ויקיספר hewikibooks https://he.wikibooks.org/wiki/%D7%A2%D7%9E%D7%95%D7%93_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99 MediaWiki 1.46.0-wmf.23 first-letter מדיה מיוחד שיחה משתמש שיחת משתמש ויקיספר שיחת ויקיספר קובץ שיחת קובץ מדיה ויקי שיחת מדיה ויקי תבנית שיחת תבנית עזרה שיחת עזרה קטגוריה שיחת קטגוריה שער שיחת שער מדף שיחת מדף TimedText TimedText talk יחידה שיחת יחידה אירוע שיחת אירוע 0 30126 179848 179242 2026-04-09T21:36:09Z יהודה שמחה ולדמן 6994 הגהה, תיקון קישורים, שיפוץ קודים מתמטיים 179848 wikitext text/x-wiki הקבוע המתמטי <math>\pi=3.141592\ldots</math> הוא [[w:מספר טרנסצנדנטי|מספר טרנסצנדנטי]] (או [[w:מספר אלגברי|אי־אלגברי]]). לאמר, הוא איננו שורש של אף [[w:פולינום|פולינום]] בעל מקדמים רציונליים. ==הוכחה== [[w:הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי <math>\pi</math> אלגברי. לכן קיים פולינום :<math>P(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_dz^d\in\Q[z]</math> עבורו <math>P(\pi)=0</math>. ===א)=== [[w:למה (מתמטיקה)|'''למה:''']] אם <math>\pi</math> אלגברי, אזי <math>\pi i</math> אלגברי. '''הוכחה:''' מתקיים כי :<math>\begin{align}P(\pm iz)&=a_0+a_1(\pm iz)+a_2(\pm iz)^2+\cdots+a_d(\pm iz)^d\\[5pt]&=(a_0-a_2z^2+\cdots\,)\pm(a_1z-a_3z^3+\cdots\,)\,i\end{align}</math> לכן <math>\pi i</math> שורש של הפולינום :<math>P(iz)P(-iz)=(a_0-a_2z^2+\cdots\,)^2+(a_1z-a_3z^3+\cdots\,)^2\in\Q[z]</math> <math>\square</math> לפיכך, קיים פולינום <math>P_1\in\Q[z]</math> ממעלה <math>n</math> בעל השורשים <math>z_1,\ldots,z_n</math>, כאשר <math>z_1=\pi i</math>. על־פי [[w:זהות אוילר|זהות אוילר]] מתקיים כי <math>\text{e}^{\pi i}+1=0</math>. לכן: :<math>\begin{align}0&\,=\,(1+\text{e}^{z_1}\!)\cdots(1+\text{e}^{z_n}\!)\\[7pt]&\,=\,1\,+\,\sum_{1\le i\le n}\!\text{e}^{z_i}\,+\!\!\!\sum_{1\le i_1~\!\!<i_2\le n}\!\!\!\!\!\text{e}^{z_{i_1}}\text{e}^{z_{i_2}}\,+\!\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1~\!\!<i_2~\!\!<i_3\le n}\!\!\!\!\!\!\!\!\text{e}^{z_{i_1}}\text{e}^{z_{i_2}}\text{e}^{z_{i_3}}+\,\cdots\,+\!\!\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1~\!\!<\cdots<i_n\le n}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\text{e}^{z_{i_1}}\!\cdots\text{e}^{z_{i_n}}\\[5pt]&\,=\,\text{e}^0+\sum_{1\le i\le n}\!\text{e}^{z_i}\,+\!\!\!\sum_{1\le i_1~\!\!<i_2\le n}\!\!\!\!\!\text{e}^{z_{i_1}+\,z_{i_2}}\,+\!\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1~\!\!<i_2~\!\!<i_3\le n}\!\!\!\!\!\!\!\!\text{e}^{z_{i_1}+\,z_{i_2}+\,z_{i_3}}+\,\cdots\,+\,\text{e}^{z_1+\,\cdots\,+\,z_n}\\&\,=\,\sum_{i\,=\,1}^{2^n}\text{e}^{\beta_i}\end{align}</math> המעריכים הם פולינומים סימטריים לפי <math>z_1,\ldots,z_n</math>, ומביניהם <math>n\le m\le2^n-1</math> סכומים שונים מ־0. כלומר: :<math>\text{e}^{\beta_1}\!+\cdots+\text{e}^{\beta_m}\!+2^n\!-m=0</math> [[הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי/המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים#תוצאות חשובות|על פי תוצאת המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים]]:{{ש}} לכל <math>0\le k\le n</math> קיים [[w:פולינום מתוקן|פולינום מתוקן]] <math>P_k\in\Q[z]</math> אשר שורשיו הם סכומי כל <math>k</math> מבין השורשים <math>z_1,\ldots,z_n</math>. לפיכך: :<math>\begin{align}Q(z)&=P_0(z)\,P_1(z)\cdots P_n(z)\in\Q[z]\\[5pt]&=(z-\beta_1)\cdots(z-\beta_m)\cdots(z-\beta_{2^n})\\[5pt]&=z^{2^n-\,m}(z-\beta_1)\cdots(z-\beta_m)\end{align}</math> לאחר צמצום נקבל כי: :<math>(z-\beta_1)\cdots(z-\beta_m)\in\Q[z]</math> נכפיל ב[[w:כפולה משותפת מינימלית|מכנה המשותף המינימלי]] <math>b_m\!\in\Z</math> של המקדמים הרציונליים, ונקבל פולינום מהצורה :<math>\begin{align}B(z)&\,=\,b_m(z-\beta_1)\cdots(z-\beta_m)\in\Z[z]\\[5pt]&\,=\,b_0\!+b_1z+\cdots+b_{m-1}z^{m-1}\!