Soal-Soal Matematika

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11.xsd" version="0.11" xml:lang="id">
  <siteinfo>
    <sitename>Wikibuku</sitename>
    <dbname>idwikibooks</dbname>
    <base>https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama</base>
    <generator>MediaWiki 1.45.0-wmf.7</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">Media</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">Istimewa</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">Pembicaraan</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">Pengguna</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">Pembicaraan Pengguna</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">Wikibuku</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">Pembicaraan Wikibuku</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">Berkas</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">Pembicaraan Berkas</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">MediaWiki</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">Pembicaraan MediaWiki</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">Templat</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">Pembicaraan Templat</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">Bantuan</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">Pembicaraan Bantuan</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">Kategori</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">Pembicaraan Kategori</namespace>
      <namespace key="100" case="first-letter">Resep</namespace>
      <namespace key="101" case="first-letter">Pembicaraan Resep</namespace>
      <namespace key="102" case="first-letter">Wisata</namespace>
      <namespace key="103" case="first-letter">Pembicaraan Wisata</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">Modul</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">Pembicaraan Modul</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika</title>
    <ns>0</ns>
    <id>3830</id>
    <revision>
      <id>107881</id>
      <parentid>107708</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T07:58:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107881</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4622" sha1="b2txc2mdyg7ou343gcwipbkbdhatbbc" xml:space="preserve">{{DISPLAYTITLE:&lt;span style=&quot;display:block;text-align:center;font-size:200%;font-style:bold;background: #E5FFFF;line-height:1em;-moz-border-radius: 15px; -webkit-border-radius: 15px; border-radius: 15px; {{gradient|#F8737F|#CD1648|horizontal}}&quot;&gt;Soal-Soal Matematika&lt;/span&gt;}}

&lt;div style=&quot;border:0; -moz-box-shadow: 0 1px 3px rgba(0, 0, 0, 0.35); -webkit-box-shadow: 0 1px 3px rgba(0, 0, 0, 0.35); box-shadow: 0 1px 3px rgba(0, 0, 0, 0.35); -moz-border-radius: 7px; -webkit-border-radius: 7px; border-radius: 7px; background: #fff; background: -moz-linear-gradient(top, #fff 75%, #F5F5F5 100%); background: -webkit-gradient(linear, left top, left bottom, color-stop(75%,#fff), color-stop(100%,#F5F5F5)); background: -webkit-linear-gradient(top, #fff 75%,#F5F5F5 100%); background: -o-linear-gradient(top, #fff 75%,#F5F5F5 100%); background: -ms-linear-gradient(top, #fff 75%,D5D5F5 100%); background: linear-gradient(top, #fff 75%,#fff 100%); height:auto; padding-left:10px; padding-right:10px; padding-bottom:5px; padding-top:5px; margin:5px 5px 5px 5px; {{{style|}}}&quot;&gt;

* [[/Pendahuluan/|Pendahuluan]]

NB: Anda bisa membuat soal tetapi berurutan temanya yang diajarkan sekolah dan perguruan tinggi (terpisah artikelnya) lalu dimulainya dari soal paling mudah kemudian sedang dan terakhir sulit.

==Daftar isi==
; Aljabar
* [[/Bilangan/|Bilangan]]
** [[/Operasi hitung/|Operasi hitung]] 
*** bilangan cacah dan asli
*** bilangan bulat
*** bilangan pecahan
*** bilangan rasional
*** bilangan kompleks
** Barisan dan deret
*** [[/Barisan dan deret aritmatika/|Barisan dan deret aritmatika]]
*** [[/Barisan dan deret geometri/|Barisan dan deret geometri]]
* [[/Akar dan pangkat/|Akar dan pangkat]]
* [[/KPK dan FPB/|KPK dan FPB]]
* [[/Pengukuran satuan/|Pengukuran satuan]]
** Baku (Massa, panjang, waktu, dsb)
** Tidak baku (patok, kaki, depa, dsb)
* [[/Perbandingan/|Perbandingan]]
** Umum, senilai, berbanding nilai, dan skala peta
* [[/Himpunan/|Himpunan]]
* [[/Relasi/|Relasi]]
* [[/Fungsi/|Fungsi]]
** [[/Fungsi komposisi/|Fungsi komposisi]]
** [[/Fungsi invers/|Fungsi invers]]
* [[/Polinomial/|Polinomial/suku banyak]]
* [[/Irisan kerucut/|Irisan kerucut]]
** Persamaan linear/garis lurus
## [[/Persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel/|Persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel]] (SPLSV)
## [[/Persamaan linear dua variabel/|Persamaan linear dua variabel]] (SPLDV)
## [[/Persamaan linear tiga variabel/|Persamaan linear tiga variabel]] (SPLTV)
** [[/Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat/|Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat/parabola]]
** [[/Persamaan lingkaran/|Persamaan lingkaran]]
** [[/Persamaan elips/|Persamaan elips]]
** [[/Persamaan hiperbola/|Persamaan hiperbola]]
** [[/Sistem persamaan dan pertidaksamaan/|Sistem persamaan dan pertidaksamaan]]
## Mutlak
## Akar
## Pecahan
** [[/Program linear/|Program linear]]
* [[/Eksponen dan logaritma/|Eksponen dan logaritma]]
** [[/Persamaan dan pertidaksamaan eksponen dan logaritma/|Persamaan dan pertidaksamaan eksponen dan logaritma]]
* [[/Pertumbuhan dan peluruhan/| Pertumbuhan dan peluruhan]]

; Geometri dan Trigonometri
* [[/Pengukuran sudut/|Pengukuran sudut]]
* [[/Bangun datar/|Bangun datar]]
** [[/Keliling bangun datar/|Keliling bangun datar]]
** [[/Luas bangun datar/|Luas bangun datar]]
* [[/Bangun ruang/|Bangun ruang]]
** [[/Luas permukaan bangun ruang/|Luas permukaan bangun ruang]]
** [[/Volume bangun ruang/|Volume bangun ruang]]
** [[/Sudut dan jarak bangun ruang/|Sudut dan jarak bangun ruang]]
* [[/Trigonometri/|Trigonometri]] 
** [[/Persamaan dan pertidaksamaan trigonometri/|Persamaan dan pertidaksamaan trigonometri]]

; Aljabar Linear
* [[/Matriks/|Matriks]]
* [[/Vektor/|Vektor]]
* [[/Matriks transformasi/|Matriks transformasi]]
* [[/Fungsi transformasi/|Fungsi transformasi]]

; Metode Statistika
* [[/Permutasi dan kombinasi/|Permutasi dan kombinasi]]
* [[/Peluang/|Peluang]]
* [[/Analisis Data|Analis Data]]
* [[/Statistika/|Statistika]]
* [[/Logika matematika/|Logika matematika]]
* [[/Notasi sigma dan induksi matematika/|Notasi sigma dan induksi matematika]]

; Kalkulus
* [[/Limit/|Limit]]
* [[/Kekontinuan/|Kekontinuan]]
* [[/Diferensial/|Diferensial]]
* [[/Integral/|Integral]]

; Penerapan Ekonomi
* [[/Perdagangan ekonomi/|Perdagangan ekonomi]]
** Untung, rugi, diskon, neto (berat bersih), tara (nilai kotor), dan bruto (berat kotor)
* [[/Modal dan bunga/|Modal dan bunga]]

; Penerapan model olimpiade sains nasional [OSN] (matematika)
* [[OSN Sekolah Dasar]]
* [[OSN Sekolah Menengah Pertama]]
* [[OSN Sekolah Menengah Atas]]

==Lihat juga==
* [[Subjek:Matematika]]

[[Kategori:Soal-Soal Matematika| ]]</text>
      <sha1>b2txc2mdyg7ou343gcwipbkbdhatbbc</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Catatan Dokter Muda/Ilmu Farmasi Kedokteran</title>
    <ns>0</ns>
    <id>5785</id>
    <revision>
      <id>107834</id>
      <parentid>107792</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T13:15:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alfarq</username>
        <id>799</id>
      </contributor>
      <comment>/* Daftar Obat (2) */</comment>
      <origin>107834</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11530" sha1="6v0sygvkr7g77wcjmd6o0es4n2yamvg" xml:space="preserve">{{Wikipedia|Farmasi}}

== Istilah Latin ==
=== Uc ===
* ℞ (racipe): Ambillah.
* Supp (suppositorium): Supositoria, gentel.
* No (nomero): Jumlah, sejumlah.
* S (signa): Tanda, tandai, tandailah.
* Uc (usus cognitus): Pemakaian diketahui.
* Pro: Untuk.

 ℞ Miconazole 2% cream tube No. I
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (20 tahun)

 ℞ Anusol supp No. V
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. A (21 tahun)

=== Imm ===
* Imm (in manus medicine): Serahkan ke tangan paramedis (dokter, perawat, bidan, mantri).
* Inf (infus): Infus.
* Flab (flabot): Flabot.

 ℞ Natrium Chlorida 0,9% inf flab No. III
    Abbocath no. 22                No. I
    Cum infus set                  No. I
    S imm
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. B (22 tahun)

=== Prn ===
* Tab (tabletta, tabella): Tablet.
* Mg (miligram): Miligram.
* Prn (pro renatera), sns (si necesse sit): Jika perlu. Singkatan ini digunakan untuk obat-obat simtomatis (penghilang gejala).
* Dd (de die): Tiap hari, setiap hari.
* Aggr febr (agrediante febre): saat demam.

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn 1–3 dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

'''Perhatian:'''
* Penulisan setelah Signa tanpa tanda kurung. Berikut adalah penulisan yang salah:

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn (1–3) dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

=== Up ===
* Up (usus propius): Pemakaian sendiri (untuk dokter). Tidak perlu memakai Pro.

 ℞ Amoxycillin tab mg 500 No. X
    S up
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰

=== Dcf ===
* Dcf, dc form (da cun formula): Sesuai obat yang tertulis.
* Sol, solut (solutio): Larutan.

 ℞ Alkohol 70% sol fl No. I
    S imm dcf
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. E (25 tahun)

=== Sine confectiones ===
* Cap (capsule): Kapsul.
* Sine confectiones: Tanpa kemasan.

 ℞ Amoxsan cap mg 500 No. X (sine confectiones)
    S 3 dd cap I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. F (26 tahun)

=== Adde ===
* Adde: Tambahkan.
* Dry: Kering.
* Syr (syrupus): Sirup.
* Aq coct (aqua cocta): Air masak.
* Ad: Sampai, hingga.
* Cc (cubic centimetre): sentimeter kubik.
* C (cochlea): sendok makan (15 cc).
* Cth (cochlea tea): sendok teh (5 cc).

 ℞ Ampicillin dry syr fl No. I
    Adde aq coct ad cc 60
    S 3 dd cth I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. G (27 tahun)

=== Ad lib ===
* Ad lib, ad libit (ad libitum): Sesuka hati.

 ℞ Oralit sachet No. XX
    S ad lib
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. H (28 tahun)

=== Ac ===
* Ac (antec cibos, ante cibum, ante coenam): Sebelum makan.

 ℞ Antasida DOEN tab No. X
    S 3 dd tab I ac
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. I (29 tahun)

=== Dc ===
* Dc (durante coenam): Saat makan, ketika makan, selagi makan.

 ℞ Enzyplex tab No. XII
    S 3 dd tab I dc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. J (30 tahun)

=== Pc ===
* Pc (post coenam): Setelah makan, sesudah makan, sehabis makan.

 ℞ Rifampicin tab mg 450 No. VII
    S 1 dd tab I pc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. K (31 tahun)

=== Hora spatio ===
* Octa: Delapan.
* Hora spatio: Selang sekian jam.
* Octa hora spatio: Selang delapan jam.

 ℞ Chloramphenicol cap mg 500 No. X
    S 3 dd cap I octa hora spatio
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. L (32 tahun)

=== Agita ante sumendum ===

Agita ante sumendum: kocok sebelum digunakan

R/ Mylanta Syr fl no I
ʃ 3 dd CI ac agitatio ante sumundum
----
Pro: Tn J (29th)

=== Hora ieiune ===
Saat perut kosong

=== Sive simile ===
* Boleh diganti
* Obat paten boleh diganti dengan obat paten lain dengan kandungan, bentuk, sediaan, dan dosis yang sama

=== Mds ===

=== use know ===

=== Da in caps ===
dimasukkan ke dalam kapsul

=== Cum ===

=== Cito, Urgent, PIM (Periculum In Mora) ===
Segera, Penting, Berbahaya bila ditunda. Resep yang terdapat tanda seperti diatas, meskipun masuk belakangan harus di dahulukan pengerjaannya. 
(Ilmu Meracik Obat Teori dan Praktik, Moh. Anief, Gadjah Mada University Presentasi, 1987, Halaman 7)

=== Iter ===
Diulang

=== Ne iter ===
tidak boleh diulang

=== Qs ===
quantum satis (secukupnya)

=== Ad gram 20 ===
Hingga 20 g

=== Ante defecatio ===
Sebelum defekasi

=== Omni noctem per vaginal ===

== Daftar Obat (1) ==
# Cefixime Trihydrate kapsul 100 mg 2 x 1
# Loperamide HCl tablet 2 mg 3 x 1 (Stop jika sudah tidak diare)
# Omeprazole (OMZ) 20 mg kapsul pelepasan lambat 2 x 1
# Paracetamol tablet 500 mg 3 x 1
# Zinc dispersible tablet 20 mg 1 x 1

== Daftar Obat (2) ==
{| {{Prettytable}}
! Merk
! Kandungan
|-
| Acifar
|
* Acyclovir
|-
| Alleron
|
* Chlorpheniramina maleat 4 mg
|-
| Alofar 100
|
* Allopurinol 100 mg
|-
| Alofar 300
|
* Allopurinol 300 mg
|-
| Aspilet
|
* Asam asetilsalisilat (Aspirin)
|-
| Akita
|
* Attapulgite 600 mg
* Pektin 50 mg
|-
| Beneuron
|
* Vitamin B1 (Thiamine Mononitrate) 100 mg
* Vitamin B6 (Pyridoxine Hydrochloride) 200 mg
* Vitamin B12 (Cyanocobalamin) 200 mcg
|-
| Arkavit-C
|
* Vitamin B1 (Tiamin) 50 mg
* Vitamin B2 (Riboflavin) 25 mg
* Vitamin B3 (Niasin) 50 mg
* Vitamin B5 (Asam pantotenat) 20 mg
* Vitamin B6 (Piridoksin) 10 mg
* Vitamin B12 (Sianokonalamin) 5 mcg
* Vitamin C (Asam askorbat) 500 mg
|-
| Bufacaryl
|
* Dexamethasone 0,5 mg
* Dexchlorpheniramine maleate 2 mg
|-
| Cavicur
|
* Ekstrak Curcuma xanthorriza (temulawak) 20 mg (mengandung curcuminoid ~15%)
* Vitamin A palmitat
* Vitamin B1, B2, B6, B12
* Vitamin D
* Calsium pantothenate
* Calsium glycerophosphate
* Cod liver oil
|-
| Cavicur Syr
| Tiap 5 ml mengandung:
* Ekstrak Curcuma xanthorrhiza 10 mg
* Vitamin A palmitat 850 IU
* Vitamin B1 (tiamin HCl) 3 mg
* Vitamin B2 (riboflavin) 1,5 mg
* Vitamin B6 (piridoksin HCl) 0,5 mg
* Vitamin B12 5 mcg
* Vitamin D 100 IU
* Calsium pantothenate 5 mg
* Calsium glycerophosphate 100 mg
* Cod liver oil (ekstrak minyak ikan kod) 2,5 mg
|-
| Caviplex
|
* Vitamin
** A 4.000 IU
** D3 400 IU
** B1 3 mg, B2 3-4 mg, B6 4 mg, B12 12 mcg
** C 75 mg
** E 10 mg
** B3 (Nikotinamid) 20 mg
** B5 (Ca pantotenat) 5 mg
** Biotin 0,1 mg
** Asam folat 1 mg
* Mineral &amp; lainnya
** Zat besi (Fe) ~30-90 mg
** Kalsium (Ca) ~70-100 mg
** Magnesium ~25-87,5 mg
** Zinc 15 mg
** Tembaga 0,5 mg
** Mangan 0,5 mg
** Fluor 0,5 mg
** Iodium 0,15 mg
** Asam glutamat 50 mg
|}

# Cardipin 5
# Cardipin 10
# Carmeson 4
# Carmeson 8
# Cendo Cenfresh
# Cendo Eyefresh
# Cendo Genta
# Cendo Lytrees
# Cendo Timol
# Cendo Xitrol
# Dionicol
# Dionicol Syr
# Demacolin
# Dexaharsen 0,5
# Dexyl Syr
# Etaflusin
# Etambion
# Farsifen 400
# Farsifen 100 ml/5 ml Ifar
# Farsifen Plus
# Fasidol
# Fasidol 100 mg/5 ml Ifar
# Fasidol Drop
# Fasidol Forte
# Fasiprim Forte
# Flutop-C Syr
# Grafazol
# Gencetron 8
# Gencobal
# Oxicobal
# Histigo
# Grantusif
# Hufamag Plus
# Hufagrip Forte
# Intunal-F
# Infalgin
# Inamid 2
# Lerzin 10
# Lecozink Syr
# Laxana 5
# Lodecon
# Lokev
# Loctacef 125 mg/5 ml
# Nexitra
# Novakal
# Omedom
# Relaxon
# Suprabiotik
# Spasminal
# Teosal
# Tifestan Forte
# Samcodin
# Vesperum Syr
# Vosea 5
# Vosea Syr
# Yekaprim Syr
# Yusimox Syr
# Zengesic
# Zelona 50

== Daftar Pustaka ==
# {{id}} Ikatan Apoteker Indonesia. Informasi Spesialite Obat Indonesia. Volume 45 – 2010 s/d 2011. Jakarta: PT. ISFI Penerbitan; 2010. ISSN 0854-4492.

== Pranala Luar ==
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16 Blok 4 – Metabolisme Obat dan Nutrisi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201 Blok 7 – Imunologi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392 Blok 9 – Neoplasma] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479 Blok 10 – Sistema Saraf] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575 Blok 12 – Sistem Respirasi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766 Blok 16 – Sistem Reproduksi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905 Blok 18 – Mata] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353 Blok 21 – Pediatri] [diakses 2012 Mar 2]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353.

{{Catatan Dokter Muda-Stase}}

[[Kategori:Stase|{{SUBPAGENAME}}]]</text>
      <sha1>6v0sygvkr7g77wcjmd6o0es4n2yamvg</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107835</id>
      <parentid>107834</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T13:19:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alfarq</username>
        <id>799</id>
      </contributor>
      <comment>/* Daftar Obat (2) */</comment>
      <origin>107835</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11577" sha1="n63ptx277sx2gnm5g3leljid9540tnj" xml:space="preserve">{{Wikipedia|Farmasi}}

== Istilah Latin ==
=== Uc ===
* ℞ (racipe): Ambillah.
* Supp (suppositorium): Supositoria, gentel.
* No (nomero): Jumlah, sejumlah.
* S (signa): Tanda, tandai, tandailah.
* Uc (usus cognitus): Pemakaian diketahui.
* Pro: Untuk.

 ℞ Miconazole 2% cream tube No. I
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (20 tahun)

 ℞ Anusol supp No. V
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. A (21 tahun)

=== Imm ===
* Imm (in manus medicine): Serahkan ke tangan paramedis (dokter, perawat, bidan, mantri).
* Inf (infus): Infus.
* Flab (flabot): Flabot.

 ℞ Natrium Chlorida 0,9% inf flab No. III
    Abbocath no. 22                No. I
    Cum infus set                  No. I
    S imm
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. B (22 tahun)

=== Prn ===
* Tab (tabletta, tabella): Tablet.
* Mg (miligram): Miligram.
* Prn (pro renatera), sns (si necesse sit): Jika perlu. Singkatan ini digunakan untuk obat-obat simtomatis (penghilang gejala).
* Dd (de die): Tiap hari, setiap hari.
* Aggr febr (agrediante febre): saat demam.

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn 1–3 dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

'''Perhatian:'''
* Penulisan setelah Signa tanpa tanda kurung. Berikut adalah penulisan yang salah:

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn (1–3) dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

=== Up ===
* Up (usus propius): Pemakaian sendiri (untuk dokter). Tidak perlu memakai Pro.

 ℞ Amoxycillin tab mg 500 No. X
    S up
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰

=== Dcf ===
* Dcf, dc form (da cun formula): Sesuai obat yang tertulis.
* Sol, solut (solutio): Larutan.

 ℞ Alkohol 70% sol fl No. I
    S imm dcf
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. E (25 tahun)

=== Sine confectiones ===
* Cap (capsule): Kapsul.
* Sine confectiones: Tanpa kemasan.

 ℞ Amoxsan cap mg 500 No. X (sine confectiones)
    S 3 dd cap I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. F (26 tahun)

=== Adde ===
* Adde: Tambahkan.
* Dry: Kering.
* Syr (syrupus): Sirup.
* Aq coct (aqua cocta): Air masak.
* Ad: Sampai, hingga.
* Cc (cubic centimetre): sentimeter kubik.
* C (cochlea): sendok makan (15 cc).
* Cth (cochlea tea): sendok teh (5 cc).

 ℞ Ampicillin dry syr fl No. I
    Adde aq coct ad cc 60
    S 3 dd cth I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. G (27 tahun)

=== Ad lib ===
* Ad lib, ad libit (ad libitum): Sesuka hati.

 ℞ Oralit sachet No. XX
    S ad lib
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. H (28 tahun)

=== Ac ===
* Ac (antec cibos, ante cibum, ante coenam): Sebelum makan.

 ℞ Antasida DOEN tab No. X
    S 3 dd tab I ac
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. I (29 tahun)

=== Dc ===
* Dc (durante coenam): Saat makan, ketika makan, selagi makan.

 ℞ Enzyplex tab No. XII
    S 3 dd tab I dc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. J (30 tahun)

=== Pc ===
* Pc (post coenam): Setelah makan, sesudah makan, sehabis makan.

 ℞ Rifampicin tab mg 450 No. VII
    S 1 dd tab I pc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. K (31 tahun)

=== Hora spatio ===
* Octa: Delapan.
* Hora spatio: Selang sekian jam.
* Octa hora spatio: Selang delapan jam.

 ℞ Chloramphenicol cap mg 500 No. X
    S 3 dd cap I octa hora spatio
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. L (32 tahun)

=== Agita ante sumendum ===

Agita ante sumendum: kocok sebelum digunakan

R/ Mylanta Syr fl no I
ʃ 3 dd CI ac agitatio ante sumundum
----
Pro: Tn J (29th)

=== Hora ieiune ===
Saat perut kosong

=== Sive simile ===
* Boleh diganti
* Obat paten boleh diganti dengan obat paten lain dengan kandungan, bentuk, sediaan, dan dosis yang sama

=== Mds ===

=== use know ===

=== Da in caps ===
dimasukkan ke dalam kapsul

=== Cum ===

=== Cito, Urgent, PIM (Periculum In Mora) ===
Segera, Penting, Berbahaya bila ditunda. Resep yang terdapat tanda seperti diatas, meskipun masuk belakangan harus di dahulukan pengerjaannya. 
(Ilmu Meracik Obat Teori dan Praktik, Moh. Anief, Gadjah Mada University Presentasi, 1987, Halaman 7)

=== Iter ===
Diulang

=== Ne iter ===
tidak boleh diulang

=== Qs ===
quantum satis (secukupnya)

=== Ad gram 20 ===
Hingga 20 g

=== Ante defecatio ===
Sebelum defekasi

=== Omni noctem per vaginal ===

== Daftar Obat (1) ==
# Cefixime Trihydrate kapsul 100 mg 2 x 1
# Loperamide HCl tablet 2 mg 3 x 1 (Stop jika sudah tidak diare)
# Omeprazole (OMZ) 20 mg kapsul pelepasan lambat 2 x 1
# Paracetamol tablet 500 mg 3 x 1
# Zinc dispersible tablet 20 mg 1 x 1

== Daftar Obat (2) ==
{| {{Prettytable}}
! Merk
! Kandungan
|-
| Acifar
|
* Acyclovir
|-
| Alleron
|
* Chlorpheniramina maleat 4 mg
|-
| Alofar 100
|
* Allopurinol 100 mg
|-
| Alofar 300
|
* Allopurinol 300 mg
|-
| Aspilet
|
* Asam asetilsalisilat (Aspirin)
|-
| Akita
|
* Attapulgite 600 mg
* Pektin 50 mg
|-
| Beneuron
|
* Vitamin B1 (Thiamine Mononitrate) 100 mg
* Vitamin B6 (Pyridoxine Hydrochloride) 200 mg
* Vitamin B12 (Cyanocobalamin) 200 mcg
|-
| Arkavit-C
|
* Vitamin B1 (Tiamin) 50 mg
* Vitamin B2 (Riboflavin) 25 mg
* Vitamin B3 (Niasin) 50 mg
* Vitamin B5 (Asam pantotenat) 20 mg
* Vitamin B6 (Piridoksin) 10 mg
* Vitamin B12 (Sianokonalamin) 5 mcg
* Vitamin C (Asam askorbat) 500 mg
|-
| Bufacaryl
|
* Dexamethasone 0,5 mg
* Dexchlorpheniramine maleate 2 mg
|-
| Cavicur
|
* Ekstrak Curcuma xanthorriza (temulawak) 20 mg (mengandung curcuminoid ~15%)
* Vitamin A palmitat
* Vitamin B1, B2, B6, B12
* Vitamin D
* Calsium pantothenate
* Calsium glycerophosphate
* Cod liver oil
|-
| Cavicur Syr
| Tiap 5 ml mengandung:
* Ekstrak Curcuma xanthorrhiza 10 mg
* Vitamin A palmitat 850 IU
* Vitamin B1 (tiamin HCl) 3 mg
* Vitamin B2 (riboflavin) 1,5 mg
* Vitamin B6 (piridoksin HCl) 0,5 mg
* Vitamin B12 5 mcg
* Vitamin D 100 IU
* Calsium pantothenate 5 mg
* Calsium glycerophosphate 100 mg
* Cod liver oil (ekstrak minyak ikan kod) 2,5 mg
|-
| Caviplex
|
* Vitamin
** A 4.000 IU
** D3 400 IU
** B1 3 mg, B2 3-4 mg, B6 4 mg, B12 12 mcg
** C 75 mg
** E 10 mg
** B3 (Nikotinamid) 20 mg
** B5 (Ca pantotenat) 5 mg
** Biotin 0,1 mg
** Asam folat 1 mg
* Mineral &amp; lainnya
** Zat besi (Fe) ~30-90 mg
** Kalsium (Ca) ~70-100 mg
** Magnesium ~25-87,5 mg
** Zinc 15 mg
** Tembaga 0,5 mg
** Mangan 0,5 mg
** Fluor 0,5 mg
** Iodium 0,15 mg
** Asam glutamat 50 mg
|-
| Cardipin 5
|
* Nifedipine 5 mg
|-
| Cardipin 10
|
* Nifedipine 10 mg
|}

# Carmeson 4
# Carmeson 8
# Cendo Cenfresh
# Cendo Eyefresh
# Cendo Genta
# Cendo Lytrees
# Cendo Timol
# Cendo Xitrol
# Dionicol
# Dionicol Syr
# Demacolin
# Dexaharsen 0,5
# Dexyl Syr
# Etaflusin
# Etambion
# Farsifen 400
# Farsifen 100 ml/5 ml Ifar
# Farsifen Plus
# Fasidol
# Fasidol 100 mg/5 ml Ifar
# Fasidol Drop
# Fasidol Forte
# Fasiprim Forte
# Flutop-C Syr
# Grafazol
# Gencetron 8
# Gencobal
# Oxicobal
# Histigo
# Grantusif
# Hufamag Plus
# Hufagrip Forte
# Intunal-F
# Infalgin
# Inamid 2
# Lerzin 10
# Lecozink Syr
# Laxana 5
# Lodecon
# Lokev
# Loctacef 125 mg/5 ml
# Nexitra
# Novakal
# Omedom
# Relaxon
# Suprabiotik
# Spasminal
# Teosal
# Tifestan Forte
# Samcodin
# Vesperum Syr
# Vosea 5
# Vosea Syr
# Yekaprim Syr
# Yusimox Syr
# Zengesic
# Zelona 50

== Daftar Pustaka ==
# {{id}} Ikatan Apoteker Indonesia. Informasi Spesialite Obat Indonesia. Volume 45 – 2010 s/d 2011. Jakarta: PT. ISFI Penerbitan; 2010. ISSN 0854-4492.

== Pranala Luar ==
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16 Blok 4 – Metabolisme Obat dan Nutrisi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201 Blok 7 – Imunologi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392 Blok 9 – Neoplasma] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479 Blok 10 – Sistema Saraf] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575 Blok 12 – Sistem Respirasi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766 Blok 16 – Sistem Reproduksi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905 Blok 18 – Mata] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353 Blok 21 – Pediatri] [diakses 2012 Mar 2]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353.

{{Catatan Dokter Muda-Stase}}

[[Kategori:Stase|{{SUBPAGENAME}}]]</text>
      <sha1>n63ptx277sx2gnm5g3leljid9540tnj</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107836</id>
      <parentid>107835</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T13:27:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alfarq</username>
        <id>799</id>
      </contributor>
      <comment>/* Daftar Obat (2) */</comment>
      <origin>107836</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11628" sha1="0jre9qyoddgenu7oretaepl9fnnghb7" xml:space="preserve">{{Wikipedia|Farmasi}}

== Istilah Latin ==
=== Uc ===
* ℞ (racipe): Ambillah.
* Supp (suppositorium): Supositoria, gentel.
* No (nomero): Jumlah, sejumlah.
* S (signa): Tanda, tandai, tandailah.
* Uc (usus cognitus): Pemakaian diketahui.
* Pro: Untuk.

 ℞ Miconazole 2% cream tube No. I
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (20 tahun)

 ℞ Anusol supp No. V
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. A (21 tahun)

=== Imm ===
* Imm (in manus medicine): Serahkan ke tangan paramedis (dokter, perawat, bidan, mantri).
* Inf (infus): Infus.
* Flab (flabot): Flabot.

 ℞ Natrium Chlorida 0,9% inf flab No. III
    Abbocath no. 22                No. I
    Cum infus set                  No. I
    S imm
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. B (22 tahun)

=== Prn ===
* Tab (tabletta, tabella): Tablet.
* Mg (miligram): Miligram.
* Prn (pro renatera), sns (si necesse sit): Jika perlu. Singkatan ini digunakan untuk obat-obat simtomatis (penghilang gejala).
* Dd (de die): Tiap hari, setiap hari.
* Aggr febr (agrediante febre): saat demam.

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn 1–3 dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

'''Perhatian:'''
* Penulisan setelah Signa tanpa tanda kurung. Berikut adalah penulisan yang salah:

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn (1–3) dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

=== Up ===
* Up (usus propius): Pemakaian sendiri (untuk dokter). Tidak perlu memakai Pro.

 ℞ Amoxycillin tab mg 500 No. X
    S up
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰

=== Dcf ===
* Dcf, dc form (da cun formula): Sesuai obat yang tertulis.
* Sol, solut (solutio): Larutan.

 ℞ Alkohol 70% sol fl No. I
    S imm dcf
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. E (25 tahun)

=== Sine confectiones ===
* Cap (capsule): Kapsul.
* Sine confectiones: Tanpa kemasan.

 ℞ Amoxsan cap mg 500 No. X (sine confectiones)
    S 3 dd cap I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. F (26 tahun)

=== Adde ===
* Adde: Tambahkan.
* Dry: Kering.
* Syr (syrupus): Sirup.
* Aq coct (aqua cocta): Air masak.
* Ad: Sampai, hingga.
* Cc (cubic centimetre): sentimeter kubik.
* C (cochlea): sendok makan (15 cc).
* Cth (cochlea tea): sendok teh (5 cc).

 ℞ Ampicillin dry syr fl No. I
    Adde aq coct ad cc 60
    S 3 dd cth I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. G (27 tahun)

=== Ad lib ===
* Ad lib, ad libit (ad libitum): Sesuka hati.

