ויקיספר hewikibooks https://he.wikibooks.org/wiki/%D7%A2%D7%9E%D7%95%D7%93_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99 MediaWiki 1.46.0-wmf.24 first-letter מדיה מיוחד שיחה משתמש שיחת משתמש ויקיספר שיחת ויקיספר קובץ שיחת קובץ מדיה ויקי שיחת מדיה ויקי תבנית שיחת תבנית עזרה שיחת עזרה קטגוריה שיחת קטגוריה שער שיחת שער מדף שיחת מדף TimedText TimedText talk יחידה שיחת יחידה אירוע שיחת אירוע 0 14513 180322 112916 2026-04-23T07:38:46Z Mandel37 25477 /* דרכים למעבר חומרים דרך הממבראנה */ 180322 wikitext text/x-wiki {{להשלים|כל הערך=כן|NoCategory=yes}} ==הקדמה== {{אין תמונה}} הממבראנה מפרידה בין הסביבה לפנים התא (בין השאר מבודדת בין תאי העצב במוח המעבירים זרמים חשמליים במוח). בידוד זה מאפשר קיום של תנאים ביולוגיים שונים בתוך התא ומחוץ לו. כך למשל, רמת החומציות במיטוכונדריה היא ph=4 ואילו מבחוץ לה; ph=7. הממבראנה מורכבת מ : # [[ביוכימיה/סטרואידים/סטרולים|כולסטרול]]– קיים רק ב[[ביולוגיה/התא/סוגים שונים של תאים|תאים אנימלים]] ותפקידו קריטי. התא היחיד הקיים ב[[ביולוגיה/התא/סוגים שונים של תאים|תאים אנימליים]] ללא ממבראנה הוא ה[[ביוכימיה/תהליך התרגום|ריבוזום]]. # [[ביוכימיה/מבוא - חלבונים|חלבון]]. # [[ביוכימיה/מבוא לשומנים|לפידים]]. ממברנות שונות מכילות תכולה שונה של [[ביוכימיה/מבוא - חלבונים|חלבונים]] ו[[ביוכימיה/מבוא לשומנים|לפידים]]. כך למשל : # ממברנת פלסמה ממוצעת מכילה 40% [[ביוכימיה/פוספוליפידים|פוספוליפדים]] ו-60% [[ביוכימיה/מבוא - חלבונים|חלבונים]]. # ממברנת המיטוכונדריה מכילה 20% [[ביוכימיה/מבוא לשומנים|ליפדים]] ו-80% [[ביוכימיה/מבוא - חלבונים|חלבון]]. ==מעבר חומרים דרך הממבראנה== כאמור, הממבראנה מבודדת בין הסביבה הפנימית של התא לסביבה החיצונית. תכונות הממבראנה : # הממבראנה הידרופובית. # בררנית – אינה מאפשרת מעבר חופשי של חומרים. ===דרכים למעבר חומרים דרך הממבראנה=== # '''דיפוזיה פשוטה –''' חומרים הידרופוביים קטנים חוצים את הממברנה בקלות, ולכן, מעבר זה אינו דורש אנרגיה. # '''דיפוזיה מזורזת –''' מעבר של חומרים (אל התא ומחוצה לו) הידרופיליים קטנים באמצעות מתווך; נשא (carrier) פועל כתעלה. כך, נוצר מפל ריכוזים. דיפוזיה מזורזת אינה דורשת אנרגיה. # '''קליטה אקטיבית –''' תנועת מולקולות נגד מפל הריכוזים באמצעות משאבות (חלבונים ממברנליים) ה'''''פועלות על אנרגיה''''' שמקורה מפירוק ATP. כמו למשל, קליטת יוני k+ לתוך התא (ריכוז ה-k+ בתא גבוהה מהריכוז מחוץ לתא, לכן, הפעולה דורשת מאמץ). #'''אנדוציטוזה/אקסוציטוזה-''' כניסת/יצאת חומרים גדולים לתוך התא ע"י יצרת בועית ממברנלית. [[תמונה:Gibbs-donnan-en.svg|left|thumb|100px|קליטה