Catatan Dokter Muda/Ilmu Farmasi Kedokteran

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11.xsd" version="0.11" xml:lang="id">
  <siteinfo>
    <sitename>Wikibuku</sitename>
    <dbname>idwikibooks</dbname>
    <base>https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama</base>
    <generator>MediaWiki 1.45.0-wmf.6</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">Media</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">Istimewa</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">Pembicaraan</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">Pengguna</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">Pembicaraan Pengguna</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">Wikibuku</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">Pembicaraan Wikibuku</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">Berkas</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">Pembicaraan Berkas</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">MediaWiki</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">Pembicaraan MediaWiki</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">Templat</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">Pembicaraan Templat</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">Bantuan</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">Pembicaraan Bantuan</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">Kategori</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">Pembicaraan Kategori</namespace>
      <namespace key="100" case="first-letter">Resep</namespace>
      <namespace key="101" case="first-letter">Pembicaraan Resep</namespace>
      <namespace key="102" case="first-letter">Wisata</namespace>
      <namespace key="103" case="first-letter">Pembicaraan Wisata</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">Modul</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">Pembicaraan Modul</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>Catatan Dokter Muda/Ilmu Farmasi Kedokteran</title>
    <ns>0</ns>
    <id>5785</id>
    <revision>
      <id>107410</id>
      <parentid>80232</parentid>
      <timestamp>2025-06-19T13:30:01Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alfarq</username>
        <id>799</id>
      </contributor>
      <comment>/* Istilah Latin */</comment>
      <origin>107410</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8980" sha1="5h4p3p90yudyoj0txi3jexs2tbmryij" xml:space="preserve">{{Wikipedia|Farmasi}}

== Istilah Latin ==
=== Uc ===
* ℞ (racipe): Ambillah.
* Supp (suppositorium): Supositoria, gentel.
* No (nomero): Jumlah, sejumlah.
* S (signa): Tanda, tandai, tandailah.
* Uc (usus cognitus): Pemakaian diketahui.
* Pro: Untuk.

 ℞ Miconazole 2% cream tube No. I
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (20 tahun)

 ℞ Anusol supp No. V
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. A (21 tahun)

=== Imm ===
* Imm (in manus medicine): Serahkan ke tangan paramedis (dokter, perawat, bidan, mantri).
* Inf (infus): Infus.
* Flab (flabot): Flabot.

 ℞ Natrium Chlorida 0,9% inf flab No. III
    Abbocath no. 22                No. I
    Cum infus set                  No. I
    S imm
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. B (22 tahun)

=== Prn ===
* Tab (tabletta, tabella): Tablet.
* Mg (miligram): Miligram.
* Prn (pro renatera), sns (si necesse sit): Jika perlu. Singkatan ini digunakan untuk obat-obat simtomatis (penghilang gejala).
* Dd (de die): Tiap hari, setiap hari.
* Aggr febr (agrediante febre): saat demam.

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn 1–3 dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

'''Perhatian:'''
* Penulisan setelah Signa tanpa tanda kurung. Berikut adalah penulisan yang salah:

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn (1–3) dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

=== Up ===
* Up (usus propius): Pemakaian sendiri (untuk dokter). Tidak perlu memakai Pro.

 ℞ Amoxycillin tab mg 500 No. X
    S up
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰

=== Dcf ===
* Dcf, dc form (da cun formula): Sesuai obat yang tertulis.
* Sol, solut (solutio): Larutan.

 ℞ Alkohol 70% sol fl No. I
    S imm dcf
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. E (25 tahun)

=== Sine confectiones ===
* Cap (capsule): Kapsul.
* Sine confectiones: Tanpa kemasan.

 ℞ Amoxsan cap mg 500 No. X (sine confectiones)
    S 3 dd cap I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. F (26 tahun)

=== Adde ===
* Adde: Tambahkan.
* Dry: Kering.
* Syr (syrupus): Sirup.
* Aq coct (aqua cocta): Air masak.
* Ad: Sampai, hingga.
* Cc (cubic centimetre): sentimeter kubik.
* C (cochlea): sendok makan (15 cc).
* Cth (cochlea tea): sendok teh (5 cc).

 ℞ Ampicillin dry syr fl No. I
    Adde aq coct ad cc 60
    S 3 dd cth I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. G (27 tahun)

=== Ad lib ===
* Ad lib, ad libit (ad libitum): Sesuka hati.

 ℞ Oralit sachet No. XX
    S ad lib
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. H (28 tahun)

=== Ac ===
* Ac (antec cibos, ante cibum, ante coenam): Sebelum makan.

 ℞ Antasida DOEN tab No. X
    S 3 dd tab I ac
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. I (29 tahun)

=== Dc ===
* Dc (durante coenam): Saat makan, ketika makan, selagi makan.

 ℞ Enzyplex tab No. XII
    S 3 dd tab I dc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. J (30 tahun)

=== Pc ===
* Pc (post coenam): Setelah makan, sesudah makan, sehabis makan.

 ℞ Rifampicin tab mg 450 No. VII
    S 1 dd tab I pc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. K (31 tahun)

=== Hora spatio ===
* Octa: Delapan.
* Hora spatio: Selang sekian jam.
* Octa hora spatio: Selang delapan jam.

 ℞ Chloramphenicol cap mg 500 No. X
    S 3 dd cap I octa hora spatio
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. L (32 tahun)

=== Agita ante sumendum ===

Agita ante sumendum: kocok sebelum digunakan

R/ Mylanta Syr fl no I
ʃ 3 dd CI ac agitatio ante sumundum
----
Pro: Tn J (29th)

=== Hora ieiune ===
Saat perut kosong

=== Sive simile ===
* Boleh diganti
* Obat paten boleh diganti dengan obat paten lain dengan kandungan, bentuk, sediaan, dan dosis yang sama

=== Mds ===

=== use know ===

=== Da in caps ===
dimasukkan ke dalam kapsul

=== Cum ===

=== Cito, Urgent, PIM (Periculum In Mora) ===
Segera, Penting, Berbahaya bila ditunda. Resep yang terdapat tanda seperti diatas, meskipun masuk belakangan harus di dahulukan pengerjaannya. 
(Ilmu Meracik Obat Teori dan Praktik, Moh. Anief, Gadjah Mada University Presentasi, 1987, Halaman 7)

=== Iter ===
Diulang

=== Ne iter ===
tidak boleh diulang

=== Qs ===
quantum satis (secukupnya)

=== Ad gram 20 ===
Hingga 20 g

=== Ante defecatio ===
Sebelum defekasi

=== Omni noctem per vaginal ===

== Daftar Obat ==

== Daftar Obat ==
# Cefixime Trihydrate kapsul 100 mg 2 x 1
# Loperamide HCl tablet 2 mg 3 x 1 (Stop jika sudah tidak diare)
# Omeprazole (OMZ) 20 mg kapsul pelepasan lambat 2 x 1
# Paracetamol tablet 500 mg 3 x 1
# Zinc dispersible tablet 20 mg 1 x 1

== Daftar Pustaka ==
# {{id}} Ikatan Apoteker Indonesia. Informasi Spesialite Obat Indonesia. Volume 45 – 2010 s/d 2011. Jakarta: PT. ISFI Penerbitan; 2010. ISSN 0854-4492.

== Pranala Luar ==
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16 Blok 4 – Metabolisme Obat dan Nutrisi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201 Blok 7 – Imunologi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392 Blok 9 – Neoplasma] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479 Blok 10 – Sistema Saraf] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575 Blok 12 – Sistem Respirasi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766 Blok 16 – Sistem Reproduksi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905 Blok 18 – Mata] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353 Blok 21 – Pediatri] [diakses 2012 Mar 2]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353.

{{Catatan Dokter Muda-Stase}}

[[Kategori:Stase|{{SUBPAGENAME}}]]</text>
      <sha1>5h4p3p90yudyoj0txi3jexs2tbmryij</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107411</id>
      <parentid>107410</parentid>
      <timestamp>2025-06-19T13:32:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alfarq</username>
        <id>799</id>
      </contributor>
      <origin>107411</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8961" sha1="oivtce1tshplhoctg7zxdiom2ognj8f" xml:space="preserve">{{Wikipedia|Farmasi}}

== Istilah Latin ==
=== Uc ===
* ℞ (racipe): Ambillah.
* Supp (suppositorium): Supositoria, gentel.
* No (nomero): Jumlah, sejumlah.
* S (signa): Tanda, tandai, tandailah.
* Uc (usus cognitus): Pemakaian diketahui.
* Pro: Untuk.

 ℞ Miconazole 2% cream tube No. I
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (20 tahun)

 ℞ Anusol supp No. V
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. A (21 tahun)

=== Imm ===
* Imm (in manus medicine): Serahkan ke tangan paramedis (dokter, perawat, bidan, mantri).
* Inf (infus): Infus.
* Flab (flabot): Flabot.

 ℞ Natrium Chlorida 0,9% inf flab No. III
    Abbocath no. 22                No. I
    Cum infus set                  No. I
    S imm
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. B (22 tahun)

=== Prn ===
* Tab (tabletta, tabella): Tablet.
* Mg (miligram): Miligram.
* Prn (pro renatera), sns (si necesse sit): Jika perlu. Singkatan ini digunakan untuk obat-obat simtomatis (penghilang gejala).
* Dd (de die): Tiap hari, setiap hari.
* Aggr febr (agrediante febre): saat demam.

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn 1–3 dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

'''Perhatian:'''
* Penulisan setelah Signa tanpa tanda kurung. Berikut adalah penulisan yang salah:

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn (1–3) dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

=== Up ===
* Up (usus propius): Pemakaian sendiri (untuk dokter). Tidak perlu memakai Pro.

 ℞ Amoxycillin tab mg 500 No. X
    S up
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰

=== Dcf ===
* Dcf, dc form (da cun formula): Sesuai obat yang tertulis.
* Sol, solut (solutio): Larutan.

 ℞ Alkohol 70% sol fl No. I
    S imm dcf
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. E (25 tahun)

=== Sine confectiones ===
* Cap (capsule): Kapsul.
* Sine confectiones: Tanpa kemasan.

 ℞ Amoxsan cap mg 500 No. X (sine confectiones)
    S 3 dd cap I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. F (26 tahun)

=== Adde ===
* Adde: Tambahkan.
* Dry: Kering.
* Syr (syrupus): Sirup.
* Aq coct (aqua cocta): Air masak.
* Ad: Sampai, hingga.
* Cc (cubic centimetre): sentimeter kubik.
* C (cochlea): sendok makan (15 cc).
* Cth (cochlea tea): sendok teh (5 cc).

 ℞ Ampicillin dry syr fl No. I
    Adde aq coct ad cc 60
    S 3 dd cth I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. G (27 tahun)

=== Ad lib ===
* Ad lib, ad libit (ad libitum): Sesuka hati.

 ℞ Oralit sachet No. XX
    S ad lib
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. H (28 tahun)

=== Ac ===
* Ac (antec cibos, ante cibum, ante coenam): Sebelum makan.

 ℞ Antasida DOEN tab No. X
    S 3 dd tab I ac
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. I (29 tahun)

=== Dc ===
* Dc (durante coenam): Saat makan, ketika makan, selagi makan.

 ℞ Enzyplex tab No. XII
    S 3 dd tab I dc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. J (30 tahun)

=== Pc ===
* Pc (post coenam): Setelah makan, sesudah makan, sehabis makan.

 ℞ Rifampicin tab mg 450 No. VII
    S 1 dd tab I pc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. K (31 tahun)

=== Hora spatio ===
* Octa: Delapan.
* Hora spatio: Selang sekian jam.
* Octa hora spatio: Selang delapan jam.

 ℞ Chloramphenicol cap mg 500 No. X
    S 3 dd cap I octa hora spatio
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. L (32 tahun)

=== Agita ante sumendum ===

Agita ante sumendum: kocok sebelum digunakan

R/ Mylanta Syr fl no I
ʃ 3 dd CI ac agitatio ante sumundum
----
Pro: Tn J (29th)

=== Hora ieiune ===
Saat perut kosong

=== Sive simile ===
* Boleh diganti
* Obat paten boleh diganti dengan obat paten lain dengan kandungan, bentuk, sediaan, dan dosis yang sama

=== Mds ===

=== use know ===

=== Da in caps ===
dimasukkan ke dalam kapsul

=== Cum ===

=== Cito, Urgent, PIM (Periculum In Mora) ===
Segera, Penting, Berbahaya bila ditunda. Resep yang terdapat tanda seperti diatas, meskipun masuk belakangan harus di dahulukan pengerjaannya. 
(Ilmu Meracik Obat Teori dan Praktik, Moh. Anief, Gadjah Mada University Presentasi, 1987, Halaman 7)

=== Iter ===
Diulang

=== Ne iter ===
tidak boleh diulang

=== Qs ===
quantum satis (secukupnya)

=== Ad gram 20 ===
Hingga 20 g

=== Ante defecatio ===
Sebelum defekasi

=== Omni noctem per vaginal ===

== Daftar Obat ==
# Cefixime Trihydrate kapsul 100 mg 2 x 1
# Loperamide HCl tablet 2 mg 3 x 1 (Stop jika sudah tidak diare)
# Omeprazole (OMZ) 20 mg kapsul pelepasan lambat 2 x 1
# Paracetamol tablet 500 mg 3 x 1
# Zinc dispersible tablet 20 mg 1 x 1

== Daftar Pustaka ==
# {{id}} Ikatan Apoteker Indonesia. Informasi Spesialite Obat Indonesia. Volume 45 – 2010 s/d 2011. Jakarta: PT. ISFI Penerbitan; 2010. ISSN 0854-4492.

== Pranala Luar ==
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16 Blok 4 – Metabolisme Obat dan Nutrisi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201 Blok 7 – Imunologi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392 Blok 9 – Neoplasma] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479 Blok 10 – Sistema Saraf] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575 Blok 12 – Sistem Respirasi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766 Blok 16 – Sistem Reproduksi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905 Blok 18 – Mata] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353 Blok 21 – Pediatri] [diakses 2012 Mar 2]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353.

{{Catatan Dokter Muda-Stase}}

[[Kategori:Stase|{{SUBPAGENAME}}]]</text>
      <sha1>oivtce1tshplhoctg7zxdiom2ognj8f</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107412</id>
      <parentid>107411</parentid>
      <timestamp>2025-06-19T13:37:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alfarq</username>
        <id>799</id>
      </contributor>
      <comment>/* Daftar Obat */</comment>
      <origin>107412</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9016" sha1="31stbl6jf07fhnpso6ou7hpaphovspf" xml:space="preserve">{{Wikipedia|Farmasi}}

== Istilah Latin ==
=== Uc ===
* ℞ (racipe): Ambillah.
* Supp (suppositorium): Supositoria, gentel.
* No (nomero): Jumlah, sejumlah.
* S (signa): Tanda, tandai, tandailah.
* Uc (usus cognitus): Pemakaian diketahui.
* Pro: Untuk.

 ℞ Miconazole 2% cream tube No. I
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (20 tahun)

 ℞ Anusol supp No. V
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. A (21 tahun)

=== Imm ===
* Imm (in manus medicine): Serahkan ke tangan paramedis (dokter, perawat, bidan, mantri).
* Inf (infus): Infus.
* Flab (flabot): Flabot.

 ℞ Natrium Chlorida 0,9% inf flab No. III
    Abbocath no. 22                No. I
    Cum infus set                  No. I
    S imm
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. B (22 tahun)

=== Prn ===
* Tab (tabletta, tabella): Tablet.
* Mg (miligram): Miligram.
* Prn (pro renatera), sns (si necesse sit): Jika perlu. Singkatan ini digunakan untuk obat-obat simtomatis (penghilang gejala).
* Dd (de die): Tiap hari, setiap hari.
* Aggr febr (agrediante febre): saat demam.

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn 1–3 dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

'''Perhatian:'''
* Penulisan setelah Signa tanpa tanda kurung. Berikut adalah penulisan yang salah:

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn (1–3) dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

=== Up ===
* Up (usus propius): Pemakaian sendiri (untuk dokter). Tidak perlu memakai Pro.

 ℞ Amoxycillin tab mg 500 No. X
    S up
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰

=== Dcf ===
* Dcf, dc form (da cun formula): Sesuai obat yang tertulis.
* Sol, solut (solutio): Larutan.

 ℞ Alkohol 70% sol fl No. I
    S imm dcf
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. E (25 tahun)

=== Sine confectiones ===
* Cap (capsule): Kapsul.
* Sine confectiones: Tanpa kemasan.

 ℞ Amoxsan cap mg 500 No. X (sine confectiones)
    S 3 dd cap I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. F (26 tahun)

=== Adde ===
* Adde: Tambahkan.
* Dry: Kering.
* Syr (syrupus): Sirup.
* Aq coct (aqua cocta): Air masak.
* Ad: Sampai, hingga.
* Cc (cubic centimetre): sentimeter kubik.
* C (cochlea): sendok makan (15 cc).
* Cth (cochlea tea): sendok teh (5 cc).

 ℞ Ampicillin dry syr fl No. I
    Adde aq coct ad cc 60
    S 3 dd cth I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. G (27 tahun)

=== Ad lib ===
* Ad lib, ad libit (ad libitum): Sesuka hati.

 ℞ Oralit sachet No. XX
    S ad lib
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. H (28 tahun)

=== Ac ===
* Ac (antec cibos, ante cibum, ante coenam): Sebelum makan.

 ℞ Antasida DOEN tab No. X
    S 3 dd tab I ac
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. I (29 tahun)

=== Dc ===
* Dc (durante coenam): Saat makan, ketika makan, selagi makan.

 ℞ Enzyplex tab No. XII
    S 3 dd tab I dc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. J (30 tahun)

=== Pc ===
* Pc (post coenam): Setelah makan, sesudah makan, sehabis makan.

 ℞ Rifampicin tab mg 450 No. VII
    S 1 dd tab I pc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. K (31 tahun)

=== Hora spatio ===
* Octa: Delapan.
* Hora spatio: Selang sekian jam.
* Octa hora spatio: Selang delapan jam.

 ℞ Chloramphenicol cap mg 500 No. X
    S 3 dd cap I octa hora spatio
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. L (32 tahun)

=== Agita ante sumendum ===

Agita ante sumendum: kocok sebelum digunakan

R/ Mylanta Syr fl no I
ʃ 3 dd CI ac agitatio ante sumundum
----
Pro: Tn J (29th)

=== Hora ieiune ===
Saat perut kosong

=== Sive simile ===
* Boleh diganti
* Obat paten boleh diganti dengan obat paten lain dengan kandungan, bentuk, sediaan, dan dosis yang sama

=== Mds ===

=== use know ===

=== Da in caps ===
dimasukkan ke dalam kapsul

=== Cum ===

=== Cito, Urgent, PIM (Periculum In Mora) ===
Segera, Penting, Berbahaya bila ditunda. Resep yang terdapat tanda seperti diatas, meskipun masuk belakangan harus di dahulukan pengerjaannya. 
(Ilmu Meracik Obat Teori dan Praktik, Moh. Anief, Gadjah Mada University Presentasi, 1987, Halaman 7)

=== Iter ===
Diulang

=== Ne iter ===
tidak boleh diulang

=== Qs ===
quantum satis (secukupnya)

=== Ad gram 20 ===
Hingga 20 g

=== Ante defecatio ===
Sebelum defekasi

=== Omni noctem per vaginal ===

== Daftar Obat ==
# Cefixime Trihydrate kapsul 100 mg 2 x 1
# Loperamide HCl tablet 2 mg 3 x 1 (Stop jika sudah tidak diare)
# Omeprazole (OMZ) 20 mg kapsul pelepasan lambat 2 x 1
# Paracetamol tablet 500 mg 3 x 1
# Zinc dispersible tablet 20 mg 1 x 1
# Acifar
# Alleron
# Alofar 100
# Alofar 300
# Aspilet

== Daftar Pustaka ==
# {{id}} Ikatan Apoteker Indonesia. Informasi Spesialite Obat Indonesia. Volume 45 – 2010 s/d 2011. Jakarta: PT. ISFI Penerbitan; 2010. ISSN 0854-4492.

== Pranala Luar ==
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16 Blok 4 – Metabolisme Obat dan Nutrisi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201 Blok 7 – Imunologi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392 Blok 9 – Neoplasma] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479 Blok 10 – Sistema Saraf] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575 Blok 12 – Sistem Respirasi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766 Blok 16 – Sistem Reproduksi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905 Blok 18 – Mata] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353 Blok 21 – Pediatri] [diakses 2012 Mar 2]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353.

{{Catatan Dokter Muda-Stase}}

[[Kategori:Stase|{{SUBPAGENAME}}]]</text>
      <sha1>31stbl6jf07fhnpso6ou7hpaphovspf</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107413</id>
      <parentid>107412</parentid>
      <timestamp>2025-06-19T13:42:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alfarq</username>
        <id>799</id>
      </contributor>
      <comment>/* Daftar Obat */</comment>
      <origin>107413</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9181" sha1="fa71h98vhaavr5ysmccipo4wa3thjsa" xml:space="preserve">{{Wikipedia|Farmasi}}

== Istilah Latin ==
=== Uc ===
* ℞ (racipe): Ambillah.
* Supp (suppositorium): Supositoria, gentel.
* No (nomero): Jumlah, sejumlah.
* S (signa): Tanda, tandai, tandailah.
* Uc (usus cognitus): Pemakaian diketahui.
* Pro: Untuk.

 ℞ Miconazole 2% cream tube No. I
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (20 tahun)

 ℞ Anusol supp No. V
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. A (21 tahun)

=== Imm ===
* Imm (in manus medicine): Serahkan ke tangan paramedis (dokter, perawat, bidan, mantri).
* Inf (infus): Infus.
* Flab (flabot): Flabot.

 ℞ Natrium Chlorida 0,9% inf flab No. III
    Abbocath no. 22                No. I
    Cum infus set                  No. I
    S imm
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. B (22 tahun)

=== Prn ===
* Tab (tabletta, tabella): Tablet.
* Mg (miligram): Miligram.
* Prn (pro renatera), sns (si necesse sit): Jika perlu. Singkatan ini digunakan untuk obat-obat simtomatis (penghilang gejala).
* Dd (de die): Tiap hari, setiap hari.
* Aggr febr (agrediante febre): saat demam.

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn 1–3 dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

'''Perhatian:'''
* Penulisan setelah Signa tanpa tanda kurung. Berikut adalah penulisan yang salah:

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn (1–3) dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

=== Up ===
* Up (usus propius): Pemakaian sendiri (untuk dokter). Tidak perlu memakai Pro.

 ℞ Amoxycillin tab mg 500 No. X
    S up
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰

=== Dcf ===
* Dcf, dc form (da cun formula): Sesuai obat yang tertulis.
* Sol, solut (solutio): Larutan.

 ℞ Alkohol 70% sol fl No. I
    S imm dcf
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. E (25 tahun)

=== Sine confectiones ===
* Cap (capsule): Kapsul.
* Sine confectiones: Tanpa kemasan.

 ℞ Amoxsan cap mg 500 No. X (sine confectiones)
    S 3 dd cap I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. F (26 tahun)

=== Adde ===
* Adde: Tambahkan.
* Dry: Kering.
* Syr (syrupus): Sirup.
* Aq coct (aqua cocta): Air masak.
* Ad: Sampai, hingga.
* Cc (cubic centimetre): sentimeter kubik.
* C (cochlea): sendok makan (15 cc).
* Cth (cochlea tea): sendok teh (5 cc).

 ℞ Ampicillin dry syr fl No. I
    Adde aq coct ad cc 60
    S 3 dd cth I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. G (27 tahun)

=== Ad lib ===
* Ad lib, ad libit (ad libitum): Sesuka hati.

 ℞ Oralit sachet No. XX
    S ad lib
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. H (28 tahun)

=== Ac ===
* Ac (antec cibos, ante cibum, ante coenam): Sebelum makan.

 ℞ Antasida DOEN tab No. X
    S 3 dd tab I ac
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. I (29 tahun)

=== Dc ===
* Dc (durante coenam): Saat makan, ketika makan, selagi makan.

 ℞ Enzyplex tab No. XII
    S 3 dd tab I dc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. J (30 tahun)

=== Pc ===
* Pc (post coenam): Setelah makan, sesudah makan, sehabis makan.

 ℞ Rifampicin tab mg 450 No. VII
    S 1 dd tab I pc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. K (31 tahun)

=== Hora spatio ===
* Octa: Delapan.
* Hora spatio: Selang sekian jam.
* Octa hora spatio: Selang delapan jam.

 ℞ Chloramphenicol cap mg 500 No. X
    S 3 dd cap I octa hora spatio
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. L (32 tahun)

=== Agita ante sumendum ===

Agita ante sumendum: kocok sebelum digunakan

R/ Mylanta Syr fl no I
ʃ 3 dd CI ac agitatio ante sumundum
----
Pro: Tn J (29th)

=== Hora ieiune ===
Saat perut kosong

=== Sive simile ===
* Boleh diganti
* Obat paten boleh diganti dengan obat paten lain dengan kandungan, bentuk, sediaan, dan dosis yang sama

=== Mds ===

=== use know ===

=== Da in caps ===
dimasukkan ke dalam kapsul

=== Cum ===

=== Cito, Urgent, PIM (Periculum In Mora) ===
Segera, Penting, Berbahaya bila ditunda. Resep yang terdapat tanda seperti diatas, meskipun masuk belakangan harus di dahulukan pengerjaannya. 
(Ilmu Meracik Obat Teori dan Praktik, Moh. Anief, Gadjah Mada University Presentasi, 1987, Halaman 7)

=== Iter ===
Diulang

=== Ne iter ===
tidak boleh diulang

=== Qs ===
quantum satis (secukupnya)

=== Ad gram 20 ===
Hingga 20 g

=== Ante defecatio ===
Sebelum defekasi

=== Omni noctem per vaginal ===

== Daftar Obat ==
# Cefixime Trihydrate kapsul 100 mg 2 x 1
# Loperamide HCl tablet 2 mg 3 x 1 (Stop jika sudah tidak diare)
# Omeprazole (OMZ) 20 mg kapsul pelepasan lambat 2 x 1
# Paracetamol tablet 500 mg 3 x 1
# Zinc dispersible tablet 20 mg 1 x 1
# Acifar
# Alleron
# Alofar 100
# Alofar 300
# Aspilet
# Akita
# Beneuron
# Arkavit-C
# Bufacaryl
# Cavicur
# Cavicur Syr
# Caviplex
# Cardipin 5
# Cardipin 10
# Carmeson 4
# Carmeson 8
# Cendo Cenfresh
# Cendo Eyefresh

== Daftar Pustaka ==
# {{id}} Ikatan Apoteker Indonesia. Informasi Spesialite Obat Indonesia. Volume 45 – 2010 s/d 2011. Jakarta: PT. ISFI Penerbitan; 2010. ISSN 0854-4492.

== Pranala Luar ==
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16 Blok 4 – Metabolisme Obat dan Nutrisi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201 Blok 7 – Imunologi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392 Blok 9 – Neoplasma] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479 Blok 10 – Sistema Saraf] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575 Blok 12 – Sistem Respirasi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766 Blok 16 – Sistem Reproduksi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905 Blok 18 – Mata] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353 Blok 21 – Pediatri] [diakses 2012 Mar 2]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353.

{{Catatan Dokter Muda-Stase}}

[[Kategori:Stase|{{SUBPAGENAME}}]]</text>
      <sha1>fa71h98vhaavr5ysmccipo4wa3thjsa</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107414</id>
      <parentid>107413</parentid>
      <timestamp>2025-06-19T13:58:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alfarq</username>
        <id>799</id>
      </contributor>
      <comment>/* Daftar Obat */</comment>
      <origin>107414</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9426" sha1="q2jr596i09zocrirfq77on80fwnwzwi" xml:space="preserve">{{Wikipedia|Farmasi}}

== Istilah Latin ==
=== Uc ===
* ℞ (racipe): Ambillah.
* Supp (suppositorium): Supositoria, gentel.
* No (nomero): Jumlah, sejumlah.
* S (signa): Tanda, tandai, tandailah.
* Uc (usus cognitus): Pemakaian diketahui.
* Pro: Untuk.

 ℞ Miconazole 2% cream tube No. I
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (20 tahun)

 ℞ Anusol supp No. V
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. A (21 tahun)

=== Imm ===
* Imm (in manus medicine): Serahkan ke tangan paramedis (dokter, perawat, bidan, mantri).
* Inf (infus): Infus.
* Flab (flabot): Flabot.

 ℞ Natrium Chlorida 0,9% inf flab No. III
    Abbocath no. 22                No. I
    Cum infus set                  No. I
    S imm
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. B (22 tahun)

=== Prn ===
* Tab (tabletta, tabella): Tablet.
* Mg (miligram): Miligram.
* Prn (pro renatera), sns (si necesse sit): Jika perlu. Singkatan ini digunakan untuk obat-obat simtomatis (penghilang gejala).
* Dd (de die): Tiap hari, setiap hari.
* Aggr febr (agrediante febre): saat demam.

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn 1–3 dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

'''Perhatian:'''
* Penulisan setelah Signa tanpa tanda kurung. Berikut adalah penulisan yang salah:

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn (1–3) dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

=== Up ===
* Up (usus propius): Pemakaian sendiri (untuk dokter). Tidak perlu memakai Pro.

 ℞ Amoxycillin tab mg 500 No. X
    S up
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰

=== Dcf ===
* Dcf, dc form (da cun formula): Sesuai obat yang tertulis.
* Sol, solut (solutio): Larutan.

 ℞ Alkohol 70% sol fl No. I
    S imm dcf
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. E (25 tahun)

=== Sine confectiones ===
* Cap (capsule): Kapsul.
* Sine confectiones: Tanpa kemasan.

 ℞ Amoxsan cap mg 500 No. X (sine confectiones)
    S 3 dd cap I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. F (26 tahun)

=== Adde ===
* Adde: Tambahkan.
* Dry: Kering.
* Syr (syrupus): Sirup.
* Aq coct (aqua cocta): Air masak.
* Ad: Sampai, hingga.
* Cc (cubic centimetre): sentimeter kubik.
* C (cochlea): sendok makan (15 cc).
* Cth (cochlea tea): sendok teh (5 cc).

 ℞ Ampicillin dry syr fl No. I
    Adde aq coct ad cc 60
    S 3 dd cth I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. G (27 tahun)

=== Ad lib ===
* Ad lib, ad libit (ad libitum): Sesuka hati.

 ℞ Oralit sachet No. XX
    S ad lib
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. H (28 tahun)

=== Ac ===
* Ac (antec cibos, ante cibum, ante coenam): Sebelum makan.

 ℞ Antasida DOEN tab No. X
    S 3 dd tab I ac
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. I (29 tahun)

=== Dc ===
* Dc (durante coenam): Saat makan, ketika makan, selagi makan.

 ℞ Enzyplex tab No. XII
    S 3 dd tab I dc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. J (30 tahun)

=== Pc ===
* Pc (post coenam): Setelah makan, sesudah makan, sehabis makan.

