Discussion utilisateur:RM77

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11.xsd" version="0.11" xml:lang="fr">
  <siteinfo>
    <sitename>Wikiversité</sitename>
    <dbname>frwikiversity</dbname>
    <base>https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil</base>
    <generator>MediaWiki 1.47.0-wmf.6</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">Média</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">Spécial</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">Discussion</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">Utilisateur</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">Discussion utilisateur</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">Wikiversité</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">Discussion Wikiversité</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">Fichier</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">Discussion fichier</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">MediaWiki</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">Discussion MediaWiki</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">Modèle</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">Discussion modèle</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">Aide</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">Discussion aide</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">Catégorie</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">Discussion catégorie</namespace>
      <namespace key="102" case="first-letter">Projet</namespace>
      <namespace key="103" case="first-letter">Discussion Projet</namespace>
      <namespace key="104" case="first-letter">Recherche</namespace>
      <namespace key="105" case="first-letter">Discussion Recherche</namespace>
      <namespace key="106" case="first-letter">Faculté</namespace>
      <namespace key="107" case="first-letter">Discussion Faculté</namespace>
      <namespace key="108" case="first-letter">Département</namespace>
      <namespace key="109" case="first-letter">Discussion Département</namespace>
      <namespace key="110" case="first-letter">Transwiki</namespace>
      <namespace key="111" case="first-letter">Discussion Transwiki</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">Module</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">Discussion module</namespace>
      <namespace key="1728" case="first-letter">Event</namespace>
      <namespace key="1729" case="first-letter">Event talk</namespace>
      <namespace key="2600" case="first-letter">Sujet</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>Discussion utilisateur:RM77</title>
    <ns>3</ns>
    <id>135</id>
    <revision>
      <id>983560</id>
      <parentid>976658</parentid>
      <timestamp>2026-06-15T06:00:58Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Crochet.david.bot</username>
        <id>1005</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>sur les détections lettre V</comment>
      <origin>983560</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="43677" sha1="2cceld68z8ivy8sgec28wnd4bqb7hew" xml:space="preserve">&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;'''''[[/Archives|Consultez les archives des discussions]]'''''&lt;/div&gt;
== Suppression ==
Salut RM77 !

J’ai remarqué que tu avais supprimé dans certains pages d'accueil de cour dans les pré requis des pages avec &quot;Aucun&quot; dedans.
Peux tu m'expliquer pourquoi. Personnellement je trouve que de laisser un champ en rouge n’est pas beau alors j’ai l'habitude de toujours les compléter, et j'avoue que je met souvent Aucun dans les pré requis.

--[[Utilisateur:Darkflames0|Je sais pas tout donc j'apprend]] 2 mars 2010 à 10:08 (UTC)

== Rapport Beta  ==

Salut Maître RM77 !

Je me suis récemment inscrit sur WV Beta histoire de voir ce que je pouvais y faire, et il s'avère qu’à la lumière de ce que j’ai pu y trouver : 
# On est le projet le plus avancé ;
# Ils ne le savent pas ;
# Ils nous reprochent l'isolation/le manque de compatibilité avec les autres ;
# Ils sont en train de mourir… ou presque :P

Il serait pas mal de faire un ''report'' (tu en avais déjà fait un pour les 2000 pages, passé complètement inaperçu XD) plus axé sur notre état actuel (OdE, modèles, projets, stats (contributeurs, nb de pages, d'admins…), réputation, comparaison avec messyversity :en …)

Je pourrais facilement traduire ce rapport en anglais (et peut-être en allemand) afin que nous camarades Beta-phones se rendent compte et réagissent. D'une manière plus générale, je pense qu’il ne serait pas bête de les informer de *nos* bonnes idées (ptet pas non plus un rapport par mois, on n’est pas tenu de leur rendre des comptes, mais un peu plus régulièrement qu'« une fois toutes les 2000 pages » par exemple). Ça nous donnera plus de crédit (donc… plus de moyens, plus de liberté…). Faut dire que, contrairement à WP, les :en n'ont pas une telle longueur d'avance.

Pour résumer, faire un rapport (et en faire un peu plus souvent) me semble judicieux. D'autant plus que je pourrais les traduire (au moins en anglais). Fais moi savoir si ça t'intéresse. [[Utilisateur:Sharayanan|Sharayanan]] &lt;sub&gt;([[User Talk:Sharayanan|blabla]])&lt;/sub&gt; 2 septembre 2007 à 14:05 (UTC)
:Moi j'suis d'accord avec le monsieur au nom imprononçable…
:Pour la messyversity, c’est mon œuvre ce nommage, j'attends toujours les droits d’auteurs…
:Fichtre, faudrait p'tet que j'me remette serieusement à wv, mais qu'est-ce que j’ai la flemme en vacances!!!
:[[Utilisateur:Wilimut|Wilimut]] &lt;sup&gt;[[Discussion Utilisateur:Wilimut|Discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;small&gt;&lt;sub&gt;[[Spécial:Emailuser/Wilimut|Mail]]&lt;/sub&gt;&lt;/small&gt; 3 septembre 2007 à 12:18 (UTC)

::Rhoo mais de quoi j'me mêle ! Il est tout à fait prononçable mon nom {{Smiley|sourire}} : SHA-RA-YA-NAN (avec une emphase nasale vocalisée sur le dernier « N », un « R » roulé ''softly'' et un « SH » chuinté sur le bout de la langue, avec un léger trille uvulaire XD). Sinon bah tiens pour tes royalties (une pour chaque utilisation) {{Smiley|sourire}} : 
::[[Fichier:Gumpdrop_NIH.jpg|center|thumb|Royalties pour Wilimut.]]
::[[Utilisateur:Sharayanan|Sharayanan]] &lt;sub&gt;([[User Talk:Sharayanan|blabla]])&lt;/sub&gt; 3 septembre 2007 à 14:46 (UTC)

Au fait RM77, dans ton Oveurviouye, n'oublie pas de parler de « nos difficultés mais aussi de nos succès » (dans cet ordre, ça donne toujours meilleure impression). Je pense que ce serait pas mal aussi d'ajouter plein d'exemples concrets qui égayeraient une description trop abstraite (Département, espace de nom dédié, par ex. [[Département:Analyse]]) tout en démontrant l'étendue et la diversité de nos accomplissements (je m'égare là XD ). Enfin, j'agrée totalement avec les commentaires de dcrochet en commentaires concernant les paragraphes, quoiqu'une mention de ce que les Facs, Dep et Leçons ont de particulier en elles-mêmes (ie, en dehors de leur rôle classificateur) eût été du plus bel effet : les facs présentent un domaine du savoir ('fin… y'a un bout de texte quoi), les deps introduisent un sujet particulier dans chaque domaine (avec texte/image expliquant le pourquoi du comment) et les leçons présentent (/Présentation) et donnent accès (Sommaire, /Prérequis) au matériel pédagogique proprement dit en préparant la suite (Référents, questions, annexes…). Moi je dis ça qu'en passant {{Smiley|sourire}} &lt;/influence maléfique&gt; [[Utilisateur:Sharayanan|Sharayanan]] &lt;sub&gt;([[User Talk:Sharayanan|blabla]])&lt;/sub&gt; 3 septembre 2007 à 21:00 (UTC)

== Je ne suis pas mort !  ==

Salut RM77,

Je n'ai malheureusement plus de temps à consacrer à la Wikiversité : entre les cours et les stages, mon temps est compté. Je ne pourrai donc plus me consacrer autant à ce projet que je ne l'ai fait par le passé. Je n’exclus pas de faire quelques contributions mais je n'ai plus le temps d’être aussi actif.

Cependant, je me réjouis du fait que la Wikiversité grandisse et de nombreux cours sont apparus depuis mon départ.

Bonne chance pour la suite ! {{Smiley|clin d'œil}}

[[Utilisateur:Julien1311|Julien1311]] &lt;small&gt;&lt;sup&gt;[[Discussion Utilisateur:Julien1311|discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;/small&gt; 3 septembre 2007 à 20:56 (UTC)

== Felicitations ==

Mais quelle génie aons nus là, plus serieusement felicitations, dans quelle prepa es-tu&lt;br /&gt;[[Utilisateur:Vivelefrat|Vivelefrat]] &lt;sup&gt;[[Discussion_Utilisateur:Vivelefrat|Discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;&lt;span style=&quot;margin: 0px 12px 0px -6ex;&quot;&gt;[[Spécial:Emailuser/Vivelefrat|mail]]&lt;/span&gt;&lt;/sub&gt; 5 septembre 2007 à 07:17 (UTC)

== Les problèmes arrivent…  ==

…eh oui, j’ai fait ma première contrib… Alors ca donne [[église/Glossaire d'architecture d'église|ça]]… Je sais pas comment il faut l'organiser ni rien. J’ai rangé la page dans la section Architecture pour l'instant. Enfin je sais pas ce qui est bien ou pas. Tu me diras sur irc… Merci. [[Utilisateur:Ceridwen|Ceridwen]] 6 septembre 2007 à 23:04 (UTC)

== Exercice deux  ==

Salut !

Après relecture de la preuve de Tac pour ton exercice deux, je ne suis pas sûr qu’il réponde à la question posée (montrer que le mouvement est plan) : il montre effectivement que la vitesse est inscrite dans le plan, mais conclut sur '''OM·n''' = constante, ce qui ne signifie pas grand chose (pour être exact, cela signifie exactement que '''OM''' a toujours même norme, et forme un angle constant avec '''n''', donc que le point ''M'' se déplace sur le bord d’un cône…).

Je pense même que, ''a priori'', le mouvement peut être plan sans que '''OM''' soit orthogonal au plan. En effet, le produit scalaire dépend du ''choix'' de l'origine ''O''. À prendre avec précautions, donc. [[Utilisateur:Sharayanan|Sharayanan]] &lt;sub&gt;([[User Talk:Sharayanan|blabla]])&lt;/sub&gt; 11 septembre 2007 à 18:09 (UTC)

:Infamie ! Tu salis mon nom en public ! J'attends ta conclusion publique sur le sujet … [[Utilisateur:Anthony|Anthony]] 11 septembre 2007 à 18:28 (UTC)

== Salut ==

Après la reunion publique peux tu me dire (succinctement de quoi on p parlé sur WV &lt;br /&gt;[[Utilisateur:Vivelefrat|Vivelefrat]] &lt;sup&gt;[[Discussion_Utilisateur:Vivelefrat|Discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;&lt;span style=&quot;margin: 0px 12px 0px -6ex;&quot;&gt;[[Spécial:Emailuser/Vivelefrat|mail]]&lt;/span&gt;&lt;/sub&gt; 11 septembre 2007 à 19:49 (UTC)

== Vote ==

J’ai ouvert un vote ici [[Projet:Wikiversité/Apparence des départements|ici]]&lt;br /&gt;Merci de voter&lt;br /&gt;[[Utilisateur:Vivelefrat|Vivelefrat]] &lt;sup&gt;[[Discussion_Utilisateur:Vivelefrat|Discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;&lt;span style=&quot;margin: 0px 12px 0px -6ex;&quot;&gt;[[Spécial:Emailuser/Vivelefrat|mail]]&lt;/span&gt;&lt;/sub&gt; 16 septembre 2007 à 11:44 (UTC)

== {{Abréviation|I.R.C.|Internet Relay Chat}} cloak request  ==
I am RM77 on freenode and I would like the cloak wikiversity/RM77. Thanks. --[[Utilisateur:RM77|RM77]] ⟺ &lt;small&gt;[[Discussion_Utilisateur:RM77|We talk.]]&lt;/small&gt; 16 septembre 2007 à 18:39 (UTC)

== On ne protege pas la sc  ==

Et pq pas d'ailleurs la page du  2nd tour a été protegé (d’autres personnes pourrait voter) mais bon en soi c’est pas très grave [[Utilisateur:Vivelefrat|Vivelefrat]] &lt;sup&gt;[[Discussion_Utilisateur:Vivelefrat|Discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;&lt;span style=&quot;margin: 0px 12px 0px -6ex;&quot;&gt;[[Spécial:Emailuser/Vivelefrat|mail]]&lt;/span&gt;&lt;/sub&gt; 19 septembre 2007 à 18:48 (UTC)
:oui car il n'y a pas que les sysops qui doivent avoir le droit de change le pastel, et puis pq l'audiovisuel, ce n’est pas une fac importante (je comprendrais les maths mais là)[[Utilisateur:Vivelefrat|Vivelefrat]] &lt;sup&gt;[[Discussion_Utilisateur:Vivelefrat|Discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;&lt;span style=&quot;margin: 0px 12px 0px -6ex;&quot;&gt;[[Spécial:Emailuser/Vivelefrat|mail]]&lt;/span&gt;&lt;/sub&gt; 23 septembre 2007 à 12:26 (UTC)

== Spécialiste ==
Je ne vois pas de boîte utilisateur indiquant que tu es spécialiste en vol de mouches en carré, est-ce normal ? {{Smiley|sourire}} [[Utilisateur:Grimlock|Grimlock]] 26 septembre 2007 à 13:31 (UTC)

== Pstttttttt ==

Juste pour te rappeler qu’il faut arreter le vote de [[Wikiversité:Administrateur/Candidature]], le &quot;candidat&quot; s'est retiré : j'aurais pu le faire mais cela pourrait raler et sinon on le supprime ou on le garde {{Smiley|clin d'œil}} [[Utilisateur:Vivelefrat|Vivelefrat]] &lt;sup&gt;[[Discussion_Utilisateur:Vivelefrat|Discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;&lt;span style=&quot;margin: 0px 12px 0px -6ex;&quot;&gt;[[Spécial:Emailuser/Vivelefrat|mail]]&lt;/span&gt;&lt;/sub&gt; 7 octobre 2007 à 11:57 (UTC)

== {{Abréviation|MPSI|mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur}}  ==

En ouais il y en a d’autre en {{Abréviation|MPSI|mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur}}.

== La wikibanque est fermée  ==

Comme tu était un utilisateur de la wikibanque je te signale qu la wikibanque est fermée &lt;br /&gt;Bien a toi &lt;br /&gt;[[Utilisateur:Vivelefrat|Vivelefrat]] &lt;sup&gt;[[Discussion_Utilisateur:Vivelefrat|Discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;&lt;span style=&quot;margin: 0px 12px 0px -6ex;&quot;&gt;[[Spécial:Emailuser/Vivelefrat|mail]]&lt;/span&gt;&lt;/sub&gt; 8 novembre 2007 à 16:54 (UTC)

== Accueil ==

Merci pour l'accueil. Je vais essayer de bosser un peu sur la thermo et la thermique. [[Utilisateur:Ludo29|Ludo29]] 11 novembre 2007 à 09:45 (UTC)
: Tu pourrais jeter un œil sur ça : [[Transferts thermiques/Équation de la chaleur]] sur le fond et la forme. Je vais essayer d'ajout un schéma, mais dis moi si je dois être plus explicite. [[Utilisateur:Ludo29|Ludo29]] 11 novembre 2007 à 13:12 (UTC)

== Licence de Blender  ==

Salut, j’ai vu que tu avais modifié (ça date un peu) l’introduction du cours sur Blender. [[Spécial:Diff/75867]]
Par contre, il me semble que tu t'es trompé, Blender est sous licence {{Abréviation|GNU|GNU is not unix|en}}/GPL à ma connaissance, non ? 
Bonne journée. [[Utilisateur:Netantho|Netantho]]

== Aujourd’hui est un grand jour  ==

[[Fichier:Nuvola apps cookie.svg|200px|right|thumb|Bon anniversaire mon grand]]
Bon anniversaire à toi RM77 ! {{Smiley|sourire}} [[Utilisateur:Karl1263|Karl1263]] &lt;small&gt;&lt;sup&gt;[[Discussion Utilisateur:Karl1263|discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;/small&gt; 25 novembre 2007 à 12:59 (UTC)
:JOYEUX ANNIVERSAIRE, JOYEUX ANNIVERSAIRE, JOAIEUX ANIVERSAIRE RM77, quoi que j'arrete de chanter ? Bon d'accord, d'bord c’est pas vrai que je chante mal {{Smiley|clin d'œil}} [[Utilisateur:Vivelefrat|Vivelefrat]] &lt;sup&gt;[[Discussion_Utilisateur:Vivelefrat|Discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;&lt;span style=&quot;margin: 0px 12px 0px -6ex;&quot;&gt;[[Spécial:Emailuser/Vivelefrat|mail]]&lt;/span&gt;&lt;/sub&gt; 25 novembre 2007 à 15:17 (UTC)
::Ouaaais ''Happy beurzday to youuu''. J'espère que ton entrée en {{abréviation|CE1|cours élémentaire première année}} se fera sans difficultés ! Joyeux {{unité|1|an}} (''cf.'' dessin du gâteau). [[Utilisateur:Sharayanan|Sharayanan]] &lt;sub&gt;([[User Talk:Sharayanan|blabla]])&lt;/sub&gt; 2http://fr.wikiversity.org/wiki/Special:Random
Une page au hasardhttp://fr.wikiversity.org/wiki/Special:Random
Une page au hasardhttp://fr.wikiversity.org/wiki/Special:Random
Une page au hasardhttp://fr.wikiversity.org/wiki/Special:Random
Une page au hasard5 novembre 2007 à 15:51 (UTC)
:::D'abord on entre pas en {{abréviation|CM1|cours moyen première année}} à un an ! XD [[Utilisateur:Karl1263|Karl1263]] &lt;small&gt;&lt;sup&gt;[[Discussion Utilisateur:Karl1263|discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;/small&gt; 25 novembre 2007 à 16:53 (UTC)
::::C'est « {{abréviation|CE1|cours élémentaire première année}} » !!! Oui, c’est un peu en avance, il n’est qu'en CP (classe préparatoire…) ! [[Utilisateur:Sharayanan|Sharayanan]] &lt;sub&gt;([[User Talk:Sharayanan|blabla]])&lt;/sub&gt; 25 novembre 2007 à 17:28 (UTC)
Merci à tous {{Smiley|sourire}} &lt;small&gt;PS : Sharayanan, je suis en Maternelle Supérieure {{Smiley|clin d'œil|14}}&lt;/small&gt; [[Utilisateur:RM77|RM77]] ⟺ &lt;small&gt;[[Discussion_Utilisateur:RM77|We talk.]]&lt;/small&gt; 25 novembre 2007 à 19:16 (UTC)
:Désolé pour le retard, mais avant ton départ (t'es sûr que tu peux pas rester ? {{Smiley|clin d'œil}}) je voulais te dire: Joyeux annif!!!!!!!!!!!! (&lt;small&gt;T'es plus jeune que moi!!!!!!!!!!{{Smiley|cool}}&lt;/small&gt;)[[Utilisateur:Rayman3640|Rayman3640]] &lt;sup&gt;([[User Talk:Rayman3640|blabla]])&lt;/sup&gt; 26 novembre 2007 à 19:06 (UTC)

== snif ==

Mêmesi je comprends que tu veux te concentrer sur ton taff, pq dire que tu es inutile c’est pas vrai [[Utilisateur:Vivelefrat|Vivelefrat]] &lt;sup&gt;[[Discussion_Utilisateur:Vivelefrat|Discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;&lt;span style=&quot;margin: 0px 12px 0px -6ex;&quot;&gt;[[Spécial:Emailuser/Vivelefrat|mail]]&lt;/span&gt;&lt;/sub&gt; 26 novembre 2007 à 19:36 (UTC)
:Oh carrément… [[Utilisateur:Karl1263|Karl1263]] &lt;small&gt;&lt;sup&gt;[[Discussion Utilisateur:Karl1263|discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;/small&gt; 26 novembre 2007 à 19:47 (UTC)
::J'vais revenir, vous en faites pas… [[Utilisateur:RM77|RM77]] ⟺ &lt;small&gt;[[Discussion_Utilisateur:RM77|We talk.]]&lt;/small&gt; 26 novembre 2007 à 20:15 (UTC)
:::{{Smiley|sourire}} [[Utilisateur:Karl1263|Karl1263]] &lt;small&gt;&lt;sup&gt;[[Discussion Utilisateur:Karl1263|discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;/small&gt; 26 novembre 2007 à 20:32 (UTC)
::::Courte la pause ! XD [[Utilisateur:Karl1263|Karl1263]] &lt;small&gt;&lt;sup&gt;[[Discussion Utilisateur:Karl1263|discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;/small&gt; 28 novembre 2007 à 21:06 (UTC)
:::::Mais suffisante. [[Utilisateur:RM77|RM77]] ⟺ &lt;small&gt;[[Discussion_Utilisateur:RM77|We talk.]]&lt;/small&gt; 28 novembre 2007 à 21:07 (UTC)

== Quelques modifs temporaires  ==

Salut !

Je suis (encore) en train de bidouiller une proposition pour remplacer les boîtes du genre {{m|Théorème}} ([[Utilisateur:Sharayanan/Bidouille#Théorème… Épisode_3|par ici]]), qui utilise comme tu peux le voir un dégradé. J’ai, temporairement, utilisé une image pour cela. Mais il est évident qu'en faire une pour chaque couleur serait à la fois pénible et intenable. Je suis donc parti en quête d’un code CSS pouvant dessiner des dégradés, et ai trouvé [http://slayeroffice.com/code/gradient/ ceci] qui semble pouvoir être intégré à Common.js et Common.css — permettant alors de dessiner autant de boîtes de ce style sans nécessiter d'images.

Je te laisse le soin de voir la faisabilité (technique, juridique…) et d'évaluer l'utilité d’une telle mesure, et t'invites à me donner ta réponse, fut-elle négative, dès que possible.

Cordialement, [[Utilisateur:Sharayanan|Sharayanan]] &lt;sub&gt;([[User Talk:Sharayanan|blabla]])&lt;/sub&gt; 12 décembre 2007 à 17:14 (UTC)

== Vote nouvelle page d'accueil  ==

Salut RM77 et bonne année. Un vote a été crée afin d’établir une nouvelle page d'accueil. Ton [[Projet:Wikiversité/Accueil#Vote|avis]] serait le bienvenue. {{Smiley|sourire}} [[Utilisateur:Karl1263|Karl1263]] &lt;small&gt;&lt;sup&gt;[[Discussion Utilisateur:Karl1263|discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;/small&gt; 4 janvier 2008 à 16:53 (UTC)

== Yatta !  ==

Je ne suis que de passage ! J’ai énormément de travail cette année donc il va m'être difficile de beaucoup contribuer.

Au fait, j’ai vu sur ta page utilisateur que tu essaie de répertorier les leçons qui pourraient être des leçons de qualité ou des bonnes leçons. Si le projet se concrétise, n’hesite pas à me contacter par mail, je relierai les leçons en question si elles correspondent à mes domaines de compétence.

Voilà,
A +

[[Utilisateur:Julien1311|Julien1311]] &lt;small&gt;&lt;sup&gt;[[Discussion Utilisateur:Julien1311|discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;/small&gt; 29 janvier 2008 à 19:54 (UTC)

== Les anneaux, c’est beau  ==

Salut !
Un des exos sur les anneaux (mon [[Utilisateur:RM77/Exos#Correction exo2|exo fétiche]]), mérite je pense d’être classé de niveau 14 parce qu’il utilise des notions qui, me semble-t-il, ne sont pas vues en Sup… À toi de voir suivant la correction ! [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] 4 février 2008 à 12:40 (UTC)
:Principalement, ce sont des exos de kholle que des gens de ma classe (ou moi {{Smiley|mdr}}) ont eu. Donc niveau 14 peut être, en attendant c’était pas toujours facile {{Smiley|sourire}} [[Utilisateur:RM77|RM77]] ⟺ &lt;small&gt;[[Discussion_Utilisateur:RM77|We talk.]]&lt;/small&gt; 4 février 2008 à 17:02 (UTC)

== Merci ==

Merci beaucoup et je t'excuse pour ce jour de retard {{Smiley|clin d'œil}}. [[Utilisateur:Julien1311|Julien1311]] &lt;small&gt;&lt;sup&gt;[[Discussion Utilisateur:Julien1311|discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;/small&gt; 7 février 2008 à 20:38 (UTC)

== Exos d'analyse  ==

Salut RM77 !

Je viens de créer un cours d'analyse de niveau 13 sur les fonctions à une variable réelle, ainsi que quelques pages d'exos d'analyse pour aller avec. Je venais te proposer d'y apposer quelques exos de [[Utilisateur:RM77/Exos|ta page à exos]] à l’occasion. Voilà ! [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] 24 février 2008 à 17:59 (UTC)

== Mapeul ==

Salut ! Je voulais juste te demander quelques explications de détail concernant les codes Maple que tu as écrit : pourquoi « &lt;code&gt;restart&lt;/code&gt; » ? pourquoi mettre systématiquement deux points (&lt;code&gt;:&lt;/code&gt;) à la fin des lignes, sachant que ça ne change rien par rapport aux point-virgules (&lt;code&gt;;&lt;/code&gt;) dans une procédure ? Pourquoi demander une évaluation numérique (&lt;code&gt;evalf&lt;/code&gt;) de manière presque systématique ? Rien de très fondamental, mais si je me les pose, je ne suis peut-être pas le seul… Merci de tes réponses {{Smiley|sourire}} [[Utilisateur:Sharayanan|Sharayanan]] &lt;sub&gt;([[User Talk:Sharayanan|blabla]])&lt;/sub&gt; 25 février 2008 à 17:21 (UTC)
:Je réponds ici, une fois n’est pas coutume.
:Les &lt;code&gt;restart&lt;/code&gt; sont pratiques : ils réinitialisent les variables, ce qui permet dans une feuille de calcul déjà utilisée de pouvoir réutiliser les mêmes noms de variables.
:Les &lt;code&gt;:&lt;/code&gt; sont une commodité que je dois être un des seuls à utiliser. En fait, ils permettent de ne pas afficher le résultat d’un calcul, d’une assignation, etc. En gros, comme moi ce qui m'intéresse c’est seulement le résultat, je désactive l’affichage des autres résultats intermédiaires.
:Les &lt;code&gt;evalf&lt;/code&gt; me font royalement chier, mais en général c’est le seul moyen d’éviter les erreurs de booléen lors des tests. Donc j'en mets, parfois trop, mais en général c’est justifié.
:Voilà chef, et merci de l’intérêt que tu portes à mes bouts de codes {{Smiley|sourire}} [[Utilisateur:RM77|RM77]] ⟺ &lt;small&gt;[[Discussion_Utilisateur:RM77|We talk.]]&lt;/small&gt; 25 février 2008 à 18:05 (UTC)
::Merci pour ces éclaircissements ! Je connaissais l'usage des deux-points &amp; du &lt;code&gt;restart&lt;/code&gt;, ma question portait essentiellement sur « pourquoi les utilises-tu là ici ? ». Bien vu pour l'&lt;code&gt;evalf&lt;/code&gt; ! Merci pour tes bouts de code qui portent mon intérêt {{Smiley|sourire}} [[Utilisateur:Sharayanan|Sharayanan]] &lt;sub&gt;([[User Talk:Sharayanan|blabla]])&lt;/sub&gt; 25 février 2008 à 18:08 (UTC)

== Bonjour ==
I thank for your invitation however I cannot make many here. --[[Utilisateur:Consta|Consta]] 26 février 2008 à 17:01 (UTC)

== bug des boites d’utilisateurs  ==

Je sais pas si tu as vu, mais des boites utilisateurs se sont mis à bugger depuis quelques temps (boite contribution sur autres projets, boite diplôme et boite sur wikiversity depuis tant de temps). (il semblerait que mediawiki aurait changer, comme me l'as demandé quelqu’un pour faire [http://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=MediaWiki:Sp-contributions-footer&amp;diff=prev&amp;oldid=114096 cette modification]). j’ai eu beau recopier le texte de la boite depuis wikipédia, mais cela ne marche pas ici. T'as une idée ? [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 28 février 2008 à 18:20 (UTC)

== Autre bug amusant (?)  ==

Salut !

Je  viens signaler des liens automatiques foireux vers la wikiversité grecque. Ces liens apparaissent sur les pages utilisateurs utilisant les modèles {{m|Utilisateur Faculté/Informatique}}, {{m|Utilisateur Faculté/Physique}}, {{m|Utilisateur Faculté/Mathématiques}} et sûrement d’autres que je n'ai pas vus. Ces liens pointent à la wikiversité grecque vers les modèles de boîtes utilisateurs correspondants. Il suffit d'aller consulter [[:Catégorie:Utilisateur Physique]] ou encore [[Utilisateur:Xzapro4]] (entre autres {{Smiley|sourire}}) pour s'en convaincre. Voilààà (et non je ne sais pas régler le problème). [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] 29 février 2008 à 17:38 (UTC)

P.S. Si t’as une minute, pourrais-tu aussi importer la boîte de langue is-1 ? Merciiii. [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]]
{{fait}}, il faut fermer la balise &lt;nowiki&gt;&lt;noinclude&gt;&lt;/nowiki&gt; [[Utilisateur:Vivelefrat|Vivelefrat]] &lt;sup&gt;[[Discussion_Utilisateur:Vivelefrat|Discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;&lt;span style=&quot;margin: 0px 12px 0px -6ex;&quot;&gt;[[Spécial:Emailuser/Vivelefrat|mail]]&lt;/span&gt;&lt;/sub&gt; 29 février 2008 à 17:51 (UTC)
:/me se fait piquer son taf, maintenant {{triste}} [[Utilisateur:RM77|RM77]] ⟺ &lt;small&gt;[[Discussion_Utilisateur:RM77|We talk.]]&lt;/small&gt; 29 février 2008 à 18:23 (UTC)

== fonds patrimoniaux  ==

Bonjour RM77

Pour initier et convertir mes étudiants aux joies du wiki, tout en enrichissant la documentation collective, j’ai eu l’idée de créer le cours [[Les fonds patrimoniaux des bibliothèques publiques]]. Je les laisse intervenir dessus par eux-même dans un premier temps tout en leur donnant des indications, je prévois dans un second temps, après la fin de l'année, d'y mettre un peu d'ordre. Je n'étais pas sûr d’être vraiment dans l'esprit Wikimedia, mais je n'ai rien trouvé à ce sujet dans &quot;ce que wikiversity n’est pas&quot;. As-tu des conseils à me donner ?--[[Utilisateur:Pgandil|Pgandil]] 15 mars 2008 à 10:13 (UTC)
:Wikiversité est là pour diffuser la connaissance par le biais de cours, tout comme cela se fait dans une école. Elle permet aussi d'effecteur de la recherche primaire et secondaire. Votre thème d'étude rentre sans problème dans une démarche orientée recherche. Donc nous vous laissons gérer cette pages ainsi que celles sur lesquelles vos étudiants travaillent, et comme vous l'avez si bien annoncé, au bon moment retravailler les pages pour l'adapter à la « charte graphique » de la wikiversité. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 22 mars 2008 à 19:58 (UTC)

== Usurp account  ==

I would like you to rename the account [[Utilisateur:ABCD]] so that I can usurp it (for the global login).  I am an administrator on the English Wikipedia (see [[w:en:User:ABCD]]). (I can vérify my identity, if needed; Please reply on [[w:en:User talk:ABCD]]).  I asked [[Utilisateur:Julien1311]], but he (she?) does not seem to have been active since mid-March. [[Spécial:Contributions/71.171.103.41|71.171.103.41]] 6 avril 2008 à 04:46 (UTC)
:{{fait}} {{Smiley|sourire}} [[Utilisateur:RM77|RM77]] ⟺ &lt;small&gt;[[Discussion_Utilisateur:RM77|We talk.]]&lt;/small&gt; 6 avril 2008 à 14:00 (UTC)
::Thanks [[Utilisateur:ABCD|ABCD]] 6 avril 2008 à 17:29 (UTC)

== boulette ==

réponse par email[[Utilisateur:Auseklis|Auseklis]] 8 avril 2008 à 19:43 (UTC)
:Réponse envoyée. {{Smiley|sourire}} [[Utilisateur:RM77|RM77]] ⟺ &lt;small&gt;[[Discussion_Utilisateur:RM77|We talk.]]&lt;/small&gt; 8 avril 2008 à 19:51 (UTC)

== Importation de modèles  ==

Comme tu m'as expliqué qu’il fallait que les bibliothécaires transfèrent les modèles depuis les autres projets wiki au lieu que je m'amuse à les copier (pour éviter les copyvio), je viens te demander si ce serait possible de transférer les modèles de dates depuis wikipédia.[[:w:Catégorie:Modèle de date]] Il y en a beaucoup et je n'ai besoin que du XIIIe siècle pour l'instant mais ça serait un peu bête si on ne les avait pas tous. D'avance merci, [[Utilisateur:Auseklis|Auseklis]] 11 avril 2008 à 19:25 (UTC)

== Langues sur WV  ==

Salut !

Des discussions sont en cours sur :
* l’[[Projet:Langues étrangères/Organisation des cours de langue|organisation des cours de langue]]
* l’[[Projet:Langues étrangères/Organisation des facultés de langue|organisation des facultés de langue]]

Ton avis serait le bienvenu {{Smiley|sourire}}. [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] 17 avril 2008 à 16:33 (UTC)

== Les cons courrent  ==

Salut ! &lt;small&gt;stop.&lt;/small&gt; Suis pas mort. &lt;small&gt;stop.&lt;/small&gt; Ai survécu à &lt;s&gt;5&lt;/s&gt; &lt;u&gt;6&lt;/u&gt; semaines de concours. &lt;small&gt;stop.&lt;/small&gt; Le sujet d'ENS était pompé de M' 1990, c’est une honte. &lt;small&gt;stop.&lt;/small&gt; La chimie de l'X était infaisable. &lt;small&gt;stop.&lt;/small&gt; Le reste : du gateau. &lt;small&gt;stop.&lt;/small&gt; J'espère que ça se passera tout aussi bien pour toi (p'tites mines ?), qui sait. &lt;small&gt;stop fin.&lt;/small&gt; {{Smiley|mdr}} [[Utilisateur:Sharayanan|Sharayanan]] &lt;sub&gt;([[User Talk:Sharayanan|blabla]])&lt;/sub&gt; 31 mai 2008 à 14:01 (UTC)

== Bot username rename  ==

Hi, I'd like my bot [[Utilisateur:Ordinateur]] to be renamed to [[Utilisateur:タチコマ robot]]. This rename request is per my wikimedia wide bot username rename. I have decided to have a single username to more efficiently use SUL. Thanks.
* If this is not the right place to make this request, please move it to the right place.

--&lt;small&gt; [[Utilisateur:White Cat|Cat]]&lt;/small&gt; &lt;sup&gt;[[Discussion utilisateur:White Cat|chi?]]&lt;/sup&gt; 13 août 2008 à 09:06 (UTC)

== Flatulence toi-même, eh ! {{Smiley|sourire}}  ==

Salut ! Bah moi-même j’ai pas eu tellement le loisir de trop contribuer — jusqu'à très récemment — pour causes évidentes. Les concours étaient… euh… bah des concours quoi. Les résultats définitifs tardent un peu (j'en saurai plus début septembre), même si c’est plutôt bien parti. Bon courage à toi pour cette nouvelle année ou tu apprendras tout plein de bonnes choses bien nourrissantes ! [[Utilisateur:Sharayanan|Sharayanan]] &lt;sub&gt;([[User Talk:Sharayanan|blabla]])&lt;/sub&gt; 28 août 2008 à 23:18 (UTC)

== Reponse a une demande d'aide a la redaction  ==

Cher RM77, j’ai lu ton dernier message sur la salle cafe comme quoi tu aurais besoin de quelqu’un pour mettre en forme les cours que tu redigeras. Je serai absolument ravi de pouvoir t'aider dans ce domaine. Les maths et la physique sont ma passion. En ce moment j'étudies dans une universite anglo-saxonne donc tout est en anglais. Organiser tes cours me permettront a la fois de m'habituer au vocabulaire mathématique français (je ferai probablement des echanges universitaire avec la France), d'exercer ma comprehension totale des notions mathématiques fondamentales et d'exercer l'efficacite de ma communication dans le domaine mathématique, le but étant d'arriver à faire comprendre ton cours au plus grand nombre de personnes possible tout en restant le plus clair et le plus concis possible. (voir ma remarque sur [[Discussion Faculté:Mathématiques#Qu.27est-ce_qu.27un_cours_.3F_qu.27est-ce_qu.27une_fiche_.3F_qu.27est-ce_qu.27un_exercice_.3F|la page de discussion de la faculte de mathématiques]], l'avant-dernier message) quand je dis le maximum de texte ; je veux dire par la le maximum d'explications. Je ne vais pas remplacer les symboles mathématiques par leur signification litterale. Cela aurait l'air ridicule et nuierait a la clarite du cours…

Parallèlement, j'imagines, par exemple, que ton cours [[Utilisateur:RM77/Cours_de_spé/Algèbre_générale|d'algebre generale]] correspond plus a ce que j'appelerai une fiche plutôt qu'un cours… auquel cas, je ne la transformerai pas en quelque chose contenant une explication a la moindre affirmation. Je me contenterai de presenter les grandes definitions et la liste de leurs proprietes à retenir… Je te demanderai probablement de preciser la forme que tu as l'intention de donner a chacun de tes cours.

Est-ce que mon point de vue sur la question correspond au tiens ? 

PS: Je suis bientôt en periode d'examens donc je serai pleinement disponible seulement à partir de la mi-novembre…&lt;br /&gt;
PSII: Je ne suis pas sur mon ordinateur personnel ; sans cela, il n'y aurait pas de problemes d'accents.

[[Utilisateur:Xavier|Xavier]]&lt;small&gt;&lt;sup&gt;[[Discussion Utilisateur:Xavier| discuss]]&lt;/sup&gt;&lt;/small&gt; 9 octobre 2008 à 04:41 (UTC)

== Nombre complexe  ==

Bonjour,

je t'invite à la discussion sur [[Discussion:Nombre complexe]], et en particulier sur la pertinence d'insérer un [[Utilisateur:Cdang/Nombre complexe|nouveau chapitre]] au début.

[[Utilisateur:Cdang|Cdang]] 7 janvier 2009 à 15:55 (UTC)
== Protection ==
T'es sur de la protection de Modèle:Idfaculté/couleur/recherche j’ai tjs été contre les protections de couleurs de fac et je vois pad d'ailleurs pourquoi il n'y a qu'elle de protegé le cas échéant :) [[Utilisateur:Vivelefrat|Vivelefrat]] &lt;sup&gt;[[Discussion_Utilisateur:Vivelefrat|Discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;&lt;span style=&quot;margin: 0px 12px 0px -6ex;&quot;&gt;[[Spécial:Emailuser/Vivelefrat|mail]]&lt;/span&gt;&lt;/sub&gt; 24 janvier 2009 à 15:23 (UTC)

== Cours de PSI  ==

Salut,

J’ai été élevé en MP*, donc quand je rendrai le cours présentable dans l'espace principal, je m'assurerai au passage de tout faire nickel chrome MP {{Smiley|sourire}}

(Je me bats déjà pour rendre les cours de lycée les plus impeccable possible tout en les laissant bien à la portée des élèves du même niveau, c’est pas pour bâcler les trucs vraiment difficiles ^^)

[[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] &lt;sub&gt;[[Discussion Utilisateur:Xzapro4|discuter]]&lt;/sub&gt; 1 mars 2009 à 16:34 (UTC)

== Formules de Taylor  ==

Yo, j’ai recopié un DM de maths de première sur la formule de Taylor [[Fonction dérivée/Exercices/Formule de Taylor]] et j’ai vu après que tu avais crée [[Formules de Taylor]]. Je la change de leçon (sachant que ce n’est quand même pas du niveau 13) ou on la laisse la bas (en + je ne sais pas quelle est la formule : Taylor-Lagrange ou Taylor-Young&lt;br /&gt;++ --[[Utilisateur:Vivelefrat|Vivelefrat]] &lt;sup&gt;[[Discussion_Utilisateur:Vivelefrat|Discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;&lt;span style=&quot;margin: 0px 12px 0px -6ex;&quot;&gt;[[Spécial:Emailuser/Vivelefrat|mail]]&lt;/span&gt;&lt;/sub&gt; 10 mars 2009 à 18:56 (UTC)

== Modèle:traductions ==

Bonjour, il semblerait qu’il y ait un bug sur le modèle &quot;traductions&quot; qui a été verrouillé par vous. En effet, si l’on n'applique qu'une seule ligne au tableau, une deuxième ligne apparait avec les valeurs {{{3}}} et {{{4}}}:
{|
|width=50%|{{traductions
| langue1=fr
| Ceci est…
| …un exemple.
}}

Est-ce que je peux me permettre de le modifier pour que cela n'apparaisse plus ? 

[[Utilisateur:Argamea|Argamea]]&lt;sup&gt;&lt;small&gt;[[Discussion Utilisateur:Argamea|Blabla]]&lt;/small&gt;&lt;/sup&gt; 2 septembre 2009 à 12:29 (UTC)
:C'est la dure loi de la jungle : qui tombe entre dans la caverne des serpents mangeurs d'hommes ne peut espérer qu’il vont attendre l'ours pour commencer le festin &lt;small&gt;Comment ça je craque ?&lt;/small&gt; [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] &lt;sub&gt;[[Discussion Utilisateur:Xzapro4|discuter]]&lt;/sub&gt; 2 septembre 2009 à 14:42 (UTC)

== Woaw ==
Bravo RM, tu as passé plus de 1000 jours sur la Wikiversité ! {{Smiley|sourire}} [[Utilisateur:RM77|RM77]] ⟺ &lt;small&gt;[[Discussion_Utilisateur:RM77|We talk.]]&lt;/small&gt; 3 septembre 2009 à 10:45 (UTC)
:&lt;small&gt;Cette tentative d'autocomplimentation n’est qu'un leurre pour me remotiver à faire/recopier des cours. J'entre en école d'ingénieurs au plus tard le 14 septembre, j'aurai donc pleinement le temps de me consacrer à cette activité.&lt;/small&gt;

== Homogénéité ==

Bonjour,

je suis tombé sur ta page [[Utilisateur:RM77/Cours de spé/Homogénéité]]. Je tenais à te signaler un projet connexe : [[Méthodologie en sciences calculatoires/Formulaires, calculatrices et brouillon#Vérifier la cohérence des résultats]].

