distance focale image n'est pas telle que le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double.</ref> ; {{Al|5}}déterminer algébriquement en fonction de <math>\;a\;</math><ref name="a unité arbitraire de longueur" /> et retrouver le résultat par construction sur un schéma à l'échelle en choisissant <math>\;a = 2\;cm</math> : * le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> c'est-à-dire l'image, par l'oculaire, du point à l'infini de l'axe optique principal, * le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> c'est-à-dire l'antécédent, par l'oculaire, du point à l'infini de l'axe optique principal ; {{Al|5}}préciser le caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> sachant qu'un oculaire est dit positif si <math>\;F_o\;</math> est réel, négatif si <math>\;F_o\;</math> est virtuel. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - foyers objet et image.jpg|thumb|650px|Détermination graphique des foyers principaux objet et image d'un oculaire de Plössl<ref name="Plössl" />]] {{Al|5}}Un doublet de lentilles minces est « afocal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double c'est-à-dire si l'image intermédiaire recherchée <math>\;\big(</math>notée <math>\;?\big)\;</math> obéit à <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;?\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1} = ?\\ ? = F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\end{array}\right\rbrace\;</math> ou encore si <math>\;F_{i,\,1} = F_{o,\,2}</math>, il suffit de vérifier, pour prouver que l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> est « <u>focal</u> », que le foyer principal image de la 1^ère lentille n'est pas confondu avec le foyer principal objet de la 2^ème lentille c'est-à-dire «<math>\;F_{i,\,1} \neq F_{o,\,2}\;</math>» voir schéma ci-contre. {{Al|5}}<u>Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl</u><ref name="Plössl" /> : la définition du foyer principal image peut être écrite selon <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math> c'est-à-dire que le foyer principal image de l'oculaire de {{Nobr|Plössl<ref name="Plössl" />}} <math>\;F_i\;</math> est l'image par <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> du foyer principal image <math>\;F_{i,\,1}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> ou «<math>\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : }}pour déterminer la position de <math>\;F_i\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math>}} de Newton<ref name="Newton" />{{,}}<ref name="choix de Newton"> Ou de Descartes ; toutefois, quand on travaille sur un doublet, il est souvent plus pratique d'utiliser la relation de conjugaison de position de Newton car la grandeur <math>\overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}}</math>, nulle pour un doublet afocal, peut avoir une signification dans un doublet focal comme c'est le cas dans le microscope dans lequel elle est appelée « intervalle optique » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Caractère_focal_du_microscope,_notion_d'intervalle_optique_et_ordre_de_grandeur_de_sa_valeur_pour_avoir_un_fort_grossissement|caractère focal du microscope, notion d'intervalle optique et ordre de grandeur de sa valeur pour avoir un fort grossissement]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math><ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> pour le couple <math>\;\left( F_{i,\,1}\, ,\, F_i \right)\;</math> soit «<math>\;\sigma_{i,\,2}\; \sigma_{o,\,2} = f_{i,\,2}\;f_{o,\,2} = -f_{i,\,2}^{\,2}\;</math>» avec <math>\;\sigma_{o,\,2} = \overline{F_{o,\,2}F_{i,\,1}} = \overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1F_{o,\,2}} = \overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1O_2} - \overline{O_2F_{o,\,2}} =</math> <math>f_{i,\, 1} - e + f_{i,\,2} = 3\; a - a + 3\; a\;</math><ref name="distances focales"> On rappelle que <math>\;\overline{O_2F_{o,\,2}} = f_{o,\,2} = -f_{i,\,2}</math>.</ref> soit «<math>\; \sigma_{o,\,2} = 5\; a\;</math>» d'où <math>\;\sigma_{i,\, 2} = \overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{\sigma_{o,\, 2}}\;</math> donnant numériquement «<math>\;\sigma_{i,\, 2} = -\dfrac{(3\; a)^2}{5\; a}\;</math>» soit «<math>\;\overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : }}en repérage de Descartes<ref name="Descartes" /> relativement à la 2^ème lentille <math>\;\overline{O_2F_i} = \overline{O_2F_{i,\,2}} + \overline{F_{i,\,2}F_i} = f_{i,\,2} + \overline{F_{i,\,2}F_i} = 3\; a - \dfrac{9}{5}\;a\;</math> soit «<math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{6}{5}\;a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : }}on détermine graphiquement la position du foyer principal image de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}en utilisant un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<ref name="incident parallèle à l'axe optique principal"> Qui passe donc par le point objet à l'infini de l'axe optique principal <math>\;A_{o,\, \infty}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}se réfractant à partir de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en un rayon intermédiaire passant par le foyer principal image <math>\;F_{i,\, 1}\;</math><ref name="prolongement du rayon"> En fait seul le prolongement du rayon intermédiaire passe par <math>\;F_{i,\, 1}</math>.</ref> de <math>\;\mathcal{L}_1</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}se réfractant, à partir de <math>\;\mathcal{L}_2</math>, en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\, 2}(\delta)\;</math> de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math><ref name="foyer secondaire image associé à un axe optique secondaire"> On rappelle que le foyer secondaire image associé à un axe optique secondaire est l'intersection de cet axe secondaire et du plan focal image.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal définissant le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus où on peut vérifier que la position trouvée graphiquement est conforme à celle obtenue algébriquement<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl</u><ref name="Plössl" /> : la définition du foyer principal objet peut être écrite selon <math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math> c'est-à-dire que le foyer principal objet de l'oculaire de {{Nobr|Plössl<ref name="Plössl" />}} <math>\;F_o\;</math> est l'antécédent par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> du foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> ou «<math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : }}pour déterminer la position de <math>\;F_o\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math>}} de Newton<ref name="Newton" />{{,}}<ref name="choix de Newton" /> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math><ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> pour le couple <math>\;\left( F_o\, ,\, F_{o,\,2} \right)\;</math> soit «<math>\;\sigma_{i,\,1}\; \sigma_{o,\,1} = f_{i,\,1}\;f_{o,\,1} = -f_{i,\,1}^{\,2}\;</math>» avec <math>\;\sigma_{i,\,1} = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} = \overline{O_1F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} = \overline{O_1O_2} + \overline{O_2F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} =</math> <math>e - f_{i,\, 2} - f_{i,\,1} = a - 3\; a - 3\; a\;</math><ref name="distances focales" /> soit «<math>\; \sigma_{i,\,1} = -5\; a\;</math>» d'où <math>\;\sigma_{o,\, 1} = \overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{\sigma_{i,\, 1}}\;</math> donnant numériquement «<math>\;\sigma_{o,\, 1} = -\dfrac{(3\; a)^2}{-5\; a}\;</math>» soit «<math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o} = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : }}en repérage de Descartes<ref name="Descartes" /> relativement à <math>\;\mathcal{L}_1</math>, <math>\;\overline{O_1F_o} = \overline{O_1F_{o,\,1}} + \overline{F_{o,\,1}F_o} = -f_{i,\,1} + \overline{F_{o,\,1}F_o} = -3\; a + \dfrac{9}{5}\;a\;</math> soit «<math>\;\overline{O_1F_o} = -\dfrac{6}{5}\;a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : }}on détermine graphiquement la position du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}en utilisant un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<ref name="émergent parallèle à l'axe optique principal"> Qui passe donc par le point image à l'infini de l'axe optique principal <math>\;A_{i,\, \infty}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}dont l'antécédent en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est un rayon intermédiaire passant par le foyer principal objet <math>\;F_{o,\, 2}\;</math><ref name="prolongement du rayon - bis"> En fait seul le prolongement du rayon intermédiaire passe par <math>\;F_{o,\, 2}</math>.</ref> de <math>\;\mathcal{L}_2</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}de rayon incident, en deçà de <math>\;\mathcal{L}_1</math>, passant par le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{o,\, 1}(\delta')\;</math> de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math><ref name="foyer secondaire objet associé à un axe optique secondaire"> On rappelle que le foyer secondaire objet associé à un axe optique secondaire est l'intersection de cet axe secondaire et du plan focal objet.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal définissant le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de {{Nobr|Plössl<ref name="Plössl" />}} <math>\;\big(</math>voir partie en bleu du schéma ci-dessus où on peut vérifier que la position trouvée graphiquement est conforme à celle obtenue algébriquement<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On observe aisément que l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> <math>\;(\mathcal{Plo})\;</math> est symétrique relativement au milieu <math>\;M\;</math> du segment <math>\;[O_1O_2]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}ceci signifie que l'on peut retourner l'oculaire relativement à <math>\;M\;</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : ceci signifie que l'on peut }}inverser le sens de propagation de la lumière sans retourner l'oculaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : ceci signifie que l'on peut inverser }}avec absence de modification optique observable et par conséquent <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : ceci signifie }}que l'<u>on peut déduire la position du foyer principal objet de l'oculaire à partir de celle du foyer principal image</u><ref> Ce qui permet de ne déterminer directement que l'un des foyers principaux image ou objet, l'autre étant alors connu par utilisation de la propriété de symétrie de l'oculaire ; dans ce qui suit nous supposerons que seule la position du foyer principal image a été déterminée.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}or si on inverse le sens de propagation de la lumière, le foyer principal image de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial"> C.-à-d. l'oculaire de Plössl utilisé dans le sens initial de propagation de la lumière.</ref> devient le foyer principal objet de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens inversé"> C.-à-d. l'oculaire de Plössl utilisé dans le sens inversé de propagation de la lumière.</ref> c'est-à-dire «<math>\;F_o(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = F_i(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}la face de sortie de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial" /> devenant la face d'entrée de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens inversé" /> c'est-à-dire «<math>\;O_1(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = O_2(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}dont on déduit aisément «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = \overline{O_2F_i}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}avec la connaissance de la position du foyer principal image de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial" /> «<math>\;\overline{O_2F_i}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = \dfrac{6}{5}\;a\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}on en déduit celle du foyer principal objet de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens inversé" /> «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = \overline{O_2F_i}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = \dfrac{6}{5}\;a\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}en inversant le sens d'algébrisation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = -\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}on en déduit la position du foyer principal objet de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial" /> «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = -\dfrac{6}{5}\;a\;</math>». {{Al|5}}<u>Caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl</u><ref name="Plössl" /> : le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> étant situé avant la face d'entrée de ce dernier car «<math>\;\overline{O_1F_o} = -\dfrac{6}{5}\;a < 0\;</math>» <br>{{Al|17}}{{Transparent|Caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl : le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}\;</math> de l'oculaire de Plössl }}est <u>réel</u> et par suite l'oculaire est dit <u>positif</u>.}} ==== Caractère convergent de l'oculaire déterminé par construction ==== {{Al|5}}En considérant un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et en traçant le cheminement de ce rayon à travers l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" />, vérifier que ce dernier est convergent sachant<ref> Les affirmations ci-dessous seront justifiées dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Construction_de_l'image,_par_l'oculaire_de_Plössl,_d'un_objet_linéique_transverse_en_utilisant_les_plans_principaux_et_justification_du_caractère_convergent_(ou_divergent)_d'un_doublet_de_lentilles|construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un objet linéique transverse en utilisant les plans principaux et justification du caractère convergent (ou divergent) d'un doublet de lentilles]] » plus bas dans cet exercice.</ref> que <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>un système optique est convergent si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>un système optique est convergent si un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système }}au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>un système optique est divergent si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>un système optique est divergent si un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système }}au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>un système optique est afocal si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, émerge de la face de sortie du système <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>, après <math>\;\big(</math>ou sans<math>\big)\;</math> avoir coupé ce dernier. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - foyers objet et image.jpg|thumb|600px|Détermination graphique des foyers principaux objet et image d'un oculaire de Plössl<ref name="Plössl" />]] {{Al|5}}On constate, sur le schéma ci-contre<ref> Il s'agit du schéma expliqué dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, le <u>caractère convergent de l'oculaire de Plössl</u><ref name="Plössl" /> en effet {{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, }}un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et situé au-dessus, <br>{{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> }}émerge de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> }}en se rapprochant de ce dernier et <br>{{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> en }}se dirigeant vers le foyer principal image <math>\;F_i</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le schéma rappelé ci-contre, le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> est réel mais attention : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>d'une part le caractère réel du foyer principal image n'est pas nécessaire pour conclure au caractère convergent du doublet<ref> Comme on pourrait le vérifier sur le doublet <math>\;(2,\, 3,\, 2)\;</math> convergent <math>\;\big(</math>le rayon émerge de la 2^ème lentille au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, le foyer principal image étant virtuel<math>\big)</math>.</ref>, raison pour laquelle le caractère réel de <math>\;F_i\;</math> n'est pas évoqué, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>d'autre part le caractère réel du foyer principal image n'est pas suffisant pour conclure au caractère convergent du doublet<ref> Comme on pourrait le vérifier sur le doublet <math>\;(2,\, 4,\, 1)\;</math> divergent <math>\;\big(</math>le rayon émerge de la 2^ème lentille au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant jusqu'au foyer principal image réel puis s'en éloigne en passant au-dessus<math>\big)</math>.</ref>, raison pour laquelle le caractère réel de <math>\;F_i\;</math> ne doit pas être évoqué.}} ==== Détermination de la distance focale (image) de l'oculaire ==== {{Al|5}}Les foyers principaux objet et image de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> ayant été déterminés dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice, il devient possible d'utiliser le repérage de Newton<ref name="Newton" /> pour positionner les points objet et image de l'axe optique principal selon : * l'abscisse objet de Newton<ref name="Newton" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>» et * l'abscisse image de Newton<ref name="Newton" /> du point image <math>\;A_i\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>» ; {{Al|5}}en admettant que la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Newton<ref name="Newton" />{{,}}<ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> est encore applicable à un doublet focal de lentilles minces et que ceci permet de définir la valeur absolue de la distance focale image <math>\;\vert f_i \vert\;</math> de ce dernier <math>\;\big(</math>la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant toujours opposée à la distance focale image <math>\;f_i\big)</math>, déterminer : * <math>\;\vert f_i \vert\;</math> en appliquant la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Newton<ref name="Newton" /> à l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" />{{,}}<ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> pour un couple de points conjugués judicieusement choisis, puis * <math>\;f_i\;</math> sachant qu'un système convergent a une distance focale image positive <math>\;\big(</math>la distance focale image d'un système divergent étant négative<math>\big)</math>. {{Solution|contenu = {{Al|5}}Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image <math>\;\vert f_i \vert\;</math> de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> en utilisant la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Newton<ref name="Newton" /> «<math>\;\sigma_i\;\sigma_o = -f_i^2\;</math>»<ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> avec «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>» et «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>», relation supposée applicable à tout couple de points conjugués par l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" />, il faut choisir des points conjugués particuliers et les plus faciles à obtenir sont ceux dont l'image intermédiaire est à l'infini sur l'axe optique principal soit <div style="text-align: center;">«<math>\;F_{o,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_{i,\,1,\,\infty} = A_{o,\,2,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_{i,\,2}\;</math>» établissant que le couple «<math>\;(F_{o,\,1}\,,\,F_{i,\,2})\;</math> est conjugué par l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> » ;</div> {{Al|5}}pour ce couple on a «<math>\;\sigma_o(F_{o,\,1}) = \overline{F_oF_{o,\,1}} = -\overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{9}{5}\;a\;</math>»<ref name="positionnement de Newton des foyers principaux objet et image de l'oculaire"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour ce couple on a }}«<math>\;\sigma_i(F_{i,\,2}) = \overline{F_iF_{i,\,2}} = -\overline{F_{i,\,2}F_i} = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>»<ref name="positionnement de Newton des foyers principaux objet et image de l'oculaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour ce couple on a }}d'où <math>\;\sigma_o(F_{o,\,1})\; \sigma_i(F_{i,\,2}) = -f_i^2\;</math> se réécrivant <math>\;\left[ -\dfrac{9}{5}\;a \right] \left[ \dfrac{9}{5}\;a \right] = -f_i^2\;</math> soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\vert f_i \vert = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ;</div> {{Al|5}}l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> étant convergent sa distance focale image <math>\;f_i\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et par suite elle vaut <div style="text-align: center;">«<math>\;f_i = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>»<ref> Sa distance focale objet valant <math>\;f_o = -f_i = -\dfrac{9}{5}\;a</math>.</ref>.</div>}} ==== Détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire ==== {{Al|5}}Les points principaux objet et image d'un système optique sont les points conjugués de l'axe optique principal tels que le système optique donne, d'un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> de pied positionné au point principal objet <math>\;H_o</math>, un grandissement transverse valant «<math>\;G_t(H_o) = +1\;</math>»<ref name="image de HoBo"> L'image de cet objet linéique transverse <math>\;H_oB_o\;</math> est alors <math>\;H_iB_i\;</math> droite et de même taille que l'objet.</ref> ; {{Al|5}}en admettant que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton<ref name="Newton" />{{,}}<ref name="2ème relation de conjugaison de Newton"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> sont encore applicables à un doublet focal de lentilles minces, déterminer : * l'abscisse objet de Newton<ref name="Newton" /> du point principal objet «<math>\;\sigma_o(H_o) = \overline{F_oH_o}\;</math>», positionner alors <math>\;H_o\;</math> sur l'axe optique principal et * l'abscisse image de Newton<ref name="Newton" /> du point principal image «<math>\;\sigma_i(H_i) = \overline{F_iH_i}\;</math>», positionner de même <math>\;H_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{Solution|contenu =[[File:Oculaire de Plössl - ajout des points principaux.jpg|thumb|650px|Positionnement des points principaux d'un oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> sur le schéma construisant les positions des foyers principaux de ce dernier]] {{Al|5}}Considérant le couple de points principaux <math>\;(H_o\, ,\,H_i)\;</math> conjugués par l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> et <br>{{Al|5}}appliquant la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton<ref name="Newton" /> sous la forme «<math>\;G_t(H_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o(H_o)}\;</math>»<ref name="2ème relation de conjugaison de Newton" /> avec {{Nobr|«<math>\;\sigma_o(H_o)</math>}} <math>= \overline{F_oH_o}\;</math>», on trouve, avec «<math>\;G_t(H_o) = +1\;</math>», <div style="text-align: center;">l'abscisse objet de Newton<ref name="Newton" /> du point principal objet «<math>\;\overline{F_oH_o} = -f_o = f_i = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ;</div> {{Al|5}}appliquant la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton<ref name="Newton" /> au couple de points principaux <math>\;(H_o\, ,\,H_i)\;</math> conjugués par l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> sous la forme «<math>\;G_t(H_o) = -\dfrac{\sigma_i(H_o)}{f_i}\;</math>»<ref name="2ème relation de conjugaison de Newton" /> avec «<math>\;\sigma_i(H_o) = \overline{F_iH_i}\;</math>», on trouve, avec «<math>\;G_t(H_o) = +1\;</math>», <div style="text-align: center;">l'abscisse image de Newton<ref name="Newton" /> du point principal image «<math>\;\overline{F_iH_i} = -f_i = -\dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ;</div> {{Al|5}}voir le positionnement des points principaux de l'axe optique principal sur la figure ci-dessus <math>\;\big\{H_i\;</math> symétrique de <math>\;H_o\;</math> par rapport au milieu du segment <math>\;\left[ O_1O_2 \right]</math>, oculaire symétrique par rapport à ce dernier<ref name="oculaire de Plössl symétrique"> Voir remarque dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice.</ref><math>\big\}\;</math> et<br>{{Al|5}}{{Transparent|voir }}la détermination graphique simultanée des foyers principaux et des points principaux<ref> C'est un complément, ce n'était pas demandé.</ref>{{,}}<ref> On trouve une légère différence entre le positionnement des points principaux dont les abscisses ont été déterminées algébriquement et la détermination graphique de ces derniers, une construction étant nécessairement moins précise <math>\;\big(</math>toutefois l'accord reste néanmoins acceptable<math>\big)</math>.</ref> sur la figure ci-dessous. [[File:Oculaire de Plössl - détermination foyers et points principaux.jpg|thumb|650px|Détermination graphique simultanée des foyers et points principaux d'un oculaire de Plössl<ref name="Plössl" />]] {{Al|5}}On reprend tout d'abord la construction du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> en noir<ref> On rappelle la méthode vue dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice utilisant la conjugaison {{Nobr|«<math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\, 1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math>» :}} * considérer un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, * se réfractant à partir de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en un rayon intermédiaire dont le prolongement passe par le foyer principal image <math>\;F_{i,\, 1}\;</math> de cette dernière, * ce rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> conduisant à un rayon émergent, à partir de cette lentille, passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\, 2}(\delta)\;</math> correspondant à cet axe optique secondaire <math>\;(\delta)</math>, * l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal définissant le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire de Plössl.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On reprend tout d'abord la constr. }}celle du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> en bleu<ref> On rappelle la méthode vue dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice utilisant la conjugaison {{Nobr|«<math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\, 2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math>» :}} * considérer un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, * dont l'antécédent en deçà de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est un rayon intermédiaire de prolongement passant par le foyer principal objet <math>\;F_{o,\, 2}\;</math> de cette dernière, * ce rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> conduisant à un rayon incident, en deçà de cette lentille, passant par le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{i,\, 1}(\delta')\;</math> correspondant à cet axe optique secondaire <math>\;(\delta')</math>, * l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal définissant le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de Plössl.</ref> ; {{Al|5}}on détermine ensuite le point principal image <math>\;H_i\;</math> suivi <br>{{Al|5}}{{Transparent|on détermine ensuite }}du point principal objet <math>\;H_o\;</math> de la façon suivante : * on considère un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> <math>\;\big(</math>non représenté sur le schéma ci-contre<math>\big)\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et dont l'autre extrémité est sur le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> précédemment utilisé, <br>dans l'hypothèse où <math>\;A_o\;</math> serait en <math>\;H_o\;</math><ref name="position de Ho ignorée pour l'instant"> Dont on ignore la position pour l'instant.</ref>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> étant de même taille et de même sens que l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> et l'extrémité <math>\;B_i\;</math> devant être sur le rayon émergent de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> passant par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math><ref> Étant donné que ce rayon émergent est le conjugué, par l'oculaire de Plössl, du rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> précédemment utilisé sur lequel se trouve l'objet <math>\;B_o</math>.</ref>, <math>\;B_i\;</math> se trouve à l'intersection de ce rayon émergent et du rayon incident conjugué, <math>\;A_i\;</math> projeté orthogonal de <math>\;B_i\;</math> sur <math>\;\Delta</math> définissant alors la position du point principal image <math>\;H_i</math> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math> ; * on considère une image linéique transverse <math>\;H_iI_i\;</math> dont l'autre extrémité <math>\;I_i\;</math> est sur un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math><ref name="taille de l'image HiIi"> Nous choisissons la taille de l'image <math>\;H_iI_i\;</math> identique à celle précédemment utilisée pour la détermination du point principal image <math>\;H_i\;</math> c.-à-d. que le rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> est dans le prolongement du rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> utilisé pour déterminer <math>\;H_i\;</math> <math>\big(</math>c'est aussi ce rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> qui a servi à la détermination du foyer principal objet <math>\;F_o\big)\;</math> mais la taille de l'image <math>\;H_iI_i\;</math> peut être quelconque c.-à-d. que le rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> peut être à n'importe quelle distance de l'axe optique principal.</ref>, l'antécédent <math>\;H_oI_o\;</math> étant de même taille et de même sens que l'image <math>\;H_iI_i\;</math> et l'extrémité <math>\;I_o\;</math> devant être sur le rayon incident correspondant passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math><ref> Étant donné que ce rayon incident est le conjugué, par l'oculaire de Plössl, du rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> précédemment utilisé sur lequel se trouve l'image <math>\;I_i</math>.</ref>, <math>\;I_o\;</math> se trouve à l'intersection de ce rayon incident et du rayon émergent conjugué, le point principal objet <math>\;H_o\;</math> s'obtenant par projection orthogonale de <math>\;I_o\;</math> sur <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math>.}} ==== Définition du repérage de Descartes des points objet et image de l'oculaire ==== {{Al|5}}Vérifier, d'après les réponses de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_des_points_principaux_objet_Ho_et_image_Hi_de_l'oculaire|détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire]] » plus haut dans cet exercice, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, }}que les distances focales objet et image de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> peuvent être définies selon «<math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math>» et «<math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math>»<ref name="définition des distances focales d'un doublet"> Quand on associe deux lentilles minces non accolées c.-à-d. telles que <math>\;O_1O_2 \neq 0</math>, la notion de centre optique disparaît pour le système optique ainsi formé et, si ce dernier est focal, elle est remplacée par celle de points principaux objet et image ; <br>{{Al|3}}le centre optique <math>\;O\;</math> d'une lentille mince est le point double de l'axe optique principal tel que la lentille donne, de tout objet linéique transverse de pied positionné en <math>\;O</math>, une image de grandissement transverse égal à <math>\;+1</math>, les distances focales objet et image étant respectivement définies par «<math>\;f_o = \overline{OF_o}\;</math>» et «<math>\;f_i = \overline{OF_i}\;</math>» avec «<math>\;f_o = -f_i\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lesquelles <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> sont respectivement les foyers principaux objet et image de la lentille<math>\big]\;</math> alors que <br>{{Al|3}}les points principaux objet et image <math>\;(H_o,\,H_i)\;</math> d'un doublet de lentilles non accolées et focal sont distincts sur l'axe optique principal tel que le doublet donne, de tout objet linéique transverse de pied positionné en <math>\;H_o</math>, une image de pied positionné en <math>\;H_i</math>, de grandissement transverse égal à <math>\;+1</math>, les distances focales objet et image pouvant être respectivement définies par «<math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math>» et «<math>\;f_i</math> <math>= \overline{H_iF_i}\;</math>» avec «<math>\;f_o = -f_i\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lesquelles <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> sont respectivement les foyers principaux objet et image du doublet<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}On définit alors le repérage de Descartes<ref name="Descartes" /> pour les points objet et image de l'axe optique principal de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> selon : * l'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;p_o = \overline{H_oA_o}\;</math>»<ref name="points principaux origine du repérage de Descartes"> Pour un doublet de lentilles non accolées et focal, on peut dire qu'il y a dédoublement de la notion de centre optique d'une lentille en la notion de couple de points principaux objet et image <math>\;(H_o,\,H_i)</math>, le 1^er servant à repérer un point objet et le 2^nd un point image, tous deux situés sur l'axe optique principal du doublet.</ref> et * l'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> du point image <math>\;A_i\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;p_i = \overline{H_iA_i}\;</math>»<ref name="points principaux origine du repérage de Descartes" /> ; {{Al|5}}établir les relations de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position et de grandissement transverse de Descartes<ref name="Descartes" /> à partir de celles <math>\;\big(</math>admises<math>\big)\;</math> de Newton<ref name="Newton" /> en effectuant un changement d'origines et <br>{{Al|5}}vérifier que ces relations de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position et de grandissement transverse de Descartes<ref name="Descartes" /> sont identiques à celles d'une lentille mince<ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" />{{,}}<ref name="2ème relation de conjugaison de Descartes" />. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On vérifie, d'après l'abscisse objet de Newton<ref name="Newton" /> du point principal objet <math>\;H_o\;</math> de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> «<math>\;\overline{F_oH_o} = -f_o\;</math>»<ref name="abscisse de Newton des points principaux"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_des_points_principaux_objet_Ho_et_image_Hi_de_l'oculaire|détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On vérifie, d'après }}l'abscisse image de Newton<ref name="Newton" /> du point principal image <math>\;H_o\;</math> du même oculaire «<math>\;\overline{F_iH_i} = -f_i\;</math>»<ref name="abscisse de Newton des points principaux" />, que * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> peut être définie par «<math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math>»<ref name="définition des distances focales d'un doublet" /> et * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> du même oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> peut être définie par «<math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math>»<ref name="définition des distances focales d'un doublet" />. {{Al|5}}Définissant le repérage de Descartes<ref name="Descartes" /> en prenant pour origines * le point principal objet <math>\;H_o\;</math> pour l'abscisse d'un point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal définie par «<math>\;p_o = \overline{H_oA_o}\;</math>» et * le point principal image <math>\;H_i\;</math> pour l'abscisse d'un point image <math>\;A_i\;</math> de l'axe optique principal définie par «<math>\;p_i = \overline{H_iA_i}\;</math>», {{Al|5}}on déduit de ce qui précède que la distance focale objet de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> est l'abscisse objet de Descartes<ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|on déduit de ce qui précède }}que la distance focale image de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> est l'abscisse image de Descartes<ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire ; {{Al|5}}<u>Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes<ref name="Descartes" /> de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> à partir de celle de Newton<ref name="Newton" /></u> : <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes }}pour cela il suffit de reporter les changements d'origines <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\overline{F_oA_o} = \overline{H_oA_o} - \overline{H_oF_o}\\ \overline{F_iA_i} = \overline{H_iA_i} - \overline{H_iF_i} \end{array} \right\rbrace\;</math> ou «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\sigma_o = p_o - f_o\\ \sigma_i = p_i - f_i \end{array} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes pour cela il suffit de reporter }}dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Newton<ref name="Newton" /> «<math>\;\sigma_i\;\sigma_o = f_i\; f_o\;</math>»<ref name="applicabilité Newton"> Applicable si <math>\;A_o \neq F_o\;</math> et <math>\;\neq A_{o,\,\infty}</math>.</ref>, ce qui donne <br>{{Al|14}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes pour cela il suffit de reporter dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Newton }}«<math>\;(p_i - f_i)\;(p_o - f_o) = f_i\; f_o\;</math>» soit, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes }}en développant <math>\;p_i\; p_o - f_i\;p_o - p_i\; f_o + \cancel{f_i\;f_o} = \cancel{f_i\; f_o}\;</math> ou, en divisant les deux membres par <math>\;p_i\;p_o\;f_i = -p_i\;p_o\;f_o\;</math><ref name="applicabilité Descartes"> Ce qui suppose que <math>\;A_o \neq H_o</math>.</ref>{{,}}<ref> La raison de cette division étant que la relation de conjugaison de position de Newton est homogène à un carré de longueur alors que celle cherchée de Descartes doit l'être en inverse de longueur.</ref>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes en développant }}<math>\;\dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{p_i} + \dfrac{1}{p_o} = 0\;</math> soit finalement <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes }}la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> selon «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>»<ref name="applicabilité Descartes bis"> On vérifie que cette forme reste applicable quand <math>\;A_o = F_o\;</math> et <math>\;A_o = A_{o,\,\infty}</math>, la seule restriction étant <math>\;A_o \neq H_o</math>.</ref>{{,}}<ref name="mêmes relations que lentille"> Il s'agit donc bien des mêmes formes de relations de conjugaison de Descartes, seules les définitions des abscisses objet et image de Descartes diffèrent.</ref> avec <br>{{Al|14}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Descartes }}«<math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> vergence du doublet » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}p_o = \overline{H_oA_o} \\ p_i = \overline{H_iA_i}\end{array} \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<u>Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes<ref name="Descartes" /> de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> à partir de l'une de celles de Newton<ref name="Newton" /></u> : <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes }}pour cela il suffit de reporter les changements d'origines précédemment établis «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\sigma_o = p_o - f_o\\ \sigma_i = p_i - f_i \end{array} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter }}dans l'une des 2^èmes relations de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Newton<ref name="Newton" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans }}«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math>»<ref name="applicabilité Newton" /> <math>\;\bigg[</math>ou «<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math>»<ref name="applicabilité Newton" /><math>\bigg]</math>, ce qui donne <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans }}«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{p_i - f_i}{f_i} = -\dfrac{p_i}{f_i} + 1\;</math>» ou encore «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter }}<math>\bigg(\!</math>en effet <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> multipliée par <math>\;p_i\;</math><ref name="applicabilité Descartes" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 - \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{p_i}{f_i}\;</math> ou <math>\;1 - \dfrac{p_i}{f_i} = \dfrac{p_i}{p_o}\!\bigg)</math>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans }}<math>\;\bigg[</math>ou «<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{p_o - f_o}\;</math>» dont on déduit «<math>\;\dfrac{1}{G_t(A_o)} = -\dfrac{p_o - f_o}{f_o} = -\dfrac{p_o}{f_o} + 1\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans <math>\;\color{transparent}{\bigg[}</math>}}ou encore «<math>\;\dfrac{1}{G_t(A_o)} = \dfrac{p_o}{p_i}\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter }}<math>\bigg(\!</math>en effet <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> multipliée par <math>\;p_o\;</math><ref name="applicabilité Descartes" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{p_o}{p_i} - 1 = -\dfrac{p_o}{f_o}\;</math> ou <math>\;1 - \dfrac{p_o}{f_o} = \dfrac{p_o}{p_i}\!\bigg)</math>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans <math>\;\color{transparent}{\bigg[}</math>}}soit en inversant «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>»<math>\bigg]</math> ; finalement <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes }}la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> selon «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>»<ref name="applicabilité Descartes bis" />{{,}}<ref name="mêmes relations que lentille" /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Descartes de l'oculaire de Plössl }}avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}p_o = \overline{H_oA_o} \\ p_i = \overline{H_iA_i}\end{array} \right\rbrace\;</math>».}} ==== Construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un objet linéique transverse en utilisant les plans principaux et justification du caractère convergent (ou divergent) d'un doublet de lentilles ==== {{Al|5}}Montrer qu'un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et rencontrant <math>\;\big(</math>réellement ou fictivement<ref name="fictif entrée"> La rencontre est réelle si le plan principal objet est situé en deçà de la face d'entrée et fictive s'il est au-delà de celle-ci ; ici on emploie le qualificatif « fictif » plutôt que « virtuel » car le plan principal objet n'est pas matériel <math>\;\big(</math>le qualificatif « virtuel » étant réservé à la partie en prolongement d'un rayon réel en deçà ou au-delà d'une surface matérielle comme une face d'entrée ou de {{Nobr|sortie<math>\big)</math>.}}</ref><math>\big)\;</math> le plan principal objet en <math>\;I_o</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrer qu'un rayon incident }}émerge du plan principal image <math>\;\big(</math>réellement ou fictivement<ref name="fictif sortie"> La rencontre est réelle si le plan principal image est situé au-delà de la face de sortie et fictive s'il est en deçà de celle-ci ; ici on emploie le qualificatif « fictif » plutôt que « virtuel » car le plan principal image n'est pas matériel <math>\;\big(</math>le qualificatif « virtuel » étant réservé à la partie en prolongement d'un rayon réel en deçà ou au-delà d'une surface matérielle comme une face d'entrée ou de sortie<math>\big)</math>.</ref><math>\big)\;</math> en <math>\;I_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrer qu'}}le rayon émergeant en direction du foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}en déduire une méthode de construction de l'image <math>\;A_iB_i</math>, par l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" />, d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> en utilisant les plans principaux objet et image de l'oculaire. {{Al|5}}En utilisant la méthode de construction qui vient d'être évoquée, justifier la propriété rappelée ci-dessous pour déterminer le caractère convergent <math>\;\big(</math>ou divergent<math>\big)\;</math> d'un système optique : * un système optique est convergent si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant ou <br>{{Transparent|un système optique est convergent si un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système }}au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ; * un système optique est divergent si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ou <br>{{Transparent|un système optique est divergent si un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système }}au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - construction avec plans principaux.jpg|thumb|650px|Principe de la construction de l'image, par un oculaire de Plössl<ref name="Plössl" />, d'un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> utilisant les plans principaux]] {{Al|5}}Les plans principaux et les foyers principaux ayant été positionnés sur l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> ci-contre, <br>{{Al|5}}on y considère un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> qui rencontre <math>\;\big(</math>fictivement<ref name="fictif entrée" /><math>\big)\;</math> le plan principal objet en <math>\;I_o</math>, dessinant ainsi un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> fictif <math>\;H_oI_o\;</math> dans le plan principal objet ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|on y considère }}cet objet fictif a pour conjugué, par l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" />, l'image fictive <math>\;H_iI_i\;</math> dans le plan principal image, image de même taille que l'objet <math>\;H_oI_o\;</math> <ref> En effet l'image de tout objet linéique transverse dans le plan principal objet est dans le plan principal image de grandissement transverse égal à <math>\;+1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on peut affirmer que le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et rencontrant <math>\;\big(</math>fictivement<ref name="fictif entrée" /><math>\big)\;</math> le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge <math>\;\big(</math>fictivement<ref name="fictif sortie" /><math>\big)\;</math> du plan principal image en <math>\;I_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o</math> ; de plus <br>{{Al|5}}{{Transparent|on peut affirmer que }}le rayon incident étant <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>, le rayon émergent doit passer <math>\;\big(</math>réellement<math>\big)\;</math> par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et par conséquent sa partie fictive à partir de <math>\;I_i\;</math> devra avoir un prolongement passant par <math>\;F_i</math> ; <br>{{Al|5}}<math>\Big[</math>de même un rayon incident passant <math>\;\big(</math>réellement<math>\big)\;</math> par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et rencontrant <math>\;\big(</math>fictivement<ref name="fictif entrée" /><math>\big)\;</math> le plan principal objet en <math>\;J_o\;</math><ref name="non représenté"> Non représenté sur le schéma ci-dessus pour éviter une surcharge qui aurait rendu moins lisible la figure.</ref>, émerge <math>\;\big(</math>fictivement<ref name="fictif sortie" /><math>\big)\;</math> du plan principal image en <math>\;J_i\;</math><ref name="non représenté" /> situé à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;J_o\;</math> en étant <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>, le rayon émergeant réellement au-delà de la face de sortie parallèlement à l'axe optique principal <math>\;\big\{</math>tracé non représenté mais facilement imaginable, l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> étant symétrique par rapport au milieu du segment <math>\;\left[ O_1O_2 \right]\;</math><ref name="oculaire de Plössl symétrique" />{{,}}<ref name="Points principaux symétriques"> Les points principaux de l'oculaire de Plössl étant également symétriques par rapport au milieu du segment <math>\;\left[ O_1O_2 \right]</math>, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_des_points_principaux_objet_Ho_et_image_Hi_de_l'oculaire|détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, le tracé peut être obtenu en pratiquant le retour inverse de la lumière sur le symétrique <math>\;\big(</math>par rapport au milieu du segment <math>\;\left[ O_1O_2 \right]\big)\;</math> du « tracé du rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> émergeant en passant par le <math>\;F_i\;</math>»<math>\big\}\Big]</math>. {{Al|5}}<u>Méthode de construction de l'image</u><math>\;A_iB_i\;</math><u>d'un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /></u><math>\;A_oB_o\;</math><u>de pied</u><math>\;A_o\;</math><u>en utilisant les plans principaux objet et image de l'oculaire</u> : <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus en vert<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode de construction de l'image<math>\;\color{transparent}{A_iB_i}\;</math>}}on considère deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode de construction de l'image<math>\;\color{transparent}{A_iB_i}\;</math>on considère }}<math>\succ\;</math>l'un <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal rencontrant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math><ref name="non indiqué"> Non indiqué sur le schéma.</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode de construction de l'image<math>\;\color{transparent}{A_iB_i}\;</math>on considère <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>l'un }}émergeant du plan principal image à partir de <math>\;I_i\;</math><ref name="non indiqué" /> tel que <math>\;\overline{H_iI_i} = \overline{H_oI_o}\;</math> en passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode de construction de l'image<math>\;\color{transparent}{A_iB_i}\;</math>on considère }}<math>\succ\;</math>l'autre passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> rencontrant le plan principal objet en <math>\;J_o\;</math><ref name="non indiqué" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode de construction de l'image<math>\;\color{transparent}{A_iB_i}\;</math>on considère <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>l'autre }}émergeant du plan principal image à partir de <math>\;J_i\;</math><ref name="non indiqué" /> tel que <math>\;\overline{H_iJ_i} = \overline{H_oJ_o}\;</math> parallèlement à l'axe optique principal ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode de construction de l'image<math>\;\color{transparent}{A_iB_i}\;</math>on considère }}l'image <math>\;B_i\;</math> étant alors à l'intersection des deux rayons émergents définis ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode de construction de l'image<math>\;\color{transparent}{A_iB_i}\;</math>on considère }}le pied <math>\;A_i\;</math> de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> étant le projeté orthogonal de <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal<ref> On peut aisément vérifier cette construction en traçant le cheminement de chaque rayon incident à travers chaque lentille :<br>{{Al|3}}le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> donne, par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, à partir de la face d'entrée, un rayon intermédiaire passant par <math>\;F_{i,\, 1}\;</math> puis, par <math>\;\mathcal{L}_2</math>, à partir de la face de sortie, un rayon émergent passant par <math>\;F_i\;</math> qui est l'image de <math>\;F_{i,\, 1}\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_2</math> ; <br>{{Al|3}}le rayon incident passant par <math>\;F_o\;</math> donne, par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, à partir de la face d'entrée, un rayon intermédiaire passant par <math>\;F_{o,\, 2}\;</math> qui est l'image de <math>\;F_o\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> puis, par <math>\;\mathcal{L}_2</math>, à partir de la face de sortie, un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math> ;<br>{{Al|3}}l'image <math>\;B_i\;</math> est alors à l'intersection des deux rayons émergents avec <math>\;A_i\;</math> projeté orthogonal de <math>\;B_i\;</math> sur <math>\;\Delta</math>, on obtient effectivement les mêmes position et taille de l'image.</ref>. {{Al|5}}<u>Justification de la propriété pour déterminer le caractère convergent</u><math>\;\big(</math><u>ou divergent</u><math>\big)\;</math><u>d'un système optique</u> : [[File:Système convergent.jpg|thumb|350px|Disposition de la face de sortie relativement aux plans principaux et focaux d'un système convergent, émergence d'un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal]] {{Al|5}}<u>Justification du caractère convergent</u> : un système optique est « convergent » si sa distance focale image est positive c'est-à-dire si «<math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification du caractère convergent : un système optique est « convergent » }}si sa distance focale objet est négative c'est-à-dire si «<math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math> est <math>\;< 0\;</math>»<ref name="lien entre focales"> Pour un système tel que l'espace image est de même indice que l'espace objet <math>\;\big(</math>ce qui est le cas pour un doublet de lentilles minces<math>\big)</math> «<math>\;f_o = -f_i\;</math>», il suffit donc de vérifier le bon signe sur l'une des distances focales ;<br>{{Al|3}}pour un système tel que l'espace objet est d'indice <math>\;n_o\;</math> et l'espace image d'indice <math>\;n_i \neq n_o\;</math> <math>\big(</math>comme l'exemple d'un dioptre sphérique<math>\big)</math> «<math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\;f_i\;</math>» voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Caractère_focal_d'un_dioptre_sphérique,_définition_des_foyers_principaux_objet_et_image,_lien_de_la_vergence_avec_les_distances_focales_objet_et_image|caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image]] » d'un exercice de la série <math>\;13\;</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification du caractère convergent : un système optique est « convergent » }}le plan principal image doit être en deçà du plan focal image et simultanément <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification du caractère convergent : un système optique est « convergent » }}le plan principal objet au-delà du plan focal objet <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification du caractère convergent : un système optique est « convergent » }}d'où les quatre dispositions <math>\;\big(</math>non exhaustives<math>\big)\;</math> ci-contre : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification du caractère convergent : }}<math>\succ\;</math>pour les deux figures de gauche <math>\;H_o\;</math> en deçà de <math>\;H_i\;</math> avec une face de sortie en deçà ou au-delà de <math>\;F_i\;</math> <math>\big(</math>dans le 1^er cas le foyer principal image est réel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant et dans le 2^ème il est virtuel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification du caractère convergent : }}<math>\succ\;</math>pour les deux figures de droite <math>\;H_o\;</math> au-delà de <math>\;H_i\;</math> avec une face de sortie en deçà ou au-delà de <math>\;F_i\;</math> <math>\big(</math>dans le 1^er cas le foyer principal image est réel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant et dans le 2^ème il est virtuel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant<math>\big)</math> ; [[File:Système divergent.xcf|thumb|left|350px|Disposition de la face de sortie relativement aux plans principaux et focaux d'un système divergent, émergence d'un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal]] {{Al|5}}<u>Justification du caractère divergent</u> : un système optique est « divergent » si sa distance focale image est négative c'est-à-dire si «<math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification du caractère divergent : un système optique est « divergent » }}si sa distance focale objet est positive c'est-à-dire si «<math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math> est <math>\;> 0\;</math>»<ref name="lien entre focales" />), <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification du caractère divergent : un système optique est « divergent » }}le plan principal image doit être au-delà du plan focal image et simultanément <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification du caractère divergent : un système optique est « divergent » }}le plan principal objet en deçà du plan focal objet <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification du caractère divergent : un système optique est « divergent » }}d'où les quatre dispositions <math>\;\big(</math>non exhaustives<math>\big)\;</math> ci-contre : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification du caractère convergent : }}<math>\succ\;</math>pour les deux figures de gauche <math>\;F_o\;</math> en deçà de <math>\;F_i\;</math> avec une face de sortie au-delà ou en deçà de <math>\;F_i\;</math> <math>\big(</math>dans le 1^er cas le foyer principal image est virtuel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant et dans le 2^ème il est réel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification du caractère convergent : }}<math>\succ\;</math>pour les deux figures de droite <math>\;F_o\;</math> au-delà de <math>\;F_i\;</math> avec une face de sortie au-delà ou en deçà de <math>\;F_i\;</math> <math>\big(</math>dans le 1^er cas le foyer principal image est virtuel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant et dans le 2^ème il est réel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant<math>\big)</math>.}} ==== Axes optiques secondaires de l'oculaire et foyers secondaires objet ou image associés à un axe optique secondaire ==== {{Al|5}}Tout rayon incident, incliné par rapport à l'axe optique principal et passant <math>\;\big(</math>directement ou par son prolongement<math>\big)\;</math> par le point principal objet de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> ainsi que <br>{{Al|15}}son émergent issu <math>\;\big(</math>directement ou par son prolongement<math>\big)\;</math> du point principal image <br>{{Al|15}}{{Transparent|son émergent }}constituent un <u>axe optique secondaire</u> ; {{Al|5}}montrer que les « deux demi-droites issues des points principaux d'un axe optique secondaire de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> sont <math>\;\parallel\;</math>». {{Al|5}}En vous basant sur la définition des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire d'une lentille mince<ref name="foyers secondaires d'une lentille mince"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Plan_focal_objet,_plan_focal_image,_foyer_secondaire_objet_associé_à_un_axe_optique_secondaire,_foyer_secondaire_image_associé_à_un_axe_optique_secondaire|plan focal objet, plan focl image, foyer secondaire objet associé à un axe optique secondaire, foyer secondaire image associé à un axe optique secondaire]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, introduire cette notion pour un doublet de lentilles et en particulier <br>{{Al|11}}{{Transparent|En vous basant sur la définition des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire d'une lentille mince, introduire cette notion }}pour l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> puis {{Al|11}}{{Transparent|En vous basant sur la définition des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire d'une lentille mince, }}en déduire une méthode de construction du point image, par l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" />, d'un point objet de l'axe optique principal, méthode utilisant exclusivement la notion de foyers secondaires objet ou image. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - axes optiques secondaires.jpg|thumb|650px|Propriété “ parallélisme des rayons incidents passant par le point principal objet de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> et des rayons émergents correspondants ”, notion d'axes optiques secondaires]] {{Al|5}}Considérons un rayon incident, incliné par rapport à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> <math>\big(</math>plus précisément en faisant l'angle algébrisé <math>\;e\;</math> avec <math>\;\Delta\big)\;</math> et dont le prolongement passe par le point principal objet <math>\;H_o\;</math> de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> et soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérons }}<math>\;B_o\;</math> un point objet de ce rayon, puis<ref> Nous choisissons ce point relativement éloigné du plan focal objet de façon à ce que <math>\;(B_oF_o)\;</math> ne soit pas trop incliné par rapport à l'axe optique principal et par suite que son image ne sorte pas de la figure.</ref> ; <br>{{Al|5}}construisons l'image <math>\;B_i\;</math> par l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> en utilisant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, * un rayon <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> qui rencontre le plan principal objet en un point à la distance <math>\;d\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> et émerge, du plan principal image d'un point à une même distance <math>\;d\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> en direction du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> <math>\big(</math>en vert sur le schéma<math>\big)</math>, * un rayon passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> qui rencontre le plan principal objet en un point à la distance <math>\;d'\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> et émerge, du plan principal image d'un point à une même distance <math>\;d'\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> parallèlement à <math>\;\Delta\;</math> <math>\big(</math>en gris sur le schéma<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|construisons }}l'image <math>\;B_i\;</math> par l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> est à l'intersection des deux rayons émergents correspondant aux deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> ; <br>{{Al|7}}{{Transparent|construisons l'image <math>\;\color{transparent}{B_i}\;</math> par l'oculaire de Plössl est à l'intersection des deux }}le rayon émergent associé au rayon incident <math>\;(B_oH_o)\;</math> est alors <math>\;(H_iB_i)</math>, <br>{{Al|4}}{{Transparent|construisons l'image <math>\;\color{transparent}{B_i}\;</math> par l'oculaire de Plössl est à l'intersection des deux le rayon émergent }}il sort de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> en étant incliné relativement à l'axe optique principal <br>{{Al|9}}{{Transparent|construisons l'image <math>\;\color{transparent}{B_i}\;</math> par l'oculaire de Plössl est à l'intersection des deux le rayon émergent il sort de l'oculaire de Plössl en étant incliné }}<math>\big(</math>plus précisément en faisant l'angle algébrisé <math>\;s\;</math> avec <math>\;\Delta\big)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|construisons l'image <math>\;\color{transparent}{B_i}\;</math> par l'oculaire de Plössl est à l'intersection des deux le rayon émergent il sort de l'oculaire de Plössl en étant incliné }}nous allons établir que <math>\;s = e</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>les angles obéissant aux conditions de Gauss<ref name="Gauss" />{{,}}<ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}}<ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> sont petits <math>\;\big(</math>leur valeur absolue en <math>\;rad</math>, à savoir <math>\;\vert e \vert\;</math> et <math>\;\vert s \vert</math>, sont <math>\;\ll 1\big)\;</math> et on déduit * de «<math>\;\tan(e) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{H_oA_o}}\;</math>» <math>\;\big[</math>en effet <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{H_oA_o} < 0\;</math> et <math>\;e < 0\big]\;</math> ou, avec <math>\;\vert e \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(e) \simeq e\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, «<math>\;e = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math>»<ref name="égalité dans conditions de Gauss"> Comme nous restons dans les conditions de Gauss l'expression obtenue à l'ordre <math>\;1\;</math> <math>\big(</math>qui s'écrit <math>\;\simeq\big)\;</math> est la seule envisageable <math>\;\big(</math>ce qu'on traduit en écrivant <math>\;=\big)</math>.</ref>, * de «<math>\;\tan(s) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{H_iA_i}}\;</math>» <math>\;\big[</math>en effet <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> est <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{H_iA_i} > 0\;</math> et <math>\;s < 0\big]\;</math> ou, avec <math>\;\vert s \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(s) \simeq s\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" />, «<math>\;s = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{p_i}\;</math>»<ref name="égalité dans conditions de Gauss" />, {{Al|5}}on en déduit «<math>\;\dfrac{s}{e} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\; \dfrac{p_o}{p_i} = G_t(A_o)\;\dfrac{p_o}{p_i}\;</math>» en utilisant la définition du grandissement tranverse d'un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> et, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on en déduit }}avec la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>»<ref name="2ème relation de conjugaison de Descartes de l'oculaire de Plössl"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Définition_du_repérage_de_Descartes_des_points_objet_et_image_de_l'oculaire|définition du repérage de Descartes des points objet et image de l'oculaire]] (établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes de l'oculaire de Plössl à partir de l'une de celles de Newton) » plus haut dans cet exercice.</ref> on obtient «<math>\dfrac{s}{e} = \dfrac{p_i}{p_o}\;\dfrac{p_o}{p_i} = 1\;</math>» d'où «<math>\;s = e\;</math>» ; {{Al|5}}en conclusion, un <u>axe optique</u> de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> est l'< u>association d'un rayon incident dont le prolongement passe par le point principal objet</u><math>\;H_o\;</math><u>et du rayon émergent correspondant, de prolongement issu du point principal image</u><math>\;H_i\;</math><u>et de direction</u><math>\;\parallel\;</math><u>au rayon incident</u> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|en conclusion, }}l'axe optique est dit <u>secondaire</u> s'il est <u>incliné</u> relativement à l'axe de symétrie de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" />, axe de symétrie définissant l'axe optique <u>principal</u><ref> Lequel, pour un doublet de lentilles minces non accolées, est le seul axe optique dont le support est une droite, le support d'un axe optique secondaire étant l'association de deux demi-droites strictement <math>\;\parallel</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Notion de foyers secondaires objet et image associé à un axe optique secondaire</u> : * l'intersection de la partie émergente <math>\;(\delta)_i\;</math> d'un axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> avec le plan focal image définit le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)</math> ; on a la propriété suivante <center>«<math>\;B_{o,\, \infty,\, \delta}\;\stackrel{(\mathcal{Plo})}{\longrightarrow}\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math>»<ref name="oculaire de Plössl"> Où <math>\;(\mathcal{Plo})\;</math> est l'oculaire de Plöss.</ref></center> c'est-à-dire que « tout rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;(\delta)\;</math> et rencontrant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge de <math>\;I_i\;</math> <math>\big(</math>conjugué de <math>\;I_o\;</math> et situé dans le plan principal image à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o\big)\;</math> en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math>», * l'intersection de la partie incidente <math>\;(\delta')_{\!o}\;</math> d'un axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> avec le plan focal objet définit le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{o,\,\delta'}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')</math> ; on a la propriété suivante <center>«<math>\;\varphi_{o,\,\delta'}\;\stackrel{(\mathcal{Plo})}{\longrightarrow}\;B_{i,\, \infty,\, \delta'}\;</math>»<ref name="oculaire de Plössl"/></center> c'est-à-dire que « tout rayon incident passant par le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> et rencontrant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge de <math>\;I_i\;</math> <math>\big(</math>conjugué de <math>\;I_o\;</math> et situé dans le plan principal image à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o\big)\;</math> parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> associé au foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> <math>\big[</math>axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> comprenant la partie incidente <math>\;(\varphi_oH_o)\;</math> et la partie émergente <math>\;\parallel\;</math> à la partie incidente issue de <math>\;H_i\big]\;</math>». [[File:Oculaire de Plössl - construction image par foyers secondaires.jpg|thumb|650px|Utilisation de la notion de foyers secondaires image ou objet d'un oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> pour construire l'image d'un point objet de l'axe optique principal de l'oculaire]] {{Al|5}}<u>Construction de l'image, par l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" />, d'un point objet situé sur l'axe optique principal par utilisation exclusive de la notion de foyers secondaires objet ou image</u> : voir ci-contre ; * en noir <u>utilisation de la notion de foyer secondaire image</u> : soit un rayon incident issu du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, ce rayon coupant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émergera du plan principal image en <math>\;I_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta</math> que <math>\;I_o</math>, en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> dont la partie incidente est la <math>\;\parallel\;</math> issue de <math>\;H_o\;</math> au rayon incident <math>\;\big(</math>la partie émergente étant <math>\;\parallel\;</math> à la partie incidente issue de <math>\;H_i\big)</math> ; * en gris <u>utilisation de la notion de foyer secondaire image</u> : soit un rayon incident issu du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, ce rayon coupant le plan focal objet en un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> et le plan principal objet en <math>\;J_o\;</math> émergera du plan principal image en <math>\;J_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta</math> que <math>\;J_o</math>, parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> associé au foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> dont la partie incidente est <math>\;H_o\varphi_o\;</math> <math>\big(</math>la partie émergente étant <math>\;\parallel\;</math> à la partie incidente issue de <math>\;H_i\big)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un point objet situé sur l'axe optique principal }}<math>\;A_i\;</math> se détermine par l'intersection d'un des deux rayons émergents avec <math>\;\Delta</math>.}} === Détermination du grossissement de l'oculaire en fonction de sa « puissance optique » pour un objet situé à l'infini === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : la [[w:Puissance optique|puissance optique]] d'un oculaire est le degré auquel l'oculaire fait converger ou diverger la lumière, <br>{{Transparent|Préliminaire : la puissance optique d'un oculaire}}elle est égale au quotient de l'angle sous lequel l'œil voit l'image en sortie de l'oculaire sur la taille de l'objet<ref> Elle dépend donc de la conjugaison de l'oculaire <math>\;\big(</math>c.-à-d. du lien quantitatif entre objet et image par l'oculaire<math>\big)\;</math> mais aussi de la position de l'œil.</ref>, <br>{{Transparent|Préliminaire : la puissance optique d'un oculaire}}elle est exprimée en dioptries <math>\;\big(\delta\big)</math>. ==== Détermination du rayon angulaire que l'oculaire de Plössl donne de l'image d'un objet situé dans le plan focal objet de ce doublet de lentilles minces ==== {{Al|5}}Un disque transverse centré sur l'axe optique principal de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> est placé dans le plan focal objet de ce dernier ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un disque transverse }}sachant que le rayon du disque est <math>\;\rho\;</math> déterminer le rayon angulaire <math>\;\alpha'\;</math> de son image à l'infini. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - objet dans plan focal objet.jpg|thumb|600px|Cheminement de la lumière issue d'un objet placé dans le plan focal objet d'un oculaire de Plössl<ref name="Plössl" />]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_o = F_o\;</math> le centre du disque transverse et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}<math>\;B_o\;</math> le bord supérieur situé dans le plan de coupe, on a la conjugaison suivante <center>«<math>\;A_oB_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\; F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}B_{i,\,\infty}\;</math>»</center> {{Al|5}}où <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> est le foyer secondaire objet de la 2^ème lentille par lequel passe le rayon incident <math>\;B_oO_1\;</math> non dévié par la 1^ère lentille, <math>\;\big\{</math>l'axe optique secondaire de cette 2^ème lentille associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}</math> étant noté <math>\;(\delta)\big\}</math>, au-delà de la 2^ème lentille, le rayon correspondant émerge parallèlement à <math>\;(\delta)\;</math> et l'image <math>\;B_{i,\,\infty}\;</math> de <math>\;B_o\;</math> par l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> est le point à l'infini de l'axe optique secondaire de la 2^ème lentille <math>\;(\delta)</math> <math>\;\big[</math>l'image <math>\;A_{i,\,\infty}\;</math> de <math>\;A_o\;</math> par l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> étant le point à l'infini de l'axe optique principal <math>\;\Delta\big]</math> ; {{Al|5}}l'angle non algébrisé sous lequel de <math>\;O_2\;</math> on voit <math>\;A_{i,\,\infty}B_{i,\,\infty}\;</math> étant <math>\;\alpha'\;</math> <math>\big\{</math>c'est aussi l'angle d'inclinaison, relativement à l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, de l'axe optique secondaire de la 2^ème lentille <math>\;(\delta)\;</math> associé au foyer secondaire objet de cette même lentille<math>\big\}\;</math> avec «<math>\;\alpha' \ll 1\;</math>»<ref name="conditions de Gauss"> On rappelle que l'on travaille dans les conditions de Gauss de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <math>\;\big\{</math>dont la formulation pour un doublet de lentilles minces peut se déduire assez aisément de celle des paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » énoncée pour une lentille mince<math>\big\}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\alpha') \simeq \alpha'\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" />, <math>\;\tan(\alpha')\;</math> se déterminant dans le triangle rectangle <math>\;O_2F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}\;</math> selon <math>\;\tan(\alpha') = \dfrac{\Big\vert \overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}} \Big\vert}{\Big\vert \overline{O_2F_{o,\, 2}} \Big\vert}\;</math> soit «<math>\;\alpha' \simeq \dfrac{\Big\vert \overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}} \Big\vert}{\Big\vert \overline{O_2F_{o,\, 2}} \Big\vert}\;</math>» expression nécessitant d'évaluer le rayon de l'image intermédiaire <math>\;\Big\vert \overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}} \Big\vert</math> ; {{Al|5}}<math>\;F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}\;</math> étant vu de <math>\;O_1\;</math> sous le même angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> que <math>\;A_oB_\;</math> nous en déduisons, en travaillant dans les triangles rectangles <math>\;O_1A_oB_o\;</math> et <math>\;O_1F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}</math>, <math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{\Big\vert \overline{A_oB_o} \Big\vert}{\Big\vert \overline{O_1F_o} \Big\vert} = \dfrac{\Big\vert \overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}} \Big\vert}{\Big\vert \overline{O_1F_{o,\,2}} \Big\vert}\;</math> avec {{Nobr|«<math>\;\alpha \ll 1\;</math>»<ref name="conditions de Gauss" />}} <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\alpha) \simeq \alpha\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> soit «<math>\;\alpha \simeq \dfrac{\Big\vert \overline{A_oB_o} \Big\vert}{\Big\vert \overline{O_1F_o} \Big\vert} = \dfrac{\Big\vert \overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}} \Big\vert}{\Big\vert \overline{O_1F_{o,\,2}} \Big\vert}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\Big\vert \overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}} \Big\vert = \Big\vert \overline{A_oB_o} \Big\vert\;\dfrac{\Big\vert \overline{O_1F_{o,\,2}} \Big\vert}{\Big\vert \overline{O_1F_o} \Big\vert}\;</math>» ou, avec «<math>\;\Big\vert \overline{A_oB_o} \Big\vert = \rho\;</math>» d'une part, «<math>\;\Big\vert \overline{O_1F_o} \Big\vert = \dfrac{6}{5}\;a\;</math>»<ref name="positionnement de Newton des foyers principaux objet et image de l'oculaire" /> d'autre part et «<math>\;\Big\vert \overline{O_1F_{o,\,2}} \Big\vert =</math> <math>\Big\vert \overline{O_1O_2} + \overline{O_2F_{o,\, 2}} \Big\vert = \vert a - 3\;a \vert = 2\;a\;</math>» d'où <math>\;\Big\vert \overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}} \Big\vert = \rho\; \dfrac{2\;a}{\dfrac{6}{5}\;a}\;</math> soit finalement «<math>\;\Big\vert \overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}\Big\vert = \dfrac{5}{3}\;\rho\;</math>» ; {{Al|5}}le report de «<math>\;\Big\vert \overline{O_2F_{o,\, 2}} \Big\vert = f_{i,\,2} = 3\;a\;</math>» et de «<math>\;\Big\vert \overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}\Big\vert = \dfrac{5}{3}\;\rho\;</math>» dans «<math>\;\alpha' \simeq \dfrac{\Big\vert \overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}} \Big\vert}{\Big\vert \overline{O_2F_{o,\, 2}} \Big\vert}\;</math>» détermine la valeur du rayon angulaire de l'image à l'infini «<math>\;\alpha' = \dfrac{\dfrac{5}{3}\;\rho}{3\;a}\;</math>»<ref name="égalité dans conditions de Gauss" /> soit «<math>\;\alpha' = \dfrac{5}{9}\;\dfrac{\rho}{a}\;</math>».}} ==== Calcul de la puissance de l'oculaire ==== {{Al|5}}Évaluer la puissance de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> «<math>\;\mathcal{P} = \dfrac{\alpha'}{\rho}\;</math>» en fonction de <math>\;a\;</math> puis <br>{{Al|5}}calculer sa valeur en dioptries<ref name="dioptrie" /> si <math>\;a = 2,0\;cm</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De l'expression du rayon angulaire de l'image à l'infini par l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> trouvée précédemment «<math>\;\alpha' = \dfrac{5}{9}\;\dfrac{\rho}{a}\;</math>», on en déduit celle de la puissance de cet oculaire «<math>\;\mathcal{P} = \dfrac{\alpha'}{\rho}\;</math>» soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\mathcal{P} = \dfrac{5}{9\; a}\;</math>» ou numériquement, <br>avec <math>\;a = 2,0\;cm</math>, <math>\;\mathcal{P} = \dfrac{5}{9 \times 2,0\; 10^{-2}}\;</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> <br>et finalement «<math>\;\mathcal{P} \simeq 27,8\;\delta \simeq 28\;\delta\;</math>»<ref name="dioptrie" />.</div>}} ==== Évaluation du grossissement de l'oculaire relativement à l'observation du disque au punctum proximum de l'œil de l'observateur ==== {{Al|5}}L'objet observé à l'œil nu, à la distance minimale de vision distincte <math>\;d = 25\;cm</math>, serait vu sous le rayon angulaire <math>\;\alpha_0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'objet }}observé à travers l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" />, il est vu sous le rayon angulaire <math>\;\alpha'</math> ; <br>{{Al|5}}évaluer le grossissement de l'oculaire «<math>\;G = \dfrac{\alpha'}{\alpha_0}\;</math>» en fonction de la puissance de ce dernier et de la distance minimale de vision distincte puis <br>{{Al|5}}calculer sa valeur numérique. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'angle non algébrisé <math>\;\alpha_0\;</math> sous lequel un œil normal voit le disque placé à son [[w:Punctum_proximum|punctum proximum]] <ref name="punctum proximum"> C.-à-d. placé à la distance minimale de vision distincte <math>\;d = 25\;cm\;</math> d'un œil normal.</ref> étant «<math>\;\alpha_0 = \dfrac{\rho}{d}\;</math>» et <br>{{Al|5}}l'angle non algébrisé <math>\;\alpha'\;</math> sous lequel l'œil normal n'accommodant pas voit le disque à travers l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> «<math>\;\alpha' = \dfrac{5}{9}\;\dfrac{\rho}{a} = \mathcal{P}\; \rho\;</math>», <br>{{Al|5}}on en déduit le grossissement de l'oculaire de Plössl<ref name="Plössl" /> «<math>\;G = \dfrac{\alpha'}{\alpha_0} = \dfrac{\mathcal{P}\; \rho}{\dfrac{\rho}{d}}\;</math>» soit finalement «<math>\;G = \mathcal{P}\; d\;</math>» ou numériquement «<math>\;G = 27,8 \times 0,25 \simeq 6,95 \simeq 7,0\;</math>».}} == Doublet de lentilles minces non accolées constitué d'une lentille convergente et d'une divergente == {{Al|5}}Soit le « doublet de lentilles minces du type <math>\;\left(4,\, 1,\, -2\right)\;</math>»<ref name="notation pour doublet de lentilles non accolées" /> <math>\Rightarrow</math> la 1^ère lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est convergente de distance focale image «<math>\;f_{i,\,1} = 4\;a\;</math>»<ref name="a unité arbitraire de longueur" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Soit le « doublet de lentilles minces du type <math>\;\color{transparent}{\left(4,\, 1,\, -2\right)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}la distance séparant les centres optiques <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est «<math>\;e = \overline{O_1O_2} = a\;</math>»<ref name="a unité arbitraire de longueur" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Soit le « doublet de lentilles minces du type <math>\;\color{transparent}{\left(4,\, 1,\, -2\right)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}la 2^ème lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est divergente de distance focale image «<math>\;f_{i,\,2} = -2\;a_;</math>»<ref name="a unité arbitraire de longueur" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Soit }}ce doublet de lentilles minces non accolées pouvant être utilisé pour voir un objet avec plus de détails constitue un « oculaire ». === Déterminations algébrique et graphique des foyers principaux objet F_o et image F_i de l'oculaire === {{Al|5}}Vérifier, sur un schéma à l'échelle, que l'oculaire est focal<ref name="focal" /> ; {{Al|5}}déterminer, en fonction de <math>\;a\;</math><ref name="a unité arbitraire de longueur" />, le positionnement des foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire et {{Al|5}}dire si cet oculaire est « positif ou négatif » sachant qu'un oculaire est dit positif si son foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est réel et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dire si cet oculaire est « positif ou négatif » sachant qu'un oculaire est dit }}négatif si{{Transparent|son foyer principal objet}}<math>\;F_o\;</math> est virtuel. {{Solution|contenu= [[File:Doublet de lentilles convergente et divergente - foyers objet et image.png|thumb|1000px|Détermination graphique des foyers principaux objet et image du doublet de lentilles minces <math>\;\left(4,\, 1,\, -2\right)\;</math><ref name="notation pour doublet de lentilles non accolées" />]] {{Al|5}}Un oculaire est « afocal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double c'est-à-dire si l'image intermédiaire recherchée <math>\;\big(</math>notée <math>\;?\big)\;</math> obéit à <center>«<math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;?\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math>»</center> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1} = ?\\ ? = F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\end{array}\right\rbrace\;</math> ou encore si <math>\;F_{i,\,1} = F_{o,\,2}</math>, il suffit de vérifier, pour prouver que l'oculaire est « <u>focal</u> », que le foyer principal image de la 1^ère lentille n'est pas confondu avec le foyer principal objet de la 2^ème lentille c'est-à-dire «<math>\;F_{i,\,1} \neq F_{o,\,2}\;</math>» voir schéma ci-contre. <br>{{Al|5}}<u>Détermination du foyer principal image de l'oculaire</u> : la définition du foyer principal image peut être écrite selon <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math> c'est-à-dire que le foyer principal image de l'oculaire <math>\;F_i\;</math> est l'image par <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> du foyer principal image <math>\;F_{i,\,1}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> ou «<math>\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire : }}pour déterminer la position de <math>\;F_i\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de {{Nobr|Newton<ref name="Newton" />{{,}}<ref name="choix de Newton" />}} de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math><ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> pour le couple <math>\;\left( F_{i,\,1}\, ,\, F_i \right)\;</math> soit «<math>\;\sigma_{i,\,2}\; \sigma_{o,\,2} = f_{i,\,2}\;f_{o,\,2} = -f_{i,\,2}^{\,2}\;</math>» avec <math>\;\sigma_{o,\,2} = \overline{F_{o,\,2}F_{i,\,1}} = \overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1F_{o,\,2}} = \overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1O_2} - \overline{O_2F_{o,\,2}} = f_{i,\, 1} - e + f_{i,\,2} =</math> <math>4\; a - a - 2\; a\;</math><ref name="distances focales" /> soit «<math>\; \sigma_{o,\,2} = a\;</math>» d'où <math>\;\sigma_{i,\, 2} = \overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{\sigma_{o,\, 2}}\;</math> donnant numériquement «<math>\;\sigma_{i,\, 2} = -\dfrac{(-2\; a)^2}{a}\;</math>» soit «<math>\;\overline{F_{i,\,2}F_i} = -4\;a\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire : }}en repérage de Descartes<ref name="Descartes" /> relativement à la 2^ème lentille <math>\;\overline{O_2F_i} = \overline{O_2F_{i,\,2}} + \overline{F_{i,\,2}F_i} = f_{i,\,2} + \overline{F_{i,\,2}F_i} = -2\; a - 4\;a\;</math> soit «<math>\;\overline{O_2F_i} = -6\;a\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire : }}on détermine graphiquement la position du foyer principal image de l'oculaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire : on détermine graphiquement }}en utilisant un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<ref name="incident parallèle à l'axe optique principal" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire : on détermine graphiquement }}se réfractant à partir de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en un rayon intermédiaire passant par le foyer principal image <math>\;F_{i,\, 1}\;</math><ref name="prolongement du rayon" /> de <math>\;\mathcal{L}_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire : on détermine graphiquement }}rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire : on détermine graphiquement }}se réfractant, à partir de <math>\;\mathcal{L}_2</math>, en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\, 2}(\delta)\;</math> de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math><ref name="foyer secondaire image associé à un axe optique secondaire" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire : on détermine graphiquement }}l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal définissant le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus où on peut vérifier que la position trouvée graphiquement est conforme à celle obtenue algébriquement<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Détermination du foyer principal objet de l'oculaire</u> : la définition du foyer principal objet peut être écrite selon <math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math> c'est-à-dire que le foyer principal objet de l'oculaire <math>\;F_o\;</math> est l'antécédent par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> du foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> ou «<math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : }}pour déterminer la position de <math>\;F_o\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de {{Nobr|Newton<ref name="Newton" />{{,}}<ref name="choix de Newton" />}} de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math><ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> pour le couple <math>\;\left( F_o\, ,\, F_{o,\,2} \right)\;</math> soit «<math>\;\sigma_{i,\,1}\; \sigma_{o,\,1} = f_{i,\,1}\;f_{o,\,1} = -f_{i,\,1}^{\,2}\;</math>» avec <math>\;\sigma_{i,\,1} = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} = \overline{O_1F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} = \overline{O_1O_2} + \overline{O_2F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} = e - f_{i,\, 2} - f_{i,\,1} =</math> <math>a - (-2\; a) - 4\; a\;</math><ref name="distances focales" /> soit «<math>\; \sigma_{i,\,1} = -a\;</math>» d'où <math>\;\sigma_{o,\, 1} = \overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{\sigma_{i,\, 1}}\;</math> donnant numériquement «<math>\;\sigma_{o,\, 1} = -\dfrac{(4\; a)^2}{-a}\;</math>» soit «<math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o} = 16\;a\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : }}en repérage de Descartes<ref name="Descartes" /> relativement à <math>\;\mathcal{L}_1</math>, <math>\;\overline{O_1F_o} = \overline{O_1F_{o,\,1}} + \overline{F_{o,\,1}F_o} = -f_{i,\,1} + \overline{F_{o,\,1}F_o} = -4\; a + 16\;a\;</math> soit «<math>\;\overline{O_1F_o} = 12\;a\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : }}on détermine graphiquement la position du foyer principal objet de l'oculaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : on détermine graphiquement }}en utilisant un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<ref name="émergent parallèle à l'axe optique principal" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : on détermine graphiquement }}dont l'antécédent en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est un rayon intermédiaire passant par le foyer principal objet <math>\;F_{o,\, 2}\;</math><ref name="prolongement du rayon - bis" /> de <math>\;\mathcal{L}_2</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : on détermine graphiquement }}rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : on détermine graphiquement }}de rayon incident, en deçà de <math>\;\mathcal{L}_1</math>, passant par le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{o,\, 1}(\delta')\;</math> de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math><ref name="foyer secondaire objet associé à un axe optique secondaire" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : on détermine graphiquement }}l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal définissant le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus où on peut vérifier que la position trouvée graphiquement est relativement conforme à celle obtenue algébriquement<ref> Avec toutefois une moins bonne précision compte-tenu de l'éloignement de <math>\;F_o\;</math> de la face de sortie, entraînant un accroissement d'erreur dès lors de la présence d'une erreur de direction, fût-elle petite.</ref><math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Caractère positif ou négatif de l'oculaire</u> : le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire étant situé après la face d'entrée de ce dernier car «<math>\;\overline{O_1F_o} = 12\;a > 0\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère positif ou négatif de l'oculaire : le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}\;</math> de l'oculaire }}est <u>virtuel</u> et par suite l'oculaire est dit <u>négatif</u>.}} === Caractère divergent de l'oculaire déterminé par construction === {{Al|5}}En considérant un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et en traçant le cheminement de ce rayon à travers l'oculaire, vérifier que ce dernier est divergent sachant<ref> Les affirmations ci-dessous ont été justifiées dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Construction_de_l'image,_par_l'oculaire_de_Plössl,_d'un_objet_linéique_transverse_en_utilisant_les_plans_principaux_et_justification_du_caractère_convergent_(ou_divergent)_d'un_doublet_de_lentilles|construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un objet linéique transverse en utilisant les plans principaux et justification du caractère convergent (ou divergent) d'un doublet de lentilles]] » plus haut dans un exercice précédent.</ref> que <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>un système optique est convergent si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>un système optique est convergent si un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système }}au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>un système optique est divergent si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>un système optique est divergent si un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système }}au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>un système optique est afocal si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, émerge de la face de sortie du système <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>, après <math>\;\big(</math>ou sans<math>\big)\;</math> avoir coupé ce dernier. {{Solution|contenu = [[File:Doublet de lentilles convergente et divergente - foyers objet et image.png|thumb|center|1000px|Détermination graphique des foyers principaux objet et image du doublet de lentilles minces <math>\;\left(4,\, 1,\, -2\right)\;</math><ref name="notation pour doublet de lentilles non accolées" />]] {{Al|5}}On constate, sur le schéma ci-dessus<ref> Il s'agit du schéma expliqué dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Déterminations_algébrique_et_graphique_des_foyers_principaux_objet_Fo_et_image_F_de_l'oculaire|déterminations algébrique et graphique des foyers principaux objet F_o et image F_i de l'oculaire]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, le <u>caractère divergent de l'oculaire</u> en effet {{Al|13}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-dessus, }}un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et situé au-dessus, <br>{{Al|13}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-dessus, un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> }}émerge de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-dessus, un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> }}en s'éloignant de ce dernier et <br>{{Al|13}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-dessus, un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> en }}dont le prolongement provient du foyer principal image <math>\;F_i</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le schéma rappelé ci-dessus, le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> est virtuel mais attention : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>d'une part le caractère virtuel du foyer principal image n'est pas nécessaire pour conclure au caractère divergent du doublet<ref> Comme on pourrait le vérifier sur l'exemple d'un microscope <math>\;\big\{</math>voir la description d'un microscope dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Microscope|microscope]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, pour lequel le foyer principal image est réel et le microscope divergent <math>\;\big(</math>un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et situé au-dessus de ce dernier émerge de la 2^ème lentille au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant jusqu'au foyer principal image réel puis s'en éloigne en passant au-dessus<math>\big)</math>.</ref>, raison pour laquelle le caractère virtuel de <math>\;F_i\;</math> n'est pas évoqué, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>d'autre part le caractère virtuel du foyer principal image n'est pas suffisant pour conclure au caractère divergent du doublet<ref> Comme on pourrait le vérifier sur le doublet <math>\;(2,\, 3,\, 3)\;</math> convergent <math>\;\big(</math>le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et situé au-dessus de ce dernier émerge de la 2^ème lentille au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en eloignant, le foyer principal image étant virtuel<math>\big)</math>.</ref>, raison pour laquelle le caractère virtuel de <math>\;F_i\;</math> ne doit pas être évoqué.}} === Détermination de la distance focale (image) de l'oculaire === {{Al|5}}Les foyers principaux objet et image de l'oculaire ayant été déterminés dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Déterminations_algébrique_et_graphique_des_foyers_principaux_objet_Fo_et_image_F_de_l'oculaire|déterminations algébrique et graphique des foyers principaux objet F_o et image F_i de l'oculaire]] » plus haut dans cet exercice, il devient possible d'utiliser le repérage de Newton<ref name="Newton" /> pour positionner les points objet et image de l'axe optique principal selon : * l'abscisse objet de Newton<ref name="Newton" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>» et * l'abscisse image de Newton<ref name="Newton" /> du point image <math>\;A_i\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>» ; {{Al|5}}en admettant que la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Newton<ref name="Newton" />{{,}}<ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> est encore applicable à un doublet focal de lentilles minces et que ceci permet de définir la valeur absolue de la distance focale image <math>\;\vert f_i \vert\;</math> de ce dernier <math>\;\big(</math>la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant toujours opposée à la distance focale image <math>\;f_i\big)</math>, déterminer : * <math>\;\vert f_i \vert\;</math> en appliquant la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Newton<ref name="Newton" /> à l'oculaire<ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> pour un couple de points conjugués judicieusement choisis, puis * <math>\;f_i\;</math> sachant qu'un système convergent a une distance focale image positive <math>\;\big(</math>la distance focale image d'un système divergent étant négative<math>\big)</math>. {{Solution|contenu = {{Al|5}}Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image <math>\;\vert f_i \vert\;</math> de l'oculaire en utilisant la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Newton<ref name="Newton" /> {{Nobr|«<math>\;\sigma_i\;\sigma_o</math>}} <math>= -f_i^2\;</math>»<ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> avec «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>» et «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>», relation supposée applicable à tout couple de points conjugués par l'oculaire, il faut choisir des points conjugués particuliers et les plus faciles à obtenir sont ceux dont l'image intermédiaire est à l'infini sur l'axe optique principal soit <div style="text-align: center;">«<math>\;F_{o,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_{i,\,1,\,\infty} = A_{o,\,2,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_{i,\,2}\;</math>» établissant que le couple «<math>\;(F_{o,\,1}\,,\,F_{i,\,2})\;</math> est conjugué par l'oculaire » ;</div> {{Al|5}}pour ce couple on a «<math>\;\sigma_o(F_{o,\,1}) = \overline{F_oF_{o,\,1}} = -\overline{F_{o,\,1}F_o} = -16\;a\;</math>»<ref name="positionnement de Newton des foyers principaux objet et image de l'oculaire - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Déterminations_algébrique_et_graphique_des_foyers_principaux_objet_Fo_et_image_F__de_l'oculaire|déterminations algébrique et graphique des foyers principaux objet F_o et image F_i de l'oculaire]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour ce couple on a }}«<math>\;\sigma_i(F_{i,\,2}) = \overline{F_iF_{i,\,2}} = -\overline{F_{i,\,2}F_i} = 4\;a\;</math>»<ref name="positionnement de Newton des foyers principaux objet et image de l'oculaire - bis" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour ce couple on a }}d'où <math>\;\sigma_o(F_{o,\,1})\; \sigma_i(F_{i,\,2}) = -f_i^2\;</math> se réécrivant <math>\;\left[ -16\;a \right] \left[ 4\;a \right] = -f_i^2\;</math> soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\vert f_i \vert = 8\;a\;</math>» ;</div> {{Al|5}}l'oculaire étant divergent sa distance focale image <math>\;f_i\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et par suite elle vaut <div style="text-align: center;">«<math>\;f_i = -8\;a\;</math>»<ref> Sa distance focale objet valant <math>\;f_o = -f_i = 8\;a</math>.</ref>.</div>}} === Détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire === {{Al|5}}Les points principaux objet et image d'un système optique sont les points conjugués de l'axe optique principal tels que le système optique donne, d'un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> de pied positionné au point principal objet <math>\;H_o</math>, un grandissement transverse valant «<math>\;G_t(H_o) = +1\;</math>»<ref name="image de HoBo" /> ; {{Al|5}}en admettant que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton<ref name="Newton" />{{,}}<ref name="2ème relation de conjugaison de Newton" /> sont encore applicables à un doublet focal de lentilles minces, déterminer : * l'abscisse objet de Newton<ref name="Newton" /> du point principal objet «<math>\;\sigma_o(H_o) = \overline{F_oH_o}\;</math>», positionner alors <math>\;H_o\;</math> sur l'axe optique principal et * l'abscisse image de Newton<ref name="Newton" /> du point principal image «<math>\;\sigma_i(H_i) = \overline{F_iH_i}\;</math>», positionner de même <math>\;H_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{Al|5}}Déterminer graphiquement la position des points principaux objet <math>\;H_o\;</math> et image <math>\;H_i\;</math> de l'oculaire en utilisant la méthode de détermination graphique exposée ci-après <math>\;\big(</math>on vérifiera l'accord avec la détermination algébrique précédente<math>\big)</math> : * lors de la détermination du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire, on considère un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> qui se réfracte à partir de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en un rayon intermédiaire dont le prolongement passe par le foyer principal image <math>\;F_{i,\, 1}\;</math> de cette dernière, ce rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> conduisant à un rayon émergent, à partir de cette lentille, passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\, 2}(\delta)\;</math> correspondant à cet axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> définissant le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire ; considérant ensuite un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et dont l'autre extrémité est sur le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> précédemment utilisé, dans l'hypothèse où <math>\;A_o\;</math> serait en <math>\;H_o\;</math><ref name="position de Ho ignorée pour l'instant" />, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> étant de même taille et de même sens que l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> et l'extrémité <math>\;B_i\;</math> devant être sur le rayon émergent de l'oculaire passant par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math><ref> Étant donné que ce rayon émergent est le conjugué, par l'oculaire, du rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> précédemment utilisé sur lequel se trouve l'objet <math>\;B_o</math>.</ref>, <math>\;B_i\;</math> se trouve à l'intersection de ce rayon émergent et du rayon incident conjugué, <math>\;A_i\;</math> projeté orthogonal de <math>\;B_i\;</math> sur <math>\;\Delta</math> définissant alors la position du point principal image <math>\;H_i</math> ; * lors de la détermination du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire, on considère un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> dont l'antécédent en deçà de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est un rayon intermédiaire de prolongement passant par le foyer principal objet <math>\;F_{o,\, 2}\;</math> de cette dernière, ce rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> conduisant à un rayon incident, en deçà de cette lentille, passant par le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{i,\, 1}(\delta')\;</math> correspondant à cet axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> et l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> définissant le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire ; considérant ensuite une image linéique transverse <math>\;H_iI_i\;</math> dont l'autre extrémité <math>\;I_i\;</math> est sur un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math><ref name="taille de l'image HiIi" />, l'antécédent <math>\;H_oI_o\;</math> étant de même taille et de même sens que l'image <math>\;H_iI_i\;</math> et l'extrémité <math>\;I_o\;</math> devant être sur le rayon incident correspondant passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math><ref> Étant donné que ce rayon incident est le conjugué, par l'oculaire, du rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> précédemment introduit sur lequel se trouve l'image <math>\;I_i</math>.</ref>, <math>\;I_o\;</math> se trouve à l'intersection de ce rayon incident et du rayon émergent conjugué, le point principal objet <math>\;H_o\;</math> s'obtenant par projection orthogonale de <math>\;I_o\;</math> sur <math>\;\Delta</math>. {{Solution|contenu =[[File:Doublet de lentilles convergente et divergente - foyers et points principaux objet et image.png|thumb|900px|Positionnement des points principaux du doublet de lentilles minces <math>\;\left(4,\, 1,\, -2\right)\;</math><ref name="notation pour doublet de lentilles non accolées" /> sur le schéma construisant les positions des foyers principaux de ce dernier]] {{Al|5}}Considérant le couple de points principaux <math>\;(H_o\, ,\,H_i)\;</math> conjugués par l'oculaire et <br>{{Al|5}}appliquant la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> {{Nobr|<math>\big[</math>ou}} relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton<ref name="Newton" /> sous la forme «<math>\;G_t(H_o) =</math> <math>-\dfrac{f_o}{\sigma_o(H_o)}\;</math>»<ref name="2ème relation de conjugaison de Newton" /> avec «<math>\;\sigma_o(H_o) = \overline{F_oH_o}\;</math>», on trouve, avec «<math>\;G_t(H_o) = +1\;</math>», <div style="text-align: center;">l'abscisse objet de Newton<ref name="Newton" /> du point principal objet {{Nobr|«<math>\;\overline{F_oH_o}</math>}} <math>= -f_o = f_i = -8\;a\;</math>» ;</div> {{Al|5}}appliquant la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> {{Nobr|<math>\big[</math>ou}} relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton<ref name="Newton" /> au couple de points principaux <math>\;(H_o\, ,\,H_i)\;</math> conjugués par l'oculaire sous la forme «<math>\;G_t(H_o)</math> <math>= -\dfrac{\sigma_i(H_o)}{f_i}\;</math>»<ref name="2ème relation de conjugaison de Newton" /> avec «<math>\;\sigma_i(H_o) = \overline{F_iH_i}\;</math>», on trouve, avec «<math>\;G_t(H_o) = +1\;</math>», <div style="text-align: center;">l'abscisse image de Newton<ref name="Newton" /> du point principal image «<math>\;\overline{F_iH_i} = -f_i = 8\;a\;</math>» ;</div> {{Al|5}}voir le positionnement des points principaux de l'axe optique principal sur la figure ci-dessus <math>\;\big\{</math>on remarque que <math>\;H_i\;</math> se confond avec <math>\;F_{o,\,2}\;</math> et <math>\;H_o\;</math> avec <math>\;F_{i,\,1}\big\}</math> et<br>{{Al|5}}{{Transparent|voir }}la détermination graphique simultanée des foyers principaux et des points principaux sur la figure ci-dessous : [[File:Doublet de lentilles convergente et divergente - foyers et points principaux objet et image - bis.png|thumb|center|1000px|<center>Détermination graphique simultanée des foyers et points principaux du doublet de lentilles minces <math>\;\left(4,\, 1,\, -2\right)\;</math><ref name="notation pour doublet de lentilles non accolées" /></center>]] {{Al|5}}On reprend tout d'abord la construction du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> en noir<ref name="rappel de méthode de détermination graphique simultanée des foyers et points principaux"> Selon la méthode exposée dans la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_des_points_principaux_objet_Ho_et_image_Hi_de_l'oculaire_2|détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire]] » traitée présentement.</ref> <math>\;\big\{</math>rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, rayon intermédiaire passant<ref name="passant"> Plus exactement dont le prolongement passe <math>\;\ldots</math></ref> par le foyer principal image <math>\;F_{i,\,1}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_1</math>, rayon émergent passant<ref name="passant" /> par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,2}(\delta)\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> associé à son axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\parallel\;</math> au rayon intermédiaire, l'intersection du rayon émergent <math>\;\big(</math>plus exactement du prolongement du rayon émergent<math>\big)\;</math> avec l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> définissant le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire<math>\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|on }}détermine ensuite le point principal image <math>\;H_i\;</math> en rouge<ref name="rappel de méthode de détermination graphique simultanée des foyers et points principaux" /> <math>\;\big\{</math>objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> tel que <math>\;B_o\;</math> se trouve <math>\;\big(</math>a priori avec n'importe quel positionnement possible<math>\big)\;</math> sur le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> utilisé pour la détermination de <math>\;F_i\;</math>, si <math>\;A_oB_o\;</math> est dans le plan principal objet, <math>\;A_iB_i\;</math> est alors dans le plan principal image, droite et de même taille que <math>\;A_oB_o</math>, <math>\;B_i\;</math> étant sur le rayon émergent de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> d'où à l'intersection de ce rayon émergent et du rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> puisque <math>\;A_iB_i\;</math> est droite et de même taille que <math>\;A_oB_o</math>, le projeté orthogonal de <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> définissant le point principal image <math>\;H_i\;</math> de l'oculaire <math>\;\big(</math>graphiquement la position géométrique de <math>\;H_i\;</math> se confond avec celle du foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math><ref name="confusion géométrique mais non optique"> Il s'agit d'une confusion géométrique mais non optique car ces points sont des espaces optiques différents.</ref><math>\big\}</math> ; <br>{{Al|5}}on poursuit avec la construction du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> en bleu<ref name="rappel de méthode de détermination graphique simultanée des foyers et points principaux" /> <math>\;\big\{</math>rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, rayon intermédiaire passant<ref name="passant" /> par le foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_2</math>, rayon incident passant<ref name="passant" /> par le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{o,\,1}(\delta')\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> associé à son axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> <math>\parallel\;</math> au rayon intermédiaire, l'intersection du rayon incident <math>\;\big(</math>plus exactement du prolongement du rayon incident<math>\big)\;</math> avec l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> définissant le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire<math>\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|on }}détermine ensuite le point principal objet <math>\;H_o\;</math> en rouge<ref name="rappel de méthode de détermination graphique simultanée des foyers et points principaux" /> <math>\;\big\{</math>image linéique transverse <math>\;A_iB_i = H_iI_i\;</math> dans le plan principal image avec <math>\;I_i\;</math> sur le rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> utilisé pour la détermination de <math>\;F_o</math> <math>\;\big(</math>ce rayon émergent étant dans le prolongement du rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> utilisé pour la détermination de <math>\;F_i\big)</math>, l'antécédent <math>\;A_oB_o\;</math> de l'image <math>\;A_iB_i = H_iI_i\;</math> est dans le plan principal objet, droit et de même taille que <math>\;A_iB_i = H_iI_i</math>, <math>\;B_o = I_o\;</math> étant sur le rayon incident de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> d'où à l'intersection de ce rayon incident et du rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> puisque <math>\;A_iB_i = H_iI_i\;</math> est droite et de même taille que <math>\;A_oB_o = A_oI_o</math>, le projeté orthogonal de <math>\;B_o = I_o\;</math> sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> définissant le point principal objet <math>\;H_o\;</math> de l'oculaire <math>\;\big(</math>graphiquement la position géométrique de <math>\;H_o\;</math> se confond avec celle du foyer principal image <math>\;F_{i,\,1}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math><ref name="confusion géométrique mais non optique" /><math>\big\}</math>.}} == Détermination de la vergence d'une lentille mince, méthode d'autocollimation == {{Al|5}}On se propose de déterminer expérimentalement la vergence «<math>\;V\;</math>» d'une lentille mince convergence <math>\;\mathcal{L}</math>, de centre optique <math>\;O</math>, de distance focale <math>\;\big(</math>image<math>\big)\;</math> «<math>\;f_i\;</math>» inconnue <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer expérimentalement la vergence «<math>\;\color{transparent}{V}\;</math>» d'une lentille mince convergence <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}}</math>, }}par la méthode d'[[w:Autocollimation|autocollimation]] ; {{Al|5}}pour cela on accole à la lentille <math>\;\mathcal{L}</math>, un miroir plan <math>\;\mathcal{M}\;</math> et on obtient le système catadioptrique «<math>\;\mathcal{L}\, \cup\, \mathcal{M}\, \cup\, \mathcal{L}^{-1}\;</math>»<ref name="signification de L-1"> «<math>\;\mathcal{L}^{-1}\;</math>» étant la lentille <math>\;\mathcal{L}\;</math> avec inversion du sens de propagation de la lumière.</ref> ; {{Al|5}}le système obtenu étant catadioptrique, on adopte l'algébrisation physique de l'axe optique principal<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal avec les espaces objets réel et virtuel respectivement situés à gauche et à droite du miroir, <br>{{Al|3}}la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être {{Nobr|quelconque<math>\big)\;</math>}} mesurée dans ce sens, le sens étant rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}la partie réfléchie de l'axe optique principal est alors orientée dans le sens <math>\;\leftarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être quelconque et différente de celle des points de la partie incidente de l'axe<math>\big)\;</math> mesurée dans ce sens, le sens étant aussi rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}voir les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Repérage_d'un_point_objet_ou_d'un_point_image_sur_l'axe_optique_principal|repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal]] (surface réfléchissante) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big(</math>on précisera en indice le sens de propagation de la partie d'axe optique principal considérée<math>\big)</math>. === Détermination de la distance algébrique δ entre l'objet et l'image par le système catadioptrique === {{Al|5}}Lorsque le point objet <math>\;A_o\;</math> considéré d'abscisse de Descartes<ref name="Descartes" /> «<math>\;p_o = \overline{OA_o}_{\rightarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> se déplace sur l'axe optique principal, son image <math>\;A_i\;</math> par le système catadioptrique «<math>\;\mathcal{L}\, \cup\, \mathcal{M}\, \cup\, \mathcal{L}^{-1}\;</math>»<ref name="signification de L-1" />, point image d'abscisse de Descartes<ref name="Descartes" /> «<math>\;p_i = \overline{OA_i}_{\leftarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, se déplace aussi ; {{Al|5}}déterminer l'expression de la mesure algébrique «<math>\;\delta = \overline{A_oA_i}_{\rightarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> en fonction de «<math>\;p_o\;</math> et de <math>\;f_i\;</math>». {{Solution|contenu={{Al|5}}Il convient bien sûr de faire un schéma explicatif <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Le système catadioptrique «<math>\;\mathcal{L}\, \cup\, \mathcal{M}\, \cup\, \mathcal{L}^{-1}\;</math>»<ref name="signification de L-1" /> reliant le point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> au point image <math>\;A_i\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> en passant par les points image intermédiaires <math>\;A_1\;</math> et <math>\;A_2\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;A_o\; \stackrel{\mathcal{L}}\rightarrow\; A_1 \; \stackrel{\mathcal{M}}\rightarrow \; A_2 \; \stackrel{\mathcal{L}^{-1}}\rightarrow \; A_i\;</math>»,}} on écrit successivement la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée ou rigoureuse<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée ou rigoureuse<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> pour <math>\;\mathcal{L}</math>, <math>\;\mathcal{M}\;</math> et <math>\;\mathcal{L}^{-1}\;</math> appliquée aux points conjugués soit : * «<math>\;A_o\; \stackrel{\mathcal{L}}\rightarrow\; A_1\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{1}{\overline{OA_1}_{\rightarrow}} - \dfrac{1}{\overline{OA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}}<ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> ou «<math>\;\dfrac{1}{\overline{OA_1}_{\rightarrow}} = \dfrac{1}{f_i} + \dfrac{1}{p_o}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}}<ref> L'abscisse objet de Descartes de <math>\;A_o\;</math> étant «<math>\;p_0 = \overline{OA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math>» car «<math>\;A_o\;</math> est réel ».</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{OA_1}_{\rightarrow} = \dfrac{f_i\, p_o}{f_i + p_o}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; * «<math>\;A_1\; \stackrel{\mathcal{M}}\rightarrow\; A_2\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{OA_2}_{\leftarrow} = \overline{OA_1}_{\rightarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}}<ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes d'un miroir plan"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_d'un_miroir_plan|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes d'un miroir plan]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big\{</math>«<math>\;A_2\;</math>» étant le symétrique géométrique de «<math>\;A_1\;</math>» par rapport au miroir plan <math>\;\mathcal{M}\big\}\;</math> d'où «<math>\;\overline{OA_2}_{\leftarrow} = \dfrac{f_i\, p_o}{f_i + p_o}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; * «<math>\;A_2 \; \stackrel{\mathcal{L}^{-1}}\rightarrow \; A_i\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{1}{\overline{OA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{OA_2}_{\leftarrow}} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>»<ref> En effet, par retour inverse de la lumière, le foyer principal image de «<math>\;\mathcal{L}^{-1}\;</math>» étant le foyer principal objet de «<math>\;\mathcal{L}\;</math>», la vergence de «<math>\;\mathcal{L}^{-1}\;</math>» est «<math>\;\dfrac{1}{\overline{OF_o}}_{\leftarrow} = \dfrac{1}{\overline{OF_i}}_{\rightarrow} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>».</ref>{{,}}<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}}<ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> d'où «<math>\;\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{f_i} + \dfrac{1}{\overline{OA_2}_{\leftarrow}}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}}<ref> L'abscisse image de Descartes de <math>\;A_i\;</math> étant «<math>\;p_i = \overline{OA_i}_{\leftarrow}\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;p_i = \dfrac{f_i\, \overline{OA_2}_{\leftarrow}}{f_i + \overline{OA_2}_{\leftarrow}} = \dfrac{f_i\, \dfrac{f_i\, p_o}{f_i + p_o}}{f_i + \dfrac{f_i\, p_o}{f_i + p_o}}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> soit, en multipliant haut et bas par «<math>\;f_i + p_o\;</math>», {{Nobr|«<math>\;p_i =</math>}} <math>\dfrac{f_i^2\, p_o}{f_i\, (f_i + p_o) + f_i\, p_o} = \dfrac{f_i\, p_o}{(f_i + p_o) + p_o}\;</math>» et finalement «<math>\;p_i = \dfrac{f_i\, p_o}{f_i + 2\, p_o}\;</math>». {{Al|5}}La distance «<math>\;\delta = \overline{A_oA_i}_{\rightarrow} = \overline{OA_i}_{\rightarrow} - \overline{OA_o}_{\rightarrow} = -\overline{OA_i}_{\leftarrow} - \overline{OA_o}_{\rightarrow}\;</math>» ou «<math>\;\delta = -p_i - p_o = -\dfrac{f_i\, p_o}{f_i + 2\, p_o} - p_o = -\dfrac{f_i\, p_o + p_o\, (f_i + 2\, p_o)}{f_i + 2\, p_o} = -\dfrac{2\, f_i\, p_o + 2\, p_o^2}{f_i + 2\, p_o}\;</math>» et finalement «<math>\;\delta = -2 p_o \dfrac{f_i + p_o}{f_1 + 2\, p_o}\;</math>».}} === Étude de la variation de δ en fonction de l'abscisse de Descartes de l'objet === {{Al|5}}Étudier la variation de la distance algébrique entre l'objet et l'image «<math>\;\delta = \overline{A_oA_i}_{\rightarrow}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> en fonction de l'abscisse de Descartes<ref name="Descartes" /> de l'objet «<math>\;p_o\;</math>» ; {{Al|5}}préciser pour quelles valeurs de «<math>\;p_o\;</math>» on obtient «<math>\;\delta = 0\;</math>». {{Solution|contenu={{Al|5}}On détermine la variation de «<math>\;\delta = \overline{A_oA_i}_{\rightarrow} = -2 p_o \dfrac{f_i + p_o}{f_1 + 2\, p_o}\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> avec «<math>\;p_o\;</math>» en calculant la dérivée «<math>\;\dfrac{d \delta}{d p_o}(p_o) = -2 \dfrac{f_i + p_o}{f_1 + 2\, p_o} - 2 p_o \dfrac{(f_1 + 2\, p_o) - (f_i + p_o)\, 2}{\left( f_1 + 2\, p_o \right)^2} = 2 \dfrac{-(f_i + p_o) (f_i + 2 p_o) + f_i\, p_o}{\left( f_1 + 2\, p_o \right)^2}\;</math>», <br>{{Al|6}}{{Transparent|On détermine la variation de «<math>\;\color{transparent}{\delta = \overline{A_oA_i}_{\rightarrow} = -2 p_o \dfrac{f_i + p_o}{f_1 + 2\, p_o}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{p_o}\;</math>» en calculant la dérivée }}soit «<math>\;\dfrac{d \delta}{d p_o}(p_o) = -2 \dfrac{2 p_o^2 + 2 f_i\, p_o + f_i^2}{\left( f_1 + 2\, p_o \right)^2}\;</math>» puis <br>{{Al|13}}{{Transparent|On détermine la variation de «<math>\;\color{transparent}{\delta = \overline{A_oA_i}_{\rightarrow} = -2 p_o \dfrac{f_i + p_o}{f_1 + 2\, p_o}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{p_o}\;</math>» }}en étudiant son signe, «<math>\;\dfrac{d \delta}{d p_o}(p_o) = -2 \dfrac{2 p_o^2 + 2 f_i\, p_o + f_i^2}{\left( f_1 + 2\, p_o \right)^2}\;</math>» qui est de signe contraire de «<math>\;2 p_o^2 + 2 f_i\, p_o + f_i^2\;</math>» dont le discriminant réduit vaut «<math>\;\Delta' = f_i^2 - 2 f_i^2 = -f_i^2 < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;2 p_o^2 + 2 f_i\, p_o + f_i^2\;</math> toujours <math>\;> 0\;</math>» et par suite «<math>\;\dfrac{d \delta}{d p_o}(p_o)\;</math> toujours <math>\;< 0\;</math>» et <br>{{Al|13}}{{Transparent|On détermine la variation de «<math>\;\color{transparent}{\delta = \overline{A_oA_i}_{\rightarrow} = -2 p_o \dfrac{f_i + p_o}{f_1 + 2\, p_o}}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{p_o}\;</math>» }}en concluant «<math>\;\delta = \overline{A_oA_i}_{\rightarrow} = -2 p_o \dfrac{f_i + p_o}{f_1 + 2\, p_o}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;p_o\;</math>»<ref name="discontinuité de delta"> Avec une discontinuité mathématique pour <math>\;p_o \rightarrow -\dfrac{f_i}{2}\;</math> pour laquelle <math>\;\delta \rightarrow \pm \infty</math>.</ref>. {{Al|5}}«<math>\;p_o\;</math> devant être <math>\;< 0\;</math> pour que l'objet soit réel », on a, avec «<math>\;A_o\;</math> considéré initialement à l'infini sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et se rapprochant de <math>\;\mathcal{L}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{p_o}\;</math> devant être <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> pour que l'objet soit réel », on a, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;p_o \nearrow\;</math> de <math>\;-\infty\;</math> à <math>\;-\dfrac{f_i}{2}\;</math>»<ref name="discontinuité de delta" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta \searrow\;</math> de <math>\;+\infty\;</math> à <math>\;-\infty\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{p_o}\;</math> devant être <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> pour que l'objet soit réel », on a, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;p_o \nearrow\;</math> de <math>\;-\dfrac{f_i}{2}\;</math><ref name="discontinuité de delta" /> à <math>\;0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta \searrow\;</math> de <math>\;+\infty\;</math> à <math>\;0\;</math>» ; {{Al|5}}les valeurs de «<math>\;p_o\;</math>» pour lesquelles on obtient «<math>\;\delta = \overline{A_oA_i}_{\rightarrow} = -2 p_o \dfrac{f_i + p_o}{f_1 + 2\, p_o} = 0\;</math>»<ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> sont «<math>\;p_o = -f_i\;</math>»<ref> «<math>\;A_o\;</math>» est alors au foyer principal objet de la lentille <math>\;\mathcal{L}</math>, l'image par <math>\;\mathcal{L}\;</math> «<math>\;A_1\;</math>» est le point à l'infini de l'axe optique principal, son image par <math>\;\mathcal{M}\;</math> «<math>\;A_2\;</math>» étant aussi le point à l'infini de l'axe optique principal car point double pour le miroir plan <math>\;\mathcal{M}\;</math> et l'image par <math>\;\mathcal{L}^{-1}\;</math> «<math>\;A_i\;</math>» est le foyer principal image de <math>\;\mathcal{L}^{-1}\;</math> c.-à-d. le foyer principal objet de <math>\;\mathcal{L}</math>.</ref> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|les valeurs de «<math>\;\color{transparent}{p_o}\;</math>» pour lesquelles on obtient «<math>\;\color{transparent}{\delta = \overline{A_oA_i}_{\rightarrow} = -2 p_o \dfrac{f_i + p_o}{f_1 + 2\, p_o} = 0}\;</math>» sont }}«<math>\;p_o = 0\;</math>»<ref> «<math>\;A_o\;</math>» est alors au centre optique de la lentille <math>\;\mathcal{L}</math>, point double pour <math>\;\mathcal{L}\;</math> et aussi au sommet du miroir plan <math>\;\mathcal{M}</math>, point double pour <math>\;\mathcal{M}</math>.</ref>.}} === Mise en œuvre de la méthode d'autocollimation === {{Al|5}}On déplace l'ensemble « lentille <math>\;\mathcal{L}\;</math> - miroir plan <math>\;\mathcal{M}\;</math>» relativement à un « objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math>»<ref name="objet linéique transverse /> de façon à recueillir l'« image <math>\;A_iB_i\;</math> dans le plan de front de l'objet », <br>{{Al|11}}{{Transparent|On déplace l'ensemble « lentille <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}}\;</math> - miroir plan <math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}}\;</math>» relativement à un « objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math>» }}la distance algébrisée « objet - lentille » étant alors «<math>\;p_o = -33,3\, cm\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|On déplace l'ensemble « lentille <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}}\;</math> - miroir plan <math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}}\;</math>» relativement à un « objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math>» }}en déduire la vergence «<math>\;V\;</math>» de la lentille «<math>\;\mathcal{L}\;</math>». {{Solution|contenu={{Al|5}}On recueille l'image dans le même plan transverse que l'objet signifie que «<math>\;\delta = 0\;</math>» ce qui est réalisé «<math>\;p_o = -f_i\;</math>» et comme cette situation correspond à «<math>\;p_o = -33,3\, cm\;</math>», on en déduit «<math>\;f_i = 33,3\, cm\;</math>» et par suite la vergence de la lentille est «<math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{1}{0,333}\;</math> en <math>\;m^{-1}\;</math>» soit «<math>\;V = +3\, \delta\;</math>»<ref name="dioptrie" />.}} == Téléobjectif == {{Al|5}}Un téléobjectif est constitué de deux lentilles [[w:Lentille_mince|minces]] coaxiales, l'une «<math>\;\mathcal{L}_1\;</math>» convergente de distance focale image «<math>\;f_{i,\, 1} = 100\, mm\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un téléobjectif est constitué de deux lentilles minces coaxiales, }}l'autre «<math>\;\mathcal{L}_2\;</math>» divergente de distance focale image «<math>\;f_{i,\, 2} = -40\, mm\;</math>». <br>{{Al|5}}Lorsque le téléobjectif est mis au point sur l'infini, son encombrement <math>\;\big(</math>distance de la lentille [[w:Lentille_mince|mince]] <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> à la plaque photographique<math>\big)\;</math> est «<math>\;D = 190\, mm\;</math>». === Calcul de la distance séparant les centres optiques des deux lentilles minces coxiales du téléobjectif avec la mise au point de ce dernier à l'infini === {{Al|5}}Calculer la distance «<math>\;e = O_1O_2\;</math>» entre les centres optiques de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> du téléobjectif dont la mise au point est faite sur l'infini <math>\;\big\{</math>pour cela on explicitera le foyer principal image «<math>\;F_i\;</math>» du téléobjectif par rapport à <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et on utilisera la définition de <math>\;D\big\}</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Il faut bien sûr ajouter un schéma explicatif positionnant les deux lentilles [[w:Lentille_mince|minces]] avec leurs foyers principaux et leur centre optique respectifs. {{Al|5}}Notant «<math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> le point à l'infini de l'axe optique principal » nous déduisons, de la définition du « foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du téléobjectif », les conjugaisons suivantes «<math>\;A_{o,\, \infty}\; \stackrel{\mathcal{L}_1}\longrightarrow\; F_{i,\, 1} \;\stackrel{\mathcal{L}_2}\longrightarrow\; F_i\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Notant «<math>\;\color{transparent}{A_{o,\, \infty}}\;</math> le point à l'infini de l'axe optique principal » nous déduisons, }}que «<math>\;F_i\;</math> est l'image, par l'oculaire <math>\;\mathcal{L}_2</math>, du foyer principal image <math>\;F_{i,\, 1}\;</math> de l'objectif <math>\;\mathcal{L}_1\;</math>» ou «<math>\;F_{i,\, 1} \;\stackrel{\mathcal{L}_2}\longrightarrow\; F_i\;</math>» ; {{Al|5}}utilisant la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Newton<ref name="Newton" /> de la lentille [[w:Lentille_mince|mince]] «<math>\;\mathcal{L}_2\;</math>» pour le « couple de points conjugués <math>\;(F_{i,\, 1},\, F_i)\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathcal{L}_2\;</math>»<ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" />,}} on obtient «<math>\;\overline{F_{i,\, 2}F_i}\; \overline{F_{o,\, 2}F_{i,\, 1}} = -f_{i,\, 2}^2\;</math>» ; {{Al|5}}connaissant l'« encombrement du téléobjectif »<ref name="encombrement du téléobjectif"> C.-à-d. la distance de l'objectif <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> à la plaque photographique.</ref> quand la « mise au point de ce dernier est faite sur l'infini »<ref name="mise au point sur l'infini"> Ce qui positionne la plaque photographique dans le plan focal image du téléobjectif.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;D = \overline{O_1F_i} = 190\, mm\;</math>» et le réécrivant selon <br>{{Al|20}}{{Transparent|connaissant l'« encombrement du téléobjectif » quand la « mise au point de ce dernier est faite sur l'infini » <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;D = O_1O_2 + \overline{O_2F_{i,\, 2}} + \overline{F_{i,\, 2}F_i} = e + f_{i,\, 2} + \overline{F_{i,\, 2}F_i}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{F_{i,\, 2}F_i} = D - e - f_{i,\, 2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|connaissant }}la disposition relative des deux lentilles [[w:Lentille_mince|mince]] par «<math>\;\overline{F_{o,\, 2}F_{i,\, 1}} = \overline{F_{o,\, 2}O_2} + \overline{O_2O_1} + \overline{O_1F_{i,\, 1}} = -f_{o,\, 2} - e + f_{i,\, 1}\;</math>» soit «<math>\;\overline{F_{o,\, 2}F_{i,\, 1}} = f_{i,\, 2} - e + f_{i,\, 1}\;</math>», {{Al|5}}on déduit, de la relation de conjugaison «<math>\;\overline{F_{i,\, 2}F_i}\; \overline{F_{o,\, 2}F_{i,\, 1}} = -f_{i,\, 2}^2\;</math>», que «<math>\;e\;</math> est solution de «<math>\;\left( D - e - f_{i,\, 2} \right) \left( f_{i,\, 2} - e + f_{i,\, 1} \right) = -f_{i,\, 2}^2\;</math>», équation algébrique du 2^ème degré, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on déduit, de la relation de conjugaison «<math>\;\color{transparent}{\overline{F_{i,\, 2}F_i}\; \overline{F_{o,\, 2}F_{i,\, 1}} = -f_{i,\, 2}^2}\;</math>», que «<math>\;\color{transparent}{e}\;</math> est solution de }}«<math>\;e^2 - e \left( D + f_{i,\, 1} \right) + D \left( f_{i,\, 2} + f_{i,\, 1} \right) - f_{i,\, 1}\, f_{i,\, 2} = 0\;</math>» après développement et classement par puissances <math>\;\searrow</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on déduit, de la relation de conjugaison «<math>\;\color{transparent}{\overline{F_{i,\, 2}F_i}\; \overline{F_{o,\, 2}F_{i,\, 1}} = -f_{i,\, 2}^2}\;</math>», que «<math>\;\color{transparent}{e}\;</math> est solution de }}de discriminant «<math>\;\Delta = \left( D + f_{i,\, 1} \right)^2 - 4\, D \left( f_{i,\, 2} + f_{i,\, 1} \right) + 4\, f_{i,\, 1}\, f_{i,\, 2}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|on déduit, de la relation de conjugaison «<math>\;\color{transparent}{\overline{F_{i,\, 2}F_i}\; \overline{F_{o,\, 2}F_{i,\, 1}} = -f_{i,\, 2}^2}\;</math>», que «<math>\;\color{transparent}{e}\;</math> est solution de de discriminant «<math>\;\color{transparent}{\Delta}</math> }}<math>= \left( D - f_{i,\, 1} \right)^2 - 4\, f_{i,\, 2} \left( D - f_{i,\, 1} \right) = \left( D - f_{i,\, 1} \right) \left( D - f_{i,\, 1} - 4\, f_{i,\, 2} \right)\;</math>» soit numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|on déduit, de la relation de conjugaison «<math>\;\color{transparent}{\overline{F_{i,\, 2}F_i}\; \overline{F_{o,\, 2}F_{i,\, 1}} = -f_{i,\, 2}^2}\;</math>», que «<math>\;\color{transparent}{e}\;</math> est solution de de discriminant }}«<math>\;\Delta = \left[ 190 - 100 \right] \left[ 190 - 100 - 4 \times \left( -40 \right) \right] = 22500 = (150)^2\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|on déduit, de la relation de conjugaison «<math>\;\color{transparent}{\overline{F_{i,\, 2}F_i}\; \overline{F_{o,\, 2}F_{i,\, 1}} = -f_{i,\, 2}^2}\;</math>», que }}«<math>\;e = \dfrac{D + f_{i,\, 1} \pm \sqrt{\left( D - f_{i,\, 1} \right) \left( D - f_{i,\, 1} - 4\, f_{i,\, 2} \right)}}{2}\;</math>» et numériquement «<math>\;e = \dfrac{190 + 100 \pm 150}{2}\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|on déduit, de la relation de conjugaison «<math>\;\color{transparent}{\overline{F_{i,\, 2}F_i}\; \overline{F_{o,\, 2}F_{i,\, 1}} = -f_{i,\, 2}^2}\;</math>», que «<math>\;\color{transparent}{e = \dfrac{D + f_{i,\, 1} \pm \sqrt{\left( D - f_{i,\, 1} \right) \left( D - f_{i,\, 1} - 4\, f_{i,\, 2} \right)}}{2}}\;</math>» et numériquement }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} e_{+} = 220\, mm \\e_{-} = 70\, mm\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; {{Al|5}}or la distance «<math>\;e = O_1O_2\;</math> devant être <math>\;<\;</math> à l'encombrement <math>\;D = O_1F_i\;</math>», puisque la plaque photographique « réelle » ne peut être qu'au-delà de la face de sortie, on retient «<math>\;e = O_1O_2 = 70\, mm\;</math>».}} === Détermination des foyers principaux image F_i et objet F_o du téléobjectif === {{Al|5}}Préciser la position du foyer principal image «<math>\;F_i\;</math>» du téléobjectif et <br>{{Al|5}}déterminer celle du foyer principal objet «<math>\;F_o\;</math>» de ce dernier. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Le foyer principal image «<math>\;F_i\;</math>» du téléobjectif étant dans le plan de la plaque photographique est à la distance «<math>\;D = 190 mm\;</math>» de la face d'entrée, c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le foyer principal image «<math>\;\color{transparent}{F_i}\;</math>» du téléobjectif étant dans le plan de la plaque photographique est }}situé dans l'espace image réelle à une distance «<math>\;D - e = 120\, mm\;</math>» au-delà de la face de sortie ; {{Al|5}}notant «<math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> le point image à l'infini sur l'axe optique principal » nous déduisons, de la définition du « foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du téléobjectif », les conjugaisons suivantes «<math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{L}_1}\longrightarrow\; F_{o,\, 2} \;\stackrel{\mathcal{L}_2}\longrightarrow\; A_{i,\, \infty}\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|notant «<math>\;\color{transparent}{A_{i,\, \infty}}\;</math> le point image à l'infini sur l'axe optique principal » nous déduisons, }}que «<math>\;F_o\;</math> est l'antécédent, par l'objectif <math>\;\mathcal{L}_1</math>, du foyer principal objet <math>\;F_{o,\, 2}\;</math> de l'oculaire <math>\;\mathcal{L}_2\;</math>» ou «<math>\;F_o \;\stackrel{\mathcal{L}_1}\longrightarrow\; F_{o,\, 2}\;</math>» ; {{Al|5}}utilisant la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Newton<ref name="Newton" /> de la lentille [[w:Lentille_mince|mince]] «<math>\;\mathcal{L}_1\;</math>» pour le « couple de points conjugués <math>\;(F_o,\,F_{o,\, 2})\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathcal{L}_1\;</math>»<ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" />,}} on obtient «<math>\;\overline{F_{i,\, 1}F_{o,\, 2}}\; \overline{F_{o,\, 1}F_o} = -f_{i,\, 1}^2\;</math>» ; {{Al|5}}ayant établi précédemment «<math>\;\overline{F_{o,\, 2}F_{i,\, 1}} = f_{i,\, 2} - e + f_{i,\, 1}\;</math>»<ref> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Calcul_de_la_distance_séparant_les_centres_optiques_des_deux_lentilles_minces_coxiales_du_téléobjectif_avec_la_mise_au_point_de_ce_dernier_à_l'infini|calcul de la distance séparant les centres optiques des deux lentilles minces coaxiales du téléobjectif avec la mise au point de ce dernier à l'infini]] » plus haut dans cet exercice.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{F_{i,\, 1}F_{o,\, 2}} = e - f_{i,\, 2} - f_{i,\, 1}\;</math>», {{Al|5}}on déduit, de la relation de conjugaison «<math>\;\overline{F_{i,\, 1}F_{o,\, 2}}\; \overline{F_{o,\, 1}F_o} = -f_{i,\, 1}^2\;</math>», que «<math>\;\overline{F_{o,\, 1}F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\, 2} - e + f_{i,\, 1}}\;</math>» soit numériquement «<math>\;\overline{F_{o,\, 1}F_o} = \dfrac{100^2}{-40 - 70 + 100} = -1000\, mm\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|on déduit, de la relation de conjugaison «<math>\;\color{transparent}{\overline{F_{i,\, 1}F_{o,\, 2}}\; \overline{F_{o,\, 1}F_o} = -f_{i,\, 1}^2}\;</math>», que «<math>\;\color{transparent}{\overline{F_{o,\, 1}F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\, 2} - e + f_{i,\, 1}}}\;</math>» soit numériquement }}«<math>\;\overline{O_1F_o} = \overline{O_1F_{o,\, 1}} + \overline{F_{o,\, 1}F_o} = -100 - 1000 = -1100\, mm\;</math>» d'où <center>le positionnement du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du téléobjectif à la distance de <math>\;1,100\, m\;</math> en-deçà de la face d'entrée de ce dernier.</center>}} === Détermination de la distance focale image f_i du téléobjectif === {{Al|5}}En admettant l'applicabilité, au doublet de lentilles [[w:Lentille_mince|minces]] coaxiales, de la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>appliquée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>appliquée<math>\big)\big]\;</math> de Newton<ref name="Newton" />, déterminer la distance focale image «<math>\;f_i\;</math>» de ce téléobjectif <math>\;\big(</math>on vérifiera auparavant le caractère convergent du doublet<math>\big)</math>. {{Al|5}}En déduire le principal avantage de ce téléobjectif par rapport à un objectif simple de même focale. {{Solution | contenu =<center> <gallery mode="packed" heights="230px"> Téléobjectif - caractère convergent.png|Schéma de justification du caractère convergent du téléobjectif </gallery> </center> {{Al|5}}On vérifie le caractère <u>convergent</u> du doublet de lentilles [[w:Lentille_mince|minces]] coaxiales constituant le téléobjectif par la constatation <math>\;\big(</math>sur le schéma ci-dessus<math>\big)\;</math> qu'un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal converge vers <math>\;F_i\;</math> sans avoir auparavant recoupé l'axe optique principal<ref> Voir les raisons de vérification du caractère convergent <math>\;\big(</math>divergent ou afocal<math>\big)\;</math> d'un système optique dans la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Caractère_divergent_de_l'oculaire_déterminé_par_construction|caractère divergent de l'oculaire par construction]] » plus haut dans l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Doublet_de_lentilles_minces_non_accolées_constitué_d'une_lentille_convergente_et_d'une_divergente|doublet de lentilles non accolées constitué d'une lentille convergente et d'une divergente]] » de cette série d'exercices.</ref>. {{Al|5}}Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image <math>\;\vert f_i \vert\;</math> du téléobjectif en utilisant la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Newton<ref name="Newton" /> {{Nobr|«<math>\;\sigma_i\;\sigma_o</math>}} <math>= -f_i^2\;</math>»<ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> avec «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>» et «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>», relation supposée applicable à tout couple de points conjugués par le téléobjectif, il faut choisir des points conjugués particuliers et les plus faciles à obtenir sont ceux dont l'image intermédiaire est à l'infini sur l'axe optique principal soit <div style="text-align: center;">«<math>\;F_{o,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_{i,\,1,\,\infty} = A_{o,\,2,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_{i,\,2}\;</math>» établissant que le couple «<math>\;(F_{o,\,1}\,,\,F_{i,\,2})\;</math> est conjugué par le téléobjectif » ;</div> {{Al|5}}pour ce couple on a «<math>\;\sigma_o(F_{o,\,1}) = \overline{F_oF_{o,\,1}} = -\overline{F_{o,\,1}F_o} = -1000\, mm\;</math>»<ref name="positionnement de Newton des foyers principaux objet et image du téléobjectif"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_des_foyers_principaux_image_Fi_et_objet_Fo_du_téléobjectif|détermination des foyers principaux image F_i et objet F_o du téléobjectif]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour ce couple on a }}«<math>\;\sigma_i(F_{i,\,2}) = \overline{F_iF_{i,\,2}} = -\overline{F_{i,\,2}F_i} = 160\, mm\;</math>»<ref name="positionnement de Newton des foyers principaux objet et image du téléobjectif /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour ce couple on a }}d'où «<math>\;\sigma_o(F_{o,\,1})\; \sigma_i(F_{i,\,2}) = -f_i^2\;</math>» se réécrivant «<math>\;\left[ -1000\, mm \right]\; \left[ 160\, mm \right] = -f_i^2\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;f_i^2 = 160000\, mm^2\;</math>» soit «<math>\;\vert f_i \vert = 400\,mm\;</math>» ; <center>le téléobjectif étant convergent sa distance focale image <math>\;f_i\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et par suite <br>{{Transparent|le téléobjectif étant convergent sa distance focale image <math>\;\color{transparent}{f_i}\;</math> }}{{Al|13}}vaut «<math>\;f_i = 400\,mm\;</math>»<ref> Sa distance focale objet valant <math>\;f_o = -f_i = -400\,mm\;</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}L'utilisation de ce téléobjectif permet une réduction de l'encombrement «<math>\;19\, cm\;</math> au lieu de <math>\;40\, cm\;</math> qui serait nécessaire avec un objectif simple de même distance focale de <math>\;400\;mm\;</math>».}} === Détermination de la dimension de l'image d'une tour supposée à l'infini par le téléobjectif === {{Al|5}}Calculer la dimension de l'image, par le téléobjectif, d'une tour<ref name="tour à axe de symétrie vertical"> Nous supposons, pour rendre les explications plus aisées, que la tour possède un axe de symétrie vertical mais cette hypothèse supplémentaire n'esten fait pas nécessaire.</ref> si très éloignée de faible [[w:Taille_apparente#Diamètre_apparent_en_astronimie|diamètre angulaire apparent]] «<math>\;\alpha = 0,03\, rad\;</math>» <math>\;\big(</math>par exemple tour de <math>\;30\, m\;</math> de haut située à <math>\;d = 1\, km\;</math> du téléobjectif<math>\big)</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}La tour étant située à <math>\;d = 1\, km\;</math> du téléobjectif peut être considérée comme à l'infini de ce dernier et par suite son image par l'objectif <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> est dans le plan focal image <math>\;\big(</math>de pied <math>\;F_{i,\,1}\big)\;</math> de ce dernier, l'image définitive par l'oculaire <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> étant dans le plan focal image <math>\;\big(</math>de pied <math>\;F_i\big)\;</math> du téléobjectif ; {{Al|5}}notant <math>\;A_{o,\,\infty}B_{o,\,\infty}\;</math> l'objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> représentant la tour selon son axe de symétrie vertical<ref name="tour à axe de symétrie vertical" />, <math>\;F_{i,\,1}B_1\;</math> son image par l'objectif <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;F_iB_i\;</math> son image définitive par le téléobjectif, le grandissement transverse de la tour par le téléobjectif étant défini par «<math>\;G_t(A_{o,\,\infty}B_{o,\,\infty}) \;\overset{\text{déf}}{=}\;\dfrac{\overline{F_iB_i}}{\overline{A_{o,\,\infty}B_{o,\,\infty}}}\;</math>» se réécrit selon <center>«<math>\;G_t(A_{o,\,\infty}B_{o,\,\infty}) \;\overset{\text{déf}}{=}\;\dfrac{\overline{F_iB_i}}{\overline{F_{i,\,1}B_1}} \times \dfrac{\overline{F_{i,\,1}B_1}}{\overline{A_{o,\,\infty}B_{o,\,\infty}}} = G_{t,\,2}(F_{i,\,1}B_1) \times G_{t,\,1}(A_{o,\,\infty}B_{o,\,\infty})\;</math>» <br>où «<math>\;G_{t,\,1}(A_{o,\,\infty}B_{o,\,\infty}) \;\overset{\text{déf}}{=}\;\dfrac{\overline{F_{i,\,1}B_1}}{\overline{A_{o,\,\infty}B_{o,\,\infty}}} \;</math> est le grandissement transverse de la tour par l'objectif <math>\;\mathcal{L}_1\;</math>» et <br>«<math>\;G_{t,\,2}(F_{i,\,1}B_1)\;\overset{\text{déf}}{=}\;\dfrac{\overline{F_iB_i}}{\overline{F_{i,\,1}B_1}} \;</math> le grandissement transverse par l'oculaire <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> de l'image intermédiaire par l'objectif <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> de la tour » ;</center> {{Al|5}}on applique alors la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" />{{,}}<ref name="2ème relation de conjugaison de Descartes" /> * à l'« objectif <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> pour le couple <math>\;\left( A_{o,\,\infty}\,,\, F_{i,\,1} \right)\;</math>» soit «<math>\;G_{t,\,1}(A_{o,\,\infty}B_{o,\,\infty}) = \dfrac{\overline{O_1F_{i,\, 1}}}{\overline{O_1A_{o,\,\infty}}} \simeq \dfrac{f_{i,\,1}}{-d} \simeq \dfrac{100}{-10^6} \simeq -10^{-4}\;</math>» et * à l'« oculaire <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> pour le couple <math>\;\left( F_{i,\,1}\,,\, F_i \right)\;</math>» soit «<math>\;G_{t,\,2}(F_{i,\,1}B_1) = \dfrac{\overline{O_2F_i}}{\overline{O_2F_{i,\, 1}}} = \dfrac{D - e}{f_{i,\,1} - e} \simeq \dfrac{190 - 70}{100 - 70} \simeq 4\;</math>»<ref> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Calcul_de_la_distance_séparant_les_centres_optiques_des_deux_lentilles_minces_coxiales_du_téléobjectif_avec_la_mise_au_point_de_ce_dernier_à_l'infini|calcul de la distance séparant les centres optiques des deux lentilles minces coaxiales du téléobjectif avec la mise au point de ce dernier à l'infini]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, {{Al|5}}soit finalement le grandissement transverse de ce téléobjectif pour la tour valant ««<math>\;G_t(A_{o,\,\infty}B_{o,\,\infty}) \simeq -4\, 10^{-4}\;</math>» dont on déduit, par définition du grandissement transverse «<math>\;G_t(A_{o,\,\infty}B_{o,\,\infty}) \;\overset{\text{déf}}{=}\;\dfrac{\overline{F_iB_i}}{\overline{A_{o,\,\infty}B_{o,\,\infty}}}\;</math>», la dimension de l'image de la tour par le téléobjectif «<math>\;F_iB_i = A_{o,\,\infty}B_{o,\,\infty} \times \vert G_t(A_{o,\,\infty}B_{o,\,\infty}) \vert \simeq 30 \times (4\, 10^{-4})\;</math> en <math>\;m\;</math> ou <math>\;F_iB_i = 12\;mm\;</math>» c'est-à-dire « <u>une image de</u><math>\;12\, mm\;</math><u>de haut</u> ».}} == Vergence et aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince puis d'un doublet de lentilles sphériques minces accolées ou non, formule de Gullstrand == === Vergence et aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince === {{Al|5}}Une [[w:Lentile_optique#Lentilles_sphériques|lentille sphérique]] est un cas particulier de « [[w:Système_optique#Systèmes_centrés|système dioptrique centré]] »<ref name="système centré"> Voir aussi le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Retour_sur_les_systèmes_dioptriques_«_centrés_»|retour sur les systèmes dioptriques centrés]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> d'axe de révolution jouant le rôle d'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Une lentille sphérique est un cas particulier de « système dioptrique centré » }}obtenu par la juxtaposition de deux dioptres sphériques ou plan dont l'un au moins est sphérique<ref> Si les deux étaient plans nécessairement tous deux <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta</math>, on définirait une lame à faces parallèles.</ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Une lentille sphérique est un cas particulier de « système dioptrique centré » obtenu par la juxtaposition de deux dioptres }}de même espace optique intermédiaire d'indice <math>\;n</math> : * le 1^er dioptre <math>\;\mathcal{D}_e</math>, dit dioptre d'entrée, est de sommet <math>\;S_e</math>, de centre <math>\;C_e</math>, de rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_e} = \overline{S_eC_e} \neq 0\;</math><ref> Si le dioptre est sphérique, le centre <math>\;C_e\;</math> reste à distance finie de <math>\;S_e\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_e} \neq \pm\infty\;</math> <math>\big(</math>c.-à-d. fini positif ou négatif<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}si le dioptre est plan, le centre <math>\;C_e\;</math> est le point à l'infini de <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure <math>\;\vert \overline{R_e}\vert = \infty\;</math> <math>\big(</math>c.-à-d. infini<math>\big)</math>.</ref>, séparant l'espace optique d'indice <math>\;n_o\;</math> <math>\big(</math>jouant le rôle d'espace objet réel pour la [[w:Lentile_optique#Lentilles_sphériques|lentille sphérique]] <ref name="lentille non usuelle"> Usuellement la [[w:Lentile_optique#Lentilles_sphériques|lentille sphérique]] est plongée dans l'air <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Exemple_de_systèmes_dioptriques_«_centrés_»_:_les_lentilles_sphériques|exemple de systèmes dioptriques centrés : les lentilles sphériques]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, l'espace optique d'entrée du 1^er dioptre est alors d'indice <math>\;n_o \simeq 1\;</math> et l'espace optique de sortie du 2^ème dioptre d'indice <math>\;n_i \simeq 1</math> ; <br>{{Al|3}}nous considérons, dans un 1^er temps, que la [[w:Lentile_optique#Lentilles_sphériques|lentille sphérique]] sépare deux milieux différents de l'air c.-à-d. <math>\;n_o \neq 1\;</math> et <math>\;n_i \neq 1\;</math> avant de revenir au cas où les deux milieux sont l'air.</ref><math>\big)\;</math> et l'espace optique intermédiaire d'indice <math>\;n</math> ; * le 2^ème dioptre <math>\;\mathcal{D}_s</math>, dit dioptre de sortie, est de sommet <math>\;S_s</math>, de centre <math>\;C_s</math>, de rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_s} = \overline{S_sC_s} \neq 0\;</math ><ref> Si le dioptre est sphérique, le centre <math>\;C_s\;</math> reste à distance finie de <math>\;S_s\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_s} \neq \pm\infty\;</math> <math>\big(</math>c.-à-d. fini positif ou négatif<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}si le dioptre est plan, le centre <math>\;C_s\;</math> est le point à l'infini de <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure <math>\;\vert \overline{R_s}\vert = \infty\;</math> <math>\big(</math>c.-à-d. infini<math>\big)</math>.</ref>, séparant l'espace optique intermédiaire d'indice <math>\;n\;</math> et l'espace optique d'indice <math>\;n_i\;</math> <math>\big(</math>jouant le rôle d'espace image réelle pour la [[w:Lentile_optique#Lentilles_sphériques|lentille sphérique]]<ref name="lentille non usuelle" /><math>\big)</math> ; {{Al|5}}nous admettrons les relations de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> d'un dioptre sphérique établies dans la solution des questions « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_dioptre_sphérique_(concave_convergent)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_(approchée)_de_grandissement_transverse_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)_2|relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)]] » de la série <math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » à savoir <math>\;\big\{</math>le dioptre sphérique étant de sommet <math>\;S\;</math> séparant un milieu d'indice <math>\;n_o\;</math> situé à gauche de <math>\;S\;</math> d'un milieu d'indice <math>\;n_i\;</math> situé à droite de <math>\;S</math>, le rayon de courbure algébrisé étant <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> où <math>\;C\;</math> est le centre de courbure<math>\big\}</math> : * la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math>»<ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes d'un dioptre sphérique, origine au sommet"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_dioptre_sphérique_(concave_convergent)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)]] » de la série <math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;V\;</math> une constante définissant la vergence du dioptre sphérique selon <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas d'un dioptre plan cette relation est encore applicable avec <math>\;V = 0\big]</math> ; * la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandisssement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math>»<ref name="2ème relation de conjugaison de Descartes d'un dioptre sphérique, origine au sommet"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_(approchée)_de_grandissement_transverse_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)_2|relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)]] » de la série <math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> {{Nobr|<math>\;\big[</math>encore}} applicable dans le cas d'un dioptre plan<math>\big]</math>. ==== Vergence d'une lentille sphérique mince ==== {{Al|5}}Une [[w:Lentile_optique#Lentilles_sphériques|lentille sphérique]] étant « [[w:Lentille_mince|mince]] »<ref name="définition d'une lentille sphérique mince"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Cas_particulier_de_lentilles_sphériques_:_les_lentilles_minces|cas particulier de lentilles sphériques : les lentilles minces]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> si « son épaisseur <math>\;e = S_eS_s\;</math> est très petite »<ref> Plus précisément si <math>\;e \ll R_e</math>, si <math>\;e \ll R_s\;</math> et si <math>\;e \ll \vert \overline{R_e} - \overline{R_s} \vert\;</math> <math>\big[</math>comme <math>\;\overline{R_e} - \overline{R_s} = \overline{S_eC_e} - \overline{S_sC_s} = \overline{S_eS_s} + \overline{S_sC_e} - \overline{S_sC_s} =</math> <math>e + \overline{C_sC_e}</math>, <math>\;e \ll \vert \overline{R_e} - \overline{R_s} \vert \;</math> est équivalent à <math>\;\vert \overline{C_sC_e} \vert \;</math> non petit<math>\big]</math>.</ref> c'est-à-dire si « les sommets des faces d'entrée et de sortie peuvent être confondus » <math>\;S_e \simeq S_s</math>, le point commun définissant le centre optique <math>\;O\;</math> de la lentille sphérique mince, <br>{{Al|5}}établir les 1^ère et 2^ème relations de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> à partir de celles des dioptres d'entrée et de sortie <math>\;\big(</math>avec origine au sommet respectif<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}déterminer l'expression de la vergence de la lentille sphérique mince séparant l'espace objet réel d'indice <math>\;n_o\;</math> de l'espace image réelle d'indice <math>\;n_i</math>, {{Al|5}}puis retrouver les relations de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position et de grandissement transverse de Descartes<ref name="Descartes" /> dans le cas où la lentille sphérique mince est plongée dans l'air et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puis }}réécrire l'expression de sa vergence. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Considérant une [[w:Lentile_optique#Lentilles_sphériques|lentille sphérique]] ''a priori'' non [[w:Lentille_mince|mince]] conjuguant le point objet <math>\;A_o\;</math> et le point image <math>\;A_i\;</math> selon «<math>\;A_o\;\stackrel{\mathcal{D}_e}{\longrightarrow}\;A_1\;\stackrel{\mathcal{D}_s}{\longrightarrow}\;A_i\;</math>» dans les conditions de stigmatisme <math>\;\big(</math>approché<math>\big)\;</math> de Gauss<ref name="Gauss" />{{,}}<ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, on écrit les relations de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet respectif<math>\big)\;</math> appliquées à chaque dioptre soit «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{n}{\overline{S_eA_1}} - \dfrac{n_o}{\overline{S_eA_o}} = V_e\;\text{ avec }\;V_e = \dfrac{-(n_o - n)}{\overline{R}_e}\\ \dfrac{n_i}{\overline{S_sA_i}} - \dfrac{n}{\overline{S_sA_1}} = V_s\;\text{ avec }\;V_s = \dfrac{-(n - n_i)}{\overline{R}_s}\end{array}\right\rbrace\;</math>» dans lesquelles nous voyons la difficulté pour éliminer l'image intermédiaire <math>\;A_1\;</math> dans le cas d'une [[w:Lentile_optique#Lentilles_sphériques|lentille sphérique]] « épaisse »<ref name="lentille sphérique épaisse"> Une [[w:Lentile_optique#Lentilles_sphériques|lentille sphérique]] est dite « épaisse » quand elle n'est pas modélisable en lentille sphérique « [[w:Lentille_mince|mince]] ».</ref>, difficulté engendrée par <math>\;S_e \neq S_s</math> ; {{Al|5}}dans le cas d'une lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]], avec «<math>\;S_e \simeq S_s \simeq O\;</math> point commun définissant le centre optique de la lentille mince », les relations de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet respectif<math>\big)\;</math> se réécrivant «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{n}{\overline{OA_1}} - \dfrac{n_o}{\overline{OA_o}} = V_e\\ \dfrac{n_i}{\overline{OA_i}} - \dfrac{n}{\overline{OA_1}} = V_s\end{array}\right\rbrace\;</math>» permettent une élimination très facile de l'image intermédiaire <math>\;A_1\;</math> en faisant la somme de ces deux équations <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{n_i}{\overline{OA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{OA_o}} = V_e + V_s\;</math>» dans laquelle «<math>\;V_e + V_s\;</math> définit la vergence <math>\;V\;</math> de la lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]]» soit la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> d'une lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;V = \dfrac{(n_i - n)}{\overline{R}_s} - \dfrac{(n_o - n)}{\overline{R}_e}\;</math>» ;</div> {{Al|5}}considérant encore une [[w:Lentile_optique#Lentilles_sphériques|lentille sphérique]] ''a priori'' non [[w:Lentille_mince|mince]] conjuguant l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> et l'image correspondante <math>\;A_iB_i\;</math> selon «<math>\;A_oB_o\;\stackrel{\mathcal{D}_e}{\longrightarrow}\;A_1B_1\;\stackrel{\mathcal{D}_s}{\longrightarrow}\;A_iB_i\;</math>» dans les conditions de stigmatisme et d'aplanétisme <math>\;\big(</math>approchés<math>\big)\;</math> de Gauss<ref name="Gauss" />{{,}}<ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}}<ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, on écrit les relations de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet respectif<math>\big)\;</math> appliquées à chaque dioptre selon «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} G_{t,\,e}(A_o) \stackrel{\text{déf}}{=} \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{n _o}{n}\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_eA_o}}\\ G_{t,\,s}(A_1) \stackrel{\text{déf}}{=} \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}} = \dfrac{n}{n_i}\;\dfrac{\overline{S_sA_i}}{\overline{S_sA_1}}\end{array}\right\rbrace\;</math>», le grandissement transverse de l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> par la [[w:Lentile_optique#Lentilles_sphériques|lentille sphérique]] « épaisse »<ref name="lentille sphérique épaisse" /> se définissant par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» et pouvant aisément se réécrire «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}} \times \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» ou «<math>\;G_t(A_o) = G_{t,\,s}(A_1)\; G_{t,\,e}(A_o)\;</math>», on en déduit «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n}{n_i}\;\dfrac{\overline{S_sA_i}}{\overline{S_sA_1}}\; \dfrac{n_o}{n}\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_eA_o}}\;</math>» soit encore «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{\overline{S_sA_i}}{\overline{S_eA_o}}\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_sA_1}}\;</math>» dans laquelle l'élimination définitive de l'image intermédiaire ne semble pas aisée ; {{Al|5}}dans le cas d'une lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]], avec «<math>\;S_e \simeq S_s \simeq O\;</math> point commun définissant le centre optique de la lentille mince », le dernier facteur de l'expression approchée de Descartes<ref name="Descartes" /> de grandissement transverse de l'objet par la lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] valant <math>\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_sA_1}} = \dfrac{\overline{OA_1}}{\overline{OA_1}} = 1</math>, on en déduit «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{\overline{OA_i}}{\overline{OA_o}}\;</math>» soit la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> d'une lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] <div style="text-align: center;">«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace\;</math>».</div> {{Al|5}}Dans le cas où la lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] est plongée dans l'air on a «<math>\;n_o = n_i \simeq 1\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> d'une lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] plongée dans l'air <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;V = (1 - n) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_s} - \dfrac{1}{\overline{R}_e} \right)\;</math>»<ref> Pour que cette relation caractérise une lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] il faut que <math>\;\overline{R_e} \neq \overline{R_s}</math> ; <br>{{Al|3}}en effet si les deux surfaces dioptriques sphériques sont parallèles c.-à-d. si la distance les séparant parallèlement à l'axe optique principal est une constante quel que soit l'endroit où elle est mesurée, le système dioptrique centré est afocal et n'est donc pas une lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]], il s'agit d'une lame que l'on pourrait appelée « lame à faces sphériques parallèles » <math>\;\big(</math>appellation personnelle<math>\big)</math>.</ref> sa vergence,</div> {{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas où la lentille sphérique mince est plongée dans l'air on a «<math>\;\color{transparent}{n_o = n_i \simeq 1}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> d'une lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] plongée dans l'air <div style="text-align: center;">«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace\;</math>».</div>}} ==== Aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince ==== [[File:Lens6a-fr.svg|thumb|400px|Principe de l'[[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberration chromatique]] : l'indice du milieu constituant la lentille <math>\;\nearrow\;</math> quand la longueur d'onde dans le vide <math>\;\searrow</math>]] {{Al|5}}La vergence d'une lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] plongée dans l'air dépendant de l'indice <math>\;n\;</math> du milieu constituant la lentille et celui-ci étant ''a priori'' plus ou moins dispersif<ref name="dispersif"> Plus précisément l'indice est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de la longueur d'onde dans le vide <math>\;n_{\text{rouge}} < n_{\text{violet}}\;</math> car <math>\;\lambda_{0,\, \text{rouge}} > \lambda_{0,\, \text{violet}}</math>, sa variation peut être modélisée par la formule empirique de Cauchy «<math>\;n = A + \dfrac{B}{\lambda_0^2}\;</math>» où <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> sont des constantes caractéristiques du milieu, la 1^ère sans dimension et la 2^nde homogène à une surface. <br>{{Al|3}}'''[[w:Augustin_Louis_Cauchy|Augustin Louis Cauchy]] (1789 - 1857)''', mathématicien français à qui on doit, entre autres, des critères de convergence des [[w:Suite_de_Cauchy|suites]] et des [[w:Règle_de_Cauchy|séries entières]] dans le domaine de l'analyse et dans celui de l'optique des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques.</ref>, on observe, suivant la couleur considérée d'un faisceau incident de lumière blanche, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, que chaque couleur émerge en se focalisant sur l'axe optique principal en des foyers principaux image dont la localisation dépend de la couleur <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, défauts appelés [[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberrations chromatiques]] de la lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] et quantifiés de deux façons : * en « [[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberration chromatique]] longitudinale » <math>\;\overline{A_L}\;</math> définie par la distance algébrique qui sépare le foyer principal image bleu <math>\;F_{i,\,F}\;</math> du foyer principal image rouge <math>\;F_{i,\,C}\;</math> <math>\big\{</math>on observe donc un défaut de focalisation ponctuelle sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> du faisceau incident de lumière blanche <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>, le point foyer principal image de couleur blanche n'existant pas mais étant remplacé, sur <math>\;\Delta</math>, par un segment de couleurs étalées <math>\;[F_{i,\,F}F_{i,\,C}]\;</math><ref> Attention l'étalement n'est pas uniquement longitudinal comme nous le voyons sur la figure jointe.</ref><math>\big\}\;</math><ref> Ce défaut s'observe aussi à partir d'un objet ponctuel <math>\;A_o\;</math> fixé sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> de la lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] et émettant de la lumière blanche, absence d'image ponctuelle blanche sur <math>\;\Delta\;</math> mais étalement de <math>\;A_i\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> en un segment <math>\;[A_{i,\,F}A_{i,\,C}]\;</math> <math>\big(</math>attention l'étalement se fait aussi transversalement comme nous l'indiquons dans le paragraphe ci-dessous<math>\big)</math>.</ref>, * en « [[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberration chromatique]] transversale » <math>\;A_T\;</math> définie comme le rayon de la plus petite tache lumineuse observée dans les plans focaux image de chaque couleur, le faisceau incident, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> de la lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]], étant de lumière blanche <math>\;\big\{</math>il s'agit donc d'un défaut de focalisation ponctuelle dans les plans focaux image du faisceau incident de lumière blanche <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>, par exemple dans le plan focal image rouge <math>\;\big(</math>bleu ou autre<math>\big)\;</math><ref> C.-à-d. centré sur le foyer principal image de couleur rouge <math>\;\big(</math>bleu ou autre<math>\big)</math>.</ref>, la focalisation est ponctuelle pour le rouge <math>\;\big(</math>bleu ou autre<math>\big)\;</math> et remplacée par un disque de plus ou moins grand rayon pour chaque autre couleur<ref> Dans le plan focal rouge <math>\;\big(</math>bleu ou autre<math>\big)</math>, la couleur ayant le plus grand rayon et définissant le rayon de la tache est alors la couleur bleu <math>\;\big(</math>rouge ou ?<math>\big)\;</math> comme on l'observe sur la figure ci-jointe.</ref>{{,}}<ref> Attention l'étalement n'est pas uniquement transversal comme nous le voyons sur la figure jointe.</ref><math>\big\}\;</math><ref> Ce défaut s'observe aussi à partir d'un objet ponctuel <math>\;A_o\;</math> fixé sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> de la lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] et émettant de la lumière blanche, absence d'image ponctuelle blanche sur <math>\;\Delta\;</math> mais étalement de <math>\;A_i\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> en un segment <math>\;[A_{i,\,F}A_{i,\,C}]\;</math> et simultanément observation de taches lumineuses dans chaque plan transverse centré sur chaque image <math>\;A_{i,\, \text{coul. fixée}}</math> ;<br>{{Al|3}}l'[[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberration chromatique]] transversale est aussi une conséquence du fait que le grandissement transverse dépend implicitement de l'indice du milieu constituant la lentille, en effet la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes s'écrivant «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;p_i = \dfrac{1}{V + \dfrac{1}{p_o}} = \dfrac{p_o}{V\; p_o + 1}\;</math>» on en déduit l'expression du grandissement transverse par 2^ème relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}} de Descartes «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{1}{V\; p_o + 1}\;</math>» qui dépend effectivement de <math>\;n\;</math> par l'intermédiaire de <math>\;V</math>.</ref>. {{Al|5}}Sachant que le caractère plus ou moins dispersif<ref name="dispersif" /> d'un milieu se quantifie par la [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] <math>\;\big(</math>ou le [[w:Nombre_d'Abbe|nombre d'Abbe]]<ref name="Abbe"> '''[[w:Ernst_Abbe|Ernst Karl Abbe]] (1840 - 1905)''' physicien et industriel allemand à qui on doit des perfectionnements pour obtenir une meilleure qualité d'image, il est essentiellement connu pour la condition d'aplanétisme des systèmes centrés appelée [[w:Aplanétisme#Expression mathématique de l'aplanétisme|condition des sinus d'Abbe]].</ref><math>\big)\;</math> de ce dernier «<math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math>» dans laquelle les indices <math>\;_C</math>, <math>\;_D\;</math> et <math>\;_F\;</math> représentent respectivement les couleurs « rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} =</math> <math>0,6563\; \mu m\;</math> <math>\big(</math>raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène<math>\big)\;</math>», « jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} =</math> <math>0,5893\; \mu m\;</math> <math>\big(</math>raie <math>\;D\;</math> du sodium<math>\big)\;</math>» et « bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> <math>\big(</math>raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène<math>\big)\;</math>»<ref name="constringence"> On remarque que plus le milieu est dispersif, plus sa [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Nombre_d'Abbe|nombre d'Abbe]]<math>\big)\;</math> est faible, un milieu non dispersif ayant une [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] infinie ; <br>{{Al|3}}par exemple, on peut classer les verres en deux catégories * les « <u>crown</u> » <math>\;\big(</math>à base de silicate de potassium et de calcium<math>\big)\;</math> à faible indice et à [[w:Nombre_d'Abbe|nombre d'Abbe]] élevé donc peu dispersif <math>\;\big(n_D \simeq 1,52\;</math> et <math>\;50 \lesssim \nu_D \lesssim 80</math>, exemple de crown utilisé pour les télescopes <math>\;n_{\text{rouge}} = 1,525\;</math> et <math>\;n_{\text{violet}} = 1,550\big)\;</math> et * les « <u>flint</u> » <math>\;\big(</math>à base de silicate de potassium et de plomb<math>\big)\;</math> à haut indice et à [[w:Nombre_d'Abbe|nombre d'Abbe]] faible donc très dispersif <math>\;\big(1,50 \lesssim n_D \lesssim 2,00\;</math> et <math>\;\nu_D \lesssim 50</math>, exemple de flint <math>\;n_{\text{rouge}} = 1,608\;</math> et <math>\;n_{\text{violet}} = 1,660\big)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Ernst_Abbe|Ernst Karl Abbe]] (1840 - 1905)''' physicien et industriel allemand à qui on doit des perfectionnements pour obtenir une meilleure qualité d'image, il est essentiellement connu pour la condition d'aplanétisme des systèmes centrés appelée [[w:Aplanétisme#Expression mathématique de l'aplanétisme|condition des sinus d'Abbe]].