אקטיבית]] [[תמונה:Types of endocytosis.PNG|right|thumb|100px|אנדוציטוזה]] <br /><br /><br /><br /><br /> ==תפקיד הממבראנה הביולוגית== # '''בררנות -'''בקרה על ריכוז חומרים בתא ; הממברנה אינה מאפשרת מעבר חומרים חופשיים. :'''''הומאוסטזיס –''''' שמירה על תנאים קבועים. זהו עקרון מרכזי בביולוגיה עליו מבוסס כל תא חי . # '''התנגדות חשמלית –''' מאפשרת קיום תהליכים מטבוליים המחייבים תנועה של אלקטרונים. כמו למשל, [[ביוטכנולוגיה/מעגל קרבס - הנשימה האירובית במיטוכונדריה|תהליך הנשימה]] המתבצע על [[ביוטכנולוגיה/הזרחון החמצוני|ממברנת המיטוכונדריה]]. # '''תקשורת חוץ תאית ותוך תאית :''' #*'''חוץ תאית –''' קליטת אותות מבחוץ מאפשרת זיהוי מצב נתון ותגובת התא למצב. המידע מועבר באמצעות קישור [[ביוטכנולוגיה/ייצור התוצר, ניקוי והפקה*|ליגנד]]. דוגמא : הורמון למולקולת רצפטור הוא חלבון ממברנלי הקושר ליגנד. #* '''תוך תאית-''' מתבצע באמצעות חלבונים שונים המזהים מצבים ומעבירים את המידע לחלבונים ממברנליים. ==מודל הפיספס הנוזלי== ===פלואידיות=== הממברנה אינה קשוחה ואינה מאוד נוזלית – יש לה רמת פולאידיות אופטימלית השומרת על הפעולות המקסימאלית של הממברנה. במילים אחרות, רמת פולאידיות היא מידת הנוזליות/קשיחות של הממברנה. ===גורמים המשפיעים על מידת הפלואידיות=== ====תא==== [[תמונה:Cell membrane scheme.svg|left|thumb|150px|כולסטרול בכחול]] # [[ביוכימיה/הקשר בין מבנה חומצת השומן לתכונותיה|אורך חומצות שומן]] ומספר [[כימיה לבגרות/כימיה - 3 יחידות/חומרים מולקולריים|קשרים כפולים]] #* כלל שהשרשרת רוויה נקודת רתיחה עולה. #* כלל שהשרשרת ארוכה יותר, כך נקודת רתיחה עולה. #*חיידקים בעלי יכולת לשנות את הרכב חומצת השומן במצבים שונים # כולסטרול – קיים ב[[ביולוגיה/התא/סוגים שונים של תאים|תאים אנימלים]] בלבד ומבצע שתי פעולות : #*''' העלאה של מידת הפל ואדיות – '''ה[[ביוכימיה/סטרואידים/סטרולים|כולסטרול]] ממוקם בין [[ביוכימיה/מבוא לשומנים|חומצות השומן]] ומונע [[כימיה לבגרות/כימיה - 3 יחידות/קשרים בין מולקולאריים|אינטראקציות הידרופוביות]] – בכך הממברנה יותר נוזלית. #*'''הורדת הפל ואדיות-'''בטמפרטורה גבוהה, כאשר הממברנה הממברנלי מתערער, הכולסטרול שומר על המברנה מוצקה משום שהוא קשוח, יציב ואינו מושפע משינוי טמפרטורה. ::[[ביולוגיה/התא/סוגים שונים של תאים|תאים אנימליים]] בעלי יכולת לשנות את כמות ה[[ביוכימיה/סטרואידים/סטרולים|כולסטרול]] בממרנה כתלות בטמפרטורה הסביבה החיצונית. ====סביבה==== '''טמפרטורה –''' ככל שהטמפרטורה גבוהה יותר, כך הפל ואדיות (נוזלית יותר) גדלה. ===גמישות ותנועה הלפידים בממברנה=== הממבראנה נמצאת בתנועה מתמדת. תנועותיה : <gallery> קובץ:Lateral Diffusion.JPG|דיפוזה/תנועה