Panduan Berbahasa Inggris/Pengumuman

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11.xsd" version="0.11" xml:lang="id">
  <siteinfo>
    <sitename>Wikibuku</sitename>
    <dbname>idwikibooks</dbname>
    <base>https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama</base>
    <generator>MediaWiki 1.45.0-wmf.7</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">Media</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">Istimewa</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">Pembicaraan</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">Pengguna</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">Pembicaraan Pengguna</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">Wikibuku</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">Pembicaraan Wikibuku</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">Berkas</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">Pembicaraan Berkas</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">MediaWiki</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">Pembicaraan MediaWiki</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">Templat</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">Pembicaraan Templat</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">Bantuan</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">Pembicaraan Bantuan</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">Kategori</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">Pembicaraan Kategori</namespace>
      <namespace key="100" case="first-letter">Resep</namespace>
      <namespace key="101" case="first-letter">Pembicaraan Resep</namespace>
      <namespace key="102" case="first-letter">Wisata</namespace>
      <namespace key="103" case="first-letter">Pembicaraan Wisata</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">Modul</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">Pembicaraan Modul</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>Panduan Berbahasa Inggris/Pengumuman</title>
    <ns>0</ns>
    <id>1906</id>
    <revision>
      <id>107790</id>
      <parentid>57895</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T07:45:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <origin>107790</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="767" sha1="hdvyxs771vvellj5klwvujbm5c7rk71" xml:space="preserve">PENGUMUMAN

1.Telah hilang sebuah jam tangan merek G-Shock milik Abang Arcon.Bagi yang menemukannya harap menghubungi Abang Arcon, graha 15.

    A G-Shock watch which belongs to Abang Arcon is missing.Whoever find it, please contact Abang Arcon, dormitory 15

2. Kelas 1.2 harap berkumpul setelah makan siang di plaza pancasila

   (To the members of class 1.2, please gather after lunch at Plaza Pancasila)

3. Abang kelas tiga yang meminjam buku biologi kelas 1 terbitan erlangga harap mengembalikan kepada siswa Ari Condro, kelas 1-4 !

   (To the third-grade student who borrowed a first-grade Biology book published by Erlangga, please
    return it to ''Ari Condro'', student of class 1-4)

{{Panduan Berbahasa Inggris}}

[[Kategori:Panduan Berbahasa Inggris]]</text>
      <sha1>hdvyxs771vvellj5klwvujbm5c7rk71</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Panduan Berbahasa Inggris/Menyatakan Persetujuan/Ketidaksetujuan</title>
    <ns>0</ns>
    <id>1918</id>
    <revision>
      <id>107770</id>
      <parentid>26735</parentid>
      <timestamp>2025-06-25T12:33:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <comment>/* Ungkapan Ketidaksetujuan */</comment>
      <origin>107770</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1384" sha1="39cfwc1gxit616yh3ppzso348kjnvr3" xml:space="preserve">Ungkapan-ungkapan di bawah ini dapat digunakan untuk menyatakan persetujuan/ketidaksetujuan terhadap pendapat yang disampaikan orang lain.

== Ungkapan Persetujuan ==
Untuk mengungkapkan persetujuan dapat menggunakan ekspresi-ekspresi sebagai berikut.
* '''''I agree with you'''''
* '''''I am with you''''' (bisa berarti saya bersama kamu)
* '''''I think you're right'''''
* '''''I think so'''''
* '''''I agree completely

== Ungkapan Ketidaksetujuan ==
Untuk mengungkapkan ketidaksetujuan dapat menggunakan ekspresi-ekspresi sebagai berikut.
* '''''I don't agree with your opinion'''''
* '''''I'm not with you'''''
* '''''I don't think so'''''
* '''''I object ...'''''
* '''''I disagree with your opinion'''''

== Contoh Penggunaan ==
A : I think &quot;Friends&quot; is very funny. &lt;br&gt;
B : I don't think so. I didn't understand why you laughed at it. &lt;br&gt;
A : Hey, can you catch up the conversation in &quot;Friends&quot;?&lt;br&gt;
B : Yes, a little bit. But I think I have a different sense of humour.&lt;br&gt;
A : So, what about watching &quot;Bajaj Bajuri&quot;. Do you think it's amusing?&lt;br&gt;
B : I can accept it. What about you?&lt;br&gt;
A : Yeah, I am with you.&lt;br&gt;

== Latihan ==
Bersama teman Anda, latihlah untuk menyatakan suatu pendapat, kemudian teman Anda menyatakan persetujuan/ketidaksetujuan terhadap pendapat Anda. Lakukan pula sebaliknya.

{{Panduan Berbahasa Inggris}}

[[Kategori:Panduan Berbahasa Inggris]]</text>
      <sha1>39cfwc1gxit616yh3ppzso348kjnvr3</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107771</id>
      <parentid>107770</parentid>
      <timestamp>2025-06-25T12:34:47Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <comment>/* Ungkapan Persetujuan */</comment>
      <origin>107771</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1427" sha1="2epo1afbwloodvbf1qgxsghqhcvdq6l" xml:space="preserve">Ungkapan-ungkapan di bawah ini dapat digunakan untuk menyatakan persetujuan/ketidaksetujuan terhadap pendapat yang disampaikan orang lain.

== Ungkapan Persetujuan ==
Untuk mengungkapkan persetujuan dapat menggunakan ekspresi-ekspresi sebagai berikut.
* '''''I agree with you'''''
* '''''I am with you''''' (bisa berarti saya bersama kamu)
* '''''I think you're right'''''
* '''''I think so'''''
* '''''I agree completely
* '''''I couldn't agree more with you'''''

== Ungkapan Ketidaksetujuan ==
Untuk mengungkapkan ketidaksetujuan dapat menggunakan ekspresi-ekspresi sebagai berikut.
* '''''I don't agree with your opinion'''''
* '''''I'm not with you'''''
* '''''I don't think so'''''
* '''''I object ...'''''
* '''''I disagree with your opinion'''''

== Contoh Penggunaan ==
A : I think &quot;Friends&quot; is very funny. &lt;br&gt;
B : I don't think so. I didn't understand why you laughed at it. &lt;br&gt;
A : Hey, can you catch up the conversation in &quot;Friends&quot;?&lt;br&gt;
B : Yes, a little bit. But I think I have a different sense of humour.&lt;br&gt;
A : So, what about watching &quot;Bajaj Bajuri&quot;. Do you think it's amusing?&lt;br&gt;
B : I can accept it. What about you?&lt;br&gt;
A : Yeah, I am with you.&lt;br&gt;

== Latihan ==
Bersama teman Anda, latihlah untuk menyatakan suatu pendapat, kemudian teman Anda menyatakan persetujuan/ketidaksetujuan terhadap pendapat Anda. Lakukan pula sebaliknya.

{{Panduan Berbahasa Inggris}}

[[Kategori:Panduan Berbahasa Inggris]]</text>
      <sha1>2epo1afbwloodvbf1qgxsghqhcvdq6l</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Panduan Berbahasa Inggris/Menyatakan Kesukaan/Keinginan</title>
    <ns>0</ns>
    <id>1927</id>
    <revision>
      <id>107775</id>
      <parentid>26737</parentid>
      <timestamp>2025-06-25T13:37:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <origin>107775</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1658" sha1="f8juthdwkpcg4x8xjcoqqre86hzozdk" xml:space="preserve">Di bawah ini beberapa tips dan contoh penggunaan ungkapan yang menyatakan kesukaan, ketidaksukaan, keinginan, dan ketidakinginan. Dalam beberapa hal, ungkapan kesukaan dan keinginan mirip, namun berbeda dalam penggunaannya. Ungkapan kesukaan menyatakan kesenangan seseorang pada suatu hal, sementara ungkapan keinginan menyatakan apa yang diingini/ingin dilakukan oleh seseorang.

== Ungkapan untuk Menyatakan Kesukaan ==
Di bawah ini beberapa ungkapan yang dapat digunakan untuk menyatakan kesukaan.
# I like ...
# I love ...
# I'd prefer ... than ... (untuk menyatakan tingkat kesukaan, lebih suka benda pertama daripada yang kedua, bisa juga digunakan untuk menyatakan keinginan)

Sedang untuk menyatakan ketidaksukaan, biasanya tinggal menambahkan kata not, misalnya
# I don't like ...
# I don't love ...

Contoh penggunaan:
* I like bananas
* I'd prefer to go to Bali than Hawaii
* I love this game

== Ungkapan untuk Menyatakan Keinginan ==
Di bawah ini beberapa ungkapan untuk menyatakan keinginan.
# I want to ...
# I'd like to ...
# I'd love to ...

Untuk menyatakan ketidakinginan, bisa ditambahkan kata not, misalnya
# I don't want to ...
# I wouldn't like to ...
# I wouldn't love to

Contoh penggunaan:
* I'd like to go to Bali
* I'd love to buy a new car
* I want to see that movie

== Latihan ==
Pergunakan ungkapan-ungkapan di atas untuk menyatakan kesukaan Anda atau keinginan Anda. Buat percakapan dan tanya jawab yang menarik dengan teman Anda. Atau jika Anda mau, cobalah berlatih dengan penutur asli melalui internet dengan mengekspresikan hal-hal sederhana di atas 

{{Panduan Berbahasa Inggris}}

[[Kategori:Panduan Berbahasa Inggris]]</text>
      <sha1>f8juthdwkpcg4x8xjcoqqre86hzozdk</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Panduan Berbahasa Inggris/Di ruang olahraga</title>
    <ns>0</ns>
    <id>3151</id>
    <revision>
      <id>107765</id>
      <parentid>26744</parentid>
      <timestamp>2025-06-25T12:17:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <comment>Menambahkan percakapan dan mengubah percakapan 1 sedikit</comment>
      <origin>107765</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="703" sha1="ks5qd79otvasefzg6dyw4sy2xqhdx2l" xml:space="preserve">&lt;big&gt;'''Percakapan 1 (Conversation 1):'''&lt;/big&gt;

A: &quot;SlWhat are you doing tomorrow evening?&quot;

B: &quot;I am going to do nothing tomorrow evening&quot;

A: &quot;Would you like to play tennis with me tomorrow evening&quot;

B: &quot;Yes I do, I like to play tennis&quot;

A: &quot;Okay let's get together tomorrow evening to play tennis&quot;

B: &quot;Yes that would be great&quot;

&lt;big&gt;'''Percakapan 2:'''&lt;/big&gt;

A: &quot;What did you do yesterday in this court?&quot;

B: &quot;I played tennis yesterday in this court.&quot;

A: &quot;So, do you like playing tennis?&quot;

B: &quot;Yes, I do. Playing tennis is one of my hobbies.&quot;

A: &quot;Nice hobby and taste you have there!&quot;

B: &quot;Really? Thanks!&quot;

A: &quot;No problem.&quot;

{{Panduan Berbahasa Inggris}}

[[Kategori:Panduan Berbahasa Inggris]]</text>
      <sha1>ks5qd79otvasefzg6dyw4sy2xqhdx2l</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107766</id>
      <parentid>107765</parentid>
      <timestamp>2025-06-25T12:18:46Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <origin>107766</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="693" sha1="53kzhkwfh9mqan3jgkt20o75q7k1q62" xml:space="preserve">&lt;big&gt;'''Percakapan 1 (Conversation 1):'''&lt;/big&gt;

A: &quot;SlWhat are you doing tomorrow evening?&quot;

B: &quot;I am going to do nothing tomorrow evening&quot;

A: &quot;Would you like to play tennis with me tomorrow evening&quot;

B: &quot;Yes I do, I like to play tennis&quot;

A: &quot;Okay let's get together tomorrow evening to play tennis&quot;

B: &quot;Yes that would be great&quot;

&lt;big&gt;'''Percakapan 2:'''&lt;/big&gt;

A: &quot;What did you do yesterday in this court?&quot;

B: &quot;I played tennis here yesterday&quot;

A: &quot;So, do you like playing tennis?&quot;

B: &quot;Yes, I do. Playing tennis is one of my hobbies.&quot;

A: &quot;Nice hobby and taste you have there!&quot;

B: &quot;Really? Thanks!&quot;

A: &quot;No problem.&quot;

{{Panduan Berbahasa Inggris}}

[[Kategori:Panduan Berbahasa Inggris]]</text>
      <sha1>53kzhkwfh9mqan3jgkt20o75q7k1q62</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107767</id>
      <parentid>107766</parentid>
      <timestamp>2025-06-25T12:20:49Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <origin>107767</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="740" sha1="rg4tmawzk0hjxjddw8zj3nqkc5nlx1k" xml:space="preserve">&lt;big&gt;'''Percakapan 1 (Conversation 1):'''&lt;/big&gt;

A: &quot;SlWhat are you doing tomorrow evening?&quot;

B: &quot;I am going to do nothing tomorrow evening&quot;

A: &quot;Would you like to play tennis with me tomorrow evening&quot;

B: &quot;Yes I do, I like to play tennis&quot;

A: &quot;Okay let's get together tomorrow evening to play tennis&quot;

B: &quot;Yes that would be great&quot;

&lt;big&gt;'''Percakapan 2, Informal (Conversation 2, Informal):'''&lt;/big&gt;

A: &quot;What did you do yesterday on this court?&quot;

B: &quot;I played tennis here yesterday&quot;

A: &quot;Oh, nice! So, do you like playing tennis?&quot;

B: &quot;Yeah, I do. Playing tennis is one of my hobbies.&quot;

A: &quot;Nice hobby—you've got good taste!&quot;

B: &quot;Really? Thanks!&quot;

A: &quot;No problem!&quot;

{{Panduan Berbahasa Inggris}}

[[Kategori:Panduan Berbahasa Inggris]]</text>
      <sha1>rg4tmawzk0hjxjddw8zj3nqkc5nlx1k</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107768</id>
      <parentid>107767</parentid>
      <timestamp>2025-06-25T12:21:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <origin>107768</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="738" sha1="i6128ks059sn42b68gl7nhk2guwwge3" xml:space="preserve">&lt;big&gt;'''Percakapan 1 (Conversation 1):'''&lt;/big&gt;

A: &quot;What are you doing tomorrow evening?&quot;

B: &quot;I am going to do nothing tomorrow evening&quot;

A: &quot;Would you like to play tennis with me tomorrow evening&quot;

B: &quot;Yes I do, I like to play tennis&quot;

A: &quot;Okay let's get together tomorrow evening to play tennis&quot;

B: &quot;Yes that would be great&quot;

&lt;big&gt;'''Percakapan 2, Informal (Conversation 2, Informal):'''&lt;/big&gt;

A: &quot;What did you do yesterday on this court?&quot;

B: &quot;I played tennis here yesterday&quot;

A: &quot;Oh, nice! So, do you like playing tennis?&quot;

B: &quot;Yeah, I do. Playing tennis is one of my hobbies.&quot;

A: &quot;Nice hobby—you've got good taste!&quot;

B: &quot;Really? Thanks!&quot;

A: &quot;No problem!&quot;

{{Panduan Berbahasa Inggris}}

[[Kategori:Panduan Berbahasa Inggris]]</text>
      <sha1>i6128ks059sn42b68gl7nhk2guwwge3</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107769</id>
      <parentid>107768</parentid>
      <timestamp>2025-06-25T12:29:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <comment>Menambahkan daftar kosa kata</comment>
      <origin>107769</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1095" sha1="m6fv0hk7er6owf325lj2htsactchmot" xml:space="preserve">&lt;big&gt;'''Kosakata yang penting dan wajib diketahui (Crucial vocabularies you need to know)'''&lt;/big&gt;
*Football (British English)/Soccer (American English) = Sepak bola
*Basketball = Bola basket
*Tennis = Tenis
*Chess = Catur
*Volleyball = Bola voli
*Court = Lapangan (dalam ruangan, umumnya lebih kecil)
*Field = Lapangan (luar ruangan, umumnya lebih besar)

&lt;big&gt;'''Percakapan 1 (Conversation 1):'''&lt;/big&gt;

A: &quot;What are you doing tomorrow evening?&quot;

B: &quot;I am going to do nothing tomorrow evening&quot;

A: &quot;Would you like to play tennis with me tomorrow evening&quot;

B: &quot;Yes I do, I like to play tennis&quot;

A: &quot;Okay let's get together tomorrow evening to play tennis&quot;

B: &quot;Yes that would be great&quot;

&lt;big&gt;'''Percakapan 2, Informal (Conversation 2, Informal):'''&lt;/big&gt;

A: &quot;What did you do yesterday on this court?&quot;

B: &quot;I played tennis here yesterday&quot;

A: &quot;Oh, nice! So, do you like playing tennis?&quot;

B: &quot;Yeah, I do. Playing tennis is one of my hobbies.&quot;

A: &quot;Nice hobby—you've got good taste!&quot;

B: &quot;Really? Thanks!&quot;

A: &quot;No problem!&quot;

{{Panduan Berbahasa Inggris}}

[[Kategori:Panduan Berbahasa Inggris]]</text>
      <sha1>m6fv0hk7er6owf325lj2htsactchmot</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Catatan Dokter Muda/Ilmu Farmasi Kedokteran</title>
    <ns>0</ns>
    <id>5785</id>
    <revision>
      <id>107788</id>
      <parentid>107697</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T01:43:33Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alfarq</username>
        <id>799</id>
      </contributor>
      <comment>/* Daftar Obat (2) */</comment>
      <origin>107788</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10786" sha1="m5fyfyg04gp793f3x8rf4s1a6185176" xml:space="preserve">{{Wikipedia|Farmasi}}

== Istilah Latin ==
=== Uc ===
* ℞ (racipe): Ambillah.
* Supp (suppositorium): Supositoria, gentel.
* No (nomero): Jumlah, sejumlah.
* S (signa): Tanda, tandai, tandailah.
* Uc (usus cognitus): Pemakaian diketahui.
* Pro: Untuk.

 ℞ Miconazole 2% cream tube No. I
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (20 tahun)

 ℞ Anusol supp No. V
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. A (21 tahun)

=== Imm ===
* Imm (in manus medicine): Serahkan ke tangan paramedis (dokter, perawat, bidan, mantri).
* Inf (infus): Infus.
* Flab (flabot): Flabot.

 ℞ Natrium Chlorida 0,9% inf flab No. III
    Abbocath no. 22                No. I
    Cum infus set                  No. I
    S imm
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. B (22 tahun)

=== Prn ===
* Tab (tabletta, tabella): Tablet.
* Mg (miligram): Miligram.
* Prn (pro renatera), sns (si necesse sit): Jika perlu. Singkatan ini digunakan untuk obat-obat simtomatis (penghilang gejala).
* Dd (de die): Tiap hari, setiap hari.
* Aggr febr (agrediante febre): saat demam.

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn 1–3 dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

'''Perhatian:'''
* Penulisan setelah Signa tanpa tanda kurung. Berikut adalah penulisan yang salah:

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn (1–3) dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

=== Up ===
* Up (usus propius): Pemakaian sendiri (untuk dokter). Tidak perlu memakai Pro.

 ℞ Amoxycillin tab mg 500 No. X
    S up
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰

=== Dcf ===
* Dcf, dc form (da cun formula): Sesuai obat yang tertulis.
* Sol, solut (solutio): Larutan.

 ℞ Alkohol 70% sol fl No. I
    S imm dcf
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. E (25 tahun)

=== Sine confectiones ===
* Cap (capsule): Kapsul.
* Sine confectiones: Tanpa kemasan.

 ℞ Amoxsan cap mg 500 No. X (sine confectiones)
    S 3 dd cap I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. F (26 tahun)

=== Adde ===
* Adde: Tambahkan.
* Dry: Kering.
* Syr (syrupus): Sirup.
* Aq coct (aqua cocta): Air masak.
* Ad: Sampai, hingga.
* Cc (cubic centimetre): sentimeter kubik.
* C (cochlea): sendok makan (15 cc).
* Cth (cochlea tea): sendok teh (5 cc).

 ℞ Ampicillin dry syr fl No. I
    Adde aq coct ad cc 60
    S 3 dd cth I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. G (27 tahun)

=== Ad lib ===
* Ad lib, ad libit (ad libitum): Sesuka hati.

 ℞ Oralit sachet No. XX
    S ad lib
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. H (28 tahun)

=== Ac ===
* Ac (antec cibos, ante cibum, ante coenam): Sebelum makan.

 ℞ Antasida DOEN tab No. X
    S 3 dd tab I ac
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. I (29 tahun)

=== Dc ===
* Dc (durante coenam): Saat makan, ketika makan, selagi makan.

 ℞ Enzyplex tab No. XII
    S 3 dd tab I dc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. J (30 tahun)

=== Pc ===
* Pc (post coenam): Setelah makan, sesudah makan, sehabis makan.

 ℞ Rifampicin tab mg 450 No. VII
    S 1 dd tab I pc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. K (31 tahun)

=== Hora spatio ===
* Octa: Delapan.
* Hora spatio: Selang sekian jam.
* Octa hora spatio: Selang delapan jam.

 ℞ Chloramphenicol cap mg 500 No. X
    S 3 dd cap I octa hora spatio
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. L (32 tahun)

=== Agita ante sumendum ===

Agita ante sumendum: kocok sebelum digunakan

R/ Mylanta Syr fl no I
ʃ 3 dd CI ac agitatio ante sumundum
----
Pro: Tn J (29th)

=== Hora ieiune ===
Saat perut kosong

=== Sive simile ===
* Boleh diganti
* Obat paten boleh diganti dengan obat paten lain dengan kandungan, bentuk, sediaan, dan dosis yang sama

=== Mds ===

=== use know ===

=== Da in caps ===
dimasukkan ke dalam kapsul

=== Cum ===

=== Cito, Urgent, PIM (Periculum In Mora) ===
Segera, Penting, Berbahaya bila ditunda. Resep yang terdapat tanda seperti diatas, meskipun masuk belakangan harus di dahulukan pengerjaannya. 
(Ilmu Meracik Obat Teori dan Praktik, Moh. Anief, Gadjah Mada University Presentasi, 1987, Halaman 7)

=== Iter ===
Diulang

=== Ne iter ===
tidak boleh diulang

=== Qs ===
quantum satis (secukupnya)

=== Ad gram 20 ===
Hingga 20 g

=== Ante defecatio ===
Sebelum defekasi

=== Omni noctem per vaginal ===

== Daftar Obat (1) ==
# Cefixime Trihydrate kapsul 100 mg 2 x 1
# Loperamide HCl tablet 2 mg 3 x 1 (Stop jika sudah tidak diare)
# Omeprazole (OMZ) 20 mg kapsul pelepasan lambat 2 x 1
# Paracetamol tablet 500 mg 3 x 1
# Zinc dispersible tablet 20 mg 1 x 1

== Daftar Obat (2) ==
{| {{Prettytable}}
! Merk
! Kandungan
|-
| Acifar
|
* Acyclovir
|-
| Alleron
|
* Chlorpheniramina maleat 4 mg
|-
| Alofar 100
|
* Allopurinol 100 mg
|-
| Alofar 300
|
* Allopurinol 300 mg
|-
| Aspilet
|
* Asam asetilsalisilat (Aspirin)
|-
| Akita
|
* Attapulgite 600 mg
* Pektin 50 mg
|-
| Beneuron
|
* Vitamin B1 (Thiamine Mononitrate) 100 mg
* Vitamin B6 (Pyridoxine Hydrochloride) 200 mg
* Vitamin B12 (Cyanocobalamin) 200 mcg
|-
| Arkavit-C
|
* Vitamin B1 (Tiamin) 50 mg
* Vitamin B2 (Riboflavin) 25 mg
* Vitamin B3 (Niasin) 50 mg
* Vitamin B5 (Asam pantotenat) 20 mg
* Vitamin B6 (Piridoksin) 10 mg
* Vitamin B12 (Sianokonalamin) 5 mcg
* Vitamin C (Asam askorbat) 500 mg
|-
| Bufacaryl
|
* Dexamethasone 0,5 mg
* Dexchlorpheniramine maleate 2 mg
|-
| Cavicur
|
* Ekstrak Curcuma xanthorriza (temulawak) 20 mg (mengandung curcuminoid ~15%)
* Vitamin A palmitat
* Vitamin B1, B2, B6, B12
* Vitamin D
* Calsium pantothenate
* Calsium glycerophosphate
* Cod liver oil
|}

# Cavicur Syr
# Caviplex
# Cardipin 5
# Cardipin 10
# Carmeson 4
# Carmeson 8
# Cendo Cenfresh
# Cendo Eyefresh
# Cendo Genta
# Cendo Lytrees
# Cendo Timol
# Cendo Xitrol
# Dionicol
# Dionicol Syr
# Demacolin
# Dexaharsen 0,5
# Dexyl Syr
# Etaflusin
# Etambion
# Farsifen 400
# Farsifen 100 ml/5 ml Ifar
# Farsifen Plus
# Fasidol
# Fasidol 100 mg/5 ml Ifar
# Fasidol Drop
# Fasidol Forte
# Fasiprim Forte
# Flutop-C Syr
# Grafazol
# Gencetron 8
# Gencobal
# Oxicobal
# Histigo
# Grantusif
# Hufamag Plus
# Hufagrip Forte
# Intunal-F
# Infalgin
# Inamid 2
# Lerzin 10
# Lecozink Syr
# Laxana 5
# Lodecon
# Lokev
# Loctacef 125 mg/5 ml
# Nexitra
# Novakal
# Omedom
# Relaxon
# Suprabiotik
# Spasminal
# Teosal
# Tifestan Forte
# Samcodin
# Vesperum Syr
# Vosea 5
# Vosea Syr
# Yekaprim Syr
# Yusimox Syr
# Zengesic
# Zelona 50

== Daftar Pustaka ==
# {{id}} Ikatan Apoteker Indonesia. Informasi Spesialite Obat Indonesia. Volume 45 – 2010 s/d 2011. Jakarta: PT. ISFI Penerbitan; 2010. ISSN 0854-4492.

== Pranala Luar ==
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16 Blok 4 – Metabolisme Obat dan Nutrisi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201 Blok 7 – Imunologi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392 Blok 9 – Neoplasma] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479 Blok 10 – Sistema Saraf] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575 Blok 12 – Sistem Respirasi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766 Blok 16 – Sistem Reproduksi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905 Blok 18 – Mata] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353 Blok 21 – Pediatri] [diakses 2012 Mar 2]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353.

{{Catatan Dokter Muda-Stase}}

[[Kategori:Stase|{{SUBPAGENAME}}]]</text>
      <sha1>m5fyfyg04gp793f3x8rf4s1a6185176</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107792</id>
      <parentid>107788</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T10:03:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alfarq</username>
        <id>799</id>
      </contributor>
      <comment>/* Daftar Obat (2) */</comment>
      <origin>107792</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11129" sha1="5npq7v8stogmd27qredpiki4oekxnwa" xml:space="preserve">{{Wikipedia|Farmasi}}

== Istilah Latin ==
=== Uc ===
* ℞ (racipe): Ambillah.
* Supp (suppositorium): Supositoria, gentel.
* No (nomero): Jumlah, sejumlah.
* S (signa): Tanda, tandai, tandailah.
* Uc (usus cognitus): Pemakaian diketahui.
* Pro: Untuk.

 ℞ Miconazole 2% cream tube No. I
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (20 tahun)

 ℞ Anusol supp No. V
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. A (21 tahun)

=== Imm ===
* Imm (in manus medicine): Serahkan ke tangan paramedis (dokter, perawat, bidan, mantri).
* Inf (infus): Infus.
* Flab (flabot): Flabot.

 ℞ Natrium Chlorida 0,9% inf flab No. III
    Abbocath no. 22                No. I
    Cum infus set                  No. I
    S imm
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. B (22 tahun)

=== Prn ===
* Tab (tabletta, tabella): Tablet.
* Mg (miligram): Miligram.
* Prn (pro renatera), sns (si necesse sit): Jika perlu. Singkatan ini digunakan untuk obat-obat simtomatis (penghilang gejala).
* Dd (de die): Tiap hari, setiap hari.
* Aggr febr (agrediante febre): saat demam.

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn 1–3 dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

'''Perhatian:'''
* Penulisan setelah Signa tanpa tanda kurung. Berikut adalah penulisan yang salah:

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn (1–3) dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

=== Up ===
* Up (usus propius): Pemakaian sendiri (untuk dokter). Tidak perlu memakai Pro.

 ℞ Amoxycillin tab mg 500 No. X
    S up
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰

=== Dcf ===
* Dcf, dc form (da cun formula): Sesuai obat yang tertulis.
* Sol, solut (solutio): Larutan.

 ℞ Alkohol 70% sol fl No. I
    S imm dcf
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. E (25 tahun)

=== Sine confectiones ===
* Cap (capsule): Kapsul.
* Sine confectiones: Tanpa kemasan.

 ℞ Amoxsan cap mg 500 No. X (sine confectiones)
    S 3 dd cap I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. F (26 tahun)

=== Adde ===
* Adde: Tambahkan.
* Dry: Kering.
* Syr (syrupus): Sirup.
* Aq coct (aqua cocta): Air masak.
* Ad: Sampai, hingga.
* Cc (cubic centimetre): sentimeter kubik.
* C (cochlea): sendok makan (15 cc).
* Cth (cochlea tea): sendok teh (5 cc).

 ℞ Ampicillin dry syr fl No. I
    Adde aq coct ad cc 60
    S 3 dd cth I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. G (27 tahun)

=== Ad lib ===
* Ad lib, ad libit (ad libitum): Sesuka hati.

 ℞ Oralit sachet No. XX
    S ad lib
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. H (28 tahun)

=== Ac ===
* Ac (antec cibos, ante cibum, ante coenam): Sebelum makan.

 ℞ Antasida DOEN tab No. X
    S 3 dd tab I ac
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. I (29 tahun)

=== Dc ===
* Dc (durante coenam): Saat makan, ketika makan, selagi makan.

 ℞ Enzyplex tab No. XII
    S 3 dd tab I dc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. J (30 tahun)

=== Pc ===
* Pc (post coenam): Setelah makan, sesudah makan, sehabis makan.

 ℞ Rifampicin tab mg 450 No. VII
    S 1 dd tab I pc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. K (31 tahun)

=== Hora spatio ===
* Octa: Delapan.
* Hora spatio: Selang sekian jam.
* Octa hora spatio: Selang delapan jam.

 ℞ Chloramphenicol cap mg 500 No. X
    S 3 dd cap I octa hora spatio
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. L (32 tahun)

=== Agita ante sumendum ===

Agita ante sumendum: kocok sebelum digunakan

R/ Mylanta Syr fl no I
ʃ 3 dd CI ac agitatio ante sumundum
----
Pro: Tn J (29th)

=== Hora ieiune ===
Saat perut kosong

=== Sive simile ===
* Boleh diganti
* Obat paten boleh diganti dengan obat paten lain dengan kandungan, bentuk, sediaan, dan dosis yang sama

=== Mds ===

=== use know ===

=== Da in caps ===
dimasukkan ke dalam kapsul

=== Cum ===

=== Cito, Urgent, PIM (Periculum In Mora) ===
Segera, Penting, Berbahaya bila ditunda. Resep yang terdapat tanda seperti diatas, meskipun masuk belakangan harus di dahulukan pengerjaannya. 
(Ilmu Meracik Obat Teori dan Praktik, Moh. Anief, Gadjah Mada University Presentasi, 1987, Halaman 7)

=== Iter ===
Diulang

=== Ne iter ===
tidak boleh diulang

=== Qs ===
quantum satis (secukupnya)

=== Ad gram 20 ===
Hingga 20 g

=== Ante defecatio ===
Sebelum defekasi

=== Omni noctem per vaginal ===

== Daftar Obat (1) ==
# Cefixime Trihydrate kapsul 100 mg 2 x 1
# Loperamide HCl tablet 2 mg 3 x 1 (Stop jika sudah tidak diare)
# Omeprazole (OMZ) 20 mg kapsul pelepasan lambat 2 x 1
# Paracetamol tablet 500 mg 3 x 1
# Zinc dispersible tablet 20 mg 1 x 1

== Daftar Obat (2) ==
{| {{Prettytable}}
! Merk
! Kandungan
|-
| Acifar
|
* Acyclovir
|-
| Alleron
|
* Chlorpheniramina maleat 4 mg
|-
| Alofar 100
|
* Allopurinol 100 mg
|-
| Alofar 300
|
* Allopurinol 300 mg
|-
| Aspilet
|
* Asam asetilsalisilat (Aspirin)
|-
| Akita
|
* Attapulgite 600 mg
* Pektin 50 mg
|-
| Beneuron
|
* Vitamin B1 (Thiamine Mononitrate) 100 mg
* Vitamin B6 (Pyridoxine Hydrochloride) 200 mg
* Vitamin B12 (Cyanocobalamin) 200 mcg
|-
| Arkavit-C
|
* Vitamin B1 (Tiamin) 50 mg
* Vitamin B2 (Riboflavin) 25 mg
* Vitamin B3 (Niasin) 50 mg
* Vitamin B5 (Asam pantotenat) 20 mg
* Vitamin B6 (Piridoksin) 10 mg
* Vitamin B12 (Sianokonalamin) 5 mcg
* Vitamin C (Asam askorbat) 500 mg
|-
| Bufacaryl
|
* Dexamethasone 0,5 mg
* Dexchlorpheniramine maleate 2 mg
|-
| Cavicur
|
* Ekstrak Curcuma xanthorriza (temulawak) 20 mg (mengandung curcuminoid ~15%)
* Vitamin A palmitat
* Vitamin B1, B2, B6, B12
* Vitamin D
* Calsium pantothenate
* Calsium glycerophosphate
* Cod liver oil
|-
| Cavicur Syr
| Tiap 5 ml mengandung:
* Ekstrak Curcuma xanthorrhiza 10 mg
* Vitamin A palmitat 850 IU
* Vitamin B1 (tiamin HCl) 3 mg
* Vitamin B2 (riboflavin) 1,5 mg
* Vitamin B6 (piridoksin HCl) 0,5 mg
* Vitamin B12 5 mcg
* Vitamin D 100 IU
* Calsium pantothenate 5 mg
* Calsium glycerophosphate 100 mg
* Cod liver oil (ekstrak minyak ikan kod) 2,5 mg
|}

# Caviplex
# Cardipin 5
# Cardipin 10
# Carmeson 4
# Carmeson 8
# Cendo Cenfresh
# Cendo Eyefresh
# Cendo Genta
# Cendo Lytrees
# Cendo Timol
# Cendo Xitrol
# Dionicol
# Dionicol Syr
# Demacolin
# Dexaharsen 0,5
# Dexyl Syr
# Etaflusin
# Etambion
# Farsifen 400
# Farsifen 100 ml/5 ml Ifar
# Farsifen Plus
# Fasidol
# Fasidol 100 mg/5 ml Ifar
# Fasidol Drop
# Fasidol Forte
# Fasiprim Forte
# Flutop-C Syr
# Grafazol
# Gencetron 8
# Gencobal
# Oxicobal
# Histigo
# Grantusif
# Hufamag Plus
# Hufagrip Forte
# Intunal-F
# Infalgin
# Inamid 2
# Lerzin 10
# Lecozink Syr
# Laxana 5
# Lodecon
# Lokev
# Loctacef 125 mg/5 ml
# Nexitra
# Novakal
# Omedom
# Relaxon
# Suprabiotik
# Spasminal
# Teosal
# Tifestan Forte
# Samcodin
# Vesperum Syr
# Vosea 5
# Vosea Syr
# Yekaprim Syr
# Yusimox Syr
# Zengesic
# Zelona 50

== Daftar Pustaka ==
# {{id}} Ikatan Apoteker Indonesia. Informasi Spesialite Obat Indonesia. Volume 45 – 2010 s/d 2011. Jakarta: PT. ISFI Penerbitan; 2010. ISSN 0854-4492.