</ref>, on se propose de déterminer les [[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberrations chromatiques]] longitudinale et transversale d'une lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] biconvexe de rayons de courbure non algébrisés d'entrée <math>\;R_e =</math> <math>20\;cm\;</math> et de sortie <math>\;R_s = 80\;cm</math>, de diamètre d'ouverture<ref> C.-à-d. le diamètre de la partie utile de la lentille pour être dans les conditions de Gauss de stigmatisme et d'aplanétisme.</ref> <math>\;D = 6\; cm\;</math> et d'indice suivant la relation de Cauchy<ref name="Cauchy"> '''[[w:Augustin_Louis_Cauchy|Augustin Louis Cauchy]] (1789 - 1857)''', mathématicien français à qui on doit, entre autres, des critères de convergence des [[w:Suite_de_Cauchy|suites]] et des [[w:Règle_de_Cauchy|séries entières]] dans le domaine de l'analyse et dans celui de l'optique des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques.</ref> «<math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} a = 1,657\\ b = 8,3\; 10^{-3}\; \mu m^2\end{array}\right\rbrace\;</math>». ===== Détermination de la constringence du milieu et de la vergence moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie ===== {{Al|5}}À partir des données précédemment introduites déterminer, pour la lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] biconvexe, algébriquement et numériquement # la [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] du milieu la constituant et commenter le choix de ce milieu pour limiter les [[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberrations chromatiques]] de la lentille, # la vergence moyenne<ref name="définition moyenne"> C.-à-d. correspondant à la couleur jaune « jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} = 0,5893\; \mu m\;</math> <math>\big(</math>raie <math>\;D\;</math> du sodium<math>\big)\;</math>».</ref> ainsi que la distance focale image<ref name="lien entre vergence et distance focale image" /> moyenne<ref name="définition moyenne"/> de la lentille. {{Solution|contenu = # <u>[[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] du milieu constituant la lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]]</u> : compte-tenu de la définition <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}</math>, il convient d'évaluer l'indice pour les trois couleurs de référence par utilisation de la relation de Cauchy<ref name="Cauchy" /> <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} a = 1,657\\ b = 8,3\; 10^{-3}\; \mu m^2\end{array}\right\rbrace</math> : <br>{{Transparent|constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : }}<math>\succ\;</math> couleur jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} = 0,5893\; \mu m\;</math> <math>\big(</math>raie <math>\;D\;</math> du sodium<math>\big)</math>, <math>\;n_D = a + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2}\;</math> soit numériquement <math>\;n_D = 1,657 + \dfrac{8,3\;10^{-3}}{(0,5893)^2}\;</math> ou <br>{{Transparent|constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> couleur jaune <math>\;\color{transparent}{\lambda_{0,\, D} = 0,5893\; \mu m}\;</math> <math>\color{transparent}{\big(}</math>raie <math>\;\color{transparent}{D}\;</math> du sodium<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}<math>\;n_D \simeq 1,68090\;</math> puis <br>{{Transparent|constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : }}<math>\succ\;</math> couleur bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> <math>\big(</math>raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène<math>\big)</math>, <math>\;n_F = a + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,F}^2}\;</math> soit numériquement <math>\;n_F = 1,657 + \dfrac{8,3\;10^{-3}}{(0,4861)^2}\;</math> ou <br>{{Transparent|constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> couleur bleu <math>\;\color{transparent}{\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m}\;</math> <math>\color{transparent}{\big(}</math>raie <math>\;\color{transparent}{F}\;</math> de l'hydrogène<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}<math>\;n_F \simeq 1,69213\;</math> et enfin <br>{{Transparent|constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : }}<math>\succ\;</math> couleur rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} = 0,6563\; \mu m\;</math> <math>\big(</math>raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène<math>\big)</math>, <math>\;n_C = a + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,C}^2}\;</math> soit numériquement <math>\;n_F = 1,657 + \dfrac{8,3\;10^{-3}}{(0,6563)^2}\;</math> ou <br>{{Transparent|constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> couleur rouge <math>\;\color{transparent}{\lambda_{0,\, C} = 0,6563\; \mu m}\;</math> <math>\color{transparent}{\big(}</math>raie <math>\;\color{transparent}{C}\;</math> de l'hydrogène<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}<math>\;n_C \simeq 1,67627</math> ; <br>{{Transparent|constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : }}on en déduit littéralement la [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] <math>\;\nu_D = \dfrac{a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2}}{b \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> donnant numériquement <math>\;\nu_D \simeq \dfrac{1,68090 - 1}{1,69213 - 1,67627} \simeq 42,93\;</math> soit <br>{{Transparent|constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : on en déduit littéralement la constringence}}«<math>\;\nu_D \simeq 43\;</math>» ; <br>{{Transparent|constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : }}la valeur de la [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] étant <math>\;\lesssim 50</math>, il s'agit d'un « flint »<ref name="flint ou crown"> Revoir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#cite_note-constringence-148|¹⁴⁸]] » plus haut dans cet exercice.</ref> qualifié de « très dispersif » et donc <br>{{Al|8}}{{Transparent|constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : la valeur de la constringence étant <math>\;\color{transparent}{\lesssim 50}</math>, il s'agit d'un « flint » }}mal adapté à la limitation des [[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberrations chromatiques]]. # <u>Vergence et distance focale image<ref name="lien entre vergence et distance focale image" /> moyennes<ref name="définition moyenne"/> de la lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] biconvexe</u> : le rayon de courbure algébrisé d'entrée est positif car le dioptre sphérique d'entrée qualifié de convexe avant insertion dans un montage reste, une fois inséré, convexe<ref name="définition concavité d'un dioptre"> En fait les faces d'entrée et de sortie ne sont définies qu'à partir du moment où la lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] est insérée dans un montage, ceci définissant le sens de propagation de la lumière ; avant insertion le caractère convexe <math>\;\big(</math>ou concave<math>\big)\;</math> d'un dioptre est défini « de l'air vers le milieu constituant la lentille », « convexe » si le centre de courbure est du côté du milieu et « concave » s'il est du côté de l'air d'où un dioptre qualifié de « convexe » avant insertion de la lentille dans un montage définit une « face convexe » s'il est à l'« entrée » de la lentille et une « face concave » s'il est à sa « sortie ».</ref>, <math>\;C_e\;</math> étant à droite de <math>\;S_e \simeq O</math>, d'où «<math>\;\overline{R_e} = R_e = 20\;cm\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent| Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe : }}le rayon de courbure algébrisé de sortie est négatif car, le dioptre sphérique de sortie qualifié de convexe avant insertion dans un montage est, une fois inséré, concave<ref name="définition concavité d'un dioptre" />, <math>\;C_s\;</math> étant à gauche de <math>\;S_s \simeq O</math>, d'où «<math>\;\overline{R_s} = -R_s = -80\;cm\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent| Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe : }}la vergence moyenne de la lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] biconvexe vaut <math>\;V_D = (n_D - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)\;</math><ref name="vergence d'une lentille sphérique mince"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Vergence_d'une_lentille_sphérique_mince|vergence d'une lentille sphérique mince]] » plus haut dans cet exercice, le caractère moyen ajoutant que le calcul est fait pour la couleur jaune « jaune <math>\;\lambda_{0,\, D}</math> <math>= 0,5893\; \mu m\;</math> <math>\big(</math>raie <math>\;D\;</math> du sodium<math>\big)\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|11}}{{Transparent| Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe : la vergence moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe vaut }}<math>\;V_D = \left( a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2} \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)\;</math><ref name="vergence d'une lentille sphérique mince" /> donnant numériquement <math>\;V_D = (1,68090 - 1) \left( \dfrac{1}{0,200} - \dfrac{1}{-0,800} \right) \simeq 4,2556</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> soit «<math>\;V_D \simeq 4,256\;\delta\;</math>»<ref name="dioptrie" /> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent| Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe : }}la distance focale image<ref name="lien entre vergence et distance focale image" /> moyenne<ref name="définition moyenne"/> de la lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] biconvexe s'obtient par <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{V_D}\;</math> ou <br>{{Al|23}}{{Transparent| Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe : la distance focale image moyenne }}«<math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{\left( a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2} \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)}\;</math>» donnant numériquement <br>{{Al|23}}{{Transparent| Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe : la distance focale image moyenne }}«<math>\;f_{i,\,D} \simeq \dfrac{1}{4,2556} \simeq 0,23498\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit <br>{{Al|23}}{{Transparent| Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe : la distance focale image moyenne }}«<math>\;f_{i,\,D} \simeq 235,0\;mm\;</math>».}} ===== Détermination de l'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie ===== {{Al|5}}À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer, algébriquement puis numériquement, en fonction de la [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] et de la distance focale image moyenne<ref name="définition moyenne"/>{{,}}<ref> On considérera que <math>\;\dfrac{\vert f_{i,\,C} - f_{i,\,D} \vert}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_C\;</math> ainsi que <math>\;\dfrac{\vert f_{i,\,F} - f_{i,\,D} \vert}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_F\;</math> sont <math>\;\ll 1\;</math> c.-à-d. des infiniment petits de même ordre un et on établira le Développement limité à l'ordre un de ce qu'on cherche <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs|développements limités à l'ordre un d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer, algébriquement puis numériquement, }}l'[[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberration chromatique]] longitudinale de la lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] biconvexe. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'[[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberration chromatique]] longitudinale de la lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] biconvexe définie selon «<math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}}\;</math>» s'évalue à partir des distances focales images bleu <math>\;f_{i,\,F}\;</math> et rouge <math>\;f_{i,\,C}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe définie }}selon «<math>\;\overline{A_L} = f_{i,\,C} - f_{i,\,F}\;</math>» avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{i,\,C} = f_{i,\,D} + \left( f_{i,\,C} - f_{i,\, D} \right) = f_{i,\, D} \left( 1 + \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\, D}}{f_{i,\,D}} \right) \simeq f_{i,\, D} \left( 1 + \varepsilon_C \right)\\f_{i,\,F} = f_{i,\,D} + \left( f_{i,\,F} - f_{i,\, D} \right) = f_{i,\, D} \left( 1 - \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\, F}}{f_{i,\,D}} \right) \simeq f_{i,\, D} \left( 1 - \varepsilon_F \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe définie }}où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\varepsilon_C = \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\, D}}{f_{i,\,D}}\\ \varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\, F}}{f_{i,\,D}}\end{array}\right\rbrace\;</math> sont des infiniment petits de même ordre un, soit encore «<math>\;\overline{A_L} \simeq f_{i,\,D}\;(\varepsilon_C + \varepsilon_F)\;</math>» ; {{Al|5}}il reste à expliciter <math>\;\varepsilon_C + \varepsilon_F\;</math> en fonction, entre autres, de la [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] «<math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math>» du milieu constituant la lentille, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il reste à expliciter <math>\;\color{transparent}{\varepsilon_C + \varepsilon_F}\;</math> en fonction, entre autres, de la }}[[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] que l'on peut réécrire «<math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{(n_F - 1) - (n_C - 1)}\;</math>» ou, en multipliant haut et bas par <math>\;\left(\! \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \!\right)\;</math><ref name="moyen pour faire apparaître la vergence de la lentille sphérique mince"> Dans le but de faire apparaître les vergences des différentes couleurs au numérateur et dénominateur, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Vergence_d'une_lentille_sphérique_mince|vergence d'une lentille sphérique mince]] » plus haut dans cet exercice : «<math>\;V = (1 - n) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_s} - \dfrac{1}{\overline{R}_e} \right) = (n - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_e} - \dfrac{1}{\overline{R}_s} \right)\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|il reste à expliciter <math>\;\color{transparent}{\varepsilon_C + \varepsilon_F}\;</math> en fonction, entre autres, de la constringence que l'on peut réécrire }}«<math>\;\nu_D = \dfrac{(n_D - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_e} - \dfrac{1}{\overline{R}_s} \right)}{(n_F - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_e} - \dfrac{1}{\overline{R}_s} \right) - (n_C - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_e} - \dfrac{1}{\overline{R}_s} \right)} = \dfrac{V_D}{V_F - V_C}\;</math>»<ref name="moyen pour faire apparaître la vergence de la lentille sphérique mince" /> puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il reste à expliciter <math>\;\color{transparent}{\varepsilon_C + \varepsilon_F}\;</math> en fonction, entre autres, de la }}avec la définition de la vergence en fonction de la distance focale image<ref name="lien entre vergence et distance focale image" />, «<math>\;\nu_D = \dfrac{\dfrac{1}{f_{i,\,D}}}{\dfrac{1}{f_{i,\,F}} - \dfrac{1}{f_{i,\,C}}} = \dfrac{1}{\dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,F}} - \dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,C}}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|il reste à expliciter <math>\;\color{transparent}{\varepsilon_C + \varepsilon_F}\;</math> en fonction, entre autres, de la }}dans laquelle «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\dfrac{f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}} \simeq 1 - \varepsilon_F\\ \dfrac{f_{i,\,C}}{f_{i,\,D}} \simeq 1 + \varepsilon_C\end{array}\right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,F}} \simeq \dfrac{1}{1 - \varepsilon_F} \simeq 1 + \varepsilon_F\\ \dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,C}} \simeq \dfrac{1}{1 + \varepsilon_C} \simeq 1 - \varepsilon_C\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="DL à l'ordre un de (1 + varepsilon)^n"> On a utilisé le développement limité à l'ordre un de <math>\;(1 + \varepsilon )^n \simeq 1 + n\; \varepsilon,\;\text{si}\;n \in \mathbb{Q}\;</math> appliqué dans le cas <math>\;n = -1\;</math> voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|il reste à expliciter <math>\;\color{transparent}{\varepsilon_C + \varepsilon_F}\;</math> en fonction, entre autres, de la constringence }}«<math>\;\nu_D = \dfrac{1}{\dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,F}} - \dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,C}}} \simeq \dfrac{1}{(1 + \varepsilon_F) - (1 - \varepsilon_C)} = \dfrac{1}{\varepsilon_F + \varepsilon_C}\;</math>» soit «<math>\;\varepsilon_F + \varepsilon_C \simeq \dfrac{1}{\nu_D}\;</math>»<ref> Soit numériquement <math>\;\varepsilon_F + \varepsilon_C \simeq \dfrac{1}{43} \simeq 2\;10^{-2}\;</math> établissant que <math>\;\varepsilon_F\;</math> et <math>\;\varepsilon_C\;</math> étant chacun strictement inférieur à <math>\;2\;10^{-2}\;</math> peuvent être raisonnablement considérés comme des infiniment petits d'ordre un si on travaille à <math>\;1\,\%\;</math> près.</ref> ; {{Al|5}}le report dans l'expression de l'[[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberration chromatique]] longitudinale «<math>\;\overline{A_L} \simeq f_{i,\,D}\;(\varepsilon_C + \varepsilon_F)\;</math>» précédemment trouvée nous conduit à «<math>\;\overline{A_L} \simeq \dfrac{f_{i,\,D}}{\nu_D}\;</math>» ou numériquement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le report dans l'expression de l'aberration chromatique longitudinale «<math>\;\color{transparent}{\overline{A_L} \simeq f_{i,\,D}\;(\varepsilon_C + \varepsilon_F)}\;</math>» précédemment trouvée nous conduit à }}«<math>\;\overline{A_L} \simeq \dfrac{235,0}{42,93} \simeq 5,4740\;</math> en <math>\;mm\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|le report dans l'expression de l'aberration chromatique longitudinale «<math>\;\color{transparent}{\overline{A_L} \simeq f_{i,\,D}\;(\varepsilon_C + \varepsilon_F)}\;</math>» précédemment trouvée nous conduit à }}«<math>\;\overline{A_L} \simeq 5,5\;mm\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : vérifions s'il est réellement licite de considérer <math>\;\dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\,D}}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_C\;</math> et <math>\;\dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_F\;</math> comme des infiniment petits de même ordre de grandeur en évaluant chaque distance focale image : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>couleur rouge de vergence <math>\;V_C = (n_C - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right) \simeq (1,67627 - 1) \left( \dfrac{1}{0,200} - \dfrac{1}{-0,800} \right) \simeq 4,22669\;</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> soit «<math>\;V_C \simeq 4,226\;\delta\;</math>»<ref name="dioptrie" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>couleur rouge }}de distance focale image «<math>\;f_{i,\,C} = \dfrac{1}{V_C} \simeq \dfrac{1}{4,22669} \simeq 0,236592\;</math> en <math>\;m\;</math>»<ref name="lien entre vergence et distance focale image" /> soit «<math>\;f_{i,\,D} \simeq 236,6\;mm\;</math>» donnant numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>couleur rouge }}«<math>\;f_{i,\,C} - f_{i,\,D} \simeq 236,6 - 235,0\;</math> en <math>\;mm\;</math>» soit «<math>\;f_{i,\,C} - f_{i,\,D} \simeq 1,6\;mm\;</math>» et par suite «<math>\;\varepsilon_C = \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\,D}}{f_{i,\,D}} \simeq \dfrac{1,6}{235,0} \simeq 0,68\,\%\;</math>»<ref> Donc pouvant être considéré comme un infiniment petit d'ordre un si on travaille à <math>\;1\,\%\;</math> près.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>couleur bleu de vergence <math>\;V_F = (n_F - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right) \simeq (1,69213 - 1) \left( \dfrac{1}{0,200} - \dfrac{1}{-0,800} \right) \simeq 4,32581\;</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> soit «<math>\;V_F \simeq 4,326\;\delta\;</math>»<ref name="dioptrie" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>couleur bleu }}de distance focale image «<math>\;f_{i,\,F} = \dfrac{1}{V_F} \simeq \dfrac{1}{4,32581} \simeq 0,2311706\;</math> en <math>\;m\;</math>»<ref name="lien entre vergence et distance focale image" /> soit «<math>\;f_{i,\,F} \simeq 231,1\;mm\;</math>» donnant numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>couleur bleu }}«<math>\;f_{i,\,D} - f_{i,\,F} \simeq 235,0 - 231,1\;</math> en <math>\;mm\;</math>» soit «<math>\;f_{i,\,D} - f_{i,\,F} \simeq 3,9\;mm\;</math>» et par suite «<math>\;\varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}} \simeq \dfrac{3,9}{235,0} \simeq 1,66\,\%\;</math>»<ref> N'étant pas rigoureusement un infiniment petit d'ordre un si on travaille à <math>\;1\,\%\;</math> près, mais étant néanmoins petit de même ordre de grandeur car <math>\;\dfrac{\varepsilon_F}{\varepsilon_C} \simeq</math> <math>\dfrac{1,66}{0,68} \simeq 2,5\;</math> d'où l'hypothèse simplificatrice de les supposer tous deux comme des infiniment petits de même ordre un.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>couleur bleu }}bien que <math>\;\varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}}\;</math> étant <math>\;\nless 1\,\%\;</math> et qu'il n'était pas rigoureusement licite de le considérer comme un infiniment petit d'ordre un en travaillant à <math>\;1\,\%\;</math> près, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>couleur bleu bien que <math>\;\color{transparent}{\varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}}}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\nless 1\,\%}\;</math> }}l'erreur commise en faisant cette hypothèse peut être négligée, en effet <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>couleur bleu bien que <math>\;\color{transparent}{\varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}}}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\nless 1\,\%}\;</math> }}on obtient la même valeur d'[[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberration chromatique]] longitudinale en la calculant directement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>couleur bleu bien que <math>\;\color{transparent}{\varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}}}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\nless 1\,\%}\;</math> on obtient la même valeur }}à partir des valeurs de distances focales images rouge et bleu <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>couleur bleu bien que <math>\;\color{transparent}{\varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}}}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\nless 1\,\%}\;</math> on obtient la même valeur }}«<math>\;\overline{A_L} = f_{i,\,C} - f_{i,\,F} \simeq 236,6 - 231,1 \simeq 5,5\;mm\;</math>».}} ===== Détermination de l'aberration chromatique transversale de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie ===== {{Al|5}}À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer algébriquement l'[[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberration chromatique]] transversale de la lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] biconvexe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer }}<math>\succ\;</math>d'abord en fonction de l'[[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberration chromatique]] longitudinale, des distances focales des couleurs extrêmes et du diamètre d'ouverture <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer }}<math>\succ\;</math>puis en fonction de la [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] et du diamètre d'ouverture<ref> Pour cette expression nous supposerons <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D} \ll 1\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D}\;</math> peut être considéré comme un infiniment petit d'ordre un, même si ce n'est pas tout à fait exact en travaillant à <math>\;1\,\%\;</math> près, l'erreur commise en faisant cette hypothèse pouvant être négligée.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir des mêmes données précédemment introduites }}et terminer en faisant l'application numérique ; {{Al|5}}comparer les deux [[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberrations chromatiques]] et commenter. {{Solution|contenu = [[File:Aberration chromatique transversale.jpg|thumb|550px|Construction pour définir l'[[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberration chromatique]] transversale d'une lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] de diamètre d'ouverture <math>\;D</math>]] {{Al|5}}L'[[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberration chromatique]] transversale étant définie par «<math>\;A_T = HB' = HB''\;</math>»<ref name="définition des points"> Voir la définition des points <math>\;B'</math>, <math>\;B''\;</math> et <math>\;H\;</math> sur la figure ci-contre.</ref>, on détermine * <math>\;HB'\;</math> en utilisant l'homothétie des triangles <math>\;OBF_{i,\,C}\;</math> et <math>\;HB'F_{i,\,C}\;</math><ref name="définition des points" /> et * <math>\;HB''\;</math> en utilisant l'homothétie des triangles <math>\;OBF_{i,\,F}\;</math> et <math>\;HB''F_{i,\,F}\;</math><ref name="définition des points" />, {{Al|5}}soit, avec le rayon d'ouverture de la lentille <math>\;OB = \dfrac{D}{2}</math>, * <math>\;\dfrac{\overline{HF_{i,\,C}}}{HB'} = \dfrac{\overline{OF_{i,\,C}}}{\dfrac{D}{2}}\;</math><ref name="définition des points" /> dont on déduit «<math>\;\overline{HF_{i,\,C}} = 2\;f_{i,\,C}\;\dfrac{A_T}{D}\;</math>»<ref name="définition des points" />, * <math>\;\dfrac{\overline{F_{i,\,F}H}}{HB''} = \dfrac{\overline{OF_{i,\,F}}}{\dfrac{D}{2}}\;</math><ref name="définition des points" /> dont on déduit «<math>\;\overline{F_{i,\,F}H} = 2\;f_{i,\,F}\;\dfrac{A_T}{D}\;</math>»<ref name="définition des points" /> {{Al|5}}et enfin, en faisant la somme des deux expressions <math>\;\overline{HF_{i,\,C}}\;</math><ref name="définition des points" /> et <math>\;\overline{F_{i,\,F}H}\;</math><ref name="définition des points" />, «<math>\;\overline{F_{i,\,F}H} + \overline{HF_{i,\,C}} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}}</math> <math>= \overline{A_L}\;</math>» on en déduit finalement «<math>\;\overline{A_L} = 2\;(f_{i,\,C} + f_{i,\,F})\;\dfrac{A_T}{D}\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}une 1^ère expression de l'[[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberration chromatique]] transversale «<math>\;A_T = \overline{A_L}\;\dfrac{D}{2\;(f_{i,\,C} + f_{i,\,F})}\;</math>». {{Al|5}}On sait, d'après la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_de_l'aberration_chromatique_longitudinale_de_la_lentille_sphérique_mince_biconvexe_précédemment_définie|détermination de l'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie]] » plus haut dans cet exercice, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On sait, }}que «<math>\;\overline{A_L} \simeq \dfrac{f_{i,\,D}}{\nu_D}\;</math>» d'où, par report dans l'expression précédente de <math>\;A_T</math>, on obtient «<math>\;A_T \simeq \dfrac{f_{i,\,D}}{\nu_D}\;\dfrac{D}{2\;(f_{i,\,C} + f_{i,\,F})}\;</math>» ou encore «<math>\;A_T \simeq \dfrac{1}{2\;\nu_D}\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math>» dans lequel le facteur <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D}\;</math> étant de l'ordre de <math>\;10^{-2}\;</math> est un infiniment petit d'ordre un <math>\Rightarrow</math> «<math>\;A_T\;</math> est un infiniment petit au moins d'ordre un<ref> C'est un infiniment petit d'ordre un si le 2^ème facteur <math>\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> est non petit mais si ce dernier était un infiniment petit d'ordre un <math>\;\big(</math>ou même deux<math>\big)\;</math> l'[[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberration chromatique]] transversale serait un infiniment petit d'ordre deux <math>\;\big(</math>ou même trois<math>\big)\;</math> donc <br>{{Al|3}}{{Transparent|C'est un infiniment petit }}d'ordre au moins un sans autre information.</ref> » ; {{Al|5}}comme cela est vu dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Déterminer_le_développement_limité_à_l'ordre_n_d'un_produit_de_deux_fonctions_dont_le_développement_limité_d'une_des_fonctions_a_pour_terme_prépondérant_un_infiniment_petit_d'ordre_p|déterminer le D.L. à l'ordre ''n'' d'un produit de deux fonctions dont le D.L. d'une des fonctions a pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre ''p'']] » du chap.<math>14</math> de la leçon {{Nobr|« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »,}} <br>{{Al|5}}{{Transparent|comme cela est vu dans le paragraphe }}pour obtenir le D.L<ref name="D.L."> Développement Limité.</ref>. à l'ordre un du « produit <math>\;A_T \simeq \dfrac{1}{2\;\nu_D}\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math>» sachant que le 1^er facteur <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D}\;</math> est considéré comme un infiniment petit d'ordre un, <br>{{Al|13}}{{Transparent|comme cela est vu dans le paragraphe pour obtenir le D.L. à l'ordre un du « produit }}il suffit de prendre le D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre zéro du 2^ème facteur <math>\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> dans lequel «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{i,\,C} \simeq f_{i,\, D} \left( 1 + \varepsilon_C \right)\\f_{i,\,F} \simeq f_{i,\, D} \left( 1 - \varepsilon_F \right)\end{array} \right\rbrace\;</math>» où «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\varepsilon_C = \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\, D}}{f_{i,\,D}}\\ \varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\, F}}{f_{i,\,D}}\end{array}\right\rbrace\;</math> sont des infiniment petits de même ordre un », d'où les « D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre zéro des distances focales images rouge et bleu <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{i,\,C} \simeq f_{i,\, D}\\f_{i,\,F} \simeq f_{i,\, D}\end{array} \right\rbrace\;</math>» et par suite le « D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre zéro du 2^ème facteur de l'[[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberration chromatique]] transversale <math>\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}} \simeq \dfrac{f_{i,\,D}\;D}{2\; f_{i,\,D}} = \dfrac{D}{2}\;</math>» ; finalement <br>{{Al|5}}la 2^ème expression cherchée de l'[[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberration chromatique]] transversale est «<math>\;A_T \simeq \dfrac{D}{4\;\nu_D}\;</math>». {{Al|5}}Numériquement on obtient «<math>\;A_T \simeq \dfrac{6}{4 \times 42,93} \simeq 3,494\,10^{-2}\;</math> en <math>\;cm\;</math>» soit «<math>\;A_T \simeq 0,35\;mm\;</math>» ; {{Al|5}}si on compare l'[[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberration chromatique]] longitudinale <math>\;\overline{A_L} \simeq 5,5\;mm\;</math> à l'[[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberration chromatique]] transversale <math>\;A_T \simeq 0,35\;mm\;</math> qui est approximativement quinze fois plus petite, on en conclut que <center>« l'[[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberration chromatique]] de la lentille pour un point objet situé sur l'axe optique principal<ref> En fait nous ne l'avons établi que pour le point objet à l'infini de l'axe optique principal.</ref> est essentiellement longitudinale ».</center>}} === Doublet de lentilles sphériques minces accolées, condition d'équivalence à une lentille sphérique mince et vergence de cette dernière, achromat mince === {{Al|5}}Les deux lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> de même axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> d'un doublet sont dites « accolées » quand leurs centres optiques <math>\;O_1\;</math> et <math>\;O_2\;</math> sont confondus, leur position commune étant notée <math>\;O</math> ; notant <math>\;V_1\;</math> et <math>\;V_2\;</math> les vergences respectives des lentilles sphériques <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2</math>, on se propose de déterminer * à quel système dioptrique le doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> accolées est équivalent puis, * dans le cas où il serait équivalent à une lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]], dans quelle mesure il est possible de construire un achromat mince<ref> C.-à-d. un système dioptrique équivalent à une lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] achromatique.</ref> de vergence fixée en accolant deux lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] de vergence adaptée et d'indice judicieusement choisi. ==== Applicabilité des relations de conjugaison de position et de grandissement transverse au doublet de lentilles sphériques minces accolées ==== {{Al|5}}Vérifier que le point <math>\;O\;</math> est un point double du doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] accolées puis {{Al|5}}établir les relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes<ref name="Descartes" /> du doublet en choisissant <math>\;O\;</math> comme origine du repérage de Descartes<ref name="Descartes" /> des points objets et des points images correspondant. {{Solution| contenu ={{Al|5}}Soient <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> deux lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] de même axe optique principal <math>\;\Delta</math>, de centre optique commun <math>\;O_1 \simeq O_2\;</math> noté <math>\;O</math>, de vergences respectives <math>\;V_1\;</math> et <math>\;V_2</math>, on vérifie aisément que le « point <math>\;O\;</math> est un point double du doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] accolées », c'est-à-dire «<math>\;O\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;O\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;O\;</math>» car <math>\;O \simeq O_1\;</math> est un point double de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;O \simeq O_2\;</math> un point double de <math>\;\mathcal{L}_2</math> d'où «<math>\;O\;</math> est un point double du doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] accolées » <math>\;\big\{</math>le choix de <math>\;O\;</math> comme origine du repérage de Descartes<ref name="Descartes" /> des points objet et image du doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] accolées permet un traitement simplifié des relations de conjugaison par le doublet<math>\big\}</math> : {{Al|5}}soient <math>\;A_o\;</math> un point objet de <math>\;\Delta</math>, d'abscisse de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;p_o = \overline{OA_o}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soient }}<math>\;A_1 \in \Delta\;</math> le point conjugué par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, d'abscisse de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;p_1 = \overline{OA_1}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|soient }}<math>\;A_i \in \Delta\;</math> le point image par le doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] accolées, d'abscisse de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|soient }}«<math>\;A_o\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_1\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_i\;</math>», <br>{{Al|5}}nous pouvons appliquer successivement la 1^ère relation de conjugaison de Descartes<ref name="Descartes" />{{,}}<ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> à la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> puis <br>{{Al|15}}{{Transparent|nous pouvons appliquer successivement la 1^ère relation de conjugaison de Descartes }}à la lentille <math>\;\mathcal{L}_2</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|nous pouvons appliquer successivement la 1^ère relation de conjugaison de Descartes }}nous obtenons «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1}{p_1} - \dfrac{1}{p_o} = V_1\\ \dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_1} = V_2\end{array}\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|15}}{{Transparent|nous pouvons appliquer successivement la 1^ère relation de conjugaison de Descartes nous }}éliminons aisément l'abscisse de l'image intermédiaire en faisant la somme de ces deux relations d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous pouvons appliquer successivement }}la 1^ère relation de conjugaison de Descartes<ref name="Descartes" /> du doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] accolées «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V_1 + V_2\;</math>» ; {{Al|5}}soient <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse<ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> d'abscisse de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;p_o = \overline{OA_o}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soient }}<math>\;A_1B_1\;</math> l'image conjuguée par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, de pied <math>\;A_1\;</math> d'abscisse de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;p_1 = \overline{OA_1}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|soient }}<math>\;A_iB_i\;</math> l'image par le doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] accolées, de pied <math>\;A_i\;</math> d'abscisse de Descartes<ref name="Descartes" /> <math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|soient }}«<math>\;A_oB_o\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_1B_1\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_iB_i\;</math>», <br>{{Al|5}}nous pouvons appliquer successivement la 2^ème relation de conjugaison de Descartes<ref name="Descartes" />{{,}}<ref name="2ème relation de conjugaison de Descartes" /> à la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> puis <br>{{Al|15}}{{Transparent|nous pouvons appliquer successivement la 2^ème relation de conjugaison de Descartes }}à la lentille <math>\;\mathcal{L}_2</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|nous pouvons appliquer successivement la 2^ème relation de conjugaison de Descartes }}nous obtenons «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}G_{t,\,1}(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{p_1}{p_o}\\ G_{t,\,2}(A_1)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}} = \dfrac{p_i}{p_1} \end{array}\right\rbrace\;</math>» ; {{Al|5}}définissant le grandissement transverse de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> par le doublet selon «<math>\;G_t(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}}\;\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}}\;</math>» soit finalement «<math>\;G_t(A_o) =</math> <math>G_{t,\,1}(A_o)\;G_{t,\,2}(A_1)\;</math>», <br>{{Al|15}}{{Transparent|nous pouvons appliquer successivement la 2^ème relation de conjugaison de Descartes }}nous éliminons aisément l'abscisse du pied de l'image intermédiaire en faisant le produit de ces deux relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes<ref name="Descartes" /> soit «<math>\;G_t(A_o) = G_{t,\,1}(A_o)\;G_{t,\,2}(A_1) = \dfrac{p_1}{p_o}\;\dfrac{p_i}{p_1}\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous pouvons appliquer successivement }}la 2^ème relation de conjugaison de Descartes<ref name="Descartes" /> du doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] accolées «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>».}} ==== Équivalence du doublet de lentilles sphériques minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles sont opposées ==== {{Al|5}}Vérifier que tous les points objet <math>\;A_o\;</math> sont des points doubles du doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] accolées dans le cas où les vergences de celles-ci sont opposées et {{Al|5}}préciser le système dioptrique équivalent au doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] accolées. {{Solution| contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes<ref name="Descartes" /> d'un doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] accolées de vergences opposées étant «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = 0\; \Leftrightarrow\; p_i = p_o \\ G_t(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{p_i}{p_o}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ou encore «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{OA_i} = \overline{OA_o}\\ \overline{A_iB_i} = \overline{A_oB_o}\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}la 1^ère relation établissant que tous les points <math>\;A_o \in \Delta\;</math> sont des points doubles du doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] accolées de vergences opposées<ref> Contrairement au point <math>\;O\;</math> pour lequel la conjugaison par le doublet est rigoureuse <math>\;\big(</math>il y a, en effet, conjugaison rigoureuse du centre optique <math>\;O_1 \simeq O\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et du centre optique <math>\;O_2 \simeq O\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_2\big)</math>, celle de tous les autres points nécessitant d'obéir aux conditions de stigmatisme approché de Gauss, la conjugaison est approché.</ref> et <br>{{Al|5}}la 2^ème {{Transparent|relation établissant }}que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose point par point à l'objet <math>\;A_oB_o\;</math><ref> L'aplanétisme de chaque lentille nécessitant que les conditions d'aplanétisme approchée de Gauss de chaque lentille soient réalisées pour l'objet linéique transverse, il doit en être de même pour qu'il y ait superposition point par point de l'objet et de son image par le doublet.</ref> ; <br>{{Al|5}}en conclusion, le doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] accolées de vergences opposées est équivalent à une <u>lame d'air à faces</u><math>\;\parallel\;</math><ref> En effet on a établi dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Stigmatisme_approché_de_la_lame_et_distance_séparant_le_point_image_du_point_objet_associé|stigmatisme approché de la lame et distance séparant le point image du point objet associé]] » de l'exercice de la série <math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » que la longueur algébrique joignant l'objet <math>\;A_o\;</math> à son image <math>\;A_i\;</math> par la lame à faces <math>\;\parallel\;</math> constituée d'un milieu d'indice <math>\;n\;</math> et d'épaisseur <math>\;e\;</math> plongé dans l'air est <math>\;\overline{A_oA_i} =</math> <math>e \left( 1 - \dfrac{1}{n} \right)\;</math> donnant <math>\;\overline{A_oA_i} \simeq 0\;\forall\; e\;</math> pour une lame d'air à faces <math>\;\parallel</math>.</ref>.}} ==== Équivalence du doublet de lentilles sphériques minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles ne sont pas opposées ==== {{Al|5}}Vérifier que le doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] accolées est équivalent à une lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] dont le centre optique est le point <math>\;O\;</math> dans le cas où les vergences des lentilles ne sont pas opposées et {{Al|5}}préciser la vergence de la lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] équivalente en fonction des vergences des lentilles individuelles. {{Solution| contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes<ref name="Descartes" /> d'un doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] accolées de vergences non opposées étant «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V_1 + V_2 \neq 0\\ G_t(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{p_i}{p_o}\end{array}\right\rbrace\;</math>» établissent <br>{{Al|5}}l'équivalence du doublet à une <u>lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] de même axe optique principal</u><math>\;\Delta</math>, <u>de centre optique</u><math>\;O\;</math><u>et dont la vergence est la somme des vergences des lentilles individuelles soit «</u><math>\;V = V_1 + V_2\;</math><u>»</u>.}} ==== Construction d'un achromat mince de vergence fixée en accolant deux lentilles sphériques minces de vergence adaptée utilisant des milieux d'indice judicieusement choisi ==== {{Al|5}}On se propose de réaliser un objectif achromatique mince<ref> Encore appelé « achromat mince ».</ref>, de vergence <math>\;V = 4,25\;\delta\;</math><ref name="dioptrie" />, en accolant deux lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] : * l'une plan convexe, de rayons de courbure non algébrisés <math>\;R_{e,\,1}\;</math> et <math>\;R_{s,\,1} = \infty\;</math> en verre « crown »<ref name="flint ou crown" /> de [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] <math>\;\nu_{D,\, 1} = 52\;</math><ref name="constringence" /> et d'indice <math>\;n_{D,\,1}</math> <math>= 1,516\;</math> pour la radiation jaune, * l'autre plan concave, de rayons de courbure non algébrisés <math>\;R_{e,\,2} = \infty\;</math><ref> De façon à ce que les faces en contact aient le même rayon de courbure infini.</ref> et <math>\;R_{s,\,2}\;</math> en verre « flint »<ref name="flint ou crown" /> de [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] <math>\;\nu_{D,\, 2} = 43\;</math><ref name="constringence" /> et d'indice <math>\;n_{D,\,2} = 1,681\;</math> pour la radiation jaune ; {{Al|5}}en utilisant la vergence d'une lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] en fonction des rayons de courbures algébrisés des faces d'entrée et de sortie ainsi que de l'indice du milieu constituant la lentille <br>{{Al|5}}{{Transparent|en utilisant la vergence d'une lentille sphérique mince }}«<math>\;V = (1 - n) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_s} - \dfrac{1}{\overline{R}_e} \right)\;</math>»<ref name="définition des rayons de courbure algébrisés"> Avec <math>\;\overline{R_e} = \overline{OC_e}\;</math> et <math>\;\overline{R_s} = \overline{OC_s}\;</math> les rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie de la lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]].</ref> <math>\;\big(</math>voir solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Vergence_d'une_lentille_sphérique_mince|vergence d'une lentille sphérique mince]] » plus haut dans cet exercice<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|en utilisant }}la relation de Cauchy<ref name="Cauchy" /> gérant la variation de l'indice d'un milieu «<math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math>» avec <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> constantes caractéristiques du milieu et <br>{{Al|5}}{{Transparent|en utilisant }}la définition de la [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] d'un milieu «<math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math>»<ref name="signification des indices"> On rappelle la signification des indices relatifs aux trois couleurs de référence : <br>{{Al|23}}<math>\;\succ\;</math> couleur jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} = 0,5893\; \mu m\;</math> <math>\big(</math>raie <math>\;D\;</math> du sodium<math>\big)</math>, <br>{{Al|23}}<math>\;\succ\;</math> couleur bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> <math>\big(</math>raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène<math>\big)</math>, <br>{{Al|23}}<math>\;\succ\;</math> couleur rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} = 0,6563\; \mu m\;</math> <math>\big(</math>raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène<math>\big)</math>.</ref>, laquelle, associée à la formule de Cauchy<ref name="Cauchy" />, permet de déterminer la valeur de la constante <math>\;b\;</math> de la relation de Cauchy<ref name="Cauchy" />, en fonction de la [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] <math>\;\nu_D</math>, de l'indice <math>\;n_D\;</math> pour la radiation jaune et des longueurs d'onde de référence, «<math>\;b =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{\nu_D \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math>»<ref name="expression de b"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_de_la_constringence_du_milieu_et_de_la_vergence_moyenne_de_la_lentille_sphérique_mince_biconvexe_précédemment_définie|détermination de la constringence du milieu et de la vergence moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie]] » plus haut dans cet exercice où on a établi <math>\;\nu_D = \dfrac{a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2}}{b \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} = \dfrac{n_D - 1}{b \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> d'où l'expression de <math>\;b</math>.</ref>, # déterminer une 1^ère expression de la vergence <math>\;V\;</math> du doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] accolées en fonction des vergences <math>\;V_1\;</math> et <math>\;V_2\;</math> de chaque lentille individuelle <math>\;\big[</math>dont l'expression pour la radiation jaune définit la relation <math>\;(\mathfrak{1})\big]</math>, puis <br>{{Transparent|déterminer }}une 2^ème expression en fonction des rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie ainsi que des indices des milieux présents et enfin, # déterminer la condition pour que le doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] accolées soit achromatique en écrivant que la dérivée de sa vergence par rapport à la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> est nulle pour <math>\;\lambda_0 = \lambda_{0,\,D}\;</math><ref> La 2^ème expression de la vergence <math>\;V\;</math> du doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] accolées dépendant implicitement de la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> on fait un développement limité à l'ordre un de son expression au voisinage de <math>\;\lambda_{0,\,D}\;</math> et on trouve «<math>\;V(\lambda_0) \simeq V(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\, (\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})\;</math>» <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs|développements limités à l'ordre un d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}la nullité de <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;</math> entraîne alors que la vergence reste constante à l'ordre un en <math>\;(\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math>.</ref>, on explicitera cette condition en fonction de la vergence pour la radiation jaune et de la [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] de chaque lentille individuelle <math>\;\big[</math>relation <math>\;(\mathfrak{2})\big]</math> ; {{Al|5}}résoudre littéralement et numériquement le système d'équations linéaires <math>\;\left\lbrace (\mathfrak{1})\, ;\, (\mathfrak{2}) \right\rbrace\;</math> aux deux inconnues <math>\;[ V_1(\lambda_{0,\,D})\, ;\, V_2(\lambda_{0,\,D})]\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_de_deux_équations_algébriques_linéaires_à_deux_inconnues#Résolution_d'un_système_hétérogène_de_deux_équations_algébriques_linéaires_à_deux_inconnues|résolution d'un système hétérogène de deux équations algébriques à deux inconnues]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », on choisira l'une des deux principales méthodes exposées.</ref> puis {{Al|5}}préciser la nature « convergente ou divergente » de l'achromat mince obtenu et enfin {{Al|5}}en déduire littéralement et numériquement : <br>{{Al|5}}{{Transparent|en déduire }}les distances focales image de chaque lentille pour la radiation jaune, <br>{{Al|5}}{{Transparent|en déduire }}les rayons de courbure non algébrisés d'entrée de la lentille plan convexe et de sortie de la lentille plan concave. {{Solution | contenu =# {{Al|5}}D'après la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Équivalence_du_doublet_de_lentilles_sphériques_minces_accolées_dans_le_cas_où_les_vergences_des_deux_lentilles_ne_sont_pas_opposées|équivalence du doublet de lentilles sphériques minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles ne sont pas opposées]] » plus haut dans cet exercice, les vergences des lentilles composant le doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] accolées sont liées à celle du doublet par «<math>\;V_i + V_2 = V\;</math>», <br>{{Al|5}}l'expression écrite pour la radiation jaune définissant la relation «<math>\;(\mathfrak{1})\quad V_1(\lambda_{0,\,D}) + V_2(\lambda_{0,\,D}) = V(\lambda_{0,\,D})\;</math>» ; <br>{{Al|5}}la vergence du doublet s'explicite en fonction des rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie de chaque lentille individuelle «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \text{pour }\mathcal{L}_1\;\; \overline{R_{e,\,1}} = R_{e,\, 1}\; \text{ et }\; R_{s,\,1} = \infty\\ \text{pour }\mathcal{L}_2\;\; R_{e,\,2} = \infty\; \text{ et }\; \overline{R_{s,\,2}} = R_{s,\,2}\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> L'algébrisation d'un rayon de courbure infini n'ayant aucune signification dans la mesure où un point à l'infini sur l'axe optique principal peut être interprété comme réel ou virtuel.</ref> ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|la vergence du doublet s'explicite en fonction }}des indices des milieux composant chaque lentille «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \text{pour }\mathcal{L}_1\;\; n_1 = a_1 + \dfrac{b_1}{\lambda_0^2}\\ \text{pour }\mathcal{L}_2\;\; n_2 = a_2 + \dfrac{b_2}{\lambda_0^2}\end{array}\right\rbrace\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|la vergence du doublet }}«<math>\; \left( 1 - n_1 \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_{s,\,1}}} - \dfrac{1}{\overline{R_{e,\,1}}} \right) + \left( 1 - n_2 \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_{s,\,2}}} - \dfrac{1}{\overline{R_{e,\,2}}} \right) = V\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{n_1 - 1}{R_{e,\,1}} - \dfrac{n_2 - 1}{R_{s,\,2}} = V\;</math>», soit <br>{{Al|5}}l'expression de la vergence du doublet écrite pour la radiation jaune «<math>\;(\mathfrak{1})\quad \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}} - \dfrac{n_{D,\,2} - 1}{R_{s,\,2}} = V_D\;</math>». # {{Al|5}}La condition pour que le doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] accolées soit achromatique s'écrit «<math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0\;</math>» avec «<math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_0) = \dfrac{dn_1}{d \lambda_0}(\lambda_0)\;\dfrac{1}{R_{e,\,1}} - \dfrac{dn_2}{d \lambda_0}(\lambda_0)\;\dfrac{1}{R_{s,\,2}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces accolées soit achromatique s'écrit «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0}\;</math>» avec }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{dn_1}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -2\;\dfrac{b_1}{\lambda_0^3}\\ \dfrac{dn_2}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -2\;\dfrac{b_2}{\lambda_0^3}\end{array}\right\rbrace\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|La condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces accolées soit achromatique s'écrit }}«<math>\;-2\;\dfrac{b_1}{\lambda_{0,\,D}^3}\;\dfrac{1}{R_{e,\,1}} + 2\;\dfrac{b_2}{\lambda_{0,\,D}^3}\;\dfrac{1}{R_{s,\,2}} = 0\;</math>» dans laquelle <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} b_1 = \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{\nu_{D,\,1} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\\ b_2 = \dfrac{n_{D,\,2} - 1}{\nu_{D,\,2} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="expression de b" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces accolées soit achromatique s'écrit }}«<math>\;-2\;\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{\nu_{D,\,1}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;\dfrac{1}{R_{e,\,1}} + 2\;\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{\nu_{D,\,2}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;\dfrac{1}{R_{s,\,2}} = 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|La condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces accolées soit achromatique s'écrit }}«<math>\;\dfrac{1}{\nu_{D,\,1}}\;\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}} = \dfrac{1}{\nu_{D,\,2}}\;\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{R_{s,\,2}}\;</math>» après simplification évidente, soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces accolées soit achromatique s'écrit }}en reconnaissant «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}} \!\!&=&\!\! V_1(\lambda_{0,\,D}) > 0\\ -\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{R_{s,\,2}} \!\!&=&\!\! V_2(\lambda_{0,\,D}) < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}la réécriture de la condition d'achromatisme du doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] accolées selon la relation «<math>\;(\mathfrak{2})\quad \dfrac{V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}} = -\dfrac{V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}}\;</math>». {{Al|5}}<u>Résolution du système d'équations linéaires à deux inconnues</u> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c r c l} V_1(\lambda_{0,\,D}) \!\!&+&\!\! V_2(\lambda_{0,\,D}) \!\!&=&\!\! V\quad (\mathfrak{1})\\ \nu_{D,\,2}\; V_1(\lambda_{0,\,D}) \!\!&+&\!\! \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D}) \!\!&=&\!\! 0\quad (\mathfrak{2}')\end{array}\right\rbrace\;</math>» : on détermine, en résolvant par C.L<ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref>.{{,}}<ref name="résolution par C.L."> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_de_deux_équations_algébriques_linéaires_à_deux_inconnues#Résolution_par_combinaison_(linéaire)|résolution par combinaison (linéaire)]] (d'un système hétérogène de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution du système d'équations linéaires à deux inconnues }}<math>\;\succ</math><math>\;V_1(\lambda_{0,\,D})\;</math> par « C.L<ref name="C.L." />. <math>\;\nu_{D,\,1}\;(\mathfrak{1}) - (\mathfrak{2}')\;</math>» donnant la solution «<math>\;V_1(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{\nu_{D,\,1}\;V}{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}\;</math>» soit numériquement <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution du système d'équations linéaires à deux inconnues <math>\;\color{transparent}{\succ}</math><math>\;\color{transparent}{V_1(\lambda_{0,\,D})}\;</math> par « C.L. <math>\;\color{transparent}{\nu_{D,\,1}\;(\mathfrak{1}) - (\mathfrak{2}')}\;</math>» donnant la solution }}«<math>\;V_1(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{52 \times 4,25}{52 - 43} \simeq 24,56\;\delta\;</math>»<ref name="dioptrie" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution du système d'équations linéaires à deux inconnues }}<math>\;\succ</math><math>\;V_2(\lambda_{0,\,D})\;</math> par « C.L<ref name="C.L." />. <math>\;-\nu_{D,\,2}\;(\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2}')\;</math>» donnant la solution «<math>\;V_2(\lambda_{0,\,D}) = -\dfrac{\nu_{D,\,2}\;V}{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}\;</math>» soit numériquement <br>{{Al|12}}{{Transparent|Résolution du système d'équations linéaires à deux inconnues <math>\;\color{transparent}{\succ}</math><math>\;\color{transparent}{V_2(\lambda_{0,\,D})}\;</math> par « C.L. <math>\;\color{transparent}{-\nu_{D,\,2}\;(\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2}')}\;</math>» donnant la solution }}«<math>\;V_2(\lambda_{0,\,D}) = -\dfrac{43 \times 4,25}{52 - 43} \simeq -20,31\;\delta\;</math>»<ref name="dioptrie" />. {{Al|5}}<u>Nature de l'achromat mince obtenu</u> : la vergence de l'achromat mince pour la couleur jaune valant «<math>\;V_D = V_1(\lambda_{0,\,D}) + V_2(\lambda_{0,\,D}) \simeq 24,56\;\delta + (-20,31\;\delta) \simeq 4,25\;\delta\;</math>»<ref name="dioptrie" /> est <math>\;> 0\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nature de l'achromat mince obtenu : }}le caractère convergent de l'achromat mince construit <math>\;\big(</math>avec d'autres données il est bien sûr possible de construire un achromat mince divergent<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune</u> : <math>\succ\;</math>pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> on a «<math>\;f_{i,\,1,\,D} = \dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\, D})} = \dfrac{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}{\nu_{D,\,1}\;V}\;</math>»<ref name="lien entre vergence et distance focale image" /> donnant numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour la lentille <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_1}\;</math> on a }}«<math>\;f_{i,\,1,\,D} \simeq \dfrac{1}{24,56} \simeq 0,04072\;</math> en <math>\;m\;</math>» ou «<math>\;f_{i,\,1,\,D} \simeq 40,7\;mm\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune : }}<math>\succ\;</math>pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> on a «<math>\;f_{i,\,2,\,D} = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\, D})} = -\dfrac{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}{\nu_{D,\,2}\;V}\;</math>»<ref name="lien entre vergence et distance focale image" /> donnant numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour la lentille <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_2}\;</math> on a }}«<math>\;f_{i,\,2,\,D} \simeq \dfrac{1}{-20,31} \simeq -0,04924\;</math> en <math>\;m\;</math>» ou «<math>\;f_{i,\,2,\,D} \simeq -49,2\;mm\;</math>». {{Al|5}}<u>Rayon de courbure non algébrisé de la face d'entrée</u><math>\;\big(</math><u>ou de sortie</u><math>\big)\;</math><u>de chaque lentille</u> : <math>\succ\;</math>pour la lentille plan convexe <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> on a «<math>\;V_1(\lambda_{0,\, D}) = \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;R_{e,\,1} = \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{V_1(\lambda_{0,\, D})}\;</math>» donnant numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rayon de courbure non algébrisé de la face d'entrée<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de sortie<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de chaque lentille : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour la lentille plan convexe <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_1}\;</math> on a }}«<math>\;R_{e,\,1} \simeq \dfrac{1,516 - 1}{24,56} \simeq 0,0211\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit «<math>\;R_{e,\,1} \simeq 21,1\;mm\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rayon de courbure non algébrisé de la face d'entrée<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de sortie<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de chaque lentille : }}<math>\succ\;</math>pour la lentille plan concave <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> on a «<math>\;V_2(\lambda_{0,\, D}) = \dfrac{1 - n_{D,\,2}}{R_{s,\,2}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;R_{s,\,2} = \dfrac{1 - n_{D,\,2}}{V_2(\lambda_{0,\, D})}\;</math>» donnant numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rayon de courbure non algébrisé de la face d'entrée<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de sortie<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de chaque lentille : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour la lentille plan concave <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_2}\;</math> on a }}«<math>\;R_{s,\,2} \simeq \dfrac{1 - 1,681}{-20,31} \simeq 0,0335\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit «<math>\;R_{s,\,2} \simeq 33,5\;mm\;</math>».}} === Doublet de lentilles sphériques minces non accolées, formule de Gullstrand et condition d'achromatisme du doublet === {{Al|5}}On considère un doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] non accolées constitué * d'une 1^ère lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] convergente <math>\;\mathcal{L}_1</math>, de centre optique <math>\;O_1</math>, d'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et de vergence <math>\;V_1 > 0\;</math> puis * d'une 2^ème lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] divergente ou convergente <math>\;\mathcal{L}_2</math>, de centre optique <math>\;O_2</math>, de même axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et de vergence <math>\;V_2 > \;\text{ou}\;< 0</math>, <br>{{Transparent| d'une 2^ème lentille sphérique mince }}séparée de la précédente <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> de la distance <math>\;e = O_1O_2</math> ; {{Al|5}}on se propose dans un 1^er temps de déterminer les caractéristiques du doublet en fonction des vergences de chaque lentille ainsi que de la distance les séparant, c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|on se propose dans un 1^er temps }}de préciser à quelle condition le doublet est focal et, dans cette hypothèse, de positionner les foyers principaux objet et image de ce doublet, puis {{Al|5}}{{Transparent|on se propose }}dans un 2^ème temps de déterminer la valeur absolue de la distance focale image du doublet par applicabilité des deux relations de conjugaison approchée de Newton<ref name="Newton" /> au doublet<ref name="applicabilité des relations de conjugaison de Newton au doublet"> C.-à-d. l'applicabilité <math>\;\big(</math>admise<math>\big)\;</math> de la 1^ère relation de conjugaison approchée <math>\;\big(</math>ou relation de conjugaison approchée de position<math>\big)\;</math> de Newton et <br>{{Al|23}}{{Transparent|C.-à-d. l'applicabilité <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>admise<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}d'une des deux 2^èmes relations de conjugaison approchée <math>\;\big(</math>ou des deux relations de conjugaison approchée de grandissement transverse<math>\big)\;</math> de Newton.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on se propose dans un 2^ème temps }}enfin, en admettant<ref> La justification des propriétés suivantes admises concernant le caractère convergent ou divergent du doublet focal de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] non accolées est conforme à ce qui est exposée à la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Caractère_convergent_de_l'oculaire_déterminé_par_construction|caractère convergent de l'oculaire déterminé par construction]] » d'un des exercices plus haut dans cette série à savoir : <br>{{Al|3}}en considérant un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et traçant le cheminement de ce rayon à travers le doublet, * si ce rayon incident en étant au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> émerge de la face de sortie du doublet au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant ou au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, le doublet est convergent et * si ce rayon incident en étant au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> émerge de la face de sortie du doublet au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ou au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, le doublet est divergent ; {{Al|3}}ci-dessous la démonstration de l'équivalence des conditions de convergence <math>\;\big(</math>ou de divergence<math>\big)\;</math> rappelées ci-dessus <br>{{Al|3}}{{Transparent|ci-dessous la démonstration de l'équivalence }}avec celles proposées dans cette question, les justifications, pour être bien comprises, nécessitant d'ajouter des schémas ; <br>{{Al|3}}<math>\succ\;</math>la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> étant convergente, si <math>\;e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}</math>, cela signifie que <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est au-delà de <math>\;F_{o,\,2}\;</math> c.-à-d. que le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> émergeant de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en passant par <math>\;F_{i,\,1}\;</math> coupe le plan focal objet de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> en <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> entraînant <br>{{Al|3}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la lentille <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_1}\;</math> étant convergente, si <math>\;\color{transparent}{e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}}</math>, }}dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est convergente <math>\;\big(</math>et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} > 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> <math>\searrow\;</math> dans le sens de propagation, et par suite, si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant et, si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est au-delà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, correspondant effectivement à un doublet convergent, <br>{{Al|3}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la lentille <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_1}\;</math> étant convergente, si <math>\;\color{transparent}{e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}}</math>, }}dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est divergente <math>\;\big(</math>et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} < 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> <math>\nearrow\;</math> dans le sens de propagation, et par suite, comme <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est nécessairement au-delà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, correspondant effectivement à un doublet divergent ; <br>{{Al|3}}<math>\succ\;</math>la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> étant toujours convergente, si <math>\;e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}</math>, cela signifie que <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est en deçà de <math>\;F_{o,\,2}\;</math> c.-à-d. que le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> émergeant de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en passant par <math>\;F_{i,\,1}\;</math> coupe le plan focal objet de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> en <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> entraînant <br>{{Al|3}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la lentille <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_1}\;</math> étant toujours convergente, si <math>\;\color{transparent}{e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}}</math>, }}dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est convergente <math>\;\big(</math>et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} > 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> <math>\nearrow\;</math> dans le sens de propagation, et par suite, comme <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est nécessairement en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, correspondant effectivement à un doublet divergent, <br>{{Al|3}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la lentille <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_1}\;</math> étant toujours convergente, si <math>\;\color{transparent}{e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}}</math>, }}dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est divergente <math>\;\big(</math>et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} < 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> <math>\searrow\;</math> dans le sens de propagation, et par suite, si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, et si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est au-delà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, correspondant effectivement à un doublet convergent.</ref> <math>\;\succ\;</math>le caractère convergent du doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] simultanément convergentes si «<math>\;e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;</math>»<ref> Considérer des lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] simultanément divergentes avec <math>\;e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2} < 0\;</math> n'étant pas réalisable.</ref> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|on se propose dans un 2^ème temps enfin, en admettant <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>le caractère }}divergent du doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] simultanément convergentes ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|on se propose dans un 2^ème temps enfin, en admettant <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>le caractère divergent du doublet de lentilles sphériques minces}} simultanément divergentes {{Al|8}}si «<math>\;e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;</math>»<ref> Pour des lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] simultanément divergentes la condition <math>\;e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;</math> avec <math>\;f_{i,\,1} + f_{i,\, 2} < 0\;</math> étant toujours réalisée, un doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] divergentes non accolées est nécessairement divergent.</ref> ainsi que <br>{{Al|13}}{{Transparent|on se propose dans un 2^ème temps enfin, en admettant }}<math>\;\succ\;</math>le caractère convergent du doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] de natures différentes si «<math>\;e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;</math>» et <br>{{Al|13}}{{Transparent|on se propose dans un 2^ème temps enfin, en admettant <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>le caractère }}divergent du doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] de natures différentes si «<math>\;e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|on se propose dans un 2^ème temps }}pour en déduire la formule de Gullstrand<ref name="Gullstrand"> '''[[w:Allvar_Gullstrand|Allvar Gullstrand]] (1862 - 1930)''' ophtalmologue suédois, prix Nobel de physiologie ou médecine en <math>\;1911\;</math> pour son travail sur les dioptries de l'œil.</ref> précisant la vergence du doublet, et enfin {{Al|5}}{{Transparent|on se propose }}dans un 3^ème temps de déterminer l'écartement <math>\;e\;</math> pour un doublet achromatique<ref> C.-à-d. pour un doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] accolées ou non <math>\;\big(</math>ici les lentilles sont non accolées<math>\big)\;</math> dépourvu d'[[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberrations chromatiques]].</ref> avec <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en verre « crown »<ref name="flint ou crown" /> de [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] <math>\;\nu_{D,\,1} = 56\;</math><ref name="quantification de la dispersion"> On rappelle que le caractère plus ou moins dispersif d'un milieu se quantifie par la [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] <math>\;\big(</math>ou le [[w:Nombre_d'Abbe|nombre d'Abbe]]<math>\big)\;</math> de ce dernier <math>\;\nu_D =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math> dans laquelle les indices <math>\;_C</math>, <math>\;_D\;</math> et <math>\;_F\;</math> représentent respectivement les couleurs « rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} = 0,6563\; \mu m\;</math> <math>\big(</math>raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène<math>\big)\;</math>», « jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} = 0,5893\; \mu m\;</math> <math>\big(</math>raie <math>\;D\;</math> du sodium<math>\big)\;</math>» et « bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> <math>\big(</math>raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène<math>\big)\;</math>».</ref>{{,}}<ref name="constringence" /> et <br>{{Al|20}}{{Transparent|on se propose dans un 3^ème temps de déterminer l'écartement <math>\;\color{transparent}{e}\;</math> pour un doublet achromatique avec <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_1}\;</math> en verre « crown » }}de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math><ref name="dioptrie" />{{,}}<ref name="convergente"> Donc convergente.</ref> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|on se propose dans un 3^ème temps de déterminer l'écartement <math>\;\color{transparent}{e}\;</math> pour un doublet achromatique avec }}<math>\;\mathcal{L}_2\;</math> en verre « flint »<ref name="flint ou crown" /> de [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] <math>\;\nu_{D,\,2} = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> et <br>{{Al|20}}{{Transparent|on se propose dans un 3^ème temps de déterminer l'écartement <math>\;\color{transparent}{e}\;</math> pour un doublet achromatique avec <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_2}\;</math> en verre « flint » }}de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = -12,5\;\delta\;</math><ref name="dioptrie" />{{,}}<ref name="divergente"> Donc divergente.</ref> ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|on se propose dans un 3^ème temps de déterminer l'écartement <math>\;\color{transparent}{e}\;</math> pour un doublet achromatique }}avec <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math><ref name="dioptrie" />{{,}}<ref name="convergente" /> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|on se propose dans un 3^ème temps de déterminer l'écartement <math>\;\color{transparent}{e}\;</math> pour un doublet achromatique avec }}<math>\;\mathcal{L}_2\;</math> de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = 12,5\;\delta\;</math><ref name="dioptrie" />{{,}}<ref name="convergente" />, <br>{{Al|13}}{{Transparent|on se propose dans un 3^ème temps de déterminer l'écartement <math>\;\color{transparent}{e}\;</math> pour un doublet achromatique avec }}toutes deux en verre « flint »<ref name="flint ou crown" /> de [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] <math>\;\nu_D = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" />. ==== Condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces non accolées soit focal et détermination des positions des foyers principaux objet et image ==== {{Al|5}}Préciser à quelle condition liant les distances focales image des deux lentilles à la distance les séparant, le doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] est focal puis {{Al|5}}positionner algébriquement les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i\;</math> du doublet. {{Solution | contenu ={{Al|5}}La condition pour qu'un doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] soit « <u>afocal</u> » étant que le point à l'infini de l'axe optique principal soit un point double, nécessite que l'image intermédiaire recherchée <math>\;\big(</math>notée <math>\;?\big)\;</math> obéisse à «<math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;?\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1} = ?\\ ? = F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\end{array}\right\rbrace\;</math>» c'est-à-dire que «<math>\;F_{i,\,1} = F_{o,\,2}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;e = \overline{O_1O_2} = \overline{O_1F_{i,\,1}} + \cancel{\overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}}} + \overline{F_{o,\,2}O_2}\;</math>»<ref> La distance séparant les deux lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] étant non algébrisée est encore la distance algébrisée dans la mesure où celle-ci est positive.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La condition pour qu'un doublet de lentilles sphériques minces soit « afocal » }}le doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] non accolées est <u>afocal</u> ssi «<math>\;e = f_{i,\,1} + f_{i,\,2}\;</math>»<ref name="distances focales - bis"> En effet <math>\;\overline{F_{o,\,2}O_2} = -\overline{O_2F_{o,\,2}} = -f_{o,\,2} = f_{i,\,2}</math>.</ref>, a contrario <br>{{Al|5}}{{Transparent|La condition pour qu'un doublet de lentilles sphériques minces soit « afocal » }}<u>le doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] non accolées est « focal »</u> ssi «<math>\;e \neq f_{i,\,1} + f_{i,\,2}\;</math>». {{Al|5}}<u>Détermination du foyer principal image du doublet focal de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] non accolées</u> : le foyer principal image du doublet <math>\;F_i\;</math> est défini selon «<math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées : le foyer principal image du doublet }}<math>\;F_i\;</math> est donc l'image par <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> du foyer principal image <math>\;F_{i,\,1}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_1</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées : }}pour déterminer la position de <math>\;F_i\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison de position <math>\;\big(</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big)\;</math> de Newton<ref name="Newton" />{{,}}<ref name="choix de Newton" /> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math><ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> avec «<math>\;\sigma_{o,\,2} = \overline{F_{o,\,2}F_{i,\,1}} =</math> <math>\overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1F_{o,\,2}} = \overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1O_2} - \overline{O_2F_{o,\,2}} = f_{i,\, 1} - e + f_{i,\,2}\;</math>»<ref name="distances focales - bis" /> soit «<math>\; \sigma_{o,\,2} = f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sigma_{i,\, 2} =</math> <math>\overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{\sigma_{o,\, 2}}\;</math>»<ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> ou «<math>\;\sigma_{i,\, 2} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math>» soit finalement «<math>\;\overline{F_{i,\,2}F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math>» ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées : }}en repérage de Descartes<ref name="Descartes" /> relativement à la 2^ème lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> «<math>\;\overline{O_2F_i} = \overline{O_2F_{i,\,2}} + \overline{F_{i,\,2}F_i} =</math> <math>f_{i,\,2} + \dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math>» ou, après réduction au même dénominateur, «<math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; [e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2}) + f_{i,\,2}]}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math>» soit finalement «<math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; (e - f_{i,\,1})}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math>». {{Al|5}}<u>Détermination du foyer principal objet du doublet focal de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] non accolées</u> : le foyer principal objet du doublet <math>\;F_o\;</math> est défini selon «<math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math>»<ref> On procède en partant de l'image par le doublet focal de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] non accolées en cherchant l'antécédent par la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> lequel est l'image de <math>\;F_o\;</math> par la lentille <math>\;\mathcal{L}_1</math>.</ref> c'est-à-dire «<math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées : le foyer principal objet du doublet }}<math>\;F_o\;</math> est donc l'antécédent par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> du foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_2</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées : }}pour déterminer la position de <math>\;F_o\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison de position <math>\;\big(</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big)\;</math> de Newton<ref name="Newton" />{{,}}<ref name="choix de Newton" /> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math><ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> avec «<math>\;\sigma_{i,\,1} = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} =</math> <math> \overline{O_1F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} = \overline{O_1O_2} + \overline{O_2F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} = e - f_{i,\, 2} - f_{i,\,1}\;</math>»<ref name="distances focales - bis" /> soit «<math>\; \sigma_{i,\,1} = e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sigma_{o,\, 1} =</math> <math>\overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{\sigma_{i,\, 1}}\;</math>»<ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> ou «<math>\;\sigma_{o,\, 1} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math>» soit finalement «<math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math>» ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées : }}en repérage de Descartes<ref name="Descartes" /> relativement à la 1^ère lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> «<math>\;\overline{O_1F_o} = \overline{O_1F_{o,\,1}} + \overline{F_{o,\,1}F_o} =</math> <math>-f_{i,\,1} + \dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math>» ou, après réduction au même dénominateur, «<math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; [ -(f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e) + f_{i\,1}]}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math>» soit finalement «<math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; (e - f_{i,\,2})}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math>».}} ==== Établissement de la formule de Gullstrand déterminant la vergence du doublet de lentilles sphériques minces non accolées dans le cas où il est focal ==== {{Al|5}}En supposant applicables au doublet focal de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] non accolées les relations de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position et de grandissement transverse de Newton<ref name="Newton" />{{,}}<ref name="applicabilité des relations de conjugaison de Newton au doublet" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En supposant applicables au doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées }}déterminer, en choisissant un couple de points conjugués par le doublet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En supposant applicables au doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées déterminer, }}la valeur absolue de la distance focale image <math>\;\vert f_i \vert\;</math> de ce dernier puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|En supposant applicables au doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées déterminer, }}la valeur absolue de sa vergence <math>\;\vert V \vert = \dfrac{1}{\vert f_i \vert}\;</math> et enfin {{Al|5}}en admettant le caractère convergent du doublet focal de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] non accolées si «<math>\;e \left\lbrace \begin{array}{c}< f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\> f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="condition de convergence ou divergence du doublet"> En accord avec le rappel formulé dans l'introduction de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Doublet_de_lentilles_sphériques_minces_non_accolées,_formule_de_Gullstrand_et_condition_d'achromatisme_du_doublet|doublet de lentilles sphériques minces non accolées, formule de Gullstrand et condition d'achromatisme du doublet]] » plus haut dans cet exercice <br>{{Al|24}}{{Transparent|En accord avec la rappel }}justifié dans la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#cite_note-181|¹⁸¹]] » également dans l'amont de cet exercice.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|en admettant le caractère }}divergent {{Al|3}}{{Transparent|du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées }}si «<math>\;e \left\lbrace \begin{array}{c}> f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\< f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="condition de convergence ou divergence du doublet" />, <br>{{Al|5}}établir la formule de Gullstrand<ref name="Gullstrand" /> précisant la vergence du doublet <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}\;</math> en fonction de <math>\;e</math>, <math>\;f_{i,\,1}\;</math> et <math>\;f_{i,\, 2}</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image <math>\;\vert f_i \vert \;</math> du doublet focal de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] non accolées en lui appliquant la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Newton<ref name="Newton" /> {{Nobr|«<math>\;\sigma_i\;\sigma_o =</math>}} <math>-f_i^2\;</math>» avec «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>», relation applicable à tout couple de points conjugués par le doublet focal, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image }}on choisit des points conjugués particuliers, les plus faciles à utiliser étant ceux dont l'image intermédiaire est à l'infini sur l'axe optique principal <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image on choisit des points conjugués particuliers, }}soit «<math>\;F_{o,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_{i,\,1,\,\infty} = A_{o,\,2,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_{i,\,2}\;</math>» établissant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image on choisit des points conjugués particuliers, }}le couple <math>\;(F_{o,\,1}\,,\,F_{i,\,2})\;</math> est conjugué par le doublet focal de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] non accolées ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image on choisit des points conjugués particuliers, }}pour ce couple on a «<math>\;\sigma_o(F_{o,\,1}) = \overline{F_oF_{o,\,1}} = -\overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math>»<ref name="abscisse de Newton des foyers principaux objet et image du doublet"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Condition_pour_que_le_doublet_de_lentilles_sphériques_minces_non_accolées_soit_focal_et_détermination_des_positions_des_foyers_principaux_objet_et_image|condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces non accolées soit focal et détermination des positions des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image on choisit des points conjugués particuliers, pour ce couple on a }}«<math>\;\sigma_i(F_{i,\,2}) = \overline{F_iF_{i,\,2}} = -\overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math>»<ref name="abscisse de Newton des foyers principaux objet et image du doublet" /> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image on choisit des points conjugués particuliers, }}«<math>\;\sigma_o(F_{o,\,1})\; \sigma_i(F_{i,\,2}) = \dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})} = - \left[ \dfrac{f_{i,\, 1}\; f_{i,\,2}}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e} \right]^2\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image }}l'applicabilité <math>\;\big(</math>admise<math>\big)\;</math> de la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Newton<ref name="Newton" /> au doublet <math>\Rightarrow</math> «<math>\;- \left[ \dfrac{f_{i,\, 1}\; f_{i,\,2}}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e} \right]^2 = -f_i^2\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image }}l'expression de la valeur absolue de la distance focale image du doublet focal «<math>\;\vert f_i \vert = \Bigg\vert \dfrac{f_{i,\, 1}\; f_{i,\,2}}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e} \Bigg\vert\;</math>» ou, en inversant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image }}l'expression de la valeur absolue de la vergence du doublet focal «<math>\;\vert V \vert = \dfrac{1}{\vert f_i \vert} = \Bigg\vert \dfrac{1}{f_{i,\,1}} + \dfrac{1}{f_{i,\,2}} - \dfrac{e}{f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}} \Bigg\vert\;</math>» ; {{Al|5}}il reste à préciser le signe commun de la distance focale image et de la vergence du doublet focal de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] non accolées <br>{{Al|5}}{{Transparent|il reste à préciser le signe commun }}en utilisant la condition de convergence <math>\;\big(</math>ou de divergence<math>\big)\;</math> de ce doublet focal rappelée dans l'énoncé de la question ci-dessus à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|il reste à préciser le signe commun en utilisant la condition de convergence <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de divergence<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\succ\;</math>si «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\ e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array} \right\rbrace\;</math>» le doublet est convergent c'est-à-dire <math>\;V > 0\;</math> ou <math>\;f_i > 0\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|il reste à préciser le signe commun en utilisant la condition de convergence <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou de divergence<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\succ\;</math>si «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\ e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array} \right\rbrace\;</math>» le doublet est divergent c'est-à-dire <math>\;V < 0\;</math> ou <math>\;f_i < 0</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|il reste à préciser le signe commun }}tenant compte des deux conditions rappelées ci-dessus nous en déduisons l'expression de la distance focale image du doublet focal «<math>\;f_i = \dfrac{f_{i,\, 1}\; f_{i,\,2}}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math>»<ref name="en utilisant la condition de convergence ou de divergence"> En effet avec <math>\;e < f_{i,\,1} + f_{i,\,2}</math>, «<math>\;f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», or si <math>\;f_{i,\, 1}\;f_{i,\,2}\;</math> est <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\\ < 0\end{array}\right\rbrace\;</math> le doublet est <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \text{convergent}\\ \text{divergent}\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où «<math>\;f_i\;</math> de même signe que <math>\;f_{i,\, 1}\;f_{i,\,2}\;</math>», <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}avec <math>\;e > f_{i,\,1} + f_{i,\,2}</math>, «<math>\;f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», or si <math>\;f_{i,\, 1}\;f_{i,\,2}\;</math> est <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\\ < 0\end{array}\right\rbrace\;</math> le doublet est <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \text{divergent}\\ \text{convergent}\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où «<math>\;f_i\;</math> de signe contraire <math>\;f_{i,\, 1}\;f_{i,\,2}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|il reste à préciser le signe commun tenant compte des deux conditions rappelées ci-dessus nous en déduisons l'expression }}de la vergence du doublet focal «<math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{1}{f_{i,\,1}} + \dfrac{1}{f_{i,\,2}} - \dfrac{e}{f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|il reste à préciser le signe commun tenant compte des deux conditions rappelées ci-dessus nous en déduisons l'expression de la }}connue sous le nom de « formule de Gullstrand »<ref name="Gullstrand" />.}} ==== Condition sur la distance séparant les deux lentilles sphériques minces du doublet focal de ces dernières non accolées pour que le doublet soit achromatique ==== {{Al|5}}Admettant la disparition des [[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberrations chromatiques]] du doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] non accolées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet }}si sa vergence <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}\;</math> est indépendant de la longueur d'onde dans le vide de la lumière le traversant<ref name="commentaire sur l'achromatisme d'un doublet"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Définition_du_repérage_de_Descartes_des_points_objet_et_image_de_l'oculaire|définition du repérage de Descartes des points objet et image de l'oculaire]] (distances focales objet et image d'un doublet de lentilles minces non accolées) » et celle de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_des_points_principaux_objet_Ho_et_image_Hi_de_l'oculaire|détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire]] » dans l'exercice intitulé « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Oculaire_de_Plössl|oculaire de Plössl]] » plus haut dans cette série d'exercices ; <br>{{Al|3}}on constate que la distance focale image d'un doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] non accolées <math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math> est définie en utilisant deux points image dépendant ''a priori'' de la longueur d'onde dans le vide et que l'indépendance de <math>\;f_i\;</math> relativement à cette dernière n'assure pas l'indépendance de chaque point image <math>\;F_i\;</math> et <math>\;H_i\;</math> car <math>\;f_i\;</math> se réécrivant <math>\;f_i = \overline{O_2F_i} - \overline{O_2H_i}</math>, l'indépendance signifie que <math>\;F_i\;</math> et <math>\;H_i\;</math> varient de la même façon ; <br>{{Al|3}}bien que l'achromatisme du doublet ne soit associé qu'à l'indépendance de la vergence par rapport à la longueur d'onde dans le vide, nous admettrons qu'il en est de même des points principaux et par conséquent des foyers principaux <math>\;\big\{</math>nous ne discuterons pas, par la suite, cette hypothèse supplémentaire concernant les points principaux <math>\;\big(</math>ces derniers correspondant au dédoublement du centre optique d'une lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]], lequel ne dépend effectivement pas de la longueur d'onde dans le vide<math>\big)\!\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet }}avec « la vergence d'une lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] d'indice <math>\;n(\lambda_0)\;</math> s'écrivant <math>\;[1 - n(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_s} - \dfrac{1}{\overline{R}_e} \right)\;</math>»<ref name="définition des rayons de courbure algébrisés" />{{,}}<ref name="vergence d'une lentille mince en fonction de l'indice"> Voir solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Vergence_d'une_lentille_sphérique_mince|vergence d'une lentille sphérique mince]] » plus haut dans cette série d'exercices.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet }}déterminer la condition pour que le doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] non accolées soit achromatique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet déterminer }}en écrivant que la dérivée de sa vergence par rapport à la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> est nulle pour <math>\;\lambda_0 = \lambda_{0,\,D}\;</math> <ref name="condition d'achromatisme"> L'expression de la vergence <math>\;V\;</math> du doublet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] non accolées dépendant implicitement de la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> par l'intermédiaire des indices des milieux constituant chaque lentille on fait un développement limité à l'ordre un de son expression au voisinage de <math>\;\lambda_{0,\,D}\;</math> et on trouve «<math>\;V(\lambda_0) \simeq V(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\, (\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})\;</math>» <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs|développements limités à l'ordre un d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}la nullité de <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;</math> entraîne alors que la vergence reste constante à l'ordre un en <math>\;(\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math>.</ref> <math>\;\Bigg[</math>on rappelle la relation de Cauchy<ref name="Cauchy" /> gérant la variation de l'indice d'un milieu «<math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math>» avec <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> constantes caractéristiques du milieu et la définition de la [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] d'un milieu «<math>\;\nu_D =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math>»<ref name="signification des indices" />, laquelle, associée à la formule de Cauchy<ref name="Cauchy" />, permet de déterminer la valeur de la constante <math>\;b\;</math> de la relation de Cauchy<ref name="Cauchy" />, en fonction de la [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] <math>\;\nu_D</math>, de l'indice <math>\;n_D\;</math> pour la radiation jaune et des longueurs d'onde de référence, «<math>\;b =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{\nu_D \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math>»<ref name="expression de b" /><math>\Bigg]\;</math> <math>\big\{</math>on explicitera cette condition d'abord en fonction de la vergence pour la radiation jaune et de la [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] de chaque lentille individuelle, puis en fonction des distances focales image pour la radiation jaune et de la [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] des mêmes lentilles<math>\big\}</math>. {{Al|5}}Étudier chaque cas proposé ci-après : <math>\succ\;</math>lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en verre « crown »<ref name="flint ou crown" /> de [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] <math>\;\nu_{D,\,1} = 56\;</math><ref name="quantification de la dispersion" />{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math><ref name="dioptrie" />{{,}}<ref name="convergente" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Étudier chaque cas proposé ci-après : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>lentille sphérique mince }}<math>\;\mathcal{L}_2\;</math> en verre « flint »<ref name="flint ou crown" /> de [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] <math>\;\nu_{D,\,2} = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = -12,5\;\delta\;</math><ref name="dioptrie" />{{,}}<ref name="divergente" />, {{Al|5}}{{Transparent|Étudier chaque cas proposé ci-après : }}<math>\succ\;</math>lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math><ref name="dioptrie" />{{,}}<ref name="convergente" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Étudier chaque cas proposé ci-après : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>lentille sphérique mince }}<math>\;\mathcal{L}_2\;</math> de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = 12,5\;\delta\;</math><ref name="dioptrie" />{{,}}<ref name="convergente" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Étudier chaque cas proposé ci-après : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>lentille sphérique mince }}toutes deux en verre « flint »<ref name="flint ou crown" /> de [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] <math>\;\nu_D = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" />. {{Solution | contenu ={{Al|5}}La condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] non accolées de vergence <math>\;V(\lambda_0) = V_1(\lambda_0) + V_2(\lambda_0) - e\;V_1(\lambda_0)\;V_2(\lambda_0)\;</math><ref name="formule de Gullstrand"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Établissement_de_la_formule_de_Gullstrand_déterminant_la_vergence_du_doublet_de_lentilles_sphériques_minces_non_accolées_dans_le_cas_où_il_est_focal|établissement de la formule de Gullstrand déterminant la vergence du doublet de lentilles sphériques minces non accolées dans le cas où il est focal]] » plus haut dans cet exercice.</ref> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La condition d'achromatisme du doublet focal }}«<math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0\;</math>»<ref> Où <math>\;\lambda_{0,\,D}\;</math> est la longueur d'onde dans le vide de la radiation jaune.</ref>{{,}}<ref name="condition d'achromatisme" />, avec «<math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_0) = \dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) - e \left[ \dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_0) + V_1(\lambda_0)\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) \right]\;</math>» et <br>{{Al|21}}{{Transparent|La condition d'achromatisme du doublet focal «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0}\;</math>», avec }}«<math>\;V_1(\lambda_0) = [1 - n_1(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,1}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,1}} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0}) = -\dfrac{d n_1}{d \lambda_0}(\lambda_0) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,1}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,1}} \right)\;</math>» où <br>{{Al|21}}{{Transparent|La condition d'achromatisme du doublet focal «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0}\;</math>», avec «<math>\;\color{transparent}{V_1(\lambda_0) = [1 - n_1(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,1}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,1}} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;\dfrac{d n_1}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -\dfrac{2\;b_1}{\lambda_0^3}\;</math><ref name="dérivée de la formule de Cauchy par rapport à la longueur d'onde dans le vide"> Se déduisant de la dérivation de la formule de Cauchy <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> par rapport à <math>\;\lambda_0</math>.</ref> où <math>\;b_1 = \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{\nu_{D,\,1} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b" /> d'où <br>{{Al|21}}{{Transparent|La condition d'achromatisme du doublet focal «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0}\;</math>», avec «<math>\;\color{transparent}{V_1(\lambda_0) = [1 - n_1(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,1}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,1}} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{2\;(n_{D,\,1} - 1)}{\nu_{D,\,1}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,1}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,1}} \right)\;</math>» <br>{{Al|4}}{{Transparent|La condition d'achromatisme du doublet focal «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0}\;</math>», avec «<math>\;\color{transparent}{V_1(\lambda_0) = [1 - n_1(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,1}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,1}} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}ou encore «<math>\;\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{-2\;V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math>»<ref name="utilisation de la vergence d'une lentille sphérique mince en fonction de l'indice et des rayons de courbure"> En effet de <math>\;V(\lambda_0) = [1 - n(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e}} \right)\;</math> on déduit <math>\;[n(\lambda_0) - 1] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e}} \right) = -V(\lambda_0)\;</math> <math>\big(</math>avec l'indice <math>\;_1\;</math> ou <math>\;_2\big)</math>.</ref> ainsi que {{Al|21}}{{Transparent|La condition d'achromatisme du doublet focal «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0}\;</math>», avec }}«<math>\;V_2(\lambda_0) = [1 - n_2(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,2}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,2}} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0}) = -\dfrac{d n_2}{d \lambda_0}(\lambda_0) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,2}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,2}} \right)\;</math>» où <br>{{Al|21}}{{Transparent|La condition d'achromatisme du doublet focal «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0}\;</math>», avec «<math>\;\color{transparent}{V_2(\lambda_0) = [1 - n_2(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,2}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,2}} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;\dfrac{d n_2}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -\dfrac{2\;b_2}{\lambda_0^3}\;</math><ref name="dérivée de la formule de Cauchy par rapport à la longueur d'onde dans le vide" /> où <math>\;b_2 = \dfrac{n_{D,\,2} - 1}{\nu_{D,\,2} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b" /> d'où <br>{{Al|21}}{{Transparent|La condition d'achromatisme du doublet focal «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0}\;</math>», avec «<math>\;\color{transparent}{V_2(\lambda_0) = [1 - n_2(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,2}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,2}} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{2\;(n_{D,\,2} - 1)}{\nu_{D,\,2}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,2}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,2}} \right)\;</math>» <br>{{Al|4}}{{Transparent|La condition d'achromatisme du doublet focal «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0}\;</math>», avec «<math>\;\color{transparent}{V_2(\lambda_0) = [1 - n_2(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,2}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,2}} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}ou encore «<math>\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{-2\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math>»<ref name="utilisation de la vergence d'une lentille sphérique mince en fonction de l'indice et des rayons de courbure" /> ; {{Al|5}}la condition d'achromatisme du doublet focal «<math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0\;</math>» nous conduisant à «<math>\;e = \dfrac{\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})}{\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_0) + V_1(\lambda_0)\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})}\;</math>»<ref> Dans la mesure où le dénominateur n'est pas nul.</ref>, on y reporte les expressions précédentes d'où, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la condition d'achromatisme du doublet focal «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0}\;</math>» nous conduisant à }}«<math>\;e = \dfrac{\dfrac{-2\;V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{-2\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}}{\dfrac{-2\;V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;V_2(\lambda_0) + V_1(\lambda_0)\;\dfrac{-2\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}}\;</math>» ce qui se réécrit, après simplification par <math>\;\dfrac{-2}{\lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math>, «<math>\;e = \dfrac{\dfrac{V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}} + \dfrac{V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}}}{\dfrac{V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}}\;V_2(\lambda_{0,\,D}) + V_1(\lambda_{0,\,D})\;\dfrac{V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}}}\;</math>» soit finalement, en multipliant haut et bas par <math>\;\nu_{D,\,1}\;\nu_{D,\,2}</math>, la condition suivante d'achromatisme du doublet focal <br>{{Al|5}}{{Transparent|la condition d'achromatisme du doublet focal «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0}\;</math>» nous conduisant à }}«<math>\;e = \dfrac{\nu_{D,\,2}\;V_1(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\; (\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2})}\;</math>» ; {{Al|5}}la condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] non accolées peut s'écrire encore, en divisant haut et bas par <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées peut s'écrire encore, }}«<math>\;e = \dfrac{\nu_{D,\,2}}{\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2}}\;\dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})} + \dfrac{\nu_{D,\,1}}{\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2}}\;\dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})}\;</math>» ou, en introduisant la distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune à savoir <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) =</math> <math>\dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})}\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées peut s'écrire encore, }}«<math>\;e = \dfrac{\nu_{D,\,2}}{\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2}}\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{\nu_{D,\,1}}{\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2}}\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D})\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées peut s'écrire encore, }}«<math>\;e = \dfrac{\nu_{D,\,1}\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,2}\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2}}\;</math>». # <u>1^er exemple</u> : lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en verre « crown »<ref name="flint ou crown" /> de [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] <math>\;\nu_{D,\,1} = 56\;</math><ref name="quantification de la dispersion" />{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math><ref name="dioptrie" />{{,}}<ref name="convergente" /> et <br>{{Transparent|1^er exemple : lentille sphérique mince }}<math>\;\mathcal{L}_2\;</math> en verre « flint »<ref name="flint ou crown" /> de [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] <math>\;\nu_{D,\,2} = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = -12,5\;\delta\;</math><ref name="dioptrie" />{{,}}<ref name="divergente" />, <br>{{Transparent|1^er exemple : }}la distance d'achromatisme séparant les deux lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] est «<math>\;e = \dfrac{\nu_{D,\,2}\;V_1(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\; (\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2})} = \dfrac{40 \times 6,25 + 56 \times (-12,5)}{6,25 \times (-12,5) \times (56 + 40)} = 0,06\;m\;</math>» <br>{{Transparent|1^er exemple : la distance d'achromatisme }}avec les distances focales image des deux lentilles composantes pour la radiation jaune «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})} = \dfrac{1}{6,25} = 0,16\;m \\f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})} = \dfrac{1}{-12,5} = -0,08\;m\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Transparent|1^er exemple : }}le doublet achromatique de ces lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] est donc du type «<math>\;(8,\, 3,\, -4)\;</math>»<ref name="notation pour doublet de lentilles non accolées" />{{,}}<ref> Dans cet exemple l'unité commune est <math>\;a = 2\;cm\;</math> donnant effectivement <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = 16\;cm</math>, <math>\;e = 6\;cm\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = -8\;cm</math>.</ref>{{,}}<ref> Le doublet est alors de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_D = V_{D,\,1} + V_{D,\,2} - e\;V_{D,\,1}\;V_{D,\,2}\;</math> donnant numériquement «<math>\;V_D = 6,25 - 12,5 - 0,06 \times 6,25 \times (-12,5) \simeq -1,5625\;\delta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;f_{i,\,D}</math>}} <math>= \dfrac{1}{V_D} \simeq -64,0\;cm\;</math>» c.-à-d. un <u>doublet divergent</u> ;<br>{{Al|3}}on peut vérifier que la vergence pour les deux autres couleurs de référence est sensiblement la même et pour cela il faut déterminer la vergence des lentilles individuelles pour chaque couleur : <br>{{Al|3}}pour la lentille générique <math>\;\mathcal{L}_k\;</math> avec <math>\;k = 1\;</math> ou <math>\;2</math>, «<math>\;V_{F,\,k} = (1 - n_{F,\,k}) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,k}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,k}} \right) = \dfrac{1 - n_{F,\,k}}{1 - n_{D,\,k}}\;V_{D,\,k} = \dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}\;</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|pour la lentille générique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_k}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{k = 1}\;</math> ou <math>\;\color{transparent}{2}</math>, }}avec <math>\;n_k = a_k + \dfrac{b_k}{\lambda_0^2}\;</math> dans laquelle <math>\;b_k = \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> dont on déduit <math>\;n_{F,\,k} - 1 = a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> avec <math>\;n_{D,\,k} - 1 = a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;a_k - 1 = n_{D,\,k} - 1 - \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} = (n_{D,\,k} - 1)\; \left[ 1 - \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} \right]\;</math> d'où {{Nobr|«<math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}</math>}} <math>= 1 - \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math>» permettant de calculer <math>\;V_{F,\,k}\;</math> par «<math>\;V_{F,\,k} = \dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}\;</math>», <br>{{Al|3}}{{Transparent|pour la lentille générique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_k}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{k = 1}\;</math> ou <math>\;\color{transparent}{2}</math>, }}de même «<math>\;V_{C,\,k} = \dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}\;</math>» avec «<math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,C}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math>» : * <math>\;\dfrac{n_{F,\,1} - 1}{n_{D,\,1} - 1} = 1 - \dfrac{1}{56 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{56 \times (0,4861)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq 1,012642\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V_{F,\,1} \simeq 1,012642 \times 6,25 \simeq 6,3290\;\delta\;</math>» pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f_{i,\,1\,,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,1}} \simeq 15,800\;cm\;</math>», * <math>\;\dfrac{n_{C,\,1} - 1}{n_{D,\,1} - 1} = 1 - \dfrac{1}{56 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{56 \times (0,6563)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq 0,994785\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V_{C,\,1} \simeq 0,994785 \times 6,25 \simeq 6,2174\;\delta\;</math>» pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f_{i,\,1\,,C} = \dfrac{1}{V_{C,\,1}} \simeq 16,084\;cm\;</math>», * <math>\;\dfrac{n_{F,\,2} - 1}{n_{D,\,2} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,4861)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq 1,017699\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V_{F,\,2} \simeq 1,017699 \times (-12,5) \simeq</math> {{Nobr|<math>-12,7212\;\delta\;</math>»}} pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f_{i,\,2\,,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,2}} \simeq -7,8609\;cm\;</math>» et * <math>\;\dfrac{n_{C,\,2} - 1}{n_{D,\,2} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,6563)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq 0,992699\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V_{C,\,2} \simeq 0,992699 \times (-12,5) \simeq</math> {{Nobr|<math>-12,4087\;\delta\;</math>»}} pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f_{i,\,2\,,C} = \dfrac{1}{V_{C,\,2}} \simeq -8,0589\;cm\;</math>» ; * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation bleu «<math>\;V_F = V_{F,\,1} + V_{F,\,2} - e\;V_{F,\,1}\;V_{F,\,2} \simeq 6,3290 + (-12,7212) - 0,06 \times 6,3290 \times (-12,7212) \simeq -1,5615\;\delta\;</math>» et * {{Transparent|on en déduit }}la vergence du doublet pour la radiation rouge «<math>\;V_C = V_{C,\,1} + V_{C,\,2} - e\;V_{C,\,1}\;V_{C,\,2} \simeq 6,2174 + (-12,4087) - 0,06 \times 6,2174 \times (-12,4087) \simeq -1,5623\;\delta\;</math>». <div style="text-align: center;">En conclusion « la vergence du doublet reste approximativement constante évaluée à <math>\;V \simeq -1,56\;\delta\;</math>».</div></ref>{{,}}<ref> Le caractère achromatique du doublet devant assurer que ses foyers principaux objet et image <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> ne dépendent pas de la couleur <math>\;\big(</math>ce qui n'est pas une conséquence de la constance de la vergence c.-à-d. encore de la constance de la distance focale image car cette dernière est définie relativement au point principal image du doublet, lequel est dépendant ''a priori'' de la couleur<math>\big)\;</math> et la position de <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> d'un doublet ayant été déterminée précédemment lors de la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Condition_pour_que_le_doublet_de_lentilles_sphériques_minces_non_accolées_soit_focal_et_détermination_des_positions_des_foyers_principaux_objet_et_image|condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces non accolées soit focal et détermination des positions des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice en ayant donné «<math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; (e - f_{i,\,1})}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math>» et «<math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; (e - f_{i,\,2})}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math>» ; vérifions la propriété de constance sur le foyer principal image <math>\;F_i</math> : * «<math>\;\overline{O_2F_{i,\,D}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,D}\; (e - f_{i,\,1,\,D})}{e - (f_{i,\,1,\,D} + f_{i,\,2,\,D})} = \dfrac{-8 \times (6 - 16)}{6 - [16 + (-8)]} \simeq -40\;cm\;</math>», * «<math>\;\overline{O_2F_{i,\,F}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,F}\; (e - f_{i,\,1,\,F})}{e - (f_{i,\,1,\,F} + f_{i,\,2,\,F})} = \dfrac{-7,8609 \times (6 - 15,800)}{6 - [15,800 + (-7,8609)]} \simeq -39,73\;cm\;</math>» et * «<math>\;\overline{O_2F_{i,\,C}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,C}\; (e - f_{i,\,1,\,C})}{e - (f_{i,\,1,\,C} + f_{i,\,2,\,C})} = \dfrac{-8,0589 \times (6 - 16,084)}{6 - [16,084 + (-8,0589)]} \simeq -40,13\;cm\;</math>», * soit une [[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberration chromatique]] longitudinale du doublet <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} = \overline{O_2F_{i,\,C}} - \overline{O_2F_{i,\,F}} \simeq -40,13 - (-39,73)\;</math> en <math>\;cm\;</math> ou «<math>\;\overline{A_L} \simeq -4\;mm\;</math>» certes non nulle mais de valeur absolue faible par rapport à celle de la distance focale image <math>\;f_{i,\,D} \simeq -640\;mm</math> ; {{Al|3}}en conclusion la constance de la vergence relativement aux couleurs de référence et le maintien d'une légère [[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberration chromatique]] longitudinale <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} \simeq -4\;mm\;</math> entraîne un léger déplacement du point principal image avec les couleurs de référence de même valeur que <math>\;\overline{A_L}\;</math> soit «<math>\;\overline{H_{i,\,F}H_{i,\,C}} \simeq -4\;mm\;</math>» <math>\;\big(</math>on observerait de même un léger déplacement du foyer principal objet ainsi que du point principal objet pour assurer la constance de la distance focale objet<math>\big)</math>.</ref> ; # <u>2^ème exemple</u> : lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math><ref name="dioptrie" />{{,}}<ref name="convergente" /> et <br>{{Transparent|2^ème exemple : lentille sphérique mince }}<math>\;\mathcal{L}_2\;</math> de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = 12,5\;\delta\;</math><ref name="dioptrie" />{{,}}<ref name="convergente" />, <br>{{Transparent|2^ème exemple : lentille sphérique mince }}toutes deux en verre « flint »<ref name="flint ou crown" /> de [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] <math>\;\nu_D = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" />, <br>{{Transparent|2^ème exemple : }}la distance d'achromatisme séparant les deux lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] est «<math>\;e = \dfrac{\nu_{D,\,2}\;V_1(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\; (\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2})} = \dfrac{40 \times 6,25 + 40 \times 12,5}{6,25 \times 12,5 \times (40 + 40)} = 0,12\;m\;</math>» <br>{{Transparent|2^ème exemple : la distance d'achromatisme }}avec les distances focales image des deux lentilles composantes pour la radiation jaune «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})} = \dfrac{1}{6,25} = 0,16\;m \\f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})} = \dfrac{1}{12,5} = 0,08\;m\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Transparent|2^ème exemple : }}le doublet achromatique de ces lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] est donc du type «<math>\;(4,\, 3,\, 2)\;</math>»<ref name="notation pour doublet de lentilles non accolées" />{{,}}<ref> Dans cet exemple l'unité commune est <math>\;a = 4\;cm\;</math> donnant effectivement <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = 16\;cm</math>, <math>\;e = 12\;cm\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = 8\;cm</math>.</ref> connu sous le nom d'oculaire d'Huygens<ref name = "Huygens"> '''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' <math>\;\big[</math>ou '''[[w:Christian_Huygens|Huyghens]]'''<math>\big]\;</math> mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref>{{,}}<ref> Le doublet est alors de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_D = V_{D,\,1} + V_{D,\,2} - e\;V_{D,\,1}\;V_{D,\,2}\;</math> donnant numériquement «<math>\;V_D = 6,25 + 12,5 - 0,12 \times 6,25 \times 12,5 \simeq 9,375\;\delta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;f_{i,\,D}</math>}} <math>= \dfrac{1}{V_D} \simeq 10,67\;cm\;</math>» c.-à-d. un <u>doublet convergent</u> ;<br>{{Al|3}}on peut vérifier que la vergence pour les deux autres couleurs de référence est sensiblement la même et pour cela il faut déterminer la vergence des lentilles individuelles pour chaque couleur sachant que les deux lentilles sont de même [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] <math>\;\nu_D</math> : <br>{{Al|3}}pour la lentille générique <math>\;\mathcal{L}_k\;</math> avec <math>\;k = 1\;</math> ou <math>\;2</math>, «<math>\;V_{F,\,k} = (1 - n_{F,\,k}) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,k}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,k}} \right) = \dfrac{1 - n_{F,\,k}}{1 - n_{D,\,k}}\;V_{D,\,k} = \dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}\;</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|pour la lentille générique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_k}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{k = 1}\;</math> ou <math>\;\color{transparent}{2}</math>, }}avec <math>\;n_k = a_k + \dfrac{b_k}{\lambda_0^2}\;</math> dans laquelle <math>\;b_k = \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> dont on déduit <math>\;n_{F,\,k} - 1 = a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> avec <math>\;n_{D,\,k} - 1 = a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;a_k - 1 = n_{D,\,k} - 1 - \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} = (n_{D,\,k} - 1)\; \left[ 1 - \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} \right]\;</math> d'où {{Nobr|«<math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}</math>}} <math>= 1 - \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math>» permettant de calculer <math>\;V_{F,\,k}\;</math> par «<math>\;V_{F,\,k} = \dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}\;</math>», <br>{{Al|3}}{{Transparent|pour la lentille générique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_k}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{k = 1}\;</math> ou <math>\;\color{transparent}{2}</math>, }}de même «<math>\;V_{C,\,k} = \dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}\;</math>» avec «<math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,C}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|pour la lentille générique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_k}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{k = 1}\;</math> ou <math>\;\color{transparent}{2}</math>, }}les deux rapports <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;</math> et <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;</math> sont indépendants de la lentille puisque <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> sont de même [[w:Nombre_d'Abbe|constringence]] : * <math>\;\dfrac{n_{F,\,1} - 1}{n_{D,\,1} - 1} = \dfrac{n_{F,\,2} - 1}{n_{D,\,2} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,4861)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq 1,017699\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> «<math>\;V_{F,\,1} \simeq 1,017699 \times 6,25 \simeq 6,3606\;\delta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f_{i,\,1\,,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,1}} \simeq 15,7218\;cm\;</math>» et <br>pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> «<math>\;V_{F,\,2} \simeq 1,017699 \times 12,5 \simeq 12,7212\;\delta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f_{i,\,2\,,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,2}} \simeq 7,8609\;cm\;</math>», * <math>\;\dfrac{n_{C,\,1} - 1}{n_{D,\,1} - 1} = \dfrac{n_{C,\,2} - 1}{n_{D,\,2} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,6563)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq 0,992699\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> «<math>\;V_{C,\,1} \simeq 0,992699 \times 6,25 \simeq 6,2044\;\delta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f_{i,\,1\,,C} = \dfrac{1}{V_{C,\,1}} \simeq 16,1177\;cm\;</math>» et <br>pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> «<math>\;V_{C,\,2} \simeq 0,992699 \times 12,5 \simeq 12,4088\;\delta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f_{i,\,2\,,C} = \dfrac{1}{V_{C,\,2}} \simeq 8,0588\;cm\;</math>» ; * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation bleu «<math>\;V_F = V_{F,\,1} + V_{F,\,2} - e\;V_{F,\,1}\;V_{F,\,2} \simeq 6,3606 + 12,7212 - 0,12 \times 6,3606 \times 12,7212 \simeq 9,3721\;\delta\;</math>» et * {{Transparent|on en déduit }}la vergence du doublet pour la radiation rouge «<math>\;V_C = V_{C,\,1} + V_{C,\,2} - e\;V_{C,\,1}\;V_{C,\,2} \simeq 6,2044 + 12,4087 - 0,12 \times 6,2044 \times 12,4087 \simeq 9,3745\;\delta\;</math>». <div style="text-align: center;">En conclusion « la vergence du doublet reste approximativement constante évaluée à <math>\;V \simeq 9,36\;\delta\;</math>».</div></ref>{{,}}<ref> Le caractère achromatique du doublet devant assurer que ses foyers principaux objet et image <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> ne dépendent pas de la couleur <math>\;\big(</math>ce qui n'est pas une conséquence de la constance de la vergence c.-à-d. encore de la constance de la distance focale image car cette dernière est définie relativement au point principal image du doublet, lequel est dépendant ''a priori'' de la couleur<math>\big)\;</math> et la position de <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> d'un doublet ayant été déterminée précédemment lors de la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Condition_pour_que_le_doublet_de_lentilles_sphériques_minces_non_accolées_soit_focal_et_détermination_des_positions_des_foyers_principaux_objet_et_image|condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces non accolées soit focal et détermination des positions des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice en ayant donné «<math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; (e - f_{i,\,1})}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math>» et «<math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; (e - f_{i,\,2})}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math>» ; vérifions la propriété de constance sur le foyer principal image <math>\;F_i</math> : * «<math>\;\overline{O_2F_{i,\,D}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,D}\; (e - f_{i,\,1,\,D})}{e - (f_{i,\,1,\,D} + f_{i,\,2,\,D})} = \dfrac{8 \times (12 - 16)}{12 - [16 + 8]} \simeq 2,667\;cm\;</math>», * «<math>\;\overline{O_2F_{i,\,F}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,F}\; (e - f_{i,\,1,\,F})}{e - (f_{i,\,1,\,F} + f_{i,\,2,\,F})} = \dfrac{7,8609 \times (12 - 15,7218)}{12 - [15,7218 + 7,8609]} \simeq 2,526\;cm\;</math>» et * «<math>\;\overline{O_2F_{i,\,C}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,C}\; (e - f_{i,\,1,\,C})}{e - (f_{i,\,1,\,C} + f_{i,\,2,\,C})} = \dfrac{8,0588 \times (12 - 16,1177)}{12 - [16,1177 + 8,0588]} \simeq 2,725\;cm\;</math>», * soit une [[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberration chromatique]] longitudinale du doublet <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} = \overline{O_2F_{i,\,C}} - \overline{O_2F_{i,\,F}} \simeq 2,725 - 2,526\;</math> en <math>\;cm\;</math> ou «<math>\;\overline{A_L} \simeq 2\;mm\;</math>» certes non nulle mais de valeur absolue faible par rapport à celle de la distance focale image <math>\;f_{i,\,D} \simeq 107\;mm</math> ; {{Al|3}}en conclusion la constance de la vergence relativement aux couleurs de référence et le maintien d'une légère [[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberration chromatique]] longitudinale <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} \simeq 2\;mm\;</math> entraîne un léger déplacement du point principal image avec les couleurs de référence de même valeur que <math>\;\overline{A_L}\;</math> soit «<math>\;\overline{H_{i,\,F}H_{i,\,C}} \simeq 2\;mm\;</math>» <math>\;\big(</math>on observerait de même un léger déplacement du foyer principal objet ainsi que du point principal objet pour assurer la constance de la distance focale objet<math>\big)</math>.</ref>.}} == Étude d'un triplet de lentilles sphériques minces convergentes == {{Al|5}}On considère le système constitué de trois lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] convergentes «<math>\;\mathcal{L}_1</math>, <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_3\;</math>», de distances focales <math>\;\big(</math>image<math>\big)\;</math> respectives «<math>\;f_{1,\, i} = 3\, a</math>, <math>\;f_{2,\, i} = x\;</math> et <math>\;f_{3,\, i} = a\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère le système constitué de trois lentilles sphériques minces convergentes «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_1}</math>, <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_2}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_3}\;</math>», }}telles que «<math>\;O_1O_2 = 3\, a\;</math> et <math>\;O_2O_3 = a\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère le système constitué de trois lentilles sphériques minces convergentes «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_1}</math>, <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_2}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_3}\;</math>», }}les trois lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] ayant même axe optique principal. === Détermination de la distance focale image f_{i, 2} de la 2^ème lentille pour que le centre optique O₂ de cette dernière soit un point double du triplet === {{Al|5}}Déterminer la distance focale image «<math>\;x = f_{i,\, 2}\;</math>» de la 2^ème lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> pour que le centre optique <math>\;O_2\;</math> de cette dernière soit son propre conjugué par le triplet. {{Solution |contenu ={{Al|5}}La condition pour que le centre optique <math>\;O_2\;</math> de la 2^ème lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> soit son propre conjugué par le triplet s'écrivant «<math>\;O_2\; \stackrel{\mathcal{L}_1}\rightarrow\; {O'}_{\!1}\; \stackrel{\mathcal{L}_2}\rightarrow\; {O'}_{\!2}\; \stackrel{\mathcal{L}_3}\rightarrow\; O_2\;</math>», on détermine donc : * l'« image <math>\;{O'}_{\!1}\;</math> de <math>\;O_2\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math>» soit «<math>\;O_2\; \stackrel{\mathcal{L}_1}\rightarrow\; {O'}_{\!1}\;</math>» en appliquant la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> à <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> pour le couple <math>\;\left( O_2\,,\, {O'}_{\!1} \right)\;</math><ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> soit «<math>\;\dfrac{1}{\overline{O_1{O'}_{\!1}}} - \dfrac{1}{\overline{O_1O_2}} = \dfrac{1}{f_{i,\, 1}}\;</math>» avec «<math>\;f_{i,\, 1} = 3\, a\;</math> et <math>\;\overline{O_1O_2} = 3\, a\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{O_1{O'}_{\!1}} = \dfrac{3\, a}{2}\;</math>», puis * l'« antécédent <math>\;{O'}_{\!2}\;</math> de <math>\;O_2\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_3\;</math>» soit «<math>\;{O'}_{\!2}\; \stackrel{\mathcal{L}_3}\rightarrow\; O_2\;</math>» en appliquant la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> à <math>\;\mathcal{L}_3\;</math> pour le couple <math>\;\left( {O'}_{\!2}\,,\, O_2 \right)\;</math><ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> soit «<math>\;\dfrac{1}{\overline{O_3O_2}} - \dfrac{1}{\overline{O_3{O'}_{\!2}}} = \dfrac{1}{f_{i,\, 3}}\;</math>» avec «<math>\;f_{i,\, 3} = a\;</math> et <math>\;\overline{O_3O_2} = -a\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{O_3{O'}_{\!2}} = -\dfrac{a}{2}\;</math>», enfin * la « distance focale image <math>\;x = f_{i,\, 2}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math>» en appliquant la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes<ref name="Descartes" /> à <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> pour le couple {{Nobr|<math>\;\left( {O'}_{\!1}\,,\, {O'}_{\!2} \right)\;</math><ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" />}} soit «<math>\;\dfrac{1}{\overline{O_2{O'}_{\!2}}} - \dfrac{1}{\overline{O_2{O'}_{\!1}}} = \dfrac{1}{f_{i,\, 2}}\;</math>» avec «<math>\;f_{i,\, 2} = x</math>, <math>\;\overline{O_2{O'}_{\!1}} = \overline{O_2O_1} + \overline{O_1{O'}_{\!1}} = -3\, a + \dfrac{3\, a}{2} = -\dfrac{3\, a}{2}\;</math> et <math>\;\overline{O_2{O'}_{\!2}} = \overline{O_2O_3} + \overline{O_3{O'}_{\!2}} = a - \dfrac{a}{2} = \dfrac{a}{2}\;</math>» d'où «<math>\;\dfrac{1}{x} = \dfrac{2}{a} - \dfrac{-2}{3\, a} = \dfrac{8}{3\, a}\;</math>» soit finalement «<math>\;x = \dfrac{3\, a}{8}\;</math>». {{Al|5}}En conclusion la distance focale image «<math>\;x = f_{i,\, 2}\;</math>» de la 2^ème lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> pour que le centre optique <math>\;O_2\;</math> de cette dernière soit un point double du triplet est «<math>\;f_{i,\, 2} = \dfrac{3\, a}{8}\;</math>».}} === Détermination des caractéristiques du système optique équivalent === {{Al|5}}On se propose de déterminer les caractéristiques du système optique équivalent au triplet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] coaxiales «<math>\;\mathcal{L}_1</math>, <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_3\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer les caractéristiques du système optique équivalent au triplet }}le centre optique <math>\;O_2\;</math> de la 2^ème lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> étant un point double du triplet. ==== Point conjugué, par le triplet, du point objet situé à l'infini sur l'axe optique principal ==== {{Al|5}}Déterminer le point conjugué, par le triplet, du point à l'infini sur l'axe optique principal ; comment peut-on alors qualifier le système ? {{Solution |contenu ={{Al|5}}On a d'une part «<math>\;\overline{O_1O_2} = 3\, a = f_{i,\,1} = \overline{O_1F_{i,\,1}}\;</math>» dont on déduit que le foyer principal image <math>\;F_{i,\,1}\;</math> de la 1^ère lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> est confondu avec le centre optique <math>\;O_2\;</math> de la 2^ème lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On a }}d'autre part «<math>\;\overline{O_2O_3} = a = f_{i,\,3} = -\overline{O_3F_{o,\,3}} = \overline{F_{o,\,3}O_3}\;</math>» dont on déduit que le foyer principal objet <math>\;F_{o,\,3}\;</math> de la 3^ème lentille <math>\;\mathcal{L}_3\;</math> est confondu avec le centre optique <math>\;O_2\;</math> de la 2^ème lentille <math>\;\mathcal{L}_2</math> ; {{Al|5}}on peut donc en déduire les conjugaisons suivantes «<math>\;A_{o\, \infty}\; \stackrel{\mathcal{L}_1}\rightarrow\; F_{i,\,1} = O_2 \;\stackrel{\mathcal{L}_2}\rightarrow\; O_2 = F_{o,\,3}\; \stackrel{\mathcal{L}_3}\rightarrow\; A_{i\, \infty}\;</math>» c'est-à-dire que <u>le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double du triplet</u> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|on peut donc en déduire }}le caractère <u>afocal</u> du système optique équivalent au triplet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] coaxiales «<math>\;\mathcal{L}_1</math>, <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_3\;</math>» construit pour que <math>\;O_2\;</math> soit un point double du triplet.}} ==== Construction de l'image A_iB_i donnée par le triplet, d'un objet linéique transverse A_oB_o et grandissement transverse du triplet associé à cet objet ==== {{Al|5}}Faire la construction de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> donnée par le triplet, d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" />, <math>\;A_o\;</math> étant sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}en déduire que « le grandissement transverse <math>\;G_t(A_o)\;</math> du triplet associé à cet objet est indépendant de la position de ce dernier » et {{Al|5}}{{Transparent|en déduire que « le grandissement transverse <math>\;\color{transparent}{G_t(A_o)}\;</math> du triplet }}déterminer sa valeur «<math>\;G_t\;</math>». {{Solution |contenu =<center> <gallery mode="packed" heights="400px"> Triplet de lentilles - construction d'image.png|Triplet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] convergentes coaxiales «<math>\;\mathcal{L}_1</math>, <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_3\;</math>» tel que le centre optique <math>\;O_2\;</math> de la 2^ème lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> soit un point double du triplet et construction de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> par le triplet, d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" />, <math>\;A_o\;</math> étant sur l'axe optique principal </gallery> </center> {{Al|5}}Pour construire l'image <math>\;A_iB_i\;</math> par le triplet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] convergentes coaxiales «<math>\;\mathcal{L}_1</math>, <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_3\;</math>» d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math><ref name="pied d'un objet linéique transverse"> C.-à-d. appartenant à l'axe optique principal.</ref>, on choisit deux rayons incidents particuliers issus de <math>\;B_o\;</math> de façon à déterminer son image <math>\;B_i\;</math> par le triplet, le choix porte sur {{Al|5}}<math>\succ\;</math>un rayon <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, issu de <math>\;B_o</math>, qui émerge de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en passant par <math>\;F_{i,\,1} = O_2</math>, puis traverse <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> sans être dévié et ressort de <math>\;\mathcal{L}_3\;</math> <math>\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\big(</math>car <math>\;O_2 = F_{o,\,3}\big)</math>, {{Al|5}}<math>\succ\;</math>un rayon issu de <math>\;B_o\;</math> passant par <math>\;O_1</math>, qui traverse <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> sans être dévié, coupe le plan focal objet de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> en <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> <math>\big\{</math>foyer secondaire objet de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> auquel est associé l'axe optique secondaire <math>\;\left( O_2\varphi_{o,\,2} \right)\!\big\}</math>, émerge de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;\left( O_2\varphi_{o,\,2} \right)\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}</math>, ce dernier rayon coupant le plan focal objet de <math>\;\mathcal{L}_3\;</math> <math>\big[</math>qui est aussi le plan de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> car <math>\;F_{o,\,3} = O_2\big]\;</math> en <math>\;\varphi_{o,\,3}\;</math> <math>\big\{</math>foyer secondaire objet de <math>\;\mathcal{L}_3\;</math> auquel est associé l'axe optique secondaire <math>\;\left( O_3\varphi_{o,\,3} \right)\!\big\}</math> émerge de <math>\;\mathcal{L}_3\;</math> parallèlement à <math>\;\left( O_3\varphi_{o,\,3} \right)</math>, {{Al|5}}l'image <math>\;B_i\;</math> est alors définie comme l'intersection des deux rayons émergents du triplet, <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal <math>\;\big(</math>l'[[w:Aplanétisme|aplanétisme]] approché du triplet étant supposé<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>dans le cas de la figure on constate que «<math>\;A_iB_i\;</math> est virtuelle, inversée et rapetissée »<math>\big\}</math>. {{Al|5}}<u>Grandissement transverse, par le triplet, de l'objet linéique transverse</u><math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> : Considérons un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de « dimension <math>\;t_o = \left[ A_oB_o \right]\;</math>» fixée et <br>{{Al|15}}{{Transparent|Grandissement transverse, par le triplet, de l'objet linéique transverse<math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> : Considérons un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> }}« positionné en <math>\;A_o\;</math> quelconque sur l'axe optique principal » puis <br>{{Al|10}}{{Transparent|Grandissement transverse, par le triplet, de l'objet linéique transverse<math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> : }}envisageons le déplacement de <math>\;A_o\;</math> sur ce dernier, simultanément <br>{{Al|10}}{{Transparent|Grandissement transverse, par le triplet, de l'objet linéique transverse<math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> : envisageons le déplacement de }}<math>\;B_o\;</math> se déplace sur la droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal situé à la distance <math>\;t_o\;</math> de ce dernier ; {{Al|10}}{{Transparent|Grandissement transverse, par le triplet, de l'objet linéique transverse<math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> : }}or le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et à la distance <math>\;t_o\;</math> de ce dernier, émerge de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en passant par <math>\;O_2</math>, n'est pas dévié par <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> puis émerge de <math>\;\mathcal{L}_3\;</math> parallèlement à l'axe optique principal, la distance <math>\;t_i\;</math> séparant ce rayon émergent de l'axe optique principal se calculant par utilisation du [[w:Théorème_de_Thalès|théorème de Thalès]]<ref name="Thalès"> '''[[w:Thalès|Thalès de Milet]] (né vers 625-620 av J.-C., mort vers 548-545 av J.-C.)''' philosophe et savant grec, auteur de nombreuses recherches mathématiques notamment en géométrie, principalement connu pour son [[w:Théorème_de_Thalès|théorème]] dit de Thalès.</ref> selon <center>«<math>\;\dfrac{t_i}{t_o} = \dfrac{O_2O_3}{O_2O_1} = \dfrac{1}{3}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;t_i = \dfrac{t_o}{3}\;</math>» ;</center> {{Al|10}}{{Transparent|Grandissement transverse, par le triplet, de l'objet linéique transverse<math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> : }}en conclusion, quelle que soit la position de <math>\;A_o\;</math> sur l'axe optique principal, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Grandissement transverse, par le triplet, de l'objet linéique transverse<math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> : en conclusion, quelle que soit la position de }}<math>\;B_o\;</math> reste sur le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal à la distance <math>\;t_o\;</math> de ce dernier <br>{{Al|10}}{{Transparent|Grandissement transverse, par le triplet, de l'objet linéique transverse<math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> : en conclusion, }}et <math>\;B_i\;</math> sur le rayon émergent parallèlement à l'axe optique principal à la distance <math>\;t_i = \dfrac{t_o}{3}\;</math> de ce dernier <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Grandissement transverse, par le triplet, de l'objet linéique transverse<math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> : en conclusion, }}<u>le grandissement transverse, par le triplet, de l'objet linéique transverse </u><math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> à savoir «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» <br>{{Al|10}}{{Transparent|Grandissement transverse, par le triplet, de l'objet linéique transverse<math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> : en conclusion, le grandissement transverse, }}<u>est indépendant de la position de ce dernier</u>, il vaut <br>{{Al|10}}{{Transparent|Grandissement transverse, par le triplet, de l'objet linéique transverse<math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> : en conclusion, le grandissement transverse, }}«<math>\;G_t = -\dfrac{t_i}{t_o} = \dfrac{\overline{O_2O_3}}{\overline{O_2O_1}} = \dfrac{\overline{F_{o,\,3}O_3}}{\overline{F_{i,\,1}O_1}} = \dfrac{\overline{O_3F_{o,\,3}}}{\overline{O_1F_{i,\,1}}} = - \dfrac{f_{i,\,3}}{f_{i,\,1}} = -\dfrac{1}{3}\;</math>».}} ==== Construction de l'émergent d'un rayon incident passant par A_o et grandissement angulaire du triplet associé au pinceau incident situé entre ce rayon incident et l'axe optique principal ==== {{Al|5}}Faire la construction de l'émergent, par le triplet, d'un rayon incident passant par un point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal et légèrement incliné par rapport à ce dernier <math>\;\big\{</math>la lumière localisée entre ce rayon incident et l'axe optique principal définissant un « pinceau incident issu de <math>\;A_o\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|5}}en admettant l'applicabilité de la relation de Lagrange - Helmholtz<ref name="Lagrange"> '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Joseph Louis Lagrange]] (1736 - 1813)''' mathématicien, mécanicien et astronome italien, naturalisé français vers la fin du XVIII^ème siècle <math>\;\big(</math>son nom italien était '''Giuseppe Luigi Lagrangia'''<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}on lui doit, entre autres, d'avoir jeté en mathématiques les bases du [[w:Calcul_des_variations|calcul variationnel]], calcul qu'il appliqua en mécanique pour résoudre quelques problèmes <math>\;\big[</math>propagation du son, corde vibrante, [[w:Libration|librations]] de la Lune <math>\;\big(</math>c.-à-d. petites variations de son orbite<math>\big)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}en <math>\;1788</math>, alors installé à Paris, il publia son livre de ''[[w:mécanique analytique|mécanique analytique]]'' dont le formalisme a permis, un siècle et demi plus tard, l'ébauche de la mécanique quantique, il est aussi l'un des pères du [[w:système métrique|système métrique]] et de la division décimale des unités ; <br>{{Al|3}}on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]]''' un domaine privilégié <math>\;\big(</math>ni pour '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Helmholtz]]''' non plus<math>\big)</math> !</ref>{{,}}<ref name="Helmholtz"> '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz]] (1821 - 1894)''' [[w:Physiologie|physiologiste]] et physicien allemand, à qui on doit d'importantes contributions dans la perception des sons et des couleurs ainsi que surtout dans le domaine de la thermodynamique ;<br>{{Al|3}}on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Helmholtz]]''' un domaine privilégié <math>\;\big(</math>ni pour '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]]''' non plus<math>\big)</math> !</ref> d'un système dioptrique dans l'air<ref name="relation de Lagrange - Helmholtz pour un système dioptrique dans l'air"> La relation de Lagrange - Helmholtz pour un système dioptrique dans l'air est identique à celle trouvée pour une lentille sphérique [[w:Lentille_mince|mince]] <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Relation_de_Lagrange-Helmholtz_d'une_lentille_(sphérique)_mince|relation de Lagrange - Helmholtz d'une lentille (sphérique) mince]] » dans le chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|en admettant l'applicabilité de la relation de Lagrange - Helmholtz }}déduire que « le grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o)\;</math> du triplet associé au pinceau incident de sommet <math>\;A_o\;</math> est le même <math>\;\forall\;A_o\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|en admettant l'applicabilité de la relation de Lagrange - Helmholtz }}déterminer la valeur <math>\;G_a\;</math> de ce dernier. {{Solution |contenu =<center> <gallery mode="packed" heights="580px"> Triplet de lentilles - cheminement de rayons.png|Triplet de lentilles sphériques [[w:Lentille_mince|minces]] convergentes coaxiales «<math>\;\mathcal{L}_1</math>, <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_3\;</math>» tel que le centre optique <math>\;O_2\;</math> de la 2^ème lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> soit un point double du triplet et construction de l'émergent, par le triplet, d'un rayon incident passant par un point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal et légèrement incliné par rapport à ce dernier </gallery> </center> {{Al|5}}Le rayon incident, issu de <math>\;A_o\;</math> et faiblement incliné de <math>\;\theta_o\;</math> relativement à l'axe optique principal, étant <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> noté <math>\;\left( O_1\varphi_{i,\,1} \right)\;</math><ref> <math>\;\varphi_{i,\,1}\;\in\;</math> au plan de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> qui s'identifie au plan focal image de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> car <math>\;F_{i,\,1} = O_2</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le rayon incident, }}émerge en passant par <math>\;\varphi_{i,\,1}\;</math> <math>\big\{</math>foyer secondaire image de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;\left( O_1\varphi_{i,\,1} \right)\!\big\}</math>, puis {{Al|5}}le rayon émergent de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> coupant le plan focal objet de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> en <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> <math>\big\{</math>foyer secondaire objet de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> auquel est associé l'axe optique secondaire <math>\;\left( O_2\varphi_{o,\,2} \right)\!\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le rayon émergent de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_1}\;</math> }}émerge de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> parallèlement à <math>\;\left( O_2\varphi_{o,\,2} \right)\;</math> et enfin, {{Al|5}}ce dernier rayon émergent de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> étant <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire de <math>\;\mathcal{L}_3\;</math> noté <math>\;\left( O_3\varphi_{i,\,3} \right)\;</math><ref> <math>\;\varphi_{i,\,3}\;\in\;</math> au plan focal image de <math>\;\mathcal{L}_3</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|ce dernier rayon émergent de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_2}\;</math> }}émerge en passant par <math>\;\varphi_{i,\,3}\;</math> <math>\big\{</math>foyer secondaire image de <math>\;\mathcal{L}_3\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;\left( O_3\varphi_{i,\,3} \right)\!\big\}\;</math> légèrement incliné de <math>\;\theta_i\;</math> relativement à l'axe optique principal ; {{Al|5}}l'image <math>\;A_i\;</math> de <math>\;A_o\;</math> par le triplet est alors définie comme l'intersection du rayon émergent de <math>\;\mathcal{L}_3\;</math> avec l'axe optique principal, <br>{{Al|5}}« le pinceau incident issu de <math>\;A_o\;</math> d'angle d'ouverture <math>\;\theta_o\;</math>» devenant, après traversée du triplet, « un pinceau émergent issu de <math>\;A_i\;</math> d'angle d'ouverture <math>\;\theta_i\;</math>». {{Al|5}}<u>Grandissement angulaire, par le triplet, du pinceau incident de sommet</u><math>\;A_o</math> : Le grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o)\;</math> du triplet associé au pinceau incident de sommet <math>\;A_o\;</math> étant défini selon «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Grandissement angulaire, par le triplet, du pinceau incident de sommet<math>\;\color{transparent}{A_o}</math> : Le grandissement angulaire <math>\;\color{transparent}{G_a(A_o)}\;</math> }}peut se déterminer par utilisation de la relation de Lagrange - Helmholtz<ref name="Lagrange" />{{,}}<ref name="Helmholtz" /> dont l'applicabilité au triplet est admise soit «<math>\;G_t(A_o)\;G_a(A_o) = +1\;</math>»<ref name="relation de Lagrange - Helmholtz pour un système dioptrique dans l'air" /> dans laquelle <math>\;G_t(A_o)\;</math> est le grandissement transverse, par le triplet, d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Grandissement angulaire, par le triplet, du pinceau incident de sommet<math>\;\color{transparent}{A_o}</math> : }}or le grandissement transverse <math>\;G_t(A_o)</math>, par le triplet, d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> étant le même <math>\;\forall\;A_o\;</math><ref name="Grandissement transverse appliqué au triplet"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Construction_de_l'image_AiBi_donnée_par_le_triplet,_d'un_objet_linéique_transverse_AoBo_et_grandissement_transverse_du_triplet_associé_à_cet_objet|construction de l'image A_iB_i donnée par le triplet, d'un objet linéique transverse A_oB_o et grandissement transverse du triplet associé à cet objet]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Grandissement angulaire, par le triplet, du pinceau incident de sommet<math>\;\color{transparent}{A_o}</math> : }}de l'utilisation <math>\;\big(</math>admise<math>\big)\;</math> de la relation de Lagrange - Helmholtz<ref name="Lagrange" />{{,}}<ref name="Helmholtz" /> au triplet on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Grandissement angulaire, par le triplet, du pinceau incident de sommet<math>\;\color{transparent}{A_o}</math> : }}<u>le grandissement angulaire, par le triplet, du pinceau incident de sommet</u><math>\;A_o\;</math> à savoir <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math><u>est indépendant de</u><math>\;A_o</math>, il vaut <br>{{Al|5}}{{Transparent|Grandissement angulaire, par le triplet, du pinceau incident de sommet<math>\;\color{transparent}{A_o}</math> : le grandissement angulaire, }}<math>\;G_a = \dfrac{+1}{G_t} = \dfrac{+1}{-\dfrac{1}{3}}\;</math><ref name="Grandissement transverse appliqué au triplet" /> soit finalement «<math>\;G_a = -3\;</math>»<ref> On vérifierait, sur le schéma, sa valeur en mesurant «<math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math>» et en constatant que «<math>\;\theta_i \simeq -3\;\theta_o\;</math>».</ref>.}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | suivant = [[../Optique géométrique : l'œil/]] }} 1ejnjtdm4354yr14hy04qyz5to0546x 0 64321 982826 981929 2026-05-14T18:39:59Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982826 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 16 | niveau = 14 | précédent = [[../Optique géométrique : l'œil/]] | suivant = [[../Introduction au monde quantique : interprétation probabiliste/]] }} == Exemples d'expérience mettant en évidence la notion de photon (ou particule de lumière) : l'effet photoélectrique et la diffusion Compton == {{Al|5}}Il s'agit des 1^ères mises en évidence reconnues historiquement, l'électron émis étant considéré comme une particule, la lumière doit être un ensemble de particules de lumière pour interpréter l'[[w:Effet_photélectrique|effet photoélectrique]] <math>\;\big(</math>ou la [[w:Diffusion_Compton|diffusion Compton]] <ref name="Compton"> '''[[w:Arthur_Compton|Arthur Holly Compton]] (1892 - 1962)''' physicien américain <math>\;\big(</math>plus exactement « étatsunien »<math>\big)</math>, essentiellement connu pour la découverte, en <math>\;1923</math>, de la diffusion inélastique d'une onde lumineuse sur la matière, qui fut baptisée « [[w:Diffusion_Compton|diffusion Compton]] » par la suite et qui lui valut la moitié du prix Nobel de physique en <math>\;1927</math> ; <br>{{Al|3}}l'autre moitié du prix Nobel de physique de <math>\;1927\;</math> fut remise à '''[[w:Charles_Thomson_Rees_Wilson|Charles Thomson Rees Wilson]] (1869 - 1959)''' physicien et chimiste britannique <math>\;\big(</math>plus précisément « écossais »<math>\big)</math>, pour sa méthode permettant de rendre visible, par condensation de la vapeur, la trajectoire des particules électriquement chargées <math>\;\big(</math>il s'agit de la [[w:Chambre_à_brouillard|chambre à brouillard]] le 1^er détecteur de particules présenté en <math>\;1912\big)</math>.</ref><math>\big)</math>. === Description de l'effet photoélectrique === {{Al|5}}C'est l'émission d'électrons par un métal lorsqu'il est éclairé par un rayonnement du domaine visible ou ultra-violet<ref> Sous cet aspect l'[[w:Effet_photélectrique|effet photoélectrique]] a été découvert <math>\;1886\;</math> par '''[[w:Heinrich_Hertz|Heinrich Rudolf Hertz]] (1857 - 1894)''' ingénieur et physicien allemand principalement renommé pour avoir découvert les ondes hertziennes ; <br>{{Al|3}}à partir de <math>\;1900\;</math> il fut étudié en détail expérimentalement par '''[[w:Philipp_Lenard|Philipp Eduard Anton von Lenard]] (1862 - 1947)''' physicien allemand, d'origine austro-hongroise, à qui on doit principalement ses recherches sur les [[w:rayon cathodique|rayons cathodiques]] qui lui valurent le prix Nobel de physique en <math>\;1905</math> ; en ce qui concerne l'[[w:Effet_photélectrique|effet photoélectrique]], on lui doit, entre autres, l'observation du fait que cet effet ne se manifeste qu'aux faibles longueurs d'onde quelle que soit l'intensité du rayonnement incident ainsi que la formule donnant l'énergie cinétique des électrons éjectés.</ref> ; {{Al|5}}le phénomène n'existe que si la longueur d'onde du rayonnement dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> est <math>\;<\;</math> à une longueur d'onde de seuil <math>\;\lambda_\text{seuil}\;</math> caractéristique du métal et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le phénomène n'existe }}si cette longueur d'onde <math>\;\lambda_0\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\lambda_\text{seuil}\;</math> il n'y a pas d'[[w:Effet_photélectrique|effet photoélectrique]] possible même si le rayonnement correspond à une « puissance très intense »<ref> Il s'agit en fait de puissance « moyenne », la moyenne étant effectuée sur une durée mésoscopique <math>\;\big(</math>cette notion sera définie plus précisément au paragraphe « [[Signaux physiques (PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_intensité,_tension,_puissance#Échelles_macroscopique,_mésoscopique_et_microscopique_de_temps|échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de temps]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Signaux physiques (PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », une durée mésoscopique est de l'ordre de la <math>\;\mu s\big)</math>.</ref>. === Interprétation de l'effet photoélectrique en considérant l'aspect corpusculaire de la lumière (Einstein 1905) === {{Al|5}}En <math>\;1900</math>, pour interpréter le spectre d'émission du rayonnement électromagnétique d'un corps chauffé <math>\;\big(</math>émission essentiellement dans l'infra-rouge<math>\big)\;</math><ref> Pour plus amples informations voir l'article sur le [[w:Rayonnement du corps noir|rayonnement du corps noir]] de wikipédia.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En <math>\;\color{transparent}{1900}</math>, }}'''[[w:Max_Plack|Max Planck]]'''<ref name="Planck"> '''[[w:Max_Plack|Max Karl Ernst Ludwig Planck]] (1858 - 1947)''' physicien allemand à qui on doit principalement, vers <math>\;1900</math>, la [[w:Théorie_des_quanta|théorie des quanta]], théorie qui lui valut le prix Nobel de physique en <math>\;1918</math>.</ref> supposa que l'énergie s'échange entre la matière et le rayonnement par multiples d'une valeur minimale « le quantum d'énergie » dont l'expression est liée à la fréquence <math>\;\nu\;</math> de l'onde par «<math>\;E_\text{quantum} = h\; \nu\;</math>» <math>\;\big(</math>[[w:Relation_de_Planck-Einstein|relation de Planck - Einstein]]<ref name="Planck" />{{,}}<ref name="Einstein"> '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''' physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901\;</math> et enfin helvético-américain <math>\;\big\{</math>plus exactement « helvético-étatsunien »<math>\big\}\;</math> en <math>\;1940</math>, à qui on doit la [[:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] en <math>\;1905</math>, la [[:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> et ayant contribué largement au développement de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et de la [[w:Cosmologie|cosmologie]]. <br>{{Al|3}}L'interprétation de l'[[w:Effet_photélectrique|effet photoélectrique]] lui a valu le prix Nobel de physique en <math>\;1921</math>.</ref><math>\big)\;</math><ref> Cette hypothèse, bien qu'elle ait été la seule permettant d'interpréter le spectre, ne plaisait pas à '''[[w:Max_Plack|Planck]]''' et il essaya par la suite de la remplacer mais en vain, elle lui plaisait si peu qu'il baptisa la constante « Hilfskonstante » signifiant « constante auxiliaire ».</ref> où <math>\;h\;</math> est une constante fondamentale de la physique <math>\;\big(</math>appelée à l'heure actuelle « [[w:Constante_de_Planck|constante de Planck]]<ref name="Planck" /> » et valant {{Nobr|«<math>\;h \simeq</math>}} <math>6,62607015\; 10^{-34}\; J \cdot s\;</math>»<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en <math>\;1905</math>, '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]'''<ref name="Einstein" /> reprit l'hypothèse de Planck<ref name="Planck" /> en supposant que la lumière elle-même <math>\;\big(</math>et non plus les échanges entre la matière et la lumière<math>\big)\;</math> est un ensemble de « [[w:Quantum#Apparition des quanta|quanta]] de lumière », chaque « grain » de lumière étant d'énergie <math>\;h\; \nu\;</math> ; {{Al|25}}pour '''[[w:Albert_Einstein|Einstein]]'''<ref name="Einstein" />, l'[[w:Effet_photélectrique|effet photoélectrique]] devient l'<u>absorption par un électron du métal d'un seul [[w:Quantum#Apparition des quanta|quantum]] de lumière</u> et si cette énergie est suffisante, l'électron peut être arraché au métal ; {{Al|5}}<u>énergies potentielles de liaison dans un métal suivant que l'électron considéré est effectivement lié ou arraché au métal</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|énergies potentielles de liaison dans un métal }}un électron, lié au métal, possédant de l'énergie potentielle de liaison, <br>{{Al|5}}{{Transparent|énergies potentielles de liaison dans un métal un électron, }}n'est plus lié s'il est arraché au métal par absorption d'énergie, <br>{{Al|5}}{{Transparent|énergies potentielles de liaison dans un métal un électron, n'est plus lié }}dans cette situation il est légitime de considérer cette énergie potentielle de liaison nulle ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|énergies potentielles de liaison dans un métal }}définissant la référence de l'énergie potentielle<ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence de l'énergie potentielle d'une particule est l'endroit où on la choisit nulle.</ref> de liaison de l'électron dans le métal quand l'électron est arraché, <br>{{Al|5}}{{Transparent|énergies potentielles de liaison dans un métal définissant la référence }}on en déduit que, lié au métal, il possède une énergie potentielle de liaison <math>\;\mathcal{E}_{p,\,\text{liaison}} < 0\;</math><ref> Ainsi il faut effectivement apporter de l'énergie à l'électron pour qu'il puisse sortir de ce « puits » d'énergie potentielle.</ref> dépendant du métal ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|énergies potentielles de liaison dans un métal }}on définit «<math>\;\mathcal{E}_{p,\,\text{liaison}}\;</math>» en introduisant « le [[w:Travail_de_sortie|travail d'extraction]] » correspondant <math>\;W_\text{extraction} > 0\;</math> comme l'énergie minimale à fournir pour que l'électron, pris dans son état fondamental <math>\;\big(</math>c'est-à-dire non excité<math>\big)</math>, puisse être arraché au métal c'est-à-dire obéissant à la règle de conservation de l'énergie de l'électron «<math>\;\mathcal{E}_{p,\,\text{liaison}} + W_\text{extraction} = 0\;</math>»<ref> En effet si un électron pris dans son état fondamental <math>\;\big(</math>sans énergie cinétique donc d'énergie <math>\;\mathcal{E}_{p,\,\text{liaison}} < 0\big)\;</math> absorbe l'énergie minimale <math>\;W_\text{extraction}\;</math> pour être libéré, il acquiert une énergie potentielle nulle sans énergie cinétique.</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|énergies potentielles de liaison dans un métal on définit }}«<math>\;\mathcal{E}_{p,\,\text{liaison}} = -W_\text{extraction} < 0\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|énergies potentielles de liaison dans un métal }}<u>quelques valeurs de [[w:Travail_de_sortie|travail d'extraction]] pour différents métaux</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|énergies potentielles de liaison dans un métal quelques valeurs }}«<math>\;\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{fer} & \text{césium} & \text{potassium} & \text{magnésium} & \text{zinc} & \text{nickel} \\ \hline W_{Fe} = 1,8\;eV & W_{Cs} = 2,1\;eV & W_{K} = 2,4\;eV & W_{Mg} = 2,4\;eV & W_{Zn} = 3,4\;eV & W_{Ni} = 5,0\;eV \\ \hline \end{array}\;</math>»<ref name="électronVolt"> L'électronVolt <math>\;eV\;</math> est l'énergie cinétique acquise par un électron qui subit une accélération due à une d.d.p. de <math>\;1\;V\;</math> soit <math>\;1\;eV \simeq</math> <math>1,6\;10^{-19}\;J</math>.</ref> ; {{Al|25}}l'électron lié au métal peut donc être arraché si « l'énergie du [[w:Quantum#Apparition des quanta|quantum]] de lumière qu'il absorbe est <math>\;>\;</math> au [[w:Travail_de_sortie|travail d'extraction]] du métal » soit <br>{{Al|25}}{{Transparent|l'électron lié au métal peut donc être arraché si }}«<math>\;h\;\nu > W_\text{extraction}\;</math>» ou «<math>\;\nu > \dfrac{W_\text{extraction}}{h} = \nu_\text{seuil}\;</math>» ou encore, <br>{{Al|25}}{{Transparent|l'électron lié au métal peut donc être arraché si }}en termes de longueur d'onde dans le vide, «<math>\;\lambda_0 = \dfrac{c}{\nu} < \dfrac{h\;c}{W_{\text{extraction}}} = \lambda_{\text{seuil}}\;</math>», par exemple <br>{{Al|25}}{{Transparent|l'électron lié au métal peut donc être arraché si en termes de longueur d'onde dans le vide, }}la longueur d'onde de seuil de l'[[w:Effet_photélectrique|effet photoélectrique]] pour le fer est «<math>\;\lambda_{\text{seuil, Fe}} = \dfrac{h\;c}{W_{Fe}}\;</math> avec <math>\;W_{Fe}\;</math> en <math>\;J\;</math> soit <math>\;W_{Fe} \simeq 1,8 \times 1,6\;10^{-19} \simeq 2,88\;10^{-19}\;J\;</math>»<ref name="électronVolt" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\lambda_{\text{seuil, Fe}} \simeq \dfrac{6,626\;10^{-34} \times 3\;10^8}{2,88\;10^{-19}}\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit «<math>\;\lambda_{\text{seuil, Fe}} \simeq 0,69\;\mu m\;</math>» justifiant l'« [[w:Effet_photélectrique|effet photoélectrique]] dans le fer pour le visible et les [[w:Ultraviolet|U.V.]] à l'exclusion du rouge et des [[w:Infrarouge|I.R.]] en accord avec <math>\;\lambda_0 < \lambda_{\text{seuil, Fe}} \simeq 0,69\;\mu m\;</math>» et <br>{{Al|25}}{{Transparent|l'électron lié au métal peut donc être arraché si en termes de longueur d'onde dans le vide, }}la longueur d'onde de seuil pour le nickel se calcule selon «<math>\;\lambda_{\text{seuil, Ni}} = \dfrac{h\;c}{W_{Ni}}\;</math> avec <math>\;W_{Ni}\;</math> en <math>\;J\;</math> soit <math>\;W_{Ni} \simeq 5,0 \times 1,6\;10^{-19} \simeq 8,0\;10^{-19}\;J\;</math>»<ref name="électronVolt" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\lambda_{\text{seuil, Ni}} \simeq \dfrac{6,626\;10^{-34} \times 3\;10^8}{8,0\;10^{-19}}\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit «<math>\;\lambda_{\text{seuil, Ni}} \simeq 0,25\;\mu m\;</math>» justifiant l'« [[w:Effet_photélectrique|effet photoélectrique]] dans le nickel uniquement pour les [[w:Ultraviolet|U.V.]] non trop proches en accord avec <math>\;\lambda_0 < \lambda_{\text{seuil, Ni}} \simeq 0,25\;\mu m\;</math>» <math>\;\big(</math>pas d'[[w:Effet_photélectrique|effet photoélectrique]] dans le nickel pour le visible ou l'[[w:Infrarouge|I.R.]]