 ℞ Oralit sachet No. XX
    S ad lib
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. H (28 tahun)

=== Ac ===
* Ac (antec cibos, ante cibum, ante coenam): Sebelum makan.

 ℞ Antasida DOEN tab No. X
    S 3 dd tab I ac
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. I (29 tahun)

=== Dc ===
* Dc (durante coenam): Saat makan, ketika makan, selagi makan.

 ℞ Enzyplex tab No. XII
    S 3 dd tab I dc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. J (30 tahun)

=== Pc ===
* Pc (post coenam): Setelah makan, sesudah makan, sehabis makan.

 ℞ Rifampicin tab mg 450 No. VII
    S 1 dd tab I pc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. K (31 tahun)

=== Hora spatio ===
* Octa: Delapan.
* Hora spatio: Selang sekian jam.
* Octa hora spatio: Selang delapan jam.

 ℞ Chloramphenicol cap mg 500 No. X
    S 3 dd cap I octa hora spatio
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. L (32 tahun)

=== Agita ante sumendum ===

Agita ante sumendum: kocok sebelum digunakan

R/ Mylanta Syr fl no I
ʃ 3 dd CI ac agitatio ante sumundum
----
Pro: Tn J (29th)

=== Hora ieiune ===
Saat perut kosong

=== Sive simile ===
* Boleh diganti
* Obat paten boleh diganti dengan obat paten lain dengan kandungan, bentuk, sediaan, dan dosis yang sama

=== Mds ===

=== use know ===

=== Da in caps ===
dimasukkan ke dalam kapsul

=== Cum ===

=== Cito, Urgent, PIM (Periculum In Mora) ===
Segera, Penting, Berbahaya bila ditunda. Resep yang terdapat tanda seperti diatas, meskipun masuk belakangan harus di dahulukan pengerjaannya. 
(Ilmu Meracik Obat Teori dan Praktik, Moh. Anief, Gadjah Mada University Presentasi, 1987, Halaman 7)

=== Iter ===
Diulang

=== Ne iter ===
tidak boleh diulang

=== Qs ===
quantum satis (secukupnya)

=== Ad gram 20 ===
Hingga 20 g

=== Ante defecatio ===
Sebelum defekasi

=== Omni noctem per vaginal ===

== Daftar Obat (1) ==
# Cefixime Trihydrate kapsul 100 mg 2 x 1
# Loperamide HCl tablet 2 mg 3 x 1 (Stop jika sudah tidak diare)
# Omeprazole (OMZ) 20 mg kapsul pelepasan lambat 2 x 1
# Paracetamol tablet 500 mg 3 x 1
# Zinc dispersible tablet 20 mg 1 x 1

== Daftar Obat (2) ==
{| {{Prettytable}}
! Merk
! Kandungan
|-
| Acifar
|
* Acyclovir
|-
| Alleron
|
* Chlorpheniramina maleat 4 mg
|-
| Alofar 100
|
* Allopurinol 100 mg
|-
| Alofar 300
|
* Allopurinol 300 mg
|-
| Aspilet
|
* Asam asetilsalisilat (Aspirin)
|-
| Akita
|
* Attapulgite 600 mg
* Pektin 50 mg
|-
| Beneuron
|
* Vitamin B1 (Thiamine Mononitrate) 100 mg
* Vitamin B6 (Pyridoxine Hydrochloride) 200 mg
* Vitamin B12 (Cyanocobalamin) 200 mcg
|-
| Arkavit-C
|
* Vitamin B1 (Tiamin) 50 mg
* Vitamin B2 (Riboflavin) 25 mg
* Vitamin B3 (Niasin) 50 mg
* Vitamin B5 (Asam pantotenat) 20 mg
* Vitamin B6 (Piridoksin) 10 mg
* Vitamin B12 (Sianokonalamin) 5 mcg
* Vitamin C (Asam askorbat) 500 mg
|-
| Bufacaryl
|
* Dexamethasone 0,5 mg
* Dexchlorpheniramine maleate 2 mg
|-
| Cavicur
|
* Ekstrak Curcuma xanthorriza (temulawak) 20 mg (mengandung curcuminoid ~15%)
* Vitamin A palmitat
* Vitamin B1, B2, B6, B12
* Vitamin D
* Calsium pantothenate
* Calsium glycerophosphate
* Cod liver oil
|-
| Cavicur Syr
| Tiap 5 ml mengandung:
* Ekstrak Curcuma xanthorrhiza 10 mg
* Vitamin A palmitat 850 IU
* Vitamin B1 (tiamin HCl) 3 mg
* Vitamin B2 (riboflavin) 1,5 mg
* Vitamin B6 (piridoksin HCl) 0,5 mg
* Vitamin B12 5 mcg
* Vitamin D 100 IU
* Calsium pantothenate 5 mg
* Calsium glycerophosphate 100 mg
* Cod liver oil (ekstrak minyak ikan kod) 2,5 mg
|-
| Caviplex
|
* Vitamin
** A 4.000 IU
** D3 400 IU
** B1 3 mg, B2 3-4 mg, B6 4 mg, B12 12 mcg
** C 75 mg
** E 10 mg
** B3 (Nikotinamid) 20 mg
** B5 (Ca pantotenat) 5 mg
** Biotin 0,1 mg
** Asam folat 1 mg
* Mineral &amp; lainnya
** Zat besi (Fe) ~30-90 mg
** Kalsium (Ca) ~70-100 mg
** Magnesium ~25-87,5 mg
** Zinc 15 mg
** Tembaga 0,5 mg
** Mangan 0,5 mg
** Fluor 0,5 mg
** Iodium 0,15 mg
** Asam glutamat 50 mg
|-
| Cardipin 5
|
* Nifedipine 5 mg
|-
| Cardipin 10
|
* Nifedipine 10 mg
|-
| Carmeson 4
|
* Ondansetron 4 mg
|-
| Carmeson 8
|
* Ondansetron 8 mg
|-
|}

# Cendo Cenfresh
# Cendo Eyefresh
# Cendo Genta
# Cendo Lytrees
# Cendo Timol
# Cendo Xitrol
# Dionicol
# Dionicol Syr
# Demacolin
# Dexaharsen 0,5
# Dexyl Syr
# Etaflusin
# Etambion
# Farsifen 400
# Farsifen 100 ml/5 ml Ifar
# Farsifen Plus
# Fasidol
# Fasidol 100 mg/5 ml Ifar
# Fasidol Drop
# Fasidol Forte
# Fasiprim Forte
# Flutop-C Syr
# Grafazol
# Gencetron 8
# Gencobal
# Oxicobal
# Histigo
# Grantusif
# Hufamag Plus
# Hufagrip Forte
# Intunal-F
# Infalgin
# Inamid 2
# Lerzin 10
# Lecozink Syr
# Laxana 5
# Lodecon
# Lokev
# Loctacef 125 mg/5 ml
# Nexitra
# Novakal
# Omedom
# Relaxon
# Suprabiotik
# Spasminal
# Teosal
# Tifestan Forte
# Samcodin
# Vesperum Syr
# Vosea 5
# Vosea Syr
# Yekaprim Syr
# Yusimox Syr
# Zengesic
# Zelona 50

== Daftar Pustaka ==
# {{id}} Ikatan Apoteker Indonesia. Informasi Spesialite Obat Indonesia. Volume 45 – 2010 s/d 2011. Jakarta: PT. ISFI Penerbitan; 2010. ISSN 0854-4492.

== Pranala Luar ==
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16 Blok 4 – Metabolisme Obat dan Nutrisi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201 Blok 7 – Imunologi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392 Blok 9 – Neoplasma] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479 Blok 10 – Sistema Saraf] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575 Blok 12 – Sistem Respirasi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766 Blok 16 – Sistem Reproduksi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905 Blok 18 – Mata] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353 Blok 21 – Pediatri] [diakses 2012 Mar 2]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353.

{{Catatan Dokter Muda-Stase}}

[[Kategori:Stase|{{SUBPAGENAME}}]]</text>
      <sha1>0jre9qyoddgenu7oretaepl9fnnghb7</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107870</id>
      <parentid>107836</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T04:20:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alfarq</username>
        <id>799</id>
      </contributor>
      <comment>/* Daftar Obat (2) */</comment>
      <origin>107870</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11670" sha1="8328uf3016dzu8w27ug07xyex09zozx" xml:space="preserve">{{Wikipedia|Farmasi}}

== Istilah Latin ==
=== Uc ===
* ℞ (racipe): Ambillah.
* Supp (suppositorium): Supositoria, gentel.
* No (nomero): Jumlah, sejumlah.
* S (signa): Tanda, tandai, tandailah.
* Uc (usus cognitus): Pemakaian diketahui.
* Pro: Untuk.

 ℞ Miconazole 2% cream tube No. I
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (20 tahun)

 ℞ Anusol supp No. V
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. A (21 tahun)

=== Imm ===
* Imm (in manus medicine): Serahkan ke tangan paramedis (dokter, perawat, bidan, mantri).
* Inf (infus): Infus.
* Flab (flabot): Flabot.

 ℞ Natrium Chlorida 0,9% inf flab No. III
    Abbocath no. 22                No. I
    Cum infus set                  No. I
    S imm
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. B (22 tahun)

=== Prn ===
* Tab (tabletta, tabella): Tablet.
* Mg (miligram): Miligram.
* Prn (pro renatera), sns (si necesse sit): Jika perlu. Singkatan ini digunakan untuk obat-obat simtomatis (penghilang gejala).
* Dd (de die): Tiap hari, setiap hari.
* Aggr febr (agrediante febre): saat demam.

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn 1–3 dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

'''Perhatian:'''
* Penulisan setelah Signa tanpa tanda kurung. Berikut adalah penulisan yang salah:

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn (1–3) dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

=== Up ===
* Up (usus propius): Pemakaian sendiri (untuk dokter). Tidak perlu memakai Pro.

 ℞ Amoxycillin tab mg 500 No. X
    S up
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰

=== Dcf ===
* Dcf, dc form (da cun formula): Sesuai obat yang tertulis.
* Sol, solut (solutio): Larutan.

 ℞ Alkohol 70% sol fl No. I
    S imm dcf
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. E (25 tahun)

=== Sine confectiones ===
* Cap (capsule): Kapsul.
* Sine confectiones: Tanpa kemasan.

 ℞ Amoxsan cap mg 500 No. X (sine confectiones)
    S 3 dd cap I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. F (26 tahun)

=== Adde ===
* Adde: Tambahkan.
* Dry: Kering.
* Syr (syrupus): Sirup.
* Aq coct (aqua cocta): Air masak.
* Ad: Sampai, hingga.
* Cc (cubic centimetre): sentimeter kubik.
* C (cochlea): sendok makan (15 cc).
* Cth (cochlea tea): sendok teh (5 cc).

 ℞ Ampicillin dry syr fl No. I
    Adde aq coct ad cc 60
    S 3 dd cth I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. G (27 tahun)

=== Ad lib ===
* Ad lib, ad libit (ad libitum): Sesuka hati.

 ℞ Oralit sachet No. XX
    S ad lib
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. H (28 tahun)

=== Ac ===
* Ac (antec cibos, ante cibum, ante coenam): Sebelum makan.

 ℞ Antasida DOEN tab No. X
    S 3 dd tab I ac
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. I (29 tahun)

=== Dc ===
* Dc (durante coenam): Saat makan, ketika makan, selagi makan.

 ℞ Enzyplex tab No. XII
    S 3 dd tab I dc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. J (30 tahun)

=== Pc ===
* Pc (post coenam): Setelah makan, sesudah makan, sehabis makan.

 ℞ Rifampicin tab mg 450 No. VII
    S 1 dd tab I pc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. K (31 tahun)

=== Hora spatio ===
* Octa: Delapan.
* Hora spatio: Selang sekian jam.
* Octa hora spatio: Selang delapan jam.

 ℞ Chloramphenicol cap mg 500 No. X
    S 3 dd cap I octa hora spatio
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. L (32 tahun)

=== Agita ante sumendum ===

Agita ante sumendum: kocok sebelum digunakan

R/ Mylanta Syr fl no I
ʃ 3 dd CI ac agitatio ante sumundum
----
Pro: Tn J (29th)

=== Hora ieiune ===
Saat perut kosong

=== Sive simile ===
* Boleh diganti
* Obat paten boleh diganti dengan obat paten lain dengan kandungan, bentuk, sediaan, dan dosis yang sama

=== Mds ===

=== use know ===

=== Da in caps ===
dimasukkan ke dalam kapsul

=== Cum ===

=== Cito, Urgent, PIM (Periculum In Mora) ===
Segera, Penting, Berbahaya bila ditunda. Resep yang terdapat tanda seperti diatas, meskipun masuk belakangan harus di dahulukan pengerjaannya. 
(Ilmu Meracik Obat Teori dan Praktik, Moh. Anief, Gadjah Mada University Presentasi, 1987, Halaman 7)

=== Iter ===
Diulang

=== Ne iter ===
tidak boleh diulang

=== Qs ===
quantum satis (secukupnya)

=== Ad gram 20 ===
Hingga 20 g

=== Ante defecatio ===
Sebelum defekasi

=== Omni noctem per vaginal ===

== Daftar Obat (1) ==
# Cefixime Trihydrate kapsul 100 mg 2 x 1
# Loperamide HCl tablet 2 mg 3 x 1 (Stop jika sudah tidak diare)
# Omeprazole (OMZ) 20 mg kapsul pelepasan lambat 2 x 1
# Paracetamol tablet 500 mg 3 x 1
# Zinc dispersible tablet 20 mg 1 x 1

== Daftar Obat (2) ==
{| {{Prettytable}}
! Merk
! Kandungan
|-
| Acifar
|
* Acyclovir
|-
| Alleron
|
* Chlorpheniramina maleat 4 mg
|-
| Alofar 100
|
* Allopurinol 100 mg
|-
| Alofar 300
|
* Allopurinol 300 mg
|-
| Aspilet
|
* Asam asetilsalisilat (Aspirin)
|-
| Akita
|
* Attapulgite 600 mg
* Pektin 50 mg
|-
| Beneuron
|
* Vitamin B1 (Thiamine Mononitrate) 100 mg
* Vitamin B6 (Pyridoxine Hydrochloride) 200 mg
* Vitamin B12 (Cyanocobalamin) 200 mcg
|-
| Arkavit-C
|
* Vitamin B1 (Tiamin) 50 mg
* Vitamin B2 (Riboflavin) 25 mg
* Vitamin B3 (Niasin) 50 mg
* Vitamin B5 (Asam pantotenat) 20 mg
* Vitamin B6 (Piridoksin) 10 mg
* Vitamin B12 (Sianokonalamin) 5 mcg
* Vitamin C (Asam askorbat) 500 mg
|-
| Bufacaryl
|
* Dexamethasone 0,5 mg
* Dexchlorpheniramine maleate 2 mg
|-
| Cavicur
|
* Ekstrak Curcuma xanthorriza (temulawak) 20 mg (mengandung curcuminoid ~15%)
* Vitamin A palmitat
* Vitamin B1, B2, B6, B12
* Vitamin D
* Calsium pantothenate
* Calsium glycerophosphate
* Cod liver oil
|-
| Cavicur Syr
| Tiap 5 ml mengandung:
* Ekstrak Curcuma xanthorrhiza 10 mg
* Vitamin A palmitat 850 IU
* Vitamin B1 (tiamin HCl) 3 mg
* Vitamin B2 (riboflavin) 1,5 mg
* Vitamin B6 (piridoksin HCl) 0,5 mg
* Vitamin B12 5 mcg
* Vitamin D 100 IU
* Calsium pantothenate 5 mg
* Calsium glycerophosphate 100 mg
* Cod liver oil (ekstrak minyak ikan kod) 2,5 mg
|-
| Caviplex
|
* Vitamin
** A 4.000 IU
** D3 400 IU
** B1 3 mg, B2 3-4 mg, B6 4 mg, B12 12 mcg
** C 75 mg
** E 10 mg
** B3 (Nikotinamid) 20 mg
** B5 (Ca pantotenat) 5 mg
** Biotin 0,1 mg
** Asam folat 1 mg
* Mineral &amp; lainnya
** Zat besi (Fe) ~30-90 mg
** Kalsium (Ca) ~70-100 mg
** Magnesium ~25-87,5 mg
** Zinc 15 mg
** Tembaga 0,5 mg
** Mangan 0,5 mg
** Fluor 0,5 mg
** Iodium 0,15 mg
** Asam glutamat 50 mg
|-
| Cardipin 5
|
* Nifedipine 5 mg
|-
| Cardipin 10
|
* Nifedipine 10 mg
|-
| Carmeson 4
|
* Ondansetron 4 mg
|-
| Carmeson 8
|
* Ondansetron 8 mg
|-
| Cendo Cenfresh
|
* Carboxymethylcellulose sodium 5 mg/ml
|}

# Cendo Eyefresh
# Cendo Genta
# Cendo Lytrees
# Cendo Timol
# Cendo Xitrol
# Dionicol
# Dionicol Syr
# Demacolin
# Dexaharsen 0,5
# Dexyl Syr
# Etaflusin
# Etambion
# Farsifen 400
# Farsifen 100 ml/5 ml Ifar
# Farsifen Plus
# Fasidol
# Fasidol 100 mg/5 ml Ifar
# Fasidol Drop
# Fasidol Forte
# Fasiprim Forte
# Flutop-C Syr
# Grafazol
# Gencetron 8
# Gencobal
# Oxicobal
# Histigo
# Grantusif
# Hufamag Plus
# Hufagrip Forte
# Intunal-F
# Infalgin
# Inamid 2
# Lerzin 10
# Lecozink Syr
# Laxana 5
# Lodecon
# Lokev
# Loctacef 125 mg/5 ml
# Nexitra
# Novakal
# Omedom
# Relaxon
# Suprabiotik
# Spasminal
# Teosal
# Tifestan Forte
# Samcodin
# Vesperum Syr
# Vosea 5
# Vosea Syr
# Yekaprim Syr
# Yusimox Syr
# Zengesic
# Zelona 50

== Daftar Pustaka ==
# {{id}} Ikatan Apoteker Indonesia. Informasi Spesialite Obat Indonesia. Volume 45 – 2010 s/d 2011. Jakarta: PT. ISFI Penerbitan; 2010. ISSN 0854-4492.

== Pranala Luar ==
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16 Blok 4 – Metabolisme Obat dan Nutrisi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201 Blok 7 – Imunologi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392 Blok 9 – Neoplasma] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479 Blok 10 – Sistema Saraf] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575 Blok 12 – Sistem Respirasi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766 Blok 16 – Sistem Reproduksi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905 Blok 18 – Mata] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353 Blok 21 – Pediatri] [diakses 2012 Mar 2]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353.

{{Catatan Dokter Muda-Stase}}

[[Kategori:Stase|{{SUBPAGENAME}}]]</text>
      <sha1>8328uf3016dzu8w27ug07xyex09zozx</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107909</id>
      <parentid>107870</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T11:33:53Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alfarq</username>
        <id>799</id>
      </contributor>
      <comment>/* Daftar Obat (2) */</comment>
      <origin>107909</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11726" sha1="n0gvrgw0jiagvdrob0zoup6kkf7fdgd" xml:space="preserve">{{Wikipedia|Farmasi}}

== Istilah Latin ==
=== Uc ===
* ℞ (racipe): Ambillah.
* Supp (suppositorium): Supositoria, gentel.
* No (nomero): Jumlah, sejumlah.
* S (signa): Tanda, tandai, tandailah.
* Uc (usus cognitus): Pemakaian diketahui.
* Pro: Untuk.

 ℞ Miconazole 2% cream tube No. I
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (20 tahun)

 ℞ Anusol supp No. V
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. A (21 tahun)

=== Imm ===
* Imm (in manus medicine): Serahkan ke tangan paramedis (dokter, perawat, bidan, mantri).
* Inf (infus): Infus.
* Flab (flabot): Flabot.

 ℞ Natrium Chlorida 0,9% inf flab No. III
    Abbocath no. 22                No. I
    Cum infus set                  No. I
    S imm
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. B (22 tahun)

=== Prn ===
* Tab (tabletta, tabella): Tablet.
* Mg (miligram): Miligram.
* Prn (pro renatera), sns (si necesse sit): Jika perlu. Singkatan ini digunakan untuk obat-obat simtomatis (penghilang gejala).
* Dd (de die): Tiap hari, setiap hari.
* Aggr febr (agrediante febre): saat demam.

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn 1–3 dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

'''Perhatian:'''
* Penulisan setelah Signa tanpa tanda kurung. Berikut adalah penulisan yang salah:

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn (1–3) dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

=== Up ===
* Up (usus propius): Pemakaian sendiri (untuk dokter). Tidak perlu memakai Pro.

 ℞ Amoxycillin tab mg 500 No. X
    S up
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰

=== Dcf ===
* Dcf, dc form (da cun formula): Sesuai obat yang tertulis.
* Sol, solut (solutio): Larutan.

 ℞ Alkohol 70% sol fl No. I
    S imm dcf
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. E (25 tahun)

=== Sine confectiones ===
* Cap (capsule): Kapsul.
* Sine confectiones: Tanpa kemasan.

 ℞ Amoxsan cap mg 500 No. X (sine confectiones)
    S 3 dd cap I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. F (26 tahun)

=== Adde ===
* Adde: Tambahkan.
* Dry: Kering.
* Syr (syrupus): Sirup.
* Aq coct (aqua cocta): Air masak.
* Ad: Sampai, hingga.
* Cc (cubic centimetre): sentimeter kubik.
* C (cochlea): sendok makan (15 cc).
* Cth (cochlea tea): sendok teh (5 cc).

 ℞ Ampicillin dry syr fl No. I
    Adde aq coct ad cc 60
    S 3 dd cth I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. G (27 tahun)

=== Ad lib ===
* Ad lib, ad libit (ad libitum): Sesuka hati.

 ℞ Oralit sachet No. XX
    S ad lib
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. H (28 tahun)

=== Ac ===
* Ac (antec cibos, ante cibum, ante coenam): Sebelum makan.

 ℞ Antasida DOEN tab No. X
    S 3 dd tab I ac
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. I (29 tahun)

=== Dc ===
* Dc (durante coenam): Saat makan, ketika makan, selagi makan.

 ℞ Enzyplex tab No. XII
    S 3 dd tab I dc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. J (30 tahun)

=== Pc ===
* Pc (post coenam): Setelah makan, sesudah makan, sehabis makan.

 ℞ Rifampicin tab mg 450 No. VII
    S 1 dd tab I pc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. K (31 tahun)

=== Hora spatio ===
* Octa: Delapan.
* Hora spatio: Selang sekian jam.
* Octa hora spatio: Selang delapan jam.

 ℞ Chloramphenicol cap mg 500 No. X
    S 3 dd cap I octa hora spatio
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. L (32 tahun)

=== Agita ante sumendum ===

Agita ante sumendum: kocok sebelum digunakan

R/ Mylanta Syr fl no I
ʃ 3 dd CI ac agitatio ante sumundum
----
Pro: Tn J (29th)

=== Hora ieiune ===
Saat perut kosong

=== Sive simile ===
* Boleh diganti
* Obat paten boleh diganti dengan obat paten lain dengan kandungan, bentuk, sediaan, dan dosis yang sama

=== Mds ===

=== use know ===

=== Da in caps ===
dimasukkan ke dalam kapsul

=== Cum ===

=== Cito, Urgent, PIM (Periculum In Mora) ===
Segera, Penting, Berbahaya bila ditunda. Resep yang terdapat tanda seperti diatas, meskipun masuk belakangan harus di dahulukan pengerjaannya. 
(Ilmu Meracik Obat Teori dan Praktik, Moh. Anief, Gadjah Mada University Presentasi, 1987, Halaman 7)

=== Iter ===
Diulang

=== Ne iter ===
tidak boleh diulang

=== Qs ===
quantum satis (secukupnya)

=== Ad gram 20 ===
Hingga 20 g

=== Ante defecatio ===
Sebelum defekasi

=== Omni noctem per vaginal ===

== Daftar Obat (1) ==
# Cefixime Trihydrate kapsul 100 mg 2 x 1
# Loperamide HCl tablet 2 mg 3 x 1 (Stop jika sudah tidak diare)
# Omeprazole (OMZ) 20 mg kapsul pelepasan lambat 2 x 1
# Paracetamol tablet 500 mg 3 x 1
# Zinc dispersible tablet 20 mg 1 x 1

== Daftar Obat (2) ==
{| {{Prettytable}}
! Merk
! Kandungan
|-
| Acifar
|
* Acyclovir
|-
| Alleron
|
* Chlorpheniramina maleat 4 mg
|-
| Alofar 100
|
* Allopurinol 100 mg
|-
| Alofar 300
|
* Allopurinol 300 mg
|-
| Aspilet
|
* Asam asetilsalisilat (Aspirin)
|-
| Akita
|
* Attapulgite 600 mg
* Pektin 50 mg
|-
| Beneuron
|
* Vitamin B1 (Thiamine Mononitrate) 100 mg
* Vitamin B6 (Pyridoxine Hydrochloride) 200 mg
* Vitamin B12 (Cyanocobalamin) 200 mcg
|-
| Arkavit-C
|
* Vitamin B1 (Tiamin) 50 mg
* Vitamin B2 (Riboflavin) 25 mg
* Vitamin B3 (Niasin) 50 mg
* Vitamin B5 (Asam pantotenat) 20 mg
* Vitamin B6 (Piridoksin) 10 mg
* Vitamin B12 (Sianokonalamin) 5 mcg
* Vitamin C (Asam askorbat) 500 mg
|-
| Bufacaryl
|
* Dexamethasone 0,5 mg
* Dexchlorpheniramine maleate 2 mg
|-
| Cavicur
|
* Ekstrak Curcuma xanthorriza (temulawak) 20 mg (mengandung curcuminoid ~15%)
* Vitamin A palmitat
* Vitamin B1, B2, B6, B12
* Vitamin D
* Calsium pantothenate
* Calsium glycerophosphate
* Cod liver oil
|-
| Cavicur Syr
| Tiap 5 ml mengandung:
* Ekstrak Curcuma xanthorrhiza 10 mg
* Vitamin A palmitat 850 IU
* Vitamin B1 (tiamin HCl) 3 mg
* Vitamin B2 (riboflavin) 1,5 mg
* Vitamin B6 (piridoksin HCl) 0,5 mg
* Vitamin B12 5 mcg
* Vitamin D 100 IU
* Calsium pantothenate 5 mg
* Calsium glycerophosphate 100 mg
* Cod liver oil (ekstrak minyak ikan kod) 2,5 mg
|-
| Caviplex
|
* Vitamin
** A 4.000 IU
** D3 400 IU
** B1 3 mg, B2 3-4 mg, B6 4 mg, B12 12 mcg
** C 75 mg
** E 10 mg
** B3 (Nikotinamid) 20 mg
** B5 (Ca pantotenat) 5 mg
** Biotin 0,1 mg
** Asam folat 1 mg
* Mineral &amp; lainnya
** Zat besi (Fe) ~30-90 mg
** Kalsium (Ca) ~70-100 mg
** Magnesium ~25-87,5 mg
** Zinc 15 mg
** Tembaga 0,5 mg
** Mangan 0,5 mg
** Fluor 0,5 mg
** Iodium 0,15 mg
** Asam glutamat 50 mg
|-
| Cardipin 5
|
* Nifedipine 5 mg
|-
| Cardipin 10
|
* Nifedipine 10 mg
|-
| Carmeson 4
|
* Ondansetron 4 mg
|-
| Carmeson 8
|
* Ondansetron 8 mg
|-
| Cendo Cenfresh
|
* Carboxymethylcellulose sodium 5 mg/ml
|-
| Cendo Eyefresh
|
* Hypromellose (HPMC) 3 mg/ml
* Dextran 70 1 mg/ml
|}

# Cendo Genta
# Cendo Lytrees
# Cendo Timol
# Cendo Xitrol
# Dionicol
# Dionicol Syr
# Demacolin
# Dexaharsen 0,5
# Dexyl Syr
# Etaflusin
# Etambion
# Farsifen 400
# Farsifen 100 ml/5 ml Ifar
# Farsifen Plus
# Fasidol
# Fasidol 100 mg/5 ml Ifar
# Fasidol Drop
# Fasidol Forte
# Fasiprim Forte
# Flutop-C Syr
# Grafazol
# Gencetron 8
# Gencobal
# Oxicobal
# Histigo
# Grantusif
# Hufamag Plus
# Hufagrip Forte
# Intunal-F
# Infalgin
# Inamid 2
# Lerzin 10
# Lecozink Syr
# Laxana 5
# Lodecon
# Lokev
# Loctacef 125 mg/5 ml
# Nexitra
# Novakal
# Omedom
# Relaxon
# Suprabiotik
# Spasminal
# Teosal
# Tifestan Forte
# Samcodin
# Vesperum Syr
# Vosea 5
# Vosea Syr
# Yekaprim Syr
# Yusimox Syr
# Zengesic
# Zelona 50

== Daftar Pustaka ==
# {{id}} Ikatan Apoteker Indonesia. Informasi Spesialite Obat Indonesia. Volume 45 – 2010 s/d 2011. Jakarta: PT. ISFI Penerbitan; 2010. ISSN 0854-4492.

== Pranala Luar ==
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16 Blok 4 – Metabolisme Obat dan Nutrisi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=16.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201 Blok 7 – Imunologi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=201.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392 Blok 9 – Neoplasma] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=392.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479 Blok 10 – Sistema Saraf] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=479.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575 Blok 12 – Sistem Respirasi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=575.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766 Blok 16 – Sistem Reproduksi] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=766.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905 Blok 18 – Mata] [diakses 2012 Feb 27]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=905.
# {{id}} [http://pd09.fk.uns.ac.id/ Pendidikan Dokter 2009 Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret] [Internet]. [http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353 Blok 21 – Pediatri] [diakses 2012 Mar 2]. Surakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Sebelas Maret; c2010 ‒ 2012. Tersedia dari: http://pd09.fk.uns.ac.id/?p=1353.

{{Catatan Dokter Muda-Stase}}

[[Kategori:Stase|{{SUBPAGENAME}}]]</text>
      <sha1>n0gvrgw0jiagvdrob0zoup6kkf7fdgd</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107910</id>
      <parentid>107909</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T11:38:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alfarq</username>
        <id>799</id>
      </contributor>
      <comment>Hapus pranala mati</comment>
      <origin>107910</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9126" sha1="i5h32f7qfa9u1psnmaa17w592eki49w" xml:space="preserve">{{Wikipedia|Farmasi}}

== Istilah Latin ==
=== Uc ===
* ℞ (racipe): Ambillah.
* Supp (suppositorium): Supositoria, gentel.
* No (nomero): Jumlah, sejumlah.
* S (signa): Tanda, tandai, tandailah.
* Uc (usus cognitus): Pemakaian diketahui.
* Pro: Untuk.

 ℞ Miconazole 2% cream tube No. I
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (20 tahun)

 ℞ Anusol supp No. V
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. A (21 tahun)

=== Imm ===
* Imm (in manus medicine): Serahkan ke tangan paramedis (dokter, perawat, bidan, mantri).
* Inf (infus): Infus.
* Flab (flabot): Flabot.

 ℞ Natrium Chlorida 0,9% inf flab No. III
    Abbocath no. 22                No. I
    Cum infus set                  No. I
    S imm
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. B (22 tahun)

=== Prn ===
* Tab (tabletta, tabella): Tablet.
* Mg (miligram): Miligram.
* Prn (pro renatera), sns (si necesse sit): Jika perlu. Singkatan ini digunakan untuk obat-obat simtomatis (penghilang gejala).
* Dd (de die): Tiap hari, setiap hari.
* Aggr febr (agrediante febre): saat demam.

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn 1–3 dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

'''Perhatian:'''
* Penulisan setelah Signa tanpa tanda kurung. Berikut adalah penulisan yang salah:

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn (1–3) dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

=== Up ===
* Up (usus propius): Pemakaian sendiri (untuk dokter). Tidak perlu memakai Pro.

 ℞ Amoxycillin tab mg 500 No. X
    S up
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰

=== Dcf ===
* Dcf, dc form (da cun formula): Sesuai obat yang tertulis.
* Sol, solut (solutio): Larutan.