A+

[[Utilisateur:Cdang|Cdang]] 18 novembre 2009 à 16:00 (UTC)

== Demande de modification de compte  ==

Bonjour RM77 ! Je suis nouveau contributeur sur la Wikiversité (domaines histologie/embryologie/informatique) et j’ai soumis une demande de renommage de compte, il y a quelques jours déjà. Je voulais donc te soumettre ma demande dans ta page de discussion, bien que je sois gêné de faire ainsi.
&lt;br /&gt;Voilà, j’espère que tu liras mon message, merci beaucoup !
: Merci pour la modification ! :)
~Hadrien Diako

== Élection de {{u|JackPotte}} au statut de bibliothécaire  ==

Salut,

Peux-tu, suite au vote [[Wikiversité:Bibliothécaire/Candidature/JackPotte2|qui s'est tenu ici]] donner le statut de bibliothécaire à JackPotte ? 

Merci. [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] &lt;sub&gt;[[Discussion Utilisateur:Xzapro4|discuter]]&lt;/sub&gt; 30 mai 2010 à 07:57 (UTC)

== Merci pour votre aide  ==

Bonjour RM77, il reste la protection de la page de la candidature ; [[Wikiversité:Bureaucrate/Candidature/Crochet.david]]. Cordialement. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 19 août 2011 à 05:05 (UTC)

== [[m:Special:MyLanguage/Single User Login finalisation announcement|Forced user renames coming soon for SUL]]  ==

&lt;div class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Hi, sorry for writing in English. I'm writing to ask you, as a bureaucrat of this wiki, to [//meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-Single+User+Login+finalisation+announcement%2FPersonal+announcement&amp;filter=&amp;action=page translate and review the notification] that will be sent to all users, also on this wiki, who will be forced to change their user name on May 27 and will probably need your help with renames.
You may also want to help with the pages [[m:Rename practices]] and [[m:Global rename policy]].
Thank you, [[m:User:Nemo_bis|Nemo]] 3 mai 2013 à 13:25 (UTC)
&lt;/div&gt;
&lt;!-- EdwardsBot 0441 --&gt;

== An important message about renaming users  ==

&lt;div class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Dear RM77,
''My aplogies for writing in English. Please translate or have this translated for you if it will help.''
I am cross-posting this message to many places to make sure everyone who is a Wikimedia Foundation project bureaucrat receives a copy. If you are a bureaucrat on more than one wiki, you will receive this message on each wiki where you are a bureaucrat.

As you may have seen, work to perform the Wikimedia cluster-wide [[mw:SUL finalisation|single-user login finalisation]] (SUL finalisation) is taking place. This may potentially effect your work as a local bureaucrat, so please read this message carefully.

Why is this happening? As currently stated at [[m:Global rename policy|the global rename policy]], a global account is a name linked to a single user across all Wikimedia wikis, with local accounts unified into a global collection. Previously, the only way to rename a unified user was to individually rename every local account. This was an extremely difficult and time-consuming task, both for stewards and for the users who had to initiate discussions with local bureaucrats (who perform local renames to date) on every wiki with available bureaucrats. The process took a very long time, since it's difficult to coordinate crosswiki renames among the projects and bureaucrats involved in individual projects. 

The SUL finalisation will be taking place in stages, and one of the first stages will be to turn off Special:RenameUser locally. This needs to be done as soon as possible, on advice and input from Stewards and engineers for the project, so that no more accounts that are unified globally are broken by a local rename to usurp the global account name. Once this is done, the process of global name unification can begin. The date that has been chosen to turn off local renaming and shift over to entirely global renaming is 15 September 2014, or three weeks time from now. In place of local renames is a new tool, hosted on Meta, that allows for global renames on all wikis where the name is not registered will be deployed. 

Your help is greatly needed during this process and going forward in the future if, as a bureaucrat, renaming users is something that you do or have an interest in participating in. The Wikimedia Stewards have set up, and are in charge of, a new community usergroup on Meta in order to share knowledge and work together on renaming accounts globally, called [[m:Global renamers|Global renamers]]. Stewards are in the process of creating documentation to help global renamers to get used to and learn more about global accounts and tools and Meta in general as well as the application format. As transparency is a valuable thing in our movement, the Stewards would like to have at least a brief public application period. If you are an experienced renamer as a local bureaucrat, the process of becoming a part of this group could take as little as 24 hours to complete. You, as a bureaucrat, should be able to apply for the global renamer right on Meta by the [[m:SRGP|requests for global permissions]] page on 1 September, a week from now.

In the meantime please update your local page where users request renames to reflect this move to global renaming, and if there is a rename request and the user has edited more than one wiki with the name, please send them to [[:m:SRUC|the request page for a global rename]].

Stewards greatly appreciate the trust local communities have in you and want to make this transition as easy as possible so that the two groups can start working together to ensure everyone has a unique login identity across Wikimedia projects. Completing this project will allow for long-desired universal tools like a global watchlist, global notifications and many, many more features to make work easier.

If you have any questions, comments or concerns about the SUL finalisation, read over the [[m:SUL|Help:Unified login]] page on Meta and leave a note on the talk page there, or on the talk page for [[m:Talk:Global renamers|global renamers]]. You can also contact me on [[m:User talk:Keegan (WMF)|my talk page on meta]] if you would like. I'm working as a bridge between Wikimedia Foundation Engineering and Product Development, Wikimedia Stewards, and you to assure that SUL finalisation goes as smoothly as possible; this is a community-driven process and I encourage you to work with the Stewards for our communities.

Thank you for your time.
-- [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] [[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]] 25 août 2014 à 18:24 (UTC)

&lt;small&gt;--This message was sent using [[m:MassMessage|MassMessage]]. Was there an error? [[m:Talk:MassMessage|Report it!]]&lt;/small&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Keegan (WMF)@metawiki en utilisant la liste à http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Keegan_(WMF)/MassMessage/Crats&amp;oldid=9637985 --&gt;

== Votre statut d'administrateur et de bureaucrate sur French Wikiversity ==
Bonjour. Une [[:m:Admin activity review|règle]] concernant le retrait des &quot;droits spéciaux&quot; (administrateur, bureaucrate, etc) a été adoptée avec le [[:m:Requests for comment/Activity levels of advanced administrative rights holders|consensus de la communauté]] en 2013. En accord avec cette règle, les stewards vérifient l'activité de ces utilisateurs sur les wikis ne possédant pas leurs propres règles.

Vous vérifiez les critères d'inactivité (pas de modification ni d'action administrative pendant {{unité|2|ans}}) sur le(s) wiki(s) listé(s) ci-dessous. Puisque le wiki ne possède pas ses propres règles concernant l'activité de ses utilisateurs, la règle générale s'applique.

Si vous souhaitez conserver vos droits, vous devez informer la communauté de votre wiki et mentionner que les stewards vous ont envoyé ce message pour vous faire part de votre inactivité. Si à l'issue de la discussion, la communauté souhaite que vous conserviez vos droits, alors veuillez contacter les stewards [[:m:Stewards' noticeboard|sur leur page]] en mentionnant un lien vers la discussion dans laquelle la communauté exprime le souhait que vous gardiez vos droits.

Si vous souhaitez renoncer à vos droits, vous pouvez répondre ici ou [[m:SRP|demander le retrait de vos droits sur Meta]].

Si vous n'adressez aucune réponse dans un délai d'environ un mois, les stewards procèderont au retrait de vos droits d'administrateur et/ou bureaucrate. Dans les cas ambigus, les stewards évalueront les réponses et soumettront leur réponse à la communauté pour discussion et débat. Si vous avez des questions, merci de contacter les [[:m:Stewards' noticeboard|stewards]]. '''[[User:Rschen7754|Rs]][[User talk:Rschen7754|chen]][[Special:Contributions/Rschen7754|7754]]''' 15 janvier 2015 à 05:30 (UTC)
== Modèle:Traductions ==
Salut Rm77,
J'utilisais beaucoup le modèle Traductions dans le dept. Portugais des langues étrangères, j’ai arrêté. J'aurais aimé un alignement à gauche dans les cellules et une mise en forme plus discrète. En utilisant &quot;Traductions&quot; comme balise on pourrait envisager de créer des index automatiquement ; je pense à des pages de vocabulaire par leçon ou par ordre alphabétique…
Je regardais le code du modèle je voulais commencer a bidouiller mais j’ai vu que le modèle est protégé. J'imagine que je peux copier le code et faire des tests dans le bac à sable.
Je n'ai jamais travaillé sur des modèles, donc voilà c’est un message de soutient aux modèles Traduction(s). ;-)--[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 20 octobre 2015 à 19:31 (UTC)

== Proposition de suppressions de département vide  ==
Nous avons entamé un vaste de projet de réflexion et d’analyse sur l’utilisation des espaces de noms de la Wikiversité francophone, dans le but d’améliorer l’utilisation du service. Le premier volet d’expérience porte sur les espaces de noms Faculté et Département (voir [[Projet:Laboratoire/Espaces de noms/Département]]). Nous alertons sur les problèmes liés aux départements dont le suffixe est commun et sur les inconvénients dus au nombreux départements sans contenu. Il se trouve que le département '''Département : Domaine social''' entre en conflit avec [[Département : Domaine social, de la famille et de l'éducation]] d’une part, d’autre part ce département est resté vide depuis sa création en 2007. Nous souhaitons supprimer ce département ainsi que ses sous-pages. Nous vous remercions par ailleurs pour l’ensemble de vos contributions sur la Wikiversité. Amicalement, --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 10 juillet 2016 à 14:05 (UTC)

== Proposition de suppression de pseudo-département  ==
Le '''Département:Anthropologie''' est devenu un pseudo-département (il n’est lié à aucune faculté) de plus le département est vide depuis 2007. Pour améliorer la gestion des départements au sein de la Wikiversité nous envisageons de supprimer ce département et ses sous-pages:
    Anthropologie/Contributeurs
    Anthropologie/Leçons par niveaux
    Anthropologie/Présentation du département
En vous remerciant pour l’ensemble de vos contributions sur le service Wikiversité. Amicalement, --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 10 juillet 2016 à 16:21 (UTC)</text>
      <sha1>2cceld68z8ivy8sgec28wnd4bqb7hew</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Modèle:Bienvenue</title>
    <ns>10</ns>
    <id>281</id>
    <revision>
      <id>983538</id>
      <parentid>983225</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T14:03:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <origin>983538</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2401" sha1="1133bmev3bd91zqtcpguni24d8jx6bz" xml:space="preserve">&lt;includeonly&gt;&lt;templatestyles src=&quot;Bienvenue/styles.css&quot; /&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot; style=&quot;float: right; padding:0em; margin:0 0 1em 1em;background-color:#FFF;&quot;&gt;

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot;background-color:#438EDF;&quot;&gt;Trouver une ressource&lt;/p&gt;
* [[Wikiversité:Organisation des enseignements|Organisation des enseignements]]
* [[Wikiversité:Départements|Départements (disciplines)]]
* [[Wikiversité:Scolarités|Scolarités (systèmes éducatifs)]]

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot; margin-top: 1.2em; background-color:#E47B10;&quot;&gt;Contribuer&lt;/p&gt;
* [[Aide:Que faire sur Wikiversité ?|Que faire sur Wikiversité ?]]
* [[Wikiversité:Ce que Wikiversité n'est pas|Ce que Wikiversité n'est pas]]
* [[Aide:Accueil|Accueil de l'aide]] et [[Aide:Jargon de Wikiversité|jargon]]
* [[Aide:Créer une leçon|Créer une leçon]]

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot; margin-top: 1.2em; background-color:#4DB93A;&quot;&gt;Faire de la recherche&lt;/p&gt;
* [[Aide:Comment créer un travail de recherche|Créer un travail de recherche]]
&lt;/div&gt;

&lt;h2&gt;Bienvenue sur Wikiversité, {{BASEPAGENAME}} !&lt;/h2&gt;

Bonjour, {{#if:{{{1|}}}|je suis [[Utilisateur:{{{1|}}}{{!}}{{{1|}}}]], et|}} je vous accueille en tant que wikiversitaire bénévole.

Wikiversité repose sur des principes fondateurs respectés par tous :

# '''contenus éducatifs''' uniquement ([[b:|Wikilivres]] accueille tous types de manuels non pédagogiques, par exemple des tutoriels, et [[voy:|Wikivoyage]] les guides touristiques et les fiches de vocabulaire pour le tourisme) ;
# '''licence libre''', respect du droit d'auteur ;
# '''utilisation raisonnée et contrôlée de l'IA''' ;
# '''savoir-vivre''' dans les échanges (politesse et recherche de consensus).

Vous pouvez découvrir tout cela plus en détail en consultant les liens ci-contre →
{{clr|left}}

Je vous souhaite de prendre plaisir à contribuer sur Wikiversité.

À bientôt !

{{{sign|}}}

{{Grossir|P.S. : Vos nouveaux messages normalement signés par leurs expéditeurs seront affichés en bas de cette page. Pour répondre, vous pouvez soit le faire directement sur votre propre page de discussion en cliquant sur le mot bleu « Répondre » affiché à la suite du message, soit le faire sur la page de discussion de votre interlocuteur, qui est accessible via un hyperlien présent dans sa signature.|0.85}}

{{clr}}&lt;/includeonly&gt;
&lt;noinclude&gt;{{Documentation}}[[Catégorie:Modèles message utilisateur]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>1133bmev3bd91zqtcpguni24d8jx6bz</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983539</id>
      <parentid>983538</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T14:04:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <origin>983539</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2437" sha1="9x8c042k32lz5y3kqzpwg3iexh7ymsw" xml:space="preserve">&lt;includeonly&gt;&lt;templatestyles src=&quot;Bienvenue/styles.css&quot; /&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot; style=&quot;float: right; padding:0em; margin:0 0 1em 1em;background-color:#FFF;&quot;&gt;

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot;background-color:#438EDF;&quot;&gt;Trouver une ressource&lt;/p&gt;
* [[Wikiversité:Organisation des enseignements|Organisation des enseignements]]
* [[Wikiversité:Départements|Départements (disciplines)]]
* [[Wikiversité:Scolarités|Scolarités (systèmes éducatifs)]]

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot; margin-top: 1.2em; background-color:#E47B10;&quot;&gt;Contribuer&lt;/p&gt;
* [[Aide:Que faire sur Wikiversité ?|Que faire sur Wikiversité ?]]
* [[Wikiversité:Ce que Wikiversité n'est pas|Ce que Wikiversité n'est pas]]
* [[Aide:Accueil|Accueil de l'aide]] et [[Aide:Jargon de Wikiversité|jargon]]
* [[Aide:Créer une leçon|Créer une leçon]]

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot; margin-top: 1.2em; background-color:#4DB93A;&quot;&gt;Faire de la recherche&lt;/p&gt;
* [[Aide:Comment créer un travail de recherche|Créer un travail de recherche]]
&lt;/div&gt;

&lt;h2&gt;Bienvenue sur Wikiversité, {{BASEPAGENAME}} !&lt;/h2&gt;

Bonjour, {{#if:{{{1|}}}|je suis [[Utilisateur:{{{1|}}}{{!}}{{{1|}}}]], et|}} je vous accueille en tant que wikiversitaire bénévole.

Wikiversité repose sur des principes fondateurs respectés par tous :

# '''ressources pédagogiques interactives''' (ou de recherche) uniquement ([[b:|Wikilivres]] accueille tous types de manuels non pédagogiques, par exemple des tutoriels, et [[voy:|Wikivoyage]] les guides touristiques et les fiches de vocabulaire pour le tourisme) ;
# '''licence libre''', respect du droit d'auteur ;
# '''utilisation raisonnée et contrôlée de l'IA''' ;
# '''savoir-vivre''' dans les échanges (politesse et recherche de consensus).

Vous pouvez découvrir tout cela plus en détail en consultant les liens ci-contre →
{{clr|left}}

Je vous souhaite de prendre plaisir à contribuer sur Wikiversité.

À bientôt !

{{{sign|}}}

{{Grossir|P.S. : Vos nouveaux messages normalement signés par leurs expéditeurs seront affichés en bas de cette page. Pour répondre, vous pouvez soit le faire directement sur votre propre page de discussion en cliquant sur le mot bleu « Répondre » affiché à la suite du message, soit le faire sur la page de discussion de votre interlocuteur, qui est accessible via un hyperlien présent dans sa signature.|0.85}}

{{clr}}&lt;/includeonly&gt;
&lt;noinclude&gt;{{Documentation}}[[Catégorie:Modèles message utilisateur]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>9x8c042k32lz5y3kqzpwg3iexh7ymsw</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983540</id>
      <parentid>983539</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T14:06:06Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <origin>983540</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2487" sha1="qrmtlzgeobx60p56vlthxp1f58ge81m" xml:space="preserve">&lt;includeonly&gt;&lt;templatestyles src=&quot;Bienvenue/styles.css&quot; /&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot; style=&quot;float: right; padding:0em; margin:0 0 1em 1em;background-color:#FFF;&quot;&gt;

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot;background-color:#438EDF;&quot;&gt;Trouver une ressource&lt;/p&gt;
* [[Wikiversité:Organisation des enseignements|Organisation des enseignements]]
* [[Wikiversité:Départements|Départements (disciplines)]]
* [[Wikiversité:Scolarités|Scolarités (systèmes éducatifs)]]

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot; margin-top: 1.2em; background-color:#E47B10;&quot;&gt;Contribuer&lt;/p&gt;
* [[Aide:Que faire sur Wikiversité ?|Que faire sur Wikiversité ?]]
* [[Wikiversité:Ce que Wikiversité n'est pas|Ce que Wikiversité n'est pas]]
* [[Aide:Accueil|Accueil de l'aide]] et [[Aide:Jargon de Wikiversité|jargon]]
* [[Aide:Créer une leçon|Créer une leçon]]

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot; margin-top: 1.2em; background-color:#4DB93A;&quot;&gt;Faire de la recherche&lt;/p&gt;
* [[Aide:Comment créer un travail de recherche|Créer un travail de recherche]]
&lt;/div&gt;

&lt;h2&gt;Bienvenue sur Wikiversité, {{BASEPAGENAME}} !&lt;/h2&gt;

Bonjour, {{#if:{{{1|}}}|je suis [[Utilisateur:{{{1|}}}{{!}}{{{1|}}}]], et|}} je vous accueille en tant que wikiversitaire bénévole.

Wikiversité repose sur des principes fondateurs respectés par tous :

# '''contenu éducatif interactif''' uniquement : ressources pédagogiques interactives et travaux de recherche scientifique ([[b:|Wikilivres]] accueille tous types de manuels non pédagogiques, par exemple des tutoriels, et [[voy:|Wikivoyage]] les guides touristiques et les fiches de vocabulaire pour le tourisme) ;
# '''licence libre''', respect du droit d'auteur ;
# '''utilisation raisonnée et contrôlée de l'IA''' ;
# '''savoir-vivre''' dans les échanges (politesse et recherche de consensus).

Vous pouvez découvrir tout cela plus en détail en consultant les liens ci-contre →
{{clr|left}}

Je vous souhaite de prendre plaisir à contribuer sur Wikiversité.

À bientôt !

{{{sign|}}}

{{Grossir|P.S. : Vos nouveaux messages normalement signés par leurs expéditeurs seront affichés en bas de cette page. Pour répondre, vous pouvez soit le faire directement sur votre propre page de discussion en cliquant sur le mot bleu « Répondre » affiché à la suite du message, soit le faire sur la page de discussion de votre interlocuteur, qui est accessible via un hyperlien présent dans sa signature.|0.85}}

{{clr}}&lt;/includeonly&gt;
&lt;noinclude&gt;{{Documentation}}[[Catégorie:Modèles message utilisateur]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>qrmtlzgeobx60p56vlthxp1f58ge81m</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983541</id>
      <parentid>983540</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T14:06:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <origin>983541</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2568" sha1="bqy0btml4vu5vosah1diu0ke76twqnh" xml:space="preserve">&lt;includeonly&gt;&lt;templatestyles src=&quot;Bienvenue/styles.css&quot; /&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot; style=&quot;float: right; padding:0em; margin:0 0 1em 1em;background-color:#FFF;&quot;&gt;

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot;background-color:#438EDF;&quot;&gt;Trouver une ressource&lt;/p&gt;
* [[Wikiversité:Organisation des enseignements|Organisation des enseignements]]
* [[Wikiversité:Départements|Départements (disciplines)]]
* [[Wikiversité:Scolarités|Scolarités (systèmes éducatifs)]]

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot; margin-top: 1.2em; background-color:#E47B10;&quot;&gt;Contribuer&lt;/p&gt;
* [[Aide:Que faire sur Wikiversité ?|Que faire sur Wikiversité ?]]
* [[Wikiversité:Ce que Wikiversité n'est pas|Ce que Wikiversité n'est pas]]
* [[Aide:Accueil|Accueil de l'aide]] et [[Aide:Jargon de Wikiversité|jargon]]
* [[Aide:Créer une leçon|Créer une leçon]]

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot; margin-top: 1.2em; background-color:#4DB93A;&quot;&gt;Faire de la recherche&lt;/p&gt;
* [[Aide:Comment créer un travail de recherche|Créer un travail de recherche]]
&lt;/div&gt;

&lt;h2&gt;Bienvenue sur Wikiversité, {{BASEPAGENAME}} !&lt;/h2&gt;

Bonjour, {{#if:{{{1|}}}|je suis [[Utilisateur:{{{1|}}}{{!}}{{{1|}}}]], et|}} je vous accueille en tant que wikiversitaire bénévole.

Wikiversité repose sur des principes fondateurs respectés par tous :

# '''contenu éducatif interactif''' uniquement : ici, nous nous limitons à des ressources pédagogiques interactives avec des quiz et des exercices intégrés, et à des travaux de recherche scientifique ([[b:|Wikilivres]] accueille tous types de manuels non pédagogiques, par exemple des tutoriels, et [[voy:|Wikivoyage]] les guides touristiques et les fiches de vocabulaire pour le tourisme) ;
# '''licence libre''', respect du droit d'auteur ;
# '''utilisation raisonnée et contrôlée de l'IA''' ;
# '''savoir-vivre''' dans les échanges (politesse et recherche de consensus).

Vous pouvez découvrir tout cela plus en détail en consultant les liens ci-contre →
{{clr|left}}

Je vous souhaite de prendre plaisir à contribuer sur Wikiversité.

À bientôt !

{{{sign|}}}

{{Grossir|P.S. : Vos nouveaux messages normalement signés par leurs expéditeurs seront affichés en bas de cette page. Pour répondre, vous pouvez soit le faire directement sur votre propre page de discussion en cliquant sur le mot bleu « Répondre » affiché à la suite du message, soit le faire sur la page de discussion de votre interlocuteur, qui est accessible via un hyperlien présent dans sa signature.|0.85}}

{{clr}}&lt;/includeonly&gt;
&lt;noinclude&gt;{{Documentation}}[[Catégorie:Modèles message utilisateur]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>bqy0btml4vu5vosah1diu0ke76twqnh</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983542</id>
      <parentid>983541</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T14:07:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <origin>983542</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2574" sha1="ezxst1ba8eyk42r83p64vmdxt8r5384" xml:space="preserve">&lt;includeonly&gt;&lt;templatestyles src=&quot;Bienvenue/styles.css&quot; /&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot; style=&quot;float: right; padding:0em; margin:0 0 1em 1em;background-color:#FFF;&quot;&gt;

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot;background-color:#438EDF;&quot;&gt;Trouver une ressource&lt;/p&gt;
* [[Wikiversité:Organisation des enseignements|Organisation des enseignements]]
* [[Wikiversité:Départements|Départements (disciplines)]]
* [[Wikiversité:Scolarités|Scolarités (systèmes éducatifs)]]

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot; margin-top: 1.2em; background-color:#E47B10;&quot;&gt;Contribuer&lt;/p&gt;
* [[Aide:Que faire sur Wikiversité ?|Que faire sur Wikiversité ?]]
* [[Wikiversité:Ce que Wikiversité n'est pas|Ce que Wikiversité n'est pas]]
* [[Aide:Accueil|Accueil de l'aide]] et [[Aide:Jargon de Wikiversité|jargon]]
* [[Aide:Créer une leçon|Créer une leçon]]

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot; margin-top: 1.2em; background-color:#4DB93A;&quot;&gt;Faire de la recherche&lt;/p&gt;
* [[Aide:Comment créer un travail de recherche|Créer un travail de recherche]]
&lt;/div&gt;

&lt;h2&gt;Bienvenue sur Wikiversité, {{BASEPAGENAME}} !&lt;/h2&gt;

Bonjour, {{#if:{{{1|}}}|je suis [[Utilisateur:{{{1|}}}{{!}}{{{1|}}}]], et|}} je vous accueille en tant que wikiversitaire bénévole.

Wikiversité repose sur des principes fondateurs respectés par tous :

# '''contenu éducatif interactif''' uniquement : ici, nous nous limitons à des ressources pédagogiques interactives avec des quiz et des exercices intégrés, ainsi qu'à des travaux de recherche scientifique ([[b:|Wikilivres]] accueille tous types de manuels non pédagogiques, par exemple des tutoriels, et [[voy:|Wikivoyage]] les guides touristiques et les fiches de vocabulaire pour le tourisme) ;
# '''licence libre''', respect du droit d'auteur ;
# '''utilisation raisonnée et contrôlée de l'IA''' ;
# '''savoir-vivre''' dans les échanges (politesse et recherche de consensus).

Vous pouvez découvrir tout cela plus en détail en consultant les liens ci-contre →
{{clr|left}}

Je vous souhaite de prendre plaisir à contribuer sur Wikiversité.

À bientôt !

{{{sign|}}}

{{Grossir|P.S. : Vos nouveaux messages normalement signés par leurs expéditeurs seront affichés en bas de cette page. Pour répondre, vous pouvez soit le faire directement sur votre propre page de discussion en cliquant sur le mot bleu « Répondre » affiché à la suite du message, soit le faire sur la page de discussion de votre interlocuteur, qui est accessible via un hyperlien présent dans sa signature.|0.85}}

{{clr}}&lt;/includeonly&gt;
&lt;noinclude&gt;{{Documentation}}[[Catégorie:Modèles message utilisateur]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>ezxst1ba8eyk42r83p64vmdxt8r5384</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983543</id>
      <parentid>983542</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T14:08:19Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <origin>983543</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2656" sha1="gwaikjt3802brkjub9ei84iqdfe2icn" xml:space="preserve">&lt;includeonly&gt;&lt;templatestyles src=&quot;Bienvenue/styles.css&quot; /&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot; style=&quot;float: right; padding:0em; margin:0 0 1em 1em;background-color:#FFF;&quot;&gt;

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot;background-color:#438EDF;&quot;&gt;Trouver une ressource&lt;/p&gt;
* [[Wikiversité:Organisation des enseignements|Organisation des enseignements]]
* [[Wikiversité:Départements|Départements (disciplines)]]
* [[Wikiversité:Scolarités|Scolarités (systèmes éducatifs)]]

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot; margin-top: 1.2em; background-color:#E47B10;&quot;&gt;Contribuer&lt;/p&gt;
* [[Aide:Que faire sur Wikiversité ?|Que faire sur Wikiversité ?]]
* [[Wikiversité:Ce que Wikiversité n'est pas|Ce que Wikiversité n'est pas]]
* [[Aide:Accueil|Accueil de l'aide]] et [[Aide:Jargon de Wikiversité|jargon]]
* [[Aide:Créer une leçon|Créer une leçon]]

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot; margin-top: 1.2em; background-color:#4DB93A;&quot;&gt;Faire de la recherche&lt;/p&gt;
* [[Aide:Comment créer un travail de recherche|Créer un travail de recherche]]
&lt;/div&gt;

&lt;h2&gt;Bienvenue sur Wikiversité, {{BASEPAGENAME}} !&lt;/h2&gt;

Bonjour, {{#if:{{{1|}}}|je suis [[Utilisateur:{{{1|}}}{{!}}{{{1|}}}]], et|}} je vous accueille en tant que wikiversitaire bénévole.

Wikiversité repose sur des principes fondateurs respectés par tous :

# '''contenu éducatif interactif''' uniquement : ici, nous nous limitons à des ressources pédagogiques interactives avec des quiz et des exercices intégrés, ainsi qu'à des travaux de recherche scientifique ([[b:|Wikilivres]] accueille tous types de manuels non pédagogiques, par exemple des tutoriels, et [[voy:|Wikivoyage]] les guides touristiques et les fiches de vocabulaire pour le tourisme). Apprenez [[Aide:Comment créer un quiz|comment créer un quiz sur Wikiversité]] ;
# '''licence libre''', respect du droit d'auteur ;
# '''utilisation raisonnée et contrôlée de l'IA''' ;
# '''savoir-vivre''' dans les échanges (politesse et recherche de consensus).

Vous pouvez découvrir tout cela plus en détail en consultant les liens ci-contre →
{{clr|left}}

Je vous souhaite de prendre plaisir à contribuer sur Wikiversité.

À bientôt !

{{{sign|}}}

{{Grossir|P.S. : Vos nouveaux messages normalement signés par leurs expéditeurs seront affichés en bas de cette page. Pour répondre, vous pouvez soit le faire directement sur votre propre page de discussion en cliquant sur le mot bleu « Répondre » affiché à la suite du message, soit le faire sur la page de discussion de votre interlocuteur, qui est accessible via un hyperlien présent dans sa signature.|0.85}}

{{clr}}&lt;/includeonly&gt;
&lt;noinclude&gt;{{Documentation}}[[Catégorie:Modèles message utilisateur]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>gwaikjt3802brkjub9ei84iqdfe2icn</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983544</id>
      <parentid>983543</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T14:25:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <origin>983544</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2708" sha1="tv7z8kzfpd5a1tek6t90rinmgl1x4ly" xml:space="preserve">&lt;includeonly&gt;&lt;templatestyles src=&quot;Bienvenue/styles.css&quot; /&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot; style=&quot;float: right; padding:0em; margin:0 0 1em 1em;background-color:#FFF;&quot;&gt;

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot;background-color:#438EDF;&quot;&gt;Trouver une ressource&lt;/p&gt;
* [[Wikiversité:Organisation des enseignements|Organisation des enseignements]]
* [[Wikiversité:Départements|Départements (disciplines)]]
* [[Wikiversité:Scolarités|Scolarités (systèmes éducatifs)]]

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot; margin-top: 1.2em; background-color:#E47B10;&quot;&gt;Contribuer&lt;/p&gt;
* [[Aide:Que faire sur Wikiversité ?|Que faire sur Wikiversité ?]]
* [[Wikiversité:Ce que Wikiversité n'est pas|Ce que Wikiversité n'est pas]]
* [[Aide:Accueil|Accueil de l'aide]] et [[Aide:Jargon de Wikiversité|jargon]]
* [[Aide:Créer une leçon|Créer une leçon]]

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot; margin-top: 1.2em; background-color:#4DB93A;&quot;&gt;Faire de la recherche&lt;/p&gt;
* [[Aide:Comment créer un travail de recherche|Créer un travail de recherche]]
&lt;/div&gt;

&lt;h2&gt;Bienvenue sur Wikiversité, {{BASEPAGENAME}} !&lt;/h2&gt;

Bonjour, {{#if:{{{1|}}}|je suis [[Utilisateur:{{{1|}}}{{!}}{{{1|}}}]], et|}} je vous accueille en tant que wikiversitaire bénévole.

Wikiversité repose sur des principes fondateurs respectés par tous :

# '''contenu éducatif interactif''' uniquement : ici, nous nous limitons à des ressources pédagogiques interactives avec des quiz et des exercices intégrés, ainsi qu'à des travaux de recherche scientifique&lt;ref group=&quot;note&quot;&gt;[[b:|Wikilivres]] accueille tous types de manuels non pédagogiques, par exemple des tutoriels, et [[voy:|Wikivoyage]] les guides touristiques et les fiches de vocabulaire pour le tourisme&lt;/ref&gt;. Apprenez [[Aide:Comment créer un quiz|comment créer un quiz sur Wikiversité]] ;
# '''licence libre''', respect du droit d'auteur ;
# '''utilisation raisonnée et contrôlée de l'IA''' ;
# '''savoir-vivre''' dans les échanges (politesse et recherche de consensus).

Vous pouvez découvrir tout cela plus en détail en consultant les liens ci-contre →
{{clr|left}}

Je vous souhaite de prendre plaisir à contribuer sur Wikiversité.

À bientôt !

{{{sign|}}}

{{Grossir|P.S. : Vos nouveaux messages normalement signés par leurs expéditeurs seront affichés en bas de cette page. Pour répondre, vous pouvez soit le faire directement sur votre propre page de discussion en cliquant sur le mot bleu « Répondre » affiché à la suite du message, soit le faire sur la page de discussion de votre interlocuteur, qui est accessible via un hyperlien présent dans sa signature.|0.85}}

{{clr}}
&lt;references group=&quot;note&quot;/&gt;
&lt;/includeonly&gt;
&lt;noinclude&gt;
{{Documentation}}
[[Catégorie:Modèles message utilisateur]]
&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>tv7z8kzfpd5a1tek6t90rinmgl1x4ly</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Projet:Physique/À faire</title>
    <ns>102</ns>
    <id>5045</id>
    <revision>
      <id>983531</id>
      <parentid>967713</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T13:23:23Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <origin>983531</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="962" sha1="r4vs4mtvubvdbti540gjl56myofl5ab" xml:space="preserve">== Cours à créer ==

'''Cours conformes aux nouveaux programmes du lycée GT (réforme de 2019)'''

La faculté de Physique dispose de cours à créer selon le niveau d'études :
* [[Cours de physique de lycée|Lycée]]
** [[Physique en seconde|Cours de seconde]]
** [[Physique en première|Cours de première]]
** [[Physique en terminale|Cours de terminale]]
* [[Cours de physique de collège|Collège]]
** [[Physique en cinquième|Cours de cinquième]]
** [[Physique en quatrième|Cours de quatrième]]
** [[Physique en troisième|Cours de troisième]]

Par sujet :
* [[Particule élémentaire]]

== Cours à approfondir ==

=== Optique ondulatoire ===

* [[Notions de base d'optique ondulatoire]]
* [[Diffraction]]

=== Électromagnétisme et électricité ===

* [[Étude des systèmes électriques]]
* [[Théorèmes de Thévenin et Norton]]
* [[Électrostatique des conducteurs]]
* [[Ondes électromagnétiques]]

== Cours à relire ==

* …

{{Autocat}}</text>
      <sha1>r4vs4mtvubvdbti540gjl56myofl5ab</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983532</id>
      <parentid>983531</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T13:23:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <origin>983532</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="943" sha1="blgpdkhbilqm48wa2l5snt7ar27gqgg" xml:space="preserve">== Cours à créer ==

'''Cours conformes aux nouveaux programmes du lycée GT (réforme de 2019)'''

La faculté de Physique dispose de cours à créer selon le niveau d'études :
* [[Cours de physique de lycée|Lycée]]
** [[Physique en seconde|Cours de seconde]]
** [[Physique en première|Cours de première]]
** [[Physique en terminale|Cours de terminale]]
* [[Cours de physique de collège|Collège]]
** [[Physique en cinquième|Cours de cinquième]]
** [[Physique en quatrième|Cours de quatrième]]
** [[Physique en troisième|Cours de troisième]]

== Cours à approfondir ==

=== Optique ondulatoire ===

* [[Notions de base d'optique ondulatoire]]
* [[Diffraction]]

=== Électromagnétisme et électricité ===

* [[Étude des systèmes électriques]]
* [[Théorèmes de Thévenin et Norton]]
* [[Électrostatique des conducteurs]]
* [[Ondes électromagnétiques]]

== Cours à relire ==

* [[Particule élémentaire]]

{{Autocat}}</text>
      <sha1>blgpdkhbilqm48wa2l5snt7ar27gqgg</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983533</id>
      <parentid>983532</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T13:24:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <origin>983533</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="919" sha1="6n646qbkmb0enkjfjesp9iito46fj9c" xml:space="preserve">== Cours à créer ==

'''Cours conformes aux nouveaux programmes du lycée GT (réforme de 2019)'''

La faculté de Physique dispose de cours à créer selon le niveau d'études :
* [[Cours de physique de lycée|Lycée]]
** [[Physique en seconde|Cours de seconde]]
** [[Physique en première|Cours de première]]
** [[Physique en terminale|Cours de terminale]]
* [[Cours de physique de collège|Collège]]
** [[Physique en cinquième|Cours de cinquième]]
** [[Physique en quatrième|Cours de quatrième]]
** [[Physique en troisième|Cours de troisième]]

== Cours à approfondir ==

=== Optique ondulatoire ===

* [[Notions de base d'optique ondulatoire]]
* [[Diffraction]]

=== Électromagnétisme et électricité ===

* [[Étude des systèmes électriques]]
* [[Théorèmes de Thévenin et Norton]]
* [[Électrostatique des conducteurs]]
* [[Ondes électromagnétiques]]

== Cours à relire ==

* ...

{{Autocat}}</text>
      <sha1>6n646qbkmb0enkjfjesp9iito46fj9c</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Projet:Sciences de l'ingénieur/À faire</title>
    <ns>102</ns>
    <id>5422</id>
    <revision>
      <id>983534</id>
      <parentid>967722</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T13:25:37Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <origin>983534</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="246" sha1="9ydf3g1yjakxziapk8ul9e3up1nl27q" xml:space="preserve">== Cours à créer ==

'''Cours conformes aux nouveaux programmes du lycée GT (réforme de 2019)'''

== Cours à approfondir ==

* …

== Cours à relire ==

* [[Machine à courant continu/Exercices/Fonctionnement d'une MCC]]
* …

{{Autocat}}</text>
      <sha1>9ydf3g1yjakxziapk8ul9e3up1nl27q</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Projet:Informatique/À faire</title>
    <ns>102</ns>
    <id>6791</id>
    <revision>
      <id>983530</id>
      <parentid>967782</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T13:21:49Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <origin>983530</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="958" sha1="ne2997hhcm2oy66oyahpdgf8hz03tgm" xml:space="preserve">== Cours à compléter ==

'''Attention aux logiciels obsolètes !'''

=== Informatique théorique ===
* [[Sémantique]]
* [[Théorie des langages]]

=== Programmation informatique ===

==== Langages à objets  ====
* [[Delphi]]
* [[WinDev]]

==== Langages impératifs  ====
* [[Assembleur]]
* [[Forth]]
* [[Langage Pascal]]

==== Langages fonctionnels  ====
* [[Lisp]]

==== Langages de balisage ====
* [[Extensible Markup Language]] (XML)

=== Informatique pratique ===
* [[Systèmes d'exploitation]]

==== Logiciel bureautique ====
* [[Introduction aux bases de données avec ACCESS]]

==== Logiciel DAO 2D ====
* [[Inkscape]]

==== Logiciel DAO 3D ====
* [[Blender Home Edition]]

==== Bases de données ====
* [[Introduction aux bases de données avec ACCESS]]

=== Réseau ===

==== Base en réseau ====
* [[Introduction]]

==== Protocoles ====
* [[Modèle TCP-IP]]

=== Non classé ===
* [[Address Resolution Protocol]]
* [[Mot de passe]]

{{Autocat}}</text>
      <sha1>ne2997hhcm2oy66oyahpdgf8hz03tgm</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Projet:Mathématiques/À faire</title>
    <ns>102</ns>
    <id>7512</id>
    <revision>
      <id>983526</id>
      <parentid>967822</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T13:20:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <origin>983526</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1209" sha1="609soqsvwcj04at9qkbrq4hxjedpdcx" xml:space="preserve">== Leçons à créer ==
Il y a des leçons à développer dans :

'''Créer des cours conformes aux nouveaux programmes du lycée GT (réforme de 2019)'''

Classement par niveau :
* [[Cours de mathématiques de collège (France)|Cours du collège]] (page présentant tous les cours de collège)
* [[Cours de mathématiques de lycée (France)|Cours du lycée]]
** Plusieurs leçons à créer dans le [[Mathématiques en seconde|Cours de seconde]]
** Leçons à créer aux niveaux 12 et 13 pour les sections non scientifiques (qui sont défavorisées par rapport aux sections scientifiques)

Classement par thème :
* [[Projet:Mathématiques/Géométrie vectorielle et analytique niveau enseignement secondaire‎|Géométrie vectorielle et analytique]]
* [[Analyse fonctionnelle]] (cours avec peu de leçons)

== Leçons à développer ==
* [[Algèbre linéaire et calcul matriciel]]
* [[Système d'équations linéaires]]
* [[Application multilinéaire]]
* [[Suite numérique]]
* [[Intégrale double]]
* [[Analyse numérique et calcul scientifique]]
* [[Théorie de la mesure]]
* [[Métrique riemannienne]]
* [[Corps locaux]]
* [[Théorie du corps de classe]]
* ...

== Leçons à relire ==
* ...

{{AutoCat}}</text>
      <sha1>609soqsvwcj04at9qkbrq4hxjedpdcx</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983527</id>
      <parentid>983526</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T13:20:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <comment>/* Leçons à créer */</comment>
      <origin>983527</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1168" sha1="1ylrzcqnh3fs5397wzocolceft52p85" xml:space="preserve">== Leçons à créer ==

'''Créer des cours conformes aux nouveaux programmes du lycée GT (réforme de 2019)'''

Classement par niveau :
* [[Cours de mathématiques de collège (France)|Cours du collège]] (page présentant tous les cours de collège)
* [[Cours de mathématiques de lycée (France)|Cours du lycée]]
** Plusieurs leçons à créer dans le [[Mathématiques en seconde|Cours de seconde]]
** Leçons à créer aux niveaux 12 et 13 pour les sections non scientifiques (qui sont défavorisées par rapport aux sections scientifiques)

Classement par thème :
* [[Projet:Mathématiques/Géométrie vectorielle et analytique niveau enseignement secondaire‎|Géométrie vectorielle et analytique]]
* [[Analyse fonctionnelle]] (cours avec peu de leçons)

== Leçons à développer ==
* [[Algèbre linéaire et calcul matriciel]]
* [[Système d'équations linéaires]]
* [[Application multilinéaire]]
* [[Suite numérique]]
* [[Intégrale double]]
* [[Analyse numérique et calcul scientifique]]
* [[Théorie de la mesure]]
* [[Métrique riemannienne]]
* [[Corps locaux]]
* [[Théorie du corps de classe]]
* ...