<math>\big)</math> ; {{Al|25}}cette théorie permet aussi de déterminer l'énergie cinétique d'extraction de l'électron comme étant l'excédent d'énergie par rapport au [[w:Travail_de_sortie|travail d'extraction]] soit <br>{{Al|25}}{{Transparent|cette théorie permet aussi de déterminer l'énergie cinétique d'extraction de l'électron }}«<math>\;K_{\text{extraction}} = \mathcal{E}_{p,\,\text{liaison}} + h\;\nu = - W_{\text{extraction}} + h\;\nu\;</math>»<ref> La 1^ère égalité correspond à la « conservation de l'énergie de l'électron <math>\;\mathcal{E}_{p,\,\text{liaison}} + h\;\nu = K_{\text{extraction}}\;</math>», «<math>\;\mathcal{E}_{p,\,\text{liaison}} + h\;\nu\;</math> étant l'énergie de l'électron dans le métal après absorption du grain de lumière » et «<math>\;K_{\text{extraction}}\;</math> l'énergie de l'électron arraché au métal puisque l'énergie potentielle de l'électron est alors nulle » ; <br>{{Al|3}}la 2^ème égalité utilise la définition du [[w:Travail_de_sortie|travail d'extraction]] d'où découle <math>\;\mathcal{E}_{p,\,\text{liaison}} = -W_{\text{extraction}}\;\ldots</math></ref> » ou <br>{{Al|25}}{{Transparent|cette théorie permet aussi de déterminer l'énergie cinétique d'extraction de l'électron }}«<math>\;K_{\text{extraction}} = h \left( \nu - \nu_{\text{seuil}} \right)\;</math>» par utilisation de la fréquence de seuil <math>\;\nu_{\text{seuil}} = \dfrac{W_\text{extraction}}{h}</math> ; {{Al|25}}des expériences menées par '''[[w:Robert_Andrews_Millikan|Robert Millikan]]'''<ref name="Millikan"> '''[[w:Robert_Andrews_Millikan|Robert Andrews Millikan]] (1868 - 1953)''' physicien américain <math>\;\big(</math>plus exactement « étatsunien »<math>\big)</math>, surtout connu pour ses mesures précises de la charge de l'électron, l'étude de l'[[w:Effet_photélectrique|effet photoélectrique]] et celle des [[w:Rayonnement_cosmique|rayons cosmiques]] ; il obtint le prix Nobel de physique en <math>\;1923\;</math> pour ses travaux sur la charge élémentaire de l'électricité et l'[[w:Effet_photélectrique|effet photoélectrique]].</ref> entre <math>\;1905\;</math> et <math>\;1915\;</math> confirmèrent cette théorie et <br>{{Al|31}}{{Transparent|des expériences menées par '''Robert Millikan''' entre <math>\;\color{transparent}{1905}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{1915}\;</math> }}confirmèrent la valeur numérique de <math>\;h\;</math><ref> En accord avec celle trouvée par l'étude du rayonnement électromagnétique d'un corps chauffé <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#cite_note-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. === Description de la diffusion Compton === {{Al|5}}La [[w:Diffusion_Compton|diffusion Compton]]<ref name="Compton" /> fut découverte par '''[[w:Arthur_Compton|Arthur Compton]]'''<ref name="Compton" /> en <math>\;1923</math>, elle se définit comme le phénomène de diffusion d'un rayonnement par la matière, cette dernière renvoyant dans tout l'espace un rayonnement de même nature appelé « onde diffusée » ; <br>{{Al|9}}{{Transparent|La diffusion Compton }}« classiquement »<ref> C.-à-d. en restant dans le cadre de la mécanique classique <math>\;\big(</math>seul point de vue possible avant l'introduction de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]]<math>\big)</math>.</ref> on explique la diffusion des ondes électromagnétiques par le fait que les électrons de la matière sont mis en mouvement sous l'action du champ électromagnétique de l'onde incidente, le mouvement d'oscillation de ces derniers à la fréquence de l'onde incidente engendrant un rayonnement diffusé de même fréquence que « sa source »<ref> C.-à-d. le mouvement d'oscillation des électrons dans la matière.</ref> ; <br>{{Al|15}}{{Transparent|La diffusion Compton « classiquement » }}ainsi l'onde diffusée expliquée par la mécanique classique<ref> Adoptant l'aspect ondulatoire du rayonnement électromagnétique.</ref> doit être de même fréquence que l'onde incidente ; {{Al|5}}en envoyant des [[w:Rayon_X|rayons X]] de longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0 = 0,71\; \text{Å}\;</math><ref name="Angström"> <math>\;1\;\text{Å}\;</math> lire « Angström » est une unité de longueur bien adaptée à la [[w:Physique_atomique|physique atomique]], elle vaut <math>\;10^{-10}\;m = 10^{-1}\;nm = 100\;pm</math> ; <br>{{Al|3}}cette unité a été baptisée « Angström » pour rendre hommage à '''[[w:Anders_Jonas_Ångström|Anders Jonas Ångström]] (1814 - 1874)''', astronome et physicien suédois du XIX^ème siècle, un des fondateurs de la [[w:Spectroscopie|spectroscopie]] ».</ref>{{,}}<ref> C.-à-d. encore «<math>\;\lambda_0 = 0,71\; 10^{-4}\;\mu m = 0,071\; nm = 71\;pm\;</math>», correspondant à des longueurs d'onde dans le vide approximativement <math>\;10000\;</math> fois plus courte que celles de la lumière visible ou une fréquence <math>\;10000\;</math> fois plus grande soit, en termes de « grains » de lumière <math>\;10000\;</math> fois plus énergétique.</ref> sur une cible de carbone, '''[[w:Arthur_Compton|A. Compton]]'''<ref name="Compton" /> observa un rayonnement diffusé de longueur d'onde dans le vide différente de celle du rayonnement incident, en contradiction avec la théorie classique. === Interprétation de la diffusion Compton en considérant l'aspect corpusculaire des rayons X (Compton 1922) === [[File:Effet Compton en terme corpusculaire.jpg|thumb|250px|Justification de l'[[w:Diffusion_Compton|effet Compton]]<ref name="Compton" /> par collision entre un photon et un électron dans le cadre relativiste, on trouve <math>\;{\lambda'}_0 - \lambda_0 =</math> <math>\dfrac{h}{m_e\;c} \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> avec <math>\;m_e\;</math> masse de l'électron]] {{Al|5}}'''[[w:Arthur_Compton|A. Compton]]'''<ref name="Compton" /> interpréta la [[w:Diffusion_Compton|diffusion de même nom]] comme une <u>collision entre un électron de la matière et un « grain » de lumière</u><ref name="signification de grain de lumière"> Bien qu'il ne s'agisse plus de lumière, le terme « grain » de lumière est conservé, on devrait en fait parler de « grain » de rayonnement électromagnétique.</ref> <math>\;\big(</math>associé au rayonnement incident<math>\big)\;</math><u>d'énergie </u>«<math>\;E = h\;\nu = \dfrac{h\;c}{\lambda_0}\;</math>» et <u>de quantité de mouvement</u><ref name="définition de quantité de mouvement"> Le vecteur quantité de mouvement d'une particule traduit la « réserve cinétique » de cette particule en direction, sens et norme contrairement à l'énergie cinétique qui ne donne aucune information sur la direction et le sens <math>\;\big[</math>la notion de quantité de mouvement d'une particule massive sera introduite aux paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_newtonienne|définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique newtonienne]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_relativiste|définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » puis revue au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'énergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>16</math> de la même leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel le lien <math>\;K_M(t) = \sqrt{\vec{p}_{\!M}^2(t)\;c^2 + m^2\;c^4} - m\;c^2\;</math> restant applicable aux particules non massives <math>\Rightarrow</math> «<math>\;K_M(t) = \Vert \vec{p}_{\!M}(t) \Vert \;c\;</math>» <math>\;\big\{</math>voir aussi « [[w:Cinétique du point matériel ou sans masse#Quantité de mouvement des particules de masse nulle|quantité de mouvement des particules de masse nulle]] » dans l'article de wikipédia « [[w:Cinétique du point matériel ou sans masse|cinétique du point matériel ou sans masse]] »<math>\big\}\big]</math>.</ref> «<math>\;\vec{p} =</math> <math>\dfrac{E}{c}\;\vec{u} = \dfrac{h}{\lambda_0}\;\vec{u}\;</math>», <math>\;\big(\vec{u}\;</math> étant le vecteur unitaire dans la direction et le sens du mouvement du « grain » de lumière<ref name="signification de grain de lumière" /><math>\big)</math> ; {{Al|5}}au cours de la collision le « grain » de lumière<ref name="signification de grain de lumière" /> est <u>absorbé puis réémis avec une énergie moindre</u> correspondant à l'acquisition d'énergie cinétique par l'électron {{Nobr|<math>\;\big(</math>voir}} les « schémas de la collision »<ref name="photon"> Un « grain » de lumière définissant un photon <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Aspect_corpusculaire_de_la_lumière|aspect corpusculaire de la lumière]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big\}</math>.</ref> ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|au cours de la collision }}le « grain » de lumière diffusé ayant une énergie <math>\;E'\;</math> moindre que celui de l'onde incidente <math>\;E\;</math> c'est-à-dire «<math>\;E_{\text{diffusion}} < E_{\text{incident}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|au cours de la collision le « grain » de lumière diffusé ayant }}sa fréquence <math>\;\nu'\;</math> est également plus faible que l'incidente <math>\;\nu\;</math> c'est-à-dire «<math>\;\nu_{\text{diffusion}} < \nu_{\text{incident}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|au cours de la collision le « grain » de lumière diffusé ayant }}sa longueur d'onde dans le vide <math>\;{\lambda_0}{\!'} = \dfrac{c}{\nu'}\;</math> plus grande que l'incidente <math>\;\lambda_0 = \dfrac{c}{\nu}\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|2}}{{Transparent|au cours de la collision le « grain » de lumière diffusé ayant sa longueur d'onde dans le vide }}«<math>\;\lambda_{0,\,\text{diffusion}} > \lambda_{0,\,\text{incident}}\;</math>» ; {{Al|5}}le calcul fondé sur les lois de la mécanique relativiste <math>\;\big\{</math>utilisant la conservation de l'énergie totale et celle de la quantité de mouvement totale du système des deux particules <math>\;\big(</math>électron et « grain » de lumière<ref name="signification de grain de lumière" />{{,}}<ref name="photon" /><math>\big)\big\}\;</math> donne un résultat en accord avec l'expérience, voir l'établissement du résultat en complément {{Nobr|ci-dessous<ref name="variation de la longueur d'onde du photon incident"> Cette variation de longueur d'onde dans le vide du « grain » de lumière <math>\;\big(</math>baptisé photon comme indiqué dans la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#cite_note-photon-22|²²]] » plus haut dans ce paragraphe<math>\big)\;</math> égale à «<math>\;{\lambda'}_0 - \lambda_0 =</math> <math>\dfrac{h}{m_e\;c} \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> avec <math>\;m_e\;</math> masse de l'électron » nécessitant des connaissances relativistes non explicitement au programme de physique de PCSI, son explication n'est fournie ci-dessous qu'en complément <math>\;\big(</math>toutefois, sans aucune difficulté de calcul dans la mesure où les formules relativistes sont connues<math>\big)</math>.</ref> ;}} {{Preuve| titre=complément : justification de la variation de longueur d'onde dans le vide en diffusion Compton |contenu={{Al|5}}Étude faite dans le référentiel du laboratoire <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Étude }}dans le cadre de la dynamique relativiste : <br>{{Al|5}}<u>État initial</u> : un électron libre au repos<ref> Plus précisément un des électrons faiblement liés d'un atome dont on peut négliger l'énergie de liaison ainsi que son énergie cinétique.</ref> d'énergie totale<ref name="énergie totale"> L'énergie totale <math>\;E\;</math> d'une particule libre est introduite dans le cadre de la dynamique relativiste, c'est la somme de son énergie cinétique <math>\;K\;</math> et de son énergie de masse <math>\;E^0 = m\;c^2\;</math> dans laquelle <math>\;m\;</math> est la masse de la particule et <math>\;c\;</math> la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Microscopie_électronique|microscope électronique]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}si la particule est liée il faut ajouter, dans la définition de son énergie totale, son énergie de liaison <math>\;\ldots</math></ref> égale à son énergie de masse<ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse <math>\;E^0\;</math> d'une particule libre n'a, a priori, d'intérêt que dans le cadre de la dynamique relativiste, elle vaut <math>\;E^0 = m\;c^2\;</math> dans laquelle <math>\;m\;</math> est la masse de la particule et <math>\;c\;</math> la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Microscopie_électronique|microscope électronique]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}quand la particule libre est constituée d'autres particules élémentaires en interaction attractive, « l'énergie de masse de la particule libre <math>\;E^0 = m\;c^2\;</math> est <math>\;<\;</math> à la somme des énergies de masse des particules élémentaires <math>_i\,</math> la constituant » c.-à-d. «<math>\;<\;</math> à <math>\;\sum_i E^0_i = \left( \sum_i m_i \right)\,c^2\;</math>», la différence «<math>\;E^0 - \sum_i E^0_i < 0\;</math> correspondant à l'énergie potentielle d'interaction <math>\;E_{\text{int}}\;</math> des particules élémentaires dans la particule libre », la quantité «<math>\;\Delta m = \sum_i m_i - m > 0\;</math> définissant le [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] de la particule libre », le lien entre [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] et énergie potentielle d'interaction étant «<math>\;E_{\text{int}} = -\Delta m\;c^2\;</math>».</ref> «<math>\;E^0_e = m_e\;c^2\;</math>» et de quantité de mouvement<ref name="définition de quantité de mouvement" /> «<math>\;\vec{p}_{i,\,e} = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|État initial : }}un « grain » de lumière<ref name="signification de grain de lumière" />{{,}}<ref name="photon" /> d'énergie «<math>\;E = h\;\nu\;</math><ref name="propriétés d'un photon"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Aspect_corpusculaire_de_la_lumière|aspect corpusculaire de la lumière]] » plus bas dans ce chapitre.</ref> »<ref name="constante de Planck"> <math>\;h\;</math> étant la [[w:Constante_de_Planck|constante de Planck]] <math>\;\simeq 6,63\; 10^{-34}\; J \cdot s</math>.</ref>{{,}}<ref name="nu"> <math>\;\nu\;</math> étant la fréquence du rayonnement.</ref> et de quantité de mouvement<ref name="définition de quantité de mouvement" /> «<math>\;\vec{p} = \dfrac{h\;\nu}{c}\;\vec{u}\;</math>»<ref name="constante de Planck" />{{,}}<ref name="nu" /> dans laquelle <math>\;\vec{u}\;</math> est le vecteur unitaire du rayon incident dans le sens de la propagation de ce dernier<ref name="propriétés d'un photon" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|État initial : }}le système « électron - grain de lumière<ref name="signification de grain de lumière" />{{,}}<ref name="photon" /> » a donc * une énergie totale initiale «<math>\;E_i = E^0_e + E = m_e\;c^2 + h\;\nu\;</math>»<ref name="énergie d'un système de 2 points"> L'énergie cinétique d'un système de deux particules étant la somme des énergies cinétiques individuelles <math>\;\big[</math>non explicitement au programme de physique de PCSI alors que la notion de moment cinétique d'un solide, c.-à-d. d'un ensemble <math>\;\big(</math>indéformable<math>\big)\;</math> de points matériels l'est, on s'attendrait donc à ce que la notion d'énergie cinétique le soit aussi<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir <math>\;\big(</math>donc en complément<math>\big)\;</math> le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_de_deux_points_matériels#Définition_5|définition]] (de l'énergie cinétique d'un système de deux points matériels) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_des_systèmes_de_points|Mécanique des systèmes de points]] », traité en cinétique newtonienne mais applicable, sans restriction, en cinétique relativiste dans la mesure où les énergies cinétiques ne sont pas explicitées<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}comme, d'une part, l'énergie totale d'une particule libre est la somme de son énergie de masse et de son énergie cinétique et <br>{{Al|3}}{{transparent|comme, }}d'autre part, la masse d'un ensemble de particules est la somme des masses individuelles <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Masse_d'un_système_de_points_matériels_(définie_comme_1ère_grandeur_d'inertie_associée_au_système)|masse d'un système de points matériels (définie comme 1^ère grandeur d'inertie associée au système)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> <math>\Rightarrow</math> l'énergie de masse d'un ensemble de particules est la somme des énergies de masse individuelles, <br>{{Al|3}}{{transparent|comme, d'autre part, }}nous en déduisons que l'énergie totale d'un système de deux particules est la somme des énergies totales de chacune des particules.</ref> et * une quantité de mouvement initiale «<math>\;\vec{p}_i = \vec{p}_{i,\,e} + \vec{p} = \dfrac{h\;\nu}{c}\;\vec{u}\;</math>»<ref name="quantité de mouvement d'un système de 2 points"> La résultante cinétique d'un système de particules <math>\;\big(</math>quand il s'agit de système de points et non d'un seul point, on utilise « résultante cinétique » et non « quantité de mouvement »<math>\big)\;</math> étant la somme des quantités de mouvement individuelles <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_de_la_résultante_cinétique_d'un_système_de_points_matériels,_1ère_grandeur_cinétique_associée_au_système|définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1^ère grandeur cinétique associée au système]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », notion introduite en cinétique newtonienne mais restant applicable, sans restriction, en cinétique relativiste dans la mesure où les quantités de mouvement ne sont pas explicitées<math>\big\}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>État final</u> : l'électron libre en mouvement d'énergie totale<ref name="énergie totale" /> «<math>\;E_e = K_e + E^0_e\;</math> donc <math>\;>\;</math> à <math>\;E^0_e\;</math>» et de quantité de mouvement<ref name="définition de quantité de mouvement" /> «<math>\;\vec{p}_e \neq \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|État final : }}un « grain » de lumière<ref name="signification de grain de lumière" />{{,}}<ref name="photon" /> d'énergie «<math>\;E' = h\;\nu'\;</math><ref name="propriétés d'un photon" /> »<ref name="constante de Planck" />{{,}}<ref name="nu" /> et de quantité de mouvement<ref name="définition de quantité de mouvement" /> «<math>\;\vec{p}' = \dfrac{h\;\nu'}{c}\;\vec{u}'\;</math>»<ref name="constante de Planck" />{{,}}<ref name="nu" /> dans laquelle <math>\;\vec{u}'\;</math> est le vecteur unitaire du rayon diffusé dans le sens de la propagation de ce dernier<ref name="propriétés d'un photon" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|État final : }}le système « électron - grain de lumière<ref name="signification de grain de lumière" />{{,}}<ref name="photon" /> » a donc * une énergie totale finale «<math>\;E_f = E_e + E' = K_e + m_e\;c^2 + h\;\nu'\;</math>»<ref name="énergie d'un système de 2 points" /> et * une résultante cinétique finale «<math>\;\vec{p}_f = \vec{p}_e + \vec{p}' = \vec{p}_e + \dfrac{h\;\nu'}{c}\;\vec{u}'\;</math>»<ref name="quantité de mouvement d'un système de 2 points" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|État final : }}<u>remarque</u> : l'énergie totale <math>\;E_e\;</math> et la quantité de mouvement <math>\;\vec{p}_e\;</math> de l'électron<ref name="définition de quantité de mouvement" /> dans l'état final sont liées, dans le cadre de la cinétique relativiste, par {{Nobr|«<math>\;E_e =</math>}} <math>\sqrt{\left( E^0 \right)^2 + \left( \vec{p}_e\;c \right)^2} = \sqrt{m_e^2\;c^4 + p_e^2\;c^2}\;</math> avec <math>\;p_e = \Vert \vec{p}_e \Vert\;</math>»<ref name="lien entre énergies totale et de masse à la quantité de mouvement"> Voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#cite_note-énergie_totale_d'un_point_matériel_isolé-4|⁴]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » définissant l'énergie totale <math>\;E</math> d'un point matériel d'énergie de masse <math>\;E^{\,0}\;</math> à partir de la norme de sa quantité de mouvement <math>\;p\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> selon «<math>\;E = \sqrt{p^2\;c^2 + \left( E^{\,0} \right)^{\!2}}\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Mouvement de l'ensemble</u> « électron - grain de lumière<ref name="signification de grain de lumière" />{{,}}<ref name="photon" /> » : supposant cet ensemble « électron - grain de lumière<ref name="signification de grain de lumière" />{{,}}<ref name="photon" /> » isolé<ref> C.-à-d. en absence de forces extérieures <math>\;\big(</math>l'influence de leur poids pouvant être négligée<math>\big)</math>.</ref> et à forces intérieures d'interaction conservatives<ref> Les forces intérieures d'interaction d'un système de deux particules étant conservatives si le travail, évalué dans le référentiel lié à l'une des particules notée <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)</math>, de la force que <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> exerce sur l'autre particule notée <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)</math>, est indépendant du chemin suivi par <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)</math> <math>\;\big\{</math>ou si le travail élémentaire de la force que <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> exerce sur <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> dans le référentiel lié à <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> est une différentielle de fonction de la position relative de <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)</math>, voir, en complément, le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_de_deux_points_matériels#Définitions_2|définitions]] (système de forces intérieur conservatif appliqué à un système de deux points matériels) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_des_systèmes_de_points|Mécanique des systèmes de points]] »<math>\big\}</math>, dans ce cas le système des forces intérieures d'interaction dérivant d'une énergie potentielle d'interaction <math>\;\big\{</math>voir, en complément, le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_de_deux_points_matériels#Définitions_2|définitions]] (énergie potentielle d'un système de deux points matériels dans le champ du système de forces intérieures conservatif) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_des_systèmes_de_points|Mécanique des systèmes de points]] »<math>\big\}</math>, cette dernière doit être comptabilisée dans l'énergie totale du système ; <br>{{Al|3}}toutefois, hors collision, l'interaction entre particules étant négligeable, les forces intérieures d'interaction y sont considérées nulles et par suite l'énergie potentielle d'interaction aussi si la référence de cette dernière <math>\;\big(</math>disposition relative des particules pour laquelle l'énergie potentielle est nulle<math>\big)\;</math> est choisie quand les particules sont éloignées les unes des autres, raison pour la quelle l'énergie potentielle d'interaction entre électron et grain de lumière n'est pas comptabilisée dans l'état initial et l'état final.</ref> <math>\;\big\{</math>un système en l'absence de forces extérieures et intérieures non conservatives est dit « conservatif »<ref> Il s'agit de la généralisation à un système de deux points matériels de la définition d'un « point à mouvement conservatif » <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Définition_d'un_mouvement_conservatif|définition d'un mouvement conservatif]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous tirons, pour le système * de son caractère « isolé », la « conservation de sa résultante cinétique »<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_de_l'inertie_et_référentiels_galiléens#Théorème_de_l'inertie_(en_dynamique_relativiste)|théorème de l'inertie (en dynamique relativiste)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », son application ici n'utilise pas l'explicitation des quantités de mouvement des particules.</ref> et * de son caractère « conservatif », la « conservation de son énergie totale »<ref> Voir, en complément, le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_de_deux_points_matériels#Théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_sur_une_durée_finie|théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie]] (cas particulier d'un système déformable ou non de deux points matériels conservatif) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_des_systèmes_de_points|Mécanique des systèmes de points]] », le cadre de la dynamique relativiste nécessitant de « remplacer énergie mécanique par énergie totale ».</ref>. {{Al|5}}<u>Détermination du mouvement après collision</u> : les équations de conservation des grandeurs cinétiques du système « électron - grain de lumière<ref name="signification de grain de lumière" />{{,}}<ref name="photon" /> » étant * pour l'énergie totale «<math>\;K_e + m_e\;c^2 + h\;\nu' = m_e\;c^2 + h\;\nu\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_e + m_e\;c^2\;</math> est l'énergie totale <math>\;E_e = \sqrt{m_e^2\;c^4 + p_e^2\;c^2}\;</math> avec <math>\;p_e =</math> {{Nobr|<math>\Vert \vec{p}_e \Vert\;</math>»<ref name="lien entre énergies totale et de masse à la quantité de mouvement" />}} de l'électron après collision, la relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> se réécrivant, en fonction de <math>\;p_e\;</math> selon «<math>\;\sqrt{m_e^2\;c^4 + p_e^2\;c^2} + h\;\nu' = m_e\;c^2 + h\;\nu\;\;\left( \mathfrak{a}' \right)\;</math>», * pour la résultante cinétique «<math>\;\vec{p}_e + \dfrac{h\;\nu'}{c}\;\vec{u}' = \dfrac{h\;\nu}{c}\;\vec{u}\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{p}_e\;</math> est la quantité de mouvement de l'électron<ref name="définition de quantité de mouvement" /> après collision, {{Al|5}}{{Transparent|Détermination }}il y a donc, a priori, <math>\;4\;</math> équations scalaires <math>\;\big\{1\;</math> pour <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> et <math>\;3\;</math> pour <math>\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="équation vectorielle de l'espace"> En effet <math>\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math> est une équation vectorielle de l'espace à trois dimensions.</ref><math>\big\}\;</math> et <math>\;6\;</math> inconnues scalaires <math>\;\big\{3\;</math> pour chaque vecteur quantité de mouvement<ref name="définition de quantité de mouvement" />{{,}}<ref name="grandeur vectorielle de l'espace"> En effet les grandeurs vectorielles de l'espace à trois dimensions ont chacune trois composantes.</ref><math>\big\}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination }}mais le problème, invariant par rotation autour du rayonnement incident, est en fait plan, d'où seulement <math>\;4\;</math> inconnues scalaires et <math>\;3\;</math> équations scalaires <math>\;\big\{1\;</math> pour <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> et <math>\;2\;</math> pour <math>\;\left( \mathfrak{b} \right)\big\}</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Détermination }}il y a donc nécessairement <math>\;1\;</math> inconnue restant aléatoire et nous supposerons qu'il s'agit de l'angle algébrisé «<math>\;\theta = \widehat{\left( \vec{u}\,,\,\vec{u}' \right)}\;</math>», les <math>\;3\;</math> inconnues à déterminer en fonction de <math>\;\theta\;</math> et des autres données étant «<math>\;p_e = \Vert \vec{p}_e \Vert</math>, <math>\;\varphi =</math> <math>\widehat{\left( \vec{u}\,,\,\vec{p}_e \right)}\;</math> et <math>\;\nu'\;</math>». {{Al|5}}<u>Résolution</u> : Choisissant l'axe <math>\;\overrightarrow{x'x}\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}\;</math> et l'axe <math>\;\overrightarrow{y'y}\;</math> directement <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{x'x}\;</math> dans le plan de l'expérience<ref> Le sens <math>\;+\;</math> du plan de l'expérience étant choisi dans le sens anti horaire <math>\;\big(</math>ou sens trigonométrique rétrograde<math>\big)</math>.</ref>, la projection de <math>\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math> sur chaque axe donne * sur <math>\;\overrightarrow{x'x}</math>, «<math>\;p_e\;\cos(\varphi) + \dfrac{h\;\nu'}{c}\;\cos(\theta) = \dfrac{h\;\nu}{c}\;</math>» dont on déduit «<math>\;p_e\;\cos(\varphi)</math> <math>= \dfrac{h\;\nu}{c} - \dfrac{h\;\nu'}{c}\;\cos(\theta),\;\;\left( \mathfrak{b}_x \right)\;</math>» et * sur <math>\;\overrightarrow{y'y}</math>, «<math>\;p_e\;\sin(\varphi) + \dfrac{h\;\nu'}{c}\;\sin(\theta) = 0\;</math>» dont on déduit «<math>\;p_e\;\sin(\varphi) =</math> <math>- \dfrac{h\;\nu'}{c}\;\sin(\theta),\;\;\left( \mathfrak{b}_y \right)\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution : }}on élimine <math>\;\varphi\;</math> en formant <math>\;\left( \mathfrak{b}_x \right)^2 + \left( \mathfrak{b}_y \right)^2\;</math> ce qui donne «<math>\;p_e^2 =</math> <math>\left[ \dfrac{h\;\nu}{c} - \dfrac{h\;\nu'}{c}\;\cos(\theta) \right]^2 + \left[ - \dfrac{h\;\nu'}{c}\;\sin(\theta) \right]^2\;</math>»<ref> Après mise en facteur par <math>\;p_e^2\;</math> dans le 1^er membre et utilisation de <math>\;\cos^2(\varphi) + \sin^2(\varphi) = 1</math>.</ref> ou, en développant le 2^ème membre, «<math>\;p_e^2 = \dfrac{h^2\;\nu^2}{c^2} + \dfrac{h^2\;{\nu'}^2}{c^2} - 2\;\dfrac{h^2\;\nu\;\nu'}{c^2}\;\cos(\theta),\;\;\left( \mathfrak{b}' \right)\;</math>»<ref> Après mise en facteur par <math>\;\dfrac{h^2\;{\nu'}^2}{c^2}\;</math> dans deux des termes du 2^ème membre développé et utilisation de <math>\;\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution : }}le report de <math>\;\left( \mathfrak{b}' \right)\;</math> dans <math>\;\left( \mathfrak{a}' \right)\;</math> élimine <math>\;p_e\;</math> et nous conduit à <math>\;\sqrt{m_e^2\;c^4 + \left[ h^2\;\nu^2 + h^2\;{\nu'}^2 - 2\;h^2\;\nu\;\nu'\;\cos(\theta) \right]} + h\;\nu' = m_e\;c^2 + h\;\nu\;</math> soit, en isolant le radical dans le membre de gauche et en élevant au carré, <math>\;m_e^2\;c^4 + \left[ h^2\;\nu^2 + h^2\;{\nu'}^2 - 2\;h^2\;\nu\;\nu'\;\cos(\theta) \right] = \left[ m_e\;c^2 + h\; \nu - h\;\nu' \right]^2\;</math> ou «<math>\;- 2\;h^2\;\nu\;\nu'\;\cos(\theta) = 2\;m_e\;c^2\;h\; \nu - 2\;m_e\;c^2\;h\;\nu' - 2\;h^2\;\nu\;\nu'\;</math>» après développement du 2^ème membre et simplification évidente, ou {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\nu - \nu'}{\nu\;\nu'}</math>}} <math>= \dfrac{h}{m_e\;c^2}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{\nu'} = \dfrac{1}{\nu} + \dfrac{h}{m_e\;c^2}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right],\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math>» soit la fréquence de l'onde diffusée égale à «<math>\;\nu' = \dfrac{\nu}{1 + \dfrac{h\;\nu}{m_e\;c^2}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution : }}on détermine alors les deux autres inconnues : * <math>\;p_e\;</math> en reportant l'expression de <math>\;\nu'\;</math> dans l'équation <math>\;\left( \mathfrak{b}' \right)^{\frac{1}{2}}\;</math> soit «<math>\;p_e =</math> <math>\sqrt{\dfrac{h^2\;\nu^2}{c^2} + \dfrac{h^2\;{\nu'}^2}{c^2} - 2\;\dfrac{h^2\;\nu\;\nu'}{c^2}\;\cos(\theta)}\;</math>» et * <math>\;\varphi\;</math> en reportant l'expression de <math>\;\nu'\;</math> dans l'équation <math>\;\dfrac{\left( \mathfrak{b}_y \right)}{\left( \mathfrak{b}_x \right)}\;</math> soit «<math>\;\tan(\varphi) =</math> <math>-\dfrac{\nu'\;\sin(\theta)}{\nu - \nu'\;\cos(\theta)}\;</math>» ou «<math>\;\varphi = -\arctan\! \left\lbrace \dfrac{\nu'\;\sin(\theta)}{\nu - \nu'\;\cos(\theta)} \right\rbrace\;</math>»<ref> <math>\;p_e\;\cos(\varphi) = \dfrac{h\;\nu}{c} - \dfrac{h\;\nu'}{c}\;\cos(\theta) > 0\;</math> <math>\;\big\{\nu'\;</math> étant <math>\;<\;</math> à <math>\;\nu\big\}\;</math> et <math>\;p_e\;\sin(\varphi) = - \dfrac{h\;\nu'}{c}\;\sin(\theta) < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> la détermination principale de <math>\;\varphi\;\in\; \left] -\dfrac{\pi}{2}\;,\; 0 \right[\;</math> peut être écrit à l'aide d'un <math>\;\arctan()\;</math> voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_tangente_:_fonction_arctangente|fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Étalissement final</u> : la variation de longueur d'onde dans le vide en diffusion Compton<ref name="Compton" /> s'obtient en « multipliant les deux membres de la relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> par la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide <math>\;c\;</math>» grâce à <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \lambda = \dfrac{c}{\nu}\\ \lambda' = \dfrac{c}{\nu'}\end{array}\right\rbrace\;</math> <center>soit «<math>\;\lambda' = \lambda + \dfrac{h}{m_e\;c}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>.</center>}} === Preuve incontournable du caractère corpusculaire de la lumière === {{Al|5}}les deux expériences précédemment citées sont des preuves incontournables du caractère corpusculaire de la lumière car, dans aucune des deux, l'aspect ondulatoire ne permet d'interpréter l'expérience : * pour l'[[w:Effet_photélectrique|effet photoélectrique]], l'absorption d'une onde lumineuse monochromatique de haute intensité et de basse fréquence<ref> C.-à-d. de fréquence <math>\;<\;</math> à la fréquence de seuil du métal pour laquelle aucun [[w:Effet_photélectrique|effet photoélectrique]] n'est possible quelle que soit l'intensité du faisceau lumineux.</ref> devrait entraîner l'éjection d'électrons du métal en contradiction avec l'observation expérimentale <math>\;\ldots</math> <br>{{Transparent|pour l'effet photoélectrique, }}en effet l'intensité de l'onde lumineuse incidente étant grande, si nous supposons l'absorption uniformément répartie sur la surface du métal et de durée suffisamment grande, l'énergie moyenne absorbée pendant cette durée par n'importe quelle région microscopique entourant un électron de conduction du métal étant <math>\;>\;</math> à son [[w:Travail_de_sortie|travail d'extraction]], l'électron devrait être arraché du métal et un [[w:Effet_photélectrique|effet photoélectrique]] observé mais <math>\;\ldots\;</math> <br>{{Transparent|pour l'effet photoélectrique, en effet }}si ce dernier ne l'est pas c'est parce que l'aspect ondulatoire de la lumière<ref name="signification de lumière"> La signification de « lumière » doit être étendue à celle de tout rayonnement électromagnétique.</ref> ne peut être appliqué ici, la grande énergie moyenne absorbée pendant la durée considérée précédemment devant être interprétée en terme corpusculaire comme un grand nombre de « grains » de lumière<ref name="photon" /> arrivant successivement, à un rythme élevé, dans la région microscopique entourant un électron de conduction du métal avec chaque « grain » de lumière<ref name="photon" /> d'énergie insuffisante pour arracher un électron de conduction du métal ; de même <br>{{Transparent|pour l'effet photoélectrique, }}l'absorption d'une onde lumineuse monochromatique de faible intensité et de haute fréquence<ref> C.-à-d. de fréquence <math>\;>\;</math> à la fréquence de seuil du métal pour laquelle on observe un [[w:Effet_photélectrique|effet photoélectrique]] pour n'importe quelle intensité du faisceau lumineux.</ref> ne devrait entraîner aucune éjection d'électrons du métal en contradiction avec l'observation expérimentale <math>\;\ldots</math> <br>{{Transparent|pour l'effet photoélectrique, }}en effet l'intensité de l'onde lumineuse incidente étant faible, si nous supposons l'absorption uniformément répartie sur la surface du métal et de durée suffisamment petite, l'énergie moyenne absorbée pendant cette durée par n'importe quelle région microscopique entourant un électron de conduction du métal étant <math>\;<\;</math> à son [[w:Travail_de_sortie|travail d'extraction]], l'électron ne devrait pas être arraché et aucun [[w:Effet_photélectrique|effet photoélectrique]] observé mais <math>\;\ldots\;</math> <br>{{Transparent|pour l'effet photoélectrique, en effet }}si ce dernier est néanmoins observé c'est parce que l'aspect ondulatoire de la lumière<ref name="signification de lumière" /> ne peut être appliqué ici, la faible énergie moyenne absorbée pendant la durée considérée précédemment devant être interprétée en terme corpusculaire comme un petit nombre de « grains » de lumière<ref name="photon" /> arrivant successivement, à un rythme très lent, dans la région microscopique entourant un électron de conduction du métal avec chaque « grain » de lumière<ref name="photon" /> d'énergie suffisante pour arracher un électron de conduction du métal ; * pour la [[w:Diffusion_Compton|diffusion Compton]]<ref name="Compton" />, l'absorption d'une onde électromagnétique de fréquence [[w:Rayon_X|X]]<ref name="fréquence X"> C.-à-d. correspondant à un [[w:Rayon_X|rayonnement X]].</ref> par une cible de carbone s'interprétant, dans l'hypothèse d'adoption de l'aspect ondulatoire de l'onde, en une mise en mouvement oscillatoire d'électrons de la cible à la même fréquence que celle de l'onde puis en l'émission d'une onde électromagnétique dans n'importe quelle direction à la même fréquence que celle des oscillations, fréquence de l'onde diffusée en contradiction avec l'observation expérimentale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|pour la diffusion Compton, }}en effet la [[w:Diffusion_Compton|diffusion Compton]]<ref name="Compton" /> correspond à un [[w:Rayon_X|rayonnement X]] réémis de fréquence toujours plus faible que celle du [[w:Rayon_X|rayonnement X]] incident <math>\;\ldots\;</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|pour la diffusion Compton, en effet }}si cette fréquence est plus faible et non égale c'est parce que l'aspect ondulatoire du [[w:Rayon_X|rayonnement X]] ne peut être appliqué ici, il faut envisager l'aspect corpusculaire, la [[w:Diffusion_Compton|diffusion Compton]]<ref name="Compton" /> étant un choc entre un « grain » de lumière<ref name="signification de grain de lumière" />{{,}}<ref name="photon" /> de fréquence [[w:Rayon_X|X]]<ref name="fréquence X" /> et un électron de la cible, une partie de l'énergie du « grain » de lumière<ref name="signification de grain de lumière" />{{,}}<ref name="photon" /> incident étant cédée à l'électron subissant le choc. == Expérience mettant en évidence le caractère ondulatoire de la lumière : interférences lumineuses par fentes d'Young == === Description de l'expérience d'interférences lumineuses par fentes d'Young === <div style="text-align: center;">Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Exemple_de_l'interférence_lumineuse_d'une_onde_monochromatique_séparée_par_fentes_d'Young|exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</div> === Interprétation en terme ondulatoire === <div style="text-align: center;">Revoir le chap.<math>5</math> « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Interférences_entre_deux_ondes_acoustiques_ou_mécaniques_de_même_fréquence|Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence]] » en entier de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » et plus particulièrement <br>le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Interférences_entre_deux_ondes_acoustiques_ou_mécaniques_de_même_fréquence#Condition_d'interférences_constructives_ou_destructives_en_terme_de_déphasage|condition d'interférences constructives ou destructives en termes de déphasage]] » de ce chap.<math>5</math> de cette même leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».{{Al|39}}</div> === Tentative d'interprétation en terme corpusculaire === {{Al|5}}Pour tenter une interprétation corpusculaire de l'expérience d'interférences lumineuses par les [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young"> '''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module d'Young]] en [[w:Science_des_matériaux|science des matériaux]] et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]] en optique.</ref>, nous supposons que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour tenter une interprétation corpusculaire }}la « source »<ref> Dans l'expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]], usuellement la source est l'image d'un faisceau laser par une lentille <math>\;\big(</math>en général un objectif de microscope<math>\big)\;</math> est quasi ponctuelle et monochromatique.</ref> éclairant les [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> provienne d'un faisceau de puissance si faible qu'en termes de « grains » de lumière<ref name="photon" /> il ne peut correspondre qu'à des « grains » de lumière<ref name="photon" /> envoyés un par un<ref> Une source de ce type est qualifiée de source « de photons uniques ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour tenter une interprétation corpusculaire }}l'écran étant remplacé par un [[w:Capteur_photographique_CCD|détecteur C.C.D.]] <ref name="détecteur C.C.D."> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Polarisation_rectiligne_de_la_lumière,_loi_de_Malus#Capteur_CCD|capteur CCD]] » du chap.<math>9\;</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » <br>{{Al|3}}C.C.D. sigle de « Charge-Coupled Device » ou « dispositif à transfert de charge de sigle D.T.C. » : quand un « grain » lumineux arrive sur un des nombreux photosites du [[w:Capteur_photographique_CCD|C.C.D.]], ce dernier l'absorbe et le transforme en paire électron-trou par « [[w:Effet_photélectrique|effet photoélectrique]] » dans le semi-conducteur du photosite, l'électron ainsi formé étant piégé dans un puits de potentiel maintenu sur le photosite ; à la fin de l'exposition, les charges sont collectées de photosite en photosite et transformées en tensions <math>\;\propto\;</math> au nombre d'électrons ; ce signal est ensuite, à l'extérieur du [[w:Capteur_photographique_CCD|C.C.D.]], filtré avant d'être amplifié et numérisé.</ref> très sensible permettant de localiser l'impact ; en faisant varier le temps de pose on accroît le nombre de « grains » de lumière<ref name="photon" /> arrivant sur les fentes et on fait les observations suivantes : * chaque « grain » de lumière<ref name="photon" /> donne un impact sur le [[w:Capteur_photographique_CCD|C.C.D.]]<ref name="détecteur C.C.D." /> en se comportant comme un corpuscule localisé mais en un point aléatoire <math>\;\big(</math>ne correspondant pas au trajet classique d'une particule « passant par l'une ou l'autre des fentes »<ref name="Non perturbation d'expérience"> Pour que l'expérience d'interférences ne soit pas perturbée, le trajet du « grain » de lumière avant l'impact sur le [[w:Capteur_photographique_CCD|C.C.D.]] doit rester de même probabilité par chacune des fentes, on ne doit en aucun cas chercher à savoir par quelle fente le « grain » serait passé en mettant un quelconque détecteur sur une des fentes car alors la probabilité de passer par cette fente serait devenue un ou zéro et ne serait plus un demi.</ref><math>\big)</math>, * les impacts sur le [[w:Capteur_photographique_CCD|C.C.D.]]<ref name="détecteur C.C.D." /> se répartissent inégalement, dessinant, au fur et à mesure que le nombre de « grains » lumineux<ref name="photon" /> <math>\;\nearrow</math>, les franges d'interférences prédites par la théorie ondulatoire. {{Al|5}}En conclusion, l'interprétation corpusculaire de la lumière dans l'expérience d'interférences lumineuses par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> ne peut être envisagée, même si la puissance de la source est si faible qu'on peut considérer l'envoi de « grains » de lumière<ref name="photon" /> un par un, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En conclusion, }}car les impacts successifs sur le détecteur sont aléatoires, ne pouvant correspondre en aucun cas au passage du « grain » de lumière<ref name="photon" /> provenant de la source « de photons uniques » par l'une ou l'autre des fentes<ref> On rappelle d'une part que les « grains » de lumière, hors interaction, se propagent rectilignement et d'autre part que le « grain » de lumière, considéré comme ponctuel, étant de dimension infiniment petite par rapport à la largeur d'une des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]], ne peut interagir avec celle-ci car, même s'il passait relativement près d'un des bords, il n'y rencontrerait aucune matière.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|En conclusion, }}si l'expérience dure suffisamment longtemps, la figure formée par l'accumulation des impacts sur le détecteur en fonction de la position sur ce dernier correspond statistiquement à la figure trouvée en utilisant l'aspect ondulatoire de la lumière<ref name="signification de lumière" /> <math>\;\big(</math>si on envisage une source « de photons uniques », l'interprétation ondulatoire de l'expérience d'interférences par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> nécessite de pouvoir faire une statistique sur les impacts, c'est-à-dire une durée de fonctionnement de la source « de photons uniques » suffisamment grande pour que l'envoi de « grains » de lumière<ref name="photon" /> soit suffisamment important<math>\big)</math>. === Preuve incontournable du caractère ondulatoire de la lumière === {{Al|5}}L'expérience d'interférences lumineuses par les [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> est une preuve incontournable de l'aspect ondulatoire de la lumière<ref name="signification de lumière" /> car, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expérience d'interférences lumineuses }}même si la source utilisée est de très faible puissance comme c'est le cas d'une source « de photons uniques », <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expérience d'interférences lumineuses }}l'utilisation de l'aspect corpusculaire de la lumière ne permet pas d'interpréter chaque impact successif sur l'écran alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expérience d'interférences lumineuses }}la répartition statistique de ces impacts<ref name="Non perturbation d'expérience" /> correspond effectivement à la répartition lumineuse obtenue par interprétation ondulatoire. == Dualité onde - particule de la lumière == === Aspect ondulatoire de la lumière === {{Al|5}}L'aspect ondulatoire de la lumière<ref name="signification de lumière" /> a été introduit succinctement dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Exemples_de_signaux,_spectre#Grandeurs_vibrantes_en_électromagnétisme,_célérité_de_la_propagation|grandeurs vibrantes en électromagnétisme, célérité de la propagation]] » du chap.<math>2</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'aspect ondulatoire de la lumière a été }}un peu plus détaillé dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Polarisation_rectiligne_de_la_lumière,_loi_de_Malus#Caractère_vectoriel_de_la_grandeur_vibrante_en_optique,_le_champ_électromagnétique|caractère vectoriel de la grandeur vibrante en optique, le champ électromagnétique]] » du chap.<math>9\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'aspect ondulatoire de la lumière a été }}utilisé dans les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Observation_du_phénomène_de_diffraction_en_optique|observation du phénomène de diffraction en optique]] » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'aspect ondulatoire de la lumière a été utilisé dans les paragraphes }}« [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Exemple_de_l'interférence_lumineuse_d'une_onde_monochromatique_séparée_par_fentes_d'Young|exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young]] » tous deux du chap.<math>8</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'aspect ondulatoire de la lumière }}ces chapitres étant tous tirés de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ». === Aspect corpusculaire de la lumière === {{Al|5}}La particule associé à la lumière s'appelle le « [[w:Photon|photon]] », il possède les propriétés suivantes : * il est de masse nulle, * {{Transparent|il est }}de charge nulle, * {{Transparent|il }}se déplace, quel que soit le référentiel considéré, à la vitesse limite <math>\;c \simeq 3,00\; 10^8\; m \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big(</math>appelée à juste titre « vitesse de la lumière dans le vide »<math>\big)</math>, * associé à une onde monochromatique de fréquence <math>\;\nu\;</math> c'est-à-dire de longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0 = \dfrac{c}{\nu}</math>, il a l'« énergie <math>\;E_\gamma = h\;\nu = \dfrac{h\;c}{\lambda_0}\;</math>»<ref name="symbole gamma"> <math>\;\gamma\;</math> étant le symbole utilisé pour représenter un [[w:Photon|photon]] quelle que soit son énergie <math>\;\big(</math>ce qui peut correspondre aussi à un rayonnement <math>\gamma\big)</math>.</ref> et <br>{{Transparent|associé à une onde monochromatique de fréquence <math>\;\color{transparent}{\nu}\;</math> c'est-à-dire de longueur d'onde dans le vide <math>\;\color{transparent}{\lambda_0 = \dfrac{c}{\nu}}</math>, il a }}la « quantité de mouvement<ref name="définition de quantité de mouvement" /> <math>\;\vec{p}_\gamma = \dfrac{E_\gamma}{c}\;\vec{u} = \dfrac{h}{\lambda_0}\;\vec{u}\;</math>»<ref name="symbole gamma" /> avec <br>{{Al|6}}{{Transparent|associé à une onde monochromatique de fréquence <math>\;\color{transparent}{\nu}\;</math> c'est-à-dire de longueur d'onde dans le vide <math>\;\color{transparent}{\lambda_0 = \dfrac{c}{\nu}}</math>, il a la « quantité de mouvement }}<math>\;\vec{u}\;</math> vecteur unitaire dirigeant et orientant son mouvement. === Ordre de grandeur de l'énergie d'un photon === {{Al|5}}Un [[w:Photon|photon]] de lumière visible <math>\;\big(</math>par exemple de longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0 = 0,600\; \mu m\;</math><ref> De couleur « jaune ».</ref><math>\big)\;</math> a une énergie qui se calcule selon «<math>\;E_\gamma = \dfrac{h\;c}{\lambda_0} \simeq</math> <math>\dfrac{6,626\;10^{-34} \times 3\; 10^8}{\lambda_0\;(\text{en m})}\;</math> en <math>\;J\;</math>»<ref name="symbole gamma" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un photon de lumière visible }}<math>\;\bigg(\!</math>sur l'exemple du jaune «<math>\;E_{\gamma,\,\text{jaune}} \simeq \dfrac{6,626\;10^{-34} \times 3\; 10^8}{0,600\;10^{-6}} \simeq 3,32\;10^{-19}\;J\;</math>»<ref name="symbole gamma" />{{,}}<ref name="eV"> On constate que le Joule est une unité d'énergie mal adaptée au domaine microscopique, car beaucoup trop petite, dans ce domaine on utilise l'électron-volt <math>\;eV\;</math> correspondant à l'énergie cinétique acquise par une charge élémentaire accélérée sous une d.d.p. de <math>\;1\; V\;</math> d'où «<math>\;1\;eV \simeq 1,6\;10^{-19}\;J\;</math>».</ref> soit «<math>\;E_{\gamma,\,\text{jaune}} \simeq 2,075\;eV\;</math>»<ref name="symbole gamma" />{{,}}<ref name="eV" /><math>\bigg)\;</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|Un photon de lumière visible }}l'ordre de grandeur de l'énergie d'un [[w:Photon|photon]] du visible « entre <math>\; E_{\gamma,\,\text{rouge}} \simeq 1,55\;eV\;</math><ref name="symbole gamma" />{{,}}<ref name="eV" /> et <math>\; E_{\gamma,\,\text{violet}} \simeq 3,10\;eV\;</math><ref name="symbole gamma" />{{,}}<ref name="eV" /> » ; {{Al|5}}on peut réécrire la relation définissant l'énergie du [[w:Photon|photon]] en fonction de la longueur d'onde dans le vide en unités appropriées à savoir l'<math>eV\;</math><ref name="eV" /> pour l'énergie et <br>{{Al|5}}{{Transparent|on peut réécrire la relation définissant l'énergie du photon en fonction de la longueur d'onde dans le vide en unités appropriées à savoir }}le <math>\;\mu m\;</math> pour la longueur d'onde dans le vide selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|on peut réécrire la relation définissant l'énergie du photon en fonction de la longueur d'onde dans le vide en unités appropriées à savoir }}«<math>\;E_\gamma\;(\text{en }\;eV) \simeq \dfrac{1,24}{\lambda_0\;(\text{en }\mu m)}\;</math>»<ref name="symbole gamma" />{{,}}<ref name="eV" /> ; <div style="text-align: center;">pour les autres longueurs d'onde dans le vide d'un rayonnement électromagnétique les ordres de grandeur sont les suivants : <br>«<math>\;\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{rayonnement} & \lambda_0\;(\text{en }m) & \nu\;(\text{en }Hz) & E_\gamma\;(\text{en }eV)\\ \hline \text{ondes hertziennes} & > 3\;10^4 & < 10^{12} & < 4\;10^{-3}\;(4\;meV)\\ \hline \text{infrarouges} & 7,5\;10^{-7} < \cdots < 3\;10^{-4} & 10^{12} < \cdots < 4\;10^{14} & 4\;10^{-3} < \cdots < 1,5\\ \hline \text{visible} & 4\;10^{-7} < \cdots < 7,5\;10^{-7} & 4\;10^{14} < \cdots < 7,5\;10^{14} & 1,5 < \cdots < 3,1\\ \hline \text{ultra-violets} & 10^{-8} < \cdots < 4\;10^{-7} & 7,5\;10^{14} < \cdots < 3\;10^{16} & 3,1 < \cdots < 125\\ \hline \text{rayons X} & 2\;10^{-11} < \cdots < 10^{-8} & 3\;10^{16} < \cdots < 1,5\;10^{19} & 125 < \cdots < 60\;10^3\\ \hline \text{rayons }\gamma & < 2\;10^{-11} & > 1,5\;10^{19} & 125 > 60\;10^3\;(60\;keV)\\ \hline \end{array}\;</math>»<ref name="symbole gamma" />{{,}}<ref name="eV" />{{,}}<ref name="photons mous ou durs"> Les [[w:Photon|photons]] associés aux ondes hertziennes sont d'énergie inférieure à quelques <math>\;meV\;</math> et qualifiés de « mous » car très peu énergétiques ; <br>{{Al|3}}les [[w:Photon|photons]] associés aux [[w:Rayon gamma|rayons gamma]] sont d'énergie supérieure à quelques dizaines de <math>\;keV\;</math> et qualifiés de « durs » car très énergétiques, ceci d'autant plus que la longueur d'onde dans le vide est petite.</ref>.</div> === Débit de photons === {{Al|5}}Pour que l'aspect « granulaire » de l'onde apparaisse en optique, les faisceaux utilisés doivent être de « très faible puissance »<ref name="Faible puissance"> Ordre de grandeur restant à préciser.</ref>, sinon l'aspect corpusculaire est masqué par le « débit important de [[w:Photon|photons]] »<ref name="Faible puissance" />, par exemple un « laser hélium-néon » de longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0 = 0,633\;\mu m\;</math> et de puissance <math>\;\mathcal{P} = 1,0\; mW\;</math> correspond à un « débit de [[w:Photon|photons]] <math>\;n_\gamma\;(\text{en }s^{-1}) = \dfrac{\mathcal{P}}{E_\gamma} =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\mathcal{P}\;\lambda_0}{h\;c}\;</math>»<ref name="symbole gamma" />{{,}}<ref name="énergie d'un photon en fonction de lambda0"> On rappelle l'énergie d'un photon en fonction de la longueur d'onde dans le vide «<math>\;E_\gamma = \dfrac{h\;c}{\lambda_0}\;</math>» établie dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Aspect_corpusculaire_de_la_lumière|aspect corpusculaire de la lumière]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>}} soit {{Nobr|«<math>\;n_{\gamma}\;(\text{en }s^{-1})\;</math><ref name="symbole gamma" />}} <math>\;= \dfrac{\mathcal{P}\;\lambda_0}{h\;c} \simeq \dfrac{10^{-3} \times 0,633\;10^{-6}}{6,626\;10^{-34} \times 3,00\;10^8} \simeq 3,2\;10^{15}\;s^{-1}\;</math>» c'est-à-dire un « débit très important » à l'échelle de temps mésoscopique<ref name="échelle de temps mésoscopique"> Une échelle de temps mésoscopique est de l'ordre de la <math>\;\mu s \left( = 10^{-6}\;s \right)\;</math> c.-à-d. pouvant être considérée comme infiniment petite relativement à une échelle de temps macroscopique <math>\;\big\{</math>de l'ordre du dixième de <math>\;s\big\}\;</math> et infiniment grande par rapport à une échelle de temps microscopique <math>\;\big\{</math>de l'ordre d'une dizaine de <math>\;ps \left( = 10^{-12}\;s \right)\!\big\}\;</math> voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_intensité,_tension,_puissance#Échelles_macroscopique,_mésoscopique_et_microscopique_de_temps|échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de temps]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> Sur une échelle de temps mésoscopique <math>\;\tau = 1\; \mu s\;</math> un récepteur captera <math>\;n_{\gamma}\;\tau \simeq 3,2\;10^{15} \times 10^{-6} = 3,2\,10^9\;</math> [[w:Photon|photons]] ce qui est un nombre très important.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour que l'aspect « granulaire » de l'onde apparaisse en optique, }}avec un détecteur de résolution temporelle de <math>\;100\; ns = 10^{-7}\;s\;</math><ref name="résolution temporelle d'un détecteur"> Cela signifie que l'on pourra détecter deux [[w:Photon|photons]] reçus successivement si la durée s'écoulant entre les deux instants de réception est <math>\;>\;</math> à <math>\;100\; ns</math>.</ref>, pour espérer détecter les [[w:Photon|photons]] un par un, il est nécessaire que la fréquence d'émission des [[w:Photon|photons]] par le faisceau laser précédemment introduit soit <math>\;<\;</math> à <math>\;10^7\;s^{-1}\;</math><ref name="Faible puissance bis"> Ordre de grandeur pour considérer que le débit de [[w:Photon|photons]] ou la puissance lumineuse associée sont faibles.</ref> par exemple <math>\;3,2\;10^6\;s^{-1}\;</math> correspondant à une puissance du faisceau divisée par un facteur <math>\;10^9\;</math> soit égale à <math>\;\mathcal{P} = 1,0\;pW\;</math><ref name="Faible puissance bis" /> mais, ce système simple ne fonctionne pas correctement à cause de l'« irrégularité d'émission des [[w:Photon|photons]] »<ref> Ce n'est qu'en moyenne que l'intervalle de temps séparant les instants d'émission de deux [[w:Photon|photons]] successifs est supérieure à <math>\;\dfrac{1}{3,2\;10^6}\;s \simeq</math> <math>3,125\; 10^{-7}\;s \simeq 313\;ns > 100\;ns\;</math> mais en pratique deux [[w:Photon|photons]] successifs dont les instants d'émission seraient séparés d'une durée inférieure à <math>\;100\;ns\;</math> seraient détectés en même temps ; <br>{{Al|3}}diminuer encore la puissance rendant le risque de détection simultanée plus faible sans toutefois l'annuler, on obtient donc un système d'émission insuffisant.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que l'aspect « granulaire » de l'onde apparaisse en optique, }}il existe néanmoins des systèmes beaucoup plus élaborés<ref> Que nous n'exposerons pas.</ref> permettant d'envoyer des [[w:Photon|photons]] un par un et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour que l'aspect « granulaire » de l'onde apparaisse en optique, il existe néanmoins des systèmes beaucoup plus élaborés }}définissant ce qu'on appelle des sources « de [[w:Photon|photons]] uniques ». == Exemples d'expérience mettant en évidence la notion d'onde de matière : interférences d'un faisceau d'électrons homocinétiques par fentes d'Young et autres interférences == === Description de l'expérience d'interférences d'un faisceau d'électrons homocinétiques par fentes d'Young (ou dispositif analogue) === [[File:Double-slit.svg|thumb|550px|Interférence électronique réalisée avec un faisceau d'électrons séparé par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" />]] * La 1^ère expérience d'interférences électroniques a été réalisée par '''[[w:Charles_Fert|Charles Fert]]'''<ref name="Ch.Fert"> '''[[w:Charles_Fert|Charles Fert]] (1911 - 1985)''' physicien français ayant exercé au laboratoire d'optique électronique de Toulouse avant de le quitter en <math>\;1962\;</math> pour fonder le laboratoire de physique du solide de Toulouse ; il est le père de '''[[w:Albert_Fert|Albert Fert]] (né en 1938)''' également physicien qui obtint le prix Nobel de physique en <math>\;2007\;</math> pour la découverte de la [[w:magnétorésistance géante|magnétorésistance géante]] en <math>\;1988</math>.</ref> et ses collaborateurs en <math>\;1956\;</math> au laboratoire d'optique électronique de Toulouse, elle consistait à séparer un faisceau d'électrons homocinétiques à l'aide d'un « fil d'araignée métallisé chargé électriquement »<ref> Ce fil jouant le même rôle qu'un [[w:Biprisme_de_Fresnel|biprisme]] en optique on peut parler d'interférences électroniques par [[w:Biprisme_à_électrons|biprisme]] ; <br>{{Al|3}}un [[w:Biprisme_de_Fresnel|biprisme]] en optique est une juxtaposition de deux prismes de même arête ayant pour effet de séparer tout pinceau <math>\;\parallel\;</math> baignant l'arête commune, la partie du pinceau arrosant le prisme supérieur étant déviée vers le bas et celle du pinceau arrosant le prisme inférieur déviée vers le haut d'où superposition des deux pinceaux déviés, lesquels pinceaux provenant d'un même pinceau sont [[w:Cohérence_(physique)|cohérents]] entre eux et peuvent interférer.</ref>, les deux faisceaux obtenus interférant au-delà du fil <math>\;\big(</math>il s'agit bien d'une expérience d'interférences mais non par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /><math>\big)</math> ; * la 1^ère interférence électronique par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> a été réalisée par '''[[w:Claus_Jönsson|Claus Jönsson]]'''<ref name="Jönsson"> '''[[w:Claus_Jönsson|Claus Jönsson]] (né en 1930)''' physicien allemand, connu pour être le 1^er à avoir réalisé une interférence électronique par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]] en <math>\;1961</math>.</ref> en <math>\;1961</math>, le faisceau d'électrons étant séparé par deux fentes fines très rapprochées entaillées sur une feuille de cuivre {{Nobr|<math>\;\big(</math>voir}} schéma de principe ci-contre<math>\big)</math> ; * enfin la 1^ère interférence d'« électron unique »<ref> C.-à-d. que le faisceau d'électrons a un débit suffisamment faible pour qu'on puisse considérer que les électrons arrivent un par un sur le dispositif.</ref> a été réalisée en <math>\;1989\;</math> par '''[[w:Akira_Tonomura|Akira Tonomura]]'''<ref name="Tonomura"> '''[[w:Akira_Tonomura|Akira Tonomura]] (1942 - 2012)''' physicien japonais connu principalement pour son développement, en <math>\;1970</math>, du microscope à [[w:Holographie|holographie]] par électron ; son équipe est reconnue comme la 1^ère à avoir réalisé l'expérience d'interférences à un électron en <math>\;1989\;</math> <math>\big[</math>toutefois il y a une controverse sur l'antériorité : une équipe italienne <math>\;\big\{</math>'''[[w:Pier_Giorgio_Merli|Pier Giorgio Merli]] (1943 - 2008)''', '''Gian Franco Missiroli''' et '''[[w:Giulio_Pozzi|Giulio Pozzi]] (né en 1945)'''<math>\big\}\;</math> aurait réalisé la 1^ère expérience de ce type en <math>\;1974</math>, voir le site en anglais http://l-esperimento-piu-bello-della-fisica.bo.imm.cnr.it/english/index.html pour la 1^ère expérience d'interférences à un électron par Merli, Missiroli, et Pozzi en <math>\;1974\big]</math>.</ref> en utilisant un dispositif de séparation analogue à celui de Fert<ref name="Ch.Fert" /> et de ses collaborateurs <math>\;\big(</math>il ne s'agit donc pas d'interférences par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /><math>\big)</math> ; * dans les deux 1^ers exemples cités, l'observation est identique à celle décrite lors de l'expérience d'interférences par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> et <br>dans le 3^ème exemple elle est identique à celle des interférences « par [[w:Photon|photon]] unique » réalisée peu de temps avant <math>\;1986\;</math><ref> C.-à-d. bien plus tard que les interférences classiques à puissance non petite.</ref> par '''[[w:Alain_Aspect|Alain Aspect]]'''<ref name="Aspect"> '''[[w:Alain_Aspect|Alain Aspect]] (né en 1947)''' physicien français essentiellement connu pour avoir réalisé, en <math>\;1982\;</math> le 1^er test concluant portant sur le [[w:paradoxe EPR|paradoxe Einstein-Podolsky-Rosen]] ; il a partagé le prix Nobel de physique en <math>\;2022\;</math> avec '''[[w:John_Clauser|John Clauser]]''' et '''[[w:Anton_Zeilinger|Anton Zeilinger]]''' pour leurs expériences avec des [[w:Intrication_quantique|photons intriqués]], établissant la violation des [[w:Inégalités_de_Bell|inégalités de Bell]] et ouvrant la voie à la science de l'information quantique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:John_Clauser|John Clauser]] (né en 1942)''' physicien étatsunien connu pour avoir réalisé avec Stuart Freedman la 1^ère observation expérimentale d'une violation d'une [[w:Inégalités_de_Bell|inégalité de Bell]] conduisant ainsi à mettre en évidence le phénomène d'[[w:Intrication_quantique|intrication quantique]], pour cette observation il a partagé le prix Nobel de physique en <math>\;2022\;</math> avec '''[[w:Alain_Aspect|Alain Aspect]]''' et '''[[w:Anton_Zeilinger|Anton Zeilinger]]''' ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Anton_Zeilinger|Anton Zeilinger]] (né en 1945)''' physicien autrichien essentiellement connu pour ses travaux de [[w:Téléportation_quantique|téléportation quantique]], pour ces derniers il a partagé le prix Nobel de physique en <math>\;2022\;</math> avec '''[[w:Alain_Aspect|Alain Aspect]]''' et '''[[w:John_Clauser|John Clauser]]'''. <br>{{Al|3}}'''[[w:John_Stewart_Bell|John Stewart Bell]] (1928 - 1990)''' physicien nord-irlandais connu principalement pour son [[w:Expériences_sur_les_inégalités_de_Bell|théorème]] et la mise en évidence des [[w:Inégalités_de_Bell|inégalités]] qui en découlent.</ref> et '''[[w:Philippe_Grangier|Philippe Grangier]]'''<ref name="Grangier"> '''[[w:Philippe_Grangier|Philippe Grangier]] (né en 1957)''' physicien français ayant participé, en collaboration avec [[w:Alain_Aspect|Alain Aspect]], à la réalisation du 1^er test concluant portant sur le [[w:paradoxe EPR|paradoxe Einstein-Podolsky-Rosen]], il mit aussi au point une technologie de [[w:Cryptographie_quantique|cryptographie quantique]].</ref>. [[Image:Double-slit experiment results Tonomura 2.jpg|thumb|right|250px|Images successives de l'écran dans l'expérience de '''[[w:Akira_Tonomura|Tonomura]]'''<ref name="Tonomura" /> avec un nombre <math>\;\nearrow\;</math> d'électrons détectés]] {{Al|5}}Nous allons décrire un peu plus en détail cette dernière expérience d'interférences d'« électron unique » réalisée par '''[[w:Akira_Tonomura|Akira Tonomura]]'''<ref name="Tonomura" />{{,}}<ref> Ou par l'équipe italienne « '''[[w:Pier_Giorgio_Merli|Pier Giorgio Merli]] (1943 - 2008)''', '''Gian Franco Missiroli''' et '''[[w:Giulio_Pozzi|Giulio Pozzi]] (né en 1945)''' ».</ref> : {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les électrons arrivant un par un sur le détecteur tombent sur un film [[w:Fluorescence|fluorescent]], leur impact provoquant l'émission d'environ <math>\;500\;</math> [[w:Photon|photons]] lesquels sont collectés par un dispositif d'imagerie ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>le caractère successif d'émission des électrons est réalisé à l'aide d'un faible flux électronique du faisceau de l'ordre de <math>\;10^3\;s^{-1}\;</math> c'est-à-dire que les électrons sont émis en moyenne toutes les <math>\;ms</math> ; ces électrons ont une énergie cinétique moyenne de <math>\;50\; keV\;</math><ref name="électronVolt" /> <math>\;\big(</math>ils sont donc relativistes<math>\big)\;</math><ref> Une énergie cinétique moyenne de <math>\;K = 50\;keV\;</math> pour un électron <math>\Rightarrow</math> son caractère relativiste, en effet cette énergie cinétique représente pratiquement un dixième de l'énergie de masse d'un électron <math>\;E^{\,0}_{\,e} = m_e\;c^2 \simeq 511\;keV\;</math> et la condition pour qu'il soit newtonien est « une énergie cinétique approximativement <math>\;\lesssim\;</math> à un centième de son énergie de masse » <math>\;\big\{</math>facilement vérifiable sachant qu'une particule est newtonienne du point de vue de son énergie cinétique si sa vitesse est <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,10\;c\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'énergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] (condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1]] {{Nobr|[[Mécanique_1_(PCSI)|(PCSI)]] »<math>\big\}</math>.}}</ref> correspondant à une vitesse moyenne de <math>\;1,25\; 10^8\; m \cdot s^{-1}\;</math><ref> En effet une énergie cinétique moyenne <math>\;K = 50\;keV\;</math> correspondant à un électron relativiste <math>\;\big(</math>voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#cite_note-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, sa vitesse se détermine par la relation <math>\;K =</math> <math>\left( \gamma - 1 \right)\,m_e\;c^2 = \left( \gamma - 1 \right)\,E^{\,0}_{\,e}\;</math> dans laquelle <math>\;E^{\,0}_{\,e} \simeq 511\;keV\;</math> est l'énergie de masse de l'électron, <math>\;\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta^{\,2}}}\;</math> son facteur de Lorentz et <math>\;\beta = \dfrac{\Vert \vec{V} \Vert}{c}\;</math> sa vitesse relative en fraction de <math>\;c</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>voir}} le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'énergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, d'où <math>\;\gamma = 1 + \dfrac{K}{E^{\,0}_{\,e}} \simeq 1 + \dfrac{50}{511} \simeq 1,0978 = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta^{\,2}}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\beta = \sqrt{1 - \dfrac{1}{\gamma^{\,2}}} \simeq \sqrt{1 - \dfrac{1}{\left( 1,0978\right)^{2}}} \simeq 0,4127\;c\;</math> d'où <math>\;\Vert \vec{V} \Vert \simeq 0,4127 \times 3\;10^8 \simeq 1,24\;10^8\;m \cdot s^{-1}</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#cite_note-Lorentz-131|¹³¹]] » plus bas dans ce chapitre pour plus de détails.</ref> du point <math>\;M\;</math> dans son mouvement par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> et <math>\;c\;</math> la célérité de la lumière dans le vide<ref name="valeur maximale de vitesse"> Valeur maximale indépassable de la vitesse de tout point matériel par rapport à n'importe quel référentiel d'étude (dans le cadre de la cinématique relativiste).</ref>{{,}}<ref> La distance qui séparerait deux électrons successifs dans le vide serait <math>\;1,25\; 10^8 \times 10^{-3}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;125\; km\;</math> ce qui étant très <math>\;>\;</math> à la taille du dispositif prouve que les électrons interagissent seuls dans ce dernier.</ref> ; <div style="text-align: center;">[[File:Wave-particle duality.gif|Wave-particle duality]]</div> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>l'observation de l'animation ci-dessus modélisant la construction progressive d'une figure d'interférences d'électrons<ref> Chaque point correspondant à l'arrivée d'un électron.</ref> ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>l'observation }}des images successives avec un nombre <math>\;\nearrow\;</math> d'électrons détectés dans l'expérience de '''[[w:Akira_Tonomura|Tonomura]]'''<ref name="Tonomura" />, ci-contre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>l'observation }}appelle les remarques suivantes : * on observe, au début de l'animation <math>\;\big[</math>ou dans les images (ɑ) et (b)<math>\big]</math>, une répartition aléatoire des points d'impact, contraire à ce que donnerait l'applicabilité de la mécanique relativiste<ref> En effet on devrait, suivant celle-ci, obtenir deux impacts correspondant aux passages par une voie ou l'autre, la mécanique relativiste <math>\;\big(</math>comme la mécanique newtonienne<math>\big)\;</math> étant déterministe {{Nobr|c.-à-d.}} qu'à conditions initiales fixées, il devrait n'y avoir qu'une trajectoire possible par voie et non une infinité.</ref> <math>\Rightarrow</math> la mécanique « classique »<ref> Au sens « non quantique » c.-à-d. relativiste ou newtonienne.</ref> n'est donc pas applicable ici ; * au fur et à mesure que le nombre d'électrons détectés <math>\;\nearrow</math>, on observe une modulation régulière du nombre d'impacts enregistrés identique à l'observation des franges lumineuses en optique. === Interférences d'atomes === [[File:Interférences d'atomes d'hélium.jpg|thumb|left|500px|Dispositif expérimental utilisé pour l'observation d'interférences d'atomes d'hélium par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" />]] {{Al|5}}En <math>\;1991\;</math> '''Oliver Carnal''' et '''[[w:Jürgen_Mlynek|Jürgen Mlynek]]'''<ref name="Mlynek"> '''[[w:Jürgen_Mlynek|Jürgen Mlynek]] (né en 1951)''' physicien allemand essentiellement connu pour cette expérience réalisée à l'[[w:Université_de_Constance|Université de Constance]] <math>\;\big(</math>Allemagne<math>\big)\;</math> avec '''Oliver Carnal''' en <math>\;1991</math>.</ref> ont réalisé une expérience d'interférences de [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> avec des « atomes d'hélium »<ref> La difficulté provient de la petitesse de la longueur d'onde associée aux atomes d'hélium comparée à celle des particules étudiées auparavant <math>\;\big(</math>en fait plus la masse est importante, pour une même vitesse, plus la quantité de mouvement l'est et plus la longueur d'onde est faible comme cela sera présenté dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Relation_de_Louis_de_Broglie_et_conséquences|relation de Louis de Broglie et conséquences]] » plus bas dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big)</math>,}} dans l'expérience citée la longueur d'onde associée aux atomes d'hélium était <math>\;1,03\; \text{Å} = 1,03\;10^{-4}\;\mu m\;</math> soit une longueur d'onde <math>\;5000\;</math> fois plus petite que la lumière visible, nécessitant des fentes <math>\;5000\;</math> fois moins larges et <math>\;5000\;</math> fois plus proches.</ref> ; <br>{{Al|14}}{{Transparent|En <math>\;\color{transparent}{1991}\;</math> Oliver Carnal et Jürgen Mlynek }}les atomes d'hélium étaient tout d'abord diffractés par une fente de largeur <math>\;s_1 =</math> <math>2\; \mu m\;</math> en direction des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> situées à une distance <math>\;L = 64\; cm\;</math> et larges chacune de <math>\;s_2 = 1\; \mu m\;</math> dont les centres étaient séparés de <math>\;a = 8\; \mu m</math>, puis <br>{{Al|14}}{{Transparent|En <math>\;\color{transparent}{1991}\;</math> Oliver Carnal et Jürgen Mlynek les atomes d'hélium étaient }}détectés par un détecteur large de <math>\;2\; \mu m\;</math> situé à une distance <math>\;L' = 64\; cm\;</math> des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|14}}{{Transparent|En <math>\;\color{transparent}{1991}\;</math> Oliver Carnal et Jürgen Mlynek }}les observations sont identiques aux précédentes<ref> C.-à-d. celles de l'expérience de '''[[w:Akira_Tonomura|Tonomura]]''' obtenues par interférences d'un électron unique.</ref> <math>\;\ldots</math> <br><br><br> [[File:Interférences d'atomes d'hélium – bis.jpg|thumb|320px|Nombre d'atomes détectés pendant <math>\;10\; min\;</math> en fonction de la position du détecteur dans l'expérience d'interférences d'atomes d'hélium]] <br><br><br>{{Al|5}}<u>Remarques</u> <math>\rightsquigarrow</math> avantage des interférences atomiques relativement aux interférences lumineuses : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques <math>\color{transparent}{\rightsquigarrow}</math> }}les atomes voyageant beaucoup plus lentement que la lumière restent plus longtemps en interaction dans l'interféromètre et sont donc nettement plus sensibles ; cette sensibilité accrue peut être mise à profit pour des mesures très précises comme celle de l'« accélération de la pesanteur »<ref> En effet des particules massiques se déplaçant plus lentement sont plus sensibles à l'accélération de la pesanteur ; <br>{{Al|3}}bien connaître la valeur de l'accélération de la pesanteur a permis des améliorations notables dans la prospection minière ou pétrolière.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques <math>\color{transparent}{\rightsquigarrow}</math> }}un autre avantage est qu'on accède à un domaine de longueur d'onde plus étendu allant du micromètre au nanomètre alors que les interférences lumineuses autorisent un domaine autour du micromètre ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques <math>\color{transparent}{\rightsquigarrow}</math> }}enfin les interférences atomiques sont exploitées pour faire de l'[[w:Holographie|holographie]] avec des atomes <math>\;\big(</math>en effet les figures d'interférence sont des microstructures atomiques permettant de concevoir des techniques [[w:Lithographie#Lithogravure et microlithographie|microlithographiques]] encore plus fines que celles existant actuellement<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Ci-contre la détection d'atomes en fonction de la position du détecteur, la détection ayant duré <math>\;10\; min</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre }}l'interfrange peut être estimée à <math>\;8,4\; \mu m \pm 0,8\; \mu m\;</math> et la théorie fournit une valeur de <math>\;i \simeq \dfrac{\lambda}{a}\;L' \simeq</math> <math>\dfrac{1,03\;10^{-3}}{8\;10^{-6}} \times 0,64\;</math> en <math>\;m\;</math><ref name="interfrange"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Interférences_entre_deux_ondes_acoustiques_ou_mécaniques_de_même_fréquence#Échelle_de_longueur_du_phénomène_d'interférences_dans_le_plan_d'observation,_notion_d'interfrange|échelle de longueur du phénomène d'interférences dans le plan d'observation, notion d'interfrange]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> soit <math>\;i \simeq 8,2\;\mu m\;</math> en bon accord avec l'expérience. === Interférences de molécules === {{Al|5}}À une température donnée « plus la masse de la molécule est grande », plus « sa vitesse <math>\;\big(</math>[[w:Vitesse_quadratique_moyenne|quadratique moyenne]]<math>\big)\;</math> est faible »<ref> En effet l'énergie cinétique moyenne de translation d'une molécule est liée à la température <math>\;T\;</math> par la relation <math>\;\Big\langle \dfrac{1}{2}\;m\;v^2 \Big\rangle = \dfrac{3}{2}\;k_B\;T\;</math> où <math>\;k_B\;</math> est la [[w:Constante_de_Boltzmann|constante de Boltzmann]] <math>\;\simeq 1,38\; 10^{-23}\;J</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>voir}} le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Température_cinétique_d'un_gaz,_exemple_du_G.P.M.#Définition_de_la_température_cinétique_d’un_gaz_en_équilibre_thermodynamique|définition de la température cinétique d'un gaz en équilibre thermodynamique]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, ceci établissant que la [[w:Vitesse_quadratique_moyenne|vitesse quadratique moyenne]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. dont le carré est la moyenne du carré de la vitesse instantanée<math>\big)\;</math> est inversement <math>\;\propto\;</math> à la racine carré de la masse. <br>{{Al|3}}'''[[w:Ludwig_Boltzmann|Ludwig Eduard Boltzmann]] (1844 - 1906)''' physicien et philosophe autrichien, il est l'un des fondateurs de la [[w:Physique_statistique|mécanique statistique]] qui explique les lois de la thermodynamique à l'aide des propriétés statistiques des grands ensembles des particules ; <br>{{Al|3}}en mathématiques il est aussi, avec '''[[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]] (1850 - 1925)''' physicien britannique autodidacte, l'un des fondateurs de l'[[w:Analyse_vectorielle|analyse vectorielle]].</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|À une température donnée }}« plus sa quantité de mouvement<ref name="définition de quantité de mouvement" /> est grande »<ref> Pour une particule non relativiste la quantité de mouvement étant <math>\;m\;\vec{v}\;</math> et la [[w:Vitesse_quadratique_moyenne|vitesse quadratique moyenne]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. dont le carré est la moyenne du carré de la vitesse instantanée<math>\big)\;</math> étant inversement <math>\;\propto\;</math> à la racine carré de la masse <math>\;\big\{</math>voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#cite_note-88|⁸⁸]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, la quantité de mouvement est approximativement <math>\;\big(</math>pour les molécules de vitesse égale à la [[w:Vitesse_quadratique_moyenne|vitesse quadratique moyenne]]<math>\big)</math> <math>\;\propto\;</math> à la racine carrée de sa masse à température fixée.</ref>, et par suite « plus sa longueur d'onde est faible »<ref name="lien entre quantité de mouvement et longueur d'onde"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Relation_de_Louis_de_Broglie_et_conséquences|relation de Louis de Broglie et conséquences]] » plus bas dans ce chapitre.</ref> ; {{Al|5}}en <math>\;1999</math>, '''[[w:Markus_Arndt|Markus Arndt]]'''<ref name="Arndt"> '''[[w:Markus_Arndt|Markus Arndt]] (né en 1965)''' physicien allemand connu principalement pour cette expérience d'interférences moléculaires qu'il réalisa, avec ses collègues de l'[[w:Université_de_Vienne|Université de Vienne]], université qu'il fréquenta de <math>\;1999\;</math> à <math>\;2002</math>.</ref> et ses collègues de l'[[w:Université_de_Vienne|Université de Vienne]] ont réalisé des interférences à l'aide d'un « [[w:Réseau_de_diffraction|réseau]] ultrafin »<ref name="réseau ultrafin"> Constitué d'un ensemble de fentes <math>\;\parallel\;</math> fondées sur le même principe que les [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]], le pas du réseau étant initialement de <math>\;100\; nm\;</math> a été réduit à <math>\;10\; nm\;</math>.</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|en <math>\;\color{transparent}{1999}</math>, Markus Arndt et ses collègues de l'Université de Vienne ont réalisé des interférences }}avec une molécule de très grande taille le « [[w:Fullerène|fullerène]] <math>\;C_{60}\;</math>»<ref name="fullerène C60"> Molécule de carbone en forme de ballon de football constituée de <math>\;60\;</math> atomes de carboane.</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|en <math>\;\color{transparent}{1999}</math>, Markus Arndt et ses collègues de l'Université de Vienne ont réalisé des interférences avec une molécule }}de masse molaire moléculaire <math>\;720\; g \cdot mol^{-1}\;</math><ref> À température ordinaire la longueur d'onde associée est <math>\;5,5\; pm</math>, soit dans un rapport d'un facteur <math>\;10^5\;</math> avec la lumière visible, ce qui nécessite des largeurs de fentes et des distances séparant les centres des fentes <math>\;10^5\;</math> fois plus faible.</ref> et plus récemment <br>{{Al|13}}{{Transparent|en <math>\;\color{transparent}{1999}</math>, Markus Arndt et ses collègues de l'Université de Vienne ont réalisé des interférences avec }}des « molécules deux fois plus grosses » dérivées du [[w:Tétraphénylporphyrine|tétraphénylporphyrine]] <br>{{Al|13}}{{Transparent|en <math>\;\color{transparent}{1999}</math>, Markus Arndt et ses collègues de l'Université de Vienne ont réalisé des interférences avec des « molécules }}de masse molaire moléculaire <math>\;5000\; g \cdot mol^{-1}\;</math><ref> À température ordinaire la longueur d'onde associée est <math>\;2,0\; pm</math>, soit dans un rapport d'un facteur <math>\;\simeq 3\;10^5\;</math> avec la lumière visible, ce qui nécessite des largeurs de fentes et des distances séparant les centres des fentes <math>\;\simeq 3\;10^5\;</math> fois plus faible.</ref>. {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : les observations sont identiques à celles obtenues lors des interférences d'atomes, en effet <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}la longueur d'onde associée aux molécules interférant étant plus faible que celle des atomes utilisés dans les interférences d'atomes <math>\;\big(</math>voir l'introduction de ce paragraphe<math>\big)\;</math> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}la distance entre fentes créant les interférences l'étant aussi <math>\;\big(</math>utilisation d'un « [[w:Réseau_de_diffraction|réseau]] ultrafin »<ref name="réseau ultrafin" /> dans les interférences de molécules<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : les observations sont identiques à celles obtenues lors des interférences d'atomes, }}l'interfrange est d'un même ordre de grandeur. == Expérience mettant en évidence le caractère particulaire de la matière : déviation électronique dans un tube cathodique == === Présentation du tube cathodique === {{Al|5}}Le [[w:Tube_cathodique|tube cathodique]] est la succession sous vide * d'un « [[w:Canon_à_électrons|canon à électrons]] » servant à produire des électrons et à les accélérer, * d'un interface dans lequel les électrons vont être déviés transversalement sous l'action d'une tension électrique et * d'un écran sur lequel la déviation est observable. === Canon à électrons === [[File:Canon à électrons.jpg|thumb|Schéma expliquant le fonctionnement d'un [[w:Canon_à_électrons|canon à électrons]]]] {{Al|5}}Dans un [[w:Canon_à_électrons|canon à électrons]], des électrons sont émis par « [[w:Émission_thermoionique|effet thermoélectronique]] »<ref> Éjection d'électrons d'un métal par apport d'énergie cinétique d'agitation thermique : un électron dont l'énergie cinétique d'agitation est <math>\;>\;</math> au [[w:Travail_de_sortie|travail d'extraction]] du métal <math>\;\dfrac{1}{2}\,m_e\,v^2 > W_{\text{extraction}}\;</math> peut quitter ce dernier, il quitte alors le métal et contribue à l'instauration d'une charge d'espace négative au-dessus de ce dernier, rendant l'extraction des électrons suivants d'autant plus difficile que la charge d'espace est importante ; <br>{{Al|3}}la valeur moyenne de l'énergie cinétique d'agitation étant <math>\;\Big \langle \dfrac{1}{2}\,m_e\,v^2 \Big\rangle = \dfrac{3}{2}\,k_B\,T</math> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Température_cinétique_d'un_gaz,_exemple_du_G.P.M.#Définition_de_la_température_cinétique_d’un_gaz_en_équilibre_thermodynamique|définition de la température cinétique d'un gaz en équilibre thermodynamique]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, l'[[w:Émission_thermoionique|effet thermoélectronique]] sera donc d'autant plus efficace que la température sera élevée <math>\;\big[</math>ne pas perdre de vue que seuls les électrons les plus énergétiques peuvent être arrachés : par exemple, à haute température <math>\;T = 1000\; K</math>, l'énergie cinétique moyenne d'agitation des électrons n'est que de <math>\;0,13\; eV\;</math> alors que le [[w:Travail_de_sortie|travail d'extraction]] dans le cas du fer est de <math>\;1,8\; eV\;</math> <math>\Rightarrow</math> seul le très petit pourcentage d'électrons très agités <math>\;\big(</math>ayant donc une énergie cinétique d'agitation <math>\;>\;</math> à <math>\;1,8\; eV\big)\;</math> peut être arraché<math>\big]</math>.</ref> provenant d'une électrode <math>\;(K)\;</math> dans le voisinage d'un filament métallique chauffé, l'énergie cinétique d'éjection des électrons de <math>\;(K)\;</math> restant très faible, ils ne quittent pas spontanément son voisinage et forme autour d'elle une charge d'espace négative qui s'oppose à la poursuite de l'[[w:Émission_thermoionique|effet thermoélectronique]] ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans un canon à électrons, }}le but poursuivi étant de créer un faisceau d'électrons, on accélère les électrons arrachés en imposant une d.d.p. <math>\;U_{\text{accél}}\;</math> entre cette électrode <math>\;(K)\;</math> et l'électrode de sortie <math>\;(A)\;</math> du [[w:Canon_à_électrons|canon à électrons]] avec <math>\;U_{\text{accél}} > 0</math>, <math>\;(K)\;</math> étant appelée « cathode » et <math>\;(A)\;</math> « anode » ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans un canon à électrons, }}on observe effectivement un faisceau d'électrons quasi homocinétiques à la sortie du canon en accord avec le caractère particulaire des électrons <math>\;\bigg[</math>dans l'interface l'électron n'étant soumis qu'à la force électrique <math>\;\vec{F} = -e\;\vec{E}\;</math><ref name="force électrique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_intensité,_tension,_puissance#Cause_dans_une_partie_réceptrice_:_force_électrique_«_motrice_»_due_à_un_champ_électrique_généré_par_un_générateur|cause dans une partie réceptrice : force électrique motrice due à un champ électrique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> laquelle dérive de l'énergie potentielle électrique <math>\;\mathcal{E}_p = -e\;V\;</math><ref name="énergie potentielle électrique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_intensité,_tension,_puissance#Potentiel_d'un_point_d'un_circuit_électrique|potentiel d'un point d'un circuit électrique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, on peut écrire la conservation de l'énergie mécanique de l'électron entre <math>\;(K)\;</math> et <math>\;(A)\;</math><ref name="conservation de l'énergie mécanique"> En effet l'électron n'étant soumis qu'à une force conservative <math>\;\big\{</math>voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#En_complément,_généralisation_admise_relative_à_un_champ_électrique_non_uniforme|en complément, généralisation admise relative à un champ électrique non uniforme]] (concernant le caractère conservatif de la force électrique associée au champ électrique non uniforme) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet l'électron }}a un mouvement conservatif <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Définition_d'un_mouvement_conservatif|définition d'un mouvement conservatif]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, il y a donc conservation de son énergie mécanique <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Intégrale_1ère_«_énergétique_»_d'un_point_matériel_à_mouvement_conservatif|intégrale 1^ère énergétique d'un point matériel à mouvement conservatif]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> soit, dans la mesure où son énergie cinétique lors de l'extraction de <math>\;(K)\;</math> est considérée comme négligeable, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{E}_m(K)</math>}} <math>\simeq 0 - e\;V_K\;</math>» et «<math>\;\mathcal{E}_m(A) \simeq \dfrac{1}{2}\,m_e\,v_0^2 - e\;V_A\;</math>»<ref> Nous supposons le caractère newtonien de l'électron du point de vue de l'énergie cinétique.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\,m_e\,v_0^2 \simeq e \left( V_A - V_K \right) = e\;U_{\text{accél}}\;</math>»<ref> A.N. : <math>\;e = 1,602\; 10^{-19}\; C</math>, <math>\;m_e = 0,91\; 10^{-30}\; kg\;</math> et <math>\;U_{\text{accél}} = 500\; V\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K(A) = \dfrac{1}{2}\,m_e\,v_0^2 = 500\; eV \simeq 500 \times 1,6\;10^{-19} = 0,8\; 10^{-16}\;J\;</math> dont on tire <math>\;v_0 = \sqrt{\dfrac{2\;K(A)}{m_e}} \simeq</math> <math>\sqrt{\dfrac{2 \times 0,8\;10^{-16}}{0,91\;10^{-30}}} \simeq 1,33\; 10^7\; m \cdot s^{-1}\;</math> ou encore <math>\;13300\; km \cdot s^{-1}\;</math> soit <math>\;4,4\; \%\;</math> de la vitesse de la lumière justifiant l'hypothèse non relativiste de la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#cite_note-100|¹⁰⁰]] » plus haut dans ce paragraphe.</ref><math>\bigg]</math>. === Déviation électronique dans l'interface entre les plaques longitudinales de déviation === [[File:Déflexion électronique dans tube cathodique.jpg|thumb|350px|Schéma expliquant la déviation électronique entre les plaques horizontales d'un [[w:Tube_cathodique|tube cathodique]]]] {{Al|5}}Le faisceau d'électrons homocinétiques pénètrent dans l'interface entre les deux plaques longitudinales de déviation aux bornes de laquelle on impose une d.d.p. <math>\;U\;</math> permanente et on observe une dérive transversale de la trajectoire du faisceau dans le sens des potentiels croissants, dérive « visualisée sur l'écran »<ref> On parle alors de « déflexion électrique » pour la distance séparant l'impact de l'électron dévié relativement à l'impact en absence de déviation.</ref> situé à la sortie de l'interface par phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]] de ce dernier <math>\;\big(</math>voir schéma explicatif {{Nobr|ci-contre<math>\big)</math> ;}} <br>{{Al|5}}cette observation est là encore en accord avec le caractère particulaire des électrons. {{Al|5}}L'électron dans l'interface n'est soumis qu'à la force électrique <math>\;\vec{F} = -e\;\vec{E}\;</math><ref name="force électrique" />{{,}}<ref> L'éventuel poids de l'électron étant largement négligeable devant la force électrique en effet le poids vaut <math>\;0,91\; 10^{-31} \times 9,8 \simeq 9\; 10^{-30}\; N\;</math> et la force électrique <math>\;\big[</math>pour une tension <math>\;U = 20\; V\;</math> sur une distance <math>\;d = 2\; cm</math>, le champ électrique vaut <math>\;E = \dfrac{U}{d} = \dfrac{20}{2\; 10^{-2}} = 1000\; V \cdot m^{-1}\;</math> <math>\big(</math>admis pour l'instant<math>\big)\big]\;</math> a pour valeur <math>\;1,6\; 10^{-19} \times 10^3 \simeq 1,6\; 10^{-16}\; N\;</math> soit <math>\;10^{13}\;</math> fois plus grande que le poids.</ref> et l'application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. à l'électron dans le référentiel lié aux plaques <math>\;\big(</math>supposé galiléen<math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Autre_forme_de_la_relation_fondamentale_spécifique_à_la_dynamique_newtonienne,_la_«_r.f.d.n._»|autre forme de la relation fondamentale spécifique à la dynamique newtonienne, la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> conduit à un « vecteur-accélération constant <math>\;\vec{a} = -\dfrac{e}{m_e}\;\vec{E}\;</math>» ; {{Al|5}}en projetant sur les trois axes, on en déduit <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} a_x = 0\\ a_y = -\dfrac{e}{m_e}\;E_y\\ a_z = 0 \end{array}\right\rbrace\;</math> soit, en intégrant une 1^ère fois, les lois horaires de vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|en projetant sur les trois axes, on en déduit }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} v_x = v_0\\ v_y = -\dfrac{e}{m_e}\;E_y\;t\\ v_z = 0 \end{array}\right\rbrace\;</math> avec les C.I<ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref>. de vitesse <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} v_x(0) = v_0\\ v_y(0) = 0\\ v_z(0) = 0 \end{array}\right\rbrace\;</math> puis en intégrant une 2^ème fois, une 1^ère forme des lois horaires de position <br>{{Al|5}}{{Transparent|en projetant sur les trois axes, on en déduit }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x = v_0\;t\\ y = -\dfrac{e}{2\;m_e}\;E_y\;t^2\\ z = 0 \end{array}\right\rbrace\;</math> avec les C.I<ref name="C.I." />. de position <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x(0) = 0\\ y(0) = 0\\ z(0) = 0 \end{array}\right\rbrace</math>, soit enfin, en éliminant <math>\;E_y\;</math> au profit de <math>\;U\;</math> et <math>\;d\;</math> par «<math>\;E_y = -\dfrac{U}{d}\;</math>»<ref> Admis pour l'instant, le travail élémentaire de la force électrique s'écrivant <math>\;\delta W(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \overrightarrow{dM} = -e\;E_y\;dy\;</math> <math>\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Admis pour l'instant, }}ce dernier s'identifiant à l'opposé de la variation élémentaire de l'énergie potentielle électrique dont la force électrique dérive <math>\;-d \mathcal{E}_p\;</math> <math>\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1re_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », l'énergie potentielle notée <math>\;U\;</math> dans ce paragraphe étant ici remplacée par <math>\;\mathcal{E}_p\;</math> pour des raisons évidentes<math>\big\}\;</math> avec <math>\;\mathcal{E}_p = -e\;V\;</math> soit <math>\;-d \mathcal{E}_p = e\;dV\;</math> et par suite <br>{{Al|3}}{{Transparent|Admis pour l'instant, }}<math>\;\delta W(\vec{F}) = -d \mathcal{E}_p\;</math> se réécrit <math>\;-e\;E_y\;dy = e\;dV\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;E_y = -\dfrac{dV}{dy}\;</math> soit, avec un champ électrique uniforme, «<math>\;E_y = -\dfrac{U}{d}\;</math>».</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|en projetant sur les trois axes, on en déduit }}une 2^ème forme des lois horaires de position du mouvement de l'électron dans l'interface entre les plaques longitudinales de déviation <div style="text-align: center;">«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x = v_0\;t\\ y = \dfrac{e\;U}{2\;m_e\;d}\;t^2\\ z = 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» ;</div> * le mouvement est donc plan, dans le plan <math>\;z = 0</math>, * le projeté de l'électron sur <math>\;Ox</math>, noté <math>\;M_x</math>, a un mouvement uniforme de vitesse <math>\;v_0\;</math> et * {{Transparent|le projeté de }}{{Al|7}}celui sur <math>\;Oy</math>, noté <math>\;M_y</math>, {{Transparent|a }}un mouvement uniformément varié d'accélération <math>\;a_y = \dfrac{e\;U}{m_e\;d}</math> ; {{Al|5}}ces lois horaires étant également les équations paramétriques de la trajectoire, on détermine les équations cartésiennes de cette dernière en éliminant le temps par <math>\;t = \dfrac{x}{v_0}\;</math> soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}y = \dfrac{e\;U}{2\;m_e\;d\;v_0^2}\;x^2\\z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> Il faut en effet deux équations cartésiennes pour définir une courbe dans l'espace à trois dimensions.</ref> définissant une parabole<ref name="équation cartésienne d'une parabole du plan xOy"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Équation_cartésienne|équation cartésienne]] (d'une parabole du plan xOy) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math>.</div> {{Al|5}}À la sortie de l'espace champ, l'électron n'est plus soumis à « aucune force »<ref> L'éventuel poids de l'électron ne peut plus être négligé compte-tenu du fait qu'il n'y a pas d'autre force, mais sa norme est si petite et la vitesse de l'électron suffisamment grande pour que l'influence du poids éventuel soit totalement négligeable.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|À la sortie de l'espace champ, l'électron }}a un mouvement rectiligne uniforme de direction tangente à la parabole et de vitesse égale à celle en <math>\;S\;</math> <math>\big(</math>point de sortie de l’espace<math>\big)</math> ; <br>{{Al|2}}{{Transparent|À la sortie de l'espace champ, l'électron }}il a alors un impact <math>\;I\;</math> <math>\big(</math>d'ordonnée <math>\;Y\big)\;</math> sur un écran situé à <math>\;D\;</math> du centre <math>\;J\;</math> de l'espace champ. {{Al|5}}La trajectoire de l'électron dans l'interface entre les plaques longitudinales de déviation étant une parabole<ref name="équation cartésienne d'une parabole du plan xOy" /> et <br>{{Transparent|La trajectoire de l'électr }}celle à la sortie de l'espace champ étant la tangente à cette parabole au point de sortie, nous en déduisons que <br>{{Al|5}}la trajectoire à la sortie de l'espace champ passe par le centre <math>\;J\;</math> de l'espace champ<ref> La justification de cette propriété est exposée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Propriété_de_la_tangente_à_la_parabole_en_un_point_quelconque|propriété de la tangente à la parabole en un point quelconque]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où «<math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{Y}{D}\;</math>»<ref> <math>\;D\;</math> étant la distance séparant l'écran du centre <math>\;J\;</math> de l'espace champ.</ref> dont on tire «<math>\;Y = D\; \tan(\alpha)\;</math>». {{Al|5}}La détermination de <math>\;\tan(\alpha)\;</math> peut se faire de la même façon en utilisant «<math>\;y_S = \dfrac{e\;U}{2\;m_e\;v_0^2\;d}\;l^2\;</math>»<ref> <math>\;l\;</math> étant la longueur des plaques longitudinales de déviation.</ref> d'où «<math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{y_S}{\dfrac{l}{2}} = \dfrac{e\;l}{m_e\;v_0^2\;d}\;U\;</math>»<ref> Le centre <math>\;J\;</math> de l'espace champ étant d'abscisse <math>\;\dfrac{l}{2}</math>.</ref> que l'on reporte dans «<math>\;Y = D\; \tan(\alpha)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <div style="text-align: center;">«<math>\;Y = \dfrac{e}{m_e\;v_0^2}\;\dfrac{l\;D}{d}\;U\;</math>» c'est-à-dire une « déflexion électrique <math>\;\propto\;</math> à la tension imposée », <br>sa mesure permettant de déterminer la valeur de la tension <math>\;\big(</math>principe de l'[[w:Oscilloscope#Les_oscilloscopes_analogiques|oscilloscope analogique]]<math>\big)</math>.</div> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : L'expression de la déflexion électrique reste valable en régime dépendant du temps, si <math>\;\vec{E}(t)\;</math> peut être considéré comme permanent durant le « temps de vol de l'électron »<ref name="temps de vol de l'électron"> C.-à-d. la durée de séjour de l'électron dans l'espace champ.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : L'expression de la déflexion électrique reste valable en régime dépendant du temps, si <math>\;\color{transparent}{\vec{E}(t)}\;</math> peut être considéré comme permanent }}c'est le cas dans le cadre de l'A.R.Q.S.<ref name="A.R.Q.S."> Approximation des Régimes Quasi Stationnaires, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_intensité,_tension,_puissance#Notion_d'A.R.Q.S._et_condition_d'application_en_fonction_de_la_taille_du_circuit_et_de_la_fréquence|notion d'A.R.Q.S. et condition d'application en fonction de la taille du circuit et de la fréquence]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}on écrira, dans le cas d’une tension <math>\;u(t)\;</math> alternative de période <math>\;T</math>, que «<math>\;T \gg \tau\;</math>» soit pratiquement «<math>\;T > 10\;\tau\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\tau\;</math> « temps de vol de l'électron »<ref name="temps de vol de l'électron" /><math>\big)</math>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|Remarque : on écrira, dans le cas d’une tension <math>\;\color{transparent}{u(t)}\;</math> alternative de période <math>\;\color{transparent}{T}</math>, que «<math>\;\color{transparent}{T \gg \tau}\;</math>» soit pratiquement «<math>\;\color{transparent}{T > 10\;\tau}\;</math>» }}le « temps de vol » se calculant par <math>\;x(t) = v_0\;t\;</math> soit «<math>\;\tau = \dfrac{l}{v_0}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : on écrira }}<u>A.N.</u><ref name="A.N."> Application Numérique.</ref> : avec <math>\;v_0 \simeq 13300\;km \cdot s^{-1}\;</math><ref> Vitesse de sortie du [[w:Canon_à_électrons|canon à électrons]] calculée dans la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#cite_note-101|¹⁰¹]] » plus haut dans ce chapitre, la tension accélératrice du [[w:Canon_à_électrons|canon à électrons]] y étant <math>\;U_{\text{accél}} = 500\;V</math>.</ref> et <math>\;l = 5\;cm\;</math> on trouve «<math>\;\tau \simeq \dfrac{5\;10^{-2}}{1,33\;10^7} \simeq 3,77\;10^{-9}\;s = 3,77\; ns\;</math>» et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Remarque : on écrira A.N. : }}la déflexion électrique pourra être utilisée pour des tensions alternatives de période <math>\;T \gtrsim 37,7\; ns\;</math> ou des fréquences «<math>\;f \lesssim 26,5\; MHz\;</math>». <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Avec cette limite en fréquence <math>\;\big(f \lesssim 26,5\; MHz\big)</math>, on peut affirmer que ce sera toujours applicable au laboratoire<ref> La fréquence maximale des générateurs B.F. (basse fréquence) utilisés au laboratoire étant au plus <math>\;10\;MHz</math>.</ref> à condition de rester dans le cadre de l'A.R.Q.S<ref name="A.R.Q.S." />. == Dualité onde - particule de la matière == === L'onde de matière de de Broglie === {{Al|5}}D'après ce qui précède, la lumière <math>\;\big(</math>et plus généralement tout rayon électromagnétique<math>\big)\;</math> possède le double aspect « onde-particule », <br>{{Al|3}}{{Transparent|D'après ce qui précède, la lumière <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>et plus généralement tout rayon électromagnétique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> possède le double }}l'aspect présenté par la lumière dépendant de l'« expérience réalisée » ; {{Al|5}}compte-tenu de cela, '''[[w:Louis_de_Broglie|Louis de Broglie]]'''<ref name="L. de Broglie"> Se prononce « Brogle » ; '''[[w:Louis_de_Broglie|Louis Victor de Broglie]] (1892 - 1987)''' mathématicien et physicien français, essentiellement connu pour sa proposition de nature ondulatoire des électrons, ce qui lui valut le prix Nobel de physique en <math>\;1929</math>.</ref> émit l'hypothèse en <math>\;1923\;</math> que la « matière »<ref> Plus exactement uniquement les particules fondamentales de l'époque « électrons, protons, neutrons et quelques autres ».</ref> laquelle, par définition, a un aspect corpusculaire, devrait aussi présenter un aspect ondulatoire<ref> Non encore décelé à l'époque de cette hypothèse.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|compte-tenu de cela, Louis de Broglie }}il postula donc l'existence, pour toute particule massique, d'une onde de matière qui lui est associée et <br>{{Al|11}}{{Transparent|compte-tenu de cela, Louis de Broglie il }}établit, sur des arguments théoriques, une expression pour la longueur d'onde <math>\;\big(</math>appelée « [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]]<ref name="L. de Broglie" /> de la particule »<math>\big)</math>. === La longueur d'onde de de Broglie === {{Al|5}}L'expression de la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de l'onde de matière]] associée à la particule, «<math>\;\lambda_{d.B.}\;</math>» postulée par '''[[w:Louis_de_Broglie|Louis de Broglie]]'''<ref name="L. de Broglie" /> en <math>\;1923\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression de la longueur d'onde de l'onde de matière associée à la particule, }}«<math>\;\lambda_{d.B.} = \dfrac{h}{p}\;</math>», <math>\;h \simeq 6,626\; 10^{-34}\; J \cdot s\;</math> étant la [[w:Constante_de_Planck|constante de Planck]]<ref name="Planck" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression de la longueur d'onde de l'onde de matière associée à la particule, «<math>\;\color{transparent}{\lambda_{d.B.} = \dfrac{h}{p}}\;</math>», }}<math>\;p\;</math> la « norme du vecteur-quantité de mouvement »<ref> Encore appelée par abus « quantité de mouvement » sans rappeler son caractère vectoriel.</ref> de la particule dans son aspect corpusculaire <ref name="définition de quantité de mouvement" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : C'est la même relation que celle permettant de définir la quantité de mouvement d'un [[w:Photon|photon]] <math>\;\gamma\;</math> associé à une onde électromagnétique monochromatique de longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : C'est la même relation que celle permettant de définir la quantité de mouvement d'un photon <math>\;\color{transparent}{\gamma}\;</math> }}en effet celle-ci s'écrit «<math>\;p_\gamma = \dfrac{h}{\lambda_0}\;</math><ref name="symbole gamma" />{{,}}<ref name="quantité de mouvement d'un photon en fonction de lambda0"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Aspect_corpusculaire_de_la_lumière|aspect corpusculaire de la lumière]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\lambda_0 = \dfrac{h}{p_\gamma}</math>»<ref name="symbole gamma" />. === Expression de la longueur d'onde de de Broglie de la particule en fonction, entre autres, de sa vitesse dans son aspect corpusculaire === ==== Cas d'une particule newtonienne ==== {{Al|5}}Une particule newtonienne est une particule dont le vecteur vitesse <math>\;\vec{v}\;</math> dans le référentiel d'étude est de norme <math>\;\ll\;</math> devant la vitesse de la lumière dans le vide <math>\;c \simeq 3\; 10^5\; km \cdot s^{-1}\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Une particule newtonienne est une particule dont le vecteur vitesse <math>\;\color{transparent}{\vec{v}}\;</math> dans le référentiel d'étude est }}«<math>\;v = \Vert \vec{v} \Vert \ll c\;</math>»<ref name="condition pour qu'une particule soit newtonienne pour sa quantité de mouvement"> Pratiquement cette condition est réalisée à <math>\;1 \%\;</math> près pour la quantité de mouvement si <math>\;v \lesssim 0,14\;c \simeq 42000\;km \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>voir justification dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_relativiste|définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste]] (établissement de la condition de vitesse pour que la cinétique newtonienne soit applicable) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}Le vecteur-quantité de mouvement <math>\;\vec{p}\;</math> d'une particule newtonienne est liée à son vecteur vitesse <math>\;\vec{v}\;</math> dans le référentiel d'étude et à sa masse <math>\;m\;</math> par «<math>\;\vec{p} = m\; \vec{v}\;</math>»<ref name="quantité de mouvement d'une particule newtonienne"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_newtonienne|définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique newtonienne]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et par suite <br>{{Al|5}}la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de l'onde de matière]] associée à la particule newtonienne se réécrit, dans le référentiel d'étude, «<math>\;\lambda_{d.B.} = \dfrac{h}{p}\;</math><ref name="longueur d'onde de de Broglie"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#La_longueur_d'onde_de_de_Broglie|la longueur d'onde de de Broglie]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>= \dfrac{h}{m\;v}\;</math>»<ref> À vitesse égale, plus la masse est grande plus la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]] est petite, par exemple, à même vitesse, un proton ayant une masse approximativement <math>\;2000\;</math> fois plus grande que celle d'un électron, la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]] associée à ce proton est approximativement <math>\;2000\;</math> fois plus petite que celle associée à un électron de même vitesse.</ref>. ==== Cas d'une particule relativiste ==== {{Al|5}}Une particule est relativiste dans un référentiel d'étude si elle n'est pas newtonienne dans ce référentiel ; ainsi elle sera relativiste <br>{{Al|5}}{{Transparent|Une particule est relativiste dans un référentiel d'étude }}si son vecteur vitesse <math>\;\vec{v}\;</math> dans le référentiel d'étude est de norme <math>\;\cancel{\ll}\;</math> devant la vitesse de la lumière dans le vide <math>\;c \simeq 3\; 10^5\; km \cdot s^{-1}\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Une particule est relativiste dans un référentiel d'étude si son vecteur vitesse <math>\;\color{transparent}{\vec{v}}\;</math> dans le référentiel d'étude est }}«<math>\;v = \Vert \vec{v} \Vert \;\cancel{\ll}\; c\;</math>»<ref name="condition pour qu'une particule soit relativiste pour sa quantité de mouvement"> Pratiquement cette condition est réalisée à <math>\;1 \%\;</math> près pour la quantité de mouvement si <math>\;v \gtrsim 0,14\;c \simeq 42000\;km \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>condition contraire de celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_relativiste|définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste]] (établissement de la condition de vitesse pour que la cinétique newtonienne soit applicable) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}Le vecteur-quantité de mouvement <math>\;\vec{p}\;</math> d'une particule relativiste est liée à son vecteur vitesse <math>\;\vec{v}\;</math> dans le référentiel d'étude et à sa masse <math>\;m\;</math> par «<math>\;\vec{p} = \gamma\;m\; \vec{v}\;</math>»<ref name="quantité de mouvement d'une particule relativiste"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_relativiste|définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur-quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{\vec{p}}\;</math> d'une particule relativiste est liée }}avec «<math>\;\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}\;</math>» le « facteur de Lorentz<ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math>, voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualit%C3%A9_onde-particule#cite_note-Einstein-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.</ref> » de la particule de vecteur vitesse <math>\;\vec{v}\;</math><ref> On définit encore le vecteur vitesse relative de la particule dans le référentiel d'étude par <math>\;\vec{\beta} = \dfrac{\vec{v}}{c}</math>, ce qui permet de réécrire le « facteur de Lorentz » selon <math>\;\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}\;</math> avec <math>\;\beta = \Vert \vec{\beta} \Vert < 1</math> ; <br>{{Al|3}}on remarque que le facteur de Lorentz tend vers <math>\;1\;</math> quand la vitesse de la particule devient petite et <br>{{Al|3}}{{Transparent|on remarque que le facteur de Lorentz }}tend vers <math>\;\infty\;</math> quand la vitesse de la particule tend vers celle de la lumière.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de l'onde de matière]] associée à la particule relativiste se réécrit, dans le référentiel d'étude, «<math>\;\lambda_{d.B.} = \dfrac{h}{p}\;</math><ref name="longueur d'onde de de Broglie" /> <math>= \dfrac{h}{\gamma\;m\;v} = \dfrac{h\;\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}{\;m\;v} = \dfrac{h}{m}\;\sqrt{\dfrac{1}{v^2} - \dfrac{1}{c^2}}\;</math>»<ref> Expression montrant que la vitesse n'est plus un bon paramètre pour une particule relativiste, le bon paramètre étant la quantité de mouvement.</ref>{{,}}<ref> À partir de l'avant dernière expression, on retrouve celle applicable pour une particule newtonienne car <math>\;\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} \longrightarrow 1\;</math> quand <math>\;v \longrightarrow 0\;</math> d'où <math>\;\lambda_{d.B.} \sim \dfrac{h}{\;m\;v}</math>.</ref>.</div> === Première vérification expérimentale === {{Al|5}}En <math>\;1927\;</math> '''[[w:Clinton_Joseph_Davisson|Clinton Joseph Davisson]]''' <ref name="Davisson"> '''[[w:Clinton_Joseph_Davisson|Clinton Joseph Davisson]] (1881 - 1958)''' physicien américain <math>\;\big(</math>plus exactement étatsunien<math>\big)\;</math> connu pour avoir découvert la [[w:Diffraction_des_électrons|diffraction des électrons]] par les cristaux, ce qui lui valut de partager le prix Nobel de physique en <math>\;1937\;</math> avec '''[[w:George_Paget_Thomson|George Paget Thomson]] (1892 - 1975)''' <math>\;\big\{</math>physicien britannique qui prouva expérimentalement les propriétés ondulatoires de l'électron par diffraction sur une feuille d'or <math>\;\big(</math>expérience réalisée indépendamment de celle de '''[[w:Clinton_Joseph_Davisson|C.J.Davisson]]''' lequel, avec l'aide de '''[[w:Lester_Germer|Lester Germer]]''' travaillant sous ses ordres, envoyait un faisceau d'électrons sur une grille de cristal de nickel<math>\big)</math>, confirmant le principe de dualité onde-corpuscule proposé par '''[[w:Louis_de_Broglie|Louis de Broglie]]''' en <math>\;1924\big\}</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:George_Paget_Thomson|George Paget Thomson]]''' était le fils de de '''[[w:Joseph_Johm_Thomson|Joseph John Thomson]] (1856 - 1940)''' physicien britannique, prix Nobel de physique en <math>\;1906\;</math> pour ses recherches théoriques et expérimentales sur la conductivité électrique dans les gaz lui ayant permis de prouver l'existence de l'électron en tant que particule ponctuelle. <br>{{Al|3}}Remarque : ne pas confondre ces deux '''Thomson''' avec '''[[w:William_Thomson_(Lord_Kelvin)|William Thomson (Lord Kelvin)]] (1824 - 1907)''' physicien britannique reconnu pour ses travaux en thermodynamique.<br>{{Al|3}}'''[[w:Louis_de_Broglie|Louis Victor de Broglie]] (1892 - 1987)''' mathématicien et physicien français, voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#cite_note-L._de_Broglie-120|¹²⁰]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.</ref> avec l'aide de '''[[w:Lester_Germer|Lester Germer]]''' <ref name="Germer"> '''[[w:Lester_Germer|Lester Halbert Germer]] (1896 - 1971)''' physicien américain <math>\;\big(</math>plus exactement étatsunien<math>\big)\;</math> ayant travaillé sous la direction de '''[[w:Clinton_Joseph_Davisson|C.J.Davisson]]''' ; '''[[w:Lester_Germer|L.H.Germer]]''' était un être atypique : pilote pendant la 1^ère guerre mondiale puis chercheur et, à partir de <math>\;1945\;</math> <math>\big(</math>à l'âge de <math>\;49\;</math> ans<math>\big)\;</math> il devint parallèlement « escaladeur » ouvrant de nombreuses voies d'escalade aux États-Unis d'Amérique du Nord.</ref> ont observé la diffraction d'un faisceau d'électrons par un monocristal de nickel, ceci était donc la 1^ère preuve qu'un faisceau d'électrons pouvait avoir un comportement ondulatoire ; {{Al|5}}un solide peut diffracter une onde s'il possède une structure périodique dans trois directions de l'espace <math>\;\big(</math>ce qui est le cas pour un cristal<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|un solide peut diffracter une onde }}si la longueur d'onde de l'onde est proche de la période spatiale de la structure <ref> La [[w:Cristallographie_aux_rayons_X|diffraction des rayons X]] par les cristaux découverte par '''[[w:Max_von_Laue|Max von Laue]]''' en <math>\;1912</math>, expérience pour laquelle il obtint le prix Nobel de physique en <math>\;1914</math> <math>\;\big\{</math>sa découverte est à l'origine de toutes les méthodes d'analyse par [[w:Diffraction|diffraction]], à l'aide [[w:Diffraction_de_neutrons|de neutrons]], [[w:Cristallographie_aux_rayons_X|de rayons X]], [[w:Diffraction_des_électrons|d'électrons]] ou de la [[w:Synchrotron#Fonctionnement_d'un_synchrotron_générateur_de_lumière_synchrotron|lumière synchrotron]]<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Max_von_Laue|Max von Laue]] (1879 - 1960)''' était un physicien allemand, qui fut l'élève de '''[[w:Max_Planck|Max Planck]]''' ; à partir de <math>\;1919</math>, '''[[w:Max_von_Laue|M.von Laue]]''' a été professeur de physique théorique à l'[[w:Université_Humboldt_de_Berlin|Université Humboldt de Berlin]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Max_Plack|Max Karl Ernst Ludwig Planck]] (1858 - 1947)''' physicien allemand à l'origine de la [[w:Théorie_des_quanta|théorie des quanta]], voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#cite_note-Planck-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.</ref> ; pour le monocristal de nickel la période spatiale est de l'ordre de l'<math>\;\text{Ǻ}\;</math><ref name="Angström" /> ; {{Al|5}}dans l'expérience de '''[[w:Clinton_Joseph_Davisson|Davisson]]'''<ref name="Davisson" /> et '''[[w:Lester_Germer|Germer]]'''<ref name="Germer" /> les électrons sont accélérés sous une d.d.p. de <math>\;54\; V\;</math> <math>\Rightarrow</math> une énergie cinétique de <math>\;K = 54\; eV\;</math><ref name="électronVolt" /> <math>\;\big(</math>ils sont donc newtoniens<math>\big)\;</math><ref> Une énergie cinétique de <math>\;K = 54\;eV\;</math> pour un électron <math>\Rightarrow</math> son caractère newtonien, en effet cette énergie cinétique représente un peu plus de <math>\;10^{-4}\;</math> de l'énergie de masse d'un électron <math>\;E^{\,0}_{\,e} =</math> <math>m_e\;c^2 \simeq 511\;keV\;</math> et la condition pour qu'il soit newtonien est « une énergie cinétique approximativement <math>\;\lesssim\;</math> à un centième de son énergie de masse » <math>\;\big\{</math>facilement vérifiable sachant qu'une particule est newtonienne du point de vue de son énergie cinétique si sa vitesse est <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,10\;c\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'énergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] (condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> ou <br>{{Al|22}}{{Transparent|dans l'expérience de Davisson et Germer les électrons sont accélérés sous une d.d.p. de <math>\;\color{transparent}{54\; V}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> une énergie cinétique de }}<math>\;K \simeq 54 \times 1,6\;10^{-19} \simeq 86,4\; 10^{-19}\; J\;</math> d'où <br>{{Al|22}}{{Transparent|dans l'expérience de Davisson et Germer les électrons sont accélérés sous une d.d.p. de <math>\;\color{transparent}{54\; V}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}une vitesse de <math>\;v = \sqrt{\dfrac{2\; K}{m_e}}\;</math><ref name="énergie cinétique newtonienne d'une particule"> L'énergie cinétique d'une particule newtonienne de masse <math>\;m\;</math> étant <math>\;K = \dfrac{1}{2}\;m\;v^2\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'énergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] (cadre de la cinétique newtonienne) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\simeq \sqrt{\dfrac{2 \times 86,4\; 10^{-19}}{0,91\;10^{-30}}} \simeq 4,36\;10^6\;m \cdot s^{-1}</math> soit <br>{{Al|22}}{{Transparent|dans l'expérience de Davisson et Germer les électrons sont accélérés sous une d.d.p. de <math>\;\color{transparent}{54\; V}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> une vitesse de }}<math>\;v \simeq 4360\;km \cdot s^{-1}\;</math><ref> Les électrons sont effectivement newtoniens du point de vue de leur énergie cinétique car leur vitesse est <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,10\;c \simeq 30000\;km \cdot s^{-1}</math>.</ref> donnant <br>{{Al|22}}{{Transparent|dans l'expérience de Davisson et Germer les électrons sont accélérés sous une d.d.p. de <math>\;\color{transparent}{54\; V}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}une quantité de mouvement <math>\;p = m_e\; v\;</math><ref name="condition pour qu'une particule soit newtonienne pour sa quantité de mouvement" /> <math>\simeq 0,91\; 10^{-30} \times 4,36\;10^6\;</math><ref name="masse d'un électron"> La masse d'un électron étant <math>\;m_e \simeq 0,91\;10^{-30}\;kg</math>.</ref> soit <br>{{Al|22}}{{Transparent|dans l'expérience de Davisson et Germer les électrons sont accélérés sous une d.d.p. de <math>\;\color{transparent}{54\; V}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> une quantité de mouvement }}<math>\;p \simeq 3,97\; 10^{-24}\;kg \cdot m \cdot s^{-1}\;</math> et donc <br>{{Al|22}}{{Transparent|dans l'expérience de Davisson et Germer les électrons sont accélérés sous une d.d.p. de <math>\;\color{transparent}{54\; V}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}une [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]]<ref name="L. de Broglie" /> associée <math>\;\lambda_{d.B.} = \dfrac{h}{p}\;</math><ref name="longueur d'onde de de Broglie" /> <math>\simeq \dfrac{6,626\;10^{-34}}{3,97\;10^{-24}}</math> <br>{{Al|28}}{{Transparent|dans l'expérience de Davisson et Germer les électrons sont accélérés sous une d.d.p. de <math>\;\color{transparent}{54\; V}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> une longueur d'onde de de Broglie associée }}«<math>\;\lambda_{d.B.} \simeq 1,67\; 10^{-10}\;m = 1,67\;\text{Ǻ}\;</math>»<ref name="Angström" />, <br>{{Al|28}}{{Transparent|dans l'expérience de Davisson et Germer les électrons sont accélérés sous une d.d.p. de <math>\;\color{transparent}{54\; V}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> une longueur d'onde }}même ordre de grandeur que la périodicité du monocristal de nickel. === Applications actuelles === ==== Microscopie électronique ==== {{Al|5}}Un [[w:Microscope_optique|microscope optique]] ne peut révéler des « détails <math>\;\lessapprox\;</math> à la longueur d'onde <math>\;\lambda_0\;</math> utilisée »<ref> C'est dû aux [[w:Diffraction#Exemples_de_phénomènes_de_diffraction|phénomènes de diffraction]], la demi largeur angulaire <math>\;\theta\;</math> de la tache d'Airy ^{(ajout en fin de note)} étant telle que <math>\;\theta \simeq \sin(\theta) = 1,22\;\dfrac{\lambda_0}{a}\;</math> avec <math>\;a\;</math> diamètre de l'objectif ^{(ajout en fin de note)}, ce qui donne, dans le plan d'observation <math>\;\big(</math>lequel s'identifie le plus souvent avec le plan focal de l'oculaire<math>\big)</math>, un rayon de tache d'Airy <math>\;r \simeq f_{i,\,\text{ocul}}\;\theta\;</math> soit «<math>\;r \simeq 1,22\;\dfrac{f_{i,\,\text{ocul}}}{a}\;\lambda_0\;</math>» ^{(ajout en fin de note)} qui est de l'ordre de grandeur de <math>\;\lambda_0\;</math> dans la mesure où <math>\;a\;</math> et <math>\;f_{i,\,\text{ocul}}\;</math> sont de même ordre de grandeur. <br>{{Al|3}}<u>Ajouts</u> : voir la définition de tache d'Airy dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Diffraction_par_un_diaphragme,_tache_d'Airy|diffraction par un diaphragme, tache d'Airy]] » ainsi que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ajouts : voir }}la demi largeur angulaire de la tache d'Airy dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Allure_de_l'amplitude_de_l'onde_diffractée_à_l'infini_par_un_diaphragme,_en_fonction_de_l'angle_d'observation|allure de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme, en fonction de l'angle d'observation]] » et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ajouts : voir }}le diamètre minimal à la convergence du faisceau dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Focalisation_d'un_faisceau_laser|focalisation d'un faisceau laser]] » <math>\;\big(</math>calcul tenant compte de la diffraction valable pour tout problème de focalisation<math>\big)</math>,<br>{{Al|3}}{{Transparent|Ajouts : voir le diamètre minimal à la convergence du faisceau dans le paragraphe }}tous trois du même chap.<math>8</math> de la même leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ». <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ajouts : }}'''[[w:George_Biddell_Airy|George Biddell Airy]] (1801 - 1892)''' mathématicien, astronome, [[w:Géodésie|géodésien]] et physicien britannique à qui on doit, entre autres, une théorie des [[w:Arc_en_ciel|arcs-en-ciel]], de nombreuses mesures pendulaires permettant de mesurer la masse de la Terre et la constante de gravitation universelle, ainsi que l'utilisation, dans ses calculs d'optique, de [[w:Fonction_spéciale|fonctions spéciales]] mathématiques particulières [[w:Fonction_d'Airy|portant son nom]] pour lui rendre hommage.</ref> c'est-à-dire de l'ordre du micromètre <math>\;1\;\mu m = 10^{-6}\;m</math>, par contre <br>{{Al|6}}un [[w:Microscope_électronique|microscope électronique]] permet de révéler des détails de limite <math>\;\lessapprox\;</math> à la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]]<ref name="L. de Broglie" /> d'un électron, d'ordre de grandeur égale à <math>\;1\;\text{Ǻ}\;</math><ref name="Angström" /> quand il n'est pas relativiste<ref> Mais pouvant être nettement plus faible quand il est relativiste.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|un microscope électronique permet de révéler des détails de limite }}pouvant descendre jusqu'à <math>\;1\;pm = 10^{-12}\;m\;</math> quand il est relativiste, <br>{{Al|6}}{{Transparent|un microscope électronique permet de révéler des détails de limite }}soit une [[w:Pouvoir_de_résolution|résolution]] <math>\;10^4\;</math> à <math>\;10^6\;</math> fois plus grande que celle d'un [[w:Microscope_optique|microscope optique]] : {{Al|5}}{{Transparent|un microscope électronique }}<math>\succ\;</math><u>Exemple avec électron newtonien</u> : électron accéléré sous une d.d.p. de <math>\;100\; V\;</math> <math>\Rightarrow</math> une énergie cinétique de <math>\;K = 100\; eV\;</math><ref name="électronVolt" /> <math>\;\big(</math>il est donc newtonien<math>\big)\;</math><ref> Une énergie cinétique de <math>\;K = 100\;eV\;</math> pour un électron <math>\Rightarrow</math> son caractère newtonien, en effet cette énergie cinétique représente un peu moins de <math>\;5\;10^{-3}\;</math> de l'énergie de masse d'un électron <math>\;E^{\,0}_{\,e} =</math> <math>m_e\;c^2 \simeq 511\;keV\;</math> et la condition pour qu'il soit newtonien est « une énergie cinétique approximativement <math>\;\lesssim\;</math> à un centième de son énergie de masse » <math>\;\big\{</math>facilement vérifiable selon la justification exposée en fin de note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#cite_note-136|¹³⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|un microscope électronique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Exemple avec électron newtonien : électron accéléré sous une d.d.p. de <math>\;\color{transparent}{100\; V}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> une énergie cinétique de }}<math>\;K \simeq 100 \times 1,6\;10^{-19} \simeq 1,6\; 10^{-17}\; J\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|un microscope électronique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Exemple avec électron newtonien : électron accéléré sous une d.d.p. de <math>\;\color{transparent}{100\; V}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}une quantité de mouvement <math>\;p = \sqrt{2\;m_e\;K}\;</math><ref name="énergie cinétique newtonienne d'une particule - bis"> L'énergie cinétique d'une particule newtonienne de masse <math>\;m\;</math> étant <math>\;K = \dfrac{p^2}{2\;m}\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'énergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] (cadre de la cinétique newtonienne) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », la notion de quantité de mouvement ayant été définie dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_newtonienne|définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique newtonienne]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;p\;c = \sqrt{2\;E^{\,0}_{\,e}\;K}\;</math>»<ref name="énergie de masse de l'électron"> <math>\;E^{\,0}_{\,e} = m_e\;c^2\;</math> étant l'énergie de masse de l'électron valant <math>\;E^{\,0}_{\,e} \simeq 511\; keV</math>.</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|un microscope électronique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Exemple avec électron newtonien : électron accéléré sous une d.d.p. de <math>\;\color{transparent}{100\; V}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> une quantité de mouvement }}<math>\;p\;c = \sqrt{2 \times 511\;10^3 \times 100} \simeq 10,11\;10^3\;eV\;</math><ref name="électronVolt" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|un microscope électronique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Exemple avec électron newtonien : électron accéléré sous une d.d.p. de <math>\;\color{transparent}{100\; V}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> une quantité de mouvement }}«<math>\;p \simeq 10,11\;keV/c\;</math>»<ref name="unités pratiques en physique particulaire"> En physique des particules on utilise fréquemment une unité mieux adaptée pour la quantité de mouvement <math>\;p\;</math> c'est l'«<math>\;eV / c\;</math>», la signification de <math>\;p = 1\;keV / c\;</math> étant <math>\;p\;c =</math> <math>1\;keV\;</math> <math>\bigg\{</math>la conversion en [[w:Système_international_d'unités|unité SI]] est la suivante «<math>\;1\;eV / c \simeq \dfrac{1,6\;10^{-19}}{3\;10^8} \simeq 5,33\;10^{-28}\;kg \cdot m \cdot s^{-1}\;</math>»<math>\bigg\}\;</math> et aussi <br>{{Al|32}}{{Transparent|En physique des particules on utilise fréquemment une unité mieux adaptée }}pour la masse <math>\;m\;</math> c'est l'«<math>\;eV / c^2\;</math>», la signification de <math>\;m = 1\;MeV / c^2\;</math> étant <math>\;m\;c^2 = 1\;MeV\;</math> {{Nobr|<math>\bigg\{</math>la}} conversion en [[w:Système_international_d'unités|unité SI]] est la suivante «<math>\;1\;eV / c^2 \simeq \dfrac{1,6\;10^{-19}}{\left( 3\;10^8 \right)^2} \simeq 1,78\;10^{-36}\;kg\;</math>»<math>\bigg\}</math>.</ref>{{,}}<ref> On peut en déduire la vitesse pour vérifier que l'électron est effectivement newtonien, en effet <math>\;p\;c = m_e\;v\;c = (m_e\;c^2)\;\dfrac{v}{c}\;</math> ou, avec <math>\;\beta = \dfrac{v}{c}\;</math> la vitesse relative de l'électron et <math>\;E^{\,0}_{\,e} = m_e\;c^2\;</math> l'énergie de masse de ce dernier <math>\;p\;c = E^{\,0}_{\,e}\;\beta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\beta = \dfrac{p\;c}{E^{\,0}_{\,e}} \simeq \dfrac{10,1}{511} \simeq 0,0198\;</math> d'où le caractère newtonien de l'électron pour l'énergie cinétique dans la mesure où <math>\;\beta \simeq 0,0198 \lesssim 0,10\;</math> donnant <math>\;v \simeq</math> <math>0,0198 \times 3\; 10^5\;</math> en <math>\;km \cdot s^{-1}\;</math> soit enfin «<math>\;v \simeq 5900\;km \cdot s^{-1}\;</math>».</ref> et donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|un microscope électronique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Exemple avec électron newtonien : électron accéléré sous une d.d.p. de <math>\;\color{transparent}{100\; V}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}une [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]]<ref name="L. de Broglie" /> <math>\;\lambda_{d.B.} = \dfrac{h}{p}\;</math><ref name="longueur d'onde de de Broglie" /> <math>= \dfrac{h\;c}{p\;c}\;</math><ref name="convertir pc en J"> Dans lequel il faut convertir <math>\;p\;c\;</math> en <math>\;J\;</math> en multipliant la valeur de <math>\;p\;c\;</math> en <math>\;eV\;</math> par <math>\;1,6\;10^{-19}</math>.</ref> <br>{{Al|12}}{{Transparent|un microscope électronique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Exemple avec électron newtonien : électron accéléré sous une d.d.p. de <math>\;\color{transparent}{100\; V}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> une longueur d'onde de de Broglie }}<math>\;\lambda_{d.B.} \simeq \dfrac{6,626\;10^{-34} \times 3\;10^8}{10,11\;10^3 \times 1,6\;10^{-19}}\;</math> en <math>\;m\;</math> ou <br>{{Al|10}}{{Transparent|un microscope électronique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Exemple avec électron newtonien : électron accéléré sous une d.d.p. de <math>\;\color{transparent}{100\; V}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> une longueur d'onde de de Broglie }}«<math>\;\lambda_{d.B.} \simeq 1,24\; 10^{-10}\;m = 1,24\;\text{Ǻ}\;</math>»<ref name="Angström" />. {{Al|5}}{{Transparent|un microscope électronique }}<math>\succ\;</math><u>Exemple avec électron relativiste</u> : électron accéléré sous une d.d.p. de <math>\;100\; kV\;</math> <math>\Rightarrow</math> une énergie cinétique de <math>\;K = 100\; keV\;</math><ref name="électronVolt" /> <math>\;\big(</math>il est donc relativiste<math>\big)\;</math><ref> Une énergie cinétique de <math>\;K = 100\;keV\;</math> pour un électron <math>\Rightarrow</math> son caractère relativiste, en effet cette énergie cinétique représente un peu moins de <math>\;20\,\%\;</math> de l'énergie de masse d'un électron <math>\;E^{\,0}_{\,e} =</math> <math>m_e\;c^2 \simeq 511\;keV\;</math> et la condition pour qu'il soit relativiste est « une énergie cinétique approximativement <math>\;\gtrsim\;</math> à un centième de son énergie de masse » <math>\;\big\{</math>facilement vérifiable selon la justification exposée en fin de note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#cite_note-136|¹³⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|un microscope électronique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Exemple avec électron relativiste : électron accéléré sous une d.d.p. de <math>\;\color{transparent}{100\; kV}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> une énergie cinétique de }}<math>\;K \simeq 10^5 \times 1,6\;10^{-19} \simeq 1,6\; 10^{-14}\; J\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|un microscope électronique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Exemple avec électron relativiste : électron accéléré sous une d.d.p. de <math>\;\color{transparent}{100\; kV}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}une énergie totale<ref name="énergie totale" /> <math>\;E = K + E^0_e = \gamma\;E^{\,0}_e\;</math><ref name="énergie totale - bis"> En effet l'expression relativiste de l'énergie cinétique d'une particule dans un référentiel d'étude s'écrivant <math>\;K = (\gamma - 1)\; m\;c^2\;</math> avec <math>\;\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}\;</math> le facteur de Lorentz de cette particule dans le référentiel, <math>\;\beta = \dfrac{v}{c}\;</math> étant sa vitesse relative <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'énergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, expression relativiste de l'énergie cinétique s'écrivant encore, en introduisant l'énergie de masse de la particule <math>\;E^{\,0} = m\;c^2</math>, sous la forme <math>\;K =</math> <math>(\gamma - 1)\; E^{\,0}\;</math> <math>\Rightarrow</math> l'expression de l'énergie totale de la particule <math>\;E = E^{\,0} + K = E^{\,0} + (\gamma - 1)\;E^{\,0} = \gamma\;E^{\,0}</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme mais aussi pour avoir laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz », voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#cite_note-Lorentz-131|¹³¹]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.</ref> soit <br>{{Al|9}}{{Transparent|un microscope électronique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Exemple avec électron relativiste : électron accéléré sous une d.d.p. de <math>\;\color{transparent}{100\; kV}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> une énergie totale }}«<math>\;E \simeq 511 + 100 = 611\;keV\;</math>»<ref name="électronVolt" />{{,}}<ref name="énergie de masse de l'électron" /> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|un microscope électronique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Exemple avec électron relativiste : électron accéléré sous une d.d.p. de <math>\;\color{transparent}{100\; kV}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}une quantité de mouvement <math>\;p = \dfrac{\sqrt{E^2 - \left( E^{\,0}_e \right)^{\!2}}}{c}\;</math><ref name="lien entre énergies totale et de masse à la quantité de mouvement" /> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;p\;c = \sqrt{E^2 - \left( E^{\,0}_e \right)^{\!2}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|un microscope électronique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Exemple avec électron relativiste : électron accéléré sous une d.d.p. de <math>\;\color{transparent}{100\; kV}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> une quantité de mouvement }}<math>\;p\;c = \sqrt{611^2 - 511^2} \simeq 335\;keV\;</math><ref name="électronVolt" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|un microscope électronique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Exemple avec électron relativiste : électron accéléré sous une d.d.p. de <math>\;\color{transparent}{100\; kV}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> une quantité de mouvement }}«<math>\;p \simeq 335\;keV/c\;</math>»<ref name="unités pratiques en physique particulaire" />{{,}}<ref> On peut en déduire la vitesse pour vérifier que l'électron est effectivement relativiste, en effet <math>\;p\;c = \gamma\;\beta\;E^{\,0}\;</math> <math>\bigg\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_relativiste|définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » avec <math>\;\beta = \dfrac{v}{c}\;</math> la vitesse relative du point matériel et <math>\;E^0 = m\;c^2\;</math> l'énergie de masse de ce dernier<math>\bigg\}\;</math> et <math>\;E =</math> <math>\gamma\;E^{\,0}\;</math> <math>\big\{</math>voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#cite_note-énergie_totale_-_bis-151|¹⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\;</math> d'où la vitesse relative «<math>\;\beta = \dfrac{p\;c}{E}\;</math>». <br>{{Al|3}}Appliqué ici on obtient <math>\;\beta = \dfrac{p\;c}{E} \simeq \dfrac{335}{611} \simeq 0,548\;</math> d'où le caractère relativiste de la particule pour l'énergie cinétique et la quantité de mouvement dans la mesure où <math>\;\beta \simeq 0,548\; \cancel{\lesssim}\; 0,14\;</math> donnant <math>\;v \simeq 0,548 \times 3\; 10^5\;</math> en <math>\;km \cdot s^{-1}\;</math> soit enfin <math>\;v \simeq 164500\;km \cdot s^{-1}</math>.</ref> et donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|un microscope électronique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Exemple avec électron relativiste : électron accéléré sous une d.d.p. de <math>\;\color{transparent}{100\; kV}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}une [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]]<ref name="L. de Broglie" /> <math>\;\lambda_{d.B.} = \dfrac{h}{p}\;</math><ref name="longueur d'onde de de Broglie" /> <math>= \dfrac{h\;c}{p\;c}\;</math><ref name="convertir pc en J" /> <br>{{Al|12}}{{Transparent|un microscope électronique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Exemple avec électron relativiste : électron accéléré sous une d.d.p. de <math>\;\color{transparent}{100\; kV}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> une longueur d'onde de de Broglie }}<math>\;\lambda_{d.B.} \simeq \dfrac{6,626\;10^{-34} \times 3\;10^8}{335\;10^3 \times 1,6\;10^{-19}}\;</math> en <math>\;m\;</math> ou <br>{{Al|10}}{{Transparent|un microscope électronique <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Exemple avec électron relativiste : électron accéléré sous une d.d.p. de <math>\;\color{transparent}{100\; kV}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> une longueur d'onde de de Broglie }}«<math>\;\lambda_{d.B.} \simeq 3,71\; 10^{-12}\;m = 3,71\;pm\;</math>». ==== Diffraction de neutrons ==== {{Al|5}}Les neutrons « thermiques » <math>\;\big(</math>c'est-à-dire des neutrons en agitation thermique à la température ordinaire <math>\;T \simeq 300\; K\;</math><ref> Donc non relativiste, l'énergie cinétique moyenne correspondante étant égale à <math>\;K^{*} = \Big\langle \dfrac{1}{2}\;m_n\;v^2 \Big\rangle = \dfrac{3}{2}\;k_B\;T\;</math> où <math>\;k_B \simeq 1,38\; 10^{-23}\;J\;</math> est la [[w:Constante_de_Boltzmann|constante de Boltzmann]] <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Température_cinétique_d'un_gaz,_exemple_du_G.P.M.#Définition_de_la_température_cinétique_d’un_gaz_en_équilibre_thermodynamique|définition de la température cinétique d'un gaz en équilibre thermodynamique]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> soit, pour <math>\;T \simeq 300\;K</math>, <math>\;K^{*} \simeq \dfrac{3}{2} \times 1,38\;10^{-23} \times 300 \simeq</math> <math>6,21\;10^{-21}\;J\;</math> ou encore, en unité adaptée, <math>\;K^{*} \simeq \dfrac{6,21\;10^{-21}}{1,6\;10^{-19}} \simeq 3,9\;10^{-2}\;eV = 39\;meV</math>, c.-à-d. ne représentant que <math>\;4\;10^{-11}\;</math> de l'énergie de masse d'un neutron <math>\;E^{\,0}_n \simeq 939,6 MeV\;</math> <math>\Rightarrow</math> son caractère newtonien, en effet la condition pour qu'il soit newtonien est « une énergie cinétique approximativement <math>\;\lesssim\;</math> à un centième de son énergie de masse » <math>\;\big\{</math>facilement vérifiable selon la justification exposée en fin de note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#cite_note-136|¹³⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>.</ref><math>\big\}\;</math> ayant une [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]]<ref name="L. de Broglie" /> de l'ordre de grandeur de la taille des atomes ^{(voir justification en fin de paragraphe)} sont utilisés comme « sonde pour explorer la matière à l'échelle atomique »<ref> L'avantage des neutrons thermiques sur les électrons non relativistes étant qu'ils ne sont pas chargés et peuvent approcher le noyau cible sans interaction électromagnétique laquelle fausserait le sondage du noyau.</ref>. {{Al|5}}<u>Ordre de grandeur de la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]]<ref name="L. de Broglie" /> d'un neutron « thermique »</u> : l'énergie cinétique moyenne d'agitation d'un neutron « thermique » à la température ordinaire <math>\;T \simeq 300\; K\;</math> étant <br>{{Al|10}}{{Transparent|Ordre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie d'un neutron « thermique » : l'énergie cinétique moyenne d'agitation d'un neutron « thermique » }}«<math>\;K^{*} \simeq 0,039\; eV\;</math>»<ref name="énergie cinétique moyenne d'un neutron thermique à 300 K"> Voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#cite_note-153|¹⁵³]] » plus haut dans ce paragraphe.</ref>, nous en déduisons <br>{{Al|13}}{{Transparent|Ordre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie d'un neutron « thermique » : }}sa quantité de mouvement [[w:Moyenne_quadratique|quadratique moyenne]] <math>\;p^{*} = \sqrt{2\;m_n\;K^{*}}\;</math><ref name="moyenne quadratique"> La grandeur quadratique moyenne <math>\;G^{*}\;</math> de la grandeur <math>\;g\;</math> est définie par <math>\;\left( G^{*} \right)^2 = \langle g^2 \rangle</math>, la moyenne pouvant être temporelle si <math>\;g\;</math> est une grandeur dépendant du temps associée à une particule ou spatiale si <math>\;g\;</math> est une grandeur associée à un ensemble de particules réparties dans l'espace ; <br>{{Al|3}}ici c'est le 2^ème aspect <math>\;\left( p^{*} \right)^2 = \langle p^2 \rangle = 2\;m_n\; \langle K \rangle\;</math> car <math>\;p = \sqrt{2\;m\;K}\;</math> pour une particule newtonienne, soit enfin <math>\;p^{*} = \sqrt{2\;m_n\;K^{*}}</math>.</ref>{{,}}<ref name="énergie cinétique newtonienne d'une particule - bis" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;p^{*}\;c = \sqrt{2\;E^{\,0}_n\;K^{*}}\;</math><ref> Dans laquelle <math>\;E^{\,0}_n = m_n\;c^2\;</math> est l'énergie de masse du neutron dont la valeur numérique est <math>\;E^{\,0}_n \simeq 939,6\;MeV</math>.</ref> soit <br>{{Al|13}}{{Transparent|Ordre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie d'un neutron « thermique » : sa quantité de mouvement quadratique moyenne }}<math>\;p^{*}\;c \simeq \sqrt{2 \times 939,6\;10^6 \times 0,039} \simeq 8,56\;10^3\;eV\;</math><ref name="électronVolt" /> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Ordre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie d'un neutron « thermique » : sa quantité de mouvement quadratique moyenne }}<math>\;p^{*}\;c\simeq 8,56\;keV\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;p^{*} \simeq 8,56\;keV / c\;</math>»<ref name="unités pratiques en physique particulaire" />{{,}}<ref> On peut en déduire la vitesse [[w:Moyenne_quadratique|quadratique moyenne]] pour vérifier que le neutron est effectivement newtonien, en effet <math>\;p^{*}\;c = m_n\;v^{*}\;c = (m_n\;c^2)\;\dfrac{v^{*}}{c}\;</math> ou, avec <math>\;\beta^{*} = \dfrac{v^{*}}{c}\;</math> la vitesse [[w:Moyenne_quadratique|quadratique moyenne]] relative du neutron et <math>\;E^{\,0}_{\,n} = m_n\;c^2\;</math> l'énergie de masse de ce dernier <math>\;p^{*}\;c = E^{\,0}_{\,n}\;\beta^{*}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\beta^{*} = \dfrac{p^{*}\;c}{E^{\,0}_{\,n}} \simeq \dfrac{8,56\;10^3}{939,6\;10^6} \simeq 9,1\;10^{-6}\;</math> d'où le caractère newtonien du neutron pour l'énergie cinétique dans la mesure où <math>\;\beta^{*} \simeq 9,1\;10^{-6} \lesssim 0,10\;</math> donnant <math>\;v^{*} \simeq</math> <math>9,1\;10^{-6} \times 3\; 10^5\;</math> en <math>\;km \cdot s^{-1}\;</math> soit enfin «<math>\;v^{*} \simeq 2,7\;km \cdot s^{-1}\;</math>».</ref> d'où <br>{{Al|13}}{{Transparent|Ordre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie d'un neutron « thermique » : }}une [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]]<ref name="L. de Broglie" /> <math>\;\lambda_{d.B.} = \dfrac{h}{p}\;</math><ref name="longueur d'onde de de Broglie" /> <math>= \dfrac{h\;c}{p\;c}\;</math><ref name="convertir pc en J" /> <br>{{Al|20}}{{Transparent|Ordre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie d'un neutron « thermique » : une longueur d'onde de de Broglie }}<math>\;\lambda_{d.B.} \simeq \dfrac{6,626\;10^{-34} \times 3\;10^8}{8,56\;10^3 \times 1,6\;10^{-19}}\;</math> en <math>\;m\;</math> ou <br>{{Al|18}}{{Transparent|Ordre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie d'un neutron « thermique » : une longueur d'onde de de Broglie }}«<math>\;\lambda_{d.B.} \simeq 1,45\; 10^{-10}\;m = 1,45\;\text{Å}\;</math><ref name="Angström" /> » <br>{{Al|21}}{{Transparent|Ordre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie d'un neutron « thermique » : une longueur d'onde de de Broglie }}effectivement de la taille des atomes. == Relation de Planck - Einstein et conséquences == {{Al|5}}La [[w:Relation_de_Planck-Einstein|relation de Planck - Einstein]]<ref name="Planck" />{{,}}<ref name="Einstein" /> est la relation applicable à un [[w:Photon|photon]] liant son énergie <math>\;E_\gamma\;</math><ref name="symbole gamma" /> à la fréquence <math>\;\nu\;</math> de l'onde associée c'est-à-dire <br>{{Al|14}}{{Transparent|La relation de Planck - Einstein est }}«<math>\;E_\gamma = h\;\nu\;</math>»<ref name="symbole gamma" /> où <math>\;h = 6,62607015\;10^{-34}\; J \cdot s\;</math> est la [[w:Constante_de_Planck|constante de Planck]] <ref name="Planck" /> ; {{Al|5}}une conséquence du lien entre fréquence <math>\;\nu\;</math> et longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0</math>, à savoir «<math>\;\lambda_0 = \dfrac{c}{\nu}\;</math>», est la réécriture de l'énergie du [[w:Photon|photon]] sous la forme «<math>\;E_\gamma = \dfrac{h\;c}{\lambda_0}\;</math>»<ref name="symbole gamma" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une conséquence }}dont on peut déduire la norme de la quantité de mouvement du [[w:Photon|photon]] <math>\;p_\gamma\;</math><ref name="symbole gamma" /> à l'aide de la « relation liant l'énergie masse d'une particule <math>\;E^{\,0}\;</math><ref> La masse d'un [[w:Photon|photon]] étant nulle, son énergie de masse l'est aussi.</ref> à son énergie totale <math>\;E\;</math><ref> L'énergie totale d'une particule étant la somme de ses énergies de masse et cinétique, celle-ci se réduit, pour un [[w:Photon|photon]], à son énergie cinétique laquelle est donnée par la [[w:Relation_de_Planck-Einstein|relation de Planck - Einstein]].</ref> et la norme de sa quantité de mouvement <math>\;p\;</math>» à savoir «<math>\;E = \sqrt{\left( E^{\,0} \right)^{\!2} + p^2\;c^2}\;</math>»<ref name="lien entre énergies totale et de masse à la quantité de mouvement" /> soit <math>\;p_\gamma\;c = E_\gamma\;</math><ref name="symbole gamma" /> ou <math>\;p_\gamma = \dfrac{E_\gamma}{c}\;</math><ref name="symbole gamma" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|une conséquence dont on peut déduire }}le lien entre la norme de la quantité de mouvement du [[w:Photon|photon]] <math>\;p_\gamma\;</math><ref name="symbole gamma" /> et la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> de l'onde associée «<math>\;p_\gamma = \dfrac{h}{\lambda_0}\;</math>»<ref name="symbole gamma" />{{,}}<ref> Cette relation établit que la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|relation de de Broglie]] est encore applicable à une particule sans masse.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Nous avons vu que * l'énergie d'un [[w:Photon|photon]] suit la [[w:Relation_de_Planck-Einstein|relation de Planck - Einstein]]<ref name="Planck" />{{,}}<ref name="Einstein" /> «<math>\;E_\gamma = h\; \nu\;</math>»<ref name="symbole gamma" /> dans laquelle «<math>\;\nu\;</math> est la fréquence temporelle de l'onde associée » et que * la norme de sa quantité de mouvement suit la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|relation de de Broglie]]<ref name="L. de Broglie" /> «<math>\;p_\gamma = h\; \sigma\;</math>»<ref name="symbole gamma" /> dans laquelle «<math>\;\sigma = \dfrac{1}{\lambda_0}\;</math> est le nombre d'onde de l'onde associée c'est-à-dire sa fréquence spatiale »<ref name="nombre d'onde"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Onde_progressive_sinusoïdale#Périodicité_spatiale_de_l'onde_progressive_sinusoïdale_(O.P.H.),_longueur_d'onde_et_nombre_d'onde|périodicité spatiale de l'onde progressive sinusoïdale (O.P.H.), longueur d'onde et nombre d'onde]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous en concluons une correspondance entre grandeurs caractérisant l'onde électromagnétique et celles caractérisant la particule associée : <center><table><td align="center"> « fréquence temporelle de l'onde électromagnétique »</td> <td><math>\stackrel{h\; \times}{\longrightarrow}</math></td> <td align="left"> « énergie du [[w:Photon|photon]] associé »,</td> <tr> <td align="center"> « fréquence spatiale de l'onde électromagnétique »</td> <td><math>\stackrel{h\; \times}{\longrightarrow}</math></td> <td align="left"> « quantité de mouvement du [[w:Photon|photon]] associé ».</td> </tr></table></center> == Relation de Louis de Broglie et conséquences == {{Al|5}}La [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|relation de de Broglie]]<ref name="L. de Broglie" /> est la relation applicable à toute particule massique liant la norme de la quantité de mouvement <math>\;p\;</math> de la particule à <br>{{Al|12}}{{Transparent|La relation de de Broglie est la relation applicable à toute particule massique liant }}la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de l'« onde de matière »]] associée <math>\;\lambda_{d.B.}\;</math> <div style="text-align: center;">c'est-à-dire «<math>\;p = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.}}\;</math>»<ref name="applicabilité à un photon"> Relation aussi applicable à un [[w:Photon|photon]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. à une particule sans masse<math>\big)</math>, l'onde associée dans ce cas n'étant pas une « onde de matière » mais une onde électromagnétique.</ref> où <math>\;h = 6,62607015\;10^{-34}\; J \cdot s\;</math> est la [[w:Constante_de_Planck|constante de Planck]]<ref name="Planck" /> ;</div> {{Al|5}}une conséquence du lien entre norme de quantité de mouvement <math>\;p</math>, énergies de masse <math>\;E^{\,0}\;</math> et totale <math>\;E = E^{\,0} + K\;</math> d'une particule, à savoir «<math>\;E = \sqrt{\left( E^{\,0} \right)^{\!2} + p^2\;c^2}\;</math>»<ref name="lien entre énergies totale et de masse à la quantité de mouvement" />{{,}}<ref name="applicabilité à un photon" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|une conséquence }}est l'expression de l'énergie totale <math>\;E\;</math> de la particule en fonction, entre autres, de <math>\;\lambda_{d.B.}\;</math> c'est-à-dire la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de l'« onde de matière »]] associée <div style="text-align: center;">«<math>\;E = \sqrt{\left( E^{\,0} \right)^{\!2} + \dfrac{h^2\;c^2}{\lambda_{d.B.}^2}}\;</math>»<ref name="applicabilité à un photon" />.</div> {{Al|5}}Parallèlement à l'introduction de <math>\;\lambda_{d.B.}\;</math> c'est-à-dire la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de l'« onde de matière »]] associée à une particule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Parallèlement }}'''[[w:Louis_de_Broglie|L. de Broglie]]'''<ref name="L. de Broglie" /> définit, en prolongeant la [[w:Relation_de_Planck-Einstein|relation de Planck - Einstein]]<ref name="Planck" />{{,}}<ref name="Einstein" /> applicable à un [[w:Photon|photon]], <br>{{Al|15}}{{Transparent|Parallèlement L. de Broglie définit }}une « fréquence <math>\;\big(</math>temporelle<math>\big)</math> <math>\;\nu_{d.B.}\;</math>» pour cette « onde de matière » associée à l'énergie totale <math>\;E\;</math> de la particule par <div style="text-align: center;">«<math>\;E = h\;\nu_{d.B.}\;</math>»<ref> Ne fait pas explicitement partie du programme de physique de P.C.S.I. pour les particules massiques.</ref>,</div> {{Al|15}}{{Transparent|Parallèlement L. de Broglie définit }}la célérité de propagation de l'« onde de matière » étant alors définie par «<math>\;v_{\text{onde}} = \lambda_{d.B.}\;\nu_{d.B.} = \dfrac{h}{p}\;\dfrac{E}{h} = \dfrac{E}{p} = c\;\dfrac{E}{p\;c}\;</math>», <br>{{Al|15}}{{Transparent|Parallèlement L. de Broglie définit la célérité de propagation de l'« onde de matière » }}se réécrivant, en introduisant l'expression de la vitesse relative de la particule <math>\;\beta_{\text{part}} = \dfrac{v_{\text{part}}}{c}\;</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Parallèlement L. de Broglie définit la célérité de propagation de l'« onde de matière » se réécrivant, en introduisant l'expression de }}en fonction des grandeurs cinétiques de cette dernière à savoir <br>{{Al|15}}{{Transparent|Parallèlement L. de Broglie définit la célérité de propagation de l'« onde de matière » se réécrivant, en introduisant l'expression de la vitesse relative de la particule }}<math>\;\beta_{\text{part}} = \dfrac{p\;c}{E}\;</math><ref> En effet la norme de la quantité de mouvement d'une particule a priori relativiste s'écrit, en fonction de sa vitesse relative <math>\;\beta = \dfrac{v}{c}\;</math> selon <math>\;p\;c = \gamma\;\beta\;E^{\,0}\;</math> <math>\bigg\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_relativiste|définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » avec <math>\;\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}\;</math> le facteur de Lorentz de la particule et <math>\;E^0 = m\;c^2\;</math> son énergie de masse<math>\bigg\}\;</math> et <br>{{Al|3}}{{transparent|En effet }}l'énergie totale de cette particule à savoir <math>\;E = E^{\,0} + K\;</math> où <math>\;K\;</math> est l'énergie cinétique de cette dernière s'écrit <math>\;E = \gamma\;E^{\,0}\;</math> <math>\big\{</math>voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#cite_note-énergie_totale_-_bis-151|¹⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\;</math> d'où <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}en faisant le rapport et après simplification évidente «<math>\;\dfrac{p\;c}{E} = \beta\;</math>» c.-à-d. la vitesse relative <math>\;\beta = \dfrac{v}{c}\;</math> de la particule.</ref>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|Parallèlement L. de Broglie définit la célérité de propagation de l'« onde de matière » se réécrivant, }}selon «<math>\;v_{\text{onde}} = \dfrac{c}{\beta_{\text{part}}} > c\;</math>»<ref> En effet <math>\;\beta_{\text{part}}\;</math> est <math>\;< 1\;</math> pour une particule massique.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;v_{\text{onde}}\;v_{\text{part}} = c^2\;</math>»<ref> En effet <math>\;v_{\text{onde}}\; \beta_{\text{part}} = c\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;v_{\text{onde}}\;\dfrac{v_{\text{part}}}{c} = c\;</math> d'où la relation énoncée «<math>\;v_{\text{onde}}\;v_{\text{part}} = c^2\;</math>» ;<br>{{Al|3}}<u>propriétés</u> : alors que la célérité de propagation d'une onde électromagnétique est toujours égale à la vitesse de la particule associée c.-à-d. le [[w:Photon|photon]], <br>{{Al|3}}{{Transparent|propriétés : alors que }}la célérité de propagation d'une onde de matière <math>\;v_{\text{onde}}\;</math> est d'autant plus grande que la vitesse de la particule associée <math>\;v_{\text{part}}\;</math> est petite avec «<math>\;v_{\text{onde}} \rightarrow \infty\;</math> si <math>\;v_{\text{part}} \rightarrow 0\;</math>», {{Nobr|<math>\;\Bigg[</math>pour}} une particule au repos le terme de phase de l'onde associée <math>\;\dfrac{\nu_{d.B.}}{2\; \pi} \left( t - \cancel{\dfrac{x}{v_{\text{onde}}}} \right)\;</math> devenant indépendant de l'espace<math>\Bigg]</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Parallèlement }}la norme de la quantité de mouvement <math>\;p\;</math> de la particule peut être réécrite en fonction, entre autres, de la « fréquence <math>\;\big(</math>temporelle<math>\big)</math> <math>\;\nu_{d.B.}\;</math>» de l'« onde de matière » associée selon <div style="text-align: center;">«<math>\;p = \dfrac{\sqrt{E^{\,2} - \left( E^{\,0} \right)^{\!2}}}{c}\;</math><ref name="lien entre énergies totale et de masse à la quantité de mouvement" /> <math>= \dfrac{\sqrt{h^2\;\nu_{d.B.}^2 - \left( E^{\,0} \right)^{\!2}}}{c}\;</math>»<ref name="applicabilité à un photon" />.</div> == Ordres de grandeurs intervenant dans les phénomènes quantiques == {{Al|5}}Les ordres de grandeurs de la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]]<ref name="L. de Broglie" /> ont déjà été partiellement calculés dans le courant de ce chapitre, ils sont rappelés ci-dessous : * électrons « non relativistes » : <math>\;\lambda_{d.B.} \simeq 1\; \text{Ǻ}\;</math><ref name="Angström" />{{,}}<ref> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Microscopie_électronique|microscopie électronique]] (exemple avec électron newtonien) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, * électrons « relativistes » : <math>\;\lambda_{d.B.} \simeq 1\; pm = 10^{-12}\;m\;</math><ref> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Microscopie_électronique|microscopie électronique]] (exemple avec électron relativiste) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, * neutrons « thermiques » : <math>\;\lambda_{d.B.} \simeq 1\; \text{Ǻ}\;</math><ref name="Angström" />{{,}}<ref> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Diffraction_de_neutrons|diffraction de neutrons]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, * neutrons « rapides »<ref> Neutrons sortis de réacteurs ayant une énergie cinétique par exemple de <math>\;K \simeq 100\; MeV\;</math> <math>\big\{</math>ils sont donc relativistes, en effet cette énergie cinétique représente un peu plus de <math>\;10\,\%\;</math> de l'énergie de masse d'un neutron <math>\;E^{\,0}_{\,n} =</math> <math>m_n\;c^2 \simeq 939,6\;MeV \simeq 940\;MeV\;</math> et la condition pour qu'il soit relativiste est « une énergie cinétique approximativement <math>\;\gtrsim\;</math> à un centième de son énergie de masse » <math>\;\big(</math>facilement vérifiable selon la justification exposée en fin de note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#cite_note-136|¹³⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\!\big\}</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Neutrons sortis de réacteurs ayant }}leur énergie totale vaut donc <math>\;E = E^{\,0}_n + K \simeq 1040\;MeV</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Neutrons sortis de réacteurs ayant }}la norme de leur quantité de mouvement <math>\;p = \dfrac{\sqrt{E^2 - \left( E^{\,0}_n \right)^{\!2}}}{c}\;</math> <math>\big\{</math>voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#cite_note-lien_entre_énergies_totale_et_de_masse_à_la_quantité_de_mouvement-32|³²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\;</math> soit <math>\;p \simeq \dfrac{\sqrt{1040^2 - 940^2}}{c} \simeq 445\; MeV \text{/} c\;</math> {{Nobr|<math>\big\{</math>voir}} la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#cite_note-unités_pratiques_en_physique_particulaire-147|¹⁴⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Neutrons sortis de réacteurs ayant }}leur vitesse relative <math>\;\beta = \dfrac{v}{c} = \dfrac{p\;c}{E}\;</math> <math>\big\{</math>voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#cite_note-165|¹⁶⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\;</math> soit <math>\;\beta \simeq \dfrac{445}{1040} \simeq 0,428\;\cancel{\lesssim}\; 0,1\;</math> donc effectivement relativiste pour la définition de leurs grandeurs cinétiques <math>\Rightarrow</math> leur vitesse ayant pour ordre de grandeur <math>\;v \simeq 0,428\;c \simeq 128400\;km \cdot s^{-1}</math>.</ref> : <math>\;\lambda_{d.B.} \simeq 1\; fm\;</math><ref> En effet la norme de leur quantité de mouvement valant <math>\;p \simeq 445\; MeV \text{/} c</math> <math>\;\big\{</math>voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#cite_note-171|¹⁷¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, leur [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]] se calcule selon <math>\;\lambda_{d.B.} = \dfrac{h}{p} =</math> <math>\dfrac{h\;c}{p\;c}</math> <math>\;\big\{</math>voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#cite_note-convertir_pc_en_J-149|¹⁴⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\;</math> soit <math>\;\lambda_{d.B.} \simeq \dfrac{6,626\; 10^{-34} \times 3\;10^8}{445\;10^6 \times 1,6\;10^{-19}} \simeq 2,8\; 10^{-15}\;m\;</math> ou, en unité adaptée <math>\;\lambda_{d.B.} \simeq 2,8\; fm</math> <math>\;\big[1\; fm = 10^{-15}\;m</math>, <math>\;fm\;</math> se lit fentomètre <math>\;\big(</math>ou encore fermi<math>\big)\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Enrico_Fermi|Enrico Fermi]] (1901 - 1954)''', physicien italien naturalisé américain <math>\;\big(</math>plus précisément étatsunien<math>\big)</math>, ayant reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1938\;</math> pour sa démonstration de l'existence de nouveaux éléments radioactifs produits par bombardements de neutrons, et pour sa découverte des réactions nucléaires créées par les neutrons lents, le nom historique de l'unité de longueur adaptée aux dimensions nucléaires a été donné pour lui rendre hommage.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant aux dimensions du noyau, utilisables pour sonder les noyaux atomiques<math>\big)</math>, * atomes utilisés dans les interférences atomiques : <math>\;\lambda_{d.B.} \simeq 1\; \text{Ǻ}</math>, * macromolécules utilisées dans les interférences moléculaires : <math>\;\lambda_{d.B.} \simeq 1\; pm = 10^{-12}\;m\;</math><ref> Voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#cite_note-94|⁹⁴]] » plus haut dans ce chapitre pour l'ordre de grandeur <math>\;\big(</math>calcul non présenté<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : l'œil/]] | suivant = [[../Introduction au monde quantique : interprétation probabiliste/]] }} 2vzp7fbyjqlnuoyxqnmt9sxey7lytvo 0 64643 982827 978081 2026-05-14T18:59:56Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982827 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 17 | niveau = 14 | précédent = [[../Introduction au monde quantique : dualité onde-particule/]] | suivant = [[../Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg/]] }} == Fonction d'onde de matière et densité volumique de probabilité de présence == === Lien entre l'éclairement observé sur une figure d'interférence lumineuse et le débit de photons par unité de surface de cette figure, interprétations statistique et probabiliste === {{Al|5}}Lors d'une « interférence lumineuse d'un faisceau »<ref> Nous avons vu qu'il ne pouvait y avoir interférences que si les ondes se superposant provenaient de <u>deux sources [[w:Cohérence_(physique)|cohérentes]] entre elles</u> et pour cela, le plus simple est de réaliser la [[w:Interférométrie#Quelques_interféromètres|division d'une même onde]] : cela se fait * par « [[w:Interférométrie#Interféromètres_à_division_du_front_d'onde|division du front d'onde]] » lorsque les ondes qui interfèrent entre elles proviennent de différents points de l'onde <math>\;\big(F_1\;</math> ou <math>\;F_2\;</math> de l'onde incidente lors de la division par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]] par exemple<math>\big)</math>, ou * par « [[w:Interférométrie#Interféromètres_à_division_d'amplitude|division d'amplitude]] » lorsque les ondes interférant entre elles proviennent de la division de l'amplitude d'un même point de l'onde <math>\;\big(</math>la division se faisant le plus souvent par [[w:Miroir_semi-réfléchissant|lame semi-réfléchissante]]<math>\big)</math> ;  {{Al|3}}seul un exemple d'interférences lumineuses par [[w:Interférométrie#Interféromètres_à_division_du_front_d'onde|division du front d'onde]] a été fourni dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Exemple_de_l'interférence_lumineuse_d'une_onde_monochromatique_séparée_par_fentes_d'Young|exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ». <br>{{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' physicien, médecin et égyptologue britannique, voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#cite_note-Young-10|¹⁰]] » plus bas dans ce chapitre pour plus de détails.</ref>, nous observons une répartition d'[[w:Éclairement_lumineux|éclairement]] sur l'écran d'observation<ref name="éclairement en un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Polarisation_rectiligne_de_la_lumière,_loi_de_Malus#Notion_d'éclairement_d'une_onde_lumineuse_en_un_point|notion d'éclairement d'une onde lumineuse en un point]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> caractérisant la figure d'interférences, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Lors d'une « interférence lumineuse d'un faisceau » }}l'endroit où l'[[w:Éclairement_lumineux|éclairement]]<ref name="éclairement en un point" /> est nul <math>\;\big(</math>franges sombres<math>\big)\;</math> devant être interprété, lors d'interférences, comme un endroit où aucun photon n'aboutit et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lors d'une « interférence lumineuse d'un faisceau » }}celui où l'[[w:Éclairement_lumineux|éclairement]]<ref name="éclairement en un point" /> est maximal <math>\;\big(</math>franges brillantes<math>\big)\;</math> comme le lieu privilégié, lors d'interférences, où les photons parviennent ; {{Al|5}}compte-tenu de la dimension de l'[[w:Éclairement_lumineux|éclairement]]<ref name="éclairement en un point" /> «<math>\;\mathcal{E}\;</math> en <math>\;W \cdot m^{-2}\;</math>» et de celle du débit « moyen »<ref> Débit « moyen » car l'[[w:Éclairement_lumineux|éclairement]] est la puissance moyenne par unité de surface.</ref> de photons par unité de surface «<math>\;n_{\gamma,\; S,\;\text{moy}}\;</math> en <math>\;s^{-1} \cdot m^{-2}\;</math>» nous proposons le lien suivant <div style="text-align: center;">«<math>\;\mathcal{E} = n_{\gamma,\; S,\;\text{moy}} \times h\; \nu\;</math>» <ref name="énergie d'un photon"> <math>\;h\;\nu\;</math> étant l'énergie d'un photon associé à une onde monochromatique de fréquence <math>\;\nu</math>, <math>\;h \simeq 6,62607015\; 10^{-34}\; J \cdot s\;</math> étant la [[w:Constante_de_Planck|constante de Planck]] <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Aspect_corpusculaire_de_la_lumière|aspect corpusculaire de la lumière]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Max_Plack|Max Karl Ernst Ludwig Planck]] (1858 - 1947)''' physicien allemand à qui on doit essentiellement la [[w:Théorie_des_quanta|théorie des quanta]], voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#cite_note-Planck-34|³⁴]] » plus bas dans ce chapitre pour plus de détails.</ref>.</div> {{Al|5}}<u>Interprétation statistique</u> : les lieux d'interférences <u>constructives</u> sont ceux où le débit moyen de photons sur l'écran où se matérialisent les interférences est <u>maximal</u> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Interprétation statistique : }}les lieux d'interférences <u>destructives</u> sont ceux où le débit moyen de photons sur l'écran où se matérialisent les interférences est <u>minimal</u>. {{Al|5}}<u>Interprétation probabiliste</u> : si le « <u>débit de photons incidents</u> est <u>très grand</u> »<ref name="loi des grands nombres"> De façon à pouvoir y appliquer la [[w:Loi_des_grands_nombres|loi statistique des grands nombres]] à savoir « dans une série de valeurs d'une grandeur définie dans un échantillon, la fréquence relative d'une valeur quelconque <math>\;\big(</math>c.-à-d. le nombre de fois où la grandeur est trouvée dans l'échantillon sur le nombre d'éléments de cet échantillon<math>\big)\;</math> est indépendante du nombre d'éléments de l'échantillon » qui a pour corollaire « la probabilité que la grandeur ait une valeur fixée est la fréquence relative de cette valeur dans toute série de valeurs de la grandeur ».</ref>, les lieux d'interférences <u>constructives</u> sont les endroits où la probabilité d'arrivée d'un photon sur l'écran est <u>maximale</u> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Interprétation probabiliste : si le « débit de photons incidents est très grand », }}les lieux d'interférences <u>destructives</u> sont les endroits où la probabilité d'arrivée d'un photon sur l'écran est <u>minimale</u> ; {{Al|5}}{{Transparent|Interprétation probabiliste : }}dans l'<u>expérience d'interférence par photon unique</u>, les lieux d'interférences <u>constructives</u> sont ceux où la probabilité d'arrivée du photon sur l'écran est <u>maximale</u> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Interprétation probabiliste : dans l'expérience d'interférence par photon unique, }}les lieux d'interférences <u>destructives</u> sont ceux où la probabilité d'arrivée du photon sur l'écran est <u>minimale</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Interprétation probabiliste : dans l'expérience d'interférence par photon unique, }}ceci ne devenant observable que si le nombre de photons uniques envoyés les uns à la suite des autres est grand<ref name="loi des grands nombres" />. === Interprétations statistique et probabiliste d'un phénomène d'interférences de particules === {{Al|5}}On prolonge les interprétations faites sur les interférences lumineuses dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#Lien_entre_l'éclairement_observé_sur_une_figure_d'interférence_lumineuse_et_le_débit_de_photons_par_unité_de_surface_de_cette_figure,_interprétations_statistique_et_probabiliste|lien entre l'éclairement observé sur une figure d'interférence lumineuse et le débit de photons par unité de surface de cette figure, interprétations statistique et probabiliste]] » plus haut dans ce chapitre d'où : <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math><u>interprétation statistique</u> : interférences d'un « faisceau de particules à grand débit », les lieux d'interférences <u>constructives</u> sont ceux où le débit moyen d'arrivée de particules sur l'écran est <u>maximal</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>interprétation statistique : interférences d'un « faisceau de particules à grand débit », }}les lieux d'interférences <u>destructives</u> sont ceux où le débit moyen d'arrivée de particules sur l'écran est <u>minimal</u> ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math><u>interprétation probabiliste</u> : interférences d'un « faisceau de particules à grand débit »<ref name="loi des grands nombres" />, les lieux d'interférences <u>constructives</u> sont ceux de probabilité d'arrivée des particules sur l'écran <u>maximale</u>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>interprétation probabiliste : interférences d'un « faisceau de particules à grand débit », }}les lieux d'interférences <u>destructives</u> sont ceux de probabilité d'arrivée des particules sur l'écran <u>minimale</u> et {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>interprétation probabiliste : }}interférences par « particule unique », les lieux d'interférences <u>constructives</u> sont ceux où la probabilité d'arrivée de la particule sur l'écran est <u>maximale</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>interprétation probabiliste : interférences par « particule unique », }}les lieux d'interférences <u>destructives</u> sont ceux où la probabilité d'arrivée de la particule sur l'écran est <u>minimale</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>interprétation probabiliste : interférences par « particule unique », }}ce phénomène ne devenant observable que si le nombre de particules envoyées les unes à la suite des autres est grand<ref name="loi des grands nombres" />. === Densité volumique de probabilité de présence et fonction d'onde de matière === ==== Densité volumique de probabilité de présence d'une particule massique ou non massique ==== {{Al|5}}On définit, à tout instant <math>\;t\;</math> et en tout point <math>\;M\;</math> de l'espace, une densité volumique de probabilité de présence <math>\;\mathcal{P}_V(M,\, t)\;</math><ref> Cette densité volumique de probabilité de présence qui est réelle et positive est a priori « normalisée » c.-à-d. que la probabilité de trouver la particule dans l'espace entier à l'instant <math>\;t\;</math> <math>\big[</math>méthode de calcul exposée plus loin dans ce paragraphe<math>\big]\;</math> est égale à <math>\;1</math>.