Wikibuku idwikibooks https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama MediaWiki 1.45.0-wmf.8 first-letter Media Istimewa Pembicaraan Pengguna Pembicaraan Pengguna Wikibuku Pembicaraan Wikibuku Berkas Pembicaraan Berkas MediaWiki Pembicaraan MediaWiki Templat Pembicaraan Templat Bantuan Pembicaraan Bantuan Kategori Pembicaraan Kategori Resep Pembicaraan Resep Wisata Pembicaraan Wisata TimedText TimedText talk Modul Pembicaraan Modul 100 6330 108097 47205 2025-07-04T12:08:09Z Raflinoer32 36196 Raflinoer32 memindahkan halaman [[Resep:Ayam semur jawa]] ke [[Resep:Ayam semur Jawa]]: Judul salah eja 47205 wikitext text/x-wiki {{masakan|Ayam semur jawa}} == Bahan-bahan == * 1 ekor ayam yang gemuk, potong dengan tulangnya * 1 sdt garam * 1/2 sdt cuka * Minyak secukupnya * 4 siung [[Resep:Bawang putih|bawang putih]] * 5 butir [[Resep:Bawang merah|bawang merah]] * 4 cm lengkuas, memarkan * Garam, gula, merica, pala secukupnya * 5 sdm kecap manis * 2 buah tomat, potong - potong * 2 sdm bawang goreng == Cara Membuat == * Ayam dilumuri garam, cuka. Diamkan 10 menit. * Panaskan minyak. Tumis bawang sampai harum. Masukkan lengkuas, garam, gula, merica, pala, kecap manis, ayam,. Beri 1 liter air. Masak sampai ayam empuk. * Masukkan tomat. Masak lagi sebentar. * Sajikan dengan taburan bawang goreng. Untuk 6 porsi == Pranala Luar == * [http://resep-plus.blogspot.com/2008/11/semur-ayam-jawa.html Resep Ayam Semur Jawa] * [http://kreasimasakanbaru.blogspot.com/2013/10/resep-semur-ayam-jawa-enak.html Resep Semur Ayam Jawa] 8490co7esw3oev2bdoofbh5dfpn9j8a 0 8458 108103 107019 2025-07-04T15:45:13Z 180.254.142.23 /* Power Berry 0 */ 108103 wikitext text/x-wiki ===Power Berry 0=== Pergi ke gereja, lalu teruslah teken X dekat pintu basemen 10x, sang dewi akan muncul lalu memberi mu power berry.( jangan di coba ) ===Power Berry 1=== Setelah mendapatkan 1001 medali dalam pacuan kuda, kamu dapat menukarkannya dengan power berry pada walikota. ===Power Berry 2=== Jika memancing di laut di musim winter (jauh dari dermaga), kamu akan mendapatkan power berry saat memancing tapi butuh waktu yang lama. ===Power Berry 3=== Pergi ke tambang dekat hot spring dan mulailah menggali dengan cangkulmu untuk mendapatkan power berry. biasanya > 3 lantai ke bawah. ===Power Berry 4=== Pergi ke Winter Mine dan galilah Power Berry di sana. ===Power Berry 5=== Pergi ke Cedar Tree yang tumbuh terpisah dari pohon lainnya di sekitar gunung yang terdapat hamparan bunga. Cobalah tebang pohonnya lalu si pohon akan berkata"aku sudah berakar 100 tahun di sini, apakah kau akan menebangku?", jika kamu menjawab ya, maka gotz akan muncul dan memarahimu dan kau tidak akan dapat power berry. Jika kamu tidak menebangnya ia akan memberimu Power Berry. Jika kamu telah menerima Berry tapi masih tetap juga menebangnya, kamu akan pingsan. ===Power Berry 6=== Setelah mendapatkan semua peralatan yang ditawarkan dari TV Shopping Network, mereka akan menawarkan Power Berry seharga 5000G, kamu harus pergi ke restoran dan menggunakan telepon untuk memesan berry tersebut. Tiga hari kemudian pesananmu akan tiba. ===Power Berry 7=== Pergi ke belakang Winter Mine lalu teruslah tekan tombol X dekat sudut kiri atas tambang. ===Power Berry 8=== Jika kamu menang di Swimming Festival dan menjadi juara pertama, kamu akan mendapatkan power berry karena telah berenang dengan sangat baik. Agar bisa menang, cobalah untuk mencari buku tentang festival renang di perpustakaan lantai 1, dan usahakan sebelum lomba renang, stamina mu masih utuh. ===Power Berry 9=== Bebas Di Musim Apapapun kecuali Winter, jika kamu menanam sedikitnya 100 bunga (12 kantung), Anna akan datang pada siang hari dan ingin memetik beberapa tangkai. Jika kamu mengijinkannya, Anna akan memberikan power berry padamu. ===Power Berry 10=== Power Berry ini didapatkan dengan cara memberikan hasil peternakan/tani kepada dewi panen di air terjun dekat hotspring. berikan 1 hasil tani di pagi hari mulai pukul 8 sampai 12 siang. Lemparkan ke air terjun dengan posisi membelakangi pintu tambang. berikan 5 hasil panen berturut-turut di saat hari cerah. Hari hujan/festival dewi panen tidak akan muncul. ===Secret Power Berry 11=== Pastikan kamu membawa 3 mentimun ke gunung pada saat musim semi, panas, atau gugur. Pergilah ke Mother’s Lake, berdiri di sisi kiri danau di depan 2 pohon. (Kamu harus berdiri di tempat yang tepat agar berhasil). Jika kamu melempar ketiga mentimun tersebut ke kolam, Kappa akan muncul. Syarat jam 11.00 am sampai jam 05.00 pm (namun ada juga player yang mencoba di luar jam tersebut dan berhasil). Jika tidak muncul berarti kamu berdiri di tempat yang salah, geser sedikit dan lempar lagi 3 mentimun. Kappa akan memberimu special power berry. Berry ini akan mengurangi peluang kamu terserang penyakit. Dengan berry ini kamu dapat bekerja keras 2 kali lipat walaupun cuaca sedang buruk. [[Kategori:Harvest Moon, Back to Nature]] gr3cm3uw1quk2ykm0ypuqs3slsjmanv 0 14210 108099 100005 2025-07-04T12:14:38Z Akuindo 8654 /* Himpunan gabungan */ 108099 wikitext text/x-wiki == Himpunan semesta == Himpunan semesta dilambangkan sebagai S. == Himpunan elemen == Himpunan elemen dilambangkan sebagai ∈. contoh: # S adalah bilangan asli yang kurang dari 10 serta A adalah bilangan asli ganjil yang kurang dari 10. maka bentuk himpunan elemen sebagai berikut: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dan A = {1, 3, 5, 7, 9} maka S ∈ A. == Himpunan kosong == Himpunan kosong dilambangkan sebagai {} atau ∅. == Himpunan bagian == Himpunan bagian dilambangkan sebagai ⊂ (subset) dan ⊃ (superset). contoh: # A = {11, 12, 13, 14, 15}, B = {11, 13} dan C = {16, 17} maka B ⊂ A, A ⊃ B serta C ⊄ A. == Himpunan irisan == Himpunan irisan dilambangkan sebagai ∩. contoh: # A = {11, 12, 13, 14, 15}, B = {11, 12, 15, 16, 17} maka A ∩ B = {11, 12, 15}. == Himpunan gabungan == Himpunan irisan dilambangkan sebagai ∪. contoh: # A = {11, 12, 13, 14, 15}, B = {11, 12, 15, 16, 17} maka A ∪ B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17}. == Himpunan komplemen == Himpunan komplemen dilambangkan sebagai ’. contoh: # A = {11, 12, 13, 14, 15}, B = {11, 12, 15} maka B’ = {13, 14}. ;sifat # A ∩ B = B ∩ A # A ∪ B = B ∪ A # (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) # (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) # A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) # A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) # (A’)’ = A # A ∩ A’ = ∅ # A ∪ A’ = S # A ∩ S = A # A ∪ S = S # A ∩ ∅ = ∅ # A ∪ ∅ = A # (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ # (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ ;Contoh: * Buatlah notasi matematika sebagai berikut: ** A adalah bilangan riil yang kurang dari 10. ** B adalah bilangan asli yang lebih dari 50. ;Jawaban ** A = {x|x<10, x ∈ R} ** B = {x|x>50, x ∈ N} * Berapa banyak himpunan anggota beserta contohnya dari A = {a, b, c}? : n(A) = 3 : Banyaknya himpunan anggota adalah 2ⁿ = 2³ = 8 : Contohnya adalah A = {∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}} * S = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}, A = {x|11 ≤ x ≤ 15, x ∈ N} dan B = {x|14 ≤ x ≤ 18, x ∈ N}. Tentukan: ** A’ ** B’ ** A ∩ B ** A ∪ B ** A’ ∩ B’ ** A’ ∪ B’ ** A’ ∩ B ** A’ ∪ B ;jawaban * S = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}, A = {11, 12, 13, 14, 15} dan B = {14, 15, 16, 17, 18} ** A’ = {16, 17, 18, 19, 20} ** B’ = {11, 12, 13, 19, 20} ** A ∩ B = {14, 15} ** A ∪ B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18} ** A’ ∩ B’ = {19, 20} ** A’ ∪ B’ = {11, 12, 13, 16, 17, 18, 19, 20} ** A’ ∩ B = {16, 17, 18} ** A’ ∪ B = {14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} ;Keterangan * (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ * (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ * (A ∩ B’)’ = A’ ∪ B * (A ∪ B’)’ = A’ ∩ B [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 89mksbxj3yx5e23u6ymf86kyjf97rt4 108100 108099 2025-07-04T12:25:17Z Akuindo 8654 108100 wikitext text/x-wiki == Himpunan semesta == Himpunan semesta dilambangkan sebagai S. == Himpunan elemen == Himpunan elemen dilambangkan sebagai ∈. contoh: # S adalah bilangan asli yang kurang dari 10 serta A adalah bilangan asli ganjil yang kurang dari 10. maka bentuk himpunan elemen sebagai berikut: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dan A = {1, 3, 5, 7, 9} maka S ∈ A. == Himpunan kosong == Himpunan kosong dilambangkan sebagai {} atau ∅. == Himpunan bagian == Himpunan bagian dilambangkan sebagai ⊂ (subset) dan ⊃ (superset). contoh: # A = {11, 12, 13, 14, 15}, B = {11, 13} dan C = {16, 17} maka B ⊂ A, A ⊃ B serta C ⊄ A. == Himpunan irisan == Himpunan irisan dilambangkan sebagai ∩. contoh: # A = {11, 12, 13, 14, 15}, B = {11, 12, 15, 16, 17} maka A ∩ B = {11, 12, 15}. == Himpunan gabungan == Himpunan irisan dilambangkan sebagai ∪. contoh: # A = {11, 12, 13, 14, 15}, B = {11, 12, 15, 16, 17} maka A ∪ B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17}. == Himpunan komplemen == Himpunan komplemen dilambangkan sebagai ’. contoh: # A = {11, 12, 13, 14, 15}, B = {11, 12, 15} maka B’ = {13, 14}. == Himpunan selisih == Himpunan selisih dilambangkan sebagai -. contoh: # A = {11, 12, 13, 14, 15}, B = {11, 12, 15, 16, 17} maka A-B = {13, 14}. ;sifat # A ∩ B = B ∩ A # A ∪ B = B ∪ A # (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) # (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) # A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) # A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) # (A’)’ = A # A ∩ A’ = ∅ # A ∪ A’ = S # A ∩ S = A # A ∪ S = S # A ∩ ∅ = ∅ # A ∪ ∅ = A # (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ # (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ ;Contoh: * Buatlah notasi matematika sebagai berikut: ** A adalah bilangan riil yang kurang dari 10. ** B adalah bilangan asli yang lebih dari 50. ;Jawaban ** A = {x|x<10, x ∈ R} ** B = {x|x>50, x ∈ N} * Berapa banyak himpunan anggota beserta contohnya dari A = {a, b, c}? : n(A) = 3 : Banyaknya himpunan anggota adalah 2ⁿ = 2³ = 8 : Contohnya adalah A = {∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}} * S = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}, A = {x|11 ≤ x ≤ 15, x ∈ N} dan B = {x|14 ≤ x ≤ 18, x ∈ N}. Tentukan: ** A’ ** B’ ** A ∩ B ** A ∪ B ** A’ ∩ B’ ** A’ ∪ B’ ** A’ ∩ B ** A’ ∪ B ;jawaban * S = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}, A = {11, 12, 13, 14, 15} dan B = {14, 15, 16, 17, 18} ** A’ = {16, 17, 18, 19, 20} ** B’ = {11, 12, 13, 19, 20} ** A ∩ B = {14, 15} ** A ∪ B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18} ** A’ ∩ B’ = {19, 20} ** A’ ∪ B’ = {11, 12, 13, 16, 17, 18, 19, 20} ** A’ ∩ B = {16, 17, 18} ** A’ ∪ B = {14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} ;Keterangan * (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ * (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ * (A ∩ B’)’ = A’ ∪ B * (A ∪ B’)’ = A’ ∩ B [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 4xdagx0mf373p0dqb1zq9a2vk6jkhjx 0 23568 108104 108014 2025-07-05T09:49:11Z Akuindo 8654 108104 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai b-a jika <math>\frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} = \frac{a}{b}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} &= \frac{a}{b} \\ \frac{\frac{106 \times 107}{2}}{\frac{106}{2}(4+109)} &= \frac{a}{b} \\ \frac{53 \times 107}{53 \times 113} &= \frac{a}{b} \\ b-a &= 113-107 = 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Penjumlahan bilangan 1 masing-masing seperti 1+1+1+1+… sebanyak 88 buah ditambah a dan b maka hasilnya A dan perkalian bilangan 1 masing-masing 1x1x1x… sebanyak 88 buah dikali a dan b maka hasilnya A maka berapa nilai A? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{penjumlahan} \\ 1+1+1+1+ \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }+a+b &= A \\ 88+a+b &= A \\ \text{perkalian} \\ 1 \times 1 \times 1 \times \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }\times a \times b &= A \\ a \times b &= A \\ 88+a+b &= ab \\ ab-b &= 88+a \\ b(a-1) &= 88+a \\ b &= \frac{88+a}{a-1} \\ \text{uji selidiki untuk a=2} \\ b &= \frac{88+2}{2-1} \\ &= 90 \\ \text{buktikan} \\ 88+a+b &= ab \\ 88+2+90 &= 2(90) \\ 180 &= 180 \\ \text{terbukti} \\ \text{nilai A adalah } 180 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x+\frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}=4x-\frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x-\frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x-20+\frac{25}{x} \\ 4x+\frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt{x}+x=1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x}+x &= 1 \\ x-1 &= -\sqrt{x} \\ x^2-2x+1 &= x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x-3+\frac{1}{x} &= 0 \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{16}{x}</math> jika <math>x-3\sqrt{x}=4</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-3\sqrt{x} &= 4 \\ x-4 &= 3\sqrt{x} \\ x^2-8x+16 &= 9x \\ x^2-17x+16 &= 0 \\ x-17+\frac{16}{x} &= 0 \\ x+\frac{16}{x} &= 17 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy)=\frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7 maka tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>xy=\frac{f(x+y)}{f(xy)}</math> dengan f(xy) ≠ 0 serta f(15)=16 maka tentukan nilai f(8)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(15) &= 16 \\ f(3 \cdot 5) &= 16 \\ xy &= \frac{f(x+y)}{f(xy)} \\ 3 \cdot 5 &= \frac{f(3+5)}{f(3 \cdot 5)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{f(15)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{16} \\ f(8) &= 240 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(x+\frac{1}{x}+6)=x^2+\frac{1}{x^2}+15</math> maka tentukan nilai f(16)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x+\frac{1}{x}+6) &= x^2+\frac{1}{x^2}+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2-2+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ \text{misalkan } x+\frac{1}{x} &= p \\ f(x+\frac{1}{x}+6) &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ \text{jika f(16) maka p adalah 10 sebelum ditambahkan 6 } \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ f(10+6) &= 10^2+13 \\ f(16) &= 100+13 \\ &= 113 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{u_3}{u_1+u_2} = \frac{7}{8}</math> merupakan barisan aritmetika maka berapa dari <math>\frac{u_2+u_3}{u_1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{u_3}{u_1+u_2} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{a+a+b} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{2a+b} &= \frac{7}{8} \\ 8(a+2b) &= 7(2a+b) \\ 8a+16b &= 14a+7b \\ 9b &= 6a \\ b &= \frac{2a}{3} \\ \frac{u_2+u_3}{u_1} &= \frac{a+b+a+2b}{a} \\ &= \frac{2a+3b}{a} \\ &= \frac{2a+3(\frac{2a}{3})}{a} \\ &= \frac{2a+2a}{a} \\ &= \frac{4a}{a} \\ &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Rataan geometris a dan b adalah kurangnya 24 dari b serta rataan aritmatik a dan b adalah lebihnya 15 dari a maka berapa nilai a+b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rataan geometris } \\ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a \cdot b} &= b-24 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ \text{rataan aritmatik } \\ \frac{a+b}{2} = \frac{a+b}{2} &= a+15 \\ a+b &= 2(a+15) \\ a+b &= 2a+30 \\ a &= b-30 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ (b-30)b &= (b-24)^2 \\ b^2-30b &= b^2-48b+576 \\ 18b &= 576 \\ b &= 32 \\ a &= b-30 \\ &= 32-30 \\ &= 2 \\ a+b &= 32+2 \\ &= 34 \\ \end{align} </math> </div></div> # Persegi panjang ABCD memiliki AD 15 cm dan DC 12 cm. E dan F merupakan perpanjangan DC yaitu CE 6 cm serta EF = DC. G merupakan titik potong antara BC dan AE maka berapa luas daerah BFEG? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kita cari ukuran GC yaitu } \\ \frac{GC}{AD} &= \frac{CE}{DE} \\ \frac{GC}{15} &= \frac{6}{18} \\ GC &= 5 \\ \text{luas BEFG = luas segitiga BFC - luas segitiga GEC } \\ &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CF - \frac{1}{2} \cdot GC \cdot CE \\ &= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 18 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \\ &= 135 - 15 \\ &= 120 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah BFEG adalah 120 cm^2 </div></div> # Dua buah persegi masing-masing yaitu ABCD dan EFGH. persegi ABCD berhimpit dengan EFGH. I terletak antara A dengan F. Sisi persegi ABCD 4 cm dan EFGH 6 cm. Perbandingan AI:AF adalah 1:5 maka berapa luas daerah segitiga IGD? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ AI &= \frac{1}{5} AF \\ &= \frac{1}{5} 10 \\ &= 2 \\ IF &= AF-AI \\ &= 10-2 \\ &= 8 \\ \text{luas trapesium AFGD } &= \frac{(AD+EF) \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(4+6)10}{2} \\ &= 50 \\ \text{luas segitiga AID } &= \frac{AI \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(2)4}{2} \\ &= 4 \\ \text{luas segitiga IFG } &= \frac{IF \cdot FG}{2} \\ &= \frac{(8)6}{2} \\ &= 24 \\ \text{luas daerah segitiga IGD } &= \text{luas trapesium AFGD-luas segitiga AI—luas segitiga IFG } \\ &= 50-4-24 \\ &= 22 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah segitiga IGD adalah 22 cm^2 </div></div> # Sebuah balok tertutup memiliki alas yang berbentuk persegi dengan tinggi 12 cm. Di dalam balok terdapat kerucut yang alasnya menempel serta titik tinggi tepat di atas baloknya dimana tingginya sama dengan tinggi balok . Volume antara luar kerucut dan dalam balok adalah 100(3-<math>\pi</math>) cm³ maka berapa luas permukaan kerucut tersebut? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ \text{volume balok} \\ V_b &= x^2(12) \\ \text{volume kerucut} \\ V_b &= \frac{1}{3}\pix^2(12) \\ V_{b-k} &= Vb-Vk \\ 100(3-\pi) &= 12x^2-\frac{1}{3}\pix^2(12) \\ 100(3-\pi) &= 12x^2-4\pix^2 \\ 100(3-\pi) &= 4x^2(3-\pi) \\ x^2 &= 25 \\ x &= 5 \\ s &= \sqrt{12^2+5^2} \\ &= \sqrt{144+25} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13 \\ \text{luas permukaan kerucut } &= \pir(r+s) \\ &= \pi(5)(5+13) \\ &= 90\pi \\ \end{align} </math> jadi luas daerah permukaan kerucut adalah 90\pi cm^2 \\ </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 3 bersisa 1 dan 2 maka berapa sisa pembagian A(A+1)+3B dibagi 9? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 3a+1 \\ B &= 3b+2 \\ A(A+1)+3B \\ (3a+1)(3a+1+1)+3(3b+2) \\ (3a+1)(3a+2)+9b+6 \\ 9a^2+9a+2+9b+6 \\ 9a^2+9a+9b+8 \\ 9(a^2+a+b)+8 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 9 bersisa 7 dan 8 maka berapa sisa pembagian A(A-5)+9B dibagi 81? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 9a+7 \\ B &= 9b+8 \\ A(A-5)+9B \\ (9a+7)(9a+7-5)+9(9b+8) \\ (9a+7)(9a+2)+81b+72 \\ 81a^2+81a+14+81b+72 \\ 81a^2+81a+81b+86 \\ 81a^2+81a+81b+81+5 \\ 81(a^2+a+b+1)+5 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix}</math> maka berapa hasil dari A²¹+A²⁵+A⁴⁶? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A^2 &= A \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \\ A^3 &= A^2 \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= -I \\ A^{21}+A^{25}+A^{46} &= A^{21} \cdot (I+A^4+A^{25}) \\ &= A^{21} \cdot (I+A^3 \cdot A +A^{24} \cdot A) \\ &= (A^3)^7 \cdot (I+A^3 \cdot A +(A^3)^8 \cdot A) \\ &= (-I)^7 \cdot (I-I \cdot A +(-I)^8 \cdot A) \\ &= -I \cdot (I-A+A) \\ &= -I \cdot I \\ &= -I \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] g3b71001x0z90l5osudw4bxphnpijx5 108105 108104 2025-07-05T09:51:04Z Akuindo 8654 108105 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai b-a jika <math>\frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} = \frac{a}{b}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} &= \frac{a}{b} \\ \frac{\frac{106 \times 107}{2}}{\frac{106}{2}(4+109)} &= \frac{a}{b} \\ \frac{53 \times 107}{53 \times 113} &= \frac{a}{b} \\ b-a &= 113-107 = 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Penjumlahan bilangan 1 masing-masing seperti 1+1+1+1+… sebanyak 88 buah ditambah a dan b maka hasilnya A dan perkalian bilangan 1 masing-masing 1x1x1x… sebanyak 88 buah dikali a dan b maka hasilnya A maka berapa nilai A? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{penjumlahan} \\ 1+1+1+1+ \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }+a+b &= A \\ 88+a+b &= A \\ \text{perkalian} \\ 1 \times 1 \times 1 \times \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }\times a \times b &= A \\ a \times b &= A \\ 88+a+b &= ab \\ ab-b &= 88+a \\ b(a-1) &= 88+a \\ b &= \frac{88+a}{a-1} \\ \text{uji selidiki untuk a=2} \\ b &= \frac{88+2}{2-1} \\ &= 90 \\ \text{buktikan} \\ 88+a+b &= ab \\ 88+2+90 &= 2(90) \\ 180 &= 180 \\ \text{terbukti} \\ \text{nilai A adalah } 180 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x+\frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}=4x-\frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x-\frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x-20+\frac{25}{x} \\ 4x+\frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt{x}+x=1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x}+x &= 1 \\ x-1 &= -\sqrt{x} \\ x^2-2x+1 &= x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x-3+\frac{1}{x} &= 0 \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{16}{x}</math> jika <math>x-3\sqrt{x}=4</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-3\sqrt{x} &= 4 \\ x-4 &= 3\sqrt{x} \\ x^2-8x+16 &= 9x \\ x^2-17x+16 &= 0 \\ x-17+\frac{16}{x} &= 0 \\ x+\frac{16}{x} &= 17 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy)=\frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7 maka tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>xy=\frac{f(x+y)}{f(xy)}</math> dengan f(xy) ≠ 0 serta f(15)=16 maka tentukan nilai f(8)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(15) &= 16 \\ f(3 \cdot 5) &= 16 \\ xy &= \frac{f(x+y)}{f(xy)} \\ 3 \cdot 5 &= \frac{f(3+5)}{f(3 \cdot 5)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{f(15)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{16} \\ f(8) &= 240 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(x+\frac{1}{x}+6)=x^2+\frac{1}{x^2}+15</math> maka tentukan nilai f(16)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x+\frac{1}{x}+6) &= x^2+\frac{1}{x^2}+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2-2+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ \text{misalkan } x+\frac{1}{x} &= p \\ f(x+\frac{1}{x}+6) &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ \text{jika f(16) maka p adalah 10 sebelum ditambahkan 6 } \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ f(10+6) &= 10^2+13 \\ f(16) &= 100+13 \\ &= 113 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{u_3}{u_1+u_2} = \frac{7}{8}</math> merupakan barisan aritmetika maka berapa dari <math>\frac{u_2+u_3}{u_1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{u_3}{u_1+u_2} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{a+a+b} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{2a+b} &= \frac{7}{8} \\ 8(a+2b) &= 7(2a+b) \\ 8a+16b &= 14a+7b \\ 9b &= 6a \\ b &= \frac{2a}{3} \\ \frac{u_2+u_3}{u_1} &= \frac{a+b+a+2b}{a} \\ &= \frac{2a+3b}{a} \\ &= \frac{2a+3(\frac{2a}{3})}{a} \\ &= \frac{2a+2a}{a} \\ &= \frac{4a}{a} \\ &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Rataan geometris a dan b adalah kurangnya 24 dari b serta rataan aritmatik a dan b adalah lebihnya 15 dari a maka berapa nilai a+b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rataan geometris } \\ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a \cdot b} &= b-24 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ \text{rataan aritmatik } \\ \frac{a+b}{2} = \frac{a+b}{2} &= a+15 \\ a+b &= 2(a+15) \\ a+b &= 2a+30 \\ a &= b-30 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ (b-30)b &= (b-24)^2 \\ b^2-30b &= b^2-48b+576 \\ 18b &= 576 \\ b &= 32 \\ a &= b-30 \\ &= 32-30 \\ &= 2 \\ a+b &= 32+2 \\ &= 34 \\ \end{align} </math> </div></div> # Persegi panjang ABCD memiliki AD 15 cm dan DC 12 cm. E dan F merupakan perpanjangan DC yaitu CE 6 cm serta EF = DC. G merupakan titik potong antara BC dan AE maka berapa luas daerah BFEG? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kita cari ukuran GC yaitu } \\ \frac{GC}{AD} &= \frac{CE}{DE} \\ \frac{GC}{15} &= \frac{6}{18} \\ GC &= 5 \\ \text{luas BEFG = luas segitiga BFC - luas segitiga GEC } \\ &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CF - \frac{1}{2} \cdot GC \cdot CE \\ &= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 18 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \\ &= 135 - 15 \\ &= 120 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah BFEG adalah 120 cm² </div></div> # Dua buah persegi masing-masing yaitu ABCD dan EFGH. persegi ABCD berhimpit dengan EFGH. I terletak antara A dengan F. Sisi persegi ABCD 4 cm dan EFGH 6 cm. Perbandingan AI:AF adalah 1:5 maka berapa luas daerah segitiga IGD? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ AI &= \frac{1}{5} AF \\ &= \frac{1}{5} 10 \\ &= 2 \\ IF &= AF-AI \\ &= 10-2 \\ &= 8 \\ \text{luas trapesium AFGD } &= \frac{(AD+EF) \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(4+6)10}{2} \\ &= 50 \\ \text{luas segitiga AID } &= \frac{AI \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(2)4}{2} \\ &= 4 \\ \text{luas segitiga IFG } &= \frac{IF \cdot FG}{2} \\ &= \frac{(8)6}{2} \\ &= 24 \\ \text{luas daerah segitiga IGD } &= \text{luas trapesium AFGD-luas segitiga AI—luas segitiga IFG } \\ &= 50-4-24 \\ &= 22 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah segitiga IGD adalah 22 cm² </div></div> # Sebuah balok tertutup memiliki alas yang berbentuk persegi dengan tinggi 12 cm. Di dalam balok terdapat kerucut yang alasnya menempel serta titik tinggi tepat di atas baloknya dimana tingginya sama dengan tinggi balok . Volume antara luar kerucut dan dalam balok adalah 100(3-<math>\pi</math>) cm³ maka berapa luas permukaan kerucut tersebut? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ \text{volume balok} \\ V_b &= x^2(12) \\ \text{volume kerucut} \\ V_b &= \frac{1}{3}\pix^2(12) \\ V_{b-k} &= Vb-Vk \\ 100(3-\pi) &= 12x^2-\frac{1}{3}\pix^2(12) \\ 100(3-\pi) &= 12x^2-4\pix^2 \\ 100(3-\pi) &= 4x^2(3-\pi) \\ x^2 &= 25 \\ x &= 5 \\ s &= \sqrt{12^2+5^2} \\ &= \sqrt{144+25} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13 \\ \text{luas permukaan kerucut } &= \pir(r+s) \\ &= \pi(5)(5+13) \\ &= 90\pi \\ \end{align} </math> jadi luas daerah permukaan kerucut adalah 90<math>\pi</math> cm² \\ </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 3 bersisa 1 dan 2 maka berapa sisa pembagian A(A+1)+3B dibagi 9? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 3a+1 \\ B &= 3b+2 \\ A(A+1)+3B \\ (3a+1)(3a+1+1)+3(3b+2) \\ (3a+1)(3a+2)+9b+6 \\ 9a^2+9a+2+9b+6 \\ 9a^2+9a+9b+8 \\ 9(a^2+a+b)+8 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 9 bersisa 7 dan 8 maka berapa sisa pembagian A(A-5)+9B dibagi 81? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 9a+7 \\ B &= 9b+8 \\ A(A-5)+9B \\ (9a+7)(9a+7-5)+9(9b+8) \\ (9a+7)(9a+2)+81b+72 \\ 81a^2+81a+14+81b+72 \\ 81a^2+81a+81b+86 \\ 81a^2+81a+81b+81+5 \\ 81(a^2+a+b+1)+5 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix}</math> maka berapa hasil dari A²¹+A²⁵+A⁴⁶? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A^2 &= A \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \\ A^3 &= A^2 \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= -I \\ A^{21}+A^{25}+A^{46} &= A^{21} \cdot (I+A^4+A^{25}) \\ &= A^{21} \cdot (I+A^3 \cdot A +A^{24} \cdot A) \\ &= (A^3)^7 \cdot (I+A^3 \cdot A +(A^3)^8 \cdot A) \\ &= (-I)^7 \cdot (I-I \cdot A +(-I)^8 \cdot A) \\ &= -I \cdot (I-A+A) \\ &= -I \cdot I \\ &= -I \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] pk578acdmgtf16lpikundn22gqawz5b 108106 108105 2025-07-05T09:52:44Z Akuindo 8654 108106 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai b-a jika <math>\frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} = \frac{a}{b}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} &= \frac{a}{b} \\ \frac{\frac{106 \times 107}{2}}{\frac{106}{2}(4+109)} &= \frac{a}{b} \\ \frac{53 \times 107}{53 \times 113} &= \frac{a}{b} \\ b-a &= 113-107 = 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Penjumlahan bilangan 1 masing-masing seperti 1+1+1+1+… sebanyak 88 buah ditambah a dan b maka hasilnya A dan perkalian bilangan 1 masing-masing 1x1x1x… sebanyak 88 buah dikali a dan b maka hasilnya A maka berapa nilai A? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{penjumlahan} \\ 1+1+1+1+ \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }+a+b &= A \\ 88+a+b &= A \\ \text{perkalian} \\ 1 \times 1 \times 1 \times \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }\times a \times b &= A \\ a \times b &= A \\ 88+a+b &= ab \\ ab-b &= 88+a \\ b(a-1) &= 88+a \\ b &= \frac{88+a}{a-1} \\ \text{uji selidiki untuk a=2} \\ b &= \frac{88+2}{2-1} \\ &= 90 \\ \text{buktikan} \\ 88+a+b &= ab \\ 88+2+90 &= 2(90) \\ 180 &= 180 \\ \text{terbukti} \\ \text{nilai A adalah } 180 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x+\frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}=4x-\frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x-\frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x-20+\frac{25}{x} \\ 4x+\frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt{x}+x=1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x}+x &= 1 \\ x-1 &= -\sqrt{x} \\ x^2-2x+1 &= x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x-3+\frac{1}{x} &= 0 \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{16}{x}</math> jika <math>x-3\sqrt{x}=4</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-3\sqrt{x} &= 4 \\ x-4 &= 3\sqrt{x} \\ x^2-8x+16 &= 9x \\ x^2-17x+16 &= 0 \\ x-17+\frac{16}{x} &= 0 \\ x+\frac{16}{x} &= 17 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy)=\frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7 maka tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>xy=\frac{f(x+y)}{f(xy)}</math> dengan f(xy) ≠ 0 serta f(15)=16 maka tentukan nilai f(8)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(15) &= 16 \\ f(3 \cdot 5) &= 16 \\ xy &= \frac{f(x+y)}{f(xy)} \\ 3 \cdot 5 &= \frac{f(3+5)}{f(3 \cdot 5)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{f(15)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{16} \\ f(8) &= 240 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(x+\frac{1}{x}+6)=x^2+\frac{1}{x^2}+15</math> maka tentukan nilai