Wikibuku idwikibooks https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama MediaWiki 1.45.0-wmf.5 first-letter Media Istimewa Pembicaraan Pengguna Pembicaraan Pengguna Wikibuku Pembicaraan Wikibuku Berkas Pembicaraan Berkas MediaWiki Pembicaraan MediaWiki Templat Pembicaraan Templat Bantuan Pembicaraan Bantuan Kategori Pembicaraan Kategori Resep Pembicaraan Resep Wisata Pembicaraan Wisata TimedText TimedText talk Modul Pembicaraan Modul 0 3640 107402 76177 2025-06-16T14:27:33Z 180.244.163.149 /* Dasar */ 107402 wikitext text/x-wiki <div style="border:0; -moz-box-shadow: 0 1px 3px rgba(0, 0, 0, 0.35); -webkit-box-shadow: 0 1px 3px rgba(0, 0, 0, 0.35); box-shadow: 0 1px 3px rgba(0, 0, 0, 0.35); -moz-border-radius: 7px; -webkit-border-radius: 7px; border-radius: 7px; background: #fff; background: -moz-linear-gradient(top, #fff 75%, #F5F5F5 100%); background: -webkit-gradient(linear, left top, left bottom, color-stop(75%,#fff), color-stop(100%,#F5F5F5)); background: -webkit-linear-gradient(top, #fff 75%,#F5F5F5 100%); background: -o-linear-gradient(top, #fff 75%,#F5F5F5 100%); background: -ms-linear-gradient(top, #fff 75%,#F5F5F5 100%); background: linear-gradient(top, #fff 75%,#fff 100%); height:auto; padding-left:10px; padding-right:10px; padding-bottom:5px; padding-top:5px; margin:5px 5px 5px 5px; {{{style|}}}"> ==Tingkat kesulitan== ===Perawalan=== *[[/Materi:Bilangan sampai 10/|Bilangan sampai 10]] *[[/Materi:Bilangan sampai 30/|Bilangan sampai 30]] *[[/Materi:Bilangan sampai 100/|Bilangan sampai 100]] *[[/Materi:Menulis nama bilangan/|Menulis nama bilangan]] *[[/Materi:Menulis lambang bilangan/|Menulis lambang bilangan]] *[[/Materi:Penjumlahan dan Pengurangan Dasar/|Penjumlahan dan Pengurangan Dasar]] *[[/Materi:Perkalian dan Pembagian Dasar/|Perkalian dan Pembagian Dasar]] *[[/Materi:Soal Cerita dengan 4 Operasi Aritmatika Dasar/|Soal Cerita dengan 4 Operasi Aritmatika Dasar]] <ref></ref>===Dasar=== *[[/Materi:Penjumlahan dan Pengurangan/|Penjumlahan dan Pengurangan]] *[[/Materi:Perkalian dan Pembagian/|Perkalian dan Pembagian]] *[[/Materi:Pengukuran Satuan/|Pengukuran Satuan]] *[[/Materi:Geometri/|Geometri]] **[[/Materi:Sifat-Sifat Bangun Datar/|Sifat-Sifat Bangun Datar]] **[[/Materi:Simetri lipat/|Simetri lipat]] **[[/Materi:Simetri putar/|Simetri putar]] *[[/Materi:Uang/|Uang]] *[[/Materi:FPB dan KPK/|FPB dan KPK]] *[[/Materi:Penjumlahan dan Pengurangan satuan pengukuran/|Penjumlahan dan Pengurangan satuan pengukuran]] *[[/Materi:Operasi Hitung Campuran/|Operasi Hitung Campuran]] **[[/Materi:Operasi Hitung Campuran Bilangan Cacah/|Bilangan cacah]] **[[/Materi:Operasi Hitung Campuran Pecahan/|Pecahan]] *[[/Materi:Pecahan/|Pecahan]] **[[/Materi:Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan/|Penjumlahan dan Pengurangan]] **[[/Materi:Perkalian dan Pembagian Pecahan/|Perkalian dan Pembagian]] *[[/Materi:Pengubahan pecahan/|Pengubahan pecahan]] **[[/Materi:Mengubah Pecahan Biasa menjadi Desimal/|Pecahan Biasa & Desimal]] **[[/Materi:Mengubah Pecahan Biasa menjadi Pecahan Campuran/|Pecahan Biasa & Pecahan Campuran]] **[[/Materi:Mengubah Pecahan Campuran menjadi Pecahan Biasa/|Pecahan Campuran & Pecahan Biasa]] **[[/Materi:Mengubah Pecahan Biasa/Campuran menjadi Persen/|Pecahan Biasa/Campuran & Persen]] **[[/Materi:Mengubah Persen menjadi Pecahan Biasa/Campuran/|Persen & Pecahan Biasa/Campuran]] *[[/Materi:Bangun Ruang/|Bangun Ruang]] *[[/Materi:Sudut/|Sudut]] *[[/Materi:Pecahan Senilai/|Pecahan Senilai]] *[[/Materi:Menyederhanakan Pecahan/|Menyederhanakan Pecahan]] *[[/Materi:Keliling bangun datar/|Keliling bangun datar]] *[[/Materi:Volume bangun ruang/|Volume bangun ruang]] *[[/Materi:Luas bangun datar/|Luas bangun datar]] *[[/Materi:Luas permukaan bangun ruang/|Luas permukaan bangun ruang]] Desa dengan baik sehingga tidak perlu menunggu dengan baik oleh masyarakat ===Menengah=== *[[/Materi:Aljabar/|Aljabar]] *[[/Materi:Perbandingan/|Perbandingan]] *[[/Materi:Persamaan garis/|Persamaan garis]] *[[/Materi:Skala/|Skala]] * [[/Materi:Fungsi/|Fungsi]] *[[/Materi:Persamaan dan pertidaksamaan linear 1 variabel/|Persamaan dan Pertidaksamaan Linear 1 Variabel (PSLV)]] *[[/Materi:Aritmatika sosial/|Aritmatika Sosial]] *[[/Materi:Sistem persamaan linear dua variabel/|Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)]] *[[/Materi:Himpunan/|Himpunan]] *[[Materi:Teorema phytagoras|Teorema Phytagoras]] *[[/Materi:Barisan dan deret|Barisan dan deret]] *[[/Materi:Pangkat dan akar/|Pangkat dan akar]] *[[/Materi:Statistika dan peluang/|Statistika & Peluang]] *[[/Materi:Matriks/|Matriks]] * [[/Materi:Eksponen dan logaritma/|Eksponen dan logaritma]] ===Mendalam=== *[[Aljabar_abstrak|Aljabar abstrak]] *[[/Materi:Transformasi geometri/|Transformasi Geometri]] *[[/Materi:Permutasi dan kombinasi/|Permutasi dan kombinasi]] *[[/Materi:Trigonometri/|Trigonometri]] {{pct25}} *[[/Materi:Diferensial/|Diferensial]] * [[/Materi:Integral/|Integral]] {{pct25}} * [[/Materi:Logika/|Logika]] * [[/Materi:Limit/|Limit]] * [[/Materi:Komposisi fungsi/|Komposisi fungsi]] * [[/Materi:Lingkaran/|Lingkaran]] * [[/Materi:Polinomial/|Polinomial]] * [[/Materi:Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak/|Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak]] * [[/Materi:Program Linear/|Program Linear]] * [[/Materi:Vektor/|Vektor]] * [[/Materi:Notasi sigma dan induksi matematika/|Notasi sigma dan induksi matematika]] ==Lihat juga== * [[Soal-Soal Matematika]] [[Kategori:Matematika]] k2bbspwljhlc0a5dm8fzc9p09urcdvh 0 23139 107392 106220 2025-06-16T12:42:00Z Akuindo 8654 /* Rumus sederhana */ 107392 wikitext text/x-wiki == Kaidah umum == :<math>\left({cf}\right)' = cf'</math> :<math>\left({f + g}\right)' = f' + g'</math> :<math>\left({f - g}\right)' = f' - g'</math> ;[[Kaidah darab]] :<math>\left({fg}\right)' = f'g + fg'</math> ;[[Kaidah timbalbalik]] :<math>\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0</math> ;[[Kaidah hasil-bagi]] :<math>\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0</math> ;[[Kaidah rantai]] :<math>(f \circ g)' = (f' \circ g)g'</math> ;Turunan [[fungsi invers]] :<math>(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}</math> untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada ;Kaidah pangkat umum :<math>(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)</math> == Rumus sederhana == : <math>c' = 0 \, </math> : <math>x' = 1 \, </math> : <math>(cx)' = c \, </math> : <math>|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= x^2-4x+3 \\ f'(x) &= 2x-4 \\ v &= \frac{f'(x)}{x} \\ &= \frac{f'(5)}{5} \\ &= \frac{2(5)-4}{5} \\ &= \frac{6}{5} \\ &= 1.2 \\ v &= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\ &= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\ &= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\ &= \frac{3}{1} \\ &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada: ## x=<math>\frac{\pi}{6}</math>! ## interval <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} y &= |x| \\ y^2 &= x^2 \\ 2y y' &= 2x \\ y' &= \frac{x}{y} \\ &= \frac{x}{|x|} \\ \end{align} </math> </div></div> : <math>(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}</math> : <math>\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}</math> : <math>\left({1 \over x^c}\right)' = \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}</math> : <math>\left(\sqrt{x}\right)' = \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}} = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0</math> : <math>\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}</math> : <math>\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}</math> ; Eksponen dan logaritma :<math> \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c > 0</math> :<math> \left(e^x\right)' = e^x</math> :<math> \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c > 0</math> :<math> \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}</math> ; Trigonometri {| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;" |width=50%|<math> (\sin x)' = \cos x \,</math> |width=50%|<math> (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,</math> |- |<math> (\cos x)' = -\sin x \,</math> |<math> (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,</math> |- |<math> (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,</math> |<math> (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,</math> |- |<math> (\sec x)' = \sec x \tan x \,</math> |<math> (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,</math> |- |<math> (\csc x)' = -\csc x \cot x \,</math> |<math> (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,</math> |- |<math> (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,</math> |<math> (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,</math> |} * Tambahkan: ** <math> (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,</math> ** <math> (\sin u)' = u' \cos u \,</math> ** <math> (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,</math> ; Hiperbolik Perhatikan sebagai berikut : <math>sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math> : <math>cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}</math> {| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;" |width=50%|<math>(\sinh x )'= \cosh x</math> |width=50%|<math>(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}</math> |- |<math>(\cosh x )'= \sinh x</math> |<math>(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}</math> |- |<math>(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x</math> |<math>(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}</math> |- |<math>(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x</math> |<math>(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}</math> |- |<math>(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x</math> |<math>(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}</math> |- |<math>(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x</math> |<math>(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}</math> |} :: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri. ; implisit *cara 1 : <math>ax + by = 1</math> : <math>a + b y' = 0</math> : <math>y' = -\frac{a}{b}</math> *cara 2 persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi <math>\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}</math> == Laju perubahan (rata-rata) == Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah V(rata-rata) = <math>\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}</math> == Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam == : Persamaan kuadrat :: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik. :: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun. : Persamaan kubik Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut: :: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik. :: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton. :: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun. :: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton. Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta > 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta < 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok. Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut. Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol. == Persamaan garis singgung kurva == Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah m = f’(a) = <math>\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}</math> contoh: # Berapa laju perubahaan f(x)=x²-4x+3 pada: ## x=5! ## interval 2<x<3! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= x^2-4x+3 \\ f'(x) &= 2x-4 \\ v &= \frac{f'(x)}{x} \\ &= \frac{f'(5)}{5} \\ &= \frac{2(5)-4}{5} \\ &= \frac{6}{5} \\ &= 1.2 \\ v &= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\ &= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\ &= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\ &= \frac{3}{1} \\ &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada: ## x=<math>\frac{\pi}{6}</math>! ## interval <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= sin x-cos x \\ f'(x) &= cos x+sin x \\ v &= \frac{f'(x)}{x} \\ &= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\ &= 3 (\sqrt{3}+1) \\ v &= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\ &= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\ &= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\ &= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\ &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari <math>f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36</math>! : jawaban <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\ f'(x) &= x^2-6x-16 \\ \text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\ x^2-6x-16 &= 0 \\ (x+2)(x-8) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=8 \\ \text{ menentukan nilai ekstrem } \\ f''(x) &= 2x-6 \\ f''(-2) &= 2(2)-6 = -2 < 0 \\ f''(8) &= 2(8)-6 = 10 > 0 \\ \text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\ \text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\ f(-2) &= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\ &= \frac{160}{3} \\ f(8) &= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\ &= -\frac{1.386}{3} \\ \text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\ \text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\ f''(x) &= 2x-6 \\ 2x-6 &= 0 \\ x &= 3 \\ \text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\ f(3) &= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\ f(3) &= -30 \\ \text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\ \text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x<-2 \text{ atau } x>8 \text{ dan turun jika } -2<x<8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari <math>f(x)=1-2cos 2x</math> pada batas-batas interval <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math>! : jawaban <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= 1-2cos 2x \\ f'(x) &= 4sin 2x \\ \text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\ 4sin 2x &= 0 \\ 8sin x \cdot cos x &= 0 \\ (sin x)(cos x) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\ \text{ menentukan nilai ekstrem } \\ f''(x) &= 8cos 2x \\ f''(0) &= 8cos 2(0) = 8 > 0 \\ f''(\frac{\pi}{2}) &= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 < 0 \\ \text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\ \text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\ f(0) &= 1-2cos 2(0) \\ &= -1 \\ f(\frac{\pi}{2}) &= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\ &= 3 \\ \text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\ \text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\ f''(x) &= 8cos 2x \\ 8cos 2x &= 0 \\ cos 2x &= 0 \\ cos 2x &= cos \frac{\pi}{2} \\ 2x &= \frac{\pi}{2} \\ x &= \frac{\pi}{4} \\ \text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\ f(\frac{\pi}{4}) &= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\ f(\frac{\pi}{4}) &= 1 \\ \text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\ \text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan persamaan garis singgung kurva <math>f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x</math> pada: ## di titik (-3,-3)! ## berabsis 2! :jawaban ## <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\ f'(x) &= x^2-2x-8 \\ f'(x) &= (-3)^2-2(3)-8 \\ f'(x) &= -5 \\ (y-y_1) &= m (x-x_1) \\ y-(-3) &= -5 (x-(-3)) \\ y+3 &= -5x-15 \\ y &= -5x-18 \\ \end{align} </math> </div></div> ## <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\ f(x) &= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\ f'(x) &= x^2-2x-8 \\ f'(x) &= 2^2-2(2)-8 \\ f'(x) &= -8 \\ (y-y_1) &= m (x-x_1) \\ y-(-\frac{52}{3}) &= -8 (x-2) \\ y+\frac{52}{3} &= -8x+16 \\ y &= -8x-\frac{4}{3} \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan persamaan garis singgung kurva <math>f(x)=3x^2-11x+10</math> dan: ## sejajar dengan 7x-y=21! ## tegak lurus dengan 5y-x=10! :jawaban ## <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7x-y &= 21 \\ y &= 7x-21 \\ m_1 &= 7 \\ \text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\ m_2 &= m_1 \\ m_2 &= 7 \\ f(x) &= 3x^2-11x+10 \\ f'(x) &= 6x-11 \\ 7 &= 6x-11 \\ 6x &= 18 \\ x &= 3 \\ \text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\ f(x) &= 3x^2-11x+10 \\ &= 3(3)^2-11(3)+10 \\ &= 4 \\ (y-y_1) &= m (x-x_1) \\ y-4 &= 7 (x-3) \\ y-4 &= 7x-21 \\ y &= 7x-17 \\ \end{align} </math> </div></div> ## <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 5y-x &= 10 \\ 5y &= x+10 \\ y &= \frac{x}{5}+2 \\ m_1 &= \frac{1}{5} \\ \text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\ m_2 &= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\ m_2 &= -5 \\ f(x) &= 3x^2-11x+10 \\ f'(x) &= 6x-11 \\ -5 &= 6x-11 \\ 6x &= 6 \\ x &= 1 \\ \text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\ f(x) &= 3x^2-11x+10 \\ &= 3(1)^2-11(1)+10 \\ &= 2 \\ (y-y_1) &= m (x-x_1) \\ y-2 &= -5 (x-1) \\ y-2 &= -5x+5 \\ y &= -5x+7 \\ \end{align} </math> </div></div> # Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misal tinggi adalah x } \\ t = x, p &= 45-2x, l = 24-2x \\ v &= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\ &= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\ \text{agar volume maksimum adalah v'(x) = 0} \\ v(x) &= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\ v'(x) &= 12x^2 - 376x - 1080 \\ v'(x) &= 0 \\ 12x^2 - 376x - 1080 &= 0 \\ 12(x^2 - 23x - 90) &= 0 \\ x^2 - 23x - 90 &= 0 \\ (x - 18)(x - 5) &= 0 \\ x &= 18 \text{ atau } x = 5 \\ \end{align} </math> jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm </div></div> # Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\ x + y &= 40 \\ y &= 40 - x \\ \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah h'(x) = 0 } \\ h(x) &= x \cdot y \\ h(x) &= x \cdot (40 - x) \\ h(x) &= 40x - x^2 \\ h'(x) &= 40 - 2x \\ h'(x) &= 0 \\ 40 - 2x &= 0 \\ 2x &= 40 \\ x &= 20 \\ h(x) = 20 \cdot (40 - 20) \\ h(x) = 20 \cdot 20 \\ h(x) = 400 \\ \end{align} </math> jadi hasil kalinya adalah 400 </div></div> * Tentukan hasil turunan pertama dari x³-y²=15! ;cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^3-y^2 &= 15 \\ y^2 &= x^3-15 \\ y &= \sqrt{x^3-15} \\ y' &= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\ y' &= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\ \end{align} </math> </div></div> ;cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^3-y^2 &= 15 \\ 3x^2-2y y' &= 0 \\ 2y y' &= 3x^2 \\ y' &= \frac{3x^2}{2y} \\ \text{untuk mencari nilai y maka } \\ x^3-y^2 &= 15 \\ y^2 &= x^3-15 \\ y &= \sqrt{x^3-15} \\ y' &= \frac{3x^2}{2y} \\ y' &= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\ y' &= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\ \end{align} </math> </div></div> ;cara 3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^3-y^2 &= 15 \\ x^3-y^2-15 &= 0 \\ y'(x) &= 3x^2 \\ y'(y) &= -2y \\ y' = \frac{dy}{dx} &= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\ &= -\frac{3x^2}{-2y} \\ &= \frac{3x^2}{2y} \\ \text{untuk mencari nilai y maka } \\ x^3-y^2 &= 15 \\ y^2 &= x^3-15 \\ y &= \sqrt{x^3-15} \\ y' &= \frac{3x^2}{2y} \\ y' &= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\ y' &= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 0iebe66d0jagere439z85orqhtzglj2 107393 107392 2025-06-16T12:42:40Z Akuindo 8654 /* Rumus sederhana */ 107393 wikitext text/x-wiki == Kaidah umum == :<math>\left({cf}\right)' = cf'</math> :<math>\left({f + g}\right)' = f' + g'</math> :<math>\left({f - g}\right)' = f' - g'</math> ;[[Kaidah darab]] :<math>\left({fg}\right)' = f'g + fg'</math> ;[[Kaidah timbalbalik]] :<math>\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0</math> ;[[Kaidah hasil-bagi]] :<math>\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0</math> ;[[Kaidah rantai]] :<math>(f \circ g)' = (f' \circ g)g'</math> ;Turunan [[fungsi invers]] :<math>(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}</math> untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada ;Kaidah pangkat umum :<math>(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)</math> == Rumus sederhana == : <math>c' = 0 \, </math> : <math>x' = 1 \, </math> : <math>(cx)' = c \, </math> : <math>|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= x^2-4x+3 \\ f'(x) &= 2x-4 \\ v &= \frac{f'(x)}{x} \\ &= \frac{f'(5)}{5} \\ &= \frac{2(5)-4}{5} \\ &= \frac{6}{5} \\ &= 1.2 \\ v &= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\ &= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\ &= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\ &= \frac{3}{1} \\ &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada: ## x=<math>\frac{\pi}{6}</math>! ## interval <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} y &= |x| \\ y^2 &= x^2 \\ 2y y' &= 2x \\ y' &= \frac{x}{y} \\ &= \frac{x}{|x|} \\ \end{align} </math> </div></div> : <math>(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}</math> : <math>\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}</math> : <math>\left({1 \over x^c}\right)' = \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}</math> : <math>\left(\sqrt{x}\right)' = \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}} = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0</math> : <math>\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}</math> : <math>\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}</math> ; Eksponen dan logaritma :<math> \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c > 0</math> :<math> \left(e^x\right)' = e^x</math> :<math> \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c > 0</math> :<math> \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}</math> ; Trigonometri {| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;" |width=50%|<math> (\sin x)' = \cos x \,</math> |width=50%|<math> (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,</math> |- |<math> (\cos x)' = -\sin x \,</math> |<math> (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,</math> |- |<math> (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,</math> |<math> (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,</math> |- |<math> (\sec x)' = \sec x \tan x \,</math> |<math> (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,</math> |- |<math> (\csc x)' = -\csc x \cot x \,</math> |<math> (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,</math> |- |<math> (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,</math> |<math> (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,</math> |} * Tambahkan: ** <math> (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,</math> ** <math> (\sin u)' = u' \cos u \,</math> ** <math> (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,</math> ; Hiperbolik Perhatikan sebagai berikut : <math>sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math> : <math>cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}</math> {| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;" |width=50%|<math>(\sinh x )'= \cosh x</math> |width=50%|<math>(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}</math> |- |<math>(\cosh x )'= \sinh x</math> |<math>(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}</math> |- |<math>(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x</math> |<math>(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}</math> |- |<math>(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x</math> |<math>(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}</math> |- |<math>(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x</math> |<math>(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}</math> |- |<math>(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x</math> |<math>(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}</math> |} :: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri. ; implisit *cara 1 : <math>ax + by = 1</math> : <math>a + b y' = 0</math> : <math>y' = -\frac{a}{b}</math> *cara 2 persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi <math>\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}</math> == Laju perubahan (rata-rata) == Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah V(rata-rata) = <math>\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}</math> == Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam == : Persamaan kuadrat :: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik. :: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun. : Persamaan kubik Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut: :: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik. :: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton. :: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun. :: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton. Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta > 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta < 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok. Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut. Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol. == Persamaan garis singgung kurva == Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah m = f’(a) = <math>\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}</math> contoh: # Berapa laju perubahaan f(x)=x²-4x+3 pada: ## x=5! ## interval 2<x<3! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= x^2-4x+3 \\ f'(x) &= 2x-4 \\ v &= \frac{f'(x)}{x} \\ &= \frac{f'(5)}{5} \\ &= \frac{2(5)-4}{5} \\ &= \frac{6}{5} \\ &= 1.2 \\ v &= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\ &= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\ &= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\ &= \frac{3}{1} \\ &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada: ## x=<math>\frac{\pi}{6}</math>! ## interval <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= sin x-cos x \\ f'(x) &= cos x+sin x \\ v &= \frac{f'(x)}{x} \\ &= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\ &= 3 (\sqrt{3}+1) \\ v &= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\ &= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\ &= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\ &= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\ &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari <math>f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36</math>! : jawaban <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\ f'(x) &= x^2-6x-16 \\ \text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\ x^2-6x-16 &= 0 \\ (x+2)(x-8) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=8 \\ \text{ menentukan nilai ekstrem } \\ f''(x) &= 2x-6 \\ f''(-2) &= 2(2)-6 = -2 < 0 \\ f''(8) &= 2(8)-6 = 10 > 0 \\ \text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\ \text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\ f(-2) &= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\ &= \frac{160}{3} \\ f(8) &= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\ &= -\frac{1.386}{3} \\ \text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\ \text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\ f''(x) &= 2x-6 \\ 2x-6 &= 0 \\ x &= 3 \\ \text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\ f(3) &= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\ f(3) &= -30 \\ \text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\ \text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x<-2 \text{ atau } x>8 \text{ dan turun jika } -2<x<8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari <math>f(x)=1-2cos 2x</math> pada batas-batas interval <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math>! : jawaban <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= 1-2cos 2x \\ f'(x) &= 4sin 2x \\ \text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\ 4sin 2x &= 0 \\ 8sin x \cdot cos x &= 0 \\ (sin x)(cos x) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\ \text{ menentukan nilai ekstrem } \\ f''(x) &= 8cos 2x \\ f''(0) &= 8cos 2(0) = 8 > 0 \\ f''(\frac{\pi}{2}) &= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 < 0 \\ \text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\ \text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\ f(0) &= 1-2cos 2(0) \\ &= -1 \\ f(\frac{\pi}{2}) &= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\ &= 3 \\ \text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\ \text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\ f''(x) &= 8cos 2x \\ 8cos 2x &= 0 \\ cos 2x &= 0 \\ cos 2x &= cos \frac{\pi}{2} \\ 2x &= \frac{\pi}{2} \\ x &= \frac{\pi}{4} \\ \text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\ f(\frac{\pi}{4}) &= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\ f(\frac{\pi}{4}) &= 1 \\ \text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\ \text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan persamaan garis singgung kurva <math>f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x</math> pada: ## di titik (-3,-3)! ## berabsis 2! :jawaban ## <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\ f'(x) &= x^2-2x-8 \\ f'(x) &= (-3)^2-2(3)-8 \\ f'(x) &= -5 \\ (y-y_1) &= m (x-x_1) \\ y-(-3) &= -5 (x-(-3)) \\ y+3 &= -5x-15 \\ y &= -5x-18 \\ \end{align} </math> </div></div> ## <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\ f(x) &= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\ f'(x) &= x^2-2x-8 \\ f'(x) &= 2^2-2(2)-8 \\ f'(x) &= -8 \\ (y-y_1) &= m (x-x_1) \\ y-(-\frac{52}{3}) &= -8 (x-2) \\ y+\frac{52}{3} &= -8x+16 \\ y &= -8x-\frac{4}{3} \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan persamaan garis singgung kurva <math>f(x)=3x^2-11x+10</math> dan: ## sejajar dengan 7x-y=21! ## tegak lurus dengan 5y-x=10! :jawaban ## <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7x-y &= 21 \\ y &= 7x-21 \\ m_1 &= 7 \\ \text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\ m_2 &= m_1 \\ m_2 &= 7 \\ f(x) &= 3x^2-11x+10 \\ f'(x) &= 6x-11 \\ 7 &= 6x-11 \\ 6x &= 18 \\ x &= 3 \\ \text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\ f(x) &= 3x^2-11x+10 \\ &= 3(3)^2-11(3)+10 \\ &= 4 \\ (y-y_1) &= m (x-x_1) \\ y-4 &= 7 (x-3) \\ y-4 &= 7x-21 \\ y &= 7x-17 \\ \end{align} </math> </div></div> ## <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 5y-x &= 10 \\ 5y &= x+10 \\ y &= \frac{x}{5}+2 \\ m_1 &= \frac{1}{5} \\ \text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\ m_2 &= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\ m_2 &= -5 \\ f(x) &= 3x^2-11x+10 \\ f'(x) &= 6x-11 \\ -5 &= 6x-11 \\ 6x &= 6 \\ x &= 1 \\ \text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\ f(x) &= 3x^2-11x+10 \\ &= 3(1)^2-11(1)+10 \\ &= 2 \\ (y-y_1) &= m (x-x_1) \\ y-2 &= -5 (x-1) \\ y-2 &= -5x+5 \\ y &= -5x+7 \\ \end{align} </math> </div></div> # Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misal tinggi adalah x } \\ t = x, p &= 45-2x, l = 24-2x \\ v &= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\ &= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\ \text{agar volume maksimum adalah v'(x) = 0} \\ v(x) &= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\ v'(x) &= 12x^2 - 376x - 1080 \\ v'(x) &= 0 \\ 12x^2 - 376x - 1080 &= 0 \\ 12(x^2 - 23x - 90) &= 0 \\ x^2 - 23x - 90 &= 0 \\ (x - 18)(x - 5) &= 0 \\ x &= 18 \text{ atau } x = 5 \\ \end{align} </math> jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm </div></div> # Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\ x + y &= 40 \\ y &= 40 - x \\ \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah h'(x) = 0 } \\ h(x) &= x \cdot y \\ h(x) &= x \cdot (40 - x) \\ h(x) &= 40x - x^2 \\ h'(x) &= 40 - 2x \\ h'(x) &= 0 \\ 40 - 2x &= 0 \\ 2x &= 40 \\ x &= 20 \\ h(x) = 20 \cdot (40 - 20) \\ h(x) = 20 \cdot 20 \\ h(x) = 400 \\ \end{align} </math> jadi hasil kalinya adalah 400 </div></div> * Tentukan hasil turunan pertama dari x³-y²=15! ;cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^3-y^2 &= 15 \\ y^2 &= x^3-15 \\ y &= \sqrt{x^3-15} \\ y' &= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\ y' &= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\ \end{align} </math> </div></div> ;cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^3-y^2 &= 15 \\ 3x^2-2y y' &= 0 \\ 2y y' &= 3x^2 \\ y' &= \frac{3x^2}{2y} \\ \text{untuk mencari nilai y maka } \\ x^3-y^2 &= 15 \\ y^2 &= x^3-15 \\ y &= \sqrt{x^3-15} \\ y' &= \frac{3x^2}{2y} \\ y' &= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\ y' &= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\ \end{align} </math> </div></div> ;cara 3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^3-y^2 &= 15 \\ x^3-y^2-15 &= 0 \\ y'(x) &= 3x^2 \\ y'(y) &= -2y \\ y' = \frac{dy}{dx} &= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\ &= -\frac{3x^2}{-2y} \\ &= \frac{3x^2}{2y} \\ \text{untuk mencari nilai y maka } \\ x^3-y^2 &= 15 \\ y^2 &= x^3-15 \\ y &= \sqrt{x^3-15} \\ y' &= \frac{3x^2}{2y} \\ y' &= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\ y' &= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] bc1rw78d4bk1g99t2mwzz033qc6e4ll 107394 107393 2025-06-16T12:44:39Z Akuindo 8654 /* Rumus sederhana */ 107394 wikitext text/x-wiki == Kaidah umum == :<math>\left({cf}\right)' = cf'</math> :<math>\left({f + g}\right)' = f' + g'</math> :<math>\left({f - g}\right)' = f' - g'</math> ;[[Kaidah darab]] :<math>\left({fg}\right)' = f'g + fg'</math> ;[[Kaidah timbalbalik]] :<math>\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0</math> ;[[Kaidah hasil-bagi]] :<math>\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0</math> ;[[Kaidah rantai]] :<math>(f \circ g)' = (f' \circ g)g'</math> ;Turunan [[fungsi invers]] :<math>(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}</math> untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada ;Kaidah pangkat umum :<math>(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)</math> == Rumus sederhana == : <math>c' = 0 \, </math> : <math>x' = 1 \, </math> : <math>(cx)' = c \, </math> : <math>|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} y &= |x| \\ y^2 &= x^2 \\ 2y y' &= 2x \\ y' &= \frac{x}{y} \\ &= \frac{x}{|x|} \\ \end{align} </math> </div></div> : <math>(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}</math> : <math>\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}</math> : <math>\left({1 \over x^c}\right)' = \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}</math> : <math>\left(\sqrt{x}\right)' = \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}} = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0</math> : <math>\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}</math> : <math>\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}</math> ; Eksponen dan logaritma :<math> \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c > 0</math> :<math> \left(e^x\right)' = e^x</math> :<math> \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c > 0</math> :<math> \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}</math> ; Trigonometri {| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;" |width=50%|<math> (\sin x)' = \cos x \,</math> |width=50%|<math> (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,</math> |- |<math> (\cos x)' = -\sin x \,</math> |<math> (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,</math> |- |<math> (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,</math> |<math> (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,</math> |- |<math> (\sec x)' = \sec x \tan x \,</math> |<math> (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,</math> |- |<math> (\csc x)' = -\csc x \cot x \,</math> |<math> (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,</math> |- |<math> (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,</math> |<math> (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,</math> |} * Tambahkan: ** <math> (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,</math> ** <math> (\sin u)' = u' \cos u \,</math> ** <math> (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,</math> ; Hiperbolik Perhatikan sebagai berikut : <math>sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math> : <math>cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}</math> {| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;" |width=50%|<math>(\sinh x )'= \cosh x</math> |width=50%|<math>(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}</math> |- |<math>(\cosh x )'= \sinh x</math> |<math>(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}</math> |- |<math>(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x</math> |<math>(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}</math> |- |<math>(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x</math> |<math>(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}</math> |- |<math>(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x</math> |<math>(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}</math> |- |<math>(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x</math> |<math>(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}</math> |} :: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri. ; implisit *cara 1 : <math>ax + by = 1</math> : <math>a + b y' = 0</math> : <math>y' = -\frac{a}{b}</math> *cara 2 persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi <math>\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}</math> == Laju perubahan (rata-rata) == Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah V(rata-rata) = <math>\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}</math> == Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam == : Persamaan kuadrat :: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik. :: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun. : Persamaan kubik Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut: :: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik. :: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton. :: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun. :: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton. Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta > 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta < 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok. Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut. Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol. == Persamaan garis singgung kurva == Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah m = f’(a) = <math>\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}</math> contoh: # Berapa laju perubahaan f(x)=x²-4x+3 pada: ## x=5! ## interval 2<x<3! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= x^2-4x+3 \\ f'(x) &= 2x-4 \\ v &= \frac{f'(x)}{x} \\ &= \frac{f'(5)}{5} \\ &= \frac{2(5)-4}{5} \\ &= \frac{6}{5} \\ &= 1.2 \\ v &= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\ &= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\ &= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\ &= \frac{3}{1} \\ &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada: ## x=<math>\frac{\pi}{6}</math>! ## interval <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= sin x-cos x \\ f'(x) &= cos x+sin x \\ v &= \frac{f'(x)}{x} \\ &= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\ &= 3 (\sqrt{3}+1) \\ v &= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\ &= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\ &= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\ &= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\ &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari <math>f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36</math>! : jawaban <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\ f'(x) &= x^2-6x-16 \\ \text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\ x^2-6x-16 &= 0 \\ (x+2)(x-8) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=8 \\ \text{ menentukan nilai ekstrem } \\ f''(x) &= 2x-6 \\ f''(-2) &= 2(2)-6 = -2 < 0 \\ f''(8) &= 2(8)-6 = 10 > 0 \\ \text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\ \text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\ f(-2) &= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\ &= \frac{160}{3} \\ f(8) &= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\ &= -\frac{1.386}{3} \\ \text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\ \text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\ f''(x) &= 2x-6 \\ 2x-6 &= 0 \\ x &= 3 \\ \text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\ f(3) &= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\ f(3) &= -30 \\ \text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\ \text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x<-2 \text{ atau } x>8 \text{ dan turun jika } -2<x<8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari <math>f(x)=1-2cos 2x</math> pada batas-batas interval <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math>! : jawaban <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= 1-2cos 2x \\ f'(x) &= 4sin 2x \\ \text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\ 4sin 2x &= 0 \\ 8sin x \cdot cos x &= 0 \\ (sin x)(cos x) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\ \text{ menentukan nilai ekstrem } \\ f''(x) &= 8cos 2x \\ f''(0) &= 8cos 2(0) = 8 > 0 \\ f''(\frac{\pi}{2}) &= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 < 0 \\ \text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\ \text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\ f(0) &= 1-2cos 2(0) \\ &= -1 \\ f(\frac{\pi}{2}) &= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\ &= 3 \\ \text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\ \text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\ f''(x) &= 8cos 2x \\ 8cos 2x &= 0 \\ cos 2x &= 0 \\ cos 2x &= cos \frac{\pi}{2} \\ 2x &= \frac{\pi}{2} \\ x &= \frac{\pi}{4} \\ \text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\ f(\frac{\pi}{4}) &= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\ f(\frac{\pi}{4}) &= 1 \\ \text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\ \text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan persamaan garis singgung kurva <math>f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x</math> pada: ## di titik (-3,-3)! ## berabsis 2! :jawaban ## <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\ f'(x) &= x^2-2x-8 \\ f'(x) &= (-3)^2-2(3)-8 \\ f'(x) &= -5 \\ (y-y_1) &= m (x-x_1) \\ y-(-3) &= -5 (x-(-3)) \\ y+3 &= -5x-15 \\ y &= -5x-18 \\ \end{align} </math> </div></div> ## <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\ f(x) &= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\ f'(x) &= x^2-2x-8 \\ f'(x) &= 2^2-2(2)-8 \\ f'(x) &= -8 \\ (y-y_1) &= m (x-x_1) \\ y-(-\frac{52}{3}) &= -8 (x-2) \\ y+\frac{52}{3} &= -8x+16 \\ y &= -8x-\frac{4}{3} \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan persamaan garis singgung kurva <math>f(x)=3x^2-11x+10</math> dan: ## sejajar dengan 7x-y=21! ## tegak lurus dengan 5y-x=10! :jawaban ## <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7x-y &= 21 \\ y &= 7x-21 \\ m_1 &= 7 \\ \text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\ m_2 &= m_1 \\ m_2 &= 7 \\ f(x) &= 3x^2-11x+10 \\ f'(x) &= 6x-11 \\ 7 &= 6x-11 \\ 6x &= 18 \\ x &= 3 \\ \text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\ f(x) &= 3x^2-11x+10 \\ &= 3(3)^2-11(3)+10 \\ &= 4 \\ (y-y_1) &= m (x-x_1) \\ y-4 &= 7 (x-3) \\ y-4 &= 7x-21 \\ y &= 7x-17 \\ \end{align} </math> </div></div> ## <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 5y-x &= 10 \\ 5y &= x+10 \\ y &= \frac{x}{5}+2 \\ m_1 &= \frac{1}{5} \\ \text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\ m_2 &= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\ m_2 &= -5 \\ f(x) &= 3x^2-11x+10 \\ f'(x) &= 6x-11 \\ -5 &= 6x-11 \\ 6x &= 6 \\ x &= 1 \\ \text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\ f(x) &= 