</ref> d'une particule massique <math>\;\big(</math>ou purement énergétique<math>\big)\;</math> dépendant des « caractéristiques de la particule » et de l'« environnement avec lequel elle interagit » avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|On définit, à tout instant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> et en tout point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de l'espace, }}<math>\mathcal{P}_V(M,\, t)\;d\mathcal{V}\;</math> probabilité de trouver la particule dans l'expansion tridimensionnelle de volume élémentaire <math>\;d\mathcal{V}\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Définition_2|définition]] (d'un volume élémentaire) » dans le chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> centré en <math>\;M\;</math> à la date <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On définit, à tout instant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> et en tout point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de l'espace, }}la probabilité de la trouver dans une expansion tridimensionnelle <math>\;\mathcal{V}_1\;</math> à la date <math>\;t\;</math> étant <math>\;\displaystyle\iiint_{\mathcal{V}_1} \mathcal{P}_V(M,\, t)\;d\mathcal{V}\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Notions_d'intégrale_volumique|notions d'intégrale volumique]] » dans le chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> La normalisation de la densité volumique de probabilité de présence se traduit par <math>\;\displaystyle\iiint_{\mathcal{E}_3} \mathcal{P}_V(M,\, t)\;d\mathcal{V} = 1\;</math> où <math>\;\mathcal{E}_3\;</math> est l'espace tridimensionnel entier <math>\;\big[</math>ici l'extension de l'expansion tridimensionnelle étant infinie, l'intégrale volumique est « généralisée » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrales_volumiques_généralisées_sur_une_expansion_tridimensionnelle_d'extension_infinie|intégrales volumiques généralisées sur une expansion tridimensionnelle d'extension infinie]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, elle est définie comme la limite de l'intégrale volumique sur une expansion tridimensionnelle d'extension finie <math>\;\big(</math>par exemple une boule de rayon <math>\;R\big)\;</math> dont on fait tendre l'extension vers l'infini <math>\;\big(</math>sur l'exemple on fait tendre <math>\;R\;</math> vers l'<math>\infty\big)</math>, cette limite existant dans la mesure où l'intégrale « généralisée » existe <math>\;\big(</math>dans le cas où elle n'existerait pas on dirait qu'il y a divergence de l'intégrale volumique<math>\big)\big]</math>.</ref> ; [[File:Fentes d'Young - interférences.jpg|thumb|left|300px|Densité linéique de probabilité de détection de la particule sur l'écran dans l'expérience d'interférences par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young"> '''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module d'Young]] en [[w:Science_des_matériaux|science des matériaux]] et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]] en optique.</ref>]] [[File:Fentes d'Young - une fente fermée.jpg|thumb|right|300px|Densité linéique de probabilité de détection de la particule sur l'écran quand une seule des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> <math>\;F_1\;</math> ou <math>\;F_2\;</math> est ouverte]] {{Al|5}}cette densité volumique de probabilité de présence dépend de l'« environnement avec lequel la particule interagit » : <br>{{Al|5}}en effet une particule qui entre dans le système interférentiel des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> possède, en « tout point de l'espace » et à « tout instant »<ref> En particulier, appelant <math>\;t_{\text{fentes d'Young}}\;</math> un instant où la « particule » <math>\;\big(</math>ou plutôt la forme « ondulatoire » associée à la « particule »<math>\big)\;</math> est au niveau des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]], nous admettons que <u>la densité volumique de probabilité de présence de la « particule » au moment de son émission</u> <math>\;\big(</math>évidemment antérieure à <math>\;t_{\text{fentes d'Young}}\big)\;</math> <u>dépend déjà de la présence des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]</u> <math>\;\big[</math>sans toutefois pouvoir le vérifier directement car la seule grandeur que nous sommes capables de mesurer, sans perturber l'expérience, est la probabilité de présence sur l'écran <math>\;\big(</math>évidemment postérieure à <math>\;t_{\text{fentes d'Young}}\big)\big]</math>.</ref>, <u>une densité volumique de probabilité de présence différente suivant que les deux fentes sont accessibles ou qu'une seule l'est</u> <math>\;\big(</math>la densité étant aussi différente suivant que c'est <math>\;F_1\;</math> ou <math>\;F_2\;</math> qui est utilisable<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}voir ci-contre pour la densité linéique de probabilité de détection de la particule lors de l'expérience d'interférence par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|voir }}ci-contre à droite pour la densité linéique de probabilité de détection de la particule quand une seule des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> est ouverte ; {{Al|5}}il n'y a pas additivité des densités linéiques de probabilité de présence c'est-à-dire «<math>\;\mathcal{P}_{l,\;1} + \mathcal{P}_{l,\;2} \neq \mathcal{P}_l\;</math>»<ref> De même que l'[[w:Éclairement_lumineux|éclairement]] en un point de l'écran d'abscisse <math>\;x\;</math> lors des interférences lumineuses par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]], n'est pas la somme des [[w:Éclairement_lumineux|éclairements]] que l'on obtiendrait en occultant l'une puis l'autre des fentes.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|il n'y a pas additivité }}dans laquelle <math>\mathcal{P}_{l,\;1}</math>, <math>\;\mathcal{P}_{l,\;2}\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_l\;</math> sont respectivement les densités linéiques de probabilité de présence de la particule en un point de l'écran d'abscisse <math>\;x</math>, quand les fentes <math>\;F_1\;</math> ou <math>\;F_2\;</math> sont seules ouvertes et quand les deux sont ouvertes<ref name="densités linéiques de probabilité de présence non normalisées au sens habituel"> Pour que l'additivité soit envisageable <math>\;\big(</math>mais comme nous l'avons dit elle n'est pas réalisée<math>\big)\;</math> il faut que les densités linéiques de probabilité <math>\;\mathcal{P}_{l,\;1}\;</math> ou <math>\;\mathcal{P}_{l,\;2}\;</math> ne soient pas normalisées au sens habituel, la probabilité que la particule passe par <math>\;F_1\;</math> <math>\big(F_2\;</math> étant occultée<math>\big)\;</math> ou par <math>\;F_2\;</math> <math>\big(F_1\;</math> étant occultée<math>\big)\;</math> n'est pas choisie égale à <math>\;1\;</math> mais à <math>\;\dfrac{1}{2}\;</math> <math>\big(</math>la source d'émission étant sur la médiatrice de <math>\;[S_1S_2]</math>, avec <math>\;S_1\;</math> et <math>\;S_2\;</math> respectivement les centres de <math>\;F_1\;</math> et <math>\;F_2\big)\;</math> et ainsi une particule « classique » <math>\;\big(</math>c.-à-d. ne subissant pas d'interférences parce que sa [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]] <math>\;\lambda_{d.B.}\;</math> serait <math>\;\ll a\big)\;</math> passant nécessairement par <math>\;F_1\;</math> ou <math>\;F_2\;</math> <math>\big(</math>ceci n'est vrai que pour une particule « classique » et devient faux pour une particule interférant<math>\big)</math>, la probabilité de la retrouver sur l'écran est alors bien égale à <math>\;1</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Louis_de_Broglie|Louis Victor de Broglie]] (1892 - 1987)''' <math>\;\big\{</math>se prononce « Brogle »<math>\big\}</math>, mathématicien et physicien français, voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#cite_note-L._de_Broglie-30|³⁰]] » plus loin dans ce chapitre pour plus de détails.</ref> ; ainsi « la densité linéique de probabilité de trouver la particule en un point d'abscisse <math>\;x\;</math> lors des interférences par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> » <u>n'est pas la somme</u> « des densités linéiques de probabilité de trouver la particule au point d'abscisse <math>\;x\;</math> après être passée par <math>\;F_1\;</math> <math>\big(F_2\;</math> étant fermée<math>\big)\;</math> ou <math>\;F_2\;</math> <math>\big(F_1\;</math> étant fermée<math>\big)\;</math>»<ref name="densités linéiques de probabilité de présence non normalisées au sens habituel" /> ; {{Al|5}}on pourrait donc dire que les interférences nécessitent que la particule passe par les deux fentes à la fois, mais ce serait inapproprié <math>\;\big(</math>une particule étant, par définition, localisée dans l'espace<math>\big)</math>, il est préférable de dire que « l'onde associée à la particule passe par les deux fentes à la fois ». ==== Fonction d'onde de matière ==== ===== Rappel sur la lumière ===== {{Al|5}}À une onde progressive sinusoïdale lumineuse <math>\;\big(</math>O.P.H.<math>\big)\;</math> de fréquence <math>\;\nu</math>, on associe une grandeur réelle vibrante <math>\;\Big(</math>un champ électromagnétique <math>\;\left\lbrace \vec{E}\,,\, \vec{B} \right\rbrace\;</math> défini en tout point <math>\;M\;</math> et à tout instant <math>\;t</math>, champ simplement noté <math>\;s\;</math><ref> Modèle « scalaire » de la lumière qui est suffisant tant que la polarisation de l'onde n'intervient pas.</ref><math>\Big)\;</math> que l'on modélise en la considérant comme la partie réelle <math>\;\big(</math>ou imaginaire<math>\big)\;</math> d'une grandeur instantanée complexe <math>\;\underline{s}(t) = \underline{\mathcal{A}}(M)\; \exp\! \left( i\;2\;\pi\;t \right)\;</math> où «<math>\;\underline{\mathcal{A}}(M)\;</math> est l'amplitude complexe de l'onde » <ref name="modélisation d'une O.P.H."> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Grandeurs_associées_à_une_fonction_sinusoïdale_du_temps_:_amplitude_complexe_et_vecteur_de_Fresnel#Grandeur_instantanée_complexe|grandeur instantanée complexe]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Grandeurs_associées_à_une_fonction_sinusoïdale_du_temps_:_amplitude_complexe_et_vecteur_de_Fresnel#Amplitude_complexe|amplitude complexe]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}le phénomène d'interférences par les [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> s'explique alors, en tout point <math>\;M\;</math> du champ d'interférences, par la superposition des ondes passant par <math>\;F_1\;</math> et <math>\;F_2</math>, ceci donnant <br>{{Al|10}}{{Transparent|le phénomène d'interférences par les fentes d'Young s'explique alors, }}une onde résultante d'« amplitude complexe <math>\;\underline{\mathcal{A}}(M) = \underline{\mathcal{A}}_1(M) + \underline{\mathcal{A}}_2(M)\;</math>» et <br>{{Al|10}}{{Transparent|le phénomène d'interférences par les fentes d'Young s'explique alors, }}un « [[w:Éclairement_lumineux|éclairement]] au point <math>\;M\;</math><ref name="éclairement en un point" /> du champ d'interférences <math>\;\mathcal{E}(M) \propto \vert \underline{\mathcal{A}}(M) \vert^2\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{E}(M) \propto \vert \underline{\mathcal{A}}_1(M) + \underline{\mathcal{A}}_2(M) \vert^2\;</math>», soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|le phénomène d'interférences par les fentes d'Young s'explique alors, un « éclairement au point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> du champ d'interférences }}«<math>\;\mathcal{E}(M) = \mathcal{E}_1(M) + \mathcal{E}_2(M) + 2\; \sqrt{\mathcal{E}_1(M)\;\mathcal{E}_2(M)}\; \cos( \Delta \varphi)\;</math>»<ref name="puissance moyenne reçue par dS"> La puissance lumineuse « moyenne » reçue par l'élément de surface <math>\;dS\;</math> centrée en <math>\;M</math>, «<math>\;\left\langle \mathcal{P}_{dS} \right\rangle\;</math>», s'évaluant selon <math>\;\left\langle \mathcal{P}_{dS} \right\rangle = \mathcal{E}(M)\;dS</math>, nous déduisons, de l'expression de l'[[w:Éclairement_lumineux|éclairement]] «<math>\;\mathcal{E}(M) = \mathcal{E}_1(M) + \mathcal{E}_2(M) + 2\; \sqrt{\mathcal{E}_1(M)\;\mathcal{E}_2(M)}\; \cos( \Delta \varphi)\;</math>», celle de la puissance « moyenne » reçue par <math>\;dS\;</math> <div style="text-align: center;">«<math>\;\left\langle \mathcal{P}_{dS} \right\rangle = \left\langle \mathcal{P}_{1,\,dS} \right\rangle + \left\langle \mathcal{P}_{2,\,dS} \right\rangle + 2\; \sqrt{\left\langle \mathcal{P}_{1,\,dS} \right\rangle\;\left\langle \mathcal{P}_{2,\,dS} \right\rangle}\; \cos( \Delta \varphi)\;</math>».</div></ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|le phénomène d'interférences par les fentes d'Young s'explique alors, un « éclairement au point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}où «<math>\;\Delta \varphi\;</math> est le déphasage entre les ondes passées par <math>\;F_1\;</math> et <math>\;F_2\;</math> au point <math>\;M\;</math> considéré », <br>{{Al|13}}{{Transparent|le phénomène d'interférences par les fentes d'Young s'explique alors, un « éclairement au point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\mathcal{E}_1(M) \\ \text{et}\\ \mathcal{E}_2(M)\end{array}\right\rbrace\;</math> étant l'[[w:Éclairement_lumineux|éclairement]]<ref name="éclairement en un point" /> que l'on obtiendrait en <math>\;M\;</math> en occultant la fente <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} F_2 \\ \text{ou}\\ F_1\end{array}\right\rbrace</math>. ===== Intervention de la notion de photon dans l'explication des interférences par fentes d'Young ===== {{Al|5}}L'[[w:Éclairement_lumineux|éclairement lumineux]]<ref name="éclairement en un point" /> <math>\;\mathcal{E}\;</math> d'une onde monochromatique de fréquence <math>\;\nu</math> étant lié au débit « moyen » surfacique de photons <math>\;n_{\gamma,\, s}\;</math> par «<math>\;\mathcal{E} = h\; \nu \times n_{\gamma,\, s}\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#Lien_entre_l'éclairement_observé_sur_une_figure_d'interférence_lumineuse_et_le_débit_de_photons_par_unité_de_surface_de_cette_figure,_interprétations_statistique_et_probabiliste|lien entre l'éclairement observé sur une figure d'interférence lumineuse et le débit de photons par unité de surface de cette figure, interprétations statistique et probabiliste]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ou, en multipliant par <math>\;dS</math>, <br>{{Al|5}}la puissance lumineuse « moyenne » reçue par <math>\;dS</math>, notée <math>\; \left\langle \mathcal{P}_{dS} \right\rangle</math>, étant liée au débit « moyen » de photons atteignant <math>\;dS\;</math> à savoir <math>\;n_{\gamma,\, dS} = n_{\gamma,\, s}\;dS</math>, par «<math>\;\left\langle \mathcal{P}_{dS} \right\rangle = h\; \nu \times n_{\gamma,\, dS}\;</math>»<ref name="puissance moyenne reçue par dS" />, <br>{{Al|5}}nous pouvons écrire le débit « moyen » de photons atteignant <math>\;dS\;</math> «<math>\;n_{\gamma,\, dS}\;</math>» en fonction des débits « moyens » de photons qui atteindraient <math>\;dS\;</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}n_{1,\,\gamma,\, dS} \\ \text{et}\\ n_{2,\,\gamma,\, dS}\end{array}\right\rbrace\;</math> en occultant la fente <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} F_2 \\ \text{ou}\\ F_1\end{array}\right\rbrace\;</math>» selon <div style="text-align: center;">«<math>\;n_{\gamma,\, dS} = n_{1,\,\gamma,\, dS} + n_{2,\,\gamma,\, dS} + 2\; \sqrt{n_{1,\,\gamma,\, dS}\!\color{transparent}{A}\color{black}\!n_{2,\,\gamma,\, dS}}\; \cos( \Delta \varphi)\;</math>»<ref> Obtenue en divisant la relation sur les puissances moyennes <math>\;\left\langle \mathcal{P}_{dS} \right\rangle = \left\langle \mathcal{P}_{1,\,dS} \right\rangle + \left\langle \mathcal{P}_{2,\,dS} \right\rangle + 2\; \sqrt{\left\langle \mathcal{P}_{1,\,dS} \right\rangle\;\left\langle \mathcal{P}_{2,\,dS} \right\rangle}\; \cos( \Delta \varphi)\;</math> <math>\big\{</math>voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#cite_note-puissance_moyenne_reçue_par_dS-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\;</math> par l'énergie du photon.</ref> soit enfin,</div> {{Al|5}}{{Transparent|nous pouvons écrire }}en divisant par le débit global « moyen » de photons émis par la source et pouvant « interférer »<ref name="interférence de particules"> On rappelle que l'aspect corpusculaire ne peut expliquer les phénomènes d'interférences, il est donc « incorrect » de dire que les photons « interfèrent », ce sont les ondes associées qui interfèrent d'où la présence de guillemets encadrant le terme « interfère » ; il en est de même pour les particules massiques.</ref> «<math>\;n_{\gamma,\, \text{source}}\;</math>»<ref> La puissance moyenne émise par la source et participant aux interférences étant «<math>\;\mathcal{E}_1(F_1)\; S(F_1) + \mathcal{E}_2(F_2)\; S(F_2)\;</math>» où «<math>\;S(F_1)\;</math> et <math>\;S(F_2)\;</math> sont les aires des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]] » avec «<math>\;\mathcal{E}_1(F_1)\;</math> et <math>\;\mathcal{E}_2(F_2)\;</math> les [[w:Éclairement_lumineux|éclairements]] au niveau de chaque fente », nous en déduisons <div style="text-align: center;">le débit global « moyen » de photons émis par la source et « pouvant interférer » «<math>\;n_{\gamma,\, \text{source}} = \dfrac{\mathcal{E}_1(F_1)\; S(F_1) + \mathcal{E}_2(F_2)\; S(F_2)}{h\;\nu}\;</math>».</div></ref>, nous obtenons la relation suivante <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{n_{\gamma,\, dS}}{n_{\gamma,\, \text{source}}} = \dfrac{n_{1,\,\gamma,\, dS}}{n_{\gamma,\, \text{source}}} + \dfrac{n_{2,\,\gamma,\, dS}}{n_{\gamma,\, \text{source}}} + 2\; \sqrt{\dfrac{n_{1,\,\gamma,\, dS}}{n_{\gamma,\, \text{source}}}\;\dfrac{n_{2,\,\gamma,\, dS}}{n_{\gamma,\, \text{source}}}}\; \cos( \Delta \varphi)\;</math>» <br> représentant aussi <br>le pourcentage « moyen » de photons atteignant <math>\;dS\;</math> en « interférant »<ref name="interférence de particules" /> relativement aux photons émis par la source et « pouvant interférer »<ref name="interférence de particules" /> <br>ou pouvant être interprété comme <br>la probabilité statistique « moyenne » qu'un photon pris parmi les photons émis par la source et « pouvant interférer »<ref name="interférence de particules" />, « interfère »<ref name="interférence de particules" /> en atteignant <math>\;dS\;</math><ref> En effet cela résulte de l'utilisation du corollaire de la [[w:Loi_des_grands_nombres|loi des grands nombres]] exposé dans la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#cite_note-loi_des_grands_nombres-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}}<ref> Nous pouvons vérifier que la probabilité statistique « moyenne » qu'un photon pris parmi les photons émis par la source et « interférant » en atteignant <math>\;dS\;</math> n'est pas la somme des probabilités statistiques « moyennes » que ce photon passe par <math>\;F_1</math> <math>\;\big(F_2\;</math> étant occultée<math>\big)\;</math> ou par <math>\;F_2</math> <math>\;\big(F_1\;</math> étant occultée<math>\big)</math>.</ref>.</div> {{Al|5}}<u>Traduction lors d'« interférences »<ref name="interférence de particules" /> par photon unique</u> : la probabilité « moyenne » <math>\;p_{\gamma,\, dS}\;</math> que le photon atteigne <math>\;dS\;</math> en « interférant »<ref name="interférence de particules" /> s'identifiant à <math>\;\dfrac{n_{\gamma,\, dS}}{n_{\gamma,\, \text{source}}}</math>, celle que ce photon passe par <math>\;F_1</math> <math>\;\big(F_2\;</math> étant occultée<math>\big)\;</math> c'est-à-dire <math>\;p_{1,\,\gamma,\,dS}\;</math> à <math>\dfrac{n_{1,\,\gamma,\, dS}}{n_{\gamma,\, \text{source}}}\;</math> et celle que ce photon passe par <math>\;F_2</math> <math>\;\big(F_1\;</math> étant occultée<math>\big)\;</math> c'est-à-dire <math>\;p_{2,\,\gamma,\,dS}\;</math> à <math>\dfrac{n_{2,\,\gamma,\, dS}}{n_{\gamma,\, \text{source}}}</math>, nous en déduisons <div style="text-align: center;">«<math>\;p_{\gamma,\, dS} = p_{1,\,\gamma,\,dS} + p_{2,\,\gamma,\,dS} + 2\; \sqrt{p_{1,\,\gamma,\,dS}\!\color{transparent}{A}\color{black}\!p_{2,\,\gamma,\,dS}}\; \cos( \Delta \varphi)\;\;\;(\mathfrak{a})\;</math>»<ref> Ceci vérifiant que la probabilité « moyenne » qu'un photon, pris parmi les photons émis successivement par la source et « pouvant interférer », « interfère » en un point <math>\;M\;</math> n'est pas la somme des probabilités « moyennes » que ce photon passe par <math>\;F_1</math> <math>\;\big(F_2\;</math> étant occultée<math>\big)\;</math> ou par <math>\;F_2</math> <math>\;\big(F_1\;</math> étant occultée<math>\big)</math>.</ref>.</div> ===== Prolongement de l'interprétation précédente aux interférences par fentes d'Young d'ondes de matière associées à des particules massiques ===== {{Al|5}}Définissant, comme dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#Intervention_de_la_notion_de_photon_dans_l'explication_des_interférences_par_fentes_d'Young|intervention de la notion de photon dans l'explication des interférences par fentes d'Young]] » plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définissant, }}la probabilité « moyenne » <math>\;p_{\text{part},\, dS}\;</math> que la particule<ref name="remplaçant photon"> Particule se substituant à photon dans l'exposé du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#Intervention_de_la_notion_de_photon_dans_l'explication_des_interférences_par_fentes_d'Young|intervention de la notion de photon dans l'explication des interférences par fentes d'Young]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> atteigne <math>\;dS\;</math> en « interférant »<ref name="interférence de particules" /> ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définissant, }}les probabilités « moyennes » <math>\;p_{1,\,\text{part},\, dS}\;</math> et <math>\;p_{2,\,\text{part},\, dS}\;</math> que la particule<ref name="remplaçant photon" /> passe par <math>\;F_1\;</math> <math>\big(F_2\;</math> étant occultée<math>\big)\;</math> ou par <math>\;F_2</math> <math>\;\big(F_1\;</math> étant occultée<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}on doit obtenir une relation identique à <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> entre les différentes probabilités à savoir «<math>\;p_{\text{part},\, dS} = p_{1,\,\text{part},\,dS} + p_{2,\,\text{part},\,dS} + 2\; \sqrt{p_{1,\,\text{part},\,dS}\!\color{transparent}{A}\color{black}\!p_{2,\,\text{part},\,dS}}\; \cos( \Delta \varphi)\;\;\;(\mathfrak{a}')\;</math>» <br>{{Al|5}}{{transparent|on doit obtenir une relation identique à <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> }}dans laquelle doit apparaître un déphasage <math>\;\Delta \varphi\;</math> mais auparavant <br>{{Al|5}}{{transparent|on doit obtenir une relation identique à <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> }}il faut introduire l'analogue des grandeurs instantanées complexes des ondes passant par <math>\;F_1\;</math> ou <math>\;F_2\;</math> à savoir <math>\;\underline{s}_1(M,\, t)\;</math> ou <math>\;\underline{s}_2(M,\, t)\;</math><ref name="modélisation d'une O.P.H. - bis"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Grandeurs_associées_à_une_fonction_sinusoïdale_du_temps_:_amplitude_complexe_et_vecteur_de_Fresnel#Grandeur_instantanée_complexe|grandeur instantanée complexe]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et encore <br>{{Al|5}}{{transparent|on doit obtenir une relation identique à <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> il faut introduire }}l'analogue des amplitudes complexes des ondes passant par <math>\;F_1\;</math> ou <math>\;F_2\;</math> à savoir <math>\;\underline{\mathcal{A}}_1(M)\;</math> ou <math>\;\underline{\mathcal{A}}_2(M)\;</math><ref name="modélisation d'une O.P.H. - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Grandeurs_associées_à_une_fonction_sinusoïdale_du_temps_:_amplitude_complexe_et_vecteur_de_Fresnel#Amplitude_complexe|amplitude complexe]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>. ===== Notion de fonction d'onde de matière ===== {{Al|5}}On associe, à une particule « quantique »<ref name="particule quantique"> Se dit d'une « particule » dont on s'intéresse au comportement ondulatoire par opposition au qualificatif « classique » quand on s'intéresse à son comportement corpusculaire.</ref>, une fonction dépendant du point <math>\;M\;</math> et de la date <math>\;t</math>, à valeurs complexes, caractérisant l'état de la particule dans son environnement d'interaction, appelée « fonction d'onde » de la particule « quantique »<ref name="particule quantique" /> et notée <math>\;\underline{\psi}(M,\,t)\;</math><ref name="fonction d'onde"> La fonction d'onde est l'analogue, dans l'onde de matière, de la grandeur instantanée complexe <math>\;\underline{s}(M,\, t)\;</math> de l'onde lumineuse mais, contrairement au cas de l'onde lumineuse où la partie réelle <math>\;\big(</math>ou imaginaire<math>\big)\;</math> représente une grandeur physique vibrante, la partie réelle <math>\;\big(</math>ou imaginaire<math>\big)\;</math> de la fonction d'onde n'a aucune signification physique pour l'onde de matière.</ref> ; {{Al|5}}si l'onde de matière est associée à une particule d'énergie <math>\;E\;</math> en « état stationnaire »<ref name="état stationnaire"> C.-à-d. en absence de propagation de l'onde de matière <math>\Rightarrow</math> le module de la fonction d'onde <math>\;\vert \underline{\psi}(M,\,t) \vert\;</math> est indépendant du temps<math>\;t\;</math> <math>\big(</math>justifié dans la suite de ce paragraphe<math>\big)</math>.</ref>, on peut définir la « fréquence de de Broglie<ref name="L. de Broglie"> '''[[w:Louis_de_Broglie|Louis Victor de Broglie]] (1892 - 1987)''' <math>\;\big\{</math>se prononce « Brogle »<math>\big\}</math>, mathématicien et physicien français, essentiellement connu pour sa proposition de nature ondulatoire des électrons, ce qui lui valut le prix Nobel de physique en <math>\;1929</math>.</ref> de l'onde par <math>\;E = h\; \nu_{d.B.}\;</math>»<ref name="longueur d'onde et fréquence de de Broglie"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Relation_de_Louis_de_Broglie_et_conséquences|relation de Louis de Broglie et conséquences]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|si l'onde de matière est associée à une particule d'énergie <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> en « état stationnaire », }}la composante temporelle de la fonction d'onde varie en «<math>\;\exp\! \left( -i\; 2\; \pi\; \nu_{d.B.}\; t \right) = \exp\! \left( -i\; 2\; \pi\; \dfrac{E}{h}\; t \right)\;</math>»<ref name="analogie O.P.P.H. complexe"> La grandeur instantanée complexe associée à une O.P.P.H. a, jusqu'à présent, été écrite <math>\;\underline{A}\;\exp\! \left[i \left( \omega\;t - \vec{k} \cdot \vec{r} \right) \right]\;</math> <math>\big\{</math>voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#cite_note-modélisation_d'une_O.P.H.-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\;</math> mais aurait pu, compte-tenu du fait que seule la partie réelle <math>\;\big(</math>ou imaginaire<math>\big)\;</math> a un sens physique, être définie en prenant l'opposé de la phase à l'instant <math>\;t\;</math> et au point <math>\;M\;</math> c.-à-d. <math>\;\underline{A}\;\exp\! \left[i \left( - \omega\;t + \vec{k} \cdot \vec{r} \right) \right]</math>, c'est cette 2^ème possibilité qui a été choisie pour définir la fonction d'onde associée à une particule « quantique » d'énergie <math>\;E\;</math> et de quantité de mouvement <math>\;\vec{p}\;</math> fixées.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|si l'onde de matière est associée à une particule d'énergie <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> en « état stationnaire », }}la composante spatiale de la fonction d'onde «<math>\;\underline{\psi}(M,\,t)\;</math>» étant notée «<math>\;\underline{\Psi}(M)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|si l'onde de matière est associée à une particule d'énergie <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> en « état stationnaire », }}la fonction d'onde de la particule « quantique »<ref name="particule quantique" /> d'énergie <math>\;E\;</math> s'écrit «<math>\;\underline{\psi}(M,\,t) = \underline{\Psi}(M)\; \exp\! \left( -i\; \dfrac{E}{\hbar}\; t \right)\;</math>» <br>{{Al|17}}{{Transparent|si l'onde de matière est associée à une particule d'énergie <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> en « état stationnaire », la fonction d'onde de la particule « quantique » d'énergie <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> }}où <math>\;\hbar = \dfrac{h}{2\;\pi} \simeq 1,05457182\;10^{-34}\; J \cdot s\;</math><ref> Avec <math>\;h \simeq 6,62607015\; 10^{-34}\; J \cdot s\;</math> la [[w:Constante_de_Planck|constante de Planck]] <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Aspect_corpusculaire_de_la_lumière|aspect corpusculaire de la lumière]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|si l'onde de matière est associée à une particule d'énergie <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> en « état stationnaire », la fonction d'onde de la particule « quantique » d'énergie <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> où }}est la « [[w:Constante_de_Planck|constante]] réduite [[w:Constante_de_Planck|de Planck]] » <ref name="Planck"> '''[[w:Max_Plack|Max Karl Ernst Ludwig Planck]] (1858 - 1947)''' physicien allemand à qui on doit principalement, vers <math>\;1900</math>, la [[w:Théorie_des_quanta|théorie des quanta]], théorie qui lui valut le prix Nobel de physique en <math>\;1918</math>.</ref>. {{Al|5}}Le lien entre « fonction d'onde » en un point <math>\;M\;</math> et à la date <math>\;t\;</math> «<math>\;\underline{\psi}(M,\,t)\;</math>» et « densité volumique de probabilité de présence » associée «<math>\;\mathcal{P}_V(M,\,t)\;</math>» est analogue<ref> À un facteur multiplicatif près.</ref> à celui existant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le lien }}entre « grandeur instantanée complexe » au point <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\underline{s}(M,\,t)\;</math>»<ref name="analogie admise pour une particule dans un état quelconque"> L'introduction de cette notion a été faite pour une O.P.H. <math>\;\big\{</math>revoir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#cite_note-modélisation_d'une_O.P.H._-_bis-25|²⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, ce qui est l'analogue d'une particule en état stationnaire d'énergie fixée, mais l'analogie peut être prolongée au cas d'une particule dans un état quelconque.</ref> et « puissance lumineuse instantanée reçue par unité de surface » associée «<math>\;\dfrac{\mathcal{P}_{S_M}(t)}{S_M}\;</math>», à savoir <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{\mathcal{P}_{S_M}(t)}{S_M}\;</math>» <math>\;\big(</math>définie en <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t\big)</math>, <math>\;\propto\;</math> à «<math>\;\left[ s(M,\,t) \right]^2\;</math>» avec «<math>\;s(M,\,t) = \left\lbrace \begin{array}{c} \Re \left[ \underline{s}(M,\,t) \right] \\ \text{ou} \\ \Im \left[ \underline{s}(M,\,t) \right]\end{array} \right.\;</math><ref name="analogie admise pour une particule dans un état quelconque" /> »<ref name="lien entre puissance reçue par unité de surface et signal"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Polarisation_rectiligne_de_la_lumière,_loi_de_Malus#Notion_de_récepteurs_lumineux|notion de récepteurs lumineux]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » <math>\;\bigg\{</math>dans lequel il faut remplacer ici <math>\;\mathcal{P}_{S_M}(t)\;</math> par <math>\;\dfrac{\mathcal{P}_{S_M}(t)}{S_M}</math>, qui ne change rien à la proportionnalité<math>\bigg\}</math>, applicable pour une onde progressive <math>\;\big(</math>non nécessairement une O.P.H.<math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> analogie prolongeable au cas d'une particule dans un état quelconque <math>\;\big(</math>non nécessairement une particule dans un état stationnaire<math>\big)</math>.</ref> d'où, par analogie, <br>«<math>\;\mathcal{P}_V(M,\,t)\;</math>» <math>\;\big(</math>définie en <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t\big)</math>, <math>\;\propto\;</math> à «<math>\;\vert\, \underline{\psi}(M,\,t)\, \vert^2\;</math>» avec «<math>\;\underline{\psi}(M,\,t)\;</math>» la « fonction d'onde » associée<ref name="limite de l'analogie"> On constate une certaine limite à l'analogie car une analogie complète aurait voulu que «<math>\;\vert\, \underline{\psi}(M,\,t)\, \vert^2\;</math>» soit remplacé par «<math>\;\left[ \psi(M,\,t)\, \right]^2\;</math>» avec «<math>\;\psi(M,\,t) = \left\lbrace \begin{array}{c} \Re \left[ \underline{\psi}(M,\,t) \right] \\ \text{ou} \\ \Im \left[ \underline{\psi}(M,\,t) \right]\end{array} \right.\;</math>» mais, contrairement à <math>\;\underline{s}(M,\,t)\;</math> qui n'est qu'une introduction mathématique permettant de travailler sur la grandeur physique <math>\;s(M,\,t)</math>, la grandeur physique associée à l'onde de matière n'est pas la partie réelle ou imaginaire de la fonction d'onde <math>\;\big(</math>lesquelles n'ont aucune signification<math>\big)\;</math> mais cette dernière elle-même <math>\;\underline{\psi}(M,\,t)\;</math> définie à un facteur de phase près <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que c'est le module de cette dernière <math>\;\vert\, \underline{\psi}(M,\,t)\, \vert\;</math> qui est la grandeur physique <math>\big[</math>ou plus exactement son carré <math>\;\vert\, \underline{\psi}(M,\,t)\, \vert^2\big]\big\}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ;</div> {{Al|5}}on choisit alors le facteur de proportionnalité entre « la densité volumique de probabilité de présence <math>\;\mathcal{P}_V(M,\,t)\;</math>» <math>\;\big(</math>définie en <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|on choisit alors le facteur de proportionnalité entre }}« le carré du module de la fonction d'onde <math>\;\vert\, \underline{\psi}(M,\,t)\, \vert^2\;</math>» <math>\;\big(</math>définie au même point <math>\;M\;</math> et au même instant <math>\;t\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|on choisit alors le facteur de proportionnalité }}égal à <math>\;1\;</math> c'est-à-dire qu'on choisit, pour définir la fonction d'onde <math>\;\underline{\psi}(M,\,t)\;</math> à un facteur de phase près, le lien suivant <div style="text-align: center;">«<math>\;\mathcal{P}_V(M,\,t) = \vert\, \underline{\psi}(M,\, t)\, \vert^2 = \left[ \underline{\psi}(M,\, t) \right]\; \left[ \underline{\psi}(M,\, t) \right]^{*}\;</math>»<ref name="complexe conjugué"> Le complexe conjugué du complexe <math>\;\underline{z}\;</math> étant noté, en physique, «<math>\;\underline{z}^{*}\;</math>» <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Complexes,_formes_algébrique_et_trigonométrique#Notion_de_complexe_conjugué|notion de complexe conjugué]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>{{,}}<ref> La densité volumique de probabilité de présence se déterminant expérimentalement <math>\;\big(</math>que la particule soit dans un état quelconque ou dans un état stationnaire d'énergie fixée<math>\big)\;</math> ce lien définit, par retombée, la fonction d'onde à un facteur de phase près <math>\;\big(</math>c.-à-d. un facteur exponentiel imaginaire pur près<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>on rappelle que seul le module de la fonction d'onde a une signification physique <math>\big(</math>ou plus exactement la densité de probabilité de présence c.-à-d. le carré du module de la fonction d'onde<math>\big)\big]</math>.</ref>.</div> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans le cas d'une particule en état stationnaire d'énergie <math>\;E\;</math> fixée, la dépendance de la fonction d'onde en temps se faisant selon «<math>\;\underline{\psi}(M,\,t) = \underline{\Psi}(M)\; \exp\! \left( -i\; \dfrac{E}{\hbar}\; t \right)\;</math>»<ref> Avec <math>\;\hbar = \dfrac{h}{2\;\pi} \simeq 1,05457182\;10^{-34}\; J \cdot s\;</math> la « [[w:Constante_de_Planck|constante]] réduite [[w:Constante_de_Planck|de Planck]].</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'une particule en état stationnaire d'énergie <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> fixée, }}la densité volumique de probabilité de présence se réécrit «<math>\;\mathcal{P}_V(M,\,t) = \vert\, \underline{\psi}(M,\, t)\, \vert^2 = \vert\, \underline{\Psi}(M)\, \vert^2\;</math>» d'où celle-ci <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'une particule en état stationnaire d'énergie <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> fixée, la densité volumique de probabilité de présence }}est indépendante du temps ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}attention, dans le cas général d'une particule qui n'est pas dans un état stationnaire d'énergie fixée, la fonction d'onde n'a pas la forme précédemment introduite et en particulier la dépendance en temps ne se fait pas sous forme d'un facteur exponentiel imaginaire pur, ce qui a pour conséquence que la densité volumique de probabilité de présence dépend du temps. == Explication de la figure d'interférences par fentes d'Young d'un électron en terme probabiliste == {{Al|5}}Soit «<math>\;\underline{\psi}_1(M,\, t)\;</math> la fonction d'onde de l'électron au point <math>\;M\;</math> du champ d'interférences et à l'instant <math>\;t\;</math> quand la fente <math>\;F_2\;</math> est occultée » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}«<math>\;\underline{\psi}_2(M,\, t)\;</math> celle de l'électron au même point <math>\;M\;</math> du champ d'interférences et au même instant <math>\;t\;</math> quand la fente <math>\;F_1\;</math> est obturée » ; <br>{{Al|5}}lors du phénomène d'« interférence » de l'électron<ref name="interférence de particules" /> par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" />, la « fonction d'onde de ce dernier au même point <math>\;M\;</math> du champ d'interférences et au même instant <math>\;t</math> notée <math>\;\underline{\psi}(M,\, t)\;</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|lors du phénomène d'« interférence » de l'électron par fentes d'Young, la « fonction d'onde de ce dernier }}est la superposition des deux fonctions d'onde <math>\;\underline{\psi}_1(M,\, t)\;</math> et <math>\;\underline{\psi}_2(M,\, t)\;</math>»<ref name="superposition de deux états"> Cela résultant que l'onde de matière associée à l'électron passe par chaque fente avec la même probabilité.</ref> soit <br>{{Al|17}}{{Transparent|lors du phénomène d'« interférence » de l'électron par fentes d'Young, la « fonction d'onde de ce dernier est }}«<math>\;\underline{\psi}(M,\, t) = \underline{\psi}_1(M,\, t) + \underline{\psi}_2(M,\, t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit la « densité volumique de probabilité de présence au même point <math>\;M\;</math> du champ d'interférences et au même instant <math>\;t\;</math> notée <math>\;\mathcal{P}_V(M,\,t)\;</math>» par «<math>\;\mathcal{P}_V(M,\,t) = \vert\, \underline{\psi}(M,\, t)\, \vert^2\;</math>»<ref> Servant de définition de la fonction d'onde à un facteur de phase près, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#Notion_de_fonction_d'onde_de_matière|notion de fonction d'onde de matière]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|on en déduit la « densité volumique de probabilité de présence }}«<math>\;\mathcal{P}_V(M,\,t) = \vert\, \underline{\psi}_1(M,\, t) + \underline{\psi}_2(M,\, t)\, \vert^2 = \left[ \underline{\psi}_1(M,\, t) + \underline{\psi}_2(M,\, t) \right]\, \left[ \underline{\psi}_1(M,\, t) + \underline{\psi}_2(M,\, t) \right]^{*}\;</math>»<ref name="complexe conjugué" /> ou, {{Al|5}}{{Transparent|on en déduit la « densité volumique de probabilité de présence }}avec les densités volumiques de probabilité de présence au même point <math>\;M\;</math> du champ d'interférences et au même instant <math>\;t\;</math> quand les fentes <math>\;F_2\;</math> ou <math>\;F_1\;</math> sont occultées c'est-à-dire respectivement <math>\;\mathcal{P}_{1,\, V}(M,\, t) = \vert\, \underline{\psi}_1(M,\,t)\, \vert^2\;</math> ou <math>\;\mathcal{P}_{2,\, V}(M,\, t) = \vert\, \underline{\psi}_2(M,\,t) \,\vert^2</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on en déduit la « densité volumique de probabilité de présence }}«<math>\;\mathcal{P}_V(M,\,t) = \mathcal{P}_{1,\, V}(M,\, t) + \mathcal{P}_{2,\, V}(M,\, t) + \left\lbrace \left[ \underline{\psi}_1(M,\, t) \right] \left[ \underline{\psi}_2(M,\, t) \right]^{*} + \left[ \underline{\psi}_1(M,\, t) \right]^{*} \left[ \underline{\psi}_2(M,\, t) \right] \right\rbrace\;</math>»<ref name="complexe conjugué" />{{,}}<ref> La partie entre accolades définissant le terme d'interférence.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|on en déduit la « densité volumique de probabilité de présence «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_V(M,\,t) =}</math> }}prouvant que la densité de probabilité de présence n'est pas une grandeur additive<ref> Ceci à cause du terme d'interférence.</ref>. {{Al|5}}L'onde associée à un électron d'énergie <math>\;E\;</math> et de norme de quantité de mouvement <math>\;p\;</math> fixées quand la fente <math>\;F_2\;</math> est occultée, peut être considérée dans un « état stationnaire avec une densité volumique de probabilité de présence uniforme »<ref name="état stationnaire à densité de probabilité de présence uniforme"> En effet nous verrons, dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#Généralisation_à_la_matière_de_l'inégalité_de_Heisenberg_spatiale|généralisation à la matière de l'inégalité de Heisenberg spatiale]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », qu'il est impossible de connaître simultanément deux grandeurs conjuguées comme <math>\;\vec{p}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{OM} = \vec{r}\;</math> <math>\Rightarrow</math> si on fixe la quantité de mouvement de l'électron, il est donc impossible de savoir où cette grandeur est définie {{Nobr|<math>\;\big(</math>l'électron}} est donc présent partout avec la même densité de probabilité de présence<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|20}}{{Transparent|En effet nous verrons, }}dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#En_complément_:_Inégalité_de_Heisenberg_temporelle|en complément : inégalité de Heisenberg temporelle]] » du même chap.<math>18</math> de la même leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », qu'il est impossible de connaître simultanément les deux grandeurs conjuguées <math>\;E\;</math> et <math>\;t\;</math> <math>\Rightarrow</math> si on fixe l'énergie de l'électron, il est donc impossible de savoir à quel instant cette grandeur est définie <math>\;\big(</math>l'électron est donc bien dans un état stationnaire<math>\big)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Werner_Heisenberg|Werner Heisenberg]] (1901 - 1976)''' physicien allemand, l'un des fondateurs de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], a obtenu le prix Nobel de physique en <math>\;1932\;</math> pour la création d'une forme de [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] <math>\;\big(</math>connue sous le nom de [[w:Mécanique_matricielle|mécanique matricielle]]<math>\big)</math>, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des [[w:Allotropie|variétés allotropiques]] de l'hydrogène <math>\;\big(</math>le dihydrogène existe sous deux [[w:Allotropie|formes allotropiques]] « ortho » où les [[w:Spin|spins]] sont <math>\;\parallel\;</math> et « para » où ils sont anti<math>\;\parallel</math>, le dihydrogène ortho étant présent à <math>\;75\;\%\;</math> à température élevée et sa proportion <math>\;\searrow\;</math> quand sa température <math>\;\searrow\big)</math>.</ref>, sa fonction d'onde <math>\;\underline{\psi}_1(M,\, t)</math> <math>\;\big\{</math>analogue à une O.P.P.H<ref name="O.P.P.H."> Onde Plane Progressive Harmonique.</ref>.<math>\big\}\;</math> peut alors s'écrire «<math>\;\underline{\psi}_1(M,\, t) = \underline{A}_1\; \exp\! \left(\! i\; \dfrac{2\;\pi}{\lambda_{d.B.}}\;r_1\! \right) \exp\! \left( -i\; 2\; \pi\; \nu_{d.B.}\; t \right)\;</math>»<ref name="analogie O.P.P.H. complexe" /> ou encore {{Nobr|«<math>\;\underline{\psi}_1(M,\, t)</math>}} <math>= \underline{A}_1\; \exp\! \left( i\; \dfrac{p}{\hbar}\;r_1 \right) \exp\! \left( -i\; \dfrac{E}{\hbar}\; t \right)\;</math>»<ref name="longueur d'onde et fréquence de de Broglie" />{{,}}<ref name="réécriture de la longueur d'onde de de Broglie"> D'après le rappel de la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#cite_note-longueur_d'onde_et_fréquence_de_de_Broglie-31|³¹]] » plus haut dans ce chapitre, la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|relation de Louis de Broglie]] s'écrivant <math>\;p = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.}}</math>, peut être transformée en <math>\;p = \hbar\;\dfrac{2\;\pi}{\lambda_{d.B.}}\;</math> car <math>\;\hbar = \dfrac{h}{2\;\pi}</math>.</ref> et simultanément <br>{{Al|5}}l'onde associée à cet électron d'énergie <math>\;E\;</math> et de norme de quantité de mouvement <math>\;p\;</math> fixées quand la fente <math>\;F_1\;</math> est occultée <math>\;\big(</math>pouvant elle aussi être considérée dans un « état stationnaire avec une densité volumique de probabilité de présence uniforme »<ref name="état stationnaire à densité de probabilité de présence uniforme" /><math>\big)</math>, sa fonction d'onde <math>\;\underline{\psi}_2(M,\, t)</math> <math>\;\big\{</math>analogue à une O.P.P.H<ref name="O.P.P.H." />.<math>\big\}\;</math> peut s'écrire «<math>\;\underline{\psi}_2(M,\, t) = \underline{A}_2\; \exp\! \left(\! i\; \dfrac{2\;\pi}{\lambda_{d.B.}}\;r_2\! \right) \exp\! \left( -i\; 2\; \pi\; \nu_{d.B.}\; t \right)\;</math>»<ref name="analogie O.P.P.H. complexe" /> ou encore {{Nobr|«<math>\;\underline{\psi}_2(M,\, t)</math>}} <math>= \underline{A}_2\; \exp\! \left( i\; \dfrac{p}{\hbar}\;r_2 \right) \exp\! \left( -i\; \dfrac{E}{\hbar}\; t \right)\;</math>»<ref name="longueur d'onde et fréquence de de Broglie" />{{,}}<ref name="réécriture de la longueur d'onde de de Broglie" /> ; {{Al|5}}on en déduit, par report dans «<math>\;\mathcal{P}_V(M,\,t) = \mathcal{P}_{1,\, V}(M,\, t) + \mathcal{P}_{2,\, V}(M,\, t) + \left\lbrace \left[ \underline{\psi}_1(M,\, t) \right] \left[ \underline{\psi}_2(M,\, t) \right]^{*} + \left[ \underline{\psi}_1(M,\, t) \right]^{*} \left[ \underline{\psi}_2(M,\, t) \right] \right\rbrace\;</math>»<ref name="complexe conjugué" /> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \mathcal{P}_{1,\, V}(M,\, t) = \vert\, \underline{\psi}_1(M,\,t)\, \vert^2 = \vert\, \underline{A}_1\, \vert^2\\ \mathcal{P}_{2,\, V}(M,\, t) = \vert\, \underline{\psi}_2(M,\,t) \,\vert^2 = \vert\, \underline{A}_2\, \vert^2 \end{array} \right\rbrace</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on en déduit, }}«<math>\;\mathcal{P}_V(M,\,t) = \vert\, \underline{A}_1\, \vert^2 + \vert\, \underline{A}_2\, \vert^2 + \vert\, \underline{A}_1\, \vert\; \vert\, \underline{A}_2\, \vert\; \left\lbrace \exp\! \left[ i\; \dfrac{p}{\hbar}\;(r_1 - r_2 ) \right]\; \exp\! \left[ i\; (\varphi_1 - \varphi_2 ) \right] + \exp\! \left[ i\; \dfrac{p}{\hbar}\;(r_2 - r_1 ) \right]\; \exp\! \left[ i\; (\varphi_2 - \varphi_1 ) \right] \right\rbrace\;</math>» dans lequel <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \varphi_1 = \mathrm{arg} \left( \underline{A}_1 \right)\\ \varphi_2 = \mathrm{arg} \left( \underline{A}_2 \right) \end{array}\right\rbrace\;</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|on en déduit, }}«<math>\;\mathcal{P}_V(M,\,t) = \vert\, \underline{A}_1\, \vert^2 + \vert\, \underline{A}_2\, \vert^2 + 2\; \vert\, \underline{A}_1\, \vert\; \vert\, \underline{A}_2\, \vert\; \cos\! \left[ \dfrac{p}{\hbar}\; (r_1 - r_2) + \varphi_1 - \varphi_2 \right]\;</math>»<ref> Après utilisation de la [[w:Formule_d'Euler#Description|formule d'Euler relative au cosinus]] «<math>\;\exp(i\;x) + \exp(-i\;x) = 2\;\cos(x)\;</math>». <br>{{Al|3}}'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en [[w:Dynamique_des_fluides|dynamique des fluides]], en optique et en astronomie.</ref> ou encore, en notant «<math>\;\delta = r_1 - r_2\;</math> la différence de marche au point <math>\;M\;</math>», <div style="text-align: center;">«<math>\;\mathcal{P}_V(M,\,t) = \vert\, \underline{A}_1\, \vert^2 + \vert\, \underline{A}_2\, \vert^2 + 2\; \vert\, \underline{A}_1\, \vert\; \vert\, \underline{A}_2\, \vert\; \cos\! \left[ \dfrac{p}{\hbar}\; \delta + \varphi_1 - \varphi_2 \right]\;</math>».</div> {{Al|5}}Pour la détermination des conditions d'interférences constructives et destructives, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Interférences_entre_deux_ondes_acoustiques_ou_mécaniques_de_même_fréquence#Cas_où_les_sources_synchrones_et_en_phase_émettent_des_signaux_d'amplitudes_différentes|cas où les sources synchrones et en phase émettent des signaux d'amplitudes différentes]] » du {{Nobr|chap.<math>5</math>}} de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<ref> À condition toutefois d'adapter les notations.</ref>, les principaux résultats étant rappelés ci-après : * interférences constructives si «<math>\;\dfrac{p}{\hbar}\;\delta + \varphi_1 - \varphi_2 = 2\; m\; \pi\;</math>», <math>\;m \in \mathbb{Z}</math>, soit encore «<math>\;\delta = r_1 - r_2 = \dfrac{\hbar}{p} \left( 2\; m\; \pi + \varphi_2 - \varphi_1 \right)\;</math>» ou, en introduisant <math>\;p = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.}} = \hbar\; \dfrac{2\;\pi}{\lambda_{d.B.}}\;</math><ref name="longueur d'onde et fréquence de de Broglie" />{{,}}<ref name="réécriture de la longueur d'onde de de Broglie" />, «<math>\;\delta =</math> <math>\lambda_{d.B.} \left( m + \dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{2\;\pi} \right)\;</math>» prouvant que deux points à interférences constructives <math>\;M_{\text{max}}\;</math> ont une différence de marche différant d'un <u>multiple de la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]]<ref name="L. de Broglie" /> de la particule</u>, la densité volumique de probabilité de présence en ces points <math>\;M_{\text{max}}\;</math> s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}_V(M_{\text{max}},\,t) = \vert\, \underline{A}_1\, \vert^2 + \vert\, \underline{A}_2\, \vert^2 + 2\; \vert\, \underline{A}_1\, \vert\; \vert\, \underline{A}_2\, \vert = \left(\, \vert\, \underline{A}_1\, \vert + \vert\, \underline{A}_2\, \vert\, \right)^2\;</math>»<ref> On vérifie que <math>\;\mathcal{P}_V(M_{\text{max}},\,t) = \left(\, \vert\, \underline{A}_1\, \vert + \vert\, \underline{A}_2\, \vert\, \right)^2\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\; \vert\, \underline{A}_1\, \vert^2 + \vert\, \underline{A}_2\, \vert^2\;</math> c.-à-d. strictement <math>\;>\;</math> à la somme des densités volumiques de probabilité de présence de la particule passant par la fente <math>\;F_1\;</math> ou <math>\;F_2</math>, l'autre fente étant occultée.</ref>, * interférences destructives si «<math>\;\dfrac{p}{\hbar}\;\delta + \varphi_1 - \varphi_2 = (2\; m + 1)\; \pi\;</math>», <math>\;m \in \mathbb{Z}</math>, soit encore «<math>\;\delta = r_1 - r_2 = \dfrac{\hbar}{p} \left[ (2\; m + 1)\; \pi + \varphi_2 - \varphi_1 \right)\;</math>» ou, en introduisant <math>\;p = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.}} = \hbar\; \dfrac{2\;\pi}{\lambda_{d.B.}}\;</math><ref name="longueur d'onde et fréquence de de Broglie" />{{,}}<ref name="réécriture de la longueur d'onde de de Broglie" />, «<math>\;\delta =</math> <math>\lambda_{d.B.} \left( m + \dfrac{1}{2} + \dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{2\;\pi} \right)\;</math>» prouvant que deux points à interférences destructives <math>\;M_{\text{min}}\;</math> ont une différence de marche différant d'un <u>multiple de la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]]<ref name="L. de Broglie" /> de la particule</u>, la densité volumique de probabilité de présence en ces points <math>\;M_{\text{min}}\;</math> étant «<math>\;\mathcal{P}_V(M_{\text{min}},\,t) =</math> <math>\vert\, \underline{A}_1\, \vert^2 + \vert\, \underline{A}_2\, \vert^2 - 2\; \vert\, \underline{A}_1\, \vert\; \vert\, \underline{A}_2\, \vert = \left(\, \vert\, \underline{A}_1\, \vert - \vert\, \underline{A}_2\, \vert\, \right)^2\;</math>»<ref> On vérifie que <math>\;\mathcal{P}_V(M_{\text{min}},\,t) = \left(\, \vert\, \underline{A}_1\, \vert - \vert\, \underline{A}_2\, \vert\, \right)^2\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;\vert\, \underline{A}_1\, \vert^2 + \vert\, \underline{A}_2\, \vert^2\;</math> c.-à-d. strictement <math>\;<\;</math> à la somme des densités volumiques de probabilité de présence de la particule passant par la fente <math>\;F_1\;</math> ou <math>\;F_2</math>, l'autre fente étant occultée.</ref> ; * on vérifie aussi que deux points à interférences de nature différente <math>\;\big(</math>c'est-à-dire constructive ou destructive<math>\big)\;</math> ont une différence de marche différant d'une demi-[[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]]<ref name="L. de Broglie" /> de la particule à un multiple de la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde]] près. == Explication de la figure d'interférences par fentes d'Young d'un photon en terme probabiliste == {{Al|5}}On peut entièrement réitérer le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#Explication_de_la_figure_d'interférences_par_fentes_d'Young_d'un_électron_en_terme_probabiliste|explication de la figure d'interférences par fentes d'Young d'un électron en terme probabiliste]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant le terme « électron » par celui de « photon » <math>\;\big(</math>la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]]<ref name="L. de Broglie" /> de l'électron étant remplacée par la longueur d'onde dans le vide du photon<math>\big)</math>. == Principe de complémentarité == <div style="text-align: center;">Le [[w:Principe_de_complémentarité|principe de complémentarité]] a été énoncée par '''[[w:Niels_Bohr|Niels Bohr]]'''<ref name="N. Bohr"> '''[[w:Niels_Bohr|Niels Henrik David Bohr]] (1885 - 1962)''' physicien danois surtout connu pour son apport à l'édification de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] ; il reçut le prix Nobel de physique en <math>\;1922\;</math> pour ses contributions à la recherche sur la structure des atomes et sur le rayonnement qu'ils émettent ; il travailla avec '''[[w:Joseph_John_Thomson|Joseph John Thomson]] (1856 - 1940)''' <math>\;\big\{</math>physicien anglais à qui on doit la découverte de l'électron, des isotopes et l'invention de la [[w:Spectrométrie_de_masse|spectrométrie de masse]], il reçut le prix Nobel de physique en <math>\;1906\;</math> pour ses recherches théoriques et expérimentales sur la conductivité électrique dans les gaz<math>\big\}\;</math> puis avec '''[[w:Ernest_Rutherford|Ernest Rutherford]] (1871 - 1937)''' <math>\;\big\{</math>physicien et chimiste néo-zélando-britannique à qui on doit la découverte des [[w:Radioactivité_α|rayonnements alpha]] et [[w:Radioactivité_β|bêta]], la mise en évidence du [[w:Noyau_atomique|noyau atomique]], considéré comme le père de la [[w:Physique_nucléaire|physique nucléaire]], il reçut le prix Nobel de chimie en <math>\;1908\;</math> pour ses recherches sur la désintégration des éléments et la chimie des substances radioactives<math>\big\}\;</math> avant de diriger son propre laboratoire à [[w:Copenhague|Copenhague]] ; <br>{{Al|3}}un de ses six fils '''[[w:Aage_Bohr|Aage Niels Bohr]] (1922 - 2009)''' brillant [[w:Physique_nucléaire|physicien nucléaire]], ayant grandi au milieu de physiciens amis de son père, comme '''[[w:Wolfgang_Pauli|Wolfgang Ernst Pauli]] (1900 - 1958)''' <math>\;\big\{</math>physicien autrichien connu pour son [[w:Principe_d'exclusion_de_Pauli|principe d'exclusion]] en [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], lui ayant valu le prix Nobel de physique en <math>\;1945\big\}\;</math> ou '''[[w:Werner_Heisenberg|Werner Heisenberg]] (1901 - 1976)''' <math>\;\big\{</math>physicien allemand, l'un des fondateurs de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#cite_note-état_stationnaire_à_densité_de_probabilité_de_présence_uniforme-46|⁴⁶]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails<math>\big\}</math>, a été co-lauréat du prix Nobel de physique en <math>\;1975\;</math> pour la découverte du lien entre mouvement collectif et mouvement des particules dans le [[w:Noyau_atomique|noyau atomique]] et le développement de la théorie de la structure du noyau fondée sur ce lien, les deux autres co-lauréats étant '''[[w:Ben_Roy_Mottelson|Ben Roy Mottelson]] (1926 - 2022)''' <math>\;\big\{</math>physicien américano-danois <math>\;\big(</math>plus exactement étatsunieno-danois<math>\big)\big\}\;</math> et '''[[w:James_Rainwater|Léo James Rainwater]] (1917 -1986)''' <math>\;\big\{</math>physicien américain <math>\;\big(</math>plus exactement étatsunien<math>\big)\;</math> inventeur du modèle unifié du noyau atomique en <math>\;1950</math> <math>\;\big(</math>le 1^er modèle fut [[w:Modèle_de_la_goutte_liquide|celui de la goutte liquide]] du physicien allemand '''[[w:Carl_Friedrich_von_Weizsäcker|Weizsäcker]]''' en <math>\;1935</math>, amélioré par '''[[w:Niels_Bohr|Niels Bohr]]''' en <math>\;1939</math>, puis vint le 2^ème modèle [[w:Modèle_en_couches|celui des couches nucléaires]] proposé indépendamment par le physicien hongrois '''[[w:Eugene_Wigner|Eugene Paul Wigner]]''', la physicienne germano-étatsunienne '''[[w:Maria_Goepper_Mayer|Maria Goepper-Mayer]]''' et le physicien allemand '''[[w:Hans_Daniel_Jensen|Johannes Hans Daniel Jensen]]''' en <math>\;1949</math>, le modèle unifié de '''[[w:James_Rainwater|Rainwater]]''' postulant l'existence de déformations à l’état fondamental<math>\big)\big\}\;</math> . <br>{{Al|3}}'''[[w:Carl_Friedrich_von_Weizsäcker|Carl Friedrich von Weizsäcker]] (1912 - 2007)''' physicien et philosophe allemand, à l'origine du [[w:Modèle_de_la_goutte_liquide|modèle de la goutte liquide]] pour le noyau atomique en <math>\;1935</math>, a contre lui d'avoir participé à la recherche de l'arme nucléaire au profit du [[w:Troisième_Reich|Reich]] pendant la 2^nde guerre mondiale. <br>{{Al|3}}'''[[w:Eugene_Wigner|Eugene Paul Wigner]] (1902 - 1995)''' [[w:Physique_théorique|physicien théoricien]] hongrois, naturalisé américain <math>\;\big(</math>plus exactement étatsunien<math>\big)</math>, co-inventeur indépendant du [[w:Modèle_en_couches|modèle en couches]] pour le noyau atomique en <math>\;1949</math>, lauréat d'une moitié de prix Nobel de physique en <math>\;1963\;</math> son développement de la théorie de [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] concernant la nature du [[w:Proton|proton]] et du [[w:Neutron|neutron]], l'autre moitié étant partagée entre '''[[w:Maria_Goepper_Mayer|Maria Goepper-Mayer]]''' et '''[[w:Hans_Daniel_Jensen|Hans Daniel Jensen]]''' pour leur travail sur l'explication de la structure du [[w:Noyau_atomique|noyau atomique]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Maria_Goepper_Mayer|Maria Goepper-Mayer]] (1906 - 1972)''' physicienne germano-américaine <math>\;\big(</math>plus exactement germano-étatsunienne<math>\big)</math>, co-inventeur indépendante du [[w:Modèle_en_couches|modèle en couches]] pour le noyau atomique en <math>\;1949</math>, a partagé une moitié de prix Nobel de physique en <math>\;1963\;</math> avec '''[[w:Hans_Daniel_Jensen|Hans Daniel Jensen]]''' pour leur travail sur l'explication de la structure du [[w:Noyau_atomique|noyau atomique]], l'autre moitié étant reçue par '''[[w:Eugene_Wigner|Eugene Paul Wigner]]''' pour son développement de la théorie de [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] concernant la nature du [[w:Proton|proton]] et du [[w:Neutron|neutron]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Hans_Daniel_Jensen|Johannes Hans Daniel Jensen]] (1907 - 1973)''' physicien allemand, co-inventeur indépendant du [[w:Modèle_en_couches|modèle en couches]] pour le noyau atomique en <math>\;1949</math>, a contre lui d'avoir participé au [[w:Recherches_atomiques_sous_le_régime_nazi|Projet Uranium]] lancé en <math>\;1939\;</math> par le [[w:Nazisme|régime nazi]] pendant la 2^nde guerre mondiale, a partagé une moitié de prix Nobel de physique en <math>\;1963\;</math> avec '''[[w:Maria_Goepper_Mayer|Maria Goepper-Mayer]]''' pour leur travail sur l'explication de la structure du [[w:Noyau_atomique|noyau atomique]], l'autre moitié étant reçue par '''[[w:Eugene_Wigner|Eugene Paul Wigner]]''' pour son développement de la théorie de [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] concernant la nature du [[w:Proton|proton]] et du [[w:Neutron|neutron]].</ref> en <math>\;1927</math>.</div> {{Al|5}}<u>Énoncé</u> : Une particule « quantique »<ref name="particule quantique" /> ne peut se comporter en même temps comme une onde et comme un corpuscule, les aspects corpusculaire et ondulatoire de la particule « quantique »<ref name="particule quantique" /> sont les représentations complémentaires d'une même réalité <math>\;\big[</math>par exemple si la particule « quantique »<ref name="particule quantique" /> est en présence de diaphragme et si sa [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]]<ref name="L. de Broglie" /> <math>\;\lambda_{d.B.}\;</math> est <math>\;\ll a\;</math> <math>\big(</math>dimension du diaphragme<math>\big)</math>, la particule se comportera comme un corpuscule, sinon elle se comporte comme une onde<ref> Comme <math>\;\lambda_{d.B.} = \dfrac{h}{p}</math>, une particule à suffisamment faible valeur de [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]] pour être <math>\;\ll a\;</math> est une particule rapide qui présentera alors son aspect corpusculaire, si cette particule est beaucoup plus lente alors sa [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]] ne sera pas <math>\;\ll a\;</math> et elle présentera son aspect ondulatoire.</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Énoncé : }}dans l'expérience d'interférence par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" />, la particule se comporte comme une onde et ne peut, dans le courant de cette expérience, se comporter comme un corpuscule, il est donc impossible de savoir par quelle fente la particule serait passée car le savoir rendant certain le trajet de la particule celle-ci aurait un comportement de corpuscule <math>\;\big[</math>si on met un détecteur sur une des fentes on peut alors savoir par quelle fente la particule est passée<ref> Si le détecteur se déclenche la particule est passée par cette fente et s'il ne se déclenche elle est passée par l'autre fente.</ref>, la particule a alors un comportement de corpuscule et ne peut plus avoir un comportement d'onde dans le courant de l'expérience, effectivement on n'observe plus de figures d'interférences<math>\big]</math>. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Introduction au monde quantique : dualité onde-particule/]] | suivant = [[../Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg/]] }} rj1ua7bhn7ak9wg61u10upq6fe93cog 0 64777 982828 981930 2026-05-14T19:40:59Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982828 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 18 | niveau = 14 | précédent = [[../Introduction au monde quantique : interprétation probabiliste/]] | suivant = [[../Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique/]] }} == Grandeurs conjuguées en mécanique quantique, 1^ère introduction des opérateurs linéaires « énergie » et « quantité de mouvement » d'une particule quantique == === Grandeurs conjuguées en mécanique quantique === {{Al|5}}Il existe, en mécanique quantique, des grandeurs deux à deux « [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjuguées]] », liant une grandeur cinétique et une grandeur de positionnement dans l'espace-temps ; ci-dessous des exemples<ref> La liste n'est pas exhaustive, je n'indique que celles qui sont accessibles à cet instant d'avancement du programme de physique de P.C.S.I. <math>\;\ldots</math></ref> : * le vecteur quantité de mouvement d'une particule <math>\;\vec{p}\;</math> et son vecteur position d'observation <math>\;\vec{r} = \overrightarrow{OM}\;</math><ref name="grandeurs conjuguées"> En fait ce sont les composantes correspondantes qui sont [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjuguées]] : <math>\;p_x\;</math> étant la grandeur [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjuguée]] de <math>\;x</math>, <math>\;p_y\;</math> celle de <math>\;y\;</math> et <math>\;p_z\;</math> celle de <math>\;z</math> ; dire que le « vecteur quantité de mouvement » et le « vecteur position » sont des grandeurs [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjuguées]] est donc incorrect car <math>\;p_y\;</math> n'est [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjuguée]] que de <math>\;y\;</math> et nullement de <math>\;x\;</math> ou <math>\;z\;</math> mais <math>\;\ldots\;</math> c'est une façon plus concise de s'exprimer <math>\;\ldots\;</math> qui devient correct à condition de connaître sa signification ; <br>{{Al|3}}nous avons donc déjà trois couples de grandeurs [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjuguées]].</ref>, * l'énergie d'une particule <math>\;E\;</math> et sa date d'observation <math>\;t</math>, {{Al|5}}la raison du caractère « [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjugué]] » des grandeurs couplées étant qu'il existe un [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] agissant sur la fonction d'onde associée à la particule <math>\;\underline{\psi}(M,\,t)\;</math> permettant d'obtenir une valeur de la grandeur cinétique, voir détails ci-après <math>\;\ldots</math> === En complément : Induction des opérateurs linéaires « énergie » et « quantité de mouvement » à partir de la fonction d'onde d'une particule d'énergie et de quantité de mouvement fixées === {{Al|5}}Si on considère une particule « quantique » d'énergie <math>\;E\;</math> et de quantité de mouvement <math>\;\vec{p}\;</math> fixées, nous avons vu, dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#Notion_de_fonction_d'onde_de_matière|notion de fonction d'onde]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », qu'on peut lui associer une fonction d'onde identique à la grandeur instantanée complexe d'une O.P.P.H. soit <math>\;\underline{\psi}(M,\, t) = \underline{\Psi}(M)\;\exp\! \left( -i\; \dfrac{E}{\hbar}\; t \right)\;</math><ref> Traduisant le caractère harmonique de l'O.P.P.H. modèle.</ref> dans laquelle la partie spatiale de la fonction d'onde s'écrit <math>\;\underline{\Psi}(M) = \underline{A}\; \exp\! \left( i\; \dfrac{p}{\hbar}\;r \right) = \underline{A}\; \exp\! \left( i\; \dfrac{\vec{p}}{\hbar} \cdot \vec{r} \right)\;</math><ref> Traduisant le caractère plan de l'O.P.P.H. modèle, le vecteur d'onde étant de direction fixée <math>\;\vec{u}</math>, le terme de phase <math>\;k\;r\;</math> de l'O.P.P.H. modèle où <math>\;r\;</math> est la distance parcourue sur la direction <math>\;\vec{u}\;</math> peut se réécrire <math>\;k\; r = k\;\vec{u} \cdot r\;\vec{u} = \vec{k} \cdot \vec{r}\;</math> car <math>\;r\; \vec{u}\;</math> est le projeté orthogonal de <math>\;\vec{r} = \overrightarrow{OM}\;</math> sur <math>\;k\;\vec{u} = \vec{k}\;</math> voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit scalaire]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; de <math>\;k\;r = \vec{k} \cdot \vec{r}\;</math> on en déduit la modification de la partie spatiale de la fonction d'onde «<math>\;\underline{\Psi}(M) = \underline{A}\; \exp\! \left( i\; \dfrac{p}{\hbar}\;r \right) = \underline{A}\; \exp\! \left( i\; \dfrac{\vec{p}}{\hbar} \cdot \vec{r} \right)\;</math>».</ref> soit «<math>\;\underline{\psi}(M,\, t) = \underline{A}\; \exp\! \left( i\; \dfrac{\vec{p}}{\hbar} \cdot \vec{r} \right)\;\exp\! \left( -i\; \dfrac{E}{\hbar}\; t \right)\;</math>»<ref> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#Explication_de_la_figure_d'interférences_par_fentes_d'Young_d'un_électron_en_terme_probabiliste|explication de la figure d'interférences par fentes d'Young d'un électron en terme probabiliste]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="analogie O.P.P.H. complexe"> La grandeur instantanée complexe associée à une O.P.P.H. a, jusqu'à présent, été écrite <math>\;\underline{A}\;\exp\! \left[i \left( \omega\;t - \vec{k} \cdot \vec{r} \right) \right]\;</math> <math>\big\{</math>voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#cite_note-modélisation_d'une_O.P.H.-15|¹⁵]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> mais aurait pu, compte-tenu du fait que seule la partie réelle <math>\;\big(</math>ou imaginaire<math>\big)\;</math> a un sens physique, être définie en prenant l'opposé de la phase à l'instant <math>\;t\;</math> et au point <math>\;M\;</math> c.-à-d. <math>\;\underline{A}\;\exp\! \left[i \left( - \omega\;t + \vec{k} \cdot \vec{r} \right) \right]</math>, c'est cette 2^ème possibilité qui a été choisie pour définir la fonction d'onde associée à une particule « quantique » d'énergie <math>\;E\;</math> et de quantité de mouvement <math>\;\vec{p}\;</math> fixées.</ref> ; {{Al|5}}en se servant de cette forme on peut induire un [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] pour chaque grandeur cinétique agissant sur cette fonction d'onde et donnant la valeur de la grandeur cinétique <math>\;\big(</math>voir ci-après<math>\big)</math>. ==== Induction de l'opérateur linéaire « énergie » ==== {{Al|5}}L'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] « énergie » noté <math>\;\widehat{E}\left[ \; \right]\;</math> devant être tel que, si on l'applique à <math>\;\underline{\psi}(M,\, t) = \underline{A}\; \exp\! \left( i\; \dfrac{\vec{p}}{\hbar} \cdot \vec{r} \right) \exp\! \left( -i\; \dfrac{E}{\hbar}\; t \right)</math>, fonction d'onde caractérisant une particule « quantique » d'énergie <math>\;E\;</math> fixée, on obtienne <math>\;\widehat{E}\! \left[ \underline{\psi}(M,\, t) \right] = E \times \underline{\psi}(M,\, t)</math>, on induit la forme de cet [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] selon <div style="text-align: center;">«<math>\;\widehat{E}\left[ \; \right] = i\;\hbar \left( \dfrac{\partial}{\partial t} \right)_{\!M}\left[ \; \right]\;</math>»<ref name="indice M"> L'indice <math>\;_M\;</math> signifiant que l'on dérive partiellement par rapport à l'instant <math>\;t</math>, la position <math>\;M\;</math> restant figée.</ref> ;</div> {{Al|5}}en effet <math>\;\widehat{E}\! \left[ \underline{\psi}(M,\, t) \right] = i\;\hbar \left( \dfrac{\partial}{\partial t} \right)_{\!M} \left[ \underline{A}\; \exp\! \left( i\; \dfrac{\vec{p}}{\hbar} \cdot \vec{r} \right) \exp\! \left( -i\; \dfrac{E}{\hbar}\; t \right) \right] = \left( i\;\hbar \right) \underline{A}\; \exp\! \left( i\; \dfrac{\vec{p}}{\hbar} \cdot \vec{r} \right) \left( -i\; \dfrac{E}{\hbar} \right) \exp\! \left( -i\; \dfrac{E}{\hbar}\; t \right) = E\; \underline{A}\; \exp\! \left( i\; \dfrac{\vec{p}}{\hbar} \cdot \vec{r} \right) \exp\! \left( -i\; \dfrac{E}{\hbar}\; t \right)\;</math> soit le résultat escompté <center>«<math>\;\widehat{E}\! \left[ \underline{\psi}(M,\, t) \right] = E \times \underline{\psi}(M,\, t)\;</math>»<ref name="E valeur propre de l'opérateur énergie"> Cette égalité traduit le fait que <math>\;E\;</math> est une [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] <math>\;\widehat{E}\left[ \; \right]\;</math> de [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonction propre]] associée <math>\;\underline{\psi}_E(M,\,t) = \underline{A}\; \exp\! \left( i\; \dfrac{\vec{p}}{\hbar} \cdot \vec{r} \right) \exp\! \left( -i\; \dfrac{E}{\hbar}\; t \right)\;</math> ; <br>{{Al|3}}pour une fonction d'onde <math>\;\underline{\psi}(M,\,t)\;</math> qui ne serait pas [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonction propre]] de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] <math>\;\widehat{E}</math>, le résultat <math>\;\widehat{E}\! \left[ \underline{\psi}(M,\, t) \right]\;</math> ne serait pas <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\underline{\psi}(M,\,t)\;</math> c.-à-d. <math>\;\widehat{E}\! \left[ \underline{\psi}(M,\, t) \right]\; \cancel{\propto}\; \underline{\psi}(M,\,t)</math>.</ref>.</center> ==== Induction de l'opérateur linéaire « quantité de mouvement » ==== {{Al|5}}L'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] « quantité de mouvement » noté <math>\;\widehat{\vec{p}}\left[ \; \right]\;</math> devant être tel que, si on l'applique à <math>\;\underline{\psi}(M,\, t) = \underline{A}\; \exp\! \left( i\; \dfrac{\vec{p}}{\hbar} \cdot \vec{r} \right) \exp\! \left( -i\; \dfrac{E}{\hbar}\; t \right)</math>, fonction d'onde caractérisant une particule « quantique » de quantité de mouvement <math>\;\vec{p}\;</math> fixée, on obtienne <math>\;\widehat{\vec{p}}\! \left[ \underline{\psi}(M,\, t) \right] = \vec{p} \times \underline{\psi}(M,\, t)</math>, on induit la forme de cet [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] selon <div style="text-align: center;">«<math>\;\widehat{\vec{p}}\left[ \; \right] = -i\;\hbar\; \left( \vec{\nabla} \right)_{\!t}\left[ \; \right]\;</math>»<ref name="opérateur nabla en cartésien"> Voir l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] « nabla » noté <math>\;\vec{\nabla}\left[ \; \right]\;</math> au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_de_l'opérateur_vectoriel_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_repérage_cartésien|définition de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” en repérage cartésien]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », «<math>\;\vec{\nabla} \left[ \; \right] = \left\lbrace \vec{u}_x\, \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} + \vec{u}_y\, \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math>», l'indice <math>\;_t\;</math> signifiant que l'on dérive partiellement par rapport aux coordonnées de <math>\;M</math>, l'instant <math>\;t\;</math> restant figé.</ref> ;</div> {{Al|5}}en effet <math>\;\widehat{\vec{p}}\! \left[ \underline{\psi}(M,\, t) \right] = -i\;\hbar \left\lbrace \vec{u}_x\, \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z,\, t} + \vec{u}_y\, \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z,\, t} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y,\, t} \right\rbrace \left[ \underline{A}\; \exp\! \left( i\; \dfrac{\vec{p}}{\hbar} \cdot \vec{r} \right) \exp\! \left( -i\; \dfrac{E}{\hbar}\; t \right) \right]</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|en effet <math>\;\color{transparent}{\widehat{\vec{p}}\! \left[ \underline{\psi}(M,\, t) \right]}</math> }}<math>= \left( -i\;\hbar \right) \underline{A}\; \exp\! \left( -i\; \dfrac{E}{\hbar}\; t \right) \left\lbrace \vec{u}_x\, \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} + \vec{u}_y\, \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \right\rbrace \exp\! \left( i\; \dfrac{p_x\; x + p_y\; y + p_z\; z}{\hbar} \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|en effet <math>\;\color{transparent}{\widehat{\vec{p}}\! \left[ \underline{\psi}(M,\, t) \right]}</math> }}<math>= \left( -i\;\hbar \right) \underline{A}\; \exp\! \left( -i\; \dfrac{E}{\hbar}\; t \right) \left\lbrace \vec{u}_x\, \left( i\; \dfrac{p_x}{\hbar} \right) + \vec{u}_y\, \left( i\; \dfrac{p_y}{\hbar} \right) + \vec{u}_z\, \left( i\; \dfrac{p_z}{\hbar} \right) \right\rbrace \exp\! \left( i\; \dfrac{p_x\; x + p_y\; y + p_z\; z}{\hbar} \right) = \vec{p}\;\underline{A}\; \exp\! \left( i\; \dfrac{\vec{p}}{\hbar} \cdot \vec{r} \right) \exp\! \left( -i\; \dfrac{E}{\hbar}\; t \right)\;</math> soit le résultat escompté <center> <math>\;\widehat{\vec{p}}\! \left[ \underline{\psi}(M,\, t) \right] = \vec{p} \times \underline{\psi}(M,\, t)\;</math><ref> Cette égalité traduit le fait que <math>\;\vec{p}\;</math> est une [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] <math>\;\widehat{\vec{p}}\left[ \; \right]\;</math> de [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonction propre]] associée <math>\;\underline{\psi}_{\vec{p}}(M,\,t) = \underline{A}\; \exp\! \left( i\; \dfrac{\vec{p}}{\hbar} \cdot \vec{r} \right) \exp\! \left( -i\; \dfrac{E}{\hbar}\; t \right)\;</math> ; <br>{{Al|3}}pour une fonction d'onde <math>\;\underline{\psi}(M,\,t)\;</math> qui ne serait pas [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonction propre]] de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] <math>\;\widehat{\vec{p}}</math>, le résultat <math>\;\widehat{\vec{p}}\! \left[ \underline{\psi}(M,\, t) \right]\;</math> ne serait pas égal à <math>\;\underline{\psi}(M,\,t)\;</math> à un facteur vectoriel près c.-à-d. <math>\;\widehat{\vec{p}}\! \left[ \underline{\psi}(M,\, t) \right]</math> <math>\neq \vec{\alpha}\; \underline{\psi}(M,\,t)</math>.</ref>.</center> == En complément : Définition des opérateurs linéaires « énergie » et « quantité de mouvement » d'une particule quantique, fonctions propres et valeurs propres associées d'un opérateur linéaire, caractère « commutable » (ou non) de deux opérateurs linéaires == === Définition des opérateurs linéaires « énergie » et « quantité de mouvement » d'une particule quantique === {{Al|5}}La définition de ces deux [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] a déjà été précédemment induite à partir de la fonction d'onde d'une particule « quantique » d'énergie et de quantité de mouvement fixées<ref name="induction des opérateurs énergie et quantité de mouvement"> Voir les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#Induction_de_l'opérateur_linéaire_«_énergie_»|induction de l'opérateur linéaire énergie]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#Induction_de_l'opérateur_linéaire_«_quantité_de_mouvement_»|induction de l'opérateur linéaire quantité de mouvement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|5}}dans ce paragraphe on admet la validité de la définition lorsqu'on l'applique à une fonction d'onde d'une particule « quantique » dans n'importe quel état. ==== Opérateur linéaire « énergie » ==== {{Al|5}}L'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] « énergie » est défini selon «<math>\;\widehat{E}\left[ \; \right] = i\;\hbar \left( \dfrac{\partial}{\partial t} \right)_{\!M}\left[ \; \right]\;</math><ref name="indice M" /> »<ref name="induction des opérateurs énergie et quantité de mouvement" />, <br>{{Al|5}}l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] « énergie » étant <math>\;\propto\;</math> à l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] « dérivation partielle relativement au temps » <math>\Rightarrow</math> les deux grandeurs « énergie » et « temps »<ref name="théorème de Pauli"> A priori, à toute grandeur on peut associer un [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] qui, en agissant sur la fonction d'onde décrivant l'état de la particule « quantique », permet d'obtenir une valeur de cette grandeur si cette dernière est caractéristique de l'état de la particule <math>\;\big(</math>ou plusieurs valeurs pondérées caractérisant l'état de la particule<math>\big)</math> mais <br>{{Al|3}}il n'existe pas d'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] associé à la grandeur « temps » <math>\;\big(</math>[[w:Mécanique_quantique#Inégalité_temps-énergie|« théorème » de Pauli]]<math>\big)</math>, cette impossibilité mettant l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] « énergie » à part des autres [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>raison}} pour laquelle vous ne trouverez pas l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] « énergie » parmi la liste des [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] de la mécanique quantique<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Wolfgang_Pauli|Wolfgang Ernst Pauli]] (1900 - 1958)''' physicien autrichien surtout connu pour son [[w:Principe_d'exclusion_de_Pauli|principe d'exclusion]] en mécanique quantique, lui ayant valu le prix Nobel de physique en <math>\;1945</math>.</ref> sont dites « [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjuguées]] ». ==== Opérateur linéaire « quantité de mouvement » ==== {{Al|5}}L'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> « quantité de mouvement » est défini selon «<math>\;\widehat{\vec{p}}\left[ \; \right] = -i\;\hbar\; \left( \vec{\nabla} \right)_{\!t}\left[ \; \right]\;</math><ref name="opérateur nabla en cartésien" /> »<ref name="induction des opérateurs énergie et quantité de mouvement" />, <br>{{Al|5}}l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] vectoriel « quantité de mouvement » étant <math>\;\propto\;</math> à l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] vectoriel « nabla »<ref name="opérateur nabla en cartésien" /> <math>\Rightarrow</math> les composantes respectives des deux grandeurs vectorielles « quantité de mouvement » et « position »<ref> À toute grandeur <math>\;\big(</math>à l'exception du temps<math>\big)</math>, on peut associer un [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] qui, en agissant sur la fonction d'onde décrivant l'état de la particule « quantique », permet d'obtenir une valeur de cette grandeur si cette dernière est caractéristique de l'état de la particule <math>\;\big(</math>ou plusieurs valeurs pondérées caractérisant l'état de la particule<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}ici nous définissons l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] « quantité de mouvement » mais l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] « position » peut aussi être défini selon «<math>\;\widehat{\vec{r}}\left[ \; \right] = \vec{r} \times\left[ \; \right]\;</math>» dont l'action sur la fonction d'onde décrivant l'état de la particule « quantique » est une simple multiplication de celle-ci par le vecteur position.</ref> sont dites « [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjuguées]] »<ref> Si on adopte le repérage cartésien la composante de la quantité de mouvement sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> <math>\big(</math>respectivement sur <math>\;\vec{u}_y\;</math> ou sur <math>\;\vec{u}_z\big)\;</math> est [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjuguée]] de la composante de la position sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> <math>\big(</math>respectivement sur <math>\;\vec{u}_y\;</math> ou sur <math>\;\vec{u}_z\big)\;</math> c.-à-d. <math>\;p_x\;</math> <math>\big(</math>respectivement <math>\;p_y\;</math> ou <math>\;p_z\big)\;</math> est [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjuguée]] de <math>\;r_x = x\;</math> <math>\big(</math>respectivement <math>\;r_y = y\;</math> ou <math>\;r_z = z\big)</math> ; <br>{{Al|3}}Dire que les grandeurs vectorielles « quantité de mouvement » et « position » sont [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjuguées]] <math>\;\big(</math>au lieu de dire que leurs composantes respectives le sont<math>\big)\;</math> serait un abus de langage car la [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjugaison]] doit correspondre à un lien par dérivation partielle, ainsi «<math>\;p_x = -i\;\hbar\; \left( \dfrac{\partial}{\partial x} \right)_{\!y,\, z,\, t}\;</math>» ou «<math>\;p_y = -i\;\hbar\; \left( \dfrac{\partial}{\partial y} \right)_{\!x,\, z,\, t}\;</math>» ou enfin «<math>\;p_z = -i\;\hbar\; \left( \dfrac{\partial}{\partial z} \right)_{\!x,\, y,\, t}\;</math>».</ref>. === Fonctions propres et valeurs propres associées d'un opérateur linéaire === {{Al|5}}Une [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonction propre]] d'un [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] scalaire <math>\;\mathcal{OL}\left[ \; \right]\;</math><ref name="opérateur vectoriel"> En théorie, l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] peut être vectoriel mais, dans ce cas, on se ramène à trois [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] scalaires en considérant les composantes de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel, <br>{{Al|20}}{{Transparent|En théorie, l'opérateur linéaire peut être vectoriel mais, dans ce cas, }}c'est donc la raison pour laquelle on considère ici uniquement le cas d'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] scalaire ; <br>{{Al|20}}l'expression de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] scalaire est définie à partir de <math>\;\mathbb{C}</math>.</ref> est une fonction <math>\;\underline{f}(M,\, t)\;</math> non identiquement nulle satisfaisant la relation <div style="text-align: center;">«<math>\;\mathcal{OL}\left[ \underline{f} \right](M,\, t) = \mu\; \underline{f}(M,\, t)\;</math>»<ref name="équation aux valeurs propres de l'opérateur linéaire"> Dite « équation aux [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeurs propres]] de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] ».</ref> dans laquelle <math>\;\mu\;</math> est un scalaire associé à <math>\underline{f}(M,\,t)</math>, <br><math>\;\mu\;</math> étant qualifié de « [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] »<ref name="spectre de valeurs propres de l'opérateur linéaire"> L'ensemble des [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeusr propres]] d'un [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] constitue son « spectre », ce dernier peut être « continu » ou « discret ».</ref> associée à <math>\underline{f}(M,\,t)\;</math> appelée « [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonction propre]] »<ref name="dégénérescence d'une valeur propre d'un opérateur linéaire"> Une [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] peut être associée à plusieurs [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonctions propres]] distinctes <math>\;\big(</math>c.-à-d. non <math>\;\propto\;</math> entre elles<math>\big)</math>, dans ce cas elle est qualifiée de « dégénérée », le nombre de [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonctions propres]] distinctes qui lui sont associées définit le « degré de dégénérescence de la [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] ».</ref>.</div> === Fonctions propres et valeurs propres associées de l'opérateur « énergie » === {{Al|5}}On cherche donc les fonctions du temps<ref> Uniquement du temps car l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] « énergie » <math>\;\widehat{E}\left[ \; \right] = i\;\hbar \left( \dfrac{\partial}{\partial t} \right)_{\!M}\left[ \; \right]\;</math> n'agit pas sur la position du point <math>\;M</math>.</ref> à valeurs complexes <math>\;\underline{f}(t)\;</math> telles que «<math>\;\widehat{E} \left[ \underline{f} \right](t) = E\; \underline{f}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;i\;\hbar\; \dfrac{d \underline{f}}{dt} = E\; \underline{f}(t)\;</math>»<ref> La fonction recherchée ne dépendant que du temps la dérivée partielle devient droite.</ref> c'est-à-dire une équation différentielle linéaire du 1^er ordre à cœfficients constants homogène<ref name="équation différentielle linéaire du 1er ordre à cœfficients constants homogène"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ordre_homogène|résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'« équation caractéristique <math>\;i\;\hbar\; \underline{s} = E\;</math> donnant pour solution <math>\;\underline{s} = \dfrac{E}{i\;\hbar} = -i\; \dfrac{E}{\hbar}\;</math>»<ref> Sans autre condition, <math>\;E\;</math> peut prendre n'importe quelle valeur réelle, le spectre de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] « énergie » est alors « continu ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On cherche donc }}la « [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonction propre]] associée à la [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] <math>\;E\;</math> étant alors <math>\;\underline{f}_E(t) = \underline{A}\; \exp\! \left( -i\; \dfrac{E}{\hbar}\; t\right)\;</math><ref> On retrouve la composante temporelle de la fonction d'onde d'une particule « quantique » d'énergie fixée.</ref> où <math>\;\underline{A}\;</math> est une constante d'intégration »<ref> D'une part celle-ci peut être déterminée, quand cela est possible, par une condition de normalisation de la densité de probabilité de présence, <br>{{Al|3}}d'autre part celle-ci peut potentiellement dépendre du point <math>\;M</math>, alors sa détermination peut se faire à l'aide de C.A.L. <math>\;\big(</math>conditions aux limites<math>\big)\;</math> associées à une éventuelle condition de normalisation de la densité de probabilité de présence correspondante ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|d'autre part }}si on s'intéresse aux [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonctions propres]] associées à la valeur propre <math>\;E\;</math> qui dépendent de <math>\;t\;</math> mais aussi de <math>\;M\;</math> sans intervention de C.A.L., <math>\;\underline{A}\;</math> pouvant être n'importe quelle fonction du point <math>\;M</math>, la [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] <math>\;E\;</math> est dégénérée, son degré de dégénérescence restant à déterminer <math>\;\big(</math>il dépend, a priori, des C.A.L.<math>\big)</math>.</ref>. === Fonctions propres et valeurs propres associées de l'opérateur « quantité de mouvement » === ==== Recherche des fonctions propres et valeurs propres associées de l'opérateur « quantité de mouvement » d'une particule « quantique » ==== {{Al|5}}On cherche donc les fonctions de la position<ref> Uniquement de la position car l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] vectoriel « quantité de mouvement » <math>\;\widehat{\vec{p}}\left[ \; \right] = -i\;\hbar \left( \vec{\nabla} \right)_{\!t}\left[ \; \right]\;</math> n'agit pas sur l'instant <math>\;t</math>.</ref> à valeurs complexes <math>\;\underline{f}(M)\;</math> telles que «<math>\;\widehat{\vec{p}} \left[ \underline{f} \right](M) = \vec{p}\; \underline{f}(M)\;</math>» ou «<math>\;-i\;\hbar \left( \vec{\nabla} \right) \left[ \underline{f} \right](M) = \vec{p}\; \underline{f}(M)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;-i\;\hbar\; \overrightarrow{\mathrm{grad}}_{t}\left[ \underline{f} \right](M) = \vec{p}\; \underline{f}(M)\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Champ_vectoriel_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », l'indice <math>\;_t\;</math> signifiant que l'on dérive partiellement par rapport aux coordonnées de <math>\;M</math>, l'instant <math>\;t\;</math> restant figé.</ref> soit encore<ref name="opérateur vectoriel" />, en adoptant le repérage cartésien «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} -i\;\hbar \left( \dfrac{\partial \underline{f}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}(M) = p_x\; \underline{f}(M)\\ -i\;\hbar \left( \dfrac{\partial \underline{f}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}(M) = p_y\; \underline{f}(M)\\ -i\;\hbar \left( \dfrac{\partial \underline{f}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}(M) = p_z\; \underline{f}(M) \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref> La fonction recherchée ne dépendant que de la position, maintenir <math>\;t\;</math> constant n'a plus de signification.</ref> ou, {{Al|5}}en cherchant «<math>\;\underline{f}(x,\, y,\, z)\;</math> sous la forme d'un produit de fonctions d'une variable c'est-à-dire <math>\;\underline{f}(x,\, y,\, z) = \underline{f_1}(x)\;\underline{f_2}(y)\;\underline{f_3}(z)\;</math>», «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} -i\;\hbar\; \dfrac{d \underline{f_1}}{dx}(x)\;\underline{f_2}(y)\;\underline{f_3}(z) = p_x\; \underline{f_1}(x)\;\underline{f_2}(y)\;\underline{f_3}(z)\\ -i\;\hbar\; \dfrac{d \underline{f_2}}{dy}(y)\;\underline{f_1}(x)\;\underline{f_3}(z) = p_y\; \underline{f_1}(x)\;\underline{f_2}(y)\;\underline{f_3}(z)\\ -i\;\hbar\; \dfrac{d \underline{f_3}}{dz}(z)\;\underline{f_1}(x)\;\underline{f_2}(y) = p_z\; \underline{f_1}(x)\;\underline{f_2}(y)\;\underline{f_3}(z) \end{array} \right\rbrace\;</math>» soit, après simplification évidente «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} -i\;\hbar\; \dfrac{d \underline{f_1}}{dx}(x) = p_x\; \underline{f_1}(x) \\ -i\;\hbar\; \dfrac{d \underline{f_2}}{dy}(y) = p_y\; \underline{f_2}(y) \\ -i\;\hbar\; \dfrac{d \underline{f_3}}{dz}(z) = p_z\; \underline{f_3}(z) \end{array} \right\rbrace\;</math>» c'est-à-dire trois équations différentielles linéaires du 1^er ordre à cœfficients constants homogènes<ref name="équation différentielle linéaire du 1er ordre à cœfficients constants homogène" /> d'« équations caractéristiques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} -i\;\hbar\; \underline{s_1} = p_x \\ -i\;\hbar\; \underline{s_2} = p_y \\ -i\;\hbar\; \underline{s_3} = p_z \end{array}\right\rbrace\;</math> ayant pour solutions respectives <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \underline{s_1} = -\dfrac{p_x}{i\;\hbar} = i\; \dfrac{p_x}{\hbar} \\ \underline{s_2} = -\dfrac{p_y}{i\;\hbar} = i\; \dfrac{p_y}{\hbar} \\ \underline{s_3} = -\dfrac{p_z}{i\;\hbar} = i\; \dfrac{p_z}{\hbar} \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> Sans autre condition, <math>\;p_x\;</math> <math>\big(</math>respectivement <math>\;p_y\;</math> et <math>\;p_z\big)\;</math> peuvent prendre n'importe quelle valeur réelle, le spectre des composantes de l'opérateur linéaire « quantité de mouvement » est alors « continu ».</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|On cherche donc }}la [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonction propre]] associée à la [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] <math>\;p_x\;</math> <math>\big[</math>respectivement <math>\;p_y\;</math> et <math>\;p_z\big]\;</math> étant alors «<math>\;\underline{f_1}_{p_x}(x) = \underline{A_1}\; \exp\! \left( i\; \dfrac{p_x}{\hbar}\; x\right)\;</math>» <math>\bigg[</math>respectivement <math>\;\underline{f_2}_{p_y}(y) = \underline{A_2}\; \exp\! \left( i\; \dfrac{p_y}{\hbar}\; y\right)\;</math> et <math>\;\underline{f_3}_{p_z}(z)</math> <math>= \underline{A_3}\; \exp\! \left( i\; \dfrac{p_z}{\hbar}\; z\right)\bigg]\;</math><ref> On retrouve la composante temporelle de la fonction d'onde d'une particule « quantique » d'énergie fixée.</ref> où <math>\;\underline{A_1}\;</math> <math>\big[</math>respectivement <math>\;\underline{A_2}\;</math> et <math>\;\underline{A_3}\big]\;</math> sont des constantes d'intégration<ref> D'une part le produit des trois constantes d'intégration peut être déterminé, quand cela est possible, par une condition de normalisation de la densité de probabilité de présence, <br>{{Al|3}}d'autre part chacune des constantes peut potentiellement dépendre de l'instant <math>\;t</math>, alors la détermination de chacune peut se faire à l'aide de C.I. <math>\;\big(</math>condition initiale<math>\big)</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|d'autre part }}si on s'intéresse aux [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonctions propres]] associées à la valeur propre <math>\;p_x\;</math> <math>\big[</math>respectivement <math>\;p_y\;</math> et <math>\;p_z\big]\;</math> qui dépendent de <math>\;M\;</math> mais aussi de <math>\;t\;</math> sans intervention de C.I., <math>\;\underline{A_1}\;</math> <math>\big[</math>respectivement <math>\;\underline{A_2}\;</math> et <math>\;\underline{A_3}\big]\;</math> pouvant être n'importe quelle fonction de l'instant <math>\;t</math>, la [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] <math>\;p_x\;</math> <math>\big[</math>respectivement <math>\;p_y\;</math> et <math>\;p_z\big]\;</math> est dégénérée, leur degré respectif de dégénérescence restant à déterminer <math>\;\big(</math>il dépend, a priori, des C.I.<math>\big)</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : les [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonctions propres]] de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] vectoriel « quantité de mouvement » de « [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] <math>\;\vec{p} = p_x\;\vec{u}_x + p_y\;\vec{u}_y + p_z\;\vec{u}_z\;</math>» peuvent se réécrire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : les fonctions propres de l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » }}selon «<math>\;\underline{f}_{\vec{p}}(M) = \underline{A}\; \exp\! \left( i\; \dfrac{ \vec{p} \cdot \vec{r}}{\hbar} \right)\;</math>»<ref> En effet le produit «<math>\;\underline{f_1}_{p_x}(x)\;\underline{f_2}_{p_y}(y)\;\underline{f_3}_{p_z}(z) = \underline{A_1}\; \exp\! \left( i\; \dfrac{p_x}{\hbar}\; x\right)\; \underline{A_2}\; \exp\! \left( i\; \dfrac{p_y}{\hbar}\; y\right)\; \underline{A_3}\; \exp\! \left( i\; \dfrac{p_z}{\hbar}\; z\right)\;</math>» se réécrit «<math>\;\underline{f}_{\vec{p}}(M) = \underline{A}\;\exp\! \left( i\; \dfrac{p_x\;x + p_y\;y + p_z\;z}{\hbar} \right)\;</math>» avec <math>\;\underline{A} =</math> <math>\underline{A_1}\;\underline{A_2}\;\underline{A_3}\;</math> soit le résultat énoncé sachant que «<math>\;p_x\;x + p_y\;y + p_z\;z = \vec{p} \cdot \vec{r}\;</math>».</ref>{{,}}<ref> On retrouve la composante spatiale de la fonction d'onde d'une particule « quantique » de quantité de mouvement fixée.</ref>. ==== Densité volumique de probabilité de présence d'une particule « quantique » de vecteur quantité de mouvement fixée et conséquences ==== {{Al|5}}<u>La densité volumique de probabilité de présence</u> de la particule « quantique » de quantité de mouvement <math>\;\vec{p}\;</math> fixée <ref> C.-à-d. étant [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] vectoriel « quantité de mouvement ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » }}dont l'état est caractérisé par la « fonction d'onde associée »<ref> C.-à-d. la [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonction propre]] associée à la [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] <math>\;\vec{p}\;</math> de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] vectoriel « quantité de mouvement ».</ref> «<math>\;\underline{\psi}_{\vec{p}}(M,\,t) = \underline{A}(t)\;\exp\! \left( i\; \dfrac{ \vec{p}}{\hbar} \cdot \vec{r} \right)\;</math>»<ref> La fonction <math>\;\underline{A}(t)\;</math> étant ''a priori'' quelconque sans autre information.</ref> s'écrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » }}«<math>\;\mathcal{P}_V(M,\, t) = \vert \underline{\psi}_{\vec{p}}(M,\,t) \vert^2 = \vert \underline{A}(t) \vert^2\;</math>» est <u>uniforme sur tout l'espace</u> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » }}il est <u>impossible de déterminer le positionnement</u> de la particule « quantique ». {{Al|5}}<u>Conséquences</u> : on découvre une propriété des grandeurs [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjuguées]] d'une particule « quantique » à savoir « quantité de mouvement » et « position » <ref name="grandeurs conjuguées" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : on découvre une propriété }}si la quantité de mouvement d'une particule « quantique » est fixée {{Nobr|<math>\;\big(</math>c'est-à-dire}} d'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique"> On parle d'incertitude « quantique » car c'est une incertitude théorique contenue dans les principes de la mécanique quantique, et non une incertitude « expérimentale ».</ref> sur la quantité de mouvement nulle soit <math>\;\Delta \vec{p} = \vec{0}\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : on découvre une propriété si }}la position de la particule « quantique » est inconnue <math>\;\big(</math>c'est-à-dire d'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur la position infinie soit <math>\;\Vert \Delta \vec{r} \Vert = \infty\;</math><ref> C.-à-d. une incertitude « quantique » sur chaque composante infinie soit <math>\;\Delta r_x = \infty\;</math> simultanément à <math>\;\Delta r_y = \infty\;</math> et <math>\;\Delta r_z = \infty</math>, que l'on pourrait écrire, par abus, <math>\;\Delta \vec{r} = \vec{\infty}\;</math> à condition d'en préciser la signification.</ref><math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : }}plus précisément <u>la densité volumique de probabilité de présence</u> de la particule « quantique » de quantité de mouvement sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> de valeur <math>\;p_x\;</math> fixée <ref> C.-à-d. étant [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] de la composante de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] vectoriel « quantité de mouvement » sur <math>\;\vec{u}_x</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » }}d'état caractérisé par la « fonction d'onde associée »<ref> C.-à-d. la [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonction propre]] associée à la [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] <math>\;p_x\;</math> de la composante de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] vectoriel « quantité de mouvement » sur <math>\;\vec{u}_x</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » d'état caractérisé par }}«<math>\;\underline{\psi}_{p_x}(M,\,t) = \underline{A_1}(t)\;\underline{f_2}(y,\,t)\;\underline{f_3}(z,\,t)\;\exp\! \left( i\; \dfrac{ p_x}{\hbar} x \right)\;</math>»<ref> Les fonctions <math>\;\underline{A_1}(t)</math>, <math>\;\underline{f_2}(y,\,t)\;</math> et <math>\;\underline{f_3}(z,\,t)\;</math> étant ''a priori'' quelconques sans autre information.</ref> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » }}«<math>\;\mathcal{P}_V(M,\, t) = \vert \underline{\psi}_{p_x}(M,\,t) \vert^2 = \vert \underline{A_1}(t)\;\underline{f_2}(y,\,t)\;\underline{f_3}(z,\,t) \vert^2\;</math>» est <u>indépendante de</u><math>\;x\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » }}il est <u>impossible de déterminer le positionnement</u> de la particule « quantique » sur <math>\;\vec{u}_x</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : }}nous découvrons une propriété plus précise des grandeurs [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjuguées]] d'une particule « quantique » à savoir « quantité de mouvement et position sur une même direction » : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : nous découvrons une propriété }}si la quantité de mouvement d'une particule « quantique » est fixée sur une direction <math>\;\big[</math>c'est-à-dire d'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur la composante de la quantité de mouvement sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> <math>\big(</math>respectivement sur <math>\;\vec{u}_y\;</math> ou sur <math>\;\vec{u}_z\big)</math>, nulle soit <math>\;\Delta p_x = 0\;</math> {{Nobr|<math>\big(</math>respectivement}} <math>\;\Delta p_y = 0\;</math> ou <math>\;\Delta p_z = 0\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : nous découvrons une propriété si }}la position de la particule « quantique » sur la même direction est inconnue <math>\;\big[</math>c'est-à-dire d'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur la composante de la position sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> {{Nobr|<math>\big(</math>respectivement}} sur <math>\;\vec{u}_y\;</math> ou sur <math>\;\vec{u}_z\big)</math>, infinie soit <math>\;\Delta x = \infty\;</math> <math>\big(</math>respectivement <math>\;\Delta y = \infty\;</math> ou <math>\;\Delta z = \infty\big)\big]</math>. === Caractère « non commutable » des opérateurs linéaires « quantité de mouvement sur une direction » et « position sur la même direction » === {{Al|5}}Deux [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] sont dits « [[w:Commutateur_(opérateur)#En_mécanique_quantique|commutables]] » si l'ordre d'application de ces [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateurs]] peut être permutés c'est-à-dire, <math>\;\mathcal{OL}_1 \left[ \; \right]\;</math> et <math>\;\mathcal{OL}_2 \left[ \; \right]\;</math> étant deux [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Deux opérateurs linéaires sont dits « commutables » si l'ordre d'application de ces opérateurs peut être permutés c'est-à-dire, }}<math>\;\underline{\psi}(M,\; t)\;</math> une fonction d'onde quelconque, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Deux opérateurs linéaires sont dits « commutables » }}si «<math>\;\mathcal{OL}_1 \left\lbrace \mathcal{OL}_2 \left[ \underline{\psi} \right] \right\rbrace(M,\; t) = \mathcal{OL}_2 \left\lbrace \mathcal{OL}_1 \left[ \underline{\psi} \right] \right\rbrace(M,\; t)\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Deux opérateurs linéaires sont dits « commutables » }}dans le cas contraire, les deux [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateurs]] sont dits « non [[w:Commutateur_(opérateur)#En_mécanique_quantique|commutables]] ». {{Al|5}}Or nous vérifions aisément que «<math>\;\widehat{x} \left\lbrace \widehat{p_x} \left[ \underline{\psi} \right] \right\rbrace(M,\; t) \neq \widehat{p_x} \left\lbrace \widehat{x} \left[ \underline{\psi} \right] \right\rbrace(M,\; t)\;</math>» en effet, pour cela, calculons «<math>\;\left\lbrace \widehat{x}\; \widehat{p_x} - \widehat{p_x}\; \widehat{x} \right\rbrace \left[ \underline{\psi} \right](M,\; t)\;</math>»<ref name="commutateur de deux opérateurs linéaires"> L'objet mathématique «<math>\;\left\lbrace \widehat{x}\; \widehat{p_x} - \widehat{p_x}\; \widehat{x} \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math>» est lui-même un [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]], encore noté «<math>\;\left[ \widehat{x}\, ,\, \widehat{p_x} \right] \left( \; \right)\;</math>» et appelé « [[w:Commutateur_(opérateur)#En_mécanique_quantique|commutateur]] des deux [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] » <math>\;\big\{</math>attention le [[w:Commutateur_(opérateur)#En_mécanique_quantique|commutateur]] des [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] <math>\;\widehat{x}\;</math> et <math>\;\widehat{p_x}\;</math> est <u>anticommutatif</u> relativement à l'ordre des [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateurs]] c.-à-d. que «<math>\;\left[ \widehat{x}\, ,\, \widehat{p_x} \right] \left( \; \right) = -\left[ \widehat{p_x}\, ,\, \widehat{x} \right] \left( \; \right)\;</math>»<math>\big\}</math>.</ref> et vérifions que le résultat n'est pas nul soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Or nous vérifions aisément que }}«<math>\;\left\lbrace \widehat{x}\; \widehat{p_x} - \widehat{p_x}\; \widehat{x} \right\rbrace \left[ \underline{\psi} \right](M,\; t) = x \left\lbrace -i\;\hbar \left( \dfrac{\partial \underline{\psi}}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(M,\,t) \right\rbrace - \left\lbrace -i\;\hbar \left( \dfrac{\partial \left[ x\; \underline{\psi} \right]}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(M,\; t) \right\rbrace\;</math><ref name="définition de l'opérateur px"> La définition de l'opérateur vectoriel « quantité de mouvement » étant «<math>\;\widehat{\vec{p}}\left[ \; \right] = -i\;\hbar\; \left( \vec{\nabla} \right)_{\!t}\left[ \; \right]\;</math>» <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#Opérateur_linéaire_«_quantité_de_mouvement_»|opérateur linéaire quantité de mouvement]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\;</math> nous en déduisons l'opérateur scalaire « composante de quantité de mouvement selon <math>\;\vec{u}_x\;</math>» «<math>\;\widehat{p_x}\left[ \; \right] = -i\;\hbar\; \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}\left[ \; \right]\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Or nous vérifions aisément que «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \widehat{x}\; \widehat{p_x} - \widehat{p_x}\; \widehat{x} \right\rbrace \left[ \underline{\psi} \right](M,\; t)}\;</math>}}<math>= -i\;\hbar\;x \left( \dfrac{\partial \underline{\psi}}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(M,\,t) + i\;\hbar \left[ \underline{\psi}(M,\,t) + x \left( \dfrac{\partial \underline{\psi}}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(M,\,t) \right]</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Or nous vérifions aisément que «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \widehat{x}\; \widehat{p_x} - \widehat{p_x}\; \widehat{x} \right\rbrace \left[ \underline{\psi} \right](M,\; t)}\;</math>}}<math>= i\;\hbar\;\underline{\psi}(M,\,t) \neq 0\;</math>» d'où le caractère « <u>non [[w:Commutateur_(opérateur)#En_mécanique_quantique|commutable]]</u> » des deux [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] <math>\;\widehat{x}\;</math> et <math>\;\widehat{p_x}\;</math><ref name ="valeur du commutateur d'opérateurs conjugués"> Plus précisément on peut donner la valeur de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] « [[w:Commutateur_(opérateur)#En_mécanique_quantique|commutateur]] des deux [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] » soit «<math>\;\left[ \widehat{x}\, ,\, \widehat{p_x} \right] \left( \; \right) = i\;\hbar \times \left( \; \right)\;</math>» ou <br>{{Al|27}}sur les deux autres directions cartésiennes «<math>\;\left[ \widehat{y}\, ,\, \widehat{p_y} \right] \left( \; \right) = i\;\hbar \times \left( \; \right)\;</math>» et «<math>\;\left[ \widehat{z}\, ,\, \widehat{p_z} \right] \left( \; \right) = i\;\hbar \times \left( \; \right)\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Or }}nous pourrions vérifier aussi que le couple d'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjugués]] <math>\;\left\lbrace \widehat{y}\left[ \; \right] \, , \, \widehat{p_y}\left[ \; \right] \right\rbrace\;</math> est composé d'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] « <u>non [[w:Commutateur_(opérateur)#En_mécanique_quantique|commutables]]</u> »<ref name ="valeur du commutateur d'opérateurs conjugués" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Or nous pourrions vérifier }}ainsi que le couple d'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjugués]] <math>\;\left\lbrace \widehat{z}\left[ \; \right] \, , \, \widehat{p_z}\left[ \; \right] \right\rbrace\;</math> {{Transparent|est composé }}d'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] « <u>non [[w:Commutateur_(opérateur)#En_mécanique_quantique|commutables]]</u> »<ref name ="valeur du commutateur d'opérateurs conjugués" />. {{Al|5}}Par contre les [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] non [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjugués]] comme <math>\;\left\lbrace \widehat{x}\left[ \; \right] \, , \, \widehat{p_y}\left[ \; \right] \right\rbrace\;</math> sont « <u>[[w:Commutateur_(opérateur)#En_mécanique_quantique|commutables]]</u> » en effet, pour cela, il suffit de calculer «<math>\;\left\lbrace \widehat{x}\; \widehat{p_y} - \widehat{p_y}\; \widehat{x} \right\rbrace \left[ \underline{\psi} \right](M,\; t)\;</math>»<ref name="commutateur de deux opérateurs linéaires - bis"> L'objet mathématique «<math>\;\left\lbrace \widehat{x}\; \widehat{p_y} - \widehat{p_y}\; \widehat{x} \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math>» est lui-même un [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]], encore noté «<math>\;\left[ \widehat{x}\, ,\, \widehat{p_y} \right] \left( \; \right)\;</math>» et appelé « [[w:Commutateur_(opérateur)#En_mécanique_quantique|commutateur]] des deux [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] » <math>\;\big\{</math>attention le [[w:Commutateur_(opérateur)#En_mécanique_quantique|commutateur]] de deux [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] est a priori <u>anticommutatif</u> relativement à l'ordre des [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateurs]] sauf, bien sûr, s'il se confond avec l'opérateur nul<math>\big\}</math>.</ref> et de vérifier un résultat nul : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par contre les opérateurs linéaires non conjugués }}soit «<math>\;\left\lbrace \widehat{x}\; \widehat{p_y} - \widehat{p_y}\; \widehat{x} \right\rbrace \left[ \underline{\psi} \right](M,\; t) = x \left\lbrace -i\;\hbar \left( \dfrac{\partial \underline{\psi}}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(M,\,t) \right\rbrace - \left\lbrace -i\;\hbar \left( \dfrac{\partial \left[ x\; \underline{\psi} \right]}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(M,\; t) \right\rbrace\;</math><ref name="définition de l'opérateur py"> La définition de l'opérateur vectoriel « quantité de mouvement » étant «<math>\;\widehat{\vec{p}}\left[ \; \right] = -i\;\hbar\; \left( \vec{\nabla} \right)_{\!t}\left[ \; \right]\;</math>» <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#Opérateur_linéaire_«_quantité_de_mouvement_»|opérateur linéaire quantité de mouvement]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\;</math> nous en déduisons l'opérateur scalaire « composante de quantité de mouvement selon <math>\;\vec{u}_y\;</math>» «<math>\;\widehat{p_y}\left[ \; \right] = -i\;\hbar\; \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}\left[ \; \right]\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par contre les opérateurs linéaires non conjugués soit «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \widehat{x}\; \widehat{p_y} - \widehat{p_y}\; \widehat{x} \right\rbrace \left[ \underline{\psi} \right](M,\; t)}\;</math>}}<math>= -i\;\hbar\;x \left( \dfrac{\partial \underline{\psi}}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(M,\,t) + i\;\hbar \left[ 0 \times \underline{\psi}(M,\,t) + x \left( \dfrac{\partial \underline{\psi}}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(M,\,t) \right] = 0\;</math>»<ref> La raison étant que <math>\;x\;</math> est une constante dans la dérivation partielle relativement à <math>\;y</math>.</ref>{{,}}<ref name="valeur du commutateur d'opérateurs non conjugués"> L'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] « [[w:Commutateur_(opérateur)#En_mécanique_quantique|commutateur]] de deux [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] non [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjugués]] » est l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] nul c.-à-d. «<math>\;\left[ \widehat{x}\, ,\, \widehat{p_y} \right] \left( \; \right) = 0 \times \left( \; \right)\;</math>» ou «<math>\;\left[ \widehat{x}\, ,\, \widehat{p_z} \right] \left( \; \right) =</math> <math>0 \times \left( \; \right)\;</math>» ou «<math>\;\left[ \widehat{y}\, ,\, \widehat{p_x} \right] \left( \; \right) = 0 \times \left( \; \right)\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;\left[ \widehat{y}\, ,\, \widehat{p_z} \right] \left( \; \right) = 0 \times \left( \; \right)\;</math>»}} ou «<math>\;\left[ \widehat{z}\, ,\, \widehat{p_x} \right] \left( \; \right) = 0 \times \left( \; \right)\;</math>» ou enfin «<math>\;\left[ \widehat{z}\, ,\, \widehat{p_y} \right] \left( \; \right) = 0 \times \left( \; \right)\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}de même les [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] non [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjugués]] comme <math>\;\left\lbrace \widehat{x}\left[ \; \right] \, , \, \widehat{p_z}\left[ \; \right] \right\rbrace</math>, <math>\;\left\lbrace \widehat{y}\left[ \; \right] \, , \, \widehat{p_x}\left[ \; \right] \right\rbrace</math>, <math>\;\left\lbrace \widehat{y}\left[ \; \right] \, , \, \widehat{p_z}\left[ \; \right] \right\rbrace</math>, <math>\;\left\lbrace \widehat{z}\left[ \; \right] \, , \, \widehat{p_x}\left[ \; \right] \right\rbrace\;</math> et <math>\;\left\lbrace \widehat{z}\left[ \; \right] \, , \, \widehat{p_y}\left[ \; \right] \right\rbrace\;</math> sont « [[w:Commutateur_(opérateur)#En_mécanique_quantique|commutables]] »<ref name ="valeur du commutateur d'opérateurs non conjugués" />. {{Al|5}}Si « <u>la quantité de mouvement sur une direction</u><math>\;\vec{u}\;</math><u>est fixée</u> » il y a impossibilité théorique « de <u>connaître la position sur</u><math>\;\vec{u}\;</math>» <math>\;\big\{</math>conséquence du caractère « <u>non [[w:Commutateur_(opérateur)#En_mécanique_quantique|commutable]]</u> » des [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateurs]] associés<math>\big\}\;</math> et {{Al|5}}si « <u>la quantité de mouvement sur une direction</u><math>\;\vec{u}\;</math><u>est fixée</u> » il y a possibilité théorique « de <u>connaître la position sur une direction</u><math>\;\vec{v} \perp \vec{u}\;</math>» <math>\big\{\!\!\Leftarrow\;</math>par le caractère « <u>[[w:Commutateur_(opérateur)#En_mécanique_quantique|commutable]]</u> » des [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateurs]] associés<math>\big\}</math>. === Impossibilité théorique de connaître l'instant d'observation d'une particule quantique si son énergie est fixée === {{Al|5}}Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, il n'existe pas d'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] associé à l'instant d'observation<ref name="théorème de Pauli" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, }}l'impossibilité théorique de connaître l'instant d'observation d'une particule « quantique » si son énergie est fixée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, l'impossibilité théorique }}n'est donc pas de même nature que les précédentes<ref>Impossibilité théorique de connaître la grandeur <math>\;\alpha\;</math> d'une particule « quantique » si la grandeur [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjuguée]] <math>\;\beta\;</math> est fixée <math>\;\bigg(\!\beta\;</math> est [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjuguée]] de <math>\;\alpha\;</math> si l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] <math>\;\widehat{\beta}\left[ \; \right] \propto \dfrac{\partial }{\partial \alpha}\left[ \; \right]\!\bigg)\;</math> car les [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] associés aux grandeurs [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjuguées]] ne [[w:Commutateur_(opérateur)#En_mécanique_quantique|commutent]] pas, <br>{{Al|3}}ceci ne peut donc pas être invoqué dans le cas du couple de grandeurs [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjuguées]] « énergie, temps » par absence théorique d'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] « temps » <math>\;\big(</math>[[w:Mécanique_quantique#Inégalité_temps-énergie|« théorème » de Pauli]]<math>\big)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Wolfgang_Pauli|Wolfgang Ernst Pauli]] (1900 - 1958)''' physicien autrichien surtout connu pour son [[w:Principe_d'exclusion_de_Pauli|principe d'exclusion]] en mécanique quantique, voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#cite_note-théorème_de_Pauli-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.</ref> <math>\;\big\{</math>justification <math>\;\big(</math>exposée ci-dessous<math>\big)\;</math> résultant de l'autre façon invoquée pour expliquer l'impossibilité théorique de connaître l'abscisse d'une particule « quantique » si la composante de sa quantité de mouvement sur l'axe des abscisses est fixée<ref> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#Densité_volumique_de_probabilité_de_présence_d'une_particule_«_quantique_»_de_vecteur_quantité_de_mouvement_fixée_et_conséquences|densité volumique de probabilité de présence d'une particule quantique de vecteur quantité de mouvement fixée et conséquences]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big\}</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, }}<u>la densité volumique de probabilité de présence</u> de la particule « quantique » d'énergie <math>\;E\;</math> fixée<ref> C.-à-d. étant [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] « énergie ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » }}d'état caractérisé par la « fonction d'onde associée »<ref> C.-à-d. la [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonction propre]] associée à la [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] <math>\;E\;</math> de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] « énergie ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » }}<math>\;\underline{\psi}_{E}(M,\,t) = \underline{\Psi}(M)\;\exp\! \left( -i\; \dfrac{ E}{\hbar} t \right)\;</math><ref> La fonction <math>\;\underline{\Psi}(M)\;</math> étant ''a priori'' quelconque sans autre information.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, la densité volumique de probabilité de présence }}s'écrivant <math>\;\mathcal{P}_V(M,\, t) = \vert \underline{\psi}_{E}(M,\,t) \vert^2 = \vert \underline{\Psi}(M) \vert^2\;</math> est <u>indépendante de</u><math>\;t\;</math><ref> On dit que la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » d'énergie <math>\;E\;</math> fixée est « <u>stationnaire</u> ».</ref> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, la densité volumique de probabilité de présence }}il est <u>impossible de déterminer l'instant d'observation</u> de la particule « quantique ». {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : nous découvrons une propriété du couple de grandeurs [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjuguées]] « énergie et instant d'observation » d'une particule « quantique » : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence : nous découvrons une propriété }}si l'énergie d'une particule « quantique » est fixée <math>\;\big(</math>c'est-à-dire d'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur l'énergie nulle soit <math>\;\Delta E = 0\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence : nous découvrons une propriété si }}l'instant d'observation de la particule « quantique » est inconnu <math>\;\big(</math>c'est-à-dire d'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur l'instant d'observation infinie soit <math>\;\Delta t = \infty\big)</math>. == Rappel du lien entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction == [[File:Diffraction par une fente - inégalité de Heisenberg.jpg|thumb|400px|Schéma de diffraction d'un faisceau lumineux <math>\;\parallel</math>, détermination, à partir du lien entre largeur de la fente, longueur d'onde dans le vide et rayon angulaire du faisceau principal de diffraction, de l'ordre de grandeur de l'[[w:Principe_d'incertitude#Inégalité_de_Heisenberg|inégalité de Heisenberg]] <ref name="Heisenberg"> '''[[w:Werner_Heisenberg|Werner Heisenberg]] (1901 - 1976)''' physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en <math>\;1932\;</math> pour la création d'une forme de mécanique quantique <math>\;\big(</math>connue sous le nom de [[w:Mécanique_matricielle|mécanique matricielle]]<math>\big)</math>, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des [[w:Allotropie|variétés allotropiques]] de l'hydrogène <math>\;\big(</math>le dihydrogène existe sous deux [[w:Allotropie|formes allotropiques]] « ortho » où les spins sont <math>\;\parallel\;</math> et « para » où ils sont anti<math>\;\parallel</math>, le dihydrogène ortho étant présent à <math>\;75\;\%\;</math> à température élevée et sa proportion <math>\;\searrow\;</math> quand sa température <math>\;\searrow\big)</math>.</ref>]] {{Al|5}}Si on considère un photon d'un faisceau <math>\;\parallel</math>, photon de quantité de mouvement <math>\;\vec{p} = p\; \vec{u}_z\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si on considère un photon d'un faisceau <math>\;\color{transparent}{\parallel}</math>, photon }}arrivant orthogonalement sur une fente de largeur <math>\;a\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_x</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si on considère un photon d'un faisceau <math>\;\color{transparent}{\parallel}</math>, photon arrivant orthogonalement sur une fente }}de grande longueur suivant <math>\;\vec{u}_y\;</math><ref> On qualifie alors la fente d'« infiniment longue ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si on considère un photon d'un faisceau <math>\;\color{transparent}{\parallel}</math>, }}on observe un phénomène de diffraction du faisceau <math>\;\parallel</math> <math>\;\big(</math>à condition que la largeur de la fente <math>\;a\;</math> ne soit pas grande devant la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> du photon c'est-à-dire <math>\;a\,\cancel{\gg}\,\lambda_0\;</math><ref> C.-à-d. si <math>\;a\, \ngeq\, 100\;\lambda_0\;</math> sinon la diffraction est inobservable <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Dimension_du_trou_pour_observer_le_phénomène_de_diffraction_à_l'infini|dimension du trou pour observer le phénomène de diffraction à l'infini]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref><math>\big)\;</math> avec un demi-angle d'ouverture <math>\;\theta_1</math> du faisceau principal de diffraction vérifiant la relation «<math>\;\sin(\theta_1) = \dfrac{\lambda_0}{a}\;</math>»<ref name="lien entre taille de l'ouverture, longueur d'onde et rayon angulaire du faisceau principal de diffraction"> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Expression_du_lien_entre_la_taille_de_l'ouverture,_la_longueur_d'onde_et_l'échelle_angulaire_du_phénomène_de_diffraction|lien entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> ; <center>la « répartition angulaire de l'[[w:Éclairement_lumineux|éclairement]] <ref name="éclairement"> Revoir la définition de l'[[w:Éclairement_lumineux|éclairement]] dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Polarisation_rectiligne_de_la_lumière,_loi_de_Malus#Notion_d'éclairement_d'une_onde_lumineuse_en_un_point|notion d'éclairement d'une onde lumineuse en un point]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> du faisceau de diffraction » pouvant être identifiée à <br>la « densité angulaire de probabilité de présence du photon considéré après la traversée de la fente », <br>utiliser le lien entre rayon angulaire du faisceau principal de diffraction, largeur de la fente et longueur d'onde dans le vide du photon<ref name="lien entre taille de l'ouverture, longueur d'onde et rayon angulaire du faisceau principal de diffraction" /> <br>dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#Incertitudes_théoriques_sur_la_«_quantité_de_mouvement_»_et_sur_la_«_position_»_transversales_du_photon_lors_de_l'expérience_de_diffraction_appliquée_à_un_photon|incertitudes théoriques sur la quantité de mouvement et sur la position transversales du photon ...]] <br>[[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#Incertitudes_théoriques_sur_la_«_quantité_de_mouvement_»_et_sur_la_«_position_»_transversales_du_photon_lors_de_l'expérience_de_diffraction_appliquée_à_un_photon|... lors de l'expérience de diffraction appliquée à un photon]] » plus bas dans ce chapitre <br><math>\Downarrow</math> <br>un ordre de grandeur de l'[[w:Principe_d'incertitude#Inégalité_de_Heisenberg|inégalité de Heisenberg]]<ref name="Heisenberg" /> relatif aux <br>grandeurs [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjuguées]] « composantes sur l'axe des abscisses <br>de la quantité de mouvement et de la position du photon au niveau de la fente ».</center> == Incertitudes théoriques sur la « quantité de mouvement » et sur la « position » transversales du photon lors de l'expérience de diffraction appliquée à un photon == {{Al|5}}La position transversale<ref name="transversal"> C.-à-d. selon <math>\;\vec{u}_x</math>.</ref> la plus probable, juste à la sortie de la fente, du photon diffracté, est au centre <math>\;O\;</math> de la fente<ref> Nous supposons le faisceau incident recouvrant totalement la fente.</ref> c'est-à-dire d'abscisse <math>\;x_{\text{la plus probable}} = \overline{x} = 0\;</math><ref name="notation - moyenne"> Usuellement dans une série de valeurs de la grandeur <math>\;g\;</math> on note la [[w:Moyenne_arithmétique|valeur moyenne]] <math>\;\left\langle g \right\rangle\;</math> selon <math>\;\overline{g}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}les autres positions transversales<ref name="transversal" /> possibles<ref name="limitation faisceau principal"> En se limitant au faisceau principal de diffraction.</ref> étant d'abscisse <math>\;x \neq 0\;</math> affectées d'une densité linéique de probabilité de présence <math>\;\mathcal{P}_{\mathit{l}}(x)\;</math><ref> Plus précisément la densité linéique de probabilité de présence s'écrit <math>\;\mathcal{P}_{\mathit{l}}(x) = \vert \underline{\psi}_x(x,\,t) \vert^2\;</math> avec <math>\;\underline{\psi}_x(x,\,t)\;</math> la [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonction d'onde propre]] de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] « position sur l'axe des abscisses » associée à la [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] <math>\;x</math> ; la densité linéique de probabilité de présence est effectivement indépendante de <math>\;t\;</math> car la composante temporelle de <math>\;\underline{\psi}_x(x,\,t)\;</math> pour une énergie de photon incident <math>\;E_\gamma\;</math> est <math>\;\exp\! \left( -i\; \dfrac{ E_\gamma}{\hbar} t \right)\;</math> de module égal à <math>\;1</math>.</ref> ; {{Al|10}}{{Transparent|La position transversale }}comme sur toute série de valeurs, on définit l'[[w:Écart_type|écart quadratique moyen]] sur les valeurs de <math>\;x\;</math> par «<math>\;\Delta x = \sqrt{\left\langle \left( x - \overline{x} \right)^2 \right\rangle}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|La position transversale comme sur toute série de valeurs, on définit }}cet [[w:Écart_type|écart quadratique moyen]] servant de définition à l'« incertitude quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur <math>\;x\;</math><ref name="distinction quantique - expérimental"> À ne pas confondre avec l'incertitude expérimentale que l'on observerait si on faisait une mesure de positionnement ; pour éviter cette confusion, certains utilisent le terme « indétermination » quantique pour définir l'[[w:Écart_type|écart quadratique moyen]] résultant de la mécanique quantique, réservant le terme « incertitude » pour l'incertitude expérimentale.</ref> estimée par la demi-largeur de la fente soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|La position transversale comme sur toute série de valeurs, on définit l'écart quadratique moyen sur les valeurs de <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> par }}«<math>\;\Delta x \sim \dfrac{a}{2}\;</math>»<ref> Ce n'est qu'un ordre de grandeur et c'est en fait la plus grande valeur compatible avec les dimensions de la fente.</ref> ; {{Al|5}}la composante transversale<ref name="transversal" /> la plus probable, juste à la sortie de la fente, de la quantité de mouvement du photon diffracté est nulle <math>\;\big(</math>faisceau principal de diffraction symétrique par rapport à <math>\;Oz\big)\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|la composante transversale la plus probable, juste à la sortie de la fente, de la quantité de mouvement du photon diffracté est nulle }}c'est-à-dire de composante <math>\;p_{x,\;\text{la plus probable}} = \overline{p_x} = 0\;</math><ref name="notation - moyenne" />, <br>{{Al|5}}les autres composantes transversales<ref name="transversal" /> possibles<ref name="limitation faisceau principal" /> étant de valeur <math>\;p_x \neq 0\;</math> affectées d'une densité linéique de probabilité de présence d'autant plus petite que la valeur s'écarte de <math>\;0\;</math><ref> En effet la densité linéique de probabilité de présence de photons à composante transversale <math>\;p_x = p\;\sin(\theta)\;</math> s'identifie à la courbe d'[[w:Éclairement_lumineux|éclairement]] du faisceau principal de diffraction en fonction de l'angle de diffraction <math>\;\theta</math>, revoir l'« [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Allure_de_l'amplitude_de_l'onde_diffractée_à_l'infini_par_une_fente,_en_fonction_de_l'angle_d'observation|allure de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par une fente, en fonction de l'angle d'observation]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » sachant que l'[[w:Éclairement_lumineux|éclairement]] est <math>\;\propto\;</math> au carré de l'amplitude.</ref>, {{Al|10}}{{Transparent|La composante transversale }}comme sur toute série de valeurs, on définit l'[[w:Écart_type|écart quadratique moyen]] sur les valeurs de <math>\;p_x\;</math> par «<math>\;\Delta p_x = \sqrt{\left\langle \left( p_x - \overline{p_x} \right)^2 \right\rangle}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|La composante transversale comme sur toute série de valeurs, on définit }}cet [[w:Écart_type|écart quadratique moyen]] servant de définition à l'« incertitude quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur <math>\;p_x\;</math><ref name="distinction quantique - expérimental" /> estimée à partir du rayon angulaire <br>{{Al|16}}{{Transparent|La composante transversale comme sur toute série de valeurs, on définit cet écart quadratique moyen servant de définition à l'« incertitude quantique » sur <math>\;\color{transparent}{p_x}\;</math> }}du faisceau principal de diffraction <br>{{Al|10}}{{Transparent|La composante transversale comme sur toute série de valeurs, on définit l'écart quadratique moyen sur les valeurs de <math>\;\color{transparent}{p_x}\;</math> }}soit «<math>\;\Delta p_x \sim p\;\sin(\theta_1) = \dfrac{h}{\lambda_0}\; \dfrac{\lambda_0}{a}\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Aspect_corpusculaire_de_la_lumière|aspect corpusculaire de la lumière]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » rappelant l'expression de la quantité de mouvement d'un photon en fonction de la longueur d'onde dans le vide de l'onde associée.</ref> ou <math>\;\Delta p_x \sim \dfrac{h}{a}\;</math>»<ref> Ce n'est qu'un ordre de grandeur et c'est en fait la plus grande valeur compatible avec l'extension du faisceau principal de diffraction.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : dans le cadre du phénomène de diffraction par une fente, les « incertitudes quantiques »<ref name="incertitude quantique" /> sur les deux grandeurs [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjuguées]] « composantes de la position et de la quantité de mouvement » du photon sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> au niveau de la fente sont liées par la relation « approchée » «<math>\;\Delta x\;\Delta p_x \sim \dfrac{a}{2}\;\dfrac{h}{a} = \dfrac{h}{2}\;</math>»<ref> N'oublions pas que <math>\;\dfrac{h}{2}\;</math> représente un majorant dans la mesure où nous avons choisi un majorant pour chaque « incertitude quantique ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}ainsi, en localisant transversalement le photon avec une plus grande précision <math>\;\big(</math>c'est-à-dire en <math>\;\searrow\;</math> l'« incertitude quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur <math>\;x\;</math> réalisé par la <math>\;\searrow\;</math> de la largeur de la fente<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : ainsi, en localisant transversalement le photon }}on <math>\;\nearrow\;</math> la dispersion sur la composante transversale de sa quantité de mouvement <math>\;\big(</math>on <math>\;\nearrow\;</math> donc l'« incertitude quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur <math>\;p_x\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : ainsi, en localisant transversalement le photon on <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> la dispersion sur la composante transversale de sa quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>on }}la demi-largeur angulaire du faisceau diffracté <math>\;\nearrow\big)</math>. == Induction de l'inégalité de Heisenberg spatiale à partir de la relation de diffraction appliquée à un photon == {{Al|5}}La relation entre les « incertitudes quantiques »<ref name="incertitude quantique" /> sur deux grandeurs [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjuguées]] comme les « composantes de la position et de la quantité de mouvement » d'un photon sur <math>\;\vec{u}_x\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#Incertitudes_théoriques_sur_la_«_quantité_de_mouvement_»_et_sur_la_«_position_»_transversales_du_photon_lors_de_l'expérience_de_diffraction_appliquée_à_un_photon|incertitudes théoriques sur la quantité de mouvement et sur la position transversales du photon lors de l'expérience de diffraction appliquée à un photon]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La relation entre les « incertitudes quantiques » sur deux grandeurs conjuguées }}induite à partir de la relation de diffraction appliquée à un photon, ne fournit qu'un ordre de grandeur ; {{Al|5}}'''[[w:Werner_Heisenberg|Werner Heisenberg]]'''<ref name="Heisenberg" /> a établi une relation plus « précise », connue sous le nom d'« <u>[[w:Principe_d'incertitude#Inégalité_de_Heisenberg|inégalité de Heisenberg]]</u> »<ref name="Heisenberg" />{{,}}<ref> Elle se déduit de l'expression du [[w:Commutateur_(opérateur)#En_mécanique_quantique|commutateur]] <math>\;\left[ \widehat{x}\,,\,\widehat{p_x} \right] \left( \; \right) = i\; \hbar \left( \; \right)\;</math> mais son établissement nécessitant des connaissances mathématiques d'un niveau supérieur à celui de P.C.S.I. nous l'admettons.</ref> «<math>\;\Delta x\; \Delta p_x \geqslant \dfrac{\hbar}{2}\;</math>»<ref> Par rapport à l'ordre de grandeur induit à partir du phénomène de diffraction par une fente établi dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#Incertitudes_théoriques_sur_la_«_quantité_de_mouvement_»_et_sur_la_«_position_»_transversales_du_photon_lors_de_l'expérience_de_diffraction_appliquée_à_un_photon|incertitudes théoriques sur la quantité de mouvement et sur la position transversales du photon lors de l'expérience de diffraction appliquée à un photon]] » plus haut dans ce chapitre <math>\;\big(</math>on rappelle qu'il s'agissait d'un majorant lequel vérifie effectivement l'[[w:Principe_d'incertitude#Inégalité_de_Heisenberg|inégalité spatiale de Heisenberg]]<math>\big)</math>, la valeur minimale est donc «<math>\;2\;\pi\;</math> fois plus faible » soit approximativement «<math>\;6\;</math> fois plus faible ».</ref>, avec <math>\;\hbar = \dfrac{h}{2\;\pi}\;</math> « [[w:Constante_de_Planck#Constante_réduite|constante réduite de Planck]] <ref name="Planck"> '''[[w:Max_Planck|Max Karl Ernst Ludwig Planck]] (1858 - 1947)''' physicien allemand à qui on doit principalement, vers <math>\;1900</math>, la [[w:Théorie_des_quanta|théorie des quanta]], théorie qui lui valut le prix Nobel de physique en <math>\;1918</math>.</ref> »<ref name="constante de Dirac"> Encore parfois appelée « [[w:Constante_de_Planck#Constante_réduite|constante de Dirac]] ». <br>{{Al|3}}'''[[w:Paul_Dirac|Paul Adrien Maurice Dirac]] (1902 - 1984)''' physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en <math>\;1933</math>, on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la [[w:Physique_statistique|mécanique statistique]] et de la [[w:Physique_quantique|physique quantique]] des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]] de Schrödinger et la [[w:Mécanique_matricielle|mécanique matricielle]] de Heisenberg, deux présentations de la même [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de [[w:Distribution_de_Dirac|distribution de Dirac]] et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français '''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]]''' dans sa [[w:Théorie_des_distributions|théorie des distributions]] ; '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' fut colauréat du prix Nobel de Physique en <math>\;1933\;</math> pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger. <br>{{Al|3}}'''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger]] (1887 - 1961)''' physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] <math>\;\big(</math>connu sous le nom de [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]]<math>\big)</math> ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]] lui a valu de partager le prix Nobel de physique en <math>\;1933\;</math> avec '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' l'expérience de pensée proposée à '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1935\;</math> et connue sous le nom [[w:Chat_de_Schrödinger|chat de Schrödinger]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Werner_Heisenberg|Werner Heisenberg]] (1901 - 1976)''' physicien allemand, l'un des fondateurs de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] : voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#cite_note-Heisenberg-54|⁵⁴]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails. <br>{{Al|3}}'''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]] (1915 - 2002)''' mathématicien français, ayant été le premier français à obtenir la médaille Fields <math>\;\big(</math>équivalent du prix Nobel en mathématiques<math>\big)\;</math> en <math>\;1950\;</math> pour ses travaux sur la [[w:Théorie_des_distributions|théorie des distributions]] <math>\;\big(</math>sorte de prolongement des fonctions dans des domaines avec discontinuité <math>\ldots\big)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> <br>{{Al|33}}{{Transparent|Werner Heisenberg a établi une relation plus « précise », connue sous le nom d'« inégalité de Heisenberg » «<math>\;\color{transparent}{\Delta x\; \Delta p_x \geqslant \dfrac{\hbar}{2}}\;</math>», }}valant «<math>\;\hbar \simeq 1,056\; 10^{-34}\;J \cdot s\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|La relation entre }}les « incertitudes quantiques » sur une coordonnée de position et la composante correspondante de la quantité de mouvement du photon sont liées par «<math>\;\Delta x\; \Delta p_x \gtrsim 0,5\;10^{-34}\;J \cdot s\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La relation entre les « incertitudes quantiques » sur une coordonnée de position et la composante correspondante de la quantité de mouvement du photon}}<math>\;\big(</math>ou une inégalité identique sur <math>\;\vec{u}_y\;</math> ou sur <math>\;\vec{u}_z\big)</math> ; {{Al|5}}<u>cette inégalité représente une contrainte fondamentale</u> : « plus la position du photon sur une direction est connue avec précision », <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette inégalité représente une contrainte fondamentale : }}« moins celle de la composante correspondante de la quantité de mouvement du photon l'est » <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette inégalité représente une contrainte fondamentale : }}et inversement<ref> On retrouve l'indétermination quantique de la position du photon dont la quantité de mouvement est fixée, <math>\;\Delta p_x = 0</math>, <math>\;\Delta p_y = 0\;</math> et <math>\;\Delta p_z = 0\;</math> injectés dans les trois inégalités de Heisenberg entraînent <math>\;\Delta x = \infty</math>, <math>\;\Delta y = \infty\;</math> et <math>\;\Delta z = \infty\;</math> c.-à-d. l'absence totale d'information sur la position du photon.</ref>. == Généralisation à la matière de l'inégalité de Heisenberg spatiale == {{Al|5}}On généralise sans aucune restriction l'« <u>[[w:Principe_d'incertitude#Inégalité_de_Heisenberg|inégalité de Heisenberg]]</u> »<ref name="Heisenberg" /> sur n'importe quelle direction<ref> D'une part la démonstration de l'[[w:Principe_d'incertitude#Inégalité_de_Heisenberg|inégalité de Heisenberg]] est indépendante de la nature de la particule d'une part et <br>{{Al|3}}d'autre part on peut déduire un ordre de grandeur de cette inégalité à partir de la diffraction par une fente d'un faisceau <math>\;\parallel\;</math> de particules massiques homocinétiques <br>{{Al|3}}{{Transparent|d'autre part on peut déduire }}sachant que l'étude est identique à la diffraction par une fente d'un faisceau lumineux <math>\;\parallel\;</math> monochromatique <br>{{Al|3}}{{Transparent|d'autre part on peut déduire sachant que l'étude est identique }}à condition de remplacer la longueur d'onde dans le vide de la lumière par la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]] des particules massiques.</ref> par exemple, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » }}sur la direction <math>\;\vec{u}_x</math>, l'inégalité «<math>\;\Delta x\; \Delta p_x \geqslant \dfrac{\hbar}{2}\;</math>» avec <math>\;\hbar = \dfrac{h}{2\;\pi}\;</math> la « [[w:Constante_de_Planck#Constante_réduite|constante réduite de Planck]]<ref name="Planck" /> »<ref name="constante de Dirac" /> où <br>{{Al|10}}{{Transparent|On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}</math>, l'inégalité «}}<math>\;\Delta x\;</math> est l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur la position de la particule « quantique » selon <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_x}</math>, l'inégalité «<math>\;\color{transparent}{\Delta x}</math>}}<math>\;\Delta p_x\;</math> l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur la composante sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> de sa quantité de mouvement, {{Al|10}}{{Transparent|On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » }}sur la direction <math>\;\vec{u}_y</math>, l'inégalité «<math>\;\Delta y\; \Delta p_y \geqslant \dfrac{\hbar}{2}\;</math>» avec <math>\;\hbar = \dfrac{h}{2\;\pi}\;</math> la « [[w:Constante_de_Planck#Constante_réduite|constante réduite de Planck]]<ref name="Planck" /> »<ref name="constante de Dirac" /> où <br>{{Al|10}}{{Transparent|On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_y}</math>, l'inégalité «}}<math>\;\Delta y\;</math> est l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur la position de la particule « quantique » selon <math>\;\vec{u}_y\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_y}</math>, l'inégalité «<math>\;\color{transparent}{\Delta y}</math>}}<math>\;\Delta p_y\;</math> l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur la composante sur <math>\;\vec{u}_y\;</math> de sa quantité de mouvement et {{Al|10}}{{Transparent|On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » }}sur la direction <math>\;\vec{u}_z</math>, l'inégalité «<math>\;\Delta z\; \Delta p_z \geqslant \dfrac{\hbar}{2}\;</math>» avec <math>\;\hbar = \dfrac{h}{2\;\pi}\;</math> la « [[w:Constante_de_Planck#Constante_réduite|constante réduite de Planck]]<ref name="Planck" /> »<ref name="constante de Dirac" /> où <br>{{Al|10}}{{Transparent|On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_z}</math>, l'inégalité «}}<math>\;\Delta z\;</math> est l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur la position de la particule « quantique » selon <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_z}</math>, l'inégalité «<math>\;\color{transparent}{\Delta z}</math>}}<math>\;\Delta p_z\;</math> l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur la composante sur <math>\;\vec{u}_z\;</math> de sa quantité de mouvement. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'impossibilité théorique de connaître simultanément la position et la quantité de mouvement sur une même direction d'une particule microscopique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : L'impossibilité théorique }}rend <u>obsolète la notion de trajectoire à l'échelle microscopique</u>, celle-ci nécessitant de connaître parfaitement position et quantité de mouvement : {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}1^er exemple : <u>électron d'un atome d'hydrogène pris dans son état fondamental</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : 1^er exemple : }}l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur la 1^ère coordonnée sphérique ayant un ordre de grandeur pouvant être estimé au rayon de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarques : 1^er exemple : l'incertitude « quantique » sur la 1^ère coordonnée sphérique ayant un ordre de grandeur }}<math>\Delta r \sim r_0 = 0,53\; \text{Ǻ} = 5,3\; 10^{-11}\; m</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : 1^er exemple : }}l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur la 1^ère composante radiale de sa quantité de mouvement est donc au minimum <math>\;\Delta p_r \sim \dfrac{\hbar}{2\;\Delta r} = \dfrac{1,056\;10^{-34}}{2 \times 5,3\; 10^{-11}} \simeq 10^{-24}\;kg \cdot m \cdot s^{-1}\;</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarques : 1^er exemple : l'incertitude « quantique » sur la 1^ère coordonnée sphérique ayant un ordre de grandeur }}ou, compte-tenu de la masse de l'électron <math>\;m_e \simeq 0,91\; 10^{-30}\; kg</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : 1^er exemple : }}l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur la vitesse radiale de l'électron <ref> Nous supposons que l'électron est non relativiste ce qui est justifié ''a posteriori''.</ref> est estimée au minimum à <math>\;\Delta v_r = \dfrac{\Delta p_r}{m_e} \simeq \dfrac{10^{-24}}{0,91\; 10^{-30}} \simeq 1,1\; 10^6\; m \cdot s^{-1} = 1100\; km \cdot s^{-1}</math>, ''a priori'' <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarques : 1^er exemple : l'incertitude « quantique » sur la vitesse radiale de l'électron }}«<math>\;\not\ll\;</math> par rapport à la vitesse orthoradiale d'un électron classique tournant autour du noyau d'hydrogène à <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarques : 1^er exemple : l'incertitude « quantique » sur la vitesse radiale de l'électron «<math>\;\color{transparent}{\not\ll}\;</math> par rapport à la vitesse }}une distance de <math>\;0,53\; \text{Ǻ}\;</math><ref name="angström"> L'angström <math>\;1\;\text{Ǻ} = 10^{-10}\; m\;</math> est une unité de longueur adaptée à la [[w:Physique_atomique|physique atomique]], elle a été choisie pour rendre hommage à « '''[[w:Anders_Jonas_Ångström|Anders Jonas Ångström]] (1814 - 1874)''', astronome et physicien suédois du XIX^ème siècle, un des fondateurs de la [[w:Spectroscopie|spectroscopie]] ».</ref> sous l'action de la force électrique attractive »<ref> L'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\;\big)\;</math> à l'électron sur sa trajectoire circulaire conduirait à une vitesse orthoradiale de <math>\;v_\theta \simeq 2200\; km \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big\{</math>voir la solution de la question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Exercices/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Détermination_de_grandeurs_cinétiques_et_dynamiques_de_l'électron_de_l'atome_d'hydrogène_dans_le_cadre_de_la_mécanique_classique_quand_le_1er_est_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_«_protocentrique_»_lié_au_2nd|détermination de grandeurs cinétiques et dynamiques de l'électron de l'atome d'hydrogène dans le cadre de la mécanique classique quand le 1^er est en mouvement circulaire dans le référentiel protocentrique lié au 2^nd]] (vitesse instantanée) » de la série d'exer.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, en effet on y trouve «<math>\;v = \sqrt{\dfrac{e^2}{4\; \pi\; \varepsilon_0\; m_e\; r_0}}\;</math>» avec <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq</math> <math>9\; 10^9\; USI\;</math>» <math>\;\big(</math>Unité du [[w:Système_international_d'unités|Système International]]<math>\big)\;</math> où <math>\;\varepsilon_0\;</math> est la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité|permittivité diélectrique]] d'un milieu isolant est une constante caractérisant la réponse du milieu à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la [[w:Permittivité|permittivité diélectrique]] de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> <math>>\;</math> à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> soit, avec la [[w:Charge_élémentaire|charge élémentaire]] <math>\;e \simeq 1,60\;10^{-19}\;C</math>, la masse de l'électron <math>\;m_e \simeq 0,91\; 10^{-30}\; kg\;</math> et le rayon de l'orbite circulaire fondamentale <math>\;r_0 \simeq 0,53\; \text{Ǻ} = 0,53\;10^{-10}\;m</math>, «<math>\;v \simeq \sqrt{\dfrac{\left( 1,60\;10^{-19} \right)^2 \times 9\;10^9}{0,91\;10^{-30} \times 0,53\;10^{-10}}} \simeq 2,19\;10^6\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit effectivement «<math>\;v = v_\theta \simeq 2200\; km \cdot s^{-1}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : 1^er exemple : }}on peut donc conclure à une très grande imprécision sur la vitesse radiale<ref> Relativement à la vitesse orthoradiale de l'électron classique tournant autour du noyau d'hydrogène à une distance de <math>\;0,53\; \text{Ǻ}\;</math> sous l'action de la force électrique attractive, l'incertitude « quantique » sur la vitesse radiale représente la moitié de la vitesse orthoradiale !</ref> et par suite à une impossibilité de parler de trajectoire <math>\;\ldots\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : 1^er exemple : }}La mécanique classique n'est donc plus applicable à l'échelle microscopique, il faut utiliser la mécanique quantique. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}En revanche <u>la limitation imposée par l'[[w:Principe_d'incertitude#Inégalité_de_Heisenberg|inégalité de Heisenberg]]<ref name="Heisenberg" /> n'est pas perceptible à l'échelle mésoscopique<ref name="échelle mésoscopique"> Un objet étant d'échelle mésoscopique si ses dimensions sont « faibles voire très faibles à l'échelle macroscopique », mais « très grandes à l'échelle microscopique ».</ref> et encore moins à l'échelle macroscopique</u> : {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}2^ème exemple : <u>grain de sable de diamètre</u><math>\;2\;mm</math>, <u>de masse</u><math>\;20\;mg</math>, <u>emporté par le vent suivant une direction</u><math>\;Ox</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : 2^ème exemple : }}supposons une incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur son positionnement transversal <math>\;\Delta y = 1\; mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : 2^ème exemple : }}l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur la composante transversale de sa quantité de mouvement est au minimum <math>\;\Delta p_y \sim \dfrac{\hbar}{2\;\Delta y} = \dfrac{1,056\;10^{-34}}{2 \times 1,0\; 10^{-3}} \simeq 5,3\;10^{-32}\;kg \cdot m \cdot s^{-1}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : 2^ème exemple : }}et l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur la composante transversale de sa vitesse<ref> Nous supposons que le grain de sable est non relativiste, ce qui se justifie par l'ordre de grandeur de la vitesse des vents.</ref> est estimée au minimum à <math>\;\Delta v_y = \dfrac{\Delta p_y}{m} \simeq \dfrac{5,3\;10^{-32}}{20\; 10^{-6}} \simeq 2,6\; 10^{-27}\; m \cdot s^{-1}\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarques : 2^ème exemple : l'incertitude « quantique » sur la composante transversale de sa vitesse }}excessivement petite devant la vitesse du grain de sable dans le vent ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : 2^ème exemple : }}on peut donc estimer que la vitesse est connue « sans imprécision »<ref> Si on souhaitait une plus grande détermination de la position transversale par exemple <math>\;\Delta y = 1\; nm\;</math> <math>\big(</math>ajoutons qu'il s'agirait d'une précision tout à fait illusoire au niveau d'un grain de sable<math>\big)</math>, l'incertitude « quantique » sur la vitesse transversale serait multipliée par <math>\;10^6\;</math> soit <math>\;\Delta v_y = \simeq 2,6\; 10^{-21}\; m \cdot s^{-1}\;</math> ce qui ne changerait absolument rien à la conclusion.</ref> et par suite <u>la notion de trajectoire garde une signification à l'échelle mésoscopique</u><ref name="échelle mésoscopique" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarques : 2^ème exemple : on peut donc estimer que la vitesse est connue « sans imprécision » et par suite }}<math>\big(</math>on peut donc continuer d'appliquer la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. à un objet mésoscopique<ref name="échelle mésoscopique" /><math>\big)</math>. == En complément : Inégalité de Heisenberg temporelle == {{Al|5}}Il existe également une [[w:Principe_d'incertitude#Inégalité_de_Heisenberg|inégalité de Heisenberg]]<ref name="Heisenberg" /> entre les deux grandeurs [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjuguées]] d'une particule « quantique » massique ou non massique à savoir « énergie » et « temps » mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|Il existe également }}cette inégalité n'est pas de même nature que les précédentes car il n'existe pas d'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] associée à la date d'observation de la particule<ref name="théorème de Pauli" /> et, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il existe également cette inégalité n'est pas de même nature que les précédentes }}même si on peut définir un [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] associé à l'énergie<ref name="observable"> Une grandeur à laquelle on peut faire correspondre un [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] est appelée « <u>[[w:Observable|observable]]</u> », on peut en effet se servir de cet [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] et de l'état dans lequel se trouve la particule pour déterminer sa mesure ; <br>{{Al|3}}les composantes de la position, celles de la quantité de mouvement et l'énergie sont des [[w:Observable|observables]], le temps par contre n'est pas une [[w:Observable|observable]] mais un paramètre pouvant évoluer et qu'il est possible de mesurer, sans pouvoir définir sa mesure à l'aide d'un [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] <math>\;\big(</math>théorème de Pauli<math>\big)</math>.</ref> de la particule, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il existe également cette inégalité n'est pas de même nature que les précédentes }}il n'y a évidemment pas d'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] non [[w:Commutateur_(opérateur)#En_mécanique_quantique|commutables]] associés à cette inégalité<ref> Par absence d'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] associé à la date d'observation.</ref>. {{Al|5}}L'[[w:Principe_d'incertitude#Inégalité_de_Heisenberg|inégalité de Heisenberg]]<ref name="Heisenberg" /> temporelle s'énonce selon «<math>\;\Delta E\; \Delta t \geqslant \dfrac{\hbar}{2}\;</math>» avec <math>\;\hbar = \dfrac{h}{2\;\pi}\;</math> la « [[w:Constante_de_Planck#Constante_réduite|constante réduite de Planck]]<ref name="Planck" /> »<ref name="constante de Dirac" /> où <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'inégalité de Heisenberg temporelle s'énonce selon « }}<math>\Delta E\;</math> est l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur l'énergie de la particule « quantique » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'inégalité de Heisenberg temporelle s'énonce selon «<math>\;\color{transparent}{\Delta E}</math>}}<math>\;\Delta t\;</math> l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur la date d'observation de la particule ; {{Al|5}}<u>commentaire</u> : cette inégalité représente encore une contrainte : « plus la date d'observation de la particule est connue avec exactitude », « moins son énergie l'est avec précision » et inversement<ref> On retrouve l'indétermination « quantique » de la date d'observation de la particule dont l'énergie est fixée, <math>\;\Delta E = 0\;</math> injecté dans l'inégalité de Heisenberg temporelle entraîne <math>\;\Delta t = \infty\;</math> correspondant à la particule dans un état stationnaire.</ref>. {{Al|5}}<u>Exemple de la désintégration d'un état instable d'un atome excité</u> : l'état excité ayant une durée de vie <math>\;\tau</math>, on peut estimer l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur la date de désexcitation <math>\;\Delta t \sim \tau\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple de la désintégration d'un état instable d'un atome excité : l'état excité ayant une durée de vie <math>\;\color{transparent}{\tau}</math>, }}on en déduit un minimum de l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur l'énergie de cet état excité <br>{{Al|10}}{{Transparent|Exemple de la désintégration d'un état instable d'un atome excité : l'état excité ayant une durée de vie <math>\;\color{transparent}{\tau}</math>, on en déduit un minimum de l'incertitude « quantique » sur l'énergie }}«<math>\;(\Delta E)_{\text{min}} \sim \dfrac{\hbar}{2\;\tau}\;</math>»<ref> Ainsi plus la durée de vie est faible, moins l'énergie de cet état est connue avec précision et le seul état dont l'énergie est parfaitement définie est l'état fondamental dont la durée de vie est infinie.</ref> <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Introduction au monde quantique : interprétation probabiliste/]] | suivant = [[../Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique/]] }} tfnjf5fndhhk9gdarlca8hbrkjoelb3 0 64930 982829 978183 2026-05-14T19:57:22Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982829 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 19 | niveau = 14 | précédent = [[../Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg/]] | suivant = [[../Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D/]] }} == En compléments : opérateurs linéaires « énergie potentielle », « énergie cinétique non relativiste » et « hamiltonien », équation de Schrödinger (applicable en mécanique quantique non relativiste) == === Opérateur linéaire « énergie potentielle » d'une particule quantique === {{Al|5}}À la grandeur « énergie potentielle » <math>\;U(M,\, t)\;</math> de la particule « quantique », on associe l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] « énergie potentielle » «<math>\;\widehat{U}\left[ \; \right] = U(M,\,t) \times \left[ \; \right]\;</math>», {{Al|5}}l'action de cet [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] <math>\;\widehat{U}\left[ \; \right]\;</math> sur la fonction d'onde <math>\;\underline{\psi}(M,\,t)\;</math> qui modélise l'état de la particule « quantique » <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'action de cet opérateur linéaire <math>\;\color{transparent}{\widehat{U}\left[ \; \right]}\;</math> }}donnant la valeur <math>\;U(M,\, t)\;</math> à l'énergie potentielle de la particule dont l'état est décrit par la fonction d'onde <math>\;\underline{\psi}(M,\,t)\;</math><ref> On peut donc affirmer que n'importe quelle valeur <math>\;U(M,\, t)\;</math> est [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] « énergie potentielle » <math>\;\widehat{U}\left[ \; \right]\;</math> pour n'importe quelle fonction d'onde <math>\;\underline{\psi}(M,\,t)\;</math> décrivant l'état de la particule « quantique », <math>\;\underline{\psi}(M,\,t)\;</math> étant alors la [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonction propre]] associée à la [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] <math>\;U(M,\, t)</math>.</ref>, <center>soit «<math>\;\widehat{U}\left[ \underline{\psi}(M,\,t) \right] = U(M,\,t) \times \underline{\psi}(M,\,t)\;</math>».</center> === Opérateur linéaire « énergie cinétique non relativiste » d'une particule quantique massique === {{Al|5}}À la grandeur « énergie cinétique non relativiste » de la particule « quantique » massique <math>\;K(M,\,t) = \dfrac{\vec{p}^2}{2\;m}\;</math> où <math>\;m\;</math> est la masse de la particule et <br>{{Al|7}}{{Transparent|À la grandeur « énergie cinétique non relativiste » de la particule « quantique » massique <math>\;\color{transparent}{K(M,\,t) = 2\;m}\;</math> où }}<math>\;\vec{p}\;</math> sa quantité de mouvement non relativiste<ref name="définition énergie cinétique"> L'énergie cinétique d'une particule traduit la « réserve cinétique » de cette particule en intensité contrairement à la quantité de mouvement qui donne des informations sur la direction et le sens {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'énergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] (cinétique newtonienne) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, on associe <br>{{Al|5}}{{Transparent|À }}l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] « énergie cinétique non relativiste » défini selon «<math>\;\widehat{K}\left[ \; \right] = \dfrac{1}{2\;m} \; \widehat{\vec{p}}^2 \left[ \; \right]\; = \dfrac{1}{2\;m} \; \left\lbrace -i\;\hbar \left( \vec{\nabla} \right)_t \right\rbrace^2 \left[ \; \right]\;</math>»<ref name="opérateur linéaire quantité de mouvement"> On rappelle l'expression de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] « quantité de mouvement » «<math>\;\widehat{\vec{p}}\left[ \; \right] = -i\;\hbar \left( \vec{\nabla} \right)_t \left[ \; \right]\;</math>», l'indice <math>\;_t\;</math> signifiant que l'on dérive à <math>\;t\;</math> constant <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#Induction_de_l'opérateur_linéaire_«_quantité_de_mouvement_»|inuction de l'opérateur linéaire quantité de mouvement]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> soit <math>\;\widehat{K}\left[ \; \right] = -\dfrac{\hbar^2}{2\; m} \; \left( \vec{\nabla}^2 \right)_t \left[ \; \right]\;</math> ou «<math>\;\widehat{K}\left[ \; \right] = -\dfrac{\hbar^2}{2\; m} \; \left( \vec{\Delta} \right)_t \left[ \; \right]\;</math>»<ref name="opérateur laplacien de fonction scalaire"> L'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] «<math>\;\left( \vec{\nabla}^2 \right)_t \left[ \; \right] = \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla}\left[ \; \right] = \mathrm{div} \left( \overrightarrow{\mathrm{grad}} \right) \left[ \; \right]\;</math>» définissant l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 2^ème ordre « [[w:Opérateur_laplacien|laplacien]] » noté <math>\;\left( \Delta \right)_t\;</math> voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Champ_scalaire_laplacien_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}en repérage cartésien le [[w:Opérateur_laplacien|laplacien]] s'écrit «<math>\;\left( \Delta \right)_t\left[ \; \right] = \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial x^2} \right)_{\!y,\, z,\, t}\left[ \; \right] + \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial y^2} \right)_{\!x,\, z,\, t}\left[ \; \right] + \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial z^2} \right)_{\!x,\, y,\, t}\left[ \; \right]\;</math>» voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_du_laplacien_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace_en_cartésien|expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cartésien]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, {{Al|5}}l'action de cet [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] <math>\;\widehat{K}\left[ \; \right]\;</math> sur la fonction d'onde décrivant un état de la particule « quantique » non relativiste<ref> Action qui revient à prendre le [[w:Opérateur_laplacien|laplacien]] de la fonction d'onde à un facteur multiplicatif près.</ref> pour lequel l'énergie cinétique est fixée <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'action de cet opérateur linéaire <math>\;\color{transparent}{\widehat{K}\left[ \; \right]}\;</math> }}donnant toutes les valeurs possibles d'énergie cinétique non relativiste de la particule dont l'état est décrit par la fonction d'onde particulière <math>\;\underline{\psi}(M,\,t)\;</math><ref> Les valeurs d'énergie cinétique non relativiste sont donc les [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeurs propres]] de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] « énergie cinétique non relativiste », les fonctions d'onde particulières décrivant l'état de la particule étant les [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonctions propres]] associées.</ref>, soit <center>«<math>\;\widehat{K}\left[ \underline{\psi}(M,\,t) \right] = K(M,\,t) \times \underline{\psi}(M,\,t)\;</math>» ou l'équation aux dérivées partielles «<math>\;-\dfrac{\hbar^2}{2\; m} \; \left( \vec{\Delta} \right)_t \left[ \underline{\psi}(M,\,t) \right] = K(M,\,t) \times \underline{\psi}(M,\,t)\;</math>»<ref name="opérateur laplacien de fonction scalaire" />.</center> === Opérateur linéaire « hamiltonien » d'une particule quantique massique non relativiste === ==== Introduction : notion d'« hamiltonien » en mécanique analytique ==== {{Al|5}}La notion d'« [[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]] » d'une particule classique a été introduite par '''[[w:William_Rowan_Hamilton|William Rowan Hamilton]]'''<ref name="Hamilton"> '''[[w:William_Rowan_Hamilton|William Rowan Hamilton]] (1805 - 1865)''' mathématicien, physicien et astronome irlandais connu pour sa découverte des [[w:Quaternion|quaternions]] mais a contribué aussi au développement de l'optique, de la dynamique et de l'algèbre ; il est aussi connu comme l'inventeur de la [[w:Mécanique hamiltonienne|mécanique hamiltonienne]] fondée sur un [[w:Principe variationnel|principe variationnel]], le [[w:Principe_de_moindre_action|principe de moindre action]].</ref> en <math>\;1833\;</math> lors de la création de la [[w:Mécanique hamiltonienne|mécanique hamiltonienne]], qui est une reformulation de la [[w:Lagrangien|mécanique lagrangienne]] créée par '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Joseph-Louis Lagrange]]'''<ref name="Lagrange"> '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Joseph-Louis Lagrange]] (1736 -1803)''' mathématicien, mécanicien et astronome français d'origine italienne, ayant jeté les bases du [[w:Calcul_des_variations|calcul variationnel]] à l'âge de <math>\;19\;</math> ans qui lui permirent d'achever <math>\;33\;</math> ans plus tard la construction de la [[w:Mécanique analytique|mécanique analytique]] connue actuellement sous le nom de [[w:Lagrangien|mécanique lagrangienne]] ; on lui doit beaucoup d'autres travaux dans le domaine des mathématiques, celui de la mécanique <math>\;\big(</math>[[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]]<math>\big)\;</math> et celui de l'astronomie <math>\;\big(</math>[[w:Problème_à_N_corps|problème des trois corps]]<math>\big)</math>.</ref> à partir de <math>\;1788</math>, elle-même une reformulation de la mécanique newtonienne <math>\;\ldots</math> ===== Mécanique lagrangienne ===== {{Al|5}}Dans le cadre de la mécanique classique, le [[w:Lagrangien#Lagrangien_en_mécanique_classique|lagrangien]] <math>\;\mathcal{L}\;</math> d'une particule <math>\;\big(</math>squelette de la [[w:Lagrangien|mécanique lagrangienne]]<math>\big)\;</math> est une fonction de sa position <math>\;\vec{r}</math>, de <math>\;\dot{\vec{r}}\;</math> et du temps <math>\;t</math>, toutes variables supposées indépendantes<ref> La variable <math>\;\dot{\vec{r}}\;</math> n'étant, pour l'instant, pas considérée comme la dérivée temporelle de la position <math>\;\big(</math>il ne s'agit donc, pour l'instant, qu'une simple notation et non, ''a priori'', la vitesse<math>\big)</math> ; toutefois les deux variables <math>\;\vec{r}\;</math> et <math>\;\dot{\vec{r}}\;</math> sont supposées être des fonctions indépendantes du temps <math>\;t</math>, la 2^ème variable devenant la dérivée temporelle de la 1^ère <math>\;\big(</math>c.-à-.d la vitesse<math>\big)\;</math> pour un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie.</ref>, défini par «<math>\;\mathcal{L}(\vec{r},\,\dot{\vec{r}},\, t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{\vec{r}}^2 - U(\vec{r},\; t)\;</math>»<ref> Dans laquelle <math>\;U(\vec{r},\; t)\;</math> est l'énergie potentielle de la particule, le 1^er terme devenant son énergie cinétique <math>\;K(M,\,t)\;</math> dès lors que la variable <math>\;\dot{\vec{r}}\;</math> est interprétée comme sa vitesse.</ref> ; {{Al|5}}à partir du [[w:Lagrangien#Lagrangien_en_mécanique_classique|lagrangien]] de la particule, on obtient les équations du mouvement de cette dernière en écrivant que l'« [[w:Action_(physique)|action]] » sur <math>\;\left[ t_0\,;\, t_1 \right]\;</math> définie par «<math>\;S_{\left[ t_0\,;\, t_1 \right]} = \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} \mathcal{L}\!\left[ \vec{r}(t),\,\dot{\vec{r}}(t),\, t \right] dt\;</math>»<ref> Qu'on notera simplement, en absence d'ambiguïté, <math>\;S</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|à partir du lagrangien de la particule, on obtient les équations du mouvement de cette dernière en écrivant que l'« action » sur <math>\;\color{transparent}{\left[ t_0\,;\, t_1 \right]}\;</math> }}est stationnaire sur la trajectoire<ref> C.-à-d. que l'« [[w:Action_(physique)|action]] » sur l'intervalle <math>\;\left[ t_0\,;\, t_1 \right]\;</math> <u>ne varie pas à l'ordre un</u> lors d'une perturbation infinitésimale des variables <math>\;\vec{r}(t)\;</math> et <math>\;\dot{\vec{r}}(t)\;</math> relativement à leur valeur correspondant à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie soit, * pour la 1^ère variable <math>\;\vec{r}_\varepsilon(t) = \vec{r}(t) + \varepsilon\;\vec{\eta}(t)\;</math> <math>\big\{\varepsilon\;\vec{\eta}(t)\;</math> étant la perturbation infinitésimale de la 1^ère variable<math>\big\}\;</math> et * pour la 2^ème <math>\;\dot{\vec{r}_\varepsilon}(t) = \dot{\vec{r}}(t) + \varepsilon\;\dot{\vec{\eta}}(t)\;</math> <math>\big\{\varepsilon\;\dot{\vec{\eta}}(t)\;</math> étant la perturbation infinitésimale de la 2^ème variable, dérivée temporelle de <math>\;\varepsilon\;\vec{\eta}(t)\;</math> de façon à ce que la 2^ème variable devienne la vitesse si <math>\;\varepsilon = 0\big\}</math>, * <math>\;\varepsilon\;</math> étant l'infiniment petit d'ordre un et <math>\;\vec{\eta}(t)\;</math> une fonction vectorielle différentiable telle que <math>\;\vec{\eta}(t_0) = \vec{\eta}(t_1) = \vec{0}\;</math> <math>\big[</math>assurant que la trajectoire réellement suivie passe par les points extrêmes définis par <math>\;\vec{r}(t_0)\;</math> et <math>\;\vec{r}(t_1)</math>, la vitesse en ces points étant alors définie par <math>\;\dot{\vec{r}}(t_0)\;</math> et <math>\;\dot{\vec{r}}(t_1)\big]</math>.</ref>, plus exactement <br>{{Al|5}}{{Transparent|à partir du lagrangien de la particule, }}on obtient d'abord les [[w:Équation_d'Euler-Lagrange#Énoncé|équations d'Euler-Lagrange]] <ref name="Euler"> '''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne, surtout connu pour ses travaux en [[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]] ainsi qu'en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], optique et astronomie, considéré comme l'un des plus grands et plus prolifiques mathématiciens de tous les temps ; <br>{{Al|3}}en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en [[w:Dynamique_des_fluides|dynamique des fluides]], en optique et en astronomie.