Wikibuku idwikibooks https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama MediaWiki 1.45.0-wmf.4 first-letter Media Istimewa Pembicaraan Pengguna Pembicaraan Pengguna Wikibuku Pembicaraan Wikibuku Berkas Pembicaraan Berkas MediaWiki Pembicaraan MediaWiki Templat Pembicaraan Templat Bantuan Pembicaraan Bantuan Kategori Pembicaraan Kategori Resep Pembicaraan Resep Wisata Pembicaraan Wisata TimedText TimedText talk Modul Pembicaraan Modul 0 23118 107267 104947 2025-06-09T14:43:32Z Akuindo 8654 /* Tambahan */ 107267 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} u_n &= ar^{n-1} \\ s_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ s_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{u_n}{u_{n-1}} \\ u_t &= \sqrt{u_1 u_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{a_n}{a_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{bila} -1<r<1 </math> *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri: <math>a_n = a r^k</math> dimana <math>k = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] ljok5n9vjbzco0aufvvw63p3j7fso4h 107268 107267 2025-06-09T14:47:47Z Akuindo 8654 107268 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} u_n &= ar^{n-1} \\ s_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ s_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{u_n}{u_{n-1}} \\ u_t &= \sqrt{u_1 u_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{a_n}{a_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{bila} -1<r<1 </math> *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri: <math>a_n = a r^k</math> dimana <math>k = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 38caxej6v33lh4iexx0nbllpnhhedz5 0 23127 107317 100002 2025-06-10T11:17:51Z Akuindo 8654 107317 wikitext text/x-wiki Bangun datar disebut juga dimensi dua yang memiliki sebidang serta beberapa rusuknya. bangun ini memiliki simetri lipat, simetri putar dan sumbu simetri {| class="wikitable" |+ |- ! bangun datar !! simetri lipat !! simetri putar !! sumbu simetri |- | persegi || 4 || 4 || 4 |- | segi-n || || || |- | persegi panjang || 2 || 2 || 2 |- | segitiga sama sisi || 3 || 3 || 3 |- | segitiga sama kaki || 1 || 0 || 1 |- | segitiga siku-siku || 1 || 0 || 1 |- | lingkaran || takhingga || takhingga || takhingga |- | jajar genjang || 0 || 2 || 0 |- | belah ketupat || 2 || 2 || 2 |- | trapesium sama kaki || 1 || 0 || 1 |- | trapesium siku-siku || 0 || 0 || 0 |- | layang-layang || 1 || 0 || 1 |- | elips || 2 || 0 || 2 |} ; Hubungan ketiga sisi segitiga dengan jari-jari lingkaran (lingkaran dalam segitiga siku-siku): <math>r = \frac{a+b-c}{2}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a-r + b-r &= c \\ a+b-2r &= c \\ 2r &= a+b-c \\ r &= \frac{a+b-c}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Hubungan dua tali busur dengan jari-jari lingkaran: <math>r = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{4}}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ misalkan } p &= \frac{c+d}{2} \text{ dan } q = \frac{a+b}{2} \\ \text{ misalkan persegi panjang dibuat x dan y} & \\ x + p &= d \\ x + \frac{c+d}{2} &= d \\ x &= d - \frac{c+d}{2} \\ x &= \frac{d-c}{2} \\ y + q &= b \\ y + \frac{a+b}{2} &= b \\ y &= b - \frac{a+b}{2} \\ y &= \frac{b-a}{2} \\ y^2 + p^2 &= r^2 \\ (\frac{b-a}{2})^2 + (\frac{c+d}{2})^2 &= r^2 \\ \frac{a^2-2ab+b^2}{4} + \frac{c^2+2cd+d^2}{4} &= r^2 \\ x^2 + q^2 &= r^2 \\ (\frac{d-c}{2})^2 + (\frac{a+b}{2})^2 &= r^2 \\ \frac{c^2-2cd+d^2}{4} + \frac{a^2+2ab+b^2}{4} &= r^2 \\ \text {jumlah dua persamaan tersebut menjadi } & \\ \frac{a^2-2ab+b^2}{4} + \frac{c^2+2cd+d^2}{4} \frac{c^2-2cd+d^2}{4} + \frac{a^2+2ab+b^2}{4} &= 2r^2 \\ \frac{2a^2+2b^2+2c^2+2d^2}{4} &= 2r^2 \\ \frac{2(a^2+b^2+c^2+d^2)}{4} &= 2r^2 \\ \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4} &= r^2 \\ a^2+b^2+c^2+d^2 &= 4r^2 \\ r &= \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{4}} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Lingkaran dalam segitiga: <math>r = \frac{L}{s}</math> (s adalah setengah keliling segitiga) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ misalkan luas segitiga AOC } L_a &= \frac{ra}{2} \\ \text{ misalkan luas segitiga COB } L_b &= \frac{rb}{2} \\ \text{ misalkan luas segitiga BOC } L_c &= \frac{rc}{2} \\ \text{ maka total luas ketiga segitiga tersebut adalah } L &= L_a + L_b + L_c \\ &= \frac{ra}{2} + \frac{rb}{2} + \frac{rc}{2} \\ &= r \frac{a+b+c}{2} \\ &= r s \\ r &= \frac{L}{s} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Lingkaran luar segitiga: <math>r = \frac{abc}{4L}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ lihat posisi kesebangunan } \frac{t}{b} &= \frac{c}{2r} \\ t &= \frac{bc}{2r} \\ L &= \frac{at}{2} \\ &= \frac{abc}{2(2r)} \\ r &= \frac{abc}{4L} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Garis singgung (satu) lingkaran: <math>d = \sqrt{a^2-b^2}</math> ; Garis singgung persekutuan dalam (dua) lingkaran: <math>d = \sqrt{p^2-(R+r)^2}</math> ; Garis singgung persekutuan luar (dua) lingkaran: <math>d = \sqrt{p^2-(R-r)^2}</math> ; Teorema Ceva: AF x BD x CE = BF x CD x AE ; Teorema Power de Point: :: AE x EC = BE x DE :: AB² = AD x AE :: AB x AC = AD x AE ; Teorema de Pitot: AB + DC = AD + BC ; Aspek tali busur dalam lingkaran: : AE x EC = BE x ED ; Teorema Ptolomeo : AC x BD = AB x DC + AD x BC ; Tali busur pada satu titik di luar lingkaran: : (a + b) x b = (c + d) x d [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] fcmw4c6jsj0sqf70rl3j4hlhb2vqlr3 0 23137 107299 92412 2025-06-10T08:09:53Z Akuindo 8654 107299 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \text{atau} x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x &= \frac{1}{3} \text{atau} x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x &= 4 \text{atau} x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol} x(2x-3) &= 0 \\ x &= 0 \text{atau} x = \frac{3}{2} \\ x &< 0 \text{atau} x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol} x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 &< -1 - \sqrt{5} \text{atau} x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &< -1 - \sqrt{5} \text{atau} x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah} x&= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x &= -7 \text{atau} x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol} 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \text{atau} x = 4 \\ x &< \frac{3}{2} \text{atau} x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol} x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x &< \frac{3}{2}, x > 4 \text{atau} x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah} x&= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x &= \frac{3}{4} \text{atau} x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol} 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol} x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x &= 2 \text{atau} x = 3 \\ x &< 2 \text{atau} x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{atau} x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah} x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x &= 7 \text{atau} x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol} 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol} x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x &= 1 \text{atau} x = -3 \\ x &< -3 \text{atau} x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah} x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] gbgld89tan6mxgfsfgxrafs8w7zx6tz 107300 107299 2025-06-10T08:11:23Z Akuindo 8654 107300 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x &= 4 \text{atau} x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol} x(2x-3) &= 0 \\ x &= 0 \text{atau} x = \frac{3}{2} \\ x &< 0 \text{atau} x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol} x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 &< -1 - \sqrt{5} \text{atau} x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &< -1 - \sqrt{5} \text{atau} x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah} x&= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x &= -7 \text{atau} x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol} 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \text{atau} x = 4 \\ x &< \frac{3}{2} \text{atau} x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol} x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x &< \frac{3}{2}, x > 4 \text{atau} x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah} x&= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x &= \frac{3}{4} \text{atau} x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol} 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol} x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x &= 2 \text{atau} x = 3 \\ x &< 2 \text{atau} x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{atau} x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah} x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x &= 7 \text{atau} x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol} 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol} x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x &= 1 \text{atau} x = -3 \\ x &< -3 \text{atau} x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah} x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] glqvtzko5ykkwg0nuroyfc2dhns5ddg 107303 107300 2025-06-10T08:18:34Z Akuindo 8654 107303 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol} x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol} x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah} x&= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol} 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol} x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{atau} x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah} x&= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol} 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol} x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{atau} x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah} x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{atau} x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol} 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol} x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah} x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] orybnb7c6s87dxl4mfiwfuy4phh00bh 107304 107303 2025-06-10T08:23:37Z Akuindo 8654 107304 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] t75qvkalnyd00unsue653n9wk5yy0o6 0 23568 107250 107249 2025-06-09T12:11:02Z Akuindo 8654 107250 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x + \frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x - \frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\ 4x + \frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x - y maka berapa nilai x - y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 & y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q serta 17p+q meruoakan barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] m03y066xt2yeu8hwq0oh2lmxuik9mxp 107251 107250 2025-06-09T12:12:12Z Akuindo 8654 107251 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x + \frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x - \frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\ 4x + \frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x - y maka berapa nilai x - y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 & y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] l4ax611y1xryk55yl268rwg3fynfhil 107253 107251 2025-06-09T12:41:28Z Akuindo 8654 107253 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x + \frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x - \frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\ 4x + \frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy) + \frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7. Tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x - y maka berapa nilai x - y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 & y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 8kyo7zl9mpo0t9mzvw98gl4v6nvlaio 107272 107253 2025-06-09T23:56:06Z Akuindo 8654 107272 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x + \frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x - \frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\ 4x + \frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy) + \frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7. Tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1}</math> dengan x ≠ -\frac{1}{2}. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x - y maka berapa nilai x - y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 & y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] gcigpramsl7qpwlabxzjvoemm7fhcad 107273 107272 2025-06-09T23:58:45Z Akuindo 8654 107273 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x + \frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x - \frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\ 4x + \frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy) + \frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7. Tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x ≠ -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{(\frac{k^2x}{2x+1})}{(\frac{2kx+2x+1}{2x+1})} &= x \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x - y maka berapa nilai x - y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 & y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] hveqe0l7l1sdypzfaludhesy97nvu57 107274 107273 2025-06-10T00:01:08Z Akuindo 8654 107274 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x + \frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x - \frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\ 4x + \frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy) + \frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7. Tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \nsgn -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{(\frac{k^2x}{2x+1})}{(\frac{2kx+2x+1}{2x+1})} &= x \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x - y maka berapa nilai x - y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 & y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] aizayar4ls9ej8a94lmdm91jb5jcyxw 107275 107274 2025-06-10T00:08:19Z Akuindo 8654 107275 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x + \frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x - \frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\ 4x + \frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy) + \frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7. Tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2kx+2x+1}} &= x \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x - y maka berapa nilai x - y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 & y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 47j3mzgierom6padsuyf6r1yls3x828 107276 107275 2025-06-10T00:09:32Z Akuindo 8654 107276 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x + \frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x - \frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\ 4x + \frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy) + \frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7. Tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x - y maka berapa nilai x - y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 & y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 3oz7ekz72cxjkologag8iezi1939u6y 107277 107276 2025-06-10T00:13:19Z Akuindo 8654 107277 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x + \frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x - \frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\ 4x + \frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy) + \frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7. Tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ k^2x &= x(2kx+2x+1) \\ k^2x &= 2kx^2+2x^2+x \\ k^2x - 2kx^2 &= 2x^2+x \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x - y maka berapa nilai x - y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 & y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] gkgmq6pyfuytmwx49l23vir376edkpy 107278 107277 2025-06-10T00:18:42Z Akuindo 8654 107278 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x + \frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x - \frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\ 4x + \frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy) + \frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7. Tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ k^2x &= x(2kx+2x+1) \\ k^2x &= 2kx^2+2x^2+x \\ k^2x-x &= 2kx^2+2x^2 \\ x(k^2-1) &= 2x^2(k+1) \\ k^2-1 &= 2x(k+1) \\ (k-1)(k+1) &= 2x(k+1) \\ k-1 &= 2x \\ k &= 2x+1 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x - y maka berapa nilai x - y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 & y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] nafn3t9lh69awsp9d63s2w91ihi4n4r 107279 107278 2025-06-10T03:09:39Z Akuindo 8654 107279 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x + \frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x - \frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\ 4x + \frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy) + \frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7. Tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x - y maka berapa nilai x - y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 & y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] n43qfdcg5ecm3cxzevch0bva8vzuokf 107280 107279 2025-06-10T05:54:31Z Akuindo 8654 107280 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x + \frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x - \frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\ 4x + \frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy) + \frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7. Tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x - y maka berapa nilai x - y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 & y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 6tcjxzw6u0ecfejxbd0zrt5xnqyg3sl 107281 107280 2025-06-10T05:55:39Z Akuindo 8654 107281 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x + \frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x - \frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\ 4x + \frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy) + \frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7. Tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x - y maka berapa nilai x - y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 & y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] qu4p740z7g16bmcjuiuwuyesepfv1rc 107282 107281 2025-06-10T06:24:07Z Akuindo 8654 107282 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x + \frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x - \frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\ 4x + \frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy) + \frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7. Tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 & y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] e40vdy90s8zv4uho1q2g7upbfbo6yq4 107283 107282 2025-06-10T06:27:27Z Akuindo 8654 107283 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x + \frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x - \frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\ 4x + \frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy) + \frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7. Tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] q2ggambmx1dwodw18omip6cbn3ytn5h 107315 107283 2025-06-10T09:46:25Z Akuindo 8654 107315 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x + \frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x - \frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\ 4x + \frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy) + \frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7. Tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{u_2+u_3}{u_1} = \frac{7}{8}</math> merupakan barisan aritmetika maka berapa dari <math>\frac{u_2+u_3}{u_1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{u_2+u_3}{u_1} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+b+a+2b}{a} = \frac{7}{8} \\ \frac{2a+3b}{a} = \frac{7}{8} \\ 8(2a+3b) &= 7a \\ 16a+24b &= 7a \\ 24b &= -9a \\ b &= -\frac{3a}{8} \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 8nwrvj8cl5kznjygczs7dxr2y06v7y1 107316 107315 2025-06-10T09:56:58Z Akuindo 8654 107316 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x + \frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} = 4x - \frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x - \frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x - 20 + \frac{25}{x} \\ 4x + \frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy) + \frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7. Tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{u_3}{u_1+u_2} = \frac{7}{8}</math> merupakan barisan aritmetika maka berapa dari <math>\frac{u_2+u_3}{u_1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{u_3}{u_1+u_2} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{a+a+b} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{2a+b} &= \frac{7}{8} \\ 8(a+2b) &= 7(2a+b) \\ 8a+16b &= 14a+7b \\ 9b &= 6a \\ b &= \frac{2a}{3} \\ \frac{u_2+u_3}{u_1} &= \frac{a+b+a+2b}{a} \\ &= \frac{2a+3b}{a} \\ &= \frac{2a+3(\frac{2a}{3})}{a} \\ &= \frac{2a+2a}{a} \\ &= \frac{4a}{a} \\ &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] thme45w2fc53xgsqtqrw4rag49o8sa8 2 25691 107270 107057 2025-06-09T15:40:17Z Ocahee 41476 added [[Category:WikiCitaRasa-Palembang]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107270 wikitext text/x-wiki Halo, Aku Carat! Bias Aku Mingyu, let's gaur. {{Peserta WikiCitaRasa}} [[Kategori:WikiCitaRasa-Palembang]] bwt2ckyo2msynqrydcuxibphm4w6k3c 100 25736 107309 107202 2025-06-10T08:28:39Z Who'sisthis 41477 added [[Category:WikiCitaRasa-Palembang]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107309 wikitext text/x-wiki '''Gulai ridiak''' adalah salah satu gulai bermuatan sayur yang sangat terkenal dari Padang. <ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian. </ref> == Bahan == * ½ kg daging sup * ½ gelas kacang buncis kering == Bumbu == * 5 buah bawang merah * ½ rajang jahe * 2 siung bawang putih * 2 sendok makan lombok merah giling * 1 biji kemiri * ½ lembar daun kunyit * 1 sendok makan garam == Cara pembuatannya == # Kacang kering direndam air mendidih selama 4 jam # Daging dibersihkan lalu dipotong persegi 3 cm # Bumbu digiling halus kecuali daun kunyit # Daging dimasak dengan 4 gelas air bersama bumbu hingga ½ empuk # Kacang kering dimasukkan dan dimasak bersama hingga empuk == Referensi == <references /> [[Kategori:WikiCitaRasa-Palembang]] sag14yzn6xcgqkw3v7go7741epo46en 107310 107309 2025-06-10T08:29:31Z Who'sisthis 41477 tambahan elemen tanda baca 107310 wikitext text/x-wiki '''Gulai ridiak''' adalah salah satu gulai bermuatan sayur yang sangat terkenal dari Padang. <ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian. </ref> == Bahan == * ½ kg daging sup * ½ gelas kacang buncis kering == Bumbu == * 5 buah bawang merah * ½ rajang jahe * 2 siung bawang putih * 2 sendok makan lombok merah giling * 1 biji kemiri * ½ lembar daun kunyit * 1 sendok makan garam == Cara pembuatannya == # Kacang kering direndam air mendidih selama 4 jam. # Daging dibersihkan lalu dipotong persegi 3 cm. # Bumbu digiling halus kecuali daun kunyit. # Daging dimasak dengan 4 gelas air bersama bumbu hingga ½ empuk. # Kacang kering dimasukkan dan dimasak bersama hingga empuk. == Referensi == <references /> [[Kategori:WikiCitaRasa-Palembang]] l8wp8td297a3xqrhqpzyd3dwzu0p2rg 100 25744 107252 107222 2025-06-09T12:26:05Z Who'sisthis 41477 added [[Category:WikiCitaRasa-Palembang]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107252 wikitext text/x-wiki '''Lodeh jantung pisang''' adalah makanan khas Indonesia == Bahan == * 2 buah jantung pisang kepok * 1/2 kelapa * 1 genggam daun melinjo * 1 papan pete * 1 papan tempe bosok * 2 sdm udang kering * 5 buah bawang merah * 1 siung bawang putih * 10 buah lombok hijau * 1/3 ruas jari laos * 1 lembar daun salam * 1 sdt gula merah * 1 sdm garam * 1 sdt terasi == Cara Membuat == # Bakar jantung pisang sampai masak, sisihkan kulit yang gosong, lalu dipotong-potong # Parut kelapa, dan buat santan hingga kental. # Iris bumbu, potong-potong pete, dan haluskan tempe bosok. # Rebus dantan dan masukkan bumbu-bumbu. # Setelah mendidih, masukkan bahan dan aduk agar santan tidak pecah.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian.</ref> == Referensi == # <references /> [[Kategori:WikiCitaRasa-Palembang]] lqbjf5yd7n5gpokkzlbhut280pz2epr 100 25745 107254 2025-06-09T12:50:53Z Who'sisthis 41477 Membuat resep lodeh ikan cucut 107254 wikitext text/x-wiki '''Lodeh ikan cucut''' adalah makanan khas nusantara, Indonesia. == Bahan == * 1/2 kg ikan cucut * 1/2 buah kelapa * 3 buah bawang merah * 1 siung bawang putih * 4 buah lombok merah * 1 ruas jari jahe * 1 potong laos * 2 biji kemiji * 4 lembar daun salam * 1 jari kayu manis * 1 sdm gula merah * 1 sdm garam == Cara Membuat == # Bersihkan ikan dan kupas kelapa, parut dan keluarkan santannya. # Haluskan bumbu, selain daun salam, lombok, bawang merah, bawang putih diris. # Tumis bahan yang diiris sampai wangi. # Lalu masukkan bumbu halus, tumis hingga wangi. # Tuangkan santan dan aduk hingga mendidih. # Masukkan daun salam, beri secukupnya garam, biarkan mendidih. # Masukkan ikan dan biarkan hingga masak.