Catatan Dokter Muda/Diagnosis

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11.xsd" version="0.11" xml:lang="id">
  <siteinfo>
    <sitename>Wikibuku</sitename>
    <dbname>idwikibooks</dbname>
    <base>https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama</base>
    <generator>MediaWiki 1.45.0-wmf.4</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">Media</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">Istimewa</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">Pembicaraan</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">Pengguna</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">Pembicaraan Pengguna</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">Wikibuku</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">Pembicaraan Wikibuku</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">Berkas</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">Pembicaraan Berkas</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">MediaWiki</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">Pembicaraan MediaWiki</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">Templat</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">Pembicaraan Templat</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">Bantuan</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">Pembicaraan Bantuan</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">Kategori</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">Pembicaraan Kategori</namespace>
      <namespace key="100" case="first-letter">Resep</namespace>
      <namespace key="101" case="first-letter">Pembicaraan Resep</namespace>
      <namespace key="102" case="first-letter">Wisata</namespace>
      <namespace key="103" case="first-letter">Pembicaraan Wisata</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">Modul</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">Pembicaraan Modul</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>Catatan Dokter Muda/Diagnosis</title>
    <ns>0</ns>
    <id>6672</id>
    <revision>
      <id>107228</id>
      <parentid>107225</parentid>
      <timestamp>2025-06-08T15:32:24Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alfarq</username>
        <id>799</id>
      </contributor>
      <comment>/* ICD-10 */</comment>
      <origin>107228</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4290" sha1="40x7m1f3et56wdvgrps49o6x11tsa5f" xml:space="preserve">== Macam Diagnosis ==
* Diagnosis fungsional
* Diagnosis anatomis
* Diagnosis etiologi
* Penyerta/penyulit

== ICD-10 ==
{| {{Prettytable}}
! Kode
! ICD-10
! Nama Lain
|-
| J45
| Asthma
| Asma
|-
| J46
| Status asthmaticus
| Status asmatikus
|-
| Z82.5
| Family history of asthma and other chronic lower respiratory disease
| Asam pada anak
|-
| S91
| Open wound of ankle and foot
| Vulnus punctum / Luka tusuk
|-
| S61
| Open wound of wrist and hand
| Vulnus scissum / Luka sayat
|-
| T14.1
| Open wound of unspecified body region
| Vulnus laceratum / Luka lecet
|-
| R50.9
| Fever, unspecified
| Febris
|-
| J00
| Acute nasopharyngitis [common cold]
| Influenza
|-
| D69.6
| Thrombocytopenia, unspecified
| Trombositopenia
|-
| A90
| Dengue fever (classical dengue)
| Demam Dengue (DD)
|-
| A91
| Dengue haemorrhagic fever
| Demam Berdarah Dengue (DBD)
|-
| A01.0
| Typhoid fever
| Demam tifoid
|-
| K59.1
| Functional diarrhoea
| Diare
|-
| A09
| Diarrhoea and gastroenteritis of presumed infectious origin
| Gastroenteritis akut (GEA)
|-
| A06
| Amoebiasis
| Disentri Amoeba
|-
| A06.0
| Acute amoebic dysentery
| Disentri Amoeba Akut
|-
| A03
| Shigellosis
| Disentri Basiler
|-
| A03.9
| Shigellosis, unspecified
| Disentri Basiler
|-
| M54.5
| Low back pain
| LBP
|-
| G43
| Migraine
| Migrain
|-
| G44
| Other headche syndromes
| Sakit kepala
|-
| G44.0
| Cluster headache syndrome
| Sakit kepala kluster
|-
| G44.2
| Tension-type headache
| TTH
|-
| I10
| Essential (primary) hypertension
| Hipertensi esensial (primer)
|-
| R10
| Abdominal and pelvic pain
| Nyeri perut dan pelvis
|-
| M79.1
| Myalgia
| Nyeri otot
|-
| Z34.8
| Supervision of other normal pregnancy
| Antenatal care (ANC)
|-
| Z36
| Antenatal screening
| Antenatal care (ANC)
|-
| Z39
| Postpartum care and examination
| Postnatal care (PNC)
|-
| D24.9
| Benign neoplasm of unspecified breast
| Fibroadenoma mammae (FAM)
|-
| D17.9
| Benign lipomatous neoplasm, unspecified
| Lipoma
|-
| M72.2
| Plantar fascial fibromatosis
| Fasciitis plantaris
|-
| E10
| Insulin-dependent diabetes mellitus
| DM tipe 1
|-
| E11
| Non-insulin-dependent diabetes mellitus
| DM tipe 2
|-
| I20
| Angina pectoris
| Angina pektoris
|-
| I20.0
| Unstable angina
| Unstable angina pectoris (UAP)
|-
| I20.8
| Other forms of angina pectoris
| Stable angina pectoris (SAP)
|-
| I21
| Acute myocardial infarction
| ST Elevation Myocardial Infarction (STEMI)
|-
| I22
| Subsequent myocardial infarction
| Non-ST Elevation Myocardial Infarction (NSTEMI)
|-
| I25
| Chronic ischaemic heart disease
| Old myocard infark (OMI)
|-
| H10
| Conjunctivitis
| Konjungtivitis
|-
| H10.0
| Mucopurulent conjunctivitis
| Konjungtivitis bakterial
|-
| H10.4
| Chronic conjunctivitis
| Konjungtivitis alergi
|-
| H40
| Glaucoma
| Glukoma
|-
| H25
| Senile cataract
| Katarak senilis
|-
| L50
| Urticaria
| Urtikaria
|-
| N39.0
| Urinary tract infection, site not specified
| Infeksi saluran kemih (ISK)
|-
| N34
| Urethritis and urethral syndrome
| Uretritis
|-
| H01.0
| Blepharitis
| Blefaritis
|-
| L03.0
| Cellulitis of finger and toe
| Paronikia
|-
| N20.1
| Calculus of ureter
| Ureterolitiasis
|-
| L01
| Impetigo
| Infeksi kulit
|-
| K12
| Stomatitis and related lesions
| Radang mulut
|-
| B35.4
| Tinea corporis
| Panu badan
|-
| O23.5
| Infections of the genital tract in pregnancy
| Fluor albus / Bakterial vaginosis (BV)
|-
| B37
| Candidiasis
| Kandidiasis
|-
| B37.0
| Candidal stomatitis
| Kandidiasis stomatitis
|-
| B37.3
| Candidiasis of vulva and vagina
| Kandidiasis vaginalis
|-
| P37.5
| Neonatal candidiasis
| Kandidiasis neonatus
|-
| K02
| Dental caries
| Karies dentis
|-
| K11.2
| Sialoadenitis
| Parotitis
|-
| B00
| Herpesviral [herpes simplex] infections
| Herpes simpleks
|-
| B01
| Varicella [chickenpox]
| Cacar air
|-
| B02
| Zoster [herpes zoster]
| Herpes zoster
|-
| J44
| Other chronic obstructive pulmonary disease
| Penyakit paru obsruktif kronik (PPOK)
|-
| G56.0
| Carpal tunnel syndrome
| CTS
|-
| M75.0
| Adhesive capsulitis of shoulder
| Frozen shoulder
|}

== Daftar Diagnosis ==
# [[Catatan Dokter Muda/Hipertensi|Hipertensi esensial]] [4/45]
# [[Catatan Dokter Muda/CHF|''Congestive heart failure'' (CHF)]] [3B/44]

{{Status Pasien}}

[[Kategori:Status Pasien|{{SUBPAGENAME}}]]
[[Kategori:Diagnosis| ]]</text>
      <sha1>40x7m1f3et56wdvgrps49o6x11tsa5f</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107229</id>
      <parentid>107228</parentid>
      <timestamp>2025-06-08T15:37:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alfarq</username>
        <id>799</id>
      </contributor>
      <comment>/* ICD-10 */</comment>
      <origin>107229</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4477" sha1="lsqjroewwupi5z2mavfxnldu9k0nq3c" xml:space="preserve">== Macam Diagnosis ==
* Diagnosis fungsional
* Diagnosis anatomis
* Diagnosis etiologi
* Penyerta/penyulit

== ICD-10 ==
{| {{Prettytable}}
! Kode
! ICD-10
! Nama Lain
|-
| J45
| Asthma
| Asma
|-
| J46
| Status asthmaticus
| Status asmatikus
|-
| Z82.5
| Family history of asthma and other chronic lower respiratory disease
| Asam pada anak
|-
| S91
| Open wound of ankle and foot
| Vulnus punctum / Luka tusuk
|-
| S61
| Open wound of wrist and hand
| Vulnus scissum / Luka sayat
|-
| T14.1
| Open wound of unspecified body region
| Vulnus laceratum / Luka lecet
|-
| R50.9
| Fever, unspecified
| Febris
|-
| J00
| Acute nasopharyngitis [common cold]
| Influenza
|-
| D69.6
| Thrombocytopenia, unspecified
| Trombositopenia
|-
| A90
| Dengue fever (classical dengue)
| Demam Dengue (DD)
|-
| A91
| Dengue haemorrhagic fever
| Demam Berdarah Dengue (DBD)
|-
| A01.0
| Typhoid fever
| Demam tifoid
|-
| K59.1
| Functional diarrhoea
| Diare
|-
| A09
| Diarrhoea and gastroenteritis of presumed infectious origin
| Gastroenteritis akut (GEA)
|-
| A06
| Amoebiasis
| Disentri Amoeba
|-
| A06.0
| Acute amoebic dysentery
| Disentri Amoeba Akut
|-
| A03
| Shigellosis
| Disentri Basiler
|-
| A03.9
| Shigellosis, unspecified
| Disentri Basiler
|-
| M54.5
| Low back pain
| LBP
|-
| G43
| Migraine
| Migrain
|-
| G44
| Other headche syndromes
| Sakit kepala
|-
| G44.0
| Cluster headache syndrome
| Sakit kepala kluster
|-
| G44.2
| Tension-type headache
| TTH
|-
| I10
| Essential (primary) hypertension
| Hipertensi esensial (primer)
|-
| R10
| Abdominal and pelvic pain
| Nyeri perut dan pelvis
|-
| M79.1
| Myalgia
| Nyeri otot
|-
| Z34.8
| Supervision of other normal pregnancy
| Antenatal care (ANC)
|-
| Z36
| Antenatal screening
| Antenatal care (ANC)
|-
| Z39
| Postpartum care and examination
| Postnatal care (PNC)
|-
| D24.9
| Benign neoplasm of unspecified breast
| Fibroadenoma mammae (FAM)
|-
| D17.9
| Benign lipomatous neoplasm, unspecified
| Lipoma
|-
| M72.2
| Plantar fascial fibromatosis
| Fasciitis plantaris
|-
| E10
| Insulin-dependent diabetes mellitus
| DM tipe 1
|-
| E11
| Non-insulin-dependent diabetes mellitus
| DM tipe 2
|-
| I20
| Angina pectoris
| Angina pektoris
|-
| I20.0
| Unstable angina
| Unstable angina pectoris (UAP)
|-
| I20.8
| Other forms of angina pectoris
| Stable angina pectoris (SAP)
|-
| I21
| Acute myocardial infarction
| ST Elevation Myocardial Infarction (STEMI)
|-
| I22
| Subsequent myocardial infarction
| Non-ST Elevation Myocardial Infarction (NSTEMI)
|-
| I25
| Chronic ischaemic heart disease
| Old myocard infark (OMI)
|-
| H10
| Conjunctivitis
| Konjungtivitis
|-
| H10.0
| Mucopurulent conjunctivitis
| Konjungtivitis bakterial
|-
| H10.4
| Chronic conjunctivitis
| Konjungtivitis alergi
|-
| T15
| Foreign body on external eye
| Corpus alienum mata
|-
| T16
| Foreign body in ear
| Corpus alienum telinga
|-
| T17
| Foreign body in respiratory tract
| Corpus alienum hidung
|-
| H40
| Glaucoma
| Glukoma
|-
| H25
| Senile cataract
| Katarak senilis
|-
| L50
| Urticaria
| Urtikaria
|-
| N39.0
| Urinary tract infection, site not specified
| Infeksi saluran kemih (ISK)
|-
| N34
| Urethritis and urethral syndrome
| Uretritis
|-
| H01.0
| Blepharitis
| Blefaritis
|-
| L03.0
| Cellulitis of finger and toe
| Paronikia
|-
| N20.1
| Calculus of ureter
| Ureterolitiasis
|-
| L01
| Impetigo
| Infeksi kulit
|-
| K12
| Stomatitis and related lesions
| Radang mulut
|-
| B35.4
| Tinea corporis
| Panu badan
|-
| O23.5
| Infections of the genital tract in pregnancy
| Fluor albus / Bakterial vaginosis (BV)
|-
| B37
| Candidiasis
| Kandidiasis
|-
| B37.0
| Candidal stomatitis
| Kandidiasis stomatitis
|-
| B37.3
| Candidiasis of vulva and vagina
| Kandidiasis vaginalis
|-
| P37.5
| Neonatal candidiasis
| Kandidiasis neonatus
|-
| K02
| Dental caries
| Karies dentis
|-
| K11.2
| Sialoadenitis
| Parotitis
|-
| B00
| Herpesviral [herpes simplex] infections
| Herpes simpleks
|-
| B01
| Varicella [chickenpox]
| Cacar air
|-
| B02
| Zoster [herpes zoster]
| Herpes zoster
|-
| J44
| Other chronic obstructive pulmonary disease
| Penyakit paru obsruktif kronik (PPOK)
|-
| G56.0
| Carpal tunnel syndrome
| CTS
|-
| M75.0
| Adhesive capsulitis of shoulder
| Frozen shoulder
|}

== Daftar Diagnosis ==
# [[Catatan Dokter Muda/Hipertensi|Hipertensi esensial]] [4/45]
# [[Catatan Dokter Muda/CHF|''Congestive heart failure'' (CHF)]] [3B/44]

{{Status Pasien}}

[[Kategori:Status Pasien|{{SUBPAGENAME}}]]
[[Kategori:Diagnosis| ]]</text>
      <sha1>lsqjroewwupi5z2mavfxnldu9k0nq3c</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107230</id>
      <parentid>107229</parentid>
      <timestamp>2025-06-08T15:41:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alfarq</username>
        <id>799</id>
      </contributor>
      <comment>/* ICD-10 */</comment>
      <origin>107230</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4695" sha1="fc3kxlfgjipaxajcxn5dj85uuxs2q6j" xml:space="preserve">== Macam Diagnosis ==
* Diagnosis fungsional
* Diagnosis anatomis
* Diagnosis etiologi
* Penyerta/penyulit

== ICD-10 ==
{| {{Prettytable}}
! Kode
! ICD-10
! Nama Lain
|-
| J45
| Asthma
| Asma
|-
| J46
| Status asthmaticus
| Status asmatikus
|-
| Z82.5
| Family history of asthma and other chronic lower respiratory disease
| Asam pada anak
|-
| S91
| Open wound of ankle and foot
| Vulnus punctum / Luka tusuk
|-
| S61
| Open wound of wrist and hand
| Vulnus scissum / Luka sayat
|-
| T14.1
| Open wound of unspecified body region
| Vulnus laceratum / Luka lecet
|-
| R50.9
| Fever, unspecified
| Febris
|-
| J00
| Acute nasopharyngitis [common cold]
| Influenza
|-
| D69.6
| Thrombocytopenia, unspecified
| Trombositopenia
|-
| A90
| Dengue fever (classical dengue)
| Demam Dengue (DD)
|-
| A91
| Dengue haemorrhagic fever
| Demam Berdarah Dengue (DBD)
|-
| A01.0
| Typhoid fever
| Demam tifoid
|-
| K59.1
| Functional diarrhoea
| Diare
|-
| A09
| Diarrhoea and gastroenteritis of presumed infectious origin
| Gastroenteritis akut (GEA)
|-
| A06
| Amoebiasis
| Disentri Amoeba
|-
| A06.0
| Acute amoebic dysentery
| Disentri Amoeba Akut
|-
| A03
| Shigellosis
| Disentri Basiler
|-
| A03.9
| Shigellosis, unspecified
| Disentri Basiler
|-
| M54.5
| Low back pain
| LBP
|-
| G43
| Migraine
| Migrain
|-
| G44
| Other headche syndromes
| Sakit kepala
|-
| G44.0
| Cluster headache syndrome
| Sakit kepala kluster
|-
| G44.2
| Tension-type headache
| TTH
|-
| I10
| Essential (primary) hypertension
| Hipertensi esensial (primer)
|-
| R10
| Abdominal and pelvic pain
| Nyeri perut dan pelvis
|-
| M79.1
| Myalgia
| Nyeri otot
|-
| Z34.8
| Supervision of other normal pregnancy
| Antenatal care (ANC)
|-
| Z36
| Antenatal screening
| Antenatal care (ANC)
|-
| Z39
| Postpartum care and examination
| Postnatal care (PNC)
|-
| D24.9
| Benign neoplasm of unspecified breast
| Fibroadenoma mammae (FAM)
|-
| D17.9
| Benign lipomatous neoplasm, unspecified
| Lipoma
|-
| M72.2
| Plantar fascial fibromatosis
| Fasciitis plantaris
|-
| E10
| Insulin-dependent diabetes mellitus
| DM tipe 1
|-
| E11
| Non-insulin-dependent diabetes mellitus
| DM tipe 2
|-
| I20
| Angina pectoris
| Angina pektoris
|-
| I20.0
| Unstable angina
| Unstable angina pectoris (UAP)
|-
| I20.8
| Other forms of angina pectoris
| Stable angina pectoris (SAP)
|-
| I21
| Acute myocardial infarction
| ST Elevation Myocardial Infarction (STEMI)
|-
| I22
| Subsequent myocardial infarction
| Non-ST Elevation Myocardial Infarction (NSTEMI)
|-
| I25
| Chronic ischaemic heart disease
| Old myocard infark (OMI)
|-
| H10
| Conjunctivitis
| Konjungtivitis
|-
| H10.0
| Mucopurulent conjunctivitis
| Konjungtivitis bakterial
|-
| H10.4
| Chronic conjunctivitis
| Konjungtivitis alergi
|-
| T15
| Foreign body on external eye
| Corpus alienum mata
|-
| T16
| Foreign body in ear
| Corpus alienum telinga
|-
| T17
| Foreign body in respiratory tract
| Corpus alienum hidung
|-
| H40
| Glaucoma
| Glukoma
|-
| H25
| Senile cataract
| Katarak senilis
|-
| L50
| Urticaria
| Urtikaria
|-
| N39.0
| Urinary tract infection, site not specified
| Infeksi saluran kemih (ISK)
|-
| N34
| Urethritis and urethral syndrome
| Uretritis
|-
| H01.0
| Blepharitis
| Blefaritis
|-
| L03.0
| Cellulitis of finger and toe
| Paronikia
|-
| N20.1
| Calculus of ureter
| Ureterolitiasis
|-
| L01
| Impetigo
| Infeksi kulit
|-
| K12
| Stomatitis and related lesions
| Radang mulut
|-
| B35.4
| Tinea corporis
| Panu badan
|-
| O23.5
| Infections of the genital tract in pregnancy
| Fluor albus / Bakterial vaginosis (BV)
|-
| B37
| Candidiasis
| Kandidiasis
|-
| B37.0
| Candidal stomatitis
| Kandidiasis stomatitis
|-
| B37.3
| Candidiasis of vulva and vagina
| Kandidiasis vaginalis
|-
| P37.5
| Neonatal candidiasis
| Kandidiasis neonatus
|-
| K02
| Dental caries
| Karies dentis
|-
| K11.2
| Sialoadenitis
| Parotitis
|-
| B00
| Herpesviral [herpes simplex] infections
| Herpes simpleks
|-
| B01
| Varicella [chickenpox]
| Cacar air
|-
| B02
| Zoster [herpes zoster]
| Herpes zoster
|-
| J44
| Other chronic obstructive pulmonary disease
| Penyakit paru obsruktif kronik (PPOK)
|-
| G56.0
| Carpal tunnel syndrome
| CTS
|-
| M75.0
| Adhesive capsulitis of shoulder
| Frozen shoulder
|-
| F20
| Schizophrenia
| Skizofrenia
|-
| F20.0
| Paranoid schizophrenia
| Skizofrenia paranoid
|-
| F20.2
| Catatonic schizophrenia
| Skizofrenia katatonik
|-
| F20.5
| Residual schizophrenia
| Skizofrenia residual
|}

== Daftar Diagnosis ==
# [[Catatan Dokter Muda/Hipertensi|Hipertensi esensial]] [4/45]
# [[Catatan Dokter Muda/CHF|''Congestive heart failure'' (CHF)]] [3B/44]

{{Status Pasien}}

[[Kategori:Status Pasien|{{SUBPAGENAME}}]]
[[Kategori:Diagnosis| ]]</text>
      <sha1>fc3kxlfgjipaxajcxn5dj85uuxs2q6j</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107231</id>
      <parentid>107230</parentid>
      <timestamp>2025-06-08T15:47:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alfarq</username>
        <id>799</id>
      </contributor>
      <comment>/* ICD-10 */</comment>
      <origin>107231</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4938" sha1="t4vcuilode4e41wlq0dv8j99e664huy" xml:space="preserve">== Macam Diagnosis ==
* Diagnosis fungsional
* Diagnosis anatomis
* Diagnosis etiologi
* Penyerta/penyulit

== ICD-10 ==
{| {{Prettytable}}
! Kode
! ICD-10
! Nama Lain
|-
| J45
| Asthma
| Asma
|-
| J46
| Status asthmaticus
| Status asmatikus
|-
| Z82.5
| Family history of asthma and other chronic lower respiratory disease
| Asma pada anak
|-
| F90
| Attention-deficit hyperactivity disorders
| ADHD
|-
| F84.0
| Autistic disorder
| Autis
|-
| R56.0
| Febrile convulsions
| Kejang demam
|-
| S91
| Open wound of ankle and foot
| Vulnus punctum / Luka tusuk
|-
| S61
| Open wound of wrist and hand
| Vulnus scissum / Luka sayat
|-
| T14.1
| Open wound of unspecified body region
| Vulnus laceratum / Luka lecet
|-
| R50.9
| Fever, unspecified
| Febris
|-
| J00
| Acute nasopharyngitis [common cold]
| Influenza
|-
| D69.6
| Thrombocytopenia, unspecified
| Trombositopenia
|-
| A90
| Dengue fever (classical dengue)
| Demam Dengue (DD)
|-
| A91
| Dengue haemorrhagic fever
| Demam Berdarah Dengue (DBD)
|-
| A01.0
| Typhoid fever
| Demam tifoid
|-
| K59.1
| Functional diarrhoea
| Diare
|-
| A09
| Diarrhoea and gastroenteritis of presumed infectious origin
| Gastroenteritis akut (GEA)
|-
| A06
| Amoebiasis
| Disentri Amoeba
|-
| A06.0
| Acute amoebic dysentery
| Disentri Amoeba Akut
|-
| A03
| Shigellosis
| Disentri Basiler
|-
| A03.9
| Shigellosis, unspecified
| Disentri Basiler
|-
| M54.5
| Low back pain
| LBP
|-
| G43
| Migraine
| Migrain
|-
| G44
| Other headche syndromes
| Sakit kepala
|-
| G44.0
| Cluster headache syndrome
| Sakit kepala kluster
|-
| G44.2
| Tension-type headache
| TTH
|-
| I10
| Essential (primary) hypertension
| Hipertensi esensial (primer)
|-
| R10
| Abdominal and pelvic pain
| Nyeri perut dan pelvis
|-
| M79.1
| Myalgia
| Nyeri otot
|-
| Z34.8
| Supervision of other normal pregnancy
| Antenatal care (ANC)
|-
| Z36
| Antenatal screening
| Antenatal care (ANC)
|-
| Z39
| Postpartum care and examination
| Postnatal care (PNC)
|-
| D24.9
| Benign neoplasm of unspecified breast
| Fibroadenoma mammae (FAM)
|-
| D17.9
| Benign lipomatous neoplasm, unspecified
| Lipoma
|-
| D21
| Other benign neoplasms of connective and other soft tissue
| Soft tissue tumor (STT)
|-
| M72.2
| Plantar fascial fibromatosis
| Fasciitis plantaris
|-
| E10
| Insulin-dependent diabetes mellitus
| DM tipe 1
|-
| E11
| Non-insulin-dependent diabetes mellitus
| DM tipe 2
|-
| I20
| Angina pectoris
| Angina pektoris
|-
| I20.0
| Unstable angina
| Unstable angina pectoris (UAP)
|-
| I20.8
| Other forms of angina pectoris
| Stable angina pectoris (SAP)
|-
| I21
| Acute myocardial infarction
| ST Elevation Myocardial Infarction (STEMI)
|-
| I22
| Subsequent myocardial infarction
| Non-ST Elevation Myocardial Infarction (NSTEMI)
|-
| I25
| Chronic ischaemic heart disease
| Old myocard infark (OMI)
|-
| H10
| Conjunctivitis
| Konjungtivitis
|-
| H10.0
| Mucopurulent conjunctivitis
| Konjungtivitis bakterial
|-
| H10.4
| Chronic conjunctivitis
| Konjungtivitis alergi
|-
| T15
| Foreign body on external eye
| Corpus alienum mata
|-
| T16
| Foreign body in ear
| Corpus alienum telinga
|-
| T17
| Foreign body in respiratory tract
| Corpus alienum hidung
|-
| H40
| Glaucoma
| Glukoma
|-
| H25
| Senile cataract
| Katarak senilis
|-
| L50
| Urticaria
| Urtikaria
|-
| N39.0
| Urinary tract infection, site not specified
| Infeksi saluran kemih (ISK)
|-
| N34
| Urethritis and urethral syndrome
| Uretritis
|-
| H01.0
| Blepharitis
| Blefaritis
|-
| L03.0
| Cellulitis of finger and toe
| Paronikia
|-
| N20.1
| Calculus of ureter
| Ureterolitiasis
|-
| L01
| Impetigo
| Infeksi kulit
|-
| K12
| Stomatitis and related lesions
| Radang mulut
|-
| B35.4
| Tinea corporis
| Panu badan
|-
| O23.5
| Infections of the genital tract in pregnancy
| Fluor albus / Bakterial vaginosis (BV)
|-
| B37
| Candidiasis
| Kandidiasis
|-
| B37.0
| Candidal stomatitis
| Kandidiasis stomatitis
|-
| B37.3
| Candidiasis of vulva and vagina
| Kandidiasis vaginalis
|-
| P37.5
| Neonatal candidiasis
| Kandidiasis neonatus
|-
| K02
| Dental caries
| Karies dentis
|-
| K11.2
| Sialoadenitis
| Parotitis
|-
| B00
| Herpesviral [herpes simplex] infections
| Herpes simpleks
|-
| B01
| Varicella [chickenpox]
| Cacar air
|-
| B02
| Zoster [herpes zoster]
| Herpes zoster
|-
| J44
| Other chronic obstructive pulmonary disease
| Penyakit paru obsruktif kronik (PPOK)
|-
| G56.0
| Carpal tunnel syndrome
| CTS
|-
| M75.0
| Adhesive capsulitis of shoulder
| Frozen shoulder
|-
| F20
| Schizophrenia
| Skizofrenia
|-
| F20.0
| Paranoid schizophrenia
| Skizofrenia paranoid
|-
| F20.2
| Catatonic schizophrenia
| Skizofrenia katatonik
|-
| F20.5
| Residual schizophrenia
| Skizofrenia residual
|}

== Daftar Diagnosis ==
# [[Catatan Dokter Muda/Hipertensi|Hipertensi esensial]] [4/45]
# [[Catatan Dokter Muda/CHF|''Congestive heart failure'' (CHF)]] [3B/44]

{{Status Pasien}}

[[Kategori:Status Pasien|{{SUBPAGENAME}}]]
[[Kategori:Diagnosis| ]]</text>
      <sha1>t4vcuilode4e41wlq0dv8j99e664huy</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107234</id>
      <parentid>107231</parentid>
      <timestamp>2025-06-08T16:56:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alfarq</username>
        <id>799</id>
      </contributor>
      <comment>/* ICD-10 */</comment>
      <origin>107234</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4977" sha1="pblqp6fjledezuoba3suona6nl5h8ld" xml:space="preserve">== Macam Diagnosis ==
* Diagnosis fungsional
* Diagnosis anatomis
* Diagnosis etiologi
* Penyerta/penyulit