</ref>{{,}}<ref name="Lagrange" /> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,\dot{\vec{r}},\,t} - \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right)_{\!\dot{y},\,\dot{z},\,\vec{r},\,t} = 0\\ \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,\dot{\vec{r}},\,t} - \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} \right)_{\!\dot{x},\,\dot{z},\,\vec{r},\,t} = 0\\ \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,\dot{\vec{r}},\,t} - \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{z}} \right)_{\!\dot{x},\,\dot{y},\,\vec{r},\,t} = 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» <math>\;\big\{</math>voir l'établissement dans l'encart ci-dessous<math>\big\}</math>, {{Encart| largeur = mince| contenu ={{Al|5}}<u>établissement des [[w:Équation_d'Euler-Lagrange#Énoncé|équations d'Euler-Lagrange]]</u><ref name="Euler" />{{,}}<ref name="Lagrange" /> : Envisageant une perturbation infinitésimale définie selon <math>\;\vec{r}_\varepsilon(t) = \vec{r}(t) + \varepsilon\;\vec{\eta}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\vec{r}_\varepsilon}(t) = \dot{\vec{r}}(t) + \varepsilon\;\dot{\vec{\eta}}(t)\;</math> avec <math>\;\varepsilon\;</math> un infiniment petit d'ordre un et <math>\;\vec{\eta}(t)\;</math> une fonction vectorielle différentiable telle que <math>\;\vec{\eta}(t_0) = \vec{\eta}(t_1) = 0\;</math> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|établissement des équations d'Euler-Lagrange : }}écrivant que l'[[w:Action_(physique)|action]] perturbée <math>\;S_\varepsilon = \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} \mathcal{L}\!\left[ \vec{r}_\varepsilon(t),\,\dot{\vec{r}_\epsilon}(t),\, t \right] dt \simeq S = \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} \mathcal{L}\!\left[ \vec{r}(t),\,\dot{\vec{r}}(t),\, t \right] dt\;</math> <math>\big(</math>l'[[w:Action_(physique)|action]] non perturbée<math>\big)\;</math> à l'ordre zéro en <math>\;\varepsilon</math> <math>\;\big\{</math>c'est-à-dire en annulant le terme d'ordre un en <math>\;\varepsilon\;</math> de l'approximation linéaire de l'[[w:Action_(physique)|action]] perturbée <math>\;S_\varepsilon\;</math><ref name="approximation linéaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Rappel_de_l'approximation_linéaire_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs|rappel de l'approximation linéaire d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> dans le but de traduire le caractère stationnaire de l'[[w:Action_(physique)|action]]<math>\big\}\;</math> soit <math>\;\dfrac{d S_\varepsilon}{d \varepsilon}(\varepsilon = 0)\;</math> ou, en explicitant la dérivée de l'[[w:Action_(physique)|action]] perturbée par rapport à <math>\;\varepsilon</math>, «<math>\displaystyle\int_{t_0}^{t_1} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varepsilon} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{\vec{r}},\,t}\!\left[ \vec{r}(t),\,\dot{\vec{r}}(t),\, t \right] dt = 0\;</math>» ; <br>{{Al|17}}{{Transparent|établissement des équations d'Euler-Lagrange : }}or <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varepsilon} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{\vec{r}},\,t} = \sum\limits_{i = 1}^{3} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{\varepsilon,\,i}} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{\vec{r}},\,t} \left( \dfrac{\partial x_{\varepsilon,\,i}}{\partial \varepsilon} \right)_{\!\vec{r},\,t} + \sum\limits_{i = 1}^{3} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}_{\varepsilon,\,i}} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{\vec{r}},\,t} \left( \dfrac{\partial \dot{x}_{\varepsilon,\,i}}{\partial \varepsilon} \right)_{\!\dot{\vec{r}},\,t}\;</math> ou, en explicitant les dérivées relativement à <math>\;\varepsilon</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|établissement des équations d'Euler-Lagrange : or }}<math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varepsilon} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{\vec{r}},\,t} = \sum\limits_{i = 1}^{3} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{\varepsilon,\,i}} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{\vec{r}},\,t}\; \eta_i(t) + \sum\limits_{i = 1}^{3} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}_{\varepsilon,\,i}} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{\vec{r}},\,t}\; \dot{\eta_i}(t)\;</math> et, par report dans l'intégrale <math>\;\dfrac{d S_\varepsilon}{d \varepsilon}(\varepsilon = 0)</math> on en déduit <br>{{Al|17}}{{Transparent|établissement des équations d'Euler-Lagrange : }}<math>\;\dfrac{d S_\varepsilon}{d \varepsilon}(\varepsilon = 0) = \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} \left\lbrace \sum\limits_{i = 1}^{3} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i} \right)_{\!x_{j\,\neq\,i},\,\dot{\vec{r}},\,t}\; \eta_i(t) + \sum\limits_{i = 1}^{3} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x_i}} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{x}_{j\,\neq\,i},\,t}\; \dot{\eta_i}(t) \right\rbrace\! \left[ \vec{r}(t),\,\dot{\vec{r}}(t),\, t \right] dt = 0\;</math> puis, en permutant l'intégration et l'addition discrète <math>\;\big(</math>l'intégrale d'une somme de fonctions étant la somme des intégrales de chaque fonction<math>\big)</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|établissement des équations d'Euler-Lagrange : }}<math>\;\dfrac{d S_\varepsilon}{d \varepsilon}(\varepsilon = 0) = \sum\limits_{i = 1}^{3} \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i} \right)_{\!x_{j\,\neq\,i},\,\dot{\vec{r}},\,t}\! \left[ \vec{r}(t),\,\dot{\vec{r}}(t),\, t \right]\; \eta_i(t)\;dt + \sum\limits_{i = 1}^{3} \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x_i}} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{x}_{j\,\neq\,i},\,t}\! \left[ \vec{r}(t),\,\dot{\vec{r}}(t),\, t \right]\; \dot{\eta_i}(t)\; dt = 0</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|établissement des équations d'Euler-Lagrange : }}les <math>\;3\;</math> dernières intégrales donnant chacune par i.p.p. <math>\;\big(</math>[[w:Intégration_par_parties#Énoncé_type|intégration par parties]]<math>\big)\;</math><ref name="i.p.p."> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Développement_de_quelques_méthodes_de_calcul|développement de quelques méthodes de calcul]] (intégrer un produit de fonctions par parties) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\displaystyle\int_{t_0}^{t_1} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x_i}} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{x}_{j\,\neq\,i},\,t}\! \left[ \vec{r}(t),\,\dot{\vec{r}}(t),\, t \right]\; \dot{\eta_i}(t)\; dt =</math> <math>\cancel{\left[ \eta_i(t)\; \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x_i}} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{x}_{j\,\neq\,i},\,t} \left\lbrace \vec{r}(t),\,\dot{\vec{r}}(t),\, t \right\rbrace \right]_{t_0}^{t_1}} - \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} \dfrac{d }{dt} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x_i}} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{x}_{j\,\neq\,i},\,t}\! \left[ \vec{r}(t),\,\dot{\vec{r}}(t),\, t \right]\; \eta_i(t)\; dt\;</math> <math>\big[</math>nullité du 1^er terme car <math>\;\vec{\eta}(t_0) = \vec{\eta}(t_1) = \vec{0}\big]\;</math> d'où, en regroupant les termes de <math>\;\dfrac{d S_\varepsilon}{d \varepsilon}(\varepsilon = 0)</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|établissement des équations d'Euler-Lagrange : }}<math>\;\dfrac{d S_\varepsilon}{d \varepsilon}(\varepsilon = 0) =</math> <math>\sum\limits_{i = 1}^{3} \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} \left\lbrace \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i} \right)_{\!x_{j\,\neq\,i},\,\dot{\vec{r}},\,t} - \dfrac{d }{dt} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x_i}} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{x}_{j\,\neq\,i},\,t} \right\rbrace\! \left[ \vec{r}(t),\,\dot{\vec{r}}(t),\, t \right]\; \eta_i(t)\;dt = 0\;</math> dont on déduit, <br>{{Al|17}}{{Transparent|établissement des équations d'Euler-Lagrange : }}«<math>\;\displaystyle\int_{t_0}^{t_1} \left\lbrace \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i} \right)_{\!x_{j\,\neq\,i},\,\dot{\vec{r}},\,t} - \dfrac{d }{dt} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x_i}} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{x}_{j\,\neq\,i},\,t} \right\rbrace\! \left[ \vec{r}(t),\,\dot{\vec{r}}(t),\, t \right]\; \eta_i(t)\;dt = 0,\;\;\forall\;i\;\left[\left[ 1\;,\; 3 \right]\right]\;</math>»<ref> En effet pour que la somme des <math>\;3\;</math> intégrales soit nulle pour toutes fonctions scalaires <math>\;\eta_i(t)</math>, il faut que chaque intégrale le soit.</ref> puis <br>{{Al|17}}{{Transparent|établissement des équations d'Euler-Lagrange : }}par « [[w:Lemme_fondamental_du_calcul_des_variations#Cas_usuel_du_lemme_fondamental_du_calcul_des_variations|lemme fondamental du calcul des variations]] (cas d'une intégrale simple et d'une fonction réelle) »<ref> Lemme admis.</ref> appliqué à chaque intégrale <br>{{Al|17}}{{Transparent|établissement des équations d'Euler-Lagrange : }}«<math>\;\left\lbrace \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i} \right)_{\!x_{j\,\neq\,i},\,\dot{\vec{r}},\,t} - \dfrac{d }{dt} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x_i}} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{x}_{j\,\neq\,i},\,t} \right\rbrace\! \left[ \vec{r}(t),\,\dot{\vec{r}}(t),\, t \right] = 0,\;\;\forall\;i\;</math>» c'est-à-dire les [[w:Équation_d'Euler-Lagrange#Énoncé|équations d'Euler-Lagrange]]<ref name="Euler" />{{,}}<ref name="Lagrange" />.}} {{Al|5}}{{Transparent|à partir du lagrangien de la particule, }}puis on déduit les équations du mouvement en explicitant les [[w:Équation_d'Euler-Lagrange#Énoncé|équations d'Euler-Lagrange]]<ref name="Euler" />{{,}}<ref name="Lagrange" /> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right)_{\!\dot{y},\,\dot{z},\,\vec{r},\,t} = \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,\dot{\vec{r}},\,t}\\ \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} \right)_{\!\dot{x},\,\dot{z},\,\vec{r},\,t} = \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,\dot{\vec{r}},\,t}\\ \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{z}} \right)_{\!\dot{x},\,\dot{y},\,\vec{r},\,t} = \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,\dot{\vec{r}},\,t}\end{array}\right\rbrace\;</math>» dans lesquelles {{Nobr|«<math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}_i} \right)_{\!\dot{x}_{j\,\neq\, i},\,\vec{r},\,t}</math>}} <math>= m\;\dot{x}_i\;\;\forall\;i\;\left[\left[ 1\;,\; 3 \right]\right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}_i} \right)_{\!\dot{x}_{j\,\neq\, i},\,\vec{r},\,t} = m\;\ddot{x}_i\;\;\forall\;i\;\left[\left[ 1\;,\; 3 \right]\right]\;</math>» ainsi que «<math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i} \right)_{\!x_{j\,\neq\,i},\,\dot{\vec{r}},\,t} = - \left( \dfrac{\partial U}{\partial x_i} \right)_{\!x_{j\,\neq\,i},\,t}\;\;\forall\;i\;\left[\left[ 1\;,\; 3 \right]\right]\;</math>» d'où «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} m\; \ddot{x} = -\left( \dfrac{\partial U}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}\\ m\; \ddot{y} = -\left( \dfrac{\partial U}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}\\ m\;\ddot{z} = -\left( \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t} \end{array} \right\rbrace\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|à partir du lagrangien de la particule, }}finalement l'équation vectorielle du mouvement de la particule «<math>\;m\;\vec{a}(M,\,t) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}_t\left[ U \right](M,\, t)\;</math>»<ref name="composantes cartésiennes d'un gradient"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_cartésiennes_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes cartésiennes du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> dans laquelle <math>\;\vec{a}(M,\,t) = \dfrac{d\vec{v}}{dt}(M,\,t) = \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}(M,\,t)\;</math> est le vecteur accélération de la particule ou, en utilisant le lien entre la force appliquée à la particule et l'énergie potentielle dont elle dérive «<math>\;\vec{F}_U(M,\, t) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}_t\left[ U \right](M,\, t)\;</math>»<ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative|énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|à partir du lagrangien de la particule, finalement }}l'équation différentielle du 2^ème ordre régissant le mouvement de la particule «<math>\;\vec{F}_U(M,\,t) = m\;\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}(M,\,t)\;</math>». ===== Mécanique hamiltonienne ===== {{Al|5}}En [[w:Mécanique_hamiltonienne|mécanique hamiltonienne]] la variable <math>\;\dot{\vec{r}}\;</math><ref> Laquelle s'identifie à la dérivée temporelle de la position c.-à-d. à la vitesse pour un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie.</ref> est remplacée par la variable <math>\;\vec{p} = \left\lbrace \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right)_{\!\vec{r},\, \dot{y},\, \dot{z},\,t}\; ,\; \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} \right)_{\!\vec{r},\, \dot{x},\, \dot{z},\,t}\; ,\; \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{z}} \right)_{\!\vec{r},\, \dot{x},\, \dot{y},\,t} \right\rbrace\;</math> <math>\big(</math>appelée « [[w:Mécanique_harmiltonienne#Moment_conjugué|moment conjugué]] »<math>\big)\;</math> correspondant aux composantes {{Nobr|«<math>\;p_i =</math>}} <math>\left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{r_i}} \right)_{\!\vec{r},\, \dot{r_j}_{(j \neq i)},\, \dot{z},\,t},\;\;i\;\in\;\left[\left[ 1\;,\; 3 \right]\right]\;</math>» <math>\big(</math>appelées « [[w:Mécanique_harmiltonienne#Moment_conjugué|moments conjugués]] » ou encore, quand les coordonnées <math>\;r_i,\;\;i\;\in\;\left[\left[ 1\;,\; 3 \right]\right]\;</math> correspondent à des coordonnées cartésiennes, « [[w:Moment_linéaire|impulsions]] »<ref name="impulsion"> Dans le cadre de la [[w:Mécanique_analytique|mécanique analytique]] <math>\;\big(</math>regroupant la [[w:Lagrangien|mécanique lagrangienne]] et la [[w:Mécanique_hamiltonienne|mécanique hamiltonienne]]<math>\big)\;</math> elles sont encore appelées, quand les coordonnées <math>\;r_i\;\;i\;\in\;\left[\left[ 1\;,\; 3 \right]\right]\;</math> sont des coordonnées cartésiennes, « [[w:Moment_linéaire|moments linéaires]] » pour souligner que ces variables ne sont pas associées à des coordonnées angulaires.</ref><math>\big)\;</math> s'identifiant, en repérage cartésien, à celles de la quantité de mouvement pour un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie<ref> En effet <math>\;\mathcal{L}(\vec{r},\,\dot{\vec{r}},\, t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{\vec{r}}^2 - U(\vec{r},\; t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;p_i = \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{r_i}} \right)_{\!\vec{r},\, \dot{r_j}_{(j \neq i)},\, \dot{z},\,t} = m\;\dot{r_i},\;\;i\;\in\;\left[\left[ 1\;,\; 3 \right]\right]</math>.</ref> c'est-à-dire «<math>\;p_i = m\;\dot{r_i}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{p} = m\;\dot{\vec{r}}</math> <math>= m\;\vec{v}\;</math> en cartésien » ; {{Al|5}}l'[[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]] <math>\;\mathcal{H}\;</math> est la [[w:Transformation de Legendre#La transformation de Legendre|transformée de Legendre]] <ref name="Legendre"> '''[[w:Adrien-Marie_Legendre|Adrien-Marie Legendre]] (1752 - 1833)''' mathématicien français fit d’importantes contributions à la [[w:Statistique|statistique]], à la [[w:Théorie_des_nombres|théorie des nombres]], aux [[w:Algèbre_générale|algèbres abstraites]] et à l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse]] <math>\;\big(</math>en particulier sur les [[w:Polynôme_de_Legendre|polynômes dits de Legendre]]<math>\big)\;</math> mais une grande partie de ses travaux fut finalisée par d'autres.</ref> du [[w:Lagrangien#Lagrangien_en_mécanique_classique|lagrangien]] <math>\;\mathcal{L}\;</math> soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\mathcal{H}(\vec{r},\,\vec{p},\,t) = \vec{p} \cdot \dot{\vec{r}} - \mathcal{L}(\vec{r},\,\dot{\vec{r}},\,t)\;</math>»<ref> Il s'agit en fait de l'opposé de la transformée de Legendre défini dans l'article [[w:Transformation de Legendre#La transformation de Legendre|transformation de Legendre]] de wikipedia, la raison étant qu'il n'y a pas de [[w:Transformation de Legendre#Convention de signe|convention de signe]] dans le choix de la définition, la convention choisie dans l'article précitée aurait donné <math>\;\mathcal{H}(\vec{r},\,\vec{p},\,t) = \mathcal{L}(\vec{r},\,\dot{\vec{r}},\,t) - \vec{p} \cdot \dot{\vec{r}}\;</math> et aurait été tout aussi licite.</ref>{{,}}<ref> Avec cette convention de signe l'[[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]] s'écrit encore «<math>\;\mathcal{H}(\vec{r},\,\vec{p},\,t) = \sum\limits_{i = 1..3} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{r_i}} \right)_{\!\vec{r},\, \dot{r_j}_{(j \neq i)},\, \dot{z},\,t} \; \dot{r_i} - \mathcal{L}(\vec{r},\,\dot{\vec{r}},\,t)\;</math>».</ref> et,</div> {{Al|5}}dans le cas où la variable <math>\;\vec{p}\;</math> correspond à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie permettant de remplacer <math>\;\dot{\vec{r}}\;</math> par <math>\;\dfrac{\vec{p}}{m}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{H}(\vec{r},\,\vec{p},\,t) = \dfrac{\vec{p}^2}{m} - \mathcal{L}\! \left( \vec{r},\,\dfrac{\vec{p}}{m},\,t \right)\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où la variable <math>\;\color{transparent}{\vec{p}}\;</math> correspond à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie permettant de remplacer <math>\;\color{transparent}{\dot{\vec{r}}}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{\vec{p}}{m}}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\mathcal{H}(\vec{r},\,\vec{p},\,t) = \dfrac{\vec{p}^2}{m} - \left[ \dfrac{\vec{p}^2}{2\;m} - U(\vec{r},\, t) \right]\;</math>»<ref> On rappelle la définition du [[w:Lagrangien#Lagrangien_en_mécanique_classique|lagrangien]] <math>\;\mathcal{L}(\vec{r},\,\dot{\vec{r}},\, t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{\vec{r}}^2 - U(\vec{r},\; t)\;</math> dans laquelle on remplace <math>\;\dot{\vec{r}}\;</math> par <math>\;\dfrac{\vec{p}}{m}</math>.</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où la variable <math>\;\color{transparent}{\vec{p}}\;</math> correspond à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie permettant de remplacer <math>\;\color{transparent}{\dot{\vec{r}}}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{\vec{p}}{m}}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\mathcal{H}(\vec{r},\,\vec{p},\,t) = \dfrac{\vec{p}^2}{2\;m} + U(\vec{r},\, t)\;</math>»<ref> L'[[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]] s'identifie donc à l'énergie mécanique, somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle <math>\;\big(</math>si toutefois il représente un mouvement réel le long de la trajectoire réellement {{Nobr|suivie<math>\big)</math>.}}</ref> ; {{Al|5}}de la différentielle de l'[[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]] avec utilisation des [[w:Équation_d'Euler-Lagrange#Énoncé|équations d'Euler-Lagrange]]<ref name="Euler" />{{,}}<ref name="Lagrange" /> on tire les [[w:Mécanique_hamiltonienne#Équations_canoniques_de_Hamilton_2|équations canoniques de Hamilton]]<ref name="Hamilton" /> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} & \dot{r_i} &=& \left( \dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} \right)_{\!\vec{r},\,p_{(j \neq i)},\,t}\\ & \dot{p_i} &=& -\left( \dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial r_i} \right)_{\!r_{(j \neq i)},\,\vec{p},\,t}\\ \dfrac{d \mathcal{H}}{dt} &= \left( \dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial t} \right)_{\!\vec{r},\,\vec{p}} &=& - \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{\vec{r}}}\end{array} \right\rbrace\;</math>» {{Nobr|<math>\;\big\{</math>voir}} l'établissement dans l'encart ci-dessous<math>\big\}</math>, {{Encart| largeur = mince| contenu ={{Al|5}}<u>établissement des [[w:Mécanique_hamiltonienne#Équations_canoniques_de_Hamilton_2|équations canoniques de Hamilton]]</u><ref name="Hamilton" /> : Envisageant la différentielle de l'[[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]] «<math>\;d\mathcal{H} = \sum\limits_{i = 1..3} \left[ \left( \dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial r_i} \right)_{\!{r_j}_{(j \neq i)},\, \vec{p},\,t}\; dr_i + \left( \dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} \right)_{\!\vec{r},\,{p_j}_{(j \neq i)},\,t}\; dp_i \right] + \left( \dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial t} \right)_{\!\vec{r},\,\vec{p}}\; dt\;</math>»<ref name="différentielle d'une fonction de plusieurs variables indépendantes"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonction_de_plusieurs_variables_indépendantes#Définition_de_la_différentielle_d'une_fonction_de_deux_variables_indépendantes|définition de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » généralisable aisément à plus de deux variables indépendantes <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|établissement des équations canoniques de Hamilton : }}explicitant indépendamment cette dernière à partir de sa définition «<math>\;\mathcal{H} = \vec{p} \cdot \dot{\vec{r}} - \mathcal{L}(\vec{r},\,\dot{\vec{r}},\,t) = \sum\limits_{i = 1..3} p_i\;\dot{r}_i - \mathcal{L}(\vec{r},\,\dot{\vec{r}},\,t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|établissement des équations canoniques de Hamilton : Envisageant la différentielle }}«<math>\;d\mathcal{H} = \sum\limits_{i = 1..3} \left[ p_i\; d \dot{r_i} + \dot{r_i}\; dp_i - \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial r_i} \right)_{\!{r_j}_{(j \neq i)},\, \dot{\vec{r}},\,t}\; dr_i - \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{r_i}} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{r_j}_{(j \neq i)},\,t}\; d \dot{r_i} \right] - \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{\vec{r}}}\; dt\;</math>» <br>{{Al|10}}{{Transparent|établissement des équations canoniques de Hamilton : }}soit, après simplification utilisant la définition du [[w:Mécanique_harmiltonienne#Moment_conjugué|moment conjugué]] «<math>\;p_i = \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{r_i}} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{r_j}_{(j \neq i)},\,t}\;</math>», la réécriture de la différentielle de <math>\;\mathcal{H}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|établissement des équations canoniques de Hamilton : Envisageant la différentielle de l'hamiltonien }}«<math>\;d\mathcal{H} = \sum\limits_{i = 1..3} \left[ \dot{r_i}\; dp_i - \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial r_i} \right)_{\!{r_j}_{(j \neq i)},\, \dot{\vec{r}},\,t}\; dr_i \right] - \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{\vec{r}}}\; dt\;</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|établissement des équations canoniques de Hamilton : }}on obtient, en identifiant les deux expressions de la différentielle de l'[[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]], «<math>\;d\mathcal{H} =</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|établissement des équations canoniques de Hamilton : }}<math>\sum\limits_{i = 1..3} \left[ \left( \dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial r_i} \right)_{\!{r_j}_{(j \neq i)},\, \vec{p},\,t}\; dr_i + \left( \dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} \right)_{\!\vec{r},\,{p_j}_{(j \neq i)},\,t}\; dp_i \right] + \left( \dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial t} \right)_{\!\vec{r},\,\vec{p}}\; dt = \sum\limits_{i = 1..3} \left[ \dot{r_i}\; dp_i - \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial r_i} \right)_{\!{r_j}_{(j \neq i)},\, \dot{\vec{r}},\,t}\; dr_i \right] - \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{\vec{r}}}\; dt\;</math>» <br>{{Al|10}}{{Transparent|établissement des équations canoniques de Hamilton : on obtient }}les [[w:Mécanique_hamiltonienne#Équations_canoniques_de_Hamilton_2|équations canoniques de Hamilton]]<ref name="Hamilton" /> par identification des cœfficients des éléments différentiels des variables indépendantes <br>{{Al|10}}{{Transparent|établissement des équations canoniques de Hamilton : }}<math>\succ\;</math>identification des cœfficients de <math>\;dp_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> les 1^ères [[w:Mécanique_hamiltonienne#Équations_canoniques_de_Hamilton_2|équations canoniques de Hamilton]]<ref name="Hamilton" /> «<math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} \right)_{\!\vec{r},\,{p_j}_{(j \neq i)},\,t} = \dot{r_i},\;\;\forall\;i = 1 .. 3\;</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|établissement des équations canoniques de Hamilton : }}<math>\succ\;</math>identification des cœfficients de <math>\;dr_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial r_i} \right)_{\!{r_j}_{(j \neq i)},\, \vec{p},\,t} = - \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial r_i} \right)_{\!{r_j}_{(j \neq i)},\, \dot{\vec{r}},\,t},\;\;\forall\;i = 1 .. 3\;</math>» et, <br>{{Al|10}}{{Transparent|établissement des équations canoniques de Hamilton : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>identification }}en utilisant les [[w:Équation_d'Euler-Lagrange#Énoncé|équations d'Euler-Lagrange]]<ref name="Euler" />{{,}}<ref name="Lagrange" /> <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial r_i} \right)_{\!{r_j}_{(j \neq i)},\, \dot{\vec{r}},\,t} =</math> <math>\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{r_i}} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{r_j}_{(j \neq i)},\,t} = \dot{p}_i\;</math> par définition de <math>\;p_i</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|établissement des équations canoniques de Hamilton : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>identification des cœfficients de <math>\;\color{transparent}{dr_i}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}les 2^èmes [[w:Mécanique_hamiltonienne#Équations_canoniques_de_Hamilton_2|équations canoniques de Hamilton]]<ref name="Hamilton" /> «<math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial r_i} \right)_{\!{r_j}_{(j \neq i)},\, \vec{p},\,t} = -\dot{p_i},\;\;\forall\;i = 1 .. 3\;</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|établissement des équations canoniques de Hamilton : }}<math>\succ\;</math>identification des cœfficients de <math>\;dt\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial t} \right)_{\!\vec{r},\,\vec{p}} = - \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{\vec{r}}}\;</math>» et, <br>{{Al|10}}{{Transparent|établissement des équations canoniques de Hamilton : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>identification }}en utilisant «<math>\;d\mathcal{H} = - \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{\vec{r}}}\; dt\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>les [[w:Équation_d'Euler-Lagrange#Énoncé|équations d'Euler-Lagrange]] <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial r_i} \right)_{\!{r_j}_{(j \neq i)},\, \dot{\vec{r}},\,t} =</math> <math>\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{r_i}} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{r_j}_{(j \neq i)},\,t}\;</math> se réécrivent avec la définition du [[w:Mécanique_harmiltonienne#Moment_conjugué|moment conjugué]] <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial r_i} \right)_{\!{r_j}_{(j \neq i)},\, \dot{\vec{r}},\,t} = \dfrac{d p_i}{dt}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial r_i} \right)_{\!{r_j}_{(j \neq i)},\, \dot{\vec{r}},\,t}\;dr_i = \dfrac{d p_i}{dt}\;dr_i = \dot{r_i}\;dp_i\;</math> permettant la simplification de deux des trois termes de la différentielle de l'[[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]] déduite de sa définition selon <math>\;d\mathcal{H} = \sum\limits_{i = 1..3} \left[ \cancel{\dot{r_i}\; dp_i} - \cancel{\left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial r_i} \right)_{\!{r_j}_{(j \neq i)},\, \dot{\vec{r}},\,t}\; dr_i} \right] - \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{\vec{r}}}\; dt = -\left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{\vec{r}}}\; dt\Bigg\}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d \mathcal{H}}{dt} = -\left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{\vec{r}}}\;</math> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|établissement des équations canoniques de Hamilton : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>identification des cœfficients de <math>\;\color{transparent}{dt}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}la 3^ème [[w:Mécanique_hamiltonienne#Équations_canoniques_de_Hamilton_2|équation canonique de Hamilton]]<ref name="Hamilton" /> «<math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial t} \right)_{\!\vec{r},\,\vec{p}} = - \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{\vec{r}}}\;</math>» ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|établissement des équations canoniques de Hamilton : }}finalement les [[w:Mécanique_hamiltonienne#Équations_canoniques_de_Hamilton_2|équations canoniques de Hamilton]]<ref name="Hamilton" /> s'écrivent selon «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} & \dot{r_i} &=& \left( \dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} \right)_{\!\vec{r},\,p_{(j \neq i)},\,t}\\ & \dot{p_i} &=& -\left( \dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial r_i} \right)_{\!r_{(j \neq i)},\,\vec{p},\,t}\\ \dfrac{d \mathcal{H}}{dt} &= \left( \dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial t} \right)_{\!\vec{r},\,\vec{p}} &=& - \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{\vec{r}}}\end{array} \right\rbrace\;</math>».}} {{Al|5}}{{Transparent|de la différentielle de l'hamiltonien }}puis on tire des [[w:Mécanique_hamiltonienne#Équations_canoniques_de_Hamilton_2|équations canoniques de Hamilton]]<ref name="Hamilton" />, dans la mesure où <math>\;\vec{p}\;</math> correspond à un mouvement réel le long de la trajectoire réellement suivie<ref> Ce qui est le cas car, pour les établir, on a utilisé les [[w:Équation_d'Euler-Lagrange#Énoncé|équations d'Euler-Lagrange]] qui ont été déduites de l'application du [[w:Principe_de_moindre_action|principe de moindre action]].</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire }}<math>\succ\;</math>la définition de la quantité de mouvement de la particule <math>\;\vec{p}\;</math> car «<math>\;\mathcal{H} = \dfrac{\vec{p}^2}{2\; m} + U(\vec{r},\, t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} \right)_{\!\vec{r},\,p_{(j \neq i)},\,t} = \dfrac{p_i}{m},\;\;\forall\, i = 1..3\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la définition de la quantité de mouvement }}la réécriture des 1^ères [[w:Mécanique_hamiltonienne#Équations_canoniques_de_Hamilton_2|équations canoniques de Hamilton]]<ref name="Hamilton" /> «<math>\;\dot{r_i} = \dfrac{p_i}{m},\;\;\forall\, i = 1..3\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\vec{p} = m\;\dot{\vec{r}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire }}<math>\succ\;</math>la relation fondamentale de la dynamique car «<math>\;\mathcal{H} = \dfrac{\vec{p}^2}{2\; m} + U(\vec{r},\, t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;-\left( \dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial r_i} \right)_{\!r_{(j \neq i)},\,\vec{p},\,t} = -\left( \dfrac{\partial U}{\partial r_i} \right)_{\!r_{(j \neq i)},\,t} = F_i,\;\;\forall\, i = 1..3\;</math>»<ref name="lien entre force et énergie potentielle"> En utilisant le lien entre la force appliquée à la particule et l'énergie potentielle dont elle dérive «<math>\;\vec{F}_U(M,\, t) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}_t\left[ U \right](M,\, t)\;</math>» voir les notes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#cite_note-composantes_cartésiennes_d'un_gradient-18|¹⁸]] » et «[[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#cite_note-énergie_potentielle-19|¹⁹]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la relation fondamentale de la dynamique }}la réécriture des 2^èmes [[w:Mécanique_hamiltonienne#Équations_canoniques_de_Hamilton_2|équations canoniques de Hamilton]]<ref name="Hamilton" /> «<math>\;\dot{p_i} = F_i,\;\;\forall\, i = 1..3\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\vec{F} = \dfrac{d \vec{p}}{dt}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire }}<math>\succ\;</math>la conservation de l'énergie mécanique de la particule <u>si son énergie potentielle ne dépend pas explicitement du temps</u><ref> C'est le cas le plus usuel, lequel nécessite que la force ne dépendant pas explicitement du temps soit conservative voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_d'une_force_«_conservative_»|1^ère définition d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la conservation de l'énergie mécanique de la particule si }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{\vec{r}}} = -\left( \dfrac{\partial U}{\partial t} \right)_{\!\vec{r}} = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial t} \right)_{\!\vec{r},\,\vec{p}} = -\left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{\vec{r}}} = \left( \dfrac{\partial U}{\partial t} \right)_{\!\vec{r}} = 0\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|de la différentielle de l'hamiltonien puis on tire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la conservation de l'énergie mécanique }}la réécriture de la 3^ème [[w:Mécanique_hamiltonienne#Équations_canoniques_de_Hamilton_2|équation canonique de Hamilton]]<ref name="Hamilton" /> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{H}}{dt} = \left( \dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial t} \right)_{\!\vec{r},\,\vec{p}} = -\left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \right)_{\!\vec{r},\,\dot{\vec{r}}} = 0\;</math>». ==== Construction de l'opérateur linéaire « hamiltonien » d'une particule quantique massique non relativiste ==== {{Al|5}}En utilisant la forme de l'[[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]] d'une particule non relativiste «<math>\;\mathcal{H}(\vec{r},\,\vec{p},\,t) = K(\vec{p}) + U(\vec{r},\,t) =</math> <math>\dfrac{\vec{p}^2}{2\;m} + U(M,\,t)\;</math>»<ref> Cette forme suppose que la particule a un mouvement réel sur la trajectoire réellement suivie c.-à-d. que son mouvement obéit au [[w:Principe variationnel|principe variationnel]] de la mécanique « le [[w:Principe_de_moindre_action|principe de moindre action]] » ce qui a pour conséquence les trois [[w:Mécanique_hamiltonienne#Équations_canoniques_de_Hamilton_2|équations canoniques de Hamilton]] dont la 1^ère rend le [[w:Mécanique_harmiltonienne#Moment_conjugué|moment conjugué]] identique à la quantité de mouvement de la particule.</ref> nous en déduisons <br>{{Al|5}}{{Transparent|En utilisant }}l'« [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] [[w:Opérateur_hamiltonien|hamiltonien]] » d'une particule « quantique » massique non relativiste à partir des [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] « énergie cinétique non relativiste »<ref name="opérateur énergie cinétique non relativiste"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#Opérateur_linéaire_«_énergie_cinétique_non_relativiste_»_d'une_particule_quantique_massique|opérateur linéaire énergie cinétique non relativiste d'une particule quantique massique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et « énergie {{Nobr|potentielle »<ref name="opérateur énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#Opérateur_linéaire_«_énergie_potentielle_»_d'une_particule_quantique|opérateur linéaire énergie potentielle d'une particule quantique massique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>,}} <div style="text-align: center;">soit «<math>\;\widehat{\mathcal{H}}\left[ \; \right] = \widehat{K}\left[ \; \right] + \widehat{U}\left[ \; \right]\;</math>»<ref name="opérateur énergie cinétique non relativiste" />{{,}}<ref name="opérateur énergie potentielle" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\widehat{\mathcal{H}}\left[ \; \right] = -\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\; \Delta_t \left[ \; \right] + U(M,\,t) \times \left[ \; \right]\;</math>»<ref name="opérateur laplacien de fonction scalaire" />,</div> {{Al|5}}l'action de cet [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] <math>\;\widehat{\mathcal{H}}\left[ \; \right]\;</math> sur la fonction d'onde qui décrit un état stationnaire de la particule « quantique » non relativiste pour lequel l'énergie mécanique est fixée <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'action de cet opérateur linéaire <math>\;\color{transparent}{\widehat{\mathcal{H}}\left[ \; \right]}\;</math> }}donnant toutes les valeurs possibles d'énergie mécanique de « la particule en état stationnaire de composante spatiale de fonction d'onde <math>\;\underline{\Psi}(M)\;</math>»<ref> Pour qu'une particule non quantique ait une valeur constante de son [[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]], il est nécessaire que son énergie potentielle ne dépende pas explicitement du temps <math>\;\big(</math>3^ème [[w:Mécanique_hamiltonienne#Équations_canoniques_de_Hamilton_2|équation canonique de Hamilton]]<math>\big)</math>, il s'en suit alors la conservation de l'énergie mécanique ; <br>{{Al|3}}du point de vue quantique, dans la mesure où l'énergie potentielle de la particule ne dépend pas du temps, la particule peut être dans un état stationnaire c.-à-d. que le module de la fonction d'onde qui modélise l'état considéré ne dépend pas non plus du temps <math>\;\Bigg\{</math>la fonction d'onde <math>\;\underline{\psi}(M,\,t)\;</math> peut alors être cherchée sous la forme du produit d'une composante spatiale <math>\;\underline{\Psi}(M)\;</math> et d'une composante temporelle de module unité <math>\;\exp\! \left( -i\;\dfrac{E}{\hbar}\;t \right)\;</math> dont l'argument dépend de l'état stationnaire considéré, la composante spatiale <math>\;\underline{\Psi}(M)\;</math> étant solution de l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]] indépendante du temps <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#Recherche_des_états_propres_de_l'opérateur_linéaire_«_hamiltonien_»_à_énergie_potentielle_ne_dépendant_pas_explicitement_du_temps,_équation_de_Schrödinger_indépendante_du_temps|recherche des états propres de l'opérateur linéaire hamiltonien à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps, équation de Schrödinger indépendante du temps]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>, c.-à-d. «<math>\;-\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\Delta\! \left[ \underline{\Psi}(M) \right] + U(M)\; \underline{\Psi}(M) = E\; \underline{\Psi}(M)\;</math>» ou «<math>\;\widehat{\mathcal{H}}\! \left[ \underline{\Psi}(M) \right] = E\; \underline{\Psi}(M)\;</math>»<math>\Bigg\}\;</math> <math>\Rightarrow</math> la composante spatiale <math>\;\underline{\Psi}(M)\;</math> de la fonction d'onde associée à un état stationnaire est une [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonction propre]] de l'« [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] [[w:Opérateur_hamiltonien|hamiltonien]] » associée à la [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] <math>\;E\;</math> <math>\big[</math>la constance de l'[[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]] d'une particule non quantique <math>\;\big(</math>et par suite la conservation de son énergie mécanique<math>\big)\;</math> devient, pour une particule « quantique » dans un état stationnaire, le fait que ce dernier est un état propre de l'« [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] [[w:Opérateur_hamiltonien|hamiltonien]] », la [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] associée étant l'énergie de la particule <math>\;\big(</math>énergie restant constante hors influence extérieure<math>\big)\big]</math>.</ref>{{,}}<ref> Dans la mesure où la particule est dans un état stationnaire, ses valeurs d'énergie mécanique non relativiste sont donc les [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeurs propres]] de l'« [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] [[w:Opérateur_hamiltonien|hamiltonien]] », les fonctions d'onde décrivant l'état stationnaire de la particule étant les [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonctions propres]] associées.</ref>, soit <center>«<math>\;\widehat{\mathcal{H}}\left[ \underline{\Psi}(M) \right] = E_m \times \underline{\Psi}(M)\;</math>» ou l'équation aux dérivées partielles «<math>\;-\dfrac{\hbar^2}{2\; m} \; \left( \vec{\Delta} \right) \left[ \underline{\Psi}(M) \right] + U(M) \times \underline{\Psi}(M) = E_m \times \underline{\Psi}(M)\;</math>»<ref name="opérateur laplacien de fonction scalaire" />.</center> === Équation de Schrödinger applicable à une particule quantique massique non relativiste === ==== Expression de l'équation de Schrödinger suivie par une particule quantique massique non relativiste ==== {{Al|5}}L'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]] <ref name="Schrödinger"> '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger]] (1887 - 1961)''' physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] <math>\;\big(</math>connu sous le nom de [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]]<math>\big)</math> ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]] lui a valu de partager le prix Nobel de physique en <math>\;1933\;</math> avec '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' l'expérience de pensée proposée à '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1935\;</math> et connue sous le nom [[w:Chat_de_Schrödinger|chat de Schrödinger]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Paul_Dirac|Paul Adrien Maurice Dirac]] (1902 - 1984)''' physicien et mathématicien britannique : voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#cite_note-Dirac-77|⁷⁷]] » plus bas dans ce chapitre pour plus de détails. <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> permet de décrire l'évolution temporelle de la fonction d'onde de la particule « quantique » massique non relativiste selon <div style="text-align: center;">«<math>\;\widehat{\mathcal{H}}\!\left[ \underline{\psi}(M,\, t) \right] = \widehat{E}\!\left[ \underline{\psi}(M,\, t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\widehat{K}\!\left[ \underline{\psi}(M,\, t) \right] + \widehat{U}\!\left[ \underline{\psi}(M,\, t) \right] = \widehat{E}\!\left[ \underline{\psi}(M,\, t) \right]\;</math>» <br>se réécrivant, en explicitant les [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]], selon <br>«<math>\;-\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\Delta_t\! \left[ \underline{\psi}(M,\, t) \right] + U(M,\, t)\; \underline{\psi}(M,\, t) = i\;\hbar \left( \dfrac{\partial \underline{\psi}}{\partial t} \right)_{\!M} (M,\, t)\;</math>»<ref name="opérateur laplacien de fonction scalaire" />.</div> ==== Recherche des états propres de l'opérateur linéaire « hamiltonien » à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps, équation de Schrödinger indépendante du temps ==== {{Al|5}}<u>Introduction</u> : Dans le cas où l'énergie potentielle de la particule « quantique » ne dépend pas explicitement du temps, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : Dans le cas où l'énergie potentielle de }}la particule peut être dans un état stationnaire <math>\;\big(</math>voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#cite_note-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> et, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : }}dans l'hypothèse où cette possibilité devient réalité, « la fonction d'onde de la particule <math>\;\underline{\psi}(M,\, t)\;</math> se met sous la forme d'un produit <math>\;\underline{\Psi}(M)\;\exp\! \left[ -i\;\varphi(t) \right]\;</math> avec <math>\;\varphi(t)\;</math> fonction {{Nobr|réelle »<ref name="forme de fonction d'onde associée à un état stationnaire"> Ce qui implique <math>\;\Big\vert \underline{\psi}(M,\, t) \Big\vert = \Big\vert \underline{\Psi}(M) \Big\vert\; \Big\vert \exp\! \left[ -i\;\varphi(t) \right] \Big\vert = \Big\vert \underline{\Psi}(M) \Big\vert\;</math> effectivement indépendant du temps <math>\;\bigg\{</math>dans la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#cite_note-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, «<math>\;\varphi(t)\;</math> est remplacé par <math>\;\dfrac{E}{\hbar}\;t\;</math>» <math>\;\big(</math>voir l'établissement de cette expression dans le corps de ce paragraphe<math>\big)\;</math> mais le caractère stationnaire de l'état de la particule nécessite simplement que <math>\;\varphi(t)\;</math> soit réel, cette forme particulière <math>\;\dfrac{E}{\hbar}\;t\;</math> résultant de la résolution de l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<math>\bigg\}</math>.</ref>.}} {{Al|5}}<u>Exposé</u> : L'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> d'une particule « quantique » dans un état stationnaire de fonction d'onde associée «<math>\;\underline{\psi}(M,\, t) = \underline{\Psi}(M)\;\exp\! \left[ -i\;\varphi(t) \right]\;</math> avec <math>\;\varphi(t)\;</math> fonction réelle »<ref name="forme de fonction d'onde associée à un état stationnaire" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Exposé : L'équation de Schrödinger }}se réécrit «<math>\;-\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\Delta_t\! \left\lbrace \underline{\Psi}(M)\;\exp\! \left[ -i\;\varphi(t) \right] \right\rbrace + U(M)\; \underline{\Psi}(M)\;\exp\! \left[ -i\;\varphi(t) \right] = i\;\hbar \left( \dfrac{\partial \left\lbrace \underline{\Psi}(M)\;\exp\! \left[ -i\;\varphi(t) \right] \right\rbrace}{\partial t} \right)_{\!M}\;</math>» dans laquelle {{Al|10}}{{Transparent|Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit }}<math>\succ\;</math>«<math>\;\Delta_t\! \left\lbrace \underline{\Psi}(M)\;\exp\! \left[ -i\;\varphi(t) \right] \right\rbrace = \Delta_t\! \left[ \underline{\Psi}(M) \right] \;\exp\! \left[ -i\;\varphi(t) \right]\;</math>»<ref> <math>\;\exp\! \left[ -i\;\varphi(t) \right]\;</math> restant constant lors de la prise de [[w:Opérateur_laplacien|laplacien]] <math>\;\Delta_t\! \left[ \; \right]\;</math> à <math>\;t\;</math> figé.</ref> et {{Al|10}}{{Transparent|Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit }}<math>\succ\;</math>«<math>\;\left( \dfrac{\partial \left\lbrace \underline{\Psi}(M)\;\exp\! \left[ -i\;\varphi(t) \right] \right\rbrace}{\partial t} \right)_{\!M} = \underline{\Psi}(M)\,\left\lbrace -i\;\dot{\varphi}(t)\;\exp\! \left[ -i\;\varphi(t) \right] \right\rbrace\;</math>»<ref> <math>\;\underline{\Psi}(M)\;</math> restant constant lors de la dérivation partielle par rapport au temps <math>\;\left( \dfrac{\partial \left\lbrace \; \right\rbrace}{\partial t} \right)_{\!M}\;</math> à <math>\;M\;</math> figé <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonction_de_plusieurs_variables_indépendantes#Définition_des_dérivées_partielles|définition des dérivées partielles]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la généralisation à plus de deux variables indépendantes ne présentant aucune difficulté apparente<math>\big]</math>.</ref> d'où, par report {{Al|10}}{{Transparent|Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit }}«<math>\;-\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\Delta_t\! \left[ \underline{\Psi}(M) \right] \;\exp\! \left[ -i\;\varphi(t) \right] + U(M)\; \underline{\Psi}(M)\;\exp\! \left[ -i\;\varphi(t) \right] = i\;\hbar\; \underline{\Psi}(M)\,\left\lbrace -i\;\dot{\varphi}(t)\;\exp\! \left[ -i\;\varphi(t) \right] \right\rbrace\;</math>» puis <br>{{Al|10}}{{Transparent|Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit }}après simplification par <math>\;\exp\! \left[ -i\;\varphi(t) \right]</math>, «<math>\;-\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\Delta_t\! \left[ \underline{\Psi}(M) \right] + U(M)\; \underline{\Psi}(M) = \hbar\; \underline{\Psi}(M)\;\dot{\varphi}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit }}en supposant <math>\;\underline{\Psi}(M)\;</math> non identiquement nulle et en divisant chaque membre par <math>\;\underline{\Psi}(M)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit }}«<math>\;-\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\dfrac{\Delta_t\! \left[ \underline{\Psi}(M) \right]}{\underline{\Psi}(M)} + U(M) = \hbar\; \dot{\varphi}(t)\;</math>» dans laquelle le 1^er membre de l'équation étant une fonction de <math>\;M\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit «<math>\;\color{transparent}{-\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\dfrac{\Delta_t\! \left[ \underline{\Psi}(M) \right]}{\underline{\Psi}(M)} + U(M) = \hbar\; \dot{\varphi}(t)}\;</math>» dans laquelle }}le 2^nd {{Transparent|membre de l'équation étant }}une fonction de <math>\;t</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit «<math>\;\color{transparent}{-\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\dfrac{\Delta_t\! \left[ \underline{\Psi}(M) \right]}{\underline{\Psi}(M)} + U(M) = \hbar\; \dot{\varphi}(t)}\;</math>» dans laquelle }}ceci n'est possible que si la fonction commune à chaque membre est une fonction constante ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit «<math>\;\color{transparent}{-\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\dfrac{\Delta_t\! \left[ \underline{\Psi}(M) \right]}{\underline{\Psi}(M)} + U(M) = \hbar\; \dot{\varphi}(t)}\;</math>» dans laquelle }}notant <math>\;E\;</math> cette fonction constante nous obtenons less deux équations suivantes <br>{{Al|10}}{{Transparent|Exposé : L'équation de Schrödinger se réécrit }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \hbar\;\dot{\varphi}(t) &=& E\\ -\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\dfrac{\Delta_t\! \left[ \underline{\Psi}(M) \right]}{\underline{\Psi}(M)} + U(M) &=& E\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; {{Al|10}}{{Transparent|Exposé : L'équation de Schrödinger }}<math>\blacktriangleright\;</math>la 1^ère équation «<math>\;\dot{\varphi}(t) = \dfrac{E}{\hbar}\;</math>» s'intègre en «<math>\;\varphi(t) = \varphi_0 + \dfrac{E}{\hbar}\;t\;</math> avec <math>\;\varphi_0\;</math> une constante réelle d'intégration » d'où la partie temporelle de la fonction d'onde de la particule « quantique » dans un état stationnaire «<math>\;\exp\! \left[ -i\;\varphi(t) \right] = \exp\! \left[ -i\; \varphi_0 - i\; \dfrac{E}{\hbar}\;t \right] = \underline{\alpha}\;\exp\! \left( -i\;\;\dfrac{E}{\hbar}\;t \right)\;</math> avec <math>\;\underline{\alpha}\;</math> une constante complexe d'intégration » ; {{Al|10}}{{Transparent|Exposé : L'équation de Schrödinger }}<math>\blacktriangleright\;</math>la 2^ème équation se réécrit, en multipliant chaque membre par <math>\;\underline{\Psi}(M)</math>, «<math>\;-\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\Delta_t\! \left[ \underline{\Psi}(M) \right] + U(M)\; \underline{\Psi}(M) = E\; \underline{\Psi}(M)\;</math>» appelée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Exposé : L'équation de Schrödinger <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la 2^ème équation se réécrit, en multipliant chaque membre par <math>\;\color{transparent}{\underline{\Psi}(M)}</math>, }}« [[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> indépendante du temps » ou, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Exposé : L'équation de Schrödinger <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la 2^ème équation se réécrit, }}à l'aide de l'« [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] [[w:Opérateur_hamiltonien|hamiltonien]] » «<math>\;\widehat{\mathcal{H}}\! \left[ \; \right] = -\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\Delta_t\! \left[ \; \right] + U(M) \times \left[ \; \right]\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#Construction_de_l'opérateur_linéaire_«_hamiltonien_»_d'une_particule_quantique_massique_non_relativiste|construction de l'opérateur linéaire hamiltonien d'une particule quantique non relativiste]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Exposé : L'équation de Schrödinger <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la 2^ème équation se réécrit, en multipliant chaque membre par <math>\;\color{transparent}{\underline{\Psi}(M)}</math>, }}«<math>\;\widehat{\mathcal{H}}\! \left[ \underline{\Psi}(M) \right] = E\; \underline{\Psi}(M)\;</math>» représentant <br>{{Al|10}}{{Transparent|Exposé : L'équation de Schrödinger <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la 2^ème équation se réécrit, en multipliant chaque membre par <math>\;\color{transparent}{\underline{\Psi}(M)}</math>, }}l'équation de recherche des états propres de l'« [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] [[w:Opérateur_hamiltonien|hamiltonien]] ». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : Dans le cas où l'énergie potentielle <math>\;U\;</math> de la particule « quantique » ne dépend pas explicitement du temps, cette dernière peut être dans un état stationnaire avec une fonction d'onde sous la forme forme «<math>\;\underline{\psi}(M,\, t) =\underline{\Psi}(M)\;\exp\! \left[ -i\;\dfrac{E}{\hbar}\;t \right]\;</math>» dans laquelle <math>\;E\;</math> est une [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] de l'« [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] [[w:Opérateur_hamiltonien|hamiltonien]] » de la particule c'est-à-dire telle que «<math>\;\widehat{\mathcal{H}}\! \left[ \underline{\Psi}(M) \right] = E\; \underline{\Psi}(M)\;</math>», la partie spatiale «<math>\;\underline{\Psi}(M)\;</math>» de la fonction d'onde étant une [[w:Fonction_propre|fonction propre]] associée à la [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] <math>\;E</math> <math>\;\big[</math>ces [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeurs propres]] <math>\;E\;</math> de l'« [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] [[w:Opérateur_hamiltonien|hamiltonien]] » de la particule s'identifient aux valeurs possibles de l'énergie mécanique de cette dernière<ref> Revoir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#cite_note-36|³⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}pour un niveau d'énergie <math>\;E\;</math> connu de la particule « quantique » dans un état stationnaire, la partie spatiale «<math>\;\underline{\Psi}_E(M)\;</math>» de la fonction d'onde de la particule est solution de l'« [[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> indépendante du temps » <math>\;\big(</math>équation aux dérivées partielles linéaire du 2^ndordre<math>\big)\;</math> «<math>\;-\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\Delta_t\! \left[ \underline{\Psi}_E(M) \right] + U(M)\; \underline{\Psi}_E(M) = E\; \underline{\Psi}_E(M)\;</math>». {{Al|5}}<u>Principaux résultats</u> : Les valeurs de l'énergie de la particule « quantique » dans un état stationnaire peuvent être discrètes ou continues et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Principaux résultats : }}à une valeur d'énergie fixée il peut correspondre plusieurs composantes spatiales de la fonction d'onde <math>\;\big(</math>on dit dans ce cas que le niveau d'énergie est « [[w:Dégénérescence_(physique_quantique)|dégénéré]] »<math>\big)</math> : : {{Transparent|Principaux résultats :}}<math>\blacktriangleright\;</math>dans le cas où le spectre d'énergie <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> est <u>discret</u> et « pour un niveau d'énergie <math>\;\big(</math>propre<math>\big)</math> <math>\;E_n\;</math> <u>non [[w:Dégénérescence_(physique_quantique)|dégénéré]]</u> <math>\;\big(</math>quantification des niveaux d'énergie, usuellement <math>\;n\,\in\,\mathbb{N}\big)\;</math> pour lequel la partie spatiale de la fonction d'onde <math>\;\big(</math>[[w:Fonction_propre|propre]]<math>\big)\;</math> s'écrit <math>\;\underline{\Psi}_n(M)\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>solution de l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> indépendante du temps {{Nobr|«<math>\;-\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\Delta_t\! \left[ \underline{\Psi}_n(M) \right] + U(M)\; \underline{\Psi}_n(M)</math>}} <math>= E_n\; \underline{\Psi}_n(M)\;</math>»<math>\bigg\}</math>, la fonction d'onde <math>\;\big(</math>[[w:Fonction_propre|propre]]<math>\big)\;</math> complète de la particule dans cet état stationnaire s'écrit «<math>\;\underline{\psi}_n(M,\, t)</math> <math>= \underline{\Psi}_n(M)\; \exp\! \left( -i\;\dfrac{E_n}{\hbar}\;t \right)\;</math>» ; : {{Transparent|Principaux résultats :}}<math>\blacktriangleright\;</math>dans le cas où le spectre d'énergie <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> est <u>discret</u> et pour un niveau d'énergie <math>\;\big(</math>propre<math>\big)</math> <math>\;E_n\;</math> <u>[[w:Dégénérescence_(physique_quantique)|dégénéré]]</u> <math>\;\big(</math>le caractère « [[w:Dégénérescence_(physique_quantique)|dégénéré]] » des niveaux d'énergie n'engendrant usuellement aucune modification sur leur quantification <math>\;n\,\in\,\mathbb{N}\big)\;</math> pour lequel les parties spatiales des fonctions d'onde <math>\;\big(</math>[[w:Fonction_propre|propres]]<math>\big)\;</math> s'écrivent <math>\;\underline{\Psi}_{n,\,j}(M)\;</math> <math>\big[</math>la [[w:Dégénérescence_(physique_quantique)|dégénérescence]] d'un niveau d'énergie entraînant l'intervention d'au moins un 2^ème paramètre discret <math>\;j\;</math> usuellement <math>\;\in\,\mathbb{Q}\;</math> permettant de distinguer les parties spatiales des fonctions d'onde entre elles<math>\big]\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>solutions indépendantes les unes des autres de l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> indépendante du temps «<math>\;-\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\Delta_t\! \left[ \underline{\Psi}_{n,\,j}(M) \right] + U(M)\; \underline{\Psi}_{n,\,j}(M) =</math> <math>E_n\; \underline{\Psi}_{n,\,j}(M)\;</math>»<math>\bigg\}</math>, la fonction d'onde <math>\;\big(</math>[[w:Fonction_propre|propre]]<math>\big)\;</math> complète de la particule dans cet état propre <math>\;j\;</math> du niveau d'énergie [[w:Dégénérescence_(physique_quantique)|dégénéré]] <math>\;n\;</math> s'écrivant «<math>\;\underline{\psi}_{n,\,j}(M,\, t)</math> <math>= \underline{\Psi}_{n,\,j}(M)\; \exp\! \left( -i\;\dfrac{E_n}{\hbar}\;t \right)\;</math>», la fonction d'onde <math>\;\big(</math>[[w:Fonction_propre|propre]]<math>\big)\;</math> complète de la particule dans l'état stationnaire de niveau d'énergie [[w:Dégénérescence_(physique_quantique)|dégénéré]] <math>\;n\;</math> est alors une C.L<ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref>. de chaque fonction d'onde <math>\;\big(</math>[[w:Fonction_propre|propre]]<math>\big)\;</math> complète correspondant à l'état propre <math>\;j\;</math> du niveau d'énergie [[w:Dégénérescence_(physique_quantique)|dégénéré]] <math>\;n\;</math><ref> L'ensemble des <math>\;\left\lbrace \underline{\Psi}_{n,\,j}(M)\; \exp\! \left( -i\;\dfrac{E_n}{\hbar}\;t \right) \right\rbrace_{j\,=\,1 .. p}\;</math> <math>\big\{p\;</math> étant le degré de [[w:Dégénérescence_(physique_quantique)|dégénérescence]] du niveau d'énergie <math>\;E_n\big\}\;</math> formant une base de l'[[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|espace propre]] associé au niveau d'énergie <math>\;E_n</math>.</ref> soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\underline{\psi}_n(M,\, t) = \sum\limits_j \underline{c}_{n,\,j}\; \underline{\Psi}_{n,\,j}(M)\; \exp\! \left( -i\;\dfrac{E_n}{\hbar}\;t \right)\;</math>» où <br>le scalaire «<math>\;\underline{c}_{n,\,j}\;</math> est l'amplitude de l'état stationnaire <math>\;\underline{\psi}_n(M,\, t)\;</math> sur l'état propre <math>\;\underline{\Psi}_{n,\,j}(M)\; \exp\! \left( -i\;\dfrac{E_n}{\hbar}\;t \right)\;</math>»<ref> Il s'agit d'une façon raccourcie de dire « amplitude de l'état stationnaire décrit par la fonction d'onde <math>\;\underline{\psi}_n(M,\, t)\;</math> sur l'état propre décrit par <math>\;\underline{\Psi}_{n,\,j}(M)\; \exp\! \left( -i\;\dfrac{E_n}{\hbar}\;t \right)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}chaque scalaire <math>\;\underline{c}_{n,\,j}\;</math> est l'analogue de la composante sur un vecteur de base d'un vecteur d'un espace à <math>\;p\;</math> dimensions, <math>\;p\;</math> étant le degré de [[w:Dégénérescence_(physique_quantique)|dégénérescence]] du niveau d'énergie considéré.</ref> <br>dont «<math>\;\vert \underline{c}_{n,\,j} \vert^2\;</math> représente la probabilité de l'état propre <math>\;\underline{\Psi}_{n,\,j}(M)\; \exp\! \left( -i\;\dfrac{E_n}{\hbar}\;t \right)\;</math> dans l'état <math>\;\underline{\psi}_n(M,\, t)\;</math>»<ref> Il s'agit d'une façon raccourcie de dire « probabilité de l'état propre décrit par la fonction d'onde <math>\;\underline{\Psi}_{n,\,j}(M)\; \exp\! \left( -i\;\dfrac{E_n}{\hbar}\;t \right)\;</math> dans l'état de la particule décrit par la fonction d'onde {{Nobr|<math>\;\underline{\psi}_n(M,\, t)\;</math>» ;}} <br>{{Al|3}}pour des probabilités normalisées <math>\;\big(</math>quand cela est possible<math>\big)\;</math> la condition de normalisation s'écrit «<math>\;\sum\limits_j \vert \underline{c}_{n,\,j} \vert^2 = 1\;</math>» <math>\;\big(\Rightarrow\;</math>certitude que la particule étudiée est dans le niveau d'énergie <math>\;E_n\big)</math>.</ref>.</div> ==== Expression de la fonction d'onde décrivant un état quelconque de la particule quantique massique non relativiste à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps en utilisant les fonctions propres de l'opérateur linéaire « hamiltonien » ==== {{Al|5}}Dans le cas d'un spectre <u>discret</u> d'énergie <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> de l'« [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] [[w:Opérateur_hamiltonien|hamiltonien]] » d'une particule « quantique » non relativiste à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le cas d'un spectre discret d'énergie }}<math>\;\big\{</math>chaque niveau d'énergie <math>\;E_n\;</math> étant considéré comme <u>pouvant être [[w:Dégénérescence_(physique_quantique)|dégénéré]]</u><ref> S'il est [[w:Dégénérescence_(physique_quantique)|dégénéré]], chaque état propre est indexé par un paramètre <math>\;_j\;</math> et s'il ne l'est pas <math>\;_j\;</math> ne prend que la valeur <math>\;_1</math>.</ref><math>\big\}\;</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans le cas d'un spectre discret d'énergie }}avec, pour fonctions d'onde <math>\;\big(</math>[[w:Fonction_propre|propres]]<math>\big)\;</math> complètes de la particule dans les états <math>\;\big(</math>propres<math>\big)\;</math> correspondants «<math>\;\underline{\psi}_{n,\,j}(M,\,t) =</math> {{Nobr|<math>\underline{\Psi}_{n,\,j}(M)\; \exp\! \left( -i\;\dfrac{E_n}{\hbar}\;t \right)\;</math>»,}} <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans le cas d'un spectre discret d'énergie }}la fonction d'onde complète décrivant un état quelconque de la particule peut être décomposée sur tous ces états propres et on obtient l'expression suivante <div style="text-align: center;">«<math>\;\underline{\psi}(M,\, t) = \sum\limits_n \left[ \sum\limits_j \underline{c}_{n,\,j}\; \underline{\Psi}_{n,\,j}(M)\; \exp\! \left( -i\;\dfrac{E_n}{\hbar}\;t \right) \right]\;</math>» où <br>«<math>\;\underline{c}_{n,\,j}\;</math> est l'amplitude de l'état décrit par <math>\;\underline{\psi}(M,\, t)\;</math> dans l'état propre <math>\;\underline{\Psi}_{n,\,j}(M)\; \exp\! \left( -i\;\dfrac{E_n}{\hbar}\;t \right)\;</math>»<ref> Il s'agit d'une façon raccourcie de dire « amplitude de l'état décrit par la fonction d'onde <math>\;\underline{\psi}(M,\, t)\;</math> sur l'état propre décrit par <math>\;\underline{\Psi}_{n,\,j}(M)\; \exp\! \left( -i\;\dfrac{E_n}{\hbar}\;t \right)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}chaque scalaire <math>\;\underline{c}_{n,\,j}\;</math> est l'analogue de la composante d'un vecteur quelconque sur un vecteur de base du sous-espace <math>\;_n\;</math> à <math>\;p\;</math> dimensions <math>\;\big(p\;</math> étant le degré de [[w:Dégénérescence_(physique_quantique)|dégénérescence]] du niveau d'énergie <math>\;_n\big)</math>.</ref>, <br>«<math>\;\sum\limits_j \vert \underline{c}_{n,\, j} \vert^2\;</math> étant la probabilité de trouver l'énergie <math>\;E_n\;</math> lors d'une mesure de l'énergie de la particule »<ref> Pour des probabilités normalisées <math>\;\big(</math>quand cela est possible<math>\big)\;</math> la condition de normalisation s'écrit «<math>\;\sum\limits_n \left[ \sum\limits_j \vert \underline{c}_{n,\, j} \vert^2 \right] = 1\;</math>» <math>\;\big\{\Rightarrow\;</math>certitude de trouver une valeur lors de la mesure de l'énergie de la particule dans l'état décrit par la fonction d'onde <math>\;\underline{\psi}(M,\, t)\big\}</math>.</ref>.</div> == Conséquence du confinement spatial d'un oscillateur harmonique unidimensionnel dans le cadre de la mécanique quantique, l'impossibilité théorique d'être dans un état d'immobilité : notion d'énergie minimale de l'oscillateur harmonique quantique == === Présentation d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique === {{Al|5}}Un [[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] est une particule « quantique » non relativiste de masse <math>\;m\;</math> restant localisée au voisinage d'un point <math>\;O\;</math> sur un axe <math>\;x'x\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique est une particule « quantique » non relativiste de masse <math>\;\color{transparent}{m}\;</math> }}possédant une énergie potentielle de forme parabolique <math>\;U(x) = \dfrac{1}{2}\;m\;x^2\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique est une particule « quantique » }}telle que l'« amplitude d'oscillations<ref name="sens classique"> Au sens classique.</ref> <math>\;\cancel{\gg}\;</math> devant un ordre de grandeur de la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de]] {{Nobr|[[w:Hypothèse_de_De_Broglie|de Broglie]] »<ref> Si <math>\;A\;</math> est l'amplitude d'oscillations <math>\;\big(</math>au sens classique<math>\big)\;</math> on a <math>\;A\; \cancel{\gg}\; 100\; \lambda_{d.B.,\,\text{ordre de grandeur}}\;</math> avec <math>\;\lambda_{d.B.,\,\text{ordre de grandeur}} = \dfrac{h}{A(p)}\;</math> où <math>\;A(p)\;</math> est l'amplitude de la quantité de mouvement <math>\;p</math> ;<br>{{Al|3}}la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]] d'une onde de matière associée à une particule ne peut être définie sans ambiguïté relativement à la quantité de mouvement <math>\;\big(</math>classique<math>\big)</math> <math>\;p\;</math> de la particule que si cette dernière est constante or, dans le cas d'un [[w:Oscillateur_harmonique#Approche_expérimentale_:_exemples_d'oscillateurs_réels|oscillateur harmonique unidimensionnel]] celle-ci serait, comme l'abscisse <math>\;x</math>, sinusoïdale selon <math>\;p = m\;\dot{x}\;</math> d'où l'impossibilité de définir la [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]] mais, si l'amplitude des oscillations classiques de <math>\;x\;</math> est <math>\;A\;</math> de pulsation <math>\;\omega_0\;</math> nous en déduisons l'amplitude des oscillations classiques de <math>\;p\;</math> selon <math>\;A(p) = m\;\omega_0\;A\;</math> d'où la condition pour que l'[[w:Oscillateur_harmonique#Approche_expérimentale_:_exemples_d'oscillateurs_réels|oscillateur harmonique unidimensionnel]] soit quantique <math>\;A\; \cancel{\gg}\; 100\; \dfrac{h}{m\;\omega_0\;A}\;</math> ou <math>\;A\; \cancel{\gg}\; 10\; \sqrt{\dfrac{h}{m\;\omega_0}}\;</math> ou encore, avec <math>\;\omega_0^2 = \dfrac{k}{m}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;m\;\omega_0 = \dfrac{k}{\omega_0}\;</math> la réécriture de la condition pour que l'oscillateur soit quantique <math>\;A\; \cancel{\gg}\; 10\; \sqrt{\dfrac{h\;\omega_0}{k}}\;</math> ou enfin une 3^ème forme <math>\;A\; \cancel{\gg}\; 10\; \sqrt{\dfrac{h}{\sqrt{k\;m}}}</math>. <br>{{Al|3}} '''[[w:Louis_de_Broglie|Louis Victor de Broglie]] (1892 - 1987)''' <math>\;\big(</math>se prononce « Brogle »<math>\big)\;</math> mathématicien et physicien français, essentiellement connu pour sa proposition de nature ondulatoire des électrons, ce qui lui valut le prix Nobel de physique en <math>\;1929</math>.</ref> ;}} {{Al|5}}on réalise une réduction canonique en posant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math>» correspondant à sa pulsation propre<ref name="sens classique" /> d'où une réécriture de l'énergie potentielle «<math>\;U(x) = \dfrac{1}{2}\;m\;\omega_0^2\;x^2\;</math>» et par suite <br>{{Al|11}}{{Transparent|on réalise une réduction canonique en posant «<math>\;\color{transparent}{\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}}\;</math>» correspondant à sa pulsation propre d'où une réécriture }}de l'[[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]]<ref name="identification entre hamiltonien et énergie mécanique"> Qui s'identifie à l'énergie mécanique dans le cadre classique d'une particule.</ref> «<math>\;\mathcal{H}(x,\,p) = K(p) + U(x)\;</math>» dans lequel l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>non relativiste<math>\big)</math> <math>\;K(p)\;</math> s'écrit «<math>\;K(p) = \dfrac{p^2}{2\;m}\;</math> <math>\big(p\;</math> étant la grandeur [[w:Mécanique_quantique#Les_inégalités_de_Heisenberg|conjuguée]] de <math>\;x\;</math><ref> À signification de quantité de mouvement pour une particule classique.</ref><math>\big)\;</math>» soit, après report dans l'expression de l'[[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]]<ref name="identification entre hamiltonien et énergie mécanique" /> <br>{{Al|17}}{{Transparent|on réalise une réduction canonique en posant «<math>\;\color{transparent}{\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}}\;</math>» correspondant à sa pulsation propre d'où une réécriture de l'hamiltonien }}«<math>\;\mathcal{H}(x,\,p) = \dfrac{p^2}{2\;m} + \dfrac{1}{2}\;m\;\omega_0^2\;x^2\;</math>». === Exemples d'oscillateurs harmoniques unidimensionnels quantiques === <div style="text-align: center;">La liste d'exemples choisis n'est évidemment pas exhaustive :</div> * <u>vibrations des atomes dans un solide</u> : si les atomes sont alignés suivant trois directions, il y a un [[w:Oscillateur_harmonique#Oscillateur_harmonique_libre_unidimensionnel|oscillateur harmonique unidimensionnel]] sur chacune d'elles traduisant les vibrations entre atomes voisins {{Nobr|<math>\;\big(</math>une}} façon schématique de représenter les interactions entre atomes est de les supposer reliées par un ressort de longueur à vide égale à la distance séparant les atomes voisins à l'équilibre et à spires non jointives, la compression du ressort traduisant une force répulsive et son allongement une force attractive<math>\big)</math> ; les atomes dans un solide vibrant dans l'infra-rouge, l'amplitude de vibration peut correspondre effectivement à un [[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] <ref> En effet nous avons précisé dans la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#cite_note-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre que la condition pour que l'oscillateur soit quantique est que l'amplitude de vibrations satisfasse {{Nobr|«<math>\;A\; \cancel{\gg}\; 10\; \sqrt{\dfrac{h}{m\;\omega_0}}\;</math>»}} ou, avec <math>\;\omega_0 = 2\;\pi\;\nu_0\;</math> dans laquelle <math>\;\nu_0\;</math> est la fréquence de vibration, «<math>\;A\; \cancel{\gg}\; 10\; \sqrt{\dfrac{\hbar}{m\;\nu_0}}\;</math>» soit, avec <math>\;m \simeq 10^{-25}\;kg\;</math> et <math>\;\nu_0 \simeq 10^{16}\;Hz</math>, «<math>\;A\; \cancel{\gg}\; 10\; \sqrt{\dfrac{10^{-34}}{10^{-25} \times 10^{16}}} \simeq 3\;10^{-12}\;m</math> <math>= 3\;pm\;</math>», les atomes étant séparés de quelques <math>\;1\;\text{Å} = 100\;pm\;</math> les uns des autres, l'amplitude de vibration devrait être <math>\;\lesssim\;</math> à une fraction de cette distance tout à fait envisageable.</ref> ; * <u>vibrations des atomes dans une molécule diatomique</u> comme la molécule de chlorure d'hydrogène <math>\;H - Cl</math> : le système étant écarté légèrement de sa position d'équilibre stable oscille pour retrouver cette dernière, comme, par exemple, dans une molécule diatomique de chlorure d'hydrogène dans laquelle on a éloigné modérément les atomes <math>\;H\;</math> et <math>\;Cl</math> ; * <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : dans les exemples ci-dessus on considère deux objets en interaction assimilable à l'action d'un ressort <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : dans les exemples ci-dessus }}mais la définition d'un [[w:Oscillateur_harmonique#Oscillateur_harmonique_libre_unidimensionnel|oscillateur harmonique unidimensionnel]] évoquée au chap.<math>1</math> intitulé [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique|oscillateur harmonique]] de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : dans les exemples ci-dessus mais la définition d'un oscillateur harmonique unidimensionnel }}concerne un objet soumis à l'action d'un ressort ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : dans les exemples ci-dessus mais la définition d'un oscillateur harmonique unidimensionnel }}on peut effectivement s'y ramener car <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : dans les exemples ci-dessus }}l'étude d'un système de deux points matériels se réduit à l'étude du mouvement de son « C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>. »<ref name="centre d'inertie"> Notion introduite au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_du_mouvement_d'un_solide_dans_deux_cas_particuliers#Centre_d'inertie_d'un_système_(discret)_fermé_de_points_matériels|centre d'inertie d'un système (discret) fermé de points matériels]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » définissant le centre d'inertie comme le « barycentre des positions des points affectés de leur masse comme cœfficient » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Définition_du_barycentre_d'un_système_de_n_points_pondérés|définition du barycentre d'un système de n points pondérés]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : dans les exemples ci-dessus l'étude d'un système de deux points matériels se réduit }}à celle d'un autre point <math>\;\big(</math>fictif<math>\big)\;</math> « le [[w:Problème_à_deux_corps#Introduction_de_la_notion_de_particule_fictive|mobile réduit]] »<ref name="mobile réduit"> N'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais c'est pourtant fondamental dans l'étude des systèmes de deux points, lesquels sont au programme <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Problème_à_deux_corps,_réduction_canonique#Notion_de_mobile_réduit|notion de mobile réduit]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_des_systèmes_de_points|Mécanique des systèmes de points]] »<math>\big]</math>.</ref> dans le « [[w:Référentiel_barycentrique|référentiel barycentrique]] »<ref name="référentiel barycentrique"> Référentiel en translation par rapport au référentiel d'étude et tel que le C.D.I. <math>\;\big(</math>centre d'inertie<math>\big)\;</math> y soit immobile <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Cinétique_et_dynamique_d'un_système_de_deux_points_matériels#Définition_6|définition]] (du référentiel barycentrique d'un système de deux points matériels) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_des_systèmes_de_points|Mécanique des systèmes de points]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : dans les exemples ci-dessus l'étude d'un système de deux points matériels se réduit à celle d'un autre }}point de [[w:Problème_à_deux_corps#Introduction_de_la_notion_de_particule_fictive|masse dite réduite]] «<math>\;\mu = \dfrac{m_1\;m_2}{m_1 + m_2}\;</math>» dont le mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de l'objet <math>\;(2)\;</math> par rapport à {{Nobr|l'objet <math>\;(1)\;</math>}} s'il est soumis à la force que l'objet <math>\;(2)\;</math> exerce sur l'objet <math>\;(1)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Problème_à_deux_corps,_réduction_canonique#Recherche_de_la_force_à_imposer_au_mobile_réduit_pour_que_son_mouvement_barycentrique_s'identifie_au_mouvement_relatif_de_M2_par_rapport_à_M1_et_conséquence|recherche de la force à imposer au mobile réduit pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de M₂ par rapport à M₁ et conséquence]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_des_systèmes_de_points|Mécanique des systèmes de points]] ».</ref> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire, dans le cas présent, à l'action du ressort<math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : dans les exemples ci-dessus }}on est ramené à l'étude d'un [[w:Oscillateur_harmonique#Approche_expérimentale_:_exemples_d'oscillateurs_réels|oscillateur harmonique unidimensionnel]] évoquée au chap.<math>1</math> [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique|oscillateur harmonique]] de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ». === En complément : équation de Schrödinger de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique indépendante du temps === {{Al|5}}À partir de l'expression de l'[[w:Mécanique_hamiltonienne#Hamiltonien|hamiltonien]] d'un [[w:Oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_classique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel classique]]<ref> « Classique » au sens de « non quantique » et « non relativiste ».</ref> «<math>\;\mathcal{H}(x,\,p) = K(p) + U(x) = \dfrac{p^2}{2\;m} + \dfrac{1}{2}\;m\;\omega_0^2\;x^2\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir de l'expression de l'hamiltonien }}établie dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#Présentation_d'un_oscillateur_harmonique_unidimensionnel_quantique|présentation d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] » plus haut dans ce chapitre, nous en déduisons <br>{{Al|16}}{{Transparent|À partir de }}celle de l'« [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] [[w:Opérateur_hamiltonien|hamiltonien]] »<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#Construction_de_l'opérateur_linéaire_«_hamiltonien_»_d'une_particule_quantique_massique_non_relativiste|construction de l'opérateur linéaire hamiltonien d'une particule quantique massique non relativiste]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de l'[[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] «<math>\;\widehat{\mathcal{H}} = -\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\Delta_t\! \left[ \; \right] + U(M,\, t) \times\! \left[ \; \right]\;</math>»<ref name="opérateur laplacien de fonction scalaire" /> ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|À partir de celle de l'« opérateur linéaire hamiltonien » de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique }}«<math>\;\widehat{\mathcal{H}} = -\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\left( \dfrac{\partial^2 }{\partial x^2} \right)_{\! t} \left[ \; \right] + \dfrac{1}{2} \; m \; \omega_0^2\; x^2 \times \left[ \; \right]\;</math>» d'où, {{Al|5}}{{Transparent|À partir de }}l'expression de l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> indépendante du temps à laquelle satisfait cet [[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] <br>{{Al|11}}{{Transparent|À partir de l'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du temps }}«<math>\;-\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\; \dfrac{d^2 \underline{\Psi}_n}{dx^2}(x) + \dfrac{1}{2} \; m \; \omega_0^2\; x^2 \; \underline{\Psi}_n(x) = E_n\;\underline{\Psi}_n(x)\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|À partir de l'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du temps }}«<math>\;\underline{\Psi}_n(x)\;</math> la partie spatiale de la <math>\;\big(</math>ou de l'une des<math>\big)\;</math> fonction(s) d'onde de cet [[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur]] d'énergie <math>\;E_n\;</math>», ou encore, <br>{{Al|11}}{{Transparent|À partir de l'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du temps }}«<math>\;\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\; \dfrac{d^2 \underline{\Psi}_n}{dx^2}(x) + \left( E_n - \dfrac{1}{2} \; m \; \omega_0^2\; x^2 \right) \underline{\Psi}_n(x) = 0\;</math>» soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|À partir de l'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du temps }}une équation différentielle linéaire homogène du 2^ème ordre en <math>\;\underline{\Psi}_n\;</math> sans terme du 1^er ordre<ref> Cette équation n'étant pas à cœfficients constants, sa résolution ne relève pas de la recherche de solutions de forme exponentielle et par conséquent de la résolution de l'équation caractéristique correspondante ;<br>{{Al|3}}de toute façon l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]] étant un complément, nous ne chercherons pas à la résoudre, la résolution mathématique du type d'équation différentielle suivie par l'[[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] serait d'ailleurs, hors de portée au niveau de la présentation, car nécessitant de connaître les [[w:Série entière#Fonction_développable_en_série_entière|développements de fonctions en séries entières]], elle ne présente toutefois pas de difficultés majeures mais conduit à des calculs un peu laborieux ; <br>{{Al|3}}d'autre part la méthode de résolution par [[w:Série entière#Fonction développable en série entière|développement en séries entières]] étant peu explicite physiquement, une autre approche, impulsée par '''[[w:Paul_Dirac|Paul Adrien Maurice Dirac]]''', lui est préférable, elle fournit les [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeurs propres]] de l'« [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] [[w:Opérateur_hamiltonien|hamiltonien]] » <math>\;\widehat{\mathcal{H}} =</math> <math>-\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\; \dfrac{d^2 }{dx^2} \left[ \; \right] + \dfrac{1}{2} \; m \; \omega_0^2\; x^2 \times \left[ \; \right]</math>, c.-à-d. les valeurs d'énergie <math>\;E_n\;</math> sans résoudre explicitement l'équation différentielle. <br>{{Al|3}}'''[[w:Paul_Dirac|Paul Adrien Maurice Dirac]] (1902 - 1984)''' physicien et mathématicien britannique : voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#cite_note-Dirac-77|⁷⁷]] » plus bas dans ce chapitre pour plus de détails. <br>{{Al|3}}'''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger]] (1887 - 1961)''' physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien : voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#cite_note-Schrödinger-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.</ref>. === Utilisation du confinement spatial d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique === {{Al|5}}Un [[w:Oscillateur_harmonique_quantique#Définition_:_Importance_physique|oscillateur harmonique unidimensionnel classique]] ayant une énergie potentielle parabolique reste « confinée spatialement au voisinage de l'origine <math>\;O\;</math> de l'axe »<ref> Une 2^ème définition d'un [[w:Oscillateur_harmonique_quantique#Définition_:_Importance_physique|oscillateur harmonique unidimensionnel classique]] c.-à-d. « objet piégé dans un puits d'énergie potentielle parabolique » est justifiée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Rappel_de_l'intégrale_1ère_énergétique_de_l'oscillateur_harmonique_à_une_dimension_constitué_d'un_pendule_élastique_horizontal_non_amorti_(P.E.H.N.A.)|rappel de l'intégrale 1^ère énergétique de l'oscillateur harmonique à une dimension constitué d'un pendule élastique horizontal non amorti (P.E.H.N.A.)]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|3}}la propriété de « confinement spatial » d'un [[w:Oscillateur_harmonique_quantique#Définition_:_Importance_physique|oscillateur harmonique unidimensionnel classique]] établie dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée|présence de deux murs d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement bornée]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}nous allons <u>déduire de l'[[w:Principe d'incertitude#Inégalité de Heisenberg|inégalité de Heisenberg]] <ref name="Heisenberg"> '''[[w:Werner_Heisenberg|Werner Heisenberg]] (1901 - 1976)''' physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en <math>\;1932\;</math> pour la création d'une forme de mécanique quantique <math>\;\big(</math>connue sous le nom de [[w:Mécanique_matricielle|mécanique matricielle]]<math>\big)</math>, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des [[w:Allotropie|variétés allotropiques]] de l'hydrogène <math>\;\big(</math>le dihydrogène existe sous deux [[w:Allotropie|formes allotropiques]] « ortho » où les spins sont parallèles et « para » où ils sont antiparallèles, le dihydrogène ortho étant présent à <math>\;75\;\%\;</math> à température élevée et sa proportion diminuant quand sa température diminue<math>\big)</math>.</ref> spatiale<ref name="inégalité de Heisenberg spatiale"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#Induction_de_l'inégalité_de_Heisenberg_spatiale_à_partir_de_la_relation_de_diffraction_appliquée_à_un_photon|induction de l'inégalité de Heisenberg spatiale à partir de la relation de diffraction appliquée à un photon]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> l'impossibilité théorique que l'oscillateur reste à l'équilibre</u> c'est-à-dire soit dans un état quantique d'immobilité, en effet :{{Al|5}}l'hypothèse de l'oscillateur quantique restant à sa position d'équilibre supposerait d'une part son abscisse <math>\;x = 0\;</math> parfaitement déterminée c'est-à-dire à incertitude quantique nulle soit <math>\;\Delta x = 0\;</math> et :{{Al|5}}{{Transparent|l'hypothèse de l'oscillateur quantique restant à sa position d'équilibre supposerait }}d'autre part sa quantité de mouvement <math>\;p = 0\;</math> exactement fixée c'est-à-dire à incertitude quantique nulle soit <math>\;\Delta p = 0</math>, :{{Al|5}}or <u>la simultanéité des deux est en contradiction avec l'[[w:Principe d'incertitude#Inégalité de Heisenberg|inégalité de Heisenberg]]<ref name="Heisenberg" /> spatiale</u> c'est-à-dire en contradiction avec «<math>\;\Delta x\; \Delta p \geqslant \dfrac{\hbar}{2}\;</math>»  :{{Al|10}}{{Transparent|or la simultanéité des deux est en contradiction avec l'inégalité de Heisenberg spatiale }}d'où l'impossibilité théorique que l'[[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] soit à l'équilibre ; {{Al|5}}les valeurs d'énergies <math>\;\big(</math>propres<math>\big)\;</math> de l'[[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] étant ''a priori'' <math>\;\geqslant 0\;</math><ref name="positives ou nulles"> Comme c'est le cas pour un [[w:Oscillateur_harmonique#Mise_en_évidence_de_la_conservation_de_l'énergie|oscillateur harmonique unidimensionnel classique]], l'énergie étant la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle toutes deux positives ou nulles.</ref>, <u>l'impossibilité d'un état quantique d'immobilité à l'équilibre</u><math>\;\Rightarrow\;</math>l'interdiction d'une valeur nulle</u> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>en}} effet, pour que l'[[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] ait une valeur nulle d'énergie il faudrait qu'il soit dans un état où simultanément <math>\;U = 0\;</math> et <math>\;K = 0</math>, ceci correspondant aussi à un état où simultanément <math>\;x = 0\;</math> et <math>\;p = 0\;</math> c'est-à-dire un état quantique d'immobilité à l'équilibre, état interdit par [[w:Principe d'incertitude#Inégalité de Heisenberg|inégalité de Heisenberg]]<ref name="Heisenberg" /> spatiale<ref name="inégalité de Heisenberg spatiale" /><math>\big\}</math>. === Ordre de grandeur de l'énergie minimale de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique === {{Al|5}}Toujours en utilisant l'[[w:Principe d'incertitude#Inégalité de Heisenberg|inégalité de Heisenberg]]<ref name="Heisenberg" /> spatiale<ref name="inégalité de Heisenberg spatiale" /> on se propose de déterminer un ordre de grandeur de l'énergie minimale de l'[[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] c'est-à-dire <br>{{Al|17}}{{Transparent|Toujours en utilisant l'inégalité de Heisenberg spatiale on se propose de déterminer un ordre de grandeur de }}l'énergie de son état fondamental ; <br>{{Al|17}}{{Transparent|Toujours en utilisant l'inégalité de Heisenberg spatiale on se propose de déterminer un ordre de grandeur de }}pour cela on détermine les propriétés ci-dessous<ref> Pour les deux 1^ères en restant dans le cadre de la mécanique classique puis en admettant leur validité dans le cadre de la mécanique ondulatoire.</ref> : * oscillateur invariant par symétrie centrale de centre <math>\;O\;</math> <math>\big(</math>énergie potentielle paire<math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> valeur moyenne de sa position<ref name="sens classique" /> «<math>\;\overline{x} = 0\;</math>» soit une même probabilité<ref name="sens quantique"> Au sens quantique.</ref> d'avoir la valeur <math>\;x\;</math> et <math>\;-x</math> ; <br>compte-tenu du lien<ref name="sens classique" /> entre <math>\;p\;</math> et <math>\;\dot{x}\;</math><ref> On rappelle qu'en cinétique newtonienne <math>\;p = m\; \dot{x}</math>.</ref>, la valeur moyenne de sa quantité de mouvement est aussi «<math>\;\overline{p} = 0\;</math>»<ref> L'invariance du mouvement par symétrie centrale entraînant <math>\;\overline{\dot{x}} = 0</math>.</ref> correspondant à une même probabilité<ref name="sens quantique" /> d'avoir la valeur <math>\;p\;</math> et <math>\;-p</math> ; * l'[[w:Écart_type|écart quadratique moyen]] sur les valeurs<ref name="sens classique" /> de <math>\;x\;</math> est donc «<math>\;\Delta x = \sqrt{\left\langle \left( x - \overline{x} \right)^2 \right\rangle} = \sqrt{\left\langle \left( x \right)^2 \right\rangle}\;</math>»<ref name="valeur moyenne"> La notation <math>\;\left\langle g \right\rangle\;</math> représentation la valeur moyenne pour une série de valeurs de la grandeur <math>\;g</math>, notation équivalente à <math>\;\overline{g}</math>.</ref>{{,}}<ref name="définition de l'écart quadratique moyen"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#Incertitudes_théoriques_sur_la_«_quantité_de_mouvement_»_et_sur_la_«_position_»_transversales_du_photon_lors_de_l'expérience_de_diffraction_appliquée_à_un_photon|incertitudes théoriques sur la quantité de mouvement et sur la position transversales du photon lors de l'expériences de diffraction appliquée à un photon]] » du chap.<math>18</math> de la leçon [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », la généralisation à n'importe quelle particule quantique ne faisant sans restriction.</ref> ainsi que <br>{{Al|3}}{{Transparent|l'écart quadratique }}celui sur les valeurs<ref name="sens classique" /> de <math>\;p\;</math> défini par «<math>\;\Delta p = \sqrt{\left\langle \left( p - \overline{p} \right)^2 \right\rangle} = \sqrt{\left\langle \left( p \right)^2 \right\rangle}\;</math>»<ref name="valeur moyenne" />{{,}}<ref name="définition de l'écart quadratique moyen" />, <br>{{Transparent|l'écart quadratique moyen sur}}ces valeurs<ref name="sens quantique" /> «<math>\;\Delta x\;</math> et <math>\;\Delta p\;</math>» étant respectivement l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique"> On parle d'incertitude « quantique » car c'est une incertitude théorique contenue dans les principes de la mécanique quantique, et non une incertitude « expérimentale ».</ref> sur la position et la quantité de mouvement ; * l'énergie de l'oscillateur à valeur <math>\;E\;</math> fixée<ref name="sens classique" /> s'identifie à sa valeur moyenne <math>\;\overline{E}\;</math><ref name="sens quantique" /> soit «<math>\;E = \overline{E} = \overline{K} + \overline{U} = \dfrac{\left\langle p^2 \right\rangle}{2\; m} + \dfrac{1}{2}\;m\;\omega_0^2\; \left\langle x^2 \right\rangle\;</math>»<ref name="valeur moyenne" /> ou encore, avec <math>\left\lbrace \begin{array}{c} \left\langle x^2 \right\rangle = \left( \Delta x \right)^2\\ \left\langle p^2 \right\rangle = \left( \Delta p \right)^2\end{array}\right\rbrace</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'énergie de l'oscillateur à valeur <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> fixée s'identifie à }}la valeur d'énergie <math>\;E\;</math> suivante «<math>\;E = \dfrac{\left( \Delta p \right)^2}{2\; m} + \dfrac{1}{2}\;m\;\omega_0^2\; \left( \Delta x \right)^2\;</math>»<ref name="valeur moyenne" /> ; * l'[[w:Principe d'incertitude#Inégalité de Heisenberg|inégalité de Heisenberg]]<ref name="Heisenberg" /> spatiale<ref name="inégalité de Heisenberg spatiale" /> liant les deux incertitudes « quantiques »<ref name="incertitude quantique" /> selon «<math>\;\Delta x\; \Delta p \geqslant \dfrac{\hbar}{2}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> pour une incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur la position fixée égale à <math>\;\Delta x</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|l'inégalité de Heisenberg spatiale liant les deux incertitudes « quantiques » selon «<math>\;\color{transparent}{\Delta x\; \Delta p \geqslant \dfrac{\hbar}{2}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}une valeur minimale de l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur sa quantité de mouvement <br>{{Al|18}}{{Transparent|l'inégalité de Heisenberg spatiale liant les deux incertitudes « quantiques » selon «<math>\;\color{transparent}{\Delta x\; \Delta p \geqslant \dfrac{\hbar}{2}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> une valeur minimale }}«<math>\;\left( \Delta p \right)_{\text{min}} = \dfrac{\hbar}{2\; \Delta x}\;</math>» soit, <br>{{Al|18}}{{Transparent|l'inégalité de Heisenberg spatiale liant les deux incertitudes « quantiques » selon «<math>\;\color{transparent}{\Delta x\; \Delta p \geqslant \dfrac{\hbar}{2}}\;</math>» }}en reportant dans l'expression de l'énergie ci-dessus «<math>\;E =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{\left( \Delta p \right)^2}{2\; m} + \dfrac{1}{2}\;m\;\omega_0^2\; \left( \Delta x \right)^2\;</math>»,}} <br>{{Al|12}}{{Transparent|l'inégalité de Heisenberg spatiale liant }}l'expression « optimale »<ref> Au sens où l'incertitude quantique sur la quantité de mouvement est la plus faible, du point de vue théorique, relativement à l'incertitude quantique sur la position.</ref> de l'énergie <math>\;E\;</math> exprimée uniquement en fonction de l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur la position «<math>\;\Delta x\;</math>» <br>{{Al|18}}{{Transparent|l'inégalité de Heisenberg spatiale liant l'expression « optimale » de l'énergie <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> }}«<math>\;E_{\text{optimale}} = \dfrac{\hbar^2}{8\; m\; \left( \Delta x \right)^2} + \dfrac{1}{2}\;m\;\omega_0^2\; \left( \Delta x \right)^2\;</math>» ; * on cherche alors la valeur d'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur la position rendant minimale l'expression optimale de l'énergie <math>\;E_{\text{optimale}}</math>, valeur notée «<math>\;(\Delta x)_{\left\lbrace E_{\text{optimale}}\,\text{min} \right\rbrace}\;</math>», <br>{{Al|6}}{{Transparent|on cherche alors la valeur d'incertitude « quantique » sur la position rendant minimale l'expression optimale de l'énergie <math>\;\color{transparent}{E_{\text{optimale}}}</math>, }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d E_{\text{optimale}}}{d\! \left[ \left( \Delta x \right)^2 \right]}\! \left[ \left\lbrace (\Delta x)_{\left\lbrace E_{\text{optimale}}\,\text{min} \right\rbrace} \right\rbrace^2 \right]</math> {{Nobr|<math>= 0\;</math>»<ref> L'expression optimale de l'énergie étant une fonction de <math>\;\left( \Delta x \right)^2\;</math> il suffit d'assurer la nullité de la dérivée par rapport à cette variable.</ref>}} <br>{{Al|6}}{{Transparent|on cherche alors la valeur d'incertitude « quantique » sur la position rendant minimale l'expression optimale de l'énergie <math>\;\color{transparent}{E_{\text{optimale}}}</math>, }}avec «<math>\;\dfrac{d E_{\text{optimale}}}{d\! \left[ \left( \Delta x \right)^2 \right]}\! \left[ \left( \Delta x \right)^2 \right] = -\dfrac{\hbar^2}{8\; m\; \left( \Delta x \right)^4} + \dfrac{1}{2}\;m\;\omega_0^2\;</math>» dont <br>{{Al|6}}{{Transparent|on cherche alors la valeur d'incertitude « quantique » sur la position rendant minimale l'expression optimale de l'énergie <math>\;\color{transparent}{E_{\text{optimale}}}</math>, }}l'annulation donne «<math>\;\left\lbrace (\Delta x)_{\left\lbrace E_{\text{optimale}}\,\text{min} \right\rbrace} \right\rbrace^2 = \dfrac{\hbar}{2\; m\; \omega_0}\;</math>»<ref> L'expression optimale de l'énergie «<math>\;E_{\text{optimale}} = \dfrac{\hbar^2}{8\; m\; \left( \Delta x \right)^2} + \dfrac{1}{2}\;m\;\omega_0^2\; \left( \Delta x \right)^2\;</math>» est effectivement minimale pour cette valeur «<math>\;\left\lbrace (\Delta x)_{\left\lbrace E_{\text{optimale}}\,\text{min} \right\rbrace} \right\rbrace^2 = \dfrac{\hbar}{2\; m\; \omega_0}\;</math>» car <br>{{Al|3}}{{Transparent|L'expression optimale de l'énergie «<math>\;\color{transparent}{E_{\text{optimale}} = \dfrac{\hbar^2}{8\; m\; \left( \Delta x \right)^2} + \dfrac{1}{2}\;m\;\omega_0^2\; \left( \Delta x \right)^2}\;</math>» est effectivement minimale }}la dérivée calculée «<math>\;\dfrac{d E_{\text{optimale}}}{d\! \left[ \left( \Delta x \right)^2 \right]}\! \left[ \left( \Delta x \right)^2 \right] = -\dfrac{\hbar^2}{8\; m\; \left( \Delta x \right)^4} + \dfrac{1}{2}\;m\;\omega_0^2\;</math>» est * <math>\;< 0\;</math> pour les valeurs de <math>\;\left( \Delta x \right)^2\;</math> <math><\;</math> à <math>\;\left\lbrace (\Delta x)_{\left\lbrace E_{\text{optimale}}\,\text{min} \right\rbrace} \right\rbrace^2\;</math> <math>\;\big\{</math>elle tend vers <math>\;-\infty\;</math> quand <math>\;\left( \Delta x \right)^2 \rightarrow 0\big\}\;</math> donc <math>\;E_{\text{optimale}}\;</math> y est <math>\;\searrow\;</math> et * <math>\;> 0\;</math> pour les valeurs de <math>\;\left( \Delta x \right)^2\;</math> <math>>\;</math> à <math>\;\left\lbrace (\Delta x)_{\left\lbrace E_{\text{optimale}}\,\text{min} \right\rbrace} \right\rbrace^2\;</math> <math>\bigg\{</math>elle tend vers <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\omega_0^2\;</math> quand <math>\;\left( \Delta x \right)^2 \rightarrow +\infty\bigg)\;</math> donc <math>\;E_{\text{optimale}}\;</math> y est <math>\;\nearrow</math>.</ref> ; * la valeur minimale de l'expression optimale de l'énergie vaut donc «<math>\;E_{\text{optimale, min}} = \dfrac{\hbar^2}{8\; m\; \dfrac{\hbar}{2\; m\; \omega_0}} + \dfrac{1}{2}\;m\;\omega_0^2\; \dfrac{\hbar}{2\; m\; \omega_0}\;</math>» soit finalement «<math>\;E_{\text{optimale, min}}</math> <math>= \dfrac{\hbar\;\omega_0}{2}\;</math>». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : par utilisation de l'[[w:Principe d'incertitude#Inégalité de Heisenberg|inégalité de Heisenberg]]<ref name="Heisenberg" /> spatiale<ref name="inégalité de Heisenberg spatiale" /> on a obtenu un ordre de grandeur de l'énergie minimale d'un [[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] «<math>\;E_{\text{min}} = \dfrac{\hbar\;\omega_0}{2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}pour établir toutes les valeurs d'énergies possibles d'un tel oscillateur, la meilleure méthode est celle de Dirac<ref name="Dirac"> '''[[w:Paul_Dirac|Paul Adrien Maurice Dirac]] (1902 - 1984)''' physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en <math>\;1933</math>, on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la [[w:Physique_statistique|mécanique statistique]] et de la [[w:Physique_quantique|physique quantique]] des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]] de Schrödinger et la [[w:Mécanique_matricielle|mécanique matricielle]] de Heisenberg, deux présentations de la même [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de [[w:Distribution_de_Dirac|distribution de Dirac]] et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français '''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]]''' dans sa [[w:Théorie_des_distributions|théorie des distributions]] ; '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' fut colauréat du prix Nobel de Physique en <math>\;1933\;</math> pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger. <br>{{Al|3}}'''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger]] (1887 - 1961)''' physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien : voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#cite_note-Schrödinger-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails. <br>{{Al|3}}'''[[w:Werner_Heisenberg|Werner Heisenberg]] (1901 - 1976)''' physicien allemand, l'un des fondateurs de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] : voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#cite_note-Heisenberg-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails. <br>{{Al|3}}'''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]] (1915 - 2002)''' mathématicien français, ayant été le 1^er français à obtenir la médaille Fields <math>\;\big(</math>équivalent du prix Nobel en mathématiques<math>\big)\;</math> en <math>\;1950\;</math> pour ses travaux sur la [[w:Théorie_des_distributions|théorie des distributions]] <math>\;\big(</math>sorte de prolongement des fonctions dans des domaines avec discontinuité <math>\ldots\big)</math>.</ref> signalée dans la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#cite_note-62|⁶²]] » plus haut dans ce chapitre, en particulier <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : pour établir toutes les valeurs d'énergies possibles d'un tel oscillateur, }}on y établit celle de son énergie minimale, appelée « [[w:Énergie_du_point_zéro|énergie du point zéro]] » <math>\;\big(</math>c'est-à-dire l'énergie de l'état {{Nobr|fondamental<math>\big)\;</math>}} <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : pour établir toutes les valeurs d'énergies possibles d'un tel oscillateur, on y établit celle de son énergie minimale, }}qui vaut effectivement «<math>\;E_0 = \dfrac{\hbar\;\omega_0}{2}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}ce résultat n'est pas uniquement théorique, il explique entre autres, le fait que l'isotope <math>\;4\;</math> de l'hélium «<math>\;^4He\;</math>» reste liquide aux températures proches de <math>\;0\, K\;</math><ref> Au voisinage de <math>\;0\, K\;</math> une approche classique conduirait à une énergie nulle avec absence de mouvements relatifs entre molécules et par suite une impossibilité de phase liquide à <math>\;0\, K\;</math> <math>\big\{</math>l'absence de mouvements relatifs entre molécules <math>\;\big(</math>ou atomes<math>\big)\;</math> ne s'observant que dans une phase solide<math>\big\}</math>, ce qui n'est pas ce qu'on observe, d'où la nécessité de faire une approche quantique conduisant à une « énergie non nulle quand l'hélium <math>\;^4He\;</math> s'approche de <math>\;0\, K\;</math>» et permettant l'explication de la phase liquide de ce dernier aux températures voisines de <math>\;0\, K</math>.</ref>. == Quantification (admise) de l'énergie d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique == === Spectre des niveaux d'énergie d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique === {{Al|5}}Nous avons déjà dit que la méthode de Dirac<ref name="Dirac" /> signalée dans la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#cite_note-62|⁶²]] » plus haut dans ce chapitre permet d'établir<ref> Néanmoins nous ne le ferons pas, bien que la construction du spectre des [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeurs propres]] de l'énergie soit sans difficultés majeures <math>\;\big(</math>mais toutefois un peu délicate<math>\big)\;</math> pour les raisons suivantes : * d'une part leur établissement n'est pas au programme de physique de PCSI <math>\;\big[</math>seul le résultat <math>\;\big(</math>admis<math>\big)\;</math> l'étant<math>\big]\;</math> et * d'autre part c'est un peu long à détailler ; {{Al|3}}ceux et celles qui voudraient avoir un avant goût de cette méthode peuvent voir le paragraphe l'« [[w:Oscillateur harmonique quantique#L'oscillateur harmonique quantique à une dimension|oscillateur harmonique quantique à une dimension]] » de wikipédia et plus précisément <br>{{Al|3}}{{Transparent|ceux et celles qui voudraient avoir un avant goût de cette méthode peuvent voir }}les sous-paragraphes « [[w:Oscillateur_harmonique_quantique#Introduction_d'opérateurs_sans_dimension|introduction d'opérateurs sans dimension]] » <math>\;\big(\omega_0\;</math> étant noté <math>\;\omega\;</math> dans ce {{Nobr|sous-paragraphe<math>\big)</math>,}} <br>{{Al|3}}{{Transparent|ceux et celles qui voudraient avoir un avant goût de cette méthode peuvent voir les sous-paragraphes }}« [[w:Oscillateur_harmonique_quantique#Opérateurs_d'échelle|opérateurs d'échelle]] » <math>\;\big\{</math>où est utilisée la notion d'[[w:Hermitien#Opérateur_hermitien_et_matrice_hermitienne|opérateur hermitique]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Hermitien#Opérateur_hermitien_et_matrice_hermitienne|hermitien]]<math>\big)\;</math> et donc non-[[w:Hermitien#Opérateur_hermitien_et_matrice_hermitienne|hermitique]] <math>\;\big(</math>ou non-[[w:Hermitien#Opérateur_hermitien_et_matrice_hermitienne|hermitien]]<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>pour cela voir aussi la définition de l'[[w:Opérateur_adjoint|opérateur adjoint]] d'un [[w:Opérateur_(physique)|opérateur]] dans ce [[w:Opérateur_adjoint#Préhilbertien|sous-paragraphe]]<math>\big]\;</math> ainsi que la notion de [[w:Commutateur_(opérateur)#En_mécanique_quantique|commutateur]] de deux [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#cite_note-commutateur_de_deux_opérateurs_linéaires-41|⁴¹]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\;</math> et enfin le dernier sous-paragraphe <br>{{Al|3}}{{Transparent|ceux et celles qui voudraient avoir un avant goût de cette méthode peuvent voir les sous-paragraphes }}« [[w:Oscillateur_harmonique_quantique#Calcul_des_valeurs_propres|calcul des valeurs propres]] ». <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles_Hermite|Charles Hermite]] (1822 - 1901)''' mathématicien français connu pour ses travaux sur la [[w:Théorie_des_nombres|théorie des nombres]], les [[w:Forme_quadratique|formes quadratiques]], les [[w:Polynômes_orthogonaux|polynômes othogonaux]], les [[w:Fonction_elliptique|fonctions elliptiques]] et les [[w:Équations_différentielles|équations différentielles]], il fut aussi l'un des 1^ers à utiliser les [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] ; le qualificatif « hermitien » donné à certaines entités mathématiques l'a été pour lui rendre hommage.</ref> toutes les valeurs d'énergies possibles d'un tel oscillateur ; on obtient <div style="text-align: center;">un <u>spectre discret de niveaux d'énergie</u> «<math>\;E_n = \left( \dfrac{1}{2} + n \right) \hbar\;\omega_0,\;\;n \in \mathbb{N}\;</math>»<ref> Il y a donc quantification de l'énergie, celle-ci dépendant du nombre quantique <math>\;n\;</math> entier naturel, le quantum étant <math>\;\hbar\;\omega_0</math>.</ref> <br>ou encore, à l'aide de la « fréquence propre de l'oscillateur <math>\;\nu_0 = \dfrac{\omega_0}{2\;\pi}\;</math>», <br>le <u>spectre discret de niveaux d'énergie</u> «<math>\;E_n = \left( \dfrac{1}{2} + n \right) h\;\nu_0,\;\;n \in \mathbb{N}\;</math>»<ref> Le quantum d'énergie se réécrit donc <math>\;\hbar\;\omega_0 = h\;\nu_0</math>.</ref>.</div> === En complément : composante spatiale de la « fonction d'onde de l'état fondamental » d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique === [[File:Oscillateur harmonique 1D - fonction d'onde état fondamental.jpg|thumb|350px|Diagramme de la fonction d'onde de l'état fondamental d'un [[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] en fonction du paramètre de position]] <div style="text-align: center;">c'est-à-dire la « [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonction propre]] de l'« [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] [[w:Opérateur_hamiltonien|hamiltonien]] » associée à la [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] d'énergie de l'état fondamental ».</div> {{Al|5}}À l'« énergie de l'état fondamental <math>\;E_0 = \dfrac{\hbar\;\omega_0}{2}\;</math>» correspond une “ seule ”<ref> L'état fondamental n'est donc pas [[w:Dégénérescence_(physique_quantique)|dégénéré]].</ref> composante spatiale de fonction d'onde <math>\;\big(</math>choisie {{Nobr|réelle<ref name="choisie réelle"> Il s'agit effectivement d'un choix car seul son module a une signification physique <math>\;\bigg\{</math>la multiplication par <math>\;\exp\! \left( i\;\alpha \right)\;</math> avec <math>\;\alpha\,\in\,\mathbb{R}^{*}\;</math> de la composante spatiale de la fonction d'onde <math>\;\underline{\Psi}_n(x)\;</math> solution de l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]] indépendante du temps «<math>\;\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\; \dfrac{d^2 \underline{\Psi}_n}{dx^2}(x) + \left( E_n - \dfrac{1}{2} \; m \; \omega_0^2\; x^2 \right) \underline{\Psi}_n(x) = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la composante spatiale de la fonction d'onde obtenue <math>\;\underline{\Psi}_n(x)\;\exp\! \left( i\;\alpha \right)\;</math> est aussi solution de l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]] indépendante du temps<math>\bigg\}\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger]] (1887 - 1961)''' physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien : voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#cite_note-Schrödinger-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.</ref><math>\big)\;</math>}} <br>{{Al|5}}{{Transparent|À l'« énergie de l'état fondamental <math>\;\color{transparent}{E_0 = \dfrac{\hbar\;\omega_0}{2}}\;</math>» correspond }}«<math>\;\Psi_0(x) = \sqrt[4]{\dfrac{m\;\omega_0}{\pi\;\hbar}}\;\exp\! \left( -\dfrac{m\;\omega_0}{\hbar}\; \dfrac{x^2}{2} \right)\;</math>»<ref> Là encore, bien que la résolution de l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]] indépendante du temps de l'[[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] dans son état fondamental ne présente pas de difficultés majeures <math>\;\big(</math>tout en étant un peu délicate<math>\big)\;</math> nous ne la présenterons pas pour les raisons suivantes : * d'une part la résolution n'est pas au programme de physique de PCSI <math>\;\big[</math>même le résultat ne l'est pas, bien qu'intéressant à observer<math>\big]\;</math> et * d'autre part c'est un peu long à détailler ; {{Al|3}}ceux et celles qui voudraient avoir un avant goût de cette résolution peuvent voir le paragraphe l'« [[w:Oscillateur harmonique quantique#L'oscillateur harmonique quantique à une dimension|oscillateur harmonique quantique à une dimension]] » de wikipédia et plus précisément <br>{{Al|3}}{{Transparent|ceux et celles qui voudraient avoir un avant goût de cette résolution peuvent voir }}le sous-paragraphe « [[w:Oscillateur harmonique quantique#Non-dégénérescence_de_l'état_fondamental|non-dégénrescence de l'état fondamental]] » nécessitant l'utilisation des « [[w:Oscillateur harmonique quantique#Opérateurs d'échelle|opérateurs d'échelle]] » <math>\;\big\{</math>où est utilisée la notion d'[[w:Hermitien#Opérateur_hermitien_et_matrice_hermitienne|opérateur hermitique]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Hermitien#Opérateur_hermitien_et_matrice_hermitienne|hermitien]]<math>\big)\;</math> et donc non-[[w:Hermitien#Opérateur_hermitien_et_matrice_hermitienne|hermitique]] <math>\;\big(</math>ou non-[[w:Hermitien#Opérateur_hermitien_et_matrice_hermitienne|hermitien]]<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>pour cela voir aussi la définition de l'[[w:Opérateur_adjoint|opérateur adjoint]] d'un [[w:Opérateur_(physique)|opérateur]] dans ce [[w:Opérateur_adjoint#Préhilbertien|sous-paragraphe]]<math>\big]\;</math> ainsi que la notion de [[w:Commutateur_(opérateur)#En_mécanique_quantique|commutateur]] de deux [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#cite_note-commutateur_de_deux_opérateurs_linéaires-41|⁴¹]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger]] (1887 - 1961)''' physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien : voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#cite_note-Schrödinger-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails. <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles_Hermite|Charles Hermite]] (1822 - 1901)''' mathématicien français : voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#cite_note-79|⁷⁹]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.</ref> dont le diagramme en fonction de <math>\;x\;</math> est représenté ci-contre <math>\;\bigg\{\!\left[ a \right]\;</math> étant une unité de longueur arbitraire et <math>\;\dfrac{m\; \omega_0}{\hbar}\;</math> une valeur particulière, homogène à <math>\;\left[ a \right]^{-2}</math>, pouvant être quelconque et choisie égale à <math>\;2\;</math> pour le tracé<math>\bigg\}</math> : {{Al|5}}on peut vérifier que cette composante est normalisée en évaluant la probabilité de l'état fondamental sur tout l'espace «<math>\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \Psi_0^2(x)\;dx =</math> <math>\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \sqrt{\dfrac{m\;\omega_0}{\pi\;\hbar}}\;\exp\! \left( -\dfrac{m\;\omega_0}{\hbar}\; x^2 \right)\;dx\;</math>»<ref> Il s'agit d'une intégrale généralisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrale généralisée sur un ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> pour laquelle théoriquement on calcule l'intégrale sur <math>\;\left[\, -\mathit{l}\; ; +\mathit{l}\, \right]\;</math> et on vérifie qu'elle admet une limite finie quand <math>\;\mathit{l} \rightarrow \infty</math>, mais la fonction à intégrer ici n'admettant pas de primitives parmi les fonctions usuelles, cette façon de vérifier la convergence ne pourra être faite <math>\;\ldots\;</math> toutefois elle converge ; <br>{{Al|3}}on utilise alors le résultat de l'intégrale «<math>\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\! \left( -\alpha\; x^2 \right)\;dx = \sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}}\;</math>» connue sous le nom d'« [[w:Intégrale_de_Gauss|intégrale de Gauss]] », très utilisée en [[w:Statistique|statistique]] et [[w:Probabilité|probabilité]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777 - 1855)''', mathématicien, astronome et physicien allemand, est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps <math>\;\big(</math>il fut surnommé « le prince des mathématiciens »<math>\big)</math> : voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#cite_note-Gauss-87|⁸⁷]] » plus bas dans ce chapitre pour plus de détails.</ref>{{,}}<ref name="lien entre densité de probabilité de présence et fonction d'onde"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#Notion_de_fonction_d'onde_de_matière|notion de fonction d'onde de matière]] (densité volumique de probabilité de présence) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », la densité volumique devant être remplacée par densité linéique dans le cas d'un objet à une dimension.</ref> donnant lors son évaluation, en utilisant l'[[w:Intégrale_de_Gauss|intégrale de Gauss]] <ref name="Gauss"> '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777 - 1855)''', mathématicien, astronome et physicien allemand, est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps <math>\;\big(</math>il fut surnommé « le prince des mathématiciens »<math>\big)</math>, on lui doit d'importantes contributions dans les trois domaines « mathématiques, astronomie et physique » : <br>{{Al|3}}en <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne : voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#cite_note-Euler-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre [[w:Équations_de_Maxwell|équations de Maxwell]] gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}certaines des contributions de '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' n'ont été mises à jour qu'à titre posthume, à la fin du XIX^ème siècle, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' n'ayant publié qu'une partie de ses découvertes.</ref> {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\! \left( -\alpha\; x^2 \right)\;dx</math>}} <math>= \sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}}\;</math>», le résultat attendu dans le cas d'une normalisation «<math>\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \Psi_0^2(x)\;dx = 1\;</math>»<ref> En effet <math>\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \Psi_0^2(x)\;dx = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \sqrt{\dfrac{m\;\omega_0}{\pi\;\hbar}}\;\exp\! \left( -\dfrac{m\;\omega_0}{\hbar}\; x^2 \right)\;dx = \sqrt{\dfrac{m\;\omega_0}{\pi\;\hbar}}\; \sqrt{\dfrac{\pi}{\dfrac{m\;\omega_0}{\hbar}}} = 1\;</math>.</ref>. === En complément : composante spatiale de la « fonction d'onde de l'état correspondant au niveau n » d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique === <div style="text-align: center;">c'est-à-dire la « [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonction propre]] de l'« [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] [[w:Opérateur_hamiltonien|hamiltonien]] » associée à la [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] d'énergie de l'état de niveau <math>\;n\;</math>».</div> {{Al|5}}À l'« énergie de l'état du niveau <math>\;n \geqslant 1\;</math> à savoir <math>\;E_n = \dfrac{\hbar\;\omega_0}{2} + n\;\hbar\;\omega_0\;</math>» correspond une “ seule ”<ref> L'état de niveau <math>\;n\;</math> n'est donc pas [[w:Dégénérescence_(physique_quantique)|dégénéré]].</ref> composante spatiale de fonction d'onde <math>\;\big(</math>choisie réelle<ref name="choisie réelle" /><math>\big)\;</math> égale à <br>{{Al|5}}{{Transparent|À l'« énergie de l'état du niveau <math>\;\color{transparent}{n \geqslant 1}\;</math> à savoir <math>\;\color{transparent}{E_n = \dfrac{\hbar\;\omega_0}{2} + n\;\hbar\;\omega_0}\;</math>» correspond }}«<math>\;\Psi_n(x) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{2^n\;n!}} \left[ \sqrt{\dfrac{m\;\omega_0}{\hbar}}\; x - \sqrt{\dfrac{\hbar}{m\;\omega_0}}\;\dfrac{d}{dx} \right]^n\!\! \left[ \Psi_0 \right](x)\;</math>»<ref> Là encore, bien que la résolution de l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]] indépendante du temps de l'[[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] dans l'état de niveau <math>\;n \geqslant 1\;</math> ne présente pas de difficultés majeures <math>\;\big(</math>tout en étant un peu délicate<math>\big)\;</math> nous ne la présenterons pas pour les raisons suivantes : * d'une part la résolution n'est pas au programme de physique de PCSI <math>\;\big[</math>même le résultat ne l'est pas, bien qu'intéressant à observer<math>\big]\;</math> et * d'autre part c'est un peu long à détailler ; {{Al|3}}ceux et celles qui voudraient avoir un avant goût de cette résolution peuvent voir le paragraphe l'« [[w:Oscillateur harmonique quantique#L'oscillateur harmonique quantique à une dimension|oscillateur harmonique quantique à une dimension]] » de wikipédia et plus précisément <br>{{Al|3}}{{Transparent|ceux et celles qui voudraient avoir un avant goût de cette résolution peuvent voir }}le sous-paragraphe « [[w:Oscillateur harmonique quantique#États propres de l'opérateur N|états propres de l'opérateur N]] » nécessitant l'utilisation des « [[w:Oscillateur harmonique quantique#Opérateurs d'échelle|opérateurs d'échelle]] » <math>\;\big\{</math>où est utilisée la notion d'[[w:Hermitien#Opérateur_hermitien_et_matrice_hermitienne|opérateur hermitique]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Hermitien#Opérateur_hermitien_et_matrice_hermitienne|hermitien]]<math>\big)\;</math> et donc non-[[w:Hermitien#Opérateur_hermitien_et_matrice_hermitienne|hermitique]] <math>\;\big(</math>ou non-[[w:Hermitien#Opérateur_hermitien_et_matrice_hermitienne|hermitien]]<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>pour cela voir aussi la définition de l'[[w:Opérateur_adjoint|opérateur adjoint]] d'un [[w:Opérateur_(physique)|opérateur]] dans ce [[w:Opérateur_adjoint#Préhilbertien|sous-paragraphe]]<math>\big]\;</math> ainsi que la notion de [[w:Commutateur_(opérateur)#En_mécanique_quantique|commutateur]] de deux [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateurs linéaires]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#cite_note-commutateur_de_deux_opérateurs_linéaires-41|⁴¹]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger]] (1887 - 1961)''' physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien : voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#cite_note-Schrödinger-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails. <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles_Hermite|Charles Hermite]] (1822 - 1901)''' mathématicien français : voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#cite_note-79|⁷⁹]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.</ref>{{,}}<ref> Pratiquement <math>\;\Psi_n(x)\;</math> est obtenue, à un facteur multiplicatif près, en appliquant <math>\;n\;</math> fois successivement l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] <math>\;\left( \sqrt{\dfrac{m\;\omega_0}{\hbar}}\; x - \sqrt{\dfrac{\hbar}{m\;\omega_0}}\;\dfrac{d}{dx} \right) \left[ \; \right]\;</math> à la composante spatiale de la fonction d'onde de l'état fondamental <math>\;\Psi_0(x)</math>, le facteur multiplicatif arbitraire de <math>\;\Psi_n(x)\;</math> pouvant être déterminé par normalisation de la fonction d'onde.</ref> dont les diagrammes de <math>\;\Psi_1(x)</math>, de <math>\;\Psi_2(x)</math> et de <math>\;\Psi_3(x)</math> en fonction de <math>\;x\;</math> sont représentés ci-dessous <math>\;\bigg\{\!\left[ a \right]\;</math> étant une unité de longueur arbitraire et <math>\;\dfrac{m\; \omega_0}{\hbar}\;</math> une valeur particulière, homogène à <math>\;\left[ a \right]^{-2}</math>, pouvant être quelconque et choisie égale à 2 pour le tracé<math>\bigg\}</math> : <div style="text-align: center;"> <gallery mode="packed" heights="210px"> Fichier:Oscillateur harmonique 1D - fonction d'onde état de niveau d'énergie n = 1.jpg|Diagramme de la fonction d'onde de l'état de niveau d'énergie <math>\;n = 1\;</math> d'un [[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] en fonction du paramètre de position Fichier:Oscillateur harmonique 1D - fonction d'onde état de niveau d'énergie n = 2.jpg|Diagramme de la fonction d'onde de l'état de niveau d'énergie <math>\;n = 2\;</math> d'un [[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] en fonction du paramètre de position Fichier:Oscillateur harmonique 1D - fonction d'onde état de niveau d'énergie n = 3.jpg|Diagramme de la fonction d'onde de l'état de niveau d'énergie <math>\;n = 3\;</math> d'un [[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] en fonction du paramètre de position </gallery> </div> === En complément : allure des diagrammes de densité linéique de probabilité de présence dans l'« état correspondant au niveau n » d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique === {{Al|5}}La densité « linéique »<ref> Remplace la densité volumique pour un objet à une dimension.</ref> de probabilité de présence <math>\;\mathcal{P}_{\mathit{l}}(x)\;</math> est liée à la composante spatiale de la fonction d'onde par «<math>\;\mathcal{P}_{\mathit{l}}(x) = \vert \Psi(x) \vert^2\;</math>»<ref name="lien entre densité de probabilité de présence et fonction d'onde" /> ; <br>{{Al|5}}ci-dessous de la gauche vers la droite les tracés, avec les mêmes conventions que précédemment, des diagrammes de : * la densité linéique de probabilité de présence dans l'état fondamental «<math>\;\mathcal{P}_{\mathit{l},\,0}(x) = \vert \Psi_0(x) \vert^2\;</math>»<ref name="lien entre densité de probabilité de présence et fonction d'onde" /> et * la densité linéique de probabilité de présence dans l'état du 1^er niveau excité «<math>\;\mathcal{P}_{\mathit{l},\,1}(x) = \vert \Psi_1(x) \vert^2\;</math>»<ref name="lien entre densité de probabilité de présence et fonction d'onde" />, <div style="text-align: center;"> <gallery mode="packed" heights="315px"> Fichier:Oscillateur harmonique 1D - densité linéique de proba de présence état fondamental.jpg|Diagramme de la densité linéique de probabilité de présence de l'état fondamental d'un [[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] en fonction du paramètre de position Fichier:Oscillateur harmonique 1D - densité linéique de proba de présence état de niveau d'énergie n = 1.jpg|Diagramme de la densité linéique de probabilité de présence de l'état de niveau d'énergie <math>\;n = 1\;</math> d'un [[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] en fonction du paramètre de position </gallery> </div> {{Al|5}}puis ci-dessous de la gauche vers la droite les tracés, avec les mêmes conventions que précédemment, des diagrammes de : * la densité linéique de probabilité de présence dans l'état du 2^ème niveau excité «<math>\;\mathcal{P}_{\mathit{l},\,2}(x) = \vert \Psi_2(x) \vert^2\;</math>»<ref name="lien entre densité de probabilité de présence et fonction d'onde" />, * la densité linéique de probabilité de présence dans l'état du 3^ème niveau excité «<math>\;\mathcal{P}_{\mathit{l},\,3}(x) = \vert \Psi_3(x) \vert^2\;</math>»<ref name="lien entre densité de probabilité de présence et fonction d'onde" /> <math>\;\ldots</math> <div style="text-align: center;"> <gallery mode="packed" heights="315px"> Fichier:Oscillateur harmonique 1D - densité linéique de proba de présence état de niveau d'énergie n = 2.jpg|Diagramme de la densité linéique de probabilité de présence de l'état de niveau d'énergie <math>\;n = 2\;</math> d'un [[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] en fonction du paramètre de position Fichier:Oscillateur harmonique 1D - densité linéique de proba de présence état de niveau d'énergie n = 3.jpg|Diagramme de la densité linéique de probabilité de présence de l'état de niveau d'énergie <math>\;n = 3\;</math> d'un [[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] en fonction du paramètre de position </gallery> </div> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : on constate que « la densité linéique de probabilité de présence est grossièrement maximale pour <math>\;\vert x \vert = \sqrt{n}\;\left[ a \right]\;</math>», ceci étant d'autant mieux vérifié que <math>\;n\;</math> est grand <ref> Voir les tracés ci-après de <math>\;\Psi_{13}(x)\;</math> et de <math>\;\mathcal{P}_{\mathit{l},\,13}(x)\;</math> <math>\big(</math>le cas <math>\;n = 13\;</math> a été choisi comme suffisamment grand pour vérifier la propriété énoncée sans toutefois l'être trop sachant que « plus <math>\;n\;</math> est grand plus la durée nécessaire pour obtenir le tracé l'est »<math>\big)</math>.</ref>, « cette valeur remplaçant l'amplitude des oscillations de l'[[w:Oscillateur_harmonique#Oscillateur_harmonique_libre_unidimensionnel|oscillateur harmonique unidimensionnel classique]] »<ref> En effet à cet endroit, l'[[w:Oscillateur_harmonique#Oscillateur_harmonique_libre_unidimensionnel|oscillateur harmonique unidimensionnel classique]] ayant une vitesse minimale <math>\;\big(</math>en fait nulle pour un oscillateur purement classique<math>\big)\;</math> c'est l'endroit où la probabilité de le trouver à un instant choisi au hasard est la plus grande ; c'est aussi l'endroit où sa quantité de mouvement est minimale <math>\;\big(</math>en fait nulle si l'oscillateur est purement classique<math>\big)\;</math> et sa [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]] maximale <math>\big(</math>en fait infinie si l'oscillateur est purement classique<math>\big)</math>, donc l'endroit où les phénomènes quantiques seront les plus apparents, la condition d'inobservation sur l'amplitude de <math>\;x\;</math> des phénomènes quantiques étant <math>\;A(x) \gg 100\; \lambda_{d.B.}\;</math> ayant un risque quasi nul d'être réalisée <math>\;\big[</math>voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#cite_note-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Louis_de_Broglie|Louis Victor de Broglie]] (1892 - 1987)''' <math>\;\big(</math>se prononce « Brogle »<math>\big)\;</math> mathématicien et physicien français : voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#cite_note-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}on pourrait vérifier que <math>\;\Psi_n(x)\;</math> n'est pas [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonction propre]] de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] « quantité de mouvement » <math>\;\widehat{p}\!\left[ \; \right] =</math> <math>-i\;\hbar\;\dfrac{d}{dx}\!\left[ \; \right]\;</math> car <math>\;\widehat{p}\!\left[ \Psi_n \right](x) = -i\;\hbar\;\dfrac{d \Psi_n}{dx}(x) \cancel{\propto} \Psi_n(x)\;</math><ref> La non proportionnalité de <math>\;\widehat{p}\!\left[ \Psi_n \right](x)\;</math> à <math>\;\Psi_n(x)\;</math> assurant que <math>\;\Psi_n(x)\;</math> n'est pas [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonction propre]] de <math>\;\widehat{p}\!\left[ \; \right]</math>, <math>\;\big(</math>s'il y avait eu proportionnalité, le cœfficient de proportionnalité aurait été la [[w:Valeur_propre,_vecteur_propre_et_espace_propre|valeur propre]] correspondant à la [[w:Fonction_propre#Théorie_spectrale|fonction propre]]<math>\big)</math>, on retrouve ainsi que la quantité de mouvement n'a pas de valeur fixée dans cet état.</ref>. <div style="text-align: center;"> <gallery mode="packed" heights="315px"> Fichier:Oscillateur harmonique 1D - fonction d'onde état de niveau d'énergie n = 13.jpg|Diagramme de la fonction d'onde de l'état de niveau d'énergie <math>\;n = 13\;</math> d'un [[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] en fonction du paramètre de position Fichier:Oscillateur harmonique 1D - densité linéique de proba de présence état de niveau d'énergie n = 13.jpg|Diagramme de la densité linéique de probabilité de présence de l'état de niveau d'énergie <math>\;n = 13\;</math> d'un [[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] en fonction du paramètre de position </gallery> </div> == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg/]] | suivant = [[../Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D/]] }} 4bf3hwo64qrc7548jctawl0dgtxki1q 0 65177 982830 978210 2026-05-14T20:06:34Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982830 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 20 | niveau = 14 | précédent = [[../Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique/]] | suivant = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : intensité, tension, puissance/]] }} == Analogie « particule libre confinée 1D », « corde vibrante fixée à ses extrémités » == === Définition d'une « particule libre confinée 1D » === {{Al|5}}Une « particule libre confinée 1D » est une particule <math>\;\big(</math>classique ou quantique<math>\big)\;</math> susceptible de se déplacer uniquement sur un axe <math>\;x'x\;</math> <math>\big[</math>donc d'unique paramètre de position <math>\;x\big]\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Une « particule libre confinée 1D » est une particule <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>classique ou quantique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}libre sur un intervalle borné de positions <math>\;\big[</math>c'est-à-dire sans action extérieure sur cet intervalle et ne pouvant pas en sortie<math>\big]</math>. === Traduction énergétique d'une « particule libre confinée 1D » === {{Al|5}}La notion de confinement spatial d'une particule a déjà été vue dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#Utilisation_du_confinement_spatial_d'un_oscillateur_harmonique_unidimensionnel_quantique|utilisation du confinement spatial d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] » au chap.<math>19</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », la particule étant confinée dans un puits d'énergie potentielle parabolique<ref name="2ème définition d'un oscillateur harmonique"> Voir la 2^ème définition d'un [[w:Oscillateur_harmonique_quantique#Définition_:_Importance_physique|oscillateur harmonique unidimensionnel classique]] c.-à-d. « objet piégé dans un puits d'énergie potentielle parabolique » justifiée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Rappel_de_l'intégrale_1ère_énergétique_de_l'oscillateur_harmonique_à_une_dimension_constitué_d'un_pendule_élastique_horizontal_non_amorti_(P.E.H.N.A.)|rappel de l'intégrale 1^ère énergétique de l'oscillateur harmonique à une dimension constitué d'un pendule élastique horizontal non amorti (P.E.H.N.A.)]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|3}}la propriété de « confinement spatial » d'un [[w:Oscillateur_harmonique_quantique#Définition_:_Importance_physique|oscillateur harmonique unidimensionnel classique]] est établie dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée|présence de deux murs d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement bornée]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> : <br>{{Al|2}}{{Transparent|La notion}}il y a confinement spatial s'il y a deux « murs d'énergie potentielle »<ref name="mur d'énergie potentielle"> Notion vue en détail dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Notion_de_mur_d'énergie_potentielle|notion de mur d'énergie potentielle]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » sur l'exemple d'une particule en chute libre ; <br>{{Al|3}}une particule classique d'énergie mécanique <math>\;E_m = K + U\;</math> étant telle que son énergie cinétique <math>\;K\;</math> est <math>\;\geqslant 0\;</math> on en déduit que <math>\;E_m \geqslant U\;</math> c.-à-d. que la courbe « physique » d'énergie mécanique {{Nobr|<math>\;\big(</math>ensemble}} des points <math>\;P_m\;</math> d'abscisse <math>\;x\;</math> et d'ordonnée <math>\;E_m\big)\;</math> doit être au-dessus de la courbe « physique » d'énergie potentielle <math>\;\big(</math>ensemble des points <math>\;P_u\;</math> d'abscisse <math>\;x\;</math> et d'ordonnée <math>\;U\big)</math>, les droites <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des énergies, d'abscisse égale à celle des points d'intersection, définissant alors les « murs d'énergie potentielle », c.-à-d. les droites séparant les zones où <math>\;E_m < U\;</math> interdites pour une particule classique, de celles où <math>\;E_m \geqslant U\;</math> seules autorisées si la particule est classique.</ref> en regard, l'espace entre les murs définissant un « [[w:Puits_de_potentiel|puits d'énergie potentielle]] »<ref name="cuvette"> Encore appelé « [[w:Puits_de_potentiel|cuvette d'énergie potentielle]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La notion il y a confinement spatial s'il y a deux « murs d'énergie potentielle » en regard, }}empêche une particule « classique » de sortir de cet espace<ref name="deux murs d'énergie potentielle"> La présence de « deux murs d'énergie potentielle en regard », interdit, pour une particule classique, la zone située au-delà du mur de plus grande abscisse et en deçà du mur de plus petite abscisse, la zone autorisée se limite donc à un intervalle fermé pour une particule classique, mais ce raisonnement fondé sur <math>\;K \geqslant 0\;</math> n'est applicable qu'à une particule classique ; <br>{{Al|3}}pour une particule quantique, les « murs d'énergie potentielle » <math>\;\big(</math>définis comme les droites <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des énergies, d'abscisse égale à celle des points d'intersection des deux courbes « physiques » d'énergie mécanique et d'énergie potentielle<math>\big)\;</math> restent toujours définis, mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|pour une particule quantique }}les zones classiquement interdites ne le sont plus nécessairement, la probabilité de présence dans le voisinage immédiat au-delà du mur de plus grande abscisse et en deçà du mur de plus petite abscisse n'est pas nulle <math>\;\big(</math>pour traiter les deux cas simultanément nous dirons, par abus, « au-delà des murs » pour traduire que <math>\;x\;</math> est envisagée dans les zones classiquement interdites<math>\big)</math>, elle est d'autant plus grande que la pénétration au-delà des murs est faible et que l'écart <math>\;U - E_m > 0\;</math> est petit ; <br>{{Al|3}}ainsi les zones classiquement interdites <math>\;\big(</math>c.-à-d. « au-delà des murs »<math>\big)\;</math> ne sont-elles pas quantiquement interdites mêmes si elles le deviennent avec l'augmentation de la pénétration dans ces zones.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La notion il y a confinement spatial s'il y a deux « murs d'énergie potentielle » en regard, }}n'interdit pas à une particule « quantique » de pénétrer sous conditions<ref> Un 1^er exemple de ce phénomène a déjà été présenté : la densité linéique de probabilité de présence de l'[[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] est grossièrement maximal pour <math>\;x_{\text{max}} \simeq</math> <math>\sqrt{n}\;\left[ a \right]\;</math> avec <math>\;\dfrac{m\;\omega_0}{\hbar} = \dfrac{2}{\left[ a \right]^2}\;</math> d'où <math>\;x_{\text{max}} \simeq \sqrt{\dfrac{2\;n\;\hbar}{m\;\omega_0}}\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#En_complément_:_composante_spatiale_de_la_«_fonction_d'onde_de_l'état_correspondant_au_niveau_n_»_d'un_oscillateur_harmonique_unidimensionnel_quantique|en complément : composante spatiale de la fonction d'onde de l'état correspondant au niveau n d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, «<math>\;x_{\text{max}}\;</math> assimilable à l'amplitude des oscillations classiques pour <math>\;n\;</math> grand » <math>\;\Bigg[E_n = \left( \dfrac{1}{2} + n \right) \hbar\;\omega_0</math> <math>\sim n\; \hbar\;\omega_0 = \dfrac{1}{2}\;k\; A_x^2 = \dfrac{1}{2}\;m\; \omega_0^2\;A_x^2\;</math> d'où l'amplitude des oscillations classiques <math>\;A_x \sim \sqrt{\dfrac{2\;n\;\hbar}{m\;\omega_0}}\;\Bigg]</math>, les « valeurs <math>\;\pm x_{\text{max}}\;</math> définissant donc les murs d'énergie potentielle pour <math>\;n\;</math> grand », nous constatons, sur les courbes de densités linéiques de probabilité de présence <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#En_complément_:_allure_des_diagrammes_de_densité_linéique_de_probabilité_de_présence_dans_l'«_état_correspondant_au_niveau_n_»_d'un_oscillateur_harmonique_unidimensionnel_quantique|en complément : allure des diagrammes de densité linéique de probabilité de présence dans l'état correspondant au nveau n d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] (remarques) » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » dans lequel <math>\;n = 13\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sqrt{13} \simeq 3,6\big]</math>, que celle-ci n'est pas nulle « au-delà de ces murs » <math>\;\big(</math>par abus, « au-delà des murs » signifie que <math>\;x\;</math> est envisagée dans les zones classiquement interdites<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>dans le [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#En_complément_:_allure_des_diagrammes_de_densité_linéique_de_probabilité_de_présence_dans_l'«_état_correspondant_au_niveau_n_»_d'un_oscillateur_harmonique_unidimensionnel_quantique|paragraphe (remarques)]] cité ci-dessus, les murs sont aux abscisses <math>\;\pm 3,6\;\left[ a \right]\big\}</math>, même on constate qu'elle est assez rapidement <math>\;\searrow\;</math> avec l'augmentation de l'éloignement du mur ; cela signifie que la particule quantique peut aller au-delà des bornes d'oscillations classiques ; <br>{{Al|3}}un 2^ème exemple correspond au cas d'une particule libre dans un demi-espace par exemple <math>\;x < 0\;</math> avec la présence d'une « barrière d'énergie potentielle » <math>\;\big(</math>correspondant à une énergie potentielle <math>\;U\;</math> constante <math>\;> 0\big)\;</math> sur un intervalle <math>\;\left[ 0\; ; \mathit{l}\, \right]\;</math> de petite largeur : <br>{{Al|3}}{{Transparent|un 2^ème exemple }}si la particule est d'énergie <math>\;E_m < U\;</math> et si elle est classique, elle ne peut pas se retrouver dans la zone <math>\;x > 0\;</math> mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|un 2^ème exemple si la particule est d'énergie <math>\;\color{transparent}{E_m < U}\;</math> et }}si elle est quantique, sa probabilité d'être présente en <math>\;x > 0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>, étant d'autant plus grande, à <math>\;x\;</math> fixée, que <math>\;U - E_m\;</math> est petit <br>{{Transparent|un 2^ème exemple si la particule est d'énergie <math>\;\color{transparent}{E_m < U}\;</math> et si elle est quantique, sa probabilité d'être présente en <math>\;\color{transparent}{x > 0}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq 0}</math>,}}et étant une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;x\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|un 2^ème exemple si la particule est d'énergie <math>\;\color{transparent}{E_m < U}\;</math> et si elle est quantique, }}dans la mesure où <math>\;U - E_m\;</math> n'est pas trop grand et que la barrière d'énergie potentielle n'est pas trop large, la particule quantique a une probabilité non nulle de se retrouver « libre » dans la « zone classiquement interdite » <math>\;x > \mathit{l}</math>, ce phénomène étant connu sous le nom d'« [[w:Effet_tunnel|effet tunnel]] » ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|un 2^ème exemple }}l'« [[w:Effet_tunnel|effet tunnel]] » se manifeste, par exemple : <br>{{Al|3}}{{Transparent|un 2^ème exemple l'« effet tunnel » se manifeste }}<math>\succ\;</math>comme un défaut dans les interrupteurs microscopiques, l'« isolant » étant d'autant moins parfait qu'il est de faible épaisseur mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|un 2^ème exemple l'« effet tunnel » se manifeste }}<math>\succ\;</math>en devenant une propriété avantageuse dans les [[w:Microscope_à_effet_tunnel|microscopes à effet tunnel]], la mesure de la probabilité de présence des électrons au-delà de la barrière <math>\;\big(</math>d.d.p. entre une pointe se déplaçant à niveau constant et la surface à ausculter<math>\big)\;</math> c.-à-d. la mesure de l'intensité du flux d'électrons, permettant de déterminer la largeur de la barrière et d'en déduire, points par points, la surface étudiée.</ref> ; [[File:Puits d'énergie potentielle infinie.jpg|thumb|350px|À gauche le diagramme d'énergie du <br>puits d'énergie potentielle infinie et <div style="text-align: right;">à droite les deux murs d'énergie potentielle <br>matérialisant les deux zones interdites</div>]] {{Al|5}}une « particule libre confinée 1D » ne devant pas sortir <math>\;\big(</math>qu'elle soit classique ou quantique<math>\big)\;</math> de l'intervalle borné de positions, on suppose <br>{{Al|5}}{{Transparent|une « particule libre confinée 1D » }}que chaque borne correspond à l'existence d'un « mur d'énergie potentielle infinie » <math>\;\big(</math>ainsi la densité linéique de probabilité de présence de la particule quantique au-delà du mur est nulle car l'écart <math>\;U - E\;</math> est infini quelle que soit <math>\;E\;</math><ref> <math>\;E\;</math> étant finie et <math>\;U\;</math> infinie.</ref>{{,}}<ref name="deux murs d'énergie potentielle" /><math>\big)</math> ; {{Al|5}}une « particule libre confinée 1D » est donc une particule susceptible de se déplacer uniquement sur un axe <math>\;x'x\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|une « particule libre confinée 1D » est donc une particule }}dans un « puits d'énergie potentielle infinie » de largeur finie <math>\;\big(</math>schéma ci-contre<math>\big)</math> : {{Al|5}}l'équation du puits d'énergie potentielle infinie est <math>\;U(x) = \left\lbrace \begin{array}{l} \infty\;\;\text{si } x \geqslant \mathit{l}\\ 0\;\;\;\,\text{si } 0 < x < \mathit{l}\\ \infty\;\;\text{si } x \leqslant 0\end{array} \right.</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'équation du puits d'énergie potentielle infinie }}et les murs d'énergie potentielle sont d'équation <math>\;x = 0\;</math> à gauche et <math>\;x = \mathit{l}\;</math> à droite. === Analogie d'une « particule libre confinée 1D » avec une « corde vibrante à extrémités fixées » === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : la partie spatiale de fonction d'onde d'une « particule quantique libre confinée 1D sur l'intervalle <math>\;\left[ 0\, ;\; \mathit{l}\, \right]\;</math>» en état stationnaire {{Nobr|<math>\;\big(</math>c'est-à-dire}} d'énergie <math>\;E\;</math> fixée<math>\big)\;</math> «<math>\;\underline{\Psi}_E(x)\;</math>» étant solution de «<math>\;\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\dfrac{d^2 \underline{\Psi}_n}{dx^2}(x) + E_n\;\underline{\Psi}_n(x) = 0\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#Équation_de_Schrödinger_indépendante_du_temps_d'une_«_particule_libre_confinée_1D_»|équation de Schrödinger indépendante du temps d'une particule libre confinée 1D]] » plus bas dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : la partie spatiale de fonction d'onde d'une « particule quantique libre confinée 1D }}est continue en tout point<ref name="continuité de la partie spatiale de fonction d'onde"> En effet l'équation à laquelle souscrit cette partie spatiale de fonction d'onde «<math>\;\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\dfrac{d^2 \underline{\Psi}_n}{dx^2}(x) + E_n\;\underline{\Psi}_n(x) = 0\;</math>» étant une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre homogène, l'absence de discontinuité de toute espèce du 2^nd membre entraîne la continuité de la dérivée de plus haut ordre c.-à-d. de <math>\;\dfrac{d^2 \underline{\Psi}_n}{dx^2}(x)\;</math> et par suite aussi celle de <math>\;\dfrac{d \underline{\Psi}_n}{dx}(x)\;</math> et de <math>\;\underline{\Psi}_n(x)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Nature_de_la_discontinuité_de_la_solution_générale_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_hétérogène_du_2ème_ordre_connaissant_la_nature_de_la_discontinuité_de_l'excitation|nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », le cas homogène étant un cas particulier du cas hétérogène avec excitation nulle en tout point.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}la densité linéique de probabilité de présence «<math>\;\mathcal{P}_{l,\,n}(x) = \vert \underline{\Psi}_n(x) \vert^2\;</math>» est aussi continue en tout point. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : la partie spatiale de la fonction d'onde d'une « particule quantique libre confinée 1D sur l'intervalle <math>\;\left[ 0\, ;\; \mathit{l}\, \right]\;</math>» en état stationnaire <math>\;\big(</math>c'est-à-dire d'énergie <math>\;E\;</math> fixée<math>\big)\;</math> «<math>\;\underline{\Psi}_E(x)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : la partie spatiale de la fonction d'onde }}étant « nulle sur les deux murs d'énergie potentielle infinie » <math>\;\big(</math>par nullité hors intervalle de confinement<ref> D'après la paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#Traduction_énergétique_d'une_«_particule_libre_confinée_1D_»|traduction énergétique d'une particule libre confinée 1D]] (mur d'énergie potentielle infinie) » plus haut dans ce chapitre précisant la nullité de la densité linéique de probabilité de présence au-delà des murs donc celle de la partie spatiale de fonction d'onde car <math>\;\mathcal{P}_{l}(x) = \vert \underline{\Psi}(x) \vert^2</math>.</ref>, et continuité sur les frontières<ref> Voir le préliminaire de ce [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#Analogie_d'une_«_particule_libre_confinée_1D_»_avec_une_«_corde_vibrante_à_extrémités_fixées_»|paragraphe]].</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : la partie spatiale de la fonction d'onde étant « nulle sur }}ces murs d'énergie potentielle infinie doivent être des nœuds de <math>\;\underline{\Psi}_E(x)\;</math> <math>\big\{</math>tout comme les extrémités fixées d'une corde vibrante sont les nœuds de l'onde stationnaire qui peut s'y créer<ref> Revoir le paragraphe sur l'« [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Caractérisation_d'une_onde_sinusoïdale_stationnaire_par_l'absence_de_propagation,_notion_de_nœuds_et_de_ventres|caractérisation d'une onde sinusoïdale stationnaire par l'absence de propagation, notion de nœuds et de ventres]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref><math>\big\}</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}nous pouvons donc affirmer l'analogie d'une « particule libre confinée 1D » avec une « corde vibrante à extrémités fixées ». === Longueurs d'onde de de Broglie possibles pour la « particule libre confinée 1D » === {{Al|5}}Sachant que la distance séparant deux nœuds successifs d'une onde stationnaire est <math>\;\dfrac{\lambda}{2}\;</math><ref> Revoir le paragraphe sur la « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Détermination_de_la_position_des_nœuds|détermination de la position des nœuds]] (d'une onde stationnaire sinusoïdale sur une corde) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, par analogie, nous en déduisons <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sachant que }}les [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueurs d'onde de de Broglie]] <ref name="L. de Broglie"> '''[[w:Louis_de_Broglie|Louis Victor de Broglie]] (1892 - 1987)''' <math>\;\big(</math>se prononce « Brogle »<math>\big)\;</math> mathématicien et physicien français, essentiellement connu pour sa proposition de nature ondulatoire des électrons, ce qui lui valut le prix Nobel de physique en <math>\;1929</math>.</ref> possibles «<math>\;\lambda_{d.B.,\;n}\;</math>» de la « particule quantique libre confinée 1D sur l'intervalle <math>\;\left[ 0\, ;\; \mathit{l}\, \right]\;</math>» en état stationnaire comme les seules valeurs <br>{{Al|11}}{{Transparent|Sachant que les longueurs d'onde de de Broglie possibles «<math>\;\color{transparent}{\lambda_{d.B.,\;n}}\;</math>» }}vérifiant la relation «<math>\;\mathit{l} = n\;\dfrac{\lambda_{d.B.,\;n}}{2},\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>»<ref name="n fuseaux"> <math>\;n\;</math> étant le nombre de fuseaux du graphe, en fonction du paramètre de position, de la partie spatiale de la fonction d'onde de la « particule quantique libre confinée 1D sur l'intervalle <math>\;\left[ 0\, ;\; \mathit{l}\, \right]\;</math>» en état stationnaire.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\lambda_{d.B.,\;n} = \dfrac{2\;\mathit{l}}{n},\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» soit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Sachant que les longueurs d'onde de de Broglie possibles «<math>\;\color{transparent}{\lambda_{d.B.,\;n}}\;</math>» vérifiant la relation «<math>\;\color{transparent}{\mathit{l} = n\;\dfrac{\lambda_{d.B.,\;n}}{2},\; n \in \mathbb{N}^{*}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}une série discrète de valeurs de [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueurs d'onde de de Broglie]]<ref name="L. de Broglie" />. == Niveaux d'énergie d'une « particule libre confinée 1D », fonction d'onde stationnaire associée == === Niveaux d'énergie possibles d'une « particule libre confinée 1D » === {{Al|5}}À chaque [[w:Hypothèse_de_De_Broglie|longueur d'onde de de Broglie]]<ref name="L. de Broglie" />, on associe la quantité de mouvement de la particule «<math>\;p_n = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.,\;n}},\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>»<ref name="lien longueur d'onde et quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#La_longueur_d'onde_de_de_Broglie|la longueur d'onde de de Broglie]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> soit, avec «<math>\;\lambda_{d.B.,\;n} = \dfrac{2\;\mathit{l}}{n},\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>»<ref name="longueurs d'onde possibles"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#Longueurs_d'onde_de_de_Broglie_possibles_pour_la_«_particule_libre_confinée_1D_»|longueurs d'onde de de Broglie possibles pour la particule libre confinée 1D]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe la quantité de mouvement de la particule }}«<math>\;p_n = n\;\dfrac{h}{2\; \mathit{l}},\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|11}}{{Transparent|À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe la quantité de mouvement de la particule }}une série discrète de valeurs dont le [[w:Quantum|quantum]]<ref name="quantum"> Le quantum d'une grandeur est la plus petite mesure indivisible de cette grandeur.</ref> est <math>\;\dfrac{h}{2\; \mathit{l}}\;</math> <br>{{Al|27}}{{Transparent|À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe la quantité de mouvement de la particule }}<math>\big(</math>les autres valeurs en étant tous les multiples<math>\big)\;</math> et {{Al|11}}{{Transparent|À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe }}l'énergie, purement cinétique<ref> L'énergie potentielle étant nulle entre les deux murs d'énergie potentielle infinie.</ref>, de cette particule «<math>\;E_n = K_n = \dfrac{p_n^2}{2\;m}\;</math>» soit, avec «<math>\;\lambda_{d.B.,\;n} = \dfrac{2\;\mathit{l}}{n},\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>»<ref name="longueurs d'onde possibles" />, <br>{{Al|17}}{{Transparent|À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe l'énergie, purement cinétique, de cette particule }}«<math>\;E_n = K_n = n^2\,\dfrac{h^2}{8\;m\;{\mathit{l}}^{\,2}}\;</math>» c'est-à-dire encore <br>{{Al|17}}{{Transparent|À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe l'énergie, purement cinétique, de cette particule }}une série discrète de valeurs dont le [[w:Quantum|quantum]]<ref name="quantum" /> est <math>\;\dfrac{h^2}{8\;m\;{\mathit{l}}^{\,2}}\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe l'énergie, purement cinétique, de cette particule }}sans que les autres valeurs soient tous ses multiples ; {{Al|5}}<u>l'énergie est donc quantifiée</u>, elle prend une série de valeurs discrètes variant comme le carré d'un entier naturel <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'énergie est donc quantifiée, elle prend une série de valeurs discrètes }}avec un niveau fondamental d'énergie «<math>\;E_1 = \dfrac{h^2}{8\;m\;{\mathit{l}}^{\,2}}\;</math>»<ref> Dont nous allons déterminer l'ordre de grandeur d'un minorant par utilisation de l'[[w:Principe d'incertitude#Inégalité de Heisenberg|inégalité de Heisenberg]] spatiale dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#Détermination_d'un_minorant_de_l'énergie_d'une_«_particule_libre_confinée_1D_»_par_utilisation_de_l'inégalité_de_Heisenberg_spatiale|détermination d'un minorant de l'énergie d'une particule libre confinée 1D par utilisation de l'inégalité de Heisenberg spatiale]] » plus bas dans ce chapitre. <br>{{Al|3}}'''[[w:Werner_Heisenberg|Werner Heisenberg]] (1901 - 1976)''' physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique : voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#cite_note-Heisenberg-25|²⁵]] » plus bas dans ce chapitre pour plus de détails..</ref> non nulle<ref> Qui est aussi le [[w:Quantum|quantum]] d'énergie <math>\;\big(</math>bien que pratiquement on réserve le qualificatif « [[w:Quantum|quantum]] » quand les autres valeurs sont tous les multiples de la plus petite valeur indivisible<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'énergie est donc quantifiée, elle prend une série de valeurs discrètes avec }}des niveaux excités d'énergie d'autant plus écartés du précédent que <math>\;n\;</math> est grand «<math>\;E_{n + 1} - E_n = (2\;n + 1)\;\dfrac{h^2}{8\;m\;{\mathit{l}}^{\,2}}\;</math>»<ref> En effet <math>\;(n + 1)^2 - n^2 = 2\;n + 1</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Nous avons défini le lien entre énergie et fréquence de de Broglie<ref name="L. de Broglie" /> pour une onde de matière dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Relation_de_Louis_de_Broglie_et_conséquences|relation de de Broglie et conséquences]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » par <math>\;E_{\text{tot}} = h\; \nu_{d.B.}\;</math> où <math>\;E_{\text{tot}}\;</math> est l'énergie totale égale, dans le cas d'une particule libre, à la somme de l'énergie de masse <math>\;E^{\,0} = m\;c^2\;</math> <math>\big(</math>à compter dans l'énergie totale pour définir la fréquence de de Broglie, que la particule soit relativiste ou non<math>\big)\;</math> et de l'énergie cinétique <math>\;K</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}ici la fréquence de de Broglie<ref name="L. de Broglie" /> de la particule libre est «<math>\;\nu_{d.B.,\;n} = \dfrac{m\;c^2}{h} + n^2\,\dfrac{h}{8\;m\;{\mathit{l}}^{\,2}}\;</math>» soit encore «<math>\;\nu_{d.B.,\;\cancel{n}} \simeq \dfrac{m\;c^2}{h}\;</math>» compte-tenu du 1^er terme largement prépondérant pour des particules non relativistes<ref> D'où un inintérêt de la notion de fréquence de de Broglie dans le cas non relativiste.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}on peut déterminer, de la fréquence de de Broglie<ref name="L. de Broglie" />, la célérité de l'onde de matière pour le niveau <math>\;n\;</math> par «<math>\;v_{\text{onde},\;n} = \lambda_{d.B.,\;n} \times \nu_{d.B.,\;n} \simeq \dfrac{2\;\mathit{l}}{n}\;\dfrac{m\;c^2}{h} = c^2\;\dfrac{2\;m\;\mathit{l}}{n\;h}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : on peut déterminer, }}de la quantification de la quantité de mouvement, la vitesse de la particule classique associée par «<math>\;v_{\text{part},\;n} = \dfrac{p_n}{m} = n\;\dfrac{h}{2\; m\;\mathit{l}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}on vérifie ainsi le lien déjà évoqué au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Relation_de_Louis_de_Broglie_et_conséquences|relation de de Broglie et conséquences]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » «<math>\;v_{\text{part},\;n} \times v_{\text{onde},\;n} = c^2\;</math>». === Détermination d'un minorant de l'énergie d'une « particule libre confinée 1D » par utilisation de l'inégalité de Heisenberg spatiale === {{Al|5}}La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle <math>\;\left[0\, ,\, \mathit{l}\, \right]</math>, l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique"> On parle d'incertitude « quantique » car c'est une incertitude théorique contenue dans les principes de la mécanique quantique, et non une incertitude « expérimentale ».</ref> sur sa position «<math>\;\Delta x\;</math>» est majorée selon «<math>\;\Delta x \leqslant \dfrac{\mathit{l}}{2}\;</math>»<ref> En effet la valeur moyenne de l'abscisse de la particule est <math>\;\overline{x} = \dfrac{\mathit{l}}{2}\;</math> et son incertitude « quantique » définie selon <math>\;\Delta x = \sqrt{\left\langle (x - \overline{x})^2 \right\rangle}\;</math> donne <math>\;\Delta x = \sqrt{\left\langle \left( x - \dfrac{\mathit{l}}{2} \right)^{\!\!2} \right\rangle} \leqslant \dfrac{\mathit{l}}{2}\;</math> car <math>\;\vert x \vert \leqslant \mathit{l}</math>.</ref> et {{Al|2}}{{Transparent|La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle <math>\;\color{transparent}{\left[0\, ,\, \mathit{l}\, \right]}</math>, l'incertitude « quantique » }}celle sur sa quantité de mouvement «<math>\;\Delta p\;</math>» se déduisant de l'[[w:Principe d'incertitude#Inégalité de Heisenberg|inégalité de Heisenberg]] <ref name="Heisenberg"> '''[[w:Werner_Heisenberg|Werner Heisenberg]] (1901 - 1976)''' physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en <math>\;1932\;</math> pour la création d'une forme de mécanique quantique <math>\;\big(</math>connue sous le nom de [[w:Mécanique_matricielle|mécanique matricielle]]<math>\big)</math>, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des [[w:Allotropie|variétés allotropiques]] de l'hydrogène <math>\;\big(</math>le dihydrogène existe sous deux [[w:Allotropie|formes allotropiques]] « ortho » où les spins sont parallèles et « para » où ils sont antiparallèles, le dihydrogène ortho étant présent à <math>\;75\;\%\;</math> à température élevée et sa proportion diminuant quand sa température diminue<math>\big)</math>.</ref> spatiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle <math>\;\color{transparent}{\left[0\, ,\, \mathit{l}\, \right]}</math>, l'incertitude « quantique » sur sa quantité de mouvement «<math>\;\color{transparent}{\Delta p}\;</math>» se déduisant de }}«<math>\;\Delta p\; \Delta x \geqslant \dfrac{\hbar}{2}\;</math>»<ref name="inégalité de Heisenberg spatiale"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_inégalités_de_Heisenberg#Induction_de_l'inégalité_de_Heisenberg_spatiale_à_partir_de_la_relation_de_diffraction_appliquée_à_un_photon|induction de l'inégalité de Heisenberg spatiale à partir de la relation de diffraction appliquée à un photon]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ». <br>{{Al|3}}'''[[w:Werner_Heisenberg|Werner Heisenberg]] (1901 - 1976)''' physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique : voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#cite_note-Heisenberg-25|²⁵]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails</ref> selon «<math>\;\Delta p \geqslant \dfrac{\hbar}{2\;\Delta x}\;</math>» {{Al|5}}{{Transparent|La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle <math>\;\color{transparent}{\left[0\, ,\, \mathit{l}\, \right]}</math>, }}on obtient, en utilisant le majorant précédemment déterminé de l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur la position «<math>\;\Delta x \leqslant \dfrac{\mathit{l}}{2}\;</math>», que <br>{{Al|5}}{{Transparent|La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle <math>\;\color{transparent}{\left[0\, ,\, \mathit{l}\, \right]}</math>, on obtient, }}l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur la quantité de mouvement «<math>\;\Delta p\;</math>» est minorée selon «<math>\;\Delta p \geqslant \dfrac{\hbar}{\mathit{l}}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle <math>\;\color{transparent}{\left[0\, ,\, \mathit{l}\, \right]}</math>, }}la définition de cette dernière étant «<math>\;\Delta p = \sqrt{\left\langle (p - \overline{p})^2 \right\rangle} = \sqrt{\left\langle p^2 \right\rangle}\;</math>», la valeur moyenne de sa quantité de mouvement étant <math>\;\overline{p} = 0\;</math><ref> Correspondant à une même probabilité d'avoir la valeur <math>\;p\;</math> et <math>\;-p</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle <math>\;\color{transparent}{\left[0\, ,\, \mathit{l}\, \right]}</math>, la définition de cette dernière étant «<math>\;\color{transparent}{\Delta p = \sqrt{\left\langle (p - \overline{p})^2 \right\rangle} = \sqrt{\left\langle p^2 \right\rangle}}\;</math>», }}nous en déduisons «<math>\;\left\langle p^2 \right\rangle = (\Delta p)^2\;</math>»<ref> C.-à-d. la valeur moyenne du carré de la quantité de mouvement en fonction de l'incertitude « quantique » sur cette dernière.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|La « particule libre 1D » étant confinée }}si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, son énergie a une valeur fixée <math>\;E\;</math> <math>=\;</math> à sa valeur moyenne soit «<math>\;E = \left\langle E \right\rangle = \left\langle K \right\rangle = \dfrac{\left\langle p^2 \right\rangle}{2\;m}\;</math>» et, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, }}en utilisant le résultat établi précédemment «<math>\;\left\langle p^2 \right\rangle = (\Delta p)^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, en utilisant }}le minorant de l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> sur la quantité de mouvement <math>\;\Delta p</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, en utilisant le minorant }}«<math>\;\Delta p \geqslant \dfrac{\hbar}{\mathit{l}}\;</math>», nous obtenons que <br>{{Al|5}}{{Transparent|La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, }}l'énergie de la « particule libre 1D » confinée sur l'intervalle <math>\;\left[0\, ,\, \mathit{l}\, \right]\;</math> dans un état stationnaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, l'énergie de la « particule libre 1D » }}est minorée selon «<math>\;E \geqslant \dfrac{\hbar^2}{2\;m\;\mathit{l}^{\,2}} = \dfrac{h^2}{8\;\pi^2\;m\;\mathit{l}^{\,2}}\;</math>»<ref name="constante réduite de Planck"> On rappelle le lien entre [[w:Constante_de_Planck#Constante_réduite|constante réduite de Planck]] <math>\;\big(</math>encore appelée [[w:Constante_de_Planck#Constante_réduite|constante de Dirac]]<math>\big)\;</math> et [[w:Constante_de_Planck|constante de Planck]] <math>\;\hbar = \dfrac{h}{2\;\pi}</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Max_Planck|Max Karl Ernst Ludwig Planck]] (1858 - 1947)''' physicien allemand à qui on doit principalement, vers <math>\;1900</math>, la [[w:Théorie_des_quanta|théorie des quanta]], théorie qui lui valut le prix Nobel de physique en <math>\;1918</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Paul_Dirac|Paul Adrien Maurice Dirac]] (1902 - 1984)''' physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en <math>\;1933</math>, on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la [[w:Physique_statistique|mécanique statistique]] et de la [[w:Physique_quantique|physique quantique]] des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]] de Schrödinger et la [[w:Mécanique_matricielle|mécanique matricielle]] de Heisenberg, deux présentations de la même [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de [[w:Distribution_de_Dirac|distribution de Dirac]] et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français '''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]]''' dans sa [[w:Théorie_des_distributions|théorie des distributions]] ; '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' fut colauréat du prix Nobel de Physique en <math>\;1933\;</math> pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger. <br>{{Al|3}}'''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger]] (1887 - 1961)''' physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien : voir note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#cite_note-Schrödinger-59|⁵⁹]] » plus bas dans ce chapitre pour plus de détails. <br>{{Al|3}}'''[[w:Werner_Heisenberg|Werner Heisenberg]] (1901 - 1976)''' physicien allemand, l'un des fondateurs de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] : voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#cite_note-Heisenberg-25|²⁵]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails. <br>{{Al|3}}'''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]] (1915 - 2002)''' mathématicien français, ayant été le premier français à obtenir la médaille Fields <math>\;\big(</math>équivalent du prix Nobel en mathématiques<math>\big)\;</math> en <math>\;1950\;</math> pour ses travaux sur la [[w:Théorie_des_distributions|théorie des distributions]] <math>\;\big(</math>sorte de prolongement des fonctions dans des domaines avec discontinuité <math>\ldots\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, }}évidemment vérifié par tout niveau d'énergie, donc par le niveau fondamental, ce qui est le cas car <br>{{Al|5}}{{Transparent|La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, l'énergie de la « particule libre 1D » est minorée selon }}«<math>\;E_1 = \dfrac{h^2}{8\;m\;\mathit{l}^{\,2}} > \dfrac{h^2}{8\;\pi^2\;m\;\mathit{l}^{\,2}}\;</math>». === Expression de la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire correspondant au niveau n d'énergie de la « particule libre confinée 1D » === {{Al|5}}À l'énergie «<math>\;E_n = K_n = \dfrac{p_n^2}{2\;m} = n^2\,\dfrac{h^2}{8\;m\;\mathit{l}^{\,2}},\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#Niveaux_d'énergie_possibles_d'une_«_particule_libre_confinée_1D_»|niveaux d'énergie possibles d'une particule libre confinée 1D]] » plus haut dans ce chapitre ; <br>{{Al|3}}l'introduction de l'énergie totale pour une « particule libre confinée 1D » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. la somme de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>on rappelle l'absence d'énergie potentielle d'une « particule libre confinée 1D »<math>\big)\;</math> et de l'énergie de masse<math>\big\}\;</math> n'étant nécessaire que pour définir la fréquence de de Broglie <math>\;\big\{</math>voir paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#Niveaux_d'énergie_possibles_d'une_«_particule_libre_confinée_1D_»|niveaux d'énergie possibles d'une particule libre confinée 1D]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\;</math> ce que nous ne ferons plus dans le cadre de ce cours. <br>{{Al|3}}'''[[w:Louis_de_Broglie|Louis Victor de Broglie]] (1892 - 1987)''' <math>\;\big(</math>se prononce « Brogle »<math>\big)\;</math> mathématicien et physicien français, voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#cite_note-L._de_Broglie-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.</ref> d'une « particule libre 1D » confinée sur l'intervalle <math>\;\left[0\, ,\, \mathit{l}\, \right]\;</math> dans un état stationnaire, correspondant <br>{{Al|5}}à la quantité de mouvement «<math>\;p_n = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.,\,n}} = n\;\dfrac{h}{2\;\mathit{l}},\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#Niveaux_d'énergie_possibles_d'une_«_particule_libre_confinée_1D_»|niveaux d'énergie possibles d'une particule libre confinée 1D]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de cette « particule libre 1D » confinée sur l'intervalle <math>\;\left[0\, ,\, \mathit{l}\, \right]\;</math> dans un état stationnaire, <br>{{Al|11}}{{Transparent|à la quantité de mouvement «<math>\;\color{transparent}{p_n = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.,\,n}} = n\;\dfrac{h}{2\;\mathit{l}},\; n \in \mathbb{N}^{*}}\;</math>» }}la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire de cette « particule libre 1D » confinée sur l'intervalle <math>\;\left[0\, ,\, \mathit{l}\, \right]\;</math> s'écrit, <br>{{Al|11}}{{Transparent|à la quantité de mouvement «<math>\;\color{transparent}{p_n = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.,\,n}} = n\;\dfrac{h}{2\;\mathit{l}},\; n \in \mathbb{N}^{*}}\;</math>» }}par analogie aux ondes sinusoïdales stationnaires sur une corde à extrémités fixes, «<math>\;\Psi_n(x) = A_n\;\sin\! \left( \dfrac{2\;\pi}{\lambda_{d.B.,\,n}}\; x + \varphi_n \right)\;</math>»<ref> La partie spatiale de la fonction d'onde est réelle comme l'est la fonction caractérisant les oscillations stationnaires d'une corde à extrémités fixées voir paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Définition_d'une_onde_sinusoïdale_stationnaire_dans_un_milieu_unidimensionnel_(linéaire)|définition d'une onde sinusoïdale stationnaire 1D]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », le choix d'un sinus au lieu d'un cosinus étant fait pour des raisons de simplification de calcul.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|à la quantité de mouvement «<math>\;\color{transparent}{p_n = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.,\,n}} = n\;\dfrac{h}{2\;\mathit{l}},\; n \in \mathbb{N}^{*}}\;</math>» }}dans laquelle il faut écrire que les murs d'énergie potentielle infinie sont des nœuds de fonction d'onde soit : <br>{{Al|11}}{{Transparent|à la quantité de mouvement «<math>\;\color{transparent}{p_n = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.,\,n}} = n\;\dfrac{h}{2\;\mathit{l}},\; n \in \mathbb{N}^{*}}\;</math>» dans laquelle il faut écrire }}<math>\succ\;</math>«<math>\;\Psi_n(0) = 0\;</math>» impliquant «<math>\;\varphi_n \equiv 0\!\! \pmod{\pi}\;</math>» par exemple «<math>\;\varphi_n = 0\;</math>»<ref> Le choix de <math>\;\varphi_n = \pi\;</math> conduirait simplement au remplacement de <math>\;A_n\;</math> par <math>\;-A_n</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|à la quantité de mouvement «<math>\;\color{transparent}{p_n = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.,\,n}} = n\;\dfrac{h}{2\;\mathit{l}},\; n \in \mathbb{N}^{*}}\;</math>» dans laquelle il faut écrire }}<math>\succ\;</math>«<math>\;\Psi_n(\mathit{l}) = 0\;</math>» entraînant «<math>\;\sin\! \left( \dfrac{2\;\pi}{\lambda_{d.B.,\,n}}\; \mathit{l} \right) = 0\;</math>»<ref> <math>\;A_n\;</math> devant être nécessairement <math>\;\neq 0\;</math> pour que la densité linéique de probabilité de présence de la particule <math>\;\big\{</math>égale à <math>\;\vert \underline{\Psi}_n(x) \vert^2\big\}\;</math> ne soit pas identiquement nulle sur tout l'intervalle.