== Leçons à relire ==
* ...

{{AutoCat}}</text>
      <sha1>1ylrzcqnh3fs5397wzocolceft52p85</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983528</id>
      <parentid>983527</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T13:21:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <comment>/* Leçons à développer */</comment>
      <origin>983528</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1169" sha1="mwvrmt9q3kcvu95zegyvydaa2y49gr5" xml:space="preserve">== Leçons à créer ==

'''Créer des cours conformes aux nouveaux programmes du lycée GT (réforme de 2019)'''

Classement par niveau :
* [[Cours de mathématiques de collège (France)|Cours du collège]] (page présentant tous les cours de collège)
* [[Cours de mathématiques de lycée (France)|Cours du lycée]]
** Plusieurs leçons à créer dans le [[Mathématiques en seconde|Cours de seconde]]
** Leçons à créer aux niveaux 12 et 13 pour les sections non scientifiques (qui sont défavorisées par rapport aux sections scientifiques)

Classement par thème :
* [[Projet:Mathématiques/Géométrie vectorielle et analytique niveau enseignement secondaire‎|Géométrie vectorielle et analytique]]
* [[Analyse fonctionnelle]] (cours avec peu de leçons)

== Leçons à développer ==

* [[Algèbre linéaire et calcul matriciel]]
* [[Système d'équations linéaires]]
* [[Application multilinéaire]]
* [[Suite numérique]]
* [[Intégrale double]]
* [[Analyse numérique et calcul scientifique]]
* [[Théorie de la mesure]]
* [[Métrique riemannienne]]
* [[Corps locaux]]
* [[Théorie du corps de classe]]
* ...

== Leçons à relire ==
* ...

{{AutoCat}}</text>
      <sha1>mwvrmt9q3kcvu95zegyvydaa2y49gr5</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983529</id>
      <parentid>983528</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T13:21:10Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <comment>/* Leçons à développer */</comment>
      <origin>983529</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1163" sha1="iogt70elkh526czhu46l25px2j9jeoy" xml:space="preserve">== Leçons à créer ==

'''Créer des cours conformes aux nouveaux programmes du lycée GT (réforme de 2019)'''

Classement par niveau :
* [[Cours de mathématiques de collège (France)|Cours du collège]] (page présentant tous les cours de collège)
* [[Cours de mathématiques de lycée (France)|Cours du lycée]]
** Plusieurs leçons à créer dans le [[Mathématiques en seconde|Cours de seconde]]
** Leçons à créer aux niveaux 12 et 13 pour les sections non scientifiques (qui sont défavorisées par rapport aux sections scientifiques)

Classement par thème :
* [[Projet:Mathématiques/Géométrie vectorielle et analytique niveau enseignement secondaire‎|Géométrie vectorielle et analytique]]
* [[Analyse fonctionnelle]] (cours avec peu de leçons)

== Leçons à développer ==

* [[Algèbre linéaire et calcul matriciel]]
* [[Système d'équations linéaires]]
* [[Application multilinéaire]]
* [[Suite numérique]]
* [[Intégrale double]]
* [[Analyse numérique et calcul scientifique]]
* [[Théorie de la mesure]]
* [[Métrique riemannienne]]
* [[Corps locaux]]
* [[Théorie du corps de classe]]

== Leçons à relire ==
* ...

{{AutoCat}}</text>
      <sha1>iogt70elkh526czhu46l25px2j9jeoy</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Wikiversité:Débat d'admissibilité</title>
    <ns>4</ns>
    <id>14250</id>
    <revision>
      <id>983518</id>
      <parentid>983220</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T13:15:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <comment>/* Débats en cours */</comment>
      <origin>983518</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8957" sha1="01q6lcvh0u65wwdcjzony3t7bfvzdc7" xml:space="preserve">{{Nobots}}
__NEWSECTIONLINK__
{{Boîte de requêtes}}
&lt;div class=&quot;plainlinks&quot; style=&quot;overflow: hidden; margin: .5em 0; padding: 1em; padding: 1em; border: 2px solid #555753; border-radius: 0; background-color: #e5e6e3; color: #000; border-radius: 5px; margin: 0;&quot;&gt;

&lt;div style=&quot;background-color: #a7a8a7; margin-bottom: 15px; margin-left: -15px; margin-right: -15px; margin-top: -15px; line-height: 40px; font-size: 1.5em;&quot;&gt;{{Centrer|Débats d'admissibilité}}&lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;opacity: 0.2; right: 20em&quot;&gt;[[Image:Keep tidy ask 2.svg|droite|100px|link=]]&lt;/div&gt;&lt;strong style=&quot;font-size:1.2em;color:#3366BB;&quot;&gt;Cette page liste les débats d'admissibilité de pages, dits « DdA ».&lt;/strong&gt;

&lt;strong style=&quot;font-size:1.0em&quot;&gt;Ouvrir un débat d'admissibilité&lt;/strong&gt;
#Ajoutez le modèle {{m|Admissibilité}} en haut de la page concernée : un bandeau sera ainsi visible pour indiquer aux autres contributeurs le débat d'admissibilité (ce bandeau ne doit pas être retiré avant la fin de la procédure).
#Cliquez sur le lien rouge, renseignez le motif puis sauvegardez.
#Ajoutez la page concernée dans la section &lt;code&gt;Débats en cours&lt;/code&gt; (ci-dessous) pour informer les autres contributeurs qui pourront ainsi participer aux discussions et au vote.

[[Image:OOjs UI icon alert-destructive.svg|{{{taille|30px}}}|link=]]&lt;strong style=&quot;font-size:1.0em;color:#D82A2A;&quot;&gt;Attention&lt;/strong&gt;
* si la page est clairement inadmissible → demandez une {{m|suppression immédiate}}
* si la page doublonne une autre page de Wikiversité → demandez une [[Wikiversité:Pages à fusionner|fusion]]
* si la page semble violer le droit d'auteur → signalez-le sur [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright]]&lt;/div&gt;

== Débats en cours ==

{{Raccourci|WV:DAD|WV:DdA|WV:PàS|align=right}}

{| class=&quot;wikitable sortable&quot;
! Lien vers la page concernée (P) et celle du débat !! Année de création&lt;br/&gt;&lt;small&gt;de la page mise en cause&lt;/small&gt; !! Nombre d'avis donnés
|-
| {{A|Langage cinématographique}} || 2007 || {{Rouge|0 avis}}
|-
| {{A|Flash}} || 2007 || {{Vert|5 avis}}
|-
| {{A|Mouvement féministe}} || 2008 || {{Vert|4 avis}}
|-
| {{A|Joomla}} || 2008 || {{Vert|4 avis}}
|-
| {{A|Collapsologie}} || 2016 || {{Rouge|2 avis}}
|-
| {{A|Citoyenneté et empire à Rome (Ie-IIIe siècle)}} || 2018 || {{Rouge|1 avis}}
|-
| {{A|Apprentissage non supervisé}} || 2018 || {{Rouge|1 avis}}
|-
| {{A|Peuples amérindiens}} || 2019 || {{Rouge|2 avis}}
|-
| {{A|Création des états modernes en Europe}} || 2019 || {{Vert|4 avis}}
|-
| {{A|Mouvement ouvrier}} || 2020 || {{Orange|3 avis}}
|-
| {{A|Apprentissage profond}} || 2024 || {{Orange|3 avis}}
|-
| {{A|Apprentissage par renforcement}} || 2024 || {{Vert|4 avis}}
|-
| {{A|Algorithme génétique}} || 2024 || {{Orange|3 avis}}
|}

== Débats clos ==

{|class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Pages supprimées !! Pages conservées !! Autres cas
|-
!colspan=&quot;4&quot;| 2007
|-
|
* {{A|Argot (région parisienne)}}
|
* {{A|Matériel (réseau)}}
| 
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2008
|-
| 
* {{A|Bayt mal alqods acharif}}
* {{A|Comité alqods}}
* {{A|Catégorie:Grammaire lettonne}}
* {{A|Catégorie:Conjugaison lettonne}}
* {{A|Grammaire/Latin/Les prépositions latines}}
* {{A|Introduction aux genres littéraires/Le genre narratif}}
* {{A|Introduction à la musique/Introduction}}
| * {{A|Candide}}
|
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2009
|-
| 
* {{A|Diapause génétique}}
|
* {{A|Conseil de navigation}}
|
* {{A|Introduction à l'électrostatique/Définition}} : Recyclé comme fiche dans le cours [[Électrostatique]]
* {{A|Vocabulaire espagnol des animaux/Amphibiens}} : {{Fusionner}}
* {{A|Vocabulaire espagnol des animaux/Mollusques}} : {{Fusionner}}
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2011
|-
|
* {{A|Introduction à la mécanique des fluides/Exercices/Gradients et Laplaciens}}
|
* {{A|Guitare/Théorie d'accords}}
* {{A|Handball/Règles}}
* {{A|Modèle:Utilisateur Agrégé/Physique}}
* {{A|Recherche:Polynômes de Boubaker}}
|
* {{A|Introduction à la mécanique des fluides/Rappels de Mathématiques}} : Recyclée en annexe
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2012
|-
|
* {{A|Photométrie/Éclairement lumineux}}
|
|
* {{A|Recherche:ADN invisible}} redirigée vers {{A|Diapause génétique}}
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2013
|-
|
* {{A|Les Vazimbas}}
* {{A|Recherche:Nombres premiers et modèle des flèches de Jonathan}}
|
|
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2014
|-
|
* {{A|Département:Sociologie économique}} et revoir tous les départements de [[Faculté:Socio-anthropologie]] (fusion/regroupement/suppression/...)
* {{A|Recherche:Piratage électoral dans la commune de Walcourt}}
* {{A|Transgression télévisuelle}}
|
|
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2015
|-
|
* {{A|Corsü di xeç}}
* {{A|Dénotation et connotation}}
* {{A|Le barbier de Séville}}
* {{A|Le parc de Tsimbazaza}}
* {{A|Le besoin satisfait par le système}}
* {{A|Liaisons élastiques. Ressorts}}
* {{A|Musicologues}}
* {{A|Recherche:Fausse schizophrénie}}
* {{A|Recherche:L'effet balançoire}}
* {{A|Recherche:La double stratégie}}
* {{A|Recherche:Nouvelle menace HIV}}
* {{A|Sentiment d appartenance}}
* {{A|Taxe sur la valeur ajoutée}}
* {{A|Portugais/Grammaire/Alphabet}} (Motif : Demande de l'auteur)
|
* {{A|Le Mariage de Figaro}}
* {{A|Recherche:Polynômes de Boubaker}} (conservée en 2011)
|
* {{A|Méthode par questionnaire}} : Fusionnée avec la leçon [[Sondage]]
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2016
|-
|
* {{A|Analyse de questions en forme de QCM sur le chocolat}}
|
* {{A|Recherche:Collaboration juive sous le nazisme}}
|
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2017
|-
|
* {{A|Être témoin de Jésus-Christ aujourd'hui}}
* {{A|Créer une animation GIF}}
* {{A|Anglais/Méthode/Unité 2}}
* {{A|Anglais/Méthode/Unité 1}}
* {{A|Département:Afrikaans}}
* {{A|Département:Estonien}}
* {{A|Département:Francique lorrain}}
* {{A|Département:Indonésien}}
* {{A|Département:Lojban}}
* {{A|Département:Normand}}
* {{A|Département:Norvégien}}
* {{A|Département:Occitan}}
* {{A|Département:Ukrainien}}
* {{A|Département:Wallon}}
* {{A|Méthode des différences finies}}
* {{A|Variables aléatoires}}
* {{A|Statistiques appliquées en Licence 3 en Economie et Gestion}}
* {{A|Formules de Taylor}}
|
* {{A|Géographie de l'Allemagne}} : {{renommer}} [[Allemand/Civilisation]]
* {{A|Wikiversité:Conventions de gestion}} '''en attendant la conclusion du [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]] (page recréée le 5 octobre 2017)'''.
|
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2018
|-
|
* {{A|Recherche:Base logique des structures hypercomplexes}}
* {{A|Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon}}
|
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2019
|-
|
* {{A|Recherche:Raisonnement contradictoire et structure des nombres entiers/Démonstration canonique du DTF}}
* {{A|Recherche:L'explication de Ronel Dixit disant quel est le vrai sens de la vie}}
* {{A|Calcul infinitésimal}}
* {{A|L'habitat et les ouvrages de notre environnement/Pourquoi les bâtiments et les ouvrages d'arts construits par les hommes ne sont pas tous semblables?}}
|
* {{A|Logique (mathématiques)}}
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Suppression de travaux personnels|Suppression de travaux personnels]]
|
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2020
|-
|
* {{A|Français en première S}}
* {{A|Français en première ES}}
* {{A|Français en première L}}
|
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2021
|-
|
* {{A|Réforme de l'instruction et de l'éducation}}
* {{A|Les Catacombes de Paris}}
* {{A|Les cycles de développement}}
* {{A|Les fécondations}}
|
* {{A|Espéranto/Vocabulaire/Érotisme}}
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2022
|-
|
* {{A|Recherche:L'explication de Ronel Dixit disant ce qu'est l'authentique Justice}}
* {{A|Brevet informatique et internet}} (DdA groupé avec 3 niveaux : école, collège, lycée)
* {{A|Certificat informatique et internet}}
|
|-

!colspan=&quot;3&quot;| 2023
|-
|
* {{A|Recherche:Duplication}}
* {{P|Recherche:The Western Canon: The Books and School of the Ages}}
* {{P|Recherche:Volguine, Alexandre}}
* {{A|Recherche:Exploration sur un livre qui se passe en 2067}}
* {{A|Département:Monarchie}}
* {{A|Département:Guerre}}
* {{A|Département:Frontière}}
* {{A|Recherche:Socle commun citoyen des gauches et des écologistes}}
|
* {{A|Témoignage au procès du siècle de Valérie Masson-Delmotte 9 octobre 2050}}
* {{A|Recherche:Réflexion sur des réformes de notre société}}
|
|-

!colspan=&quot;3&quot;| 2024
|-
|
* {{A|Recherche:Effets secondaires de Sahaja Yoga}}
|
|-

!colspan=&quot;3&quot;| 2025
|-
|
* {{A|Homme, système complexe}}
* {{A|Recherche:Relativité des choses}}
* {{A|Système d'exploitation multiprogrammation}}
* {{A|Australie et Nouvelle-Zélande}}
* {{A|Rwanda}}
* {{A|Grande Dépression}}
* {{A|Guerre russo-japonaise}}
* {{A|Famille &quot;De Tremblecourt&quot; (Famille &quot;Chrétien&quot; depuis 1735)}}
* {{A|Maison &quot;de Tremblecourt&quot; (Maison &quot;Chrétien&quot; depuis 1735)}}
* {{A|Programmation distribuée}}
* {{A|Apprentissage supervisé}}
|
|-

!colspan=&quot;3&quot;| 2026
|-
|
* {{A|Économie numérique au Maroc}}
* {{A|Digitale}}
* {{A|Utilisateur:Fahimi mohame}}
|
|}

[[Catégorie:Maintenance des pages]]
[[Catégorie:Discussions communautaires]]</text>
      <sha1>01q6lcvh0u65wwdcjzony3t7bfvzdc7</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983522</id>
      <parentid>983518</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T13:16:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <comment>/* Débats en cours */</comment>
      <origin>983522</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8957" sha1="j19etkmfbfvmse8l2wf4manydngc8fr" xml:space="preserve">{{Nobots}}
__NEWSECTIONLINK__
{{Boîte de requêtes}}
&lt;div class=&quot;plainlinks&quot; style=&quot;overflow: hidden; margin: .5em 0; padding: 1em; padding: 1em; border: 2px solid #555753; border-radius: 0; background-color: #e5e6e3; color: #000; border-radius: 5px; margin: 0;&quot;&gt;

&lt;div style=&quot;background-color: #a7a8a7; margin-bottom: 15px; margin-left: -15px; margin-right: -15px; margin-top: -15px; line-height: 40px; font-size: 1.5em;&quot;&gt;{{Centrer|Débats d'admissibilité}}&lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;opacity: 0.2; right: 20em&quot;&gt;[[Image:Keep tidy ask 2.svg|droite|100px|link=]]&lt;/div&gt;&lt;strong style=&quot;font-size:1.2em;color:#3366BB;&quot;&gt;Cette page liste les débats d'admissibilité de pages, dits « DdA ».&lt;/strong&gt;

&lt;strong style=&quot;font-size:1.0em&quot;&gt;Ouvrir un débat d'admissibilité&lt;/strong&gt;
#Ajoutez le modèle {{m|Admissibilité}} en haut de la page concernée : un bandeau sera ainsi visible pour indiquer aux autres contributeurs le débat d'admissibilité (ce bandeau ne doit pas être retiré avant la fin de la procédure).
#Cliquez sur le lien rouge, renseignez le motif puis sauvegardez.
#Ajoutez la page concernée dans la section &lt;code&gt;Débats en cours&lt;/code&gt; (ci-dessous) pour informer les autres contributeurs qui pourront ainsi participer aux discussions et au vote.

[[Image:OOjs UI icon alert-destructive.svg|{{{taille|30px}}}|link=]]&lt;strong style=&quot;font-size:1.0em;color:#D82A2A;&quot;&gt;Attention&lt;/strong&gt;
* si la page est clairement inadmissible → demandez une {{m|suppression immédiate}}
* si la page doublonne une autre page de Wikiversité → demandez une [[Wikiversité:Pages à fusionner|fusion]]
* si la page semble violer le droit d'auteur → signalez-le sur [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright]]&lt;/div&gt;

== Débats en cours ==

{{Raccourci|WV:DAD|WV:DdA|WV:PàS|align=right}}

{| class=&quot;wikitable sortable&quot;
! Lien vers la page concernée (P) et celle du débat !! Année de création&lt;br/&gt;&lt;small&gt;de la page mise en cause&lt;/small&gt; !! Nombre d'avis donnés
|-
| {{P|Langage cinématographique}} || 2007 || {{Rouge|0 avis}}
|-
| {{P|Flash}} || 2007 || {{Vert|5 avis}}
|-
| {{P|Mouvement féministe}} || 2008 || {{Vert|4 avis}}
|-
| {{P|Joomla}} || 2008 || {{Vert|4 avis}}
|-
| {{P|Collapsologie}} || 2016 || {{Rouge|2 avis}}
|-
| {{P|Citoyenneté et empire à Rome (Ie-IIIe siècle)}} || 2018 || {{Rouge|1 avis}}
|-
| {{P|Apprentissage non supervisé}} || 2018 || {{Rouge|1 avis}}
|-
| {{P|Peuples amérindiens}} || 2019 || {{Rouge|2 avis}}
|-
| {{P|Création des états modernes en Europe}} || 2019 || {{Vert|4 avis}}
|-
| {{P|Mouvement ouvrier}} || 2020 || {{Orange|3 avis}}
|-
| {{P|Apprentissage profond}} || 2024 || {{Orange|3 avis}}
|-
| {{P|Apprentissage par renforcement}} || 2024 || {{Vert|4 avis}}
|-
| {{P|Algorithme génétique}} || 2024 || {{Orange|3 avis}}
|}

== Débats clos ==

{|class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Pages supprimées !! Pages conservées !! Autres cas
|-
!colspan=&quot;4&quot;| 2007
|-
|
* {{A|Argot (région parisienne)}}
|
* {{A|Matériel (réseau)}}
| 
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2008
|-
| 
* {{A|Bayt mal alqods acharif}}
* {{A|Comité alqods}}
* {{A|Catégorie:Grammaire lettonne}}
* {{A|Catégorie:Conjugaison lettonne}}
* {{A|Grammaire/Latin/Les prépositions latines}}
* {{A|Introduction aux genres littéraires/Le genre narratif}}
* {{A|Introduction à la musique/Introduction}}
| * {{A|Candide}}
|
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2009
|-
| 
* {{A|Diapause génétique}}
|
* {{A|Conseil de navigation}}
|
* {{A|Introduction à l'électrostatique/Définition}} : Recyclé comme fiche dans le cours [[Électrostatique]]
* {{A|Vocabulaire espagnol des animaux/Amphibiens}} : {{Fusionner}}
* {{A|Vocabulaire espagnol des animaux/Mollusques}} : {{Fusionner}}
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2011
|-
|
* {{A|Introduction à la mécanique des fluides/Exercices/Gradients et Laplaciens}}
|
* {{A|Guitare/Théorie d'accords}}
* {{A|Handball/Règles}}
* {{A|Modèle:Utilisateur Agrégé/Physique}}
* {{A|Recherche:Polynômes de Boubaker}}
|
* {{A|Introduction à la mécanique des fluides/Rappels de Mathématiques}} : Recyclée en annexe
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2012
|-
|
* {{A|Photométrie/Éclairement lumineux}}
|
|
* {{A|Recherche:ADN invisible}} redirigée vers {{A|Diapause génétique}}
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2013
|-
|
* {{A|Les Vazimbas}}
* {{A|Recherche:Nombres premiers et modèle des flèches de Jonathan}}
|
|
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2014
|-
|
* {{A|Département:Sociologie économique}} et revoir tous les départements de [[Faculté:Socio-anthropologie]] (fusion/regroupement/suppression/...)
* {{A|Recherche:Piratage électoral dans la commune de Walcourt}}
* {{A|Transgression télévisuelle}}
|
|
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2015
|-
|
* {{A|Corsü di xeç}}
* {{A|Dénotation et connotation}}
* {{A|Le barbier de Séville}}
* {{A|Le parc de Tsimbazaza}}
* {{A|Le besoin satisfait par le système}}
* {{A|Liaisons élastiques. Ressorts}}
* {{A|Musicologues}}
* {{A|Recherche:Fausse schizophrénie}}
* {{A|Recherche:L'effet balançoire}}
* {{A|Recherche:La double stratégie}}
* {{A|Recherche:Nouvelle menace HIV}}
* {{A|Sentiment d appartenance}}
* {{A|Taxe sur la valeur ajoutée}}
* {{A|Portugais/Grammaire/Alphabet}} (Motif : Demande de l'auteur)
|
* {{A|Le Mariage de Figaro}}
* {{A|Recherche:Polynômes de Boubaker}} (conservée en 2011)
|
* {{A|Méthode par questionnaire}} : Fusionnée avec la leçon [[Sondage]]
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2016
|-
|
* {{A|Analyse de questions en forme de QCM sur le chocolat}}
|
* {{A|Recherche:Collaboration juive sous le nazisme}}
|
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2017
|-
|
* {{A|Être témoin de Jésus-Christ aujourd'hui}}
* {{A|Créer une animation GIF}}
* {{A|Anglais/Méthode/Unité 2}}
* {{A|Anglais/Méthode/Unité 1}}
* {{A|Département:Afrikaans}}
* {{A|Département:Estonien}}
* {{A|Département:Francique lorrain}}
* {{A|Département:Indonésien}}
* {{A|Département:Lojban}}
* {{A|Département:Normand}}
* {{A|Département:Norvégien}}
* {{A|Département:Occitan}}
* {{A|Département:Ukrainien}}
* {{A|Département:Wallon}}
* {{A|Méthode des différences finies}}
* {{A|Variables aléatoires}}
* {{A|Statistiques appliquées en Licence 3 en Economie et Gestion}}
* {{A|Formules de Taylor}}
|
* {{A|Géographie de l'Allemagne}} : {{renommer}} [[Allemand/Civilisation]]
* {{A|Wikiversité:Conventions de gestion}} '''en attendant la conclusion du [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]] (page recréée le 5 octobre 2017)'''.
|
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2018
|-
|
* {{A|Recherche:Base logique des structures hypercomplexes}}
* {{A|Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon}}
|
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2019
|-
|
* {{A|Recherche:Raisonnement contradictoire et structure des nombres entiers/Démonstration canonique du DTF}}
* {{A|Recherche:L'explication de Ronel Dixit disant quel est le vrai sens de la vie}}
* {{A|Calcul infinitésimal}}
* {{A|L'habitat et les ouvrages de notre environnement/Pourquoi les bâtiments et les ouvrages d'arts construits par les hommes ne sont pas tous semblables?}}
|
* {{A|Logique (mathématiques)}}
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Suppression de travaux personnels|Suppression de travaux personnels]]
|
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2020
|-
|
* {{A|Français en première S}}
* {{A|Français en première ES}}
* {{A|Français en première L}}
|
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2021
|-
|
* {{A|Réforme de l'instruction et de l'éducation}}
* {{A|Les Catacombes de Paris}}
* {{A|Les cycles de développement}}
* {{A|Les fécondations}}
|
* {{A|Espéranto/Vocabulaire/Érotisme}}
|-
!colspan=&quot;3&quot;| 2022
|-
|
* {{A|Recherche:L'explication de Ronel Dixit disant ce qu'est l'authentique Justice}}
* {{A|Brevet informatique et internet}} (DdA groupé avec 3 niveaux : école, collège, lycée)
* {{A|Certificat informatique et internet}}
|
|-

!colspan=&quot;3&quot;| 2023
|-
|
* {{A|Recherche:Duplication}}
* {{P|Recherche:The Western Canon: The Books and School of the Ages}}
* {{P|Recherche:Volguine, Alexandre}}
* {{A|Recherche:Exploration sur un livre qui se passe en 2067}}
* {{A|Département:Monarchie}}
* {{A|Département:Guerre}}
* {{A|Département:Frontière}}
* {{A|Recherche:Socle commun citoyen des gauches et des écologistes}}
|
* {{A|Témoignage au procès du siècle de Valérie Masson-Delmotte 9 octobre 2050}}
* {{A|Recherche:Réflexion sur des réformes de notre société}}
|
|-

!colspan=&quot;3&quot;| 2024
|-
|
* {{A|Recherche:Effets secondaires de Sahaja Yoga}}
|
|-

!colspan=&quot;3&quot;| 2025
|-
|
* {{A|Homme, système complexe}}
* {{A|Recherche:Relativité des choses}}
* {{A|Système d'exploitation multiprogrammation}}
* {{A|Australie et Nouvelle-Zélande}}
* {{A|Rwanda}}
* {{A|Grande Dépression}}
* {{A|Guerre russo-japonaise}}
* {{A|Famille &quot;De Tremblecourt&quot; (Famille &quot;Chrétien&quot; depuis 1735)}}
* {{A|Maison &quot;de Tremblecourt&quot; (Maison &quot;Chrétien&quot; depuis 1735)}}
* {{A|Programmation distribuée}}
* {{A|Apprentissage supervisé}}
|
|-

!colspan=&quot;3&quot;| 2026
|-
|
* {{A|Économie numérique au Maroc}}
* {{A|Digitale}}
* {{A|Utilisateur:Fahimi mohame}}
|
|}

[[Catégorie:Maintenance des pages]]
[[Catégorie:Discussions communautaires]]</text>
      <sha1>j19etkmfbfvmse8l2wf4manydngc8fr</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Modèle:P</title>
    <ns>10</ns>
    <id>14367</id>
    <revision>
      <id>983519</id>
      <parentid>884595</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T13:16:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <origin>983519</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="511" sha1="espcynwijmn4yatn0gk7fq9d6k5s4ru" xml:space="preserve">&lt;includeonly&gt;&lt;small class=&quot;plainlinks&quot;&gt;&lt;nowiki&gt;[&lt;/nowiki&gt;[[:{{{1}}}|&lt;span title=&quot;Page mise en cause&quot;&gt;P&lt;/span&gt;]]·[[{{TALKPAGENAME:{{{1}}}}}|&lt;span title=&quot;Page de discussion générale&quot;&gt;D&lt;/span&gt;]]·[{{fullurl:Special:Log|type=delete&amp;user=&amp;page={{urlencode:{{{1}}}}}}} &lt;span title=&quot;Journal d'effacement&quot;&gt;J&lt;/span&gt;]&lt;nowiki&gt;]&lt;/nowiki&gt;&lt;/small&gt;  [[{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{1}}}|&lt;span title=&quot;Page du débat d'admissibilité&quot;&gt;/{{{1}}}&lt;/span&gt;]]&lt;/includeonly&gt;&lt;noinclude&gt;{{clear}}
{{Documentation}}
&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>espcynwijmn4yatn0gk7fq9d6k5s4ru</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983520</id>
      <parentid>983519</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T13:16:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <origin>983520</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="503" sha1="fazbwadpb80xxqh100a8du9i7m26tkk" xml:space="preserve">&lt;includeonly&gt;&lt;small class=&quot;plainlinks&quot;&gt;&lt;nowiki&gt;[&lt;/nowiki&gt;[[:{{{1}}}|&lt;span title=&quot;Page mise en cause&quot;&gt;P&lt;/span&gt;]]·[[{{TALKPAGENAME:{{{1}}}}}|&lt;span title=&quot;Page de discussion générale&quot;&gt;D&lt;/span&gt;]]·[{{fullurl:Special:Log|type=delete&amp;user=&amp;page={{urlencode:{{{1}}}}}}} &lt;span title=&quot;Journal d'effacement&quot;&gt;J&lt;/span&gt;]&lt;nowiki&gt;]&lt;/nowiki&gt;&lt;/small&gt;  [[{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{1}}}|&lt;span title=&quot;Débat d'admissibilité&quot;&gt;/{{{1}}}&lt;/span&gt;]]&lt;/includeonly&gt;&lt;noinclude&gt;{{clear}}
{{Documentation}}
&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>fazbwadpb80xxqh100a8du9i7m26tkk</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983521</id>
      <parentid>983520</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T13:16:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <origin>983521</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="497" sha1="bu6af2b0cb8w40r60rv1zr34py2h25q" xml:space="preserve">&lt;includeonly&gt;&lt;small class=&quot;plainlinks&quot;&gt;&lt;nowiki&gt;[&lt;/nowiki&gt;[[:{{{1}}}|&lt;span title=&quot;Page mise en cause&quot;&gt;P&lt;/span&gt;]]·[[{{TALKPAGENAME:{{{1}}}}}|&lt;span title=&quot;Discussions générales&quot;&gt;D&lt;/span&gt;]]·[{{fullurl:Special:Log|type=delete&amp;user=&amp;page={{urlencode:{{{1}}}}}}} &lt;span title=&quot;Journal d'effacement&quot;&gt;J&lt;/span&gt;]&lt;nowiki&gt;]&lt;/nowiki&gt;&lt;/small&gt;  [[{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{1}}}|&lt;span title=&quot;Débat d'admissibilité&quot;&gt;/{{{1}}}&lt;/span&gt;]]&lt;/includeonly&gt;&lt;noinclude&gt;{{clear}}
{{Documentation}}
&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>bu6af2b0cb8w40r60rv1zr34py2h25q</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Catégorie:Suppressions immédiates demandées</title>
    <ns>14</ns>
    <id>49401</id>
    <revision>
      <id>983536</id>
      <parentid>972850</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T13:37:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <origin>983536</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1818" sha1="6ldeee3z5jwo6cr2w2j4q5o962wbptd" xml:space="preserve">{{Boîte de requêtes}}
&lt;div class=&quot;plainlinks&quot; style=&quot;overflow: hidden; margin: .5em 0; padding: 1em; padding: 1em; border: 2px solid #555753; border-radius: 0; background-color: #e5e6e3; color: #000; border-radius: 5px; margin: 0;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color: #a7a8a7; margin-bottom: 15px; margin-left: -15px; margin-right: -15px; margin-top: -15px; line-height: 40px; font-size: 1.5em;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;text-align:center&quot;&gt;Suppressions immédiates demandées
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;opacity: 0.2; right: 20em&quot;&gt;[[File:OOjs UI icon trash.svg|droite|100px|link=]]&lt;/div&gt;
&lt;strong style=&quot;font-size:1.2em;color:#3366BB;&quot;&gt;Cette page liste les pages qui sont proposées à la suppression immédiate.&lt;/strong&gt;
&lt;br /&gt;
Si la suppression d'une page ne fait aucun doute (spam, troll, manifestement aberrant, etc.), il faut ajouter le modèle {{m|Suppression immédiate}} (ou {{m|SI}} ou {{m|Delete}}) en haut de la page concernée. Un bandeau sera visible pour indiquer aux autres utilisateurs la proposition de suppression immédiate ; il ne doit pas être retiré avant la fin de la procédure. La page sera automatiquement ajoutée dans cette catégorie. Un administrateur passera valider ou non la proposition de suppression immédiate.

[[Image:OOjs UI icon alert-destructive.svg|30px|link=]]&lt;strong style=&quot;font-size:1.0em;color:#D82A2A;&quot;&gt;Attention&lt;/strong&gt;
*si la suppression est discutable → consultez [[Wikiversité:Pages à supprimer]]
*si la page concernée est un doublon → demandez une [[Wikiversité:Pages à fusionner|fusion]] des pages
*si la page semble violer le droit d'auteur → signalez-le sur [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright]]&lt;/div&gt;
{{note|''Cette liste est mise à jour automatiquement.''}}

[[Catégorie:Maintenance des pages|S]]
[[Catégorie:Wikiversité:Administrateur]]</text>
      <sha1>6ldeee3z5jwo6cr2w2j4q5o962wbptd</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983537</id>
      <parentid>983536</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T13:39:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <origin>983537</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1744" sha1="qv37yze0hc81uoywsktvt0helk2oi43" xml:space="preserve">{{Boîte de requêtes}}
&lt;div class=&quot;plainlinks&quot; style=&quot;overflow: hidden; margin: .5em 0; padding: 1em; padding: 1em; border: 2px solid #555753; border-radius: 0; background-color: #e5e6e3; color: #000; border-radius: 5px; margin: 0;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color: #a7a8a7; margin-bottom: 15px; margin-left: -15px; margin-right: -15px; margin-top: -15px; line-height: 40px; font-size: 1.5em;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;text-align:center&quot;&gt;Suppressions immédiates demandées
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;opacity: 0.2; right: 20em&quot;&gt;[[File:OOjs UI icon trash.svg|droite|100px|link=]]&lt;/div&gt;
&lt;strong style=&quot;font-size:1.2em;color:#3366BB;&quot;&gt;Cette page liste les pages qui sont proposées à la suppression immédiate (SI).&lt;/strong&gt;
&lt;br /&gt;
Si le caractère non admissible ne fait aucun doute (spam, contenu aberrant), ajoutez {{m|Suppression immédiate}} (ou {{m|SI}} ou {{m|Delete}}) en haut de la page concernée. Un bandeau sera visible pour indiquer la proposition de SI ; il ne doit pas être retiré avant la fin de la procédure. La page sera automatiquement ajoutée dans cette catégorie. Un administrateur passera valider ou non la proposition de suppression immédiate.

[[Image:OOjs UI icon alert-destructive.svg|30px|link=]]&lt;strong style=&quot;font-size:1.0em;color:#D82A2A;&quot;&gt;Attention&lt;/strong&gt;
*si la suppression est discutable → consultez [[Wikiversité:Pages à supprimer]]
*si la page concernée est un doublon → demandez une [[Wikiversité:Pages à fusionner|fusion]] des pages
*si la page semble violer le droit d'auteur → signalez-le sur [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright]]&lt;/div&gt;
{{note|''Cette liste est mise à jour automatiquement.''}}

[[Catégorie:Maintenance des pages|S]]
[[Catégorie:Wikiversité:Administrateur]]</text>
      <sha1>qv37yze0hc81uoywsktvt0helk2oi43</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Recherche:Cardinal quantitatif</title>
    <ns>104</ns>
    <id>67660</id>
    <revision>
      <id>983548</id>
      <parentid>983500</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T15:39:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Guillaume FOUCART</username>
        <id>39841</id>
      </contributor>
      <origin>983548</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="475215" sha1="dz9ubfrbkoo65glfvp8b6c5vd42imye" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/20/mes-productions-scolaires-en-mathematiques-20/ Mes productions scolaires en mathématiques(20)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de géométrie différentielle(6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2019/02/01/formulairegeometriedifferentielle-10/ Formulaire de géométrie différentielle(10)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/formulairedegeometriedifferentielle-14/ Formulaire de géométrie différentielle (14)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2019/03/30/formulaire-de-topologie-differentielle/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]
* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]]
* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']]
* [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia]
* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']]
* [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']]
* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


'''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert.


'''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' 

'''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' 

'''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) &quot;Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)&quot;], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif'''

'''et en cliquant sur le bon icône.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' 

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF de 213 pages et de 1,1 Mo de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) du 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''

'''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.'''


'''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.'''


'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent, je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''
* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''


'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Malgré le foisonnement de titres et de sous-titres : Avec une échelle réduite de 50%, les travaux, dont il est question, ne font que 56 pages, au format A4, le 29-03-2021, et encore ils sont, relativement, aérés et espacés. Certes, ils ont, trompeusement et faussement, l'allure et l'apparence d'un mille-feuilles argumentatif, mais, concernant la partie spéculative, ils sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés. En moyenne, chaque sous-partie élémentaire mentionnée dans la table des matières est relativement {courte|brève} : Il n'y a donc pas lieu d'être effrayé par le grand nombre de sous-parties élémentaires figurant dans la table des matières. Par ailleurs, il y a beaucoup d'exemples illustratifs.'''

'''VOICI LA TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE LE PLUS POSSIBLE (Il faut d'abord lire les titres en gras. J'aurais aimé pouvoir disposer d'une table des matières qui se déploie au fur et à mesure que l'on avance en allant des titres généraux aux titres particuliers. Il est très rare que les définitions, les propositions, les lemmes, les théorèmes, les remarques, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, figurent dans une table des matières ou dans un sommaire, et de fait, ma table des matières s'en retrouve fortement alourdie, mais il en est ainsi, car cela est plus {pratique|commode} dans le cas où il m'arriverait d'avoir des modifications à faire.) :'''

'''[NB : Désormais, on peut aussi consulter la version de mes travaux, avec une table des matières, simplifiée (Cf. liens ci-dessus).]''' 


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur d'université voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''


===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :
*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et
*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;;


et &lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot; classique ou habituel) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot; classique ou habituel)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS&quot;''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC)

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot; classique ou habituel) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot; classique ou habituel), et ce seront les seuls à l'être.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4 et dans la version 4-5, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===

====Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

====Remarques sur la définition====

&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;''. 

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 
 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. '''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).''' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;

====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''Préliminaires :'''

==== Notations ====
{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}

==== Remarque ====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalles \,\, born\acute{e}s \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}

====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton.


On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p = \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

====Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.
 
avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;}}

====Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}


'''''Remarque : '''''


La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 

Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

====Théorème admis de HADWIGER====

{{Théorème|titre=|contenu=[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}

====Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt; 

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt; 

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et où &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;,


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;

====Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;

====Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.}}


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}


{{ancre|Corollaire}}

====Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;

====Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)====


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;

===='''Remarque importante'''==== 


{{Théorème|titre=|contenu=''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

====Remarque préliminaire 1====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}

====Remarque importante 4====
{{Théorème|titre=|contenu=Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}

====Proposition 5==== 
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}

====Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt;====


{{Théorème|titre=|contenu=&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}

&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n) = \{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''

===='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''====


{{Théorème|titre=|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} =\frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big)= \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}

====Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^n) \bigsqcup {PV2}({\R}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

(Si de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}

=====Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;

=====Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;,


et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, comme un ensemble tel que &lt;math&gt;\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt;a\}&lt;/math&gt;.}}

=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = ?}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,
 

où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;

=====Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; , avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}

=====Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}

=====Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)=====

{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;'', car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


et où

&lt;math&gt;\displaystyle{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;.


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


b) Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;f(0) = 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(avec &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


Alors :


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;'''),


'''[Fin point sensible]''' 


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;


•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(avec &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''

Alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big) }&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

====='''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''=====

======Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)======
 
{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 

On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

=====2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}

=====Exemples 2=====
{{Théorème|titre=|contenu=''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;.&quot;''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantités ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}

=====Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, : \,\,\|b\| &lt; \|b'\|&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{1}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{1}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

====Partie 1====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt; ]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;,]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes,born\acute{e}es}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe), de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe, (connexe) de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

====Partie 2====

{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min(R) &lt; \min(S) \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;C^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

====Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;====

===== Conjecture =====

{{Théorème|titre=|contenu=Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;=====


''Motivation :'' Cela permettra entre autres de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


======Remarque importante préliminaire :======


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.

======Définitions :======


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


======A)======
 

{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;

où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\R)= +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +{\infty}_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt; 


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);
*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);
*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}

======B)======
 

{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g \Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}

======C)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}


======D) Partie 1)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,

mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)= -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}

======D) Partie 2)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


On pose :
 
&lt;math&gt;\sup(\N)= \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'') = \sup(\R'') = +\infty_{\N''} = +\infty_{\R''} = {+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;. 


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}

======D) Partie 3) '''Remarque importante :'''======


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.


J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}

======D) Partie 4)======


{{Théorème|titre=|contenu='''Remarque :'''
 

Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

=====Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :''

Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut ''construire'' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense ''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]'' 


''Remarque :'' 

Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}

=====Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====

=====Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les ou hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

=====Remarques sur la définition=====

&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot; :'''''

Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

=====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n)\,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\}&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

===== Notations =====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}

===== Remarque =====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}

=====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, sans qu'ils s'assimilent à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; =====

{{Théorème|titre=|contenu= Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow_{d\acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \Leftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


'''NB : Ce changement de notation n'est pas sans conséquences.'''}}

=====Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit, normalement, vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;'',


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}

=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,
 

et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,
 

où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarque :'''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''

 
Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''Conjecture qui servira :''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}

=====Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}

====='''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''=====

======Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== 

{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de ''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;''.

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''De manière non classique'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


'''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.'''

(respectivement '''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;''').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{respectivement} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=''


De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''Définition :''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====


''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] :''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''De manière non classique'', on considère :


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, qui est ou bien &lt;math&gt;\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF'', de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


''Compléments :''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, : \,\,\|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

====Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot; à prendre en compte)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Je viens de faire un certains nombre de mise à jour [10-06-2024].

==== Remarque ====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, des ensembles, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A, B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.
 