== Pranala Luar ==
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16 Blok 4 – Metabolisme Obat dan Nutrisi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201 Blok 7 – Imunologi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392 Blok 9 – Neoplasma] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479 Blok 10 – Sistema Saraf] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575 Blok 12 – Sistem Respirasi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766 Blok 16 – Sistem Reproduksi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905 Blok 18 – Mata] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353 Blok 21 – Pediatri] [diakses 2012 Mar 2]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353.

{{Catatan Dokter Muda-Stase}}

[[Kategori:Stase|{{SUBPAGENAME}}]]</text>
      <sha1>5npq7v8stogmd27qredpiki4oekxnwa</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Polinomial</title>
    <ns>0</ns>
    <id>20764</id>
    <revision>
      <id>107795</id>
      <parentid>106281</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T11:00:08Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107795</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17604" sha1="pcpny9ym5w8b4v1qw81p0v8ii9eitxo" xml:space="preserve">; Rumus: 
*&lt;math&gt;F(x) = H(x) \cdot P(x) + s(x)&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\text{ Yang dibagi (YD) = Hasil bagi (HB) x Pembagi (P) + Sisa (S) }&lt;/math&gt;

Untuk mengetahui hasil bagi dan sisa yakni:
* Metode pembagian bersusun
* Metode horner
* Koefisien tak tentu

1. Berapa hasil bagi dan sisa dari &lt;math&gt;x^2+3x-6&lt;/math&gt; dibagi x-4!

* Metode pembagian bersusun
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
        x + 7 \\
x - 4 | x^2 + 3x - 6 \\
       x^2 - 4x \\
             7x - 6 \\
             7x - 28 \\
                  22 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

Jadi hasil bagi adalah x + 7 dan sisa 22

* Metode horner
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
&amp;4 &amp;| &amp;1 &amp;3 &amp;-6 \\
     &amp;0 &amp;4 &amp;28 \\
     &amp;1 &amp;7 &amp;22 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

Jadi hasil bagi adalah x + 7 dan sisa 22

* Koefisien tak tentu
Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka
: H(x) berderajat 2 – 1 = 1
: S(x) berderajat 1 – 1 = 0
Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = c

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
x^2 + 3x - 6 &amp;= (x-4)(ax+b) + c \\
x^2 + 3x - 6 &amp;= ax^2 - 4ax + bx - 4b + c \\
x^2 + 3x - 6 &amp;= ax^2 + (- 4a + b)x - (4b - c) \\

a &amp;= 1 \\
- 4a + b &amp;= 3 \\
- 4 (1) + b &amp;= 3 \\
- 4 + b &amp;= 3 \\
b &amp;= 7 \\
6 &amp;= 4b - c \\
6 &amp;= 4 (7) - c \\
6 &amp;= 28 - c \\
c &amp;= - 22 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

Jadi hasil bagi adalah x + 7 dan sisa 22

Jika hasil bagi adalah bilangan pecahan maka ada dua jenis yang ditentukan sebagai berikut:
; I. posisi suku banyak tidak berubah maka hasil bagi harus dibagi konstanta dari faktor hasilnya. Contoh:
: Berapa hasil dan sisa dari F(x): &lt;math&gt;2x^3+19x^2+33x-26&lt;/math&gt; dibagi dengan P(x): &lt;math&gt;2x^2+5x-3&lt;/math&gt;?

: Pilihan A
misalkan P: &lt;math&gt;2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)&lt;/math&gt; maka:
: P1: &lt;math&gt;x + 3 = 0 -&gt; x = - 3&lt;/math&gt;
: P2: &lt;math&gt;2x - 1 = 0 -&gt; x = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| -3 || 2 || 19 || 33 || -26
|-
| || 0 || -6 || -39 || 18
|-
| 1/2 || 2 || 13 || -6 || -8 (S1)
|-
| || 0 || 1 || 7 ||
|-
| || 2 || 14 || 1 (S2) ||
|}

: H(x) = &lt;math&gt;2x + 14&lt;/math&gt; harus bagi 1/2 menjadi &lt;math&gt;x + 7&lt;/math&gt;
: S(x) = P1.S2 + S1 = &lt;math&gt;(x + 3) \cdot 1 + (- 8) = x - 5&lt;/math&gt;

: Pilihan B
misalkan P: &lt;math&gt;2x^2+5x-3 = (x + 3)(2x - 1)&lt;/math&gt; maka:
: P1: &lt;math&gt;2x - 1 = 0 -&gt; x = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;
: P2: &lt;math&gt;x + 3 = 0 -&gt; x = - 3&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| 1/2 || 2 || 19 || 33 || -26
|-
| || 0 || 1 || 10 || 43/2
|-
| -3 || 2 || 20 || 43 || -9/2 (S1)
|-
| || 0 || -6 || -42 ||
|-
| || 2 || 14 || 1 (S2) ||
|}

: H(x) = &lt;math&gt;2x + 14&lt;/math&gt; harus bagi 1/2 menjadi &lt;math&gt;x + 7&lt;/math&gt;
: S(x) = P1 S2 + S1 = &lt;math&gt;(x - \frac{1}{2}) \cdot 1 + (- \frac{9}{2}) = x - \frac{10}{2} = x - 5&lt;/math&gt;

; II. posisi suku banyak dibagi konstanta dari variabel berpangkat tinggi maka sisa harus dikali konstanta dari faktor hasilnya. Contoh:
: Berapa hasil dan sisa dari F(x): &lt;math&gt;2x^3+19x^2+33x-26&lt;/math&gt; dibagi dengan P(x): &lt;math&gt;2x^2+5x-3&lt;/math&gt;?

: Pilihan A
misalkan P: &lt;math&gt;2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)&lt;/math&gt; maka:
: P1: &lt;math&gt;x + 3 = 0 -&gt; x = - 3&lt;/math&gt;
: P2: &lt;math&gt;2x - 1 = 0 -&gt; x = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x^3+19x^2+33x-26&lt;/math&gt; dibagi 1/2 menjadi &lt;math&gt;x^3 + \frac{19}{2}x^2+\frac{33}{2}x-13&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| -3 || 1 || 19/2 || 33/2 || -13
|-
| || 0 || -3 || -39/2 || 9
|-
| 1/2 || 1 || 13/2 || -3 || -4 (S1)
|-
| || 0 || 1/2 || 7/2 ||
|-
| || 1 || 7 || 1/2 (S2) ||
|}

: H(x) = &lt;math&gt;x + 7&lt;/math&gt;
: S(x) = P1.S2 + S1 = &lt;math&gt;(x + 3) \cdot \frac{1}{2} + (- 4) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} - 4 = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}&lt;/math&gt; harus kali 2 menjadi &lt;math&gt;x - 5&lt;/math&gt;

: Pilihan B
misalkan P: &lt;math&gt;2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)&lt;/math&gt; maka:
: P1: &lt;math&gt;2x - 1 = 0 -&gt; x = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;
: P2: &lt;math&gt;x + 3 = 0 -&gt; x = - 3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x^3 + 19x^2 + 33x - 26&lt;/math&gt; dibagi 1/2 menjadi &lt;math&gt;x^3 + \frac{19}{2}x^2 + \frac{33}{2}x - 13&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| 1/2 || 1 || 19/2 || 33/2 || -13
|-
| || 0 || 1/2 || 5 || 43/4
|-
| -3 || 1 || 10 || 43/2 || -9/4 (S1)
|-
| || 0 || -3 || -21 ||
|-
| || 1 || 7 || 1/2 (S2) ||
|}

: H(x) = &lt;math&gt;x + 7&lt;/math&gt;
: S(x) = P1.S2 + S1 = &lt;math&gt;(x - \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} + (- \frac{9}{4}) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4} - \frac{9}{4} = \frac{1}{2}x - \frac{10}{4} = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}&lt;/math&gt; harus kali 2 menjadi &lt;math&gt;x - 5&lt;/math&gt;

== Teorema ==
Teorema terdiri dari dua yakni teorema sisa dan teorema faktor.

; Teorema sisa
: Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k).
: Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (ax – b) maka sisanya adalah F(b/a).
: Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – a)(x - b) maka sisanya adalah &lt;math&gt;\frac{F(a) - F(b)}{a - b} x + \frac{a F(b) - b F(a)}{a -b}&lt;/math&gt;.

2. Berapa sisa dari &lt;math&gt;x^2+3x-6&lt;/math&gt; dibagi x-4!
: f(4) = 4&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3(4)-6 = 16+12-6 = 22

: Berapa sisa dari F(x): &lt;math&gt;2x^3+19x^2+33x-26&lt;/math&gt; dibagi dengan P(x): &lt;math&gt;2x^2+5x-3&lt;/math&gt;?

: F(x) = H(x) . P(x) + s
: 2x^3+19x^2+33x = H(x) . (2x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+5x-3)+px+q
: 2x^3+19x^2+33x = H(x) . (x+3)(2x-1)+px+q

: F(-3)=2(-3)^3+19(-3)^2+33(-3)-26=-3p+q
: F(-3)=-8=-3p+q

: F(1/2)=2(1/2)^3+19(1/2)^2+33(1/2)-26=1/2p+q
: F(1/2)=-18/4=1/2p+q
: F(1/2)=-18=2p+4q

kedua persamaan melalui metode eliminasi dan hasilnya adalah p=1 dan q=-5. jadi sisanya x-5.

3. Suku banyak f(x) dibagi x−1 sisa 2, dibagi x−2 sisa 7. Suku banyak g(x) dibagi x-1 sisa 10, dibagi x-2 sisa 2. Jika h(x) = f(x) ⋅ g(x) maka berapa sisa pembagian h(x) oleh x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-3x+2?

: f(x) dibagi (x-1) sisa 2, maka:
: &lt;math&gt;f(x) = H(x) \cdot (x-1) + 2&lt;/math&gt;
: f(1) = 2
: f(x) dibagi (x-2) sisa 7, maka:
: &lt;math&gt;f(x) = H(x) \cdot (x-2) + 7&lt;/math&gt;
: f(2) = 7
: g(x) dibagi (x-1) sisa 10, maka:
: &lt;math&gt;g(x) = H(x) \cdot (x-1) +10&lt;/math&gt;
: g(1) = 10
: g(x) dibagi (x-2) sisa 2, maka:
: &lt;math&gt;g(x) = H(x) \cdot (x-2) + 2&lt;/math&gt;
: g(2) = 2

Sehingga, akan ditentukan persamaan dari fungsi h(x) untuk menentukan nilai p dan q sebagai berikut:

: &lt;math&gt;h(x) = f(x) \cdot g(x)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;h(x) = H(x) \cdot (x^2-3x+2) + px+q&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x) \cdot g(x) = H(x) \cdot (x^2-3x+2) + px+q&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x) \cdot g(x) = H(x) \cdot (x-1)(x-2) + px+q&lt;/math&gt;

Dengan fungsi di atas, maka berlaku:

untuk x = 1, maka:
: 2 ▪︎ 10 = 0 + p + q
: p + q = 20 .... (1)

untuk x = 2, maka:
: 7 ▪︎ 2 = 0 + 2p + q
: 2p + q = 14 .... (2) ​​​​​​​

:Dari persamaan 1 dan 2 adalah p = -6 dan q = 26.
:Jadi sisanya adalah -6x+26.

3. Jika f(x) dibagi oleh x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x dan x &lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;−3x masing-masing mempunyai sisa 2x+1 dan 5x+2, maka berapa sisanya jika f(x) dibagi x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;−5x+6?

: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot H(x) + s(x)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x^2-5x+6) + ax + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x-2)(x-3) + ax + b&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x^2-2x) + 2x+1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot x(x-2) + 2x+1&lt;/math&gt;

Bila x = 0 maka
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot x(x-2) + 2x+1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(0) = P(x) \cdot 0(-2) + 1&lt;/math&gt;
: f(0) = 1

Bila x = 2 maka
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot x(x-2) + 2x+1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(2) = P(x) \cdot 2(0) + 5&lt;/math&gt;
: f(2) = 5

: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x^2-3x) + 5x+2&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot x(x-3) + 5x+2&lt;/math&gt;

Bila x = 0 maka
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot x(x-3) + 5x+2&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(0) = P(x) \cdot 0(-3) + 2&lt;/math&gt;
: f(0) = 2

Bila x = 3 maka
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot x(x-3) + 5x+2&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(3) = P(x) \cdot 3(0) + 17&lt;/math&gt;
: f(3) = 17

: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x-2)(x-3) + ax + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(3) = P(x) \cdot (3-2)(3-3) + 3a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(3) = P(x) \cdot 1(0) + 3a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;17 = 0 + 3a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;3a + b = 17&lt;/math&gt; .... (1)

: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x-2)(x-3) + ax + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(2) = P(x) \cdot (2-2)(2-3) + 2a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(2) = P(x) \cdot 0(-1) + 2a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;5 = 0 + 2a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;2a + b = 5&lt;/math&gt; .... (2)

:Dari persamaan 1 dan 2 adalah a = 12 dan b = -19.
:Jadi sisanya adalah 12x-19.

4. Diketahui suku banyak f(x+1) dibagi x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+2x mempunyai sisa 2x-5 dan f(x-1) dibagi x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+x mempunyai sisa x-9, Jika sisa pembagian f(x) oleh x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+x-2 adalah s(x) maka berapa nilai s(4)?

: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot H(x) + s(x)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x^2+x-2) + ax + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x+2)(x-1) + ax + b&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;f(x+1) = P(x) \cdot (x^2+2x) + 2x-5&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x+1) = P(x) \cdot x(x+2) + 2x-5&lt;/math&gt;

Bila x = 0 maka
: &lt;math&gt;f(x+1) = P(x) \cdot x(x+2) + 2x-5&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(1) = P(x) \cdot 0(2) - 5&lt;/math&gt;
: f(1) = -5

Bila x = -2 maka
: &lt;math&gt;f(x+1) = P(x) \cdot x(x+2) + 2x-5&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(-1) = P(x) \cdot -2(0) - 9&lt;/math&gt;
: f(-1) = -9

: &lt;math&gt;f(x-1) = P(x) \cdot (x^2+x) + x-9&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x-1) = P(x) \cdot x(x+1) + x-9&lt;/math&gt;

Bila x = 0 maka
: &lt;math&gt;f(x-1) = P(x) \cdot x(x+1) + x-9&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(-1) = P(x) \cdot 0(1) - 9&lt;/math&gt;
: f(-1) = -9

Bila x = -1 maka
: &lt;math&gt;f(x-1) = P(x) \cdot x(x-1) + x-9&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(-2) = P(x) \cdot -1(0) - 10&lt;/math&gt;
: f(-2) = -10

: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x+2)(x-1) + ax + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(-2) = P(x) \cdot (-2+2)(-2-1) - 2a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(-2) = P(x) \cdot 0(-3) - 2a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;-10 = 0 - 2a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;-2a + b = -10&lt;/math&gt; .... (1)

: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x+2)(x-1) + ax + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(1) = P(x) \cdot (1+2)(1-1) + a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(1) = P(x) \cdot 3(0) + a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;-5 = 0 + a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b = -5&lt;/math&gt; .... (2)

:Dari persamaan 1 dan 2 adalah a = 5/3 dan b = -20/3 maka sisanya adalah 5x/3-20/3.

:Nilai untuk 4 dari 5x/3-20/3 adalah 0.

5. Berapa sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ...... + 50! dibagi 12?

: Diketahui setelah 3!, 4! + 5! + 6! + .... + 50! dapat dibagi 12 karena 4 x 3. Jadi hanya kita hitung 1! + 2! + 3! saja. Hasil dari 1! + 2! + 3! adalah 9. 9 tidak habis dibagi 12 bersisa 9. Jadi sisa adalah 9.

6. Sebuah bilangan dibagi 2 dibagi 3 dibagi 4 dibagi 5 sisa 1. maka berapa nilai bilangan tersebut?

: Digunakan KPK dari 2, 3, 4 dan 5 adalah 60 lalu ditambahkan 1 menjadi 61. Maka bilangan itu adalah 61.

7. Sebuah bilangan dibagi 3 dibagi 6 dibagi 8 dibagi 9 sisa 2. maka berapa nilai bilangan tersebut?

: Digunakan KPK dari 3, 6, 8 dan 9 adalah 72 lalu ditambahkan 2 menjadi 74. Maka bilangan itu adalah 74.

; Teorema faktor

Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)

Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)

Beberapa memungkinkan yang diketahui:
* Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1.
* Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = -1.
* Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0. Contohnya:
: untuk &lt;math&gt;x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0&lt;/math&gt;, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2
: untuk &lt;math&gt;4x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0&lt;/math&gt;, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4

1. Salah satu faktor dari &lt;math&gt;x^3+4x^2-11x-30&lt;/math&gt; adalah 3 maka berapa nilai faktor lainnya?

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
3 &amp;| &amp;1 &amp;4 &amp;-11 &amp;-30 \\
     &amp;0 &amp;3 &amp;21 &amp;30 \\
     &amp;1 &amp;7 &amp;10 &amp;0 \\

 x^2+7x+10 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x+5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= -2 \lor x = -5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

2. Jika &lt;math&gt;\frac{x^3+4x^2+x+a}{x-1}&lt;/math&gt; dapat disederhanakan maka berapa hasil a serta akar-akar lainnya?

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mencari a gunakan teorema faktor karena dapat disederhanakan berarti sisa nol yaitu f(x) = 0 } \\
 1^3+4(1)^2+1+a &amp;= 0 \\
 6+a &amp;= 0 \\
 a &amp;= -6 \\

\text{untuk mencari akar-akar lainnya } \\
 x^3+4x^2+x-6 : x-1 = ? \\
 
1 &amp;| &amp;1 &amp;4 &amp;1 &amp;-6 \\
     &amp;0 &amp;1 &amp;5 &amp;6 \\
     &amp;1 &amp;5 &amp;6 &amp;0 \\

 x^2+5x+6 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x+3) &amp;= 0 \\
 x &amp;= -2 \lor x = -3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari &lt;math&gt;x^3-2x^2-5x+6=0&lt;/math&gt;!

apakah salah satu akarnya adalah 1? &lt;math&gt;(1)^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0&lt;/math&gt;
:: Ya

faktorkan tersebut
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| 1 || 1 || -2 || -5 || 6
|-
| || 0 || 1 || -1 || -6
|-
| || 1 || -1 || -6 || 0
|}

: &lt;math&gt;x^3-2x^2-5x+6 = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;(x-1)(x^2-x-6) = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;(x-1)(x-3)(x+2) = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;x_1=1 \lor x_2=3 \lor x_3=-2&lt;/math&gt;

jadi himpunan penyelesaian adalah {-2, 1, 3}

== Sifat akar (Teorema Vieta) ==
Pada persamaan berderajat 3:
ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3

dengan sifat-sifat:
:Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = – b/a
:Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
:Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = – d/a

Pada persamaan berderajat 4:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4

dengan sifat-sifat:
:Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a
:Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a
:Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = – d/a
:Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = e/a

Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya. (amati pola: –b/a, c/a, –d/a, e/a, …)

Contoh:
: Diberikan persamaan &lt;math&gt;x^3 - 3x^2 - 10x + p = 0 &lt;/math&gt; dengan akar-akarnya x1, x2 x3. Jika 2x1 = -x2-x3. Carilah nilai p dan akar-akarnya!

: &lt;math&gt;2x_1 = -x_2-x_3 = -(x_2+x_3)&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;x_1 - 2x_1 = - \frac{b}{a}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;- x_1 = - \frac{-3}{1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; x_1 = -3&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x^3 - 3x^2 - 10x + p = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;(-3)^3 - 3(-3)^2 - 10(-3) + p = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;-27 - 27 + 30 + p = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;p = 24&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| -3 || 1 || -3 || -10 || 24
|-
| || 0 || -3 || 18 || -24
|-
| || 1 || -6 || 8 || 0
|}

: &lt;math&gt;x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;(x + 3)(x^2 - 6x + 8) = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;(x + 3)(x - 2)(x - 4) = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;x_1 = -3 \lor x_2 = 2 \lor x_3 = 4&lt;/math&gt;

== Pembagian istimewa ==
Ada 3 jenis yaitu:
* Jika n adalah bilangan asli maka:
: &lt;math&gt;\frac{a^n - b^n}{a - b} = a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + .... + a^2b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1}&lt;/math&gt;
* Jika 2n adalah bilangan genap maka:
: &lt;math&gt;\frac{a^{2n} - b^{2n}}{a + b} = a^{2n-1} - a^{2n-2}b + a^{2n-3}b^2 - .... - a^2b^{2n-3} + ab^{2n-2} - b^{2n-1}&lt;/math&gt;
* Jika 2n + 1 adalah bilangan ganjil maka:
: &lt;math&gt;\frac{a^{2n + 1} + b^{2n + 1}}{a + b} = a^{2n} - a^{2n-1}b + a^{2n-2}b^2 - .... + a^2b^{2n-2} - ab^{2n-1} + b^{2n}&lt;/math&gt;

== Modulus (mod) ==
; Sifat modulus
# (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n
# ab mod n = (a mod n x b mod n) mod n
# a&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt; mod n = ((a mod n)&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt;) mod n
# a = b (mod n) ↔ a mod n = b mod n
# Mencari digit terakhir pada sebuah operasi matematika dengan menggunakan basis mod 10
# Teorema euler
: &lt;math&gt;a^b \text{ mod } n = a^{b \text{ mod } \pi(n)} \text{ mod } n&lt;/math&gt; dengan syarat:
:: Didahului sifat nomor 3
:: p&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, p&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, dst adalah faktor prima dari n
:: &lt;math&gt;\pi(n) = n \times \frac{p_1-1}{p_1} \times \frac{p_2-1}{p_2} \times \dots \times \frac{p_k-1}{p_k}&lt;/math&gt;
# Teorema wilson
: (p - 1)! = -1 mod p
: (p - 3)! = &lt;math&gt;\frac{p-1}{2}&lt;/math&gt; mod p
:: p adalah bilangan prima

contoh soal
# Berapa hasil sisa dari 
## 34 dibagi 5
## 12&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7
## 200 dibagi 13
## 19&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; dibagi 9

:jawaban:
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* 34 \text{ mod } 5 &amp;= (5 \times 6 + 4) \text{ mod } 5 \\
&amp;= 4 \text{ mod } 5 \\
&amp;= 4 \\

* 12^3 \text{ mod } 7 &amp;= (12 \text{ mod } 7)^3 \text{ mod } 7 \\
&amp;= 5^3 \text{ mod } 7 \\
&amp;= 5^{(3 \text { mod } \pi(7))} \text{ mod } 7 \\
&amp;= 5^{(3 \text { mod } 6)} \text{ mod } 7 \\
&amp;= 5^3 \text{ mod } 7 \\
&amp;= 125 \text{ mod } 7 \\
&amp;= 6 \\

* 200 \text{ mod } 13 &amp;= (13 \times 15 + 5) \text{ mod } 13 \\
&amp;= 5 \text{ mod } 13 \\
&amp;= 5 \\

* 19^5 \text{ mod } 9 &amp;= (19 \text{ mod } 9)^5 \text{ mod } 9 \\
&amp;= 1^5 \text{ mod } 9 \\
&amp;= 1^{(5 \text { mod } \pi(9))} \text{ mod } 9 \\
&amp;= 1^{(5 \text { mod } 6)} \text{ mod } 9 \\
&amp;= 1^5 \text{ mod } 9 \\
&amp;= 1 \text{ mod } 9 \\
&amp;= 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

== Mencari bilangan ==
&lt;math&gt;\frac{S (k \cdot P + 1)}{P} = k \cdot S + \frac{S}{P}&lt;/math&gt;

;Keterangan:
:S = Hasil sisa
:k = bilangan bulat
:P = Pembagi

[[Kategori:Matematika]]
[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>pcpny9ym5w8b4v1qw81p0v8ii9eitxo</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107796</id>
      <parentid>107795</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T11:05:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Teorema */</comment>
      <origin>107796</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17690" sha1="9epv3ue15cqajkmx4pal42jv275epem" xml:space="preserve">; Rumus: 
*&lt;math&gt;F(x) = H(x) \cdot P(x) + s(x)&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\text{ Yang dibagi (YD) = Hasil bagi (HB) x Pembagi (P) + Sisa (S) }&lt;/math&gt;

Untuk mengetahui hasil bagi dan sisa yakni:
* Metode pembagian bersusun
* Metode horner
* Koefisien tak tentu

1. Berapa hasil bagi dan sisa dari &lt;math&gt;x^2+3x-6&lt;/math&gt; dibagi x-4!

* Metode pembagian bersusun
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
        x + 7 \\
x - 4 | x^2 + 3x - 6 \\
       x^2 - 4x \\
             7x - 6 \\
             7x - 28 \\
                  22 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

Jadi hasil bagi adalah x + 7 dan sisa 22

* Metode horner
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
&amp;4 &amp;| &amp;1 &amp;3 &amp;-6 \\
     &amp;0 &amp;4 &amp;28 \\
     &amp;1 &amp;7 &amp;22 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

Jadi hasil bagi adalah x + 7 dan sisa 22

* Koefisien tak tentu
Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka
: H(x) berderajat 2 – 1 = 1
: S(x) berderajat 1 – 1 = 0
Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = c

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
x^2 + 3x - 6 &amp;= (x-4)(ax+b) + c \\
x^2 + 3x - 6 &amp;= ax^2 - 4ax + bx - 4b + c \\
x^2 + 3x - 6 &amp;= ax^2 + (- 4a + b)x - (4b - c) \\

a &amp;= 1 \\
- 4a + b &amp;= 3 \\
- 4 (1) + b &amp;= 3 \\
- 4 + b &amp;= 3 \\
b &amp;= 7 \\
6 &amp;= 4b - c \\
6 &amp;= 4 (7) - c \\
6 &amp;= 28 - c \\
c &amp;= - 22 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

Jadi hasil bagi adalah x + 7 dan sisa 22

Jika hasil bagi adalah bilangan pecahan maka ada dua jenis yang ditentukan sebagai berikut:
; I. posisi suku banyak tidak berubah maka hasil bagi harus dibagi konstanta dari faktor hasilnya. Contoh:
: Berapa hasil dan sisa dari F(x): &lt;math&gt;2x^3+19x^2+33x-26&lt;/math&gt; dibagi dengan P(x): &lt;math&gt;2x^2+5x-3&lt;/math&gt;?

: Pilihan A
misalkan P: &lt;math&gt;2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)&lt;/math&gt; maka:
: P1: &lt;math&gt;x + 3 = 0 -&gt; x = - 3&lt;/math&gt;
: P2: &lt;math&gt;2x - 1 = 0 -&gt; x = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| -3 || 2 || 19 || 33 || -26
|-
| || 0 || -6 || -39 || 18
|-
| 1/2 || 2 || 13 || -6 || -8 (S1)
|-
| || 0 || 1 || 7 ||
|-
| || 2 || 14 || 1 (S2) ||
|}

: H(x) = &lt;math&gt;2x + 14&lt;/math&gt; harus bagi 1/2 menjadi &lt;math&gt;x + 7&lt;/math&gt;
: S(x) = P1.S2 + S1 = &lt;math&gt;(x + 3) \cdot 1 + (- 8) = x - 5&lt;/math&gt;

: Pilihan B
misalkan P: &lt;math&gt;2x^2+5x-3 = (x + 3)(2x - 1)&lt;/math&gt; maka:
: P1: &lt;math&gt;2x - 1 = 0 -&gt; x = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;
: P2: &lt;math&gt;x + 3 = 0 -&gt; x = - 3&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| 1/2 || 2 || 19 || 33 || -26
|-
| || 0 || 1 || 10 || 43/2
|-
| -3 || 2 || 20 || 43 || -9/2 (S1)
|-
| || 0 || -6 || -42 ||
|-
| || 2 || 14 || 1 (S2) ||
|}

: H(x) = &lt;math&gt;2x + 14&lt;/math&gt; harus bagi 1/2 menjadi &lt;math&gt;x + 7&lt;/math&gt;
: S(x) = P1 S2 + S1 = &lt;math&gt;(x - \frac{1}{2}) \cdot 1 + (- \frac{9}{2}) = x - \frac{10}{2} = x - 5&lt;/math&gt;

; II. posisi suku banyak dibagi konstanta dari variabel berpangkat tinggi maka sisa harus dikali konstanta dari faktor hasilnya. Contoh:
: Berapa hasil dan sisa dari F(x): &lt;math&gt;2x^3+19x^2+33x-26&lt;/math&gt; dibagi dengan P(x): &lt;math&gt;2x^2+5x-3&lt;/math&gt;?

: Pilihan A
misalkan P: &lt;math&gt;2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)&lt;/math&gt; maka:
: P1: &lt;math&gt;x + 3 = 0 -&gt; x = - 3&lt;/math&gt;
: P2: &lt;math&gt;2x - 1 = 0 -&gt; x = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x^3+19x^2+33x-26&lt;/math&gt; dibagi 1/2 menjadi &lt;math&gt;x^3 + \frac{19}{2}x^2+\frac{33}{2}x-13&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| -3 || 1 || 19/2 || 33/2 || -13
|-
| || 0 || -3 || -39/2 || 9
|-
| 1/2 || 1 || 13/2 || -3 || -4 (S1)
|-
| || 0 || 1/2 || 7/2 ||
|-
| || 1 || 7 || 1/2 (S2) ||
|}

: H(x) = &lt;math&gt;x + 7&lt;/math&gt;
: S(x) = P1.S2 + S1 = &lt;math&gt;(x + 3) \cdot \frac{1}{2} + (- 4) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} - 4 = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}&lt;/math&gt; harus kali 2 menjadi &lt;math&gt;x - 5&lt;/math&gt;

: Pilihan B
misalkan P: &lt;math&gt;2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)&lt;/math&gt; maka:
: P1: &lt;math&gt;2x - 1 = 0 -&gt; x = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;
: P2: &lt;math&gt;x + 3 = 0 -&gt; x = - 3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x^3 + 19x^2 + 33x - 26&lt;/math&gt; dibagi 1/2 menjadi &lt;math&gt;x^3 + \frac{19}{2}x^2 + \frac{33}{2}x - 13&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| 1/2 || 1 || 19/2 || 33/2 || -13
|-
| || 0 || 1/2 || 5 || 43/4
|-
| -3 || 1 || 10 || 43/2 || -9/4 (S1)
|-
| || 0 || -3 || -21 ||
|-
| || 1 || 7 || 1/2 (S2) ||
|}

: H(x) = &lt;math&gt;x + 7&lt;/math&gt;
: S(x) = P1.S2 + S1 = &lt;math&gt;(x - \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} + (- \frac{9}{4}) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4} - \frac{9}{4} = \frac{1}{2}x - \frac{10}{4} = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}&lt;/math&gt; harus kali 2 menjadi &lt;math&gt;x - 5&lt;/math&gt;

== Teorema ==
Teorema terdiri dari dua yakni teorema sisa dan teorema faktor.