+b_mz^m\end{align}</math> ===ב)=== יהי <math>f(z)</math> פולינום ממעלה <math>d</math>. נגדיר: :<math>F(z)=\sum_{k\,=\,0}^df^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z)</math> נגזור ונקבל כי: :<math>F'\!(z)=\sum_{k\,=\,0}^df^{^\mathtt{(k+1)}}\!\!(z)=\sum_{k\,=\,1}^df^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z)=F(z)-f(z)</math> נגדיר <math>G(z)=\text{e}^{-z}F(z)</math>. נגזור ונקבל כי: :<math>\begin{align}G'\!(z)&=\text{e}^{-z}F'\!(z)-\text{e}^{-z}F(z)\\[5pt]&=\text{e}^{-z}\bigl[F'\!(z)-F(z)\bigr]\\[5pt]&=-\text{e}^{-z}f(z)\end{align}</math> על־פי [[w:המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי|המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]], מתקיים כי: :<math>\begin{align}G(z)-G(0)\,=\,\text{e}^{-z}F(z)-\text{e}^{-0}F(0)&\,=\,-\!\int\limits_0^z\text{e}^{-w}f(w)dw\\F(z)-\text{e}^zF(0)&\,=\,-\!\int\limits_0^z\text{e}^{z-w}f(w)dw\end{align}</math> נסמן: :<math>A_i=\,F(\beta_i~\!\!)-\text{e}^{\beta_i}F(0)\,=\,-\,\!\!\int\limits_0^{\beta_i}~\!\!\text{e}^{\beta_i-w}f(w)dw</math> נסכום ונקבל כי: :<math>\begin{align}\sum_{i\,=\,1}^mA_i&=\,\sum_{i\,=\,1}^mF(\beta_i~\!\!)\,-\,\sum_{i\,=\,1}^m\text{e}^{\beta_i}F(0)\\[3pt]\sum_{i\,=\,1}^mA_i&=\,\sum_{i\,=\,1}^mF(\beta_i~\!\!)\,-\,F(0)\sum_{i\,=\,1}^m\text{e}^{\beta_i}\\[3pt]&=\,(2^n\!-m)~\!F(0)\,+\,\sum_{i\,=\,1}^mF(\beta_i~\!\!)\end{align}</math> ===ג)=== '''למה:''' יהי <math>f(z)</math> פולינום בעל שורש <math>z_0</math> מריבוי <math>p\ge1</math>. אזי <math>f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z_0~\!\!)=0</math> לכל <math>0\le k\le p-1</math>. '''הוכחה:''' ב[[w:אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה שלמה]]. נרשום <math>f(z)=(z-z_0~\!\!)^pQ(z)</math>, כאשר <math>Q(z)</math> פולינום עבורו <math>Q(z_0~\!\!)\ne0</math>. עבור <math>p=1</math> מתקיים: :<math>f^{^\mathtt{(0)}}\!\!(z_0~\!\!)=f(z_0~\!\!)=0</math> נניח כי לכל <math>1\le p\le d</math> הטענה מתקיימת לכל <math>0\le k\le d-1</math>.{{ש}} נוכיח כי עבור <math>p=d+1</math> הטענה מתקיימת לכל <math>0\le k\le d</math>: :<math>\begin{align}f(z)&=(z-z_0~\!\!)^{p+1}Q(z){\color{white}\sum}\\[4pt]f^{^\mathtt{(1)}}\!\!(z)&=(p+1)(z-z_0~\!\!)^pQ(z)+(z-z_0~\!\!)^{p+1}Q^{^\mathtt{(1)}}\!\!(z)\\[5pt]&={\color{blue}(z-z_0~\!\!)^p}{\color{red}\bigl[\,(p+1)Q(z)+(z-z_0~\!\!)Q^{^\mathtt{(1)}}\!\!(z)\,\bigr]}\\[5pt]&={\color{blue}(z-z_0~\!\!)^p}{\color{red}R(z)}\end{align}</math> {{צבע גופן|כחול|'''הביטוי הכחול'''}} מריבוי <math>p\ge1</math>, כאשר <math>R(z)</math> פולינום עבורו <math>R(z_0~\!\!)\ne0</math>.{{ש}} לכן מכפלתם מקיימת את הנחת האינדוקציה. <math>\square</math> ===ד)=== עתה נגדיר: :<math>\begin{align}f(z)&=\frac{(b_m~\!\!)^q}{(p-1)!}\,z^{~\!p-1}\bigl[B(z)\bigr]^p\\[5pt]&=\!\!\sum_{i\,=\,p-1}^{p\,+\,q}\!\frac{\text{c}_i}{(p-1)!}\,z^{~\!i}\quad\begin{align}&:\!\text{c}_i\!\in\Z\\[2pt]&:\!q=mp-1\end{align}\end{align}</math> כאשר <math>p</math> [[w:מספר ראשוני|מספר ראשוני]].{{ש}} מתקיים כי :<math>f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z)=\sum_{i\,=\,k}^{p\,+\,q}\frac{k!}{(p-1)!}\binom{i}{k}\text{c}_iz^{~\!i-k}\quad:\!0\le k\le p+q</math> '''הערות:''' *מקדמי <math>f^{^\mathtt{(p-1)}}\!\!(z)</math> הם מספרים שלמים המתחלקים כולם ב־<math>(b_m~\!\!)^q</math>. *עבור <math>p\le k\le p+q</math>, מקדמי <math>f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z)</math> הם מספרים שלמים המתחלקים כולם ב־<math>(b_m~\!\!)^q</math> וב־<math>p</math>. לפי חלקים א ו־ג, מתקיים כי: ::<math>\begin{align}N&\,=\,(2^n\!-m)~\!F(0)\,+\,\sum_{i\,=\,1}^mF(\beta_i~\!\!)\\[2pt]&\,=\,(2^n\!-m)\sum_{k\,=\,0}^{p\,+\,q}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(0)\,+\,\sum_{i\,=\,1}^m\sum_{k\,=\,0}^{p\,+\,q}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(\beta_i~\!\!)\\[2pt]&\,=\,(2^n\!-m)\!\!\sum_{k\,=\,p-1}^{p\,+\,q}\!\!