Alors : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}

====Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

'''''['''''c'est-à-dire tels que : 

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.


Alors : &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;''''']'''''.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt;card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement borné constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :

&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
      <sha1>dz9ubfrbkoo65glfvp8b6c5vd42imye</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983549</id>
      <parentid>983548</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T15:41:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Guillaume FOUCART</username>
        <id>39841</id>
      </contributor>
      <comment>/* Liens */</comment>
      <origin>983549</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="475301" sha1="jtg8tq86kthb9gd8jwzqa7cnf6xv5z4" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/20/mes-productions-scolaires-en-mathematiques-20/ Mes productions scolaires en mathématiques(20)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de géométrie différentielle(6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2019/02/01/formulairegeometriedifferentielle-10/ Formulaire de géométrie différentielle(10)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/formulairedegeometriedifferentielle-14/ Formulaire de géométrie différentielle (14)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2019/03/30/formulaire-de-topologie-differentielle/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]
* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]]
* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']]
* [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia]
* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']]
* [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']]
* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


'''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert.


'''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' 

'''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' 

'''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) &quot;Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)&quot;], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif'''

'''et en cliquant sur le bon icône.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' 

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF de 213 pages et de 1,1 Mo de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) du 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''

'''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.'''


'''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.'''


'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent, je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''
* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''


'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Malgré le foisonnement de titres et de sous-titres : Avec une échelle réduite de 50%, les travaux, dont il est question, ne font que 56 pages, au format A4, le 29-03-2021, et encore ils sont, relativement, aérés et espacés. Certes, ils ont, trompeusement et faussement, l'allure et l'apparence d'un mille-feuilles argumentatif, mais, concernant la partie spéculative, ils sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés. En moyenne, chaque sous-partie élémentaire mentionnée dans la table des matières est relativement {courte|brève} : Il n'y a donc pas lieu d'être effrayé par le grand nombre de sous-parties élémentaires figurant dans la table des matières. Par ailleurs, il y a beaucoup d'exemples illustratifs.'''

'''VOICI LA TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE LE PLUS POSSIBLE (Il faut d'abord lire les titres en gras. J'aurais aimé pouvoir disposer d'une table des matières qui se déploie au fur et à mesure que l'on avance en allant des titres généraux aux titres particuliers. Il est très rare que les définitions, les propositions, les lemmes, les théorèmes, les remarques, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, figurent dans une table des matières ou dans un sommaire, et de fait, ma table des matières s'en retrouve fortement alourdie, mais il en est ainsi, car cela est plus {pratique|commode} dans le cas où il m'arriverait d'avoir des modifications à faire.) :'''

'''[NB : Désormais, on peut aussi consulter la version de mes travaux, avec une table des matières, simplifiée (Cf. liens ci-dessus).]''' 


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur d'université voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''


===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :
*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et
*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;;


et &lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot; classique ou habituel) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot; classique ou habituel)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS&quot;''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC)

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot; classique ou habituel) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot; classique ou habituel), et ce seront les seuls à l'être.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4 et dans la version 4-5, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===

====Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

====Remarques sur la définition====

&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;''. 

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 
 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. '''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).''' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;

====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''Préliminaires :'''

==== Notations ====
{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}

==== Remarque ====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalles \,\, born\acute{e}s \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}

====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton.


On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p = \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

====Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.
 
avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

====Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;}}

====Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}


'''''Remarque : '''''


La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 

Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

====Théorème admis de HADWIGER====

{{Théorème|titre=|contenu=[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}

====Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt; 

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt; 

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et où &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;,


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;

====Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;

====Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.}}


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}


{{ancre|Corollaire}}

====Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)====


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;

====Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)====


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;

===='''Remarque importante'''==== 


{{Théorème|titre=|contenu=''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

====Remarque préliminaire 1====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}

====Remarque importante 4====
{{Théorème|titre=|contenu=Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}

====Proposition 5==== 
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}

====Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt;====


{{Théorème|titre=|contenu=&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}

&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n) = \{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''

===='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''====


{{Théorème|titre=|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} =\frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big)= \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}

====Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^n) \bigsqcup {PV2}({\R}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

(Si de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}

=====Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;

=====Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;,


et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, comme un ensemble tel que &lt;math&gt;\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt;a\}&lt;/math&gt;.}}

=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = ?}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,
 

où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;

=====Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; , avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}

=====Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}

=====Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)=====

{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;'', car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


et où

&lt;math&gt;\displaystyle{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;.


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


b) Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;f(0) = 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(avec &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


Alors :


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;'''),


'''[Fin point sensible]''' 


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;


•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(avec &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''

Alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big) }&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

====='''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''=====

======Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)======
 
{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 

On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

=====2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}

=====Exemples 2=====
{{Théorème|titre=|contenu=''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;.&quot;''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantités ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}

=====Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, : \,\,\|b\| &lt; \|b'\|&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{1}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{1}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

====Partie 1====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt; ]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;,]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes,born\acute{e}es}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe), de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe, (connexe) de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

====Partie 2====

{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min(R) &lt; \min(S) \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;C^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

====Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;====

===== Conjecture =====

{{Théorème|titre=|contenu=Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;=====


''Motivation :'' Cela permettra entre autres de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


======Remarque importante préliminaire :======


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.

======Définitions :======


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


======A)======
 

{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;

où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\R)= +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +{\infty}_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt; 


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);
*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);
*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}

======B)======
 

{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g \Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}

======C)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}


======D) Partie 1)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,

mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)= -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}

======D) Partie 2)======


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


On pose :
 
&lt;math&gt;\sup(\N)= \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'') = \sup(\R'') = +\infty_{\N''} = +\infty_{\R''} = {+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;. 


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}

======D) Partie 3) '''Remarque importante :'''======


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.


J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&lt;math&gt;\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}

======D) Partie 4)======


{{Théorème|titre=|contenu='''Remarque :'''
 

Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

=====Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :''

Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut ''construire'' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense ''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]'' 


''Remarque :'' 

Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}

=====Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====

=====Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les ou hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

=====Remarques sur la définition=====

&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot; :'''''

Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

=====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n)\,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\}&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

===== Notations =====
{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}

===== Remarque =====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}

=====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, des intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, sans qu'ils s'assimilent à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

=====Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; =====

{{Théorème|titre=|contenu= Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow_{d\acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \Leftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


'''NB : Ce changement de notation n'est pas sans conséquences.'''}}

=====Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit, normalement, vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;'',


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}

=====Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,
 

et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,
 

où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarque :'''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''

 
Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''Conjecture qui servira :''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

=====Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;=====


{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}

=====Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;=====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}

====='''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''=====

======Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== 

{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de ''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;''.

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''De manière non classique'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


'''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.'''

(respectivement '''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;''').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{respectivement} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}

======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale======

{{Théorème|titre=|contenu=''


De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''Définition :''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====


''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] :''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''De manière non classique'', on considère :


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, qui est ou bien &lt;math&gt;\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF'', de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


''Compléments :''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, : \,\,\|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

====Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot; à prendre en compte)====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Je viens de faire un certains nombre de mise à jour [10-06-2024].

==== Remarque ====

{{Théorème|titre=|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, des ensembles, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A, B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.
 

Alors : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}

====Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;====

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

'''''['''''c'est-à-dire tels que : 

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.


Alors : &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;''''']'''''.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt;card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement borné constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :

&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
      <sha1>jtg8tq86kthb9gd8jwzqa7cnf6xv5z4</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Ensemble des formules chimiques/Ac, Ag, Al, Am, Ar, As, At, Au/Ag, l’argent</title>
    <ns>0</ns>
    <id>76232</id>
    <revision>
      <id>983562</id>
      <parentid>954977</parentid>
      <timestamp>2026-06-15T10:30:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Geoleplubo</username>
        <id>7999</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>équilibrage réactions (suite)</comment>
      <origin>983562</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15716" sha1="a0jq6cafblhknlyw8z897zdcfzgu1vg" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = chimie
  | numéro    = 2
  | précédent = [[../Ac, l'actinium/]]
  | suivant   = [[../Al, l'aluminium/]]
  | niveau    = 15
}}

==Ag, l’argent==
* &lt;chem&gt;Ag         +   Cu^{II}Cl2                -&gt;   Cu + Ag^{II}Cl2&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag         +   H2S                       -&gt;   H2 + AgS&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag         +   HBr                       -&gt;   AgHBr&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag         + 3 HCl            + HN^{V}O3 -&gt; 2 H2O + N^{II}O{} + Ag^{III}Cl3&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag         + 2 H^{I}Cl                   -&gt;   H2 + Ag^{II}Cl2&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag         + 4 HN^{V}O3                  -&gt; 2 H2O + 2 N^{IV}O2{} + Ag^{II}(N^{V}O3)2&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag_{(s)}{} + 2 HN^{V}O3_{(aq)}           -&gt;   H2O_{(l)}{} + N^{IV}O2_{(l)}{} + Ag^{I}N^{V}O3_{(aq)}&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag         +   O2                        -&gt;   Ag^{IV}O^{-II}2&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag         + 3 O2                        -&gt;   Ag^{XII}O^{-II}6&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag         +   S                         -&gt;   AgS&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag_{(s)}{} + 2 S_{(s)}                   -&gt;   Ag^{I}2S^{-II}-{(s)}&lt;/chem&gt;

* &lt;chem&gt;2 Ag_{(s)}{} +   Br2_{(aq)}                           -&gt; 2 AgBr_{(s)}&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;2 Ag_{(s)}{} +   H2S^{VI}O4_{(aq)}{}                  -&gt;   H2O_{(l)}{} + S^{IV}O2_{(aq)}{} + Ag^{I}2O_{(s)}&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;2 Ag_{(s)}{} + 2 H^{I}Cl_{(aq)}{}    + 2 NaNO3_{(aq)} -&gt;   H2_{(g)}{} + 2 NaCl_{(aq)}{} + 2 Ag^{I}NO3_{(aq)}&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;2 Ag_{(s)}{} + 2 H2S^{VI}O4_{(aq)}                    -&gt;   Ag^{I}2S^{VI}O4_{(s)}{} + S^{IV}O2_{(aq)}{} + 2H2O_{(l)}&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;2 Ag         + 3 H2S^{VI}O4                           -&gt; 2 Ag^{I}HS^{VI}O4 + S^{IV}O2 + 2H2O&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;2 Ag_{(s)}{} +   I2_{(s)}                             -&gt; 2 Ag^{I}I^{-I}_{(s)}&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;2 Ag         +   O2                                   -&gt; 2 Ag^{II}O^{-II}&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;2 Ag_{(s)}{} +   O3_{(g)}                             -&gt;   O2_{(g)}{} + Ag^{I}2O^{-II}_{(s)}&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;2 Ag         + 2 O^{-I}H                              -&gt;   H2O^{-II}{} + Ag^{I}2O^{-II}&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;2 Ag         +   S^{VI}O3                             -&gt;   Ag^{I}2S^{IV}O3&lt;/chem&gt;

* &lt;chem&gt;3 Ag_{(s)}{} + 4 HN^{V}O3_{(aq)}        -&gt; 3 Ag^{I}N^{V}O3_{(aq)}{} + 2H2O_{(l)}{} + N^{II}O_{(g)}&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;3 Ag_{(s)}{} + 4 HN^{V}O3_{(aq)}        -&gt; 2 H2O_{(l)}{} + N^{III}O_{(g)}{} + 3Ag^{I}N^{V}O3_{(aq)}&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;3 Ag         + 4 HNaO^{-\frac{II}{II}}3 -&gt; 2 H2O^{-II}{} + NaO^{-I}{} + 3Ag^{V}NaO^{-III}3&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;3 Ag_{(s)}{} + 4 HN^{V}O3_{(aq)}        -&gt; 3 Ag^{I}N^{V}O3_{(aq)}{} + N^{II}O_{(g)}{} + 2 H2O_{(l)}&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;3 Ag         + 8 HN^{V}O3               -&gt; 4 H2O + 2N^{II}O + 3Ag^{II}(N^{V}O3)2&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;3 Ag         +   P^{VIII}O4             -&gt;   Ag^{I}3P^{V}O4&lt;/chem&gt;

* &lt;chem&gt;4 Ag       + 2 H2O^{-II}{} +   O2  + 8 KCN -&gt; 4 KO^{-II}H{} + 4K[Ag^{I}(CN)2]&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;4 Ag       + 6 H^{I}Cl                     -&gt; 3 H2 + 2 Ag^{\frac32}2Cl3&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;4 Ag       +   O2          + 2 H2S         -&gt; 2 H2O^{-II}{} + Ag^{I}2S&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;4 Ag_{(s)} +   O2_{(g)}                    -&gt; 2 Ag^{I}2O^{-II}_{(s)}&lt;/chem&gt;

* &lt;chem&gt;6 Ag       + 6 HCl^{V}O3 -&gt; 3H2O + Ag^{I}Cl^{-I}{} + 5Ag^{I}Cl^{V}O3&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;6 Ag_(s){} + KCl^{V}O3-{(aq)} -&gt; KCl^{-I}_{(aq)}{} + 3 Ag^{I}2O_{(s)}&lt;/chem&gt;

* &lt;chem&gt;8 Ag_{(s)}{} + 5  H2S^{VI}O4_{(aq)} -&gt; 4 H2O_{(l)}{} + H2S^{-II}_{(g)}{} + 4 Ag^{I}2S^{VI}O4_{(s)}&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;8 Ag_{(s)}{} + 10 HN^{V}O3_{(aq)}   -&gt; 5 H2O_{(l)}{} + 8 Ag^{I}N^{V}O3_{(aq)}{} + N^{I}2O_{(g)}&lt;/chem&gt;

* &lt;chem&gt;10 Ag_{(s)}{} + 12 HN^{V}O3_{(aq)} -&gt; 6 H2O_{(l)}{} + N2_{(g)}{} + 10 Ag^{I}N^{V}O3_{(aq)}&lt;/chem&gt;

* &lt;chem&gt;16 Ag + S8 -&gt; 8 Ag^{I}2S^{-II}&lt;/chem&gt;

* &lt;chem&gt;Ag + HNO3 -&gt; H2O + NO + NO2 + Ag(NO3)&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + PtCl2 -&gt; AgCl + Pt&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + HCl + HNO3 -&gt; H2O + NO + AgCl&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + O2 + H2S -&gt; H2O + AgS&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + ZnCl2 -&gt; Zn + AgCl&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + HNO3 -&gt; H2O + N2 + Ag(NO3)&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + HNO3 -&gt; H2O + N2 + Ag(NO3)&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + O2 + NO2 -&gt; AgNO3&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + HNO3 -&gt; H2O + NO2 + Ag2O&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + KNO3 -&gt; AgNO3 + K&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;AG + H2O + O2 + NaCN -&gt; NaOH + AgCN&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + AuCl3 -&gt; Au + AgCl&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + HNO3 -&gt; H2O + NH3 + Ag(NO3)&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + CI -&gt; AgCI&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + HNO3 -&gt; H2O + NO2 + Ag2NO3&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + H2O -&gt; H2 + AgOH&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + H2O -&gt; H2 + AgOH&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + O2 -&gt; Ag4O&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + HCl + HClO3 -&gt; H2O + AgCl&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + Na3PO4 -&gt; Na + Ag3(PO4)&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + H2SO4 -&gt; H2S + AgO&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + H2O + O2 + NaCN -&gt; NaOH + Na[Ag(CN)2]&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + FeCl3 -&gt; Fe + AgCl&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + O3 -&gt; O2 + AgO2&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + OH -&gt; AgOH&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + HBr -&gt; H2 + AgBr&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + FeCl3 -&gt; Fe + AgCl3&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + HCl  + HClO -&gt; H2O + AgCl&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + H2NO3 -&gt; H2O + NO + AgNO3&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + HNO3 -&gt; H2O + AgNO3 + NH4NO3&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + NaI -&gt; Na + AgI&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + O3 -&gt; O2 + Ag3O&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + H2O + O2 +  NaCN -&gt; NaOH + NaAg(CN)2&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + Cu(NO3)2 -&gt; Cu + Ag(NO3)2&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + NO2 -&gt; AgNO2&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + S2 -&gt; Ag2S&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + H2SO4 + KMnO4 -&gt; H2O + K2SO4 + MnSO4 + Ag2SO4&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + O3 -&gt; AgO3&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + O2 -&gt; Ag2O2&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + H2O + O2  + Na2S -&gt; NaOH + Ag2S&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + H2O2 + HF -&gt; H2O + AgF&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + Ca(NO3)2 -&gt; AgNO3 + Ca&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + H3PO4 -&gt; H2 + Ag3PO4&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + AuCl3 -&gt; Au + AgCl3&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + H2SO4 + Cu + H2O2 -&gt; H2O + CuSO4 + Ag2SO4&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + HNO3 + Cu -&gt; H2O + NO2 + Cu(NO3)2 + AgNO3&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + Cu -&gt; AgCu&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + HNO3 -&gt; H2O + AgNO3 + N2O4&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + P2O5 -&gt; P + Ag2O&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + HNO3 -&gt; NO + AgNO3 + H2O3&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + PO4 -&gt; AgPO4&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + O2 + HNO3 -&gt; H2O + AgNO3&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + Na3PO4 -&gt; Na + Ag(PO4)&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + Sn(NO3)2 -&gt; Sn + Ag(NO3)2&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + H2O + O2 + KCN -&gt; KOH + K(Ag(CN)2)&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag + Mg(NO3)2 -&gt; Mg + AgNO3&lt;/chem&gt;
==== Ag&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;, Ion argent  ====

* &lt;chem&gt;3Ag+ + PO4^3- -&gt; Ag3PO4&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag+_{(aq)}{} + Cl^-_{(aq)} -&gt; AgCl_{(s)}&lt;/chem&gt;

=== AgAlCl&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; ===

=== AgAsF&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt; ===
*&lt;chem&gt;AgAsF_6 + O_2^+ + PtF_6^- -&gt; Ag^{+2} + PtF_6^- + O2^+ + AsF_6^-&lt;/chem&gt;

=== AgBr ===

=== AgBrO&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; ===

=== AgCN ===

=== AgC&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;H ===

=== AgC&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;H&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;O&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ===

=== Ag(C&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;H&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;)&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;NCS&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ===

=== AgC&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;H&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;O&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;•H&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;O ===

=== AgC&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt;H&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;N&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;O&lt;sub&gt;7&lt;/sub&gt;•H&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;O ===

=== AgCl ===

=== AgCl3Cu2 ===

=== AgClO&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ===

=== AgClO&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; ===

=== AgClO&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; ===

=== AgClO&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;•H&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;O ===

=== AgF ===

=== AgF•2H&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;O ===

=== AgF•4H&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;O ===

=== AgF&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ===

=== AgHF&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ===

=== AgI ===

=== AgIO&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; ===

=== AgMnO&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; ===

=== AgN&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; ===

=== AgNO&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ===
*&lt;chem&gt;H2 + AgNO2  -&gt;  H2O + NO + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;BaBr2 + AgNO2  -&gt;  AgBr + Ba(NO2)2&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;AgNO2 + BaBr  -&gt;  AgBr + BaNO2&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;HCl + AgNO2  -&gt;  AgCl + HNO2&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;KBr + AgNO2  -&gt;  KNO2 + AgBr&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;HNO3 + AgNO2  -&gt;  H2O + NO2 + AgNO3&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Cl2 + KOH + AgNO2  -&gt;  H2O + KCl + AgNO3&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;NaCl + AgNO2  -&gt;  NaNO2 + AgCl&lt;/chem&gt;

=== AgNO&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;, le nitrate d’argent  ===

* &lt;chem&gt;AgNO3 -&gt; Ag^+_{(aq)}{} + NO_{3(aq)}^-&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;AgNO3 + HO- -&gt; AgOH + NO3-&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;AgNO3_{(aq)}{} + NaCl_{(aq)} -&gt; AgCl_{(s)}{} + NaNO3_{(aq)}&lt;/chem&gt;

=== AgO ===
*&lt;chem&gt;AgO  -&gt;  O2 + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;CO + AgO  -&gt;  CO2 + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H2O2 + AgO  -&gt;  H2O + O2 + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H2 + AgO  -&gt;  H2O + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;NH3 + AgO  -&gt;  H2O + N2 + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H2O + AgO  -&gt;  O2 + HAg&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H2SO4 + MnSO4 + AgO  -&gt;  H2O + Ag2SO4 + AgMnO4&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;CH3COH + AgO  -&gt;  Ag + CH3COOH&lt;/chem&gt;

=== AgOH ===
*&lt;chem&gt;AgOH  -&gt;  H2O + Ag2O&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;HBr + AgOH  -&gt;  H2O + AgBr&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;N2H4 + AgOH  -&gt;  H2O + N2 + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H2O2 + AgOH  -&gt;  H2O + O2 + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ca + AgOH  -&gt;  Ag + Ca(OH)&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;HI + AgOH  -&gt;  H2O + AgI&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;HNO3 + AgOH  -&gt;  H2O + AgNO3&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;AgOH  -&gt;  H2O + O2 + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;NH4OH + AgOH  -&gt;  H2O + [Ag(NH3)2]OH&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;AgOH + CH3I  -&gt;  CH3OH + AgI&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;AlCl3 + AgOH  -&gt;  Al(OH)3 + AgCl&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H2SO4 + AgOH  -&gt;  H2O + Ag2SO4&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;AgOH  -&gt;  Ag + OH&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H3PO4 + AgOH  -&gt;  H2O + Ag3PO4&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;BaI2 + AgOH  -&gt;  Ba(OH)2 + AgI&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;AgOH  -&gt;  Ag2OH2O&lt;/chem&gt;

=== AgONC ===
=== AgPF&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt; ===
=== AgPO&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; ===
=== AgReO&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; ===
=== AgSCN ===
*&lt;chem&gt;Br2 + AgSCN  -&gt;  AgBr + (SCN)2&lt;/chem&gt;

=== AgSbF&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt; ===
=== Ag&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;S, le sulfure d’argent  ===
*&lt;chem&gt;HNO3 + Ag2S  -&gt;  H2O + S + NO2 + AgNO3&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;HNO3 + Ag2S  -&gt;  H2O + S + NO + AgNO3&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Al + Ag2S  -&gt;  Ag + Al2S3&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag2S  -&gt;  S + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag2S  -&gt;  Ag + S8&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;O2 + Ag2S  -&gt;  SO2 + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;HNO3 + Ag2S  -&gt;  H2O + H2SO4 + NO2 + AgNO3&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H2O + Ag2S + NaCN  -&gt;  NaOH + Na[Ag(CN)2] + NaSH&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;O2 + Ag2S  -&gt;  SO2 + Ag2O&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;CuCl2 + Ag2S  -&gt;  CuS + AgCl&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;HNO3 + Ag2S  -&gt;  H2O + NO2 + AgNO3 + S2&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H2 + Ag2S  -&gt;  H2S + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;HNO3 + Ag2S  -&gt;  H2O + SO2 + NO2 + AgNO3&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag2S + Na2S2O7  -&gt;  SO2 + Na2SO4 + Ag2SO4&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;HNO3 + Ag2S  -&gt;  H2O + NO2 + Ag2SO4&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H2O + Ag2S  -&gt;  O2 + H2S + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag2S + KCN  -&gt;  K2S + KAg(CN)2&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;HNO3 + Ag2S  -&gt;  H2O + SO2 + NO + AgNO3&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Zn + Ag2S  -&gt;  Ag + ZnS&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag2S + KCN  -&gt;  K2S + K(Ag(CN)2)&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Fe + Ag2S  -&gt;  Ag + FeS&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H2O + Zn + Ag2S  -&gt;  H2S + Ag + Zn(OH)2&lt;/chem&gt;

=== Ag&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;C&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ===
*&lt;chem&gt;HCl + Ag2C2  -&gt;  AgCl + C2H2&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag2C2  -&gt;  C + Ag&lt;/chem&gt;

=== Ag&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;CO&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; ===
*&lt;chem&gt;Ag2CO3  -&gt;  O2 + CO2 + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;ZnCl2 + Ag2CO3  -&gt;  AgCl + ZnCO3&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;HNO3 + Ag2CO3  -&gt;  H2O + CO2 + AgNO3&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag2CO3  -&gt;  CO2 + Ag2O&lt;/chem&gt;

=== Ag&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;C&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;O&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; ===
=== Ag&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;Cl&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;  ===
=== Ag&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;CrO&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; ===
*&lt;chem&gt;HCl + Ag2CrO4  -&gt;  AgCl + H2CrO4&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;HCl + Ag2CrO4  -&gt;  H2O + AgCl + CrO3&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag2CrO4  -&gt;  CrO4:2- + Ag:+&lt;/chem&gt;

=== Ag&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;Cr&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;O&lt;sub&gt;7&lt;/sub&gt; ===
*&lt;chem&gt;HCl + NiCl2 + Ag2Cr2O7  -&gt;  H2O + CrCl3 + AgCl + NiCl3&lt;/chem&gt;

=== Ag&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;F ===
=== Ag&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;MoO&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;  ===
=== Ag&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;O ===
*&lt;chem&gt;Ag2O  -&gt;  O2 + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H2O2 + Ag2O  -&gt;  H2O + O2 + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;HNO3 + Ag2O  -&gt;  H2O + AgNO3&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;NH3 + Ag2O  -&gt;  H2O + N2 + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;HF + Ag2O  -&gt;  H2O + AgF&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H2 + Ag2O  -&gt;  H2O + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;NaOH + Ag2O + Cr(OH)3  -&gt;  H2O + Ag + Na2CrO4&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;C + Ag2O  -&gt;  CO2 + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H2O + NH3 + Ag2O  -&gt;  [Ag(NH3)2]OH&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;HCl + Ag2O  -&gt;  H2O + AgCl&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag2O + CH3CHO  -&gt;  Ag + CH3COOH&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag2O + HCOH  -&gt;  Ag + HCOOH&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;KOH + KMnO4 + Ag2O  -&gt;  H2O + K2MnO4 + Ag2O2&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Al + Ag2O  -&gt;  Ag + AlO&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H2O + Ag2O  -&gt;  AgOH&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H2O2 + Ag2O  -&gt;  O2 + H2 + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;ZnCl2 + Ag2O  -&gt;  ZnO + AgCl&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H3PO4 + Ag2O  -&gt;  H2O + Ag3PO4&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag2O + AlBr3  -&gt;  Al2O3 + AgBr&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;K3PO4 + Ag2O  -&gt;  K2O + Ag3PO4&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H2O + NH3 + Ag2O  -&gt;  (OH) + Ag(NH3)&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag2O + HCHO  -&gt;  Ag + HCOOH&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H2SO4 + Ag2O  -&gt;  H2O + Ag2SO4&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Cu + Ag2O  -&gt;  CuO + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Fe + Ag2O  -&gt;  Ag + FeO&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag2O + CH3COH  -&gt;  Ag + CH3COOH&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;NH4OH + Ag2O  -&gt;  H2O + [Ag(NH3)2]OH&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag2O + CH3CHO  -&gt;  H2O + CO2 + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag2O + HgCl2  -&gt;  AgCl + HgO&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;HCOOH + Ag2O  -&gt;  H2O + CO2 + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag2O + CH2O  -&gt;  Ag + H2CO2&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Cl2 + Ag2O  -&gt;  O2 + Ag + AgCl&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag2O  -&gt;  Ag + O3&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H2O + NH3 + Ag2O  -&gt;  OH:- + Ag(NH3)2:+&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag2O + HCHO + HO:-  -&gt;  H2O + Ag + HCO2:-&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H2 + Ag2O  -&gt;  H2O + O2 + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Mg + Ag2O  -&gt;  Ag + MgO&lt;/chem&gt;

=== Ag&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;S ===
*&lt;chem&gt;HNO3 + Ag2S  -&gt;  H2O + S + NO2 + AgNO3&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;HNO3 + Ag2S  -&gt;  H2O + S + NO + AgNO3&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Al + Ag2S  -&gt;  Ag + Al2S3&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag2S  -&gt;  S + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag2S  -&gt;  Ag + S8&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;O2 + Ag2S  -&gt;  SO2 + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;HNO3 + Ag2S  -&gt;  H2O + H2SO4 + NO2 + AgNO3&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H2O + Ag2S + NaCN  -&gt;  NaOH + Na[Ag(CN)2] + NaSH&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;O2 + Ag2S  -&gt;  SO2 + Ag2O&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;CuCl2 + Ag2S  -&gt;  CuS + AgCl&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;HNO3 + Ag2S  -&gt;  H2O + NO2 + AgNO3 + S2&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H2 + Ag2S  -&gt;  H2S + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;HNO3 + Ag2S  -&gt;  H2O + SO2 + NO2 + AgNO3&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag2S + Na2S2O7  -&gt;  SO2 + Na2SO4 + Ag2SO4&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;HNO3 + Ag2S  -&gt;  H2O + NO2 + Ag2SO4&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H2O + Ag2S  -&gt;  O2 + H2S + Ag&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag2S + KCN  -&gt;  K2S + KAg(CN)2&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;HNO3 + Ag2S  -&gt;  H2O + SO2 + NO + AgNO3&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Zn + Ag2 S  -&gt;  Ag + Zn S&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag2S + KCN  -&gt;  K2S + K(Ag(CN)2)&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Fe + Ag2S  -&gt;  Ag + FeS&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;H2O + Zn + Ag2S  -&gt;  H2S + Ag + Zn(OH)2&lt;/chem&gt;

=== Ag&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;SO&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; ===
* &lt;chem&gt;Ag2SO4_{(s)}{} + BaCl2_{(aq)} -&gt; 2AgCl_{(s)}{} + BaSO4_{(s)}&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag2SO4_{(s)}{} + 2NaCl_{(aq)} -&gt; Na2SO4_{(aq)}{} + 2AgCl_{(s)}&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag^{I}2SO4_{(s)}{} + Cu_{(s)} -&gt; Cu^{II}SO4_{(s)}{} + 2Ag_{(s)}&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag^{I}2SO4 + 2K -&gt; K^{I}2SO4 + 2Ag&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag2SO4_{(s)}{} + BaBr2_{(aq)} -&gt; BaSO4_{(s)}{} + 2AgBr_{(s)}&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt; Ag2SO4_{(s)}{} + 2HNO3_{(aq)} -&gt; H2SO4_{(aq)}{} + 2AgNO3_{(aq)}&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;3Ag^{I}2SO4_{(s)}{} + 2Sb^{-III}H3_{(g)} -&gt; 3H2SO4_{(aq)}{} + 6Ag_{(s)}{} + 2Sb_{(s)}&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;3Ag2SO4 +2Al(OH)3 -&gt; Al2(SO4)3 + 6AgOH&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;3Ag2SO4 + 2K3PO4 -&gt; 3K2SO4 + 2Ag3PO4&lt;/chem&gt;

* &lt;chem&gt;Fe + Ag2SO4 -&gt; FeSO4 + 2Ag&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;FeCl2 + Ag2SO4 -&gt; FeSO4 + 2AgCl&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;2HNO3 + Na2S + Ag2SO4 -&gt; H2SO4 + 2NaNO3 + Ag2S&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;2NaBr + Ag2SO4 -&gt; Na2SO4 + 2AgBr&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;3H2O + 2AsH3 + 6Ag2SO4 -&gt; 6H2SO4 + 12Ag + As2O3&lt;/chem&gt;
&lt;!-- suite --&gt;
* &lt;chem&gt;Zn + Ag2SO4 -&gt; 2Ag + ZnSO4&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag2SO4 -&gt; O2 + SO2 + 2Ag&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Mg + Ag2SO4 -&gt; 2Ag + Mg(SO4)&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag2SO4 + 2NaCI -&gt; Na2SO4 + 2AgCI&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;Ag2SO4 -&gt; Ag + (SO4)2&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;2NH4Cl + Ag2SO4 -&gt; 2AgCl + (NH4)2SO4&lt;/chem&gt;
{{en cours}}
* &lt;chem&gt;H2O + NH3 + MnSO4 + Ag2SO4 -&gt; Ag + (NH4)2SO4 + H2MnO3&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;AlCl3 + Ag2SO4 -&gt; Al2(SO4)3 + AgCl&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;H2 + Ag2SO4 -&gt; H2SO4 + Ag&lt;/chem&gt;
* &lt;chem&gt;KCl + Ag2SO4 -&gt; K2SO4 + AgCl&lt;/chem&gt;

=== Ag&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;SeO&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; ===
*&lt;chem&gt;Ag2Se^{IV}O3{} + H2O + Br2 -&gt; H2Se^{VI}O4{} + 2AgBr^{-I}&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt; 2Ag2Se^{IV}O3_{(s)}{} + 3C_{(s)} -&gt;3 C^{IV}O2_{(g)}{} + 2Ag2Se^{-II}_{(s)}&lt;/chem&gt;

=== Ag&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;SeO&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; ===
=== Ag&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;Te, le tellurure d'argent  ===

=== Ag&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;Br&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ===
=== Ag&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;Br&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;  ===
=== Ag&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;Cl&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; ===
=== Ag&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;I&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;  ===
=== Ag&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;PO&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; ===
*&lt;chem&gt;Ag3PO4 + 3 NH4Cl -&gt; 3AgCl + (NH4)3PO4&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag^{I}3P^{V}O4 -&gt; 3Ag + P^{VIII}O4&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag3PO4 + 3HCl -&gt; H3PO4 + 3AgCl&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;Ag3PO4 + 3HNO3 -&gt; H3PO4 + 3AgNO3&lt;/chem&gt;
*&lt;chem&gt;2Ag^{I}3PO4 + 3H2 -&gt; 2H^{I}3PO4 + 6Ag&lt;/chem&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = chimie
    | précédent = [[../Ac, l'actinium/]]
    | suivant   = [[../Al, l'aluminium/]]
  }}</text>
      <sha1>a0jq6cafblhknlyw8z897zdcfzgu1vg</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)</title>
    <ns>104</ns>
    <id>78623</id>
    <revision>
      <id>983546</id>
      <parentid>983501</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T15:34:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Guillaume FOUCART</username>
        <id>39841</id>
      </contributor>
      <comment>/* Liens */</comment>
      <origin>983546</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="472880" sha1="oionnkliaaf8luopccl61686bt24ol1" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC


*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/20/mes-productions-scolaires-en-mathematiques-20/ Mes productions scolaires en mathématiques(20)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de géométrie différentielle(6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2019/02/01/formulairegeometriedifferentielle-10/ Formulaire de géométrie différentielle(10)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/formulairedegeometriedifferentielle-14/ Formulaire de géométrie différentielle (14)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2019/03/30/formulaire-de-topologie-differentielle/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']]

* [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']]

* [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]]

* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


'''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert.


'''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' 

'''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' 

'''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) &quot;Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)&quot;], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif'''

'''et en cliquant sur le bon icône.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF de 213 pages et de 1,1 Mo de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) du 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''

'''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.'''


'''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.'''


'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''

* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''

'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


[https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Guillaume_FOUCART/Passages_que_l%27on_peut_omettre#Commentaires%2C_impressions_voire_sp%C3%A9culations_autour_des_amateurs%2C_des_shtameurs%2C_de_moi-m%C3%AAme%2C_des_intervenants_et_des_grands_intervenants_sur_les_forums_de_math%C3%A9matiques '''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']


'''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.'''


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur d'université voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :
*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et
*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;;


et &lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot; classique ou habituel) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot; classique ou habituel)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS&quot;''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC)

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot; classique ou habituel) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot; classique ou habituel), et ce seront les seuls à l'être.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===


{{Théorème|titre=Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===


{{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarques sur la définition :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}''

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des intervalles de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''''Préliminaires :'''''


{{Théorème|titre='''Notations'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu=

Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

{{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in\N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.

avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.''


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} 


'''''Remarque : '''''

La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 
Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu=

[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}


{{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}}


{{ancre|Corollaire}}


{{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)'''''&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= 


''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu=


Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; :'''|contenu=


&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et  \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''


{{Théorème|titre='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.

Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;


''et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, 

''qui doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''
 

Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,'' car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,

et où

&lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;f(0)= 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 

(qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 
&quot;,

qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;

(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot; 

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;''')


'''[Fin point sensible]''', 
 

on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''


Alors :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''


{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=

 
''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;


'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

{{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}


{{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu=


''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

'''''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :&quot;'''''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}


{{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\Rightarrow}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

===='''Partie 1'''====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

===='''Partie 2'''====


{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R &lt; \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


'''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :'''


{{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu=


Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===


==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


''Remarque importante préliminaire :''


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.


'''''Définitions :'''''


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


'''''A)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;


où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et où 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;


*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt;


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);


*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);


*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}


'''''B)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}


'''''C)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}


'''''D) Partie 1)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 2)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 3) Remarque importante :'''''


{{Théorème|titre=|contenu=

J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;&quot;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}


'''''D) Partie 4)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' 


Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}} }}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

{{Théorème|titre='''Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


'''''Remarque :'''''


Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]''' 


'''''Remarque :''''' 


Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====


{{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarques sur la définition :'''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:''
      
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====


''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.''


{{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, sans s'assimiler à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''

 
où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :''''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''

{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= 

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de '''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;'''.


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.  


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''Définition :'''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] : ''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

''De manière non classique'' : On considère &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;
, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


'''Compléments :'''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot;, à prendre en compte) :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A, B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.  


Alors : &lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

'''''['''''c'est-à-dire tels que : 

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;''''']'''''.


Alors : &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :


&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
      <sha1>oionnkliaaf8luopccl61686bt24ol1</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983547</id>
      <parentid>983546</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T15:36:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Guillaume FOUCART</username>
        <id>39841</id>
      </contributor>
      <origin>983547</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="472834" sha1="n58srtjxccu5gs3tfxqom4sf2qui9dt" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ 
  | niveau      = 
}}

''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.''


Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC


*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/20/mes-productions-scolaires-en-mathematiques-20/ Mes productions scolaires en mathématiques(20)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de géométrie différentielle(6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2019/02/01/formulairegeometriedifferentielle-10/ Formulaire de géométrie différentielle(10)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/formulairedegeometriedifferentielle-14/ Formulaire de géométrie différentielle (14)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2019/03/30/formulaire-de-topologie-differentielle/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

*[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)]


* [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']]

* [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia]

* [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']]

* [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]]

* [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]]


'''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert.


'''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' 

'''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' 

'''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) &quot;Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)&quot;], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif'''

'''et en cliquant sur le bon icône.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''


'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF de 213 pages et de 1,1 Mo de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) du 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.'''

'''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)'''

'''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.'''


'''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.'''


'''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.'''


'''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.'''

'''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.'''


'''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :'''

* '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]'''

'''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : &quot;Les-mathematiques.net&quot; et &quot;Maths-Forum&quot; sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des &quot;Passages que l'on peut omettre&quot; et sur mon forum.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''


'''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.'''


='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; [Cas de certaines restrictions]'''=

== '''Introduction''' ==

'''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur d'université voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.'''

===Partie principale===


J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


En particulier, je désignerai par :
*'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et
*'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux) ou sans bord,

et on posera : 

&lt;math&gt;{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;;


et &lt;math&gt;{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}&lt;/math&gt;.

*La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : &quot;Le  tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes&quot;. C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt; {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et aux mêmes parties en remplaçant &quot;convexe&quot; par &quot;polyconvexe&quot;). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''&quot;cardinal potentiel&quot;''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de &quot;cardinal potentiel&quot; c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de &quot;cardinal potentiel&quot; se confondent, dans le cas des parties finies. 

'''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le &quot;cardinal quantitatif d'un ensemble&quot; qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''&quot;F-quantité d'un ensemble&quot;''.)'''


'''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)'''


'''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes &quot;cardinal d'un ensemble&quot; et &quot;puissance d'un ensemble&quot; se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le &quot;cardinal équipotentiel d'un ensemble&quot; (c'est-à-dire le &quot;cardinal d'un ensemble&quot;), &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot; c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot; c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)'''


'''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, je n'ai pas d'autre expression que &quot;cardinal potentiel d'un ensemble&quot;, même si, ici, &quot;potentiel&quot; désigne &quot;au sens de la puissance&quot; et non &quot;en puissance&quot;. Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le &quot;cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble&quot;, &quot;cardinal potentatif d'un ensemble&quot; ou &quot;cardinal potentiatif d'un ensemble&quot;, mais les termes &quot;potentatif&quot; et &quot;potentiatif&quot; sont des néologismes très rares.)'''


'''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression &quot;plafonnement normalisé/plafonnements normalisés&quot; par l'expression &quot;plafonnement normal/plafonnements normaux&quot;.)'''


'''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions &quot;plafonnement borné d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; par et en les expressions &quot;plafonnement d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;/plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;.)'''


'''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression &quot;axiome(s) de définition&quot; par l'expression &quot;hypothèse(s) de définition&quot;.)'''


Cette notion est définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. Le problème se pose, en dehors de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt;, car je me suis permis quelques audaces avec les &quot;plafonnements&quot;, dans un premier temps, de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme la F-quantité, relative  à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser &quot;ma&quot; théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à tous les &quot;plafonnements&quot; de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, voire à toutes les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relativement au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, relativement au même repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de &lt;math&gt;PV(\R^n)&lt;/math&gt; tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;PV2(\R^n)&lt;/math&gt;.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des &quot;droites&quot; (resp. des &quot;demi-droites&quot;), puisque dans notre cadre, toutes les &quot;droites&quot; (resp. toutes les &quot;demi-droites&quot;) n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un &quot;plafonnement&quot; ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une infinité de &quot;plafonnements&quot;, et du fait qu'en considérant un &quot;plafonnement&quot; donné, certains points sont plus près que d'autres de ce &quot;plafonnement&quot;.


Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, voire à celles de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace &lt;math&gt;{\R''}&lt;/math&gt;''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace &lt;math&gt;*\R&lt;/math&gt; de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; où  &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire &quot;péter&quot; de la quantité infinie intermédiaire &quot;entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs&quot; et &quot;entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)&quot;, '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)&lt;/math&gt;), un ensemble représentant idéal de &lt;math&gt;\aleph_2&lt;/math&gt; (par exemple &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;), etc.