; Teorema sisa
: Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k).
: Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (ax – b) maka sisanya adalah F(b/a).
: Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – a)(x - b) maka sisanya adalah &lt;math&gt;\frac{F(a) - F(b)}{a - b} x + \frac{a F(b) - b F(a)}{a -b}&lt;/math&gt;.

2. Berapa sisa dari &lt;math&gt;x^2+3x-6&lt;/math&gt; dibagi x-4!
: f(4) = 4&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3(4)-6 = 16+12-6 = 22

: Berapa sisa dari F(x): &lt;math&gt;2x^3+19x^2+33x-26&lt;/math&gt; dibagi dengan P(x): &lt;math&gt;2x^2+5x-3&lt;/math&gt;?

: F(x) = H(x) . P(x) + s
: 2x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;+19x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+33x-26 = H(x) . (2x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+5x-3)+px+q
: 2x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;+19x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+33x-26 = H(x) . (x+3)(2x-1)+px+q

: F(-3)=2(-3)&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;+19(-3)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+33(-3)-26=-3p+q
: F(-3)=-8=-3p+q

: F(1/2)=2(1/2)&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;+19(1/2)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+33(1/2)-26=1/2p+q
: F(1/2)=-18/4=1/2p+q
: F(1/2)=-18=2p+4q

kedua persamaan melalui metode eliminasi dan hasilnya adalah p=1 dan q=-5. jadi sisanya x-5.

3. Suku banyak f(x) dibagi x−1 sisa 2, dibagi x−2 sisa 7. Suku banyak g(x) dibagi x-1 sisa 10, dibagi x-2 sisa 2. Jika h(x) = f(x) ⋅ g(x) maka berapa sisa pembagian h(x) oleh x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-3x+2?

: f(x) dibagi (x-1) sisa 2, maka:
: &lt;math&gt;f(x) = H(x) \cdot (x-1) + 2&lt;/math&gt;
: f(1) = 2
: f(x) dibagi (x-2) sisa 7, maka:
: &lt;math&gt;f(x) = H(x) \cdot (x-2) + 7&lt;/math&gt;
: f(2) = 7
: g(x) dibagi (x-1) sisa 10, maka:
: &lt;math&gt;g(x) = H(x) \cdot (x-1) +10&lt;/math&gt;
: g(1) = 10
: g(x) dibagi (x-2) sisa 2, maka:
: &lt;math&gt;g(x) = H(x) \cdot (x-2) + 2&lt;/math&gt;
: g(2) = 2

Sehingga, akan ditentukan persamaan dari fungsi h(x) untuk menentukan nilai p dan q sebagai berikut:

: &lt;math&gt;h(x) = f(x) \cdot g(x)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;h(x) = H(x) \cdot (x^2-3x+2) + px+q&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x) \cdot g(x) = H(x) \cdot (x^2-3x+2) + px+q&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x) \cdot g(x) = H(x) \cdot (x-1)(x-2) + px+q&lt;/math&gt;

Dengan fungsi di atas, maka berlaku:

untuk x = 1, maka:
: 2 ▪︎ 10 = 0 + p + q
: p + q = 20 .... (1)

untuk x = 2, maka:
: 7 ▪︎ 2 = 0 + 2p + q
: 2p + q = 14 .... (2) ​​​​​​​

:Dari persamaan 1 dan 2 adalah p = -6 dan q = 26.
:Jadi sisanya adalah -6x+26.

3. Jika f(x) dibagi oleh x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x dan x &lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;−3x masing-masing mempunyai sisa 2x+1 dan 5x+2, maka berapa sisanya jika f(x) dibagi x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;−5x+6?

: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot H(x) + s(x)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x^2-5x+6) + ax + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x-2)(x-3) + ax + b&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x^2-2x) + 2x+1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot x(x-2) + 2x+1&lt;/math&gt;

Bila x = 0 maka
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot x(x-2) + 2x+1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(0) = P(x) \cdot 0(-2) + 1&lt;/math&gt;
: f(0) = 1

Bila x = 2 maka
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot x(x-2) + 2x+1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(2) = P(x) \cdot 2(0) + 5&lt;/math&gt;
: f(2) = 5

: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x^2-3x) + 5x+2&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot x(x-3) + 5x+2&lt;/math&gt;

Bila x = 0 maka
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot x(x-3) + 5x+2&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(0) = P(x) \cdot 0(-3) + 2&lt;/math&gt;
: f(0) = 2

Bila x = 3 maka
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot x(x-3) + 5x+2&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(3) = P(x) \cdot 3(0) + 17&lt;/math&gt;
: f(3) = 17

: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x-2)(x-3) + ax + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(3) = P(x) \cdot (3-2)(3-3) + 3a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(3) = P(x) \cdot 1(0) + 3a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;17 = 0 + 3a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;3a + b = 17&lt;/math&gt; .... (1)

: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x-2)(x-3) + ax + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(2) = P(x) \cdot (2-2)(2-3) + 2a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(2) = P(x) \cdot 0(-1) + 2a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;5 = 0 + 2a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;2a + b = 5&lt;/math&gt; .... (2)

:Dari persamaan 1 dan 2 adalah a = 12 dan b = -19.
:Jadi sisanya adalah 12x-19.

4. Diketahui suku banyak f(x+1) dibagi x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+2x mempunyai sisa 2x-5 dan f(x-1) dibagi x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+x mempunyai sisa x-9, Jika sisa pembagian f(x) oleh x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+x-2 adalah s(x) maka berapa nilai s(4)?

: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot H(x) + s(x)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x^2+x-2) + ax + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x+2)(x-1) + ax + b&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;f(x+1) = P(x) \cdot (x^2+2x) + 2x-5&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x+1) = P(x) \cdot x(x+2) + 2x-5&lt;/math&gt;

Bila x = 0 maka
: &lt;math&gt;f(x+1) = P(x) \cdot x(x+2) + 2x-5&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(1) = P(x) \cdot 0(2) - 5&lt;/math&gt;
: f(1) = -5

Bila x = -2 maka
: &lt;math&gt;f(x+1) = P(x) \cdot x(x+2) + 2x-5&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(-1) = P(x) \cdot -2(0) - 9&lt;/math&gt;
: f(-1) = -9

: &lt;math&gt;f(x-1) = P(x) \cdot (x^2+x) + x-9&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x-1) = P(x) \cdot x(x+1) + x-9&lt;/math&gt;

Bila x = 0 maka
: &lt;math&gt;f(x-1) = P(x) \cdot x(x+1) + x-9&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(-1) = P(x) \cdot 0(1) - 9&lt;/math&gt;
: f(-1) = -9

Bila x = -1 maka
: &lt;math&gt;f(x-1) = P(x) \cdot x(x-1) + x-9&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(-2) = P(x) \cdot -1(0) - 10&lt;/math&gt;
: f(-2) = -10

: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x+2)(x-1) + ax + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(-2) = P(x) \cdot (-2+2)(-2-1) - 2a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(-2) = P(x) \cdot 0(-3) - 2a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;-10 = 0 - 2a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;-2a + b = -10&lt;/math&gt; .... (1)

: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x+2)(x-1) + ax + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(1) = P(x) \cdot (1+2)(1-1) + a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(1) = P(x) \cdot 3(0) + a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;-5 = 0 + a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b = -5&lt;/math&gt; .... (2)

:Dari persamaan 1 dan 2 adalah a = 5/3 dan b = -20/3 maka sisanya adalah 5x/3-20/3.

:Nilai untuk 4 dari 5x/3-20/3 adalah 0.

5. Berapa sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ...... + 50! dibagi 12?

: Diketahui setelah 3!, 4! + 5! + 6! + .... + 50! dapat dibagi 12 karena 4 x 3. Jadi hanya kita hitung 1! + 2! + 3! saja. Hasil dari 1! + 2! + 3! adalah 9. 9 tidak habis dibagi 12 bersisa 9. Jadi sisa adalah 9.

6. Sebuah bilangan dibagi 2 dibagi 3 dibagi 4 dibagi 5 sisa 1. maka berapa nilai bilangan tersebut?

: Digunakan KPK dari 2, 3, 4 dan 5 adalah 60 lalu ditambahkan 1 menjadi 61. Maka bilangan itu adalah 61.

7. Sebuah bilangan dibagi 3 dibagi 6 dibagi 8 dibagi 9 sisa 2. maka berapa nilai bilangan tersebut?

: Digunakan KPK dari 3, 6, 8 dan 9 adalah 72 lalu ditambahkan 2 menjadi 74. Maka bilangan itu adalah 74.

; Teorema faktor

Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)

Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)

Beberapa memungkinkan yang diketahui:
* Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1.
* Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = -1.
* Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0. Contohnya:
: untuk &lt;math&gt;x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0&lt;/math&gt;, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2
: untuk &lt;math&gt;4x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0&lt;/math&gt;, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4

1. Salah satu faktor dari &lt;math&gt;x^3+4x^2-11x-30&lt;/math&gt; adalah 3 maka berapa nilai faktor lainnya?

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
3 &amp;| &amp;1 &amp;4 &amp;-11 &amp;-30 \\
     &amp;0 &amp;3 &amp;21 &amp;30 \\
     &amp;1 &amp;7 &amp;10 &amp;0 \\

 x^2+7x+10 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x+5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= -2 \lor x = -5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

2. Jika &lt;math&gt;\frac{x^3+4x^2+x+a}{x-1}&lt;/math&gt; dapat disederhanakan maka berapa hasil a serta akar-akar lainnya?

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mencari a gunakan teorema faktor karena dapat disederhanakan berarti sisa nol yaitu f(x) = 0 } \\
 1^3+4(1)^2+1+a &amp;= 0 \\
 6+a &amp;= 0 \\
 a &amp;= -6 \\

\text{untuk mencari akar-akar lainnya } \\
 x^3+4x^2+x-6 : x-1 = ? \\
 
1 &amp;| &amp;1 &amp;4 &amp;1 &amp;-6 \\
     &amp;0 &amp;1 &amp;5 &amp;6 \\
     &amp;1 &amp;5 &amp;6 &amp;0 \\

 x^2+5x+6 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x+3) &amp;= 0 \\
 x &amp;= -2 \lor x = -3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari &lt;math&gt;x^3-2x^2-5x+6=0&lt;/math&gt;!

apakah salah satu akarnya adalah 1? &lt;math&gt;(1)^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0&lt;/math&gt;
:: Ya

faktorkan tersebut
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| 1 || 1 || -2 || -5 || 6
|-
| || 0 || 1 || -1 || -6
|-
| || 1 || -1 || -6 || 0
|}

: &lt;math&gt;x^3-2x^2-5x+6 = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;(x-1)(x^2-x-6) = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;(x-1)(x-3)(x+2) = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;x_1=1 \lor x_2=3 \lor x_3=-2&lt;/math&gt;

jadi himpunan penyelesaian adalah {-2, 1, 3}

== Sifat akar (Teorema Vieta) ==
Pada persamaan berderajat 3:
ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3

dengan sifat-sifat:
:Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = – b/a
:Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
:Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = – d/a

Pada persamaan berderajat 4:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4

dengan sifat-sifat:
:Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a
:Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a
:Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = – d/a
:Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = e/a

Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya. (amati pola: –b/a, c/a, –d/a, e/a, …)

Contoh:
: Diberikan persamaan &lt;math&gt;x^3 - 3x^2 - 10x + p = 0 &lt;/math&gt; dengan akar-akarnya x1, x2 x3. Jika 2x1 = -x2-x3. Carilah nilai p dan akar-akarnya!

: &lt;math&gt;2x_1 = -x_2-x_3 = -(x_2+x_3)&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;x_1 - 2x_1 = - \frac{b}{a}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;- x_1 = - \frac{-3}{1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; x_1 = -3&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x^3 - 3x^2 - 10x + p = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;(-3)^3 - 3(-3)^2 - 10(-3) + p = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;-27 - 27 + 30 + p = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;p = 24&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| -3 || 1 || -3 || -10 || 24
|-
| || 0 || -3 || 18 || -24
|-
| || 1 || -6 || 8 || 0
|}

: &lt;math&gt;x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;(x + 3)(x^2 - 6x + 8) = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;(x + 3)(x - 2)(x - 4) = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;x_1 = -3 \lor x_2 = 2 \lor x_3 = 4&lt;/math&gt;

== Pembagian istimewa ==
Ada 3 jenis yaitu:
* Jika n adalah bilangan asli maka:
: &lt;math&gt;\frac{a^n - b^n}{a - b} = a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + .... + a^2b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1}&lt;/math&gt;
* Jika 2n adalah bilangan genap maka:
: &lt;math&gt;\frac{a^{2n} - b^{2n}}{a + b} = a^{2n-1} - a^{2n-2}b + a^{2n-3}b^2 - .... - a^2b^{2n-3} + ab^{2n-2} - b^{2n-1}&lt;/math&gt;
* Jika 2n + 1 adalah bilangan ganjil maka:
: &lt;math&gt;\frac{a^{2n + 1} + b^{2n + 1}}{a + b} = a^{2n} - a^{2n-1}b + a^{2n-2}b^2 - .... + a^2b^{2n-2} - ab^{2n-1} + b^{2n}&lt;/math&gt;

== Modulus (mod) ==
; Sifat modulus
# (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n
# ab mod n = (a mod n x b mod n) mod n
# a&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt; mod n = ((a mod n)&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt;) mod n
# a = b (mod n) ↔ a mod n = b mod n
# Mencari digit terakhir pada sebuah operasi matematika dengan menggunakan basis mod 10
# Teorema euler
: &lt;math&gt;a^b \text{ mod } n = a^{b \text{ mod } \pi(n)} \text{ mod } n&lt;/math&gt; dengan syarat:
:: Didahului sifat nomor 3
:: p&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, p&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, dst adalah faktor prima dari n
:: &lt;math&gt;\pi(n) = n \times \frac{p_1-1}{p_1} \times \frac{p_2-1}{p_2} \times \dots \times \frac{p_k-1}{p_k}&lt;/math&gt;
# Teorema wilson
: (p - 1)! = -1 mod p
: (p - 3)! = &lt;math&gt;\frac{p-1}{2}&lt;/math&gt; mod p
:: p adalah bilangan prima

contoh soal
# Berapa hasil sisa dari 
## 34 dibagi 5
## 12&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7
## 200 dibagi 13
## 19&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; dibagi 9

:jawaban:
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* 34 \text{ mod } 5 &amp;= (5 \times 6 + 4) \text{ mod } 5 \\
&amp;= 4 \text{ mod } 5 \\
&amp;= 4 \\

* 12^3 \text{ mod } 7 &amp;= (12 \text{ mod } 7)^3 \text{ mod } 7 \\
&amp;= 5^3 \text{ mod } 7 \\
&amp;= 5^{(3 \text { mod } \pi(7))} \text{ mod } 7 \\
&amp;= 5^{(3 \text { mod } 6)} \text{ mod } 7 \\
&amp;= 5^3 \text{ mod } 7 \\
&amp;= 125 \text{ mod } 7 \\
&amp;= 6 \\

* 200 \text{ mod } 13 &amp;= (13 \times 15 + 5) \text{ mod } 13 \\
&amp;= 5 \text{ mod } 13 \\
&amp;= 5 \\

* 19^5 \text{ mod } 9 &amp;= (19 \text{ mod } 9)^5 \text{ mod } 9 \\
&amp;= 1^5 \text{ mod } 9 \\
&amp;= 1^{(5 \text { mod } \pi(9))} \text{ mod } 9 \\
&amp;= 1^{(5 \text { mod } 6)} \text{ mod } 9 \\
&amp;= 1^5 \text{ mod } 9 \\
&amp;= 1 \text{ mod } 9 \\
&amp;= 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

== Mencari bilangan ==
&lt;math&gt;\frac{S (k \cdot P + 1)}{P} = k \cdot S + \frac{S}{P}&lt;/math&gt;

;Keterangan:
:S = Hasil sisa
:k = bilangan bulat
:P = Pembagi

[[Kategori:Matematika]]
[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>9epv3ue15cqajkmx4pal42jv275epem</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107797</id>
      <parentid>107796</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T11:07:47Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Teorema */</comment>
      <origin>107797</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17691" sha1="qh5btxbucw9rd31rz1jel3cskm28vr6" xml:space="preserve">; Rumus: 
*&lt;math&gt;F(x) = H(x) \cdot P(x) + s(x)&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\text{ Yang dibagi (YD) = Hasil bagi (HB) x Pembagi (P) + Sisa (S) }&lt;/math&gt;

Untuk mengetahui hasil bagi dan sisa yakni:
* Metode pembagian bersusun
* Metode horner
* Koefisien tak tentu

1. Berapa hasil bagi dan sisa dari &lt;math&gt;x^2+3x-6&lt;/math&gt; dibagi x-4!

* Metode pembagian bersusun
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
        x + 7 \\
x - 4 | x^2 + 3x - 6 \\
       x^2 - 4x \\
             7x - 6 \\
             7x - 28 \\
                  22 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

Jadi hasil bagi adalah x + 7 dan sisa 22

* Metode horner
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
&amp;4 &amp;| &amp;1 &amp;3 &amp;-6 \\
     &amp;0 &amp;4 &amp;28 \\
     &amp;1 &amp;7 &amp;22 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

Jadi hasil bagi adalah x + 7 dan sisa 22

* Koefisien tak tentu
Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka
: H(x) berderajat 2 – 1 = 1
: S(x) berderajat 1 – 1 = 0
Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = c

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
x^2 + 3x - 6 &amp;= (x-4)(ax+b) + c \\
x^2 + 3x - 6 &amp;= ax^2 - 4ax + bx - 4b + c \\
x^2 + 3x - 6 &amp;= ax^2 + (- 4a + b)x - (4b - c) \\

a &amp;= 1 \\
- 4a + b &amp;= 3 \\
- 4 (1) + b &amp;= 3 \\
- 4 + b &amp;= 3 \\
b &amp;= 7 \\
6 &amp;= 4b - c \\
6 &amp;= 4 (7) - c \\
6 &amp;= 28 - c \\
c &amp;= - 22 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

Jadi hasil bagi adalah x + 7 dan sisa 22

Jika hasil bagi adalah bilangan pecahan maka ada dua jenis yang ditentukan sebagai berikut:
; I. posisi suku banyak tidak berubah maka hasil bagi harus dibagi konstanta dari faktor hasilnya. Contoh:
: Berapa hasil dan sisa dari F(x): &lt;math&gt;2x^3+19x^2+33x-26&lt;/math&gt; dibagi dengan P(x): &lt;math&gt;2x^2+5x-3&lt;/math&gt;?

: Pilihan A
misalkan P: &lt;math&gt;2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)&lt;/math&gt; maka:
: P1: &lt;math&gt;x + 3 = 0 -&gt; x = - 3&lt;/math&gt;
: P2: &lt;math&gt;2x - 1 = 0 -&gt; x = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| -3 || 2 || 19 || 33 || -26
|-
| || 0 || -6 || -39 || 18
|-
| 1/2 || 2 || 13 || -6 || -8 (S1)
|-
| || 0 || 1 || 7 ||
|-
| || 2 || 14 || 1 (S2) ||
|}

: H(x) = &lt;math&gt;2x + 14&lt;/math&gt; harus bagi 1/2 menjadi &lt;math&gt;x + 7&lt;/math&gt;
: S(x) = P1.S2 + S1 = &lt;math&gt;(x + 3) \cdot 1 + (- 8) = x - 5&lt;/math&gt;

: Pilihan B
misalkan P: &lt;math&gt;2x^2+5x-3 = (x + 3)(2x - 1)&lt;/math&gt; maka:
: P1: &lt;math&gt;2x - 1 = 0 -&gt; x = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;
: P2: &lt;math&gt;x + 3 = 0 -&gt; x = - 3&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| 1/2 || 2 || 19 || 33 || -26
|-
| || 0 || 1 || 10 || 43/2
|-
| -3 || 2 || 20 || 43 || -9/2 (S1)
|-
| || 0 || -6 || -42 ||
|-
| || 2 || 14 || 1 (S2) ||
|}

: H(x) = &lt;math&gt;2x + 14&lt;/math&gt; harus bagi 1/2 menjadi &lt;math&gt;x + 7&lt;/math&gt;
: S(x) = P1 S2 + S1 = &lt;math&gt;(x - \frac{1}{2}) \cdot 1 + (- \frac{9}{2}) = x - \frac{10}{2} = x - 5&lt;/math&gt;

; II. posisi suku banyak dibagi konstanta dari variabel berpangkat tinggi maka sisa harus dikali konstanta dari faktor hasilnya. Contoh:
: Berapa hasil dan sisa dari F(x): &lt;math&gt;2x^3+19x^2+33x-26&lt;/math&gt; dibagi dengan P(x): &lt;math&gt;2x^2+5x-3&lt;/math&gt;?

: Pilihan A
misalkan P: &lt;math&gt;2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)&lt;/math&gt; maka:
: P1: &lt;math&gt;x + 3 = 0 -&gt; x = - 3&lt;/math&gt;
: P2: &lt;math&gt;2x - 1 = 0 -&gt; x = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x^3+19x^2+33x-26&lt;/math&gt; dibagi 1/2 menjadi &lt;math&gt;x^3 + \frac{19}{2}x^2+\frac{33}{2}x-13&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| -3 || 1 || 19/2 || 33/2 || -13
|-
| || 0 || -3 || -39/2 || 9
|-
| 1/2 || 1 || 13/2 || -3 || -4 (S1)
|-
| || 0 || 1/2 || 7/2 ||
|-
| || 1 || 7 || 1/2 (S2) ||
|}

: H(x) = &lt;math&gt;x + 7&lt;/math&gt;
: S(x) = P1.S2 + S1 = &lt;math&gt;(x + 3) \cdot \frac{1}{2} + (- 4) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} - 4 = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}&lt;/math&gt; harus kali 2 menjadi &lt;math&gt;x - 5&lt;/math&gt;

: Pilihan B
misalkan P: &lt;math&gt;2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)&lt;/math&gt; maka:
: P1: &lt;math&gt;2x - 1 = 0 -&gt; x = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;
: P2: &lt;math&gt;x + 3 = 0 -&gt; x = - 3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x^3 + 19x^2 + 33x - 26&lt;/math&gt; dibagi 1/2 menjadi &lt;math&gt;x^3 + \frac{19}{2}x^2 + \frac{33}{2}x - 13&lt;/math&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| 1/2 || 1 || 19/2 || 33/2 || -13
|-
| || 0 || 1/2 || 5 || 43/4
|-
| -3 || 1 || 10 || 43/2 || -9/4 (S1)
|-
| || 0 || -3 || -21 ||
|-
| || 1 || 7 || 1/2 (S2) ||
|}

: H(x) = &lt;math&gt;x + 7&lt;/math&gt;
: S(x) = P1.S2 + S1 = &lt;math&gt;(x - \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} + (- \frac{9}{4}) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4} - \frac{9}{4} = \frac{1}{2}x - \frac{10}{4} = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}&lt;/math&gt; harus kali 2 menjadi &lt;math&gt;x - 5&lt;/math&gt;

== Teorema ==
Teorema terdiri dari dua yakni teorema sisa dan teorema faktor.

; Teorema sisa
: Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k).
: Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (ax – b) maka sisanya adalah F(b/a).
: Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – a)(x - b) maka sisanya adalah &lt;math&gt;\frac{F(a) - F(b)}{a - b} x + \frac{a F(b) - b F(a)}{a -b}&lt;/math&gt;.

1. Berapa sisa dari &lt;math&gt;x^2+3x-6&lt;/math&gt; dibagi x-4!
: f(4) = 4&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3(4)-6 = 16+12-6 = 22

2. Berapa sisa dari F(x): &lt;math&gt;2x^3+19x^2+33x-26&lt;/math&gt; dibagi dengan P(x): &lt;math&gt;2x^2+5x-3&lt;/math&gt;?

: F(x) = H(x) . P(x) + s
: 2x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;+19x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+33x-26 = H(x) . (2x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+5x-3)+px+q
: 2x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;+19x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+33x-26 = H(x) . (x+3)(2x-1)+px+q

: F(-3)=2(-3)&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;+19(-3)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+33(-3)-26=-3p+q
: F(-3)=-8=-3p+q

: F(1/2)=2(1/2)&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;+19(1/2)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+33(1/2)-26=1/2p+q
: F(1/2)=-18/4=1/2p+q
: F(1/2)=-18=2p+4q

kedua persamaan melalui metode eliminasi dan hasilnya adalah p=1 dan q=-5. jadi sisanya x-5.

3. Suku banyak f(x) dibagi x−1 sisa 2, dibagi x−2 sisa 7. Suku banyak g(x) dibagi x-1 sisa 10, dibagi x-2 sisa 2. Jika h(x) = f(x) ⋅ g(x) maka berapa sisa pembagian h(x) oleh x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-3x+2?

: f(x) dibagi (x-1) sisa 2, maka:
: &lt;math&gt;f(x) = H(x) \cdot (x-1) + 2&lt;/math&gt;
: f(1) = 2
: f(x) dibagi (x-2) sisa 7, maka:
: &lt;math&gt;f(x) = H(x) \cdot (x-2) + 7&lt;/math&gt;
: f(2) = 7
: g(x) dibagi (x-1) sisa 10, maka:
: &lt;math&gt;g(x) = H(x) \cdot (x-1) +10&lt;/math&gt;
: g(1) = 10
: g(x) dibagi (x-2) sisa 2, maka:
: &lt;math&gt;g(x) = H(x) \cdot (x-2) + 2&lt;/math&gt;
: g(2) = 2

Sehingga, akan ditentukan persamaan dari fungsi h(x) untuk menentukan nilai p dan q sebagai berikut:

: &lt;math&gt;h(x) = f(x) \cdot g(x)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;h(x) = H(x) \cdot (x^2-3x+2) + px+q&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x) \cdot g(x) = H(x) \cdot (x^2-3x+2) + px+q&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x) \cdot g(x) = H(x) \cdot (x-1)(x-2) + px+q&lt;/math&gt;

Dengan fungsi di atas, maka berlaku:

untuk x = 1, maka:
: 2 ▪︎ 10 = 0 + p + q
: p + q = 20 .... (1)

untuk x = 2, maka:
: 7 ▪︎ 2 = 0 + 2p + q
: 2p + q = 14 .... (2) ​​​​​​​

:Dari persamaan 1 dan 2 adalah p = -6 dan q = 26.
:Jadi sisanya adalah -6x+26.

4. Jika f(x) dibagi oleh x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x dan x &lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;−3x masing-masing mempunyai sisa 2x+1 dan 5x+2, maka berapa sisanya jika f(x) dibagi x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;−5x+6?

: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot H(x) + s(x)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x^2-5x+6) + ax + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x-2)(x-3) + ax + b&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x^2-2x) + 2x+1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot x(x-2) + 2x+1&lt;/math&gt;

Bila x = 0 maka
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot x(x-2) + 2x+1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(0) = P(x) \cdot 0(-2) + 1&lt;/math&gt;
: f(0) = 1

Bila x = 2 maka
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot x(x-2) + 2x+1&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(2) = P(x) \cdot 2(0) + 5&lt;/math&gt;
: f(2) = 5

: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x^2-3x) + 5x+2&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot x(x-3) + 5x+2&lt;/math&gt;

Bila x = 0 maka
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot x(x-3) + 5x+2&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(0) = P(x) \cdot 0(-3) + 2&lt;/math&gt;
: f(0) = 2

Bila x = 3 maka
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot x(x-3) + 5x+2&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(3) = P(x) \cdot 3(0) + 17&lt;/math&gt;
: f(3) = 17

: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x-2)(x-3) + ax + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(3) = P(x) \cdot (3-2)(3-3) + 3a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(3) = P(x) \cdot 1(0) + 3a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;17 = 0 + 3a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;3a + b = 17&lt;/math&gt; .... (1)

: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x-2)(x-3) + ax + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(2) = P(x) \cdot (2-2)(2-3) + 2a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(2) = P(x) \cdot 0(-1) + 2a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;5 = 0 + 2a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;2a + b = 5&lt;/math&gt; .... (2)

:Dari persamaan 1 dan 2 adalah a = 12 dan b = -19.
:Jadi sisanya adalah 12x-19.

5. Diketahui suku banyak f(x+1) dibagi x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+2x mempunyai sisa 2x-5 dan f(x-1) dibagi x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+x mempunyai sisa x-9, Jika sisa pembagian f(x) oleh x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+x-2 adalah s(x) maka berapa nilai s(4)?

: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot H(x) + s(x)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x^2+x-2) + ax + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x+2)(x-1) + ax + b&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;f(x+1) = P(x) \cdot (x^2+2x) + 2x-5&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x+1) = P(x) \cdot x(x+2) + 2x-5&lt;/math&gt;

Bila x = 0 maka
: &lt;math&gt;f(x+1) = P(x) \cdot x(x+2) + 2x-5&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(1) = P(x) \cdot 0(2) - 5&lt;/math&gt;
: f(1) = -5

Bila x = -2 maka
: &lt;math&gt;f(x+1) = P(x) \cdot x(x+2) + 2x-5&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(-1) = P(x) \cdot -2(0) - 9&lt;/math&gt;
: f(-1) = -9

: &lt;math&gt;f(x-1) = P(x) \cdot (x^2+x) + x-9&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(x-1) = P(x) \cdot x(x+1) + x-9&lt;/math&gt;

Bila x = 0 maka
: &lt;math&gt;f(x-1) = P(x) \cdot x(x+1) + x-9&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(-1) = P(x) \cdot 0(1) - 9&lt;/math&gt;
: f(-1) = -9

Bila x = -1 maka
: &lt;math&gt;f(x-1) = P(x) \cdot x(x-1) + x-9&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(-2) = P(x) \cdot -1(0) - 10&lt;/math&gt;
: f(-2) = -10

: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x+2)(x-1) + ax + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(-2) = P(x) \cdot (-2+2)(-2-1) - 2a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(-2) = P(x) \cdot 0(-3) - 2a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;-10 = 0 - 2a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;-2a + b = -10&lt;/math&gt; .... (1)

: &lt;math&gt;f(x) = P(x) \cdot (x+2)(x-1) + ax + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(1) = P(x) \cdot (1+2)(1-1) + a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;f(1) = P(x) \cdot 3(0) + a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;-5 = 0 + a + b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;a + b = -5&lt;/math&gt; .... (2)

:Dari persamaan 1 dan 2 adalah a = 5/3 dan b = -20/3 maka sisanya adalah 5x/3-20/3.

:Nilai untuk 4 dari 5x/3-20/3 adalah 0.

6. Berapa sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ...... + 50! dibagi 12?

: Diketahui setelah 3!, 4! + 5! + 6! + .... + 50! dapat dibagi 12 karena 4 x 3. Jadi hanya kita hitung 1! + 2! + 3! saja. Hasil dari 1! + 2! + 3! adalah 9. 9 tidak habis dibagi 12 bersisa 9. Jadi sisa adalah 9.

7. Sebuah bilangan dibagi 2 dibagi 3 dibagi 4 dibagi 5 sisa 1. maka berapa nilai bilangan tersebut?

: Digunakan KPK dari 2, 3, 4 dan 5 adalah 60 lalu ditambahkan 1 menjadi 61. Maka bilangan itu adalah 61.

8. Sebuah bilangan dibagi 3 dibagi 6 dibagi 8 dibagi 9 sisa 2. maka berapa nilai bilangan tersebut?

: Digunakan KPK dari 3, 6, 8 dan 9 adalah 72 lalu ditambahkan 2 menjadi 74. Maka bilangan itu adalah 74.

; Teorema faktor

Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)

Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)

Beberapa memungkinkan yang diketahui:
* Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1.
* Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = -1.
* Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0. Contohnya:
: untuk &lt;math&gt;x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0&lt;/math&gt;, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2
: untuk &lt;math&gt;4x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0&lt;/math&gt;, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4

1. Salah satu faktor dari &lt;math&gt;x^3+4x^2-11x-30&lt;/math&gt; adalah 3 maka berapa nilai faktor lainnya?

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
3 &amp;| &amp;1 &amp;4 &amp;-11 &amp;-30 \\
     &amp;0 &amp;3 &amp;21 &amp;30 \\
     &amp;1 &amp;7 &amp;10 &amp;0 \\

 x^2+7x+10 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x+5) &amp;= 0 \\
 x &amp;= -2 \lor x = -5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

2. Jika &lt;math&gt;\frac{x^3+4x^2+x+a}{x-1}&lt;/math&gt; dapat disederhanakan maka berapa hasil a serta akar-akar lainnya?

