Wikibuku idwikibooks https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama MediaWiki 1.45.0-wmf.7 first-letter Media Istimewa Pembicaraan Pengguna Pembicaraan Pengguna Wikibuku Pembicaraan Wikibuku Berkas Pembicaraan Berkas MediaWiki Pembicaraan MediaWiki Templat Pembicaraan Templat Bantuan Pembicaraan Bantuan Kategori Pembicaraan Kategori Resep Pembicaraan Resep Wisata Pembicaraan Wisata TimedText TimedText talk Modul Pembicaraan Modul 0 17455 107992 105106 2025-07-01T03:00:17Z 2001:448A:2020:5050:6C27:6C6D:5F7E:133 Membalikkan revisi [[Special:Diff/105106|105106]] oleh [[Special:Contributions/OrangKalideres|OrangKalideres]] ([[User talk:OrangKalideres|bicara]]) 107992 wikitext text/x-wiki [https://pesankubahmasjid.id/ Kubah] merupakan salah satu ciri khas bangunan masjid. Meskipun tidak ada keharusan menggunakan kubah untuk bangunan masjid, namun seakan sudah menjadi satu kelaziman di kalangan umum bahwa membangun masjid harus dilengkapi dengan kubah. Di sisi lain, orang yang berada dalam perjalanan dan hendak ke masjid, biasanya menggunakan kubah sebagai acuan pencarian. Bangunan masjid berkubah memberikan dan memancarkan kesan megah dan indah. Selain itu kubah juga berfungsi sebagai penanda arah kiblat dari bagian luar dan reflektor cahanya untuk menerangi bagian dalam masjid. Kubah panel adalah salah satu kubah alternatif yang saat ini lagi trend, disamping karena bentuk kotak atau belah ketupat yang menyusun bangunan kubahnya, kubah panel memiliki paduan motif warna yang sangat atraktif yang menambah nilai estetik dari kubah itu sendiri. Kubah Panel terdiri dari 2 jenis, [https://pesankubahmasjid.id/kubah-masjid-galvalum/ Kubah Masjid Galvalum] dan [https://pesankubahmasjid.id/kubah-masjid-enamel/ Kubah Masjid Enamel], sedangkan untuk bahan yang digunakan untuk pembuatan kubah panel terdapat dua macam bahan dasar yaitu plat Zincalume atau juga disebut galvalum dan plat baja low carbon yang dilapisi dengan enamel yang kemudian orang sering menyebutnya sebagai [https://kubahmigunani.com/harga-kubah-masjid-enamel/ Kubah Enamel]. Zincalume/Galvalume merupakan logam campuran antara seng dan alumunium yang ringan dan tahan karat. Sedangkan enamel adalah bahan yang terbuat dari paduan kaca (Silica) yang dileburkan (to smelt) diatas lempengan besi-baja bermutu tinggi pada sebuah oven dengan temperatur tinggi, kemudian mengurai hingga menyatu dan menjadi keras. Kelebihan Kubah dengan lapisan enamel adalah ketajaman dan kecerahan warna yang tahan lama bahkan sampai 20 tahun. Kelebihan - kelebihan kubah panel dibandingkan kubah lain adalah 1. Lebih ringan sehingga pemasangannya tidak membutuhkan pondasi ekstra kuat. 2. Resiko kerusakan yang ditimbulkan ketika terjadi bencana gempa juga relatif lebih kecil 3. Potensi rembes atau bocor jauh lebih kecil dibanding kubah lain 4. Kubah Panel lebih indah dengan warna yang tajam dan variatif juga tahan lama 5. Purna Jual yang lumayan 239eo5q6salmnsq0o66n7ary8vb0it2 0 20711 107985 81814 2025-06-30T12:07:21Z Mistsplitter Reforged 41544 107985 wikitext text/x-wiki {{DISPLAYTITLE:<span style="color:blue"><center>{{SUBPAGENAME}}</center></span>}} {{wikipedia|Norwegia}} [[Image:Location Norway.svg|thumb|200px|right|Peta menampilkan lokasi Norwegia (hijau) di Eropa]] '''Norwegia''' adalah negara di Eropa Barat Laut. Berbatasan dengan [[../Swedia|Swedia]], [[../Finlandia|Finlandia]], dan [[../Rusia|Rusia]]. Ibu kotanya yakni '''[[w:Oslo|Oslo]]'''. Kota besar lain yaitu [[Bergen]], [[Stavanger]], [[Trondheim]], dan [[Kristiansand]]. Mata uangnya disebut krone Norwegia. Norwegia bukan anggota [[../Uni Eropa|Uni Eropa]]. Orang Norwegia memilih "tidak" saat akan bergabung ke Uni Eropa. [[en:Wikijunior:Europe/Norway]] 6o0114nidfywkpdvh4n3zko42wjsxms 107988 107985 2025-06-30T12:08:46Z Mistsplitter Reforged 41544 107988 wikitext text/x-wiki {{DISPLAYTITLE:<span style="color:blue"><center>{{SUBPAGENAME}}</center></span>}} {{wikipedia|Norwegia}} [[Image:Location Norway.svg|thumb|200px|right|Peta menampilkan lokasi Norwegia (hijau) di Eropa]] '''Norwegia''' adalah negara di Eropa Barat Laut. Berbatasan dengan [[../Swedia|Swedia]], [[../Finlandia|Finlandia]], dan [[../Rusia|Rusia]]. Ibu kotanya yakni '''[[w:Oslo|Oslo]]'''. Kota besar lain yaitu [[w:Bergen|Bergen]], [[w:Stavanger|Stavanger]], [[w::Trondheim|Trondheim]], dan [[w:Kristiansand|Kristiansand]]. Mata uangnya disebut krone Norwegia. Norwegia bukan anggota [[../Uni Eropa|Uni Eropa]]. Orang Norwegia memilih "tidak" saat akan bergabung ke Uni Eropa. [[en:Wikijunior:Europe/Norway]] 1i7k3fks7ahk3m3xwblke50jh6c8arl 0 23131 107993 107954 2025-07-01T10:39:52Z Akuindo 8654 /* Permutasi */ 107993 wikitext text/x-wiki == Pemodelan faktorial == beberapa contoh sebagai berikut: # faktorial * <math>\frac{1}{2}! = \frac{\sqrt{\pi}}{2}</math> * 0! = 1 * 1! = 1 * 2! = 2 x (2-1) = 2 x 1 = 1 * 3! = 3 x (3-1) x (3-2) = 3 x 2 x 1 = 6 * 4! = 4 x (4-1) x (4-2) x (4-3) = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 * n! = <math>\prod_{i=1}^{n} i = n H(n-1) = 1 \cdot 2 \cdot \cdots n.</math> # faktorial ganda * 2!! = 2 * 3!! = 3 x (3-2) = 3 x 1 = 3 * 4!! = 4 x (4-2) = 4 x 2 = 8 * 5!! = 5 x (5-2) x (5-4) = 5 x 3 x 1 = 15 * 6!! = 6 x (6-2) x (6-4) = 6 x 4 x 2 = 48 * n!! = n x (n-2) x (n-4) x (n-6) dst… # faktorial tiga * 3!!! = 3 = 3 * 4!!! = 4 x (4-3) = 4 x 1 = 4 * 5!!! = 5 x (5-3) = 5 x 2 = 10 * 6!!! = 6 x (6-3) = 6 x 3 = 18 * 7!!! = 7 x (7-3) x (7-6) = 7 x 4 x 1 = 28 * 8!!! = 8 x (8-3) x (8-6) = 8 x 5 x 2 = 80 * n!!! = n x (n-3) x (n-6) x (n-9) dst… # bagian faktorial * !0 = 0! <math>(1 - \frac{1}{0!})</math> = 0 * !1 = 1! <math>(1 - \frac{1}{1!})</math> = 0 * !2 = 2! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!})</math> = 1 * !3 = 3! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!})</math> = 2 * !4 = 4! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!})</math> = 9 * !n = n! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \cdot \pm \frac{1}{n!})</math> # ? faktorial * 1$ = 1! = 1 * 2$ = 2!^2! = 4 * 3$ = 3!^{3!^{3!^{3!^{3!^3!}}}} = * n$ = <math>n!^{n!} = </math> (banyaknya hasil faktorial dari n!) # lebih faktorial * S(1) = 1! = 1 * S(2) = 2! x 1! = 2 * S(3) = 3! x 2! x 1! = 12 * S(4) = 4! x 3! x 2! x 1! = 288 * S(n) = <math>\prod_{i=1}^{n} i! = i! H(n-1) = 1! \cdot 2! \cdot \cdots n! = 1! \cdot 2! \cdot \cdots n!.</math> # paling faktorial * H(1) = 1¹ = 1 * H(2) = 2² x 1¹ = 4 * H(3) = 3³ x 2² x 1¹ = 108 * H(n) = <math>\prod_{i=1}^{n} i^i = n^n H(n-1) = 1^1 \cdot 2^2 \cdot \cdots n^n.</math> # primorial * 2# = 2 * 3# = 2 x 3 = 5 * 5# = 2 x 3 x 5 = 30 * 7# = 2 x 3 x 5 x 7 = 210 * n# = 2 x 3 x 5 x …. x n (n adalah bilangan prima secara berurutan) == Koefisien binomial == (x+y)ⁿ = <math>\sum_{k=0}^{n} C_{k}^{n} x^{n-k} y^k</math> <math>(_{k=0}^{n})</math> digunakan sebagai pemodelan kombinasi. suku ke-a adalah u_a=u_k+1. penjabaran tersebut memiliki n+1 suku. suku ke-a adalah <math>C_{a-1}^{n} x^{n-a+1} y^{a-1}</math>. koefisien ke-a adalah <math>(_{a-1}^{n})</math>. contoh soal # sederhanakan dari B = <math>(x-2)^5+5(x-2)^4+10(x-2)^3+10(x-2)^2+5(x-2)+1</math>! : jawaban :: Dari di atas bahwa koefisien binomial adalah (a+b)⁵ = <math>a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5</math> :: Jadi B = <math>(x-2)^5+5(x-2)^4+10(x-2)^3+10(x-2)^2+5(x-2)+1</math> :: B = ((x-2)+1)⁵ = (x-1)⁵ # Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka berapa hasil suku keenam setelah ekspansi <math>(x^3-4)^8</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_6 &= C_{5}^{8} (x^3)^{8-5} (-4)^5 \\ &= \frac{8!}{5! \cdot 3!} x^9 (-1.024) \\ &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} x^9 (-1.024) \\ &= (56) x^9 (-1.024) \\ &= -57.344x^9 \end{align} </math> </div></div> # Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka berapa hasil suku ketujuh setelah ekspansi <math>(\frac{x^4}{2}-\frac{4}{y})^{10}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_7 &= C_{6}^{10} (\frac{x^4}{2})^{10-6} (\frac{4}{y})^6 \\ &= \frac{10!}{6! \cdot 4!} (\frac{x^4}{2})^4 \frac{4^6}{y^6} \\ &= \frac{10!}{6! \cdot 4!} \frac{x^{16}}{2^4} \frac{4^6}{y^6} \\ &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \frac{x^{16}}{2^4} \frac{2^{12}}{y^6} \\ &= 210 \frac{2^8 x^{16}}{y^6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil koefisien <math>\frac{x^4}{y^{12}}</math> dari hasil penjabaran <math>(x^2+\frac{4}{y^3})^{6}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{k}^{6} (x^2)^{6-k} (\frac{4}{y^3})^k \\ &= C_{k}^{6} x^{12-2k} \frac{4^k}{y^{3k}} \\ \frac{x^4}{y^{12}} &= x^{12-2k} \frac{4^k}{y^{3k}} \\ 4 &= 12-2k \\ 2k &= 8 \\ k &= 4 \\ &= C_{4}^{6} x^{12-2(4)} \frac{4^4}{y^{3(4)}} \\ &= \frac{6!}{4! \cdot 2!} x^{4} \frac{4^4}{y^{12}} \\ &= \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2 \cdot 1} x^{4} \frac{4^4}{y^{12}} \\ &= \frac{3.840x^4}{y^{12}} \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil koefisien <math>\frac{x^4}{y^{12}}</math> adalah 3.840 # Berapa hasil koefisien <math>\frac{1}{x^{29}}</math> dari hasil penjabaran <math>(x^2+\frac{3}{x^5})^{10}</math>! : jawaban :: Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk x¹⁰ adalah <math>(x^2)^p(x^{-5})^q</math> adalah p+q = 10. Persamaan eksponen <math>(x^2)^p(x^{-5})^q=x^{-29}</math> mengimplikasikan bahwa 2p-5q=-29. Selesaikan dan kita akan memperoleh p=3 dan q=7. Karena q=7, suku yang dimaksud merupakan suku ke-(7+1)=8. Dalam hal ini, kita memilih q (dan bukan p) karena q merupakan eksponen b dari bentuk (a+b)ⁿ yang langsung menunjukkan suku mana penjabaran itu didapat. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{7}^{10} (x^2)^{10-7} (\frac{3}{x^5})^7 \\ &= C_{7}^{10} x^{6} \frac{3^7}{x^{35}} \\ &= \frac{10!}{7! \cdot 3!} \frac{3^7}{x^{29}} \\ &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \frac{3^7}{x^{29}} \\ &= \frac{262.440}{x^{29}} \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil koefisien <math>\frac{1}{x^{29}}</math> adalah 262.440 # Berapa hasil konstanta dari hasil penjabaran <math>(3x^3+\frac{1}{x^5})^{8}</math>! Nilai konstanta berarti variabel berpangkat nol jadi yaitu x⁰. Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk x⁸ adalah <math>(3x^3)^p(x^{-5})^q</math> adalah p+q = 8. Persamaan eksponen <math>(3x^3)^p(x^{-5})^q=x^0</math> mengimplikasikan bahwa 3p-5q=0. Selesaikan dan kita akan memperoleh p=5 dan q=3. Karena q=3, suku yang dimaksud merupakan suku ke-(3+1)=4. Dalam hal ini, kita memilih q (dan bukan p) karena q merupakan eksponen b dari bentuk (a+b)ⁿ yang langsung menunjukkan suku mana penjabaran itu didapat. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{3}^{8} (3x^3)^{8-3} (\frac{1}{x^5})^3 \\ &= C_{3}^{8} 3^5 x^{15} \frac{1}{x^{15}} \\ &= \frac{8!}{3! \cdot 5!} 405 \\ &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} 405 \\ &= 22.680 \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil konstanta adalah 22.680 == Permutasi == ; berulangan rumus: <math>P^n_r = n^r</math> contoh soal # Berapa banyak cara terambilnya 3 huruf yang terdiri dari A, B, C dan D?? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} P^4_3 = 4^3 = 64 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dengan angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Angka-angka terdiri atas 0, 9, 8, 7, 6, 5. Ada berapa banyak cara jika * enam angka yang berbeda tersusun? * enam angka yang berbeda tersusun jika angka pertama tidak boleh nol? * tiga angka yang berbeda tersusun? * tiga angka yang berbeda tersusun jika angka pertama tidak boleh nol? * tiga angka yang sama yang lebih dari 780? * tiga angka yang berbeda yang lebih dari 780? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 &= 720 \text{ cara} \\ * 5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 &= 600 \text{ cara} \\ * 6 \cdot 5 \cdot 4 &= 120 \text{ cara} \\ * 5 \cdot 5 \cdot 4 &= 100 \text{ cara} \\ * 1 \cdot 1 \cdot 5 + 1 \cdot 1 \cdot 6 + 2 \cdot 6 \cdot 6 &= 5 + 6 + 72 = 83 \text{ cara} \\ * 1 \cdot 1 \cdot 4 + 1 \cdot 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 \cdot 4 &= 4 + 4 + 40 = 48 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> ; tanpa berulangan rumus: <math>P^n_r = \frac{n!}{(n-r)!}</math> contoh soal # Di dalam kelas mengadakan pemilihan ketua, wakil ketua dan sekretaris dimana kelas terdiri dari 5 murid laki-laki dan 5 murid perempuan. Ada berapa banyak carakah jika * jabatan tersebut dipilih? * jabatan tersebut dipilih jika murid perempuan tersebut menjadi ketua? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \text {cara 1 } \\ P^{10}_3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 720 \text{ cara} \\ \text {cara 2 } \\ \text{jika ketua 10 maka wakil ketua 9 dan sekretaris 8 jadi } 10 \times 9 \times 8 = 720 \text{ cara} \\ * \text {cara 1 } \\ P^{5}_1 \times P^{9}_2 = \frac{5!}{(5-1)!} \times \frac{9!}{(9-2)!} = \frac{5!}{4!} \times \frac{9!}{7!} = \frac{5 \cdot 4!}{4!} \times \frac{9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 5 \times 72 = 360 \text{ cara} \\ \text {cara 2 } \\ \text{jika ketua 5 maka wakil ketua 9 dan sekretaris 8 jadi } 5 \times 9 \times 8 = 360 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 7 jalan kaki dari kota A ke kota B dan 5 jalan kaki dari kota B dan C. Ada berapa banyak carakah seseorang dapat melakukan perjalanan menggunakan jalan kaki jika: * dari kota A ke kota C melalui kota B * pergi-pulang dari kota A ke kota C melalui kota B * pergi-pulang dari kota A ke kota C melalui kota B jika ia tidak menggunakan jalan kaki yang sama lebih dari sekali <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 7 \cdot 5 = 35 \text{ cara} \\ * 7 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 1,225 \text{ cara} \\ * 7 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 6 = 840 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> == Kombinasi == ; berulangan rumus: <math>C^n_r = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}</math> contoh soal # Kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donat itu menyediakan 10 jenis donat berbeda. Berapa banyak cara jika kamu ingin membeli tiga donat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} C^{10}_3 = \frac{(10+3-1)!}{3!(10-1)!} = \frac{12!}{3!9!} \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{3!9!} = 220 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> ; tanpa berulangan rumus: <math>C^n_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}</math> contoh soal # Kamu mempunyai 5 pensil dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua warna pensil. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan warna pensil yang ada? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} C^5_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2!3!} = 10 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Kamu mempunyai 2 warna pensil merah, 3 kuning dan 4 hijau. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa tiga warna pensil. *Ada berapa banyak cara terambil semua warna pensilnya? *Ada berapa banyak cara terambil semua warna pensilnya adalah hijau? *Ada berapa banyak cara terambil salah satu warna pensilnya adalah hijau? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} *C^9_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3!6!} = 84 \text{ cara} \\ *C^4_3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3!}{3!1!} = 4 \text{ cara} \\ *C^4_1 \times C^5_2 = \frac{4!}{1!(4-1)!} \times \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{4!}{1!3!} \times \frac{5!}{2!3!} = \frac{4 \times 3!}{1!3!} \times \frac{5 \times 4 \times 3!}{2!3!} = 4 \times 10 = 40 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Tuti mempunyai 3 kelereng putih, 2 kelereng cokelat dan 5 kelereng biru. * Ada berapa banyak cara memiliki 3 kelereng? * Ada berapa banyak cara untuk hanya memiliki 1 kelereng putih dan 2 kelereng biru? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^{10}_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3!7!} = 120 \text{ cara} \\ * C^3_1 \times C^5_2 = \frac{3!}{1!(3-1)!} \times \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{3!}{1!2!} \times \frac{5!}{2!3!} = \frac{3 \times 2!}{1!2!} \times \frac{5 \times 4 \times 3!}{2!3!} = 3 \times 10 \\ = 30 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Di dalam suatu laci terdapat tujuh pasang kaos kaki yang pasangnya berbeda dengan pasangan lainnya. Diambil lima kaos kaki sekaligus secara acak. Berapa banyaknya cara pengambilan di antara yang terambil terdapat tepat sepasang kaos kaki yang berpasangan (cocok)? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{7 pasang kaos kaki berbeda = 14 kaos kaki. } \\ \text{diambil 5 kaos kaki sekaligus. } \\ \text{terdapat tepat 1 pasang } &= C^7_1 = 7 \\ \text{3 kaos kaki diambil dari 6 } &= C^6_3 = 20 \\ \text{jenis kaos kaki kanan/kiri } &= 2^3 = 8 \\ \text{banyaknya cara pengambilan } 7 \times 20 \times 8 = 1.120 \text{ cara } \\ \end{align} </math> </div></div> == Jenis-jenis permutasi == jenis-jenis permutasi yaitu * Permutasi-k dari n benda <math>P^n_k = \frac{n!}{(n-k)!}</math> * permutasi identik <math>P^n_{k1, k2, \dots, kt} = \frac{n!}{k1!k2! \dots kt!}</math> contoh soal # Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata “KAKAO"? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{5!}{2!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!2!} = 30 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada tiga warna bendera yaitu 4 buah merah, 2 putih dan 5 biru. Berapa banyak cara jika: * Bebas * 2 bendera putih harus ditengah <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac {11!}{{4!}{2!}{5!}} &= 6,930 \text{ cara} \\ * \frac {{2!}{9!}} {{4!}{2!}{5!}} &= 126 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * permutasi elemen <math>P^n_n = n!</math> # Ada berapa cara bila 6 orang remaja menempati tempat duduk yang akan disusun dalam suatu susunan yang teratur (sejajar) jika: * Posisi bebas * Dua orang harus berdampingan * Hanya dua orang diundang <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 6! &= 720 \text{ cara} \\ * 2! \cdot ((6-2)+1)! &= 2! \cdot (4+1)! = 2 \cdot 5! = 240 \text{ cara} \\ * P^{6}_{2}= \frac{6!}{(6-2)!} &= \frac{6!}{4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 30 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 4 pria dan 4 wanita sedang berdiri. Ada berapa cara jika: * Bebas * Hanya pria berdampingan * Pria dan wanita harus berdampingan * Pria dan wanita harus selang seling <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 8! &= 40,320 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((8-4)+1)! &= 4! \cdot (4+1)! = 2,880 \text{ cara} \\ * 4! \cdot 4! \cdot (0+2)! &= 1,152 \text{ cara} \\ * 4! \cdot 4! \cdot 2 &= 1,152 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 4 pria dan 3 wanita sedang berdiri. Ada berapa cara jika: * Bebas * Hanya pria berdampingan <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 7! &= 5,040 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((7-4)+1)! &= 4! \cdot (3+1)! = 48 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Saya memiliki 5 buku kimia, 3 buku matematika, dan 2 buku fisika yang masing-masing buku berbeda satu sama lain. Buku-buku tersebut akan saya susun dalam sebuah rak buku. Berapa banyak cara penyusunan yang mungkin saya lakukan jika: * Bebas * Hanya kimia berkelompok * Semua berkelompok masing-masing <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 10! &= 3,628,800 \text{ cara} \\ * 5! \cdot ((3+2)+1)! &= 86,400 \text{ cara} \\ * 5! \cdot 3! \cdot 2! \cdot (0+3)! &= 8,640 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * permutasi siklis <math>P = (n-1)!</math> contoh soal # Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 10 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah sepuluh mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja (melingkar) tersebut jika: * Posisi bebas * Dua orang harus berdampingan * Hanya dua orang diundang <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * (10-1)! &= 362,880 \text{ cara} \\ * 2! \cdot (((10-2)-1)+1)! &= 2! \cdot ((8-1)+1)! = 80,640 \text{ cara} \\ * P^{(10-1)}_2 = P^9_2 &= \frac {9!}{(9-2)!} = \frac {9!}{7!} = \frac {9\cdot 8\cdot 7!}{7!} = 72 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> ; tambahan dari kombinasi # Ada berapa cara 100 orang bersalaman sebanyak satu kali? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^{100}_2 = \frac{100!}{2! \times (100-2)!} &= \frac{100!}{2! \times 98!} \\ &= \frac{100 \times 99 \times 98!}{2 \times 1 \times 98!} \\ &= \frac{100 \times 99}{2} \\ &= 50 \times 99 \\ &= 4,950 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> atau * <math>\frac{100 \times (100-1)}{2} = 4,950 \text{ cara}</math> # Berapa banyak diagonal pada dekagon? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^{10}_2 - 10 = \frac{10!}{2! \times (10-2)!} - 10 &= \frac{10!}{2! \times 8!} - 10 \\ &= \frac{10 \times 9 \times 8!}{2 \times 1 \times 8!} - 10 \\ &= \frac{10 \times 9}{2} - 10 \\ &= 5 \times 9 - 10 \\ &= 45 - 10 \\ &= 35 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> atau * <math>\frac{10 \times (10-3)}{2} = 35 \text{ cara}</math> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] prizybowjuswp2z6wx7205mt8ckheyn 107994 107993 2025-07-01T10:41:38Z Akuindo 8654 /* Kombinasi */ 107994 wikitext text/x-wiki == Pemodelan faktorial == beberapa contoh sebagai berikut: # faktorial * <math>\frac{1}{2}! = \frac{\sqrt{\pi}}{2}</math> * 0! = 1 * 1! = 1 * 2! = 2 x (2-1) = 2 x 1 = 1 * 3! = 3 x (3-1) x (3-2) = 3 x 2 x 1 = 6 * 4! = 4 x (4-1) x (4-2) x (4-3) = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 * n! = <math>\prod_{i=1}^{n} i = n H(n-1) = 1 \cdot 2 \cdot \cdots n.</math> # faktorial ganda * 2!! = 2 * 3!! = 3 x (3-2) = 3 x 1 = 3 * 4!! = 4 x (4-2) = 4 x 2 = 8 * 5!! = 5 x (5-2) x (5-4) = 5 x 3 x 1 = 15 * 6!! = 6 x (6-2) x (6-4) = 6 x 4 x 2 = 48 * n!! = n x (n-2) x (n-4) x (n-6) dst… # faktorial tiga * 3!!! = 3 = 3 * 4!!! = 4 x (4-3) = 4 x 1 = 4 * 5!!! = 5 x (5-3) = 5 x 2 = 10 * 6!!! = 6 x (6-3) = 6 x 3 = 18 * 7!!! = 7 x (7-3) x (7-6) = 7 x 4 x 1 = 28 * 8!!! = 8 x (8-3) x (8-6) = 8 x 5 x 2 = 80 * n!!! = n x (n-3) x (n-6) x (n-9) dst… # bagian faktorial * !0 = 0! <math>(1 - \frac{1}{0!})</math> = 0 * !1 = 1! <math>(1 - \frac{1}{1!})</math> = 0 * !2 = 2! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!})</math> = 1 * !3 = 3! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!})</math> = 2 * !4 = 4! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!})</math> = 9 * !n = n! <math>(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \cdot \pm \frac{1}{n!})</math> # ? faktorial * 1$ = 1! = 1 * 2$ = 2!^2! = 4 * 3$ = 3!^{3!^{3!^{3!^{3!^3!}}}} = * n$ = <math>n!^{n!} = </math> (banyaknya hasil faktorial dari n!) # lebih faktorial * S(1) = 1! = 1 * S(2) = 2! x 1! = 2 * S(3) = 3! x 2! x 1! = 12 * S(4) = 4! x 3! x 2! x 1! = 288 * S(n) = <math>\prod_{i=1}^{n} i! = i! H(n-1) = 1! \cdot 2! \cdot \cdots n! = 1! \cdot 2! \cdot \cdots n!.</math> # paling faktorial * H(1) = 1¹ = 1 * H(2) = 2² x 1¹ = 4 * H(3) = 3³ x 2² x 1¹ = 108 * H(n) = <math>\prod_{i=1}^{n} i^i = n^n H(n-1) = 1^1 \cdot 2^2 \cdot \cdots n^n.</math> # primorial * 2# = 2 * 3# = 2 x 3 = 5 * 5# = 2 x 3 x 5 = 30 * 7# = 2 x 3 x 5 x 7 = 210 * n# = 2 x 3 x 5 x …. x n (n adalah bilangan prima secara berurutan) == Koefisien binomial == (x+y)ⁿ = <math>\sum_{k=0}^{n} C_{k}^{n} x^{n-k} y^k</math> <math>(_{k=0}^{n})</math> digunakan sebagai pemodelan kombinasi. suku ke-a adalah u_a=u_k+1. penjabaran tersebut memiliki n+1 suku. suku ke-a adalah <math>C_{a-1}^{n} x^{n-a+1} y^{a-1}</math>. koefisien ke-a adalah <math>(_{a-1}^{n})</math>. contoh soal # sederhanakan dari B = <math>(x-2)^5+5(x-2)^4+10(x-2)^3+10(x-2)^2+5(x-2)+1</math>! : jawaban :: Dari di atas bahwa koefisien binomial adalah (a+b)⁵ = <math>a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5</math> :: Jadi B = <math>(x-2)^5+5(x-2)^4+10(x-2)^3+10(x-2)^2+5(x-2)+1</math> :: B = ((x-2)+1)⁵ = (x-1)⁵ # Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka berapa hasil suku keenam setelah ekspansi <math>(x^3-4)^8</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_6 &= C_{5}^{8} (x^3)^{8-5} (-4)^5 \\ &= \frac{8!}{5! \cdot 3!} x^9 (-1.024) \\ &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} x^9 (-1.024) \\ &= (56) x^9 (-1.024) \\ &= -57.344x^9 \end{align} </math> </div></div> # Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka berapa hasil suku ketujuh setelah ekspansi <math>(\frac{x^4}{2}-\frac{4}{y})^{10}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_7 &= C_{6}^{10} (\frac{x^4}{2})^{10-6} (\frac{4}{y})^6 \\ &= \frac{10!}{6! \cdot 4!} (\frac{x^4}{2})^4 \frac{4^6}{y^6} \\ &= \frac{10!}{6! \cdot 4!} \frac{x^{16}}{2^4} \frac{4^6}{y^6} \\ &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \frac{x^{16}}{2^4} \frac{2^{12}}{y^6} \\ &= 210 \frac{2^8 x^{16}}{y^6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil koefisien <math>\frac{x^4}{y^{12}}</math> dari hasil penjabaran <math>(x^2+\frac{4}{y^3})^{6}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{k}^{6} (x^2)^{6-k} (\frac{4}{y^3})^k \\ &= C_{k}^{6} x^{12-2k} \frac{4^k}{y^{3k}} \\ \frac{x^4}{y^{12}} &= x^{12-2k} \frac{4^k}{y^{3k}} \\ 4 &= 12-2k \\ 2k &= 8 \\ k &= 4 \\ &= C_{4}^{6} x^{12-2(4)} \frac{4^4}{y^{3(4)}} \\ &= \frac{6!}{4! \cdot 2!} x^{4} \frac{4^4}{y^{12}} \\ &= \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2 \cdot 1} x^{4} \frac{4^4}{y^{12}} \\ &= \frac{3.840x^4}{y^{12}} \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil koefisien <math>\frac{x^4}{y^{12}}</math> adalah 3.840 # Berapa hasil koefisien <math>\frac{1}{x^{29}}</math> dari hasil penjabaran <math>(x^2+\frac{3}{x^5})^{10}</math>! : jawaban :: Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk x¹⁰ adalah <math>(x^2)^p(x^{-5})^q</math> adalah p+q = 10. Persamaan eksponen <math>(x^2)^p(x^{-5})^q=x^{-29}</math> mengimplikasikan bahwa 2p-5q=-29. Selesaikan dan kita akan memperoleh p=3 dan q=7. Karena q=7, suku yang dimaksud merupakan suku ke-(7+1)=8. Dalam hal ini, kita memilih q (dan bukan p) karena q merupakan eksponen b dari bentuk (a+b)ⁿ yang langsung menunjukkan suku mana penjabaran itu didapat. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{7}^{10} (x^2)^{10-7} (\frac{3}{x^5})^7 \\ &= C_{7}^{10} x^{6} \frac{3^7}{x^{35}} \\ &= \frac{10!}{7! \cdot 3!} \frac{3^7}{x^{29}} \\ &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \frac{3^7}{x^{29}} \\ &= \frac{262.440}{x^{29}} \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil koefisien <math>\frac{1}{x^{29}}</math> adalah 262.440 # Berapa hasil konstanta dari hasil penjabaran <math>(3x^3+\frac{1}{x^5})^{8}</math>! Nilai konstanta berarti variabel berpangkat nol jadi yaitu x⁰. Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk x⁸ adalah <math>(3x^3)^p(x^{-5})^q</math> adalah p+q = 8. Persamaan eksponen <math>(3x^3)^p(x^{-5})^q=x^0</math> mengimplikasikan bahwa 3p-5q=0. Selesaikan dan kita akan memperoleh p=5 dan q=3. Karena q=3, suku yang dimaksud merupakan suku ke-(3+1)=4. Dalam hal ini, kita memilih q (dan bukan p) karena q merupakan eksponen b dari bentuk (a+b)ⁿ yang langsung menunjukkan suku mana penjabaran itu didapat. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} &= C_{k}^{n} (a)^{n-k} (b)^k \\ &= C_{3}^{8} (3x^3)^{8-3} (\frac{1}{x^5})^3 \\ &= C_{3}^{8} 3^5 x^{15} \frac{1}{x^{15}} \\ &= \frac{8!}{3! \cdot 5!} 405 \\ &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} 405 \\ &= 22.680 \\ \end{align} </math> </div></div> Hasil konstanta adalah 22.680 == Permutasi == ; berulangan rumus: <math>P^n_r = n^r</math> contoh soal # Berapa banyak cara terambilnya 3 huruf yang terdiri dari A, B, C dan D?? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} P^4_3 = 4^3 = 64 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dengan angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Angka-angka terdiri atas 0, 9, 8, 7, 6, 5. Ada berapa banyak cara jika * enam angka yang berbeda tersusun? * enam angka yang berbeda tersusun jika angka pertama tidak boleh nol? * tiga angka yang berbeda tersusun? * tiga angka yang berbeda tersusun jika angka pertama tidak boleh nol? * tiga angka yang sama yang lebih dari 780? * tiga angka yang berbeda yang lebih dari 780? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 &= 720 \text{ cara} \\ * 5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 &= 600 \text{ cara} \\ * 6 \cdot 5 \cdot 4 &= 120 \text{ cara} \\ * 5 \cdot 5 \cdot 4 &= 100 \text{ cara} \\ * 1 \cdot 1 \cdot 5 + 1 \cdot 1 \cdot 6 + 2 \cdot 6 \cdot 6 &= 5 + 6 + 72 = 83 \text{ cara} \\ * 1 \cdot 1 \cdot 4 + 1 \cdot 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 \cdot 4 &= 4 + 4 + 40 = 48 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> ; tanpa berulangan rumus: <math>P^n_r = \frac{n!}{(n-r)!}</math> contoh soal # Di dalam kelas mengadakan pemilihan ketua, wakil ketua dan sekretaris dimana kelas terdiri dari 5 murid laki-laki dan 5 murid perempuan. Ada berapa banyak carakah jika * jabatan tersebut dipilih? * jabatan tersebut dipilih jika murid perempuan tersebut menjadi ketua? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \text {cara 1 } \\ P^{10}_3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 720 \text{ cara} \\ \text {cara 2 } \\ \text{jika ketua 10 maka wakil ketua 9 dan sekretaris 8 jadi } 10 \times 9 \times 8 = 720 \text{ cara} \\ * \text {cara 1 } \\ P^{5}_1 \times P^{9}_2 = \frac{5!}{(5-1)!} \times \frac{9!}{(9-2)!} = \frac{5!}{4!} \times \frac{9!}{7!} = \frac{5 \cdot 4!}{4!} \times \frac{9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 5 \times 72 = 360 \text{ cara} \\ \text {cara 2 } \\ \text{jika ketua 5 maka wakil ketua 9 dan sekretaris 8 jadi } 5 \times 9 \times 8 = 360 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 7 jalan kaki dari kota A ke kota B dan 5 jalan kaki dari kota B dan C. Ada berapa banyak carakah seseorang dapat melakukan perjalanan menggunakan jalan kaki jika: * dari kota A ke kota C melalui kota B * pergi-pulang dari kota A ke kota C melalui kota B * pergi-pulang dari kota A ke kota C melalui kota B jika ia tidak menggunakan jalan kaki yang sama lebih dari sekali <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 7 \cdot 5 = 35 \text{ cara} \\ * 7 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 1,225 \text{ cara} \\ * 7 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 6 = 840 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> == Kombinasi == ; berulangan rumus: <math>C^n_r = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}</math> contoh soal # Kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donat itu menyediakan 10 jenis donat berbeda. Berapa banyak cara jika kamu ingin membeli tiga donat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} C^{10}_3 = \frac{(10+3-1)!}{3!(10-1)!} = \frac{12!}{3!9!} \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{3!9!} = 220 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> ; tanpa berulangan rumus: <math>C^n_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}</math> contoh soal # Kamu mempunyai 5 pensil dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua warna pensil. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan warna pensil yang ada? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} C^5_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2!3!} = 10 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Kamu mempunyai 2 warna pensil merah, 3 kuning dan 4 hijau. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa tiga warna pensil. Ada berapa banyak cara terambil jika *semua warna pensilnya? *semua warna pensilnya adalah hijau? *salah satu warna pensilnya adalah hijau? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} *C^9_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3!6!} = 84 \text{ cara} \\ *C^4_3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3!}{3!1!} = 4 \text{ cara} \\ *C^4_1 \times C^5_2 = \frac{4!}{1!(4-1)!} \times \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{4!}{1!3!} \times \frac{5!}{2!3!} = \frac{4 \times 3!}{1!3!} \times \frac{5 \times 4 \times 3!}{2!3!} = 4 \times 10 = 40 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Tuti mempunyai 3 kelereng putih, 2 kelereng cokelat dan 5 kelereng biru. Ada berapa banyak cara jika * memiliki 3 kelereng? * hanya memiliki 1 kelereng putih dan 2 kelereng biru? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^{10}_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3!7!} = 120 \text{ cara} \\ * C^3_1 \times C^5_2 = \frac{3!}{1!(3-1)!} \times \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{3!}{1!2!} \times \frac{5!}{2!3!} = \frac{3 \times 2!}{1!2!} \times \frac{5 \times 4 \times 3!}{2!3!} = 3 \times 10 \\ = 30 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Di dalam suatu laci terdapat tujuh pasang kaos kaki yang pasangnya berbeda dengan pasangan lainnya. Diambil lima kaos kaki sekaligus secara acak. Berapa banyaknya cara pengambilan di antara yang terambil terdapat tepat sepasang kaos kaki yang berpasangan (cocok)? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{7 pasang kaos kaki berbeda = 14 kaos kaki. } \\ \text{diambil 5 kaos kaki sekaligus. } \\ \text{terdapat tepat 1 pasang } &= C^7_1 = 7 \\ \text{3 kaos kaki diambil dari 6 } &= C^6_3 = 20 \\ \text{jenis kaos kaki kanan/kiri } &= 2^3 = 8 \\ \text{banyaknya cara pengambilan } 7 \times 20 \times 8 = 1.120 \text{ cara } \\ \end{align} </math> </div></div> == Jenis-jenis permutasi == jenis-jenis permutasi yaitu * Permutasi-k dari n benda <math>P^n_k = \frac{n!}{(n-k)!}</math> * permutasi identik <math>P^n_{k1, k2, \dots, kt} = \frac{n!}{k1!k2! \dots kt!}</math> contoh soal # Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata “KAKAO"? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{5!}{2!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!2!} = 30 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada tiga warna bendera yaitu 4 buah merah, 2 putih dan 5 biru. Berapa banyak cara jika: * Bebas * 2 bendera putih harus ditengah <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac {11!}{{4!}{2!}{5!}} &= 6,930 \text{ cara} \\ * \frac {{2!}{9!}} {{4!}{2!}{5!}} &= 126 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * permutasi elemen <math>P^n_n = n!</math> # Ada berapa cara bila 6 orang remaja menempati tempat duduk yang akan disusun dalam suatu susunan yang teratur (sejajar) jika: * Posisi bebas * Dua orang harus berdampingan * Hanya dua orang diundang <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 6! &= 720 \text{ cara} \\ * 2! \cdot ((6-2)+1)! &= 2! \cdot (4+1)! = 2 \cdot 5! = 240 \text{ cara} \\ * P^{6}_{2}= \frac{6!}{(6-2)!} &= \frac{6!}{4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 30 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 4 pria dan 4 wanita sedang berdiri. Ada berapa cara jika: * Bebas * Hanya pria berdampingan * Pria dan wanita harus berdampingan * Pria dan wanita harus selang seling <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 8! &= 40,320 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((8-4)+1)! &= 4! \cdot (4+1)! = 2,880 \text{ cara} \\ * 4! \cdot 4! \cdot (0+2)! &= 1,152 \text{ cara} \\ * 4! \cdot 4! \cdot 2 &= 1,152 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Ada 4 pria dan 3 wanita sedang berdiri. Ada berapa cara jika: * Bebas * Hanya pria berdampingan <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 7! &= 5,040 \text{ cara} \\ * 4! \cdot ((7-4)+1)! &= 4! \cdot (3+1)! = 48 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> # Saya memiliki 5 buku kimia, 3 buku matematika, dan 2 buku fisika yang masing-masing buku berbeda satu sama lain. Buku-buku tersebut akan saya susun dalam sebuah rak buku. Berapa banyak cara penyusunan yang mungkin saya lakukan jika: * Bebas * Hanya kimia berkelompok * Semua berkelompok masing-masing <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 10! &= 3,628,800 \text{ cara} \\ * 5! \cdot ((3+2)+1)! &= 86,400 \text{ cara} \\ * 5! \cdot 3! \cdot 2! \cdot (0+3)! &= 8,640 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> * permutasi siklis <math>P = (n-1)!</math> contoh soal # Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 10 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah sepuluh mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja (melingkar) tersebut jika: * Posisi bebas * Dua orang harus berdampingan * Hanya dua orang diundang <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * (10-1)! &= 362,880 \text{ cara} \\ * 2! \cdot (((10-2)-1)+1)! &= 2! \cdot ((8-1)+1)! = 80,640 \text{ cara} \\ * P^{(10-1)}_2 = P^9_2 &= \frac {9!}{(9-2)!} = \frac {9!}{7!} = \frac {9\cdot 8\cdot 7!}{7!} = 72 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> ; tambahan dari kombinasi # Ada berapa cara 100 orang bersalaman sebanyak satu kali? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^{100}_2 = \frac{100!}{2! \times (100-2)!} &= \frac{100!}{2! \times 98!} \\ &= \frac{100 \times 99 \times 98!}{2 \times 1 \times 98!} \\ &= \frac{100 \times 99}{2} \\ &= 50 \times 99 \\ &= 4,950 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> atau * <math>\frac{100 \times (100-1)}{2} = 4,950 \text{ cara}</math> # Berapa banyak diagonal pada dekagon? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * C^{10}_2 - 10 = \frac{10!}{2! \times (10-2)!} - 10 &= \frac{10!}{2! \times 8!} - 10 \\ &= \frac{10 \times 9 \times 8!}{2 \times 1 \times 8!} - 10 \\ &= \frac{10 \times 9}{2} - 10 \\ &= 5 \times 9 - 10 \\ &= 45 - 10 \\ &= 35 \text{ cara} \\ \end{align} </math> </div></div> atau * <math>\frac{10 \times (10-3)}{2} = 35 \text{ cara}</math> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] evj9db6l6nbcmk7mr9txvbal0ekrsti 0 23140 107986 107984 2025-06-30T12:07:27Z Akuindo 8654 /* Integral lipat */ 107986 wikitext text/x-wiki == Kaidah umum == :# <math>\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!</math> :# <math>\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx</math> :# <math>\int [f(x) - g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx</math> :# <math>\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx</math> :# <math>\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(untuk } n\neq -1\mbox{)}\,\! </math> :# <math>\int {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C </math> :# <math>\int {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C </math> :# <math>\int f(x) \, dx = F(x) + C</math> :# <math>\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)</math> :# <math>\int_a^c |f(x)| \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c -f(x) \, dx = F(b) - F(a) - F(c) + F(b)</math> jika <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge b, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < b. \end{cases}</math>. sebelum membuat f(x) dan -f(x) menentukan nilai x sebagai f(x) ≥ 0 untuk batas-batas wilayah yang menempatkan hasil positif (f(x)) dan negatif (-(f(x)) serta hasil integral mutlak tidak mungkin negatif. == rumus sederhana == :<math>\int \, dx = x + C</math> :<math>\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1</math> :<math>\int (ax+b)^n\,dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1</math> :<math>\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C</math> :<math>\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C</math> ; Eksponen dan logaritma :<math>\int e^x\,dx = e^x + C</math> :<math>\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C</math> :<math>\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C</math> :<math>\int \,^b\!\log {x}\,dx = x \cdot \, ^b\!\log x - x \cdot \,^b\!\log e + C</math> ; Trigonometri :<math>\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C</math> :<math>\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C</math> :<math>\int \tan{x} \, dx = \ln{\left| \sec {x} \right|} + C</math> :<math>\int \cot{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} \right|} + C</math> :<math>\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C</math> :<math>\int \csc{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} + \cot{x}\right|} + C</math> ; Hiperbolik :<math>\int \sinh x \, dx = \cosh x + C</math> :<math>\int \cosh x \, dx = \sinh x + C</math> :<math>\int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + C</math> :<math>\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C</math> :<math>\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan (\sinh x) + C</math> :<math>\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C</math> == Jenis integral == === integral biasa === Berikut contoh penyelesaian cara biasa. : <math>\int x^3 - cos 3x + e^{5x+2} - \frac{1}{2x+5}dx</math> : <math>= \frac{1}{3+1}x^{3+1} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C</math> : <math>= \frac{x^4}{4} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C</math> === integral substitusi === Berikut contoh penyelesaian cara substitusi. : <math>\int \frac{\ln(x)}{x}\,dx</math> : <math>t = \ln(x),\, dt = \frac{dx}{x}</math> Dengan menggunakan rumus di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \int \frac{\ln(x)}{x}\,dx \\ =&\; \int t\,dt \\ =&\; \frac{1}{2} t^2 + C \\ =&\; \frac{1}{2} \ln^2 x + C \end{aligned} </math> === integral parsial === ;Cara 1: Rumus Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut. : <math>\int u\,dv = uv - \int v\,du </math> Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan rumus. : <math>\int x \sin(x)\,dx</math> : <math>u = x,\, du = 1\,dx,\, dv = \sin(x)\,dx,\, v = -\cos(x)</math> Dengan menggunakan rumus di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \int x \sin(x)\,dx \\ =&\; (x)(-\cos(x)) - \int (-\cos(x))(1\,dx) \\ =&\; -x \cos(x) + \int \cos(x)\,dx \\ =&\; -x \cos(x) + \sin(x) + C \end{aligned} </math> ;Cara 2: Tabel Untuk <math display="inline">\int u\,dv</math>, berlaku ketentuan sebagai berikut. {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>u</math> || <math>dv</math> |- | - || <math>\frac{du}{dx}</math> || <math>v</math> |- | + || <math>\frac{d^2u}{dx^2}</math> || <math>\int v\,dx</math> |} Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan tabel. : <math>\int x \sin(x)\,dx</math> {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>x</math> || <math>\sin(x)</math> |- | - || <math>1</math> || <math>-\cos(x)</math> |- | + || <math>0</math> || <math>-\sin(x)</math> |} Dengan tabel di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \int x \sin(x)\,dx \\ =&\; (x)(-\cos(x)) - (1)(-\sin(x)) + C \\ =&\; -x \cos(x) + \sin(x) + C \end{aligned} </math> === integral pecahan parsial === Berikut contoh penyelesaian cara parsial untuk persamaan pecahan (rasional). : <math>\int \frac{dx}{x^2 - 4}</math> Pertama, pisahkan pecahan tersebut. : <math> \begin{aligned} =&\; \frac{1}{x^2 - 4} \\ =&\; \frac{1}{(x + 2)(x - 2)} \\ =&\; \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} \\ =&\; \frac{A(x - 2) + B(x + 2)}{x^2 - 4} \\ =&\; \frac{(A + B)x - 2(A - B)}{x^2 - 4} \end{aligned} </math> Kita tahu bahwa <math display="inline">A + B = 0</math> dan <math display="inline">A - B = -\frac{1}{2}</math> dapat diselesaikan, yaitu <math display="inline">A = -\frac{1}{4}</math> dan {{nowrap|<math display="inline">B = \frac{1}{4}</math>.}} : <math> \begin{aligned} &\; \int \frac{dx}{x^2 - 4} \\ =&\; \int -\frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)}\,dx \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}\,dx \\ =&\; \frac{1}{4} (\ln|x - 2| - \ln|x + 2|) + C \\ =&\; \frac{1}{4} \ln|\frac{x - 2}{x + 2}| + C \end{aligned}</math> === integral substitusi trigonometri === {| class="wikitable" |- ! Bentuk !! Trigonometri |- | <math>\sqrt{a^2 - b^2 x^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b}\sin(\alpha)</math> |- | <math>\sqrt{a^2 + b^2 x^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b}\tan(\alpha)</math> |- | <math>\sqrt{b^2 x^2 - a^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b}\sec(\alpha)</math> |} Berikut contoh penyelesaian cara substitusi trigonometri. : <math>\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}}</math> : <math>x = 2 \tan(A),\, dx = 2 \sec^2(A)\,dA</math> Dengan substitusi di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{(2 \tan(A))^2\sqrt{4 + (2 \tan(A))^2}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{4 \tan^2(A)\sqrt{4 + 4 \tan^2(A)}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{4 \tan^2(A)\sqrt{4(1 + \tan^2(A))}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{4 \tan^2(A)\sqrt{4 \sec^2(A)}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{(4 \tan^2(A))(2 \sec(A))} \\ =&\; \int \frac{\sec(A)\,dA}{4 \tan^2(A)} \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{\sec(A)\,dA}{\tan^2(A)} \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos(A)}{\sin^2(A)}\,dA \end{aligned} </math> Substitusi berikut dapat dibuat. : <math>\int \frac{\cos(A)}{\sin^2(A)}\,dA</math> : <math>t = \sin(A),\, dt = \cos(A)\,dA</math> Dengan substitusi di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos(A)}{\sin^2(A)}\,dA \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^2} \\ =&\; \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{t}\right) + C \\ =&\; -\frac{1}{4 t} + C \\ =&\; -\frac{1}{4 \sin(A)} + C \end{aligned} </math> Ingat bahwa <math display="inline">\sin(A) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}</math> berlaku. : <math> \begin{aligned} =&\; -\frac{1}{4 \sin(A)} + C \\ =&\; -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4 x} + C \end{aligned} </math> == Jenis integral lainnya == === panjang busur === ; Sumbu ''x'' : <math>S = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx</math> ; Sumbu ''y'' : <math>S = \int_{y_1}^{y_2} \sqrt{1 + (f'(y))^2}\,dy</math> === luas daerah === ; Satu kurva ; Sumbu ''x'' : <math>L = \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx</math> ; Sumbu ''y'' : <math>L = \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,dy</math> ; Dua kurva ; Sumbu ''x'' : <math>L = \int_{x_1}^{x_2} (f(x_2) - f(x_1))\,dx</math> ; Sumbu ''y'' : <math>L = \int_{y_1}^{y_2} (f(y_2) - f(y_1))\,dy</math> : atau juga <math>L = \frac {D \sqrt{D}}{6 a^2}</math> === luas permukaan benda putar === ; Sumbu ''x'' sebagai poros : <math>L_p = 2 \pi \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,ds</math> dengan : <math>ds = \sqrt {1 + (f'(x))^2}\,dx</math> ; Sumbu ''y'' sebagai poros : <math>L_p = 2 \pi \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,ds</math> dengan : <math>ds = \sqrt {1 + (f'(y))^2}\,dy</math> === volume benda putar === ; Satu kurva ; Sumbu ''x'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2\,dx</math> ; Sumbu ''y'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{y_1}^{y_2} (f(y))^2\,dy</math> ; Dua kurva ; Sumbu ''x'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{x_1}^{x_2} ((f(x_2))^2 - (f(x_1))^2)\,dx</math> ; Sumbu ''y'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{y_1}^{y_2} ((f(y_2))^2 - (f(y_1))^2)\,dy</math> == Integral lipat == Jenis integral lipat yaitu integral lipat dua dan integral lipat tiga. ;contoh * Tentukan hasil dari: * <math>\int_{1}^{5} 2x-3 dx</math> * <math>\int_{0}^{4} |x-2| dx</math> * <math>\int_{2}^{4} |3-x| dx</math> * <math>\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx</math> * <math>\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx</math> ; jawaban: ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{1}^{5} 2x-3 dx &= \left. x^2 - 3x \right|_{1}^{5} \\ &= 10 - (-2) \\ &= 12 \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{0}^{4} |x-2| dx \\ \text{ tentukan nilai harga nol } \\ x-2 &= 0 \\ x &= 2 \\ \text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu kurang dari 2 bernilai - sedangkan minimal dari 2 bernilai + berarti } \\ |x-2| = \begin{cases} x-2, & \mbox{jika } x \ge 2, \\ -(x-2), & \mbox{jika } x < 2. \end{cases} \\ \int_{0}^{4} |x-2| dx &= \int_{2}^{4} x-2 dx + \int_{0}^{2} -(x-2) dx \\ &= \left. (\frac{x^2}{2}-2x) \right|_{2}^{4} + \left. (\frac{-x^2}{2}+2x) \right|_{0}^{2} \\ &= 0 - (-2) + 2 - 0 \\ &= 4 \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{2}^{4} |3-x| dx \\ \text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\ 3-x &\ge 0 \\ \text{ harga nol } \\ x &= 3 \\ \text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu lebih dari 3 bernilai - sedangkan maksimal dari 3 bernilai + berarti } \\ |3-x| = \begin{cases} 3-x, & \mbox{jika } x \le 3, \\ -(3-x), & \mbox{jika } x > 3. \end{cases} \\ \int_{2}^{4} |3-x| dx &= \int_{2}^{3} 3-x dx + \int_{3}^{4} -(3-x) dx \\ &= \left. (3x-\frac{x^2}{2}) \right|_{2}^{3} + \left. (-3x+\frac{x^2}{2}) \right|_{3}^{4} \\ &= 4.5 - 4 - 4 - (-4.5) \\ &= 1 \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx &= \left. \frac{x^3}{3}-3x^2+8x \right|_{1}^{5} \\ &= \frac{20}{3} - \frac{16}{3} \\ &= \frac{4}{3} \\ &= 1\frac{1}{3} \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx \\ \text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\ x^2-2x-8 &\ge 0 \\ \text{ harga nol } \\ (x+2)(x-4) &= 0 \\ x = -2 \text{ atau } x = 4 \\ \text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu antara -2 dan 4 bernilai - sedangkan maksimal dari -2 dan minimal dari 4 bernilai + berarti } \\ |x^2-2x-8| = \begin{cases} x^2-2x-8, & \mbox{jika } x \le -2, \\ -(x^2-2x-8), & \mbox{jika } -2 < x < 4, \\ x^2-2x-8, & \mbox{jika } x \ge 4 \end{cases} \\ \int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx &= \int_{-3}^{-2} x^2-2x-8 dx + \int_{-2}^{4} -(x^2-2x-8) dx + \int_{4}^{5} x^2-2x-8 dx \\ &= \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{-3}^{-2} + \left. (\frac{-x^3}{3}+x^2+8x) \right|_{-2}^{4} + \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{4}^{5} \\ &= \frac{28}{3} - 6 + \frac{80}{3} - (-\frac{28}{3}) - \frac{70}{3} - (-\frac{80}{3}) \\ &= \frac{128}{3} \\ &= 42\frac{2}{3} \\ \end{aligned} </math> </div></div> * Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = x</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} L &= \int x\,dx \\ L &= \frac{1}{2} x^2 \\ L &= \frac{1}{2} xy \quad (y = x) \end{aligned} </math> </div></div> * Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = x^2</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} L &= \int x^2\,dx \\ L &= \frac{1}{3} x^3 \\ L &= \frac{1}{3} xy \quad (y = x^2) \end{aligned}</math> * Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = \sqrt{x}</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral! : <math> \begin{aligned} L &= \int \sqrt{x}\,dx \\ L &= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \\ L &= \frac{2}{3} xy \quad (y = \sqrt{x}) \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas persegi <math>L = s^2</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = s \text{ dan titik (''s'', ''s''), } \\ L &= \int_{0}^{s} s\,dx \\ L &= sx |_{0}^{s} \\ L &= ss - 0 \\ L &= s^2 \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas persegi panjang <math>L = pl</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{Dengan posisi } y = l \text{dan titik (''p'', ''l''), } \\ L &= \int_{0}^{p} l\,dx \\ L &= lx |_{0}^{p} \\ L &= pl - 0 \\ L &= pl \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas segitiga <math>L = \frac{at}{2}</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \frac{-tx}{a} + t \text { dan titik (''a'', ''t''), } \\ L &= \int_{0}^{a} \left (\frac{-tx}{a} + t \right) \,dx \\ L &= \left. \frac{-tx^2}{2a} + tx \right|_{0}^{a} \\ L &= \frac{-ta^2}{2a} + ta - 0 + 0 \\ L &= \frac{-ta}{2} + ta \\ L &= \frac{at}{2} \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan volume tabung <math>V = \pi r^2t</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{ Dengan posisi } y = r \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\ V &= \pi \int_{0}^{t} r^2\,dx \\ V &= \pi \left. r^2x \right|_{0}^{t} \\ V &= \pi r^2t - 0 \\ V &= \pi r^2t \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan volume kerucut <math>V = \frac{\pi r^2t}{3}</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \frac{rx}{t} \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\ V &= \pi \int_{0}^{t} \left (\frac{rx}{t} \right)^2 \,dx \\ V &= \pi \left. \frac{r^2 x^3}{3t^2} \right|_{0}^{t} \\ V &= \pi \frac{r^2 t^3}{3t^2} - 0 \\ V &= \frac{\pi r^2t}{3} \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan volume bola <math>V = \frac{4 \pi r^3}{3}</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), } \\ V &= \pi \int_{-r}^{r} \left(\sqrt {r^2 - x^2}\right)^2\,dx \\ V &= \pi \int_{-r}^{r} r^2 - x^2 dx \\ V &= \pi \left. r^2x - \frac{x^3}{3} \right|_{-r}^{r} \\ V &= \pi \left (r^3 - \frac{r^3}{3} - \left (-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) \right) \\ V &= \frac{4 \pi r^3}{3} \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas permukaan bola <math>L = 4 \pi r^2</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), Kita tahu bahwa turunannya adalah } \\ y' &= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\ \text{selanjutnya } \\ ds &= \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\ ds &= \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\ ds &= \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\ ds &= \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\ \text{sehingga } \\ L &= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\ L &= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,dx \\ L &= 2 \pi rx|_{-r}^{r} \\ L &= 2 \pi (r r - r (-r)) \\ L &= 2 \pi (r^2 + r^2) \\ L &= 4 \pi r^2 \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan keliling lingkaran <math>K = 2 \pi r</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0) } \\ \text{kita tahu bahwa turunannya adalah } \\ y' &= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\ \text{sehingga } \\ K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\ K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{x^2}{r^2 - x^2})}\,dx \\ K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt\frac{r^2}{r^2 - x^2}\,dx \\ K &= 4r \int_{0}^{r} \sqrt\frac{1}{r^2 - x^2}\,dx \\ K &= 4r \int_{0}^{r} \frac{1}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\ K &= 4r \left. \arcsin \left (\frac{x}{r} \right) \right|_{0}^{r} \\ K &= 4r \left (\arcsin \left (\frac{r}{r}\right) - \arcsin \left (\frac{0}{r} \right) \right) \\ K &= 4r \left (\arcsin\left (1 \right) - \arcsin \left(0 \right) \right)) \\ K &= 4r \left (\frac{\pi}{2} \right) \\ K &= 2 \pi r \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas lingkaran <math>L = \pi r^2</math> dengan cara integral! : Dengan posisi <math>y = \sqrt{r^2 - x^2}</math> serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \sin(\theta) &= \frac{x}{r} \\ x &= r \sin(\theta) \\ dx &= r \cos(\theta)\,d\theta \\ \text{dengan turunan di atas } \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - (r \sin(\theta))^2}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - r^2 \sin^2(\theta)}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 (1 - \sin^2(\theta))}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta)\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta) (r \cos(\theta)\,d\theta) \\ L &= 4 \int_{0}^{r} r^2 \cos^2(\theta)\,d\theta \\ L &= 4r^2 \int_{0}^{r} \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right)\,d\theta \\ L &= 2r^2 \int_{0}^{r} (1 + \cos(2\theta))\,d\theta \\ L &= 2r^2 \left (\theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right)|_{0}^{r} \\ L &= 2r^2 (\theta + \sin(\theta) \cos(\theta))|_{0}^{r} \\ L &= 2r^2 \left (\arcsin \left (\frac{x}{r} \right) + \left (\frac{x}{r} \right) \left (\frac{r^2 - x^2}{r} \right) \right)|_{0}^{r} \\ L &= 2r^2 \left (\arcsin \left(\frac{r}{r} \right) + \left (\frac{r}{r} \right) \left (\frac {r^2 - r^2}{r} \right) \right) - \left(\arcsin \left (\frac{0}{r} \right) + \left (\frac{0}{r}\right) \left (\frac{r^2 - 0^2}{r} \right) \right) \\ L &= 2r^2 (\arcsin(1) + 0 - (\arcsin(0) + 0)) \\ L &= 2r^2 \left (\frac{\pi}{2} \right) \\ L &= \pi r^2 \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas elips <math>L = \pi ab</math> dengan cara integral! : Dengan posisi <math>y = \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}</math> serta (-''a'', 0) dan (''a'', 0), <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} L &= 4 \int_{0}^{r} \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}\,dx \\ L &= \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx \\ \text{dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-''a'', 0) dan (''a'', 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips, } \\ \frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &= \frac{\frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx}{4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx} \\ \frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &= \frac{b}{a} \\ L_\text{elips} &= \frac{b}{a} L_\text{ling} \\ L_\text{elips} &= \frac{b}{a} \pi a^2 \\ L_\text{elips} &= \pi ab \end{aligned} </math> </div></div> * Berapa luas daerah yang dibatasi y=x²-2x dan y=4x+7! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\ y_1 &= y_2 \\ x^-2x &= 4x+7 \\ x^2-6x-7 &= 0 \\ (x+1)(x-7) &= 0 \\ x=-1 &\text{ atau } x=7 \\ y &= 4(-1)+7 = 3 \\ y &= 4(7)+7 = 35 \\ \text{jadi titik potong (-1,3) dan (7,35) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\ L &= \int_{-1}^{7} 4x+7-(x^2-2x)\,dx \\ &= \int_{-1}^{7} -x^2+6x+7\,dx \\ &= -\frac{x^3}{3}+3x^2+7x|_{-1}^{7} \\ &= -\frac{7^3}{3}+3(7)^2+7(7)-(-\frac{(-1)^3}{3}+3(-1)^2+7(-1)) \\ &= \frac{245}{3}-(-\frac{13}{3}) \\ &= \frac{258}{3} \\ &= 86 \\ \end{aligned} </math> </div></div> * Berapa volume benda putar yang dibatasi y=6-1,5x dan y=x-4 serta x=0 mengelilingi sumbu x sejauh 360°! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\ y_1 &= y_2 \\ 6-1,5x &= x-4 \\ 2,5x &= 10 \\ x &= 4 \\ y &= 4-4 = 0 \\ \text{jadi titik potong (4,0) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\ \text{untuk x=0 } \\ y &= 6-1,5(0) = 6 \\ y &= 0-4 = -4 \\ L &= \pi \int_{0}^{4} ((6-1,5x)^2-(x-4)^2)\,dx \\ &= \pi \int_{0}^{4} (36-18x+2,25^2-(x^2-8x+16))\,dx \\ &= \pi \int_{0}^{4} (1,25x^2-10x+20)\,dx \\ &= \pi (\frac{1,25x^3}{3}-5x^2+20x)|_{0}^{4} \\ &= \pi (\frac{1,25(4)^3}{3}-5(4)^2+20(4)-(\frac{1,25(0)^3}{3}-5(0)^2+20(0))) \\ &= \pi (\frac{30}{3}-0) \\ &= 10 \\ \end{aligned} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 3qef2ohjcqgeb2awqsc2vh4un6pv6dl 107987 107986 2025-06-30T12:08:43Z Akuindo 8654 /* Integral lipat */ 107987 wikitext text/x-wiki == Kaidah umum == :# <math>\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!</math> :# <math>\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx</math> :# <math>\int [f(x) - g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx</math> :# <math>\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx</math> :# <math>\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(untuk } n\neq -1\mbox{)}\,\! </math> :# <math>\int {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C </math> :# <math>\int {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C </math> :# <math>\int f(x) \, dx = F(x) + C</math> :# <math>\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)</math> :# <math>\int_a^c |f(x)| \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c -f(x) \, dx = F(b) - F(a) - F(c) + F(b)</math> jika <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge b, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < b. \end{cases}</math>. sebelum membuat f(x) dan -f(x) menentukan nilai x sebagai f(x) ≥ 0 untuk batas-batas wilayah yang menempatkan hasil positif (f(x)) dan negatif (-(f(x)) serta hasil integral mutlak tidak mungkin negatif. == rumus sederhana == :<math>\int \, dx = x + C</math> :<math>\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1</math> :<math>\int (ax+b)^n\,dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1</math> :<math>\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C</math> :<math>\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C</math> ; Eksponen dan logaritma :<math>\int e^x\,dx = e^x + C</math> :<math>\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C</math> :<math>\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C</math> :<math>\int \,^b\!\log {x}\,dx = x \cdot \, ^b\!\log x - x \cdot \,^b\!\log e + C</math> ; Trigonometri :<math>\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C</math> :<math>\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C</math> :<math>\int \tan{x} \, dx = \ln{\left| \sec {x} \right|} + C</math> :<math>\int \cot{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} \right|} + C</math> :<math>\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C</math> :<math>\int \csc{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} + \cot{x}\right|} + C</math> ; Hiperbolik :<math>\int \sinh x \, dx = \cosh x + C</math> :<math>\int \cosh x \, dx = \sinh x + C</math> :<math>\int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + C</math> :<math>\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C</math> :<math>\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan (\sinh x) + C</math> :<math>\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C</math> == Jenis integral == === integral biasa === Berikut contoh penyelesaian cara biasa. : <math>\int x^3 - cos 3x + e^{5x+2} - \frac{1}{2x+5}dx</math> : <math>= \frac{1}{3+1}x^{3+1} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C</math> : <math>= \frac{x^4}{4} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C</math> === integral substitusi === Berikut contoh penyelesaian cara substitusi. : <math>\int \frac{\ln(x)}{x}\,dx</math> : <math>t = \ln(x),\, dt = \frac{dx}{x}</math> Dengan menggunakan rumus di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \int \frac{\ln(x)}{x}\,dx \\ =&\; \int t\,dt \\ =&\; \frac{1}{2} t^2 + C \\ =&\; \frac{1}{2} \ln^2 x + C \end{aligned} </math> === integral parsial === ;Cara 1: Rumus Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut. : <math>\int u\,dv = uv - \int v\,du </math> Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan rumus. : <math>\int x \sin(x)\,dx</math> : <math>u = x,\, du = 1\,dx,\, dv = \sin(x)\,dx,\, v = -\cos(x)</math> Dengan menggunakan rumus di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \int x \sin(x)\,dx \\ =&\; (x)(-\cos(x)) - \int (-\cos(x))(1\,dx) \\ =&\; -x \cos(x) + \int \cos(x)\,dx \\ =&\; -x \cos(x) + \sin(x) + C \end{aligned} </math> ;Cara 2: Tabel Untuk <math display="inline">\int u\,dv</math>, berlaku ketentuan sebagai berikut. {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>u</math> || <math>dv</math> |- | - || <math>\frac{du}{dx}</math> || <math>v</math> |- | + || <math>\frac{d^2u}{dx^2}</math> || <math>\int v\,dx</math> |} Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan tabel. : <math>\int x \sin(x)\,dx</math> {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>x</math> || <math>\sin(x)</math> |- | - || <math>1</math> || <math>-\cos(x)</math> |- | + || <math>0</math> || <math>-\sin(x)</math> |} Dengan tabel di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \int x \sin(x)\,dx \\ =&\; (x)(-\cos(x)) - (1)(-\sin(x)) + C \\ =&\; -x \cos(x) + \sin(x) + C \end{aligned} </math> === integral pecahan parsial === Berikut contoh penyelesaian cara parsial untuk persamaan pecahan (rasional). : <math>\int \frac{dx}{x^2 - 4}</math> Pertama, pisahkan pecahan tersebut. : <math> \begin{aligned} =&\; \frac{1}{x^2 - 4} \\ =&\; \frac{1}{(x + 2)(x - 2)} \\ =&\; \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} \\ =&\; \frac{A(x - 2) + B(x + 2)}{x^2 - 4} \\ =&\; \frac{(A + B)x - 2(A - B)}{x^2 - 4} \end{aligned} </math> Kita tahu bahwa <math display="inline">A + B = 0</math> dan <math display="inline">A - B = -\frac{1}{2}</math> dapat diselesaikan, yaitu <math display="inline">A = -\frac{1}{4}</math> dan {{nowrap|<math display="inline">B = \frac{1}{4}</math>.}} : <math> \begin{aligned} &\; \int \frac{dx}{x^2 - 4} \\ =&\; \int -\frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)}\,dx \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}\,dx \\ =&\; \frac{1}{4} (\ln|x - 2| - \ln|x + 2|) + C \\ =&\; \frac{1}{4} \ln|\frac{x - 2}{x + 2}| + C \end{aligned}</math> === integral substitusi trigonometri === {| class="wikitable" |- ! Bentuk !! Trigonometri |- | <math>\sqrt{a^2 - b^2 x^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b}\sin(\alpha)</math> |- | <math>\sqrt{a^2 + b^2 x^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b}\tan(\alpha)</math> |- | <math>\sqrt{b^2 x^2 - a^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b}\sec(\alpha)</math> |} Berikut contoh penyelesaian cara substitusi trigonometri. : <math>\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}}</math> : <math>x = 2 \tan(A),\, dx = 2 \sec^2(A)\,dA</math> Dengan substitusi di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{(2 \tan(A))^2\sqrt{4 + (2 \tan(A))^2}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{4 \tan^2(A)\sqrt{4 + 4 \tan^2(A)}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{4 \tan^2(A)\sqrt{4(1 + \tan^2(A))}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{4 \tan^2(A)\sqrt{4 \sec^2(A)}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{(4 \tan^2(A))(2 \sec(A))} \\ =&\; \int \frac{\sec(A)\,dA}{4 \tan^2(A)} \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{\sec(A)\,dA}{\tan^2(A)} \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos(A)}{\sin^2(A)}\,dA \end{aligned} </math> Substitusi berikut dapat dibuat. : <math>\int \frac{\cos(A)}{\sin^2(A)}\,dA</math> : <math>t = \sin(A),\, dt = \cos(A)\,dA</math> Dengan substitusi di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos(A)}{\sin^2(A)}\,dA \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^2} \\ =&\; \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{t}\right) + C \\ =&\; -\frac{1}{4 t} + C \\ =&\; -\frac{1}{4 \sin(A)} + C \end{aligned} </math> Ingat bahwa <math display="inline">\sin(A) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}</math> berlaku. : <math> \begin{aligned} =&\; -\frac{1}{4 \sin(A)} + C \\ =&\; -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4 x} + C \end{aligned} </math> == Jenis integral lainnya == === panjang busur === ; Sumbu ''x'' : <math>S = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx</math> ; Sumbu ''y'' : <math>S = \int_{y_1}^{y_2} \sqrt{1 + (f'(y))^2}\,dy</math> === luas daerah === ; Satu kurva ; Sumbu ''x'' : <math>L = \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx</math> ; Sumbu ''y'' : <math>L = \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,dy</math> ; Dua kurva ; Sumbu ''x'' : <math>L = \int_{x_1}^{x_2} (f(x_2) - f(x_1))\,dx</math> ; Sumbu ''y'' : <math>L = \int_{y_1}^{y_2} (f(y_2) - f(y_1))\,dy</math> : atau juga <math>L = \frac {D \sqrt{D}}{6 a^2}</math> === luas permukaan benda putar === ; Sumbu ''x'' sebagai poros : <math>L_p = 2 \pi \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,ds</math> dengan : <math>ds = \sqrt {1 + (f'(x))^2}\,dx</math> ; Sumbu ''y'' sebagai poros : <math>L_p = 2 \pi \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,ds</math> dengan : <math>ds = \sqrt {1 + (f'(y))^2}\,dy</math> === volume benda putar === ; Satu kurva ; Sumbu ''x'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2\,dx</math> ; Sumbu ''y'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{y_1}^{y_2} (f(y))^2\,dy</math> ; Dua kurva ; Sumbu ''x'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{x_1}^{x_2} ((f(x_2))^2 - (f(x_1))^2)\,dx</math> ; Sumbu ''y'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{y_1}^{y_2} ((f(y_2))^2 - (f(y_1))^2)\,dy</math> == Integral lipat == Jenis integral lipat yaitu integral lipat dua dan integral lipat tiga. ;contoh * Tentukan hasil dari: * <math>\int_{1}^{5} 2x-3 dx</math> * <math>\int_{0}^{4} |x-2| dx</math> * <math>\int_{2}^{4} |3-x| dx</math> * <math>\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx</math> * <math>\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx</math> ; jawaban: ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{1}^{5} 2x-3 dx &= \left. x^2 - 3x \right|_{1}^{5} \\ &= 10 - (-2) \\ &= 12 \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{0}^{4} |x-2| dx \\ \text{ tentukan nilai harga nol } \\ x-2 &= 0 \\ x &= 2 \\ \text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu kurang dari 2 bernilai - sedangkan minimal dari 2 bernilai + berarti } \\ |x-2| = \begin{cases} x-2, & \mbox{jika } x \ge 2, \\ -(x-2), & \mbox{jika } x < 2. \end{cases} \\ \int_{0}^{4} |x-2| dx &= \int_{2}^{4} x-2 dx + \int_{0}^{2} -(x-2) dx \\ &= \left. (\frac{x^2}{2}-2x) \right|_{2}^{4} + \left. (\frac{-x^2}{2}+2x) \right|_{0}^{2} \\ &= 0 - (-2) + 2 - 0 \\ &= 4 \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{2}^{4} |3-x| dx \\ \text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\ 3-x &\ge 0 \\ \text{ harga nol } \\ x &= 3 \\ \text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu lebih dari 3 bernilai - sedangkan maksimal dari 3 bernilai + berarti } \\ |3-x| = \begin{cases} 3-x, & \mbox{jika } x \le 3, \\ -(3-x), & \mbox{jika } x > 3. \end{cases} \\ \int_{2}^{4} |3-x| dx &= \int_{2}^{3} 3-x dx + \int_{3}^{4} -(3-x) dx \\ &= \left. (3x-\frac{x^2}{2}) \right|_{2}^{3} + \left. (-3x+\frac{x^2}{2}) \right|_{3}^{4} \\ &= 4.5 - 4 - 4 - (-4.5) \\ &= 1 \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx &= \left. \frac{x^3}{3}-3x^2+8x \right|_{1}^{5} \\ &= \frac{20}{3} - \frac{16}{3} \\ &= \frac{4}{3} \\ &= 1\frac{1}{3} \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx \\ \text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\ x^2-2x-8 &\ge 0 \\ \text{ harga nol } \\ (x+2)(x-4) &= 0 \\ x = -2 \text{ atau } x = 4 \\ \text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu antara -2 dan 4 bernilai - sedangkan maksimal dari -2 dan minimal dari 4 bernilai + berarti } \\ |x^2-2x-8| = \begin{cases} x^2-2x-8, & \mbox{jika } x \le -2, \\ -(x^2-2x-8), & \mbox{jika } -2 < x < 4, \\ x^2-2x-8, & \mbox{jika } x \ge 4 \end{cases} \\ \int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx &= \int_{-3}^{-2} x^2-2x-8 dx + \int_{-2}^{4} -(x^2-2x-8) dx + \int_{4}^{5} x^2-2x-8 dx \\ &= \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{-3}^{-2} + \left. (\frac{-x^3}{3}+x^2+8x) \right|_{-2}^{4} + \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{4}^{5} \\ &= \frac{28}{3} - 6 + \frac{80}{3} - (-\frac{28}{3}) - \frac{70}{3} - (-\frac{80}{3}) \\ &= \frac{128}{3} \\ &= 42\frac{2}{3} \\ \end{aligned} </math> </div></div> * Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = x</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} L &= \int x\,dx \\ L &= \frac{1}{2} x^2 \\ L &= \frac{1}{2} xy \quad (y = x) \end{aligned} </math> </div></div> * Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = x^2</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} L &= \int x^2\,dx \\ L &= \frac{1}{3} x^3 \\ L &= \frac{1}{3} xy \quad (y = x^2) \end{aligned}</math> * Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = \sqrt{x}</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral! : <math> \begin{aligned} L &= \int \sqrt{x}\,dx \\ L &= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \\ L &= \frac{2}{3} xy \quad (y = \sqrt{x}) \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas persegi <math>L = s^2</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = s \text{ dan titik (''s'', ''s''), } \\ L &= \int_{0}^{s} s\,dx \\ L &= sx |_{0}^{s} \\ L &= ss - 0 \\ L &= s^2 \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas persegi panjang <math>L = pl</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{Dengan posisi } y = l \text{dan titik (''p'', ''l''), } \\ L &= \int_{0}^{p} l\,dx \\ L &= lx |_{0}^{p} \\ L &= pl - 0 \\ L &= pl \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas segitiga <math>L = \frac{at}{2}</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \frac{-tx}{a} + t \text { dan titik (''a'', ''t''), } \\ L &= \int_{0}^{a} \left (\frac{-tx}{a} + t \right) \,dx \\ L &= \left. \frac{-tx^2}{2a} + tx \right|_{0}^{a} \\ L &= \frac{-ta^2}{2a} + ta - 0 + 0 \\ L &= \frac{-ta}{2} + ta \\ L &= \frac{at}{2} \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan volume tabung <math>V = \pi r^2t</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{ Dengan posisi } y = r \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\ V &= \pi \int_{0}^{t} r^2\,dx \\ V &= \pi \left. r^2x \right|_{0}^{t} \\ V &= \pi r^2t - 0 \\ V &= \pi r^2t \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan volume kerucut <math>V = \frac{\pi r^2t}{3}</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \frac{rx}{t} \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\ V &= \pi \int_{0}^{t} \left (\frac{rx}{t} \right)^2 \,dx \\ V &= \pi \left. \frac{r^2 x^3}{3t^2} \right|_{0}^{t} \\ V &= \pi \frac{r^2 t^3}{3t^2} - 0 \\ V &= \frac{\pi r^2t}{3} \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan volume bola <math>V = \frac{4 \pi r^3}{3}</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), } \\ V &= \pi \int_{-r}^{r} \left(\sqrt {r^2 - x^2}\right)^2\,dx \\ V &= \pi \int_{-r}^{r} r^2 - x^2 dx \\ V &= \pi \left. r^2x - \frac{x^3}{3} \right|_{-r}^{r} \\ V &= \pi \left (r^3 - \frac{r^3}{3} - \left (-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) \right) \\ V &= \frac{4 \pi r^3}{3} \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas permukaan bola <math>L = 4 \pi r^2</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), Kita tahu bahwa turunannya adalah } \\ y' &= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\ \text{selanjutnya } \\ ds &= \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\ ds &= \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\ ds &= \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\ ds &= \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\ \text{sehingga } \\ L &= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\ L &= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,dx \\ L &= 2 \pi rx|_{-r}^{r} \\ L &= 2 \pi (r r - r (-r)) \\ L &= 2 \pi (r^2 + r^2) \\ L &= 4 \pi r^2 \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan keliling lingkaran <math>K = 2 \pi r</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0) } \\ \text{kita tahu bahwa turunannya adalah } \\ y' &= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\ \text{sehingga } \\ K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\ K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{x^2}{r^2 - x^2})}\,dx \\ K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt\frac{r^2}{r^2 - x^2}\,dx \\ K &= 4r \int_{0}^{r} \sqrt\frac{1}{r^2 - x^2}\,dx \\ K &= 4r \int_{0}^{r} \frac{1}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\ K &= 4r \left. \arcsin \left (\frac{x}{r} \right) \right|_{0}^{r} \\ K &= 4r \left (\arcsin \left (\frac{r}{r}\right) - \arcsin \left (\frac{0}{r} \right) \right) \\ K &= 4r \left (\arcsin\left (1 \right) - \arcsin \left(0 \right) \right)) \\ K &= 4r \left (\frac{\pi}{2} \right) \\ K &= 2 \pi r \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas lingkaran <math>L = \pi r^2</math> dengan cara integral! : Dengan posisi <math>y = \sqrt{r^2 - x^2}</math> serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \sin(\theta) &= \frac{x}{r} \\ x &= r \sin(\theta) \\ dx &= r \cos(\theta)\,d\theta \\ \text{dengan turunan di atas } \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - (r \sin(\theta))^2}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - r^2 \sin^2(\theta)}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 (1 - \sin^2(\theta))}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta)\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta) (r \cos(\theta)\,d\theta) \\ L &= 4 \int_{0}^{r} r^2 \cos^2(\theta)\,d\theta \\ L &= 4r^2 \int_{0}^{r} \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right)\,d\theta \\ L &= 2r^2 \int_{0}^{r} (1 + \cos(2\theta))\,d\theta \\ L &= 2r^2 \left (\theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right)|_{0}^{r} \\ L &= 2r^2 (\theta + \sin(\theta) \cos(\theta))|_{0}^{r} \\ L &= 2r^2 \left (\arcsin \left (\frac{x}{r} \right) + \left (\frac{x}{r} \right) \left (\frac{r^2 - x^2}{r} \right) \right)|_{0}^{r} \\ L &= 2r^2 \left (\arcsin \left(\frac{r}{r} \right) + \left (\frac{r}{r} \right) \left (\frac {r^2 - r^2}{r} \right) \right) - \left(\arcsin \left (\frac{0}{r} \right) + \left (\frac{0}{r}\right) \left (\frac{r^2 - 0^2}{r} \right) \right) \\ L &= 2r^2 (\arcsin(1) + 0 - (\arcsin(0) + 0)) \\ L &= 2r^2 \left (\frac{\pi}{2} \right) \\ L &= \pi r^2 \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas elips <math>L = \pi ab</math> dengan cara integral! : Dengan posisi <math>y = \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}</math> serta (-''a'', 0) dan (''a'', 0), <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} L &= 4 \int_{0}^{r} \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}\,dx \\ L &= \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx \\ \text{dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-''a'', 0) dan (''a'', 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips, } \\ \frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &= \frac{\frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx}{4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx} \\ \frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &= \frac{b}{a} \\ L_\text{elips} &= \frac{b}{a} L_\text{ling} \\ L_\text{elips} &= \frac{b}{a} \pi a^2 \\ L_\text{elips} &= \pi ab \end{aligned} </math> </div></div> * Berapa luas daerah yang dibatasi y=x²-2x dan y=4x+7! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\ y_1 &= y_2 \\ x^-2x &= 4x+7 \\ x^2-6x-7 &= 0 \\ (x+1)(x-7) &= 0 \\ x=-1 &\text{ atau } x=7 \\ y &= 4(-1)+7 = 3 \\ y &= 4(7)+7 = 35 \\ \text{jadi titik potong (-1,3) dan (7,35) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\ L &= \int_{-1}^{7} 4x+7-(x^2-2x)\,dx \\ &= \int_{-1}^{7} -x^2+6x+7\,dx \\ &= -\frac{x^3}{3}+3x^2+7x|_{-1}^{7} \\ &= -\frac{7^3}{3}+3(7)^2+7(7)-(-\frac{(-1)^3}{3}+3(-1)^2+7(-1)) \\ &= \frac{245}{3}-(-\frac{13}{3}) \\ &= \frac{258}{3} \\ &= 86 \\ \end{aligned} </math> </div></div> * Berapa volume benda putar yang dibatasi y=6-1,5x dan y=x-4 serta x=0 mengelilingi sumbu x sejauh 360°! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\ y_1 &= y_2 \\ 6-1,5x &= x-4 \\ 2,5x &= 10 \\ x &= 4 \\ y &= 4-4 = 0 \\ \text{jadi titik potong (4,0) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\ \text{untuk x=0 } \\ y &= 6-1,5(0) = 6 \\ y &= 0-4 = -4 \\ L &= \pi \int_{0}^{4} ((6-1,5x)^2-(x-4)^2)\,dx \\ &= \pi \int_{0}^{4} (36-18x+2,25^2-(x^2-8x+16))\,dx \\ &= \pi \int_{0}^{4} (1,25x^2-10x+20)\,dx \\ &= \pi (\frac{1,25x^3}{3}-5x^2+20x)|_{0}^{4} \\ &= \pi (\frac{1,25(4)^3}{3}-5(4)^2+20(4)-(\frac{1,25(0)^3}{3}-5(0)^2+20(0))) \\ &= \pi (\frac{30}{3}-0) \\ &= 10\pi \\ \end{aligned} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 73j2kauht6n1nvdk6jqpb0s6hyrsw8k 107989 107987 2025-06-30T12:11:47Z Akuindo 8654 /* Integral lipat */ 107989 wikitext text/x-wiki == Kaidah umum == :# <math>\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!</math> :# <math>\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx</math> :# <math>\int [f(x) - g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx</math> :# <math>\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx</math> :# <math>\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(untuk } n\neq -1\mbox{)}\,\! </math> :# <math>\int {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C </math> :# <math>\int {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C </math> :# <math>\int f(x) \, dx = F(x) + C</math> :# <math>\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)</math> :# <math>\int_a^c |f(x)| \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c -f(x) \, dx = F(b) - F(a) - F(c) + F(b)</math> jika <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge b, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < b. \end{cases}</math>. sebelum membuat f(x) dan -f(x) menentukan nilai x sebagai f(x) ≥ 0 untuk batas-batas wilayah yang menempatkan hasil positif (f(x)) dan negatif (-(f(x)) serta hasil integral mutlak tidak mungkin negatif. == rumus sederhana == :<math>\int \, dx = x + C</math> :<math>\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1</math> :<math>\int (ax+b)^n\,dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1</math> :<math>\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C</math> :<math>\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C</math> ; Eksponen dan logaritma :<math>\int e^x\,dx = e^x + C</math> :<math>\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C</math> :<math>\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C</math> :<math>\int \,^b\!