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian. </ref> == Referensi == <references /> 3epdbx1jpwouo23h2dks9o5j5g2fjic 107255 107254 2025-06-09T12:51:16Z Who'sisthis 41477 added [[Category:WikiCitaRasa-Palembang]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107255 wikitext text/x-wiki '''Lodeh ikan cucut''' adalah makanan khas nusantara, Indonesia. == Bahan == * 1/2 kg ikan cucut * 1/2 buah kelapa * 3 buah bawang merah * 1 siung bawang putih * 4 buah lombok merah * 1 ruas jari jahe * 1 potong laos * 2 biji kemiji * 4 lembar daun salam * 1 jari kayu manis * 1 sdm gula merah * 1 sdm garam == Cara Membuat == # Bersihkan ikan dan kupas kelapa, parut dan keluarkan santannya. # Haluskan bumbu, selain daun salam, lombok, bawang merah, bawang putih diris. # Tumis bahan yang diiris sampai wangi. # Lalu masukkan bumbu halus, tumis hingga wangi. # Tuangkan santan dan aduk hingga mendidih. # Masukkan daun salam, beri secukupnya garam, biarkan mendidih. # Masukkan ikan dan biarkan hingga masak.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian. </ref> == Referensi == <references /> [[Kategori:WikiCitaRasa-Palembang]] 56r32uiapg95nmy5gw9pyigvj546f8h 100 25746 107256 2025-06-09T13:09:45Z Who'sisthis 41477 menulis resep lodeh kol 107256 wikitext text/x-wiki '''Lodeh kol''' adalah masakan khas nusantara, Indonesia. == Bahan == * 1 ikat kacang panjang * 10 lembar kol * 1 ikat daun melinjo * 1/2 butir kelapa * 2 buah terong == Bumbu == * 5 buah bawang merah * 3 siung bawang putih * 6 buah lombok merah * 1 sdm garam * 1 sdm gula merah * 1 bungkus tempe semangit * 1 potong laos * 2 lembar daun salam * 2 sdm rese udang (udang kecil yang dikeringkan) == Cara Membuat == # Potong-potong kol, kacang panjang, daun melinjo dan terong sesuai selera. # Iris halus bumbu dan tumbuk kasar. # Rebus sayuran bersama bumbu. # Buat santan dari kelapa dan rebus hingga masak.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian.</ref> == Referensi == <references /> 0n6q1jdihjojl0saboulhb8xhcabr30 100 25747 107257 2025-06-09T13:28:15Z Who'sisthis 41477 menulis resep lodeh nangka muda 107257 wikitext text/x-wiki '''Lodeh nangka muda''' adalah makanan khas Nusantara, Indonesia. == Bahan == * 1 kg nangka muda * 1 ons daun melinjo * 10 mata petai * 1/2 ons teri * 1/2 butir kelapa == Bumbu == * 4 buah bawang merah * 2 siung bawang putih * 3 buah lombok merah * 3 buah lombok hijau * 1 potong laos * 1 lembar daun salam * 1 sdm gula merah * 1 sdm garam == Cara Membuat == # Kupas nangka muda, cuci dan cincang kasar. # Buang tangkai daun melinjo dan campurkan dengan nangka. # Kupas petai, dan dibelah dua. # Iris bawang merah, bawang putih, dan lombok. Lalu rebus bersama sayuran. # Cuci teri dan masukkan ke dalam panci. # Parut kelapa dan buat santan hingga 2 gelas. # Setelah sayuran empuk, masukkan santan dan masak hingga matang.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian.</ref> == Referensi == <references /> dg8xju9zjejl099canhtf0zpgbep0qp 107258 107257 2025-06-09T13:28:30Z Who'sisthis 41477 added [[Category:WikiCitaRasa-Palembang]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107258 wikitext text/x-wiki '''Lodeh nangka muda''' adalah makanan khas Nusantara, Indonesia. == Bahan == * 1 kg nangka muda * 1 ons daun melinjo * 10 mata petai * 1/2 ons teri * 1/2 butir kelapa == Bumbu == * 4 buah bawang merah * 2 siung bawang putih * 3 buah lombok merah * 3 buah lombok hijau * 1 potong laos * 1 lembar daun salam * 1 sdm gula merah * 1 sdm garam == Cara Membuat == # Kupas nangka muda, cuci dan cincang kasar. # Buang tangkai daun melinjo dan campurkan dengan nangka. # Kupas petai, dan dibelah dua. # Iris bawang merah, bawang putih, dan lombok. Lalu rebus bersama sayuran. # Cuci teri dan masukkan ke dalam panci. # Parut kelapa dan buat santan hingga 2 gelas. # Setelah sayuran empuk, masukkan santan dan masak hingga matang.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian.</ref> == Referensi == <references /> [[Kategori:WikiCitaRasa-Palembang]] qg6xa72kra55002gvs2fezqjsz7szgc 100 25748 107259 2025-06-09T13:48:14Z Who'sisthis 41477 menulis resep lodeh plonco 107259 wikitext text/x-wiki '''Lodeh Plonco''' adalah makanan khas Nusantara, Indonesia. == Bahan == * 1/4 buah labu kuning * 1/2 ons daun melinjo * 2 sdm udang kecil * 1/3 butir kelapa == Bumbu == * 5 buah bawang merah * 2 siung bawang putih * 3 buah lombok merah * 1 potong laos * 1 lembar daun salam * 1 sdm garam * 1 sdt gula merah == Cara Membuat == # Kupas labu kuning, keluarkan bijinya, dan potong persegi. # Buang tangkai daun melinjo. # Parut kelapa dan buat santan sebanyak 2 gelas. # Iris halus bawang merah, bawang putih, lombok merah. # Tumis bumbu yang diiris dan masukkan udang. # Masukkan labu kuning, daun melinjo dan santan, lalu aduk hingga masak.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian. </ref> == Referensi == <references /> oymf13rewargwkwwnzm8rghh7171zdj 107260 107259 2025-06-09T13:48:29Z Who'sisthis 41477 added [[Category:WikiCitaRasa-Palembang]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107260 wikitext text/x-wiki '''Lodeh Plonco''' adalah makanan khas Nusantara, Indonesia. == Bahan == * 1/4 buah labu kuning * 1/2 ons daun melinjo * 2 sdm udang kecil * 1/3 butir kelapa == Bumbu == * 5 buah bawang merah * 2 siung bawang putih * 3 buah lombok merah * 1 potong laos * 1 lembar daun salam * 1 sdm garam * 1 sdt gula merah == Cara Membuat == # Kupas labu kuning, keluarkan bijinya, dan potong persegi. # Buang tangkai daun melinjo. # Parut kelapa dan buat santan sebanyak 2 gelas. # Iris halus bawang merah, bawang putih, lombok merah. # Tumis bumbu yang diiris dan masukkan udang. # Masukkan labu kuning, daun melinjo dan santan, lalu aduk hingga masak.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian. </ref> == Referensi == <references /> [[Kategori:WikiCitaRasa-Palembang]] fe8ddkg7hd5vruukoqm7vp1t1kdqvvp 100 25749 107261 2025-06-09T14:00:13Z Who'sisthis 41477 menulis resep lodeh rebung 107261 wikitext text/x-wiki '''Lodeh Rebung''' adalah makanan khas Nusantara, Indonesia. == Bahan == * 1 1/2 kg rebung * 2 papan tempe bosok * 1 ons daun melinjo * 1/2 butir kelapa == Bumbu == * 5 buah bawang merah * 3 siung bawang putih * 3 buah lombok merah * 2 biji kemiri * 1 potong laos * 2 lembar daun salam * 1/2 sdm gula merah * 1 sdm garam == Cara Membuat == # Iris tipis rebung, cuci dan rebus hingga lunak. Buang air rebusan. # Bawang merah, bawang putih, lombok dibakar sebentar. # Parut kelapa dan ambil santannya sebanyak 4 gelas. # Haluskan semua bumbu kecuali daun salam dan laos. # Rebus santan hingga mendidih, rebung dan daun melinjo, lalu masukkan bumbu. # Masak hingga tanak.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian. </ref> == Referensi == <references /> 1ngk3xty9dkosbkyg61w8oy128c0bvr 107262 107261 2025-06-09T14:00:32Z Who'sisthis 41477 added [[Category:WikiCitaRasa-Palembang]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107262 wikitext text/x-wiki '''Lodeh Rebung''' adalah makanan khas Nusantara, Indonesia. == Bahan == * 1 1/2 kg rebung * 2 papan tempe bosok * 1 ons daun melinjo * 1/2 butir kelapa == Bumbu == * 5 buah bawang merah * 3 siung bawang putih * 3 buah lombok merah * 2 biji kemiri * 1 potong laos * 2 lembar daun salam * 1/2 sdm gula merah * 1 sdm garam == Cara Membuat == # Iris tipis rebung, cuci dan rebus hingga lunak. Buang air rebusan. # Bawang merah, bawang putih, lombok dibakar sebentar. # Parut kelapa dan ambil santannya sebanyak 4 gelas. # Haluskan semua bumbu kecuali daun salam dan laos. # Rebus santan hingga mendidih, rebung dan daun melinjo, lalu masukkan bumbu. # Masak hingga tanak.