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{untuk mencari a gunakan teorema faktor karena dapat disederhanakan berarti sisa nol yaitu f(x) = 0 } \\
 1^3+4(1)^2+1+a &amp;= 0 \\
 6+a &amp;= 0 \\
 a &amp;= -6 \\

\text{untuk mencari akar-akar lainnya } \\
 x^3+4x^2+x-6 : x-1 = ? \\
 
1 &amp;| &amp;1 &amp;4 &amp;1 &amp;-6 \\
     &amp;0 &amp;1 &amp;5 &amp;6 \\
     &amp;1 &amp;5 &amp;6 &amp;0 \\

 x^2+5x+6 &amp;= 0 \\
 (x+2)(x+3) &amp;= 0 \\
 x &amp;= -2 \lor x = -3 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari &lt;math&gt;x^3-2x^2-5x+6=0&lt;/math&gt;!

apakah salah satu akarnya adalah 1? &lt;math&gt;(1)^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0&lt;/math&gt;
:: Ya

faktorkan tersebut
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| 1 || 1 || -2 || -5 || 6
|-
| || 0 || 1 || -1 || -6
|-
| || 1 || -1 || -6 || 0
|}

: &lt;math&gt;x^3-2x^2-5x+6 = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;(x-1)(x^2-x-6) = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;(x-1)(x-3)(x+2) = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;x_1=1 \lor x_2=3 \lor x_3=-2&lt;/math&gt;

jadi himpunan penyelesaian adalah {-2, 1, 3}

== Sifat akar (Teorema Vieta) ==
Pada persamaan berderajat 3:
ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3

dengan sifat-sifat:
:Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = – b/a
:Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
:Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = – d/a

Pada persamaan berderajat 4:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4

dengan sifat-sifat:
:Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a
:Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a
:Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = – d/a
:Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = e/a

Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya. (amati pola: –b/a, c/a, –d/a, e/a, …)

Contoh:
: Diberikan persamaan &lt;math&gt;x^3 - 3x^2 - 10x + p = 0 &lt;/math&gt; dengan akar-akarnya x1, x2 x3. Jika 2x1 = -x2-x3. Carilah nilai p dan akar-akarnya!

: &lt;math&gt;2x_1 = -x_2-x_3 = -(x_2+x_3)&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;x_1 - 2x_1 = - \frac{b}{a}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;- x_1 = - \frac{-3}{1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; x_1 = -3&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x^3 - 3x^2 - 10x + p = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;(-3)^3 - 3(-3)^2 - 10(-3) + p = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;-27 - 27 + 30 + p = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;p = 24&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
| -3 || 1 || -3 || -10 || 24
|-
| || 0 || -3 || 18 || -24
|-
| || 1 || -6 || 8 || 0
|}

: &lt;math&gt;x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;(x + 3)(x^2 - 6x + 8) = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;(x + 3)(x - 2)(x - 4) = 0&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;x_1 = -3 \lor x_2 = 2 \lor x_3 = 4&lt;/math&gt;

== Pembagian istimewa ==
Ada 3 jenis yaitu:
* Jika n adalah bilangan asli maka:
: &lt;math&gt;\frac{a^n - b^n}{a - b} = a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + .... + a^2b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1}&lt;/math&gt;
* Jika 2n adalah bilangan genap maka:
: &lt;math&gt;\frac{a^{2n} - b^{2n}}{a + b} = a^{2n-1} - a^{2n-2}b + a^{2n-3}b^2 - .... - a^2b^{2n-3} + ab^{2n-2} - b^{2n-1}&lt;/math&gt;
* Jika 2n + 1 adalah bilangan ganjil maka:
: &lt;math&gt;\frac{a^{2n + 1} + b^{2n + 1}}{a + b} = a^{2n} - a^{2n-1}b + a^{2n-2}b^2 - .... + a^2b^{2n-2} - ab^{2n-1} + b^{2n}&lt;/math&gt;

== Modulus (mod) ==
; Sifat modulus
# (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n
# ab mod n = (a mod n x b mod n) mod n
# a&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt; mod n = ((a mod n)&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt;) mod n
# a = b (mod n) ↔ a mod n = b mod n
# Mencari digit terakhir pada sebuah operasi matematika dengan menggunakan basis mod 10
# Teorema euler
: &lt;math&gt;a^b \text{ mod } n = a^{b \text{ mod } \pi(n)} \text{ mod } n&lt;/math&gt; dengan syarat:
:: Didahului sifat nomor 3
:: p&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, p&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, dst adalah faktor prima dari n
:: &lt;math&gt;\pi(n) = n \times \frac{p_1-1}{p_1} \times \frac{p_2-1}{p_2} \times \dots \times \frac{p_k-1}{p_k}&lt;/math&gt;
# Teorema wilson
: (p - 1)! = -1 mod p
: (p - 3)! = &lt;math&gt;\frac{p-1}{2}&lt;/math&gt; mod p
:: p adalah bilangan prima

contoh soal
# Berapa hasil sisa dari 
## 34 dibagi 5
## 12&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; dibagi 7
## 200 dibagi 13
## 19&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; dibagi 9

:jawaban:
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* 34 \text{ mod } 5 &amp;= (5 \times 6 + 4) \text{ mod } 5 \\
&amp;= 4 \text{ mod } 5 \\
&amp;= 4 \\

* 12^3 \text{ mod } 7 &amp;= (12 \text{ mod } 7)^3 \text{ mod } 7 \\
&amp;= 5^3 \text{ mod } 7 \\
&amp;= 5^{(3 \text { mod } \pi(7))} \text{ mod } 7 \\
&amp;= 5^{(3 \text { mod } 6)} \text{ mod } 7 \\
&amp;= 5^3 \text{ mod } 7 \\
&amp;= 125 \text{ mod } 7 \\
&amp;= 6 \\

* 200 \text{ mod } 13 &amp;= (13 \times 15 + 5) \text{ mod } 13 \\
&amp;= 5 \text{ mod } 13 \\
&amp;= 5 \\

* 19^5 \text{ mod } 9 &amp;= (19 \text{ mod } 9)^5 \text{ mod } 9 \\
&amp;= 1^5 \text{ mod } 9 \\
&amp;= 1^{(5 \text { mod } \pi(9))} \text{ mod } 9 \\
&amp;= 1^{(5 \text { mod } 6)} \text{ mod } 9 \\
&amp;= 1^5 \text{ mod } 9 \\
&amp;= 1 \text{ mod } 9 \\
&amp;= 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

== Mencari bilangan ==
&lt;math&gt;\frac{S (k \cdot P + 1)}{P} = k \cdot S + \frac{S}{P}&lt;/math&gt;

;Keterangan:
:S = Hasil sisa
:k = bilangan bulat
:P = Pembagi

[[Kategori:Matematika]]
[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>qh5btxbucw9rd31rz1jel3cskm28vr6</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Fungsi</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23123</id>
    <revision>
      <id>107787</id>
      <parentid>107751</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T00:31:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107787</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9640" sha1="m7s0zxw63s9jpwhuwdwd7hd6238bm78" xml:space="preserve">Sifat fungsi yaitu:
# Fungsi surjektif (fungsi onto atau fungsi kepada)
contoh: A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 4, 6} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,6)}

## Buktikan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4 dengan batas-batas -3&lt;x&lt;3 merupakan fungsi surjektif!
Misalkan x = -2 maka y = 0, x = -1 maka y = -3 jadi sebagai berikut: HP = {(-2,0), (-1,-3), (0,-4), (1,-3), (2,0)}

Dalam tersebut adalah fungsi surjektif.

# Fungsi injektif (fungsi into atau fungsi ke dalam)
contoh: A = {1, 2, 3} dan B = {2, 4, 6, 8} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,6)}

# Fungsi bijektif (fungsi satu-satu)
contoh: A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 4, 6, 8} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8)}

## Buktikan f(x)=1/2x dengan batas-batas 1&lt;x&lt;7 merupakan fungsi bijektif!
Misalkan x = 2 maka y = 1/4, x = 3 maka y = 1/6 jadi sebagai berikut: HP = {(2,1/4), (3,1/6), (4,1/8), (5,1/10), (6,1/12)}

Dalam tersebut adalah fungsi bijektif.

# Bukan Fungsi surjektif dan injektif
contoh: A = {1, 2, 3} dan B = {2, 4, 6, 8} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,4)}

Dalam pembuktian sebagai berikut:

f:A -&gt; B : x -&gt; y

Kalau membuktikan bahwa f(x) bersifat surjektif maka ∀y ∈ B, ∃x ∈ A, y = f(x).

Kalau membuktikan bahwa f(x) bersifat injektif maka ∀p,q ∈ A, f(p) = f(q) ⟹ p = q.

Kalau membuktikan bahwa f(x) bersifat bijektif maka memiliki fungsi surjektif dan injektif sekaligus.

contoh 

# Apakah f:R -&gt; R : x -&gt; x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; merupakan fungsi bijektif?

: Membuktikan f(x) merupakan fungsi surjektif
:: Ambil sembarangan y ∈ B
:: y = x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;
:: x = &lt;math&gt;\sqrt[3]{y}&lt;/math&gt; ∈ R

maka terbukti f(x) tersebut adalah fungsi surjektif.

: Membuktikan f(x) merupakan fungsi injektif
:: Misalkan f(p) = f(q) dimana p,q ∈ R
:: p&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = q&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;
:: &lt;math&gt;\sqrt[3]{(p)^3}&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\sqrt[3]{(q)^3}&lt;/math&gt;
:: p = q

maka terbukti f(x) tersebut adalah fungsi injektif.

karena f(x) terbukti merupakan fungsi surjektif dan injektif jadi f(x) merupakan fungsi bijektif.

Beberapa fungsi-fungsi sebagai berikut:
# Fungsi linear
contoh soal

1 tentukan daerah asal serta hasil dari y = 5x+2!

daerah asal: &lt;math&gt;HP = {x|-\infty&lt;x&lt;\infty, x \in R}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;
daerah hasil: &lt;math&gt;HP = {y|-\infty&lt;y&lt;\infty, y \in R}&lt;/math&gt;

# Fungsi kuadrat
; Sumbu simetri dan harga ekstrem/titik balik

fungsi kuadrat &lt;math&gt;y=ax^2+bx+c&lt;/math&gt;

persamaan fungsi kuadrat sebagai berikut:
: y = a(x-x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)(x-x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)
: y = a(x-x&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+y&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;

sumbu simetri adalah x = &lt;math&gt;-\frac{b}{2a}&lt;/math&gt;
nilai balik adalah &lt;math&gt;(-\frac{b}{2a}, -\frac{D}{4a})&lt;/math&gt;.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Kriteria akar-akar
|-
! !! colspan=3| Pernyataan
|-
! !! D&gt;0 !! D=0 !! D&lt;0
|-
| a&gt;0 (terbuka ke atas; nilai minimum) || rowspan=2| memotong || rowspan=2| menyinggung || rowspan=2| tidak memotong dan menyinggung
|-
| a&lt;0 (terbuka ke bawah; nilai maksimum)
|-
|}

contoh soal
 
1 tentukan daerah asal serta hasil dari y = x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+5x+4!
cari sumbu simetri x yaitu -b/2a adalah -5/2(1) = -5/2 serta hasil y yaitu (-5/2)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+5(-5/2)+4 = -9/4.

daerah asal: &lt;math&gt;HP = {x|-\infty&lt;x&lt;\infty, x \in R}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;
daerah hasil: &lt;math&gt;HP = {y|y \ge -\frac{9}{4}, y \in R}&lt;/math&gt;

2 tentukan sumbu simetri dan titik balik dari persamaan y = x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3!

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
y &amp;= x^2-4x+3 \\
x &amp;= -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \\
y &amp;= -\frac{(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot 3}{4 \cdot 1} \\
  &amp;= -\frac{4}{4} = -1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
y &amp;= x^2-4x+3 \\
x &amp;= -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \\
y &amp;= 2^2-4(2)+3 = -1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
y &amp;= x^2-4x+3 \\
y' &amp;= 0 \\
2x-4 &amp;= 0 \\
x &amp;= 2 \\
y &amp;= 2^2-4(2)+3 = -1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

sumbu simetri x=2 dan titik baliknya (2,-1).

; gambar fungsi
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+
|-
! !! D &gt; 0&lt;br&gt; Terdapat 2 titik terbuka !! D = 0&lt;br&gt; Terdapat 1 titik terbuka || D &lt; 0&lt;br&gt; Tidak terdapat titik terbuka
|-
| a &gt; 0 || colspan=3| Melengkung ke atas dari titik balik
|-
| a &lt; 0 || colspan=3| Melengkung ke bawah dari titik balik
|}

# Fungsi mutlak
contoh soal
 
1 tentukan daerah asal serta hasil dari y = |2x + 1]!

cari batasan sumbu x yaitu 2x + 1 = 0 adalah 0.

daerah asal: &lt;math&gt;HP = {x|-\infty&lt;x&lt;\infty, x \in R}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;
daerah hasil: &lt;math&gt;HP = {y|y \ge 0, y \in R}&lt;/math&gt;

# Fungsi akar
contoh soal
 
1 tentukan daerah asal serta hasil dari &lt;math&gt;y = \sqrt{2x + 1}&lt;/math&gt;!

cari batasan sumbu x yaitu 2x + 1 ≥ 0 adalah x ≥ -1/2.

daerah asal: &lt;math&gt;HP = {x|x \ge -\frac{1}{2}, x \in R}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;
daerah hasil: &lt;math&gt;HP = {y|y \ge 0, y \in R}&lt;/math&gt;

# Fungsi pecahan
contoh soal

1 tentukan daerah asal serta hasil dari &lt;math&gt;y = \frac{2x+1}{3x-1}&lt;/math&gt;!

daerah asal: &lt;math&gt;HP = {x|x \neq \frac{1}{3}, x \in R}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;
daerah hasil: &lt;math&gt;HP = {y|y \neq \frac{2}{3}, y \in R}&lt;/math&gt;

2 tentukan daerah asal serta hasil dari &lt;math&gt;y = \frac{x^2-4x-5}{x^2-x-6}&lt;/math&gt;!

daerah asal: &lt;math&gt;HP = {x|x \neq {-2, 3} , x \in R}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;
daerah hasil: &lt;math&gt;HP = {y|-\infty&lt;y&lt;1 \text{ v } &lt;1&lt;y&lt;\infty , y \in R}&lt;/math&gt;

3 tentukan daerah asal serta hasil dari &lt;math&gt;y = \frac{x^2+x-20}{2x+3}&lt;/math&gt;!

daerah asal: &lt;math&gt;HP = {x|x \neq -\frac{3}{2}, x \in R}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;
daerah hasil: &lt;math&gt;HP = {y|-\infty&lt;y&lt;\infty, y \in R}&lt;/math&gt;

; Pembuatan grafik

;fungsi pecahan linear &lt;math&gt;\frac{ax+b}{px+q}&lt;/math&gt; dengan p≠0.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:
# titik potong sumbu x ((-b/a,0))
# titik potong sumbu y ((0,b/q))
# asymtot tegak (x=-q/p)
# asymtot datar (y=a/p)
# titik-titik lainnya

;fungsi pecahan kuadrat &lt;math&gt;\frac{ax^2+bx+c}{px^2+qx+r}&lt;/math&gt; dengan {a,p}≠0.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:
# titik potong sumbu x (ax&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bx+c=0)
# titik potong sumbu y ((0,c/r))
# asymtot tegak (px&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+qx+r=0)
# asymtot datar (y=a/p)
# harga ekstrem/titik balik (cari diskriminan dari persamaan yang bernilai y dimana y sebagai misalnya serta syarat D ≥ 0. kalau y didapat tinggal cari x nya)
# titik potong tegak dengan asymtot datar (cari nilai x dimana y adalah asymtot datar)
# titik-titik lainnya

;fungsi pecahan kuadrat linear &lt;math&gt;\frac{ax^2+bx+c}{px+q}&lt;/math&gt; dengan {a,p}≠0.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:
# titik potong sumbu x (ax&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bx+c=0)
# titik potong sumbu y ((0,c/q))
# asymtot tegak (x=-q/p)
# asymtot miring (hasil bagi dari pembilang dengan penyebut)
# harga ekstrem/titik balik (cari diskriminan dari persamaan yang bernilai y dimana y sebagai misalnya serta syarat D ≥ 0. kalau y didapat tinggalcari x nya)
# titik-titik lainnya

;fungsi pecahan linear kuadrat &lt;math&gt;\frac{ax+b}{px^2+qx+r}&lt;/math&gt; dengan p≠0.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:
# titik potong sumbu x ((-b/a,0))
# titik potong sumbu y ((0,b/r))
# asymtot tegak (px&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+qx+r=0)
# asymtot datar (y=0)
# harga ekstrem/titik balik (cari diskriminan dari persamaan yang bernilai y dimana y sebagai misalnya serta syarat D ≥ 0. kalau y didapat tinggal cari x nya)
# titik potong tegak dengan asymtot datar (cari nilai x dimana y adalah asymtot datar)
# titik-titik lainnya

; Tambahan soal
* Tentukan hasil nilai dibawah ini!
# f(1) jika &lt;math&gt;f(\frac{26}{3^x-1}) = \frac{16}{x^2-1}&lt;/math&gt;
# f(2) jika &lt;math&gt;f(\sqrt{3^x-5}) = log 5x&lt;/math&gt;
# f(10) jika f(6) = 61 serta &lt;math&gt;f(6) \cdot f(\frac{5}{6}) = f(6) + 25 f(\frac{5}{6})&lt;/math&gt;

1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(\frac{26}{3^x-1}) &amp;= \frac{16}{x^2-1} \\
\text{ anggap bahwa } f(1) &amp;= f(\frac{26}{3^x-1}) \\
1 &amp;= \frac{26}{3^x-1} \\
3^x-1 &amp;= 26 \\
3^x &amp;= 27 \\
3^x &amp;= 3^3 \\
x &amp;= 3 \\

\text { nah x adalah 3 } \\
\frac{16}{x^2-1} &amp;= \frac{16}{3^2-1} \\
 &amp;= \frac{16}{8} \\
 &amp;= 2 \\

f(1) &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(\sqrt{3^x-5}) &amp;= log 5x \\
\text{ anggap bahwa } f(2) &amp;= f(\sqrt{3^x-5}) \\
2 &amp;= \sqrt{3^x-5} \\
3^x-5 &amp;= 2^2 \\
3^x-5 &amp;= 4 \\
3^x &amp;= 9 \\
3^x &amp;= 3^2 \\
x &amp;= 2 \\

\text { nah x adalah 2 } \\
log 5x &amp;= log 5(2) \\
 &amp;= log 10 \\
 &amp;= 1 \\

f(2) &amp;= 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(6) \cdot f(\frac{5}{6}) &amp;= f(6) + 25 f(\frac{5}{6}) \\
61 f(\frac{5}{6}) &amp;= 61 + 25 f(\frac{5}{6}) \\
36 f(\frac{5}{6}) &amp;= 61 \\
f(\frac{5}{6}) &amp;= \frac{61}{36} \\
f(\frac{5}{6}) &amp;= 1 + \frac{25}{36} \\
f(\frac{5}{6}) &amp;= 1 + \frac{5^2}{6^2} \\
f(\frac{5}{6}) &amp;= 1 + (\frac{5}{6})^2 \\
f(x) &amp;= 1 + x^2  \\

f(x) &amp;= 1 + x^2 \\
f(10) &amp;= 1 + 10^2 \\
 &amp;= 101 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

== Fungsi ganjil dan genap ==
fungsi ganjil apabila f(x) = - f(-x) serta fungsi genap apabila f(x) = f(-x).

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>m7s0zxw63s9jpwhuwdwd7hd6238bm78</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Bangun datar</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23127</id>
    <revision>
      <id>107789</id>
      <parentid>107317</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T04:55:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107789</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4222" sha1="lqqeeia4reblg8vamjoqv0a8mdf9vfc" xml:space="preserve">Bangun datar disebut juga dimensi dua yang memiliki sebidang serta beberapa rusuknya. bangun ini memiliki simetri lipat, simetri putar dan sumbu simetri

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! bangun datar !! simetri lipat !! simetri putar !! sumbu simetri
|-
| persegi || 4 || 4 || 4
|-
| segi-n || || ||
|-
| persegi panjang || 2 || 2 || 2
|-
| segitiga sama sisi || 3 || 3 || 3
|-
| segitiga sama kaki || 1 || 0 || 1
|-
| segitiga siku-siku || 1 || 0 || 1
|-
| lingkaran || takhingga || takhingga || takhingga
|-
| jajar genjang || 0 || 2 || 0
|-
| belah ketupat || 2 || 2 || 2
|-
| trapesium sama kaki || 1 || 0 || 1
|-
| trapesium siku-siku || 0 || 0 || 0
|-
| layang-layang || 1 || 0 || 1
|-
| elips || 2 || 0 || 2
|}

; Hubungan ketiga sisi segitiga dengan jari-jari lingkaran (lingkaran dalam segitiga siku-siku): &lt;math&gt;r = \frac{a+b-c}{2}&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a-r + b-r &amp;= c \\
a+b-2r &amp;= c \\
2r &amp;= a+b-c \\
r &amp;= \frac{a+b-c}{2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; Hubungan dua tali busur dengan jari-jari lingkaran: &lt;math&gt;r = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{4}}&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{ misalkan } p &amp;= \frac{c+d}{2} \text{ dan } q = \frac{a+b}{2} \\
\text{ misalkan persegi panjang dibuat x dan y} &amp; \\

x + p &amp;= d \\
x + \frac{c+d}{2} &amp;= d \\
x &amp;= d - \frac{c+d}{2} \\
x &amp;= \frac{d-c}{2} \\

y + q &amp;= b \\
y + \frac{a+b}{2} &amp;= b \\
y &amp;= b - \frac{a+b}{2} \\
y &amp;= \frac{b-a}{2} \\

y^2 + p^2 &amp;= r^2 \\
(\frac{b-a}{2})^2 + (\frac{c+d}{2})^2 &amp;= r^2 \\
\frac{a^2-2ab+b^2}{4} + \frac{c^2+2cd+d^2}{4} &amp;= r^2 \\

x^2 + q^2 &amp;= r^2 \\
(\frac{d-c}{2})^2 + (\frac{a+b}{2})^2 &amp;= r^2 \\
\frac{c^2-2cd+d^2}{4} + \frac{a^2+2ab+b^2}{4} &amp;= r^2 \\

\text {jumlah dua persamaan tersebut menjadi } &amp; \\
\frac{a^2-2ab+b^2}{4} + \frac{c^2+2cd+d^2}{4} + \frac{c^2-2cd+d^2}{4} + \frac{a^2+2ab+b^2}{4} &amp;= 2r^2 \\

\frac{2a^2+2b^2+2c^2+2d^2}{4} &amp;= 2r^2 \\
\frac{2(a^2+b^2+c^2+d^2)}{4} &amp;= 2r^2 \\
\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4} &amp;= r^2 \\
a^2+b^2+c^2+d^2 &amp;= 4r^2 \\
r &amp;= \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{4}} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; Lingkaran dalam segitiga: &lt;math&gt;r = \frac{L}{s}&lt;/math&gt; (s adalah setengah keliling segitiga)
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{ misalkan luas segitiga AOC } L_a &amp;= \frac{ra}{2} \\
\text{ misalkan luas segitiga COB } L_b &amp;= \frac{rb}{2} \\
\text{ misalkan luas segitiga BOC } L_c &amp;= \frac{rc}{2} \\

\text{ maka total luas ketiga segitiga tersebut adalah } L &amp;= L_a + L_b + L_c \\
&amp;= \frac{ra}{2} + \frac{rb}{2} + \frac{rc}{2} \\
&amp;= r \frac{a+b+c}{2} \\
&amp;= r s \\
r &amp;= \frac{L}{s} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; Lingkaran luar segitiga: &lt;math&gt;r = \frac{abc}{4L}&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{ lihat posisi kesebangunan } \frac{t}{b} &amp;= \frac{c}{2r} \\
t &amp;= \frac{bc}{2r} \\

L &amp;= \frac{at}{2} \\
&amp;= \frac{abc}{2(2r)} \\
r &amp;= \frac{abc}{4L} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; Garis singgung (satu) lingkaran: &lt;math&gt;d = \sqrt{a^2-b^2}&lt;/math&gt;

; Garis singgung persekutuan dalam (dua) lingkaran: &lt;math&gt;d = \sqrt{p^2-(R+r)^2}&lt;/math&gt;

; Garis singgung persekutuan luar (dua) lingkaran: &lt;math&gt;d = \sqrt{p^2-(R-r)^2}&lt;/math&gt;

; Teorema Ceva: AF x BD x CE = BF x CD x AE

; Teorema Power de Point:
:: AE x EC = BE x DE
:: AB&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = AD x AE
:: AB x AC = AD x AE

; Teorema de Pitot: AB + DC = AD + BC

; Aspek tali busur dalam lingkaran:
: AE x EC = BE x ED

; Teorema Ptolomeo
: AC x BD = AB x DC + AD x BC

; Tali busur pada satu titik di luar lingkaran:
: (a + b) x b = (c + d) x d

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>lqqeeia4reblg8vamjoqv0a8mdf9vfc</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107793</id>
      <parentid>107789</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T10:12:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107793</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4331" sha1="iv9chpg9b2qghg64qope39m7yfozjq8" xml:space="preserve">Bangun datar disebut juga dimensi dua yang memiliki sebidang serta beberapa rusuknya. bangun ini memiliki simetri lipat, simetri putar dan sumbu simetri

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! bangun datar !! simetri lipat !! simetri putar !! sumbu simetri
|-
| persegi || 4 || 4 || 4
|-
| segi-n || || ||
|-
| persegi panjang || 2 || 2 || 2
|-
| segitiga sama sisi || 3 || 3 || 3
|-
| segitiga sama kaki || 1 || 0 || 1
|-
| segitiga siku-siku || 1 || 0 || 1
|-
| lingkaran || takhingga || takhingga || takhingga
|-
| jajar genjang || 0 || 2 || 0
|-
| belah ketupat || 2 || 2 || 2
|-
| trapesium sama kaki || 1 || 0 || 1
|-
| trapesium siku-siku || 0 || 0 || 0
|-
| layang-layang || 1 || 0 || 1
|-
| elips || 2 || 0 || 2
|}

; Hubungan ketiga sisi segitiga dengan jari-jari lingkaran (lingkaran dalam segitiga siku-siku): &lt;math&gt;r = \frac{a+b-c}{2}&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a-r + b-r &amp;= c \\
a+b-2r &amp;= c \\
2r &amp;= a+b-c \\
r &amp;= \frac{a+b-c}{2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; Hubungan dua tali busur dengan jari-jari lingkaran: &lt;math&gt;r = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{4}}&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{ misalkan } p &amp;= \frac{c+d}{2} \text{ dan } q = \frac{a+b}{2} \\
\text{ misalkan persegi panjang dibuat x dan y} &amp; \\

x + p &amp;= d \\
x + \frac{c+d}{2} &amp;= d \\
x &amp;= d - \frac{c+d}{2} \\
x &amp;= \frac{d-c}{2} \\

y + q &amp;= b \\
y + \frac{a+b}{2} &amp;= b \\
y &amp;= b - \frac{a+b}{2} \\
y &amp;= \frac{b-a}{2} \\

y^2 + p^2 &amp;= r^2 \\
(\frac{b-a}{2})^2 + (\frac{c+d}{2})^2 &amp;= r^2 \\
\frac{a^2-2ab+b^2}{4} + \frac{c^2+2cd+d^2}{4} &amp;= r^2 \\

x^2 + q^2 &amp;= r^2 \\
(\frac{d-c}{2})^2 + (\frac{a+b}{2})^2 &amp;= r^2 \\
\frac{c^2-2cd+d^2}{4} + \frac{a^2+2ab+b^2}{4} &amp;= r^2 \\

\text {jumlah dua persamaan tersebut menjadi } &amp; \\
\frac{a^2-2ab+b^2}{4} + \frac{c^2+2cd+d^2}{4} + \frac{c^2-2cd+d^2}{4} + \frac{a^2+2ab+b^2}{4} &amp;= 2r^2 \\

\frac{2a^2+2b^2+2c^2+2d^2}{4} &amp;= 2r^2 \\
\frac{2(a^2+b^2+c^2+d^2)}{4} &amp;= 2r^2 \\
\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4} &amp;= r^2 \\
a^2+b^2+c^2+d^2 &amp;= 4r^2 \\
r &amp;= \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{4}} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; Lingkaran dalam segitiga: &lt;math&gt;r = \frac{L}{s}&lt;/math&gt; (s adalah setengah keliling segitiga)
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{ misalkan luas segitiga AOC } L_a &amp;= \frac{ra}{2} \\
\text{ misalkan luas segitiga COB } L_b &amp;= \frac{rb}{2} \\
\text{ misalkan luas segitiga BOC } L_c &amp;= \frac{rc}{2} \\

\text{ maka total luas ketiga segitiga tersebut adalah } L &amp;= L_a + L_b + L_c \\
&amp;= \frac{ra}{2} + \frac{rb}{2} + \frac{rc}{2} \\
&amp;= r \frac{a+b+c}{2} \\
&amp;= r s \\
r &amp;= \frac{L}{s} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; Lingkaran luar segitiga: &lt;math&gt;r = \frac{abc}{4L}&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{ lihat posisi kesebangunan } \frac{t}{b} &amp;= \frac{c}{2r} \\
t &amp;= \frac{bc}{2r} \\

L &amp;= \frac{at}{2} \\
&amp;= \frac{abc}{2(2r)} \\
r &amp;= \frac{abc}{4L} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; Garis singgung (satu) lingkaran: &lt;math&gt;d = \sqrt{a^2-b^2}&lt;/math&gt;

; Garis singgung persekutuan dalam (dua) lingkaran: &lt;math&gt;d = \sqrt{p^2-(R+r)^2}&lt;/math&gt;

; Garis singgung persekutuan luar (dua) lingkaran: &lt;math&gt;d = \sqrt{p^2-(R-r)^2}&lt;/math&gt;

keterangan:
: d = panjang singgung persekutuan dalam/luar lingkaran
: p = jarak kedua titik pusat lingkaran

; Teorema Ceva: AF x BD x CE = BF x CD x AE

; Teorema Power de Point:
:: AE x EC = BE x DE
:: AB&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = AD x AE
:: AB x AC = AD x AE

; Teorema de Pitot: AB + DC = AD + BC

; Aspek tali busur dalam lingkaran:
: AE x EC = BE x ED

; Teorema Ptolomeo
: AC x BD = AB x DC + AD x BC

; Tali busur pada satu titik di luar lingkaran:
: (a + b) x b = (c + d) x d

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>iv9chpg9b2qghg64qope39m7yfozjq8</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Bilangan</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23130</id>
    <revision>
      <id>107801</id>
      <parentid>105688</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T11:45:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107801</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7771" sha1="f55xkuqnw8njgjsp5w0ehxb88tcv35r" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i)+(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)i

: Pengurangan
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i)-(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)i

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>f55xkuqnw8njgjsp5w0ehxb88tcv35r</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107803</id>
      <parentid>107801</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T11:47:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107803</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7711" sha1="h8lilwurvb11826ive75zamq6mwbxia" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i)+(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)i

: Pengurangan
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i)-(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)i

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>h8lilwurvb11826ive75zamq6mwbxia</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107804</id>
      <parentid>107803</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T11:51:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107804</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7940" sha1="cfnc11dymvp5hxfqqqsxea4wlfzn8l2" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i)+(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)i

: Pengurangan
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i)-(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)i

: Perkalian
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i).(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>cfnc11dymvp5hxfqqqsxea4wlfzn8l2</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107805</id>
      <parentid>107804</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T11:52:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107805</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8053" sha1="al01cuuzvbuq3akl8z3z13vtwoi2xqe" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i)+(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)i

: Pengurangan
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i)-(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)i

: Perkalian
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i).(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)i-y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>al01cuuzvbuq3akl8z3z13vtwoi2xqe</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107806</id>
      <parentid>107805</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T11:53:28Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107806</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8051" sha1="arykza2p36nxfiq63x7tyj8ygo3x95x" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i)+(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)i

: Pengurangan
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i)-(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)i

: Perkalian
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i).(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)i-y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>arykza2p36nxfiq63x7tyj8ygo3x95x</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107807</id>
      <parentid>107806</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T11:56:10Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107807</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8164" sha1="7kf942fw2479iekntlqpawxvy84l935" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i)+(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)i

: Pengurangan
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i)-(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)i

: Perkalian
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i).(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)i-y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)i

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>7kf942fw2479iekntlqpawxvy84l935</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107808</id>
      <parentid>107807</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T11:58:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107808</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8236" sha1="fw0rd3fd8akozukjagogyanl3ow9u8x" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i)+(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)i

: Pengurangan
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i)-(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)i

: Perkalian
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i).(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)i-y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)i

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} &amp;= \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2}&lt;/math&gt;
[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>fw0rd3fd8akozukjagogyanl3ow9u8x</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107809</id>
      <parentid>107808</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T11:58:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107809</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8235" sha1="ohfnn7111udzvih7z3evfbqmfcsqynz" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i)+(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)i

: Pengurangan
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i)-(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)i

: Perkalian
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i).(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)i-y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)i

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2}&lt;/math&gt;
[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>ohfnn7111udzvih7z3evfbqmfcsqynz</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Matriks</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23143</id>
    <revision>
      <id>107794</id>
      <parentid>107333</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T10:26:58Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107794</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="16030" sha1="km3eub93dwfbprr0ed3d6lpymaflbhp" xml:space="preserve">== Bentuk dan sifat matriks ==
;bentuk:
* ordo 2x2: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; b \\
  c &amp; d \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

* ordo 3x3: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; b &amp; c \\
  d &amp; e &amp; f \\
  g &amp; h &amp; i \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

;sifat:
# komutatif
* A + B = B + A
# asosiatif
* (A + B) + C = A + (B + C)
* (A . B) . C = A. (B x C)
# distributif
* A . (B + C) = A . B + A . C
* A . (B - C) = A . B - A . C
# (k . A) . B = k. (A . B)
# A . B ≠ B . A
# A . I = A
# A . A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; . A = I
# (A . B)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = B&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; . A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
# (A . B . C)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = C&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; . B&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; . A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
# det (A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;) . det A = 1 (invers bukan pangkat)
# det (A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;) = det A
# det (A&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;) = (det A)&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;

;vektor baris: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}3 &amp; 7 &amp; 2 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;
;vektor kolom: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}4 \\ 1 \\ 8 \\ \end{bmatrix}&lt;/math&gt;
;matriks persegi: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  9 &amp; 13 &amp; 5 \\
  1 &amp; 11 &amp; 7 \\
  2 &amp; 6  &amp; 3 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a_{11} &amp; a_{12} &amp; a_{13} \\
  a_{21} &amp; a_{22} &amp; a_{23} \\
  a_{31} &amp; a_{32} &amp; a_{33} \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

*baris: 
:# pertama: a11, a12 dan a13
:# kedua: a21, a22 dan a23
:# ketiga: a31, a32 dan a33

*kolom:
:# pertama: a11, a21 dan a31
:# kedua: a12, a22 dan a32
:# ketiga: a13, a23 dan a33

*diagonal
:# sisi kiri ke kanan: a11, a22 dan a33
:# sisi kanan ke kiri: a13, a22 dan a31

*Matriks diagonal 
&lt;math&gt;
\begin{bmatrix}
a_{11} &amp; 0      &amp; 0 \\
     0 &amp; a_{22} &amp; 0 \\
     0 &amp; 0      &amp; a_{33} \\
\end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

*Matriks segitiga bawah 
&lt;math&gt;
\begin{bmatrix}
a_{11} &amp;      0 &amp; 0 \\
a_{21} &amp; a_{22} &amp; 0 \\
a_{31} &amp; a_{32} &amp; a_{33} \\
\end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

*Matriks segitiga atas 
&lt;math&gt;
\begin{bmatrix}
a_{11} &amp; a_{12} &amp; a_{13} \\
     0 &amp; a_{22} &amp; a_{23} \\
     0 &amp;      0 &amp; a_{33} \\
\end{bmatrix}
&lt;/math&gt;

== matriks perkalian ==
&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; b \\
  c &amp; d \\
  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  e &amp; f \\
  g &amp; h \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  ae + bg &amp; af + bh \\
  ce + dg &amp; cf + dh \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

=== ordo 2x2 ===
; bentuk: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; b \\
  c &amp; d \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

; Matriks transpos (A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;): &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; c \\
  b &amp; d 
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

; Determinan (Det): ad - bc
Matriks singular adalah matriks yang hasil determinan bernilai nol sedangkan matriks nonsingular adalah matriks yang hasil determinan bernilai bukan nol.

