Wikibuku idwikibooks https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama MediaWiki 1.45.0-wmf.8 first-letter Media Istimewa Pembicaraan Pengguna Pembicaraan Pengguna Wikibuku Pembicaraan Wikibuku Berkas Pembicaraan Berkas MediaWiki Pembicaraan MediaWiki Templat Pembicaraan Templat Bantuan Pembicaraan Bantuan Kategori Pembicaraan Kategori Resep Pembicaraan Resep Wisata Pembicaraan Wisata TimedText TimedText talk Modul Pembicaraan Modul 0 23118 108390 107761 2025-07-08T08:12:29Z Akuindo 8654 108390 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} u_n &= ar^{n-1} \\ s_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ s_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{u_n}{u_{n-1}} \\ u_t &= \sqrt{u_1 u_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{a_n}{a_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret takhingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{bila} -1<r<1 </math> *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> contoh soal # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] ijaxplo0ktwap2c4hadketsz94wdrxr 0 23129 108338 105240 2025-07-07T12:11:47Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108338 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos {\pi}{7} cos {2\pi}{7} cos {4\pi}{7}=-\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 1d7svb31n55cw5f6faitfexnfbg4klu 108339 108338 2025-07-07T12:12:40Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108339 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 5yujvy8ewj3w7x9as304kzksvoaqxnq 108340 108339 2025-07-07T12:17:01Z Akuindo 8654 108340 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} x^9 (-1.024) \\ &= (56) x^9 (-1.024) \\ &= -57.344x^9 \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] ikjdavv05fuafat4z16t090rbdz5bft 108341 108340 2025-07-07T12:20:01Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108341 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 7pz4lob0kqo4uxcu08ym32jjdts4xcc 108342 108341 2025-07-07T12:22:20Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108342 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{1\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \pi cos \frac{1\pi}{7}+cos \pi sin \frac{1\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 053o8wdgmco1uwar1ljrlcpjjw4263c 108343 108342 2025-07-07T12:24:30Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108343 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \pi cos \frac{\pi}{7}+cos \pi sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] d6zgy99yk11syi8yk8k3qew5r92x99h 108344 108343 2025-07-07T12:32:18Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108344 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}+cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=1</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7}+cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}}{sin \frac{2\pi}{7}} (cos \frac{\pi}{7}+cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}) \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \pi cos \frac{\pi}{7}+cos \pi sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \pi cos \frac{\pi}{7}+cos \pi sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 784860etmztlk2s8sxpav2ym5g6quiw 108345 108344 2025-07-07T12:34:26Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108345 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}+cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=1</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7}+cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}}{sin \frac{2\pi}{7}} (cos \frac{\pi}{7}+cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}}{sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \pi cos \frac{\pi}{7}+cos \pi sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \pi cos \frac{\pi}{7}+cos \pi sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] mn09uirldf5wwzuoihssuttepmkf9lc 108346 108345 2025-07-07T12:38:37Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108346 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}+cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=1</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7}+cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}}{sin \frac{2\pi}{7}} (cos \frac{\pi}{7}+cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}}{sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{\pi}{7}+sin \frac{4\pi}{7}+sin 0+sin \frac{5\pi}{7}+sin \frac{2\pi}{7}}{sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \pi cos \frac{\pi}{7}+cos \pi sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \pi cos \frac{\pi}{7}+cos \pi sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 8z4kcxga3hkwapra6jd38eg7wv9z7c7 108347 108346 2025-07-07T12:41:12Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108347 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}+cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=1</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7}+cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}}{sin \frac{2\pi}{7}} (cos \frac{\pi}{7}+cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}}{sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{\pi}{7}+sin \frac{4\pi}{7}+sin 0+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}}{sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \pi cos \frac{\pi}{7}+cos \pi sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \pi cos \frac{\pi}{7}+cos \pi sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] atyz8xr7rxirw3g9ymtig92334jhswe 108348 108347 2025-07-07T12:57:37Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108348 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}+cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=1</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7}+cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}}{sin \frac{2\pi}{7}} (cos \frac{\pi}{7}+cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}}{sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{\pi}{7}+sin \frac{4\pi}{7}+sin 0+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}}{sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \pi cos \frac{\pi}{7}+cos \pi sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}</math>! ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}</math>! ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \pi cos \frac{\pi}{7}+cos \pi sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 1y2u6utnhtgx9puw7a8c1fm0vnhrqi9 108349 108348 2025-07-07T14:20:31Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108349 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}+cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=1</math>! ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} (cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{\pi}{7}-2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}}{sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{\pi}{7}+sin \frac{4\pi}{7}+sin 0+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}}{sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \pi cos \frac{\pi}{7}+cos \pi sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}</math>! ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \pi cos \frac{\pi}{7}+cos \pi sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 5mb3zv1rtd080x2dyxcej5ii2c18e5a 108350 108349 2025-07-07T14:27:17Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108350 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} (cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{\pi}{7}-2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{\pi}{7}-(sin \frac{4\pi}{7}+sin 0)+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{4\pi}{7})-sin \frac{4\pi}{7}+sin (\pi-\frac{2\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \pi cos \frac{\pi}{7}+cos \pi sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}</math>! ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \pi cos \frac{\pi}{7}+cos \pi sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 5giiqzokcf6ztzy488mqysuh4egndil 108351 108350 2025-07-07T14:29:49Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108351 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} (cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{\pi}{7}-2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{\pi}{7}-(sin \frac{4\pi}{7}+sin 0)+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{1}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}</math>! ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \pi cos \frac{\pi}{7}+cos \pi sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] tmgzaejdcbg9aklrcba9rmfiwhbfd76 108352 108351 2025-07-07T14:35:04Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108352 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} (cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{\pi}{7}-2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{\pi}{7}-(sin \frac{4\pi}{7}+sin 0)+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{4\pi}{7})-sin \frac{4\pi}{7}+sin (\pi-\pifrac{2\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{1}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}</math>! ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \pi cos \frac{\pi}{7}+cos \pi sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] dsgdgex2le9icdi0cpttttpy5bjf45f 108353 108352 2025-07-07T14:35:56Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108353 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} (cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{\pi}{7}-2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{\pi}{7}-(sin \frac{4\pi}{7}+sin 0)+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{4\pi}{7})-sin \frac{4\pi}{7}+sin (\pi-\frac{2\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{1}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}</math>! ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \pi cos \frac{\pi}{7}+cos \pi sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] hn0b8g7s00elx3zbvy7s994zljpnxd4 108354 108353 2025-07-07T14:48:43Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108354 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} (cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{\pi}{7}-2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{\pi}{7}-(sin \frac{4\pi}{7}+sin 0)+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{4\pi}{7})-sin \frac{4\pi}{7}+sin (\pi-\frac{2\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{1}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}</math>! ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \text{ sin (\pi+\frac{\pi}{7}) berada di kuadran 3 } \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] mvx30k3z1uu3t0zslco38os8pu3xhip 108355 108354 2025-07-07T14:49:26Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108355 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} (cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{\pi}{7}-2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{\pi}{7}-(sin \frac{4\pi}{7}+sin 0)+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{4\pi}{7})-sin \frac{4\pi}{7}+sin (\pi-\frac{2\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{1}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}</math>! ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] mkckox1r9z6dy3jt9rovx4076rely2g 108356 108355 2025-07-07T14:51:31Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108356 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} (cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{\pi}{7}-2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{\pi}{7}-(sin \frac{4\pi}{7}+sin 0)+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{4\pi}{7})-sin \frac{4\pi}{7}+sin (\pi-\frac{2\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{1}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}</math>! ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] b63cmen7wm3rpt68q7sf3ywg8i0nplq 108357 108356 2025-07-07T14:57:12Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108357 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} (cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{\pi}{7}-2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{\pi}{7}-(sin \frac{4\pi}{7}+sin 0)+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{4\pi}{7})-sin \frac{4\pi}{7}+sin (\pi-\frac{2\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{1}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}</math>! ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin (\pi-\frac{3\pi}{7})}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] mmgxavtiiot7cqrmmsr6ox5wjnmsdpe 108358 108357 2025-07-07T15:13:55Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108358 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} (cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{\pi}{7}-2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{\pi}{7}-(sin \frac{4\pi}{7}+sin 0)+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{4\pi}{7})-sin \frac{4\pi}{7}+sin (\pi-\frac{2\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{1}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}</math>! ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin (\pi-\frac{3\pi}{7})}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> sama dengan <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} cos \frac{5\pi}{7}</math> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> sama dengan <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} cos \frac{5\pi}{7}</math> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 6np5roh1kvjurbw3h7ws7aq03munyuo 108359 108358 2025-07-07T15:23:00Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108359 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} (cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{\pi}{7}-2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{\pi}{7}-(sin \frac{4\pi}{7}+sin 0)+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{4\pi}{7})-sin \frac{4\pi}{7}+sin (\pi-\frac{2\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{1}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}</math>! ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{8}</math>! ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin (\pi-\frac{3\pi}{7})}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ cos \frac{\pi}{7} &= \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \\ cos \frac{2\pi}{7} &= \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ cos \frac{3\pi}{7} &= \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ \frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> sama dengan <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} cos \frac{5\pi}{7}</math> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> sama dengan <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} cos \frac{5\pi}{7}</math> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 113m65enwgki3vs85y16x30m5rywz3c 108360 108359 2025-07-07T15:24:47Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108360 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} (cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{\pi}{7}-2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{\pi}{7}-(sin \frac{4\pi}{7}+sin 0)+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{4\pi}{7})-sin \frac{4\pi}{7}+sin (\pi-\frac{2\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{1}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}</math>! ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{8}</math>! ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin (\pi-\frac{3\pi}{7})}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ cos \frac{\pi}{7} &= \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \\ cos \frac{2\pi}{7} &= \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ cos \frac{3\pi}{7} &= \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ \frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> sama dengan <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} cos \frac{5\pi}{7}</math> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> sama dengan <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} cos \frac{5\pi}{7}</math> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] jn2ce43a2i49miahpwgw8t4gycw7vfr 108361 108360 2025-07-07T15:27:55Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108361 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} (cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{\pi}{7}-2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{\pi}{7}-(sin \frac{4\pi}{7}+sin 0)+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{4\pi}{7})-sin \frac{4\pi}{7}+sin (\pi-\frac{2\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{1}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}</math>! ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{8}</math>! ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin (\pi-\frac{3\pi}{7})}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ cos \frac{\pi}{7} &= \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \\ cos \frac{2\pi}{7} &= \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ cos \frac{3\pi}{7} &= \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin (\pi-\frac{3\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin (\pi-\frac{\pi}{7})}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{3\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ \frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> sama dengan <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} cos \frac{5\pi}{7}</math> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> sama dengan <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} cos \frac{5\pi}{7}</math> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] cf0oxfv3xcc187j5urwsccelmr27th7 108362 108361 2025-07-07T15:31:48Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108362 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} (cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{\pi}{7}-2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{\pi}{7}-(sin \frac{4\pi}{7}+sin 0)+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{4\pi}{7})-sin \frac{4\pi}{7}+sin (\pi-\frac{2\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{1}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}</math>! ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{8}</math>! ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin (\pi-\frac{3\pi}{7})}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ cos \frac{\pi}{7} &= \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \\ cos \frac{2\pi}{7} &= \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ cos \frac{3\pi}{7} &= \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin (\pi-\frac{3\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin (\pi-\frac{\pi}{7})}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{3\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ \frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> sama dengan <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} cos \frac{5\pi}{7}</math> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ cos \frac{\pi}{7} &= \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \\ cos \frac{2\pi}{7} &= \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ cos \frac{4\pi}{7} &= \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{2sin \frac{4\pi}{7}} \\ cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{2sin \frac{4\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{2sin \frac{4\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{4\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> sama dengan <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} cos \frac{5\pi}{7}</math> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 4spthk54nf3ydbqaon4nl6op4n88ozx 108363 108362 2025-07-07T15:50:58Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108363 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} (cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{\pi}{7}-2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{\pi}{7}-(sin \frac{4\pi}{7}+sin 0)+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{4\pi}{7})-sin \frac{4\pi}{7}+sin (\pi-\frac{2\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{1}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} (cos \frac{2\pi}{7}-cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}-2sin \frac{\pi}{7}cos \frac{4\pi}{7}+2sin \frac{\pi}{7}cos \frac{6\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{\pi}{7}-(sin \frac{4\pi}{7}+sin 0)+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{4\pi}{7})-sin \frac{4\pi}{7}+sin (\pi-\frac{2\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{1}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{8}</math>! ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin (\pi-\frac{3\pi}{7})}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ cos \frac{\pi}{7} &= \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \\ cos \frac{2\pi}{7} &= \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ cos \frac{3\pi}{7} &= \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin (\pi-\frac{3\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin (\pi-\frac{\pi}{7})}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{3\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ \frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> sama dengan <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} cos \frac{5\pi}{7}</math> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ cos \frac{\pi}{7} &= \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \\ cos \frac{2\pi}{7} &= \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ cos \frac{4\pi}{7} &= \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{2sin \frac{4\pi}{7}} \\ cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{2sin \frac{4\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{2sin \frac{4\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{4\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> sama dengan <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} cos \frac{5\pi}{7}</math> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 5eu60t7q0t5i0bbor76j5yuc8zvml6l 108364 108363 2025-07-07T15:59:29Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108364 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} (cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{\pi}{7}-2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{\pi}{7}-(sin \frac{4\pi}{7}+sin 0)+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{4\pi}{7})-sin \frac{4\pi}{7}+sin (\pi-\frac{2\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{1}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} (cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{\pi}{7}cos \frac{4\pi}{7}+2sin \frac{\pi}{7}cos \frac{6\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \pi-sin \frac{5\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{4\pi}{7})-sin \frac{4\pi}{7}+sin (\pi-\frac{2\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{1}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{8}</math>! ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin (\pi-\frac{3\pi}{7})}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ cos \frac{\pi}{7} &= \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \\ cos \frac{2\pi}{7} &= \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ cos \frac{3\pi}{7} &= \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin (\pi-\frac{3\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin (\pi-\frac{\pi}{7})}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{3\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ \frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> sama dengan <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} cos \frac{5\pi}{7}</math> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ cos \frac{\pi}{7} &= \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \\ cos \frac{2\pi}{7} &= \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ cos \frac{4\pi}{7} &= \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{2sin \frac{4\pi}{7}} \\ cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{2sin \frac{4\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{2sin \frac{4\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{4\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> sama dengan <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} cos \frac{5\pi}{7}</math> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] hllhfnxajwa1o2agbfaovjgt59j1ii0 108365 108364 2025-07-07T16:03:06Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108365 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} (cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{\pi}{7}-2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{\pi}{7}-(sin \frac{4\pi}{7}+sin 0)+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{4\pi}{7})-sin \frac{4\pi}{7}+sin (\pi-\frac{2\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{1}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} (cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{\pi}{7}cos \frac{4\pi}{7}+2sin \frac{\pi}{7}cos \frac{6\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{\pi}{7}-sin \frac{5\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \pi-sin \frac{5\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{4\pi}{7})-sin \frac{4\pi}{7}+sin (\pi-\frac{2\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ -\frac{1}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{8}</math>! ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin (\pi-\frac{3\pi}{7})}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ cos \frac{\pi}{7} &= \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \\ cos \frac{2\pi}{7} &= \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ cos \frac{3\pi}{7} &= \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin (\pi-\frac{3\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin (\pi-\frac{\pi}{7})}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{3\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ \frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> sama dengan <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} cos \frac{5\pi}{7}</math> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ cos \frac{\pi}{7} &= \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \\ cos \frac{2\pi}{7} &= \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ cos \frac{4\pi}{7} &= \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{2sin \frac{4\pi}{7}} \\ cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{2sin \frac{4\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{2sin \frac{4\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{4\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> sama dengan <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} cos \frac{5\pi}{7}</math> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] trkpuevkl95cehi772483zxmy62yu0h 108366 108365 2025-07-07T16:06:32Z Akuindo 8654 /* Contoh soal */ 108366 wikitext text/x-wiki == Trigonometri == #<math>sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{y}{r}</math> #<math>cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \frac{x}{r}</math> #<math>tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{y}{x}</math> #<math>csc A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}} = \frac{r}{y} = \frac{1}{sin A}</math> #<math>sec A = \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}} = \frac{r}{x} = \frac{1}{cos A}</math> #<math>cot A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{tan A}</math> == Sudut Istimewa == {| class="wikitable" |+ Trigonometri |- ! Nama sudut !! 0° !! 30° !! 37° !! 45° !! 53° !! 60° !! 90° || Hasil interval |- | Sin A || 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || 1 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Cos A || 1 || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{4}{5}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{3}{5}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 || <math>-1 \le y \le 1</math> |- | Tan A || 0 || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\infty</math> || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Cot A || <math>\infty</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{4}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || 0 || <math>-\infty \le y \le \infty</math> |- | Sec A || 1 || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\infty</math> || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |- | Csc A || <math>\infty</math> || <math>2</math> || <math>\frac{5}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{5}{4}</math> || <math>\frac{2 \sqrt{3}}{3}</math> || 1 || <math>y \le -1 \text{ atau } y \ge 1</math> |} == Rumus lainnya == ; pythagoras trigonometri * sin²A + cos²A = 1 * tan²A + 1 = sec²A * 1 + cot²A = csc²A ; jumlah dan selisih sudut * sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B * sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B * cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B * cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B * tan (A+B) = <math>\frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}</math> * tan (A-B) = <math>\frac{tan A - tan B}{1 + tan A \cdot tan B}</math> * cot (A+B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B - 1}{cot B + cot A}</math> * cot (A-B) = <math>\frac{cot A \cdot cot B + 1}{cot B - cot A}</math> ; perkalian trigonometri * 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) * 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin (A-B) * 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B) * -2 sin A sin B = cos (A+B) - cos (A-B) ; jumlah dan selisih trigonometri * sin A + sin B = <math>2 sin (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * sin A - sin B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> * cos A + cos B = <math>2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2})</math> * cos A - cos B = <math>-2 sin (\frac{A+B}{2}) sin (\frac{A-B}{2})</math> ; rangkap dua sudut * sin 2A = 2 sin A cos A * cos 2A = cos²A-sin²A = 2 cos²A-1 = 1-2 sin²A * tan 2A = <math>\frac{2 tan A}{1 - tan^2A}</math> * cot 2A = <math>\frac{cot^2A - 1}{2 cot A}</math> ; rangkap tiga sudut * sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A * cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A * tan 3A = <math>\frac{3 tan A - tan^3A}{1 - 3 tan^2A}</math> * cot 3A = <math>\frac{3 cot^2A - 1}{cot^3A - 3 cot A}</math> ; setengah sudut * sin 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{2}}</math> * cos 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 + cos A}{2}}</math> * tan 1/2A = <math>\sqrt{\frac{1 - cos A}{1 + cos A}}</math> = <math>\frac{sin A}{1 + cos A}</math> = <math>\frac{1 - cos A}{sin A}</math> ; aturan sinus : <math>\frac{A}{sin A} = \frac{B}{sin B} = \frac{C}{sin C} = d = 2R</math> : <math>L = \frac{a \cdot b}{2} sin C = \frac{a \cdot c}{2} sin B = \frac{b \cdot c}{2} sin A</math> ;aturan kosinus : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C</math> ; aturan tangen : <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan \frac{a+b}{2}}{tan \frac{a-b}{2}}</math> == Contoh soal == ; Buktikan bahwa sin 20° sin 40° sin 80° = <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math>! : sin 20° sin 40° sin 80° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 20° sin 40° sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-20)°) sin 80° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-20)° sin 80°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 60° - sin (-100)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> + sin 100°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 80° + <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 80°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4})</math> : <math>\frac{\sqrt{3}}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 60° maka menjadi <math>\frac{3}{16}</math> : sama dengan cos 10° cos 50° cos 70° ; Buktikan bahwa sin 10° sin 50° sin 70° = <math>\frac{1}{8}</math>! : sin 10° sin 50° sin 70° : 2 <math>\frac{1}{2}</math> sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> 2 sin 10° sin 50° sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-cos 60° + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> + cos (-40)°) sin 70° : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + 2 <math>\frac{1}{2}</math> cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> 2 cos (-40)° sin 70°) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (sin 30° - sin (-110)°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{2}</math> (<math>\frac{1}{2}</math> + sin 110°)) : <math>\frac{1}{2}</math> (-<math>\frac{1}{2}</math> sin 70° + <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{1}{2}</math> sin 70°) : <math>\frac{1}{2} (\frac{1}{4})</math> : <math>\frac{1}{8}</math> : jika dikalikan dengan sin 30° maka menjadi <math>\frac{1}{16}</math> : sama dengan cos 20° cos 40° cos 80° ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} (cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{\pi}{7}-2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{2\pi}{7}cos \frac{3\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}+sin \frac{\pi}{7}-(sin \frac{4\pi}{7}+sin 0)+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{4\pi}{7})-sin \frac{4\pi}{7}+sin (\pi-\frac{2\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}-sin \frac{4\pi}{7}+sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ \frac{1}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7} \\ \frac{2sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} (cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{4\pi}{7}+cos \frac{6\pi}{7}) \\ \frac{2sin \frac{\pi}{7}cos \frac{2\pi}{7}+2sin \frac{\pi}{7}cos \frac{4\pi}{7}+2sin \frac{\pi}{7}cos \frac{6\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}-sin \frac{\pi}{7}+sin \frac{5\pi}{7}-sin \frac{3\pi}{7}+sin \pi-sin \frac{5\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{8}</math>! ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin (\pi-\frac{3\pi}{7})}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{3\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi-\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ cos \frac{\pi}{7} &= \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \\ cos \frac{2\pi}{7} &= \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ cos \frac{3\pi}{7} &= \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{6\pi}{7}}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin (\pi-\frac{3\pi}{7})}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin (\pi-\frac{\pi}{7})}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{3\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{3\pi}{7}} \\ \frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> sama dengan <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} cos \frac{5\pi}{7}</math> ; Buktikan bahwa <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7}=-\frac{1}{8}</math>! ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{\pi}{7}}{sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{4sin \frac{\pi}{7}} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{8sin \frac{\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> ; cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ cos \frac{\pi}{7} &= \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \\ cos \frac{2\pi}{7} &= \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \\ cos \frac{4\pi}{7} &= \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{2sin \frac{4\pi}{7}} \\ cos \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{7} cos \frac{4\pi}{7} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{8\pi}{7}}{2sin \frac{4\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{sin (\pi+\frac{\pi}{7})}{2sin \frac{4\pi}{7}} \\ \frac{sin \frac{2\pi}{7}}{2sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{sin \frac{4\pi}{7}}{2sin \frac{2\pi}{7}} \cdot \frac{-sin \frac{\pi}{7}}{2sin \frac{4\pi}{7}} \\ -\frac{1}{8} \\ \end{align} </math> </div></div> sama dengan <math>cos \frac{\pi}{7} cos \frac{3\pi}{7} cos \frac{5\pi}{7}</math> ; Buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C dimana A, B dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga! : tan A + tan B + tan C : tan (A + B) (1 - tan A tan B) + tan C : tan (180° - C) (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C (1 - tan A tan B) + tan C : - tan C + tan A tan B tan C + tan C : tan A tan B tan C [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] okomngx4ofegy0301w58wemxq4wugh2 0 23135 108394 107684 2025-07-08T08:37:23Z Akuindo 8654 108394 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)}| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 f(x)}</math> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] fyalekzy2tydktd4ctbxwu9oo15kcn3 108395 108394 2025-07-08T08:37:53Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108395 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)}| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] eg1wh9jggmyulry88ql3hjuph3r7o0c 108396 108395 2025-07-08T08:38:19Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108396 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] n2lnwku2toh18irntwk1mf4n4i8zd74 108397 108396 2025-07-08T08:49:11Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108397 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x = -3 &\text{ atau } x = 2 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 7xyekrz42de0y3b0401vvh9nwzrpysb 108398 108397 2025-07-08T08:54:11Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108398 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x = -3 &\text{ atau } x = 2 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomotlr satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] ng390sdtonze3qkb7tx2bdc25tlakkd 108399 108398 2025-07-08T08:56:03Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108399 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x = -3 &\text{ atau } x = 2 \\ \text{jadi } x \le -3 \text{ atau } x \ge 2 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] abf7jscfgs2wgng4pg35ysn3adx1imc 108400 108399 2025-07-08T09:04:29Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108400 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x = -3 &\text{ atau } x = 2 \\ \text{jadi } x \le -3 \text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x \ge 0 \\ x \le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x \ge \sqrt{6-x} \\ x \ge 0 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || ——- || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 14qu5rmbvb7xf6smbyg239nezskwq2y 108401 108400 2025-07-08T09:07:53Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108401 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x = -3 &\text{ atau } x = 2 \\ \text{jadi } x \le -3 \text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x \ge 0 \\ x \le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x \ge \sqrt{6-x} \\ x \ge 0 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || ||+++ || || ++++++ || || +++ || || +++ |- | |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] g7db7khv2tqcy109fdcf58zspjtiue2 108402 108401 2025-07-08T09:10:56Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108402 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x = -3 &\text{ atau } x = 2 \\ \text{jadi } x \le -3 \text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x \ge 0 \\ x \le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x \ge \sqrt{6-x} \\ x \ge 0 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || ||+++ || || +++ || || +++ || || +++ |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] q7tzngteqz4vc9xqag5sgh0dv2syyd7 108403 108402 2025-07-08T09:13:17Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108403 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x = -3 &\text{ atau } x = 2 \\ \text{jadi } x \le -3 \text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x \ge 0 \\ x \le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x \ge \sqrt{6-x} \\ x \ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || ||+++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] j0qnv1vmytiw65potrjz4w9pb8lwltr 108404 108403 2025-07-08T09:54:39Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108404 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x = -3 &\text{ atau } x = 2 \\ \text{jadi } x \le -3 \text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x \ge 0 \\ x \le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x \ge \sqrt{6-x} \\ x \ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || ||+++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x-10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x = -3 &\text{ atau } x = 2 \\ \text{jadi } x \le -3 \text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x \ge 0 \\ x \le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x \ge \sqrt{6-x} \\ x \ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || ||+++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] prcsmt65j2a04s5iwv97lyjj53c3jdh 108405 108404 2025-07-08T10:12:11Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108405 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x = -3 &\text{ atau } x = 2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || ||+++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ x(x-5) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! 0 !! !! 5 !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} * total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || ||+++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] mkpd5mey4odh8206u34jg3vrsgla3k9 108406 108405 2025-07-08T10:14:31Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108406 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x = -3 &\text{ atau } x = 2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || ||+++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ x(x-5) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! 0 !! !! 5 !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] ptgij0wo57b5oi4jagk2heyztxp41co 108407 108406 2025-07-08T10:16:10Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108407 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x = -3 &\text{ atau } x = 2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || ||+++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ x(x-5) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! 0 !! !! 5 !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] jm3qk7osx53bphichlsj54ajquar8lj 108408 108407 2025-07-08T11:31:18Z Akuindo 8654 108408 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &=0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ x^2-6 &\ge 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &\ge 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ x(x-2) &\ge 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || ||+++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! 0 !! !! 5 !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] hg859b9u7ua066odu5pyb3baxfom4y5 108409 108408 2025-07-08T11:32:59Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108409 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &=0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ x^2-6 &\ge 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &\ge 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ x(x-1) &\ge 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || ||+++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! 0 !! !! 5 !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] slr4f981dpu5yiskvlza9qzaqxjldd6 108410 108409 2025-07-08T11:37:25Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108410 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &\ge 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || ||+++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! 0 !! !! 5 !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 9fn7fe96aaqqy1a99pnzwi5r0im2za7 108411 108410 2025-07-08T11:40:45Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108411 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -4 &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || ||+++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! 0 !! !! 5 !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 7minysv13gygy4g30citea8wkkum8dd 108412 108411 2025-07-08T11:46:18Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108412 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -4 &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -4 &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || ||+++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! 0 !! !! 5 !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] cd565mqt5xtaaa0vpukq7pbch5d5aiy 108413 108412 2025-07-08T11:50:03Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108413 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -4 &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -4 &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || ||+++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! 0 !! !! 5 !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] os4wu7frrm4fex13stb906ogwtvu47t 108414 108413 2025-07-08T11:52:59Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108414 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x=\frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{jadi } x \le \frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x \ge \frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -4 &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> * total irisan terdapat 4 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || ||+++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan terdapat 3 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || ||+++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! 0 !! !! 5 !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] g9m9mffxr4ptwfdcx2nhul0j9smotae 108415 108414 2025-07-08T11:55:52Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108415 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ; Mutlak rumus: <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < 0. \end{cases} </math> *|f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b *|f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) *|f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x) ; sifat # |a b| = |a| |b| # |a/b| = |a|/|b|, b≠0 # |x| < b -> <nowiki>-b<x<b</nowiki> # |x| ≤ b -> <nowiki>-b≤x≤b</nowiki> # |x| > b -> x<-b atau x>b # |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b # |f(x)| < b -> <nowiki>-b<f(x)<b</nowiki> # |f(x)| ≤ b -> <nowiki>-b≤f(x)≤b</nowiki> # |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b # |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b # |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))² # |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))² contoh selesaikan persamaan multak sebagai berikut: * |x²+6x| = |7x+20| * 3|x-4|+5|7-x| = 31 * |3x-4|x-1|| = 2 * |3x-1|²-7|3x-1| = 8 * |x-5|²+|x-4| = 7 * x²+3|x| = 4 * x|x-6| = 8 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * |x^2+6x| &= |7x+20| \\ |x^2+6x| &= |7x+20| \\ (x^2+6x)^2 &= (7x+20)^2 \\ (x^2+6x)^2 - (7x+20)^2 &= 0 \\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20)) &= 0 \\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20) &= 0 \\ \text{untuk } x^2+13x+20 &= 0 \\ x^2+13x+20 &= 0 \\ x &= \frac{-13 \pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{169-80}}{2} \\ &= \frac{-13 \pm \sqrt{89}}{2} \\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2} &\text{ atau } x_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2} \\ \text{untuk } x^2-x-20 &= 0 \\ x^2-x-20 &= 0 \\ (x-5)(x+4) &=0 \\ x_3=5 &\text{ atau } x_4=-4 \\ * 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{untuk } |7-x| \text{ sebagai berikut: } \\ 7-x \text{ jika } 7-x &\ge 0 \\ x &\le 7 \\ -(7-x) \text{ jika } 7-x &< 0 \\ x &> 7 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(-x+4)+5(7-x) &= 31 \\ -3x+12+35-5x &= 31 \\ -8x &= -16 \\ x &= 2 \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(7-x) &= 31 \\ 3x-12+35-5x &= 31 \\ -2x &= 8 \\ x &= -4 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ 3|x-4|+5|7-x| &= 31 \\ 3(x-4)+5(-7+x) &= 31 \\ 3x-12-35+5x &= 31 \\ 8x &= 78 \\ x &= \frac{78}{8} \\ x &= \frac{39}{4} \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ |3x-1|^2-7|3x-1| &= 8 \\ \text{misalkan } |3x-1| &= p \\ p^2-7p &= 8 \\ p^2-7p-8 &= 0 \\ (p-8)(p+1) &= 0 \\ p=8 &\text{ atau } p=-1 \\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi } p = 8 \text { memenuhi syarat } \\ 3x-1 &= 8 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ * |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ \text{untuk } |x-5| \text{ sebagai berikut: } \\ x-5 \text{ jika } x-5 &\ge 0 \\ x &\ge 5 \\ -(x-5) \text{ jika } x-5 &< 0 \\ x &< 5 \\ \text{untuk } |x-4| \text{ sebagai berikut: } \\ x-4 \text{ jika } x-4 &\ge 0 \\ x &\ge 4 \\ -(x-4) \text{ jika } x-4 &< 0 \\ x &< 4 \\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)} \\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(-x+4) &= 7 \\ (-x+5)^2-x+4-7 &= 0 \\ x^2-10x+25-x+4-7 &= 0 \\ x^2-11x+22 &= 0 \\ x &= \frac{-(-11) \pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)} \\ &= \frac{11 \pm \sqrt{33}}{2} \\ x_1= \frac{11+\sqrt{33}}{2} &\text{ (TM) atau } x_2= \frac{11-\sqrt{33}}{2} \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (-x+5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_3=2 &\text{ (TM) atau } x_4=7 \text{ (TM) } \\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)} \\ |x-5|^2+|x-4| &= 7 \\ (x-5)^2+(x-4) &= 7 \\ x^2-10x+25+x-4-7 &= 0 \\ x^2-9x+14 &= 0 \\ (x-2)(x-7) &= 0 \\ x_5=2 &\text{ (TM) atau } x_6=7 \\ * |3x-4|x-1|| &= 2 \\ |3x-4|x-1|| &= 2 \\ (3x-4|x-1|)^2 &= 2^2 \\ (3x-4|x-1|)^2-2^2 &= 0 \\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|-2 &= 0 \\ -4|x-1| &= 2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x) &= 0 \\ x_1=2 &\text{ atau } x_2=\frac{6}{7} \\ \text{untuk } 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ 3x-4|x-1|+2 &= 0 \\ -4|x-1| &= -2-3x \\ (-4(x-1))^2 &= (-2-3x)^2 \\ (-4(x-1))^2-(-2-3x)^2 &= 0 \\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x)) &= 0 \\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x) &= 0 \\ x_3=6 &\text{ atau } x_4=\frac{2}{7} \\ * x^2+3|x| &= 4 \\ x^2+3|x| &= 4 \\ \text{karena hasil } x^2 \text{ bernilai positif maka } x^2 \text{ dapat diganti } |x|^2 \\ |x|^2+3|x| &= 4 \\ |x|^2+3|x|-4 &= 0 \\ (|x|+4)(|x|-1) &= 0 \\ |x|=-4 &\text{ atau } |x|=1 \\ \text{karena hasil } |x| \text{ dalam harga multak selalu positif jadi } |x| = 1 \text{ memenuhi syarat } \\ |x| &= 1 \\ x^2 &= 1^2 \\ x^2-1^2 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0 \\ x_1 = 1 &\text{ atau } x_2 = -1 \\ \text{atau } \\ x^2+3|x| &= 4 \\ 3|x| &= 4-x^2 \\ (3x)^2 &= (4-x^2)^2 \\ (3x)^2-(4-x^2)^2 &= 0 \\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2)) &= 0 \\ \text{untuk } 3x-(4-x^2) &= 0 \\ 3x-(4-x^2) &= 0 \\ x^2+3x-4 &= 0 \\ (x+4)(x-1) &= 0 \\ x_1=-4 &\text{ (TM) atau } x_2=1 \\ \text{untuk } 3x+(4-x^2) &= 0 \\ 3x+(4-x^2) &= 0 \\ -x^2+3x+4 &= 0 \\ x^2-3x-4 &= 0 \\ (x-4)(x+1) &= 0 \\ x_3=4 &\text{ (TM) atau } x_4=-1 \\ * x|x-6| &= 8 \\ x|x-6| &= 8 \\ |x-6| &= \frac{8}{x} \\ (x-6)^2 &= (\frac{8}{x})^2 \\ (x-6)^2-(\frac{8}{x})^2 &= 0 \\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x}) &= 0 \\ \text{untuk } x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6+\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x+8 &= 0 \\ (x-4)(x-2) &= 0 \\ x_1=4 &\text{ atau } x_2=2 \\ \text{untuk } x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x-6-\frac{8}{x} &= 0 \\ x^2-6x-8 &= 0 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} \\ &= 3 \pm \sqrt{17} \\ x_3= 3+\sqrt{17} &\text{ atau } x_4=3-\sqrt{17} \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> daerah arsiran untuk nomor 2 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 7 !! |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |- | 7-x || || 7-x || || -7+x |} yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4} daerah arsiran untuk nomor 5 {| class="wikitable" |+ Daerah Arsiran |- ! !! 4 !! !! 5 !! |- | -x+5 || || -x+5 || || x-5 |- | -x+4 || || x-4 || || x-4 |} yang memenuhi adalah HP = {7} </div></div> ; Akar rumus: <math>y = \sqrt{f(x)}; f(x) \ge 0</math> contoh selesaikan persamaan akar sebagai berikut: * <math>\sqrt{x^2+5} = 7-2x</math> * <math>\sqrt{x^2+7}+2x = 10</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \sqrt{x^2+5} &= 7-2x \\ x^2+5 &= (7-2x)^2 \\ x^2+5 &= 4x^2-28x+49 \\ 3x^2-28x+44 &= 0 \\ (3x-22)(x-2) &= 0 \\ x = \frac{22}{3} &\text{ (TM) atau } x = 2 \\ * \sqrt{x^2+7}+2x &= 10 \\ \sqrt{x^2+7} &= 10-2x \\ x^2+7 &= (10-2x)^2 \\ x^2+7 &= 4x^2-40x+100 \\ 3x^2-40x+93 &= 0 \\ (3x-31)(x-3) &= 0 \\ x = \frac{31}{3} &\text{ (TM) atau } x = 3 \\ \end{align} </math> </div></div> ; Pecahan rumus: <math>y = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0</math> contoh selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut: * <math>\frac{2x-5}{x+14} = \frac{x-4}{x}</math> * <math>\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5} = \frac{6}{x-11}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{2x-5}{x+14} &= \frac{x-4}{x} \\ x(2x-5) &= (x-4)(x+14) \\ 2x^2-5x &= x^2+10x-56 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x=7 &\text{ atau } x=8 \\ * \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-5} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15} &= \frac{6}{x-11} \\ \frac{x-1}{x^2-2x-15} &= \frac{3}{x-11} \\ (x-1)(x-11) &= 3(x^2-2x-15) \\ x^2-12x+11 &= 3x^2-6x-45 \\ 2x^2+6x-56 &= 0 \\ x^2+3x-28 &= 0 \\ (x-4)(x+7) &= 0 \\ x=4 &\text{ atau } x=-7 \\ \end{align} </math> </div></div> == Sistem pertidaksamaan == ; Multak rumus: <math>|f(x)| \le 0; |f(x)| \ge \sqrt{f^2 (x)}</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>|2(x^2-6)| \ge |x^2-x|</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} |2(x^2-6)| \ge |x^2-x| \\ (2(x^2-6))^2 &\ge (x^2-x)^2 \\ (2(x^2-6))^2-(x^2-x)^2 &\ge 0 \\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x)) &\ge 0 \\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x) &\ge 0 \\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12) &\ge 0 \\ \text{untuk } 3x^2-x-12 \\ 3x^2-x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 3x^2-x-12 &= 0 \\ x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(3)(-12)}}{2(3)} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6} \\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x=\frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{jadi } x \le \frac{1-\sqrt{145}}{6} &\text{ atau } x \ge \frac{1+\sqrt{145}}{6} \\ \text{untuk } x^2+x-12 \\ x^2+x-12 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-12 &= 0 \\ (x+4)(x-3) &= 0 \\ x=-4 &\text{ atau } x=3 \\ \text{jadi } x \le -4 &\text{ atau } x \ge 3 \\ \text{syarat 1 } \\ 2(x^2-6) &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ 2(x^2-6) &= 0 \\ x^2-6 &= 0 \\ (x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) &= 0 \\ x=-\sqrt{6} &\text{ atau } x=\sqrt{6} \\ \text{jadi } x \le -\sqrt{6} &\text{ atau } x \ge \sqrt{6} \\ \text{syarat 2 } \\ x^2-x &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2-x &= 0 \\ x(x-1) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=1 \\ \text{jadi } x \le 0 &\text{ atau } x \ge 1 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> * total irisan terdapat 4 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || ||+++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Akar rumus: <math>\sqrt{f(x)} \le 0; f(x) \ge 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>x-\sqrt{6-x} \ge 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-\sqrt{6-x} &\ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x^2 &\ge 6-x \\ x^2+x-6 &\ge 0 \\ \text{harga nol } \\ x^2+x-6 &=0 \\ (x+3)(x-2) &= 0 \\ x=-3 &\text{ atau } x=2 \\ \text{jadi } x \le -3 &\text{ atau } x \ge 2 \\ \text{syarat 1 } \\ 6-x &\ge 0 \\ x &\le 6 \\ \text{syarat 2 } \\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka } x \ge 0 \\ x &\ge \sqrt{6-x} \\ x &\ge 0 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } 2 \le x \le 6 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * irisan 1 {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 2 !! |- | +++ || || —— || || +++ |} * total irisan terdapat 3 irisan yaitu {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -3 !! !! 0 !! !! 2 !! !! 6 !! |- | +++ || || —— || || -—- || || +++ || || +++ |- | +++ || ||+++ || || +++ || || +++ || || |- | || || || || +++ || || +++ || || +++ |} </div></div> ; Pecahan rumus: <math>\frac{f(x)}{g(x)} \le 0; g(x) \neq 0</math> harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut: * <math>\frac{x+5}{x} \ge \frac{x+10}{x-5}</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+5}{x} &\ge \frac{x+10}{x-5} \\ \frac{x+5}{x} - \frac{x-10}{x-5} &\ge 0 \\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \frac{-25-10x}{x(x-5)} &\ge 0 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ -25-10x &= 0 \\ x &= -2,5 \\ \text{pembuat nol pembilang } \\ x(x-5) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=5 \\ \text{syarat } \\ x(x-5) &\neq 0 \\ x \neq 0 &\text{ atau } x \neq 5 \\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah } x \le -2,5 \text{ atau } 0<x<5 \\ \end{align} </math> ; daerah arsiran untuk nomor satu * hasil pembanding pecahan {| class="wikitable" |+ Teks takarir |- ! !! -2,5 !! !! (0) !! !! (5) !! |- | +/+ || || -/+ || || -/- || || -/+ |- | + || || - || || + || || - |} </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 9zscks735gosn4dt0dauekf0yazuo5f 0 23137 108384 107304 2025-07-08T02:56:49Z Akuindo 8654 /* Sistem persamaan */ 108384 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^alog \frac{c}{a}</math> contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] nv8wz8tvww0xlrbce6m70662y40w2cj 108386 108384 2025-07-08T02:59:03Z Akuindo 8654 /* Sistem persamaan */ 108386 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] gdax81a4estxpchftwbl17zyl3droqs 108391 108386 2025-07-08T08:26:09Z Akuindo 8654 108391 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] hrgscnr0j09nknkrol5ox50fgpz60oa 108392 108391 2025-07-08T08:30:46Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108392 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 71rsnxjk2whx3rndx1dmeah74u9c0if 108393 108392 2025-07-08T08:31:25Z Akuindo 8654 /* Sistem pertidaksamaan */ 108393 wikitext text/x-wiki == Sistem persamaan == ;Eksponen Rumus: # a^f(x) = a^g(x) # f(x)^a = g(x)^a # f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 1 ## f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif ## f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap # g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu ## g(x) = h(x) ## f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0 ; jumlah akar eksponen <math>x_1+x_2 = ^plog \frac{c}{a}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * 4^2x²+3x-5 = 4^-2x²+x+15 * (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷ * (x+8)^2x²+3x+7 = (x+8)^x²+10x-5 * (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 4^{2x^2+7x-5} &= 4^{-2x^2+3x+10} \\ 2x^2+7x-5 &= -2x^2+3x+10 \\ 4x^2+4x-15 &= 0 \\ (2x-3)(2x+5) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = -\frac{5}{2} \\ * (-x^2-3x+1)^7 &= (2x^2+2x-1)^7 \\ -x^2-3x+1 &= 2x^2+2x-1 \\ 3x^2+5x-2 &= 0 \\ (3x-1)(x+2) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -2 \\ * (x+8)^{2x^2+3x+7} &= (x+8)^{x^2+10x-5} \\ 2x^2+3x+7 &= x^2+10x-5 \\ x^2-7x+12 &= 0 \\ (x-3)(x-4) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = 4 \\ x+8 &= 1 \\ x &= -7 \\ x+8 &= 0 \\ x &= -8 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?} \\ 2x^2+3x+7 &= \text{pasti positif} \\ x^2+10x-5 &= \text{pasti positif} \\ x+8 &= -1 \\ x &= -9 \\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?} \\ 2x^2+3x+7 &= 2(8)^2+3(8)+7 = 159 \\ x^2+10x-5 &= (8)^2+10(8)-5 = 139 \\ \text{dapat memenuhi syarat} \\ * (3x^2+3x-20)^{2x-3} &= (2x^2+x+15)^{2x-3} \\ 3x^2+3x-20 &= 2x^2+x+15 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x-5)(x+7) &= 0 \\ x = 5 &\text{ atau } x = -7 \\ 2x-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{2} \\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol} \\ \end{align} </math> </div></div> ;Logaritma Rumus: # ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0 # ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1 # ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1 # ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1 ; hasil akar eksponen <math>x_1 \cdot x_2 = p^{-\frac{b}{a}}</math> (p adakah bilangan pokok) contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut: * ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4) * ^2x²-11x+12log 8 = ^x²-13x+47log 8 * ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6) * ^2x²-13x+53log (2x-15) = ^x²+2x-3log (2x-15) <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * ^4log(2x^2-3x) &= ^4log(x^2+2x-4) \\ 2x^2-3x &= x^2+2x-4 \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ (x-4)(x-1) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-3x &> 0 \\ x(2x-3) &> 0 \\ \text{harga nol } x(2x-3) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ x < 0 &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ x^2+2x-4 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-4 &= 0 \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &= -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &= -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &= -1 + \sqrt{5} \\ x_1 < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x < -1 - \sqrt{5} &\text{ atau } x > \frac{3}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 4 \\ * ^{2x^2-11x+12}log 8 &= ^{x^2-13x+47}log 8 \\ 2x^2-11x+12 &= x^2-13x+47 \\ x^2+2x-35 &= 0 \\ (x+7)(x-5) &= 0 \\ x = -7 &\text{ atau } x = 5 \\ \text{syarat} \\ 2x^2-11x+12 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-3)(x-4) &= 0 \\ x = \frac{3}{2} &\text{ atau } x = 4 \\ x < \frac{3}{2} &\text{ atau } x > 4 \\ 2x^2-11x+12 &\neq 1 \\ 2x^2-11x+11 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{121-88}}{4} \\ x &\neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ x_1 &\neq \frac{11 - \sqrt{43}}{4} \\ x_2 &\neq \frac{11 + \sqrt{43}}{4} \\ x^2-13x+47 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-13x+47 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-188}}{2} \\ \text{definit positif} \\ x^2-13x+47 &\neq 1 \\ x^2-13x+46 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-184}}{2} \\ \text{definit positif} \\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi} \\ x < \frac{3}{2}, x > 4 &\text{ atau } x \neq \frac{11 \pm \sqrt{43}}{4} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {-7, 5} \\ * ^{4x-1}log(5x^2-12x+9) &= ^{4x-1}log(x^2-5x+6) \\ 5x^2-12x+9 &= x^2-5x+6 \\ 4x^2-7x+3 &= 0 \\ (4x-3)(x-1) &= 0 \\ x = \frac{3}{4} &\text{ atau } x = 1 \\ \text{syarat} \\ 5x^2-12x+9 &> 0 \\ \text{harga nol } 5x^2-12x+9 &= 0 \\ x &= \frac{12 \pm \sqrt{144-180}}{10} \\ \text{definit positif} \\ x^2-5x+6 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2-5x+6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 &\text{ atau } x = 3 \\ x < 2 &\text{ atau } x > 3 \\ 4x-1 &> 0 \\ x &> \frac{1}{4} \\ 4x-1 &\neq 1 \\ 4x &\neq 2 \\ x &\neq \frac{1}{2} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ \frac{1}{4} &< x < 2, x > 3 \text{ atau } x \neq \frac{1}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= {\frac{3}{4}, 1} \\ * ^{2x^2-13x+53}log(2x-15) &= ^{x^2+2x-3}log(2x-15) \\ 2x^2-13x+53 &= x^2+2x-3 \\ x^2-15x+56 &= 0 \\ (x-7)(x-8) &= 0 \\ x = 7 &\text{ atau } x = 8 \\ \text{syarat} \\ 2x-15 &> 0 \\ x &> \frac{15}{2} \\ 2x^2-13x+53 &> 0 \\ \text{harga nol } 2x^2-13x+53 &= 0 \\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169-424}}{4} \\ \text{definit positif} \\ 2x^2-13x+53 &\neq 1 \\ 2x^2-13x+52 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{13 \pm \sqrt{169-416}}{4} \\ \text{definit positif} \\ x^2+2x-3 &> 0 \\ \text{harga nol } x^2+2x-3 &= 0 \\ (x-1)(x+3) &= 0 \\ x = 1 &\text{ atau } x = -3 \\ x < -3 &\text{ atau } x > 1 \\ x^2+2x-3 &\neq 1 \\ x^2+2x-4 &\neq 0 \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x &\neq \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ x &\neq -1 \pm \sqrt{5} \\ x_1 &\neq -1 - \sqrt{5} \\ x_2 &\neq -1 + \sqrt{5} \\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi} \\ x &> \frac{15}{2} \\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah } x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> catatan: * jawaban 1 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 0 !! !! 3/2 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik irisan arsiran 1 dan 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! 0 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 3/2 !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || ——— || || +++ |- | +++ || || ——- || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 2 ** grafik arsiran 1 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 3/2 !! !! 4 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>\frac{11-\sqrt{43}}{4}</math> !! !! 3/2 !! !! 4 !! !! <math>\frac{11+\sqrt{43}}{4}</math> !! |- | +++ || || +++ || || ——- || || +++ || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 2 {| class="wikitable" |+ |- ! !! 2 !! !! 3 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! 1/4 !! !! 1/2 !! !! 2 !! !! 3 !! |- | ——- || || +++ || || +++ || || ——— || || +++ |} * jawaban 3 ** grafik arsiran 3 {| class="wikitable" |+ |- ! !! -3 !! !! 1 !! |- | +++ || || ——- || || +++ |} ** grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol {| class="wikitable" |+ |- ! !! <math>-1 - \sqrt{5}</math> !! !! -3 !! !! 