Wikibuku idwikibooks https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama MediaWiki 1.45.0-wmf.5 first-letter Media Istimewa Pembicaraan Pengguna Pembicaraan Pengguna Wikibuku Pembicaraan Wikibuku Berkas Pembicaraan Berkas MediaWiki Pembicaraan MediaWiki Templat Pembicaraan Templat Bantuan Pembicaraan Bantuan Kategori Pembicaraan Kategori Resep Pembicaraan Resep Wisata Pembicaraan Wisata TimedText TimedText talk Modul Pembicaraan Modul 0 23131 107334 107006 2025-06-11T15:01:15Z Akuindo 8654 107334 wikitext text/x-wiki == Pemodelan faktorial == beberapa contoh sebagai berikut: # faktorial * <math>\frac{1}{2}! = \frac{\sqrt{\pi}}{2}</math> * 0! = 1 * 1! = 1 * 2! = 2 x (2-1) = 2 x 1 = 1 * 3! = 3 x (3-1) x (3-2) = 3 x 2 x 1 = 6 * 4! = 4 x (4-1) x (4-2) x (4-3) = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 * n! = <math>\prod_{i=1}^{n} i = n H(n-1) = 1 \cdot 2 \cdot \cdots n.</math> # faktorial ganda * 2!! = 2 * 3!! = 3 x (3-2) = 3 x 1 = 3 * 4!! = 4 x (4-2) = 4 x 2 = 8 * 5!! = 5 x (5-2) x (5-4) = 5 x 3 x 1 = 15 * 6!! = 6 x (6-2) x (6-4) = 6 x 4 x 2 = 48 * n!! = n x (n-2) x (n-4) x (n-6) dst… # faktorial tiga * 3!!! = 3 = 3 * 4!!! = 4 x (4-3) = 4 x 1 = 4 * 5!!! = 5 x (5-3) = 5 x 2 = 10 * 6!!! = 6 x (6-3) = 6 x 3 = 18 * 7!!! = 7 x (7-3) x (7-6) = 7 x 4 x 1 = 28 * 8!!! = 8 x (8-3) x (8-6) = 8 x 5 x 2 = 80 * n!!! = n x (n-3) x (n-6) x (n-9) dst… # bagian faktorial * !0 = 0! <math>(1 - \frac{1}{0!})</math> = 0 * !1 = 1! <math>(1 - \frac{1}{1!})</math> = 0 * !2 = 2! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!})</math> = 1 * !3 = 3! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!})</math> = 2 * !4 = 4! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!})</math> = 9 * !n = n! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \cdot \pm \frac{1}{n!})</math> # ? faktorial * 1$ = 1! = 1 * 2$ = 2!^2! = 4 * 3$ = 3!^{3!^{3!^{3!^{3!^3!}}}} = * n$ = <math>n!^{n!} = </math> (banyaknya hasil faktorial dari n!) # lebih faktorial * S(1) = 1! = 1 * S(2) = 2! x 1! = 2 * S(3) = 3! x 2! x 1! = 12 * S(4) = 4! x 3! x 2! x 1! = 288 * S(n) = <math>\prod_{i=1}^{n} i! = i! H(n-1) = 1! \cdot 2! \cdot \cdots n! = 1! \cdot 2! \cdot \cdots n!.</math> # paling faktorial * H(1) = 1¹ = 1 * H(2) = 2² x 1¹ = 4 * H(3) = 3³ x 2² x 1¹ = 108 * H(n) = <math>\prod_{i=1}^{n} i^i = n^n H(n-1) = 1^1 \cdot 2^2 \cdot \cdots n^n.</math> # primorial * 2# = 2 * 3# = 2 x 3 = 5 * 5# = 2 x 3 x 5 = 30 * 7# = 2 x 3 x 5 x 7 = 210 * n# = 2 x 3 x 5 x …. x n (n adalah bilangan prima secara berurutan) == Koefisien binomial == (a+b)ⁿ = <math>\sum_{k=0}^{n} (_{k}^{n}) x^{n-k} y^k</math> <math>(_{k=0}^{n})</math> digunakan sebagai pemodelan kombinasi. penjabaran tersebut memiliki n+1 suku. suku ke-a adalah <math>(_{a-1}^{n}) x^{n-a+1} y^{a-1}</math>. koefisien ke-a adalah <math>(_{a-1}^{n})</math>. contoh soal # sederhanakan dari B = <math>(x-2)^5+5(x-2)^4+10(x-2)^3+10(x-2)^2+5(x-2)+1</math>! : jawaban :: Dari di atas bahwa koefisien binomial adalah (a+b)⁵ = <math>a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5</math> :: Jadi B = <math>(x-2)^5+5(x-2)^4+10(x-2)^3+10(x-2)^2+5(x-2)+1</math> :: B = ((x-2)+1)⁵ = (x-1)⁵ # Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka berapa hasil suku keenam setelah ekspansi <math>(x^3-4)^8</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_6 &= C_{5}^{8} (x^3)^{8-5} (-4)^5 \\ &= \frac{8!}{5! \cdot 3!} x^9 (-1.024) \\ &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} x^9 (-1.024) \\ &= (56) x^9 (-1.024) \\ &= -57.344x^9 \end{align} </math> </div></div> # Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka berapa hasil suku ketujuh setelah ekspansi <math>(\frac{x^4}{2}-\frac{4}{y})^{10}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_7 &= C_{6}^{10} (\frac{x^4}{2})^{10-6} (\frac{4}{y})^6 \\ &= \frac{10!}{6! \cdot 4!} (\frac{x^4}{2})^4 \frac{4^6}{y^6} \\ &= \frac{10!}{6! \cdot 4!} \frac{x^{16}}{2^4} \frac{4^6}{y^6} \\ &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \frac{x^{16}}{2^4} \frac{2^{12}}{y^6} \\ &= 210 \frac{2^8 x^{16}}{y^6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil koefisien <math>\frac{x^4}{y^{12}}</math> dari hasil penjabaran <math>(x^2+\frac{4}{y^3})^{6}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{k}^{6} (x^2)^{6-k} (\frac{4}{y^3})^k \\ &= C_{k}^{6} x^{12-2k} \frac{4^k}{y^{3k}} \\ \frac{x^4}{y^{12}} &= x^{12-2k} \frac{4^k}{y^{3k}} \\ 4 &= 12-2k \\ 2k &= 8 \\ k &= 4 \\ &= C_{4}^{6} x^{12-2(4)} \frac{4^4}{y^{3(4)}} \\ &= \frac{6!}{4! \cdot 2!} x^{4} \frac{4^4}{y^{12}} \\ &= \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2 \cdot 1} x^{4} \frac{4^4}{y^{12}} \\ &= \frac{3.840x^4}{y^{12}} \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil koefisien <math>\frac{x^4}{y^{12}}</math> adalah 3.840 # Berapa hasil koefisien <math>\frac{1}{x^{29}}</math> dari hasil penjabaran <math>(x^2+\frac{3}{x^5})^{10}</math>! : jawaban :: Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk x¹⁰ adalah <math>(x^2)^p(x^{-5})^q</math> adalah p+q = 10. Persamaan eksponen <math>(x^2)^p(x^{-5})^q=x^{-29}</math> mengimplikasikan bahwa 2p-5q=-29. Selesaikan dan kita akan memperoleh p=3 dan q=7. Karena q=7, suku yang dimaksud merupakan suku ke-(7+1)=8. Dalam hal ini, kita memilih q (dan bukan p) karena q merupakan eksponen b dari bentuk (a+b)ⁿ yang langsung menunjukkan suku mana penjabaran itu didapat. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{7}^{10} (x^2)^{10-7} (\frac{3}{x^5})^7 \\ &= C_{7}^{10} x^{6} \frac{3^7}{x^{35}} \\ &= \frac{10!}{7! \cdot 3!} \frac{3^7}{x^{29}} \\ &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \frac{3^7}{x^{29}} \\ &= \frac{262.440}{x^{29}} \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil koefisien <math>\frac{1}{x^{29}}</math> adalah 262.440 # Berapa hasil konstanta dari hasil penjabaran <math>(3x^3+\frac{1}{x^5})^{8}</math>! Nilai konstanta berarti variabel berpangkat nol jadi yaitu x⁰. Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk x⁸ adalah <math>(3x^3)^p(x^{-5})^q</math> adalah p+q = 8. Persamaan eksponen <math>(3x^3)^p(x^{-5})^q=x^0</math> mengimplikasikan bahwa 3p-5q=0. Selesaikan dan kita akan memperoleh p=5 dan q=3. Karena q=3, suku yang dimaksud merupakan suku ke-(3+1)=4. Dalam hal ini, kita memilih q (dan bukan p) karena q merupakan eksponen b dari bentuk (a+b)ⁿ yang langsung menunjukkan suku mana penjabaran itu didapat. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{3}^{8} (3x^3)^{8-3} (\frac{1}{x^5})^3 \\ &= C_{3}^{8} 3^5 x^{15} \frac{1}{x^{15}} \\ &= \frac{8!}{3! \cdot 5!} 405 \\ &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} 405 \\ &= 22.680 \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil konstanta adalah 22.680 == Permutasi == ; berulangan rumus: <math>P^n_r = n^r</math> contoh soal # Berapa banyak cara terambilnya 3 huruf yang terdiri dari A, B, C dan D?? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} P^4_3 = 4^3 = 64 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dengan angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Angka-angka terdiri atas 0, 9, 8, 7, 6, 5. * Ada berapa banyak cara enam angka yang berbeda tersusun? * Ada berapa banyak cara tiga angka yang berbeda tersusun? * Ada berapa banyak cara yang lebih dari 780? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 &= 720 \text{ cara} \\ * 6 \cdot 5 \cdot 4 &= 120 \text{ cara} \\ * 1 \cdot 1 \cdot 5 + 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 6 + 2 \cdot 6 \cdot 6 &= 5 + 6 + 72 = 83 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> ; tanpa berulangan rumus: <math>P^n_r = \frac{n!}{(n-r)!}</math> contoh soal # Di dalam kelas mengadakan pemilihan ketua, wakil ketua dan sekretaris dimana kelas terdiri dari 10 murid. Ada berapa banyak carakah jabatan tersebut dipilih? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} P^{10}_3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 720 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> == Kombinasi == ; berulangan rumus: <math>C^n_r = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}</math> contoh soal # Kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donat itu menyediakan 10 jenis donat berbeda. Berapa banyak cara jika kamu ingin membeli tiga donat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} C^{10}_3 = \frac{(10+3-1)!}{3!(10-1)!} = \frac{12!}{3!9!} \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{3!9!} = 220 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> ; tanpa berulangan rumus: <math>C^n_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}</math> contoh soal # Kamu mempunyai 5 pensil warna dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua pensil warna. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan pensil warna yang ada? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} C^5_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2!3!} = 10 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Di dalam suatu laci terdapat tujuh pasang kaos kaki yang pasangnya berbeda dengan pasangan lainnya. Diambil lima kaos kaki sekaligus secara acak. Berapa banyaknya cara pengambilan di antara yang terambil terdapat tepat sepasang kaos kaki yang berpasangan (cocok)? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{7 pasang kaos kaki berbeda &= 14 kaos kaki. } \\ \text{diambil 5 kaos kaki sekaligus. } \text{terdapat tepat 1 pasang } &= C^7_1 = 7 \\ \text{3 kaos kaki diambil dari 6 } &= C^6_3 = 20 \\ \text{jenis kaos kaki kanan/kiri } &= 2^3 = 8 \\ \text{banyaknya cara pengambilan } 7 \times 20 times 8 = 1.120 \text{ cara } \\ \end{align} </math> </div></div> == Jenis-jenis permutasi == jenis-jenis permutasi yaitu * Permutasi-k dari n benda <math>P^n_k = \frac{n!}{(n-k)!}</math> * permutasi identik <math>P^n_{k1, k2, \dots, kt} = \frac{n!}{k1!k2! \dots kt!