</ref> c'est-à-dire «<math>\;\dfrac{2\;\pi}{\lambda_{d.B.,\,n}}\; \mathit{l} = q\; \pi,\; q \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|à la quantité de mouvement «<math>\;\color{transparent}{p_n = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.,\,n}} = n\;\dfrac{h}{2\;\mathit{l}},\; n \in \mathbb{N}^{*}}\;</math>» dans laquelle il faut écrire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\Psi_n(\mathit{l}) = 0}\;</math>» entraînant }}«<math>\;\lambda_{d.B.,\,n} = \dfrac{2\;\mathit{l}}{q},\; q \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ou encore, en choisissant <math>\;q = n</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|à la quantité de mouvement «<math>\;\color{transparent}{p_n = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.,\,n}} = n\;\dfrac{h}{2\;\mathit{l}},\; n \in \mathbb{N}^{*}}\;</math>» dans laquelle il faut écrire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\Psi_n(\mathit{l}) = 0}\;</math>» entraînant }}«<math>\;\lambda_{d.B.,\,n} = \dfrac{2\;\mathit{l}}{n},\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|à la quantité de mouvement «<math>\;\color{transparent}{p_n = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.,\,n}} = n\;\dfrac{h}{2\;\mathit{l}},\; n \in \mathbb{N}^{*}}\;</math>» dans laquelle il faut écrire <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\Psi_n(\mathit{l}) = 0}\;</math>» entraînant }}c'est-à-dire la condition de quantification trouvée précédemment<ref name="longueurs d'onde possibles" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|11}}{{Transparent|à la quantité de mouvement «<math>\;\color{transparent}{p_n = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.,\,n}} = n\;\dfrac{h}{2\;\mathit{l}},\; n \in \mathbb{N}^{*}}\;</math>» }}la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire pour le mode <math>\;n\;</math> de vibration de cette « particule libre 1D » confinée s'écrit <br>{{Al|11}}{{Transparent|à la quantité de mouvement «<math>\;\color{transparent}{p_n = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.,\,n}} = n\;\dfrac{h}{2\;\mathit{l}},\; n \in \mathbb{N}^{*}}\;</math>» la partie spatiale }}«<math>\;\Psi_n(x) = A_n\;\sin\! \left( n\; \pi\; \dfrac{x}{\mathit{l}} \right)\;</math>», <math>\;A_n\;</math> se déterminant en normalisant la densité linéique de probabilité <br>{{Al|15}}{{Transparent|à la quantité de mouvement «<math>\;\color{transparent}{p_n = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.,\,n}} = n\;\dfrac{h}{2\;\mathit{l}},\; n \in \mathbb{N}^{*}}\;</math>» la partie spatiale «<math>\;\color{transparent}{\Psi_n(x) = A_n\;\sin\! \left( n\; \pi\; x \right)}\;</math>», <math>\;\color{transparent}{A_n}\;</math> se déterminant en normalisant }}de présence «<math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\;n}(x) = \Psi_n^2(x)\;</math>»<ref> Modification de la notation de la densité linéique de probabilité de présence car l'indice habituel <math>\;_{\mathit{l},\;n}\;</math> prêterait à confusion compte-tenu que <math>\;\mathit{l}\;</math> est l'abscisse d'un des murs.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|à la quantité de mouvement «<math>\;\color{transparent}{p_n = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.,\,n}} = n\;\dfrac{h}{2\;\mathit{l}},\; n \in \mathbb{N}^{*}}\;</math>» la partie spatiale «<math>\;\color{transparent}{\Psi_n(x) = A_n\;\sin\! \left( n\; \pi\; x \right)}\;</math>», }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\;n}(x) = A_n^2\; \sin^2\! \left( n\; \pi\; \dfrac{x}{\mathit{l}} \right)\;</math>» par «<math>\;\displaystyle\int_0^{\mathit{l}} \mathcal{P}_{\text{lin},\;n}(x)\;dx = 1\;</math>» soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|à la quantité de mouvement «<math>\;\color{transparent}{p_n = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.,\,n}} = n\;\dfrac{h}{2\;\mathit{l}},\; n \in \mathbb{N}^{*}}\;</math>» la partie spatiale }}<math>\;A_n^2\;\displaystyle\int_0^{\mathit{l}} \sin^2\! \left( n\; \pi\; \dfrac{x}{\mathit{l}} \right) dx = 1\;</math> ou, en linéarisant <math>\;\dfrac{A_n^2}{2}\;\displaystyle\int_0^{\mathit{l}} \left[ 1 - \cos\! \left( 2\; n\; \pi\; \dfrac{x}{\mathit{l}} \right) \right] dx = 1\;</math><ref name="linéariser sinus carré"> On rappelle la formule de trigonométrie <math>\;\sin^2(\mathfrak{a}) = \dfrac{1 - \cos(2\;\mathfrak{a})}{2}</math>.</ref> et, après une intégration sans souci, <math>\;\dfrac{A_n^2}{2}\; \left[ x - \dfrac{\mathit{l}}{2\; n\; \pi}\; \sin\! \left( 2\; n\; \pi\; \dfrac{x}{\mathit{l}} \right) \right]_0^{\mathit{l}} = 1\;</math> ou <math>\;\dfrac{A_n^2}{2}\; \left[ \mathit{l} - \cancel{\dfrac{\mathit{l}}{2\; n\; \pi}\; \sin\! \left( 2\; n\; \pi \right)} \right] = 1</math>, finalement on choisit «<math>\;A_n = \sqrt{\dfrac{2}{\mathit{l}}}\;</math>» d'où l'expression de <br>{{Al|11}}{{Transparent|à la quantité de mouvement «<math>\;\color{transparent}{p_n = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.,\,n}} = n\;\dfrac{h}{2\;\mathit{l}},\; n \in \mathbb{N}^{*}}\;</math>» }}la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire pour le mode <math>\;n\;</math> de vibration de cette « particule libre 1D » confinée <br>{{Al|11}}{{Transparent|à la quantité de mouvement «<math>\;\color{transparent}{p_n = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.,\,n}} = n\;\dfrac{h}{2\;\mathit{l}},\; n \in \mathbb{N}^{*}}\;</math>» la partie spatiale }}«<math>\;\Psi_n(x) = \sqrt{\dfrac{2}{\mathit{l}}}\;\sin\! \left( n\; \pi\; \dfrac{x}{\mathit{l}} \right)\;</math>»<ref name="Indépendance du mode de vibration"> On remarque que l'amplitude est indépendante du mode de vibration.</ref> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|à la quantité de mouvement «<math>\;\color{transparent}{p_n = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.,\,n}} = n\;\dfrac{h}{2\;\mathit{l}},\; n \in \mathbb{N}^{*}}\;</math>» }}une densité linéique de probabilité de présence pour le mode <math>\;n\;</math> de vibration de cette « particule libre 1D » confinée <br>{{Al|11}}{{Transparent|à la quantité de mouvement «<math>\;\color{transparent}{p_n = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.,\,n}} = n\;\dfrac{h}{2\;\mathit{l}},\; n \in \mathbb{N}^{*}}\;</math>» une densité linéique de probabilité de présence }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\;n}(x) = \dfrac{2}{\mathit{l}}\;\sin^2\! \left( n\; \pi\; \dfrac{x}{\mathit{l}} \right)\;</math>»<ref name="Indépendance du mode de vibration" />. {{Al|11}}{{Transparent|à la quantité de mouvement «<math>\;\color{transparent}{p_n = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.,\,n}} = n\;\dfrac{h}{2\;\mathit{l}},\; n \in \mathbb{N}^{*}}\;</math>» }}<u>Remarque</u> : en les positions des ventres de vibration «<math>\;x_{\text{ventre},\;n} = \left( p + \dfrac{1}{2} \right) \dfrac{\lambda_{d.B.,\,n}}{2},\; p \in \left[ \left[ 0\, , \, n - 1 \right] \right]\;</math>»<ref> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Détermination_de_la_position_des_ventres|détermination de la position des ventres]] (d'une onde sinusoïdale stationnaire sur une corde) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}un double crochet ouvrant et un double crochet fermant autour de deux entiers séparés par une virgule signifiant intervalle d'entiers.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|à la quantité de mouvement «<math>\;\color{transparent}{p_n = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.,\,n}} = n\;\dfrac{h}{2\;\mathit{l}},\; n \in \mathbb{N}^{*}}\;</math>» Remarque : en les positions des ventres de vibration }}la « densité linéique de probabilité de présence est <math>\;\dfrac{2}{\mathit{l}}\;</math>»<ref> En effet, en les positions des ventres de vibration <math>\;x_{\text{ventre},\;n}</math>, «<math>\;\sin\! \left( n\; \pi\; \dfrac{x_{\text{ventre},\;n}}{\mathit{l}} \right) = \pm 1\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|à la quantité de mouvement «<math>\;\color{transparent}{p_n = \dfrac{h}{\lambda_{d.B.,\,n}} = n\;\dfrac{h}{2\;\mathit{l}},\; n \in \mathbb{N}^{*}}\;</math>» Remarque : en les positions des ventres de vibration }}valeur indépendante du nombre de « fuseaux » <math>\;\ldots</math> === Transitions entre niveaux d'énergie === {{Al|5}}La « particule libre 1D » confinée sur l'intervalle <math>\;\left[0\, ,\, \mathit{l}\, \right]\;</math> dans un état stationnaire, doit être dans l'un des niveaux <math>\;n\;</math> précédemment déterminés, * elle peut passer dans un niveau plus faible <math>\;n' < n\;</math> en émettant un photon d'énergie «<math>\;h\;\nu_{n'\,\leftarrow\,n} = E_n - E_{n'} = \left( n^2 - {n'}^2 \right) \dfrac{h^2}{8\;m\;\mathit{l}^{\,2}}\;</math>» ou * {{Transparent|elle peut }}passer dans un niveau plus élevé <math>\;n'' > n\;</math> en absorbant un photon d'énergie «<math>\;h\;\nu_{n\,\rightarrow\,n''} = E_{n''} - E_n = \left( {n''}^2 - n^2 \right) \dfrac{h^2}{8\;m\;\mathit{l}^{\,2}}\;</math>» ; {{Al|5}}la plus petite fréquence de photon pouvant être émis ou absorbé par la « particule libre 1D » confinée sur l'intervalle <math>\;\left[0\, ,\, \mathit{l}\, \right]\;</math> dans un état stationnaire est «<math>\;\nu_{\text{min}} = \dfrac{E_2 - E_1}{h} = \dfrac{3\;h}{8\;m\;\mathit{l}^{\,2}}\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemple</u> : on peut réaliser un puits d'énergie potentielle infinie en mettant une couche [[w:Semi-conducteur|semi-conductrice]] d'[[w:Arséniure_de_gallium|arséniure de gallium]] <math>\;GaAs\;</math><ref> L'[[w:Arsenic|arsenic]] étant pentavalent et le [[w:Gallium|gallium]] trivalent, les porteurs de charge mobiles sont, à température ordinaire, les électrons de l'[[w:Arsenic|arsenic]] et les [[w:Trou_d'électron|trous]] du [[w:Gallium|gallium]] excédentaires relativement à la tétravalence <math>\;\big[</math>en ce qui concerne le [[w:Gallium|gallium]], le site de l'électron « manquant » par rapport à la tétravalence est remplacé par la présence simultanée d'un électron de valence fictif et d'un [[w:Trou_d'électron|trou]] fictif {{Nobr|<math>\;\big(</math>particule}} fictive chargée positivement<math>\big)</math>, les électrons de valence fictifs ajoutés restant fixes mais les [[w:Trou_d'électron|trous]] pouvant se déplacer pour « recouvrir » d'autres électrons de valence, ceci ayant pour effet la matérialisation de l'électron de valence initialement fictif du site de départ et rendant fictif l'électron de valence initialement réel du site d'arrivée, les [[w:Trou_d'électron|trous]] constituant donc les porteurs de charge mobiles, voir aussi la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_intensité,_tension,_puissance#cite_note-5|⁵]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}bien que liés dans le [[w:Semi-conducteur|semi-conducteur]] les porteurs peuvent être considérés comme libres si on remplace leur masse par une masse dite effective par exemple la masse effective de l'électron est <math>\;m_{\text{eff},\,e} \simeq 0,067\;m_e\;</math> ou celles des [[w:Trou_d'électron|trous]] <math>\;m_{\text{eff},\,\text{trou lourd}} \simeq 0,45\;m_e\;</math> ou <math>\;m_{\text{eff},\,\text{trou léger}} \simeq 0,082\;m_e\;</math> <math>\big(</math>plus complexe car le [[w:Trou_d'électron|trou]] étant fictif, sa masse effective n'est pas déterminable en fonction de la masse qu'il aurait s'il était entièrement libre puisque dans ces conditions, il n'existerait pas, on rappelle que sa fonction permet de remplacer un site vide d'électron de valence par un site rempli d'un électron de valence fictif auquel se superpose un [[w:Trou_d'électron|trou]] fictif chargé positivement, ce dernier pouvant se déplacer car considéré comme appartenant à la bande de conduction alors l'électron de valence fictif considéré comme appartenant à la bande de valence reste « figé dans son site », la théorie permet de définir des [[w:Trou_d'électron|trous]] « légers » et des [[w:Trou_d'électron|trous]] « lourds »<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : on peut réaliser un puits d'énergie potentielle infinie }}en sandwich entre deux couches d'[[w:Arséniure_d'aluminium-gallium|arséniure d'aluminium-gallium]] <math>\;GaAlAs\;</math><ref> Une fraction des atomes de [[w:Gallium|gallium]] dans l'[[w:Arséniure_de_gallium|arséniure de gallium]] est remplacée uniformément par des atomes d'[[w:Aluminium|aluminium]] aussi trivalent ; il s'agit donc d'un alliage arbitraire entre l'[[w:Arséniure_de_gallium|arséniure de gallium]] et l'[[w:Arséniure-d'aluminium|arséniure d'aluminium]].</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : on peut réaliser un puits d'énergie potentielle infinie }}les porteurs de charge mobile de la couche semi-conductrice centrale restant confinés entre les deux couches latérales <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : on peut réaliser un puits d'énergie potentielle infinie les porteurs de charge mobile de la couche semi-conductrice centrale restant confinés }}avec un espace de confinement<ref> C.-à-d. la distance séparant les deux couches d'[[w:Arséniure_d'aluminium-gallium|arséniure d'aluminium-gallium]].</ref> de quelques <math>\;nm</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Exemple : on peut réaliser un puits d'énergie potentielle infinie }}en prenant «<math>\;\mathit{l} = 3\; nm\;</math>» et en considérant la [[w:Conductivité_électrique|conductivité électrique]] des électrons de la couche [[w:Semi-conducteur|semi-conductrice]] centrale avec leur « masse effective <math>\;m_{\text{eff},\,e} \simeq 0,067\;m_e \simeq 0,067 \times 0,91\; 10^{-30}\;kg \simeq 6,1\;10^{-32}\;kg\;</math>»<ref> On rappelle la masse d'un électron libre <math>\;m_e \simeq 0,91\; 10^{-30}\;kg\;</math>.</ref>, on trouve une fréquence minimale de photon échangeable<ref> C.-à-d. productible ou absorbable.</ref> <math>\;\nu_{\text{min}} = \dfrac{3\;h}{8\;m_{\text{eff},\,e}\;\mathit{l}^{\,2}} \simeq</math> <math>\dfrac{3 \times 6,626\;10^{-34}}{8 \times 6,1\;10^{-32} \times \left( 3\; 10^{-9} \right)^2}\;</math><ref name="constante de Planck"> On rappelle la valeur de la [[w:Constante_de_Planck|constante de Planck]] <math>\;h \simeq 6,626\;10^{-34}\;kg \cdot m^2 \cdot s^{-1}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Max_Planck|Max Karl Ernst Ludwig Planck]] (1858 - 1947)''' physicien allemand à qui on doit principalement, vers <math>\;1900</math>, la [[w:Théorie_des_quanta|théorie des quanta]], théorie qui lui valut le prix Nobel de physique en <math>\;1918</math>.</ref> <math>\simeq 4,52\; 10^{14}\;Hz\;</math> correspondant à une longueur d'onde maximale dans le vide <math>\;\lambda_{0,\,\text{max}} = \dfrac{c}{\nu_{\text{min}}} \simeq \dfrac{3\; 10^8}{4,52\;10^{14}} \simeq 6,63\;10^{-7}\;m\;</math> soit «<math>\;\lambda_{0,\,\text{max}} \simeq 0,663\;\mu m\;</math>» caractéristique de la lumière émise par les [[w:Diode_électroluminescente|diodes électroluminescentes]] émettant dans le rouge<ref> Voir le paragraphe [[w:Diode_électroluminescente#Couleurs|Couleurs]] de l'article [[w:Diode_électroluminescente|diode électroluminescente]] de wikipédia.</ref>. == Lien qualitatif entre « confinement spatial » et « quantification de l'énergie » == {{Al|5}}Nous avons vu <math>\;2\;</math> exemples où le <u>confinement spatial d'une particule à un seul paramètre de position sur un intervalle borné</u> <math>\;\big\{</math>le 1^er sur les « [[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateurs harmoniques unidimensionnels quantiques]] »<ref> À énergie fixée, l'[[w:Oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_classique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel classique]] est confiné sur l'intervalle <math>\;\left[ -A(x)\, ,\, +A(x) \right]\;</math> où <math>\;\pm A(x)\;</math> sont les positions des murs d'énergie potentielle, l'[[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] élargit un peu cet intervalle <math>\;\big(</math>dans la mesure où la densité de probabilité de présence n'est pas nulle au-delà d'un mur d'énergie potentielle finie<math>\big)\;</math> mais il reste confiné.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#Spectre_des_niveaux_d'énergie_d'un_oscillateur_harmonique_unidimensionnel_quantique|spectre des niveaux d'énergie d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et le 2^ème sur les « particules libres confinées 1D »<ref> Les murs d'énergie potentielle infinie empêchant strictement la particule « quantique » de sortir de l'intervalle de confinement.</ref> en état stationnaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#Niveaux_d'énergie_possibles_d'une_«_particule_libre_confinée_1D_»|niveaux d'énergie possibles d'une particule libre confinée 1D]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\big\}\;</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Nous avons vu <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> exemples où le confinement spatial d'une particule à un seul paramètre de position sur un intervalle borné }}<u>se traduit par la « quantification de son énergie »</u><ref> On rappelle que l'énergie d'un [[w:oscillateur_harmonique_quantique#L'oscillateur_harmonique_quantique_à_une_dimension|oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] est quantifiée selon <math>\;E_n = \left( \dfrac{1}{2} + n \right) \hbar\; \omega_0,\; n \in \mathbb{N}\;</math> et <br>{{Al|8}}{{Transparent|On rappelle que }}celle d'une particule libre confinée 1D sur un intervalle <math>\;\left[0\, ,\, \mathit{l}\, \right]\;</math> en état stationnaire l'est selon <math>\;E_n = n^2 \dfrac{h^2}{8\;m\;\mathit{l}^{\,2}},\;n \in \mathbb{N}^{*}</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons vu <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> exemples }}ceci est généralisable : « <u>une particule quantique confinée dans une région de l'espace de taille finie a son énergie quantifiée</u> ». {{Al|5}}En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, nous déterminons l'« ordre de grandeur des écarts entre niveaux d'énergie » pour une « particule confinée 1D sur un intervalle <math>\;\left[0\, ,\, \mathit{l}\, \right]\;</math>»<ref> Bien qu'a priori liée cette particule sera supposée libre <math>\;\big\{</math>dans l'hypothèse où la particule reste classique <math>\;\big(</math>c.-à-d. non quantique<math>\big)</math>, nous supposerons que la valeur absolue de son énergie potentielle reste négligeable par rapport à son énergie cinétique<math>\big\}\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Bien qu'a priori liée cette particule sera supposée }}en état stationnaire <math>\;\big(</math>c.-à-d. d'énergie fixée<math>\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, nous déterminons l'« ordre de grandeur des écarts entre niveaux d'énergie » }}suivant la nature de la particule<ref> Plus exactement nous déterminons ci-après le plus petit écart possible c.-à-d. l'écart entre le 1^er niveau excité et le niveau fondamental <math>\;\big(</math>les autres écarts étant tous plus grands<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus exactement nous déterminons ci-après }}ce n'est qu'un ordre de grandeur car dans les exemples cités la particule n'est pas libre d'une part et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus exactement nous déterminons ci-après ce n'est qu'un ordre de grandeur car dans les exemples cités }}le confinement n'est pas unidimensionnel d'autre part.</ref> : {{Al|5}}{{Transparent|En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, }}<math>\succ\;</math>pour un électron dans un puits d'énergie potentielle infinie de la taille d'un atome <math>\;\mathit{l} \sim 1\; \text{Ǻ} = 10^{-10}\; m\;</math><ref name="angström"> L'angström «<math>\;1\;\text{Ǻ} = 10^{-10}\; m\;</math>» est une unité bien adaptée aux dimensions de l'atome, elle a été choisie pour rendre hommage à « '''[[w:Anders_Jonas_Ångström|Anders Jonas Ångström]] (1814 - 1874)''', astronome et physicien suédois du XIX^ème siècle, un des fondateurs de la [[w:Spectroscopie|spectroscopie]] ».</ref> et <math>\;m_e = 0,91\; 10^{-30}\; kg\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un électron }}on trouve <math>\;E_2 - E_1 = \dfrac{3\;h^2}{8\;m_e\;\mathit{l}^{\,2}}\;</math><ref name="écart entre niveaux d'énergie possibles"> Résultat trouvé dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#Niveaux_d'énergie_possibles_d'une_«_particule_libre_confinée_1D_»|niveaux d'énergie possibles d'une particule libre confinée 1D]] » plus haut dans ce chapitre <math>\;E_{n + 1} - E_n = (2\;n + 1)\;\dfrac{h^2}{8\;m\;{\mathit{l}}^{\,2}}\;</math> avec <math>\;n = 1</math>.</ref> c'est-à-dire <math>\;E_2 - E_1 = \dfrac{3 \times \left( 6,626\; 10^{-34} \right)^2}{8 \times 0,91\; 10^{-30} \times \left( 10^{-10} \right)^2}\;</math><ref name="constante de Planck" /> <math>\simeq 1,81\;10^{-17}\;J\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un électron on trouve }}<math>\;E_2 - E_1 \simeq \dfrac{1,81\;10^{-17}}{1,6\;10^{-19}} \simeq 110\;eV\;</math><ref name="eV"> On rappelle que <math>\;1\;eV \simeq 1,6\;10^{-19}\;J</math>.</ref> c'est-à-dire un « ordre de grandeur de <math>\;100\; eV\;</math><ref name="eV" /> » ; {{Al|5}}{{Transparent|En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, }}<math>\succ\;</math>pour un nucléon dans un puits d'énergie potentielle infinie de la taille d'un noyau <math>\;\mathit{l} \sim 3\; fm = 3\;10^{-15}\; m\;</math><ref name="fm"> Pour <math>\;fm\;</math> lire « fentomètre » <math>\;\big\{</math>sous-multiple de l'unité de longueur du [[w:Système_international_d'unités|Système international]] <math>\;\big(</math>[[w:Système_international_d'unités|SI]]<math>\big)\;</math> bien adapté aux dimensions du noyau<math>\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pour <math>\;\color{transparent}{fm}\;</math> lire }}« fermi » <math>\;\big\{</math>appellation historique en hommage à « '''[[w:Enrico_Fermi|Enrico Fermi]] (1901 - 1954)''', physicien italien naturalisé américain, ayant reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1938\;</math> pour sa démonstration de l'existence de nouveaux éléments radioactifs produits par bombardements de neutrons, et pour sa découverte des réactions nucléaires créées par les neutrons lents »<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref> Le rayon d'un nucléon est estimé à <math>\;1,3\; fm</math>, celui d'un noyau de [[w:Nombre_de_masse|nombre de masse]] <math>\;A\;</math> estimé à <math>\;\sqrt[3]{A} \times 1,3\;fm\;</math> par exemple pour <math>\;A = 235\;</math> le rayon est <math>\;\simeq 8\; fm</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un nucléon dans un puits d'énergie potentielle infinie de la taille d'un noyau }}<math>\;m_{\text{nucl}} = 1,67\; 10^{-27}\; kg = 1\;u\;</math><ref name="u"> Pour <math>\;u\;</math> lire « [[w:Unité_de_masse_atomique_unifiée|unité de masse atomique unifiée]] », cette dernière est définie en fixant la masse d'un atome de <math>\;^{12}C\;</math> à exactement <math>\;12\;u</math>, sa valeur correspondant approximativement à la masse d'un nucléon.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un nucléon }}on trouve <math>\;E_2 - E_1 = \dfrac{3\;h^2}{8\;m_e\;\mathit{l}^{\,2}}\;</math><ref name="écart entre niveaux d'énergie possibles" /> c'est-à-dire <math>\;E_2 - E_1 = \dfrac{3 \times \left( 6,626\; 10^{-34} \right)^2}{8 \times 1,67\; 10^{-27} \times \left( 3\; 10^{-15} \right)^2}\;</math><ref name="constante de Planck" /> <math>\simeq 1,1\;10^{-11}\;J\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un nucléon on trouve }}<math>\;E_2 - E_1 \simeq \dfrac{1,1\;10^{-11}}{1,6\;10^{-13}} \simeq 70\;MeV\;</math><ref name="MeV"> On rappelle que <math>\;1\;MeV = 10^6\;eV \simeq 1,6\;10^{-13}\;J</math>.</ref> c'est-à-dire un « ordre de grandeur de <math>\;100\; MeV\;</math><ref name="MeV" /> » ; {{Al|5}}{{Transparent|En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, }}<math>\succ\;</math>l'ordre de grandeur des écarts entre niveaux d'énergie <math>\Rightarrow</math> les valeurs nucléaires sont <math>\;\simeq 10^6\;</math> fois plus grandes que les valeurs atomiques. == En complément : résolution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps d'une « particule libre confinée 1D » == === Équation de Schrödinger indépendante du temps d'une « particule libre confinée 1D » === {{Al|5}}L'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]] <ref name="Schrödinger"> '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger]] (1887 - 1961)''' physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] <math>\;\big(</math>connu sous le nom de [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]]<math>\big)</math> ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]] lui a valu de partager le prix Nobel de physique en <math>\;1933\;</math> avec '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' l'expérience de pensée proposée à '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1935\;</math> et connue sous le nom [[w:Chat_de_Schrödinger|chat de Schrödinger]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Paul_Dirac|Paul Adrien Maurice Dirac]] (1902 - 1984)''' physicien et mathématicien britannique : voir note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#cite_note-constante_réduite_de_Planck-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails. <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> indépendante du temps d'une « particule libre confinée 1D » à savoir <math>\;-\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\dfrac{d^2 \underline{\Psi}_n}{dx^2}(x) = E_n\;\underline{\Psi}_n(x)\;</math><ref name="équation de Schrödinger indépendante du temps"> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#Recherche_des_états_propres_de_l'opérateur_linéaire_«_hamiltonien_»_à_énergie_potentielle_ne_dépendant_pas_explicitement_du_temps,_équation_de_Schrœdinger_indépendante_du_temps|recherche des états propres de l'opérateur linéaire hamiltonien à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps, équation de Schrödinger indépendante du temps]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> se réécrivant «<math>\;\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\dfrac{d^2 \underline{\Psi}_n}{dx^2}(x) + E_n\;\underline{\Psi}_n(x) = 0\;</math>» {{Al|11}}{{Transparent|L'équation de Schrödinger indépendante du temps }}est une équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2^ème ordre en <math>\;\underline{\Psi}_n(x)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'équation de Schrödinger indépendante du temps est une équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène }}dont la résolution passe par celle de l'équation caractéristique<ref name="résolution équa diff lin du 2ème ordre à cœff csts sans terme du 1er ordre homogène"> Revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_deuxième_ordre_homogène_sans_terme_du_premier_ordre|résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène sans terne du 1^er ordre]] » du chap.<math>2</math> de la leçon «« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », avec une différence par rapport à l'exposé qui a été fait dans le paragraphe précité où la fonction recherchée était réelle, ici elle n'est pas nécessairement réelle mais peut être complexe.</ref> <math>\;\ldots</math> === Résolution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps d'une « particule libre confinée 1D » === {{Al|5}}L'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> indépendante du temps d'une « particule libre confinée 1D » à savoir «<math>\;\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\dfrac{d^2 \underline{\Psi}_n}{dx^2}(x) + E_n\;\underline{\Psi}_n(x) = 0\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'équation de Schrödinger indépendante du temps }}étant une équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2^ème ordre en <math>\;\underline{\Psi}_n(x)\;</math> sans terme du 1^er ordre<ref name="résolution équa diff lin du 2ème ordre à cœff csts sans terme du 1er ordre homogène" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'équation de Schrödinger indépendante du temps }}admet pour équation caractéristique «<math>\;\dfrac{\hbar^2}{2\;m}\;\underline{s}^2 + E_n = 0\;</math>»<ref> On cherche une fonction à valeur complexe de la forme <math>\;\exp\! \left( \underline{s}\;x \right)</math>, le paramètre <math>\;\underline{s}\;</math> est cherché a priori complexe.</ref> dont la résolution nécessite la discussion suivante : * « si <math>\;E_n\;</math> est <math>\; < 0\;</math>», les « racines de l'équation caractéristique sont réelles <math>\;\underline{s_{\pm}} = \pm \dfrac{\sqrt{-2\;m\;E_n}}{\hbar}\;</math>» et <br>{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{E_n}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», }}la solution de l'équation différentielle s'écrit «<math>\;\underline{\Psi}_n = \underline{A_{+}}\; \exp\! \left( \dfrac{\sqrt{-2\;m\;E_n}}{\hbar}\;x \right) + \underline{A_{-}}\; \exp\! \left( -\dfrac{\sqrt{-2\;m\;E_n}}{\hbar}\;x \right)\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_négatif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement négatif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{E_n}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», }}cette solution est à rejeter car les C.A.L.<ref name="C.A.L."> Conditions Aux Limites. {{Al|5}}Les C.A.L. remplacent les C.I. <math>\;\big(</math>Conditions Initiales<math>\big)\;</math> utilisées pour une fonction du temps quand la fonction est une fonction de l'espace.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \underline{\Psi}_n(0) = 0\\ \underline{\Psi}_n(\mathit{l}) = 0 \end{array} \right\rbrace\;</math> s'écrivant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c l} \underline{A_{+}} \!\!&+&\!\! \underline{A_{-}} \!\!&=&\!\! 0\\ \underline{A_{+}}\; \exp\! \left( \dfrac{\sqrt{-2\;m\;E_n}}{\hbar}\;\mathit{l} \right) \!\!&+&\!\! \underline{A_{-}}\; \exp\! \left( -\dfrac{\sqrt{-2\;m\;E_n}}{\hbar}\;\mathit{l} \right) \!\!&=&\!\! 0 \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="condition de solutions non triviales d'un système homogène de 2 équations linéaires algébriques à 2 inconnues"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_de_deux_équations_algébriques_linéaires_à_deux_inconnues#Condition_d'existence_de_solutions_non_triviales|condition d'existence de solutions non triviales]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la « condition d'existence de solutions non triviales pour le système <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \alpha\, x + \beta\, y = 0\\ \gamma\, x + \delta\, y = 0\end{array} \right\rbrace\;</math> étant <math>\;\alpha\; \delta = \gamma\; \beta\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \underline{A_{+}} = 0\\ \underline{A_{-}} = 0\end{array} \right\rbrace\;</math><ref> La condition d'existence de solutions non triviales n'étant pas vérifiée car «<math>\;1 \times \exp\! \left( -\dfrac{\sqrt{-2\;m\;E_n}}{\hbar}\;\mathit{l} \right) \neq 1 \times \exp\! \left( \dfrac{\sqrt{-2\;m\;E_n}}{\hbar}\;\mathit{l} \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> seules les solutions triviales existent.</ref> <br>{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{E_n}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>», cette solution est à rejeter }}d'où la nullité de la fonction d'onde ; * « si <math>\;E_n\;</math> est <math>\; = 0\;</math>», il y a « une racine double de l'équation caractéristique <math>\;\underline{s_{d}} = 0\;</math>» et <br>{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{E_n}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{= 0}\;</math>», }}la solution de l'équation différentielle s'écrit «<math>\;\underline{\Psi}_n = \underline{A}\; x + \underline{B}\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_nul|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est nul]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{E_n}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{= 0}\;</math>», }}cette solution est à rejeter car les C.A.L<ref name="C.A.L." />. <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \underline{\Psi}_n(0) = 0\\ \underline{\Psi}_n(\mathit{l}) = 0 \end{array} \right\rbrace\;</math> s'écrivant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c l} \!\!& &\!\! \underline{B} \!\!&=&\!\! 0\\ \underline{A}\; \mathit{l} \!\!&+&\!\! \underline{B} \!\!&=&\!\! 0 \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="condition de solutions non triviales d'un système homogène de 2 équations linéaires algébriques à 2 inconnues" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \underline{A} = 0\\ \underline{B} = 0\end{array} \right\rbrace\;</math><ref> La condition d'existence de solutions non triviales n'étant pas vérifiée car «<math>\;0 \times 1 \neq \mathit{l} \times 1\;</math>» <math>\Rightarrow</math> seules les solutions triviales existent.</ref> <br>{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{E_n}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{= 0}\;</math>», cette solution est à rejeter }}d'où la nullité de la fonction d'onde ; * « si <math>\;E_n\;</math> est <math>\; > 0\;</math>», les « racines de l'équation caractéristique sont complexes conjuguées <math>\;\underline{s_{\pm}} = \pm i\; \dfrac{\sqrt{2\;m\;E_n}}{\hbar}\;</math>» et <br>{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{E_n}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», }}la solution de l'équation différentielle s'écrit «<math>\;\underline{\Psi}_n = \underline{A_{+}}\; \exp\! \left( i\; \dfrac{\sqrt{2\;m\;E_n}}{\hbar}\;x \right) + \underline{A_{-}}\; \exp\! \left( -i\; \dfrac{\sqrt{2\;m\;E_n}}{\hbar}\;x \right)\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; recherchant une solution complexe à l'équation différentielle et non a priori réelle, la dernière phase du paragraphe précité consistant à rendre réelle la fonction n'est pas à utiliser ici.</ref>, <br>{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{E_n}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», }}les constantes d'intégration <math>\;\left( \underline{A_{+}}\, ,\, \underline{A_{-}} \right)\;</math> devant obéir aux C.A.L<ref name="C.A.L." />. <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \underline{\Psi}_n(0) = 0\\ \underline{\Psi}_n(\mathit{l}) = 0 \end{array} \right\rbrace\;</math> soit <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c l} \underline{A_{+}} \!\!&+& \!\!\underline{A_{-}} \!\!&=&\!\! 0\\ \underline{A_{+}}\; \exp\! \left( i\; \dfrac{\sqrt{2\;m\;E_n}}{\hbar}\;\mathit{l} \right) \!\!&+&\!\! \underline{A_{-}}\; \exp\! \left( -i \; \dfrac{\sqrt{2\;m\;E_n}}{\hbar}\;\mathit{l} \right) \!\!&=&\!\! 0 \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="condition de solutions non triviales d'un système homogène de 2 équations linéaires algébriques à 2 inconnues" />, <br>{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{E_n}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», }}les « solutions de ce système étant non triviales<ref> Ce qui est nécessaire pour que la fonction d'onde ne soit une nouvelle fois nulle et par suite pour que l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]] indépendante du temps de la « particule libre confinée 1D » ne soit pas sans solution quelle que soit son énergie <math>\;\ldots</math></ref> si <math>\;1 \times \exp\! \left( - i\; \dfrac{\sqrt{2\;m\;E_n}}{\hbar}\;\mathit{l} \right) =</math> <math>\exp\! \left( i\; \dfrac{\sqrt{2\;m\;E_n}}{\hbar}\;\mathit{l} \right) \times 1\;</math>»<ref> Condition d'existence de solutions non triviales, revoir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#cite_note-condition_de_solutions_non_triviales_d'un_système_homogène_de_2_équations_linéaires_algébriques_à_2_inconnues-65|⁶⁵]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br>{{Al|6}}{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{E_n}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», les « solutions de ce système étant non triviales si }}<math>\;\exp\! \left( i\; \dfrac{\sqrt{2\;m\;E_n}}{\hbar}\;\mathit{l} \right) - \exp\! \left( -i\; \dfrac{\sqrt{2\;m\;E_n}}{\hbar}\;\mathit{l} \right) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;2\;i\;\sin\! \left( \dfrac{\sqrt{2\;m\;E_n}}{\hbar}\;\mathit{l} \right) = 0\;</math>»<ref name="Euler relative au sinus"> On rappelle la formule d'Euler relative au sinus <math>\;\sin(\mathfrak{a}) = \dfrac{\exp(i\;\mathfrak{a}) - \exp(-i\;\mathfrak{a})}{2\;i}</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler (1707 - 1783)]]''' mathématicien et physicien suisse, connu pour ses travaux en analyse mathématique ainsi qu'en mécanique des fluides, optique et astronomie, considéré comme l'un des plus grands et plus prolifiques mathématiciens de tous les temps.</ref> d'où <br>{{Al|6}}{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{E_n}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», les « solutions de ce système étant non triviales }}la condition de quantification de l'énergie «<math>\;\dfrac{\sqrt{2\;m\;E_n}}{\hbar}\;\mathit{l} = n\;\pi,\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;E_n = n^2 \dfrac{\pi^2\;\hbar^2}{2\;m\;\mathit{l}^{\,2}},\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ou encore <br>{{Al|6}}{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{E_n}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», les « solutions de ce système étant non triviales la condition de quantification de l'énergie }}«<math>\;E_n = n^2 \dfrac{h^2}{8\;m\;\mathit{l}^{\,2}},\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>»<ref name="constante réduite de Planck" /> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{E_n}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», les « solutions de ce système étant non triviales }}avec cette condition « les constantes d'intégration sont liées par <math>\;\underline{A_{-}} = -\underline{A_{+}}\;</math>» et la solution de l'équation différentielle se réécrit <br>{{Al|6}}{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{E_n}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», les « solutions de ce système étant non triviales avec cette condition }}«<math>\;\underline{\Psi}_n(x) = \underline{A_{+}} \left[ \exp\! \left( i\; \dfrac{\sqrt{2\;m\;E_n}}{\hbar}\;x \right) - \exp\! \left( -i\; \dfrac{\sqrt{2\;m\;E_n}}{\hbar}\;x \right) \right]\;</math>» ou encore <br>{{Al|6}}{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{E_n}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», les « solutions de ce système étant non triviales avec cette condition }}«<math>\;\underline{\Psi}_n(x) = 2\; i\; \underline{A_{+}}\; \sin\! \left( \dfrac{\sqrt{2\;m\;E_n}}{\hbar}\;x \right)\;</math>»<ref name="Euler relative au sinus" /> soit, en posant <math>\;2\; i\; \underline{A_{+}} = A\;\exp(i\; \varphi)\;</math><ref> Avec <math>\;A\;</math> le module de <math>\;2\; i\; \underline{A_{+}}\;</math> c.-à-d. <math>\;A = \vert 2\; i\; \underline{A_{+}} \vert = 2\; \vert \underline{A_{+}} \vert\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> l'argument de <math>\;2\; i\; \underline{A_{+}}\;</math> c.-à-d. <math>\;\varphi = \mathrm{arg} \left[ 2\; i\; \underline{A_{+}} \right] = \dfrac{\pi}{2} + \mathrm{arg} \left[ \underline{A_{+}} \right]</math>.</ref> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{E_n}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», les « solutions de ce système étant non triviales avec cette condition «<math>\;\color{transparent}{\underline{\Psi}_n(x) = 2\; i\; \underline{A_{+}}\; \sin\! \left( \dfrac{\sqrt{2\;m\;E_n}}{\hbar}\;x \right)}\;</math>» soit, }}en choisissant <math>\;\varphi = 0\;</math><ref> Comme seule la densité de probabilité de présence, c.-à-d. le carré du module de la fonction d'onde, a une signification physique, nous en déduisons que la fonction d'onde est définie à un facteur de phase près, le choix de <math>\;\varphi = 0\;</math> revient donc à choisir la fonction d'onde réelle.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{E_n}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», les « solutions de ce système étant non triviales avec cette condition }}«<math>\;\Psi_n(x) = A\; \sin\! \left( \dfrac{\sqrt{2\;m\;E_n}}{\hbar}\;x \right)\;</math>» solution de l'équation différentielle<ref> Il s'agit bien de la même solution que celle établie par analogie avec les ondes sinusoïdales stationnaires sur une corde à extrémités fixées <math>\;\Psi_n(x) = A_n\;\sin\! \left( n\; \pi\; \dfrac{x}{\mathit{l}} \right)\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#Expression_de_la_partie_spatiale_de_la_fonction_d'onde_stationnaire_correspondant_au_niveau_n_d'énergie_de_la_«_particule_libre_confinée_1D_»|expression de la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire correspondant au niveau n d'énergie de la particule libre confinée 1D]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> car <math>\;\dfrac{\sqrt{2\;m\;E_n}}{\hbar}\;\mathit{l} =</math> <math>n\;\pi,\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\sqrt{2\;m\;E_n}}{\hbar} = \dfrac{n\;\pi}{\mathit{l}},\; n \in \mathbb{N}^{*}</math>, la seule différence étant que la constante a priori arbitraire avant normalisation de la densité linéique de probabilité de présence était notée <math>\;A_n\;</math> et qu'ici elle est notée <math>\;A</math>.</ref> <br>{{Al|6}}{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{E_n}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>», les « solutions de ce système étant non triviales avec cette condition }}avec <math>\;A\;</math> à déterminer par normalisation de la densité linéique de probabilité de présence. === Normalisation de la densité linéique de probabilité de présence d'une « particule libre confinée 1D » === {{Al|5}}La normalisation de la « densité linéique de probabilité de présence <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\;n}(x) = \Psi_n^2(x) = A^2\; \sin^2\! \left( \dfrac{\sqrt{2\;m\;E_n}}{\hbar}\;x \right)\;</math>» se traite en évaluant <math>\;A > 0\;</math> par «<math>\;\displaystyle\int_0^{\mathit{l}} \mathcal{P}_{\text{lin},\;n}(x)\;dx = 1\;</math>»<ref> Bien que déjà été exposée au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#Expression_de_la_partie_spatiale_de_la_fonction_d'onde_stationnaire_correspondant_au_niveau_n_d'énergie_de_la_«_particule_libre_confinée_1D_»|expression de la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire correspondant au niveau n d'énergie de la particule libre confinée 1D]] » plus haut dans ce chapitre avec l'autre forme équivalente de cette densité linéique de probabilité de présence <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\;n}(x) = \Psi_n^2(x) = A^2\; \sin^2\! \left( n\; \pi\; \dfrac{x}{\mathit{l}} \right)</math>, son exposition est réitérée ici.</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La normalisation }}«<math>\;A^2\;\displaystyle\int_0^{\mathit{l}} \sin^2\! \left( \dfrac{\sqrt{2\;m\;E_n}}{\hbar}\;x \right) dx = 1\;</math>» ou, en linéarisant «<math>\;\dfrac{A^2}{2}\;\displaystyle\int_0^{\mathit{l}} \left[ 1 - \cos\! \left( 2\;\dfrac{\sqrt{2\;m\;E_n}}{\hbar}\;x \right) \right] dx = 1\;</math>»<ref name="linéariser sinus carré" /> soit, après une intégration sans souci, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La normalisation }}«<math>\;\dfrac{A^2}{2}\; \left[ x - \dfrac{\hbar}{2\; \sqrt{2\;m\;E_n}}\; \sin\! \left( 2\;\dfrac{\sqrt{2\;m\;E_n}}{\hbar}\;x \right) \right]_0^{\mathit{l}} = 1\;</math>» ou, avec la condition de quantification «<math>\;E_n = n^2 \dfrac{h^2}{8\;m\;\mathit{l}^{\,2}},\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math><ref name="condition de quantification de l'énergie"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_particule_libre_confinée_1D#Résolution_de_l'équation_de_Schrödinger_indépendante_du_temps_d'une_«_particule_libre_confinée_1D_»|résolution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps d'une particule libre confinée 1D]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{\sqrt{8\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;E_n}}{\hbar} = n\;2\;\pi\;</math>»<ref name="constante réduite de Planck" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La normalisation }}«<math>\;\dfrac{A^2}{2}\; \left[ \mathit{l} - \cancel{\dfrac{\hbar}{2\; \sqrt{2\;m\;E_n}}\; \sin\! \left( \dfrac{\sqrt{8\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;E_n}}{\hbar} \right)} \right] = 1\;</math> et finalement en choisissant <math>\;A > 0</math>, <math>\;A = \sqrt{\dfrac{2}{\mathit{l}}}\;</math>» d'où <div style="text-align: center;">la fonction d'onde solution de l'[[w:Équation_de_Schrödinger|équation de Schrödinger]]<ref name="Schrödinger" /> indépendante du temps «<math>\;\Psi_n(x) = \sqrt{\dfrac{2}{\mathit{l}}}\;\sin\! \left( \dfrac{\sqrt{2\;m\;E_n}}{\hbar}\;x \right)\;</math>»<ref> Ou, en utilisant la condition de quantification «<math>\;\Psi_n(x) = \sqrt{\dfrac{2}{\mathit{l}}}\;\sin\! \left( n\; \pi\; \dfrac{x}{\mathit{l}} \right)\;</math>».</ref> et <br>la densité linéique de probabilité de présence «<math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\;n}(x) = \Psi_n^2(x) = \dfrac{2}{\mathit{l}}\; \sin^2\! \left( \dfrac{\sqrt{2\;m\;E_n}}{\hbar}\;x \right)\;</math>»<ref> Ou, en utilisant la condition de quantification «<math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\;n}(x) = \Psi_n^2(x) = \dfrac{2}{\mathit{l}}\;\sin^2\! \left( n\; \pi\; \dfrac{x}{\mathit{l}} \right)\;</math>».</ref>.</div> == Additif à l'introduction au monde quantique concernant l'« énergie du vide » de l'Univers en « cosmologie » == === Pourquoi peut-on parler d'« énergie du vide » de l'Univers en « cosmologie » ? === <div style="text-align: center;">La [[w:Cosmologie|cosmologie]] est la science qui étudie la structure, l'origine et l'évolution de l'[[w:Univers|Univers]] considéré dans son ensemble.</div> {{Al|5}}Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, appelant <math>\;\Delta t\;</math> l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> du temps où l'espace est observé vide et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, appelant }}<math>\;\Delta E\;</math> l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> de l'énergie <math>\;E\;</math> de cet espace localement vide, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, }}ces incertitudes « quantiques »<ref name="incertitude quantique" /> suivent l'[[w:Principe d'incertitude#Inégalité de Heisenberg|inégalité de Heisenberg]]<ref name="Heisenberg" /> temporelle «<math>\;\Delta E\; \Delta t \geqslant \dfrac{\hbar}{2}\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, }}l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> de l'énergie <math>\;E\;</math> du vide est minorée selon «<math>\;\Delta E \geqslant \dfrac{\hbar}{2\; \Delta t}\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, l'incertitude « quantique » de l'énergie <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> du vide est }}minorant d'autant plus grand que <math>\;\Delta t\;</math> est petite <br>{{Al|6}}{{Transparent|Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, l'incertitude « quantique » de l'énergie <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> du vide est minorant }}ou d'autant plus petit que <math>\;\Delta t\;</math> est grande ; {{Al|5}}l'incertitude « quantique »<ref name="incertitude quantique" /> <math>\;\Delta E\;</math> de l'énergie du vide <math>\;E\;</math> correspond à l'« [[w:Écart_type|écart quadratique moyen]] de cette énergie <math>\;\Delta E = \sqrt{\left\langle \left( E - \overline{E} \right)^{\!2} \right\rangle}\;</math>» avec <math>\;\overline{E}\;</math> énergie moyenne <math>\;\big(</math>nulle<math>\big)\;</math> du vide d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|l'incertitude « quantique » <math>\;\color{transparent}{\Delta E}\;</math> de l'énergie du vide <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> correspond à l'« écart quadratique moyen de cette énergie }}<math>\;\Delta E = \sqrt{\left\langle E^2 \right\rangle}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sqrt{\left\langle E^2 \right\rangle} = \Delta E \geqslant \dfrac{\hbar}{2\; \Delta t} > 0\;</math>» ; {{Al|5}}cette relation «<math>\;\sqrt{\left\langle E^2 \right\rangle} \geqslant \dfrac{\hbar}{2\; \Delta t} > 0\;</math>» nous enseigne que « <u>le vide</u><math>\;\big(</math>qualifié de <u>[[w:Vide_quantique|quantique]]</u><math>\big)\;</math><u>peut contenir de l'énergie à certains instants</u> »<ref> L'affirmation contraire serait « le vide ne contient à aucun moment de l'énergie » c.-à-d. <math>\;E = 0\;</math> à tout instant <math>\;t\;</math> fixé correspondant à la simultanéité de <math>\;\Delta E = 0\;</math> <math>\big(</math>puisque <math>\;E\;</math> est toujours nulle<math>\big)\;</math> et <math>\;\Delta t = 0\;</math> <math>\big(</math>puisque <math>\;t\;</math> est fixé<math>\big)\;</math> en contradiction avec l'[[w:Principe d'incertitude#Inégalité de Heisenberg|inégalité de Heisenberg]] temporelle d'où la validité du contraire.</ref> avec des <u>valeurs pouvant être d'autant plus élevées que la durée d'observation est petite</u>, ces très grandes valeurs potentielles d'énergie du « [[w:Vide_quantique|vide quantique]] » pendant des durées très courtes sont appelées « <u>[[w:Vide_quantique#Fluctuation_du_vide_et_création_de_paires_de_particules|fluctuations du vide]]</u><math>\;\big(</math><u>[[w:Vide_quantique|quantique]]</u><math>\big)\;</math>» ; {{Al|5}}on a observé que « des valeurs très élevées d'énergie peuvent être “empruntées” au [[w:Vide_quantique|vide quantique]] pour [[w:Vide_quantique#Fluctuation_du_vide_et_création_de_paires_de_particules|créer des particules virtuelles]] à durée de vie très courte »<ref> La durée de vie étant inversement proportionnelle à l'énergie empruntée selon l'[[w:Principe d'incertitude#Inégalité de Heisenberg|inégalité de Heisenberg]] temporelle.</ref>, l'emprunt étant restitué au [[w:Vide_quantique|vide quantique]] lors de l'annihilation des particules virtuelles <math>\;\ldots\;</math> {{Al|5}}La succession de création et d'annihilation des particules virtuelles à partir du [[w:Vide_quantique|vide quantique]] a-t-elle un intérêt ? <u>Oui</u> car il se trouve que, sous conditions de très fortes valeurs d'énergie <math>\;\big(</math>ce qui nécessitent, on le rappelle, des durées d'interaction excessivement petites<math>\big)</math>, les particules virtuelles peuvent devenir « réelles »<ref> Les particules devenues réelles étant très instables et se désintégrant en d'autres particules instables etc <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>ceci ayant été observé dans les [[w:Accélérateur_de_particules|accélérateurs de particules]] et plus particulièrement dans ceux de dernières générations<ref> Comme le [[w:Grand_collisionneur_de_hadrons|LHC du CERN]] qui a permis la découverte du [[w:Boson_de_Higgs|Boson de Higgs]] <math>\;\big(</math>chaînon manquant de la naissance de l'[[w:Univers|Univers]]<math>\big)</math>.</ref><math>\big)</math>. {{Al|5}}En conclusion, l'existence des [[w:Vide_quantique#Fluctuation_du_vide_et_création_de_paires_de_particules|fluctuations]] du [[w:Vide_quantique|vide quantique]] ne sont pas des hypothèses théoriques sans retombées expérimentales : nous avons déjà vu leur apparition dans les accélérateurs de particules, mais elles permettent aussi * l'explication de l'« [[w:Effet_Casimir|effet Casimir]] »<ref> C'est la manifestation expérimentale la plus flagrante des [[w:Vide_quantique#Fluctuation_du_vide_et_création_de_paires_de_particules|fluctuations du vide]] ; entre deux miroirs plans parfaits entre lesquels on a effectué le vide s'exerce une force attractive « la force de Casimir » qui a pour origine les fluctuations du vide, aujourd'hui fait expérimental parfaitement vérifié ; l'[[w:Effet_Casimir|effet Casimir]] a été prédit en <math>\;1948\;</math> par '''[[w:Hendrik_Casimir|Hendrik Brugt Gérhard Casimir]] (1909 - 2000)''' physicien néerlandais essentiellement connu pour l'[[w:Effet_Casimir|effet portant son nom]].</ref> et * du point de vue théorique, l'explication de la création de l'Univers à partir du [[w:Vide_quantique|vide quantique]] <math>\;\ldots</math> === Retour sur l'énergie du vide quantique === {{Al|5}}Un espace localement vide ne l'ayant pas toujours été et ne le restant pas toujours, a contenu ou contiendra des [[w:Interaction_élémentaire|champs fondamentaux]] comme le [[w:Interaction_élémentaire#Interaction_électromagnétique|champ électromagnétique]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un espace localement vide ne l'ayant pas toujours été et ne le restant pas toujours, a contenu ou contiendra des champs fondamentaux comme }}l'un des trois autres champs<ref> C.-à-d. le [[w:Interaction_élémentaire#Interaction_forte|champ d'interaction nucléaire forte]] ou le [[w:Interaction_élémentaire#Interaction_faible|champ d'interaction nucléaire faible]] ou le [[w:Interaction_élémentaire#Interaction_gravitationnelle|champ gravitationnel]].</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un espace localement vide ne l'ayant pas toujours été et ne le restant pas toujours, a contenu ou contiendra des champs fondamentaux comme }}une combinaison de ces quatre [[w:Interaction_élémentaire|champs]] ; {{Al|5}}or en [[w:Théorie_quantique_des_champs|théorie quantique des champs]], ces derniers peuvent être vus comme un ensemble de « balles » et de « ressorts vibrants » tous interconnectés c'est-à-dire des « [[w:Oscillateur_harmonique_quantique|oscillateurs harmoniques quantiques]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|or en théorie quantique des champs, }}<u>cet ensemble ayant une énergie fondamentale</u> <math>\big(</math>c'est-à-dire en absence de vibrations<math>\big)</math> « <u>non nulle</u> »<ref> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_oscillateur_harmonique#Ordre_de_grandeur_de_l'énergie_minimale_de_l'oscillateur_harmonique_unidimensionnel_quantique|ordre de grandeur de l'énergie minimale de l'oscillateur harmonique unidimensionnel quantique]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », l'énergie de l'état fondamental étant <math>\;E^{\,0} = \dfrac{h\;\omega_0}{2}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|or en théorie quantique des champs, cet ensemble ayant une énergie fondamentale }}<u>conservée lors de la création du vide par disparition des champs</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|or en théorie quantique des champs, cet ensemble ayant une énergie fondamentale }}sa valeur définissant « <u>l'[[w:Énergie_du_vide|énergie du vide quantique]]</u> » ou « <u>[[w:Énergie_du_vide#Énergie_de_point_zéro_d'oscillateurs_harmoniques_quantiques|énergie du point zéro]]</u> ». == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique/]] | suivant = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : intensité, tension, puissance/]] }} eauzv057h00crnf68sf9ja7n60k1bxc 0 65192 982821 878665 2026-05-14T16:14:48Z ~2026-28935-31 80368 982821 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 38 | précédent = [[../Produit en couronne/]] | suivant = [[../Représentations complexes des groupes finis, 1/]] | page_liée = Exercices/Théorème de Maschke }} Dans ce chapitre, on va démontrer le théorème de Maschke, qui joue un rôle fondamental dans la théorie des représentations linéaires des groupes finis. On commencera par quelques rappels d'algèbre générale. == Rappels sur la caractéristique d'un corps == Soit K un corps (non forcément commutatif). L'unique homomorphisme du groupe <math>\mathbb{Z}, +</math> dans le groupe K, + qui applique l'élément 1 de <math>\mathbb{Z}</math> sur l'élément 1 de K est aussi l'unique homomorphisme d'anneaux de <math>\mathbb{Z}</math> dans K.<br /> Le noyau de cet homomorphisme est de la forme n <math>\mathbb{Z}</math>, pour un nombre naturel ''n'' défini de manière unique; ce nombre naturel ''n'' est appelé la caractéristique de K.<br /> La caractéristique de K est égale à 0 ou à un nombre premier ''p''.<br /> Si la caractéristique de K est nulle, l'homomorphisme d'anneaux <math>\mathbb{Z} \rightarrow K</math> est injectif et s'étend de façon unique en un homomorphisme injectif du corps <math>\mathbb{Q}</math> (corps des nombres rationnels) dans le corps K; par corestriction, cet homomorphisme définit un isomorphisme du corps <math>\mathbb{Q}</math> sur le sous-corps premier de K (plus petit sous-corps de K pour l'inclusion).<br /> Si maintenant la caractéristique de K est un nombre premier ''p'', l'homomorphisme d'anneaux <math>\mathbb{Z} \rightarrow K</math> a pour noyau <math>p\mathbb{Z},</math>, d'où un (unique) isomorphisme du corps <math>\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}</math> sur le sous-corps premier de K.<br /> Pour un entier rationnel ''n'', nous noterons parfois n_K l'image de ''n'' par l'unique homomorphisme d'anneaux de <math>\mathbb{Z}</math> dans K. (En particulier, 1_K désigne le neutre multiplicatif de K.) Nous dirons que n_K est l'image canonique de ''n'' dans K.<br /> De façon générale, si G est un groupe noté additivement, si ''n'' est un entier rationnel et ''x'' un élément de G, on désigne par ''nx'' l'image de ''n'' par l'unique homomorphisme du groupe <math>\mathbb{Z}, +</math> dans G qui applique 1 sur ''x''. (Pour ''n'' naturel, ''nx'' est la somme de ''n'' termes égaux à ''x''; pour n = -n' avec n' naturel, nx = - (n'x)= n'(-x).)<br /> En appliquant cette notation au cas où G est le groupe additif du corps K, on a nx = n_Kx, où, dans le second membre, le produit est pris relativement à la loi interne multiplicative de K.<br > Pour un entier rationnel, on écrit parfois ''n'' au lieu de n_K. Si on emploie cette notation, il faut garder présent à l'esprit que si la caractéristique de K n'est pas nulle, un entier rationnel non nul peut être « nul dans K ». == Anneau des endomorphismes d'un espace vectoriel == Soit F un corps (non forcément commutatif) et V un F-espace vectoriel. On désigne par End_F(V), ou encore par End(V), l'ensemble des F-endomorphismes de V (transformations linéaires). {{Théorème |titre = Énoncé 1 |contenu = Soit V un espace vectoriel (sur un corps non forcément commutatif). L'addition point par point et la composition <math>(f, g) \mapsto f \circ g</math> dans End(V) font de End(V) un anneau. }} La vérification est laissée au lecteur. == Sous-espaces vectoriels supplémentaires dans un espace vectoriel == {{Définition | titre = Définition. Sous-espaces vectoriels supplémentaires | contenu = Soit V un espace vectoriel (à gauche ou à droite), soient W₁, W₂ des sous-espaces de V. On dit que W₂ est un supplémentaire de W₁ si V est somme directe (interne) de W₁ et W₂. W₁ est alors un supplémentaire de W₂ dans V et on dit aussi que W₁ et W₂ sont supplémentaires (dans V). }} {{Définition | titre = Définition. Projecteur | contenu = Soit V un espace vectoriel (à gauche ou à droite). Un endomorphisme ''f'' de V est appelé un projecteur de V si <math>f \circ f = f,</math> autrement dit si ''f'' est un élément idempotent de l'anneau End(V) des endomorphismes de V. }} {{Théorème | titre=Énoncé 2 |contenu= Soit V un espace vectoriel (à gauche ou à droite), soit ''f'' un projecteur de V. Alors Ker f et Im f sont des sous-espaces supplémentaires dans V. }} {{Démonstration | contenu= Soit ''x'' un élément de V. Nous avons :(1) x = f(x) + (x - f(x)) avec <math>f(x) \in \mathrm{Im} f.</math> De plus, x - f(x) appartient à Ker f; en effet, :<math>f(x - f(x)) = f(x) - f \circ f (x)</math> et, puisque <math>f \circ f (x) = f,</math> cela peut s'écrire f(x - f(x)) = f(x) - f(x) = 0, donc x - f(x) appartient à Ker f comme annoncé.<br /> La relation (1) montre donc que :(2) V = Im f + Ker f. Prouvons que <math>\mathrm{Im} f \cap \mathrm{Ker} f = 0.</math> Soit ''y'' un élément de <math>\mathrm{Im} f \cap \mathrm{Ker} f;</math> il s'agit de prouver que y = 0. Puisque ''y'' appartient à Im f, il existe un élément ''x'' de V tel quelconque :(3) y = f(x). Puisque, d'autre part, ''y'' appartient à Ker f, nous avons f(y) = 0, ce qui, d'après (3), peut s'écrire f(f(x)) = 0; puisque <math>f \circ f = f,</math> nous avons donc f(x) = 0, d'où, d'après (3), y = 0, ce qui, comme on l'a vu, prouve que <math>\mathrm{Im} f \cap \mathrm{Ker} f = 0.</math> Joint à (2), cela prouve que Ker f et Im f sont des sous-espaces supplémentaires dans V. }} Remarque. Il est clair que tout ce qui a été dit jusqu'ici sur les espaces vectoriels dans la présente section s'étend immédiatement aux modules. Ce n'est pas le cas de l'énoncé suivant : {{Théorème |titre = Énoncé 3 |contenu = Dans un espace vectoriel, tout sous-espace admet un supplémentaire. }} {{Démonstration |contenu = C'est une conséquence classique du fait que toute partie libre d'un espace vectoriel peut se compléter en une base de cet espace. }} == Algèbres sur un corps commutatif == {{Définition |titre = Définition. Algèbre sur un anneau commutatif |contenu = Soit F un anneau commutatif. (La commutativité est essentielle.) Une algèbre sur F, ou F-algèbre, est la donnée d'un ensemble A, d'une loi de composition interne <math>\underset{A}{+}</math>, dite addition dans A, d'une loi de composition interne <math>\underset{A}{\times}</math>, dite multiplication dans A, et d'une loi externe <math>* : F \times A \rightarrow A</math> telles que :1° la loi interne <math>\underset{A}{+}</math> et la loi externe <math>* : F \times A \rightarrow A</math> font de A un F-module; :2° la loi interne <math>\underset{A}{\times} : A \times A \rightarrow A : (a, b) \mapsto a \underset{A}{\times} b</math> est F-bilinéaire pour cette structure de F-module sur A. }} Dans les écritures, on donnera la précédence aux opérateurs <math>*</math> et <math>\underset{A}{\times}</math> sur l'opérateur <math>\underset{A}{+}</math>. Avec cette convention, la condition 2° signifie que pour tous éléments ''a'', ''b'', ''c'' de A, :<math>(a \underset{A}{+} b) \underset{A}{\times} c = a \underset{A}{\times} c \underset{A}{+} a \underset{A}{\times} c</math> et :<math> a \underset{A}{\times} (b \underset{A}{+} c) = a \underset{A}{\times} b \underset{A}{+} a \underset{A}{\times} c</math> et que pour tout ''f'' dans F et tous ''a'', ''b'' dans A, :<math>a \underset{A}{\times} (f * b) = (f *a) \underset{A}{\times} b = f * (a \underset{A}{\times} b).</math> En pratique, on note généralement par le même symbole + l'addition dans F et l'addition dans A. De même, on note généralement par simple juxtaposition la multiplication dans F, la multiplication dans A et la loi externe <math>F \times A \rightarrow A</math>. Avec cette convention, et l'usage correspondant du symbole <math>\sum </math>, on peut énoncer : :Soient <math>(f_{i})_{i \in I}</math> et <math>(g_{j})_{j \in J}</math> deux familles finies d'éléments de F, soient <math>(a_{i})_{i \in I}</math> et <math>(b_{j})_{j \in J}</math> deux familles d'éléments de A; alors :<math>(\sum _{i \in I} f_{i} a_{i}) (\sum _{j \in J} g_{j} b_{j}) = \sum _{(i,j) \in I \times J}(f_{i} g_{j}) (a_{i} b_{j}).</math> Les algèbres auxquelles nous nous intéresserons dans la suite de ce cours seront des algèbres sur des corps (commutatifs). Si F est un corps commutatif, l'expression « F-module » peut être remplacée par « F-espace vectoriel » dans la définition d'une F-algèbre. Si la multiplication d'une algèbre est associative, on dit que cette algèbre est associative. L'addition et la multiplication d'une algèbre associative A munissent A d'une structure de pseudo-anneau, que nous appellerons le pseudo-anneau sous-jacent de l'algèbre A. Toutes les algèbres que nous considérerons seront associatives. Si la multiplication d'une algèbre A admet un élément neutre (lequel est alors unique),on dit que cet élément neutre est l'unité de l'algèbre A et que cette algèbre est unifère. Si une algèbre A est à la fois associative et unifère, son pseudo-anneau sous-jacent est un anneau, qu'on appellera anneau sous-jacent de A. L'exemple suivant d'algèbre associative et unifère sur un corps commutatif sera utilisé dans la suite de ce chapitre. {{Théorème |titre = Énoncé 4 |contenu = Soit F un corps '''commutatif''' et V un F-espace vectoriel. On désigne par End(V) l'ensemble des F-endomorphismes de V (transformations linéaires). Si pour tout élément <math>\lambda</math> de F et tout élément ''h'' de End(V), on définit une application <math>\lambda h</math> de V dans lui-même en posant :<math>\lambda h : x \mapsto \lambda \cdot (h(x)),</math> où le point désigne la loi externe du F-espace vectoriel V, alors <math>\lambda h</math> appartient à End_F(V) et l'addition dans End(V), la loi externe :<math>F \times \mathrm{End}_{F}(V) \rightarrow \mathrm{End}_{F}(V) : (\lambda, h) \mapsto \lambda h</math> et la composition dans End_F(V) font de End_F(V) une F-algèbre associative unifère (l'unité de cette algèbre étant l'endomorphisme identité). }} {{Démonstration |contenu = On sait par l'énoncé 1 que l'addition point par point et la composition dans End(V) font de End(V) un anneau (même si F n'est pas supposé commutatif). Prouvons que si F est commutatif, alors, pour tout élément <math>\lambda</math> de F et tout élément ''h'' de End(V), l'application <math>\lambda h</math> est un F-endomorphisme de V. La relation <math>(\lambda h) (x + y) = (\lambda h) (x) + (\lambda h) (y)</math>, pour tous éléments ''x'', ''y'' de V, est vraie même si F n'est pas supposé commutatif, comme le lecteur le vérifiera facilement. Il reste à prouver que, pour tout élément <math>\mu</math> de F et tout élément ''x'' de V, :<math>(\lambda h) (\mu x) = \mu \cdot ((\lambda h) (x)).</math> Par définition de <math>\lambda h</math>, le premier membre de la thèse égale :<math>\lambda \cdot ((h) (\mu x)) = \lambda \cdot (\mu \cdot (h(x))) = (\lambda \mu) \cdot (h(x))</math>. D'autre part, toujours par définition de <math>\lambda h</math>, le second membre de la thèse égale :<math>\mu \cdot (\lambda \cdot (h(x)) = (\mu \lambda) \cdot (h(x)).</math> Puisque F est supposé commutatif, <math>\lambda \mu = \mu \lambda,</math> donc les deux membres de la thèse sont bien égaux. Il reste à prouver que, pour tout élément <math>\lambda</math> de F et tous éléments ''f'', ''g'' de End(V), :<math>\lambda (f \circ g) = (\lambda f) \circ g = f \circ (\lambda g)</math>, ce qui est laissé au lecteur. }} == Groupes linéaires réductibles, irréductibles, complètement réductibles == Dans la suite de ce chapitre, les corps sur lesquels on considérera des espaces vectoriels seront toujours supposés commutatifs, même si certains énoncés restent vrais sans cette hypothèse. Il n'y aura donc pas lieu de distinguer entre espaces vectoriels à gauche et à droite. Si V est un espace vectoriel sur un corps commutatif F, on désignera par GL(V) le groupe formé par les permutations F-linéaires de V (automorphismes de l'espace vectoriel V), la loi de groupe étant la composition :<math>GL(V) \times GL(V) \rightarrow GL(V) : (f, g) \mapsto f \circ g,</math> où <math>f \circ g</math> est définie par :<math>f \circ g : V \rightarrow V : v \mapsto f(g(v)).</math> Nous dirons qu'un groupe G est un groupe linéaire si c'est un sous-groupe de GL(V) pour un certain espace vectoriel V sur un corps commutatif. Si on définit un endomorphisme d'espace vectoriel de façon que la notion de l'endomorphisme englobe celle de l'espace vectoriel, alors V est défini de façon unique à partir de G. Si ''g'' est un élément de GL(V), un sous-espace W de V est dit stable par ''g'' si g(W) est contenu dans W. W est dit invariant par ''g'' si g(W) = W. (Si W est de dimension finie et stable par ''g'', il est invariant par ''g'', car W et g(W) ont la même dimension et un espace vectoriel de dimension finie ''n'' est son seul sous-espace de dimension ''n''.) {{Définition | titre = Définition. Sous-espace invariant par un groupe d'automorphismes | contenu = Soit V un espace vectoriel sur un corps commutatif. Si G est un sous-groupe de GL(V), si W est un sous-espace de V stable par tout élément de G, alors W est invariant par tout élément de G. (En effet, on a alors, pour tout élément ''g'' de G, <math>g(W) \leq W</math> et <math>g^{-1}(W) \leq W</math>, cette dernière relation entraînant <math>W \leq g(W).</math>) On dit alors que W est invariant par G. }} Dans ce cas, chaque élément de G admet une birestriction à W et ces birestrictions forment un sous-groupe de GL(W). {{Définition | titre = Définition. Groupe linéaire réductible | contenu = Soit F un corps commutatif, soit V un F-espace vectoriel, soit G un sous-groupe de GL(V). On dit que G est réductible s'il existe un sous-F-espace W de V invariant par G et tel que 0 < W < V. On dira dans le même cas que V est réductible pour G. }} Il est clair que s'il existe un sous-groupe réductible de GL(V), la dimension de V est au moins égale à 2. Exemples. 1° Si G est le sous-groupe trivial de GL(V), c'est-à-dire le sous-groupe de GL(V) réduit à l'automorphisme identique de V, tout sous-espace de V est invariant par G, donc si V est de dimension au moins égale à 2, V est réductible.<br /> 2° Si G est GL(V) tout entier, G n'est pas réductible. (En effet, si W est un sous-espace de V tel que 0 < W < V, on peut choisir un élément non nul ''x'' de W et un élément ''y'', forcément non nul, de V \ W; d'après la théorie des espaces vectoriels, il existe un automorphisme ''g'' de V qui applique ''x'' sur ''y''; alors W n'est pas invariant par ''g'' et n'est donc pas invariant par G = GL(V), ce qui prouve que GL(V) n'est pas réductible.) {{Définition | titre = Définition. Groupe linéaire irréductible | contenu = Soit F un corps commutatif, soit V un F-espace vectoriel, soit G un sous-groupe de GL(V). On dit que G est irréductible s'il n'est pas réductible et que V est non nul. Dans les mêmes conditions, on dit aussi que V est irréductible pour G. }} {{Définition | titre = Définition. Sous-espace réductible pour un groupe linéaire | contenu = Soit F un corps commutatif, soit V un F-espace vectoriel, soit G un sous-groupe de GL(V). On dit qu'un sous-espace W de V invariant par G est réductible pour G si W est réductible pour le sous-groupe de GL(W) formé par les birestrictions à W des éléments de G. Cela revient à dire qu’il un sous-espace T de W invariant par G et tel que 0 < T < W }} {{Définition | titre = Définition. Sous-espace irréductible pour un groupe linéaire | contenu = Soit F un corps commutatif, soit V un F-espace vectoriel, soit G un sous-groupe de GL(V). On dit qu'un sous-espace W de V invariant par G est irréductible pour G s'il est non nul et n'est pas réductible pour G. }} {{Définition | titre = Définitions. Groupe linéaire complètement réductible, espace complètement réductible | contenu = Soit F un corps commutatif, soit V un F-espace vectoriel, soit G un sous-groupe de GL(V). On dit que G est complètement réductible si V est somme directe d'une famille de sous-espaces irréductibles pour G. Dans le même cas, on dit aussi que V est complètement réductible pour G. }} Il est clair que si V est de dimension ''finie'' et qu' un sous-groupe G de GL(V) est complètement réductible, alors V est somme directe d'une famille ''finie'' de sous-espaces irréductibles pour G. Un groupe linéaire irréductible est complètement réductible, ce qui montre une certaine incohérence dans la terminologie. {{Théorème |titre = Énoncé 5. (Théorème de Maschke.) |contenu ={{Wikipédia|Théorème de Maschke}} Soit F un corps commutatif, soit V un F-espace vectoriel (de dimension finie ou infinie), soit G un sous-groupe fini de GL(V) dont l'ordre <math>\vert G \vert </math> n'est pas divisible par la caractéristique de F. (C'est le cas en particulier si F est de caractéristique nulle.) :1° Si W est un sous-espace vectoriel de V invariant par G, W admet un sous-espace supplémentaire dans V qui est invariant par G. :2° Si V est de dimension finie, il est somme directe <math>V = V_{1} \oplus \cdots \oplus V_{r}</math> d'une famille finie de sous-espaces invariants par G et irréductibles pour G, autrement dit G est complètement réductible. }} {{Démonstration |contenu = Démontrons le point 1° de l'énoncé. Choisissons un sous-espace X supplémentaire de W dans V, ce qui est possible d'après l'énoncé 3. Désignons par ''p'' l'endomorphisme d'espace vectoriel de V qui coïncide avec l'identité sur W et est nul en tout point de X. (Dans une certaine terminologie, ''p'' est la projection de V sur W relativement à la décomposition <math>V = W \oplus X.</math>)<br /> Désignons par <math>\vert G \vert _{F}</math> l'image canonique du nombre naturel <math>\vert G \vert _{F}</math> dans F. D'après les hypothèses, <math>\vert G \vert _{F}</math> est inversible dans F.<br /> Considérons l'endomorphisme de V :<math>P = \frac{1}{\vert G \vert _{F}} \sum _{g \in G} g \circ p \circ g^{-1},</math> endomorphisme correctement défini d'après l'énoncé 4.<br /> Par définition de ''p'', p(V) est contenu dans W. Donc, puisque W est invariant par G, :(1) P(V) est contenu dans W. De plus, si ''w'' est un élément de W, alors, pour tout élément ''g'' de G, <math>g^{-1}(w)</math> appartient à W, donc, par définition de ''p'', :<math>p \circ g^{-1}(w) = g^{-1}(w)</math> d'où :<math>g \circ p \circ g^{-1}(w) = w</math> d'où :<math>P(w) = \frac{1}{\vert G \vert _{F}} (\vert G \vert w)</math> :<math>P(w) = \frac{1}{\vert G \vert _{F}} (\vert G \vert_{F} w)</math> :<math>P(w) =w.</math> Joint à (1), cela entraîne <math>P \circ P = P</math> et P(W) = W, donc, d'après l'énoncé 2, :<math>V = W \oplus Ker P.</math> Ainsi, Ker P est un supplémentaire de W dans V. Pour prouver le point 1° de l'énoncé, il suffit donc de prouver que Ker P est invariant par G.<br /> Prouvons d'abord que, pour tout élément ''g'' de G, :(thèse 2) <math>\qquad g \circ P = P \circ g.</math> Nous avons :<math>g \circ P \circ g^{-1} = g \circ ( \frac{1}{\vert G \vert _{F}} \sum _{h \in G} h \circ p \circ h^{-1}) \circ g^{-1},</math> ce qui, dans l'algèbre définie à l'énoncé 4, peut s'écrire :<math>g \circ P \circ g^{-1} = \frac{1}{\vert G \vert _{F}} \sum _{h \in G} g \circ h \circ p \circ h^{-1} \circ g^{-1},</math> :<math>g \circ P \circ g^{-1} = \frac{1}{\vert G \vert _{F}} \sum _{h \in G} (g \circ h) \circ p \circ (g \circ h)^{-1}.</math> Puisque <math>h \mapsto g \circ h</math> définit une permutation de G, cela peut s'écrire :<math>g \circ P \circ g^{-1} = \frac{1}{\vert G \vert _{F}} \sum _{h \in G} h \circ p \circ h^{-1},</math> :<math>g \circ P \circ g^{-1} = P,</math> d'où :(3) <math>g \circ P = P \circ g,</math> ce qui est notre thèse (2).<br /> Soit maintenant ''v'' un élément de Ker P. Alors <math>g \circ P(v) = g(0)</math>, <math>g \circ P(v) = 0</math>, ce qui, d'après (3), peut s'écrire <math>P \circ g(v) = 0</math>, ou encore <math>g(v) \in \mathrm{Ker} P.</math> Ceci prouve que Ker P est invariant par G. Comme on l'a vu, le point 1° de l'énoncé en résulte. Le point 2° de l'énoncé se démontre facilement par récurrence sur la dimension de V. Les détails sont laissés au lecteur. }} <!-- == Notes et références == {{Références}} --> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Produit en couronne/]] | suivant = [[../Représentations complexes des groupes finis, 1/]] }} fvbpkoxvqv49wo5i9z8n2qu5uxs59ma 0 65395 982838 982029 2026-05-15T07:07:46Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982838 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 21 | niveau = 14 | précédent = [[../Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D/]] | suivant = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : dipôles linéaires/]] }} == Échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de l'espace, échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de temps == === Échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de l'espace === {{Al|5}}Ces notions ont déjà été évoquées en note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Exemples_de_signaux,_spectre#cite_note-27|²⁷]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », nous les détaillons un peu plus ci-dessous : * échelle macroscopique de l'espace : toute dimension <math>\;\mathit{l} \gtrsim 1\;mm</math>, * échelle microscopique de l'espace : toute dimension <math>\;\mathit{l} \lesssim 1\;nm\;</math> de l'ordre de la distance moyenne séparant deux atomes dans un solide ou deux molécules dans un gaz à pression et température usuelles, * échelle mésoscopique de l'espace : les dimensions <math>\;\mathit{l} \sim 1\;\mu m\;</math> qui peuvent être envisagées comme « des infiniment grands relativement aux dimensions microscopiques »<ref> Exemple d'une chaîne linéaire d'atomes : la distance entre deux atomes est d'échelle microscopique, une distance de <math>\;1\; \mu m\;</math> sur cette chaîne d'échelle mésoscopique et celle de <math>\;1\; mm\;</math> sur cette même chaîne d'échelle macroscopique ; <br>{{Al|3}}nous pourrions déterminer la masse d'un échantillon mésoscopique de <math>\;1\; \mu m\;</math> de chaîne d'atomes en multipliant la masse d'un atome par le nombre d'atomes comptés mais ce dernier étant grand et difficilement comptable, nous déduirons la masse de l'échantillon en multipliant la masse d'un atome par le nombre moyen d'atomes c.-à-d. en appliquant la loi des grands nombres à l'échantillon mésoscopique <math>\;\big(</math>ou encore en y faisant une étude statistique<math>\big)</math>.</ref> et comme « des infiniment petits relativement aux dimensions macroscopiques »<ref> Reprenant l'exemple de la chaîne linéaire d'atomes précédente : <br>{{Al|3}}ayant évalué la masse d'un échantillon mésoscopique de <math>\;1\; \mu m\;</math> de chaîne d'atomes, la masse d'un échantillon macroscopique de <math>\;1\; mm\;</math> de chaîne d'atomes pourrait être déterminée en ajoutant les masses de tous les échantillons mésoscopiques mais ce serait trop fastidieux, elle sera calculée en définissant la masse linéique des échantillons mésoscopiques suivant leur abscisse de positionnement <math>\;\lambda(x) \simeq \dfrac{m_{1\, \mu m\;\text{de chaine}}(x)}{1\; \mu m}\;</math> et en intégrant <math>\;m_{1\, mm\;\text{de chaine}} = \displaystyle\int_0^{1\,mm} \lambda(x)\;dx\;</math> <math>\big(</math>le caractère petit des échantillons mésoscopiques relativement aux échantillons macroscopiques permettant de faire l'approximation continue de la matière<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si la masse linéique des échantillons mésoscopiques ne dépend pas de leur abscisse de positionnement, la masse de l'échantillon macroscopique de <math>\;1\; mm\;</math> de chaîne d'atomes s'obtiendra simplement en multipliant la masse linéique par le nombre moyen d'échantillons mésoscopiques dans l'échantillon macroscopique c.-à-d. en multipliant par <math>\;1000</math>.</ref>. === Échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de temps === {{Al|5}}Ces notions n'ont pas encore été introduites : * échelle macroscopique de temps : toute durée <math>\;\tau \gtrsim 0,1\;s\;</math> supérieure à l'ordre de grandeur de persistance sur la rétine, * échelle microscopique de temps : toute durée <math>\;\tau \lesssim 10^{-11}\;s\;</math> la limite étant d'ordre de grandeur de la durée moyenne entre deux chocs successifs d'une même molécule dans un gaz à pression et température usuelles, * échelle mésoscopique de temps : les durées <math>\;\tau \sim 1\;\mu s\;</math> qui peuvent être envisagées comme « des infiniment grands relativement aux durées microscopiques »<ref> On pourra donc appliquer la loi des grands nombres sur la durée mésoscopique <math>\;\big(</math>ou encore y faire une étude statistique<math>\big)</math>.</ref> et comme « des infiniment petits relativement aux durées macroscopiques »<ref> On pourra remplacer la définition d'une grandeur <math>\;g\;</math> sur une durée mésoscopique <math>\;\tau \sim 1\;\mu s\;</math> repérée à l'instant <math>\;t\;</math> <math>\big(</math>par exemple le nombre d'atomes passant par un trou pendant <math>\;1\;\mu s\;</math> à partir de l'instant <math>\;t\big)\;</math> par le débit de cette grandeur <math>\;D_g(t) = \dfrac{g_{1\,\mu s}(t)}{1\;\mu s}\;</math> <math>\big(</math>sur l'exemple le débit d'atomes passant par le trou à l'instant <math>\;t\big)\;</math> et calculer la grandeur <math>\;g\;</math> sur une durée macroscopique <math>\;0,1\; s\;</math> à partir d'une date <math>\;t_0\;</math> en intégrant <math>\;g_{0,1\,s}(t_0) = \displaystyle\int_{t_0}^{t_0 + 0,1\,s} D_g(t)\;dt\;</math> <math>\big(</math>sur l'exemple on obtient le nombre d'atomes passant par le trou pendant <math>\;0,1\;s\;</math> à partir de l'instant <math>\;t_0\big)\;</math> <math>\big[</math>le caractère petit des durées mésoscopiques de temps relativement aux durées macroscopiques permettant de faire l'approximation continue de l'évolution de grandeur relativement au temps<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}si le débit de la grandeur <math>\;g\;</math> sur des durées mésoscopiques ne dépend pas de leur date de détermination, la grandeur <math>\;g\;</math> sur la durée macroscopique de <math>\;0,1\; s\;</math> à partir de <math>\;t_0\;</math> s'obtiendra simplement en multipliant le débit de la grandeur <math>\;g\;</math> sur des durées mésoscopiques par le nombre moyen de durées mésoscopiques dans la durée macroscopique c.-à-d. en multipliant par <math>\;10^5</math>.</ref>. == Quantification de la charge électrique, conséquence de la petitesse de la charge élémentaire au niveau mésoscopique : continuité mésoscopique apparente de la charge électrique == === Quantification de la charge électrique, valeur du quantum de charge === {{Al|5}}Les charges individuelles des porteurs de charge mobiles ainsi que celles des ions fixes étant toutes « multiples d'une même charge élémentaire »<ref> Exemples de porteurs de charge mobiles et d'ions fixes ou mobiles dans les conducteurs, semi-conducteurs intrinsèques ou extrinsèques : * dans un conducteur métallique les porteurs de charge mobiles sont les électrons de conduction de charge <math>\;-e</math>, les ions fixes nécessairement de charge positif dépendent du métal <math>\;\big(</math>pour le cuivre c'est le cation <math>\;Cu^{+}\big)</math>, * dans un semi-conducteur intrinsèque les porteurs de charge mobile sont les électrons de conduction et les trous, ces derniers fictifs étant de charge <math>\;+e\;</math> <math>\;\big[</math>on rappelle que leur introduction permet de simplifier le traitement : quand des électrons de valence sont devenus des électrons de conduction, ils ont laissé derrière eux des sites de valence vides que des électrons de valence voisins peuvent venir occuper en libérant leur propre site de valence ; pour éviter d'avoir deux types de porteurs de charge mobile électroniques les électrons de conduction et les électrons de valence sautant d'un site occupé à un site vide, les sites vides sont remplacés par des sites dans lequel on trouve un électron de valence fictif et un trou fictif, le premier ne pouvant pas se déplacer mais le second étant mobile, ainsi quand un site vide <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> est occupé par un électron de valence du site occupé voisin <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut dire que le trou du site vide <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> recouvre l'électron de valence du site occupé voisin <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> rendant l'électron de valence de ce site <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> fictif en même temps que l'électron de valence fictif du site <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> est rendu réel par le départ du trou, tous les électrons de valence restant fixes, seule leur nature réelle ou fictive étant modifiée, et les porteurs de charge mobiles pour la conduction due aux électrons de valence étant les trous<math>\big]</math>, * dans un semi-conducteur extrinsèque les porteurs de charge mobile sont des électrons de conduction si le semi-conducteur est dopé avec des atomes pentavalents, et des trous si le semi-conducteur est dopé avec des atomes trivalents, * dans un électrolyte les porteurs de charge mobiles sont des cations de charge <math>\;+n\;e\;</math> et des anions de charge <math>\;-n'\;e\;</math> <math>\big[</math>pour une solution de chlorure de sodium <math>\;Na^{+}_{aq}\;</math> et <math>\;Cl^{-}_{aq}</math>, pour une solution de sulfate de sodium <math>\;Na^{+}_{aq}\;</math> et <math>\;\left( SO_4^{2-} \right)_{aq}\;</math> ainsi que <math>\;H_3O^{+}_{aq}\;</math> et <math>\;HO^{-}_{aq}\;</math> que l'on trouve dans toute solution aqueuse<math>\big]</math>.</ref>, on en déduit que <u>la charge électrique est une grandeur quantifiée</u>, le quantum de charge étant la charge élémentaire <math>\;e \simeq 1,602\; 10^{-19}\; C</math>. === Conséquence de la petitesse de la charge élémentaire au niveau mésoscopique : continuité mésoscopique apparente de la charge électrique === {{Al|5}}Considérons la charge électrique correspondant à une circulation d'un courant de très faible intensité <math>\;1\; nA\;</math> pendant une durée mésoscopique <math>\;\tau = 1\; \mu s</math>, la charge circulant valant <math>\;10^{-9}\;A \times 10^{-6}\; s \simeq</math> <math>10^{-15}\;C\;</math><ref> La formule utilisée est établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_intensité,_tension,_puissance#Notion_de_courant_électrique_et_définition_de_l'intensité_du_courant_en_un_point_du_circuit|notion de courant électrique et définition de l'intensité du courant en un point du circuit]] » plus bas dans ce chapitre.</ref> <ref> Si ces porteurs sont de charge individuelle égale en valeur absolue à la charge élémentaire leur nombre étant <math>\;\dfrac{10^{-15}}{1,602\;10^{-19}} \simeq 6000\;</math> reste très grand et autorise une utilisation de la loi des grands nombres c.-à-d. encore une étude statistique.</ref> reste « très grande relativement au quantum de charge »<ref> A fortiori cela sera vérifié pour la circulation de charge correspondant une très faible intensité pendant une durée macroscopique ou pour la circulation de charge correspondant une intensité plus importante pendant une durée mésoscopique ou macroscopique.</ref> ; {{Al|5}}il est donc légitime, dans la mesure où on fait une <u>observation mésoscopique</u><math>\;\big(</math><u>ou macroscopique</u><math>\big)</math>, de <u>négliger la quantification de la charge</u> c'est-à-dire de <u>considérer la charge comme une grandeur</u>{{Nobr| <u>« continue »</u><ref> Il ne s'agit bien sûr que d'une continuité apparente de la charge aux échelles mésoscopique et macroscopique, à l'échelle microscopique la charge nécessitant bien sûr de conserver son aspect quantifié, par exemple pour l'explication des réactions aux électrodes dans une électrolyse.</ref>.}} == Modélisation filiforme d'un circuit électrique, sens (conventionnel) du courant électrique == {{Al|5}}Cette notion a déjà été introduite dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Exemples_de_signaux,_spectre#Modélisation_filiforme_d'un_conducteur,_sens_conventionnel_du_courant|modélisation filiforme d'un conducteur, sens conventionnel du courant]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », nous la rappelons ci-dessous : {{Al|5}}quand une dimension d'un conducteur est très grande par rapport aux deux autres, on modélise le conducteur en négligeant les dimensions transversales, cette limite définissant une portion de circuit « filiforme » ; le courant qui correspondait à la circulation de porteurs de charge à travers les sections droites du conducteur est maintenant une circulation de porteurs de charge à travers les points successifs de la portion de circuit filiforme, <u>le sens</u><math>\;\big(</math>conventionnel<math>\big)\;</math><ref> Ce sens est qualifié de « conventionnel » car, dans la plupart des matériaux conduisant plus ou moins l'électricité, il y a deux types de porteurs de charge mobiles circulant en sens inverse (quand un mouvement d'ensemble est imposé) [voir note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_intensité,_tension,_puissance#cite_note-11|¹¹]] » ci-dessous], il y avait donc deux choix possibles ; c'est en <math>1820</math> que le français '''Ampère''' définit la grandeur « courant » matérialisée par la circulation des deux types de porteurs de charge mobiles en définissant, par convention, le sens du courant comme le sens de circulation de l'un des types de porteurs de charge mobiles, les porteurs de charge mobiles de signe opposé correspondant au sens contraire du courant <math>\ldots</math> mais le choix aurait pu être l'inverse, il s'agit donc d'un choix historique ; <br>{{Al|3}}'''[[w:André-Marie_Ampère|André-Marie Ampère]] (1775 - 1836)''', mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'[[w:Électronique|électronique]] de la matière.</ref> <u>du courant étant le sens de déplacement d'ensemble des porteurs de charge positive</u> <math>\;\big[</math>et le sens contraire des porteurs de charge négative<ref> Les porteurs de charge de signe opposé se déplaçant effectivement en sens contraire car, pour qu'il y ait déplacement d'ensemble de porteurs de charge mobiles, il faut que le conducteur soit branché dans un circuit dans lequel il y a au moins un générateur qui impose une différence de potentiel (d.d.p.) entre ses bornes par laquelle les porteurs mobiles de charge de signe opposé sont entraînés en sens contraire <math>\;\big[</math>cette notion de d.d.p. est vue dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_intensité,_tension,_puissance#Définition_de_la_tension_entre_deux_points_d'un_circuit,_différence_de_potentiel_(ou_d.d.p.)|définition de la tension entre deux points d'un circuit, différence de potentiel (ou d.d.p.)]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. == Notion de courant électrique et définition de l'intensité du courant en un point du circuit filiforme == {{Al|5}}Ces notions déjà, en grande partie, introduites dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Exemples_de_signaux,_spectre#Définition_de_l'intensité_algébrique_du_courant|définition de l'intensité algébrique du courant]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » sont rappelées ci-après : {{Al|5}}la définition du courant électrique ayant été rappelée au paragraphe précédent « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_intensité,_tension,_puissance#Modélisation_filiforme_d'un_circuit_électrique,_sens_(conventionnel)_du_courant_électrique|modélisation filiforme d'un circuit électrique, sens (conventionnel) du courant électrique]] » plus haut dans ce chapitre, pour algébriser sa circulation, on définit, arbitrairement, un sens <math>\;+\;</math> de mesure de l’intensité du courant : {{Définition|titre= Intensité algébrique du courant en un point d'un circuit filiforme :|contenu = {{Al|5}}L'intensité <u>algébrique</u><math>\;i\;</math> du courant traversant le circuit filiforme en un point <math>\,M\,</math> est la charge traversant le point <math>\,M\,</math> dans le sens <math>\,+\,</math> par <math>\,s</math> <br>{{Al|5}}ou, si la charge <math>\;dq\;</math> traverse <math>\;M\;</math> dans le sens <math>\;+\;</math> pendant la durée élémentaire <math>\;dt\;</math><ref> Élémentaire dans l'échelle macroscopique de temps.</ref>, <center><math>\;i = \dfrac{dq}{dt}\;</math> <ref> Sauf dans des cas très particuliers, cette relation ne doit pas être interprétée comme la dérivée d'une grandeur <math>\;q(t)</math>, car cette dernière n'a en général aucun intérêt physique <math>\;\big[</math>circuit basique comprenant un générateur et un conducteur ohmique, <math>\;q(t)\;</math> définirait la charge ayant circulé depuis un instant arbitraire choisi comme origine et l'instant <math>\;t\;</math> considéré <math>\;\rightarrow\;</math> sans signification physique, par contre dans les exemples de la charge <math>\;\big(</math>ou décharge<math>\big)\;</math> d'un condensateur et les phénomènes électrolytiques, <math>\;q(t)\;</math> a un sens physique <math>\;\big(</math>dans le 1^er exemple c'est la charge du condensateur et dans le 2^ème cela correspond aux charges absorbées ou libérées aux électrodes<math>\big)\big]</math>.</ref> s'exprimant en <math>\;A\;</math> <ref> <math>\;1\; A = 1\; C \cdot s^{-1}</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on représente le courant sur un circuit filiforme par une flèche tracée sur les fils de connexion dans le sens <math>\;+\;</math> de mesure de l'intensité algébrique et on indique celle-ci à côté de la flèche.}} {{Al|5}}La durée élémentaire <math>\;dt\;</math> est en fait une durée mésoscopique<ref> Elle est donc bien élémentaire dans l'échelle macroscopique de temps.</ref>, la charge circulant peut donc s'écrire en utilisant la loi des grands nombres <math>\;dq = q_p\; dN_p\;</math> <ref> Dans le cas le plus fréquent il y a plusieurs types de porteurs de charge mobile, la relation doit donc être écrite <math>\;dq = \sum\limits_k q_{p,\,k}\; dN_{p,\,k}\;</math> où la somme est faite sur tous les types <math>\;_k</math></ref> où <math>\;dN_p\;</math> est le nombre moyen de porteurs de charge mobiles circulant dans le sens <math>\;+\;</math> pendant <math>\;dt</math>, <math>\;q_p\;</math> étant leur charge individuelle<ref> On rappelle que la circulation de porteurs de charge mobiles de charge individuelle positive <math>\;\big(</math>ou négative<math>\big)\;</math> dans un sens est équivalente à la circulation de porteurs de charge mobiles de charge individuelle opposée dans l'autre sens ; si ce sont des porteurs de charge mobiles de charge individuelle positive <math>\;\big(</math>ou négative<math>\big)\;</math> qui circulent dans le sens <math>\;+\;</math> on considère leur nombre et leur charge individuelle mais s'ils circulent dans le sens <math>\;-\;</math> on considère leur nombre et la charge opposée de leur charge individuelle.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit l'intensité du courant au point <math>\;M\;</math> sous la forme <math>\;i = q_p\; \dfrac{dN_p}{dt}</math>, dans laquelle <math>\;\dfrac{dN_p}{dt}\;</math> représente le débit (moyen) de porteurs de charge mobiles de charge individuelle <math>\;q_p\;</math> dans le sens <math>\;+</math> ; <br>{{Al|5}}exemple une intensité de <math>\;1\; nA\;</math> dans un conducteur métallique correspond à un débit de porteurs de charge mobiles de charge individuelle (fictive) <math>\;q_p = 1,602\; 10^{-19}\; C\;</math> dans le sens <math>\;+\;</math> égal à <math>\;\dfrac{dN_p}{dt} = \dfrac{i}{q_p} \simeq \dfrac{10^{-9}}{1,602\;10^{-19}} \simeq 6,2\;10^9\;s^{-1}\;</math> soit un débit d'électrons de conduction dans le sens <math>\;-\;</math> égal à <math>\;6,2\;10^9\;s^{-1}</math>. == Cause de l'existence d'un courant dans un circuit électrique == === Cause dans une partie réceptrice : force électrique « motrice » due à un champ électrique généré par un générateur === {{Al|5}}Revoir les notions exposées dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Exemples_de_signaux,_spectre#Nécessité_d'imposer_une_tension_aux_bornes_d'un_récepteur_pour_qu'il_soit_traversé_par_un_courant|nécessité d'imposer une tension aux bornes d'un récepteur pour qu'il soit traversé par un courant]] » au chap.<math>2</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » dont les grandes lignes sont rappelées ci-après : {{Al|5}}il y a <u>circulation de courant dans la partie réceptrice d'un circuit filiforme</u> si <u>les porteurs de charge mobiles sont soumis à une force motrice d'origine électrique</u> ; {{Al|5}}<u>le récepteur est relié à un générateur qui impose</u> en tout point <math>\;M\;</math> du récepteur <u>un champ électrique</u> <math>\;\vec{E}(M)</math>, un porteur mobile de charge <math>\;q_p\;</math> subit alors, quand il est en <math>\;M</math>, la force électrique motrice <center><math>\;\vec{F}_{\text{élect}}(M) = q_p\; \vec{E}(M)\;</math> <br>qui permet sa mise en mouvement dans le sens du courant si <math>\;q_p > 0\;</math> et en sens contraire si <math>\;q_p < 0\;</math> <ref> En effet on rappelle que le sens conventionnel du courant est le sens <math>\;\big(</math>respectivement le sens contraire<math>\big)\;</math> de déplacement d'ensemble des porteurs mobiles de charge positive <math>\;\big(</math>respectivement négative<math>\big)</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}<u>le courant dans un récepteur est donc toujours dans le sens du champ électrique</u> <math>\;\vec{E}\;</math> <ref> En effet si <math>\;q_p\;</math> est <math>\;> 0</math>, le sens de son déplacement définissant le sens du courant et la force électrique motrice agissant sur la charge <math>\;\vec{F}_{\text{élect}}(M)\;</math> étant dans le sens de <math>\; \vec{E}(M)</math>, le courant est dans le sens de <math>\; \vec{E}(M)</math>,<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}si <math>\;q_p\;</math> est <math>\;< 0</math>, le sens de son déplacement définissant le sens contraire du courant et la force électrique motrice agissant sur la charge <math>\;\vec{F}_{\text{élect}}(M)\;</math> étant dans le sens contraire de <math>\; \vec{E}(M)</math>, le courant est encore dans le sens de <math>\; \vec{E}(M)</math>.</ref>. === Cause dans une partie génératrice : force « motrice » due à un champ électromoteur === {{Al|5}}Revoir les notions exposées dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Exemples_de_signaux,_spectre#Tension_aux_bornes_d'un_générateur_et_sens_du_courant_dans_ce_dernier|tension aux bornes d'un générateur et sens du courant dans ce dernier]] » au chap.<math>2</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » dont les grandes lignes sont rappelées ci-après : {{Al|5}}en tout point <math>\;M\;</math> d'un générateur, existe aussi un champ électrique <math>\;\vec{E}(M)</math>, un porteur mobile de charge <math>\;q_p\;</math> est donc aussi soumis, quand il est au point <math>\;M</math>, à une force électrique <math>\;\vec{F}_{\text{élect}}(M) =</math> <math>q_p\; \vec{E}(M)\;</math> mais celle-ci étant « résistive »<ref> En effet, dans le générateur, le champ électrique allant de la borne «<math>\;+\;</math>» à la borne «<math>\;-</math>», les porteurs mobiles de charge individuelle positive sont soumis à une force électrique allant de la borne «<math>\;+\;</math>» à la borne «<math>\;-\;</math>» alors que le courant (donc le sens de déplacement d'ensemble des porteurs de charge positive) circule en sens contraire ; <br>{{Al|3}}de même les porteurs mobiles de charge individuelle négative sont soumis à une force électrique allant de la borne «<math>\;-\;</math>» à la borne «<math>\;+\;</math>» alors que le courant (donc le sens contraire de déplacement d'ensemble des porteurs de charge négative) circule en sens contraire ; <br>{{Al|3}}ceci établit que la force électrique est résistive dans un générateur.</ref>, {{Al|5}}<u>il existe donc nécessairement, s'exerçant sur chaque porteur mobile de charge</u> <math>\;q_p</math>, <u>une force motrice d'origine</u> dépendant de la nature du générateur <math>\;\big[</math>origine <u>électrochimique pour une pile</u> <math>\;\big(</math>introduction de [[w:Potentiel_d'oxydoréduction|phénomènes d'oxydo-réduction]]<math>\big)\;</math> ou origine <u>électromécanique pour un alternateur</u> <math>\;\big(</math>introduction de [[w:Générateur électrique#Alternateur|phénomènes d'induction]] qui seront également vus dans chap.<math>14</math> « [[Induction_et_forces_de_Laplace_(PCSI)/Circuit_mobile_dans_un_champ_magnétique_stationnaire_:_conversion_de_puissance_mécanique_en_puissance_électrique|circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire : conversion de puissance mécanique en puissance électrique]] » de la leçon « [[Induction_et_forces_de_Laplace_(PCSI)|Induction et forces de Laplace (PCSI)]] »<math>\big)\big]\;</math> et s'écrivant en fonction d'un champ électromoteur <math>\;\vec{E}_{\text{électromot}}(M)\;</math> indépendant du porteur <center><math>\;\vec{F}_{\text{électrom}}(M) = q_p\; \vec{E}_{\text{électromot}}(M)\;</math><ref> On rappelle qu'il ne faut pas dire « force électromotrice » car celle-ci a une autre signification (historique) qui n'est absolument pas une force, on dira « force due au champ électromoteur » s'exerçant sur le porteur de charge mobile.</ref> ;</center> {{Al|5}}<u>le courant dans un générateur est donc toujours dans le sens du champ électromoteur</u> <math>\;\vec{E}_{\text{électromot}}\;</math> <ref> En effet si <math>\;q_p\;</math> est <math>\;> 0</math>, le sens de son déplacement définissant le sens du courant et la force due au champ électromoteur agissant sur la charge <math>\;\vec{F}_{\text{électrom}}(M)\;</math> étant dans le sens de <math>\; \vec{E}_{\text{électrom}}(M)</math>, le courant est dans le sens de <math>\; \vec{E}_{\text{électrom}}(M)</math>,<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}si <math>\;q_p\;</math> est <math>\;< 0</math>, le sens de son déplacement définissant le sens contraire du courant et la force due au champ électromoteur agissant sur la charge <math>\;\vec{F}_{\text{électrom}}(M)\;</math> étant dans le sens contraire de <math>\; \vec{E}_{\text{électrom}}(M)</math>, le courant est encore dans le sens de <math>\; \vec{E}_{\text{électrom}}(M)</math>.</ref> c'est-à-dire encore <u>dans le sens contraire du champ électrique</u> <math>\;\vec{E}\;</math><ref> Puisque le champ électrique et le champ électromoteur sont de sens opposé.</ref>. == Variation de l'énergie potentielle électrique d'un porteur de charge mobile dans le sens du courant == === Variation de l'énergie potentielle électrique d'un porteur de charge mobile dans une partie réceptrice === {{Al|5}}Un porteur mobile de charge <math>\;q_p</math>, quand il est au point <math>\;M\;</math> d'une partie réceptrice, dans le champ électrique <math>\;\vec{E}(M)</math>, possède de l'énergie potentielle électrique <math>\;\mathcal{E}_{p,\,\text{élec}}(M)\;</math> <ref name="notation énergie potentielle"> Dans le cours de mécanique les énergies potentielles seront notées <math>\;U\;</math> mais ici, en électricité, il y aurait risque de confusion, <math>\;U\;</math> étant réservée à la tension, d'où la notation <math>\;\mathcal{E}_p</math>.</ref> tout comme un objet de masse <math>\;m</math>, quand il est au point <math>\;M\;</math> de l'espace, dans le champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}</math>, possède de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;U_{\text{pes}}(M)</math> ; {{Al|5}}si <math>\;q_p\;</math> est <math>\;> 0\;</math> son énergie potentielle électrique <math>\;\mathcal{E}_{p,\,\text{élec}} \searrow\;</math> dans le sens de <math>\;\vec{E}\;</math> qui est aussi le sens du courant dans la partie réceptrice<ref> Si <math>\;q_p\;</math> est <math>\;< 0\;</math> son énergie potentielle électrique <math>\;\mathcal{E}_{p,\,\text{élec}} \searrow\;</math> dans le sens contraire de <math>\;\vec{E}\;</math> qui est aussi le sens du courant dans la partie réceptrice.</ref>, comme l'énergie potentielle de pesanteur de l'objet <math>\;U_{\text{pes}} \searrow\;</math> dans le sens de <math>\;\vec{g}\;</math> qui est le sens spontané de déplacement de l'objet<ref name="pas de masse négative"> Une masse étant toujours <math>\;> 0\;</math> il n'y a pas de comparaison possible pour un porteur mobile de charge négative !</ref> ; {{Al|5}}comme un courant est une circulation de porteurs mobiles dont le sens est celui du déplacement d'ensemble des porteurs mobiles de charge positive<ref name="sens du courant"> Ou le sens contraire du déplacement d'ensemble des porteurs mobiles de charge négative.</ref>, on en déduit que <u>l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge </u><math>\underline{\big(}</math><u>positive ou négative</u><math>\underline{\big)}</math><u> dans une partie réceptrice décroît dans le sens du courant</u>. === Variation de l'énergie potentielle électrique d'un porteur de charge mobile dans une partie génératrice === {{Al|5}}Un porteur mobile de charge <math>\;q_p</math>, quand il est au point <math>\;M\;</math> d'une partie génératrice, dans le champ électrique <math>\;\vec{E}(M)</math>, possède aussi de l'énergie potentielle électrique <math>\;\mathcal{E}_{p,\,\text{élec}}(M)\;</math><ref name="notation énergie potentielle" /> tout comme un objet de masse <math>\;m</math>, quand il est au point <math>\;M\;</math> de l'espace, dans le champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}</math>, possède de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;U_{\text{pes}}(M)</math> ; {{Al|5}}si <math>\;q_p\;</math> est <math>\;> 0\;</math> son énergie potentielle électrique <math>\;\mathcal{E}_{p,\,\text{élec}} \nearrow\;</math> dans le sens contraire de <math>\;\vec{E}\;</math> qui est aussi le sens du champ électromoteur <math>\;\vec{E}_{\text{électromot}}\;</math> et le sens du courant dans la partie génératrice<ref> Si <math>\;q_p\;</math> est <math>\;< 0\;</math> son énergie potentielle électrique <math>\;\mathcal{E}_{p,\,\text{élec}} \nearrow\;</math> dans le sens de <math>\;\vec{E}\;</math> qui est aussi le sens contraire du champ électromoteur <math>\;\vec{E}_{\text{électromot}}\;</math> et le sens du courant dans la partie génératrice.</ref>, comme l'énergie potentielle de pesanteur de l'objet <math>\;U_{\text{pes}} \nearrow\;</math> dans le sens contraire de <math>\;\vec{g}\;</math> qui est le sens provoqué de déplacement de l'objet dont on veut provoquer une remontée<ref name="pas de masse négative" /> ; {{Al|5}}comme un courant est une circulation de porteurs mobiles dont le sens est celui du déplacement d'ensemble des porteurs mobiles de charge positive<ref name="sens du courant" />, on en déduit que <u>l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge </u><math>\underline{\big(}</math><u>positive ou négative</u><math>\underline{\big)}</math><u> dans une partie génératrice croît dans le sens du courant</u>. == Potentiel d'un point d'un circuit électrique, choix de la référence de potentiel, définition de la tension entre deux points d'un circuit == === Potentiel d'un point d'un circuit électrique === {{Al|5}}Comme l'énergie potentielle de pesanteur terrestre d'un objet en une position <math>\;M\;</math> de l'espace <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à la masse <math>\;m\;</math> de l'objet, l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge en une position <math>\;M\;</math> d'un circuit électrique <math>\;\mathcal{E}_{p,\,\text{élec}}(M)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à la charge <math>\;q_p\;</math> du porteur, l'autre facteur ne dépendant que de la position dans l'espace champ de pesanteur ou électrique ; {{Al|5}}pour l'objet de masse <math>\;m\;</math> dans le champ de pesanteur <math>\;\vec{g}</math>, l'énergie potentielle de pesanteur s'écrit <center><math>\;U_{\text{pes}}(M) = m\;g\;z_M\;</math><ref name="énergie potentielle de pesanteur"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_de_pesanteur_d'un_point_matériel_»_(dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme)|énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>où <math>\;z_M\;</math> représente l'altitude de la position <math>\;M\;</math> où se trouve l'objet par rapport au sol<ref> L'altitude de <math>\;M\;</math> étant nulle sur le sol on dit que la référence de l'altitude est le sol <math>\;\big(</math>mais ce choix est arbitraire, si nous intéressons à une expérience réalisée dans une pièce située au quatrième étage d'un immeuble, nous choisirons comme référence de l'altitude le plancher de cette pièce et non le sol où est implanté l'immeuble<math>\big)</math>, simultanément l'énergie potentielle de pesanteur étant nulle au niveau du sol, on dit que la référence de l'énergie potentielle est le sol, le choix de cette référence comme celui de celle de l'altitude étant arbitraire.</ref>,</center> {{Al|5}}de même on définit l'énergie potentielle électrique du porteur de charge <math>\;q_p\;</math> dans le champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> selon <center><math>\;\mathcal{E}_{p,\,\text{élec}}(M) = q_p\;V(M)\;</math> <br>où <math>\;V(M)\;</math> représente le potentiel électrique en <math>\;M\;</math> où se trouve le porteur, <br>potentiel mesuré par rapport à une position particulière appelée « masse du circuit »<ref> Cette position particulière étant l'endroit du circuit électrique où le potentiel électrique est choisi nul, le choix de cet endroit étant arbitraire tout comme l'est l'endroit où l'altitude d'un objet est choisie nulle, cet endroit étant la référence du potentiel électrique et simultanément la référence de l'énergie potentielle électrique des porteurs de charge mobile du circuit.</ref> ;</center> {{Al|5}}<u>le potentiel électrique</u> <math>\;V(M)\;</math> <math>\big(</math>exprimé en <math>\;V\big)\;</math> <u>décroît dans le sens du champ électrique</u> <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <ref> Retenir que le champ électrique est toujours dans le sens <math>\;\searrow\;</math> du potentiel électrique.</ref>, en effet * dans une partie réceptrice, l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge positive <math>\;\searrow\;</math> dans le sens du courant donc dans le sens de <math>\;\vec{E}(M)\;</math> et, comme <math>\;q_p\;</math> est <math>\;> 0</math>, le potentiel électrique <math>\;\searrow\;</math> dans le sens de <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <ref> De même, dans une partie réceptrice, l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge négative <math>\;\nearrow\;</math> dans le sens du courant donc dans le sens de <math>\;\vec{E}(M)\;</math> et, comme <math>\;q_p\;</math> est <math>\;< 0</math>, le potentiel électrique <math>\;\searrow\;</math> dans le sens de <math>\;\vec{E}(M)</math>.</ref>, * dans une partie génératrice, l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge positive <math>\;\nearrow\;</math> dans le sens du courant qui est le sens du champ électromoteur <math>\;\vec{E}_{\text{électromot}}(M)\;</math> et par suite le sens contraire du champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> et, comme <math>\;q_p\;</math> est <math>\;> 0</math>, le potentiel électrique qui <math>\;\nearrow\;</math> dans le sens contraire de <math>\;\vec{E}(M)</math>, <math>\;\searrow\;</math> dans le sens de <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <ref> De même, dans une partie génératrice, l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge négative <math>\;\searrow\;</math> dans le sens du courant qui est le sens du champ électromoteur <math>\;\vec{E}_{\text{électromot}}(M)\;</math> et par suite le sens contraire du champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> et, comme <math>\;q_p\;</math> est <math>\;< 0</math>, le potentiel électrique qui <math>\;\nearrow\;</math> dans le sens contraire de <math>\;\vec{E}(M)</math>, <math>\;\searrow\;</math> dans le sens de <math>\;\vec{E}(M)</math>.</ref>. === Choix de la référence du potentiel === {{Al|5}}L'énergie potentielle électrique nécessitant, comme toute énergie potentielle, de préciser sa « référence »<ref> C.-à-d. l'endroit où elle est choisie nulle.</ref>, il en est de même du potentiel électrique qui n'est donc défini qu'à une constante additive près, <u>on choisit donc l'endroit où le potentiel est considéré comme nul et cet endroit définit la « masse du circuit » </u><ref> La masse « théorique » d'un circuit est choisie arbitrairement sur ce circuit, la résolution d'un exercice en est indépendante mais le choix d'un point plutôt qu'un autre peut faciliter cette résolution ; <br>{{Al|3}}dans la pratique, un circuit comporte naturellement une masse dans certains appareils car ce point particulier d'appareil est relié à la Terre par l'intermédiaire du fil de secteur comme dans les générateurs B.F. et dans les oscilloscopes, il faut vérifier que ces « masses pratiques » d'appareil sont reliées entre elles car si ce n'est pas le cas tout ce qui les séparent est court-circuité <math>\;\big(</math>ce qui peut être très dommageable pour tout ce qui est entre ces « masses pratiques »<math>\big)</math>, il convient donc de relier ces « masses pratiques » si cela est possible ou de les supprimer toutes à l'exception d'une.</ref>. === Définition de la tension entre deux points d'un circuit, différence de potentiel (ou d.d.p.) === {{Al|5}}De même que l'on définit une dénivellation dans un champ de pesanteur comme une différence d'altitudes, <u>on définit une tension dans un champ électrique comme une différence de potentiels ou d.d.p.</u>, plus précisément la tension entre les points <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> d'un même circuit, noté <math>\;u_{AB}\;</math> et égale à la différence de potentiels ou d.d.p. <math>\;V(A) - V(B)\;</math> ou <center><math>\;u_{AB} = V(A) - V(B)\;</math> </center> {{Al|5}}représentée à côté de la portion de circuit entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> par une flèche allant de <math>\;B\;</math> vers <math>\;A\;</math><ref> Flèche allant du point origine de la d.d.p. vers le point extrémité finale de la d.d.p..</ref>, la valeur de la tension étant notée à côté de la flèche. === Sens du courant relativement au sens de variation des potentiels === {{Al|5}}<u>Dans une partie réceptrice</u>, le sens du courant étant dans le sens du champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> et ce dernier dans le sens des potentiels <math>\;\searrow</math>, <center>le courant est toujours dans le sens des potentiels <math>\;\searrow</math>, <br>par conséquent <u>le sens du courant est toujours opposé au sens de la « flèche tension » choisie positive</u> ;</center> {{Al|5}}<u>dans une partie génératrice</u>, le sens du courant étant dans le sens du champ électromoteur <math>\;\vec{E}_{\text{électromot}}\;</math> soit dans le sens contraire du champ électrique <math>\;\vec{E}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans une partie génératrice, le sens du courant étant dans le sens du champ électromoteur <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_{\text{électromot}}}\;</math> soit dans }}le sens de ce dernier étant dans le sens des potentiels <math>\;\searrow</math>, <center>le courant est toujours dans le sens des potentiels <math>\;\nearrow</math>, <br>par conséquent <u>le sens du courant est toujours de même sens que la « flèche tension » choisie positive</u>.</center> == Notion d'A.R.Q.S. et condition d'application en fonction de la taille du circuit et de la fréquence == {{Al|5}}En régime dépendant du temps, la propagation d'une onde électrique le long d'un circuit est aussi celle du champ électrique, elle se fait donc à la célérité <math>\;c = 3\; 10^8\; m \cdot s^{-1}\;</math> <ref> Nous avons vu dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Exemples_de_signaux,_spectre#Célérité_de_propagation_d'un_signal_électrique|célérité de propagation d'un signal électrique]] » et dans la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Exemples_de_signaux,_spectre#cite_note-41|⁴¹]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » que la célérité de propagation d'une onde électromagnétique dans un diélectrique dépend de sa nature, sa célérité pouvant être inférieure à <math>\;c = 3\; 10^8\; m \cdot s^{-1}\;</math> mais, quand le diélectrique est remplacé par un conducteur, elle vaut toujours <math>\;c =</math> <math>3\; 10^8\; m \cdot s^{-1}</math>.</ref> ; {{Al|5}}ainsi un champ électrique existant en <math>\;M\;</math> à la date <math>\;t</math>, se retrouvera en <math>\;M'\;</math> <math>\big(</math>séparé de <math>\;\Delta \mathit{l} > 0\;</math> de <math>\;M\big)\;</math> à la date <math>\;t + \dfrac{\Delta \mathit{l}}{c}</math> ; on pourra encore affirmer que l'intensité en <math>\;M'\;</math> à la date <math>\;t\;</math> était celle existant en <math>\;M\;</math> à la date <math>\;t - \dfrac{\Delta \mathit{l}}{c}\;</math> ou <center><math>\;i\! \left( M'\, ,\, t \right) = i\! \left( M\, ,\, t - \dfrac{\Delta \mathit{l}}{c} \right)</math> ;</center> {{Al|5}}<u>l'A.R.Q.S.</u><math>\;\big(</math><u>approximation des régimes quasi-stationnaires</u><math>\big)</math> nécessite qu'à un instant <math>\;t</math>, l'intensité soit indépendante de <math>\;M\;</math> c'est-à-dire que <center><math>\;i\! \left( M'\, ,\, t \right) \simeq i\! \left( M\, ,\, t \right)</math>,</center> {{Al|5}}ceci suppose que la durée de propagation <math>\;\tau = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{c}</math> entre deux points quelconques séparés de <math>\;\Delta \mathit{l}\;</math> puisse être négligée par rapport à <math>\;\Delta t_i</math>, durée caractérisant la variation de <math>\;i\;</math> <ref> Si l'intensité est périodique, on prendra comme valeur de <math>\;\Delta t_i\;</math> la période <math>\;T</math>.</ref> ou encore <center><math>\;\tau = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{c} \ll \Delta t_i</math> ; </center> {{Al|5}}notant <math>\;\mathit{l}\;</math> la longueur du circuit, <u>la condition d'A.R.Q.S. sera réalisée pour deux points choisis de façon quelconque sur le circuit si</u> <center><math>\;\tau_{\text{max}} = \dfrac{\mathit{l}}{c} \ll \Delta t_i</math>.</center> {{Al|5}}<u>Cas d'un régime dépendant du temps</u> <math>\;T</math>-périodique : choisissant la période <math>\;T\;</math> comme durée caractérisant la variation de l'intensité, <center><u>la condition d'A.R.Q.S.</u> s'écrit <math>\;\tau_{\text{max}} = \dfrac{\mathit{l}}{c} \ll T\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\mathit{l} = c\; \tau_{\text{max}} \ll c\;T = \dfrac{c}{f}\;</math> ou encore <br> <math>\;\mathit{l} \ll \lambda = \dfrac{c}{f}\;</math> <ref> On rappelle que la longueur d'onde de l'onde électrique est liée à sa période <math>\;\big(</math>ou sa fréquence<math>\big)\;</math> et à la célérité de propagation de l'onde dans le milieu conducteur par <math>\;\lambda = c\;T = \dfrac{c}{f}\;</math>.</ref> soit aussi <math>\;f \ll \dfrac{c}{\mathit{l}}</math>.</center> {{Al|5}}<u>Exemples de calcul</u> : un circuit de T.P. ayant pour longueur <math>\;\mathit{l} \sim 3,0\;m</math>, la condition d'A.R.Q.S. nécessite que la longueur d'onde de l'onde électrique se propageant dans le circuit vérifie <math>\;\lambda \gg l \sim 3,0\; m\;</math> soit, en travaillant à <math>\;10\, \%</math> près, <math>\;\lambda \gtrsim 30\; m\;</math> d'où une fréquence <math>\;f = \dfrac{c}{\lambda}</math> <math>\lesssim \dfrac{3\;10^8}{30} = 10^7\;Hz\;</math> soit <math>\;f \lesssim 10\;MHz\;</math> ce qui, correspondant à la fréquence maximale des générateurs de fonctions « usuels » des salles de T.P., fait que l'A.R.Q.S. sera toujours applicable dans ces dernières ; {{Al|5}}{{Transparent|Exemples de calcul : }}avec une fréquence « domestique » <math>\;f = 50\; Hz\;</math> correspondant à une longueur d'onde <math>\;\lambda = \dfrac{c}{f} = \dfrac{3\;10^8}{50} =</math> <math>6\;10^6\;m\;</math> soit <math>\;\lambda = 6000\;km</math>, la condition d'A.R.Q.S. de longueur d'un circuit admissible est <math>\;\mathit{l} \ll 6000\; km\;</math> soit, en travaillant à <math>\;10\, \%</math> près, <math>\;\mathit{l} \lesssim 600\; km\;</math> ce qui reste usuellement réalisé dans la mesure où le circuit ne traverse pas toute la France ! {{Al|5}}<u>Contre-exemple de calcul</u> : les fréquences utilisées dans les antennes d'émission d'ondes électromagnétiques sont plus élevées pouvant dépasser le <math>\;GHz\;</math> <ref> Le domaine des hautes fréquences <math>\;H.F.\;</math> va de <math>\;3\; MHz\;</math> à <math>\;30\; MHz</math>, il est utilisé par les cibistes, les radioamateurs, <br>{{Al|3}}le domaine des très hautes fréquences <math>\;V.H.F.\;</math> va de <math>\;30\; MHz\;</math> à <math>\;300\; MHz</math>, il est utilisé essentiellement par la radiophonie et <br>{{Al|3}}le domaine des ultra hautes fréquences <math>\;U.H.F.\;</math> va de <math>\;300\; MHz\;</math> à <math>\;3\; GHz</math>, il est utilisé par la T.N.T., le G.P.S. et le wi-fi.</ref>, une fréquence <math>\;f = 1\; GHz\;</math> correspondant à une longueur d'onde <math>\;\lambda = \dfrac{c}{f} = \dfrac{3\;10^8}{10^9} =</math> <math>0,3\;m\;</math> soit <math>\;\lambda = 30\;cm</math>, la condition d'A.R.Q.S. de longueur d'une antenne admissible est <math>\;\mathit{l} \ll 30\; cm\;</math> soit, en travaillant à <math>\;10\, \%</math> près, <math>\;\mathit{l} \lesssim 3\; cm\;</math> ce qui, ne pouvant pas être réalisé, montre que l'A.R.Q.S. ne sera pas une bonne approximation de courant dans les antennes. == Conservation de la charge en A.R.Q.S. et conséquences == === Conservation de la « charge mobile » entre deux points fixés d'un circuit en A.R.Q.S. === {{Al|5}}À l'instant <math>\;t\;</math> on appelle « charge mobile » entre deux points fixés <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> du circuit, « la charge des porteurs de charge mobiles y étant présents à cet instant », <u>cette charge restant constante en régime permanent est supposée, en A.R.Q.S., ne pas varier avec le temps</u> sur l'échelle de temps <math>\;\Delta t_i\;</math> caractérisant la variation de l'intensité. === Indépendance de l'intensité du courant d'un circuit série relativement au point considéré === {{Al|5}}Une conséquence de la conservation de la « charge mobile » entre deux points fixés <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> d'un circuit série en A.R.Q.S., est que la « charge mobile <math>\;dq_1\;</math> entrant par <math>\;M_1\;</math> pendant la durée élémentaire <math>\;dt\;</math>» doit être égale à la « charge mobile <math>\;dq_2\;</math> sortant par <math>\;M_2\;</math> pendant la même durée élémentaire <math>\;dt\;</math>»<ref> Le sens <math>\;+\;</math> de mesure de l'intensité étant choisi de <math>\;M_1\;</math> vers <math>\;M_2</math>, il correspond au sens « entrant » pour <math>\;M_1\;</math> et au sens « sortant » pour <math>\;M_2</math>.</ref>, ce qui implique, en divisant chaque membre par <math>\;dt</math>, <center><math>\;i(M_1,\, t) = i(M_2,\, t)</math> ;</center> {{Al|5}}en A.R.Q.S., on parle donc d'« <u>intensité du courant traversant la portion de circuit filiforme</u> » <u>sans référence au point traversé</u>, intensité que l'on note <math>\;i(t)</math> ; on représente alors le sens «<math>\;+\;</math>» du courant par une flèche chevauchant le circuit série en un point quelconque de ce dernier en indiquant, à côté de la flèche, la valeur de l'intensité algébrique du courant <math>\;i(t)\;</math><ref> C'est ce que nous appellerons, par la suite, la « flèche courant ».</ref>. === Loi des nœuds === {{Définition| titre = Définition d'un nœud|contenu = {{Al|5}}Un nœud est un point d'où partent au moins trois portions de circuits filiformes.}} {{Théorème| titre = Énoncé de la loi des nœuds|contenu = {{Al|5}}En un nœud, la somme des intensités <math>\;\big(</math>algébriques<math>\big)\;</math> des courants y arrivant à l'instant <math>\;t\;</math> <ref name="définition sens + des courants"> Les courants étant considérés comme arrivant au nœud <math>\;\big(</math>respectivement repartant du nœud<math>\big)\;</math> si le sens <math>\;+\;</math> de leur mesure sur les fils de connexion correspondant est dirigé vers le nœud {{Nobr|<math>\;\big(</math>respectivement}} dirigé s'éloignant du nœud<math>\big)</math>.</ref> est égale à la somme des intensités des courants en repartant au même instant<ref name="définition sens + des courants" />.}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : Cela découle directement de la conservation de la « charge mobile » présente à l'intérieur d'une sphère centrée sur le nœud <math>\;N\;</math> et de très petit rayon ; {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}s'il y a trois portions de circuit filiforme <math>\;(\mathfrak{1})</math>, <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{3})\;</math> reliées au nœud <math>\;N\;</math> <ref name="choix arbitraire"> Le résultat est évidemment indépendant du nombre de portions de circuit filiforme reliées au nœud d'une part et du choix des sens <math>\;+\;</math> de la mesure des intensités des courants d'autre part.</ref> et si on appelle <math>\;M_1</math>, <math>\;M_2\;</math> et <math>\;M_3\;</math> les intersections de la sphère avec les portions <math>\;(\mathfrak{1})</math>, <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{3})</math>, on doit avoir, dans la mesure où les sens <math>\;+\;</math> des courants sur les portions <math>\;(\mathfrak{1})</math>, <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{3})\;</math> sont * vers <math>\;N\;</math> pour <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{2})\;</math><ref name="choix arbitraire" /> et * s'éloignant de <math>\;N\;</math> pour <math>\;(\mathfrak{3})\;</math><ref name="choix arbitraire" />, {{Al|5}}la « charge mobile » entrante dans la sphère entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> égale à la « charge mobile » sortante de la sphère entre les mêmes instants<ref> La « charge mobile » de la sphère étant conservée sur la durée <math>\;dt</math>.</ref> soit, avec <math>\;dq_1\;</math> <math>\big(</math>respectivement <math>dq_2\big)\;</math> la « charge mobile » entrante dans la sphère par <math>\;M_1\;</math> <math>\big(</math>respectivement par <math>M_2\big)\;</math> et <math>\;dq_3\;</math> la « charge mobile » sortante de la sphère par <math>\;M_3</math>, <center><math>\;dq_1 + dq_2 = dq_3</math>, </center> {{Al|5}}d'où, en divisant chaque membre par la durée élémentaire considérée <math>\;dt\;</math> et par utilisation des intensités (algébriques) des courants sur chaque fil de connexion <math>\;i_k(t) = \dfrac{dq_k}{dt},\; k \in \left[ \left[ 1\, , \, 3 \right] \right]</math><ref> Un double crochet ouvrant et un double crochet fermant autour de deux entiers séparés par une virgule signifiant intervalle d'entiers.</ref>, <center> <math>\;i_1(t) + i_2(t) = i_3(t)\;</math> <ref> On peut remarquer que la loi des nœuds faisant intervenir les intensités des courants en un même point <math>\;-\;</math> le nœud <math>\;-\;</math> et en un même instant <math>\;t</math>, ne nécessite pas l'indépendance de ces dernières mesurées à l'instant <math>\;t\;</math> relativement au point considéré sur chaque fil de connexion, <u>la loi des nœuds reste donc applicable hors A.R.Q.S.</u> à condition de considérer, en ce même instant <math>\;t</math>, les intensités des courants sur chaque fil de connexion au nœud et non en un point quelconque en amont du nœud <math>\;\big(</math>ce qui, par contre, est possible dans le cadre de l'A.R.Q.S.<math>\big)</math> !</ref> <ref> Une autre forme de la loi des nœuds consiste à choisir les sens <math>\;+\;</math> de mesure des courants tous dans le sens arrivant au nœud <math>\;\big(</math>ou tous dans le sens repartant du nœud<math>\big)</math>, la loi s'écrivant alors <math>\;\sum\limits_{k = 1 .. n} i_k(t) = 0\;</math> avec <math>\;n\;</math> fils de connexion reliés au nœud.</ref>.</center> === Exemple d'utilisation de la loi des nœuds, nombre d'équations de nœud indépendantes dans un circuit à n nœuds === {{Al|5}}On considère le circuit à <math>\;4\;</math> nœuds ci-dessous et nous allons vérifier qu'il n'y a que <math>\;3\;</math> équations de nœud indépendantes, la 4^ème étant une combinaison linéaire des trois autres ; <center>on pourra alors retenir que, <u>dans un circuit à </u><math>\underline{n}</math><u> nœuds, il n'y a que </u><math>\underline{n - 1}</math><u> équations de nœud indépendantes</u> ;</center> [[File:Pont de Wheatstone.png|thumb|300px|Pont de Wheatstone : circuit fermé à <math>\;4\;</math> nœuds et <math>\;6\;</math> branches]] {{Al|5}}on choisit d'abord les sens <math>\;+\;</math> de courant sur les <math>\;6\;</math> portions de circuit filiforme en commençant par celle contenant le générateur <math>\;\big[</math>si celui-ci est un générateur de tension permanente on a supposé que sa borne <math>\;+\;</math> est à gauche <math>\;\big(</math>hypothèse <math>\;a\big)</math>, le sens <math>\;+\;</math> choisi correspondant alors à <math>\;i > 0\big]\;</math> puis les quatre autres fixant les sens <math>\;+\;</math> dans les portions autres que celles de l'ampèremètre <math>\;\big[</math>les choix correspondant là encore à des intensités <math>\;> 0\;</math> dans l'hypothèse <math>\;a\big]\;</math> et enfin la portion contenant l'ampèremètre <math>\;\big[</math>la seule arbitraire dans l'hypothèse <math>\;a\big]</math> ; {{Al|5}}la loi des nœuds appliquée successivement aux nœuds <math>\;A</math>, <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> nous conduit aux équations suivantes : * nœud <math>\;A</math> : <math>\;i = i_1 + i_2</math>, * nœud <math>\;B</math> : <math>\;i_1 = i_3 + i_5\;</math> introduisant, en plus des précédents, les courants d'intensités <math>\;i_3\;</math> et <math>\;i_5</math>, * nœud <math>\;C</math> : <math>\;i_2 + i_5 = i_4\;</math> introduisant, en plus des précédents, le courant d'intensité <math>\;i_4</math> ; {{Al|5}}montrons alors que la loi de nœud <math>\;D\;</math> est une combinaison linéaire de celles des nœuds <math>\;A</math>, <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> en effet elle donnerait : <math>\;i_4 + i_3 = i\;</math> n'adjoignant aucun nouveau courant non introduit précédemment et, cette équation pouvant être réécrite <math>\;i = i_4 + i_3\;</math> est alors la somme membre à membre des trois autres <math>\;i + i_1 + \left( i_2 + i_5 \right) = \left( i_1 + i_2 \right) + \left( i_3 + i_5 \right) + i_4\;</math> soit, par simplification évidente <math>\;i = i_4 + i_3</math>. == Conséquences de la notion de potentiel en A.R.Q.S. == === Même tension aux bornes de deux branches en parallèle === {{Définition|titre = Définition d'une branche|contenu = {{Al|5}}Une branche est toute partie filiforme entre deux nœuds successifs<ref> Le caractère « successif » des nœuds <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> est fondamental pour définir la branche <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> partant de <math>\;A\;</math> pour aller jusqu'à <math>\;B</math>, on peut alors définir le courant traversant la branche <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> sans aucune ambiguïté dans la mesure où le sens <math>\;+\;</math> y a été précisé.</ref>, les différentes branches entre ces deux nœuds successifs étant dites « montées en parallèle »<ref> Ou « montées en dérivation ».</ref>.}} {{Théorème|titre = Loi de tension concernant les branches montées en parallèle|contenu = {{Al|5}}Aux bornes de deux branches montées en parallèle on a la même tension.}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : cela découle du fait que la tension aux bornes de chaque branche est la différence des potentiels des nœuds limitant chaque branche quelle que soit la branche considérée. {{Al|5}}<u>Rappel, représentation de</u><math>\;u(t)\;</math><u>sur un circuit</u> : on précise le sens <math>\;+\;</math> de tension par une flèche à côté de la portion de circuit considérée entre deux points <math>\;\big(</math>ou de la branche entre deux nœuds<math>\big)\;</math> allant du point origine <math>\;B\;</math> de la d.d.p. à son point extrémité finale <math>\;A</math>, en indiquant, à côté de la flèche, la valeur de tension algébrique <math>\;u(t) = V_A(t) - V_B(t)\;</math> <math>\;\big(</math>la flèche précisant le sens <math>\;+\;</math> de tension placée à côté de la portion de circuit considérée est appelée, par la suite, « flèche tension »<math>\big)</math>. === Loi des mailles === {{Définition|titre = Définition d'une maille|contenu = {{Al|5}}Une maille est un circuit fermé constitué de branches successives décrites une seule fois.}} {{Théorème|titre = Énoncé de la loi des mailles|contenu = {{Al|5}}La somme des tensions aux bornes des branches successives d'une maille, partant d'un nœud et y revenant, est nulle.}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : cela découle du fait que la tension est une d.d.p., ainsi quand on fait la somme des tensions en tournant dans un sens ou dans l'autre, les potentiels de chaque nœud apparaissent deux fois, une fois avec le signe <math>\;+\;</math> et l'autre fois avec le signe <math>\;-\;</math> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Choix d'un sens</u><math>\underline{\;+\;}</math><u>de mesure des tensions d'une maille</u> : on précise le sens <math>\;+\;</math> dans lequel on tourne pour décrire la maille, a priori « arbitraire »<ref> En fait on le choisit <math>\;-\;</math> dans la mesure du possible <math>\;-\;</math> pour qu'il y ait le plus grand nombre de tensions positives.</ref>, il doit toujours être rappelé au centre de la maille. === Exemple d'utilisation de la loi des mailles, équations de mailles indépendantes dans un circuit (Γ) à n nœuds et b branches === {{Al|5}}On considère le même circuit que précédemment, circuit à <math>\;4\;</math> nœuds et <math>\;6\;</math> branches ci-dessous où on cherche à exprimer les intensités des courants dans les <math>\;6\;</math> branches, il nous faut donc <math>\;6\;</math> équations indépendantes ; nous avons vu qu'il y a <math>\;3\;</math> équations de nœud indépendantes, il est donc nécessaire de trouver <math>\;3\;</math> équations de mailles indépendantes<ref> De façon plus générale, dans un circuit à <math>\;n\;</math> nœuds et <math>\;b\;</math> branches où on cherche à exprimer les intensités des courants dans les <math>\;b\;</math> branches, il y a <math>\;n - 1\;</math> équations de nœud indépendantes et il est nécessaire pour déterminer les valeurs des <math>\;b\;</math> inconnues de trouver <math>\;b - n + 1\;</math> équations de mailles indépendantes.</ref> : [[File:Pont de Wheatstone.png|thumb|300px|Pont de Wheatstone : circuit fermé à <math>\;4\;</math> nœuds et <math>\;6\;</math> branches]] {{Al|5}}les mailles indépendantes choisies sont : * maille <math>\;(I)\;</math> succession de la branche <math>\;(1)</math>, l'ampèremètre et la branche <math>\;(2)</math>, choix d'un sens <math>\;+\;</math> dans le sens horaire d'où <math>\;u_1 + u_5 + u_2 = 0\;</math> <ref> On peut alors affirmer, dans l'hypothèse <math>\;(a)\;</math> où le générateur serait un générateur de tension permanente avec la borne <math>\;+\;</math> à gauche, que <math>\;u_2\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;u_1 < 0</math>, le signe de <math>\;u_5\;</math> n'étant pas fixé à l'avance.</ref>, * maille <math>\;(II)\;</math> succession de l'ampèremètre, la branche <math>\;(3)\;</math> et la branche <math>\;(4)</math>, les branches <math>\;(3)\;</math> et <math>\;(4)\;</math> étant de nouvelles branches non encore introduites, on y choisit un sens <math>\;+\;</math> dans le sens horaire d'où <math>\;{u'}_5 + u_3 + u_4 = 0\;</math> <ref> En fait la tension aux bornes de l'ampèremètre dans cette maille est de sens opposé à celle dans la maille <math>\;(I)\;</math> d'où la notation <math>\;{u'}_5 =</math> <math>-u_5</math> ; <br>{{Al|3}}on peut encore affirmer, dans l'hypothèse <math>\;(a)\;</math> où le générateur serait un générateur de tension permanente avec la borne <math>\;+\;</math> à gauche, que <math>\;u_4\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;u_3 < 0</math>, le signe de <math>\;{u'}_5\;</math> n'étant pas plus fixé à l'avance que ne l'est celui de <math>\;u_5</math>.</ref>, * maille <math>\;(III)\;</math> succession de la branche <math>\;(4)</math>, le générateur et la branche <math>\;(2)</math>, le générateur étant une nouvelle branche non encore introduite, on y choisit un sens <math>\;+\;</math> dans le sens horaire d'où <math>\;{u'}_4 + u + {u'}_2</math> <math>= 0\;</math> <ref> En fait les tensions aux bornes des branches <math>\;(4)\;</math> et <math>\;(2)\;</math> dans cette maille sont de sens opposé à celles dans les mailles <math>\;(I)\;</math> et <math>\;(II)\;</math> d'où la notation <math>\;{u'}_4 =</math> <math>-u_4</math> et <math>\;{u'}_2 =</math> <math>-u_2</math> ; <br>{{Al|3}}on peut encore affirmer, dans l'hypothèse <math>\;(a)\;</math> où le générateur serait un générateur de tension permanente avec la borne <math>\;+\;</math> à gauche, que <math>\;u\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;{u'}_4 < 0\;</math> et <math>\;{u'}_2 < 0</math>.</ref>, * pour terminer il conviendra d'exprimer ces tensions en fonction des intensités traversant les branches <math>\;\big(</math>et on le fera par la suite directement sans introduire les tensions <math>\;u</math>, <math>\;u_1</math>, <math>\;u_2\;</math> ou <math>\;{u'}_2</math>, <math>\;u_3</math>, <math>\;u_4\;</math> ou <math>\;{u'}_4</math>, <math>\;u_5\;</math> ou <math>\;{u'}_5\big)</math>, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_intensité,_tension,_puissance#Écriture_des_lois_de_mailles_indépendantes_choisies_dans_un_circuit_(Γ)_à_4_nœuds_et_6_branches|Écriture des lois de mailles indépendantes choisies dans un circuit (Γ) à 4 nœuds et 6 branches]] » plus bas dans ce chapitre. === Lois de Kirchhoff === {{Al|5}}<u>L'ensemble des lois des nœuds et des lois de mailles</u> d'un circuit constitue les <u>lois de Kirchhoff</u><ref> '''[[w:Gustav_Kirchhoff|Gustav Robert Kirchhoff]] (1824 – 1887)''' est l'un des plus grands physiciens d'origine allemande <math>\;\big(</math>prussienne<math>\big)\;</math> du XIX^ème siècle ; bien qu'il doive sa célébrité aux lois relatives au courant électrique dans les circuits, lois qu'il a établies alors qu'il était encore étudiant, c'est surtout en tant que fondateur, avec '''[[w:Robert_Whilhelm_Bunsen|Robert Whilhelm Bunsen]] (1811 - 1899)''' chimiste allemand, de la [[w:Spectroscopie|spectroscopie]] qu'il a apporté sa plus grande contribution à la science.</ref> du circuit. == Conventions récepteurs et générateurs dans une branche == === Conventions récepteurs dans une branche === {{Al|5}}« La flèche tension aux bornes de la branche » est « <u>de sens contraire</u> » à « la flèche courant traversant la branche »<ref> Comme il y a deux sens <math>\;+\;</math> possibles de courant dans la branche, et qu'alors le sens <math>\;+\;</math> de tension aux bornes de la branche est imposé, il y a deux conventions récepteurs possibles.</ref> ; {{Al|5}}ces conventions sont bien adaptées à un récepteur car le sens <math>\;+\;</math> de courant y est dans le sens <math>\;-\;</math> des tensions c'est-à-dire dans le sens <math>\;+\;</math> des potentiels <math>\;\searrow</math>, <center><math>\;i(t)\;</math> et <math>\;u(t)\;</math> en convention récepteur sont donc toujours de même signe dans un récepteur,</center> {{Al|5}}mais on est parfois obligé de considérer ces conventions pour un générateur<ref name="obligation"> La raison de cette obligation étant qu'elles aient été précédemment définies.</ref>, lesquelles sont alors mal adaptées car <center><math>\;i(t)\;</math> et <math>\;u(t)\;</math> en convention récepteur sont de signe contraire dans un générateur.</center> === Conventions générateurs dans une branche === {{Al|5}}« La flèche tension aux bornes de la branche » est « <u>de même sens</u> » que « la flèche courant traversant la branche »<ref> Comme il y a deux sens <math>\;+\;</math> possibles de courant dans la branche, et qu'alors le sens <math>\;+\;</math> de tension aux bornes de la branche est imposé, il y a deux conventions générateurs possibles.</ref> ; {{Al|5}}ces conventions sont bien adaptées à un générateur car le sens <math>\;+\;</math> de courant y est dans le sens <math>\;+\;</math> des tensions c'est-à-dire encore dans le sens <math>\;+\;</math> des potentiels <math>\;\nearrow</math>, <center><math>\;i(t)\;</math> et <math>\;u(t)\;</math> en convention générateur sont donc toujours de même signe dans un générateur,</center> {{Al|5}}mais on est parfois obligé de considérer ces conventions pour un récepteur<ref name="obligation" />, lesquelles sont alors mal adaptées car <center><math>\;i(t)\;</math> et <math>\;u(t)\;</math> en convention générateur sont de signe contraire dans un récepteur.</center> === Écriture des lois de mailles indépendantes choisies dans un circuit (Γ) à 4 nœuds et 6 branches === [[File:Pont de Wheatstone.png|thumb|Pont de Wheatstone : circuit fermé à 4 nœuds et 6 branches]] {{Al|5}}On considère le même circuit que précédemment, circuit à <math>\;4\;</math> nœuds et <math>\;6\;</math> branches ci-contre où on cherche à exprimer les intensités des courants dans les <math>\;6\;</math> branches, il nous faut donc <math>\;6\;</math> équations indépendantes ; nous avons vu qu'il y a <math>\;3\;</math> équations de nœud indépendantes et que l'on peut trouver <math>\;3\;</math> équations de mailles indépendantes<ref> Dans ce circuit à <math>\;n = 4\;</math> nœuds et <math>\;b = 6\;</math> branches où on cherche à exprimer les intensités des courants dans les <math>\;b = 6\;</math> branches, il y a <math>\;n - 1 = 3\;</math> équations de nœud indépendantes et il est nécessaire pour déterminer les valeurs des <math>\;b = 6\;</math> inconnues d'écrire <math>\;b - n + 1</math> <math>= 6 - 4 + 1 = 3\;</math> équations de mailles indépendantes.</ref> ; on se propose ici de réécrire les équations de mailles choisies sachant que les branches <math>\;(1)</math>, <math>\;(2)</math>, <math>\;(3)</math>, <math>\;(4)\;</math> ou <math>\;(5)\;</math> sont équivalentes à un conducteur ohmique de résistance <math>\;R_1</math>, <math>\;R_2</math>, <math>\;R_3</math>, <math>\;R_4\;</math> ou <math>\;R_5\;</math> <ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Dipôle_passif_linéaire_au_sens_du_régime_permanent_:_conducteur_ohmique|dipôle passif linéaire au sens du régime permanent : conducteur ohmique]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » dans lequel nous y verrons la loi d'Ohm.</ref> : * maille <math>\;(I)</math> : <math>\;-R_1\;i_1 - R_5\;i_5 + R_2\;i_2 = 0\;</math> car les branches <math>\;(1)\;</math> et <math>\;(5)\;</math> sont en convention générateur et la branche <math>\;(2)\;</math> en convention récepteur, * maille <math>\;(II)</math> : <math>\;R_5\;i_5 - R_3\;i_3 + R_4\;i_4 = 0</math>, les branches <math>\;(5)\;</math> et <math>\;(4)\;</math> étant en convention récepteur<ref> Nous avions noté <math>\;u_5\;</math> la tension aux bornes de la branche <math>\;(5)\;</math> dans la maille <math>\;(I)\;</math> <math>\big[</math>on a écrit <math>\;u_5 = -R_5\;i_5\;</math> car convention générateur<math>\big]\;</math> et <math>\;{u'}_5\;</math> celle aux bornes de la branche <math>\;(5)\;</math> dans la maille <math>\;(II)</math> <math>\big[</math>on a <math>\;{u'}_5 = R_5\;i_5\;</math> car convention récepteur<math>\big]\;</math> en accord avec <math>\;{u'}_5 = -u_5\;</math> correspondant à un changement de sens <math>\;+\;</math> de tension.</ref> et la branche <math>\;(3)\;</math> en convention générateur, * maille <math>\;(III)</math> : <math>\;-R_4\;i_4 + u - R_2\;i_2 = 0</math>, les branches <math>\;(4)\;</math> et <math>\;(2)\;</math> étant en convention générateur<ref> Nous avions noté <math>\;u_4\;</math> la tension aux bornes de la branche <math>\;(4)\;</math> dans la maille <math>\;(II)\;</math> <math>\big[</math>on a écrit <math>\;u_4 = R_4\;i_4\;</math> car convention récepteur<math>\big]\;</math> et <math>\;{u'}_4\;</math> celle aux bornes de la branche <math>\;(4)\;</math> dans la maille <math>\;(III)</math> <math>\big[</math>on a <math>\;{u'}_4 = -R_4\;i_4\;</math> car convention générateur<math>\big]\;</math> en accord avec <math>\;{u'}_4 = -u_4\;</math> correspondant à un changement de sens <math>\;+\;</math> de tension ; <br>{{Al|3}}nous avions noté <math>\;u_2\;</math> la tension aux bornes de la branche <math>\;(2)\;</math> dans la maille <math>\;(I)\;</math> <math>\big[</math>on a écrit <math>\;u_2 = R_2\;i_2\;</math> car convention récepteur<math>\big]\;</math> et <math>\;{u'}_2\;</math> celle aux bornes de la branche <math>\;(2)\;</math> dans la maille <math>\;(III)</math> <math>\big[</math>on a <math>\;{u'}_2 = -R_2\;i_2\;</math> car convention générateur<math>\big]\;</math> en accord avec <math>\;{u'}_2 = -u_2\;</math> correspondant à un changement de sens <math>\;+\;</math> de tension.</ref> avec <math>\;u\;</math> la tension aux bornes du générateur dans le sens <math>\;+\;</math> choisie sur la maille<ref> Si le générateur est un générateur de tension permanente et si la borne <math>\;+\;</math> est à gauche <math>\;\big(</math>hypothèse <math>\;a\big)\;</math> la tension <math>\;u\;</math> sera <math>\;> 0\;</math> et l'intensité <math>\;i\;</math> aussi car en convention générateur.</ref>. {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : les <math>\;3\;</math> équations de nœud indépendantes et ces <math>\;3\;</math> équations de maille indépendantes conduisent à un système de <math>\;6\;</math> équations linéaires indépendantes aux <math>\;6\;</math> inconnues <math>\;i</math>, <math>\;i_1</math>, <math>\;i_2</math>, <math>\;i_3</math>, <math>\;i_4\;</math> et <math>\;i_5</math> ; la « résolution de ce système »<ref> Que nous n'exposerons pas dans le cas général car beaucoup trop compliqué !</ref> nous permettrait de trouver une solution unique dépendant de la valeur de tension <math>\;u\;</math> et de celles des résistances à savoir «<math>\;\left( i_0,\, i_{1,\,0},\, i_{2,\,0},\, i_{3,\,0},\, i_{4,\,0},\, i_{5,\,0} \right)\;</math>» <math>\;\ldots</math> == Ordres de grandeurs des intensités et des tensions dans différents domaines d'application == === Domaine de l'électronique === * Ordre de grandeur des intensités, quelques <math>\;mA\;</math> et * celui des tensions, quelques <math>\;V</math> ; {{Al|5}}nous verrons qu'il existe des courants d'intensité nettement plus faible allant jusqu'à quelques <math>\;nA\;</math> mais alors <math>\;-\;</math> sauf exception <math>\;-\;</math> il sera légitime de considérer leur intensité comme nulle comparée aux autres intensités ; {{Al|5}}de même il existe des tensions nettement plus faibles allant jusqu'à quelques <math>\;\mu V\;</math> mais il sera aussi légitime de les considérer comme nulles comparées aux autres tensions. === Domaine de l'électricité domestique === * Ordre de grandeur des intensités, quelques <math>\;A\;</math> et * la tension en régime alternatif du réseau actuel, <math>\;220\;V\;</math> <ref> Il s'agit de la tension efficace que nous définirons ultérieurement dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_résistance_de_sortie,_résistance_d'entrée#Notions_de_grandeurs_efficaces_associées_à_une_grandeur_instantanée_alternative,_mesure_des_tensions_et_intensités_efficaces|notions de grandeurs efficaces associées à une grandeur instantanée alternative, mesure des tensions et intensités efficaces]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », il suffit de savoir qu'en régime sinusoïdal, la valeur de crête est la valeur efficace multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> soit <math>\;220 \times \sqrt{2} \simeq 311\; V</math>.</ref>. === Domaine de l'électrotechnique === * Ordre de grandeur des intensités, quelques <math>\;kA\;</math> et * celui des tensions, quelques <math>\;kV</math> ; {{Al|5}}par exemple les moteurs électriques des {{Abréviation|TGV|train à grande vitesse}}. délivrent des courants d'intensité de <math>\;500\;</math> à <math>\;1000\;A</math>, les tensions dépendant, quant à elles, du réseau, ainsi le réseau « bicourant »<ref> Qualifié ainsi car il peut fonctionner en régime permanent ou en régime alternatif.</ref> {{Abréviation|TGV|train à grande vitesse}}. S.E. fonctionne en régime permanent sous tension de <math>\;1500\; V\;</math> ou en régime alternatif sous tension de <math>\;25\; kV\;</math> <ref> Tension efficace définie ultérieurement dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_résistance_de_sortie,_résistance_d'entrée#Notions_de_grandeurs_efficaces_associées_à_une_grandeur_instantanée_alternative,_mesure_des_tensions_et_intensités_efficaces|Notions de grandeurs efficaces associées à une grandeur instantanée alternative, mesure des tensions et intensités efficaces]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », la valeur de crête étant, en régime sinusoïdal, la valeur efficace multipliée par <math>\;\sqrt{2}\;</math> soit <math>\;25 \times \sqrt{2} \simeq 35\; kV</math>.</ref>. === Domaine des phénomènes naturels === * Les intensités dans les éclairs d'orage peuvent atteindre <math>\;500\; kA\;</math> pendant une durée très brève et * les tensions correspondantes être de <math>\;100\; MV</math>. == Notion de puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit == === Définition de la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit === {{Al|5}}La puissance instantanée électrique <math>\;\mathcal{P}_{e,\,r}\! \left( \mathcal{C},\; t \right)\;</math> reçue par la portion de circuit <math>\;\mathcal{C}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est la puissance instantanée développée par les forces électriques exercées sur tous les porteurs de charge mobiles qui sont présents dans la portion de circuit <math>\;\mathcal{C}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ; {{Al|5}}si la portion de circuit <math>\;\mathcal{C}\;</math> est un récepteur, les forces électriques sont motrices et la puissance instantanée électrique reçue est positive mais {{Al|5}}si la portion de circuit <math>\;\mathcal{C}\;</math> est un générateur, les forces électriques sont résistives et la puissance instantanée électrique reçue est négative ; <center>mathématiquement <math>\;\mathcal{P}_{e,\,r}\! \left( \mathcal{C},\; t \right) = \sum\limits^{\text{tous les porteurs}}_{\text{présents dans } \mathcal{C}\,\text{à } t} \mathcal{P}\! \left[ q_p\;\vec{E}(M_t) \right]\;</math> où <math>\;M_t\;</math> est la position du porteur à l'instant <math>\;t</math>, <br>avec <math>\;\mathcal{P}\! \left[ q_p\;\vec{E}(M_t) \right] = q_p\;\vec{E}(M_t) \cdot \vec{v}(M_t)\;</math> la puissance développée par la force électrique<ref> La notion de puissance développée par une force sera introduite dans le chap.<math>14</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_de_la_puissance_d'une_force,_dépendance_du_référentiel_d'étude,_caractère_moteur_ou_résistant_de_cette_dernière|définition de la puissance d'une force, dépendance du référentiel d'étude, caractère moteur ou résistant de cette dernière]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>s'exerçant sur le porteur passant en <math>\;M_t\;</math> avec la vitesse d'entraînement <math>\;\vec{v}(M_t)\;</math> <ref> La détermination étant faite à l'échelle macroscopique ou éventuellement à l'échelle mésoscopique, on peut appliquer la loi des grands nombres concernant le nombre de porteurs de charge mobiles présents dans <math>\;\mathcal{C}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, on en déduit alors, en appelant <math>\;\overline{N_{\mathcal{C}}}(t)\;</math> la valeur moyenne de ce nombre de porteurs de charge mobiles présents dans <math>\;\mathcal{C}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{e,\,r}\! \left( \mathcal{C},\; t \right) =</math> <math>\overline{N_{\mathcal{C}}}(t) \left\langle \mathcal{P}\! \left[ q_p\;\vec{E}(M_t) \right] \right\rangle\;</math> où <math>\;\left\langle \mathcal{P}\! \left[ q_p\;\vec{E}(M_t) \right] \right\rangle\;</math> est la valeur moyenne de la puissance instantanée développée par la force électrique exercée sur un porteur de charge mobile passant en <math>\;M_t\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> soit, avec <math>\;\mathcal{P}\! \left[ q_p\;\vec{E}(M_t) \right] = q_p\;\vec{E}(M_t) \cdot \vec{v}(M_t)\;</math> dont la moyenne s'évalue selon <math>\;\left\langle \mathcal{P}\! \left[ q_p\;\vec{E}(M_t) \right] \right\rangle = \left\langle q_p\;\vec{E}(M_t) \cdot \vec{v}(M_t) \right\rangle = q_p\;\vec{E}(M_t) \cdot \Big\langle \vec{v}(M_t) \Big\rangle\;</math> où <math>\;\Big\langle \vec{v}(M_t) \Big\rangle = \vec{v}_e(t)\;</math> est la vitesse moyenne d'entraînement des porteurs à l'instant <math>\;t\;</math> <math>\big[</math>ne dépendant pas de <math>\;M_t\;</math> dans le cadre de l'A.R.Q.S.<math>\big]\;</math> soit finalement l'expression suivante <math>\;\mathcal{P}_{e,\,r}\! \left( \mathcal{C},\; t \right) =</math> <math>\overline{N_{\mathcal{C}}}(t)\; q_p\;\vec{E}(M_t) \cdot \vec{v}_e(t)</math>.</ref>.</center> === Expression, en convention récepteur, de la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit en fonction de la tension entre ses bornes et de l'intensité du courant la traversant === {{Al|5}}On admet, pour l'instant<ref> La démonstration est faite au paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#En_complément,_démonstration_de_l’expression_de_la_puissance_instantanée_électrique_reçue_par_une_portion_de_circuit_en_fonction_de_la_tension_entre_ses_bornes_et_de_l’intensité_du_courant_la_traversant_(en_convention_récepteur)|en complément, démonstration de l'expression de la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit en fonction de la tension entre ses bornes et de l'intensité du courant la traversant (en convention récepteur)]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>, l'expression de la puissance instantanée électrique reçue par la portion de circuit <math>\;\mathcal{C}</math>, puissance instantanée notée <math>\;\mathcal{P}_{e,\,r}\! \left( \mathcal{C},\; t \right)\;</math> et exprimée en <math>\;W</math>, la portion de circuit <math>\;\mathcal{C}\;</math> étant telle que <math>\;u(t)\;</math> est la tension instantanée en ses bornes exprimée en <math>\;V\;</math> et <math>\;i(t)\;</math> l'intensité instantanée du courant la traversant en <math>\;A</math>, les deux obéissant à une convention récepteur, <center><math>\;\mathcal{P}_{e,\,r}\! \left( \mathcal{C},\; t \right) = u(t)\;i(t)</math>.</center> === Vérification du signe de la puissance instantanée électrique reçue suivant la nature réceptrice ou génératrice de la portion de circuit === {{Al|5}}En convention récepteur, la tension aux bornes d'un récepteur et l'intensité du courant le traversant étant de même signe, on vérifie <math>\;-\;</math> d'après la formule précédente <math>\;-\;</math> que <u>la puissance instantanée électrique reçue par un récepteur est positive</u>, alors que, {{Al|5}}{{Transparent|En convention récepteur, }}la tension aux bornes d'un générateur et l'intensité du courant le traversant étant de signe contraire, on vérifie <math>\;-\;</math> d'après la formule précédente <math>\;-\;</math> que <u>la puissance instantanée électrique reçue par un générateur est négative</u>. == Notion de puissance instantanée électrique fournie par une portion de circuit == === Bilan de puissance instantanée électrique reçue par un circuit série fermé === {{Al|5}}Considérons le circuit série fermé constitué * d'une portion de circuit <math>\;(\mathcal{C})\;</math> limitée par les points <math>\;A\;</math> et <math>\;A'</math>, portion de circuit que nous noterons par la suite <math>\;A(\mathcal{C})A'\;</math> et, pour assurer la fermeture du circuit, * d'un fil de connexion <math>\;(\mathcal{f})\;</math> reliant les points <math>\;A'\;</math> et <math>\;A\;</math>, fil de connexion que nous noterons par la suite <math>\;A'(\mathcal{f})A</math> ; {{Al|5}}on peut évaluer la puissance instantanée électrique reçue par la portion de circuit <math>\;A(\mathcal{C})A'\;</math> avec choix d'une convention récepteur pour cette portion selon <math>\;\mathcal{P}_{e,\,r}\! \left[ A(\mathcal{C})A' \right] = u(t)\; i(t)\;</math> où <math>\;u(t)\;</math> est la tension aux bornes de la portion de circuit, <math>\;i(t)\;</math> étant l'intensité du courant la traversant ; {{Al|5}}raccourcissant le fil de connexion <math>\;A'(\mathcal{f})A\;</math> de façon à ce que <math>\,A'\;</math> tende vers <math>\;A</math>, la portion de circuit <math>\;A(\mathcal{C})A'\;</math> tend alors vers le circuit fermé <math>\;A(\mathcal{C})A\;</math> et simultanément <math>\;u(t) \rightarrow V_A(t) - V_A(t) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{P}_{e,\,r}\! \left[ A(\mathcal{C})A' \right] \rightarrow \mathcal{P}_{e,\,r}\! \left[ A(\mathcal{C})A \right] = 0\;</math> établissant que <center><u>la puissance instantanée électrique reçue par un circuit série fermé est nulle</u>.</center> === Définition de la puissance instantanée électrique fournie par une portion de circuit === [[File:Circuit série - conventions.png|thumb|300px|Circuit série constitué d'une partie réceptrice fermée sur une partie génératrice et choix de conventions communes]] {{Al|5}}Considérons un circuit série fermé constitué d'une partie réceptrice <math>\;(\mathrm{recept})\;</math> et d'une partie génératrice <math>\;(\mathrm{generat})</math>, du bilan de puissance établi au paragraphe précédent on en déduit : <center><math>\;\mathcal{P}_{e,\, r}\! \left( \mathrm{recept},\; t \right) + \mathcal{P}_{e,\, r}\! \left( \mathrm{generat},\; t \right) = 0\;</math> ou que <math>\;\mathcal{P}_{e,\, r}\! \left( \mathrm{generat},\; t \right) = -\mathcal{P}_{e,\, r}\! \left( \mathrm{recept},\; t \right)</math> ;</center> {{Al|5}}ayant choisi la convention récepteur pour la partie réceptrice <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math>, les mêmes grandeurs correspondent à la convention générateur pour la partie génératrice ; {{Al|5}}sachant que <math>\;\mathcal{P}_{e,\, r}\! \left( \mathrm{recept},\; t \right) = u(t)\;i(t)\;</math><ref> Car en convention récepteur.</ref> on déduit, du bilan de puissance reçue, la puissance instantanée électrique reçue par la partie génératrice <math>\;\mathcal{P}_{e,\, r}\! \left( \mathrm{generat},\; t \right) = -u(t)\;i(t)</math> ; {{Al|5}}ainsi en convention générateur, la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit <math>\;\mathcal{C}\;</math> s'évalue selon <math>\;\mathcal{P}_{e,\, r}\! \left( \mathcal{C},\; t \right) = -u(t)\;i(t)\;</math><ref> Établie si la portion de circuit est génératrice mais reste valable si celle-ci est réceptrice.</ref> ; {{Al|5}}on définit alors la puissance instantanée électrique fournie par une portion de circuit <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f}\! \left( \mathcal{C},\; t \right)\;</math> comme l'opposé de la puissance instantanée électrique reçue <math>\;\mathcal{P}_{e,\, r}\! \left( \mathcal{C},\; t \right)\;</math> soit <center> <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f}\! \left( \mathcal{C},\; t \right) = -\mathcal{P}_{e,\, r}\! \left( \mathcal{C},\; t \right)\;</math>.</center> === Expression, en convention générateur, de la puissance instantanée électrique fournie par une portion de circuit en fonction de la tension entre ses bornes et de l'intensité du courant la traversant === {{Al|5}}Ayant vu qu'en convention générateur, la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit s'écrit <math>\;-u(t)\;i(t)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant vu }}que la puissance instantanée électrique fournie en est l'opposé, on en déduit : {{Al|5}}l'expression de la puissance instantanée électrique fournie par la portion de circuit <math>\;\mathcal{C}</math>, puissance instantanée notée <math>\;\mathcal{P}_{e,\,f}\! \left( \mathcal{C},\; t \right)\;</math> et exprimée en <math>\;W</math>, la portion de circuit <math>\;\mathcal{C}\;</math> étant telle que <math>\;u(t)\;</math> est la tension instantanée en ses bornes exprimée en <math>\;V\;</math> et <math>\;i(t)\;</math> l'intensité instantanée du courant la traversant en <math>\;A</math>, les deux obéissant à une convention générateur, <center><math>\;\mathcal{P}_{e,\,f}\! \left( \mathcal{C},\; t \right) = u(t)\;i(t)</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : pour être complet il convient d'ajouter que la puissance instantanée électrique fournie par une portion de circuit s'écrira en convention récepteur <math>\;\mathcal{P}_{e,\,f}\! \left( \mathcal{C},\; t \right) = -u(t)\;i(t)</math> <math>\;\ldots</math> === Vérification du signe de la puissance instantanée électrique fournie suivant la nature génératrice ou réceptrice de la portion de circuit === {{Al|5}}En convention générateur, la tension aux bornes d'un générateur et l'intensité du courant le traversant étant de même signe, on vérifie <math>\;-\;</math> d'après la formule précédente <math>\;-\;</math> que <u>la puissance instantanée électrique fournie par un générateur est positive</u>, alors que, {{Al|5}}{{Transparent|En convention générateur, }}la tension aux bornes d'un récepteur et l'intensité du courant le traversant étant de signe contraire, on vérifie <math>\;-\;</math> d'après la formule précédente <math>\;-\;</math> que <u>la puissance instantanée électrique fournie par un récepteur est négative</u>. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D/]] | suivant = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : dipôles linéaires/]] }} 6p31c6yblkuo60rw6myhka4cd4nshp0 0 65470 982839 978248 2026-05-15T07:19:10Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982839 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 22 | niveau = 14 | précédent = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : intensité, tension, puissance/]] | suivant = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : associations de conducteurs ohmiques/]] }} == Notion de dipôles, définition de son point de fonctionnement en régime permanent et de sa caractéristique statique courant - tension == === Définition d'un dipôle === {{Al|5}}Un dipôle est <u>tout système électrique relié à l'extérieur par deux bornes</u>. {{Al|5}}<u>Conséquences</u> : une branche est constitué d'un dipôle ou d'une association série de dipôles, les conventions d'orientation d'une branche <math>\;\big(</math>conventions récepteurs et générateurs<math>\big)\;</math> étant celles d'un dipôle ; {{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : }}dans un circuit série comprenant uniquement un générateur et un récepteur, il est souhaitable de considérer ces deux dipôles en regard en définissant une tension commune <math>\;u(t)\;</math> et une intensité commune <math>\;i(t)</math>, choisir la convention générateur pour le générateur est alors bien venu, celle pour le récepteur étant alors la convention récepteur. === Définition du point de fonctionnement d'un dipôle en régime permanent === {{Al|5}}On appelle « point de fonctionnement d'un dipôle en régime permanent » le couple <math>\;\left( I,\; U \right)\;</math> <ref> Notation réservée au régime permanent : intensité et tension sont notées avec des lettres majuscules <math>\;I\;</math> et <math>\;U</math> ; <br>{{Al|3}}en A.R.Q.S. on note ces grandeurs avec des lettres minuscules <math>\;i\;</math> et <math>\;u\;</math> <math>\big(</math>en précisant éventuellement qu'elles dépendent de <math>\;t\big)</math> ; <br>{{Al|3}}on pourra éventuellement noter le régime permanent avec des lettres minuscules mais jamais on n'utilisera des lettres majuscules en A.R.Q.S. pour exprimer les grandeurs instantanées.</ref> de l'intensité du courant traversant le dipôle et de la tension entre ses bornes lorsqu'il est placé dans un circuit en régime permanent. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : la définition du « point de fonctionnement » <ref> Le qualificatif « point » n'acquiert le sens classique de la géométrie qu'après définition de la caractéristique statique « courant - tension » du dipôle <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Définition_de_la_caractéristique_statique_courant_-_tension_d'un_dipôle|définition de la caractéristique statique « courant - tension » d'un dipôle]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big)\;</math> <math>\;-\;</math> il s'agit alors d'un point du graphe <math>\;-\;</math> sans référence à cette caractéristique il ne s'agit que du couple de valeurs associées <math>\;\left( I,\; U \right)</math>.</ref> d'un dipôle dans un circuit en régime permanent nécessite d'avoir précisé auparavant la convention adoptée pour le dipôle. === Définition de la caractéristique statique courant - tension d'un dipôle === {{Al|5}}On appelle caractéristique statique « courant - tension » d'un dipôle, « le graphe représentant l'ensemble des points de fonctionnement du dipôle dans n'importe quel circuit en régime permanent » <ref> L'électricien trace la tension <math>\;U\;</math> en fonction de l'intensité du courant <math>\;I</math> <math>\;-\;</math> c'est ce que nous ferons sauf avis contraire <math>\;-\;</math> alors que l'électronicien représente plutôt l'intensité du courant <math>\;I\;</math> en fonction de la tension <math>\;U</math>, les deux graphes étant symétriques par rapport à la 1^ère diagonale.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on peut passer d'« une convention récepteur à une convention générateur pour un dipôle » <ref> Et vice-versa.</ref>, * en conservant le sens <math>\;+\;</math> du courant et en inversant le sens <math>\;+\;</math> de tension, dans ces conditions les caractéristiques statiques « courant - tension » se déduisent l'une de l'autre par symétrie relativement à l'axe des tensions ou * en conservant le sens <math>\;+\;</math> de tension et en inversant le sens <math>\;+\;</math> de courant, dans ces conditions les caractéristiques statiques « courant - tension » se déduisent l'une de l'autre par symétrie relativement à l'axe des intensités. === Classification des dipôles en régime permanent === {{Al|5}}En « convention générateur » pour un générateur et « récepteur » pour un récepteur, on qualifie les dipôles suivant la caractéristique statique « courant - tension » obtenue : * <u>dipôle passif</u> <math>\;\big(</math>le choix d'une convention récepteur est judicieux<math>\big)</math> : si <math>\;U = 0 \Rightarrow I = 0\;</math><ref> <math>\;U = 0\;</math> est réalisé si on court-circuite le dipôle d'où « quand un dipôle court-circuité n'est traversé par aucun courant il est dit passif ».</ref> ou encore si <math>\;I \neq 0 \Rightarrow U \neq 0\;</math><ref> Contraposée de la proposition précédente : « un dipôle traversé par un courant d'intensité non nulle est passif si la tension mesurée est non nulle ».</ref> ; la caractéristique statique « courant - tension » d'un dipôle passif <u>passe par l'origine du repère</u> ; * <u>dipôle actif</u> <math>\;\big(</math>le choix d'une convention générateur est judicieux<math>\big)</math> : si <math>\;U = 0 \Rightarrow I \neq 0\;</math><ref> <math>\;U = 0\;</math> correspondant au court-circuite du dipôle d'où « un dipôle court-circuité traversé par un courant est dit actif » ; <br>{{Al|3}}à éviter de faire pratiquement car, pour la plupart des dipôles actifs, l'intensité obtenue <math>\;-\;</math> appelée intensité de court-circuit <math>\;-\;</math> étant très grande il y aurait risque de destruction du dipôle.</ref> ou encore si <math>\;I = 0 \Rightarrow U \neq 0\;</math><ref> Contraposée de la proposition précédente : « un dipôle en sortie ouverte <math>\;\big(</math>ce qui n'autorise le passage d'aucun courant<math>\big)\;</math> est dit actif si la tension mesurée <math>\;-\;</math> appelée tension à vide <math>\;-\;</math> est non nulle » ;<br>{{Al|3}}c'est ce que vous devez faire pratiquement pour vérifier la nature active du dipôle.</ref> ; la caractéristique statique « courant - tension » d'un dipôle actif <u>ne passe pas par l'origine du repère</u> ; * <u>dipôle symétrique</u> : si le point de fonctionnement du dipôle « ne dépend pas du sens de son branchement » <ref> Ainsi, lors de son placement dans un circuit, on peut permuter les bornes de branchement sans observer de modification.</ref> ; exemple : une lampe à incandescence <math>\;\big(</math>non exhaustif car il y en a beaucoup d'autres<math>\big)</math> ; la caractéristique statique « courant - tension » d'un dipôle symétrique <u>est symétrique par rapport à l'origine</u> <math>\;O \left( 0\, ,\, 0 \right)</math> ; * <u>dipôle non symétrique</u> : si le point de fonctionnement du dipôle « dépend du sens de son branchement » ; exemple : une diode à jonction <math>\;\big(</math>non exhaustif car il y en a beaucoup d'autres<math>\big)</math> <ref name="diode à jonction"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_caractéristique_d'un_dipôle#Tracé_de_la_caractéristique_statique_courant_-_tension_d'une_diode_Zener_et_modélisation_linéaire_des_parties_conductrices_de_la_diode_Zener_en_polarisations_directe_et_indirecte|tracé de la caractéristique statique courant - tension d'une diode Zener et modélisation linéaire des parties conductrices de la diode Zener en polarisations directe et indirecte]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », la diode à jonction ayant même caractéristique directe que la diode Zener mais dont la caractéristique inverse est celle d'un isolant ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Clarence_Zener|Clarence Melvin Zener]] (1905 - 1993)''' physicien américain qui fut le 1^er <math>\;\big(</math>en <math>\;1934\big)\;</math> à décrire le [[w:Tension_de_claquage|phénomène de claquage]] des isolants électriques qui rendit possible la [[w:Diode_Zener|diode portant son nom]] ; il fut également opérationnel dans bien d'autres domaines de la physique grâce à ses connaissances mathématiques allant de la [[w:Supraconductivité|supraconductivité]] à la [[w:Métallurgie|métallurgie]] en passant par le [[w:Ferromagnétisme|ferromagnétisme]], l’[[w:Déformation_élastique|élasticité]], la [[w:Mécanique_de_la_rupture|mécanique de la rupture]], la [[w/Diffusion|diffusion]] ; entre <math>\;1951\;</math> et <math>\;1965\;</math> il développa ses méthodes d'[[w:Optimisation_(mathématiques)|optimisation de forme]] en paramétrant par des fonctions mathématiques les proportions des pièces.</ref> ; la caractéristique statique « courant - tension » d'un dipôle non symétrique <u>n'est pas symétrique par rapport à l'origine</u> <math>\;O \left( 0\, ,\, 0 \right)</math>, il faut donc la déterminer pour <math>\;I > 0\;</math><ref> La caractéristique statique « courant - tension » ainsi obtenue pour <math>\;I > 0\;</math> est parfois qualifiée de « directe ».</ref> et pour <math>\;I < 0\;</math><ref> La caractéristique statique « courant - tension » ainsi obtenue pour <math>\;I < 0\;</math> est qualifiée d'« inverse » si celle tracée pour <math>\;I > 0\;</math> est qualifiée de « directe ».</ref>. == Dipôles linéaires au sens du régime permanent == === Définition d'un dipôle linéaire (D.L.) au sens du régime permanent === {{Al|5}}Un dipôle est dit « <u>linéaire</u> <math>\;\big(</math>au sens du régime permanent<math>\big)\;</math>» si <u>sa caractéristique statique « courant - tension » est une droite</u> <ref> Sinon le dipôle est dit « non linéaire <math>\;\big(</math>au sens du régime permanent<math>\big)\;</math>».</ref> ; il y a donc une <u>relation affine entre l'intensité</u> <math>\;I\;</math> du courant traversant le dipôle <u>et la tension</u> <math>\;U\;</math> entre ses bornes, que ce soit en convention récepteur ou générateur. === Dipôle passif linéaire (D.P.L.) au sens du régime permanent : conducteur ohmique === <div style="text-align: center;">sauf avis contraire on choisit, pour un <u>dipôle passif</u>, une <u>convention récepteur</u>.</div> {{Al|5}}Le dipôle étant <u>passif et linéaire</u>, <u>sa caractéristique statique « courant - tension » est une droite passant par l'origine</u> <math>\;O \left( 0\, ,\, 0 \right)\;</math> et, dans la mesure où celle-ci est de pente finie non nulle, le dipôle est appelé « <u>conducteur ohmique</u> ». ==== Loi d'Ohm (en convention récepteur) et symbole ==== {{Al|5}}La loi d'Ohm<ref name="Ohm"> '''[[w:Georg_Ohm|Georg Simon Ohm]] (1789 - 1854)''' physicien allemand essentiellement connu pour sa découverte de la loi qui porte maintenant son nom.</ref> est l'équation de la caractéristique statique « courant - tension » du conducteur ohmique <div style="text-align: center;"><math>\;U = R\;I\;</math> avec <br><math>\;R > 0\;</math> résistance du conducteur ohmique exprimée en <math>\;\Omega\;</math> <ref> La résistance est le cœfficient directeur de la caractéristique statique « courant - tension » du conducteur ohmique dans le diagramme des électriciens en convention récepteur ; le caractère positif de ce cœfficient directeur entraîne que la tension aux bornes du conducteur ohmique et l'intensité du courant le traversant sont toujours de même signe en convention récepteur.</ref>, <math>\;I\;</math> étant en <math>\;A\;</math> et <math>\;U\;</math> en <math>\;V</math>.</div> {{Al|5}}Dans un circuit filiforme, un conducteur ohmique est représenté par un rectangle et on indique <math>\;R</math> <math>\;\big(</math>ou sa valeur<math>\big)\;</math> à côté du rectangle. ==== Loi d'Ohm en convention générateur ==== {{Al|5}}La loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> en convention générateur s'écrit <div style="text-align: center;"><math>\;U = -R\;I\;</math><ref> En effet on passe d'une convention récepteur à une convention générateur en conservant l'une des grandeurs électriques “tension ou intensité” et en changeant l'autre en son opposé.</ref> avec <br><math>\;R > 0\;</math> résistance du conducteur ohmique exprimée en <math>\;\Omega\;</math><ref> La résistance est donc l'opposé du cœfficient directeur de la caractéristique statique « courant - tension » du conducteur ohmique dans le diagramme des électriciens en convention générateur ; le caractère négatif de ce cœfficient directeur permet de vérifier que la tension aux bornes du conducteur ohmique et l'intensité du courant le traversant sont toujours de signe contraire en convention générateur.</ref>, <math>\;I\;</math> étant en <math>\;A\;</math> et <math>\;U\;</math> en <math>\;V</math>.</div> === Dipôle actif linéaire (D.A.L.) au sens du régime permanent : source de tension (ou de courant) === <div style="text-align: center;">sauf avis contraire on choisit, pour un <u>dipôle actif</u>, une <u>convention générateur</u>.</div> {{Al|5}}Le dipôle étant <u>actif et linéaire</u>, <u>sa caractéristique statique « courant - tension » est une droite ne passant pas par l'origine</u> <math>\;O \left( 0\, ,\, 0 \right)</math>, décroissante<ref> En convention générateur <math>\;\big(</math>en convention récepteur elle serait évidemment croissante<math>\big)</math>.</ref>, de pente <math>\;-r\;</math> avec <math>\;r > 0\;</math> définissant la « résistance interne »<ref> <math>\;r\;</math> est donc l'opposé de la pente de la caractéristique statique « courant - tension » du D.A.L. tracée par un électricien en convention générateur.</ref> de la source linéaire <math>\;\big(</math>au sens du régime permanent<math>\big)\;</math><ref> Un dipôle actif, qu'il soit linéaire ou non, définit une source car c'est lui qui peut fonctionner en générateur <math>\;\big(</math>toutefois quand il y a deux dipôles actifs dans un circuit, pour qu'il y ait un courant dans ce dernier il suffit qu'un seul soit générateur, l'autre pouvant alors fonctionner <math>\;-\;</math> ou non <math>\;-\;</math> en récepteur<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'intersection de la caractéristique statique « courant - tension » du D.A.L<ref name="D.A.L."> Dipôle Actif Linéaire.</ref>. avec l'axe des tensions est notée <math>\;U_0\;</math> et appelée « tension à vide » <ref> C'est la tension du D.A.L. en circuit ouvert c.