\!f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(0)\,+\,\sum_{i\,=\,1}^m\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(\beta_i~\!\!)\\[2pt]&\,=\,(2^n\!-m)\,\bigg[\,f^{^\mathtt{(p-1)}}\!\!(0)\,+\,\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(0)\,\bigg]\,+\,\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}\sum_{i\,=\,1}^mf^{^\mathtt{(k)}}\!\!(\beta_i~\!\!)\\[2pt]&~=\,{\color{red}(2^n\!-m)~\!(b_0~\!\!)^p(b_m~\!\!)^q}\!+{\color{green}(2^n\!-m)\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(0)}\,+\,{\color{blue}\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}\sum_{i\,=\,1}^mf^{^\mathtt{(k)}}\!\!(\beta_i~\!\!)}\end{align}</math> עתה נבחר מספר ראשוני <math>p>\max\!\bigl\{2^n\!-m,\!|b_0~\!\!|,\!|b_m~\!\!|\bigr\}</math>. נקבל: {{צבע גופן|אדום|'''הביטוי האדום'''}} הוא מספר שלם שאינו מתחלק ב־<math>p</math>.{{ש}} {{צבע גופן|ירוק|'''הביטוי הירוק'''}} הוא מספר שלם המתחלק ב־<math>p</math>.{{ש}} {{צבע גופן|כחול|'''הביטוי הכחול'''}} הוא החלק החשוב ביותר:{{ש}} על־פי [[w:נוסחאות ויאטה|נוסחאות ויאטה]] מתקיים כי :<math>E_\mathtt{k}(\vec{\beta}{}^{^{~\!m}}~\!\!)=(-1)^k\frac{b_{m-k}}{\,b_m}\in\Q\quad:\!1\le k\le m</math> והסכומים הכחולים הם פולינומים סימטריים לפי <math>\beta_1,\ldots,\beta_m</math>.{{ש}} [[הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי/המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים|על פי המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים]], סכומים אלה ניתנים להצגה כפולינומים :<math>\begin{align}\sum_{i\,=\,1}^mf^{^{\mathtt{(k)}}}\!\!(\beta_i~\!\!)&\,=\,G_\mathtt{k}\bigl(\vec{E}{}^{^{~\!m}}\!(\vec{\beta}{}^{^{~\!m}}~\!\!)\bigr)\in\Z\bigl[\vec{\beta}{}^{^{~\!m}}~\!\!\bigr]\\&~=\,{\color{DeepSkyBlue }(b_m~\!\!)^q\frac{c_{_{~\!\mathtt{k}}}}{(b_m~\!\!)^{q_{\kappa}}}}\quad\begin{align}&:\!c_{_{~\!\mathtt{k}}}\!\in\Z\\&:\!q_{_{~\!\mathtt{k}}}\!\in\N\end{align}\end{align}</math> כאשר: *<math>0\le q_{_{~\!\mathtt{k}}}~\!\!\!=\deg(G_\mathtt{k}~\!\!)\le\deg(f^{^{\mathtt{(k)}}}\!)\le q\quad:\!p\le k\le p+q</math> לכן <math>(b_m~\!\!)^{q_{\kappa}}\!</math> מחלק את <math>(b_m~\!\!)^q</math>, ו{{צבע גופן|00BFFF|'''הביטוי התכול'''}} הוא מספר שלם. לכן הביטוי הכחול גם הוא מספר שלם אשר מתחלק ב־<math>p</math>. '''מסקנה:''' <math>N</math> הוא מספר שלם אשר איננו מתחלק ב־<math>p</math>, ובפרט <math>N\ne0</math>. לאמר <math>1\le|N|\in\N</math>. ===ה)=== לפי חלק ב, על־פי [[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרביליות/תכונות האינטגרל/אי-שוויון המשולש האינטגרלי|אי־שוויון המשולש האינטגרלי]] מתקיים כי: :<math>\begin{align}|A_i~\!\!|&\,=\,\Bigg|\int\limits_0^{\beta_i}\!\text{e}^{\beta_i-w}f(w)dw\,\Bigg|\\[2pt]&\,\le\,\int\limits_0^{\beta_i}\bigl|~\!\text{e}^{\beta_i-w}\bigr|\,\bigr|f(w)\bigl|\,|dw|\\[2pt]&\,=\,\int\limits_0^{\beta_i}\bigl|~\!\text{e}^{\beta_i-\,w}\bigr|\left|\,\frac{(b_m~\!\!)^q}{(p-1)!}\,w^{~\!p-1}\bigl[B(w)\bigr]^p\,\right||dw|\\[2pt]&\,=\,\int\limits_0^{\beta_i}\frac{\bigl|~\!\text{e}^{\beta_i-\,w}\bigr|}{|b_m~\!\!|}\,\frac{|w|^{p-1}\bigl(~\!|b_m~\!\!|^m~\!\bigl|B(w)\bigr|~\!\bigr)^p}{(p-1)!}\,|dw|\end{align}</math> על־פי [[w:אי-שוויון המשולש|אי־שוויון המשולש]] מתקיים כי: :<math>1\,\le\,|N|\,=\,\Bigg|\sum_{i\,=\,1}^mA_i\Bigg|\,\le\,\sum_{i\,=\,1}^m|A_i~\!\!|\,\le\,\sum_{i\,=\,1}^m\,\int\limits_0^{\beta_i}\frac{\bigl|~\!\text{e}^{\beta_i-w}\bigr|}{|b_m~\!\!|}\,\frac{|w|^{p-1}\bigl(~\!|b_m~\!\!|^m~\!\bigl|B(w)\bigr|~\!\bigr)^p}{(p-1)!}\,|dw|</math> אך לעומת זאת מתקיים כי :<math>\lim_{p~\!\to~\!\infty}\frac{|w|^{p-1}\bigl(~\!|b_m~\!\!|^m~\!\bigl|B(w)\bigr|~\!\bigr)^p}{(p-1)!