}</math> contoh soal # Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata “KAKAO"? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{5!}{2!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!2!} = 30 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada tiga warna bendera yaitu 4 buah merah, 2 putih dan 5 biru. Berapa banyak cara jika: * Bebas * 2 bendera putih harus ditengah <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac {11!}{{4!}{2!}{5!}} &= 6,930 \text{ cara} \\ * \frac {{2!}{9!}} {{4!}{2!}{5!}} &= 126 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * permutasi elemen <math>P^n_n = n!</math> # Ada berapa cara bila 6 orang remaja menempati tempat duduk yang akan disusun dalam suatu susunan yang teratur (sejajar) jika: * Posisi bebas * Dua orang harus berdampingan * Hanya dua orang diundang <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 6! &= 720 \text{ cara} \\ * 2! \cdot ((6-2)+1)! &= 2! \cdot (4+1)! = 2 \cdot 5! = 240 \text{ cara} \\ * P^{6}_{2}= \frac{6!}{(6-2)!} &= \frac{6!}{4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 30 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 4 pria dan 4 wanita sedang berdiri. Ada berapa cara jika: * Bebas * Hanya pria berdampingan * Pria dan wanita harus berdampingan * Pria dan wanita harus selang seling <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 8! &= 40,320 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((8-4)+1)! &= 4! \cdot (4+1)! = 2,880 \text{ cara} \\ * 4! \cdot 4! \cdot (0+2)! &= 1,152 \text{ cara} \\ * 4! \cdot 4! \cdot 2 &= 1,152 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 4 pria dan 3 wanita sedang berdiri. Ada berapa cara jika: * Bebas * Hanya pria berdampingan <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 7! &= 5,040 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((7-4)+1)! &= 4! \cdot (3+1)! = 48 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada berapa cara 100 orang bersalaman sebanyak satu kali? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^{100}_2 = \frac{100!}{2! \times (100-2)!} &= \frac{100!}{2! \times 98!} \\ &= \frac{100 \times 99 \times 98!}{2 \times 1 \times 98!} \\ &= \frac{100 \times 99}{2} \\ &= 50 \times 99 \\ &= 4,950 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> atau * <math>\frac{100 \times (100-1)}{2} = 4,950 \text{ cara}</math> # Berapa banyak diagonal pada dekagon? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^{10}_2 - 10 = \frac{10!}{2! \times (10-2)!} - 10 &= \frac{10!}{2! \times 8!} - 10 \\ &= \frac{10 \times 9 \times 8!}{2 \times 1 \times 8!} - 10 \\ &= \frac{10 \times 9}{2} - 10 \\ &= 5 \times 9 - 10 \\ &= 45 - 10 \\ &= 35 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> atau * <math>\frac{10 \times (10-3)}{2} = 35 \text{ cara}</math> # Saya memiliki 5 buku kimia, 3 buku matematika, dan 2 buku fisika yang masing-masing buku berbeda satu sama lain. Buku-buku tersebut akan saya susun dalam sebuah rak buku. Berapa banyak cara penyusunan yang mungkin saya lakukan jika: * Bebas * Hanya kimia berkelompok * Semua berkelompok masing-masing <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 10! &= 3,628,800 \text{ cara} \\ * 5! \cdot ((3+2)+1)! &= 86,400 \text{ cara} \\ * 5! \cdot 3! \cdot 2! \cdot (0+3)! &= 8,640 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * permutasi siklis <math>P = (n-1)!</math> contoh soal # Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 10 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah sepuluh mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja (melingkar) tersebut jika: * Posisi bebas * Dua orang harus berdampingan * Hanya dua orang diundang <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * (10-1)! &= 362,880 \text{ cara} \\ * 2! \cdot (((10-2)-1)+1)! &= 2! \cdot ((8-1)+1)! = 80,640 \text{ cara} \\ * P^{(10-1)}_2 = P^9_2 &= \frac {9!}{(9-2)!} = \frac {9!}{7!} = \frac {9\cdot 8\cdot 7!}{7!} = 72 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] a4xm3kijyn921ejcv1mzw9ck2c2iv33 107335 107334 2025-06-11T15:04:37Z Akuindo 8654 107335 wikitext text/x-wiki == Pemodelan faktorial == beberapa contoh sebagai berikut: # faktorial * <math>\frac{1}{2}! = \frac{\sqrt{\pi}}{2}</math> * 0! = 1 * 1! = 1 * 2! = 2 x (2-1) = 2 x 1 = 1 * 3! = 3 x (3-1) x (3-2) = 3 x 2 x 1 = 6 * 4! = 4 x (4-1) x (4-2) x (4-3) = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 * n! = <math>\prod_{i=1}^{n} i = n H(n-1) = 1 \cdot 2 \cdot \cdots n.</math> # faktorial ganda * 2!! = 2 * 3!! = 3 x (3-2) = 3 x 1 = 3 * 4!! = 4 x (4-2) = 4 x 2 = 8 * 5!! = 5 x (5-2) x (5-4) = 5 x 3 x 1 = 15 * 6!! = 6 x (6-2) x (6-4) = 6 x 4 x 2 = 48 * n!! = n x (n-2) x (n-4) x (n-6) dst… # faktorial tiga * 3!!! = 3 = 3 * 4!!! = 4 x (4-3) = 4 x 1 = 4 * 5!!! = 5 x (5-3) = 5 x 2 = 10 * 6!!! = 6 x (6-3) = 6 x 3 = 18 * 7!!! = 7 x (7-3) x (7-6) = 7 x 4 x 1 = 28 * 8!!! = 8 x (8-3) x (8-6) = 8 x 5 x 2 = 80 * n!!! = n x (n-3) x (n-6) x (n-9) dst… # bagian faktorial * !0 = 0! <math>(1 - \frac{1}{0!})</math> = 0 * !1 = 1! <math>(1 - \frac{1}{1!})</math> = 0 * !2 = 2! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!})</math> = 1 * !3 = 3! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!})</math> = 2 * !4 = 4! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!})</math> = 9 * !n = n! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \cdot \pm \frac{1}{n!})</math> # ? faktorial * 1$ = 1! = 1 * 2$ = 2!^2! = 4 * 3$ = 3!^{3!^{3!^{3!^{3!^3!}}}} = * n$ = <math>n!^{n!} = </math> (banyaknya hasil faktorial dari n!) # lebih faktorial * S(1) = 1! = 1 * S(2) = 2! x 1! = 2 * S(3) = 3! x 2! x 1! = 12 * S(4) = 4! x 3! x 2! x 1! = 288 * S(n) = <math>\prod_{i=1}^{n} i! = i! H(n-1) = 1! \cdot 2! \cdot \cdots n! = 1! \cdot 2! \cdot \cdots n!.</math> # paling faktorial * H(1) = 1¹ = 1 * H(2) = 2² x 1¹ = 4 * H(3) = 3³ x 2² x 1¹ = 108 * H(n) = <math>\prod_{i=1}^{n} i^i = n^n H(n-1) = 1^1 \cdot 2^2 \cdot \cdots n^n.</math> # primorial * 2# = 2 * 3# = 2 x 3 = 5 * 5# = 2 x 3 x 5 = 30 * 7# = 2 x 3 x 5 x 7 = 210 * n# = 2 x 3 x 5 x …. x n (n adalah bilangan prima secara berurutan) == Koefisien binomial == (a+b)ⁿ = <math>\sum_{k=0}^{n} (_{k}^{n}) x^{n-k} y^k</math> <math>(_{k=0}^{n})</math> digunakan sebagai pemodelan kombinasi. penjabaran tersebut memiliki n+1 suku. suku ke-a adalah <math>(_{a-1}^{n}) x^{n-a+1} y^{a-1}</math>. koefisien ke-a adalah <math>(_{a-1}^{n})</math>. contoh soal # sederhanakan dari B = <math>(x-2)^5+5(x-2)^4+10(x-2)^3+10(x-2)^2+5(x-2)+1</math>! : jawaban :: Dari di atas bahwa koefisien binomial adalah (a+b)⁵ = <math>a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5</math> :: Jadi B = <math>(x-2)^5+5(x-2)^4+10(x-2)^3+10(x-2)^2+5(x-2)+1</math> :: B = ((x-2)+1)⁵ = (x-1)⁵ # Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka berapa hasil suku keenam setelah ekspansi <math>(x^3-4)^8</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_6 &= C_{5}^{8} (x^3)^{8-5} (-4)^5 \\ &= \frac{8!}{5! \cdot 3!} x^9 (-1.024) \\ &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} x^9 (-1.024) \\ &= (56) x^9 (-1.024) \\ &= -57.344x^9 \end{align} </math> </div></div> # Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka berapa hasil suku ketujuh setelah ekspansi <math>(\frac{x^4}{2}-\frac{4}{y})^{10}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_7 &= C_{6}^{10} (\frac{x^4}{2})^{10-6} (\frac{4}{y})^6 \\ &= \frac{10!}{6! \cdot 4!} (\frac{x^4}{2})^4 \frac{4^6}{y^6} \\ &= \frac{10!}{6! \cdot 4!} \frac{x^{16}}{2^4} \frac{4^6}{y^6} \\ &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \frac{x^{16}}{2^4} \frac{2^{12}}{y^6} \\ &= 210 \frac{2^8 x^{16}}{y^6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil koefisien <math>\frac{x^4}{y^{12}}</math> dari hasil penjabaran <math>(x^2+\frac{4}{y^3})^{6}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{k}^{6} (x^2)^{6-k} (\frac{4}{y^3})^k \\ &= C_{k}^{6} x^{12-2k} \frac{4^k}{y^{3k}} \\ \frac{x^4}{y^{12}} &= x^{12-2k} \frac{4^k}{y^{3k}} \\ 4 &= 12-2k \\ 2k &= 8 \\ k &= 4 \\ &= C_{4}^{6} x^{12-2(4)} \frac{4^4}{y^{3(4)}} \\ &= \frac{6!}{4! \cdot 2!} x^{4} \frac{4^4}{y^{12}} \\ &= \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2 \cdot 1} x^{4} \frac{4^4}{y^{12}} \\ &= \frac{3.840x^4}{y^{12}} \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil koefisien <math>\frac{x^4}{y^{12}}</math> adalah 3.840 # Berapa hasil koefisien <math>\frac{1}{x^{29}}</math> dari hasil penjabaran <math>(x^2+\frac{3}{x^5})^{10}</math>! : jawaban :: Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk x¹⁰ adalah <math>(x^2)^p(x^{-5})^q</math> adalah p+q = 10. Persamaan eksponen <math>(x^2)^p(x^{-5})^q=x^{-29}</math> mengimplikasikan bahwa 2p-5q=-29. Selesaikan dan kita akan memperoleh p=3 dan q=7. Karena q=7, suku yang dimaksud merupakan suku ke-(7+1)=8. Dalam hal ini, kita memilih q (dan bukan p) karena q merupakan eksponen b dari bentuk (a+b)ⁿ yang langsung menunjukkan suku mana penjabaran itu didapat. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{7}^{10} (x^2)^{10-7} (\frac{3}{x^5})^7 \\ &= C_{7}^{10} x^{6} \frac{3^7}{x^{35}} \\ &= \frac{10!}{7! \cdot 3!} \frac{3^7}{x^{29}} \\ &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \frac{3^7}{x^{29}} \\ &= \frac{262.440}{x^{29}} \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil koefisien <math>\frac{1}{x^{29}}</math> adalah 262.440 # Berapa hasil konstanta dari hasil penjabaran <math>(3x^3+\frac{1}{x^5})^{8}</math>! Nilai konstanta berarti variabel berpangkat nol jadi yaitu x⁰. Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk x⁸ adalah <math>(3x^3)^p(x^{-5})^q</math> adalah p+q = 8. Persamaan eksponen <math>(3x^3)^p(x^{-5})^q=x^0</math> mengimplikasikan bahwa 3p-5q=0. Selesaikan dan kita akan memperoleh p=5 dan q=3. Karena q=3, suku yang dimaksud merupakan suku ke-(3+1)=4. Dalam hal ini, kita memilih q (dan bukan p) karena q merupakan eksponen b dari bentuk (a+b)ⁿ yang langsung menunjukkan suku mana penjabaran itu didapat. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{3}^{8} (3x^3)^{8-3} (\frac{1}{x^5})^3 \\ &= C_{3}^{8} 3^5 x^{15} \frac{1}{x^{15}} \\ &= \frac{8!}{3! \cdot 5!} 405 \\ &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} 405 \\ &= 22.680 \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil konstanta adalah 22.680 == Permutasi == ; berulangan rumus: <math>P^n_r = n^r</math> contoh soal # Berapa banyak cara terambilnya 3 huruf yang terdiri dari A, B, C dan D?? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} P^4_3 = 4^3 = 64 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dengan angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Angka-angka terdiri atas 0, 9, 8, 7, 6, 5. * Ada berapa banyak cara enam angka yang berbeda tersusun? * Ada berapa banyak cara tiga angka yang berbeda tersusun? * Ada berapa banyak cara yang lebih dari 780? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 &= 720 \text{ cara} \\ * 6 \cdot 5 \cdot 4 &= 120 \text{ cara} \\ * 1 \cdot 1 \cdot 5 + 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 6 + 2 \cdot 6 \cdot 6 &= 5 + 6 + 72 = 83 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> ; tanpa berulangan rumus: <math>P^n_r = \frac{n!}{(n-r)!}</math> contoh soal # Di dalam kelas mengadakan pemilihan ketua, wakil ketua dan sekretaris dimana kelas terdiri dari 10 murid. Ada berapa banyak carakah jabatan tersebut dipilih? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} P^{10}_3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 720 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> == Kombinasi == ; berulangan rumus: <math>C^n_r = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}</math> contoh soal # Kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donat itu menyediakan 10 jenis donat berbeda. Berapa banyak cara jika kamu ingin membeli tiga donat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} C^{10}_3 = \frac{(10+3-1)!}{3!(10-1)!} = \frac{12!}{3!9!} \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{3!9!} = 220 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> ; tanpa berulangan rumus: <math>C^n_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}</math> contoh soal # Kamu mempunyai 5 pensil warna dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua pensil warna. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan pensil warna yang ada? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} C^5_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2!3!} = 10 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Di dalam suatu laci terdapat tujuh pasang kaos kaki yang pasangnya berbeda dengan pasangan lainnya. Diambil lima kaos kaki sekaligus secara acak. Berapa banyaknya cara pengambilan di antara yang terambil terdapat tepat sepasang kaos kaki yang berpasangan (cocok)? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{7 pasang kaos kaki berbeda &= 14 kaos kaki. } \\ \text{diambil 5 kaos kaki sekaligus. } \text{terdapat tepat 1 pasang } &= C^7_1 = 7 \\ \text{3 kaos kaki diambil dari 6 } &= C^6_3 = 20 \\ \text{jenis kaos kaki kanan/kiri } &= 2^3 = 8 \\ \text{banyaknya cara pengambilan } 7 \times 20 \times 8 = 1.120 \text{ cara } \\ \end{align} </math> </div></div> == Jenis-jenis permutasi == jenis-jenis permutasi yaitu * Permutasi-k dari n benda <math>P^n_k = \frac{n!}{(n-k)!}</math> * permutasi identik <math>P^n_{k1, k2, \dots, kt} = \frac{n!}{k1!k2! \dots kt!}</math> contoh soal # Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata “KAKAO"? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{5!}{2!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!2!} = 30 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada tiga warna bendera yaitu 4 buah merah, 2 putih dan 5 biru. Berapa banyak cara jika: * Bebas * 2 bendera putih harus ditengah <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac {11!}{{4!}{2!}{5!}} &= 6,930 \text{ cara} \\ * \frac {{2!}{9!}} {{4!}{2!}{5!}} &= 126 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * permutasi elemen <math>P^n_n = n!</math> # Ada berapa cara bila 6 orang remaja menempati tempat duduk yang akan disusun dalam suatu susunan yang teratur (sejajar) jika: * Posisi bebas * Dua orang harus berdampingan * Hanya dua orang diundang <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 6! &= 720 \text{ cara} \\ * 2! \cdot ((6-2)+1)! &= 2! \cdot (4+1)! = 2 \cdot 5! = 240 \text{ cara} \\ * P^{6}_{2}= \frac{6!}{(6-2)!} &= \frac{6!}{4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 30 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 4 pria dan 4 wanita sedang berdiri. Ada berapa cara jika: * Bebas * Hanya pria berdampingan * Pria dan wanita harus berdampingan * Pria dan wanita harus selang seling <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 8! &= 40,320 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((8-4)+1)! &= 4! \cdot (4+1)! = 2,880 \text{ cara} \\ * 4! \cdot 4! \cdot (0+2)! &= 1,152 \text{ cara} \\ * 4! \cdot 4! \cdot 2 &= 1,152 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 4 pria dan 3 wanita sedang berdiri. Ada berapa cara jika: * Bebas * Hanya pria berdampingan <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 7! &= 5,040 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((7-4)+1)! &= 4! \cdot (3+1)! = 48 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada berapa cara 100 orang bersalaman sebanyak satu kali? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^{100}_2 = \frac{100!}{2! \times (100-2)!} &= \frac{100!}{2! \times 98!} \\ &= \frac{100 \times 99 \times 98!}{2 \times 1 \times 98!} \\ &= \frac{100 \times 99}{2} \\ &= 50 \times 99 \\ &= 4,950 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> atau * <math>\frac{100 \times (100-1)}{2} = 4,950 \text{ cara}</math> # Berapa banyak diagonal pada dekagon? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^{10}_2 - 10 = \frac{10!}{2! \times (10-2)!} - 10 &= \frac{10!}{2! \times 8!} - 10 \\ &= \frac{10 \times 9 \times 8!}{2 \times 1 \times 8!} - 10 \\ &= \frac{10 \times 9}{2} - 10 \\ &= 5 \times 9 - 10 \\ &= 45 - 10 \\ &= 35 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> atau * <math>\frac{10 \times (10-3)}{2} = 35 \text{ cara}</math> # Saya memiliki 5 buku kimia, 3 buku matematika, dan 2 buku fisika yang masing-masing buku berbeda satu sama lain. Buku-buku tersebut akan saya susun dalam sebuah rak buku. Berapa banyak cara penyusunan yang mungkin saya lakukan jika: * Bebas * Hanya kimia berkelompok * Semua berkelompok masing-masing <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 10! &= 3,628,800 \text{ cara} \\ * 5! \cdot ((3+2)+1)! &= 86,400 \text{ cara} \\ * 5! \cdot 3! \cdot 2! \cdot (0+3)! &= 8,640 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * permutasi siklis <math>P = (n-1)!</math> contoh soal # Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 10 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah sepuluh mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja (melingkar) tersebut jika: * Posisi bebas * Dua orang harus berdampingan * Hanya dua orang diundang <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * (10-1)! &= 362,880 \text{ cara} \\ * 2! \cdot (((10-2)-1)+1)! &= 2! \cdot ((8-1)+1)! = 80,640 \text{ cara} \\ * P^{(10-1)}_2 = P^9_2 &= \frac {9!}{(9-2)!} = \frac {9!}{7!} = \frac {9\cdot 8\cdot 7!}{7!} = 72 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] bqqf3bvsghva94c4qkpyk6mv44cxjaz 107336 107335 2025-06-11T15:05:44Z Akuindo 8654 107336 wikitext text/x-wiki == Pemodelan faktorial == beberapa contoh sebagai berikut: # faktorial * <math>\frac{1}{2}! = \frac{\sqrt{\pi}}{2}</math> * 0! = 1 * 1! = 1 * 2! = 2 x (2-1) = 2 x 1 = 1 * 3! = 3 x (3-1) x (3-2) = 3 x 2 x 1 = 6 * 4! = 4 x (4-1) x (4-2) x (4-3) = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 * n! = <math>\prod_{i=1}^{n} i = n H(n-1) = 1 \cdot 2 \cdot \cdots n.</math> # faktorial ganda * 2!! = 2 * 3!! = 3 x (3-2) = 3 x 1 = 3 * 4!! = 4 x (4-2) = 4 x 2 = 8 * 5!! = 5 x (5-2) x (5-4) = 5 x 3 x 1 = 15 * 6!! = 6 x (6-2) x (6-4) = 6 x 4 x 2 = 48 * n!! = n x (n-2) x (n-4) x (n-6) dst… # faktorial tiga * 3!!! = 3 = 3 * 4!!! = 4 x (4-3) = 4 x 1 = 4 * 5!!! = 5 x (5-3) = 5 x 2 = 10 * 6!!! = 6 x (6-3) = 6 x 3 = 18 * 7!!! = 7 x (7-3) x (7-6) = 7 x 4 x 1 = 28 * 8!!! = 8 x (8-3) x (8-6) = 8 x 5 x 2 = 80 * n!!! = n x (n-3) x (n-6) x (n-9) dst… # bagian faktorial * !0 = 0! <math>(1 - \frac{1}{0!})</math> = 0 * !1 = 1! <math>(1 - \frac{1}{1!})</math> = 0 * !2 = 2! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!})</math> = 1 * !3 = 3! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!})</math> = 2 * !4 = 4! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!})</math> = 9 * !n = n! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \cdot \pm \frac{1}{n!})</math> # ? faktorial * 1$ = 1! = 1 * 2$ = 2!^2! = 4 * 3$ = 3!^{3!^{3!^{3!^{3!^3!}}}} = * n$ = <math>n!^{n!} = </math> (banyaknya hasil faktorial dari n!) # lebih faktorial * S(1) = 1! = 1 * S(2) = 2! x 1! = 2 * S(3) = 3! x 2! x 1! = 12 * S(4) = 4! x 3! x 2! x 1! = 288 * S(n) = <math>\prod_{i=1}^{n} i! = i! H(n-1) = 1! \cdot 2! \cdot \cdots n! = 1! \cdot 2! \cdot \cdots n!.</math> # paling faktorial * H(1) = 1¹ = 1 * H(2) = 2² x 1¹ = 4 * H(3) = 3³ x 2² x 1¹ = 108 * H(n) = <math>\prod_{i=1}^{n} i^i = n^n H(n-1) = 1^1 \cdot 2^2 \cdot \cdots n^n.