-à-d. quand <math>\;I = 0</math> <math>\;\big(</math>caractérisant un circuit ouvert<math>\big)</math>, c'est aussi l'ordonnée à l'origine de la caractéristique statique « courant - tension » du D.A.L. tracée par un électricien en convention générateur ; <br>{{Al|3}}comme il y a deux conventions générateur par dipôle on choisit, quand cela est possible, celle qui donne <math>\;U_0 > 0</math>.</ref>, son intersection avec l'axe des intensités est notée <math>\;I_{c.c.}\;</math> et appelée « intensité de court-circuit » <ref> C'est l'intensité du courant traversant le D.A.L. quand <math>\;U = 0</math> <math>\;\big(</math>caractérisant un court-circuit<math>\big)</math>, c'est aussi l'abscisse à l'origine de la caractéristique statique « courant - tension » du D.A.L. tracée par un électricien en convention générateur ; <br>{{Al|3}}en convention générateur <math>\;I_{c.c.}\;</math> et <math>\;U_0</math>, quand elles sont toutes deux finies et non nulles, sont toujours de même signe <math>\;\big(</math>alors qu'en convention récepteur elles seraient de signe contraire<math>\big)</math>, aussi si l'opportunité de choisir la convention générateur pour que <math>\;U_0\;</math> soit <math>\;> 0\;</math> est adoptée alors <math>\;I_{c.c.}\;</math> est <math>\;> 0</math> ; <br>{{Al|3}}on rappelle que pour certaines sources de tension <math>\;\big(</math>les plus utilisées<math>\big)</math>, le court-circuitage de ces dernières doit pratiquement être interdit car la valeur trop grande de <math>\;I_{c.c.}\;</math> entraînerait la destruction de la source de tension.</ref>. ==== Loi d'Ohm généralisée (en convention générateur) ==== {{Al|5}}La loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> généralisée <math>\;\big(</math>en convention générateur<math>\big)\;</math> est l'équation de la caractéristique statique « courant - tension » du D.A.L<ref name="D.A.L." />. ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|La loi d'Ohm généralisée <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>en convention générateur<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}en choisissant sa représentation en mode électricien<ref> À savoir le tracé de <math>\;U\;</math> en fonction de <math>\;I</math>.</ref> elle s'écrit <div style="text-align: center;"><math>\;U = U_0 - r\;I\;</math><ref> Dans la mesure où le courant traversant le D.A.L. est créé par ce dernier <math>\;\big(</math>c.-à-d. s'il n'y a pas d'autres D.A.L. dans le circuit<math>\big)\;</math> la tension aux bornes du D.A.L. et l'intensité du courant le traversant sont toujours de même signe en convention générateur.</ref> si <math>\;r\;</math> est finie <ref> C.-à-d. si la caractéristique statique « courant - tension » du D.A.L. n'est pas <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des tensions.</ref> ;</div> {{Al|5}}on en déduit l'intensité de court-circuit en imposant <math>\;U_{c.c.} = 0\;</math> soit <math>\;I_{c.c.} = \dfrac{U_0}{r}\;</math><ref> Si la résistance interne <math>\;r\;</math> du D.A.L. est nulle <math>\;\big(</math>voire très petite<math>\big)</math>, l'intensité du courant de court-circuit est infinie <math>\;\big(</math>voire très grande<math>\big)</math>, il est donc impératif de ne jamais court-circuiter un tel D.A.L. car la conséquence en est la destruction s'il n'est pas protégé d'éventuelles surintensités <math>\;\big[</math>pour cela il peut exister un système électronique fixant une intensité maximale délivrable par le D.A.L. et donc protégeant ce dernier contre toute surintensité<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}il existe aussi des D.A.L<ref name="D.A.L." />. dont la caractéristique statique « courant - tension » est une « droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des tensions » correspondant à une résistance interne <math>\;r\;</math> infinie, <br>{{Al|10}}{{Transparent|il existe aussi des D.A.L. dont la caractéristique statique « courant - tension » est une « droite <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe des tensions » }}la loi d'Ohm généralisée de ces D.A.L<ref name="D.A.L." />. s'écrit alors selon <math>\;I = cste\;\; \forall\; U\;</math> ou <br>{{Al|16}}{{Transparent|il existe aussi des D.A.L. dont la caractéristique statique « courant - tension » est une « droite <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe des tensions » la loi d'Ohm généralisée de ces D.A.L. }}plus précisément <math>\;I = I_{c.c.}\;\; \forall\; U\;</math><ref> La résistance interne <math>\;r\;</math> de ce type de D.A.L. étant infinie, seule l'intensité de court-circuit est définie, la tension à vide étant infinie <math>\;\big[</math>il est donc impératif de ne jamais fermer un tel D.A.L. sur un autre dipôle pouvant se comporter comme un isolant <math>\;\big[</math>par exemple un interrupteur se comportant comme un isolant quand on l'ouvre, ou une diode à jonction <math>\;\big(</math>voir ci-dessous<math>\big)\;</math> branchée aux bornes du D.A.L. telle que le sens du courant imposé par ce dernier soit le sens bloquant de la diode, la conséquence dans ces deux exemples en serait une tension infinie entraînant une étincelle entre les bornes de l'interrupteur ou le « claquage de la diode » c.-à-d. à sa destruction<math>\big]\;</math> en fait ces D.A.L. étant des constructions électroniques, usuellement ils contiennent un système électronique fixant une tension maximale délivrable par le D.A.L. et donc protégeant ce dernier contre toute surtension<math>\big]</math> <br>{{Al|3}}Voir notion sur les diodes à jonction dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_caractéristique_d'un_dipôle#Présentation_du_dipôle_passif_«_diode_Zener_»|présentation du dipôle passif “diode Zener”]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », la diode à jonction ayant même caractéristique directe que la diode Zener mais avec une caractéristique inverse qui est celle d'un isolant.</ref>. ==== Exemples ==== {{Al|5}}Liste non exhaustive ci-dessous : * Piles dont le fonctionnement est d'origine électrochimique utilisant le phénomène d'oxydo-réduction, leur résistance est en général petite mais non négligeable, * accumulateurs également à fonctionnement d'origine électrochimique utilisant le phénomène d'oxydo-réduction, leur résistance interne étant par contre très faible, « <u>ne jamais court-circuiter un accumulateur</u> sous peine de destruction » <ref> En particulier la batterie d'accumulateurs d'un véhicule motorisé doit être protégée de court-circuit éventuel, une liaison accidentelle entre les deux bornes <math>\;-\;</math> comme la chute d'une clef à molettes ou autre outil métallique sur les cosses de la batterie <math>\;-\;</math> entraîne la destruction de celle-ci.</ref>, * alimentations stabilisées lesquelles sont des systèmes électroniques simulant un D.A.L<ref name="D.A.L." />., * <math>\;\ldots\;</math> ==== Sources idéales ==== {{Al|5}}Une source idéale est un D.A.L<ref name="D.A.L." />. à résistance interne nulle ou infinie. ===== Source de tension parfaite (ou idéale) et symbole ===== [[File:Source de tension parfaite.png|thumb|300px|Source de tension parfaite branchée aux bornes d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math><ref name="résistance variable"> La flèche inclinée en travers du rectangle représentant le conducteur ohmique signifiant que sa résistance est réglable.</ref>]] {{Al|5}}Une source de tension parfaite est un D.A.L<ref name="D.A.L." />. à résistance interne nulle, l'équation de sa caractéristique statique « courant - tension » s'écrit donc <div style="text-align: center;"><math>\;U = U_0\;\;\forall\; I</math> ;</div> {{Al|5}}c'est alors le dipôle extérieur aux bornes duquel la source de tension parfaite est branchée qui fixe l'intensité du courant délivré par la source ainsi, {{Al|5}}sur l'exemple ci-contre l'intensité du courant délivré par la source imposant la tension <math>\;U_0\;</math> est déterminée par loi d'Ohm appliquée au conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;I = \dfrac{U_0}{R}\;</math><ref> Si <math>\;R\;</math> est faible l'intensité est grande, d'où le risque de destruction de la source si elle n'est pas protégée par une intensité maximale ;<br>{{Al|3}}d'autre part, on ne doit jamais court-circuiter une source de tension parfaite.</ref>.</div> ===== Source de courant parfaite (ou idéale) et symbole ===== [[File:Source de courant parfaite.png|thumb|300px|Source de courant parfaite branchée aux bornes d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math><ref name="résistance variable" />]] {{Al|5}}Une source de courant parfaite est un D.A.L<ref name="D.A.L." />. à résistance interne infinie, l'équation de sa caractéristique statique « courant - tension » s'écrit donc <div style="text-align: center;"><math>\;I = I_{c.c.}\;\;\forall\; U</math> ;</div> {{Al|5}}c'est alors le dipôle extérieur aux bornes duquel la source de courant parfaite est branchée qui fixe la tension aux bornes de la source ainsi, {{Al|5}}sur l'exemple ci-contre la tension aux bornes de la source délivrant un courant d'intensité <math>\;I_{c.c.}\;</math> est déterminée par loi d'Ohm appliquée au conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;U = R\;I_{c.c.}</math> <ref> Si <math>\;R\;</math> est grande la tension l'est aussi, d'où le risque de destruction de la source si elle n'est pas protégée par une tension maximale ;<br>{{Al|3}}d'autre part, on ne doit jamais faire fonctionner une source de courant parfaite en sortie ouverte et pour cela, la source de courant parfaite à l'arrêt est court-circuitée <math>\;\big(</math>le court-circuit étant non visible à l'intérieur du boîtier<math>\big)</math>.</ref>.</div> ==== Loi d'Ohm généralisée (en convention récepteur) ==== {{Al|5}}La loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> généralisée <math>\;\big(</math>en convention récepteur<math>\big)\;</math> s'écrit <div style="text-align: center;"><math>\;U = U_0 + r\;I\;</math><ref> En effet on passe d'une convention générateur à une convention récepteur en conservant l'une des grandeurs électriques “tension ou intensité” et en changeant l'autre en son opposé ;<br>{{Al|3}}dans la mesure où le courant traversant le D.A.L. est créé par ce dernier <math>\;\big(</math>c.-à-d. s'il n'y a pas d'autres D.A.L. dans le circuit<math>\big)\;</math> la tension aux bornes du D.A.L. et l'intensité du courant le traversant sont toujours de signe contraire en convention récepteur.</ref> si <math>\;r\;</math> est finie, elle est <math>\;\geqslant 0\;</math><ref> C.-à-d. si la caractéristique statique « courant - tension » du D.A.L. n'est pas <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des tensions ; <br>{{Al|3}}la résistance interne est donc le cœfficient directeur de la caractéristique statique « courant - tension » du D.A.L. dans le diagramme des électriciens en convention récepteur ; dans la mesure où le courant traversant le D.A.L. est créé par ce dernier <math>\;\big(</math>c.-à-d. s'il n'y a pas d'autres D.A.L. dans le circuit<math>\big)\;</math> le fait que la tension aux bornes du D.A.L. et l'intensité du courant le traversant sont toujours de signe contraire ainsi que le caractère positif du cœfficient directeur de la caractéristique en convention récepteur a pour conséquence que la tension aux bornes du D.A.L. est toujours de valeur absolue inférieure à celle de sa tension à vide tout comme en convention générateur en effet * si <math>\;U > 0\;</math> et <math>\;U_0 > 0</math>, <math>\;I \;</math> est <math>\;< 0</math>, on en déduit <math>\;0 < U = U_0 + r\;I < U_0\;</math> d'où <math>\vert U \vert < \vert U_0 \vert</math> et * si <math>\;U < 0\;</math> et <math>\;U_0 < 0</math>, <math>\;I\;</math> est <math>\;> 0</math>, on en déduit <math>\;0 > U = U_0 + r\;I > U_0\;</math> d'où <math>\vert U \vert < \vert U_0 \vert</math>.</ref>.</div> == Dipôles linéaires au sens de l'A.R.Q.S. == === Définition d'un dipôle linéaire au sens de l'A.R.Q.S. === {{Al|5}}Un dipôle est linéaire au sens de l'A.R.Q.S. : * s'il est « linéaire au sens du régime permanent » ou * s'il y a un « lien d'équations différentielles linéaires à cœfficients constants réels<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Équation_différentielle_linéaire_à_coefficients_constants|équations différentielles linéaires à cœfficients constants]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> entre la tension <math>\;u(t)\;</math> entre ses bornes et l'intensité <math>\;i(t)\;</math> du courant le traversant » <ref> La convention adoptée pouvant être « générateur » ou « récepteur ».</ref>. {{Al|5}}<u>Exemples</u> <math>\;\big(</math>liste non exhaustive ci-dessous<math>\big)</math> : * tous les dipôles linéaires passifs et actifs du régime permanent pour lesquelles la tension entre leurs bornes est une relation affine de l'intensité du courant les traversant <math>\;u(t) = a\; i(t) + b\;</math><ref> Les signes de <math>\;a\;</math> et de <math>\;b\;</math> dépendent indépendamment de la convention choisie et de la nature du dipôle, <math>\;a\;</math> ayant l'homogénéité d'une résistance alors que <math>\;b\;</math> a l'homogénéité d'une tension.</ref> ou l'intensité du courant les traversant une relation affine de la tension entre leurs bornes <math>\;i(t) = c\; u(t) + d\;</math><ref> Les signes de <math>\;c\;</math> et de <math>\;d\;</math> dépendent indépendamment de la convention choisie et de la nature du dipôle, <math>\;c\;</math> ayant l'homogénéité de l'inverse d'une résistance alors que <math>\;b\;</math> a l'homogénéité d'une intensité.</ref> ; * un dipôle dont la tension entre ses bornes s'écrit <math>\;u(t) = a\; i(t) + b\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math><ref> Les signes de <math>\;a\;</math> et de <math>\;b\;</math> dépendent indépendamment de la convention choisie et de la nature du dipôle, <math>\;a\;</math> ayant l'homogénéité d'une résistance et <math>\;b\;</math> s'exprimant en <math>\;V \cdot s \cdot A^{-1} = \Omega \cdot s</math>.</ref> avec <math>\;i(t)\;</math> intensité du courant le traversant ou <br>{{Transparent|un dipôle }}dont l'intensité du courant le traversant s'écrit <math>\;i(t) = c\; u(t) + d\;\dfrac{du}{dt}(t)\;</math><ref> Les signes de <math>\;c\;</math> et de <math>\;d\;</math> dépendent indépendamment de la convention choisie et de la nature du dipôle, <math>\;c\;</math> ayant l'homogénéité de l'inverse d'une résistance et <math>\;d\;</math> s'exprimant en <math>\;A \cdot s \cdot V^{-1} =</math> <math>\Omega^{-1} \cdot s</math>.</ref> avec <math>\;u(t)\;</math> tension aux bornes du dipôle ; * un dipôle dont la tension entre ses bornes s'écrit <math>\;u(t) = a\; i(t) + b\;\dfrac{di}{dt}(t) + c\;\dfrac{d^2i}{dt^2}(t)\;</math><ref> Les signes de <math>\;a</math>, de <math>\;b\;</math> et de <math>\;c\;</math> dépendent indépendamment de la convention choisie et de la nature du dipôle, <math>\;a\;</math> ayant l'homogénéité d'une résistance, <math>\;b\;</math> s'exprimant en <math>\;V \cdot s \cdot A^{-1} = \Omega \cdot s\;</math> et <math>\;c\;</math> en <math>\;V \cdot s^2 \cdot A^{-1} = \Omega \cdot s^2\;</math>.</ref> avec <math>\;i(t)\;</math> intensité du courant le traversant ou <br>{{Transparent|un dipôle }}dont l'intensité du courant le traversant s'écrit <math>\;i(t) = d\; u(t) + e\;\dfrac{du}{dt}(t) + f\;\dfrac{d^2u}{dt^2}(t)\;</math><ref> Les signes de <math>\;d</math>, de <math>\;e\;</math> et de <math>\;f\;</math> dépendent indépendamment de la convention choisie et de la nature du dipôle, <math>\;d\;</math> ayant l'homogénéité de l'inverse d'une résistance, <math>\;e\;</math> s'exprimant en <math>\;A \cdot s \cdot V^{-1} =</math> <math>\Omega^{-1} \cdot s\;</math> et <math>\;f\;</math> en <math>\;A \cdot s^2 \cdot V^{-1} = \Omega^{-1} \cdot s^2</math>.</ref> avec <math>\;u(t)\;</math> tension aux bornes du dipôle ; * <math>\;\ldots\;</math><ref> Bien que théoriquement il y ait bien d'autres formes possibles, les formes précédemment présentées sont les seules que l'on trouve pratiquement dans l'A.R.Q.S. de l'électricité courante.</ref>. === 1^er exemple : condensateur parfait (ou idéal) === ==== Définition d'un condensateur parfait (ou idéal) ==== {{Al|5}}Un condensateur parfait est un « <u>ensemble de deux armatures conductrices séparées par un isolant parfait</u> » <ref> <u>Les porteurs de charge mobiles du courant éventuel</u> circulant dans le condensateur <u>ne traverseront jamais l'isolant</u>, ce dernier étant parfait ; s'il y a courant dans le condensateur, cela doit correspondre à un apport sur une des armatures, par le circuit extérieur, de charges mobiles et le retrait simultané de l'autre armature, par le circuit extérieur, de mêmes charges mobiles de façon à ce que l'ensemble des deux armatures reste globalement neutre ; il y a donc effectivement circulation de courant dans le reste du circuit alors que l'isolant n'est traversé par aucun courant.</ref>. ==== Charge (instantanée) q(t) d'un condensateur parfait ==== [[File:Condensateur parfait en charge dans circuit.png|thumb|300px|Principe de la charge d'un condensateur parfait dans un circuit]] {{Al|5}}Quand un condensateur parfait est placé dans un circuit en série avec un interrupteur <math>\;K</math>, un générateur et un « conducteur ohmique » <ref> Le rôle du conducteur ohmique est d'opposer une résistance au passage du courant ; en effet, en absence de ce conducteur ohmique, la tension aux bornes du générateur se retrouve « instantanément » aux bornes du condensateur, les armatures de ce dernier se retrouvant « instantanément » à des potentiels différents, cela doit correspondre à une accumulation « instantanée » de charges opposées sur chacune des armatures et donc à un courant d'intensité infinie traversant les fils de connexion reliant le condensateur au générateur, cette intensité infinie ayant pour conséquence la fusion des fils de connexion.</ref> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>, juste après la fermeture de <math>\;K</math>, la tension aux bornes du générateur se retrouve aux bornes du condensateur en série avec le conducteur ohmique ; {{Al|5}}le condensateur initialement déchargé le restant pendant une durée infiniment petite suivant la fermeture de <math>\;K</math>, la tension aux bornes du générateur se retrouve aux bornes du conducteur ohmique, ce qui n'est possible que s'il est traversé par un courant, ce passage de courant correspondant alors une accumulation de charges <math>\;+\;</math> sur l'armature supérieure ; {{Al|5}}simultanément l'excès de charges <math>\;+\;</math> sur l'armature supérieure crée un excès de charges <math>\;-\;</math> sur l'armature inférieure car « le condensateur qui est initialement neutre doit rester neutre » <ref> On peut également dire que l'excès de charges <math>\;+\;</math> de l'armature supérieure exerçant une force électrique attractive sur les charges <math>\;-\;</math> et une force électrique répulsive sur les charges <math>\;+</math>, il crée un excès de charges <math>\;-\;</math> sur l'autre armature par « [[w:Influence_(électrostatique)|influence électrostatique]] ».</ref>, cet excès de charges <math>\;-\;</math> correspondant à un départ de charges <math>\;+\;</math> en direction du pôle <math>\;-\;</math> du générateur ; {{Al|5}}l'« accumulation de charges opposées sur les armatures du condensateur » <ref> Il s'agit d'une phase de « charge du condensateur ».</ref> s'arrêtera quand la d.d.p. simultanément créée aux bornes du condensateur sera égale à la tension aux bornes du générateur, la tension aux bornes du conducteur ohmique étant alors nulle en accord avec le fait que plus aucun courant ne circule dans le circuit ; [[File:Condensateur parfait conventions charge tension.png|thumb|300px|Choix usuel de convention de charge et de tension instantanées d'un condensateur parfait]] {{Al|5}}dans la phase de charge du condensateur, on observe donc l'apparition d'une charge <math>\;q(t)\;</math> sur une des armatures ainsi que de la charge opposée <math>\;-q(t)\;</math> sur l'autre armature et simultanément une tension <math>\;u(t)\;</math> aux bornes du condensateur ; {{Al|5}}par définition on appelle « charge <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)</math> <math>\;q(t)\;</math> du condensateur », la charge de l'armature vers laquelle pointe la flèche tension <math>\;u(t)</math>, l'autre armature ayant la charge <math>\;-q(t)\;</math><ref> Cette charge <math>\;-q(t)\;</math> n'est jamais indiquée sur un schéma, contrairement à ce qui est fait ici.</ref> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : <math>\;q(t)\;</math> n'est pas nécessairement positive mais le choix de cette définition entraîne que <math>\;q(t)\;</math> est toujours de même signe que <math>\;u(t)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}nous avons considéré <u>la phase de charge du condensateur</u> pendant laquelle <u>ce dernier s'est comporté comme un récepteur</u> ; quand le condensateur est chargé, on peut le débrancher du circuit précédent sans qu'il ne perde sa charge, la dissymétrie de charges des armatures correspond alors une réserve d'énergie stockée dans le condensateur<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Énergie_électrostatique_(instantanée)_stockée_dans_un_condensateur_parfait|énergie électrostatique instantanée stockée dans un condensateur parfait]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>, ceci lui conférant la possibilité de restituer cette énergie quand on le branche aux bornes d'un récepteur ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}dans le circuit ainsi constitué, <u>le condensateur se comporte comme un générateur</u>, le « courant circulant dans les fils de connexion en direction du récepteur provient de la disparition de la dissymétrie de charges des armatures » <ref> Circulation de courant limitée dans le temps, quand la dissymétrie de charges des armatures a disparu, il n'y a plus de courant possible.</ref> c'est-à-dire correspondant à une <u>phase de décharge du condensateur</u>. ==== Proportionnalité entre la charge (instantanée) q(t) d'un condensateur parfait et la tension (instantanée) u(t) entre ses bornes : définition de la capacité C d'un condensateur parfait ==== {{Al|5}}Si, par exemple, on double la charge d'un condensateur, « le champ électrostatique créé dans l'isolant est également doublé » <ref> La cause du champ électrostatique étant l'existence de la dissymétrie de charges et l'« [[w:Équations de Maxwell#Équation de Maxwell-Gauss|équation de Maxwell Gauss]] » <math>\;\big(</math>non au programme de PCSI<math>\big)\;</math> est l'équation linéaire permettant de déterminer le champ à partir des charges <math>\;\big(</math>le caractère linéaire entraînant l'applicabilité du théorème de superposition à savoir “si deux causes créent séparément deux effets, alors la cause superposition des deux causes créera un effet superposition des deux effets”<math>\big)</math>.</ref>, de même pour « la tension aux bornes des deux armatures » <ref> Le lien entre champ et potentiel électrostatiques étant également linéaire <math>\;\big[</math>il y a en fait un lien d'« intégration », le potentiel étant une sorte de « primitive >» du champ au signe près <math>\;-\;</math> voir en particulier le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#En_complément,_généralisation_admise_relative_à_un_champ_électrique_non_uniforme|en complément, généralisation admise relative à un champ électrique non uniforme]] (énergie potentielle électrique d'une charge dans un champ électrique) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le lien entre énergie potentielle électrique <math>\;\mathcal{E}_{p,\,\text{élec}}(M)\;</math> d'une charge <math>\;q\;</math> placée en <math>\;M\;</math> dans un champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> avec le potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> étant un lien de proportionnalité <math>\;\mathcal{E}_{p,\,\text{élec}}(M) = q\;V(M)\;</math> d'où de <math>\;\vec{F}_{\text{élec}}(M) = q\;\vec{E}(M)\;</math> et de <math>\;\vec{F}_{\text{élec}}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ \mathcal{E}_{p,\,\text{élec}} \right]\!(M)\;</math> on déduit <math>\;\vec{E}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ V \right]\!(M)\;</math> le champ vectoriel gradient étant introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_cartésiennes_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes cartésiennes du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}enfin si on affecte la charge du condensateur d'un facteur multiplicatif <math>\;n</math>, le champ électrostatique dans l'isolant et la tension aux bornes des armatures subissent le « même facteur multiplicatif » <ref> Dans la physique linéaire, dès lors que l'on modifie les causes <math>\;\big(</math>à savoir ici la charge du condensateur<math>\big)</math>, les effets <math>\;\big(</math>à savoir ici le champ électrostatique de l'isolant et la tension entre les armatures<math>\big)\;</math> subissent la même modification.</ref> ; {{Al|5}}on peut donc affirmer la proportionnalité entre la charge <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)</math> <math>\;q(t)\;</math> du condensateur et la tension <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)</math> <math>\;u(t)\;</math> entre ses bornes, le facteur de proportionnalité étant « positif » dans la mesure où « la charge du condensateur est la charge de l'armature vers laquelle pointe la flèche tension » d'où <div style="text-align: center;">une 1^ère définition de la capacité <math>\;C\;</math> du condensateur comme cœfficient de proportionnalité entre tension et charge selon <br><math>\;q(t) = C\; u(t)\;\; \text{avec }C > 0\;\; \text{relation } (\mathfrak{a})</math> et <br> une 2^ème définition de la capacité <math>\;C\;</math> du condensateur comme « la charge du condensateur par unité de tension » car <br>de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> on déduit <math>\;C = \dfrac{q(t)}{u(t)}</math> ; </div> {{Al|5}}il faut être capable d'écrire la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> exprimant la charge en fonction de la tension mais aussi <br>{{Al|5}}{{Transparent|il faut être capable d'écrire }}la relation inverse exprimant la tension en fonction de la charge <math>\;u(t) = \dfrac{q(t)}{C}\;\; \text{avec }C > 0\;\; \text{relation } (\mathfrak{b})</math> ; {{Al|5}}<u>unité de capacité</u> : le « Farad » de symbole <math>\;F\;</math> défini par <math>\;1\;F = 1\;C \cdot V^{-1}\;</math><ref> Cette unité est grande à l'échelle macroscopique <math>\;\big(</math>et donc aussi à l'échelle mésoscopique<math>\big)\;</math> car le coulomb correspond à une grande charge à l'échelle macroscopique ; nous verrons ultérieurement les ordres de grandeur des capacités utilisées.</ref>. ==== Symbole d'un condensateur parfait ==== [[File:Condensateur parfait - convention de charge.png|thumb|300px|Schéma d'un condensateur parfait avec une convention de charge]] {{Al|5}}Un condensateur parfait est représenté par « deux traits parallèles, espacés et transversaux, l'espace symbolisant l'isolant avec l'indication de la capacité à côté de l'espace » ; toujours indiquer, sur le schéma, * la flèche tension avec, à côté, l'indication de la tension <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)</math> <math>\;u(t)</math>, * la charge <math>\;q(t)\;</math> sur l'armature vers laquelle pointe la flèche tension et aussi * la flèche courant<ref> Qui est de sens contraire à la flèche tension en convention récepteur, ou de même sens que la flèche tension en convention générateur.</ref> avec, à côté, l'indication de l'intensité <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> du courant <math>\;i(t)</math>, {{Al|5}}ci-contre choix de la <u>convention récepteur</u> qui s'identifie à la « <u>convention de charge du condensateur</u> »<ref> En effet si <math>\;i(t)\;</math> est <math>\;> 0\;</math> la charge <math>\;q(t)\;</math> augmente c.-à-d. que le condensateur se charge.</ref>. ==== Lien entre l'intensité (instantanée) i(t) du courant traversant un condensateur parfait et sa charge (instantanée) q(t) ==== {{Al|5}}Nous nous plaçons tout d'abord <u>en convention récepteur</u> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math> : considérons la phase de charge du condensateur à partir de l'instant <math>\;t\;</math> pendant une durée élémentaire <math>\;dt\;</math><ref> C.-à-d. une durée infiniment petite à l'échelle macroscopique dans laquelle on peut négliger le caractère quantifié de la charge soit autrement dit une durée d'échelle mésoscopique.</ref>, l'existence d'une intensité <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> de courant <math>\;i(t)\;</math> dans le sens <math>\;+\;</math> défini ci-dessus correspond à la circulation d'une charge de valeur élémentaire <math>\;dq = i(t)\; dt\;</math> dans ce sens <math>\;+\;</math> et par suite une augmentation de <math>\;i(t)\; dt\;</math> de la charge {{Nobr|<math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math>}} du condensateur que l'on peut écrire encore <math>\;i(t)\; dt = q(t + dt) - q(t)</math> ; {{Al|5}}on en déduit, en divisant par <math>\;dt\;</math> la relation liant l'intensité <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> du courant au taux horaire de variation de la charge <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> du condensateur soit <math>\;i(t) = \dfrac{q(t + dt) - q(t)}{dt}\;</math> ou, le 2^ème terme étant la dérivée temporelle de la charge <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> du condensateur, <div style="text-align: center;"><u>en convention récepteur</u> <math>\;i(t) = \dfrac{dq}{dt}(t)\;</math><ref> Dans la définition de l'intensité du courant d'un circuit quelconque <math>\;i(t) = \dfrac{dq(t)}{dt}</math>, <math>\;i(t)\;</math> est le rapport de la charge <math>\;dq(t)\;</math> traversant le point <math>\;M\;</math> dans le sens <math>\;+\;</math> sur la durée de la traversée <math>\;dt</math>, mais cela ne doit pas être considéré comme une dérivée car <math>\;q(t)\;</math> n'a en général aucun intérêt dans le circuit <math>\;\big[</math>ce serait la charge ayant circulé depuis la fermeture du circuit et il y a peu d'exemples où cette notion ait un intérêt<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}contre exemple où cette notion a de l'intérêt : cas d'une électrolyse pour déterminer la quantité de gaz ou de métal formé sur une électrode mais ceci ne sera pas étudié en physique, l'autre contre exemple étant le cas présent du condensateur.</ref> ; </div> {{Al|5}}<u>en convention récepteur</u>, le sens <math>\;+\;</math> du courant arrive sur l'armature portant la charge <math>\;q(t)\;</math><ref name="convention charge-tension"> À condition que le sens <math>\;+\;</math> de tension pointe vers cette armature <math>\;\big[</math>rappelons que seul ce choix permet d'écrire <math>\;q(t) = C\;u(t)</math>, raison pour laquelle ce choix sera toujours adopté, le choix contraire c.-à-d. en appelant <math>\;-q(t)\;</math> la charge de l'armature vers laquelle pointerait la flèche tension, conduisant à <math>\;q(t) = -C\;u(t)\;</math> est à éviter impérativement, même si cette convention ne peut être interdite<math>\big]</math>.</ref> on parle de « <u>convention de charge du condensateur</u> » <ref> Si on définit la charge du condensateur comme la charge de l'armature vers laquelle pointe la flèche tension, alors le choix de la convention récepteur correspond nécessairement à la convention de charge du condensateur ; <br>{{Al|3}}formellement il y a néanmoins une différence entre les deux conventions : la convention récepteur définit la flèche courant de sens contraire à la flèche tension alors que la convention de charge du condensateur définit la flèche courant en direction de l'armature portant la charge <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> du condensateur.</ref> car <math>\;i(t) > 0\;</math> correspond à une croissance de <math>\;q(t)</math>, sa dérivée étant positive. ==== Modification avec le choix de la convention générateur ==== [[File:Condensateur parfait - convention de décharge.png|thumb|300px|Schéma d'un condensateur parfait avec une convention de décharge]] {{Al|5}}Le choix de la convention générateur peut être judicieux quand le condensateur est en phase de décharge à travers un récepteur <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}on remarque que la flèche courant, qui est dans le même sens que la flèche tension <u>en convention générateur</u>, s'éloigne de l'armature portant la charge <math>\;q(t)</math>, raison pour laquelle cette convention est encore appelée « <u>convention de décharge du condensateur</u> »<ref> En effet si <math>\;i(t)\;</math> est <math>\;> 0\;</math> la charge <math>\;q(t)\;</math> diminue c.-à-d. que le condensateur se décharge.</ref> {{Al|5}}le lien entre la charge <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> du condensateur <math>\;q(t)\;</math> et l'intensité <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> du courant <math>\;i(t)\;</math> qui le traverse est alors <div style="text-align: center;"><u>en convention générateur</u> <math>\;i(t) = -\dfrac{dq}{dt}(t)\;</math><ref> La démonstration est identique à celle effectuée avec le choix d'une convention récepteur ; <br>{{Al|3}}considérons la phase de décharge du condensateur à partir de l'instant <math>\;t\;</math> pendant une durée élémentaire <math>\;dt</math>, l'existence d'une intensité <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> de courant <math>\;i(t)\;</math> dans le sens <math>\;+\;</math> défini sur le schéma correspond à la circulation d'une charge de valeur élémentaire <math>\;dq =</math> <math>i(t)\; dt\;</math> dans ce sens <math>\;+\;</math> et par suite une diminution de <math>\;i(t)\; dt\;</math> de la charge <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> du condensateur que l'on peut écrire encore <math>\;i(t)\; dt = q(t) - q(t + dt)</math> ; <br>{{Al|3}}on en déduit, en divisant par <math>\;dt\;</math> la relation liant l'intensité <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> du courant à l'opposé du taux horaire de variation de la charge <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> du condensateur soit <math>\;i(t) =</math> <math>-\dfrac{q(t + dt) - q(t)}{dt}\;</math> ou, le 2^ème terme étant l'opposé de la dérivée temporelle de la charge <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> du condensateur, la relation énoncée.</ref> ;</div> {{Al|5}}<u>en convention générateur</u>, le sens <math>\;+\;</math> du courant part de l'armature portant la charge <math>\;q(t)\;</math><ref name="convention charge-tension" /> c'est la « <u>convention de décharge du condensateur</u> »<ref> Si on définit la charge du condensateur comme la charge de l'armature vers laquelle pointe la flèche tension, alors le choix de la convention générateur correspond nécessairement à la convention de décharge du condensateur ; <br>{{Al|3}}formellement il y a néanmoins une différence entre les deux conventions : la convention générateur définit la flèche courant de même sens que la flèche tension alors que la convention de décharge du condensateur définit la flèche courant provenant de l'armature portant la charge <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> du condensateur.</ref> car <math>\;i(t) > 0\;</math> correspond à une décroissance de <math>\;q(t)</math>, sa dérivée étant négative. ==== Lien entre l'intensité (instantanée) i(t) du courant traversant un condensateur parfait et la tension (instantanée) u(t) à ses bornes ==== <div style="text-align: center;">Ce lien est caractéristique du fonctionnement d'un condensateur de capacité <math>\;C\;</math> en A.R.Q.S..</div> * En « convention récepteur » <math>\;\big(</math>ou en « convention de charge du condensateur » <ref> On rappelle que c'est une conséquence de la convention récepteur si on définit la charge du condensateur comme la charge de l'armature vers laquelle pointe la flèche tension.</ref><math>\big)\;</math> on a <math>\;q(t) = C\; u(t)\;</math> et <math>\;i(t) = \dfrac{dq}{dt}(t)\;</math> d'où, <math>\;C\;</math> étant une constante, <div style="text-align: center;"><math>\;i(t) = C\;\dfrac{du}{dt}(t)\;</math><ref> Cette relation est caractéristique du choix de la convention récepteur pour le condensateur laquelle est aussi la convention de charge de ce dernier si sa charge <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> est celle de l'armature vers laquelle pointe la flèche tension mais, si cette définition de charge <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> du condensateur est fortement conseillée elle n'est toutefois pas obligatoire ; <br>{{Al|3}}supposons donc que la charge de l'armature vers laquelle pointe la flèche tension soit <math>\;-q(t)\;</math> <math>\big(</math>rappelons que c'est fortement déconseillé<math>\;\big)\;</math> avec <math>\;q(t)\;</math> charge <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> du condensateur {{Nobr|<math>\;\big[</math>nous}} en déduisons <math>\;q(t) = -C\;u(t)\big]\;</math> et conservons la convention récepteur pour le condensateur dans laquelle la flèche courant étant de sens contraire à la flèche tension se dirige vers l'armature portant la charge <math>\;-q(t)\;</math> et simultanément s'éloigne de l'armature portant la charge <math>\;q(t)</math>, <math>\;\bigg[</math>il s'agit donc de la convention de décharge du condensateur et nous en déduisons <math>\;i(t) = -\dfrac{dq}{dt}(t)\bigg]\;</math> l'utilisation simultanée des deux relations conduit effectivement à la même relation <math>\;i(t) = C\;\dfrac{du}{dt}(t)\;</math> prouvant que celle-ci est bien caractéristique de la convention récepteur.</ref>, </div> * En « convention générateur » <math>\;\big(</math>ou en « convention de décharge du condensateur »<ref> On rappelle que c'est une conséquence de la convention générateur si on définit la charge du condensateur comme la charge de l'armature vers laquelle pointe la flèche tension.</ref><math>\big)\;</math> on a <math>\;q(t) = C\; u(t)\;</math> et <math>\;i(t) = -\dfrac{dq}{dt}(t)\;</math> d'où, <math>\;C\;</math> étant une constante, <div style="text-align: center;"><math>\;i(t) = -C\;\dfrac{du}{dt}(t)\;</math><ref> Cette relation est caractéristique du choix de la convention générateur pour le condensateur laquelle est aussi la convention de décharge de ce dernier si sa charge <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> est celle de l'armature vers laquelle pointe la flèche tension mais, si cette définition de charge <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> du condensateur est fortement conseillée elle n'est toutefois pas obligatoire ; <br>{{Al|3}}supposons donc que la charge de l'armature vers laquelle pointe la flèche tension soit <math>\;-q(t)\;</math> <math>\big(</math>rappelons que c'est fortement déconseillé<math>\;\big)\;</math> avec <math>\;q(t)\;</math> charge <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> du condensateur {{Nobr|<math>\;\big[</math>nous}} en déduisons <math>\;q(t) = -C\;u(t)\big]\;</math> et conservons la convention générateur pour le condensateur dans laquelle la flèche courant étant de même sens que la flèche tension s'éloigne de l'armature portant la charge <math>\;-q(t)\;</math> et simultanément se dirige vers l'armature portant la charge <math>\;q(t)</math>, <math>\;\bigg[</math>il s'agit donc de la convention de charge du condensateur et nous en déduisons <math>\;i(t) = \dfrac{dq}{dt}(t)\bigg]\;</math> l'utilisation simultanée des deux relations conduit effectivement à la même relation <math>\;i(t) = -C\;\dfrac{du}{dt}(t)\;</math> prouvant que celle-ci est bien caractéristique de la convention générateur.</ref> ; </div> {{Al|5}}le lien en conventions récepteur ou générateur justifie la classification des condensateurs parfaits parmi les dipôles linéaires au sens de l'A.R.Q.S.. === 2^ème exemple : bobine parfaite (ou idéale) === ==== Notion d'auto-induction et loi de Lenz ==== [[File:Auto-induction - influence bobine sur i fonction de t.png|thumb|300px|Explication du retard à l'établissement d'un courant dans un circuit fermé contenant une bobine à l'aide de la loi de Lenz]] [[File:Auto-induction - i fonction de t.png|thumb|300px|Explication du retard à l'établissement d'un courant sur le diagramme horaire de l'intensité à l'aide du phénomène d'auto-induction]] {{Al|5}}On cherche à établir un courant permanent dans un conducteur ohmique avec un minimum de variation de courant et pour cela on met une bobine {{Nobr|<math>\;\big(</math>que}} nous supposerons purement inductive<ref> Son éventuelle partie résistive étant, si besoin, comptabilisée dans la résistance du conducteur ohmique en série avec elle.</ref><math>\big)\;</math> en série avec le conducteur ohmique, la source de tension et l'interrupteur ; {{Al|5}}dans le « montage sans bobine »<ref> Il suffit de la remplacer par un court-circuit et, dans le cas où elle posséderait une partie résistive, la remplacer par un conducteur ohmique de même résistance que la bobine.</ref>, on observe une brusque variation de l'intensité du courant lors de la fermeture de l'interrupteur <math>\;K\;</math> pour finalement atteindre sa valeur de régime permanent <math>\;I = \dfrac{U_0}{R}</math>, l'intensité de ce courant inducteur notée <math>\;i_{\text{inducteur}}(t)\;</math> est représentée en bleu sur le diagramme horaire ci-dessous ; {{Al|5}}dans le « montage avec bobine », on remarque un retard à l'établissement du courant pour finalement atteindre la même valeur de régime permanent <math>\;I = \dfrac{U_0}{R}\;</math> après une durée plus grande, l'intensité de ce courant global notée <math>\;i_{\text{global}}(t)\;</math> est représentée en saumon sur le diagramme horaire ci-contre ; {{Al|5}}on interprète ce fait à l'aide de la <u>loi de Lenz</u><ref name="Lenz"> '''[[w:Emil_Lenz|Heinrich Friedrich Emil Lenz]] (1804 - 1865)''' physicien [[w:Germano-Baltes|germano-balte]], né dans l'empire russe, à qui on doit essentiellement la loi actuellement connue sous son nom.</ref> : lors de la fermeture de l'interrupteur, l'intensité du courant inducteur croissant très rapidement, il y a « <u>création d'un courant induit dans la bobine s'opposant à la croissance de l'intensité du courant inducteur</u> »<ref> Donc dans le sens <math>\;-\;</math> du courant.</ref>, l'intensité du courant induit notée <math>\;i_{\text{induit}}(t)\;</math> est obtenue point par point sur le diagramme horaire ci-contre, représentée par des flèches rouges<ref> Le principe d'obtention point par point obéissant à <math>\;i_{\text{global}}(t) = i_{\text{inducteur}}(t) + i_{\text{induit}}(t)\;</math> d'où <math>\;i_{\text{induit}}(t) = i_{\text{global}}(t) - i_{\text{inducteur}}(t) < 0\;</math> car <math>\;i_{\text{global}}(t) < i_{\text{inducteur}}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}c'est <math>\;i_{\text{global}}(t)\;</math> que l'on observe dans le montage avec bobine et <math>\;i_{\text{inducteur}}(t)\;</math> dans le montage sans bobine, on ne peut pas mesurer directement <math>\;i_{\text{induit}}(t)</math>, on le déduit par différence <math>\;i_{\text{induit}}(t) =</math> <math>i_{\text{global}}(t) - i_{\text{inducteur}}(t)</math>.</ref> et ce courant induit résulte du fait que la bobine se comporte comme un générateur lorsqu'elle est traversée par un courant d'intensité variant avec le temps ; {{Al|5}}<u>En résumé</u>, le phénomène d'« auto-induction »<ref name="auto-induction"> L'« auto-induction » sera étudiée plus en détail dans le paragraphe « [[Induction_et_forces_de_Laplace_(PCSI)/Lois_de_l'induction_:_loi_de_Faraday#Retour_sur_les_phénomènes_d'auto-induction_dans_une_bobine,_f.e.m._d'auto-induction_dans_cette_dernière|auto-induction]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Induction et forces de Laplace (PCSI) ».</ref> dans un circuit traversé par un courant d'intensité variant avec le temps est « la création d'un courant induit tendant à s'opposer à la variation de l'intensité », ce courant induit étant essentiellement créé dans les enroulements de fils du circuit appelés « bobines », celles-ci se comportant alors comme des générateurs créant le courant induit pendant la durée de variation du courant initial ; {{Al|5}}<u>énoncé de la loi de Lenz</u> : « toute variation d'intensité dans un circuit engendre un courant induit s'opposant à la variation de l'intensité initiale ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on observe le même phénomène lors de l'ouverture de l'interrupteur <math>\;K</math>, l'« intensité du courant inducteur » <ref> C.-à-d. dans un montage dans lequel la bobine est remplacée par un court-circuit.</ref> décroissant très rapidement, il y a « création d'un courant induit dans la bobine s'opposant à cette décroissance » <ref> Donc dans le sens <math>\;+\;</math> du courant.</ref>, ceci ayant pour conséquence un retard à l'annulation du courant. ==== Définition d'une bobine parfaite (ou idéale) ==== {{Al|5}}Une bobine parfaite est une bobine « <u>non résistive</u> » où se manifeste un phénomène d'<u>auto-induction</u><ref name="auto-induction" />. ==== Lien entre la tension (instantanée) u(t) aux bornes d'une bobine parfaite et l'intensité (instantanée) i(t) du courant la traversant : définition de son auto-inductance (ou inductance propre) L ==== {{Al|5}}Choisissant la <u>convention récepteur</u> pour la bobine parfaite étudiée, on constate que la tension <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)</math> <math>\;u(t)\;</math> à ses bornes est proportionnelle à la dérivée temporelle de l'intensité <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)</math> <math>\;i(t)\;</math> du courant la traversant, le cœfficient de proportionnalité étant positif soit <div style="text-align: center;"><math>\;u(t) = L\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> en <u>convention récepteur</u>, <br>le cœfficient de proportionnalité <math>\;L > 0\;</math> étant l'« <u>auto-inductance</u> » <math>\;\big(</math>ou l'« <u>inductance propre</u> »<math>\big)\;</math> de la bobine ; </div> {{Al|5}}<u>unité</u> de <math>\;L</math> : le « Henry »<ref name="Henry"> Nom donné à l'unité d'auto-inductance pour rendre hommage à '''[[w:Joseph_Henry|Joseph Henry]] (1797 - 1878)''' physicien américain qui découvrit l'[[w:Auto-induction|auto-induction]] et le principe de l'[[w:Induction_électromagnétique|induction électromagnétique]] des [[w:Courant_induit|courants induits]].</ref> de symbole <math>\;H</math>, <math>\;1\; H = 1\; V \cdot s \cdot A^{-1} = 1\; \Omega \cdot s</math>. {{Al|5}}Si on choisit la <u>convention générateur</u> pour la bobine parfaite étudiée, la relation entre tension <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)</math> <math>\;u(t)\;</math> à ses bornes et intensité <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)</math> <math>\;i(t)\;</math> du courant la traversant devient <div style="text-align: center;"> <math>\;u(t) = -L\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> en <u>convention générateur</u><ref> En effet on passe d'une convention récepteur à une convention générateur en conservant l'une des grandeurs électriques “tension ou intensité” et en changeant l'autre en son opposé.</ref>.</div> {{Al|5}}Ces liens, que ce soit en conventions récepteur ou générateur, justifient la classification des bobines parfaites parmi les dipôles linéaires au sens de l'A.R.Q.S.. ==== Symbole d'une bobine parfaite ==== [[File:Bobine parfaite - symbole.png|thumb|Symbole d'une bobine parfaite d'auto-inductance <math>\;L\;</math> et sa convention récepteur]] {{Al|5}}Le symbole d'une bobine parfaite est une suite d'« arches de pont » avec indication de la valeur de l'« auto-inductance » à côté des arches ; {{Al|5}}veillez à toujours indiquer, sur le schéma, la flèche courant et la flèche tension <math>\;\big(</math>de sens contraire à la flèche courant en convention récepteur ou de même sens que la flèche courant en convention générateur<math>\big)</math> ; ci-contre choix de la convention récepteur : {{Al|5}}<u>Remarque</u> : quand la bobine possède un « noyau de fer » dont l'intérêt est d'augmenter la valeur de l'inductance propre d'un facteur pouvant aller de <math>\;10\;</math> à <math>\;1000\;</math> suivant la nature du matériau <math>\;\big(</math>mais en contre-partie la constance de l'auto-inductance est nettement moins bonne<math>\big)</math>, « on ajoute un trait au-dessus de l'arrondi des arches » <ref name="bobine avec noyau de fer"> Le trait est légèrement au-dessus et non tangent ; <br>{{Al|3}}certaines représentations font apparaître deux traits parallèles, mais celles-ci n'apparaissent que dans un transformateur dans lequel on a deux bobines « en regard » avec noyau de fer <math>\;\big(</math>noyau d'ailleurs commun<math>\big)\;</math> d'où un trait par bobines.</ref>. ==== Vérification de la loi de Lenz à partir du lien entre la tension (instantanée) u(t) aux bornes d'une bobine parfaite et l'intensité (instantanée) i(t) du courant la traversant ==== [[File:Loi de Lenz - fermeture circuit avec bobine.png|thumb|450px|Explication du retard à l'établissement d'un courant dans un circuit {{Nobr|«<math>\;R</math> - <math>L\;</math>}} série » par utilisation de la loi de Lenz]] {{Al|5}}Reprenons le circuit considéré au paragraphe d'introduction à la « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'auto-induction_et_loi_de_Lenz|notion d'auto-induction et loi de Lenz]] » plus haut dans ce chapitre pendant l'établissement du courant le traversant <math>\;\big(</math>schéma reproduit ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}juste après la fermeture de l'interrupteur <math>\;K</math>, on a une <u>croissance rapide de l'intensité</u> <math>\;i(t)\;</math><ref name="courants inducteur, induit et global"> En supposant que les phénomènes d'auto-induction dans la bobine n'aient pas encore agi, il s'agit alors de <math>\;i_{\text{inducteur}}(t)\;</math> sur le schéma, mais comme les phénomènes d'auto-induction sont quasi simultanés à la fermeture de l'interrupteur <math>\;\big(</math>évidemment légèrement postérieurs car ils ont pour cause cette fermeture)<math>\big)</math>, le raisonnement exposé est encore applicable au courant global {{Nobr|<math>\;\big[</math>seul}} courant dont on peut mesurer l'intensité notée <math>\;i_{\text{global}}(t)\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> de valeur <math>\;\big(</math>positive<math>\big)\;</math> d'autant plus grande que la croissance de l'intensité est rapide et par suite une <u>tension positive aux bornes de la bobine</u> <math>\;u(t) =</math> <math>L\; \dfrac{di}{dt}(t)\;</math> également <u>d'autant plus grande que la croissance de l'intensité est rapide</u>, tension <u>conférant à la bobine un rôle de générateur</u> avec les pôles <math>\;+\;</math> et <math>\;-\;</math> respectivement sur les bornes supérieure et inférieure d'où la création d'un « courant induit dans le sens indiqué » <ref> Le sens indiqué est le sens réel, relativement au sens <math>\;+\;</math> de mesure de l'intensité, cette dernière est donc négative.<br>{{Al|3}}Il est rappelé que le courant induit est directement indécelable, de même que le courant inducteur, le seul courant dont on peut mesurer l'intensité est le courant global, somme du courant inducteur et du courant induit.</ref> lequel, en s'ajoutant au courant inducteur, donne un <u>courant global d'intensité « variant moins rapidement » que celle du courant inducteur</u>, correspondant donc à un « <u>ralentissement de la croissance de l'intensité</u> » ; {{Al|5}}après établissement du courant permanent, on peut être amené à l'annuler en ouvrant l'interrupteur <math>\;K</math>, on observe alors un <u>retard à l'annulation du courant</u> par application de la loi de Lenz, montrons que ceci se justifie à partir du lien existant entre tension <math>\;u(t)\;</math> aux bornes de la bobine et intensité <math>\;i(t)\;</math> du courant la traversant : {{Al|5}}juste après l'ouverture de l'interrupteur <math>\;K</math>, on a une <u>décroissance rapide de l'intensité</u> <math>\;i(t)\;</math><ref name="courants inducteur, induit et global" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> de valeur <math>\;\big(</math>négative<math>\big)\;</math> dont la valeur absolue est d'autant plus grande que la décroissance de l'intensité est rapide et par suite une <u>tension négative aux bornes de la bobine</u> <math>\;u(t) =</math> <math>L\; \dfrac{di}{dt}(t)\;</math> également <u>de valeur absolue d'autant plus grande que la décroissance de l'intensité est rapide</u>, tension <u>conférant à la bobine un rôle de générateur</u> avec les pôles <math>\;-\;</math> et <math>\;+\;</math> respectivement sur les bornes supérieure et inférieure d'où la création d'un « courant induit dans le sens + de mesure des intensités » lequel, en s'ajoutant au courant inducteur, donne un <u>courant global d'intensité « variant moins rapidement » que celle du courant inducteur</u>, correspondant donc à un « <u>ralentissement de la décroissance de l'intensité</u> ». === 3^ème exemple : générateur de fonctions (ou G.B.F.) === <div style="text-align: center;"> A priori on choisit la convention générateur <math>\;-\;</math> sauf indication contraire.</div> [[File:BNC connector 20050720 001.jpg|thumb|Extrémité d'un câble coaxial équipée d'un connecteur mâle B.N.C.]] [[File:Binding post adapter.JPG|thumb|Adaptateur B.N.C. - banane permettant d'insérer la sortie d'un générateur dans un circuit à l'aide de deux fils de connexion]] [[File:BNC T-Connector.jpg|thumb|Connecteur B.N.C. en T permettant de dupliquer la sortie d'un générateur]] {{Al|5}}Les générateurs de fonctions <math>\;\big(</math>ou générateurs « basse fréquence »<ref> La signification de « basse fréquence » pour un générateur de fonctions est que la fréquence permet de rester dans l'A.R.Q.S. avec des circuits de taille utilisée au laboratoire, c.-à-d. une fréquence inférieure à <math>\;10\; MHz</math> ; <br>{{Al|3}}toutefois, sachant que la fréquence maximale utilisée dans un circuit est le plus souvent inférieure à <math>\;1\; MHz</math>, l'intervalle de fréquences étant alors <math>\;\left[ 0\; Hz\, ;\, f_{\text{max}} \simeq 1\; MHz \right]</math>, on définit le domaine des basses fréquences « B.F. » du circuit comme le début de l'intervalle alors que celui de la fin de cet intervalle fixe le domaine des hautes fréquences « H.F. », l'étendue de ces domaines étant relative car dépendant du circuit utilisé.</ref><math>\big)\;</math> permettent de créer entre leurs bornes des tensions dépendant du temps de forme alternative sinusoïdale, triangulaire ou créneau « symétrique ou non »<ref> Une tension alternative est dite symétrique si la durée des alternances positive et négative est la même <math>\;\big(</math>ce qui est équivalent <math>\;-\;</math> sauf pour la tension créneau <math>\;-\;</math> à une durée de croissance égale à la durée de décroissance<math>\big)</math>, sinon elle est qualifiée de non symétrique ; <br>{{Al|3}}pour certains générateurs utilisés en T.P. seules les fonctions créneaux et triangulaires peuvent être rendues non symétriques par utilisation du potentiomètre « duty » <math>\;\big(</math>la fonction est symétrique si le potentiomètre fixe la valeur de <math>\;50\; \%\big)</math>, pour d'autres générateurs même la fonction sinusoïdale peut être rendue non symétrique <math>\;-\;</math> mais cette possibilité n'ayant strictement aucun intérêt et ce n'est donc absolument pas gênant qu'elle n'existe pas.</ref> : * si le générateur de fonctions est en « sortie à vide »<ref> Ce qui est « pratiquement » réalisé lorsqu'on branche un oscilloscope aux bornes du générateur <math>\;\big(</math>toutefois nous verrons ultérieurement que ce n'est pas tout à fait vrai, l'entrée de l'oscilloscope étant équivalente à un conducteur ohmique très grande résistance en parallèle sur un condensateur de très petite capacité<math>\big)</math>.</ref>, ce dernier ne délivrant aucun courant, la tension entre ses bornes, notée <math>\;u_0(t)\;</math><ref> L'indice <math>\;_0\;</math> signifiant « sortie à vide » ou « courant délivré d'intensité nulle ».</ref>, sera appelée <math>\;-\;</math> tant que la notion de f.e.m. <math>\;\big(</math>force électromotrice<math>\big)\;</math> ne sera pas définie <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_de_«_f.e.m._»_d'une_source_non_idéale_de_résistance_interne_finie_en_régime_permanent,_lien_avec_la_«_tension_à_vide_»|notion de f.e.m. d'une source non idéale de résistance interne finie en régime permanent, lien avec la tension à vide]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big)\;</math> <math>\;-\;</math> « tension à vide », c'est donc cette tension qui a la forme sinusoïdale, triangulaire ou créneau ; cette « tension à vide » peut être visualisée en reliant une des deux bornes d'entrée d'un oscilloscope à la borne de sortie notée « output » du générateur par l'intermédiaire d'un câble coaxial dont les deux extrémités sont équipées d'un connecteur mâle « B.N.C. »<ref name="Connecteur B.N.C."> Connecteur Bayonet Neill-Concelman, connecteur à baïonnettes dérivant du connecteur créé par Neill et de celui créé par Concelman.</ref>, voir ci-contre ; * si le générateur de fonctions est en « sortie fermée » sur un dipôle ou une association de dipôles, il délivre un courant d'intensité <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)</math> <math>\;i(t)\;</math> et la tension {{Nobr|<math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)</math>}} <math>\;u(t)\;</math> entre ses bornes diffère de la tension à vide <math>\;u_0(t)\;</math> car il possède « une impédance interne »<ref> La définition d'« impédance » sera donnée ultérieurement <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_régime_sinusoïdal_forcé,_impédance_complexe#Introduction_:_transformation_du_“_lien_d'équation_différentielle_à_cœfficients_réels_constants_entre_tension_aux_bornes_d'un_D.P.L._et_intensité_de_courant_le_traversant_du_r.s.f._”_en_“_loi_d'Ohm_de_l'électricité_«_complexe_»_associée_au_r.s.f._”,_notion_d'«_impédance_complexe_du_D.P.L._utilisé_en_r.s.f._»|introduction : transformation du lien d'équation différentielle à cœfficients réels constants entre tension aux bornes d'un D.P.L. et intensité de courant le traversant du r.s.f. " en " loi d'Ohm de l'électricité complexe associée au r.s.f. ", notion d'impédance complexe du D.P.L. utilisé en r.s.f.]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> mais son utilisation n'est correcte que pour une tension à vide sinusoïdale ; <br>{{Al|3}}son usage pour une tension à vide triangulaire ou créneau est donc un abus <math>\;-\;</math> néanmoins réalisé par tous <math>\;-\;</math> il faudrait en fait parler de « dipôle linéaire passif interne » <math>\;\big(</math>la linéarité étant bien sûr au sens de l'A.R.Q.S.<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big[</math>pour les générateurs de fonctions utilisés en T.P. cette « impédance interne »<ref> Nous verrons ultérieurement que cette « impédance interne définit ce qu'on appellera « impédance de sortie » du générateur de fonctions.</ref> de <math>\; 50\; \Omega\;</math> est indiquée sous la borne à baïonnettes de sortie du générateur, borne « output » <math>\;\big[</math>borne sur laquelle peut être branché le câble coaxial à connecteur mâle « B.N.C. »<ref name="Connecteur B.N.C." /> ci-dessus permettant de relier le générateur à une des deux bornes d'entrée d'un oscilloscope dans le but de visualiser sa tension à vide<math>\big]\;</math> et sur laquelle est branché un adaptateur « BNC - banane »<ref name="Connecteur B.N.C." /> pour insérer le générateur dans un circuit à l'aide de deux fils <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}ce dipôle passif interne peut être purement résistif de résistance <math>\;r = 50\; \Omega</math>, <math>\Rightarrow</math> la tension aux bornes du générateur s'écrit <math>\;u(t) = u_0(t) - r\;i(t)\;</math><ref> Le signe <math>\;-\;</math> devant <math>\;r\;</math>provenant du choix de la convention générateur pour le dipôle.</ref> <br>{{Al|3}}{{Transparent|ce dipôle passif int}}ou il peut être une association d'un conducteur ohmique, d'un condensateur parfait et d'une bobine parfaite comme, par exemple, un «<math>\;r,\; \mathit{l},\; c\;</math> série »<ref> Nous apprendrons ultérieurement à évaluer l'impédance d'une telle association en régime sinusoïdal.</ref>, la tension aux bornes du générateur s'écrit alors selon <math>\;u(t) =</math> <math>u_0(t) - r\;i(t) - \mathit{l}\;\dfrac{di}{dt}(t) - u_c(t)\;</math><ref> Simple application de la loi des mailles, les signes <math>\;-\;</math> devant <math>\;r</math>, <math>\;\mathit{l}</math> et <math>\;u_c(t)\;</math> provenant du choix de la convention générateur pour le dipôle.</ref> avec <math>\;u_c(t)\;</math> telle que <math>\;i(t) = c\;\dfrac{du_c}{dt}(t)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : sur la borne « output » à baïonnettes de sortie du générateur on peut mettre un connecteur BNC en T <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)\;</math> avec sa partie mâle s'adaptant sur la sortie du générateur et permettant de créer deux sorties BNC femelle montées en parallèles. == Retour sur les conducteurs ohmiques, notion de conductance, autre expression de la loi d'Ohm, ordre de grandeur des résistances, puissance dissipée par effet Joule == === Rappel sur les conducteurs ohmiques === {{Al|5}}Un conducteur ohmique est un dipôle passif, symétrique, linéaire au sens du régime permanent, caractérisé par sa résistance <math>\;R\;</math> mesurée en <math>\;\Omega</math>, obéissant à la loi d'Ohm en convention récepteur <math>\;u(t) = R\;i(t)\;</math> ou <math>\;u(t) = -R\;i(t)\;</math> en convention générateur, représenté dans les circuits par « un rectangle avec indication de <math>\;R\;</math> à son côté » et éventuellement une flèche inclinée en travers du rectangle si la résistance est réglable. === Notion de conductance et autre expression de la loi d'Ohm === {{Al|5}}On définit la conductance <math>\;G\;</math> d'un conducteur ohmique comme l'inverse de sa résistance <math>\;R\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;G = \dfrac{1}{R}</math>, la conductance <math>\;G\;</math> s'exprimant en Siemens de symbole <math>\;S\;</math> telle que <math>\;1\; S = 1\; \Omega^{-1}</math> ;</div> {{Al|5}}en convention récepteur, la loi d'Ohm peut se réécrire <math>\;i(t) = G\;u(t)\;</math> et <br>{{Al|5}}en convention générateur {{Transparent|la loi d'Ohm peut se réécrire}}<math>\;i(t) = -G\;u(t)\;</math>. === Ordre de grandeur des résistances === {{Al|5}}Les résistances sont d'ordres de grandeur différents suivant leur domaine d'utilisation « électronique », « domestique », « industrielle » ou des « phénomènes naturels » : * <u>domaine électronique</u> : on utilise des résistances entre <math>\;1\; k \Omega\;</math> et <math>\;1\; M \Omega</math>, rarement « au-dessous de <math>\;1\; k \Omega\;</math>» car, si tel était le cas, la puissance dissipée serait trop importante<ref> Nous verrons dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Puissance_dissipée_par_effet_Joule_dans_un_conducteur_ohmique|puissance dissipée par effet Joule dans un conducteur ohmique]] » plus loin dans ce chapitre que, pour une même tension imposée au conducteur ohmique, la puissance dissipée dans ce dernier est d'autant plus grande que la résistance est petite.</ref> ; * <u>domaine électrique domestique</u> : les valeurs de résistances restent modérées de quelques <math>\;100\; \Omega\;</math> à quelques <math>\;k \Omega</math>, par exemple une ampoule de <math>\;100\; W\;</math><ref> Une ampoule est un dipôle passif symétrique mais non linéaire, ce n'est donc pas un conducteur ohmique mais en fonctionnement alternatif sinusoïdal on peut définir une résistance moyenne et une puissance moyenne consommée, <math>\;100\; W\;</math> étant donc cette dernière.</ref> correspond à une résistance <math>\;\big(</math>moyenne<math>\big)\;</math> de <math>\;500\; \Omega\;</math><ref> La justification de ce calcul nécessite l'utilisation du résultat établi au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Puissance_dissipée_par_effet_Joule_dans_un_conducteur_ohmique|puissance dissipée par effet Joule dans un conducteur ohmique]] » plus loin dans ce chapitre, sur le lien entre puissance consommée, tension imposée et résistance d'une part et d'autre part l'introduction de la notion de grandeur efficace <math>\;\big(</math>sorte de moyenne que l'on utilise en fonctionnement alternatif sinusoïdal<math>\big)\;</math> et qui sera vue au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_résistance_de_sortie,_résistance_d'entrée#Notions_de_grandeurs_efficaces_associées_à_une_grandeur_instantanée_alternative,_mesure_des_tensions_et_intensités_efficaces|grandeurs efficaces]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » : <br>{{Al|3}}l'ampoule fonctionnant sous une tension efficace <math>\;U = 220\; V\;</math> et consommant une puissance moyenne de <math>\;\left\langle \mathcal{P}_{e,\,r} \right\rangle = 100\; W\;</math> correspond à une résistance moyenne de <math>\;R_{\text{moy}} = \dfrac{U^2}{\left\langle \mathcal{P}_{e,\,r} \right\rangle} =</math> <math>\dfrac{\left( 220 \right)^2}{100}</math> <math>\simeq 484\;\Omega\;</math> utilisant <math>\;\left\langle \mathcal{P}_{e,\,r} \right\rangle = \dfrac{U^2}{R_{\text{moy}}}</math>.</ref> ; * <u>domaine électrique industriel</u> : les valeurs de résistances sont du même ordre de grandeur que celles du domaine domestique, ajoutons les valeurs de résistances <br>{{Al|3}}pour un ampèremètre de «<math>\;0,1\; \Omega\;</math> pour un calibre<ref name="calibre"> Le calibre d'un appareil de mesure d'une grandeur non algébrique est la valeur de la grandeur à mesurer correspondant à la déviation maximale <math>\;\big(</math>ou l'affichage maximal<math>\big)\;</math> de l'appareil.</ref> de <math>\;10\; A\;</math>» à «<math>\;1\; k \Omega\;</math> pour un calibre<ref name="calibre" /> de <math>\;1\; mA\;</math>» et <br>{{Al|3}}pour un voltmètre de «<math>\;50\; k \Omega\;</math> pour un calibre<ref name="calibre" /> de <math>\;1\; V\;</math>» à «<math>\;5\; M \Omega\;</math> pour un calibre<ref name="calibre" /> de <math>\;100\; V\;</math>» ; * <u>domaine des phénomènes naturels</u> : un « corps humain » a une résistance dépendant des zones traversées et du taux d'humidité de la peau en contact mais elle est au moins de <math>\;1\; k \Omega\;</math><ref> Raison pour laquelle les tensions permanentes de sécurité sont limitées à <math>\;25\; V\;</math> de façon à ne pas dépasser les <math>\;25\; mA\;</math> à partir desquels les muscles tétanisent, mais il y a d'autres facteurs à prendre en compte comme la fréquence et la durée de traversée du courant.</ref> et peut aller jusqu'à <math>\;500\; k \Omega</math> ; <br>{{Al|3}}autre exemple l'« espace compris entre la base d'un nuage et le sol lors du passage d'un éclair » correspond à une résistance de <math>\;500\; k \Omega\;</math><ref> Si la tension électrique entre la base d'un nuage et le sol est de <math>\;U = 100\; MV</math>, la charge électrique moyenne transportée par un éclair étant de <math>\;q_{\text{moy}} = 5\; C\;</math> pendant une durée moyenne de <math>\;\Delta t = 25\; ms\;</math> correspond à une intensité moyenne de <math>\;I_{\text{moy}} = \dfrac{q_{\text{moy}}}{\Delta t} = \dfrac{5}{25\;10^{-3}}</math> <math>= 200 A\;</math> d'où une résistance de <math>\;\dfrac{U}{I_{\text{moy}}} = \dfrac{10^8}{200} = 5\; 10^5\; \Omega</math>.</ref>. === Puissance dissipée par effet Joule dans un conducteur ohmique === {{Al|5}}La puissance instantanée électrique reçue par le conducteur ohmique s'écrivant «<math>\;\mathcal{P}_{e,\,r}(R,\, t) = u(t)\;i(t)\;</math>» en convention récepteur et le couple « tension - intensité » étant relié par la loi d'Ohm «<math>\;u(t)</math> <math>= R\; i(t)\;</math>», on peut réécrire la puissance instantanée électrique reçue <div style="text-align: center;">en fonction de <math>\;i(t)\;</math> seule selon <math>\;\mathcal{P}_{e,\,r}(R,\, t) = R\; \left[ i(t) \right]^2\;</math></div> {{Al|5}}ou, par utilisation de la loi d'Ohm écrite selon <math>\;i(t) = G\; u(t)\;</math> et report dans la 1^ère expression de <math>\;\mathcal{P}_{e,\,r}(R,\, t)</math>, <div style="text-align: center;">en fonction de <math>\;u(t)\;</math> seule selon <math>\;\mathcal{P}_{e,\,r}(R,\, t) = G\; \left[ u(t) \right]^2 = \dfrac{\left[ u(t) \right]^2}{R}\;</math> ;</div> {{Al|5}}mais que devient cette puissance instantanée reçue sous forme électrique par le conducteur ohmique ? {{Al|5}}<u>La puissance instantanée électrique reçue par le conducteur ohmique se transforme intégralement en puissance calorifique qu'il perçoit</u>, en effet la force électrique motrice <math>\;q_p\; \vec{E}(M)\;</math> agissant sur un porteur de charge mobile positionné en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est exactement compensée par la force de résistance à l'avancement <math>\;\vec{F}_{q_p\, \leftarrow\, \text{ions}}\;</math><ref> Permettant au porteur de charge mobile d'avoir un mouvement uniforme car, s'il n'y avait qu'une force motrice, le porteur serait en accélération permanente en absence de force de résistance à l'avancement.</ref> qu'il subit de la part des ions du conducteur, c'est-à-dire <math>\;\vec{F}_{q_p\, \leftarrow\, \text{ions}}</math> <math>= -q_p\; \vec{E}(M)\;</math> et par principe des actions réciproques, le porteur exerce donc sur les ions du conducteur ohmique une force de « frottement » <math>\;\vec{F}_{\text{ions}\, \leftarrow\, q_p}\;</math> opposée à celle que les ions exercent sur lui d'où finalement <math>\;\vec{F}_{\text{ions}\, \leftarrow\, q_p} = -\vec{F}_{q_p\, \leftarrow\, \text{ions}} = q_p\; \vec{E}(M)</math> ; <br>{{Al|5}}c'est la puissance de cette force de « frottement » <math>\;\vec{F}_{\text{ions}\, \leftarrow\, q_p}\;</math> <math>\big(</math>action des porteurs sur les ions<math>\big)\;</math> qui représente la puissance calorifique, car cette puissance engendrant de l'énergie cinétique d'agitation des ions <math>\;\big[</math>ceci est la 1^ère partie de la loi de Joule<ref name="Joule"> '''[[w:James_Prescott_Joule|James Prescott Joule]] (1818 - 1889)''' physicien anglais à qui on doit une étude sur la nature de la chaleur et son lien avec le travail mécanique ainsi qu'une relation entre l'intensité du courant électrique traversant un conducteur ohmique et la chaleur dissipée dans ce dernier ; il a également travaillé avec le physicien britannique d'origine irlandaise '''[[w:William_Thomson_(Lord_Kelvin)|William Thomson]] (1824 - 1907)''' {{Nobr|<math>\;\big[</math>encore}} connu sous le nom de '''[[w:William_Thomson_(Lord_Kelvin)|Lord Kelvin]]'''<math>\big]\;</math> pour développer l'échelle absolue de température et a étudié la magnétostriction <math>\;\big(</math>propriété que possèdent les matériaux ferromagnétiques de se déformer en fonction de l'orientation de leur aimantation, par exemple sous l'influence d'un champ magnétique<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\mathcal{P}_{e,\,r}(R,\, t)\; \stackrel{\rightarrow}{=}\; \mathcal{P}_{\text{cal},\,r}(R,\, t)\;</math><ref name="transformé intégralement"> <math>\; \stackrel{\rightarrow}{=} \;</math> est une notation personnelle pour « transformé intégralement ».</ref><math>\big]\;</math> s'accompagne d'une augmentation de température du conducteur mais <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>dès que la température du conducteur devient supérieure à celle de l'extérieur</u>, les ions agités de la surface du conducteur communiquent une partie de leur énergie cinétique d'agitation « excédentaire » aux molécules d'air moins agitées d'où « <u>une partie de la puissance calorifique reçue par le conducteur est rétrocédée à l'extérieur sous forme calorifique</u> » <ref> La température de l'extérieur immédiat du conducteur devrait <math>\;\nearrow\;</math> rapidement mais cette agitation étant en fait partiellement communiquée aux molécules plus éloignées par [[w:Convection_thermique|convection]], nous supposerons, pour simplifier, que la croissance de température de l'extérieur immédiat reste faible mais d'extension plus étendue.</ref> ; {{Al|5}}la température du conducteur continue de <math>\;\nearrow\;</math><ref> Car seulement une partie de la puissance calorifique reçue par le conducteur est rétrocédée à l'extérieur sous forme calorifique, le reste permettant la poursuite de la croissance de l'énergie cinétique d'agitation des ions du conducteur.</ref> mais moins rapidement, ceci ayant pour conséquence une augmentation de l'écart entre les températures du conducteur et de l'air extérieur de l'environnement immédiat<ref> Dans la mesure où nous avons supposé que la croissance de la température de l'air extérieur de l'environnement immédiat restait faible à cause de la [[w:Convection_thermique|convection]] vers les zones plus éloignées.</ref> et par suite « une augmentation de la proportion d'énergie cinétique d'agitation excédentaire des ions de la surface du conducteur communiquée à l'extérieur » correspondant à « une croissance moins rapide de la température du conducteur » <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>la température du conducteur cesse de croître dès que toute la puissance calorifique reçue par le conducteur est rétrocédée à son environnement immédiat</u> », ceci n'étant possible que « si l'écart de températures nécessaire entre le conducteur et son environnement immédiat est devenu suffisant » <ref> En effet la puissance calorifique qu'un corps chaud cède à un corps froid par conduction est proportionnelle à la différence de température selon la loi <math>\;h\;S \left( T_{\text{corps chaud}} - T_{\text{corps froid}} \right)\;</math> <math>\big(</math>[[w:Transfert_thermique#Les_modes_de_transferts_thermiques|loi de refroidissement de Newton]]<math>\big)\;</math> où <math>\;h\;</math> étant un cœfficient de proportionnalité dépendant des matériaux en contact et <math>\;S\;</math> l'aire commune des deux surfaces en contact, la rétrocession complète nécessite alors que la puissance calorifique reçue par le conducteur soit égale à <math>\;h\;S_{\text{lat}} \left( T_{\text{conducteur}} - T_{\text{air immédiat}} \right)</math>, <math>\;S_{\text{lat}}\;</math> étant l'aire de la surface latérale du conducteur.</ref> <math>\;\ldots</math> <math>\;\big[</math>ceci est la 2^ème partie de la loi de Joule<ref name="Joule" /> <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\,r}(R,\, t)\; \stackrel{\rightarrow}{=}\; \mathcal{P}_{\text{cal},\,r}(\text{ext},\, t)\;</math><ref name="transformé intégralement" /><math>\big]</math>. {{Théorème|titre = Loi de Joule|contenu ={{Al|5}}La puissance instantanée électrique reçue par un conducteur ohmique est intégralement transmise sous forme calorifique au conducteur soit <center><math>\;\mathcal{P}_{e,\,r}(R,\, t)\; \stackrel{\rightarrow}{=}\; \mathcal{P}_{\text{cal},\,r}(R,\, t)\;</math><ref name="transformé intégralement" /> ;</center> {{Al|5}}en régime stationnaire de température de ce dernier, cette puissance se retrouve cédée, sous forme calorifique à l'extérieur soit <center><math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\,r}(R,\, t)\; \stackrel{\rightarrow}{=}\; \mathcal{P}_{\text{cal},\,r}(\text{ext},\, t)\;</math><ref name="transformé intégralement" />.</center>}} == Retour sur les condensateurs parfaits, ordre de grandeur des capacités, énergie électrostatique stockée et sa continuité dans un circuit « réel », conséquences == === Rappel sur les condensateurs parfaits === {{Al|5}}Un condensateur parfait est un dipôle « isolant en régime permanent » <ref> C.-à-d. quand toutes les grandeurs « tensions et intensités » sont constantes, il n'y a aucun courant dans les fils d'amenée et de départ reliant le condensateur au reste du circuit, le condensateur est donc équivalent à un isolant aux bornes duquel il y a une tension constante ; <br>{{Al|3}}par contre pendant le régime transitoire suivant la fermeture d'un interrupteur dans le circuit, régime transitoire dépendant du temps et précédant le régime permanent, même s'il n'y a aucun courant traversant l'isolant, il y a un courant dans les fils de connexion du condensateur au reste du circuit et le condensateur n'est pas équivalent à un isolant ! <br>{{Al|3}}Bien distinguer le « régime transitoire » du « régime permanent » qui en est l'aboutissement.</ref> et « linéaire au sens de l'A.R.Q.S. » ; {{Al|5}}appelant « charge <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> du condensateur » la charge <math>\;q(t)\;</math> de l'armature vers laquelle pointe la flèche tension, la capacité <math>\;C\;</math> du condensateur est définie selon <math>\;q(t) = C\;u(t)\;</math> avec <math>\;C\;</math> constante <math>\;> 0</math>, {{Al|5}}en convention de charge du condensateur <math>\;\big[</math>c'est-à-dire telle que le sens <math>\;+\;</math> du courant dans le fil de connexion à l'armature portant la charge <math>\;q(t)\;</math> pointe vers cette armature<math>\big]\;</math> l'intensité <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> de son courant est liée à sa charge <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> par <math>\;i(t) = \dfrac{dq}{dt}(t)</math>, ce choix correspondant à une convention récepteur pour le condensateur, {{Al|5}}le lien entre « intensité et tension <math>\;\big(</math>instantanées<math>\big)\;</math>» est alors <math>\;i(t) = C\;\dfrac{du}{dt}(t)\;</math> en convention récepteur ; {{Al|5}}le symbole représentant un condensateur parfait est « un ensemble de deux traits transversaux <math>\;\parallel\;</math> écartés d'une distance représentant l'isolant avec indication de <math>\;C\;</math> à côté », et éventuellement une flèche inclinée en travers du symbole représentatif du condensateur si la capacité est réglable ; {{Al|5}}en convention de décharge du condensateur <math>\;\big[</math>c'est-à-dire telle que le sens <math>\;+\;</math> du courant dans le fil de connexion à l'armature portant la charge <math>\;q(t)\;</math> part de cette armature<math>\big]\;</math> <math>\;i(t) = -\dfrac{dq}{dt}(t)</math>, ce choix correspondant à une convention générateur pour le condensateur, {{Al|5}}le lien entre « intensité et tension <math>\;\big(</math>instantanées<math>\big)\;</math>» est alors <math>\;i(t) = -C\;\dfrac{du}{dt}(t)\;</math> en convention générateur. === Ordre de grandeur des capacités === {{Al|5}}Les capacités de condensateurs sont d'ordres de grandeur différents suivant leur nature ; on distingue : * <u>les condensateurs fixes</u> : [[Image:Condensators.JPG|thumb|600px|Plusieurs types de condensateurs. De gauche à droite : <br>[[w:Céramique_technique#Généralités|céramique]] multicouche, [[w:Céramique_technique#Généralités|céramique]] disque, film [[w:Polyester|polyester]] multicouche, [[w:Céramique_technique#Généralités|céramique]] tubulaire, [[w:Polystyrène|polystyrène]], film [[w:Polyester|polyester]] métallisé, électrolytique aluminium. Unité de mesure en centimètres.]] {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> <u>au papier</u><ref> C.-à-d. constitués par le bobinage de deux feuilles très fines d'aluminium séparées par plusieurs feuilles de papier imprégnées d'huile ou de paraffine ; les deux feuilles en aluminium très pur <math>\;\big(99,99\; \%</math>, pour éviter l'oxydation pendant la fabrication<math>\big)</math>, constituent les armatures tandis que l'isolant intercalé entre elles forme le diélectrique.</ref> de <math>\;500\; pF\;</math> à <math>\;0,5\; \mu F\;</math> de tension « nominale » <ref name="nominal"> La tension nominale est celle qui est fournie par le constructeur et permet les conditions normales de fonctionnement, mais rien n'interdit de travailler sous une tension plus faible et même plus forte <math>\;-\;</math> à condition de respecter la tension limite à ne pas dépasser sous peine de « claquage » du condensateur.</ref> de <math>\;100\;</math> à <math>\;1000\; V</math>, actuellement remplacés par des modèles à film plastique, de dimensions plus réduites <math>\;\big(</math>voir les 3^ème et 6^ème ci-contre à partir de la gauche<math>\big)</math>, {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> <u>au film plastique</u><ref> Semblables aux précédents à l'exception de l'isolant qui est un film plastique.</ref> de <math>\;10\; pF\;</math> à <math>\;10\; \mu F\;</math> pouvant travailler sous tension « nominale »<ref name="nominal" /> de <math>\;20\;</math> à <math>\;2000\; V</math>, largement employés car étant d'un coût réduit et présentant de bonnes caractéristiques électriques, <math>\;\big(</math>voir les 3^ème et 6^ème ci-contre à partir de la gauche<math>\big)</math>, {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> <u>au mica</u><ref> Le mica est une famille de minéraux, du groupe des silicates, formé principalement de silicate d'aluminium et de potassium ; les 1^ers condensateurs au mica étaient réalisés en alternant des feuilles de mica et de très fines feuilles de cuivre ou d'aluminium de manière à former un empilage qui était ensuite comprimé puis imprégné d'un matériau isolant ; une armature du condensateur, soudée à l'une des bornes, est constituée des feuilles métalliques impaires reliées entre elles, l'autre armature formée des feuilles paires est soudée à l'autre borne ; de nos jours les condensateurs au mica sont réalisés en déposant une très légère couche d'argent sur les feuilles de mica reliées électriquement à deux faces métallisées auxquelles sont soudées les bornes.</ref> de quelques <math>\;pF\;</math> à quelques <math>\;100\; nF\;</math> sous tension « nominale »<ref name="nominal" /> allant de <math>\;300\;</math> à <math>\;3000\; V</math>, particulièrement adaptés à des usages professionnels dans les circuits H.F. d'instruments de mesure, {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> <u>céramiques</u><ref> Les céramiques sont des solides à température ambiante ni métalliques, ni organiques ; elles sont réalisées à partir d'une poudre à base de silicate de magnésium et de corindon <math>\;\big(</math>espèce minérale contenant de l'oxyde d'aluminium anhydre cristallisé<math>\big)</math>, moulée sous pression avec de l'argile, cuite à plus de <math>\;1000\; \text{°C}\;</math> et émaillée au four électrique pour supprimer la porosité, les armatures étant obtenues par métallisation d'argent sur les deux faces.</ref> de capacités « variables suivant les dimensions » <ref> Toutefois on peut, avec les mêmes dimensions, avoir des capacités variant de <math>\;1\; pF\;</math> à <math>\;1\; nF</math>.</ref> de <math>\;1\; pF\;</math> à <math>\;100\; nF\;</math> sous tension « nominale »<ref name="nominal" /> de <math>\;100\;</math> à <math>\;3000\; V</math>, d'utilisation assez répandue dans les domaines où la variation de température n'a pas d'influence car les céramiques ont un cœfficient de dilatation non négligeables et par suite une capacité dépendant de sa température d'utilisation, <math>\;\big(</math>voir le 1^er, les 2^ème et 4^ème ci-dessus à partir de la gauche<math>\big)</math>, [[Image:Capacitors electrolytic.jpg|thumb|left|300px|Condensateurs électrochimiques (électrolytiques aluminium). <br><math>\;\succ\;</math>Le 1^er est de <math>\;1000\; \mu F\;</math> pour une tension « nominale »<ref name="nominal" /> de <math>\;35\;V\;</math> (modèle axial), <br><math>\;\succ\;</math>le 2^ème est de <math>\;10\; \mu F\;</math> pour une tension « nominale »<ref name="nominal" /> de <math>\;160\;V\;</math> (modèle radial)]] [[Image:Variable Capacitor.jpg|thumb|300px|Condensateur ajustable à lames d'air]] {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> <u>électrolytiques</u> <ref> Ils se différencient des autres types <math>\;\big(</math>papier, film plastique, mica, céramiques<math>\big)\;</math> par le fait qu'une armature <math>\;\big(</math>anode<math>\big)\;</math> est constituée d'une feuille d'aluminium lisse ou gravée sur laquelle a été déposée une couche très mince d'alumine par un procédé chimique ; le diélectrique est ici formé par l'alumine et la 2^nde armature est constituée par l'électrolyte retenu dans du papier poreux appelée parfois « papier buvard » ; la liaison avec l'électrolyte est réalisée au moyen d'une 2^ème feuille d'aluminium, appelée cathode sur laquelle est fixée une borne de sortie ; l'autre armature <math>\;\big(</math>anode<math>\big)\;</math> possède également une borne de sortie qu'il faudra relier impérativement à un potentiel plus grand que celui de la cathode.</ref> en aluminium, appartenant à la catégorie des condensateurs fixes enroulés, de <math>\;1\; \mu F\;</math> à quelques <math>\;10\; mF\;</math> sous tension « nominale »<ref name="nominal" /> de <math>\;3\;</math> à <math>\;500 V</math>, présentant une capacité plus élevée que tous les autres types pour des dimensions et des tensions « nominales »<ref name="nominal" /> égales, mais la principale différence est que ce sont des condensateurs « polarisés » <ref> Leurs bornes sont repérées par les signes <math>\;(+)\;</math> et <math>\;(-)</math>.</ref>, on doit donc leur imposer une tension polarisée ce qui nécessite <math>\;-\;</math> pour être utilisé en alternatif <math>\;-\;</math> la présence d'une composante continue assez nettement supérieure à la composante alternative, utilisés essentiellement dans le filtrage <math>\;\big(</math>voir le 7^ème ci-dessus à partir de la gauche et les deux ci-contre à gauche<math>\big)</math> ; * <u>les condensateurs variables</u> : à une ou plusieurs sections à air ou diélectrique solide <math>\;\big(</math>la capacité étant proportionnelle à l'aire commune des armatures en regard, si on modifie celle-ci par rotation de l'une relativement à l'autre, on modifie la capacité <math>\;\ldots\big)</math>, de quelques <math>\;10\; pF\;</math> à quelques <math>\;nF\;</math><ref> Ce sont les valeurs de capacité maximale.</ref>, utilisés pratiquement uniquement dans le domaine radiophonique, <math>\;\big(</math>voir ci-contre à droite<math>\big)</math> ; [[File:Supercapacitor.jpg|thumb|300px|Supercondensateur de <math>\;400\;F\;</math> à <math>\;800\;F\;</math> sous tension « nominale »<ref name="nominal" /> de <math>\;1,2\;V</math>]] * <u>les supercondensateurs</u> : condensateurs de technique particulière permettant d'obtenir une « énergie volumique » <ref> Nous verrons au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Énergie_électrostatique_(instantanée)_stockée_dans_un_condensateur_parfait|énergie électrostatique (instantanée) stockée dans un condensateur parfait]] » plus loin dans ce chapitre, qu'un condensateur stocke de l'énergie lors de sa charge, énergie qu'il restitue au reste du circuit lors de sa décharge, l'énergie volumique étant alors l'énergie par unité de volume du condensateur.</ref> supérieure à celles obtenues dans les condensateurs électrochimiques classiques, utilisés « à la place de batterie d'accumulateurs » <ref> Avec l'avantage d'une charge et d'une décharge beaucoup plus rapide, la charge pouvant être jusqu'à <math>\;10000\;</math> fois plus rapide.</ref> ou dans des domaines de récupération d'énergie comme celle de l'énergie de freinage des autobus ; ce sont des condensateurs polarisés de capacité pouvant atteindre quelques <math>\;kF</math> <math>\;\big(</math>voir ci-contre à droite<math>\big)</math>. === Énergie électrostatique (instantanée) stockée dans un condensateur parfait === {{Al|5}}Avec la convention récepteur pour le condensateur parfait, la puissance instantanée électrique qu'il reçoit s'écrit <math>\;\mathcal{P}_{e,\,r}(C,\,t) =</math> <math>u(t)\; i(t)\;</math> où <math>\;i(t) =</math> <math>C\;\dfrac{du}{dt}(t)\;</math> soit «<math>\;\mathcal{P}_{e,\,r}(C,\,t) = u(t)\; C\;\dfrac{du}{dt}(t) = \dfrac{d\! \left[ \dfrac{1}{2}\;C \; u^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» établissant que la puissance instantanée électrique reçue par le condensateur parfait est la dérivée temporelle de <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \left[ u(t) \right]^2 + cste</math> ; {{Al|5}}considérant la charge du condensateur parfait entre un instant <math>\;t_1 = 0\;</math> où ce dernier n'est pas chargé et un instant <math>\;t_2 = t\;</math> où il possède la charge <math>\;q(t) = C\; u(t)</math>, le travail électrique qu'il reçoit se calcule par <math>\;W_{e,\,r\;\text{sur}\;\left[ 0\, ;\, t \right]} = \displaystyle\int_0^t \mathcal{P}_{e,\,r}(C,\,t')\;dt' = \displaystyle\int_0^t \dfrac{d\! \left[ \dfrac{1}{2}\;C \; u^2 \right]}{dt'}(t')\;dt'\;</math> dont l'intégration conduit à <math>\;W_{e,\,r\;\text{sur}\;\left[ 0\, ;\, t \right]} = \left[ \dfrac{1}{2}\;C \; u^2(t') + cste \right]_0^t =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C \; u^2(t)</math> ; {{Al|5}}mais à quoi sert le travail électrique que reçoit le condensateur parfait, lors de sa charge ? {{Al|5}}Ce travail moteur crée une dissymétrie de charges sur les armatures et par suite un champ électrique dans l'isolant qui se manifeste par une différence de potentiel entre les armatures mais aussi par le fait que les charges de l'armature <math>\;A\;</math> dont la charge <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> est <math>\;q(t)\;</math> et que les charges de l'armature <math>\;B\;</math> dont la charge <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> est <math>\;-q(t)\;</math> possèdent de l'énergie potentielle électrostatique ; {{Al|5}}en conclusion nous pouvons affirmer que <u>le travail électrique reçu par le condensateur parfait lui sert à stocker de l'énergie potentielle <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> sous forme électrostatique</u> notée <math>\;\mathcal{E}_C(t)\;</math> selon le bilan suivant <math>\;W_{e,\,r\;\text{sur}\;\left[ 0\, ;\, t \right]} = \Delta_{\left[ 0\, ;\, t \right]} \mathcal{E}_C\;</math> d'où, par identification avec le résultat précédemment obtenu par calcul direct du travail électrique reçu <math>\;\mathcal{E}_C(t) = \dfrac{1}{2}\;C \; u^2(t) + cste\;</math> ou, en choisissant la <div style="text-align: center;">« référence<ref name="référence énergie potentielle"> On rappelle que la référence d'une énergie potentielle est la situation <math>\;\big(</math>ou l'endroit<math>\big)\;</math> où celle-ci est choisie nulle.</ref> de l'énergie électrostatique stockée par le condensateur parfait quand il est non chargé » <br><math>\;\mathcal{E}_C(t) = \dfrac{1}{2}\;C \; u^2(t)</math> ;</div> {{Al|5}}comme <math>\;u(t) = \dfrac{q(t)}{C}\;</math> on en déduit une autre expression de l'énergie électrostatique stockée par le condensateur parfait <div style="text-align: center;"> <math>\;\mathcal{E}_C(t) = \dfrac{q^2(t)}{2\;C}\;</math> avec référence<ref name="référence énergie potentielle"/> quand le condensateur parfait n'est pas chargé.</div> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : nous avons vu qu'une charge <math>\;q\;</math> placée en <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t\;</math> dans un potentiel électrique <math>\;V(M\;t)\;</math> possède une énergie potentielle électrique<ref> Ou électrostatique si elle n'est pas en mouvement.</ref> <math>\;q\; V(M,\;t)</math>, pourquoi n'a-t-on pas le même résultat en ce qui concerne le condensateur parfait ? <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}En effet si on reliait l'armature <math>\;B\;</math> dont la charge <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> est <math>\;-q(t)\;</math> à la masse on aurait <math>\;V(B,\;t) = 0</math>, l'armature <math>\;A\;</math> dont la charge <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> est <math>\;q(t)\;</math> étant alors au potentiel <math>\;V(A,\;t) = u(t)</math>, on aurait une charge <math>\;q(t)\;</math> au potentiel <math>\;u(t)\;</math> et une charge <math>\;-q(t)\;</math> au potentiel <math>\;0\;</math> et si l'expression de l'énergie potentielle électrique d'une charge <math>\;q\; V(M,\;t)\;</math> était applicable on s'attendrait à obtenir une énergie potentielle des systèmes de charges du condensateur parfait égale à <math>\;\mathcal{E}_C(t)\; \stackrel{?}=\; q(t)\; u(t)\;</math> soit encore <math>\;\mathcal{E}_C(t)\; \stackrel{?}=\; C\; u^2(t)\;</math> alors que nous trouvons la moitié, pourquoi cette différence ? <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}En fait, dans le cas du condensateur parfait, il s'agit de l'énergie potentielle des charges <math>\;q(t)\;</math> et <math>\;-q(t)\;</math> dans leur propre champ électrique, celui qu'elles créent <math>\;\big[</math>quand les charges<math>\;q(t)\;</math> et <math>\;-q(t)\;</math> disparaissent, le champ électrique qu'elles ont créé disparaît simultanément<math>\big]\;</math> alors que <math>\;q\; V(M,\;t)\;</math> est l'énergie potentielle de la charge <math>\;q\;</math> dans un champ électrique extérieur existant indépendamment de la présence ou non de la charge <math>\;q</math>. === Notion de circuit « réel » et propriété de la puissance instantanée électrique fournie par les générateurs d'un circuit « réel » === {{Al|5}}Un circuit sera dit « réel » s'il comprend des « parties résistives par rapport auxquelles la résistance des fils de connexion en série avec elles peut être négligée » <ref name="circuit réel"> Le qualificatif « réel » se justifie par le fait que dans la quasi totalité des circuits on n'est pas tenu de comptabiliser la résistance des fils de connexion car il y a des conducteurs ohmiques de plus grande résistance <math>\;\big(</math>c'est toutefois une appellation personnelle<math>\big)</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Propriété</u> <math>\;\big(</math>admise<math>\big)</math> : la « <u>puissance instantanée électrique fournie par un générateur dans un circuit "réel" ne peut jamais être infinie</u> », en effet cette possibilité dans un circuit série à un instant <math>\;t_0\;</math> correspondrait à une intensité de courant délivré à l'instant <math>\;t_0\;</math> infinie<ref> On rappelle que la puissance électrique instantanée fournie par un générateur est proportionnelle à la tension aux bornes de ce dernier <math>\;\big(</math>que nous supposons finie<math>\big)\;</math> et à l'intensité du courant qu'il délivre, le caractère infini de la puissance électrique instantanée fournie entraînerait celui de l'intensité du courant délivré.</ref>, incompatible avec la présence de parties résistives lesquelles ont pour effet une limitation de l'intensité d'autant plus grande que les résistances le sont<ref> Une intensité infinie dans un conducteur ohmique de résistance non nulle entraînerait une tension infinie à ses bornes, ce qui ne pourrait avoir été créée que par une tension infinie aux bornes du générateur alors que on a supposé cette tension finie.</ref>. === Continuité de l'énergie électrostatique (instantanée) stockée dans un condensateur parfait d'un circuit « réel » et conséquences === {{Al|5}}Considérons un circuit série comprenant une source de tension parfaite, un interrupteur <math>\;K</math>, un conducteur ohmique et un condensateur parfait « initialement déchargé » <ref name="initialement déchargé"> Ce qui signifie que pour tout <math>\;t < 0</math>, la charge du condensateur parfait et la tension entre ses bornes sont nulles.</ref>, on ferme alors l'interrupteur <math>\;K\;</math> à l'instant <math>\;t = 0</math> ; {{Al|5}}<u>le circuit étant « réel »</u><ref name="circuit réel" />, la puissance instantanée électrique fournie par la source reste finie et on en déduit que « <u>l'énergie électrostatique stockée dans le condensateur parfait</u> <math>\;\mathcal{E}_C(t)\;</math> <u>varie continûment</u> » quel que soit l'instant <math>\;t\;</math> considéré ; {{Al|5}}nous le démontrons par l'absurde en supposant que <math>\;\mathcal{E}_C(t)\;</math> est discontinue à l'instant <math>\;t_0\;</math> avec un saut de discontinuité <math>\;\Delta \mathcal{E}_C(t_0) =</math> <math>\mathcal{E}_C(t_0^{+}) - \mathcal{E}_C(t_0^{-})</math> <math>\neq 0\;</math> et pour démontrer l'absurdité de cette proposition, considérons un intervalle de temps entourant cet instant <math>\;t_0\;</math> soit <math>\;\left[ t_0 - \varepsilon\; ;\; t_0 + \varepsilon \right]\;</math> sur lequel nous écrivons le bilan énergétique du condensateur parfait <math>\;W_{e,\,r\;\text{sur }\left[ t_0 - \varepsilon\; ;\; t_0 + \varepsilon \right]}(C) =</math> <math>\mathcal{E}_C(t_0 + \varepsilon) - \mathcal{E}_C(t_0 - \varepsilon)\;</math> ou, en divisant par la durée <math>\;2\; \varepsilon\;</math> et en faisant tendre <math>\;\varepsilon\;</math> vers <math>\;0\;</math> pour obtenir à gauche la puissance instantanée électrique reçue par le condensateur parfait à l'instant <math>\;t_0</math>, on obtient <math>\;\mathcal{P}_{e,\,r,\,C}(t_0) =</math> <math>\lim\limits_{\varepsilon\, \rightarrow\, 0} \dfrac{\Delta \mathcal{E}_C(t_0)}{2\;\varepsilon} = \infty\;</math> ce qui, étant impossible dans un circuit « réel »</u><ref name="circuit réel" />, démontre, par l'absurde, la continuité de l'énergie électrostatique stockée dans le condensateur parfait. {{Al|5}}<u>Conséquences</u> : l'énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait étant <u>toujours continue</u> dans un circuit « <u>réel</u> »<ref name="circuit réel" />, <u>il en est de même de la tension </u><math>\big(</math><u>instantanée</u><math>\big)</math><u> aux bornes du condensateur parfait</u> <math>\;u(t)\;</math> <u>ainsi que de sa charge (instantanée)</u> <math>\;q(t)\;</math><ref> Cela résulte de l'une ou l'autre des expressions de l'énergie électrostatique instantanée stockée dans le condensateur parfait en fonction de la tension aux bornes de ce dernier ou de sa charge.</ref>, mais nous n'avons aucun résultat sur l'intensité du courant chargeant ou déchargeant le condensateur parfait qui peut donc être discontinue avec saut fini de valeurs ; {{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : }}reprenant le circuit de charge du condensateur parfait précédemment introduit « source de tension, interrupteur <math>\;K</math>, conducteur ohmique et condensateur parfait <math>\;\big(</math>initialement {{Nobr|déchargé<ref name="initialement déchargé" /><math>\big)</math>,}} en série », « quand nous fermons <math>\;K\;</math> nous créons une variation très rapide de tension aux bornes de ce dernier » <ref name="fermeture de K"> En effet quand <math>\;K\;</math> est ouvert il n'y a aucune tension aux bornes de l'ensemble du conducteur ohmique et du dipôle étudié, il doit donc n'y en avoir aucune aux bornes de l'ensemble de la source et de <math>\;K</math>, ce qui nécessite qu'il y ait initialement aux bornes de <math>\;K\;</math> la tension opposée à celle de la source ; <br>{{Al|3}}quand nous fermons <math>\;K\;</math> nous lui imposons très rapidement une tension nulle d'où une brusque variation de tension aux bornes de <math>\;K</math>.</ref> que nous modélisons par une discontinuité de tension à l'instant <math>\;0\;</math> aux bornes de <math>\;K</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : }}compte tenu de la loi de maille, cette discontinuité de tension aux bornes de <math>\;K\;</math> doit se retrouver « sous forme opposée » aux bornes d'un autre dipôle, ce n'est pas aux bornes de la source car la tension reste constante, ce n'est pas aux bornes du condensateur parfait car la tension doit être continue c'est donc aux bornes du conducteur ohmique et par suite on en déduit que <u>l'intensité du courant chargeant le condensateur parfait est discontinue à l'instant</u> <math>\;0\;</math> <u>de fermeture de l'interrupteur</u> <math>\big[</math>intensité nulle pour <math>\;0^{-}\;</math> et non nulle pour <math>\;0^{+}\big]</math>. == Retour sur les bobines parfaites, ordre de grandeur des inductances propres, énergie électromagnétique stockée et sa continuité dans un circuit « réel », conséquences == === Rappel sur les bobines parfaites === {{Al|5}}Une bobine parfaite est un dipôle « court-circuit en régime permanent »<ref> C.-à-d. quand toutes les grandeurs « tensions et intensités » sont constantes, l'intensité du courant traversant la bobine est aussi constante et la tension à ses bornes étant par suite nulle, cette dernière est donc équivalente à un court-circuit traversée par un courant d'intensité constante ; <br>{{Al|3}}par contre pendant le régime transitoire suivant la fermeture d'un interrupteur dans le circuit, régime transitoire dépendant du temps et précédant le régime permanent, il y a variation de l'intensité {{Nobr|<math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math>}} du courant traversant la bobine pour permettre que cette intensité passe d'une valeur nulle à la valeur constante qu'elle aura en régime permanent, il y a alors une tension <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> dépendant du temps aux bornes de la bobine et cette dernière n'est pas équivalent à un court-circuit ! <br>{{Al|3}}Bien distinguer le « régime transitoire » du « régime permanent » qui en est l'aboutissement.</ref> et « linéaire au sens de l'A.R.Q.S. » ; {{Al|5}}le lien entre « intensité et tension <math>\;\big(</math>instantanées<math>\big)\;</math>» est alors <math>\;u(t) = L\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> en convention récepteur, <math>\;L\;</math> étant une constante <math>\;> 0\;</math> caractérisant la bobine, exprimée en <math>\;H\;</math> et appelée « auto-inductance » ou « inductance propre » de la bobine ; {{Al|5}}le symbole représentant une bobine parfaite est « un ensemble de quatre arches de pont avec indication de <math>\;L\;</math> à côté », et éventuellement une flèche inclinée en travers du symbole représentatif de la bobine si l'inductance propre est réglable ; {{Al|5}}le lien entre « intensité et tension <math>\;\big(</math>instantanées<math>\big)\;</math>» est <math>\;u(t) = -L\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> en convention générateur. === Ordre de grandeur des inductances propres === {{Al|5}}Les auto-inductances de bobines sont d'ordres de grandeur différents suivant « la présence ou l'absence d'un noyau ferromagnétique »<ref> La présence d'un noyau ferromagnétique pouvant multiplier <math>\;L\;</math> d'un facteur allant de <math>\;10\;</math> à <math>\;1000</math>.</ref> et de ses propriétés géométriques <math>\;\bigg[</math> en effet l'inductance propre est proportionnelle à l'aire <math>\;S\;</math> d'une spire, au nombre total <math>\;N\;</math> de spires et à la densité linéique <math>\;N_{\mathit{l}} =</math> <math>\dfrac{N}{\mathit{l}}\;</math> de spires, <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la bobine<math>\bigg]</math> ; on distingue : * <u>les bobines sans noyau ferromagnétique</u> : leurs valeurs usuelles de <math>\;L\;</math> sont de quelques <math>\;10\; mH\;</math> à quelques <math>\;mH</math>, * <u>les bobines avec noyau ferromagnétique</u> : leurs valeurs usuelles de <math>\;L\;</math> peuvent atteindre quelques <math>\;H</math>, <math>\;\big[</math>bobine avec noyau de fer représentée symboliquement en « ajoutant un trait au-dessus de l'arrondi des arches »<ref name="bobine avec noyau de fer" /><math>\big]</math>. * <u>les bobines à faible valeur d'inductance propre</u> : elles peuvent être constituées d'« enroulements classiques »<ref> Non utilisées dans les T.P. de laboratoire car les bobines en régime sinusoïdal forcé peuvent être aisément simulées à l'aide de circuits intégrés à prix très faible avec des condensateurs et conducteurs ohmiques qui ne coûtent guère plus, alors que les enroulements de ces mini-bobines sont plus onéreux.</ref> ou encore de « circuits intégrés »<ref> Dans ce cas on les appelle « micro-bobines ».</ref>, leurs valeurs usuelles de <math>\;L\;</math> sont de quelques <math>\;mH\;</math> à quelques <math>\;\mu H</math>, elles sont utilisées pour des usages très spécifiques <math>\;\ldots</math> === Énergie électromagnétique (instantanée) stockée dans une bobine parfaite === {{Al|5}}Avec la convention récepteur pour la bobine parfaite, la puissance instantanée électrique qu'elle reçoit s'écrit <math>\;\mathcal{P}_{e,\,r}(L,\,t) = u(t)\; i(t)\;</math> où <math>\;u(t) =</math> <math>L\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> soit «<math>\;\mathcal{P}_{e,\,r}(L,\,t) = L\;\dfrac{di}{dt}(t)\; i(t) =</math> <math>\dfrac{d\! \left[ \dfrac{1}{2}\;L \; i^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» établissant que la puissance instantanée électrique reçue par la bobine parfaite est la dérivée temporelle de <math>\;\dfrac{1}{2}\;L\; \left[ i(t) \right]^2 + cste</math> ; {{Al|5}}considérant l'établissement du courant dans la bobine parfaite entre un instant <math>\;t_1 = 0\;</math> où le courant ne circule pas et un instant <math>\;t_2 = t\;</math> où le courant dans la bobine parfaite a pour intensité <math>\;i(t)</math>, le travail électrique qu'elle reçoit se calcule par <math>\;W_{e,\,r\;\text{sur}\;\left[ 0\, ;\, t \right]} = \displaystyle\int_0^t \mathcal{P}_{e,\,r}(L,\,t')\;dt' =</math> <math>\displaystyle\int_0^t \dfrac{d\! \left[ \dfrac{1}{2}\;L \; i^2 \right]}{dt'}(t')\;dt'\;</math> dont l'intégration conduit à <math>\;W_{e,\,r\;\text{sur}\;\left[ 0\, ;\, t \right]} = \left[ \dfrac{1}{2}\;L \; i^2(t') + cste \right]_0^t = \dfrac{1}{2}\;L \; i^2(t)</math> ; {{Al|5}}mais à quoi sert le travail électrique que reçoit la bobine parfaite, lors l'établissement d'un courant la traversant ? {{Al|5}}Ce travail moteur établit un courant circulant dans la bobine et par suite un « champ magnétique » <ref> Nous verrons en effet que les champs magnétiques existant au voisinage d'aimants sont aussi créés au voisinage de circuits traversés par un courant <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Induction_et_forces_de_Laplace_(PCSI)/Champ_magnétique_:_Sources_et_cartes#Sources_de_champ_magnétique|sources de champ magnétique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « Induction et forces de Laplace (PCSI) »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}si l'intensité du courant est constante, le champ magnétique l'est aussi et si l'intensité varie avec le temps en restant dans l'A.R.Q.S., le champ magnétique varie de la même façon.</ref> à l'intérieur de la bobine qui se manifeste par une réserve d'énergie potentielle électromagnétique ; {{Al|5}}en conclusion nous pouvons affirmer que <u>le travail électrique reçu par la bobine parfaite lui sert à stocker de l'énergie potentielle </u><math>\big(</math><u>instantanée</u><math>\big)</math><u> sous forme électromagnétique</u> notée <math>\;\mathcal{E}_L(t)\;</math> selon le bilan suivant <math>\;W_{e,\,r\;\text{sur}\;\left[ 0\, ;\, t \right]} = \Delta_{\left[ 0\, ;\, t \right]} \mathcal{E}_L\;</math> d'où, par identification avec le résultat précédemment obtenu par calcul direct du travail électrique reçu <math>\;\mathcal{E}_L(t) = \dfrac{1}{2}\;L \; i^2(t) + cste\;</math> ou, en choisissant la <div style="text-align: center;">« référence<ref name="référence énergie potentielle" /> de l'énergie électromagnétique stockée par la bobine parfaite quand elle n'est traversée par aucun courant » <br><math>\;\mathcal{E}_L(t) = \dfrac{1}{2}\;L \; i^2(t)</math>.</div> === Continuité de l'énergie électromagnétique (instantanée) stockée dans une bobine parfaite d'un circuit « réel » et conséquences === {{Al|5}}Considérons un circuit série comprenant une source de tension parfaite, un interrupteur <math>\;K</math>, un conducteur ohmique et une bobine parfaite « initialement traversée par aucun courant »<ref name="initialement traversée par aucun courant"> Ce qui signifie que pour tout <math>\;t < 0</math>, l'intensité du courant dans la bobine parfaite et la tension entre ses bornes sont nulles.</ref>, on ferme alors l'interrupteur <math>\;K\;</math> à l'instant <math>\;t = 0</math> ; {{Al|5}}<u>le circuit étant « réel »</u><ref name="circuit réel" />, la puissance instantanée électrique fournie par la source reste finie et on en déduit que « <u>l'énergie électromagnétique stockée dans la bobine parfaite</u> <math>\;\mathcal{E}_L(t)\;</math> <u>varie continûment</u> » quel que soit l'instant <math>\;t\;</math> considéré ; {{Al|5}}nous le démontrons par l'absurde en supposant que <math>\;\mathcal{E}_L(t)\;</math> est discontinue à l'instant <math>\;t_0\;</math> avec un saut de discontinuité <math>\;\Delta \mathcal{E}_L(t_0) =</math> <math>\mathcal{E}_L(t_0^{+}) - \mathcal{E}_L(t_0^{-})</math> <math>\neq 0\;</math> et pour démontrer l'absurdité de cette proposition, considérons un intervalle de temps entourant cet instant <math>\;t_0\;</math> soit <math>\;\left[ t_0 - \varepsilon\; ;\; t_0 + \varepsilon \right]\;</math> sur lequel nous écrivons le bilan énergétique de la bobine parfaite <math>\;W_{e,\,r\;\text{sur }\left[ t_0 - \varepsilon\; ;\; t_0 + \varepsilon \right]}(L) =</math> <math>\mathcal{E}_L(t_0 + \varepsilon) - \mathcal{E}_L(t_0 - \varepsilon)\;</math> ou, en divisant par la durée <math>\;2\; \varepsilon\;</math> et en faisant tendre <math>\;\varepsilon\;</math> vers <math>\;0\;</math> pour obtenir à gauche la puissance instantanée électrique reçue par la bobine parfaite à l'instant <math>\;t_0</math>, on obtient <math>\;\mathcal{P}_{e,\,r,\,L}(t_0) =</math> <math>\lim\limits_{\varepsilon\, \rightarrow\, 0} \dfrac{\Delta \mathcal{E}_L(t_0)}{2\;\varepsilon} = \infty\;</math> dont l'impossibilité dans un circuit « réel »</u><ref name="circuit réel" /> démontre, par l'absurde, la continuité de l'énergie électromagnétique stockée dans la bobine parfaite. {{Al|5}}<u>Conséquences</u> : l'énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite étant <u>toujours continue</u> dans un circuit « <u>réel</u> »<ref name="circuit réel" />, <u>il en est de même de l'intensité </u><math>\big(</math><u>instantanée</u><math>\big)</math><u> du courant de la bobine parfaite</u> <math>\;i(t)\;</math><ref> Cela résulte de l'expression de l'énergie électromagnétique instantanée stockée dans la bobine parfaite en fonction de l'intensité du courant la traversant.</ref>, mais nous n'avons aucun résultat sur la tension aux bornes de la bobine parfaite qui peut donc être discontinue avec saut fini de valeurs ; {{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : }}reprenant le circuit d'établissement du courant dans la bobine parfaite précédemment introduite « source de tension, interrupteur <math>\;K</math>, conducteur ohmique et bobine parfaite <math>\;\big(</math>initialement traversé par aucun courant<ref name="initialement traversée par aucun courant" /><math>\big)</math>, tous en série », « quand nous fermons <math>\;K\;</math> nous créons une variation très rapide de tension aux bornes de ce dernier »<ref name="fermeture de K" /> que nous modélisons par une discontinuité de tension à l'instant <math>\;0\;</math> aux bornes de <math>\;K</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : }}compte tenu de la loi de maille, cette discontinuité de tension aux bornes de <math>\;K\;</math> doit se retrouver « sous forme opposée » aux bornes d'un autre dipôle, ce n'est pas aux bornes de la source car la tension reste constante, ce n'est pas aux bornes du conducteur ohmique car l'intensité du courant devant être continue il en est de même de la tension aux bornes du conducteur ohmique, c'est donc aux bornes de la bobine parfaite et par suite on en déduit que <u>la tension aux bornes de la bobine parfaite est discontinue à l'instant</u> <math>\;0\;</math> <u>de fermeture de l'interrupteur</u> <math>\big[</math>tension nulle pour <math>\;0^{-}\;</math> et non nulle pour <math>\;0^{+}\big]</math>. == Retour sur les sources idéales de tension ou de courant en régime permanent, cas particulier de l'alimentation stabilisée, expression de la puissance électrique fournie == === Rappel sur les sources de tension parfaites === {{Al|5}}Une source de tension parfaite est un D.A.L<ref name="D.A.L." />. à résistance interne nulle, dont l'équation de sa caractéristique statique « courant - tension » est <math>\;U = U_0\;\;\forall\; I\;</math> en convention générateur <ref> L'équation ne faisant pas apparaître l'intensité c'est aussi l'équation en convention récepteur.</ref>, représentée dans un circuit par « l'ensemble cercle et trait “longitudinal” <ref> C.-à-d. dans la même direction que les fils d'amenée et de départ.</ref> avec flèche tension et indication de la tension à vide <math>\;U_0\;</math> à côté » ; {{Al|5}}un accumulateur ayant toujours une résistance interne très faible peut être en 1^ère approximation considéré comme une source de tension parfaite. {{Al|5}}<u>La puissance électrique instantanée fournie par la source de tension parfaite au reste du circuit</u> étant <math>\;\mathcal{P}_{e,\,f} = U\;I = U_0\;I\;</math> <u>est proportionnelle à l'intensité</u> <math>\;I\;</math> <u>du courant délivré</u> ; {{Al|5}}si le reste du circuit est un conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> le courant y circulant est <math>\;I = \dfrac{U_0}{R}\;</math> et la puissance électrique instantanée fournie par la source au conducteur ohmique étant <math>\;\mathcal{P}_{e,\,f} = U_0\;I</math> <math>= \dfrac{U_0^2}{R}\;</math> est « d'autant plus grande que <math>\;R\;</math> est petite ». === Rappel sur les sources de courant parfaites === {{Al|5}}Une source de courant parfaite est un D.A.L<ref name="D.A.L." />. à résistance interne infinie, dont l'équation de sa caractéristique statique « courant - tension » est <math>\;I = I_{c.c.}\;\;\forall\; U\;</math> en convention générateur<ref> L'équation ne faisant pas apparaître la tension c'est aussi l'équation en convention récepteur.</ref>, représentée dans un circuit par « l'ensemble cercle et trait “transversal”<ref> C.-à-d. perpendiculaire à la direction des fils d'amenée et de départ.</ref> avec flèche courant sur le fil de départ et indication de l'intensité de court-circuit <math>\;I_{c.c.}\;</math> à côté » ; {{Al|5}}essentiellement les sources de courant parfaites sont des dispositifs électroniques comme les alimentations stabilisées avec un fonctionnement en source de courant parfaite sous conditions <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>La puissance électrique instantanée fournie par la source de courant parfaite au reste du circuit</u> étant <math>\;\mathcal{P}_{e,\,f} = U\;I = U\;I_{c.c.}\;</math> <u>est proportionnelle à la tension commune</u> <math>\;U\;</math> <u>aux bornes de la source et du reste du circuit</u> ; {{Al|5}}si le reste du circuit est un conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> la tension commune est <math>\;U = R\;I_{c.c.}\;</math> et la puissance électrique instantanée fournie par la source au conducteur ohmique étant <math>\;\mathcal{P}_{e,\,f} =</math> <math>U\;I_{c.c.} = R\;I_{c.c.}^2\;</math> est « d'autant plus grande que <math>\;R\;</math> est grande ». === Notion d'alimentation stabilisée (A.S.) === [[File:Alimentation stabilisée - caractéristique.png|thumb|290px|Caractéristique statique courant - tension d'une alimentation stabilisée en convention générateur et ses fonctionnements si elle alimente un conducteur ohmique]] {{Al|5}}Une alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math> est un dispositif électronique fonctionnant en sources de tension ou de courant parfaites suivant le reste du circuit aux bornes duquel elle est branchée, la tension à vide <math>\;U_0\;</math> de la partie source idéale de tension est réglable et dans certaines A.S<ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée.</ref>. l'intensité de {{Nobr|court-circuit}} <math>\;\big(</math>usuellement notée <math>\;I_0\;</math> au lieu de <math>\;I_{c.c.}\;</math> pour une A.S<ref name="A.S." />.<math>\big)\;</math> l'est aussi<ref> Mais dans les A.S. de base utilisables en T.P. de laboratoire elle est fixée égale à <math>\;200\; mA</math>.</ref> ; {{Al|5}}ci-contre la caractéristique statique « courant - tension » d'une A.S<ref name="A.S." />. en convention générateur, le fonctionnement de l'A.S<ref name="A.S." />. étant conditionnel, il dépend du dipôle extérieur aux bornes duquel elle est branchée ; considérant un conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> variable, * pour les fortes valeurs de résistance<ref name="deux dipôles formant un circuit série> La résistance d'un conducteur ohmique étant la pente de sa caractéristique statique « courant - tension » en convention récepteur dans la représentation de l'électricien d'une part et d'autre part quand deux dipôles forment un circuit série, avec choix de définition d'une tension commune et d'une intensité commune pour les deux dipôles, quand l'un est en convention générateur, l'autre est en convention récepteur.</ref> <math>\;\big(</math>exemple <math>\;R_1\;</math> en rouge<math>\big)\;</math> l'A.S<ref name="A.S." />. fonctionne en source de tension parfaite, <math>\;U = U_0\;</math> et <math>\;I = I_1 =</math> <math>\dfrac{U_0}{R_1} < I_0</math>, * pour les faibles valeurs de résistance<ref name="deux dipôles formant un circuit série /> <math>\;\big(</math>exemple <math>\;R_2\;</math> en bleu<math>\big)\;</math> l'A.S<ref name="A.S." />. fonctionne en source de courant parfaite, <math>\;I = I_0\;</math> et <math>\;U = U_2 =</math> <math>R_2\;I_0 < U_0</math> ; {{Al|5}}il existe donc une résistance critique <math>\;R_c = \dfrac{U_0}{I_0}\;</math> à partir de laquelle il y a changement de fonctionnement de l'A.S<ref name="A.S." />. : <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> si <math>\;R < R_c\;</math> l'A.S<ref name="A.S." />. fonctionne en source de courant parfaite et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> si <math>\;R > R_c\;</math> elle fonctionne en source de tension parfaite ; {{Al|5}}l'usage le plus fréquent d'une A.S<ref name="A.S." />. est son fonctionnement en source de tension parfaite, la tension imposée au reste du circuit demeure alors constante égale à <math>\;U_0\;</math> avec une intensité inférieure à {{Nobr|<math>\;I_0</math>,}} si la « résistance statique du reste du circuit » <ref> C.-à-d. le rapport « tension aux bornes sur intensité du courant traversant » en convention récepteur soit <math>\;\mathcal{R}_{\text{stat}} = \dfrac{U}{I}</math>.</ref> venait à chuter entraînant une augmentation de l'intensité du courant le traversant, cette dernière doit rester inférieure à <math>\;I_0\;</math> pour que l'A.S<ref name="A.S." />. fonctionne toujours en source idéale de tension et si ce n'est pas le cas le fonctionnement de l'A.S<ref name="A.S." />. bascule en source idéale de courant, l'intensité demeurant alors égale à <math>\;I_0\;</math> et la tension chutant au-dessous de <math>\;U_0</math> ; dans ces conditions d'utilisation <math>\;I_0\;</math> joue le rôle d'intensité maximale tolérée pour avoir une tension constante. {{Al|5}}La puissance électrique instantanée fournie par l'A.S<ref name="A.S." />. au reste du circuit étant <math>\;\mathcal{P}_{e,\,f} = U\; I</math>, elle s'écrit, * quand l'A.S<ref name="A.S." />. fonctionne en source de tension parfaite, <math>\;\mathcal{P}_{e,\,f} = U_0\; I\;</math> et, * quand elle fonctionne en source de courant parfaite, <math>\;\mathcal{P}_{e,\,f} = U\; I_0</math> ; {{Al|5}}si le reste du circuit est un conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> si <math>\;R > R_c</math>, l'A.S<ref name="A.S." />. fonctionnant en source de tension parfaite, l'intensité du courant délivré s'obtient par <math>\;I = \dfrac{U_0}{R} < I_0\;</math> et la puissance électrique instantanée fournie par la source au conducteur ohmique s'écrit <math>\;\mathcal{P}_{e,\,f} = U_0\; I = \dfrac{U_0^2}{R} < U_0\;I_0\;</math><ref name="puissance maximale d'une A.S."> La puissance instantanée électrique instantanée fournie par l'A.S. en tant que source idéale de tension ou de courant reste toujours inférieure à <math>\;U_0\; I_0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> si <math>\;R < R_c</math>, l'A.S<ref name="A.S." />. fonctionnant en source de courant parfaite, la tension commune aux bornes de l'A.S<ref name="A.S." />. et du conducteur ohmique s'obtient par <math>\;U = R\; I_0 < U_0\;</math> et la puissance électrique instantanée fournie par la source au conducteur ohmique s'écrit <math>\;\mathcal{P}_{e,\,f} = U\; I_0 = R\;I_0^2 < U_0\;I_0\;</math><ref name="puissance maximale d'une A.S." />. == Modélisation linéaire de Thévenin d'une source non idéale en régime permanent == === Modélisation linéaire de Thévenin d'une source réelle (de résistance interne finie) en régime permanent === [[File:Générateur de Thévenin équivalent.png|thumb|300px|Modélisation linéaire de Thévenin<ref name="Thévenin"> '''[[w:Léon_Charles_Thévenin|Léon Charles Thévenin]] (1857 - 1926)''' ingénieur français en télégraphie, à l'origine des simplifications des circuits électriques par linéarisation, on lui doit essentiellement le « [[w:Théorème_de_Thévenin|théorème portant son nom]] » énoncé en <math>\;1883</math>.</ref> d'une source réelle de résistance interne finie en régime permanent <math>\;\big(</math>convention générateur<math>\big)\;</math>]] {{Al|5}}Une source réelle de résistance interne finie suit la loi d'Ohm généralisée qui s'écrit, en convention générateur <math>\;U =</math> <math>U_0 - r\;I\;</math> où <math>\;U_0\;</math> est la tension à vide de la source et <math>\;r\;</math> sa résistance interne ; {{Al|5}}cette tension étant la somme de deux tensions s'écrivant, en convention générateur, <math>\;U_1 = U_0\;\; \forall\; I\;</math> et <math>\;U_2 = -r\; I</math>, on peut donc affirmer que « <u>la source réelle de résistance interne finie</u> » <u>est équivalente à</u> « <u>une association série d'une source de tension parfaite</u> de tension à vide <math>\;U_0\;</math> <u>et d'un conducteur ohmique</u> de résistance <math>\;r\;</math>», cette association équivalente définissant la modélisation de Thévenin<ref name="Thévenin" /> de la source réelle, encore appelée « <u>générateur de Thévenin équivalent</u> », voir « modélisation ci-contre » <ref> C'est ce modèle qu'il faut représenter effectivement quand on demande le générateur de Thévenin équivalent.</ref> ; {{Al|5}}il faut être capable de lire directement la loi d'Ohm généralisée sur le modèle représenté ci-contre : somme de deux tensions <math>\;\big(</math>en convention générateur<math>\big)</math>, la 1^ère, celle du bas, <math>\;U_0\;</math> et la 2^ème, celle du haut, <math>\;-r\;I\;</math><ref name="signe -"> Attention, penser au signe <math>\;-\;</math> dû à la convention générateur.</ref>. === Bilan de puissance de la source réelle de résistance interne finie === {{Al|5}}Partant de la loi d'Ohm généralisée en convention générateur, on multiplie de part et d'autre par <math>\;I\;</math> de façon à faire apparaître la « puissance électrique instantanée fournie par la source réelle » <ref name="fournie - reçue"> Qui est aussi la puissance électrique instantanée reçue par le dipôle extérieur aux bornes duquel est branchée la source réelle.</ref> dans le membre de gauche soit <div style="text-align: center;"><math>\;U\; I = U_0\; I - r\; I^2</math>,</div> {{Al|5}}le 1^er terme du membre de droite <math>\;U_0\; I\;</math> étant la puissance électrique instantanée fournie par la composante idéale de la source et <br>{{Al|5}}le 2^ème terme <math>\;-r\; I^2\;</math> la puissance électrique instantanée fournie par la composante résistive de la source, correspondant à une puissance électrique instantanée <math>\;r\; I^2\;</math> reçue par cette composante résistive, puissance intégralement dissipée sous forme calorifique dans cette composante, c'est-à-dire encore dans la source réelle ; {{Al|5}}on peut réécrire le <u>bilan de puissance dans la source réelle de résistance interne finie</u> de la façon suivante <div style="text-align: center;"><math>\;U_0\;I = U\; I + r\;I^2\;</math></div> {{Al|5}}c'est-à-dire que « <u>la puissance électrique instantanée fournie par la composante idéale de la source</u> » se retrouve en « <u>puissance instantanée électrique reçue par le dipôle extérieur</u> aux bornes duquel la source est branchée » et en « <u>puissance calorifique dissipée dans la source réelle</u> », cette dernière composante représentant une perte de puissance. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on peut définir le « rendement électrique de la source » par <math>\;\eta_{\text{source}} = \dfrac{\mathcal{P}_{e,\,f\,\text{par source réelle}}(t)}{\mathcal{P}_{e,\,f\,\text{par source idéale}}(t)} = \dfrac{U\;I}{U_0\;I} = \dfrac{U}{U_0}\;</math> s'écrivant encore, avec la loi d'Ohm généralisée, <math>\;\eta_{\text{source}} = \dfrac{U_0 - r\;I}{U_0} =</math> <math>1 - \dfrac{r\;I}{U_0}\;</math><ref> Le 2^ème terme <math>\;\dfrac{r\;I}{U_0}\;</math> représentant la fraction de perte énergétique due à l'effet Joule dans la source réelle et le rendement électrique d'une source idéale de tension étant égal à <math>\;1</math>.</ref>. == Modélisation linéaire de Norton d'une source non idéale en régime permanent == === Modélisation linéaire de Norton d'une source réelle (de résistance interne non nulle) en régime permanent === [[File:Générateur de Norton équivalent.png|thumb|300px|Modélisation linéaire de Norton<ref name="Norton"> '''[[w:Edward_Lawry_Norton|Edward Lawry Norton]] (1898 - 1983)''' ingénieur en électricité américain, à qui on doit essentiellement le « [[w:Théorème_de_Norton|théorème portant son nom]] » énoncé en <math>\;1926</math>.</ref> d'une source réelle de résistance interne non nulle en régime permanent <math>\;\big(</math>convention générateur<math>\big)\;</math>]] {{Al|5}}Une source réelle de résistance interne non nulle suit la loi d'Ohm généralisée qui s'écrit, en convention générateur <math>\;I =</math> <math>I_{c.c.} - g\;U\;</math> où <math>\;I_{c.c.}\;</math> est l'intensité de court-circuit de la source et <math>\;g\;</math> sa conductance interne ; {{Al|5}}cette intensité étant la somme de deux intensités s'écrivant, en convention générateur, <math>\;I_1 = I_{c.c.}\;\; \forall\; U\;</math> et <math>\;I_2 =</math> <math>-g\; U</math>, on peut donc affirmer que « <u>la source réelle de résistance interne non nulle</u> » <u>est équivalente à</u> « <u>une association parallèle d'une source de courant parfaite</u> d'intensité de court-circuit <math>\;I_{c.c.}\;</math> <u>et d'un conducteur ohmique</u> de conductance <math>\;g\;</math>»<ref name="lien conductance résistance"> On rappelle que la conductance est l'inverse de la résistance soit <math>\;g = \dfrac{1}{r}</math>.</ref>, cette association équivalente définissant la modélisation de Norton<ref name="Norton" /> de la source réelle, encore appelée « <u>générateur de Norton équivalent</u> », voir « modélisation ci-contre »<ref name="résistance à côté du symbole"> On rappelle que c'est toujours la résistance et non la conductance <math>\;\big(</math>qui est son inverse<math>\big)\;</math> que l'on met à côté du symbole d'un conducteur ohmique.</ref>{{,}}<ref> C'est ce modèle qu'il faut représenter effectivement quand on demande le générateur de Norton équivalent.</ref> ; {{Al|5}}il faut être capable de lire directement la loi d'Ohm généralisée sur le modèle représenté ci-contre : somme de deux intensités <math>\;\big(</math>en convention générateur<math>\big)</math>, la 1^ère, celle du gauche, <math>\;I_{c.c.}\;</math> et la 2^ème, celle du droite, <math>\;-g\;U =</math> <math>-\dfrac{U}{r}\;</math><ref name="signe -" />{{,}}<ref name="lien conductance résistance" />. === Représentation équivalente de Thévenin d'une source réelle (de résistance interne non nulle) en régime permanent connaissant sa représentation linéaire de Norton et vice versa === {{Al|5}}On passe de la représentation linéaire de Norton d'une source réelle de résistance interne non nulle en régime permanent caractérisée par son intensité de court-circuit <math>\;I_{c.c.}\;</math> et sa conductance interne <math>\;g\;</math><ref name="résistance à côté du symbole" /> en convention générateur <br>{{Al|5}}{{Transparent|On passe }}à sa représentation linéaire équivalente de Thévenin dans la même convention générateur par <div style="text-align: center;"><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}r = \dfrac{1}{g}\\ U_0 = r\;I_{c.c.} = \dfrac{I_{c.c.}}{g} \end{array}\right\rbrace</math> ;</div> {{Al|5}}on passe de la représentation linéaire de Thévenin d'une source réelle de résistance interne finie en régime permanent caractérisée par sa tension à vide <math>\;U_0\;</math> et sa résistance interne <math>\;r\;</math> en convention générateur <br>{{Al|6}}{{Transparent|on passe }}à sa représentation linéaire équivalente de Norton dans la même convention générateur par <div style="text-align: center;"><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}g = \dfrac{1}{r}\\ I_{c.c.} = g\;U_0 = \dfrac{U_0}{r} \end{array}\right\rbrace</math>.</div> === Bilan de puissance de la source réelle de résistance interne non nulle === {{Al|5}}Partant de la loi d'Ohm généralisée en convention générateur sous la forme <math>\;I\;</math> en fonction de <math>\;U</math>, on multiplie de part et d'autre par <math>\;U\;</math> de façon à faire apparaître la « puissance électrique instantanée fournie par la source réelle »<ref name="fournie - reçue" /> dans le membre de gauche soit <div style="text-align: center;"><math>\;I\; U = I_{c.c.}\; U - g\; U^2</math>,</div> {{Al|5}}le 1^er terme du membre de droite <math>\;I_{c.c.}\; U\;</math> étant la puissance électrique instantanée fournie par la composante idéale de la source et <br>{{Al|5}}le 2^ème terme <math>\;-g\; U^2\;</math> la puissance électrique instantanée fournie par la composante résistive de la source, correspondant à une puissance électrique instantanée <math>\;g\; U^2 = \dfrac{U^2}{r}\;</math> reçue par cette composante résistive, puissance intégralement dissipée sous forme calorifique dans cette composante, c'est-à-dire encore dans la source réelle ; {{Al|5}}on peut réécrire le <u>bilan de puissance dans la source réelle de résistance interne non nulle</u> de la façon suivante <div style="text-align: center;"><math>\;I_{c.c.}\;U = I\; U + g\;U^2 = I\;U + \dfrac{U^2}{r}\;</math></div> {{Al|5}}c'est-à-dire que « <u>la puissance électrique instantanée fournie par la composante idéale de la source</u> » se retrouve en « <u>puissance instantanée électrique reçue par le dipôle extérieur</u> aux bornes duquel la source est branchée » et en « <u>puissance calorifique dissipée dans la source réelle</u> », cette dernière composante représentant une perte de puissance. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on peut définir le « rendement électrique de la source » par <math>\;\eta_{\text{source}} = \dfrac{\mathcal{P}_{e,\,f\,\text{par source réelle}}(t)}{\mathcal{P}_{e,\,f\,\text{par source idéale}}(t)} = \dfrac{I\;U}{I_{c.c.}\;U} = \dfrac{I}{I_{c.c.}}\;</math> s'écrivant encore, avec la loi d'Ohm généralisée, <math>\;\eta_{\text{source}} = \dfrac{I_{c.c.} - g\;U}{I{c.c.}}</math> <math>= 1 - \dfrac{g\;U}{I_{c.c.}}\;</math><ref> Le 2^ème terme <math>\;\dfrac{g\;U}{I_{c.c.}}\;</math> représentant la fraction de perte énergétique due à l'effet Joule dans la source réelle et le rendement électrique d'une source idéale de courant étant égal à <math>\;1</math>.</ref>. == Notion de « f.e.m. » d'une source non idéale de résistance interne finie en régime permanent, lien avec la « tension à vide » == === Notion de « f.e.m. » (algébrisée) d'une source réelle de résistance interne finie en régime permanent === [[File:Pile - forces sur porteurs de charge mobiles.png|thumb|300px|Forces sur les porteurs mobiles de charge <math>\;q_p > 0\;</math> à l'intérieur d'une source réelle de résistance interne finie non nulle]] {{Al|5}}La notion de « f.e.m. »<ref> « Force électromotrice », il s'agit du nom historique qui est conservé de nos jours même si cela prête à confusion car ce n'est absolument pas une force ; pour éviter toute équivoque il est préférable d'utiliser son acronyme « f.e.m. ».</ref> est liée à celle de « champ électromoteur » de même que <br>{{Al|11}}celle de « tension (ou d.d.p.) » est liée à celle de « champ électrique » ; {{Al|5}}considérons ci-contre l'intérieur d'une source réelle de résistance interne finie non nulle <math>\;\big(</math>par exemple une pile<math>\big)\;</math> et un porteur mobile de charge positive <math>\;q_p > 0\;</math> se déplaçant dans le sens du courant <math>\;\big[</math>c'est-à-dire qu'il remonte les potentiels <math>\;-\;</math> son mouvement contribue donc à la positivité de l'intensité <math>\;I\;</math> du courant, la tension <math>\;U\;</math> aux bornes de la source <math>\;\big(</math>avec choix d'une convention générateur<math>\big)\;</math> étant positive<math>\big]</math> ; il est soumis, quand il occupe la position <math>\;M</math>, à * une force motrice <math>\;q_p\; \vec{E}_{\text{électromot}}(M)</math> <math>\;\big(</math>en rouge ci-contre<math>\big)\;</math> due à l'existence du champ électromoteur et * deux forces résistives <math>\;\big(</math>toutes deux en bleu ci-contre<math>\big)\;</math> la force électrique <math>\;q_p\; \vec{E}(M)\;</math> et la force de résistance à l'avancement <math>\;\vec{F}_{q_p\, \leftarrow\, \text{ions}}(M)\;</math><ref name="condition de force de résistance à l'avancement dans une source"> D'une part cette force n'existe pas dans une source de résistance interne nulle <math>\;\big(</math>mais dans la pratique une source réelle a toujours une résistance interne non nulle fût-elle petite<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|3}}d'autre part son existence nécessite qu'il y ait déplacement du porteur c.-à-d. qu'il y ait courant, alors que les deux autres forces existent même en sortie ouverte.</ref> due à l'interaction des ions sur le porteur ; {{Al|5}}ces forces sont liées selon <math>\;q_p\; \vec{E}_{\text{électromot}}(M) + q_p\; \vec{E}(M) + \vec{F}_{q_p\, \leftarrow\, \text{ions}}(M) = \vec{0}\;</math><ref name="Mouvement des porteurs uniforme en régime permanent"> En effet nous nous plaçons en régime permanent c.-à-d. que l'intensité <math>\;I\;</math> du courant reste constante correspondant à un mouvement moyen uniforme d'un porteur mobile de charge.</ref> dont on tire <div style="text-align: center;"><math>\;\vec{E}_{\text{électromot}}(M) = -\vec{E}(M) - \dfrac{\vec{F}_{q_p\, \leftarrow\, \text{ions}}(M)}{q_p}\;\;\left( \mathfrak{a} \right)</math> ;</div> {{Al|5}}on définit la « <u>f.e.m. (algébrique)</u> <math>\;e\;</math> <u>créée dans la pile</u> » par la « <u>circulation du champ électromoteur</u><ref name="circulation d'un champ vectoriel"> Voir la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] (circulation d'un champ vectoriel le long d'une courbe d'un point origine à un point extrémité) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\vec{E}_{\text{électromot}}(M)\;</math> <u>le long d'une courbe</u> <math>\;(\Gamma)</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math><u>judicieusement</u>}}<u> choisie</u><math>\big)\;</math><ref> On peut choisir n'importe quelle courbe si la pile est en sortie ouverte <math>\;\big(</math>c.-à-d. en absence de courant délivrée par elle<math>\big)\;</math> et, <br>{{Al|3}}dans le cas où la pile est fermée sur un récepteur <math>\;\big(</math>c.-à-d. en présence d'un courant délivrée par la pile<math>\big)</math>, on choisit comme courbe une ligne de champ électromoteur <math>\;\big(</math>c.-à-d. une courbe tangente au champ électromoteur en chacun de ses points et orienté par lui <math>\;-\;</math> c'est aussi une courbe suivant le déplacement moyen des porteurs mobiles de charge positive, courbe qu'on appellera ultérieurement “ligne de courant”<math>\big)</math>.</ref> de la borne <math>\;N\;</math> vers la borne <math>\;P\;</math>» ; le sens d'intégration de la borne <math>\;N\;</math> vers la borne <math>\;P\;</math> définit le sens <math>\;+\;</math> de f.e.m., ce dernier étant donc aussi le sens <math>\;+\;</math> du courant soit finalement le lien suivant entre f.e.m. et champ électromoteur <div style="text-align: center;"><math>\;e = \displaystyle\int_{N \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} P} \vec{E}_{\text{électromot}}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dM}\;</math><ref> Dans l'exemple du schéma la f.e.m. est <math>\;> 0\;</math> car le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> étant dans le sens de <math>\;\vec{E}_{\text{électromot}}(M)</math>, la circulation élémentaire <math>\;\vec{E}_{\text{électromot}}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref> <ref name="méthode de calcul d'une intégrale curviligne"> Pour l'instant il n'est pas nécessaire de savoir calculer la f.e.m. à partir du champ électromoteur, ceci n'étant donné que pour définir correctement la f.e.m., mais si on souhaitait le faire, on pourrait se reporter au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Méthode_de_calcul_d'une_intégrale_curviligne_sur_une_portion_de_courbe_continue|méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>avec <u>le sens </u><math>\;+\;</math><u> de f.e.m. toujours choisi dans le sens </u><math>\;+\;</math><u> du courant</u> <ref> Qui est aussi le sens <math>\;+\;</math> de tension en convention générateur.</ref>.</div> === Définition de la tension aux bornes d'une source réelle de résistance interne finie, lien entre « f.e.m. » et « tension à vide » en convention générateur === {{Al|5}}Multiplions scalairement la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> par <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> et intégrons de <math>\;N\;</math> vers <math>\;P\;</math> le long de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> précédemment choisie de façon à définir, dans le membre de gauche, la f.e.m. algébrique <math>\;e</math>, on obtient alors <div style="text-align: center;"><math>\;e = \displaystyle\int_{N \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} P} \vec{E}_{\text{électromot}}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dM} = \displaystyle\int_{N \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} P} -\vec{E}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dM} + \displaystyle\int_{N \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} P} \dfrac{-\vec{F}_{q_p\, \leftarrow\, \text{ions}}(M)}{q_p}\! \cdot\! \overrightarrow{dM}\;\;(\mathfrak{b})</math>.</div> {{Définition|titre = Définition de la tension « U = V_P - V_N » aux bornes d'une source réelle de résistance finie| contenu ={{Al|5}}La tension <math>\;U = V_P - V_N\;</math> aux bornes de la source réelle de résistance interne finie<ref> Cette définition est applicable même si la résistance interne est nulle.</ref> est liée au champ électrique existant en son intérieur par <div style="text-align: center;"><math>\;U = V_P - V_N = \displaystyle\int_{N \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} P} -\vec{E}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dM}</math>, <br>l'intégration<ref> En fait l'intégration faite le long de n'importe quelle courbe continue passant par les points <math>\;N\;</math> et <math>\;P\;</math> donne le même résultat, la circulation du champ électrique d'un point origine vers un point extrémité étant la même quelle que soit la courbe passant par ces deux points on dit que le champ électrique est un « champ à circulation conservative ».</ref> étant faite dans le sens <math>\;+\;</math> de tension.</div>}} * Le 1^er terme de la somme de la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> est donc la tension <math>\;U = V_P - V_N\;</math> aux bornes de la source réelle<ref> En effet, dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, l'intégration est faite dans le sens <math>\;+\;</math> d'intensité de courant, mais, en convention générateur, c'est aussi le sens <math>\;+\;</math> de tension.</ref> de résistance interne finie, tension qui est <math>\;> 0\;</math><ref name="dV positif"> Compte-tenu du fait que le champ électrique est toujours dans le sens décroissant des potentiels, que ce soit à l'intérieur d'un générateur ou d'un récepteur, le sens de <math>\;-\vec{E}(M)\;</math> est donc le sens croissant des potentiels d'où, l'intégration nécessitant que <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> soit aussi dans ce sens, <math>\;dV = -\vec{E}(M) \cdot \overrightarrow{dM} > 0</math>.</ref> ; * le 2^ème terme de la somme de la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, à savoir <math>\;\displaystyle\int_{N \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} P} \dfrac{-\vec{F}_{q_p\, \leftarrow\, \text{ions}}(M)}{q_p}\! \cdot\! \overrightarrow{dM}</math>, n'existant que si la résistance interne de la source est <math>\;\neq 0\;</math> d'une part et d'autre part si la source n'est pas en sortie ouverte <math>\;\big(</math>c'est-à-dire si la source est traversée par un courant<math>\big)</math>, <br>{{Transparent|le 2^ème terme de la somme de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}</math>, }}est aussi <math>\;> 0\;</math><ref name="intégrale positive"> Si le courant est délivré par la source réelle donc à l'intérieur de celle-ci de <math>\;N\;</math> vers <math>\;P</math>, <math>\;\dfrac{\vec{F}_{q_p\, \leftarrow\, \text{ions}}(M)}{q_p}\;</math> est de <math>\;P\;</math> vers <math>\;N\;</math> et <math>\;\dfrac{-\vec{F}_{q_p\, \leftarrow\, \text{ions}}(M)}{q_p}\;</math> est de <math>\;N\;</math> vers <math>\;P\;</math> d'où, l'intégration nécessitant que <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> soit aussi dans ce sens, <math>\;\dfrac{-\vec{F}_{q_p\, \leftarrow\, \text{ions}}(M)}{q_p}\! \cdot\! \overrightarrow{dM} > 0</math>.</ref>, avec une valeur d'autant plus grande que le courant passe difficilement<ref name="variation de force de résistance à l'avancement"> En effet cela correspondant à une augmentation de la norme de <math>\;\dfrac{\vec{F}_{q_p\, \leftarrow\, \text{ions}}(M)}{q_p}</math>.</ref> c'est-à-dire que la « résistance interne <math>\;r\;</math> est grande », pour cette raison il est identifié au terme de « chute ohmique » aux bornes de la partie résistive de la source réelle <math>\;\displaystyle\int_{N \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} P} \dfrac{-\vec{F}_{q_p\, \leftarrow\, \text{ions}}(M)}{q_p}\! \cdot\! \overrightarrow{dM} =</math> <math>r\;I</math> ; {{Al|5}}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> se réécrit donc <math>\;e = U + r\; I\;</math> ou <math>\;U = e - r\;I</math>, la tension à vide <math>\;U_0\;</math> correspondant à la tension quand l'intensité du courant est nulle, nous en déduisons <div style="text-align: center;"><math>\;U_0 = e\;</math><ref> En sortie ouverte la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> étant <math>\;\vec{E}_{\text{électromot}}(M) = -\vec{E}_0(M)</math>, la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> se réécrit <math>\;e = \displaystyle\int_{N \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} P} \vec{E}_{\text{électromot}}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dM} =</math> <math>\displaystyle\int_{N \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} P} -\vec{E}_0(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dM}\;</math> où <math>\;\displaystyle\int_{N \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} P} -\vec{E}_0(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dM}</math> <math>= U_0</math>.</ref> en convention générateur.</div> === Cas d'une source réelle de résistance interne finie fonctionnant en récepteur avec choix de la convention récepteur === {{Al|5}}Par exemple on veut recharger un accumulateur, pour cela il faut qu'un courant entre par sa borne <math>\;+\;</math> et sorte par sa borne <math>\;-</math>, ce qui doit provenir d'un générateur extérieur de tension à vide légèrement supérieure à celle de l'accumulateur, monté en « opposition avec lui » <ref> Ce qui signifie que la borne <math>\;+\;</math> du générateur extérieur est relié à la borne <math>\;+\;</math>» de l'accumulateur <math>\;\big(</math>éventuellement par l'intermédiaire de conducteurs ohmiques<math>\big)</math>, les bornes <math>\;-\;</math>» étant également reliées entre elles de la même façon.</ref>, l'accumulateur fonctionnant alors comme un récepteur <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessous avec le choix de la convention récepteur<math>\big)</math>. [[File:Pile - forces sur porteurs de charge mobiles - bis.png|thumb|300px|Forces sur les porteurs mobiles de charge <math>\;q_p > 0\;</math> à l'intérieur d'une source réelle de résistance interne finie non nulle fonctionnant en récepteur]] {{Al|5}}Considérons ci-contre l'intérieur d'un accumulateur possédant une résistance interne non nulle<ref> Même si, en pratique, cette résistance interne toujours très petite est souvent considérée comme nulle.</ref> en phase de recharge et un porteur mobile de charge positive <math>\;q_p > 0\;</math> se déplaçant dans le sens du courant <math>\;\big[</math>c'est-à-dire qu'il descend les potentiels, l'accumulateur fonctionnant en récepteur <math>\;-\;</math> le mouvement du porteur mobile de charge positive contribuant à la positivité de l'intensité <math>\;I\;</math> du courant, la tension <math>\;U\;</math> aux bornes de l'accumulateur en phase de recharge {{Nobr|<math>\;\big(</math>avec}} choix d'une convention récepteur<math>\big)\;</math> étant positive<math>\big]</math> ; le porteur mobile de charge positive est soumis, quand il occupe la position <math>\;M</math>, à * une force électrique motrice <math>\;q_p\; \vec{E}(M)</math> <math>\;\big(</math>en rouge ci-contre<math>\big)\;</math> due à l'existence du champ électrique imposé par le générateur extérieur et * deux forces résistives <math>\;\big(</math>en bleu ci-contre<math>\big)\;</math> d'une part la force due à l'existence du champ électromoteur <math>\;q_p\; \vec{E}_{\text{électromot}}(M)\;</math> et d'autre part la force de résistance à l'avancement <math>\;\vec{F}_{q_p\, \leftarrow\, \text{ions}}(M)\;</math><ref name="condition de force de résistance à l'avancement dans une source" /> due à l'interaction des ions sur le porteur ; {{Al|5}}ces forces sont liées selon <math>\;q_p\; \vec{E}_{\text{électromot}}(M) + q_p\; \vec{E}(M) + \vec{F}_{q_p\, \leftarrow\, \text{ions}}(M) = \vec{0}\;</math><ref name="Mouvement des porteurs uniforme en régime permanent" /> dont on tire <div style="text-align: center;"><math>\;\vec{E}_{\text{électromot}}(M) = -\vec{E}(M) - \dfrac{\vec{F}_{q_p\, \leftarrow\, \text{ions}}(M)}{q_p}\;\;\left( \mathfrak{a} \right)</math> ;</div> {{Al|5}}on définit la « <u>f.e.m. </u><math>\big(</math><u>algébrique</u><math>\big)</math> <math>\;e\;</math> <u>dans l'accumulateur en phase de recharge</u> » par la « <u>circulation du champ électromoteur</u><ref name="circulation d'un champ vectoriel" /> en son intérieur <math>\;\vec{E}_{\text{électromot}}(M)\;</math> <u>le long d'une courbe </u><math>\big(</math><u>judicieusement choisie</u><math>\big)\;</math><ref> L'accumulateur étant en phase de recharge il est traversé par un courant, on choisit comme courbe suivant le déplacement moyen des porteurs mobiles de charge positive, courbe qu'on appellera ultérieurement “ligne de courant”.</ref> <math>\;(\Gamma)\;</math> de la borne <math>\;P\;</math> vers la borne <math>\;N\;</math>» ; le sens d'intégration de la borne <math>\;P\;</math> vers la borne <math>\;N\;</math> définit le sens <math>\;+\;</math> de f.e.m., ce dernier étant donc aussi le sens <math>\;+\;</math> du courant soit finalement le lien suivant entre f.e.m. et champ électromoteur <div style="text-align: center;"><math>\;e = \displaystyle\int_{P \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} N} \vec{E}_{\text{électromot}}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dM}\;</math><ref> Dans l'exemple du schéma la f.e.m. est <math>\;< 0\;</math> car le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> étant dans le sens contraire du champ électromoteur <math>\;\vec{E}_{\text{électromot}}(M)</math>, la circulation élémentaire <math>\;\vec{E}_{\text{électromot}}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>{{,}}<ref name="méthode de calcul d'une intégrale curviligne" />, <br>avec <u>le sens</u><math>\;+\;</math><u>de f.e.m. toujours choisi dans le sens</u><math>\;+\;</math><u>du courant</u><ref> Qui est aussi le sens contraire du sens <math>\;+\;</math> de tension en convention récepteur.</ref>.</div> {{Al|5}}Multiplions scalairement la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> par <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> et intégrons de <math>\;P\;</math> vers <math>\;N\;</math> le long de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> précédemment choisie de façon à définir, dans le membre de gauche, la f.e.m. algébrique <math>\;e</math>, on obtient alors <div style="text-align: center;"><math>\;e = \displaystyle\int_{P \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} N} \vec{E}_{\text{électromot}}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dM} = \displaystyle\int_{P \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} N} -\vec{E}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dM} + \displaystyle\int_{P \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} N} \dfrac{-\vec{F}_{q_p\, \leftarrow\, \text{ions}}(M)}{q_p}\! \cdot\! \overrightarrow{dM}\;\;(\mathfrak{b})</math> ;</div> * le 1^er terme de la somme de la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> est l'opposé de la tension <math>\;U = V_P - V_N\;</math> aux bornes de l'accumulateur<ref> D'une part revoir plus haut dans ce chapitre la « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Définition_de_la_tension_aux_bornes_d'une_source_réelle_de_résistance_interne_finie,_lien_entre_«_f.e.m._»_et_«_tension_à_vide_»_en_convention_générateur|définition de la tension aux bornes d'une source réelle de résistance interne finie, lien entre “f.e.m.” et “tension à vide” en convention générateur]] » {{Nobr|<math>\;\big(</math>donnée}} pour une source réelle fonctionnant en générateur, mais cette définition reste valable dans toutes les configurations<math>\big)</math> ;<br>{{Al|3}}d'autre part, dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, l'intégration est faite dans le sens <math>\;+\;</math> d'intensité de courant, mais, en convention récepteur, c'est le sens contraire du sens <math>\;+\;</math> de tension.</ref> de résistance interne finie, soit <math>\;\displaystyle\int_{P \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} N} -\vec{E}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dM} = -U < 0\;</math><ref> Compte-tenu du fait que le champ électrique est toujours dans le sens décroissant des potentiels, que ce soit à l'intérieur d'un générateur ou d'un récepteur, le sens de <math>\;-\vec{E}(M)\;</math> est donc le sens croissant des potentiels d'où, l'intégration nécessitant que <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> soit dans le sens contraire, <math>\;dV = -\vec{E}(M) \cdot \overrightarrow{dM} < 0</math>.</ref> ; * le 2^ème terme de la somme de la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, à savoir <math>\;\displaystyle\int_{P \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} N} \dfrac{-\vec{F}_{q_p\, \leftarrow\, \text{ions}}(M)}{q_p}\! \cdot\! \overrightarrow{dM}</math>, n'existant que si la résistance interne de l'accumulateur est non nulle, est <math>\;> 0\;</math><ref name="intégrale positive - bis"> Si le courant est délivré par une autre source telle qu'il soit, à l'intérieur de la source réelle de <math>\;P\;</math> vers <math>\;N</math>, <math>\;\dfrac{\vec{F}_{q_p\, \leftarrow\, \text{ions}}(M)}{q_p}\;</math> est de <math>\;N\;</math> vers <math>\;P\;</math> et <math>\;\dfrac{-\vec{F}_{q_p\, \leftarrow\, \text{ions}}(M)}{q_p}\;</math> est de <math>\;P\;</math> vers <math>\;N\;</math> d'où, l'intégration nécessitant que <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> soit aussi dans ce sens, <math>\;\dfrac{-\vec{F}_{q_p\, \leftarrow\, \text{ions}}(M)}{q_p}\! \cdot\! \overrightarrow{dM} > 0</math>.</ref>, avec une valeur d'autant plus grande que le courant passe difficilement<ref name="variation de force de résistance à l'avancement" /> c'est-à-dire que la « résistance interne <math>\;r\;</math> est grande », pour cette raison il est identifié au terme de « chute ohmique » aux bornes de la partie résistive de l'accumulateur soit <math>\;\displaystyle\int_{P \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} N} \dfrac{-\vec{F}_{q_p\, \leftarrow\, \text{ions}}(M)}{q_p}\! \cdot\! \overrightarrow{dM} = r\;I</math> ; {{Al|5}}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> se réécrit donc <math>\;e = -U + r\; I\;</math> ou <math>\;U = r\;I - e</math>, la tension à vide <math>\;U_0\;</math> correspondant à la tension quand l'intensité du courant est nulle, nous en déduisons <div style="text-align: center;"><math>\;U_0 = -e\;</math> en convention récepteur.</div> === Retour sur la modélisation de Thévenin d'une source réelle de résistance interne finie avec introduction de la « f.e.m. » (algébrisée) en convention générateur ou récepteur === [[File:Générateur de Thévenin équivalent en convention générateur.png|thumb|300px|Modélisation linéaire de Thévenin<ref name="Thévenin" /> d'une source réelle de résistance interne finie en régime permanent <math>\;\big(</math>convention {{Nobr|générateur<math>\big)\;</math>}} avec introduction de sa f.e.m. algébrique]] ==== Retour sur la modélisation de Thévenin d'une source réelle de résistance interne finie avec introduction de la « f.e.m. » (algébrisée) en convention générateur ==== {{Al|5}}Une source réelle de résistance interne finie suit la loi d'Ohm généralisée qui s'écrit, en convention générateur <math>\;U =</math> <math>e - r\;I\;</math> où <math>\;e\;</math> est la f.e.m. algébrique de la source<ref> Égale à la tension à vide <math>\;U_0\;</math> en convention générateur.</ref> et <math>\;r\;</math> sa résistance interne ; {{Al|5}}cette tension étant la somme de deux tensions s'écrivant, en convention générateur, <math>\;U_1 = e\;\; \forall\; I\;</math> et <math>\;U_2 = -r\; I</math>, on peut donc affirmer que « <u>la source réelle de résistance interne finie</u> » <u>est équivalente à</u> « <u>une association série d'une source de tension parfaite</u> de f.e.m. algébrique <math>\;e\;</math><ref> En effet, en convention générateur, le sens <math>\;+\;</math> de f.e.m. est aussi le sens <math>\;+\;</math> de tension d'où <math>\;U_1 = e\;\; \forall\; I</math>.</ref> <u>et d'un conducteur ohmique</u> de résistance <math>\;r\;</math>», cette association équivalente définissant aussi la modélisation de Thévenin<ref name="Thévenin" /> de la source réelle, également appelée « <u>générateur de Thévenin équivalent</u> », voir « modélisation ci-contre »<ref> C'est ce modèle qu'il faut représenter préférentiellement et de façon effective quand on demande le générateur de Thévenin équivalent en convention générateur en précisant la f.e.m. algébrique de la composante idéale de la source de tension sans <math>\;\big(</math>nécessairement<math>\big)\;</math> rappeler son lien avec la tension à vide.</ref> ; {{Al|5}}il faut être capable de lire directement la loi d'Ohm généralisée sur le modèle représenté ci-contre : somme de deux tensions <math>\;\big(</math>en convention générateur<math>\big)</math>, la 1^ère, celle du bas, <math>\;e\;</math> et la 2^ème, celle du haut, <math>\;-r\;I\;</math><ref name="signe -" />. {{clr}} [[File:Générateur de Thévenin équivalent en convention récepteur.png|thumb|300px|Modélisation linéaire de Thévenin<ref name="Thévenin" /> d'une source réelle de résistance interne finie en régime permanent <math>\;\big(</math>convention récepteur<math>\big)\;</math> avec introduction de sa f.e.m. algébrique]] ==== Retour sur la modélisation de Thévenin d'une source réelle de résistance interne finie avec introduction de la « f.e.m. » (algébrisée) en convention récepteur ==== {{Al|5}}Une source réelle de résistance interne finie suit la loi d'Ohm généralisée qui s'écrit, en convention récepteur <math>\;U =</math> <math>r\;I - e\;</math> où <math>\;e\;</math> est la f.e.m. algébrique de la source<ref> Égale à la tension à vide <math>\;-U_0\;</math> en convention récepteur.</ref> et <math>\;r\;</math> sa résistance interne ; {{Al|5}}cette tension étant la somme de deux tensions s'écrivant, en convention récepteur, <math>\;U_1 = -e\;\; \forall\; I\;</math> et <math>\;U_2 = r\; I</math>, on peut donc affirmer que « <u>la source réelle de résistance interne finie</u> » <u>est équivalente à</u> « <u>une association série d'une source de tension parfaite</u> de f.e.m. algébrique <math>\;e\;</math><ref> En effet, en convention récepteur, le sens <math>\;+\;</math> de f.e.m. est le sens contraire du sens <math>\;+\;</math> de tension d'où <math>\;U_1 = -e\;\; \forall\; I</math>.</ref> <u>et d'un conducteur ohmique</u> de résistance <math>\;r\;</math>», cette association équivalente définissant aussi la modélisation de Thévenin<ref name="Thévenin" /> de la source réelle, également appelée « <u>générateur de Thévenin équivalent</u> », voir « modélisation ci-contre »<ref> C'est ce modèle qu'il faut représenter préférentiellement et de façon effective quand on demande le générateur de Thévenin équivalent en convention récepteur en précisant la f.e.m. algébrique de la composante idéale de la source de tension sans <math>\;\big(</math>nécessairement<math>\big)\;</math> rappeler son lien avec la tension à vide.</ref> ; {{Al|5}}il faut être capable de lire directement la loi d'Ohm généralisée sur le modèle représenté ci-contre : somme de deux tensions <math>\;\big(</math>en convention récepteur<math>\big)</math>, la 1^ère, celle du bas, <math>\;-e\;</math><ref> Attention au signe <math>\;-\;</math> dû à la convention récepteur.</ref> et la 2^ème, celle du haut, <math>\;r\;I</math>. ==== Détermination du signe de la f.e.m. algébrisée d'une source réelle de résistance interne finie à partir de son sens + relativement à la polarité de la source ==== {{Al|5}}<u>Le sens</u><math>\;+\;</math><u>de f.e.m. étant toujours dans le sens</u><math>\;+\;</math><u>de courant</u>, la règle de détermination du signe de la f.e.m. algébrique est la suivante : * si le sens <math>\;+\;</math> de f.e.m. sort par la borne <math>\;+\;</math> de la source réelle, <math>\;e > 0\;</math> et * si le sens <math>\;+\;</math> de f.e.m. sort par la borne <math>\;-\;</math> de la source réelle, <math>\;e < 0</math>. === Retour sur le bilan de puissance d'une source réelle de résistance interne finie === ==== Bilan de puissance d'une source réelle de résistance interne finie fonctionnant en générateur ==== {{Al|5}}Partant de la loi d'Ohm généralisée <math>\;U = e - r\;I\;</math> en convention générateur<ref> Le sens <math>\;+\;</math> de l'intensité du courant est choisi de façon qu'il corresponde au sens du courant délivré par la source et dans ces conditions la f.e.m. algébrique de la source est positive.</ref>, on multiplie de part et d'autre par <math>\;I\;</math><ref> Qui est positive étant donné que la source réelle délivre le courant avec choix de convention générateur rendant cette intensité positive.</ref> de façon à faire apparaître la « puissance électrique instantanée fournie par la source réelle »<ref name="fournie - reçue" />{{,}}<ref name="tension et intensité positives"> Qui est positive car tension et intensité le sont toutes deux.</ref> dans le membre de gauche soit <div style="text-align: center;"><math>\;U\; I = e\; I - r\; I^2</math>,</div> {{Al|5}}le 1^er terme du membre de droite <math>\;e\; I\;</math><ref> Qui est positive car f.e.m. algébrique et intensité le sont toutes deux.</ref> étant la puissance électrique instantanée fournie par la composante idéale de la source<ref name="origine de la puissance électrique fournie par une source"> Cette puissance électrique instantanée fournie par la composante idéale de la source réelle résulte de la transformation intégrale de la puissance électrochimique instantanée disponible dans le cas d'un accumulateur réel ou de la puissance mécanique instantanée disponible dans le cas d'une dynamo réelle.</ref> et <br>{{Al|5}}le 2^ème terme <math>\;-r\; I^2\;</math> la puissance électrique instantanée fournie par la composante résistive de la source, correspondant à une puissance électrique instantanée <math>\;r\; I^2\;</math> reçue par cette composante résistive, puissance intégralement dissipée sous forme calorifique dans cette composante, c'est-à-dire encore dans la source réelle ; {{Al|5}}on peut réécrire le <u>bilan de puissance dans la source réelle de résistance interne finie</u> de la façon suivante <div style="text-align: center;"><math>\;e\;I = U\; I + r\;I^2\;</math></div> {{Al|5}}c'est-à-dire que « <u>la puissance électrique instantanée fournie par la composante idéale de la source</u> »<ref name="origine de la puissance électrique fournie par une source" /> se retrouve en « <u>puissance instantanée électrique reçue par le dipôle extérieur</u> aux bornes duquel la source est branchée » et en « <u>puissance calorifique dissipée dans la source réelle</u> », cette dernière composante représentant une perte de puissance. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on peut définir le « rendement électrique de la source » par <math>\;\eta_{\text{source}} = \dfrac{\mathcal{P}_{e,\,f\,\text{par source réelle}}(t)}{\mathcal{P}_{e,\,f\,\text{par source idéale}}(t)} = \dfrac{U\;I}{e\;I} = \dfrac{U}{e}\;</math> s'écrivant encore, avec la loi d'Ohm généralisée, <math>\;\eta_{\text{source}} = \dfrac{e - r\;I}{e} =</math> {{Nobr|<math>1 - \dfrac{r\;I}{e}\;</math><ref> Le 2^ème terme <math>\;\dfrac{r\;I}{e}\;</math> représentant la fraction de perte énergétique due à l'effet Joule dans la source réelle et le rendement électrique d'une source idéale de tension étant égal à <math>\;1</math>.</ref>.}} ==== Bilan de puissance d'une source réelle de résistance interne finie fonctionnant en récepteur ==== {{Al|5}}Partant de la loi d'Ohm généralisée <math>\;U = r\;I - e\;</math> en convention récepteur<ref> Le sens <math>\;+\;</math> de l'intensité du courant est choisi de façon qu'il corresponde au sens du courant délivré par le générateur extérieur pour recharger la source et dans ces conditions la f.e.m. algébrique de la source en recharge est négative <math>\;\big(</math>car le sens <math>\;+\;</math> de la f.e.m. qui est aussi le sens <math>\;+\;</math> de l'intensité du courant sort par la borne <math>\;-\;</math> de la source en recharge<math>\big)</math>.</ref>, on multiplie de part et d'autre par <math>\;I\;</math><ref> Qui est positive étant donné que le générateur extérieur délivre le courant avec choix de convention récepteur rendant cette intensité positive.</ref> de façon à faire apparaître la « puissance électrique instantanée reçue par la source réelle en recharge »<ref> Seules les sources d'origine électrochimique peuvent être rechargées, celles d'origine mécanique utilisant la conversion immédiate n'en n'ont pas la nécessité.</ref>{{,}}<ref name="reçue - fournie"> Qui est aussi la puissance électrique instantanée fournie par le générateur extérieur aux bornes duquel est branchée la source réelle en recharge.</ref>{{,}}<ref name="tension et intensité positives" /> dans le membre de gauche soit <div style="text-align: center;"><math>\;U\; I = -e\;I + r\; I^2</math>,</div> {{Al|5}}le 1^er terme du membre de droite <math>\;-e\; I\;</math><ref> Qui est positive car f.e.m. algébrique et intensité sont de signe contraire.</ref> étant la puissance électrique instantanée reçue par la composante idéale de la source en situation de recharge<ref name="origine de la puissance électrique reçue par une source en recharge"> Cette puissance électrique instantanée reçue par la composante idéale de la source réelle <math>\;\big(</math>d'origine électrochimique<math>\big)\;</math> lors d'une recharge est convertie intégralement en puissance électrochimique instantanée utilisable correspondant à une reconstitution du champ électromoteur.</ref> et <br>{{Al|5}}le 2^ème terme <math>\;r\; I^2\;</math> la puissance électrique instantanée reçue par la composante résistive de la source, puissance intégralement dissipée sous forme calorifique dans cette composante, c'est-à-dire encore dans la source réelle ; {{Al|5}}en conclusion « <u>la puissance électrique instantanée fournie par le générateur extérieur rechargeant la source réelle</u> » se retrouve en « <u>puissance instantanée électrique reçue par la composante idéale de la source</u><ref name="origine de la puissance électrique reçue par une source en recharge" /> aux bornes duquel le générateur extérieur est branché » et en « <u>puissance calorifique dissipée dans la source réelle</u> », cette dernière composante représentant une perte de puissance. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on peut définir le « rendement électrique du générateur extérieur rechargeant la source réelle <math>\;\big(</math>d'origine électrochimique<math>\big)\;</math>» par <math>\;\eta_{\text{géné ext}} =</math> <math>\dfrac{\mathcal{P}_{e,\,r\,\text{par source idéale}}(t)}{\mathcal{P}_{e,\,f\,\text{par géné ext}}(t)} = \dfrac{-e\;I}{U\;I} = \dfrac{-e}{U}\;</math> s'écrivant encore, avec la loi d'Ohm généralisée, <math>\;\eta_{\text{source}} = \dfrac{-e}{r\;I - e} = \dfrac{1}{1 + \dfrac{r\;I}{-e}}\;</math><ref> Effectivement <math>\;< 1\;</math> car le 2^ème terme du dénominateur <math>\;\dfrac{r\;I}{-e}\;</math> est <math>\;>0</math>.</ref>. === Notion de « f.e.m. d'auto-induction » dans une bobine parfaite en A.R.Q.S., loi de Faraday === {{Al|5}}La notion de f.e.m. est généralisable en A.R.Q.S<ref> Elle est évidemment algébrique.</ref>., la seule différence étant que la f.e.m. dépend alors du temps <math>\;t</math>, <u>le sens</u><math>\;+\;</math><u>de f.e.m. est toujours dans le sens</u><math>\;+\;</math><u>du courant</u> ; {{Al|5}}dans le cas d'une bobine parfaite nous avons vu que <math>\;u(t) = L\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> en convention récepteur, ceci correspondant au fait que la bobine se comporte comme un générateur créant un courant induit s'opposant à la variation du courant initial, nous pouvons donc définir la f.e.m. de ce « générateur équivalent » <ref> Comme la bobine n'est pas résistive, il s'agit d'une source de tension parfaite.</ref> que l'on appellera « f.e.m. auto-induite » notée <math>\;e_{\text{auto-induite}}(t)\;</math> et liée à la tension <math>\;u(t)\;</math> aux bornes de la bobine en convention récepteur par <math>\;e_{\text{auto-induite}}(t) =</math> <math>-u(t)\;</math><ref> Comme la bobine se comporte comme une source de tension parfaite on a d'une part <math>\;u(t) = u_0(t)\;</math> <math>\big(</math>où <math>\;u_0(t)\;</math> est définie par extension, la notion de tension à vide n'ayant aucun sens pour une bobine, en effet si celle-ci est en sortie ouverte, elle n'est plus traversée par aucun courant et par suite il ne peut y avoir de phénomène d'auto-induction<math>\big)\;</math> et d'autre part <math>\;u_0(t) = -e_{\text{auto-induite}}(t)\;</math> en convention récepteur.</ref> d'où l'expression de la « loi de Faraday »<ref> La « loi de Faraday » appliquée à l'auto-induction sera étudiée plus en détail dans le paragraphe « [[Induction_et_forces_de_Laplace_(PCSI)/Lois_de_l'induction_:_loi_de_Faraday#Retour_sur_les_phénomènes_d'auto-induction_dans_une_bobine_indéformable,_application_de_la_loi_de_Faraday|loi de Faraday appliquée à l'auto-induction]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Induction et forces de Laplace (PCSI) ».</ref>{{,}}<ref> '''[[w:Michael_Faraday|Michael Faraday]] (1791 - 1867)''' physicien et chimiste britannique, connu pour ses travaux fondamentaux dans le domaine de l'électromagnétisme, l'électrochimie, le diamagnétisme, et l'électrolyse.</ref> <div style="text-align: center;"><math>\;e_{\text{auto-induite}}(t) = -L\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> où le signe <math>\;-\;</math> s'interprète en loi de Lenz <ref name="Lenz" /> :</div> * si <math>\;i(t)\;</math> est <math>\;\nearrow</math>, la f.e.m. auto-induite dans la bobine est <math>\;< 0</math>, elle crée un courant induit dont l'« intensité est de même signe que la f.e.m. » <ref name="signe courant - f.e.m."> Ceci étant une conséquence du choix du sens <math>\;+\;</math> de f.e.m. identique au sens <math>\;+\;</math> de courant, le courant créé par la f.e.m. est toujours de même signe que la f.e.m. <math>\;\big(</math>il s'agit du courant créé et non d'un courant imposé de l'extérieur<math>\big)</math>.</ref> donc <math>\;< 0</math>, ce qui s'oppose bien à la <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;i(t)</math>, * si <math>\;i(t)\;</math> est <math>\;\searrow</math>, la f.e.m. auto-induite dans la bobine est <math>\;> 0</math>, elle crée un courant induit dont l'« intensité est de même signe que la f.e.m. »<ref name="signe courant - f.e.m." /> donc <math>\;> 0</math>, ce qui s'oppose bien à la <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;i(t)</math>. == Notion de « c.e.m. » d'une source non idéale de résistance interne non nulle en régime permanent, lien avec le « courant de court-circuit » == === Notion de « c.e.m. » (algébrisée) d'une source réelle de résistance interne non nulle en régime permanent === {{Al|5}}De même que l'on définit la notion de f.e.m. associée au champ électromoteur d'une source réelle de résistance finie en identifiant cette f.e.m. à la tension à vide en convention générateur, on définit la notion de « c.e.m. »<ref> Acronyme de « courant électromoteur ».</ref> d'une source réelle de résistance non nulle en l'identifiant au courant de court-circuit en convention générateur <ref> La différence entre « c.e.m. » et « c.c.c. <math>\;\big(</math>courant de court-circuit<math>\big)\;</math>» est la même qu'entre f.e.m. et tension à vide <math>\;\big(</math>la f.e.m. résulte de l'existence d'un champ électromoteur d'origine électrochimique ou mécanique alors que la tension à vide en est le résultat en terme de champ électrique dont la cause est le champ électromoteur<math>\big)\;</math> toutefois cette différence n'est que formelle car il n'y a pas, à ma connaissance, de théorie explicitant les deux courants à partir de deux champs vectoriels <math>\;\big(</math>au moins en ce qui concerne le courant électromoteur<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}<u>le sens</u><math>\;+\;</math><u>de c.e.m. étant choisi dans le sens</u><math>\;+\;</math><u>du courant</u>, sa valeur algébrisée <math>\;\eta\;</math> s'identifie à la valeur du courant de court-circuit <math>\;I_{c.c.}\;</math> c'est-à-dire <div style="text-align: center;"><math>\;\eta = I_{c.c.}\;</math> en convention générateur ou récepteur.</div> === Retour sur la modélisation de Norton d'une source réelle de résistance interne non nulle avec introduction du « c.e.m. » (algébrisée) en convention générateur ou récepteur === ==== Modélisation de Norton d'une source réelle de résistance interne non nulle avec introduction du « c.e.m. » (algébrisée) en convention générateur ==== [[File:Générateur de Norton équivalent en convention générateur.png|thumb|300px|Modélisation linéaire de Norton<ref name="Norton" /> d'une source réelle de résistance interne non nulle avec c.e.m. en régime permanent <math>\;\big(</math>convention générateur<math>\big)\;</math>]] {{Al|5}}Pour actualiser la modélisation linéaire de Norton<ref name="Norton" /> d'une source réelle du régime permanent de résistance interne non nulle en introduisant la notion de c.e.m. en convention générateur, il suffit de remplacer l'intensité de court-circuit <math>\;I_{c.c.}\;</math> par le c.e.m. <math>\;\eta\;</math><ref name="lettres grecques en régime permanent"> Bien qu’on représente usuellement les grandeurs du régime permanent par des lettres majuscules, on ne le fera pas pour le c.e.m. <math>\;\eta</math>.</ref> voir ci-contre : {{Al|5}}« <u>la source réelle de résistance interne non nulle</u> » <u>est équivalente à</u> « <u>une association parallèle d'une source de courant parfaite</u> de c.e.m. <math>\;\eta\;</math> <u>et d'un conducteur ohmique</u> de conductance <math>\;g\;</math>»<ref name="lien conductance résistance" />, cette association équivalente définissant la modélisation de Norton<ref name="Norton" /> de la source réelle, encore appelée « <u>générateur de Norton équivalent</u> »<ref name="résistance à côté du symbole" /> ; {{Al|5}}il faut être capable de lire directement la loi d'Ohm généralisée sur le modèle représenté ci-contre : somme de deux intensités <math>\;\big(</math>en convention {{Nobr|générateur<math>\big)</math>,}} la 1^ère, celle du gauche, <math>\;\eta\;</math> et la 2^ème, celle du droite, <math>\;-g\;U\;</math><ref name="signe -" /> ou <math>\;-\dfrac{U}{r}\;</math><ref name="lien conductance résistance" /> d'où <div style="text-align: center;"><math>\;I = \eta - g\;U = \eta - \dfrac{U}{r}\;</math> en convention générateur.</div> ==== Modélisation de Norton d'une source réelle de résistance interne non nulle avec introduction du « c.e.m. » (algébrisée) en convention récepteur ==== [[File:Générateur de Norton équivalent en convention récepteur.png|thumb|300px|Modélisation linéaire de Norton<ref name="Norton" /> d'une source réelle de résistance interne non nulle avec c.e.m. en régime permanent <math>\;\big(</math>convention récepteur<math>\big)\;</math>]] {{Al|5}}Pour représenter la modélisation linéaire de Norton<ref name="Norton" /> d'une source réelle du régime permanent de résistance interne non nulle avec la notion d'intensité de court-circuit en convention récepteur<ref> Situation adaptée au cas où la source réelle est en recharge <math>\;\big(</math>donc d'origine électrochimique<math>\big)\;</math> et par suite le sens du courant inversé par rapport au sens de ce dernier quand il est délivré par la source, le sens de la tension restant inchangé.</ref> il suffit de maintenir le sens <math>\;+\;</math> de tension et d'inverser le sens <math>\;+\;</math> de courant d'où, en inversant les signes devant <math>\;I</math>, <math>\;I_{c.c.