f(16)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x+\frac{1}{x}+6) &= x^2+\frac{1}{x^2}+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2-2+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ \text{misalkan } x+\frac{1}{x} &= p \\ f(x+\frac{1}{x}+6) &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ \text{jika f(16) maka p adalah 10 sebelum ditambahkan 6 } \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ f(10+6) &= 10^2+13 \\ f(16) &= 100+13 \\ &= 113 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{u_3}{u_1+u_2} = \frac{7}{8}</math> merupakan barisan aritmetika maka berapa dari <math>\frac{u_2+u_3}{u_1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{u_3}{u_1+u_2} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{a+a+b} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{2a+b} &= \frac{7}{8} \\ 8(a+2b) &= 7(2a+b) \\ 8a+16b &= 14a+7b \\ 9b &= 6a \\ b &= \frac{2a}{3} \\ \frac{u_2+u_3}{u_1} &= \frac{a+b+a+2b}{a} \\ &= \frac{2a+3b}{a} \\ &= \frac{2a+3(\frac{2a}{3})}{a} \\ &= \frac{2a+2a}{a} \\ &= \frac{4a}{a} \\ &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Rataan geometris a dan b adalah kurangnya 24 dari b serta rataan aritmatik a dan b adalah lebihnya 15 dari a maka berapa nilai a+b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rataan geometris } \\ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a \cdot b} &= b-24 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ \text{rataan aritmatik } \\ \frac{a+b}{2} = \frac{a+b}{2} &= a+15 \\ a+b &= 2(a+15) \\ a+b &= 2a+30 \\ a &= b-30 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ (b-30)b &= (b-24)^2 \\ b^2-30b &= b^2-48b+576 \\ 18b &= 576 \\ b &= 32 \\ a &= b-30 \\ &= 32-30 \\ &= 2 \\ a+b &= 32+2 \\ &= 34 \\ \end{align} </math> </div></div> # Persegi panjang ABCD memiliki AD 15 cm dan DC 12 cm. E dan F merupakan perpanjangan DC yaitu CE 6 cm serta EF = DC. G merupakan titik potong antara BC dan AE maka berapa luas daerah BFEG? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kita cari ukuran GC yaitu } \\ \frac{GC}{AD} &= \frac{CE}{DE} \\ \frac{GC}{15} &= \frac{6}{18} \\ GC &= 5 \\ \text{luas BEFG = luas segitiga BFC - luas segitiga GEC } \\ &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CF - \frac{1}{2} \cdot GC \cdot CE \\ &= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 18 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \\ &= 135 - 15 \\ &= 120 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah BFEG adalah 120 cm² </div></div> # Dua buah persegi masing-masing yaitu ABCD dan EFGH. persegi ABCD berhimpit dengan EFGH. I terletak antara A dengan F. Sisi persegi ABCD 4 cm dan EFGH 6 cm. Perbandingan AI:AF adalah 1:5 maka berapa luas daerah segitiga IGD? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ AI &= \frac{1}{5} AF \\ &= \frac{1}{5} 10 \\ &= 2 \\ IF &= AF-AI \\ &= 10-2 \\ &= 8 \\ \text{luas trapesium AFGD } &= \frac{(AD+EF) \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(4+6)10}{2} \\ &= 50 \\ \text{luas segitiga AID } &= \frac{AI \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(2)4}{2} \\ &= 4 \\ \text{luas segitiga IFG } &= \frac{IF \cdot FG}{2} \\ &= \frac{(8)6}{2} \\ &= 24 \\ \text{luas daerah segitiga IGD } &= \text{luas trapesium AFGD-luas segitiga AI—luas segitiga IFG } \\ &= 50-4-24 \\ &= 22 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah segitiga IGD adalah 22 cm² </div></div> # Sebuah balok tertutup memiliki alas yang berbentuk persegi dengan tinggi 12 cm. Di dalam balok terdapat kerucut yang alasnya menempel serta titik tinggi tepat di atas baloknya dimana tingginya sama dengan tinggi balok . Volume antara luar kerucut dan dalam balok adalah 100(3-<math>\pi</math>) cm³ maka berapa luas permukaan kerucut tersebut? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ \text{volume balok} \\ V_b &= x^2(12) \\ \text{volume kerucut} \\ V_b &= \frac{1}{3}\pi x^2(12) \\ V_{b-k} &= Vb-Vk \\ 100(3-\pi) &= 12x^2-\frac{1}{3}\pi x^2(12) \\ 100(3-\pi) &= 12x^2-4\pi x^2 \\ 100(3-\pi) &= 4x^2(3-\pi) \\ x^2 &= 25 \\ x &= 5 \\ s &= \sqrt{12^2+5^2} \\ &= \sqrt{144+25} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13 \\ \text{luas permukaan kerucut } &= \pi r(r+s) \\ &= \pi(5)(5+13) \\ &= 90\pi \\ \end{align} </math> jadi luas daerah permukaan kerucut adalah 90<math>\pi</math> cm² \\ </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 3 bersisa 1 dan 2 maka berapa sisa pembagian A(A+1)+3B dibagi 9? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 3a+1 \\ B &= 3b+2 \\ A(A+1)+3B \\ (3a+1)(3a+1+1)+3(3b+2) \\ (3a+1)(3a+2)+9b+6 \\ 9a^2+9a+2+9b+6 \\ 9a^2+9a+9b+8 \\ 9(a^2+a+b)+8 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 9 bersisa 7 dan 8 maka berapa sisa pembagian A(A-5)+9B dibagi 81? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 9a+7 \\ B &= 9b+8 \\ A(A-5)+9B \\ (9a+7)(9a+7-5)+9(9b+8) \\ (9a+7)(9a+2)+81b+72 \\ 81a^2+81a+14+81b+72 \\ 81a^2+81a+81b+86 \\ 81a^2+81a+81b+81+5 \\ 81(a^2+a+b+1)+5 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix}</math> maka berapa hasil dari A²¹+A²⁵+A⁴⁶? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A^2 &= A \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \\ A^3 &= A^2 \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= -I \\ A^{21}+A^{25}+A^{46} &= A^{21} \cdot (I+A^4+A^{25}) \\ &= A^{21} \cdot (I+A^3 \cdot A +A^{24} \cdot A) \\ &= (A^3)^7 \cdot (I+A^3 \cdot A +(A^3)^8 \cdot A) \\ &= (-I)^7 \cdot (I-I \cdot A +(-I)^8 \cdot A) \\ &= -I \cdot (I-A+A) \\ &= -I \cdot I \\ &= -I \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] sbw7qis1nyjwtrms66rk2bajze49dtt 108111 108106 2025-07-05T10:44:46Z Akuindo 8654 108111 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai b-a jika <math>\frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} = \frac{a}{b}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} &= \frac{a}{b} \\ \frac{\frac{106 \times 107}{2}}{\frac{106}{2}(4+109)} &= \frac{a}{b} \\ \frac{53 \times 107}{53 \times 113} &= \frac{a}{b} \\ b-a &= 113-107 = 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Penjumlahan bilangan 1 masing-masing seperti 1+1+1+1+… sebanyak 88 buah ditambah a dan b maka hasilnya A dan perkalian bilangan 1 masing-masing 1x1x1x… sebanyak 88 buah dikali a dan b maka hasilnya A maka berapa nilai A? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{penjumlahan} \\ 1+1+1+1+ \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }+a+b &= A \\ 88+a+b &= A \\ \text{perkalian} \\ 1 \times 1 \times 1 \times \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }\times a \times b &= A \\ a \times b &= A \\ 88+a+b &= ab \\ ab-b &= 88+a \\ b(a-1) &= 88+a \\ b &= \frac{88+a}{a-1} \\ \text{uji selidiki untuk a=2} \\ b &= \frac{88+2}{2-1} \\ &= 90 \\ \text{buktikan} \\ 88+a+b &= ab \\ 88+2+90 &= 2(90) \\ 180 &= 180 \\ \text{terbukti} \\ \text{nilai A adalah } 180 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x+\frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}=4x-\frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x-\frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x-20+\frac{25}{x} \\ 4x+\frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt{x}+x=1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x}+x &= 1 \\ x-1 &= -\sqrt{x} \\ x^2-2x+1 &= x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x-3+\frac{1}{x} &= 0 \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{16}{x}</math> jika <math>x-3\sqrt{x}=4</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-3\sqrt{x} &= 4 \\ x-4 &= 3\sqrt{x} \\ x^2-8x+16 &= 9x \\ x^2-17x+16 &= 0 \\ x-17+\frac{16}{x} &= 0 \\ x+\frac{16}{x} &= 17 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy)=\frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7 maka tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>xy=\frac{f(x+y)}{f(xy)}</math> dengan f(xy) ≠ 0 serta f(15)=16 maka tentukan nilai f(8)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(15) &= 16 \\ f(3 \cdot 5) &= 16 \\ xy &= \frac{f(x+y)}{f(xy)} \\ 3 \cdot 5 &= \frac{f(3+5)}{f(3 \cdot 5)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{f(15)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{16} \\ f(8) &= 240 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(x+\frac{1}{x}+6)=x^2+\frac{1}{x^2}+15</math> maka tentukan nilai f(16)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x+\frac{1}{x}+6) &= x^2+\frac{1}{x^2}+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2-2+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ \text{misalkan } x+\frac{1}{x} &= p \\ f(x+\frac{1}{x}+6) &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ \text{jika f(16) maka p adalah 10 sebelum ditambahkan 6 } \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ f(10+6) &= 10^2+13 \\ f(16) &= 100+13 \\ &= 113 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{u_3}{u_1+u_2} = \frac{7}{8}</math> merupakan barisan aritmetika maka berapa dari <math>\frac{u_2+u_3}{u_1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{u_3}{u_1+u_2} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{a+a+b} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{2a+b} &= \frac{7}{8} \\ 8(a+2b) &= 7(2a+b) \\ 8a+16b &= 14a+7b \\ 9b &= 6a \\ b &= \frac{2a}{3} \\ \frac{u_2+u_3}{u_1} &= \frac{a+b+a+2b}{a} \\ &= \frac{2a+3b}{a} \\ &= \frac{2a+3(\frac{2a}{3})}{a} \\ &= \frac{2a+2a}{a} \\ &= \frac{4a}{a} \\ &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Rataan geometris a dan b adalah kurangnya 24 dari b serta rataan aritmatik a dan b adalah lebihnya 15 dari a maka berapa nilai a+b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rataan geometris } \\ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a \cdot b} &= b-24 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ \text{rataan aritmatik } \\ \frac{a+b}{2} = \frac{a+b}{2} &= a+15 \\ a+b &= 2(a+15) \\ a+b &= 2a+30 \\ a &= b-30 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ (b-30)b &= (b-24)^2 \\ b^2-30b &= b^2-48b+576 \\ 18b &= 576 \\ b &= 32 \\ a &= b-30 \\ &= 32-30 \\ &= 2 \\ a+b &= 32+2 \\ &= 34 \\ \end{align} </math> </div></div> # Persegi panjang ABCD memiliki AD 15 cm dan DC 12 cm. E dan F merupakan perpanjangan DC yaitu CE 6 cm serta EF = DC. G merupakan titik potong antara BC dan AE maka berapa luas daerah BFEG? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kita cari ukuran GC yaitu } \\ \frac{GC}{AD} &= \frac{CE}{DE} \\ \frac{GC}{15} &= \frac{6}{18} \\ GC &= 5 \\ \text{luas BEFG = luas segitiga BFC - luas segitiga GEC } \\ &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CF - \frac{1}{2} \cdot GC \cdot CE \\ &= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 18 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \\ &= 135 - 15 \\ &= 120 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah BFEG adalah 120 cm² </div></div> # Dua buah persegi masing-masing yaitu ABCD dan EFGH. persegi ABCD berhimpit dengan EFGH. I terletak antara A dengan F. Sisi persegi ABCD 4 cm dan EFGH 6 cm. Perbandingan AI:AF adalah 1:5 maka berapa luas daerah segitiga IGD? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ AI &= \frac{1}{5} AF \\ &= \frac{1}{5} 10 \\ &= 2 \\ IF &= AF-AI \\ &= 10-2 \\ &= 8 \\ \text{luas trapesium AFGD } &= \frac{(AD+EF) \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(4+6)10}{2} \\ &= 50 \\ \text{luas segitiga AID } &= \frac{AI \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(2)4}{2} \\ &= 4 \\ \text{luas segitiga IFG } &= \frac{IF \cdot FG}{2} \\ &= \frac{(8)6}{2} \\ &= 24 \\ \text{luas daerah segitiga IGD } &= \text{luas trapesium AFGD-luas segitiga AI—luas segitiga IFG } \\ &= 50-4-24 \\ &= 22 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah segitiga IGD adalah 22 cm² </div></div> # Sebuah balok tertutup memiliki alas yang berbentuk persegi dengan tinggi 12 cm. Di dalam balok terdapat kerucut yang alasnya menempel serta titik tinggi tepat di atas baloknya dimana tingginya sama dengan tinggi balok. Volume antara luar kerucut dan dalam balok adalah 100(3-<math>\pi</math>) cm³ maka berapa luas permukaan kerucut tersebut?² <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ \text{volume balok} \\ V_b &= x^2(12) \\ \text{volume kerucut} \\ V_b &= \frac{1}{3}\pi x^2(12) \\ V_{b-k} &= Vb-Vk \\ 100(3-\pi) &= 12x^2-\frac{1}{3}\pi x^2(12) \\ 100(3-\pi) &= 12x^2-4\pi x^2 \\ 100(3-\pi) &= 4x^2(3-\pi) \\ x^2 &= 25 \\ x &= 5 \\ s &= \sqrt{12^2+5^2} \\ &= \sqrt{144+25} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13 \\ \text{luas permukaan kerucut } &= \pi r(r+s) \\ &= \pi(5)(5+13) \\ &= 90\pi \\ \end{align} </math> jadi luas daerah permukaan kerucut adalah 90<math>\pi</math> cm² \\ </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 3 bersisa 1 dan 2 maka berapa sisa pembagian A(A+1)+3B dibagi 9? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 3a+1 \\ B &= 3b+2 \\ A(A+1)+3B \\ (3a+1)(3a+1+1)+3(3b+2) \\ (3a+1)(3a+2)+9b+6 \\ 9a^2+9a+2+9b+6 \\ 9a^2+9a+9b+8 \\ 9(a^2+a+b)+8 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 9 bersisa 7 dan 8 maka berapa sisa pembagian A(A-5)+9B dibagi 81? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 9a+7 \\ B &= 9b+8 \\ A(A-5)+9B \\ (9a+7)(9a+7-5)+9(9b+8) \\ (9a+7)(9a+2)+81b+72 \\ 81a^2+81a+14+81b+72 \\ 81a^2+81a+81b+86 \\ 81a^2+81a+81b+81+5 \\ 81(a^2+a+b+1)+5 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix}</math> maka berapa hasil dari A²¹+A²⁵+A⁴⁶? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A^2 &= A \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \\ A^3 &= A^2 \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= -I \\ A^{21}+A^{25}+A^{46} &= A^{21} \cdot (I+A^4+A^{25}) \\ &= A^{21} \cdot (I+A^3 \cdot A +A^{24} \cdot A) \\ &= (A^3)^7 \cdot (I+A^3 \cdot A +(A^3)^8 \cdot A) \\ &= (-I)^7 \cdot (I-I \cdot A +(-I)^8 \cdot A) \\ &= -I \cdot (I-A+A) \\ &= -I \cdot I \\ &= -I \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] kl61m28a0s6l6ehbfbsfbps55yyzt4b 108112 108111 2025-07-05T10:57:58Z Akuindo 8654 108112 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai b-a jika <math>\frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} = \frac{a}{b}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} &= \frac{a}{b} \\ \frac{\frac{106 \times 107}{2}}{\frac{106}{2}(4+109)} &= \frac{a}{b} \\ \frac{53 \times 107}{53 \times 113} &= \frac{a}{b} \\ b-a &= 113-107 = 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Penjumlahan bilangan 1 masing-masing seperti 1+1+1+1+… sebanyak 88 buah ditambah a dan b maka hasilnya A dan perkalian bilangan 1 masing-masing 1x1x1x… sebanyak 88 buah dikali a dan b maka hasilnya A maka berapa nilai A? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{penjumlahan} \\ 1+1+1+1+ \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }+a+b &= A \\ 88+a+b &= A \\ \text{perkalian} \\ 1 \times 1 \times 1 \times \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }\times a \times b &= A \\ a \times b &= A \\ 88+a+b &= ab \\ ab-b &= 88+a \\ b(a-1) &= 88+a \\ b &= \frac{88+a}{a-1} \\ \text{uji selidiki untuk a=2} \\ b &= \frac{88+2}{2-1} \\ &= 90 \\ \text{buktikan} \\ 88+a+b &= ab \\ 88+2+90 &= 2(90) \\ 180 &= 180 \\ \text{terbukti} \\ \text{nilai A adalah } 180 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x+\frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}=4x-\frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x-\frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x-20+\frac{25}{x} \\ 4x+\frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt{x}+x=1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x}+x &= 1 \\ x-1 &= -\sqrt{x} \\ x^2-2x+1 &= x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x-3+\frac{1}{x} &= 0 \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{16}{x}</math> jika <math>x-3\sqrt{x}=4</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-3\sqrt{x} &= 4 \\ x-4 &= 3\sqrt{x} \\ x^2-8x+16 &= 9x \\ x^2-17x+16 &= 0 \\ x-17+\frac{16}{x} &= 0 \\ x+\frac{16}{x} &= 17 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy)=\frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7 maka tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>xy=\frac{f(x+y)}{f(xy)}</math> dengan f(xy) ≠ 0 serta f(15)=16 maka tentukan nilai f(8)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(15) &= 16 \\ f(3 \cdot 5) &= 16 \\ xy &= \frac{f(x+y)}{f(xy)} \\ 3 \cdot 5 &= \frac{f(3+5)}{f(3 \cdot 5)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{f(15)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{16} \\ f(8) &= 240 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(x+\frac{1}{x}+6)=x^2+\frac{1}{x^2}+15</math> maka tentukan nilai f(16)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x+\frac{1}{x}+6) &= x^2+\frac{1}{x^2}+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2-2+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ \text{misalkan } x+\frac{1}{x} &= p \\ f(x+\frac{1}{x}+6) &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ \text{jika f(16) maka p adalah 10 sebelum ditambahkan 6 } \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ f(10+6) &= 10^2+13 \\ f(16) &= 100+13 \\ &= 113 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{u_3}{u_1+u_2} = \frac{7}{8}</math> merupakan barisan aritmetika maka berapa dari <math>\frac{u_2+u_3}{u_1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{u_3}{u_1+u_2} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{a+a+b} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{2a+b} &= \frac{7}{8} \\ 8(a+2b) &= 7(2a+b) \\ 8a+16b &= 14a+7b \\ 9b &= 6a \\ b &= \frac{2a}{3} \\ \frac{u_2+u_3}{u_1} &= \frac{a+b+a+2b}{a} \\ &= \frac{2a+3b}{a} \\ &= \frac{2a+3(\frac{2a}{3})}{a} \\ &= \frac{2a+2a}{a} \\ &= \frac{4a}{a} \\ &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Rataan geometris a dan b adalah kurangnya 24 dari b serta rataan aritmatik a dan b adalah lebihnya 15 dari a maka berapa nilai a+b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rataan geometris } \\ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a \cdot b} &= b-24 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ \text{rataan aritmatik } \\ \frac{a+b}{2} = \frac{a+b}{2} &= a+15 \\ a+b &= 2(a+15) \\ a+b &= 2a+30 \\ a &= b-30 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ (b-30)b &= (b-24)^2 \\ b^2-30b &= b^2-48b+576 \\ 18b &= 576 \\ b &= 32 \\ a &= b-30 \\ &= 32-30 \\ &= 2 \\ a+b &= 32+2 \\ &= 34 \\ \end{align} </math> </div></div> # Persegi panjang ABCD memiliki AD 15 cm dan DC 12 cm. E dan F merupakan perpanjangan DC yaitu CE 6 cm serta EF = DC. G merupakan titik potong antara BC dan AE maka berapa luas daerah BFEG? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kita cari ukuran GC yaitu } \\ \frac{GC}{AD} &= \frac{CE}{DE} \\ \frac{GC}{15} &= \frac{6}{18} \\ GC &= 5 \\ \text{luas BEFG = luas segitiga BFC - luas segitiga GEC } \\ &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CF - \frac{1}{2} \cdot GC \cdot CE \\ &= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 18 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \\ &= 135 - 15 \\ &= 120 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah BFEG adalah 120 cm² </div></div> # Dua buah persegi masing-masing yaitu ABCD dan EFGH. persegi ABCD berhimpit dengan EFGH. I terletak antara A dengan F. Sisi persegi ABCD 4 cm dan EFGH 6 cm. Perbandingan AI:AF adalah 1:5 maka berapa luas daerah segitiga IGD? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ AI &= \frac{1}{5} AF \\ &= \frac{1}{5} 10 \\ &= 2 \\ IF &= AF-AI \\ &= 10-2 \\ &= 8 \\ \text{luas trapesium AFGD } &= \frac{(AD+EF) \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(4+6)10}{2} \\ &= 50 \\ \text{luas segitiga AID } &= \frac{AI \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(2)4}{2} \\ &= 4 \\ \text{luas segitiga IFG } &= \frac{IF \cdot FG}{2} \\ &= \frac{(8)6}{2} \\ &= 24 \\ \text{luas daerah segitiga IGD } &= \text{luas trapesium AFGD-luas segitiga AI—luas segitiga IFG } \\ &= 50-4-24 \\ &= 22 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah segitiga IGD adalah 22 cm² </div></div> # Sebuah balok tertutup memiliki alas yang berbentuk persegi dengan tinggi 12 cm. Di dalam balok terdapat kerucut yang alasnya menempel serta titik tinggi tepat di atas baloknya dimana tingginya sama dengan tinggi balok. Volume antara luar kerucut dan dalam balok adalah 100(3-<math>\pi</math>) cm³ maka berapa luas permukaan kerucut tersebut?