 ℞ Rifampicin tab mg 450 No. VII
    S 1 dd tab I pc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. K (31 tahun)

=== Hora spatio ===
* Octa: Delapan.
* Hora spatio: Selang sekian jam.
* Octa hora spatio: Selang delapan jam.

 ℞ Chloramphenicol cap mg 500 No. X
    S 3 dd cap I octa hora spatio
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. L (32 tahun)

=== Agita ante sumendum ===

Agita ante sumendum: kocok sebelum digunakan

R/ Mylanta Syr fl no I
ʃ 3 dd CI ac agitatio ante sumundum
----
Pro: Tn J (29th)

=== Hora ieiune ===
Saat perut kosong

=== Sive simile ===
* Boleh diganti
* Obat paten boleh diganti dengan obat paten lain dengan kandungan, bentuk, sediaan, dan dosis yang sama

=== Mds ===

=== use know ===

=== Da in caps ===
dimasukkan ke dalam kapsul

=== Cum ===

=== Cito, Urgent, PIM (Periculum In Mora) ===
Segera, Penting, Berbahaya bila ditunda. Resep yang terdapat tanda seperti diatas, meskipun masuk belakangan harus di dahulukan pengerjaannya. 
(Ilmu Meracik Obat Teori dan Praktik, Moh. Anief, Gadjah Mada University Presentasi, 1987, Halaman 7)

=== Iter ===
Diulang

=== Ne iter ===
tidak boleh diulang

=== Qs ===
quantum satis (secukupnya)

=== Ad gram 20 ===
Hingga 20 g

=== Ante defecatio ===
Sebelum defekasi

=== Omni noctem per vaginal ===

== Daftar Obat ==
# Cefixime Trihydrate kapsul 100 mg 2 x 1
# Loperamide HCl tablet 2 mg 3 x 1 (Stop jika sudah tidak diare)
# Omeprazole (OMZ) 20 mg kapsul pelepasan lambat 2 x 1
# Paracetamol tablet 500 mg 3 x 1
# Zinc dispersible tablet 20 mg 1 x 1
# Acifar
# Alleron
# Alofar 100
# Alofar 300
# Aspilet
# Akita
# Beneuron
# Arkavit-C
# Bufacaryl
# Cavicur
# Cavicur Syr
# Caviplex
# Cardipin 5
# Cardipin 10
# Carmeson 4
# Carmeson 8
# Cendo Cenfresh
# Cendo Eyefresh
# Cendo Genta
# Cendo Lytrees
# Cendo Timol
# Cendo Xitrol
# Dionicol
# Dionicol Syr
# Demacolin
# Dexaharsen 0,5
# Dexyl Syr
# Etaflusin
# Etambion
# Farsifen 400
# Farsifen 100 ml/5 ml Ifar
# Farsifen Plus
# Fasidol
# Fasidol 100 mg/5 ml Ifar

== Daftar Pustaka ==
# {{id}} Ikatan Apoteker Indonesia. Informasi Spesialite Obat Indonesia. Volume 45 – 2010 s/d 2011. Jakarta: PT. ISFI Penerbitan; 2010. ISSN 0854-4492.

== Pranala Luar ==
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16 Blok 4 – Metabolisme Obat dan Nutrisi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201 Blok 7 – Imunologi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392 Blok 9 – Neoplasma] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479 Blok 10 – Sistema Saraf] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575 Blok 12 – Sistem Respirasi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766 Blok 16 – Sistem Reproduksi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905 Blok 18 – Mata] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353 Blok 21 – Pediatri] [diakses 2012 Mar 2]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353.

{{Catatan Dokter Muda-Stase}}

[[Kategori:Stase|{{SUBPAGENAME}}]]</text>
      <sha1>q2jr596i09zocrirfq77on80fwnwzwi</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107435</id>
      <parentid>107414</parentid>
      <timestamp>2025-06-20T10:32:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alfarq</username>
        <id>799</id>
      </contributor>
      <comment>/* Daftar Obat */</comment>
      <origin>107435</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9703" sha1="pg6d10coc3812lyjiyojazki30hvcst" xml:space="preserve">{{Wikipedia|Farmasi}}

== Istilah Latin ==
=== Uc ===
* ℞ (racipe): Ambillah.
* Supp (suppositorium): Supositoria, gentel.
* No (nomero): Jumlah, sejumlah.
* S (signa): Tanda, tandai, tandailah.
* Uc (usus cognitus): Pemakaian diketahui.
* Pro: Untuk.

 ℞ Miconazole 2% cream tube No. I
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (20 tahun)

 ℞ Anusol supp No. V
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. A (21 tahun)

=== Imm ===
* Imm (in manus medicine): Serahkan ke tangan paramedis (dokter, perawat, bidan, mantri).
* Inf (infus): Infus.
* Flab (flabot): Flabot.

 ℞ Natrium Chlorida 0,9% inf flab No. III
    Abbocath no. 22                No. I
    Cum infus set                  No. I
    S imm
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. B (22 tahun)

=== Prn ===
* Tab (tabletta, tabella): Tablet.
* Mg (miligram): Miligram.
* Prn (pro renatera), sns (si necesse sit): Jika perlu. Singkatan ini digunakan untuk obat-obat simtomatis (penghilang gejala).
* Dd (de die): Tiap hari, setiap hari.
* Aggr febr (agrediante febre): saat demam.

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn 1–3 dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

'''Perhatian:'''
* Penulisan setelah Signa tanpa tanda kurung. Berikut adalah penulisan yang salah:

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn (1–3) dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

=== Up ===
* Up (usus propius): Pemakaian sendiri (untuk dokter). Tidak perlu memakai Pro.

 ℞ Amoxycillin tab mg 500 No. X
    S up
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰

=== Dcf ===
* Dcf, dc form (da cun formula): Sesuai obat yang tertulis.
* Sol, solut (solutio): Larutan.

 ℞ Alkohol 70% sol fl No. I
    S imm dcf
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. E (25 tahun)

=== Sine confectiones ===
* Cap (capsule): Kapsul.
* Sine confectiones: Tanpa kemasan.

 ℞ Amoxsan cap mg 500 No. X (sine confectiones)
    S 3 dd cap I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. F (26 tahun)

=== Adde ===
* Adde: Tambahkan.
* Dry: Kering.
* Syr (syrupus): Sirup.
* Aq coct (aqua cocta): Air masak.
* Ad: Sampai, hingga.
* Cc (cubic centimetre): sentimeter kubik.
* C (cochlea): sendok makan (15 cc).
* Cth (cochlea tea): sendok teh (5 cc).

 ℞ Ampicillin dry syr fl No. I
    Adde aq coct ad cc 60
    S 3 dd cth I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. G (27 tahun)

=== Ad lib ===
* Ad lib, ad libit (ad libitum): Sesuka hati.

 ℞ Oralit sachet No. XX
    S ad lib
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. H (28 tahun)

=== Ac ===
* Ac (antec cibos, ante cibum, ante coenam): Sebelum makan.

 ℞ Antasida DOEN tab No. X
    S 3 dd tab I ac
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. I (29 tahun)

=== Dc ===
* Dc (durante coenam): Saat makan, ketika makan, selagi makan.

 ℞ Enzyplex tab No. XII
    S 3 dd tab I dc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. J (30 tahun)

=== Pc ===
* Pc (post coenam): Setelah makan, sesudah makan, sehabis makan.

 ℞ Rifampicin tab mg 450 No. VII
    S 1 dd tab I pc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. K (31 tahun)

=== Hora spatio ===
* Octa: Delapan.
* Hora spatio: Selang sekian jam.
* Octa hora spatio: Selang delapan jam.

 ℞ Chloramphenicol cap mg 500 No. X
    S 3 dd cap I octa hora spatio
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. L (32 tahun)

=== Agita ante sumendum ===

Agita ante sumendum: kocok sebelum digunakan

R/ Mylanta Syr fl no I
ʃ 3 dd CI ac agitatio ante sumundum
----
Pro: Tn J (29th)

=== Hora ieiune ===
Saat perut kosong

=== Sive simile ===
* Boleh diganti
* Obat paten boleh diganti dengan obat paten lain dengan kandungan, bentuk, sediaan, dan dosis yang sama

=== Mds ===

=== use know ===

=== Da in caps ===
dimasukkan ke dalam kapsul

=== Cum ===

=== Cito, Urgent, PIM (Periculum In Mora) ===
Segera, Penting, Berbahaya bila ditunda. Resep yang terdapat tanda seperti diatas, meskipun masuk belakangan harus di dahulukan pengerjaannya. 
(Ilmu Meracik Obat Teori dan Praktik, Moh. Anief, Gadjah Mada University Presentasi, 1987, Halaman 7)

=== Iter ===
Diulang

=== Ne iter ===
tidak boleh diulang

=== Qs ===
quantum satis (secukupnya)

=== Ad gram 20 ===
Hingga 20 g

=== Ante defecatio ===
Sebelum defekasi

=== Omni noctem per vaginal ===

== Daftar Obat ==
# Cefixime Trihydrate kapsul 100 mg 2 x 1
# Loperamide HCl tablet 2 mg 3 x 1 (Stop jika sudah tidak diare)
# Omeprazole (OMZ) 20 mg kapsul pelepasan lambat 2 x 1
# Paracetamol tablet 500 mg 3 x 1
# Zinc dispersible tablet 20 mg 1 x 1
# Acifar
# Alleron
# Alofar 100
# Alofar 300
# Aspilet
# Akita
# Beneuron
# Arkavit-C
# Bufacaryl
# Cavicur
# Cavicur Syr
# Caviplex
# Cardipin 5
# Cardipin 10
# Carmeson 4
# Carmeson 8
# Cendo Cenfresh
# Cendo Eyefresh
# Cendo Genta
# Cendo Lytrees
# Cendo Timol
# Cendo Xitrol
# Dionicol
# Dionicol Syr
# Demacolin
# Dexaharsen 0,5
# Dexyl Syr
# Etaflusin
# Etambion
# Farsifen 400
# Farsifen 100 ml/5 ml Ifar
# Farsifen Plus
# Fasidol
# Fasidol 100 mg/5 ml Ifar
# Fasidol Drop
# Fasidol Forte
# Fasiprim Forte
# Flutop-C Syr
# Grafazol
# Gencetron 8
# Gencobal
# Oxicobal
# Histigo
# Grantusif
# Hufamag Plus
# Hufagrip Forte
# Intunal-F
# Infalgin
# Inamid 2
# Lerzin 10
# Lecozink Syr
# Laxana 5
# Lodecon
# Lokev
# Loctacef 125 mg/5 ml

== Daftar Pustaka ==
# {{id}} Ikatan Apoteker Indonesia. Informasi Spesialite Obat Indonesia. Volume 45 – 2010 s/d 2011. Jakarta: PT. ISFI Penerbitan; 2010. ISSN 0854-4492.

== Pranala Luar ==
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16 Blok 4 – Metabolisme Obat dan Nutrisi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201 Blok 7 – Imunologi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392 Blok 9 – Neoplasma] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479 Blok 10 – Sistema Saraf] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575 Blok 12 – Sistem Respirasi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766 Blok 16 – Sistem Reproduksi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905 Blok 18 – Mata] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353 Blok 21 – Pediatri] [diakses 2012 Mar 2]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353.

{{Catatan Dokter Muda-Stase}}

[[Kategori:Stase|{{SUBPAGENAME}}]]</text>
      <sha1>pg6d10coc3812lyjiyojazki30hvcst</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107436</id>
      <parentid>107435</parentid>
      <timestamp>2025-06-20T10:34:37Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alfarq</username>
        <id>799</id>
      </contributor>
      <comment>/* Daftar Obat */</comment>
      <origin>107436</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9894" sha1="hjq3yfsx3gsgni55r1yfgxp2v4gbjk1" xml:space="preserve">{{Wikipedia|Farmasi}}

== Istilah Latin ==
=== Uc ===
* ℞ (racipe): Ambillah.
* Supp (suppositorium): Supositoria, gentel.
* No (nomero): Jumlah, sejumlah.
* S (signa): Tanda, tandai, tandailah.
* Uc (usus cognitus): Pemakaian diketahui.
* Pro: Untuk.

 ℞ Miconazole 2% cream tube No. I
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (20 tahun)

 ℞ Anusol supp No. V
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. A (21 tahun)

=== Imm ===
* Imm (in manus medicine): Serahkan ke tangan paramedis (dokter, perawat, bidan, mantri).
* Inf (infus): Infus.
* Flab (flabot): Flabot.

 ℞ Natrium Chlorida 0,9% inf flab No. III
    Abbocath no. 22                No. I
    Cum infus set                  No. I
    S imm
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. B (22 tahun)

=== Prn ===
* Tab (tabletta, tabella): Tablet.
* Mg (miligram): Miligram.
* Prn (pro renatera), sns (si necesse sit): Jika perlu. Singkatan ini digunakan untuk obat-obat simtomatis (penghilang gejala).
* Dd (de die): Tiap hari, setiap hari.
* Aggr febr (agrediante febre): saat demam.

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn 1–3 dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

'''Perhatian:'''
* Penulisan setelah Signa tanpa tanda kurung. Berikut adalah penulisan yang salah:

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn (1–3) dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

=== Up ===
* Up (usus propius): Pemakaian sendiri (untuk dokter). Tidak perlu memakai Pro.

 ℞ Amoxycillin tab mg 500 No. X
    S up
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰

=== Dcf ===
* Dcf, dc form (da cun formula): Sesuai obat yang tertulis.
* Sol, solut (solutio): Larutan.

 ℞ Alkohol 70% sol fl No. I
    S imm dcf
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. E (25 tahun)

=== Sine confectiones ===
* Cap (capsule): Kapsul.
* Sine confectiones: Tanpa kemasan.

 ℞ Amoxsan cap mg 500 No. X (sine confectiones)
    S 3 dd cap I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. F (26 tahun)

=== Adde ===
* Adde: Tambahkan.
* Dry: Kering.
* Syr (syrupus): Sirup.
* Aq coct (aqua cocta): Air masak.
* Ad: Sampai, hingga.
* Cc (cubic centimetre): sentimeter kubik.
* C (cochlea): sendok makan (15 cc).
* Cth (cochlea tea): sendok teh (5 cc).

 ℞ Ampicillin dry syr fl No. I
    Adde aq coct ad cc 60
    S 3 dd cth I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. G (27 tahun)

=== Ad lib ===
* Ad lib, ad libit (ad libitum): Sesuka hati.

 ℞ Oralit sachet No. XX
    S ad lib
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. H (28 tahun)

=== Ac ===
* Ac (antec cibos, ante cibum, ante coenam): Sebelum makan.

 ℞ Antasida DOEN tab No. X
    S 3 dd tab I ac
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. I (29 tahun)

=== Dc ===
* Dc (durante coenam): Saat makan, ketika makan, selagi makan.

 ℞ Enzyplex tab No. XII
    S 3 dd tab I dc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. J (30 tahun)

=== Pc ===
* Pc (post coenam): Setelah makan, sesudah makan, sehabis makan.

 ℞ Rifampicin tab mg 450 No. VII
    S 1 dd tab I pc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. K (31 tahun)

=== Hora spatio ===
* Octa: Delapan.
* Hora spatio: Selang sekian jam.
* Octa hora spatio: Selang delapan jam.

 ℞ Chloramphenicol cap mg 500 No. X
    S 3 dd cap I octa hora spatio
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. L (32 tahun)

=== Agita ante sumendum ===

Agita ante sumendum: kocok sebelum digunakan

R/ Mylanta Syr fl no I
ʃ 3 dd CI ac agitatio ante sumundum
----
Pro: Tn J (29th)

=== Hora ieiune ===
Saat perut kosong

=== Sive simile ===
* Boleh diganti
* Obat paten boleh diganti dengan obat paten lain dengan kandungan, bentuk, sediaan, dan dosis yang sama

=== Mds ===

=== use know ===

=== Da in caps ===
dimasukkan ke dalam kapsul

=== Cum ===

=== Cito, Urgent, PIM (Periculum In Mora) ===
Segera, Penting, Berbahaya bila ditunda. Resep yang terdapat tanda seperti diatas, meskipun masuk belakangan harus di dahulukan pengerjaannya. 
(Ilmu Meracik Obat Teori dan Praktik, Moh. Anief, Gadjah Mada University Presentasi, 1987, Halaman 7)

=== Iter ===
Diulang

=== Ne iter ===
tidak boleh diulang

=== Qs ===
quantum satis (secukupnya)

=== Ad gram 20 ===
Hingga 20 g

=== Ante defecatio ===
Sebelum defekasi

=== Omni noctem per vaginal ===

== Daftar Obat ==
# Cefixime Trihydrate kapsul 100 mg 2 x 1
# Loperamide HCl tablet 2 mg 3 x 1 (Stop jika sudah tidak diare)
# Omeprazole (OMZ) 20 mg kapsul pelepasan lambat 2 x 1
# Paracetamol tablet 500 mg 3 x 1
# Zinc dispersible tablet 20 mg 1 x 1
# Acifar
# Alleron
# Alofar 100
# Alofar 300
# Aspilet
# Akita
# Beneuron
# Arkavit-C
# Bufacaryl
# Cavicur
# Cavicur Syr
# Caviplex
# Cardipin 5
# Cardipin 10
# Carmeson 4
# Carmeson 8
# Cendo Cenfresh
# Cendo Eyefresh
# Cendo Genta
# Cendo Lytrees
# Cendo Timol
# Cendo Xitrol
# Dionicol
# Dionicol Syr
# Demacolin
# Dexaharsen 0,5
# Dexyl Syr
# Etaflusin
# Etambion
# Farsifen 400
# Farsifen 100 ml/5 ml Ifar
# Farsifen Plus
# Fasidol
# Fasidol 100 mg/5 ml Ifar
# Fasidol Drop
# Fasidol Forte
# Fasiprim Forte
# Flutop-C Syr
# Grafazol
# Gencetron 8
# Gencobal
# Oxicobal
# Histigo
# Grantusif
# Hufamag Plus
# Hufagrip Forte
# Intunal-F
# Infalgin
# Inamid 2
# Lerzin 10
# Lecozink Syr
# Laxana 5
# Lodecon
# Lokev
# Loctacef 125 mg/5 ml
# Nexitra
# Novakal
# Omedom
# Relaxon
# Suprabiotik
# Spasminal
# Teosal
# Tifestan Forte
# Samcodin
# Vesperum Syr
# Vosea 5
# Vosea Syr
# Yekaprim Syr
# Yusimox Syr
# Zengesic
# Zelona 50

== Daftar Pustaka ==
# {{id}} Ikatan Apoteker Indonesia. Informasi Spesialite Obat Indonesia. Volume 45 – 2010 s/d 2011. Jakarta: PT. ISFI Penerbitan; 2010. ISSN 0854-4492.

== Pranala Luar ==
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16 Blok 4 – Metabolisme Obat dan Nutrisi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201 Blok 7 – Imunologi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392 Blok 9 – Neoplasma] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479 Blok 10 – Sistema Saraf] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575 Blok 12 – Sistem Respirasi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766 Blok 16 – Sistem Reproduksi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905 Blok 18 – Mata] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353 Blok 21 – Pediatri] [diakses 2012 Mar 2]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353.

{{Catatan Dokter Muda-Stase}}

[[Kategori:Stase|{{SUBPAGENAME}}]]</text>
      <sha1>hjq3yfsx3gsgni55r1yfgxp2v4gbjk1</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Diferensial</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23139</id>
    <revision>
      <id>107415</id>
      <parentid>107394</parentid>
      <timestamp>2025-06-19T23:59:06Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Persamaan garis singgung kurva */</comment>
      <origin>107415</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="16912" sha1="pafch5d6bo6xhh8jko6q1td6zt5y184" xml:space="preserve">== Kaidah umum == 
:&lt;math&gt;\left({cf}\right)' = cf'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f + g}\right)' = f' + g'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f - g}\right)' = f' - g'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah darab]]
:&lt;math&gt;\left({fg}\right)' = f'g + fg'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah timbalbalik]]
:&lt;math&gt;\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah hasil-bagi]]
:&lt;math&gt;\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah rantai]]
:&lt;math&gt;(f \circ g)' = (f' \circ g)g'&lt;/math&gt;
;Turunan [[fungsi invers]]
:&lt;math&gt;(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}&lt;/math&gt;
untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada
;Kaidah pangkat umum
:&lt;math&gt;(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)&lt;/math&gt;

== Rumus sederhana ==
: &lt;math&gt;c' = 0 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x' = 1 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;(cx)' = c \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 y &amp;= |x| \\
 y^2 &amp;= x^2 \\
 2y y' &amp;= 2x \\
 y' &amp;= \frac{x}{y} \\
  &amp;= \frac{x}{|x|} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: &lt;math&gt;(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x &gt; 0&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt; \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(e^x\right)' = e^x&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}&lt;/math&gt;

; Trigonometri
{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt; (\sin x)' = \cos x \,&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt; (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cos x)' = -\sin x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\sec x)' = \sec x \tan x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\csc x)' = -\csc x \cot x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|}

* Tambahkan:
** &lt;math&gt; (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin u)' = u' \cos u \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
Perhatikan sebagai berikut
: &lt;math&gt;sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt;(\sinh x )'= \cosh x&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\cosh x )'= \sinh x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}&lt;/math&gt;
|}

:: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

; implisit
*cara 1
: &lt;math&gt;ax + by = 1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b y' = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y' = -\frac{a}{b}&lt;/math&gt;

*cara 2
persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi &lt;math&gt;\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}&lt;/math&gt;

== Laju perubahan (rata-rata) ==
Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = &lt;math&gt;\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}&lt;/math&gt;

== Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam ==
: Persamaan kuadrat
:: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

:: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

: Persamaan kubik
Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.
:: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta &gt; 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta &lt; 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

== Persamaan garis singgung kurva ==
Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = &lt;math&gt;\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}&lt;/math&gt;

contoh:

# Berapa laju perubahaan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3 pada:
## x=5!
## interval 2&lt;x&lt;3!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= x^2-4x+3 \\
 f'(x) &amp;= 2x-4 \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(5)}{5} \\
  &amp;= \frac{2(5)-4}{5} \\
  &amp;= \frac{6}{5} \\
  &amp;= 1.2 \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{3}{1} \\
  &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada:
## x=&lt;math&gt;\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;!
## interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= sin x-cos x \\
 f'(x) &amp;= cos x+sin x \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= 3 (\sqrt{3}+1) \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\
 f'(x) &amp;= x^2-6x-16 \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 x^2-6x-16 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x-8) &amp;= 0 \\
 x=-2 &amp;\text{ atau } x=8 \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 f''(-2) &amp;= 2(2)-6 = -2 &lt; 0 \\
 f''(8) &amp;= 2(8)-6 = 10 &gt; 0 \\
\text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(-2) &amp;= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\
 &amp;= \frac{160}{3} \\
 f(8) &amp;= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\
 &amp;= -\frac{1.386}{3} \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 2x-6 &amp;= 0 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(3) &amp;= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\
 f(3) &amp;= -30 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\

\text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x&lt;-2 \text{ atau } x&gt;8 \text{ dan turun jika } -2&lt;x&lt;8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=1-2cos 2x&lt;/math&gt; pada batas-batas interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= 1-2cos 2x \\
 f'(x) &amp;= 4sin 2x \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 4sin 2x &amp;= 0 \\
 8sin x \cdot cos x &amp;= 0 \\
 (sin x)(cos x) &amp;= 0 \\
 x=0 &amp;\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 f''(0) &amp;= 8cos 2(0) = 8 &gt; 0 \\
 f''(\frac{\pi}{2}) &amp;= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 &lt; 0 \\
\text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(0) &amp;= 1-2cos 2(0) \\
 &amp;= -1 \\
 f(\frac{\pi}{2}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\
 &amp;= 3 \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 8cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= cos \frac{\pi}{2} \\
 2x &amp;= \frac{\pi}{2} \\
 x &amp;= \frac{\pi}{4} \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\
\text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x&lt;/math&gt; pada:
## di titik (-3,-3)!
## berabsis 2!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= (-3)^2-2(3)-8 \\
 f'(x) &amp;= -5 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-3) &amp;= -5 (x-(-3)) \\
 y+3 &amp;= -5x-15 \\
 y &amp;= -5x-18 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\

 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= 2^2-2(2)-8 \\
 f'(x) &amp;= -8 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-\frac{52}{3}) &amp;= -8 (x-2) \\
 y+\frac{52}{3} &amp;= -8x+16 \\
 y &amp;= -8x-\frac{4}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=3x^2-11x+10&lt;/math&gt; dan:
## sejajar dengan 7x-y=21!
## tegak lurus dengan 5y-x=10!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 7x-y &amp;= 21 \\
 y &amp;= 7x-21 \\
 
 m_1 &amp;= 7 \\
\text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\
 m_2 &amp;= m_1 \\
 m_2 &amp;= 7 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 7 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 18 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(3)^2-11(3)+10 \\
 &amp;= 4 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-4 &amp;= 7 (x-3) \\
 y-4 &amp;= 7x-21 \\
 y &amp;= 7x-17 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 5y-x &amp;= 10 \\
 5y &amp;= x+10 \\
 y &amp;= \frac{x}{5}+2 \\
 
 m_1 &amp;= \frac{1}{5} \\
\text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\
 m_2 &amp;= -5 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 -5 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 1 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(1)^2-11(1)+10 \\
 &amp;= 2 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-2 &amp;= -5 (x-1) \\
 y-2 &amp;= -5x+5 \\
 y &amp;= -5x+7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal tinggi adalah x } \\
 t = x, p &amp;= 45-2x, l = 24-2x \\
 v &amp;= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\
  &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\

 \text{agar volume maksimum adalah  v'(x) = 0} \\
 v(x) &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\
 v'(x) &amp;= 12x^2 - 376x - 1080 \\
 v'(x) &amp;=  0 \\
 12x^2 - 376x - 1080 &amp;= 0 \\
 12(x^2 - 23x - 90) &amp;= 0 \\
 x^2 - 23x - 90 &amp;= 0 \\
 (x - 18)(x - 5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= 18 \text{ atau } x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\
 x + y &amp;= 40 \\
 y &amp;= 40 - x \\
 
 \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah  h'(x) = 0 } \\
 h(x) &amp;= x \cdot y \\
 h(x) &amp;= x \cdot (40 - x) \\
 h(x) &amp;= 40x - x^2 \\
 h'(x) &amp;= 40 - 2x \\
 h'(x) &amp;=  0 \\
 40 - 2x &amp;= 0 \\
 2x &amp;= 40 \\
 x &amp;= 20 \\

 h(x) = 20 \cdot (40 - 20) \\
 h(x) = 20 \cdot 20 \\
 h(x) = 400 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi hasil kalinya adalah 400
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=15!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 3x^2-2y y' &amp;= 0 \\
 2y y' &amp;= 3x^2 \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 x^3-y^2-15 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 3x^2 \\
 y'(y) &amp;= -2y \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{3x^2}{-2y} \\
 &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x+2y!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 2xy+x^2\frac{dy}{dx}+y^2+x2y\frac{dy}{dx} &amp;= 1+2\frac{dy}{dx} \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>pafch5d6bo6xhh8jko6q1td6zt5y184</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107416</id>
      <parentid>107415</parentid>
      <timestamp>2025-06-20T00:02:30Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Persamaan garis singgung kurva */</comment>
      <origin>107416</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="16952" sha1="iqpjat4f4cjylqajqus17t02a9hr6y0" xml:space="preserve">== Kaidah umum == 
:&lt;math&gt;\left({cf}\right)' = cf'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f + g}\right)' = f' + g'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f - g}\right)' = f' - g'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah darab]]
:&lt;math&gt;\left({fg}\right)' = f'g + fg'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah timbalbalik]]
:&lt;math&gt;\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah hasil-bagi]]
:&lt;math&gt;\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah rantai]]
:&lt;math&gt;(f \circ g)' = (f' \circ g)g'&lt;/math&gt;
;Turunan [[fungsi invers]]
:&lt;math&gt;(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}&lt;/math&gt;
untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada
;Kaidah pangkat umum
:&lt;math&gt;(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)&lt;/math&gt;

== Rumus sederhana ==
: &lt;math&gt;c' = 0 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x' = 1 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;(cx)' = c \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 y &amp;= |x| \\
 y^2 &amp;= x^2 \\
 2y y' &amp;= 2x \\
 y' &amp;= \frac{x}{y} \\
  &amp;= \frac{x}{|x|} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: &lt;math&gt;(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x &gt; 0&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt; \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(e^x\right)' = e^x&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}&lt;/math&gt;

; Trigonometri
{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt; (\sin x)' = \cos x \,&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt; (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cos x)' = -\sin x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\sec x)' = \sec x \tan x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\csc x)' = -\csc x \cot x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|}

* Tambahkan:
** &lt;math&gt; (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin u)' = u' \cos u \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
Perhatikan sebagai berikut
: &lt;math&gt;sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt;(\sinh x )'= \cosh x&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\cosh x )'= \sinh x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}&lt;/math&gt;
|}

:: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

; implisit
*cara 1
: &lt;math&gt;ax + by = 1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b y' = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y' = -\frac{a}{b}&lt;/math&gt;

*cara 2
persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi &lt;math&gt;\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}&lt;/math&gt;

== Laju perubahan (rata-rata) ==
Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = &lt;math&gt;\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}&lt;/math&gt;

== Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam ==
: Persamaan kuadrat
:: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

:: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

: Persamaan kubik
Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.
:: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta &gt; 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta &lt; 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

== Persamaan garis singgung kurva ==
Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = &lt;math&gt;\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}&lt;/math&gt;

contoh:

# Berapa laju perubahaan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3 pada:
## x=5!
## interval 2&lt;x&lt;3!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= x^2-4x+3 \\
 f'(x) &amp;= 2x-4 \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(5)}{5} \\
  &amp;= \frac{2(5)-4}{5} \\
  &amp;= \frac{6}{5} \\
  &amp;= 1.2 \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{3}{1} \\
  &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada:
## x=&lt;math&gt;\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;!
## interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= sin x-cos x \\
 f'(x) &amp;= cos x+sin x \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= 3 (\sqrt{3}+1) \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\
 f'(x) &amp;= x^2-6x-16 \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 x^2-6x-16 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x-8) &amp;= 0 \\
 x=-2 &amp;\text{ atau } x=8 \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 f''(-2) &amp;= 2(2)-6 = -2 &lt; 0 \\
 f''(8) &amp;= 2(8)-6 = 10 &gt; 0 \\
\text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(-2) &amp;= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\
 &amp;= \frac{160}{3} \\
 f(8) &amp;= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\
 &amp;= -\frac{1.386}{3} \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 2x-6 &amp;= 0 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(3) &amp;= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\
 f(3) &amp;= -30 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\