</math> # primorial * 2# = 2 * 3# = 2 x 3 = 5 * 5# = 2 x 3 x 5 = 30 * 7# = 2 x 3 x 5 x 7 = 210 * n# = 2 x 3 x 5 x …. x n (n adalah bilangan prima secara berurutan) == Koefisien binomial == (a+b)ⁿ = <math>\sum_{k=0}^{n} (_{k}^{n}) x^{n-k} y^k</math> <math>(_{k=0}^{n})</math> digunakan sebagai pemodelan kombinasi. penjabaran tersebut memiliki n+1 suku. suku ke-a adalah <math>(_{a-1}^{n}) x^{n-a+1} y^{a-1}</math>. koefisien ke-a adalah <math>(_{a-1}^{n})</math>. contoh soal # sederhanakan dari B = <math>(x-2)^5+5(x-2)^4+10(x-2)^3+10(x-2)^2+5(x-2)+1</math>! : jawaban :: Dari di atas bahwa koefisien binomial adalah (a+b)⁵ = <math>a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5</math> :: Jadi B = <math>(x-2)^5+5(x-2)^4+10(x-2)^3+10(x-2)^2+5(x-2)+1</math> :: B = ((x-2)+1)⁵ = (x-1)⁵ # Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka berapa hasil suku keenam setelah ekspansi <math>(x^3-4)^8</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_6 &= C_{5}^{8} (x^3)^{8-5} (-4)^5 \\ &= \frac{8!}{5! \cdot 3!} x^9 (-1.024) \\ &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} x^9 (-1.024) \\ &= (56) x^9 (-1.024) \\ &= -57.344x^9 \end{align} </math> </div></div> # Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka berapa hasil suku ketujuh setelah ekspansi <math>(\frac{x^4}{2}-\frac{4}{y})^{10}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_7 &= C_{6}^{10} (\frac{x^4}{2})^{10-6} (\frac{4}{y})^6 \\ &= \frac{10!}{6! \cdot 4!} (\frac{x^4}{2})^4 \frac{4^6}{y^6} \\ &= \frac{10!}{6! \cdot 4!} \frac{x^{16}}{2^4} \frac{4^6}{y^6} \\ &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \frac{x^{16}}{2^4} \frac{2^{12}}{y^6} \\ &= 210 \frac{2^8 x^{16}}{y^6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil koefisien <math>\frac{x^4}{y^{12}}</math> dari hasil penjabaran <math>(x^2+\frac{4}{y^3})^{6}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{k}^{6} (x^2)^{6-k} (\frac{4}{y^3})^k \\ &= C_{k}^{6} x^{12-2k} \frac{4^k}{y^{3k}} \\ \frac{x^4}{y^{12}} &= x^{12-2k} \frac{4^k}{y^{3k}} \\ 4 &= 12-2k \\ 2k &= 8 \\ k &= 4 \\ &= C_{4}^{6} x^{12-2(4)} \frac{4^4}{y^{3(4)}} \\ &= \frac{6!}{4! \cdot 2!} x^{4} \frac{4^4}{y^{12}} \\ &= \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2 \cdot 1} x^{4} \frac{4^4}{y^{12}} \\ &= \frac{3.840x^4}{y^{12}} \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil koefisien <math>\frac{x^4}{y^{12}}</math> adalah 3.840 # Berapa hasil koefisien <math>\frac{1}{x^{29}}</math> dari hasil penjabaran <math>(x^2+\frac{3}{x^5})^{10}</math>! : jawaban :: Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk x¹⁰ adalah <math>(x^2)^p(x^{-5})^q</math> adalah p+q = 10. Persamaan eksponen <math>(x^2)^p(x^{-5})^q=x^{-29}</math> mengimplikasikan bahwa 2p-5q=-29. Selesaikan dan kita akan memperoleh p=3 dan q=7. Karena q=7, suku yang dimaksud merupakan suku ke-(7+1)=8. Dalam hal ini, kita memilih q (dan bukan p) karena q merupakan eksponen b dari bentuk (a+b)ⁿ yang langsung menunjukkan suku mana penjabaran itu didapat. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{7}^{10} (x^2)^{10-7} (\frac{3}{x^5})^7 \\ &= C_{7}^{10} x^{6} \frac{3^7}{x^{35}} \\ &= \frac{10!}{7! \cdot 3!} \frac{3^7}{x^{29}} \\ &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \frac{3^7}{x^{29}} \\ &= \frac{262.440}{x^{29}} \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil koefisien <math>\frac{1}{x^{29}}</math> adalah 262.440 # Berapa hasil konstanta dari hasil penjabaran <math>(3x^3+\frac{1}{x^5})^{8}</math>! Nilai konstanta berarti variabel berpangkat nol jadi yaitu x⁰. Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk x⁸ adalah <math>(3x^3)^p(x^{-5})^q</math> adalah p+q = 8. Persamaan eksponen <math>(3x^3)^p(x^{-5})^q=x^0</math> mengimplikasikan bahwa 3p-5q=0. Selesaikan dan kita akan memperoleh p=5 dan q=3. Karena q=3, suku yang dimaksud merupakan suku ke-(3+1)=4. Dalam hal ini, kita memilih q (dan bukan p) karena q merupakan eksponen b dari bentuk (a+b)ⁿ yang langsung menunjukkan suku mana penjabaran itu didapat. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{3}^{8} (3x^3)^{8-3} (\frac{1}{x^5})^3 \\ &= C_{3}^{8} 3^5 x^{15} \frac{1}{x^{15}} \\ &= \frac{8!}{3! \cdot 5!} 405 \\ &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} 405 \\ &= 22.680 \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil konstanta adalah 22.680 == Permutasi == ; berulangan rumus: <math>P^n_r = n^r</math> contoh soal # Berapa banyak cara terambilnya 3 huruf yang terdiri dari A, B, C dan D?? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} P^4_3 = 4^3 = 64 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dengan angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Angka-angka terdiri atas 0, 9, 8, 7, 6, 5. * Ada berapa banyak cara enam angka yang berbeda tersusun? * Ada berapa banyak cara tiga angka yang berbeda tersusun? * Ada berapa banyak cara yang lebih dari 780? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 &= 720 \text{ cara} \\ * 6 \cdot 5 \cdot 4 &= 120 \text{ cara} \\ * 1 \cdot 1 \cdot 5 + 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 6 + 2 \cdot 6 \cdot 6 &= 5 + 6 + 72 = 83 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> ; tanpa berulangan rumus: <math>P^n_r = \frac{n!}{(n-r)!}</math> contoh soal # Di dalam kelas mengadakan pemilihan ketua, wakil ketua dan sekretaris dimana kelas terdiri dari 10 murid. Ada berapa banyak carakah jabatan tersebut dipilih? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} P^{10}_3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 720 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> == Kombinasi == ; berulangan rumus: <math>C^n_r = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}</math> contoh soal # Kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donat itu menyediakan 10 jenis donat berbeda. Berapa banyak cara jika kamu ingin membeli tiga donat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} C^{10}_3 = \frac{(10+3-1)!}{3!(10-1)!} = \frac{12!}{3!9!} \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{3!9!} = 220 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> ; tanpa berulangan rumus: <math>C^n_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}</math> contoh soal # Kamu mempunyai 5 pensil warna dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua pensil warna. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan pensil warna yang ada? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} C^5_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2!3!} = 10 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Di dalam suatu laci terdapat tujuh pasang kaos kaki yang pasangnya berbeda dengan pasangan lainnya. Diambil lima kaos kaki sekaligus secara acak. Berapa banyaknya cara pengambilan di antara yang terambil terdapat tepat sepasang kaos kaki yang berpasangan (cocok)? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{7 pasang kaos kaki berbeda = 14 kaos kaki. } \\ \text{diambil 5 kaos kaki sekaligus. } \text{terdapat tepat 1 pasang } &= C^7_1 = 7 \\ \text{3 kaos kaki diambil dari 6 } &= C^6_3 = 20 \\ \text{jenis kaos kaki kanan/kiri } &= 2^3 = 8 \\ \text{banyaknya cara pengambilan } 7 \times 20 \times 8 = 1.120 \text{ cara } \\ \end{align} </math> </div></div> == Jenis-jenis permutasi == jenis-jenis permutasi yaitu * Permutasi-k dari n benda <math>P^n_k = \frac{n!}{(n-k)!}</math> * permutasi identik <math>P^n_{k1, k2, \dots, kt} = \frac{n!}{k1!k2! \dots kt!}</math> contoh soal # Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata “KAKAO"? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{5!}{2!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!2!} = 30 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada tiga warna bendera yaitu 4 buah merah, 2 putih dan 5 biru. Berapa banyak cara jika: * Bebas * 2 bendera putih harus ditengah <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac {11!}{{4!}{2!}{5!}} &= 6,930 \text{ cara} \\ * \frac {{2!}{9!}} {{4!}{2!}{5!}} &= 126 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * permutasi elemen <math>P^n_n = n!</math> # Ada berapa cara bila 6 orang remaja menempati tempat duduk yang akan disusun dalam suatu susunan yang teratur (sejajar) jika: * Posisi bebas * Dua orang harus berdampingan * Hanya dua orang diundang <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 6! &= 720 \text{ cara} \\ * 2! \cdot ((6-2)+1)! &= 2! \cdot (4+1)! = 2 \cdot 5! = 240 \text{ cara} \\ * P^{6}_{2}= \frac{6!}{(6-2)!} &= \frac{6!}{4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 30 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 4 pria dan 4 wanita sedang berdiri. Ada berapa cara jika: * Bebas * Hanya pria berdampingan * Pria dan wanita harus berdampingan * Pria dan wanita harus selang seling <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 8! &= 40,320 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((8-4)+1)! &= 4! \cdot (4+1)! = 2,880 \text{ cara} \\ * 4! \cdot 4! \cdot (0+2)! &= 1,152 \text{ cara} \\ * 4! \cdot 4! \cdot 2 &= 1,152 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 4 pria dan 3 wanita sedang berdiri. Ada berapa cara jika: * Bebas * Hanya pria berdampingan <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 7! &= 5,040 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((7-4)+1)! &= 4! \cdot (3+1)! = 48 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada berapa cara 100 orang bersalaman sebanyak satu kali? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^{100}_2 = \frac{100!}{2! \times (100-2)!} &= \frac{100!}{2! \times 98!} \\ &= \frac{100 \times 99 \times 98!}{2 \times 1 \times 98!} \\ &= \frac{100 \times 99}{2} \\ &= 50 \times 99 \\ &= 4,950 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> atau * <math>\frac{100 \times (100-1)}{2} = 4,950 \text{ cara}</math> # Berapa banyak diagonal pada dekagon? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^{10}_2 - 10 = \frac{10!}{2! \times (10-2)!} - 10 &= \frac{10!}{2! \times 8!} - 10 \\ &= \frac{10 \times 9 \times 8!}{2 \times 1 \times 8!