}=0\quad:\!w\in\C</math> לאמר, עבור <math>p</math> [[w:גדול מספיק|גדול מספיק]] מתקיים <math>1\le|N|<1</math>. '''[[w:סתירה (לוגיקה)|סתירה]].''' <math>\square</math> '''[[w:קונטרה פוזיטיב|מסקנה:]]''' <math>\pi i</math> טרנסצנדנטי, ולכן <math>\pi</math> טרנסצנדנטי. <math>\blacksquare</math> {{תוכן| |הפרק הקודם=[[../המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים/]] |הפרק הנוכחי=הוכחה |הפרק הבא=סוף }} [[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]] jxmbdtufx7p3udla3twframayjri9vc 2 30802 179849 179845 2026-04-10T09:58:03Z יהודה שמחה ולדמן 6994 הגהה, תיקון קישורים, שיפוץ קודים מתמטיים 179849 wikitext text/x-wiki ==הקדמה== משפט זה הוא גרסה חלשה יותר של '''[[w:משפט לינדמן-ויירשטראס|משפט לינדמן]]'''.{{ש}} חרף זאת, הוא מספיק עבור מקרים פרטיים רבים – למשל <math>\pi</math>, או <math>\ln(q):q\in\Q\!\setminus\!\{0\}</math> וכדומה. {{-}} {{תוכן עניינים| *[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה|קומבינטוריקה]] (בסיסית) *[[חשבון אינפיניטסימלי|חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי]] *[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים|מספרים מרוכבים]] *[[הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי|פולינומים סימטריים]] *[[הוכחות מתמטיות/שונות/מספר אלגברי|מספרים אלגבריים]] |ידע קודם נדרש:}} ===הגדרה=== תהי <math>(A_1,\ldots,A_n~\!\!)</math> [[w:n-יה סדורה|n־יה סדורה]]. נגדיר: :<math>\vec{A}{}^{^{_{~\!n}}}=(A_1,\ldots,A_n~\!\!)</math> עבור [[w:פונקציה|פונקציות]] <math>\vec{F}{}^{^{_{~\!m}}}\!,\vec{G}{}^{^{_{~\!n}}}</math> נגדיר: :<math>\vec{F}{}^{^{_{~\!m}}}\!(\vec{G}{}^{^{_{~\!n}}}\!)=\bigl(F_1(G_1,\ldots,G_n~\!\!)~\!,\ldots,F_m(G_1,\ldots,G_n~\!\!)\bigr)</math> סימון מקוצר זה ישמש אותנו במהלך ההוכחה. *דוגמא: יהי <math>\mathbf{R}</math> [[w:חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] או [[מושג השדה|שדה]]. אזי <math>\mathbf{R}\bigl[\vec{X}{}^{^{_{~\!n}}}~\!\!\bigr]</math> הוא מרחב הפולינומים במשתנים <math>X_1,\ldots,X_n</math> עם מקדמים ב־<math>\mathbf{R}</math>. =משפט לינדמן (חלש)= אם <math>z\ne0</math> [[w:מספר אלגברי|אלגברי]] אזי <math>\text{e}^z</math> [[w:מספר אי-רציונלי|אי־רציונלי]]. [[w:קונטרה פוזיטיב|ניסוח שקול]]: אם <math>\text{e}^z</math> [[w:מספר רציונלי|רציונלי]] אזי <math>z\ne0</math> [[w:מספר טרנסצנדנטי|אי־אלגברי]] או <math>z=0</math>. ==הוכחה== יהי <math>z_1\!\ne0</math> מספר אלגברי.{{ש}} לפיכך קיים [[w:פולינום מינימלי|פולינום מינימלי]] <math>P_1\!\in\Q[z]</math> [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/המשפט היסודי של האלגברה|בעל השורשים]] <math>z_1,\ldots,z_n</math> (שונים זה מזה). [[w:הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי <math>\text{e}^{z_1}</math> רציונלי.{{ש}} לפיכך קיימים <math>a,b\in\Z\!\setminus\!\{0\}</math> כאשר <math>\gcd\{a,\!b\}=1</math>, עבורם <math>\text{e}^{z_1}\!=\frac{a}{b}</math>.{{ש}} [[w:ללא הגבלת הכלליות|ללא הגבלת הכלליות]] נקבע <math>1\le a\le|b|</math>, שכן <math>\text{e}^{z_1}~\!\!\in\Q</math> [[w:אם ורק אם|אם ורק אם]] <math>\text{e}^{-z_1}~\!\!\in\Q</math>. ===א)=== מתקיים כי: :<math display>\begin{align}0&\,=\,(a-b\,\text{e}^{z_1}\!)\cdots(a-b\,\text{e}^{z_n}\!)\\[7pt]&\,=\,a^n-\,a^{n-1}b\!\sum_{1\le i\le n}\!{\rm e}^{z_i}+\,a^{n-2}b^2\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1~\!\!<i_2\le n}\!\!\!\!\!\text{e}^{z_{i_1}}\text{e}^{z_{i_2}}-\,\cdots\,+\,(-b)^n\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1~\!\!<\cdots<i_n\le n}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\text{e}^{z_{i_1}}\!\cdots\text{e}^{z_{i_n}}\\[5pt]&\,=\,a^n-\,a^{n-1}b\!\sum_{1\le i\le n}\!\text{e}^{z_i}+\,a^{n-2}b^2\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1~\!\!<i_2\le n}\!\!\!\!\!\text{e}^{z_{i_1}+\,z_{i_2}}-\,\cdots\,+\,(-b)^n\text{e}^{z_1+\,\cdots\,+\,z_n}\end{align}</math> בשורה האחרונה, המעריכים הם קבוצות של פולינומים סימטריים לפי <math>z_\mathtt{1},\ldots,z_n</math>, וחלקם עלולים להתאפס.{{ש}} לבד מן המעריך הימני ביותר, שאר קבוצות המעריכים בהכרח מכילות לפחות מעריך אחד השונה מ־0.