\text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x&lt;-2 \text{ atau } x&gt;8 \text{ dan turun jika } -2&lt;x&lt;8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=1-2cos 2x&lt;/math&gt; pada batas-batas interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= 1-2cos 2x \\
 f'(x) &amp;= 4sin 2x \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 4sin 2x &amp;= 0 \\
 8sin x \cdot cos x &amp;= 0 \\
 (sin x)(cos x) &amp;= 0 \\
 x=0 &amp;\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 f''(0) &amp;= 8cos 2(0) = 8 &gt; 0 \\
 f''(\frac{\pi}{2}) &amp;= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 &lt; 0 \\
\text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(0) &amp;= 1-2cos 2(0) \\
 &amp;= -1 \\
 f(\frac{\pi}{2}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\
 &amp;= 3 \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 8cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= cos \frac{\pi}{2} \\
 2x &amp;= \frac{\pi}{2} \\
 x &amp;= \frac{\pi}{4} \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\
\text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x&lt;/math&gt; pada:
## di titik (-3,-3)!
## berabsis 2!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= (-3)^2-2(3)-8 \\
 f'(x) &amp;= -5 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-3) &amp;= -5 (x-(-3)) \\
 y+3 &amp;= -5x-15 \\
 y &amp;= -5x-18 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\

 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= 2^2-2(2)-8 \\
 f'(x) &amp;= -8 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-\frac{52}{3}) &amp;= -8 (x-2) \\
 y+\frac{52}{3} &amp;= -8x+16 \\
 y &amp;= -8x-\frac{4}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=3x^2-11x+10&lt;/math&gt; dan:
## sejajar dengan 7x-y=21!
## tegak lurus dengan 5y-x=10!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 7x-y &amp;= 21 \\
 y &amp;= 7x-21 \\
 
 m_1 &amp;= 7 \\
\text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\
 m_2 &amp;= m_1 \\
 m_2 &amp;= 7 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 7 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 18 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(3)^2-11(3)+10 \\
 &amp;= 4 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-4 &amp;= 7 (x-3) \\
 y-4 &amp;= 7x-21 \\
 y &amp;= 7x-17 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 5y-x &amp;= 10 \\
 5y &amp;= x+10 \\
 y &amp;= \frac{x}{5}+2 \\
 
 m_1 &amp;= \frac{1}{5} \\
\text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\
 m_2 &amp;= -5 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 -5 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 1 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(1)^2-11(1)+10 \\
 &amp;= 2 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-2 &amp;= -5 (x-1) \\
 y-2 &amp;= -5x+5 \\
 y &amp;= -5x+7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal tinggi adalah x } \\
 t = x, p &amp;= 45-2x, l = 24-2x \\
 v &amp;= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\
  &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\

 \text{agar volume maksimum adalah  v'(x) = 0} \\
 v(x) &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\
 v'(x) &amp;= 12x^2 - 376x - 1080 \\
 v'(x) &amp;=  0 \\
 12x^2 - 376x - 1080 &amp;= 0 \\
 12(x^2 - 23x - 90) &amp;= 0 \\
 x^2 - 23x - 90 &amp;= 0 \\
 (x - 18)(x - 5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= 18 \text{ atau } x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\
 x + y &amp;= 40 \\
 y &amp;= 40 - x \\
 
 \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah  h'(x) = 0 } \\
 h(x) &amp;= x \cdot y \\
 h(x) &amp;= x \cdot (40 - x) \\
 h(x) &amp;= 40x - x^2 \\
 h'(x) &amp;= 40 - 2x \\
 h'(x) &amp;=  0 \\
 40 - 2x &amp;= 0 \\
 2x &amp;= 40 \\
 x &amp;= 20 \\

 h(x) = 20 \cdot (40 - 20) \\
 h(x) = 20 \cdot 20 \\
 h(x) = 400 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi hasil kalinya adalah 400
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=15!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 3x^2-2y y' &amp;= 0 \\
 2y y' &amp;= 3x^2 \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 x^3-y^2-15 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 3x^2 \\
 y'(y) &amp;= -2y \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{3x^2}{-2y} \\
 &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x+2y!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 2xy+x^2\frac{dy}{dx}+y^2+x2y\frac{dy}{dx} &amp;= 1+2\frac{dy}{dx} \\
 x^2\frac{dy}{dx}+x2y\frac{dy}{dx}-2\frac{dy}{dx} &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 (x^2+x2y-2)\frac{dy}{dx} &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 \frac{dy}{dx} &amp;= \frac{1-2xy-y^2}{x^2+x2y-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>iqpjat4f4cjylqajqus17t02a9hr6y0</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107417</id>
      <parentid>107416</parentid>
      <timestamp>2025-06-20T00:04:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Persamaan garis singgung kurva */</comment>
      <origin>107417</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="16953" sha1="o470yhau0p1i1etevsvqht3zgk9l0rl" xml:space="preserve">== Kaidah umum == 
:&lt;math&gt;\left({cf}\right)' = cf'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f + g}\right)' = f' + g'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f - g}\right)' = f' - g'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah darab]]
:&lt;math&gt;\left({fg}\right)' = f'g + fg'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah timbalbalik]]
:&lt;math&gt;\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah hasil-bagi]]
:&lt;math&gt;\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah rantai]]
:&lt;math&gt;(f \circ g)' = (f' \circ g)g'&lt;/math&gt;
;Turunan [[fungsi invers]]
:&lt;math&gt;(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}&lt;/math&gt;
untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada
;Kaidah pangkat umum
:&lt;math&gt;(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)&lt;/math&gt;

== Rumus sederhana ==
: &lt;math&gt;c' = 0 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x' = 1 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;(cx)' = c \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 y &amp;= |x| \\
 y^2 &amp;= x^2 \\
 2y y' &amp;= 2x \\
 y' &amp;= \frac{x}{y} \\
  &amp;= \frac{x}{|x|} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: &lt;math&gt;(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x &gt; 0&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt; \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(e^x\right)' = e^x&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}&lt;/math&gt;

; Trigonometri
{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt; (\sin x)' = \cos x \,&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt; (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cos x)' = -\sin x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\sec x)' = \sec x \tan x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\csc x)' = -\csc x \cot x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|}

* Tambahkan:
** &lt;math&gt; (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin u)' = u' \cos u \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
Perhatikan sebagai berikut
: &lt;math&gt;sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt;(\sinh x )'= \cosh x&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\cosh x )'= \sinh x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}&lt;/math&gt;
|}

:: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

; implisit
*cara 1
: &lt;math&gt;ax + by = 1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b y' = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y' = -\frac{a}{b}&lt;/math&gt;

*cara 2
persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi &lt;math&gt;\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}&lt;/math&gt;

== Laju perubahan (rata-rata) ==
Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = &lt;math&gt;\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}&lt;/math&gt;

== Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam ==
: Persamaan kuadrat
:: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

:: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

: Persamaan kubik
Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.
:: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta &gt; 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta &lt; 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

== Persamaan garis singgung kurva ==
Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = &lt;math&gt;\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}&lt;/math&gt;

contoh:

# Berapa laju perubahaan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3 pada:
## x=5!
## interval 2&lt;x&lt;3!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= x^2-4x+3 \\
 f'(x) &amp;= 2x-4 \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(5)}{5} \\
  &amp;= \frac{2(5)-4}{5} \\
  &amp;= \frac{6}{5} \\
  &amp;= 1.2 \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{3}{1} \\
  &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada:
## x=&lt;math&gt;\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;!
## interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= sin x-cos x \\
 f'(x) &amp;= cos x+sin x \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= 3 (\sqrt{3}+1) \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\
 f'(x) &amp;= x^2-6x-16 \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 x^2-6x-16 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x-8) &amp;= 0 \\
 x=-2 &amp;\text{ atau } x=8 \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 f''(-2) &amp;= 2(2)-6 = -2 &lt; 0 \\
 f''(8) &amp;= 2(8)-6 = 10 &gt; 0 \\
\text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(-2) &amp;= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\
 &amp;= \frac{160}{3} \\
 f(8) &amp;= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\
 &amp;= -\frac{1.386}{3} \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 2x-6 &amp;= 0 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(3) &amp;= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\
 f(3) &amp;= -30 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\

\text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x&lt;-2 \text{ atau } x&gt;8 \text{ dan turun jika } -2&lt;x&lt;8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=1-2cos 2x&lt;/math&gt; pada batas-batas interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= 1-2cos 2x \\
 f'(x) &amp;= 4sin 2x \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 4sin 2x &amp;= 0 \\
 8sin x \cdot cos x &amp;= 0 \\
 (sin x)(cos x) &amp;= 0 \\
 x=0 &amp;\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 f''(0) &amp;= 8cos 2(0) = 8 &gt; 0 \\
 f''(\frac{\pi}{2}) &amp;= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 &lt; 0 \\
\text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(0) &amp;= 1-2cos 2(0) \\
 &amp;= -1 \\
 f(\frac{\pi}{2}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\
 &amp;= 3 \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 8cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= cos \frac{\pi}{2} \\
 2x &amp;= \frac{\pi}{2} \\
 x &amp;= \frac{\pi}{4} \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\
\text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x&lt;/math&gt; pada:
## di titik (-3,-3)!
## berabsis 2!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= (-3)^2-2(3)-8 \\
 f'(x) &amp;= -5 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-3) &amp;= -5 (x-(-3)) \\
 y+3 &amp;= -5x-15 \\
 y &amp;= -5x-18 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\

 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= 2^2-2(2)-8 \\
 f'(x) &amp;= -8 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-\frac{52}{3}) &amp;= -8 (x-2) \\
 y+\frac{52}{3} &amp;= -8x+16 \\
 y &amp;= -8x-\frac{4}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=3x^2-11x+10&lt;/math&gt; dan:
## sejajar dengan 7x-y=21!
## tegak lurus dengan 5y-x=10!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 7x-y &amp;= 21 \\
 y &amp;= 7x-21 \\
 
 m_1 &amp;= 7 \\
\text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\
 m_2 &amp;= m_1 \\
 m_2 &amp;= 7 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 7 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 18 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(3)^2-11(3)+10 \\
 &amp;= 4 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-4 &amp;= 7 (x-3) \\
 y-4 &amp;= 7x-21 \\
 y &amp;= 7x-17 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 5y-x &amp;= 10 \\
 5y &amp;= x+10 \\
 y &amp;= \frac{x}{5}+2 \\
 
 m_1 &amp;= \frac{1}{5} \\
\text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\
 m_2 &amp;= -5 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 -5 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 1 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(1)^2-11(1)+10 \\
 &amp;= 2 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-2 &amp;= -5 (x-1) \\
 y-2 &amp;= -5x+5 \\
 y &amp;= -5x+7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal tinggi adalah x } \\
 t = x, p &amp;= 45-2x, l = 24-2x \\
 v &amp;= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\
  &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\

 \text{agar volume maksimum adalah  v'(x) = 0} \\
 v(x) &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\
 v'(x) &amp;= 12x^2 - 376x - 1080 \\
 v'(x) &amp;=  0 \\
 12x^2 - 376x - 1080 &amp;= 0 \\
 12(x^2 - 23x - 90) &amp;= 0 \\
 x^2 - 23x - 90 &amp;= 0 \\
 (x - 18)(x - 5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= 18 \text{ atau } x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\
 x + y &amp;= 40 \\
 y &amp;= 40 - x \\
 
 \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah  h'(x) = 0 } \\
 h(x) &amp;= x \cdot y \\
 h(x) &amp;= x \cdot (40 - x) \\
 h(x) &amp;= 40x - x^2 \\
 h'(x) &amp;= 40 - 2x \\
 h'(x) &amp;=  0 \\
 40 - 2x &amp;= 0 \\
 2x &amp;= 40 \\
 x &amp;= 20 \\

 h(x) = 20 \cdot (40 - 20) \\
 h(x) = 20 \cdot 20 \\
 h(x) = 400 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi hasil kalinya adalah 400
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=15!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 3x^2-2y y' &amp;= 0 \\
 2y y' &amp;= 3x^2 \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 x^3-y^2-15 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 3x^2 \\
 y'(y) &amp;= -2y \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{3x^2}{-2y} \\
 &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x+2y!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 2xy+x^2\frac{dy}{dx}+y^2+x2y\frac{dy}{dx} &amp;= 1+2\frac{dy}{dx} \\
 x^2\frac{dy}{dx}+x2y\frac{dy}{dx}-2\frac{dy}{dx} &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 (x^2+2xy-2)\frac{dy}{dx} &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 \frac{dy}{dx} &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>o470yhau0p1i1etevsvqht3zgk9l0rl</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107418</id>
      <parentid>107417</parentid>
      <timestamp>2025-06-20T00:08:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Persamaan garis singgung kurva */</comment>
      <origin>107418</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="16953" sha1="igsuxstsrdzxklgivsh95ueq1ukgdly" xml:space="preserve">== Kaidah umum == 
:&lt;math&gt;\left({cf}\right)' = cf'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f + g}\right)' = f' + g'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f - g}\right)' = f' - g'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah darab]]
:&lt;math&gt;\left({fg}\right)' = f'g + fg'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah timbalbalik]]
:&lt;math&gt;\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah hasil-bagi]]
:&lt;math&gt;\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah rantai]]
:&lt;math&gt;(f \circ g)' = (f' \circ g)g'&lt;/math&gt;
;Turunan [[fungsi invers]]
:&lt;math&gt;(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}&lt;/math&gt;
untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada
;Kaidah pangkat umum
:&lt;math&gt;(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)&lt;/math&gt;

== Rumus sederhana ==
: &lt;math&gt;c' = 0 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x' = 1 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;(cx)' = c \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 y &amp;= |x| \\
 y^2 &amp;= x^2 \\
 2y y' &amp;= 2x \\
 y' &amp;= \frac{x}{y} \\
  &amp;= \frac{x}{|x|} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: &lt;math&gt;(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x &gt; 0&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt; \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(e^x\right)' = e^x&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}&lt;/math&gt;

; Trigonometri
{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt; (\sin x)' = \cos x \,&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt; (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cos x)' = -\sin x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\sec x)' = \sec x \tan x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\csc x)' = -\csc x \cot x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|}

* Tambahkan:
** &lt;math&gt; (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin u)' = u' \cos u \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
Perhatikan sebagai berikut
: &lt;math&gt;sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt;(\sinh x )'= \cosh x&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\cosh x )'= \sinh x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}&lt;/math&gt;
|}

:: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

; implisit
*cara 1
: &lt;math&gt;ax + by = 1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b y' = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y' = -\frac{a}{b}&lt;/math&gt;

*cara 2
persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi &lt;math&gt;\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}&lt;/math&gt;

== Laju perubahan (rata-rata) ==
Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = &lt;math&gt;\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}&lt;/math&gt;

== Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam ==
: Persamaan kuadrat
:: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

:: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

: Persamaan kubik
Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.
:: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta &gt; 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta &lt; 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

== Persamaan garis singgung kurva ==
Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = &lt;math&gt;\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}&lt;/math&gt;

contoh:

# Berapa laju perubahaan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3 pada:
## x=5!
## interval 2&lt;x&lt;3!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= x^2-4x+3 \\
 f'(x) &amp;= 2x-4 \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(5)}{5} \\
  &amp;= \frac{2(5)-4}{5} \\
  &amp;= \frac{6}{5} \\
  &amp;= 1.2 \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{3}{1} \\
  &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada:
## x=&lt;math&gt;\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;!
## interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= sin x-cos x \\
 f'(x) &amp;= cos x+sin x \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= 3 (\sqrt{3}+1) \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\
 f'(x) &amp;= x^2-6x-16 \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 x^2-6x-16 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x-8) &amp;= 0 \\
 x=-2 &amp;\text{ atau } x=8 \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 f''(-2) &amp;= 2(2)-6 = -2 &lt; 0 \\
 f''(8) &amp;= 2(8)-6 = 10 &gt; 0 \\
\text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(-2) &amp;= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\
 &amp;= \frac{160}{3} \\
 f(8) &amp;= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\
 &amp;= -\frac{1.386}{3} \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 2x-6 &amp;= 0 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(3) &amp;= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\
 f(3) &amp;= -30 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\

\text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x&lt;-2 \text{ atau } x&gt;8 \text{ dan turun jika } -2&lt;x&lt;8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=1-2cos 2x&lt;/math&gt; pada batas-batas interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= 1-2cos 2x \\
 f'(x) &amp;= 4sin 2x \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 4sin 2x &amp;= 0 \\
 8sin x \cdot cos x &amp;= 0 \\
 (sin x)(cos x) &amp;= 0 \\
 x=0 &amp;\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 f''(0) &amp;= 8cos 2(0) = 8 &gt; 0 \\
 f''(\frac{\pi}{2}) &amp;= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 &lt; 0 \\
\text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(0) &amp;= 1-2cos 2(0) \\
 &amp;= -1 \\
 f(\frac{\pi}{2}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\
 &amp;= 3 \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 8cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= cos \frac{\pi}{2} \\
 2x &amp;= \frac{\pi}{2} \\
 x &amp;= \frac{\pi}{4} \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\
\text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x&lt;/math&gt; pada:
## di titik (-3,-3)!
## berabsis 2!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= (-3)^2-2(3)-8 \\
 f'(x) &amp;= -5 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-3) &amp;= -5 (x-(-3)) \\
 y+3 &amp;= -5x-15 \\
 y &amp;= -5x-18 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\

 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= 2^2-2(2)-8 \\
 f'(x) &amp;= -8 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-\frac{52}{3}) &amp;= -8 (x-2) \\
 y+\frac{52}{3} &amp;= -8x+16 \\
 y &amp;= -8x-\frac{4}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=3x^2-11x+10&lt;/math&gt; dan:
## sejajar dengan 7x-y=21!
## tegak lurus dengan 5y-x=10!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 7x-y &amp;= 21 \\
 y &amp;= 7x-21 \\
 
 m_1 &amp;= 7 \\
\text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\
 m_2 &amp;= m_1 \\
 m_2 &amp;= 7 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 7 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 18 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(3)^2-11(3)+10 \\
 &amp;= 4 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-4 &amp;= 7 (x-3) \\
 y-4 &amp;= 7x-21 \\
 y &amp;= 7x-17 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 5y-x &amp;= 10 \\
 5y &amp;= x+10 \\
 y &amp;= \frac{x}{5}+2 \\
 
 m_1 &amp;= \frac{1}{5} \\
\text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\
 m_2 &amp;= -5 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 -5 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 1 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(1)^2-11(1)+10 \\
 &amp;= 2 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-2 &amp;= -5 (x-1) \\
 y-2 &amp;= -5x+5 \\
 y &amp;= -5x+7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal tinggi adalah x } \\
 t = x, p &amp;= 45-2x, l = 24-2x \\
 v &amp;= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\
  &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\

 \text{agar volume maksimum adalah  v'(x) = 0} \\
 v(x) &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\
 v'(x) &amp;= 12x^2 - 376x - 1080 \\
 v'(x) &amp;=  0 \\
 12x^2 - 376x - 1080 &amp;= 0 \\
 12(x^2 - 23x - 90) &amp;= 0 \\
 x^2 - 23x - 90 &amp;= 0 \\
 (x - 18)(x - 5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= 18 \text{ atau } x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\
 x + y &amp;= 40 \\
 y &amp;= 40 - x \\
 
 \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah  h'(x) = 0 } \\
 h(x) &amp;= x \cdot y \\
 h(x) &amp;= x \cdot (40 - x) \\
 h(x) &amp;= 40x - x^2 \\
 h'(x) &amp;= 40 - 2x \\
 h'(x) &amp;=  0 \\
 40 - 2x &amp;= 0 \\
 2x &amp;= 40 \\
 x &amp;= 20 \\

 h(x) = 20 \cdot (40 - 20) \\
 h(x) = 20 \cdot 20 \\
 h(x) = 400 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi hasil kalinya adalah 400
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=15!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 3x^2-2y y' &amp;= 0 \\
 2y y' &amp;= 3x^2 \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 x^3-y^2-15 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 3x^2 \\
 y'(y) &amp;= -2y \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{3x^2}{-2y} \\
 &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x+2y!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 2xy+x^2\frac{dy}{dx}+y^2+x2y\frac{dy}{dx} &amp;= 1+2\frac{dy}{dx} \\
 x^2\frac{dy}{dx}+2xy\frac{dy}{dx}-2\frac{dy}{dx} &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 (x^2+2xy-2)\frac{dy}{dx} &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 \frac{dy}{dx} &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>igsuxstsrdzxklgivsh95ueq1ukgdly</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107419</id>
      <parentid>107418</parentid>
      <timestamp>2025-06-20T00:09:49Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Persamaan garis singgung kurva */</comment>
      <origin>107419</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="16954" sha1="btvvr1wwqzh2a8n15htpafsx7vn9hy3" xml:space="preserve">== Kaidah umum == 
:&lt;math&gt;\left({cf}\right)' = cf'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f + g}\right)' = f' + g'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f - g}\right)' = f' - g'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah darab]]
:&lt;math&gt;\left({fg}\right)' = f'g + fg'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah timbalbalik]]
:&lt;math&gt;\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah hasil-bagi]]
:&lt;math&gt;\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah rantai]]
:&lt;math&gt;(f \circ g)' = (f' \circ g)g'&lt;/math&gt;
;Turunan [[fungsi invers]]
:&lt;math&gt;(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}&lt;/math&gt;
untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada
;Kaidah pangkat umum
:&lt;math&gt;(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)&lt;/math&gt;

== Rumus sederhana ==
: &lt;math&gt;c' = 0 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x' = 1 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;(cx)' = c \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 y &amp;= |x| \\
 y^2 &amp;= x^2 \\
 2y y' &amp;= 2x \\
 y' &amp;= \frac{x}{y} \\
  &amp;= \frac{x}{|x|} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: &lt;math&gt;(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x &gt; 0&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt; \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(e^x\right)' = e^x&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}&lt;/math&gt;

; Trigonometri
{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt; (\sin x)' = \cos x \,&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt; (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cos x)' = -\sin x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\sec x)' = \sec x \tan x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\csc x)' = -\csc x \cot x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|}

* Tambahkan:
** &lt;math&gt; (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin u)' = u' \cos u \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
Perhatikan sebagai berikut
: &lt;math&gt;sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt;(\sinh x )'= \cosh x&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\cosh x )'= \sinh x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}&lt;/math&gt;
|}

:: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

; implisit
*cara 1
: &lt;math&gt;ax + by = 1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b y' = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y' = -\frac{a}{b}&lt;/math&gt;

*cara 2
persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi &lt;math&gt;\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}&lt;/math&gt;

== Laju perubahan (rata-rata) ==
Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = &lt;math&gt;\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}&lt;/math&gt;

== Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam ==
: Persamaan kuadrat
:: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

:: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

: Persamaan kubik
Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.
:: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta &gt; 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta &lt; 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

== Persamaan garis singgung kurva ==
Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = &lt;math&gt;\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}&lt;/math&gt;

contoh:

# Berapa laju perubahaan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3 pada:
## x=5!
## interval 2&lt;x&lt;3!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= x^2-4x+3 \\
 f'(x) &amp;= 2x-4 \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(5)}{5} \\
  &amp;= \frac{2(5)-4}{5} \\
  &amp;= \frac{6}{5} \\
  &amp;= 1.2 \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{3}{1} \\
  &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada:
## x=&lt;math&gt;\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;!
## interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= sin x-cos x \\
 f'(x) &amp;= cos x+sin x \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= 3 (\sqrt{3}+1) \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\
 f'(x) &amp;= x^2-6x-16 \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 x^2-6x-16 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x-8) &amp;= 0 \\
 x=-2 &amp;\text{ atau } x=8 \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 f''(-2) &amp;= 2(2)-6 = -2 &lt; 0 \\
 f''(8) &amp;= 2(8)-6 = 10 &gt; 0 \\
\text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(-2) &amp;= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\
 &amp;= \frac{160}{3} \\
 f(8) &amp;= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\
 &amp;= -\frac{1.386}{3} \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 2x-6 &amp;= 0 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(3) &amp;= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\
 f(3) &amp;= -30 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\

\text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x&lt;-2 \text{ atau } x&gt;8 \text{ dan turun jika } -2&lt;x&lt;8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=1-2cos 2x&lt;/math&gt; pada batas-batas interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= 1-2cos 2x \\
 f'(x) &amp;= 4sin 2x \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 4sin 2x &amp;= 0 \\
 8sin x \cdot cos x &amp;= 0 \\
 (sin x)(cos x) &amp;= 0 \\
 x=0 &amp;\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 f''(0) &amp;= 8cos 2(0) = 8 &gt; 0 \\
 f''(\frac{\pi}{2}) &amp;= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 &lt; 0 \\
\text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(0) &amp;= 1-2cos 2(0) \\
 &amp;= -1 \\
 f(\frac{\pi}{2}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\
 &amp;= 3 \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 8cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= cos \frac{\pi}{2} \\
 2x &amp;= \frac{\pi}{2} \\
 x &amp;= \frac{\pi}{4} \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\
\text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x&lt;/math&gt; pada:
## di titik (-3,-3)!
## berabsis 2!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= (-3)^2-2(3)-8 \\
 f'(x) &amp;= -5 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-3) &amp;= -5 (x-(-3)) \\
 y+3 &amp;= -5x-15 \\
 y &amp;= -5x-18 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\

 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= 2^2-2(2)-8 \\
 f'(x) &amp;= -8 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-\frac{52}{3}) &amp;= -8 (x-2) \\
 y+\frac{52}{3} &amp;= -8x+16 \\
 y &amp;= -8x-\frac{4}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=3x^2-11x+10&lt;/math&gt; dan:
## sejajar dengan 7x-y=21!
## tegak lurus dengan 5y-x=10!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 7x-y &amp;= 21 \\
 y &amp;= 7x-21 \\
 
 m_1 &amp;= 7 \\
\text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\
 m_2 &amp;= m_1 \\
 m_2 &amp;= 7 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 7 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 18 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(3)^2-11(3)+10 \\
 &amp;= 4 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-4 &amp;= 7 (x-3) \\
 y-4 &amp;= 7x-21 \\
 y &amp;= 7x-17 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 5y-x &amp;= 10 \\
 5y &amp;= x+10 \\
 y &amp;= \frac{x}{5}+2 \\
 
 m_1 &amp;= \frac{1}{5} \\
\text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\
 m_2 &amp;= -5 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 -5 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 1 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(1)^2-11(1)+10 \\
 &amp;= 2 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-2 &amp;= -5 (x-1) \\
 y-2 &amp;= -5x+5 \\
 y &amp;= -5x+7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal tinggi adalah x } \\
 t = x, p &amp;= 45-2x, l = 24-2x \\
 v &amp;= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\
  &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\

 \text{agar volume maksimum adalah  v'(x) = 0} \\
 v(x) &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\
 v'(x) &amp;= 12x^2 - 376x - 1080 \\
 v'(x) &amp;=  0 \\
 12x^2 - 376x - 1080 &amp;= 0 \\
 12(x^2 - 23x - 90) &amp;= 0 \\
 x^2 - 23x - 90 &amp;= 0 \\
 (x - 18)(x - 5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= 18 \text{ atau } x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\
 x + y &amp;= 40 \\
 y &amp;= 40 - x \\
 
 \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah  h'(x) = 0 } \\
 h(x) &amp;= x \cdot y \\
 h(x) &amp;= x \cdot (40 - x) \\
 h(x) &amp;= 40x - x^2 \\
 h'(x) &amp;= 40 - 2x \\
 h'(x) &amp;=  0 \\
 40 - 2x &amp;= 0 \\
 2x &amp;= 40 \\
 x &amp;= 20 \\

 h(x) = 20 \cdot (40 - 20) \\
 h(x) = 20 \cdot 20 \\
 h(x) = 400 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi hasil kalinya adalah 400
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=15!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 3x^2-2y y' &amp;= 0 \\
 2y y' &amp;= 3x^2 \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 x^3-y^2-15 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 3x^2 \\
 y'(y) &amp;= -2y \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{3x^2}{-2y} \\
 &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x+2y!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 2xy+x^2\frac{dy}{dx}+y^2+x2y\frac{dy}{dx} &amp;= 1+2\frac{dy}{dx} \\
 x^2\frac{dy}{dx}+2xy\frac{dy}{dx}-2\frac{dy}{dx} &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 (x^2+2xy-2)\frac{dy}{dx} &amp;= -y^2-2xy+1 \\
 \frac{dy}{dx} &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>btvvr1wwqzh2a8n15htpafsx7vn9hy3</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107420</id>
      <parentid>107419</parentid>
      <timestamp>2025-06-20T00:22:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Persamaan garis singgung kurva */</comment>
      <origin>107420</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17524" sha1="smiiie3u6o5kifk1990cddfpdtg3egu" xml:space="preserve">== Kaidah umum == 
:&lt;math&gt;\left({cf}\right)' = cf'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f + g}\right)' = f' + g'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f - g}\right)' = f' - g'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah darab]]
:&lt;math&gt;\left({fg}\right)' = f'g + fg'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah timbalbalik]]
:&lt;math&gt;\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah hasil-bagi]]
:&lt;math&gt;\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah rantai]]
:&lt;math&gt;(f \circ g)' = (f' \circ g)g'&lt;/math&gt;
;Turunan [[fungsi invers]]
:&lt;math&gt;(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}&lt;/math&gt;
untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada
;Kaidah pangkat umum
:&lt;math&gt;(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)&lt;/math&gt;

== Rumus sederhana ==
: &lt;math&gt;c' = 0 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x' = 1 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;(cx)' = c \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 y &amp;= |x| \\
 y^2 &amp;= x^2 \\
 2y y' &amp;= 2x \\
 y' &amp;= \frac{x}{y} \\
  &amp;= \frac{x}{|x|} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: &lt;math&gt;(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x &gt; 0&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt; \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(e^x\right)' = e^x&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}&lt;/math&gt;

; Trigonometri
{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt; (\sin x)' = \cos x \,&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt; (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cos x)' = -\sin x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\sec x)' = \sec x \tan x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\csc x)' = -\csc x \cot x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|}

* Tambahkan:
** &lt;math&gt; (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin u)' = u' \cos u \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
Perhatikan sebagai berikut
: &lt;math&gt;sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt;(\sinh x )'= \cosh x&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\cosh x )'= \sinh x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}&lt;/math&gt;
|}

:: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

; implisit
*cara 1
: &lt;math&gt;ax + by = 1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b y' = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y' = -\frac{a}{b}&lt;/math&gt;

*cara 2
persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi &lt;math&gt;\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}&lt;/math&gt;

== Laju perubahan (rata-rata) ==
Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = &lt;math&gt;\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}&lt;/math&gt;

== Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam ==
: Persamaan kuadrat
:: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

:: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

: Persamaan kubik
Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.
:: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta &gt; 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta &lt; 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

== Persamaan garis singgung kurva ==
Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = &lt;math&gt;\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}&lt;/math&gt;

contoh:

# Berapa laju perubahaan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3 pada:
## x=5!
## interval 2&lt;x&lt;3!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= x^2-4x+3 \\
 f'(x) &amp;= 2x-4 \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(5)}{5} \\
  &amp;= \frac{2(5)-4}{5} \\
  &amp;= \frac{6}{5} \\
  &amp;= 1.2 \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{3}{1} \\
  &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada:
## x=&lt;math&gt;\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;!
## interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= sin x-cos x \\
 f'(x) &amp;= cos x+sin x \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= 3 (\sqrt{3}+1) \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\
 f'(x) &amp;= x^2-6x-16 \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 x^2-6x-16 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x-8) &amp;= 0 \\
 x=-2 &amp;\text{ atau } x=8 \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 f''(-2) &amp;= 2(2)-6 = -2 &lt; 0 \\
 f''(8) &amp;= 2(8)-6 = 10 &gt; 0 \\
\text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(-2) &amp;= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\
 &amp;= \frac{160}{3} \\
 f(8) &amp;= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\
 &amp;= -\frac{1.386}{3} \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 2x-6 &amp;= 0 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(3) &amp;= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\
 f(3) &amp;= -30 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\

\text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x&lt;-2 \text{ atau } x&gt;8 \text{ dan turun jika } -2&lt;x&lt;8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=1-2cos 2x&lt;/math&gt; pada batas-batas interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= 1-2cos 2x \\
 f'(x) &amp;= 4sin 2x \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 4sin 2x &amp;= 0 \\
 8sin x \cdot cos x &amp;= 0 \\
 (sin x)(cos x) &amp;= 0 \\
 x=0 &amp;\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 f''(0) &amp;= 8cos 2(0) = 8 &gt; 0 \\
 f''(\frac{\pi}{2}) &amp;= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 &lt; 0 \\
\text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(0) &amp;= 1-2cos 2(0) \\
 &amp;= -1 \\
 f(\frac{\pi}{2}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\
 &amp;= 3 \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 8cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= cos \frac{\pi}{2} \\
 2x &amp;= \frac{\pi}{2} \\
 x &amp;= \frac{\pi}{4} \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\
\text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x&lt;/math&gt; pada:
## di titik (-3,-3)!
## berabsis 2!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= (-3)^2-2(3)-8 \\
 f'(x) &amp;= -5 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-3) &amp;= -5 (x-(-3)) \\
 y+3 &amp;= -5x-15 \\
 y &amp;= -5x-18 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\

 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= 2^2-2(2)-8 \\
 f'(x) &amp;= -8 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-\frac{52}{3}) &amp;= -8 (x-2) \\
 y+\frac{52}{3} &amp;= -8x+16 \\
 y &amp;= -8x-\frac{4}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=3x^2-11x+10&lt;/math&gt; dan:
## sejajar dengan 7x-y=21!
## tegak lurus dengan 5y-x=10!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 7x-y &amp;= 21 \\
 y &amp;= 7x-21 \\
 
 m_1 &amp;= 7 \\
\text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\
 m_2 &amp;= m_1 \\
 m_2 &amp;= 7 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 7 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 18 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(3)^2-11(3)+10 \\
 &amp;= 4 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-4 &amp;= 7 (x-3) \\
 y-4 &amp;= 7x-21 \\
 y &amp;= 7x-17 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 5y-x &amp;= 10 \\
 5y &amp;= x+10 \\
 y &amp;= \frac{x}{5}+2 \\
 
 m_1 &amp;= \frac{1}{5} \\
\text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\
 m_2 &amp;= -5 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 -5 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 1 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(1)^2-11(1)+10 \\
 &amp;= 2 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-2 &amp;= -5 (x-1) \\
 y-2 &amp;= -5x+5 \\
 y &amp;= -5x+7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal tinggi adalah x } \\
 t = x, p &amp;= 45-2x, l = 24-2x \\
 v &amp;= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\
  &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\

 \text{agar volume maksimum adalah  v'(x) = 0} \\
 v(x) &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\
 v'(x) &amp;= 12x^2 - 376x - 1080 \\
 v'(x) &amp;=  0 \\
 12x^2 - 376x - 1080 &amp;= 0 \\
 12(x^2 - 23x - 90) &amp;= 0 \\
 x^2 - 23x - 90 &amp;= 0 \\
 (x - 18)(x - 5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= 18 \text{ atau } x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\
 x + y &amp;= 40 \\
 y &amp;= 40 - x \\
 
 \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah  h'(x) = 0 } \\
 h(x) &amp;= x \cdot y \\
 h(x) &amp;= x \cdot (40 - x) \\
 h(x) &amp;= 40x - x^2 \\
 h'(x) &amp;= 40 - 2x \\
 h'(x) &amp;=  0 \\
 40 - 2x &amp;= 0 \\
 2x &amp;= 40 \\
 x &amp;= 20 \\

 h(x) = 20 \cdot (40 - 20) \\
 h(x) = 20 \cdot 20 \\
 h(x) = 400 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi hasil kalinya adalah 400
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=15!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 3x^2-2y y' &amp;= 0 \\
 2y y' &amp;= 3x^2 \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 x^3-y^2-15 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 3x^2 \\
 y'(y) &amp;= -2y \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{3x^2}{-2y} \\
 &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari 3x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+xy=x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-2!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 2xy+x^2\frac{dy}{dx}+y^2+x2y\frac{dy}{dx} &amp;= 1+2\frac{dy}{dx} \\
 x^2\frac{dy}{dx}+2xy\frac{dy}{dx}-2\frac{dy}{dx} &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 (x^2+2xy-2)\frac{dy}{dx} &amp;= -y^2-2xy+1 \\
 \frac{dy}{dx} &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x+2y!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 2xy+x^2\frac{dy}{dx}+y^2+x2y\frac{dy}{dx} &amp;= 1+2\frac{dy}{dx} \\
 x^2\frac{dy}{dx}+2xy\frac{dy}{dx}-2\frac{dy}{dx} &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 (x^2+2xy-2)\frac{dy}{dx} &amp;= -y^2-2xy+1 \\
 \frac{dy}{dx} &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>smiiie3u6o5kifk1990cddfpdtg3egu</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107421</id>
      <parentid>107420</parentid>
      <timestamp>2025-06-20T00:26:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Persamaan garis singgung kurva */</comment>
      <origin>107421</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17445" sha1="gqjv899sgj594l5r5vdptzsc13axitr" xml:space="preserve">== Kaidah umum == 
:&lt;math&gt;\left({cf}\right)' = cf'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f + g}\right)' = f' + g'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f - g}\right)' = f' - g'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah darab]]
:&lt;math&gt;\left({fg}\right)' = f'g + fg'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah timbalbalik]]
:&lt;math&gt;\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah hasil-bagi]]
:&lt;math&gt;\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah rantai]]
:&lt;math&gt;(f \circ g)' = (f' \circ g)g'&lt;/math&gt;
;Turunan [[fungsi invers]]
:&lt;math&gt;(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}&lt;/math&gt;
untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada
;Kaidah pangkat umum
:&lt;math&gt;(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)&lt;/math&gt;

== Rumus sederhana ==
: &lt;math&gt;c' = 0 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x' = 1 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;(cx)' = c \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 y &amp;= |x| \\
 y^2 &amp;= x^2 \\
 2y y' &amp;= 2x \\
 y' &amp;= \frac{x}{y} \\
  &amp;= \frac{x}{|x|} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: &lt;math&gt;(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x &gt; 0&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt; \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(e^x\right)' = e^x&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}&lt;/math&gt;

; Trigonometri
{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt; (\sin x)' = \cos x \,&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt; (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cos x)' = -\sin x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\sec x)' = \sec x \tan x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\csc x)' = -\csc x \cot x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|}

* Tambahkan:
** &lt;math&gt; (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin u)' = u' \cos u \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
Perhatikan sebagai berikut
: &lt;math&gt;sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt;(\sinh x )'= \cosh x&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\cosh x )'= \sinh x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}&lt;/math&gt;
|}

:: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

; implisit
*cara 1
: &lt;math&gt;ax + by = 1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b y' = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y' = -\frac{a}{b}&lt;/math&gt;

*cara 2
persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi &lt;math&gt;\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}&lt;/math&gt;

== Laju perubahan (rata-rata) ==
Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = &lt;math&gt;\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}&lt;/math&gt;

== Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam ==
: Persamaan kuadrat
:: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

:: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

: Persamaan kubik
Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.
:: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta &gt; 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta &lt; 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

== Persamaan garis singgung kurva ==
Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = &lt;math&gt;\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}&lt;/math&gt;

contoh:

# Berapa laju perubahaan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3 pada:
## x=5!
## interval 2&lt;x&lt;3!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= x^2-4x+3 \\
 f'(x) &amp;= 2x-4 \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(5)}{5} \\
  &amp;= \frac{2(5)-4}{5} \\
  &amp;= \frac{6}{5} \\
  &amp;= 1.2 \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{3}{1} \\
  &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada:
## x=&lt;math&gt;\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;!
## interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= sin x-cos x \\
 f'(x) &amp;= cos x+sin x \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= 3 (\sqrt{3}+1) \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\
 f'(x) &amp;= x^2-6x-16 \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 x^2-6x-16 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x-8) &amp;= 0 \\
 x=-2 &amp;\text{ atau } x=8 \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 f''(-2) &amp;= 2(2)-6 = -2 &lt; 0 \\
 f''(8) &amp;= 2(8)-6 = 10 &gt; 0 \\
\text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(-2) &amp;= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\
 &amp;= \frac{160}{3} \\
 f(8) &amp;= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\
 &amp;= -\frac{1.386}{3} \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 2x-6 &amp;= 0 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(3) &amp;= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\
 f(3) &amp;= -30 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\

\text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x&lt;-2 \text{ atau } x&gt;8 \text{ dan turun jika } -2&lt;x&lt;8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=1-2cos 2x&lt;/math&gt; pada batas-batas interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= 1-2cos 2x \\
 f'(x) &amp;= 4sin 2x \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 4sin 2x &amp;= 0 \\
 8sin x \cdot cos x &amp;= 0 \\
 (sin x)(cos x) &amp;= 0 \\
 x=0 &amp;\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 f''(0) &amp;= 8cos 2(0) = 8 &gt; 0 \\
 f''(\frac{\pi}{2}) &amp;= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 &lt; 0 \\
\text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(0) &amp;= 1-2cos 2(0) \\
 &amp;= -1 \\
 f(\frac{\pi}{2}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\
 &amp;= 3 \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 8cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= cos \frac{\pi}{2} \\
 2x &amp;= \frac{\pi}{2} \\
 x &amp;= \frac{\pi}{4} \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\
\text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x&lt;/math&gt; pada:
## di titik (-3,-3)!
## berabsis 2!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= (-3)^2-2(3)-8 \\
 f'(x) &amp;= -5 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-3) &amp;= -5 (x-(-3)) \\
 y+3 &amp;= -5x-15 \\
 y &amp;= -5x-18 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\

 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= 2^2-2(2)-8 \\
 f'(x) &amp;= -8 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-\frac{52}{3}) &amp;= -8 (x-2) \\
 y+\frac{52}{3} &amp;= -8x+16 \\
 y &amp;= -8x-\frac{4}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=3x^2-11x+10&lt;/math&gt; dan:
## sejajar dengan 7x-y=21!
## tegak lurus dengan 5y-x=10!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 7x-y &amp;= 21 \\
 y &amp;= 7x-21 \\
 
 m_1 &amp;= 7 \\
\text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\
 m_2 &amp;= m_1 \\
 m_2 &amp;= 7 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 7 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 18 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(3)^2-11(3)+10 \\
 &amp;= 4 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-4 &amp;= 7 (x-3) \\
 y-4 &amp;= 7x-21 \\
 y &amp;= 7x-17 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 5y-x &amp;= 10 \\
 5y &amp;= x+10 \\
 y &amp;= \frac{x}{5}+2 \\
 
 m_1 &amp;= \frac{1}{5} \\
\text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\
 m_2 &amp;= -5 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 -5 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 1 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(1)^2-11(1)+10 \\
 &amp;= 2 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-2 &amp;= -5 (x-1) \\
 y-2 &amp;= -5x+5 \\
 y &amp;= -5x+7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal tinggi adalah x } \\
 t = x, p &amp;= 45-2x, l = 24-2x \\
 v &amp;= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\
  &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\

 \text{agar volume maksimum adalah  v'(x) = 0} \\
 v(x) &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\
 v'(x) &amp;= 12x^2 - 376x - 1080 \\
 v'(x) &amp;=  0 \\
 12x^2 - 376x - 1080 &amp;= 0 \\
 12(x^2 - 23x - 90) &amp;= 0 \\
 x^2 - 23x - 90 &amp;= 0 \\
 (x - 18)(x - 5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= 18 \text{ atau } x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\
 x + y &amp;= 40 \\
 y &amp;= 40 - x \\
 
 \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah  h'(x) = 0 } \\
 h(x) &amp;= x \cdot y \\
 h(x) &amp;= x \cdot (40 - x) \\
 h(x) &amp;= 40x - x^2 \\
 h'(x) &amp;= 40 - 2x \\
 h'(x) &amp;=  0 \\
 40 - 2x &amp;= 0 \\
 2x &amp;= 40 \\
 x &amp;= 20 \\

 h(x) = 20 \cdot (40 - 20) \\
 h(x) = 20 \cdot 20 \\
 h(x) = 400 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi hasil kalinya adalah 400
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=15!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 3x^2-2y y' &amp;= 0 \\
 2y y' &amp;= 3x^2 \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 x^3-y^2-15 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 3x^2 \\
 y'(y) &amp;= -2y \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{3x^2}{-2y} \\
 &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari 3x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7y=x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-2!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 y(3x^2+7) &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 (x^2+2xy-2)\frac{dy}{dx} &amp;= -y^2-2xy+1 \\
 \frac{dy}{dx} &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x+2y!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 2xy+x^2\frac{dy}{dx}+y^2+x2y\frac{dy}{dx} &amp;= 1+2\frac{dy}{dx} \\
 x^2\frac{dy}{dx}+2xy\frac{dy}{dx}-2\frac{dy}{dx} &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 (x^2+2xy-2)\frac{dy}{dx} &amp;= -y^2-2xy+1 \\
 \frac{dy}{dx} &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>gqjv899sgj594l5r5vdptzsc13axitr</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107422</id>
      <parentid>107421</parentid>
      <timestamp>2025-06-20T01:11:46Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Persamaan garis singgung kurva */</comment>
      <origin>107422</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17482" sha1="hj640uonh3ttgd20jj6b4951334wbwr" xml:space="preserve">== Kaidah umum == 
:&lt;math&gt;\left({cf}\right)' = cf'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f + g}\right)' = f' + g'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f - g}\right)' = f' - g'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah darab]]
:&lt;math&gt;\left({fg}\right)' = f'g + fg'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah timbalbalik]]
:&lt;math&gt;\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah hasil-bagi]]
:&lt;math&gt;\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah rantai]]
:&lt;math&gt;(f \circ g)' = (f' \circ g)g'&lt;/math&gt;
;Turunan [[fungsi invers]]
:&lt;math&gt;(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}&lt;/math&gt;
untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada
;Kaidah pangkat umum
:&lt;math&gt;(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)&lt;/math&gt;

== Rumus sederhana ==
: &lt;math&gt;c' = 0 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x' = 1 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;(cx)' = c \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 y &amp;= |x| \\
 y^2 &amp;= x^2 \\
 2y y' &amp;= 2x \\
 y' &amp;= \frac{x}{y} \\
  &amp;= \frac{x}{|x|} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: &lt;math&gt;(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x &gt; 0&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt; \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(e^x\right)' = e^x&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}&lt;/math&gt;

; Trigonometri
{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt; (\sin x)' = \cos x \,&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt; (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cos x)' = -\sin x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\sec x)' = \sec x \tan x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\csc x)' = -\csc x \cot x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|}

* Tambahkan:
** &lt;math&gt; (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin u)' = u' \cos u \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
Perhatikan sebagai berikut
: &lt;math&gt;sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt;(\sinh x )'= \cosh x&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\cosh x )'= \sinh x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}&lt;/math&gt;
|}

:: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

; implisit
*cara 1
: &lt;math&gt;ax + by = 1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b y' = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y' = -\frac{a}{b}&lt;/math&gt;

*cara 2
persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi &lt;math&gt;\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}&lt;/math&gt;

== Laju perubahan (rata-rata) ==
Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = &lt;math&gt;\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}&lt;/math&gt;

== Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam ==
: Persamaan kuadrat
:: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

:: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

: Persamaan kubik
Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.
:: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta &gt; 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta &lt; 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

== Persamaan garis singgung kurva ==
Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = &lt;math&gt;\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}&lt;/math&gt;

contoh:

# Berapa laju perubahaan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3 pada:
## x=5!
## interval 2&lt;x&lt;3!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= x^2-4x+3 \\
 f'(x) &amp;= 2x-4 \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(5)}{5} \\
  &amp;= \frac{2(5)-4}{5} \\
  &amp;= \frac{6}{5} \\
  &amp;= 1.2 \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{3}{1} \\
  &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada:
## x=&lt;math&gt;\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;!
## interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= sin x-cos x \\
 f'(x) &amp;= cos x+sin x \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= 3 (\sqrt{3}+1) \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\
 f'(x) &amp;= x^2-6x-16 \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 x^2-6x-16 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x-8) &amp;= 0 \\
 x=-2 &amp;\text{ atau } x=8 \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 f''(-2) &amp;= 2(2)-6 = -2 &lt; 0 \\
 f''(8) &amp;= 2(8)-6 = 10 &gt; 0 \\
\text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(-2) &amp;= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\
 &amp;= \frac{160}{3} \\
 f(8) &amp;= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\
 &amp;= -\frac{1.386}{3} \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 2x-6 &amp;= 0 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(3) &amp;= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\
 f(3) &amp;= -30 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\

\text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x&lt;-2 \text{ atau } x&gt;8 \text{ dan turun jika } -2&lt;x&lt;8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=1-2cos 2x&lt;/math&gt; pada batas-batas interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= 1-2cos 2x \\
 f'(x) &amp;= 4sin 2x \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 4sin 2x &amp;= 0 \\
 8sin x \cdot cos x &amp;= 0 \\
 (sin x)(cos x) &amp;= 0 \\
 x=0 &amp;\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 f''(0) &amp;= 8cos 2(0) = 8 &gt; 0 \\
 f''(\frac{\pi}{2}) &amp;= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 &lt; 0 \\
\text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(0) &amp;= 1-2cos 2(0) \\
 &amp;= -1 \\
 f(\frac{\pi}{2}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\
 &amp;= 3 \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 8cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= cos \frac{\pi}{2} \\
 2x &amp;= \frac{\pi}{2} \\
 x &amp;= \frac{\pi}{4} \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\
\text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x&lt;/math&gt; pada:
## di titik (-3,-3)!
## berabsis 2!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= (-3)^2-2(3)-8 \\
 f'(x) &amp;= -5 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-3) &amp;= -5 (x-(-3)) \\
 y+3 &amp;= -5x-15 \\
 y &amp;= -5x-18 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\

 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= 2^2-2(2)-8 \\
 f'(x) &amp;= -8 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-\frac{52}{3}) &amp;= -8 (x-2) \\
 y+\frac{52}{3} &amp;= -8x+16 \\
 y &amp;= -8x-\frac{4}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=3x^2-11x+10&lt;/math&gt; dan:
## sejajar dengan 7x-y=21!
## tegak lurus dengan 5y-x=10!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 7x-y &amp;= 21 \\
 y &amp;= 7x-21 \\
 
 m_1 &amp;= 7 \\
\text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\
 m_2 &amp;= m_1 \\
 m_2 &amp;= 7 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 7 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 18 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(3)^2-11(3)+10 \\
 &amp;= 4 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-4 &amp;= 7 (x-3) \\
 y-4 &amp;= 7x-21 \\
 y &amp;= 7x-17 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 5y-x &amp;= 10 \\
 5y &amp;= x+10 \\
 y &amp;= \frac{x}{5}+2 \\
 
 m_1 &amp;= \frac{1}{5} \\
\text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\
 m_2 &amp;= -5 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 -5 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 1 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(1)^2-11(1)+10 \\
 &amp;= 2 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-2 &amp;= -5 (x-1) \\
 y-2 &amp;= -5x+5 \\
 y &amp;= -5x+7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal tinggi adalah x } \\
 t = x, p &amp;= 45-2x, l = 24-2x \\
 v &amp;= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\
  &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\

 \text{agar volume maksimum adalah  v'(x) = 0} \\
 v(x) &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\
 v'(x) &amp;= 12x^2 - 376x - 1080 \\
 v'(x) &amp;=  0 \\
 12x^2 - 376x - 1080 &amp;= 0 \\
 12(x^2 - 23x - 90) &amp;= 0 \\
 x^2 - 23x - 90 &amp;= 0 \\
 (x - 18)(x - 5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= 18 \text{ atau } x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\
 x + y &amp;= 40 \\
 y &amp;= 40 - x \\
 
 \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah  h'(x) = 0 } \\
 h(x) &amp;= x \cdot y \\
 h(x) &amp;= x \cdot (40 - x) \\
 h(x) &amp;= 40x - x^2 \\
 h'(x) &amp;= 40 - 2x \\
 h'(x) &amp;=  0 \\
 40 - 2x &amp;= 0 \\
 2x &amp;= 40 \\
 x &amp;= 20 \\

 h(x) = 20 \cdot (40 - 20) \\
 h(x) = 20 \cdot 20 \\
 h(x) = 400 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi hasil kalinya adalah 400
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=15!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 3x^2-2y y' &amp;= 0 \\
 2y y' &amp;= 3x^2 \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 x^3-y^2-15 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 3x^2 \\
 y'(y) &amp;= -2y \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{3x^2}{-2y} \\
 &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari 3x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7y=x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-2!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 y(3x^2+7) &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-(x^3-2)6x}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4-12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x+2y!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 2xy+x^2\frac{dy}{dx}+y^2+x2y\frac{dy}{dx} &amp;= 1+2\frac{dy}{dx} \\
 x^2\frac{dy}{dx}+2xy\frac{dy}{dx}-2\frac{dy}{dx} &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 (x^2+2xy-2)\frac{dy}{dx} &amp;= -y^2-2xy+1 \\
 \frac{dy}{dx} &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>hj640uonh3ttgd20jj6b4951334wbwr</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107423</id>
      <parentid>107422</parentid>
      <timestamp>2025-06-20T01:14:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Persamaan garis singgung kurva */</comment>
      <origin>107423</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17539" sha1="5urpb50gu6pvyzpl62rjht0k8wjnacy" xml:space="preserve">== Kaidah umum == 
:&lt;math&gt;\left({cf}\right)' = cf'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f + g}\right)' = f' + g'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f - g}\right)' = f' - g'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah darab]]
:&lt;math&gt;\left({fg}\right)' = f'g + fg'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah timbalbalik]]
:&lt;math&gt;\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah hasil-bagi]]
:&lt;math&gt;\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah rantai]]
:&lt;math&gt;(f \circ g)' = (f' \circ g)g'&lt;/math&gt;
;Turunan [[fungsi invers]]
:&lt;math&gt;(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}&lt;/math&gt;
untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada
;Kaidah pangkat umum
:&lt;math&gt;(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)&lt;/math&gt;

== Rumus sederhana ==
: &lt;math&gt;c' = 0 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x' = 1 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;(cx)' = c \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 y &amp;= |x| \\
 y^2 &amp;= x^2 \\
 2y y' &amp;= 2x \\
 y' &amp;= \frac{x}{y} \\
  &amp;= \frac{x}{|x|} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: &lt;math&gt;(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x &gt; 0&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt; \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(e^x\right)' = e^x&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}&lt;/math&gt;

; Trigonometri
{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt; (\sin x)' = \cos x \,&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt; (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cos x)' = -\sin x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\sec x)' = \sec x \tan x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\csc x)' = -\csc x \cot x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|}

* Tambahkan:
** &lt;math&gt; (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin u)' = u' \cos u \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
Perhatikan sebagai berikut
: &lt;math&gt;sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt;(\sinh x )'= \cosh x&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\cosh x )'= \sinh x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}&lt;/math&gt;
|}

:: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

; implisit
*cara 1
: &lt;math&gt;ax + by = 1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b y' = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y' = -\frac{a}{b}&lt;/math&gt;

*cara 2
persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi &lt;math&gt;\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}&lt;/math&gt;

== Laju perubahan (rata-rata) ==
Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = &lt;math&gt;\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}&lt;/math&gt;

== Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam ==
: Persamaan kuadrat
:: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

:: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

: Persamaan kubik
Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.
:: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta &gt; 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta &lt; 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

== Persamaan garis singgung kurva ==
Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = &lt;math&gt;\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}&lt;/math&gt;

contoh:

# Berapa laju perubahaan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3 pada:
## x=5!
## interval 2&lt;x&lt;3!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= x^2-4x+3 \\
 f'(x) &amp;= 2x-4 \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(5)}{5} \\
  &amp;= \frac{2(5)-4}{5} \\
  &amp;= \frac{6}{5} \\
  &amp;= 1.2 \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{3}{1} \\
  &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada:
## x=&lt;math&gt;\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;!
## interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= sin x-cos x \\
 f'(x) &amp;= cos x+sin x \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= 3 (\sqrt{3}+1) \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\
 f'(x) &amp;= x^2-6x-16 \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 x^2-6x-16 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x-8) &amp;= 0 \\
 x=-2 &amp;\text{ atau } x=8 \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 f''(-2) &amp;= 2(2)-6 = -2 &lt; 0 \\
 f''(8) &amp;= 2(8)-6 = 10 &gt; 0 \\
\text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(-2) &amp;= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\
 &amp;= \frac{160}{3} \\
 f(8) &amp;= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\
 &amp;= -\frac{1.386}{3} \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 2x-6 &amp;= 0 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(3) &amp;= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\
 f(3) &amp;= -30 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\

\text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x&lt;-2 \text{ atau } x&gt;8 \text{ dan turun jika } -2&lt;x&lt;8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=1-2cos 2x&lt;/math&gt; pada batas-batas interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= 1-2cos 2x \\
 f'(x) &amp;= 4sin 2x \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 4sin 2x &amp;= 0 \\
 8sin x \cdot cos x &amp;= 0 \\
 (sin x)(cos x) &amp;= 0 \\
 x=0 &amp;\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 f''(0) &amp;= 8cos 2(0) = 8 &gt; 0 \\
 f''(\frac{\pi}{2}) &amp;= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 &lt; 0 \\
\text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(0) &amp;= 1-2cos 2(0) \\
 &amp;= -1 \\
 f(\frac{\pi}{2}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\
 &amp;= 3 \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 8cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= cos \frac{\pi}{2} \\
 2x &amp;= \frac{\pi}{2} \\
 x &amp;= \frac{\pi}{4} \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\
\text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x&lt;/math&gt; pada:
## di titik (-3,-3)!
## berabsis 2!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= (-3)^2-2(3)-8 \\
 f'(x) &amp;= -5 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-3) &amp;= -5 (x-(-3)) \\
 y+3 &amp;= -5x-15 \\
 y &amp;= -5x-18 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\

 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= 2^2-2(2)-8 \\
 f'(x) &amp;= -8 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-\frac{52}{3}) &amp;= -8 (x-2) \\
 y+\frac{52}{3} &amp;= -8x+16 \\
 y &amp;= -8x-\frac{4}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=3x^2-11x+10&lt;/math&gt; dan:
## sejajar dengan 7x-y=21!
## tegak lurus dengan 5y-x=10!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 7x-y &amp;= 21 \\
 y &amp;= 7x-21 \\
 
 m_1 &amp;= 7 \\
\text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\
 m_2 &amp;= m_1 \\
 m_2 &amp;= 7 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 7 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 18 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(3)^2-11(3)+10 \\
 &amp;= 4 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-4 &amp;= 7 (x-3) \\
 y-4 &amp;= 7x-21 \\
 y &amp;= 7x-17 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 5y-x &amp;= 10 \\
 5y &amp;= x+10 \\
 y &amp;= \frac{x}{5}+2 \\
 
 m_1 &amp;= \frac{1}{5} \\
\text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\
 m_2 &amp;= -5 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 -5 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 1 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(1)^2-11(1)+10 \\
 &amp;= 2 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-2 &amp;= -5 (x-1) \\
 y-2 &amp;= -5x+5 \\
 y &amp;= -5x+7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal tinggi adalah x } \\
 t = x, p &amp;= 45-2x, l = 24-2x \\
 v &amp;= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\
  &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\

 \text{agar volume maksimum adalah  v'(x) = 0} \\
 v(x) &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\
 v'(x) &amp;= 12x^2 - 376x - 1080 \\
 v'(x) &amp;=  0 \\
 12x^2 - 376x - 1080 &amp;= 0 \\
 12(x^2 - 23x - 90) &amp;= 0 \\
 x^2 - 23x - 90 &amp;= 0 \\
 (x - 18)(x - 5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= 18 \text{ atau } x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\
 x + y &amp;= 40 \\
 y &amp;= 40 - x \\
 
 \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah  h'(x) = 0 } \\
 h(x) &amp;= x \cdot y \\
 h(x) &amp;= x \cdot (40 - x) \\
 h(x) &amp;= 40x - x^2 \\
 h'(x) &amp;= 40 - 2x \\
 h'(x) &amp;=  0 \\
 40 - 2x &amp;= 0 \\
 2x &amp;= 40 \\
 x &amp;= 20 \\

 h(x) &amp;= 20 \cdot (40 - 20) \\
  &amp;= 20 \cdot 20 \\
  &amp;= 400 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi hasil kalinya adalah 400
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=15!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 3x^2-2y y' &amp;= 0 \\
 2y y' &amp;= 3x^2 \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 x^3-y^2-15 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 3x^2 \\
 y'(y) &amp;= -2y \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{3x^2}{-2y} \\
 &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari 3x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7y=x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-2!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 y(3x^2+7) &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-(x^3-2)6x}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x+2y!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 2xy+x^2\frac{dy}{dx}+y^2+x2y\frac{dy}{dx} &amp;= 1+2\frac{dy}{dx} \\
 x^2\frac{dy}{dx}+2xy\frac{dy}{dx}-2\frac{dy}{dx} &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 (x^2+2xy-2)\frac{dy}{dx} &amp;= -y^2-2xy+1 \\
 \frac{dy}{dx} &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>5urpb50gu6pvyzpl62rjht0k8wjnacy</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107424</id>
      <parentid>107423</parentid>
      <timestamp>2025-06-20T07:59:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Persamaan garis singgung kurva */</comment>
      <origin>107424</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18188" sha1="puwcrlbl2k7w3695yg6f9ny8yse2fkt" xml:space="preserve">== Kaidah umum == 
:&lt;math&gt;\left({cf}\right)' = cf'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f + g}\right)' = f' + g'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f - g}\right)' = f' - g'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah darab]]
:&lt;math&gt;\left({fg}\right)' = f'g + fg'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah timbalbalik]]
:&lt;math&gt;\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah hasil-bagi]]
:&lt;math&gt;\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah rantai]]
:&lt;math&gt;(f \circ g)' = (f' \circ g)g'&lt;/math&gt;
;Turunan [[fungsi invers]]
:&lt;math&gt;(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}&lt;/math&gt;
untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada
;Kaidah pangkat umum
:&lt;math&gt;(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)&lt;/math&gt;