לטרלית (lateral diffusion) - מתרחש בין שני לפידים סמוכים; מחליפים מקומות. קובץ:דוגמה.jpg|רוטציה/תנועה סיבובית (rotation) - תנועת הלפיד סביב עצמו. קובץ:Tranverse Diffusion.JPG|פליפ פלופ/קפיצה (flip flop) - כמו דיפוזה רק לרוחב </gallery> =ראה גם= * ויקיספר האנגלית Structural Biochemistry/Lipids/Membrane Fluidity [[קטגוריה : ביוכימיה]] 24efw2mtz5lwfa1ngtezymjruxtarwo 0 30126 180321 179848 2026-04-22T20:14:30Z יהודה שמחה ולדמן 6994 הגהה, שיפוץ קודים מתמטיים 180321 wikitext text/x-wiki הקבוע המתמטי <math>\pi=3.141592\ldots</math> הוא [[w:מספר טרנסצנדנטי|מספר טרנסצנדנטי]] (או [[w:מספר אלגברי|אי־אלגברי]]). לאמר, הוא איננו שורש של אף [[w:פולינום|פולינום]] בעל מקדמים רציונליים. ==הוכחה== [[w:הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי <math>\pi</math> אלגברי. לכן קיים פולינום :<math>P(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_dz^d\in\Q[z]</math> עבורו <math>P(\pi)=0</math>. ===א)=== [[w:למה (מתמטיקה)|'''למה:''']] אם <math>\pi</math> אלגברי, אזי <math>\pi i</math> אלגברי. '''הוכחה:''' מתקיים כי :<math>\begin{align}P(\pm iz)&=a_0+a_1(\pm iz)+a_2(\pm iz)^2+\cdots+a_d(\pm iz)^d\\[5pt]&=(a_0-a_2z^2+\cdots\,)\pm(a_1z-a_3z^3+\cdots\,)\,i\end{align}</math> לכן <math>\pi i</math> שורש של הפולינום :<math>P(iz)P(-iz)=(a_0-a_2z^2+\cdots\,)^2+(a_1z-a_3z^3+\cdots\,)^2\in\Q[z]</math> <math>\square</math> לפיכך, קיים פולינום <math>P_1\in\Q[z]</math> ממעלה <math>n</math> בעל השורשים <math>z_1,\ldots,z_n</math>, כאשר <math>z_1=\pi i</math>. על־פי [[w:זהות אוילר|זהות אוילר]] מתקיים כי <math>\text{e}^{\pi i}+1=0</math>. לכן: :<math>\begin{align}0&\,=\,(1+\text{e}^{z_1}\!)\cdots(1+\text{e}^{z_n}\!)\\[7pt]&\,=\,1\,+\,\sum_{1\le i\le n}\!\text{e}^{z_i}\,+\!\!\!\sum_{1\le i_1~\!\!<i_2\le n}\!\!\!\!\!\text{e}^{z_{i_1}}\text{e}^{z_{i_2}}\,+\!\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1~\!\!<i_2~\!\!<i_3\le n}\!\!\!\!\!\!\!\!\text{e}^{z_{i_1}}\text{e}^{z_{i_2}}\text{e}^{z_{i_3}}+\,\cdots\,+\!\!\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1~\!\!<\cdots<i_n\le n}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\text{e}^{z_{i_1}}\!\cdots\text{e}^{z_{i_n}}\\[5pt]&\,=\,\text{e}^0+\sum_{1\le i\le n}\!\text{e}^{z_i}\,+\!\!\!\sum_{1\le i_1~\!\!<i_2\le n}\!\!\!\!\!\text{e}^{z_{i_1}+\,z_{i_2}}\,+\!\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1~\!\!<i_2~\!\!<i_3\le n}\!\!\!\!\!\!\!\!