3x^2-11x+10 \\ &= 3(1)^2-11(1)+10 \\ &= 2 \\ (y-y_1) &= m (x-x_1) \\ y-2 &= -5 (x-1) \\ y-2 &= -5x+5 \\ y &= -5x+7 \\ \end{align} </math> </div></div> # Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misal tinggi adalah x } \\ t = x, p &= 45-2x, l = 24-2x \\ v &= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\ &= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\ \text{agar volume maksimum adalah v'(x) = 0} \\ v(x) &= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\ v'(x) &= 12x^2 - 376x - 1080 \\ v'(x) &= 0 \\ 12x^2 - 376x - 1080 &= 0 \\ 12(x^2 - 23x - 90) &= 0 \\ x^2 - 23x - 90 &= 0 \\ (x - 18)(x - 5) &= 0 \\ x &= 18 \text{ atau } x = 5 \\ \end{align} </math> jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm </div></div> # Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\ x + y &= 40 \\ y &= 40 - x \\ \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah h'(x) = 0 } \\ h(x) &= x \cdot y \\ h(x) &= x \cdot (40 - x) \\ h(x) &= 40x - x^2 \\ h'(x) &= 40 - 2x \\ h'(x) &= 0 \\ 40 - 2x &= 0 \\ 2x &= 40 \\ x &= 20 \\ h(x) = 20 \cdot (40 - 20) \\ h(x) = 20 \cdot 20 \\ h(x) = 400 \\ \end{align} </math> jadi hasil kalinya adalah 400 </div></div> * Tentukan hasil turunan pertama dari x³-y²=15! ;cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^3-y^2 &= 15 \\ y^2 &= x^3-15 \\ y &= \sqrt{x^3-15} \\ y' &= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\ y' &= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\ \end{align} </math> </div></div> ;cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^3-y^2 &= 15 \\ 3x^2-2y y' &= 0 \\ 2y y' &= 3x^2 \\ y' &= \frac{3x^2}{2y} \\ \text{untuk mencari nilai y maka } \\ x^3-y^2 &= 15 \\ y^2 &= x^3-15 \\ y &= \sqrt{x^3-15} \\ y' &= \frac{3x^2}{2y} \\ y' &= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\ y' &= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\ \end{align} </math> </div></div> ;cara 3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^3-y^2 &= 15 \\ x^3-y^2-15 &= 0 \\ y'(x) &= 3x^2 \\ y'(y) &= -2y \\ y' = \frac{dy}{dx} &= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\ &= -\frac{3x^2}{-2y} \\ &= \frac{3x^2}{2y} \\ \text{untuk mencari nilai y maka } \\ x^3-y^2 &= 15 \\ y^2 &= x^3-15 \\ y &= \sqrt{x^3-15} \\ y' &= \frac{3x^2}{2y} \\ y' &= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\ y' &= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] qli3a8wmdhlyuzeiencxh4e01fh7tdc 0 23140 107404 105851 2025-06-17T07:55:58Z Akuindo 8654 107404 wikitext text/x-wiki == Kaidah umum == :# <math>\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!</math> :# <math>\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx</math> :# <math>\int [f(x) - g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx</math> :# <math>\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx</math> :# <math>\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(untuk } n\neq -1\mbox{)}\,\! </math> :# <math>\int {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C </math> :# <math>\int {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C </math> :# <math>\int f(x) \, dx = F(x) + C</math> :# <math>\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)</math> :# <math>\int_a^c |f(x)| \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c -f(x) \, dx = F(b) - F(a) - F(c) + F(b)</math> jika <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge b, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < b. \end{cases}</math>. sebelum membuat f(x) dan -f(x) menentukan nilai x sebagai f(x) ≥ 0 untuk batas-batas wilayah yang menempatkan hasil positif (f(x)) dan negatif (-(f(x)) serta hasil integral mutlak tidak mungkin negatif. == rumus sederhana == :<math>\int \, dx = x + C</math> :<math>\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1</math> :<math>\int (ax+b)^n\,dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1</math> :<math>\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C</math> :<math>\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C</math> ; Eksponen dan logaritma :<math>\int e^x\,dx = e^x + C</math> :<math>\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C</math> :<math>\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C</math> :<math>\int \,^b\!\log {x}\,dx = x \cdot \, ^b\!\log x - x \cdot \,^b\!\log e + C</math> ; Trigonometri :<math>\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C</math> :<math>\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C</math> :<math>\int \tan{x} \, dx = \ln{\left| \sec {x} \right|} + C</math> :<math>\int \cot{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} \right|} + C</math> :<math>\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C</math> :<math>\int \csc{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} + \cot{x}\right|} + C</math> ; Hiperbolik :<math>\int \sinh x \, dx = \cosh x + C</math> :<math>\int \cosh x \, dx = \sinh x + C</math> :<math>\int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + C</math> :<math>\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C</math> :<math>\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan (\sinh x) + C</math> :<math>\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C</math> == Jenis integral == === integral biasa === Berikut contoh penyelesaian cara biasa. : <math>\int x^3 - cos 3x + e^{5x+2} - \frac{1}{2x+5}dx</math> : <math>= \frac{1}{3+1}x^{3+1} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C</math> : <math>= \frac{x^4}{4} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C</math> === integral substitusi === Berikut contoh penyelesaian cara substitusi. : <math>\int \frac{\ln(x)}{x}\,dx</math> : <math>t = \ln(x),\, dt = \frac{dx}{x}</math> Dengan menggunakan rumus di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \int \frac{\ln(x)}{x}\,dx \\ =&\; \int t\,dt \\ =&\; \frac{1}{2} t^2 + C \\ =&\; \frac{1}{2} \ln^2 x + C \end{aligned} </math> === integral parsial === ;Cara 1: Rumus Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut. : <math>\int u\,dv = uv - \int v\,du </math> Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan rumus. : <math>\int x \sin(x)\,dx</math> : <math>u = x,\, du = 1\,dx,\, dv = \sin(x)\,dx,\, v = -\cos(x)</math> Dengan menggunakan rumus di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \int x \sin(x)\,dx \\ =&\; (x)(-\cos(x)) - \int (-\cos(x))(1\,dx) \\ =&\; -x \cos(x) + \int \cos(x)\,dx \\ =&\; -x \cos(x) + \sin(x) + C \end{aligned} </math> ;Cara 2: Tabel Untuk <math display="inline">\int u\,dv</math>, berlaku ketentuan sebagai berikut. {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>u</math> || <math>dv</math> |- | - || <math>\frac{du}{dx}</math> || <math>v</math> |- | + || <math>\frac{d^2u}{dx^2}</math> || <math>\int v\,dx</math> |} Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan tabel. : <math>\int x \sin(x)\,dx</math> {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>x</math> || <math>\sin(x)</math> |- | - || <math>1</math> || <math>-\cos(x)</math> |- | + || <math>0</math> || <math>-\sin(x)</math> |} Dengan tabel di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \int x \sin(x)\,dx \\ =&\; (x)(-\cos(x)) - (1)(-\sin(x)) + C \\ =&\; -x \cos(x) + \sin(x) + C \end{aligned} </math> === integral pecahan parsial === Berikut contoh penyelesaian cara parsial untuk persamaan pecahan (rasional). : <math>\int \frac{dx}{x^2 - 4}</math> Pertama, pisahkan pecahan tersebut. : <math> \begin{aligned} =&\; \frac{1}{x^2 - 4} \\ =&\; \frac{1}{(x + 2)(x - 2)} \\ =&\; \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} \\ =&\; \frac{A(x - 2) + B(x + 2)}{x^2 - 4} \\ =&\; \frac{(A + B)x - 2(A - B)}{x^2 - 4} \end{aligned} </math> Kita tahu bahwa <math display="inline">A + B = 0</math> dan <math display="inline">A - B = -\frac{1}{2}</math> dapat diselesaikan, yaitu <math display="inline">A = -\frac{1}{4}</math> dan {{nowrap|<math display="inline">B = \frac{1}{4}</math>.