== Rumus sederhana ==
: &lt;math&gt;c' = 0 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x' = 1 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;(cx)' = c \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 y &amp;= |x| \\
 y^2 &amp;= x^2 \\
 2y y' &amp;= 2x \\
 y' &amp;= \frac{x}{y} \\
  &amp;= \frac{x}{|x|} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: &lt;math&gt;(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x &gt; 0&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt; \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(e^x\right)' = e^x&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}&lt;/math&gt;

; Trigonometri
{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt; (\sin x)' = \cos x \,&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt; (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cos x)' = -\sin x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\sec x)' = \sec x \tan x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\csc x)' = -\csc x \cot x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|}

* Tambahkan:
** &lt;math&gt; (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin u)' = u' \cos u \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
Perhatikan sebagai berikut
: &lt;math&gt;sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt;(\sinh x )'= \cosh x&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\cosh x )'= \sinh x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}&lt;/math&gt;
|}

:: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

; implisit
*cara 1
: &lt;math&gt;ax + by = 1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b y' = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y' = -\frac{a}{b}&lt;/math&gt;

*cara 2
persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi &lt;math&gt;\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}&lt;/math&gt;

== Laju perubahan (rata-rata) ==
Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = &lt;math&gt;\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}&lt;/math&gt;

== Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam ==
: Persamaan kuadrat
:: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

:: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

: Persamaan kubik
Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.
:: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta &gt; 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta &lt; 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

== Persamaan garis singgung kurva ==
Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = &lt;math&gt;\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}&lt;/math&gt;

contoh:

# Berapa laju perubahaan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3 pada:
## x=5!
## interval 2&lt;x&lt;3!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= x^2-4x+3 \\
 f'(x) &amp;= 2x-4 \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(5)}{5} \\
  &amp;= \frac{2(5)-4}{5} \\
  &amp;= \frac{6}{5} \\
  &amp;= 1.2 \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{3}{1} \\
  &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada:
## x=&lt;math&gt;\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;!
## interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= sin x-cos x \\
 f'(x) &amp;= cos x+sin x \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= 3 (\sqrt{3}+1) \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\
 f'(x) &amp;= x^2-6x-16 \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 x^2-6x-16 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x-8) &amp;= 0 \\
 x=-2 &amp;\text{ atau } x=8 \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 f''(-2) &amp;= 2(2)-6 = -2 &lt; 0 \\
 f''(8) &amp;= 2(8)-6 = 10 &gt; 0 \\
\text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(-2) &amp;= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\
 &amp;= \frac{160}{3} \\
 f(8) &amp;= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\
 &amp;= -\frac{1.386}{3} \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 2x-6 &amp;= 0 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(3) &amp;= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\
 f(3) &amp;= -30 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\

\text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x&lt;-2 \text{ atau } x&gt;8 \text{ dan turun jika } -2&lt;x&lt;8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=1-2cos 2x&lt;/math&gt; pada batas-batas interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= 1-2cos 2x \\
 f'(x) &amp;= 4sin 2x \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 4sin 2x &amp;= 0 \\
 8sin x \cdot cos x &amp;= 0 \\
 (sin x)(cos x) &amp;= 0 \\
 x=0 &amp;\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 f''(0) &amp;= 8cos 2(0) = 8 &gt; 0 \\
 f''(\frac{\pi}{2}) &amp;= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 &lt; 0 \\
\text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(0) &amp;= 1-2cos 2(0) \\
 &amp;= -1 \\
 f(\frac{\pi}{2}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\
 &amp;= 3 \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 8cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= cos \frac{\pi}{2} \\
 2x &amp;= \frac{\pi}{2} \\
 x &amp;= \frac{\pi}{4} \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\
\text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x&lt;/math&gt; pada:
## di titik (-3,-3)!
## berabsis 2!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= (-3)^2-2(3)-8 \\
 f'(x) &amp;= -5 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-3) &amp;= -5 (x-(-3)) \\
 y+3 &amp;= -5x-15 \\
 y &amp;= -5x-18 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\

 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= 2^2-2(2)-8 \\
 f'(x) &amp;= -8 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-\frac{52}{3}) &amp;= -8 (x-2) \\
 y+\frac{52}{3} &amp;= -8x+16 \\
 y &amp;= -8x-\frac{4}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=3x^2-11x+10&lt;/math&gt; dan:
## sejajar dengan 7x-y=21!
## tegak lurus dengan 5y-x=10!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 7x-y &amp;= 21 \\
 y &amp;= 7x-21 \\
 
 m_1 &amp;= 7 \\
\text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\
 m_2 &amp;= m_1 \\
 m_2 &amp;= 7 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 7 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 18 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(3)^2-11(3)+10 \\
 &amp;= 4 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-4 &amp;= 7 (x-3) \\
 y-4 &amp;= 7x-21 \\
 y &amp;= 7x-17 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 5y-x &amp;= 10 \\
 5y &amp;= x+10 \\
 y &amp;= \frac{x}{5}+2 \\
 
 m_1 &amp;= \frac{1}{5} \\
\text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\
 m_2 &amp;= -5 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 -5 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 1 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(1)^2-11(1)+10 \\
 &amp;= 2 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-2 &amp;= -5 (x-1) \\
 y-2 &amp;= -5x+5 \\
 y &amp;= -5x+7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal tinggi adalah x } \\
 t = x, p &amp;= 45-2x, l = 24-2x \\
 v &amp;= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\
  &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\

 \text{agar volume maksimum adalah  v'(x) = 0} \\
 v(x) &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\
 v'(x) &amp;= 12x^2 - 376x - 1080 \\
 v'(x) &amp;=  0 \\
 12x^2 - 376x - 1080 &amp;= 0 \\
 12(x^2 - 23x - 90) &amp;= 0 \\
 x^2 - 23x - 90 &amp;= 0 \\
 (x - 18)(x - 5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= 18 \text{ atau } x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\
 x + y &amp;= 40 \\
 y &amp;= 40 - x \\
 
 \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah  h'(x) = 0 } \\
 h(x) &amp;= x \cdot y \\
 h(x) &amp;= x \cdot (40 - x) \\
 h(x) &amp;= 40x - x^2 \\
 h'(x) &amp;= 40 - 2x \\
 h'(x) &amp;=  0 \\
 40 - 2x &amp;= 0 \\
 2x &amp;= 40 \\
 x &amp;= 20 \\

 h(x) &amp;= 20 \cdot (40 - 20) \\
  &amp;= 20 \cdot 20 \\
  &amp;= 400 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi hasil kalinya adalah 400
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=15!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 3x^2-2y y' &amp;= 0 \\
 2y y' &amp;= 3x^2 \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 x^3-y^2-15 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 3x^2 \\
 y'(y) &amp;= -2y \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{3x^2}{-2y} \\
 &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari 3x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7y=x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-2!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 y(3x^2+7) &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-(x^3-2)6x}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 (3x^2+7)y &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 6xy+3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2 \\
 3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 (3x^2+7)y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 y' &amp;= \frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x+2y!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 2xy+x^2\frac{dy}{dx}+y^2+x2y\frac{dy}{dx} &amp;= 1+2\frac{dy}{dx} \\
 x^2\frac{dy}{dx}+2xy\frac{dy}{dx}-2\frac{dy}{dx} &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 (x^2+2xy-2)\frac{dy}{dx} &amp;= -y^2-2xy+1 \\
 \frac{dy}{dx} &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>puwcrlbl2k7w3695yg6f9ny8yse2fkt</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107425</id>
      <parentid>107424</parentid>
      <timestamp>2025-06-20T08:03:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Persamaan garis singgung kurva */</comment>
      <origin>107425</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18206" sha1="7zpezwht07ekd09skrz2ow61ozziq5n" xml:space="preserve">== Kaidah umum == 
:&lt;math&gt;\left({cf}\right)' = cf'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f + g}\right)' = f' + g'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f - g}\right)' = f' - g'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah darab]]
:&lt;math&gt;\left({fg}\right)' = f'g + fg'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah timbalbalik]]
:&lt;math&gt;\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah hasil-bagi]]
:&lt;math&gt;\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah rantai]]
:&lt;math&gt;(f \circ g)' = (f' \circ g)g'&lt;/math&gt;
;Turunan [[fungsi invers]]
:&lt;math&gt;(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}&lt;/math&gt;
untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada
;Kaidah pangkat umum
:&lt;math&gt;(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)&lt;/math&gt;

== Rumus sederhana ==
: &lt;math&gt;c' = 0 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x' = 1 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;(cx)' = c \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 y &amp;= |x| \\
 y^2 &amp;= x^2 \\
 2y y' &amp;= 2x \\
 y' &amp;= \frac{x}{y} \\
  &amp;= \frac{x}{|x|} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: &lt;math&gt;(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x &gt; 0&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt; \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(e^x\right)' = e^x&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}&lt;/math&gt;

; Trigonometri
{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt; (\sin x)' = \cos x \,&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt; (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cos x)' = -\sin x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\sec x)' = \sec x \tan x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\csc x)' = -\csc x \cot x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|}

* Tambahkan:
** &lt;math&gt; (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin u)' = u' \cos u \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
Perhatikan sebagai berikut
: &lt;math&gt;sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt;(\sinh x )'= \cosh x&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\cosh x )'= \sinh x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}&lt;/math&gt;
|}

:: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

; implisit
*cara 1
: &lt;math&gt;ax + by = 1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b y' = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y' = -\frac{a}{b}&lt;/math&gt;

*cara 2
persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi &lt;math&gt;\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}&lt;/math&gt;

== Laju perubahan (rata-rata) ==
Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = &lt;math&gt;\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}&lt;/math&gt;

== Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam ==
: Persamaan kuadrat
:: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

:: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

: Persamaan kubik
Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.
:: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta &gt; 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta &lt; 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

== Persamaan garis singgung kurva ==
Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = &lt;math&gt;\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}&lt;/math&gt;

contoh:

# Berapa laju perubahaan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3 pada:
## x=5!
## interval 2&lt;x&lt;3!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= x^2-4x+3 \\
 f'(x) &amp;= 2x-4 \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(5)}{5} \\
  &amp;= \frac{2(5)-4}{5} \\
  &amp;= \frac{6}{5} \\
  &amp;= 1.2 \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{3}{1} \\
  &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada:
## x=&lt;math&gt;\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;!
## interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= sin x-cos x \\
 f'(x) &amp;= cos x+sin x \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= 3 (\sqrt{3}+1) \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\
 f'(x) &amp;= x^2-6x-16 \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 x^2-6x-16 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x-8) &amp;= 0 \\
 x=-2 &amp;\text{ atau } x=8 \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 f''(-2) &amp;= 2(2)-6 = -2 &lt; 0 \\
 f''(8) &amp;= 2(8)-6 = 10 &gt; 0 \\
\text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(-2) &amp;= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\
 &amp;= \frac{160}{3} \\
 f(8) &amp;= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\
 &amp;= -\frac{1.386}{3} \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 2x-6 &amp;= 0 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(3) &amp;= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\
 f(3) &amp;= -30 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\

\text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x&lt;-2 \text{ atau } x&gt;8 \text{ dan turun jika } -2&lt;x&lt;8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=1-2cos 2x&lt;/math&gt; pada batas-batas interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= 1-2cos 2x \\
 f'(x) &amp;= 4sin 2x \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 4sin 2x &amp;= 0 \\
 8sin x \cdot cos x &amp;= 0 \\
 (sin x)(cos x) &amp;= 0 \\
 x=0 &amp;\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 f''(0) &amp;= 8cos 2(0) = 8 &gt; 0 \\
 f''(\frac{\pi}{2}) &amp;= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 &lt; 0 \\
\text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(0) &amp;= 1-2cos 2(0) \\
 &amp;= -1 \\
 f(\frac{\pi}{2}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\
 &amp;= 3 \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 8cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= cos \frac{\pi}{2} \\
 2x &amp;= \frac{\pi}{2} \\
 x &amp;= \frac{\pi}{4} \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\
\text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x&lt;/math&gt; pada:
## di titik (-3,-3)!
## berabsis 2!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= (-3)^2-2(3)-8 \\
 f'(x) &amp;= -5 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-3) &amp;= -5 (x-(-3)) \\
 y+3 &amp;= -5x-15 \\
 y &amp;= -5x-18 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\

 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= 2^2-2(2)-8 \\
 f'(x) &amp;= -8 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-\frac{52}{3}) &amp;= -8 (x-2) \\
 y+\frac{52}{3} &amp;= -8x+16 \\
 y &amp;= -8x-\frac{4}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=3x^2-11x+10&lt;/math&gt; dan:
## sejajar dengan 7x-y=21!
## tegak lurus dengan 5y-x=10!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 7x-y &amp;= 21 \\
 y &amp;= 7x-21 \\
 
 m_1 &amp;= 7 \\
\text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\
 m_2 &amp;= m_1 \\
 m_2 &amp;= 7 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 7 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 18 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(3)^2-11(3)+10 \\
 &amp;= 4 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-4 &amp;= 7 (x-3) \\
 y-4 &amp;= 7x-21 \\
 y &amp;= 7x-17 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 5y-x &amp;= 10 \\
 5y &amp;= x+10 \\
 y &amp;= \frac{x}{5}+2 \\
 
 m_1 &amp;= \frac{1}{5} \\
\text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\
 m_2 &amp;= -5 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 -5 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 1 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(1)^2-11(1)+10 \\
 &amp;= 2 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-2 &amp;= -5 (x-1) \\
 y-2 &amp;= -5x+5 \\
 y &amp;= -5x+7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal tinggi adalah x } \\
 t = x, p &amp;= 45-2x, l = 24-2x \\
 v &amp;= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\
  &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\

 \text{agar volume maksimum adalah  v'(x) = 0} \\
 v(x) &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\
 v'(x) &amp;= 12x^2 - 376x - 1080 \\
 v'(x) &amp;=  0 \\
 12x^2 - 376x - 1080 &amp;= 0 \\
 12(x^2 - 23x - 90) &amp;= 0 \\
 x^2 - 23x - 90 &amp;= 0 \\
 (x - 18)(x - 5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= 18 \text{ atau } x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\
 x + y &amp;= 40 \\
 y &amp;= 40 - x \\
 
 \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah  h'(x) = 0 } \\
 h(x) &amp;= x \cdot y \\
 h(x) &amp;= x \cdot (40 - x) \\
 h(x) &amp;= 40x - x^2 \\
 h'(x) &amp;= 40 - 2x \\
 h'(x) &amp;=  0 \\
 40 - 2x &amp;= 0 \\
 2x &amp;= 40 \\
 x &amp;= 20 \\

 h(x) &amp;= 20 \cdot (40 - 20) \\
  &amp;= 20 \cdot 20 \\
  &amp;= 400 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi hasil kalinya adalah 400
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=15!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 3x^2-2y y' &amp;= 0 \\
 2y y' &amp;= 3x^2 \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 x^3-y^2-15 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 3x^2 \\
 y'(y) &amp;= -2y \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{3x^2}{-2y} \\
 &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari 3x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7y=x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-2!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 y(3x^2+7) &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-(x^3-2)6x}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 (3x^2+7)y &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 6xy+3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2 \\
 3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 (3x^2+7)y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 y' &amp;= \frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-6x(x^3-2)}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x+2y!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 2xy+x^2\frac{dy}{dx}+y^2+x2y\frac{dy}{dx} &amp;= 1+2\frac{dy}{dx} \\
 x^2\frac{dy}{dx}+2xy\frac{dy}{dx}-2\frac{dy}{dx} &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 (x^2+2xy-2)\frac{dy}{dx} &amp;= -y^2-2xy+1 \\
 \frac{dy}{dx} &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>7zpezwht07ekd09skrz2ow61ozziq5n</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107426</id>
      <parentid>107425</parentid>
      <timestamp>2025-06-20T08:08:08Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rumus sederhana */</comment>
      <origin>107426</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18488" sha1="g81sfomqmdys8e1qh79i5evgqlu1b2k" xml:space="preserve">== Kaidah umum == 
:&lt;math&gt;\left({cf}\right)' = cf'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f + g}\right)' = f' + g'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f - g}\right)' = f' - g'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah darab]]
:&lt;math&gt;\left({fg}\right)' = f'g + fg'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah timbalbalik]]
:&lt;math&gt;\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah hasil-bagi]]
:&lt;math&gt;\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah rantai]]
:&lt;math&gt;(f \circ g)' = (f' \circ g)g'&lt;/math&gt;
;Turunan [[fungsi invers]]
:&lt;math&gt;(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}&lt;/math&gt;
untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada
;Kaidah pangkat umum
:&lt;math&gt;(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)&lt;/math&gt;

== Rumus sederhana ==
: &lt;math&gt;c' = 0 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x' = 1 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;(cx)' = c \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 y &amp;= |x| \\
 y^2 &amp;= x^2 \\
 2y y' &amp;= 2x \\
 y' &amp;= \frac{x}{y} \\
  &amp;= \frac{x}{|x|} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: &lt;math&gt;(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x &gt; 0&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt; \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(e^x\right)' = e^x&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}&lt;/math&gt;

; Trigonometri
{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt; (\sin x)' = \cos x \,&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt; (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cos x)' = -\sin x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\sec x)' = \sec x \tan x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\csc x)' = -\csc x \cot x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|}

* Tambahkan:
** &lt;math&gt; (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin u)' = u' \cos u \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
Perhatikan sebagai berikut
: &lt;math&gt;sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt;(\sinh x )'= \cosh x&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\cosh x )'= \sinh x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}&lt;/math&gt;
|}

:: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

; implisit
*cara 1
: &lt;math&gt;ax + by = 1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b y' = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y' = -\frac{a}{b}&lt;/math&gt;

*cara 2
persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi &lt;math&gt;\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}&lt;/math&gt;

Fungsi implisit dibagi 2 jenis yaitu:
# ekspilit
artinya fungsi implisit dapat diubah menjadi fungsi ekspilit. Contoh: x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7=8xy+5x, y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-8x=5-6y

# jon-ekspilit
artinya fungsi implisit tidak dapat diubah menjadi fungsi ekspilit. Contoh: xy+8x=y&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-11

== Laju perubahan (rata-rata) ==
Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = &lt;math&gt;\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}&lt;/math&gt;

== Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam ==
: Persamaan kuadrat
:: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

:: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

: Persamaan kubik
Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.
:: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta &gt; 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta &lt; 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

== Persamaan garis singgung kurva ==
Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = &lt;math&gt;\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}&lt;/math&gt;

contoh:

# Berapa laju perubahaan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3 pada:
## x=5!
## interval 2&lt;x&lt;3!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= x^2-4x+3 \\
 f'(x) &amp;= 2x-4 \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(5)}{5} \\
  &amp;= \frac{2(5)-4}{5} \\
  &amp;= \frac{6}{5} \\
  &amp;= 1.2 \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{3}{1} \\
  &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada:
## x=&lt;math&gt;\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;!
## interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= sin x-cos x \\
 f'(x) &amp;= cos x+sin x \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= 3 (\sqrt{3}+1) \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\
 f'(x) &amp;= x^2-6x-16 \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 x^2-6x-16 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x-8) &amp;= 0 \\
 x=-2 &amp;\text{ atau } x=8 \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 f''(-2) &amp;= 2(2)-6 = -2 &lt; 0 \\
 f''(8) &amp;= 2(8)-6 = 10 &gt; 0 \\
\text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(-2) &amp;= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\
 &amp;= \frac{160}{3} \\
 f(8) &amp;= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\
 &amp;= -\frac{1.386}{3} \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 2x-6 &amp;= 0 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(3) &amp;= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\
 f(3) &amp;= -30 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\

\text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x&lt;-2 \text{ atau } x&gt;8 \text{ dan turun jika } -2&lt;x&lt;8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=1-2cos 2x&lt;/math&gt; pada batas-batas interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= 1-2cos 2x \\
 f'(x) &amp;= 4sin 2x \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 4sin 2x &amp;= 0 \\
 8sin x \cdot cos x &amp;= 0 \\
 (sin x)(cos x) &amp;= 0 \\
 x=0 &amp;\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 f''(0) &amp;= 8cos 2(0) = 8 &gt; 0 \\
 f''(\frac{\pi}{2}) &amp;= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 &lt; 0 \\
\text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(0) &amp;= 1-2cos 2(0) \\
 &amp;= -1 \\
 f(\frac{\pi}{2}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\
 &amp;= 3 \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 8cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= cos \frac{\pi}{2} \\
 2x &amp;= \frac{\pi}{2} \\
 x &amp;= \frac{\pi}{4} \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\
\text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x&lt;/math&gt; pada:
## di titik (-3,-3)!
## berabsis 2!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= (-3)^2-2(3)-8 \\
 f'(x) &amp;= -5 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-3) &amp;= -5 (x-(-3)) \\
 y+3 &amp;= -5x-15 \\
 y &amp;= -5x-18 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\

 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= 2^2-2(2)-8 \\
 f'(x) &amp;= -8 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-\frac{52}{3}) &amp;= -8 (x-2) \\
 y+\frac{52}{3} &amp;= -8x+16 \\
 y &amp;= -8x-\frac{4}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=3x^2-11x+10&lt;/math&gt; dan:
## sejajar dengan 7x-y=21!
## tegak lurus dengan 5y-x=10!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 7x-y &amp;= 21 \\
 y &amp;= 7x-21 \\
 
 m_1 &amp;= 7 \\
\text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\
 m_2 &amp;= m_1 \\
 m_2 &amp;= 7 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 7 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 18 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(3)^2-11(3)+10 \\
 &amp;= 4 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-4 &amp;= 7 (x-3) \\
 y-4 &amp;= 7x-21 \\
 y &amp;= 7x-17 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 5y-x &amp;= 10 \\
 5y &amp;= x+10 \\
 y &amp;= \frac{x}{5}+2 \\
 
 m_1 &amp;= \frac{1}{5} \\
\text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\
 m_2 &amp;= -5 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 -5 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 1 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(1)^2-11(1)+10 \\
 &amp;= 2 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-2 &amp;= -5 (x-1) \\
 y-2 &amp;= -5x+5 \\
 y &amp;= -5x+7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal tinggi adalah x } \\
 t = x, p &amp;= 45-2x, l = 24-2x \\
 v &amp;= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\
  &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\

 \text{agar volume maksimum adalah  v'(x) = 0} \\
 v(x) &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\
 v'(x) &amp;= 12x^2 - 376x - 1080 \\
 v'(x) &amp;=  0 \\
 12x^2 - 376x - 1080 &amp;= 0 \\
 12(x^2 - 23x - 90) &amp;= 0 \\
 x^2 - 23x - 90 &amp;= 0 \\
 (x - 18)(x - 5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= 18 \text{ atau } x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\
 x + y &amp;= 40 \\
 y &amp;= 40 - x \\
 
 \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah  h'(x) = 0 } \\
 h(x) &amp;= x \cdot y \\
 h(x) &amp;= x \cdot (40 - x) \\
 h(x) &amp;= 40x - x^2 \\
 h'(x) &amp;= 40 - 2x \\
 h'(x) &amp;=  0 \\
 40 - 2x &amp;= 0 \\
 2x &amp;= 40 \\
 x &amp;= 20 \\

 h(x) &amp;= 20 \cdot (40 - 20) \\
  &amp;= 20 \cdot 20 \\
  &amp;= 400 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi hasil kalinya adalah 400
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=15!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 3x^2-2y y' &amp;= 0 \\
 2y y' &amp;= 3x^2 \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 x^3-y^2-15 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 3x^2 \\
 y'(y) &amp;= -2y \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{3x^2}{-2y} \\
 &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari 3x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7y=x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-2!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 y(3x^2+7) &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-(x^3-2)6x}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 (3x^2+7)y &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 6xy+3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2 \\
 3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 (3x^2+7)y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 y' &amp;= \frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-6x(x^3-2)}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x+2y!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 2xy+x^2\frac{dy}{dx}+y^2+x2y\frac{dy}{dx} &amp;= 1+2\frac{dy}{dx} \\
 x^2\frac{dy}{dx}+2xy\frac{dy}{dx}-2\frac{dy}{dx} &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 (x^2+2xy-2)\frac{dy}{dx} &amp;= -y^2-2xy+1 \\
 \frac{dy}{dx} &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>g81sfomqmdys8e1qh79i5evgqlu1b2k</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107427</id>
      <parentid>107426</parentid>
      <timestamp>2025-06-20T08:10:37Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Persamaan garis singgung kurva */</comment>
      <origin>107427</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18499" sha1="gn5bb8z11w4s5v8gztxkc4306vvtj9p" xml:space="preserve">== Kaidah umum == 
:&lt;math&gt;\left({cf}\right)' = cf'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f + g}\right)' = f' + g'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f - g}\right)' = f' - g'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah darab]]
:&lt;math&gt;\left({fg}\right)' = f'g + fg'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah timbalbalik]]
:&lt;math&gt;\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah hasil-bagi]]
:&lt;math&gt;\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah rantai]]
:&lt;math&gt;(f \circ g)' = (f' \circ g)g'&lt;/math&gt;
;Turunan [[fungsi invers]]
:&lt;math&gt;(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}&lt;/math&gt;
untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada
;Kaidah pangkat umum
:&lt;math&gt;(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)&lt;/math&gt;

== Rumus sederhana ==
: &lt;math&gt;c' = 0 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x' = 1 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;(cx)' = c \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 y &amp;= |x| \\
 y^2 &amp;= x^2 \\
 2y y' &amp;= 2x \\
 y' &amp;= \frac{x}{y} \\
  &amp;= \frac{x}{|x|} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: &lt;math&gt;(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x &gt; 0&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt; \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(e^x\right)' = e^x&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}&lt;/math&gt;

; Trigonometri
{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt; (\sin x)' = \cos x \,&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt; (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cos x)' = -\sin x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\sec x)' = \sec x \tan x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\csc x)' = -\csc x \cot x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|}

* Tambahkan:
** &lt;math&gt; (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin u)' = u' \cos u \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
Perhatikan sebagai berikut
: &lt;math&gt;sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt;(\sinh x )'= \cosh x&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\cosh x )'= \sinh x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}&lt;/math&gt;
|}

:: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

; implisit
*cara 1
: &lt;math&gt;ax + by = 1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b y' = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y' = -\frac{a}{b}&lt;/math&gt;

*cara 2
persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi &lt;math&gt;\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}&lt;/math&gt;

Fungsi implisit dibagi 2 jenis yaitu:
# ekspilit
artinya fungsi implisit dapat diubah menjadi fungsi ekspilit. Contoh: x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7=8xy+5x, y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-8x=5-6y

# jon-ekspilit
artinya fungsi implisit tidak dapat diubah menjadi fungsi ekspilit. Contoh: xy+8x=y&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-11

== Laju perubahan (rata-rata) ==
Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = &lt;math&gt;\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}&lt;/math&gt;

== Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam ==
: Persamaan kuadrat
:: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

:: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

: Persamaan kubik
Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.
:: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta &gt; 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta &lt; 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

== Persamaan garis singgung kurva ==
Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = &lt;math&gt;\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}&lt;/math&gt;

contoh:

# Berapa laju perubahaan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3 pada:
## x=5!
## interval 2&lt;x&lt;3!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= x^2-4x+3 \\
 f'(x) &amp;= 2x-4 \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(5)}{5} \\
  &amp;= \frac{2(5)-4}{5} \\
  &amp;= \frac{6}{5} \\
  &amp;= 1.2 \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{3}{1} \\
  &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada:
## x=&lt;math&gt;\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;!
## interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= sin x-cos x \\
 f'(x) &amp;= cos x+sin x \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= 3 (\sqrt{3}+1) \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\
 f'(x) &amp;= x^2-6x-16 \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 x^2-6x-16 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x-8) &amp;= 0 \\
 x=-2 &amp;\text{ atau } x=8 \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 f''(-2) &amp;= 2(2)-6 = -2 &lt; 0 \\
 f''(8) &amp;= 2(8)-6 = 10 &gt; 0 \\
\text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(-2) &amp;= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\
 &amp;= \frac{160}{3} \\
 f(8) &amp;= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\
 &amp;= -\frac{1.386}{3} \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 2x-6 &amp;= 0 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(3) &amp;= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\
 f(3) &amp;= -30 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\

\text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x&lt;-2 \text{ atau } x&gt;8 \text{ dan turun jika } -2&lt;x&lt;8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=1-2cos 2x&lt;/math&gt; pada batas-batas interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= 1-2cos 2x \\
 f'(x) &amp;= 4sin 2x \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 4sin 2x &amp;= 0 \\
 8sin x \cdot cos x &amp;= 0 \\
 (sin x)(cos x) &amp;= 0 \\
 x=0 &amp;\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 f''(0) &amp;= 8cos 2(0) = 8 &gt; 0 \\
 f''(\frac{\pi}{2}) &amp;= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 &lt; 0 \\
\text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(0) &amp;= 1-2cos 2(0) \\
 &amp;= -1 \\
 f(\frac{\pi}{2}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\
 &amp;= 3 \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 8cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= cos \frac{\pi}{2} \\
 2x &amp;= \frac{\pi}{2} \\
 x &amp;= \frac{\pi}{4} \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\
\text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x&lt;/math&gt; pada:
## di titik (-3,-3)!
## berabsis 2!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= (-3)^2-2(3)-8 \\
 f'(x) &amp;= -5 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-3) &amp;= -5 (x-(-3)) \\
 y+3 &amp;= -5x-15 \\
 y &amp;= -5x-18 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\

 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= 2^2-2(2)-8 \\
 f'(x) &amp;= -8 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-\frac{52}{3}) &amp;= -8 (x-2) \\
 y+\frac{52}{3} &amp;= -8x+16 \\
 y &amp;= -8x-\frac{4}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=3x^2-11x+10&lt;/math&gt; dan:
## sejajar dengan 7x-y=21!
## tegak lurus dengan 5y-x=10!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 7x-y &amp;= 21 \\
 y &amp;= 7x-21 \\
 
 m_1 &amp;= 7 \\
\text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\
 m_2 &amp;= m_1 \\
 m_2 &amp;= 7 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 7 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 18 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(3)^2-11(3)+10 \\
 &amp;= 4 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-4 &amp;= 7 (x-3) \\
 y-4 &amp;= 7x-21 \\
 y &amp;= 7x-17 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 5y-x &amp;= 10 \\
 5y &amp;= x+10 \\
 y &amp;= \frac{x}{5}+2 \\
 
 m_1 &amp;= \frac{1}{5} \\
\text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\
 m_2 &amp;= -5 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 -5 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 1 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(1)^2-11(1)+10 \\
 &amp;= 2 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-2 &amp;= -5 (x-1) \\
 y-2 &amp;= -5x+5 \\
 y &amp;= -5x+7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal tinggi adalah x } \\
 t = x, p &amp;= 45-2x, l = 24-2x \\
 v &amp;= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\
  &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\