{{ש}} הנימוק: לו כולם היו מתאפסים אזי נובע היה כי <math>z_\mathtt{1}\!=\cdots=z_n\!=0</math>, בסתירה להנחה הראשית. נבטא את השורה האחרונה כך: :<math>0\,=\,a_\mathtt{0}+\,a_\mathtt{1}\!\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{1}}}\text{e}^{\beta_{\mathtt{1},\mathtt{j}}}+\,a_\mathtt{2}\!\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{2}}}\text{e}^{\beta_{\mathtt{2},\mathtt{j}}}+\,\cdots\,+\,a_\mathtt{r}\!\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{r}}}\text{e}^{\beta_{\mathtt{r},\mathtt{j}}}</math> כאשר המקדם החופשי הוא סכום כל מקדמי המעריכים המתאפסים הנ"ל: :<math>\begin{align}&a_\mathtt{0}=\,a^n+\,\sum_{i\,=\,1}^nk_ia^{n-i}(-b)^i\\[2pt]&\begin{cases}\,k_\mathtt{1}\!=0&\\[3pt]\,0\le k_i\!<\!\tbinom{n}{i}&:\!2\le i\le n-1\\[3pt]\,0\le k_n\!\le1\end{cases}\end{align}</math> לצורך המשך ההוכחה, עלינו להראות כי <math>a_\mathtt{0}\!\ne0</math>. *עבור <math>b\ge2</math> מתקיים <math>a_\mathtt{0}\!=a^n\!-b\sum_{i\,=\,1}^nk_ia^{n-i}(-b)^{i-1}</math>. לפי ההנחה <math>\gcd\{a,\!b\}=1</math>, ולכן <math>a_\mathtt{0}\!\notin b~\!\Z</math>. *עבור <math>b\le-1</math> מתקיים <math>a_\mathtt{0}~\!\!\ge a^n\!>0</math>. *עבור <math>a=b=1</math> ההוכחה נכשלת. פרט זה לא ישפיע על התוצאה הסופית. (מדוע?) [[הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי/המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים#תוצאות חשובות|על פי תוצאת המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים]]:{{ש}} לכל <math>0\le k\le n</math> קיים [[w:פולינום מתוקן|פולינום מתוקן]] <math>P_k\in\Q[z]</math> אשר שורשיו הם סכומי כל <math>k</math> מבין השורשים <math>z_1,\ldots,z_n</math>.{{ש}} לפיכך, לכל <math>1\le i\le r</math> המעריכים <math>\beta_{\mathtt{i},\mathtt1},\ldots,\beta_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}</math> מהוים מערכת שלמה של [[w:איבר צמוד (תורת השדות)|צמודים אלגבריים]] – שורשי פולינום מינימלי משותף בעל מקדמים רציונליים: :<math>(z-\beta_{\mathtt{i},\mathtt1}~\!\!)\cdots(z-\beta_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}~~\!\!\!\!)\in\Q[z]</math> נכפיל ב[[w:כפולה משותפת מינימלית|מכנה המשותף המינימלי]] <math>b_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}\!\in\Z</math> של המקדמים הרציונליים, ונקבל פולינום בעל מקדמים שלמים: :<math>B_\mathtt{i\!}(z)=b_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}\!(z-\beta_{\mathtt{i},\mathtt1}~\!\!)\cdots(z-\beta_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}~~\!\!\!\!)\in\Z[z]</math> נגדיר: :<math>\begin{align}B(z)&=B_{\mathtt1\!}(z)\cdots B_{\mathtt r\!}(z)\in\Z[z]\\[5pt]&=b_\mathtt{0}\!+b_\mathtt{1}z+\cdots+b_{m-1}z^{m-1}\!+b_mz^m\\[5pt]b_m&=b_{\mathtt{1},m_\mathtt{1}}\!\cdots b_{\mathtt{r},m_\mathtt{r}}\\[5pt]m&=m_\mathtt{1}\!+\cdots+m_\mathtt{r}\end{align}</math> ===ב)=== יהי <math>f(z)</math> פולינום ממעלה <math>d</math>. נגדיר: :<math>F(z)=\sum_{k\,=\,0}^df^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z)</math> נגזור ונקבל כי: :<math>F'\!(z)=\sum_{k\,=\,0}^df^{^\mathtt{(k+1)}}\!\!(z)=\sum_{k\,=\,1}^df^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z)=F(z)-f(z)</math> נגדיר <math>G(z)=\text{e}^{-z}F(z)</math>. נגזור ונקבל כי: :<math>\begin{align}G'\!(z)&=\text{e}^{-z}F'\!(z)-\text{e}^{-z}F(z)\\[5pt]&=\text{e}^{-z}\bigl[F'\!(z)-F(z)\bigr]\\[5pt]&=-\text{e}^{-z}f(z)\end{align}</math> על־פי [[w:המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי|המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]], מתקיים כי: :<math>\begin{align}G(z)-G(0)\,=\,\text{e}^{-z}F(z)-\text{e}^{-0}F(0)&\,=\,-\!\int\limits_0^z~\!\!\text{e}^{-w}f(w)dw\\F(z)-\text{e}^zF(0)&\,=\,-\!\int\limits_0^z~\!\!