== ICD-10 ==
{| {{Prettytable}}
! Kode
! ICD-10
! Nama Lain
|-
| J45
| Asthma
| Asma
|-
| J46
| Status asthmaticus
| Status asmatikus
|-
| Z82.5
| Family history of asthma and other chronic lower respiratory disease
| Asma pada anak
|-
| F90
| Attention-deficit hyperactivity disorders
| ADHD
|-
| F84.0
| Autistic disorder
| Autis
|-
| R56.0
| Febrile convulsions
| Kejang demam
|-
| S91
| Open wound of ankle and foot
| Vulnus punctum / Luka tusuk
|-
| S61
| Open wound of wrist and hand
| Vulnus scissum / Luka sayat
|-
| T14.1
| Open wound of unspecified body region
| Vulnus laceratum / Luka lecet
|-
| R50.9
| Fever, unspecified
| Febris
|-
| J00
| Acute nasopharyngitis [common cold]
| Influenza
|-
| D69.6
| Thrombocytopenia, unspecified
| Trombositopenia
|-
| A90
| Dengue fever (classical dengue)
| Demam Dengue (DD)
|-
| A91
| Dengue haemorrhagic fever
| Demam Berdarah Dengue (DBD)
|-
| A01.0
| Typhoid fever
| Demam tifoid
|-
| K59.1
| Functional diarrhoea
| Diare
|-
| A09
| Diarrhoea and gastroenteritis of presumed infectious origin
| Gastroenteritis akut (GEA)
|-
| A06
| Amoebiasis
| Disentri Amoeba
|-
| A06.0
| Acute amoebic dysentery
| Disentri Amoeba Akut
|-
| A03
| Shigellosis
| Disentri Basiler
|-
| A03.9
| Shigellosis, unspecified
| Disentri Basiler
|-
| M54.5
| Low back pain
| LBP
|-
| G43
| Migraine
| Migrain
|-
| G44
| Other headche syndromes
| Sakit kepala
|-
| G44.0
| Cluster headache syndrome
| Sakit kepala kluster
|-
| G44.2
| Tension-type headache
| TTH
|-
| I10
| Essential (primary) hypertension
| [[Buku Saku Farmakoterapi/Hipertensi|Hipertensi esensial (primer)]]
|-
| R10
| Abdominal and pelvic pain
| Nyeri perut dan pelvis
|-
| M79.1
| Myalgia
| Nyeri otot
|-
| Z34.8
| Supervision of other normal pregnancy
| Antenatal care (ANC)
|-
| Z36
| Antenatal screening
| Antenatal care (ANC)
|-
| Z39
| Postpartum care and examination
| Postnatal care (PNC)
|-
| D24.9
| Benign neoplasm of unspecified breast
| Fibroadenoma mammae (FAM)
|-
| D17.9
| Benign lipomatous neoplasm, unspecified
| Lipoma
|-
| D21
| Other benign neoplasms of connective and other soft tissue
| Soft tissue tumor (STT)
|-
| M72.2
| Plantar fascial fibromatosis
| Fasciitis plantaris
|-
| E10
| Insulin-dependent diabetes mellitus
| DM tipe 1
|-
| E11
| Non-insulin-dependent diabetes mellitus
| DM tipe 2
|-
| I20
| Angina pectoris
| Angina pektoris
|-
| I20.0
| Unstable angina
| Unstable angina pectoris (UAP)
|-
| I20.8
| Other forms of angina pectoris
| Stable angina pectoris (SAP)
|-
| I21
| Acute myocardial infarction
| ST Elevation Myocardial Infarction (STEMI)
|-
| I22
| Subsequent myocardial infarction
| Non-ST Elevation Myocardial Infarction (NSTEMI)
|-
| I25
| Chronic ischaemic heart disease
| Old myocard infark (OMI)
|-
| H10
| Conjunctivitis
| Konjungtivitis
|-
| H10.0
| Mucopurulent conjunctivitis
| Konjungtivitis bakterial
|-
| H10.4
| Chronic conjunctivitis
| Konjungtivitis alergi
|-
| T15
| Foreign body on external eye
| Corpus alienum mata
|-
| T16
| Foreign body in ear
| Corpus alienum telinga
|-
| T17
| Foreign body in respiratory tract
| Corpus alienum hidung
|-
| H40
| Glaucoma
| Glukoma
|-
| H25
| Senile cataract
| Katarak senilis
|-
| L50
| Urticaria
| Urtikaria
|-
| N39.0
| Urinary tract infection, site not specified
| Infeksi saluran kemih (ISK)
|-
| N34
| Urethritis and urethral syndrome
| Uretritis
|-
| H01.0
| Blepharitis
| Blefaritis
|-
| L03.0
| Cellulitis of finger and toe
| Paronikia
|-
| N20.1
| Calculus of ureter
| Ureterolitiasis
|-
| L01
| Impetigo
| Infeksi kulit
|-
| K12
| Stomatitis and related lesions
| Radang mulut
|-
| B35.4
| Tinea corporis
| Panu badan
|-
| O23.5
| Infections of the genital tract in pregnancy
| Fluor albus / Bakterial vaginosis (BV)
|-
| B37
| Candidiasis
| Kandidiasis
|-
| B37.0
| Candidal stomatitis
| Kandidiasis stomatitis
|-
| B37.3
| Candidiasis of vulva and vagina
| Kandidiasis vaginalis
|-
| P37.5
| Neonatal candidiasis
| Kandidiasis neonatus
|-
| K02
| Dental caries
| Karies dentis
|-
| K11.2
| Sialoadenitis
| Parotitis
|-
| B00
| Herpesviral [herpes simplex] infections
| Herpes simpleks
|-
| B01
| Varicella [chickenpox]
| Cacar air
|-
| B02
| Zoster [herpes zoster]
| Herpes zoster
|-
| J44
| Other chronic obstructive pulmonary disease
| Penyakit paru obsruktif kronik (PPOK)
|-
| G56.0
| Carpal tunnel syndrome
| CTS
|-
| M75.0
| Adhesive capsulitis of shoulder
| Frozen shoulder
|-
| F20
| Schizophrenia
| Skizofrenia
|-
| F20.0
| Paranoid schizophrenia
| Skizofrenia paranoid
|-
| F20.2
| Catatonic schizophrenia
| Skizofrenia katatonik
|-
| F20.5
| Residual schizophrenia
| Skizofrenia residual
|}

== Daftar Diagnosis ==
# [[Catatan Dokter Muda/Hipertensi|Hipertensi esensial]] [4/45]
# [[Catatan Dokter Muda/CHF|''Congestive heart failure'' (CHF)]] [3B/44]

{{Status Pasien}}

[[Kategori:Status Pasien|{{SUBPAGENAME}}]]
[[Kategori:Diagnosis| ]]</text>
      <sha1>pblqp6fjledezuoba3suona6nl5h8ld</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107236</id>
      <parentid>107234</parentid>
      <timestamp>2025-06-09T05:43:28Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alfarq</username>
        <id>799</id>
      </contributor>
      <comment>/* ICD-10 */</comment>
      <origin>107236</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5047" sha1="6rzr2h87n5tgzn10j252aar22ydvacg" xml:space="preserve">== Macam Diagnosis ==
* Diagnosis fungsional
* Diagnosis anatomis
* Diagnosis etiologi
* Penyerta/penyulit

== ICD-10 ==
{| {{Prettytable}}
! Kode
! ICD-10
! Nama Lain
|-
| J45
| Asthma
| Asma
|-
| J46
| Status asthmaticus
| Status asmatikus
|-
| Z82.5
| Family history of asthma and other chronic lower respiratory disease
| Asma pada anak
|-
| F90
| Attention-deficit hyperactivity disorders
| ADHD
|-
| F84.0
| Autistic disorder
| Autis
|-
| R56.0
| Febrile convulsions
| Kejang demam
|-
| S91
| Open wound of ankle and foot
| Vulnus punctum / Luka tusuk
|-
| S61
| Open wound of wrist and hand
| Vulnus scissum / Luka sayat
|-
| T14.1
| Open wound of unspecified body region
| Vulnus laceratum / Luka lecet
|-
| R50.9
| Fever, unspecified
| Febris
|-
| J00
| Acute nasopharyngitis [common cold]
| Influenza
|-
| D69.6
| Thrombocytopenia, unspecified
| Trombositopenia
|-
| A90
| Dengue fever (classical dengue)
| Demam Dengue (DD)
|-
| A91
| Dengue haemorrhagic fever
| Demam Berdarah Dengue (DBD)
|-
| A01.0
| Typhoid fever
| Demam tifoid
|-
| K59.1
| Functional diarrhoea
| Diare
|-
| A09
| Diarrhoea and gastroenteritis of presumed infectious origin
| Gastroenteritis akut (GEA)
|-
| A06
| Amoebiasis
| Disentri Amoeba
|-
| A06.0
| Acute amoebic dysentery
| Disentri Amoeba Akut
|-
| A03
| Shigellosis
| Disentri Basiler
|-
| A03.9
| Shigellosis, unspecified
| Disentri Basiler
|-
| M54.5
| Low back pain
| LBP
|-
| G43
| Migraine
| Migrain
|-
| G44
| Other headche syndromes
| Sakit kepala
|-
| G44.0
| Cluster headache syndrome
| Sakit kepala kluster
|-
| G44.2
| Tension-type headache
| TTH
|-
| I10
| Essential (primary) hypertension
| [[Buku Saku Farmakoterapi/Hipertensi|Hipertensi esensial (primer)]]
|-
| R10
| Abdominal and pelvic pain
| Nyeri perut dan pelvis
|-
| M79.1
| Myalgia
| Nyeri otot
|-
| Z34.8
| Supervision of other normal pregnancy
| Antenatal care (ANC)
|-
| Z36
| Antenatal screening
| Antenatal care (ANC)
|-
| Z39
| Postpartum care and examination
| Postnatal care (PNC)
|-
| D24.9
| Benign neoplasm of unspecified breast
| Fibroadenoma mammae (FAM)
|-
| D17.9
| Benign lipomatous neoplasm, unspecified
| Lipoma
|-
| D21
| Other benign neoplasms of connective and other soft tissue
| Soft tissue tumor (STT)
|-
| M72.2
| Plantar fascial fibromatosis
| Fasciitis plantaris
|-
| E10
| Insulin-dependent diabetes mellitus
| DM tipe 1
|-
| E11
| Non-insulin-dependent diabetes mellitus
| DM tipe 2
|-
| I20
| Angina pectoris
| Angina pektoris
|-
| I20.0
| Unstable angina
| Unstable angina pectoris (UAP)
|-
| I20.8
| Other forms of angina pectoris
| Stable angina pectoris (SAP)
|-
| I21
| Acute myocardial infarction
| ST Elevation Myocardial Infarction (STEMI)
|-
| I22
| Subsequent myocardial infarction
| Non-ST Elevation Myocardial Infarction (NSTEMI)
|-
| I25
| Chronic ischaemic heart disease
| Old myocard infark (OMI)
|-
| H10
| Conjunctivitis
| Konjungtivitis
|-
| H10.0
| Mucopurulent conjunctivitis
| Konjungtivitis bakterial
|-
| H10.4
| Chronic conjunctivitis
| Konjungtivitis alergi
|-
| T15
| Foreign body on external eye
| Corpus alienum mata
|-
| T16
| Foreign body in ear
| Corpus alienum telinga
|-
| T17
| Foreign body in respiratory tract
| Corpus alienum hidung
|-
| H40
| Glaucoma
| Glukoma
|-
| H25
| Senile cataract
| Katarak senilis
|-
| L50
| Urticaria
| Urtikaria
|-
| N39.0
| Urinary tract infection, site not specified
| Infeksi saluran kemih (ISK)
|-
| N34
| Urethritis and urethral syndrome
| Uretritis
|-
| H01.0
| Blepharitis
| Blefaritis
|-
| L03.0
| Cellulitis of finger and toe
| Paronikia
|-
| N20.1
| Calculus of ureter
| Ureterolitiasis
|-
| L01
| Impetigo
| Infeksi kulit
|-
| K12
| Stomatitis and related lesions
| Radang mulut
|-
| B35.4
| Tinea corporis
| Panu badan
|-
| O23.5
| Infections of the genital tract in pregnancy
| Fluor albus / Bakterial vaginosis (BV)
|-
| B37
| Candidiasis
| Kandidiasis
|-
| B37.0
| Candidal stomatitis
| Kandidiasis stomatitis
|-
| B37.3
| Candidiasis of vulva and vagina
| Kandidiasis vaginalis
|-
| P37.5
| Neonatal candidiasis
| Kandidiasis neonatus
|-
| K02
| Dental caries
| Karies dentis
|-
| K11.2
| Sialoadenitis
| Parotitis
|-
| B00
| Herpesviral [herpes simplex] infections
| Herpes simpleks
|-
| B01
| Varicella [chickenpox]
| Cacar air
|-
| B02
| Zoster [herpes zoster]
| Herpes zoster
|-
| J44
| Other chronic obstructive pulmonary disease
| Penyakit paru obsruktif kronik (PPOK)
|-
| G56.0
| Carpal tunnel syndrome
| CTS
|-
| M75.0
| Adhesive capsulitis of shoulder
| Frozen shoulder
|-
| F20
| Schizophrenia
| Skizofrenia
|-
| F20.0
| Paranoid schizophrenia
| Skizofrenia paranoid
|-
| F20.2
| Catatonic schizophrenia
| Skizofrenia katatonik
|-
| F20.5
| Residual schizophrenia
| Skizofrenia residual
|-
| M17
| Gonarthrosis [arthrosis of knee]
| Osteoartritis (OA) genu
|}

== Daftar Diagnosis ==
# [[Catatan Dokter Muda/Hipertensi|Hipertensi esensial]] [4/45]
# [[Catatan Dokter Muda/CHF|''Congestive heart failure'' (CHF)]] [3B/44]

{{Status Pasien}}

[[Kategori:Status Pasien|{{SUBPAGENAME}}]]
[[Kategori:Diagnosis| ]]</text>
      <sha1>6rzr2h87n5tgzn10j252aar22ydvacg</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Buku Saku Farmakoterapi/Hipertensi</title>
    <ns>0</ns>
    <id>17748</id>
    <revision>
      <id>107232</id>
      <parentid>64862</parentid>
      <timestamp>2025-06-08T15:49:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alfarq</username>
        <id>799</id>
      </contributor>
      <comment>/* Daftar Pustaka */</comment>
      <origin>107232</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9925" sha1="b6ffz7ljjfma14aldq2n5il9qdnlf8y" xml:space="preserve">== Pengertian ==
'''Tekanan darah tinggi atau hipertensi''' adalah kondisi medis di mana terjadi peningkatan tekanan darah secara kronis (dalam jangka waktu lama). Penderita yang mempunyai sekurang-kurangnya tiga bacaan tekanan darah yang melebihi 140/90 mmHg saat istirahat diperkirakan mempunyai keadaan darah tinggi. Tekanan darah yang selalu tinggi adalah salah satu faktor resiko untuk stroke, serangan jantung, gagal jantung dan aneurisma arterial, dan merupakan penyebab utama gagal jantung kronis

Pada pemeriksaan tekanan darah akan didapat dua angka. Angka yang lebih tinggi diperoleh pada saat jantung berkontraksi (sistolik), angka yang lebih rendah diperoleh pada saat jantung berelaksasi (diastolik). Tekanan darah kurang dari 120/80 mmHg didefinisikan sebagai &quot;normal&quot;. Pada tekanan darah tinggi, biasanya terjadi kenaikan tekanan sistolik dan diastolik. Hipertensi biasanya terjadi pada tekanan darah 140/90 mmHg atau ke atas, diukur di kedua lengan tiga kali dalam jangka beberapa minggu

== Klasifikasi ==
Klasifikasi tekanan darah pada dewasa
{| class=&quot;wikitable&quot;
|'''Kategori'''
|'''Tekanan Darah Sistolik'''
|'''Tekanan Darah Diastolik'''
|-
|Optimal
|&lt; 120 mmHg
|(dan) &lt; 80 mmHg
|-
|Normal
|&lt;130 mmHg
|&lt;85mmHg
|-
|Normal - Tinggi
|130-139 mmHg
|(atau) 85-89 mmHg
|-
|Stadium 1
|140-159 mmHg
|(atau) 90-99 mmHg
|-
|Stadium 2
|160-179 mmHg
|(atau)100-109 mmHg
|-
|Stadium 3
|&gt;180 mmHg
|&gt;110mmHg
|}
Pada pasien dengan diabetes mellitus atau penyakit ginjal, penelitian telah menunjukkan bahwa tekanan darah di atas 130/80 mmHg harus dianggap sebagai faktor risiko dan sebaiknya diberikan perawatan.

== Gejala ==
Pada sebagian besar penderita, hipertensi tidak menimbulkan gejala; meskipun secara tidak sengaja beberapa gejala terjadi bersamaan dan dipercaya berhubungan dengan tekanan darah tinggi (padahal sesungguhnya tidak). Gejala yang dimaksud adalah sakit kepala, perdarahan dari hidung, pusing, wajah kemerahan dan kelelahan; yang bisa saja terjadi baik pada penderita hipertensi, maupun pada seseorang dengan tekanan darah yang normal.

Jika hipertensinya berat atau menahun dan tidak diobati, bisa timbul gejala berikut:

* sakit kepala

* kelelahan 
* mual 
* muntah 
* sesak napas 
* gelisah 
* pandangan menjadi kabur yang terjadi karena adanya kerusakan pada otak, mata, jantung dan ginjal. 

Kadang penderita hipertensi berat mengalami penurunan kesadaran dan bahkan koma karena terjadi pembengkakan otak. Keadaan ini disebut ensefalopati hipertensif, yang memerlukan penanganan segera.

== Penyebab ==
Hipertensi berdasarkan penyebabnya dibagi menjadi 2 jenis :

* '''Hipertensi primer atau esensial''' adalah hipertensi yang tidak / belum diketahui penyebabnya (terdapat pada kurang lebih 90 % dari seluruh hipertensi). 
* '''Hipertensi sekunder''' adalah hipertensi yang disebabkan/ sebagai akibat dari adanya penyakit lain. 

Hipertensi primer kemungkinan memiliki banyak penyebab; beberapa perubahan pada jantung dan pembuluh darah kemungkinan bersama-sama menyebabkan meningkatnya tekanan darah.

Jika penyebabnya diketahui, maka disebut hipertensi sekunder. Pada sekitar 5-10% penderita hipertensi, penyebabnya adalah penyakit ginjal. Pada sekitar 1-2%, penyebabnya adalah kelainan hormonal atau pemakaian obat tertentu (misalnya pil KB).

Penyebab hipertensi lainnya yang jarang adalah feokromositoma, yaitu tumor pada kelenjar adrenal yang menghasilkan hormon epinefrin (adrenalin) atau norepinefrin (noradrenalin).

Kegemukan (obesitas), gaya hidup yang tidak aktif (malas berolah raga), stres, alkohol atau garam dalam makanan; bisa memicu terjadinya hipertensi pada orang-orang memiliki kepekaan yang diturunkan. Stres cenderung menyebabkan kenaikan tekanan darah untuk sementara waktu, jika stres telah berlalu, maka tekanan darah biasanya akan kembali normal.

Beberapa penyebab terjadinya hipertensi sekunder:

Penyakit Ginjal 

* Stenosis arteri renalis 
* Pielonefritis 
* Glomerulonefritis 
* Tumor ginjal 
* Penyakit ginjal polikista (biasanya diturunkan) 
* Trauma pada ginjal (luka yang mengenai ginjal) 
* Terapi penyinaran yang mengenai ginjal 

Kelainan Hormonal 

* Hiperaldosteronisme 
* Sindrom Cushing 
* Feokromositoma 

Obat-obatan 

* Pil KB 
* Kortikosteroid 
* Siklosporin 
* Eritropoietin 
* Kokain 
* Penyalahgunaan alkohol 

Penyebab Lainnya 

* Koartasio aorta 
* Preeklamsi pada kehamilan 
* Porfiria intermiten akut 
* Keracunan timbal akut.

== Obat Antihipertensi ==

=== Diuretik ===

* Tiazid (contoh : Hidroklorotiazid)
* Diuretik kuat/loop diuretic (contoh : furosemid)
* Diuretik hemat kalium (contoh : spironolakton)

=== Beta bloker ===
Kardioselektif (contoh : bisoprolol, metoprolol, atenolol, acebutolol)

ISA (contoh : pindolol,penbutolol,carteolol,acebutolol)

Membran stabilizing effect (contoh : propanolol, pindolol, labetolol, acebutolol).

Memblok beta-adrenorspetor. Reseptor ini diklasifikasikan menjadi reseptor beta-1 dan beta-2. Reseptor beta-1 terutama terdapat pada jantung sedangkan reseptor beta-2 banyak ditemukan di paru-paru, pembuluh darah perifer, dan otot lurik. Reseptor beta-2 juga dapat ditemukan di jantung, sedangkan reseptor beta-1 dapat ditemukan pada ginjal. Reseptor beta juga dapat ditemuka di otak. Stimulasi pada reseptor beta pada otak akan memacu pelepasan neurotransmitter yang meningkatkan aktivitas system syaraf simpatis. Stimulasi reseptor beta-1 pada nodus sino atrial dan miokardiak meningkatkan heart rate dan kekuatan kontraksi. Stimulasi reseptor beta pada ginjal akan menyebabkan pelepasan rennin,-angiotensin-aldosteron. Efek akhirnya adalah meningkatnya kardiak output, peningkatan tahanan perifer dan peningkatan sodium yang diperantarai aldosteron dan retensi air

''Efek samping             '' :           Bradikardi, abnormalitas konduksi AV, dan gagal jantung

''Kontra indikasi''            :           Sinus bradikardi, syok kardiogenik, gagal jantung

=== ACE inhibitor ===

Mekanisme aksi: menghambat secara kompetitif pembentukan angiotensin II dari precursor angiotensin I yang inaktif, yang terdapat pada pembuluh darah, ginjal, jantung, kelenjar adrenal, dan otak.

Angiotensin II merupakan vaso-konstriktor kuat yang memacu pelepasan aldosteron dan aktivitas simpatis sentral dan perifer. Penghambatan pembentukan angiotensin II ini akan menurunkan tekanan darah. Jika system angiotensin- rennin- aldosteron teraktivasi (misalnya pada keadaan penurunan sodium, atau pada terapi diuretic) efek anti hipertensi ACEi akan lebih besar.

Efek samping              :           Menyebabkan hiperkalemia karena   menurunkan produksi aldosteron, batuk kering

Kontra indikasi            :           Wanita hamil karena dapat menyebabkan malformasi dan masalah neonatal, termasuk gagal ginjal dan kematian pada bayi, selama pemberian trimester ke dua dan ketiga.

=== Penyekat kanal kalsium ===

=== Penyekat reseptor Angiotensin II ===

=== Penyekat reseptor alfa I ===

=== Agonis alfa 2 sentral ===

=== Penghambar reseptor Adrenergik ===

=== Vasodilator ===
Mekanisme aksi:Secara langsung menyebabakan relaksasi pada otot halus arteri. Hal tersebut mengaktifasi refleks baro reseptor yang menghasilkan peningkatan kerja simpatetik dari pusat vasomotor, memproduksi peningkatan denyut jantung, kardiak output, pelepasan renin.

''Efek samping''              :           Mulut kering, sakit kepala, astenia, pusing, mual, gangguan tidur, vasolodilatasi, kecemasan

''Kontra indikasi''            :           Riwayat angio neurotik edema, sindrom sick sinus, blok SA, blok AV derajat 2 dan 3, bradikardi, aritmia berat, gagal jantung berat, penyakit arteri koroner berat, angina tidak stabil, penyakit hati berat, gangguan fungsi ginjal berat, klaudikasio, intermiten, penyakit rainaude, parkinson, epilepsi, glaukoma, depresi.

Wanita hamil dan menyusui, anak 16 tahun digunakan bersama alkohol.

== Monitoring dan Follow Up ==

* Tekanan darah dimonitor secara     kontinyu, misal 2 minggu sekali dengan harapan penurunan tekanan darah     hingga &lt; 140/90
* Setelah terjadi penurunan     tekanan darah hingga &lt;140/90, menghindari aktivitas pencetus hipertensi     misal stress agar tekanan darah terjaga.
* Penurunan rasa nyeri di kepala
* Dapat memonitor asma dirumah     dengan menggunakan alat yang disebut “Peak Flow Meter”

== Komunikasi, Informasi, dan Edukasi ==

* Diet rendah garam : dengan mengurangi konsumsi garam dari 10 gram/hari menjadi 5 gram/hari. Disamping bermanfaat menurunkan tekanan darah, diet rendah garam juga berfungsi untuk mengurangi resiko hipokalemi yang timbul pada pengobatan dengan diuretik.
* Diet rendah lemak telah terbukti pula bisa menurunkan tekanan darah.
* Berhenti merokok dan berhenti mengkonsumsi alkohol telah dibuktikan dalam banyak penelitian bisa menurunkan tekanan darah.
* Olah raga teratur : berguna untuk membakar timbunan lemak dan menurunkan berat badan, menurunkan tekanan perifer dan menimbulkan perasaan santai, yang kesemuanya berakibat kepada penurunan tekanan darah.
* Relaksasi dan rekreasi serta cukup istirahat sangat berguna untuk mengurangi atau menghilangkan stres, yang pada gilirannya bisa menurunkan tekanan darah.
* Walaupun masih banyak diteliti konsumsi seledri, pace, ketimun, belimbing wuluh dan bawang putih ternyata banyak membantu dalam usaha menurunkan tekanan darah.
* Menghindari faktor pemicu asma

== Daftar Pustaka ==
# Anonim. 1995. ''Farmakologi dan Terapi edisi IV''. Fakultas Kedokteran Universitas Indonesia. Jakarta.
# Anonim, 2000, ''Informatorium Obat Nasional Indonesia'', 431, 432, Direktorat Jenderal Pengawasan Obat dan Makanan, Departemen Kesehatan Republik Indonesia, Jakarta.
# Anonim. 2005. ''British National Formulary''. Royal Parmeucitical Society of Grea Britain. London.
# Anonim. 2006''. MIMS volume 7''. PT.Indo Master. Jakarta.
# Dipiro, Josep, dkk. 2005''. Pharmeucitical A Pathophysiologic Approac''h. Appleton an Lange. USA</text>
      <sha1>b6ffz7ljjfma14aldq2n5il9qdnlf8y</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Armenia yang Terampas/Arshalus</title>
    <ns>0</ns>
    <id>22590</id>
    <revision>
      <id>107233</id>
      <parentid>106775</parentid>
      <timestamp>2025-06-08T16:05:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alagos</username>
        <id>3119</id>
      </contributor>
      <origin>107233</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="13090" sha1="eoh4s7w4f7pufmn5syn14el6u4af8n9" xml:space="preserve">ARSHALUS—SINAR PAGI


Prolog Cerita


Vartabed Tua, gembala yang kawanan ternaknya telah menghasilkan pakaian untuk tiga generasi, berdiri membayangi langit pada puncak satu bukit di Taurus. Sosoknya tak bergerak, tegap dan sangat tinggi. Tanda-tanda usia tua ada pada tiap lekukan wajahnya yang kuat dan suram, namun tangannya memegangi tongkatnya dengan longgar karena ia tidak mau bersandar pada tongkat itu.

Ke arah timur dan utara terbentang dataran Mamuret-ul-Aziz, dengan di berbagai tempat terdapat dataran yang terbentang dari rangkaian kaki perbukitan. Setiap musim semi, selama dua puluh lima abad, para gembala lain selain Vartabed Tua berdiri di puncak bukit yang sama untuk menyaksikan dataran rendah dan tinggi Mamuret-ul-Aziz berubah menjadi hujau, namun hanya sedikit yang melihat rumput dan semak timbul sedini ini pada tahun ini. Vartabed Tua pasti sangat senang pada kemungkinan musim sebagus itu, dan seharusnya berbicara dengan domba-dombanya tentang ini—karena memang itu adalah kebiasaannya.