\text{e}^{z_{i_1}+\,z_{i_2}+\,z_{i_3}}+\,\cdots\,+\,\text{e}^{z_1+\,\cdots\,+\,z_n}\\&\,=\,\sum_{i\,=\,1}^{2^n}\text{e}^{\beta_i}\end{align}</math> המעריכים הם פולינומים סימטריים לפי <math>z_1,\ldots,z_n</math>, ומביניהם <math>n\le m\le2^n-1</math> סכומים שונים מ־0. כלומר: :<math>\text{e}^{\beta_1}\!+\cdots+\text{e}^{\beta_m}\!+2^n\!-m=0</math> [[הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי/המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים#תוצאות חשובות|על פי תוצאת המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים]]:{{ש}} לכל <math>0\le k\le n</math> קיים [[w:פולינום מתוקן|פולינום מתוקן]] <math>P_k\in\Q[z]</math> אשר שורשיו הם סכומי כל <math>k</math> מבין השורשים <math>z_1,\ldots,z_n</math>. לפיכך: :<math>\begin{align}Q(z)&=P_0(z)\,P_1(z)\cdots P_n(z)\in\Q[z]\\[5pt]&=(z-\beta_1)\cdots(z-\beta_m)\cdots(z-\beta_{2^n})\\[5pt]&=z^{2^n-\,m}(z-\beta_1)\cdots(z-\beta_m)\end{align}</math> לאחר צמצום נקבל כי: :<math>(z-\beta_1)\cdots(z-\beta_m)\in\Q[z]</math> נכפיל ב[[w:כפולה משותפת מינימלית|מכנה המשותף המינימלי]] <math>b_m\!\in\Z</math> של המקדמים הרציונליים, ונקבל פולינום מהצורה :<math>\begin{align}B(z)&\,=\,b_m(z-\beta_1)\cdots(z-\beta_m)\in\Z[z]\\[5pt]&\,=\,b_0\!+b_1z+\cdots+b_{m-1}z^{m-1}\!+b_mz^m\end{align}</math> ===ב)=== יהי <math>f(z)</math> פולינום ממעלה <math>d</math>. נגדיר: :<math>F(z)=\sum_{k\,=\,0}^df^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z)</math> נגזור ונקבל כי: :<math>F'\!(z)=\sum_{k\,=\,0}^df^{^\mathtt{(k+1)}}\!\!(z)=\sum_{k\,=\,1}^df^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z)=F(z)-f(z)</math> נגדיר <math>G(z)=\text{e}^{-z}F(z)</math>. נגזור ונקבל כי: :<math>\begin{align}G'\!(z)&=\text{e}^{-z}F'\!(z)-\text{e}^{-z}F(z)\\[5pt]&=\text{e}^{-z}\bigl[F'\!(z)-F(z)\bigr]\\[5pt]&=-\text{e}^{-z}f(z)\end{align}</math> על־פי [[w:המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי|המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]], מתקיים כי: :<math>\begin{align}G(z)-G(0)\,=\,\text{e}^{-z}F(z)-\text{e}^{-0}F(0)&\,=\,-\!\int\limits_0^z\text{e}^{-w}f(w)dw\\F(z)-\text{e}^zF(0)&\,=\,-\!\int\limits_0^z\text{e}^{z-w}f(w)dw\end{align}</math> נסמן: :<math>A_i=\,F(\beta_i~\!\!)-\text{e}^{\beta_i}F(0)\,=\,-\,\!\!\int\limits_0^{\beta_i}~\!\!\text{e}^{~\!\beta_i-w}f(w)dw</math> נסכום ונקבל כי: :<math>\begin{align}\sum_{i\,=\,1}^mA_i&=\,\sum_{i\,=\,1}^mF(\beta_i~\!\!)