\text{e}^{z-w}f(w)dw\end{align}</math> נסמן: :<math>A_{\mathtt{i},\mathtt{j}}=\,a_\mathtt{i}F(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\,-\,a_\mathtt{i}\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}F(0)\,=\,-\,a_\mathtt{i}\!\!\int\limits_0^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}~\!\!\!\!\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}-\,w}f(w)dw</math> נסכום ונקבל כי: :<math>\begin{align}\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}A_{\mathtt{i},\mathtt{j}}&=\,\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}a_\mathtt{i}F(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\,-\,\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}a_\mathtt{i}\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}~\!\!F(0)\\[3pt]\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}A_{\mathtt{i},\mathtt{j}}&=\,\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}a_\mathtt{i}F(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\,-\,F(0)\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}a_\mathtt{i}\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}\\[3pt]&=\,a_\mathtt{0}F(0)\,+\,\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}a_\mathtt{i}F(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\end{align}</math> ===ג)=== [[w:למה (מתמטיקה)|'''למה:''']] יהי <math>f(z)</math> פולינום בעל שורש <math>z_\mathtt{0}</math> מריבוי <math>p\ge1</math>. אזי <math>f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z_\mathtt{0}~\!\!)=0</math> לכל <math>0\le k\le p-1</math>. '''הוכחה:''' ב[[w:אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה שלמה]]. נרשום <math>f(z)=(z-z_\mathtt{0}~\!\!)^pQ(z)</math>, כאשר <math>Q(z)</math> פולינום עבורו <math>Q(z_\mathtt{0}~\!\!)\ne0</math>. עבור <math>p=1</math> מתקיים: :<math>f^{^\mathtt{(0)}}\!\!(z_\mathtt{0}~\!\!)=f(z_\mathtt{0}~\!\!)=0</math> נניח כי לכל <math>1\le p\le d</math> הטענה מתקיימת לכל <math>0\le k\le d-1</math>.{{ש}} נוכיח כי עבור <math>p=d+1</math> הטענה מתקיימת לכל <math>0\le k\le d</math>: :<math>\begin{align}f(z)&=(z-z_\mathtt{0}~\!\!)^{p+1}Q(z){\color{white}\sum}\\[4pt]f^{^\mathtt{(1)}}\!\!(z)&=(p+1)(z-z_\mathtt{0}~\!\!)^pQ(z)+(z-z_\mathtt{0}~\!\!)^{p+1}Q^{^\mathtt{\!(1)}}\!\!(z)\\[5pt]&={\color{blue}(z-z_\mathtt{0}~\!\!)^p}{\color{red}\bigl[\,(p+1)Q(z)+(z-z_\mathtt{0}~\!\!)Q^{^\mathtt{\!(1)}}\!\!(z)\,\bigr]}\\[5pt]&={\color{blue}(z-z_\mathtt{0}~\!\!)^p}{\color{red}R(z)}\end{align}</math> {{צבע גופן|כחול|'''הביטוי הכחול'''}} מריבוי <math>p\ge1</math>, כאשר <math>R(z)</math> פולינום עבורו <math>R(z_\mathtt{0}~\!\!)\ne0</math>.{{ש}} לכן מכפלתם מקיימת את הנחת האינדוקציה. <math>\square</math> ===ד)=== עתה נגדיר: :<math>\begin{align}f(z)&=\frac{(b_m~\!\!)^q}{(p-1)!}\,z^{~\!p-1}\bigl[B(z)\bigr]^p\\[5pt]&=\!\!\sum_{i\,=\,p-1}^{p\,+\,q}\!\frac{\text{c}_i}{(p-1)!}\,z^{~\!i}\quad\begin{align}&:\!\text{c}_i\!\in\Z\\[2pt]&:\!q=mp-1\end{align}\end{align}</math> כאשר <math>p</math> [[w:מספר ראשוני|מספר ראשוני]].{{ש}} מתקיים כי :<math>f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z)=\sum_{i\,=\,k}^{p\,+\,q}\frac{k!}{(p-1)!}\binom{i}{k}\text{c}_iz^{~\!i-k}\quad:\!0\le k\le p+q</math> '''הערות:''' *מקדמי <math>f^{^\mathtt{(p-1)}}\!\!(z)</math> הם מספרים שלמים המתחלקים כולם ב־<math>(b_m~\!\!)^q</math>. *עבור <math>p\le k\le p+q</math>, מקדמי <math>f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z)</math> הם מספרים שלמים המתחלקים כולם ב־<math>(b_m~\!\!)^q</math> וב־<math>p</math>. לפי חלקים א ו־ג, מתקיים כי: :<math>\begin{align}N&\,=\,a_\mathtt{0}F(0)\,+\,\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}a_\mathtt{i}F(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\\[2pt]&\,=\,a_\mathtt{0}\sum_{k\,=\,0}^{p\,+\,q}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(0)\,+\,\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}\sum_{k\,=\,0}^{p\,+\,q}a_\mathtt{i}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\\[2pt]&\,=\,a_\mathtt{0}\!