 ℞ Alkohol 70% sol fl No. I
    S imm dcf
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. E (25 tahun)

=== Sine confectiones ===
* Cap (capsule): Kapsul.
* Sine confectiones: Tanpa kemasan.

 ℞ Amoxsan cap mg 500 No. X (sine confectiones)
    S 3 dd cap I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. F (26 tahun)

=== Adde ===
* Adde: Tambahkan.
* Dry: Kering.
* Syr (syrupus): Sirup.
* Aq coct (aqua cocta): Air masak.
* Ad: Sampai, hingga.
* Cc (cubic centimetre): sentimeter kubik.
* C (cochlea): sendok makan (15 cc).
* Cth (cochlea tea): sendok teh (5 cc).

 ℞ Ampicillin dry syr fl No. I
    Adde aq coct ad cc 60
    S 3 dd cth I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. G (27 tahun)

=== Ad lib ===
* Ad lib, ad libit (ad libitum): Sesuka hati.

 ℞ Oralit sachet No. XX
    S ad lib
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. H (28 tahun)

=== Ac ===
* Ac (antec cibos, ante cibum, ante coenam): Sebelum makan.

 ℞ Antasida DOEN tab No. X
    S 3 dd tab I ac
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. I (29 tahun)

=== Dc ===
* Dc (durante coenam): Saat makan, ketika makan, selagi makan.

 ℞ Enzyplex tab No. XII
    S 3 dd tab I dc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. J (30 tahun)

=== Pc ===
* Pc (post coenam): Setelah makan, sesudah makan, sehabis makan.

 ℞ Rifampicin tab mg 450 No. VII
    S 1 dd tab I pc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. K (31 tahun)

=== Hora spatio ===
* Octa: Delapan.
* Hora spatio: Selang sekian jam.
* Octa hora spatio: Selang delapan jam.

 ℞ Chloramphenicol cap mg 500 No. X
    S 3 dd cap I octa hora spatio
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. L (32 tahun)

=== Agita ante sumendum ===

Agita ante sumendum: kocok sebelum digunakan

R/ Mylanta Syr fl no I
ʃ 3 dd CI ac agitatio ante sumundum
----
Pro: Tn J (29th)

=== Hora ieiune ===
Saat perut kosong

=== Sive simile ===
* Boleh diganti
* Obat paten boleh diganti dengan obat paten lain dengan kandungan, bentuk, sediaan, dan dosis yang sama

=== Mds ===

=== use know ===

=== Da in caps ===
dimasukkan ke dalam kapsul

=== Cum ===

=== Cito, Urgent, PIM (Periculum In Mora) ===
Segera, Penting, Berbahaya bila ditunda. Resep yang terdapat tanda seperti diatas, meskipun masuk belakangan harus di dahulukan pengerjaannya. 
(Ilmu Meracik Obat Teori dan Praktik, Moh. Anief, Gadjah Mada University Presentasi, 1987, Halaman 7)

=== Iter ===
Diulang

=== Ne iter ===
tidak boleh diulang

=== Qs ===
quantum satis (secukupnya)

=== Ad gram 20 ===
Hingga 20 g

=== Ante defecatio ===
Sebelum defekasi

=== Omni noctem per vaginal ===

== Daftar Obat (1) ==
# Cefixime Trihydrate kapsul 100 mg 2 x 1
# Loperamide HCl tablet 2 mg 3 x 1 (Stop jika sudah tidak diare)
# Omeprazole (OMZ) 20 mg kapsul pelepasan lambat 2 x 1
# Paracetamol tablet 500 mg 3 x 1
# Zinc dispersible tablet 20 mg 1 x 1

== Daftar Obat (2) ==
{| {{Prettytable}}
! Merk
! Kandungan
|-
| Acifar
|
* Acyclovir
|-
| Alleron
|
* Chlorpheniramina maleat 4 mg
|-
| Alofar 100
|
* Allopurinol 100 mg
|-
| Alofar 300
|
* Allopurinol 300 mg
|-
| Aspilet
|
* Asam asetilsalisilat (Aspirin)
|-
| Akita
|
* Attapulgite 600 mg
* Pektin 50 mg
|-
| Beneuron
|
* Vitamin B1 (Thiamine Mononitrate) 100 mg
* Vitamin B6 (Pyridoxine Hydrochloride) 200 mg
* Vitamin B12 (Cyanocobalamin) 200 mcg
|-
| Arkavit-C
|
* Vitamin B1 (Tiamin) 50 mg
* Vitamin B2 (Riboflavin) 25 mg
* Vitamin B3 (Niasin) 50 mg
* Vitamin B5 (Asam pantotenat) 20 mg
* Vitamin B6 (Piridoksin) 10 mg
* Vitamin B12 (Sianokonalamin) 5 mcg
* Vitamin C (Asam askorbat) 500 mg
|-
| Bufacaryl
|
* Dexamethasone 0,5 mg
* Dexchlorpheniramine maleate 2 mg
|-
| Cavicur
|
* Ekstrak Curcuma xanthorriza (temulawak) 20 mg (mengandung curcuminoid ~15%)
* Vitamin A palmitat
* Vitamin B1, B2, B6, B12
* Vitamin D
* Calsium pantothenate
* Calsium glycerophosphate
* Cod liver oil
|-
| Cavicur Syr
| Tiap 5 ml mengandung:
* Ekstrak Curcuma xanthorrhiza 10 mg
* Vitamin A palmitat 850 IU
* Vitamin B1 (tiamin HCl) 3 mg
* Vitamin B2 (riboflavin) 1,5 mg
* Vitamin B6 (piridoksin HCl) 0,5 mg
* Vitamin B12 5 mcg
* Vitamin D 100 IU
* Calsium pantothenate 5 mg
* Calsium glycerophosphate 100 mg
* Cod liver oil (ekstrak minyak ikan kod) 2,5 mg
|-
| Caviplex
|
* Vitamin
** A 4.000 IU
** D3 400 IU
** B1 3 mg, B2 3-4 mg, B6 4 mg, B12 12 mcg
** C 75 mg
** E 10 mg
** B3 (Nikotinamid) 20 mg
** B5 (Ca pantotenat) 5 mg
** Biotin 0,1 mg
** Asam folat 1 mg
* Mineral &amp; lainnya
** Zat besi (Fe) ~30-90 mg
** Kalsium (Ca) ~70-100 mg
** Magnesium ~25-87,5 mg
** Zinc 15 mg
** Tembaga 0,5 mg
** Mangan 0,5 mg
** Fluor 0,5 mg
** Iodium 0,15 mg
** Asam glutamat 50 mg
|-
| Cardipin 5
|
* Nifedipine 5 mg
|-
| Cardipin 10
|
* Nifedipine 10 mg
|-
| Carmeson 4
|
* Ondansetron 4 mg
|-
| Carmeson 8
|
* Ondansetron 8 mg
|-
| Cendo Cenfresh
|
* Carboxymethylcellulose sodium 5 mg/ml
|-
| Cendo Eyefresh
|
* Hypromellose (HPMC) 3 mg/ml
* Dextran 70 1 mg/ml
|}

# Cendo Genta
# Cendo Lytrees
# Cendo Timol
# Cendo Xitrol
# Dionicol
# Dionicol Syr
# Demacolin
# Dexaharsen 0,5
# Dexyl Syr
# Etaflusin
# Etambion
# Farsifen 400
# Farsifen 100 ml/5 ml Ifar
# Farsifen Plus
# Fasidol
# Fasidol 100 mg/5 ml Ifar
# Fasidol Drop
# Fasidol Forte
# Fasiprim Forte
# Flutop-C Syr
# Grafazol
# Gencetron 8
# Gencobal
# Oxicobal
# Histigo
# Grantusif
# Hufamag Plus
# Hufagrip Forte
# Intunal-F
# Infalgin
# Inamid 2
# Lerzin 10
# Lecozink Syr
# Laxana 5
# Lodecon
# Lokev
# Loctacef 125 mg/5 ml
# Nexitra
# Novakal
# Omedom
# Relaxon
# Suprabiotik
# Spasminal
# Teosal
# Tifestan Forte
# Samcodin
# Vesperum Syr
# Vosea 5
# Vosea Syr
# Yekaprim Syr
# Yusimox Syr
# Zengesic
# Zelona 50

== Daftar Pustaka ==
# {{id}} Ikatan Apoteker Indonesia. Informasi Spesialite Obat Indonesia. Volume 45 – 2010 s/d 2011. Jakarta: PT. ISFI Penerbitan; 2010. ISSN 0854-4492.

{{Catatan Dokter Muda-Stase}}

[[Kategori:Stase|{{SUBPAGENAME}}]]</text>
      <sha1>i5h32f7qfa9u1psnmaa17w592eki49w</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107911</id>
      <parentid>107910</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T11:43:01Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alfarq</username>
        <id>799</id>
      </contributor>
      <comment>/* Daftar Obat (2) */</comment>
      <origin>107911</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9166" sha1="av9vcz2jzwcgf76dewumqs2sharamiq" xml:space="preserve">{{Wikipedia|Farmasi}}

== Istilah Latin ==
=== Uc ===
* ℞ (racipe): Ambillah.
* Supp (suppositorium): Supositoria, gentel.
* No (nomero): Jumlah, sejumlah.
* S (signa): Tanda, tandai, tandailah.
* Uc (usus cognitus): Pemakaian diketahui.
* Pro: Untuk.

 ℞ Miconazole 2% cream tube No. I
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (20 tahun)

 ℞ Anusol supp No. V
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. A (21 tahun)

=== Imm ===
* Imm (in manus medicine): Serahkan ke tangan paramedis (dokter, perawat, bidan, mantri).
* Inf (infus): Infus.
* Flab (flabot): Flabot.

 ℞ Natrium Chlorida 0,9% inf flab No. III
    Abbocath no. 22                No. I
    Cum infus set                  No. I
    S imm
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. B (22 tahun)

=== Prn ===
* Tab (tabletta, tabella): Tablet.
* Mg (miligram): Miligram.
* Prn (pro renatera), sns (si necesse sit): Jika perlu. Singkatan ini digunakan untuk obat-obat simtomatis (penghilang gejala).
* Dd (de die): Tiap hari, setiap hari.
* Aggr febr (agrediante febre): saat demam.

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn 1–3 dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

'''Perhatian:'''
* Penulisan setelah Signa tanpa tanda kurung. Berikut adalah penulisan yang salah:

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn (1–3) dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

=== Up ===
* Up (usus propius): Pemakaian sendiri (untuk dokter). Tidak perlu memakai Pro.

 ℞ Amoxycillin tab mg 500 No. X
    S up
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰

=== Dcf ===
* Dcf, dc form (da cun formula): Sesuai obat yang tertulis.
* Sol, solut (solutio): Larutan.

 ℞ Alkohol 70% sol fl No. I
    S imm dcf
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. E (25 tahun)

=== Sine confectiones ===
* Cap (capsule): Kapsul.
* Sine confectiones: Tanpa kemasan.

 ℞ Amoxsan cap mg 500 No. X (sine confectiones)
    S 3 dd cap I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. F (26 tahun)

=== Adde ===
* Adde: Tambahkan.
* Dry: Kering.
* Syr (syrupus): Sirup.
* Aq coct (aqua cocta): Air masak.
* Ad: Sampai, hingga.
* Cc (cubic centimetre): sentimeter kubik.
* C (cochlea): sendok makan (15 cc).
* Cth (cochlea tea): sendok teh (5 cc).

 ℞ Ampicillin dry syr fl No. I
    Adde aq coct ad cc 60
    S 3 dd cth I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. G (27 tahun)

=== Ad lib ===
* Ad lib, ad libit (ad libitum): Sesuka hati.

 ℞ Oralit sachet No. XX
    S ad lib
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. H (28 tahun)

=== Ac ===
* Ac (antec cibos, ante cibum, ante coenam): Sebelum makan.

 ℞ Antasida DOEN tab No. X
    S 3 dd tab I ac
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. I (29 tahun)

=== Dc ===
* Dc (durante coenam): Saat makan, ketika makan, selagi makan.

 ℞ Enzyplex tab No. XII
    S 3 dd tab I dc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. J (30 tahun)

=== Pc ===
* Pc (post coenam): Setelah makan, sesudah makan, sehabis makan.

 ℞ Rifampicin tab mg 450 No. VII
    S 1 dd tab I pc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. K (31 tahun)

=== Hora spatio ===
* Octa: Delapan.
* Hora spatio: Selang sekian jam.
* Octa hora spatio: Selang delapan jam.

 ℞ Chloramphenicol cap mg 500 No. X
    S 3 dd cap I octa hora spatio
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. L (32 tahun)

=== Agita ante sumendum ===

Agita ante sumendum: kocok sebelum digunakan

R/ Mylanta Syr fl no I
ʃ 3 dd CI ac agitatio ante sumundum
----
Pro: Tn J (29th)

=== Hora ieiune ===
Saat perut kosong

=== Sive simile ===
* Boleh diganti
* Obat paten boleh diganti dengan obat paten lain dengan kandungan, bentuk, sediaan, dan dosis yang sama

=== Mds ===

=== use know ===

=== Da in caps ===
dimasukkan ke dalam kapsul

=== Cum ===

=== Cito, Urgent, PIM (Periculum In Mora) ===
Segera, Penting, Berbahaya bila ditunda. Resep yang terdapat tanda seperti diatas, meskipun masuk belakangan harus di dahulukan pengerjaannya. 
(Ilmu Meracik Obat Teori dan Praktik, Moh. Anief, Gadjah Mada University Presentasi, 1987, Halaman 7)

=== Iter ===
Diulang

=== Ne iter ===
tidak boleh diulang

=== Qs ===
quantum satis (secukupnya)

=== Ad gram 20 ===
Hingga 20 g

=== Ante defecatio ===
Sebelum defekasi

=== Omni noctem per vaginal ===

== Daftar Obat (1) ==
# Cefixime Trihydrate kapsul 100 mg 2 x 1
# Loperamide HCl tablet 2 mg 3 x 1 (Stop jika sudah tidak diare)
# Omeprazole (OMZ) 20 mg kapsul pelepasan lambat 2 x 1
# Paracetamol tablet 500 mg 3 x 1
# Zinc dispersible tablet 20 mg 1 x 1

== Daftar Obat (2) ==
{| {{Prettytable}}
! Merk
! Kandungan
|-
| Acifar
|
* Acyclovir
|-
| Alleron
|
* Chlorpheniramina maleat 4 mg
|-
| Alofar 100
|
* Allopurinol 100 mg
|-
| Alofar 300
|
* Allopurinol 300 mg
|-
| Aspilet
|
* Asam asetilsalisilat (Aspirin)
|-
| Akita
|
* Attapulgite 600 mg
* Pektin 50 mg
|-
| Beneuron
|
* Vitamin B1 (Thiamine Mononitrate) 100 mg
* Vitamin B6 (Pyridoxine Hydrochloride) 200 mg
* Vitamin B12 (Cyanocobalamin) 200 mcg
|-
| Arkavit-C
|
* Vitamin B1 (Tiamin) 50 mg
* Vitamin B2 (Riboflavin) 25 mg
* Vitamin B3 (Niasin) 50 mg
* Vitamin B5 (Asam pantotenat) 20 mg
* Vitamin B6 (Piridoksin) 10 mg
* Vitamin B12 (Sianokonalamin) 5 mcg
* Vitamin C (Asam askorbat) 500 mg
|-
| Bufacaryl
|
* Dexamethasone 0,5 mg
* Dexchlorpheniramine maleate 2 mg
|-
| Cavicur
|
* Ekstrak Curcuma xanthorriza (temulawak) 20 mg (mengandung curcuminoid ~15%)
* Vitamin A palmitat
* Vitamin B1, B2, B6, B12
* Vitamin D
* Calsium pantothenate
* Calsium glycerophosphate
* Cod liver oil
|-
| Cavicur Syr
| Tiap 5 ml mengandung:
* Ekstrak Curcuma xanthorrhiza 10 mg
* Vitamin A palmitat 850 IU
* Vitamin B1 (tiamin HCl) 3 mg
* Vitamin B2 (riboflavin) 1,5 mg
* Vitamin B6 (piridoksin HCl) 0,5 mg
* Vitamin B12 5 mcg
* Vitamin D 100 IU
* Calsium pantothenate 5 mg
* Calsium glycerophosphate 100 mg
* Cod liver oil (ekstrak minyak ikan kod) 2,5 mg
|-
| Caviplex
|
* Vitamin
** A 4.000 IU
** D3 400 IU
** B1 3 mg, B2 3-4 mg, B6 4 mg, B12 12 mcg
** C 75 mg
** E 10 mg
** B3 (Nikotinamid) 20 mg
** B5 (Ca pantotenat) 5 mg
** Biotin 0,1 mg
** Asam folat 1 mg
* Mineral &amp; lainnya
** Zat besi (Fe) ~30-90 mg
** Kalsium (Ca) ~70-100 mg
** Magnesium ~25-87,5 mg
** Zinc 15 mg
** Tembaga 0,5 mg
** Mangan 0,5 mg
** Fluor 0,5 mg
** Iodium 0,15 mg
** Asam glutamat 50 mg
|-
| Cardipin 5
|
* Nifedipine 5 mg
|-
| Cardipin 10
|
* Nifedipine 10 mg
|-
| Carmeson 4
|
* Ondansetron 4 mg
|-
| Carmeson 8
|
* Ondansetron 8 mg
|-
| Cendo Cenfresh
|
* Carboxymethylcellulose sodium 5 mg/ml
|-
| Cendo Eyefresh
|
* Hypromellose (HPMC) 3 mg/ml
* Dextran 70 1 mg/ml
|-
| Cendo Genta
|
* Gentamisin sulfat 0,3% (3 mg/ml)
|}

# Cendo Lytrees
# Cendo Timol
# Cendo Xitrol
# Dionicol
# Dionicol Syr
# Demacolin
# Dexaharsen 0,5
# Dexyl Syr
# Etaflusin
# Etambion
# Farsifen 400
# Farsifen 100 ml/5 ml Ifar
# Farsifen Plus
# Fasidol
# Fasidol 100 mg/5 ml Ifar
# Fasidol Drop
# Fasidol Forte
# Fasiprim Forte
# Flutop-C Syr
# Grafazol
# Gencetron 8
# Gencobal
# Oxicobal
# Histigo
# Grantusif
# Hufamag Plus
# Hufagrip Forte
# Intunal-F
# Infalgin
# Inamid 2
# Lerzin 10
# Lecozink Syr
# Laxana 5
# Lodecon
# Lokev
# Loctacef 125 mg/5 ml
# Nexitra
# Novakal
# Omedom
# Relaxon
# Suprabiotik
# Spasminal
# Teosal
# Tifestan Forte
# Samcodin
# Vesperum Syr
# Vosea 5
# Vosea Syr
# Yekaprim Syr
# Yusimox Syr
# Zengesic
# Zelona 50

== Daftar Pustaka ==
# {{id}} Ikatan Apoteker Indonesia. Informasi Spesialite Obat Indonesia. Volume 45 – 2010 s/d 2011. Jakarta: PT. ISFI Penerbitan; 2010. ISSN 0854-4492.

{{Catatan Dokter Muda-Stase}}

[[Kategori:Stase|{{SUBPAGENAME}}]]</text>
      <sha1>av9vcz2jzwcgf76dewumqs2sharamiq</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107913</id>
      <parentid>107911</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T11:46:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alfarq</username>
        <id>799</id>
      </contributor>
      <comment>/* Daftar Obat (2) */</comment>
      <origin>107913</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9259" sha1="m82pwstbohv3ioafc8n1cpzsh6p3yp1" xml:space="preserve">{{Wikipedia|Farmasi}}

== Istilah Latin ==
=== Uc ===
* ℞ (racipe): Ambillah.
* Supp (suppositorium): Supositoria, gentel.
* No (nomero): Jumlah, sejumlah.
* S (signa): Tanda, tandai, tandailah.
* Uc (usus cognitus): Pemakaian diketahui.
* Pro: Untuk.

 ℞ Miconazole 2% cream tube No. I
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (20 tahun)

 ℞ Anusol supp No. V
    S uc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. A (21 tahun)

=== Imm ===
* Imm (in manus medicine): Serahkan ke tangan paramedis (dokter, perawat, bidan, mantri).
* Inf (infus): Infus.
* Flab (flabot): Flabot.

 ℞ Natrium Chlorida 0,9% inf flab No. III
    Abbocath no. 22                No. I
    Cum infus set                  No. I
    S imm
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. B (22 tahun)

=== Prn ===
* Tab (tabletta, tabella): Tablet.
* Mg (miligram): Miligram.
* Prn (pro renatera), sns (si necesse sit): Jika perlu. Singkatan ini digunakan untuk obat-obat simtomatis (penghilang gejala).
* Dd (de die): Tiap hari, setiap hari.
* Aggr febr (agrediante febre): saat demam.

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn 1–3 dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

'''Perhatian:'''
* Penulisan setelah Signa tanpa tanda kurung. Berikut adalah penulisan yang salah:

 ℞ Paracetamol tab mg 500 No. X
    S prn (1–3) dd tab I aggr febr
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. C (23 tahun)

=== Up ===
* Up (usus propius): Pemakaian sendiri (untuk dokter). Tidak perlu memakai Pro.

 ℞ Amoxycillin tab mg 500 No. X
    S up
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰

=== Dcf ===
* Dcf, dc form (da cun formula): Sesuai obat yang tertulis.
* Sol, solut (solutio): Larutan.

 ℞ Alkohol 70% sol fl No. I
    S imm dcf
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. E (25 tahun)

=== Sine confectiones ===
* Cap (capsule): Kapsul.
* Sine confectiones: Tanpa kemasan.

 ℞ Amoxsan cap mg 500 No. X (sine confectiones)
    S 3 dd cap I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. F (26 tahun)

=== Adde ===
* Adde: Tambahkan.
* Dry: Kering.
* Syr (syrupus): Sirup.
* Aq coct (aqua cocta): Air masak.
* Ad: Sampai, hingga.
* Cc (cubic centimetre): sentimeter kubik.
* C (cochlea): sendok makan (15 cc).
* Cth (cochlea tea): sendok teh (5 cc).

 ℞ Ampicillin dry syr fl No. I
    Adde aq coct ad cc 60
    S 3 dd cth I
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. G (27 tahun)

=== Ad lib ===
* Ad lib, ad libit (ad libitum): Sesuka hati.

 ℞ Oralit sachet No. XX
    S ad lib
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. H (28 tahun)

=== Ac ===
* Ac (antec cibos, ante cibum, ante coenam): Sebelum makan.

 ℞ Antasida DOEN tab No. X
    S 3 dd tab I ac
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. I (29 tahun)

=== Dc ===
* Dc (durante coenam): Saat makan, ketika makan, selagi makan.

 ℞ Enzyplex tab No. XII
    S 3 dd tab I dc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. J (30 tahun)

=== Pc ===
* Pc (post coenam): Setelah makan, sesudah makan, sehabis makan.

 ℞ Rifampicin tab mg 450 No. VII
    S 1 dd tab I pc
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. K (31 tahun)

=== Hora spatio ===
* Octa: Delapan.
* Hora spatio: Selang sekian jam.
* Octa hora spatio: Selang delapan jam.

 ℞ Chloramphenicol cap mg 500 No. X
    S 3 dd cap I octa hora spatio
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ₰
 Pro: Tn. L (32 tahun)

=== Agita ante sumendum ===

Agita ante sumendum: kocok sebelum digunakan

R/ Mylanta Syr fl no I
ʃ 3 dd CI ac agitatio ante sumundum
----
Pro: Tn J (29th)

=== Hora ieiune ===
Saat perut kosong

=== Sive simile ===
* Boleh diganti
* Obat paten boleh diganti dengan obat paten lain dengan kandungan, bentuk, sediaan, dan dosis yang sama

=== Mds ===

=== use know ===

=== Da in caps ===
dimasukkan ke dalam kapsul

=== Cum ===

=== Cito, Urgent, PIM (Periculum In Mora) ===
Segera, Penting, Berbahaya bila ditunda. Resep yang terdapat tanda seperti diatas, meskipun masuk belakangan harus di dahulukan pengerjaannya. 
(Ilmu Meracik Obat Teori dan Praktik, Moh. Anief, Gadjah Mada University Presentasi, 1987, Halaman 7)

=== Iter ===
Diulang

=== Ne iter ===
tidak boleh diulang

=== Qs ===
quantum satis (secukupnya)

=== Ad gram 20 ===
Hingga 20 g

=== Ante defecatio ===
Sebelum defekasi

=== Omni noctem per vaginal ===

== Daftar Obat (1) ==
# Cefixime Trihydrate kapsul 100 mg 2 x 1
# Loperamide HCl tablet 2 mg 3 x 1 (Stop jika sudah tidak diare)
# Omeprazole (OMZ) 20 mg kapsul pelepasan lambat 2 x 1
# Paracetamol tablet 500 mg 3 x 1
# Zinc dispersible tablet 20 mg 1 x 1

== Daftar Obat (2) ==
{| {{Prettytable}}
! Merk
! Kandungan
|-
| Acifar
|
* Acyclovir
|-
| Alleron
|
* Chlorpheniramina maleat 4 mg
|-
| Alofar 100
|
* Allopurinol 100 mg
|-
| Alofar 300
|
* Allopurinol 300 mg
|-
| Aspilet
|
* Asam asetilsalisilat (Aspirin)
|-
| Akita
|
* Attapulgite 600 mg
* Pektin 50 mg
|-
| Beneuron
|
* Vitamin B1 (Thiamine Mononitrate) 100 mg
* Vitamin B6 (Pyridoxine Hydrochloride) 200 mg
* Vitamin B12 (Cyanocobalamin) 200 mcg
|-
| Arkavit-C
|
* Vitamin B1 (Tiamin) 50 mg
* Vitamin B2 (Riboflavin) 25 mg
* Vitamin B3 (Niasin) 50 mg
* Vitamin B5 (Asam pantotenat) 20 mg
* Vitamin B6 (Piridoksin) 10 mg
* Vitamin B12 (Sianokonalamin) 5 mcg
* Vitamin C (Asam askorbat) 500 mg
|-
| Bufacaryl
|
* Dexamethasone 0,5 mg
* Dexchlorpheniramine maleate 2 mg
|-
| Cavicur
|
* Ekstrak Curcuma xanthorriza (temulawak) 20 mg (mengandung curcuminoid ~15%)
* Vitamin A palmitat
* Vitamin B1, B2, B6, B12
* Vitamin D
* Calsium pantothenate
* Calsium glycerophosphate
* Cod liver oil
|-
| Cavicur Syr
| Tiap 5 ml mengandung:
* Ekstrak Curcuma xanthorrhiza 10 mg
* Vitamin A palmitat 850 IU
* Vitamin B1 (tiamin HCl) 3 mg
* Vitamin B2 (riboflavin) 1,5 mg
* Vitamin B6 (piridoksin HCl) 0,5 mg
* Vitamin B12 5 mcg
* Vitamin D 100 IU
* Calsium pantothenate 5 mg
* Calsium glycerophosphate 100 mg
* Cod liver oil (ekstrak minyak ikan kod) 2,5 mg
|-
| Caviplex
|
* Vitamin
** A 4.000 IU
** D3 400 IU
** B1 3 mg, B2 3-4 mg, B6 4 mg, B12 12 mcg
** C 75 mg
** E 10 mg
** B3 (Nikotinamid) 20 mg
** B5 (Ca pantotenat) 5 mg
** Biotin 0,1 mg
** Asam folat 1 mg
* Mineral &amp; lainnya
** Zat besi (Fe) ~30-90 mg
** Kalsium (Ca) ~70-100 mg
** Magnesium ~25-87,5 mg
** Zinc 15 mg
** Tembaga 0,5 mg
** Mangan 0,5 mg
** Fluor 0,5 mg
** Iodium 0,15 mg
** Asam glutamat 50 mg
|-
| Cardipin 5
|
* Nifedipine 5 mg
|-
| Cardipin 10
|
* Nifedipine 10 mg
|-
| Carmeson 4
|
* Ondansetron 4 mg
|-
| Carmeson 8
|
* Ondansetron 8 mg
|-
| Cendo Cenfresh
|
* Carboxymethylcellulose sodium 5 mg/ml
|-
| Cendo Eyefresh
|
* Hypromellose (HPMC) 3 mg/ml
* Dextran 70 1 mg/ml
|-
| Cendo Genta
|
* Gentamisin sulfat 0,3% (3 mg/ml)
|-
| Cendo Lytrees
|
* Sodium chloride (Natrium klorida) 4,4 mg
* Potassium chloride (Kalium klorida) 0,8 mg
|}

# Cendo Timol
# Cendo Xitrol
# Dionicol
# Dionicol Syr
# Demacolin
# Dexaharsen 0,5
# Dexyl Syr
# Etaflusin
# Etambion
# Farsifen 400
# Farsifen 100 ml/5 ml Ifar
# Farsifen Plus
# Fasidol
# Fasidol 100 mg/5 ml Ifar
# Fasidol Drop
# Fasidol Forte
# Fasiprim Forte
# Flutop-C Syr
# Grafazol
# Gencetron 8
# Gencobal
# Oxicobal
# Histigo
# Grantusif
# Hufamag Plus
# Hufagrip Forte
# Intunal-F
# Infalgin
# Inamid 2
# Lerzin 10
# Lecozink Syr
# Laxana 5
# Lodecon
# Lokev
# Loctacef 125 mg/5 ml
# Nexitra
# Novakal
# Omedom
# Relaxon
# Suprabiotik
# Spasminal
# Teosal
# Tifestan Forte
# Samcodin
# Vesperum Syr
# Vosea 5
# Vosea Syr
# Yekaprim Syr
# Yusimox Syr
# Zengesic
# Zelona 50

== Daftar Pustaka ==
# {{id}} Ikatan Apoteker Indonesia. Informasi Spesialite Obat Indonesia. Volume 45 – 2010 s/d 2011. Jakarta: PT. ISFI Penerbitan; 2010. ISSN 0854-4492.

{{Catatan Dokter Muda-Stase}}

[[Kategori:Stase|{{SUBPAGENAME}}]]</text>
      <sha1>m82pwstbohv3ioafc8n1cpzsh6p3yp1</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Mitologi Yunani/Kisah Hukuman</title>
    <ns>0</ns>
    <id>8699</id>
    <revision>
      <id>107885</id>
      <parentid>58037</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T08:25:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Hasanplusb</username>
        <id>38093</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Penyesuaian kecil sesuai laman PASTI Indonesia dan KKBI Daring versi terbaru.</comment>
      <origin>107885</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2416" sha1="smr86vuo059vfbocyq3kuf9fv9kiafr" xml:space="preserve">[[Berkas:Abraham Bloemaert - Niobe beweent haar kinderen.jpg|280px|thumb|pus|Anak-anak Niobe dibunuh oleh dewa Apollo dan dewi Artemis]]
Dari sudut pandang modern, hubungan antara manusia dan dewa nampaknya menakutkan dan penuh bahaya. Bagi manusia, dewa bisa menjadi kawan terbaik dan sekutu terkuat, namun dewa juga bisa menjadi musuh terburuk. Para dewa nampaknya sama tak stabilnya seperti halnya manusia.

Meskipun dewa nampaknya lebih kuat daripada dewi, namun murka dan amarah para dewi mampu menyebabkan beberapa peristiwa terbesar dalam mitologi Yunani, beberapa di antaranya adalah [[Mitologi Yunani/Pencarian Bulu Domba Emas|Pencarian Bulu Domba Emas]], {{MY|Perburuan Babi Kalidon}}, {{MY|Perang Troya}}, dan {{MY|Herakles/Dua Belas Tugas|Dua Belas Tugas Herakles}}.

Amarah para dewi tidak hanya dapat menghancurkan kehidupan korbannya, melainkan dapat pula berdampak kepada keluarganya, terkadang bahkan dapat memengaruhi seluruh kota atau kerajaan tempatnya tinggal. Penghukuman terhadap manusia, yang ditimpakan oleh para dewi, terkadang dapat sama kejam dan brutal seperti halnya oleh para dewa.