 \text{agar volume maksimum adalah  v'(x) = 0} \\
 v(x) &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\
 v'(x) &amp;= 12x^2 - 376x - 1080 \\
 v'(x) &amp;=  0 \\
 12x^2 - 376x - 1080 &amp;= 0 \\
 12(x^2 - 23x - 90) &amp;= 0 \\
 x^2 - 23x - 90 &amp;= 0 \\
 (x - 18)(x - 5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= 18 \text{ atau } x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\
 x + y &amp;= 40 \\
 y &amp;= 40 - x \\
 
 \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah  h'(x) = 0 } \\
 h(x) &amp;= x \cdot y \\
 h(x) &amp;= x \cdot (40 - x) \\
 h(x) &amp;= 40x - x^2 \\
 h'(x) &amp;= 40 - 2x \\
 h'(x) &amp;=  0 \\
 40 - 2x &amp;= 0 \\
 2x &amp;= 40 \\
 x &amp;= 20 \\

 h(x) &amp;= 20 \cdot (40 - 20) \\
  &amp;= 20 \cdot 20 \\
  &amp;= 400 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi hasil kalinya adalah 400
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=15!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\

 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 3x^2-2yy' &amp;= 0 \\
 2yy' &amp;= 3x^2 \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 x^3-y^2-15 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 3x^2 \\
 y'(y) &amp;= -2y \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{3x^2}{-2y} \\
 &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari 3x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7y=x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-2!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 y(3x^2+7) &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-(x^3-2)6x}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 (3x^2+7)y &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 6xy+3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2 \\
 3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 (3x^2+7)y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 y' &amp;= \frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-6x(x^3-2)}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x+2y!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 2xy+x^2\frac{dy}{dx}+y^2+x2y\frac{dy}{dx} &amp;= 1+2\frac{dy}{dx} \\
 x^2\frac{dy}{dx}+2xy\frac{dy}{dx}-2\frac{dy}{dx} &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 (x^2+2xy-2)\frac{dy}{dx} &amp;= -y^2-2xy+1 \\
 \frac{dy}{dx} &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>gn5bb8z11w4s5v8gztxkc4306vvtj9p</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107428</id>
      <parentid>107427</parentid>
      <timestamp>2025-06-20T08:11:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Persamaan garis singgung kurva */</comment>
      <origin>107428</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18498" sha1="qb4qarfysj2mcbondr3j3uqlk3xvrdn" xml:space="preserve">== Kaidah umum == 
:&lt;math&gt;\left({cf}\right)' = cf'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f + g}\right)' = f' + g'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f - g}\right)' = f' - g'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah darab]]
:&lt;math&gt;\left({fg}\right)' = f'g + fg'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah timbalbalik]]
:&lt;math&gt;\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah hasil-bagi]]
:&lt;math&gt;\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah rantai]]
:&lt;math&gt;(f \circ g)' = (f' \circ g)g'&lt;/math&gt;
;Turunan [[fungsi invers]]
:&lt;math&gt;(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}&lt;/math&gt;
untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada
;Kaidah pangkat umum
:&lt;math&gt;(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)&lt;/math&gt;

== Rumus sederhana ==
: &lt;math&gt;c' = 0 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x' = 1 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;(cx)' = c \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 y &amp;= |x| \\
 y^2 &amp;= x^2 \\
 2y y' &amp;= 2x \\
 y' &amp;= \frac{x}{y} \\
  &amp;= \frac{x}{|x|} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: &lt;math&gt;(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x &gt; 0&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt; \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(e^x\right)' = e^x&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}&lt;/math&gt;

; Trigonometri
{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt; (\sin x)' = \cos x \,&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt; (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cos x)' = -\sin x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\sec x)' = \sec x \tan x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\csc x)' = -\csc x \cot x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|}

* Tambahkan:
** &lt;math&gt; (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin u)' = u' \cos u \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
Perhatikan sebagai berikut
: &lt;math&gt;sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt;(\sinh x )'= \cosh x&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\cosh x )'= \sinh x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}&lt;/math&gt;
|}

:: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

; implisit
*cara 1
: &lt;math&gt;ax + by = 1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b y' = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y' = -\frac{a}{b}&lt;/math&gt;

*cara 2
persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi &lt;math&gt;\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}&lt;/math&gt;

Fungsi implisit dibagi 2 jenis yaitu:
# ekspilit
artinya fungsi implisit dapat diubah menjadi fungsi ekspilit. Contoh: x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7=8xy+5x, y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-8x=5-6y

# jon-ekspilit
artinya fungsi implisit tidak dapat diubah menjadi fungsi ekspilit. Contoh: xy+8x=y&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-11

== Laju perubahan (rata-rata) ==
Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = &lt;math&gt;\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}&lt;/math&gt;

== Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam ==
: Persamaan kuadrat
:: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

:: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

: Persamaan kubik
Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.
:: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta &gt; 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta &lt; 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

== Persamaan garis singgung kurva ==
Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = &lt;math&gt;\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}&lt;/math&gt;

contoh:

# Berapa laju perubahaan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3 pada:
## x=5!
## interval 2&lt;x&lt;3!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= x^2-4x+3 \\
 f'(x) &amp;= 2x-4 \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(5)}{5} \\
  &amp;= \frac{2(5)-4}{5} \\
  &amp;= \frac{6}{5} \\
  &amp;= 1.2 \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{3}{1} \\
  &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada:
## x=&lt;math&gt;\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;!
## interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= sin x-cos x \\
 f'(x) &amp;= cos x+sin x \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= 3 (\sqrt{3}+1) \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\
 f'(x) &amp;= x^2-6x-16 \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 x^2-6x-16 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x-8) &amp;= 0 \\
 x=-2 &amp;\text{ atau } x=8 \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 f''(-2) &amp;= 2(2)-6 = -2 &lt; 0 \\
 f''(8) &amp;= 2(8)-6 = 10 &gt; 0 \\
\text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(-2) &amp;= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\
 &amp;= \frac{160}{3} \\
 f(8) &amp;= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\
 &amp;= -\frac{1.386}{3} \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 2x-6 &amp;= 0 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(3) &amp;= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\
 f(3) &amp;= -30 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\

\text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x&lt;-2 \text{ atau } x&gt;8 \text{ dan turun jika } -2&lt;x&lt;8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=1-2cos 2x&lt;/math&gt; pada batas-batas interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= 1-2cos 2x \\
 f'(x) &amp;= 4sin 2x \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 4sin 2x &amp;= 0 \\
 8sin x \cdot cos x &amp;= 0 \\
 (sin x)(cos x) &amp;= 0 \\
 x=0 &amp;\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 f''(0) &amp;= 8cos 2(0) = 8 &gt; 0 \\
 f''(\frac{\pi}{2}) &amp;= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 &lt; 0 \\
\text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(0) &amp;= 1-2cos 2(0) \\
 &amp;= -1 \\
 f(\frac{\pi}{2}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\
 &amp;= 3 \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 8cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= cos \frac{\pi}{2} \\
 2x &amp;= \frac{\pi}{2} \\
 x &amp;= \frac{\pi}{4} \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\
\text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x&lt;/math&gt; pada:
## di titik (-3,-3)!
## berabsis 2!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= (-3)^2-2(3)-8 \\
 f'(x) &amp;= -5 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-3) &amp;= -5 (x-(-3)) \\
 y+3 &amp;= -5x-15 \\
 y &amp;= -5x-18 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\

 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= 2^2-2(2)-8 \\
 f'(x) &amp;= -8 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-\frac{52}{3}) &amp;= -8 (x-2) \\
 y+\frac{52}{3} &amp;= -8x+16 \\
 y &amp;= -8x-\frac{4}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=3x^2-11x+10&lt;/math&gt; dan:
## sejajar dengan 7x-y=21!
## tegak lurus dengan 5y-x=10!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 7x-y &amp;= 21 \\
 y &amp;= 7x-21 \\
 
 m_1 &amp;= 7 \\
\text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\
 m_2 &amp;= m_1 \\
 m_2 &amp;= 7 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 7 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 18 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(3)^2-11(3)+10 \\
 &amp;= 4 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-4 &amp;= 7 (x-3) \\
 y-4 &amp;= 7x-21 \\
 y &amp;= 7x-17 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 5y-x &amp;= 10 \\
 5y &amp;= x+10 \\
 y &amp;= \frac{x}{5}+2 \\
 
 m_1 &amp;= \frac{1}{5} \\
\text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\
 m_2 &amp;= -5 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 -5 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 1 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(1)^2-11(1)+10 \\
 &amp;= 2 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-2 &amp;= -5 (x-1) \\
 y-2 &amp;= -5x+5 \\
 y &amp;= -5x+7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal tinggi adalah x } \\
 t = x, p &amp;= 45-2x, l = 24-2x \\
 v &amp;= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\
  &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\

 \text{agar volume maksimum adalah  v'(x) = 0} \\
 v(x) &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\
 v'(x) &amp;= 12x^2 - 376x - 1080 \\
 v'(x) &amp;=  0 \\
 12x^2 - 376x - 1080 &amp;= 0 \\
 12(x^2 - 23x - 90) &amp;= 0 \\
 x^2 - 23x - 90 &amp;= 0 \\
 (x - 18)(x - 5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= 18 \text{ atau } x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\
 x + y &amp;= 40 \\
 y &amp;= 40 - x \\
 
 \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah  h'(x) = 0 } \\
 h(x) &amp;= x \cdot y \\
 h(x) &amp;= x \cdot (40 - x) \\
 h(x) &amp;= 40x - x^2 \\
 h'(x) &amp;= 40 - 2x \\
 h'(x) &amp;=  0 \\
 40 - 2x &amp;= 0 \\
 2x &amp;= 40 \\
 x &amp;= 20 \\

 h(x) &amp;= 20 \cdot (40 - 20) \\
  &amp;= 20 \cdot 20 \\
  &amp;= 400 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi hasil kalinya adalah 400
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=15!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\

 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 3x^2-2yy' &amp;= 0 \\
 2yy' &amp;= 3x^2 \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 x^3-y^2-15 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 3x^2 \\
 y'(y) &amp;= -2y \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{3x^2}{-2y} \\
 &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari 3x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7y=x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-2!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 y(3x^2+7) &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-(x^3-2)6x}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 (3x^2+7)y &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 6xy+3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2 \\
 3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 (3x^2+7)y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 y' &amp;= \frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-6x(x^3-2)}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x+2y!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 2xy+x^2\frac{dy}{dx}+y^2+x2y\frac{dy}{dx} &amp;= 1+2\frac{dy}{dx} \\
 x^2\frac{dy}{dx}+2xy\frac{dy}{dx}-2\frac{dy}{dx} &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 (x^2+2xy-2)\frac{dy}{dx} &amp;= -y^2-2xy+1 \\
 \frac{dy}{dx} &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>qb4qarfysj2mcbondr3j3uqlk3xvrdn</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107429</id>
      <parentid>107428</parentid>
      <timestamp>2025-06-20T08:13:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Persamaan garis singgung kurva */</comment>
      <origin>107429</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18627" sha1="kzhza9topy1kag2uospposx7xm9umwh" xml:space="preserve">== Kaidah umum == 
:&lt;math&gt;\left({cf}\right)' = cf'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f + g}\right)' = f' + g'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f - g}\right)' = f' - g'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah darab]]
:&lt;math&gt;\left({fg}\right)' = f'g + fg'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah timbalbalik]]
:&lt;math&gt;\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah hasil-bagi]]
:&lt;math&gt;\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah rantai]]
:&lt;math&gt;(f \circ g)' = (f' \circ g)g'&lt;/math&gt;
;Turunan [[fungsi invers]]
:&lt;math&gt;(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}&lt;/math&gt;
untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada
;Kaidah pangkat umum
:&lt;math&gt;(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)&lt;/math&gt;

== Rumus sederhana ==
: &lt;math&gt;c' = 0 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x' = 1 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;(cx)' = c \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 y &amp;= |x| \\
 y^2 &amp;= x^2 \\
 2y y' &amp;= 2x \\
 y' &amp;= \frac{x}{y} \\
  &amp;= \frac{x}{|x|} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: &lt;math&gt;(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x &gt; 0&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt; \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(e^x\right)' = e^x&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}&lt;/math&gt;

; Trigonometri
{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt; (\sin x)' = \cos x \,&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt; (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cos x)' = -\sin x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\sec x)' = \sec x \tan x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\csc x)' = -\csc x \cot x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|}

* Tambahkan:
** &lt;math&gt; (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin u)' = u' \cos u \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
Perhatikan sebagai berikut
: &lt;math&gt;sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt;(\sinh x )'= \cosh x&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\cosh x )'= \sinh x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}&lt;/math&gt;
|}

:: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

; implisit
*cara 1
: &lt;math&gt;ax + by = 1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b y' = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y' = -\frac{a}{b}&lt;/math&gt;

*cara 2
persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi &lt;math&gt;\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}&lt;/math&gt;

Fungsi implisit dibagi 2 jenis yaitu:
# ekspilit
artinya fungsi implisit dapat diubah menjadi fungsi ekspilit. Contoh: x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7=8xy+5x, y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-8x=5-6y

# jon-ekspilit
artinya fungsi implisit tidak dapat diubah menjadi fungsi ekspilit. Contoh: xy+8x=y&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-11

== Laju perubahan (rata-rata) ==
Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = &lt;math&gt;\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}&lt;/math&gt;

== Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam ==
: Persamaan kuadrat
:: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

:: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

: Persamaan kubik
Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.
:: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta &gt; 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta &lt; 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

== Persamaan garis singgung kurva ==
Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = &lt;math&gt;\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}&lt;/math&gt;

contoh:

# Berapa laju perubahaan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3 pada:
## x=5!
## interval 2&lt;x&lt;3!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= x^2-4x+3 \\
 f'(x) &amp;= 2x-4 \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(5)}{5} \\
  &amp;= \frac{2(5)-4}{5} \\
  &amp;= \frac{6}{5} \\
  &amp;= 1.2 \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{3}{1} \\
  &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada:
## x=&lt;math&gt;\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;!
## interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= sin x-cos x \\
 f'(x) &amp;= cos x+sin x \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= 3 (\sqrt{3}+1) \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\
 f'(x) &amp;= x^2-6x-16 \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 x^2-6x-16 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x-8) &amp;= 0 \\
 x=-2 &amp;\text{ atau } x=8 \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 f''(-2) &amp;= 2(2)-6 = -2 &lt; 0 \\
 f''(8) &amp;= 2(8)-6 = 10 &gt; 0 \\
\text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(-2) &amp;= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\
 &amp;= \frac{160}{3} \\
 f(8) &amp;= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\
 &amp;= -\frac{1.386}{3} \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 2x-6 &amp;= 0 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(3) &amp;= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\
 f(3) &amp;= -30 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\

\text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x&lt;-2 \text{ atau } x&gt;8 \text{ dan turun jika } -2&lt;x&lt;8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=1-2cos 2x&lt;/math&gt; pada batas-batas interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= 1-2cos 2x \\
 f'(x) &amp;= 4sin 2x \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 4sin 2x &amp;= 0 \\
 8sin x \cdot cos x &amp;= 0 \\
 (sin x)(cos x) &amp;= 0 \\
 x=0 &amp;\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 f''(0) &amp;= 8cos 2(0) = 8 &gt; 0 \\
 f''(\frac{\pi}{2}) &amp;= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 &lt; 0 \\
\text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(0) &amp;= 1-2cos 2(0) \\
 &amp;= -1 \\
 f(\frac{\pi}{2}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\
 &amp;= 3 \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 8cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= cos \frac{\pi}{2} \\
 2x &amp;= \frac{\pi}{2} \\
 x &amp;= \frac{\pi}{4} \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\
\text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x&lt;/math&gt; pada:
## di titik (-3,-3)!
## berabsis 2!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= (-3)^2-2(3)-8 \\
 f'(x) &amp;= -5 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-3) &amp;= -5 (x-(-3)) \\
 y+3 &amp;= -5x-15 \\
 y &amp;= -5x-18 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\

 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= 2^2-2(2)-8 \\
 f'(x) &amp;= -8 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-\frac{52}{3}) &amp;= -8 (x-2) \\
 y+\frac{52}{3} &amp;= -8x+16 \\
 y &amp;= -8x-\frac{4}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=3x^2-11x+10&lt;/math&gt; dan:
## sejajar dengan 7x-y=21!
## tegak lurus dengan 5y-x=10!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 7x-y &amp;= 21 \\
 y &amp;= 7x-21 \\
 
 m_1 &amp;= 7 \\
\text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\
 m_2 &amp;= m_1 \\
 m_2 &amp;= 7 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 7 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 18 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(3)^2-11(3)+10 \\
 &amp;= 4 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-4 &amp;= 7 (x-3) \\
 y-4 &amp;= 7x-21 \\
 y &amp;= 7x-17 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 5y-x &amp;= 10 \\
 5y &amp;= x+10 \\
 y &amp;= \frac{x}{5}+2 \\
 
 m_1 &amp;= \frac{1}{5} \\
\text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\
 m_2 &amp;= -5 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 -5 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 1 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(1)^2-11(1)+10 \\
 &amp;= 2 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-2 &amp;= -5 (x-1) \\
 y-2 &amp;= -5x+5 \\
 y &amp;= -5x+7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal tinggi adalah x } \\
 t = x, p &amp;= 45-2x, l = 24-2x \\
 v &amp;= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\
  &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\

 \text{agar volume maksimum adalah  v'(x) = 0} \\
 v(x) &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\
 v'(x) &amp;= 12x^2 - 376x - 1080 \\
 v'(x) &amp;=  0 \\
 12x^2 - 376x - 1080 &amp;= 0 \\
 12(x^2 - 23x - 90) &amp;= 0 \\
 x^2 - 23x - 90 &amp;= 0 \\
 (x - 18)(x - 5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= 18 \text{ atau } x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\
 x + y &amp;= 40 \\
 y &amp;= 40 - x \\
 
 \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah  h'(x) = 0 } \\
 h(x) &amp;= x \cdot y \\
 h(x) &amp;= x \cdot (40 - x) \\
 h(x) &amp;= 40x - x^2 \\
 h'(x) &amp;= 40 - 2x \\
 h'(x) &amp;=  0 \\
 40 - 2x &amp;= 0 \\
 2x &amp;= 40 \\
 x &amp;= 20 \\

 h(x) &amp;= 20 \cdot (40 - 20) \\
  &amp;= 20 \cdot 20 \\
  &amp;= 400 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi hasil kalinya adalah 400
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=15!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\

 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 3x^2-2yy' &amp;= 0 \\
 2yy' &amp;= 3x^2 \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 x^3-y^2-15 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 3x^2 \\
 y'(y) &amp;= -2y \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{3x^2}{-2y} \\
 &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari 3x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7y=x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-2!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 y(3x^2+7) &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-(x^3-2)6x}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 (3x^2+7)y &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 6xy+3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2 \\
 3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 (3x^2+7)y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 y' &amp;= \frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-6x(x^3-2)}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x+2y!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 2xy+x^2\frac{dy}{dx}+y^2+x2y\frac{dy}{dx} &amp;= 1+2\frac{dy}{dx} \\
 x^2\frac{dy}{dx}+2xy\frac{dy}{dx}-2\frac{dy}{dx} &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 (x^2+2xy-2)\frac{dy}{dx} &amp;= -y^2-2xy+1 \\
 \frac{dy}{dx} &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>kzhza9topy1kag2uospposx7xm9umwh</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107430</id>
      <parentid>107429</parentid>
      <timestamp>2025-06-20T08:32:24Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Persamaan garis singgung kurva */</comment>
      <origin>107430</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="19325" sha1="mbcl97sq2do62x1cj6yeide521r1fkw" xml:space="preserve">== Kaidah umum == 
:&lt;math&gt;\left({cf}\right)' = cf'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f + g}\right)' = f' + g'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f - g}\right)' = f' - g'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah darab]]
:&lt;math&gt;\left({fg}\right)' = f'g + fg'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah timbalbalik]]
:&lt;math&gt;\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah hasil-bagi]]
:&lt;math&gt;\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah rantai]]
:&lt;math&gt;(f \circ g)' = (f' \circ g)g'&lt;/math&gt;
;Turunan [[fungsi invers]]
:&lt;math&gt;(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}&lt;/math&gt;
untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada
;Kaidah pangkat umum
:&lt;math&gt;(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)&lt;/math&gt;

== Rumus sederhana ==
: &lt;math&gt;c' = 0 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x' = 1 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;(cx)' = c \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 y &amp;= |x| \\
 y^2 &amp;= x^2 \\
 2y y' &amp;= 2x \\
 y' &amp;= \frac{x}{y} \\
  &amp;= \frac{x}{|x|} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: &lt;math&gt;(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x &gt; 0&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt; \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(e^x\right)' = e^x&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}&lt;/math&gt;

; Trigonometri
{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt; (\sin x)' = \cos x \,&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt; (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cos x)' = -\sin x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\sec x)' = \sec x \tan x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\csc x)' = -\csc x \cot x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|}

* Tambahkan:
** &lt;math&gt; (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin u)' = u' \cos u \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
Perhatikan sebagai berikut
: &lt;math&gt;sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt;(\sinh x )'= \cosh x&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\cosh x )'= \sinh x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}&lt;/math&gt;
|}

:: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

; implisit
*cara 1
: &lt;math&gt;ax + by = 1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b y' = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y' = -\frac{a}{b}&lt;/math&gt;

*cara 2
persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi &lt;math&gt;\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}&lt;/math&gt;

Fungsi implisit dibagi 2 jenis yaitu:
# ekspilit
artinya fungsi implisit dapat diubah menjadi fungsi ekspilit. Contoh: x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7=8xy+5x, y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-8x=5-6y

# jon-ekspilit
artinya fungsi implisit tidak dapat diubah menjadi fungsi ekspilit. Contoh: xy+8x=y&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-11

== Laju perubahan (rata-rata) ==
Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = &lt;math&gt;\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}&lt;/math&gt;

== Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam ==
: Persamaan kuadrat
:: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

:: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

: Persamaan kubik
Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.
:: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta &gt; 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta &lt; 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

== Persamaan garis singgung kurva ==
Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = &lt;math&gt;\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}&lt;/math&gt;

contoh:

# Berapa laju perubahaan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3 pada:
## x=5!
## interval 2&lt;x&lt;3!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= x^2-4x+3 \\
 f'(x) &amp;= 2x-4 \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(5)}{5} \\
  &amp;= \frac{2(5)-4}{5} \\
  &amp;= \frac{6}{5} \\
  &amp;= 1.2 \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{3}{1} \\
  &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada:
## x=&lt;math&gt;\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;!
## interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= sin x-cos x \\
 f'(x) &amp;= cos x+sin x \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= 3 (\sqrt{3}+1) \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\
 f'(x) &amp;= x^2-6x-16 \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 x^2-6x-16 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x-8) &amp;= 0 \\
 x=-2 &amp;\text{ atau } x=8 \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 f''(-2) &amp;= 2(2)-6 = -2 &lt; 0 \\
 f''(8) &amp;= 2(8)-6 = 10 &gt; 0 \\
\text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(-2) &amp;= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\
 &amp;= \frac{160}{3} \\
 f(8) &amp;= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\
 &amp;= -\frac{1.386}{3} \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 2x-6 &amp;= 0 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(3) &amp;= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\
 f(3) &amp;= -30 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\

\text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x&lt;-2 \text{ atau } x&gt;8 \text{ dan turun jika } -2&lt;x&lt;8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=1-2cos 2x&lt;/math&gt; pada batas-batas interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= 1-2cos 2x \\
 f'(x) &amp;= 4sin 2x \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 4sin 2x &amp;= 0 \\
 8sin x \cdot cos x &amp;= 0 \\
 (sin x)(cos x) &amp;= 0 \\
 x=0 &amp;\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 f''(0) &amp;= 8cos 2(0) = 8 &gt; 0 \\
 f''(\frac{\pi}{2}) &amp;= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 &lt; 0 \\
\text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(0) &amp;= 1-2cos 2(0) \\
 &amp;= -1 \\
 f(\frac{\pi}{2}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\
 &amp;= 3 \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 8cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= cos \frac{\pi}{2} \\
 2x &amp;= \frac{\pi}{2} \\
 x &amp;= \frac{\pi}{4} \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\
\text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x&lt;/math&gt; pada:
## di titik (-3,-3)!
## berabsis 2!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= (-3)^2-2(3)-8 \\
 f'(x) &amp;= -5 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-3) &amp;= -5 (x-(-3)) \\
 y+3 &amp;= -5x-15 \\
 y &amp;= -5x-18 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\

 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= 2^2-2(2)-8 \\
 f'(x) &amp;= -8 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-\frac{52}{3}) &amp;= -8 (x-2) \\
 y+\frac{52}{3} &amp;= -8x+16 \\
 y &amp;= -8x-\frac{4}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=3x^2-11x+10&lt;/math&gt; dan:
## sejajar dengan 7x-y=21!
## tegak lurus dengan 5y-x=10!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 7x-y &amp;= 21 \\
 y &amp;= 7x-21 \\
 
 m_1 &amp;= 7 \\
\text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\
 m_2 &amp;= m_1 \\
 m_2 &amp;= 7 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 7 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 18 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(3)^2-11(3)+10 \\
 &amp;= 4 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-4 &amp;= 7 (x-3) \\
 y-4 &amp;= 7x-21 \\
 y &amp;= 7x-17 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 5y-x &amp;= 10 \\
 5y &amp;= x+10 \\
 y &amp;= \frac{x}{5}+2 \\
 
 m_1 &amp;= \frac{1}{5} \\
\text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\
 m_2 &amp;= -5 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 -5 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 1 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(1)^2-11(1)+10 \\
 &amp;= 2 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-2 &amp;= -5 (x-1) \\
 y-2 &amp;= -5x+5 \\
 y &amp;= -5x+7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal tinggi adalah x } \\
 t = x, p &amp;= 45-2x, l = 24-2x \\
 v &amp;= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\
  &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\

 \text{agar volume maksimum adalah  v'(x) = 0} \\
 v(x) &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\
 v'(x) &amp;= 12x^2 - 376x - 1080 \\
 v'(x) &amp;=  0 \\
 12x^2 - 376x - 1080 &amp;= 0 \\
 12(x^2 - 23x - 90) &amp;= 0 \\
 x^2 - 23x - 90 &amp;= 0 \\
 (x - 18)(x - 5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= 18 \text{ atau } x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\
 x + y &amp;= 40 \\
 y &amp;= 40 - x \\
 
 \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah  h'(x) = 0 } \\
 h(x) &amp;= x \cdot y \\
 h(x) &amp;= x \cdot (40 - x) \\
 h(x) &amp;= 40x - x^2 \\
 h'(x) &amp;= 40 - 2x \\
 h'(x) &amp;=  0 \\
 40 - 2x &amp;= 0 \\
 2x &amp;= 40 \\
 x &amp;= 20 \\

 h(x) &amp;= 20 \cdot (40 - 20) \\
  &amp;= 20 \cdot 20 \\
  &amp;= 400 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi hasil kalinya adalah 400
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=15!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\

 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 3x^2-2yy' &amp;= 0 \\
 2yy' &amp;= 3x^2 \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 x^3-y^2-15 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 3x^2 \\
 y'(y) &amp;= -2y \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{3x^2}{-2y} \\
 &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari 3x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7y=x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-2!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 y(3x^2+7) &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-(x^3-2)6x}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 (3x^2+7)y &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 6xy+3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2 \\
 3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 (3x^2+7)y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 y' &amp;= \frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-6x(x^3-2)}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 3x^2y+7y-x^3+2 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 6xy-3x^2 \\
 y'(y) &amp;= 3x^2+7 \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{6xy-3x^2}{3x^2+7} \\
 &amp;= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x+2y!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 2xy+x^2\frac{dy}{dx}+y^2+x2y\frac{dy}{dx} &amp;= 1+2\frac{dy}{dx} \\
 x^2\frac{dy}{dx}+2xy\frac{dy}{dx}-2\frac{dy}{dx} &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 (x^2+2xy-2)\frac{dy}{dx} &amp;= -y^2-2xy+1 \\
 \frac{dy}{dx} &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>mbcl97sq2do62x1cj6yeide521r1fkw</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107431</id>
      <parentid>107430</parentid>
      <timestamp>2025-06-20T08:36:58Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Persamaan garis singgung kurva */</comment>
      <origin>107431</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="19502" sha1="c57xopup82n36kdbrcbbskvswkh8ugj" xml:space="preserve">== Kaidah umum == 
:&lt;math&gt;\left({cf}\right)' = cf'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f + g}\right)' = f' + g'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f - g}\right)' = f' - g'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah darab]]
:&lt;math&gt;\left({fg}\right)' = f'g + fg'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah timbalbalik]]
:&lt;math&gt;\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah hasil-bagi]]
:&lt;math&gt;\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah rantai]]
:&lt;math&gt;(f \circ g)' = (f' \circ g)g'&lt;/math&gt;
;Turunan [[fungsi invers]]
:&lt;math&gt;(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}&lt;/math&gt;
untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada
;Kaidah pangkat umum
:&lt;math&gt;(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)&lt;/math&gt;

== Rumus sederhana ==
: &lt;math&gt;c' = 0 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x' = 1 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;(cx)' = c \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 y &amp;= |x| \\
 y^2 &amp;= x^2 \\
 2y y' &amp;= 2x \\
 y' &amp;= \frac{x}{y} \\
  &amp;= \frac{x}{|x|} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: &lt;math&gt;(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x &gt; 0&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt; \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(e^x\right)' = e^x&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}&lt;/math&gt;

; Trigonometri
{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt; (\sin x)' = \cos x \,&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt; (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cos x)' = -\sin x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\sec x)' = \sec x \tan x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\csc x)' = -\csc x \cot x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|}

* Tambahkan:
** &lt;math&gt; (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin u)' = u' \cos u \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
Perhatikan sebagai berikut
: &lt;math&gt;sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt;(\sinh x )'= \cosh x&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\cosh x )'= \sinh x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}&lt;/math&gt;
|}

:: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

; implisit
*cara 1
: &lt;math&gt;ax + by = 1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b y' = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y' = -\frac{a}{b}&lt;/math&gt;

*cara 2
persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi &lt;math&gt;\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}&lt;/math&gt;

Fungsi implisit dibagi 2 jenis yaitu:
# ekspilit
artinya fungsi implisit dapat diubah menjadi fungsi ekspilit. Contoh: x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7=8xy+5x, y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-8x=5-6y

# jon-ekspilit
artinya fungsi implisit tidak dapat diubah menjadi fungsi ekspilit. Contoh: xy+8x=y&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-11

== Laju perubahan (rata-rata) ==
Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = &lt;math&gt;\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}&lt;/math&gt;

== Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam ==
: Persamaan kuadrat
:: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

:: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

: Persamaan kubik
Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.
:: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta &gt; 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta &lt; 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

== Persamaan garis singgung kurva ==
Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = &lt;math&gt;\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}&lt;/math&gt;

contoh:

# Berapa laju perubahaan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3 pada:
## x=5!
## interval 2&lt;x&lt;3!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= x^2-4x+3 \\
 f'(x) &amp;= 2x-4 \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(5)}{5} \\
  &amp;= \frac{2(5)-4}{5} \\
  &amp;= \frac{6}{5} \\
  &amp;= 1.2 \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{3}{1} \\
  &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada:
## x=&lt;math&gt;\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;!
## interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= sin x-cos x \\
 f'(x) &amp;= cos x+sin x \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= 3 (\sqrt{3}+1) \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\
 f'(x) &amp;= x^2-6x-16 \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 x^2-6x-16 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x-8) &amp;= 0 \\
 x=-2 &amp;\text{ atau } x=8 \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 f''(-2) &amp;= 2(2)-6 = -2 &lt; 0 \\
 f''(8) &amp;= 2(8)-6 = 10 &gt; 0 \\
\text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(-2) &amp;= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\
 &amp;= \frac{160}{3} \\
 f(8) &amp;= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\
 &amp;= -\frac{1.386}{3} \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 2x-6 &amp;= 0 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(3) &amp;= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\
 f(3) &amp;= -30 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\

\text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x&lt;-2 \text{ atau } x&gt;8 \text{ dan turun jika } -2&lt;x&lt;8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=1-2cos 2x&lt;/math&gt; pada batas-batas interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= 1-2cos 2x \\
 f'(x) &amp;= 4sin 2x \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 4sin 2x &amp;= 0 \\
 8sin x \cdot cos x &amp;= 0 \\
 (sin x)(cos x) &amp;= 0 \\
 x=0 &amp;\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 f''(0) &amp;= 8cos 2(0) = 8 &gt; 0 \\
 f''(\frac{\pi}{2}) &amp;= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 &lt; 0 \\
\text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(0) &amp;= 1-2cos 2(0) \\
 &amp;= -1 \\
 f(\frac{\pi}{2}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\
 &amp;= 3 \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 8cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= cos \frac{\pi}{2} \\
 2x &amp;= \frac{\pi}{2} \\
 x &amp;= \frac{\pi}{4} \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\
\text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x&lt;/math&gt; pada:
## di titik (-3,-3)!
## berabsis 2!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= (-3)^2-2(3)-8 \\
 f'(x) &amp;= -5 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-3) &amp;= -5 (x-(-3)) \\
 y+3 &amp;= -5x-15 \\
 y &amp;= -5x-18 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\

 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= 2^2-2(2)-8 \\
 f'(x) &amp;= -8 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-\frac{52}{3}) &amp;= -8 (x-2) \\
 y+\frac{52}{3} &amp;= -8x+16 \\
 y &amp;= -8x-\frac{4}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=3x^2-11x+10&lt;/math&gt; dan:
## sejajar dengan 7x-y=21!
## tegak lurus dengan 5y-x=10!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 7x-y &amp;= 21 \\
 y &amp;= 7x-21 \\
 
 m_1 &amp;= 7 \\
\text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\
 m_2 &amp;= m_1 \\
 m_2 &amp;= 7 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 7 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 18 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(3)^2-11(3)+10 \\
 &amp;= 4 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-4 &amp;= 7 (x-3) \\
 y-4 &amp;= 7x-21 \\
 y &amp;= 7x-17 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 5y-x &amp;= 10 \\
 5y &amp;= x+10 \\
 y &amp;= \frac{x}{5}+2 \\
 
 m_1 &amp;= \frac{1}{5} \\
\text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\
 m_2 &amp;= -5 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 -5 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 1 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(1)^2-11(1)+10 \\
 &amp;= 2 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-2 &amp;= -5 (x-1) \\
 y-2 &amp;= -5x+5 \\
 y &amp;= -5x+7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal tinggi adalah x } \\
 t = x, p &amp;= 45-2x, l = 24-2x \\
 v &amp;= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\
  &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\

 \text{agar volume maksimum adalah  v'(x) = 0} \\
 v(x) &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\
 v'(x) &amp;= 12x^2 - 376x - 1080 \\
 v'(x) &amp;=  0 \\
 12x^2 - 376x - 1080 &amp;= 0 \\
 12(x^2 - 23x - 90) &amp;= 0 \\
 x^2 - 23x - 90 &amp;= 0 \\
 (x - 18)(x - 5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= 18 \text{ atau } x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\
 x + y &amp;= 40 \\
 y &amp;= 40 - x \\
 
 \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah  h'(x) = 0 } \\
 h(x) &amp;= x \cdot y \\
 h(x) &amp;= x \cdot (40 - x) \\
 h(x) &amp;= 40x - x^2 \\
 h'(x) &amp;= 40 - 2x \\
 h'(x) &amp;=  0 \\
 40 - 2x &amp;= 0 \\
 2x &amp;= 40 \\
 x &amp;= 20 \\

 h(x) &amp;= 20 \cdot (40 - 20) \\
  &amp;= 20 \cdot 20 \\
  &amp;= 400 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi hasil kalinya adalah 400
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=15!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\

 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 3x^2-2yy' &amp;= 0 \\
 2yy' &amp;= 3x^2 \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 x^3-y^2-15 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 3x^2 \\
 y'(y) &amp;= -2y \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{3x^2}{-2y} \\
 &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari 3x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7y=x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-2!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 y(3x^2+7) &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-(x^3-2)6x}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 (3x^2+7)y &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 6xy+3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2 \\
 3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 (3x^2+7)y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 y' &amp;= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-6x(x^3-2)}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 3x^2y+7y-x^3+2 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 6xy-3x^2 \\
 y'(y) &amp;= 3x^2+7 \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{6xy-3x^2}{3x^2+7} \\
 &amp;= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 (3x^2+7)y &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 
 y' &amp;= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-6x(x^3-2)}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x+2y!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 2xy+x^2\frac{dy}{dx}+y^2+x2y\frac{dy}{dx} &amp;= 1+2\frac{dy}{dx} \\
 x^2\frac{dy}{dx}+2xy\frac{dy}{dx}-2\frac{dy}{dx} &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 (x^2+2xy-2)\frac{dy}{dx} &amp;= -y^2-2xy+1 \\
 \frac{dy}{dx} &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>c57xopup82n36kdbrcbbskvswkh8ugj</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107432</id>
      <parentid>107431</parentid>
      <timestamp>2025-06-20T08:53:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107432</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="19862" sha1="7ecizuwrs6o0ghtyjhtrf78jvgvuzp9" xml:space="preserve">== Kaidah umum == 
:&lt;math&gt;\left({cf}\right)' = cf'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f + g}\right)' = f' + g'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f - g}\right)' = f' - g'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah darab]]
:&lt;math&gt;\left({fg}\right)' = f'g + fg'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah timbalbalik]]
:&lt;math&gt;\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah hasil-bagi]]
:&lt;math&gt;\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah rantai]]
:&lt;math&gt;(f \circ g)' = (f' \circ g)g'&lt;/math&gt;
;Turunan [[fungsi invers]]
:&lt;math&gt;(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}&lt;/math&gt;
untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada
;Kaidah pangkat umum
:&lt;math&gt;(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)&lt;/math&gt;

== Rumus sederhana ==
: &lt;math&gt;c' = 0 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x' = 1 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;(cx)' = c \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 y &amp;= |x| \\
 y^2 &amp;= x^2 \\
 2y y' &amp;= 2x \\
 y' &amp;= \frac{x}{y} \\
  &amp;= \frac{x}{|x|} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: &lt;math&gt;(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x &gt; 0&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt; \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(e^x\right)' = e^x&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}&lt;/math&gt;

; Trigonometri
{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt; (\sin x)' = \cos x \,&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt; (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cos x)' = -\sin x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\sec x)' = \sec x \tan x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\csc x)' = -\csc x \cot x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|}

* Tambahkan:
** &lt;math&gt; (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin u)' = u' \cos u \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
Perhatikan sebagai berikut
: &lt;math&gt;sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt;(\sinh x )'= \cosh x&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\cosh x )'= \sinh x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}&lt;/math&gt;
|}

:: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

; implisit
*cara 1
: &lt;math&gt;ax + by = 1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b y' = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y' = -\frac{a}{b}&lt;/math&gt;

*cara 2
persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi &lt;math&gt;\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}&lt;/math&gt;

Fungsi implisit dibagi 2 jenis yaitu:
# ekspilit
artinya fungsi implisit dapat diubah menjadi fungsi ekspilit. Contoh: x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7=8xy+5x, y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-8x=5-6y

# jon-ekspilit
artinya fungsi implisit tidak dapat diubah menjadi fungsi ekspilit. Contoh: xy+8x=y&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-11

== Laju perubahan (rata-rata) ==
Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = &lt;math&gt;\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}&lt;/math&gt;

== Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam ==
: Persamaan kuadrat
:: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

:: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

: Persamaan kubik
Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.
:: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta &gt; 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta &lt; 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

== Persamaan garis singgung kurva ==
Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = &lt;math&gt;\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}&lt;/math&gt;

contoh:

# Berapa laju perubahaan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3 pada:
## x=5!
## interval 2&lt;x&lt;3!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= x^2-4x+3 \\
 f'(x) &amp;= 2x-4 \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(5)}{5} \\
  &amp;= \frac{2(5)-4}{5} \\
  &amp;= \frac{6}{5} \\
  &amp;= 1.2 \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{3}{1} \\
  &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada:
## x=&lt;math&gt;\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;!
## interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= sin x-cos x \\
 f'(x) &amp;= cos x+sin x \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= 3 (\sqrt{3}+1) \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\
 f'(x) &amp;= x^2-6x-16 \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 x^2-6x-16 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x-8) &amp;= 0 \\
 x=-2 &amp;\text{ atau } x=8 \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 f''(-2) &amp;= 2(2)-6 = -2 &lt; 0 \\
 f''(8) &amp;= 2(8)-6 = 10 &gt; 0 \\
\text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(-2) &amp;= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\
 &amp;= \frac{160}{3} \\
 f(8) &amp;= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\
 &amp;= -\frac{1.386}{3} \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 2x-6 &amp;= 0 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(3) &amp;= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\
 f(3) &amp;= -30 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\

\text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x&lt;-2 \text{ atau } x&gt;8 \text{ dan turun jika } -2&lt;x&lt;8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=1-2cos 2x&lt;/math&gt; pada batas-batas interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= 1-2cos 2x \\
 f'(x) &amp;= 4sin 2x \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 4sin 2x &amp;= 0 \\
 8sin x \cdot cos x &amp;= 0 \\
 (sin x)(cos x) &amp;= 0 \\
 x=0 &amp;\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 f''(0) &amp;= 8cos 2(0) = 8 &gt; 0 \\
 f''(\frac{\pi}{2}) &amp;= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 &lt; 0 \\
\text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(0) &amp;= 1-2cos 2(0) \\
 &amp;= -1 \\
 f(\frac{\pi}{2}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\
 &amp;= 3 \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 8cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= cos \frac{\pi}{2} \\
 2x &amp;= \frac{\pi}{2} \\
 x &amp;= \frac{\pi}{4} \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\
\text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x&lt;/math&gt; pada:
## di titik (-3,-3)!
## berabsis 2!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= (-3)^2-2(3)-8 \\
 f'(x) &amp;= -5 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-3) &amp;= -5 (x-(-3)) \\
 y+3 &amp;= -5x-15 \\
 y &amp;= -5x-18 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\

 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= 2^2-2(2)-8 \\
 f'(x) &amp;= -8 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-\frac{52}{3}) &amp;= -8 (x-2) \\
 y+\frac{52}{3} &amp;= -8x+16 \\
 y &amp;= -8x-\frac{4}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=3x^2-11x+10&lt;/math&gt; dan:
## sejajar dengan 7x-y=21!
## tegak lurus dengan 5y-x=10!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 7x-y &amp;= 21 \\
 y &amp;= 7x-21 \\
 
 m_1 &amp;= 7 \\
\text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\
 m_2 &amp;= m_1 \\
 m_2 &amp;= 7 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 7 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 18 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(3)^2-11(3)+10 \\
 &amp;= 4 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-4 &amp;= 7 (x-3) \\
 y-4 &amp;= 7x-21 \\
 y &amp;= 7x-17 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 5y-x &amp;= 10 \\
 5y &amp;= x+10 \\
 y &amp;= \frac{x}{5}+2 \\
 
 m_1 &amp;= \frac{1}{5} \\
\text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\
 m_2 &amp;= -5 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 -5 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 1 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(1)^2-11(1)+10 \\
 &amp;= 2 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-2 &amp;= -5 (x-1) \\
 y-2 &amp;= -5x+5 \\
 y &amp;= -5x+7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal tinggi adalah x } \\
 t = x, p &amp;= 45-2x, l = 24-2x \\
 v &amp;= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\
  &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\

 \text{agar volume maksimum adalah  v'(x) = 0} \\
 v(x) &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\
 v'(x) &amp;= 12x^2 - 376x - 1080 \\
 v'(x) &amp;=  0 \\
 12x^2 - 376x - 1080 &amp;= 0 \\
 12(x^2 - 23x - 90) &amp;= 0 \\
 x^2 - 23x - 90 &amp;= 0 \\
 (x - 18)(x - 5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= 18 \text{ atau } x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\
 x + y &amp;= 40 \\
 y &amp;= 40 - x \\
 
 \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah  h'(x) = 0 } \\
 h(x) &amp;= x \cdot y \\
 h(x) &amp;= x \cdot (40 - x) \\
 h(x) &amp;= 40x - x^2 \\
 h'(x) &amp;= 40 - 2x \\
 h'(x) &amp;=  0 \\
 40 - 2x &amp;= 0 \\
 2x &amp;= 40 \\
 x &amp;= 20 \\

 h(x) &amp;= 20 \cdot (40 - 20) \\
  &amp;= 20 \cdot 20 \\
  &amp;= 400 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi hasil kalinya adalah 400
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=15!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\

 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 3x^2-2yy' &amp;= 0 \\
 2yy' &amp;= 3x^2 \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 x^3-y^2-15 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 3x^2 \\
 y'(y) &amp;= -2y \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{3x^2}{-2y} \\
 &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari 3x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7y=x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-2!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 y(3x^2+7) &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-(x^3-2)6x}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 (3x^2+7)y &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 6xy+3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2 \\
 3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 (3x^2+7)y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 y' &amp;= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-6x(x^3-2)}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 3x^2y+7y-x^3+2 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 6xy-3x^2 \\
 y'(y) &amp;= 3x^2+7 \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{6xy-3x^2}{3x^2+7} \\
 &amp;= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 (3x^2+7)y &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 
 y' &amp;= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-6x(x^3-2)}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x+2y!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 2xy+x^2y'+y^2+x2yy' &amp;= 1+2y' \\
 x^2y'+2xyy'-2y' &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 (x^2+2xy-2)y' &amp;= -y^2-2xy+1 \\
 y' &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 x^2y+xy^2-x-2y &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 2xy+y^2-1 \\
 y'(y) &amp;= x^2+x2y-2 \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{2xy+y^2-1}{x^2x2y-2} \\
 &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>7ecizuwrs6o0ghtyjhtrf78jvgvuzp9</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107433</id>
      <parentid>107432</parentid>
      <timestamp>2025-06-20T08:54:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Persamaan garis singgung kurva */</comment>
      <origin>107433</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="19870" sha1="o4orgmdgoguo8uw2h3ht9bx3vnrvwil" xml:space="preserve">== Kaidah umum == 
:&lt;math&gt;\left({cf}\right)' = cf'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f + g}\right)' = f' + g'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f - g}\right)' = f' - g'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah darab]]
:&lt;math&gt;\left({fg}\right)' = f'g + fg'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah timbalbalik]]
:&lt;math&gt;\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah hasil-bagi]]
:&lt;math&gt;\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah rantai]]
:&lt;math&gt;(f \circ g)' = (f' \circ g)g'&lt;/math&gt;
;Turunan [[fungsi invers]]
:&lt;math&gt;(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}&lt;/math&gt;
untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada
;Kaidah pangkat umum
:&lt;math&gt;(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)&lt;/math&gt;

== Rumus sederhana ==
: &lt;math&gt;c' = 0 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x' = 1 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;(cx)' = c \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 y &amp;= |x| \\
 y^2 &amp;= x^2 \\
 2y y' &amp;= 2x \\
 y' &amp;= \frac{x}{y} \\
  &amp;= \frac{x}{|x|} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: &lt;math&gt;(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x &gt; 0&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt; \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(e^x\right)' = e^x&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}&lt;/math&gt;

; Trigonometri
{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt; (\sin x)' = \cos x \,&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt; (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cos x)' = -\sin x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\sec x)' = \sec x \tan x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\csc x)' = -\csc x \cot x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|}

* Tambahkan:
** &lt;math&gt; (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin u)' = u' \cos u \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
Perhatikan sebagai berikut
: &lt;math&gt;sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt;(\sinh x )'= \cosh x&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\cosh x )'= \sinh x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}&lt;/math&gt;
|}

:: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

; implisit
*cara 1
: &lt;math&gt;ax + by = 1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b y' = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y' = -\frac{a}{b}&lt;/math&gt;

*cara 2
persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi &lt;math&gt;\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}&lt;/math&gt;

Fungsi implisit dibagi 2 jenis yaitu:
# ekspilit
artinya fungsi implisit dapat diubah menjadi fungsi ekspilit. Contoh: x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7=8xy+5x, y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-8x=5-6y

# jon-ekspilit
artinya fungsi implisit tidak dapat diubah menjadi fungsi ekspilit. Contoh: xy+8x=y&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-11

== Laju perubahan (rata-rata) ==
Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = &lt;math&gt;\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}&lt;/math&gt;

== Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam ==
: Persamaan kuadrat
:: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

:: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

: Persamaan kubik
Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.
:: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta &gt; 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta &lt; 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

== Persamaan garis singgung kurva ==
Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = &lt;math&gt;\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}&lt;/math&gt;

contoh:

# Berapa laju perubahaan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3 pada:
## x=5!
## interval 2&lt;x&lt;3!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= x^2-4x+3 \\
 f'(x) &amp;= 2x-4 \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(5)}{5} \\
  &amp;= \frac{2(5)-4}{5} \\
  &amp;= \frac{6}{5} \\
  &amp;= 1.2 \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{3}{1} \\
  &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada:
## x=&lt;math&gt;\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;!
## interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= sin x-cos x \\
 f'(x) &amp;= cos x+sin x \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= 3 (\sqrt{3}+1) \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\
 f'(x) &amp;= x^2-6x-16 \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 x^2-6x-16 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x-8) &amp;= 0 \\
 x=-2 &amp;\text{ atau } x=8 \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 f''(-2) &amp;= 2(2)-6 = -2 &lt; 0 \\
 f''(8) &amp;= 2(8)-6 = 10 &gt; 0 \\
\text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(-2) &amp;= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\
 &amp;= \frac{160}{3} \\
 f(8) &amp;= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\
 &amp;= -\frac{1.386}{3} \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 2x-6 &amp;= 0 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(3) &amp;= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\
 f(3) &amp;= -30 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\

\text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x&lt;-2 \text{ atau } x&gt;8 \text{ dan turun jika } -2&lt;x&lt;8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=1-2cos 2x&lt;/math&gt; pada batas-batas interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= 1-2cos 2x \\
 f'(x) &amp;= 4sin 2x \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 4sin 2x &amp;= 0 \\
 8sin x \cdot cos x &amp;= 0 \\
 (sin x)(cos x) &amp;= 0 \\
 x=0 &amp;\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 f''(0) &amp;= 8cos 2(0) = 8 &gt; 0 \\
 f''(\frac{\pi}{2}) &amp;= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 &lt; 0 \\
\text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(0) &amp;= 1-2cos 2(0) \\
 &amp;= -1 \\
 f(\frac{\pi}{2}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\
 &amp;= 3 \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 8cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= cos \frac{\pi}{2} \\
 2x &amp;= \frac{\pi}{2} \\
 x &amp;= \frac{\pi}{4} \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\
\text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x&lt;/math&gt; pada:
## di titik (-3,-3)!
## berabsis 2!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= (-3)^2-2(3)-8 \\
 f'(x) &amp;= -5 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-3) &amp;= -5 (x-(-3)) \\
 y+3 &amp;= -5x-15 \\
 y &amp;= -5x-18 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\

 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= 2^2-2(2)-8 \\
 f'(x) &amp;= -8 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-\frac{52}{3}) &amp;= -8 (x-2) \\
 y+\frac{52}{3} &amp;= -8x+16 \\
 y &amp;= -8x-\frac{4}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=3x^2-11x+10&lt;/math&gt; dan:
## sejajar dengan 7x-y=21!
## tegak lurus dengan 5y-x=10!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 7x-y &amp;= 21 \\
 y &amp;= 7x-21 \\
 
 m_1 &amp;= 7 \\
\text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\
 m_2 &amp;= m_1 \\
 m_2 &amp;= 7 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 7 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 18 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(3)^2-11(3)+10 \\
 &amp;= 4 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-4 &amp;= 7 (x-3) \\
 y-4 &amp;= 7x-21 \\
 y &amp;= 7x-17 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 5y-x &amp;= 10 \\
 5y &amp;= x+10 \\
 y &amp;= \frac{x}{5}+2 \\
 
 m_1 &amp;= \frac{1}{5} \\
\text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\
 m_2 &amp;= -5 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 -5 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 1 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(1)^2-11(1)+10 \\
 &amp;= 2 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-2 &amp;= -5 (x-1) \\
 y-2 &amp;= -5x+5 \\
 y &amp;= -5x+7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal tinggi adalah x } \\
 t = x, p &amp;= 45-2x, l = 24-2x \\
 v &amp;= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\
  &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\

 \text{agar volume maksimum adalah  v'(x) = 0} \\
 v(x) &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\
 v'(x) &amp;= 12x^2 - 376x - 1080 \\
 v'(x) &amp;=  0 \\
 12x^2 - 376x - 1080 &amp;= 0 \\
 12(x^2 - 23x - 90) &amp;= 0 \\
 x^2 - 23x - 90 &amp;= 0 \\
 (x - 18)(x - 5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= 18 \text{ atau } x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\
 x + y &amp;= 40 \\
 y &amp;= 40 - x \\
 
 \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah  h'(x) = 0 } \\
 h(x) &amp;= x \cdot y \\
 h(x) &amp;= x \cdot (40 - x) \\
 h(x) &amp;= 40x - x^2 \\
 h'(x) &amp;= 40 - 2x \\
 h'(x) &amp;=  0 \\
 40 - 2x &amp;= 0 \\
 2x &amp;= 40 \\
 x &amp;= 20 \\

 h(x) &amp;= 20 \cdot (40 - 20) \\
  &amp;= 20 \cdot 20 \\
  &amp;= 400 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi hasil kalinya adalah 400
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=15!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\

 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 3x^2-2yy' &amp;= 0 \\
 2yy' &amp;= 3x^2 \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 x^3-y^2-15 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 3x^2 \\
 y'(y) &amp;= -2y \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{3x^2}{-2y} \\
 &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari 3x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7y=x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-2!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 y(3x^2+7) &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-(x^3-2)6x}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 (3x^2+7)y &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 6xy+3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2 \\
 3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 (3x^2+7)y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 y' &amp;= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-6x(x^3-2)}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 3x^2y+7y-x^3+2 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 6xy-3x^2 \\
 y'(y) &amp;= 3x^2+7 \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{6xy-3x^2}{3x^2+7} \\
 &amp;= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 (3x^2+7)y &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 
 y' &amp;= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-6x(x^3-2)}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x+2y!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 2xy+x^2y'+y^2+x2yy' &amp;= 1+2y' \\
 x^2y'+2xyy'-2y' &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 (x^2+2xy-2)y' &amp;= -y^2-2xy+1 \\
 y' &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 x^2y+xy^2-x-2y &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 2xy+y^2-1 \\
 y'(y) &amp;= x^2+x2y-2 \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{2xy+y^2-1}{x^2x2y-2} \\
 &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>o4orgmdgoguo8uw2h3ht9bx3vnrvwil</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107434</id>
      <parentid>107433</parentid>
      <timestamp>2025-06-20T09:19:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rumus sederhana */</comment>
      <origin>107434</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="19873" sha1="31nf14pl6jrbu3gl54a0rk4kpwj0lyy" xml:space="preserve">== Kaidah umum == 
:&lt;math&gt;\left({cf}\right)' = cf'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f + g}\right)' = f' + g'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f - g}\right)' = f' - g'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah darab]]
:&lt;math&gt;\left({fg}\right)' = f'g + fg'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah timbalbalik]]
:&lt;math&gt;\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah hasil-bagi]]
:&lt;math&gt;\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah rantai]]
:&lt;math&gt;(f \circ g)' = (f' \circ g)g'&lt;/math&gt;
;Turunan [[fungsi invers]]
:&lt;math&gt;(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}&lt;/math&gt;
untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada
;Kaidah pangkat umum
:&lt;math&gt;(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)&lt;/math&gt;

== Rumus sederhana ==
: &lt;math&gt;c' = 0 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x' = 1 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;(cx)' = c \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 y &amp;= |x| \\
 y^2 &amp;= x^2 \\
 2y y' &amp;= 2x \\
 y' &amp;= \frac{x}{y} \\
  &amp;= \frac{x}{|x|} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: &lt;math&gt;(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x &gt; 0&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt; \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(e^x\right)' = e^x&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}&lt;/math&gt;

; Trigonometri
{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt; (\sin x)' = \cos x \,&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt; (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cos x)' = -\sin x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\sec x)' = \sec x \tan x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\csc x)' = -\csc x \cot x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|}

* Tambahkan:
** &lt;math&gt; (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin u)' = u' \cos u \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
Perhatikan sebagai berikut
: &lt;math&gt;sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt;(\sinh x )'= \cosh x&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\cosh x )'= \sinh x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}&lt;/math&gt;
|}

:: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

; implisit
*cara 1
: &lt;math&gt;ax + by = 1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b y' = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y' = -\frac{a}{b}&lt;/math&gt;

*cara 2
persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi &lt;math&gt;\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}&lt;/math&gt;

Fungsi implisit dibagi 2 jenis yaitu:
# eksplisit
artinya fungsi implisit dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Contoh: x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7=8xy+5x, y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-8x=5-6y

# in-eksplisit
artinya fungsi implisit tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Contoh: xy+8x=y&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-11

== Laju perubahan (rata-rata) ==
Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = &lt;math&gt;\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}&lt;/math&gt;

== Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam ==
: Persamaan kuadrat
:: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

:: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

: Persamaan kubik
Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.
:: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta &gt; 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta &lt; 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

== Persamaan garis singgung kurva ==
Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = &lt;math&gt;\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}&lt;/math&gt;

contoh:

# Berapa laju perubahaan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3 pada:
## x=5!
## interval 2&lt;x&lt;3!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= x^2-4x+3 \\
 f'(x) &amp;= 2x-4 \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(5)}{5} \\
  &amp;= \frac{2(5)-4}{5} \\
  &amp;= \frac{6}{5} \\
  &amp;= 1.2 \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{3}{1} \\
  &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada:
## x=&lt;math&gt;\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;!
## interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= sin x-cos x \\
 f'(x) &amp;= cos x+sin x \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= 3 (\sqrt{3}+1) \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\
 f'(x) &amp;= x^2-6x-16 \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 x^2-6x-16 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x-8) &amp;= 0 \\
 x=-2 &amp;\text{ atau } x=8 \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 f''(-2) &amp;= 2(2)-6 = -2 &lt; 0 \\
 f''(8) &amp;= 2(8)-6 = 10 &gt; 0 \\
\text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(-2) &amp;= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\
 &amp;= \frac{160}{3} \\
 f(8) &amp;= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\
 &amp;= -\frac{1.386}{3} \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 2x-6 &amp;= 0 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(3) &amp;= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\
 f(3) &amp;= -30 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\

\text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x&lt;-2 \text{ atau } x&gt;8 \text{ dan turun jika } -2&lt;x&lt;8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=1-2cos 2x&lt;/math&gt; pada batas-batas interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= 1-2cos 2x \\
 f'(x) &amp;= 4sin 2x \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 4sin 2x &amp;= 0 \\
 8sin x \cdot cos x &amp;= 0 \\
 (sin x)(cos x) &amp;= 0 \\
 x=0 &amp;\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 f''(0) &amp;= 8cos 2(0) = 8 &gt; 0 \\
 f''(\frac{\pi}{2}) &amp;= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 &lt; 0 \\
\text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(0) &amp;= 1-2cos 2(0) \\
 &amp;= -1 \\
 f(\frac{\pi}{2}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\
 &amp;= 3 \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 8cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= cos \frac{\pi}{2} \\
 2x &amp;= \frac{\pi}{2} \\
 x &amp;= \frac{\pi}{4} \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\
\text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x&lt;/math&gt; pada:
## di titik (-3,-3)!
## berabsis 2!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= (-3)^2-2(3)-8 \\
 f'(x) &amp;= -5 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-3) &amp;= -5 (x-(-3)) \\
 y+3 &amp;= -5x-15 \\
 y &amp;= -5x-18 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\

 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= 2^2-2(2)-8 \\
 f'(x) &amp;= -8 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-\frac{52}{3}) &amp;= -8 (x-2) \\
 y+\frac{52}{3} &amp;= -8x+16 \\
 y &amp;= -8x-\frac{4}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=3x^2-11x+10&lt;/math&gt; dan:
## sejajar dengan 7x-y=21!
## tegak lurus dengan 5y-x=10!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 7x-y &amp;= 21 \\
 y &amp;= 7x-21 \\
 
 m_1 &amp;= 7 \\
\text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\
 m_2 &amp;= m_1 \\
 m_2 &amp;= 7 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 7 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 18 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(3)^2-11(3)+10 \\
 &amp;= 4 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-4 &amp;= 7 (x-3) \\
 y-4 &amp;= 7x-21 \\
 y &amp;= 7x-17 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 5y-x &amp;= 10 \\
 5y &amp;= x+10 \\
 y &amp;= \frac{x}{5}+2 \\
 
 m_1 &amp;= \frac{1}{5} \\
\text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\
 m_2 &amp;= -5 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 -5 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 1 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(1)^2-11(1)+10 \\
 &amp;= 2 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-2 &amp;= -5 (x-1) \\
 y-2 &amp;= -5x+5 \\
 y &amp;= -5x+7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal tinggi adalah x } \\
 t = x, p &amp;= 45-2x, l = 24-2x \\
 v &amp;= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\
  &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\

 \text{agar volume maksimum adalah  v'(x) = 0} \\
 v(x) &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\
 v'(x) &amp;= 12x^2 - 376x - 1080 \\
 v'(x) &amp;=  0 \\
 12x^2 - 376x - 1080 &amp;= 0 \\
 12(x^2 - 23x - 90) &amp;= 0 \\
 x^2 - 23x - 90 &amp;= 0 \\
 (x - 18)(x - 5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= 18 \text{ atau } x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\
 x + y &amp;= 40 \\
 y &amp;= 40 - x \\
 