}\;</math> et conservant celui devant <math>\;U\;</math> ou, en conservant les signes devant <math>\;I</math>, <math>\;I_{c.c.}\;</math> et inversant celui devant <math>\;U</math>, la réécriture de la loi d'Ohm généralisée en convention récepteur <math>\;I = I_{c.c.} + g\;U\;</math> ; {{Al|5}}cette intensité étant la somme de deux intensités s'écrivant, en convention récepteur, <math>\;I_1 = I_{c.c.}\;\; \forall\; U\;</math> et <math>\;I_2 = g\; U</math>, on peut donc affirmer que « <u>la source réelle de résistance interne non nulle</u> » <u>est équivalente à</u> « <u>une association parallèle d'une source de courant parfaite</u> d'intensité de court-circuit <math>\;I_{c.c.}\;</math> <u>et d'un conducteur ohmique</u> de conductance <math>\;g\;</math>»<ref name="lien conductance résistance" />, cette association équivalente définissant la modélisation de Norton<ref name="Norton" /> de la source réelle, encore appelée « <u>générateur de Norton équivalent</u> », voir « modélisation ci-contre avec intensité de court-circuit »<ref name="résistance à côté du symbole" /> ; {{Al|5}}pour actualiser la modélisation linéaire de Norton<ref name="Norton" /> d'une source réelle du régime permanent de résistance interne non nulle en introduisant la notion de c.e.m. en convention récepteur, il suffit de remplacer l'intensité de court-circuit <math>\;I_{c.c.}\;</math> par le c.e.m. <math>\;\eta\;</math><ref name="lettres grecques en régime permanent" /> voir ci-contre : {{Al|5}}il faut être capable de lire directement la loi d'Ohm généralisée sur le modèle représenté ci-dessus : somme de deux intensités <math>\;\big(</math>en convention {{Nobr|récepteur<math>\big)</math>,}} la 1^ère, celle du gauche, <math>\;\eta\;</math> et la 2^ème, celle du droite, <math>\;g\;U\;</math> ou <math>\;\dfrac{U}{r}\;</math><ref name="lien conductance résistance" /> d'où <div style="text-align: center;"><math>\;I = \eta + g\;U = \eta + \dfrac{U}{r}\;</math> en convention récepteur.</div> === Lien avec la modélisation de Thévenin dans le cas d'une source réelle de résistance interne finie non nulle === {{Al|5}}Le sens <math>\;+\;</math> de f.e.m. et le sens <math>\;+\;</math> de c.e.m. étant tous deux dans le sens <math>\;+\;</math> du courant, on a toujours <div style="text-align: center;"><math>\;\eta = \dfrac{e}{r} \Leftrightarrow e = r\; \eta\;</math> en convention générateur ou récepteur ;</div> {{Al|5}}le signe du c.e.m. est donc toujours celui de la f.e.m. aussi : * si le sens <math>\;+\;</math> du c.e.m. sort par la borne <math>\;+\;</math> de la source réelle, <math>\;\eta\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et * si le sens <math>\;+\;</math> du c.e.m. sort par la borne <math>\;-\;</math> de la source réelle, <math>\;\eta\;</math> est <math>\;< 0</math>. === Retour sur le bilan de puissance d'une source réelle de résistance interne non nulle === ==== Bilan de puissance d'une source réelle de résistance interne non nulle fonctionnant en générateur ==== {{Al|5}}Partant de la loi d'Ohm généralisée en convention générateur sous la forme <math>\;I\;</math> en fonction de <math>\;U\;</math> et du c.e.m., on multiplie de part et d'autre par <math>\;U\;</math><ref> Qui est positive si on fait le choix de la convention générateur rendant tension et intensité positives.</ref> de façon à faire apparaître la « puissance électrique instantanée fournie par la source réelle »<ref name="fournie - reçue" /> dans le membre de gauche soit <div style="text-align: center;"><math>\;I\; U = \eta\; U - g\; U^2</math>,</div> {{Al|5}}le 1^er terme du membre de droite <math>\;\eta\; U\;</math> étant la puissance électrique instantanée fournie par la composante idéale de la source<ref name="origine de la puissance électrique fournie par une source" /> et <br>{{Al|5}}le 2^ème terme <math>\;-g\; U^2\;</math> la puissance électrique instantanée fournie par la composante résistive de la source, correspondant à une puissance électrique instantanée <math>\;g\; U^2 = \dfrac{U^2}{r}\;</math> reçue par cette composante résistive, puissance intégralement dissipée sous forme calorifique dans cette composante, c'est-à-dire encore dans la source réelle ; {{Al|5}}on peut réécrire le <u>bilan de puissance dans la source réelle de résistance interne non nulle</u> de la façon suivante <div style="text-align: center;"><math>\;\eta\;U = I\; U + g\;U^2 = I\;U + \dfrac{U^2}{r}\;</math></div> {{Al|5}}c'est-à-dire que « <u>la puissance électrique instantanée fournie par la composante idéale de la source</u> »<ref name="origine de la puissance électrique fournie par une source" /> se retrouve en « <u>puissance instantanée électrique reçue par le dipôle extérieur</u> aux bornes duquel la source est branchée » et en « <u>puissance calorifique dissipée dans la source réelle</u> », cette dernière composante représentant une perte de puissance. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on peut définir le « rendement électrique de la source » par <math>\;\mathrm{rdt}_{\text{source}} = \dfrac{\mathcal{P}_{e,\,f\,\text{par source réelle}}(t)}{\mathcal{P}_{e,\,f\,\text{par source idéale}}(t)} = \dfrac{I\;U}{\eta\;U} = \dfrac{I}{\eta}\;</math><ref> Ici on ne note pas le rendement en utilisant la lettre grecque <math>\;\eta</math>, ni la lettre <math>\;r\;</math> pour des raisons évidentes, d'où la notation <math>\;\mathrm{rdt}</math>.</ref> s'écrivant encore, avec la loi d'Ohm généralisée, <math>\;\mathrm{rdt}_{\text{source}} = \dfrac{\eta - g\;U}{\eta}</math> <math>= 1 - \dfrac{g\;U}{\eta}\;</math><ref> Le 2^ème terme <math>\;\dfrac{g\;U}{\eta}\;</math> représentant la fraction de perte énergétique due à l'effet Joule dans la source réelle et le rendement électrique d'une source idéale de courant étant égal à <math>\;1</math>.</ref>. ==== Bilan de puissance d'une source réelle de résistance interne non nulle fonctionnant en récepteur ==== {{Al|5}}Partant de la loi d'Ohm généralisée en convention récepteur sous la forme <math>\;I\;</math> en fonction de <math>\;U\;</math> et du c.e.m., on multiplie de part et d'autre par <math>\;U\;</math> <ref> Qui est positive si on fait le choix de la convention récepteur pour laquelle le sens <math>\;+\;</math> du courant correspond à la situation de recharge de la source <math>\;\big(</math>d'origine électrochimique<math>\big)</math>, ceci entraînant une intensité et une tension toutes deux positives.</ref> de façon à faire apparaître la « puissance électrique instantanée reçue par la source réelle en recharge »<ref name="reçue - fournie" />{{,}}<ref name="tension et intensité positives" /> dans le membre de gauche soit <div style="text-align: center;"><math>\;I\; U = \eta\; U + g\; U^2</math>,</div> {{Al|5}}le 1^er terme du membre de droite <math>\;\eta\; U\;</math><ref> Qui est positive car c.e.m. et tension sont tous deux positifs.</ref> étant la puissance électrique instantanée reçue par la composante idéale de la source<ref name="origine de la puissance électrique reçue par une source en recharge" /> et <br>{{Al|5}}le 2^ème terme <math>\;g\; U^2\;</math> la puissance électrique instantanée reçue par la composante résistive de la source, puissance intégralement dissipée sous forme calorifique dans cette composante, c'est-à-dire encore dans la source réelle ; {{Al|5}}en conclusion « <u>la puissance électrique instantanée fournie par le générateur extérieur rechargeant la source réelle</u> » se retrouve en « <u>puissance instantanée électrique reçue par la composante idéale de la source</u><ref name="origine de la puissance électrique reçue par une source en recharge" /> aux bornes duquel le générateur extérieur est branché » et en « <u>puissance calorifique dissipée dans la source réelle</u> », cette dernière composante représentant une perte de puissance. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on peut définir le « rendement électrique du générateur extérieur rechargeant la source réelle <math>\;\big(</math>d'origine électrochimique<math>\big)\;</math>» par <math>\;\mathrm{rdt}_{\text{géné ext}} =</math> <math>\dfrac{\mathcal{P}_{e,\,r\,\text{par source idéale}}(t)}{\mathcal{P}_{e,\,f\,\text{par géné ext}}(t)} = \dfrac{\eta\;U}{I\;U} = \dfrac{\eta}{I}\;</math> s'écrivant encore, avec la loi d'Ohm généralisée, <math>\;\mathrm{rdt}_{\text{géné ext}} = \dfrac{\eta}{\eta + g\;U} = \dfrac{1}{1 + \dfrac{g\;U}{\eta}}\;</math><ref> Effectivement <math>\;< 1\;</math> car le 2^ème terme du dénominateur <math>\;\dfrac{g\;U}{\eta}\;</math> est <math>\;>0</math>.</ref>. == Modélisation linéaire de Thévenin d'une source réelle en A.R.Q.S. == {{Al|5}}Déjà évoqué au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#3ème_exemple_:_générateur_de_fonctions_(ou_G.B.F.)|générateur de fonctions (ou G.B.F.)]] » de ce chapitre et que l'on peut redonner en terme de f.e.m. dépendant du temps <math>\;e(t)</math> : {{Al|5}}<u>un générateur de fonctions</u> <math>\;\big(</math>ou générateur B.F.<math>\big)\;</math> a pour modélisation linéaire de Thévenin<ref name="Thévenin" /> <u>une association série</u> d'une « <u>source idéale de tension de f.e.m.</u><math>\;e(t)\;</math>» <ref name="forme signal"> De forme sinusoïdale, triangulaire ou créneau.</ref> et d'un « <u>dipôle passif linéaire au sens de l'A.R.Q.S.</u> » <ref name="D.P.L. au sens de l'ARQS"> C.-à-d. pouvant être modélisé à partir de condensateurs parfaits, de bobines parfaites et de conducteurs ohmiques.</ref> le plus souvent considéré comme purement résistif de valeur usuelle <math>\;50\; \Omega\;</math><ref name="résistance interne"> Mais ce n'est pas la seule valeur possible.</ref>. == Modélisation linéaire équivalente de Norton d'une source réelle en A.R.Q.S. == {{Al|5}}Un générateur de fonctions <math>\;\big(</math>ou G.B.F.<math>\big)\;</math> a pour modélisation linéaire équivalente de Norton<ref name="Norton" /> une <u>association parallèle</u> d'une « <u>source idéale de courant de c.e.m.</u><math>\;\eta(t)\;</math>» <ref name="forme signal" /> et d'un « <u>dipôle passif linéaire au sens de l'A.R.Q.S.</u> »<ref name="D.P.L. au sens de l'ARQS" /> le plus souvent considéré comme purement résistif de valeur usuelle de résistance <math>\;r =</math> <math>50\; \Omega\;</math><ref name="résistance interne" /> ; si tel est le cas le c.e.m. s'obtient par <math>\;\eta(t) = \dfrac{e(t)}{r}</math>. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : intensité, tension, puissance/]] | suivant = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : associations de conducteurs ohmiques/|Circuits électriques dans l'ARQS : assoc. de conducteurs ohmiques]] }} s6g8ky5iumwow3bzh7lxwn88hy5pphe 0 65846 982840 978288 2026-05-15T09:34:45Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982840 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 23 | niveau = 14 | précédent = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : dipôles linéaires/]] | suivant = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : résistance de sortie, résistance d'entrée/]] }} <center>On y traite aussi des associations de sources réelles de tension ou <math>\;\big(</math>et<math>\big)\;</math> de courant<ref> On rappelle qu'une source réelle de tension est une association série d'une source idéale de tension et d'un conducteur ohmique et <br>{{Al|3}}{{Transparent| On rappelle qu'}}une source réelle de courant est une association parallèle d'une source idéale de courant et d'un conducteur ohmique.</ref>.</center> == Résistance équivalente de l'association série de deux conducteurs ohmiques, généralisation à l'association série de plus de deux conducteurs ohmiques == === Association série de deux conducteurs ohmiques === {{Théorème|titre = Résistance équivalente d'une association série de deux conducteurs ohmiques|contenu = {{Al|5}}Une association série de deux conducteurs ohmiques de résistances respectives <math>\;R_1\;</math> et <math>\;R_2\;</math> est équivalente à un conducteur ohmique de résistance «<math>\;R_{\text{éq série}} = R_1 + R_2\;</math>»<ref name="À retenir"> Résultat fondamental à utiliser pour simplifier les circuits.</ref>.}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : les conducteurs ohmiques étant en série sont traversés par la « <u>même intensité de courant</u> <math>\;I\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}la <u>tension aux bornes de l'association série des deux dipôles</u> <math>\;U_{\text{assoc. série}}\;</math> est <u>égale à la somme des tensions</u> <math>\;U_1\;</math> et <math>\;U_2\;</math> <u>aux bornes de chaque dipôle</u>, soit «<math>\;U_{\text{assoc. série}} = U_1 + U_2\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}il reste à écrire que chaque dipôle est un conducteur ohmique par <u>loi d'Ohm</u><ref name="Ohm"> '''[[w:Georg_Ohm|Georg Simon Ohm]] (1789 - 1854)''' physicien allemand essentiellement connu pour sa découverte de la loi qui porte maintenant son nom.</ref> <u>en convention récepteur</u> «<math>\;U_1 = R_1\; I\;</math> et <math>\;U_2 =</math> <math>R_2\; I\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : il reste }}à reporter ces expressions dans <math>\;U_{\text{assoc. série}}\;</math> soit «<math>\;U_{\text{assoc. série}} = R_1\;I + R_2\;I\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique « il faut observer que <math>\;U_{\text{assoc. série}}\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;I\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique }}ceci se vérifie en factorisant par <math>\;I\;</math> dans l'expression de <math>\;U_{\text{assoc. série}}\;</math> soit «<math>\;U_{\text{assoc. série}} = (R_1 + R_2)\;I\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique }}« le cœfficient de proportionnalité <math>\;(R_1 + R_2)\;</math> étant alors la résistance équivalente ». {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : « l'association série de deux conducteurs ohmiques de même résistance <math>\;R\;</math> est un conducteur ohmique de résistance <math>\;2\; R\;</math>»<ref name="À retenir" />. === Généralisation : association série de plus de deux conducteurs ohmiques === {{Théorème|titre = Résistance équivalente d'une association série de n conducteurs ohmiques|contenu = {{Al|5}}Une association série de n conducteurs ohmiques de résistances respectives <math>\;R_1</math>, <math>\;\ldots</math>, <math>\;R_k</math>, <math>\;\ldots</math>, <math>\;R_n\;</math> est équivalente à un conducteur ohmique de résistance «<math>\;R_{\text{éq série}} = \sum\limits_{k = 1}^n R_k\;</math>»<ref name="À retenir" />.}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : les conducteurs ohmiques étant en série sont traversés par la « <u>même intensité de courant</u> <math>\;I\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}la <u>tension aux bornes de l'association série des n dipôles</u> <math>\;U_{\text{assoc. série}}\;</math> est <u>égale à la somme des n tensions</u> <math>\;U_1</math>, <math>\;\ldots</math>, <math>\;U_k</math>, <math>\;\ldots</math>, <math>U_n\;</math> <u>aux bornes de chaque dipôle</u>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : la tension aux bornes de l'association série des n dipôles <math>\;\color{transparent}{U_{\text{assoc. série}}}\;</math> est }}«<math>\;U_{\text{assoc. série}} = \sum\limits_{k = 1}^n U_k\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}il reste à écrire que chaque dipôle est un conducteur ohmique par <u>loi d'Ohm</u><ref name="Ohm" /> <u>en convention récepteur</u> «<math>\;U_1 = R_1\; I</math>, <math>\;\ldots</math>, <math>\;U_k = R_k\;I</math>, <math>\;\ldots</math>, <math>\;U_n = R_n\; I\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : il reste }}à reporter ces expressions dans <math>\;U_{\text{assoc. série}}\;</math> soit «<math>\;U_{\text{assoc. série}} = \sum\limits_{k = 1}^n R_k\;I\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique « il faut observer que <math>\;U_{\text{assoc. série}}\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;I\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique }}ceci se vérifie en factorisant par <math>\;I\;</math> dans l'expression de <math>\;U_{\text{assoc. série}}\;</math> soit «<math>\;U_{\text{assoc. série}} = \left( \sum\limits_{k = 1}^n R_k \right) I\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique }}« le cœfficient de proportionnalité <math>\;\sum\limits_{k = 1}^n R_k\;</math> étant alors la résistance équivalente ». {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : « l'association série de n conducteurs ohmiques de résistances identiques <math>\;R\;</math> est un conducteur ohmique de résistance <math>\;n\; R\;</math>». == Conductance équivalente de l'association parallèle de deux conducteurs ohmiques, résistance équivalente == === Association parallèle de deux conducteurs ohmiques, conductance équivalente === {{Théorème|titre = Conductance équivalente d'une association parallèle de deux conducteurs ohmiques|contenu = {{Al|5}}Une association parallèle de deux conducteurs ohmiques de conductances respectives <math>\;G_1\;</math> et <math>\;G_2\;</math> est équivalente à un conducteur ohmique de conductance «<math>\;G_{\text{éq},\, \parallel} = G_1 + G_2\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : les conducteurs ohmiques étant en <math>\;\parallel\;</math> sont soumis à la « <u>même tension</u> <math>\;U\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}l'<u>intensité du courant traversant l'association parallèle des deux dipôles</u> <math>\;I_{\text{assoc. }\parallel}\;</math> est <u>égale à la somme des intensités</u> <math>\;I_1\;</math> et <math>\;I_2\;</math> <u>des courants traversant chaque dipôle</u>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : l'intensité du courant traversant l'association parallèle des deux dipôles <math>\;\color{transparent}{I_{\text{assoc. }\parallel}}\;</math> est }}«<math>\;I_{\text{assoc. }\parallel} = I_1 + I_2\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}il reste à écrire que chaque dipôle est un conducteur ohmique par la 2^ème forme de la <u>loi d'Ohm</u><ref name="Ohm" /> <u>en convention récepteur</u> «<math>\;I_1 =</math> <math>G_1\; U\;</math> et <math>\;I_2 = G_2\; U\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : il reste }}à reporter ces expressions dans <math>\;I_{\text{assoc. }\parallel}\;</math> soit «<math>\;I_{\text{assoc. }\parallel} = G_1\;U + G_2\;U\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique « il faut observer que <math>\;I_{\text{assoc. }\parallel}\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;U\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique }}ceci se vérifie en factorisant par <math>\;U\;</math> dans l'expression de <math>\;I_{\text{assoc. }\parallel}\;</math> soit «<math>\;I_{\text{assoc. }\parallel} = (G_1 + G_2)\;U\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique }}« le cœfficient de proportionnalité <math>\;(G_1 + G_2)\;</math> étant alors la conductance équivalente ». === Association parallèle de deux conducteurs ohmiques, résistance équivalente === {{Théorème|titre = Résistance équivalente d'une association parallèle de deux conducteurs ohmiques|contenu = {{Al|5}}Une association parallèle de deux conducteurs ohmiques de résistances respectives <math>\;R_1\;</math> et <math>\;R_2\;</math> est équivalente à un conducteur ohmique de résistance «<math>\;R_{\text{éq},\, \parallel} = \dfrac{R_1\;R_2}{R_1 + R_2}\;</math>»<ref name="À retenir" />.}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : nous savons déjà que l'association parallèle de deux conducteurs ohmiques est un conducteur ohmique de conductance équivalente égale à la somme des conductances individuelles <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : nous savons déjà que }}«<math>\;G_{\text{éq},\, \parallel} = G_1 + G_2\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}en remplaçant les conductances individuelles par leurs valeurs de résistances associées, «<math>\;G_{\text{éq},\, \parallel} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\;</math>» égale à «<math>\;G_{\text{éq},\, \parallel} =</math> <math>\dfrac{R_2 + R_1}{R_1\;R_2}\;</math>» d'où, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}en inversant, l'expression de «<math>\;R_{\text{éq},\, \parallel} = \dfrac{1}{G_{\text{éq},\, \parallel}} = \dfrac{R_1\;R_2}{R_1 + R_2}\;\;</math>». {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : « l'association <math>\;\parallel\;</math> de deux conducteurs ohmiques de même résistance <math>\;R\;</math> est un conducteur ohmique de résistance <math>\;\dfrac{R}{2}\;</math>»<ref name="À retenir" />. == Conductance équivalente de l'association parallèle de plus de deux conducteurs ohmiques == {{Théorème|titre = Conductance équivalente d'une association parallèle de n conducteurs ohmiques|contenu = {{Al|5}}Une association parallèle de n conducteurs ohmiques de conductances respectives <math>\;G_1</math>, <math>\;\ldots</math>, <math>\;G_k</math>, <math>\;\ldots</math>, <math>\;G_n\;</math> est équivalente à un conducteur ohmique de conductance «<math>\;G_{\text{éq},\,\parallel} = \sum\limits_{k = 1}^n G_k\;</math>»<ref name="À retenir" />.}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : les conducteurs ohmiques étant en <math>\;\parallel\;</math> sont soumis à la <u>même tension</u> <math>\;U\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}l'<u>intensité du courant traversant l'association parallèle des n dipôles</u> <math>\;I_{\text{assoc. }\parallel}\;</math> est <u>égale à la somme des intensités</u> <math>\;I_1</math>, <math>\;\ldots</math>, <math>\;I_k</math>, <math>\;\ldots</math>, <math>I_n\;</math> <u>des courants traversant chaque dipôle</u>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : l'intensité du courant traversant l'association parallèle des n dipôles <math>\;\color{transparent}{I_{\text{assoc. }\parallel}}\;</math> est }}«<math>\;I_{\text{assoc. }\parallel} = \sum\limits_{k = 1}^n I_k\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}il reste à écrire que chaque dipôle est un conducteur ohmique par la 2^ème forme de la <u>loi d'Ohm</u><ref name="Ohm" /> <u>en convention récepteur</u> <math>\;I_1 =</math> <math>G_1\; U</math>, <math>\;\ldots</math>, <math>\;I_k = G_k\;U</math>, <math>\;\ldots</math>, <math>\;I_n = G_n\; U\;</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : il reste }}à reporter ces expressions dans <math>\;I_{\text{assoc. }\parallel}\;</math> soit «<math>\;I_{\text{assoc. }\parallel} = \sum\limits_{k = 1}^n G_k\;U\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique « il faut observer que <math>\;I_{\text{assoc. }\parallel}\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;U\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique }}ceci se vérifie en factorisant par <math>\;U\;</math> dans l'expression de <math>\;I_{\text{assoc. }\parallel}\;</math> soit «<math>\;I_{\text{assoc. }\parallel} = \left( \sum\limits_{k = 1}^n G_k \right) U\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique }}« le cœfficient de proportionnalité <math>\;\sum\limits_{k = 1}^n G_k\;</math> étant alors la conductance équivalente ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : il n'y a aucune relation simple sur la résistance équivalente d'une association parallèle de plus de deux conducteurs ohmiques, on procède : * par calcul de conductance équivalente et on inverse le résultat pour obtenir la résistance équivalente ou * par itération « on associe d'abord deux conducteurs ohmiques pour déterminer la résistance équivalente » puis « on associe cette dernière avec un 3^ème conducteur ohmique pour déterminer la nouvelle résistance équivalente » et « ainsi de suite jusqu'à épuisement des conducteurs montés en parallèle » <ref> La méthode par itération n'est acceptable que s'il n'y a pas plus de trois conducteurs ohmiques montés en parallèle, sinon préférer le calcul de la conductance équivalente et l'inversion pour en déduire la résistance équivalente.</ref>. {{Al|5}}<u>Conseil</u> : il est impératif de vérifier l'homogénéité des formules même si vous croyez faire des calculs sans erreurs <math>\;\ldots\;</math> * un résultat du type <math>\;R_{\text{assoc.},\,\parallel} = \cancel{\dfrac{R_1\;R_2\;R_3}{R_1 + R_2 + R_3}}\;</math> pour la résistance équivalente de l'association parallèle de trois conducteurs ohmiques de résistance respective <math>\;R_1</math>, <math>\;R_2\;</math> et <math>\;R_3\;</math> qui serait induit par {{Nobr|<math>\big(</math>fausse<math>\big)\;</math>}} intuition à partir de celui de deux conducteurs ohmiques montés en parallèle * ou encore du type <math>\;R_{\text{éq}} = \cancel{R_1 + R_2\;R_3}\;</math> * ou du type <math>\;R_{\text{éq}} = \cancel{R + 1}\;</math> <math>\ldots\;</math> {{Al|5}}{{Transparent|Conseil : }}« sont évidemment faux » puisque « non homogènes »<ref> Toutes les inhomogénéités criantes comme celles-ci doivent être repérées IMPÉRATIVEMENT.</ref>. == Méthode générale de la détermination de la résistance équivalente d'un réseau dipolaire résistif, étude d'un exemple == === Méthode à utiliser avant toute chose === {{Al|5}}Remplacer les associations en série ou en parallèle de conducteurs ohmiques par le conducteur ohmique équivalent <math>\;\ldots\;</math> Le plus souvent ce sera la seule chose à faire car le réseau dipolaire purement résistif étudié sera une association de réseaux dipolaires rassemblant des conducteurs ohmiques uniquement montés en série ou en parallèle <math>\;\ldots\;</math> {{Al|5}}Attention : ne jamais perdre de vue les bornes entre lesquelles on cherche l'équivalence du réseau, toutes les erreurs que l'on peut rencontrer résultent de cet oubli<ref> Rappels pour ceux qui ont tendance confondre les associations en série et parallèle : * deux conducteurs ohmiques sont montés en série entre deux bornes si, de la 3^ème borne <math>\;-\;</math> celle située entre les deux conducteurs ohmiques <math>\;-\;</math> il n'y a aucun autre fil de connexion que ceux qui partent vers les conducteurs ohmiques <math>\;\big(</math>autrement dit si cette borne n'est pas un nœud<math>\big)\;</math> et * deux conducteurs ohmiques sont montés en parallèle entre deux bornes si chacune de celles-ci est reliée directement par des fils de connexion à l'un et l'autre des conducteurs ohmiques.</ref>. === Méthode à utiliser dans le cas où la résolution de la résistance équivalente par « association de conducteurs ohmiques en série ou en parallèle » n'aboutit pas === {{Al|5}}Il convient avant toute chose de simplifier le réseau en remplaçant les associations en série ou <math>\;\big(</math>et<math>\big)\;</math> en parallèle de conducteurs ohmiques par le conducteur ohmique équivalent ; nous supposons que, malgré tout, <u>il existe d'autres associations de conducteurs ohmiques que les associations en série ou en parallèle</u> précédentes<ref name="triangle ou étoile"> Ces autres associations seront détaillées ultérieurement, mais elles peuvent se regrouper en deux types : <br>{{Al|3}}les associations de conducteurs ohmiques en triangle entre trois nœuds <math>\;\big(</math>chacun de ces nœuds est directement relié aux deux autres par un conducteur ohmique<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}les associations de conducteurs ohmiques en étoile entre trois nœuds <math>\;\big(</math>chacun de ces nœuds est directement relié à un 4^ème nœud central par un conducteur ohmique<math>\big)</math>.</ref> qui empêchent d'obtenir un conducteur ohmique équivalent au réseau dipolaire initial. {{Al|5}}Dans la mesure où le réseau dipolaire est purement résistif, <u>on admet qu'il est équivalent à un conducteur ohmique</u> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire que la tension aux bornes du réseau et l'intensité du courant le traversant sont proportionnelles<math>\big)</math> ; {{Al|5}}on détermine la résistance <math>\;R_{\text{éq}}\;</math>du conducteur ohmique équivalent au réseau dipolaire « <u>en imposant un courant d'intensité</u><math>\;I\;</math>» et « <u>en établissant, par utilisation des lois de Kirchhoff<ref name="Kirchhoff"> '''[[w:Gustav_Kirchhoff|Gustav Robert Kirchhoff]] (1824 – 1887)''' est l'un des plus grands physiciens d'origine allemande <math>\;\big(</math>prussienne<math>\big)\;</math> du XIX^ème siècle ; bien qu'il doive sa célébrité aux lois relatives au courant électrique dans les circuits, lois qu'il a établies alors qu'il était encore étudiant, c'est surtout en tant que fondateur, avec '''[[w:Robert_Whilhelm_Bunsen|Robert Whilhelm Bunsen]] (1811 - 1899)''' chimiste allemand, de la [[w:Spectroscopie|spectroscopie]] qu'il a apporté sa plus grande contribution à la science.</ref>, l'expression de la tension aux bornes du réseau</u><math>\;U\;</math> <math>\big(</math>en convention récepteur<math>\big)\;</math> en fonction de <math>\;I\;</math> et des résistances des composants du réseau », la résistance cherchée étant alors <math>\;R_{\text{éq}} = \dfrac{U}{I}\;</math> indépendante de <math>\;I\;</math><ref> Cela résulte du fait que la tension <math>\;U\;</math> aux bornes du réseau dipolaire est <math>\;\propto\;</math> à l'intensité <math>\;I\;</math> du courant le traversant, les lois de maille et les lois de nœud étant linéaires et le réseau ne contenant pas de sources <math>\;\big(</math>la seule source créant le courant d'intensité <math>\;I\;</math> étant extérieure au réseau<math>\big)</math>.</ref> car le réseau est effectivement équivalent à un conducteur ohmique<ref> Ne jamais perdre de vue entre quelles bornes on cherche l'équivalence du réseau et pour cela, ceux qui auraient des soucis peuvent faire ressortir ces bornes en une couleur différente des autres bornes.</ref>. === Étude d'un exemple : Pont résistif de Wheatstone === [[File:Pont de Wheatstone résistif - détermination résistance équivalente.png|thumb|300px|Méthode de détermination de la résistance équivalente d'un pont de Wheatstone<ref name="Wheatstone"> '''[[w:Charles_Wheatstone|Charles Wheatstone]] (1802 - 1875)''' physicien et inventeur anglais à qui on doit, entre autres, la 1^ère liaison télégraphique filaire <math>\;\big(</math>longue de <math>\;2\;km\big)\;</math> près de Londres en <math>\;1836</math>, l'un des premiers microphones et bien sûr le pont résistif du même nom.</ref> résistif en imposant un courant d'intensité <math>\;I\;</math> et en évaluant la tension <math>\;U\;</math> à ses bornes]] {{Al|5}}On se propose de déterminer la résistance équivalente du réseau dipolaire résistif entre les bornes <math>\;A\;</math> et <math>\;B</math>, ce réseau ne peut pas être simplifié en reconnaissant des associations en série ou en parallèle car il n'y en a pas <math>\;\big[</math>on reconnaît une association triangle entre les nœuds <math>\;A</math>, <math>\;C\;</math> et <math>\;D</math>, ces nœuds étant reliés directement par les résistances <math>\;R_1</math>, <math>\;R_5\;</math> et <math>\;R_4\;</math><ref> On peut remplacer cette association triangle par une autre entre les nœuds <math>\;C</math>, <math>\;D\;</math> et <math>\;B</math>, ces nœuds étant reliés directement par les résistances <math>\;R_5</math>, <math>\;R_3\;</math> et <math>\;R_2\;</math>.</ref>, ou une association étoile entre les nœuds <math>\;A</math>, <math>\;D\;</math> et <math>\;B</math>, de nœud central <math>\;C</math>, ce dernier étant relié directement aux trois autres par les résistances <math>\;R_1</math>, <math>\;R_5\;</math> et <math>\;R_2\;</math><ref> On peut remplacer cette association étoile par une autre entre les nœuds <math>\;A</math>, <math>\;C\;</math> et <math>\;B</math>, de nœud central <math>\;D</math>, ce dernier étant relié directement aux trois autres par les résistances <math>\;R_4</math>, <math>\;R_5\;</math> et <math>\;R_3\;</math>.</ref><math>\big]</math> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}on impose donc un courant d'intensité <math>\;I\;</math> traversant le réseau dipolaire <math>\;\big(</math>entrant par <math>\;A\;</math> et sortant par <math>\;B\big)\;</math> et on cherche à exprimer la tension <math>\;U\;</math> entre les bornes <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> <math>\big(</math>convention récepteur<math>\big)\;</math><ref> Le sens du courant pouvant bien sûr être inversé, à condition d'inverser aussi le sens de tension pour rester en convention récepteur.</ref> en fonction de <math>\;I\;</math> et des cinq résistances du réseau à l'exclusion de toutes autres grandeurs ; {{Al|5}}remarquant que <math>\;U = U_1 + U_2\;</math><ref> On aurait pu écrire aussi <math>\;U = U_4 + U_3</math>, on aurait évidemment trouvé le même résultat au final.</ref> et introduisant les courants inconnus traversant les cinq branches <math>\;\big(</math>il y a donc cinq inconnues car les tensions aux bornes des branches se déterminent en fonction de ces courants par loi d'Ohm<ref name="Ohm" /><math>\big)\;</math> nous en déduisons <math>\;U = R_1\;i_1 + R_2\;i_2</math> ; {{Al|5}}il reste à déterminer <math>\;i_1\;</math> et <math>\;i_2\;</math> en fonction de <math>\;I\;</math> et des cinq résistances du réseau par utilisation de la loi des nœuds <math>\;\big(3\;</math> équations indépendantes<math>\big)\;</math> et de la loi des mailles <math>\;\big(2\;</math> équations indépendantes<math>\big)\;</math> soit : * nœud <math>\;A</math> : <math>\;I = i_1 + i_4\;</math> on garde <math>\;i_1\;</math> et <math>\;I\;</math><ref name="substitution"> On va résoudre le système de cinq équations linéaires aux cinq inconnues par la méthode de substitution <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_de_deux_équations_algébriques_linéaires_à_deux_inconnues#Résolution_par_substitution_2|résolution par substitution]] (d'un système de n équations algébriques linéaires à n inconnues) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, on élimine <math>\;i_4 = I - i_1\;\; (\mathfrak{a})</math>, * nœud <math>\;B</math> : <math>\;I = i_2 + i_3\;</math> on garde <math>\;i_2\;</math> et <math>\;I\;</math><ref name="substitution" />, on élimine <math>\;i_3 = I - i_2\;\; (\mathfrak{b})</math>, * nœud <math>\;C</math> : <math>\;i_1 = i_2 + i_5\;</math> on garde <math>\;i_1\;</math> et <math>\;i_2\;</math><ref name="substitution" />, on élimine <math>\;i_5 = i_1 - i_2\;\; (\mathfrak{c})</math>, * maille <math>\;(I)</math> : <math>\;-R_1\;i_1 - R_5\;i_5 + R_4\;i_4 = 0\;</math> dans laquelle on reporte <math>\;(\mathfrak{c})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> <math>\Rightarrow</math> l'équation linéaire aux deux inconnues <math>\;i_1\;</math> et <math>\;i_2\;</math> suivante <math>\;-R_1\;i_1 - R_5 \left( i_1 - i_2 \right) + R_4 \left( I - i_1 \right) = 0\;</math> ou <math>\;-\left( R_1 + R_5 + R_4 \right) i_1 + R_5\; i_2 = -R_4\; I\;</math> soit au final, en prenant l'opposé des deux membres, <math>\;\left( R_1 + R_5 + R_4 \right) i_1 - R_5\; i_2 = R_4\; I\;\; (\mathfrak{m}_1)\;</math> et * maille <math>\;(II)</math> : <math>\;-R_2\;i_2 + R_3\;i_3 + R_5\;i_5 = 0\;</math> dans laquelle on reporte <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{c})\;</math> <math>\Rightarrow</math> l'équation linéaire aux deux inconnues <math>\;i_1\;</math> et <math>\;i_2\;</math> suivante <math>\;-R_2\;i_2 + R_3 \left( I - i_2 \right) + R_5 \left( i_1 - i_2 \right) = 0\;</math> ou <math>\;R_5\; i_1 - \left( R_2 + R_3 + R_5 \right) i_2 = -R_3\; I\;</math> soit finalement, en prenant l'opposé des deux membres, <math>\;-R_5\; i_1 + \left( R_2 + R_3 + R_5 \right) i_2 = R_3\; I\;\; (\mathfrak{m}_2)</math> ; {{Al|5}}il reste à résoudre le système des deux équations linéaires aux deux inconnues <math>\;i_1\;</math> et <math>\;i_2\;</math> par « méthode de combinaison linéaire »<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_de_deux_équations_algébriques_linéaires_à_deux_inconnues#Résolution_par_combinaison_(linéaire)|résolution par combinaison (linéaire)]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> en remplaçant <math>\;(\mathfrak{m}_2)\;</math> par <math>\;(R_2 + R_3 + R_5) \times (\mathfrak{m}_1) + R_5 \times (\mathfrak{m}_2)\;</math> de façon à éliminer <math>\;i_2\;</math> on obtient <math>\;i_1 =</math> <math>\dfrac{R_4 \left( R_2 + R_3 + R_5 \right) + R_3\;R_5}{\left( R_1 + R_4 + R_5 \right) \left( R_2 + R_3 + R_5 \right) - R_5^2}\;I\;</math> ou, après réorganisation du dénominateur, <math>\;i_1 =</math> <math>\dfrac{R_4 \left( R_2 + R_3 + R_5 \right) + R_3\;R_5}{\left( R_1 + R_4 \right) \left( R_2 + R_3 \right) + R_5 \left( \sum\limits_{k\,=\,1}^4 R_k \right)}\;I\;</math> puis {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> en remplaçant <math>\;(\mathfrak{m}_1)\;</math> par <math>\;R_5 \times (\mathfrak{m}_1) + \left( R_1 + R_4 + R_5 \right) \times (\mathfrak{m}_2)\;</math> de façon à éliminer <math>\;i_1\;</math><ref> Ceci est plus rapide pour obtenir le résultat littéral de <math>\;i_2</math> ; si nous n'avions à déterminer que sa valeur numérique l'utilisation de l'équation <math>\;(\mathfrak{m}_1)\;</math> aurait été la méthode la plus rapide.</ref>, on obtient <math>\;i_2 =</math> <math>\dfrac{R_4\;R_5 + R_3 \left( R_1 + R_4 + R_5 \right)}{- R_5^2 + \left( R_1 + R_4 + R_5 \right) \left( R_2 + R_3 + R_5 \right)}\;I\;</math> ou, après réorganisation du dénominateur, <math>\;i_2 = \dfrac{R_3 \left( R_1 + R_4 + R_5 \right) + R_4\;R_5}{\left( R_1 + R_4 \right) \left( R_2 + R_3 \right) + R_5 \left( \sum\limits_{k\,=\,1}^4 R_k \right)}\;I</math> ; {{Al|5}}on forme alors <math>\;U = R_1\;i_1 + R_2\;i_2 = R_1\;\dfrac{R_4 \left( R_2 + R_3 + R_5 \right) + R_3\;R_5}{\left( R_1 + R_4 \right) \left( R_2 + R_3 \right) + R_5 \left( \sum\limits_{k\,=\,1}^4 R_k \right)}\;I + R_2\;\dfrac{R_3 \left( R_1 + R_4 + R_5 \right) + R_4\;R_5}{\left( R_1 + R_4 \right) \left( R_2 + R_3 \right) + R_5 \left( \sum\limits_{k\,=\,1}^4 R_k \right)}\;I\;</math> d'où, en réécrivant sous la forme d'une fraction, <math>\;U =</math> <math>\dfrac{R_1 \left[ R_4 \left( R_2 + R_3 + R_5 \right) + R_3\;R_5 \right] + R_2 \left[ R_3 \left( R_1 + R_4 + R_5 \right) + R_4\;R_5 \right]}{\left( R_1 + R_4 \right) \left( R_2 + R_3 \right) + R_5 \left( \sum\limits_{k\,=\,1}^4 R_k \right)}\;I \propto I\;</math><ref> La proportionnalité de la tension aux bornes du réseau à l'intensité du courant le traversant justifie que le réseau est équivalent à un conducteur ohmique.</ref> dont on déduit l'expression de la résistance équivalente du réseau dipolaire résitif <center>«<math>\;R_{\text{éq}} = \dfrac{U}{I} = \dfrac{R_1 \left[ R_4 \left( R_2 + R_3 + R_5 \right) + R_3\;R_5 \right] + R_2 \left[ R_3 \left( R_1 + R_4 + R_5 \right) + R_4\;R_5 \right]}{\left( R_1 + R_4 \right) \left( R_2 + R_3 \right) + R_5 \left( \sum\limits_{k\,=\,1}^4 R_k \right)}\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>1^er exemple</u> : <math>\;R_1 = R_4 = 100\;\Omega</math>, <math>\;R_2 = R_3 = 50\;\Omega\;</math> et <math>\;R_5 = 30\;\Omega</math>, on trouve «<math>\;R_{\text{éq}} \simeq 75\;\Omega\;</math>». {{Al|5}}<u>2^ème exemple</u> : <math>\;R_1 = R_2 = 100\;\Omega</math>, <math>\;R_3 = R_4 = 50\;\Omega\;</math> et <math>\;R_5 = 30\;\Omega</math>, on trouve «<math>\;R_{\text{éq}} \simeq 66,7\;\Omega\;</math>». == Utilisation de l'invariance par symétrie ou antisymétrie axiale de la répartition des courants circulant dans le réseau dipolaire résistif pour évaluer sa résistance équivalente == === Préliminaire avant toute utilisation des lois de Kirchhoff pour déterminer le conducteur ohmique équivalent à un réseau dipolaire purement résistif === {{Al|5}}Vérifier qu'il n'y a pas d'invariance de la répartition des courants par symétrie ou antisymétrie axiale<ref name="invariance par symétrie ou antisymétrie axiales"> Voir la définition de l'« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Invariance_par_symétrie_axiale_d'un_champ_vectoriel_d'un_espace_à_deux_dimensions_plan|invariance par symétrie axiale d'un champ vectoriel d'un espace à deux dimensions plan]] » et de l'« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Invariance_par_antisymétrie_axiale_d'un_champ_vectoriel_d'un_espace_à_deux_dimensions_plan|invariance par antisymétrie axiale d'un champ vectoriel d'un espace à deux dimensions plan]] » du chap.<math>20</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> sachant que l'éventuel axe de symétrie doit passer par les bornes de connexion du réseau dipolaire et que l'éventuel axe d'antisymétrie est la « médiatrice électrique » du segment limité par les bornes de connexion du réseau dipolaire. {{Al|5}}<u>Retour sur le pont résistif de Wheatstone dans son 1^er exemple</u>  : ayant <math>\;R_1 = R_4\;</math> ainsi que <math>\;R_2 = R_3\;</math> on en déduit que <math>\;i_1 = i_4\;</math> ainsi que <math>\;i_2 = i_3\;</math> c'est-à-dire que l'ensemble des courants d'intensités <math>\;\left(i_1,\, i_4,\, i_2,\, i_4 \right)\;</math> est invariant par symétrie axiale relativement à l'axe <math>\;\left( AB \right)\;</math> et comme le courant d'intensité <math>\;I\;</math> est son « propre symétrique » <ref> En <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> il est effectivement porté par <math>\;\left( AB \right)\;</math> <math>\big[</math>dans la pratique les fils de connexion ne sont pas coudés en <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> mais dans le prolongement du réseau dipolaire<math>\big]</math>.</ref>, on en déduit que <center>la « répartition des courants » <ref> En effet l'invariance par symétrie axiale de tous les courants à l'exception de celui d'intensité <math>\;i_5\;</math> a été vérifiée, si ceci n'était pas vrai pour <math>\;i_5\;</math> cela devrait ne pas l'être au moins pour un autre courant par utilisation de la loi des nœuds.</ref> est symétrique relativement à <math>\;\left( AB \right)</math> ;</center> {{Al|5}}<u>Retour sur le pont résistif de Wheatstone dans son 2^ème exemple</u> : ayant <math>\;R_1 = R_2\;</math> ainsi que <math>\;R_4 = R_3\;</math> on en déduit que <math>\;i_1 = i_2\;</math> ainsi que <math>\;i_4 = i_3\;</math> c'est-à-dire que l'ensemble des courants d'intensités <math>\;\left(i_1,\, i_4,\, i_2,\, i_4 \right)\;</math> est invariant par antisymétrie axiale par rapport à l'axe <math>\;\left( CD \right)\;</math> et comme les courants d'intensité <math>\;I\;</math> en <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> <math>\big[</math>points symétriques par rapport à <math>\;\left( CD \right)\big]\;</math> sont « antisymétriques »<ref> En <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> ils sont effectivement perpendiculaires à <math>\;\left( CD \right)\;</math> et ils ont évidemment même intensité.</ref>, on en déduit que <center>la « répartition des courants »<ref> En effet l'invariance par antisymétrie axiale de tous les courants à l'exception de celui d'intensité <math>\;i_5\;</math> a été vérifiée, si ceci n'était pas vrai pour <math>\;i_5\;</math> cela devrait ne pas l'être au moins pour un autre courant par utilisation de la loi des nœuds.</ref> est antisymétrique relativement à <math>\;\left( CD \right)</math>.</center> === Retour sur un 1^er exemple particulier de pont résistif de Wheatstone dans lequel il y a invariance par symétrie axiale de la répartition des courants === [[File:Pont résistif de Wheatstone symétrique.png|thumb|300px|Exemple d'un pont résistif de Wheatstone<ref name="Wheatstone" /> ayant pour axe de symétrie de répartition des courants l'axe passant par les bornes d'entrée et de sortie]] {{Al|5}}La « répartition des courants » dans le pont résistif de Wheatstone<ref name= "Wheatstone" /> ci-contre étant symétrique relativement à l'axe <math>\;\left( AB \right)\;</math> on en déduit que * <u>les points</u> <math>\;C\;</math> et <math>\;D</math>, <u>symétriques l'un de l'autre par rapport à l'axe de symétrie de répartition des courants</u> <math>\;\left( AB \right)</math>, <u>sont au même potentiel</u><ref> En effet entre <math>\;A\;</math> et <math>\;C\;</math> d'une part et <math>\;A\;</math> et <math>\;D\;</math> d'autre part, les résistances sont les mêmes et les intensités du courant aussi d'où une même tension <math>\;U_1 = U_4\;</math> ou une même d.d.p. <math>\;V_A - V_C = V_A - V_D\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_C = V_D</math>.</ref>, il est donc <u>possible de les court-circuiter sans modifier la répartition des courants</u> et par suite <br>{{Al|5}}le réseau dipolaire entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> devient une association série des deux associations parallèles <math>\;R_1 \parallel R_4 = R_1\;</math> d'une part et <math>\;R_2 \parallel R_3 = R_2\;</math> d'autre part<ref name="résistance équivalente de 2 résistances en parallèle"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Association_parallèle_de_deux_conducteurs_ohmiques,_résistance_équivalente|association parallèle de deux conducteurs ohmiques, résistance équivalente]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}}<ref name="résistance équivalente de 2 résistances en série"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Association_série_de_deux_conducteurs_ohmiques|association série de deux conducteurs ohmiques]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où «<math>\;R_{\text{éq}} = \dfrac{R_4\;R_1}{R_4 + R_1} + \dfrac{R_3\;R_2}{R_3 + R_2} = \dfrac{R_1}{2} + \dfrac{R_2}{2} =</math> <math>\dfrac{R_1 + R_2}{2}\;</math>»<ref name="résistance court-circuitée"> La résistance équivalente ne dépend pas de <math>\;R_5\;</math> car le conducteur ohmique branché entre <math>\;C\;</math> et <math>\;D\;</math> points au même potentiel n'est traversé par aucun courant <math>\;\big[</math>comme on court-circuite les points <math>\;C\;</math> et <math>\;D</math>, la résistance équivalente de l'association “<math>\;R_5</math> en parallèle sur le court-circuit ” est nulle<math>\big]</math>.</ref> soit, avec <math>\;R_1 = R_4 = 100\;\Omega\;</math> et <math>\;R_2 = R_3 = 50\;\Omega</math>, le résultat numérique suivant «<math>\;R_{\text{éq}} =</math> <math>\dfrac{100 + 50}{2} = 75\;\Omega\;</math>» ou, * <u>la branche</u> <math>\;(5)\;</math> <u>étant perpendiculaire à l'axe de symétrie de répartition des courants</u> <math>\;\left( AB \right)</math>, au point d'intersection de cette branche <math>\;(5)\;</math> et de l'axe <math>\;\left( AB \right)</math>, le courant devant être d'une part perpendiculaire à l'axe et d'autre part le long de cet axe <math>\;\big[</math>on rappelle qu'en tout point de l'axe de symétrie de répartition des courants le courant doit circuler le long de cet axe<ref name="invariance par symétrie ou antisymétrie axiales" /><math>\big]</math>, est d'intensité nulle soit <math>\;i_5 = 0</math>, <u>on peut</u> donc « <u>supprimer cette branche sans modifier la répartition des courants</u> » et par suite <br>{{Al|5}}le réseau dipolaire entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> devient une association parallèle des deux associations série “<math>\;R_1\; \text{et}\; R_2\;</math>” d'une part et “<math>\;R_4\; \text{et}\; R_3\;</math>” d'autre {{Nobr|part<ref name="résistance équivalente de 2 résistances en série" />{{,}}<ref name="résistance équivalente de 2 résistances en parallèle" />}} d'où «<math>\;R_{\text{éq}} = \dfrac{(R_1 + R_2)\;(R_4 + R_3)}{(R_1 + R_2) + (R_4 + R_3)}\;</math>» ou, avec <math>\;R_1 = R_4\;</math> et <math>\;R_2 = R_3</math>, «<math>\;R_{\text{éq}} = \dfrac{\left( R_1 + R_2 \right)^2}{2 \left(R_1 + R_2 \right)} = \dfrac{R_1 + R_2}{2}\;</math>» soit, avec <math>\;R_1 = R_4</math> <math>= 100\;\Omega\;</math> et <math>\;R_2</math> <math>= R_3 = 50\;\Omega</math>, le même résultat numérique «<math>\;R_{\text{éq}} = \dfrac{100 + 50}{2} = 75\;\Omega\;</math>». === Retour sur un 2^ème exemple particulier de pont résistif de Wheatstone dans lequel il y a invariance par antisymétrie axiale de la répartition des courants === [[File:Pont résistif de Wheatstone antisymétrique.png|thumb|300px|Exemple d'un pont résistif de Wheatstone<ref name="Wheatstone" /> ayant pour axe d'antisymétrie de répartition des courants l'axe passant par les deux nœuds intermédiaires]] {{Al|5}}La « répartition des courants » dans le pont résistif de Wheatstone<ref name= "Wheatstone" /> ci-contre étant antisymétrique relativement à l'axe <math>\;\left( CD \right)\;</math> on en déduit que * <u>les points</u> <math>\;C\;</math> et <math>\;D</math>, <u>de l'axe d'antisymétrie de répartition des courants</u> <math>\;\left( CD \right)</math>, <u>sont au même potentiel, demi-somme des potentiels extrêmes</u> {{Nobr|<math>\;\dfrac{V_A + V_B}{2}\;</math><ref> En effet entre <math>\;A\;</math> et <math>\;C\;</math> puis <math>\;C\;</math> et <math>\;B\;</math> on a même résistance et même intensité de courant d'où même tension <math>\;U_1 = U_2\;</math> ou même d.d.p. <math>\;V_A - V_C = V_C - V_B\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_C = \dfrac{V_A + V_B}{2}</math> ; <br>{{Al|3}}de même entre <math>\;A\;</math> et <math>\;D\;</math> puis <math>\;D\;</math> et <math>\;B\;</math> on a même résistance et même intensité de courant d'où même tension <math>\;U_4 = U_3\;</math> ou même d.d.p. <math>\;V_A - V_D = V_D - V_B\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_D = \dfrac{V_A + V_B}{2}</math>.</ref>,}} il est donc <u>possible de les court-circuiter sans modifier la répartition des courants</u> et par suite <br>le réseau dipolaire entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> devient une association série des deux associations parallèles <math>\;R_1 \parallel R_4\;</math> d'une part et <math>\;R_2 \parallel R_3\;</math> d'autre part<ref name="résistance équivalente de 2 résistances en parallèle" />{{,}}<ref name="résistance équivalente de 2 résistances en série" /> d'où {{Nobr|«<math>\;R_{\text{éq}} =</math>}} <math>\dfrac{R_4\;R_1}{R_4 + R_1} + \dfrac{R_3\;R_2}{R_3 + R_2}\;</math>» ou, avec <math>\;R_1 = R_2\;</math> et <math>\;R_4 =</math> <math>R_3</math>, «<math>\;R_{\text{éq}} = 2\; \dfrac{R_4\;R_1}{R_4 + R_1}\;</math>»<ref name="résistance court-circuitée" /> soit, avec <math>\;R_1 = R_2 = 100\;\Omega\;</math> et <math>\;R_4 = R_3</math> <math>= 50\;\Omega</math>, le résultat numérique suivant «<math>\;R_{\text{éq}} = 2 \times \dfrac{50 \times 100}{50 + 100} = 66,7\;\Omega\;</math>» ou, * <u>la branche</u> <math>\;(5)\;</math> <u>étant le long de l'axe d'antisymétrie de répartition des courants</u> <math>\;\left( CD \right)</math>, au point d'intersection de cette branche <math>\;(5)\;</math> et de l'axe <math>\;\left( CD \right)</math>, le courant devant être d'une part le long de cet axe et d'autre part perpendiculaire à l'axe <math>\;\big[</math>on rappelle qu'en tout point de l'axe d'antisymétrie de répartition des courants le courant doit circuler perpendiculairement à cet axe<ref name="invariance par symétrie ou antisymétrie axiales" /><math>\big]</math>, est d'intensité nulle soit <math>\;i_5 = 0</math>, <u>on peut</u> donc « <u>supprimer cette branche sans modifier la répartition des courants</u> » et par suite <br>le réseau dipolaire entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> devient une association parallèle des deux associations série “<math>\;R_1\; \text{série}\; R_2\;</math>” et “<math>\;R_4\; \text{série}\; R_3\;</math>”<ref name="résistance équivalente de 2 résistances en série" />{{,}}<ref name="résistance équivalente de 2 résistances en parallèle" /> d'où {{Nobr|«<math>\;R_{\text{éq}} =</math>}} <math>\dfrac{(R_1 + R_2)\;(R_4 + R_3)}{(R_1 + R_2) + (R_4 + R_3)}\;</math>» ou, avec <math>\;R_1 = R_2\;</math> et <math>\;R_4 = R_3</math>, «<math>\;R_{\text{éq}} = \dfrac{4\;R_1\;R_4}{2 \left(R_1 + R_4 \right)} = 2\; \dfrac{R_4\;R_1}{R_4 + R_1}\;</math>» soit, avec <math>\;R_1 =</math> <math>R_2 = 100\;\Omega\;</math> et <math>\;R_4 = R_3 = 50\;\Omega</math>, le même résultat numérique «<math>\;R_{\text{éq}} = 2 \times \dfrac{50 \times 100}{50 + 100} = 66,7\;\Omega\;</math>». === Autre exemple : détermination de la résistance équivalente d'un réseau métallique === [[File:Réseau dipolaire filaire plan - exemple.png|thumb|300px|Exemple de réseau dipolaire filaire plan symétrique et antisymétrique]] {{Al|5}}Voir exemple ci-contre, chaque portion de fil rectiligne étant de même longueur, de même section et de même matière donc de même résistance notée <math>\;r\;</math><ref> On établit que la résistance d'un fil rectiligne est proportionnelle à sa longueur, à la [[w:Résistivité|résistivité]] de la matière qui le compose et inversement proportionnelle à l'aire de sa section droite.</ref>, on cherche à déterminer la résistance équivalente entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> dans cet exemple où, observant d'autres associations que les associations série et parallèle<ref name="triangle ou étoile" /> comme des associations triangle<ref> Exemples de triangle : <math>\;F\;C\;L\;</math> <math>\big(</math>on rappelle que <math>\;D\;</math> n'est pas un nœud<math>\big)\;</math> et <math>\;G\;C\;M\;</math> <math>\big(</math>on rappelle que <math>\;E\;</math> n'est pas un nœud<math>\big)</math>.</ref> ou étoile<ref> Exemples d'étoile : entre les nœuds <math>\;A\;C\;L\;</math> de nœud central <math>\;F\;</math> ou entre les nœuds <math>\;B\;C\;F\;</math> de nœud central <math>\;L\;</math> <math>\big(</math>on rappelle que <math>\;D\;</math> n'est pas un nœud<math>\big)</math>, entre les nœuds <math>\;A\;C\;M\;</math> de nœud central <math>\;G\;</math> ou entre les nœuds <math>\;B\;C\;G\;</math> de nœud central <math>\;M\;</math> <math>\big(</math>on rappelle que <math>\;E\;</math> n'est pas un nœud<math>\big)</math>, entre les nœuds <math>\;F\;L\;M\;</math> de nœud central <math>\;C\;</math> ou encore entre les nœuds <math>\;G\;L\;M\;</math> de nœud central <math>\;C\;</math>.</ref>, il serait nécessaire<ref> Il suffit qu'il y ait une seule association triangle ou étoile pour que cela soit nécessaire.</ref> d'imposer un courant d'intensité <math>\;I\;</math> traversant le réseau et de déterminer la tension <math>\;U\;</math> entre ses bornes par application des lois de Kirchhoff<ref name="Kirchhoff" />{{,}}<ref> Ce qui serait compliqué car le réseau dipolaire ayant <math>\;7\;</math> nœuds <math>\;\big(</math>avec les deux bornes d'entrée et de sortie<math>\big)\;</math> et <math>\;10\;</math> branches, cela nécessiterait la résolution d'un système linéaire de <math>\;10\;</math> équations aux <math>\;10\;</math> inconnues obtenues à l'aide de <math>\;6\;</math> équations de nœuds et <math>\;4\;</math> équations de mailles indépendantes.</ref> <math>\;\ldots\;</math> s'il n'y avait pas une invariance de la répartition des courants par symétrie ou antisymétrie axiales permettant un traitement beaucoup plus rapide. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : On a indiqué le sens du courant traversant le réseau dipolaire<ref> On a aussi indiqué la tension aux bornes du réseau dipolaire correspondant à la convention récepteur mais on ne s'en servira pas.</ref> pour pouvoir préciser que la répartition des courants dans le réseau est symétrique par rapport à l'axe <math>\;\left( ACB \right)\;</math><ref> En effet au-dessus et au-dessous de l'axe <math>\;\left( ACB \right)\;</math> on observe la même répartition des résistances d'une part et d'autre part le courant d'intensité <math>\;I\;</math> arrivant en <math>\;A\;</math> selon la direction de l'axe, ressort par <math>\;B\;</math> selon la même direction, en accord avec la direction que doit avoir le courant en des points d'un axe de symétrie.</ref> et antisymétrique par rapport à l'axe <math>\;\left( DCE \right)\;</math><ref> En effet à gauche et à droite de l'axe <math>\;\left( DCE \right)\;</math> on observe la même répartition des résistances d'une part et d'autre part le courant d'intensité <math>\;I\;</math> arrivant en <math>\;A\;</math> selon une direction et un sens précis, ressort par <math>\;B</math>, symétrique de <math>\;A\;</math> par rapport à l'axe <math>\;\left( DCE \right)</math>, selon une direction et un sens antisymétrique, en accord avec la direction et le sens que doivent avoir le courant en des points symétriques par rapport à un axe d'antisymétrie.</ref> mais le résultat est indépendant de ce sens. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}tous les points sont des nœuds sauf les points <math>\;D\;</math> et <math>\;E</math>, on pourrait remplacer les brins <math>\;FD\;</math> et <math>\;DL\;</math> par un seul brin <math>\;FL\;</math> de résistance <math>\;2\;r</math>, de même remplacer les brins <math>\;GE\;</math> et <math>\;EM\;</math> par un seul brin <math>\;GM\;</math> de résistance <math>\;2\;r</math>, mais cela réduisant les apparentes symétrie et antisymétrie n'aurait pas été une bonne transformation. ==== Par utilisation de l'invariance de la répartition des courants par symétrie axiale ==== [[File:Réseau dipolaire filaire plan - exemple bis-2.png|thumb|300px|Sur l'exemple du réseau dipolaire filaire plan symétrique et antisymétrique, utilisation de l'axe de symétrie de répartition des courants par repliement le long de l'axe<ref name="2 résistances de même valeur en parallèle"> On rappelle que l'association parallèle de deux conducteurs ohmiques de même résistance est équivalente à un conducteur ohmique dont la résistance est la moitié des résistances des composants de l'association <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Association_parallèle_de_deux_conducteurs_ohmiques,_résistance_équivalente|association parallèle de deux conducteurs ohmiques, résistance équivalente]] (cas particulier) » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>]] {{Al|5}}Une 1^ère façon d'utiliser l'axe de symétrie de répartition des courants <math>\;\left( ACB \right)\;</math> est de dire que <u>les points symétriques</u> par rapport à <math>\;\left( ACB \right)\;</math> <u>sont deux à deux au même potentiel</u> soit <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} V_F = V_G\\ V_D = V_E\\ V_L = V_M\end{array} \right\rbrace\;</math> et par suite qu'<u>on peut les relier deux à deux par un court-circuit sans changer la répartition des courants</u> ; {{Al|5}}en pratique cela revient à rabattre la partie supérieure<ref> C.-à-d. située au-dessus de l'axe de symétrie.</ref> du réseau sur la partie inférieure<ref> C.-à-d. située au-dessous de l'axe de symétrie.</ref> de ce réseau, voir ci-contre : * entre <math>\;F = G\;</math> et <math>\;L = M\;</math> passant par <math>\;C\;</math> on a une association série de deux résistances <math>\;\dfrac{r}{2}\;</math> soit <math>\;R_{\text{éq},\, F = G,\,C,\,L = M} = \dfrac{r}{2} + \dfrac{r}{2} = r\;</math><ref name="résistance équivalente de 2 résistances en série" />, * entre <math>\;F = G\;</math> et <math>\;L = M\;</math> passant par <math>\;D = E\;</math> on a une association série de deux résistances <math>\;\dfrac{r}{2}\;</math> soit <math>\;R_{\text{éq},\, F = G,\,D = E,\,L = M} = \dfrac{r}{2} + \dfrac{r}{2} = r\;</math><ref name="résistance équivalente de 2 résistances en série" />, * <math>\;R_{\text{éq},\, F = G,\,C,\,L = M}\;</math> et <math>\;R_{\text{éq},\, F = G,\,D = E,\,L = M}\;</math> étant montées en parallèle, entre <math>\;F = G\;</math> et <math>\;L = M\;</math> on a une association parallèle de deux résistances <math>\;r\;</math> soit <math>\;R_{\text{éq},\, F = G,\,L = M} = \dfrac{r}{2}\;</math><ref name="2 résistances de même valeur en parallèle" /> et * entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> on a une association série de trois résistances <math>\;\dfrac{r}{2}\;</math> soit <math>\;R_{\text{éq},\, A,\,B} = \dfrac{r}{2} + \dfrac{r}{2} + \dfrac{r}{2}\;</math><ref name="résistance équivalente d'une association série"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Généralisation_:_association_série_de_plus_de_deux_conducteurs_ohmiques|généralisation : association série de plus de deux conducteurs ohmiques]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et finalement <center>«<math>\;R_{\text{éq},\, A,\,B} = \dfrac{3\;r}{2}\;</math>».</center> [[File:Réseau dipolaire filaire plan - exemple bis.png|thumb|left|300px|Sur l'exemple du réseau dipolaire filaire plan symétrique et antisymétrique, transformation du réseau pour utiliser l'axe de symétrie de répartition des courants]] [[File:Réseau dipolaire filaire plan - exemple ter.png|thumb|right|300px|Sur l'exemple du réseau dipolaire filaire plan symétrique et antisymétrique, utilisation de l'axe de symétrie de répartition des courants après transformation]] {{Al|5}}Une 2^ème façon d'utiliser l'axe de symétrie de répartition des courants <math>\;\left( ACB \right)\;</math> est de dire qu'<u>en un point de l'axe de symétrie, la direction du courant doit être le long de cet axe</u> et pour mieux appliquer cette propriété, <u>on sépare le point</u><math>\;C\;</math><u>de cet axe en deux points</u> <math>\;C_{\text{sup}}\;</math> et <math>\;C_{\text{inf}}\;</math> <u>reliés par un court-circuit perpendiculaire à l'axe</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>comme au point d'intersection de l'axe de symétrie et du court-circuit perpendiculaire à l'axe</u>, le courant doit être simultanément le long des deux, on en déduit que l'intensité du courant à travers le court-circuit est nulle et par suite <u>ce court-circuit n'étant traversé par aucun courant peut être supprimé sans modifier la répartition des courants</u> <math>\;\big(</math>voir {{Nobr|ci-contre}} à droite<math>\big)</math> ; * entre <math>\;F\;</math> et <math>\;L\;</math> passant par <math>\;D\;</math> on a une association série de deux résistances <math>\;r\;</math> soit <math>\;R_{\text{éq},\, F,\,D,\,L} = r + r =</math> {{Nobr|<math>2\;r\;</math><ref name="résistance équivalente de 2 résistances en série" />,}} * entre <math>\;F\;</math> et <math>\;L\;</math> passant par <math>\;C_{\text{sup}}\;</math> on a une association série de deux résistances <math>\;r\;</math> soit <math>\;R_{\text{éq},\, F,\,C_{\text{sup}},\,L} =</math> <math>r + r =</math> {{Nobr|<math>2\;r\;</math><ref name="résistance équivalente de 2 résistances en série" />,}} * <math>\;R_{\text{éq},\, F,\,D,\,L}\;</math> et <math>\;R_{\text{éq},\, F,\,C_{\text{sup}},\,L}\;</math> montées en parallèle, entre <math>\;F\;</math> et <math>\;L\;</math> on a une association parallèle de deux résistances <math>\;2\;r\;</math> soit <math>\;R_{\text{éq},\, F,\,L} = \dfrac{2\;r}{2} = r\;</math><ref name="2 résistances de même valeur en parallèle" />, * entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> passant par <math>\;F\;</math> et <math>\;L\;</math> on a une association série de trois résistances <math>\;r\;</math> soit <math>\;R_{\text{éq},\, A,\,F,\,L,\,B} =</math> <math>r + r + r = 3\;r\;</math><ref name="résistance équivalente d'une association série" />, * entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> passant par <math>\;G\;</math> et <math>\;M</math>, comme on a la même disposition des mêmes conducteurs ohmiques que dans la partie supérieure, on en déduit <math>\;R_{\text{éq},\, A,\,G,\,M,\,B} = 3\;r\;</math><ref name="résistance équivalente d'une association série" /> et * entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> on a une association parallèle de deux résistances <math>\;3\;r\;</math> soit finalement <center>«<math>\;R_{\text{éq},\, A,\,B} = \dfrac{3\;r}{2}\;</math>»<ref name="2 résistances de même valeur en parallèle" />.</center> ==== Par utilisation de l'invariance de la répartition des courants par antisymétrie axiale ==== [[File:Réseau dipolaire filaire plan - exemple tetra-2.png|thumb|300px|Sur l'exemple du réseau dipolaire filaire plan symétrique et antisymétrique, utilisation de l'axe d'antisymétrie de répartition des courants par court-circuit des points de l'axe]] {{Al|5}}Une 1^ère façon d'utiliser l'axe d'antisymétrie de répartition des courants <math>\;\left( DCE \right)\;</math> est de dire que <u>tous les points de l'axe d'antisymétrie sont au même potentiel moitié des potentiels extrêmes</u> soit <math>\; V_D = V_C = V_E =</math> <math>\dfrac{V_A + V_B}{2}\;</math> et par suite qu'<u>on peut relier tous les points de l'axe d'antisymétrie par un court-circuit sans changer la répartition des courants</u><ref> En général ce n'est pas la meilleure façon de résoudre le problème car les points de l'axe d'antisymétrie sont, par définition, uniquement localisés au niveau de l'axe d'antisymétrie <math>\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}on obtient ainsi des associations série et parallèle de conducteurs ohmiques<ref> Mais du fait que la modification ne concerne que des points localisés au niveau de l'axe d'antisymétrie, il est le plus souvent nécessaire <math>\;\big(</math>mais pas ici<math>\big)\;</math> d'utiliser également une invariance par symétrie du réseau transformé <math>\;\big(</math>quand celle-ci existe bien entendu<math>\big)</math>.</ref> : * entre <math>\;F\;</math> et <math>\;D = C = E\;</math> on a une association parallèle de deux résistances <math>\;r\;</math> soit <math>\;R_{\text{éq},\, F,\,D = C = E} = \dfrac{r}{2}\;</math><ref name="2 résistances de même valeur en parallèle" />, * entre <math>\;A\;</math> et <math>\;D = C = E\;</math> passant par <math>\;F\;</math> on a une association série d'une résistance <math>\;r\;</math> et d'une résistance <math>\;\dfrac{r}{2}\;</math> soit <math>\;R_{\text{éq},\, A,\,F,\,D = C = E} = r + \dfrac{r}{2} =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{3\;r}{2}\;</math><ref name="résistance équivalente de 2 résistances en série" />,}} * de même entre <math>\;A\;</math> et <math>\;D = C = E\;</math> passant par <math>\;G\;</math> on a la même disposition de conducteurs ohmiques qu'entre <math>\;A\;</math> et <math>\;D = C = E\;</math> passant par <math>\;F\;</math> d'où <math>\;R_{\text{éq},\, A,\,G,\,D = C = E} = \dfrac{3\;r}{2}</math>, * <math>\;R_{\text{éq},\, A,\,F,\,D = C = E}\;</math> et <math>\;R_{\text{éq},\, A,\,G,\,D = C = E}\;</math> étant montées en parallèle, entre <math>\;A\;</math> et <math>\;D = C = E\;</math> on a une association parallèle de deux résistances <math>\;\dfrac{3\;r}{2}\;</math> soit <math>\;R_{\text{éq},\, A,\,D = C = E} = \dfrac{3\;r}{4}\;</math><ref name="2 résistances de même valeur en parallèle" />, * de même entre <math>\;D = C = E\;</math> et <math>\;B\;</math> on a la même disposition de conducteurs ohmiques qu'entre <math>\;A\;</math> et <math>\;D = C = E\;</math> d'où <math>\;R_{\text{éq},\, D = C = E,\,B} = \dfrac{3\;r}{4}\;</math> et * enfin entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> on a une association série de deux résistances <math>\;\dfrac{3\;r}{4}\;</math> soit <math>\;R_{\text{éq},\, A,\,B} = \dfrac{3\;r}{4} + \dfrac{3\;r}{4}\;</math><ref name="résistance équivalente de 2 résistances en série" /> et finalement [[File:Réseau dipolaire filaire plan - exemple tetra.png|thumb|left|300px|Sur l'exemple du réseau dipolaire filaire plan symétrique et antisymétrique, transformation du réseau pour utiliser l'axe d'antisymétrie de répartition des courants]] [[File:Réseau dipolaire filaire plan - exemple penta.png|thumb|right|300px|Sur l'exemple du réseau dipolaire filaire plan symétrique et antisymétrique, utilisation de l'axe d'antisymétrie de répartition des courants après transformation]] <center>«<math>\;R_{\text{éq},\, A,\,B} = \dfrac{3\;r}{2}\;</math>».</center> {{Al|5}}Une 2^ème façon d'utiliser l'axe d'antisymétrie de répartition des courants <math>\;\left( DCE \right)\;</math> est de dire qu'<u>en un point de l'axe d'antisymétrie, la direction du courant doit être perpendiculaire à cet axe</u> et pour mieux appliquer cette propriété, <u>on sépare le point</u><math>\;C\;</math><u>de cet axe en deux points</u> <math>\;C_{\text{sup}}\;</math> et <math>\;C_{\text{inf}}\;</math> <u>reliés par un court-circuit parallèle à l'axe</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>comme en tout point commun de l'axe d'antisymétrie et du court-circuit parallèle à l'axe</u>, le courant doit être simultanément perpendiculaire et parallèle à l'axe, on en déduit que l'intensité du courant à travers le court-circuit est nulle et par suite <u>ce court-circuit n'étant traversé par aucun courant peut être supprimé sans modifier la répartition des courants</u> {{Nobr|<math>\;\big(</math>voir}} ci-contre à droite<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le schéma obtenu étant le même que le 2^ème établi par utilisation de l'axe de symétrie de répartition des courants, l'évaluation se fait donc exactement de la même façon que celle faite dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Par_utilisation_de_l'invariance_de_la_répartition_des_courants_par_symétrie_axiale|par utilisation de l'invariance de la répartition des courants par symétrie axiale]] (2^ème façon) » plus haut de ce chapitre d'où le même résultat <center>«<math>\;R_{\text{éq},\,A,\,B} = \dfrac{3\;r}{2}\;</math>».</center> == Notion de réseau quadripolaire et conventions d'entrée et de sortie == [[File:Réseau quadripolaire - conventions d'entrée et de sortie.png|thumb|350px|Convention générateur de la sortie du réseau dipolaire “ source + réseau quadripolaire ”, convention récepteur de l'entrée du réseau dipolaire “ réseau quadripolaire + charge ”]] {{Al|5}}Un réseau quadripolaire <math>\;\big(</math>R.Q.<math>\big)\;</math> est un système électrique relié à l'extérieur par quatre bornes, * deux bornes situées à gauche et appelées « <u>bornes d'entrée</u> » entre lesquelles on branche usuellement une « <u>source</u> » et * deux bornes situées à droite et appelées « <u>bornes de sortie</u> » entre lesquelles on connecte habituellement un récepteur appelé « <u>charge</u> » {{Nobr|<math>\;\big(</math>voir}} ci-contre<math>\big)</math> : {{Al|5}}le réseau quadripolaire <math>\;\big(</math>R.Q.<math>\big)\;</math> est dit * <u>passif</u> s'il n'y a pas de sources internes, et * <u>linéaire</u> s'il n'est constitué que de dipôles linéaires au sens de l'A.R.Q.S. ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><u>vu des bornes d'entrée le R.Q<ref name="R.Q."> Réseau Quadripolaire.</ref>. fermé sur le récepteur de sortie</u><math>\;\big(</math>ou charge<math>\big)\;</math><u>est un réseau dipolaire passif</u>, on adopte la <u>convention récepteur pour les grandeurs électriques d'entrée de ce R.D.P.</u><ref name="R.D.P."> Réseau Dipolaire Passif.</ref> <math>\;u_E(t)\;</math> tension d'entrée et <math>\;i_E(t)\;</math> intensité du courant d'entrée, <math>\;\big[</math>en conséquence la source située aux bornes de ce R.D.P<ref name="R.D.P." />. est en convention générateur<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><u>vu des bornes de sortie le R.Q<ref name="R.Q." />. fermé sur la source d'entrée est un réseau dipolaire actif</u>, on adopte la <u>convention générateur pour les grandeurs électriques de sortie de ce R.D.A.</u><ref name="R.D.A."> Réseau Dipolaire Actif.</ref> <math>\;u_S(t)\;</math> tension de sortie et <math>\;i_S(t)\;</math> intensité du courant de sortie, <math>\;\big[</math>en conséquence la charge située aux bornes de ce R.D.A<ref name="R.D.A." />. est en convention récepteur<math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on « adoptera » <ref> Usage courant mais ne correspondant pas à une règle obligatoire, néanmoins utilisée par la quasi unanimité des usagers.</ref> les conventions d'écriture suivantes : * lettres majuscules pour tension et intensité restant constantes<ref> Pour l'instant cela correspond uniquement au régime permanent, mais en régime sinusoïdal, l'amplitude étant une constante sera aussi notée en majuscule.</ref> et * lettres minuscules pour tension et intensité variant avec le temps, * les indices pour l'entrée et la sortie étant a priori en majuscules<ref> Les indices pour les grandeurs variant avec le temps seront en minuscules dans le cas d'un régime sinusoïdal à valeur moyenne nulle, sinon <math>\;-\;</math> donc dans le cas le plus général <math>\;-\;</math> les indices resteront en majuscules.</ref>. == Pont diviseur de tension, représentation de Thévenin équivalente vue de la sortie du pont diviseur de tension alimenté en entrée == === Définition d'un pont diviseur de tension === [[File:Pont diviseur de tension - définition.png|thumb|400px|Schéma de situation d'un pont diviseur de tension alimenté en entrée par une source et fermé en sortie sur une charge]] {{Al|5}}Un pont diviseur de tension <math>\;\big(</math>P.D.T.<math>\big)\;</math> est un <u>quadripôle linéaire passif</u>, alimenté en entrée par une tension <math>\;u_E(t)\;</math> entre les bornes de laquelle deux conducteurs ohmiques de résistances <math>\;R_1\;</math> et <math>\;R_2\;</math> sont montés en série quand la sortie définie aux bornes de <math>\;R_1\;</math> est ouverte <math>\;\big(</math>le pont diviseur de tension étant dit « en sortie ouverte »<math>\big)\;</math> mais si cette sortie est fermée sur une « charge »<ref name="cas général"> Ce qui est le cas le plus général même si ce n'est pas le plus utilisé.</ref>, le conducteur ohmique de résistance <math>\;R_2\;</math> est en série avec l'association parallèle « conducteur ohmique de résistance <math>\;R_1\;</math> et charge de sortie ». {{Al|5}}Les grandeurs électriques d'entrée sont définies en convention récepteur pour l'entrée du P.D.T<ref name="P.D.T."> Pont Diviseur de Tension.</ref>. et simultanément en convention générateur pour la source qui l'alimente soit : * tension d'entrée <math>\;u_E(t)\;</math> et * intensité du courant d'entrée <math>\;i_E(t)</math> ; {{Al|5}}les grandeurs électriques de sortie sont définies en convention générateur pour la sortie du P.D.T<ref name="P.D.T." />. et simultanément en convention récepteur pour la charge aux bornes de laquelle le P.D.T<ref name="P.D.T." />. est branché soit : * tension de sortie <math>\;u_S(t)\;</math> et * intensité du courant de sortie <math>\;i_S(t)\;</math><ref> Celle-ci étant nulle quand le P.D.T. est en sortie ouverte.</ref>. === Cas particulier très important du réseau dipolaire « pont diviseur de tension alimenté en entrée par u_E(t) et en sortie ouverte » === {{Théorème|titre = Tension de sortie ouverte d'un P.D.T. alimenté en entrée par u_E(t)|contenu = <center><math>\;u_{S,\,0}(t) = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2}\;u_E(t)\;</math><ref> L'indice <math>\;_0\;</math> sur la tension de sortie traduisant qu'il s'agit d'une tension à vide.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : La sortie étant ouverte <math>\;i_S(t) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}les conducteurs ohmiques de résistance <math>\;R_2\;</math> et <math>\;R_1\;</math> étant montés en série sont traversés par le même courant d'intensité <math>\;i_E(t)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}la loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> appliquée au conducteur ohmique de résistance <math>\;R_1\;</math> conduit à <math>\;u_{S,\,0}(t) = R_1\;i_E(t)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}celle appliquée à l'association série des conducteurs ohmiques de résistance <math>\;R_2\;</math> et <math>\;R_1\;</math> à <math>\;u_E(t) = (R_1 + R_2)\;i_E(t)\;</math> d'où {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}en éliminant <math>\;i_E(t)\;</math> par <math>\;i_E(t) = \dfrac{u_E(t)}{R_1 + R_2}</math>, l'expression de la tension de sortie ouverte <math>\;u_{S,\,0}(t) = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2}\;u_E(t)</math>. {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : C'est de cette expression <math>\;u_{S,\,0}(t) = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2}\;u_E(t)\;</math><ref name="attention aux sens des tensions"> Il faut bien sûr vérifier que les tensions d'entrée et de sortie sont dans le même sens.</ref> que l'on tire le nom « <u>pont diviseur de tension</u> » <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)\;</math> car <math>\;u_E(t)\;</math> est la tension aux bornes de <math>\;R_2\;</math> et <math>\;R_1\;</math> montées en série et <math>\;u_{S,\,0}(t)\;</math> celle aux bornes de <math>\;R_1\;</math><ref> Le plus souvent notée <math>\;u_1(t)</math>.</ref>, tension ne représentant que la fraction <math>\;\dfrac{R_1}{R_1 + R_2}\;</math> de <math>\;u_E(t)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}si on s'intéressait à la tension <math>\;u_2(t)\;</math> aux bornes de <math>\;R_2\;</math> au lieu de <math>\;u_1(t)\;</math> celle aux bornes de <math>\;R_1</math>, on reconnaîtrait de même un pont diviseur de tension alimenté en entrée par <math>\;u_E(t)\;</math> et en sortie aux bornes de <math>\;R_2\;</math> ouverte d'où <math>\;u_2(t) = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}\;u_E(t)\;</math><ref name="attention aux sens des tensions" />. === Générateur de Thévenin équivalent au réseau dipolaire « pont diviseur de tension alimenté en entrée par u_E(t) et vu des bornes de sortie » === {{Théorème|titre = Générateur de Thévenin équivalent au R.D. « P.D.T. alimenté en entrée par u_E(t) et vu des bornes de sortie »|contenu = {{Al|5}}Vu des bornes de sortie le réseau dipolaire « P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par <math>\;u_E(t)\;</math>» est <br>{{Al|5}}équivalent à un générateur de Thévenin<ref name="Thévenin"> '''[[w:Léon_Charles_Thévenin|Léon Charles Thévenin]] (1857 - 1926)''' ingénieur français en télégraphie, à l'origine des simplifications des circuits électriques par linéarisation, on lui doit essentiellement le « [[w:Théorème_de_Thévenin|théorème portant son nom]] » énoncé en <math>\;1883</math>.</ref> dont <br>{{Al|10}}{{Transparent|équivalent à un générateur de Thévenin dont }}la f.e.m. <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> est «<math>\;e_{\text{Th}}(t) = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2}\;u_E(t)\;</math>»<ref name="sans hésiter"> À connaître sans hésitation.</ref> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|équivalent à un générateur de Thévenin dont }}la résistance <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> «<math>\;r_{\text{Th}} = \dfrac{R_1\;R_2}{R_1 + R_2}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : le but recherché est la détermination de l'expression de <math>\;u_S(t)\;</math> en fonction de <math>\;u_E(t)</math>, <math>\;i_S(t)\;</math> et les composants résistifs du P.D.T<ref name="P.D.T." />. et pour cela on utilise : * la loi de maille<ref name="sens + de maille"> Dans le sens <math>\;+\;</math> indiqué sur le schéma.</ref> soit <math>\;u_S(t) + R_2\; i_E(t) - u_E(t) = 0\;\; \left( \mathfrak{m} \right)\;</math> dans laquelle on élimine <math>\;i_E(t)\;</math> par * la loi de nœud <math>\;i_E(t) = i_1(t) + i_S(t)\;\; \left( \mathfrak{n} \right)\;</math><ref> Loi de nœud à la borne supérieure de sortie.</ref> ou, en explicitant <math>\;i_1(t)\;</math> en fonction de <math>\;u_S(t)\;</math> par loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> <math>\;i_1(t) = \dfrac{u_S(t)}{R_1}</math>, la nouvelle expression de loi de nœud <math>\;i_E(t) = \dfrac{u_S(t)}{R_1} + i_S(t)\;\; \left( \mathfrak{n} \right)\;</math> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}soit, en reportant dans l'équation de maille <math>\;\left( \mathfrak{m} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;u_S(t) + R_2 \left[ \dfrac{u_S(t)}{R_1} + i_S(t) \right] - u_E(t) = 0\;</math> ou <math>\;u_S(t) \left[ 1 + \dfrac{R_2}{R_1} \right] =</math> <math>u_E(t) - R_2\;i_S(t)\;</math> ou encore <math>\;\dfrac{R_1 + R_2}{R_1}\;u_S(t) =</math> <math>u_E(t) - R_2\;i_S(t)\;</math> soit finalement <math>\;u_S(t) = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2}\;u_E(t) - \dfrac{R_1\;R_2}{R_1 + R_2}\;i_S(t)\;</math> dans laquelle on reconnaît le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent au R.D<ref name="R.D."> Réseau Dipolaire.</ref>. en convention générateur à savoir * de f.e.m. <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> «<math>\;e_{\text{Th}}(t) = u_{S,\,0}(t) = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2}\;u_E(t)\;</math>»<ref> Valeur de tension de sortie à vide c.-à-d. quand <math>\;i_S(t) = 0</math>.</ref> et * de résistance <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> «<math>\;r_{\text{Th}} = \dfrac{R_1\;R_2}{R_1 + R_2}\;</math>»<ref> Quand le R.D. est rendu passif en annulant la f.e.m. de Thévenin on obtient <math>\;u_{S,\,e_{\text{Th}}(t) = 0}(t) = - \dfrac{R_1\;R_2}{R_1 + R_2}\;i_S(t)\;</math> en convention générateur d'où <math>\;r_{\text{Th}} = -\dfrac{u_{S,\,e_{\text{Th}}(t) = 0}(t)}{i_S(t)} = \dfrac{R_1\;R_2}{R_1 + R_2}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : Il est relativement facile de retrouver les caractéristiques du générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent au R.D<ref name="R.D." />. « P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par <math>\;u_E(t)\;</math> et vu des bornes de sortie » si on les a oubliées en effet : * d'une part la f.e.m. de Thévenin<ref name="Thévenin" /> étant la tension de sortie ouverte, elle représente la fraction <math>\;\dfrac{R_1}{R_1 + R_2}\;</math> de la tension d'entrée, * d'autre part la résistance de Thévenin<ref name="Thévenin" /> étant la résistance du R.D<ref name="R.D." />. vue des bornes de sortie quand ce dernier est rendu passif<ref> C.-à-d. quand on a annulé la f.e.m. de Thévenin ce qui s'obtient en annulant la tension d'entrée <math>\;\big(</math>en effet la f.e.m. de Thévenin est <math>\;\propto\;</math> à la tension d'entrée<math>\big)</math>.</ref> c'est-à-dire quand on a remplacé la tension d'entrée par un court-circuit, le R.D.P<ref name="R.D.P." />. « P.D.T. court-circuité en entrée et vu des bornes de sortie » est l'association parallèle des conducteurs ohmiques de résistance <math>\;R_2\;</math> et <math>\;R_1\;</math><ref> En effet, entre les bornes de sortie, <math>\;R_1\;</math> est montée en parallèle sur l'autre branche « court-circuit en série avec <math>\;R_2\;</math>».</ref> soit <math>\;r_{\text{Th}} = R_1 \parallel R_2 = \dfrac{R_1\;R_2}{R_1 + R_2}\;</math><ref name="résistance équivalente de 2 résistances en parallèle" />. == Simplification de circuits par reconnaissance de pont(s) diviseur(s) de tension en sortie ouverte ou par utilisation du modèle de Thévenin de réseau dipolaire « pont(s) diviseur(s) de tension alimenté(s) en entrée et vu(s) des bornes de sortie » == === Pont diviseur de tension alimenté en entrée par u_E(t) et fermé sur une charge de résistance R_u === {{Al|5}}On souhaite déterminer la tension de sortie <math>\;u_S(t)\;</math> d'un « P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par <math>\;u_E(t)\;</math> et fermé sur une charge de résistance <math>\;R_u\;</math>» en fonction de <math>\;u_E(t)</math>, des résistances du pont et de la résistance d'utilisation ; il y a deux façons de procéder : * Remarquer que <math>\;R_u\;</math> est en <math>\;\parallel\;</math> sur <math>\;R_1</math>, remplacer cette association parallèle par sa résistance équivalente et reconnaître un R.D<ref name="R.D." />. en sortie ouverte « P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par <math>\;u_E(t)\;</math> et en sortie ouverte aux bornes de <math>\;R_1 \parallel R_u\;</math>» <math>\;\ldots</math> * Remplacer le R.D<ref name="R.D." />. « P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par <math>\;u_E(t)\;</math> et vu des bornes de sortie » par son générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent et reconnaître dans le nouveau circuit un R.D<ref name="R.D." />. en sortie ouverte « P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par <math>\;e_{\text{Th}}(t)</math>, de résistance d'attaque <math>\;r_{\text{Th}}\;</math><ref name="résistance d'attaque d'un P.D.T."> C.-à-d la résistance aux bornes de laquelle n'est pas définie la sortie.</ref> et en sortie ouverte aux bornes de <math>\;R_u\;</math>» <math>\;\ldots</math> === 1^ère résolution : utiliser la résistance équivalente de « R_u en parallèle sur R₁ » === [[File:Pont diviseur de tension fermé sur une charge.png|thumb|400px|Schéma d'un P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par <math>\;u_E(t)\;</math> et fermé sur une résistance <math>\;R_u</math>, traitement en considérant <math>\;R_{\text{éq}} = R_1 \parallel R_u\;</math> en sortie ouverte d'un P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par <math>\;u_E(t)\;</math>]] {{Al|5}}Voir schéma de situation ci-contre : {{Al|5}}On utilise que « la résistance de la charge <math>\;R_u\;</math> est montée en <math>\;\parallel\;</math> sur <math>\;R_1\;</math>» et <br>{{Al|5}}on remplace la résistance de l'association parallèle par sa résistance équivalente «<math>\;R_{\text{éq}} = \dfrac{R_1\;R_u}{R_1 + R_u}\;</math>»<ref name="résistance équivalente de 2 résistances en parallèle" /> puis, <br>{{Al|5}}on considère le nouveau P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par <math>\;u_E(t)\;</math> et en sortie ouverte aux bornes de <math>\;R_{\text{éq}} = \dfrac{R_1\;R_u}{R_1 + R_u}\;</math><ref name="à tracer"> Schéma équivalent qu'il conviendrait de tracer.</ref> soit {{Al|5}}<math>\;u_S(t) = \dfrac{R_{\text{éq}}}{R_2 + R_{\text{éq}}}\;u_E(t) = \dfrac{\dfrac{R_1\;R_u}{R_1 + R_u}}{R_2 + \dfrac{R_1\;R_u}{R_1 + R_u}}\;u_E(t)\;</math> ou, en multipliant haut et bas par <math>\;R_1 + R_u</math>, <center>«<math>\;u_S(t) = \dfrac{R_1\;R_u}{R_2 \left( R_1 + R_u \right) + R_1\;R_u}\;u_E(t)\;</math>»<ref name="limite sortie ouverte"> On vérifie que si <math>\;R_u\;\rightarrow\;\infty</math>, <math>\;u_S(t)\;\rightarrow\;\dfrac{R_1}{R_2 + R_1}\;u_E(t)</math>.</ref>.</center> === 2^ème résolution : utiliser le générateur de Thévenin équivalent du réseau dipolaire « pont diviseur de tension alimenté en entrée et vu des bornes de sortie » === [[File:Pont diviseur de tension fermé sur une charge - bis.png|thumb|left|400px|P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par <math>\;u_E(t)\;</math> et fermé sur une résistance <math>\;R_u</math>, traitement en considérant le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent <math>\;\left[ e_{\text{Th}}(t)\,,\, r_{\text{Th}} \right]\;</math> puis <math>\;R_u\;</math> en sortie ouverte d'un P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par <math>\;e_{\text{Th}}(t)\;</math>]] {{Al|5}}On remplace le R.D.L<ref name="R.D.L."> Réseau Dipolaire Linéaire.</ref>. « pont diviseur de tension alimenté en entrée par <math>\;u_E(t)\;</math> et vu des bornes de sortie » par le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent * de f.e.m. de Thévenin<ref name="Thévenin" /> «<math>\;e_{\text{Th}}(t) = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2}\;u_E(t)\;</math>» et * de résistance de Thévenin<ref name="Thévenin" /> «<math>\;r_{\text{Th}} = \dfrac{R_1\;R_2}{R_1 + R_2}\;</math>» et {{Al|5}}on obtient alors le schéma ci-contre à gauche : {{Al|5}}on reconnaît alors un P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par <math>\;e_{\text{Th}}(t)\;</math> et en sortie ouverte aux bornes de <math>\;R_u</math>, <math>\;r_{\text{Th}}\;</math> étant la résistance d'attaque<ref name="résistance d'attaque d'un P.D.T." /> de ce nouveau P.D.T<ref name="P.D.T." />. soit : <center><math>\;u_S(t) =</math> <math>\dfrac{R_u}{r_{\text{Th}} + R_u}\;e_{\text{Th}}(t) = \dfrac{R_u}{\dfrac{R_1\;R_2}{R_1 + R_2} + R_u}\;\dfrac{R_1}{R_1 + R_2}\;u_E(t)\;</math> ou, <br>par simplification évidente <br>«<math>\;u_S(t) = \dfrac{R_1\;R_u}{R_1\;R_2 + R_u \left( R_1 + R_2 \right)}\;u_E(t)\;</math>»<ref> Correspondant effectivement au même résultat que celui obtenu au paragraphe précédent car <math>\;R_1\;R_2 + R_u \left( R_1 + R_2 \right) =</math> <math>R_1\;R_2 + R_u\; R_1 + R_u\; R_2 = R_2 \left( R_1 + R_u \right) + R_1\;R_u</math>.</ref>{{,}}<ref name="limite sortie ouverte" />.</center> {{clr}} === Autres exemples === {{Al|5}}Ils sont nombreux et pourront être vus en exercices. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Avant d'appliquer le résultat du R.D<ref name="R.D." />. « pont diviseur de tension alimenté en entrée et en sortie ouverte » vérifier que le pont diviseur de tension est effectivement en sortie ouverte ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}reconnaître un pont diviseur de tension permet de résoudre beaucoup plus rapidement ce qu'on cherche, utiliser les lois de Kirchhoff<ref name="Kirchhoff" /> alors qu'un pont diviseur de tension existe doit être considéré comme une erreur tactique <math>\;\big(</math>même si l'utilisation des lois de Kirchhoff<ref name="Kirchhoff" /> permet d'aboutir au résultat<math>\big)\;</math> et cette dernière n'est à envisager que s'il n'y a pas de méthode plus simple<ref> Attention les P.D.T. ne se trouvent pas dans tous les réseaux, mais il y a pratiquement toujours d'autres méthodes <math>\;\big(</math>non encore étudiées<math>\big)\;</math> plus rapides que l'utilisation des lois de Kirchhoff.</ref>. == Pont diviseur de courant, représentation de Norton équivalente vue de la sortie du pont diviseur de courant alimenté en entrée == === Définition d'un pont diviseur de courant === [[File:Pont diviseur de courant - définition.png|thumb|400px|Schéma de situation d'un pont diviseur de courant alimenté en entrée par une source et fermé en sortie sur une charge]] {{Al|5}}Un pont diviseur de courant <math>\;\big(</math>P.D.C.<math>\big)\;</math> est un <u>quadripôle linéaire passif</u>, alimenté en entrée par un courant d'intensité <math>\;i_E(t)\;</math> traversant deux conducteurs ohmiques de résistances <math>\;R_1\;</math> et <math>\;R_2\;</math> lesquels sont montés en parallèle quand la sortie en série avec <math>\;R_1\;</math> est court-circuitée <math>\;\big(</math>le pont diviseur de courant étant dit « en sortie court-circuitée »<math>\big)\;</math> mais si cette sortie est fermée sur une {{Nobr|« charge »<ref name="cas général" />,}} le conducteur ohmique de résistance <math>\;R_2\;</math> est en parallèle avec l'association série « conducteur ohmique de résistance <math>\;R_1\;</math> et charge de sortie ». {{Al|5}}Les grandeurs électriques d'entrée sont définies en convention récepteur pour l'entrée du P.D.C<ref name="P.D.C."> Pont Diviseur de Courant.</ref>. et simultanément en convention générateur pour la source qui l'alimente soit : * intensité du courant d'entrée <math>\;i_E(t)\;</math> et * tension d'entrée <math>\;u_E(t)</math> ; {{Al|5}}les grandeurs électriques de sortie sont définies en convention générateur pour la sortie du P.D.C<ref name="P.D.C." />. et simultanément en convention récepteur pour la charge aux bornes de laquelle le P.D.C<ref name="P.D.C." />. est branché soit : * intensité du courant de sortie <math>\;i_S(t)\;</math> et * tension de sortie <math>\;u_S(t)\;</math><ref> Celle-ci étant nulle quand le P.D.C. est en sortie court-circuitée.</ref>. === Cas particulier très important du réseau dipolaire « pont diviseur de courant alimenté en entrée par i_E(t) et en sortie court-circuitée » === {{Théorème|titre = Courant de sortie court-circuitée d'un P.D.C. alimenté en entrée par i_E(t)|contenu = <center>«<math>\;i_{S,\,c.c.}(t) = \dfrac{G_1}{G_1 + G_2}\;i_E(t) = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}\;i_E(t)\;</math>»<ref> Par abus cette intensité de courant de sortie court-circuitée est usuellement appelée courant de sortie court-circuitée ;<br>{{Al|3}}on notera que l'intensité du courant de sortie court-circuitée traversant le conducteur de résistance <math>\;R_1</math>, c'est l'autre résistance <math>\;R_2\;</math> qui se trouve au numérateur de la fraction <math>\;\big(</math>en effet cette intensité sera d'autant plus grande que la conductance <math>\;G_1\;</math> sera grande <math>\;-\;</math> correspondant à une plus grande facilité de conduction dans cette branche <math>\;-\;</math> ou que la résistance <math>\;R_2\;</math> sera grande <math>\;-\;</math> correspondant à une plus grande difficulté de conduction dans l'autre branche et par conséquent une plus grande facilité de conduction dans cette branche <math>\big)</math>.</ref>.</center>}} [[File:Pont diviseur de courant - sortie court-circuitée.png|thumb|400px|Pont diviseur de courant alimenté en entrée par une source et en sortie court-circuitée]] {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : La sortie étant court-circuitée <math>\;u_S(t) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}les conducteurs ohmiques de résistance <math>\;R_2\;</math> et <math>\;R_1\;</math> montés en parallèle sont soumis à la même tension <math>\;u_E(t)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}la 2^ème forme de loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> appliquée au conducteur ohmique de résistance <math>\;R_1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i_{S,\,c.c.}(t) =</math> <math>G_1\;u_E(t)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}la même forme de loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> appliquée à l'association parallèle des conducteurs ohmiques de résistance <math>\;R_2\;</math> et <math>\;R_1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i_E(t) = (G_1 + G_2)\;u_E(t)\;</math> d'où {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}en éliminant <math>\;u_E(t)\;</math> par <math>\;u_E(t) = \dfrac{i_E(t)}{G_1 + G_2}</math>, l'expression de l'intensité de courant de sortie court-circuitée <math>\;i_{S,\,c.c.}(t)</math> <math>= \dfrac{G_1}{G_1 + G_2}\;i_E(t)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}la 2^ème expression de <math>\;i_{S,\,c.c.}(t)\;</math> en fonction des résistances s'obtient en remplaçant chaque conductance <math>\;G_k\;</math> par l'inverse de la résistance correspondante <math>\;\dfrac{1}{R_k}\;</math> soit <math>\;i_{S,\,c.c.}(t) =</math> <math>\dfrac{\dfrac{1}{R_1}}{\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}}\;i_E(t) = \dfrac{\dfrac{1}{R_1}}{\dfrac{R_2 + R_1}{R_1\;R_2}}\;i_E(t) = \dfrac{R_2}{R_2 + R_1}\;i_E(t)</math>. {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : C'est de l'une ou l'autre expression <math>\;i_{S,\,c.c.}(t) = \dfrac{G_1}{G_1 + G_2}\;i_E(t) = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}\;i_E(t)\;</math><ref name="attention aux sens des courants"> Il faut bien sûr vérifier que les courants d'entrée et de sortie ont un sens adapté l'un à l'autre.</ref> que l'on tire le nom « <u>pont diviseur de courant</u> » <math>\;\big(</math>en sortie court-circuitée<math>\big)\;</math> car <math>\;i_E(t)\;</math> est l'intensité du courant traversant <math>\;R_2\;</math> et <math>\;R_1\;</math> montées en parallèle et <math>\;i_{S,\,c.c.}(t)\;</math> l'intensité du courant traversant <math>\;R_1\;</math><ref> Le plus souvent notée <math>\;i_1(t)</math>.</ref>, intensité ne représentant que la fraction <math>\;\dfrac{G_1}{G_1 + G_2} = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}\;</math> de <math>\;i_E(t)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}si on s'intéressait à l'intensité du courant <math>\;i_2(t)\;</math> traversant <math>\;R_2\;</math> au lieu de <math>\;i_1(t)\;</math> celle traversant <math>\;R_1</math>, on reconnaîtrait de même un pont diviseur de courant alimenté en entrée par <math>\;i_E(t)\;</math> et en sortie en série avec <math>\;R_2\;</math> court-circuitée d'où <math>\;i_2(t) = \dfrac{G_2}{G_1 + G_2}\;i_E(t) =</math> <math>\dfrac{R_1}{R_1 + R_2}\;i_E(t)\;</math><ref name="attention aux sens des courants" />. === Générateur de Norton équivalent au réseau dipolaire « pont diviseur de courant alimenté en entrée par i_E(t) et vu des bornes de sortie » === {{Théorème|titre = Générateur de Norton équivalent au R.D. « P.D.C. alimenté en entrée par i_E(t) et vu des bornes de sortie »|contenu = {{Al|5}}Vu des bornes de sortie le réseau dipolaire « P.D.C<ref name="P.D.C." />. alimenté en entrée par <math>\;i_E(t)\;</math>» est <br>{{Al|5}}équivalent à un générateur de Norton<ref name="Norton"> '''[[w:Edward_Lawry_Norton|Edward Lawry Norton]] (1898 - 1983)''' ingénieur en électricité américain, à qui on doit essentiellement le « [[w:Théorème_de_Norton|théorème portant son nom]] » énoncé en <math>\;1926</math>.</ref> dont <br>{{Al|10}}{{Transparent|équivalent à un générateur de Norton dont }}le c.e.m. <math>\;\big(</math>de Norton<math>\big)\;</math><ref name="Norton" /> est «<math>\;\eta_{\text{N}}(t) = \dfrac{G_1}{G_1 + G_2}\;i_E(t) = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}\;i_E(t)\;</math>»<ref name="sans hésiter" /> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|équivalent à un générateur de Norton dont }}la résistance <math>\;\big(</math>de Norton<math>\big)\;</math><ref name="Norton" /> «<math>\;r_{\text{N}} = R_1 + R_2\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : le but recherché est la détermination de l'expression de <math>\;i_S(t)\;</math> en fonction de <math>\;i_E(t)</math>, <math>\;u_S(t)\;</math> et des composants résistifs du P.D.C<ref name="P.D.C." />. et pour cela on utilise : * la loi de nœud <math>\;i_E(t) = i_2(t) + i_S(t)\;\; \left( \mathfrak{n} \right)\;</math><ref> Loi de nœud à la borne supérieure d'entrée.</ref> dans laquelle on élimine <math>\;i_2(t)\;</math> par * la loi de maille<ref name="sens + de maille" /> soit <math>\;u_S(t) + R_1\; i_S(t) - u_E(t) = 0\;\; \left( \mathfrak{m} \right)\;</math> ou, en explicitant <math>\;u_E(t)\;</math> en fonction de <math>\;i_2(t)\;</math> par loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> <math>\;u_E(t) = R_2\;i_2(t)</math>, la nouvelle expression de loi de maille <math>\;u_S(t) + R_1\; i_S(t) - R_2\;i_2(t) = 0\;\; \left( \mathfrak{m} \right)\;</math> dont on tire <math>\;i_2(t) = \dfrac{u_S(t)}{R_2} + \dfrac{R_1}{R_2}\;i_S(t)\;</math> soit {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}en reportant dans l'équation de nœud <math>\;\left( \mathfrak{n} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i_E(t) = \dfrac{u_S(t)}{R_2} + \dfrac{R_1}{R_2}\;i_S(t) + i_S(t)\;</math> ou <math>\;i_S(t) \left[ 1 + \dfrac{R_1}{R_2} \right] =</math> <math>i_E(t) - \dfrac{u_S(t)}{R_2}\;</math> ou encore <math>\;\dfrac{R_2 + R_1}{R_2}\;i_S(t) = i_E(t) - \dfrac{u_S(t)}{R_2}\;</math> soit finalement <math>\;i_S(t) = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}\;i_E(t) - \dfrac{u_S(t)}{R_1 + R_2}\;</math> dans laquelle on reconnaît le générateur de Norton<ref name="Norton" /> équivalent au R.D<ref name="R.D." />. en convention générateur à savoir * de c.e.m. <math>\;\big(</math>de Norton<math>\big)\;</math><ref name="Norton" /> «<math>\;\eta_{\text{N}}(t) = i_{S,\,c.c.}(t) = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}\;i_E(t)\;</math>»<ref> Valeur d'intensité de courant de sortie court-circuitée c.-à-d. quand <math>\;u_S(t) = 0</math>.</ref> et * de résistance <math>\;\big(</math>de Norton<math>\big)\;</math><ref name="Norton" /> «<math>\;r_{\text{N}} = R_1 + R_2\;</math>»<ref> Quand le R.D. est rendu passif en annulant le c.e.m. de Norton on obtient <math>\;i_{S,\,\eta_{\text{N}}(t) = 0}(t) = - \dfrac{u_S(t)}{R_1 + R_2}\;</math> en convention générateur d'où <math>\;r_{\text{N}} =</math> <math>-\dfrac{u_S(t)}{i_{S,\,\eta_{\text{N}}(t) = 0}(t)} = R_1 + R_2</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : Il est relativement facile de retrouver les caractéristiques du générateur de Norton<ref name="Norton" /> équivalent au R.D<ref name="R.D." />. « P.D.C<ref name="P.D.C." />. alimenté en entrée par <math>\;i_E(t)\;</math> et vu des bornes de sortie » si on les a oubliées en effet : * d'une part le c.e.m. de Norton<ref name="Norton" /> étant l'intensité du courant de sortie court-circuitée, elle représente la fraction <math>\;\dfrac{R_2}{R_1 + R_2}\;</math> de l'intensité du courant d'entrée, * d'autre part la résistance de Norton<ref name="Norton" /> étant la résistance du R.D<ref name="R.D." />. vue des bornes de sortie quand ce dernier est rendu passif<ref> C.-à-d. quand on a annulé le c.e.m. de Norton ce qui s'obtient en annulant l'intensité du courant d'entrée <math>\;\big(</math>en effet le c.e.m. de Norton est <math>\;\propto\;</math> à l'intensité du courant d'entrée<math>\big)</math>.</ref> c'est-à-dire quand on a remplacé le courant d'entrée par un interrupteur ouvert, le R.D.P<ref name="R.D.P." />. « P.D.C<ref name="P.D.C." />. ouvert en entrée et vu des bornes de sortie » est alors l'association série des conducteurs ohmiques de résistance <math>\;R_2\;</math> et <math>\;R_1\;</math><ref> En effet, entre les bornes de sortie, <math>\;R_1\;</math> est montée en série avec l'autre association « interrupteur ouvert en parallèle sur <math>\;R_2\;</math>».</ref> soit <math>\;r_{\text{N}} = R_1\; \text{série}\; R_2 =</math> <math>R_1 + R_2\;</math><ref name="résistance équivalente de 2 résistances en série" />. == Simplification de circuits par reconnaissance de pont(s) diviseur(s) de courant en sortie court-circuitée ou par utilisation du modèle de Norton de réseau dipolaire « pont(s) diviseur(s) de courant alimenté(s) en entrée et vu(s) des bornes de sortie » == === Pont diviseur de courant alimenté en entrée par i_E(t) et fermé sur une charge de résistance R_u === {{Al|5}}On souhaite déterminer l'intensité du courant de sortie <math>\;i_S(t)\;</math> d'un « P.D.C<ref name="P.D.C." />. alimenté en entrée par <math>\;i_E(t)\;</math> et fermé sur une charge de résistance <math>\;R_u\;</math>» en fonction de <math>\;i_E(t)</math>, des résistances du pont et de la résistance d'utilisation ; il y a deux façons de procéder : * Remarquer que <math>\;R_u\;</math> est en série avec <math>\;R_1</math>, remplacer cette association série par sa résistance équivalente et reconnaître un R.D<ref name="R.D." />. en sortie court-circuitée « P.D.C<ref name="P.D.C." />. alimenté en entrée par <math>\;i_E(t)\;</math> et en sortie court-circuitée en série avec <math>\;R_1\; \text{série}\; R_u\;</math>» <math>\;\ldots</math> * Remplacer le R.D<ref name="R.D." />. « P.D.C<ref name="P.D.C." />. alimenté en entrée par <math>\;i_E(t)\;</math> et vu des bornes de sortie » par son générateur de Norton<ref name="Norton" /> équivalent et reconnaître dans le nouveau circuit un R.D<ref name="R.D." />. en sortie court-circuitée « P.D.C<ref name="P.D.C." />. alimenté en entrée par <math>\;\eta_{\text{N}}(t)</math>, de résistance d'attaque <math>\;r_{\text{N}}\;</math><ref name="résistance d'attaque d'un P.D.C."> C.-à-d. la résistance autre que celle en série de laquelle est définie la sortie.</ref> et en sortie court-circuitée en série avec <math>\;R_u\;</math>» <math>\;\ldots</math> === 1^ère résolution : utiliser la résistance équivalente de « R_u en série avec R₁ » === [[File:Pont diviseur de courant fermé sur une charge.png|thumb|400px|Schéma d'un P.D.C<ref name="P.D.C." />. alimenté en entrée par <math>\;i_E(t)\;</math> et fermé sur une résistance <math>\;R_u</math>, traitement en considérant <math>\;R_{\text{éq}} = R_1\; \text{série}\; R_u\;</math> en sortie court-circuitée d'un P.D.C<ref name="P.D.C." />. alimenté en entrée par <math>\;i_E(t)\;</math>]] {{Al|5}}Voir schéma de situation ci-contre : {{Al|5}}On utilise que « la résistance de la charge <math>\;R_u\;</math> est montée en série avec <math>\;R_1\;</math>» et <br>{{Al|5}}on remplace la résistance de l'association série par sa résistance équivalente «<math>\;R_{\text{éq}} = R_1 + R_u\;</math>»<ref name="résistance équivalente de 2 résistances en série" /> puis, <br>{{Al|5}}on considère le nouveau P.D.C<ref name="P.D.C." />. alimenté en entrée par <math>\;i_E(t)\;</math> et en sortie court-circuitée en série avec <math>\;R_{\text{éq}} = R_1 + R_u\;</math><ref name="à tracer" /> soit {{Al|5}}<math>\;i_S(t) = \dfrac{R_2}{R_2 + R_{\text{éq}}}\;i_E(t) = \dfrac{R_2}{R_2 + (R_1 + R_u)}\;i_E(t)\;</math> que l'on peut réécrire selon <center>«<math>\;i_S(t) = \dfrac{R_2}{R_2 + R_1 + R_u}\;i_E(t)\;</math>»<ref name="limite sortie court-circuitée"> On vérifie que si <math>\;R_u\;\rightarrow\;0</math>, <math>\;i_S(t)\;\rightarrow\;\dfrac{R_2}{R_2 + R_1}\;i_E(t)</math>.</ref>.</center> === 2^ème résolution : utiliser le générateur de Norton équivalent du réseau dipolaire « pont diviseur de courant alimenté en entrée et vu des bornes de sortie » === [[File:Pont diviseur de courant fermé sur une charge - bis.png|thumb|left|350px|P.D.C<ref name="P.D.C." />. alimenté en entrée par <math>\;i_E(t)\;</math> et fermé sur une résistance <math>\;R_u</math>, traitement en considérant le générateur de Norton<ref name="Norton" /> équivalent <math>\;\left[ \eta_N(t)\,,\, r_N \right]\;</math> puis <math>\;R_u\;</math> en sortie court-circuitée d'un P.D.C<ref name="P.D.C." />. alimenté en entrée par <math>\;\eta_N(t)\;</math>]] {{Al|5}}On remplace le R.D.L<ref name="R.D.L." />. « pont diviseur de courant alimenté en entrée par <math>\;i_E(t)\;</math> et vu des bornes de sortie » par le générateur de Norton<ref name="Norton" /> équivalent * de c.e.m. de Norton<ref name="Norton" /> «<math>\;\eta_{\text{N}}(t) = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}\;i_E(t)\;</math>» et * de résistance de Norton<ref name="Norton" /> «<math>\;r_{\text{N}} =</math> <math>R_1 + R_2\;</math>» et {{Al|5}}on obtient alors le schéma ci-contre à gauche : {{Al|5}}on reconnaît alors un P.D.C<ref name="P.D.C." />. alimenté en entrée par <math>\;\eta_{\text{N}}(t)\;</math> et en sortie court-circuitée en série avec <math>\;R_u</math>, <math>\;r_N\;</math> étant la résistance {{Nobr|d'attaque<ref name="résistance d'attaque d'un P.D.C." />}} de ce nouveau P.D.C<ref name="P.D.C." />. soit : <center><math>\;i_S(t)</math> <math>= \dfrac{r_{\text{N}}}{r_{\text{N}} + R_u}\;\eta_{\text{N}}(t) = \dfrac{R_1 + R_2}{(R_1 + R_2) + R_u}\;\dfrac{R_2}{R_1 + R_2}\;i_E(t)\;</math> ou, <br>par simplification évidente <br>«<math>\;i_S(t) = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2 + R_u}\;i_E(t)\;</math>»<ref> Correspondant effectivement au même résultat que celui obtenu au paragraphe précédent.</ref>{{,}}<ref name="limite sortie court-circuitée" />.</center> {{clr}} === Autres exemples === {{Al|5}}Ils sont beaucoup moins nombreux que ceux utilisant les P.D.T<ref name="P.D.T." />. et pourront être vus en exercices. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Avant d'appliquer le résultat du R.D<ref name="R.D." />. « pont diviseur de courant alimenté en entrée et en sortie court-circuitée » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarques : Avant d'appliquer le résultat du R.D. }}vérifier que le pont diviseur de courant est effectivement en sortie court-circuitée ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}reconnaître un pont diviseur de courant permet de résoudre plus rapidement ce qu'on cherche, utiliser les lois de Kirchhoff<ref name="Kirchhoff" /> alors qu'un pont diviseur de courant existe doit être considéré comme maladroit et cette utilisation n'est à envisager que s'il n'y a pas de méthode plus simple<ref> Attention les P.D.C. ne se trouvent pas dans tous les réseaux, mais il y a pratiquement toujours d'autres méthodes <math>\;\big(</math>non encore étudiées<math>\big)\;</math> plus rapides que l'utilisation des lois de Kirchhoff.</ref>. == Association parallèle de deux sources linéaires non idéales de tension, représentation de Thévenin équivalente à l'association, théorème de Millman appliqué au cas de deux branches du type « R, V » délivrant un courant d'intensité connue (ou à connaître) == === Association parallèle de deux sources linéaires non idéales de tension et générateur de Thévenin équivalent à l'association === [[File:Sources réelles de tension en parallèle.png|thumb|400px|Schéma de deux sources réelles de tension en parallèle délivrant un courant avec choix de convention générateur]] {{Al|5}}Considérons le montage ci-contre dans lequel on a représenté les sources linéaires non idéales de tension par leur modèle générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> ; vu des bornes de sortie ce R.D<ref name="R.D." />. « association parallèle de sources non idéales de tension » est équivalente à un générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> dont nous cherchons la f.e.m. <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> <math>\;e_{\text{Th}}(t)\;</math> et la résistance <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> <math>\;r_{\text{Th}}</math> : {{Al|5}}le plus simple pour l'obtenir est de transformer chaque source réelle de tension en son modèle générateur de Norton<ref name="Norton" />{{,}}<ref name="à tracer effectivement"> Schéma équivalent à tracer effectivement soi-même.</ref> à savoir une « association parallèle d'une source de courant parfaite de c.e.m. <math>\;\eta_k(t) = \dfrac{e_k(t)}{r_k}\;</math> et d'un conducteur ohmique de résistance {{Nobr|<math>\;r_k\;</math>»<ref> <math>\;_k\;</math> prenant la valeur <math>\;_1\;</math> ou <math>\;_2\;</math> suivant la source réelle de tension considérée.</ref>}} puis de remplacer * les deux conducteurs ohmiques en parallèle par leur conducteur ohmique équivalent de résistance <math>\;r_{\text{éq}} =</math> <math>\dfrac{r_1\;r_2}{r_1 + r_2}\;</math><ref name="résistance équivalente de 2 résistances en parallèle" /> ainsi que * les deux sources de courant parfaites en parallèle par leur source de courant parfaite équivalente de c.e.m. «<math>\;\eta_{\text{éq}}(t) =</math> <math>\eta_1(t) + \eta_2(t) = \dfrac{e_1(t)}{r_1} + \dfrac{e_2(t)}{r_2}</math> <math>= \dfrac{r_2\; e_1(t) + r_1\; e_2(t)}{r_1\;r_2}\;</math>»<ref> L'association parallèle de deux sources de courant parfaites est effectivement une source de courant parfaite dont le c.e.m. est la somme des c.e.m. de chaque source car <math>\;i_1(t) = \eta_1(t)\;\; \forall\; u(t)\;</math> ainsi que <math>\;i_2(t) = \eta_2(t)\;\; \forall\; u(t)\;</math> entraînent, avec application de la loi des nœuds, <math>\;i(t) =</math> <math>i_1(t) + i_2(t)\;</math> la relation suivante <math>\;i(t) = \eta_1(t) + \eta_2(t)\;\; \forall\; u(t)\;</math> caractérisant une source de courant parfaite de c.e.m. <math>\;\eta_1(t) + \eta_2(t)</math>.</ref> ; {{Al|5}}on obtient alors le modèle générateur de Norton<ref name="Norton" /> du R.D<ref name="R.D." />. « association parallèle de sources non idéales de tension » <math>\;\Big[</math>c'est-à-dire l'association <math>\;\parallel\;</math> d'une source de courant parfaite de c.e.m. <math>\;\eta_N(t) =</math> <math>\dfrac{r_2\; e_1(t) + r_1\; e_2(t)}{r_1\;r_2}\;</math> et d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;r_N = \dfrac{r_1\;r_2}{r_1 + r_2}\;</math><ref name="à tracer effectivement" /><math>\Big]\;</math> et {{Al|5}}il reste transformer ce générateur de Norton<ref name="Norton" /> en un générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent pour établir le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent au R.D<ref name="R.D." />. initial « association parallèle de sources non idéales de tension » <math>\;\Big[</math>c'est-à-dire l'association série d'une source de tension parfaite de f.e.m. «<math>\;e_{\text{Th}}(t) = r_N\;\eta_N(t) =</math> <math>\dfrac{r_1\;r_2}{r_1 + r_2}\;\dfrac{r_2\; e_1(t) + r_1\; e_2(t)}{r_1\;r_2} = \dfrac{r_2\; e_1(t) + r_1\; e_2(t)}{r_1 + r_2}\;</math>» et d'un conducteur ohmique de résistance «<math>\;r_{\text{Th}} = r_N = \dfrac{r_1\;r_2}{r_1 + r_2}\;</math>»<ref name="à tracer effectivement" /><math>\Big]</math>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent au R.D<ref name="R.D." />. « association parallèle de sources non idéales de tension » a pour * f.e.m. <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> «<math>\;e_{\text{Th}}(t) = \dfrac{r_2\; e_1(t) + r_1\; e_2(t)}{r_1 + r_2}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>C.L<ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref>. des f.e.m. des sources, les cœfficients des f.e.m. étant croisés «<math>\;\dfrac{r_1}{r_1 + r_2}\;</math> pour <math>\;e_2(t)\;</math> et <math>\;\dfrac{r_2}{r_1 + r_2}\;</math> pour <math>\;e_1(t)\;</math>»<math>\bigg]\;</math> et * résistance <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> «<math>\;r_{\text{Th}} = \dfrac{r_1\;r_2}{r_1 + r_2}\;</math>» <math>\;\big[</math>résistance équivalente entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> du R.D<ref name="R.D." />. rendu passif en remplaçant les sources idéales de tension par des courts-circuits<math>\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}la loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> généralisée du générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent au R.D<ref name="R.D." />. « association parallèle de sources non idéales de tension » s'écrit donc, en convention générateur : <center>«<math>\;u_S(t) = e_{\text{Th}}(t) - r_{\text{Th}}\;i_S(t) = \dfrac{r_2\; e_1(t) + r_1\; e_2(t)}{r_1 + r_2} - \dfrac{r_1\;r_2}{r_1 + r_2}\;i_S(t)\;</math>»<ref name="à tracer effectivement" />.</center> {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : Le R.D<ref name="R.D." />. « <u>pont diviseur de tension</u> alimenté en entrée par <math>\;e_1(t)\;</math> avec sortie aux bornes du conducteur ohmique de résistance <math>\;r_2\;</math>» est un <u>cas particulier</u> de ce R.D<ref name="R.D." />. « <u>association parallèle de sources non idéales de tension</u> » avec <math>\;e_2(t) = 0</math>, <u>le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent a donc la même résistance</u><math>\;\big(</math><u>de Thévenin</u><math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> «<math>\;r_{\text{Th}} = \dfrac{r_1\;r_2}{r_1 + r_2}\;</math>»<ref> Résistance équivalente du R.D. « association parallèle de sources non idéales de tension » que l'on a rendu passif en imposant <math>\;e_1(t) = 0\;</math> et <math>\;e_2(t) = 0</math>.</ref> et <u>sa f.e.m.</u> qui, dans le {{Nobr|R.D<ref name="R.D." />.}} « association parallèle de sources non idéales de tension » était une C.L. des f.e.m. des sources, les cœfficients des f.e.m. étant croisés «<math>\;\dfrac{r_1}{r_1 + r_2}\;</math> pour <math>\;e_2(t)\;</math> et <math>\;\dfrac{r_2}{r_1 + r_2}\;</math> pour <math>\;e_1(t)\;</math>» <u>devient, en imposant</u><math>\;e_2(t) = 0</math>, «<math>\;e_{\text{Th}}(t) =</math> <math>\dfrac{r_2}{r_1 + r_2}\;e_1(t)\;</math>»<ref> On retrouve donc bien la f.e.m. du générateur de Thévenin équivalent au « pont diviseur de tension alimenté en entrée par <math>\;e_1(t)\;</math> avec sortie aux bornes du conducteur ohmique de résistance <math>\;r_2\;</math>» identifiable à la tension à vide <math>\;\dfrac{r_2}{r_1 + r_2}\;e_1(t)</math>.</ref>. === Complément : théorème de Millman appliqué au nœud d'où partent deux branches de type « R, V » lesquelles délivrent un courant d'intensité « i_S » connue (ou à connaître) === <div style="text-align: center;">Le théorème de Millman<ref name="Millman"> '''[[w:Jacob_Millman|Jacob Millman]] (1911 - 1991)''' électronicien américain né en Russie à Novohrad-Volynskyï <math>\;\big(</math>de nos jours en Ukraine<math>\big)</math>, devenu américain par suite de l'émigration de ses parents, on lui doit essentiellement le théorème portant son nom.</ref> doit être considéré comme un complément<ref name="hors programme"> En effet il n'est pas explicitement précisé dans le programme de physique de PCSI.</ref> mais il est très pratique et <br>permet le plus souvent un traitement plus rapide.</div> [[File:Théorème de Millman.png|thumb|300px|Réseau linéaire tracé en privilégiant un nœud <math>\;S\;</math> auquel n'aboutissent que deux branches internes de type <math>\;\left( R\,,\, V \right)\;</math><ref name="emploi de lettres majuscules"> Usuellement les lettres majuscules sont réservées pour des grandeurs indépendantes du temps, ici exceptionnellement on utilise <math>\;V\;</math> et <math>\;I'\;</math> pour des grandeurs dépendant de <math>\;t\;</math> pour accroître les possibilités d'écriture <math>\;\big(</math>mais on réservera cet emploi lors de l'utilisation du théorème de Millman<math>\big)</math>.</ref> et par lequel sort un courant d'intensité <math>\;i_S(t)</math>, la référence des potentiels étant un point interne <math>\;M\;</math> appelé masse]] {{Al|5}}Il s'agit du résultat du paragraphe précédent réécrit en termes de potentiel du nœud où on applique le théorème de Millman<ref name="Millman" /> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> : {{Al|5}}on pourra appliquer le théorème de Millman<ref name="Millman" /> en un nœud <math>\;S\;</math> si, arrivent à ce nœud deux branches internes du type <math>\;\left( R,\, V \right)\;</math><ref name="Branche interne de type (R, V)"> C.-à-d. que l'on trouve, sur chaque branche, un conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> connue, à l'extrémité duquel le potentiel <math>\;V</math>, évalué relativement à un point interne appelé « masse », est connu.</ref>{{,}}<ref name="emploi de lettres majuscules" />, la branche externe permettant le départ d'un courant d'intensité <math>\;i_S(t)</math> ; <br>{{Al|5}}le théorème de Millman<ref name="Millman" /> appliqué au nœud <math>\;S\;</math> permet de déterminer le potentiel du nœud considéré en fonction des deux potentiels et des deux résistances définis sur chaque branche interne ainsi que de l'intensité du courant délivré<ref name="Choix de la masse"> Il faut auparavant choisir la masse du circuit pour avoir le traitement le plus simple même si cette masse peut, a priori, être n'importe quel point interne.</ref> ; {{Al|5}}l'« association parallèle de deux sources non idéales de tension » délivrant un courant d'intensité <math>\;i_S(t)\;</math> satisfait aux conditions d'« utilisation du théorème de Millman au nœud <math>\;A\;</math>» si « on choisit la masse en <math>\;B\;</math>» <math>\;\big(</math>voir schéma du paragraphe précédent<math>\big)\;</math><ref> En effet la traversée du conducteur ohmique de résistance <math>\;r_1\;</math> conduit au potentiel <math>\;V_C(t) = e_1(t)\;</math> connu et celle du conducteur ohmique de résistance <math>\;r_2\;</math> au potentiel <math>\;V_D(t) = e_2(t)\;</math> connu <math>\;\big[</math>dans un réseau satisfaisant l'applicabilité du théorème de Millman, les différences de potentiel entre les potentiels connus et la masse ne sont pas nécessairement des tensions aux bornes de source idéale de tension, elles sont simplement fixées à l'instant <math>\;t\;</math> et sont équivalentes à ce qu'on obtiendrait aux bornes d'une source idéale de tension<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}or ayant établi «<math>\;u_S(t) = \dfrac{r_2\; e_1(t) + r_1\; e_2(t)}{r_1 + r_2} - \dfrac{r_1\;r_2}{r_1 + r_2}\;i_S(t)\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Association_parallèle_de_deux_sources_linéaires_non_idéales_de_tension_et_générateur_de_Thévenin_équivalent_à_l'association|association parallèle de deux sources linéaires non idéales de tension et générateur de Thévenin équivalent à l'association]] (conclusion) » plus haut dans ce chapitre.</ref> on peut réécrire cette relation en termes de potentiels car «<math>\;u_S(t) =</math> <math>V_A(t) - V_B(t) = V_A(t)\;</math>»<ref> On rappelle que la masse a été choisie en <math>\;B</math>.</ref> soit «<math>\;V_A(t) = \dfrac{r_2\; V_C(t) + r_1\; V_D(t)}{r_1 + r_2} - \dfrac{r_1\;r_2}{r_1 + r_2}\;i_S(t)</math> <math>= \dfrac{r_2\; V_C(t) + r_1\; V_D(t) - r_1\;r_2\;i_S(t)}{r_1 + r_2}\;</math>» ou, en divisant haut et bas par <math>\;r_1\; r_2\;</math><ref> Le but étant d'obtenir une expression plus symétrique, et donc plus facile à appliquer.</ref>, l'expression suivante <div style="text-align: center;">«<math>\;V_A(t) = \dfrac{\dfrac{V_C(t)}{r_1} + \dfrac{V_D(t)}{r_2} - i_S(t)}{\dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2}}\;</math>».</div> {{Théorème|titre = Énoncé du théorème de Millman à deux branches de type (R, V)| contenu = {{Al|5}}L'application du théorème de Millman<ref name="Millman" /> au nœud <math>\;S\;</math> d'où partent deux branches du type <math>\;\left( R,\, V \right)\;</math> et duquel est délivré un courant d'intensité <math>\;i_S(t)\;</math> conduit à l'expression du potentiel au nœud <math>\;S\;</math> suivante : <div style="text-align: center;">«<math>\;V_S(t) = \dfrac{\dfrac{V_1(t)}{R_1} + \dfrac{V_2(t)}{R_2} - i_S(t)}{\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}}\;</math>»<ref> Cette forme peut être considérée comme une application de la loi d'Ohm si on transforme auparavant chaque branche <math>\;\left( R,\, V \right)\;</math> en son “ modèle générateur de courant <math>\;\left( \dfrac{V}{R}\; \parallel\; R \right)\;</math>”, le numérateur de l'expression de <math>\;V_S(t)\;</math> étant la somme des “ c.e.m. ” et de l'intensité de la branche externe arrivant en <math>\;S\;</math> <math>\big(</math>d'où le signe <math>\;-\big)</math>, somme de courants traversant les deux résistances en parallèle des “ modèles générateur de courant ” dont le dénominateur de l'expression de <math>\;V_S(t)\;</math> représente la conductance équivalente d'où le théorème de Millman à deux branches du type <math>\;\left( R,\, V \right)\;</math> interprété comme loi d'Ohm écrite sous la forme <math>\;V = \dfrac{i}{G}</math>.</ref>.</div>}} {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : Pour appliquer le théorème de Millman<ref name="Millman" /> en un nœud, vérifier que les deux branches internes sont de type <math>\;\left( R,\, V \right)\;</math> <math>\big(</math>choisir la « masse » <ref> Si le circuit étudié est un R.D., le nœud d'application du théorème de Millman étant l'une des bornes, l'autre borne ne sera pas systématiquement choisi comme masse <math>\;\big(</math>voir exercices<math>\big)</math>.</ref> pour que les potentiels soient les plus simples possibles<math>\big)\;</math> et définir le courant délivré dans la branche externe ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}le potentiel du nœud choisi est exprimé sous la forme d'un quotient d'une somme de trois intensités sur une somme de deux conductances, chaque branche interne ayant pour terme dans la somme du numérateur <math>\;\dfrac{V_k(t)}{R_k}\;</math> et pour terme dans la somme du dénominateur <math>\;\dfrac{1}{R_k}</math>, la branche externe n'ayant que le terme <math>\;-i_S(t)\;</math><ref name="changer en +"> À transformer en <math>\;+i_S(t)\;</math> si le courant est reçu au lieu d'être délivré.</ref> dans la somme du numérateur. == Compléments : généralisation du théorème de Millman == <center>La généralisation du théorème de Millman<ref name="Millman" /> <math>\;-\;</math> tout comme le théorème de Millman<ref name="Millman" /> lui-même <math>\;-\;</math> doit être considéré comme un complément<ref name="hors programme" />, <br> il est toutefois très pratique et son utilisation dans des circuits compliqués est quasi indispensable pour un traitement de durée acceptable.</center> === Condition d'application du théorème de Millman en un nœud duquel part une branche externe par laquelle le courant est délivré === [[File:Théorème de Millman - généralisation.png|thumb|500px|Réseau linéaire tracé en privilégiant un nœud <math>\;S\;</math> auquel aboutissent des branches internes de type <math>\;\left( R\,,\, V \right)\;</math><ref name="emploi de lettres majuscules" /> <math>\;\big[</math>à raison d'au moins une<math>\big]\;</math> et <math>\;\big(</math>ou<math>\big)\;</math> des branches internes de type <math>\;\left( I' \right)\;</math><ref name="emploi de lettres majuscules" />, nœud <math>\;S\;</math> par lequel sort un courant d'intensité <math>\;i_S(t)</math>, la référence des potentiels étant un point interne <math>\;M\;</math> appelé masse]] {{Al|5}}Il s'agit de la généralisation du théorème de Millman<ref name="Millman" /> avec modification des branches internes <math>\;\big(</math>voir schéma {{Nobr|ci-contre<math>\big)</math> :}} {{Al|5}}on pourra appliquer la généralisation du théorème de Millman<ref name="Millman" /> en un nœud <math>\;S\;</math> si, arrivent à ce nœud des branches internes du type <math>\;\left( R,\, V \right)\;</math><ref name="Branche interne de type (R, V)" /> et (ou) des branches internes de type <math>\;\left( I' \right)\;</math><ref name="Branche interne de type (I')"> C.-à-d. une branche interne traversée par un courant d'intensité connue.</ref>{{,}}<ref name="emploi de lettres majuscules" />{{,}}<ref> Avec l'exigence supplémentaire qu'il doit y avoir au moins une branche de type <math>\;\left( R,\, V \right)</math>.</ref>, la branche externe permettant le départ d'un courant d'intensité <math>\;i_S(t)</math> ; <br>{{Al|5}}la généralisation du théorème de Millman<ref name="Millman" /> appliquée au nœud <math>\;S\;</math> permet de déterminer le potentiel du nœud considéré en fonction des potentiels et des résistances définis sur chaque branche interne de type <math>\;\left( R,\, V \right)\;</math> ainsi que des intensités des courants traversant chaque branche interne de type <math>\;\left( I' \right)\;</math> et l'intensité du courant délivré<ref name="Choix de la masse" />. === Énoncé du théorème de Millman appliqué au nœud S du réseau par lequel le courant d'intensité i_S en sort === {{Al|5}}La démonstration consiste * à transformer les <math>\;n\;</math> branches de type <math>\;\left( R,\, V \right)\;</math> en leur modèle générateur de courant<ref> C.-à-d. une source idéale de courant de c.e.m. <math>\;\dfrac{V}{R}\;</math> en parallèle sur un conducteur ohmique de résistance <math>\;R</math>.</ref>, * à considérer les courants des <math>\;m\;</math> branches de type <math>\;I'\;</math> comme des courants délivrés par des sources idéales de courant, * à regrouper les <math>\;n + m\;</math> c.e.m. en parallèle en un seul c.e.m. équivalent <math>\;\eta_{\text{éq}}\;</math> * puis regrouper les <math>\;n\;</math> conducteurs ohmiques en parallèle résultant des modèles générateurs de courant équivalents aux branches de type <math>\;\left( R,\, V \right)\;</math> en un seul conducteur ohmique équivalent de conductance <math>\;G_{\text{éq}}\;</math> * pour terminer en écrivant que ce conducteur ohmique équivalent est traversée par le courant d'intensité <math>\;\eta_{\text{éq}} - i_S\;</math><ref name="changer en +" /> d'où «<math>\;V_S = \dfrac{\eta_{\text{éq}} - i_S}{G_{\text{éq}}}\;</math>». {{Théorème|titre = Énoncé du théorème de Millman appliqué au nœud S du réseau par lequel le courant d'intensité i_S(t) en sort| contenu = {{Al|5}}L'application du théorème de Millman<ref name="Millman" /> au nœud <math>\;S\;</math> d'où partent <math>\;n \geqslant 1\;</math> branches du type <math>\;\left( R,\, V \right)</math>, <math>\;m\;</math> branches du type <math>\;\left( I' \right)\;</math><ref> <math>\;m\;</math> pouvant être nul et si tel est le cas, <math>\;n\;</math> vaut au moins <math>\;2</math>, la valeur <math>\;n = 2\;</math> correspondant au théorème de Millman sous la forme basique énoncée dans le paragraphe précédent.</ref> et duquel est délivré un courant d'intensité <math>\;i_S(t)\;</math> conduit à l'expression du potentiel au nœud <math>\;S\;</math> suivante : <center>«<math>\;V_S(t) = \dfrac{\sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{V_k(t)}{R_k} + \sum\limits_{l = 1}^m {I'}_l(t) - i_S(t)}{\sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{1}{R_k}}\;</math>»<ref> Cette forme peut être considérée comme une application de la loi d'Ohm si on transforme auparavant chaque branche <math>\;\left( R,\, V \right)\;</math> en son “ modèle générateur de courant <math>\;\left( \dfrac{V}{R}\; \parallel\; R \right)\;</math>”, le numérateur de l'expression de <math>\;V_S(t)\;</math> étant la somme des <math>\;n\;</math> “ c.e.m. <math>\;\dfrac{V}{R}\;</math>” ainsi que des <math>\;m\;</math> “ intensités <math>I'\;</math>” et de l'intensité de la branche externe arrivant en <math>\;S\;</math> <math>\big(</math>d'où le signe <math>\;-\big)</math>, somme de courants traversant les <math>\;n\;</math> résistances en parallèle des “ modèles générateur de courant ”, cette association parallèle des <math>\;n\;</math> résistances de conductance équivalente <math>\;G\;</math> formant le dénominateur de l'expression de <math>\;V_S(t)\;</math> d'où le théorème de Millman interprété comme loi d'Ohm écrite sous la forme «<math>\;V = \dfrac{i}{G}\;</math>».</ref>{{,}}<ref name="changer en +" />.</center>}} === Intérêt du théorème de Millman === {{Al|5}}Si on cherche à déterminer le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent à un R.D.A<ref name="R.D.A." />. <math>\;AB\;</math> comportant une ou plusieurs sources, il peut être intéressant <math>\;-\;</math> dans le cas où la notion de pont diviseur de tension « ne serait pas opérationnelle » <ref> Cela est rare dans les R.D. simples mais devient plus fréquent quand la complication des R.D. s'accroît.</ref> <math>\;-\;</math> d'appliquer le théorème de Millman<ref name="Millman" /> en « chaque borne extrême <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> du réseau » <ref> Attention si le réseau délivre par la borne <math>\;A\;</math> un courant d'intensité <math>\;i_S(t)</math>, il reçoit par la borne <math>\;B\;</math> ce courant d'intensité <math>\;i_S(t)\;</math> c._à-d. que le réseau délivre par la borne <math>\;B\;</math> un courant d'intensité <math>\;-i_S(t)</math>.</ref> pour déterminer le potentiel de chaque borne en fonction des grandeurs internes et de l'« intensité du courant traversant le réseau » <ref> Si le courant d'intensité <math>\;i_S(t)\;</math> sort par la borne <math>\;A</math>, dans <math>\;V_A(t)\;</math> le numérateur contiendra <math>\;-i_S(t)</math>, il rentre alors par la borne <math>\;B\;</math> et dans <math>\;V_B(t)\;</math> le numérateur contiendra <math>\;+i_S(t)</math>.</ref>, puis de faire la différence pour obtenir la tension aux bornes du réseau ; {{Al|5}}ayant obtenu <math>\;V_A(t) = V_{A,\,0}(t) - r_A\;i_S(t)\;</math><ref> En supposant que le courant d'intensité <math>\;i_S(t)\;</math> sort par la borne <math>\;A</math>, le terme indépendant de <math>\;i_S(t)\;</math> est le potentiel à vide <math>\;V_{A,\,0}(t)\;</math> <math>\big[</math>valeur du potentiel si <math>\;i_S(t) = 0\big]\;</math> et le cœfficient de <math>\;i_S(t)\;</math> est négatif noté <math>\;-r_A</math>.</ref> par application du théorème de Millman<ref name="Millman" /> en <math>\;A\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|ayant obtenu }}<math>\;V_B(t) = V_{B,\,0}(t) + r_B\;i_S(t)\;</math><ref> En supposant que le courant d'intensité <math>\;i_S(t)\;</math> sort par la borne <math>\;A</math>, il entre par la borne <math>\;B</math>, le terme indépendant de <math>\;i_S(t)\;</math> est le potentiel à vide <math>\;V_{B,\,0}(t)\;</math> <math>\big[</math>valeur du potentiel si <math>\;i_S(t) = 0\big]\;</math> et le cœfficient de <math>\;i_S(t)\;</math> est positif noté <math>\;r_B</math>.</ref> par application du théorème de Millman<ref name="Millman" /> en <math>\;B</math>, <br>{{Al|5}}la différence s'écrit alors «<math>\;u_S(t) = V_A(t) - V_B(t) = \left[ V_{A,\,0}(t) - V_{B,\,0}(t) \right] - \left[ r_A + r_B \right] i_S(t)\;</math>» et on reconnaît la loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> généralisée, * la f.e.m. de Thévenin<ref name="Thévenin" /> étant «<math>\;e_{\text{Th}}(t) = u_{S,\,0}(t) = V_{A,\,0}(t) - V_{B,\,0}(t)\;</math>»<ref> Tension à vide du R.D. c.-à-d. quand <math>\;i_S(t) = 0</math>.</ref> et * la résistance de Thévenin<ref name="Thévenin" /> «<math>\;r_{\text{Th}} = r_A + r_B\;</math>»<ref> Valeur de la résistance équivalente du R.D. quand ce dernier a été rendu passif c.-à-d. en imposant <math>\;e_{\text{Th}}(t) = 0</math>.</ref>. {{Al|5}}Nous pourrons voir des exemples en exercices en plus de celui traité dans le paragraphe suivant <ref> Dans la mesure où il n'y a qu'une seule source, ce dernier pourrait être traité uniquement à l'aide de ponts diviseurs de tension.</ref>. === Exemple d'utilisation du théorème de Millman : pont résistif de Wheatstone === [[File:Pont de Wheatstone résistif alimenté par f.e.m.png|thumb|350px|Détermination du générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent au R.D<ref name="R.D." />. " pont de Wheatstone<ref name="Wheatstone" /> alimenté en entrée par <math>\;e\;</math> et vu des bornes de sortie " par utilisation du théorème de Millman<ref name="Millman" /> en chacune des bornes de sortie]] {{Al|5}}Soit le pont résistif de Wheatstone représenté ci-contre, alimenté en entrée par une source de tension parfaite de f.e.m. <math>\;e\;</math> constante et délivrant, à travers un ampèremètre de résistance interne <math>\;r_A\;</math> branché entre les bornes de sortie, un courant d'intensité <math>\;i_S\;</math><ref> Bien que l'intensité du courant soit constante il n'est pas interdit de l'écrire en minuscule.</ref> ; {{Al|5}}souhaitant évaluer l'intensité <math>\;i_S\;</math> en fonction de <math>\;e</math>, des quatre résistances du pont et de <math>\;r_A</math>, on détermine au préalable le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent au R.D<ref name="R.D." />. « pont de Wheatstone<ref name="Wheatstone" /> alimenté en entrée par <math>\;e\;</math> et vu des bornes de sortie » par utilisation du théorème de Millman<ref name="Millman" /> successivement à chacune des bornes de sortie ; {{Al|5}}on choisit la masse en <math>\;B\;</math> ce qui permet de connaître <math>\;V_A = e\;</math> en plus de <math>\;V_B = 0</math> ; {{Al|5}}<u>application du théorème de Millman au nœud</u><math>\;C</math> : il s'agit du théorème à deux branches internes de type <math>\;\left( R,\, V \right)\;</math> avec une branche externe par laquelle un courant d'intensité <math>\;i_S\;</math> s'éloigne de <math>\;C\;</math> soit «<math>\;V_C = \dfrac{\dfrac{V_A}{R_1} + \dfrac{V_B}{R_2} - i_S}{\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}} =</math> <math>\dfrac{\dfrac{e}{R_1} + \cancel{\dfrac{0}{R_2}} - i_S}{\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}}\;</math>» ou, en multipliant par <math>\;R_1\;R_2\;</math> haut et bas, «<math>\;V_C =</math> <math>\dfrac{R_2}{R_1 + R_2}\;e - \dfrac{R_1\;R_2}{R_1 + R_2}\;i_S\;</math>»<ref> Ce résultat pouvait être trouvé en considérant le R.D. « P.D.T. alimenté en entrée <math>\;\big(</math>c.-à-d. entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\big)\;</math> par <math>\;e\;</math> et délivrant en sortie par <math>\;C\;</math> un courant d'intensité <math>\;i_S\;</math>» dont le générateur de Thévenin équivalent a * pour f.e.m. <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)</math> <math>\;V_{C,\,0} - V_B = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}\;e\;</math> <math>\Big[</math>quand <math>\;i_S = 0\;</math> la tension aux bornes de <math>\;CB\;</math> est la fraction <math>\;\dfrac{R_2}{R_1 + R_2}\;</math> de celle aux bornes de <math>\;AB\Big]\;</math> et * pour résistance <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{R_1\;R_2}{R_1 + R_2}\;</math> <math>\big[</math>quand <math>\;e = 0\;</math> c.-à-d. quand <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> sont reliés par un court-circuit, les conducteurs de résistance <math>\;R_1\;</math> et <math>\;R_2\;</math> sont en <math>\;\parallel\;</math> vu des points <math>\;C\;</math> et <math>\;B\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}<u>application du théorème de Millman au nœud</u><math>\;D</math> : il s'agit du théorème à deux branches internes de type <math>\;\left( R,\, V \right)\;</math> avec une branche externe par laquelle un courant d'intensité <math>\;i_S\;</math> s'approche de <math>\;D\;</math> soit «<math>\;V_D =</math> <math>\dfrac{\dfrac{V_A}{R_4} + \dfrac{V_B}{R_3} + i_S}{\dfrac{1}{R_4} + \dfrac{1}{R_3}} = \dfrac{\dfrac{e}{R_4} + \cancel{\dfrac{0}{R_3}} + i_S}{\dfrac{1}{R_4} + \dfrac{1}{R_3}}\;</math>» ou, en multipliant haut et bas par <math>\;R_4\;R_3</math>, on obtient «<math>\;V_D = \dfrac{R_3}{R_3 + R_4}\;e + \dfrac{R_3\;R_4}{R_3 + R_4}\;i_S\;</math>»<ref> Ce résultat pouvait être trouvé en considérant le R.D. « P.D.T. alimenté en entrée <math>\;\big(</math>c.-à-d. entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\big)\;</math> par <math>\;e\;</math> et délivrant en sortie par <math>\;D\;</math> un courant d'intensité <math>\;-i_S\;</math>» dont le générateur de Thévenin équivalent a * pour f.e.m. <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)</math> <math>\;V_{D,\,0} - V_B = \dfrac{R_3}{R_3 + R_4}\;e\;</math> <math>\Big[</math>quand <math>\;i_S = 0\;</math> la tension aux bornes de <math>\;DB\;</math> est la fraction <math>\;\dfrac{R_3}{R_3 + R_4}\;</math> de celle aux bornes de <math>\;AB\Big]\;</math> et * pour résistance <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{R_3\;R_4}{R_3 + R_4}\;</math> <math>\big[</math>quand <math>\;e = 0\;</math> c.-à-d. quand <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> sont reliés par un court-circuit, les conducteurs de résistance <math>\;R_3\;</math> et <math>\;R_4\;</math> sont en <math>\;\parallel\;</math> vu des points <math>\;D\;</math> et <math>\;B\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}on termine en faisant la différence pour obtenir la tension aux bornes du R.D<ref name="R.D." />. « pont de Wheatstone alimenté en entrée par <math>\;e\;</math> et vu des bornes de sortie » soit <center>«<math>\;V_C - V_D = \left[ \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} - \dfrac{R_3}{R_3 + R_4} \right] e - \left[ \dfrac{R_1\;R_2}{R_1 + R_2} + \dfrac{R_3\;R_4}{R_3 + R_4} \right] i_S\;</math>»,</center> {{Al|5}}et on en tire le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent * de f.e.m. <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> «<math>\;e_{\text{Th}} = \left[ \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} - \dfrac{R_3}{R_3 + R_4} \right] e = \dfrac{R_2\;(R_3 + R_4) - R_3\;(R_1 + R_2)}{(R_1 + R_2)\;(R_3 + R_4)}\; e = \dfrac{R_2\;R_4 - R_1\;R_3}{(R_1 + R_2)\;(R_3 + R_4)}\; e\;</math>» et * de résistance <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> «<math>\;r_{\text{Th}} = \dfrac{R_1\;R_2}{R_1 + R_2} + \dfrac{R_3\;R_4}{R_3 + R_4}\;</math>» ; [[File:Circuit équivalent de R.D.A.L. fermé sur charge.png|thumb|320px|Circuit équivalent dans lequel le R.D.L.A<ref name="R.D.L.A."> Réseau Dipolaire Linéaire Actif.</ref>. fermé sur une charge est remplacé par son générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent]] {{Al|5}}nous obtenons finalement le schéma de sortie équivalent représenté ci-contre : {{Al|5}}on en déduit l'intensité du courant traversant l'ampèremètre par <u>loi de Pouillet</u> <ref name="Pouillet"> '''[[w:Claude_Pouillet|Claude Servais Mathias Pouillet]] (1790 - 1868)''' physicien et homme politique français, on lui doit essentiellement des travaux portant sur la compressibilité des gaz et sur les lois expérimentales relatives à l'intensité du courant électrique dans un circuit fermé <math>\;\big(</math>il sut préciser la notion de résistance électrique, montrer que les générateurs sont composés d'une force électromotrice pure et d'une résistance intérieure et il établit la loi qui porte son nom<math>\big)</math>.</ref>{{,}}<ref> La loi de Pouillet s'applique pour déterminer l'intensité du courant circulant dans un circuit série en régime permanent, elle résulte de l'application de la loi des mailles avec choix du sens <math>\;+\;</math> de f.e.m. dans le sens <math>\;+\;</math> du courant <math>\;\big(</math>en accord avec l'algébrisation habituelle<math>\big)\;</math> et s'énonce «<math>\;i = \dfrac{\sum\limits_k e_k}{\sum\limits_l r_l}\;</math>» <math>\;\big(</math>à retenir et à savoir utiliser sans hésitation<math>\big)</math>.</ref> soit <center>«<math>\;i_S = \dfrac{e_{\text{Th}}}{r_{\text{Th}} + r_A} = \dfrac{\dfrac{R_2\;R_4 - R_1\;R_3}{(R_1 + R_2)\;(R_3 + R_4)}\; e}{\dfrac{R_1\;R_2}{R_1 + R_2} + \dfrac{R_3\;R_4}{R_3 + R_4} + r_A}\;</math>» ou encore <br><math>\;i_S = \dfrac{\left[ R_2\;R_4 - R_1\;R_3 \right] e}{R_1\;R_2\;(R_3 + R_4) + R_3\;R_4\;(R_1 + R_2) + r_A\;(R_1 + R_2)\;(R_3 + R_4)}</math> ;</center> {{Al|5}}le sens du courant dépendant du signe de <math>\;e_{\text{Th}}</math>, on observe l'absence de courant dans l'ampèremètre quand la f.e.m. de Thévenin<ref name="Thévenin" /> du générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent au R.D<ref name="R.D." />. « pont de Wheatstone<ref name="Wheatstone" /> alimenté en entrée par <math>\;e\;</math> et vu des bornes de sortie » est nulle soit <center>«<math>\;e_{\text{Th}} = 0\;</math>», on dit alors que <u>le pont est équilibré</u> ce qui est réalisé si «<math>\;R_2\;R_4 = R_1\;R_3\;</math>»<ref> Le pont est équilibré quand les deux produits des résistances croisées sont égaux ; si on utilise trois résistances étalon <math>\;\big(</math>c.-à-d. connues avec une bonne précision<math>\big)\;</math> variables on peut déterminer la valeur de la 4^ème résistance inconnue en cherchant à équilibrer le pont de Wheatstone.</ref>.</center> == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : dipôles linéaires/]] | suivant = [[../Circuits électriques dans l'ARQS : résistance de sortie, résistance d'entrée/]] }} 6ejms9dizmtilbamnwic4qk06dredz1 0 86969 982837 982681 2026-05-15T05:39:13Z PandaMystique 80252 982837 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Leçon | idfaculté = littérature | département = Littérature francophone | cours = [[Germinal]] | niveau = 12 | PlusLoin = oui | 1 = {{C|La doctrine et la pratique : ce que veut dire « naturaliste »|titre=La doctrine et la pratique : ce que veut dire « naturaliste »|4}} | 2 = {{C|Un dossier monumental : 962 feuillets|titre=Un dossier monumental : 962 feuillets|4}} | 3 = {{C|La pré-maturation : les premières lectures techniques|titre=La pré-maturation : les premières lectures techniques|4}} | 4 = {{C|La rencontre avec Alfred Giard et la décision d'écrire|titre=La rencontre avec Alfred Giard et la décision d'écrire|4}} | 5 = {{C|La première Ébauche : la lutte du Capital et du Travail|titre=La première Ébauche : la lutte du Capital et du Travail|4}} | 6 = {{C|Le voyage à Anzin (23 février - 3 mars 1884)|titre=Le voyage à Anzin (23 février - 3 mars 1884)|4}} | 7 = {{C|Mes Notes sur Anzin : la naissance du regard romanesque|titre=''Mes Notes sur Anzin'' : la naissance du regard romanesque|0}} | 8 = {{C|La descente à la fosse Renard : le moment fondateur|titre=La descente à la fosse Renard : le moment fondateur|0}} | 9 = {{C|Retour à Paris et compléments politiques|titre=Retour à Paris et compléments politiques|0}} | 10 = {{C|Les vérifications livresques de la seconde phase|titre=Les vérifications livresques de la seconde phase|0}} | 11 = {{C|Seconde Ébauche, plans et personnages|titre=Seconde Ébauche, plans et personnages|0}} | 12 = {{C|La rédaction : dix mois, à un rythme régulier|titre=La rédaction : dix mois, à un rythme régulier|0}} | 13 = {{C|La dialectique de la documentation et de l'invention|titre=La dialectique de la documentation et de l'invention|0}} | 14 = {{C|Conclusion : ce que la genèse nous apprend|titre=Conclusion : ce que la genèse nous apprend|0}} | fiche1 = {{F|Révision|0}} | quiz1 = <!-- {{Qu|Titre du quiz 1|avancement (0 à 4)}} --> | exo1 = <!-- {{Exo|Titre de l'exercice 1|avancement (0 à 4)}} --> | tp1 = <!-- {{TP|Titre du travail pratique 1|avancement (0 à 4)}} --> | autres projets = oui | s = Germinal | w = <!-- titre de l'article correspondant sur Wikipédia (facultatif) --> | commons = <!-- titre de la catégorie correspondante sur Commons (facultatif) --> | wikt = <!-- titre du mot correspondant sur Wiktionnaire (facultatif) --> | b = <!-- titre du manuel correspondant sur Wikibooks (facultatif) --> | imprimable = oui }} [[Catégorie:Roman]] [[Catégorie:Littérature]] [[Catégorie:Littérature francophone]] <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> nrtto0njrymgvs315fqslgxju63fv98 0 87045 982831 2026-05-15T04:30:32Z PandaMystique 80252 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 1 | précédent = | suivant = [[../Un dossier monumental : 962 feuillets/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == La doctrine et la pratique : ce que veut dire « naturaliste » == Avant de plonger dans la fabrication concrète de ''Germinal'', il vaut la peine de comprendre dans quel esprit Zola travaille. On range sou... » 982831 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 1 | précédent = | suivant = [[../Un dossier monumental : 962 feuillets/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == La doctrine et la pratique : ce que veut dire « naturaliste » == Avant de plonger dans la fabrication concrète de ''Germinal'', il vaut la peine de comprendre dans quel esprit Zola travaille. On range souvent Zola dans une « école littéraire » qu'on appelle le naturalisme, mais cette étiquette est trompeuse si l'on n'en saisit pas le sens précis. Le naturalisme n'est pas un simple style ou un goût pour le réel : c'est une véritable méthode de travail, dont Zola a exposé les principes dans ''Le Roman expérimental'', paru en 1880<ref>Émile Zola, préface à la deuxième édition de ''Thérèse Raquin'', 1868 ; ''Le Roman expérimental'', Charpentier, 1880.</ref>. Pour bien comprendre ce qu'il en attend, il faut faire un détour par un texte qui, à première vue, n'a rien de littéraire. En 1865, le physiologiste Claude Bernard, un médecin qui étudie les fonctions du corps vivant, avait publié un livre fondamental, l'''Introduction à la médecine expérimentale''. Bernard y défendait l'idée que la médecine pouvait devenir une science exacte si l'on appliquait au vivant la méthode expérimentale : observer un phénomène, formuler une hypothèse, fabriquer une expérience pour la tester, en tirer des lois. Or Zola, fasciné par ce livre, va lui emprunter sa méthode pour la transposer au roman. Selon lui, le romancier doit devenir lui aussi à la fois observateur, qui enregistre les faits dans la nature, et expérimentateur, qui modifie les circonstances et les milieux pour étudier le mécanisme des choses. Autrement dit, le naturalisme se présente comme un élargissement du réalisme par le recours à la méthode scientifique : on n'écrit plus un roman seulement à partir de son imagination, mais à partir d'une enquête, d'une observation, presque d'une expérience de laboratoire. C'est cette ambition qui justifie le titre de notre partie : « le laboratoire » de Zola. Reste qu'il faut se garder d'accorder une importance excessive à cette théorie, qu'on a tellement répétée qu'elle en est devenue caricaturale. Zola lui-même s'en est lassé. Dès 1887, il s'en démarquait avec netteté : « Je ne suis de l'école du rien, ni dans le roman, ni dans le drame ; je suis au contraire pour la passion, pour ce qui agit et ce qui émeut »<ref>Cité par Jacques Vassevière, ''Germinal, Émile Zola'', Nathan, coll. « Balises », 1989, p. 8.</ref>. Cette phrase est importante, car elle nous met en garde contre une lecture trop scolaire du naturalisme. Si l'on veut comprendre Zola, mieux vaut s'attacher à sa pratique réelle de romancier qu'à ses déclarations théoriques. Or sa pratique est singulière, et l'on peut la reconstituer presque jour par jour grâce aux dossiers manuscrits qu'il nous a laissés. Cette méthode, telle que les générations successives de critiques l'ont dégagée (les noms à retenir sont Henri Mitterand, Colette Becker, Henri Marel, Geoff Woollen, Alain Pagès), suit presque toujours le même schéma. Zola commence par définir peu à peu son projet, ses personnages et son histoire dans un document particulier qu'il appelle l'« Ébauche ». Cette Ébauche, sur laquelle nous reviendrons en détail à la section 5, est une sorte de monologue écrit où il dialogue avec lui-même pour clarifier ses idées. Il la nourrit de lectures et de visites qui peuvent constituer une véritable enquête, presque journalistique. Au terme de ce dialogue avec lui-même, il rédige un plan général qui fixe les grandes étapes du roman. S'ouvre alors une nouvelle phase de documentation, plus précise, au cours de laquelle il accumule des notes plus spécialisées. Il achève ensuite la caractérisation des personnages et la composition du récit : les chapitres se définissent dans deux plans détaillés successifs, de plus en plus précis à mesure que le romancier y intègre, dans un constant va-et-vient, ses choix esthétiques et les données qu'il a observées. Enfin vient la rédaction proprement dite, à un rythme régulier et soutenu : pour ''Germinal'', dix mois pleins<ref>Vassevière, ''op. cit.'', p. 8 ; Henri Mitterand, dans Émile Zola, ''Les Rougon-Macquart'', éd. de la Bibliothèque de la Pléiade, Gallimard, t. III, 1964, p. 1825 ''sq''.</ref>. == Notes == {{Références|colonnes = 2}} {{Bas de page | idfaculté = littérature | précédent = | suivant = [[../Un dossier monumental : 962 feuillets/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> nc22rsy4o26aiko0klto979gnj5c8mf 0 87046 982832 2026-05-15T04:31:04Z PandaMystique 80252 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 2 | précédent = [[../La doctrine et la pratique : ce que veut dire « naturaliste »/]] | suivant = [[../La pré-maturation : les premières lectures techniques/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == Un dossier monumental : 962 feuillets == Le dossier préparatoire de ''Germinal'', conservé à la Bibliothèque natio... » 982832 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 2 | précédent = [[../La doctrine et la pratique : ce que veut dire « naturaliste »/]] | suivant = [[../La pré-maturation : les premières lectures techniques/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == Un dossier monumental : 962 feuillets == Le dossier préparatoire de ''Germinal'', conservé à la Bibliothèque nationale, ne compte pas moins de 962 feuillets manuscrits<ref>Michel Erre, ''Germinal, Émile Zola'', Hatier, coll. « Profil littérature », 1991, « Présentation ».</ref>. Pour bien mesurer ce que représente ce chiffre, imaginons un instant : 962 pages écrites à la main, soit l'équivalent d'un roman entier, accumulées avant même que la première phrase de ''Germinal'' ne soit posée sur le papier. Cette masse documentaire, parfaitement exceptionnelle, a été publiée intégralement par Colette Becker en 1986 sous le titre ''La Fabrique de « Germinal »''<ref>Colette Becker, ''La Fabrique de « Germinal ». Dossier préparatoire de l'œuvre'', SEDES et Presses universitaires de Lille, 1986.</ref>, ce qui permet aujourd'hui à n'importe quel chercheur de suivre, étape par étape, le travail du romancier. Les manuscrits portent les cotes Ms 10 307, qui contient l'Ébauche, le plan par parties et les premiers plans détaillés, et Ms 10 308, qui rassemble les notes diverses, les portraits de personnages et les seconds plans détaillés. Avant Becker, Henri Mitterand, dans son édition des ''Rougon-Macquart'' à la Bibliothèque de la Pléiade, en avait déjà tiré la matière de toute une étude critique<ref>Mitterand, dans la Pléiade, t. III, ''op. cit.'', p. 1815 ''sq''.</ref> ; et le tome publié plus tard sous le titre ''Carnets d'enquêtes'' reprend, plus particulièrement, les ''Notes sur Anzin'' que nous étudierons à la section 7<ref>Émile Zola, ''Carnets d'enquêtes : une ethnographie inédite de la France'', éd. Henri Mitterand, Plon, coll. « Terre humaine », 1986.</ref>. Comment ces 962 feuillets s'organisent-ils ? Selon la classification de Colette Becker, ils se répartissent en deux grands ensembles : d'une part, les informations concernant le sujet choisi, c'est-à-dire la documentation au sens strict ; d'autre part, le travail de réflexion et de construction, autrement dit l'élaboration proprement romanesque<ref>Becker, ''op. cit.'' ; voir aussi Alain Pagès, dans Émile Zola, ''Germinal'', éd. d'Henri Mitterand et Alain Pagès, Garnier-Flammarion, 2008, dossier critique.</ref>. Henri Mitterand a pour sa part synthétisé l'ensemble en cinq étapes successives, qui s'enchaînent dans un ordre précis qu'il vaut la peine de détailler, car il est la clé de la méthode zolienne. Viennent d'abord, comme on l'a annoncé à la section précédente, des notes prises sur des ouvrages techniques bien avant l'écriture proprement dite : c'est ce que Mitterand appelle la « pré-maturation ». Il la décrit comme « une documentation primitive, non dirigée, qui précède la documentation directe et spécialisée, et qui n'est pas la moins importante, bien que ses traces n'apparaissent presque jamais dans les dossiers préparatoires »<ref>Mitterand, dans la Pléiade, t. III, p. 1817 ; cité par Colin Smethurst, ''Émile Zola: Germinal'', Edward Arnold, coll. « Studies in French Literature », Londres, 1974, p. 18.</ref>. Vient ensuite la première partie de l'Ébauche, où Zola dialogue avec lui-même, dégage le sujet, esquisse l'opposition centrale et lance les premiers personnages. Suivent le voyage à Anzin (du 23 février au 3 mars 1884) et la rédaction des ''Notes sur Anzin''. Ces notes sont elles-mêmes recueillies en deux temps : d'abord sous forme d'informations brutes (coupures de presse, courriers, lexique de la mine, descriptions techniques) ; ensuite comme texte suivi (''Mes Notes sur Anzin''), qui occupe à lui seul près de cent feuillets, soit un dixième de tout le dossier. Vient alors la seconde partie de l'Ébauche, infléchie par tout ce que Zola a vu et entendu sur place. Vient enfin l'élaboration des plans du roman (plan général, premier puis second plan détaillé), qui s'accompagne de fiches de personnages très élaborées et de vérifications documentaires complémentaires (Yves Guyot, Émile de Laveleye, Boëns-Boisseau, Ducarre, Stell, dont nous reparlerons). Pourquoi insister sur l'ordre dans lequel ces étapes se succèdent ? Parce qu'il est essentiel pour comprendre le texte qui en résulte. Comme le note Henri Mitterand, « le travail de l'imagination romanesque s'intercale entre les différentes phases de la documentation »<ref>Mitterand, dans la Pléiade, t. III, p. 1825.</ref>. Loin de séparer une enquête, qui viendrait d'abord, et une rédaction, qui viendrait ensuite, comme on pourrait spontanément se l'imaginer, la méthode zolienne instaure un va-et-vient permanent entre l'observation et l'invention. C'est ce va-et-vient qui explique la nature très particulière de ''Germinal''. == Notes == {{Références|colonnes = 2}} {{Bas de page | idfaculté = littérature | précédent = [[../La doctrine et la pratique : ce que veut dire « naturaliste »/]] | suivant = [[../La pré-maturation : les premières lectures techniques/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> rrtho5oatr02ls9vu4uqedi34elbjew 0 87047 982833 2026-05-15T04:31:37Z PandaMystique 80252 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 3 | précédent = [[../Un dossier monumental : 962 feuillets/]] | suivant = [[../La rencontre avec Alfred Giard et la décision d'écrire/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == La pré-maturation : les premières lectures techniques == Bien avant de décider d'écrire ''Germinal'', et donc avant 1884, Zola accumule san... » 982833 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 3 | précédent = [[../Un dossier monumental : 962 feuillets/]] | suivant = [[../La rencontre avec Alfred Giard et la décision d'écrire/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == La pré-maturation : les premières lectures techniques == Bien avant de décider d'écrire ''Germinal'', et donc avant 1884, Zola accumule sans projet précis des matériaux qui ressurgiront le moment venu. Cette phase de pré-maturation est cruciale, car elle permet de comprendre un fait en apparence étonnant : lorsque Zola décide enfin de s'attaquer au monde de la mine, il dispose déjà d'un fonds de connaissances. Comment est-ce possible alors qu'il n'avait jamais mis les pieds dans une fosse ? Tout simplement parce qu'il avait lu sur le sujet, par curiosité ou par hasard, des années avant d'avoir l'idée du roman. Sur la mine, deux ouvrages dominent cette période, datés tous deux de 1867 et largement diffusés parmi les ingénieurs et les gens cultivés du Second Empire. Le premier, ''La Vie souterraine ou la Mine et les mineurs'' de Louis-Laurent Simonin, paru chez Hachette en 1867, est un volume de vulgarisation richement illustré (on y trouve même des gravures représentant l'intérieur des fosses) qui décrit les techniques d'extraction et la condition des houilleurs. Le second, ''Topographie souterraine du bassin houiller de Valenciennes'' d'Émile Dormoy, publié la même année à l'Imprimerie impériale, est un ouvrage beaucoup plus technique, presque un manuel d'ingénieur, consacré à l'organisation et à la géologie du bassin du Nord. C'est dans Dormoy que Zola trouvera la description précise des cages d'extraction. Il y trouve également une particularité étrange du monde minier : l'usage, à l'époque, d'employer des chevaux aveugles au fond des galeries (les chevaux y vivaient en permanence et perdaient peu à peu la vue, faute de jamais voir la lumière du jour). C'est ce détail technique que Zola modifiera pour faire de son cheval Bataille un personnage à part entière du roman, et l'un des plus émouvants<ref>Émile Dormoy, ''Topographie souterraine du bassin houiller de Valenciennes'', Imprimerie impériale, 1867, p. 81 et 83 ; cité par Henri Marel, ''Germinal, une documentation intégrale'', University of Glasgow French and German Publications, 1989.</ref>. À ces sources techniques s'ajoutent des sources romanesques, qui éclairent un point souvent oublié des lecteurs d'aujourd'hui : Zola n'est pas du tout un précurseur sur le sujet de la mine. Dans les années 1860-1880, le monde minier était devenu un thème littéraire à la mode, et Zola lit dans cette littérature surtout pour s'en démarquer. On y trouve ''Les Indes noires'' de Jules Verne (1877), un roman d'aventures dans une mine de charbon écossaise ; ''Sans famille'' d'Hector Malot (1878), célèbre roman pour la jeunesse où le jeune Rémi descend brièvement à la mine ; ''Le Grisou'' de Maurice Talmeyr (1880), centré sur la catastrophe minière ; et surtout ''L'Enfer social. La Famille Pichot'' d'Yves Guyot (1882), que Zola dépouille avec une particulière attention<ref>Marel, ''op. cit.'', p. 251-252.</ref>. C'est par opposition à ces récits, souvent paternalistes (dans le sens où ils plaignent les pauvres mineurs sans remettre en cause l'ordre social) ou populaires (au sens du roman populaire de feuilleton), que Zola définira sa propre représentation, plus sombre, plus politique, plus mythique aussi. Aux lectures s'ajoutent enfin les sources judiciaires, qui constituent une mine d'informations précieuse pour le romancier (on me pardonnera le jeu de mots). Les comptes rendus de la ''Gazette des Tribunaux'' après les grandes grèves du Second Empire et de la Troisième République lui fournissent un matériau brut : revendications des mineurs, répression policière, arrestations qui ont suivi ces conflits. Zola y a notamment lu les comptes rendus des grèves de La Ricamarie et d'Aubin (1869), du Creusot et de Fourchambault (1870), et de Montceau-les-Mines (1882). Ces sources judiciaires se retrouveront, transposées et concentrées en une seule scène, dans les épisodes de fusillade et de répression du roman. == Notes == {{Références|colonnes = 2}} {{Bas de page | idfaculté = littérature | précédent = [[../Un dossier monumental : 962 feuillets/]] | suivant = [[../La rencontre avec Alfred Giard et la décision d'écrire/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> n7y94nnisqob373yy1sfieumj1ntjhl 0 87048 982834 2026-05-15T05:35:26Z PandaMystique 80252 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 4 | précédent = [[../La pré-maturation : les premières lectures techniques/]] | suivant = [[../La première Ébauche : la lutte du Capital et du Travail/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == La rencontre avec Alfred Giard et la décision d'écrire == Le déclencheur du projet a probablement été la rencontre, en... » 982834 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 4 | précédent = [[../La pré-maturation : les premières lectures techniques/]] | suivant = [[../La première Ébauche : la lutte du Capital et du Travail/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == La rencontre avec Alfred Giard et la décision d'écrire == Le déclencheur du projet a probablement été la rencontre, en Bretagne durant l'été 1883, d'un homme dont le nom est aujourd'hui peu connu mais qui a joué un rôle décisif dans la genèse de ''Germinal'' : Alfred Giard<ref>Smethurst, ''op. cit.'', p. 15.</ref>. Pour comprendre l'importance de Giard, il faut savoir qu'il cumulait plusieurs fonctions stratégiques : il était à la fois député républicain de la circonscription de Valenciennes (laquelle inclut, fait capital, la puissante Compagnie des mines d'Anzin) et professeur à la Faculté des sciences de Lille. Autrement dit, il faisait à lui seul le pont entre trois mondes que tout, en apparence, séparait : le monde politique parisien, le milieu universitaire du Nord et le monde ouvrier des houillères. Pour Zola, qui cherchait précisément à s'introduire dans ce dernier, il était l'intermédiaire idéal. C'est par lui que Zola sera introduit au monde minier dans toutes ses dimensions : ses ingénieurs, ses syndicalistes, ses notables, ses ouvriers. C'est par lui aussi qu'il pourra rencontrer plusieurs personnages-clés. Émile Basly, en particulier, est une figure qu'il faut retenir : ancien mineur devenu cabaretier puis député socialiste, il est le leader de la grève d'Anzin de 1884, et il inspirera en partie le personnage de Rasseneur dans le roman. À ses côtés, son compagnon de lutte Fauviau. Du côté du patronat éclairé (c'est-à-dire de la bourgeoisie favorable à des réformes), Giard ouvre à Zola la porte de sa propre famille (ses frères) et de la famille Lebret<ref>Marel, ''op. cit.'', p. 5-9.</ref>. L'occasion concrète du voyage à Anzin est fournie par l'actualité. Quand la grève éclate à Anzin en février 1884, l'une des plus longues de l'histoire sociale française puisqu'elle durera deux mois, Giard renouvelle aussitôt à Zola son invitation à venir sur place. Sa lettre du 20 février 1884 mérite d'être citée intégralement, car elle donne à voir l'aspect très concret, presque banal, de cette invitation qui aura pourtant des conséquences considérables : <blockquote>« Je serai chez moi jeudi et vendredi de dix heures à midi. Samedi matin, à 8 h, je pars pour Valenciennes où je dois assister à une réunion de fabricants de sucre et cultivateurs. J'y resterai deux ou trois jours et si votre intention était de faire aussitôt le voyage je me ferais un plaisir de vous guider moi-même au Pays noir. Sinon, mon frère me remplacera et vous facilitera la recherche que vous désirez entreprendre. »<ref>Lettre d'Alfred Giard à Émile Zola, 20 février 1884, citée dans Pagès, GF, 2008, ''op. cit.''</ref></blockquote> Un détail mérite d'être souligné, car il modifie complètement la lecture qu'on fait habituellement de la genèse du roman : à la date où Giard envoie cette lettre, Zola a déjà commencé son Ébauche. Ce point peut paraître anodin, mais il a en réalité une portée considérable. Henri Marel insiste lourdement dessus et le démontre à partir des manuscrits : Zola « a son roman en tête lorsqu'il vient à Anzin. Il a déjà prévu une catastrophe : "J'aimerais bien l'éboulement du puits avec tout coulant à l'abîme. Il resterait quelques ouvriers au fond, avec des chevaux." »<ref>Ébauche, Ms 10 307, f° 428/27, lecture d'E. M. Grant ; cité par Marel, ''op. cit.'', p. 12.</ref>. Que faut-il en conclure ? Tout simplement ceci : le voyage à Anzin n'est pas le germe du roman, comme on le suppose souvent, mais plutôt son banc d'essai. Le romancier va sur place pour vérifier, enrichir et concrétiser une fiction qu'il avait déjà imaginée en grande partie. Ce point sera capital pour comprendre, à la section 13, la dialectique entre documentation et invention. == Notes == {{Références|colonnes = 2}} {{Bas de page | idfaculté = littérature | précédent = [[../La pré-maturation : les premières lectures techniques/]] | suivant = [[../La première Ébauche : la lutte du Capital et du Travail/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 2ipf7jg91rugwax88mu5as9l5tjafot 0 87049 982835 2026-05-15T05:35:51Z PandaMystique 80252 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 5 | précédent = [[../La rencontre avec Alfred Giard et la décision d'écrire/]] | suivant = [[../Le voyage à Anzin (23 février - 3 mars 1884)/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == La première Ébauche : la lutte du Capital et du Travail == Pour comprendre la suite, il faut maintenant s'arrêter sur ce que Zola a... » 982835 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 5 | précédent = [[../La rencontre avec Alfred Giard et la décision d'écrire/]] | suivant = [[../Le voyage à Anzin (23 février - 3 mars 1884)/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == La première Ébauche : la lutte du Capital et du Travail == Pour comprendre la suite, il faut maintenant s'arrêter sur ce que Zola appelle l'« Ébauche », qui constitue l'une des particularités les plus intéressantes de sa méthode. Le mot peut prêter à confusion, car dans le langage courant une « ébauche » désigne un dessin sommaire, un brouillon. Mais chez Zola, le mot prend un sens beaucoup plus particulier. L'Ébauche n'est ni un brouillon, au sens où on l'entend habituellement, ni un plan : c'est un monologue écrit, dans lequel le romancier « parle au papier » pour clarifier ses idées. On peut la comparer à une délibération intérieure, à une réflexion à voix haute mise par écrit, qui permet à l'auteur de découvrir progressivement ce qu'il veut faire. Concrètement, Zola écrit comme s'il se parlait à lui-même : « prendrai-je tel ou tel personnage ? », « comment terminerai-je ? », et il se répond à lui-même au fil de la plume. Zola produit une Ébauche pour chacun de ses romans, et celle de ''Germinal'' est particulièrement éclairante pour qui veut comprendre la naissance d'un livre. Les premiers feuillets de cette Ébauche, qu'on trouve aux folios 402 et 403 du manuscrit Ms 10 307 (les chercheurs identifient les feuillets par leur cote et leur numéro), inscrivent d'emblée, et avec une netteté presque programmatique, le sujet du roman. Voici ce qu'on y lit : <blockquote>« Le roman est le soulèvement des salariés, le coup d'épaule donné à la société, qui craque un instant : en un mot la lutte du capital et du travail. C'est là qu'est l'importance du livre, je le veux prédisant l'avenir, posant la question la plus importante du XXe siècle. » « Donc, pour établir cette lutte, qui est mon nœud, il faut que je montre d'une part le travail, les houilleurs dans la mine, et de l'autre le capital, la direction, le patron, enfin ce qui est à la tête. »<ref>Ébauche, Ms 10 307, f° 402-403 ; Becker, ''La Fabrique de « Germinal »'', ''op. cit.'', p. 256.</ref></blockquote> Tout le roman se trouve déjà là, en une dizaine de lignes : le sujet (la lutte des classes), son enjeu prophétique (« la question la plus importante du XXe siècle »), sa structure binaire (deux camps, deux mondes, deux familles types). Zola hésite encore entre deux options pour incarner le « capital » : « prendrai-je un patron qui personnifie en lui-même le capital, ce qui rendrait la lutte plus directe et peut-être plus dramatique ? Ou prendrai-je une société anonyme, des actionnaires, enfin le mode de la grande industrie ? » Cette hésitation est capitale, car elle montre comment un choix narratif (un seul patron ou des actionnaires anonymes) engage une vision de la société. Zola optera finalement, et avec une grande intelligence narrative, pour les deux à la fois : Deneulin et Hennebeau d'un côté, qui personnifient le patronat (un petit patron indépendant et un directeur salarié), et les Grégoire avec la Régie lointaine de l'autre, qui représentent l'actionnariat invisible vivant des dividendes. Quoi qu'il en soit, l'Ébauche fixe la philosophie du livre : ce sera un roman du conflit de classes, et non un roman du milieu ouvrier comme l'avait été ''L'Assommoir'' (où la classe ouvrière était décrite mais en tant que milieu, sans dimension politique). À ce stade pourtant, les personnages ne sont qu'esquissés, et leur portée bien plus modeste que celle qu'ils prendront ensuite. La famille ouvrière s'appelle « Durand », le mari a quarante-cinq ans, sa femme quarante, ils ont deux enfants seulement (un fils handicapé et une fille de dix-huit ans qui s'enfuit avec un galant). Zola note même : « Au dénouement, je verrai volontiers sa femme veuve se remettre au travail dans la mine : son homme est mort, on le lui a tué. » Étienne, à ce moment, n'est pas central : il reste un personnage secondaire prévu pour aboutir à un destin d'assassin (« maniaque de l'assassinat »), conformément à sa place dans l'arbre généalogique des ''Rougon-Macquart'', où il porte l'hérédité alcoolique des Macquart<ref>Smethurst, ''op. cit.'', p. 28.</ref>. Cette première Ébauche s'interrompt à la veille du voyage. Le séjour à Anzin et l'écriture de ''Mes Notes sur Anzin'' viendront ensuite la relancer et la transformer en profondeur. == Notes == {{Références|colonnes = 2}} {{Bas de page | idfaculté = littérature | précédent = [[../La rencontre avec Alfred Giard et la décision d'écrire/]] | suivant = [[../Le voyage à Anzin (23 février - 3 mars 1884)/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 9wvqgzqnzk9zxyb4kdxybhzqeuklxhe 0 87050 982836 2026-05-15T05:38:37Z PandaMystique 80252 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 6 | précédent = [[../La première Ébauche : la lutte du Capital et du Travail/]] | suivant = [[../Mes Notes sur Anzin : la naissance du regard romanesque/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == Le voyage à Anzin (23 février - 3 mars 1884) == Zola arrive à Valenciennes le samedi 23 février 1884, accompagné de sa... » 982836 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 6 | précédent = [[../La première Ébauche : la lutte du Capital et du Travail/]] | suivant = [[../Mes Notes sur Anzin : la naissance du regard romanesque/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == Le voyage à Anzin (23 février - 3 mars 1884) == Zola arrive à Valenciennes le samedi 23 février 1884, accompagné de sa femme Alexandrine. Pour situer ce voyage, il faut d'abord se faire une idée de la géographie. Valenciennes est une ville importante du nord de la France, à proximité de la frontière belge, qui se trouve au cœur du grand bassin houiller du Nord-Pas-de-Calais. Anzin, où se situent les principales mines visitées par Zola, est une commune voisine de Valenciennes, à quelques kilomètres seulement. Contrairement à ce qu'on a longtemps cru, Zola descend à l'Hôtel du Commerce de Valenciennes, comme l'atteste un entrefilet du ''Courrier du Nord'' du 26 février : « Un romancier d'une célébrité toute spéciale, M. Émile Zola, a passé la journée du dimanche dans notre ville. [...] Il était descendu à l'Hôtel du Commerce avec Mme Zola »<ref>''Le Courrier du Nord'', 26 février 1884, cité par Marel, ''op. cit.'', p. 8.</ref>. Il rentre à Paris le 3 mars au plus tard, comme l'indique sa correspondance ; le 26 février, il avait écrit à son ami Henry Céard depuis Valenciennes : « À Valenciennes depuis samedi au milieu des grévistes, qui sont fort calmes d'ailleurs. Pays superbe pour le cadre de mon bouquin »<ref>Lettre de Zola à Céard, 26 février 1884, ''Correspondance'', éd. B. H. Bakker et alii, Presses de l'Université de Montréal/CNRS, 1985, t. V.</ref>. Le séjour aura donc duré une dizaine de jours seulement, ce qui est extraordinairement bref si l'on songe au volume des notes recueillies (plus de cent feuillets, comme nous le verrons à la section 7). Zola lui-même en a tiré une fierté de méthode : « Ma méthode consiste à passer dans un pays rapidement pour en emporter une impression intense »<ref>Cité par Marel, ''op. cit.''</ref>. Cette concentration des observations sur quelques jours constitue l'une des grandes leçons de la fabrique zolienne, où ce qui compte n'est pas la durée de l'enquête mais l'intensité de l'attention. Trois sites principaux sont visités, qu'il vaut la peine de distinguer car ils ont chacun fourni un élément différent à la topographie du roman. Le premier est Anzin et le coron de Saint-Louis, à vingt minutes de Valenciennes : c'est là que se trouve le cœur du dispositif documentaire et probablement la matrice topographique du futur Montsou (le nom fictif de la commune où se passe l'action de ''Germinal''). Le deuxième est la fosse n° 2 de la fosse Renard à Denain, à douze kilomètres de Valenciennes. Cette fosse était la plus moderne et la mieux équipée de la Compagnie d'Anzin (foncée, c'est-à-dire creusée, en 1872), et la direction l'avait choisie précisément parce qu'elle voulait montrer ses « belles galeries » à un visiteur de marque<ref>Marel, ''op. cit.'', p. 120-121.</ref>. C'est là que Zola fera la descente que nous étudierons à la section 8. Henri Marel souligne sur ce point un fait souvent mal compris : Zola n'a presque pas regardé Denain comme ville (« dans ''Mes Notes sur Anzin'', on peut dire que Denain n'existe pas ; seule la fosse Renard compte »), ce qui devrait dissuader les lecteurs trop pressés de chercher la topographie de Montsou principalement dans cette ville. Le troisième site est Bruay-Thiers, à sept kilomètres de Valenciennes : c'est là que Zola fixe le décor du futur Voreux, en notant une configuration topographique très particulière, celle du « puits dans un creux, près du canal, et des corons sur une hauteur ». La perspective et la disposition de ce site auront sans doute joué dans le choix de l'y conduire<ref>Marel, ''op. cit.'', p. 125.</ref>. S'y ajoutent la visite des hauts-fourneaux et des fours à coke (où l'on transforme le charbon en coke pour la sidérurgie) aperçus en revenant, la conversation avec un mineur appelé Laurent (source partielle du personnage de Maheu), les entretiens avec Basly et Fauviau, et, fait important pour interpréter le roman, l'observation directe d'une grève calme et pacifique, sans aucune violence. Ce point peut surprendre ceux qui ont en mémoire les scènes d'émeute de ''Germinal'' : la grève réelle d'Anzin n'a rien d'une insurrection. Zola transposera, intensifiera et concentrera ce matériau ; la grève d'Anzin de 1884 fournit donc le cadre du roman, mais ni sa chronologie ni sa dramaturgie : la grande émeute de la cinquième partie ne correspond à rien de ce que Zola a vu sur place. == Notes == {{Références|colonnes = 2}} {{Bas de page | idfaculté = littérature | précédent = [[../La première Ébauche : la lutte du Capital et du Travail/]] | suivant = [[../Mes Notes sur Anzin : la naissance du regard romanesque/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> raw4wvf5dvyzdlrma1me94slzev323e