Namun sang gembala sedang merasa khawatir. Pertanda buruk yang aneh mendatanginya pada malam hari. Bahkan kala fajar menyingsing, ia tak dapat menghilangkan firasat itu. Ia kini memandangi, bukan bentangan hijau yang kemudian dihampiri dombanya, melainkan lebih jauh ke utara, di tempat garis biru Efrat hilang dalam gelombang fajar. Apa yang mata tuanya cari di sana, ia tak tahu; namun sesuatu tampak mengancam dari utara.

Mendadak suara panggilan untuk salat, yang dengannya para Muslim yang taat menyambut cahaya surya, terdengar dari lembah di kaki Vartabed Tua. Ini membuat sang gembala mendadak terbangun dari lamunannya. “Disana, itu dia! Itulah  tandanya. Bahaya mungkin datang dari utara, namun bahaya itu akan muncul pertama kali, entah apapun itu, di kota.”

Gembala tersebut melirik ke lembah, pada rumah-rumah serta jalan-jalan sempit berkelok yang memisahkannya. Ia melihat kilauan cahaya dari minaret ketika muazin kembali menyerukan panggilan. Dengan cepat, matanya memandangi kota ke tempat sinar pertama matahari di sekitaran tumpukan cokelat dan abu-abu—reruntuhan kastil Tchemesh, seorang raja Armenia kuno. Kesedihan memalukan terkumpul di wajahnya. Minaret tersebut masih berdiri; istana raja runtuh. Itulah kenapa terdapat dua tempat ibadah di kota tersebut, dan kenapa ketegangan timbul dari utara.

Sang pria tua menancapkan tongkatnya di tanah sebagai tanda untuk domba-dombanya bahwa di tempat tongkat berdiri, gembala mereka bakal kembali. Kemudian, ia berjalan di suatu jalan yang berujung ke tempat yang lebih rendah dimana terdapat rumah-rumah di kota. Dengan langkah tegas dan teratur yang tidak menunjukkan usianya yang tua, ia melintasi kota sampai tiba di jalanan yang ditandai oleh rumah-rumah megah orang kaya. Tikungan pendek di sepanjang sisi taman yang dijadikan sebagai lapangan umum membawanya ke rumah bankir, Mardiganian. Di rumah tersebut, Vartabed Tua selalu diterima. Ia telah menjadi penjaga kawanan ternak milik tiga kepala keluarga Mardiganian berturut-turut.

Seorang pelayan wanita membuka pintu di dinding jalan dan mengantar gembala tersebut ke taman dalam. Kala ia sudah menutup pintu lagi, pengunjung tersebut bertanya:

“Apakah Majikan masih berada di rumah, atau ia sudah pergi pagi-pagi sekali untuk bekerja?”

“Memalukan sekali kau bertanya!” jawab wanita tersebut, dengan nada cepat dan kasar sesama pelayan. “Apakah kau lupa hari apa ini, sampai kau berpikir majikan sedang bekerja?”

Kebingungan muncul pada mata sang pria tua. Wanita tersebut menyadari bahwa ia memang telah lupa. Wanita itu berbicara lagi lebih ramah:

“Tak tahukah Anda, Vartabed, bahwa ini adalah pagi Minggu Paskah?”

Pria tua tersebut menerima pengingatan tersebut, namun dia dengan cepat menunjukkan lagi martabatnya. “Jika kamu sudah mengalami banyaknya hari seperti Vartabed Tua, kau akan berharap untuk melupakan sebagian hari tersebut—mungkin hari yang akan segera tiba ketimbang hari-hari lainnya.”

Wanita tersebut tak memiliki kesabaran untuk kekurangan usia tua, dan ancaman nasib buruk ia anggap sebagai kekesalan. Namun jawaban tajamnya jatuh pada telinga yang tidak menghiraukannya. Gembala tersebut melintasi taman tanpa halangan lebih lanjut dan memasuki rumah.

Rumah Mardiganian merupakan rumah khas orang Armenia kaya pada masa itu. Pintu lebar yang terbuka ke arah taman diikuti oleh tangga marmer putih yang indah, dan ruangan luas di dalamnya memiliki lantai dengan potongan besar dari bahan yang sama. Di luar, rumah tersebut memiliki penampilan yang agak suram, karena, mungkin, kebutuhan perlindungan terhadap iklim yang terkadang keras; didalamnya terdapat segala tanda kemewahan dan kemegahan. Lahan yang ditempatinya amat sangat luas, karena ruangan-ruangannya bertingkat, tumpang tindih satu sama lain, atap dari satu ruangan menjadi taman depan pintu untuk ruangan di atasnya.

Di ruang tamu yang besar, di mana Vartabed Tua masuk, terdapat perapian batu besar, dengan dipan rendah yang memanjang di kedua sisinya dan terbentang di tiga sisi ruangan. Penutup permadani indah buatan lokal, dan bantal sutra buatan tangan, menutupi dipan ini. Karpet tekke yang tebal dan lembut, yang merupakan rajutan Persia dan Kurdi, berada di atas landasan kain felt, yang terhampar di lantai marmer. Di atas perapian tergantung lukisan Bunda Maria; sebuah penggambaran karya seniman Armenia populer, dan lukisan pelabuhan Belanda karya Peniers digantung pada tembok di sampingnya. Di sudut ruangan, di bawah lampu lantai, terdapat sebuah piano. Nuansa Dunia Timur nampak pada warna-warna terang, tapi semua ini berselera tinggi dan tenang.

Gembala tersebut menunggu, berdiri di tengah ruangan sampai majikannya masuk dan memberi sambutan pagi paskah yang dilestarikan Armenia sejak dunia masih muda:

“Kristus bangkit dari kematian, Vartabed yang baik!”

“Diberkatilah kebangkitan Kristus,” jawab pria tua tersebut, sesuai tradisi. Kemudian ia berbicara, dengan kesungguhan yang membawanya ke rumah ini dan yang dengan cepat disadari oleh lawan bicaranya.

Itu adalah penampakan yang ia lihat pada malam hari. “Santo Gregorius kita muncul kepadaku saat aku tidur dan menggenggam tanganku dengan keras. ‘Bangunlah, Vartabed Tua; bangunlah! Domba-dombamu berada dalam bahaya, bahkan meskipun mereka disayangi Tuhan. Bangunlah dan selamatkan mereka!’ Itulah yang dikatakan oleh santo yang baik itu kepadaku. Dengan cepat aku bangkit berdiri, namun kala mata tuaku sepenuhnya terbuka, penglihatan tersebut lenyap. Aku pergi keluar, namun hanya aku saja yang mengganggu kawanan ternak. Mereka beristirahat dengan damai.

“Namun aku tak dapat tidur lagi. Setiap kali mataku terpejam, Santo kita berdiri di hadapanku, nampak menegur kemalasanku. Kala fajar, aku membawa dombaku ke perbukitan—dan kemudian aku teringat!”

Di sini, gembala tersebut ragu-ragu. Ia berbicara cepat, dan nyaris kehabisan nafas. Majikannya menyimak dengan tekun karena ia sangat tua, dan sangat setia, namun bukan tanpa mimik terhibur pada wajahnya yang kaku.

“Sayang sekali, Vartabed, tidurmu tak nyenyak. Pagi ini, dibandingkan segala pagi lainnya, kau seharusnya gembira. Beritahu kepadaku apa yang kau ingat kala fajar, dan kemudian hilangkan dari ingatanmu.”

“Beberapa hal, Tuan, yang Anda maupun saya tidak dapat hilangkan dari pikiran kita. Aku ingat bahwa sebelumnya satu kali Santo kita muncul kepadaku dalam tidurku dengan peringatan bahaya. Aku tak menghiraukannya kala itu, karena aku masih muda, dan tidak bijak. Itu juga merupakan masa kegembiraan di Armenia, karena ada kedamaian dan kemakmuran. Namun hari itu, pembantaian datang dari utara; pada dua puluh tahun lampau.”

Kini, sosok lainnya memulai. Ia terguncang hebat, dan wajahnya memucat. Dua puluh tahun lalu—kala ratusan ribu orang-orangnya dibantai oleh Abdul Hamid! Tanpa sepatah kata pun ia berjalan menuju jendela, membuka tirai dan melirik ke arah taman rumah.

Sang bankir, Mardiganian, adalah contoh sejati pengusaha modern Armenia yang sukses. Ia jarang tersenyum, namun suaranya ramah, dan matanya lembut. Pada pagi Paskah jika berjalan di jalanan di Eropa atau Amerika, ia akan tampak sebagai orang biasa, melintas tanpa halangan. Kala ia berbalik dari jendela, setelah suatu momen, hanya pengamat dekat yang dapat menemukan pada wajah atau perilakunya ada sesuatu yang tidak terjelaskan dan tidak berwujud yamg tanpa terhapuskan mencirikan suatu ras yang menderita penindasan.

“Apa yang terjadi dua puluh tahun lalu, Vartabed-ku, tidak boleh terjadi lagi. Kita bangsa Armenia tidak berbuat apapun yang memicu kemurkaan tuan-tuan kami, orang-orang Turki. Sebaliknya, kami telah menunjukkan kesediaan kami untuk mengabdi pada negara. Para pemuda kita dipanggil ke perang besar yang menghancurleburkan dunia. Bahkan meskipun mereka bersimpati pada musuh-musuh Sultan, mereka tak pernah menunjukkan sikap tersebut. Mereka dengan sukarela mengorbankan nyawa mereka dalam pertempuran demi kepentingan yang mereka benci, sehingga Turki tak memiliki kesempatan untuk melampiaskan amarahnya pada bangsa kita. Kurang dari sepekan lalu, menteri Sultan, Enver yang berkuasa, menyampaikan rasa terima kasih kepada kita karena jasa kita kepada Bulan Sabit. Mereka tak berniat menjamah kita lagi.”

“Namun penglihatan yang datang kepadaku tadi malam sama seperti yang memperingatkanku pada malam itu pada tahun 1895 tentang tragedi yang kala itu akan menimpa kita.”

“Walaupun begitu kali ini hanya sekadar mimpi kosong.”

Bankir tersebut berujar dengan keyakinan yang pasti. Gembala tersebut dibuat kesal dengan ketidakpercayaannya akan pertanda datangnya kekejaman, sebagaimana yang dianggap oleh gembala tersebut. Pria tua tersebut meninggalkan ruangan dan melintasi taman dengan merasa sangat sakit hati. Tangannya mengarah ke gerbang, dan pada kesempatan lain, ia akan pergi kala suara muda yang jelas menghampirinya.

“Vartabed—tunggu; aku datang!”

Pria tua tersebut mendadak berhenti. Menoleh ke belakang, yang ia lihat datang kepadanya adalah sosok yang lebih dekat dengan hatinya ketimbang semua orang hidup lainnya—Arshalus, putri keluarga Mardiganian.

Arshalus—itu artinya “Sinar Pagi.” Hanya ada satu kata di Amerika yang bisa menjadi terjemahan untuk nama Armenia ini —“Aurora.” Dan tak ada kata lainnya yang selaras. Ia adalah anak bermata indah berusia empat belas tahun, rambut dan matanya sehitam malam; senyuman dan jiwanya secerah siang paling terang. Setiap domba dalam kawanan ternak Vartabed Tua adalah peliharaannya, khususnya yang hitam.

Kala dia menghampiri gembala yang menunggu tersebut, Aurora dengan cepat mendapati bahwa ia sedang murung, dan ia memilih untuk mengusiknya.

“Tentu kau tidak akan pergi tanpa memberiku harapan kegembiraan untuk masa Paskah, ataukah Vartabed tua sudah tidak peduli lagi pada orang yang selalu mengganggunya?” Ia menampilkan perasaan yang sangat cemberut, namun rasa sakit hati pria tua tersebut tak dapat dengan mudah mencair. Mungkin keberadaan Aurora justru memperburuknya.

“Mengharapkan kebahagiaan itu malas; lebih baik memberikan kebahagiaan. Ketika seseorang tak bisa memberikan kebahagiaan, berarti dia tidak memiliki tujuan. Aku tak memiliki kebahagiaan untuk diberikan hari ini, bahkan kepadamu, Aurora-ku, sehingga aku tidak terpikir untuk mencarimu.”

“Itu sangatlah salah, Vartabed. Hari ini Kristus bangkit, dan kegembiraan ada dimana-mana. Dan bahkan bagiku lebih dari banyak orang lainnya. Kemarin, ayahku berujar kepadaku bahwa sebelum Paskah berikutnya tiba, aku akan pergi untuk menyelesaikan pendidikanku—ke Konstantinopel, atau mungkin, ke Swiss atau Paris. Apakah itu tak membuatmu bahagia untukku, Vartabed?”

Untuk sesaat, pria tua tersebut menatap wajahnya yang menengadah. Kemudian tangannya kembali menjapai gerbang lagi, seperti ingin memberikan dukungan kepada raga yang tinggi yang tampak terkulai. Aurora berpikir bahwa ia telah melukainya. Dengan dorongan penuh, ia mengangkat tangannya seperti ketika menempatkannya pada dada pria tua tersebut. Namun sebelum ia dapat menghampirinya, gembala tersebut pergi, dan gerbang ditutup di antara mereka.

Sejam kemudian, Vartabed Tua kembali berdiri di puncak bukit, melirik ke bawah kota dan dataran Mamuret-ul-Aziz, yang kini bermandikan akan kejayaan matahari pagi penuh. Beberapa mil dari selatan terbentang pegunungan dan terowongan panjang yang ditinggalkan yang, menurut tradisi, sempat menjadi tempat pengerjaan pertambangan Solomon. Harpout, kala karavan berhenti; Van, metropolis, dan Sivas, “Kota Harapan,” jauh di luar horizon, kota-kota pos luar dari negara yang melahirkan sejarah. Pria tua tersebut tersebut berpikir untuk mengunjungi setiap berharga tersebut, dan menggambarkan harapan dan keyakinan yang mereka rayakan kala Paskah datang. Kemudian, ia kembali lagi ke puncak negara dan atas rumah yang dicapai dari dataran yang berada di bawah. Karena ia tak hanya memikirkan Armenia—Armenia emas yang indah pada hari Paskah tahun 1914, namun juga kanak-kanak yang bersebut “Sinar Pagi.”

H. L. Gates.</text>
      <sha1>eoh4s7w4f7pufmn5syn14el6u4af8n9</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Fungsi invers</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23122</id>
    <revision>
      <id>107226</id>
      <parentid>104791</parentid>
      <timestamp>2025-06-08T14:30:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bentuk dan sifat fungsi invers */</comment>
      <origin>107226</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4733" sha1="5rcx8966xl7dt1iy00ut7g2l2u48zod" xml:space="preserve">== Bentuk dan sifat fungsi invers ==
bentuk f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x)

sifat:
# y = f(x) → f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(y) = x
# f(x-a) = g(x) → f(x) = g(x+a)
# (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x))&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x) = f(x)
# f(f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x)) = f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(f(x))
# (f o f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) (x) = x
# (f o g)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; (x) = (g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) (x)
# (f o g) (x) = h(x) → (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o h) (x) = g(x)

: Pembuktian y = f(x) diubah jadi f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(y) = x!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misal } y = f(x) &amp;= ac+b \\
 y &amp;= ax+b \\
 x &amp;= \frac{y-b}{a} \\
 
 \frac{y-b}{a} \text{ adalah } f^{-1}(y) \\
 x &amp;= f^{-1}(y) \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;tabel fungsi invers
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Fungsi invers (f(x)) !! Hasil (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x))
|-
| &lt;math&gt;ax+b&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x-b}{a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\frac{ax+b}{cx+d}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{-dx+b}{cx-a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;{(ax+b)}^2&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{\sqrt{x}-b}{a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{ax+b}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x^2-b}{a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;a^{(bx)}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{^alogx}{b}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;^alog bx&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{a^x}{b}&lt;/math&gt;
|}

contoh soal

1 tentukan fungsi invers dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{2x-1}{3x+4}&lt;/math&gt;!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{2x-1}{3x+4} \\
 3xf(x)+4f(x) &amp;= 2x-1 \\
 4f(x)+1 &amp;= 2x-3xf(x) \\
 4f(x)+1 &amp;= (2-3f(x))x \\
 x &amp;= \frac{4f(x)+1}{2-3f(x)} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{4x+1}{-3x+2} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{4x+1}{-(3x-2)} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{-4x-1}{3x-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

2 tentukan nilai f(1) jika &lt;math&gt;f^{-1}(x)=\frac{2x-1}{5x-7}&lt;/math&gt;!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misalkan } f(1) &amp;= a \text{ maka } f^{-1}(a) &amp;= 1 \\
 \text{untuk } a &amp;= x \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 1 &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 5x-7 &amp;= 2x-1 \\
 3x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 2 \\
 a &amp;= x \\
 a &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 \text{diubah menjadi } f(\frac{2x-1}{5x-7}) &amp;= x \\
 f(\frac{2x-1}{5x-7}) &amp;= x \\
 \text{anggap bahwa } f(1) &amp; = f(\frac{2x-1}{5x-7}) \\
 1 &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 5x-7 &amp;= 2x-1 \\
 3x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 2 \\
 f(\frac{2x-1}{5x-7}) &amp;= x \\
 f(\frac{2(2)-1}{5(2)-7}) &amp;= 2 \\
 f(\frac{3}{3}) &amp;= 2 \\
 f(1) &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 \text{diubah menjadi } f(x) &amp;= \frac{7x-1}{5x-2} \\
 f(x) &amp;= \frac{7x-1}{5x-2} \\
 f(1) &amp;= \frac{7(1)-1}{5(1)-2} \\
 f(1) &amp;= \frac{6}{3} \\
 f(1) &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

3 tentukan nilai f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(1) jika &lt;math&gt;f(\frac{3}{2x-3})=\frac{2x+3}{x+4}&lt;/math&gt;!

;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misalkan} f^{-1}(1) &amp;= a \text{ maka } f(a) &amp;= 1 \\
 \text{untuk } a &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 f(\frac{3}{2x-3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 1 &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 x+4 &amp;= 2x+3 \\
 x &amp;= 1 \\
 a &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 a &amp;= \frac{3}{2(1)-3} \\
 a &amp;= -3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(\frac{3}{2x-3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 \text{diubah menjadi } f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 \text{anggap bahwa } f^{-1}(1) &amp;= f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) \\
 1 &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 x+4 &amp;= 2x+3 \\
 x &amp;= 1 \\
 f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 f^{-1}(\frac{2(1)+3}{(1)+4}) &amp;= \frac{3}{2(1)-3} \\
 f^{-1}(\frac{5}{5}) &amp;= \frac{3}{-1} \\
 f^{-1}(1) &amp;= -3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>5rcx8966xl7dt1iy00ut7g2l2u48zod</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107227</id>
      <parentid>107226</parentid>
      <timestamp>2025-06-08T14:33:53Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bentuk dan sifat fungsi invers */</comment>
      <origin>107227</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4764" sha1="gqwoazkxh0jmsnvzk7pm3s5759priyz" xml:space="preserve">== Bentuk dan sifat fungsi invers ==
bentuk f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x)

sifat:
# y = f(x) → f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(y) = x
# f(x-a) = g(x) → f(x) = g(x+a)
# (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x))&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x) = f(x)
# f(f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x)) = f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(f(x)) = x
# (f o f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) (x) = (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o f) (x) = x
# (f o g)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; (x) = (g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) (x)
# (f o g) (x) = h(x) → (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o h) (x) = g(x)

: Pembuktian y = f(x) diubah jadi f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(y) = x!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misal } y = f(x) &amp;= ac+b \\
 y &amp;= ax+b \\
 x &amp;= \frac{y-b}{a} \\
 
 \frac{y-b}{a} \text{ adalah } f^{-1}(y) \\
 x &amp;= f^{-1}(y) \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;tabel fungsi invers
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Fungsi invers (f(x)) !! Hasil (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x))
|-
| &lt;math&gt;ax+b&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x-b}{a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\frac{ax+b}{cx+d}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{-dx+b}{cx-a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;{(ax+b)}^2&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{\sqrt{x}-b}{a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{ax+b}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x^2-b}{a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;a^{(bx)}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{^alogx}{b}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;^alog bx&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{a^x}{b}&lt;/math&gt;
|}

contoh soal

1 tentukan fungsi invers dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{2x-1}{3x+4}&lt;/math&gt;!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{2x-1}{3x+4} \\
 3xf(x)+4f(x) &amp;= 2x-1 \\
 4f(x)+1 &amp;= 2x-3xf(x) \\
 4f(x)+1 &amp;= (2-3f(x))x \\
 x &amp;= \frac{4f(x)+1}{2-3f(x)} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{4x+1}{-3x+2} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{4x+1}{-(3x-2)} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{-4x-1}{3x-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

2 tentukan nilai f(1) jika &lt;math&gt;f^{-1}(x)=\frac{2x-1}{5x-7}&lt;/math&gt;!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misalkan } f(1) &amp;= a \text{ maka } f^{-1}(a) &amp;= 1 \\
 \text{untuk } a &amp;= x \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 1 &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 5x-7 &amp;= 2x-1 \\
 3x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 2 \\
 a &amp;= x \\
 a &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 \text{diubah menjadi } f(\frac{2x-1}{5x-7}) &amp;= x \\
 f(\frac{2x-1}{5x-7}) &amp;= x \\
 \text{anggap bahwa } f(1) &amp; = f(\frac{2x-1}{5x-7}) \\
 1 &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 5x-7 &amp;= 2x-1 \\
 3x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 2 \\
 f(\frac{2x-1}{5x-7}) &amp;= x \\
 f(\frac{2(2)-1}{5(2)-7}) &amp;= 2 \\
 f(\frac{3}{3}) &amp;= 2 \\
 f(1) &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 \text{diubah menjadi } f(x) &amp;= \frac{7x-1}{5x-2} \\
 f(x) &amp;= \frac{7x-1}{5x-2} \\
 f(1) &amp;= \frac{7(1)-1}{5(1)-2} \\
 f(1) &amp;= \frac{6}{3} \\
 f(1) &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

3 tentukan nilai f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(1) jika &lt;math&gt;f(\frac{3}{2x-3})=\frac{2x+3}{x+4}&lt;/math&gt;!

;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misalkan} f^{-1}(1) &amp;= a \text{ maka } f(a) &amp;= 1 \\
 \text{untuk } a &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 f(\frac{3}{2x-3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 1 &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 x+4 &amp;= 2x+3 \\
 x &amp;= 1 \\
 a &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 a &amp;= \frac{3}{2(1)-3} \\
 a &amp;= -3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(\frac{3}{2x-3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 \text{diubah menjadi } f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 \text{anggap bahwa } f^{-1}(1) &amp;= f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) \\
 1 &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 x+4 &amp;= 2x+3 \\
 x &amp;= 1 \\
 f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 f^{-1}(\frac{2(1)+3}{(1)+4}) &amp;= \frac{3}{2(1)-3} \\
 f^{-1}(\frac{5}{5}) &amp;= \frac{3}{-1} \\
 f^{-1}(1) &amp;= -3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>gqwoazkxh0jmsnvzk7pm3s5759priyz</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107235</id>
      <parentid>107227</parentid>
      <timestamp>2025-06-08T23:31:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107235</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4942" sha1="oa0bykeqdqf8n5kq12oiz8fmg13s6x0" xml:space="preserve">== Bentuk dan sifat fungsi invers ==
bentuk f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x)

sifat:
# y = f(x) → f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(y) = x
# f(x-a) = g(x) → f(x) = g(x+a)
# (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x))&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x) = f(x)
# f(f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x)) = f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(f(x)) = x
# (f o f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) (x) = (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o f) (x) = x
# (f o g)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; (x) = (g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) (x)
# (f o g) (x) = h(x) → (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; o h) (x) = g(x)

: Pembuktian y = f(x) diubah jadi f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(y) = x!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misal } y = f(x) &amp;= ac+b \\
 y &amp;= ax+b \\
 x &amp;= \frac{y-b}{a} \\
 
 \frac{y-b}{a} \text{ adalah } f^{-1}(y) \\
 x &amp;= f^{-1}(y) \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: Pembuktian bahwa f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(f(x)) = x!
:: sebelumnya pembuktian yang tadi (lihat diatas) lalu masukkan y = f(x) ke f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(y) = x menjadi f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(f(x)) = x.

;tabel fungsi invers
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Fungsi invers (f(x)) !! Hasil (f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(x))
|-
| &lt;math&gt;ax+b&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x-b}{a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\frac{ax+b}{cx+d}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{-dx+b}{cx-a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;{(ax+b)}^2&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{\sqrt{x}-b}{a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sqrt{ax+b}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{x^2-b}{a}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;a^{(bx)}&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{^alogx}{b}&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;^alog bx&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{a^x}{b}&lt;/math&gt;
|}

contoh soal

1 tentukan fungsi invers dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{2x-1}{3x+4}&lt;/math&gt;!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{2x-1}{3x+4} \\
 3xf(x)+4f(x) &amp;= 2x-1 \\
 4f(x)+1 &amp;= 2x-3xf(x) \\
 4f(x)+1 &amp;= (2-3f(x))x \\
 x &amp;= \frac{4f(x)+1}{2-3f(x)} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{4x+1}{-3x+2} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{4x+1}{-(3x-2)} \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{-4x-1}{3x-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

2 tentukan nilai f(1) jika &lt;math&gt;f^{-1}(x)=\frac{2x-1}{5x-7}&lt;/math&gt;!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misalkan } f(1) &amp;= a \text{ maka } f^{-1}(a) &amp;= 1 \\
 \text{untuk } a &amp;= x \\
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 1 &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 5x-7 &amp;= 2x-1 \\
 3x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 2 \\
 a &amp;= x \\
 a &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 \text{diubah menjadi } f(\frac{2x-1}{5x-7}) &amp;= x \\
 f(\frac{2x-1}{5x-7}) &amp;= x \\
 \text{anggap bahwa } f(1) &amp; = f(\frac{2x-1}{5x-7}) \\
 1 &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 5x-7 &amp;= 2x-1 \\
 3x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 2 \\
 f(\frac{2x-1}{5x-7}) &amp;= x \\
 f(\frac{2(2)-1}{5(2)-7}) &amp;= 2 \\
 f(\frac{3}{3}) &amp;= 2 \\
 f(1) &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f^{-1}(x) &amp;= \frac{2x-1}{5x-7} \\
 \text{diubah menjadi } f(x) &amp;= \frac{7x-1}{5x-2} \\
 f(x) &amp;= \frac{7x-1}{5x-2} \\
 f(1) &amp;= \frac{7(1)-1}{5(1)-2} \\
 f(1) &amp;= \frac{6}{3} \\
 f(1) &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

3 tentukan nilai f&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;(1) jika &lt;math&gt;f(\frac{3}{2x-3})=\frac{2x+3}{x+4}&lt;/math&gt;!

;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{misalkan} f^{-1}(1) &amp;= a \text{ maka } f(a) &amp;= 1 \\
 \text{untuk } a &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 f(\frac{3}{2x-3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 1 &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 x+4 &amp;= 2x+3 \\
 x &amp;= 1 \\
 a &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 a &amp;= \frac{3}{2(1)-3} \\
 a &amp;= -3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(\frac{3}{2x-3}) &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 \text{diubah menjadi } f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 \text{anggap bahwa } f^{-1}(1) &amp;= f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) \\
 1 &amp;= \frac{2x+3}{x+4} \\
 x+4 &amp;= 2x+3 \\
 x &amp;= 1 \\
 f^{-1}(\frac{2x+3}{x+4}) &amp;= \frac{3}{2x-3} \\
 f^{-1}(\frac{2(1)+3}{(1)+4}) &amp;= \frac{3}{2(1)-3} \\
 f^{-1}(\frac{5}{5}) &amp;= \frac{3}{-1} \\
 f^{-1}(1) &amp;= -3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>oa0bykeqdqf8n5kq12oiz8fmg13s6x0</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Fungsi</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23123</id>
    <revision>
      <id>107237</id>
      <parentid>107032</parentid>
      <timestamp>2025-06-09T08:29:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107237</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9109" sha1="cwsv9xbvmknyprmhuf8x6ytxxi4vtz2" xml:space="preserve">Sifat fungsi yaitu:
# Fungsi subjektif (fungsi onto atau fungsi kepada)
contoh: A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 4, 6} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,6)}

## Buktikan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4 dengan batas-batas -3&lt;x&lt;3 merupakan fungsi surjektif!
Misalkan x = -2 maka y = 0, x = -1 maka y = -3 jadi sebagai berikut: HP = {(-2,0), (-1,-3), (0,-4), (1,-3), (2,0)}

Dalam tersebut adalah fungsi surjektif.