1 !! !! <math>-1 + \sqrt{5}</math> !! !! 15/2 !! |- | ——- || || ---- || || ---- || || ——— || || ----- || || +++ |} == Sistem pertidaksamaan == ;Eksponen Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan eksponen |- ! Teks judul !! a^f(x)≤a^g(x) !! a^f(x)>a^g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} ;Logaritma Rumus: {| class="wikitable" |+ Pertidaksamaan logaritma |- ! Teks judul !! ^alog f(x)≤^alog g(x) !! ^alog f(x)>^alog g(x) |- | a>1 || f(x)≤g(x) || f(x)>g(x) |- | 0<a<1 || f(x)≥g(x) || f(x)<g(x) |} [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] thjgb5bb1spmsskwxbgk3ajk9mpngsa 0 25910 108367 2025-07-07T21:40:20Z Astari28 36197 ←Membuat halaman berisi 'Dalam rangka mendorong lahirnya karya pembelajaran terbuka yang inklusif dan dapat diakses oleh siapa saja, Komunitas Wikimedia Jawa Timur berkolaborasi dengan komunitas lokal menyelenggarakan WikiLatih Wikibuku di enam kota di Indonesia. Kegiatan ini merupakan bagian dari program ''Bhumika Wiki: Wikibuku'', yang bertujuan membangun ekosistem penulis dan kontributor konten terbuka di Indonesia. Dengan mengusung tema ''“Berbagi Pengetahuan dan Tulisan melalui W...' 108367 wikitext text/x-wiki Dalam rangka mendorong lahirnya karya pembelajaran terbuka yang inklusif dan dapat diakses oleh siapa saja, Komunitas Wikimedia Jawa Timur berkolaborasi dengan komunitas lokal menyelenggarakan WikiLatih Wikibuku di enam kota di Indonesia. Kegiatan ini merupakan bagian dari program ''Bhumika Wiki: Wikibuku'', yang bertujuan membangun ekosistem penulis dan kontributor konten terbuka di Indonesia. Dengan mengusung tema ''“Berbagi Pengetahuan dan Tulisan melalui Wikibuku”'', peserta akan belajar menulis, menyunting, dan menerbitkan karya mereka langsung melalui Wikibuku dalam bahasa Indonesia. Mereka juga akan dikenalkan dengan dasar-dasar mengunggah media berlisensi terbuka melalui Wikimedia Commons. Fokus kegiatan adalah penulisan kolaboratif karya fiksi dan nonfiksi bertema budaya serta kekayaan lokal dari berbagai wilayah. Tema yang dapat diangkat antara lain: lw8k4qilsxg14p50qz72m2mfz48lqi1 108368 108367 2025-07-07T21:43:04Z Astari28 36197 108368 wikitext text/x-wiki Dalam rangka mendorong lahirnya karya pembelajaran terbuka yang inklusif dan dapat diakses oleh siapa saja, Komunitas Wikimedia Jawa Timur berkolaborasi dengan komunitas lokal menyelenggarakan WikiLatih Wikibuku di enam kota di Indonesia. Kegiatan ini merupakan bagian dari program ''Bhumika Wiki: Wikibuku'', yang bertujuan membangun ekosistem penulis dan kontributor konten terbuka di Indonesia. Dengan mengusung tema ''“Berbagi Pengetahuan dan Tulisan melalui Wikibuku”'', peserta akan belajar menulis, menyunting, dan menerbitkan karya mereka langsung melalui Wikibuku dalam bahasa Indonesia. Mereka juga akan dikenalkan dengan dasar-dasar mengunggah media berlisensi terbuka melalui Wikimedia Commons. Fokus kegiatan adalah penulisan kolaboratif karya fiksi dan nonfiksi bertema budaya serta kekayaan lokal dari berbagai wilayah. Tema yang dapat diangkat antara lain: '''Kategori Fiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri)'' '''Kategori Nonfiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri dan 1 sumber referensi)'' '''Tujuan Kegiatan:''' # Mengenalkan WikiBuku dan Wikimedia Commons sebagai media berbagi pengetahuan terbuka. # Mendampingi peserta dalam menyunting dan menerbitkan karya mereka ke WikiBuku. # Membangun jejaring kontributor WikiBuku lintas daerah untuk memperkuat sumber belajar terbuka di Indonesia. alenvndmxwrb7stk6a079b1zxotnhrq 108369 108368 2025-07-07T21:47:09Z Astari28 36197 108369 wikitext text/x-wiki Dalam rangka mendorong lahirnya karya pembelajaran terbuka yang inklusif dan dapat diakses oleh siapa saja, Komunitas Wikimedia Jawa Timur berkolaborasi dengan komunitas lokal menyelenggarakan WikiLatih Wikibuku di enam kota di Indonesia. Kegiatan ini merupakan bagian dari program ''Bhumika Wiki: Wikibuku'', yang bertujuan membangun ekosistem penulis dan kontributor konten terbuka di Indonesia. Dengan mengusung tema ''“Berbagi Pengetahuan dan Tulisan melalui Wikibuku”'', peserta akan belajar menulis, menyunting, dan menerbitkan karya mereka langsung melalui Wikibuku dalam bahasa Indonesia. Mereka juga akan dikenalkan dengan dasar-dasar mengunggah media berlisensi terbuka melalui Wikimedia Commons. Fokus kegiatan adalah penulisan kolaboratif karya fiksi dan nonfiksi bertema budaya serta kekayaan lokal dari berbagai wilayah. Tema yang dapat diangkat antara lain: '''Kategori Fiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri)'' '''Kategori Nonfiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri dan 1 sumber referensi)'' '''Tujuan Kegiatan:''' # Mengenalkan WikiBuku dan Wikimedia Commons sebagai media berbagi pengetahuan terbuka. # Mendampingi peserta dalam menyunting dan menerbitkan karya mereka ke WikiBuku. # Membangun jejaring kontributor WikiBuku lintas daerah untuk memperkuat sumber belajar terbuka di Indonesia. '''Alur Kegiatan:''' Pra-workshop (Online): * Peserta dikumpulkan dalam sesi daring untuk pengenalan awal WikiBuku dan Wikimedia Commons. * Diskusi ide awal penulisan serta perencanaan konten dan ilustrasi. Sesi Tatap Muka (Offline): * Pelatihan teknis penulisan dan penyuntingan di WikiBuku. * Penggunaan template WikiBuku dan aktivitas, serta praktik unggah ilustrasi ke Commons. * Penulisan kolaboratif fiksi dan non-fiksi sesuai tema yang tersedia. Pasca-Pelatihan: * Peserta dimasukkan ke dalam grup komunikasi (WhatsApp) untuk saling berdiskusi, berbagi pengalaman, serta mengenal lebih lanjut kegiatan penyuntingan proyek-proyek Wikimedia lainnya yang dilakukan komunitas. * Diharapkan dari sinilah terbentuk komunitas kontributor yang aktif dan berkelanjutan. lyudrw8c59x0jdv1ibcnis62ucziq45 108370 108369 2025-07-07T21:48:47Z Astari28 36197 108370 wikitext text/x-wiki Dalam rangka mendorong lahirnya karya pembelajaran terbuka yang inklusif dan dapat diakses oleh siapa saja, Komunitas Wikimedia Jawa Timur berkolaborasi dengan komunitas lokal menyelenggarakan WikiLatih Wikibuku di enam kota di Indonesia. Kegiatan ini merupakan bagian dari program ''Bhumika Wiki: Wikibuku'', yang bertujuan membangun ekosistem penulis dan kontributor konten terbuka di Indonesia. Dengan mengusung tema ''“Berbagi Pengetahuan dan Tulisan melalui Wikibuku”'', peserta akan belajar menulis, menyunting, dan menerbitkan karya mereka langsung melalui Wikibuku dalam bahasa Indonesia. Mereka juga akan dikenalkan dengan dasar-dasar mengunggah media berlisensi terbuka melalui Wikimedia Commons. Fokus kegiatan adalah penulisan kolaboratif karya fiksi dan nonfiksi bertema budaya serta kekayaan lokal dari berbagai wilayah. Tema yang dapat diangkat antara lain: '''Kategori Fiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri)'' '''Kategori Nonfiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri dan 1 sumber referensi)'' == '''Tujuan Kegiatan:''' == # Mengenalkan WikiBuku dan Wikimedia Commons sebagai media berbagi pengetahuan terbuka. # Mendampingi peserta dalam menyunting dan menerbitkan karya mereka ke WikiBuku. # Membangun jejaring kontributor WikiBuku lintas daerah untuk memperkuat sumber belajar terbuka di Indonesia. == '''Jadwal dan Lokasi Kegiatan''' == kegiatan ini == '''Alur Kegiatan:''' == Pra-workshop (Online): * Peserta dikumpulkan dalam sesi daring untuk pengenalan awal WikiBuku dan Wikimedia Commons. * Diskusi ide awal penulisan serta perencanaan konten dan ilustrasi. Sesi Tatap Muka (Offline): * Pelatihan teknis penulisan dan penyuntingan di WikiBuku. * Penggunaan template WikiBuku dan aktivitas, serta praktik unggah ilustrasi ke Commons. * Penulisan kolaboratif fiksi dan non-fiksi sesuai tema yang tersedia. Pasca-Pelatihan: * Peserta dimasukkan ke dalam grup komunikasi (WhatsApp) untuk saling berdiskusi, berbagi pengalaman, serta mengenal lebih lanjut kegiatan penyuntingan proyek-proyek Wikimedia lainnya yang dilakukan komunitas. * Diharapkan dari sinilah terbentuk komunitas kontributor yang aktif dan berkelanjutan. dreh2pyoyzs566fa9b2dt9yenur8vex 108371 108370 2025-07-07T21:49:36Z Astari28 36197 108371 wikitext text/x-wiki Dalam rangka mendorong lahirnya karya pembelajaran terbuka yang inklusif dan dapat diakses oleh siapa saja, Komunitas Wikimedia Jawa Timur berkolaborasi dengan komunitas lokal menyelenggarakan WikiLatih Wikibuku di enam kota di Indonesia. Kegiatan ini merupakan bagian dari program ''Bhumika Wiki: Wikibuku'', yang bertujuan membangun ekosistem penulis dan kontributor konten terbuka di Indonesia. Dengan mengusung tema ''“Berbagi Pengetahuan dan Tulisan melalui Wikibuku”'', peserta akan belajar menulis, menyunting, dan menerbitkan karya mereka langsung melalui Wikibuku dalam bahasa Indonesia. Mereka juga akan dikenalkan dengan dasar-dasar mengunggah media berlisensi terbuka melalui Wikimedia Commons. Fokus kegiatan adalah penulisan kolaboratif karya fiksi dan nonfiksi bertema budaya serta kekayaan lokal dari berbagai wilayah. Tema yang dapat diangkat antara lain: '''Kategori Fiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri)'' '''Kategori Nonfiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri dan 1 sumber referensi)'' == '''Tujuan Kegiatan:''' == # Mengenalkan WikiBuku dan Wikimedia Commons sebagai media berbagi pengetahuan terbuka. # Mendampingi peserta dalam menyunting dan menerbitkan karya mereka ke WikiBuku. # Membangun jejaring kontributor WikiBuku lintas daerah untuk memperkuat sumber belajar terbuka di Indonesia. == '''Jadwal dan Lokasi Kegiatan''' == kegiatan ini == '''Alur Kegiatan:''' == Pra-workshop (Online): * Peserta dikumpulkan dalam sesi daring untuk pengenalan awal WikiBuku dan Wikimedia Commons. * Diskusi ide awal penulisan serta perencanaan konten dan ilustrasi. Sesi Tatap Muka (Offline): * Pelatihan teknis penulisan dan penyuntingan di WikiBuku. * Penggunaan template WikiBuku dan aktivitas, serta praktik unggah ilustrasi ke Commons. * Penulisan kolaboratif fiksi dan non-fiksi sesuai tema yang tersedia. Pasca-Pelatihan: * Peserta dimasukkan ke dalam grup komunikasi (WhatsApp) untuk saling berdiskusi, berbagi pengalaman, serta mengenal lebih lanjut kegiatan penyuntingan proyek-proyek Wikimedia lainnya yang dilakukan komunitas. * Diharapkan dari sinilah terbentuk komunitas kontributor yang aktif dan berkelanjutan. 9ja1lh1vcr08rq9fy3s8m6m31aj7zg6 108372 108371 2025-07-07T21:51:17Z Astari28 36197 108372 wikitext text/x-wiki Dalam rangka mendorong lahirnya karya pembelajaran terbuka yang inklusif dan dapat diakses oleh siapa saja, Komunitas Wikimedia Jawa Timur berkolaborasi dengan komunitas lokal menyelenggarakan WikiLatih Wikibuku di enam kota di Indonesia. Kegiatan ini merupakan bagian dari program ''Bhumika Wiki: Wikibuku'', yang bertujuan membangun ekosistem penulis dan kontributor konten terbuka di Indonesia. Dengan mengusung tema ''“Berbagi Pengetahuan dan Tulisan melalui Wikibuku”'', peserta akan belajar menulis, menyunting, dan menerbitkan karya mereka langsung melalui Wikibuku dalam bahasa Indonesia. Mereka juga akan dikenalkan dengan dasar-dasar mengunggah media berlisensi terbuka melalui Wikimedia Commons. Fokus kegiatan adalah penulisan kolaboratif karya fiksi dan nonfiksi bertema budaya serta kekayaan lokal dari berbagai wilayah. Tema yang dapat diangkat antara lain: '''Kategori Fiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri)'' '''Kategori Nonfiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri dan 1 sumber referensi)'' == '''Tujuan Kegiatan:''' == # Mengenalkan WikiBuku dan Wikimedia Commons sebagai media berbagi pengetahuan terbuka. # Mendampingi peserta dalam menyunting dan menerbitkan karya mereka ke WikiBuku. # Membangun jejaring kontributor WikiBuku lintas daerah untuk memperkuat sumber belajar terbuka di Indonesia. == '''Jadwal dan Lokasi Kegiatan''' == kegiatan ini == '''Alur Kegiatan:''' == Pra-workshop (Online): * Peserta dikumpulkan dalam sesi daring untuk pengenalan awal WikiBuku dan Wikimedia Commons. * Diskusi ide awal penulisan serta perencanaan konten dan ilustrasi. Sesi Tatap Muka (Offline): * Pelatihan teknis penulisan dan penyuntingan di WikiBuku. * Penggunaan template WikiBuku dan aktivitas, serta praktik unggah ilustrasi ke Commons. * Penulisan kolaboratif fiksi dan non-fiksi sesuai tema yang tersedia. Pasca-Pelatihan: * Peserta dimasukkan ke dalam grup komunikasi (WhatsApp) untuk saling berdiskusi, berbagi pengalaman, serta mengenal lebih lanjut kegiatan penyuntingan proyek-proyek Wikimedia lainnya yang dilakukan komunitas. * Diharapkan dari sinilah terbentuk komunitas kontributor yang aktif dan berkelanjutan. [[Kategori:WikiLatih WikiBuku: Berbagi Pengetahuan dan Tulisan]] o5bpfq59fl33akctdz9hwfdjw82n4qd 108373 108372 2025-07-07T21:55:22Z Astari28 36197 108373 wikitext text/x-wiki Dalam rangka mendorong lahirnya karya pembelajaran terbuka yang inklusif dan dapat diakses oleh siapa saja, Komunitas Wikimedia Jawa Timur berkolaborasi dengan komunitas lokal menyelenggarakan WikiLatih Wikibuku di enam kota di Indonesia. Kegiatan ini merupakan bagian dari program ''Bhumika Wiki: Wikibuku'', yang bertujuan membangun ekosistem penulis dan kontributor konten terbuka di Indonesia. Dengan mengusung tema ''“Berbagi Pengetahuan dan Tulisan melalui Wikibuku”'', peserta akan belajar menulis, menyunting, dan menerbitkan karya mereka langsung melalui Wikibuku dalam bahasa Indonesia. Mereka juga akan dikenalkan dengan dasar-dasar mengunggah media berlisensi terbuka melalui Wikimedia Commons. Fokus kegiatan adalah penulisan kolaboratif karya fiksi dan nonfiksi bertema budaya serta kekayaan lokal dari berbagai wilayah. Tema yang dapat diangkat antara lain: '''Kategori Fiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri)'' # Legenda atau Mitos Lokal: Cerita rakyat atau kepercayaan masyarakat di suatu daerah. # Cerita Dongeng Anak Bernuansa Budaya Lokal: Cerita imajinatif yang memperkenalkan kearifan lokal. # Fantasi Lokal: Cerita khayalan yang terinspirasi dari alam, pusaka, atau kepercayaan tradisional. # Fabel Daerah: Kisah hewan yang menyampaikan pesan moral dalam konteks budaya lokal. # Drama Budaya: Naskah drama pendek berlatar kehidupan atau tradisi masyarakat. # Cerpen Remaja Daerah: Cerita tentang kehidupan remaja yang dibingkai dalam budaya lokal. # Puisi Naratif atau Balada Rakyat: Puisi panjang yang mengangkat tokoh, legenda, atau peristiwa bersejarah dari suatu daerah. Dapat berupa balada perjuangan tokoh lokal, kisah cinta dalam tradisi, hingga monolog tokoh berlatar sejarah atau mitos. '''Kategori Nonfiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri dan 1 sumber referensi)'' == '''Tujuan Kegiatan:''' == # Mengenalkan WikiBuku dan Wikimedia Commons sebagai media berbagi pengetahuan terbuka. # Mendampingi peserta dalam menyunting dan menerbitkan karya mereka ke WikiBuku. # Membangun jejaring kontributor WikiBuku lintas daerah untuk memperkuat sumber belajar terbuka di Indonesia. == '''Jadwal dan Lokasi Kegiatan''' == kegiatan ini == '''Alur Kegiatan:''' == Pra-workshop (Online): * Peserta dikumpulkan dalam sesi daring untuk pengenalan awal WikiBuku dan Wikimedia Commons. * Diskusi ide awal penulisan serta perencanaan konten dan ilustrasi. Sesi Tatap Muka (Offline): * Pelatihan teknis penulisan dan penyuntingan di WikiBuku. * Penggunaan template WikiBuku dan aktivitas, serta praktik unggah ilustrasi ke Commons. * Penulisan kolaboratif fiksi dan non-fiksi sesuai tema yang tersedia. Pasca-Pelatihan: * Peserta dimasukkan ke dalam grup komunikasi (WhatsApp) untuk saling berdiskusi, berbagi pengalaman, serta mengenal lebih lanjut kegiatan penyuntingan proyek-proyek Wikimedia lainnya yang dilakukan komunitas. * Diharapkan dari sinilah terbentuk komunitas kontributor yang aktif dan berkelanjutan. [[Kategori:WikiLatih WikiBuku: Berbagi Pengetahuan dan Tulisan]] lszdh5upufolnqz4upp2nkiv0q7ma20 108374 108373 2025-07-07T21:58:22Z Astari28 36197 108374 wikitext text/x-wiki Dalam rangka mendorong lahirnya karya pembelajaran terbuka yang inklusif dan dapat diakses oleh siapa saja, Komunitas Wikimedia Jawa Timur berkolaborasi dengan komunitas lokal menyelenggarakan WikiLatih Wikibuku di enam kota di Indonesia. Kegiatan ini merupakan bagian dari program ''Bhumika Wiki: Wikibuku'', yang bertujuan membangun ekosistem penulis dan kontributor konten terbuka di Indonesia. Dengan mengusung tema ''“Berbagi Pengetahuan dan Tulisan melalui Wikibuku”'', peserta akan belajar menulis, menyunting, dan menerbitkan karya mereka langsung melalui Wikibuku dalam bahasa Indonesia. Mereka