Plus précisément et en particulier :

'''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' 

'''Considérons une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot; classique ou habituel) [resp. seule la ''F-quantité infinie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot; classique ou habituel)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.'''

'''&quot;OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS&quot;''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC)

'''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.'''
 
'''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à &quot;&lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre &quot;&lt;math&gt;\aleph_0&lt;/math&gt;&quot; classique ou habituel) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à &quot;&lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt;&quot; (et pourra, même, être notée &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot;, mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre &quot;&lt;math&gt;\aleph_1&lt;/math&gt;&quot; classique ou habituel), et ce seront les seuls à l'être.'''

'''(La F-quantité d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)'''


La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de &lt;math&gt;{PV }(\R^n)&lt;/math&gt;, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation &quot;cardinal&quot; : {{supra|Liens}}


(Historiquement, avant CANTOR, la notion de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de &quot;cardinal&quot;. Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies &quot;cardinal quantitatif&quot; et &quot;cardinal potentiel&quot;, pour les distinguer. 

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la &quot;F-quantité&quot; du &quot;cardinal (de CANTOR)&quot;

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de &quot;cardinal&quot;.

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de &quot;cardinal d'un ensemble&quot; uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la &quot;F-quantité d'un ensemble&quot;.

À la place du fameux : 

&quot;Je le vois 

[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt; ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;.],

mais je ne le crois pas&quot; (de CANTOR), 

je dirais plutôt : 

&quot;Je le vois 

[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;. Idem en remplaçant &quot;&lt;math&gt;\R^{n}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;[0;1]&lt;/math&gt;&quot;], 

mais cela n'est pas suffisant 

[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].&quot;)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien &lt;math&gt;[-1,1]\subsetneq [-2,2]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; peut être mis en bijection avec &lt;math&gt;[-2,2]&lt;/math&gt;

et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q([-1,1]) &lt; {card}_Q([-2,2])&lt;/math&gt; 

alors qu'on a &lt;math&gt;{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{card}_Q(A)&lt;/math&gt; désigne la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, sous certaines conditions sur l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_P(A)&lt;/math&gt; désigne le cardinal potentiel de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}(A)&lt;/math&gt;.


La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.


[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : 


Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; 

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt;,  
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![0,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![0,i]\!]&lt;/math&gt;,
 
ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_i&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide), 
ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;U_{i,j}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;j \in [\![1,i]\!]&lt;/math&gt;, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans &lt;math&gt;{F_0}'&lt;/math&gt;, dont la réunion forme l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt; (pouvant être vide),


c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; 

telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}&lt;/math&gt;. 

ou telles que :

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}&lt;/math&gt; réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de dimension &lt;math&gt;j&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}&lt;/math&gt;, réunion de singletons (pouvant être vide),

&lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}&lt;/math&gt;.]


Décomposition d'une partie bornée de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : &quot;simplement connexes&quot;.

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;


&lt;small&gt;

(Le cas &lt;math&gt;i = 0&lt;/math&gt; étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document &quot;Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF&quot;

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt; /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

&lt;/small&gt;


sont telles que si &lt;math&gt;i \in [\![1,n]\!]&lt;/math&gt;, elles négligent chacune, respectivement, si &lt;math&gt;i = 1&lt;/math&gt;, des points isolés, respectivement, si &lt;math&gt;i = 2&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si &lt;math&gt;i = 3&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si &lt;math&gt;i = 4&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, respectivement, si &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;, et des points d'espaces de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;.


La &quot;mesure&quot; F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les &quot;mesures&quot; [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in [\![0,n]\!])&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{vol^i}&lt;/math&gt;, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, &lt;math&gt;\widetilde{vol^0}&lt;/math&gt;.

'''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)'''


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel &quot;&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;{card}&lt;/math&gt;&quot; qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;&quot;, sachant que la référence à un repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, n'est utile que pour les parties non bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de manière générale), on peut noter la F-quantité : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q}&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


'''Nous désignons la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, qui était nommée auparavant le &quot;cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, de cette même partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;, par &quot;&lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;&quot; et le &quot;cardinal potentiel de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;card_P(A)&lt;/math&gt;&quot;. En fait, puisque la &quot;F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt;card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) &lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) &lt; {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)&lt;/math&gt;


alors que :


&lt;math&gt;{card}_P(\{O\} \times\N_n)&lt; {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;&lt; {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)&lt;/math&gt;


Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de &lt;math&gt;2L&lt;/math&gt;, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'&lt;math&gt;1L&lt;/math&gt;.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.


'''[Rectification : En fait, tout dépend des &quot;plafonnements&quot; de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des &quot;plafonnements&quot; des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des &quot;matières continues et/ou discrètes&quot; qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de &quot;matière continue&quot; et/ou de &quot;matière discrète&quot;''' 

'''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' 
 
'''[relatives à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (mais dans le cas des &quot;plafonnements&quot; des parties bornées, cette précision est inutile)]'''

'''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' 

'''Remarque : Cela marche aussi avec les &quot;plafonnements&quot; des parties (infinies) non bornées. 

'''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]'''


Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.
 
Restera à généraliser cette notion aux parties de &lt;math&gt;\mathcal P(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

 
La notion de &quot;volume&quot; ou de &quot;mesure&quot; [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, le fait que &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :
 
Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ?

===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux===

Le PDF : &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.


Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(\R)}&lt;/math&gt; est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

=== Liens ===

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/


'''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du &quot;cardinal&quot; (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations  nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension &lt;math&gt;i(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sauf dans le cas où &lt;math&gt;i = n&lt;/math&gt;, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties &quot;ouvertes pures&quot;, des parties &quot;fermées pures&quot; et des parties &quot;à la fois ouvertes et fermées&quot;, alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties &quot;ouvertes&quot;, des parties &quot;fermées&quot; et des parties &quot;ni ouvertes, ni fermées&quot; et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''&quot;Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{N}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N\in \mathbb{N}^{*}&lt;/math&gt;&quot;'''.

{{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}}


Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé &quot;Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes&quot; :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]]


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] :
*[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)


'''Voici des liens Wikipedia :'''
*[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]]
*[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]
*[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]]


'''Voici des liens intéressants en français :'''
*[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER]
*[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER]


'''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :'''
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


'''La notion de F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.'''


'''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]'''

==='''Remarques complémentaires'''===

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Je sais que si des suites de polytopes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), convergent vers une PV de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.

(Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}}

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; vaut &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

&quot;Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.&quot;


Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt;, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

La plupart des surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt; ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;.

Certaines surfaces de &lt;math&gt;\R^{3}&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones).

Certaines surfaces de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.


Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les &quot;plafonnements&quot;.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux &quot;seules&quot; parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du &quot;principe du tout et de la partie&quot; (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :&quot;Toute translation laisse toute partie infinie, invariante&quot; : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;.

=='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

'''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].'''

=== '''Préliminaires''' ===


{{Théorème|titre=Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


'''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.'''

==='''Construction et définition'''===


{{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt; 

On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;,


donc, en particulier,


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

  
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;,
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;.

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

donc, en ppaticulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n&lt;/math&gt;, 
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;.

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

 
a2) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc, en particulier,

&lt;math&gt;\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in \R^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarques sur la définition :'''''

On verra que &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension &lt;math&gt;i \,\,(i \in \N_n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;), et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}''

ou dans : ''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; (et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;), en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)''

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 

'''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:'''''
     
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.


'''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Le fait de remplacer le terme &quot;convexe&quot; par celui de &quot;polyconvexe&quot; (et donc le terme &quot;connexe&quot; par le terme &quot;non connexe&quot; ou rien du tout), dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; (ou de la classe de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; obtenue en remplaçant le terme &quot;convexe&quot; par le terme &quot;polyconvexe&quot; dans la définition de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;), leurs complémentaires (dans &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements &lt;math&gt;[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;|contenu=

Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;.


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des intervalles de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''


Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que :

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;.

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;)''

''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''}}

==='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;'''===

'''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.'''

'''''Préliminaires :'''''


{{Théorème|titre='''Notations'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, dans &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; , de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu=

Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in \N^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;.


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in \Q_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in \R_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

{{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, d'une partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;d \in \N_N&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;N \in \N^*, \,\, d \in\N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.
 

Alors 

&lt;math&gt;{vol}^d(A_N)&lt;/math&gt; est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;d&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{dim}(A_N)&lt;/math&gt; est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.

avec la convention : &lt;math&gt;{dim}(\emptyset) = + \infty&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt; et coefficients de STEINER-MINKOWSKI &lt;math&gt;{\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;O_N&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;.


On a &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;.


La suite &lt;math&gt;{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.''


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} 


'''''Remarque : '''''

La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
 
Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, il va falloir creuser d'avantage.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu=

[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}}


{{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;c_{0,N}(P_N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.


2) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}&lt;/math&gt;, 

où 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, O_j&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_j&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^j&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}&lt;/math&gt; est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope &lt;math&gt;P_i^N&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;c_{0,i}(P_i^N) = 1&lt;/math&gt;.


Soient 

&lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]].


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème admis (&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations du lemme précédent.


1) &lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


2)&lt;math&gt;\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}&lt;/math&gt;

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;. 


''Remarque'' : On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent :

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :''''' On aurait pu poser &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}&lt;/math&gt;, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Proposition admise (&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_N(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire


&lt;math&gt;\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;{PV}_i(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;.


&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}}


{{ancre|Corollaire}}


{{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;j \in \N_i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les coefficients &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; et les applications &lt;math&gt;\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;


Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-1)''''' &lt;math&gt;{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.

  
Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{i,N}}(A_N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)&lt;/math&gt;,

et on a : &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1&lt;/math&gt;.


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


On a : 

'''''(*1-2)''''' &lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :


&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


On a :

'''''(*2-2)'''''&lt;math&gt;{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;,


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :
 

&lt;math&gt;{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}&lt;/math&gt;, 


c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall j \in \N_i,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}&lt;/math&gt;,
 

c'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; a été défini, précédemment,


et on a : &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Théorème (&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt; et formule donnant la F-quantité de &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, et, en particulier, de &lt;math&gt;A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;, en fonction de la F-quantité de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1[&lt;/math&gt;)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.


1) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;
 

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}&lt;/math&gt;, 

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{N,n})}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente,


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow  \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)&lt;/math&gt; défini précédemment,


2) D'après la proposition précédente :

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}&lt;/math&gt;.


D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;


et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}&lt;/math&gt;,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite &lt;math&gt;{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; choisie de la proposition précédente, 


et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,

 
&lt;math&gt;\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}&lt;/math&gt;,

telle que &lt;math&gt;\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,
 
et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}&lt;/math&gt;,


et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.


C'est l'application &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)&lt;/math&gt; défini précédemment.


On peut aussi poser &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}&lt;/math&gt;,

 
et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' :


&lt;math&gt;\forall i \in \N_N,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire telle que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;
'''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF.

'''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble &quot;&lt;math&gt;F&lt;/math&gt;&quot; par l'ensemble &quot;&lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;&quot; où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

'''''Remarque :'''''

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^N&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux).
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= 


''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :''


Si &lt;math&gt;A_N\in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :''


Si &lt;math&gt;A_N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}&lt;/math&gt;.


''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N\in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }&lt;/math&gt;, 


''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :''

Si &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;A_i^N \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;
et si &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)&lt;/math&gt; 
et si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}&lt;/math&gt;,
 
''alors on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}&lt;/math&gt;, 


''Je tente de faire certaines généralisations.''

Cela est, probablement, toujours, vrai,  

si on remplace &quot;&lt;math&gt;{PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;

par &quot;&lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;&quot;, 

ou par &quot;réunion finie de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes&quot;, 

[et peut-être même, en supposant que &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt; est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, disjointes, et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}&lt;/math&gt; réunion finie de parties de &lt;math&gt;{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)&lt;/math&gt;]. 

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}}

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R} = {\cal R}_N&lt;/math&gt;.

On désigne par &lt;math&gt;\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}&lt;/math&gt;, la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;.

&lt;small&gt;

'''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;f : A \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 

et &lt;math&gt;\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}&lt;/math&gt;, le graphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}&lt;/math&gt;, l'épigraphe de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; :


1) Alors si &lt;math&gt;f(A)&lt;/math&gt; est fini dénombrable :

&lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;
 

2) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)&lt;/math&gt;


4) Soient &lt;math&gt;f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;.
 

a) &lt;math&gt;f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)&lt;/math&gt;


b) Soit &lt;math&gt;B \subset A&lt;/math&gt; :

Comme &lt;math&gt;epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu=


Si &lt;math&gt;f'(I) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;f = C_f \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;I = \mathbb{R}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;f'(\R) = \{0\}&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}&lt;/math&gt; partition de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;I_i&lt;/math&gt; est soit un intervalle de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, soit &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; :'''|contenu=


&lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est une mesure sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}&lt;/math&gt;


donc :


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[)  + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}&lt;/math&gt;


Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{2  \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' &lt;math&gt;]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)&lt;/math&gt;, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que &lt;math&gt;\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,&lt;/math&gt;l'ensemble de départ de &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, supposer, seulement, que ce dernier est &lt;math&gt;{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et  \,\, {dim}(A_i^n) = i\}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;

''(Calculs peut-être remis en cause car &lt;math&gt;{card}_{Q,i}&lt;/math&gt; n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}_i(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties.)''


{{Théorème|titre='''Calcul de &lt;math&gt;{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt; sachant &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A \in {P3}(\R)&lt;/math&gt;'''|contenu= 


'''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.'''


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N  \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;O_i&lt;/math&gt; est l'origine du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}_i&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}&lt;/math&gt; est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour &lt;math&gt;A_N&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}(\R^N)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; :

Soit &lt;math&gt;A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.

 
Alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;B \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;g = f \,\, \mathbb{I}_B&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;,


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable&lt;/math&gt;.


On pose &lt;math&gt;\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}&lt;/math&gt;.


Ici &lt;math&gt;N = 1&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;i \in \N_N = \N_1&lt;/math&gt;) :


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;{f'}_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}&lt;/math&gt;

 
or &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}&lt;/math&gt;


car &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compact, connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f \,\, C^1&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc continue sur &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;f_{|\overline{A}}&lt;/math&gt; est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme &lt;math&gt;\partial A = \{a_1,a_2\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;


mais on a &lt;math&gt;\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= J&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;


Vérification  de la formule : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}&lt;/math&gt;
 

donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt; 


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;. 


Soit &lt;math&gt;A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)&lt;/math&gt;, une partie bornée, simplement connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide.

Si &lt;math&gt;n \in \N_N&lt;/math&gt;, on pose &lt;math&gt;{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}&lt;/math&gt; comme le &quot;bord&quot; de la partie &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-1}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, et dont le &quot;bord&quot; est non vide.

(On pose &lt;math&gt;{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}&lt;/math&gt;. Le &quot;bord&quot; de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, non vide, de dimension &lt;math&gt;n \,\, (n \in \N_{N-1})&lt;/math&gt;, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si &lt;math&gt;n \in \N_N^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*&lt;/math&gt;, on définit &lt;math&gt;A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}&lt;/math&gt;, en supposant que &lt;math&gt;A_{n-i}&lt;/math&gt; admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, non vides, de dimension &lt;math&gt;n-i&lt;/math&gt;, dont le &quot;bord&quot; est non vide, sauf concernant &lt;math&gt;A_0&lt;/math&gt;.


On a :

&lt;math&gt;\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}&lt;/math&gt;,

avec 

&lt;math&gt;\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}&lt;/math&gt;.

{{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}}
https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}}

=='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''==

'''En fait, puisque la &quot;F-quantité, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot; n'est pas un &quot;cardinal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;&quot;, nous devrions plutôt la noter : &quot;&lt;math&gt;Q_{F,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; au lieu de la noter &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot;, mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.'''

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

(Si, de plus, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est non borné à droite, alors &lt;math&gt;\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I&lt;/math&gt;).

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.

Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité :

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot;, constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;,

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;


''et doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, 

''qui doit vérifier les &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {P4}(\R^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}(\R^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}(\R^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :'''''
 

Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :'''''

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;,

dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|&quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2&quot;]],

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;&quot;,

dans &quot;Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;, 

et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|&quot;Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;/Partie 1&quot;]].

&lt;/small&gt;


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.
 
&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; et sur &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

     
1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)


a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.


b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité)'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}_n&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;.


1) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est une mesure, sur la tribu &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;. (faux a priori)


2) &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne peut être une mesure, au sens usuel, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}^n})&lt;/math&gt;, car elle ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général.


3) ''&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; ne vérifie pas la &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité, en général, sur &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,'' car :


Si &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}&lt;/math&gt;, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,


et donc si  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,


on aurait :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}  [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on aurait aussi


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*}   [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) =  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=  \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)=  2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*}   1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)&lt;/math&gt;.


Contradiction.


Donc,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; n'est pas  &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.''


''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :''


Ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,

et où

&lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt; 

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)] 

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


et on a aussi :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;


Or  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1&lt;/math&gt;


et donc  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)&lt;/math&gt;


et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1&lt;/math&gt; 
  

et il n'y a aucune contradiction :


''On a bien &lt;math&gt;{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}&lt;/math&gt;.''


On a aussi, Cf. remarque plus bas : 


'''[Début point sensible]'''


Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;f(0)= 0&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 

(qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 
&quot;,

qui est une expression équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;

(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot; 

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)


(Cf. aussi '''&quot;Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{\cal F(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;/C)&quot;''')


'''[Fin point sensible]''', 
 

on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)}&lt;/math&gt;


•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}&lt;/math&gt;


et on a : 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big)}&lt;/math&gt;

•(1) 

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

•(2) 

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) +  {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}  f(p)\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}&lt;/math&gt;}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

1) Soient &lt;math&gt;a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a &lt; b&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}&lt;/math&gt;

telle que &lt;math&gt;\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)&lt;/math&gt;.


2) a) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}}  1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}&lt;/math&gt;.


b) 

'''[Début point sensible]'''

Soit &lt;math&gt;f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow&lt;/math&gt;


telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt; 


(qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}&lt;/math&gt;&quot;

qui est une expression qui est équivalente à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}&lt;/math&gt;&quot;, 

où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point)


et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}&lt;/math&gt;


(on a : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)}  f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  f(n)}&lt;/math&gt;&quot;

et &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)}  n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)}  n}&lt;/math&gt;&quot;)

'''[Fin point sensible]'''


Alors :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\bigg) 
= f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;

ou dit autrement :

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, et, en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R)&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''


{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=

 
''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.

'''et''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;.}}


'''''Démonstration :''''' 


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}&lt;/math&gt;.


Et on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}  1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;small&gt;


'''''Remarque :'''''

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

De plus, soit &lt;math&gt;p\in\N&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}&lt;/math&gt; ,

alors &lt;math&gt;p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=p+1}&lt;/math&gt;,

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x&gt;a\}}&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}&lt;/math&gt;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


En posant : 


&lt;math&gt;R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cete réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_-&lt;/math&gt;.


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in \R_+&lt;/math&gt;.


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''====

{{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; et soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; est un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés &lt;math&gt;(O_2x)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(O_2y)&lt;/math&gt; noté &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}&lt;/math&gt;

''et on a :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}&lt;/math&gt;.


On a donc :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; :''


''Ici, on considère que :'' &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}&lt;/math&gt;.


On remarque que :


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}&lt;/math&gt; partie compacte, convexe, (connexe), de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; et boule euclidienne de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?&lt;/math&gt;


Comme on sait que &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 &lt;/math&gt;


et que


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1&lt;/math&gt;,


on a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 &lt;/math&gt;.


Je crois que &lt;math&gt;\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 &lt;/math&gt;, mais je n'en suis pas certain.


Partant de là :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;}}


{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}


{{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu=


''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.''

''[Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''

''[Citation de &quot;bolza&quot;]''

&quot;L'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; est-il plus grand que &quot;l'infini&quot; de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser &quot;oui&quot;.

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière 
dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; que dans un fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.
 
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. 

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, 
il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, 
et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''.
 
Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt; et pour le fil de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt; c'est la &quot;même&quot; infinité.
 
(car, il y a une bijection entre &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt;  et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.
 
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; ont bien &quot;autant&quot; de 
points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. 

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus &quot;intuitives&quot; 
sur la façon de &quot;quantifier&quot; les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la &quot;longueur&quot;. 

En effet la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt;, c'est &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; et la longueur de l'intervalle &lt;math&gt;[0,10]&lt;/math&gt; c'est &lt;math&gt;10&lt;/math&gt;,
et &lt;math&gt;10 &gt; 1&lt;/math&gt;.
 
En fait je crois que tu confonds les notions de &quot;cardinalité&quot; et de &quot;grandeur&quot;.

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. 

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de &lt;math&gt;1 \,\, cm&lt;/math&gt;,
ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, 
quand tu es passé de &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;10 \,\, cm&lt;/math&gt;, tu n'as pas changé le nombre de &quot;point&quot; (le &quot;cardinal&quot;) de l'élastique, 
tu as seulement changé sa longueur.

''[Fin Citation de &quot;bolza&quot;]''

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.''


Soit &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^i&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}&lt;/math&gt; et la réunion est disjointe.


Donc 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) =  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq  {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}&lt;/math&gt;


alors que 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)  \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10  \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}&lt;/math&gt;


''On considère le plafonnement carré de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]&lt;/math&gt;.''


''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt; n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :''


''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :''
 

'''''&quot;2 calculs de la F-quantité de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt;, différents, autour de l'origine &lt;math&gt;O_2(0,0)&lt;/math&gt; d'un même repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_2&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; :&quot;'''''


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) =  {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


c'est-à-dire, en posant &lt;math&gt;\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}&lt;/math&gt;,


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


(Remarque : On aurait pu remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^2&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{[0,1]}^2&lt;/math&gt;.)
  

''ou plus simple :'' 
 

On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 &gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


On peut retrouver cette formule de la façon suivante :


Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe


c'est-à-dire en posant : &lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}&lt;/math&gt;


comme &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}&lt;/math&gt; et que la réunion est disjointe,


on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{&gt; {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}&lt;/math&gt;


alors qu'on a &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}&lt;/math&gt;


et plus généralement :


Soit &lt;math&gt;E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}&lt;/math&gt; 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


alors que
 

&lt;math&gt;\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}&lt;/math&gt;


Remarque : &lt;math&gt;\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}&lt;/math&gt; et  &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}&lt;/math&gt;


''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, car &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)''


''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :''


''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.''


Comme d'une part, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}&lt;/math&gt;


et d'autre part, on a :


&lt;math&gt;{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


On obtient la formule :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) =  {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;


''[Fin de Citation de &quot;Matheux philosophe&quot;]''}}


{{ancre|Exemples 2 (&quot;Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)&quot; )}}


{{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; de} &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, autour de l'origine &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt; d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;\cal R_n&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


&lt;math&gt;\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n,  \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12&lt;/math&gt;.


Mais, &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt; 

et même &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.


On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &lt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) &gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.
 

On peut avoir : &lt;math&gt;\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &lt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.
 

D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\Rightarrow}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 
 
&lt;small&gt;

'''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Définitions de &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)&lt;/math&gt;, etc, pour &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)
={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.
 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

où

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt; 

où 

&lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)&lt;\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)


&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}&lt;/math&gt; 

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}&lt;/math&gt;

(&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}&lt;/math&gt;)

où &lt;math&gt;\forall i\in\N_{N}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}&lt;/math&gt;.

(On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}&lt;/math&gt;.)

==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

===='''Partie 1'''====

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''''Remarques :'''''


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.
 
Comme &lt;math&gt;\mathbb{R} \in {PV2}(\R)&lt;/math&gt;  

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
 
on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) =  \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}&lt;/math&gt;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''


Et plus généralement, soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\R)&lt;/math&gt;, non bornée à droite

et si &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,'''

comme &lt;math&gt;\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt;, 

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) =  \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}&lt;/math&gt;.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; définie précédemment.
 
Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini. 

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, &quot;croissant(e)&quot;, par &quot;strictement croissant(e)&quot;.


''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 

Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;C \in  {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(A)&lt;/math&gt;'', on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}&lt;/math&gt;.

En particulier, si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)&lt;/math&gt;, on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}&lt;/math&gt;.


Par extension, si &lt;math&gt;P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si &lt;math&gt;x_0 \in \R&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}(\R)&lt;/math&gt; et même &lt;math&gt;\{x_0\} \in {PV}_0(\R)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=Remarque :|contenu=

1) ''Rappel :''


'''Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné et si &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^N)&lt;/math&gt; et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et telles que &lt;math&gt; \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; (Cf. définition).'''


'''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }&lt;/math&gt;.


2) Soient :

&lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;,

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;I \,\, \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})&lt;/math&gt;.

Il faut mieux choisir &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; dénombrable infini.


Soient :

&lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;, 

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;).

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :''' 


&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;),

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}&lt;/math&gt;, 

avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}&lt;/math&gt;.


[Si &lt;math&gt;I = \N&lt;/math&gt;,

soit &lt;math&gt;\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I&lt;/math&gt;, strictement croissante,


c'est-à-dire &lt;math&gt;{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}&lt;/math&gt; sous-suite de &lt;math&gt;{(u_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt;.


Dans ce cas, on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;.]


Soient :

&lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; vérifiant : 


'''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)&quot;

Remarque : On pose &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;.&quot;


ou '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt; :'''
 

&quot;&lt;math&gt;\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;,

telles que &lt;math&gt;\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}&lt;/math&gt;)

et telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}&lt;/math&gt;&quot;.


'''(Remarque : On étend facilement la définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt;.)'''


Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}&lt;/math&gt;.


'''A-t-on (*) &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }&lt;/math&gt; ?'''


Si pour tous &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; 

tels que &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;
 
et tels que &lt;math&gt;{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}&lt;/math&gt; vérifient : '''&lt;math&gt;\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;''' &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt; resp. '''&lt;math&gt;\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)&lt;/math&gt;'''&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;


(c'est-à-dire vérifiant '''(*)''')


'''Alors, on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}&lt;/math&gt;'''}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= 


Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt;.

Soient

[Phrase d'origine : &lt;math&gt;A,B\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\{&lt;/math&gt; réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes &lt;math&gt;\}&lt;/math&gt;.

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]

Option classique 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option classique 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 2 : &lt;math&gt;A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) &lt;/math&gt;.

[Phrase d'origine : Si \forall &lt;math&gt;i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, réunions finies de parties disjointes

Option classique : de &lt;math&gt;{PV}(\R)&lt;/math&gt;

ou

Option spéculative : &lt;math&gt;born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R&lt;/math&gt;]


Option classique 1 : Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; 

ou

Option spéculative 1 :

Si &lt;math&gt;\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)&lt;/math&gt;, 
 

telles que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et telles que &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}&lt;/math&gt;),

alors 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}&lt;/math&gt;.


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)'''


Je pense que le cas d'une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bornée, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, peut se ramener au cas de la partie &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; compacte, convexe (connexe) de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

grâce à la formule &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)&lt;/math&gt;, 

sachant que &lt;math&gt;\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Donc, comme &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt;  et &lt;math&gt;\mathbb{Z}^* \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)&lt;/math&gt; (et même &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)&lt;/math&gt;),

et &lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;

(c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;),

on a bien : &lt;math&gt;\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;


'''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''',


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;,

donc  &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}&lt;/math&gt;, 

on a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

et plus généralement, 

&lt;math&gt;\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{Z}^*&lt;/math&gt; est non borné, mais est dénombrable.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;

et si de plus, &lt;math&gt;A \neq B&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

et plus généralement, si &lt;math&gt;a \in \mathbb{R}_+^*&lt;/math&gt;, on devrait, normalement, avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, mais comme &lt;math&gt;a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*&lt;/math&gt;, on est obligé d'imposer que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;, 

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
 
L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}^*&lt;/math&gt; qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. 

Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}&lt;/math&gt;.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; et, en particulier, de la partie &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt; et de la partie &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, elle-même.}}


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


Ici, &lt;math&gt;\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]&lt;/math&gt;

'''Remarque et problème :''' &lt;math&gt;\Q&lt;/math&gt; n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit &lt;math&gt;a \in +\infty&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}&lt;/math&gt;.

telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}&lt;/math&gt;.

Alors on pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;d_{Q,\mathcal{R},B}(A)&lt;/math&gt; est la densité quantitative, relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^2&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;\Z^2&lt;/math&gt;), de l'ensemble &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; par rapport à l'ensemble &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;.


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


Je pense que l'on peut montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}&lt;/math&gt;, si cette limite existe,

&lt;math&gt;= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.&lt;/math&gt;


'''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)'''


D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;


Donc


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2  \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}&lt;/math&gt;.}}

===='''Partie 2'''====


{{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; :''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in {\N}^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}&lt;/math&gt;.

''Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.''

''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; muni du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)&lt;/math&gt;.''


On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}_N}&lt;/math&gt; désigne la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;{\cal R}_N&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{card}_P&lt;/math&gt; est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement &lt;math&gt;card&lt;/math&gt;, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité &lt;math&gt;{card}_Q&lt;/math&gt;, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt;, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de &lt;math&gt;\mathbb{R}^N&lt;/math&gt; de classe &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt; par morceaux.


Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; des ensembles.

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B&lt;/math&gt;, bijection.


On pose usuellement &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}&lt;/math&gt;


On a par exemple &lt;math&gt;\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)&lt;/math&gt;


La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; véritable} notion de quantité d'éléments.


''Dans la suite, on suppose &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt;.''


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}&lt;/math&gt;.


Il sera peut-être nécessaire de supposer &lt;math&gt;r_0 = s_0 = 0&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.


On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

ou que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

et &lt;math&gt;\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow &lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\nearrow&lt;/math&gt;).


On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n-1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} &gt; 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} &gt; 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}&lt;/math&gt;,  

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n}}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z})&lt;/math&gt;


En particulier si &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) &lt; {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}&lt;/math&gt;,


''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir 

&lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;.

Que pensez, par exemple, du cas où &lt;math&gt;\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}&lt;/math&gt; ? 

À t-on bien &lt;math&gt;\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt; ?


''Réponse :'' Non, car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} &gt; a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{card}_Q(R) &lt; {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)&lt;/math&gt;.


Plus, généralement &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n &gt; m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) &lt; {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement :


Si &lt;math&gt;\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}&lt;/math&gt;


Avec les mêmes hypothèses sur &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période &lt;math&gt;m \in \N^*&lt;/math&gt;

alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=


&lt;math&gt;T = R \bigsqcup S&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; à variations décroissantes, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; à variations croissantes et &lt;math&gt;\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i &lt; s_i&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\not \Longrightarrow&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} &gt; t_i\}&lt;/math&gt;}}


Soient &lt;math&gt;R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0&lt;/math&gt; telles que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} &gt; r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} &gt; s_i&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;n \in \N&lt;/math&gt;


On appelle &lt;math&gt;r_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s_n&lt;/math&gt; le &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ième terme de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}&lt;/math&gt;

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;.

On suppose de plus que &lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;\searrow&lt;/math&gt;)

On définit &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}&lt;/math&gt;

C'est la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre le &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et le &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme.


''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}&lt;/math&gt;

On remarque que cette quantité ne dépend que du &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième terme et du &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme et du nombre de points de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre ces 2 termes inclus.

On pose &lt;math&gt;\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}&lt;/math&gt; si cette limite existe dans &lt;math&gt;\overline{\R_+}&lt;/math&gt;.

C'est la limite de la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, quand &lt;math&gt;n \rightarrow +\infty&lt;/math&gt;, donc c'est la moyenne de tous les pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\mathbb{Z}_+&lt;/math&gt;.


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} &lt; a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;}}

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall n \geq n_0&lt;/math&gt;, si la moyenne des pas de &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; compris entre son &lt;math&gt;(n+1)&lt;/math&gt;-ième et son &lt;math&gt;-(n+1)&lt;/math&gt;-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus grande que celle de l'ensemble &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;.

Cela signifie que si &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; est strictement plus dense quantitativement que &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, à partir d'un certain rang &lt;math&gt;n_0&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;{card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)&lt;/math&gt;


{{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu=


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R &lt; \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) &gt; {card}_Q(S)}&lt;/math&gt;

en particulier (sous réserve) : &lt;math&gt;\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\,  b_1 &lt; b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) &gt; {card}_Q(a\N + b_2)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}&lt;/math&gt;,

et &lt;math&gt;\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}&lt;/math&gt;.}} }}


&lt;small&gt;

'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


'''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, donc aux parties quelconques de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; :'''


{{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu=


Toute partie non convexe, connexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie non convexe, de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;,

donc toute partie de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.}}

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\mathbb{R}''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===


==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


''Remarque importante préliminaire :''


Je vais essayer de prolonger &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt; par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt; et donc aussi de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.


'''''Définitions :'''''


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])


'''''A)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=

Soient &lt;math&gt;a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a&lt;b&lt;/math&gt;


où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;


et où 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.

 
On note :


&quot;&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;&quot; 

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation &quot;&lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; où &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \R&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;a = - \sup(\R), \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &lt; b\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b = \sup(\R)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}&lt;/math&gt;

:ou

:&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x &gt; a\}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;a \in \R, \,\, b \in \R&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;R_{a,b} = (a,b[&lt;/math&gt;


*&lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?&lt;/math&gt;, 


où &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}&lt;/math&gt;


[''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''],


&lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a &lt; b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} &amp; \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}&lt;/math&gt;


''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;, de l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)''


&quot;(Mais prendre l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt; est insuffisant, car si on prend 2 fonctions &lt;math&gt;\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}&lt;/math&gt;, on peut avoir &lt;math&gt;f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}&lt;/math&gt;.)&quot; (rajout du 12-07-2023);


*&lt;math&gt;+\infty_{\lim,f,b^-}&lt;/math&gt; ou bien &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt;, s'il n' y a aucune confusion possible :

&lt;math&gt;\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} &lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt; est la relation d'équivalence définie en B);


*&lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme &quot;oscillante&quot;, alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu=

#Soit &lt;math&gt;f:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\left[a,b\right]\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#:&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est nulle en &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; et strictement positive ailleurs.
#Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
#Si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, montrer que &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples &lt;math&gt;(g,h)&lt;/math&gt;.
#Soit &lt;math&gt;f:\R\to\R&lt;/math&gt; une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe &lt;math&gt;g,h:\R\to\R&lt;/math&gt; telles que :
#::&lt;math&gt;f=g+h,\quad g&lt;/math&gt; est strictement croissante, et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est « oscillante au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; » (en un sens que vous devrez préciser),
#:et que si de plus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est continue, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; peuvent être choisies de plus continues.
{{Solution|contenu=}}

'''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. 

}}


'''''B)'''''

 
{{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; sur &lt;math&gt;\mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt; et des relations d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; et d'ordre &lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}&lt;/math&gt; :''


Soient &lt;math&gt;f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})&lt;/math&gt;.


Mes relations d'équivalence &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\sim}&lt;/math&gt;&quot; et d'égalité &quot;&lt;math&gt;=&lt;/math&gt;&quot; sont définies par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}&lt;/math&gt;

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;


Mes relations d'ordre &quot;&lt;math&gt;\underset{b^-}{\leq}&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;\leq&lt;/math&gt;&quot; sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

:&lt;math&gt;\displaystyle{+\infty_f&lt;+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{&lt;} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;0}&lt;/math&gt;,

:et si &lt;math&gt;b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{&lt;} = \underset{+\infty_{classique}}{&lt;}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)&lt;/math&gt;,


et la seconde relation d'ordre est totale.}}


'''''C)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, je la prolongerai en une application (encore notée &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;) définie sur &lt;math&gt;R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}&lt;/math&gt; en posant :

:&lt;math&gt;f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f&lt;/math&gt;,
où &lt;math&gt;id_\R&lt;/math&gt; est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;.

''Remarque :'' Par exemple si  &lt;math&gt;f  \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 &amp; \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} &amp; \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;\R_+^*&lt;/math&gt;, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}&lt;/math&gt;, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions &lt;math&gt;g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R&lt;/math&gt;, qui, à part, l'expression que l'on note &lt;math&gt;\forall x \in \R, \,\, g(x)&lt;/math&gt;, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dont l'expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est &quot;identique&quot;, pour tout point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de leur domaine de définition &lt;math&gt;D_f&lt;/math&gt; ou par exemple en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de chacune de sous-parties disjointes &lt;math&gt;A,B&lt;/math&gt; de ce dernier.

Par exemple : 

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;, 

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;

ou

Soit &lt;math&gt;\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]&lt;/math&gt;. 


''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions &lt;math&gt;f  \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R&lt;/math&gt;, le fait que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression élémentaire sur &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot; ou plutôt que &quot;&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; a une expression analytique en fonction de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &quot;identique&quot;, en chaque point &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(D_f)&lt;/math&gt;&quot;, où &lt;math&gt;D_f \in \mathcal{P}(\R)&lt;/math&gt;, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}}


'''''D) Partie 1)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : 


&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

  
''On a(axiome)(sous réserve):''


&lt;math&gt;\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x &lt; b\}&lt;/math&gt;, 
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''

On a &lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;.


''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; autour de l'origine &lt;math&gt;O(0)&lt;/math&gt; du repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;) :''


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 2)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :''


''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.''


&lt;math&gt;\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion disjointe,

&lt;math&gt;\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;, réunion non disjointe,


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' &lt; 0 &lt; b'',}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') &lt;  a'' &lt; -\sup(\R) &lt; a \leq b &lt; \sup(\R) &lt; b'' &lt; \sup(\R'') \Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &lt; -\infty_f &lt; a \leq b &lt; +\infty_g &lt; \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}&lt;/math&gt;.


''Dans cette conception :''


L'ensemble &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' :
 

&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' : 


&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


L'ensemble &lt;math&gt;\overline{\R}&lt;/math&gt; n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' :
 

&lt;math&gt;\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]&lt;/math&gt;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


mais ''dans sa version non classique'' :
 

&lt;math&gt;\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}&lt;/math&gt;, 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty&lt;/math&gt; 

et où &quot;&lt;math&gt;+ \infty&lt;/math&gt;&quot; est considéré comme un ensemble.


On considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+ \infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.


où &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}&lt;/math&gt;


et par analogie &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ici, 

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N''}^*&lt;/math&gt;.}}


'''''D) Partie 3) Remarque importante :'''''


{{Théorème|titre=|contenu=

J'aurais pu considérer à défaut de considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[&lt;/math&gt;&quot;, 

où &quot;&lt;math&gt;-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot; sont considérés comme des points,


considérer que 


&quot;&lt;math&gt;\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et où &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; est considéré comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.


Mais cette notation est problématique, 

car &lt;math&gt;{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{vol}^1(A) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{vol}^1(A) &lt; {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;.


D'où la notation simple 

&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;sans &quot;&lt;math&gt;-\infty_{classique}, +\infty_{classique}&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)&lt;/math&gt;&quot;, 

ni &quot;&lt;math&gt;-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)&lt;/math&gt;&quot; 

où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt; : 

&quot;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;&quot; (&quot;&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;&quot;, &quot;&lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;&quot;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;), 

pour désigner &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R_-&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R^*&lt;/math&gt;, etc &lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;).}}


'''''D) Partie 4)'''''


{{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' 


Le fait que : &lt;math&gt;2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) &gt; \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})&lt;/math&gt; semble poser problème :

En effet, il semble que : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}&lt;/math&gt;.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\N)&lt;/math&gt; qui est l'ensemble &lt;math&gt;{\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : &lt;math&gt;\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


&lt;math&gt;\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a&lt;b, \,\, c&lt;d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}&lt;/math&gt;}} }}


{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}

{{Théorème|titre='''Remarques sur &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \in {\cal F}(\R)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\R)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; :'''|contenu=


'''''Remarque :'''''


Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension &lt;math&gt;i (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. &quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel &lt;math&gt;+ \infty_{classique}&lt;/math&gt; par un ensemble infini de nombres infinis positifs &lt;math&gt;+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

(ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;]''' 


'''''Remarque :''''' 


Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple &lt;math&gt;1,5&lt;/math&gt; éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini &quot;entier&quot; d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini &quot;entier&quot;, contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis &quot;réels&quot;.)]

''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis &quot;entiers&quot; ?)''

Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension &lt;math&gt;i \,\, (0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, au cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, en tenant compte du &quot;plafonnement sphérique&quot;.}}


{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

===='''Construction et définition'''====


{{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et en particulier dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;), pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

On pose &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


L'application F-quantité relative au repère orthonormé &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^{n}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,

la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt;,  

et la restriction à l'ensemble &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt; de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; 


sont les applications :  


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;


où &lt;math&gt;(F'', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F', +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt; est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec &lt;math&gt;F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, par exemple &lt;math&gt;I = [0;1[&lt;/math&gt;,

et où &lt;math&gt;F \subset F' \subset F''&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;F'= ?, \,\, F'' = ?&lt;/math&gt;,


[On peut cependant dire au moins à ce stade que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


où, ''de manière non classique'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.],


''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :''


0) &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'&lt;/math&gt; repères orthonormés de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;

 
On pose donc : &lt;math&gt;\forall \mathcal{R}&lt;/math&gt; repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt; et donc &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;.

      
1)

[a) &lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}(A)\geq 0&lt;/math&gt;]

b) &lt;math&gt; card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0&lt;/math&gt;

c) &lt;math&gt; \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;


2) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}&lt;/math&gt;


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}&lt;/math&gt;

 
4) Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^i&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}&lt;/math&gt;,
 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}&lt;/math&gt;


''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;.@''


5) 

   
A)


a) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

			
En particulier :

  
a1) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,   
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).
   
           
B)  
   
a) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,  
   
&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;, pour toutes les isométries de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;is&lt;/math&gt;

     
En particulier :


a1) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
      
&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x&lt;/math&gt;, est la translation de vecteur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


a2) &lt;math&gt;\forall A \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,
    
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                   \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1\\
                   {\mathbb{R}}^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où
 
&lt;math&gt;\forall M \in {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi \} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;, dans l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.}}

&lt;small&gt;

'''Remarques sur la définition :'''

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; est définie et donnée sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, par une formule exprimant &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; en fonction de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}&lt;/math&gt; (ou de &lt;math&gt;{({vol}^i)}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt;, si on considère &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE,

dans ''&quot;La saga du &quot;cardinal&quot;&quot; (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}}

ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}''


''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}&lt;/math&gt;.''