# Fungsi injektif (fungsi into atau fungsi ke dalam)
contoh: A = {1, 2, 3} dan B = {2, 4, 6, 8} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,6)}

# Fungsi bijektif (fungsi satu-satu)
contoh: A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 4, 6, 8} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8)}

## Buktikan f(x)=1/2x dengan batas-batas 1&lt;x&lt;7 merupakan fungsi bijektif!
Misalkan x = 2 maka y = 1/4, x = 3 maka y = 1/6 jadi sebagai berikut: HP = {(2,1/4), (3,1/6), (4,1/8), (5,1/10), (6,1/12)}

Dalam tersebut adalah fungsi bijektif.

# Bukan Fungsi surjektif dan injektif
contoh: A = {1, 2, 3} dan B = {2, 4, 6, 8} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,4)}

Dalam pembuktian sebagai berikut:

f:A -&gt; B : x -&gt; y

Kalau membuktikan bahwa f(x) bersifat surjektif maka ∀y ∈ B, ∃x ∈ A, y = f(x).

Kalau membuktikan bahwa f(x) bersifat injektif maka ∀p,q ∈ A, f(p) = f(q) ⟹ p = q.

Kalau membuktikan bahwa f(x) bersifat bijektif maka memiliki fungsi surjektif dan injektif sekaligus.

contoh 

# Apakah f:R -&gt; R : x -&gt; x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; merupakan fungsi bijektif?

: Membuktikan f(x) merupakan fungsi surjektif
:: Ambil sembarangan y ∈ B
:: y = x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;
:: x = &lt;math&gt;\sqrt[3]{y}&lt;/math&gt; ∈ R

maka terbukti f(x) tersebut adalah fungsi surjektif.

: Membuktikan f(x) merupakan fungsi injektif
:: Misalkan f(p) = f(q) dimana p,q ∈ R
:: p&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = q&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;
:: &lt;math&gt;\sqrt[3]{(p)^3}&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\sqrt[3]{(q)^3}&lt;/math&gt;
:: p = q

maka terbukti f(x) tersebut adalah fungsi injektif.

karena f(x) terbukti merupakan fungsi surjektif dan injektif jadi f(x) merupakan fungsi bijektif.

Beberapa fungsi-fungsi sebagai berikut:
# Fungsi linear
contoh soal

1 tentukan daerah asal serta hasil dari y = 5x+2!

daerah asal: &lt;math&gt;HP = {x|-\infty&lt;x&lt;\infty, x \in R}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;
daerah hasil: &lt;math&gt;HP = {y|-\infty&lt;y&lt;\infty, y \in R}&lt;/math&gt;

# Fungsi kuadrat
contoh soal
 
1 tentukan daerah asal serta hasil dari y = x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+5x+4!

cari sumbu simetri x yaitu -b/2a adalah -5/2(1) = -5/2 serta y yaitu (-5/2)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+5(-5/2)+4 = -9/4.

; Sumbu simetri/titik balik

fungsi kuadrat &lt;math&gt;y=ax^2+bx+c&lt;/math&gt;

daerah asal: &lt;math&gt;HP = {x|-\infty&lt;x&lt;\infty, x \in R}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;
daerah hasil: &lt;math&gt;HP = {y|y \ge -\frac{9}{4}, y \in R}&lt;/math&gt;

sumbu simetri adalah &lt;math&gt;(-\frac{b}{2a}, -\frac{D}{4a})&lt;/math&gt;.

contoh soal

1 tentukan sumbu simetri/titik balik dari persamaan y = x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3!

; cara 1

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
y &amp;= x^2-4x+3 \\
x &amp;= -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \\
y &amp;= -\frac{(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot 3}{4 \cdot 1} \\
  &amp;= -\frac{4}{4} = -1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
y &amp;= x^2-4x+3 \\
x &amp;= -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \\
y &amp;= 2^2-4(2)+3 = -1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
y &amp;= x^2-4x+3 \\
y' &amp;= 0 \\
2x-4 &amp;= 0 \\
x &amp;= 2 \\
y &amp;= 2^2-4(2)+3 = -1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; gambar fungsi
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+
|-
! !! D &gt; 0&lt;br&gt; Terdapat 2 titik terbuka !! D = 0&lt;br&gt; Terdapat 1 titik terbuka || D &lt; 0&lt;br&gt; Tidak terdapat titik terbuka
|-
| a &gt; 0 || colspan=3| Melengkung ke atas dari titik balik
|-
| a &lt; 0 || colspan=3| Melengkung ke bawah dari titik balik
|}

# Fungsi mutlak
contoh soal
 
1 tentukan daerah asal serta hasil dari y = |2x + 1]!

cari batasan sumbu x yaitu 2x + 1 = 0 adalah 0.

daerah asal: &lt;math&gt;HP = {x|-\infty&lt;x&lt;\infty, x \in R}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;
daerah hasil: &lt;math&gt;HP = {y|y \ge 0, y \in R}&lt;/math&gt;

# Fungsi akar
contoh soal
 
1 tentukan daerah asal serta hasil dari &lt;math&gt;y = \sqrt{2x + 1}&lt;/math&gt;!

cari batasan sumbu x yaitu 2x + 1 ≥ 0 adalah x ≥ -1/2.

daerah asal: &lt;math&gt;HP = {x|x \ge -\frac{1}{2}, x \in R}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;
daerah hasil: &lt;math&gt;HP = {y|y \ge 0, y \in R}&lt;/math&gt;

# Fungsi pecahan
contoh soal

1 tentukan daerah asal serta hasil dari &lt;math&gt;y = \frac{2x+1}{3x-1}&lt;/math&gt;!

daerah asal: &lt;math&gt;HP = {x|x \neq \frac{1}{3}, x \in R}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;
daerah hasil: &lt;math&gt;HP = {y|y \neq \frac{2}{3}, y \in R}&lt;/math&gt;

2 tentukan daerah asal serta hasil dari &lt;math&gt;y = \frac{x^2-4x-5}{x^2-x-6}&lt;/math&gt;!

daerah asal: &lt;math&gt;HP = {x|x \neq {-2, 3} , x \in R}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;
daerah hasil: &lt;math&gt;HP = {y|-\infty&lt;y&lt;1 \text{ v } &lt;1&lt;y&lt;\infty , y \in R}&lt;/math&gt;

3 tentukan daerah asal serta hasil dari &lt;math&gt;y = \frac{x^2+x-20}{2x+3}&lt;/math&gt;!

daerah asal: &lt;math&gt;HP = {x|x \neq -\frac{3}{2}, x \in R}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;
daerah hasil: &lt;math&gt;HP = {y|-\infty&lt;y&lt;\infty, y \in R}&lt;/math&gt;

; Pembuatan grafik

;fungsi pecahan linear &lt;math&gt;\frac{ax+b}{px+q}&lt;/math&gt; dengan p≠0.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:
# titik potong sumbu x ((-b/a,0))
# titik potong sumbu y ((0,b/q))
# asymtot tegak (x=-q/p)
# asymtot datar (y=a/p)
# titik-titik lainnya

;fungsi pecahan kuadrat &lt;math&gt;\frac{ax^2+bx+c}{px^2+qx+r}&lt;/math&gt; dengan {a,p}≠0.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:
# titik potong sumbu x (ax&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bx+c=0)
# titik potong sumbu y ((0,c/r))
# asymtot tegak (px&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+qx+r=0)
# asymtot datar (y=a/p)
# harga ekstrem/titik balik (cari diskriminan dari persamaan yang bernilai y dimana y sebagai misalnya serta syarat D ≥ 0. kalau y didapat tinggal cari x nya)
# titik potong tegak dengan asymtot datar (cari nilai x dimana y adalah asymtot datar)
# titik-titik lainnya

;fungsi pecahan kuadrat linear &lt;math&gt;\frac{ax^2+bx+c}{px+q}&lt;/math&gt; dengan {a,p}≠0.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:
# titik potong sumbu x (ax&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bx+c=0)
# titik potong sumbu y ((0,c/q))
# asymtot tegak (x=-q/p)
# asymtot miring (hasil bagi dari pembilang dengan penyebut)
# harga ekstrem/titik balik (cari diskriminan dari persamaan yang bernilai y dimana y sebagai misalnya serta syarat D ≥ 0. kalau y didapat tinggalcari x nya)
# titik-titik lainnya

;fungsi pecahan linear kuadrat &lt;math&gt;\frac{ax+b}{px^2+qx+r}&lt;/math&gt; dengan p≠0.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:
# titik potong sumbu x ((-b/a,0))
# titik potong sumbu y ((0,b/r))
# asymtot tegak (px&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+qx+r=0)
# asymtot datar (y=0)
# harga ekstrem/titik balik (cari diskriminan dari persamaan yang bernilai y dimana y sebagai misalnya serta syarat D ≥ 0. kalau y didapat tinggal cari x nya)
# titik potong tegak dengan asymtot datar (cari nilai x dimana y adalah asymtot datar)
# titik-titik lainnya

; Tambahan soal
* Tentukan hasil nilai dibawah ini!
# f(1) jika &lt;math&gt;f(\frac{26}{3^x-1}) = \frac{16}{x^2-1}&lt;/math&gt;
# f(2) jika &lt;math&gt;f(\sqrt{3^x-5}) = log 5x&lt;/math&gt;
# f(10) jika f(6) = 61 serta &lt;math&gt;f(6) \cdot f(\frac{5}{6}) = f(6) + 25 f(\frac{5}{6})&lt;/math&gt;

1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(\frac{26}{3^x-1}) &amp;= \frac{16}{x^2-1} \\
\text{ anggap bahwa } f(1) &amp;= f(\frac{26}{3^x-1}) \\
1 &amp;= \frac{26}{3^x-1} \\
3^x-1 &amp;= 26 \\
3^x &amp;= 27 \\
3^x &amp;= 3^3 \\
x &amp;= 3 \\

\text { nah x adalah 3 } \\
\frac{16}{x^2-1} &amp;= \frac{16}{3^2-1} \\
 &amp;= \frac{16}{8} \\
 &amp;= 2 \\

f(1) &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(\sqrt{3^x-5}) &amp;= log 5x \\
\text{ anggap bahwa } f(2) &amp;= f(\sqrt{3^x-5}) \\
2 &amp;= \sqrt{3^x-5} \\
3^x-5 &amp;= 2^2 \\
3^x-5 &amp;= 4 \\
3^x &amp;= 9 \\
3^x &amp;= 3^2 \\
x &amp;= 2 \\

\text { nah x adalah 2 } \\
log 5x &amp;= log 5(2) \\
 &amp;= log 10 \\
 &amp;= 1 \\

f(2) &amp;= 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(6) \cdot f(\frac{5}{6}) &amp;= f(6) + 25 f(\frac{5}{6}) \\
61 f(\frac{5}{6}) &amp;= 61 + 25 f(\frac{5}{6}) \\
36 f(\frac{5}{6}) &amp;= 61 \\
f(\frac{5}{6}) &amp;= \frac{61}{36} \\
f(\frac{5}{6}) &amp;= 1 + \frac{25}{36} \\
f(\frac{5}{6}) &amp;= 1 + \frac{5^2}{6^2} \\
f(\frac{5}{6}) &amp;= 1 + (\frac{5}{6})^2 \\
f(x) &amp;= 1 + x^2  \\

f(x) &amp;= 1 + x^2 \\
f(10) &amp;= 1 + 10^2 \\
 &amp;= 101 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

== Fungsi ganjil dan genap ==
fungsi ganjil apabila f(x) = - f(-x) serta fungsi genap apabila f(x) = f(-x).

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>cwsv9xbvmknyprmhuf8x6ytxxi4vtz2</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>OSN Sekolah Menengah Atas</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23568</id>
    <revision>
      <id>107238</id>
      <parentid>100335</parentid>
      <timestamp>2025-06-09T08:40:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107238</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="20850" sha1="d4uawosfcw3oojto3v3h6okreyxr495" xml:space="preserve">contoh soal

# Berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Misalkan 2020 = p} \\
\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &amp;= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-17)^2} \\
&amp;= p^2-17 \\
&amp;= 2020^2-17 \\
&amp;= (2000 + 20)^2-17 \\
&amp;= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\
&amp;= 4.080.383 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 17&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan angka satuannya} \\
17^1 &amp;= 7 \\
17^2 &amp;= 9 \\
17^3 &amp;= 3 \\
17^4 &amp;= 1 \\
17^5 &amp;= 7 \\
17^6 &amp;= 9 \\
17^7 &amp;= 3 \\
17^8 &amp;= 1 \\
\text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan } \\
1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &amp;= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\
&amp;= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\

\text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan} \\
\frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &amp;= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\
&amp;= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\

\text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{20abc}{ab+bc+ac}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;16^a = 256^b = 625^c = 40&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
16^a = 256^b = 625^c &amp;= 40 \\
2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &amp;= 40 \\

2^{4a} &amp;= 40 \\
2 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \\

4^{4b} &amp;= 40 \\
4 &amp;= 40^{\frac{1}{4b}} \\

5^{4c} &amp;= 40 \\
5 &amp;= 40^{\frac{1}{4c}} \\

2 \cdot 4 \cdot 5 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\
1 &amp;= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\
4 &amp;= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\

\frac{20abc}{ab+bc+ac} &amp;= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (4)^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot \frac{1}{4} \\
&amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;27x^3 + \frac{8}{x^3}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;3x + \frac{2}{x} = 6&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
3x + \frac{2}{x} &amp;= 6 \\
(3x + \frac{2}{x})^3 &amp;= 6^3 \\
27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + \frac{8}{x^3} &amp;= 108 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;4x + \frac{25}{x}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= 4x - \frac{25}{x} \\
2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\
1 &amp;= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\
1^2 &amp;= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\
1 &amp;= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\
4x + \frac{25}{x} &amp;= 21 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;sin^3 x + csc^3 x&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;sin x - csc x = 8&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &amp;= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\
(sin x - csc x)^3 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\
8^3 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\
512 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\
sin^3 x - csc^3 x &amp;= 512 + 24 \\
sin^3 x - csc^3 x &amp;= 536 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &amp;= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\
&amp;= \frac{48}{8} \\
&amp;= 6 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{a}{b}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{a^2}{a^2-16b^2} &amp;= \frac{625}{49} \\
\frac{a^2-16b^2}{a^2} &amp;= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\
1 - \frac{16b^2}{a^2} &amp;= \frac{49}{625} \\
\frac{16b^2}{a^2} &amp;= 1 - \frac{49}{625} \\
(\frac{4b}{a})^2 &amp;= \frac{576}{625} \\
(\frac{4b}{a})^2 &amp;= (\frac{24}{25})^2 \\
\frac{4b}{a} &amp;= \frac{24}{25} \\
\frac{b}{a} &amp;= \frac{6}{25} \\
\frac{a}{b} &amp;= \frac{25}{6} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari x jika &lt;math&gt;4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
4^x &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\
4^x-1 &amp;= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\
4^x-1 &amp;= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= 4^{24}-1 \\
4^x &amp;= 4^{24} \\
x &amp;= 24 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari &lt;math&gt;\frac{c-b}{a-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) &amp;= ax^2+bx+c \\
f(2) &amp;= a(2)^2+2b+c = 4 \\
f(2) &amp;= 4a+2b+c = 4 \\
f(7) &amp;= a(7)^2+7b+c = 49 \\
f(7) &amp;= 49a+7b+c = 49 \\

49a+7b+c &amp;= 49 \\
4a+2b+c &amp;= 4 \\
45a+5b &amp;= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\
9a+b &amp;= 9 \\
b &amp;= -9a+9 \\

4a+2b+c &amp;= 4 \\
4a+2(-9a+9)+c &amp;= 4 \\
4a-18a+18+c &amp;= 4 \\
-14a+18+c &amp;= 4 \\
c &amp;= 14a-14 \\

\frac{c-b}{a-1} &amp;= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\
&amp;= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\
&amp;= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\
&amp;= 23 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika a&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;+b&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
(a+b)^3 &amp;= a^3+b^3+3ab(a+b) \\
11^3 &amp;= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\
11^2 &amp;= 22+3ab \\
121 &amp;= 22+3ab \\
99 &amp;= 3ab \\
ab &amp;= 33 \\

(a-b)^2 &amp;= a^2+b^2-2ab \\
&amp;= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\
&amp;= (a+b)^2-4ab \\
&amp;= 11^2-4(33) \\
&amp;= 121-132 \\
&amp;= -11 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut:
: f(x) + f(15-x) = 2024
: f(15+x) = f(x) + 2020
maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) + f(15-x) &amp;= 2024 \\
f(15+x) &amp;= f(x) + 2020 \\

*\text{cara 1 } \\
\text{ganti x dengan 15+x } \\
f(15+x) + f(-x) &amp;= 2024 \\

f(15+x) - f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut }} \\
f(x) + f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x) + 2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika n = 2023&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+2024&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; maka berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2n-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
n &amp;= 2023^2+2024^2 \\
&amp;= 2023^2+(2023+1)^2 \\

\text{Misalkan 2023 = p} \\
n &amp;= p^2+(p+1)^2 \\
&amp;= p^2+p^2+2p+1 \\
&amp;= 2p^2+2p+1 \\

\sqrt{2n-1} &amp;= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+1} \\
&amp;= \sqrt{(2p+1)^2} \\
&amp;= 2p+1 \\
&amp;= 2(2023)+1 \\
&amp;= 4046+1 \\
&amp;= 4047 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika &lt;math&gt;\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}&lt;/math&gt; maka berapa hasil dari (a-c)&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{ab}{a+b} &amp;= \frac{1}{3} \\ 
\frac{a+b}{ab} &amp;= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{b} + \frac{1}{a} &amp;= 3 \\

\frac{bc}{b+c} &amp;= \frac{1}{4} \\ 
\frac{b+c}{bc} &amp;= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{b} &amp;= 4 \\

\frac{ac}{a+c} &amp;= \frac{1}{9} \\ 
\frac{a+c}{ac} &amp;= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{a} &amp;= 9 \\

\text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\
x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x+z &amp;= 9 \\

x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x-z &amp;= -1 \\

x-z &amp;= -1 \\
x+z &amp;= 9 \\
2x &amp;= 8 \\
x &amp;= 4 \\ 

x-z &amp;= -1 \\
4-z &amp;= -1 \\
z &amp;= 5 \\

x+y &amp;= 3 \\
4+y &amp;= 3 \\
y &amp;= -1 \\

\frac{1}{a} &amp;= 4 \\
a &amp;= \frac{1}{4} \\

\frac{1}{b} &amp;= -1 \\
b &amp;= -1 \\

\frac{1}{c} &amp;= 5 \\
c &amp;= \frac{1}{5} \\

(a-c)^b &amp;= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\
&amp;= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\
&amp;= (\frac{1}{20})^{-1} \\
&amp;= 20 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9?
: Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu.
: untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja.
: untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja.
: Jadi banyaknya bilangan mungkin 2.

# Buktikan bahwa 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli!
; Cara 1
# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1 atau 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=(8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1^2)
# 8&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 (semua n untuk bilangan asli)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

; Cara 2
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = b mod 7

# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; dianggap pangkat terkecil)
# (8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7 (pangkat n kedua ruasnya)
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5?
; Cara 1
# 1 &amp; 6 = sisa 1, 2 &amp; 7 = sisa 2, 3 &amp; 8 = sisa 3, 4 &amp; 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0

# 7&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 7 (sisa 1)
# 7&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 49 (sisa 2)
# 7&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 343 (sisa 3)
# 7&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 2,401 (sisa 0)
# 7&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 16,807
# 7&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 117,649

nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3

;Cara 2
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 3
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 4 x 24 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 3

;Cara 3
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 mod 5
::(17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 2 x 2 x 2 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 8 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 mod 5 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5 bersisa 3

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7?
;Cara 1
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 3 
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 6
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 5
:17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 6 x 16 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

;Cara 2
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 mod 7
::(17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 x 3 x 3 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 27 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 6 mod 7 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

# Berapa hasil sisa dari 41&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt; dibagi 33?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
41^{2024} &amp;= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 16 \text{ mod } 33 \\

\text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 99&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
99^{99} &amp;= (3^2 \times 11)^{99} \\
&amp;= 3^{198} \times 11^{99} \\

243^n &amp;= (3^5)^n \\
&amp;= 3^{5n} \\

\text{agar bisa membagi, maka} \\
5n &amp;= 198 \\
n &amp;= 39.6 \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 88&lt;sup&gt;88&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
88^{88} &amp;= (8 \times 11)^{88} \\
&amp;= 8^{88} \times 11^{88} \\
&amp;= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\

512^n &amp;= 512^{29} \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6!
; Cara 1
: KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N &lt; 105.

: N dibagi 3 sisa 1
: N dibagi 5 sisa 2
: N dibagi 7 sisa 6

FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a

: KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70
: KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21
: KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15

Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97

; Cara 2
: Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35
: kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK.

: KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;

Jadi bilangan bulat positif adalah 97

:: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|-
| 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|}

nah ada ember A berisi 4 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|-
| 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|}

nah ada ember B berisi 4 liter.

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>d4uawosfcw3oojto3v3h6okreyxr495</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107239</id>
      <parentid>107238</parentid>
      <timestamp>2025-06-09T08:49:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107239</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21145" sha1="pxc0jnzdpvcdr1kl25ht3445uiyd135" xml:space="preserve">contoh soal

# Berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Misalkan 2020 = p} \\
\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &amp;= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-17)^2} \\
&amp;= p^2-17 \\
&amp;= 2020^2-17 \\
&amp;= (2000 + 20)^2-17 \\
&amp;= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\
&amp;= 4.080.383 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 17&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan angka satuannya} \\
17^1 &amp;= 7 \\
17^2 &amp;= 9 \\
17^3 &amp;= 3 \\
17^4 &amp;= 1 \\
17^5 &amp;= 7 \\
17^6 &amp;= 9 \\
17^7 &amp;= 3 \\
17^8 &amp;= 1 \\
\text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan } \\
1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &amp;= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\
&amp;= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\

\text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan} \\
\frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &amp;= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\
&amp;= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\

\text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{20abc}{ab+bc+ac}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;16^a = 256^b = 625^c = 40&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
16^a = 256^b = 625^c &amp;= 40 \\
2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &amp;= 40 \\

2^{4a} &amp;= 40 \\
2 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \\

4^{4b} &amp;= 40 \\
4 &amp;= 40^{\frac{1}{4b}} \\

5^{4c} &amp;= 40 \\
5 &amp;= 40^{\frac{1}{4c}} \\

2 \cdot 4 \cdot 5 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\
1 &amp;= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\
4 &amp;= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\

\frac{20abc}{ab+bc+ac} &amp;= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (4)^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot \frac{1}{4} \\
&amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;27x^3 + \frac{8}{x^3}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;3x + \frac{2}{x} = 6&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
3x + \frac{2}{x} &amp;= 6 \\
(3x + \frac{2}{x})^3 &amp;= 6^3 \\
27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + \frac{8}{x^3} &amp;= 108 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;4x + \frac{25}{x}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= 4x - \frac{25}{x} \\
2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\
1 &amp;= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\
1^2 &amp;= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\
1 &amp;= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\
4x + \frac{25}{x} &amp;= 21 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;sin^3 x + csc^3 x&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;sin x - csc x = 8&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &amp;= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\
(sin x - csc x)^3 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\
8^3 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\
512 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\
sin^3 x - csc^3 x &amp;= 512 + 24 \\
sin^3 x - csc^3 x &amp;= 536 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &amp;= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\
&amp;= \frac{48}{8} \\
&amp;= 6 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{a}{b}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{a^2}{a^2-16b^2} &amp;= \frac{625}{49} \\
\frac{a^2-16b^2}{a^2} &amp;= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\
1 - \frac{16b^2}{a^2} &amp;= \frac{49}{625} \\
\frac{16b^2}{a^2} &amp;= 1 - \frac{49}{625} \\
(\frac{4b}{a})^2 &amp;= \frac{576}{625} \\
(\frac{4b}{a})^2 &amp;= (\frac{24}{25})^2 \\
\frac{4b}{a} &amp;= \frac{24}{25} \\
\frac{b}{a} &amp;= \frac{6}{25} \\
\frac{a}{b} &amp;= \frac{25}{6} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari x jika &lt;math&gt;4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
4^x &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\
4^x-1 &amp;= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\
4^x-1 &amp;= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= 4^{24}-1 \\
4^x &amp;= 4^{24} \\
x &amp;= 24 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari &lt;math&gt;\frac{c-b}{a-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) &amp;= ax^2+bx+c \\
f(2) &amp;= a(2)^2+2b+c = 4 \\
f(2) &amp;= 4a+2b+c = 4 \\
f(7) &amp;= a(7)^2+7b+c = 49 \\
f(7) &amp;= 49a+7b+c = 49 \\

49a+7b+c &amp;= 49 \\
4a+2b+c &amp;= 4 \\
45a+5b &amp;= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\
9a+b &amp;= 9 \\
b &amp;= -9a+9 \\

4a+2b+c &amp;= 4 \\
4a+2(-9a+9)+c &amp;= 4 \\
4a-18a+18+c &amp;= 4 \\
-14a+18+c &amp;= 4 \\
c &amp;= 14a-14 \\

\frac{c-b}{a-1} &amp;= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\
&amp;= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\
&amp;= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\
&amp;= 23 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika a&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;+b&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
(a+b)^3 &amp;= a^3+b^3+3ab(a+b) \\
11^3 &amp;= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\
11^2 &amp;= 22+3ab \\
121 &amp;= 22+3ab \\
99 &amp;= 3ab \\
ab &amp;= 33 \\

(a-b)^2 &amp;= a^2+b^2-2ab \\
&amp;= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\
&amp;= (a+b)^2-4ab \\
&amp;= 11^2-4(33) \\
&amp;= 121-132 \\
&amp;= -11 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut:
: f(x) + f(15-x) = 2024
: f(15+x) = f(x) + 2020
maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) + f(15-x) &amp;= 2024 \\
f(15+x) &amp;= f(x) + 2020 \\

*\text{cara 1 } \\
\text{ganti x dengan 15+x } \\
f(15+x) + f(-x) &amp;= 2024 \\

f(15+x) - f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
f(x) + f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x) + 2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\

*\text{cara 2 } \\
\text{ganti x dengan -x } \\
f(-x) + f(15+x) &amp;= 2024 \\

f(15+x) - f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
f(x) + f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x) + 2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika n = 2023&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+2024&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; maka berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2n-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
n &amp;= 2023^2+2024^2 \\
&amp;= 2023^2+(2023+1)^2 \\

\text{Misalkan 2023 = p} \\
n &amp;= p^2+(p+1)^2 \\
&amp;= p^2+p^2+2p+1 \\
&amp;= 2p^2+2p+1 \\

\sqrt{2n-1} &amp;= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+1} \\
&amp;= \sqrt{(2p+1)^2} \\
&amp;= 2p+1 \\
&amp;= 2(2023)+1 \\
&amp;= 4046+1 \\
&amp;= 4047 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika &lt;math&gt;\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}&lt;/math&gt; maka berapa hasil dari (a-c)&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{ab}{a+b} &amp;= \frac{1}{3} \\ 
\frac{a+b}{ab} &amp;= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{b} + \frac{1}{a} &amp;= 3 \\

\frac{bc}{b+c} &amp;= \frac{1}{4} \\ 
\frac{b+c}{bc} &amp;= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{b} &amp;= 4 \\

\frac{ac}{a+c} &amp;= \frac{1}{9} \\ 
\frac{a+c}{ac} &amp;= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{a} &amp;= 9 \\

\text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\
x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x+z &amp;= 9 \\

x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x-z &amp;= -1 \\

x-z &amp;= -1 \\
x+z &amp;= 9 \\
2x &amp;= 8 \\
x &amp;= 4 \\ 

x-z &amp;= -1 \\
4-z &amp;= -1 \\
z &amp;= 5 \\

x+y &amp;= 3 \\
4+y &amp;= 3 \\
y &amp;= -1 \\

\frac{1}{a} &amp;= 4 \\
a &amp;= \frac{1}{4} \\

\frac{1}{b} &amp;= -1 \\
b &amp;= -1 \\

\frac{1}{c} &amp;= 5 \\
c &amp;= \frac{1}{5} \\

(a-c)^b &amp;= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\
&amp;= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\
&amp;= (\frac{1}{20})^{-1} \\
&amp;= 20 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9?
: Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu.
: untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja.
: untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja.
: Jadi banyaknya bilangan mungkin 2.