} - 10 \\ &= \frac{10 \times 9}{2} - 10 \\ &= 5 \times 9 - 10 \\ &= 45 - 10 \\ &= 35 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> atau * <math>\frac{10 \times (10-3)}{2} = 35 \text{ cara}</math> # Saya memiliki 5 buku kimia, 3 buku matematika, dan 2 buku fisika yang masing-masing buku berbeda satu sama lain. Buku-buku tersebut akan saya susun dalam sebuah rak buku. Berapa banyak cara penyusunan yang mungkin saya lakukan jika: * Bebas * Hanya kimia berkelompok * Semua berkelompok masing-masing <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 10! &= 3,628,800 \text{ cara} \\ * 5! \cdot ((3+2)+1)! &= 86,400 \text{ cara} \\ * 5! \cdot 3! \cdot 2! \cdot (0+3)! &= 8,640 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * permutasi siklis <math>P = (n-1)!</math> contoh soal # Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 10 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah sepuluh mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja (melingkar) tersebut jika: * Posisi bebas * Dua orang harus berdampingan * Hanya dua orang diundang <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * (10-1)! &= 362,880 \text{ cara} \\ * 2! \cdot (((10-2)-1)+1)! &= 2! \cdot ((8-1)+1)! = 80,640 \text{ cara} \\ * P^{(10-1)}_2 = P^9_2 &= \frac {9!}{(9-2)!} = \frac {9!}{7!} = \frac {9\cdot 8\cdot 7!}{7!} = 72 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 2xj3p0n5zpu93vrsqp97kwbw63v00za 107337 107336 2025-06-11T23:19:00Z Akuindo 8654 /* Kombinasi */ 107337 wikitext text/x-wiki == Pemodelan faktorial == beberapa contoh sebagai berikut: # faktorial * <math>\frac{1}{2}! = \frac{\sqrt{\pi}}{2}</math> * 0! = 1 * 1! = 1 * 2! = 2 x (2-1) = 2 x 1 = 1 * 3! = 3 x (3-1) x (3-2) = 3 x 2 x 1 = 6 * 4! = 4 x (4-1) x (4-2) x (4-3) = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 * n! = <math>\prod_{i=1}^{n} i = n H(n-1) = 1 \cdot 2 \cdot \cdots n.</math> # faktorial ganda * 2!! = 2 * 3!! = 3 x (3-2) = 3 x 1 = 3 * 4!! = 4 x (4-2) = 4 x 2 = 8 * 5!! = 5 x (5-2) x (5-4) = 5 x 3 x 1 = 15 * 6!! = 6 x (6-2) x (6-4) = 6 x 4 x 2 = 48 * n!! = n x (n-2) x (n-4) x (n-6) dst… # faktorial tiga * 3!!! = 3 = 3 * 4!!! = 4 x (4-3) = 4 x 1 = 4 * 5!!! = 5 x (5-3) = 5 x 2 = 10 * 6!!! = 6 x (6-3) = 6 x 3 = 18 * 7!!! = 7 x (7-3) x (7-6) = 7 x 4 x 1 = 28 * 8!!! = 8 x (8-3) x (8-6) = 8 x 5 x 2 = 80 * n!!! = n x (n-3) x (n-6) x (n-9) dst… # bagian faktorial * !0 = 0! <math>(1 - \frac{1}{0!})</math> = 0 * !1 = 1! <math>(1 - \frac{1}{1!})</math> = 0 * !2 = 2! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!})</math> = 1 * !3 = 3! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!})</math> = 2 * !4 = 4! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!})</math> = 9 * !n = n! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \cdot \pm \frac{1}{n!})</math> # ? faktorial * 1$ = 1! = 1 * 2$ = 2!^2! = 4 * 3$ = 3!^{3!^{3!^{3!^{3!^3!}}}} = * n$ = <math>n!^{n!} = </math> (banyaknya hasil faktorial dari n!) # lebih faktorial * S(1) = 1! = 1 * S(2) = 2! x 1! = 2 * S(3) = 3! x 2! x 1! = 12 * S(4) = 4! x 3! x 2! x 1! = 288 * S(n) = <math>\prod_{i=1}^{n} i! = i! H(n-1) = 1! \cdot 2! \cdot \cdots n! = 1! \cdot 2! \cdot \cdots n!.</math> # paling faktorial * H(1) = 1¹ = 1 * H(2) = 2² x 1¹ = 4 * H(3) = 3³ x 2² x 1¹ = 108 * H(n) = <math>\prod_{i=1}^{n} i^i = n^n H(n-1) = 1^1 \cdot 2^2 \cdot \cdots n^n.</math> # primorial * 2# = 2 * 3# = 2 x 3 = 5 * 5# = 2 x 3 x 5 = 30 * 7# = 2 x 3 x 5 x 7 = 210 * n# = 2 x 3 x 5 x …. x n (n adalah bilangan prima secara berurutan) == Koefisien binomial == (a+b)ⁿ = <math>\sum_{k=0}^{n} (_{k}^{n}) x^{n-k} y^k</math> <math>(_{k=0}^{n})</math> digunakan sebagai pemodelan kombinasi. penjabaran tersebut memiliki n+1 suku. suku ke-a adalah <math>(_{a-1}^{n}) x^{n-a+1} y^{a-1}</math>. koefisien ke-a adalah <math>(_{a-1}^{n})</math>. contoh soal # sederhanakan dari B = <math>(x-2)^5+5(x-2)^4+10(x-2)^3+10(x-2)^2+5(x-2)+1</math>! : jawaban :: Dari di atas bahwa koefisien binomial adalah (a+b)⁵ = <math>a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5</math> :: Jadi B = <math>(x-2)^5+5(x-2)^4+10(x-2)^3+10(x-2)^2+5(x-2)+1</math> :: B = ((x-2)+1)⁵ = (x-1)⁵ # Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka berapa hasil suku keenam setelah ekspansi <math>(x^3-4)^8</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_6 &= C_{5}^{8} (x^3)^{8-5} (-4)^5 \\ &= \frac{8!}{5! \cdot 3!} x^9 (-1.024) \\ &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} x^9 (-1.024) \\ &= (56) x^9 (-1.024) \\ &= -57.344x^9 \end{align} </math> </div></div> # Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka berapa hasil suku ketujuh setelah ekspansi <math>(\frac{x^4}{2}-\frac{4}{y})^{10}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_7 &= C_{6}^{10} (\frac{x^4}{2})^{10-6} (\frac{4}{y})^6 \\ &= \frac{10!}{6! \cdot 4!} (\frac{x^4}{2})^4 \frac{4^6}{y^6} \\ &= \frac{10!}{6! \cdot 4!} \frac{x^{16}}{2^4} \frac{4^6}{y^6} \\ &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \frac{x^{16}}{2^4} \frac{2^{12}}{y^6} \\ &= 210 \frac{2^8 x^{16}}{y^6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil koefisien <math>\frac{x^4}{y^{12}}</math> dari hasil penjabaran <math>(x^2+\frac{4}{y^3})^{6}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{k}^{6} (x^2)^{6-k} (\frac{4}{y^3})^k \\ &= C_{k}^{6} x^{12-2k} \frac{4^k}{y^{3k}} \\ \frac{x^4}{y^{12}} &= x^{12-2k} \frac{4^k}{y^{3k}} \\ 4 &= 12-2k \\ 2k &= 8 \\ k &= 4 \\ &= C_{4}^{6} x^{12-2(4)} \frac{4^4}{y^{3(4)}} \\ &= \frac{6!}{4! \cdot 2!} x^{4} \frac{4^4}{y^{12}} \\ &= \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2 \cdot 1} x^{4} \frac{4^4}{y^{12}} \\ &= \frac{3.840x^4}{y^{12}} \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil koefisien <math>\frac{x^4}{y^{12}}</math> adalah 3.840 # Berapa hasil koefisien <math>\frac{1}{x^{29}}</math> dari hasil penjabaran <math>(x^2+\frac{3}{x^5})^{10}</math>! : jawaban :: Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk x¹⁰ adalah <math>(x^2)^p(x^{-5})^q</math> adalah p+q = 10. Persamaan eksponen <math>(x^2)^p(x^{-5})^q=x^{-29}</math> mengimplikasikan bahwa 2p-5q=-29. Selesaikan dan kita akan memperoleh p=3 dan q=7. Karena q=7, suku yang dimaksud merupakan suku ke-(7+1)=8. Dalam hal ini, kita memilih q (dan bukan p) karena q merupakan eksponen b dari bentuk (a+b)ⁿ yang langsung menunjukkan suku mana penjabaran itu didapat. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{7}^{10} (x^2)^{10-7} (\frac{3}{x^5})^7 \\ &= C_{7}^{10} x^{6} \frac{3^7}{x^{35}} \\ &= \frac{10!}{7! \cdot 3!} \frac{3^7}{x^{29}} \\ &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \frac{3^7}{x^{29}} \\ &= \frac{262.440}{x^{29}} \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil koefisien <math>\frac{1}{x^{29}}</math> adalah 262.440 # Berapa hasil konstanta dari hasil penjabaran <math>(3x^3+\frac{1}{x^5})^{8}</math>! Nilai konstanta berarti variabel berpangkat nol jadi yaitu x⁰. Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk x⁸ adalah <math>(3x^3)^p(x^{-5})^q</math> adalah p+q = 8. Persamaan eksponen <math>(3x^3)^p(x^{-5})^q=x^0</math> mengimplikasikan bahwa 3p-5q=0. Selesaikan dan kita akan memperoleh p=5 dan q=3. Karena q=3, suku yang dimaksud merupakan suku ke-(3+1)=4. Dalam hal ini, kita memilih q (dan bukan p) karena q merupakan eksponen b dari bentuk (a+b)ⁿ yang langsung menunjukkan suku mana penjabaran itu didapat. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{3}^{8} (3x^3)^{8-3} (\frac{1}{x^5})^3 \\ &= C_{3}^{8} 3^5 x^{15} \frac{1}{x^{15}} \\ &= \frac{8!}{3! \cdot 5!} 405 \\ &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} 405 \\ &= 22.680 \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil konstanta adalah 22.680 == Permutasi == ; berulangan rumus: <math>P^n_r = n^r</math> contoh soal # Berapa banyak cara terambilnya 3 huruf yang terdiri dari A, B, C dan D?? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} P^4_3 = 4^3 = 64 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dengan angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Angka-angka terdiri atas 0, 9, 8, 7, 6, 5. * Ada berapa banyak cara enam angka yang berbeda tersusun? * Ada berapa banyak cara tiga angka yang berbeda tersusun? * Ada berapa banyak cara yang lebih dari 780? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 &= 720 \text{ cara} \\ * 6 \cdot 5 \cdot 4 &= 120 \text{ cara} \\ * 1 \cdot 1 \cdot 5 + 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 6 + 2 \cdot 6 \cdot 6 &= 5 + 6 + 72 = 83 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> ; tanpa berulangan rumus: <math>P^n_r = \frac{n!}{(n-r)!}</math> contoh soal # Di dalam kelas mengadakan pemilihan ketua, wakil ketua dan sekretaris dimana kelas terdiri dari 10 murid. Ada berapa banyak carakah jabatan tersebut dipilih? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} P^{10}_3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 720 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> == Kombinasi == ; berulangan rumus: <math>C^n_r = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}</math> contoh soal # Kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donat itu menyediakan 10 jenis donat berbeda. Berapa banyak cara jika kamu ingin membeli tiga donat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} C^{10}_3 = \frac{(10+3-1)!}{3!(10-1)!} = \frac{12!}{3!9!} \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{3!9!} = 220 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> ; tanpa berulangan rumus: <math>C^n_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}</math> contoh soal # Kamu mempunyai 5 pensil warna dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua pensil warna. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan pensil warna yang ada? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} C^5_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2!3!