\,-\,\sum_{i\,=\,1}^m\text{e}^{\beta_i}F(0)\\[3pt]\sum_{i\,=\,1}^mA_i&=\,\sum_{i\,=\,1}^mF(\beta_i~\!\!)\,-\,F(0)\sum_{i\,=\,1}^m\text{e}^{\beta_i}\\[3pt]&=\,(2^n\!-m)~\!F(0)\,+\,\sum_{i\,=\,1}^mF(\beta_i~\!\!)\end{align}</math> ===ג)=== '''למה:''' יהי <math>f(z)</math> פולינום בעל שורש <math>z_0</math> מריבוי <math>p\ge1</math>. אזי <math>f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z_0~\!\!)=0</math> לכל <math>0\le k\le p-1</math>. '''הוכחה:''' ב[[w:אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה שלמה]]. נרשום <math>f(z)=(z-z_0~\!\!)^pQ(z)</math>, כאשר <math>Q(z)</math> פולינום עבורו <math>Q(z_0~\!\!)\ne0</math>. עבור <math>p=1</math> מתקיים: :<math>f^{^\mathtt{(0)}}\!\!(z_0~\!\!)=f(z_0~\!\!)=0</math> נניח כי לכל <math>1\le p\le d</math> הטענה מתקיימת לכל <math>0\le k\le d-1</math>.{{ש}} נוכיח כי עבור <math>p=d+1</math> הטענה מתקיימת לכל <math>0\le k\le d</math>: :<math>\begin{align}f(z)&=(z-z_0~\!\!)^{p+1}Q(z){\color{white}\sum}\\[4pt]f^{^\mathtt{(1)}}\!\!(z)&=(p+1)(z-z_0~\!\!)^pQ(z)+(z-z_0~\!\!)^{p+1}Q^{^\mathtt{(1)}}\!\!(z)\\[5pt]&={\color{blue}(z-z_0~\!\!)^p}{\color{red}\bigl[\,(p+1)Q(z)+(z-z_0~\!\!)Q^{^\mathtt{(1)}}\!\!(z)\,\bigr]}\\[5pt]&={\color{blue}(z-z_0~\!\!)^p}{\color{red}R(z)}\end{align}</math> {{צבע גופן|כחול|'''הביטוי הכחול'''}} מריבוי <math>p\ge1</math>, כאשר <math>R(z)</math> פולינום עבורו <math>R(z_0~\!\!)\ne0</math>.{{ש}} לכן מכפלתם מקיימת את הנחת האינדוקציה. <math>\square</math> ===ד)=== עתה נגדיר: :<math>\begin{align}f(z)&=\frac{(b_m~\!\!)^q}{(p-1)!}\,z^{~\!p-1}\bigl[B(z)\bigr]^p\\[5pt]&=\!\!\sum_{i\,=\,p-1}^{p\,+\,q}\!\frac{\text{c}_i}{(p-1)!}\,z^{~\!i}\quad\begin{align}&:\!\text{c}_i\!\in\Z\\[2pt]&:\!q=mp\end{align}\end{align}</math> כאשר <math>p</math> [[w:מספר ראשוני|מספר ראשוני]].{{ש}} מתקיים כי :<math>f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z)=\sum_{i\,=\,k}^{p\,+\,q}\frac{k!}{(p-1)!}\binom{i}{k}\text{c}_iz^{~\!i-k}\quad:\!0\le k\le p+q</math> '''הערות:''' *מקדמי <math>f^{^\mathtt{(p-1)}}\!\!(z)</math> הם מספרים שלמים המתחלקים כולם ב־<math>(b_m~\!\!)^q</math>. *עבור <math>p\le k\le p+q</math>, מקדמי <math>f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(z)</math> הם מספרים שלמים המתחלקים כולם ב־<math>(b_m~\!\!)^q</math> וב־<math>p</math>. לפי חלקים א ו־ג, מתקיים כי: ::<math>\begin{align}N&\,=\,(2^n\!-m)~\!F(0)\,+\,\sum_{i\,=\,1}^mF(\beta_i~\!\!)\\[2pt]&\,=\,(2^n\!