# Buktikan bahwa 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli!
; Cara 1
# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1 atau 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=(8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1^2)
# 8&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 (semua n untuk bilangan asli)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

; Cara 2
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = b mod 7

# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; dianggap pangkat terkecil)
# (8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7 (pangkat n kedua ruasnya)
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5?
; Cara 1
# 1 &amp; 6 = sisa 1, 2 &amp; 7 = sisa 2, 3 &amp; 8 = sisa 3, 4 &amp; 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0

# 7&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 7 (sisa 1)
# 7&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 49 (sisa 2)
# 7&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 343 (sisa 3)
# 7&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 2,401 (sisa 0)
# 7&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 16,807
# 7&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 117,649

nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3

;Cara 2
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 3
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 4 x 24 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 3

;Cara 3
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 mod 5
::(17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 2 x 2 x 2 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 8 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 mod 5 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5 bersisa 3

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7?
;Cara 1
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 3 
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 6
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 5
:17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 6 x 16 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

;Cara 2
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 mod 7
::(17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 x 3 x 3 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 27 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 6 mod 7 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

# Berapa hasil sisa dari 41&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt; dibagi 33?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
41^{2024} &amp;= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 16 \text{ mod } 33 \\

\text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 99&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
99^{99} &amp;= (3^2 \times 11)^{99} \\
&amp;= 3^{198} \times 11^{99} \\

243^n &amp;= (3^5)^n \\
&amp;= 3^{5n} \\

\text{agar bisa membagi, maka} \\
5n &amp;= 198 \\
n &amp;= 39.6 \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 88&lt;sup&gt;88&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
88^{88} &amp;= (8 \times 11)^{88} \\
&amp;= 8^{88} \times 11^{88} \\
&amp;= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\

512^n &amp;= 512^{29} \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6!
; Cara 1
: KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N &lt; 105.

: N dibagi 3 sisa 1
: N dibagi 5 sisa 2
: N dibagi 7 sisa 6

FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a

: KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70
: KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21
: KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15

Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97

; Cara 2
: Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35
: kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK.

: KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;

Jadi bilangan bulat positif adalah 97

:: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|-
| 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|}

nah ada ember A berisi 4 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|-
| 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|}

nah ada ember B berisi 4 liter.

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>pxc0jnzdpvcdr1kl25ht3445uiyd135</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107240</id>
      <parentid>107239</parentid>
      <timestamp>2025-06-09T09:19:14Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107240</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21854" sha1="m5kzz3kxn8km1rfhdabzjhiici4bttm" xml:space="preserve">contoh soal

# Berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Misalkan 2020 = p} \\
\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &amp;= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-17)^2} \\
&amp;= p^2-17 \\
&amp;= 2020^2-17 \\
&amp;= (2000 + 20)^2-17 \\
&amp;= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\
&amp;= 4.080.383 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 17&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan angka satuannya} \\
17^1 &amp;= 7 \\
17^2 &amp;= 9 \\
17^3 &amp;= 3 \\
17^4 &amp;= 1 \\
17^5 &amp;= 7 \\
17^6 &amp;= 9 \\
17^7 &amp;= 3 \\
17^8 &amp;= 1 \\
\text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan } \\
1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &amp;= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\
&amp;= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\

\text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan} \\
\frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &amp;= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\
&amp;= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\

\text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{20abc}{ab+bc+ac}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;16^a = 256^b = 625^c = 40&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
16^a = 256^b = 625^c &amp;= 40 \\
2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &amp;= 40 \\

2^{4a} &amp;= 40 \\
2 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \\

4^{4b} &amp;= 40 \\
4 &amp;= 40^{\frac{1}{4b}} \\

5^{4c} &amp;= 40 \\
5 &amp;= 40^{\frac{1}{4c}} \\

2 \cdot 4 \cdot 5 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\
1 &amp;= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\
4 &amp;= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\

\frac{20abc}{ab+bc+ac} &amp;= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (4)^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot \frac{1}{4} \\
&amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;27x^3 + \frac{8}{x^3}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;3x + \frac{2}{x} = 6&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
3x + \frac{2}{x} &amp;= 6 \\
(3x + \frac{2}{x})^3 &amp;= 6^3 \\
27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + \frac{8}{x^3} &amp;= 108 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;4x + \frac{25}{x}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= 4x - \frac{25}{x} \\
2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\
1 &amp;= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\
1^2 &amp;= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\
1 &amp;= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\
4x + \frac{25}{x} &amp;= 21 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;sin^3 x + csc^3 x&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;sin x - csc x = 8&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &amp;= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\
(sin x - csc x)^3 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\
8^3 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\
512 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\
sin^3 x - csc^3 x &amp;= 512 + 24 \\
sin^3 x - csc^3 x &amp;= 536 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &amp;= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\
&amp;= \frac{48}{8} \\
&amp;= 6 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{a}{b}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{a^2}{a^2-16b^2} &amp;= \frac{625}{49} \\
\frac{a^2-16b^2}{a^2} &amp;= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\
1 - \frac{16b^2}{a^2} &amp;= \frac{49}{625} \\
\frac{16b^2}{a^2} &amp;= 1 - \frac{49}{625} \\
(\frac{4b}{a})^2 &amp;= \frac{576}{625} \\
(\frac{4b}{a})^2 &amp;= (\frac{24}{25})^2 \\
\frac{4b}{a} &amp;= \frac{24}{25} \\
\frac{b}{a} &amp;= \frac{6}{25} \\
\frac{a}{b} &amp;= \frac{25}{6} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari x jika &lt;math&gt;4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
4^x &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\
4^x-1 &amp;= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\
4^x-1 &amp;= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= 4^{24}-1 \\
4^x &amp;= 4^{24} \\
x &amp;= 24 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari &lt;math&gt;\frac{c-b}{a-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) &amp;= ax^2+bx+c \\
f(2) &amp;= a(2)^2+2b+c = 4 \\
f(2) &amp;= 4a+2b+c = 4 \\
f(7) &amp;= a(7)^2+7b+c = 49 \\
f(7) &amp;= 49a+7b+c = 49 \\

49a+7b+c &amp;= 49 \\
4a+2b+c &amp;= 4 \\
45a+5b &amp;= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\
9a+b &amp;= 9 \\
b &amp;= -9a+9 \\

4a+2b+c &amp;= 4 \\
4a+2(-9a+9)+c &amp;= 4 \\
4a-18a+18+c &amp;= 4 \\
-14a+18+c &amp;= 4 \\
c &amp;= 14a-14 \\

\frac{c-b}{a-1} &amp;= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\
&amp;= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\
&amp;= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\
&amp;= 23 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika a&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;+b&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
(a+b)^3 &amp;= a^3+b^3+3ab(a+b) \\
11^3 &amp;= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\
11^2 &amp;= 22+3ab \\
121 &amp;= 22+3ab \\
99 &amp;= 3ab \\
ab &amp;= 33 \\

(a-b)^2 &amp;= a^2+b^2-2ab \\
&amp;= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\
&amp;= (a+b)^2-4ab \\
&amp;= 11^2-4(33) \\
&amp;= 121-132 \\
&amp;= -11 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut:
: f(x) + f(15-x) = 2024
: f(15+x) = f(x) + 2020
maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) + f(15-x) &amp;= 2024 \\
f(15+x) &amp;= f(x) + 2020 \\

*\text{cara 1 } \\
\text{ganti x dengan 15+x } \\
f(15+x) + f(-x) &amp;= 2024 \\

f(15+x) - f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
f(x) + f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x) + 2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\

*\text{cara 2 } \\
\text{ganti x dengan -x } \\
f(-x) + f(15+x) &amp;= 2024 \\

f(15+x) - f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
f(x) + f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x) + 2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi &lt;math&gt;f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x&lt;/math&gt; untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x \\

\text{ganti x dengan 1/3 } \\
f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) = 1 \\

\text{ganti x dengan -3 } \\
f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\
\text{dikalikan 3 } \\
3f(-\frac{1}{3}) - f(3) = -27 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
2f(3) &amp;= 28 \\
f(3) &amp;= 14 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika n = 2023&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+2024&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; maka berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2n-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
n &amp;= 2023^2+2024^2 \\
&amp;= 2023^2+(2023+1)^2 \\

\text{Misalkan 2023 = p} \\
n &amp;= p^2+(p+1)^2 \\
&amp;= p^2+p^2+2p+1 \\
&amp;= 2p^2+2p+1 \\

\sqrt{2n-1} &amp;= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+1} \\
&amp;= \sqrt{(2p+1)^2} \\
&amp;= 2p+1 \\
&amp;= 2(2023)+1 \\
&amp;= 4046+1 \\
&amp;= 4047 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika &lt;math&gt;\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}&lt;/math&gt; maka berapa hasil dari (a-c)&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{ab}{a+b} &amp;= \frac{1}{3} \\ 
\frac{a+b}{ab} &amp;= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{b} + \frac{1}{a} &amp;= 3 \\

\frac{bc}{b+c} &amp;= \frac{1}{4} \\ 
\frac{b+c}{bc} &amp;= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{b} &amp;= 4 \\

\frac{ac}{a+c} &amp;= \frac{1}{9} \\ 
\frac{a+c}{ac} &amp;= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{a} &amp;= 9 \\

\text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\
x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x+z &amp;= 9 \\

x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x-z &amp;= -1 \\

x-z &amp;= -1 \\
x+z &amp;= 9 \\
2x &amp;= 8 \\
x &amp;= 4 \\ 

x-z &amp;= -1 \\
4-z &amp;= -1 \\
z &amp;= 5 \\

x+y &amp;= 3 \\
4+y &amp;= 3 \\
y &amp;= -1 \\

\frac{1}{a} &amp;= 4 \\
a &amp;= \frac{1}{4} \\

\frac{1}{b} &amp;= -1 \\
b &amp;= -1 \\

\frac{1}{c} &amp;= 5 \\
c &amp;= \frac{1}{5} \\

(a-c)^b &amp;= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\
&amp;= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\
&amp;= (\frac{1}{20})^{-1} \\
&amp;= 20 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9?
: Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu.
: untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja.
: untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja.
: Jadi banyaknya bilangan mungkin 2.

# Buktikan bahwa 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli!
; Cara 1
# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1 atau 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=(8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1^2)
# 8&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 (semua n untuk bilangan asli)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

; Cara 2
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = b mod 7

# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; dianggap pangkat terkecil)
# (8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7 (pangkat n kedua ruasnya)
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5?
; Cara 1
# 1 &amp; 6 = sisa 1, 2 &amp; 7 = sisa 2, 3 &amp; 8 = sisa 3, 4 &amp; 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0

# 7&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 7 (sisa 1)
# 7&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 49 (sisa 2)
# 7&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 343 (sisa 3)
# 7&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 2,401 (sisa 0)
# 7&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 16,807
# 7&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 117,649

nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3

;Cara 2
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 3
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 4 x 24 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 3

;Cara 3
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 mod 5
::(17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 2 x 2 x 2 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 8 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 mod 5 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5 bersisa 3

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7?
;Cara 1
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 3 
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 6
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 5
:17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 6 x 16 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

;Cara 2
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 mod 7
::(17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 x 3 x 3 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 27 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 6 mod 7 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

# Berapa hasil sisa dari 41&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt; dibagi 33?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
41^{2024} &amp;= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 16 \text{ mod } 33 \\

\text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 99&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
99^{99} &amp;= (3^2 \times 11)^{99} \\
&amp;= 3^{198} \times 11^{99} \\

243^n &amp;= (3^5)^n \\
&amp;= 3^{5n} \\

\text{agar bisa membagi, maka} \\
5n &amp;= 198 \\
n &amp;= 39.6 \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 88&lt;sup&gt;88&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
88^{88} &amp;= (8 \times 11)^{88} \\
&amp;= 8^{88} \times 11^{88} \\
&amp;= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\

512^n &amp;= 512^{29} \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6!
; Cara 1
: KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N &lt; 105.

: N dibagi 3 sisa 1
: N dibagi 5 sisa 2
: N dibagi 7 sisa 6

FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a

: KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70
: KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21
: KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15

Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97

; Cara 2
: Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35
: kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK.

: KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;

Jadi bilangan bulat positif adalah 97

:: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|-
| 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|}

nah ada ember A berisi 4 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|-
| 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|}

nah ada ember B berisi 4 liter.

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>m5kzz3kxn8km1rfhdabzjhiici4bttm</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107241</id>
      <parentid>107240</parentid>
      <timestamp>2025-06-09T09:20:10Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107241</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21856" sha1="gltb8wljje3uetc0i0guca70zol33vl" xml:space="preserve">contoh soal

# Berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Misalkan 2020 = p} \\
\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &amp;= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-17)^2} \\
&amp;= p^2-17 \\
&amp;= 2020^2-17 \\
&amp;= (2000 + 20)^2-17 \\
&amp;= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\
&amp;= 4.080.383 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 17&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan angka satuannya} \\
17^1 &amp;= 7 \\
17^2 &amp;= 9 \\
17^3 &amp;= 3 \\
17^4 &amp;= 1 \\
17^5 &amp;= 7 \\
17^6 &amp;= 9 \\
17^7 &amp;= 3 \\
17^8 &amp;= 1 \\
\text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan } \\
1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &amp;= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\
&amp;= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\

\text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan} \\
\frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &amp;= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\
&amp;= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\

\text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{20abc}{ab+bc+ac}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;16^a = 256^b = 625^c = 40&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
16^a = 256^b = 625^c &amp;= 40 \\
2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &amp;= 40 \\

2^{4a} &amp;= 40 \\
2 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \\

4^{4b} &amp;= 40 \\
4 &amp;= 40^{\frac{1}{4b}} \\

5^{4c} &amp;= 40 \\
5 &amp;= 40^{\frac{1}{4c}} \\

2 \cdot 4 \cdot 5 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\
1 &amp;= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\
4 &amp;= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\

\frac{20abc}{ab+bc+ac} &amp;= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (4)^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot \frac{1}{4} \\
&amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;27x^3 + \frac{8}{x^3}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;3x + \frac{2}{x} = 6&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
3x + \frac{2}{x} &amp;= 6 \\
(3x + \frac{2}{x})^3 &amp;= 6^3 \\
27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + \frac{8}{x^3} &amp;= 108 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;4x + \frac{25}{x}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= 4x - \frac{25}{x} \\
2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\
1 &amp;= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\
1^2 &amp;= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\
1 &amp;= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\
4x + \frac{25}{x} &amp;= 21 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;sin^3 x + csc^3 x&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;sin x - csc x = 8&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &amp;= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\
(sin x - csc x)^3 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\
8^3 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\
512 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\
sin^3 x - csc^3 x &amp;= 512 + 24 \\
sin^3 x - csc^3 x &amp;= 536 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &amp;= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\
&amp;= \frac{48}{8} \\
&amp;= 6 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{a}{b}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{a^2}{a^2-16b^2} &amp;= \frac{625}{49} \\
\frac{a^2-16b^2}{a^2} &amp;= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\
1 - \frac{16b^2}{a^2} &amp;= \frac{49}{625} \\
\frac{16b^2}{a^2} &amp;= 1 - \frac{49}{625} \\
(\frac{4b}{a})^2 &amp;= \frac{576}{625} \\
(\frac{4b}{a})^2 &amp;= (\frac{24}{25})^2 \\
\frac{4b}{a} &amp;= \frac{24}{25} \\
\frac{b}{a} &amp;= \frac{6}{25} \\
\frac{a}{b} &amp;= \frac{25}{6} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari x jika &lt;math&gt;4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
4^x &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\
4^x-1 &amp;= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\
4^x-1 &amp;= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= 4^{24}-1 \\
4^x &amp;= 4^{24} \\
x &amp;= 24 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari &lt;math&gt;\frac{c-b}{a-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) &amp;= ax^2+bx+c \\
f(2) &amp;= a(2)^2+2b+c = 4 \\
f(2) &amp;= 4a+2b+c = 4 \\
f(7) &amp;= a(7)^2+7b+c = 49 \\
f(7) &amp;= 49a+7b+c = 49 \\

49a+7b+c &amp;= 49 \\
4a+2b+c &amp;= 4 \\
45a+5b &amp;= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\
9a+b &amp;= 9 \\
b &amp;= -9a+9 \\

4a+2b+c &amp;= 4 \\
4a+2(-9a+9)+c &amp;= 4 \\
4a-18a+18+c &amp;= 4 \\
-14a+18+c &amp;= 4 \\
c &amp;= 14a-14 \\

\frac{c-b}{a-1} &amp;= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\
&amp;= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\
&amp;= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\
&amp;= 23 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika a&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;+b&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
(a+b)^3 &amp;= a^3+b^3+3ab(a+b) \\
11^3 &amp;= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\
11^2 &amp;= 22+3ab \\
121 &amp;= 22+3ab \\
99 &amp;= 3ab \\
ab &amp;= 33 \\

(a-b)^2 &amp;= a^2+b^2-2ab \\
&amp;= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\
&amp;= (a+b)^2-4ab \\
&amp;= 11^2-4(33) \\
&amp;= 121-132 \\
&amp;= -11 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut:
: f(x) + f(15-x) = 2024
: f(15+x) = f(x) + 2020
maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) + f(15-x) &amp;= 2024 \\
f(15+x) &amp;= f(x) + 2020 \\

*\text{cara 1 } \\
\text{ganti x dengan 15+x } \\
f(15+x) + f(-x) &amp;= 2024 \\

f(15+x) - f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
f(x) + f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x) + 2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\

*\text{cara 2 } \\
\text{ganti x dengan -x } \\
f(-x) + f(15+x) &amp;= 2024 \\

f(15+x) - f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
f(x) + f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x) + 2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi &lt;math&gt;f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x&lt;/math&gt; untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x \\

\text{ganti x dengan 1/3 } \\
f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &amp;= 1 \\

\text{ganti x dengan -3 } \\
f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\
\text{dikalikan 3 } \\
3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &amp;= -27 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
2f(3) &amp;= 28 \\
f(3) &amp;= 14 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika n = 2023&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+2024&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; maka berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2n-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
n &amp;= 2023^2+2024^2 \\
&amp;= 2023^2+(2023+1)^2 \\

\text{Misalkan 2023 = p} \\
n &amp;= p^2+(p+1)^2 \\
&amp;= p^2+p^2+2p+1 \\
&amp;= 2p^2+2p+1 \\

\sqrt{2n-1} &amp;= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+1} \\
&amp;= \sqrt{(2p+1)^2} \\
&amp;= 2p+1 \\
&amp;= 2(2023)+1 \\
&amp;= 4046+1 \\
&amp;= 4047 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika &lt;math&gt;\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}&lt;/math&gt; maka berapa hasil dari (a-c)&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{ab}{a+b} &amp;= \frac{1}{3} \\ 
\frac{a+b}{ab} &amp;= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{b} + \frac{1}{a} &amp;= 3 \\

\frac{bc}{b+c} &amp;= \frac{1}{4} \\ 
\frac{b+c}{bc} &amp;= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{b} &amp;= 4 \\

\frac{ac}{a+c} &amp;= \frac{1}{9} \\ 
\frac{a+c}{ac} &amp;= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{a} &amp;= 9 \\

\text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\
x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x+z &amp;= 9 \\

x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x-z &amp;= -1 \\

x-z &amp;= -1 \\
x+z &amp;= 9 \\
2x &amp;= 8 \\
x &amp;= 4 \\ 

x-z &amp;= -1 \\
4-z &amp;= -1 \\
z &amp;= 5 \\

x+y &amp;= 3 \\
4+y &amp;= 3 \\
y &amp;= -1 \\

\frac{1}{a} &amp;= 4 \\
a &amp;= \frac{1}{4} \\

\frac{1}{b} &amp;= -1 \\
b &amp;= -1 \\

\frac{1}{c} &amp;= 5 \\
c &amp;= \frac{1}{5} \\

(a-c)^b &amp;= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\
&amp;= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\
&amp;= (\frac{1}{20})^{-1} \\
&amp;= 20 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9?
: Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu.
: untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja.
: untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja.
: Jadi banyaknya bilangan mungkin 2.

# Buktikan bahwa 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli!
; Cara 1
# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1 atau 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=(8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1^2)
# 8&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 (semua n untuk bilangan asli)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

; Cara 2
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = b mod 7

# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; dianggap pangkat terkecil)
# (8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7 (pangkat n kedua ruasnya)
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5?
; Cara 1
# 1 &amp; 6 = sisa 1, 2 &amp; 7 = sisa 2, 3 &amp; 8 = sisa 3, 4 &amp; 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0

# 7&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 7 (sisa 1)
# 7&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 49 (sisa 2)
# 7&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 343 (sisa 3)
# 7&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 2,401 (sisa 0)
# 7&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 16,807
# 7&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 117,649

nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3

;Cara 2
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 3
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 4 x 24 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 3

;Cara 3
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 mod 5
::(17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 2 x 2 x 2 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 8 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 mod 5 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5 bersisa 3

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7?
;Cara 1
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 3 
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 6
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 5
:17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 6 x 16 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

;Cara 2
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 mod 7
::(17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 x 3 x 3 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 27 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 6 mod 7 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

# Berapa hasil sisa dari 41&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt; dibagi 33?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
41^{2024} &amp;= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 16 \text{ mod } 33 \\

\text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 99&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
99^{99} &amp;= (3^2 \times 11)^{99} \\
&amp;= 3^{198} \times 11^{99} \\

243^n &amp;= (3^5)^n \\
&amp;= 3^{5n} \\

\text{agar bisa membagi, maka} \\
5n &amp;= 198 \\
n &amp;= 39.6 \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 88&lt;sup&gt;88&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
88^{88} &amp;= (8 \times 11)^{88} \\
&amp;= 8^{88} \times 11^{88} \\
&amp;= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\

512^n &amp;= 512^{29} \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6!
; Cara 1
: KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N &lt; 105.

: N dibagi 3 sisa 1
: N dibagi 5 sisa 2
: N dibagi 7 sisa 6

FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a

: KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70
: KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21
: KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15

Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97

; Cara 2
: Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35
: kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK.

: KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;

Jadi bilangan bulat positif adalah 97

:: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|-
| 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|}

nah ada ember A berisi 4 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|-
| 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|}

nah ada ember B berisi 4 liter.

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>gltb8wljje3uetc0i0guca70zol33vl</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107242</id>
      <parentid>107241</parentid>
      <timestamp>2025-06-09T11:35:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107242</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="22589" sha1="2jap8lod6r9bw75m80h8pdkbr1lejah" xml:space="preserve">contoh soal

# Berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Misalkan 2020 = p} \\
\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &amp;= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-17)^2} \\
&amp;= p^2-17 \\
&amp;= 2020^2-17 \\
&amp;= (2000 + 20)^2-17 \\
&amp;= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\
&amp;= 4.080.383 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 17&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan angka satuannya} \\
17^1 &amp;= 7 \\
17^2 &amp;= 9 \\
17^3 &amp;= 3 \\
17^4 &amp;= 1 \\
17^5 &amp;= 7 \\
17^6 &amp;= 9 \\
17^7 &amp;= 3 \\
17^8 &amp;= 1 \\
\text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan } \\
1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &amp;= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\
&amp;= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\

\text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan} \\
\frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &amp;= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\
&amp;= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\

\text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{20abc}{ab+bc+ac}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;16^a = 256^b = 625^c = 40&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
16^a = 256^b = 625^c &amp;= 40 \\
2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &amp;= 40 \\

2^{4a} &amp;= 40 \\
2 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \\

4^{4b} &amp;= 40 \\
4 &amp;= 40^{\frac{1}{4b}} \\

5^{4c} &amp;= 40 \\
5 &amp;= 40^{\frac{1}{4c}} \\

2 \cdot 4 \cdot 5 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\
1 &amp;= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\
4 &amp;= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\

\frac{20abc}{ab+bc+ac} &amp;= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (4)^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot \frac{1}{4} \\
&amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;27x^3 + \frac{8}{x^3}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;3x + \frac{2}{x} = 6&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
3x + \frac{2}{x} &amp;= 6 \\
(3x + \frac{2}{x})^3 &amp;= 6^3 \\
27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + \frac{8}{x^3} &amp;= 108 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;4x + \frac{25}{x}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= 4x - \frac{25}{x} \\
2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\
1 &amp;= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\
1^2 &amp;= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\
1 &amp;= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\
4x + \frac{25}{x} &amp;= 21 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;sin^3 x + csc^3 x&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;sin x - csc x = 8&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &amp;= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\
(sin x - csc x)^3 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\
8^3 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\
512 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\
sin^3 x - csc^3 x &amp;= 512 + 24 \\
sin^3 x - csc^3 x &amp;= 536 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &amp;= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\
&amp;= \frac{48}{8} \\
&amp;= 6 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{a}{b}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{a^2}{a^2-16b^2} &amp;= \frac{625}{49} \\
\frac{a^2-16b^2}{a^2} &amp;= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\
1 - \frac{16b^2}{a^2} &amp;= \frac{49}{625} \\
\frac{16b^2}{a^2} &amp;= 1 - \frac{49}{625} \\
(\frac{4b}{a})^2 &amp;= \frac{576}{625} \\
(\frac{4b}{a})^2 &amp;= (\frac{24}{25})^2 \\
\frac{4b}{a} &amp;= \frac{24}{25} \\
\frac{b}{a} &amp;= \frac{6}{25} \\
\frac{a}{b} &amp;= \frac{25}{6} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari x jika &lt;math&gt;4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
4^x &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\
4^x-1 &amp;= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\
4^x-1 &amp;= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= 4^{24}-1 \\
4^x &amp;= 4^{24} \\
x &amp;= 24 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari &lt;math&gt;\frac{c-b}{a-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) &amp;= ax^2+bx+c \\
f(2) &amp;= a(2)^2+2b+c = 4 \\
f(2) &amp;= 4a+2b+c = 4 \\
f(7) &amp;= a(7)^2+7b+c = 49 \\
f(7) &amp;= 49a+7b+c = 49 \\

49a+7b+c &amp;= 49 \\
4a+2b+c &amp;= 4 \\
45a+5b &amp;= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\
9a+b &amp;= 9 \\
b &amp;= -9a+9 \\

4a+2b+c &amp;= 4 \\
4a+2(-9a+9)+c &amp;= 4 \\
4a-18a+18+c &amp;= 4 \\
-14a+18+c &amp;= 4 \\
c &amp;= 14a-14 \\

\frac{c-b}{a-1} &amp;= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\
&amp;= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\
&amp;= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\
&amp;= 23 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika a&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;+b&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
(a+b)^3 &amp;= a^3+b^3+3ab(a+b) \\
11^3 &amp;= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\
11^2 &amp;= 22+3ab \\
121 &amp;= 22+3ab \\
99 &amp;= 3ab \\
ab &amp;= 33 \\

(a-b)^2 &amp;= a^2+b^2-2ab \\
&amp;= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\
&amp;= (a+b)^2-4ab \\
&amp;= 11^2-4(33) \\
&amp;= 121-132 \\
&amp;= -11 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut:
: f(x) + f(15-x) = 2024
: f(15+x) = f(x) + 2020
maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) + f(15-x) &amp;= 2024 \\
f(15+x) &amp;= f(x) + 2020 \\

*\text{cara 1 } \\
\text{ganti x dengan 15+x } \\
f(15+x) + f(-x) &amp;= 2024 \\

f(15+x) - f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
f(x) + f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x) + 2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\

*\text{cara 2 } \\
\text{ganti x dengan -x } \\
f(-x) + f(15+x) &amp;= 2024 \\

f(15+x) - f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
f(x) + f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x) + 2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi &lt;math&gt;f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x&lt;/math&gt; untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x \\

\text{ganti x dengan 1/3 } \\
f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &amp;= 1 \\

\text{ganti x dengan -3 } \\
f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\
\text{dikalikan 3 } \\
3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &amp;= -27 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
2f(3) &amp;= 28 \\
f(3) &amp;= 14 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika n = 2023&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+2024&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; maka berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2n-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
n &amp;= 2023^2+2024^2 \\
&amp;= 2023^2+(2023+1)^2 \\

\text{Misalkan 2023 = p} \\
n &amp;= p^2+(p+1)^2 \\
&amp;= p^2+p^2+2p+1 \\
&amp;= 2p^2+2p+1 \\

\sqrt{2n-1} &amp;= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+1} \\
&amp;= \sqrt{(2p+1)^2} \\
&amp;= 2p+1 \\
&amp;= 2(2023)+1 \\
&amp;= 4046+1 \\
&amp;= 4047 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika &lt;math&gt;\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}&lt;/math&gt; maka berapa hasil dari (a-c)&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{ab}{a+b} &amp;= \frac{1}{3} \\ 
\frac{a+b}{ab} &amp;= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{b} + \frac{1}{a} &amp;= 3 \\

\frac{bc}{b+c} &amp;= \frac{1}{4} \\ 
\frac{b+c}{bc} &amp;= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{b} &amp;= 4 \\

\frac{ac}{a+c} &amp;= \frac{1}{9} \\ 
\frac{a+c}{ac} &amp;= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{a} &amp;= 9 \\

\text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\
x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x+z &amp;= 9 \\

x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x-z &amp;= -1 \\

x-z &amp;= -1 \\
x+z &amp;= 9 \\
2x &amp;= 8 \\
x &amp;= 4 \\ 

x-z &amp;= -1 \\
4-z &amp;= -1 \\
z &amp;= 5 \\

x+y &amp;= 3 \\
4+y &amp;= 3 \\
y &amp;= -1 \\

\frac{1}{a} &amp;= 4 \\
a &amp;= \frac{1}{4} \\

\frac{1}{b} &amp;= -1 \\
b &amp;= -1 \\

\frac{1}{c} &amp;= 5 \\
c &amp;= \frac{1}{5} \\

(a-c)^b &amp;= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\
&amp;= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\
&amp;= (\frac{1}{20})^{-1} \\
&amp;= 20 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = &lt;math&gt;\frac{x}{y}&lt;/math&gt; = x - y maka berapa nilai x - y?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
xy &amp;= \frac{x}{y} \\ 
y^ &amp;= 1 \\
y^2 - 1 &amp;= 0 \\
(y-1)(y+1) &amp;= 0 \\
y = 1 &amp; y = -1

\frac{x}{y} &amp;= x-y \\ 
x &amp;= xy-y^2 \\
x-xy &amp;= -y^2 \\
x(1-y)? &amp;= -y^2 \\
x &amp;= \frac{-y^2}{1-y) \\

\text{cek y=1 } \\ 
x &amp;= \frac{-1^2}{1-1) \\ \\
\text{tidak memenuhi syarat } \\

\text{cek y=-1 } \\ 
x &amp;= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)) \\ \\
 &amp;= \frac{-1}{2) \\

x+y &amp;= -1-\frac{1}{2} \\
 &amp;= -\frac{3}{2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9?
: Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu.
: untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja.
: untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja.
: Jadi banyaknya bilangan mungkin 2.