} = 10 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Di dalam suatu laci terdapat tujuh pasang kaos kaki yang pasangnya berbeda dengan pasangan lainnya. Diambil lima kaos kaki sekaligus secara acak. Berapa banyaknya cara pengambilan di antara yang terambil terdapat tepat sepasang kaos kaki yang berpasangan (cocok)? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{7 pasang kaos kaki berbeda = 14 kaos kaki. } \\ \text{diambil 5 kaos kaki sekaligus. } \\ \text{terdapat tepat 1 pasang } &= C^7_1 = 7 \\ \text{3 kaos kaki diambil dari 6 } &= C^6_3 = 20 \\ \text{jenis kaos kaki kanan/kiri } &= 2^3 = 8 \\ \text{banyaknya cara pengambilan } 7 \times 20 \times 8 = 1.120 \text{ cara } \\ \end{align} </math> </div></div> == Jenis-jenis permutasi == jenis-jenis permutasi yaitu * Permutasi-k dari n benda <math>P^n_k = \frac{n!}{(n-k)!}</math> * permutasi identik <math>P^n_{k1, k2, \dots, kt} = \frac{n!}{k1!k2! \dots kt!}</math> contoh soal # Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata “KAKAO"? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{5!}{2!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!2!} = 30 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada tiga warna bendera yaitu 4 buah merah, 2 putih dan 5 biru. Berapa banyak cara jika: * Bebas * 2 bendera putih harus ditengah <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac {11!}{{4!}{2!}{5!}} &= 6,930 \text{ cara} \\ * \frac {{2!}{9!}} {{4!}{2!}{5!}} &= 126 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * permutasi elemen <math>P^n_n = n!</math> # Ada berapa cara bila 6 orang remaja menempati tempat duduk yang akan disusun dalam suatu susunan yang teratur (sejajar) jika: * Posisi bebas * Dua orang harus berdampingan * Hanya dua orang diundang <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 6! &= 720 \text{ cara} \\ * 2! \cdot ((6-2)+1)! &= 2! \cdot (4+1)! = 2 \cdot 5! = 240 \text{ cara} \\ * P^{6}_{2}= \frac{6!}{(6-2)!} &= \frac{6!}{4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 30 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 4 pria dan 4 wanita sedang berdiri. Ada berapa cara jika: * Bebas * Hanya pria berdampingan * Pria dan wanita harus berdampingan * Pria dan wanita harus selang seling <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 8! &= 40,320 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((8-4)+1)! &= 4! \cdot (4+1)! = 2,880 \text{ cara} \\ * 4! \cdot 4! \cdot (0+2)! &= 1,152 \text{ cara} \\ * 4! \cdot 4! \cdot 2 &= 1,152 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 4 pria dan 3 wanita sedang berdiri. Ada berapa cara jika: * Bebas * Hanya pria berdampingan <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 7! &= 5,040 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((7-4)+1)! &= 4! \cdot (3+1)! = 48 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada berapa cara 100 orang bersalaman sebanyak satu kali? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^{100}_2 = \frac{100!}{2! \times (100-2)!} &= \frac{100!}{2! \times 98!} \\ &= \frac{100 \times 99 \times 98!}{2 \times 1 \times 98!} \\ &= \frac{100 \times 99}{2} \\ &= 50 \times 99 \\ &= 4,950 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> atau * <math>\frac{100 \times (100-1)}{2} = 4,950 \text{ cara}</math> # Berapa banyak diagonal pada dekagon? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^{10}_2 - 10 = \frac{10!}{2! \times (10-2)!} - 10 &= \frac{10!}{2! \times 8!} - 10 \\ &= \frac{10 \times 9 \times 8!}{2 \times 1 \times 8!} - 10 \\ &= \frac{10 \times 9}{2} - 10 \\ &= 5 \times 9 - 10 \\ &= 45 - 10 \\ &= 35 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> atau * <math>\frac{10 \times (10-3)}{2} = 35 \text{ cara}</math> # Saya memiliki 5 buku kimia, 3 buku matematika, dan 2 buku fisika yang masing-masing buku berbeda satu sama lain. Buku-buku tersebut akan saya susun dalam sebuah rak buku. Berapa banyak cara penyusunan yang mungkin saya lakukan jika: * Bebas * Hanya kimia berkelompok * Semua berkelompok masing-masing <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 10! &= 3,628,800 \text{ cara} \\ * 5! \cdot ((3+2)+1)! &= 86,400 \text{ cara} \\ * 5! \cdot 3! \cdot 2! \cdot (0+3)! &= 8,640 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * permutasi siklis <math>P = (n-1)!</math> contoh soal # Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 10 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah sepuluh mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja (melingkar) tersebut jika: * Posisi bebas * Dua orang harus berdampingan * Hanya dua orang diundang <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * (10-1)! &= 362,880 \text{ cara} \\ * 2! \cdot (((10-2)-1)+1)! &= 2! \cdot ((8-1)+1)! = 80,640 \text{ cara} \\ * P^{(10-1)}_2 = P^9_2 &= \frac {9!}{(9-2)!} = \frac {9!}{7!} = \frac {9\cdot 8\cdot 7!}{7!} = 72 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] juuasve6sww0s4nzpu74jrgviczsvt2 0 24036 107340 105203 2025-06-12T11:18:10Z 103.186.91.74 107340 wikitext text/x-wiki Muhammad Lutfi (Sastrawan Indonesia) Muhammad Lutfi, S.S., M.Pd. adalah seorang sastrawan, penyair, penulis dari Indonesia. Lahir di Pati pada tanggal 15 Oktober 1997. Bertempat tinggal di Pati, Jawa Tengah. Merupakan pendiri dari komunitas 'Rumput Sastra'. Serta pendiri dari Gerakan Mahasiswa Demokrasi Indonesia (GMDI).Sekaligus pendiri dari Masyarakat Filolog Indonesia, sebuah persatuan filolog yang menjembatani pelestarian dari inventarisasi naskah kuno. Sebagai jurnalis di Koran Parlemen. Putra dari H. Slamet Suladi dan Hj. Siti Salamah ini menyukai dunia sastra, budaya, dan kepenulisan sejak masih kelas 4 SD. Merupakan kakak kandung dari Yasin Fajar Augusta. Ia memulai pendidikannya di SD N 1 Tanjungsari, SMP N 1 Jakenan, SMA N 2 Pati, dan S1 Sastra Indonesia, FIB, UNS, Surakarta (lulus pada tahun 2020 dan mendapatkan gelar Sarjana Sastra), S2 Pendidikan Bahasa Indonesia diselesaikan di UNNES pada tahun 2023. Bakat menulisnya dimulai sejak kecil karena suka membaca koran dan buku di Pustaka pribadi milik ayahnya. Lalu belajar menulis karangan pendek di buku yang ditulis setiap masa liburan sekolah. Minat pada ilmu bahasa dan sastra ini ditunjukkannya sejak kecil. Menginjak masa SMA dia mulai menulis puisi-puisi dari membaca puisi-puisi karya Gus Mus, Rendra, dan Garcia Lorca. Ditambah pertemuannya dengan guru Bahasa Indonesia bernama Dandang Ahmad Dahlan yang juga penulis. Menambah kecanduan Muhammad Lutfi pada bakat sastra dan bahasa. Dia mulai suka membaca cerpen karya Dandang Ahmad Dahlan berjudul Sabuk Kyai. Dan juga membaca naskah-naskah karya Artur Rimbaud, william Shakespere, Putu Wijaya, Ernest Hemingway, Chairil Anwar. Masuk kuliah dia memilih bidang Sastra Indonesia di UNS dan belajar ilmu sastra sampai lulus dibimbing oleh sastrawan Surakarta bernama Wieranta sebagai dosennya. Muhammad Lutfi tertarik pada kajian prosa dan sastra yang diajarkan oleh dosennya bernama Rianna Wati yang juga penulis dari Surakarta. Mulai menulis buku ilmiah semenjak membaca buku-buku ilmiah sastra berjudul Pengantar Teori Sastra karya dosennya bernama Dr. Dwi Susanto, M.Hum, dosennya di UNS. Filsafat Hegel, Muhammad Iqbal, dan Nietzche adalah filsafat kesukaan Muhammad Lutfi sejak duduk di bangku perkuliahan di Solo. Sejak kuliah di solo selalu mendalami dunia sosial budaya melalui pertunjukan teater dan wayang di TBJT Surakarta. Tokoh dunia teater yang membuat dia kagum adalah Hanindawan yang menjadi dosen Sinematografi saat kuliah di UNS. Dimulailah penerbitan bukunya pertama berjudul Mata Sengsara saat kuliah. Dan dilanjutkan buku-buku lainnya. Kekagumannya pada pemikiran Goenawan Mohammad pada buku Catatan Pinggir membuat Muhammad Lutfi menyukai penulis satu ini. Hubungan pertemanan dengan Rita Jassin, Rois Rinaldi, Sutejo, dan Yuditeha menambah wawasan Muhammad Lutfi tentang kesusastraan Indonesia. Karyanya dimuat di Kompas,Bali POS, Majalah Badan Bahasa, Majalah Sunday, Apajake, Amanah Sastra, Solopos, Koran Suara Sarawak, majalah Elipsis, Tirastimes, Koran Malaysia. Merupakan penyair Asean pada komunitas penyair Gaksa dan Bahana. Pada tahun (2016) penulis mendapat undangan dalam antologi puisi Matahari Cinta Samudra Kata (Taman Ismail Marzuki, DKJ, Jakarta, 2016). Kemudian dokumentasi biografi penyair nasional Indonesia (HPI, DKJ, 2016). Puisinya yang berjudul ‘Siapa Patriot Kini’ dalam antologi puisi HELP (Tsani Media, 2016) diterjemahkan ke dalam 5 bahasa asing. Berikut buku puisi karya penulis yang sudah terbit: Kelir (Kamboja Merah Publishing, 2018), Kumpulan Puisi Kenangan (Ajrie Publisher, 2017), Mata Sengsara (Guepedia, 2019), Bunga Mawar Hitam (Guepedia, 2019), Soleh Spiritual dan Soleh Sosial (Guepedia, 2019), Gugat (Guepedia, 2020), Memo Rakyat (Guepedia, 2020), Taka (Guepedia, 2020), Aku dari East City (Guepedia, 2020). Sehimpun Haiku Malam Kekasih (JM Publisher, 2021), Balada Untung Suropati ( Ebiz Publisher). Selain menulis dan menerbitkan buku puisi, penulis juga menulis buku cerpen yang sudah diterbitkan: Serpihan Prosa dari Seberang (guepedia,2022) Tabula Rasa (Tidar Media, 2020), Pelaut (Innovasi Publishing, 2020), Bunga Dalam Air (CMG, 2021), Lorong (Ebiz Publisher). Selain itu juga, penulis menerbitkan buku filsafat: Serat Tri Aji (Tidar Media, 2020), Kakawin Wiradarma (Guepedia, 2021), WiracaritaTejamantri (2023), Suluk BagongKajoran (Guepedia, 2025). Buku naskah drama: Asuh (Lutfigilang Publishing, 2021), Elegi (Ebiz Publisher), Murtad (Gelaran.id, 2025), Ngek Geng (Gelaran.id, 2025). Buku Novela: Berlayar (Innovasi Publishing, 2021), Senja (Ebiz Publisher), Bisma Pahlawan Hidup Kembali (Ebiz Publisher), Zahra dan Kotak Pandora Ajaib (Ebiz Publisher). Buku Ajar:Sastra Pembebasan(Ebiz,2023), Sastra Mistik(Guepedia, 2023), Pengkajian Puisi (Wawasan Ilmu,2023), Sastra Profetik(Guepedia,2022), Kritik Sastra dan Aplikasinya pada Puisi Chairil Anwar (Guepedia,2023), Semiotika