Di bawah ini dijabarkan beberapa kisah Yunani dan Romawi mengenai bagaimana para dewa dan dewi menghukum manusia.
{{col|2}}
*[[Mitologi Yunani/Kisah Hukuman/Aktaion|Aktaion]]
*[[Mitologi Yunani/Titan/Leto|Leto]]
*[[Mitologi Yunani/Kisah Hukuman/Erisikhthon|Erisikhthon]]
*[[Mitologi Yunani/Kisah Hukuman/Teiresias|Teiresias]]
*[[Mitologi Yunani/Kisah Hukuman/Semele|Semele]]
*[[Mitologi Yunani/Kisah Hukuman/Pentheus|Pentheus]]
*[[Mitologi Yunani/Kisah Hukuman/Niobe|Niobe]]
*[[Mitologi Yunani/Wanita Terkenal/Io|Io]]
*[[Mitologi Yunani/Kisah Hukuman/Likaon|Likaon]]
*[[Mitologi Yunani/Kisah Hukuman/Kallisto|Kallisto]]
*[[Mitologi Yunani/Kisah Hukuman/Aigina|Aigina]]
*[[Mitologi Yunani/Wangsa Aiolos/Sisifos|Sisifos]]
*[[Mitologi Yunani/Wangsa Pelops/Tantalos|Tantalos]]
*[[Mitologi Yunani/Kisah Hukuman/Mirra|Mirra]] 	
*[[Mitologi Yunani/Kisah Hukuman/Melanippos dan Komaitho|Melanippos dan Komaitho]]
*[[Mitologi Yunani/Kisah Hukuman/Koronis|Koronis]]
*[[Mitologi Yunani/Titan/Leto|Titios]]
*[[Mitologi Yunani/Kisah Hukuman/Iksion|Iksion]]
*[[Mitologi Yunani/Kisah Hukuman/Marsias|Marsias]]
*[[Mitologi Yunani/Kisah Hukuman/Midas|Midas]]
*[[Mitologi Yunani/Kisah Hukuman/Arakhne|Arakhne]]
*[[Mitologi Yunani/Kisah Hukuman/Thamiris|Thamiris]]
&lt;/div&gt;
{{Mitologi Yunani}}

[[Kategori:Mitologi Yunani]]</text>
      <sha1>smr86vuo059vfbocyq3kuf9fv9kiafr</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Fungsi</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23123</id>
    <revision>
      <id>107878</id>
      <parentid>107787</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T07:52:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107878</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9871" sha1="9rspjri1ghoyueeqc7qizh9iz0leb4a" xml:space="preserve">Sifat fungsi yaitu:
# Fungsi surjektif (fungsi onto atau fungsi kepada)
contoh: A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 4, 6} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,6)}

## Buktikan f(x)=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4 dengan batas-batas -3&lt;x&lt;3 merupakan fungsi surjektif!
Misalkan x = -2 maka y = 0, x = -1 maka y = -3 jadi sebagai berikut: HP = {(-2,0), (-1,-3), (0,-4), (1,-3), (2,0)}

Dalam tersebut adalah fungsi surjektif.

# Fungsi injektif (fungsi into atau fungsi ke dalam)
contoh: A = {1, 2, 3} dan B = {2, 4, 6, 8} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,6)}

# Fungsi bijektif (fungsi satu-satu)
contoh: A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 4, 6, 8} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8)}

## Buktikan f(x)=1/2x dengan batas-batas 1&lt;x&lt;7 merupakan fungsi bijektif!
Misalkan x = 2 maka y = 1/4, x = 3 maka y = 1/6 jadi sebagai berikut: HP = {(2,1/4), (3,1/6), (4,1/8), (5,1/10), (6,1/12)}

Dalam tersebut adalah fungsi bijektif.

# Bukan Fungsi surjektif dan injektif
contoh: A = {1, 2, 3} dan B = {2, 4, 6, 8} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,4)}

Dalam pembuktian sebagai berikut:

f:A -&gt; B : x -&gt; y

Kalau membuktikan bahwa f(x) bersifat surjektif maka ∀y ∈ B, ∃x ∈ A, y = f(x).

Kalau membuktikan bahwa f(x) bersifat injektif maka ∀p,q ∈ A, f(p) = f(q) ⟹ p = q.

Kalau membuktikan bahwa f(x) bersifat bijektif maka memiliki fungsi surjektif dan injektif sekaligus.

contoh 

# Apakah f:R -&gt; R : x -&gt; x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; merupakan fungsi bijektif?

: Membuktikan f(x) merupakan fungsi surjektif
:: Ambil sembarangan y ∈ B
:: y = x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;
:: x = &lt;math&gt;\sqrt[3]{y}&lt;/math&gt; ∈ R

maka terbukti f(x) tersebut adalah fungsi surjektif.

: Membuktikan f(x) merupakan fungsi injektif
:: Misalkan f(p) = f(q) dimana p,q ∈ R
:: p&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = q&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;
:: &lt;math&gt;\sqrt[3]{(p)^3}&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\sqrt[3]{(q)^3}&lt;/math&gt;
:: p = q

maka terbukti f(x) tersebut adalah fungsi injektif.

karena f(x) terbukti merupakan fungsi surjektif dan injektif jadi f(x) merupakan fungsi bijektif.

Beberapa fungsi-fungsi sebagai berikut:
# Fungsi linear
contoh soal

1 tentukan daerah asal serta hasil dari y = 5x+2!

daerah asal: &lt;math&gt;HP = {x|-\infty&lt;x&lt;\infty, x \in R}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;
daerah hasil: &lt;math&gt;HP = {y|-\infty&lt;y&lt;\infty, y \in R}&lt;/math&gt;

# Fungsi kuadrat
; Sumbu simetri dan harga ekstrem/titik balik

fungsi kuadrat &lt;math&gt;y=ax^2+bx+c&lt;/math&gt;

persamaan fungsi kuadrat sebagai berikut:
: y = a(x-x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)(x-x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)
: y = a(x-x&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+y&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;

sumbu simetri adalah x = &lt;math&gt;-\frac{b}{2a}&lt;/math&gt;
nilai balik adalah &lt;math&gt;(-\frac{b}{2a}, -\frac{D}{4a})&lt;/math&gt;.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Kriteria akar-akar
|-
! !! colspan=3| Pernyataan
|-
! !! D&gt;0 !! D=0 !! D&lt;0
|-
| a&gt;0 (terbuka ke atas; nilai minimum) || rowspan=2| memotong || rowspan=2| menyinggung || rowspan=2| tidak memotong dan menyinggung
|-
| a&lt;0 (terbuka ke bawah; nilai maksimum)
|-
|}

contoh soal
 
1 tentukan daerah asal serta hasil dari y = x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+5x+4!
cari sumbu simetri x yaitu -b/2a adalah -5/2(1) = -5/2 serta hasil y yaitu (-5/2)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+5(-5/2)+4 = -9/4.

daerah asal: &lt;math&gt;HP = {x|-\infty&lt;x&lt;\infty, x \in R}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;
daerah hasil: &lt;math&gt;HP = {y|y \ge -\frac{9}{4}, y \in R}&lt;/math&gt;

2 tentukan sumbu simetri dan titik balik dari persamaan y = x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-4x+3!

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
y &amp;= x^2-4x+3 \\
x &amp;= -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \\
y &amp;= -\frac{(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot 3}{4 \cdot 1} \\
  &amp;= -\frac{4}{4} = -1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
y &amp;= x^2-4x+3 \\
x &amp;= -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \\
y &amp;= 2^2-4(2)+3 = -1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
y &amp;= x^2-4x+3 \\
y' &amp;= 0 \\
2x-4 &amp;= 0 \\
x &amp;= 2 \\
y &amp;= 2^2-4(2)+3 = -1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

sumbu simetri x=2 dan titik baliknya (2,-1).

; gambar fungsi
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+
|-
! !! D &gt; 0&lt;br&gt; Terdapat 2 titik terbuka !! D = 0&lt;br&gt; Terdapat 1 titik terbuka || D &lt; 0&lt;br&gt; Tidak terdapat titik terbuka
|-
| a &gt; 0 || colspan=3| Melengkung ke atas dari titik balik
|-
| a &lt; 0 || colspan=3| Melengkung ke bawah dari titik balik
|}

# Fungsi mutlak
Fungsi piecewise adalah setiap fungsi dari daerah hasil memiliki beberapa fungsi dari daerah asal yang berbeda. contoh: &lt;math&gt;f(x) = \begin{cases}
cos x &amp; \text{ untuk } x \ge 0 \\
sin x &amp; \text{ untuk } x &lt; 0
\end{cases}
&lt;/math&gt;

contoh soal
 
1 tentukan daerah asal serta hasil dari y = |2x + 1]!

cari batasan sumbu x yaitu 2x + 1 = 0 adalah 0.

daerah asal: &lt;math&gt;HP = {x|-\infty&lt;x&lt;\infty, x \in R}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;
daerah hasil: &lt;math&gt;HP = {y|y \ge 0, y \in R}&lt;/math&gt;

# Fungsi akar
contoh soal
 
1 tentukan daerah asal serta hasil dari &lt;math&gt;y = \sqrt{2x + 1}&lt;/math&gt;!

cari batasan sumbu x yaitu 2x + 1 ≥ 0 adalah x ≥ -1/2.

daerah asal: &lt;math&gt;HP = {x|x \ge -\frac{1}{2}, x \in R}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;
daerah hasil: &lt;math&gt;HP = {y|y \ge 0, y \in R}&lt;/math&gt;

# Fungsi pecahan
contoh soal

1 tentukan daerah asal serta hasil dari &lt;math&gt;y = \frac{2x+1}{3x-1}&lt;/math&gt;!

daerah asal: &lt;math&gt;HP = {x|x \neq \frac{1}{3}, x \in R}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;
daerah hasil: &lt;math&gt;HP = {y|y \neq \frac{2}{3}, y \in R}&lt;/math&gt;

2 tentukan daerah asal serta hasil dari &lt;math&gt;y = \frac{x^2-4x-5}{x^2-x-6}&lt;/math&gt;!

daerah asal: &lt;math&gt;HP = {x|x \neq {-2, 3} , x \in R}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;
daerah hasil: &lt;math&gt;HP = {y|-\infty&lt;y&lt;1 \text{ v } &lt;1&lt;y&lt;\infty , y \in R}&lt;/math&gt;

3 tentukan daerah asal serta hasil dari &lt;math&gt;y = \frac{x^2+x-20}{2x+3}&lt;/math&gt;!

daerah asal: &lt;math&gt;HP = {x|x \neq -\frac{3}{2}, x \in R}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;
daerah hasil: &lt;math&gt;HP = {y|-\infty&lt;y&lt;\infty, y \in R}&lt;/math&gt;

; Pembuatan grafik

;fungsi pecahan linear &lt;math&gt;\frac{ax+b}{px+q}&lt;/math&gt; dengan p≠0.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:
# titik potong sumbu x ((-b/a,0))
# titik potong sumbu y ((0,b/q))
# asymtot tegak (x=-q/p)
# asymtot datar (y=a/p)
# titik-titik lainnya

;fungsi pecahan kuadrat &lt;math&gt;\frac{ax^2+bx+c}{px^2+qx+r}&lt;/math&gt; dengan {a,p}≠0.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:
# titik potong sumbu x (ax&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bx+c=0)
# titik potong sumbu y ((0,c/r))
# asymtot tegak (px&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+qx+r=0)
# asymtot datar (y=a/p)
# harga ekstrem/titik balik (cari diskriminan dari persamaan yang bernilai y dimana y sebagai misalnya serta syarat D ≥ 0. kalau y didapat tinggal cari x nya)
# titik potong tegak dengan asymtot datar (cari nilai x dimana y adalah asymtot datar)
# titik-titik lainnya

;fungsi pecahan kuadrat linear &lt;math&gt;\frac{ax^2+bx+c}{px+q}&lt;/math&gt; dengan {a,p}≠0.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:
# titik potong sumbu x (ax&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+bx+c=0)
# titik potong sumbu y ((0,c/q))
# asymtot tegak (x=-q/p)
# asymtot miring (hasil bagi dari pembilang dengan penyebut)
# harga ekstrem/titik balik (cari diskriminan dari persamaan yang bernilai y dimana y sebagai misalnya serta syarat D ≥ 0. kalau y didapat tinggalcari x nya)
# titik-titik lainnya

;fungsi pecahan linear kuadrat &lt;math&gt;\frac{ax+b}{px^2+qx+r}&lt;/math&gt; dengan p≠0.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:
# titik potong sumbu x ((-b/a,0))
# titik potong sumbu y ((0,b/r))
# asymtot tegak (px&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+qx+r=0)
# asymtot datar (y=0)
# harga ekstrem/titik balik (cari diskriminan dari persamaan yang bernilai y dimana y sebagai misalnya serta syarat D ≥ 0. kalau y didapat tinggal cari x nya)
# titik potong tegak dengan asymtot datar (cari nilai x dimana y adalah asymtot datar)
# titik-titik lainnya

; Tambahan soal
* Tentukan hasil nilai dibawah ini!
# f(1) jika &lt;math&gt;f(\frac{26}{3^x-1}) = \frac{16}{x^2-1}&lt;/math&gt;
# f(2) jika &lt;math&gt;f(\sqrt{3^x-5}) = log 5x&lt;/math&gt;
# f(10) jika f(6) = 61 serta &lt;math&gt;f(6) \cdot f(\frac{5}{6}) = f(6) + 25 f(\frac{5}{6})&lt;/math&gt;

1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(\frac{26}{3^x-1}) &amp;= \frac{16}{x^2-1} \\
\text{ anggap bahwa } f(1) &amp;= f(\frac{26}{3^x-1}) \\
1 &amp;= \frac{26}{3^x-1} \\
3^x-1 &amp;= 26 \\
3^x &amp;= 27 \\
3^x &amp;= 3^3 \\
x &amp;= 3 \\

\text { nah x adalah 3 } \\
\frac{16}{x^2-1} &amp;= \frac{16}{3^2-1} \\
 &amp;= \frac{16}{8} \\
 &amp;= 2 \\

f(1) &amp;= 2 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(\sqrt{3^x-5}) &amp;= log 5x \\
\text{ anggap bahwa } f(2) &amp;= f(\sqrt{3^x-5}) \\
2 &amp;= \sqrt{3^x-5} \\
3^x-5 &amp;= 2^2 \\
3^x-5 &amp;= 4 \\
3^x &amp;= 9 \\
3^x &amp;= 3^2 \\
x &amp;= 2 \\

\text { nah x adalah 2 } \\
log 5x &amp;= log 5(2) \\
 &amp;= log 10 \\
 &amp;= 1 \\

f(2) &amp;= 1 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

3
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
f(6) \cdot f(\frac{5}{6}) &amp;= f(6) + 25 f(\frac{5}{6}) \\
61 f(\frac{5}{6}) &amp;= 61 + 25 f(\frac{5}{6}) \\
36 f(\frac{5}{6}) &amp;= 61 \\
f(\frac{5}{6}) &amp;= \frac{61}{36} \\
f(\frac{5}{6}) &amp;= 1 + \frac{25}{36} \\
f(\frac{5}{6}) &amp;= 1 + \frac{5^2}{6^2} \\
f(\frac{5}{6}) &amp;= 1 + (\frac{5}{6})^2 \\
f(x) &amp;= 1 + x^2  \\

f(x) &amp;= 1 + x^2 \\
f(10) &amp;= 1 + 10^2 \\
 &amp;= 101 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

== Fungsi ganjil dan genap ==
fungsi ganjil apabila f(x) = - f(-x) serta fungsi genap apabila f(x) = f(-x).

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>9rspjri1ghoyueeqc7qizh9iz0leb4a</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Bangun datar</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23127</id>
    <revision>
      <id>107879</id>
      <parentid>107793</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T07:56:19Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107879</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4550" sha1="pemqfuimy3mdkokhooa5zrj450797rp" xml:space="preserve">Bangun datar disebut juga dimensi dua yang memiliki sebidang serta beberapa rusuknya. bangun ini memiliki simetri lipat, simetri putar dan sumbu simetri

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! bangun datar !! simetri lipat !! simetri putar !! sumbu simetri
|-
| persegi || 4 || 4 || 4
|-
| segi-n || || ||
|-
| persegi panjang || 2 || 2 || 2
|-
| segitiga sama sisi || 3 || 3 || 3
|-
| segitiga sama kaki || 1 || 0 || 1
|-
| segitiga siku-siku || 1 || 0 || 1
|-
| lingkaran || takhingga || takhingga || takhingga
|-
| jajar genjang || 0 || 2 || 0
|-
| belah ketupat || 2 || 2 || 2
|-
| trapesium sama kaki || 1 || 0 || 1
|-
| trapesium siku-siku || 0 || 0 || 0
|-
| layang-layang || 1 || 0 || 1
|-
| elips || 2 || 0 || 2
|}

; Hubungan ketiga sisi segitiga dengan jari-jari lingkaran (lingkaran dalam segitiga siku-siku): &lt;math&gt;r = \frac{a+b-c}{2}&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a-r + b-r &amp;= c \\
a+b-2r &amp;= c \\
2r &amp;= a+b-c \\
r &amp;= \frac{a+b-c}{2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; Hubungan dua tali busur dengan jari-jari lingkaran: &lt;math&gt;r = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{4}}&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{ misalkan } p &amp;= \frac{c+d}{2} \text{ dan } q = \frac{a+b}{2} \\
\text{ misalkan persegi panjang dibuat x dan y} &amp; \\

x + p &amp;= d \\
x + \frac{c+d}{2} &amp;= d \\
x &amp;= d - \frac{c+d}{2} \\
x &amp;= \frac{d-c}{2} \\

y + q &amp;= b \\
y + \frac{a+b}{2} &amp;= b \\
y &amp;= b - \frac{a+b}{2} \\
y &amp;= \frac{b-a}{2} \\

y^2 + p^2 &amp;= r^2 \\
(\frac{b-a}{2})^2 + (\frac{c+d}{2})^2 &amp;= r^2 \\
\frac{a^2-2ab+b^2}{4} + \frac{c^2+2cd+d^2}{4} &amp;= r^2 \\

x^2 + q^2 &amp;= r^2 \\
(\frac{d-c}{2})^2 + (\frac{a+b}{2})^2 &amp;= r^2 \\
\frac{c^2-2cd+d^2}{4} + \frac{a^2+2ab+b^2}{4} &amp;= r^2 \\

\text {jumlah dua persamaan tersebut menjadi } &amp; \\
\frac{a^2-2ab+b^2}{4} + \frac{c^2+2cd+d^2}{4} + \frac{c^2-2cd+d^2}{4} + \frac{a^2+2ab+b^2}{4} &amp;= 2r^2 \\

\frac{2a^2+2b^2+2c^2+2d^2}{4} &amp;= 2r^2 \\
\frac{2(a^2+b^2+c^2+d^2)}{4} &amp;= 2r^2 \\
\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4} &amp;= r^2 \\
a^2+b^2+c^2+d^2 &amp;= 4r^2 \\
r &amp;= \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{4}} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; Lingkaran dalam segitiga: &lt;math&gt;r = \frac{L}{s}&lt;/math&gt; (s adalah setengah keliling segitiga)
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{ misalkan luas segitiga AOC } L_a &amp;= \frac{ra}{2} \\
\text{ misalkan luas segitiga COB } L_b &amp;= \frac{rb}{2} \\
\text{ misalkan luas segitiga BOC } L_c &amp;= \frac{rc}{2} \\

\text{ maka total luas ketiga segitiga tersebut adalah } L &amp;= L_a + L_b + L_c \\
&amp;= \frac{ra}{2} + \frac{rb}{2} + \frac{rc}{2} \\
&amp;= r \frac{a+b+c}{2} \\
&amp;= r s \\
r &amp;= \frac{L}{s} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; Lingkaran luar segitiga: &lt;math&gt;r = \frac{abc}{4L}&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{ lihat posisi kesebangunan } \frac{t}{b} &amp;= \frac{c}{2r} \\
t &amp;= \frac{bc}{2r} \\

L &amp;= \frac{at}{2} \\
&amp;= \frac{abc}{2(2r)} \\
r &amp;= \frac{abc}{4L} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; Garis singgung (satu) lingkaran: &lt;math&gt;d = \sqrt{a^2-b^2}&lt;/math&gt;

; Garis singgung persekutuan dalam (dua) lingkaran: &lt;math&gt;d = \sqrt{p^2-(R+r)^2}&lt;/math&gt;

; Garis singgung persekutuan luar (dua) lingkaran: &lt;math&gt;d = \sqrt{p^2-(R-r)^2}&lt;/math&gt;

keterangan:
: d = panjang singgung persekutuan dalam/luar lingkaran
: p = jarak kedua titik pusat lingkaran

; Teorema Ceva: AF x BD x CE = BF x CD x AE

; Teorema Power de Point:
:: AE x EC = BE x DE
:: AB&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = AD x AE
:: AB x AC = AD x AE

; Teorema de Pitot: AB + DC = AD + BC

; Aspek tali busur dalam lingkaran:
: AE x EC = BE x ED

; Teorema Ptolomeo
: AC x BD = AB x DC + AD x BC

; Tali busur pada satu titik di luar lingkaran:
: (a + b) x b = (c + d) x d

; Hubungan besar sudut, luas juring dan panjang busur
: &lt;math&gt;\frac{\text{besar sudut AOB }{besar sudut COD } = \frac{\text{luas juring AOB }{luas juring COD } = \frac{\text{panjang busur AB }{panjang busur CD }&lt;/math&gt;
[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>pemqfuimy3mdkokhooa5zrj450797rp</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107880</id>
      <parentid>107879</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T07:57:41Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107880</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4575" sha1="o5t7paudthsn05g06qgpv3bpm60vvos" xml:space="preserve">Bangun datar disebut juga dimensi dua yang memiliki sebidang serta beberapa rusuknya. bangun ini memiliki simetri lipat, simetri putar dan sumbu simetri

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! bangun datar !! simetri lipat !! simetri putar !! sumbu simetri
|-
| persegi || 4 || 4 || 4
|-
| segi-n || || ||
|-
| persegi panjang || 2 || 2 || 2
|-
| segitiga sama sisi || 3 || 3 || 3
|-
| segitiga sama kaki || 1 || 0 || 1
|-
| segitiga siku-siku || 1 || 0 || 1
|-
| lingkaran || takhingga || takhingga || takhingga
|-
| jajar genjang || 0 || 2 || 0
|-
| belah ketupat || 2 || 2 || 2
|-
| trapesium sama kaki || 1 || 0 || 1
|-
| trapesium siku-siku || 0 || 0 || 0
|-
| layang-layang || 1 || 0 || 1
|-
| elips || 2 || 0 || 2
|}

; Hubungan ketiga sisi segitiga dengan jari-jari lingkaran (lingkaran dalam segitiga siku-siku): &lt;math&gt;r = \frac{a+b-c}{2}&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
a-r + b-r &amp;= c \\
a+b-2r &amp;= c \\
2r &amp;= a+b-c \\
r &amp;= \frac{a+b-c}{2} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; Hubungan dua tali busur dengan jari-jari lingkaran: &lt;math&gt;r = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{4}}&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{ misalkan } p &amp;= \frac{c+d}{2} \text{ dan } q = \frac{a+b}{2} \\
\text{ misalkan persegi panjang dibuat x dan y} &amp; \\

x + p &amp;= d \\
x + \frac{c+d}{2} &amp;= d \\
x &amp;= d - \frac{c+d}{2} \\
x &amp;= \frac{d-c}{2} \\

y + q &amp;= b \\
y + \frac{a+b}{2} &amp;= b \\
y &amp;= b - \frac{a+b}{2} \\
y &amp;= \frac{b-a}{2} \\

y^2 + p^2 &amp;= r^2 \\
(\frac{b-a}{2})^2 + (\frac{c+d}{2})^2 &amp;= r^2 \\
\frac{a^2-2ab+b^2}{4} + \frac{c^2+2cd+d^2}{4} &amp;= r^2 \\

x^2 + q^2 &amp;= r^2 \\
(\frac{d-c}{2})^2 + (\frac{a+b}{2})^2 &amp;= r^2 \\
\frac{c^2-2cd+d^2}{4} + \frac{a^2+2ab+b^2}{4} &amp;= r^2 \\

\text {jumlah dua persamaan tersebut menjadi } &amp; \\
\frac{a^2-2ab+b^2}{4} + \frac{c^2+2cd+d^2}{4} + \frac{c^2-2cd+d^2}{4} + \frac{a^2+2ab+b^2}{4} &amp;= 2r^2 \\

\frac{2a^2+2b^2+2c^2+2d^2}{4} &amp;= 2r^2 \\
\frac{2(a^2+b^2+c^2+d^2)}{4} &amp;= 2r^2 \\
\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4} &amp;= r^2 \\
a^2+b^2+c^2+d^2 &amp;= 4r^2 \\
r &amp;= \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{4}} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; Lingkaran dalam segitiga: &lt;math&gt;r = \frac{L}{s}&lt;/math&gt; (s adalah setengah keliling segitiga)
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{ misalkan luas segitiga AOC } L_a &amp;= \frac{ra}{2} \\
\text{ misalkan luas segitiga COB } L_b &amp;= \frac{rb}{2} \\
\text{ misalkan luas segitiga BOC } L_c &amp;= \frac{rc}{2} \\

\text{ maka total luas ketiga segitiga tersebut adalah } L &amp;= L_a + L_b + L_c \\
&amp;= \frac{ra}{2} + \frac{rb}{2} + \frac{rc}{2} \\
&amp;= r \frac{a+b+c}{2} \\
&amp;= r s \\
r &amp;= \frac{L}{s} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; Lingkaran luar segitiga: &lt;math&gt;r = \frac{abc}{4L}&lt;/math&gt;
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
\text{ lihat posisi kesebangunan } \frac{t}{b} &amp;= \frac{c}{2r} \\
t &amp;= \frac{bc}{2r} \\

L &amp;= \frac{at}{2} \\
&amp;= \frac{abc}{2(2r)} \\
r &amp;= \frac{abc}{4L} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; Garis singgung (satu) lingkaran: &lt;math&gt;d = \sqrt{a^2-b^2}&lt;/math&gt;

; Garis singgung persekutuan dalam (dua) lingkaran: &lt;math&gt;d = \sqrt{p^2-(R+r)^2}&lt;/math&gt;

; Garis singgung persekutuan luar (dua) lingkaran: &lt;math&gt;d = \sqrt{p^2-(R-r)^2}&lt;/math&gt;

keterangan:
: d = panjang singgung persekutuan dalam/luar lingkaran
: p = jarak kedua titik pusat lingkaran

; Teorema Ceva: AF x BD x CE = BF x CD x AE

; Teorema Power de Point:
:: AE x EC = BE x DE
:: AB&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = AD x AE
:: AB x AC = AD x AE

; Teorema de Pitot: AB + DC = AD + BC

; Aspek tali busur dalam lingkaran:
: AE x EC = BE x ED

; Teorema Ptolomeo
: AC x BD = AB x DC + AD x BC

; Tali busur pada satu titik di luar lingkaran:
: (a + b) x b = (c + d) x d

; Hubungan besar sudut, luas juring dan panjang busur
: &lt;math&gt;\frac{\text{besar sudut AOB }}{\text{besar sudut COD }} = \frac{\text{luas juring AOB }}{\text{luas juring COD }} = \frac{\text{panjang busur AB }}{\text{panjang busur CD }}&lt;/math&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>o5t7paudthsn05g06qgpv3bpm60vvos</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Bilangan</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23130</id>
    <revision>
      <id>107811</id>
      <parentid>107809</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T11:59:28Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107811</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8236" sha1="nj0euauqiwr89olz4buy1j4jssg6w41" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i)+(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)i

: Pengurangan
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i)-(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)i

: Perkalian
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i).(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)i-y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)i

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i}&lt;/math&gt;
[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>nj0euauqiwr89olz4buy1j4jssg6w41</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107815</id>
      <parentid>107811</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T12:00:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107815</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8297" sha1="26cwo9vfmk0roel65m7znht7szpq71r" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i)+(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)i

: Pengurangan
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i)-(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)i

: Perkalian
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i).(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)i-y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)i

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i}&lt;/math&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>26cwo9vfmk0roel65m7znht7szpq71r</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107816</id>
      <parentid>107815</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T12:04:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107816</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8364" sha1="rhkhpfkvhv9v0dpihtsvq4jraeoxj64" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i)+(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)i

: Pengurangan
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i)-(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)i

: Perkalian
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i).(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)i-y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)i

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}&lt;/math&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>rhkhpfkvhv9v0dpihtsvq4jraeoxj64</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107818</id>
      <parentid>107816</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T12:06:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107818</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8430" sha1="0f39omzm936mvl72lgnr1a6b94ttlmt" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i)+(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)i

: Pengurangan
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i)-(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)i

: Perkalian
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i).(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)i-y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)i

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}&lt;/math&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>0f39omzm936mvl72lgnr1a6b94ttlmt</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107819</id>
      <parentid>107818</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T12:10:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107819</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8322" sha1="ap97rt20pqhb4zpy8ozegb65dotejet" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i).(x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i)=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)i-y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+(x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)i

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>ap97rt20pqhb4zpy8ozegb65dotejet</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107820</id>
      <parentid>107819</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T12:16:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107820</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8036" sha1="678xctutuwnletquqs03jbisiesa8ng" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>678xctutuwnletquqs03jbisiesa8ng</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107822</id>
      <parentid>107820</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T12:23:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107822</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8427" sha1="t0evtwnt7jjq9gt428dstbegg2szafx" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;..(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>t0evtwnt7jjq9gt428dstbegg2szafx</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107823</id>
      <parentid>107822</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T12:25:47Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107823</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8458" sha1="nw2seito2bbco1t7nme7363na0fjcdf" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>nw2seito2bbco1t7nme7363na0fjcdf</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107825</id>
      <parentid>107823</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T12:29:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107825</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8610" sha1="c85d4ued278oqkim4ckkkb31aysk122" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

didefinisikan sebagai (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>c85d4ued278oqkim4ckkkb31aysk122</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107827</id>
      <parentid>107825</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T12:33:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107827</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8713" sha1="48ra4whcte9r7orchcg37h3yg14041q" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

didefinisikan sebagai (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; kompleks sekawan
kompleks sekawan dari z=x+yi adalah x-yi. adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* 
[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>48ra4whcte9r7orchcg37h3yg14041q</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107828</id>
      <parentid>107827</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T12:39:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107828</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8739" sha1="gkbac917p8q0zh6yapvwfzg29u51rxd" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

didefinisikan sebagai (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; kompleks sekawan
kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi. adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* 
[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>gkbac917p8q0zh6yapvwfzg29u51rxd</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107829</id>
      <parentid>107828</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T12:50:01Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107829</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9159" sha1="d6lgdt8zk5tohwyh8tjx8inim3h1v75" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

didefinisikan sebagai (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; kompleks sekawan
kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi. adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=z
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=Im(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z| |Re(z)| Re(z)
** |z| |Im(z)| Im(z)

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>d6lgdt8zk5tohwyh8tjx8inim3h1v75</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107830</id>
      <parentid>107829</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T12:54:01Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107830</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9216" sha1="cr87z3zjytzst0ht3j55eurmoko5twm" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

didefinisikan sebagai (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; kompleks sekawan
kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi. adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=z
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=Im(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:


[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>cr87z3zjytzst0ht3j55eurmoko5twm</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107837</id>
      <parentid>107830</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T14:08:28Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107837</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9282" sha1="gijtvsap462j81gsbxj1wdg74d2djc3" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

didefinisikan sebagai (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; kompleks sekawan
kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi. adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}&lt;/math&gt;=\overline{z}^{-1}
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:


[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>gijtvsap462j81gsbxj1wdg74d2djc3</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107838</id>
      <parentid>107837</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T14:10:33Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107838</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9300" sha1="r8krb6bkr08ih0pr1287vprfpy5tfmb" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

didefinisikan sebagai (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi. adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:


[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>r8krb6bkr08ih0pr1287vprfpy5tfmb</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107839</id>
      <parentid>107838</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T14:21:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107839</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9482" sha1="2j7jr26sw6msonj483yqiii6ys37njp" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

didefinisikan sebagai (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi. adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;=\frac{|z_1|}{|z_2|}
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;| |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>2j7jr26sw6msonj483yqiii6ys37njp</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107840</id>
      <parentid>107839</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T14:24:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107840</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9551" sha1="6udh9hctxyuzloyktogi8vrjglyg9q3" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

didefinisikan sebagai (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi. adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;=\frac{|z_1|}{|z_2|}
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>6udh9hctxyuzloyktogi8vrjglyg9q3</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107841</id>
      <parentid>107840</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T14:28:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107841</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9585" sha1="pwdw9lo4qrepp28eotg2s50f1uwwvup" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

didefinisikan sebagai (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang didefinisikan sebagai (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;=\frac{|z_1|}{|z_2|}
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>pwdw9lo4qrepp28eotg2s50f1uwwvup</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107842</id>
      <parentid>107841</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T14:32:01Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107842</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9606" sha1="s0lbi122d6nqy5dqbh41gmzw37slx3c" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

didefinisikan sebagai (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang didefinisikan sebagai (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;=\frac{|z_1|}{|z_2|} untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>s0lbi122d6nqy5dqbh41gmzw37slx3c</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107843</id>
      <parentid>107842</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T14:37:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107843</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9876" sha1="a0js83mnbw1dd5vqbzxv1wv6auufmjr" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

didefinisikan sebagai (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang didefinisikan sebagai (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;=\frac{|z_1|}{|z_2|} untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1\cdotz_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}&lt;/math&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>a0js83mnbw1dd5vqbzxv1wv6auufmjr</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107844</id>
      <parentid>107843</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T14:39:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107844</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9880" sha1="c0ojb070oomm8ht8q6ce2z7zcwlcrrz" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

didefinisikan sebagai (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang didefinisikan sebagai (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}&lt;/math&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>c0ojb070oomm8ht8q6ce2z7zcwlcrrz</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107845</id>
      <parentid>107844</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T14:42:01Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107845</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10005" sha1="ei5vsslihj1m5uzk7gi7ds2ikngz06l" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

didefinisikan sebagai (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang didefinisikan sebagai (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>ei5vsslihj1m5uzk7gi7ds2ikngz06l</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107846</id>
      <parentid>107845</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T14:46:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107846</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10076" sha1="p4did95douogdjbm6ikpd7oq7aklpfm" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

didefinisikan sebagai (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang didefinisikan sebagai (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; Bentuk kutub (polar)

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>p4did95douogdjbm6ikpd7oq7aklpfm</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107847</id>
      <parentid>107846</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T14:53:00Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107847</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10096" sha1="jt636fh6n6w0vhs2splnddwv4oyy3em" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

didefinisikan sebagai (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang didefinisikan sebagai (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; Bentuk kutub (polar)

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>jt636fh6n6w0vhs2splnddwv4oyy3em</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107848</id>
      <parentid>107847</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T14:56:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107848</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10159" sha1="cimgqighncr9hzg33w25galeczspdif" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

didefinisikan sebagai (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang didefinisikan sebagai (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; Bentuk kutub (polar)

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>cimgqighncr9hzg33w25galeczspdif</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107849</id>
      <parentid>107848</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T14:58:19Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107849</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10203" sha1="bomv6vtgmpqut0nhnoxri428jkzrz8c" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

didefinisikan sebagai (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang didefinisikan sebagai (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; Bentuk kutub (polar)
bentuknya sebagai z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>bomv6vtgmpqut0nhnoxri428jkzrz8c</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107850</id>
      <parentid>107849</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T15:04:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107850</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10427" sha1="pkb00bdu1me6w1wyzfcp98zzfm5gatg" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; Bentuk kutub (polar)
koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r( cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah z=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r( cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>pkb00bdu1me6w1wyzfcp98zzfm5gatg</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107851</id>
      <parentid>107850</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T15:08:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107851</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10607" sha1="b40d6ahpsowzye0t8peazb4h9ln8ryy" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; Bentuk kutub (polar)
koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r( cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah z=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r( cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>b40d6ahpsowzye0t8peazb4h9ln8ryy</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107852</id>
      <parentid>107851</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T15:18:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107852</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10868" sha1="fmr1f0iadlh4qzbjj6oeu9g94xv8n4m" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; Bentuk kutub (polar)
koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r( cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah z=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r( cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; Argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>fmr1f0iadlh4qzbjj6oeu9g94xv8n4m</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107853</id>
      <parentid>107852</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T15:21:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107853</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10999" sha1="2plhwsx8if3x82hox52bc576v5s2d9n" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; Bentuk kutub (polar)
koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r( cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah z=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r( cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

; bentuk euler
bentuk kutubnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah z=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>2plhwsx8if3x82hox52bc576v5s2d9n</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107854</id>
      <parentid>107853</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T15:25:02Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107854</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10997" sha1="lp30a67yx77dswp6po7x5sdpnfooux7" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; Bentuk kutub (polar)
koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah z=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

; bentuk euler
bentuk kutubnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah z=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>lp30a67yx77dswp6po7x5sdpnfooux7</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107855</id>
      <parentid>107854</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T15:28:50Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107855</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10997" sha1="47z0fwu4dpzl3xii7sob4l28l73z0zw" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; Bentuk kutub (polar)
koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah z=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

; bentuk euler
bentuk eulernya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah z=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>47z0fwu4dpzl3xii7sob4l28l73z0zw</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107856</id>
      <parentid>107855</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T15:44:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107856</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11153" sha1="j0huscsto175atenoohkpng5baxvbdt" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; Bentuk kutub (polar)
koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah z=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

; bentuk euler
bentuk eulernya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah z=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=\&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=\&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>j0huscsto175atenoohkpng5baxvbdt</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107857</id>
      <parentid>107856</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T15:45:31Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107857</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11151" sha1="t74y6x4dnv0az3q4xrn13qz50gpt1eu" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; Bentuk kutub (polar)
koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah z=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

; bentuk euler
bentuk eulernya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah z=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>t74y6x4dnv0az3q4xrn13qz50gpt1eu</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107858</id>
      <parentid>107857</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T15:46:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107858</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11151" sha1="6d94u3vxydjdvf4ib5scidla6jbr6kz" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; Bentuk kutub (polar)
koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah z=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

; bentuk euler
bentuk eulernya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah z=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>6d94u3vxydjdvf4ib5scidla6jbr6kz</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107859</id>
      <parentid>107858</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T15:49:41Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107859</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11152" sha1="ibs756c65xuqmv0o819nfv19luefm4k" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}
4
'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
rumus: z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; Bentuk kutub (polar)
koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah z=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

; bentuk euler
bentuk eulernya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah z=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>ibs756c65xuqmv0o819nfv19luefm4k</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107860</id>
      <parentid>107859</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T22:12:31Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107860</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11746" sha1="oujtsod4ybo059hm828n66wa1tmnlhw" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
1 Bentuk kartesian
bentuk eulernya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

2 Bentuk kutub (polar)
koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

3 Bentuk euler
bentuk eulernya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Euler
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>oujtsod4ybo059hm828n66wa1tmnlhw</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107861</id>
      <parentid>107860</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T22:14:43Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107861</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11752" sha1="d3kb59tp0nnhf6yihs5ky9mjevoe944" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk eulernya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+{y_2i}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk euler

bentuk eulernya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Euler
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>d3kb59tp0nnhf6yihs5ky9mjevoe944</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107862</id>
      <parentid>107861</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T23:27:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107862</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11754" sha1="rvxm37rnjb6ds1p77en7mm6o6iri9uq" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk eulernya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk euler

bentuk eulernya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Euler
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>rvxm37rnjb6ds1p77en7mm6o6iri9uq</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107863</id>
      <parentid>107862</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T01:16:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107863</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11746" sha1="8qll0bqm1tbmc3ae9mqj2g6reqnoqmv" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk eulernya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 x z_2=(x_1+y_1i) x (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk euler

bentuk eulernya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Euler
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>8qll0bqm1tbmc3ae9mqj2g6reqnoqmv</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107864</id>
      <parentid>107863</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T01:19:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107864</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11758" sha1="6k2bnkrzjqy2n57wrrih4wnn6z75qce" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk eulernya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \cross z_2=(x_1+y_1i) \cross (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \cross z_2}=\overline{z_1} \cross \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk euler

bentuk eulernya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Euler
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>6k2bnkrzjqy2n57wrrih4wnn6z75qce</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107865</id>
      <parentid>107864</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T01:21:23Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107865</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11758" sha1="s1f2qs1riyet29cbwlpckubkf1jfpdi" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk eulernya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;).z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* z.z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|.|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk euler

bentuk eulernya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Euler
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>s1f2qs1riyet29cbwlpckubkf1jfpdi</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107866</id>
      <parentid>107865</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T01:23:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107866</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11758" sha1="80gywh90b8n2iuwrcqkzrrsmpzyycsv" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk eulernya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1z = -(x+yi) = -x-yi

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk euler

bentuk eulernya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Euler
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>80gywh90b8n2iuwrcqkzrrsmpzyycsv</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107867</id>
      <parentid>107866</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T01:32:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107867</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11895" sha1="7zenb4zwpro7d7l1msjw6d0yu0uepyr" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk eulernya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk euler

bentuk eulernya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Euler
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>7zenb4zwpro7d7l1msjw6d0yu0uepyr</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107868</id>
      <parentid>107867</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T01:34:55Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107868</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11908" sha1="ttzw1rx3uef5a24a1pq8t582pqfkgmw" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk eulernya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk euler