}} : <math> \begin{aligned} &\; \int \frac{dx}{x^2 - 4} \\ =&\; \int -\frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)}\,dx \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}\,dx \\ =&\; \frac{1}{4} (\ln|x - 2| - \ln|x + 2|) + C \\ =&\; \frac{1}{4} \ln|\frac{x - 2}{x + 2}| + C \end{aligned}</math> === integral substitusi trigonometri === {| class="wikitable" |- ! Bentuk !! Trigonometri |- | <math>\sqrt{a^2 - b^2 x^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b}\sin(\alpha)</math> |- | <math>\sqrt{a^2 + b^2 x^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b}\tan(\alpha)</math> |- | <math>\sqrt{b^2 x^2 - a^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b}\sec(\alpha)</math> |} Berikut contoh penyelesaian cara substitusi trigonometri. : <math>\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}}</math> : <math>x = 2 \tan(A),\, dx = 2 \sec^2(A)\,dA</math> Dengan substitusi di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{(2 \tan(A))^2\sqrt{4 + (2 \tan(A))^2}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{4 \tan^2(A)\sqrt{4 + 4 \tan^2(A)}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{4 \tan^2(A)\sqrt{4(1 + \tan^2(A))}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{4 \tan^2(A)\sqrt{4 \sec^2(A)}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{(4 \tan^2(A))(2 \sec(A))} \\ =&\; \int \frac{\sec(A)\,dA}{4 \tan^2(A)} \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{\sec(A)\,dA}{\tan^2(A)} \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos(A)}{\sin^2(A)}\,dA \end{aligned} </math> Substitusi berikut dapat dibuat. : <math>\int \frac{\cos(A)}{\sin^2(A)}\,dA</math> : <math>t = \sin(A),\, dt = \cos(A)\,dA</math> Dengan substitusi di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos(A)}{\sin^2(A)}\,dA \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^2} \\ =&\; \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{t}\right) + C \\ =&\; -\frac{1}{4 t} + C \\ =&\; -\frac{1}{4 \sin(A)} + C \end{aligned} </math> Ingat bahwa <math display="inline">\sin(A) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}</math> berlaku. : <math> \begin{aligned} =&\; -\frac{1}{4 \sin(A)} + C \\ =&\; -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4 x} + C \end{aligned} </math> == Jenis integral lainnya == === panjang busur === ; Sumbu ''x'' : <math>S = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx</math> ; Sumbu ''y'' : <math>S = \int_{y_1}^{y_2} \sqrt{1 + (f'(y))^2}\,dy</math> === luas daerah === ; Satu kurva ; Sumbu ''x'' : <math>L = \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx</math> ; Sumbu ''y'' : <math>L = \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,dy</math> ; Dua kurva ; Sumbu ''x'' : <math>L = \int_{x_1}^{x_2} (f(x_2) - f(x_1))\,dx</math> ; Sumbu ''y'' : <math>L = \int_{y_1}^{y_2} (f(y_2) - f(y_1))\,dy</math> : atau juga <math>L = \frac {D \sqrt{D}}{6 a^2}</math> === luas permukaan benda putar === ; Sumbu ''x'' sebagai poros : <math>L_p = 2 \pi \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,ds</math> dengan : <math>ds = \sqrt {1 + (f'(x))^2}\,dx</math> ; Sumbu ''y'' sebagai poros : <math>L_p = 2 \pi \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,ds</math> dengan : <math>ds = \sqrt {1 + (f'(y))^2}\,dy</math> === volume benda putar === ; Satu kurva ; Sumbu ''x'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2\,dx</math> ; Sumbu ''y'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{y_1}^{y_2} (f(y))^2\,dy</math> ; Dua kurva ; Sumbu ''x'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{x_1}^{x_2} ((f(x_2))^2 - (f(x_1))^2)\,dx</math> ; Sumbu ''y'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{y_1}^{y_2} ((f(y_2))^2 - (f(y_1))^2)\,dy</math> == Integral lipat == Jenis integral lipat yaitu integral lipat dua dan integral lipat tiga. ;contoh * Tentukan hasil dari: * <math>\int_{1}^{5} 2x-3 dx</math> * <math>\int_{0}^{4} |x-2| dx</math> * <math>\int_{2}^{4} |3-x| dx</math> * <math>\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx</math> * <math>\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx</math> ; jawaban: ** <math> \begin{aligned} \int_{1}^{5} 2x-3 dx &= \left. x^2 - 3x \right|_{1}^{5} \\ &= 10 - (-2) \\ &= 12 \\ \end{aligned}</math> ** <math> \begin{aligned} \int_{0}^{4} |x-2| dx \\ \text{ tentukan nilai harga nol } \\ x-2 &= 0 \\ x &= 2 \\ \text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu kurang dari 2 bernilai - sedangkan minimal dari 2 bernilai + berarti } \\ |x-2| = \begin{cases} x-2, & \mbox{jika } x \ge 2, \\ -(x-2), & \mbox{jika } x < 2. \end{cases} \\ \int_{0}^{4} |x-2| dx &= \int_{2}^{4} x-2 dx + \int_{0}^{2} -(x-2) dx \\ &= \left. (\frac{x^2}{2}-2x) \right|_{2}^{4} + \left. (\frac{-x^2}{2}+2x) \right|_{0}^{2} \\ &= 0 - (-2) + 2 - 0 \\ &= 4 \\ \end{aligned}</math> ** <math> \begin{aligned} \int_{2}^{4} |3-x| dx \\ \text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\ 3-x &\ge 0 \\ \text{ harga nol } \\ x &= 3 \\ \text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu lebih dari 3 bernilai - sedangkan maksimal dari 3 bernilai + berarti } \\ |3-x| = \begin{cases} 3-x, & \mbox{jika } x \le 3, \\ -(3-x), & \mbox{jika } x > 3. \end{cases} \\ \int_{2}^{4} |3-x| dx &= \int_{2}^{3} 3-x dx + \int_{3}^{4} -(3-x) dx \\ &= \left. (3x-\frac{x^2}{2}) \right|_{2}^{3} + \left. (-3x+\frac{x^2}{2}) \right|_{3}^{4} \\ &= 4.5 - 4 - 4 - (-4.5) \\ &= 1 \\ \end{aligned}</math> ** <math> \begin{aligned} \int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx &= \left. \frac{x^3}{3}-3x^2+8x \right|_{1}^{5} \\ &= \frac{20}{3} - \frac{16}{3} \\ &= \frac{4}{3} \\ &= 1\frac{1}{3} \\ \end{aligned}</math> ** <math> \begin{aligned} \int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx \\ \text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\ x^2-2x-8 &\ge 0 \\ \text{ harga nol } \\ (x+2)(x-4) &= 0 \\ x = -2 \text{ atau } x = 4 \\ \text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu antara -2 dan 4 bernilai - sedangkan maksimal dari -2 dan minimal dari 4 bernilai + berarti } \\ |x^2-2x-8| = \begin{cases} x^2-2x-8, & \mbox{jika } x \le -2, \\ -(x^2-2x-8), & \mbox{jika } -2 < x < 4, \\ x^2-2x-8, & \mbox{jika } x \ge 4 \end{cases} \\ \int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx &= \int_{-3}^{-2} x^2-2x-8 dx + \int_{-2}^{4} -(x^2-2x-8) dx + \int_{4}^{5} x^2-2x-8 dx \\ &= \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{-3}^{-2} + \left. (\frac{-x^3}{3}+x^2+8x) \right|_{-2}^{4} + \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{4}^{5} \\ &= \frac{28}{3} - 6 + \frac{80}{3} - (-\frac{28}{3}) - \frac{70}{3} - (-\frac{80}{3}) \\ &= \frac{128}{3} \\ &= 42\frac{2}{3} \\ \end{aligned}</math> * Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = x</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral! : <math> \begin{aligned} L &= \int x\,dx \\ L &= \frac{1}{2} x^2 \\ L &= \frac{1}{2} xy \quad (y = x) \end{aligned}</math> * Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = x^2</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral! : <math> \begin{aligned} L &= \int x^2\,dx \\ L &= \frac{1}{3} x^3 \\ L &= \frac{1}{3} xy \quad (y = x^2) \end{aligned}</math> * Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = \sqrt{x}</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral! : <math> \begin{aligned} L &= \int \sqrt{x}\,dx \\ L &= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \\ L &= \frac{2}{3} xy \quad (y = \sqrt{x}) \end{aligned}</math> * Buktikan luas persegi <math>L = s^2</math> dengan cara integral! : Dengan posisi <math>y = s</math> dan titik (''s'', ''s''), : <math> \begin{aligned} L &= \int_{0}^{s} s\,dx \\ L &= sx |_{0}^{s} \\ L &= ss - 0 \\ L &= s^2 \end{aligned}</math> * Buktikan luas persegi panjang <math>L = pl</math> dengan cara integral! : Dengan posisi <math>y = l</math> dan titik (''p'', ''l''), : <math> \begin{aligned} L &= \int_{0}^{p} l\,dx \\ L &= lx |_{0}^{p} \\ L &= pl - 0 \\ L &= pl \end{aligned}</math> * Buktikan luas segitiga <math>L = \frac{at}{2}</math> dengan cara integral! : Dengan posisi <math>y = \frac{-tx}{a} + t</math> dan titik (''a'', ''t''), : <math> \begin{aligned} L &= \int_{0}^{a} \left (\frac{-tx}{a} + t \right) \,dx \\ L &= \left. \frac{-tx^2}{2a} + tx \right|_{0}^{a} \\ L &= \frac{-ta^2}{2a} + ta - 0 + 0 \\ L &= \frac{-ta}{2} + ta \\ L &= \frac{at}{2} \end{aligned}</math> * Buktikan volume tabung <math>V = \pi r^2t</math> dengan cara integral! : Dengan posisi <math>y = r</math> dan titik (''t'', ''r''), : <math> \begin{aligned} V &= \pi \int_{0}^{t} r^2\,dx \\ V &= \pi \left. r^2x \right|_{0}^{t} \\ V &= \pi r^2t - 0 \\ V &= \pi r^2t \end{aligned}</math> * Buktikan volume kerucut <math>V = \frac{\pi r^2t}{3}</math> dengan cara integral! : Dengan posisi <math>y = \frac{rx}{t}</math> dan titik (''t'', ''r''), : <math> \begin{aligned} V &= \pi \int_{0}^{t} \left (\frac{rx}{t} \right)^2 \,dx \\ V &= \pi \left. \frac{r^2 x^3}{3t^2} \right|_{0}^{t} \\ V &= \pi \frac{r^2 t^3}{3t^2} - 0 \\ V &= \frac{\pi r^2t}{3} \end{aligned}</math> * Buktikan volume bola <math>V = \frac{4 \pi r^3}{3}</math> dengan cara integral! : Dengan posisi <math>y = \sqrt{r^2 - x^2}</math> serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), : <math> \begin{aligned} V &= \pi \int_{-r}^{r} \left(\sqrt {r^2 - x^2}\right)^2\,dx \\ V &= \pi \int_{-r}^{r} r^2 - x^2 dx \\ V &= \pi \left. r^2x - \frac{x^3}{3} \right|_{-r}^{r} \\ V &= \pi \left (r^3 - \frac{r^3}{3} - \left (-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) \right) \\ V &= \frac{4 \pi r^3}{3} \end{aligned}</math> * Buktikan