Riffaterre dan Penerapannya (Ebiz,2023), (Filsafat, Bahasa, dan Sastra) (Ebiz,2023), Mengenal Sastra(Pustaka Kita,2023), Resepsi Sastra (Guepedia,2023), Pengantar Linguistik Umum (Guepedia,2022), Kajian Postkolonialisme Sajak-sajak Chairil Anwar (Ebiz, 2024), Telaah Prosa Studi Kasus Cerpen (Guepedia,2024). Buku Kebudayaan atau esai: Sastra dan Relevansinya dalam Agama dan Politik (Guepedia,2022), SAKEBU (Guepedia,2022), GORO-GORO PETRUK BAJINGUK(Guepedia,2022). Penulis selalu menulis karya puisi, cerpen, novel, naskah drama, naskah monolog, esai, buku kajian ilmiah sastra. Berikut beberapa artikel karya penulis: Galeri Seni ISI Surakart (Artspace, 2018), Anoman sang Intelijen dalam Epos Ramayana (Berdikari, 2019), Mahasiswa Sastra, Mahasiswa Intelektual (Indonesiana, 2019). Undangan dan beberapa forum sastra dan festifal sastra yang pernah diikuti: Jambore Sastra Asia Temggara di Banyuwangi (2024), Kongres Bahasa Indonesia XII-2023 (Badan Pengembangan dan Pembinaan Bahasa), LIFT VI-2022 Egypt, Undangan Sayembara Naskah Puisi DKJ 2023, Undangan Sayembara Naskah Teater DKJ 2023, Baca Puisi Internasional Writer Club Lintas Benua 2023, Pengajaran BIPA YALE 2023, Temu penyair Asia Tenggara 2022, Banjarbaru’s Rainy Day Festival (2017), Senyuman Lembah Ijen (Radar Banyuwangi, 2018), JKP (Bali, 2017), Puisi Asian (IAIN Purwokerto, 2017), GMB (2016), Penulisan Puisi Anak (Prasidatama, Balai Bahasa JATENG, 2019), pembacaan puisi penyair Asean komunitas Bahana (2021), pembacaan puisi penyair Asean komunitas Gaksa (2021). Cerpennya terangkum dalam beberapa antologi berepenyair lain: Malam yang terjaga (Cerpenmu, 2017), Foto Album (Anamerya, 2015), Cinta di Kediri (Puan.co, 2017). Karya Syiirnya: Syiir Pangapuran (Duta Islam, 2020), Syiir Ngaku Lepat (Ponpes.net, 2018), Syiir Suluk Terang-Terang (Bengkulutoday, 2019), Syiir Harapan Bangsa (Koran Pati, 2018), Syiir Serat Jayabaya (2025). Buku antologi puisi bersama peyair nasional: Surat untuk Kaki Langit Palestina (Antara Publishing, 2018), Kenangan Semalam di Cianjur (Fam Publishing, 2016), Indonesia 2030 (2018), Dongeng Negri Jauh (Tidar Media, 2018), Majalah Simalaba, Balai Bahasa JATENG, Mengunyah Geram (2017), EMB (2016), Berucaplah Padaku (Mawar Publisher, 2016), Peduli Hutan (Tuas Media, 2016), Requiem Tiada Henti (Competition Asean Poem, 2017), Hidupku (Elmisa Publisher, 2017), Rindu (Rumah Kayu Indonesia, 2017), Cerpen Sabana Pustaka, 2017), sky magazine (2020), Buku antologi cerpen bersama penyair nasional: Kumpulan Cerita Mini (Harasi, 2016), Malam yang Terjaga (Sabana Pustaka), Kumcer (Nahima Press, 2015), Puisi Bersama Bupati Pati (I AM Publishing 2020), Memoar Didi Kempot (DIOMEDIA 2020), MEMOQR Sapardi Djoko Damono (Diomedia 2020), Puisi Untuk Umaiyah (2022). Penulis selalu menulis di media masa lokal maupun nasional, dan juga Malaysia. Berikut yang memuat karya-karya penulis: takanta, potret online, lamuri, radar pagi, estetikapers, koran Pati, koran Blora, marhaenislokajaya, suku sastra, sastranesia, normantis, koran amanah Jakarta, independhent, siswapedia, saluran sebelas UNS, kronfontasi, edusiana, sepenuhnya, asyik-asyik, lahir sajak, riau realita, majalah simalaba, satu bahasa, puisina, koran soearamoeria. Prestasi dan penghargaan yang pernah diraih: juara 3 puisi Asia di Malaysia, juara 1 puisi Sastra media (2020),juara 1 penulisan puisi Sastramedia (2021),juara 3 kaligrafi (2004), juara 3 melukis (2005), juara 1 cerdas cermat pramuka (2011), juara 2 penulisan selektas UNS (2016), juara 4 penulisan puisi PLPI (2020), dan penulis favorit di tidarmedia, juara faforit kedua pantun dari Wikipedia, cerpennya berjudul Bunga Dalam Air masuk nominal penghargaan cerpen pilihan Apajake, juara pertama penulisan opini dengan judul Pertanian Masa Darurat di SMI. Selain menulis, penulis juga terkenal sebagai pelukis. Lukisannya yang berjudul ‘Api Perjuangan’ mendapatkan undangan untuk pameran lukisan bersama Keluarga Seni Rupa Tasik (2020), pameran lukisan abstrak di Artiknesia dengan judul lukisan "Harimau" (2023). Penulis favorit pantun (Langit Biru, 2021). lbamr3vnfjhc9vzbx6ij62na3g1g14v 0 25537 107339 106645 2025-06-12T10:54:46Z 111.94.6.210 107339 wikitext text/x-wiki [[File:Banner pelajaran berwarna oranye.png|center]] {| class="wikitable" style="font-family:'Segoe UI';" |+ ! colspan="2" style="height:1.5em; color:#FDFDF5; background-color:#3C5C99; font-size: 2em" |Rancangan Pembelajaran: Dampak Pemanasan Global dan Upaya Penanganannya |- | colspan="2" |<div style="background-color: #3C5C99;color: white; width: 10%; height:1.5em; padding: 5px;"> '''Deskripsi''' </div> Pembelajaran ini dirancang untuk mengajak peserta didik menganalisis dampak pemanasan global melalui pendekatan Etno-STEM. Peserta didik diajak untuk mengeksplorasi hubungan anatara aktivitas manusia, konsep fisika, dan kearifan lokal dalam upaya penanganan dari dampak pemanasan global. Melalui pembelajaran berbasis proyek, peserta didik juga diharapkan dapat mengembangkan pemahaman ilmiah dan nilai-nilai budaya dalam menjaga lingkungan. |- |style=vertical-align:top| <div style="background-color: #3C5C99;color: white; width: 70%; height:1.5em; padding: 5px;">'''Mata pelajaran/mata kuliah/program studi''' </div> Fisika |<div style="background-color: #3C5C99;color: white; width: 60%; height:1.5em; padding: 5px;">'''Total waktu yang diperlukan'''</div> 4 Pertemuan/360 Menit</br> <div style="background-color: #3C5C99;color: white; width: 30%; height:1.5em; padding: 5px;">'''Mode penyampaian''' </div> ''Luring'' |- |<div style="background-color: #3C5C99;color: white; width: 60%; height:1.5em; padding: 5px;">'''Tujuan/capaian pembelajaran'''</div> Setelah mengikuti pembelajaran, peserta didik diharapkan dapat: # Mengidentifikasi fakta-fakta perubahan lingkungan yang terjadi di sekitar. # Menganalisis dampak perubahan lingkungan dari perspektif fisika. # Menjelaskan hubungan antara aktivitas manusia dan pemanasan global. # Mengaitkan kearifan lokal dengan upaya mitigasi dan adaptasi terhadap pemanasan global. # Merancang dan menyajikan solusi berbasis Etno-STEM untuk mengatasi pemanasan global. |<div style="background-color: #3C5C99;color: white; width: 40%; height:1.5em; padding: 5px;">'''Istilah dan konsep'''</div> Setelah menyelesaikan pelajaran ini, peserta didik akan menguasai istilah berikut ini: # Efek rumah kaca: Proses peningkatan suhu bumi akibat gas-gas seperti CO₂ yang menahan panas di atmosfer. # Sasi, Subak, Baduy: Contoh kearifan lokal dalam menjaga keseimbangan alam. |- |<div style="background-color: #3C5C99;color: white; width: 45%; height:1.5em; padding: 5px;">'''Prasyarat pembelajaran'''</div> Pembelajaran ini berada di Fase E, sehingga peserta didik diharapkan telah menuntaskan Fase D dengan capaian materi berikut: # Memahami konsep suhu, pengukuran suhu, dan dampaknya terhadap lingkungan. # Menjelaskan dampak aktivitas manusia terhadap keseimbangan lingkungan secara umum. |style=vertical-align:top |<div style="background-color: #3C5C99;color: white; width: 60%; height:1.5em; padding: 5px;">'''Media dan Alat Pembelajaran''' </div> Media: # Video pembelajaran (diakses via barcode dari e-module) # LKPD berbasis diskusi dan proyek # Presentasi guru (powerpoint dan papan tulis) Alat dan Bahan: # Bahan bekas: botol plastik, kardus, plastik pembungkus (untuk proyek mini) |- | colspan="2" |<div style="background-color: #3C5C99;color: white; width: 30%; height:1.5em; padding: 5px;">'''Materi pembelajaran/uraian materi'''</div> Materi Pembelajaran: # Efek rumah kaca dan pemanasan global # Aktivitas manusia penyebab perubahan lingkungan # Kearifan lokal (Subak, Sasi, Baduy) # Proyek mini solusi lingkungan (Ecobrick) Dimensi pengetahuan # Science: Konsep proses terjadinya pemanasan global, Faktor penyebab pemanasan global dari kegiatan manusia, Dampak dan penanggulangan pemanasan global, dan Konsep gas efek rumah kaca # Technology: Teknologi penggunaan Smartphone sebagai sumber belajar # Engineering: Teknik pembuatan Ecobrick # Mathematics: Penyerapan energi dari matahari ke bumi, Perhitungan suhu normal bumi, dan Perhitungan massa jenis Ecobrick # Etno: Kearifan lokal (Subak, Sasi, dan Baduy) Aktivitas 1 : Membuat Ecobrick yang bisa diakses [[RPP Dampak Pemanasan Global dan Upaya Penanganannya/Aktivitas 1 : Membuat Ecobrick|di sini]] |- |style=vertical-align:top |<div style="background-color: #3C5C99;color: white; width: 50%; height:1.5em; padding: 5px;">'''Sumber & Bahan belajar'''</div>E-Module Fisika Berbasis Etno-STEM yang bisa klik [[commons:File:E-Module_Fisika_Berbasis_Etno_STEM_-_Dampak_Pemanasan_Global_dan_Upaya_Penanganannya.pdf|di sini]] Lasmi, N. K. (2022). IPA Fisika SMA Kelas X. Jakarta: PT Penerbit Erlangga. Puspaningsih, A. R., Tjahjadarmawan, E., & Krisdianti, N. R. (2021). Ilmu Pengetahuan Alam untuk SMA Kelas X. Jakarta: Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi. |style=vertical-align:top |<div style="background-color: #3C5C99;color: white; width: 45%; height:1.5em; padding: 5px;">'''Sumber/bahan belajar tambahV''' </div>[https://www.youtube.com/watch?v=G5o891ZBdB4 Melebihi Jakarta, Suhu di Kutub Utara Capai 38 Derajat Celsius] oleh medcom id dari YouTube dengan Lisensi CC BY [https://www.youtube.com/watch?v=bK52nOd5dv0 Greenhouse Effect] oleh greenboxhouse dari YouTube dengan Lisensi CC BY [https://www.youtube.com/watch?v=1eAEhiu0mAk Tutorial Membuat Kursi Ecobrick] oleh Nur Azizah dari YouTube dengan Lisesnsi CC BY |- | colspan="2" |<div style="background-color: #3C5C99;color: white; width: 20%; height:1.5em; padding: 5px;">'''Prosedur pembelajaran'''</div>'''Pertemuan Pertama (90 menit)''' Pendahuluan (10 menit): #Guru membuka kegiatan pembelajaran dengan mengucapkan salam dan berdoa # Guru menanyakan kabar peserta didik dan mengecek kehadiran peserta