bentuk eulernya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Euler
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>ttzw1rx3uef5a24a1pq8t582pqfkgmw</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107869</id>
      <parentid>107868</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T02:04:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107869</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11929" sha1="qv1vs328pszjooi4iuunz9274cqb8y6" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk eulernya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+yi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>qv1vs328pszjooi4iuunz9274cqb8y6</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107871</id>
      <parentid>107869</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T05:38:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107871</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11930" sha1="cqex44v4laiemga66bppp0ucr5gnpi8" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk eulernya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>cqex44v4laiemga66bppp0ucr5gnpi8</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107886</id>
      <parentid>107871</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T08:57:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107886</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="12260" sha1="jr1h20iml2n9i2zfb3rgnownvihq86r" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=ax+byi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=ax+byi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka x+yi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>jr1h20iml2n9i2zfb3rgnownvihq86r</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107887</id>
      <parentid>107886</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T09:04:53Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107887</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="12661" sha1="sqhl26w5e8jau9puqlwf1v2nef1rlsv" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=ax+byi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=ax+byi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka ax+byi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/subz&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: &lt;math&gt;\overline{|z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{|z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{|z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>sqhl26w5e8jau9puqlwf1v2nef1rlsv</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107888</id>
      <parentid>107887</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T09:05:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107888</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="12658" sha1="87yzh11pvnfzun8c39ela5on8y4dawv" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=ax+byi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=ax+byi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka ax+byi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/subz&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>87yzh11pvnfzun8c39ela5on8y4dawv</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107889</id>
      <parentid>107888</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T09:07:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107889</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="12639" sha1="m4m7lf4h8servzy5w73vscmxez0yyhi" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=ax+byi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=ax+byi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka ax+byi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>m4m7lf4h8servzy5w73vscmxez0yyhi</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107890</id>
      <parentid>107889</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T09:16:31Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107890</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="13185" sha1="b1fiwrl6ubz3cc69s44mrjz05k2bnb3" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=ax+byi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=ax+byi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka ax+byi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* z_1+z_2 \\
 z_1+z_2 &amp;= (1+i)+(3-2i) \\
  &amp;= 4-i \\
* z_1-z_2 \\
 z_1-z_2 &amp;= (1+i)-(3-2i) \\
  &amp;= -2+3i \\
* z_1 \times z_2 \\
 z_1 \times z_2 &amp;= (1+i)(3-2i) \\
  &amp;= 3+i+2 \\
  &amp;= 5+i \\
* \frac{z_1}{z_2} \\
 \frac{z_1}{z_2} &amp;= \frac{(1+i}{3-2i} \\
  &amp;= 3+i+2 \\
  &amp;= 5+i \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>b1fiwrl6ubz3cc69s44mrjz05k2bnb3</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107891</id>
      <parentid>107890</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T09:22:06Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107891</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="13326" sha1="fh9ud9vonwv8vulzlgsxycmt8z4l5bg" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=ax+byi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=ax+byi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka ax+byi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* z_1+z_2 \\
 z_1+z_2 &amp;= (1+i)+(3-2i) \\
  &amp;= 4-i \\
* z_1-z_2 \\
 z_1-z_2 &amp;= (1+i)-(3-2i) \\
  &amp;= -2+3i \\
* z_1 \times z_2 \\
 z_1 \times z_2 &amp;= (1+i)(3-2i) \\
  &amp;= 3+i+2 \\
  &amp;= 5+i \\
* \frac{z_1}{z_2} \\
 \frac{z_1}{z_2} &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \\
  &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \times \frac{3+i}{3+2i} \\
  &amp;= \frac{3+4i-i^2}{9+4} \\
  &amp;= \frac{3+4i-(-1)}{13} \\
  &amp;= \frac{4+4i}{13} \\
  &amp;= \frac{4}{13}+\frac{4}{13}i \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>fh9ud9vonwv8vulzlgsxycmt8z4l5bg</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107892</id>
      <parentid>107891</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T09:30:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107892</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="13630" sha1="er61m1bxxsck4io25a093kujunvvskq" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=x+yi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=x+yi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka x+yi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;+&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;-&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;x&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* z_1+z_2 \\
 z_1+z_2 &amp;= (1+i)+(3-2i) \\
  &amp;= 4-i \\
* z_1-z_2 \\
 z_1-z_2 &amp;= (1+i)-(3-2i) \\
  &amp;= -2+3i \\
* z_1 \times z_2 \\
 z_1 \times z_2 &amp;= (1+i)(3-2i) \\
  &amp;= 3+i+2 \\
  &amp;= 5+i \\
* \frac{z_1}{z_2} \\
 \frac{z_1}{z_2} &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \\
  &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \times \frac{3+i}{3+2i} \\
  &amp;= \frac{3+4i-i^2}{9+4} \\
  &amp;= \frac{3+4i-(-1)}{13} \\
  &amp;= \frac{4+4i}{13} \\
  &amp;= \frac{4}{13}+\frac{4}{13}i \\
* z_1^{-1} \\
 z_1^{-1} &amp;= u+vi \\
 &amp;= {1^2}{1^2+(-1)^2}+({(-1)^2}{1^2+(-1)^2})i \\
 &amp;= {1}{2}+{1}{2}i \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>er61m1bxxsck4io25a093kujunvvskq</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107893</id>
      <parentid>107892</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T09:32:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107893</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="13650" sha1="b0iugrwq3oavwt3p4qs4eouof8279gr" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=x+yi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=x+yi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka x+yi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;+&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;-&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;x&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* z_1+z_2 \\
 z_1+z_2 &amp;= (1+i)+(3-2i) \\
  &amp;= 4-i \\
* z_1-z_2 \\
 z_1-z_2 &amp;= (1+i)-(3-2i) \\
  &amp;= -2+3i \\
* z_1 \times z_2 \\
 z_1 \times z_2 &amp;= (1+i)(3-2i) \\
  &amp;= 3+i+2 \\
  &amp;= 5+i \\
* \frac{z_1}{z_2} \\
 \frac{z_1}{z_2} &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \\
  &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \times \frac{3+i}{3+2i} \\
  &amp;= \frac{3+4i-i^2}{9+4} \\
  &amp;= \frac{3+4i-(-1)}{13} \\
  &amp;= \frac{4+4i}{13} \\
  &amp;= \frac{4}{13}+\frac{4}{13}i \\
* z_1^{-1} \\
 z_1^{-1} &amp;= u+vi \\
 &amp;= \frac{1^2}{1^2+(-1)^2}+(\frac{(-1)^2}{1^2+(-1)^2})i \\
 &amp;= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>b0iugrwq3oavwt3p4qs4eouof8279gr</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107894</id>
      <parentid>107893</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T09:36:30Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107894</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="13760" sha1="pj7tzqq3do12v7kangspl1puckcsue6" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=x+yi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=x+yi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka x+yi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;+&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;-&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;x&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* z_1+z_2 \\
 z_1+z_2 &amp;= (1+i)+(3-2i) \\
  &amp;= 4-i \\
* z_1-z_2 \\
 z_1-z_2 &amp;= (1+i)-(3-2i) \\
  &amp;= -2+3i \\
* z_1 \times z_2 \\
 z_1 \times z_2 &amp;= (1+i)(3-2i) \\
  &amp;= 3+i+2 \\
  &amp;= 5+i \\
* \frac{z_1}{z_2} \\
 \frac{z_1}{z_2} &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \\
  &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \times \frac{3+i}{3+2i} \\
  &amp;= \frac{3+4i-i^2}{9+4} \\
  &amp;= \frac{3+4i-(-1)}{13} \\
  &amp;= \frac{4+4i}{13} \\
  &amp;= \frac{4}{13}+\frac{4}{13}i \\
* z_1^{-1} \\
 z_1^{-1} &amp;= u+vi \\
 &amp;= \frac{1^2}{1^2+1^2}+(\frac{(-1)^2}{1^2+1^2})i \\
 &amp;= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i \\
* |z_1| \\
 |z_1| &amp;= \sqrt{1^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{2} \\
* |z_2| \\
 |z_2| &amp;= \sqrt{3^2+(-2)^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>pj7tzqq3do12v7kangspl1puckcsue6</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107895</id>
      <parentid>107894</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T09:38:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107895</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="13757" sha1="jhic82h9hxox61r5q1b13eazt1t9uyk" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=x+yi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=x+yi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka x+yi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;+&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;-&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;x&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* z_1+z_2 \\
 z_1+z_2 &amp;= (1+i)+(3-2i) \\
  &amp;= 4-i \\
* z_1-z_2 \\
 z_1-z_2 &amp;= (1+i)-(3-2i) \\
  &amp;= -2+3i \\
* z_1 \times z_2 \\
 z_1 \times z_2 &amp;= (1+i)(3-2i) \\
  &amp;= 3+i+2 \\
  &amp;= 5+i \\
* \frac{z_1}{z_2} \\
 \frac{z_1}{z_2} &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \\
  &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \times \frac{3+i}{3+2i} \\
  &amp;= \frac{3+4i-i^2}{9+4} \\
  &amp;= \frac{3+4i-(-1)}{13} \\
  &amp;= \frac{4+4i}{13} \\
  &amp;= \frac{4}{13}+\frac{4}{13}i \\
* z_1^{-1} \\
 z_1^{-1} &amp;= u+vi \\
 &amp;= \frac{1^2}{1^2+1^2}+(\frac{1^2}{1^2+1^2})i \\
 &amp;= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i \\
* |z_1| \\
 |z_1| &amp;= \sqrt{1^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{2} \\
* |z_2| \\
 |z_2| &amp;= \sqrt{3^2+(-2)^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>jhic82h9hxox61r5q1b13eazt1t9uyk</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107896</id>
      <parentid>107895</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T09:48:46Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107896</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="14196" sha1="o8s7ztw1recv21fzrip8atbd1319mgu" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=x+yi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=x+yi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka x+yi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;+&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;-&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;x&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya dari z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* z_1+z_2 \\
 z_1+z_2 &amp;= (1+i)+(3-2i) \\
  &amp;= 4-i \\
* z_1-z_2 \\
 z_1-z_2 &amp;= (1+i)-(3-2i) \\
  &amp;= -2+3i \\
* z_1 \times z_2 \\
 z_1 \times z_2 &amp;= (1+i)(3-2i) \\
  &amp;= 3+i+2 \\
  &amp;= 5+i \\
* \frac{z_1}{z_2} \\
 \frac{z_1}{z_2} &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \\
  &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \times \frac{3+i}{3+2i} \\
  &amp;= \frac{3+4i-i^2}{9+4} \\
  &amp;= \frac{3+4i-(-1)}{13} \\
  &amp;= \frac{4+4i}{13} \\
  &amp;= \frac{4}{13}+\frac{4}{13}i \\
* z_1^{-1} \\
 z_1^{-1} &amp;= u+vi \\
 &amp;= \frac{1^2}{1^2+1^2}+(\frac{1^2}{1^2+1^2})i \\
 &amp;= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i \\
* |z_1| \\
 |z_1| &amp;= \sqrt{1^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{2} \\
* |z_2| \\
 |z_2| &amp;= \sqrt{3^2+(-2)^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1|+|z_2| \\
 |z_1|+|z_2| &amp;= \sqrt{2}+\sqrt{13} \\
* |z_1|-|z_2| \\
 |z_1|-|z_2| &amp;= \sqrt{2}-\sqrt{13} \\
* |z_1| \times |z_2| \\
 |z_1| \times |z_2| &amp;= \sqrt{2} \times \sqrt{13} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>o8s7ztw1recv21fzrip8atbd1319mgu</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107897</id>
      <parentid>107896</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T09:53:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107897</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="14411" sha1="2jws227t8k4ttef7osb7motivz33q4w" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=x+yi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=x+yi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka x+yi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;+&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;-&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;x&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya dari z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* z_1+z_2 \\
 z_1+z_2 &amp;= (1+i)+(3-2i) \\
  &amp;= 4-i \\
* z_1-z_2 \\
 z_1-z_2 &amp;= (1+i)-(3-2i) \\
  &amp;= -2+3i \\
* z_1 \times z_2 \\
 z_1 \times z_2 &amp;= (1+i)(3-2i) \\
  &amp;= 3+i+2 \\
  &amp;= 5+i \\
* \frac{z_1}{z_2} \\
 \frac{z_1}{z_2} &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \\
  &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \times \frac{3+i}{3+2i} \\
  &amp;= \frac{3+4i-i^2}{9+4} \\
  &amp;= \frac{3+4i-(-1)}{13} \\
  &amp;= \frac{4+4i}{13} \\
  &amp;= \frac{4}{13}+\frac{4}{13}i \\
* z_1^{-1} \\
 z_1^{-1} &amp;= u+vi \\
 &amp;= \frac{1^2}{1^2+1^2}+(\frac{1^2}{1^2+1^2})i \\
 &amp;= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i \\
* |z_1| \\
 |z_1| &amp;= \sqrt{1^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{2} \\
* |z_2| \\
 |z_2| &amp;= \sqrt{3^2+(-2)^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1|+|z_2| \\
 |z_1|+|z_2| &amp;= \sqrt{2}+\sqrt{13} \\
* |z_1|-|z_2| \\
 |z_1|-|z_2| &amp;= \sqrt{2}-\sqrt{13} \\
* |z_1| \times |z_2| \\
 |z_1| \times |z_2| &amp;= \sqrt{2} \times \sqrt{13} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* |z_1+z_2| \\
 |z_1+z_2| &amp;= \sqrt{4^2+(-1)^2} \\
  &amp;= \sqrt{17} \\
* |z_1-z_2| \\
 |z_1-z_2| &amp;= \sqrt{(-2)^2+3^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1 \times z_2| \\
 |z_1 \times z_2| &amp;= \sqrt{5^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>2jws227t8k4ttef7osb7motivz33q4w</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107898</id>
      <parentid>107897</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T10:03:35Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107898</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="14821" sha1="lras2qsv0sflbwbas5ugokmeecbdaxl" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=x+yi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=x+yi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka x+yi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;+&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;-&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;x&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya dari z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* z_1+z_2 \\
 z_1+z_2 &amp;= (1+i)+(3-2i) \\
  &amp;= 4-i \\
* z_1-z_2 \\
 z_1-z_2 &amp;= (1+i)-(3-2i) \\
  &amp;= -2+3i \\
* z_1 \times z_2 \\
 z_1 \times z_2 &amp;= (1+i)(3-2i) \\
  &amp;= 3+i+2 \\
  &amp;= 5+i \\
* \frac{z_1}{z_2} \\
 \frac{z_1}{z_2} &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \\
  &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \times \frac{3+i}{3+2i} \\
  &amp;= \frac{3+4i-i^2}{9+4} \\
  &amp;= \frac{3+4i-(-1)}{13} \\
  &amp;= \frac{4+4i}{13} \\
  &amp;= \frac{4}{13}+\frac{4}{13}i \\
* z_1^{-1} \\
 z_1^{-1} &amp;= u+vi \\
 &amp;= \frac{1^2}{1^2+1^2}+(\frac{1^2}{1^2+1^2})i \\
 &amp;= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i \\
* |z_1| \\
 |z_1| &amp;= \sqrt{1^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{2} \\
* |z_2| \\
 |z_2| &amp;= \sqrt{3^2+(-2)^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1|+|z_2| \\
 |z_1|+|z_2| &amp;= \sqrt{2}+\sqrt{13} \\
* |z_1|-|z_2| \\
 |z_1|-|z_2| &amp;= \sqrt{2}-\sqrt{13} \\
* |z_1| \times |z_2| \\
 |z_1| \times |z_2| &amp;= \sqrt{2} \times \sqrt{13} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* |z_1+z_2| \\
 |z_1+z_2| &amp;= \sqrt{4^2+(-1)^2} \\
  &amp;= \sqrt{17} \\
* |z_1-z_2| \\
 |z_1-z_2| &amp;= \sqrt{(-2)^2+3^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1 \times z_2| \\
 |z_1 \times z_2| &amp;= \sqrt{5^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* \overline{z_1} \\
 \overline{z_1} &amp;= 1-i \\
* \overline{z_2} \\
 \overline{z_2} &amp;= 3+2i \\
* \overline{z_1}+\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}+\overline{z_2} &amp;= 1-i+3+2i \\
  &amp;= 4-i \\
* \overline{z_1}-\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}-\overline{z_2} &amp;= 1-i-(3+2i) \\
  &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1} \times \overline{z_2} \\
 \overline{z_1} \times \overline{z_2} &amp;= (1-i)(3+2i) \\
  &amp;= 3-i-2i^2 \\
  &amp;= 5-i \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>lras2qsv0sflbwbas5ugokmeecbdaxl</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107899</id>
      <parentid>107898</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T10:05:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107899</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="14821" sha1="nv81qxqf3rd0lkwubvelx5p6yqd5dhn" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=x+yi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=x+yi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka x+yi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;+&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;-&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;x&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya dari z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* z_1+z_2 \\
 z_1+z_2 &amp;= (1+i)+(3-2i) \\
  &amp;= 4-i \\
* z_1-z_2 \\
 z_1-z_2 &amp;= (1+i)-(3-2i) \\
  &amp;= -2+3i \\
* z_1 \times z_2 \\
 z_1 \times z_2 &amp;= (1+i)(3-2i) \\
  &amp;= 3+i+2 \\
  &amp;= 5+i \\
* \frac{z_1}{z_2} \\
 \frac{z_1}{z_2} &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \\
  &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \times \frac{3+i}{3+2i} \\
  &amp;= \frac{3+4i-i^2}{9+4} \\
  &amp;= \frac{3+4i-(-1)}{13} \\
  &amp;= \frac{4+4i}{13} \\
  &amp;= \frac{4}{13}+\frac{4}{13}i \\
* z_1^{-1} \\
 z_1^{-1} &amp;= u+vi \\
 &amp;= \frac{1^2}{1^2+1^2}+(\frac{1^2}{1^2+1^2})i \\
 &amp;= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i \\
* |z_1| \\
 |z_1| &amp;= \sqrt{1^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{2} \\
* |z_2| \\
 |z_2| &amp;= \sqrt{3^2+(-2)^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1|+|z_2| \\
 |z_1|+|z_2| &amp;= \sqrt{2}+\sqrt{13} \\
* |z_1|-|z_2| \\
 |z_1|-|z_2| &amp;= \sqrt{2}-\sqrt{13} \\
* |z_1| \times |z_2| \\
 |z_1| \times |z_2| &amp;= \sqrt{2} \times \sqrt{13} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* |z_1+z_2| \\
 |z_1+z_2| &amp;= \sqrt{4^2+(-1)^2} \\
  &amp;= \sqrt{17} \\
* |z_1-z_2| \\
 |z_1-z_2| &amp;= \sqrt{(-2)^2+3^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1 \times z_2| \\
 |z_1 \times z_2| &amp;= \sqrt{5^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* \overline{z_1} \\
 \overline{z_1} &amp;= 1-i \\
* \overline{z_2} \\
 \overline{z_2} &amp;= 3+2i \\
* \overline{z_1}+\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}+\overline{z_2} &amp;= 1-i+3+2i \\
  &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1}-\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}-\overline{z_2} &amp;= 1-i-(3+2i) \\
  &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1} \times \overline{z_2} \\
 \overline{z_1} \times \overline{z_2} &amp;= (1-i)(3+2i) \\
  &amp;= 3-i-2i^2 \\
  &amp;= 5-i \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>nv81qxqf3rd0lkwubvelx5p6yqd5dhn</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107900</id>
      <parentid>107899</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T10:08:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107900</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="14999" sha1="fk65cj6tk7pmwl2ktjr5kc97fwm93o3" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=x+yi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=x+yi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka x+yi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;+&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;-&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;x&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya dari z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* z_1+z_2 \\
 z_1+z_2 &amp;= (1+i)+(3-2i) \\
  &amp;= 4-i \\
* z_1-z_2 \\
 z_1-z_2 &amp;= (1+i)-(3-2i) \\
  &amp;= -2+3i \\
* z_1 \times z_2 \\
 z_1 \times z_2 &amp;= (1+i)(3-2i) \\
  &amp;= 3+i+2 \\
  &amp;= 5+i \\
* \frac{z_1}{z_2} \\
 \frac{z_1}{z_2} &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \\
  &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \times \frac{3+i}{3+2i} \\
  &amp;= \frac{3+4i-i^2}{9+4} \\
  &amp;= \frac{3+4i-(-1)}{13} \\
  &amp;= \frac{4+4i}{13} \\
  &amp;= \frac{4}{13}+\frac{4}{13}i \\
* z_1^{-1} \\
 z_1^{-1} &amp;= u+vi \\
 &amp;= \frac{1^2}{1^2+1^2}+(\frac{1^2}{1^2+1^2})i \\
 &amp;= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i \\
* |z_1| \\
 |z_1| &amp;= \sqrt{1^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{2} \\
* |z_2| \\
 |z_2| &amp;= \sqrt{3^2+(-2)^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1|+|z_2| \\
 |z_1|+|z_2| &amp;= \sqrt{2}+\sqrt{13} \\
* |z_1|-|z_2| \\
 |z_1|-|z_2| &amp;= \sqrt{2}-\sqrt{13} \\
* |z_1| \times |z_2| \\
 |z_1| \times |z_2| &amp;= \sqrt{2} \times \sqrt{13} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* |z_1+z_2| \\
 |z_1+z_2| &amp;= \sqrt{4^2+(-1)^2} \\
  &amp;= \sqrt{17} \\
* |z_1-z_2| \\
 |z_1-z_2| &amp;= \sqrt{(-2)^2+3^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1 \times z_2| \\
 |z_1 \times z_2| &amp;= \sqrt{5^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* \overline{z_1} \\
 \overline{z_1} &amp;= 1-i \\
* \overline{z_2} \\
 \overline{z_2} &amp;= 3+2i \\
* \overline{z_1}+\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}+\overline{z_2} &amp;= 1-i+3+2i \\
  &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1}-\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}-\overline{z_2} &amp;= 1-i-(3+2i) \\
  &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1} \times \overline{z_2} \\
 \overline{z_1} \times \overline{z_2} &amp;= (1-i)(3+2i) \\
  &amp;= 3-i-2i^2 \\
  &amp;= 5-i \\
* \overline{z_1+z_2} \\
 \overline{z_1+z_2} &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1-z_2} \\
 \overline{z_1-z_2} &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1 \times z_2} \\
 \overline{z_1 \times z_2} &amp;= 5-i \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>fk65cj6tk7pmwl2ktjr5kc97fwm93o3</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107901</id>
      <parentid>107900</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T10:23:47Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107901</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15300" sha1="hs2fb4bg13ifjmmzrly0hpwobfx2vqh" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=x+yi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=x+yi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka x+yi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: &lt;math&gt;\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2|}&lt;/math&gt;|
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;+&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;-&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;x&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya dari z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* z_1+z_2 \\
 z_1+z_2 &amp;= (1+i)+(3-2i) \\
  &amp;= 4-i \\
* z_1-z_2 \\
 z_1-z_2 &amp;= (1+i)-(3-2i) \\
  &amp;= -2+3i \\
* z_1 \times z_2 \\
 z_1 \times z_2 &amp;= (1+i)(3-2i) \\
  &amp;= 3+i+2 \\
  &amp;= 5+i \\
* \frac{z_1}{z_2} \\
 \frac{z_1}{z_2} &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \\
  &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \times \frac{3+i}{3+2i} \\
  &amp;= \frac{3+4i-i^2}{9+4} \\
  &amp;= \frac{3+4i-(-1)}{13} \\
  &amp;= \frac{4+4i}{13} \\
  &amp;= \frac{4}{13}+\frac{4}{13}i \\
* z_1^{-1} \\
 z_1^{-1} &amp;= u+vi \\
 &amp;= \frac{1^2}{1^2+1^2}+(\frac{1^2}{1^2+1^2})i \\
 &amp;= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i \\
* |z_1| \\
 |z_1| &amp;= \sqrt{1^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{2} \\
* |z_2| \\
 |z_2| &amp;= \sqrt{3^2+(-2)^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1|+|z_2| \\
 |z_1|+|z_2| &amp;= \sqrt{2}+\sqrt{13} \\
* |z_1|-|z_2| \\
 |z_1|-|z_2| &amp;= \sqrt{2}-\sqrt{13} \\
* |z_1| \times |z_2| \\
 |z_1| \times |z_2| &amp;= \sqrt{2} \times \sqrt{13} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* \frac{|z_1|}{|z_2|} \\
 \frac{|z_1|}{|z_2|} &amp;= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}} \\
  &amp;= \frac{\sqrt{26}}{13} \\
* |z_1+z_2| \\
 |z_1+z_2| &amp;= \sqrt{4^2+(-1)^2} \\
  &amp;= \sqrt{17} \\
* |z_1-z_2| \\
 |z_1-z_2| &amp;= \sqrt{(-2)^2+3^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1 \times z_2| \\
 |z_1 \times z_2| &amp;= \sqrt{5^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* |\frac{z_1}{z_2}| \\
 |\frac{z_1}{z_2}| &amp;= \sqrt{(\frac{4}{13})^2+(\frac{4}{13})^2} \\
  &amp;= \sqrt{2(\frac{4^2}{13^2})} \\
* \overline{z_1} \\
 \overline{z_1} &amp;= 1-i \\
* \overline{z_2} \\
 \overline{z_2} &amp;= 3+2i \\
* \overline{z_1}+\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}+\overline{z_2} &amp;= 1-i+3+2i \\
  &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1}-\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}-\overline{z_2} &amp;= 1-i-(3+2i) \\
  &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1} \times \overline{z_2} \\
 \overline{z_1} \times \overline{z_2} &amp;= (1-i)(3+2i) \\
  &amp;= 3-i-2i^2 \\
  &amp;= 5-i \\
* \overline{z_1+z_2} \\
 \overline{z_1+z_2} &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1-z_2} \\
 \overline{z_1-z_2} &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1 \times z_2} \\
 \overline{z_1 \times z_2} &amp;= 5-i \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>hs2fb4bg13ifjmmzrly0hpwobfx2vqh</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107902</id>
      <parentid>107901</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T10:30:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107902</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15368" sha1="2tmc1q6n02zf65z8l9s73scwmeonoch" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z+(-z)=0
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=x+yi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=x+yi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka x+yi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: &lt;math&gt;\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2|}&lt;/math&gt;|
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;+&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;-&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;x&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya dari z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* z_1+z_2 \\
 z_1+z_2 &amp;= (1+i)+(3-2i) \\
  &amp;= 4-i \\
* z_1-z_2 \\
 z_1-z_2 &amp;= (1+i)-(3-2i) \\
  &amp;= -2+3i \\
* z_1 \times z_2 \\
 z_1 \times z_2 &amp;= (1+i)(3-2i) \\
  &amp;= 3+i+2 \\
  &amp;= 5+i \\
* \frac{z_1}{z_2} \\
 \frac{z_1}{z_2} &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \\
  &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \times \frac{3+i}{3+2i} \\
  &amp;= \frac{3+4i+i^2}{9+4} \\
  &amp;= \frac{3+4i+(-1)}{13} \\
  &amp;= \frac{2+4i}{13} \\
  &amp;= \frac{2}{13}+\frac{4}{13}i \\
* z_1^{-1} \\
 z_1^{-1} &amp;= u+vi \\
 &amp;= \frac{1^2}{1^2+1^2}+(\frac{1^2}{1^2+1^2})i \\
 &amp;= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i \\
* |z_1| \\
 |z_1| &amp;= \sqrt{1^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{2} \\
* |z_2| \\
 |z_2| &amp;= \sqrt{3^2+(-2)^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1|+|z_2| \\
 |z_1|+|z_2| &amp;= \sqrt{2}+\sqrt{13} \\
* |z_1|-|z_2| \\
 |z_1|-|z_2| &amp;= \sqrt{2}-\sqrt{13} \\
* |z_1| \times |z_2| \\
 |z_1| \times |z_2| &amp;= \sqrt{2} \times \sqrt{13} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* \frac{|z_1|}{|z_2|} \\
 \frac{|z_1|}{|z_2|} &amp;= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}} \\
  &amp;= \frac{\sqrt{26}}{13} \\
* |z_1+z_2| \\
 |z_1+z_2| &amp;= \sqrt{4^2+(-1)^2} \\
  &amp;= \sqrt{17} \\
* |z_1-z_2| \\
 |z_1-z_2| &amp;= \sqrt{(-2)^2+3^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1 \times z_2| \\
 |z_1 \times z_2| &amp;= \sqrt{5^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* |\frac{z_1}{z_2}| \\
 |\frac{z_1}{z_2}| &amp;= \sqrt{(\frac{2}{13})^2+(\frac{4}{13})^2} \\
  &amp;= \sqrt{\frac{4}{169}+\frac{16}{169}} \\
  &amp;= \sqrt{\frac{20}{169}} \\
  &amp;= \frac{\sqrt{20}}{13} \\
* \overline{z_1} \\
 \overline{z_1} &amp;= 1-i \\
* \overline{z_2} \\
 \overline{z_2} &amp;= 3+2i \\
* \overline{z_1}+\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}+\overline{z_2} &amp;= 1-i+3+2i \\
  &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1}-\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}-\overline{z_2} &amp;= 1-i-(3+2i) \\
  &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1} \times \overline{z_2} \\
 \overline{z_1} \times \overline{z_2} &amp;= (1-i)(3+2i) \\
  &amp;= 3-i-2i^2 \\
  &amp;= 5-i \\
* \overline{z_1+z_2} \\
 \overline{z_1+z_2} &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1-z_2} \\
 \overline{z_1-z_2} &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1 \times z_2} \\
 \overline{z_1 \times z_2} &amp;= 5-i \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>2tmc1q6n02zf65z8l9s73scwmeonoch</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107903</id>
      <parentid>107902</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T10:55:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107903</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15357" sha1="7oh2vhlz8296q1ldzd9arjjsfopxjnk" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=x+yi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=x+yi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka x+yi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: &lt;math&gt;\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2|}&lt;/math&gt;|
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;+&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;-&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;x&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya dari z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* z_1+z_2 \\
 z_1+z_2 &amp;= (1+i)+(3-2i) \\
  &amp;= 4-i \\
* z_1-z_2 \\
 z_1-z_2 &amp;= (1+i)-(3-2i) \\
  &amp;= -2+3i \\
* z_1 \times z_2 \\
 z_1 \times z_2 &amp;= (1+i)(3-2i) \\
  &amp;= 3+i+2 \\
  &amp;= 5+i \\
* \frac{z_1}{z_2} \\
 \frac{z_1}{z_2} &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \\
  &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \times \frac{3+i}{3+2i} \\
  &amp;= \frac{3+4i+i^2}{9+4} \\
  &amp;= \frac{3+4i+(-1)}{13} \\
  &amp;= \frac{2+4i}{13} \\
  &amp;= \frac{2}{13}+\frac{4}{13}i \\
* z_1^{-1} \\
 z_1^{-1} &amp;= u+vi \\
 &amp;= \frac{1^2}{1^2+1^2}+(\frac{1^2}{1^2+1^2})i \\
 &amp;= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i \\
* |z_1| \\
 |z_1| &amp;= \sqrt{1^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{2} \\
* |z_2| \\
 |z_2| &amp;= \sqrt{3^2+(-2)^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1|+|z_2| \\
 |z_1|+|z_2| &amp;= \sqrt{2}+\sqrt{13} \\
* |z_1|-|z_2| \\
 |z_1|-|z_2| &amp;= \sqrt{2}-\sqrt{13} \\
* |z_1| \times |z_2| \\
 |z_1| \times |z_2| &amp;= \sqrt{2} \times \sqrt{13} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* \frac{|z_1|}{|z_2|} \\
 \frac{|z_1|}{|z_2|} &amp;= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}} \\
  &amp;= \frac{\sqrt{26}}{13} \\
* |z_1+z_2| \\
 |z_1+z_2| &amp;= \sqrt{4^2+(-1)^2} \\
  &amp;= \sqrt{17} \\
* |z_1-z_2| \\
 |z_1-z_2| &amp;= \sqrt{(-2)^2+3^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1 \times z_2| \\
 |z_1 \times z_2| &amp;= \sqrt{5^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* |\frac{z_1}{z_2}| \\
 |\frac{z_1}{z_2}| &amp;= \sqrt{(\frac{2}{13})^2+(\frac{4}{13})^2} \\
  &amp;= \sqrt{\frac{4}{169}+\frac{16}{169}} \\
  &amp;= \sqrt{\frac{20}{169}} \\
  &amp;= \frac{\sqrt{20}}{13} \\
* \overline{z_1} \\
 \overline{z_1} &amp;= 1-i \\
* \overline{z_2} \\
 \overline{z_2} &amp;= 3+2i \\
* \overline{z_1}+\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}+\overline{z_2} &amp;= 1-i+3+2i \\
  &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1}-\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}-\overline{z_2} &amp;= 1-i-(3+2i) \\
  &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1} \times \overline{z_2} \\
 \overline{z_1} \times \overline{z_2} &amp;= (1-i)(3+2i) \\
  &amp;= 3-i-2i^2 \\
  &amp;= 5-i \\
* \overline{z_1+z_2} \\
 \overline{z_1+z_2} &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1-z_2} \\
 \overline{z_1-z_2} &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1 \times z_2} \\
 \overline{z_1 \times z_2} &amp;= 5-i \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>7oh2vhlz8296q1ldzd9arjjsfopxjnk</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107904</id>
      <parentid>107903</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T11:03:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107904</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15548" sha1="0s9vy6sujxljg738hyt5f7ugq8k48xn" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=x+yi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=x+yi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka x+yi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: &lt;math&gt;\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2|}&lt;/math&gt;|
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;+&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;-&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;x&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{\frac{z_1}{z_2}}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya dari z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* z_1+z_2 \\
 z_1+z_2 &amp;= (1+i)+(3-2i) \\
  &amp;= 4-i \\
* z_1-z_2 \\
 z_1-z_2 &amp;= (1+i)-(3-2i) \\
  &amp;= -2+3i \\
* z_1 \times z_2 \\
 z_1 \times z_2 &amp;= (1+i)(3-2i) \\
  &amp;= 3+i+2 \\
  &amp;= 5+i \\
* \frac{z_1}{z_2} \\
 \frac{z_1}{z_2} &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \\
  &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \times \frac{3+i}{3+2i} \\
  &amp;= \frac{3+4i+i^2}{9+4} \\
  &amp;= \frac{3+4i+(-1)}{13} \\
  &amp;= \frac{2+4i}{13} \\
  &amp;= \frac{2}{13}+\frac{4}{13}i \\
* z_1^{-1} \\
 z_1^{-1} &amp;= u+vi \\
 &amp;= \frac{1^2}{1^2+1^2}+(\frac{1^2}{1^2+1^2})i \\
 &amp;= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i \\
* |z_1| \\
 |z_1| &amp;= \sqrt{1^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{2} \\
* |z_2| \\
 |z_2| &amp;= \sqrt{3^2+(-2)^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1|+|z_2| \\
 |z_1|+|z_2| &amp;= \sqrt{2}+\sqrt{13} \\
* |z_1|-|z_2| \\
 |z_1|-|z_2| &amp;= \sqrt{2}-\sqrt{13} \\
* |z_1| \times |z_2| \\
 |z_1| \times |z_2| &amp;= \sqrt{2} \times \sqrt{13} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* \frac{|z_1|}{|z_2|} \\
 \frac{|z_1|}{|z_2|} &amp;= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}} \\
  &amp;= \frac{\sqrt{26}}{13} \\
* |z_1+z_2| \\
 |z_1+z_2| &amp;= \sqrt{4^2+(-1)^2} \\
  &amp;= \sqrt{17} \\
* |z_1-z_2| \\
 |z_1-z_2| &amp;= \sqrt{(-2)^2+3^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1 \times z_2| \\
 |z_1 \times z_2| &amp;= \sqrt{5^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* |\frac{z_1}{z_2}| \\
 |\frac{z_1}{z_2}| &amp;= \sqrt{(\frac{2}{13})^2+(\frac{4}{13})^2} \\
  &amp;= \sqrt{\frac{4}{169}+\frac{16}{169}} \\
  &amp;= \sqrt{\frac{20}{169}} \\
  &amp;= \frac{\sqrt{20}}{13} \\
* \overline{z_1} \\
 \overline{z_1} &amp;= 1-i \\
* \overline{z_2} \\
 \overline{z_2} &amp;= 3+2i \\
* \overline{z_1}+\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}+\overline{z_2} &amp;= 1-i+3+2i \\
  &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1}-\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}-\overline{z_2} &amp;= 1-i-(3+2i) \\
  &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1} \times \overline{z_2} \\
 \overline{z_1} \times \overline{z_2} &amp;= (1-i)(3+2i) \\
  &amp;= 3-i-2i^2 \\
  &amp;= 5-i \\
* \overline{z_1+z_2} \\
 \overline{z_1+z_2} &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1-z_2} \\
 \overline{z_1-z_2} &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1 \times z_2} \\
 \overline{z_1 \times z_2} &amp;= 5-i \\
* \overline{\frac{z_1}{z_2}} \\
 \overline{\frac{z_1}{z_2}} &amp;= &amp;= \frac{2}{13}-\frac{4}{13}i \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>0s9vy6sujxljg738hyt5f7ugq8k48xn</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107905</id>
      <parentid>107904</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T11:05:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107905</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15545" sha1="f0e3vy9sly7eqmrdznm62hsyd4xntgd" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{\frac{z_1}{z_2}}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=x+yi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=x+yi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka x+yi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: &lt;math&gt;\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2|}&lt;/math&gt;|
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;+&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;-&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;x&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{\frac{z_1}{z_2}}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya dari z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* z_1+z_2 \\
 z_1+z_2 &amp;= (1+i)+(3-2i) \\
  &amp;= 4-i \\
* z_1-z_2 \\
 z_1-z_2 &amp;= (1+i)-(3-2i) \\
  &amp;= -2+3i \\
* z_1 \times z_2 \\
 z_1 \times z_2 &amp;= (1+i)(3-2i) \\
  &amp;= 3+i+2 \\
  &amp;= 5+i \\
* \frac{z_1}{z_2} \\
 \frac{z_1}{z_2} &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \\
  &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \times \frac{3+i}{3+2i} \\
  &amp;= \frac{3+4i+i^2}{9+4} \\
  &amp;= \frac{3+4i+(-1)}{13} \\
  &amp;= \frac{2+4i}{13} \\
  &amp;= \frac{2}{13}+\frac{4}{13}i \\
* z_1^{-1} \\
 z_1^{-1} &amp;= u+vi \\
 &amp;= \frac{1^2}{1^2+1^2}+(\frac{1^2}{1^2+1^2})i \\
 &amp;= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i \\
* |z_1| \\
 |z_1| &amp;= \sqrt{1^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{2} \\
* |z_2| \\
 |z_2| &amp;= \sqrt{3^2+(-2)^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1|+|z_2| \\
 |z_1|+|z_2| &amp;= \sqrt{2}+\sqrt{13} \\
* |z_1|-|z_2| \\
 |z_1|-|z_2| &amp;= \sqrt{2}-\sqrt{13} \\
* |z_1| \times |z_2| \\
 |z_1| \times |z_2| &amp;= \sqrt{2} \times \sqrt{13} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* \frac{|z_1|}{|z_2|} \\
 \frac{|z_1|}{|z_2|} &amp;= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}} \\
  &amp;= \frac{\sqrt{26}}{13} \\
* |z_1+z_2| \\
 |z_1+z_2| &amp;= \sqrt{4^2+(-1)^2} \\
  &amp;= \sqrt{17} \\
* |z_1-z_2| \\
 |z_1-z_2| &amp;= \sqrt{(-2)^2+3^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1 \times z_2| \\
 |z_1 \times z_2| &amp;= \sqrt{5^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* |\frac{z_1}{z_2}| \\
 |\frac{z_1}{z_2}| &amp;= \sqrt{(\frac{2}{13})^2+(\frac{4}{13})^2} \\
  &amp;= \sqrt{\frac{4}{169}+\frac{16}{169}} \\
  &amp;= \sqrt{\frac{20}{169}} \\
  &amp;= \frac{\sqrt{20}}{13} \\
* \overline{z_1} \\
 \overline{z_1} &amp;= 1-i \\
* \overline{z_2} \\
 \overline{z_2} &amp;= 3+2i \\
* \overline{z_1}+\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}+\overline{z_2} &amp;= 1-i+3+2i \\
  &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1}-\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}-\overline{z_2} &amp;= 1-i-(3+2i) \\
  &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1} \times \overline{z_2} \\
 \overline{z_1} \times \overline{z_2} &amp;= (1-i)(3+2i) \\
  &amp;= 3-i-2i^2 \\
  &amp;= 5-i \\
* \overline{z_1+z_2} \\
 \overline{z_1+z_2} &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1-z_2} \\
 \overline{z_1-z_2} &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1 \times z_2} \\
 \overline{z_1 \times z_2} &amp;= 5-i \\
* \overline{\frac{z_1}{z_2}} \\
 \overline{\frac{z_1}{z_2}} &amp;= \frac{2}{13}-\frac{4}{13}i \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>f0e3vy9sly7eqmrdznm62hsyd4xntgd</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107906</id>
      <parentid>107905</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T11:07:23Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107906</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15553" sha1="8phmukpmbjyxyelok8g5utsh8or3hzp" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;|\overline{(\frac{z_1}{z_2})}|=\frac{\overline|z_1|}{\overline|z_2|}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=x+yi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=x+yi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka x+yi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: &lt;math&gt;\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2|}&lt;/math&gt;|
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;+&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;-&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;x&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{(\frac{z_1}{z_2})}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya dari z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* z_1+z_2 \\
 z_1+z_2 &amp;= (1+i)+(3-2i) \\
  &amp;= 4-i \\
* z_1-z_2 \\
 z_1-z_2 &amp;= (1+i)-(3-2i) \\
  &amp;= -2+3i \\
* z_1 \times z_2 \\
 z_1 \times z_2 &amp;= (1+i)(3-2i) \\
  &amp;= 3+i+2 \\
  &amp;= 5+i \\
* \frac{z_1}{z_2} \\
 \frac{z_1}{z_2} &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \\
  &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \times \frac{3+i}{3+2i} \\
  &amp;= \frac{3+4i+i^2}{9+4} \\
  &amp;= \frac{3+4i+(-1)}{13} \\
  &amp;= \frac{2+4i}{13} \\
  &amp;= \frac{2}{13}+\frac{4}{13}i \\
* z_1^{-1} \\
 z_1^{-1} &amp;= u+vi \\
 &amp;= \frac{1^2}{1^2+1^2}+(\frac{1^2}{1^2+1^2})i \\
 &amp;= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i \\
* |z_1| \\
 |z_1| &amp;= \sqrt{1^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{2} \\
* |z_2| \\
 |z_2| &amp;= \sqrt{3^2+(-2)^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1|+|z_2| \\
 |z_1|+|z_2| &amp;= \sqrt{2}+\sqrt{13} \\
* |z_1|-|z_2| \\
 |z_1|-|z_2| &amp;= \sqrt{2}-\sqrt{13} \\
* |z_1| \times |z_2| \\
 |z_1| \times |z_2| &amp;= \sqrt{2} \times \sqrt{13} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* \frac{|z_1|}{|z_2|} \\
 \frac{|z_1|}{|z_2|} &amp;= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}} \\
  &amp;= \frac{\sqrt{26}}{13} \\
* |z_1+z_2| \\
 |z_1+z_2| &amp;= \sqrt{4^2+(-1)^2} \\
  &amp;= \sqrt{17} \\
* |z_1-z_2| \\
 |z_1-z_2| &amp;= \sqrt{(-2)^2+3^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1 \times z_2| \\
 |z_1 \times z_2| &amp;= \sqrt{5^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* |\frac{z_1}{z_2}| \\
 |\frac{z_1}{z_2}| &amp;= \sqrt{(\frac{2}{13})^2+(\frac{4}{13})^2} \\
  &amp;= \sqrt{\frac{4}{169}+\frac{16}{169}} \\
  &amp;= \sqrt{\frac{20}{169}} \\
  &amp;= \frac{\sqrt{20}}{13} \\
* \overline{z_1} \\
 \overline{z_1} &amp;= 1-i \\
* \overline{z_2} \\
 \overline{z_2} &amp;= 3+2i \\
* \overline{z_1}+\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}+\overline{z_2} &amp;= 1-i+3+2i \\
  &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1}-\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}-\overline{z_2} &amp;= 1-i-(3+2i) \\
  &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1} \times \overline{z_2} \\
 \overline{z_1} \times \overline{z_2} &amp;= (1-i)(3+2i) \\
  &amp;= 3-i-2i^2 \\
  &amp;= 5-i \\
* \overline{z_1+z_2} \\
 \overline{z_1+z_2} &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1-z_2} \\
 \overline{z_1-z_2} &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1 \times z_2} \\
 \overline{z_1 \times z_2} &amp;= 5-i \\
* \overline{(\frac{z_1}{z_2})} \\
 \overline{(\frac{z_1}{z_2})} &amp;= \frac{2}{13}-\frac{4}{13}i \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>8phmukpmbjyxyelok8g5utsh8or3hzp</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107907</id>
      <parentid>107906</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T11:11:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107907</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15550" sha1="9o7oayh4jnt5i0te4qzcsffnajkvcp6" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\overline{z_1|}{\overline{z_2}}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline|z_2| \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=x+yi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=x+yi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka x+yi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: &lt;math&gt;\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;|
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;+&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;-&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;x&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{(\frac{z_1}{z_2})}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya dari z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* z_1+z_2 \\
 z_1+z_2 &amp;= (1+i)+(3-2i) \\
  &amp;= 4-i \\
* z_1-z_2 \\
 z_1-z_2 &amp;= (1+i)-(3-2i) \\
  &amp;= -2+3i \\
* z_1 \times z_2 \\
 z_1 \times z_2 &amp;= (1+i)(3-2i) \\
  &amp;= 3+i+2 \\
  &amp;= 5+i \\
* \frac{z_1}{z_2} \\
 \frac{z_1}{z_2} &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \\
  &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \times \frac{3+i}{3+2i} \\
  &amp;= \frac{3+4i+i^2}{9+4} \\
  &amp;= \frac{3+4i+(-1)}{13} \\
  &amp;= \frac{2+4i}{13} \\
  &amp;= \frac{2}{13}+\frac{4}{13}i \\
* z_1^{-1} \\
 z_1^{-1} &amp;= u+vi \\
 &amp;= \frac{1^2}{1^2+1^2}+(\frac{1^2}{1^2+1^2})i \\
 &amp;= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i \\
* |z_1| \\
 |z_1| &amp;= \sqrt{1^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{2} \\
* |z_2| \\
 |z_2| &amp;= \sqrt{3^2+(-2)^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1|+|z_2| \\
 |z_1|+|z_2| &amp;= \sqrt{2}+\sqrt{13} \\
* |z_1|-|z_2| \\
 |z_1|-|z_2| &amp;= \sqrt{2}-\sqrt{13} \\
* |z_1| \times |z_2| \\
 |z_1| \times |z_2| &amp;= \sqrt{2} \times \sqrt{13} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* \frac{|z_1|}{|z_2|} \\
 \frac{|z_1|}{|z_2|} &amp;= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}} \\
  &amp;= \frac{\sqrt{26}}{13} \\
* |z_1+z_2| \\
 |z_1+z_2| &amp;= \sqrt{4^2+(-1)^2} \\
  &amp;= \sqrt{17} \\
* |z_1-z_2| \\
 |z_1-z_2| &amp;= \sqrt{(-2)^2+3^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1 \times z_2| \\
 |z_1 \times z_2| &amp;= \sqrt{5^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* |\frac{z_1}{z_2}| \\
 |\frac{z_1}{z_2}| &amp;= \sqrt{(\frac{2}{13})^2+(\frac{4}{13})^2} \\
  &amp;= \sqrt{\frac{4}{169}+\frac{16}{169}} \\
  &amp;= \sqrt{\frac{20}{169}} \\
  &amp;= \frac{\sqrt{20}}{13} \\
* \overline{z_1} \\
 \overline{z_1} &amp;= 1-i \\
* \overline{z_2} \\
 \overline{z_2} &amp;= 3+2i \\
* \overline{z_1}+\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}+\overline{z_2} &amp;= 1-i+3+2i \\
  &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1}-\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}-\overline{z_2} &amp;= 1-i-(3+2i) \\
  &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1} \times \overline{z_2} \\
 \overline{z_1} \times \overline{z_2} &amp;= (1-i)(3+2i) \\
  &amp;= 3-i-2i^2 \\
  &amp;= 5-i \\
* \overline{z_1+z_2} \\
 \overline{z_1+z_2} &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1-z_2} \\
 \overline{z_1-z_2} &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1 \times z_2} \\
 \overline{z_1 \times z_2} &amp;= 5-i \\
* \overline{(\frac{z_1}{z_2})} \\
 \overline{(\frac{z_1}{z_2})} &amp;= \frac{2}{13}-\frac{4}{13}i \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>9o7oayh4jnt5i0te4qzcsffnajkvcp6</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107908</id>
      <parentid>107907</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T11:12:06Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107908</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15550" sha1="9sxxoxrclnpfrkoukgsoxxhgfnh857h" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline{z_2} \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=x+yi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=x+yi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka x+yi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: &lt;math&gt;\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;|
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;+&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;-&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;x&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{(\frac{z_1}{z_2})}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya dari z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* z_1+z_2 \\
 z_1+z_2 &amp;= (1+i)+(3-2i) \\
  &amp;= 4-i \\
* z_1-z_2 \\
 z_1-z_2 &amp;= (1+i)-(3-2i) \\
  &amp;= -2+3i \\
* z_1 \times z_2 \\
 z_1 \times z_2 &amp;= (1+i)(3-2i) \\
  &amp;= 3+i+2 \\
  &amp;= 5+i \\
* \frac{z_1}{z_2} \\
 \frac{z_1}{z_2} &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \\
  &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \times \frac{3+i}{3+2i} \\
  &amp;= \frac{3+4i+i^2}{9+4} \\
  &amp;= \frac{3+4i+(-1)}{13} \\
  &amp;= \frac{2+4i}{13} \\
  &amp;= \frac{2}{13}+\frac{4}{13}i \\
* z_1^{-1} \\
 z_1^{-1} &amp;= u+vi \\
 &amp;= \frac{1^2}{1^2+1^2}+(\frac{1^2}{1^2+1^2})i \\
 &amp;= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i \\
* |z_1| \\
 |z_1| &amp;= \sqrt{1^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{2} \\
* |z_2| \\
 |z_2| &amp;= \sqrt{3^2+(-2)^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1|+|z_2| \\
 |z_1|+|z_2| &amp;= \sqrt{2}+\sqrt{13} \\
* |z_1|-|z_2| \\
 |z_1|-|z_2| &amp;= \sqrt{2}-\sqrt{13} \\
* |z_1| \times |z_2| \\
 |z_1| \times |z_2| &amp;= \sqrt{2} \times \sqrt{13} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* \frac{|z_1|}{|z_2|} \\
 \frac{|z_1|}{|z_2|} &amp;= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}} \\
  &amp;= \frac{\sqrt{26}}{13} \\
* |z_1+z_2| \\
 |z_1+z_2| &amp;= \sqrt{4^2+(-1)^2} \\
  &amp;= \sqrt{17} \\
* |z_1-z_2| \\
 |z_1-z_2| &amp;= \sqrt{(-2)^2+3^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1 \times z_2| \\
 |z_1 \times z_2| &amp;= \sqrt{5^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* |\frac{z_1}{z_2}| \\
 |\frac{z_1}{z_2}| &amp;= \sqrt{(\frac{2}{13})^2+(\frac{4}{13})^2} \\
  &amp;= \sqrt{\frac{4}{169}+\frac{16}{169}} \\
  &amp;= \sqrt{\frac{20}{169}} \\
  &amp;= \frac{\sqrt{20}}{13} \\
* \overline{z_1} \\
 \overline{z_1} &amp;= 1-i \\
* \overline{z_2} \\
 \overline{z_2} &amp;= 3+2i \\
* \overline{z_1}+\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}+\overline{z_2} &amp;= 1-i+3+2i \\
  &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1}-\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}-\overline{z_2} &amp;= 1-i-(3+2i) \\
  &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1} \times \overline{z_2} \\
 \overline{z_1} \times \overline{z_2} &amp;= (1-i)(3+2i) \\
  &amp;= 3-i-2i^2 \\
  &amp;= 5-i \\
* \overline{z_1+z_2} \\
 \overline{z_1+z_2} &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1-z_2} \\
 \overline{z_1-z_2} &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1 \times z_2} \\
 \overline{z_1 \times z_2} &amp;= 5-i \\
* \overline{(\frac{z_1}{z_2})} \\
 \overline{(\frac{z_1}{z_2})} &amp;= \frac{2}{13}-\frac{4}{13}i \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>9sxxoxrclnpfrkoukgsoxxhgfnh857h</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107912</id>
      <parentid>107908</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T11:44:53Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107912</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15792" sha1="1auhhaq2ungh2pzz31yxy139gmt94pg" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline{z_2} \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=x+yi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=x+yi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka x+yi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: &lt;math&gt;\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;|
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;+&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;-&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;x&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{(\frac{z_1}{z_2})}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya dari z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* z_1+z_2 \\
 z_1+z_2 &amp;= (1+i)+(3-2i) \\
  &amp;= 4-i \\
* z_1-z_2 \\
 z_1-z_2 &amp;= (1+i)-(3-2i) \\
  &amp;= -2+3i \\
* z_1 \times z_2 \\
 z_1 \times z_2 &amp;= (1+i)(3-2i) \\
  &amp;= 3+i+2 \\
  &amp;= 5+i \\
* \frac{z_1}{z_2} \\
 \frac{z_1}{z_2} &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \\
  &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \times \frac{3+i}{3+2i} \\
  &amp;= \frac{3+4i+i^2}{9+4} \\
  &amp;= \frac{3+4i+(-1)}{13} \\
  &amp;= \frac{2+4i}{13} \\
  &amp;= \frac{2}{13}+\frac{4}{13}i \\
* z_1^{-1} \\
 z_1^{-1} &amp;= u+vi \\
 &amp;= \frac{1^2}{1^2+1^2}+(\frac{1^2}{1^2+1^2})i \\
 &amp;= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i \\
* |z_1| \\
 |z_1| &amp;= \sqrt{1^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{2} \\
* |z_2| \\
 |z_2| &amp;= \sqrt{3^2+(-2)^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1|+|z_2| \\
 |z_1|+|z_2| &amp;= \sqrt{2}+\sqrt{13} \\
* |z_1|-|z_2| \\
 |z_1|-|z_2| &amp;= \sqrt{2}-\sqrt{13} \\
* |z_1| \times |z_2| \\
 |z_1| \times |z_2| &amp;= \sqrt{2} \times \sqrt{13} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* \frac{|z_1|}{|z_2|} \\
 \frac{|z_1|}{|z_2|} &amp;= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}} \\
  &amp;= \frac{\sqrt{26}}{13} \\
* |z_1+z_2| \\
 |z_1+z_2| &amp;= \sqrt{4^2+(-1)^2} \\
  &amp;= \sqrt{17} \\
* |z_1-z_2| \\
 |z_1-z_2| &amp;= \sqrt{(-2)^2+3^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1 \times z_2| \\
 |z_1 \times z_2| &amp;= \sqrt{5^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* |\frac{z_1}{z_2}| \\
 |\frac{z_1}{z_2}| &amp;= \sqrt{(\frac{2}{13})^2+(\frac{4}{13})^2} \\
  &amp;= \sqrt{\frac{4}{169}+\frac{16}{169}} \\
  &amp;= \sqrt{\frac{20}{169}} \\
  &amp;= \frac{\sqrt{20}}{13} \\
* \overline{z_1} \\
 \overline{z_1} &amp;= 1-i \\
* \overline{z_2} \\
 \overline{z_2} &amp;= 3+2i \\
* \overline{z_1}+\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}+\overline{z_2} &amp;= 1-i+3+2i \\
  &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1}-\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}-\overline{z_2} &amp;= 1-i-(3+2i) \\
  &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1} \times \overline{z_2} \\
 \overline{z_1} \times \overline{z_2} &amp;= (1-i)(3+2i) \\
  &amp;= 3-i-2i^2 \\
  &amp;= 5-i \\
* \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} 
 \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} &amp;= \frac{1-i}{3+2i} \\
  &amp;= \frac{1-i}{3+2i} \times \frac{3-2i}{3-2i} \\
  &amp;= \frac{3-5i+2i^2}{9+4} \\
  &amp;= \frac{1-5i}{13} \\
  &amp;= \frac{1}{13}-\frac{5}{13}i \\
* \overline{z_1+z_2} \\
 \overline{z_1+z_2} &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1-z_2} \\
 \overline{z_1-z_2} &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1 \times z_2} \\
 \overline{z_1 \times z_2} &amp;= 5-i \\
* \overline{(\frac{z_1}{z_2})} \\
 \overline{(\frac{z_1}{z_2})} &amp;= \frac{2}{13}-\frac{4}{13}i \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>1auhhaq2ungh2pzz31yxy139gmt94pg</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107914</id>
      <parentid>107912</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T11:47:00Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107914</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15794" sha1="hr9j7a1jxu2wp031t7egeuei1zdm1i5" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline{z_2} \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=x+yi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=x+yi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka x+yi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: &lt;math&gt;\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;|
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;+&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;-&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;x&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{(\frac{z_1}{z_2})}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya dari z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* z_1+z_2 \\
 z_1+z_2 &amp;= (1+i)+(3-2i) \\
  &amp;= 4-i \\
* z_1-z_2 \\
 z_1-z_2 &amp;= (1+i)-(3-2i) \\
  &amp;= -2+3i \\
* z_1 \times z_2 \\
 z_1 \times z_2 &amp;= (1+i)(3-2i) \\
  &amp;= 3+i+2 \\
  &amp;= 5+i \\
* \frac{z_1}{z_2} \\
 \frac{z_1}{z_2} &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \\
  &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \times \frac{3+i}{3+2i} \\
  &amp;= \frac{3+4i+i^2}{9+4} \\
  &amp;= \frac{3+4i+(-1)}{13} \\
  &amp;= \frac{2+4i}{13} \\
  &amp;= \frac{2}{13}+\frac{4}{13}i \\
* z_1^{-1} \\
 z_1^{-1} &amp;= u+vi \\
 &amp;= \frac{1^2}{1^2+1^2}+(\frac{1^2}{1^2+1^2})i \\
 &amp;= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i \\
* |z_1| \\
 |z_1| &amp;= \sqrt{1^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{2} \\
* |z_2| \\
 |z_2| &amp;= \sqrt{3^2+(-2)^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1|+|z_2| \\
 |z_1|+|z_2| &amp;= \sqrt{2}+\sqrt{13} \\
* |z_1|-|z_2| \\
 |z_1|-|z_2| &amp;= \sqrt{2}-\sqrt{13} \\
* |z_1| \times |z_2| \\
 |z_1| \times |z_2| &amp;= \sqrt{2} \times \sqrt{13} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* \frac{|z_1|}{|z_2|} \\
 \frac{|z_1|}{|z_2|} &amp;= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}} \\
  &amp;= \frac{\sqrt{26}}{13} \\
* |z_1+z_2| \\
 |z_1+z_2| &amp;= \sqrt{4^2+(-1)^2} \\
  &amp;= \sqrt{17} \\
* |z_1-z_2| \\
 |z_1-z_2| &amp;= \sqrt{(-2)^2+3^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1 \times z_2| \\
 |z_1 \times z_2| &amp;= \sqrt{5^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* |\frac{z_1}{z_2}| \\
 |\frac{z_1}{z_2}| &amp;= \sqrt{(\frac{2}{13})^2+(\frac{4}{13})^2} \\
  &amp;= \sqrt{\frac{4}{169}+\frac{16}{169}} \\
  &amp;= \sqrt{\frac{20}{169}} \\
  &amp;= \frac{\sqrt{20}}{13} \\
* \overline{z_1} \\
 \overline{z_1} &amp;= 1-i \\
* \overline{z_2} \\
 \overline{z_2} &amp;= 3+2i \\
* \overline{z_1}+\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}+\overline{z_2} &amp;= 1-i+3+2i \\
  &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1}-\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}-\overline{z_2} &amp;= 1-i-(3+2i) \\
  &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1} \times \overline{z_2} \\
 \overline{z_1} \times \overline{z_2} &amp;= (1-i)(3+2i) \\
  &amp;= 3-i-2i^2 \\
  &amp;= 5-i \\
* \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} \\
 \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} &amp;= \frac{1-i}{3+2i} \\
  &amp;= \frac{1-i}{3+2i} \times \frac{3-2i}{3-2i} \\
  &amp;= \frac{3-5i+2i^2}{9+4} \\
  &amp;= \frac{1-5i}{13} \\
  &amp;= \frac{1}{13}-\frac{5}{13}i \\
* \overline{z_1+z_2} \\
 \overline{z_1+z_2} &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1-z_2} \\
 \overline{z_1-z_2} &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1 \times z_2} \\
 \overline{z_1 \times z_2} &amp;= 5-i \\
* \overline{(\frac{z_1}{z_2})} \\
 \overline{(\frac{z_1}{z_2})} &amp;= \frac{2}{13}-\frac{4}{13}i \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>hr9j7a1jxu2wp031t7egeuei1zdm1i5</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107915</id>
      <parentid>107914</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T11:56:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Bilangan kompleks */</comment>
      <origin>107915</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15926" sha1="3l8nt4f61fpk8580zdyio9jvm123zmw" xml:space="preserve">== Hierarki bilangan ==
hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, &lt;math&gt;5-\sqrt{2}i&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;-\sqrt{7}+8i&lt;/math&gt;, dst