² <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ \text{volume balok} \\ V_b &= x^2(12) \\ \text{volume kerucut} \\ V_b &= \frac{1}{3}\pi x^2(12) \\ V_{b-k} &= Vb-Vk \\ 100(3-\pi) &= 12x^2-\frac{1}{3}\pi x^2(12) \\ 100(3-\pi) &= 12x^2-4\pi x^2 \\ 100(3-\pi) &= 4x^2(3-\pi) \\ x^2 &= 25 \\ x &= 5 \\ s &= \sqrt{12^2+5^2} \\ &= \sqrt{144+25} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13 \\ \text{luas permukaan kerucut } &= \pi r(r+s) \\ &= \pi(5)(5+13) \\ &= 90\pi \\ \end{align} </math> jadi luas daerah permukaan kerucut adalah 90<math>\pi</math> cm² </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 3 bersisa 1 dan 2 maka berapa sisa pembagian A(A+1)+3B dibagi 9? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 3a+1 \\ B &= 3b+2 \\ A(A+1)+3B \\ (3a+1)(3a+1+1)+3(3b+2) \\ (3a+1)(3a+2)+9b+6 \\ 9a^2+9a+2+9b+6 \\ 9a^2+9a+9b+8 \\ 9(a^2+a+b)+8 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 9 bersisa 7 dan 8 maka berapa sisa pembagian A(A-5)+9B dibagi 81? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 9a+7 \\ B &= 9b+8 \\ A(A-5)+9B \\ (9a+7)(9a+7-5)+9(9b+8) \\ (9a+7)(9a+2)+81b+72 \\ 81a^2+81a+14+81b+72 \\ 81a^2+81a+81b+86 \\ 81a^2+81a+81b+81+5 \\ 81(a^2+a+b+1)+5 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix}</math> maka berapa hasil dari A²¹+A²⁵+A⁴⁶? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A^2 &= A \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \\ A^3 &= A^2 \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= -I \\ A^{21}+A^{25}+A^{46} &= A^{21} \cdot (I+A^4+A^{25}) \\ &= A^{21} \cdot (I+A^3 \cdot A +A^{24} \cdot A) \\ &= (A^3)^7 \cdot (I+A^3 \cdot A +(A^3)^8 \cdot A) \\ &= (-I)^7 \cdot (I-I \cdot A +(-I)^8 \cdot A) \\ &= -I \cdot (I-A+A) \\ &= -I \cdot I \\ &= -I \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 7678o3cpq03lq6bqvthwf6t6ae1sy7v 108113 108112 2025-07-05T10:59:53Z Akuindo 8654 108113 wikitext text/x-wiki contoh soal # Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000 + 20)^2-17 \\ &= 4.000.000 + 80.000 + 400 -17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai b-a jika <math>\frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} = \frac{a}{b}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} &= \frac{a}{b} \\ \frac{\frac{106 \times 107}{2}}{\frac{106}{2}(4+109)} &= \frac{a}{b} \\ \frac{53 \times 107}{53 \times 113} &= \frac{a}{b} \\ b-a &= 113-107 = 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> # Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> # Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> # Penjumlahan bilangan 1 masing-masing seperti 1+1+1+1+… sebanyak 88 buah ditambah a dan b maka hasilnya A dan perkalian bilangan 1 masing-masing 1x1x1x… sebanyak 88 buah dikali a dan b maka hasilnya A maka berapa nilai A? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{penjumlahan} \\ 1+1+1+1+ \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }+a+b &= A \\ 88+a+b &= A \\ \text{perkalian} \\ 1 \times 1 \times 1 \times \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }\times a \times b &= A \\ a \times b &= A \\ 88+a+b &= ab \\ ab-b &= 88+a \\ b(a-1) &= 88+a \\ b &= \frac{88+a}{a-1} \\ \text{uji selidiki untuk a=2} \\ b &= \frac{88+2}{2-1} \\ &= 90 \\ \text{buktikan} \\ 88+a+b &= ab \\ 88+2+90 &= 2(90) \\ 180 &= 180 \\ \text{terbukti} \\ \text{nilai A adalah } 180 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{20abc}{ab+bc+ac}</math> jika <math>16^a = 256^b = 625^c = 40</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^a = 256^b = 625^c &= 40 \\ 2^{4a} = 4^{4b} = 5^{4c} &= 40 \\ 2^{4a} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4a}} \\ 4^{4b} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4b}} \\ 5^{4c} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4c}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a}} \cdot 40^{\frac{1}{4b}} \cdot 40^{\frac{1}{4c}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c}} \\ 1 &= \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} + \frac{1}{4c} \\ 4 &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\ \frac{20abc}{ab+bc+ac} &= 20 \cdot \frac{abc}{ab+bc+ac} \\ &= 20 \cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>27x^3 + \frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x + \frac{2}{x} = 6</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x + \frac{2}{x} &= 6 \\ (3x + \frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3 + 3 (3x) (\frac{2}{x}) (3x + \frac{2}{x}) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 18 (6) + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + 108 + \frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3 + \frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>4x+\frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}=4x-\frac{25}{x}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x-\frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x-20+\frac{25}{x} \\ 4x+\frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt{x}+x=1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x}+x &= 1 \\ x-1 &= -\sqrt{x} \\ x^2-2x+1 &= x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x-3+\frac{1}{x} &= 0 \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>x+\frac{16}{x}</math> jika <math>x-3\sqrt{x}=4</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-3\sqrt{x} &= 4 \\ x-4 &= 3\sqrt{x} \\ x^2-8x+16 &= 9x \\ x^2-17x+16 &= 0 \\ x-17+\frac{16}{x} &= 0 \\ x+\frac{16}{x} &= 17 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>sin^3 x + csc^3 x</math> jika <math>sin x - csc x = 8</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a - b)^3 &= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \\ (sin x - csc x)^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x csc x(sin x - csc x) \\ 8^3 &= sin^3 x - csc^3 x - 3sin x (\frac{1}{sin x})(8) \\ 512 &= sin^3 x - csc^3 x - 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 512 + 24 \\ sin^3 x - csc^3 x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72} &= \frac{7^{2023}7^{2} - 7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1 + 7^{2023} + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2} - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7^1 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49 - 1) + 48 \times 9}{7^{2023}(7 + 1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48 + 48 \times 9}{7^{2023} \times 8 + 8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023} + 9)}{8(7^{2023} + 9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari <math>\frac{a}{b}</math> jika <math>\frac{a^2}{a^2-16b^2} = \frac{625}{49}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a^2}{a^2-16b^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{a^2-16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1 - \frac{16b^2}{a^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16b^2}{a^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4b}{a})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4b}{a} &= \frac{24}{25} \\ \frac{b}{a} &= \frac{6}{25} \\ \frac{a}{b} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ 4^x-1 &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ 4^x-1 &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ 4^x-1 &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ f(2) &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ f(7) &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 11^3 &= 242+3ab(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3ab \\ 121 &= 22+3ab \\ 99 &= 3ab \\ ab &= 33 \\ (a-b)^2 &= a^2+b^2-2ab \\ &= ((a+b)^2-2ab)-2ab \\ &= (a+b)^2-4ab \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f(x) adalah fungsi yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x) + f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x) + 2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025) + 2f(-2025)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) + f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x) + 2020 \\ *\text{cara 1 } \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x) + f(-x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ *\text{cara 2 } \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x) + f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x) - f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x) + f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x) + 2f(-x) = 8 \\ \text{maka } 2f(2025) + 2f(-2025) = 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3) + 3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) = -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3}) - f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(xy)=\frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7 maka tentukan nilai f(2)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>xy=\frac{f(x+y)}{f(xy)}</math> dengan f(xy) ≠ 0 serta f(15)=16 maka tentukan nilai f(8)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(15) &= 16 \\ f(3 \cdot 5) &= 16 \\ xy &= \frac{f(x+y)}{f(xy)} \\ 3 \cdot 5 &= \frac{f(3+5)}{f(3 \cdot 5)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{f(15)} \\ 15 &= \frac{f(8)}{16} \\ f(8) &= 240 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>f(x+\frac{1}{x}+6)=x^2+\frac{1}{x^2}+15</math> maka tentukan nilai f(16)! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x+\frac{1}{x}+6) &= x^2+\frac{1}{x^2}+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2-2+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ \text{misalkan } x+\frac{1}{x} &= p \\ f(x+\frac{1}{x}+6) &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ \text{jika f(16) maka p adalah 10 sebelum ditambahkan 6 } \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ f(10+6) &= 10^2+13 \\ f(16) &= 100+13 \\ &= 113 \\ \end{align} </math> </div></div> # Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{Misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math> maka berapa hasil dari (a-c)^b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> # x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\frac{u_3}{u_1+u_2} = \frac{7}{8}</math> merupakan barisan aritmetika maka berapa dari <math>\frac{u_2+u_3}{u_1}</math>? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{u_3}{u_1+u_2} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{a+a+b} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{2a+b} &= \frac{7}{8} \\ 8(a+2b) &= 7(2a+b) \\ 8a+16b &= 14a+7b \\ 9b &= 6a \\ b &= \frac{2a}{3} \\ \frac{u_2+u_3}{u_1} &= \frac{a+b+a+2b}{a} \\ &= \frac{2a+3b}{a} \\ &= \frac{2a+3(\frac{2a}{3})}{a} \\ &= \frac{2a+2a}{a} \\ &= \frac{4a}{a} \\ &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> # Rataan geometris a dan b adalah kurangnya 24 dari b serta rataan aritmatik a dan b adalah lebihnya 15 dari a maka berapa nilai a+b? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rataan geometris } \\ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a \cdot b} &= b-24 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ \text{rataan aritmatik } \\ \frac{a+b}{2} = \frac{a+b}{2} &= a+15 \\ a+b &= 2(a+15) \\ a+b &= 2a+30 \\ a &= b-30 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ (b-30)b &= (b-24)^2 \\ b^2-30b &= b^2-48b+576 \\ 18b &= 576 \\ b &= 32 \\ a &= b-30 \\ &= 32-30 \\ &= 2 \\ a+b &= 32+2 \\ &= 34 \\ \end{align} </math> </div></div> # Persegi panjang ABCD memiliki AD 15 cm dan DC 12 cm. E dan F merupakan perpanjangan DC yaitu CE 6 cm serta EF = DC. G merupakan titik potong antara BC dan AE maka berapa luas daerah BFEG? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kita cari ukuran GC yaitu } \\ \frac{GC}{AD} &= \frac{CE}{DE} \\ \frac{GC}{15} &= \frac{6}{18} \\ GC &= 5 \\ \text{luas BEFG = luas segitiga BFC - luas segitiga GEC } \\ &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CF - \frac{1}{2} \cdot GC \cdot CE \\ &= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 18 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \\ &= 135 - 15 \\ &= 120 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah BFEG adalah 120 cm² </div></div> # Dua buah persegi masing-masing yaitu ABCD dan EFGH. persegi ABCD berhimpit dengan EFGH. I terletak antara A dengan F. Sisi persegi ABCD 4 cm dan EFGH 6 cm. Perbandingan AI:AF adalah 1:5 maka berapa luas daerah segitiga IGD? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ AI &= \frac{1}{5} AF \\ &= \frac{1}{5} 10 \\ &= 2 \\ IF &= AF-AI \\ &= 10-2 \\ &= 8 \\ \text{luas trapesium AFGD } &= \frac{(AD+EF) \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(4+6)10}{2} \\ &= 50 \\ \text{luas segitiga AID } &= \frac{AI \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(2)4}{2} \\ &= 4 \\ \text{luas segitiga IFG } &= \frac{IF \cdot FG}{2} \\ &= \frac{(8)6}{2} \\ &= 24 \\ \text{luas daerah segitiga IGD } &= \text{luas trapesium AFGD-luas segitiga AI—luas segitiga IFG } \\ &= 50-4-24 \\ &= 22 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah segitiga IGD adalah 22 cm² </div></div> # Sebuah balok tertutup memiliki alas yang berbentuk persegi dengan tinggi 12 cm. Di dalam balok terdapat kerucut yang alasnya menempel serta titik tinggi tepat di atas baloknya dimana tingginya sama dengan tinggi balok. Volume antara luar kerucut dan dalam balok adalah 100(3-<math>\pi</math>) cm³ maka berapa luas permukaan kerucut tersebut?² <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ \text{volume balok} \\ V_b &= x^2(12) \\ \text{volume kerucut} \\ V_b &= \frac{1}{3}\pi x^2(12) \\ &= 4\pi x^2 \\ V_{b-k} &= Vb-Vk \\ 100(3-\pi) &= 12x^2-4\pi x^2 \\ 100(3-\pi) &= 4x^2(3-\pi) \\ x^2 &= 25 \\ x &= 5 \\ s &= \sqrt{12^2+5^2} \\ &= \sqrt{144+25} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13 \\ \text{luas permukaan kerucut } &= \pi r(r+s) \\ &= \pi(5)(5+13) \\ &= 90\pi \\ \end{align} </math> jadi luas daerah permukaan kerucut adalah 90<math>\pi</math> cm² </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 3 bersisa 1 dan 2 maka berapa sisa pembagian A(A+1)+3B dibagi 9? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 3a+1 \\ B &= 3b+2 \\ A(A+1)+3B \\ (3a+1)(3a+1+1)+3(3b+2) \\ (3a+1)(3a+2)+9b+6 \\ 9a^2+9a+2+9b+6 \\ 9a^2+9a+9b+8 \\ 9(a^2+a+b)+8 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 9 bersisa 7 dan 8 maka berapa sisa pembagian A(A-5)+9B dibagi 81? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 9a+7 \\ B &= 9b+8 \\ A(A-5)+9B \\ (9a+7)(9a+7-5)+9(9b+8) \\ (9a+7)(9a+2)+81b+72 \\ 81a^2+81a+14+81b+72 \\ 81a^2+81a+81b+86 \\ 81a^2+81a+81b+81+5 \\ 81(a^2+a+b+1)+5 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Jika <math>\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix}</math> maka berapa hasil dari A²¹+A²⁵+A⁴⁶? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A^2 &= A \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \\ A^3 &= A^2 \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= -I \\ A^{21}+A^{25}+A^{46} &= A^{21} \cdot (I+A^4+A^{25}) \\ &= A^{21} \cdot (I+A^3 \cdot A +A^{24} \cdot A) \\ &= (A^3)^7 \cdot (I+A^3 \cdot A +(A^3)^8 \cdot A) \\ &= (-I)^7 \cdot (I-I \cdot A +(-I)^8 \cdot A) \\ &= -I \cdot (I-A+A) \\ &= -I \cdot I \\ &= -I \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9? : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. # Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli! ; Cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ; Cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5? ; Cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;Cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;Cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 # Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7? ;Cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;Cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 # Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6! ; Cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; Cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. # Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember? ; Cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; Cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] gll8j47z4pkz61zav4zpvf0lrvv0ydz 100 24205 108101 97866 2025-07-04T12:34:45Z Raflinoer32 36196 Raflinoer32 memindahkan halaman [[Resep:Babi Panggang Karo]] ke [[Resep:Babi panggang Karo]]: Judul salah eja 97866 wikitext text/x-wiki [[Berkas:BPK (Babi Panggang Karo) 3.jpg|jmpl|Babi Panggang Karo (BPK)]] Babi panggang karo atau yang lebih sering disebut "BPK" adalah masakan yang terbuat dari daging babi yang dipanggang. Makanan ini adalah masakan khas Suku Karo di Provinsi Sumatera Utara. "'''Tau ga sih, apa''' perbedaan BPK dengan Babi Panggang lainnya???" Perbedaannya adalah cara dari proses memasaknya, Memanggangnya dilakukan dengan potongan daging yang halus atau tipis, serta pemilihan bagian daging yang tepat. Saat dihidangkan, BPK juga akan ditambahkan dengan sajian daun singkong dan kincong yang telah dihaluskan dan dimasak secara khas. Selain itu, disajikan pula saus yang terbuat dari darah babi. Keberadaan saus darah terlebih dahulu telah dimasak di atas bara api dengan ditambahkan sedikit air dan dibumbui dengan ramuan bumbu, seperti asam. Setelah matang, warna saus darah akan berwarna kecokelatan. Dan juga biasanya disajikan juga sambal andaliman. == Saatnya berkeliling di pasarmu untuk mendapatkan ini semua: == Bahan utama: # 500 gr daging babi, potong-potong # <bdi>1 sdt</bdi> ''garlic powder'' (atau 6 siung bawang putih) # 2 sdm kecap manis1 # 1 buah jeruk nipis # 1 batang daun serai segar # asam patikala secukupnya # garam secukupnya # Kecap manis secukupnya (atau bisa pake bangi) == Mulailah memasak masakanmu: == # Marinasi daging babi dengan bumbu halus yg sudah di blend (jeruk nipis, garam, air perasan jeruk nipis, serai) lalu tambahkan kecap dan ''garlic powder'' secukupnya (saya 2 sdm) lalu diamkan 30 menit. #Setelah itu panggang daging babi dengan api sedang hingga matang. #Setelah matang potong-potong dan sajikan dengan sambal cabe rawit atau sambal BPK (menggunakan darah atau sambal andaliman). == Sambal Pendamping: == # Sambal Darah Babi # Sambal Andaliman [[Kategori:Lokakarya WikiCendekia2024]] hdi4a98fqm8nzjzsnfbhw2jn6kh7eh6 0 24331 108110 99063 2025-07-05T10:05:45Z Volstand 31387 108110 wikitext text/x-wiki Babanga merupakan salah satu permainan tradisional khas Kalimantan Selatan, yang umumnya dimainkan oleh anak laki-laki, minimal dua orang atau lebih. Tidak diketahui secara pasti apa makna kata ''Babanga.'' Namun, menurut penuturan para informan, permainan ini pertama kali ditemukan di daerah Margasari, Kecamatan Candi Laras Utara, Kabupaten Tapin, Kalimantan Selatan, sekitar 140 km dari Kota Banjarmasin.<ref>Departemen Pendidikan dan Kebudayaan (1981). ''Permainan Rakyat Daerah Kalimantan Selatan''. hlm. 5. </ref> == Alat Permainan == Permainan ini memerlukan sekumpulan ''pidak'' atau biji karet, bisa juga diganti dengan kemiri, atau dalam Bahasa Banjar disebut ''kaminting''. Seiring dengan perkembangan zaman, ada pula beberapa orang yang menggantinya dengan kelereng. Masing-masing pemain menentukan satu ''pidak'' atau biji karet sebagai ''undas''. Biasanya ''undas'' yang dipilih merupakan biji karet yang lebih besar, padat, dan memiliki bobot atau berat. == Cara Bermain == [[Berkas:Babanga.jpg|jmpl|Permainan Babanga memerlukan sekumpulan biji karet (pidak) yang diletakkan di dalam lingkaran, kemudian setiap pemain membidiknya sebagai target.]] [[Berkas:Babanga 1.jpg|jmpl|Sekumpulan anak sedang mengelilingi lingkaran dalam permainan Babanga.]] Setiap pemain bersepakat untuk mengumpulkan biji karet dengan jumlah yang sama, misal masing-masing pemain menyetorkan lima biji karet. Biji karet yang terkumpul kemudian dimasukkan ke dalam lingkaran yang digaris di atas tanah, bisa juga menggunakan kapur jika bermain di atas permukaan lantai kayu atau semen. Diameter lingkaran mulai dari 15 cm, dan akan menyesuaikan jumlah biji karet. Jika banyak, maka lingkaran yang dibuat akan semakin besar. Para pemain akan berkumpul di garis awal, kurang lebih 3 (tiga) meter dari lingkaran tersebut. Setiap pemain akan melakukan metode hompimpa atau basiun untuk menentukan urutan permainan. Pemain pertama akan melempar undasnya menuju lingkaran. Jika ada biji karet yang keluar dari lingkaran, maka pemain itu berhak untuk mendapatkannya. Namun jika tidak ada biji karet yang keluar, maka ''undas''-nya akan dibiarkan di tempat ia terjatuh. Permainan kemudian dilanjutkan oleh orang kedua, dan seterusnya. ''Undas'' para pemain yang terjatuh di luar lingkaran, akan dilihat terlebih dahulu, mana yang paling dekat dengan lingkaran, maka ia yang akan melanjutkan permainan di urutan pertama, membidik kumpulan biji karet yang ada di lingkaran. Semakin dekat dengan lingkaran, maka akan semakin mudah. Namun, jika ''undas'' salah satu pemain masuk ke dalam lingkaran, maka pemain tersebut tidak diperbolehkan melanjutkan permainan sampai seluruh biji karet yang ada di dalam lingkaran telah habis keluar dan diambil oleh pemain lainnya. Jika biji karet di dalam lingkaran tinggal sedikit atau habis, maka masing-masing pemain akan kembali menyetorkan biji karet miliknya, dengan jumlah yang sama sesuai kesepakatan.