 \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah  h'(x) = 0 } \\
 h(x) &amp;= x \cdot y \\
 h(x) &amp;= x \cdot (40 - x) \\
 h(x) &amp;= 40x - x^2 \\
 h'(x) &amp;= 40 - 2x \\
 h'(x) &amp;=  0 \\
 40 - 2x &amp;= 0 \\
 2x &amp;= 40 \\
 x &amp;= 20 \\

 h(x) &amp;= 20 \cdot (40 - 20) \\
  &amp;= 20 \cdot 20 \\
  &amp;= 400 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi hasil kalinya adalah 400
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=15!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\

 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 3x^2-2yy' &amp;= 0 \\
 2yy' &amp;= 3x^2 \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 x^3-y^2-15 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 3x^2 \\
 y'(y) &amp;= -2y \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{3x^2}{-2y} \\
 &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari 3x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7y=x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-2!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 y(3x^2+7) &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-(x^3-2)6x}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 (3x^2+7)y &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 6xy+3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2 \\
 3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 (3x^2+7)y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 y' &amp;= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-6x(x^3-2)}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 3x^2y+7y-x^3+2 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 6xy-3x^2 \\
 y'(y) &amp;= 3x^2+7 \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{6xy-3x^2}{3x^2+7} \\
 &amp;= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 (3x^2+7)y &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 
 y' &amp;= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-6x(x^3-2)}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x+2y!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 2xy+x^2y'+y^2+x2yy' &amp;= 1+2y' \\
 x^2y'+2xyy'-2y' &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 (x^2+2xy-2)y' &amp;= -y^2-2xy+1 \\
 y' &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 x^2y+xy^2-x-2y &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 2xy+y^2-1 \\
 y'(y) &amp;= x^2+x2y-2 \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{2xy+y^2-1}{x^2x2y-2} \\
 &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>31nf14pl6jrbu3gl54a0rk4kpwj0lyy</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107437</id>
      <parentid>107434</parentid>
      <timestamp>2025-06-20T11:04:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Persamaan garis singgung kurva */</comment>
      <origin>107437</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="19874" sha1="1ipt9oeg2wej974gjcchji8chcu6ef8" xml:space="preserve">== Kaidah umum == 
:&lt;math&gt;\left({cf}\right)' = cf'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f + g}\right)' = f' + g'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f - g}\right)' = f' - g'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah darab]]
:&lt;math&gt;\left({fg}\right)' = f'g + fg'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah timbalbalik]]
:&lt;math&gt;\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah hasil-bagi]]
:&lt;math&gt;\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah rantai]]
:&lt;math&gt;(f \circ g)' = (f' \circ g)g'&lt;/math&gt;
;Turunan [[fungsi invers]]
:&lt;math&gt;(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}&lt;/math&gt;
untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada
;Kaidah pangkat umum
:&lt;math&gt;(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)&lt;/math&gt;

== Rumus sederhana ==
: &lt;math&gt;c' = 0 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x' = 1 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;(cx)' = c \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 y &amp;= |x| \\
 y^2 &amp;= x^2 \\
 2y y' &amp;= 2x \\
 y' &amp;= \frac{x}{y} \\
  &amp;= \frac{x}{|x|} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: &lt;math&gt;(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x &gt; 0&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt; \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(e^x\right)' = e^x&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}&lt;/math&gt;

; Trigonometri
{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt; (\sin x)' = \cos x \,&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt; (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cos x)' = -\sin x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\sec x)' = \sec x \tan x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\csc x)' = -\csc x \cot x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|}

* Tambahkan:
** &lt;math&gt; (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin u)' = u' \cos u \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
Perhatikan sebagai berikut
: &lt;math&gt;sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt;(\sinh x )'= \cosh x&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\cosh x )'= \sinh x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}&lt;/math&gt;
|}

:: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

; implisit
*cara 1
: &lt;math&gt;ax + by = 1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b y' = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y' = -\frac{a}{b}&lt;/math&gt;

*cara 2
persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi &lt;math&gt;\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}&lt;/math&gt;

Fungsi implisit dibagi 2 jenis yaitu:
# eksplisit
artinya fungsi implisit dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Contoh: x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7=8xy+5x, y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-8x=5-6y

# in-eksplisit
artinya fungsi implisit tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Contoh: xy+8x=y&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-11

== Laju perubahan (rata-rata) ==
Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = &lt;math&gt;\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}&lt;/math&gt;

== Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam ==
: Persamaan kuadrat
:: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

:: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

: Persamaan kubik
Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.
:: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta &gt; 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta &lt; 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

== Persamaan garis singgung kurva ==
Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = &lt;math&gt;\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}&lt;/math&gt;

contoh:

# Berapa laju perubahaan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3 pada:
## x=5!
## interval 2&lt;x&lt;3!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= x^2-4x+3 \\
 f'(x) &amp;= 2x-4 \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(5)}{5} \\
  &amp;= \frac{2(5)-4}{5} \\
  &amp;= \frac{6}{5} \\
  &amp;= 1.2 \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{3}{1} \\
  &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada:
## x=&lt;math&gt;\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;!
## interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= sin x-cos x \\
 f'(x) &amp;= cos x+sin x \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= 3 (\sqrt{3}+1) \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\
 f'(x) &amp;= x^2-6x-16 \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 x^2-6x-16 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x-8) &amp;= 0 \\
 x=-2 &amp;\text{ atau } x=8 \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 f''(-2) &amp;= 2(2)-6 = -2 &lt; 0 \\
 f''(8) &amp;= 2(8)-6 = 10 &gt; 0 \\
\text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(-2) &amp;= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\
 &amp;= \frac{160}{3} \\
 f(8) &amp;= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\
 &amp;= -\frac{1.386}{3} \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 2x-6 &amp;= 0 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(3) &amp;= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\
 f(3) &amp;= -30 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\

\text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x&lt;-2 \text{ atau } x&gt;8 \text{ dan turun jika } -2&lt;x&lt;8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=1-2cos 2x&lt;/math&gt; pada batas-batas interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= 1-2cos 2x \\
 f'(x) &amp;= 4sin 2x \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 4sin 2x &amp;= 0 \\
 8sin x \cdot cos x &amp;= 0 \\
 (sin x)(cos x) &amp;= 0 \\
 x=0 &amp;\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 f''(0) &amp;= 8cos 2(0) = 8 &gt; 0 \\
 f''(\frac{\pi}{2}) &amp;= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 &lt; 0 \\
\text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(0) &amp;= 1-2cos 2(0) \\
 &amp;= -1 \\
 f(\frac{\pi}{2}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\
 &amp;= 3 \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 8cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= cos \frac{\pi}{2} \\
 2x &amp;= \frac{\pi}{2} \\
 x &amp;= \frac{\pi}{4} \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\
\text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x&lt;/math&gt; pada:
## di titik (-3,-3)!
## berabsis 2!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= (-3)^2-2(3)-8 \\
 f'(x) &amp;= -5 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-3) &amp;= -5 (x-(-3)) \\
 y+3 &amp;= -5x-15 \\
 y &amp;= -5x-18 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\

 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= 2^2-2(2)-8 \\
 f'(x) &amp;= -8 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-\frac{52}{3}) &amp;= -8 (x-2) \\
 y+\frac{52}{3} &amp;= -8x+16 \\
 y &amp;= -8x-\frac{4}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=3x^2-11x+10&lt;/math&gt; dan:
## sejajar dengan 7x-y=21!
## tegak lurus dengan 5y-x=10!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 7x-y &amp;= 21 \\
 y &amp;= 7x-21 \\
 
 m_1 &amp;= 7 \\
\text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\
 m_2 &amp;= m_1 \\
 m_2 &amp;= 7 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 7 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 18 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(3)^2-11(3)+10 \\
 &amp;= 4 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-4 &amp;= 7 (x-3) \\
 y-4 &amp;= 7x-21 \\
 y &amp;= 7x-17 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 5y-x &amp;= 10 \\
 5y &amp;= x+10 \\
 y &amp;= \frac{x}{5}+2 \\
 
 m_1 &amp;= \frac{1}{5} \\
\text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\
 m_2 &amp;= -5 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 -5 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 1 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(1)^2-11(1)+10 \\
 &amp;= 2 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-2 &amp;= -5 (x-1) \\
 y-2 &amp;= -5x+5 \\
 y &amp;= -5x+7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal tinggi adalah x } \\
 t = x, p &amp;= 45-2x, l = 24-2x \\
 v &amp;= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\
  &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\

 \text{agar volume maksimum adalah  v'(x) = 0} \\
 v(x) &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\
 v'(x) &amp;= 12x^2 - 376x - 1080 \\
 v'(x) &amp;=  0 \\
 12x^2 - 376x - 1080 &amp;= 0 \\
 12(x^2 - 23x - 90) &amp;= 0 \\
 x^2 - 23x - 90 &amp;= 0 \\
 (x - 18)(x - 5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= 18 \text{ atau } x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\
 x + y &amp;= 40 \\
 y &amp;= 40 - x \\
 
 \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah  h'(x) = 0 } \\
 h(x) &amp;= x \cdot y \\
 h(x) &amp;= x \cdot (40 - x) \\
 h(x) &amp;= 40x - x^2 \\
 h'(x) &amp;= 40 - 2x \\
 h'(x) &amp;=  0 \\
 40 - 2x &amp;= 0 \\
 2x &amp;= 40 \\
 x &amp;= 20 \\

 h(x) &amp;= 20 \cdot (40 - 20) \\
  &amp;= 20 \cdot 20 \\
  &amp;= 400 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi hasil kalinya adalah 400
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=15!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\

 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 3x^2-2yy' &amp;= 0 \\
 2yy' &amp;= 3x^2 \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 x^3-y^2-15 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 3x^2 \\
 y'(y) &amp;= -2y \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{3x^2}{-2y} \\
 &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari 3x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7y=x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-2!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 y(3x^2+7) &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-(x^3-2)6x}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 (3x^2+7)y &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 6xy+3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2 \\
 3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 (3x^2+7)y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 y' &amp;= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-6x(x^3-2)}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 3x^2y+7y-x^3+2 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 6xy-3x^2 \\
 y'(y) &amp;= 3x^2+7 \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{6xy-3x^2}{3x^2+7} \\
 &amp;= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 (3x^2+7)y &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 
 y' &amp;= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-6x(x^3-2)}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x+2y!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 2xy+x^2y'+y^2+x2yy' &amp;= 1+2y' \\
 x^2y'+2xyy'-2y' &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 (x^2+2xy-2)y' &amp;= -y^2-2xy+1 \\
 y' &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 x^2y+xy^2-x-2y &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 2xy+y^2-1 \\
 y'(y) &amp;= x^2+x2y-2 \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{2xy+y^2-1}{x^2+x2y-2} \\
 &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>1ipt9oeg2wej974gjcchji8chcu6ef8</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107438</id>
      <parentid>107437</parentid>
      <timestamp>2025-06-20T11:05:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Persamaan garis singgung kurva */</comment>
      <origin>107438</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="19875" sha1="c3yqq4v78n5v98cmurajl2gnxawnuv0" xml:space="preserve">== Kaidah umum == 
:&lt;math&gt;\left({cf}\right)' = cf'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f + g}\right)' = f' + g'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f - g}\right)' = f' - g'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah darab]]
:&lt;math&gt;\left({fg}\right)' = f'g + fg'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah timbalbalik]]
:&lt;math&gt;\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah hasil-bagi]]
:&lt;math&gt;\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah rantai]]
:&lt;math&gt;(f \circ g)' = (f' \circ g)g'&lt;/math&gt;
;Turunan [[fungsi invers]]
:&lt;math&gt;(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}&lt;/math&gt;
untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada
;Kaidah pangkat umum
:&lt;math&gt;(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)&lt;/math&gt;

== Rumus sederhana ==
: &lt;math&gt;c' = 0 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x' = 1 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;(cx)' = c \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 y &amp;= |x| \\
 y^2 &amp;= x^2 \\
 2y y' &amp;= 2x \\
 y' &amp;= \frac{x}{y} \\
  &amp;= \frac{x}{|x|} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: &lt;math&gt;(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x &gt; 0&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt; \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(e^x\right)' = e^x&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}&lt;/math&gt;

; Trigonometri
{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt; (\sin x)' = \cos x \,&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt; (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cos x)' = -\sin x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\sec x)' = \sec x \tan x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\csc x)' = -\csc x \cot x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|}

* Tambahkan:
** &lt;math&gt; (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin u)' = u' \cos u \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
Perhatikan sebagai berikut
: &lt;math&gt;sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt;(\sinh x )'= \cosh x&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\cosh x )'= \sinh x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}&lt;/math&gt;
|}

:: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

; implisit
*cara 1
: &lt;math&gt;ax + by = 1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b y' = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y' = -\frac{a}{b}&lt;/math&gt;

*cara 2
persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi &lt;math&gt;\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}&lt;/math&gt;

Fungsi implisit dibagi 2 jenis yaitu:
# eksplisit
artinya fungsi implisit dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Contoh: x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7=8xy+5x, y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-8x=5-6y

# in-eksplisit
artinya fungsi implisit tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Contoh: xy+8x=y&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-11

== Laju perubahan (rata-rata) ==
Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = &lt;math&gt;\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}&lt;/math&gt;

== Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam ==
: Persamaan kuadrat
:: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

:: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

: Persamaan kubik
Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.
:: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta &gt; 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta &lt; 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

== Persamaan garis singgung kurva ==
Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = &lt;math&gt;\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}&lt;/math&gt;

contoh:

# Berapa laju perubahaan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3 pada:
## x=5!
## interval 2&lt;x&lt;3!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= x^2-4x+3 \\
 f'(x) &amp;= 2x-4 \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(5)}{5} \\
  &amp;= \frac{2(5)-4}{5} \\
  &amp;= \frac{6}{5} \\
  &amp;= 1.2 \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{3}{1} \\
  &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada:
## x=&lt;math&gt;\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;!
## interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= sin x-cos x \\
 f'(x) &amp;= cos x+sin x \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= 3 (\sqrt{3}+1) \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\
 f'(x) &amp;= x^2-6x-16 \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 x^2-6x-16 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x-8) &amp;= 0 \\
 x=-2 &amp;\text{ atau } x=8 \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 f''(-2) &amp;= 2(2)-6 = -2 &lt; 0 \\
 f''(8) &amp;= 2(8)-6 = 10 &gt; 0 \\
\text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(-2) &amp;= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\
 &amp;= \frac{160}{3} \\
 f(8) &amp;= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\
 &amp;= -\frac{1.386}{3} \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 2x-6 &amp;= 0 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(3) &amp;= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\
 f(3) &amp;= -30 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\

\text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x&lt;-2 \text{ atau } x&gt;8 \text{ dan turun jika } -2&lt;x&lt;8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=1-2cos 2x&lt;/math&gt; pada batas-batas interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= 1-2cos 2x \\
 f'(x) &amp;= 4sin 2x \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 4sin 2x &amp;= 0 \\
 8sin x \cdot cos x &amp;= 0 \\
 (sin x)(cos x) &amp;= 0 \\
 x=0 &amp;\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 f''(0) &amp;= 8cos 2(0) = 8 &gt; 0 \\
 f''(\frac{\pi}{2}) &amp;= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 &lt; 0 \\
\text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(0) &amp;= 1-2cos 2(0) \\
 &amp;= -1 \\
 f(\frac{\pi}{2}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\
 &amp;= 3 \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 8cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= cos \frac{\pi}{2} \\
 2x &amp;= \frac{\pi}{2} \\
 x &amp;= \frac{\pi}{4} \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\
\text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x&lt;/math&gt; pada:
## di titik (-3,-3)!
## berabsis 2!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= (-3)^2-2(3)-8 \\
 f'(x) &amp;= -5 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-3) &amp;= -5 (x-(-3)) \\
 y+3 &amp;= -5x-15 \\
 y &amp;= -5x-18 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\

 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= 2^2-2(2)-8 \\
 f'(x) &amp;= -8 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-\frac{52}{3}) &amp;= -8 (x-2) \\
 y+\frac{52}{3} &amp;= -8x+16 \\
 y &amp;= -8x-\frac{4}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=3x^2-11x+10&lt;/math&gt; dan:
## sejajar dengan 7x-y=21!
## tegak lurus dengan 5y-x=10!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 7x-y &amp;= 21 \\
 y &amp;= 7x-21 \\
 
 m_1 &amp;= 7 \\
\text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\
 m_2 &amp;= m_1 \\
 m_2 &amp;= 7 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 7 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 18 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(3)^2-11(3)+10 \\
 &amp;= 4 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-4 &amp;= 7 (x-3) \\
 y-4 &amp;= 7x-21 \\
 y &amp;= 7x-17 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 5y-x &amp;= 10 \\
 5y &amp;= x+10 \\
 y &amp;= \frac{x}{5}+2 \\
 
 m_1 &amp;= \frac{1}{5} \\
\text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\
 m_2 &amp;= -5 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 -5 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 1 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(1)^2-11(1)+10 \\
 &amp;= 2 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-2 &amp;= -5 (x-1) \\
 y-2 &amp;= -5x+5 \\
 y &amp;= -5x+7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal tinggi adalah x } \\
 t = x, p &amp;= 45-2x, l = 24-2x \\
 v &amp;= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\
  &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\

 \text{agar volume maksimum adalah  v'(x) = 0} \\
 v(x) &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\
 v'(x) &amp;= 12x^2 - 376x - 1080 \\
 v'(x) &amp;=  0 \\
 12x^2 - 376x - 1080 &amp;= 0 \\
 12(x^2 - 23x - 90) &amp;= 0 \\
 x^2 - 23x - 90 &amp;= 0 \\
 (x - 18)(x - 5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= 18 \text{ atau } x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\
 x + y &amp;= 40 \\
 y &amp;= 40 - x \\
 
 \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah  h'(x) = 0 } \\
 h(x) &amp;= x \cdot y \\
 h(x) &amp;= x \cdot (40 - x) \\
 h(x) &amp;= 40x - x^2 \\
 h'(x) &amp;= 40 - 2x \\
 h'(x) &amp;=  0 \\
 40 - 2x &amp;= 0 \\
 2x &amp;= 40 \\
 x &amp;= 20 \\

 h(x) &amp;= 20 \cdot (40 - 20) \\
  &amp;= 20 \cdot 20 \\
  &amp;= 400 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi hasil kalinya adalah 400
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=15!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\

 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 3x^2-2yy' &amp;= 0 \\
 2yy' &amp;= 3x^2 \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 x^3-y^2-15 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 3x^2 \\
 y'(y) &amp;= -2y \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{3x^2}{-2y} \\
 &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari 3x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7y=x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-2!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 y(3x^2+7) &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-(x^3-2)6x}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 (3x^2+7)y &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 6xy+3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2 \\
 3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 (3x^2+7)y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 y' &amp;= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-6x(x^3-2)}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 3x^2y+7y-x^3+2 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 6xy-3x^2 \\
 y'(y) &amp;= 3x^2+7 \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{6xy-3x^2}{3x^2+7} \\
 &amp;= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 (3x^2+7)y &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 
 y' &amp;= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-6x(x^3-2)}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x+2y!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 2xy+x^2y'+y^2+x2yy' &amp;= 1+2y' \\
 x^2y'+2xyy'-2y' &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 (x^2+2xy-2)y' &amp;= -y^2-2xy+1 \\
 y' &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 x^2y+xy^2-x-2y &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 2xy+y^2-1 \\
 y'(y) &amp;= x^2+x2y-2 \\
 
 y' &amp;= \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{2xy+y^2-1}{x^2+x2y-2} \\
 &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>c3yqq4v78n5v98cmurajl2gnxawnuv0</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107439</id>
      <parentid>107438</parentid>
      <timestamp>2025-06-20T11:06:20Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Persamaan garis singgung kurva */</comment>
      <origin>107439</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="19874" sha1="1ipt9oeg2wej974gjcchji8chcu6ef8" xml:space="preserve">== Kaidah umum == 
:&lt;math&gt;\left({cf}\right)' = cf'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f + g}\right)' = f' + g'&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\left({f - g}\right)' = f' - g'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah darab]]
:&lt;math&gt;\left({fg}\right)' = f'g + fg'&lt;/math&gt;
;[[Kaidah timbalbalik]]
:&lt;math&gt;\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah hasil-bagi]]
:&lt;math&gt;\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0&lt;/math&gt;
;[[Kaidah rantai]]
:&lt;math&gt;(f \circ g)' = (f' \circ g)g'&lt;/math&gt;
;Turunan [[fungsi invers]]
:&lt;math&gt;(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}&lt;/math&gt;
untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada
;Kaidah pangkat umum
:&lt;math&gt;(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)&lt;/math&gt;

== Rumus sederhana ==
: &lt;math&gt;c' = 0 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x' = 1 \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;(cx)' = c \, &lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 y &amp;= |x| \\
 y^2 &amp;= x^2 \\
 2y y' &amp;= 2x \\
 y' &amp;= \frac{x}{y} \\
  &amp;= \frac{x}{|x|} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

: &lt;math&gt;(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x &gt; 0&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}&lt;/math&gt;

; Eksponen dan logaritma
:&lt;math&gt; \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(e^x\right)' = e^x&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;

:&lt;math&gt; \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}&lt;/math&gt;

; Trigonometri
{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt; (\sin x)' = \cos x \,&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt; (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cos x)' = -\sin x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\sec x)' = \sec x \tan x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\csc x)' = -\csc x \cot x \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt; (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt; (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
|}

* Tambahkan:
** &lt;math&gt; (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos x \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin u)' = u' \cos u \,&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt; (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos u \,&lt;/math&gt;

; Hiperbolik
Perhatikan sebagai berikut
: &lt;math&gt;sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

{| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
|width=50%|&lt;math&gt;(\sinh x )'= \cosh x&lt;/math&gt;
|width=50%|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\cosh x )'= \sinh x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}&lt;/math&gt;
|-
|&lt;math&gt;(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x&lt;/math&gt;
|&lt;math&gt;(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}&lt;/math&gt;
|}

:: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

; implisit
*cara 1
: &lt;math&gt;ax + by = 1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b y' = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;y' = -\frac{a}{b}&lt;/math&gt;

*cara 2
persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi &lt;math&gt;\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}&lt;/math&gt;

Fungsi implisit dibagi 2 jenis yaitu:
# eksplisit
artinya fungsi implisit dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Contoh: x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7=8xy+5x, y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-8x=5-6y

# in-eksplisit
artinya fungsi implisit tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Contoh: xy+8x=y&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-11

== Laju perubahan (rata-rata) ==
Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = &lt;math&gt;\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}&lt;/math&gt;

== Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam ==
: Persamaan kuadrat
:: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

:: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

: Persamaan kubik
Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.
:: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.
:: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta &gt; 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta &lt; 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

== Persamaan garis singgung kurva ==
Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = &lt;math&gt;\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}&lt;/math&gt;

contoh:

# Berapa laju perubahaan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3 pada:
## x=5!
## interval 2&lt;x&lt;3!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= x^2-4x+3 \\
 f'(x) &amp;= 2x-4 \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(5)}{5} \\
  &amp;= \frac{2(5)-4}{5} \\
  &amp;= \frac{6}{5} \\
  &amp;= 1.2 \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\
  &amp;= \frac{3}{1} \\
  &amp;= 3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Berapa laju perubahaan f(x)=sin x-cos x pada:
## x=&lt;math&gt;\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;!
## interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= sin x-cos x \\
 f'(x) &amp;= cos x+sin x \\

 v &amp;= \frac{f'(x)}{x} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\
  &amp;= 3 (\sqrt{3}+1) \\

 v &amp;= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\
  &amp;= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\
  &amp;= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\
  &amp;= 0 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\
 f'(x) &amp;= x^2-6x-16 \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 x^2-6x-16 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x-8) &amp;= 0 \\
 x=-2 &amp;\text{ atau } x=8 \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 f''(-2) &amp;= 2(2)-6 = -2 &lt; 0 \\
 f''(8) &amp;= 2(8)-6 = 10 &gt; 0 \\
\text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(-2) &amp;= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\
 &amp;= \frac{160}{3} \\
 f(8) &amp;= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\
 &amp;= -\frac{1.386}{3} \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 2x-6 \\
 2x-6 &amp;= 0 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(3) &amp;= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\
 f(3) &amp;= -30 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\

\text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x&lt;-2 \text{ atau } x&gt;8 \text{ dan turun jika } -2&lt;x&lt;8 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari &lt;math&gt;f(x)=1-2cos 2x&lt;/math&gt; pada batas-batas interval &lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;!

: jawaban
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= 1-2cos 2x \\
 f'(x) &amp;= 4sin 2x \\
\text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\
 4sin 2x &amp;= 0 \\
 8sin x \cdot cos x &amp;= 0 \\
 (sin x)(cos x) &amp;= 0 \\
 x=0 &amp;\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\

\text{ menentukan nilai ekstrem } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 f''(0) &amp;= 8cos 2(0) = 8 &gt; 0 \\
 f''(\frac{\pi}{2}) &amp;= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 &lt; 0 \\
\text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\

\text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\
 f(0) &amp;= 1-2cos 2(0) \\
 &amp;= -1 \\
 f(\frac{\pi}{2}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\
 &amp;= 3 \\
\text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\

\text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\
 f''(x) &amp;= 8cos 2x \\
 8cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= 0 \\
 cos 2x &amp;= cos \frac{\pi}{2} \\
 2x &amp;= \frac{\pi}{2} \\
 x &amp;= \frac{\pi}{4} \\

\text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\
 f(\frac{\pi}{4}) &amp;= 1 \\
\text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\
\text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x&lt;/math&gt; pada:
## di titik (-3,-3)!
## berabsis 2!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= (-3)^2-2(3)-8 \\
 f'(x) &amp;= -5 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-3) &amp;= -5 (x-(-3)) \\
 y+3 &amp;= -5x-15 \\
 y &amp;= -5x-18 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\

 f(x) &amp;= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\
 f'(x) &amp;= x^2-2x-8 \\
 f'(x) &amp;= 2^2-2(2)-8 \\
 f'(x) &amp;= -8 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-(-\frac{52}{3}) &amp;= -8 (x-2) \\
 y+\frac{52}{3} &amp;= -8x+16 \\
 y &amp;= -8x-\frac{4}{3} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan garis singgung kurva &lt;math&gt;f(x)=3x^2-11x+10&lt;/math&gt; dan:
## sejajar dengan 7x-y=21!
## tegak lurus dengan 5y-x=10!

:jawaban
##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 7x-y &amp;= 21 \\
 y &amp;= 7x-21 \\
 
 m_1 &amp;= 7 \\
\text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\
 m_2 &amp;= m_1 \\
 m_2 &amp;= 7 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 7 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 18 \\
 x &amp;= 3 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(3)^2-11(3)+10 \\
 &amp;= 4 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-4 &amp;= 7 (x-3) \\
 y-4 &amp;= 7x-21 \\
 y &amp;= 7x-17 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

##
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 5y-x &amp;= 10 \\
 5y &amp;= x+10 \\
 y &amp;= \frac{x}{5}+2 \\
 
 m_1 &amp;= \frac{1}{5} \\
\text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\
 m_2 &amp;= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\
 m_2 &amp;= -5 \\

 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 f'(x) &amp;= 6x-11 \\
 -5 &amp;= 6x-11 \\
 6x &amp;= 6 \\
 x &amp;= 1 \\

\text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\
 f(x) &amp;= 3x^2-11x+10 \\
 &amp;= 3(1)^2-11(1)+10 \\
 &amp;= 2 \\

 (y-y_1) &amp;= m (x-x_1) \\
 y-2 &amp;= -5 (x-1) \\
 y-2 &amp;= -5x+5 \\
 y &amp;= -5x+7 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal tinggi adalah x } \\
 t = x, p &amp;= 45-2x, l = 24-2x \\
 v &amp;= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\
  &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\

 \text{agar volume maksimum adalah  v'(x) = 0} \\
 v(x) &amp;= 4x^3 - 138x^2 - 1080x \\
 v'(x) &amp;= 12x^2 - 376x - 1080 \\
 v'(x) &amp;=  0 \\
 12x^2 - 376x - 1080 &amp;= 0 \\
 12(x^2 - 23x - 90) &amp;= 0 \\
 x^2 - 23x - 90 &amp;= 0 \\
 (x - 18)(x - 5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= 18 \text{ atau } x = 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\
 x + y &amp;= 40 \\
 y &amp;= 40 - x \\
 
 \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah  h'(x) = 0 } \\
 h(x) &amp;= x \cdot y \\
 h(x) &amp;= x \cdot (40 - x) \\
 h(x) &amp;= 40x - x^2 \\
 h'(x) &amp;= 40 - 2x \\
 h'(x) &amp;=  0 \\
 40 - 2x &amp;= 0 \\
 2x &amp;= 40 \\
 x &amp;= 20 \\

 h(x) &amp;= 20 \cdot (40 - 20) \\
  &amp;= 20 \cdot 20 \\
  &amp;= 400 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
jadi hasil kalinya adalah 400
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=15!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\

 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 3x^2-2yy' &amp;= 0 \\
 2yy' &amp;= 3x^2 \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 x^3-y^2-15 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 3x^2 \\
 y'(y) &amp;= -2y \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{3x^2}{-2y} \\
 &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 x^3-y^2 &amp;= 15 \\
 y^2 &amp;= x^3-15 \\
 y &amp;= \sqrt{x^3-15} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2}{2y} \\
  &amp;= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\
  &amp;= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari 3x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+7y=x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;-2!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 y(3x^2+7) &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 y' &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-(x^3-2)6x}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 (3x^2+7)y &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 6xy+3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2 \\
 3x^2y'+7y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 (3x^2+7)y' &amp;= 3x^2-6xy \\
 y' &amp;= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-6x(x^3-2)}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 3x^2y+7y-x^3+2 &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 6xy-3x^2 \\
 y'(y) &amp;= 3x^2+7 \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{6xy-3x^2}{3x^2+7} \\
 &amp;= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\

 \text{untuk mencari nilai y maka } \\
 3x^2y+7y &amp;= x^3-2 \\
 (3x^2+7)y &amp;= x^3-2 \\
 y &amp;= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\
 
 y' &amp;= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7} \\
  &amp;= \frac{3x^2(3x^2+7)-6x(x^3-2)}{(3x^2+7)^2} \\
  &amp;= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
  &amp;= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

* Tentukan hasil turunan pertama dari x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;y+xy&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x+2y!
;cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 2xy+x^2y'+y^2+x2yy' &amp;= 1+2y' \\
 x^2y'+2xyy'-2y' &amp;= 1-2xy-y^2 \\
 (x^2+2xy-2)y' &amp;= -y^2-2xy+1 \\
 y' &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

;cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 x^2y+xy^2 &amp;= x+2y \\
 x^2y+xy^2-x-2y &amp;= 0 \\
 y'(x) &amp;= 2xy+y^2-1 \\
 y'(y) &amp;= x^2+x2y-2 \\
 
 y' = \frac{dy}{dx} &amp;= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\
 &amp;= -\frac{2xy+y^2-1}{x^2+x2y-2} \\
 &amp;= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>1ipt9oeg2wej974gjcchji8chcu6ef8</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>