-m)\sum_{k\,=\,0}^{p\,+\,q}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(0)\,+\,\sum_{i\,=\,1}^m\sum_{k\,=\,0}^{p\,+\,q}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(\beta_i~\!\!)\\[2pt]&\,=\,(2^n\!-m)\!\!\sum_{k\,=\,p-1}^{p\,+\,q}\!\!\!f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(0)\,+\,\sum_{i\,=\,1}^m\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(\beta_i~\!\!)\\[2pt]&\,=\,(2^n\!-m)\,\bigg[\,f^{^\mathtt{(p-1)}}\!\!(0)\,+\,\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(0)\,\bigg]\,+\,\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}\sum_{i\,=\,1}^mf^{^\mathtt{(k)}}\!\!(\beta_i~\!\!)\\[2pt]&~=\,{\color{red}(2^n\!-m)~\!(b_0~\!\!)^p(b_m~\!\!)^q}\!+{\color{green}(2^n\!-m)\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}f^{^\mathtt{(k)}}\!\!(0)}\,+\,{\color{blue}\sum_{k\,=\,p}^{p\,+\,q}\sum_{i\,=\,1}^mf^{^\mathtt{(k)}}\!\!(\beta_i~\!\!)}\end{align}</math> עתה נבחר מספר ראשוני <math>p>\max\!\bigl\{2^n\!-m,\!|b_0~\!\!|,\!|b_m~\!\!|\bigr\}</math>. נקבל: {{צבע גופן|אדום|'''הביטוי האדום'''}} הוא מספר שלם שאינו מתחלק ב־<math>p</math>.{{ש}} {{צבע גופן|ירוק|'''הביטוי הירוק'''}} הוא מספר שלם המתחלק ב־<math>p</math>.{{ש}} {{צבע גופן|כחול|'''הביטוי הכחול'''}} הוא החלק החשוב ביותר:{{ש}} על־פי [[w:נוסחאות ויאטה|נוסחאות ויאטה]] מתקיים כי :<math>E_\mathtt{k}(\vec{\beta}{}^{^{~\!m}}~\!\!)=(-1)^k\frac{b_{m-k}}{\,b_m}\in\Q\quad:\!1\le k\le m</math> והסכומים הכחולים הם פולינומים סימטריים לפי <math>\beta_1,\ldots,\beta_m</math>.{{ש}} [[הוכחות מתמטיות/שונות/פולינום סימטרי/המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים|על פי המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים]], סכומים אלה ניתנים להצגה כפולינומים :<math>\begin{align}\sum_{i\,=\,1}^mf^{^{\mathtt{(k)}}}\!\!(\beta_i~\!\!)&\,=\,G_\mathtt{k}\bigl(\vec{E}{}^{^{~\!m}}\!(\vec{\beta}{}^{^{~\!m}}~\!\!)\bigr)\in\Z\bigl[\vec{\beta}{}^{^{~\!m}}~\!\!\bigr]\\&~=\,{\color{DeepSkyBlue }(b_m~\!\!)^q\frac{c_{_{~\!\mathtt{k}}}}{(b_m~\!\!)^{q_{\kappa}}}}\quad\begin{align}&:\!c_{_{~\!\mathtt{k}}}\!\in\Z\\&:\!q_{_{~\!\mathtt{k}}}\!\in\N\end{align}\end{align}</math> כאשר: *<math>0\le q_{_{~\!\mathtt{k}}}~\!\!\!=\deg(G_\mathtt{k}~\!\!)\le\deg(f^{^{\mathtt{(k)}}}\!)\le q\quad:\!p\le k\le p+q</math> לכן <math>(b_m~\!\!)^{q_{\kappa}}\!</math> מחלק את <math>(b_m~\!\!)