Matriks nonsingular memiliki ciri yang khas yaitu kolom pertama dan kolom kedua merupakan kelipatan yang sama. contoh:
&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -4 \\
  4 &amp; -8 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  5 &amp; 15 \\
  11 &amp; 33 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, dst

; Adjoint (Adj): &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  d &amp; -b \\
  -c &amp; a \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

; Matriks inverse (A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;): &lt;math&gt;\frac{1}{\text {det A}}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  d &amp; -b \\
  -c &amp; a \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

=== ordo 3x3 ===
; bentuk: &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; b &amp; c \\
  d &amp; e &amp; f \\
  g &amp; h &amp; i \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

; Matriks transpos (A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;): &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a &amp; d &amp; g \\
  b &amp; e &amp; h \\
  c &amp; f &amp; i \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;

; Determinan (Det):
* dengan aturan sarrus
&lt;math&gt;\begin{align}
\begin{array}{rrr|rr}
 a &amp; b &amp; c &amp; a &amp; b \\
 d &amp; e &amp; f &amp; d &amp; e \\
 g &amp; h &amp; i &amp; g &amp; h \\
 - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
 \end{array} \\
\end{align}&lt;/math&gt;
: det A = aei + bfg + cdh - bdi - afh - ceg

* dengan minor-kofaktor
: untuk minor M&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; = det A&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt;
: untuk kofaktor C&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt; = (-1)&lt;sup&gt;i+j&lt;/sup&gt; . M&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt;
: det A = &lt;math&gt;\sum_{j=1}^n i= a_{ij} \cdot C_{ij}&lt;/math&gt; dimana sembarang baris i atau kolom j (i atau j = 1, 2, 3, ..., n)

Matriks nonsingular memiliki ciri yang khas yaitu kolom pertama, kolom kedua dan/atau kolom tiga merupakan kelipatan yang sama. contoh:
&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  3 &amp; -7 &amp; 6 \\
  4 &amp; 1 &amp; 8 \\
  -5 &amp; 2 &amp; -10 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  -6 &amp; -1 &amp; -4 \\
  12 &amp; 2 &amp; 8 \\
  18 &amp; 3 &amp; 12 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, dst

; Adjoint (Adj): 
: kof (A) = (-1)&lt;sup&gt;i+j&lt;/sup&gt; . M&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt;
: kof (A) = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  M_{11} &amp; M_{12} &amp; M_{13} \\
  M_{21} &amp; M_{22} &amp; M_{23} \\
  M_{31} &amp; M_{32} &amp; M_{33} \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;
: adj A = (kof (A))&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;

; Matriks inverse (A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;):
* dengan adjoint
::&lt;math&gt;\frac{adj A}{\text {det A}}&lt;/math&gt;

* dengan elementer
::A | I diubah menjadi I | A&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;

== matriks persamaan linear (aturan cramer) ==

=== ordo 2x2 (dua variabel) ===
persamaan linear yaitu a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x + b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y = c&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; serta a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;x + b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y = c&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.

maka sebagai berikut:
: D = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a_1 &amp; b_1 \\
  a_2 &amp; b_2 \\
  \end{bmatrix} = a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1&lt;/math&gt;

: D&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  c_1 &amp; b_1 \\
  c_2 &amp; b_2 \\
  \end{bmatrix} = c_1 \cdot b_2 - c_2 \cdot b_1&lt;/math&gt;

: D&lt;sub&gt;y&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a_1 &amp; c_1 \\
  a_2 &amp; c_2 \\
  \end{bmatrix} = a_1 \cdot c_2 - a_2 \cdot c_1&lt;/math&gt;

: x = &lt;math&gt;\frac{D_x}{D}&lt;/math&gt; serta y = &lt;math&gt;\frac{D_y}{D}&lt;/math&gt;

=== ordo 3x3 (tiga variabel) ===
persamaan linear yaitu a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x + b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y + c&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;z = d&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;x + b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y + c&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;z = d&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; serta a&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;x + b&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;y + c&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;z = d&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;.

maka sebagai berikut:
: D = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a_1 &amp; b_1 &amp; c_1 \\
  a_2 &amp; b_2 &amp; c_2 \\
  a_3 &amp; b_3 &amp; c_3 \\
  \end{bmatrix} = a_1 \cdot b_2 \cdot c_3 + b_1 \cdot c_2 \cdot a_3 + c_1 \cdot a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \cdot c_1 - b_3 \cdot c_2 \cdot a_1 - c_3 \cdot a_2 \cdot b_1&lt;/math&gt;

: D&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  d_1 &amp; b_1 &amp; c_1 \\
  d_2 &amp; b_2 &amp; c_2 \\
  d_3 &amp; b_3 &amp; c_3 \\
  \end{bmatrix} = d_1 \cdot b_2 \cdot c_3 + b_1 \cdot c_2 \cdot d_3 + c_1 \cdot d_2 \cdot b_3 - d_3 \cdot b_2 \cdot c_1 - b_3 \cdot c_2 \cdot d_1 - c_3 \cdot d_2 \cdot b_1&lt;/math&gt;

: D&lt;sub&gt;y&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a_1 &amp; d_1 &amp; c_1 \\
  a_2 &amp; d_2 &amp; c_2 \\
  a_3 &amp; d_3 &amp; c_3 \\
  \end{bmatrix} = a_1 \cdot d_2 \cdot c_3 + d_1 \cdot c_2 \cdot a_3 + c_1 \cdot a_2 \cdot d_3 - a_3 \cdot d_2 \cdot c_1 - d_3 \cdot c_2 \cdot a_1 - c_3 \cdot a_2 \cdot d_1&lt;/math&gt;

: D&lt;sub&gt;z&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  a_1 &amp; b_1 &amp; d_1 \\
  a_2 &amp; b_2 &amp; d_2 \\
  a_3 &amp; b_3 &amp; d_3 \\
  \end{bmatrix} = a_1 \cdot b_2 \cdot d_3 + b_1 \cdot d_2 \cdot a_3 + d_1 \cdot a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \cdot d_1 - b_3 \cdot d_2 \cdot a_1 - d_3 \cdot a_2 \cdot b_1&lt;/math&gt;

: x = &lt;math&gt;\frac{D_x}{D}&lt;/math&gt;, y = &lt;math&gt;\frac{D_y}{D}&lt;/math&gt; serta z = &lt;math&gt;\frac{D_z}{D}&lt;/math&gt;

contoh

# tentukan hasil determinan serta matriks invers dari &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; 1 \\
  6 &amp; 4 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* det A &amp;= 2 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 8 - 6 = 2 \\
* A^{-1} &amp;= \frac{1}{det A} \cdot \begin{bmatrix}
  4 &amp; -1 \\
  -6 &amp; 2 \\
  \end{bmatrix} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{bmatrix}
  4 &amp; -1 \\
  -6 &amp; 2 \\
  \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -\frac{1}{2} \\
  -3 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan hasil determinan serta matriks invers dari &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  1 &amp; 2 &amp; 3 \\
  2 &amp; 8 &amp; 7 \\
  1 &amp; 5 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix}&lt;/math&gt;!

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* \text{cara 1} \\
 \begin{array}{rrr|rr}
 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp; 2 \\
 2 &amp; 8 &amp; 7 &amp; 2 &amp; 8 \\
 1 &amp; 5 &amp; 6 &amp; 1 &amp; 5  \\
 - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
 \end{array} \\
 det A &amp;= 1 \cdot 8 \cdot 6 + 2 \cdot 7 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2 \cdot 6 - 1 \cdot 7 \cdot 5 - 3 \cdot 8 \cdot 1 = 48 + 14 + 30 - 24 - 35  - 24 = 9 \\

 \text{cara 2} \\
 det A &amp;= a_{11} \cdot c_{11} + a_{12} \cdot c_{12} + a_{13} \cdot c_{13} \\
 &amp;= 1 \cdot (-1)^{1+1} \cdot \begin{bmatrix}
  8 &amp; 7 \\
  5 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} + 2 \cdot (-1)^{1+2} \cdot \begin{bmatrix}
  2 &amp; 7 \\
  1 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} + 3 \cdot (-1)^{1+3} \cdot \begin{bmatrix}
  2 &amp; 8 \\
  1 &amp; 5 \\
  \end{bmatrix} \\
 &amp;= 1 \cdot 1 \cdot (48-35) + 2 \cdot (-1) \cdot (12-7) + 3 \cdot 1 \cdot (10-8) \\
 &amp;= 13 - 10 + 6 = 9 \\

* \text{cara 1} \\
 kof (A) &amp;= \begin{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
  8 &amp; 7 \\
  5 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} &amp; -\begin{bmatrix}
  2 &amp; 7 \\
  1 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} &amp; \begin{bmatrix}
  2 &amp; 8 \\
  1 &amp; 5 \\
  \end{bmatrix} \\
  -\begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 \\
  5 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} &amp; \begin{bmatrix}
  1 &amp; 3 \\
  1 &amp; 6 \\
  \end{bmatrix} &amp; -\begin{bmatrix}
  1 &amp; 2 \\
  1 &amp; 5 \\
  \end{bmatrix} \\
 \begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 \\
  8 &amp; 7 \\
  \end{bmatrix} &amp; -\begin{bmatrix}
  1 &amp; 3 \\
  2 &amp; 7 \\
  \end{bmatrix} &amp;\begin{bmatrix}
  1 &amp; 2 \\
  2 &amp; 8 \\
  \end{bmatrix} \\
  \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  13 &amp; -5 &amp; 2 \\
  3 &amp; 3 &amp; -3 \\
  -10 &amp; -1 &amp; 4 \\
  \end{bmatrix} \\

 adj (A) &amp;= (kof (A))^T \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  13 &amp; 3 &amp; -10 \\
  -5 &amp; 3 &amp; -1 \\
  2 &amp; -3 &amp; 4 \\
  \end{bmatrix} \\

 A^{-1} &amp;= \frac{adj A}{det A} \\
 &amp;= \frac{1}{9} \cdot \begin{bmatrix}
  13 &amp; 3 &amp; -10 \\
  -5 &amp; 3 &amp; -1 \\
  2 &amp; -3 &amp; 4 \\
  \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{13}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{10}{9} \\
  -\frac{5}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{1}{9} \\
  \frac{2}{9} &amp; -\frac{1}{3} &amp; \frac{4}{9} \\
  \end{bmatrix} \\

 \text{cara 2} \\
 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\
 2 &amp; 8 &amp; 7 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 \\
 1 &amp; 5 &amp; 6 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {b2-2b1} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\
 0 &amp; 4 &amp; 1 &amp; -2 &amp; 1 &amp; 0 \\
 1 &amp; 5 &amp; 6 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {b3-b1} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\
 0 &amp; 4 &amp; 1 &amp; -2 &amp; 1 &amp; 0 \\
 0 &amp; 3 &amp; 3 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {1/4b2} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\
 0 &amp; 1 &amp; \frac{1}{4} &amp; -\frac{1}{2} &amp; \frac{1}{4} &amp; 0 \\
 0 &amp; 3 &amp; 3 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {b1-2b2} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 0 &amp; \frac{5}{2} &amp; 2 &amp; -\frac{1}{2} &amp; 0 \\
 0 &amp; 1 &amp; \frac{1}{4} &amp; -\frac{1}{2} &amp; \frac{1}{4} &amp; 0 \\
 0 &amp; 3 &amp; 3 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {b3-3b2} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 0 &amp; \frac{5}{2} &amp; 2 &amp; -\frac{1}{2} &amp; 0 \\
 0 &amp; 1 &amp; \frac{1}{4} &amp; -\frac{1}{2} &amp; \frac{1}{4} &amp; 0 \\
 0 &amp; 0 &amp; \frac{9}{4} &amp; \frac{1}{2} &amp; -\frac{3}{4} &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {4/9b3} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 0 &amp; \frac{5}{2} &amp; 2 &amp; -\frac{1}{2} &amp; 0 \\
 0 &amp; 1 &amp; \frac{1}{4} &amp; -\frac{1}{2} &amp; \frac{1}{4} &amp; 0 \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; \frac{2}{9} &amp; -\frac{1}{3} &amp; \frac{4}{9} \\
 \end{array} \\
 \text {b1-5/2b3} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; \frac{13}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{10}{9} \\
 0 &amp; 1 &amp; \frac{1}{4} &amp; -\frac{1}{2} &amp; \frac{1}{4} &amp; 0 \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; \frac{2}{9} &amp; -\frac{1}{3} &amp; \frac{4}{9} \\
 \end{array} \\
 \text {b2-1/4b3} \\

 \begin{array}{rrr|rrr}
 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; \frac{13}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{10}{9} \\
 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; -\frac{5}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{1}{9} \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; \frac{2}{9} &amp; -\frac{1}{3} &amp; \frac{4}{9} \\
 \end{array} \\

 \text{jadi} A^{-1} &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{13}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{10}{9} \\
  -\frac{5}{9} &amp; \frac{1}{3} &amp; -\frac{1}{9} \\
  \frac{2}{9} &amp; -\frac{1}{3} &amp; \frac{4}{9} \\
  \end{bmatrix} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai x dan y dari 2x + 3y = 16 serta 3x + y = 10!
; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 \\
  3 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  16 \\
  10 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 \\
  3 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  16 \\
  10 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= \frac{1}{2(1) - 3(3)} \begin{bmatrix}
  1 &amp; -3 \\
  -3 &amp; 2 \\
  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  16 \\
  10 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= -\frac{1}{7} \begin{bmatrix}
  1 &amp; -3 \\
  -3 &amp; 2 \\
  \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  16 \\
  10 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= -\frac{1}{7} \begin{bmatrix}
  -14 \\
  -28 \\
  \end{bmatrix} \\

 \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
  \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  4 \\
  \end{bmatrix} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 D &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 \\
  3 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} = 2(1) - 3(3) = -7 \\

 D_x &amp;= \begin{bmatrix}
  16 &amp; 3 \\
  10 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} = 16(1) - 10(3) = -14 \\
 
 D_y &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 16 \\
  3 &amp; 10 \\
  \end{bmatrix} = 2(10) - 3(16) = -28 \\

 x &amp;= \frac{-14}{-7} = 2 \\
 y &amp;= \frac{-28}{-7} = 4 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# tentukan nilai x, y dan z dari 2x + 3y + 5z = 17, 3x + y + 4z = 15 serta x + 7y + z = 18!
; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{array}{rrr|r}
 2 &amp; 3 &amp; 5 &amp; 17 \\
 3 &amp; 1 &amp; 4 &amp; 15 \\
 1 &amp; 7 &amp; 1 &amp; 18 \\
 \end{array} \\
 \text {b1/2} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; \frac{3}{2} &amp; \frac{5}{2} &amp; \frac{17}{2} \\
 3 &amp; 1 &amp; 4 &amp; 15 \\
 1 &amp; 7 &amp; 1 &amp; 18 \\
 \end{array} \\
 \text {b2-3b1} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; \frac{3}{2} &amp; \frac{5}{2} &amp; \frac{17}{2} \\
 0 &amp; -\frac{7}{2} &amp; -\frac{7}{2} &amp; -\frac{21}{2} \\
 1 &amp; 7 &amp; 1 &amp; 18 \\
 \end{array} \\
 \text {b3-b1} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; \frac{3}{2} &amp; \frac{5}{2} &amp; \frac{17}{2} \\
 0 &amp; -\frac{7}{2} &amp; -\frac{7}{2} &amp; -\frac{21}{2} \\
 0 &amp; \frac{11}{2} &amp; -\frac{3}{2} &amp; \frac{19}{2} \\
 \end{array} \\
 \text {-2b2/7} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; \frac{3}{2} &amp; \frac{5}{2} &amp; \frac{17}{2} \\
 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 3 \\
 0 &amp; \frac{11}{2} &amp; -\frac{3}{2} &amp; \frac{19}{2} \\
 \end{array} \\
 \text {b1-3b2/2} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 4 \\
 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 3 \\
 0 &amp; \frac{11}{2} &amp; -\frac{3}{2} &amp; \frac{19}{2} \\
 \end{array} \\
 \text {b3-11b2/2} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 4 \\
 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 3 \\
 0 &amp; 0 &amp; -7 &amp; -7 \\
 \end{array} \\
 \text {-b3/7} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 4 \\
 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 3 \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {b1-b3} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 3 \\
 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 3 \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
 \text {b2-b3} \\

 \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 3 \\
 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 2 \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 1 \\
 \end{array} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 D &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 &amp; 5 \\
  3 &amp; 1 &amp; 4 \\
  1 &amp; 7 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} = 2(1)(1) + 3(4)(1) + 5(3)(7) - 1(1)(5) - 7(4)(2) - 1(3)(3) = 49 \\

 D_x &amp;= \begin{bmatrix}
  17 &amp; 3 &amp; 5 \\
  15 &amp; 1 &amp; 4 \\
  18 &amp; 7 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} = 17(1)(1) + 3(4)(18) + 5(15)(7) - 18(1)(5) - 7(4)(17) - 1(15)(3) = 147 \\
 
 D_y &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 17 &amp; 5 \\
  3 &amp; 15 &amp; 4 \\
  1 &amp; 18 &amp; 1 \\
  \end{bmatrix} = 2(15)(1) + 17(4)(1) + 5(3)(18) - 1(15)(5) - 18(4)(2) - 1(3)(17) = 98 \\

 D_z &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; 3 &amp; 17 \\
  3 &amp; 1 &amp; 15 \\
  1 &amp; 7 &amp; 18 \\
  \end{bmatrix} = 2(1)(18) + 3(15)(1) + 17(3)(7) - 1(1)(17) - 7(15)(2) - 18(3)(3) = 49 \\

 x &amp;= \frac{147}{49} = 3 \\
 y &amp;= \frac{98}{49} = 2 \\
 z &amp;= \frac{49}{49} = 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>km3eub93dwfbprr0ed3d6lpymaflbhp</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Vektor</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23145</id>
    <revision>
      <id>107776</id>
      <parentid>107744</parentid>
      <timestamp>2025-06-25T14:18:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Metode */</comment>
      <origin>107776</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10807" sha1="860088sjr0rcfbnlspoa2q2pr0d8pa1" xml:space="preserve">== Vektor ==
=== Posisi vektor ===
; &lt;math&gt;\vec a = (a_1,a_2) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a = (a_1,a_2,a_3) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2 \\
    a_3
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt;

=== Panjang vektor ===
; Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;

: Panjang vektor a dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor b dalam posisi &lt;math&gt;(b_1, b_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor c dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2)&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;(b_1, b_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}&lt;/math&gt;

; Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;

: Panjang vektor a dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2,a_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor b dalam posisi &lt;math&gt;(b_1, b_2,b_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor c dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2,a_3)&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;(b_1, b_2,b_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}&lt;/math&gt;

; Jumlah dan selisih kedua vektor
&lt;math&gt;\left| \vec a \pm \vec b \right| = \sqrt {| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;

=== Vektor satuan ===

: &lt;math&gt;\hat a = \frac {\vec a}{\left| \vec a \right|}&lt;/math&gt;

=== Operasi aljabar pada vektor ===
* Penjumlahan dan pengurangan
terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
: &lt;math&gt;\vec c = \vec a + \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 + b_1} \\
    {a_2 + b_2}
  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec c = \vec a - \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 - b_1} \\
    {a_2 - b_2}
  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

* Perkalian
# skalar dengan vektor
Jika k skalar tak nol dan vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; maka vektor &lt;math&gt;k \vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)&lt;/math&gt;

# titik dua vektor
Jika vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt; \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k&lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3&lt;/math&gt;

# titik dua vektor dengan membentuk sudut
Jika &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; vektor tak nol dan sudut &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; diantara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka perkalian skalar vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| cos \alpha&lt;/math&gt;

# silang dua vektor
Jika vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt; \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k&lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = (a_2b_3 \hat i + a_3b_1 \hat j + a_1b_2 \hat k) - (a_2b_1 \hat k + a_3b_2 \hat i + a_1b_3 \hat j)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\left[\begin{array}{rrr|rr}
    \hat i &amp; \hat j &amp; \hat k &amp; \hat i &amp; \hat j \\
    a_1 &amp; a_2 &amp; a_3 &amp; a_1 &amp; a_2 \\
    b_1 &amp; b_2 &amp; b_3 &amp; b_1 &amp; b_2 \\
    - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
  \end{array}\right]
&lt;/math&gt;

# silang dua vektor dengan membentuk sudut
Jika &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; vektor tak nol dan sudut &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; diantara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka perkalian skalar vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec a \times \vec b&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left| \vec a \right| \times \left| \vec b \right| sin \alpha&lt;/math&gt;

=== Sifat operasi aljabar pada vektor ===
# &lt;math&gt;\vec a + \vec b = \vec b + \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a + 0 = 0 + \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a + \vec b) = k \vec a + k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(k + l) \vec a = k \vec a + l \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a + (- \vec a) = 0&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a \cdot \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot (\vec b \cdot \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot 1 = 1 \cdot \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a \cdot \vec b) = k \vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(k \cdot l) \vec a = k (l \cdot \vec a)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec a= \left| \vec a \right|^2&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times \vec b \neq \vec b \times \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a \times \vec b) \times \vec c \neq \vec a \times (\vec b \times \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a \times \vec b) = k \vec a \times \vec b = \vec a \times k \vec b&lt;/math&gt;

=== Hubungan vektor dengan vektor lain ===
* Perkalian titik
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {90}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b =  0&lt;/math&gt;

; Sejajar
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; sejajar dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {0}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {180}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

* Perkalian silang
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {90}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {270}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

Jika &lt;math&gt;\beta &gt; {90}^{\circ}&lt;/math&gt; maka dua vektor tersebut searah

Jika &lt;math&gt;\beta &lt; {90}^{\circ}&lt;/math&gt; maka vektor saling berlawanan arah

; Sejajar
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; sejajar dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {0}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times \vec b =  0&lt;/math&gt;

=== Sudut dua vektor ===
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah &lt;math&gt;cos \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|}&lt;/math&gt;

=== Panjang proyeksi dan proyeksi vektor ===
: Panjang proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}&lt;/math&gt;
: Proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec c = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|^2} \cdot \vec b&lt;/math&gt;

=== Metode ===
; segitiga
: &lt;math&gt;\vec R = \vec a + \vec b&lt;/math&gt;

; jajar genjang
: &lt;math&gt;\vec R = \vec a + \vec b = \vec b + \vec a&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec R = |\vec a + \vec b | = \sqrt{| \vec a |^2 + | \vec b |^2 + 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec R = |\vec a - \vec b | = \sqrt{| \vec a |^2 + | \vec b |^2 - 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;

=== Perbandingan ===
; Aturan jajar genjang &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
: Posisi vektor
: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})&lt;/math&gt;

; Satu garis &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
* Perbandingan posisi dalam adalah m:n
: Posisi vektor
:: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})&lt;/math&gt;

* Perbandingan posisi luar adalah m:-n
: Posisi vektor
:: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms - nr}{m - n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n}, \frac {mz_2 - nz_1}{m - n})&lt;/math&gt;

contoh

# Titik a -3i-2j+4k dan b 6i+6j+k. tentukan:
* &lt;math&gt;\vec a + \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a - \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a \times \vec b&lt;/math&gt;
* panjang vektor
* vektor satuan pada vektor b
* panjang proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt;
* proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* \vec c &amp;= \vec a + \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) + (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3+6), (-2+6), (4+1) \\
 &amp;= (3, 4, 5) \\
* \vec c &amp;= \vec a - \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) - (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3-6), (-2-6), (4-1) \\
 &amp;= (-9, -8, 3) \\
* \vec a \cdot \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) \cdot (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3 \cdot 6) + (-2 \cdot 6) + (4 \cdot 1) \\
 &amp;= -18-12+4 \\
 &amp;= -26 \\
* \vec a \times \vec b \\
\begin{array}{rrr|rr}
 i &amp; j &amp; k &amp; i &amp; j \\
 -3 &amp; -2 &amp; 4 &amp; -3 &amp; -2 \\
 6 &amp; 6 &amp; 1 &amp; 6 &amp; 6 \\
 - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= (-2 \cdot 1)i + (4 \cdot 6)j + (-3 \cdot 6)k - (-3 \cdot 1)j - (4 \cdot 6)i - (-2 \cdot 6)k \\
 &amp;= -2i + 24j -18k + 3j -24i + 12k \\
 &amp;= -26i + 27j - 6k \\
* | \vec c | &amp;= \sqrt{(6-(-3))^2 + (6-(-2))^2 + (1-4)^2} \\
 &amp;= \sqrt{9^2 + 8^2 + (-3)^2} \\
 &amp;= \sqrt{81 + 64 + 9} \\
 &amp;= \sqrt{81 + 64 + 9} \\
 &amp;= \sqrt{145} \\
* \hat b &amp;= \frac{\vec b}{| \vec b |} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{6^2+6^2+1^2}} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{36+36+1}} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{73}} \\
* | \vec c | &amp;= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |} \\
 &amp;= \frac{-26}{\sqrt{73}} \\
* \vec c &amp;= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |^2} \cdot \vec b \\
 &amp;= \frac{-26}{(\sqrt{73})^2} (6, 6, 1) \\
 &amp;= -\frac{26}{73} (6, 6, 1) \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>860088sjr0rcfbnlspoa2q2pr0d8pa1</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107777</id>
      <parentid>107776</parentid>
      <timestamp>2025-06-25T14:22:28Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Panjang proyeksi dan proyeksi vektor */</comment>
      <origin>107777</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10863" sha1="fnhypbhiyobiaowftnkl0jv4fs0mcnz" xml:space="preserve">== Vektor ==
=== Posisi vektor ===
; &lt;math&gt;\vec a = (a_1,a_2) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a = (a_1,a_2,a_3) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2 \\
    a_3
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt;

=== Panjang vektor ===
; Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;

: Panjang vektor a dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor b dalam posisi &lt;math&gt;(b_1, b_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor c dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2)&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;(b_1, b_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}&lt;/math&gt;

; Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;

: Panjang vektor a dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2,a_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor b dalam posisi &lt;math&gt;(b_1, b_2,b_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor c dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2,a_3)&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;(b_1, b_2,b_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}&lt;/math&gt;

; Jumlah dan selisih kedua vektor
&lt;math&gt;\left| \vec a \pm \vec b \right| = \sqrt {| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;

=== Vektor satuan ===

: &lt;math&gt;\hat a = \frac {\vec a}{\left| \vec a \right|}&lt;/math&gt;

=== Operasi aljabar pada vektor ===
* Penjumlahan dan pengurangan
terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
: &lt;math&gt;\vec c = \vec a + \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 + b_1} \\
    {a_2 + b_2}
  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec c = \vec a - \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 - b_1} \\
    {a_2 - b_2}
  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

* Perkalian
# skalar dengan vektor
Jika k skalar tak nol dan vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; maka vektor &lt;math&gt;k \vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)&lt;/math&gt;

# titik dua vektor
Jika vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt; \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k&lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3&lt;/math&gt;

# titik dua vektor dengan membentuk sudut
Jika &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; vektor tak nol dan sudut &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; diantara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka perkalian skalar vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| cos \alpha&lt;/math&gt;

# silang dua vektor
Jika vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt; \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k&lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = (a_2b_3 \hat i + a_3b_1 \hat j + a_1b_2 \hat k) - (a_2b_1 \hat k + a_3b_2 \hat i + a_1b_3 \hat j)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\left[\begin{array}{rrr|rr}
    \hat i &amp; \hat j &amp; \hat k &amp; \hat i &amp; \hat j \\
    a_1 &amp; a_2 &amp; a_3 &amp; a_1 &amp; a_2 \\
    b_1 &amp; b_2 &amp; b_3 &amp; b_1 &amp; b_2 \\
    - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
  \end{array}\right]
&lt;/math&gt;

# silang dua vektor dengan membentuk sudut
Jika &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; vektor tak nol dan sudut &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; diantara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka perkalian skalar vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec a \times \vec b&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left| \vec a \right| \times \left| \vec b \right| sin \alpha&lt;/math&gt;

=== Sifat operasi aljabar pada vektor ===
# &lt;math&gt;\vec a + \vec b = \vec b + \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a + 0 = 0 + \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a + \vec b) = k \vec a + k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(k + l) \vec a = k \vec a + l \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a + (- \vec a) = 0&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a \cdot \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot (\vec b \cdot \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot 1 = 1 \cdot \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a \cdot \vec b) = k \vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(k \cdot l) \vec a = k (l \cdot \vec a)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec a= \left| \vec a \right|^2&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times \vec b \neq \vec b \times \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a \times \vec b) \times \vec c \neq \vec a \times (\vec b \times \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a \times \vec b) = k \vec a \times \vec b = \vec a \times k \vec b&lt;/math&gt;

=== Hubungan vektor dengan vektor lain ===
* Perkalian titik
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {90}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b =  0&lt;/math&gt;

; Sejajar
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; sejajar dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {0}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {180}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

* Perkalian silang
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {90}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {270}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

Jika &lt;math&gt;\beta &gt; {90}^{\circ}&lt;/math&gt; maka dua vektor tersebut searah

Jika &lt;math&gt;\beta &lt; {90}^{\circ}&lt;/math&gt; maka vektor saling berlawanan arah

; Sejajar
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; sejajar dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {0}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times \vec b =  0&lt;/math&gt;

=== Sudut dua vektor ===
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah &lt;math&gt;cos \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|}&lt;/math&gt;

=== Panjang proyeksi dan proyeksi vektor ===
: Panjang proyeksi vektor (proyeksi skalar ortogonal) &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}&lt;/math&gt;
: Proyeksi vektor (proyeksi vektor ortogonal) &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec c = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|^2} \cdot \vec b&lt;/math&gt;

=== Metode ===
; segitiga
: &lt;math&gt;\vec R = \vec a + \vec b&lt;/math&gt;

; jajar genjang
: &lt;math&gt;\vec R = \vec a + \vec b = \vec b + \vec a&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec R = |\vec a + \vec b | = \sqrt{| \vec a |^2 + | \vec b |^2 + 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec R = |\vec a - \vec b | = \sqrt{| \vec a |^2 + | \vec b |^2 - 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;

=== Perbandingan ===
; Aturan jajar genjang &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
: Posisi vektor
: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})&lt;/math&gt;

; Satu garis &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
* Perbandingan posisi dalam adalah m:n
: Posisi vektor
:: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})&lt;/math&gt;