2 bilangan real dan imajiner
* bilangan real

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

* bilangan imajiner

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{-2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sqrt{-13}&lt;/math&gt;, dst

3 bilangan rasional dan irasional
* bilangan rasional

contoh: &lt;math&gt;\sqrt{9}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

* bilangan irasional

contoh: &lt;math&gt;2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, 3.14536…., 2.567785…., e, &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, dst

4 bilangan bulat dan pecahan
* bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

* bilangan pecahan

contoh: &lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;, 6.5, &lt;math&gt;8\frac{2}{7}&lt;/math&gt;, dst

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif
* bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

* bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol
* bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

* bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

*bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

*bilangan  genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

* bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

* bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

== Bilangan romawi ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi !! Angka !! Romawi
|-
| 1 || I || 11 || XI || 30 || XXX
|-
| 2 || II || 12 || XII || 40 || XL
|-
| 3 || III || 13 || XIII || 50 || L
|-
| 4 || IV || 14 || XIV || 60 || LX
|-
| 5 || V || 15 || XV || 70 || LXX
|-
| 6 || VI || 16 || XVI || 80 || LXXX
|-
| 7 || VII || 17 || XVII || 90 || LC
|-
| 8 || VIII || 18 || XVIII || 100 || C
|-
| 9 || IX || 19 || XIX || 500 || D
|-
| 10 || X || 20 || XX || 1000 || M
|}

== Angka dan digit ==
* 14 (1 angka dan 2 digit)
* 235 (1 angka dan 3 digit)
* 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
* AB = 10A + B
* PQR = 100P + 10Q + R
* AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
* AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

== Kondisi kedua bilangan ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bilangan I !! Bilangan II !! Jumlah !! Kali
|-
| Ganjil || Ganjil || Genap || Ganjil
|-
| Genap || Genap || Genap || Genap
|-
| Ganjil || Genap || Ganjil || Genap
|}

== Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil habis dibagi pembagi !! Syarat
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan genap
|-
| 3 || Jumlah semua digit habis dibagi 3
|-
| 4 || Dua digit terakhir habis dibagi 4
|-
| 5 || Digit terakhir 0 atau 5
|-
| 6 || 
* Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3
* Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
|-
| 7 || Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
|-
| 8 || Tiga digit terakhir habis dibagi 8
|-
| 9 || Jumlah semua digit habis dibagi 9
|-
| 10 || Digit terakhir 0
|}

== Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Bil tidak habis dibagi pembagi !! Syarat jika sisa
|-
| 2 || Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
|-
| 3 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
|-
| 4 || 
|-
| 5 || Digit terakhir bukan 0 atau 5
|-
| 6 ||
|-
| 7 || 
|-
| 8 || 
|-
| 9 || Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
|-
| 10 || Digit terakhir bukan 0
|}

== Bilangan desimal berulang ==
; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !!
|-
| 1 || 142857
|-
| 2 || 285714
|-
| 3 || 428571
|-
| 4 || 571428
|-
| 5 || 714285
|-
| 6 || 857152
|}

; Dibagi 13
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! !! !! !!
|-
| 1 || 076923 || 7 || 538461
|-
| 2 || 153846 || 8 || 615384
|-
| 3 || 230769 || 9 || 692307
|-
| 4 || 307692 || 10 || 769230
|-
| 5 || 384615 || 11 || 846153
|-
| 6 || 461538 || 12 || 923076
|}

== Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang ==
Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

; Dibagi 3
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 1
|}

; Dibagi 4
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 1
|}

; Dibagi 5
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4)
|-
| 2 || 4 || 3 || 1
|-
| 3 || 4 || 2 || 1
|-
| 4 || 1
|}

; Dibagi 6
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|}

; Dibagi 7
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 1
|-
| 3 || 2 || 6 || 4 || 5 || 1
|-
| 4 || 2 || 1
|-
| 5 || 4 || 6 || 2 || 3 || 1
|-
| 6 || 1
|}

; Dibagi 8
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2)
|-
| 2 || 4 
|-
| 3 || 1
|-
| 4 
|-
| 5 || 1
|-
| 6 || 4
|-
| 7 || 1
|}

; Dibagi 9
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ 
|-
! Sisa (1) !! Sisa (2) !! Sisa (3) !! Sisa (4) !! Sisa (5) !! Sisa (6)
|-
| 2 || 4 || 8 || 7 || 5 || 1
|-
| 3 
|-
| 4 || 7 || 1
|-
| 5 || 7 || 8 || 4 || 2 || 1
|-
| 6 
|-
| 7 || 4 || 1
|-
| 8 || 1
|}

'''Keterangan''':
: () = berpangkat

; contoh:
: 8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)
: 5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)
: 10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

== angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang ==
; 0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.
; 1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.
; 5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.
; 6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

; 2 berpangkat: 2, 4, 8, 6
; 3 berpangkat: 3, 9, 7, 1
; 4 berpangkat: 4, 6
; 7 berpangkat: 7, 9, 3, 1
; 8 berpangkat: 8, 4, 2, 6
; 9 berpangkat: 9, 1

== Bentuk persentase (%) ==
Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:
# 2 = 2 * 100% = 200%
# 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
# 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
# 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
# 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
# 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
# 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

# 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
# 5% = 5 * 1/100 = 0.05
# 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
# 75% = 75 * 1/100 = 0.75
# 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
# 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
# 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:
# Berapa hasil 49% dari 500?
# Berapa hasil 62% untuk 465?
# Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
# Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
# Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:
# 49% * 500 = 245
# 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62% &lt;br&gt; 465 * 100/62 = 750
# 1.728/3.600 * 100% = 48%
# 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
# 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

== Bilangan kompleks ==
;1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=&lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

; operasi hitung
jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+y&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;i maka sebagai berikut:

: Penjumlahan
:: &lt;math&gt;z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i&lt;/math&gt;

: Pengurangan
:: &lt;math&gt;z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i&lt;/math&gt;

: Perkalian
:: &lt;math&gt;z_1 \times z_2=(x_1+y_1i) \times (x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i&lt;/math&gt;

: Pembagian
:: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \cdot \frac{x_2+y_2i}{x_2+y_2i} = \frac{x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2}{{x_2}^2+2x_2y_2i+({y_2i})^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{{x_2}^2+2x_2y_2i-{y_2}^2}=\frac{x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i-y_1y_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2y_2i}&lt;/math&gt;

: Perkalian skalar
:: kz = k(x+yi) = kx+kyi

: Bernilai -1
:: -1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

: Invers
:: z&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = u + vi dimana u=&lt;math&gt;\frac{x}{x^2+y^2}&lt;/math&gt; dan v=&lt;math&gt;\frac{y}{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

; sifat
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
* (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;=z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;x(z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)
* 1(z)=z
* 0(z)=0
* z+(-z)=0
* zxz&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;=1

; konjugat kompleks sekawan
konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:
* Teorema 1
** &lt;math&gt;\overline{\overline{z}}&lt;/math&gt;=z
** &lt;math&gt;\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}&lt;/math&gt;
** z+&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2Re(z)
** z-&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=2iIm(z)
** zx&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
* Teorema 2
Jika z bilangan kompleks maka berlaku:
** |z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=(Re(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+(Im(z))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
** |z&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;|=|z|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=z.&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;
** |z|=|-z|=|&lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;|
** |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
** |z|≤|Im(z)|≤Im(z)
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; maka berlaku:
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** &lt;math&gt;|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt; untuk z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≠0
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≤|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|≥|z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
** |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|=|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; dengan konjugat maka berlaku:
** &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}=\overline{z_1} \times \overline{z_2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;\overline{(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}&lt;/math&gt; untuk &lt;math&gt;\overline{z_2} \neq 0&lt;/math&gt;

; Modulus
* jika z=x+yi maka |z|=r=&lt;math&gt;\sqrt{x^2+y^2}&lt;/math&gt;

;2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

hubungan (x,y) dengan (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) adalah
: x=r cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: y=r sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;
: dengan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc tan (&lt;math&gt;\frac{y}{x}&lt;/math&gt;)

bentuk kutubnya adalah z=(r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r cis &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=(r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

; argument
Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; disebut argument z maka ditulis arg z

z=x+yi dan z=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) maka x+yi=r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+ i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc cos (&lt;math&gt;\frac{x}{r}&lt;/math&gt;) dan &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; = arc sin (&lt;math&gt;\frac{y}{r}&lt;/math&gt;) dimana &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; merupakan irisan bagiannya

Sudut &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; dengan 0≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; atau &lt;math&gt;-\pi&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;≤&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; disebut argument utama maka ditulis Arg z

;3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

sekawannya adalah &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;=re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;

: i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;
: cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}&lt;/math&gt;

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Bentuk bilangan kompleks
|-
!  !! Kartesian !! Kutub !! Eksponensial
|-
| z || x+yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;+i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat z || (x,y) || colspan=2 align=center| (r,&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|-
| &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || x-yi || r(cos &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;-i sin &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;) || re&lt;sup&gt;-i&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;&lt;/sup&gt;
|-
| koordinat &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt; || (x,-y) || colspan=2 align=center| (r,-&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;)
|}

; contoh soal
* Jika z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;=1+i dan z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;=3-2i maka tentukan:
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
: &lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;
: (z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|+|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|-|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|x|z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: &lt;math&gt;\frac{|z_1|}{|z_2|}&lt;/math&gt;
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;-z&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;xz&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|
: |&lt;math&gt;\frac{z_1}{z_2}&lt;/math&gt;|
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;+&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;-&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1}&lt;/math&gt;x&lt;math&gt;\overline{z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1+z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1-z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{z_1 \times z_2}&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\overline{(\frac{z_1}{z_2})}&lt;/math&gt;
: persamaan polarnya dari z&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
* z_1+z_2 \\
 z_1+z_2 &amp;= (1+i)+(3-2i) \\
  &amp;= 4-i \\
* z_1-z_2 \\
 z_1-z_2 &amp;= (1+i)-(3-2i) \\
  &amp;= -2+3i \\
* z_1 \times z_2 \\
 z_1 \times z_2 &amp;= (1+i)(3-2i) \\
  &amp;= 3+i+2 \\
  &amp;= 5+i \\
* \frac{z_1}{z_2} \\
 \frac{z_1}{z_2} &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \\
  &amp;= \frac{1+i}{3-2i} \times \frac{3+i}{3+2i} \\
  &amp;= \frac{3+4i+i^2}{9+4} \\
  &amp;= \frac{3+4i+(-1)}{13} \\
  &amp;= \frac{2+4i}{13} \\
  &amp;= \frac{2}{13}+\frac{4}{13}i \\
* z_1^{-1} \\
 z_1^{-1} &amp;= u+vi \\
 &amp;= \frac{1^2}{1^2+1^2}+(\frac{1^2}{1^2+1^2})i \\
 &amp;= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i \\
* |z_1| \\
 |z_1| &amp;= \sqrt{1^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{2} \\
* |z_2| \\
 |z_2| &amp;= \sqrt{3^2+(-2)^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1|+|z_2| \\
 |z_1|+|z_2| &amp;= \sqrt{2}+\sqrt{13} \\
* |z_1|-|z_2| \\
 |z_1|-|z_2| &amp;= \sqrt{2}-\sqrt{13} \\
* |z_1| \times |z_2| \\
 |z_1| \times |z_2| &amp;= \sqrt{2} \times \sqrt{13} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* \frac{|z_1|}{|z_2|} \\
 \frac{|z_1|}{|z_2|} &amp;= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}} \\
  &amp;= \frac{\sqrt{26}}{13} \\
* |z_1+z_2| \\
 |z_1+z_2| &amp;= \sqrt{4^2+(-1)^2} \\
  &amp;= \sqrt{17} \\
* |z_1-z_2| \\
 |z_1-z_2| &amp;= \sqrt{(-2)^2+3^2} \\
  &amp;= \sqrt{13} \\
* |z_1 \times z_2| \\
 |z_1 \times z_2| &amp;= \sqrt{5^2+1^2} \\
  &amp;= \sqrt{26} \\
* |\frac{z_1}{z_2}| \\
 |\frac{z_1}{z_2}| &amp;= \sqrt{(\frac{2}{13})^2+(\frac{4}{13})^2} \\
  &amp;= \sqrt{\frac{4}{169}+\frac{16}{169}} \\
  &amp;= \sqrt{\frac{20}{169}} \\
  &amp;= \frac{\sqrt{20}}{13} \\
* \overline{z_1} \\
 \overline{z_1} &amp;= 1-i \\
* \overline{z_2} \\
 \overline{z_2} &amp;= 3+2i \\
* \overline{z_1}+\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}+\overline{z_2} &amp;= 1-i+3+2i \\
  &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1}-\overline{z_2} \\
 \overline{z_1}-\overline{z_2} &amp;= 1-i-(3+2i) \\
  &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1} \times \overline{z_2} \\
 \overline{z_1} \times \overline{z_2} &amp;= (1-i)(3+2i) \\
  &amp;= 3-i-2i^2 \\
  &amp;= 5-i \\
* \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} \\
 \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} &amp;= \frac{1-i}{3+2i} \\
  &amp;= \frac{1-i}{3+2i} \times \frac{3-2i}{3-2i} \\
  &amp;= \frac{3-5i+2i^2}{9+4} \\
  &amp;= \frac{1-5i}{13} \\
  &amp;= \frac{1}{13}-\frac{5}{13}i \\
* \overline{z_1+z_2} \\
 \overline{z_1+z_2} &amp;= 4+i \\
* \overline{z_1-z_2} \\
 \overline{z_1-z_2} &amp;= -2-3i \\
* \overline{z_1 \times z_2} \\
 \overline{z_1 \times z_2} &amp;= 5-i \\
* \overline{(\frac{z_1}{z_2})} \\
 \overline{(\frac{z_1}{z_2})} &amp;= \frac{2}{13}-\frac{4}{13}i \\
* z &amp;= r(cos \theta + i sin \theta) \\
 1+i &amp;= r cos \theta + ri sin \theta \\
\theta = arc cos{1}{\sqrt{2}} \\
\theta = 45, 315 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>3l8nt4f61fpk8580zdyio9jvm123zmw</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Kekontinuan</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23203</id>
    <revision>
      <id>107875</id>
      <parentid>92043</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T07:47:37Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Fungsi kontinu */</comment>
      <origin>107875</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2941" sha1="dk05sexfc0o6wbwqbnsgnrjo2u3tiuk" xml:space="preserve">== Fungsi kontinu ==
Fungsi f dikatakan kontinu di c ε [a,b] jika dipenuhi tiga hal sebagai berikut:
# Fungsi terdefinisikan di c yaitu f(c) ada
# &lt;math&gt;\lim\limits_{x \to c} f(x)&lt;/math&gt; ada
# &lt;math&gt;\lim\limits_{x \to c} f(x) = f(c)&lt;/math&gt;

contoh
# Selidiki kontinuitas fungsi f(x) = x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3x+5 di titik x=1!

jawaban:
: f(1) = 1&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3(1)+5 = 9 ada (terdefinisikan)
: &lt;math&gt;\lim\limits_{x \to 1} f(x) = \lim\limits_{x \to 1} x^2+3x+5 = 1^2+3(1)+5 = 9&lt;/math&gt; ada
: &lt;math&gt;\lim\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) = 9&lt;/math&gt;

Karena ketiga syarat terpenuhi, maka f(x) kontinu di x = 1. Untuk selanjutnya dapat dibuktikan bahwa f(x) kontinu pada &lt;math&gt; -\infty &lt; x &lt; \infty&lt;/math&gt;

# Selidiki kontinuitas fungsi &lt;math&gt;f(x) = \frac{x^2-16}{x-4}&lt;/math&gt; di titik x=4!

jawaban:
: untuk x = 4 maka f(4) = 0/0 tidak terdefinisikan 
: &lt;math&gt;\lim\limits_{x \to 4} f(x) = \lim\limits_{x \to 4} \frac{x^2-16}{x-4} = \lim\limits_{x \to 4} \frac{(x+4)(x-4)}{x-4} = 8&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\lim\limits_{x \to 4} f(x) \neq f(4)&lt;/math&gt;

karena syarat kontinuitas tidak terpenuhi maka f(x) tidak kontinu di x = 4. Agar f(x) kontinu di x = 4 maka kita terdefinisikan bahwa

&lt;math&gt;f(x) = \begin{cases}
\frac{x^2-16}{x-4} &amp; \text{ untuk } x \neq  4\\
8 &amp; \text{ untuk } x = 4
\end{cases}
&lt;/math&gt;

== Fungsi polinom ==
&lt;math&gt;f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots + a_{n-1}x + a_n&lt;/math&gt; kontinu di &lt;math&gt; -\infty &lt; x &lt; \infty&lt;/math&gt;

Bila f(x) dan g(x) [dua fungsi polinom] maka
: &lt;math&gt;f(x) \pm g(x)&lt;/math&gt; kontinu
: &lt;math&gt;f(x) \cdot g(x)&lt;/math&gt; kontinu
: &lt;math&gt;\frac{f(x)}{g(x)}&lt;/math&gt; kontinu kecuali pada x yang menyebabkan g(x) = 0

contoh

# &lt;math&gt;f(x) = \begin{cases}
x &amp; \text{ untuk } x &lt; 4\\
4 &amp; \text{ untuk } x = 4\\
3x-8 &amp; \text{ untuk } x &gt; 4\\
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\lim\limits_{x \to 4^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 4^+} f(x) = f(4) = 4&lt;/math&gt;

f(x) kontinu di x = 4

# &lt;math&gt;f(x) = \begin{cases}
x &amp; \text{ untuk } x &lt; 3\\
2 &amp; \text{ untuk } x = 3\\
x &amp; \text{ untuk } x &gt; 3\\
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\lim\limits_{x \to 3^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 3^+} f(x) = 3&lt;/math&gt; tapi f(3) = 2

f(x) tidak kontinu di x = 3

== Fungsi multak ==
f(x) = |x| kontinu di setiap nilai riil x
: &lt;math&gt;f(x) = \sqrt[n]{x}&lt;/math&gt; dengan n ganjil kontinu di setiap nilai riil x
: &lt;math&gt;f(x) = \sqrt[n]{x}&lt;/math&gt; dengan n genap kontinu di setiap nilai x &gt; 0

contoh

# Selidiki kontinuitas fungsi f(x) = |x| pada -∞ &lt;x &lt; ∞!

jawaban:

ingat kembali &lt;math&gt;f(x) = \begin{cases}
-x &amp; \text{ untuk } x &lt; 0\\
0 &amp; \text{ untuk } x = 0\\
x &amp; \text{ untuk } x &gt; 0\\
\end{cases}
&lt;/math&gt;

sekarang bagaimana kontinuitas di titik x = 0?

&lt;math&gt;\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} (-x) = 0&lt;/math&gt; dan 
&lt;math&gt;\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} (x) = 0&lt;/math&gt;

ternyata limit kiri = limit kanan = 0 = f(x). Fungsi f(x) kontinu di x = 0. Dengan demikian f(x) = |x| kontinu di semua x

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>dk05sexfc0o6wbwqbnsgnrjo2u3tiuk</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107876</id>
      <parentid>107875</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T07:48:23Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Fungsi polinom */</comment>
      <origin>107876</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2947" sha1="2cnxk2no5bbjtie4gcyu3ruq9eva77t" xml:space="preserve">== Fungsi kontinu ==
Fungsi f dikatakan kontinu di c ε [a,b] jika dipenuhi tiga hal sebagai berikut:
# Fungsi terdefinisikan di c yaitu f(c) ada
# &lt;math&gt;\lim\limits_{x \to c} f(x)&lt;/math&gt; ada
# &lt;math&gt;\lim\limits_{x \to c} f(x) = f(c)&lt;/math&gt;

contoh
# Selidiki kontinuitas fungsi f(x) = x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3x+5 di titik x=1!

jawaban:
: f(1) = 1&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3(1)+5 = 9 ada (terdefinisikan)
: &lt;math&gt;\lim\limits_{x \to 1} f(x) = \lim\limits_{x \to 1} x^2+3x+5 = 1^2+3(1)+5 = 9&lt;/math&gt; ada
: &lt;math&gt;\lim\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) = 9&lt;/math&gt;

Karena ketiga syarat terpenuhi, maka f(x) kontinu di x = 1. Untuk selanjutnya dapat dibuktikan bahwa f(x) kontinu pada &lt;math&gt; -\infty &lt; x &lt; \infty&lt;/math&gt;

# Selidiki kontinuitas fungsi &lt;math&gt;f(x) = \frac{x^2-16}{x-4}&lt;/math&gt; di titik x=4!

jawaban:
: untuk x = 4 maka f(4) = 0/0 tidak terdefinisikan 
: &lt;math&gt;\lim\limits_{x \to 4} f(x) = \lim\limits_{x \to 4} \frac{x^2-16}{x-4} = \lim\limits_{x \to 4} \frac{(x+4)(x-4)}{x-4} = 8&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\lim\limits_{x \to 4} f(x) \neq f(4)&lt;/math&gt;

karena syarat kontinuitas tidak terpenuhi maka f(x) tidak kontinu di x = 4. Agar f(x) kontinu di x = 4 maka kita terdefinisikan bahwa

&lt;math&gt;f(x) = \begin{cases}
\frac{x^2-16}{x-4} &amp; \text{ untuk } x \neq  4\\
8 &amp; \text{ untuk } x = 4
\end{cases}
&lt;/math&gt;

== Fungsi polinom ==
&lt;math&gt;f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots + a_{n-1}x + a_n&lt;/math&gt; kontinu di &lt;math&gt; -\infty &lt; x &lt; \infty&lt;/math&gt;

Bila f(x) dan g(x) [dua fungsi polinom] maka
: &lt;math&gt;f(x) \pm g(x)&lt;/math&gt; kontinu
: &lt;math&gt;f(x) \cdot g(x)&lt;/math&gt; kontinu
: &lt;math&gt;\frac{f(x)}{g(x)}&lt;/math&gt; kontinu kecuali pada x yang menyebabkan g(x) = 0

contoh

# &lt;math&gt;f(x) = \begin{cases}
x &amp; \text{ untuk } x &lt; 4 \\
4 &amp; \text{ untuk } x = 4 \\
3x-8 &amp; \text{ untuk } x &gt; 4 \\
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\lim\limits_{x \to 4^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 4^+} f(x) = f(4) = 4&lt;/math&gt;

f(x) kontinu di x = 4

# &lt;math&gt;f(x) = \begin{cases}
x &amp; \text{ untuk } x &lt; 3 \\
2 &amp; \text{ untuk } x = 3 \\
x &amp; \text{ untuk } x &gt; 3 \\
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\lim\limits_{x \to 3^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 3^+} f(x) = 3&lt;/math&gt; tapi f(3) = 2

f(x) tidak kontinu di x = 3

== Fungsi multak ==
f(x) = |x| kontinu di setiap nilai riil x
: &lt;math&gt;f(x) = \sqrt[n]{x}&lt;/math&gt; dengan n ganjil kontinu di setiap nilai riil x
: &lt;math&gt;f(x) = \sqrt[n]{x}&lt;/math&gt; dengan n genap kontinu di setiap nilai x &gt; 0

contoh

# Selidiki kontinuitas fungsi f(x) = |x| pada -∞ &lt;x &lt; ∞!

jawaban:

ingat kembali &lt;math&gt;f(x) = \begin{cases}
-x &amp; \text{ untuk } x &lt; 0\\
0 &amp; \text{ untuk } x = 0\\
x &amp; \text{ untuk } x &gt; 0\\
\end{cases}
&lt;/math&gt;

sekarang bagaimana kontinuitas di titik x = 0?