# Buktikan bahwa 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli!
; Cara 1
# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1 atau 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=(8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1^2)
# 8&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 (semua n untuk bilangan asli)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

; Cara 2
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = b mod 7

# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; dianggap pangkat terkecil)
# (8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7 (pangkat n kedua ruasnya)
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5?
; Cara 1
# 1 &amp; 6 = sisa 1, 2 &amp; 7 = sisa 2, 3 &amp; 8 = sisa 3, 4 &amp; 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0

# 7&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 7 (sisa 1)
# 7&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 49 (sisa 2)
# 7&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 343 (sisa 3)
# 7&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 2,401 (sisa 0)
# 7&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 16,807
# 7&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 117,649

nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3

;Cara 2
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 3
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 4 x 24 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 3

;Cara 3
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 mod 5
::(17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 2 x 2 x 2 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 8 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 mod 5 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5 bersisa 3

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7?
;Cara 1
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 3 
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 6
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 5
:17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 6 x 16 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

;Cara 2
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 mod 7
::(17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 x 3 x 3 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 27 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 6 mod 7 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

# Berapa hasil sisa dari 41&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt; dibagi 33?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
41^{2024} &amp;= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 16 \text{ mod } 33 \\

\text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 99&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
99^{99} &amp;= (3^2 \times 11)^{99} \\
&amp;= 3^{198} \times 11^{99} \\

243^n &amp;= (3^5)^n \\
&amp;= 3^{5n} \\

\text{agar bisa membagi, maka} \\
5n &amp;= 198 \\
n &amp;= 39.6 \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 88&lt;sup&gt;88&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
88^{88} &amp;= (8 \times 11)^{88} \\
&amp;= 8^{88} \times 11^{88} \\
&amp;= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\

512^n &amp;= 512^{29} \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6!
; Cara 1
: KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N &lt; 105.

: N dibagi 3 sisa 1
: N dibagi 5 sisa 2
: N dibagi 7 sisa 6

FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a

: KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70
: KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21
: KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15

Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97

; Cara 2
: Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35
: kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK.

: KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;

Jadi bilangan bulat positif adalah 97

:: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|-
| 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|}

nah ada ember A berisi 4 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|-
| 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|}

nah ada ember B berisi 4 liter.

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>2jap8lod6r9bw75m80h8pdkbr1lejah</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107243</id>
      <parentid>107242</parentid>
      <timestamp>2025-06-09T11:36:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107243</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="22590" sha1="3btsvme8abq2y2sgjiwfiotto6u7hx1" xml:space="preserve">contoh soal

# Berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Misalkan 2020 = p} \\
\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &amp;= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-17)^2} \\
&amp;= p^2-17 \\
&amp;= 2020^2-17 \\
&amp;= (2000 + 20)^2-17 \\
&amp;= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\
&amp;= 4.080.383 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 17&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan angka satuannya} \\
17^1 &amp;= 7 \\
17^2 &amp;= 9 \\
17^3 &amp;= 3 \\
17^4 &amp;= 1 \\
17^5 &amp;= 7 \\
17^6 &amp;= 9 \\
17^7 &amp;= 3 \\
17^8 &amp;= 1 \\
\text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan } \\
1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &amp;= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\
&amp;= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\

\text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan} \\
\frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &amp;= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\
&amp;= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\

\text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{20abc}{ab+bc+ac}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;16^a = 256^b = 625^c = 40&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
16^a = 256^b = 625^c &amp;= 40 \\
2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &amp;= 40 \\

2^{4a} &amp;= 40 \\
2 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \\

4^{4b} &amp;= 40 \\
4 &amp;= 40^{\frac{1}{4b}} \\

5^{4c} &amp;= 40 \\
5 &amp;= 40^{\frac{1}{4c}} \\

2 \cdot 4 \cdot 5 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\
1 &amp;= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\
4 &amp;= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\

\frac{20abc}{ab+bc+ac} &amp;= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (4)^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot \frac{1}{4} \\
&amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;27x^3 + \frac{8}{x^3}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;3x + \frac{2}{x} = 6&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
3x + \frac{2}{x} &amp;= 6 \\
(3x + \frac{2}{x})^3 &amp;= 6^3 \\
27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + \frac{8}{x^3} &amp;= 108 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;4x + \frac{25}{x}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= 4x - \frac{25}{x} \\
2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\
1 &amp;= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\
1^2 &amp;= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\
1 &amp;= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\
4x + \frac{25}{x} &amp;= 21 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;sin^3 x + csc^3 x&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;sin x - csc x = 8&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &amp;= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\
(sin x - csc x)^3 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\
8^3 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\
512 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\
sin^3 x - csc^3 x &amp;= 512 + 24 \\
sin^3 x - csc^3 x &amp;= 536 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &amp;= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\
&amp;= \frac{48}{8} \\
&amp;= 6 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{a}{b}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{a^2}{a^2-16b^2} &amp;= \frac{625}{49} \\
\frac{a^2-16b^2}{a^2} &amp;= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\
1 - \frac{16b^2}{a^2} &amp;= \frac{49}{625} \\
\frac{16b^2}{a^2} &amp;= 1 - \frac{49}{625} \\
(\frac{4b}{a})^2 &amp;= \frac{576}{625} \\
(\frac{4b}{a})^2 &amp;= (\frac{24}{25})^2 \\
\frac{4b}{a} &amp;= \frac{24}{25} \\
\frac{b}{a} &amp;= \frac{6}{25} \\
\frac{a}{b} &amp;= \frac{25}{6} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari x jika &lt;math&gt;4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
4^x &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\
4^x-1 &amp;= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\
4^x-1 &amp;= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= 4^{24}-1 \\
4^x &amp;= 4^{24} \\
x &amp;= 24 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari &lt;math&gt;\frac{c-b}{a-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) &amp;= ax^2+bx+c \\
f(2) &amp;= a(2)^2+2b+c = 4 \\
f(2) &amp;= 4a+2b+c = 4 \\
f(7) &amp;= a(7)^2+7b+c = 49 \\
f(7) &amp;= 49a+7b+c = 49 \\

49a+7b+c &amp;= 49 \\
4a+2b+c &amp;= 4 \\
45a+5b &amp;= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\
9a+b &amp;= 9 \\
b &amp;= -9a+9 \\

4a+2b+c &amp;= 4 \\
4a+2(-9a+9)+c &amp;= 4 \\
4a-18a+18+c &amp;= 4 \\
-14a+18+c &amp;= 4 \\
c &amp;= 14a-14 \\

\frac{c-b}{a-1} &amp;= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\
&amp;= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\
&amp;= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\
&amp;= 23 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika a&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;+b&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
(a+b)^3 &amp;= a^3+b^3+3ab(a+b) \\
11^3 &amp;= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\
11^2 &amp;= 22+3ab \\
121 &amp;= 22+3ab \\
99 &amp;= 3ab \\
ab &amp;= 33 \\

(a-b)^2 &amp;= a^2+b^2-2ab \\
&amp;= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\
&amp;= (a+b)^2-4ab \\
&amp;= 11^2-4(33) \\
&amp;= 121-132 \\
&amp;= -11 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut:
: f(x) + f(15-x) = 2024
: f(15+x) = f(x) + 2020
maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) + f(15-x) &amp;= 2024 \\
f(15+x) &amp;= f(x) + 2020 \\

*\text{cara 1 } \\
\text{ganti x dengan 15+x } \\
f(15+x) + f(-x) &amp;= 2024 \\

f(15+x) - f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
f(x) + f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x) + 2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\

*\text{cara 2 } \\
\text{ganti x dengan -x } \\
f(-x) + f(15+x) &amp;= 2024 \\

f(15+x) - f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
f(x) + f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x) + 2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi &lt;math&gt;f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x&lt;/math&gt; untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x \\

\text{ganti x dengan 1/3 } \\
f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &amp;= 1 \\

\text{ganti x dengan -3 } \\
f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\
\text{dikalikan 3 } \\
3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &amp;= -27 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
2f(3) &amp;= 28 \\
f(3) &amp;= 14 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika n = 2023&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+2024&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; maka berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2n-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
n &amp;= 2023^2+2024^2 \\
&amp;= 2023^2+(2023+1)^2 \\

\text{Misalkan 2023 = p} \\
n &amp;= p^2+(p+1)^2 \\
&amp;= p^2+p^2+2p+1 \\
&amp;= 2p^2+2p+1 \\

\sqrt{2n-1} &amp;= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+1} \\
&amp;= \sqrt{(2p+1)^2} \\
&amp;= 2p+1 \\
&amp;= 2(2023)+1 \\
&amp;= 4046+1 \\
&amp;= 4047 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika &lt;math&gt;\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}&lt;/math&gt; maka berapa hasil dari (a-c)&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{ab}{a+b} &amp;= \frac{1}{3} \\ 
\frac{a+b}{ab} &amp;= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{b} + \frac{1}{a} &amp;= 3 \\

\frac{bc}{b+c} &amp;= \frac{1}{4} \\ 
\frac{b+c}{bc} &amp;= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{b} &amp;= 4 \\

\frac{ac}{a+c} &amp;= \frac{1}{9} \\ 
\frac{a+c}{ac} &amp;= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{a} &amp;= 9 \\

\text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\
x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x+z &amp;= 9 \\

x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x-z &amp;= -1 \\

x-z &amp;= -1 \\
x+z &amp;= 9 \\
2x &amp;= 8 \\
x &amp;= 4 \\ 

x-z &amp;= -1 \\
4-z &amp;= -1 \\
z &amp;= 5 \\

x+y &amp;= 3 \\
4+y &amp;= 3 \\
y &amp;= -1 \\

\frac{1}{a} &amp;= 4 \\
a &amp;= \frac{1}{4} \\

\frac{1}{b} &amp;= -1 \\
b &amp;= -1 \\

\frac{1}{c} &amp;= 5 \\
c &amp;= \frac{1}{5} \\

(a-c)^b &amp;= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\
&amp;= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\
&amp;= (\frac{1}{20})^{-1} \\
&amp;= 20 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = &lt;math&gt;\frac{x}{y}&lt;/math&gt; = x - y maka berapa nilai x - y?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
xy &amp;= \frac{x}{y} \\ 
y^2 &amp;= 1 \\
y^2 - 1 &amp;= 0 \\
(y-1)(y+1) &amp;= 0 \\
y = 1 &amp; y = -1

\frac{x}{y} &amp;= x-y \\ 
x &amp;= xy-y^2 \\
x-xy &amp;= -y^2 \\
x(1-y)? &amp;= -y^2 \\
x &amp;= \frac{-y^2}{1-y) \\

\text{cek y=1 } \\ 
x &amp;= \frac{-1^2}{1-1) \\ \\
\text{tidak memenuhi syarat } \\

\text{cek y=-1 } \\ 
x &amp;= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)) \\ \\
 &amp;= \frac{-1}{2) \\

x+y &amp;= -1-\frac{1}{2} \\
 &amp;= -\frac{3}{2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9?
: Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu.
: untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja.
: untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja.
: Jadi banyaknya bilangan mungkin 2.

# Buktikan bahwa 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli!
; Cara 1
# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1 atau 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=(8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1^2)
# 8&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 (semua n untuk bilangan asli)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

; Cara 2
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = b mod 7

# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; dianggap pangkat terkecil)
# (8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7 (pangkat n kedua ruasnya)
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5?
; Cara 1
# 1 &amp; 6 = sisa 1, 2 &amp; 7 = sisa 2, 3 &amp; 8 = sisa 3, 4 &amp; 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0

# 7&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 7 (sisa 1)
# 7&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 49 (sisa 2)
# 7&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 343 (sisa 3)
# 7&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 2,401 (sisa 0)
# 7&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 16,807
# 7&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 117,649

nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3

;Cara 2
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 3
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 4 x 24 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 3

;Cara 3
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 mod 5
::(17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 2 x 2 x 2 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 8 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 mod 5 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5 bersisa 3

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7?
;Cara 1
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 3 
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 6
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 5
:17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 6 x 16 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

;Cara 2
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 mod 7
::(17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 x 3 x 3 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 27 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 6 mod 7 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

# Berapa hasil sisa dari 41&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt; dibagi 33?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
41^{2024} &amp;= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 16 \text{ mod } 33 \\

\text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 99&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
99^{99} &amp;= (3^2 \times 11)^{99} \\
&amp;= 3^{198} \times 11^{99} \\

243^n &amp;= (3^5)^n \\
&amp;= 3^{5n} \\

\text{agar bisa membagi, maka} \\
5n &amp;= 198 \\
n &amp;= 39.6 \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 88&lt;sup&gt;88&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
88^{88} &amp;= (8 \times 11)^{88} \\
&amp;= 8^{88} \times 11^{88} \\
&amp;= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\

512^n &amp;= 512^{29} \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6!
; Cara 1
: KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N &lt; 105.

: N dibagi 3 sisa 1
: N dibagi 5 sisa 2
: N dibagi 7 sisa 6

FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a

: KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70
: KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21
: KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15

Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97

; Cara 2
: Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35
: kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK.

: KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;

Jadi bilangan bulat positif adalah 97

:: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|-
| 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|}

nah ada ember A berisi 4 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|-
| 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|}

nah ada ember B berisi 4 liter.

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>3btsvme8abq2y2sgjiwfiotto6u7hx1</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107244</id>
      <parentid>107243</parentid>
      <timestamp>2025-06-09T11:37:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107244</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="22584" sha1="jwm085to5c327k4lp9vfbpvppdocl1k" xml:space="preserve">contoh soal

# Berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Misalkan 2020 = p} \\
\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &amp;= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-17)^2} \\
&amp;= p^2-17 \\
&amp;= 2020^2-17 \\
&amp;= (2000 + 20)^2-17 \\
&amp;= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\
&amp;= 4.080.383 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 17&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan angka satuannya} \\
17^1 &amp;= 7 \\
17^2 &amp;= 9 \\
17^3 &amp;= 3 \\
17^4 &amp;= 1 \\
17^5 &amp;= 7 \\
17^6 &amp;= 9 \\
17^7 &amp;= 3 \\
17^8 &amp;= 1 \\
\text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan } \\
1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &amp;= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\
&amp;= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\

\text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan} \\
\frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &amp;= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\
&amp;= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\

\text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{20abc}{ab+bc+ac}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;16^a = 256^b = 625^c = 40&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
16^a = 256^b = 625^c &amp;= 40 \\
2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &amp;= 40 \\

2^{4a} &amp;= 40 \\
2 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \\

4^{4b} &amp;= 40 \\
4 &amp;= 40^{\frac{1}{4b}} \\

5^{4c} &amp;= 40 \\
5 &amp;= 40^{\frac{1}{4c}} \\

2 \cdot 4 \cdot 5 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\
1 &amp;= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\
4 &amp;= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\

\frac{20abc}{ab+bc+ac} &amp;= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (4)^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot \frac{1}{4} \\
&amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;27x^3 + \frac{8}{x^3}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;3x + \frac{2}{x} = 6&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
3x + \frac{2}{x} &amp;= 6 \\
(3x + \frac{2}{x})^3 &amp;= 6^3 \\
27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + \frac{8}{x^3} &amp;= 108 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;4x + \frac{25}{x}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= 4x - \frac{25}{x} \\
2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\
1 &amp;= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\
1^2 &amp;= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\
1 &amp;= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\
4x + \frac{25}{x} &amp;= 21 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;sin^3 x + csc^3 x&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;sin x - csc x = 8&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &amp;= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\
(sin x - csc x)^3 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\
8^3 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\
512 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\
sin^3 x - csc^3 x &amp;= 512 + 24 \\
sin^3 x - csc^3 x &amp;= 536 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &amp;= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\
&amp;= \frac{48}{8} \\
&amp;= 6 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{a}{b}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{a^2}{a^2-16b^2} &amp;= \frac{625}{49} \\
\frac{a^2-16b^2}{a^2} &amp;= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\
1 - \frac{16b^2}{a^2} &amp;= \frac{49}{625} \\
\frac{16b^2}{a^2} &amp;= 1 - \frac{49}{625} \\
(\frac{4b}{a})^2 &amp;= \frac{576}{625} \\
(\frac{4b}{a})^2 &amp;= (\frac{24}{25})^2 \\
\frac{4b}{a} &amp;= \frac{24}{25} \\
\frac{b}{a} &amp;= \frac{6}{25} \\
\frac{a}{b} &amp;= \frac{25}{6} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari x jika &lt;math&gt;4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
4^x &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\
4^x-1 &amp;= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\
4^x-1 &amp;= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= 4^{24}-1 \\
4^x &amp;= 4^{24} \\
x &amp;= 24 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari &lt;math&gt;\frac{c-b}{a-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) &amp;= ax^2+bx+c \\
f(2) &amp;= a(2)^2+2b+c = 4 \\
f(2) &amp;= 4a+2b+c = 4 \\
f(7) &amp;= a(7)^2+7b+c = 49 \\
f(7) &amp;= 49a+7b+c = 49 \\

49a+7b+c &amp;= 49 \\
4a+2b+c &amp;= 4 \\
45a+5b &amp;= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\
9a+b &amp;= 9 \\
b &amp;= -9a+9 \\

4a+2b+c &amp;= 4 \\
4a+2(-9a+9)+c &amp;= 4 \\
4a-18a+18+c &amp;= 4 \\
-14a+18+c &amp;= 4 \\
c &amp;= 14a-14 \\

\frac{c-b}{a-1} &amp;= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\
&amp;= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\
&amp;= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\
&amp;= 23 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika a&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;+b&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
(a+b)^3 &amp;= a^3+b^3+3ab(a+b) \\
11^3 &amp;= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\
11^2 &amp;= 22+3ab \\
121 &amp;= 22+3ab \\
99 &amp;= 3ab \\
ab &amp;= 33 \\

(a-b)^2 &amp;= a^2+b^2-2ab \\
&amp;= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\
&amp;= (a+b)^2-4ab \\
&amp;= 11^2-4(33) \\
&amp;= 121-132 \\
&amp;= -11 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut:
: f(x) + f(15-x) = 2024
: f(15+x) = f(x) + 2020
maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) + f(15-x) &amp;= 2024 \\
f(15+x) &amp;= f(x) + 2020 \\

*\text{cara 1 } \\
\text{ganti x dengan 15+x } \\
f(15+x) + f(-x) &amp;= 2024 \\

f(15+x) - f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
f(x) + f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x) + 2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\

*\text{cara 2 } \\
\text{ganti x dengan -x } \\
f(-x) + f(15+x) &amp;= 2024 \\

f(15+x) - f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
f(x) + f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x) + 2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi &lt;math&gt;f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x&lt;/math&gt; untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x \\

\text{ganti x dengan 1/3 } \\
f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &amp;= 1 \\

\text{ganti x dengan -3 } \\
f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\
\text{dikalikan 3 } \\
3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &amp;= -27 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
2f(3) &amp;= 28 \\
f(3) &amp;= 14 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika n = 2023&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+2024&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; maka berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2n-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
n &amp;= 2023^2+2024^2 \\
&amp;= 2023^2+(2023+1)^2 \\

\text{Misalkan 2023 = p} \\
n &amp;= p^2+(p+1)^2 \\
&amp;= p^2+p^2+2p+1 \\
&amp;= 2p^2+2p+1 \\

\sqrt{2n-1} &amp;= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+1} \\
&amp;= \sqrt{(2p+1)^2} \\
&amp;= 2p+1 \\
&amp;= 2(2023)+1 \\
&amp;= 4046+1 \\
&amp;= 4047 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika &lt;math&gt;\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}&lt;/math&gt; maka berapa hasil dari (a-c)&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{ab}{a+b} &amp;= \frac{1}{3} \\ 
\frac{a+b}{ab} &amp;= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{b} + \frac{1}{a} &amp;= 3 \\

\frac{bc}{b+c} &amp;= \frac{1}{4} \\ 
\frac{b+c}{bc} &amp;= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{b} &amp;= 4 \\

\frac{ac}{a+c} &amp;= \frac{1}{9} \\ 
\frac{a+c}{ac} &amp;= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{a} &amp;= 9 \\

\text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\
x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x+z &amp;= 9 \\

x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x-z &amp;= -1 \\

x-z &amp;= -1 \\
x+z &amp;= 9 \\
2x &amp;= 8 \\
x &amp;= 4 \\ 

x-z &amp;= -1 \\
4-z &amp;= -1 \\
z &amp;= 5 \\

x+y &amp;= 3 \\
4+y &amp;= 3 \\
y &amp;= -1 \\

\frac{1}{a} &amp;= 4 \\
a &amp;= \frac{1}{4} \\

\frac{1}{b} &amp;= -1 \\
b &amp;= -1 \\

\frac{1}{c} &amp;= 5 \\
c &amp;= \frac{1}{5} \\

(a-c)^b &amp;= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\
&amp;= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\
&amp;= (\frac{1}{20})^{-1} \\
&amp;= 20 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = &lt;math&gt;\frac{x}{y}&lt;/math&gt; = x - y maka berapa nilai x - y?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
xy &amp;= \frac{x}{y} \\ 
y^2 &amp;= 1 \\
y^2 - 1 &amp;= 0 \\
(y-1)(y+1) &amp;= 0 \\
y = 1 &amp; y = -1

\frac{x}{y} &amp;= x-y \\ 
x &amp;= xy-y^2 \\
x-xy &amp;= -y^2 \\
x(1-y)? &amp;= -y^2 \\
x &amp;= \frac{-y^2}{1-y) \\

\text{cek y=1 } \\ 
x &amp;= \frac{-1^2}{1-1) \\
\text{tidak memenuhi syarat } \\

\text{cek y=-1 } \\ 
x &amp;= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)) \\
 &amp;= \frac{-1}{2) \\

x+y &amp;= -1-\frac{1}{2} \\
 &amp;= -\frac{3}{2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9?
: Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu.
: untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja.
: untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja.
: Jadi banyaknya bilangan mungkin 2.

# Buktikan bahwa 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli!
; Cara 1
# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1 atau 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=(8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1^2)
# 8&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 (semua n untuk bilangan asli)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

; Cara 2
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = b mod 7

# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; dianggap pangkat terkecil)
# (8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7 (pangkat n kedua ruasnya)
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5?
; Cara 1
# 1 &amp; 6 = sisa 1, 2 &amp; 7 = sisa 2, 3 &amp; 8 = sisa 3, 4 &amp; 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0

# 7&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 7 (sisa 1)
# 7&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 49 (sisa 2)
# 7&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 343 (sisa 3)
# 7&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 2,401 (sisa 0)
# 7&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 16,807
# 7&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 117,649

nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3

;Cara 2
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 3
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 4 x 24 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 3

;Cara 3
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 mod 5
::(17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 2 x 2 x 2 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 8 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 mod 5 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5 bersisa 3

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7?
;Cara 1
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 3 
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 6
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 5
:17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 6 x 16 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

;Cara 2
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 mod 7
::(17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 x 3 x 3 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 27 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 6 mod 7 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

# Berapa hasil sisa dari 41&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt; dibagi 33?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
41^{2024} &amp;= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 16 \text{ mod } 33 \\

\text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 99&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
99^{99} &amp;= (3^2 \times 11)^{99} \\
&amp;= 3^{198} \times 11^{99} \\

243^n &amp;= (3^5)^n \\
&amp;= 3^{5n} \\

\text{agar bisa membagi, maka} \\
5n &amp;= 198 \\
n &amp;= 39.6 \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 88&lt;sup&gt;88&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
88^{88} &amp;= (8 \times 11)^{88} \\
&amp;= 8^{88} \times 11^{88} \\
&amp;= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\

512^n &amp;= 512^{29} \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6!
; Cara 1
: KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N &lt; 105.

: N dibagi 3 sisa 1
: N dibagi 5 sisa 2
: N dibagi 7 sisa 6

FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a

: KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70
: KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21
: KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15

Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97

; Cara 2
: Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35
: kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK.

: KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;

Jadi bilangan bulat positif adalah 97

:: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|-
| 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|}

nah ada ember A berisi 4 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|-
| 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|}

nah ada ember B berisi 4 liter.