* Perbandingan posisi luar adalah m:-n
: Posisi vektor
:: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms - nr}{m - n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n}, \frac {mz_2 - nz_1}{m - n})&lt;/math&gt;

contoh

# Titik a -3i-2j+4k dan b 6i+6j+k. tentukan:
* &lt;math&gt;\vec a + \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a - \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a \times \vec b&lt;/math&gt;
* panjang vektor
* vektor satuan pada vektor b
* panjang proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt;
* proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* \vec c &amp;= \vec a + \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) + (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3+6), (-2+6), (4+1) \\
 &amp;= (3, 4, 5) \\
* \vec c &amp;= \vec a - \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) - (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3-6), (-2-6), (4-1) \\
 &amp;= (-9, -8, 3) \\
* \vec a \cdot \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) \cdot (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3 \cdot 6) + (-2 \cdot 6) + (4 \cdot 1) \\
 &amp;= -18-12+4 \\
 &amp;= -26 \\
* \vec a \times \vec b \\
\begin{array}{rrr|rr}
 i &amp; j &amp; k &amp; i &amp; j \\
 -3 &amp; -2 &amp; 4 &amp; -3 &amp; -2 \\
 6 &amp; 6 &amp; 1 &amp; 6 &amp; 6 \\
 - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= (-2 \cdot 1)i + (4 \cdot 6)j + (-3 \cdot 6)k - (-3 \cdot 1)j - (4 \cdot 6)i - (-2 \cdot 6)k \\
 &amp;= -2i + 24j -18k + 3j -24i + 12k \\
 &amp;= -26i + 27j - 6k \\
* | \vec c | &amp;= \sqrt{(6-(-3))^2 + (6-(-2))^2 + (1-4)^2} \\
 &amp;= \sqrt{9^2 + 8^2 + (-3)^2} \\
 &amp;= \sqrt{81 + 64 + 9} \\
 &amp;= \sqrt{81 + 64 + 9} \\
 &amp;= \sqrt{145} \\
* \hat b &amp;= \frac{\vec b}{| \vec b |} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{6^2+6^2+1^2}} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{36+36+1}} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{73}} \\
* | \vec c | &amp;= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |} \\
 &amp;= \frac{-26}{\sqrt{73}} \\
* \vec c &amp;= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |^2} \cdot \vec b \\
 &amp;= \frac{-26}{(\sqrt{73})^2} (6, 6, 1) \\
 &amp;= -\frac{26}{73} (6, 6, 1) \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>fnhypbhiyobiaowftnkl0jv4fs0mcnz</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107778</id>
      <parentid>107777</parentid>
      <timestamp>2025-06-25T14:25:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107778</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10751" sha1="19pm2lewsfsnshbioc8l5idt9geazxk" xml:space="preserve">== Vektor ==
=== Posisi vektor ===
; &lt;math&gt;\vec a = (a_1,a_2) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a = (a_1,a_2,a_3) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2 \\
    a_3
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt;

=== Panjang vektor ===
; Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;

: Panjang vektor a dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor b dalam posisi &lt;math&gt;(b_1, b_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor c dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2)&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;(b_1, b_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}&lt;/math&gt;

; Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;

: Panjang vektor a dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2,a_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor b dalam posisi &lt;math&gt;(b_1, b_2,b_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor c dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2,a_3)&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;(b_1, b_2,b_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}&lt;/math&gt;

; Jumlah dan selisih kedua vektor
&lt;math&gt;\left| \vec a \pm \vec b \right| = \sqrt {| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;

=== Vektor satuan ===

: &lt;math&gt;\hat a = \frac {\vec a}{\left| \vec a \right|}&lt;/math&gt;

=== Operasi aljabar pada vektor ===
* Penjumlahan dan pengurangan
terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
: &lt;math&gt;\vec c = \vec a + \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 + b_1} \\
    {a_2 + b_2}
  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec c = \vec a - \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 - b_1} \\
    {a_2 - b_2}
  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

* Perkalian
# skalar dengan vektor
Jika k skalar tak nol dan vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; maka vektor &lt;math&gt;k \vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)&lt;/math&gt;

# titik dua vektor
Jika vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt; \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k&lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3&lt;/math&gt;

# titik dua vektor dengan membentuk sudut
Jika &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; vektor tak nol dan sudut &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; diantara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka perkalian skalar vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| cos \alpha&lt;/math&gt;

# silang dua vektor
Jika vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt; \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k&lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = (a_2b_3 \hat i + a_3b_1 \hat j + a_1b_2 \hat k) - (a_2b_1 \hat k + a_3b_2 \hat i + a_1b_3 \hat j)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\left[\begin{array}{rrr|rr}
    \hat i &amp; \hat j &amp; \hat k &amp; \hat i &amp; \hat j \\
    a_1 &amp; a_2 &amp; a_3 &amp; a_1 &amp; a_2 \\
    b_1 &amp; b_2 &amp; b_3 &amp; b_1 &amp; b_2 \\
    - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
  \end{array}\right]
&lt;/math&gt;

# silang dua vektor dengan membentuk sudut
Jika &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; vektor tak nol dan sudut &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; diantara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka perkalian skalar vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec a \times \vec b&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left| \vec a \right| \times \left| \vec b \right| sin \alpha&lt;/math&gt;

=== Sifat operasi aljabar pada vektor ===
# &lt;math&gt;\vec a + \vec b = \vec b + \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a + 0 = 0 + \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a + \vec b) = k \vec a + k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(k + l) \vec a = k \vec a + l \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a + (- \vec a) = 0&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a \cdot \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot (\vec b \cdot \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot 1 = 1 \cdot \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a \cdot \vec b) = k \vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(k \cdot l) \vec a = k (l \cdot \vec a)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec a= \left| \vec a \right|^2&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times \vec b \neq \vec b \times \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a \times \vec b) \times \vec c \neq \vec a \times (\vec b \times \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a \times \vec b) = k \vec a \times \vec b = \vec a \times k \vec b&lt;/math&gt;

=== Hubungan vektor dengan vektor lain ===
* Perkalian titik
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {90}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b =  0&lt;/math&gt;

; Sejajar
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; sejajar dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {0}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {180}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

* Perkalian silang
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {90}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {270}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

Jika &lt;math&gt;\beta &gt; {90}^{\circ}&lt;/math&gt; maka dua vektor tersebut searah

Jika &lt;math&gt;\beta &lt; {90}^{\circ}&lt;/math&gt; maka vektor saling berlawanan arah

; Sejajar
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; sejajar dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {0}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times \vec b =  0&lt;/math&gt;

=== Sudut dua vektor ===
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah &lt;math&gt;cos \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|}&lt;/math&gt;

=== Panjang proyeksi dan proyeksi vektor ===
: Panjang proyeksi vektor (proyeksi skalar ortogonal) &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}&lt;/math&gt;
: Proyeksi vektor (proyeksi vektor ortogonal) &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec c = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|^2} \cdot \vec b&lt;/math&gt;

=== Metode ===
; segitiga
: &lt;math&gt;\vec R = \vec a + \vec b&lt;/math&gt;

; jajar genjang
: &lt;math&gt;\vec R = \vec a + \vec b = \vec b + \vec a&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec R = |\vec a \pm \vec b | = \sqrt{| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;

=== Perbandingan ===
; Aturan jajar genjang &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
: Posisi vektor
: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})&lt;/math&gt;

; Satu garis &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
* Perbandingan posisi dalam adalah m:n
: Posisi vektor
:: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})&lt;/math&gt;

* Perbandingan posisi luar adalah m:-n
: Posisi vektor
:: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms - nr}{m - n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n}, \frac {mz_2 - nz_1}{m - n})&lt;/math&gt;

contoh

# Titik a -3i-2j+4k dan b 6i+6j+k. tentukan:
* &lt;math&gt;\vec a + \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a - \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a \times \vec b&lt;/math&gt;
* panjang vektor
* vektor satuan pada vektor b
* panjang proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt;
* proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* \vec c &amp;= \vec a + \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) + (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3+6), (-2+6), (4+1) \\
 &amp;= (3, 4, 5) \\
* \vec c &amp;= \vec a - \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) - (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3-6), (-2-6), (4-1) \\
 &amp;= (-9, -8, 3) \\
* \vec a \cdot \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) \cdot (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3 \cdot 6) + (-2 \cdot 6) + (4 \cdot 1) \\
 &amp;= -18-12+4 \\
 &amp;= -26 \\
* \vec a \times \vec b \\
\begin{array}{rrr|rr}
 i &amp; j &amp; k &amp; i &amp; j \\
 -3 &amp; -2 &amp; 4 &amp; -3 &amp; -2 \\
 6 &amp; 6 &amp; 1 &amp; 6 &amp; 6 \\
 - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= (-2 \cdot 1)i + (4 \cdot 6)j + (-3 \cdot 6)k - (-3 \cdot 1)j - (4 \cdot 6)i - (-2 \cdot 6)k \\
 &amp;= -2i + 24j -18k + 3j -24i + 12k \\
 &amp;= -26i + 27j - 6k \\
* | \vec c | &amp;= \sqrt{(6-(-3))^2 + (6-(-2))^2 + (1-4)^2} \\
 &amp;= \sqrt{9^2 + 8^2 + (-3)^2} \\
 &amp;= \sqrt{81 + 64 + 9} \\
 &amp;= \sqrt{81 + 64 + 9} \\
 &amp;= \sqrt{145} \\
* \hat b &amp;= \frac{\vec b}{| \vec b |} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{6^2+6^2+1^2}} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{36+36+1}} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{73}} \\
* | \vec c | &amp;= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |} \\
 &amp;= \frac{-26}{\sqrt{73}} \\
* \vec c &amp;= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |^2} \cdot \vec b \\
 &amp;= \frac{-26}{(\sqrt{73})^2} (6, 6, 1) \\
 &amp;= -\frac{26}{73} (6, 6, 1) \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>19pm2lewsfsnshbioc8l5idt9geazxk</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107779</id>
      <parentid>107778</parentid>
      <timestamp>2025-06-25T14:46:43Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Metode */</comment>
      <origin>107779</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10839" sha1="jldam3mv5c7z335lxm5lo8i9p1ohghb" xml:space="preserve">== Vektor ==
=== Posisi vektor ===
; &lt;math&gt;\vec a = (a_1,a_2) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a = (a_1,a_2,a_3) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2 \\
    a_3
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt;

=== Panjang vektor ===
; Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;

: Panjang vektor a dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor b dalam posisi &lt;math&gt;(b_1, b_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor c dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2)&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;(b_1, b_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}&lt;/math&gt;

; Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;

: Panjang vektor a dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2,a_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor b dalam posisi &lt;math&gt;(b_1, b_2,b_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor c dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2,a_3)&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;(b_1, b_2,b_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}&lt;/math&gt;

; Jumlah dan selisih kedua vektor
&lt;math&gt;\left| \vec a \pm \vec b \right| = \sqrt {| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;

=== Vektor satuan ===

: &lt;math&gt;\hat a = \frac {\vec a}{\left| \vec a \right|}&lt;/math&gt;

=== Operasi aljabar pada vektor ===
* Penjumlahan dan pengurangan
terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
: &lt;math&gt;\vec c = \vec a + \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 + b_1} \\
    {a_2 + b_2}
  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec c = \vec a - \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 - b_1} \\
    {a_2 - b_2}
  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

* Perkalian
# skalar dengan vektor
Jika k skalar tak nol dan vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; maka vektor &lt;math&gt;k \vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)&lt;/math&gt;

# titik dua vektor
Jika vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt; \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k&lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3&lt;/math&gt;

# titik dua vektor dengan membentuk sudut
Jika &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; vektor tak nol dan sudut &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; diantara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka perkalian skalar vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| cos \alpha&lt;/math&gt;

# silang dua vektor
Jika vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt; \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k&lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = (a_2b_3 \hat i + a_3b_1 \hat j + a_1b_2 \hat k) - (a_2b_1 \hat k + a_3b_2 \hat i + a_1b_3 \hat j)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\left[\begin{array}{rrr|rr}
    \hat i &amp; \hat j &amp; \hat k &amp; \hat i &amp; \hat j \\
    a_1 &amp; a_2 &amp; a_3 &amp; a_1 &amp; a_2 \\
    b_1 &amp; b_2 &amp; b_3 &amp; b_1 &amp; b_2 \\
    - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
  \end{array}\right]
&lt;/math&gt;

# silang dua vektor dengan membentuk sudut
Jika &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; vektor tak nol dan sudut &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; diantara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka perkalian skalar vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec a \times \vec b&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left| \vec a \right| \times \left| \vec b \right| sin \alpha&lt;/math&gt;

=== Sifat operasi aljabar pada vektor ===
# &lt;math&gt;\vec a + \vec b = \vec b + \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a + 0 = 0 + \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a + \vec b) = k \vec a + k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(k + l) \vec a = k \vec a + l \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a + (- \vec a) = 0&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a \cdot \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot (\vec b \cdot \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot 1 = 1 \cdot \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a \cdot \vec b) = k \vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(k \cdot l) \vec a = k (l \cdot \vec a)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec a= \left| \vec a \right|^2&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times \vec b \neq \vec b \times \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a \times \vec b) \times \vec c \neq \vec a \times (\vec b \times \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a \times \vec b) = k \vec a \times \vec b = \vec a \times k \vec b&lt;/math&gt;

=== Hubungan vektor dengan vektor lain ===
* Perkalian titik
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {90}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b =  0&lt;/math&gt;

; Sejajar
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; sejajar dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {0}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {180}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

* Perkalian silang
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {90}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {270}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

Jika &lt;math&gt;\beta &gt; {90}^{\circ}&lt;/math&gt; maka dua vektor tersebut searah

Jika &lt;math&gt;\beta &lt; {90}^{\circ}&lt;/math&gt; maka vektor saling berlawanan arah

; Sejajar
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; sejajar dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {0}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times \vec b =  0&lt;/math&gt;

=== Sudut dua vektor ===
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah &lt;math&gt;cos \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|}&lt;/math&gt;

=== Panjang proyeksi dan proyeksi vektor ===
: Panjang proyeksi vektor (proyeksi skalar ortogonal) &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}&lt;/math&gt;
: Proyeksi vektor (proyeksi vektor ortogonal) &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec c = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|^2} \cdot \vec b&lt;/math&gt;

=== Metode ===
; segitiga
: &lt;math&gt;\vec R = \vec a + \vec b&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left| AB \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}&lt;/math&gt;
; jajar genjang
: &lt;math&gt;\vec R = \vec a + \vec b = \vec b + \vec a&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec R = |\vec a \pm \vec b | = \sqrt{| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;

=== Perbandingan ===
; Aturan jajar genjang &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
: Posisi vektor
: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})&lt;/math&gt;

; Satu garis &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
* Perbandingan posisi dalam adalah m:n
: Posisi vektor
:: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})&lt;/math&gt;

* Perbandingan posisi luar adalah m:-n
: Posisi vektor
:: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms - nr}{m - n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n}, \frac {mz_2 - nz_1}{m - n})&lt;/math&gt;

contoh

# Titik a -3i-2j+4k dan b 6i+6j+k. tentukan:
* &lt;math&gt;\vec a + \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a - \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a \times \vec b&lt;/math&gt;
* panjang vektor
* vektor satuan pada vektor b
* panjang proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt;
* proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* \vec c &amp;= \vec a + \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) + (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3+6), (-2+6), (4+1) \\
 &amp;= (3, 4, 5) \\
* \vec c &amp;= \vec a - \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) - (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3-6), (-2-6), (4-1) \\
 &amp;= (-9, -8, 3) \\
* \vec a \cdot \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) \cdot (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3 \cdot 6) + (-2 \cdot 6) + (4 \cdot 1) \\
 &amp;= -18-12+4 \\
 &amp;= -26 \\
* \vec a \times \vec b \\
\begin{array}{rrr|rr}
 i &amp; j &amp; k &amp; i &amp; j \\
 -3 &amp; -2 &amp; 4 &amp; -3 &amp; -2 \\
 6 &amp; 6 &amp; 1 &amp; 6 &amp; 6 \\
 - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= (-2 \cdot 1)i + (4 \cdot 6)j + (-3 \cdot 6)k - (-3 \cdot 1)j - (4 \cdot 6)i - (-2 \cdot 6)k \\
 &amp;= -2i + 24j -18k + 3j -24i + 12k \\
 &amp;= -26i + 27j - 6k \\
* | \vec c | &amp;= \sqrt{(6-(-3))^2 + (6-(-2))^2 + (1-4)^2} \\
 &amp;= \sqrt{9^2 + 8^2 + (-3)^2} \\
 &amp;= \sqrt{81 + 64 + 9} \\
 &amp;= \sqrt{81 + 64 + 9} \\
 &amp;= \sqrt{145} \\
* \hat b &amp;= \frac{\vec b}{| \vec b |} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{6^2+6^2+1^2}} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{36+36+1}} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{73}} \\
* | \vec c | &amp;= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |} \\
 &amp;= \frac{-26}{\sqrt{73}} \\
* \vec c &amp;= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |^2} \cdot \vec b \\
 &amp;= \frac{-26}{(\sqrt{73})^2} (6, 6, 1) \\
 &amp;= -\frac{26}{73} (6, 6, 1) \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>jldam3mv5c7z335lxm5lo8i9p1ohghb</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107780</id>
      <parentid>107779</parentid>
      <timestamp>2025-06-25T14:47:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Metode */</comment>
      <origin>107780</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10844" sha1="pxmjqii6kddflnafq66l1n5w9k8hdtt" xml:space="preserve">== Vektor ==
=== Posisi vektor ===
; &lt;math&gt;\vec a = (a_1,a_2) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a = (a_1,a_2,a_3) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2 \\
    a_3
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt;

=== Panjang vektor ===
; Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;

: Panjang vektor a dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor b dalam posisi &lt;math&gt;(b_1, b_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor c dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2)&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;(b_1, b_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}&lt;/math&gt;

; Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;

: Panjang vektor a dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2,a_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor b dalam posisi &lt;math&gt;(b_1, b_2,b_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor c dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2,a_3)&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;(b_1, b_2,b_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}&lt;/math&gt;

; Jumlah dan selisih kedua vektor
&lt;math&gt;\left| \vec a \pm \vec b \right| = \sqrt {| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;

=== Vektor satuan ===

: &lt;math&gt;\hat a = \frac {\vec a}{\left| \vec a \right|}&lt;/math&gt;

=== Operasi aljabar pada vektor ===
* Penjumlahan dan pengurangan
terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
: &lt;math&gt;\vec c = \vec a + \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 + b_1} \\
    {a_2 + b_2}
  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec c = \vec a - \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 - b_1} \\
    {a_2 - b_2}
  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

* Perkalian
# skalar dengan vektor
Jika k skalar tak nol dan vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; maka vektor &lt;math&gt;k \vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)&lt;/math&gt;

# titik dua vektor
Jika vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt; \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k&lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3&lt;/math&gt;

# titik dua vektor dengan membentuk sudut
Jika &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; vektor tak nol dan sudut &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; diantara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka perkalian skalar vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| cos \alpha&lt;/math&gt;

# silang dua vektor
Jika vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt; \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k&lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = (a_2b_3 \hat i + a_3b_1 \hat j + a_1b_2 \hat k) - (a_2b_1 \hat k + a_3b_2 \hat i + a_1b_3 \hat j)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\left[\begin{array}{rrr|rr}
    \hat i &amp; \hat j &amp; \hat k &amp; \hat i &amp; \hat j \\
    a_1 &amp; a_2 &amp; a_3 &amp; a_1 &amp; a_2 \\
    b_1 &amp; b_2 &amp; b_3 &amp; b_1 &amp; b_2 \\
    - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
  \end{array}\right]
&lt;/math&gt;

# silang dua vektor dengan membentuk sudut
Jika &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; vektor tak nol dan sudut &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; diantara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka perkalian skalar vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec a \times \vec b&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left| \vec a \right| \times \left| \vec b \right| sin \alpha&lt;/math&gt;

=== Sifat operasi aljabar pada vektor ===
# &lt;math&gt;\vec a + \vec b = \vec b + \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a + 0 = 0 + \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a + \vec b) = k \vec a + k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(k + l) \vec a = k \vec a + l \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a + (- \vec a) = 0&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a \cdot \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot (\vec b \cdot \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot 1 = 1 \cdot \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a \cdot \vec b) = k \vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(k \cdot l) \vec a = k (l \cdot \vec a)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec a= \left| \vec a \right|^2&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times \vec b \neq \vec b \times \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a \times \vec b) \times \vec c \neq \vec a \times (\vec b \times \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a \times \vec b) = k \vec a \times \vec b = \vec a \times k \vec b&lt;/math&gt;

=== Hubungan vektor dengan vektor lain ===
* Perkalian titik
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {90}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b =  0&lt;/math&gt;

; Sejajar
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; sejajar dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {0}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {180}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

* Perkalian silang
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {90}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {270}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

Jika &lt;math&gt;\beta &gt; {90}^{\circ}&lt;/math&gt; maka dua vektor tersebut searah

Jika &lt;math&gt;\beta &lt; {90}^{\circ}&lt;/math&gt; maka vektor saling berlawanan arah

; Sejajar
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; sejajar dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {0}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times \vec b =  0&lt;/math&gt;

=== Sudut dua vektor ===
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah &lt;math&gt;cos \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|}&lt;/math&gt;

=== Panjang proyeksi dan proyeksi vektor ===
: Panjang proyeksi vektor (proyeksi skalar ortogonal) &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}&lt;/math&gt;
: Proyeksi vektor (proyeksi vektor ortogonal) &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec c = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|^2} \cdot \vec b&lt;/math&gt;

=== Metode ===
; segitiga
: &lt;math&gt;\vec R = \vec a + \vec b&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left| \vec AB \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}&lt;/math&gt;
; jajar genjang
: &lt;math&gt;\vec R = \vec a + \vec b = \vec b + \vec a&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec R = |\vec a \pm \vec b | = \sqrt{| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;

=== Perbandingan ===
; Aturan jajar genjang &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
: Posisi vektor
: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})&lt;/math&gt;

; Satu garis &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
* Perbandingan posisi dalam adalah m:n
: Posisi vektor
:: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})&lt;/math&gt;

* Perbandingan posisi luar adalah m:-n
: Posisi vektor
:: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms - nr}{m - n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n}, \frac {mz_2 - nz_1}{m - n})&lt;/math&gt;

contoh

# Titik a -3i-2j+4k dan b 6i+6j+k. tentukan:
* &lt;math&gt;\vec a + \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a - \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a \times \vec b&lt;/math&gt;
* panjang vektor
* vektor satuan pada vektor b
* panjang proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt;
* proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* \vec c &amp;= \vec a + \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) + (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3+6), (-2+6), (4+1) \\
 &amp;= (3, 4, 5) \\
* \vec c &amp;= \vec a - \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) - (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3-6), (-2-6), (4-1) \\
 &amp;= (-9, -8, 3) \\
* \vec a \cdot \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) \cdot (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3 \cdot 6) + (-2 \cdot 6) + (4 \cdot 1) \\
 &amp;= -18-12+4 \\
 &amp;= -26 \\
* \vec a \times \vec b \\
\begin{array}{rrr|rr}
 i &amp; j &amp; k &amp; i &amp; j \\
 -3 &amp; -2 &amp; 4 &amp; -3 &amp; -2 \\
 6 &amp; 6 &amp; 1 &amp; 6 &amp; 6 \\
 - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= (-2 \cdot 1)i + (4 \cdot 6)j + (-3 \cdot 6)k - (-3 \cdot 1)j - (4 \cdot 6)i - (-2 \cdot 6)k \\
 &amp;= -2i + 24j -18k + 3j -24i + 12k \\
 &amp;= -26i + 27j - 6k \\
* | \vec c | &amp;= \sqrt{(6-(-3))^2 + (6-(-2))^2 + (1-4)^2} \\
 &amp;= \sqrt{9^2 + 8^2 + (-3)^2} \\
 &amp;= \sqrt{81 + 64 + 9} \\
 &amp;= \sqrt{81 + 64 + 9} \\
 &amp;= \sqrt{145} \\
* \hat b &amp;= \frac{\vec b}{| \vec b |} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{6^2+6^2+1^2}} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{36+36+1}} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{73}} \\
* | \vec c | &amp;= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |} \\
 &amp;= \frac{-26}{\sqrt{73}} \\
* \vec c &amp;= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |^2} \cdot \vec b \\
 &amp;= \frac{-26}{(\sqrt{73})^2} (6, 6, 1) \\
 &amp;= -\frac{26}{73} (6, 6, 1) \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>pxmjqii6kddflnafq66l1n5w9k8hdtt</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107781</id>
      <parentid>107780</parentid>
      <timestamp>2025-06-25T14:47:46Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Metode */</comment>
      <origin>107781</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10846" sha1="196a25ztxmb4eomnj1ea3rn2tpy24fb" xml:space="preserve">== Vektor ==
=== Posisi vektor ===
; &lt;math&gt;\vec a = (a_1,a_2) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a = (a_1,a_2,a_3) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2 \\
    a_3
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt;

=== Panjang vektor ===
; Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;

: Panjang vektor a dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor b dalam posisi &lt;math&gt;(b_1, b_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor c dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2)&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;(b_1, b_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}&lt;/math&gt;

; Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;

: Panjang vektor a dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2,a_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor b dalam posisi &lt;math&gt;(b_1, b_2,b_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor c dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2,a_3)&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;(b_1, b_2,b_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}&lt;/math&gt;

; Jumlah dan selisih kedua vektor
&lt;math&gt;\left| \vec a \pm \vec b \right| = \sqrt {| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;

=== Vektor satuan ===

: &lt;math&gt;\hat a = \frac {\vec a}{\left| \vec a \right|}&lt;/math&gt;

=== Operasi aljabar pada vektor ===
* Penjumlahan dan pengurangan
terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
: &lt;math&gt;\vec c = \vec a + \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 + b_1} \\
    {a_2 + b_2}
  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec c = \vec a - \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 - b_1} \\
    {a_2 - b_2}
  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

* Perkalian
# skalar dengan vektor
Jika k skalar tak nol dan vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; maka vektor &lt;math&gt;k \vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)&lt;/math&gt;

# titik dua vektor
Jika vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt; \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k&lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3&lt;/math&gt;

# titik dua vektor dengan membentuk sudut
Jika &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; vektor tak nol dan sudut &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; diantara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka perkalian skalar vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| cos \alpha&lt;/math&gt;

# silang dua vektor
Jika vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt; \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k&lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = (a_2b_3 \hat i + a_3b_1 \hat j + a_1b_2 \hat k) - (a_2b_1 \hat k + a_3b_2 \hat i + a_1b_3 \hat j)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\left[\begin{array}{rrr|rr}
    \hat i &amp; \hat j &amp; \hat k &amp; \hat i &amp; \hat j \\
    a_1 &amp; a_2 &amp; a_3 &amp; a_1 &amp; a_2 \\
    b_1 &amp; b_2 &amp; b_3 &amp; b_1 &amp; b_2 \\
    - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
  \end{array}\right]
&lt;/math&gt;

# silang dua vektor dengan membentuk sudut
Jika &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; vektor tak nol dan sudut &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; diantara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka perkalian skalar vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec a \times \vec b&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left| \vec a \right| \times \left| \vec b \right| sin \alpha&lt;/math&gt;

=== Sifat operasi aljabar pada vektor ===
# &lt;math&gt;\vec a + \vec b = \vec b + \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a + 0 = 0 + \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a + \vec b) = k \vec a + k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(k + l) \vec a = k \vec a + l \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a + (- \vec a) = 0&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a \cdot \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot (\vec b \cdot \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot 1 = 1 \cdot \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a \cdot \vec b) = k \vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(k \cdot l) \vec a = k (l \cdot \vec a)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec a= \left| \vec a \right|^2&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times \vec b \neq \vec b \times \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a \times \vec b) \times \vec c \neq \vec a \times (\vec b \times \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a \times \vec b) = k \vec a \times \vec b = \vec a \times k \vec b&lt;/math&gt;

=== Hubungan vektor dengan vektor lain ===
* Perkalian titik
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {90}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b =  0&lt;/math&gt;

; Sejajar
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; sejajar dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {0}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {180}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

* Perkalian silang
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {90}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {270}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

Jika &lt;math&gt;\beta &gt; {90}^{\circ}&lt;/math&gt; maka dua vektor tersebut searah

Jika &lt;math&gt;\beta &lt; {90}^{\circ}&lt;/math&gt; maka vektor saling berlawanan arah

; Sejajar
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; sejajar dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {0}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times \vec b =  0&lt;/math&gt;

=== Sudut dua vektor ===
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah &lt;math&gt;cos \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|}&lt;/math&gt;

=== Panjang proyeksi dan proyeksi vektor ===
: Panjang proyeksi vektor (proyeksi skalar ortogonal) &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}&lt;/math&gt;
: Proyeksi vektor (proyeksi vektor ortogonal) &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec c = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|^2} \cdot \vec b&lt;/math&gt;

=== Metode ===
; segitiga
: &lt;math&gt;\vec R = \vec a + \vec b&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left| \vec {AB} \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}&lt;/math&gt;
; jajar genjang
: &lt;math&gt;\vec R = \vec a + \vec b = \vec b + \vec a&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec R = |\vec a \pm \vec b | = \sqrt{| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;

=== Perbandingan ===
; Aturan jajar genjang &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
: Posisi vektor
: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})&lt;/math&gt;

; Satu garis &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
* Perbandingan posisi dalam adalah m:n
: Posisi vektor
:: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})&lt;/math&gt;

* Perbandingan posisi luar adalah m:-n
: Posisi vektor
:: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms - nr}{m - n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n}, \frac {mz_2 - nz_1}{m - n})&lt;/math&gt;

contoh

# Titik a -3i-2j+4k dan b 6i+6j+k. tentukan:
* &lt;math&gt;\vec a + \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a - \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a \times \vec b&lt;/math&gt;
* panjang vektor
* vektor satuan pada vektor b
* panjang proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt;
* proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* \vec c &amp;= \vec a + \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) + (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3+6), (-2+6), (4+1) \\
 &amp;= (3, 4, 5) \\
* \vec c &amp;= \vec a - \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) - (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3-6), (-2-6), (4-1) \\
 &amp;= (-9, -8, 3) \\
* \vec a \cdot \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) \cdot (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3 \cdot 6) + (-2 \cdot 6) + (4 \cdot 1) \\
 &amp;= -18-12+4 \\
 &amp;= -26 \\
* \vec a \times \vec b \\
\begin{array}{rrr|rr}
 i &amp; j &amp; k &amp; i &amp; j \\
 -3 &amp; -2 &amp; 4 &amp; -3 &amp; -2 \\
 6 &amp; 6 &amp; 1 &amp; 6 &amp; 6 \\
 - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= (-2 \cdot 1)i + (4 \cdot 6)j + (-3 \cdot 6)k - (-3 \cdot 1)j - (4 \cdot 6)i - (-2 \cdot 6)k \\
 &amp;= -2i + 24j -18k + 3j -24i + 12k \\
 &amp;= -26i + 27j - 6k \\
* | \vec c | &amp;= \sqrt{(6-(-3))^2 + (6-(-2))^2 + (1-4)^2} \\
 &amp;= \sqrt{9^2 + 8^2 + (-3)^2} \\
 &amp;= \sqrt{81 + 64 + 9} \\
 &amp;= \sqrt{81 + 64 + 9} \\
 &amp;= \sqrt{145} \\
* \hat b &amp;= \frac{\vec b}{| \vec b |} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{6^2+6^2+1^2}} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{36+36+1}} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{73}} \\
* | \vec c | &amp;= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |} \\
 &amp;= \frac{-26}{\sqrt{73}} \\
* \vec c &amp;= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |^2} \cdot \vec b \\
 &amp;= \frac{-26}{(\sqrt{73})^2} (6, 6, 1) \\
 &amp;= -\frac{26}{73} (6, 6, 1) \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>196a25ztxmb4eomnj1ea3rn2tpy24fb</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107782</id>
      <parentid>107781</parentid>
      <timestamp>2025-06-25T14:49:25Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Metode */</comment>
      <origin>107782</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10849" sha1="ib0ahqvokb5solmoqt8cr2z6i162m11" xml:space="preserve">== Vektor ==
=== Posisi vektor ===
; &lt;math&gt;\vec a = (a_1,a_2) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a = (a_1,a_2,a_3) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2 \\
    a_3
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt;

=== Panjang vektor ===
; Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;

: Panjang vektor a dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor b dalam posisi &lt;math&gt;(b_1, b_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor c dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2)&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;(b_1, b_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}&lt;/math&gt;

; Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;

: Panjang vektor a dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2,a_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor b dalam posisi &lt;math&gt;(b_1, b_2,b_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor c dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2,a_3)&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;(b_1, b_2,b_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}&lt;/math&gt;

; Jumlah dan selisih kedua vektor
&lt;math&gt;\left| \vec a \pm \vec b \right| = \sqrt {| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;

=== Vektor satuan ===

: &lt;math&gt;\hat a = \frac {\vec a}{\left| \vec a \right|}&lt;/math&gt;

=== Operasi aljabar pada vektor ===
* Penjumlahan dan pengurangan
terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
: &lt;math&gt;\vec c = \vec a + \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 + b_1} \\
    {a_2 + b_2}
  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec c = \vec a - \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 - b_1} \\
    {a_2 - b_2}
  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

* Perkalian
# skalar dengan vektor
Jika k skalar tak nol dan vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; maka vektor &lt;math&gt;k \vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)&lt;/math&gt;