''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné &lt;math&gt;(F, +, \times, \leq)&lt;/math&gt;, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, mais j'aurais pu l'appeler &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt; est l'ensemble &lt;math&gt;\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.''

''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\N \bigsqcup +\infty&lt;/math&gt;, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' 


''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de &quot;ma théorie&quot;:''
      
Dans le cas des parties de &lt;math&gt;{PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}&lt;/math&gt;, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R}^n)&lt;/math&gt;, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de &quot;plafonnement&quot; &lt;math&gt;''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;A \in {PV2}(\R^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)&lt;/math&gt;, ou où &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt; :'''|contenu=


Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : 

&lt;math&gt;\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)&lt;/math&gt;


La &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tendant vers un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, plus loin dans la suite.)


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
 

a) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


b) &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B&lt;/math&gt;,
	
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(B)}&lt;/math&gt;


Il découle, en particulier, de 4), que :
 

Si &lt;math&gt;I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}&lt;/math&gt; sont des parties de &lt;math&gt;{PV}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; (résultats généralisables aux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, moyennant un prolongement du domaine de définition de &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;), alors :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}&lt;/math&gt;
 

et donc en particulier 


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}&lt;/math&gt;


La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, qui ne néglige aucun point de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et qui est uniforme (&lt;math&gt;\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1&lt;/math&gt;).


'''''Proposition :'''''

Soit &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Si &lt;math&gt;\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x&lt;/math&gt;
 
alors &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)&lt;/math&gt;

''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et les &quot;plafonnements&quot;, mais sans nécessairement considérer &lt;math&gt;\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)''}}

===='''Existence et résultats sur les intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, et, en particulier, sur les parties de &lt;math&gt;{PV}(\R'')&lt;/math&gt;'''====


''Soit &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.''


{{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in {\cal P}(E)&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{\stackrel{\circ}{A}}^E&lt;/math&gt; est l'intérieur de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;).

&lt;math&gt;{\overline{A}}^E&lt;/math&gt; est l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;|&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; (on note aussi &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt;).


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, dans &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}&lt;/math&gt; désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, c'est-à-dire la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}&lt;/math&gt;.


On note aussi parfois &lt;math&gt;{vol}^{0,n}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;{vol}^0&lt;/math&gt;, et la suite le justifiera.


Soit &lt;math&gt;i \in \N_N&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;n \in \N_N^*, \,\, n \geq i&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^i}&lt;/math&gt;, notée, encore, &lt;math&gt;{vol}^i&lt;/math&gt;, désigne le prolongement de la  mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{vol}^{i,n}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}&lt;/math&gt;, de tribu de départ &lt;math&gt;\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors on remarque que : 

1)

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}&lt;/math&gt;

En effet &lt;math&gt;\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}&lt;/math&gt;

2)

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J)  \setminus \{j_0\}\Big)}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu=


Soient &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt;, deux intervalles bornés de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de &lt;math&gt;\overline{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{J}&lt;/math&gt; ou de &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{I}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{J}&lt;/math&gt; existent et sont notés &lt;math&gt;i_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;j_0&lt;/math&gt;, alors a :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}&lt;/math&gt;}}


'''''Démonstration :'''''


Si on suppose que &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; sont bornés dans &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, sans s'assimiler à des &quot;demi-droites&quot; de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, alors :

On doit montrer dans un premier temps que : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.


On pose :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}&lt;/math&gt;

et
 
&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}&lt;/math&gt;.


Or &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;
 
donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}&lt;/math&gt;


donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}&lt;/math&gt;


Or il existe &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt; tel que :

&lt;math&gt;\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.


On a : 

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[&lt;/math&gt;.


Donc on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


donc si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt;,


on doit montrer que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


Si &lt;math&gt;s = k \in {\N''}^*&lt;/math&gt; :


2 voies possibles :


•(1) 


&lt;math&gt;\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;


donc comme &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;,

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}&lt;/math&gt;


•(2) 


&lt;math&gt;\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}&lt;/math&gt; 

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)&lt;/math&gt;

car &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)&lt;/math&gt;


or &lt;math&gt;\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


•[Point où se rejoignent (1) et (2)]


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}&lt;/math&gt;


''Remarque : On montre facilement le résultat pour &lt;math&gt;s \in {\Q''}_+^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;s \in {\R''}_+^*&lt;/math&gt;.''


Donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}&lt;/math&gt;

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}&lt;/math&gt;.

===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''====

Similaire et analogue à '''&quot;Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R}^N)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;''', en remplaçant &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.

==='''F-quantité définie sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&amp;oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''===

==== '''Préliminaires''' ====

{{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, différente de la notion classique de limite de famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, et notion de plafonnement &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné.

Soit &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}&lt;/math&gt;.


Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, notée &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.


Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, sont définies et données par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, dont la limite est le plafonnement de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, sont définies et données par :
 
&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}&lt;/math&gt;.


Donc, si &lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n\in\N^{*}&lt;/math&gt;, on a :

&lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

'''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}}


{{Théorème|titre='''Définitions de &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.


On a donc &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}&lt;/math&gt;.

}}


&lt;small&gt;

'''''Motivation :''''' 

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : 

&quot;Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;&quot;

et qui servira 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;

{{Théorème|titre='''Définition de &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;
 

&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}&lt;/math&gt;}}

==== '''Construction''' ====


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''


où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt; et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}&lt;/math&gt;,


''et doit vérifier les conditions suivantes &quot;Règles et opérations générales sur la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;&quot;,''

 
où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; comme un ensemble tel que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}&lt;/math&gt;&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement &quot;&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;&quot; constitué d'une partie &lt;math&gt;A\in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; voire peut-être constitué d'une partie &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et d'une famille de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un ensemble totalement ordonné 

et si &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;

[ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A \in {P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

et si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; [resp. si &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;]


&lt;small&gt;
 
[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; (resp. des réunions finies disjointes de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;)],

&lt;/small&gt;
 

telles que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt; :


Alors : &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;.}}


&lt;small&gt;

'''''Remarque :'''''

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; qui sont des suites de parties finies, bornées, de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; ou qui sont des suites d'intervalles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;.


'''''Remarque :'''''

Questions :

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;P4({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3(\R^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;P3({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette partie de &lt;math&gt;{P4}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de &lt;math&gt;{P3}({\R''}^n)&lt;/math&gt; ?


'''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' 


Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, une famille de parties de &lt;math&gt;{PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt;, 

telle que &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; 

et telle que &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;,

c'est-à-dire telle que : &lt;math&gt;\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]&lt;/math&gt;.

Si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


ou bien, si l'on suppose, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,
 

alors, on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,


et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,


alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : &lt;math&gt;\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}&lt;/math&gt;,

et en supposant, de plus, que : &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}&lt;/math&gt;,

on aurait : &lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire une contradiction.


'''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, ou bien à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}&lt;/math&gt;&quot;, et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.'''

'''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.'''

'''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.'''

'''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)&lt;/math&gt;&quot;, grâce à l'expression &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}&lt;/math&gt;&quot; qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;.@'''


Justement, on a choisi &lt;math&gt;A \in {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.

Plus généralement, on peut choisir &lt;math&gt;A \in \mathcal{A}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

avec &lt;math&gt;\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}&lt;/math&gt;.


Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, 

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;[A,(A_i)_{i\in I}]&lt;/math&gt;, 

alors on peut définir la F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, de la manière suivante :


&lt;math&gt;{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;


'''''Conjecture qui servira :''''' 

dans &quot;Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale&quot;.

&lt;/small&gt;


{{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;\cal R&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.


1) 

[a) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0&lt;/math&gt;.]

b) &lt;math&gt;\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0&lt;/math&gt;.

c) &lt;math&gt;\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1&lt;/math&gt;.


2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) 

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

et on pose :

&lt;math&gt;\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]&lt;/math&gt;.


3) &lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}&lt;/math&gt;.

 
4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient &lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^{i}&lt;/math&gt; d'origine &lt;math&gt;O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,
 
&lt;math&gt;\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,  

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;

et on pose : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;

et donc on a : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}&lt;/math&gt;.


5) &lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}&lt;/math&gt;


ou encore : 


&lt;math&gt;\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}]  \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}&lt;/math&gt;.


6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

a) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;.

b) &lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;.

Alors : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

On pose : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]&lt;/math&gt;.

On a donc : 

&lt;math&gt;\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à un repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, relative à ce repère orthonormé de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)&lt;/math&gt;.


Dans ce cas &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


Si de plus &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

De même, si &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est fini ou admet un maximum et si &lt;math&gt;A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt; est appelé un plafonnement normal trivial de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.


On pose : &lt;math&gt;\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}&lt;/math&gt;.}}


'''Propositions concernant certains intervalles &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, non bornés, de &lt;math&gt;\mathbb{R} ''&lt;/math&gt;, et en particulier, certaines parties de &lt;math&gt;{PV2}(\R'')&lt;/math&gt;, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :'''

{{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= 

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot;.''


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


En posant : 

&lt;math&gt;\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a :


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;R_{2,+}&lt;/math&gt; est appelé le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement de &lt;math&gt;{\R''}_+&lt;/math&gt;).}}


'''''Démonstration :'''''


Démonstration analogue à celle de '''&quot;Proposition (plafonnement normal de &lt;math&gt;\R_+&lt;/math&gt;)&quot;'''.


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}'&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}''&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''&lt;/math&gt;.


En posant :


&lt;math&gt;R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}&lt;/math&gt;,


on a : &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;


Donc, comme &lt;math&gt;\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}&lt;/math&gt; et que cette réunion est disjointe, on a :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) +  {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt; 

[c'est-à-dire &lt;math&gt;= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


On remarque que :
 

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)&lt;/math&gt;
 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc  &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, 

&lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; 

et 

&lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'').


Soit &lt;math&gt;a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b&lt;/math&gt;.


Alors &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1&lt;/math&gt;}}


{{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu=


''De manière non classique et naïve'', on considère : 


&quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que 

&lt;math&gt;+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq + \infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;,


et où &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''&lt;/math&gt;.


Ici, &lt;math&gt;\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}&lt;/math&gt;.  


''On pose : &lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]&lt;/math&gt;.''

(respectivement ''&lt;math&gt;{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]&lt;/math&gt;'')


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_-&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_-&lt;/math&gt;).


On a :


&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)&lt;/math&gt;


donc &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;a \in {\R'}_+&lt;/math&gt; (respectivement &lt;math&gt;a \in {\R''}_+&lt;/math&gt;).


On a : &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}&lt;/math&gt;


On en déduit que &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}&lt;/math&gt;}}

===='''Définitions de &lt;math&gt;diam&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{\,\,\,\,\,\,}&lt;/math&gt;&quot; concernant l'objet suivant : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


'''Définition :'''

a) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+}  \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times  {\mathbb{R}}^n\,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

b) Soit &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}&lt;/math&gt;

où &lt;math&gt;d_{{\mathbb{R}''}^n}&lt;/math&gt; est la distance euclidienne sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;

c'est-à-dire &lt;math&gt;\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times  {\mathbb{R}''}^n \,\,  \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}&lt;/math&gt;

===='''Définition des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


Tout ce qui a été dit concernant &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R&lt;/math&gt;, est aussi valable 

concernant leurs homologues &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''&lt;/math&gt;

c'est-à-dire les parties &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;

''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;'' 

''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme &lt;math&gt;\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt;,

si &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; du repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}&lt;/math&gt;,
                     
alors &lt;math&gt;A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)&lt;/math&gt; 

ou &lt;math&gt;\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt; 

''&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''.

&lt;math&gt;\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})&lt;/math&gt;,
 
avec &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;, 

on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt; , et même à tous les ensembles de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.


''Définition :''

La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt;, est la &quot;mesure&quot; définie par :

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}&lt;/math&gt; 

''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^1&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;.''


''Remarque :''

1) On peut avoir : &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}&lt;/math&gt;

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, mais dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; (C'est une sous-classe des parties bornées de &lt;math&gt;\R ''&lt;/math&gt;), 

par exemple la partie  &lt;math&gt;[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]&lt;/math&gt; car &lt;math&gt; \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''&lt;/math&gt;.


2) &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}&lt;/math&gt;


''Définition :''
 
La &quot;mesure&quot; de LEBESGUE généralisée ou &quot;de HAUSDORFF&quot;, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; est la &quot;mesure&quot; de comptage définie par : 

&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)&lt;/math&gt;

''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{{vol}}^{0,n}&lt;/math&gt;, à la différence qu'il faut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}&lt;/math&gt;''

''Si &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''&lt;/math&gt; (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de &lt;math&gt;{\mathbb{R}''}^n&lt;/math&gt;.''

===='''Utilisation des &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; et de dimension &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne, sur &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;+\infty_f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}&lt;/math&gt;''' (à omettre pour obtenir une version publiable)====

''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt;&quot; ou &quot;&lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;&quot;.''


''Remarque :'' Soient &lt;math&gt;A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;{\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;(A &lt; B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x &lt; y) &lt;/math&gt;


''On se place dans &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;.''

''Ici, &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;) est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R'&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;{\R'}_{+}&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, resp. de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;).''


''Proposition :''

Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;{card}_P(I) \leq \aleph_0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}&lt;/math&gt;


''Remarque :''


1) Soit &lt;math&gt;I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;, telle que &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt;
 
et telle que &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i &lt; A_j&lt;/math&gt;


a) En particulier, en posant &lt;math&gt;I = {\N'}^{*}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''&lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt;''

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i-1,i[ &lt; [j-1,j[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}&lt;/math&gt;.

''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit &lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;.)

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in {\N}^*&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = {\N}^*&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)&lt;/math&gt;


b) Si on pose &lt;math&gt;\displaystyle{I = \N'}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R&lt;/math&gt; :


''Dans ma théorie à construire'', &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une partition de &lt;math&gt;A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\forall i,j \in I, \,\, i &lt; j, \,\, A_i = [i,i+1[ &lt; [j,j+1[ = A_j&lt;/math&gt;, intervalle donc partie connexe de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}&lt;/math&gt;.

donc &lt;math&gt;\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}&lt;/math&gt;

[Définition de &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}&lt;/math&gt;, de manière analogue à &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;m \in \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty \not \in \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;J = \N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})&lt;/math&gt;]

donc &lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) &lt; \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}&lt;/math&gt;

et

donc &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) &lt; {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}&lt;/math&gt;

  
Dans &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt;, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.


2) ''Remarque :''

Comme &lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}&lt;/math&gt;


On a, dans ma théorie : 

&lt;math&gt;\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+&lt;/math&gt;


''Attention :''  

&lt;math&gt;\mathbb{R}'&lt;/math&gt; n'est pas considéré, comme &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de &lt;math&gt;\R''&lt;/math&gt; mais contenant, strictement, &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}&lt;/math&gt; 

et

&lt;math&gt;\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; étant le nouvel espace-univers.


''Attention :  Dans ma théorie :'' &lt;math&gt;\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}&lt;/math&gt;, en fait on considère que &lt;math&gt;\N ' + 1&lt;/math&gt; va au delà de &lt;math&gt;\N'&lt;/math&gt;, à droite, ce qui n'est pas le cas de &lt;math&gt;{\N '}^{*}&lt;/math&gt;.

Par ailleurs : On a &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1&lt;/math&gt;

Mais &lt;math&gt;\N  + 1 = \N^*&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}&lt;/math&gt;


où, ici, 

&lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N'}^*&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt; est le plafonnement normal de &lt;math&gt;{\N' + 1}&lt;/math&gt;.

=== '''Compléments''' ===

''Remarque : J'hésite à omettre la notation &quot;&lt;math&gt;\widetilde{}&lt;/math&gt;&quot; concernant les objets suivants : &lt;math&gt;\widetilde{{vol}^1}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\widetilde{{diam}}&lt;/math&gt;.''


&lt;small&gt;''&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;Compléments :''

''Mesures de HAUSDORFF  [de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans &quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) 
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;)] : ''

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de &lt;math&gt;\R^d&lt;/math&gt;/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf.  mon message suivant.&lt;math&gt;\Big)&lt;/math&gt;''&lt;/small&gt;


Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

''De manière non classique'' : On considère &quot;&lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt;&quot; et &quot;&lt;math&gt;+\infty''&lt;/math&gt;&quot; comme des ensembles tels que &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt;
, &lt;math&gt;+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x &gt; a''\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;+\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\R \subsetneq \R''&lt;/math&gt;.

L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R) \in +\infty&lt;/math&gt;. 


On définit ''les &quot;mesures&quot; de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(0 \leq i \leq n)&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''&quot;Théorie de la mesure/II.4, Définition 7,  page 41&quot;''

(Le cas &lt;math&gt;i=0&lt;/math&gt; étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),


ce sont, en particulier, des applications telles que :
 

&lt;math&gt;{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}&lt;/math&gt;,


que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :


&lt;math&gt;\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,

et

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;,


ces dernières servent à construire la &quot;mesure&quot; F-quantité relative à un repère orthonormé &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;{\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;,

et en particulier à construire pour tout &lt;math&gt;A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)&lt;/math&gt;,

en utilisant une formule du type &lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}&lt;/math&gt;,


où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I_{n,0}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I_{n,0}&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Et plus particulièrement où &lt;math&gt;{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; est une suite de produits d'intervalles de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

telle que 

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

et &lt;math&gt;A_{n,0}= I^0&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;I^0&lt;/math&gt; est un intervalle non vide de &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, réduit à un singleton,

et où &lt;math&gt;\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}&lt;/math&gt;

dépend de &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{\cal R}&lt;/math&gt;,

où, ici, &lt;math&gt;+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x &lt; a\}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)&lt;/math&gt;, partie bornée ou plafonnement, et &lt;math&gt;{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)&lt;/math&gt;

et : &lt;math&gt;\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}&lt;/math&gt;.


Dans ce qui précède, on peut remplacer &lt;math&gt;\mathbb{R}, \,\, \N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt;, par &lt;math&gt;\mathbb{R}'', \,\, \N''&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Z''&lt;/math&gt;.

NB : L'ensemble &lt;math&gt;\mathbb{R}''&lt;/math&gt; est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté &lt;math&gt;\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty&lt;/math&gt;.


'''Compléments :'''


''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; est dite ou est dit de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour un &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;), si son bord  &lt;math&gt;\partial \Omega&lt;/math&gt; est de classe ou de régularité &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; (par exemple de classe ou de régularité &lt;math&gt;\mathcal{C}^k&lt;/math&gt; pour le même &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; précédent).

''Rappel :'' 

Le bord d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

Le &quot;bord&quot; d'une partie &lt;math&gt;A \in {\cal P}(\R^n)&lt;/math&gt; est défini par &lt;math&gt;''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}&lt;/math&gt;.

''Attention :''

La dimension d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de &lt;math&gt;{\mathbb{R}}^n&lt;/math&gt;, 

[[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]]

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de &quot;parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, connexes&quot;,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, et de sous-variétés connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot; (ou de parties connexes, dont le &quot;bord&quot; est de classe &quot;non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;&quot;) (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

[[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]]

[[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]]

''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).''

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : 

''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :''

''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.''

D'autant plus que &quot;ma&quot; notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le &quot;bord&quot; est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ou non &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt; ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt; muni d'un repère orthonormé direct &lt;math&gt;{\cal R}_n&lt;/math&gt;, d'origine &lt;math&gt;O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}&lt;/math&gt;, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, &lt;math&gt;\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}&lt;/math&gt;, on a alors :''


C) &lt;math&gt;\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.
 
 
D) &lt;math&gt;\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
  \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si } n=1 \\
  \R^{n-1}&amp; \text{si } n \neq 1 \\
  \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)&lt;/math&gt;,

où 

&lt;math&gt;\forall \theta_n \in \begin{cases}
                    \{0, \pi\} + 2 \pi \Z &amp; \text{si }n=1 \\
                   {\mathbb{R}}^{n-1} &amp; \text{si } n \neq 1 \\
                   \end{cases}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)&lt;/math&gt;, est la rotation (sphérique) de centre &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; et d'&quot;angle&quot; &lt;math&gt;\theta_n&lt;/math&gt;.


F)    
   
a) &lt;math&gt;\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}&lt;/math&gt;
				
&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}&lt;/math&gt;
     
&lt;math&gt;\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|&lt;\|{x_0}'\|,}&lt;/math&gt;
    
&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)


b) &lt;math&gt;\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| &lt; \|b'\|,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) &gt; {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;b, b' \perp H_{a,0} =  a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)&lt;/math&gt;.      
     
(Hypothèse de définition en cours d'étude)}}
 

&lt;small&gt;

'''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.


'''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; dans un espace qui est un plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;,

au lieu de parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;&quot;, on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; et au plafonnement &lt;math&gt;[A, {(A_i)}_{i \in I}]&lt;/math&gt;, de la partie &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;,

et dans ce cas on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)&lt;/math&gt;&quot;,

et, en particulier, on a : &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;.

Quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

Lorsque la famille &lt;math&gt;{(A_i)}_{i \in I}&lt;/math&gt; est une famille de parties de &lt;math&gt;{\R''}^n&lt;/math&gt;, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (&lt;math&gt;\mathcal{C}^0&lt;/math&gt;) et (&lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; par morceaux), alors quand on parle de &quot;&lt;math&gt;{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;&quot;, il se peut que la mention du repère &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; soit inutile et superflue.

&lt;/small&gt;

==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;n = 2&lt;/math&gt; (Il y a une condition de &quot;plafonnement&quot;, à prendre en compte) :'''|contenu=


Soit &lt;math&gt;f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}&lt;/math&gt;


alors 


&lt;math&gt;{card}_{Q,2}(A_f)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;
 
&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})  + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) +  \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}&lt;/math&gt;


Soit &lt;math&gt;f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})&lt;/math&gt;

Soit &lt;math&gt;A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}&lt;/math&gt;

avec &lt;math&gt;\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{&lt;, \leq \}&lt;/math&gt;


alors
 

&lt;math&gt;{card}_Q(A_{f,g})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}&lt;/math&gt;


Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;.}}

==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

{{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

On pose : &lt;math&gt;\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;.


Remarque : Soient &lt;math&gt;\mathcal{R},\mathcal{R}'&lt;/math&gt;, deux repères orthonormés de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, d'origines respectives &lt;math&gt;O, O'&lt;/math&gt;

alors, si &lt;math&gt;O = O'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}&lt;/math&gt;

et si &lt;math&gt;O \neq O'&lt;/math&gt;, alors on a : &lt;math&gt;{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}&lt;/math&gt;.

NB : On peut remplacer &quot;&lt;math&gt;\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)&lt;/math&gt;&quot; par &quot;&lt;math&gt;{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;&quot;.


Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

On pose, pour simplifier, &lt;math&gt;card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}&lt;/math&gt;.


0) 

&lt;math&gt;\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) &lt; {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)&lt;/math&gt;.


1) 

&lt;math&gt;\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)&lt;/math&gt;, 

mais &lt;math&gt;\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;.


2) Voici les liens qui existent entre le &quot;cardinal potentiel&quot; et la &quot;F-quantité&quot; :

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;, alors :

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


3) On pose :

&lt;math&gt;\mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)&lt;\aleph_{0}\}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\forall i \in \N^*&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;, 

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) &lt; {card}_P(C) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) &lt; {card}_Q(C) &lt; {card}_Q(B)&lt;/math&gt;


et


&lt;math&gt;\forall i \in \N&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;{card}_P(A) &lt; {card}_P(B)&lt;/math&gt;,


et


&lt;math&gt;\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)&lt;{card}_{P}(C)&lt;{card}_{P}(B)&lt;/math&gt;,

mais &lt;math&gt;\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)&lt;{card}_{Q}(C)&lt;{card}_{Q}(B)&lt;/math&gt;. 


'''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.'''''


4) Soient &lt;math&gt;A, B \in \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt;.  


Alors : &lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt;, 

c'est-à-dire : 

&lt;math&gt;\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;.}}


{{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. à l'ensemble &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;'''|contenu=

Soit &lt;math&gt;n \in \N^*&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)&lt;/math&gt; un repère orthonormé direct de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. de &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;),

''on considère que &lt;math&gt;\cal C&lt;/math&gt; est une chaîne exhaustive de parties de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;'' 
 
c'est-à-dire :

&lt;math&gt;\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)&lt;/math&gt;

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' :


Soit &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)&lt;/math&gt; 

et &lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;, 

'''''['''''c'est-à-dire tels que : 

&lt;math&gt;[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)&lt;/math&gt;

et

&lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])&lt;/math&gt;''''']'''''.


Alors : &lt;math&gt;A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt;.


Comme &lt;math&gt;\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt; resp. &lt;math&gt;\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)&lt;/math&gt;,

on a &lt;math&gt;A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) &lt; card_{Q,\mathcal{R}}(B)&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\mathcal{C}&lt;/math&gt; est totalement ordonnée pour &lt;math&gt;\subset&lt;/math&gt;,


on obtient donc que &lt;math&gt;\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt; est totalement ordonné pour &lt;math&gt;\le&lt;/math&gt;.


Par ailleurs, on a &lt;math&gt;\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}&lt;/math&gt;.

Donc &lt;math&gt;\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2&lt;/math&gt; chaînes exhaustives de parties de &lt;math&gt;\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)&lt;/math&gt;, pour l'inclusion, allant de l'ensemble &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt; à l'ensemble &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; (resp. &lt;math&gt;\R''^n&lt;/math&gt;), et contenant &lt;math&gt;\{O\}&lt;/math&gt;,


&lt;math&gt;\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}&lt;/math&gt;


et &lt;math&gt;\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)&lt;/math&gt;}}

==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''===

{{Théorème|titre=|contenu=Soit &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt; un repère orthonormé de &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;A \in \mathcal{P}(B)&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;, où chacune des parties &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; peut être une partie bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ou un plafonnement d'une partie non bornée de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A=\emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}&lt;/math&gt;.


Si &lt;math&gt;A \neq \emptyset&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B \neq \emptyset&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\{2\}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, 

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Prenons &lt;math&gt;A=\N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B=\R&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\N&lt;/math&gt;, et où &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; est considéré, ici, comme le plafonnement normal de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;,

alors &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt;,

or &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}&lt;/math&gt; est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle &lt;math&gt;{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}&lt;/math&gt;.


Dans la théorie classique, on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}&lt;/math&gt; où, ici, &lt;math&gt;+\infty_{classique}&lt;/math&gt; est considéré comme un point. 


Mais, dans ma théorie non classique, &lt;math&gt;{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty&lt;/math&gt; où on considère, ici, que &lt;math&gt;+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x &gt; a\}&lt;/math&gt; et on a &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}&lt;/math&gt;

et on a : &lt;math&gt;\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} &lt; \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}&lt;/math&gt;.}}

==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et d'une suite de parties (éventuellement bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;, pour &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;'''===

Cf. titre.

Soit &lt;math&gt;N \in \N^*&lt;/math&gt;.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;{PV}(\R^N)&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de polyèdres compacts &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :


En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers une partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; et de la suite de parties bornées connexes &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; convergeant vers cette partie bornée connexe &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;[A,{(A_n)}_{n \in \N}]&lt;/math&gt;.


Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}&lt;/math&gt;&quot;

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille &lt;math&gt;{(A_n)}_{n \in \N}&lt;/math&gt;, de limite de cette famille de parties de &lt;math&gt;\R^N&lt;/math&gt; : &quot;&lt;math&gt;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}&lt;/math&gt;&quot;.

==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''===


{{Théorème|titre=|contenu=Soient &lt;math&gt;\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

Soient &lt;math&gt;\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

Alors on définit la relation suivante :


&lt;math&gt;\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
{\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\
{\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}}
\end{cases}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\begin{cases}
(1)\begin{cases}
\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\
\emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}}
\end{cases}
\end{cases}\\
et\\
(2)\begin{cases}
\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\
\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\
\begin{cases}
\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\
{\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}&lt;/math&gt;


De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

&lt;math&gt;\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}&lt;/math&gt;

et 

&lt;math&gt;0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)&lt;/math&gt;


Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}}</text>
      <sha1>n58srtjxccu5gs3tfxqom4sf2qui9dt</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-eresse, -∅</title>
    <ns>104</ns>
    <id>83923</id>
    <revision>
      <id>983561</id>
      <parentid>932576</parentid>
      <timestamp>2026-06-15T07:44:20Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Psychoslave</username>
        <id>2753</id>
      </contributor>
      <origin>983561</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="902" sha1="obcja84fyvygkg67lpndstdeye44hsh" xml:space="preserve">Dans le corpus considéré concerne ''bosseresse'' et ''boss'', ''cheferesse'' et ''chef''.

====== Réflexions paradigmatiques ======
Tout comme pour les cas de [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-eresse, -e|-eresse, -e]], les termes les plus tronqués connaissent déjà également emploi épicène.

Pour ''boss'', qui se coordonne donc avec les autres termes en [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-oss|''-oss'']], une première approche est donc construire sur un isonèphe virtuel en ''bosseresque'' et par suite dériver la série ostentatoire en ''&lt;code&gt;bosser*sque&lt;/code&gt;''. 

Pour les termes issus du latin  du latin ''&lt;code&gt;caput&lt;/code&gt;'' &amp;nbsp;: ''tête,'' il est toujours plus clair de rappeler son réseau d'alternance et de proximités lexicales:
{{Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/ch*f·v*}}</text>
      <sha1>obcja84fyvygkg67lpndstdeye44hsh</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Wikiversité:La salle café/juin 2026</title>
    <ns>4</ns>
    <id>86053</id>
    <revision>
      <id>983535</id>
      <parentid>983361</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T13:32:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <comment>/* Gestion des ébauches */ nouvelle section</comment>
      <origin>983535</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15681" sha1="tcwdthyk7nkaqxczvmdf7pla9dowx77" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
&lt;noinclude&gt;{{SC|2026|06}}{{Clr}}&lt;/noinclude&gt;

== Actualités techniques n° 2026-23 ==

&lt;section begin=&quot;technews-2026-W23&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/23|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Actualités pour la contribution'''
* L'équipe [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|Reader Experience]] mène une expérience pour montrer la fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|listes de lecture]], qui est encore en développement, aux lecteurs non connectés sur mobile afin de tester si elle encourage la création de compte à un rythme plus élevé que le bouton watchstar. L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists#Experiment timeline|expérience]] a été lancée le 18 mai sur les wikis en allemand, espagnol, italien, portugais, polonais, néerlandais, turc et ourdou, et elle durera un mois.
* L'équipe Wikimedia Apps a publié la [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/Explore Feed Refresh/Phase 1|Phase 1]] du flux d'accueil repensé pour l'application Android Beta. Le nouveau flux d'accueil comprend un onglet « Communauté » actualisé et un onglet « Pour vous » personnalisé contenant des recommandations de lecture mises à jour quotidiennement. La refonte fait partie d'un effort plus large visant à améliorer la découverte de contenu et à créer des expériences d'apprentissage plus engageantes dans les applications Wikipédia.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:18|la tâche soumise|les {{formatnum:18}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:18||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où les images pouvaient ne pas se charger pour certaines modifications suggérées sur [[w:Special:Homepage|Special:Homepage]], laissant la vignette bloquée dans un état de chargement, a maintenant été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T424048]

'''Actualités pour la contribution technique'''
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.5|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/23|Traduire]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W23&quot;/&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 1 juin 2026 à 21:08 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30613639 --&gt;

== De nouveau au sujet des problèmes techniques de la salle café ==

Bonjour. Je découvre que les problèmes technique que je rencontre dans l'usage du système conversationnelle qui permet de répondre à un sujet en cliquant sur &quot; répondre&quot; et en profitant d'un éditeur visuel fonctionne parfaitement quand j'utilise mon smartphone, comme je le fais à l'instant.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 8 juin 2026 à 11:43 (UTC)

Par contre, toujours avec mon smartphone, si je lui demande d'afficher la version de la page pour ordinateur, je me retrouve à nouveau obliger d'utiliser le wikicode. Est-ce que cela pourrait aider à identifier le problème qui reste non résolut ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 8 juin 2026 à 11:46 (UTC)

== Actualités techniques n° 2026-24 ==

&lt;section begin=&quot;technews-2026-W24&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/24|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''En lumière cette semaine'''
* Wikimedia Entreprise a relevé les limites d’utilisation gratuite de ses API. La limite mensuelle de requêtes pour l’API « à la demande » (&lt;i lang=&quot;en&quot;&gt;On-demand&lt;/i&gt;) est passée de {{formatnum:5000}} à {{formatnum:50000}} requêtes, tandis que celle de l’API des instantanés (&lt;i lang=&quot;en&quot;&gt;Snapshot&lt;/i&gt;) est passée de 15 à 30 requêtes par mois. De plus, les instantanés de contenus structurés sont désormais accessibles aux comptes gratuits. Ces changements élargissent l’accès aux données de Wikimedia Entreprise pour les développeurs et développeuses, les chercheurs et chercheuses et les organisations qui utilisent les contenus Wikimédia. [https://enterprise.wikimedia.com/blog/enhanced-free-api]

'''Actualités pour la contribution'''
* La [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/Explore Feed Refresh/Phase 1|nouvelle version du Fil d’exploration]], désormais appelé « Fil d’accueil », est en cours de déploiement auprès de 50 % des utilisateurs de l’application Wikipédia pour Android. Le fil d’accueil aide le lectorat à découvrir du contenu pertinent grâce à deux nouveaux onglets : « Communauté » et « Pour vous ». L’onglet « Communauté » propose un flux défilant de contenus sélectionnés et d’actualités provenant de l’ensemble de la communauté et du mouvement Wikimédia, tandis que l’onglet « Pour vous » offre une expérience en plein écran et par glissement qui présente des contenus adaptés aux centres d’intérêt de l’utilisateur ou utilisatrice. Cette refonte s’inscrit dans le cadre d’un travail en cours visant à améliorer la découverte et à enrichir l’expérience d’apprentissage au sein de l’application Wikipédia.
* Le jeu-questionnaire quotidien [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/iOS/&quot;Which came first?&quot; Game|Qu’est-ce qui est arrivé en premier ?]] est désormais disponible dans la version bêta de l’application Wikipédia pour iOS en anglais, allemand, français, portugais, russe, espagnol, arabe, chinois et turc. Le jeu s’appuie sur des événements historiques tirés de la rubrique « Éphéméride » de Wikipédia et met les lecteurs au défi de deviner lequel des deux événements s’est produit en premier. Le jeu avait déjà été lancé sur Android. Les communautés souhaitant rendre le jeu disponible dans leur langue peuvent [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/Games#Game availability by language|consulter les instructions et les conditions requises]].
* [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|Les sous-références]], une nouvelle fonctionnalité de MediaWiki permettant aux contributeurs de réutiliser des références avec des détails différents, va commencer à être déployée sur les wikis Wikimédia après une phase pilote réussie. Le déploiement débutera le 8 juin pour la plupart des [[wikitech:Deployments/Train#Wednesday|wikis du groupe 1]] et Wikipédia en français, puis d'autres éditions linguistiques de Wikipédia bénéficieront de cette fonctionnalité au cours des prochains mois. Les communautés sont invitées à se préparer en vérifiant s’il existe des [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ATranslate&amp;group=ext-cite&amp;language=en&amp;action_source=search&amp;filter=%21translated&amp;optional=1&amp;action=translate messages non traduits de l’extension Cite] dans leur langue et en passant en revue toute utilisation de l’outil [[mw:Special:MyLanguage/Reference Tooltips|Infobulles des références]], qui pourraient nécessiter des [[:phab:T416304#11668731|mises à jour]] pour prendre en charge la nouvelle fonctionnalité. Les wikis utilisant les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Reference Previews|aperçus de référence]] n’ont aucune action à entreprendre. Les communautés peuvent également créer la [[Special:TrackingCategories|catégorie de suivi]] ''cite-tracking-category-ref-details'' en tant que catégorie cachée à l’aide de &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;__HIDDENCAT__&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; (ou d’un modèle dédié), et la relier à l’élément Wikidata correspondant [[d:Q129764848]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T425662]
* L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Mobile page previews#Experimentation|expérience d'Aperçus de page]] sur le Web mobile a pris fin. L'équipe a décidé de ne pas déployer cette fonctionnalité après que les résultats ont montré qu'elle n'avait pas d'impact statistiquement significatif sur la fidélisation des lecteurs, l'amélioration de la fidélisation étant le principal indicateur de réussite. Les « Aperçus de page », déjà disponibles sur ordinateur et dans les applications, affichent une vignette, le premier paragraphe et un lien vers l'article complet lorsque les lecteurs cliquent sur un lien bleu. L'expérience a testé cette fonctionnalité sur le Web mobile sur six versions de Wikipédia.
* La [[mw:Special:MyLanguage/Codex/Design/Icons|bibliothèque d'icônes de l'interface utilisateur]] sera [[phab:T399175|mise à jour dans le courant de cette semaine ou la semaine prochaine]]. La plupart des quelque 300 icônes ont été légèrement peaufinées et une trentaine de nouvelles icônes ont été ajoutées. Ces modifications améliorent les icônes afin de les rendre plus cohérentes et plus compréhensibles, et d'offrir un meilleur équilibre visuel lorsqu'elles sont utilisées en groupe.
* L'interface [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector|Sélecteur universel de langue]] (ULS) de MediaWiki, qui aide les utilisateurs à sélectionner du contenu dans d'autres langues, a été mise à jour. La nouvelle version améliore la rapidité et l'accessibilité, et les utilisateurs des projets Wikimédia peuvent désormais épingler des langues pour changer de langue plus rapidement. Le déploiement sur les sites Wikimédia se fera progressivement au cours des prochaines semaines. Vous pouvez la tester dès maintenant en tant que fonctionnalité bêta en sélectionnant [[Special:Preferences#mw-prefsection-betafeatures|les fonctionnalités bêta]] dans les préférences de votre profil et partager vos commentaires sur [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector/New ULS|la page du projet]]. 
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:21|la tâche soumise|les {{formatnum:21}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:21||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème du le tableau de bord d'analyse des pages vues sur pageviews.wmcloud.org qui a arrêté de mettre à jour les données graphiques en mai 2026, affectant tous les utilisateurs, a été résolu. [https://phabricator.wikimedia.org/T427171]

'''Actualités pour la contribution technique'''
* La signature de la fonction &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;mw.util.addPortletLink()&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; a été simplifiée. Les développeurs peuvent désormais passer un objet de configuration à la place d'une liste de paramètres positionnels lors de la création de liens vers des portlets. L'ancienne signature de la fonction reste prise en charge à des fins de compatibilité ascendante. Par exemple, au lieu de : &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;mw.util.addPortletLink('p-cactions', '#', 'Stub', 'ca-stubtag', 'Add a stub tag to this page');&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;, utilisez &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;mw.util.addPortletLink('p-cactions', { href: '#', text: 'Stub', id: 'ca-stubtag', tooltip: 'Add a stub tag to this page' });&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. Les responsables de la maintenance des scripts sont invités à passer en revue les utilisations existantes de &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;addPortletLink()&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; et à les mettre à jour si nécessaire. Cette modification sera disponible sur tous les wikis à partir du 11 juin. Merci à Gerges, bénévole de la communauté, d'avoir apporté cette amélioration. [https://phabricator.wikimedia.org/T427945]
* '''Discussion sur la liste de souhaits de la communauté''': les [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates#May 20, 2026: Community Tech becomes a program|changements introduits]] par les équipes Produit et Technologie visent à augmenter le nombre et la complexité des souhaits exaucés, notamment par la dissolution de l'équipe Community Tech. Ils [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates|mènent actuellement des discussions]] sur une [[m:Talk:Community Wishlist#Proposed direction for Wishlist|orientation proposée pour la liste de souhaits]] émanant des membres de la communauté. Cela inclut des moyens de structurer le vote annuel, un meilleur suivi des souhaits, la suppression de certains domaines prioritaires et des [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates|mises à jour concernant le personnel]].
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.6|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/24|Traduire]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W24&quot;/&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 8 juin 2026 à 21:30 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30650573 --&gt;

== Gestion des ébauches ==

Bonjour,

Je propose de fusionner les catégories suivantes :
* [[:Catégorie:Pas fini|Leçons pas finies]]
* [[:Catégorie:Leçons d'avancement 0|Leçons d'avancement 0]]
* [[:Catégorie:Leçons d'avancement 1|Leçons d'avancement 1]]
* [[:Catégorie:Ébauche|Ébauches]] (après avoir retiré les pages qui ne sont pas dans l'espace principal, c'est-à-dire sans préfixe)
* [[:Catégorie:En cours|Leçons en cours]]

L'idée est de lancer une sorte de moteur de recherche interne qui faciliterait et encouragerait la contribution au sein de Wikiversité, et qui s'appuierait donc sur une seule catégorie de recherche d'ébauches à développer.

Qu'en dites-vous ?

Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 14 juin 2026 à 13:32 (UTC)</text>
      <sha1>tcwdthyk7nkaqxczvmdf7pla9dowx77</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983545</id>
      <parentid>983535</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T14:27:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <comment>/* Gestion des ébauches */</comment>
      <origin>983545</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15681" sha1="9tburw4gwrbij7ck88xwif24xkuak1w" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
&lt;noinclude&gt;{{SC|2026|06}}{{Clr}}&lt;/noinclude&gt;

== Actualités techniques n° 2026-23 ==

&lt;section begin=&quot;technews-2026-W23&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/23|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Actualités pour la contribution'''
* L'équipe [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|Reader Experience]] mène une expérience pour montrer la fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|listes de lecture]], qui est encore en développement, aux lecteurs non connectés sur mobile afin de tester si elle encourage la création de compte à un rythme plus élevé que le bouton watchstar. L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists#Experiment timeline|expérience]] a été lancée le 18 mai sur les wikis en allemand, espagnol, italien, portugais, polonais, néerlandais, turc et ourdou, et elle durera un mois.
* L'équipe Wikimedia Apps a publié la [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/Explore Feed Refresh/Phase 1|Phase 1]] du flux d'accueil repensé pour l'application Android Beta. Le nouveau flux d'accueil comprend un onglet « Communauté » actualisé et un onglet « Pour vous » personnalisé contenant des recommandations de lecture mises à jour quotidiennement. La refonte fait partie d'un effort plus large visant à améliorer la découverte de contenu et à créer des expériences d'apprentissage plus engageantes dans les applications Wikipédia.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:18|la tâche soumise|les {{formatnum:18}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:18||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où les images pouvaient ne pas se charger pour certaines modifications suggérées sur [[w:Special:Homepage|Special:Homepage]], laissant la vignette bloquée dans un état de chargement, a maintenant été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T424048]

'''Actualités pour la contribution technique'''
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.5|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/23|Traduire]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W23&quot;/&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 1 juin 2026 à 21:08 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30613639 --&gt;

== De nouveau au sujet des problèmes techniques de la salle café ==

Bonjour. Je découvre que les problèmes technique que je rencontre dans l'usage du système conversationnelle qui permet de répondre à un sujet en cliquant sur &quot; répondre&quot; et en profitant d'un éditeur visuel fonctionne parfaitement quand j'utilise mon smartphone, comme je le fais à l'instant.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 8 juin 2026 à 11:43 (UTC)

Par contre, toujours avec mon smartphone, si je lui demande d'afficher la version de la page pour ordinateur, je me retrouve à nouveau obliger d'utiliser le wikicode. Est-ce que cela pourrait aider à identifier le problème qui reste non résolut ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 8 juin 2026 à 11:46 (UTC)

== Actualités techniques n° 2026-24 ==

&lt;section begin=&quot;technews-2026-W24&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/24|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''En lumière cette semaine'''
* Wikimedia Entreprise a relevé les limites d’utilisation gratuite de ses API. La limite mensuelle de requêtes pour l’API « à la demande » (&lt;i lang=&quot;en&quot;&gt;On-demand&lt;/i&gt;) est passée de {{formatnum:5000}} à {{formatnum:50000}} requêtes, tandis que celle de l’API des instantanés (&lt;i lang=&quot;en&quot;&gt;Snapshot&lt;/i&gt;) est passée de 15 à 30 requêtes par mois. De plus, les instantanés de contenus structurés sont désormais accessibles aux comptes gratuits. Ces changements élargissent l’accès aux données de Wikimedia Entreprise pour les développeurs et développeuses, les chercheurs et chercheuses et les organisations qui utilisent les contenus Wikimédia. [https://enterprise.wikimedia.com/blog/enhanced-free-api]

'''Actualités pour la contribution'''
* La [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/Explore Feed Refresh/Phase 1|nouvelle version du Fil d’exploration]], désormais appelé « Fil d’accueil », est en cours de déploiement auprès de 50 % des utilisateurs de l’application Wikipédia pour Android. Le fil d’accueil aide le lectorat à découvrir du contenu pertinent grâce à deux nouveaux onglets : « Communauté » et « Pour vous ». L’onglet « Communauté » propose un flux défilant de contenus sélectionnés et d’actualités provenant de l’ensemble de la communauté et du mouvement Wikimédia, tandis que l’onglet « Pour vous » offre une expérience en plein écran et par glissement qui présente des contenus adaptés aux centres d’intérêt de l’utilisateur ou utilisatrice. Cette refonte s’inscrit dans le cadre d’un travail en cours visant à améliorer la découverte et à enrichir l’expérience d’apprentissage au sein de l’application Wikipédia.
* Le jeu-questionnaire quotidien [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/iOS/&quot;Which came first?&quot; Game|Qu’est-ce qui est arrivé en premier ?]] est désormais disponible dans la version bêta de l’application Wikipédia pour iOS en anglais, allemand, français, portugais, russe, espagnol, arabe, chinois et turc. Le jeu s’appuie sur des événements historiques tirés de la rubrique « Éphéméride » de Wikipédia et met les lecteurs au défi de deviner lequel des deux événements s’est produit en premier. Le jeu avait déjà été lancé sur Android. Les communautés souhaitant rendre le jeu disponible dans leur langue peuvent [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/Games#Game availability by language|consulter les instructions et les conditions requises]].
* [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|Les sous-références]], une nouvelle fonctionnalité de MediaWiki permettant aux contributeurs de réutiliser des références avec des détails différents, va commencer à être déployée sur les wikis Wikimédia après une phase pilote réussie. Le déploiement débutera le 8 juin pour la plupart des [[wikitech:Deployments/Train#Wednesday|wikis du groupe 1]] et Wikipédia en français, puis d'autres éditions linguistiques de Wikipédia bénéficieront de cette fonctionnalité au cours des prochains mois. Les communautés sont invitées à se préparer en vérifiant s’il existe des [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ATranslate&amp;group=ext-cite&amp;language=en&amp;action_source=search&amp;filter=%21translated&amp;optional=1&amp;action=translate messages non traduits de l’extension Cite] dans leur langue et en passant en revue toute utilisation de l’outil [[mw:Special:MyLanguage/Reference Tooltips|Infobulles des références]], qui pourraient nécessiter des [[:phab:T416304#11668731|mises à jour]] pour prendre en charge la nouvelle fonctionnalité. Les wikis utilisant les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Reference Previews|aperçus de référence]] n’ont aucune action à entreprendre. Les communautés peuvent également créer la [[Special:TrackingCategories|catégorie de suivi]] ''cite-tracking-category-ref-details'' en tant que catégorie cachée à l’aide de &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;__HIDDENCAT__&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; (ou d’un modèle dédié), et la relier à l’élément Wikidata correspondant [[d:Q129764848]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T425662]
* L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Mobile page previews#Experimentation|expérience d'Aperçus de page]] sur le Web mobile a pris fin. L'équipe a décidé de ne pas déployer cette fonctionnalité après que les résultats ont montré qu'elle n'avait pas d'impact statistiquement significatif sur la fidélisation des lecteurs, l'amélioration de la fidélisation étant le principal indicateur de réussite. Les « Aperçus de page », déjà disponibles sur ordinateur et dans les applications, affichent une vignette, le premier paragraphe et un lien vers l'article complet lorsque les lecteurs cliquent sur un lien bleu. L'expérience a testé cette fonctionnalité sur le Web mobile sur six versions de Wikipédia.
* La [[mw:Special:MyLanguage/Codex/Design/Icons|bibliothèque d'icônes de l'interface utilisateur]] sera [[phab:T399175|mise à jour dans le courant de cette semaine ou la semaine prochaine]]. La plupart des quelque 300 icônes ont été légèrement peaufinées et une trentaine de nouvelles icônes ont été ajoutées. Ces modifications améliorent les icônes afin de les rendre plus cohérentes et plus compréhensibles, et d'offrir un meilleur équilibre visuel lorsqu'elles sont utilisées en groupe.
* L'interface [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector|Sélecteur universel de langue]] (ULS) de MediaWiki, qui aide les utilisateurs à sélectionner du contenu dans d'autres langues, a été mise à jour. La nouvelle version améliore la rapidité et l'accessibilité, et les utilisateurs des projets Wikimédia peuvent désormais épingler des langues pour changer de langue plus rapidement. Le déploiement sur les sites Wikimédia se fera progressivement au cours des prochaines semaines. Vous pouvez la tester dès maintenant en tant que fonctionnalité bêta en sélectionnant [[Special:Preferences#mw-prefsection-betafeatures|les fonctionnalités bêta]] dans les préférences de votre profil et partager vos commentaires sur [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector/New ULS|la page du projet]]. 
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:21|la tâche soumise|les {{formatnum:21}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:21||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème du le tableau de bord d'analyse des pages vues sur pageviews.wmcloud.org qui a arrêté de mettre à jour les données graphiques en mai 2026, affectant tous les utilisateurs, a été résolu. [https://phabricator.wikimedia.org/T427171]

'''Actualités pour la contribution technique'''
* La signature de la fonction &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;mw.util.addPortletLink()&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; a été simplifiée. Les développeurs peuvent désormais passer un objet de configuration à la place d'une liste de paramètres positionnels lors de la création de liens vers des portlets. L'ancienne signature de la fonction reste prise en charge à des fins de compatibilité ascendante. Par exemple, au lieu de : &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;mw.util.addPortletLink('p-cactions', '#', 'Stub', 'ca-stubtag', 'Add a stub tag to this page');&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;, utilisez &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;mw.util.addPortletLink('p-cactions', { href: '#', text: 'Stub', id: 'ca-stubtag', tooltip: 'Add a stub tag to this page' });&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. Les responsables de la maintenance des scripts sont invités à passer en revue les utilisations existantes de &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;addPortletLink()&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; et à les mettre à jour si nécessaire. Cette modification sera disponible sur tous les wikis à partir du 11 juin. Merci à Gerges, bénévole de la communauté, d'avoir apporté cette amélioration. [https://phabricator.wikimedia.org/T427945]
* '''Discussion sur la liste de souhaits de la communauté''': les [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates#May 20, 2026: Community Tech becomes a program|changements introduits]] par les équipes Produit et Technologie visent à augmenter le nombre et la complexité des souhaits exaucés, notamment par la dissolution de l'équipe Community Tech. Ils [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates|mènent actuellement des discussions]] sur une [[m:Talk:Community Wishlist#Proposed direction for Wishlist|orientation proposée pour la liste de souhaits]] émanant des membres de la communauté. Cela inclut des moyens de structurer le vote annuel, un meilleur suivi des souhaits, la suppression de certains domaines prioritaires et des [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates|mises à jour concernant le personnel]].
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.6|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/24|Traduire]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W24&quot;/&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 8 juin 2026 à 21:30 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30650573 --&gt;

== Gestion des ébauches ==

Bonjour,

Je propose de fusionner les catégories suivantes :
* [[:Catégorie:Pas fini|Leçons pas finies]]
* [[:Catégorie:Leçons d'avancement 0|Leçons d'avancement 0]]
* [[:Catégorie:Leçons d'avancement 1|Leçons d'avancement 1]]
* [[:Catégorie:Ébauche|Ébauches]] (après avoir retiré les pages qui ne sont pas dans l'espace principal, c'est-à-dire avec préfixe)
* [[:Catégorie:En cours|Leçons en cours]]

L'idée est de lancer une sorte de moteur de recherche interne qui faciliterait et encouragerait la contribution au sein de Wikiversité, et qui s'appuierait donc sur une seule catégorie de recherche d'ébauches à développer.

Qu'en dites-vous ?

Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 14 juin 2026 à 13:32 (UTC)</text>
      <sha1>9tburw4gwrbij7ck88xwif24xkuak1w</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Wikiversité:La salle café/mars 2026</title>
    <ns>4</ns>
    <id>86056</id>
    <revision>
      <id>983550</id>
      <parentid>982303</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T16:32:47Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Crochet.david.bot</username>
        <id>1005</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>sur les détections lettre F</comment>
      <origin>983550</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="39543" sha1="m0psfsnrsgjzlay57ygw3q5n6mqv3it" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
&lt;noinclude&gt;{{SC|2026|03}}{{Clr}}&lt;/noinclude&gt;

== Actualités techniques n° 2026-10 ==

&lt;section begin=&quot;technews-2026-W10&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/10|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''En lumière cette semaine'''
* Le [[m:Special:MyLanguage/Wikipedia 25/Easter egg experiments|mode Anniversaire]] Wikipedia 25 est maintenant disponible sur Wikipédia en français, anglais, betawi, breton, chinois, espagnol, gorontalo, indonésien, italien, luxembourgeois, madurais, néerlandais, sicilien, tchèque, thaï et vietnamien ! Cette campagne à temps limitée célèbre 25 ans de Wikipédia avec une mascotte : « Baby Globe », disponible sous la forme d'un réglage. Lorsque ce réglage est activé, Baby Globe est montrée sur [[m:Special:MyLanguage/Wikipedia 25/Easter egg experiments/article configuration|environ 2 500 articles]], attendant d'être découverte par des lecteurs. Chaque communauté peut choisir d'activer le mode Anniversaire par consensus et en demandant à un administrateur de le rendre disponible et de le personaliser via une [[m:Special:MyLanguage/Wikipedia 25/Easter egg experiments#Community Configuration Demo|configuration]] sur le wiki local.

'''Actualités pour la contribution'''
* Le [[:m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|sous-référencement]], une nouvelle fonctionnalité pour réutiliser des références avec des détails différents est maintenant disponible sur Wikipédia en suédois, polonais et [[:phab:T418209|quelques autres]]. Vous pouvez [[:m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing#test|essayer la fonctionalité]] sur ces projets ou sur testwiki et [https://en.wikipedia.beta.wmcloud.org/wiki/Sub-referencing betawiki]. Les retours des premiers essais sur Wikipédia en allemand ont été [[:m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing/Learnings|publiés dans un rapport]]. Contactez l'équipe de Wikimédia Allemagne si vous êtes [[:m:Talk:WMDE Technical Wishes/Sub-referencing#Pilot wikis|intéressés pour devenir un wiki pilote]].
* La [[mw:Special:MyLanguage/Help:Edit check#Paste check|vérification du collage clavier]] sera disponible sur tous les Wikipédias cette semaine. Cette fonctionnalité avertit les nouveaux contributeurs qui collent du texte qu'ils n'ont probablement pas écrit de vérifier si laisser celui-ci risque de causer une violation du droit d'auteur. La vérification du collage clavier [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/Tags|marque]] toutes les modifications où l'avertissement a été montré pour permettre leur vérification. Les administrateurs locaux peuvent configurer les différents aspects de cette fonctionnalité à travers [[{{#special:EditChecks}}]]. Des [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/Paste Check#A/B Experiment|études]] sur 22 wikis ont montré que cette vérification permet une réduction de 18% des annulations comparé au groupe de contrôle. Les traducteurs peuvent [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ATranslate&amp;group=ext-visualeditor-ve-mw-editcheck&amp;filter=&amp;optional=1&amp;action=translate aider à traduire] cette fonctionnalité.
* &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;The [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|Reader Experience team]] will be standardizing the user menu in the top right for all mobile users so that it is closer to the desktop experience. Currently this user menu is only visible to users with Advanced Mobile Controls (AMC) turned on. The only change is that a couple buttons previously in the left-side menu will move to the top right for users who do not have AMC turned on. This change is expected to go out March 9 and seeks to improve the user interface.&lt;/span&gt; [https://phabricator.wikimedia.org/T413912]
* À partir de la semaine du 2 mars, les emails envoyés lorsqu'une adresse email a été ajoutée, supprimée ou changée pour un compte changera pour adopter un formattage HTML beaucoup plus agréable et plus clair que le texte brut précédent. [https://phabricator.wikimedia.org/T410807]
* Les notifications sont actuellement limitées à 2 000 entrées historiques par utilisateur et remontent à 2013 lorsque la fonctionnalité a été publiée. Le système va être modifié pour ne stocker que les notifications des 5 dernières années, mais jusqu'à 10 000 d'entre elles. Cela contribuera à la santé à long terme des infrastructures et à empêcher que les notifications plus récentes disparaissent trop tôt. [https://phabricator.wikimedia.org/T383948]
* &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;The [[m:Special:GlobalWatchlist|Global Watchlist]] which lets you view your watchlists from multiple wikis on a single page continues to see improvements. The latest update improves label usage experience. The [[mw:Special:MyLanguage/Extension:GlobalWatchlist|extension]] now allows activating the [[mw:Special:MyLanguage/Manual:Language#Fallback languages|language fallback system]] for Wikidata items without labels in the viewed language, and showing those labels in the user’s preferred Wikidata language if no &lt;code dir=ltr&gt;uselang=&lt;/code&gt; URL parameter is provided.&lt;/span&gt; [https://phabricator.wikimedia.org/T373686][https://phabricator.wikimedia.org/T416111]
* L'équipe Wikipédia Android a commencé un test beta de la [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Information Retrieval/Phase 1|recherche hybride]] sur Wikipédia en grec. Cette recherche hybride supporte les requêtes sémantique et par mot clés, permettant aux utilisateurs de trouver ce qu'ils cherchent plus facilement.
* Pour des raisons de sécurité, les membres de certains groupes sont [[m:Special:MyLanguage/Mandatory two-factor authentication for users with some extended rights|forcés d'avoir la double authentification]] (A2F) d'activée. Actuellement, l'A2F n'est nécessaire que pour utiliser les droits du groupe, et non pour en faire partie. Vu que ce système admet certaines failles, il sera [[phab:T418580|changé graduellement en mars]]. Les membres de ces groupes ne pourront plus désactiver la dernière méthose d'A2F sur leur compte, et il sera impossible d'ajouter des utilisateurs sans A2F à ces groupes. Il sera toujours possible de rajouter d'autres méthodes d'authentification et d'en enlever, tant qu'une est toujours activée. Dans la seconde moitié de mars, les utilisateurs sans A2F seront retirés de ces groupes. Cela s'applique aux administrateurs CentralNotice, aux vérificateurs d'utilisateurs, aux administrateurs d'interface, aux masqueurs, aux staff de Wikidata et Wikifonctions ainsi qu'aux bureaux IT et Confiance et sécurité de la WMF. Rien ne changera pour les autres utilisateurs. Voir la tâche liée pour le calendrier de déploiement. [https://phabricator.wikimedia.org/T418580]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:27|la tâche soumise|les {{formatnum:27}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:27||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, le problème empêchant les utilisateurs de créer une instance dans [https://www.wikibase.cloud/ Wikibase.cloud] a maintenant été résolu. [https://phabricator.wikimedia.org/T416807]

'''Actualités pour la contribution technique'''
* &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;To help ensure [[mw:Special:MyLanguage/MediaWiki Product Insights/Responsible Reuse|fair use of infrastructure]], over the next month the Wikimedia Foundation will implement global API rate limits across our APIs. In early March, stricter limits will be applied to unidentified requests from outside Toolforge/WMCS and API requests that are made from web browsers. In April, higher limits will be applied to identified traffic. These limits are intentionally set as high as possible to minimise impact on the community. Bots running in Toolforge/WMCS or with the bot user right on any wiki should not be affected for now. However, all developers are advised to follow updated best practices. For more information, see [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits|Wikimedia APIs/Rate limits]].&lt;/span&gt;
* &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;The Wikidata Query Service Linked Data Fragment (LDF) endpoint will be decommissioned in February. This endpoint served limited traffic, which was successfully migrated to other data access methods that were better suited to support existing use cases. The hardware used to support the LDF endpoint will be reallocated to support the ongoing backend migration efforts.&lt;/span&gt; [https://phabricator.wikimedia.org/T415696]
* Le nouvel analyseur syntaxique Parsoid [[mw:Special:MyLanguage/Parsoid/Parser Unification/Updates|continue d'être déployés sur plus de wikis]], améliorant la pérennité de la platforme et rendant plus facile l'ajout de nouvelles fonctionnalités de lecture et de modification. Parsoid est maintenant l'analyseur par défaut sur 488 wikis de la WMF (268 Wikipédias), couvrant plus de 10% de toutes les lectures de pages Wikipédia.
* Le processus et les critères pour [[Special:MyLanguage/Wikimedia Enterprise#Access|demander un accès exceptionnel]] au flux à fort volume de l'API ''Wikimédia Entreprise'' (sans coût pour des utilisations en rapport à notre mission) [[m:Talk:Wikimedia Enterprise#Exceptional access criteria|ont maintenant été publiés]]. Notre but est de donner une documentation plus claire et plus complète aux utilisateurs.
* [https://techblog.wikimedia.org/ Le blog Tech], dédié à la communité technique de Wikimédia [https://techblog.wikimedia.org/2026/02/24/a-tech-blog-diff/ va migrer] vers [[diffblog:|Diff]], le blog pour les nouvelles et événements de la communauté. La migration devrait être terminée en avril 2026, après quoi les nouveaux posts seront acceptés pour être publiés. Les lecteurs pourront lire les posts - anciens ou nouveaux - sur https://diff.wikimedia.org/.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.18|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/10|Traduire]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W10&quot;/&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 2 mars 2026 à 17:51 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30137798 --&gt;

== Création de cours et parcours ==

Bonjour, je suis complétement nouveau sur wiki mais le sujet m'intéresse. Je me demandais, comment ça se passe sur wikiversitaire pour créer des cours ? et aussi, est ce possible pour des universités en France, de publier des cours sur le wiki directement ? [[Utilisateur:FLK1N|FLK1N]] ([[Discussion utilisateur:FLK1N|discuter]]) 9 mars 2026 à 14:41 (UTC)
:Bonjour, tout à fait, c'est expliqué dans la charte : [[Wikiversité:À propos de Wikiversité]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 10 mars 2026 à 09:45 (UTC)

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-11&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W11&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/11|Translations]] are available.

'''Weekly highlight'''
* [[m:Special:MyLanguage/Tech/Server switch|All wikis will be read-only]] for a few minutes on Wednesday, 25 March 2026 at [https://zonestamp.toolforge.org/1774450800 15:00 UTC]. This is for the datacenter server switchover backup tests, [[wikitech:Deployments/Yearly calendar|which happen twice a year]]. During the switchover, all Wikimedia website traffic is shifted from one primary data center to the backup data center to test availability and prevent service disruption even in emergencies.
* Last week, all wikis had 2 hours of read-only time, and extended unavailability for user-scripts and gadgets. This was due to a security incident which has since been resolved. Work is ongoing to prevent re-occurrences. For current information please see the [[m:Steward's noticeboard#Statement on Meta about today's user script security incident|post on the Stewards' noticeboard]] ([[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation/Product and Technology/Product Safety and Integrity/March 2026 User Script Incident|translations]]).

'''Updates for editors'''
* Users facing multiple blocks on mobile will now see the reasons for each block separately, instead of a generic message. This helps them understand why they are blocked and what steps they can take to resolve the issue. For example, users affected for using common VPNs (such as [[Special:MyLanguage/Apple iCloud Private Relay|iCloud Private Relay]]) will receive clearer guidance on what they need to do to start editing again. [https://phabricator.wikimedia.org/T357118]
* Later this week, [[mw:Special:MyLanguage/VisualEditor/Suggestion Mode|Suggestion Mode]] will become available as a beta feature within the visual editor at all Wikipedias. This feature proactively suggests various types of actions that people can consider taking to improve Wikipedia articles, and learn about related guidelines. The feature is locally configurable, and can also be locally expanded with custom Suggestions. Current settings can be seen at [[Special:EditChecks]] and there are [[mw:Special:MyLanguage/Help:Suggestion mode#For administrators %E2%80%93 local customization|instructions for how administrators can customize]] the links to point to local guidelines. The feature is connected to [[mw:Special:MyLanguage/Help:Edit check|Edit check]] which suggests improvements while someone is writing new content. In the future, the Editing team plans to evaluate the feature's impact with newcomers through a controlled experiment. [https://phabricator.wikimedia.org/T404600]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:23}} community-submitted {{PLURAL:23|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, the issue where the cursor became misaligned during the use of CodeMirror’s syntax highlighting, which makes wikitext and code easier to read, has now been fixed. This problem specifically affected users who defined a font rule in a custom stylesheet while creating a new topic with DiscussionTools. [https://phabricator.wikimedia.org/T418793]

'''Updates for technical contributors'''
* API rate limiting update: To help ensure [[mw:Special:MyLanguage/MediaWiki Product Insights/Responsible Reuse|fair use of infrastructure]], global API rate limits will be applied this week to requests without a compliant User-Agent that originate from outside Toolforge/WMCS and to unauthenticated requests made from web browsers. Higher limits will be applied to identified traffic in April. Bots running in Toolforge/WMCS or with the bot user right on any wiki should not be affected for now. However, all developers are advised to follow updated best practices. For more information, see [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits|Wikimedia APIs/Rate limits]].
* The new GraphQL API has been released. The API was developed as a flexible alternative to select features of the Wikidata Query Service (WDQS), to improve developer experience and foster adaptability, and efficient data access. Try it out and [[d:Wikidata:Wikibase GraphQL#Feedback and development|give feedback]]. You can also [https://greatquestion.co/wikimediadeutschland/GraphQLAPI/apply sign up for usability tests].
* The [[m:Special:MyLanguage/Product and Technology Advisory Council/Unsupported Tools Working Group|PTAC Unsupported Tools Working Group]] continued improvements to [[commons:Special:MyLanguage/Commons:Video2commons#|Video2Commons]] in February, with fixes addressing authentication errors, large-file handling, task queue visibility, and clearer upload behavior. Work is still ongoing in some areas, including changes related to deprecated server-side uploads. Read [[m:Special:MyLanguage/Product and Technology Advisory Council/Unsupported Tools Working Group#February 2026|this update]] to learn more.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.19|MediaWiki]]

'''In depth'''
* The Article Guidance team invites experienced Wikipedia editors from selected [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance/Pilot wikis and collaborators#Collaborators|pilot wikis]] and interested contributors from other Wikipedias to fill out this questionnaire which is available in [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfmLeVWnxmsCbPoI_UF2jyRcn73WRGWCVPHzerXb4Cz97X_Ag/viewform English], [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSd6rzr4XXQw8r4024fE3geTPFe13M_6w7Mitj-YJi0sOlWTAw/viewform?usp=header Arabic], [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdok3-RfB18lcugYTUMGkpwmqG_8p760Wv4dCXitOXOszjUDw/viewform?usp=header Bengali], [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfjTfYp4jEo0akA4B1e-Nfg3QZPCudUjhJzHzzDi6AHyAaMGA/viewform?usp=header Japanese], [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLScteVoI29Aue4xc72dekk-6RYtvmMgQxzMI900UOawrFrSTWg/viewform?usp=header Portuguese], [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSetdxnYwL3ub2vqA7awCg5hJZPMIYcDPaiTe12rY9h0GYnVlw/viewform?usp=header Persian], and [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLScNvfJF-Ot-4pzA4qAN771_0QDJ4Li19YcUsaTgSKW8Nc7U_Q/viewform?usp=header Turkish]. Your answers will help the team customize guidance for less experienced editors and help them learn community policies and practices while creating an article. Learn more [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance|on the project page]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/11|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W11&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 9 mars 2026 à 18:53 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30213008 --&gt;

== Outil de traduction ==

Ni! Bonjour,

Serait-il possible à un administrateur de demander l'activation de l'outil « Traduire cette page » (ContentTranslation) comme trouvé sur Wikipédia francophone ?

J'ai des cours que je dispense dans plusieurs langues et il serait trop bien si je pouvais l'utiliser.

Merci! [[Utilisateur:Solstag|Solstag]] ([[Discussion utilisateur:Solstag|discuter]]) 10 mars 2026 à 18:36 (UTC)
:Peux-tu nous indiquer une page où tu as cet outil de disponible s'il te plait ? [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 10 mars 2026 à 20:39 (UTC)

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-12&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W12&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/12|Translations]] are available.

'''Updates for editors'''
* The [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror|{{int:codemirror-beta-feature-title}}]] beta feature, also known as [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror 6]], has been used for wikitext syntax highlighting since November 2024. It will be promoted out of beta by May 2026 in order to bring improvements and new [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror#Features|features]] to all editors who use the standard syntax highlighter. If you have any questions or concerns about promoting the feature out of beta, [[mw:Special:MyLanguage/Help talk:Extension:CodeMirror|please share]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T259059]
* Some changes to local user groups are performed by stewards on Meta-Wiki and logged there only. Now, interwiki rights changes will be logged both on Meta-Wiki and the wiki of the target user to make it easier to access a full record of user's rights changes on a local wiki. Past log entries for such changes will be backfilled in the coming weeks. [https://phabricator.wikimedia.org/T6055]
* On wikis using [[m:Special:MyLanguage/Flagged Revisions|Flagged Revisions]], the number of pending changes shown on [[{{#Special:PendingChanges}}]] previously counted pages which were no longer pending review, because they have been removed from the system without being reviewed, e.g. due to being deleted, moved to a different namespace, or due to wiki configuration changes. The count will be correct now. On some wikis the number shown will be much smaller than before. There should be no change to the list of pages itself. [https://phabricator.wikimedia.org/T413016]
* Wikifunctions composition language has been rewritten, resulting in a new version of the language. This change aims to increase service stability by reducing the orchestrator's memory consumption. This rewrite also enables substantial latency reduction, code simplification, and better abstractions, which will open the door to later feature additions. Read more about [[f:Special:MyLanguage/Wikifunctions:Status updates/2026-03-11|the changes]].
* Users can now sort search results alphabetically by page title. The update gives an additional option to finding pages more easily and quickly. Previously, results could be sorted by Edit date, Creation date, or Relevance. To use the new option, open 'Advanced Search' on the search results page and select 'Alphabetically' under 'Sorting Order'. [https://phabricator.wikimedia.org/T403775]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:28}} community-submitted {{PLURAL:28|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, the bug that prevented UploadWizard on Wikimedia Commons from importing files from Flickr has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T419263]
'''Updates for technical contributors'''
* A new special page, [[{{#special:LintTemplateErrors}}]], has been created to list transcluded pages that are flagged as containing lint errors to help users discover them easily. The list is sorted by the number of transclusions with errors. For example: [[{{#special:LintTemplateErrors}}/night-mode-unaware-background-color]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T170874]
* Users of the [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror|{{int:codemirror-beta-feature-title}}]] beta feature have been using [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror]] instead of [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeEditor|CodeEditor]] for syntax highlighting when editing JavaScript, CSS, JSON, Vue and Lua content pages, for some time now. Along with promoting CodeMirror 6 out of beta, the plan is to replace CodeEditor as the standard editor for these content models by May 2026. [[mw:Special:MyLanguage/Help talk:Extension:CodeMirror|Feedback or concerns are welcome]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T419332]
* The [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror]] JavaScript modules will soon be upgraded to CodeMirror 6. Leading up to the upgrade, loading the &lt;code dir=ltr&gt;ext.CodeMirror&lt;/code&gt; or &lt;code dir=ltr&gt;ext.CodeMirror.lib&lt;/code&gt; modules from gadgets and user scripts was deprecated in July 2025. The use of the &lt;code dir=ltr&gt;ext.CodeMirror.switch&lt;/code&gt; hook was also deprecated in March 2025. Contributors can now make their scripts or gadgets compatible with CodeMirror 6. See the [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror#Gadgets and user scripts|migration guide]] for more information. [https://phabricator.wikimedia.org/T373720]
* The MediaWiki Interfaces team is expanding coverage of REST API module definitions to include [[mw:Special:MyLanguage/API:REST API/Extensions|extension APIs]]. REST API modules are groups of related endpoints that can be independently managed and versioned. Modules now exist for [https://phabricator.wikimedia.org/T414470 GrowthExperiments] and [https://phabricator.wikimedia.org/T419053 Wikifunctions] APIs. As we migrate extension APIs to this structure, documentation will move out of the main MediaWiki OpenAPI spec and REST Sandbox view, and will instead be accessible via module-specific options in the dropdown on the [https://test.wikipedia.org/wiki/Special:RestSandbox REST Sandbox] (i.e., [[{{#Special:RestSandbox}}]], available on all wiki projects).
* The [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Scribunto|Scribunto]] extension provides different pieces of information about the wiki where the module is being used via the [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Scribunto/Lua reference manual|mw.site]] library. Starting last week, the library also provides a [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Scribunto/Lua reference manual#mw.site.wikiId|way]] of accessing the [[mw:Special:MyLanguage/Manual:Wiki ID|wiki ID]] that can be used to facilitate cross-wiki module maintenance. [https://phabricator.wikimedia.org/T146616]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.20|MediaWiki]]

'''In depth'''
* The [[m:Special:MyLanguage/Coolest Tool Award|2026 Coolest Tool Award]] celebrating outstanding community tools, is now open for nominations! Nominate your favorite tool using the [https://wikimediafoundation.limesurvey.net/435684?lang=en nomination survey] form by 23 March 2026. For more information on privacy and data handling, please see the [[foundation:Special:MyLanguage/Legal:Coolest_Tool_Award_2026_Survey_Privacy_Statement|survey privacy statement]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/12|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W12&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 16 mars 2026 à 19:35 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30260505 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-13&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W13&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/13|Translations]] are available.

'''Weekly highlight'''
* Wikimedia site users can now log in without a password using passkeys. This is a secure method supported by fingerprint, facial recognition, or PIN. With this change, all users who opt for passwordless login will find it easier, faster, and more secure to log in to their accounts using any device. The new passkey login option currently appears as an autofill suggestion in the username field. An additional [[phab:T417120|&quot;Log in with passkey&quot; button]] will soon be available for users who have already registered a passkey. This update will improve security and user experience. The [[c:File:Passwordless_login_screencast.webm|screen recording]] demonstrates the passwordless login process step by step.
* [[m:Special:MyLanguage/Tech/Server switch|All wikis will be read-only]] for a few minutes on Wednesday, 25 March 2026 at [https://zonestamp.toolforge.org/1774450800 15:00 UTC]. This is for the datacenter server switchover backup tests, [[wikitech:Deployments/Yearly calendar|which happen twice a year]]. During the switchover, all Wikimedia website traffic is shifted from one primary data center to the backup data center to test availability and prevent service disruption even in emergencies.

'''Updates for editors'''
* Wikimedia site users can now export their notifications older than 5 years using a [[toolforge:echo-chamber|new Toolforge tool]]. This will ensure that users retain their important notifications and avoid them being lost based on the planned change to delete notifications older than 5 years, as previously announced. [https://phabricator.wikimedia.org/T383948]
* Wikipedia editors in Indonesian, Thai, Turkish, and Simple English now have access to Special:PersonalDashboard. This is an [[mw:Special:MyLanguage/Moderator Tools/Dashboard|early version of an experience]] that introduces newer editors to patrolling workflows, making it easier for them to move from making edits to participating in more advanced moderation work on their project. [https://phabricator.wikimedia.org/T402647]
* The [[Special:Block]] now has two minor interface changes. Administrators can now easily perform indefinite blocks through a dedicated radio button in the expiry section. Also, choosing an indefinite expiry provides a different set of common reasons to select from, which can be changed at: [[MediaWiki:Ipbreason-indef-dropdown]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T401823]
* Mobile editors [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments#Logged-out|at several wikis]] can now see an improved logged-out edit warning, thanks to the recent updates from the Growth team. These changes released last week are part of ongoing efforts and tests to enhance [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments|account creation experience on mobile]] and then increase participation. [https://phabricator.wikimedia.org/T408484]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:36}} community-submitted {{PLURAL:36|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, the bug that prevented mobile web users from seeing the block information when affected by multiple blocks has been fixed. They can now see messages of all the blocks currently affecting them when they access Wikipedia.

'''Updates for technical contributors'''
* Images built using Toolforge will soon get the upgraded buildpacks version, bringing support for newer language versions and other upstream improvements and fixes. If you use Toolforge Build Service, review the recent [https://lists.wikimedia.org/hyperkitty/list/cloud-announce@lists.wikimedia.org/thread/EMYTA32EV2V5SQ2JIEOD2CL66YFIZEKV/ cloud-announce email] and update your build configuration as necessary to ensure your tools are compatible. [https://wikitech.wikimedia.org/w/index.php?title=Help:Toolforge/Building_container_images&amp;oldid=2392097#Buildpack_environment_upgrade_process][https://phabricator.wikimedia.org/T380127]

* The [https://api.wikimedia.org/wiki/Main_Page API Portal] documentation wiki will shut down in June 2026. API keys created on the API Portal will continue to work normally. api.wikimedia.org endpoints will be deprecated gradually starting in July 2026. Documentation on the API Portal is moving to [[mw:Wikimedia APIs|mediawiki.org]]. Learn more on the [[wikitech:API Portal/Deprecation|project page]].
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.21|MediaWiki]]

'''In depth'''
* [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes|WMDE Technical Wishes]] is considering improvements to [[m:WMDE Technical Wishes/References/VisualEditor automatic reference names|automatically generated reference names in VisualEditor]]. Please check out the [[m:WMDE Technical Wishes/References/VisualEditor automatic reference names#Proposed solutions|proposed solutions]] and participate in the [[m:Talk:WMDE Technical Wishes/References/VisualEditor automatic reference names#Request for comment|request for comment]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/13|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W13&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 23 mars 2026 à 16:51 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:UOzurumba (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30268305 --&gt;

== Aide:Niveaux a disparu ==

[[Aide: Niveaux]] a disparu, mais appelée par plusieurs pages ici et depuis WikiLivres et peut-être d'autres projets. Le rétablir ? D'avance merci.
[[Utilisateur:SGlad|SGlad]] ([[Discussion utilisateur:SGlad|discuter]]) 25 mars 2026 à 16:58 (UTC)

P.ex. dans [https://fr.wikibooks.org/wiki/D%C3%A9couvrir_le_SVG/Le_SVG_pour_l%27enseignement_des_math%C3%A9matiques_et_de_la_programmation#Introduction]
on a : nous utilisons la [[wikiversity:fr:Aide:Niveaux|cotation de la Wikiversité]],
-- [[Utilisateur:SGlad|SGlad]] ([[Discussion utilisateur:SGlad|discuter]]) 25 mars 2026 à 20:52 (UTC)
:{{ping|Fourmidable}}.[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 28 mars 2026 à 07:40 (UTC)
::{{ping|SGlad}} {{fait}} [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 31 mars 2026 à 19:37 (UTC)

== Actualités techniques n° 2026-14 ==

&lt;section begin=&quot;technews-2026-W14&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/14|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''En lumière cette semaine'''
* Le version Beta de [[abstract:|Abstract Wikipedia]], un nouveau projet Wikimédia indépendant du langage, a été lancée la semaine dernière. Ce projet permet aux communautés de construire des articles Wikipédia dans leur langue natale, qui peuvent directement être lus par les autres utilisateurs et utilisatrices dans leur propre langage. Le wiki fonctionne grâce à des instructions de Wikifunctions et au contenu structuré issu de Wikidata. [[:f:Special:MyLanguage/Wikifunctions:Status updates/2026-03-26|En savoir plus]].

'''Actualités pour la contribution'''
* L'équipe Croissance mène un test A/B afin d'évaluer l'effet d'un message plus clair et plus convivial encourageant à la création de comptes sur les wikis. Actuellement, lorsqu'un utilisateur mobile non connecté lance la modification, un message d'avertissement s'affiche, pouvant paraître abrupt et décourageant. Il présente également la modification par compte temporaire comme option par défaut, au lieu d'inciter à la création d'un compte. Le test est mené sur dix Wikipédia, dont les versions en arabe, français, espagnol et allemand. [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments#2. Improve logged-out warning message (T415160)|En savoir plus]].
* L'équipe des applications Wikimédia sollicite vos commentaires sur [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/Future of Editing on the Mobile Apps|comment devrait fonctionner l'édition dans les applications mobiles Wikipédia]]. La discussion porte sur l'amélioration de l'accès aux outils d'édition lorsque les utilisateurs appuient sur « Modifier ». Cette initiative s'inscrit dans un effort plus large visant à offrir aux lecteurs intéressés par la contribution une expérience utilisateur plus intuitive.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:45|la tâche soumise|les {{formatnum:45}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:45||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème avec la récupération de citations à partir du site d'archive de journaux [https://www.newspapers.com Newspapers.com], qui ne fonctionnait plus en raison d'un blocage des requêtes [[mw:Special:MyLanguage/Citoid|Citoid]], a maintenant été résolu. [https://phabricator.wikimedia.org/T419903]

'''Actualités pour la contribution technique'''
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.22|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/14|Traduire]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W14&quot;/&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 30 mars 2026 à 19:25 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30329462 --&gt;</text>
      <sha1>m0psfsnrsgjzlay57ygw3q5n6mqv3it</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Germinal/I. Place et statut du roman</title>
    <ns>0</ns>
    <id>86963</id>
    <revision>
      <id>983553</id>
      <parentid>982682</parentid>
      <timestamp>2026-06-15T05:01:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>PandaMystique</username>
        <id>80252</id>
      </contributor>
      <origin>983553</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1761" sha1="6yyk7w59xy5dvb427appx0uow2wy1qa" xml:space="preserve">&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --&gt;
{{Leçon
  | idfaculté      = littérature
  | département    = Littérature francophone
  | cours          = [[Germinal]]
  | niveau         = 12
  | PlusLoin       = oui
  | 1              = {{C|Le treizième volume des Rougon-Macquart|titre=Le treizième volume des ''Rougon-Macquart''|4}}
  | 2              = {{C|Un roman né de hasards successifs|titre=Un roman né de hasards successifs|4}}
  | 3              = {{C|La réception de 1885|titre=La réception de 1885|4}}
  | 4              = {{C|Une postérité à éclipses|titre=Une postérité à éclipses|4}}
  | 5              = {{C|Germinal dans le patrimoine|titre=''Germinal'' dans le patrimoine|4}}
  | 6              = {{C|La fixation de l'image de la mine|titre=La fixation de l'image de la mine|4}}
  | 7              = {{C|Une œuvre à double lecture|titre=Une œuvre à double lecture|4}}
  | fiche1         = {{F|Révision|4}}
  | quiz1          = {{Qu|Germinal/I. Place et statut du roman/Quiz |4}}
  | exo1           = &lt;!-- {{Exo|Titre de l'exercice 1|avancement (0 à 4)}} --&gt;
  | tp1            = &lt;!-- {{TP|Titre du travail pratique 1|avancement (0 à 4)}} --&gt;
  | autres projets = oui
  | s              = Germinal
  | w              = &lt;!-- titre de l'article correspondant sur Wikipédia (facultatif) --&gt;
  | commons        = &lt;!-- titre de la catégorie correspondante sur Commons (facultatif) --&gt;
  | wikt           = &lt;!-- titre du mot correspondant sur Wiktionnaire (facultatif) --&gt;
  | b              = &lt;!-- titre du manuel correspondant sur Wikibooks (facultatif) --&gt;
  | imprimable     = oui
}}
[[Catégorie:Roman]]
[[Catégorie:Littérature]]
[[Catégorie:Littérature francophone]]
&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --&gt;</text>
      <sha1>6yyk7w59xy5dvb427appx0uow2wy1qa</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983559</id>
      <parentid>983553</parentid>
      <timestamp>2026-06-15T05:15:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>PandaMystique</username>
        <id>80252</id>
      </contributor>
      <origin>983559</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1723" sha1="90hppdkxchtklhjxnrvndjowoz2sbg3" xml:space="preserve">&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --&gt;
{{Leçon
  | idfaculté      = littérature
  | département    = Littérature francophone
  | cours          = [[Germinal]]
  | niveau         = 12
  | PlusLoin       = oui
  | 1              = {{C|Le treizième volume des Rougon-Macquart|titre=Le treizième volume des ''Rougon-Macquart''|4}}
  | 2              = {{C|Un roman né de hasards successifs|titre=Un roman né de hasards successifs|4}}
  | 3              = {{C|La réception de 1885|titre=La réception de 1885|4}}
  | 4              = {{C|Une postérité à éclipses|titre=Une postérité à éclipses|4}}
  | 5              = {{C|Germinal dans le patrimoine|titre=''Germinal'' dans le patrimoine|4}}
  | 6              = {{C|La fixation de l'image de la mine|titre=La fixation de l'image de la mine|4}}
  | 7              = {{C|Une œuvre à double lecture|titre=Une œuvre à double lecture|4}}
  | fiche1         = {{F|Révision|4}}
  | quiz1          = {{Qu|QCM |4}}
  | exo1           = &lt;!-- {{Exo|Titre de l'exercice 1|avancement (0 à 4)}} --&gt;
  | tp1            = &lt;!-- {{TP|Titre du travail pratique 1|avancement (0 à 4)}} --&gt;
  | autres projets = oui
  | s              = Germinal
  | w              = &lt;!-- titre de l'article correspondant sur Wikipédia (facultatif) --&gt;
  | commons        = &lt;!-- titre de la catégorie correspondante sur Commons (facultatif) --&gt;
  | wikt           = &lt;!-- titre du mot correspondant sur Wiktionnaire (facultatif) --&gt;
  | b              = &lt;!-- titre du manuel correspondant sur Wikibooks (facultatif) --&gt;
  | imprimable     = oui
}}
[[Catégorie:Roman]]
[[Catégorie:Littérature]]
[[Catégorie:Littérature francophone]]
&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --&gt;</text>
      <sha1>90hppdkxchtklhjxnrvndjowoz2sbg3</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Discussion utilisateur:PandaMystique</title>
    <ns>3</ns>
    <id>86970</id>
    <revision>
      <id>983524</id>
      <parentid>983428</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T13:18:44Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <comment>/* Merci */</comment>
      <origin>983524</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2789" sha1="e1yiy6zbaqpds3b4bb16texfsterz24" xml:space="preserve">&lt;templatestyles src=&quot;Bienvenue/styles.css&quot; /&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot; style=&quot;float: right; padding:0em; margin:0 0 1em 1em;background-color:#FFF;&quot;&gt;

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot;background-color:#438EDF;&quot;&gt;Trouver une ressource&lt;/p&gt;
* [[Wikiversité:Organisation des enseignements|Organisation des enseignements]]
* [[Wikiversité:Départements|Départements (disciplines)]]
* [[Wikiversité:Scolarités|Scolarités (systèmes éducatifs)]]

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot; margin-top: 1.2em; background-color:#E47B10;&quot;&gt;Contribuer&lt;/p&gt;
* [[Aide:Que faire sur Wikiversité ?|Que faire sur Wikiversité ?]]
* [[Wikiversité:Ce que Wikiversité n'est pas|Ce que Wikiversité n'est pas]]
* [[Aide:Accueil|Accueil de l'aide]] et [[Aide:Jargon de Wikiversité|jargon]]
* [[Aide:Créer une leçon|Créer une leçon]]

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot; margin-top: 1.2em; background-color:#4DB93A;&quot;&gt;Faire de la recherche&lt;/p&gt;
* [[Aide:Comment créer un travail de recherche|Créer un travail de recherche]]
&lt;/div&gt;

&lt;h2&gt;Bienvenue sur Wikiversité, {{BASEPAGENAME}} !&lt;/h2&gt;

Bonjour, {{#if:|je suis [[Utilisateur:{{!}}]], et|}} je vous accueille en tant que wikiversitaire bénévole.