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>jwm085to5c327k4lp9vfbpvppdocl1k</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107245</id>
      <parentid>107244</parentid>
      <timestamp>2025-06-09T11:40:24Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107245</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="22586" sha1="t681us0dolm6fyx4ky1vgojk2d766h5" xml:space="preserve">contoh soal

# Berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Misalkan 2020 = p} \\
\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &amp;= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-17)^2} \\
&amp;= p^2-17 \\
&amp;= 2020^2-17 \\
&amp;= (2000 + 20)^2-17 \\
&amp;= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\
&amp;= 4.080.383 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 17&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan angka satuannya} \\
17^1 &amp;= 7 \\
17^2 &amp;= 9 \\
17^3 &amp;= 3 \\
17^4 &amp;= 1 \\
17^5 &amp;= 7 \\
17^6 &amp;= 9 \\
17^7 &amp;= 3 \\
17^8 &amp;= 1 \\
\text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan } \\
1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &amp;= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\
&amp;= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\

\text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan} \\
\frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &amp;= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\
&amp;= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\

\text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{20abc}{ab+bc+ac}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;16^a = 256^b = 625^c = 40&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
16^a = 256^b = 625^c &amp;= 40 \\
2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &amp;= 40 \\

2^{4a} &amp;= 40 \\
2 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \\

4^{4b} &amp;= 40 \\
4 &amp;= 40^{\frac{1}{4b}} \\

5^{4c} &amp;= 40 \\
5 &amp;= 40^{\frac{1}{4c}} \\

2 \cdot 4 \cdot 5 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\
1 &amp;= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\
4 &amp;= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\

\frac{20abc}{ab+bc+ac} &amp;= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (4)^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot \frac{1}{4} \\
&amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;27x^3 + \frac{8}{x^3}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;3x + \frac{2}{x} = 6&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
3x + \frac{2}{x} &amp;= 6 \\
(3x + \frac{2}{x})^3 &amp;= 6^3 \\
27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + \frac{8}{x^3} &amp;= 108 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;4x + \frac{25}{x}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= 4x - \frac{25}{x} \\
2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\
1 &amp;= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\
1^2 &amp;= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\
1 &amp;= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\
4x + \frac{25}{x} &amp;= 21 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;sin^3 x + csc^3 x&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;sin x - csc x = 8&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &amp;= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\
(sin x - csc x)^3 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\
8^3 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\
512 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\
sin^3 x - csc^3 x &amp;= 512 + 24 \\
sin^3 x - csc^3 x &amp;= 536 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &amp;= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\
&amp;= \frac{48}{8} \\
&amp;= 6 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{a}{b}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{a^2}{a^2-16b^2} &amp;= \frac{625}{49} \\
\frac{a^2-16b^2}{a^2} &amp;= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\
1 - \frac{16b^2}{a^2} &amp;= \frac{49}{625} \\
\frac{16b^2}{a^2} &amp;= 1 - \frac{49}{625} \\
(\frac{4b}{a})^2 &amp;= \frac{576}{625} \\
(\frac{4b}{a})^2 &amp;= (\frac{24}{25})^2 \\
\frac{4b}{a} &amp;= \frac{24}{25} \\
\frac{b}{a} &amp;= \frac{6}{25} \\
\frac{a}{b} &amp;= \frac{25}{6} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari x jika &lt;math&gt;4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
4^x &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\
4^x-1 &amp;= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\
4^x-1 &amp;= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= 4^{24}-1 \\
4^x &amp;= 4^{24} \\
x &amp;= 24 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari &lt;math&gt;\frac{c-b}{a-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) &amp;= ax^2+bx+c \\
f(2) &amp;= a(2)^2+2b+c = 4 \\
f(2) &amp;= 4a+2b+c = 4 \\
f(7) &amp;= a(7)^2+7b+c = 49 \\
f(7) &amp;= 49a+7b+c = 49 \\

49a+7b+c &amp;= 49 \\
4a+2b+c &amp;= 4 \\
45a+5b &amp;= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\
9a+b &amp;= 9 \\
b &amp;= -9a+9 \\

4a+2b+c &amp;= 4 \\
4a+2(-9a+9)+c &amp;= 4 \\
4a-18a+18+c &amp;= 4 \\
-14a+18+c &amp;= 4 \\
c &amp;= 14a-14 \\

\frac{c-b}{a-1} &amp;= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\
&amp;= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\
&amp;= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\
&amp;= 23 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika a&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;+b&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
(a+b)^3 &amp;= a^3+b^3+3ab(a+b) \\
11^3 &amp;= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\
11^2 &amp;= 22+3ab \\
121 &amp;= 22+3ab \\
99 &amp;= 3ab \\
ab &amp;= 33 \\

(a-b)^2 &amp;= a^2+b^2-2ab \\
&amp;= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\
&amp;= (a+b)^2-4ab \\
&amp;= 11^2-4(33) \\
&amp;= 121-132 \\
&amp;= -11 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut:
: f(x) + f(15-x) = 2024
: f(15+x) = f(x) + 2020
maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) + f(15-x) &amp;= 2024 \\
f(15+x) &amp;= f(x) + 2020 \\

*\text{cara 1 } \\
\text{ganti x dengan 15+x } \\
f(15+x) + f(-x) &amp;= 2024 \\

f(15+x) - f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
f(x) + f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x) + 2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\

*\text{cara 2 } \\
\text{ganti x dengan -x } \\
f(-x) + f(15+x) &amp;= 2024 \\

f(15+x) - f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
f(x) + f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x) + 2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi &lt;math&gt;f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x&lt;/math&gt; untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x \\

\text{ganti x dengan 1/3 } \\
f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &amp;= 1 \\

\text{ganti x dengan -3 } \\
f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\
\text{dikalikan 3 } \\
3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &amp;= -27 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
2f(3) &amp;= 28 \\
f(3) &amp;= 14 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika n = 2023&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+2024&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; maka berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2n-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
n &amp;= 2023^2+2024^2 \\
&amp;= 2023^2+(2023+1)^2 \\

\text{Misalkan 2023 = p} \\
n &amp;= p^2+(p+1)^2 \\
&amp;= p^2+p^2+2p+1 \\
&amp;= 2p^2+2p+1 \\

\sqrt{2n-1} &amp;= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+1} \\
&amp;= \sqrt{(2p+1)^2} \\
&amp;= 2p+1 \\
&amp;= 2(2023)+1 \\
&amp;= 4046+1 \\
&amp;= 4047 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika &lt;math&gt;\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}&lt;/math&gt; maka berapa hasil dari (a-c)&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{ab}{a+b} &amp;= \frac{1}{3} \\ 
\frac{a+b}{ab} &amp;= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{b} + \frac{1}{a} &amp;= 3 \\

\frac{bc}{b+c} &amp;= \frac{1}{4} \\ 
\frac{b+c}{bc} &amp;= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{b} &amp;= 4 \\

\frac{ac}{a+c} &amp;= \frac{1}{9} \\ 
\frac{a+c}{ac} &amp;= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{a} &amp;= 9 \\

\text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\
x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x+z &amp;= 9 \\

x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x-z &amp;= -1 \\

x-z &amp;= -1 \\
x+z &amp;= 9 \\
2x &amp;= 8 \\
x &amp;= 4 \\ 

x-z &amp;= -1 \\
4-z &amp;= -1 \\
z &amp;= 5 \\

x+y &amp;= 3 \\
4+y &amp;= 3 \\
y &amp;= -1 \\

\frac{1}{a} &amp;= 4 \\
a &amp;= \frac{1}{4} \\

\frac{1}{b} &amp;= -1 \\
b &amp;= -1 \\

\frac{1}{c} &amp;= 5 \\
c &amp;= \frac{1}{5} \\

(a-c)^b &amp;= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\
&amp;= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\
&amp;= (\frac{1}{20})^{-1} \\
&amp;= 20 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = &lt;math&gt;\frac{x}{y}&lt;/math&gt; = x - y maka berapa nilai x - y?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
xy &amp;= \frac{x}{y} \\ 
y^2 &amp;= 1 \\
y^2 - 1 &amp;= 0 \\
(y-1)(y+1) &amp;= 0 \\
y = 1 &amp; y = -1 \\

\frac{x}{y} &amp;= x-y \\ 
x &amp;= xy-y^2 \\
x-xy &amp;= -y^2 \\
x(1-y) &amp;= -y^2 \\
x &amp;= \frac{-y^2}{1-y} \\

\text{cek y=1 } \\ 
x &amp;= \frac{-1^2}{1-1} \\
\text{tidak memenuhi syarat } \\

\text{cek y=-1 } \\ 
x &amp;= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\
 &amp;= \frac{-1}{2) \\

x+y &amp;= -1-\frac{1}{2} \\
 &amp;= -\frac{3}{2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9?
: Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu.
: untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja.
: untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja.
: Jadi banyaknya bilangan mungkin 2.

# Buktikan bahwa 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli!
; Cara 1
# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1 atau 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=(8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1^2)
# 8&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 (semua n untuk bilangan asli)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

; Cara 2
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = b mod 7

# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; dianggap pangkat terkecil)
# (8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7 (pangkat n kedua ruasnya)
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5?
; Cara 1
# 1 &amp; 6 = sisa 1, 2 &amp; 7 = sisa 2, 3 &amp; 8 = sisa 3, 4 &amp; 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0

# 7&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 7 (sisa 1)
# 7&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 49 (sisa 2)
# 7&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 343 (sisa 3)
# 7&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 2,401 (sisa 0)
# 7&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 16,807
# 7&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 117,649

nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3

;Cara 2
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 3
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 4 x 24 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 3

;Cara 3
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 mod 5
::(17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 2 x 2 x 2 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 8 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 mod 5 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5 bersisa 3

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7?
;Cara 1
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 3 
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 6
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 5
:17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 6 x 16 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

;Cara 2
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 mod 7
::(17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 x 3 x 3 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 27 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 6 mod 7 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

# Berapa hasil sisa dari 41&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt; dibagi 33?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
41^{2024} &amp;= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 16 \text{ mod } 33 \\

\text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 99&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
99^{99} &amp;= (3^2 \times 11)^{99} \\
&amp;= 3^{198} \times 11^{99} \\

243^n &amp;= (3^5)^n \\
&amp;= 3^{5n} \\

\text{agar bisa membagi, maka} \\
5n &amp;= 198 \\
n &amp;= 39.6 \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 88&lt;sup&gt;88&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
88^{88} &amp;= (8 \times 11)^{88} \\
&amp;= 8^{88} \times 11^{88} \\
&amp;= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\

512^n &amp;= 512^{29} \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6!
; Cara 1
: KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N &lt; 105.

: N dibagi 3 sisa 1
: N dibagi 5 sisa 2
: N dibagi 7 sisa 6

FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a

: KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70
: KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21
: KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15

Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97

; Cara 2
: Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35
: kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK.

: KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;

Jadi bilangan bulat positif adalah 97

:: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|-
| 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|}

nah ada ember A berisi 4 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|-
| 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|}

nah ada ember B berisi 4 liter.

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>t681us0dolm6fyx4ky1vgojk2d766h5</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107246</id>
      <parentid>107245</parentid>
      <timestamp>2025-06-09T11:45:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107246</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="22566" sha1="lzhx8webi5e7hioxtbgc3mcbfzb5pj0" xml:space="preserve">contoh soal

# Berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Misalkan 2020 = p} \\
\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &amp;= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-17)^2} \\
&amp;= p^2-17 \\
&amp;= 2020^2-17 \\
&amp;= (2000 + 20)^2-17 \\
&amp;= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\
&amp;= 4.080.383 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 17&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan angka satuannya} \\
17^1 &amp;= 7 \\
17^2 &amp;= 9 \\
17^3 &amp;= 3 \\
17^4 &amp;= 1 \\
17^5 &amp;= 7 \\
17^6 &amp;= 9 \\
17^7 &amp;= 3 \\
17^8 &amp;= 1 \\
\text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan } \\
1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &amp;= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\
&amp;= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\

\text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan} \\
\frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &amp;= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\
&amp;= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\

\text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{20abc}{ab+bc+ac}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;16^a = 256^b = 625^c = 40&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
16^a = 256^b = 625^c &amp;= 40 \\
2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &amp;= 40 \\

2^{4a} &amp;= 40 \\
2 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \\

4^{4b} &amp;= 40 \\
4 &amp;= 40^{\frac{1}{4b}} \\

5^{4c} &amp;= 40 \\
5 &amp;= 40^{\frac{1}{4c}} \\

2 \cdot 4 \cdot 5 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\
1 &amp;= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\
4 &amp;= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\

\frac{20abc}{ab+bc+ac} &amp;= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (4)^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot \frac{1}{4} \\
&amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;27x^3 + \frac{8}{x^3}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;3x + \frac{2}{x} = 6&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
3x + \frac{2}{x} &amp;= 6 \\
(3x + \frac{2}{x})^3 &amp;= 6^3 \\
27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + \frac{8}{x^3} &amp;= 108 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;4x + \frac{25}{x}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= 4x - \frac{25}{x} \\
2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\
1 &amp;= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\
1^2 &amp;= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\
1 &amp;= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\
4x + \frac{25}{x} &amp;= 21 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;sin^3 x + csc^3 x&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;sin x - csc x = 8&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &amp;= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\
(sin x - csc x)^3 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\
8^3 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\
512 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\
sin^3 x - csc^3 x &amp;= 512 + 24 \\
sin^3 x - csc^3 x &amp;= 536 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &amp;= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\
&amp;= \frac{48}{8} \\
&amp;= 6 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{a}{b}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{a^2}{a^2-16b^2} &amp;= \frac{625}{49} \\
\frac{a^2-16b^2}{a^2} &amp;= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\
1 - \frac{16b^2}{a^2} &amp;= \frac{49}{625} \\
\frac{16b^2}{a^2} &amp;= 1 - \frac{49}{625} \\
(\frac{4b}{a})^2 &amp;= \frac{576}{625} \\
(\frac{4b}{a})^2 &amp;= (\frac{24}{25})^2 \\
\frac{4b}{a} &amp;= \frac{24}{25} \\
\frac{b}{a} &amp;= \frac{6}{25} \\
\frac{a}{b} &amp;= \frac{25}{6} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari x jika &lt;math&gt;4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
4^x &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\
4^x-1 &amp;= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\
4^x-1 &amp;= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= 4^{24}-1 \\
4^x &amp;= 4^{24} \\
x &amp;= 24 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari &lt;math&gt;\frac{c-b}{a-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) &amp;= ax^2+bx+c \\
f(2) &amp;= a(2)^2+2b+c = 4 \\
f(2) &amp;= 4a+2b+c = 4 \\
f(7) &amp;= a(7)^2+7b+c = 49 \\
f(7) &amp;= 49a+7b+c = 49 \\

49a+7b+c &amp;= 49 \\
4a+2b+c &amp;= 4 \\
45a+5b &amp;= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\
9a+b &amp;= 9 \\
b &amp;= -9a+9 \\

4a+2b+c &amp;= 4 \\
4a+2(-9a+9)+c &amp;= 4 \\
4a-18a+18+c &amp;= 4 \\
-14a+18+c &amp;= 4 \\
c &amp;= 14a-14 \\

\frac{c-b}{a-1} &amp;= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\
&amp;= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\
&amp;= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\
&amp;= 23 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika a&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;+b&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
(a+b)^3 &amp;= a^3+b^3+3ab(a+b) \\
11^3 &amp;= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\
11^2 &amp;= 22+3ab \\
121 &amp;= 22+3ab \\
99 &amp;= 3ab \\
ab &amp;= 33 \\

(a-b)^2 &amp;= a^2+b^2-2ab \\
&amp;= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\
&amp;= (a+b)^2-4ab \\
&amp;= 11^2-4(33) \\
&amp;= 121-132 \\
&amp;= -11 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut:
: f(x) + f(15-x) = 2024
: f(15+x) = f(x) + 2020
maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) + f(15-x) &amp;= 2024 \\
f(15+x) &amp;= f(x) + 2020 \\

*\text{cara 1 } \\
\text{ganti x dengan 15+x } \\
f(15+x) + f(-x) &amp;= 2024 \\

f(15+x) - f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
f(x) + f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x) + 2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\

*\text{cara 2 } \\
\text{ganti x dengan -x } \\
f(-x) + f(15+x) &amp;= 2024 \\

f(15+x) - f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
f(x) + f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x) + 2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi &lt;math&gt;f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x&lt;/math&gt; untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x \\

\text{ganti x dengan 1/3 } \\
f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &amp;= 1 \\

\text{ganti x dengan -3 } \\
f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\
\text{dikalikan 3 } \\
3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &amp;= -27 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
2f(3) &amp;= 28 \\
f(3) &amp;= 14 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika n = 2023&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+2024&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; maka berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2n-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
n &amp;= 2023^2+2024^2 \\
&amp;= 2023^2+(2023+1)^2 \\

\text{Misalkan 2023 = p} \\
n &amp;= p^2+(p+1)^2 \\
&amp;= p^2+p^2+2p+1 \\
&amp;= 2p^2+2p+1 \\

\sqrt{2n-1} &amp;= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+1} \\
&amp;= \sqrt{(2p+1)^2} \\
&amp;= 2p+1 \\
&amp;= 2(2023)+1 \\
&amp;= 4046+1 \\
&amp;= 4047 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika &lt;math&gt;\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}&lt;/math&gt; maka berapa hasil dari (a-c)&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{ab}{a+b} &amp;= \frac{1}{3} \\ 
\frac{a+b}{ab} &amp;= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{b} + \frac{1}{a} &amp;= 3 \\

\frac{bc}{b+c} &amp;= \frac{1}{4} \\ 
\frac{b+c}{bc} &amp;= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{b} &amp;= 4 \\

\frac{ac}{a+c} &amp;= \frac{1}{9} \\ 
\frac{a+c}{ac} &amp;= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{a} &amp;= 9 \\

\text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\
x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x+z &amp;= 9 \\

x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x-z &amp;= -1 \\

x-z &amp;= -1 \\
x+z &amp;= 9 \\
2x &amp;= 8 \\
x &amp;= 4 \\ 

x-z &amp;= -1 \\
4-z &amp;= -1 \\
z &amp;= 5 \\

x+y &amp;= 3 \\
4+y &amp;= 3 \\
y &amp;= -1 \\

\frac{1}{a} &amp;= 4 \\
a &amp;= \frac{1}{4} \\

\frac{1}{b} &amp;= -1 \\
b &amp;= -1 \\

\frac{1}{c} &amp;= 5 \\
c &amp;= \frac{1}{5} \\

(a-c)^b &amp;= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\
&amp;= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\
&amp;= (\frac{1}{20})^{-1} \\
&amp;= 20 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = &lt;math&gt;\frac{x}{y}&lt;/math&gt; = x - y maka berapa nilai x - y?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
xy &amp;= \frac{x}{y} \\ 
y^2 &amp;= 1 \\
y^2 - 1 &amp;= 0 \\
(y-1)(y+1) &amp;= 0 \\
y = 1 &amp; y = -1 \\

\frac{x}{y} &amp;= x-y \\ 
x &amp;= xy-y^2 \\
x-xy &amp;= -y^2 \\
x(1-y) &amp;= -y^2 \\
x &amp;= \frac{-y^2}{1-y} \\

\text{cek y=1 } \\ 
x &amp;= \frac{-1^2}{1-1} \\
\text{tidak memenuhi syarat } \\
 
x &amp;= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\
 &amp;= \frac{-1}{2) \\

x+y &amp;= -1-\frac{1}{2} \\
 &amp;= -\frac{3}{2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9?
: Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu.
: untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja.
: untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja.
: Jadi banyaknya bilangan mungkin 2.

# Buktikan bahwa 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli!
; Cara 1
# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1 atau 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=(8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1^2)
# 8&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 (semua n untuk bilangan asli)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

; Cara 2
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = b mod 7

# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; dianggap pangkat terkecil)
# (8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7 (pangkat n kedua ruasnya)
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5?
; Cara 1
# 1 &amp; 6 = sisa 1, 2 &amp; 7 = sisa 2, 3 &amp; 8 = sisa 3, 4 &amp; 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0

# 7&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 7 (sisa 1)
# 7&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 49 (sisa 2)
# 7&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 343 (sisa 3)
# 7&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 2,401 (sisa 0)
# 7&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 16,807
# 7&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 117,649

nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3

;Cara 2
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 3
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 4 x 24 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 3

;Cara 3
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 mod 5
::(17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 2 x 2 x 2 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 8 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 mod 5 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5 bersisa 3

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7?
;Cara 1
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 3 
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 6
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 5
:17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 6 x 16 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

;Cara 2
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 mod 7
::(17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 x 3 x 3 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 27 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 6 mod 7 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

# Berapa hasil sisa dari 41&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt; dibagi 33?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
41^{2024} &amp;= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 16 \text{ mod } 33 \\

\text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 99&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
99^{99} &amp;= (3^2 \times 11)^{99} \\
&amp;= 3^{198} \times 11^{99} \\

243^n &amp;= (3^5)^n \\
&amp;= 3^{5n} \\

\text{agar bisa membagi, maka} \\
5n &amp;= 198 \\
n &amp;= 39.6 \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 88&lt;sup&gt;88&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
88^{88} &amp;= (8 \times 11)^{88} \\
&amp;= 8^{88} \times 11^{88} \\
&amp;= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\

512^n &amp;= 512^{29} \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6!
; Cara 1
: KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N &lt; 105.

: N dibagi 3 sisa 1
: N dibagi 5 sisa 2
: N dibagi 7 sisa 6

FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a

: KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70
: KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21
: KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15

Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97

; Cara 2
: Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35
: kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK.

: KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;

Jadi bilangan bulat positif adalah 97

:: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|-
| 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|}

nah ada ember A berisi 4 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|-
| 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|}

nah ada ember B berisi 4 liter.

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>lzhx8webi5e7hioxtbgc3mcbfzb5pj0</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107247</id>
      <parentid>107246</parentid>
      <timestamp>2025-06-09T11:45:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107247</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="22513" sha1="4ve4k2eek221ylg26unm9371nbb3ex7" xml:space="preserve">contoh soal

# Berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Misalkan 2020 = p} \\
\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &amp;= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-17)^2} \\
&amp;= p^2-17 \\
&amp;= 2020^2-17 \\
&amp;= (2000 + 20)^2-17 \\
&amp;= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\
&amp;= 4.080.383 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 17&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan angka satuannya} \\
17^1 &amp;= 7 \\
17^2 &amp;= 9 \\
17^3 &amp;= 3 \\
17^4 &amp;= 1 \\
17^5 &amp;= 7 \\
17^6 &amp;= 9 \\
17^7 &amp;= 3 \\
17^8 &amp;= 1 \\
\text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan } \\
1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &amp;= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\
&amp;= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\

\text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan} \\
\frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &amp;= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\
&amp;= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\

\text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{20abc}{ab+bc+ac}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;16^a = 256^b = 625^c = 40&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
16^a = 256^b = 625^c &amp;= 40 \\
2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &amp;= 40 \\

2^{4a} &amp;= 40 \\
2 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \\

4^{4b} &amp;= 40 \\
4 &amp;= 40^{\frac{1}{4b}} \\

5^{4c} &amp;= 40 \\
5 &amp;= 40^{\frac{1}{4c}} \\

2 \cdot 4 \cdot 5 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\
1 &amp;= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\
4 &amp;= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\

\frac{20abc}{ab+bc+ac} &amp;= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (4)^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot \frac{1}{4} \\
&amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;27x^3 + \frac{8}{x^3}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;3x + \frac{2}{x} = 6&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
3x + \frac{2}{x} &amp;= 6 \\
(3x + \frac{2}{x})^3 &amp;= 6^3 \\
27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + \frac{8}{x^3} &amp;= 108 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;4x + \frac{25}{x}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= 4x - \frac{25}{x} \\
2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\
1 &amp;= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\
1^2 &amp;= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\
1 &amp;= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\
4x + \frac{25}{x} &amp;= 21 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;sin^3 x + csc^3 x&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;sin x - csc x = 8&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &amp;= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\
(sin x - csc x)^3 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\
8^3 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\
512 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\
sin^3 x - csc^3 x &amp;= 512 + 24 \\
sin^3 x - csc^3 x &amp;= 536 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &amp;= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\
&amp;= \frac{48}{8} \\
&amp;= 6 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{a}{b}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{a^2}{a^2-16b^2} &amp;= \frac{625}{49} \\
\frac{a^2-16b^2}{a^2} &amp;= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\
1 - \frac{16b^2}{a^2} &amp;= \frac{49}{625} \\
\frac{16b^2}{a^2} &amp;= 1 - \frac{49}{625} \\
(\frac{4b}{a})^2 &amp;= \frac{576}{625} \\
(\frac{4b}{a})^2 &amp;= (\frac{24}{25})^2 \\
\frac{4b}{a} &amp;= \frac{24}{25} \\
\frac{b}{a} &amp;= \frac{6}{25} \\
\frac{a}{b} &amp;= \frac{25}{6} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari x jika &lt;math&gt;4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
4^x &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\
4^x-1 &amp;= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\
4^x-1 &amp;= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= 4^{24}-1 \\
4^x &amp;= 4^{24} \\
x &amp;= 24 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari &lt;math&gt;\frac{c-b}{a-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) &amp;= ax^2+bx+c \\
f(2) &amp;= a(2)^2+2b+c = 4 \\
f(2) &amp;= 4a+2b+c = 4 \\
f(7) &amp;= a(7)^2+7b+c = 49 \\
f(7) &amp;= 49a+7b+c = 49 \\

49a+7b+c &amp;= 49 \\
4a+2b+c &amp;= 4 \\
45a+5b &amp;= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\
9a+b &amp;= 9 \\
b &amp;= -9a+9 \\

4a+2b+c &amp;= 4 \\
4a+2(-9a+9)+c &amp;= 4 \\
4a-18a+18+c &amp;= 4 \\
-14a+18+c &amp;= 4 \\
c &amp;= 14a-14 \\

\frac{c-b}{a-1} &amp;= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\
&amp;= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\
&amp;= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\
&amp;= 23 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika a&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;+b&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
(a+b)^3 &amp;= a^3+b^3+3ab(a+b) \\
11^3 &amp;= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\
11^2 &amp;= 22+3ab \\
121 &amp;= 22+3ab \\
99 &amp;= 3ab \\
ab &amp;= 33 \\

(a-b)^2 &amp;= a^2+b^2-2ab \\
&amp;= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\
&amp;= (a+b)^2-4ab \\
&amp;= 11^2-4(33) \\
&amp;= 121-132 \\
&amp;= -11 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut:
: f(x) + f(15-x) = 2024
: f(15+x) = f(x) + 2020
maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) + f(15-x) &amp;= 2024 \\
f(15+x) &amp;= f(x) + 2020 \\

*\text{cara 1 } \\
\text{ganti x dengan 15+x } \\
f(15+x) + f(-x) &amp;= 2024 \\

f(15+x) - f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
f(x) + f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x) + 2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\

*\text{cara 2 } \\
\text{ganti x dengan -x } \\
f(-x) + f(15+x) &amp;= 2024 \\

f(15+x) - f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
f(x) + f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x) + 2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi &lt;math&gt;f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x&lt;/math&gt; untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x \\

\text{ganti x dengan 1/3 } \\
f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &amp;= 1 \\

\text{ganti x dengan -3 } \\
f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\
\text{dikalikan 3 } \\
3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &amp;= -27 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
2f(3) &amp;= 28 \\
f(3) &amp;= 14 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika n = 2023&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+2024&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; maka berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2n-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
n &amp;= 2023^2+2024^2 \\
&amp;= 2023^2+(2023+1)^2 \\

\text{Misalkan 2023 = p} \\
n &amp;= p^2+(p+1)^2 \\
&amp;= p^2+p^2+2p+1 \\
&amp;= 2p^2+2p+1 \\

\sqrt{2n-1} &amp;= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+1} \\
&amp;= \sqrt{(2p+1)^2} \\
&amp;= 2p+1 \\
&amp;= 2(2023)+1 \\
&amp;= 4046+1 \\
&amp;= 4047 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika &lt;math&gt;\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}&lt;/math&gt; maka berapa hasil dari (a-c)&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{ab}{a+b} &amp;= \frac{1}{3} \\ 
\frac{a+b}{ab} &amp;= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{b} + \frac{1}{a} &amp;= 3 \\

\frac{bc}{b+c} &amp;= \frac{1}{4} \\ 
\frac{b+c}{bc} &amp;= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{b} &amp;= 4 \\

\frac{ac}{a+c} &amp;= \frac{1}{9} \\ 
\frac{a+c}{ac} &amp;= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{a} &amp;= 9 \\

\text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\
x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x+z &amp;= 9 \\

x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x-z &amp;= -1 \\

x-z &amp;= -1 \\
x+z &amp;= 9 \\
2x &amp;= 8 \\
x &amp;= 4 \\ 

x-z &amp;= -1 \\
4-z &amp;= -1 \\
z &amp;= 5 \\

x+y &amp;= 3 \\
4+y &amp;= 3 \\
y &amp;= -1 \\

\frac{1}{a} &amp;= 4 \\
a &amp;= \frac{1}{4} \\

\frac{1}{b} &amp;= -1 \\
b &amp;= -1 \\

\frac{1}{c} &amp;= 5 \\
c &amp;= \frac{1}{5} \\

(a-c)^b &amp;= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\
&amp;= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\
&amp;= (\frac{1}{20})^{-1} \\
&amp;= 20 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = &lt;math&gt;\frac{x}{y}&lt;/math&gt; = x - y maka berapa nilai x - y?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
xy &amp;= \frac{x}{y} \\ 
y^2 &amp;= 1 \\
y^2 - 1 &amp;= 0 \\
(y-1)(y+1) &amp;= 0 \\
y = 1 &amp; y = -1 \\

\frac{x}{y} &amp;= x-y \\ 
x &amp;= xy-y^2 \\
x-xy &amp;= -y^2 \\
x(1-y) &amp;= -y^2 \\
x &amp;= \frac{-y^2}{1-y} \\

x &amp;= \frac{-1^2}{1-1} \\
 
x &amp;= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\
 &amp;= \frac{-1}{2) \\

x+y &amp;= -1-\frac{1}{2} \\
 &amp;= -\frac{3}{2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9?
: Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu.
: untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja.
: untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja.
: Jadi banyaknya bilangan mungkin 2.