# titik dua vektor
Jika vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt; \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k&lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3&lt;/math&gt;

# titik dua vektor dengan membentuk sudut
Jika &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; vektor tak nol dan sudut &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; diantara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka perkalian skalar vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| cos \alpha&lt;/math&gt;

# silang dua vektor
Jika vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt; \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k&lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = (a_2b_3 \hat i + a_3b_1 \hat j + a_1b_2 \hat k) - (a_2b_1 \hat k + a_3b_2 \hat i + a_1b_3 \hat j)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\left[\begin{array}{rrr|rr}
    \hat i &amp; \hat j &amp; \hat k &amp; \hat i &amp; \hat j \\
    a_1 &amp; a_2 &amp; a_3 &amp; a_1 &amp; a_2 \\
    b_1 &amp; b_2 &amp; b_3 &amp; b_1 &amp; b_2 \\
    - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
  \end{array}\right]
&lt;/math&gt;

# silang dua vektor dengan membentuk sudut
Jika &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; vektor tak nol dan sudut &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; diantara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka perkalian skalar vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec a \times \vec b&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left| \vec a \right| \times \left| \vec b \right| sin \alpha&lt;/math&gt;

=== Sifat operasi aljabar pada vektor ===
# &lt;math&gt;\vec a + \vec b = \vec b + \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a + 0 = 0 + \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a + \vec b) = k \vec a + k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(k + l) \vec a = k \vec a + l \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a + (- \vec a) = 0&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a \cdot \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot (\vec b \cdot \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot 1 = 1 \cdot \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a \cdot \vec b) = k \vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(k \cdot l) \vec a = k (l \cdot \vec a)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec a= \left| \vec a \right|^2&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times \vec b \neq \vec b \times \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a \times \vec b) \times \vec c \neq \vec a \times (\vec b \times \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a \times \vec b) = k \vec a \times \vec b = \vec a \times k \vec b&lt;/math&gt;

=== Hubungan vektor dengan vektor lain ===
* Perkalian titik
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {90}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b =  0&lt;/math&gt;

; Sejajar
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; sejajar dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {0}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {180}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

* Perkalian silang
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {90}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {270}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

Jika &lt;math&gt;\beta &gt; {90}^{\circ}&lt;/math&gt; maka dua vektor tersebut searah

Jika &lt;math&gt;\beta &lt; {90}^{\circ}&lt;/math&gt; maka vektor saling berlawanan arah

; Sejajar
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; sejajar dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {0}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times \vec b =  0&lt;/math&gt;

=== Sudut dua vektor ===
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah &lt;math&gt;cos \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|}&lt;/math&gt;

=== Panjang proyeksi dan proyeksi vektor ===
: Panjang proyeksi vektor (proyeksi skalar ortogonal) &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}&lt;/math&gt;
: Proyeksi vektor (proyeksi vektor ortogonal) &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec c = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|^2} \cdot \vec b&lt;/math&gt;

=== Metode ===
; segitiga
: &lt;math&gt;\vec R = \vec a + \vec b&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left| \vec {AB} \right| = \left| \vec {OB} \right| - \left| \vec {OA} \right| \\&lt;/math&gt;

; jajar genjang
: &lt;math&gt;\vec R = \vec a + \vec b = \vec b + \vec a&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec R = |\vec a \pm \vec b | = \sqrt{| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;

=== Perbandingan ===
; Aturan jajar genjang &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
: Posisi vektor
: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})&lt;/math&gt;

; Satu garis &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
* Perbandingan posisi dalam adalah m:n
: Posisi vektor
:: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})&lt;/math&gt;

* Perbandingan posisi luar adalah m:-n
: Posisi vektor
:: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms - nr}{m - n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n}, \frac {mz_2 - nz_1}{m - n})&lt;/math&gt;

contoh

# Titik a -3i-2j+4k dan b 6i+6j+k. tentukan:
* &lt;math&gt;\vec a + \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a - \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a \times \vec b&lt;/math&gt;
* panjang vektor
* vektor satuan pada vektor b
* panjang proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt;
* proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* \vec c &amp;= \vec a + \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) + (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3+6), (-2+6), (4+1) \\
 &amp;= (3, 4, 5) \\
* \vec c &amp;= \vec a - \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) - (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3-6), (-2-6), (4-1) \\
 &amp;= (-9, -8, 3) \\
* \vec a \cdot \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) \cdot (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3 \cdot 6) + (-2 \cdot 6) + (4 \cdot 1) \\
 &amp;= -18-12+4 \\
 &amp;= -26 \\
* \vec a \times \vec b \\
\begin{array}{rrr|rr}
 i &amp; j &amp; k &amp; i &amp; j \\
 -3 &amp; -2 &amp; 4 &amp; -3 &amp; -2 \\
 6 &amp; 6 &amp; 1 &amp; 6 &amp; 6 \\
 - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= (-2 \cdot 1)i + (4 \cdot 6)j + (-3 \cdot 6)k - (-3 \cdot 1)j - (4 \cdot 6)i - (-2 \cdot 6)k \\
 &amp;= -2i + 24j -18k + 3j -24i + 12k \\
 &amp;= -26i + 27j - 6k \\
* | \vec c | &amp;= \sqrt{(6-(-3))^2 + (6-(-2))^2 + (1-4)^2} \\
 &amp;= \sqrt{9^2 + 8^2 + (-3)^2} \\
 &amp;= \sqrt{81 + 64 + 9} \\
 &amp;= \sqrt{81 + 64 + 9} \\
 &amp;= \sqrt{145} \\
* \hat b &amp;= \frac{\vec b}{| \vec b |} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{6^2+6^2+1^2}} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{36+36+1}} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{73}} \\
* | \vec c | &amp;= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |} \\
 &amp;= \frac{-26}{\sqrt{73}} \\
* \vec c &amp;= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |^2} \cdot \vec b \\
 &amp;= \frac{-26}{(\sqrt{73})^2} (6, 6, 1) \\
 &amp;= -\frac{26}{73} (6, 6, 1) \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>ib0ahqvokb5solmoqt8cr2z6i162m11</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107783</id>
      <parentid>107782</parentid>
      <timestamp>2025-06-25T14:49:44Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Metode */</comment>
      <origin>107783</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10846" sha1="qa5f1byqgsd23hn2nt1dt70bzypkliq" xml:space="preserve">== Vektor ==
=== Posisi vektor ===
; &lt;math&gt;\vec a = (a_1,a_2) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a = (a_1,a_2,a_3) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2 \\
    a_3
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt;

=== Panjang vektor ===
; Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;

: Panjang vektor a dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor b dalam posisi &lt;math&gt;(b_1, b_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor c dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2)&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;(b_1, b_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}&lt;/math&gt;

; Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;

: Panjang vektor a dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2,a_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor b dalam posisi &lt;math&gt;(b_1, b_2,b_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor c dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2,a_3)&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;(b_1, b_2,b_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}&lt;/math&gt;

; Jumlah dan selisih kedua vektor
&lt;math&gt;\left| \vec a \pm \vec b \right| = \sqrt {| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;

=== Vektor satuan ===

: &lt;math&gt;\hat a = \frac {\vec a}{\left| \vec a \right|}&lt;/math&gt;

=== Operasi aljabar pada vektor ===
* Penjumlahan dan pengurangan
terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
: &lt;math&gt;\vec c = \vec a + \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 + b_1} \\
    {a_2 + b_2}
  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec c = \vec a - \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 - b_1} \\
    {a_2 - b_2}
  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

* Perkalian
# skalar dengan vektor
Jika k skalar tak nol dan vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; maka vektor &lt;math&gt;k \vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)&lt;/math&gt;

# titik dua vektor
Jika vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt; \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k&lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3&lt;/math&gt;

# titik dua vektor dengan membentuk sudut
Jika &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; vektor tak nol dan sudut &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; diantara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka perkalian skalar vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| cos \alpha&lt;/math&gt;

# silang dua vektor
Jika vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt; \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k&lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = (a_2b_3 \hat i + a_3b_1 \hat j + a_1b_2 \hat k) - (a_2b_1 \hat k + a_3b_2 \hat i + a_1b_3 \hat j)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\left[\begin{array}{rrr|rr}
    \hat i &amp; \hat j &amp; \hat k &amp; \hat i &amp; \hat j \\
    a_1 &amp; a_2 &amp; a_3 &amp; a_1 &amp; a_2 \\
    b_1 &amp; b_2 &amp; b_3 &amp; b_1 &amp; b_2 \\
    - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
  \end{array}\right]
&lt;/math&gt;

# silang dua vektor dengan membentuk sudut
Jika &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; vektor tak nol dan sudut &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; diantara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka perkalian skalar vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec a \times \vec b&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left| \vec a \right| \times \left| \vec b \right| sin \alpha&lt;/math&gt;

=== Sifat operasi aljabar pada vektor ===
# &lt;math&gt;\vec a + \vec b = \vec b + \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a + 0 = 0 + \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a + \vec b) = k \vec a + k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(k + l) \vec a = k \vec a + l \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a + (- \vec a) = 0&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a \cdot \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot (\vec b \cdot \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot 1 = 1 \cdot \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a \cdot \vec b) = k \vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(k \cdot l) \vec a = k (l \cdot \vec a)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec a= \left| \vec a \right|^2&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times \vec b \neq \vec b \times \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a \times \vec b) \times \vec c \neq \vec a \times (\vec b \times \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a \times \vec b) = k \vec a \times \vec b = \vec a \times k \vec b&lt;/math&gt;

=== Hubungan vektor dengan vektor lain ===
* Perkalian titik
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {90}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b =  0&lt;/math&gt;

; Sejajar
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; sejajar dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {0}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {180}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

* Perkalian silang
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {90}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {270}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

Jika &lt;math&gt;\beta &gt; {90}^{\circ}&lt;/math&gt; maka dua vektor tersebut searah

Jika &lt;math&gt;\beta &lt; {90}^{\circ}&lt;/math&gt; maka vektor saling berlawanan arah

; Sejajar
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; sejajar dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {0}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times \vec b =  0&lt;/math&gt;

=== Sudut dua vektor ===
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah &lt;math&gt;cos \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|}&lt;/math&gt;

=== Panjang proyeksi dan proyeksi vektor ===
: Panjang proyeksi vektor (proyeksi skalar ortogonal) &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}&lt;/math&gt;
: Proyeksi vektor (proyeksi vektor ortogonal) &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec c = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|^2} \cdot \vec b&lt;/math&gt;

=== Metode ===
; segitiga
: &lt;math&gt;\vec R = \vec a + \vec b&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left| \vec {AB} \right| = \left| \vec {OB} \right| - \left| \vec {OA} \right|&lt;/math&gt;

; jajar genjang
: &lt;math&gt;\vec R = \vec a + \vec b = \vec b + \vec a&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec R = |\vec a \pm \vec b | = \sqrt{| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;

=== Perbandingan ===
; Aturan jajar genjang &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
: Posisi vektor
: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})&lt;/math&gt;

; Satu garis &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
* Perbandingan posisi dalam adalah m:n
: Posisi vektor
:: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})&lt;/math&gt;

* Perbandingan posisi luar adalah m:-n
: Posisi vektor
:: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms - nr}{m - n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n}, \frac {mz_2 - nz_1}{m - n})&lt;/math&gt;

contoh

# Titik a -3i-2j+4k dan b 6i+6j+k. tentukan:
* &lt;math&gt;\vec a + \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a - \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a \times \vec b&lt;/math&gt;
* panjang vektor
* vektor satuan pada vektor b
* panjang proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt;
* proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* \vec c &amp;= \vec a + \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) + (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3+6), (-2+6), (4+1) \\
 &amp;= (3, 4, 5) \\
* \vec c &amp;= \vec a - \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) - (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3-6), (-2-6), (4-1) \\
 &amp;= (-9, -8, 3) \\
* \vec a \cdot \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) \cdot (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3 \cdot 6) + (-2 \cdot 6) + (4 \cdot 1) \\
 &amp;= -18-12+4 \\
 &amp;= -26 \\
* \vec a \times \vec b \\
\begin{array}{rrr|rr}
 i &amp; j &amp; k &amp; i &amp; j \\
 -3 &amp; -2 &amp; 4 &amp; -3 &amp; -2 \\
 6 &amp; 6 &amp; 1 &amp; 6 &amp; 6 \\
 - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= (-2 \cdot 1)i + (4 \cdot 6)j + (-3 \cdot 6)k - (-3 \cdot 1)j - (4 \cdot 6)i - (-2 \cdot 6)k \\
 &amp;= -2i + 24j -18k + 3j -24i + 12k \\
 &amp;= -26i + 27j - 6k \\
* | \vec c | &amp;= \sqrt{(6-(-3))^2 + (6-(-2))^2 + (1-4)^2} \\
 &amp;= \sqrt{9^2 + 8^2 + (-3)^2} \\
 &amp;= \sqrt{81 + 64 + 9} \\
 &amp;= \sqrt{81 + 64 + 9} \\
 &amp;= \sqrt{145} \\
* \hat b &amp;= \frac{\vec b}{| \vec b |} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{6^2+6^2+1^2}} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{36+36+1}} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{73}} \\
* | \vec c | &amp;= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |} \\
 &amp;= \frac{-26}{\sqrt{73}} \\
* \vec c &amp;= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |^2} \cdot \vec b \\
 &amp;= \frac{-26}{(\sqrt{73})^2} (6, 6, 1) \\
 &amp;= -\frac{26}{73} (6, 6, 1) \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>qa5f1byqgsd23hn2nt1dt70bzypkliq</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107784</id>
      <parentid>107783</parentid>
      <timestamp>2025-06-25T14:50:41Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Metode */</comment>
      <origin>107784</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10880" sha1="1yqbvw3pzw3lzu03ctnlbnl04roovmz" xml:space="preserve">== Vektor ==
=== Posisi vektor ===
; &lt;math&gt;\vec a = (a_1,a_2) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a = (a_1,a_2,a_3) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2 \\
    a_3
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt;

=== Panjang vektor ===
; Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;

: Panjang vektor a dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor b dalam posisi &lt;math&gt;(b_1, b_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor c dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2)&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;(b_1, b_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}&lt;/math&gt;

; Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;

: Panjang vektor a dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2,a_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor b dalam posisi &lt;math&gt;(b_1, b_2,b_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor c dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2,a_3)&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;(b_1, b_2,b_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}&lt;/math&gt;

; Jumlah dan selisih kedua vektor
&lt;math&gt;\left| \vec a \pm \vec b \right| = \sqrt {| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;

=== Vektor satuan ===

: &lt;math&gt;\hat a = \frac {\vec a}{\left| \vec a \right|}&lt;/math&gt;

=== Operasi aljabar pada vektor ===
* Penjumlahan dan pengurangan
terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
: &lt;math&gt;\vec c = \vec a + \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 + b_1} \\
    {a_2 + b_2}
  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec c = \vec a - \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 - b_1} \\
    {a_2 - b_2}
  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

* Perkalian
# skalar dengan vektor
Jika k skalar tak nol dan vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; maka vektor &lt;math&gt;k \vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)&lt;/math&gt;

# titik dua vektor
Jika vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt; \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k&lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3&lt;/math&gt;

# titik dua vektor dengan membentuk sudut
Jika &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; vektor tak nol dan sudut &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; diantara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka perkalian skalar vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| cos \alpha&lt;/math&gt;

# silang dua vektor
Jika vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt; \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k&lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = (a_2b_3 \hat i + a_3b_1 \hat j + a_1b_2 \hat k) - (a_2b_1 \hat k + a_3b_2 \hat i + a_1b_3 \hat j)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\left[\begin{array}{rrr|rr}
    \hat i &amp; \hat j &amp; \hat k &amp; \hat i &amp; \hat j \\
    a_1 &amp; a_2 &amp; a_3 &amp; a_1 &amp; a_2 \\
    b_1 &amp; b_2 &amp; b_3 &amp; b_1 &amp; b_2 \\
    - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
  \end{array}\right]
&lt;/math&gt;

# silang dua vektor dengan membentuk sudut
Jika &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; vektor tak nol dan sudut &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; diantara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka perkalian skalar vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec a \times \vec b&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left| \vec a \right| \times \left| \vec b \right| sin \alpha&lt;/math&gt;

=== Sifat operasi aljabar pada vektor ===
# &lt;math&gt;\vec a + \vec b = \vec b + \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a + 0 = 0 + \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a + \vec b) = k \vec a + k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(k + l) \vec a = k \vec a + l \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a + (- \vec a) = 0&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a \cdot \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot (\vec b \cdot \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot 1 = 1 \cdot \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a \cdot \vec b) = k \vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(k \cdot l) \vec a = k (l \cdot \vec a)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec a= \left| \vec a \right|^2&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times \vec b \neq \vec b \times \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a \times \vec b) \times \vec c \neq \vec a \times (\vec b \times \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a \times \vec b) = k \vec a \times \vec b = \vec a \times k \vec b&lt;/math&gt;

=== Hubungan vektor dengan vektor lain ===
* Perkalian titik
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {90}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b =  0&lt;/math&gt;

; Sejajar
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; sejajar dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {0}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {180}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

* Perkalian silang
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {90}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {270}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

Jika &lt;math&gt;\beta &gt; {90}^{\circ}&lt;/math&gt; maka dua vektor tersebut searah

Jika &lt;math&gt;\beta &lt; {90}^{\circ}&lt;/math&gt; maka vektor saling berlawanan arah

; Sejajar
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; sejajar dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {0}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times \vec b =  0&lt;/math&gt;

=== Sudut dua vektor ===
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah &lt;math&gt;cos \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|}&lt;/math&gt;

=== Panjang proyeksi dan proyeksi vektor ===
: Panjang proyeksi vektor (proyeksi skalar ortogonal) &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}&lt;/math&gt;
: Proyeksi vektor (proyeksi vektor ortogonal) &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec c = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|^2} \cdot \vec b&lt;/math&gt;

=== Metode ===
; segitiga
: &lt;math&gt;\vec R = \vec a + \vec b&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left| \vec {AB} \right| = \left| \vec {OB} \right| - \left| \vec {OA} \right|&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt; = \vec b - \bec a&lt;/math&gt;

; jajar genjang
: &lt;math&gt;\vec R = \vec a + \vec b = \vec b + \vec a&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec R = |\vec a \pm \vec b | = \sqrt{| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;

=== Perbandingan ===
; Aturan jajar genjang &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
: Posisi vektor
: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})&lt;/math&gt;

; Satu garis &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
* Perbandingan posisi dalam adalah m:n
: Posisi vektor
:: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})&lt;/math&gt;

* Perbandingan posisi luar adalah m:-n
: Posisi vektor
:: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms - nr}{m - n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n}, \frac {mz_2 - nz_1}{m - n})&lt;/math&gt;

contoh

# Titik a -3i-2j+4k dan b 6i+6j+k. tentukan:
* &lt;math&gt;\vec a + \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a - \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a \times \vec b&lt;/math&gt;
* panjang vektor
* vektor satuan pada vektor b
* panjang proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt;
* proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* \vec c &amp;= \vec a + \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) + (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3+6), (-2+6), (4+1) \\
 &amp;= (3, 4, 5) \\
* \vec c &amp;= \vec a - \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) - (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3-6), (-2-6), (4-1) \\
 &amp;= (-9, -8, 3) \\
* \vec a \cdot \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) \cdot (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3 \cdot 6) + (-2 \cdot 6) + (4 \cdot 1) \\
 &amp;= -18-12+4 \\
 &amp;= -26 \\
* \vec a \times \vec b \\
\begin{array}{rrr|rr}
 i &amp; j &amp; k &amp; i &amp; j \\
 -3 &amp; -2 &amp; 4 &amp; -3 &amp; -2 \\
 6 &amp; 6 &amp; 1 &amp; 6 &amp; 6 \\
 - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= (-2 \cdot 1)i + (4 \cdot 6)j + (-3 \cdot 6)k - (-3 \cdot 1)j - (4 \cdot 6)i - (-2 \cdot 6)k \\
 &amp;= -2i + 24j -18k + 3j -24i + 12k \\
 &amp;= -26i + 27j - 6k \\
* | \vec c | &amp;= \sqrt{(6-(-3))^2 + (6-(-2))^2 + (1-4)^2} \\
 &amp;= \sqrt{9^2 + 8^2 + (-3)^2} \\
 &amp;= \sqrt{81 + 64 + 9} \\
 &amp;= \sqrt{81 + 64 + 9} \\
 &amp;= \sqrt{145} \\
* \hat b &amp;= \frac{\vec b}{| \vec b |} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{6^2+6^2+1^2}} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{36+36+1}} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{73}} \\
* | \vec c | &amp;= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |} \\
 &amp;= \frac{-26}{\sqrt{73}} \\
* \vec c &amp;= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |^2} \cdot \vec b \\
 &amp;= \frac{-26}{(\sqrt{73})^2} (6, 6, 1) \\
 &amp;= -\frac{26}{73} (6, 6, 1) \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>1yqbvw3pzw3lzu03ctnlbnl04roovmz</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107785</id>
      <parentid>107784</parentid>
      <timestamp>2025-06-25T14:51:20Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Metode */</comment>
      <origin>107785</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10864" sha1="ewth00mchqbtzn32ureq0dqcraosxsk" xml:space="preserve">== Vektor ==
=== Posisi vektor ===
; &lt;math&gt;\vec a = (a_1,a_2) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a = (a_1,a_2,a_3) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2 \\
    a_3
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt;

=== Panjang vektor ===
; Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;

: Panjang vektor a dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor b dalam posisi &lt;math&gt;(b_1, b_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor c dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2)&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;(b_1, b_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}&lt;/math&gt;

; Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;

: Panjang vektor a dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2,a_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor b dalam posisi &lt;math&gt;(b_1, b_2,b_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor c dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2,a_3)&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;(b_1, b_2,b_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}&lt;/math&gt;

; Jumlah dan selisih kedua vektor
&lt;math&gt;\left| \vec a \pm \vec b \right| = \sqrt {| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;

=== Vektor satuan ===

: &lt;math&gt;\hat a = \frac {\vec a}{\left| \vec a \right|}&lt;/math&gt;

=== Operasi aljabar pada vektor ===
* Penjumlahan dan pengurangan
terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
: &lt;math&gt;\vec c = \vec a + \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 + b_1} \\
    {a_2 + b_2}
  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec c = \vec a - \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 - b_1} \\
    {a_2 - b_2}
  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

* Perkalian
# skalar dengan vektor
Jika k skalar tak nol dan vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; maka vektor &lt;math&gt;k \vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)&lt;/math&gt;

# titik dua vektor
Jika vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt; \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k&lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3&lt;/math&gt;

# titik dua vektor dengan membentuk sudut
Jika &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; vektor tak nol dan sudut &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; diantara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka perkalian skalar vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| cos \alpha&lt;/math&gt;

# silang dua vektor
Jika vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt; \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k&lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = (a_2b_3 \hat i + a_3b_1 \hat j + a_1b_2 \hat k) - (a_2b_1 \hat k + a_3b_2 \hat i + a_1b_3 \hat j)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\left[\begin{array}{rrr|rr}
    \hat i &amp; \hat j &amp; \hat k &amp; \hat i &amp; \hat j \\
    a_1 &amp; a_2 &amp; a_3 &amp; a_1 &amp; a_2 \\
    b_1 &amp; b_2 &amp; b_3 &amp; b_1 &amp; b_2 \\
    - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
  \end{array}\right]
&lt;/math&gt;

# silang dua vektor dengan membentuk sudut
Jika &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; vektor tak nol dan sudut &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; diantara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka perkalian skalar vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec a \times \vec b&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left| \vec a \right| \times \left| \vec b \right| sin \alpha&lt;/math&gt;

=== Sifat operasi aljabar pada vektor ===
# &lt;math&gt;\vec a + \vec b = \vec b + \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a + 0 = 0 + \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a + \vec b) = k \vec a + k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(k + l) \vec a = k \vec a + l \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a + (- \vec a) = 0&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a \cdot \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot (\vec b \cdot \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot 1 = 1 \cdot \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a \cdot \vec b) = k \vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(k \cdot l) \vec a = k (l \cdot \vec a)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec a= \left| \vec a \right|^2&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times \vec b \neq \vec b \times \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a \times \vec b) \times \vec c \neq \vec a \times (\vec b \times \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a \times \vec b) = k \vec a \times \vec b = \vec a \times k \vec b&lt;/math&gt;

=== Hubungan vektor dengan vektor lain ===
* Perkalian titik
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {90}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b =  0&lt;/math&gt;

; Sejajar
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; sejajar dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {0}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {180}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

* Perkalian silang
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {90}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {270}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

Jika &lt;math&gt;\beta &gt; {90}^{\circ}&lt;/math&gt; maka dua vektor tersebut searah

Jika &lt;math&gt;\beta &lt; {90}^{\circ}&lt;/math&gt; maka vektor saling berlawanan arah

; Sejajar
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; sejajar dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {0}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times \vec b =  0&lt;/math&gt;

=== Sudut dua vektor ===
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah &lt;math&gt;cos \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|}&lt;/math&gt;

=== Panjang proyeksi dan proyeksi vektor ===
: Panjang proyeksi vektor (proyeksi skalar ortogonal) &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}&lt;/math&gt;
: Proyeksi vektor (proyeksi vektor ortogonal) &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec c = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|^2} \cdot \vec b&lt;/math&gt;

=== Metode ===
; segitiga
: &lt;math&gt;\vec R = \vec a + \vec b&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\left| \vec {AB} \right| = \left| \vec {OB} \right| - \left| \vec {OA} \right| = \vec b - \vec a&lt;/math&gt;

; jajar genjang
: &lt;math&gt;\vec R = \vec a + \vec b = \vec b + \vec a&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec R = |\vec a \pm \vec b | = \sqrt{| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;

=== Perbandingan ===
; Aturan jajar genjang &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
: Posisi vektor
: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})&lt;/math&gt;

; Satu garis &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
* Perbandingan posisi dalam adalah m:n
: Posisi vektor
:: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})&lt;/math&gt;

* Perbandingan posisi luar adalah m:-n
: Posisi vektor
:: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms - nr}{m - n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n}, \frac {mz_2 - nz_1}{m - n})&lt;/math&gt;

contoh

# Titik a -3i-2j+4k dan b 6i+6j+k. tentukan:
* &lt;math&gt;\vec a + \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a - \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a \times \vec b&lt;/math&gt;
* panjang vektor
* vektor satuan pada vektor b
* panjang proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt;
* proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* \vec c &amp;= \vec a + \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) + (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3+6), (-2+6), (4+1) \\
 &amp;= (3, 4, 5) \\
* \vec c &amp;= \vec a - \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) - (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3-6), (-2-6), (4-1) \\
 &amp;= (-9, -8, 3) \\
* \vec a \cdot \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) \cdot (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3 \cdot 6) + (-2 \cdot 6) + (4 \cdot 1) \\
 &amp;= -18-12+4 \\
 &amp;= -26 \\
* \vec a \times \vec b \\
\begin{array}{rrr|rr}
 i &amp; j &amp; k &amp; i &amp; j \\
 -3 &amp; -2 &amp; 4 &amp; -3 &amp; -2 \\
 6 &amp; 6 &amp; 1 &amp; 6 &amp; 6 \\
 - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= (-2 \cdot 1)i + (4 \cdot 6)j + (-3 \cdot 6)k - (-3 \cdot 1)j - (4 \cdot 6)i - (-2 \cdot 6)k \\
 &amp;= -2i + 24j -18k + 3j -24i + 12k \\
 &amp;= -26i + 27j - 6k \\
* | \vec c | &amp;= \sqrt{(6-(-3))^2 + (6-(-2))^2 + (1-4)^2} \\
 &amp;= \sqrt{9^2 + 8^2 + (-3)^2} \\
 &amp;= \sqrt{81 + 64 + 9} \\
 &amp;= \sqrt{81 + 64 + 9} \\
 &amp;= \sqrt{145} \\
* \hat b &amp;= \frac{\vec b}{| \vec b |} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{6^2+6^2+1^2}} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{36+36+1}} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{73}} \\
* | \vec c | &amp;= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |} \\
 &amp;= \frac{-26}{\sqrt{73}} \\
* \vec c &amp;= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |^2} \cdot \vec b \\
 &amp;= \frac{-26}{(\sqrt{73})^2} (6, 6, 1) \\
 &amp;= -\frac{26}{73} (6, 6, 1) \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>ewth00mchqbtzn32ureq0dqcraosxsk</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107786</id>
      <parentid>107785</parentid>
      <timestamp>2025-06-25T22:57:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Metode */</comment>
      <origin>107786</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10975" sha1="902u2cy4wxq16570gym8wu5s4443g1g" xml:space="preserve">== Vektor ==
=== Posisi vektor ===
; &lt;math&gt;\vec a = (a_1,a_2) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a = (a_1,a_2,a_3) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2 \\
    a_3
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt;

=== Panjang vektor ===
; Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;

: Panjang vektor a dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor b dalam posisi &lt;math&gt;(b_1, b_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor c dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2)&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;(b_1, b_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}&lt;/math&gt;

; Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;

: Panjang vektor a dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2,a_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor b dalam posisi &lt;math&gt;(b_1, b_2,b_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor c dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2,a_3)&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;(b_1, b_2,b_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}&lt;/math&gt;

; Jumlah dan selisih kedua vektor
&lt;math&gt;\left| \vec a \pm \vec b \right| = \sqrt {| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;

=== Vektor satuan ===

: &lt;math&gt;\hat a = \frac {\vec a}{\left| \vec a \right|}&lt;/math&gt;

=== Operasi aljabar pada vektor ===
* Penjumlahan dan pengurangan
terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
: &lt;math&gt;\vec c = \vec a + \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 + b_1} \\
    {a_2 + b_2}
  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec c = \vec a - \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 - b_1} \\
    {a_2 - b_2}
  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

* Perkalian
# skalar dengan vektor
Jika k skalar tak nol dan vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; maka vektor &lt;math&gt;k \vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)&lt;/math&gt;

# titik dua vektor
Jika vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt; \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k&lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3&lt;/math&gt;

# titik dua vektor dengan membentuk sudut
Jika &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; vektor tak nol dan sudut &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; diantara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka perkalian skalar vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| cos \alpha&lt;/math&gt;

# silang dua vektor
Jika vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt; \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k&lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = (a_2b_3 \hat i + a_3b_1 \hat j + a_1b_2 \hat k) - (a_2b_1 \hat k + a_3b_2 \hat i + a_1b_3 \hat j)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\left[\begin{array}{rrr|rr}
    \hat i &amp; \hat j &amp; \hat k &amp; \hat i &amp; \hat j \\
    a_1 &amp; a_2 &amp; a_3 &amp; a_1 &amp; a_2 \\
    b_1 &amp; b_2 &amp; b_3 &amp; b_1 &amp; b_2 \\
    - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
  \end{array}\right]
&lt;/math&gt;

# silang dua vektor dengan membentuk sudut
Jika &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; vektor tak nol dan sudut &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; diantara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka perkalian skalar vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec a \times \vec b&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left| \vec a \right| \times \left| \vec b \right| sin \alpha&lt;/math&gt;

=== Sifat operasi aljabar pada vektor ===
# &lt;math&gt;\vec a + \vec b = \vec b + \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a + 0 = 0 + \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a + \vec b) = k \vec a + k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(k + l) \vec a = k \vec a + l \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a + (- \vec a) = 0&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a \cdot \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot (\vec b \cdot \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot 1 = 1 \cdot \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a \cdot \vec b) = k \vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(k \cdot l) \vec a = k (l \cdot \vec a)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec a= \left| \vec a \right|^2&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times \vec b \neq \vec b \times \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a \times \vec b) \times \vec c \neq \vec a \times (\vec b \times \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a \times \vec b) = k \vec a \times \vec b = \vec a \times k \vec b&lt;/math&gt;

=== Hubungan vektor dengan vektor lain ===
* Perkalian titik
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {90}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b =  0&lt;/math&gt;

; Sejajar
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; sejajar dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {0}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {180}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

* Perkalian silang
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {90}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {270}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

Jika &lt;math&gt;\beta &gt; {90}^{\circ}&lt;/math&gt; maka dua vektor tersebut searah

Jika &lt;math&gt;\beta &lt; {90}^{\circ}&lt;/math&gt; maka vektor saling berlawanan arah

; Sejajar
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; sejajar dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {0}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times \vec b =  0&lt;/math&gt;

=== Sudut dua vektor ===
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah &lt;math&gt;cos \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|}&lt;/math&gt;

=== Panjang proyeksi dan proyeksi vektor ===
: Panjang proyeksi vektor (proyeksi skalar ortogonal) &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}&lt;/math&gt;
: Proyeksi vektor (proyeksi vektor ortogonal) &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec c = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|^2} \cdot \vec b&lt;/math&gt;

=== Metode ===
; segitiga
: &lt;math&gt;\vec R = \vec a + \vec b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\left| \vec {AB} \right| = \left| \vec {OB} \right| - \left| \vec {OA} \right| = \vec b - \vec a&lt;/math&gt;