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian. </ref> == Referensi == <references /> [[Kategori:WikiCitaRasa-Palembang]] k0evfa9j1e6l7zaoijtfwgxvafsdlvg 100 25750 107263 2025-06-09T14:09:57Z Who'sisthis 41477 menulis resep lodeh jagung 107263 wikitext text/x-wiki '''Lodeh Jagung Muda''' adalah makanan khas Nusantara, Indonesia. == Bahan == * 4 buah jagung muda * 1 buah labu siam * 1 genggam daun melinjo * 1 buah tomat == Bumbu == * 4 buah bawang merah * 2 siung bawang putih * 2 sdt lombok giling * 2 buah lombok hijau * 1 potong laos * 2 lembar daun salam * 1/4 butir kelapa == Cara Membuat == # Iris jagung # Potong kecil tomat, labu siam dan jagung. # Masukkan kedalam panci bumbu yang diiris dan tambahkan sedikit garam dan gula. # Beri setengah cangkir santan encer. # Masak sampai mendidih dan masukkan sayur. # Tutup sayur hingga sayuran matang dan tambahkan santan kental 1 cangkir, beserta daun melinjo, tomat dan lombok hijau. # Aduk hingga santan mendidih supaya tidak pecah. # Biarkan mendidih hingga daun melinjo matang, dan sayur lodeh siap disajikan.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian. </ref> <references /> ldh9du52mrhcz14tydqdsn6dqofc3p4 107264 107263 2025-06-09T14:10:12Z Who'sisthis 41477 added [[Category:WikiCitaRasa-Palembang]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107264 wikitext text/x-wiki '''Lodeh Jagung Muda''' adalah makanan khas Nusantara, Indonesia. == Bahan == * 4 buah jagung muda * 1 buah labu siam * 1 genggam daun melinjo * 1 buah tomat == Bumbu == * 4 buah bawang merah * 2 siung bawang putih * 2 sdt lombok giling * 2 buah lombok hijau * 1 potong laos * 2 lembar daun salam * 1/4 butir kelapa == Cara Membuat == # Iris jagung # Potong kecil tomat, labu siam dan jagung. # Masukkan kedalam panci bumbu yang diiris dan tambahkan sedikit garam dan gula. # Beri setengah cangkir santan encer. # Masak sampai mendidih dan masukkan sayur. # Tutup sayur hingga sayuran matang dan tambahkan santan kental 1 cangkir, beserta daun melinjo, tomat dan lombok hijau. # Aduk hingga santan mendidih supaya tidak pecah. # Biarkan mendidih hingga daun melinjo matang, dan sayur lodeh siap disajikan.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian. </ref> <references /> [[Kategori:WikiCitaRasa-Palembang]] sqdtrz4jj7vxjeomxuicn3t782c9xei 100 25751 107265 2025-06-09T14:23:22Z Who'sisthis 41477 menulis resep kari makasar 107265 wikitext text/x-wiki '''Kari makasar''' adalah makanan khas Nusantara, Indonesia. == Bahan == * 1 ekor ayam * 4 sdm tepung jagung * 1 butir kelapa == Bumbu == * 2 lembar daun sereh * 1 sdt ketumbar * 1/2 sdt jinten * 2 lembar daun jeruk purut * 1 sdm garam * 3 sdm minyak goreng == Cara Membuat == # Cincang daging ayam. # Tumis bumbu tanpa minyak, lalu tumbuk hingga halus. # Parut kelapa dan buat santan. # Tumis bumbu yang sudah halus dengan minyak kemudian ayam cincang dibulat-bulatkan lalu dimasukkan kedalam panci. # Masukkan santan dan daun jeruk purut. # Setelah santan tanak, masukkan larutan tepung jagung lalu matikan api. # Kari makasar siap disajikan.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian.</ref> == Referensi == <references /> clecw9b1a62o4i0yefzgtbm9qklkeqf 107266 107265 2025-06-09T14:23:39Z Who'sisthis 41477 added [[Category:WikiCitaRasa-Palembang]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107266 wikitext text/x-wiki '''Kari makasar''' adalah makanan khas Nusantara, Indonesia. == Bahan == * 1 ekor ayam * 4 sdm tepung jagung * 1 butir kelapa == Bumbu == * 2 lembar daun sereh * 1 sdt ketumbar * 1/2 sdt jinten * 2 lembar daun jeruk purut * 1 sdm garam * 3 sdm minyak goreng == Cara Membuat == # Cincang daging ayam. # Tumis bumbu tanpa minyak, lalu tumbuk hingga halus. # Parut kelapa dan buat santan. # Tumis bumbu yang sudah halus dengan minyak kemudian ayam cincang dibulat-bulatkan lalu dimasukkan kedalam panci. # Masukkan santan dan daun jeruk purut. # Setelah santan tanak, masukkan larutan tepung jagung lalu matikan api. # Kari makasar siap disajikan.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian.</ref> == Referensi == <references /> [[Kategori:WikiCitaRasa-Palembang]] a8h54nzmnv8cs3barxgg8dj3mywns76 100 25752 107269 2025-06-09T15:39:43Z Ocahee 41476 ←Membuat halaman berisi ' Gulai rampai merupakan masakan khas Aceh sering disajikan dalam acara keluarga, kenduri, atau hari besar keagamaan. == Bahan-bahan == {| class="wikitable" |Daun ubi kayu |½ ikt |Buah melinjo |1 ggm. |- |Daun ubi jalar |½ ikt. |Jagung muda |1 bh. |- |Bayam |½ ikt. |Udang |4 sdm. |- |Daun melinjo |1 ggm. |Kacang panjang |5 bh. |} == ''Bumbu-bumbu'' == {| class="wikitable" |Bawang merah |5 bh. |Asam sunti/belimbing | |- |Lombok hijau |8 bh. |Wuluh |5 bh. |- |L...' 107269 wikitext text/x-wiki Gulai rampai merupakan masakan khas Aceh sering disajikan dalam acara keluarga, kenduri, atau hari besar keagamaan. == Bahan-bahan == {| class="wikitable" |Daun ubi kayu |½ ikt |Buah melinjo |1 ggm. |- |Daun ubi jalar |½ ikt. |Jagung muda |1 bh. |- |Bayam |½ ikt. |Udang |4 sdm. |- |Daun melinjo |1 ggm. |Kacang panjang |5 bh. |} == ''Bumbu-bumbu'' == {| class="wikitable" |Bawang merah |5 bh. |Asam sunti/belimbing | |- |Lombok hijau |8 bh. |Wuluh |5 bh. |- |Lombok rawit |10bh. |Tomat muda |1 bh. |- |Asam gelugur |5 bdj. |Garam |2 sdm. |} == Cara Membuatnya == # Bersihkan dan potong sayuran sesuai ukuran yang diinginkan. # Bersihkan udang hingga bersih dari kotoran dan kulitnya (jika diperlukan). # Parut kelapa, lalu peras untuk menghasilkan santan sebanyak enam gelas. # Iris halus semua bumbu yang dibutuhkan. # Rebus santan bersama bumbu hingga mendidih sambil terus diaduk. # Masukkan sayuran ke dalam santan, lalu masak hingga seluruh bahan matang sempurna. rff7ug7de9mwvbizk82mrlmcxqfz2mb 0 25753 107271 2025-06-09T21:46:38Z 89.198.100.64 sex 107271 wikitext text/x-wiki Sxx 2mnyxvner73td0jmr14amc5vefav605 100 25754 107284 2025-06-10T07:09:57Z Who'sisthis 41477 menuliskan resep gulai pliek ue. 107284 wikitext text/x-wiki '''Gulai Pliek Ue''' disebut juga pataram yang merupakan makanan khas Nusantara, Indonesia. == Bahan == * 1 genggam Pliek ue * 1 potong nangka muda * 1 genggam daun melinjo * 1 genggam buah melinjo * 1 potong pepaya muda * 2 sdm udang/tiram * 1/2 butir kelapa == Bumbu == * 5 buah bawang merah * 3 siung bawang putih * 4 buah lombok hijau * 1 ruas jari kunyit * 1 batang sereh * 4 lembar daun turi * 1 sdm lombok rawit halus * 1 sdt ketumbar * 1 ruas jari jahe * 1 lembar daun jeruk purut * 2 sdm garam == Cara Membuat == # Kepal pliek ue lalu bakar, rendam dalam air hangat lalu disaring. # Haluskan semua bumbu. Iris halus daun turi dan daun jeruk. Geprek jahe, kunyit, dan sereh. Lombok hijau dibelah dua. # Buat santan dari kelapa sebanyak 4 gelas. # Sebagian dari kelapa parut disangrai lalu dihaluskan. # Rebus semua bahan dengan air hingga kelaur minyaknya, masukkan pliek ue, kelapa sangan, lalu masak hingga mendidih.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian.</ref> == Catatan: == Pliek ue adalah ampas kelapa yang dibungkus dan dibusukkan dengan dibiarkan satu minggu. == Referensi == <references /> pf996005wao426v5du6bxiz26pv7nbt 107285 107284 2025-06-10T07:10:15Z Who'sisthis 41477 added [[Category:WikiCitaRasa-Palembang]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107285 wikitext text/x-wiki '''Gulai Pliek Ue''' disebut juga pataram yang merupakan makanan khas Nusantara, Indonesia. == Bahan == * 1 genggam Pliek ue * 1 potong nangka muda * 1 genggam daun melinjo * 1 genggam buah melinjo * 1 potong pepaya muda * 2 sdm udang/tiram * 1/2 butir kelapa == Bumbu == * 5 buah bawang merah * 3 siung bawang putih * 4 buah lombok hijau * 1 ruas jari kunyit * 1 batang sereh * 4 lembar daun turi * 1 sdm lombok rawit halus * 1 sdt ketumbar * 1 ruas jari jahe * 1 lembar daun jeruk purut * 2 sdm garam == Cara Membuat == # Kepal pliek ue lalu bakar, rendam dalam air hangat lalu disaring. # Haluskan semua bumbu. Iris halus daun turi dan daun jeruk. Geprek jahe, kunyit, dan sereh. Lombok hijau dibelah dua. # Buat santan dari kelapa sebanyak 4 gelas. # Sebagian dari kelapa parut disangrai lalu dihaluskan. # Rebus semua bahan dengan air hingga kelaur minyaknya, masukkan pliek ue, kelapa sangan, lalu masak hingga mendidih.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian.</ref> == Catatan: == Pliek ue adalah ampas kelapa yang dibungkus dan dibusukkan dengan dibiarkan satu minggu. == Referensi == <references /> [[Kategori:WikiCitaRasa-Palembang]] anr5h6p2z9suhwi7gf68l68yqq8f8o1 100 25755 107286 2025-06-10T07:23:08Z Who'sisthis 41477 menulis resep gulai ramas 107286 wikitext text/x-wiki '''Gulai Ramas''' adalah makanan khas Padang, Sumatera Barat, Indonesia. == Bahan == * 2 potong nangka muda * 4 ikat kacang panjang * 1/4 buah kol * 2 butir telur bebek * 1 ekor ikan mas * 1/2 butir kelapa * 3 sdm minyak goreng == Bumbu == * 5 buah bawang merah * 2 siung bawang putih * 1/2 sdm lombok merah halus * 5 biji kemiri * 1 iris laos * 1 juas jari kunyit * 1 batang sereh * 1/2 lembar daun kunyit * 1/2 ruas jari jahe * 2 buah asam kandis * 1/2 sdm garam == Cara Membuat == # Bersihkan ikan, lalu beri asam dan garam. # Rebus telur bebek, lalu kupas. # Parut kelapa dan ambil santannya sebanyak 3 gelas, sisihkan 1/2 gelas santan kental. # Haluskan bumbu kecuali daun kunyit dan asam kandis. # Tumis bumbu hingga wangi, masukkan nangka muda. # Setelah nangka sedikit layu, tambahkan 3 gelas santan. # Setelah santan mendidih, masukkan nangka muda, kacang panjang, kol, ikan dan telur. # Didihkan sampai keluar minyak. # Pisahkan telur, lalu belah dua. # Gulai ramas siap disantap<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian.</ref> == Referensi == <references /> m1cs01l2lat62ey0m8e73qpxrp5g78h 107287 107286 2025-06-10T07:23:21Z Who'sisthis 41477 added [[Category:WikiCitaRasa-Palembang]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107287 wikitext text/x-wiki '''Gulai Ramas''' adalah makanan khas Padang, Sumatera Barat, Indonesia. == Bahan == * 2 potong nangka muda * 4 ikat kacang panjang * 1/4 buah kol * 2 butir telur bebek * 1 ekor ikan mas * 1/2 butir kelapa * 3 sdm minyak goreng == Bumbu == * 5 buah bawang merah * 2 siung bawang putih * 1/2 sdm lombok merah halus * 5 biji kemiri * 1 iris laos * 1 juas jari kunyit * 1 batang sereh * 1/2 lembar daun kunyit * 1/2 ruas jari jahe * 2 buah asam kandis * 1/2 sdm garam == Cara Membuat == # Bersihkan ikan, lalu beri asam dan garam. # Rebus telur bebek, lalu kupas. # Parut kelapa dan ambil santannya sebanyak 3 gelas, sisihkan 1/2 gelas santan kental. # Haluskan bumbu kecuali daun kunyit dan asam kandis. # Tumis bumbu hingga wangi, masukkan nangka muda. # Setelah nangka sedikit layu, tambahkan 3 gelas santan. # Setelah santan mendidih, masukkan nangka muda, kacang panjang, kol, ikan dan telur. # Didihkan sampai keluar minyak. # Pisahkan telur, lalu belah dua. # Gulai ramas siap disantap<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian.</ref> == Referensi == <references /> [[Kategori:WikiCitaRasa-Palembang]] 2iyo3s07qettgbiaz8y8uwx2lp869lz 100 25756 107288 2025-06-10T07:37:18Z Who'sisthis 41477 menulis resep gulai rebung teri basah 107288 wikitext text/x-wiki '''Gulai rebung teri basah''' adalah makanan khas Nusantara, Indonesia. == Bahan == * 1/2 kg rebung * 1/2 ons teri basah * 1 butir kelapa == Bumbu == * 10 buah bawang merah * 15 buah lombok merah * 1 potong laos * 1 ruas jari kunyit * 1 batang sereh * 1 lembar daun kunyit * 3 sdm garam * 5 biji kemiri == Cara Membuat == # Iris tipis rebung dan masak hingga empuk. # Parut kelapa dan ambil santannya sebanyak 5 gelas. # Semua bumbu dihaluskan, kecuali sereh dan daun kunyit. # Didihkan santan bersama bumbu halus. # Masukkan rebung dan tambahkan ikan teri. # Matikan api, ketika sudah keluar minyak.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian.</ref> == Referensi == <references /> lpft1yai8fr0u0ry877dn3g7ybp7dkv 107289 107288 2025-06-10T07:37:41Z Who'sisthis 41477 added [[Category:WikiCitaRasa-Palembang]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107289 wikitext text/x-wiki '''Gulai rebung teri basah''' adalah makanan khas Nusantara, Indonesia. == Bahan == * 1/2 kg rebung * 1/2 ons teri basah * 1 butir kelapa == Bumbu == * 10 buah bawang merah * 15 buah lombok merah * 1 potong laos * 1 ruas jari kunyit * 1 batang sereh * 1 lembar daun kunyit * 3 sdm garam * 5 biji kemiri == Cara Membuat == # Iris tipis rebung dan masak hingga empuk. # Parut kelapa dan ambil santannya sebanyak 5 gelas. # Semua bumbu dihaluskan, kecuali sereh dan daun kunyit. # Didihkan santan bersama bumbu halus. # Masukkan rebung dan tambahkan ikan teri. # Matikan api, ketika sudah keluar minyak.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian.</ref> == Referensi == <references /> [[Kategori:WikiCitaRasa-Palembang]] qr2cchzfhxovks7vl8bat180gfgbinl 100 25757 107290 2025-06-10T07:53:42Z Who'sisthis 41477 menulis resep gulene rempaue 107290 wikitext text/x-wiki '''Gulene rempaue''' adalah makanan khas Aceh, Indonesia. == Bahan == * 2 potong nangka muda * 1 ikat kacang panjang * 1/3 buah labu air * 1 buah pepaya muda * 1 ons udang/kerang * 2 ikat daun kangkung * 1 ons daun melinjo * 2 ikat daun kacang panjang * 2 ikat daun ubi * 2 buah belimbing wuluh * daun jeruk purut sesuai selera == Bumbu == * 10 buah lombok rawit * 1 sdm garam * asam sunti sesuai selera == Cara Membuat == # Rebus nangka muda, melinjo, kacang panjang, labu, daun jeruk purut, udang atau kerang dan belimbing dengan air secukupnya sampai matang, lalu masukkan pepaya muda bersama dengan daun yang sudah dipotong, dan ditutup sebentar. # Ulek asam sunti, lombok rawit, garam, dan belimbing yang sudah matang, dan diolah bersama bumbu lainnya. # Masukkan kedalam rebusan sayur selama 3 menit dan diangkat.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian.</ref> == Referensi == <references /> t73aoi9sdiq1vyi3ma131rstrdjsbqt 107291 107290 2025-06-10T07:54:03Z Who'sisthis 41477 added [[Category:WikiCitaRasa-Palembang]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107291 wikitext text/x-wiki '''Gulene rempaue''' adalah makanan khas Aceh, Indonesia. == Bahan == * 2 potong nangka muda * 1 ikat kacang panjang * 1/3 buah labu air * 1 buah pepaya muda * 1 ons udang/kerang * 2 ikat daun kangkung * 1 ons daun melinjo * 2 ikat daun kacang panjang * 2 ikat daun ubi * 2 buah belimbing wuluh * daun jeruk purut sesuai selera == Bumbu == * 10 buah lombok rawit * 1 sdm garam * asam sunti sesuai selera == Cara Membuat == # Rebus nangka muda, melinjo, kacang panjang, labu, daun jeruk purut, udang atau kerang dan belimbing dengan air secukupnya sampai matang, lalu masukkan pepaya muda bersama dengan daun yang sudah dipotong, dan ditutup sebentar. # Ulek asam sunti, lombok rawit, garam, dan belimbing yang sudah matang, dan diolah bersama bumbu lainnya. # Masukkan kedalam rebusan sayur selama 3 menit dan diangkat.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian.</ref> == Referensi == <references /> [[Kategori:WikiCitaRasa-Palembang]] 9ywsqgj9r4owpxg2c4trmpnljyt9eda 100 25758 107292 2025-06-10T07:59:43Z Ocahee 41476 ←Membuat halaman berisi 'Gulai welie merupakan == '''Bahan-bahan''' == * Ayam gemuk 1 ekor * Kelapa 1½ btg == '''Bumbu-bumbu''' == * Bawang merah ½ ons * Bawang putih 6 siung * Sereh 2 btg * Asam 5 ons * Garam 2 sdm == '''Cara Membuatnya''' == # Asam dibersihkan lalu dibakar diatas api tempurung sampai ''golden brown'' # Kelapa sebutir diparut lalu dibuat santan kental ¼ liter dan santan tjair 2 liter. Kelapa separuh diparut, disangan lalu ditumbuk halus hingga keluar minyakn...' 107292 wikitext text/x-wiki Gulai welie merupakan == '''Bahan-bahan''' == * Ayam gemuk 1 ekor * Kelapa 1½ btg == '''Bumbu-bumbu''' == * Bawang merah ½ ons * Bawang putih 6 siung * Sereh 2 btg * Asam 5 ons * Garam 2 sdm == '''Cara Membuatnya''' == # Asam dibersihkan lalu dibakar diatas api tempurung sampai ''golden brown'' # Kelapa sebutir diparut lalu dibuat santan kental ¼ liter dan santan tjair 2 liter. Kelapa separuh diparut, disangan lalu ditumbuk halus hingga keluar minyaknya. # Ajam yang telah dibakar dipotong-potong, dimasukkan kedalam panci dengan kelapa halus serta diberi santan cair. # Bawang putih dan bawang merah di-iris, lalu dimasukkan. Sereh dlimemarkan dan dimasukkan. # Rebus sampai lunak semua bahan. Apabila sudah hampir masak diberi asam dan garam, setelah itu santan kental dan di-aduk sebentar lalu diangkat. # Siap disajikan. fjf3dww5pqiub16w19obehogrfkm8lg 107295 107292 2025-06-10T08:03:52Z Ocahee 41476 Membuat resep baru 107295 wikitext text/x-wiki Gulai welie merupakan masakan khas dari Makasar, makanan ini terbuat dari bahan dasar Ayam. Pembuatan gulai welie sangat mudah dan sebagai pelengkap sajian masakan di meja makan keluarga. == '''Bahan-bahan''' == * Ayam gemuk 1 ekor * Kelapa 1½ btg == '''Bumbu-bumbu''' == * Bawang merah ½ ons * Bawang putih 6 siung * Sereh 2 btg * Asam 5 ons * Garam 2 sdm == '''Cara Membuatnya''' == # Asam dibersihkan lalu dibakar diatas api tempurung sampai ''golden brown'' # Kelapa sebutir diparut lalu dibuat santan kental ¼ liter dan santan tjair 2 liter. Kelapa separuh diparut, disangan lalu ditumbuk halus hingga keluar minyaknya. # Ajam yang telah dibakar dipotong-potong, dimasukkan kedalam panci dengan kelapa halus serta diberi santan cair. # Bawang putih dan bawang merah di-iris, lalu dimasukkan. Sereh dlimemarkan dan dimasukkan. # Rebus sampai lunak semua bahan. Apabila sudah hampir masak diberi asam dan garam, setelah itu santan kental dan di-aduk sebentar lalu diangkat. # Siap disajikan. 