&lt;math&gt;\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} (-x) = 0&lt;/math&gt; dan 
&lt;math&gt;\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} (x) = 0&lt;/math&gt;

ternyata limit kiri = limit kanan = 0 = f(x). Fungsi f(x) kontinu di x = 0. Dengan demikian f(x) = |x| kontinu di semua x

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>2cnxk2no5bbjtie4gcyu3ruq9eva77t</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107877</id>
      <parentid>107876</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T07:48:49Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Fungsi multak */</comment>
      <origin>107877</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2950" sha1="ps0bejvnwrx5eukpnvj918pfzh7ze0y" xml:space="preserve">== Fungsi kontinu ==
Fungsi f dikatakan kontinu di c ε [a,b] jika dipenuhi tiga hal sebagai berikut:
# Fungsi terdefinisikan di c yaitu f(c) ada
# &lt;math&gt;\lim\limits_{x \to c} f(x)&lt;/math&gt; ada
# &lt;math&gt;\lim\limits_{x \to c} f(x) = f(c)&lt;/math&gt;

contoh
# Selidiki kontinuitas fungsi f(x) = x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3x+5 di titik x=1!

jawaban:
: f(1) = 1&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3(1)+5 = 9 ada (terdefinisikan)
: &lt;math&gt;\lim\limits_{x \to 1} f(x) = \lim\limits_{x \to 1} x^2+3x+5 = 1^2+3(1)+5 = 9&lt;/math&gt; ada
: &lt;math&gt;\lim\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) = 9&lt;/math&gt;

Karena ketiga syarat terpenuhi, maka f(x) kontinu di x = 1. Untuk selanjutnya dapat dibuktikan bahwa f(x) kontinu pada &lt;math&gt; -\infty &lt; x &lt; \infty&lt;/math&gt;

# Selidiki kontinuitas fungsi &lt;math&gt;f(x) = \frac{x^2-16}{x-4}&lt;/math&gt; di titik x=4!

jawaban:
: untuk x = 4 maka f(4) = 0/0 tidak terdefinisikan 
: &lt;math&gt;\lim\limits_{x \to 4} f(x) = \lim\limits_{x \to 4} \frac{x^2-16}{x-4} = \lim\limits_{x \to 4} \frac{(x+4)(x-4)}{x-4} = 8&lt;/math&gt;
: &lt;math&gt;\lim\limits_{x \to 4} f(x) \neq f(4)&lt;/math&gt;

karena syarat kontinuitas tidak terpenuhi maka f(x) tidak kontinu di x = 4. Agar f(x) kontinu di x = 4 maka kita terdefinisikan bahwa

&lt;math&gt;f(x) = \begin{cases}
\frac{x^2-16}{x-4} &amp; \text{ untuk } x \neq  4\\
8 &amp; \text{ untuk } x = 4
\end{cases}
&lt;/math&gt;

== Fungsi polinom ==
&lt;math&gt;f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots + a_{n-1}x + a_n&lt;/math&gt; kontinu di &lt;math&gt; -\infty &lt; x &lt; \infty&lt;/math&gt;

Bila f(x) dan g(x) [dua fungsi polinom] maka
: &lt;math&gt;f(x) \pm g(x)&lt;/math&gt; kontinu
: &lt;math&gt;f(x) \cdot g(x)&lt;/math&gt; kontinu
: &lt;math&gt;\frac{f(x)}{g(x)}&lt;/math&gt; kontinu kecuali pada x yang menyebabkan g(x) = 0

contoh

# &lt;math&gt;f(x) = \begin{cases}
x &amp; \text{ untuk } x &lt; 4 \\
4 &amp; \text{ untuk } x = 4 \\
3x-8 &amp; \text{ untuk } x &gt; 4 \\
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\lim\limits_{x \to 4^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 4^+} f(x) = f(4) = 4&lt;/math&gt;

f(x) kontinu di x = 4

# &lt;math&gt;f(x) = \begin{cases}
x &amp; \text{ untuk } x &lt; 3 \\
2 &amp; \text{ untuk } x = 3 \\
x &amp; \text{ untuk } x &gt; 3 \\
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\lim\limits_{x \to 3^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 3^+} f(x) = 3&lt;/math&gt; tapi f(3) = 2

f(x) tidak kontinu di x = 3

== Fungsi multak ==
f(x) = |x| kontinu di setiap nilai riil x
: &lt;math&gt;f(x) = \sqrt[n]{x}&lt;/math&gt; dengan n ganjil kontinu di setiap nilai riil x
: &lt;math&gt;f(x) = \sqrt[n]{x}&lt;/math&gt; dengan n genap kontinu di setiap nilai x &gt; 0

contoh

# Selidiki kontinuitas fungsi f(x) = |x| pada -∞ &lt;x &lt; ∞!

jawaban:

ingat kembali &lt;math&gt;f(x) = \begin{cases}
-x &amp; \text{ untuk } x &lt; 0 \\
0 &amp; \text{ untuk } x = 0 \\
x &amp; \text{ untuk } x &gt; 0 \\
\end{cases}
&lt;/math&gt;

sekarang bagaimana kontinuitas di titik x = 0?

&lt;math&gt;\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} (-x) = 0&lt;/math&gt; dan 
&lt;math&gt;\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} (x) = 0&lt;/math&gt;

ternyata limit kiri = limit kanan = 0 = f(x). Fungsi f(x) kontinu di x = 0. Dengan demikian f(x) = |x| kontinu di semua x

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>ps0bejvnwrx5eukpnvj918pfzh7ze0y</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Resep:Sop mutiara</title>
    <ns>100</ns>
    <id>25845</id>
    <revision>
      <id>107812</id>
      <parentid>107774</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T11:59:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Volstand</username>
        <id>31387</id>
      </contributor>
      <origin>107812</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3209" sha1="kvwk53moggui4ds471cye6kr5fbm5ne" xml:space="preserve">[[Berkas:Sop mutiara.jpg|jmpl|Sop mutiara yang dihidangkan dalam sebuah mangkok]]
'''Sop mutiara''' merupakan makanan tradisional [[Indonesia]] yang berasal dari [[w:Kalimantan Selatan|Kalimantan Selatan]]. Sup mutiara adalah hasil akulturasi budaya [[w:Tionghoa|Tionghoa]] peranakan yang sudah membaur dengan warga lokal di [[Banjarmasin]], hal ini menjadikan sop mutiara menu wajib pada saat hari raya [[w:Tahun Baru Imlek|imlek]] ataupun perayaan penting masyarakat Tionghoa di Kaimantan Selatan.&lt;ref&gt;{{Cite web|last=Handayani|first=Dwi Ayu|title=Kaya Rasa dan Sejarah! Resep Sop Mutiara Khas Banjarmasin ala Devy Anastasia yang Lezat Banget|url=https://jurnalgaya.pikiran-rakyat.com/leisure/pr-808587536/kaya-rasa-dan-sejarah-resep-sop-mutiara-khas-banjarmasin-ala-devy-anastasia-yang-lezat-banget|website=Jurnal Gaya|language=id|access-date=2025-06-25}}&lt;/ref&gt; Sop mutiara ini terdiri dari perpaduan ayam yang dibentuk menjadi bulatan kecil seperti [[w:mutiara|mutiara]] dengan kuah kaldu ayam yang dicampur dengan [[w:susu evaporasi|susu evaporasi]] yang dilengkapi dengan [[w:wortel|wortel]], [[w:kacang polong|kacang polong]] dan [[w:sosis|sosis]].&lt;ref&gt;{{Cite web|last=Liputan6.com|date=2025-02-26|title=3 Resep Sup Mutiara, Menu Berkuah Lezat Khas Banjarmasin|url=https://www.liputan6.com/lifestyle/read/5935082/3-resep-sup-mutiara-menu-berkuah-lezat-khas-banjarmasin|website=liputan6.com|language=id|access-date=2025-06-25}}&lt;/ref&gt;

==Bahan==

* 400 gram filet ayam yang telah dihaluskan
* 1 buah kentang rebus yang sudah dihaluskan
* 2 butir kuning telur
* 60 gram susu bubuk
* 1/2 sendok teh lada bubuk
* 1/2 sendok teh pala bubuk
* 1½ sendok teh garam
* 1½ sendok gula
* 80 gram margarin
* Susu bubuk secukupnya

==Bumbu==

* 2 liter kaldu ayam
* 3 buah wortel yang telah dipotong kotak
* 50 gram makaroni
* 1 kaleng kacang polong
* 7 buah sosis sapi yang dipotong sesuai selera
* 1 buah bawang baombay yang dicincang kasar
* 3 siung bawang putih yang dicincang halus
* 3 sendok makan margarin untuk menumis
* 1/2 susu evaporasi
* 1/2 sendok teh pala bubuk
* Garam secukupnya
* Gula secukupnya
* Penyedap rasa secukupnya

== Cara membuat ==
# Campurkan filet ayam dan kentang yang sudah dihaluskan dengan mentega, susu bubuk, dan kuning telur. 
# Aduk rata campuran tadi kemudian beri garam, gula, lada dan pala bubuk.
# Jika sudah tercampur rata, bentuk bulat adonan seperti kelerang atau muriara.
# Rebus adonan dalam air yangg mendidih dan masak adonan tadi hingga mengapung lalu sisihkan
# Tumis bawang bombay dan bawang putih dengan mentega sampai harum, lalu masukkan kaldu ayam.
# Masukkan makaroni dan wortel kemudian masak hingga agak lunak.
# Masukkan kacang polong, sosis dan pentol mutiara.
# Tambahkan garam, gula, lada, pala dan penyedap rasa secukupnya.
# Tambahkan susu UHT ataupun susu evaporasi lalu masak hingga mendidih.
# Sajikan dengan daun bawang dan bawang goreng.&lt;ref&gt;{{Cite web|date=2022-03-20|title=Resep Sop Mutiara Khas Banjar oleh Erlina Arya|url=https://cookpad.com/id/resep/16081307|website=Cookpad|language=id|access-date=2025-06-25}}&lt;/ref&gt;


{{wikipedia|Sop mutiara}} 

== Referensi ==
&lt;references /&gt;

[[Kategori:WikiBalalah II]]
[[Kategori:Makanan tradisional]]</text>
      <sha1>kvwk53moggui4ds471cye6kr5fbm5ne</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pengguna:Nunoguevara</title>
    <ns>2</ns>
    <id>25846</id>
    <revision>
      <id>107817</id>
      <parentid>107800</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T12:06:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <comment>/* Proyek */</comment>
      <origin>107817</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="437" sha1="sypd0f3t5mrrxi6zzql1k5g79cgbxpm" xml:space="preserve">{{#babel:id-n|en-3|es-1}}
Halo! Nama saya Nuno Guevara, saya adalah seorang pelajar dan seorang INTP-T, saya sendiri berasal dari [https://id.m.wikipedia.org/wiki/Kota_Surabaya Surabaya], [https://id.m.wikipedia.org/wiki/Indonesia Indonesia]. Saya pribadi juga suka menulis dan menjelajahi [[Wikibuku]]!

==Proyek==
Saya sedang mengembangkan proyek seperti 
* [[Bahasa Spanyol 101: Untuk Pemula|Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula]]</text>
      <sha1>sypd0f3t5mrrxi6zzql1k5g79cgbxpm</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula</title>
    <ns>0</ns>
    <id>25847</id>
    <revision>
      <id>107813</id>
      <parentid>107802</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T12:00:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Nunoguevara memindahkan halaman [[Bahasa Spanyol 101: Untuk Pemula]] ke [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula]]</comment>
      <origin>107802</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1038" sha1="mhwqnlejlsmz1paa1yz5gqt952jqzug" xml:space="preserve">&lt;div style=&quot;background-color:white;color:black;border-radius:4px;padding:10px;&quot;&gt;
===Kata Pengantar===

Bahasa Spanyol, adalah bahasa yang digunakan oleh lebih dari 500 juta orang merupakan penutur bahasa ini (termasuk penutur ''non-native''). Karena jumlah penuturnya yang besar, maka bahasa Spanyol dapat menjadi bahasa yang relevan untuk dipelajari selain bahasa Inggris, terutama untuk menghadapi era globalisasi saat ini.

===Daftar Isi===
* Bab 1: Pembukaan (Pemula tingkat dasar)
# [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Alfabet dalam bahasa Spanyol|Alfabet dalam bahasa Spanyol]]
# Ucapan salam
## [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Kosakata dasar dalam ucapan salam|Kosakata dasar]]
## [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Contoh percakapan dalam ucapan salam|Contoh percakapan]]
# Berkenalan
## [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Kosakata dasar dalam berkenalan/Kosakata dasar|Kosakata dasar]]
## [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Contoh percakapan dalam ucapan salam|Contoh percakapan]]
&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>mhwqnlejlsmz1paa1yz5gqt952jqzug</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107832</id>
      <parentid>107813</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T12:57:14Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <comment>/* Daftar Isi */</comment>
      <origin>107832</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1036" sha1="06hulywdqwtbo69537gty7i1iibrhke" xml:space="preserve">&lt;div style=&quot;background-color:white;color:black;border-radius:4px;padding:10px;&quot;&gt;
===Kata Pengantar===

Bahasa Spanyol, adalah bahasa yang digunakan oleh lebih dari 500 juta orang merupakan penutur bahasa ini (termasuk penutur ''non-native''). Karena jumlah penuturnya yang besar, maka bahasa Spanyol dapat menjadi bahasa yang relevan untuk dipelajari selain bahasa Inggris, terutama untuk menghadapi era globalisasi saat ini.

===Daftar Isi===
* Bab 1: Pembukaan (Pemula tingkat dasar)
# [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Alfabet dalam bahasa Spanyol|Alfabet dalam bahasa Spanyol]]
# Ucapan salam
## [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Kosakata dasar dalam ucapan salam|Kosakata dasar]]
## [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Contoh percakapan dalam ucapan salam|Contoh percakapan]]
# Berkenalan
## [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Kosakata dasar dalam berkenalan/Kosakata dasar|Kosakata dasar]]
## [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Contoh percakapan dalam berkenalan|Contoh percakapan]]
&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>06hulywdqwtbo69537gty7i1iibrhke</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107833</id>
      <parentid>107832</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T13:12:08Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <origin>107833</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1169" sha1="6mqnh9gc2t4i8az1tx6ruwxqw265g84" xml:space="preserve">&lt;div style=&quot;background-color:white;color:black;border-radius:4px;padding:10px;&quot;&gt;
===Kata Pengantar===

Bahasa Spanyol, adalah bahasa yang digunakan oleh lebih dari 500 juta orang merupakan penutur bahasa ini (termasuk penutur ''non-native''). Karena jumlah penuturnya yang besar, maka bahasa Spanyol dapat menjadi bahasa yang relevan untuk dipelajari selain bahasa Inggris, terutama untuk menghadapi era globalisasi saat ini.

===Daftar Isi===
* Bab 1: Pembukaan (Pemula tingkat dasar)
# [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Alfabet dalam bahasa Spanyol|Alfabet dalam bahasa Spanyol]]
# [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Penggunaan kata-kata formal dan non-formal|Penggunaan kata-kata formal dan non-formal]]
# Ucapan salam
## [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Kosakata dasar dalam ucapan salam|Kosakata dasar]]
## [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Contoh percakapan dalam ucapan salam|Contoh percakapan]]
# Berkenalan
## [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Kosakata dasar dalam berkenalan/Kosakata dasar|Kosakata dasar]]
## [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Contoh percakapan dalam berkenalan|Contoh percakapan]]
&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>6mqnh9gc2t4i8az1tx6ruwxqw265g84</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107872</id>
      <parentid>107833</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T07:07:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <comment>/* Daftar Isi */</comment>
      <origin>107872</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1269" sha1="ehzah0lluykq91jmfns5bf3r48u6p8b" xml:space="preserve">&lt;div style=&quot;background-color:white;color:black;border-radius:4px;padding:10px;&quot;&gt;
===Kata Pengantar===

Bahasa Spanyol, adalah bahasa yang digunakan oleh lebih dari 500 juta orang merupakan penutur bahasa ini (termasuk penutur ''non-native''). Karena jumlah penuturnya yang besar, maka bahasa Spanyol dapat menjadi bahasa yang relevan untuk dipelajari selain bahasa Inggris, terutama untuk menghadapi era globalisasi saat ini.

===Daftar Isi===
* Bab 1: Pembukaan (Pemula tingkat dasar)
# [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Alfabet dalam bahasa Spanyol|Alfabet dalam bahasa Spanyol]]
# Ucapan salam
## [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Kosakata dasar dalam ucapan salam|Kosakata dasar]]
## [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Contoh percakapan dalam ucapan salam|Contoh percakapan]]
# Berkenalan
## [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Kosakata dasar dalam berkenalan/Kosakata dasar|Kosakata dasar]]
## [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Contoh percakapan dalam berkenalan|Contoh percakapan]]
# Ekspresi sederhana
## [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Kosakata dasar dalam ekspresi sederhana|Kosakata dasar]]
## [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Contoh percakapan dalam ekspresi sederhana|Contoh percakapan]]
&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>ehzah0lluykq91jmfns5bf3r48u6p8b</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Alfabet dalam bahasa Spanyol</title>
    <ns>0</ns>
    <id>25848</id>
    <revision>
      <id>107810</id>
      <timestamp>2025-06-26T11:59:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <comment>←Membuat halaman berisi 'Bahasa Spanyol menggunakan alfabet latin layaknya bahasa Indonesia, namun bahasa Spanyol memiliki versi modifikasi dari alfabet latin itu sendiri. Beberapa alfabet (termasuk tanda aksen) yang wajib diketahui adalah:  &lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt; {| class=&quot;wikitable&quot; ! Huruf !! Nama !! Penjelasan |- | Á || a dengan aksen || Diucapkan seperti huruf 'a' biasa, namun berada di suku kata yang ditekan (stres) dalam pengucapan. |- | É || e dengan aksen || Sama sep...'</comment>
      <origin>107810</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="815" sha1="j25qst9e7ixmk35z9xt3gozv1m8e7gd" xml:space="preserve">Bahasa Spanyol menggunakan alfabet latin layaknya bahasa Indonesia, namun bahasa Spanyol memiliki versi modifikasi dari alfabet latin itu sendiri. Beberapa alfabet (termasuk tanda aksen) yang wajib diketahui adalah:

&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
! Huruf !! Nama !! Penjelasan
|-
| Á || a dengan aksen || Diucapkan seperti huruf 'a' biasa, namun berada di suku kata yang ditekan (stres) dalam pengucapan.
|-
| É || e dengan aksen || Sama seperti 'e', tetapi berada di suku kata yang ditekan.
|-
| Í || i dengan aksen || Sama seperti 'i', tetapi ditekan.
|-
| Ó || o dengan aksen || Sama seperti 'o', tetapi ditekan.
|-
| Ú || u dengan aksen || Sama seperti 'u', tetapi ditekan.
|-
| Ñ || eñe || Huruf khusus dalam bahasa Spanyol. Diucapkan seperti 'ny' dalam kata 'nyamuk'.
|}

&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>j25qst9e7ixmk35z9xt3gozv1m8e7gd</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Bahasa Spanyol 101: Untuk Pemula</title>
    <ns>0</ns>
    <id>25849</id>
    <redirect title="Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula" />
    <revision>
      <id>107814</id>
      <timestamp>2025-06-26T12:00:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <comment>Nunoguevara memindahkan halaman [[Bahasa Spanyol 101: Untuk Pemula]] ke [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula]]</comment>
      <origin>107814</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="50" sha1="n8qvl9jumiyy7bficp2qizag6ra5c5s" xml:space="preserve">#ALIH [[Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula]]</text>
      <sha1>n8qvl9jumiyy7bficp2qizag6ra5c5s</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Kosakata dasar dalam ucapan salam</title>
    <ns>0</ns>
    <id>25850</id>
    <revision>
      <id>107821</id>
      <timestamp>2025-06-26T12:20:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <comment>Pembuatan halaman baru</comment>
      <origin>107821</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="546" sha1="bbrfr9fwznf2pb9hadv9r34cgje91ip" xml:space="preserve">Seperti bahasa lainnya, '''bahasa Spanyol''' memiliki kosakata untuk ucapan salam, dari yang formal hingga non-formal atau kasual, seperti berikut ini:

===Formal===
* ¡Buenos días! = Selamat pagi!
* ¡Buenos tardes! = Selamat siang! (dapat berarti selamat sore juga)
* ¡Buenos noches! = Selamat malam!
* ¡Mucho gusto! = Senang bertemu dengan anda!
* ¿Cómo está usted? = Bagaimana kabar Anda?

===Netral/Kasual===
* ¡Hola! = Halo!
* ¡Buenas! = Selamat pagi/siang/sore/malam! 
* ¿Qué hay? = Apa kabar?
* ¿Qué tal? = Bagaimana kabarmu?</text>
      <sha1>bbrfr9fwznf2pb9hadv9r34cgje91ip</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107824</id>
      <parentid>107821</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T12:29:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <origin>107824</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="728" sha1="nwlqh4xfwcusnkgsvn393wnxjvnkmdy" xml:space="preserve">Seperti bahasa lainnya, '''bahasa Spanyol''' memiliki kosakata untuk ucapan salam, dari yang formal hingga non-formal atau kasual, seperti berikut ini:

==Contoh kosakata==
===Formal===
* ¡Buenos días! = Selamat pagi!
* ¡Buenas tardes! = Selamat siang! (dapat berarti selamat sore juga)
* ¡Buenas noches! = Selamat malam!
* ¡Mucho gusto! = Senang bertemu dengan anda!
* ¿Cómo está usted? = Bagaimana kabar Anda?

===Netral/Kasual===
* ¡Hola! = Halo!
* ¡Buenas! = Selamat pagi/siang/sore/malam! 
* ¿Qué hay? = Apa kabar?
* ¿Qué tal? = Bagaimana kabarmu?

==Contoh penggunaan==
===Formal===
* ¡Buenos días! ¿Cómo está usted? = Selamat pagi! Bagaimana kabar anda?
* ¡Buenas tardes, señor! = Selamat siang, pak!</text>
      <sha1>nwlqh4xfwcusnkgsvn393wnxjvnkmdy</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107826</id>
      <parentid>107824</parentid>
      <timestamp>2025-06-26T12:31:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <comment>/* Contoh penggunaan */</comment>
      <origin>107826</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="866" sha1="3t8j5hykz3x71uv5naozc6d89ewsfuc" xml:space="preserve">Seperti bahasa lainnya, '''bahasa Spanyol''' memiliki kosakata untuk ucapan salam, dari yang formal hingga non-formal atau kasual, seperti berikut ini:

==Contoh kosakata==
===Formal===
* ¡Buenos días! = Selamat pagi!
* ¡Buenas tardes! = Selamat siang! (dapat berarti selamat sore juga)
* ¡Buenas noches! = Selamat malam!
* ¡Mucho gusto! = Senang bertemu dengan anda!
* ¿Cómo está usted? = Bagaimana kabar Anda?

===Netral/Kasual===
* ¡Hola! = Halo!
* ¡Buenas! = Selamat pagi/siang/sore/malam! 
* ¿Qué hay? = Apa kabar?
* ¿Qué tal? = Bagaimana kabarmu?

==Contoh penggunaan==
===Formal===
* ¡Buenos días! ¿Cómo está usted? = Selamat pagi! Bagaimana kabar anda?
* ¡Buenas tardes, señor! = Selamat siang, pak!

===Netral/Kasual===
* ¡Buenas! ¿Qué tal? = Selamat pagi! Bagaimana kabarmu?
* ¡Hola mi amigo! ¿Qué hay? = Halo temanku! Apa kabar?</text>
      <sha1>3t8j5hykz3x71uv5naozc6d89ewsfuc</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Bahasa Spanyol 101: Panduan untuk Pemula/Contoh percakapan dalam ucapan salam</title>
    <ns>0</ns>
    <id>25851</id>
    <revision>
      <id>107831</id>
      <timestamp>2025-06-26T12:54:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <comment>Pembuatan halaman baru</comment>
      <origin>107831</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="823" sha1="acuqkt4qdyyo9jcuwzibfta8fkh4mcv" xml:space="preserve">Contoh percakapan dengan ucapan salam dalam bahasa Spanyol adalah sebagai berikut:

==Formal==
* '''Percakapan 1:'''
 Pedro: &quot;¡Buenos días, señor Gabriel!&quot;  
 Gabriel: &quot;¡Buenos días!&quot;  
 Pedro: &quot;¿Cómo está usted?&quot;  
 Gabriel: &quot;Bien, gracias. ¿Y cómo  está usted?&quot;  
 Pedro: &quot;También estoy bien, gracias.&quot;

* '''Analisis percakapan 1:'''
Pada percakapan di atas, Pedro memanggil Gabriel 'señor' sebagai bentuk sapaan yang tergolong lebih formal dan sopan, mirip seperti &quot;Pak&quot; atau &quot;Bapak&quot; dalam bahasa Indonesia.  

Selain itu, Pedro dan Gabriel juga mengatakan 'usted' alih-alih 'tú' untuk mengatakan 'kamu' terhadap satu sama lain. Karena kata 'usted' merupakan bentuk formal dari 'kamu'. Kosakata-kosakata di atas biasanya diucapkan ketika berbicara dengan seseorang yang dihormati atau belum terlalu akrab.</text>
      <sha1>acuqkt4qdyyo9jcuwzibfta8fkh4mcv</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107873</id>
      <parentid>107831</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T07:13:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <comment>Pembuatan bagian baru</comment>
      <origin>107873</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1353" sha1="rmcgz9x0eqapd9v7ac66nh2qohrqxcr" xml:space="preserve">Contoh percakapan dengan ucapan salam dalam bahasa Spanyol adalah sebagai berikut:

==Formal==
* '''Percakapan 1:'''
 Pedro: &quot;¡Buenos días, señor Gabriel!&quot;  
 Gabriel: &quot;¡Buenos días!&quot;  
 Pedro: &quot;¿Cómo está usted?&quot;  
 Gabriel: &quot;Bien, gracias. ¿Y cómo  está usted?&quot;  
 Pedro: &quot;También estoy bien, gracias.&quot;

* '''Analisis percakapan 1:'''
Pada percakapan di atas, Pedro memanggil Gabriel 'señor' sebagai bentuk sapaan yang tergolong lebih formal dan sopan, mirip seperti &quot;Pak&quot; atau &quot;Bapak&quot; dalam bahasa Indonesia.  

Selain itu, Pedro dan Gabriel juga mengatakan 'usted' alih-alih 'tú' untuk mengatakan 'kamu' terhadap satu sama lain. Karena kata 'usted' merupakan bentuk formal dari 'kamu'. Kosakata-kosakata di atas biasanya diucapkan ketika berbicara dengan seseorang yang dihormati atau belum terlalu akrab.

==Informal==
* '''Percakapan 1:'''
 Perez: &quot;¡Hola!&quot;
 Betty: &quot;¡Hola!&quot;
 Perez: &quot;¿Qué tal?&quot;
 Betty: &quot;Estoy bien, ¡muchas gracias! ¿Y tú?&quot;
 Perez: &quot;¡De nada! Tambien estoy bien.&quot;
 Betty: &quot;¡Perfecto!&quot;

* '''Analisis percakapan 1:'''
Pada percakapan di atas, Perez dan Betty mengatakan 'kamu' terhadap satu sama lain sebagai 'tú' alih-alih 'usted', karena situasi tersebut lebih informal dan kasual. Frasa &quot;¿Qué tal?&quot; Juga digunakan di sini, karena frasa ini umumnya digunakan untuk menanyakan kabar pada situasi informal.</text>
      <sha1>rmcgz9x0eqapd9v7ac66nh2qohrqxcr</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107874</id>
      <parentid>107873</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T07:14:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nunoguevara</username>
        <id>41527</id>
      </contributor>
      <comment>/* Informal */</comment>
      <origin>107874</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1353" sha1="kqlyte12ztkeofwnum7k36c7rdrg51y" xml:space="preserve">Contoh percakapan dengan ucapan salam dalam bahasa Spanyol adalah sebagai berikut:

==Formal==
* '''Percakapan 1:'''
 Pedro: &quot;¡Buenos días, señor Gabriel!&quot;  
 Gabriel: &quot;¡Buenos días!&quot;  
 Pedro: &quot;¿Cómo está usted?&quot;  
 Gabriel: &quot;Bien, gracias. ¿Y cómo  está usted?&quot;  
 Pedro: &quot;También estoy bien, gracias.&quot;

* '''Analisis percakapan 1:'''
Pada percakapan di atas, Pedro memanggil Gabriel 'señor' sebagai bentuk sapaan yang tergolong lebih formal dan sopan, mirip seperti &quot;Pak&quot; atau &quot;Bapak&quot; dalam bahasa Indonesia.  

Selain itu, Pedro dan Gabriel juga mengatakan 'usted' alih-alih 'tú' untuk mengatakan 'kamu' terhadap satu sama lain. Karena kata 'usted' merupakan bentuk formal dari 'kamu'. Kosakata-kosakata di atas biasanya diucapkan ketika berbicara dengan seseorang yang dihormati atau belum terlalu akrab.

==Informal==
* '''Percakapan 1:'''
 Perez: &quot;¡Hola!&quot;
 Betty: &quot;¡Hola!&quot;
 Perez: &quot;¿Qué tal?&quot;
 Betty: &quot;Estoy bien, ¡Muchas gracias! ¿Y tú?&quot;
 Perez: &quot;¡De nada! Tambien estoy bien.&quot;
 Betty: &quot;¡Perfecto!&quot;

* '''Analisis percakapan 1:'''
Pada percakapan di atas, Perez dan Betty mengatakan 'kamu' terhadap satu sama lain sebagai 'tú' alih-alih 'usted', karena situasi tersebut lebih informal dan kasual. Frasa &quot;¿Qué tal?&quot; Juga digunakan di sini, karena frasa ini umumnya digunakan untuk menanyakan kabar pada situasi informal.</text>
      <sha1>kqlyte12ztkeofwnum7k36c7rdrg51y</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Fungsi transformasi</title>
    <ns>0</ns>
    <id>25852</id>
    <revision>
      <id>107882</id>
      <timestamp>2025-06-27T08:08:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>←Membuat halaman berisi 'Fungsi asal f(x)  == Translasi == ; Translasi vertikal (0,a) maka fungsi bayangan y= f(x)+a  ; Translasi horsiontal (a,0) maka fungsi bayangan y= f(x+a)  == Refleksi == ; Refleksi vertikal (y=-1) maka fungsi bayangan y= -f(x)  ; Refleksi horsiontal (x=-1) maka fungsi bayangan y= f(-x)  == Dilatasi == ; Dilatasi vertikal (y=k) maka fungsi bayangan y= kf(x)  ; Dilatasi horsiontal (x=k) maka fungsi bayangan y= f(kx)  == Rotasi == untuk rotasi dapat dilihat dari matr...'</comment>
      <origin>107882</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="483" sha1="t1d8jka5wsbzowcuz7y9nmro78uelnu" xml:space="preserve">Fungsi asal f(x)

== Translasi ==
; Translasi vertikal (0,a)
maka fungsi bayangan y= f(x)+a

; Translasi horsiontal (a,0)
maka fungsi bayangan y= f(x+a)

== Refleksi ==
; Refleksi vertikal (y=-1)
maka fungsi bayangan y= -f(x)

; Refleksi horsiontal (x=-1)
maka fungsi bayangan y= f(-x)

== Dilatasi ==
; Dilatasi vertikal (y=k)
maka fungsi bayangan y= kf(x)

; Dilatasi horsiontal (x=k)
maka fungsi bayangan y= f(kx)

== Rotasi ==
untuk rotasi dapat dilihat dari matriks transformasi</text>
      <sha1>t1d8jka5wsbzowcuz7y9nmro78uelnu</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107883</id>
      <parentid>107882</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T08:10:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Rotasi */</comment>
      <origin>107883</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="519" sha1="tk3k9rw6moehoa6pi8n1qjioix5p583" xml:space="preserve">Fungsi asal f(x)

== Translasi ==
; Translasi vertikal (0,a)
maka fungsi bayangan y= f(x)+a

; Translasi horsiontal (a,0)
maka fungsi bayangan y= f(x+a)

== Refleksi ==
; Refleksi vertikal (y=-1)
maka fungsi bayangan y= -f(x)

; Refleksi horsiontal (x=-1)
maka fungsi bayangan y= f(-x)

== Dilatasi ==
; Dilatasi vertikal (y=k)
maka fungsi bayangan y= kf(x)

; Dilatasi horsiontal (x=k)
maka fungsi bayangan y= f(kx)

== Rotasi ==
untuk rotasi dapat dilihat dari matriks transformasi

[[Kategori: Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>tk3k9rw6moehoa6pi8n1qjioix5p583</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>107884</id>
      <parentid>107883</parentid>
      <timestamp>2025-06-27T08:11:06Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>107884</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="519" sha1="t7ogbukk4v0tyalmmwi47275y2927kq" xml:space="preserve">Fungsi asal f(x)

== Translasi ==
; Translasi vertikal (0,a)
maka fungsi bayangan y= f(x)+a

; Translasi horisontal (a,0)
maka fungsi bayangan y= f(x+a)

== Refleksi ==
; Refleksi vertikal (y=-1)
maka fungsi bayangan y= -f(x)

; Refleksi horisontal (x=-1)
maka fungsi bayangan y= f(-x)

== Dilatasi ==
; Dilatasi vertikal (y=k)
maka fungsi bayangan y= kf(x)

; Dilatasi horisontal (x=k)
maka fungsi bayangan y= f(kx)

== Rotasi ==
untuk rotasi dapat dilihat dari matriks transformasi

[[Kategori: Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>t7ogbukk4v0tyalmmwi47275y2927kq</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>