luas permukaan bola <math>L = 4 \pi r^2</math> dengan cara integral! : Dengan posisi <math>y = \sqrt{r^2 - x^2}</math> serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), : Kita tahu bahwa turunannya adalah : <math>y'= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}}</math> : selanjutnya : <math> \begin{aligned} ds &= \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\ ds &= \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\ ds &= \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\ ds &= \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\ \end{aligned}</math> : sehingga : <math> \begin{aligned} L &= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\ L &= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,dx \\ L &= 2 \pi rx|_{-r}^{r} \\ L &= 2 \pi (r r - r (-r)) \\ L &= 2 \pi (r^2 + r^2) \\ L &= 4 \pi r^2 \end{aligned}</math> * Buktikan keliling lingkaran <math>K = 2 \pi r</math> dengan cara integral! : Dengan posisi <math>y = \sqrt{r^2 - x^2}</math> serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), : Kita tahu bahwa turunannya adalah : <math>y'= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}}</math> : sehingga : <math> \begin{aligned} K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\ K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{x^2}{r^2 - x^2})}\,dx \\ K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt\frac{r^2}{r^2 - x^2}\,dx \\ K &= 4r \int_{0}^{r} \sqrt\frac{1}{r^2 - x^2}\,dx \\ K &= 4r \int_{0}^{r} \frac{1}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\ K &= 4r \left. \arcsin \left (\frac{x}{r} \right) \right|_{0}^{r} \\ K &= 4r \left (\arcsin \left (\frac{r}{r}\right) - \arcsin \left (\frac{0}{r} \right) \right) \\ K &= 4r \left (\arcsin\left (1 \right) - \arcsin \left(0 \right) \right)) \\ K &= 4r \left (\frac{\pi}{2} \right) \\ K &= 2 \pi r \end{aligned}</math> * Buktikan luas lingkaran <math>L = \pi r^2</math> dengan cara integral! : Dengan posisi <math>y = \sqrt{r^2 - x^2}</math> serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu. : <math> \begin{aligned} \sin(\theta) &= \frac{x}{r} \\ x &= r \sin(\theta) \\ dx &= r \cos(\theta)\,d\theta \end{aligned}</math> : Dengan turunan di atas, : <math> \begin{aligned} L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - (r \sin(\theta))^2}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - r^2 \sin^2(\theta)}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 (1 - \sin^2(\theta))}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta)\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta) (r \cos(\theta)\,d\theta) \\ L &= 4 \int_{0}^{r} r^2 \cos^2(\theta)\,d\theta \\ L &= 4r^2 \int_{0}^{r} \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right)\,d\theta \\ L &= 2r^2 \int_{0}^{r} (1 + \cos(2\theta))\,d\theta \\ L &= 2r^2 \left (\theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right)|_{0}^{r} \\ L &= 2r^2 (\theta + \sin(\theta) \cos(\theta))|_{0}^{r} \\ L &= 2r^2 \left (\arcsin \left (\frac{x}{r} \right) + \left (\frac{x}{r} \right) \left (\frac{r^2 - x^2}{r} \right) \right)|_{0}^{r} \\ L &= 2r^2 \left (\arcsin \left(\frac{r}{r} \right) + \left (\frac{r}{r} \right) \left (\frac {r^2 - r^2}{r} \right) \right) - \left(\arcsin \left (\frac{0}{r} \right) + \left (\frac{0}{r}\right) \left (\frac{r^2 - 0^2}{r} \right) \right) \\ L &= 2r^2 (\arcsin(1) + 0 - (\arcsin(0) + 0)) \\ L &= 2r^2 \left (\frac{\pi}{2} \right) \\ L &= \pi r^2 \end{aligned}</math> * Buktikan luas elips <math>L = \pi ab</math> dengan cara integral! : Dengan posisi <math>y = \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}</math> serta (-''a'', 0) dan (''a'', 0), : <math> \begin{aligned} L &= 4 \int_{0}^{r} \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}\,dx \\ L &= \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx \end{aligned}</math> : Dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-''a'', 0) dan (''a'', 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips, : <math> \begin{aligned} \frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &= \frac{\frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx}{4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx} \\ \frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &= \frac{b}{a} \\ L_\text{elips} &= \frac{b}{a} L_\text{ling} \\ L_\text{elips} &= \frac{b}{a} \pi a^2 \\ L_\text{elips} &= \pi ab \end{aligned}</math> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] t1n71chs06cl42p4f34644yx6qaoobq 2 25271 107403 104088 2025-06-17T04:32:04Z Nursiah56 41046 107403 wikitext text/x-wiki Nama saya Nursiah, S.Si. atau biasa dipanggil Nur adalah salah satu guru Matematika di SMA Negeri 56 Jakarta. Saya lahir di Sragen, Jawa Tengah pada tanggal 16 Juli 1972. Sejak kecil, saya selalu bersemangat belajar Matematika dan selalu berusaha menjadi yang terbaik di dalam kelas. Saya menyelesaikan pendidikan dasar dan menengah saya di kota kelahiran saya. Setelah lulus dari SMA, saya melanjutkan kuliah di Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada (UGM) mengambil program studi Matematika. Saya mendapat gelar S.Si. (Sarjana Sains) di sana. Pada tahun 1999 saya mengambil program pendidikan akta mengajar IV di Universitas Terbuka. Saya mengawali karir sebagai guru Matematika di SMA Harapan Jaya Jakarta pada tahun 2001. Sejak tahun 2002 hingga sekarang, saya mengajar di SMAN 56 Jakarta. Di SMAN 56 Jakarta inilah saya mendedikasikan diri secara total. Mendidik generasi muda penerus bangsa. Selain mengajar mata pelajaran Matematika, saya juga pernah diberikan tugas tambahan sebagai pembina OSN, staf kurikulum, wakil kepala sekolah bidang kurikulum, kepala perpustakaan, ketua TPMPS, bendahara sekolah, ketua komunitas belajar dan beberapa kali sebagai wali kelas. Selama bekerja sebagai guru, saya selalu berusaha untuk memotivasi siswa saya agar selalu semangat dalam belajar. Saya juga selalu berusaha memberikan metode pengajaran yang berbeda-beda agar dapat menyesuaikan dengan gaya belajar siswa. Saya merasa sangat bangga ketika melihat siswa-siswa saya berhasil meraih nilai yang baik di ujian dan dapat melanjutkan studi ke perguruan tinggi yang mereka inginkan. Bagi saya, menjadi guru bukan hanya tentang memberikan pelajaran kepada siswa, tetapi juga menjadi bagian dari perjalanan mereka dalam mencapai impian dan tujuan hidup mereka. Saya berharap dapat terus memberikan pengaruh positif dalam kehidupan siswa-siswa saya dan membantu kesuksesan di masa depan. say16m7hb6h92i9utp03iv2yan2r44r 14 25643 107395 106885 2025-06-16T13:23:12Z Raflinoer32 36196 added [[Category:WikiCitaRasa]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107395 wikitext text/x-wiki Halaman ini berisi daftar artikel resep kuliner Indonesia dari Lokakarya WikiCitaRasa. [[Kategori:WikiCitaRasa]] 6drokcyj89r7dhwav37941g8y2o6z9e 14 25770 107396 2025-06-16T13:36:00Z Raflinoer32 36196 ←Membuat halaman berisi 'Halaman ini berisi daftar resep masakan hasil lokakarya WikiCitaRasa di Banjarmasin pada tanggal 22 Juni 2025.' 107396 wikitext text/x-wiki Halaman ini berisi daftar resep masakan hasil lokakarya WikiCitaRasa di Banjarmasin pada tanggal 22 Juni 2025. d4v3lzkrq7fa2d18c92tldn2tedu1ll 107397 107396 2025-06-16T13:36:13Z Raflinoer32 36196 added [[Category:WikiCitaRasa]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107397 wikitext text/x-wiki Halaman ini berisi daftar resep masakan hasil lokakarya WikiCitaRasa di Banjarmasin pada tanggal 22 Juni 2025. [[Kategori:WikiCitaRasa]] jnaydtz7pmu0dygiktkpxsqdst3aoyr 14 25771 107398 2025-06-16T13:37:30Z Raflinoer32 36196 ←Membuat halaman berisi 'Halaman ini berisi daftar resep masakan hasil lokakarya WikiCitaRasa di Bandung.' 107398 wikitext text/x-wiki Halaman ini berisi daftar resep masakan hasil lokakarya WikiCitaRasa di Bandung. 8smqe9ksj0ibhrzjozvtoq8kf49uz1q 107399 107398 2025-06-16T13:37:43Z Raflinoer32 36196 added [[Category:WikiCitaRasa]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107399 wikitext text/x-wiki Halaman ini berisi daftar resep masakan hasil lokakarya WikiCitaRasa di Bandung. [[Kategori:WikiCitaRasa]] 7795j4ip35vq79dabxa0wp32vl3x5i0 14 25772 107400 2025-06-16T13:38:26Z Raflinoer32 36196 ←Membuat halaman berisi 'Halaman ini berisi daftar resep masakan hasil lokakarya WikiCitaRasa di Madura.' 107400 wikitext text/x-wiki Halaman ini berisi daftar resep masakan hasil lokakarya WikiCitaRasa di Madura. heddzdaz90clawusqd2hlqs0uen9u69 107401 107400 2025-06-16T13:38:39Z Raflinoer32 36196 added [[Category:WikiCitaRasa]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 107401 wikitext text/x-wiki Halaman ini berisi daftar resep masakan hasil lokakarya WikiCitaRasa di Madura. [[Kategori:WikiCitaRasa]] a96jmx9g90hodx1fdy0l11wvnw84pjo