15g876m739i6bod0fldx2dwduzwa5b4 107296 107295 2025-06-10T08:04:09Z Ocahee 41476 added [[Category:WikiCitaRasa]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107296 wikitext text/x-wiki Gulai welie merupakan masakan khas dari Makasar, makanan ini terbuat dari bahan dasar Ayam. Pembuatan gulai welie sangat mudah dan sebagai pelengkap sajian masakan di meja makan keluarga. == '''Bahan-bahan''' == * Ayam gemuk 1 ekor * Kelapa 1½ btg == '''Bumbu-bumbu''' == * Bawang merah ½ ons * Bawang putih 6 siung * Sereh 2 btg * Asam 5 ons * Garam 2 sdm == '''Cara Membuatnya''' == # Asam dibersihkan lalu dibakar diatas api tempurung sampai ''golden brown'' # Kelapa sebutir diparut lalu dibuat santan kental ¼ liter dan santan tjair 2 liter. Kelapa separuh diparut, disangan lalu ditumbuk halus hingga keluar minyaknya. # Ajam yang telah dibakar dipotong-potong, dimasukkan kedalam panci dengan kelapa halus serta diberi santan cair. # Bawang putih dan bawang merah di-iris, lalu dimasukkan. Sereh dlimemarkan dan dimasukkan. # Rebus sampai lunak semua bahan. Apabila sudah hampir masak diberi asam dan garam, setelah itu santan kental dan di-aduk sebentar lalu diangkat. # Siap disajikan. [[Kategori:WikiCitaRasa]] 8mnqbzbomm15wg922o1dt7qnqn6opu2 107297 107296 2025-06-10T08:04:27Z Ocahee 41476 added [[Category:WikiCitaRasa-Palembang]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107297 wikitext text/x-wiki Gulai welie merupakan masakan khas dari Makasar, makanan ini terbuat dari bahan dasar Ayam. Pembuatan gulai welie sangat mudah dan sebagai pelengkap sajian masakan di meja makan keluarga. == '''Bahan-bahan''' == * Ayam gemuk 1 ekor * Kelapa 1½ btg == '''Bumbu-bumbu''' == * Bawang merah ½ ons * Bawang putih 6 siung * Sereh 2 btg * Asam 5 ons * Garam 2 sdm == '''Cara Membuatnya''' == # Asam dibersihkan lalu dibakar diatas api tempurung sampai ''golden brown'' # Kelapa sebutir diparut lalu dibuat santan kental ¼ liter dan santan tjair 2 liter. Kelapa separuh diparut, disangan lalu ditumbuk halus hingga keluar minyaknya. # Ajam yang telah dibakar dipotong-potong, dimasukkan kedalam panci dengan kelapa halus serta diberi santan cair. # Bawang putih dan bawang merah di-iris, lalu dimasukkan. Sereh dlimemarkan dan dimasukkan. # Rebus sampai lunak semua bahan. Apabila sudah hampir masak diberi asam dan garam, setelah itu santan kental dan di-aduk sebentar lalu diangkat. # Siap disajikan. [[Kategori:WikiCitaRasa]] [[Kategori:WikiCitaRasa-Palembang]] 97rpqcuwli0zlacprxsu8zpjd3nr8d7 107298 107297 2025-06-10T08:04:44Z Ocahee 41476 added [[Category:Resep dari Indonesia]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107298 wikitext text/x-wiki Gulai welie merupakan masakan khas dari Makasar, makanan ini terbuat dari bahan dasar Ayam. Pembuatan gulai welie sangat mudah dan sebagai pelengkap sajian masakan di meja makan keluarga. == '''Bahan-bahan''' == * Ayam gemuk 1 ekor * Kelapa 1½ btg == '''Bumbu-bumbu''' == * Bawang merah ½ ons * Bawang putih 6 siung * Sereh 2 btg * Asam 5 ons * Garam 2 sdm == '''Cara Membuatnya''' == # Asam dibersihkan lalu dibakar diatas api tempurung sampai ''golden brown'' # Kelapa sebutir diparut lalu dibuat santan kental ¼ liter dan santan tjair 2 liter. Kelapa separuh diparut, disangan lalu ditumbuk halus hingga keluar minyaknya. # Ajam yang telah dibakar dipotong-potong, dimasukkan kedalam panci dengan kelapa halus serta diberi santan cair. # Bawang putih dan bawang merah di-iris, lalu dimasukkan. Sereh dlimemarkan dan dimasukkan. # Rebus sampai lunak semua bahan. Apabila sudah hampir masak diberi asam dan garam, setelah itu santan kental dan di-aduk sebentar lalu diangkat. # Siap disajikan. [[Kategori:WikiCitaRasa]] [[Kategori:WikiCitaRasa-Palembang]] [[Kategori:Resep dari Indonesia]] t5ytv34pwtcpsbvslxs0moufe8d4c4j 100 25759 107293 2025-06-10T08:01:23Z Who'sisthis 41477 menulis resep kalio jengkol 107293 wikitext text/x-wiki '''Kalio jengkol''' adalah makanan khas Padang, Sumatera Barat. == Bahan == * 30 biji jengkol * 1/2 ons ikan teri * 1 butir kelapa # Djengkol direbus sampai masak. # Kelapa diparut, diambil santannja 6 gelas. # Bumbu² dihaluskan ketjuali sereh, daun kunjit. # Santan, bumbu² dimasak, dimasukkan ikan teri, dibiarkan sampai mendidih. # Dimasukkan djengkolnja, dimasak sampai berminjak. == Bumbu == * 10 buah bawang merah * 20 biji lombok merah * 1 potong laos * 1 ruas jari jahe * 15 ruas jari kunyit * 2 lembar daun kunyit * 1 potong sereh * 2 sdm garam == Cara Membuat == # Rebus jengkol sampai masak. # Parut kelapa dan ambil santan sebanyak 6 gelas. # Haluskan semua bumbu, kecuali sereh dan daun kunyit. # Masukkan ikan teri, bumbu halus dan santan, lalu biarkan sampai mendidih. # Masukkan jengkol dan didihkan hingga keluar minyak.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian.</ref> == Referensi == <references /> p5i729rcyqufjplc3k7kk8mzpp237p1 107294 107293 2025-06-10T08:01:36Z Who'sisthis 41477 added [[Category:WikiCitaRasa-Palembang]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107294 wikitext text/x-wiki '''Kalio jengkol''' adalah makanan khas Padang, Sumatera Barat. == Bahan == * 30 biji jengkol * 1/2 ons ikan teri * 1 butir kelapa # Djengkol direbus sampai masak. # Kelapa diparut, diambil santannja 6 gelas. # Bumbu² dihaluskan ketjuali sereh, daun kunjit. # Santan, bumbu² dimasak, dimasukkan ikan teri, dibiarkan sampai mendidih. # Dimasukkan djengkolnja, dimasak sampai berminjak. == Bumbu == * 10 buah bawang merah * 20 biji lombok merah * 1 potong laos * 1 ruas jari jahe * 15 ruas jari kunyit * 2 lembar daun kunyit * 1 potong sereh * 2 sdm garam == Cara Membuat == # Rebus jengkol sampai masak. # Parut kelapa dan ambil santan sebanyak 6 gelas. # Haluskan semua bumbu, kecuali sereh dan daun kunyit. # Masukkan ikan teri, bumbu halus dan santan, lalu biarkan sampai mendidih. # Masukkan jengkol dan didihkan hingga keluar minyak.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian.</ref> == Referensi == <references /> [[Kategori:WikiCitaRasa-Palembang]] dxgtnxgoib8q71mzl17b0jp38rfsmx7 100 25760 107301 2025-06-10T08:16:23Z Who'sisthis 41477 menulis resep kari kol 107301 wikitext text/x-wiki '''Kari kol''' adalah makanan khas Purwokerto, Indonesia == Bahan == * 1/4 kg daging * 1/4 kg kentang * 1/2 kg kol * 1 ons soun * 1/2 butir kelapa * 1/4 gelas minyak == Bumbu == * 5 buah bawang merah * 2 siung bawang putih * 10 biji kemiri * 1 sdt ketumbar * 1 potong laos * 1 ruas jari kunyit * 1 ons asam * 2 sdm gula merah * 1 sdm garam == Cara Membuat == # Rebus daging # Parut kelapa dan ambil santannya. # Potong kecil daging, kol, dan kentang. # Haluskan bumbu, tumis dan masukkan dagung, kol, dan kentang. # Tambahkan santan dan rebus hingga masak. == Keterangan: == Soun tidak boleh terlalu lama dimasak, supaya tidak hancur.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian.</ref> == Referensi == <references /> pcqlv4e33lkybat77kxdbl72pgpywt7 107302 107301 2025-06-10T08:16:37Z Who'sisthis 41477 added [[Category:WikiCitaRasa-Palembang]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107302 wikitext text/x-wiki '''Kari kol''' adalah makanan khas Purwokerto, Indonesia == Bahan == * 1/4 kg daging * 1/4 kg kentang * 1/2 kg kol * 1 ons soun * 1/2 butir kelapa * 1/4 gelas minyak == Bumbu == * 5 buah bawang merah * 2 siung bawang putih * 10 biji kemiri * 1 sdt ketumbar * 1 potong laos * 1 ruas jari kunyit * 1 ons asam * 2 sdm gula merah * 1 sdm garam == Cara Membuat == # Rebus daging # Parut kelapa dan ambil santannya. # Potong kecil daging, kol, dan kentang. # Haluskan bumbu, tumis dan masukkan dagung, kol, dan kentang. # Tambahkan santan dan rebus hingga masak. == Keterangan: == Soun tidak boleh terlalu lama dimasak, supaya tidak hancur.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian.</ref> == Referensi == <references /> [[Kategori:WikiCitaRasa-Palembang]] jpmojqrrfdx3pnwfnh0chceky2mj8k3 100 25761 107305 2025-06-10T08:26:56Z Who'sisthis 41477 menulis resep kari terung 107305 wikitext text/x-wiki '''Kari terung''' adalah makanan khas Nusantara, Indonesia. == Bahan == * 4 buah terong * 1/2 butir kelapa * 1/2 gelas minyak goreng == Bumbu == * 10 buah bawang merah * 5 siung bawang putih * 4 biji kemiri * 1 ruas jari kunyit * 6 ons asam * 3/4 sdm gula merah * 1/2 sdt terasi * 1 sdm garam == Cara Membuat == # Cuci terong, belah, lalu beri garam dan asam. # Haluskan bumbu. # Goreng terong hingga ''golden brown.'' # Tumis bumbu yang sudah dihaluskan dan masukkan terong. # Parut kelapa dan buat santan. # Tambahkan santan kedalam wajan. # Kari terung siap disajikan.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian.</ref> == Referensi == <references /> mllaexknt60hft1sok0lzant09be37y 107306 107305 2025-06-10T08:27:09Z Who'sisthis 41477 added [[Category:WikiCitaRasa]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107306 wikitext text/x-wiki '''Kari terung''' adalah makanan khas Nusantara, Indonesia. == Bahan == * 4 buah terong * 1/2 butir kelapa * 1/2 gelas minyak goreng == Bumbu == * 10 buah bawang merah * 5 siung bawang putih * 4 biji kemiri * 1 ruas jari kunyit * 6 ons asam * 3/4 sdm gula merah * 1/2 sdt terasi * 1 sdm garam == Cara Membuat == # Cuci terong, belah, lalu beri garam dan asam. # Haluskan bumbu. # Goreng terong hingga ''golden brown.'' # Tumis bumbu yang sudah dihaluskan dan masukkan terong. # Parut kelapa dan buat santan. # Tambahkan santan kedalam wajan. # Kari terung siap disajikan.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian.</ref> == Referensi == <references /> [[Kategori:WikiCitaRasa]] cj4m9i2kx9djijkyocm0dnh7bdanscx 107307 107306 2025-06-10T08:27:28Z Who'sisthis 41477 removed [[Category:WikiCitaRasa]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107307 wikitext text/x-wiki '''Kari terung''' adalah makanan khas Nusantara, Indonesia. == Bahan == * 4 buah terong * 1/2 butir kelapa * 1/2 gelas minyak goreng == Bumbu == * 10 buah bawang merah * 5 siung bawang putih * 4 biji kemiri * 1 ruas jari kunyit * 6 ons asam * 3/4 sdm gula merah * 1/2 sdt terasi * 1 sdm garam == Cara Membuat == # Cuci terong, belah, lalu beri garam dan asam. # Haluskan bumbu. # Goreng terong hingga ''golden brown.'' # Tumis bumbu yang sudah dihaluskan dan masukkan terong. # Parut kelapa dan buat santan. # Tambahkan santan kedalam wajan. # Kari terung siap disajikan.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian.</ref> == Referensi == <references /> mllaexknt60hft1sok0lzant09be37y 107308 107307 2025-06-10T08:27:47Z Who'sisthis 41477 added [[Category:WikiCitaRasa-Palembang]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107308 wikitext text/x-wiki '''Kari terung''' adalah makanan khas Nusantara, Indonesia. == Bahan == * 4 buah terong * 1/2 butir kelapa * 1/2 gelas minyak goreng == Bumbu == * 10 buah bawang merah * 5 siung bawang putih * 4 biji kemiri * 1 ruas jari kunyit * 6 ons asam * 3/4 sdm gula merah * 1/2 sdt terasi * 1 sdm garam == Cara Membuat == # Cuci terong, belah, lalu beri garam dan asam. # Haluskan bumbu. # Goreng terong hingga ''golden brown.'' # Tumis bumbu yang sudah dihaluskan dan masukkan terong. # Parut kelapa dan buat santan. # Tambahkan santan kedalam wajan. # Kari terung siap disajikan.<ref>Kementerian Pertanian. 1967. Mustikarasa: Buku Masakan Indonesia. Jakarta: Kementerian Pertanian.</ref> == Referensi == <references /> [[Kategori:WikiCitaRasa-Palembang]] qbr5ytyqbiwmvdz0ctswov1ahtv3fjl 100 25762 107311 2025-06-10T08:42:27Z Ocahee 41476 menambah resep baru 107311 wikitext text/x-wiki Kari penyu merupakan hidangan tradisional yang terbuat dari daging penyu (kura-kura laut) yang dimasak dengan bumbu kari. Hidangan ini dikenal di beberapa negara, termasuk Indonesia (khususnya di daerah seperti Bali dan Maluku), Malaysia, dan beberapa wilayah Karibia. == '''Bahan-bahan''' == * Daging penyu ¼ kg * Santan 1 gls * Kaldu penyu 1 lt * Minyak goreng 3 sdm == '''Bumbu-bumbu''' == * Bawang merah 5 bh * Cabe merah 3 bh * Ketumbar 1 sdt * Sinten 1 sdt * Kemiri 5 bj * Jahe 1 ruas * Kunyit 1 ruas * Laos 1 pt * Sereh 1 btg * Daun seledri 3 tk * Peterseli 3 tk * Daun bawang 3 ikt * Kemangi 1 ikt * Asam 2 ons * Garam 2 sdm == '''Cara Membuatnya''' == # Daging penyu direbus sampai lunak, lalu dipotong. # Bawang merah, cabai, ketumbar, sinten, kemiri, kunyit, asam dan garam dihaluskan. Jahe, laos, sereh digeprek. # Bumbu ditumis dengan minyak. # Seledri, peterseli, daun bawang dan kemangi dibersihkan, di-potong, lalu dimasukkan kedalam kaldu penyu. # Santan dimasukkan, dimasak sampai mendidih. ivrtfyynrqv6g9fkzq4913t5ka12x38 107312 107311 2025-06-10T08:42:41Z Ocahee 41476 added [[Category:WikiCitaRasa]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107312 wikitext text/x-wiki Kari penyu merupakan hidangan tradisional yang terbuat dari daging penyu (kura-kura laut) yang dimasak dengan bumbu kari. Hidangan ini dikenal di beberapa negara, termasuk Indonesia (khususnya di daerah seperti Bali dan Maluku), Malaysia, dan beberapa wilayah Karibia. == '''Bahan-bahan''' == * Daging penyu ¼ kg * Santan 1 gls * Kaldu penyu 1 lt * Minyak goreng 3 sdm == '''Bumbu-bumbu''' == * Bawang merah 5 bh * Cabe merah 3 bh * Ketumbar 1 sdt * Sinten 1 sdt * Kemiri 5 bj * Jahe 1 ruas * Kunyit 1 ruas * Laos 1 pt * Sereh 1 btg * Daun seledri 3 tk * Peterseli 3 tk * Daun bawang 3 ikt * Kemangi 1 ikt * Asam 2 ons * Garam 2 sdm == '''Cara Membuatnya''' == # Daging penyu direbus sampai lunak, lalu dipotong. # Bawang merah, cabai, ketumbar, sinten, kemiri, kunyit, asam dan garam dihaluskan. Jahe, laos, sereh digeprek. # Bumbu ditumis dengan minyak. # Seledri, peterseli, daun bawang dan kemangi dibersihkan, di-potong, lalu dimasukkan kedalam kaldu penyu. # Santan dimasukkan, dimasak sampai mendidih. [[Kategori:WikiCitaRasa]] g3qmhiudtjrkltbdeshb4kbzym27e52 107313 107312 2025-06-10T08:42:56Z Ocahee 41476 added [[Category:WikiCitaRasa-Palembang]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107313 wikitext text/x-wiki Kari penyu merupakan hidangan tradisional yang terbuat dari daging penyu (kura-kura laut) yang dimasak dengan bumbu kari. Hidangan ini dikenal di beberapa negara, termasuk Indonesia (khususnya di daerah seperti Bali dan Maluku), Malaysia, dan beberapa wilayah Karibia. == '''Bahan-bahan''' == * Daging penyu ¼ kg * Santan 1 gls * Kaldu penyu 1 lt * Minyak goreng 3 sdm == '''Bumbu-bumbu''' == * Bawang merah 5 bh * Cabe merah 3 bh * Ketumbar 1 sdt * Sinten 1 sdt * Kemiri 5 bj * Jahe 1 ruas * Kunyit 1 ruas * Laos 1 pt * Sereh 1 btg * Daun seledri 3 tk * Peterseli 3 tk * Daun bawang 3 ikt * Kemangi 1 ikt * Asam 2 ons * Garam 2 sdm == '''Cara Membuatnya''' == # Daging penyu direbus sampai lunak, lalu dipotong. # Bawang merah, cabai, ketumbar, sinten, kemiri, kunyit, asam dan garam dihaluskan. Jahe, laos, sereh digeprek. # Bumbu ditumis dengan minyak. # Seledri, peterseli, daun bawang dan kemangi dibersihkan, di-potong, lalu dimasukkan kedalam kaldu penyu. # Santan dimasukkan, dimasak sampai mendidih. [[Kategori:WikiCitaRasa]] [[Kategori:WikiCitaRasa-Palembang]] jsyupgs4tnq7uwl882skr219ctqnp8f 107314 107313 2025-06-10T08:43:23Z Ocahee 41476 added [[Category:Resep dari Indonesia]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107314 wikitext text/x-wiki Kari penyu merupakan hidangan tradisional yang terbuat dari daging penyu (kura-kura laut) yang dimasak dengan bumbu kari. Hidangan ini dikenal di beberapa negara, termasuk Indonesia (khususnya di daerah seperti Bali dan Maluku), Malaysia, dan beberapa wilayah Karibia. == '''Bahan-bahan''' == * Daging penyu ¼ kg * Santan 1 gls * Kaldu penyu 1 lt * Minyak goreng 3 sdm == '''Bumbu-bumbu''' == * Bawang merah 5 bh * Cabe merah 3 bh * Ketumbar 1 sdt * Sinten 1 sdt * Kemiri 5 bj * Jahe 1 ruas * Kunyit 1 ruas * Laos 1 pt * Sereh 1 btg * Daun seledri 3 tk * Peterseli 3 tk * Daun bawang 3 ikt * Kemangi 1 ikt * Asam 2 ons * Garam 2 sdm == '''Cara Membuatnya''' == # Daging penyu direbus sampai lunak, lalu dipotong. # Bawang merah, cabai, ketumbar, sinten, kemiri, kunyit, asam dan garam dihaluskan. Jahe, laos, sereh digeprek. # Bumbu ditumis dengan minyak. # Seledri, peterseli, daun bawang dan kemangi dibersihkan, di-potong, lalu dimasukkan kedalam kaldu penyu. # Santan dimasukkan, dimasak sampai mendidih. [[Kategori:WikiCitaRasa]] [[Kategori:WikiCitaRasa-Palembang]] [[Kategori:Resep dari Indonesia]] t65jx8y02eer281i5vs9sam24dtqwpa