juga akan dikenalkan dengan dasar-dasar mengunggah media berlisensi terbuka melalui Wikimedia Commons. Fokus kegiatan adalah penulisan kolaboratif karya fiksi dan nonfiksi bertema budaya serta kekayaan lokal dari berbagai wilayah. Tema yang dapat diangkat antara lain: '''Kategori Fiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri)'' # Legenda atau Mitos Lokal: Cerita rakyat atau kepercayaan masyarakat di suatu daerah. # Cerita Dongeng Anak Bernuansa Budaya Lokal: Cerita imajinatif yang memperkenalkan kearifan lokal. # Fantasi Lokal: Cerita khayalan yang terinspirasi dari alam, pusaka, atau kepercayaan tradisional. # Fabel Daerah: Kisah hewan yang menyampaikan pesan moral dalam konteks budaya lokal. # Drama Budaya: Naskah drama pendek berlatar kehidupan atau tradisi masyarakat. # Cerpen Remaja Daerah: Cerita tentang kehidupan remaja yang dibingkai dalam budaya lokal. # Puisi Naratif atau Balada Rakyat: Puisi panjang yang mengangkat tokoh, legenda, atau peristiwa bersejarah dari suatu daerah. Dapat berupa balada perjuangan tokoh lokal, kisah cinta dalam tradisi, hingga monolog tokoh berlatar sejarah atau mitos. '''Kategori Nonfiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri dan 1 sumber referensi)'' # Resep Makanan Daerah: Cara pembuatan makanan khas dari wilayah tertentu. # Sejarah Lokal atau Tokoh Daerah: Fakta sejarah atau biografi tokoh penting yang berasal dari daerah tersebut. # Wastra Daerah atau Nasional: Ulasan tentang kain tradisional beserta nilai budaya yang dikandungnya. # Objek Wisata Daerah: Ulasan edukatif mengenai tempat wisata beserta nilai budaya atau sejarahnya. # Tradisi atau Budaya Lokal: Penjelasan mengenai upacara, adat istiadat, atau praktik budaya yang masih hidup. # Materi Pembelajaran Tematik SD–Perguruan Tinggi: Konten edukatif berbasis kurikulum atau lokalitas. # Materi Kuliah atau Kajian Akademik Populer: Tulisan yang diolah dari hasil perkuliahan atau riset agar mudah dipahami masyarakat umum. # Kisah Inspiratif Lokal: Cerita nyata tentang tokoh atau komunitas yang memberikan dampak positif. # Pengasuhan Anak : Praktik pengasuhan dalam konteks nilai lokal. # Etika dan Nilai Lokal: Penjabaran tentang norma, kebiasaan, dan nilai yang dijunjung masyarakat. # Bahasa Daerah dan Upaya Pelestariannya: Penulisan tentang kosakata, puisi tradisional, atau strategi pelestarian bahasa ibu. == '''Tujuan Kegiatan:''' == # Mengenalkan WikiBuku dan Wikimedia Commons sebagai media berbagi pengetahuan terbuka. # Mendampingi peserta dalam menyunting dan menerbitkan karya mereka ke WikiBuku. # Membangun jejaring kontributor WikiBuku lintas daerah untuk memperkuat sumber belajar terbuka di Indonesia. == '''Jadwal dan Lokasi Kegiatan''' == kegiatan ini == '''Alur Kegiatan:''' == Pra-workshop (Online): * Peserta dikumpulkan dalam sesi daring untuk pengenalan awal WikiBuku dan Wikimedia Commons. * Diskusi ide awal penulisan serta perencanaan konten dan ilustrasi. Sesi Tatap Muka (Offline): * Pelatihan teknis penulisan dan penyuntingan di WikiBuku. * Penggunaan template WikiBuku dan aktivitas, serta praktik unggah ilustrasi ke Commons. * Penulisan kolaboratif fiksi dan non-fiksi sesuai tema yang tersedia. Pasca-Pelatihan: * Peserta dimasukkan ke dalam grup komunikasi (WhatsApp) untuk saling berdiskusi, berbagi pengalaman, serta mengenal lebih lanjut kegiatan penyuntingan proyek-proyek Wikimedia lainnya yang dilakukan komunitas. * Diharapkan dari sinilah terbentuk komunitas kontributor yang aktif dan berkelanjutan. [[Kategori:WikiLatih WikiBuku: Berbagi Pengetahuan dan Tulisan]] 729q48czp1sz7ffqz90h6ruuw1tehl7 108375 108374 2025-07-07T22:01:06Z Astari28 36197 108375 wikitext text/x-wiki Dalam rangka mendorong lahirnya karya pembelajaran terbuka yang inklusif dan dapat diakses oleh siapa saja, Komunitas Wikimedia Jawa Timur berkolaborasi dengan komunitas lokal menyelenggarakan WikiLatih Wikibuku di enam kota di Indonesia. Kegiatan ini merupakan bagian dari program ''Bhumika Wiki: Wikibuku'', yang bertujuan membangun ekosistem penulis dan kontributor konten terbuka di Indonesia. Dengan mengusung tema ''“Berbagi Pengetahuan dan Tulisan melalui Wikibuku”'', peserta akan belajar menulis, menyunting, dan menerbitkan karya mereka langsung melalui Wikibuku dalam bahasa Indonesia. Mereka juga akan dikenalkan dengan dasar-dasar mengunggah media berlisensi terbuka melalui Wikimedia Commons. Fokus kegiatan adalah penulisan kolaboratif karya fiksi dan nonfiksi bertema budaya serta kekayaan lokal dari berbagai wilayah. Tema yang dapat diangkat antara lain: '''Kategori Fiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri)'' # Legenda atau Mitos Lokal: Cerita rakyat atau kepercayaan masyarakat di suatu daerah. # Cerita Dongeng Anak Bernuansa Budaya Lokal: Cerita imajinatif yang memperkenalkan kearifan lokal. # Fantasi Lokal: Cerita khayalan yang terinspirasi dari alam, pusaka, atau kepercayaan tradisional. # Fabel Daerah: Kisah hewan yang menyampaikan pesan moral dalam konteks budaya lokal. # Drama Budaya: Naskah drama pendek berlatar kehidupan atau tradisi masyarakat. # Cerpen Remaja Daerah: Cerita tentang kehidupan remaja yang dibingkai dalam budaya lokal. # Puisi Naratif atau Balada Rakyat: Puisi panjang yang mengangkat tokoh, legenda, atau peristiwa bersejarah dari suatu daerah. Dapat berupa balada perjuangan tokoh lokal, kisah cinta dalam tradisi, hingga monolog tokoh berlatar sejarah atau mitos. '''Kategori Nonfiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri dan 1 sumber referensi)'' # Resep Makanan Daerah: Cara pembuatan makanan khas dari wilayah tertentu. # Sejarah Lokal atau Tokoh Daerah: Fakta sejarah atau biografi tokoh penting yang berasal dari daerah tersebut. # Wastra Daerah atau Nasional: Ulasan tentang kain tradisional beserta nilai budaya yang dikandungnya. # Objek Wisata Daerah: Ulasan edukatif mengenai tempat wisata beserta nilai budaya atau sejarahnya. # Tradisi atau Budaya Lokal: Penjelasan mengenai upacara, adat istiadat, atau praktik budaya yang masih hidup. # Materi Pembelajaran Tematik SD–Perguruan Tinggi: Konten edukatif berbasis kurikulum atau lokalitas. # Materi Kuliah atau Kajian Akademik Populer: Tulisan yang diolah dari hasil perkuliahan atau riset agar mudah dipahami masyarakat umum. # Kisah Inspiratif Lokal: Cerita nyata tentang tokoh atau komunitas yang memberikan dampak positif. # Pengasuhan Anak : Praktik pengasuhan dalam konteks nilai lokal. # Etika dan Nilai Lokal: Penjabaran tentang norma, kebiasaan, dan nilai yang dijunjung masyarakat. # Bahasa Daerah dan Upaya Pelestariannya: Penulisan tentang kosakata, puisi tradisional, atau strategi pelestarian bahasa ibu. == '''Tujuan Kegiatan:''' == # Mengenalkan WikiBuku dan Wikimedia Commons sebagai media berbagi pengetahuan terbuka. # Mendampingi peserta dalam menyunting dan menerbitkan karya mereka ke WikiBuku. # Membangun jejaring kontributor WikiBuku lintas daerah untuk memperkuat sumber belajar terbuka di Indonesia. == '''Jadwal dan Lokasi Kegiatan''' == Jadwal dan Mitra Kolaborasi WikiLatih WikiBuku di Tahun 2025: * Surabaya – 20 Juli 2025 | Mitra: Komunitas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Jember – 27 Juli 2025 | Mitra: Jember Book Party * Makassar – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Banyuwangi – 10 Agustus 2025 | Mitra: Banyuwangi Book Party * Malang – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Lombok – 6 September 2025 | Mitra: Lombok Book Party == '''Alur Kegiatan:''' == Pra-workshop (Online): * Peserta dikumpulkan dalam sesi daring untuk pengenalan awal WikiBuku dan Wikimedia Commons. * Diskusi ide awal penulisan serta perencanaan konten dan ilustrasi. Sesi Tatap Muka (Offline): * Pelatihan teknis penulisan dan penyuntingan di WikiBuku. * Penggunaan template WikiBuku dan aktivitas, serta praktik unggah ilustrasi ke Commons. * Penulisan kolaboratif fiksi dan non-fiksi sesuai tema yang tersedia. Pasca-Pelatihan: * Peserta dimasukkan ke dalam grup komunikasi (WhatsApp) untuk saling berdiskusi, berbagi pengalaman, serta mengenal lebih lanjut kegiatan penyuntingan proyek-proyek Wikimedia lainnya yang dilakukan komunitas. * Diharapkan dari sinilah terbentuk komunitas kontributor yang aktif dan berkelanjutan. [[Kategori:WikiLatih WikiBuku: Berbagi Pengetahuan dan Tulisan]] j6ttxrufcdpmv7xbbt0vrvy3d90h1oj 108376 108375 2025-07-07T22:14:42Z Astari28 36197 108376 wikitext text/x-wiki [[Berkas:Banner WikiBuku.png|pus|nirbing|750x750px]] Dalam rangka mendorong lahirnya karya pembelajaran terbuka yang inklusif dan dapat diakses oleh siapa saja, Komunitas Wikimedia Jawa Timur berkolaborasi dengan komunitas lokal menyelenggarakan WikiLatih Wikibuku di enam kota di Indonesia. Kegiatan ini merupakan bagian dari program ''Bhumika Wiki: Wikibuku'', yang bertujuan membangun ekosistem penulis dan kontributor konten terbuka di Indonesia. Dengan mengusung tema ''“Berbagi Pengetahuan dan Tulisan melalui Wikibuku”'', peserta akan belajar menulis, menyunting, dan menerbitkan karya mereka langsung melalui Wikibuku dalam bahasa Indonesia. Mereka juga akan dikenalkan dengan dasar-dasar mengunggah media berlisensi terbuka melalui Wikimedia Commons. Fokus kegiatan adalah penulisan kolaboratif karya fiksi dan nonfiksi bertema budaya serta kekayaan lokal dari berbagai wilayah. Tema yang dapat diangkat antara lain: '''Kategori Fiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri)'' # Legenda atau Mitos Lokal: Cerita rakyat atau kepercayaan masyarakat di suatu daerah. # Cerita Dongeng Anak Bernuansa Budaya Lokal: Cerita imajinatif yang memperkenalkan kearifan lokal. # Fantasi Lokal: Cerita khayalan yang terinspirasi dari alam, pusaka, atau kepercayaan tradisional. # Fabel Daerah: Kisah hewan yang menyampaikan pesan moral dalam konteks budaya lokal. # Drama Budaya: Naskah drama pendek berlatar kehidupan atau tradisi masyarakat. # Cerpen Remaja Daerah: Cerita tentang kehidupan remaja yang dibingkai dalam budaya lokal. # Puisi Naratif atau Balada Rakyat: Puisi panjang yang mengangkat tokoh, legenda, atau peristiwa bersejarah dari suatu daerah. Dapat berupa balada perjuangan tokoh lokal, kisah cinta dalam tradisi, hingga monolog tokoh berlatar sejarah atau mitos. '''Kategori Nonfiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri dan 1 sumber referensi)'' # Resep Makanan Daerah: Cara pembuatan makanan khas dari wilayah tertentu. # Sejarah Lokal atau Tokoh Daerah: Fakta sejarah atau biografi tokoh penting yang berasal dari daerah tersebut. # Wastra Daerah atau Nasional: Ulasan tentang kain tradisional beserta nilai budaya yang dikandungnya. # Objek Wisata Daerah: Ulasan edukatif mengenai tempat wisata beserta nilai budaya atau sejarahnya. # Tradisi atau Budaya Lokal: Penjelasan mengenai upacara, adat istiadat, atau praktik budaya yang masih hidup. # Materi Pembelajaran Tematik SD–Perguruan Tinggi: Konten edukatif berbasis kurikulum atau lokalitas. # Materi Kuliah atau Kajian Akademik Populer: Tulisan yang diolah dari hasil perkuliahan atau riset agar mudah dipahami masyarakat umum. # Kisah Inspiratif Lokal: Cerita nyata tentang tokoh atau komunitas yang memberikan dampak positif. # Pengasuhan Anak : Praktik pengasuhan dalam konteks nilai lokal. # Etika dan Nilai Lokal: Penjabaran tentang norma, kebiasaan, dan nilai yang dijunjung masyarakat. # Bahasa Daerah dan Upaya Pelestariannya: Penulisan tentang kosakata, puisi tradisional, atau strategi pelestarian bahasa ibu. == '''Tujuan Kegiatan:''' == # Mengenalkan WikiBuku dan Wikimedia Commons sebagai media berbagi pengetahuan terbuka. # Mendampingi peserta dalam menyunting dan menerbitkan karya mereka ke WikiBuku. # Membangun jejaring kontributor WikiBuku lintas daerah untuk memperkuat sumber belajar terbuka di Indonesia. == '''Jadwal dan Lokasi Kegiatan''' == Jadwal dan Mitra Kolaborasi WikiLatih WikiBuku di Tahun 2025: * Surabaya – 20 Juli 2025 | Mitra: Komunitas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Jember – 27 Juli 2025 | Mitra: Jember Book Party * Makassar – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Banyuwangi – 10 Agustus 2025 | Mitra: Banyuwangi Book Party * Malang – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Lombok – 6 September 2025 | Mitra: Lombok Book Party == '''Alur Kegiatan:''' == Pra-workshop (Online): * Peserta dikumpulkan dalam sesi daring untuk pengenalan awal WikiBuku dan Wikimedia Commons. * Diskusi ide awal penulisan serta perencanaan konten dan ilustrasi. Sesi Tatap Muka (Offline): * Pelatihan teknis penulisan dan penyuntingan di WikiBuku. * Penggunaan template WikiBuku dan aktivitas, serta praktik unggah ilustrasi ke Commons. * Penulisan kolaboratif fiksi dan non-fiksi sesuai tema yang tersedia. Pasca-Pelatihan: * Peserta dimasukkan ke dalam grup komunikasi (WhatsApp) untuk saling berdiskusi, berbagi pengalaman, serta mengenal lebih lanjut kegiatan penyuntingan proyek-proyek Wikimedia lainnya yang dilakukan komunitas. * Diharapkan dari sinilah terbentuk komunitas kontributor yang aktif dan berkelanjutan. [[Kategori:WikiLatih WikiBuku: Berbagi Pengetahuan dan Tulisan]] 5b0tcr761d0kmkon9sp6juud0cdmjbf 108377 108376 2025-07-08T01:10:18Z Astari28 36197 108377 wikitext text/x-wiki [[Berkas:Banner WikiBuku.png|pus|nirbing|750x750px]] Dalam rangka mendorong lahirnya karya pembelajaran terbuka yang inklusif dan dapat diakses oleh siapa saja, Komunitas Wikimedia Jawa Timur berkolaborasi dengan komunitas lokal menyelenggarakan WikiLatih Wikibuku di enam kota di Indonesia. Kegiatan ini merupakan bagian dari program ''Bhumika Wiki: Wikibuku'', yang bertujuan membangun ekosistem penulis dan kontributor konten terbuka di Indonesia. Dengan mengusung tema ''“Berbagi Pengetahuan dan Tulisan melalui Wikibuku”'', peserta akan belajar menulis, menyunting, dan menerbitkan karya mereka langsung melalui Wikibuku dalam bahasa Indonesia. Mereka juga akan dikenalkan dengan dasar-dasar mengunggah media berlisensi terbuka melalui Wikimedia Commons. '''Seluruh buku yang tersedia di Wikibuku dilisensikan dengan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa 3.0''', yang memungkinkan karya tersebut digunakan, disalin, dimodifikasi, dan dibagikan secara bebas dengan tetap menyebutkan nama penciptanya dan membagikan hasil turunan dengan lisensi serupa. Fokus kegiatan adalah penulisan kolaboratif karya fiksi dan nonfiksi bertema budaya serta kekayaan lokal dari berbagai wilayah. Tema yang dapat diangkat antara lain: '''Kategori Fiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri)'' # Legenda atau Mitos Lokal: Cerita rakyat atau kepercayaan masyarakat di suatu daerah. # Cerita Dongeng Anak Bernuansa Budaya Lokal: Cerita imajinatif yang memperkenalkan kearifan lokal. # Fantasi Lokal: Cerita khayalan yang terinspirasi dari alam, pusaka, atau kepercayaan tradisional. # Fabel Daerah: Kisah hewan yang menyampaikan pesan moral dalam konteks budaya lokal. # Drama Budaya: Naskah drama pendek berlatar kehidupan atau tradisi masyarakat. # Cerpen Remaja Daerah: Cerita tentang kehidupan remaja yang dibingkai dalam budaya lokal. # Puisi Naratif atau Balada Rakyat: Puisi panjang yang mengangkat tokoh, legenda, atau peristiwa bersejarah dari suatu daerah. Dapat berupa balada perjuangan tokoh lokal, kisah cinta dalam tradisi, hingga monolog tokoh berlatar sejarah atau mitos. '''Kategori Nonfiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri dan 1 sumber referensi)'' # Resep Makanan Daerah: Cara pembuatan makanan khas dari wilayah tertentu. # Sejarah Lokal atau Tokoh Daerah: Fakta sejarah atau biografi tokoh penting yang berasal dari daerah tersebut. # Wastra Daerah atau Nasional: Ulasan tentang kain tradisional beserta nilai budaya yang dikandungnya. # Objek Wisata Daerah: Ulasan edukatif mengenai tempat wisata beserta nilai budaya atau sejarahnya. # Tradisi atau Budaya Lokal: Penjelasan mengenai upacara, adat istiadat, atau praktik budaya yang masih hidup. # Materi Pembelajaran Tematik SD–Perguruan Tinggi: Konten edukatif berbasis kurikulum atau lokalitas. # Materi Kuliah atau Kajian Akademik Populer: Tulisan yang diolah dari hasil perkuliahan atau riset agar mudah dipahami masyarakat umum. # Kisah Inspiratif Lokal: Cerita nyata tentang tokoh atau komunitas yang memberikan dampak positif. # Pengasuhan Anak : Praktik pengasuhan dalam konteks nilai lokal. # Etika dan Nilai Lokal: Penjabaran tentang norma, kebiasaan, dan nilai yang dijunjung masyarakat. # Bahasa Daerah dan Upaya Pelestariannya: Penulisan tentang kosakata, puisi tradisional, atau strategi pelestarian bahasa ibu. == '''Tujuan