# Buktikan bahwa 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli!
; Cara 1
# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1 atau 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=(8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1^2)
# 8&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 (semua n untuk bilangan asli)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

; Cara 2
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = b mod 7

# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; dianggap pangkat terkecil)
# (8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7 (pangkat n kedua ruasnya)
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5?
; Cara 1
# 1 &amp; 6 = sisa 1, 2 &amp; 7 = sisa 2, 3 &amp; 8 = sisa 3, 4 &amp; 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0

# 7&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 7 (sisa 1)
# 7&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 49 (sisa 2)
# 7&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 343 (sisa 3)
# 7&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 2,401 (sisa 0)
# 7&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 16,807
# 7&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 117,649

nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3

;Cara 2
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 3
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 4 x 24 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 3

;Cara 3
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 mod 5
::(17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 2 x 2 x 2 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 8 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 mod 5 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5 bersisa 3

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7?
;Cara 1
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 3 
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 6
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 5
:17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 6 x 16 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

;Cara 2
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 mod 7
::(17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 x 3 x 3 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 27 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 6 mod 7 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

# Berapa hasil sisa dari 41&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt; dibagi 33?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
41^{2024} &amp;= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 16 \text{ mod } 33 \\

\text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 99&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
99^{99} &amp;= (3^2 \times 11)^{99} \\
&amp;= 3^{198} \times 11^{99} \\

243^n &amp;= (3^5)^n \\
&amp;= 3^{5n} \\

\text{agar bisa membagi, maka} \\
5n &amp;= 198 \\
n &amp;= 39.6 \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 88&lt;sup&gt;88&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
88^{88} &amp;= (8 \times 11)^{88} \\
&amp;= 8^{88} \times 11^{88} \\
&amp;= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\

512^n &amp;= 512^{29} \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6!
; Cara 1
: KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N &lt; 105.

: N dibagi 3 sisa 1
: N dibagi 5 sisa 2
: N dibagi 7 sisa 6

FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a

: KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70
: KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21
: KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15

Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97

; Cara 2
: Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35
: kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK.

: KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;

Jadi bilangan bulat positif adalah 97

:: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|-
| 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|}

nah ada ember A berisi 4 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|-
| 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|}

nah ada ember B berisi 4 liter.

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>4ve4k2eek221ylg26unm9371nbb3ex7</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107248</id>
      <parentid>107247</parentid>
      <timestamp>2025-06-09T11:48:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107248</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="22525" sha1="6ur9rgk3c6c5du3qttxl2gpdso7hd0x" xml:space="preserve">contoh soal

# Berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Misalkan 2020 = p} \\
\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &amp;= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-17)^2} \\
&amp;= p^2-17 \\
&amp;= 2020^2-17 \\
&amp;= (2000 + 20)^2-17 \\
&amp;= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\
&amp;= 4.080.383 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 17&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan angka satuannya} \\
17^1 &amp;= 7 \\
17^2 &amp;= 9 \\
17^3 &amp;= 3 \\
17^4 &amp;= 1 \\
17^5 &amp;= 7 \\
17^6 &amp;= 9 \\
17^7 &amp;= 3 \\
17^8 &amp;= 1 \\
\text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan } \\
1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &amp;= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\
&amp;= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\

\text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan} \\
\frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &amp;= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\
&amp;= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\

\text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{20abc}{ab+bc+ac}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;16^a = 256^b = 625^c = 40&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
16^a = 256^b = 625^c &amp;= 40 \\
2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &amp;= 40 \\

2^{4a} &amp;= 40 \\
2 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \\

4^{4b} &amp;= 40 \\
4 &amp;= 40^{\frac{1}{4b}} \\

5^{4c} &amp;= 40 \\
5 &amp;= 40^{\frac{1}{4c}} \\

2 \cdot 4 \cdot 5 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\
1 &amp;= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\
4 &amp;= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\

\frac{20abc}{ab+bc+ac} &amp;= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (4)^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot \frac{1}{4} \\
&amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;27x^3 + \frac{8}{x^3}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;3x + \frac{2}{x} = 6&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
3x + \frac{2}{x} &amp;= 6 \\
(3x + \frac{2}{x})^3 &amp;= 6^3 \\
27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + \frac{8}{x^3} &amp;= 108 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;4x + \frac{25}{x}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= 4x - \frac{25}{x} \\
2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\
1 &amp;= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\
1^2 &amp;= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\
1 &amp;= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\
4x + \frac{25}{x} &amp;= 21 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;sin^3 x + csc^3 x&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;sin x - csc x = 8&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &amp;= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\
(sin x - csc x)^3 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\
8^3 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\
512 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\
sin^3 x - csc^3 x &amp;= 512 + 24 \\
sin^3 x - csc^3 x &amp;= 536 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &amp;= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\
&amp;= \frac{48}{8} \\
&amp;= 6 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{a}{b}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{a^2}{a^2-16b^2} &amp;= \frac{625}{49} \\
\frac{a^2-16b^2}{a^2} &amp;= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\
1 - \frac{16b^2}{a^2} &amp;= \frac{49}{625} \\
\frac{16b^2}{a^2} &amp;= 1 - \frac{49}{625} \\
(\frac{4b}{a})^2 &amp;= \frac{576}{625} \\
(\frac{4b}{a})^2 &amp;= (\frac{24}{25})^2 \\
\frac{4b}{a} &amp;= \frac{24}{25} \\
\frac{b}{a} &amp;= \frac{6}{25} \\
\frac{a}{b} &amp;= \frac{25}{6} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari x jika &lt;math&gt;4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
4^x &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\
4^x-1 &amp;= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\
4^x-1 &amp;= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= 4^{24}-1 \\
4^x &amp;= 4^{24} \\
x &amp;= 24 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari &lt;math&gt;\frac{c-b}{a-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) &amp;= ax^2+bx+c \\
f(2) &amp;= a(2)^2+2b+c = 4 \\
f(2) &amp;= 4a+2b+c = 4 \\
f(7) &amp;= a(7)^2+7b+c = 49 \\
f(7) &amp;= 49a+7b+c = 49 \\

49a+7b+c &amp;= 49 \\
4a+2b+c &amp;= 4 \\
45a+5b &amp;= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\
9a+b &amp;= 9 \\
b &amp;= -9a+9 \\

4a+2b+c &amp;= 4 \\
4a+2(-9a+9)+c &amp;= 4 \\
4a-18a+18+c &amp;= 4 \\
-14a+18+c &amp;= 4 \\
c &amp;= 14a-14 \\

\frac{c-b}{a-1} &amp;= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\
&amp;= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\
&amp;= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\
&amp;= 23 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika a&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;+b&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
(a+b)^3 &amp;= a^3+b^3+3ab(a+b) \\
11^3 &amp;= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\
11^2 &amp;= 22+3ab \\
121 &amp;= 22+3ab \\
99 &amp;= 3ab \\
ab &amp;= 33 \\

(a-b)^2 &amp;= a^2+b^2-2ab \\
&amp;= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\
&amp;= (a+b)^2-4ab \\
&amp;= 11^2-4(33) \\
&amp;= 121-132 \\
&amp;= -11 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut:
: f(x) + f(15-x) = 2024
: f(15+x) = f(x) + 2020
maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) + f(15-x) &amp;= 2024 \\
f(15+x) &amp;= f(x) + 2020 \\

*\text{cara 1 } \\
\text{ganti x dengan 15+x } \\
f(15+x) + f(-x) &amp;= 2024 \\

f(15+x) - f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
f(x) + f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x) + 2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\

*\text{cara 2 } \\
\text{ganti x dengan -x } \\
f(-x) + f(15+x) &amp;= 2024 \\

f(15+x) - f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
f(x) + f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x) + 2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi &lt;math&gt;f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x&lt;/math&gt; untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x \\

\text{ganti x dengan 1/3 } \\
f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &amp;= 1 \\

\text{ganti x dengan -3 } \\
f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\
\text{dikalikan 3 } \\
3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &amp;= -27 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
2f(3) &amp;= 28 \\
f(3) &amp;= 14 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika n = 2023&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+2024&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; maka berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2n-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
n &amp;= 2023^2+2024^2 \\
&amp;= 2023^2+(2023+1)^2 \\

\text{Misalkan 2023 = p} \\
n &amp;= p^2+(p+1)^2 \\
&amp;= p^2+p^2+2p+1 \\
&amp;= 2p^2+2p+1 \\

\sqrt{2n-1} &amp;= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+1} \\
&amp;= \sqrt{(2p+1)^2} \\
&amp;= 2p+1 \\
&amp;= 2(2023)+1 \\
&amp;= 4046+1 \\
&amp;= 4047 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika &lt;math&gt;\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}&lt;/math&gt; maka berapa hasil dari (a-c)&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{ab}{a+b} &amp;= \frac{1}{3} \\ 
\frac{a+b}{ab} &amp;= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{b} + \frac{1}{a} &amp;= 3 \\

\frac{bc}{b+c} &amp;= \frac{1}{4} \\ 
\frac{b+c}{bc} &amp;= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{b} &amp;= 4 \\

\frac{ac}{a+c} &amp;= \frac{1}{9} \\ 
\frac{a+c}{ac} &amp;= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{a} &amp;= 9 \\

\text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\
x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x+z &amp;= 9 \\

x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x-z &amp;= -1 \\

x-z &amp;= -1 \\
x+z &amp;= 9 \\
2x &amp;= 8 \\
x &amp;= 4 \\ 

x-z &amp;= -1 \\
4-z &amp;= -1 \\
z &amp;= 5 \\

x+y &amp;= 3 \\
4+y &amp;= 3 \\
y &amp;= -1 \\

\frac{1}{a} &amp;= 4 \\
a &amp;= \frac{1}{4} \\

\frac{1}{b} &amp;= -1 \\
b &amp;= -1 \\

\frac{1}{c} &amp;= 5 \\
c &amp;= \frac{1}{5} \\

(a-c)^b &amp;= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\
&amp;= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\
&amp;= (\frac{1}{20})^{-1} \\
&amp;= 20 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = &lt;math&gt;\frac{x}{y}&lt;/math&gt; = x - y maka berapa nilai x - y?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
xy &amp;= \frac{x}{y} \\ 
y^2 &amp;= 1 \\
y^2 - 1 &amp;= 0 \\
(y-1)(y+1) &amp;= 0 \\
y = 1 &amp;\text{atau } y = -1 \\

\frac{x}{y} &amp;= x-y \\ 
x &amp;= xy-y^2 \\
x-xy &amp;= -y^2 \\
x(1-y) &amp;= -y^2 \\
x &amp;= \frac{-y^2}{1-y} \\

x &amp;= \frac{-1^2}{1-1} \\
 
x &amp;= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\
 &amp;= \frac{-1}{2) \\

x+y &amp;= -1-\frac{1}{2} \\
 &amp;= -\frac{3}{2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9?
: Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu.
: untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja.
: untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja.
: Jadi banyaknya bilangan mungkin 2.

# Buktikan bahwa 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli!
; Cara 1
# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1 atau 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=(8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1^2)
# 8&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 (semua n untuk bilangan asli)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

; Cara 2
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = b mod 7

# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; dianggap pangkat terkecil)
# (8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7 (pangkat n kedua ruasnya)
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5?
; Cara 1
# 1 &amp; 6 = sisa 1, 2 &amp; 7 = sisa 2, 3 &amp; 8 = sisa 3, 4 &amp; 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0

# 7&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 7 (sisa 1)
# 7&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 49 (sisa 2)
# 7&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 343 (sisa 3)
# 7&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 2,401 (sisa 0)
# 7&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 16,807
# 7&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 117,649

nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3

;Cara 2
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 3
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 4 x 24 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 3

;Cara 3
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 mod 5
::(17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 2 x 2 x 2 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 8 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 mod 5 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5 bersisa 3

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7?
;Cara 1
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 3 
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 6
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 5
:17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 6 x 16 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

;Cara 2
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 mod 7
::(17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 x 3 x 3 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 27 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 6 mod 7 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

# Berapa hasil sisa dari 41&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt; dibagi 33?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
41^{2024} &amp;= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 16 \text{ mod } 33 \\

\text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 99&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
99^{99} &amp;= (3^2 \times 11)^{99} \\
&amp;= 3^{198} \times 11^{99} \\

243^n &amp;= (3^5)^n \\
&amp;= 3^{5n} \\

\text{agar bisa membagi, maka} \\
5n &amp;= 198 \\
n &amp;= 39.6 \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 88&lt;sup&gt;88&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
88^{88} &amp;= (8 \times 11)^{88} \\
&amp;= 8^{88} \times 11^{88} \\
&amp;= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\

512^n &amp;= 512^{29} \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6!
; Cara 1
: KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N &lt; 105.

: N dibagi 3 sisa 1
: N dibagi 5 sisa 2
: N dibagi 7 sisa 6

FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a

: KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70
: KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21
: KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15

Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97

; Cara 2
: Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35
: kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK.

: KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;

Jadi bilangan bulat positif adalah 97

:: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|-
| 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|}

nah ada ember A berisi 4 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|-
| 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|}

nah ada ember B berisi 4 liter.

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>6ur9rgk3c6c5du3qttxl2gpdso7hd0x</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107249</id>
      <parentid>107248</parentid>
      <timestamp>2025-06-09T11:52:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107249</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="22584" sha1="n67m0ejz7ajwogpk8cabuq8kygt9ce2" xml:space="preserve">contoh soal

# Berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Misalkan 2020 = p} \\
\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &amp;= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\
&amp;= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\
&amp;= \sqrt{(p^2-17)^2} \\
&amp;= p^2-17 \\
&amp;= 2020^2-17 \\
&amp;= (2000 + 20)^2-17 \\
&amp;= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\
&amp;= 4.080.383 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 17&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan angka satuannya} \\
17^1 &amp;= 7 \\
17^2 &amp;= 9 \\
17^3 &amp;= 3 \\
17^4 &amp;= 1 \\
17^5 &amp;= 7 \\
17^6 &amp;= 9 \\
17^7 &amp;= 3 \\
17^8 &amp;= 1 \\
\text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan } \\
1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &amp;= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\
&amp;= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\

\text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{Perhatikan} \\
\frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &amp;= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\
&amp;= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\

\text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{20abc}{ab+bc+ac}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;16^a = 256^b = 625^c = 40&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
16^a = 256^b = 625^c &amp;= 40 \\
2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &amp;= 40 \\

2^{4a} &amp;= 40 \\
2 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \\

4^{4b} &amp;= 40 \\
4 &amp;= 40^{\frac{1}{4b}} \\

5^{4c} &amp;= 40 \\
5 &amp;= 40^{\frac{1}{4c}} \\

2 \cdot 4 \cdot 5 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\

40 &amp;= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\
1 &amp;= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\
4 &amp;= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\

\frac{20abc}{ab+bc+ac} &amp;= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot (4)^{-1} \\
&amp;= 20 \cdot \frac{1}{4} \\
&amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;27x^3 + \frac{8}{x^3}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;3x + \frac{2}{x} = 6&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
3x + \frac{2}{x} &amp;= 6 \\
(3x + \frac{2}{x})^3 &amp;= 6^3 \\
27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &amp;= 216 \\
27x^3 + \frac{8}{x^3} &amp;= 108 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;4x + \frac{25}{x}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= 4x - \frac{25}{x} \\
2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &amp;= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\
1 &amp;= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\
1^2 &amp;= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\
1 &amp;= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\
4x + \frac{25}{x} &amp;= 21 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;sin^3 x + csc^3 x&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;sin x - csc x = 8&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &amp;= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\
(sin x - csc x)^3 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\
8^3 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\
512 &amp;= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\
sin^3 x - csc^3 x &amp;= 512 + 24 \\
sin^3 x - csc^3 x &amp;= 536 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &amp;= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\
&amp;= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\
&amp;= \frac{48}{8} \\
&amp;= 6 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari &lt;math&gt;\frac{a}{b}&lt;/math&gt; jika &lt;math&gt;\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{a^2}{a^2-16b^2} &amp;= \frac{625}{49} \\
\frac{a^2-16b^2}{a^2} &amp;= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\
1 - \frac{16b^2}{a^2} &amp;= \frac{49}{625} \\
\frac{16b^2}{a^2} &amp;= 1 - \frac{49}{625} \\
(\frac{4b}{a})^2 &amp;= \frac{576}{625} \\
(\frac{4b}{a})^2 &amp;= (\frac{24}{25})^2 \\
\frac{4b}{a} &amp;= \frac{24}{25} \\
\frac{b}{a} &amp;= \frac{6}{25} \\
\frac{a}{b} &amp;= \frac{25}{6} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapakah nilai dari x jika &lt;math&gt;4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
4^x &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\
4^x-1 &amp;= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\
4^x-1 &amp;= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\
4^x-1 &amp;= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\
4^x-1 &amp;= 4^{24}-1 \\
4^x &amp;= 4^{24} \\
x &amp;= 24 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari &lt;math&gt;\frac{c-b}{a-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) &amp;= ax^2+bx+c \\
f(2) &amp;= a(2)^2+2b+c = 4 \\
f(2) &amp;= 4a+2b+c = 4 \\
f(7) &amp;= a(7)^2+7b+c = 49 \\
f(7) &amp;= 49a+7b+c = 49 \\

49a+7b+c &amp;= 49 \\
4a+2b+c &amp;= 4 \\
45a+5b &amp;= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\
9a+b &amp;= 9 \\
b &amp;= -9a+9 \\

4a+2b+c &amp;= 4 \\
4a+2(-9a+9)+c &amp;= 4 \\
4a-18a+18+c &amp;= 4 \\
-14a+18+c &amp;= 4 \\
c &amp;= 14a-14 \\

\frac{c-b}{a-1} &amp;= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\
&amp;= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\
&amp;= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\
&amp;= 23 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika a&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;+b&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
(a+b)^3 &amp;= a^3+b^3+3ab(a+b) \\
11^3 &amp;= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\
11^2 &amp;= 22+3ab \\
121 &amp;= 22+3ab \\
99 &amp;= 3ab \\
ab &amp;= 33 \\

(a-b)^2 &amp;= a^2+b^2-2ab \\
&amp;= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\
&amp;= (a+b)^2-4ab \\
&amp;= 11^2-4(33) \\
&amp;= 121-132 \\
&amp;= -11 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut:
: f(x) + f(15-x) = 2024
: f(15+x) = f(x) + 2020
maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(x) + f(15-x) &amp;= 2024 \\
f(15+x) &amp;= f(x) + 2020 \\

*\text{cara 1 } \\
\text{ganti x dengan 15+x } \\
f(15+x) + f(-x) &amp;= 2024 \\

f(15+x) - f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
f(x) + f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x) + 2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\

*\text{cara 2 } \\
\text{ganti x dengan -x } \\
f(-x) + f(15+x) &amp;= 2024 \\

f(15+x) - f(x) &amp;= 2020 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
f(x) + f(-x) &amp;= 4 \\

\text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\
2f(x) + 2f(-x) = 8 \\

\text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi &lt;math&gt;f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x&lt;/math&gt; untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x \\

\text{ganti x dengan 1/3 } \\
f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &amp;= 1 \\

\text{ganti x dengan -3 } \\
f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\
\text{dikalikan 3 } \\
3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &amp;= -27 \\

\text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\
2f(3) &amp;= 28 \\
f(3) &amp;= 14 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika n = 2023&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+2024&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; maka berapa hasil dari &lt;math&gt;\sqrt{2n-1}&lt;/math&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
n &amp;= 2023^2+2024^2 \\
&amp;= 2023^2+(2023+1)^2 \\

\text{Misalkan 2023 = p} \\
n &amp;= p^2+(p+1)^2 \\
&amp;= p^2+p^2+2p+1 \\
&amp;= 2p^2+2p+1 \\

\sqrt{2n-1} &amp;= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\
&amp;= \sqrt{4p^2+4p+1} \\
&amp;= \sqrt{(2p+1)^2} \\
&amp;= 2p+1 \\
&amp;= 2(2023)+1 \\
&amp;= 4046+1 \\
&amp;= 4047 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jika &lt;math&gt;\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}&lt;/math&gt; maka berapa hasil dari (a-c)&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\frac{ab}{a+b} &amp;= \frac{1}{3} \\ 
\frac{a+b}{ab} &amp;= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{b} + \frac{1}{a} &amp;= 3 \\

\frac{bc}{b+c} &amp;= \frac{1}{4} \\ 
\frac{b+c}{bc} &amp;= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{b} &amp;= 4 \\

\frac{ac}{a+c} &amp;= \frac{1}{9} \\ 
\frac{a+c}{ac} &amp;= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{a} &amp;= 9 \\

\text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\
x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x+z &amp;= 9 \\

x+y &amp;= 3 \\
y+z &amp;= 4 \\
x-z &amp;= -1 \\

x-z &amp;= -1 \\
x+z &amp;= 9 \\
2x &amp;= 8 \\
x &amp;= 4 \\ 

x-z &amp;= -1 \\
4-z &amp;= -1 \\
z &amp;= 5 \\

x+y &amp;= 3 \\
4+y &amp;= 3 \\
y &amp;= -1 \\

\frac{1}{a} &amp;= 4 \\
a &amp;= \frac{1}{4} \\

\frac{1}{b} &amp;= -1 \\
b &amp;= -1 \\

\frac{1}{c} &amp;= 5 \\
c &amp;= \frac{1}{5} \\

(a-c)^b &amp;= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\
&amp;= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\
&amp;= (\frac{1}{20})^{-1} \\
&amp;= 20 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = &lt;math&gt;\frac{x}{y}&lt;/math&gt; = x - y maka berapa nilai x - y?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
xy &amp;= \frac{x}{y} \\ 
y^2 &amp;= 1 \\
y^2 - 1 &amp;= 0 \\
(y-1)(y+1) &amp;= 0 \\
y = 1 &amp; y = -1 \\

\frac{x}{y} &amp;= x-y \\ 
x &amp;= xy-y^2 \\
x-xy &amp;= -y^2 \\
x(1-y) &amp;= -y^2 \\
x &amp;= \frac{-y^2}{1-y} \\

\text{cek y=1 } \\
x &amp;= \frac{-1^2}{1-1} \\
\text{tidak memenuhi syarat } \\

\text{cek y=-1 } \\
x &amp;= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\
 &amp;= \frac{-1}{2} \\

x+y &amp;= -1-\frac{1}{2} \\
 &amp;= -\frac{3}{2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9?
: Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu.
: untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja.
: untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja.
: Jadi banyaknya bilangan mungkin 2.

# Buktikan bahwa 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli!
; Cara 1
# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1)
# 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;x8&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; sama dengan 1x1 atau 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=(8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; sama dengan 1^2)
# 8&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 1
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 (semua n untuk bilangan asli)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

; Cara 2
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = b mod 7

# 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; dianggap pangkat terkecil)
# (8&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7 (pangkat n kedua ruasnya)
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; mod 7
# 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1)

Terbukti 8&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5?
; Cara 1
# 1 &amp; 6 = sisa 1, 2 &amp; 7 = sisa 2, 3 &amp; 8 = sisa 3, 4 &amp; 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0

# 7&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 7 (sisa 1)
# 7&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 49 (sisa 2)
# 7&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 343 (sisa 3)
# 7&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 2,401 (sisa 0)
# 7&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 16,807
# 7&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 117,649

nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3

;Cara 2
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 3
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 4 x 24 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 3

;Cara 3
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1 mod 5
::(17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 5 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 5
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 2 x 2 x 2 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 8 mod 5 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 mod 5 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 5 bersisa 3

# Berapa hasil sisa dari 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7?
;Cara 1
:17&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 3 
:17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2
:17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 6
:17&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 4
:17&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 5
:17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 6 x 16 + 3
:17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = (17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
Untuk 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 sama dengan sisa 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

;Cara 2
:Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;
::17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = 1 mod 7
::(17&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; = 1 mod 7 
::17&lt;sup&gt;96&lt;/sup&gt; x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 1 x 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 17 x 17 x 17 mod 7
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 3 x 3 x 3 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 27 mod 7 
::17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; = 6 mod 7 

Jadi 17&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt; dibagi 7 bersisa 6

# Berapa hasil sisa dari 41&lt;sup&gt;2024&lt;/sup&gt; dibagi 33?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
41^{2024} &amp;= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 2^4 \text{ mod } 33 \\
&amp;= 16 \text{ mod } 33 \\

\text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 99&lt;sup&gt;99&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
99^{99} &amp;= (3^2 \times 11)^{99} \\
&amp;= 3^{198} \times 11^{99} \\

243^n &amp;= (3^5)^n \\
&amp;= 3^{5n} \\

\text{agar bisa membagi, maka} \\
5n &amp;= 198 \\
n &amp;= 39.6 \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; membagi 88&lt;sup&gt;88&lt;/sup&gt;?
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
88^{88} &amp;= (8 \times 11)^{88} \\
&amp;= 8^{88} \times 11^{88} \\
&amp;= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\
&amp;= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\

512^n &amp;= 512^{29} \\

\text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6!
; Cara 1
: KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N &lt; 105.

: N dibagi 3 sisa 1
: N dibagi 5 sisa 2
: N dibagi 7 sisa 6

FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a

: KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70
: KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21
: KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15

Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97

; Cara 2
: Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35
: kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK.

: KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;
: KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, &lt;b&gt;97&lt;/b&gt;

Jadi bilangan bulat positif adalah 97

:: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|-
| 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|}

nah ada ember A berisi 1 liter.

# Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember?

; Cara 1
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan
|-
| 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
|-
| 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B
|-
| 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A
|-
| 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
|}

nah ada ember A berisi 4 liter.

; Cara 2
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan
|-
| 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
|-
| 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang
|-
| 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|-
| 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A
|-
| 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
|}

nah ada ember B berisi 4 liter.

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>n67m0ejz7ajwogpk8cabuq8kygt9ce2</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>