\!\!\sum_{k\,=\,p-1}^{p\,+\,q}\!\!\!f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(0)\,+\,\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}a_\mathtt{i}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\\[2pt]{}&\,=\,a_\mathtt{0}\bigg[\,f^{^\mathtt{(p-1)}}\!\!(0)\,+\,\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(0)\,\bigg]+\,\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}a_\mathtt{i}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\\[2pt]&\,=\,{\color{red}a_\mathtt{0}(b_\mathtt{0}~\!\!)^p(b_m~\!\!)^q}\,+\,{\color{green}a_\mathtt{0}\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(0)}\,+\,{\color{blue}\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}\left[\,\,\sum_{i\,=\,1}^ra_\mathtt{i}\!\bigg(\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)\bigg)\,\right]}\end{align}</math> עתה נבחר מספר ראשוני <math>p>\max\!\bigl\{|a_\mathtt{0}~\!\!|,\!|b_\mathtt{0}~\!\!|,\!|b_m~\!\!|\bigr\}</math>. נקבל: {{צבע גופן|אדום|'''הביטוי האדום'''}} הוא מספר שלם אשר איננו מתחלק ב־<math>p</math>.{{ש}} {{צבע גופן|ירוק|'''הביטוי הירוק'''}} הוא מספר שלם אשר מתחלק ב־<math>p</math>.{{ש}} {{צבע גופן|כחול|'''הביטוי הכחול'''}} הוא החלק החשוב ביותר:{{ש}} על־פי [[w:נוסחאות ויאטה|נוסחאות ויאטה]] מתקיים כי :<math>E_\mathtt{k}(\vec{\beta}_\mathtt{i}{}^{^{\!\!m_\mathtt{i}}}\!)=(-1)^k\frac{b_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}-\,\mathtt{k}}}{\,\,b_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}}\in\Q\quad:\!1\le k\le m_\mathtt{i}</math> והסכומים הכחולים הם פולינומים סימטריים לפי <math>\beta_{\mathtt{i},\mathtt{1}},\ldots,\beta_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}\!</math>.{{ש}} [[הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי/המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים|על פי המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים]], סכומים אלה ניתנים להצגה כפולינומים :<math>\begin{align}\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}f^{^{\mathtt{(k)}}}\!\!(\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\!)&\,=\,G_{\mathtt{k},\mathtt{i}}\!\bigl(\vec{E}{}^{^{\,m_\mathtt{i}}}\!(\vec{\beta}_\mathtt{i}{}^{^{\!\!m_\mathtt{i}}}\!)\bigr)\in\Z\bigl[\vec{\beta}_\mathtt{i}{}^{^{\!\!m_\mathtt{i}}}\!\bigr]\\&~=\,{\color{DeepSkyBlue }(b_m~\!\!)^q\frac{c_{_{~\!\mathtt{k},\mathtt{i}}}}{(b_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}\!)^{q_{\kappa,\mathtt{i}}}}}\quad\begin{align}&:\!c_{_{~\!\mathtt{k},\mathtt{i}}}\!\in\Z\\&:\!q_{_{~\!\mathtt{k},\mathtt{i}}}\!\in\N\end{align}\end{align}</math> כאשר: *<math>b_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}\!</math> מחלק את <math>b_m</math>. *<math>0\le q_{_{~\!\mathtt{k},\mathtt{i}}}~\!\!\!=\deg(G_{\mathtt{k},\mathtt{i}}~\!\!)\le\deg(f^{^{\mathtt{(k)}}}\!)\le q\quad:\!p\le k\le p+q</math> לכן <math>(b_{\mathtt{i},m_\mathtt{i}}\!)^{q_{\kappa,\mathtt{i}}}\!</math> מחלק את <math>(b_m~\!\!)^q</math>, ו{{צבע גופן|00BFFF|'''הביטוי התכול'''}} הוא מספר שלם. לכן הביטוי הכחול גם הוא מספר שלם אשר מתחלק ב־<math>p</math>. '''מסקנה:''' <math>N</math> הוא מספר שלם אשר איננו מתחלק ב־<math>p</math>, ובפרט <math>N\ne0</math>. לאמר <math>1\le|N|\in\N</math>. ===ה)=== לפי חלק ב, על־פי [[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרביליות/תכונות האינטגרל/אי-שוויון המשולש האינטגרלי|אי־שוויון המשולש האינטגרלי]] מתקיים כי: :<math>\begin{align}|A_{\mathtt{i},\mathtt{j}}~\!\!|&=\Bigg|\!\int\limits_0^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}\!\!\!\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}-\,w}f(w)dw\,\Bigg|\\[2pt]&\le\int\limits_0^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}\!