^q</math>, ו{{צבע גופן|00BFFF|'''הביטוי התכול'''}} הוא מספר שלם. לכן הביטוי הכחול גם הוא מספר שלם אשר מתחלק ב־<math>p</math>. '''מסקנה:''' <math>N</math> הוא מספר שלם אשר איננו מתחלק ב־<math>p</math>, ובפרט <math>N\ne0</math>. לאמר <math>1\le|N|\in\N</math>. ===ה)=== בחלק ב, האינטגרל <math>A_i</math> איננו תלוי במסילה בין הנקודות. [[w:ללא הגבלת הכלליות|ללא הגבלת הכלליות]], נבחר בקטע הישר <math>L_i=\bigl\{w=t~\!\beta_i~\!\!:t\in[0,\!1]\bigr\}</math>.{{ש}} בקטע זה מתקיים כי: :<math>\begin{align}&|w|\le|\beta_i~\!\!|\\[4pt]&\text{e}^{|\beta_i-w|}\le\text{e}^{|\beta_i~\!\!|}\\[4pt]&M_i=\max\bigl\{\bigl|B(w)\bigr|\bigr\}\end{align}</math> נגדיר: :<math>\begin{align}\beta&=\max_{1\le i\le m}\!\!\bigl\{|\beta_i~\!\!|\bigr\}\\[2pt]M&=\max_{1\le i\le m}\!\!\bigl\{M_i\bigr\}\end{align}</math> על־פי [[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרביליות/תכונות האינטגרל/אי-שוויון המשולש האינטגרלי|אי־שוויון המשולש האינטגרלי]] מתקיים כי: :<math>\begin{align}|A_i~\!\!|\,&=\,\Bigg|\int\limits_0^{\beta_i}\!\text{e}^{~\!\beta_i-w}f(w)dw\,\Bigg|\\[2pt]\,&\le\,\int\limits_0^{\beta_i}~\!\!\bigl|~\!\text{e}^{~\!\beta_i-w}\bigr|\,\bigr|f(w)\bigl|\,|dw|\\[2pt]\,&\le\,\int\limits_0^{\beta_i}\text{e}^{|\beta_i-w|}~\!\frac{|b_m~\!\!|^q~\!|w|^{~\!p-1}~\!\bigl|B(w)\bigr|^{~\!p}}{(p-1)!}\,|dw|\\[2pt]\,&\le\,\int\limits_0^{\beta_i}\text{e}^{|\beta_i~\!\!|}~\!\frac{|b_m~\!\!|^{mp}~\!|\beta_i~\!\!|^{~\!p-1}~\!(M_i~\!\!)^{~\!p}}{(p-1)!}\,|dw|\\[3pt]\,&=\,\text{e}^{|\beta_i~\!\!|}~\!\frac{|b_m~\!\!|^{mp}~\!|\beta_i~\!\!|^{~\!p}~\!(M_i~\!\!)^{~\!p}}{(p-1)!}\end{align}</math> על־פי [[w:אי-שוויון המשולש|אי־שוויון המשולש]] מתקיים כי: :<math>1\,\le\,|N|\,=\,\Bigg|\sum_{i\,=\,1}^mA_i\Bigg|\,\le\,\sum_{i\,=\,1}^m|A_i~\!\!|\,\le\,\bigg(\sum_{i\,=\,1}^m\text{e}^{|\beta_i~\!\!|}\bigg)~\!\!\cdot\frac{\bigl(|b_m~\!\!|^m\beta~\!M~\!\bigr)^p}{(p-1)!}</math> אך לעומת זאת מתקיים כי :<math>\lim_{p~\!\to~\!\infty}\frac{\bigl(|b_m~\!\!|^m\beta~\!M~\!\bigr)^p}{(p-1)!}=0</math> לאמר, עבור <math>p</math> [[w:גדול מספיק|גדול מספיק]] מתקיים <math>1\le|N|<1</math>. '''[[w:סתירה (לוגיקה)|סתירה]].''' <math>\square</math> '''[[w:קונטרה פוזיטיב|מסקנה:]]''' <math>\pi i</math> טרנסצנדנטי, ולכן <math>\pi</math> טרנסצנדנטי. <math>\blacksquare</math> {{תוכן| |הפרק הקודם=[[../המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים/]] |הפרק הנוכחי=הוכחה |הפרק הבא=סוף }} [[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]] 9czm6diqz13n84zwjn2ciuq9lik9xfa