\log {x}\,dx = x \cdot \, ^b\!\log x - x \cdot \,^b\!\log e + C</math> ; Trigonometri :<math>\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C</math> :<math>\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C</math> :<math>\int \tan{x} \, dx = \ln{\left| \sec {x} \right|} + C</math> :<math>\int \cot{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} \right|} + C</math> :<math>\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C</math> :<math>\int \csc{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} + \cot{x}\right|} + C</math> ; Hiperbolik :<math>\int \sinh x \, dx = \cosh x + C</math> :<math>\int \cosh x \, dx = \sinh x + C</math> :<math>\int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + C</math> :<math>\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C</math> :<math>\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan (\sinh x) + C</math> :<math>\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C</math> == Jenis integral == === integral biasa === Berikut contoh penyelesaian cara biasa. : <math>\int x^3 - cos 3x + e^{5x+2} - \frac{1}{2x+5}dx</math> : <math>= \frac{1}{3+1}x^{3+1} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C</math> : <math>= \frac{x^4}{4} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C</math> === integral substitusi === Berikut contoh penyelesaian cara substitusi. : <math>\int \frac{\ln(x)}{x}\,dx</math> : <math>t = \ln(x),\, dt = \frac{dx}{x}</math> Dengan menggunakan rumus di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \int \frac{\ln(x)}{x}\,dx \\ =&\; \int t\,dt \\ =&\; \frac{1}{2} t^2 + C \\ =&\; \frac{1}{2} \ln^2 x + C \end{aligned} </math> === integral parsial === ;Cara 1: Rumus Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut. : <math>\int u\,dv = uv - \int v\,du </math> Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan rumus. : <math>\int x \sin(x)\,dx</math> : <math>u = x,\, du = 1\,dx,\, dv = \sin(x)\,dx,\, v = -\cos(x)</math> Dengan menggunakan rumus di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \int x \sin(x)\,dx \\ =&\; (x)(-\cos(x)) - \int (-\cos(x))(1\,dx) \\ =&\; -x \cos(x) + \int \cos(x)\,dx \\ =&\; -x \cos(x) + \sin(x) + C \end{aligned} </math> ;Cara 2: Tabel Untuk <math display="inline">\int u\,dv</math>, berlaku ketentuan sebagai berikut. {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>u</math> || <math>dv</math> |- | - || <math>\frac{du}{dx}</math> || <math>v</math> |- | + || <math>\frac{d^2u}{dx^2}</math> || <math>\int v\,dx</math> |} Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan tabel. : <math>\int x \sin(x)\,dx</math> {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>x</math> || <math>\sin(x)</math> |- | - || <math>1</math> || <math>-\cos(x)</math> |- | + || <math>0</math> || <math>-\sin(x)</math> |} Dengan tabel di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \int x \sin(x)\,dx \\ =&\; (x)(-\cos(x)) - (1)(-\sin(x)) + C \\ =&\; -x \cos(x) + \sin(x) + C \end{aligned} </math> === integral pecahan parsial === Berikut contoh penyelesaian cara parsial untuk persamaan pecahan (rasional). : <math>\int \frac{dx}{x^2 - 4}</math> Pertama, pisahkan pecahan tersebut. : <math> \begin{aligned} =&\; \frac{1}{x^2 - 4} \\ =&\; \frac{1}{(x + 2)(x - 2)} \\ =&\; \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} \\ =&\; \frac{A(x - 2) + B(x + 2)}{x^2 - 4} \\ =&\; \frac{(A + B)x - 2(A - B)}{x^2 - 4} \end{aligned} </math> Kita tahu bahwa <math display="inline">A + B = 0</math> dan <math display="inline">A - B = -\frac{1}{2}</math> dapat diselesaikan, yaitu <math display="inline">A = -\frac{1}{4}</math> dan {{nowrap|<math display="inline">B = \frac{1}{4}</math>.}} : <math> \begin{aligned} &\; \int \frac{dx}{x^2 - 4} \\ =&\; \int -\frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)}\,dx \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}\,dx \\ =&\; \frac{1}{4} (\ln|x - 2| - \ln|x + 2|) + C \\ =&\; \frac{1}{4} \ln|\frac{x - 2}{x + 2}| + C \end{aligned}</math> === integral substitusi trigonometri === {| class="wikitable" |- ! Bentuk !! Trigonometri |- | <math>\sqrt{a^2 - b^2 x^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b}\sin(\alpha)</math> |- | <math>\sqrt{a^2 + b^2 x^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b}\tan(\alpha)</math> |- | <math>\sqrt{b^2 x^2 - a^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b}\sec(\alpha)</math> |} Berikut contoh penyelesaian cara substitusi trigonometri. : <math>\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}}</math> : <math>x = 2 \tan(A),\, dx = 2 \sec^2(A)\,dA</math> Dengan substitusi di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{(2 \tan(A))^2\sqrt{4 + (2 \tan(A))^2}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{4 \tan^2(A)\sqrt{4 + 4 \tan^2(A)}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{4 \tan^2(A)\sqrt{4(1 + \tan^2(A))}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{4 \tan^2(A)\sqrt{4 \sec^2(A)}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{(4 \tan^2(A))(2 \sec(A))} \\ =&\; \int \frac{\sec(A)\,dA}{4 \tan^2(A)} \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{\sec(A)\,dA}{\tan^2(A)} \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos(A)}{\sin^2(A)}\,dA \end{aligned} </math> Substitusi berikut dapat dibuat. : <math>\int \frac{\cos(A)}{\sin^2(A)}\,dA</math> : <math>t = \sin(A),\, dt = \cos(A)\,dA</math> Dengan substitusi di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos(A)}{\sin^2(A)}\,dA \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^2} \\ =&\; \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{t}\right) + C \\ =&\; -\frac{1}{4 t} + C \\ =&\; -\frac{1}{4 \sin(A)} + C \end{aligned} </math> Ingat bahwa <math display="inline">\sin(A) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}</math> berlaku. : <math> \begin{aligned} =&\; -\frac{1}{4 \sin(A)} + C \\ =&\; -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4 x} + C \end{aligned} </math> == Jenis integral lainnya == === panjang busur === ; Sumbu ''x'' : <math>S = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx</math> ; Sumbu ''y'' : <math>S = \int_{y_1}^{y_2} \sqrt{1 + (f'(y))^2}\,dy</math> === luas daerah === ; Satu kurva ; Sumbu ''x'' : <math>L = \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx</math> ; Sumbu ''y'' : <math>L = \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,dy</math> ; Dua kurva ; Sumbu ''x'' : <math>L = \int_{x_1}^{x_2} (f(x_2) - f(x_1))\,dx</math> ; Sumbu ''y'' : <math>L = \int_{y_1}^{y_2} (f(y_2) - f(y_1))\,dy</math> : atau juga <math>L = \frac {D \sqrt{D}}{6 a^2}</math> === luas permukaan benda putar === ; Sumbu ''x'' sebagai poros : <math>L_p = 2 \pi \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,ds</math> dengan : <math>ds = \sqrt {1 + (f'(x))^2}\,dx</math> ; Sumbu ''y'' sebagai poros : <math>L_p = 2 \pi \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,ds</math> dengan : <math>ds = \sqrt {1 + (f'(y))^2}\,dy</math> === volume benda putar === ; Satu kurva ; Sumbu ''x'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2\,dx</math> ; Sumbu ''y'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{y_1}^{y_2} (f(y))^2\,dy</math> ; Dua kurva ; Sumbu ''x'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{x_1}^{x_2} ((f(x_2))^2 - (f(x_1))^2)\,dx</math> ; Sumbu ''y'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{y_1}^{y_2} ((f(y_2))^2 - (f(y_1))^2)\,dy</math> == Integral lipat == Jenis integral lipat yaitu integral lipat dua dan integral lipat tiga. ;contoh * Tentukan hasil dari: * <math>\int_{1}^{5} 2x-3 dx</math> * <math>\int_{0}^{4} |x-2| dx</math> * <math>\int_{2}^{4} |3-x| dx</math> * <math>\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx</math> * <math>\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx</math> ; jawaban: ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{1}^{5} 2x-3 dx &= \left. x^2 - 3x \right|_{1}^{5} \\ &= 10 - (-2) \\ &= 12 \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{0}^{4} |x-2| dx \\ \text{ tentukan nilai harga nol } \\ x-2 &= 0 \\ x &= 2 \\ \text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu kurang dari 2 bernilai - sedangkan minimal dari 2 bernilai + berarti } \\ |x-2| = \begin{cases} x-2, & \mbox{jika } x \ge 2, \\ -(x-2), & \mbox{jika } x < 2. \end{cases} \\ \int_{0}^{4} |x-2| dx &= \int_{2}^{4} x-2 dx + \int_{0}^{2} -(x-2) dx \\ &= \left. (\frac{x^2}{2}-2x) \right|_{2}^{4} + \left. (\frac{-x^2}{2}+2x) \right|_{0}^{2} \\ &= 0 - (-2) + 2 - 0 \\ &= 4 \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{2}^{4} |3-x| dx \\ \text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\ 3-x &\ge 0 \\ \text{ harga nol } \\ x &= 3 \\ \text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu lebih dari 3 bernilai - sedangkan maksimal dari 3 bernilai + berarti } \\ |3-x| = \begin{cases} 3-x, & \mbox{jika } x \le 3, \\ -(3-x), & \mbox{jika } x > 3. \end{cases} \\ \int_{2}^{4} |3-x| dx &= \int_{2}^{3} 3-x dx + \int_{3}^{4} -(3-x) dx \\ &= \left. (3x-\frac{x^2}{2}) \right|_{2}^{3} + \left. (-3x+\frac{x^2}{2}) \right|_{3}^{4} \\ &= 4.5 - 4 - 4 - (-4.5) \\ &= 1 \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx &= \left. \frac{x^3}{3}-3x^2+8x \right|_{1}^{5} \\ &= \frac{20}{3} - \frac{16}{3} \\ &= \frac{4}{3} \\ &= 1\frac{1}{3} \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx \\ \text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\ x^2-2x-8 &\ge 0 \\ \text{ harga nol } \\ (x+2)(x-4) &= 0 \\ x = -2 \text{ atau } x = 4 \\ \text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu antara -2 dan 4 bernilai - sedangkan maksimal dari -2 dan minimal dari 4 bernilai + berarti } \\ |x^2-2x-8| = \begin{cases} x^2-2x-8, & \mbox{jika } x \le -2, \\ -(x^2-2x-8), & \mbox{jika } -2 < x < 4, \\ x^2-2x-8, & \mbox{jika } x \ge 4 \end{cases} \\ \int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx &= \int_{-3}^{-2} x^2-2x-8 dx + \int_{-2}^{4} -(x^2-2x-8) dx + \int_{4}^{5} x^2-2x-8 dx \\ &= \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{-3}^{-2} + \left. (\frac{-x^3}{3}+x^2+8x) \right|_{-2}^{4} + \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{4}^{5} \\ &= \frac{28}{3} - 6 + \frac{80}{3} - (-\frac{28}{3}) - \frac{70}{3} - (-\frac{80}{3}) \\ &= \frac{128}{3} \\ &= 42\frac{2}{3} \\ \end{aligned} </math> </div></div> * Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = x</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} L &= \int x\,dx \\ L &= \frac{1}{2} x^2 \\ L &= \frac{1}{2} xy \quad (y = x) \end{aligned} </math> </div></div> * Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = x^2</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} L &= \int x^2\,dx \\ L &= \frac{1}{3} x^3 \\ L &= \frac{1}{3} xy \quad (y = x^2) \end{aligned}</math> * Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = \sqrt{x}</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral! : <math> \begin{aligned} L &= \int \sqrt{x}\,dx \\ L &= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \\ L &= \frac{2}{3} xy \quad (y = \sqrt{x}) \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas persegi <math>L = s^2</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = s \text{ dan titik (''s'', ''s''), } \\ L &= \int_{0}^{s} s\,dx \\ L &= sx |_{0}^{s} \\ L &= ss - 0 \\ L &= s^2 \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas persegi panjang <math>L = pl</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{Dengan posisi } y = l \text{dan titik (''p'', ''l''), } \\ L &= \int_{0}^{p} l\,dx \\ L &= lx |_{0}^{p} \\ L &= pl - 0 \\ L &= pl \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas segitiga <math>L = \frac{at}{2}</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \frac{-tx}{a} + t \text { dan titik (''a'', ''t''), } \\ L &= \int_{0}^{a} \left (\frac{-tx}{a} + t \right) \,dx \\ L &= \left. \frac{-tx^2}{2a} + tx \right|_{0}^{a} \\ L &= \frac{-ta^2}{2a} + ta - 0 + 0 \\ L &= \frac{-ta}{2} + ta \\ L &= \frac{at}{2} \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan volume tabung <math>V = \pi r^2t</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{ Dengan posisi } y = r \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\ V &= \pi \int_{0}^{t} r^2\,dx \\ V &= \pi \left. r^2x \right|_{0}^{t} \\ V &= \pi r^2t - 0 \\ V &= \pi r^2t \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan volume kerucut <math>V = \frac{\pi r^2t}{3}</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \frac{rx}{t} \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\ V &= \pi \int_{0}^{t} \left (\frac{rx}{t} \right)^2 \,dx \\ V &= \pi \left. \frac{r^2 x^3}{3t^2} \right|_{0}^{t} \\ V &= \pi \frac{r^2 t^3}{3t^2} - 0 \\ V &= \frac{\pi r^2t}{3} \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan volume bola <math>V = \frac{4 \pi r^3}{3}</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), } \\ V &= \pi \int_{-r}^{r} \left(\sqrt {r^2 - x^2}\right)^2\,dx \\ V &= \pi \int_{-r}^{r} r^2 - x^2 dx \\ V &= \pi \left. r^2x - \frac{x^3}{3} \right|_{-r}^{r} \\ V &= \pi \left (r^3 - \frac{r^3}{3} - \left (-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) \right) \\ V &= \frac{4 \pi r^3}{3} \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas permukaan bola <math>L = 4 \pi r^2</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), Kita tahu bahwa turunannya adalah } \\ y' &= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\ \text{selanjutnya } \\ ds &= \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\ ds &= \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\ ds &= \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\ ds &= \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\ \text{sehingga } \\ L &= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\ L &= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,dx \\ L &= 2 \pi rx|_{-r}^{r} \\ L &= 2 \pi (r r - r (-r)) \\ L &= 2 \pi (r^2 + r^2) \\ L &= 4 \pi r^2 \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan keliling lingkaran <math>K = 2 \pi r</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0) } \\ \text{kita tahu bahwa turunannya adalah } \\ y' &= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\ \text{sehingga } \\ K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\ K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{x^2}{r^2 - x^2})}\,dx \\ K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt\frac{r^2}{r^2 - x^2}\,dx \\ K &= 4r \int_{0}^{r} \sqrt\frac{1}{r^2 - x^2}\,dx \\ K &= 4r \int_{0}^{r} \frac{1}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\ K &= 4r \left. \arcsin \left (\frac{x}{r} \right) \right|_{0}^{r} \\ K &= 4r \left (\arcsin \left (\frac{r}{r}\right) - \arcsin \left (\frac{0}{r} \right) \right) \\ K &= 4r \left (\arcsin\left (1 \right) - \arcsin \left(0 \right) \right)) \\ K &= 4r \left (\frac{\pi}{2} \right) \\ K &= 2 \pi r \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas lingkaran <math>L = \pi r^2</math> dengan cara integral! : Dengan posisi <math>y = \sqrt{r^2 - x^2}</math> serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \sin(\theta) &= \frac{x}{r} \\ x &= r \sin(\theta) \\ dx &= r \cos(\theta)\,d\theta \\ \text{dengan turunan di atas } \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - (r \sin(\theta))^2}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - r^2 \sin^2(\theta)}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 (1 - \sin^2(\theta))}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta)\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta) (r \cos(\theta)\,d\theta) \\ L &= 4 \int_{0}^{r} r^2 \cos^2(\theta)\,d\theta \\ L &= 4r^2 \int_{0}^{r} \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right)\,d\theta \\ L &= 2r^2 \int_{0}^{r} (1 + \cos(2\theta))\,d\theta \\ L &= 2r^2 \left (\theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right)|_{0}^{r} \\ L &= 2r^2 (\theta + \sin(\theta) \cos(\theta))|_{0}^{r} \\ L &= 2r^2 \left (\arcsin \left (\frac{x}{r} \right) + \left (\frac{x}{r} \right) \left (\frac{r^2 - x^2}{r} \right) \right)|_{0}^{r} \\ L &= 2r^2 \left (\arcsin \left(\frac{r}{r} \right) + \left (\frac{r}{r} \right) \left (\frac {r^2 - r^2}{r} \right) \right) - \left(\arcsin \left (\frac{0}{r} \right) + \left (\frac{0}{r}\right) \left (\frac{r^2 - 0^2}{r} \right) \right) \\ L &= 2r^2 (\arcsin(1) + 0 - (\arcsin(0) + 0)) \\ L &= 2r^2 \left (\frac{\pi}{2} \right) \\ L &= \pi r^2 \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas elips <math>L = \pi ab</math> dengan cara integral! : Dengan posisi <math>y = \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}</math> serta (-''a'', 0) dan (''a'', 0), <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} L &= 4 \int_{0}^{r} \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}\,dx \\ L &= \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx \\ \text{dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-''a'', 0) dan (''a'', 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips, } \\ \frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &= \frac{\frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx}{4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx} \\ \frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &= \frac{b}{a} \\ L_\text{elips} &= \frac{b}{a} L_\text{ling} \\ L_\text{elips} &= \frac{b}{a} \pi a^2 \\ L_\text{elips} &= \pi ab \end{aligned} </math> </div></div> * Berapa luas daerah yang dibatasi y=x²-2x dan y=4x+7! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\ y_1 &= y_2 \\ x^-2x &= 4x+7 \\ x^2-6x-7 &= 0 \\ (x+1)(x-7) &= 0 \\ x=-1 &\text{ atau } x=7 \\ y &= 4(-1)+7 = 3 \\ y &= 4(7)+7 = 35 \\ \text{jadi titik potong (-1,3) dan (7,35) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\ L &= \int_{-1}^{7} 4x+7-(x^2-2x)\,dx \\ &= \int_{-1}^{7} -x^2+6x+7\,dx \\ &= -\frac{x^3}{3}+3x^2+7x|_{-1}^{7} \\ &= -\frac{7^3}{3}+3(7)^2+7(7)-(-\frac{(-1)^3}{3}+3(-1)^2+7(-1)) \\ &= \frac{245}{3}-(-\frac{13}{3}) \\ &= \frac{258}{3} \\ &= 86 \\ \end{aligned} </math> </div></div> * Berapa volume benda putar yang dibatasi y=6-1,5x dan y=x-4 serta x=0 mengelilingi sumbu x sejauh 360°! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\ y_1 &= y_2 \\ 6-1,5x &= x-4 \\ 2,5x &= 10 \\ x &= 4 \\ y &= 4-4 = 0 \\ \text{jadi titik potong (4,0) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\ \text{untuk x=0 } \\ y &= 6-1,5(0) = 6 \\ y &= 0-4 = -4 \\ L &= \pi \int_{0}^{4} ((6-1,5x)^2-(x-4)^2)\,dx \\ &= \pi \int_{0}^{4} (36-18x+2,25x^2-(x^2-8x+16))\,dx \\ &= \pi \int_{0}^{4} (1,25x^2-10x+20)\,dx \\ &= \pi (\frac{1,25x^3}{3}-5x^2+20x)|_{0}^{4} \\ &= \pi (\frac{1,25(4)^3}{3}-5(4)^2+20(4)-(\frac{1,25(0)^3}{3}-5(0)^2+20(0))) \\ &= \pi (\frac{30}{3}-0) \\ &= 10\pi \\ \end{aligned} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 63nt0tvi2syowvhzf57izzbnma9krgn 107990 107989 2025-06-30T12:13:09Z Akuindo 8654 /* Integral lipat */ 107990 wikitext text/x-wiki == Kaidah umum == :# <math>\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!</math> :# <math>\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx</math> :# <math>\int [f(x) - g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx</math> :# <math>\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx</math> :# <math>\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(untuk } n\neq -1\mbox{)}\,\! </math> :# <math>\int {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C </math> :# <math>\int {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C </math> :# <math>\int f(x) \, dx = F(x) + C</math> :# <math>\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)</math> :# <math>\int_a^c |f(x)| \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c -f(x) \, dx = F(b) - F(a) - F(c) + F(b)</math> jika <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge b, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < b. \end{cases}</math>. sebelum membuat f(x) dan -f(x) menentukan nilai x sebagai f(x) ≥ 0 untuk batas-batas wilayah yang menempatkan hasil positif (f(x)) dan negatif (-(f(x)) serta hasil integral mutlak tidak mungkin negatif. == rumus sederhana == :<math>\int \, dx = x + C</math> :<math>\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1</math> :<math>\int (ax+b)^n\,dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1</math> :<math>\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C</math> :<math>\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C</math> ; Eksponen dan logaritma :<math>\int e^x\,dx = e^x + C</math> :<math>\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C</math> :<math>\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C</math> :<math>\int \,^b\!\log {x}\,dx = x \cdot \, ^b\!\log x - x \cdot \,^b\!\log e + C</math> ; Trigonometri :<math>\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C</math> :<math>\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C</math> :<math>\int \tan{x} \, dx = \ln{\left| \sec {x} \right|} + C</math> :<math>\int \cot{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} \right|} + C</math> :<math>\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C</math> :<math>\int \csc{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} + \cot{x}\right|} + C</math> ; Hiperbolik :<math>\int \sinh x \, dx = \cosh x + C</math> :<math>\int \cosh x \, dx = \sinh x + C</math> :<math>\int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + C</math> :<math>\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C</math> :<math>\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan (\sinh x) + C</math> :<math>\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C</math> == Jenis integral == === integral biasa === Berikut contoh penyelesaian cara biasa. : <math>\int x^3 - cos 3x + e^{5x+2} - \frac{1}{2x+5}dx</math> : <math>= \frac{1}{3+1}x^{3+1} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C</math> : <math>= \frac{x^4}{4} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C</math> === integral substitusi === Berikut contoh penyelesaian cara substitusi. : <math>\int \frac{\ln(x)}{x}\,dx</math> : <math>t = \ln(x),\, dt = \frac{dx}{x}</math> Dengan menggunakan rumus di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \int \frac{\ln(x)}{x}\,dx \\ =&\; \int t\,dt \\ =&\; \frac{1}{2} t^2 + C \\ =&\; \frac{1}{2} \ln^2 x + C \end{aligned} </math> === integral parsial === ;Cara 1: Rumus Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut. : <math>\int u\,dv = uv - \int v\,du </math> Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan rumus. : <math>\int x \sin(x)\,dx</math> : <math>u = x,\, du = 1\,dx,\, dv = \sin(x)\,dx,\, v = -\cos(x)</math> Dengan menggunakan rumus di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \int x \sin(x)\,dx \\ =&\; (x)(-\cos(x)) - \int (-\cos(x))(1\,dx) \\ =&\; -x \cos(x) + \int \cos(x)\,dx \\ =&\; -x \cos(x) + \sin(x) + C \end{aligned} </math> ;Cara 2: Tabel Untuk <math display="inline">\int u\,dv</math>, berlaku ketentuan sebagai berikut. {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>u</math> || <math>dv</math> |- | - || <math>\frac{du}{dx}</math> || <math>v</math> |- | + || <math>\frac{d^2u}{dx^2}</math> || <math>\int v\,dx</math> |} Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan tabel. : <math>\int x \sin(x)\,dx</math> {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>x</math> || <math>\sin(x)</math> |- | - || <math>1</math> || <math>-\cos(x)</math> |- | + || <math>0</math> || <math>-\sin(x)</math> |} Dengan tabel di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \int x \sin(x)\,dx \\ =&\; (x)(-\cos(x)) - (1)(-\sin(x)) + C \\ =&\; -x \cos(x) + \sin(x) + C \end{aligned} </math> === integral pecahan parsial === Berikut contoh penyelesaian cara parsial untuk persamaan pecahan (rasional). : <math>\int \frac{dx}{x^2 - 4}</math> Pertama, pisahkan pecahan tersebut. : <math> \begin{aligned} =&\; \frac{1}{x^2 - 4} \\ =&\; \frac{1}{(x + 2)(x - 2)} \\ =&\; \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} \\ =&\; \frac{A(x - 2) + B(x + 2)}{x^2 - 4} \\ =&\; \frac{(A + B)x - 2(A - B)}{x^2 - 4} \end{aligned} </math> Kita tahu bahwa <math display="inline">A + B = 0</math> dan <math display="inline">A - B = -\frac{1}{2}</math> dapat diselesaikan, yaitu <math display="inline">A = -\frac{1}{4}</math> dan {{nowrap|<math display="inline">B = \frac{1}{4}</math>.