\!\bigl|~\!\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}-\,w}\bigr|\,\bigr|f(w)\bigl|\,|dw|\\[2pt]&=\int\limits_0^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}\!\!\bigl|~\!\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}-\,w}\bigr|\left|\,\frac{(b_m~\!\!)^q}{(p-1)!}\,w^{~\!p-1}\bigl[B(w)\bigr]^p\,\right||dw|\\[2pt]&=\int\limits_0^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}\!\frac{\bigl|~\!\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}-\,w}\bigr|}{|b_m~\!\!|}\,\frac{|w|^{p-1}\bigl(~\!|b_m~\!\!|^m~\!\bigl|B(w)\bigr|~\!\bigr)^p}{(p-1)!}\,|dw|\end{align}</math> על־פי [[w:אי-שוויון המשולש|אי־שוויון המשולש]] מתקיים כי: :<math>1\,\le\,|N|\,=\,\Bigg|\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}A_{\mathtt{i},\mathtt{j}}\Bigg|\,\le\,\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}|A_{\mathtt{i},\mathtt{j}}~\!\!|\,\le\,\sum_{i\,=\,1}^r\sum_{j\,=\,1}^{_{\,m_\mathtt{i}}}\int\limits_0^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}}\!\frac{\bigl|~\!\text{e}^{\beta_{\mathtt{i},\mathtt{j}}-\,w}\bigr|}{|b_m~\!\!|}\,\frac{|w|^{p-1}\bigl(~\!|b_m~\!\!|^m~\!\bigl|B(w)\bigr|~\!\bigr)^p}{(p-1)!}\,|dw|</math> אך לעומת זאת מתקיים כי :<math>\lim_{p~\!\to~\!\infty}\frac{|w|^{p-1}\bigl(~\!|b_m~\!\!|^m~\!\bigl|B(w)\bigr|~\!\bigr)^p}{(p-1)!}=0\quad:\!w\in\C</math> לאמר, עבור <math>p</math> [[w:גדול מספיק|גדול מספיק]] מתקיים <math>1\le|N|<1</math>. '''[[w:סתירה (לוגיקה)|סתירה]].''' <math>\square</math> '''מסקנה:''' אם <math>\,0\ne z\in\overline{\Q}\,</math> אזי <math>\text{e}^z~\!\!\notin\Q\,</math>. <math>\blacksquare</math> [[קטגוריה:הוכחות מתמטיות]] r8sdegrjoxmegl554fhzlldllr7dhzc 1 30803 179850 2026-04-10T10:27:35Z AdoniTzedek 25510 /* מקביל בוויקיטקסט */ פסקה חדשה 179850 wikitext text/x-wiki == מקביל בוויקיטקסט == שלום, ערכתי משהו מאוד דומה לחלוקה לפי מקורות בוויקיטקסט לפי ספר של מרטין נות. אנא תעניין [https://he.wikisource.org/wiki/%D7%94%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%94_%D7%A2%D7%9C_%D7%A4%D7%99_%D7%94%D7%A9%D7%A2%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%AA%D7%A2%D7%95%D7%93%D7%95%D7%AA שם] אם יש בו מה להוסיף לכאן. [[משתמש:AdoniTzedek|AdoniTzedek]] ([[שיחת משתמש:AdoniTzedek|שיחה]]) 13:27, 10 באפריל 2026 (IDT) rfhdy4k58uqu1tczkyeewda3geh1n2p 179851 179850 2026-04-10T10:30:16Z AdoniTzedek 25510 179851 wikitext text/x-wiki == מקביל בוויקיטקסט == שלום [[משתמש:Idan hcadash]] , ערכתי משהו מאוד דומה לחלוקה לפי מקורות בוויקיטקסט לפי ספר של מרטין נות. אנא תעניין [https://he.wikisource.org/wiki/%D7%94%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%94_%D7%A2%D7%9C_%D7%A4%D7%99_%D7%94%D7%A9%D7%A2%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%AA%D7%A2%D7%95%D7%93%D7%95%D7%AA שם] אם יש בו מה להוסיף לכאן. [[משתמש:AdoniTzedek|AdoniTzedek]] ([[שיחת משתמש:AdoniTzedek|שיחה]]) 13:27, 10 באפריל 2026 (IDT) ieizqwnane8lvtdi31uu382qpir7rm1 179852 179851 2026-04-10T10:35:10Z AdoniTzedek 25510 /* מקביל בוויקיטקסט */ תגובה 179852 wikitext text/x-wiki == מקביל בוויקיטקסט == שלום [[משתמש:Idan hcadash]] , ערכתי משהו מאוד דומה לחלוקה לפי מקורות בוויקיטקסט לפי ספר של מרטין נות. אנא תעניין [https://he.wikisource.org/wiki/%D7%94%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%94_%D7%A2%D7%9C_%D7%A4%D7%99_%D7%94%D7%A9%D7%A2%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%AA%D7%A2%D7%95%D7%93%D7%95%D7%AA שם] אם יש בו מה להוסיף לכאן. [[משתמש:AdoniTzedek|AdoniTzedek]] ([[שיחת משתמש:AdoniTzedek|שיחה]]) 13:27, 10 באפריל 2026 (IDT) :וגם אשמח שנדון אם יותר מתאים לפה או ויקיטקסט או שתיהם [[משתמש:AdoniTzedek|AdoniTzedek]] ([[שיחת משתמש:AdoniTzedek|שיחה]]) 13:35, 10 באפריל 2026 (IDT) lvq8jlz608lxvqqvpvsgt14p3xo9014