<ref>Seman, Syamsiar (2006). ''Permainan Tradisional Orang Banjar''. Banjarmasin: Lembaga Pendidikan Banua Banjarmasin. hlm. 8. ISBN: 979-15063-2.</ref> Pemain yang mendapatkan biji karet paling banyak di akhir permainan Babanga, maka ia dinobatkan sebagai juaranya. == Nilai Permainan == Permainan Babanga dapat mempererat persahabatan, melatih kejelian serta strategi dalam membidik suatu target. == Referensi == cgjxc8dfkcn4xc5qv7m5s34ur7k0j02 0 24332 108107 99064 2025-07-05T09:59:26Z Volstand 31387 Membalikkan revisi [[Special:Diff/99064|99064]] oleh [[Special:Contributions/Mery Nurfa Dilla|Mery Nurfa Dilla]] ([[User talk:Mery Nurfa Dilla|bicara]]) 108107 wikitext text/x-wiki Pamainan Bacirak marupoan pamainan anak tradisional dari Kalimantan Selatan. Indak dikatahui arti kata Bacirak atau Cirak, tatapi pamainan ini cukup sederhana jo bisa dialkuan dek sia se, baik anak laki-laki maupun padusi, jo hanyo manbutuahan bahan sarupo karet galang. Indak ado batasan jumlah pamain, bisa dilakuan dek duo urang atau labiah. == Alaik Pamainan == [[Berkas:Bacirak.jpg|jmpl|Sekumpulan karet gelang di atas bentangan dua kayu, nan menjadi target lemparan dalam pamainan Bacirak khas Kalimantan Selatan.]] pamainan ini memerlukan karet gelang. Masing-masing pamain membawa karet gelang nan cukup. Selain itu, juga memerlukan dua buah kayu nan ditanam di tanah, dengan tinggi kurang lebih sejengkal dari tanah. Kedua kayu berdiri tegak dengan jarak kurang lebih satu jengkal, lalu dihubungkan dengan karet gelang nan membentang. pamainan Bacirak juga memerlukan ''undas'', bisa berupa batu pipih dengan diameter kurang lebih 5 cm, atau kayu dengan diameter nan sama. Beberapa pamain nan kreatif juga bisa membuat undas dari anyaman karet gelang, nan bisa bergerak lebih fleksibel. == Cara Bermain == Setiap pamain harus menyetorkan karet gelang dengan jumlah nan disepakati. Misal, satu orang menyetor lima karet gelang, maka dari dua pamain akan terkumpul sepuluh karet gelang. Semakin banyak pamain, jumlah karet nan harus disetorkan untuk pasang dari setiap orang jadi lebih sedikit. Karet gelang nan disetor akan diletakkan di atas karet nan membentang di antara dua kayu nan ditanam ke tanah. Ambil jarak untuk membuat garis ''start'', sekitar lima meter atau sesuai kesepakatan. Satu per satu pamain akan melempar ''undas''-nya ke arah karet nan dibentang di antara dua kayu. Bisa menggunakan metode hompimpa untuk menentukan siapa pamain nan lebih dulu melempar, karena pamain pertama akan memiliki keuntungan, jumlah karet nan menjadi target masih banyak. pamain pertama melempar, jika ada karet gelang nan jatuh dari tempatnya, maka karet tersebut berhak ia ambil. Namun syaratnya, karet nan jatuh tidak boleh tumpang tindih. Jika ada dua karet atau lebih nan saling mengiris atau tumpang tindih, maka harus dikembalikan ke tali bentangan di antara dua kayu, dan pamain kedua akan mulai melempar. Jika karet setoran sudah habis, maka setiap pamain akan memulai pamainan dari awal, menyetorkan karetnya dengan jumlah sesuai kesepakatan. pamain nan memiliki keterampilan membidik, akan mendapatkan karet lebih banyak dan dinobatkan sebagai pemenang.<ref>Pengalaman pribadi Penulis, ditambahkan dengan hasil wawancara pada sumber primer lainnya, yakni Ahmid (29 tahun), di Lapas Teluk Dalam, Banjarmasin, Rabu, 22 Maret 2023, pukul 16.00 WITA.</ref> == Nilai pamainan == pamainan Bacirak ini bisa mempererat persahabatan, mengasah kemampuan fokus untuk mencapai target, strategi dalam membidik, juga mengasah keterampilan untuk membuat ''undas'' nan bisa bergerak fleksibel. Jika dimainkan oleh anak usia dini, pamainan ini juga bisa bermanfaat untuk mengajarkan berhitung dan memberi pemahaman untung-rugi. == Referensi == slui5kp212zj7xh2zckdg1pn7ayc2fu 108108 108107 2025-07-05T10:00:10Z Volstand 31387 Membalikkan revisi [[Special:Diff/99062|99062]] oleh [[Special:Contributions/Mery Nurfa Dilla|Mery Nurfa Dilla]] ([[User talk:Mery Nurfa Dilla|bicara]]) 108108 wikitext text/x-wiki Permainan Bacirak merupakan permainan anak tradisional dari Kalimantan Selatan. Tidak diketahui arti kata Bacirak atau Cirak, tetapi permainan ini cukup sederhana dan bisa dilakukan oleh siapa saja, baik anak laki-laki maupun perempuan, dan hanya memerlukan bahan berupa karet gelang. Tidak ada batasan jumlah pemain, bisa dilakukan oleh dua orang atau lebih. == Alat Permainan == [[Berkas:Bacirak.jpg|jmpl|Sekumpulan karet gelang di atas bentangan dua kayu, yang menjadi target lemparan dalam permainan Bacirak khas Kalimantan Selatan.]] Permainan ini memerlukan karet gelang. Masing-masing pemain membawa karet gelang yang cukup. Selain itu, juga memerlukan dua buah kayu yang ditanam di tanah, dengan tinggi kurang lebih sejengkal dari tanah. Kedua kayu berdiri tegak dengan jarak kurang lebih satu jengkal, lalu dihubungkan dengan karet gelang yang membentang. Permainan Bacirak juga memerlukan ''undas'', bisa berupa batu pipih dengan diameter kurang lebih 5 cm, atau kayu dengan diameter yang sama. Beberapa pemain yang kreatif juga bisa membuat undas dari anyaman karet gelang, yang bisa bergerak lebih fleksibel. == Cara Bermain == Setiap pemain harus menyetorkan karet gelang dengan jumlah yang disepakati. Misal, satu orang menyetor lima karet gelang, maka dari dua pemain akan terkumpul sepuluh karet gelang. Semakin banyak pemain, jumlah karet yang harus disetorkan untuk pasang dari setiap orang jadi lebih sedikit. Karet gelang yang disetor akan diletakkan di atas karet yang membentang di antara dua kayu yang ditanam ke tanah. Ambil jarak untuk membuat garis ''start'', sekitar lima meter atau sesuai kesepakatan. Satu per satu pemain akan melempar ''undas''-nya ke arah karet yang dibentang di antara dua kayu. Bisa menggunakan metode hompimpa untuk menentukan siapa pemain yang lebih dulu melempar, karena pemain pertama akan memiliki keuntungan, jumlah karet yang menjadi target masih banyak. Pemain pertama melempar, jika ada karet gelang yang jatuh dari tempatnya, maka karet tersebut berhak ia ambil. Namun syaratnya, karet yang jatuh tidak boleh tumpang tindih. Jika ada dua karet atau lebih yang saling mengiris atau tumpang tindih, maka harus dikembalikan ke tali bentangan di antara dua kayu, dan pemain kedua akan mulai melempar. Jika karet setoran sudah habis, maka setiap pemain akan memulai permainan dari awal, menyetorkan karetnya dengan jumlah sesuai kesepakatan. Pemain yang memiliki keterampilan membidik, akan mendapatkan karet lebih banyak dan dinobatkan sebagai pemenang.<ref>Pengalaman pribadi Penulis, ditambahkan dengan hasil wawancara pada sumber primer lainnya, yakni Ahmid (29 tahun), di Lapas Teluk Dalam, Banjarmasin, Rabu, 22 Maret 2023, pukul 16.00 WITA.</ref> == Nilai Permainan == Permainan Bacirak ini bisa mempererat persahabatan, mengasah kemampuan fokus untuk mencapai target, strategi dalam membidik, juga mengasah keterampilan untuk membuat ''undas'' yang bisa bergerak fleksibel. Jika dimainkan oleh anak usia dini, permainan ini juga bisa bermanfaat untuk mengajarkan berhitung dan memberi pemahaman untung-rugi. == Referensi == odcl0x0wm159c9zl1wh4dmdudgskbm3 100 25307 108095 105887 2025-07-04T12:04:28Z Raflinoer32 36196 Raflinoer32 memindahkan halaman [[Sambal tempoyak]] ke [[Resep:Sambal tempoyak]]: Judul salah eja 105887 wikitext text/x-wiki '''Bahan-bahan:''' * 100 gram tempoyak * 10 batang cabe rawit merah * 5 siung bawang merah * 1 siung bawang putih * 1 sdt terasi bakar * 1/2 sdt garam * 1 sdt gula pasir * 1/4 sdt penyedap rasa * 2 Sdm minyak untuk menumis '''Cara membuat:''' # Siapkan bahan yang dibutuhkan. # Giling halus semua bahan kecuali tempoyak dan sisihkan. # Siapkan minyak untuk menumis, lalu tumis sambal sebentar dan masukkan tempoyak. # Aduk rata tempoyak dengan sambal, koreksi rasa. Jangan terlalu lama dimasak, cukup 1-2 menit. # Angkat dan siap disajikan bersama lalap, nikmat dimakan dengan ikan bakar. [[Kategori:Masakan Palembang]] [[Kategori:WikiRondaRasoPalembang2025]] f285t87bp44xwev8aahx6yz3wwtpcqi 0 25857 108096 2025-07-04T12:04:28Z Raflinoer32 36196 Raflinoer32 memindahkan halaman [[Sambal tempoyak]] ke [[Resep:Sambal tempoyak]]: Judul salah eja 108096 wikitext text/x-wiki #ALIH [[Resep:Sambal tempoyak]] kfci8w8dbgwd7g25dkqsztt49c9sgi4 100 25858 108098 2025-07-04T12:08:09Z Raflinoer32 36196 Raflinoer32 memindahkan halaman [[Resep:Ayam semur jawa]] ke [[Resep:Ayam semur Jawa]]: Judul salah eja 108098 wikitext text/x-wiki #ALIH [[Resep:Ayam semur Jawa]] imuqzbtwglowtao2bd9wun2cwop8gzz 100 25859 108102 2025-07-04T12:34:45Z Raflinoer32 36196 Raflinoer32 memindahkan halaman [[Resep:Babi Panggang Karo]] ke [[Resep:Babi panggang Karo]]: Judul salah eja 108102 wikitext text/x-wiki #ALIH [[Resep:Babi panggang Karo]] bbn8vuc1n0fwye1237u2dy5bad5i3tx 3 25860 108109 2025-07-05T10:04:30Z Volstand 31387 /* Penerjemahan ke bahasa Minang */ bagian baru 108109 wikitext text/x-wiki == Penerjemahan ke bahasa Minang == bisakah anda mengembalikan buku ''Pamainan Anak Tradisional Kalimantan Selatan'' ke bahasa Indonesia? [[Pengguna:Volstand|Volstand]] ([[Pembicaraan Pengguna:Volstand|bicara]]) 5 Juli 2025 10.04 (UTC) p2aki2do2b2h3rs8glco3xd4mwb0eul