}} : <math> \begin{aligned} &\; \int \frac{dx}{x^2 - 4} \\ =&\; \int -\frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)}\,dx \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}\,dx \\ =&\; \frac{1}{4} (\ln|x - 2| - \ln|x + 2|) + C \\ =&\; \frac{1}{4} \ln|\frac{x - 2}{x + 2}| + C \end{aligned}</math> === integral substitusi trigonometri === {| class="wikitable" |- ! Bentuk !! Trigonometri |- | <math>\sqrt{a^2 - b^2 x^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b}\sin(\alpha)</math> |- | <math>\sqrt{a^2 + b^2 x^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b}\tan(\alpha)</math> |- | <math>\sqrt{b^2 x^2 - a^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b}\sec(\alpha)</math> |} Berikut contoh penyelesaian cara substitusi trigonometri. : <math>\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}}</math> : <math>x = 2 \tan(A),\, dx = 2 \sec^2(A)\,dA</math> Dengan substitusi di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{(2 \tan(A))^2\sqrt{4 + (2 \tan(A))^2}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{4 \tan^2(A)\sqrt{4 + 4 \tan^2(A)}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{4 \tan^2(A)\sqrt{4(1 + \tan^2(A))}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{4 \tan^2(A)\sqrt{4 \sec^2(A)}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{(4 \tan^2(A))(2 \sec(A))} \\ =&\; \int \frac{\sec(A)\,dA}{4 \tan^2(A)} \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{\sec(A)\,dA}{\tan^2(A)} \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos(A)}{\sin^2(A)}\,dA \end{aligned} </math> Substitusi berikut dapat dibuat. : <math>\int \frac{\cos(A)}{\sin^2(A)}\,dA</math> : <math>t = \sin(A),\, dt = \cos(A)\,dA</math> Dengan substitusi di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos(A)}{\sin^2(A)}\,dA \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^2} \\ =&\; \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{t}\right) + C \\ =&\; -\frac{1}{4 t} + C \\ =&\; -\frac{1}{4 \sin(A)} + C \end{aligned} </math> Ingat bahwa <math display="inline">\sin(A) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}</math> berlaku. : <math> \begin{aligned} =&\; -\frac{1}{4 \sin(A)} + C \\ =&\; -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4 x} + C \end{aligned} </math> == Jenis integral lainnya == === panjang busur === ; Sumbu ''x'' : <math>S = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx</math> ; Sumbu ''y'' : <math>S = \int_{y_1}^{y_2} \sqrt{1 + (f'(y))^2}\,dy</math> === luas daerah === ; Satu kurva ; Sumbu ''x'' : <math>L = \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx</math> ; Sumbu ''y'' : <math>L = \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,dy</math> ; Dua kurva ; Sumbu ''x'' : <math>L = \int_{x_1}^{x_2} (f(x_2) - f(x_1))\,dx</math> ; Sumbu ''y'' : <math>L = \int_{y_1}^{y_2} (f(y_2) - f(y_1))\,dy</math> : atau juga <math>L = \frac {D \sqrt{D}}{6 a^2}</math> === luas permukaan benda putar === ; Sumbu ''x'' sebagai poros : <math>L_p = 2 \pi \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,ds</math> dengan : <math>ds = \sqrt {1 + (f'(x))^2}\,dx</math> ; Sumbu ''y'' sebagai poros : <math>L_p = 2 \pi \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,ds</math> dengan : <math>ds = \sqrt {1 + (f'(y))^2}\,dy</math> === volume benda putar === ; Satu kurva ; Sumbu ''x'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2\,dx</math> ; Sumbu ''y'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{y_1}^{y_2} (f(y))^2\,dy</math> ; Dua kurva ; Sumbu ''x'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{x_1}^{x_2} ((f(x_2))^2 - (f(x_1))^2)\,dx</math> ; Sumbu ''y'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{y_1}^{y_2} ((f(y_2))^2 - (f(y_1))^2)\,dy</math> == Integral lipat == Jenis integral lipat yaitu integral lipat dua dan integral lipat tiga. ;contoh * Tentukan hasil dari: * <math>\int_{1}^{5} 2x-3 dx</math> * <math>\int_{0}^{4} |x-2| dx</math> * <math>\int_{2}^{4} |3-x| dx</math> * <math>\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx</math> * <math>\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx</math> ; jawaban: ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{1}^{5} 2x-3 dx &= \left. x^2 - 3x \right|_{1}^{5} \\ &= 10 - (-2) \\ &= 12 \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{0}^{4} |x-2| dx \\ \text{ tentukan nilai harga nol } \\ x-2 &= 0 \\ x &= 2 \\ \text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu kurang dari 2 bernilai - sedangkan minimal dari 2 bernilai + berarti } \\ |x-2| = \begin{cases} x-2, & \mbox{jika } x \ge 2, \\ -(x-2), & \mbox{jika } x < 2. \end{cases} \\ \int_{0}^{4} |x-2| dx &= \int_{2}^{4} x-2 dx + \int_{0}^{2} -(x-2) dx \\ &= \left. (\frac{x^2}{2}-2x) \right|_{2}^{4} + \left. (\frac{-x^2}{2}+2x) \right|_{0}^{2} \\ &= 0 - (-2) + 2 - 0 \\ &= 4 \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{2}^{4} |3-x| dx \\ \text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\ 3-x &\ge 0 \\ \text{ harga nol } \\ x &= 3 \\ \text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu lebih dari 3 bernilai - sedangkan maksimal dari 3 bernilai + berarti } \\ |3-x| = \begin{cases} 3-x, & \mbox{jika } x \le 3, \\ -(3-x), & \mbox{jika } x > 3. \end{cases} \\ \int_{2}^{4} |3-x| dx &= \int_{2}^{3} 3-x dx + \int_{3}^{4} -(3-x) dx \\ &= \left. (3x-\frac{x^2}{2}) \right|_{2}^{3} + \left. (-3x+\frac{x^2}{2}) \right|_{3}^{4} \\ &= 4.5 - 4 - 4 - (-4.5) \\ &= 1 \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx &= \left. \frac{x^3}{3}-3x^2+8x \right|_{1}^{5} \\ &= \frac{20}{3} - \frac{16}{3} \\ &= \frac{4}{3} \\ &= 1\frac{1}{3} \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx \\ \text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\ x^2-2x-8 &\ge 0 \\ \text{ harga nol } \\ (x+2)(x-4) &= 0 \\ x = -2 \text{ atau } x = 4 \\ \text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu antara -2 dan 4 bernilai - sedangkan maksimal dari -2 dan minimal dari 4 bernilai + berarti } \\ |x^2-2x-8| = \begin{cases} x^2-2x-8, & \mbox{jika } x \le -2, \\ -(x^2-2x-8), & \mbox{jika } -2 < x < 4, \\ x^2-2x-8, & \mbox{jika } x \ge 4 \end{cases} \\ \int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx &= \int_{-3}^{-2} x^2-2x-8 dx + \int_{-2}^{4} -(x^2-2x-8) dx + \int_{4}^{5} x^2-2x-8 dx \\ &= \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{-3}^{-2} + \left. (\frac{-x^3}{3}+x^2+8x) \right|_{-2}^{4} + \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{4}^{5} \\ &= \frac{28}{3} - 6 + \frac{80}{3} - (-\frac{28}{3}) - \frac{70}{3} - (-\frac{80}{3}) \\ &= \frac{128}{3} \\ &= 42\frac{2}{3} \\ \end{aligned} </math> </div></div> * Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = x</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} L &= \int x\,dx \\ L &= \frac{1}{2} x^2 \\ L &= \frac{1}{2} xy \quad (y = x) \end{aligned} </math> </div></div> * Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = x^2</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} L &= \int x^2\,dx \\ L &= \frac{1}{3} x^3 \\ L &= \frac{1}{3} xy \quad (y = x^2) \end{aligned}</math> * Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = \sqrt{x}</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral! : <math> \begin{aligned} L &= \int \sqrt{x}\,dx \\ L &= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \\ L &= \frac{2}{3} xy \quad (y = \sqrt{x}) \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas persegi <math>L = s^2</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = s \text{ dan titik (''s'', ''s''), } \\ L &= \int_{0}^{s} s\,dx \\ L &= sx |_{0}^{s} \\ L &= ss - 0 \\ L &= s^2 \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas persegi panjang <math>L = pl</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{Dengan posisi } y = l \text{dan titik (''p'', ''l''), } \\ L &= \int_{0}^{p} l\,dx \\ L &= lx |_{0}^{p} \\ L &= pl - 0 \\ L &= pl \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas segitiga <math>L = \frac{at}{2}</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \frac{-tx}{a} + t \text { dan titik (''a'', ''t''), } \\ L &= \int_{0}^{a} \left (\frac{-tx}{a} + t \right) \,dx \\ L &= \left. \frac{-tx^2}{2a} + tx \right|_{0}^{a} \\ L &= \frac{-ta^2}{2a} + ta - 0 + 0 \\ L &= \frac{-ta}{2} + ta \\ L &= \frac{at}{2} \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan volume tabung <math>V = \pi r^2t</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{ Dengan posisi } y = r \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\ V &= \pi \int_{0}^{t} r^2\,dx \\ V &= \pi \left. r^2x \right|_{0}^{t} \\ V &= \pi r^2t - 0 \\ V &= \pi r^2t \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan volume kerucut <math>V = \frac{\pi r^2t}{3}</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \frac{rx}{t} \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\ V &= \pi \int_{0}^{t} \left (\frac{rx}{t} \right)^2 \,dx \\ V &= \pi \left. \frac{r^2 x^3}{3t^2} \right|_{0}^{t} \\ V &= \pi \frac{r^2 t^3}{3t^2} - 0 \\ V &= \frac{\pi r^2t}{3} \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan volume bola <math>V = \frac{4 \pi r^3}{3}</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), } \\ V &= \pi \int_{-r}^{r} \left(\sqrt {r^2 - x^2}\right)^2\,dx \\ V &= \pi \int_{-r}^{r} r^2 - x^2 dx \\ V &= \pi \left. r^2x - \frac{x^3}{3} \right|_{-r}^{r} \\ V &= \pi \left (r^3 - \frac{r^3}{3} - \left (-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) \right) \\ V &= \frac{4 \pi r^3}{3} \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas permukaan bola <math>L = 4 \pi r^2</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), Kita tahu bahwa turunannya adalah } \\ y' &= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\ \text{selanjutnya } \\ ds &= \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\ ds &= \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\ ds &= \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\ ds &= \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\ \text{sehingga } \\ L &= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\ L &= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,dx \\ L &= 2 \pi rx|_{-r}^{r} \\ L &= 2 \pi (r r - r (-r)) \\ L &= 2 \pi (r^2 + r^2) \\ L &= 4 \pi r^2 \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan keliling lingkaran <math>K = 2 \pi r</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0) } \\ \text{kita tahu bahwa turunannya adalah } \\ y' &= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\ \text{sehingga } \\ K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\ K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{x^2}{r^2 - x^2})}\,dx \\ K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt\frac{r^2}{r^2 - x^2}\,dx \\ K &= 4r \int_{0}^{r} \sqrt\frac{1}{r^2 - x^2}\,dx \\ K &= 4r \int_{0}^{r} \frac{1}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\ K &= 4r \left. \arcsin \left (\frac{x}{r} \right) \right|_{0}^{r} \\ K &= 4r \left (\arcsin \left (\frac{r}{r}\right) - \arcsin \left (\frac{0}{r} \right) \right) \\ K &= 4r \left (\arcsin\left (1 \right) - \arcsin \left(0 \right) \right)) \\ K &= 4r \left (\frac{\pi}{2} \right) \\ K &= 2 \pi r \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas lingkaran <math>L = \pi r^2</math> dengan cara integral! : Dengan posisi <math>y = \sqrt{r^2 - x^2}</math> serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \sin(\theta) &= \frac{x}{r} \\ x &= r \sin(\theta) \\ dx &= r \cos(\theta)\,d\theta \\ \text{dengan turunan di atas } \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - (r \sin(\theta))^2}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - r^2 \sin^2(\theta)}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 (1 - \sin^2(\theta))}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta)\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta) (r \cos(\theta)\,d\theta) \\ L &= 4 \int_{0}^{r} r^2 \cos^2(\theta)\,d\theta \\ L &= 4r^2 \int_{0}^{r} \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right)\,d\theta \\ L &= 2r^2 \int_{0}^{r} (1 + \cos(2\theta))\,d\theta \\ L &= 2r^2 \left (\theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right)|_{0}^{r} \\ L &= 2r^2 (\theta + \sin(\theta) \cos(\theta))|_{0}^{r} \\ L &= 2r^2 \left (\arcsin \left (\frac{x}{r} \right) + \left (\frac{x}{r} \right) \left (\frac{r^2 - x^2}{r} \right) \right)|_{0}^{r} \\ L &= 2r^2 \left (\arcsin \left(\frac{r}{r} \right) + \left (\frac{r}{r} \right) \left (\frac {r^2 - r^2}{r} \right) \right) - \left(\arcsin \left (\frac{0}{r} \right) + \left (\frac{0}{r}\right) \left (\frac{r^2 - 0^2}{r} \right) \right) \\ L &= 2r^2 (\arcsin(1) + 0 - (\arcsin(0) + 0)) \\ L &= 2r^2 \left (\frac{\pi}{2} \right) \\ L &= \pi r^2 \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas elips <math>L = \pi ab</math> dengan cara integral! : Dengan posisi <math>y = \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}</math> serta (-''a'', 0) dan (''a'', 0), <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} L &= 4 \int_{0}^{r} \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}\,dx \\ L &= \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx \\ \text{dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-''a'', 0) dan (''a'', 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips, } \\ \frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &= \frac{\frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx}{4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx} \\ \frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &= \frac{b}{a} \\ L_\text{elips} &= \frac{b}{a} L_\text{ling} \\ L_\text{elips} &= \frac{b}{a} \pi a^2 \\ L_\text{elips} &= \pi ab \end{aligned} </math> </div></div> * Berapa luas daerah yang dibatasi y=x²-2x dan y=4x+7! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\ y_1 &= y_2 \\ x^-2x &= 4x+7 \\ x^2-6x-7 &= 0 \\ (x+1)(x-7) &= 0 \\ x=-1 &\text{ atau } x=7 \\ y &= 4(-1)+7 = 3 \\ y &= 4(7)+7 = 35 \\ \text{jadi titik potong (-1,3) dan (7,35) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\ L &= \int_{-1}^{7} 4x+7-(x^2-2x)\,dx \\ &= \int_{-1}^{7} -x^2+6x+7\,dx \\ &= -\frac{x^3}{3}+3x^2+7x|_{-1}^{7} \\ &= -\frac{7^3}{3}+3(7)^2+7(7)-(-\frac{(-1)^3}{3}+3(-1)^2+7(-1)) \\ &= \frac{245}{3}-(-\frac{13}{3}) \\ &= \frac{258}{3} \\ &= 86 \\ \end{aligned} </math> </div></div> * Berapa volume benda putar yang dibatasi y=6-1,5x, y=x-4 dan x=0 mengelilingi sumbu x sejauh 360°! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\ y_1 &= y_2 \\ 6-1,5x &= x-4 \\ 2,5x &= 10 \\ x &= 4 \\ y &= 4-4 = 0 \\ \text{jadi titik potong (4,0) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\ \text{untuk x=0 } \\ y &= 6-1,5(0) = 6 \\ y &= 0-4 = -4 \\ L &= \pi \int_{0}^{4} ((6-1,5x)^2-(x-4)^2)\,dx \\ &= \pi \int_{0}^{4} (36-18x+2,25x^2-(x^2-8x+16))\,dx \\ &= \pi \int_{0}^{4} (1,25x^2-10x+20)\,dx \\ &= \pi (\frac{1,25x^3}{3}-5x^2+20x)|_{0}^{4} \\ &= \pi (\frac{1,25(4)^3}{3}-5(4)^2+20(4)-(\frac{1,25(0)^3}{3}-5(0)^2+20(0))) \\ &= \pi (\frac{30}{3}-0) \\ &= 10\pi \\ \end{aligned} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 7tvx7gr86gqg7eeizbyowqe63xuc27w 0 23197 107991 107750 2025-07-01T00:05:18Z Akuindo 8654 /* Persamaan parabola */ 107991 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; bentuk: ax²+bx+c=0 == Nilai hasil akar == Nilai hasil akar terdiri dari tiga jenis yaitu memfaktorkan, pengkuadratan serta rumus ABC. contoh # tentukan nilai akar dari persamaan x²-16x+55=0! ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-16x+55 &= 0 \\ \text{hasil faktor tersebut adalah -5 dan -11} \\ (x-5)(x-11)=0 \\ x-5=0 &\text{ atau } x-11=0 \\ x = 5 & x = 11 \\ \end{align} </math> </div></div> ; cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-16x+55 &= 0 \\ x^2-16x &= -55 \\ x^2-16x+64 &= -55+64 \\ (x-8)^2 &= 9 \\ x-8 &= \pm \sqrt{9} \\ x-8 &= \pm 3 \\ x-8 = 3 &\text{ atau } x-8 = -3 \\ x = 11 & x = 5 \\ \end{align} </math> </div></div> ; cara 3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-16x+55 &= 0 \\ x &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\ x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x &= \frac{-(-16) \pm \sqrt{(-16)^2-4(1)(55)}}{2(1)} \\ &= \frac{16 \pm \sqrt{256-220}}{2} \\ &= \frac{16 \pm \sqrt{36}}{2} \\ &= \frac{16 \pm 6}{2} \\ &= 8 \pm 3 \\ x = 8+3 &\text{ atau } x = 8-3 \\ x = 11 & x = 5 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sifat akar (Teorema Vieta) == bentuk: : ax²+bx+c=0 : x²+b/ax+c/a=0 : dengan menggunakan (x-x1)(x-x2) : (x-x1)(x-x2)=0 : x²-(x1+x2)x+x1x2=0 : x²-(-b/a)x+c/a=0 : <math>x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}</math> : <math>x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}</math> contoh # tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah -2 dan 5! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x_1 &= -2 \\ x_2 &= 5 \\ x_1 + x_2 &= -2 + 5 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 &= -2 \cdot 5 = -10 \\ \text{ jadi persamaan kuadrat adalah } x^2-3x-10 = 0 \\ \end{align} </math> </div></div> # tentukan jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat adalah x<sup>2-12x+20 = 0! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-12x+20 &= 0 \\ x_1 + x_2 &= -(\frac{-12}{1}) \\ x_1 + x_2 &= 12 \\ x_1 \cdot x_2 &= \frac{20}{1} \\ x_1 \cdot x_2 &= 20 \\ \text{ jadi jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat adalah } 12 \text{ dan } 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # tentukan nilai p dari persamaan x²-8x+p=0 dimana salah satu akarnya 2 lebih dari akar lainnya! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x_1 &= x_2 + 2 \\ x_1 - x_2 &= 2 \\ x_1 + x_2 &= 8 \\ x_1 - x_2 &= 2 \\ \text{eliminasi kedua akar persamaan.} \\ 2x_2 &= 6 \\ x_2 &= 3 \\ x_1 - x_2 &= 2 \\ x_1 - 3 &= 2 \\ x_1 &= 5 \\ x_1 \cdot x_2 &= p \\ 5(3) &= p \\ p &= 15 \\ \end{align} </math> </div></div> == Persamaan kuadrat baru == ; bentuk: x' = x diubah menjadi x = x' dengan menggunakan sifat akar. {| class="wikitable" |+ Persamaan kuadrat baru |- ! Pernyataan !! Akar lama !! Akar baru !! Persamaan kuadrat baru |- | lebihnya dari || x'=x+p || x=x'-p || a(x'-p)²+b(x'-p)+c=0 |- | kurangnya dari || x'=x-p || x=x'+p || a(x'+p)²+b(x'+p)+c=0 |- | kalinya dari || x'=px || x=x'/p || a(x')²+bpx'+cp²=0 |- | baginya dari || x'=x/p || x=px' || ap²(x')²+bpx'+c=0 |- | berlawanan || x'=-x || x=-x' || a(x')²-bx'+c=0 |- | kebalikan || x'=1/x || x=1/x' || c(x')²+bx'+a=0 |- | kuadratnya || x=(x')² || <math>x'=\sqrt{x}</math> || a²(x')²-(b²-2ac)x'+c²=0 |- | akarnya || <math>x=\sqrt{x'}</math> || (x')=x² || a(x')⁴-b(x')²+c=0 |} : Buktikan akar-akar baru kuadratnya dari akar-akar lama! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x' = x^2 &\text{ diubah menjadi } x = \sqrt{x'} \\ ax^2+bx+c &= 0 \\ a(\sqrt{x'})^2+b(\sqrt{x'})+c &= 0 \\ a(x')+b(\sqrt{x'})+c &= 0 \\ a(x')+c &= -b(\sqrt{x'}) \\ a^2(x')^2+2ac(x')+c^2 &= b^2(x') \\ a^2(x')^2-b^2(x')+2ac(x')+c^2 &= 0 \\ a^2(x')^2-(b^2-2ac)(x')+c^2 &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> contoh # tentukan persamaan kuadrat baru dari 2x²-3x+1=0 yang akar-akarnya p-2 dan q-2! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} p+q = \frac{3}{2} &\text{ dan } pq = \frac{1}{2} \\ x_1 = p-2 &\text{ dan } x_2 = q-2 \\ x_1+x_2 &= p-2+q-2 \\ &= p+q-4 = \frac{3}{2}-4 = -\frac{5}{2} \\ x_1 \cdot x_2 &= (p-2) \cdot (q-2) \\ &= pq-2(p+q)+4 \\ &= \frac{5}{2}-2 \cdot \frac{3}{2}+4 \\ &= \frac{5-6+8}{2} \\ &= \frac{7}{2} \\ x^2-(-\frac{5}{2})x+\frac{7}{2}=0 \\ 2x^2+5x+7=0 \\ \end{align} </math> </div></div> # tentukan persamaan kuadrat baru dari x²-x+3=0 yang akar-akarnya pq dan p+q! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} p+q = 1 &\text{ dan } pq = 3 \\ x_1 = pq &\text{ dan } x_2 = p+q \\ x_1+x_2 &= pq+p+q \\ &= 3+1 = 4 \\ x_1 \cdot x_2 &= pq \cdot (p+q) \\ &= 3 \cdot 1 = 3 \\ x^2-4x+3=0 \\ \end{align} </math> </div></div> # tentukan persamaan kuadrat baru dari 5x²+2x-1=0 yang akar-akarnya 1/q dan 1/q! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} p+q = -\frac{2}{5} &\text{ dan } pq = -\frac{1}{5} \\ x_1 = \frac{1}{p} &\text{ dan } x_2 = \frac{1}{q} \\ x_1+x_2 &= \frac{1}{p}+\frac{1}{q} \\ &= \frac{p+q}{pq} \\ &= \frac{-\frac{2}{5}}{-\frac{1}{5}} \\ &= 2 \\ x_1 \cdot x_2 &= \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{q} \\ &= \frac{1}{pq} \\ &= \frac{1}{-\frac{1}{5}} \\ &= -5 \\ x^2-2x-5=0 \\ \end{align} </math> </div></div> == Diskriminan dan kriteria akar-akar == ; Diskriminan (D) = b²-4ac {| class="wikitable" |+ Kriteria akar-akar |- ! !! colspan=3| Pernyataan |- ! !! D>0 !! D=0 !! D<0 |- | a>0 (terbuka ke atas; nilai minimum) || rowspan=2| memotong || rowspan=2| menyinggung || rowspan=2| tidak memotong dan menyinggung |- | a<0 (terbuka ke bawah; nilai maksimum) |- |} {| class="wikitable" |+ Kriteria akar-akar |- ! Pernyataan !! Kriteria |- ! colspan=2| Kedua akar riil yang berbeda (D>0) |- | bertanda positif || x1+x2>0 dan x1x2>0 |- | bertanda negatif || x1+x2<0 dan x1x2>0 |- | berlawanan || x1x2<0 |- ! colspan=2| Akar riil yang sama (D=0) |- | berlawanan || b=0 |- | kebalikan || c=a |- ! colspan=2| Akar imajiner (D<0) |} contoh # tentukan nilai b yang memenuhi persamaan x²+(b-8)x+(b+3)=0 yang memiliki kedua akar yang berbeda dan bertanda positif! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kedua akar real yang berbeda dan bertanda positif memiliki 3 syarat yaitu} \\ * D &>0 \\ (b-8)^2-4(1)(b+3) &> 0 \\ b^2-16x+64-4b-12 &> 0 \\ b^2-20b+52 &> 0 \\ \text{harga nol} b^2-20b+52 &= 0 \\ b &= \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2-4(1)(52)}}{2} \\ &= \frac{20 \pm \sqrt{400-208}}{2} \\ &= \frac{20 \pm \sqrt{192}}{2} \\ &= \frac{20 \pm 8\sqrt{3}}{2} \\ &= 10 \pm 4\sqrt{3} \\ 10-4\sqrt{3} &< b &< 10+4\sqrt{3} \\ * x_1+x_2 &> 0 \\ -(b-8) &> 0 \\ 8-b &> 0 \\ b &< 8 \\ * x_1 \cdot x_2 &> 0 \\ b+3 &> 0 \\ b &> -3 \\ \text{nilai b yang memenuhi adalah} 10-4\sqrt{3} < b < 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan grafik irisan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>10-4\sqrt{3}</math> !! !! <math>10+4\sqrt{3}</math> !! |- | —— || || +++ || || —— |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 8 !! |- | —— || || +++ |} ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! |- | —— || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1, 2 dan 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! <math>10-4\sqrt{3}</math> !! !! 8 !! !! <math>10+4\sqrt{3}</math> !! |- | || || || || A || || A || || |- | A || || A || || A || || || || |- | || || A || || A || || A || || A |} == Jarak (x2,y2) pada persamaan kuadrat/parabola == * anggap persamaaan nilai y sebagai y1 * masukkan y1 ke rumus jarak yaitu d = <math>\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}</math> * kemudian turunan d’ dalam akar dari d sama dengan nilai nol untuk mencari nilai x * jika mendapatkan xa, xb, xc, dst lalu masukkan lagi ke d yang tadi (tidak perlu mencari ya, yb, yc, dst karena persamaan y telah dimasukkan ke d yang tadi) * kalau jarak terdekat bila nilai d terkecil (d’ minimum) tapi terjauh bila nilai d tak terhingga nilainya (d’ maksimum) contoh # tentukan jarak terdekat (2,0) terhadap <math>y=\sqrt{x}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} d &= \sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2} \\ &= \sqrt{x^2-4x+4+x} \\ &= \sqrt{x^2-3x+4} \\ \text{turunan d dalam akar } \\ f'(x) &= 2x-3 \\ \text{untuk mencapai minimum (f'(x)) harus bernilai nol } \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ d &= \sqrt{(\frac{3}{2})^2-3(\frac{3}{2})+4} \\ &= \sqrt{\frac{7}{4}} \\ &= \frac{\sqrt{7}}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> == Persamaan parabola == untuk persamaan parabola ini dimana titik pusat dianggap sebagai titik puncak. {| class="wikitable sortable" |- ! !! Vertikal !! Horisontal |- ! !! colspan=2 align="center"| Titik pusat (0,0) |- | Persamaan || <math>x^2 = 4py</math> || <math>y^2 = 4px</math> |- | Sumbu simetri || sumbu y || sumbu x |- | Fokus || <math>F (0, p)</math> || <math>F (p, 0)</math> |- | Direktris || <math>y = - p</math> || <math>x = - p</math> |- ! !! colspan=2 align="center"| Titik pusat (h,k) |- | Persamaan || <math>(x - h)^2 = 4p(y - k)</math> || <math>(y - k)^2 = 4p(x - h)</math> |- | Sumbu simetri || <math>x = h</math> || <math>y = k</math> |- | Fokus || <math>F (h, k + p)</math> || <math>F (h + p, k)</math> |- | Direktris || <math>y = k - p</math> || <math>x = h - p</math> |} == Persamaan garis singgung == ; bergradien <math>m</math> (<math>y = mx + c </math>) {| class="wikitable sortable" |- ! Vertikal !! Horisontal |- ! colspan=2 align="center"| Titik pusat (0,0) |- | <math>y = mx - p m</math> || <math>y = mx + \frac{p}{m}</math> |- ! colspan=2 align="center"| Titik pusat (h,k) |- | <math>(y - k) = m(x - h) - p m</math> || <math>(y - k) = m(x -h) + \frac{p}{m}</math> |} : jika persamaan garis lurus bergradien sejajar maka <math>m_2 = m_1</math> : jika persamaan garis lurus bergradien tegak lurus maka <math>m_2 = \frac{-1}{m_1}</math> ; melalui titik <math>(x_1, y_1) </math> dengan cara bagi adil {| class="wikitable sortable" |- ! Vertikal !! Horisontal |- ! colspan=2 align="center"| Titik pusat (0,0) |- | <math>x x_1 = 2py + 2py_1</math> || <math>y y_1 = 2px + 2px_1</math> |- ! colspan=2 align="center"| Titik pusat (h,k) |- | <math>(x - h)(x_1 - h) = 2p(y - k) + 2p(y_1 - k)</math> || <math>(y - k)(y_1 - k) = 2p(x - h) + 2p(x_1 - h)</math> |} : jika titik <math>(x_1, y_1) </math> berada di dalam bentuknya maka ada 1 persamaan garis singgung (1 langkah). : jika titik <math>(x_1, y_1) </math> berada di luar bentuknya maka ada 2 persamaan garis singgung (2 langkah) dimana hasil y dari persamaan singgung pertama masuk ke persamaan kuadrat/parabola untuk mencari x. contoh ; Titik pusat (0,0) * Tentukan persamaan garis singgung yang bergradien 2 terhadap <math>y^2 = 16x </math>! jawab: :<math>y^2 = 16x -> y^2 = 4 (4x) \text { jadi } p = 4</math> :<math>y = mx + \frac{p}{m}</math> :<math>y = 2x + \frac{4}{2}</math> :<math>y = 2x + 2</math> * Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (4,8) terhadap <math>y^2 = 16x</math>! jawab: :<math>y^2 = 16x -> y^2 = 4 (4x) \text { jadi } p = 4</math> :<math>y^2 - 16x = 0 \text{ maka masukkan lah (4,8) } (8)^2 - 16 (4) = 0 = 0</math> (dalam) dengan cara bagi adil :<math>y y_1 = 2px + 2px_1</math> :<math>8y = 2(4)x + 2(4)(4)</math> :<math>8y = 8x + 32</math> (dibagi 8) :<math>y = x + 4 </math> * Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,5) terhadap <math>y^2 = 16x</math>! jawab: :<math>y^2 = 16x -> y^2 = 4 (4x) \text { jadi } p = 4</math> :<math>y^2 - 16x = 0 \text{ maka masukkan lah (1,5) } (5)^2 - 16 (1) = 9 > 0</math> (luar) dengan cara bagi adil :<math>y y_1 = 2px + 2px_1</math> :<math>5y = 2(4)x + 2(4)(1)</math> :<math>5y = 8x + 8</math> :<math>y = \frac{8}{5}x + \frac{8}{5}</math> masukkan lah <math>y^2 = 16x</math> :<math>(\frac{8}{5}x + \frac{8}{5})^2 = 16x</math> :<math>\frac{64}{25}x^2 + \frac{128}{25}x + \frac{64}{25} - 16x = 0</math> :<math>\frac{64}{25}x^2 + \frac{128}{25}x + \frac{64}{25} - \frac{400}{25}x = 0</math> :<math>\frac{64}{25}x^2 - \frac{272}{25}x + \frac{64}{25} = 0 </math> (dibagi 16/25) :<math>4x^2 - 17x + 4 = 0</math> maka kita mencari nilai x :<math>x = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math> :<math>x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 256}}{8}</math> :<math>x = \frac{17 \pm \sqrt{33}}{8}</math> :<math>x_1 = \frac{17 + \sqrt{33}}{8}</math> atau <math>x_2 = \frac{17 - \sqrt{33}}{8}</math> maka kita mencari nilai y : untuk <math>x_1</math> :<math>y_1 = \frac{8}{5}(\frac{17 + \sqrt{33}}{8}) + \frac{8}{5}</math> :<math>y_1 = \frac{17}{5} + \frac{\sqrt{33}}{5} + \frac{8}{5}</math> :<math>y_1 = 5 + \frac{\sqrt{33}}{5}</math> jadi <math>(\frac{17 + \sqrt{33}}{8}, 5 + \frac{\sqrt{33}}{5})</math> : untuk <math>x_2</math> :<math>y_2 = \frac{8}{5}(\frac{17 - \sqrt{33}}{8}) + \frac{8}{5}</math> :<math>y_2 = \frac{17}{5} - \frac{\sqrt{33}}{5} + \frac{8}{5}</math> :<math>y_2 = 5 - \frac{\sqrt{33}}{5} </math> jadi <math>(\frac{17 - \sqrt{33}}{8}, 5 - \frac{\sqrt{33}}{5})</math> kembali dengan cara bagi adil : untuk persamaan singgung pertama :<math>y y_1 = 2px + 2px_1</math> :<math>(5 + \frac{\sqrt{33}}{5}) y = 2(4)x + 2(4)(\frac{17 + \sqrt{33}}{8})</math> :<math>(5 + \frac{\sqrt{33}}{5}) y = 8x + 17 + \sqrt{33}</math> : untuk persamaan singgung kedua :<math>y y_2 = 2px + 2px_2</math> :<math>(5 - \frac{\sqrt{33}}{5}) y = 2(4)x + 2(4)(\frac{17 - \sqrt{33}}{8})</math> :<math>(5 - \frac{\sqrt{33}}{5}) y = 8x + 17 - \sqrt{33}</math> ; Titik pusat (h,k) * Tentukan persamaan garis singgung <math>y^2 - 6y - 8x + 9 = 0</math> melalui persamaan yang tegak lurus <math>y - 2x - 5 = 0</math>! jawab: ubah ke bentuk sederhana :<math>y^2 - 6y - 8x + 9 = 0</math> :<math>y^2 - 6y + 9 = 8x</math> :<math>(y - 3)^2 = 8x</math> cari gradien persamaan <math>y - 2x - 5 = 0 </math> :<math>y - 2x - 5 = 0</math> :<math>y = 2x + 5</math> gradien (<math>m_1</math>) = 2 karena tegak lurus menjadi <math>m_2 = - \frac{1}{2}</math> cari <math>p</math> :<math>(y - 3)^2 = 8x -> (y - 3)^2 = 4 (2x) \text { jadi } p = 2</math> :<math>(y - k) = mx + \frac{p}{m}</math> :<math>y - 3 = - \frac{1}{2}x + \frac{2}{- \frac{1}{2}}</math> :<math>y - 3 = - \frac{1}{2}x - 4</math> :<math>y = - \frac{1}{2}x - 1</math> * Tentukan persamaan garis singgung <math>y^2 - 6y - 8x + 9 = 0</math> yang berordinat 6! jawab: ubah ke bentuk sederhana :<math>y^2 - 6y - 8x + 9 = 0</math> :<math>y^2 - 6y + 9 = 8x</math> :<math>(y - 3)^2 = 8x</math> cari absis dimana ordinat 6 :<math>(y - 3)^2 = 8x</math> :<math>(6 - 3)^2 = 8x</math> :<math>9 = 8x</math> :<math>x = \frac{9}{8}</math> :<math>(y - 3)^2 = 8x -> (y - 3)^2 = 4 (2x) \text { jadi } p = 2</math> dengan cara bagi adil :<math>(y - k)(y_1 - k) = 2px + 2px_1</math> :<math>(y - 3)(6 - 3) = 2(2)x + 2(2)(\frac{9}{8})</math> :<math>(y - 3)3 = 4x + \frac{9}{2}</math> :<math>3y - 9 = 4x + \frac{9}{2}</math> :<math>3y = 4x + \frac{27}{2}</math> :<math>y = \frac{4}{3}x + \frac{27}{6}</math> * Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,6) terhadap <math>y^2 - 6y - 8x + 9 = 0 </math>! ubah ke bentuk sederhana :<math>y^2 - 6y - 8x + 9 = 0 </math> :<math>y^2 - 6y + 9 = 8x </math> :<math>(y - 3)^2 = 8x</math> :<math>(y - 3)^2 = 8x -> (y - 3)^2 = 4 (2x) \text { jadi } p = 2</math> :<math>(y - 3)^2 - 8x = 0 \text { maka masukkan lah (1,6) } (6 - 3)^2 - 8 (1) = 9 - 8 = 1 > 0</math> (luar) dengan cara bagi adil :<math>(y - k)(y_1 - k) = 2px + 2px_1</math> :<math>(y - 3)(6 - 3) = 2(2)x + 2(2)(1)</math> :<math>(y - 3)3 = 4x + 4</math> :<math>3y - 9 = 4x + 4</math> :<math>3y = 4x + 13</math> :<math>y = \frac{4}{3}x + \frac{13}{3}</math> masukkan lah <math>(y - 3)^2 = 8x</math> :<math>(\frac{4}{3}x + \frac{13}{3} - 3)^2 = 8x</math> :<math>(\frac{4}{3}x + \frac{4}{3})^2 = 8x</math> :<math>\frac{16}{9}x^2 + \frac{32}{9}x + \frac{16}{9} - 8x = 0</math> :<math>\frac{16}{9}x^2 - \frac{40}{9}x + \frac{16}{9} = 0</math> (dibagi 8/9) :<math>2x^2 + 5x + 2 = 0</math> maka kita mencari nilai x :<math>x = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math> :<math>x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4}</math> :<math>x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4}</math> :<math>x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{4} = 2</math> atau <math>x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{1}{2}</math> maka kita mencari nilai y : untuk <math>x_1</math> :<math>y_1 = \frac{4}{3} (2) + \frac{13}{3} = \frac{8}{3} + \frac{13}{3} = 7</math> jadi <math>(2, 7)</math> : untuk <math>x_2</math> :<math>y_2 = \frac{4}{3} (\frac {1}{2}) + \frac{13}{3} = \frac{2}{3} + \frac{13}{3} = 5</math> jadi <math>(\frac{1}{2}, 5)</math> kembali dengan cara bagi adil : untuk persamaan singgung pertama :<math>(y - k)(y_1 - k) = 2px + 2px_1</math> :<math>(y - 3)(7 - 3) = 2(2)x + 2(2)(2)</math> :<math>(y - 3)4 = 4x + 8</math> :<math>4y - 12 = 4x + 8</math> :<math>4y = 4x + 20 </math> (dibagi 4) :<math>y = x + 5</math> : untuk persamaan singgung kedua :<math>(y - k)(y_2 - k) = 2px + 2px_2</math> :<math>(y - 3)(5 - 3) = 2(2)x + 2(2)(\frac{1}{2})</math> :<math>(y - 3)2 = 4x + 2</math> :<math>2y - 6 = 4x + 2</math> :<math>2y = 4x + 8</math> (dibagi 2) :<math>y = 2x + 4</math> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] tk4kcxlwl464u8fapsjeji3vocp98u9 0 23568 107998 107699 2025-07-01T11:39:05Z Akuindo 8654 107998 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Penjumlahan bilangan 1 masing-masing seperti 1+1+1+1+… sebanyak 88 buah ditambah a dan b maka hasilnya A dan Perkalian bilangan 1 masing-masing 1x1x1x… sebanyak 88 buah ditambah a dan b maka hasilnya A maka berapa nilai A? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Penjumlahan } \\ 1+1+1+…. +1 \text( sebanyak 88 buah }+a+b &= A \\ 88+a+b &= A \\ \text{Perkalian } \\ 1 \times 1 \times 1 \times…. \times 1 \text( sebanyak 88 buah }\times a \times b &= A \\ a \times b &= A \\ 88+a+b &= ab \\ ab-b &= 88+a \\ b(a-1) &= 88+a \\ b &= \frac{88+a}{a-1} \\ \text{kita uji selidiki misalkan a=2 } \\ b &= \frac{88+2}{2-1} \\ &= 90 \\ \text{apakah kedua persamaan mempunyai hasilnya sama? } \\ 88+a+b &= ab \\ 88+2+90 &= 2(90) \\ 180 &= 180 \\ \text{ternyata benar } \\ \text{nilai A adalah } 180 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x+\frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}=4x-\frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x-\frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x-20+\frac{25}{x} \\ 4x+\frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt{x}+x=1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x}+x &= 1 \\ x-1 &= -\sqrt{x} \\ x^2-2x+1 &= x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x-3+\frac{1}{x} &= 0 \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{16}{x}</math> jika <math>x-3\sqrt{x}=4</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-3\sqrt{x} &= 4 \\ x-4 &= 3\sqrt{x} \\ x^2-8x+16 &= 9x \\ x^2-17x+16 &= 0 \\ x-17+\frac{16}{x} &= 0 \\ x+\frac{16}{x} &= 17 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy)=\frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7 maka tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>xy=\frac{f(x+y)}{f(xy)}</math> dengan f(xy) ≠ 0 serta f(15)=16 maka tentukan nilai f(8)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(15) &= 16 \\ f(3 \cdot 5) &= 16 \\ xy &= \frac{f(x+y)}{f(xy)} \\ 3 \cdot 5 &= \frac{f(3+5)}{f(3 \cdot 5)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{f(15)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{16} \\ f(8) &= 240 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(x+\frac{1}{x}+6)=x^2+\frac{1}{x^2}+15</math> maka tentukan nilai f(16)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x+\frac{1}{x}+6) &= x^2+\frac{1}{x^2}+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2-2+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ \text{misalkan } x+\frac{1}{x} &= p \\ f(x+\frac{1}{x}+6) &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ \text{jika f(16) maka p adalah 10 sebelum ditambahkan 6 } \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ f(10+6) &= 10^2+13 \\ f(16) &= 100+13 \\ &= 113 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{u_3}{u_1+u_2} = \frac{7}{8}</math> merupakan barisan aritmetika maka berapa dari <math>\frac{u_2+u_3}{u_1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{u_3}{u_1+u_2} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{a+a+b} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{2a+b} &= \frac{7}{8} \\ 8(a+2b) &= 7(2a+b) \\ 8a+16b &= 14a+7b \\ 9b &= 6a \\ b &= \frac{2a}{3} \\ \frac{u_2+u_3}{u_1} &= \frac{a+b+a+2b}{a} \\ &= \frac{2a+3b}{a} \\ &= \frac{2a+3(\frac{2a}{3})}{a} \\ &= \frac{2a+2a}{a} \\ &= \frac{4a}{a} \\ &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Rataan geometris a dan b adalah kurangnya 24 dari b serta rataan aritmatik a dan b adalah lebihnya 15 dari a maka berapa nilai a+b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rataan geometris } \\ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a \cdot b} &= b-24 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ \text{rataan aritmatik } \\ \frac{a+b}{2} = \frac{a+b}{2} &= a+15 \\ a+b &= 2(a+15) \\ a+b &= 2a+30 \\ a &= b-30 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ (b-30)b &= (b-24)^2 \\ b^2-30b &= b^2-48b+576 \\ 18b &= 576 \\ b &= 32 \\ a &= b-30 \\ &= 32-30 \\ &= 2 \\ a+b &= 32+2 \\ &= 34 \\ \end{align} </math> </div></div> # Persegi panjang ABCD memiliki AD 15 cm dan DC 12 cm. E dan F merupakan perpanjangan DC yaitu CE 6 cm serta EF = DC. G merupakan titik potong antara BC dan AE maka berapa luas daerah BFEG? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kita cari ukuran GC yaitu } \\ \frac{GC}{AD} &= \frac{CE}{DE} \\ \frac{GC}{15} &= \frac{6}{18} \\ GC &= 5 \\ \text{luas BEFG = luas segitiga BFC - luas segitiga GEC } \\ &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CF - \frac{1}{2} \cdot GC \cdot CE \\ &= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 18 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \\ &= 135 - 15 \\ &= 120 \\ \text{jadi luas daerah BFEG adalah } 120 cm^2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Dua buah persegi masing-masing yaitu ABCD dan EFGH. persegi ABCD berhimpit dengan EFGH. I terletak antara A dengan F. Sisi persegi ABCD 4 cm dan EFGH 6 cm. Perbandingan AI:AF adalah 1:5 maka berapa luas daerah segitiga IGD? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ AI &= \frac{1}{5} AF \\ &= \frac{1}{5} 10 \\ &= 2 \\ IF &= AF-AI \\ &= 10-2 \\ &= 8 \\ \text{luas trapesium AFGD } &= \frac{(AD+EF) \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(4+6)10}{2} \\ &= 50 \\ \text{luas segitiga AID } &= \frac{AI \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(2)4}{2} \\ &= 4 \\ \text{luas segitiga IFG } &= \frac{IF \cdot FG}{2} \\ &= \frac{(8)6}{2} \\ &= 24 \\ \text{luas daerah segitiga IGD } &= \text{luas trapesium AFGD-luas segitiga AI—luas segitiga IFG } \\ &= 50-4-24 \\ &= 22 \\ \text{jadi luas daerah segitiga IGD adalah } 22 cm^2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 3 bersisa 1 dan 2 maka berapa sisa pembagian A(A+1)+3B dibagi 9? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 3a+1 \\ B &= 3b+2 \\ A(A+1)+3B \\ (3a+1)(3a+1+1)+3(3b+2) \\ (3a+1)(3a+2)+9b+6 \\ 9a^2+9a+2+9b+6 \\ 9a^2+9a+9b+8 \\ 9(a^2+a+b)+8 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 9 bersisa 7 dan 8 maka berapa sisa pembagian A(A-5)+9B dibagi 81? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 9a+7 \\ B &= 9b+8 \\ A(A-5)+9B \\ (9a+7)(9a+7-5)+9(9b+8) \\ (9a+7)(9a+2)+81b+72 \\ 81a^2+81a+14+81b+72 \\ 81a^2+81a+81b+86 \\ 81a^2+81a+81b+81+5 \\ 81(a^2+a+b+1)+5 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix}</math> maka berapa hasil dari A²¹+A²⁵+A⁴⁶? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A^2 &= A \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \\ A^3 &= A^2 \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= -I \\ A^{21}+A^{25}+A^{46} &= A^{21} \cdot (I+A^4+A^{25}) \\ &= A^{21} \cdot (I+A^3 \cdot A +A^{24} \cdot A) \\ &= (A^3)^7 \cdot (I+A^3 \cdot A +(A^3)^8 \cdot A) \\ &= (-I)^7 \cdot (I-I \cdot A +(-I)^8 \cdot A) \\ &= -I \cdot (I-A+A) \\ &= -I \cdot I \\ &= -I \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] phvqouagmouyniajliks9bymnmex51b 107999 107998 2025-07-01T11:41:23Z Akuindo 8654 107999 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Penjumlahan bilangan 1 masing-masing seperti 1+1+1+1+… sebanyak 88 buah ditambah a dan b maka hasilnya A dan Perkalian bilangan 1 masing-masing 1x1x1x… sebanyak 88 buah ditambah a dan b maka hasilnya A maka berapa nilai A? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Penjumlahan } \\ 1+1+1+…. +1 \text( sebanyak 88 buah }+a+b &= A \\ 88+a+b &= A \\ \text{Perkalian } \\ 1 \times 1 \times 1 \times…. \times 1 \text( sebanyak 88 buah }\times a \times b &= A \\ a \times b &= A \\ 88+a+b &= ab \\ ab-b &= 88+a \\ b(a-1) &= 88+a \\ b &= \frac{88+a}{a-1} \\ \text{kita uji selidiki misalkan a=2 } \\ b &= \frac{88+2}{2-1} \\ &= 90 \\ \text{buktikan kedua persamaan mempunyai hasilnya sama } \\ 88+a+b &= ab \\ 88+2+90 &= 2(90) \\ 180 &= 180 \\ \text{ternyata benar } \\ \text{nilai A adalah } 180 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x+\frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}=4x-\frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x-\frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x-20+\frac{25}{x} \\ 4x+\frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt{x}+x=1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x}+x &= 1 \\ x-1 &= -\sqrt{x} \\ x^2-2x+1 &= x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x-3+\frac{1}{x} &= 0 \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{16}{x}</math> jika <math>x-3\sqrt{x}=4</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-3\sqrt{x} &= 4 \\ x-4 &= 3\sqrt{x} \\ x^2-8x+16 &= 9x \\ x^2-17x+16 &= 0 \\ x-17+\frac{16}{x} &= 0 \\ x+\frac{16}{x} &= 17 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy)=\frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7 maka tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>xy=\frac{f(x+y)}{f(xy)}</math> dengan f(xy) ≠ 0 serta f(15)=16 maka tentukan nilai f(8)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(15) &= 16 \\ f(3 \cdot 5) &= 16 \\ xy &= \frac{f(x+y)}{f(xy)} \\ 3 \cdot 5 &= \frac{f(3+5)}{f(3 \cdot 5)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{f(15)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{16} \\ f(8) &= 240 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(x+\frac{1}{x}+6)=x^2+\frac{1}{x^2}+15</math> maka tentukan nilai f(16)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x+\frac{1}{x}+6) &= x^2+\frac{1}{x^2}+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2-2+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ \text{misalkan } x+\frac{1}{x} &= p \\ f(x+\frac{1}{x}+6) &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ \text{jika f(16) maka p adalah 10 sebelum ditambahkan 6 } \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ f(10+6) &= 10^2+13 \\ f(16) &= 100+13 \\ &= 113 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{u_3}{u_1+u_2} = \frac{7}{8}</math> merupakan barisan aritmetika maka berapa dari <math>\frac{u_2+u_3}{u_1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{u_3}{u_1+u_2} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{a+a+b} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{2a+b} &= \frac{7}{8} \\ 8(a+2b) &= 7(2a+b) \\ 8a+16b &= 14a+7b \\ 9b &= 6a \\ b &= \frac{2a}{3} \\ \frac{u_2+u_3}{u_1} &= \frac{a+b+a+2b}{a} \\ &= \frac{2a+3b}{a} \\ &= \frac{2a+3(\frac{2a}{3})}{a} \\ &= \frac{2a+2a}{a} \\ &= \frac{4a}{a} \\ &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Rataan geometris a dan b adalah kurangnya 24 dari b serta rataan aritmatik a dan b adalah lebihnya 15 dari a maka berapa nilai a+b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rataan geometris } \\ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a \cdot b} &= b-24 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ \text{rataan aritmatik } \\ \frac{a+b}{2} = \frac{a+b}{2} &= a+15 \\ a+b &= 2(a+15) \\ a+b &= 2a+30 \\ a &= b-30 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ (b-30)b &= (b-24)^2 \\ b^2-30b &= b^2-48b+576 \\ 18b &= 576 \\ b &= 32 \\ a &= b-30 \\ &= 32-30 \\ &= 2 \\ a+b &= 32+2 \\ &= 34 \\ \end{align} </math> </div></div> # Persegi panjang ABCD memiliki AD 15 cm dan DC 12 cm. E dan F merupakan perpanjangan DC yaitu CE 6 cm serta EF = DC. G merupakan titik potong antara BC dan AE maka berapa luas daerah BFEG? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kita cari ukuran GC yaitu } \\ \frac{GC}{AD} &= \frac{CE}{DE} \\ \frac{GC}{15} &= \frac{6}{18} \\ GC &= 5 \\ \text{luas BEFG = luas segitiga BFC - luas segitiga GEC } \\ &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CF - \frac{1}{2} \cdot GC \cdot CE \\ &= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 18 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \\ &= 135 - 15 \\ &= 120 \\ \text{jadi luas daerah BFEG adalah } 120 cm^2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Dua buah persegi masing-masing yaitu ABCD dan EFGH. persegi ABCD berhimpit dengan EFGH. I terletak antara A dengan F. Sisi persegi ABCD 4 cm dan EFGH 6 cm. Perbandingan AI:AF adalah 1:5 maka berapa luas daerah segitiga IGD? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ AI &= \frac{1}{5} AF \\ &= \frac{1}{5} 10 \\ &= 2 \\ IF &= AF-AI \\ &= 10-2 \\ &= 8 \\ \text{luas trapesium AFGD } &= \frac{(AD+EF) \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(4+6)10}{2} \\ &= 50 \\ \text{luas segitiga AID } &= \frac{AI \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(2)4}{2} \\ &= 4 \\ \text{luas segitiga IFG } &= \frac{IF \cdot FG}{2} \\ &= \frac{(8)6}{2} \\ &= 24 \\ \text{luas daerah segitiga IGD } &= \text{luas trapesium AFGD-luas segitiga AI—luas segitiga IFG } \\ &= 50-4-24 \\ &= 22 \\ \text{jadi luas daerah segitiga IGD adalah } 22 cm^2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 3 bersisa 1 dan 2 maka berapa sisa pembagian A(A+1)+3B dibagi 9? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 3a+1 \\ B &= 3b+2 \\ A(A+1)+3B \\ (3a+1)(3a+1+1)+3(3b+2) \\ (3a+1)(3a+2)+9b+6 \\ 9a^2+9a+2+9b+6 \\ 9a^2+9a+9b+8 \\ 9(a^2+a+b)+8 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 9 bersisa 7 dan 8 maka berapa sisa pembagian A(A-5)+9B dibagi 81? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 9a+7 \\ B &= 9b+8 \\ A(A-5)+9B \\ (9a+7)(9a+7-5)+9(9b+8) \\ (9a+7)(9a+2)+81b+72 \\ 81a^2+81a+14+81b+72 \\ 81a^2+81a+81b+86 \\ 81a^2+81a+81b+81+5 \\ 81(a^2+a+b+1)+5 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix}</math> maka berapa hasil dari A²¹+A²⁵+A⁴⁶? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A^2 &= A \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \\ A^3 &= A^2 \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= -I \\ A^{21}+A^{25}+A^{46} &= A^{21} \cdot (I+A^4+A^{25}) \\ &= A^{21} \cdot (I+A^3 \cdot A +A^{24} \cdot A) \\ &= (A^3)^7 \cdot (I+A^3 \cdot A +(A^3)^8 \cdot A) \\ &= (-I)^7 \cdot (I-I \cdot A +(-I)^8 \cdot A) \\ &= -I \cdot (I-A+A) \\ &= -I \cdot I \\ &= -I \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 0ix2mm37np6dmh726cgw1p33b8rbyyw 108000 107999 2025-07-01T11:43:35Z Akuindo 8654 108000 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Penjumlahan bilangan 1 masing-masing seperti 1+1+1+1+… sebanyak 88 buah ditambah a dan b maka hasilnya A dan Perkalian bilangan 1 masing-masing 1x1x1x… sebanyak 88 buah ditambah a dan b maka hasilnya A maka berapa nilai A? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Penjumlahan } \\ 1+1+1+…. +1 \text{ sebanyak 88 buah }+a+b &= A \\ 88+a+b &= A \\ \text{Perkalian } \\ 1 \times 1 \times 1 \times…. \times 1 \text{ sebanyak 88 buah }\times a \times b &= A \\ a \times b &= A \\ 88+a+b &= ab \\ ab-b &= 88+a \\ b(a-1) &= 88+a \\ b &= \frac{88+a}{a-1} \\ \text{kita uji selidiki misalkan a=2 } \\ b &= \frac{88+2}{2-1} \\ &= 90 \\ \text{buktikan kedua persamaan mempunyai hasilnya sama! } \\ 88+a+b &= ab \\ 88+2+90 &= 2(90) \\ 180 &= 180 \\ \text{ternyata benar } \\ \text{nilai A adalah } 180 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x+\frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}=4x-\frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x-\frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x-20+\frac{25}{x} \\ 4x+\frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt{x}+x=1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x}+x &= 1 \\ x-1 &= -\sqrt{x} \\ x^2-2x+1 &= x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x-3+\frac{1}{x} &= 0 \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{16}{x}</math> jika <math>x-3\sqrt{x}=4</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-3\sqrt{x} &= 4 \\ x-4 &= 3\sqrt{x} \\ x^2-8x+16 &= 9x \\ x^2-17x+16 &= 0 \\ x-17+\frac{16}{x} &= 0 \\ x+\frac{16}{x} &= 17 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy)=\frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7 maka tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>xy=\frac{f(x+y)}{f(xy)}</math> dengan f(xy) ≠ 0 serta f(15)=16 maka tentukan nilai f(8)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(15) &= 16 \\ f(3 \cdot 5) &= 16 \\ xy &= \frac{f(x+y)}{f(xy)} \\ 3 \cdot 5 &= \frac{f(3+5)}{f(3 \cdot 5)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{f(15)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{16} \\ f(8) &= 240 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(x+\frac{1}{x}+6)=x^2+\frac{1}{x^2}+15</math> maka tentukan nilai f(16)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x+\frac{1}{x}+6) &= x^2+\frac{1}{x^2}+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2-2+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ \text{misalkan } x+\frac{1}{x} &= p \\ f(x+\frac{1}{x}+6) &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ \text{jika f(16) maka p adalah 10 sebelum ditambahkan 6 } \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ f(10+6) &= 10^2+13 \\ f(16) &= 100+13 \\ &= 113 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{u_3}{u_1+u_2} = \frac{7}{8}</math> merupakan barisan aritmetika maka berapa dari <math>\frac{u_2+u_3}{u_1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{u_3}{u_1+u_2} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{a+a+b} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{2a+b} &= \frac{7}{8} \\ 8(a+2b) &= 7(2a+b) \\ 8a+16b &= 14a+7b \\ 9b &= 6a \\ b &= \frac{2a}{3} \\ \frac{u_2+u_3}{u_1} &= \frac{a+b+a+2b}{a} \\ &= \frac{2a+3b}{a} \\ &= \frac{2a+3(\frac{2a}{3})}{a} \\ &= \frac{2a+2a}{a} \\ &= \frac{4a}{a} \\ &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Rataan geometris a dan b adalah kurangnya 24 dari b serta rataan aritmatik a dan b adalah lebihnya 15 dari a maka berapa nilai a+b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rataan geometris } \\ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a \cdot b} &= b-24 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ \text{rataan aritmatik } \\ \frac{a+b}{2} = \frac{a+b}{2} &= a+15 \\ a+b &= 2(a+15) \\ a+b &= 2a+30 \\ a &= b-30 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ (b-30)b &= (b-24)^2 \\ b^2-30b &= b^2-48b+576 \\ 18b &= 576 \\ b &= 32 \\ a &= b-30 \\ &= 32-30 \\ &= 2 \\ a+b &= 32+2 \\ &= 34 \\ \end{align} </math> </div></div> # Persegi panjang ABCD memiliki AD 15 cm dan DC 12 cm. E dan F merupakan perpanjangan DC yaitu CE 6 cm serta EF = DC. G merupakan titik potong antara BC dan AE maka berapa luas daerah BFEG? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kita cari ukuran GC yaitu } \\ \frac{GC}{AD} &= \frac{CE}{DE} \\ \frac{GC}{15} &= \frac{6}{18} \\ GC &= 5 \\ \text{luas BEFG = luas segitiga BFC - luas segitiga GEC } \\ &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CF - \frac{1}{2} \cdot GC \cdot CE \\ &= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 18 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \\ &= 135 - 15 \\ &= 120 \\ \text{jadi luas daerah BFEG adalah } 120 cm^2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Dua buah persegi masing-masing yaitu ABCD dan EFGH. persegi ABCD berhimpit dengan EFGH. I terletak antara A dengan F. Sisi persegi ABCD 4 cm dan EFGH 6 cm. Perbandingan AI:AF adalah 1:5 maka berapa luas daerah segitiga IGD? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ AI &= \frac{1}{5} AF \\ &= \frac{1}{5} 10 \\ &= 2 \\ IF &= AF-AI \\ &= 10-2 \\ &= 8 \\ \text{luas trapesium AFGD } &= \frac{(AD+EF) \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(4+6)10}{2} \\ &= 50 \\ \text{luas segitiga AID } &= \frac{AI \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(2)4}{2} \\ &= 4 \\ \text{luas segitiga IFG } &= \frac{IF \cdot FG}{2} \\ &= \frac{(8)6}{2} \\ &= 24 \\ \text{luas daerah segitiga IGD } &= \text{luas trapesium AFGD-luas segitiga AI—luas segitiga IFG } \\ &= 50-4-24 \\ &= 22 \\ \text{jadi luas daerah segitiga IGD adalah } 22 cm^2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 3 bersisa 1 dan 2 maka berapa sisa pembagian A(A+1)+3B dibagi 9? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 3a+1 \\ B &= 3b+2 \\ A(A+1)+3B \\ (3a+1)(3a+1+1)+3(3b+2) \\ (3a+1)(3a+2)+9b+6 \\ 9a^2+9a+2+9b+6 \\ 9a^2+9a+9b+8 \\ 9(a^2+a+b)+8 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 9 bersisa 7 dan 8 maka berapa sisa pembagian A(A-5)+9B dibagi 81? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 9a+7 \\ B &= 9b+8 \\ A(A-5)+9B \\ (9a+7)(9a+7-5)+9(9b+8) \\ (9a+7)(9a+2)+81b+72 \\ 81a^2+81a+14+81b+72 \\ 81a^2+81a+81b+86 \\ 81a^2+81a+81b+81+5 \\ 81(a^2+a+b+1)+5 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix}</math> maka berapa hasil dari A²¹+A²⁵+A⁴⁶? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A^2 &= A \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \\ A^3 &= A^2 \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= -I \\ A^{21}+A^{25}+A^{46} &= A^{21} \cdot (I+A^4+A^{25}) \\ &= A^{21} \cdot (I+A^3 \cdot A +A^{24} \cdot A) \\ &= (A^3)^7 \cdot (I+A^3 \cdot A +(A^3)^8 \cdot A) \\ &= (-I)^7 \cdot (I-I \cdot A +(-I)^8 \cdot A) \\ &= -I \cdot (I-A+A) \\ &= -I \cdot I \\ &= -I \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 45f1x1p788tfp8hcyohcxd3nblfdobq 108001 108000 2025-07-01T11:45:13Z Akuindo 8654 108001 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Penjumlahan bilangan 1 masing-masing seperti 1+1+1+1+… sebanyak 88 buah ditambah a dan b maka hasilnya A dan Perkalian bilangan 1 masing-masing 1x1x1x… sebanyak 88 buah ditambah a dan b maka hasilnya A maka berapa nilai A? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Penjumlahan } \\ 1+1+1+…. +1 \text{ sebanyak 88 buah }+a+b &= A \\ 88+a+b &= A \\ \text{Perkalian } \\ 1 \times 1 \times 1 \times…. \times 1 \text{ sebanyak 88 buah }\times a \times b &= A \\ a \times b &= A \\ 88+a+b &= ab \\ ab-b &= 88+a \\ b(a-1) &= 88+a \\ b &= \frac{88+a}{a-1} \\ \text{kita uji selidiki misalkan a=2 } \\ b &= \frac{88+2}{2-1} \\ &= 90 \\ \text{buktikan kedua persamaan mempunyai hasilnya sama}! \\ 88+a+b &= ab \\ 88+2+90 &= 2(90) \\ 180 &= 180 \\ \text{ternyata benar } \\\text { buah \text{nilai A adalah } 180 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x+\frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}=4x-\frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x-\frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x-20+\frac{25}{x} \\ 4x+\frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt{x}+x=1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x}+x &= 1 \\ x-1 &= -\sqrt{x} \\ x^2-2x+1 &= x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x-3+\frac{1}{x} &= 0 \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{16}{x}</math> jika <math>x-3\sqrt{x}=4</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-3\sqrt{x} &= 4 \\ x-4 &= 3\sqrt{x} \\ x^2-8x+16 &= 9x \\ x^2-17x+16 &= 0 \\ x-17+\frac{16}{x} &= 0 \\ x+\frac{16}{x} &= 17 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy)=\frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7 maka tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>xy=\frac{f(x+y)}{f(xy)}</math> dengan f(xy) ≠ 0 serta f(15)=16 maka tentukan nilai f(8)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(15) &= 16 \\ f(3 \cdot 5) &= 16 \\ xy &= \frac{f(x+y)}{f(xy)} \\ 3 \cdot 5 &= \frac{f(3+5)}{f(3 \cdot 5)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{f(15)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{16} \\ f(8) &= 240 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(x+\frac{1}{x}+6)=x^2+\frac{1}{x^2}+15</math> maka tentukan nilai f(16)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x+\frac{1}{x}+6) &= x^2+\frac{1}{x^2}+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2-2+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ \text{misalkan } x+\frac{1}{x} &= p \\ f(x+\frac{1}{x}+6) &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ \text{jika f(16) maka p adalah 10 sebelum ditambahkan 6 } \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ f(10+6) &= 10^2+13 \\ f(16) &= 100+13 \\ &= 113 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{u_3}{u_1+u_2} = \frac{7}{8}</math> merupakan barisan aritmetika maka berapa dari <math>\frac{u_2+u_3}{u_1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{u_3}{u_1+u_2} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{a+a+b} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{2a+b} &= \frac{7}{8} \\ 8(a+2b) &= 7(2a+b) \\ 8a+16b &= 14a+7b \\ 9b &= 6a \\ b &= \frac{2a}{3} \\ \frac{u_2+u_3}{u_1} &= \frac{a+b+a+2b}{a} \\ &= \frac{2a+3b}{a} \\ &= \frac{2a+3(\frac{2a}{3})}{a} \\ &= \frac{2a+2a}{a} \\ &= \frac{4a}{a} \\ &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Rataan geometris a dan b adalah kurangnya 24 dari b serta rataan aritmatik a dan b adalah lebihnya 15 dari a maka berapa nilai a+b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rataan geometris } \\ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a \cdot b} &= b-24 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ \text{rataan aritmatik } \\ \frac{a+b}{2} = \frac{a+b}{2} &= a+15 \\ a+b &= 2(a+15) \\ a+b &= 2a+30 \\ a &= b-30 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ (b-30)b &= (b-24)^2 \\ b^2-30b &= b^2-48b+576 \\ 18b &= 576 \\ b &= 32 \\ a &= b-30 \\ &= 32-30 \\ &= 2 \\ a+b &= 32+2 \\ &= 34 \\ \end{align} </math> </div></div> # Persegi panjang ABCD memiliki AD 15 cm dan DC 12 cm. E dan F merupakan perpanjangan DC yaitu CE 6 cm serta EF = DC. G merupakan titik potong antara BC dan AE maka berapa luas daerah BFEG? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kita cari ukuran GC yaitu } \\ \frac{GC}{AD} &= \frac{CE}{DE} \\ \frac{GC}{15} &= \frac{6}{18} \\ GC &= 5 \\ \text{luas BEFG = luas segitiga BFC - luas segitiga GEC } \\ &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CF - \frac{1}{2} \cdot GC \cdot CE \\ &= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 18 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \\ &= 135 - 15 \\ &= 120 \\ \text{jadi luas daerah BFEG adalah } 120 cm^2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Dua buah persegi masing-masing yaitu ABCD dan EFGH. persegi ABCD berhimpit dengan EFGH. I terletak antara A dengan F. Sisi persegi ABCD 4 cm dan EFGH 6 cm. Perbandingan AI:AF adalah 1:5 maka berapa luas daerah segitiga IGD? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ AI &= \frac{1}{5} AF \\ &= \frac{1}{5} 10 \\ &= 2 \\ IF &= AF-AI \\ &= 10-2 \\ &= 8 \\ \text{luas trapesium AFGD } &= \frac{(AD+EF) \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(4+6)10}{2} \\ &= 50 \\ \text{luas segitiga AID } &= \frac{AI \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(2)4}{2} \\ &= 4 \\ \text{luas segitiga IFG } &= \frac{IF \cdot FG}{2} \\ &= \frac{(8)6}{2} \\ &= 24 \\ \text{luas daerah segitiga IGD } &= \text{luas trapesium AFGD-luas segitiga AI—luas segitiga IFG } \\ &= 50-4-24 \\ &= 22 \\ \text{jadi luas daerah segitiga IGD adalah } 22 cm^2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 3 bersisa 1 dan 2 maka berapa sisa pembagian A(A+1)+3B dibagi 9? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 3a+1 \\ B &= 3b+2 \\ A(A+1)+3B \\ (3a+1)(3a+1+1)+3(3b+2) \\ (3a+1)(3a+2)+9b+6 \\ 9a^2+9a+2+9b+6 \\ 9a^2+9a+9b+8 \\ 9(a^2+a+b)+8 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 9 bersisa 7 dan 8 maka berapa sisa pembagian A(A-5)+9B dibagi 81? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 9a+7 \\ B &= 9b+8 \\ A(A-5)+9B \\ (9a+7)(9a+7-5)+9(9b+8) \\ (9a+7)(9a+2)+81b+72 \\ 81a^2+81a+14+81b+72 \\ 81a^2+81a+81b+86 \\ 81a^2+81a+81b+81+5 \\ 81(a^2+a+b+1)+5 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix}</math> maka berapa hasil dari A²¹+A²⁵+A⁴⁶? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A^2 &= A \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \\ A^3 &= A^2 \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= -I \\ A^{21}+A^{25}+A^{46} &= A^{21} \cdot (I+A^4+A^{25}) \\ &= A^{21} \cdot (I+A^3 \cdot A +A^{24} \cdot A) \\ &= (A^3)^7 \cdot (I+A^3 \cdot A +(A^3)^8 \cdot A) \\ &= (-I)^7 \cdot (I-I \cdot A +(-I)^8 \cdot A) \\ &= -I \cdot (I-A+A) \\ &= -I \cdot I \\ &= -I \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 4eq8w72hjxrkaec7pqf3xh348x3wxo6 108002 108001 2025-07-01T11:47:10Z Akuindo 8654 108002 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Penjumlahan bilangan 1 masing-masing seperti 1+1+1+1+… sebanyak 88 buah ditambah a dan b maka hasilnya A dan perkalian bilangan 1 masing-masing 1x1x1x… sebanyak 88 buah dikali a dan b maka hasilnya A maka berapa nilai A? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Penjumlahan } \\ 1+1+1+…. +1 \text{ sebanyak } 88 \text{ buah }+a+b &= A \\ 88+a+b &= A \\ \text{Perkalian } \\ 1 \times 1 \times 1 \times…. \times 1 \text{ sebanyak } 88 \text{ buah }\times a \times b &= A \\ a \times b &= A \\ 88+a+b &= ab \\ ab-b &= 88+a \\ b(a-1) &= 88+a \\ b &= \frac{88+a}{a-1} \\ \text{kita uji selidiki misalkan } a=2 \\ b &= \frac{88+2}{2-1} \\ &= 90 \\ \text{buktikan kedua persamaan mempunyai hasilnya sama! } \\ 88+a+b &= ab \\ 88+2+90 &= 2(90) \\ 180 &= 180 \\ \text{ternyata benar } \text{nilai A adalah } 180 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x+\frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}=4x-\frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x-\frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x-20+\frac{25}{x} \\ 4x+\frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt{x}+x=1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x}+x &= 1 \\ x-1 &= -\sqrt{x} \\ x^2-2x+1 &= x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x-3+\frac{1}{x} &= 0 \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{16}{x}</math> jika <math>x-3\sqrt{x}=4</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-3\sqrt{x} &= 4 \\ x-4 &= 3\sqrt{x} \\ x^2-8x+16 &= 9x \\ x^2-17x+16 &= 0 \\ x-17+\frac{16}{x} &= 0 \\ x+\frac{16}{x} &= 17 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy)=\frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7 maka tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>xy=\frac{f(x+y)}{f(xy)}</math> dengan f(xy) ≠ 0 serta f(15)=16 maka tentukan nilai f(8)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(15) &= 16 \\ f(3 \cdot 5) &= 16 \\ xy &= \frac{f(x+y)}{f(xy)} \\ 3 \cdot 5 &= \frac{f(3+5)}{f(3 \cdot 5)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{f(15)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{16} \\ f(8) &= 240 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(x+\frac{1}{x}+6)=x^2+\frac{1}{x^2}+15</math> maka tentukan nilai f(16)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x+\frac{1}{x}+6) &= x^2+\frac{1}{x^2}+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2-2+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ \text{misalkan } x+\frac{1}{x} &= p \\ f(x+\frac{1}{x}+6) &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ \text{jika f(16) maka p adalah 10 sebelum ditambahkan 6 } \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ f(10+6) &= 10^2+13 \\ f(16) &= 100+13 \\ &= 113 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{u_3}{u_1+u_2} = \frac{7}{8}</math> merupakan barisan aritmetika maka berapa dari <math>\frac{u_2+u_3}{u_1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{u_3}{u_1+u_2} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{a+a+b} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{2a+b} &= \frac{7}{8} \\ 8(a+2b) &= 7(2a+b) \\ 8a+16b &= 14a+7b \\ 9b &= 6a \\ b &= \frac{2a}{3} \\ \frac{u_2+u_3}{u_1} &= \frac{a+b+a+2b}{a} \\ &= \frac{2a+3b}{a} \\ &= \frac{2a+3(\frac{2a}{3})}{a} \\ &= \frac{2a+2a}{a} \\ &= \frac{4a}{a} \\ &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Rataan geometris a dan b adalah kurangnya 24 dari b serta rataan aritmatik a dan b adalah lebihnya 15 dari a maka berapa nilai a+b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rataan geometris } \\ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a \cdot b} &= b-24 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ \text{rataan aritmatik } \\ \frac{a+b}{2} = \frac{a+b}{2} &= a+15 \\ a+b &= 2(a+15) \\ a+b &= 2a+30 \\ a &= b-30 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ (b-30)b &= (b-24)^2 \\ b^2-30b &= b^2-48b+576 \\ 18b &= 576 \\ b &= 32 \\ a &= b-30 \\ &= 32-30 \\ &= 2 \\ a+b &= 32+2 \\ &= 34 \\ \end{align} </math> </div></div> # Persegi panjang ABCD memiliki AD 15 cm dan DC 12 cm. E dan F merupakan perpanjangan DC yaitu CE 6 cm serta EF = DC. G merupakan titik potong antara BC dan AE maka berapa luas daerah BFEG? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kita cari ukuran GC yaitu } \\ \frac{GC}{AD} &= \frac{CE}{DE} \\ \frac{GC}{15} &= \frac{6}{18} \\ GC &= 5 \\ \text{luas BEFG = luas segitiga BFC - luas segitiga GEC } \\ &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CF - \frac{1}{2} \cdot GC \cdot CE \\ &= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 18 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \\ &= 135 - 15 \\ &= 120 \\ \text{jadi luas daerah BFEG adalah } 120 cm^2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Dua buah persegi masing-masing yaitu ABCD dan EFGH. persegi ABCD berhimpit dengan EFGH. I terletak antara A dengan F. Sisi persegi ABCD 4 cm dan EFGH 6 cm. Perbandingan AI:AF adalah 1:5 maka berapa luas daerah segitiga IGD? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ AI &= \frac{1}{5} AF \\ &= \frac{1}{5} 10 \\ &= 2 \\ IF &= AF-AI \\ &= 10-2 \\ &= 8 \\ \text{luas trapesium AFGD } &= \frac{(AD+EF) \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(4+6)10}{2} \\ &= 50 \\ \text{luas segitiga AID } &= \frac{AI \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(2)4}{2} \\ &= 4 \\ \text{luas segitiga IFG } &= \frac{IF \cdot FG}{2} \\ &= \frac{(8)6}{2} \\ &= 24 \\ \text{luas daerah segitiga IGD } &= \text{luas trapesium AFGD-luas segitiga AI—luas segitiga IFG } \\ &= 50-4-24 \\ &= 22 \\ \text{jadi luas daerah segitiga IGD adalah } 22 cm^2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 3 bersisa 1 dan 2 maka berapa sisa pembagian A(A+1)+3B dibagi 9? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 3a+1 \\ B &= 3b+2 \\ A(A+1)+3B \\ (3a+1)(3a+1+1)+3(3b+2) \\ (3a+1)(3a+2)+9b+6 \\ 9a^2+9a+2+9b+6 \\ 9a^2+9a+9b+8 \\ 9(a^2+a+b)+8 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 9 bersisa 7 dan 8 maka berapa sisa pembagian A(A-5)+9B dibagi 81? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 9a+7 \\ B &= 9b+8 \\ A(A-5)+9B \\ (9a+7)(9a+7-5)+9(9b+8) \\ (9a+7)(9a+2)+81b+72 \\ 81a^2+81a+14+81b+72 \\ 81a^2+81a+81b+86 \\ 81a^2+81a+81b+81+5 \\ 81(a^2+a+b+1)+5 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix}</math> maka berapa hasil dari A²¹+A²⁵+A⁴⁶? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A^2 &= A \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \\ A^3 &= A^2 \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= -I \\ A^{21}+A^{25}+A^{46} &= A^{21} \cdot (I+A^4+A^{25}) \\ &= A^{21} \cdot (I+A^3 \cdot A +A^{24} \cdot A) \\ &= (A^3)^7 \cdot (I+A^3 \cdot A +(A^3)^8 \cdot A) \\ &= (-I)^7 \cdot (I-I \cdot A +(-I)^8 \cdot A) \\ &= -I \cdot (I-A+A) \\ &= -I \cdot I \\ &= -I \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] betat4m2sn6s4b83hfqm8m7s2q06enx 108003 108002 2025-07-01T11:48:26Z Akuindo 8654 108003 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Penjumlahan bilangan 1 masing-masing seperti 1+1+1+1+… sebanyak 88 buah ditambah a dan b maka hasilnya A dan perkalian bilangan 1 masing-masing 1x1x1x… sebanyak 88 buah dikali a dan b maka hasilnya A maka berapa nilai A? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Penjumlahan } \\ 1+1+1+…. +1 \text{ sebanyak } 88 \text{ buah }+a+b &= A \\ 88+a+b &= A \\ \text{Perkalian } \\ 1 \times 1 \times 1 \times…. \times 1 \text{ sebanyak } 88 \text{ buah }\times a \times b &= A \\ a \times b &= A \\ 88+a+b &= ab \\ ab-b &= 88+a \\ b(a-1) &= 88+a \\ b &= \frac{88+a}{a-1} \\ \text{kita uji selidiki misalkan } a=2 \\ b &= \frac{88+2}{2-1} \\ &= 90 \\ \text{buktikan kedua persamaan mempunyai hasilnya sama! } \\ 88+a+b &= ab \\ 88+2+90 &= 2(90) \\ 180 &= 180 \\ \text{ternyata benar } \\ \text{nilai A adalah } 180 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x+\frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}=4x-\frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x-\frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x-20+\frac{25}{x} \\ 4x+\frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt{x}+x=1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x}+x &= 1 \\ x-1 &= -\sqrt{x} \\ x^2-2x+1 &= x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x-3+\frac{1}{x} &= 0 \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{16}{x}</math> jika <math>x-3\sqrt{x}=4</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-3\sqrt{x} &= 4 \\ x-4 &= 3\sqrt{x} \\ x^2-8x+16 &= 9x \\ x^2-17x+16 &= 0 \\ x-17+\frac{16}{x} &= 0 \\ x+\frac{16}{x} &= 17 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy)=\frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7 maka tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>xy=\frac{f(x+y)}{f(xy)}</math> dengan f(xy) ≠ 0 serta f(15)=16 maka tentukan nilai f(8)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(15) &= 16 \\ f(3 \cdot 5) &= 16 \\ xy &= \frac{f(x+y)}{f(xy)} \\ 3 \cdot 5 &= \frac{f(3+5)}{f(3 \cdot 5)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{f(15)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{16} \\ f(8) &= 240 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(x+\frac{1}{x}+6)=x^2+\frac{1}{x^2}+15</math> maka tentukan nilai f(16)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x+\frac{1}{x}+6) &= x^2+\frac{1}{x^2}+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2-2+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ \text{misalkan } x+\frac{1}{x} &= p \\ f(x+\frac{1}{x}+6) &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ \text{jika f(16) maka p adalah 10 sebelum ditambahkan 6 } \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ f(10+6) &= 10^2+13 \\ f(16) &= 100+13 \\ &= 113 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{u_3}{u_1+u_2} = \frac{7}{8}</math> merupakan barisan aritmetika maka berapa dari <math>\frac{u_2+u_3}{u_1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{u_3}{u_1+u_2} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{a+a+b} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{2a+b} &= \frac{7}{8} \\ 8(a+2b) &= 7(2a+b) \\ 8a+16b &= 14a+7b \\ 9b &= 6a \\ b &= \frac{2a}{3} \\ \frac{u_2+u_3}{u_1} &= \frac{a+b+a+2b}{a} \\ &= \frac{2a+3b}{a} \\ &= \frac{2a+3(\frac{2a}{3})}{a} \\ &= \frac{2a+2a}{a} \\ &= \frac{4a}{a} \\ &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Rataan geometris a dan b adalah kurangnya 24 dari b serta rataan aritmatik a dan b adalah lebihnya 15 dari a maka berapa nilai a+b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rataan geometris } \\ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a \cdot b} &= b-24 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ \text{rataan aritmatik } \\ \frac{a+b}{2} = \frac{a+b}{2} &= a+15 \\ a+b &= 2(a+15) \\ a+b &= 2a+30 \\ a &= b-30 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ (b-30)b &= (b-24)^2 \\ b^2-30b &= b^2-48b+576 \\ 18b &= 576 \\ b &= 32 \\ a &= b-30 \\ &= 32-30 \\ &= 2 \\ a+b &= 32+2 \\ &= 34 \\ \end{align} </math> </div></div> # Persegi panjang ABCD memiliki AD 15 cm dan DC 12 cm. E dan F merupakan perpanjangan DC yaitu CE 6 cm serta EF = DC. G merupakan titik potong antara BC dan AE maka berapa luas daerah BFEG? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kita cari ukuran GC yaitu } \\ \frac{GC}{AD} &= \frac{CE}{DE} \\ \frac{GC}{15} &= \frac{6}{18} \\ GC &= 5 \\ \text{luas BEFG = luas segitiga BFC - luas segitiga GEC } \\ &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CF - \frac{1}{2} \cdot GC \cdot CE \\ &= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 18 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \\ &= 135 - 15 \\ &= 120 \\ \text{jadi luas daerah BFEG adalah } 120 cm^2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Dua buah persegi masing-masing yaitu ABCD dan EFGH. persegi ABCD berhimpit dengan EFGH. I terletak antara A dengan F. Sisi persegi ABCD 4 cm dan EFGH 6 cm. Perbandingan AI:AF adalah 1:5 maka berapa luas daerah segitiga IGD? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ AI &= \frac{1}{5} AF \\ &= \frac{1}{5} 10 \\ &= 2 \\ IF &= AF-AI \\ &= 10-2 \\ &= 8 \\ \text{luas trapesium AFGD } &= \frac{(AD+EF) \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(4+6)10}{2} \\ &= 50 \\ \text{luas segitiga AID } &= \frac{AI \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(2)4}{2} \\ &= 4 \\ \text{luas segitiga IFG } &= \frac{IF \cdot FG}{2} \\ &= \frac{(8)6}{2} \\ &= 24 \\ \text{luas daerah segitiga IGD } &= \text{luas trapesium AFGD-luas segitiga AI—luas segitiga IFG } \\ &= 50-4-24 \\ &= 22 \\ \text{jadi luas daerah segitiga IGD adalah } 22 cm^2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 3 bersisa 1 dan 2 maka berapa sisa pembagian A(A+1)+3B dibagi 9? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 3a+1 \\ B &= 3b+2 \\ A(A+1)+3B \\ (3a+1)(3a+1+1)+3(3b+2) \\ (3a+1)(3a+2)+9b+6 \\ 9a^2+9a+2+9b+6 \\ 9a^2+9a+9b+8 \\ 9(a^2+a+b)+8 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 9 bersisa 7 dan 8 maka berapa sisa pembagian A(A-5)+9B dibagi 81? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 9a+7 \\ B &= 9b+8 \\ A(A-5)+9B \\ (9a+7)(9a+7-5)+9(9b+8) \\ (9a+7)(9a+2)+81b+72 \\ 81a^2+81a+14+81b+72 \\ 81a^2+81a+81b+86 \\ 81a^2+81a+81b+81+5 \\ 81(a^2+a+b+1)+5 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix}</math> maka berapa hasil dari A²¹+A²⁵+A⁴⁶? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A^2 &= A \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \\ A^3 &= A^2 \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= -I \\ A^{21}+A^{25}+A^{46} &= A^{21} \cdot (I+A^4+A^{25}) \\ &= A^{21} \cdot (I+A^3 \cdot A +A^{24} \cdot A) \\ &= (A^3)^7 \cdot (I+A^3 \cdot A +(A^3)^8 \cdot A) \\ &= (-I)^7 \cdot (I-I \cdot A +(-I)^8 \cdot A) \\ &= -I \cdot (I-A+A) \\ &= -I \cdot I \\ &= -I \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] omotfp6tkuggi73k35snen066df8434 108004 108003 2025-07-01T11:51:24Z Akuindo 8654 108004 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Penjumlahan bilangan 1 masing-masing seperti 1+1+1+1+… sebanyak 88 buah ditambah a dan b maka hasilnya A dan perkalian bilangan 1 masing-masing 1x1x1x… sebanyak 88 buah dikali a dan b maka hasilnya A maka berapa nilai A? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Penjumlahan } \\ 1+1+1+…. +1 \text{ sebanyak } 88 \text{ buah }+a+b &= A \\ 88+a+b &= A \\ \text{Perkalian } \\ 1 \times 1 \times 1 \times…. \times 1 \text{ sebanyak } 88 \text{ buah }\times a \times b &= A \\ a \times b &= A \\ 88+a+b &= ab \\ ab-b &= 88+a \\ b(a-1) &= 88+a \\ b &= \frac{88+a}{a-1} \\ \text{kita uji selidiki misalkan } a=2 \\ b &= \frac{88+2}{2-1} \\ &= 90 \\ \text{buktikan kedua persamaan mempunyai hasilnya sama}! \\ 88+a+b &= ab \\ 88+2+90 &= 2(90) \\ 180 &= 180 \\ \text{ternyata benar } \\ \text{nilai A adalah } 180 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x+\frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}=4x-\frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x-\frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x-20+\frac{25}{x} \\ 4x+\frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt{x}+x=1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x}+x &= 1 \\ x-1 &= -\sqrt{x} \\ x^2-2x+1 &= x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x-3+\frac{1}{x} &= 0 \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{16}{x}</math> jika <math>x-3\sqrt{x}=4</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-3\sqrt{x} &= 4 \\ x-4 &= 3\sqrt{x} \\ x^2-8x+16 &= 9x \\ x^2-17x+16 &= 0 \\ x-17+\frac{16}{x} &= 0 \\ x+\frac{16}{x} &= 17 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy)=\frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7 maka tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>xy=\frac{f(x+y)}{f(xy)}</math> dengan f(xy) ≠ 0 serta f(15)=16 maka tentukan nilai f(8)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(15) &= 16 \\ f(3 \cdot 5) &= 16 \\ xy &= \frac{f(x+y)}{f(xy)} \\ 3 \cdot 5 &= \frac{f(3+5)}{f(3 \cdot 5)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{f(15)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{16} \\ f(8) &= 240 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(x+\frac{1}{x}+6)=x^2+\frac{1}{x^2}+15</math> maka tentukan nilai f(16)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x+\frac{1}{x}+6) &= x^2+\frac{1}{x^2}+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2-2+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ \text{misalkan } x+\frac{1}{x} &= p \\ f(x+\frac{1}{x}+6) &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ \text{jika f(16) maka p adalah 10 sebelum ditambahkan 6 } \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ f(10+6) &= 10^2+13 \\ f(16) &= 100+13 \\ &= 113 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{u_3}{u_1+u_2} = \frac{7}{8}</math> merupakan barisan aritmetika maka berapa dari <math>\frac{u_2+u_3}{u_1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{u_3}{u_1+u_2} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{a+a+b} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{2a+b} &= \frac{7}{8} \\ 8(a+2b) &= 7(2a+b) \\ 8a+16b &= 14a+7b \\ 9b &= 6a \\ b &= \frac{2a}{3} \\ \frac{u_2+u_3}{u_1} &= \frac{a+b+a+2b}{a} \\ &= \frac{2a+3b}{a} \\ &= \frac{2a+3(\frac{2a}{3})}{a} \\ &= \frac{2a+2a}{a} \\ &= \frac{4a}{a} \\ &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Rataan geometris a dan b adalah kurangnya 24 dari b serta rataan aritmatik a dan b adalah lebihnya 15 dari a maka berapa nilai a+b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rataan geometris } \\ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a \cdot b} &= b-24 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ \text{rataan aritmatik } \\ \frac{a+b}{2} = \frac{a+b}{2} &= a+15 \\ a+b &= 2(a+15) \\ a+b &= 2a+30 \\ a &= b-30 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ (b-30)b &= (b-24)^2 \\ b^2-30b &= b^2-48b+576 \\ 18b &= 576 \\ b &= 32 \\ a &= b-30 \\ &= 32-30 \\ &= 2 \\ a+b &= 32+2 \\ &= 34 \\ \end{align} </math> </div></div> # Persegi panjang ABCD memiliki AD 15 cm dan DC 12 cm. E dan F merupakan perpanjangan DC yaitu CE 6 cm serta EF = DC. G merupakan titik potong antara BC dan AE maka berapa luas daerah BFEG? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kita cari ukuran GC yaitu } \\ \frac{GC}{AD} &= \frac{CE}{DE} \\ \frac{GC}{15} &= \frac{6}{18} \\ GC &= 5 \\ \text{luas BEFG = luas segitiga BFC - luas segitiga GEC } \\ &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CF - \frac{1}{2} \cdot GC \cdot CE \\ &= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 18 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \\ &= 135 - 15 \\ &= 120 \\ \text{jadi luas daerah BFEG adalah } 120 cm^2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Dua buah persegi masing-masing yaitu ABCD dan EFGH. persegi ABCD berhimpit dengan EFGH. I terletak antara A dengan F. Sisi persegi ABCD 4 cm dan EFGH 6 cm. Perbandingan AI:AF adalah 1:5 maka berapa luas daerah segitiga IGD? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ AI &= \frac{1}{5} AF \\ &= \frac{1}{5} 10 \\ &= 2 \\ IF &= AF-AI \\ &= 10-2 \\ &= 8 \\ \text{luas trapesium AFGD } &= \frac{(AD+EF) \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(4+6)10}{2} \\ &= 50 \\ \text{luas segitiga AID } &= \frac{AI \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(2)4}{2} \\ &= 4 \\ \text{luas segitiga IFG } &= \frac{IF \cdot FG}{2} \\ &= \frac{(8)6}{2} \\ &= 24 \\ \text{luas daerah segitiga IGD } &= \text{luas trapesium AFGD-luas segitiga AI—luas segitiga IFG } \\ &= 50-4-24 \\ &= 22 \\ \text{jadi luas daerah segitiga IGD adalah } 22 cm^2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 3 bersisa 1 dan 2 maka berapa sisa pembagian A(A+1)+3B dibagi 9? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 3a+1 \\ B &= 3b+2 \\ A(A+1)+3B \\ (3a+1)(3a+1+1)+3(3b+2) \\ (3a+1)(3a+2)+9b+6 \\ 9a^2+9a+2+9b+6 \\ 9a^2+9a+9b+8 \\ 9(a^2+a+b)+8 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 9 bersisa 7 dan 8 maka berapa sisa pembagian A(A-5)+9B dibagi 81? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 9a+7 \\ B &= 9b+8 \\ A(A-5)+9B \\ (9a+7)(9a+7-5)+9(9b+8) \\ (9a+7)(9a+2)+81b+72 \\ 81a^2+81a+14+81b+72 \\ 81a^2+81a+81b+86 \\ 81a^2+81a+81b+81+5 \\ 81(a^2+a+b+1)+5 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix}</math> maka berapa hasil dari A²¹+A²⁵+A⁴⁶? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A^2 &= A \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \\ A^3 &= A^2 \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= -I \\ A^{21}+A^{25}+A^{46} &= A^{21} \cdot (I+A^4+A^{25}) \\ &= A^{21} \cdot (I+A^3 \cdot A +A^{24} \cdot A) \\ &= (A^3)^7 \cdot (I+A^3 \cdot A +(A^3)^8 \cdot A) \\ &= (-I)^7 \cdot (I-I \cdot A +(-I)^8 \cdot A) \\ &= -I \cdot (I-A+A) \\ &= -I \cdot I \\ &= -I \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] qdcu7hlphjiitsbwkd0xbce8vmvkxky 108005 108004 2025-07-01T11:57:42Z Akuindo 8654 108005 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan } \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Penjumlahan bilangan 1 masing-masing seperti 1+1+1+1+… sebanyak 88 buah ditambah a dan b maka hasilnya A dan perkalian bilangan 1 masing-masing 1x1x1x… sebanyak 88 buah dikali a dan b maka hasilnya A maka berapa nilai A? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Penjumlahan } \\ 1+1+1+…. +1 \text{ sebanyak } 88 \text{ buah }+a+b &= A \\ 88+a+b &= A \\ \text{Perkalian } \\ 1 \times 1 \times 1 \times…. \times 1 \text{ sebanyak } 88 \text{ buah }\times a \times b &= A \\ a \times b &= A \\ 88+a+b &= ab \\ ab-b &= 88+a \\ b(a-1) &= 88+a \\ b &= \frac{88+a}{a-1} \\ \text{kita uji selidiki misalkan } a=2 \\ b &= \frac{88+2}{2-1} \\ &= 90 \\ \text{buktikan kedua persamaan mempunyai hasilnya sama} \\ 88+a+b &= ab \\ 88+2+90 &= 2(90) \\ 180 &= 180 \\ \text{ternyata benar } \\ \text{nilai A adalah } 180 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x+\frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}=4x-\frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x-\frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x-20+\frac{25}{x} \\ 4x+\frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt{x}+x=1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x}+x &= 1 \\ x-1 &= -\sqrt{x} \\ x^2-2x+1 &= x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x-3+\frac{1}{x} &= 0 \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{16}{x}</math> jika <math>x-3\sqrt{x}=4</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-3\sqrt{x} &= 4 \\ x-4 &= 3\sqrt{x} \\ x^2-8x+16 &= 9x \\ x^2-17x+16 &= 0 \\ x-17+\frac{16}{x} &= 0 \\ x+\frac{16}{x} &= 17 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy)=\frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7 maka tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>xy=\frac{f(x+y)}{f(xy)}</math> dengan f(xy) ≠ 0 serta f(15)=16 maka tentukan nilai f(8)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(15) &= 16 \\ f(3 \cdot 5) &= 16 \\ xy &= \frac{f(x+y)}{f(xy)} \\ 3 \cdot 5 &= \frac{f(3+5)}{f(3 \cdot 5)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{f(15)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{16} \\ f(8) &= 240 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(x+\frac{1}{x}+6)=x^2+\frac{1}{x^2}+15</math> maka tentukan nilai f(16)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x+\frac{1}{x}+6) &= x^2+\frac{1}{x^2}+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2-2+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ \text{misalkan } x+\frac{1}{x} &= p \\ f(x+\frac{1}{x}+6) &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ \text{jika f(16) maka p adalah 10 sebelum ditambahkan 6 } \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ f(10+6) &= 10^2+13 \\ f(16) &= 100+13 \\ &= 113 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{u_3}{u_1+u_2} = \frac{7}{8}</math> merupakan barisan aritmetika maka berapa dari <math>\frac{u_2+u_3}{u_1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{u_3}{u_1+u_2} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{a+a+b} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{2a+b} &= \frac{7}{8} \\ 8(a+2b) &= 7(2a+b) \\ 8a+16b &= 14a+7b \\ 9b &= 6a \\ b &= \frac{2a}{3} \\ \frac{u_2+u_3}{u_1} &= \frac{a+b+a+2b}{a} \\ &= \frac{2a+3b}{a} \\ &= \frac{2a+3(\frac{2a}{3})}{a} \\ &= \frac{2a+2a}{a} \\ &= \frac{4a}{a} \\ &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Rataan geometris a dan b adalah kurangnya 24 dari b serta rataan aritmatik a dan b adalah lebihnya 15 dari a maka berapa nilai a+b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rataan geometris } \\ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a \cdot b} &= b-24 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ \text{rataan aritmatik } \\ \frac{a+b}{2} = \frac{a+b}{2} &= a+15 \\ a+b &= 2(a+15) \\ a+b &= 2a+30 \\ a &= b-30 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ (b-30)b &= (b-24)^2 \\ b^2-30b &= b^2-48b+576 \\ 18b &= 576 \\ b &= 32 \\ a &= b-30 \\ &= 32-30 \\ &= 2 \\ a+b &= 32+2 \\ &= 34 \\ \end{align} </math> </div></div> # Persegi panjang ABCD memiliki AD 15 cm dan DC 12 cm. E dan F merupakan perpanjangan DC yaitu CE 6 cm serta EF = DC. G merupakan titik potong antara BC dan AE maka berapa luas daerah BFEG? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kita cari ukuran GC yaitu } \\ \frac{GC}{AD} &= \frac{CE}{DE} \\ \frac{GC}{15} &= \frac{6}{18} \\ GC &= 5 \\ \text{luas BEFG = luas segitiga BFC - luas segitiga GEC } \\ &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CF - \frac{1}{2} \cdot GC \cdot CE \\ &= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 18 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \\ &= 135 - 15 \\ &= 120 \\ \text{jadi luas daerah BFEG adalah } 120 cm^2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Dua buah persegi masing-masing yaitu ABCD dan EFGH. persegi ABCD berhimpit dengan EFGH. I terletak antara A dengan F. Sisi persegi ABCD 4 cm dan EFGH 6 cm. Perbandingan AI:AF adalah 1:5 maka berapa luas daerah segitiga IGD? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ AI &= \frac{1}{5} AF \\ &= \frac{1}{5} 10 \\ &= 2 \\ IF &= AF-AI \\ &= 10-2 \\ &= 8 \\ \text{luas trapesium AFGD } &= \frac{(AD+EF) \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(4+6)10}{2} \\ &= 50 \\ \text{luas segitiga AID } &= \frac{AI \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(2)4}{2} \\ &= 4 \\ \text{luas segitiga IFG } &= \frac{IF \cdot FG}{2} \\ &= \frac{(8)6}{2} \\ &= 24 \\ \text{luas daerah segitiga IGD } &= \text{luas trapesium AFGD-luas segitiga AI—luas segitiga IFG } \\ &= 50-4-24 \\ &= 22 \\ \text{jadi luas daerah segitiga IGD adalah } 22 cm^2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 3 bersisa 1 dan 2 maka berapa sisa pembagian A(A+1)+3B dibagi 9? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 3a+1 \\ B &= 3b+2 \\ A(A+1)+3B \\ (3a+1)(3a+1+1)+3(3b+2) \\ (3a+1)(3a+2)+9b+6 \\ 9a^2+9a+2+9b+6 \\ 9a^2+9a+9b+8 \\ 9(a^2+a+b)+8 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 9 bersisa 7 dan 8 maka berapa sisa pembagian A(A-5)+9B dibagi 81? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 9a+7 \\ B &= 9b+8 \\ A(A-5)+9B \\ (9a+7)(9a+7-5)+9(9b+8) \\ (9a+7)(9a+2)+81b+72 \\ 81a^2+81a+14+81b+72 \\ 81a^2+81a+81b+86 \\ 81a^2+81a+81b+81+5 \\ 81(a^2+a+b+1)+5 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix}</math> maka berapa hasil dari A²¹+A²⁵+A⁴⁶? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A^2 &= A \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \\ A^3 &= A^2 \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= -I \\ A^{21}+A^{25}+A^{46} &= A^{21} \cdot (I+A^4+A^{25}) \\ &= A^{21} \cdot (I+A^3 \cdot A +A^{24} \cdot A) \\ &= (A^3)^7 \cdot (I+A^3 \cdot A +(A^3)^8 \cdot A) \\ &= (-I)^7 \cdot (I-I \cdot A +(-I)^8 \cdot A) \\ &= -I \cdot (I-A+A) \\ &= -I \cdot I \\ &= -I \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 90wz0u7st4ezuw0m4gnyuqfbusq2svk 0 23570 107995 100163 2025-07-01T11:23:01Z Akuindo 8654 107995 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Cara 1 } \\ \text{Perhatian } \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}) \\ &= 1 - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024}{2024} - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024-1}{2024} \\ &= \frac{2023}{2024} \\ \text {Cara 2 } \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{n}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= \frac{2023}{2024} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}} &= x \\ (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}})^2 &= x^2 \\ 6 + (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}) &= x^2 \\ 6 + x &= x^2 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x-3)(x-2) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = -2 \\ \text { jadi x adalah } 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{20 - \sqrt{20 + \sqrt{20 - \dots}}} &= x \\ (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}})^2 &= x^2 \\ 20 - (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}) &= x^2 \\ 20 - x &= x^2 \\ x^2 + x - 20 &= 0 \\ (x-4)(x+5) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = -5 \\ \text { jadi x adalah } 4 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}</math>?? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}} &= x \\ 2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}} &= x^2 \\ \text {maka menjadi } \frac{x^2}{x} &= \frac{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}} &= x \\ \frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}} &= x^2 \\ \frac{8}{x} &= x^2 \\ x^3 &= 8 \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Cara 1} \\ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{1}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{3}{4}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{4}}}} \\ &= \sqrt{3 \times 3^{\frac{7}{8}}} \\ &= \sqrt{3^{\frac{15}{8}}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \text{Cara 2} \\ \text{Gunakan rumus } a^{\frac{2^n-1}{2^n}} \text{ n adalah banyaknya akar } \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= 3^{\frac{2^4-1}{2^4}} \\ &= 3^{\frac{16-1}{16}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} = 9</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} &= 9 \\ (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}})^2 &= (9)^2 \\ 4x + (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}) &= 81 \\ 4x + 9 &= 81 \\ 4x &= 72 \\ x &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} = 12</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} &= 12 \\ (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}})^2 &= (12)^2 \\ 7x+2 - (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}) &= 144 \\ 7x+2 - 12 &= 144 \\ 7x &= 154 \\ x &= 22 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>\frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}} = \\ \text{Misalkan } \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}} &= x \\ \frac{1}{2 + 3x} &= x \\ 1 &= x(2 + 3x) \\ 1 &= 2x + 3x^2 \\ 3x^2 + 2x - 1 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -1 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}} = \\ \text{Misalkan } 1 + \frac{56}{1 + \dots} &= x \\ 1 + \frac{56}{x} &= x \\ x + 56 &= x^2 \\ x^2 - x - 56 &= 0 \\ (x-8)(x+7) &= 0 \\ x = 8 &\text{ atau } x = -7 \\ \text{Karena hasilnya selalu bilangan positif jadi } x = 8 \\ 7 + \frac{16}{8} &= 7 + 2 = 9 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>x^2-3xy+y^2</math> jika x+y = 7 dan xy = -4? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-3xy+y^2 &= x^2+2xy+y^2-5xy \\ &= (x+y)^2-5xy \\ &= 7^2-5(-4) \\ &= 49+20 \\ &= 69 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil x dari <math>\frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} = 3</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 3 \\ \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 1+1+1 \\ \frac{x-10}{2023} - 1 + \frac{x-9}{2024} - 1 + \frac{x-8}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-10-2023}{2023} + \frac{x-9-2024}{2024} + \frac{x-8-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2033}{2023} + \frac{x-2033}{2024} + \frac{x-2033}{2025} &= 0 \\ (x-2033)(\frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2033 &= 0 \\ x &= 2033 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil x dari <math>\frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} = 3</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 3 \\ \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 1+1+1 \\ \frac{x-17}{2026} - 1 + \frac{x-19}{2024} - 1 + \frac{x-21}{2022} - 1 &= 0 \\ \frac{x-17-2026}{2026} + \frac{x-19-2024}{2024} + \frac{x-21-2022}{2022} &= 0 \\ \frac{x-2043}{2026} + \frac{x-2043}{2024} + \frac{x-2043}{2022} &= 0 \\ (x-2043)(\frac{1}{2026} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2022}) &= 0 \\ x-2043 &= 0 \\ x &= 2043 \\ \end{align} </math> </div></div> # Dua dadu dilempar bersama-sama satu kali. Berapa peluang bahwa dua dadu yang muncul berangka sama? * jumlah seluruh dadu (s) yaitu 6x6 = 36 * dua dadu yang sama angkanya (a) yakni {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} jadi ada 6 * maka peluangnya adalah <math>P (a) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}</math> # Jumlah kedua bilangan adalah 30 maka berapa nilai maksimum dari hasil kali kedua bilangan? * Jumlah kedua bilangan yang menghasilkan 30 yang mungkin adalah (0,30), (1,29), (2,28), (3,27), …., (15,15) * Hasil kali kedua bilangan masing-masing yakni 0, 29, 56, 81, 104, 125, …., 225 * Jadi hasil kali yang paling maksimum adalah 225 # Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/7? * Hasil dari 1/7 adalah 0,142857142857… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 7. # Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/13? * Hasil dari 1/13 adalah 0,076923076923… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 3. # Dua persamaan yaitu 43a+20b-10c=36 dan 2a-2b+19c=-9 maka berapa hasil dari 5a+2b+c? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 43a+20b-10c &= 36 \\ 2a-2b+19c &= -9 \\ 45a+18b+9c &= 27 \text{ (persamaan (1) ditambahkan (2))} \\ 5a+2b+c &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil f(16)-f(7) dari f(3x-2)=4x-7? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(16) &= f(3x-2) \\ 16 &= 3x-2 \\ 3x &= 18 \\ x &= 6 \\ f(16) &= 4(6)-7 \\ &= 17 \\ f(7) &= f(3x-2) \\ 7 &= 3x-2 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ f(7) &= 4(3)-7 \\ &= 5 \\ f(16) - f(7) &= 17-5 \\ &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah persegi memiliki dua persegi panjang secara sembarangan baik vertikal atau horisontal. jika keliling kedua persegi panjang adalah 102 meter maka berapa luas persegi? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} b &= a+c \\ k &= 2(a+b)+2(b+c) \\ 102 &= 2a+4b+2c \\ 51 &= a+2b+c \\ 51 &= b+2b \\ 51 &= 3b \\ b &= 17 \\ l &= b^2 \\ &= {17}^2 \\ &= 289 \text{ meter} \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] hgfh2d8xj2tepti0bf3uvety7js41vr 107996 107995 2025-07-01T11:24:10Z Akuindo 8654 107996 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Cara 1 } \\ \text{Perhatian } \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}) \\ &= 1 - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024}{2024} - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024-1}{2024} \\ &= \frac{2023}{2024} \\ \text {Cara 2 } \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{n}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= \frac{2023}{2024} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}} &= x \\ (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}})^2 &= x^2 \\ 6 + (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}) &= x^2 \\ 6 + x &= x^2 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x-3)(x-2) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = -2 \\ \text { jadi x adalah } 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{20 - \sqrt{20 + \sqrt{20 - \dots}}} &= x \\ (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}})^2 &= x^2 \\ 20 - (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}) &= x^2 \\ 20 - x &= x^2 \\ x^2 + x - 20 &= 0 \\ (x-4)(x+5) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = -5 \\ \text { jadi x adalah } 4 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}</math>?? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}} &= x \\ 2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}} &= x^2 \\ \text {maka menjadi } \frac{x^2}{x} &= \frac{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}} &= x \\ \frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}} &= x^2 \\ \frac{8}{x} &= x^2 \\ x^3 &= 8 \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Cara 1} \\ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{1}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{3}{4}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{4}}}} \\ &= \sqrt{3 \times 3^{\frac{7}{8}}} \\ &= \sqrt{3^{\frac{15}{8}}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \text{Cara 2} \\ \text{Gunakan rumus } a^{\frac{2^n-1}{2^n}} \text{ n adalah banyaknya akar } \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= 3^{\frac{2^4-1}{2^4}} \\ &= 3^{\frac{16-1}{16}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} = 9</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} &= 9 \\ (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}})^2 &= (9)^2 \\ 4x + (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}) &= 81 \\ 4x + 9 &= 81 \\ 4x &= 72 \\ x &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} = 12</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} &= 12 \\ (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}})^2 &= (12)^2 \\ 7x+2 - (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}) &= 144 \\ 7x+2 - 12 &= 144 \\ 7x &= 154 \\ x &= 22 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>\frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}} = \\ \text{Misalkan } \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}} &= x \\ \frac{1}{2 + 3x} &= x \\ 1 &= x(2 + 3x) \\ 1 &= 2x + 3x^2 \\ 3x^2 + 2x - 1 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -1 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}} = \\ \text{Misalkan } 1 + \frac{56}{1 + \dots} &= x \\ 1 + \frac{56}{x} &= x \\ x + 56 &= x^2 \\ x^2 - x - 56 &= 0 \\ (x-8)(x+7) &= 0 \\ x = 8 &\text{ atau } x = -7 \\ \text{Karena hasilnya selalu bilangan positif jadi } x = 8 \\ 7 + \frac{16}{8} &= 7 + 2 = 9 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>x^2-3xy+y^2</math> jika x+y = 7 dan xy = -4? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-3xy+y^2 &= x^2+2xy+y^2-5xy \\ &= (x+y)^2-5xy \\ &= 7^2-5(-4) \\ &= 49+20 \\ &= 69 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil x dari <math>\frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} = 3</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 3 \\ \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 1+1+1 \\ \frac{x-10}{2023} - 1 + \frac{x-9}{2024} - 1 + \frac{x-8}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-10-2023}{2023} + \frac{x-9-2024}{2024} + \frac{x-8-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2033}{2023} + \frac{x-2033}{2024} + \frac{x-2033}{2025} &= 0 \\ (x-2033)(\frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2033 &= 0 \\ x &= 2033 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil x dari <math>\frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} = 3</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 3 \\ \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 1+1+1 \\ \frac{x-17}{2026} - 1 + \frac{x-19}{2024} - 1 + \frac{x-21}{2022} - 1 &= 0 \\ \frac{x-17-2026}{2026} + \frac{x-19-2024}{2024} + \frac{x-21-2022}{2022} &= 0 \\ \frac{x-2043}{2026} + \frac{x-2043}{2024} + \frac{x-2043}{2022} &= 0 \\ (x-2043)(\frac{1}{2026} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2022}) &= 0 \\ x-2043 &= 0 \\ x &= 2043 \\ \end{align} </math> </div></div> # Dua dadu dilempar bersama-sama satu kali. Berapa peluang bahwa dua dadu yang muncul berangka sama? * jumlah seluruh dadu (s) yaitu 6x6 = 36 * dua dadu yang sama angkanya (a) yakni {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} jadi ada 6 * maka peluangnya adalah <math>P (a) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}</math> # Jumlah kedua bilangan adalah 30 maka berapa nilai maksimum dari hasil kali kedua bilangan? * Jumlah kedua bilangan yang menghasilkan 30 yang mungkin adalah (0,30), (1,29), (2,28), (3,27), …., (15,15) * Hasil kali kedua bilangan masing-masing yakni 0, 29, 56, 81, 104, 125, …., 225 * Jadi hasil kali yang paling maksimum adalah 225 # Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/7? * Hasil dari 1/7 adalah 0,142857142857… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 7. # Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/13? * Hasil dari 1/13 adalah 0,076923076923… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 3. # Dua persamaan yaitu 43a+20b-10c=36 dan 2a-2b+19c=-9 maka berapa hasil dari 5a+2b+c? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 43a+20b-10c &= 36 \\ 2a-2b+19c &= -9 \\ 45a+18b+9c &= 27 \text{ (persamaan (1) ditambahkan (2))} \\ 5a+2b+c &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil f(16)-f(7) dari f(3x-2)=4x-7? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(16) &= f(3x-2) \\ 16 &= 3x-2 \\ 3x &= 18 \\ x &= 6 \\ f(16) &= 4(6)-7 \\ &= 17 \\ f(7) &= f(3x-2) \\ 7 &= 3x-2 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ f(7) &= 4(3)-7 \\ &= 5 \\ f(16) - f(7) &= 17-5 \\ &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah persegi memiliki dua persegi panjang secara sembarangan baik vertikal atau horisontal. jika keliling kedua persegi panjang adalah 102 meter maka berapa luas persegi? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} b &= a+c \\ k &= 2(a+b)+2(b+c) \\ 102 &= 2a+4b+2c \\ 51 &= a+2b+c \\ 51 &= b+2b \\ 51 &= 3b \\ b &= 17 \\ l &= b^2 \\ &= {17}^2 \\ &= 289 \text{ m^2} \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] l3qrh53q1ckwfabfb0355lg1j2sicwb 107997 107996 2025-07-01T11:24:32Z Akuindo 8654 107997 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Cara 1 } \\ \text{Perhatian } \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}) \\ &= 1 - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024}{2024} - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024-1}{2024} \\ &= \frac{2023}{2024} \\ \text {Cara 2 } \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{n}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= \frac{2023}{2024} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}} &= x \\ (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}})^2 &= x^2 \\ 6 + (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}) &= x^2 \\ 6 + x &= x^2 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x-3)(x-2) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = -2 \\ \text { jadi x adalah } 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{20 - \sqrt{20 + \sqrt{20 - \dots}}} &= x \\ (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}})^2 &= x^2 \\ 20 - (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}) &= x^2 \\ 20 - x &= x^2 \\ x^2 + x - 20 &= 0 \\ (x-4)(x+5) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = -5 \\ \text { jadi x adalah } 4 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}</math>?? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}} &= x \\ 2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}} &= x^2 \\ \text {maka menjadi } \frac{x^2}{x} &= \frac{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}} &= x \\ \frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}} &= x^2 \\ \frac{8}{x} &= x^2 \\ x^3 &= 8 \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Cara 1} \\ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{1}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{3}{4}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{4}}}} \\ &= \sqrt{3 \times 3^{\frac{7}{8}}} \\ &= \sqrt{3^{\frac{15}{8}}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \text{Cara 2} \\ \text{Gunakan rumus } a^{\frac{2^n-1}{2^n}} \text{ n adalah banyaknya akar } \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= 3^{\frac{2^4-1}{2^4}} \\ &= 3^{\frac{16-1}{16}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} = 9</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} &= 9 \\ (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}})^2 &= (9)^2 \\ 4x + (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}) &= 81 \\ 4x + 9 &= 81 \\ 4x &= 72 \\ x &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai x dari <math>\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} = 12</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} &= 12 \\ (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}})^2 &= (12)^2 \\ 7x+2 - (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}) &= 144 \\ 7x+2 - 12 &= 144 \\ 7x &= 154 \\ x &= 22 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>\frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}} = \\ \text{Misalkan } \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}} &= x \\ \frac{1}{2 + 3x} &= x \\ 1 &= x(2 + 3x) \\ 1 &= 2x + 3x^2 \\ 3x^2 + 2x - 1 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -1 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}} = \\ \text{Misalkan } 1 + \frac{56}{1 + \dots} &= x \\ 1 + \frac{56}{x} &= x \\ x + 56 &= x^2 \\ x^2 - x - 56 &= 0 \\ (x-8)(x+7) &= 0 \\ x = 8 &\text{ atau } x = -7 \\ \text{Karena hasilnya selalu bilangan positif jadi } x = 8 \\ 7 + \frac{16}{8} &= 7 + 2 = 9 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil dari <math>x^2-3xy+y^2</math> jika x+y = 7 dan xy = -4? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-3xy+y^2 &= x^2+2xy+y^2-5xy \\ &= (x+y)^2-5xy \\ &= 7^2-5(-4) \\ &= 49+20 \\ &= 69 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil x dari <math>\frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} = 3</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 3 \\ \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 1+1+1 \\ \frac{x-10}{2023} - 1 + \frac{x-9}{2024} - 1 + \frac{x-8}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-10-2023}{2023} + \frac{x-9-2024}{2024} + \frac{x-8-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2033}{2023} + \frac{x-2033}{2024} + \frac{x-2033}{2025} &= 0 \\ (x-2033)(\frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2033 &= 0 \\ x &= 2033 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil x dari <math>\frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} = 3</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 3 \\ \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 1+1+1 \\ \frac{x-17}{2026} - 1 + \frac{x-19}{2024} - 1 + \frac{x-21}{2022} - 1 &= 0 \\ \frac{x-17-2026}{2026} + \frac{x-19-2024}{2024} + \frac{x-21-2022}{2022} &= 0 \\ \frac{x-2043}{2026} + \frac{x-2043}{2024} + \frac{x-2043}{2022} &= 0 \\ (x-2043)(\frac{1}{2026} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2022}) &= 0 \\ x-2043 &= 0 \\ x &= 2043 \\ \end{align} </math> </div></div> # Dua dadu dilempar bersama-sama satu kali. Berapa peluang bahwa dua dadu yang muncul berangka sama? * jumlah seluruh dadu (s) yaitu 6x6 = 36 * dua dadu yang sama angkanya (a) yakni {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} jadi ada 6 * maka peluangnya adalah <math>P (a) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}</math> # Jumlah kedua bilangan adalah 30 maka berapa nilai maksimum dari hasil kali kedua bilangan? * Jumlah kedua bilangan yang menghasilkan 30 yang mungkin adalah (0,30), (1,29), (2,28), (3,27), …., (15,15) * Hasil kali kedua bilangan masing-masing yakni 0, 29, 56, 81, 104, 125, …., 225 * Jadi hasil kali yang paling maksimum adalah 225 # Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/7? * Hasil dari 1/7 adalah 0,142857142857… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 7. # Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/13? * Hasil dari 1/13 adalah 0,076923076923… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 3. # Dua persamaan yaitu 43a+20b-10c=36 dan 2a-2b+19c=-9 maka berapa hasil dari 5a+2b+c? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 43a+20b-10c &= 36 \\ 2a-2b+19c &= -9 \\ 45a+18b+9c &= 27 \text{ (persamaan (1) ditambahkan (2))} \\ 5a+2b+c &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil f(16)-f(7) dari f(3x-2)=4x-7? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(16) &= f(3x-2) \\ 16 &= 3x-2 \\ 3x &= 18 \\ x &= 6 \\ f(16) &= 4(6)-7 \\ &= 17 \\ f(7) &= f(3x-2) \\ 7 &= 3x-2 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ f(7) &= 4(3)-7 \\ &= 5 \\ f(16) - f(7) &= 17-5 \\ &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah persegi memiliki dua persegi panjang secara sembarangan baik vertikal atau horisontal. jika keliling kedua persegi panjang adalah 102 meter maka berapa luas persegi? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} b &= a+c \\ k &= 2(a+b)+2(b+c) \\ 102 &= 2a+4b+2c \\ 51 &= a+2b+c \\ 51 &= b+2b \\ 51 &= 3b \\ b &= 17 \\ l &= b^2 \\ &= {17}^2 \\ &= 289 m^2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 1iio354mx7tcwabjcjp9w07x47vpi2y