; jajar genjang
: &lt;math&gt;\vec R = \vec a + \vec b = \vec b + \vec a&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\left| \vec {BA} \right| = \left| \vec {OA} \right| - \left| \vec {OB} \right| = \vec a - \vec b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec R = |\vec a \pm \vec b | = \sqrt{| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;

=== Perbandingan ===
; Aturan jajar genjang &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
: Posisi vektor
: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})&lt;/math&gt;

; Satu garis &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
* Perbandingan posisi dalam adalah m:n
: Posisi vektor
:: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})&lt;/math&gt;

* Perbandingan posisi luar adalah m:-n
: Posisi vektor
:: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms - nr}{m - n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n}, \frac {mz_2 - nz_1}{m - n})&lt;/math&gt;

contoh

# Titik a -3i-2j+4k dan b 6i+6j+k. tentukan:
* &lt;math&gt;\vec a + \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a - \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a \times \vec b&lt;/math&gt;
* panjang vektor
* vektor satuan pada vektor b
* panjang proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt;
* proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* \vec c &amp;= \vec a + \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) + (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3+6), (-2+6), (4+1) \\
 &amp;= (3, 4, 5) \\
* \vec c &amp;= \vec a - \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) - (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3-6), (-2-6), (4-1) \\
 &amp;= (-9, -8, 3) \\
* \vec a \cdot \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) \cdot (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3 \cdot 6) + (-2 \cdot 6) + (4 \cdot 1) \\
 &amp;= -18-12+4 \\
 &amp;= -26 \\
* \vec a \times \vec b \\
\begin{array}{rrr|rr}
 i &amp; j &amp; k &amp; i &amp; j \\
 -3 &amp; -2 &amp; 4 &amp; -3 &amp; -2 \\
 6 &amp; 6 &amp; 1 &amp; 6 &amp; 6 \\
 - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= (-2 \cdot 1)i + (4 \cdot 6)j + (-3 \cdot 6)k - (-3 \cdot 1)j - (4 \cdot 6)i - (-2 \cdot 6)k \\
 &amp;= -2i + 24j -18k + 3j -24i + 12k \\
 &amp;= -26i + 27j - 6k \\
* | \vec c | &amp;= \sqrt{(6-(-3))^2 + (6-(-2))^2 + (1-4)^2} \\
 &amp;= \sqrt{9^2 + 8^2 + (-3)^2} \\
 &amp;= \sqrt{81 + 64 + 9} \\
 &amp;= \sqrt{81 + 64 + 9} \\
 &amp;= \sqrt{145} \\
* \hat b &amp;= \frac{\vec b}{| \vec b |} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{6^2+6^2+1^2}} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{36+36+1}} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{73}} \\
* | \vec c | &amp;= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |} \\
 &amp;= \frac{-26}{\sqrt{73}} \\
* \vec c &amp;= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |^2} \cdot \vec b \\
 &amp;= \frac{-26}{(\sqrt{73})^2} (6, 6, 1) \\
 &amp;= -\frac{26}{73} (6, 6, 1) \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>902u2cy4wxq16570gym8wu5s4443g1g</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107791</id>
      <parentid>107786</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T07:49:14Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Sifat operasi aljabar pada vektor */</comment>
      <origin>107791</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10975" sha1="ir5srr92yf9hjbbivspulxphejrgiiw" xml:space="preserve">== Vektor ==
=== Posisi vektor ===
; &lt;math&gt;\vec a = (a_1,a_2) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a = (a_1,a_2,a_3) = \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2 \\
    a_3
  \end{pmatrix} = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt;

=== Panjang vektor ===
; Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;

: Panjang vektor a dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor b dalam posisi &lt;math&gt;(b_1, b_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor c dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2)&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;(b_1, b_2)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}&lt;/math&gt;

; Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;

: Panjang vektor a dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2,a_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec a \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor b dalam posisi &lt;math&gt;(b_1, b_2,b_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec b \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}&lt;/math&gt;
: Panjang vektor c dalam posisi &lt;math&gt;(a_1, a_2,a_3)&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;(b_1, b_2,b_3)&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \sqrt {(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}&lt;/math&gt;

; Jumlah dan selisih kedua vektor
&lt;math&gt;\left| \vec a \pm \vec b \right| = \sqrt {| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;

=== Vektor satuan ===

: &lt;math&gt;\hat a = \frac {\vec a}{\left| \vec a \right|}&lt;/math&gt;

=== Operasi aljabar pada vektor ===
* Penjumlahan dan pengurangan
terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
: &lt;math&gt;\vec c = \vec a + \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 + b_1} \\
    {a_2 + b_2}
  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec c = \vec a - \vec b =  \begin{pmatrix}
    a_1 \\
    a_2
  \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
    b_1 \\
    b_2
  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
    {a_1 - b_1} \\
    {a_2 - b_2}
  \end{pmatrix}&lt;/math&gt;

* Perkalian
# skalar dengan vektor
Jika k skalar tak nol dan vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; maka vektor &lt;math&gt;k \vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)&lt;/math&gt;

# titik dua vektor
Jika vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt; \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k&lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3&lt;/math&gt;

# titik dua vektor dengan membentuk sudut
Jika &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; vektor tak nol dan sudut &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; diantara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka perkalian skalar vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| cos \alpha&lt;/math&gt;

# silang dua vektor
Jika vektor &lt;math&gt; \vec a = a_1 \hat i + a_2 \hat j + a_3 \hat k&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt; \vec b = b_1 \hat i + b_2 \hat j + b_3 \hat k&lt;/math&gt; maka &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = (a_2b_3 \hat i + a_3b_1 \hat j + a_1b_2 \hat k) - (a_2b_1 \hat k + a_3b_2 \hat i + a_1b_3 \hat j)&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\left[\begin{array}{rrr|rr}
    \hat i &amp; \hat j &amp; \hat k &amp; \hat i &amp; \hat j \\
    a_1 &amp; a_2 &amp; a_3 &amp; a_1 &amp; a_2 \\
    b_1 &amp; b_2 &amp; b_3 &amp; b_1 &amp; b_2 \\
    - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
  \end{array}\right]
&lt;/math&gt;

# silang dua vektor dengan membentuk sudut
Jika &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; vektor tak nol dan sudut &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; diantara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka perkalian skalar vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec a \times \vec b&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left| \vec a \right| \times \left| \vec b \right| sin \alpha&lt;/math&gt;

=== Sifat operasi aljabar pada vektor ===
# &lt;math&gt;\vec a + \vec b = \vec b + \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a + 0 = 0 + \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a + \vec b) = k \vec a + k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(k + l) \vec a = k \vec a + l \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a + (- \vec a) = 0&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a \cdot \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot (\vec b \cdot \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot 1 = 1 \cdot \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a \cdot \vec b) = k \vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(k \cdot l) \vec a = k (l \cdot \vec a)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec a= \left| \vec a \right|^2&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times \vec b \neq \vec b \times \vec a&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;(\vec a \times \vec b) \times \vec c \neq \vec a \times (\vec b \times \vec c)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;k (\vec a \times \vec b) = k \vec a \times \vec b = \vec a \times k \vec b&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c&lt;/math&gt;

=== Hubungan vektor dengan vektor lain ===
* Perkalian titik
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {90}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b =  0&lt;/math&gt;

; Sejajar
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; sejajar dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {0}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cos {180}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

* Perkalian silang
; Saling tegak lurus
Jika tegak lurus antara vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {90}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {270}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = - \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|&lt;/math&gt;

Jika &lt;math&gt;\beta &gt; {90}^{\circ}&lt;/math&gt; maka dua vektor tersebut searah

Jika &lt;math&gt;\beta &lt; {90}^{\circ}&lt;/math&gt; maka vektor saling berlawanan arah

; Sejajar
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; sejajar dengan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; maka
: &lt;math&gt;\vec a \times  \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin {0}^{\circ}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec a \times \vec b =  0&lt;/math&gt;

=== Sudut dua vektor ===
Jika vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; dan vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah &lt;math&gt;cos \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|}&lt;/math&gt;

=== Panjang proyeksi dan proyeksi vektor ===
: Panjang proyeksi vektor (proyeksi skalar ortogonal) &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\left| \vec c \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}&lt;/math&gt;
: Proyeksi vektor (proyeksi vektor ortogonal) &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt; adalah &lt;math&gt;\vec c = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|^2} \cdot \vec b&lt;/math&gt;

=== Metode ===
; segitiga
: &lt;math&gt;\vec R = \vec a + \vec b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\left| \vec {AB} \right| = \left| \vec {OB} \right| - \left| \vec {OA} \right| = \vec b - \vec a&lt;/math&gt;

; jajar genjang
: &lt;math&gt;\vec R = \vec a + \vec b = \vec b + \vec a&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\left| \vec {BA} \right| = \left| \vec {OA} \right| - \left| \vec {OB} \right| = \vec a - \vec b&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec R = |\vec a \pm \vec b | = \sqrt{| \vec a |^2 + | \vec b |^2 \pm 2 \cdot \vec a \cdot \vec b \cdot cos C}&lt;/math&gt;

=== Perbandingan ===
; Aturan jajar genjang &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
: Posisi vektor
: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})&lt;/math&gt;

; Satu garis &lt;!-- harap ada gambar --&gt;
* Perbandingan posisi dalam adalah m:n
: Posisi vektor
:: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms + nr}{m + n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac {my_2 + ny_1}{m + n}, \frac {mz_2 + nz_1}{m + n})&lt;/math&gt;

* Perbandingan posisi luar adalah m:-n
: Posisi vektor
:: &lt;math&gt;\vec N = \frac {ms - nr}{m - n}&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n})&lt;/math&gt;

: Berada di &lt;math&gt;R^3&lt;/math&gt;
:: &lt;math&gt;\vec N = (\frac {mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac {my_2 - ny_1}{m - n}, \frac {mz_2 - nz_1}{m - n})&lt;/math&gt;

contoh

# Titik a -3i-2j+4k dan b 6i+6j+k. tentukan:
* &lt;math&gt;\vec a + \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a - \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a \cdot \vec b&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\vec a \times \vec b&lt;/math&gt;
* panjang vektor
* vektor satuan pada vektor b
* panjang proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt;
* proyeksi vektor &lt;math&gt;\vec a&lt;/math&gt; pada vektor &lt;math&gt;\vec b&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* \vec c &amp;= \vec a + \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) + (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3+6), (-2+6), (4+1) \\
 &amp;= (3, 4, 5) \\
* \vec c &amp;= \vec a - \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) - (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3-6), (-2-6), (4-1) \\
 &amp;= (-9, -8, 3) \\
* \vec a \cdot \vec b \\
 &amp;= (-3, -2, 4) \cdot (6, 6, 1) \\
 &amp;= (-3 \cdot 6) + (-2 \cdot 6) + (4 \cdot 1) \\
 &amp;= -18-12+4 \\
 &amp;= -26 \\
* \vec a \times \vec b \\
\begin{array}{rrr|rr}
 i &amp; j &amp; k &amp; i &amp; j \\
 -3 &amp; -2 &amp; 4 &amp; -3 &amp; -2 \\
 6 &amp; 6 &amp; 1 &amp; 6 &amp; 6 \\
 - &amp; - &amp; - + &amp; + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= (-2 \cdot 1)i + (4 \cdot 6)j + (-3 \cdot 6)k - (-3 \cdot 1)j - (4 \cdot 6)i - (-2 \cdot 6)k \\
 &amp;= -2i + 24j -18k + 3j -24i + 12k \\
 &amp;= -26i + 27j - 6k \\
* | \vec c | &amp;= \sqrt{(6-(-3))^2 + (6-(-2))^2 + (1-4)^2} \\
 &amp;= \sqrt{9^2 + 8^2 + (-3)^2} \\
 &amp;= \sqrt{81 + 64 + 9} \\
 &amp;= \sqrt{81 + 64 + 9} \\
 &amp;= \sqrt{145} \\
* \hat b &amp;= \frac{\vec b}{| \vec b |} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{6^2+6^2+1^2}} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{36+36+1}} \\
 &amp;= \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{73}} \\
* | \vec c | &amp;= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |} \\
 &amp;= \frac{-26}{\sqrt{73}} \\
* \vec c &amp;= \frac{\vec a \cdot \vec b}{| \vec b |^2} \cdot \vec b \\
 &amp;= \frac{-26}{(\sqrt{73})^2} (6, 6, 1) \\
 &amp;= -\frac{26}{73} (6, 6, 1) \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>ir5srr92yf9hjbbivspulxphejrgiiw</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Pertumbuhan dan peluruhan</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23170</id>
    <revision>
      <id>107772</id>
      <parentid>91694</parentid>
      <timestamp>2025-06-25T12:38:50Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107772</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4235" sha1="ipky2cuzj5js1bigqzv2nu8d44kocur" xml:space="preserve">== Pertumbuhan ==
; linier: &lt;math&gt;P_n = P_o (1+in)&lt;/math&gt;
; eksponensial: &lt;math&gt;P_n = P_o (1+i)^n&lt;/math&gt;

keterangan:
# Pn = nilai besaran setelah n periode
# Po = nilai besaran di awal periode
# i = tingkat pertumbuhan
# n = banyaknya periode pertumbuhan

contoh

# Penduduk di suatu kota X mencapai 2 juta jiwa pada tahun 
2020. Bila jumlah penduduk meningkat dengan laju 2% per tahun, maka berapa banyaknya penduduk di kota tersebut pada tahun 2025?

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
P_o &amp;= 2.000.000 \\
i &amp;= 0,02 \\
n &amp;= 2025-2020 = 5 \\

P_n &amp;= P_o (1+i)^n \\
P_5 &amp;= 2.000.000 (1+0,02)^5 \\
 &amp;= 2.000.000(1,02)^5 \\
 &amp;= 2.208.162 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

Jadi penduduk di kota X pada tahun 2025 diperkirakan sebanyak 2.208.162 jiwa.

# Diketahui tingkat pertumbuhan penduduk di suatu daerah adalah 10% per tahun. Berapa kenaikan jumlah penduduk dalam kurun waktu 4 tahun?

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
i &amp;= 0,01 \\
n &amp;= 4 \\

P_n &amp;= P_o (1+i)^n \\
P_4 &amp;= P_o (1+0,01)^4 \\
 &amp;= P_o(1,01)^4 \\
 &amp;= P_o(1,4641) \\
 &amp;= P_o(1 + 0,4641) \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

Jadi kenaikan jumlah penduduk dalam kurun waktu 4 tahun adalah 46,41%.

== Peluruhan ==
; linier: &lt;math&gt;P_n = P_o (1-in)&lt;/math&gt;
; eksponensial: &lt;math&gt;P_n = P_o (1-i)^n&lt;/math&gt;

keterangan:
# Pn = nilai besaran setelah n periode
# Po = nilai besaran di awal periode
# i = tingkat peluruhan
# n = banyaknya periode peluruhan

*khusus zat radioaktif
yaitu &lt;math&gt;N = N_o (\frac{1}{2})^n&lt;/math&gt; dengan &lt;math&gt;n = \frac{T}{t}&lt;/math&gt;

keterangan:
# N = banyaknya zat radioaktif yang tersisa
# No = banyaknya zat radioaktif mula-mula
# T = lamanya peluruhan
# t = waktu paruh

contoh
# Ketika sedang memeriksa seorang bayi yang menderita infeksi telinga, dokter spesialis THT (Telinga, Hidung, dan Tenggorokan) mendiagnosis bahwa mungkin terdapat 1.000.000 unit bakteri yang menginfeksi. Pemberian penisilin yang diresepkan dokter diperkirakan dapat membunuh 5% dari jumlah bakteri yang ada setiap 4 jam. Berapa jumlah bakteri setelah 12 jam akan tersisa?

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
P_o &amp;= 1.000.000 \\
i &amp;= 0,05 \\
n &amp;= \frac{12}{4} = 3 \\

P_n &amp;= P_o (1-i)^n \\
P_3 &amp;= 1.000.000 (1-0,05)^3 \\
 &amp;= 1.000.000 (0,05)^3 \\
 &amp;= 125 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

Jadi jumlah bakteri setelah 12 jam akan tersisa 125 unit.

# Suatu radioaktif mineral meluruh secara eksponensial dengan laju peluruhan 8% setiap jam. Berapa persentase kadar radioaktif mineral tersebut setelah 3 jam?

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
i &amp;= 0,08 \\
n &amp;= 3 \\

P_n &amp;= P_o (1-i)^n \\
P_4 &amp;= P_o (1-0,08)^3 \\
 &amp;= P_o(0,92)^3 \\
 &amp;= P_o(0,7787) \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

Jadi persentase kadar radioaktif mineral tersebut setelah 3 jam adalah 77,87%.

# Suatu zat radioaktif dengan massa 200 gram memiliki waktu paruh 5 tahun. Berapa tahun waktu yang diperlukan zat radioaktif tersebut sehingga massanya menjadi 3,125 gram?

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
N_o &amp;= 200 \\
N &amp;= 3,125 \\
t &amp;= 5 \\

N &amp;= N_o (\frac{1}{2})^n \\
3,125 &amp;= 2.000 (\frac{1}{2})^n \\
\frac{3,125}{200} &amp;= ({\frac{1}{2}})^n \\
\frac{1}{64} &amp;= ({\frac{1}{2}})^n \\
({\frac{1}{2}})^6 &amp;= ({\frac{1}{2}})^n \\

T &amp;= nt \\
&amp;= 6 \cdot 5 \\
&amp;= 30 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

Jadi waktu yang diperlukan zat radioaktif tersebut sehingga massanya menjadi 3,125 gram adalah 30 tahun.

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>ipky2cuzj5js1bigqzv2nu8d44kocur</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107773</id>
      <parentid>107772</parentid>
      <timestamp>2025-06-25T12:48:01Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107773</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4250" sha1="q9wqwa6v7i8i8e35eps208z082vwsih" xml:space="preserve">== Pertumbuhan ==
; linier: &lt;math&gt;P_n = P_o (1+in)&lt;/math&gt;
; eksponensial: &lt;math&gt;P_n = P_o (1+i)^n&lt;/math&gt;

keterangan:
# Pn = nilai besaran setelah n periode
# Po = nilai besaran di awal periode
# i = tingkat pertumbuhan
# n = banyaknya periode pertumbuhan

contoh

# Penduduk di suatu kota X mencapai 2 juta jiwa pada tahun 
2020. Bila jumlah penduduk meningkat dengan laju 2% per tahun, maka berapa banyaknya penduduk di kota tersebut pada tahun 2025?

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
P_o &amp;= 2.000.000 \\
i &amp;= 0,02 \\
n &amp;= 2025-2020 = 5 \\

P_n &amp;= P_o (1+i)^n \\
P_5 &amp;= 2.000.000 (1+0,02)^5 \\
 &amp;= 2.000.000(1,02)^5 \\
 &amp;= 2.208.162 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

Jadi penduduk di kota X pada tahun 2025 diperkirakan sebanyak 2.208.162 jiwa.

# Diketahui tingkat pertumbuhan penduduk di suatu daerah adalah 10% per tahun. Berapa kenaikan jumlah penduduk dalam kurun waktu 4 tahun?

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
i &amp;= 0,01 \\
n &amp;= 4 \\

P_n &amp;= P_o (1+i)^n \\
P_4 &amp;= P_o (1+0,01)^4 \\
 &amp;= P_o(1,01)^4 \\
 &amp;= P_o(1,4641) \\
 &amp;= P_o(1 + 0,4641) \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

Jadi kenaikan jumlah penduduk dalam kurun waktu 4 tahun adalah 46,41%.

== Peluruhan ==
; linier: &lt;math&gt;P_n = P_o (1-in)&lt;/math&gt;
; eksponensial: &lt;math&gt;P_n = P_o (1-i)^n&lt;/math&gt;

keterangan:
# Pn = nilai besaran setelah n periode
# Po = nilai besaran di awal periode
# i = tingkat peluruhan
# n = banyaknya periode peluruhan

*khusus zat radioaktif
yaitu &lt;math&gt;N = N_o (\frac{1}{2})^n&lt;/math&gt; dengan &lt;math&gt;n = \frac{T}{t}&lt;/math&gt;

keterangan:
# N = banyaknya zat radioaktif yang tersisa
# No = banyaknya zat radioaktif mula-mula
# T = lamanya peluruhan
# t = waktu paruh

contoh
# Ketika sedang memeriksa seorang bayi yang menderita infeksi telinga, dokter spesialis THT (Telinga, Hidung, dan Tenggorokan) mendiagnosis bahwa mungkin terdapat 1.000.000 unit bakteri yang menginfeksi. Pemberian penisilin yang diresepkan dokter diperkirakan dapat membunuh 5% dari jumlah bakteri yang ada setiap 4 jam. Berapa jumlah bakteri setelah 12 jam akan tersisa?

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
P_o &amp;= 1.000.000 \\
i &amp;= 0,05 \\
n &amp;= \frac{12}{4} = 3 \\

P_n &amp;= P_o (1-i)^n \\
P_3 &amp;= 1.000.000 (1-0,05)^3 \\
 &amp;= 1.000.000(0,95)^3 \\
 &amp;= 857.375 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

Jadi jumlah bakteri setelah 12 jam akan tersisa 857.375 unit.

# Suatu radioaktif mineral meluruh secara eksponensial dengan laju peluruhan 8% setiap jam. Berapa persentase kadar radioaktif mineral tersebut setelah 3 jam?

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
i &amp;= 0,08 \\
n &amp;= 3 \\

P_n &amp;= P_o (1-i)^n \\
P_4 &amp;= P_o (1-0,08)^3 \\
 &amp;= P_o(0,92)^3 \\
 &amp;= P_o(0,7787) \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

Jadi persentase kadar radioaktif mineral tersebut setelah 3 jam adalah 77,87%.

# Suatu zat radioaktif dengan massa 200 gram memiliki waktu paruh 5 tahun. Berapa tahun waktu yang diperlukan zat radioaktif tersebut sehingga massanya menjadi 3,125 gram?

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
N_o &amp;= 200 \\
N &amp;= 3,125 \\
t &amp;= 5 \\

N &amp;= N_o (\frac{1}{2})^n \\
3,125 &amp;= 200 (\frac{1}{2})^n \\
\frac{3,125}{200} &amp;= ({\frac{1}{2}})^n \\
\frac{1}{64} &amp;= ({\frac{1}{2}})^n \\
({\frac{1}{2}})^6 &amp;= ({\frac{1}{2}})^n \\
n &amp;= 6 \\

T &amp;= nt \\
&amp;= 6 \cdot 5 \\
&amp;= 30 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

Jadi waktu yang diperlukan zat radioaktif tersebut sehingga massanya menjadi 3,125 gram adalah 30 tahun.

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>q9wqwa6v7i8i8e35eps208z082vwsih</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Resep:Sop mutiara</title>
    <ns>100</ns>
    <id>25845</id>
    <revision>
      <id>107774</id>
      <timestamp>2025-06-25T13:10:10Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Volstand</username>
        <id>31387</id>
      </contributor>
      <comment>←Membuat halaman berisi ''''Sop mutiara''' merupakan makanan tradisional [[Indonesia]] yang berasal dari [[w:Kalimantan Selatan|Kalimantan Selatan]]. Sup mutiara adalah hasil akulturasi budaya [[w:Tionghoa|Tionghoa]] peranakan yang sudah membaur dengan warga lokal di [[Banjarmasin]], hal ini menjadikan sop mutiara menu wajib pada saat hari raya [[w:Tahun Baru Imlek|imlek]] ataupun perayaan penting masyarakat Tionghoa di Kaimantan Selatan.&lt;ref&gt;{{Cite web|last=Handayani|first=Dwi Ayu|title...'</comment>
      <origin>107774</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3127" sha1="ppw8hmxqz87wawsw419q2ecr13nnkrg" xml:space="preserve">'''Sop mutiara''' merupakan makanan tradisional [[Indonesia]] yang berasal dari [[w:Kalimantan Selatan|Kalimantan Selatan]]. Sup mutiara adalah hasil akulturasi budaya [[w:Tionghoa|Tionghoa]] peranakan yang sudah membaur dengan warga lokal di [[Banjarmasin]], hal ini menjadikan sop mutiara menu wajib pada saat hari raya [[w:Tahun Baru Imlek|imlek]] ataupun perayaan penting masyarakat Tionghoa di Kaimantan Selatan.&lt;ref&gt;{{Cite web|last=Handayani|first=Dwi Ayu|title=Kaya Rasa dan Sejarah! Resep Sop Mutiara Khas Banjarmasin ala Devy Anastasia yang Lezat Banget|url=https://jurnalgaya.pikiran-rakyat.com/leisure/pr-808587536/kaya-rasa-dan-sejarah-resep-sop-mutiara-khas-banjarmasin-ala-devy-anastasia-yang-lezat-banget|website=Jurnal Gaya|language=id|access-date=2025-06-25}}&lt;/ref&gt; Sop mutiara ini terdiri dari perpaduan ayam yang dibentuk menjadi bulatan kecil seperti [[w:mutiara|mutiara]] dengan kuah kaldu ayam yang dicampur dengan [[w:susu evaporasi|susu evaporasi]] yang dilengkapi dengan [[w:wortel|wortel]], [[w:kacang polong|kacang polong]] dan [[w:sosis|sosis]].&lt;ref&gt;{{Cite web|last=Liputan6.com|date=2025-02-26|title=3 Resep Sup Mutiara, Menu Berkuah Lezat Khas Banjarmasin|url=https://www.liputan6.com/lifestyle/read/5935082/3-resep-sup-mutiara-menu-berkuah-lezat-khas-banjarmasin|website=liputan6.com|language=id|access-date=2025-06-25}}&lt;/ref&gt;

==Bahan==

* 400 gram filet ayam yang telah dihaluskan
* 1 buah kentang rebus yang sudah dihaluskan
* 2 butir kuning telur
* 60 gram susu bubuk
* 1/2 sendok teh lada bubuk
* 1/2 sendok teh pala bubuk
* 1½ sendok teh garam
* 1½ sendok gula
* 80 gram margarin
* Susu bubuk secukupnya

==Bumbu==

* 2 liter kaldu ayam
* 3 buah wortel yang telah dipotong kotak
* 50 gram makaroni
* 1 kaleng kacang polong
* 7 buah sosis sapi yang dipotong sesuai selera
* 1 buah bawang baombay yang dicincang kasar
* 3 siung bawang putih yang dicincang halus
* 3 sendok makan margarin untuk menumis
* 1/2 susu evaporasi
* 1/2 sendok teh pala bubuk
* Garam secukupnya
* Gula secukupnya
* Penyedap rasa secukupnya

== Cara membuat ==
# Campurkan filet ayam dan kentang yang sudah dihaluskan dengan mentega, susu bubuk, dan kuning telur. 
# Aduk rata campuran tadi kemudian beri garam, gula, lada dan pala bubuk.
# Jika sudah tercampur rata, bentuk bulat adonan seperti kelerang atau muriara.
# Rebus adonan dalam air yangg mendidih dan masak adonan tadi hingga mengapung lalu sisihkan
# Tumis bawang bombay dan bawang putih dengan mentega sampai harum, lalu masukkan kaldu ayam.
# Masukkan makaroni dan wortel kemudian masak hingga agak lunak.
# Masukkan kacang polong, sosis dan pentol mutiara.
# Tambahkan garam, gula, lada, pala dan penyedap rasa secukupnya.
# Tambahkan susu UHT ataupun susu evaporasi lalu masak hingga mendidih.
# Sajikan dengan daun bawang dan bawang goreng.&lt;ref&gt;{{Cite web|date=2022-03-20|title=Resep Sop Mutiara Khas Banjar oleh Erlina Arya|url=https://cookpad.com/id/resep/16081307|website=Cookpad|language=id|access-date=2025-06-25}}&lt;/ref&gt;


{{wikipedia|Sop mutiara}} 

== Referensi ==
&lt;references /&gt;

[[Kategori:WikiBalalah II]]
[[Kategori:Makanan tradisional]]</text>
      <sha1>ppw8hmxqz87wawsw419q2ecr13nnkrg</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pengguna:Nunoguevara</title>
    <ns>2</ns>
    <id>25846</id>
    <revision>
      <id>107798</id>
      <timestamp>2025-06-26T11:20:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <comment>←Membuat halaman berisi '{{#babel:id-n|en-3|es-1}} Halo! Nama saya Nuno Guevara, saya adalah seorang pelajar dan seorang INTP-T, saya sendiri berasal dari [https://id.m.wikipedia.org/wiki/Kota_Surabaya Surabaya], [https://id.m.wikipedia.org/wiki/Indonesia Indonesia]. Saya pribadi juga suka menulis dan menjelajahi [[Wikibuku]]!  ==Proyek== Saya berencana untuk mengembangkan proyek seperti  * Pembuatan buku [[Bahasa Spanyol 101: Untuk Pemula]]'</comment>
      <origin>107798</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="420" sha1="4zpi6dgapvxmemqzrp6k6htc5acv9t9" xml:space="preserve">{{#babel:id-n|en-3|es-1}}
Halo! Nama saya Nuno Guevara, saya adalah seorang pelajar dan seorang INTP-T, saya sendiri berasal dari [https://id.m.wikipedia.org/wiki/Kota_Surabaya Surabaya], [https://id.m.wikipedia.org/wiki/Indonesia Indonesia]. Saya pribadi juga suka menulis dan menjelajahi [[Wikibuku]]!

==Proyek==
Saya berencana untuk mengembangkan proyek seperti 
* Pembuatan buku [[Bahasa Spanyol 101: Untuk Pemula]]</text>
      <sha1>4zpi6dgapvxmemqzrp6k6htc5acv9t9</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107799</id>
      <parentid>107798</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T11:20:43Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <origin>107799</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="453" sha1="293vkhku8kqe6618p1fopfbxnq19fmf" xml:space="preserve">{{#babel:id-n|en-3|es-1}}
Halo! Nama saya Nuno Guevara, saya adalah seorang pelajar dan seorang INTP-T, saya sendiri berasal dari [https://id.m.wikipedia.org/wiki/Kota_Surabaya Surabaya], [https://id.m.wikipedia.org/wiki/Indonesia Indonesia]. Saya pribadi juga suka menulis dan menjelajahi [[Wikibuku]]!

==Proyek==
Saya berencana untuk mengembangkan proyek seperti 
* Pembuatan buku [[Bahasa Spanyol 101: Untuk Pemula|Bahasa Spanyol 101: untuk Pemula]]</text>
      <sha1>293vkhku8kqe6618p1fopfbxnq19fmf</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107800</id>
      <parentid>107799</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T11:21:50Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <origin>107800</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="461" sha1="01nyrousnwu7yudcb26ah0iymdqnmu2" xml:space="preserve">{{#babel:id-n|en-3|es-1}}
Halo! Nama saya Nuno Guevara, saya adalah seorang pelajar dan seorang INTP-T, saya sendiri berasal dari [https://id.m.wikipedia.org/wiki/Kota_Surabaya Surabaya], [https://id.m.wikipedia.org/wiki/Indonesia Indonesia]. Saya pribadi juga suka menulis dan menjelajahi [[Wikibuku]]!

==Proyek==
Saya berencana untuk mengembangkan proyek seperti 
* Pembuatan buku [[Bahasa Spanyol 101: Untuk Pemula|Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula]]</text>
      <sha1>01nyrousnwu7yudcb26ah0iymdqnmu2</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula</title>
    <ns>0</ns>
    <id>25847</id>
    <revision>
      <id>107802</id>
      <timestamp>2025-06-26T11:45:41Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <comment>←Membuat halaman berisi '&lt;div style=&quot;background-color:white;color:black;border-radius:4px;padding:10px;&quot;&gt; ===Kata Pengantar===  Bahasa Spanyol, adalah bahasa yang digunakan oleh lebih dari 500 juta orang merupakan penutur bahasa ini (termasuk penutur ''non-native''). Karena jumlah penuturnya yang besar, maka bahasa Spanyol dapat menjadi bahasa yang relevan untuk dipelajari selain bahasa Inggris, terutama untuk menghadapi era globalisasi saat ini.  ===Daftar Isi=== * Bab 1: Pembukaan (Pem...'</comment>
      <origin>107802</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1038" sha1="mhwqnlejlsmz1paa1yz5gqt952jqzug" xml:space="preserve">&lt;div style=&quot;background-color:white;color:black;border-radius:4px;padding:10px;&quot;&gt;
===Kata Pengantar===

Bahasa Spanyol, adalah bahasa yang digunakan oleh lebih dari 500 juta orang merupakan penutur bahasa ini (termasuk penutur ''non-native''). Karena jumlah penuturnya yang besar, maka bahasa Spanyol dapat menjadi bahasa yang relevan untuk dipelajari selain bahasa Inggris, terutama untuk menghadapi era globalisasi saat ini.

===Daftar Isi===
* Bab 1: Pembukaan (Pemula tingkat dasar)
# [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Alfabet dalam bahasa Spanyol|Alfabet dalam bahasa Spanyol]]
# Ucapan salam
## [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Kosakata dasar dalam ucapan salam|Kosakata dasar]]
## [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Contoh percakapan dalam ucapan salam|Contoh percakapan]]
# Berkenalan
## [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Kosakata dasar dalam berkenalan/Kosakata dasar|Kosakata dasar]]
## [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Contoh percakapan dalam ucapan salam|Contoh percakapan]]
&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>mhwqnlejlsmz1paa1yz5gqt952jqzug</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>