didik # Guru menyampaikan topik dan tujuan pembelajaran # Guru menunjukkan beberapa gambar perubahan lingkungan (es mencair, kebakaran hutan, banjir) Pertanyaan pemantik: Bagaimana jika kondisi ini terus berlangsung selama 10 tahun ke depan? Apa yang akan terjadi pada daerah tempat tinggal kalian? Siapa yang akan merasakan dampaknya? Kegiatan Inti (70 menit): #Guru membagi peserta didik ke dalam beberapa kelompok untuk mengerjakan Tugas 1.1 dengan menganalisis gambar dan memberikan hipotesis. (S) # Guru meminta setiap kelompok untuk mempresentasikan hasil analisis sementara yang telah dikerjakannya. (S dan T) # Guru membimbing peserta didik untuk mengaitkan fenomena lingkungan yang diamati dengan prinsip fisika secara umum seperti energi, suhu, dan perubahannya. (S dan M) # Guru menjelaskan mekanisme efek rumah kaca dengan menanyangkan video pada e-module. (S, M, dan T) Penutup (10 menit): # Guru dan peserta didik menyimpulkan pembelajaran yang telah dilakukan # Guru mengakhiri pembelajaran dengan berdoa dan salam. '''Pertemuan Kedua (90 menit)''' Pendahuluan (10 menit) # Guru membuka kegiatan pembelajaran dengan mengucapkan salam dan berdoa # Guru menanyakan kabar peserta didik dan mengecek kehadiran peserta didik # Guru dan peserta didik melakukan tanya jawab terkait materi pembelajaran sebelumnya # Guru menyampaikan topik dan tujuan pembelajaran hari ini # Guru menyebutkan beberapa fenomena cuaca ekstrem (banjir, kekeringan, badai). Pertanyaan pemantik: Bayangkan kalian adalah ilmuan yang harus menjelaskan fenomena cuaca ekstrem ini kepada masyarakat awam. Apa bukti yang kalian perlukan? Kegiatan Inti (70 menit) # Guru membagi peserta didik ke dalam beberapa kelompok untuk menganalisis penyebab pemanasan global dengan mengaitkan aktivitas manusia yang ada pada e-module. (S) # Guru menugaskan peserta didik untuk membuat peta konsep yang menjelaskan hubungan antara berbagai aktivitas manusia dengan peningkatan emisi gas rumah kaca serta akibatnya terhadap pemanasan global. (S dan M) # Guru meminta perwakilan kelompok untuk mempresentasikan hasil yang telah dikerjakannya (T) Penutup # Guru dan peserta didik menyimpulkan pembelajaran yang telah dilakukan dan menugaskan peserta didik untuk membaca studi kasus kearifan lokal. # Guru mengakhiri pembelajaran dengan berdoa dan salam. '''Pertemuan Ketiga (90 menit)''' Pendahuluan (10 menit) # Guru membuka kegiatan pembelajaran dengan mengucapkan salam dan berdoa. # Guru menanyakan kabar peserta didik dan mengecek kehadiran peserta didik. # Guru dan peserta didik melakukan tanya jawab terkait materi pembelajaran sebelumnya. # Guru menyampaikan topik dan tujuan pembelajaran hari ini # Pertanyaan pemantik: Bagaimana masyarakat tradisional mampu menjaga kelestarian lingkungan tanpa teknologi modern? Apa nilai atau prinsip yang mereka pegang dan apakah masih relevan sampai sekarang? Kegiatan Inti (65 menit) # Guru membagi peserta didik ke dalam beberapa kelompok untuk menganalisis studi kasus Sasi Tugas Kelompok 1.2 yang ada pada e-module. (S dan Etno) # Guru meminta setiap kelompok untuk mempresentasikan hasil analisis yang telah dikerjakannya. (T) # Guru menjelaskan sistem Subak dan kehidupan masyarakat Baduy sebagai praktik konservasi lingkungan. (S dan Etno) # Guru mengajak peserta didik untuk berdiskusi bagaimana teknologi dan rekayasa dapat mendukungg kearifan lokal dan konservasi. (S dan T) Penutup (15 menit) # Guru dan peserta didik menyimpulkan pembelajaran yang telah dilakukan dan memberikan arahan untuk proyek mini pada pertemuan selanjutnya. # Guru mengakhiri pembelajaran dengan berdoa dan salam. '''Pertemuan Keempat (90 menit)''' Pendahuluan (10 menit) # Guru membuka kegiatan pembelajaran dengan mengucapkan salam dan berdoa # Guru menanyakan kabar peserta didik dan mengecek kehadiran peserta didik # Guru dan peserta didik melakukan tanya jawab terkait materi pembelajaran sebelumnya # Guru menyampaikan topik dan tujuan pembelajaran hari ini # Pertanyaan pemantik: Jika kalian diminta membuat solusi lingkungan dengan bahan bekas dan mempertimbangkan budaya lokal, apa yang akan kalian buat? (S) Kegiatan Inti (70 menit) # Guru membagi peserta didik ke dalam beberapa kelompok untuk merancang dan membuat proyek mini sesuai Tugas Kelompok 1.3 pada e-module. (T dan E) # Guru membimbing peserta didik dalam merancang dan membuat proyek mini (T dan E) # Guru menugaskan peserta didik untuk mendokumentasikan proses pembuatan proyek mini serta menyusun laporan singkat. (S, M, dan T) # Guru meminta perwakilan kelompok untuk mempresentasikan hasil yang telah dikerjakannya (T) Penutup (10 menit) # Guru dan peserta didik menyimpulkan pembelajaran yang telah dilakukan. # Guru mengakhiri pembelajaran dengan berdoa dan salam. |- | colspan="2" |<div style="background-color: #3C5C99;color: white; width: 10%; height:1.5em; padding: 5px;">'''Penilaian'''</div>'''Jenis Penilaian:''' # Formatif: Dilakukan selama proses pembelajaran untuk memberikan umpan balik dan proses pembelajaran # Sumatif: Dilakukan setelah proses pembelajaran untuk menilai ketercapaian proses pembelajaran '''Bentuk Penilaian:''' # Tes tertulis: Soal uraian untuk mengukur penguasaan konsep. # Proyek: Pembuatan Ecobrick sebagai solusi lingkungan. # Demonstrasi: Praktik eksperimen efek rumah kaca. # Observasi: Penilaian sikap dan kerja kelompok. # Refleksi diri: Evaluasi pemahaman dan sikap pribadi terhadap isu lingkungan. # Portofolio: Kumpulan hasil kerja siswa (lembar kerja, laporan, dokumentasi proyek) '''Rubrik Penilaian:''' * Rubrik Penilaian Aktivitas 1 : Membuat Ecobrick {| class="wikitable" | valign="top" |'''Aspek''' | valign="top" |'''Kriteria''' | valign="top" |'''Skor Maksimum''' |- | valign="top" |Proses | valign="top" |Mengikuti langkah kerja sesuai dengan prosedur | valign="top" |20 |- | valign="top" |Produk | valign="top" |Kepadatan, kerapian, dan kebersihan | valign="top" |30 |- | valign="top" |Kolaborasi | valign="top" |Kerja sama dan komunikasi antar anggota kelompok | valign="top" |20 |- | valign="top" |Refleksi | valign="top" |Menyampaikan keterkaitan lingkungan dengan nilai budaya | valign="top" |20 |- | valign="top" |Perhitungan | valign="top" |Ketepatan menghitung massa jenis dan pengolahan data | valign="top" |10 |- | colspan="2" valign="top" |Total | valign="top" | |} * Rubrik Penilaian Tes Tertulis {| class="wikitable" | valign="top" |'''Kriteria''' | valign="top" |'''Skor 4 (Sangat Baik)''' | valign="top" |'''Skor 3 (Baik''' | valign="top" |'''Skor 2 (Cukup)''' | valign="top" |'''Skor 1 (Kurang)''' |- | valign="top" |Pemahaman konsep | valign="top" |Menjawab dengan benar, lengkap, dan mendalam | valign="top" |Benar dan cukup lengkap | valign="top" |Sebagian benar, kurang lengkap | valign="top" |Jawaban kurang tepat atau tidak menjawab |- | valign="top" |Penalaran logis | valign="top" |Mengaitkan konsep dengan fenomena dan contoh aplikatif | valign="top" |Ada hubungan logis | valign="top" |Kurang logis | valign="top" |Tidak logis |} * Penilaian Sikap dan Kerja Kelompok {| class="wikitable" | valign="top" |'''Nama Siswa''' | valign="top" |'''Tanggung Jawab''' | valign="top" |'''Kolaboratif''' | valign="top" |'''Kepedulian pada Lingkungan''' | valign="top" |Catatan Khusus |- | valign="top" | | valign="top" | * Baik * Cukup * Kurang | valign="top" | * Baik * Cukup * Kurang | valign="top" | * Baik * Cukup * Kurang | valign="top" | |} |- | colspan="2" | |} [[Kategori:Kembali Bersinergi:Tantangan Membuat RPP]] 8pmzjiq4h5b151142d1nunqev8jsh8w 100 25764 107338 2025-06-12T08:14:43Z Ocahee 41476 membuat resep baru 107338 wikitext text/x-wiki Bolu ketan hitam keju lumer merupakan varian kue bolu yang menggunakan tepung ketan hitam sebagai bahan dasar utamanya. Ciri khas kue ini terletak pada isian kejunya yang lumer, terdiri dari campuran keju oles, susu kental manis, dan susu cair. Dibandingkan dengan bolu berbahan tepung terigu, tekstur bolu ketan hitam terasa lebih legit dan memiliki aroma manis yang khas. Sensasi lumer dan creamy dari isian keju saat disantap menjadi daya tarik utama, menjadikannya favorit banyak orang. == '''Bahan-bahan''' == * 4 butir telur * 100 gram gula pasir * 1 sdt SP * 175 gram tepung ketan hitam (diayak) * 1/4 sdt baking powder * 100 ml santan instan * 80 ml minyak sayur * 100 gram keju oles * 2 sdm susu kental manis * 2 sdm susu cair == '''Cara Membuatnya''' == # Kocok telur, gula, dan SP menggunakan mixer berkecepatan tinggi selama 10 menit hingga adonan mengental dan berjejak. # Ayak tepung ketan hitam dan baking powder, lalu masukkan ke dalam adonan sambil aduk rata dengan spatula. # Tambahkan santan dan minyak, kemudian aduk perlahan hingga semua bahan tercampur sempurna. # Campurkan keju oles, susu kental manis, dan susu cair untuk membuat isian, lalu masukkan ke dalam piping bag. # Tuang setengah bagian adonan ke dalam loyang yang telah diolesi minyak. # Kukus adonan pertama selama 15 menit. # Semprotkan isian keju di atas lapisan adonan yang sudah dikukus. # Tutup dengan sisa adonan, lalu kukus kembali selama 15–20 menit hingga matang. # Dinginkan kue, potong-potong sesuai selera, dan sajikan. == '''Tips Membuat Bolu Ketan Hitam Keju Lumer Agar Tidak Gagal''' == # Kocok adonan hingga benar-benar kental dan berjejak untuk memastikan bolu bisa mengembang sempurna dan bertekstur lembut. # Hindari membuka tutup kukusan selama proses memasak agar uap panas tidak keluar dan bolu tidak menjadi bantat. # Gunakan telur dan santan yang sudah bersuhu ruang agar adonan dapat menyatu dengan baik tanpa terpisah. # Campur bahan isian keju hingga benar-benar halus dan tidak menggumpal untuk mendapatkan sensasi lumer yang maksimal saat dimakan. # Ayak tepung sebelum dicampurkan agar adonan tidak menggumpal dan tekstur bolu menjadi lebih halus. 6xrx9jviqcmow17o4ec4zcwm8a0ms8n