Wikiversité repose sur des principes fondateurs respectés par tous :

# Veillez à publier des '''contenus éducatifs''' uniquement ([[b:|Wikilivres]] accueille tous types de manuels non pédagogiques) ;
# Veillez à respecter la '''licence libre''' et les droits d'auteur des productions déjà publiées ailleurs ;
# Veillez enfin au respect du '''savoir-vivre''' dans les échanges où vous vous impliquez (politesse et recherche du consensus).

Vous pouvez découvrir tout cela plus en détail en consultant les liens '''ci-contre''' →
{{clr|left}}

Je vous souhaite de prendre plaisir à étudier ou à contribuer sur Wikiversité.

À bientôt !


{{Grossir|P.S. : Vos nouveaux messages normalement signés par leurs expéditeurs seront affichés en bas de cette page. Pour répondre, vous pouvez soit le faire directement sur votre propre page de discussion en cliquant sur le mot bleu « Répondre » affiché à la suite du message, soit le faire sur la page de discussion de votre interlocuteur, qui est accessible via un hyperlien présent dans sa signature (Pour en savoir plus, consultez cette [[Aide:Discussion|page d'aide]])|0.85}}.

{{clr}}
[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 5 mai 2026 à 07:09 (UTC)

== Merci ==

Bonjour PandaMystique,

Un grand merci pour vos ajouts sur Wikiversité, qui sont nombreux et de qualité. N'hésitez pas à ajouter des quiz et des exercices (si vous êtes inspiré/e) !

Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 12 juin 2026 à 07:27 (UTC)</text>
      <sha1>e1yiy6zbaqpds3b4bb16texfsterz24</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983525</id>
      <parentid>983524</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T13:19:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <comment>/* Merci */</comment>
      <origin>983525</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2809" sha1="9ibykk8p7mh9yhq5yvg3ncd8bpu9a4h" xml:space="preserve">&lt;templatestyles src=&quot;Bienvenue/styles.css&quot; /&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot; style=&quot;float: right; padding:0em; margin:0 0 1em 1em;background-color:#FFF;&quot;&gt;

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot;background-color:#438EDF;&quot;&gt;Trouver une ressource&lt;/p&gt;
* [[Wikiversité:Organisation des enseignements|Organisation des enseignements]]
* [[Wikiversité:Départements|Départements (disciplines)]]
* [[Wikiversité:Scolarités|Scolarités (systèmes éducatifs)]]

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot; margin-top: 1.2em; background-color:#E47B10;&quot;&gt;Contribuer&lt;/p&gt;
* [[Aide:Que faire sur Wikiversité ?|Que faire sur Wikiversité ?]]
* [[Wikiversité:Ce que Wikiversité n'est pas|Ce que Wikiversité n'est pas]]
* [[Aide:Accueil|Accueil de l'aide]] et [[Aide:Jargon de Wikiversité|jargon]]
* [[Aide:Créer une leçon|Créer une leçon]]

&lt;p class=&quot;bloc&quot; style=&quot; margin-top: 1.2em; background-color:#4DB93A;&quot;&gt;Faire de la recherche&lt;/p&gt;
* [[Aide:Comment créer un travail de recherche|Créer un travail de recherche]]
&lt;/div&gt;

&lt;h2&gt;Bienvenue sur Wikiversité, {{BASEPAGENAME}} !&lt;/h2&gt;

Bonjour, {{#if:|je suis [[Utilisateur:{{!}}]], et|}} je vous accueille en tant que wikiversitaire bénévole.

Wikiversité repose sur des principes fondateurs respectés par tous :

# Veillez à publier des '''contenus éducatifs''' uniquement ([[b:|Wikilivres]] accueille tous types de manuels non pédagogiques) ;
# Veillez à respecter la '''licence libre''' et les droits d'auteur des productions déjà publiées ailleurs ;
# Veillez enfin au respect du '''savoir-vivre''' dans les échanges où vous vous impliquez (politesse et recherche du consensus).

Vous pouvez découvrir tout cela plus en détail en consultant les liens '''ci-contre''' →
{{clr|left}}

Je vous souhaite de prendre plaisir à étudier ou à contribuer sur Wikiversité.

À bientôt !


{{Grossir|P.S. : Vos nouveaux messages normalement signés par leurs expéditeurs seront affichés en bas de cette page. Pour répondre, vous pouvez soit le faire directement sur votre propre page de discussion en cliquant sur le mot bleu « Répondre » affiché à la suite du message, soit le faire sur la page de discussion de votre interlocuteur, qui est accessible via un hyperlien présent dans sa signature (Pour en savoir plus, consultez cette [[Aide:Discussion|page d'aide]])|0.85}}.

{{clr}}
[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 5 mai 2026 à 07:09 (UTC)

== Merci ==

Bonjour PandaMystique,

Un grand merci pour vos ajouts sur Wikiversité, qui sont nombreux et de qualité. N'hésitez pas à compléter vos leçons avec des quiz et des exercices (si vous êtes inspiré/e) !

Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 12 juin 2026 à 07:27 (UTC)</text>
      <sha1>9ibykk8p7mh9yhq5yvg3ncd8bpu9a4h</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Discussion utilisateur:Emrx.A</title>
    <ns>3</ns>
    <id>87137</id>
    <revision>
      <id>983517</id>
      <timestamp>2026-06-14T13:13:02Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <comment>Page créée avec « {{Bienvenue|Fourmidable|sign=--~~~~}} »</comment>
      <origin>983517</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="150" sha1="tve8drctqckgio6kzj9e2subsh39th5" xml:space="preserve">{{Bienvenue|Fourmidable|sign=--[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 14 juin 2026 à 13:13 (UTC)}}</text>
      <sha1>tve8drctqckgio6kzj9e2subsh39th5</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983523</id>
      <parentid>983517</parentid>
      <timestamp>2026-06-14T13:17:46Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fourmidable</username>
        <id>50100</id>
      </contributor>
      <comment>/* Héritages théoriques et formes classique de l’emprise */ nouvelle section</comment>
      <origin>983523</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="488" sha1="85l7whm2o4j9xv1jokw795skj35nadz" xml:space="preserve">{{Bienvenue|Fourmidable|sign=--[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 14 juin 2026 à 13:13 (UTC)}}

== Héritages théoriques et formes classique de l’emprise ==

Bonjour,

Merci pour votre leçon [[Héritages théoriques et formes classique de l’emprise]]. Prévoyez-vous d'ajouter des quiz et des exercices ?

-- [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 14 juin 2026 à 13:17 (UTC)</text>
      <sha1>85l7whm2o4j9xv1jokw795skj35nadz</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Germinal/I. Place et statut du roman/Quiz/QCM</title>
    <ns>0</ns>
    <id>87138</id>
    <revision>
      <id>983551</id>
      <timestamp>2026-06-15T04:56:35Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>PandaMystique</username>
        <id>80252</id>
      </contributor>
      <comment>Page créée avec « &lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --&gt; {{Quiz   | idfaculté   = littérature   | numéro      = 1   | chapitre    = [[Germinal/I. Place et statut du roman|I. Place et statut de Germinal]]   | précédent   =    | suivant     = [[Germinal/II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola/Quiz|II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola]]   | niveau      = 12 }} &lt;quiz points=&quot;1/0&quot;&gt; { Complétez avec un nombre écrit en chiffres. | type=&quot;... »</comment>
      <origin>983551</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5093" sha1="n9sw17jcnvy3r3ki7un36lehqpkzln0" xml:space="preserve">&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --&gt;
{{Quiz
  | idfaculté   = littérature
  | numéro      = 1
  | chapitre    = [[Germinal/I. Place et statut du roman|I. Place et statut de Germinal]]
  | précédent   = 
  | suivant     = [[Germinal/II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola/Quiz|II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola]]
  | niveau      = 12
}}
&lt;quiz points=&quot;1/0&quot;&gt;
{ Complétez avec un nombre écrit en chiffres.
| type=&quot;{}&quot; }
Dans le cycle des vingt ''Rougon-Macquart'', ''Germinal'' occupe le { 13 _2}{{e}} rang.
|| ''Germinal'' est le treizième des vingt romans du cycle, publié en 1885.

{ À quelle branche de la famille Étienne Lantier appartient-il ?
| type=&quot;()&quot; }
+ La branche des Macquart.
- La branche des Rougon.
- La branche des Mouret.
|| Étienne descend de Gervaise Macquart : il appartient à la branche populaire et marquée par l'hérédité alcoolique, ce qui éclaire son personnage.

{ De quel personnage de ''L'Assommoir'' Étienne Lantier est-il le fils ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Gervaise.
- Nana.
- Coupeau.
|| Gervaise Macquart est l'héroïne de ''L'Assommoir'' (1877). Zola présentait d'ailleurs ''Germinal'' comme un « complément » de ce roman, montrant l'autre face de l'ouvrier.

{ Parmi les romans suivants, lesquels ont pour héros un frère d'Étienne Lantier ?
| type=&quot;[]&quot; }
+ ''L'Œuvre'' (Claude Lantier).
+ ''La Bête humaine'' (Jacques Lantier).
- ''Nana'' (Nana Coupeau).
- ''La Curée'' (Aristide Saccard).
|| Étienne, Claude et Jacques sont trois fils de Gervaise. Nana est leur demi-sœur ; Aristide Saccard, lui, appartient à la branche des Rougon.

{ Dans quel journal ''Germinal'' a-t-il d'abord paru en feuilleton, à partir du 26 novembre 1884 ?
| type=&quot;()&quot; }
+ ''Gil Blas''.
- ''Le Figaro''.
- ''La Justice''.
- ''L'Événement''.
|| Le roman a paru en feuilleton dans ''Gil Blas'' avant d'être publié en volume chez Charpentier en mars 1885.

{ Entre quels deux romans du cycle ''Germinal'' s'insère-t-il ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Entre ''La Joie de vivre'' (1884) et ''L'Œuvre'' (1886).
- Entre ''L'Assommoir'' (1877) et ''Nana'' (1880).
- Entre ''La Terre'' (1887) et ''La Bête humaine'' (1890).

{ Comment des critiques de 1885 comme Henry Céard et Jules Lemaître ont-ils qualifié le genre de ''Germinal'' ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Une épopée.
- Un vaudeville.
- Un roman policier.
- Une comédie de mœurs.
|| Céard parlait d'« épopée en prose » et Lemaître d'« épopée pessimiste de l'animalité humaine » : tous deux soulignaient le souffle qui dépasse le simple réalisme.

{ Quelle formule, tirée de sa lettre à Henry Céard du 22 mars 1885, Zola emploie-t-il pour décrire sa méthode ?
| type=&quot;()&quot; }
+ « Le saut dans les étoiles sur le tremplin de l'observation exacte. »
- « Madame Bovary, c'est moi. »
- « Le roman doit être une simple tranche de vie. »
|| Cette phrase résume tout l'art de Zola : partir d'une documentation exacte pour s'élever jusqu'au symbole et au mythe.

{ Quel écrivain prononça l'oraison funèbre de Zola lors de ses funérailles, en octobre 1902 ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Anatole France.
- Victor Hugo.
- Guy de Maupassant.
|| Lors de ces funérailles, des mineurs venus de Denain scandèrent le titre « Germinal ! », preuve que le roman était devenu un symbole populaire.

{ Complétez avec une année écrite en chiffres.
| type=&quot;{}&quot; }
La dépouille de Zola fut transférée au Panthéon en { 1908 _4}.

{ Vrai ou faux ? Cochez la bonne case pour chaque affirmation.
| type=&quot;()&quot; }
| VRAI | FAUX
+- ''Germinal'' a paru en feuilleton avant d'être publié en volume.
-+ Étienne Lantier appartient à la branche des Rougon.
+- Au XXe siècle, ''Germinal'' est devenu le plus vendu des ''Rougon-Macquart''.
-+ La dépouille de Zola fut transférée au Panthéon dès ses funérailles, en 1902.

{ Dans le calendrier républicain, que désigne le mot « germinal » ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Un mois du printemps, allant de la fin mars à la fin avril.
- Le premier mois de l'automne.
- Une fête révolutionnaire d'un seul jour.
|| Le choix de ce titre lie le roman à l'idée de germination et d'espérance, malgré la défaite finale des mineurs.

{ Qui a réalisé l'adaptation cinématographique de ''Germinal'' sortie en 1993 ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Claude Berri.
- Jean Renoir.
- Marcel Carné.

{ Selon quelle double lecture ''Germinal'' a-t-il été interprété ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Une lecture socialiste et une lecture qui y voit au contraire un « roman anti-peuple ».
- Une lecture comique et une lecture tragique.
- Une lecture autobiographique et une lecture policière.
|| Cette ambiguïté tient à ce que Zola peint à la fois la légitimité de la révolte ouvrière et la sauvagerie de la foule.
&lt;/quiz&gt;
{{Bas de page
  | idfaculté = littérature
  | chapitre    = [[Germinal/I. Place et statut du roman|Place et statut de Germinal]]
  | précédent = 
  | suivant     = [[Germinal/II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola/Quiz|II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola]]
}}
&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --&gt;</text>
      <sha1>n9sw17jcnvy3r3ki7un36lehqpkzln0</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983552</id>
      <parentid>983551</parentid>
      <timestamp>2026-06-15T04:57:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>PandaMystique</username>
        <id>80252</id>
      </contributor>
      <origin>983552</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5097" sha1="jramxdph17yoilepl5ijo4uiv31hg2q" xml:space="preserve">&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --&gt;
{{Quiz
  | idfaculté   = littérature
  | numéro      = 1
  | chapitre    = [[Germinal/I. Place et statut du roman|I. Place et statut de Germinal]]
  | précédent   = 
  | suivant     = [[Germinal/II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola/Quiz|II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola]]
  | niveau      = 12
}}
&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ Complétez avec un nombre écrit en chiffres.
| type=&quot;{}&quot; }
Dans le cycle des vingt ''Rougon-Macquart'', ''Germinal'' occupe le { 13 _2}{{e}} rang.
|| ''Germinal'' est le treizième des vingt romans du cycle, publié en 1885.

{ À quelle branche de la famille Étienne Lantier appartient-il ?
| type=&quot;()&quot; }
+ La branche des Macquart.
- La branche des Rougon.
- La branche des Mouret.
|| Étienne descend de Gervaise Macquart : il appartient à la branche populaire et marquée par l'hérédité alcoolique, ce qui éclaire son personnage.

{ De quel personnage de ''L'Assommoir'' Étienne Lantier est-il le fils ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Gervaise.
- Nana.
- Coupeau.
|| Gervaise Macquart est l'héroïne de ''L'Assommoir'' (1877). Zola présentait d'ailleurs ''Germinal'' comme un « complément » de ce roman, montrant l'autre face de l'ouvrier.

{ Parmi les romans suivants, lesquels ont pour héros un frère d'Étienne Lantier ?
| type=&quot;[]&quot; }
+ ''L'Œuvre'' (Claude Lantier).
+ ''La Bête humaine'' (Jacques Lantier).
- ''Nana'' (Nana Coupeau).
- ''La Curée'' (Aristide Saccard).
|| Étienne, Claude et Jacques sont trois fils de Gervaise. Nana est leur demi-sœur ; Aristide Saccard, lui, appartient à la branche des Rougon.

{ Dans quel journal ''Germinal'' a-t-il d'abord paru en feuilleton, à partir du 26 novembre 1884 ?
| type=&quot;()&quot; }
+ ''Gil Blas''.
- ''Le Figaro''.
- ''La Justice''.
- ''L'Événement''.
|| Le roman a paru en feuilleton dans ''Gil Blas'' avant d'être publié en volume chez Charpentier en mars 1885.

{ Entre quels deux romans du cycle ''Germinal'' s'insère-t-il ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Entre ''La Joie de vivre'' (1884) et ''L'Œuvre'' (1886).
- Entre ''L'Assommoir'' (1877) et ''Nana'' (1880).
- Entre ''La Terre'' (1887) et ''La Bête humaine'' (1890).

{ Comment des critiques de 1885 comme Henry Céard et Jules Lemaître ont-ils qualifié le genre de ''Germinal'' ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Une épopée.
- Un vaudeville.
- Un roman policier.
- Une comédie de mœurs.
|| Céard parlait d'« épopée en prose » et Lemaître d'« épopée pessimiste de l'animalité humaine » : tous deux soulignaient le souffle qui dépasse le simple réalisme.

{ Quelle formule, tirée de sa lettre à Henry Céard du 22 mars 1885, Zola emploie-t-il pour décrire sa méthode ?
| type=&quot;()&quot; }
+ « Le saut dans les étoiles sur le tremplin de l'observation exacte. »
- « Madame Bovary, c'est moi. »
- « Le roman doit être une simple tranche de vie. »
|| Cette phrase résume tout l'art de Zola : partir d'une documentation exacte pour s'élever jusqu'au symbole et au mythe.

{ Quel écrivain prononça l'oraison funèbre de Zola lors de ses funérailles, en octobre 1902 ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Anatole France.
- Victor Hugo.
- Guy de Maupassant.
|| Lors de ces funérailles, des mineurs venus de Denain scandèrent le titre « Germinal ! », preuve que le roman était devenu un symbole populaire.

{ Complétez avec une année écrite en chiffres.
| type=&quot;{}&quot; }
La dépouille de Zola fut transférée au Panthéon en { 1908 _4}.

{ Vrai ou faux ? Cochez la bonne case pour chaque affirmation.
| type=&quot;()&quot; }
| VRAI | FAUX
+- ''Germinal'' a paru en feuilleton avant d'être publié en volume.
-+ Étienne Lantier appartient à la branche des Rougon.
+- Au XXe siècle, ''Germinal'' est devenu le plus vendu des ''Rougon-Macquart''.
-+ La dépouille de Zola fut transférée au Panthéon dès ses funérailles, en 1902.

{ Dans le calendrier républicain, que désigne le mot « germinal » ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Un mois du printemps, allant de la fin mars à la fin avril.
- Le premier mois de l'automne.
- Une fête révolutionnaire d'un seul jour.
|| Le choix de ce titre lie le roman à l'idée de germination et d'espérance, malgré la défaite finale des mineurs.

{ Qui a réalisé l'adaptation cinématographique de ''Germinal'' sortie en 1993 ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Claude Berri.
- Jean Renoir.
- Marcel Carné.

{ Selon quelle double lecture ''Germinal'' a-t-il été interprété ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Une lecture socialiste et une lecture qui y voit au contraire un « roman anti-peuple ».
- Une lecture comique et une lecture tragique.
- Une lecture autobiographique et une lecture policière.
|| Cette ambiguïté tient à ce que Zola peint à la fois la légitimité de la révolte ouvrière et la sauvagerie de la foule.
&lt;/quiz&gt;
{{Bas de page
  | idfaculté = littérature
  | chapitre    = [[Germinal/I. Place et statut du roman|Place et statut de Germinal]]
  | précédent = 
  | suivant     = [[Germinal/II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola/Quiz|II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola]]
}}
&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --&gt;</text>
      <sha1>jramxdph17yoilepl5ijo4uiv31hg2q</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983554</id>
      <parentid>983552</parentid>
      <timestamp>2026-06-15T05:06:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>PandaMystique</username>
        <id>80252</id>
      </contributor>
      <origin>983554</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5024" sha1="tv5cw9f7h7z0loiyitefpqs11tec33v" xml:space="preserve">&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --&gt;
{{Quiz
  | idfaculté   = littérature
  | numéro      = 1
  | chapitre    = [[Germinal/I. Place et statut du roman|I. Place et statut de Germinal]]
  | précédent   = 
  | suivant     = [[Germinal/II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola/Quiz|II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola]]
  | niveau      = 12
}}
&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ Complétez avec un nombre écrit en chiffres.
| type=&quot;{}&quot; }
Dans le cycle des vingt ''Rougon-Macquart'', ''Germinal'' occupe le { 13 _2}{{e}} rang.
|| ''Germinal'' est le treizième des vingt romans du cycle, publié en 1885.

{ À quelle branche de la famille Étienne Lantier appartient-il ?
| type=&quot;()&quot; }
+ La branche des Macquart.
- La branche des Rougon.
- La branche des Mouret.
|| Étienne descend de Gervaise Macquart : il appartient à la branche populaire et marquée par l'hérédité alcoolique, ce qui éclaire son personnage.

{ De quel personnage de ''L'Assommoir'' Étienne Lantier est-il le fils ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Gervaise.
- Nana.
- Coupeau.
|| Gervaise Macquart est l'héroïne de ''L'Assommoir'' (1877). Zola présentait d'ailleurs ''Germinal'' comme un « complément » de ce roman, montrant l'autre face de l'ouvrier.

{ Parmi les romans suivants, lesquels ont pour héros un frère d'Étienne Lantier ?
| type=&quot;[]&quot; }
+ ''L'Œuvre''
+ ''La Bête humaine''
- ''Nana''
- ''La Curée''
|| Étienne, Claude et Jacques sont trois fils de Gervaise. Nana est leur demi-sœur ; Aristide Saccard, lui, appartient à la branche des Rougon.

{ Dans quel journal ''Germinal'' a-t-il d'abord paru en feuilleton, à partir du 26 novembre 1884 ?
| type=&quot;()&quot; }
+ ''Gil Blas''.
- ''Le Figaro''.
- ''La Justice''.
- ''L'Événement''.
|| Le roman a paru en feuilleton dans ''Gil Blas'' avant d'être publié en volume chez Charpentier en mars 1885.

{ Entre quels deux romans du cycle ''Germinal'' s'insère-t-il ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Entre ''La Joie de vivre'' (1884) et ''L'Œuvre'' (1886).
- Entre ''L'Assommoir'' (1877) et ''Nana'' (1880).
- Entre ''La Terre'' (1887) et ''La Bête humaine'' (1890).

{ Comment des critiques de 1885 comme Henry Céard et Jules Lemaître ont-ils qualifié le genre de ''Germinal'' ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Une épopée.
- Un vaudeville.
- Un roman policier.
- Une comédie de mœurs.
|| Céard parlait d'« épopée en prose » et Lemaître d'« épopée pessimiste de l'animalité humaine » : tous deux soulignaient le souffle qui dépasse le simple réalisme.

{ Quelle formule, tirée de sa lettre à Henry Céard du 22 mars 1885, Zola emploie-t-il pour décrire sa méthode ?
| type=&quot;()&quot; }
+ « Le saut dans les étoiles sur le tremplin de l'observation exacte. »
- « Madame Bovary, c'est moi. »
- « Le roman doit être une simple tranche de vie. »
|| Cette phrase résume tout l'art de Zola : partir d'une documentation exacte pour s'élever jusqu'au symbole et au mythe.

{ Quel écrivain prononça l'oraison funèbre de Zola lors de ses funérailles, en octobre 1902 ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Anatole France.
- Victor Hugo.
- Guy de Maupassant.
|| Lors de ces funérailles, des mineurs venus de Denain scandèrent le titre « Germinal ! », preuve que le roman était devenu un symbole populaire.

{ Complétez avec une année écrite en chiffres.
| type=&quot;{}&quot; }
La dépouille de Zola fut transférée au Panthéon en { 1908 _4}.

{ Vrai ou faux ? Cochez la bonne case pour chaque affirmation.
| type=&quot;()&quot; }
| VRAI | FAUX
+- ''Germinal'' a paru en feuilleton avant d'être publié en volume.
-+ Étienne Lantier appartient à la branche des Rougon.
+- Au XXe siècle, ''Germinal'' est devenu le plus vendu des ''Rougon-Macquart''.
-+ La dépouille de Zola fut transférée au Panthéon dès ses funérailles, en 1902.

{ Dans le calendrier républicain, que désigne le mot « germinal » ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Un mois du printemps, allant de la fin mars à la fin avril.
- Le premier mois de l'automne.
- Une fête révolutionnaire d'un seul jour.
|| Le choix de ce titre lie le roman à l'idée de germination et d'espérance, malgré la défaite finale des mineurs.

{ Qui a réalisé l'adaptation cinématographique de ''Germinal'' sortie en 1993 ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Claude Berri.
- Jean Renoir.
- Marcel Carné.

{ Selon quelle double lecture ''Germinal'' a-t-il été interprété ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Une lecture socialiste et une lecture qui y voit au contraire un « roman anti-peuple ».
- Une lecture comique et une lecture tragique.
- Une lecture autobiographique et une lecture policière.
|| Cette ambiguïté tient à ce que Zola peint à la fois la légitimité de la révolte ouvrière et la sauvagerie de la foule.
&lt;/quiz&gt;
{{Bas de page
  | idfaculté = littérature
  | chapitre    = [[Germinal/I. Place et statut du roman|Place et statut de Germinal]]
  | précédent = 
  | suivant     = [[Germinal/II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola/Quiz|II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola]]
}}
&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --&gt;</text>
      <sha1>tv5cw9f7h7z0loiyitefpqs11tec33v</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983555</id>
      <parentid>983554</parentid>
      <timestamp>2026-06-15T05:11:43Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>PandaMystique</username>
        <id>80252</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>PandaMystique a déplacé la page [[Germinal/I. Place et statut du roman/Quiz]] vers [[Germinal/Quiz/I. Place et statut du roman]]</comment>
      <origin>983554</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5024" sha1="tv5cw9f7h7z0loiyitefpqs11tec33v" xml:space="preserve">&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --&gt;
{{Quiz
  | idfaculté   = littérature
  | numéro      = 1
  | chapitre    = [[Germinal/I. Place et statut du roman|I. Place et statut de Germinal]]
  | précédent   = 
  | suivant     = [[Germinal/II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola/Quiz|II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola]]
  | niveau      = 12
}}
&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ Complétez avec un nombre écrit en chiffres.
| type=&quot;{}&quot; }
Dans le cycle des vingt ''Rougon-Macquart'', ''Germinal'' occupe le { 13 _2}{{e}} rang.
|| ''Germinal'' est le treizième des vingt romans du cycle, publié en 1885.

{ À quelle branche de la famille Étienne Lantier appartient-il ?
| type=&quot;()&quot; }
+ La branche des Macquart.
- La branche des Rougon.
- La branche des Mouret.
|| Étienne descend de Gervaise Macquart : il appartient à la branche populaire et marquée par l'hérédité alcoolique, ce qui éclaire son personnage.

{ De quel personnage de ''L'Assommoir'' Étienne Lantier est-il le fils ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Gervaise.
- Nana.
- Coupeau.
|| Gervaise Macquart est l'héroïne de ''L'Assommoir'' (1877). Zola présentait d'ailleurs ''Germinal'' comme un « complément » de ce roman, montrant l'autre face de l'ouvrier.

{ Parmi les romans suivants, lesquels ont pour héros un frère d'Étienne Lantier ?
| type=&quot;[]&quot; }
+ ''L'Œuvre''
+ ''La Bête humaine''
- ''Nana''
- ''La Curée''
|| Étienne, Claude et Jacques sont trois fils de Gervaise. Nana est leur demi-sœur ; Aristide Saccard, lui, appartient à la branche des Rougon.

{ Dans quel journal ''Germinal'' a-t-il d'abord paru en feuilleton, à partir du 26 novembre 1884 ?
| type=&quot;()&quot; }
+ ''Gil Blas''.
- ''Le Figaro''.
- ''La Justice''.
- ''L'Événement''.
|| Le roman a paru en feuilleton dans ''Gil Blas'' avant d'être publié en volume chez Charpentier en mars 1885.

{ Entre quels deux romans du cycle ''Germinal'' s'insère-t-il ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Entre ''La Joie de vivre'' (1884) et ''L'Œuvre'' (1886).
- Entre ''L'Assommoir'' (1877) et ''Nana'' (1880).
- Entre ''La Terre'' (1887) et ''La Bête humaine'' (1890).

{ Comment des critiques de 1885 comme Henry Céard et Jules Lemaître ont-ils qualifié le genre de ''Germinal'' ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Une épopée.
- Un vaudeville.
- Un roman policier.
- Une comédie de mœurs.
|| Céard parlait d'« épopée en prose » et Lemaître d'« épopée pessimiste de l'animalité humaine » : tous deux soulignaient le souffle qui dépasse le simple réalisme.

{ Quelle formule, tirée de sa lettre à Henry Céard du 22 mars 1885, Zola emploie-t-il pour décrire sa méthode ?
| type=&quot;()&quot; }
+ « Le saut dans les étoiles sur le tremplin de l'observation exacte. »
- « Madame Bovary, c'est moi. »
- « Le roman doit être une simple tranche de vie. »
|| Cette phrase résume tout l'art de Zola : partir d'une documentation exacte pour s'élever jusqu'au symbole et au mythe.

{ Quel écrivain prononça l'oraison funèbre de Zola lors de ses funérailles, en octobre 1902 ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Anatole France.
- Victor Hugo.
- Guy de Maupassant.
|| Lors de ces funérailles, des mineurs venus de Denain scandèrent le titre « Germinal ! », preuve que le roman était devenu un symbole populaire.

{ Complétez avec une année écrite en chiffres.
| type=&quot;{}&quot; }
La dépouille de Zola fut transférée au Panthéon en { 1908 _4}.

{ Vrai ou faux ? Cochez la bonne case pour chaque affirmation.
| type=&quot;()&quot; }
| VRAI | FAUX
+- ''Germinal'' a paru en feuilleton avant d'être publié en volume.
-+ Étienne Lantier appartient à la branche des Rougon.
+- Au XXe siècle, ''Germinal'' est devenu le plus vendu des ''Rougon-Macquart''.
-+ La dépouille de Zola fut transférée au Panthéon dès ses funérailles, en 1902.

{ Dans le calendrier républicain, que désigne le mot « germinal » ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Un mois du printemps, allant de la fin mars à la fin avril.
- Le premier mois de l'automne.
- Une fête révolutionnaire d'un seul jour.
|| Le choix de ce titre lie le roman à l'idée de germination et d'espérance, malgré la défaite finale des mineurs.

{ Qui a réalisé l'adaptation cinématographique de ''Germinal'' sortie en 1993 ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Claude Berri.
- Jean Renoir.
- Marcel Carné.

{ Selon quelle double lecture ''Germinal'' a-t-il été interprété ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Une lecture socialiste et une lecture qui y voit au contraire un « roman anti-peuple ».
- Une lecture comique et une lecture tragique.
- Une lecture autobiographique et une lecture policière.
|| Cette ambiguïté tient à ce que Zola peint à la fois la légitimité de la révolte ouvrière et la sauvagerie de la foule.
&lt;/quiz&gt;
{{Bas de page
  | idfaculté = littérature
  | chapitre    = [[Germinal/I. Place et statut du roman|Place et statut de Germinal]]
  | précédent = 
  | suivant     = [[Germinal/II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola/Quiz|II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola]]
}}
&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --&gt;</text>
      <sha1>tv5cw9f7h7z0loiyitefpqs11tec33v</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983557</id>
      <parentid>983555</parentid>
      <timestamp>2026-06-15T05:15:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>PandaMystique</username>
        <id>80252</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>PandaMystique a déplacé la page [[Germinal/Quiz/I. Place et statut du roman]] vers [[Germinal/I. Place et statut du roman/Quiz/QCM]]</comment>
      <origin>983554</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5024" sha1="tv5cw9f7h7z0loiyitefpqs11tec33v" xml:space="preserve">&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --&gt;
{{Quiz
  | idfaculté   = littérature
  | numéro      = 1
  | chapitre    = [[Germinal/I. Place et statut du roman|I. Place et statut de Germinal]]
  | précédent   = 
  | suivant     = [[Germinal/II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola/Quiz|II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola]]
  | niveau      = 12
}}
&lt;quiz display=&quot;simple&quot;&gt;
{ Complétez avec un nombre écrit en chiffres.
| type=&quot;{}&quot; }
Dans le cycle des vingt ''Rougon-Macquart'', ''Germinal'' occupe le { 13 _2}{{e}} rang.
|| ''Germinal'' est le treizième des vingt romans du cycle, publié en 1885.

{ À quelle branche de la famille Étienne Lantier appartient-il ?
| type=&quot;()&quot; }
+ La branche des Macquart.
- La branche des Rougon.
- La branche des Mouret.
|| Étienne descend de Gervaise Macquart : il appartient à la branche populaire et marquée par l'hérédité alcoolique, ce qui éclaire son personnage.

{ De quel personnage de ''L'Assommoir'' Étienne Lantier est-il le fils ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Gervaise.
- Nana.
- Coupeau.
|| Gervaise Macquart est l'héroïne de ''L'Assommoir'' (1877). Zola présentait d'ailleurs ''Germinal'' comme un « complément » de ce roman, montrant l'autre face de l'ouvrier.

{ Parmi les romans suivants, lesquels ont pour héros un frère d'Étienne Lantier ?
| type=&quot;[]&quot; }
+ ''L'Œuvre''
+ ''La Bête humaine''
- ''Nana''
- ''La Curée''
|| Étienne, Claude et Jacques sont trois fils de Gervaise. Nana est leur demi-sœur ; Aristide Saccard, lui, appartient à la branche des Rougon.

{ Dans quel journal ''Germinal'' a-t-il d'abord paru en feuilleton, à partir du 26 novembre 1884 ?
| type=&quot;()&quot; }
+ ''Gil Blas''.
- ''Le Figaro''.
- ''La Justice''.
- ''L'Événement''.
|| Le roman a paru en feuilleton dans ''Gil Blas'' avant d'être publié en volume chez Charpentier en mars 1885.

{ Entre quels deux romans du cycle ''Germinal'' s'insère-t-il ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Entre ''La Joie de vivre'' (1884) et ''L'Œuvre'' (1886).
- Entre ''L'Assommoir'' (1877) et ''Nana'' (1880).
- Entre ''La Terre'' (1887) et ''La Bête humaine'' (1890).

{ Comment des critiques de 1885 comme Henry Céard et Jules Lemaître ont-ils qualifié le genre de ''Germinal'' ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Une épopée.
- Un vaudeville.
- Un roman policier.
- Une comédie de mœurs.
|| Céard parlait d'« épopée en prose » et Lemaître d'« épopée pessimiste de l'animalité humaine » : tous deux soulignaient le souffle qui dépasse le simple réalisme.

{ Quelle formule, tirée de sa lettre à Henry Céard du 22 mars 1885, Zola emploie-t-il pour décrire sa méthode ?
| type=&quot;()&quot; }
+ « Le saut dans les étoiles sur le tremplin de l'observation exacte. »
- « Madame Bovary, c'est moi. »
- « Le roman doit être une simple tranche de vie. »
|| Cette phrase résume tout l'art de Zola : partir d'une documentation exacte pour s'élever jusqu'au symbole et au mythe.

{ Quel écrivain prononça l'oraison funèbre de Zola lors de ses funérailles, en octobre 1902 ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Anatole France.
- Victor Hugo.
- Guy de Maupassant.
|| Lors de ces funérailles, des mineurs venus de Denain scandèrent le titre « Germinal ! », preuve que le roman était devenu un symbole populaire.

{ Complétez avec une année écrite en chiffres.
| type=&quot;{}&quot; }
La dépouille de Zola fut transférée au Panthéon en { 1908 _4}.

{ Vrai ou faux ? Cochez la bonne case pour chaque affirmation.
| type=&quot;()&quot; }
| VRAI | FAUX
+- ''Germinal'' a paru en feuilleton avant d'être publié en volume.
-+ Étienne Lantier appartient à la branche des Rougon.
+- Au XXe siècle, ''Germinal'' est devenu le plus vendu des ''Rougon-Macquart''.
-+ La dépouille de Zola fut transférée au Panthéon dès ses funérailles, en 1902.

{ Dans le calendrier républicain, que désigne le mot « germinal » ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Un mois du printemps, allant de la fin mars à la fin avril.
- Le premier mois de l'automne.
- Une fête révolutionnaire d'un seul jour.
|| Le choix de ce titre lie le roman à l'idée de germination et d'espérance, malgré la défaite finale des mineurs.

{ Qui a réalisé l'adaptation cinématographique de ''Germinal'' sortie en 1993 ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Claude Berri.
- Jean Renoir.
- Marcel Carné.

{ Selon quelle double lecture ''Germinal'' a-t-il été interprété ?
| type=&quot;()&quot; }
+ Une lecture socialiste et une lecture qui y voit au contraire un « roman anti-peuple ».
- Une lecture comique et une lecture tragique.
- Une lecture autobiographique et une lecture policière.
|| Cette ambiguïté tient à ce que Zola peint à la fois la légitimité de la révolte ouvrière et la sauvagerie de la foule.
&lt;/quiz&gt;
{{Bas de page
  | idfaculté = littérature
  | chapitre    = [[Germinal/I. Place et statut du roman|Place et statut de Germinal]]
  | précédent = 
  | suivant     = [[Germinal/II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola/Quiz|II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola]]
}}
&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --&gt;</text>
      <sha1>tv5cw9f7h7z0loiyitefpqs11tec33v</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Germinal/I. Place et statut du roman/Quiz</title>
    <ns>0</ns>
    <id>87139</id>
    <redirect title="Germinal/Quiz/I. Place et statut du roman" />
    <revision>
      <id>983556</id>
      <timestamp>2026-06-15T05:11:43Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>PandaMystique</username>
        <id>80252</id>
      </contributor>
      <comment>PandaMystique a déplacé la page [[Germinal/I. Place et statut du roman/Quiz]] vers [[Germinal/Quiz/I. Place et statut du roman]]</comment>
      <origin>983556</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="58" sha1="gx4yizec56u1bmmxycarded5y0eg7lg" xml:space="preserve">#REDIRECTION [[Germinal/Quiz/I. Place et statut du roman]]</text>
      <sha1>gx4yizec56u1bmmxycarded5y0eg7lg</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Germinal/Quiz/I. Place et statut du roman</title>
    <ns>0</ns>
    <id>87140</id>
    <redirect title="Germinal/I. Place et statut du roman/Quiz/QCM" />
    <revision>
      <id>983558</id>
      <timestamp>2026-06-15T05:15:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>PandaMystique</username>
        <id>80252</id>
      </contributor>
      <comment>PandaMystique a déplacé la page [[Germinal/Quiz/I. Place et statut du roman]] vers [[Germinal/I. Place et statut du roman/Quiz/QCM]]</comment>
      <origin>983558</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="62" sha1="3p3f8yka1h6yz8xfn4bse866vujs83i" xml:space="preserve">#REDIRECTION [[Germinal/I. Place et statut du roman/Quiz/QCM]]</text>
      <sha1>3p3f8yka1h6yz8xfn4bse866vujs83i</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>