Kegiatan:''' == # Mengenalkan WikiBuku dan Wikimedia Commons sebagai media berbagi pengetahuan terbuka. # Mendampingi peserta dalam menyunting dan menerbitkan karya mereka ke WikiBuku. # Membangun jejaring kontributor WikiBuku lintas daerah untuk memperkuat sumber belajar terbuka di Indonesia. == '''Jadwal dan Lokasi Kegiatan''' == Jadwal dan Mitra Kolaborasi WikiLatih WikiBuku di Tahun 2025: * Surabaya – 20 Juli 2025 | Mitra: Komunitas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Jember – 27 Juli 2025 | Mitra: Jember Book Party * Makassar – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Banyuwangi – 10 Agustus 2025 | Mitra: Banyuwangi Book Party * Malang – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Lombok – 6 September 2025 | Mitra: Lombok Book Party == '''Alur Kegiatan:''' == Pra-workshop (Online): * Peserta dikumpulkan dalam sesi daring untuk pengenalan awal WikiBuku dan Wikimedia Commons. * Diskusi ide awal penulisan serta perencanaan konten dan ilustrasi. Sesi Tatap Muka (Offline): * Pelatihan teknis penulisan dan penyuntingan di WikiBuku. * Penggunaan template WikiBuku dan aktivitas, serta praktik unggah ilustrasi ke Commons. * Penulisan kolaboratif fiksi dan non-fiksi sesuai tema yang tersedia. Pasca-Pelatihan: * Peserta dimasukkan ke dalam grup komunikasi (WhatsApp) untuk saling berdiskusi, berbagi pengalaman, serta mengenal lebih lanjut kegiatan penyuntingan proyek-proyek Wikimedia lainnya yang dilakukan komunitas. * Diharapkan dari sinilah terbentuk komunitas kontributor yang aktif dan berkelanjutan. [[Kategori:WikiLatih WikiBuku: Berbagi Pengetahuan dan Tulisan]] lxmls5ythn0czlgq3cdn107pf0pg9ff 108378 108377 2025-07-08T01:43:37Z Astari28 36197 108378 wikitext text/x-wiki [[Berkas:Banner WikiBuku.png|pus|nirbing|750x750px]] Dalam rangka mendorong lahirnya karya pembelajaran terbuka yang inklusif dan dapat diakses oleh siapa saja, Komunitas Wikimedia Jawa Timur berkolaborasi dengan komunitas lokal menyelenggarakan WikiLatih Wikibuku di enam kota di Indonesia. Kegiatan ini merupakan bagian dari program ''Bhumika Wiki: Wikibuku'', yang bertujuan membangun ekosistem penulis dan kontributor konten terbuka di Indonesia. Dengan mengusung tema ''“Berbagi Pengetahuan dan Tulisan melalui Wikibuku”'', peserta akan belajar menulis, menyunting, dan menerbitkan karya mereka langsung melalui Wikibuku dalam bahasa Indonesia. Mereka juga akan dikenalkan dengan dasar-dasar mengunggah media berlisensi terbuka melalui Wikimedia Commons. '''Seluruh buku yang tersedia di Wikibuku dilisensikan dengan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa 3.0''', yang memungkinkan karya tersebut digunakan, disalin, dimodifikasi, dan dibagikan secara bebas dengan tetap menyebutkan nama penciptanya dan membagikan hasil turunan dengan lisensi serupa. Fokus kegiatan adalah penulisan kolaboratif karya fiksi dan nonfiksi bertema budaya serta kekayaan lokal dari berbagai wilayah. Tema yang dapat diangkat antara lain: '''Kategori Fiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri)'' # Legenda atau Mitos Lokal: Cerita rakyat atau kepercayaan masyarakat di suatu daerah. # Cerita Dongeng Anak Bernuansa Budaya Lokal: Cerita imajinatif yang memperkenalkan kearifan lokal. # Fantasi Lokal: Cerita khayalan yang terinspirasi dari alam, pusaka, atau kepercayaan tradisional. # Fabel Daerah: Kisah hewan yang menyampaikan pesan moral dalam konteks budaya lokal. # Drama Budaya: Naskah drama pendek berlatar kehidupan atau tradisi masyarakat. # Cerpen Remaja Daerah: Cerita tentang kehidupan remaja yang dibingkai dalam budaya lokal. # Puisi Naratif atau Balada Rakyat: Puisi panjang yang mengangkat tokoh, legenda, atau peristiwa bersejarah dari suatu daerah. Dapat berupa balada perjuangan tokoh lokal, kisah cinta dalam tradisi, hingga monolog tokoh berlatar sejarah atau mitos. '''Kategori Nonfiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri dan 1 sumber referensi)'' # Resep Makanan Daerah: Cara pembuatan makanan khas dari wilayah tertentu. # Sejarah Lokal atau Tokoh Daerah: Fakta sejarah atau biografi tokoh penting yang berasal dari daerah tersebut. # Wastra Daerah atau Nasional: Ulasan tentang kain tradisional beserta nilai budaya yang dikandungnya. # Objek Wisata Daerah: Ulasan edukatif mengenai tempat wisata beserta nilai budaya atau sejarahnya. # Tradisi atau Budaya Lokal: Penjelasan mengenai upacara, adat istiadat, atau praktik budaya yang masih hidup. # Materi Pembelajaran Tematik SD–Perguruan Tinggi: Konten edukatif berbasis kurikulum atau lokalitas. # Materi Kuliah atau Kajian Akademik Populer: Tulisan yang diolah dari hasil perkuliahan atau riset agar mudah dipahami masyarakat umum. # Kisah Inspiratif Lokal: Cerita nyata tentang tokoh atau komunitas yang memberikan dampak positif. # Pengasuhan Anak : Praktik pengasuhan dalam konteks nilai lokal. # Etika dan Nilai Lokal: Penjabaran tentang norma, kebiasaan, dan nilai yang dijunjung masyarakat. # Bahasa Daerah dan Upaya Pelestariannya: Penulisan tentang kosakata, puisi tradisional, atau strategi pelestarian bahasa ibu. == '''Tujuan Kegiatan:''' == # Mengenalkan WikiBuku dan Wikimedia Commons sebagai media berbagi pengetahuan terbuka. # Mendampingi peserta dalam menyunting dan menerbitkan karya mereka ke WikiBuku. # Membangun jejaring kontributor WikiBuku lintas daerah untuk memperkuat sumber belajar terbuka di Indonesia. == '''Jadwal dan Lokasi Kegiatan''' == Jadwal dan Mitra Kolaborasi WikiLatih WikiBuku di Tahun 2025: * Surabaya – 20 Juli 2025 | Mitra: Komunitas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Jember – 27 Juli 2025 | Mitra: Jember Book Party * Makassar – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Banyuwangi – 10 Agustus 2025 | Mitra: Banyuwangi Book Party * Malang – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Lombok – 6 September 2025 | Mitra: Lombok Book Party == '''Alur Kegiatan:''' == Pra-workshop (Online): * Peserta dikumpulkan dalam sesi daring untuk pengenalan awal WikiBuku dan Wikimedia Commons. * Diskusi ide awal penulisan serta perencanaan konten dan ilustrasi. Sesi Tatap Muka (Offline): * Pelatihan teknis penulisan dan penyuntingan di WikiBuku. * Penggunaan template WikiBuku dan aktivitas, serta praktik unggah ilustrasi ke Commons. * Penulisan kolaboratif fiksi dan non-fiksi sesuai tema yang tersedia. Pasca-Pelatihan: * Peserta dimasukkan ke dalam grup komunikasi (WhatsApp) untuk saling berdiskusi, berbagi pengalaman, serta mengenal lebih lanjut kegiatan penyuntingan proyek-proyek Wikimedia lainnya yang dilakukan komunitas. * Diharapkan dari sinilah terbentuk komunitas kontributor yang aktif dan berkelanjutan. [[Kategori:WikiLatih WikiBuku: Berbagi Pengetahuan dan Tulisan]] 0d0dpx6xu3vof2h1rvsqnvf1blph464 108379 108378 2025-07-08T02:34:25Z Astari28 36197 108379 wikitext text/x-wiki [[Berkas:Banner WikiBuku.png|850px]] Dalam rangka mendorong lahirnya karya pembelajaran terbuka yang inklusif dan dapat diakses oleh siapa saja, Komunitas Wikimedia Jawa Timur berkolaborasi dengan komunitas lokal menyelenggarakan WikiLatih Wikibuku di enam kota di Indonesia. Kegiatan ini merupakan bagian dari program ''Bhumika Wiki: Wikibuku'', yang bertujuan membangun ekosistem penulis dan kontributor konten terbuka di Indonesia. Dengan mengusung tema ''“Berbagi Pengetahuan dan Tulisan melalui Wikibuku”'', peserta akan belajar menulis, menyunting, dan menerbitkan karya mereka langsung melalui Wikibuku dalam bahasa Indonesia. Mereka juga akan dikenalkan dengan dasar-dasar mengunggah media berlisensi terbuka melalui Wikimedia Commons. '''Seluruh buku yang tersedia di Wikibuku dilisensikan dengan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa 3.0''', yang memungkinkan karya tersebut digunakan, disalin, dimodifikasi, dan dibagikan secara bebas dengan tetap menyebutkan nama penciptanya dan membagikan hasil turunan dengan lisensi serupa. Fokus kegiatan adalah penulisan kolaboratif karya fiksi dan nonfiksi bertema budaya serta kekayaan lokal dari berbagai wilayah. Tema yang dapat diangkat antara lain: '''Kategori Fiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri)'' # Legenda atau Mitos Lokal: Cerita rakyat atau kepercayaan masyarakat di suatu daerah. # Cerita Dongeng Anak Bernuansa Budaya Lokal: Cerita imajinatif yang memperkenalkan kearifan lokal. # Fantasi Lokal: Cerita khayalan yang terinspirasi dari alam, pusaka, atau kepercayaan tradisional. # Fabel Daerah: Kisah hewan yang menyampaikan pesan moral dalam konteks budaya lokal. # Drama Budaya: Naskah drama pendek berlatar kehidupan atau tradisi masyarakat. # Cerpen Remaja Daerah: Cerita tentang kehidupan remaja yang dibingkai dalam budaya lokal. # Puisi Naratif atau Balada Rakyat: Puisi panjang yang mengangkat tokoh, legenda, atau peristiwa bersejarah dari suatu daerah. Dapat berupa balada perjuangan tokoh lokal, kisah cinta dalam tradisi, hingga monolog tokoh berlatar sejarah atau mitos. '''Kategori Nonfiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri dan 1 sumber referensi)'' # Resep Makanan Daerah: Cara pembuatan makanan khas dari wilayah tertentu. # Sejarah Lokal atau Tokoh Daerah: Fakta sejarah atau biografi tokoh penting yang berasal dari daerah tersebut. # Wastra Daerah atau Nasional: Ulasan tentang kain tradisional beserta nilai budaya yang dikandungnya. # Objek Wisata Daerah: Ulasan edukatif mengenai tempat wisata beserta nilai budaya atau sejarahnya. # Tradisi atau Budaya Lokal: Penjelasan mengenai upacara, adat istiadat, atau praktik budaya yang masih hidup. # Materi Pembelajaran Tematik SD–Perguruan Tinggi: Konten edukatif berbasis kurikulum atau lokalitas. # Materi Kuliah atau Kajian Akademik Populer: Tulisan yang diolah dari hasil perkuliahan atau riset agar mudah dipahami masyarakat umum. # Kisah Inspiratif Lokal: Cerita nyata tentang tokoh atau komunitas yang memberikan dampak positif. # Pengasuhan Anak : Praktik pengasuhan dalam konteks nilai lokal. # Etika dan Nilai Lokal: Penjabaran tentang norma, kebiasaan, dan nilai yang dijunjung masyarakat. # Bahasa Daerah dan Upaya Pelestariannya: Penulisan tentang kosakata, puisi tradisional, atau strategi pelestarian bahasa ibu. == '''Tujuan Kegiatan:''' == # Mengenalkan WikiBuku dan Wikimedia Commons sebagai media berbagi pengetahuan terbuka. # Mendampingi peserta dalam menyunting dan menerbitkan karya mereka ke WikiBuku. # Membangun jejaring kontributor WikiBuku lintas daerah untuk memperkuat sumber belajar terbuka di Indonesia. == '''Jadwal dan Lokasi Kegiatan''' == Jadwal dan Mitra Kolaborasi WikiLatih WikiBuku di Tahun 2025: * Surabaya – 20 Juli 2025 | Mitra: Komunitas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Jember – 27 Juli 2025 | Mitra: Jember Book Party * Makassar – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Banyuwangi – 10 Agustus 2025 | Mitra: Banyuwangi Book Party * Malang – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Lombok – 6 September 2025 | Mitra: Lombok Book Party == '''Alur Kegiatan:''' == Pra-workshop (Online): * Peserta dikumpulkan dalam sesi daring untuk pengenalan awal WikiBuku dan Wikimedia Commons. * Diskusi ide awal penulisan serta perencanaan konten dan ilustrasi. Sesi Tatap Muka (Offline): * Pelatihan teknis penulisan dan penyuntingan di WikiBuku. * Penggunaan template WikiBuku dan aktivitas, serta praktik unggah ilustrasi ke Commons. * Penulisan kolaboratif fiksi dan non-fiksi sesuai tema yang tersedia. Pasca-Pelatihan: * Peserta dimasukkan ke dalam grup komunikasi (WhatsApp) untuk saling berdiskusi, berbagi pengalaman, serta mengenal lebih lanjut kegiatan penyuntingan proyek-proyek Wikimedia lainnya yang dilakukan komunitas. * Diharapkan dari sinilah terbentuk komunitas kontributor yang aktif dan berkelanjutan. [[Kategori:WikiLatih WikiBuku: Berbagi Pengetahuan dan Tulisan]] cev58pelwhb058jjlvvez8humazyu5t 108380 108379 2025-07-08T02:34:53Z Astari28 36197 108380 wikitext text/x-wiki [[Berkas:Banner WikiBuku.png|750px]] Dalam rangka mendorong lahirnya karya pembelajaran terbuka yang inklusif dan dapat diakses oleh siapa saja, Komunitas Wikimedia Jawa Timur berkolaborasi dengan komunitas lokal menyelenggarakan WikiLatih Wikibuku di enam kota di Indonesia. Kegiatan ini merupakan bagian dari program ''Bhumika Wiki: Wikibuku'', yang bertujuan membangun ekosistem penulis dan kontributor konten terbuka di Indonesia. Dengan mengusung tema ''“Berbagi Pengetahuan dan Tulisan melalui Wikibuku”'', peserta akan belajar menulis, menyunting, dan menerbitkan karya mereka langsung melalui Wikibuku dalam bahasa Indonesia. Mereka juga akan dikenalkan dengan dasar-dasar mengunggah media berlisensi terbuka melalui Wikimedia Commons. '''Seluruh buku yang tersedia di Wikibuku dilisensikan dengan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa 3.0''', yang memungkinkan karya tersebut digunakan, disalin, dimodifikasi, dan dibagikan secara bebas dengan tetap menyebutkan nama penciptanya dan membagikan hasil turunan dengan lisensi serupa. Fokus kegiatan adalah penulisan kolaboratif karya fiksi dan nonfiksi bertema budaya serta kekayaan lokal dari berbagai wilayah. Tema yang dapat diangkat antara lain: '''Kategori Fiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri)'' # Legenda atau Mitos Lokal: Cerita rakyat atau kepercayaan masyarakat di suatu daerah. # Cerita Dongeng Anak Bernuansa Budaya Lokal: Cerita imajinatif yang memperkenalkan kearifan lokal. # Fantasi Lokal: Cerita khayalan yang terinspirasi dari alam, pusaka, atau kepercayaan tradisional. # Fabel Daerah: Kisah hewan yang menyampaikan pesan moral dalam konteks budaya lokal. # Drama Budaya: Naskah drama pendek berlatar kehidupan atau tradisi masyarakat. # Cerpen Remaja Daerah: Cerita tentang kehidupan remaja yang dibingkai dalam budaya lokal. # Puisi Naratif atau Balada Rakyat: Puisi panjang yang mengangkat tokoh, legenda, atau peristiwa bersejarah dari suatu daerah. Dapat berupa balada perjuangan tokoh lokal, kisah cinta dalam tradisi, hingga monolog tokoh berlatar sejarah atau mitos. '''Kategori Nonfiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri dan 1 sumber referensi)'' # Resep Makanan Daerah: Cara pembuatan makanan khas dari wilayah tertentu. # Sejarah Lokal atau Tokoh Daerah: Fakta sejarah atau biografi tokoh penting yang berasal dari daerah tersebut. # Wastra Daerah atau Nasional: Ulasan tentang kain tradisional beserta nilai budaya yang dikandungnya. # Objek Wisata Daerah: Ulasan edukatif mengenai tempat wisata beserta nilai budaya atau sejarahnya. # Tradisi atau Budaya Lokal: Penjelasan mengenai upacara, adat istiadat, atau praktik budaya yang masih hidup. # Materi Pembelajaran Tematik SD–Perguruan Tinggi: Konten edukatif berbasis kurikulum atau lokalitas. # Materi Kuliah atau Kajian Akademik Populer: Tulisan yang diolah dari hasil perkuliahan atau riset agar mudah dipahami masyarakat umum. # Kisah Inspiratif Lokal: Cerita nyata tentang tokoh atau komunitas yang memberikan dampak positif. # Pengasuhan Anak : Praktik pengasuhan dalam konteks nilai lokal. # Etika dan Nilai Lokal: Penjabaran tentang norma, kebiasaan, dan nilai yang dijunjung masyarakat. # Bahasa Daerah dan Upaya Pelestariannya: Penulisan tentang kosakata, puisi tradisional, atau strategi pelestarian bahasa ibu. == '''Tujuan Kegiatan:''' == # Mengenalkan WikiBuku dan Wikimedia Commons sebagai media berbagi pengetahuan terbuka. # Mendampingi peserta dalam menyunting dan menerbitkan karya mereka ke WikiBuku. # Membangun jejaring kontributor WikiBuku lintas daerah untuk memperkuat sumber belajar terbuka di Indonesia. == '''Jadwal dan Lokasi Kegiatan''' == Jadwal dan Mitra Kolaborasi WikiLatih WikiBuku di Tahun 2025: * Surabaya – 20 Juli 2025 | Mitra: Komunitas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Jember – 27 Juli 2025 | Mitra: Jember Book Party * Makassar – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Banyuwangi – 10 Agustus 2025 | Mitra: Banyuwangi Book Party * Malang – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Lombok – 6 September 2025 | Mitra: Lombok Book Party == '''Alur Kegiatan:''' == Pra-workshop (Online): * Peserta dikumpulkan dalam sesi daring untuk pengenalan awal WikiBuku dan Wikimedia Commons. * Diskusi ide awal penulisan serta perencanaan konten dan ilustrasi. Sesi Tatap Muka (Offline): * Pelatihan teknis penulisan dan penyuntingan di WikiBuku. * Penggunaan template WikiBuku dan aktivitas, serta praktik unggah ilustrasi ke Commons. * Penulisan kolaboratif fiksi dan non-fiksi sesuai tema yang tersedia. Pasca-Pelatihan: * Peserta dimasukkan ke dalam grup komunikasi (WhatsApp) untuk saling berdiskusi, berbagi pengalaman, serta mengenal lebih lanjut kegiatan penyuntingan proyek-proyek Wikimedia lainnya yang dilakukan komunitas. * Diharapkan dari sinilah terbentuk komunitas kontributor yang aktif dan berkelanjutan. [[Kategori:WikiLatih WikiBuku: Berbagi Pengetahuan dan Tulisan]] qh3himz04014p42vexzrkhczt8mz4r3 108381 108380 2025-07-08T02:35:13Z Astari28 36197 108381 wikitext text/x-wiki [[Berkas:Banner WikiBuku.png|750px]] Dalam rangka mendorong lahirnya karya pembelajaran terbuka yang inklusif dan dapat diakses oleh siapa saja, Komunitas Wikimedia Jawa Timur berkolaborasi dengan komunitas lokal menyelenggarakan WikiLatih Wikibuku di enam kota di Indonesia. Kegiatan ini merupakan bagian dari program ''Bhumika Wiki: Wikibuku'', yang bertujuan membangun ekosistem penulis dan kontributor konten terbuka di Indonesia. Dengan mengusung tema ''“Berbagi Pengetahuan dan Tulisan melalui Wikibuku”'', peserta akan belajar menulis, menyunting, dan menerbitkan karya mereka langsung melalui Wikibuku dalam bahasa Indonesia. Mereka juga akan dikenalkan dengan dasar-dasar mengunggah media berlisensi terbuka melalui Wikimedia Commons. '''Seluruh buku yang tersedia di Wikibuku dilisensikan dengan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa 3.0''', yang memungkinkan karya tersebut digunakan, disalin, dimodifikasi, dan dibagikan secara bebas dengan tetap menyebutkan nama penciptanya dan membagikan hasil turunan dengan lisensi serupa. Fokus kegiatan adalah penulisan kolaboratif karya fiksi dan nonfiksi bertema budaya serta kekayaan lokal dari berbagai wilayah. Tema yang dapat diangkat antara lain: '''Kategori Fiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri)'' # Legenda atau Mitos Lokal: Cerita rakyat atau kepercayaan masyarakat di suatu daerah. # Cerita Dongeng Anak Bernuansa Budaya Lokal: Cerita imajinatif yang memperkenalkan kearifan lokal. # Fantasi Lokal: Cerita khayalan yang terinspirasi dari alam, pusaka, atau kepercayaan tradisional. # Fabel Daerah: Kisah hewan yang menyampaikan pesan moral dalam konteks budaya lokal. # Drama Budaya: Naskah drama pendek berlatar kehidupan atau tradisi masyarakat. # Cerpen Remaja Daerah: Cerita tentang kehidupan remaja yang dibingkai dalam budaya lokal. # Puisi Naratif atau Balada Rakyat: Puisi panjang yang mengangkat tokoh, legenda, atau peristiwa bersejarah dari suatu daerah. Dapat berupa balada perjuangan tokoh lokal, kisah cinta dalam tradisi, hingga monolog tokoh berlatar sejarah atau mitos. '''Kategori Nonfiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri dan 1 sumber referensi)'' # Resep Makanan Daerah: Cara pembuatan makanan khas dari wilayah tertentu. # Sejarah Lokal atau Tokoh Daerah: Fakta sejarah atau biografi tokoh penting yang berasal dari daerah tersebut. # Wastra Daerah atau Nasional: Ulasan tentang kain tradisional beserta nilai budaya yang dikandungnya. # Objek Wisata Daerah: Ulasan edukatif mengenai tempat wisata beserta nilai budaya atau sejarahnya. # Tradisi atau Budaya Lokal: Penjelasan mengenai upacara, adat istiadat, atau praktik budaya yang masih hidup. # Materi Pembelajaran Tematik SD–Perguruan Tinggi: Konten edukatif berbasis kurikulum atau lokalitas. # Materi Kuliah atau Kajian Akademik Populer: Tulisan yang diolah dari hasil perkuliahan atau riset agar mudah dipahami masyarakat umum. # Kisah Inspiratif Lokal: Cerita nyata tentang tokoh atau komunitas yang memberikan dampak positif. # Pengasuhan Anak : Praktik pengasuhan dalam konteks nilai lokal. # Etika dan Nilai Lokal: Penjabaran tentang norma, kebiasaan, dan nilai yang dijunjung masyarakat. # Bahasa Daerah dan Upaya Pelestariannya: Penulisan tentang kosakata, puisi tradisional, atau strategi pelestarian bahasa ibu. == '''Tujuan Kegiatan:''' == # Mengenalkan WikiBuku dan Wikimedia Commons sebagai media berbagi pengetahuan terbuka. # Mendampingi peserta dalam menyunting dan menerbitkan karya mereka ke WikiBuku. # Membangun jejaring kontributor WikiBuku lintas daerah untuk memperkuat sumber belajar terbuka di Indonesia. == '''Jadwal dan Lokasi Kegiatan''' == Jadwal dan Mitra Kolaborasi WikiLatih WikiBuku di Tahun 2025: * Surabaya – 20 Juli 2025 | Mitra: Komunitas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Jember – 27 Juli 2025 | Mitra: Jember Book Party * Makassar – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Banyuwangi – 10 Agustus 2025 | Mitra: Banyuwangi Book Party * Malang – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Lombok – 6 September 2025 | Mitra: Lombok Book Party == '''Alur Kegiatan:''' == Pra-workshop (Online): * Peserta dikumpulkan dalam sesi daring untuk pengenalan awal WikiBuku dan Wikimedia Commons. * Diskusi ide awal penulisan serta perencanaan konten dan ilustrasi. Sesi Tatap Muka (Offline): * Pelatihan teknis penulisan dan penyuntingan di WikiBuku. * Penggunaan template WikiBuku dan aktivitas, serta praktik unggah ilustrasi ke Commons. * Penulisan kolaboratif fiksi dan non-fiksi sesuai tema yang tersedia. Pasca-Pelatihan: * Peserta dimasukkan ke dalam grup komunikasi (WhatsApp) untuk saling berdiskusi, berbagi pengalaman, serta mengenal lebih lanjut kegiatan penyuntingan proyek-proyek Wikimedia lainnya yang dilakukan komunitas. * Diharapkan dari sinilah terbentuk komunitas kontributor yang aktif dan berkelanjutan. [[Kategori:WikiLatih WikiBuku: Berbagi Pengetahuan dan Tulisan]] d1892a6a9m5kil40w5azyggaoen7n5q 108382 108381 2025-07-08T02:38:51Z Astari28 36197 108382 wikitext text/x-wiki [[Berkas:Banner WikiBuku.png|750px]] Dalam rangka mendorong lahirnya karya pembelajaran terbuka yang inklusif dan dapat diakses oleh siapa saja, Komunitas Wikimedia Jawa Timur berkolaborasi dengan komunitas lokal menyelenggarakan WikiLatih Wikibuku di enam kota di Indonesia. Kegiatan ini merupakan bagian dari program ''Bhumika Wiki: Wikibuku'', yang bertujuan membangun ekosistem penulis dan kontributor konten terbuka di Indonesia. Dengan mengusung tema ''“Berbagi Pengetahuan dan Tulisan melalui Wikibuku”'', peserta akan belajar menulis, menyunting, dan menerbitkan karya mereka langsung melalui Wikibuku dalam bahasa Indonesia. Mereka juga akan dikenalkan dengan dasar-dasar mengunggah media berlisensi terbuka melalui Wikimedia Commons. '''Seluruh buku yang tersedia di Wikibuku dilisensikan dengan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa 3.0''', yang memungkinkan karya tersebut digunakan, disalin, dimodifikasi, dan dibagikan secara bebas dengan tetap menyebutkan nama penciptanya dan membagikan hasil turunan dengan lisensi serupa. Fokus kegiatan adalah penulisan kolaboratif karya fiksi dan nonfiksi bertema budaya serta kekayaan lokal dari berbagai wilayah. Tema yang dapat diangkat antara lain: '''Kategori Fiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri)'' # Legenda atau Mitos Lokal: Cerita rakyat atau kepercayaan masyarakat di suatu daerah. # Cerita Dongeng Anak Bernuansa Budaya Lokal: Cerita imajinatif yang memperkenalkan kearifan lokal. # Fantasi Lokal: Cerita khayalan yang terinspirasi dari alam, pusaka, atau kepercayaan tradisional. # Fabel Daerah: Kisah hewan yang menyampaikan pesan moral dalam konteks budaya lokal. # Drama Budaya: Naskah drama pendek berlatar kehidupan atau tradisi masyarakat. # Cerpen Remaja Daerah: Cerita tentang kehidupan remaja yang dibingkai dalam budaya lokal. # Puisi Naratif atau Balada Rakyat: Puisi panjang yang mengangkat tokoh, legenda, atau peristiwa bersejarah dari suatu daerah. Dapat berupa balada perjuangan tokoh lokal, kisah cinta dalam tradisi, hingga monolog tokoh berlatar sejarah atau mitos. '''Kategori Nonfiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri dan 1 sumber referensi)'' # Resep Makanan Daerah: Cara pembuatan makanan khas dari wilayah tertentu. # Sejarah Lokal atau Tokoh Daerah: Fakta sejarah atau biografi tokoh penting yang berasal dari daerah tersebut. # Wastra Daerah atau Nasional: Ulasan tentang kain tradisional beserta nilai budaya yang dikandungnya. # Objek Wisata Daerah: Ulasan edukatif mengenai tempat wisata beserta nilai budaya atau sejarahnya. # Tradisi atau Budaya Lokal: Penjelasan mengenai upacara, adat istiadat, atau praktik budaya yang masih hidup. # Materi Pembelajaran Tematik SD–Perguruan Tinggi: Konten edukatif berbasis kurikulum atau lokalitas. # Materi Kuliah atau Kajian Akademik Populer: Tulisan yang diolah dari hasil perkuliahan atau riset agar mudah dipahami masyarakat umum. # Kisah Inspiratif Lokal: Cerita nyata tentang tokoh atau komunitas yang memberikan dampak positif. # Pengasuhan Anak : Praktik pengasuhan dalam konteks nilai lokal. # Etika dan Nilai Lokal: Penjabaran tentang norma, kebiasaan, dan nilai yang dijunjung masyarakat. # Bahasa Daerah dan Upaya Pelestariannya: Penulisan tentang kosakata, puisi tradisional, atau strategi pelestarian bahasa ibu. == '''Tujuan Kegiatan:''' == # Mengenalkan WikiBuku dan Wikimedia Commons sebagai media berbagi pengetahuan terbuka. # Mendampingi peserta dalam menyunting dan menerbitkan karya mereka ke WikiBuku. # Membangun jejaring kontributor WikiBuku lintas daerah untuk memperkuat sumber belajar terbuka di Indonesia. == '''Jadwal dan Lokasi Kegiatan''' == Jadwal dan Mitra Kolaborasi WikiLatih WikiBuku di Tahun 2025: * Surabaya – 20 Juli 2025 | Mitra: Komunitas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Jember – 27 Juli 2025 | Mitra: Jember Book Party * Makassar – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Banyuwangi – 10 Agustus 2025 | Mitra: Banyuwangi Book Party * Malang – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Lombok – 6 September 2025 | Mitra: Lombok Book Party == '''Alur Kegiatan:''' == Pra-workshop (Online): * Peserta dikumpulkan dalam sesi daring untuk pengenalan awal WikiBuku dan Wikimedia Commons. * Diskusi ide awal penulisan serta perencanaan konten dan ilustrasi. Sesi Tatap Muka (Offline): * Pelatihan teknis penulisan dan penyuntingan di WikiBuku. * Penggunaan template WikiBuku dan aktivitas, serta praktik unggah ilustrasi ke Commons. * Penulisan kolaboratif fiksi dan non-fiksi sesuai tema yang tersedia. Pasca-Pelatihan: * Peserta dimasukkan ke dalam grup komunikasi (WhatsApp) untuk saling berdiskusi, berbagi pengalaman, serta mengenal lebih lanjut kegiatan penyuntingan proyek-proyek Wikimedia lainnya yang dilakukan komunitas. * Diharapkan dari sinilah terbentuk komunitas kontributor yang aktif dan berkelanjutan. == Diselenggarakan oleh == [[Berkas:Logo Komunitas Wikimedia Jawa Timur.svg|240x240px|center|frameless]] [[Kategori:WikiLatih WikiBuku: Berbagi Pengetahuan dan Tulisan]] 74grduidpalykghxwl63szdv5n4nxlb 108383 108382 2025-07-08T02:56:40Z Astari28 36197 108383 wikitext text/x-wiki [[Berkas:Banner WikiBuku.png|750px]] Dalam rangka mendorong lahirnya karya pembelajaran terbuka yang inklusif dan dapat diakses oleh siapa saja, Komunitas Wikimedia Jawa Timur berkolaborasi dengan komunitas lokal menyelenggarakan WikiLatih Wikibuku di enam kota di Indonesia. Kegiatan ini merupakan bagian dari program ''Bhumika Wiki: Wikibuku'', yang bertujuan membangun ekosistem penulis dan kontributor konten terbuka di Indonesia. Dengan mengusung tema ''“Berbagi Pengetahuan dan Tulisan melalui Wikibuku”'', peserta akan belajar menulis, menyunting, dan menerbitkan karya mereka langsung melalui Wikibuku dalam bahasa Indonesia. Mereka juga akan dikenalkan dengan dasar-dasar mengunggah media berlisensi terbuka melalui Wikimedia Commons. '''Seluruh buku yang tersedia di Wikibuku dilisensikan dengan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa 3.0''', yang memungkinkan karya tersebut digunakan, disalin, dimodifikasi, dan dibagikan secara bebas dengan tetap menyebutkan nama penciptanya dan membagikan hasil turunan dengan lisensi serupa. Fokus kegiatan adalah penulisan kolaboratif karya fiksi dan nonfiksi bertema budaya serta kekayaan lokal dari berbagai wilayah. Tema yang dapat diangkat antara lain: '''Kategori Fiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri)'' # Legenda atau Mitos Lokal: Cerita rakyat atau kepercayaan masyarakat di suatu daerah. # Cerita Dongeng Anak Bernuansa Budaya Lokal: Cerita imajinatif yang memperkenalkan kearifan lokal. # Fantasi Lokal: Cerita khayalan yang terinspirasi dari alam, pusaka, atau kepercayaan tradisional. # Fabel Daerah: Kisah hewan yang menyampaikan pesan moral dalam konteks budaya lokal. # Drama Budaya: Naskah drama pendek berlatar kehidupan atau tradisi masyarakat. # Cerpen Remaja Daerah: Cerita tentang kehidupan remaja yang dibingkai dalam budaya lokal. # Puisi Naratif atau Balada Rakyat: Puisi panjang yang mengangkat tokoh, legenda, atau peristiwa bersejarah dari suatu daerah. Dapat berupa balada perjuangan tokoh lokal, kisah cinta dalam tradisi, hingga monolog tokoh berlatar sejarah atau mitos. '''Kategori Nonfiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri dan 1 sumber referensi)'' # Resep Makanan Daerah: Cara pembuatan makanan khas dari wilayah tertentu. # Sejarah Lokal atau Tokoh Daerah: Fakta sejarah atau biografi tokoh penting yang berasal dari daerah tersebut. # Wastra Daerah atau Nasional: Ulasan tentang kain tradisional beserta nilai budaya yang dikandungnya. # Objek Wisata Daerah: Ulasan edukatif mengenai tempat wisata beserta nilai budaya atau sejarahnya. # Tradisi atau Budaya Lokal: Penjelasan mengenai upacara, adat istiadat, atau praktik budaya yang masih hidup. # Materi Pembelajaran Tematik SD–Perguruan Tinggi: Konten edukatif berbasis kurikulum atau lokalitas. # Materi Kuliah atau Kajian Akademik Populer: Tulisan yang diolah dari hasil perkuliahan atau riset agar mudah dipahami masyarakat umum. # Kisah Inspiratif Lokal: Cerita nyata tentang tokoh atau komunitas yang memberikan dampak positif. # Pengasuhan Anak : Praktik pengasuhan dalam konteks nilai lokal. # Etika dan Nilai Lokal: Penjabaran tentang norma, kebiasaan, dan nilai yang dijunjung masyarakat. # Bahasa Daerah dan Upaya Pelestariannya: Penulisan tentang kosakata, puisi tradisional, atau strategi pelestarian bahasa ibu. == '''Tujuan Kegiatan:''' == # Mengenalkan WikiBuku dan Wikimedia Commons sebagai media berbagi pengetahuan terbuka. # Mendampingi peserta dalam menyunting dan menerbitkan karya mereka ke WikiBuku. # Membangun jejaring kontributor WikiBuku lintas daerah untuk memperkuat sumber belajar terbuka di Indonesia. == '''Jadwal dan Lokasi Kegiatan''' == Jadwal dan Mitra Kolaborasi WikiLatih WikiBuku di Tahun 2025: * Surabaya – 20 Juli 2025 | Mitra: Komunitas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Jember – 27 Juli 2025 | Mitra: Jember Book Party * Makassar – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Banyuwangi – 10 Agustus 2025 | Mitra: Banyuwangi Book Party * Malang – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Lombok – 6 September 2025 | Mitra: Lombok Book Party == '''Alur Kegiatan:''' == Pra-workshop (Online): * Peserta dikumpulkan dalam sesi daring untuk pengenalan awal WikiBuku dan Wikimedia Commons. * Diskusi ide awal penulisan serta perencanaan konten dan ilustrasi. Sesi Tatap Muka (Offline): * Pelatihan teknis penulisan dan penyuntingan di WikiBuku. * Penggunaan template WikiBuku dan aktivitas, serta praktik unggah ilustrasi ke Commons. * Penulisan kolaboratif fiksi dan non-fiksi sesuai tema yang tersedia. Pasca-Pelatihan: * Peserta dimasukkan ke dalam grup komunikasi (WhatsApp) untuk saling berdiskusi, berbagi pengalaman, serta mengenal lebih lanjut kegiatan penyuntingan proyek-proyek Wikimedia lainnya yang dilakukan komunitas. * Diharapkan dari sinilah terbentuk komunitas kontributor yang aktif dan berkelanjutan. == Diselenggarakan oleh == [[Berkas:Logo Komunitas Wikimedia Jawa Timur.svg|240x240px|center|frameless]] == Didukung oleh == {| class="plainlinks" style="background: transparent; margin: auto; width: 60%;" | [[Berkas:Wikimedia Foundation RGB logo with text.svg|135px|center|frameless]] | [[Berkas:Wikimedia Indonesia.svg|110px|center|frameless]] |} [[Kategori:WikiLatih WikiBuku: Berbagi Pengetahuan dan Tulisan]] d5pj7t49wex68yg4uv6zp3bne8jnuih 108385 108383 2025-07-08T02:58:04Z Astari28 36197 108385 wikitext text/x-wiki [[Berkas:Banner WikiBuku.png|750px]] Dalam rangka mendorong lahirnya karya pembelajaran terbuka yang inklusif dan dapat diakses oleh siapa saja, Komunitas Wikimedia Jawa Timur berkolaborasi dengan komunitas lokal menyelenggarakan WikiLatih Wikibuku di enam kota di Indonesia. Kegiatan ini merupakan bagian dari program '''''Bhumika Wiki: Wikibuku''''', yang bertujuan membangun ekosistem penulis dan kontributor konten terbuka di Indonesia. Dengan mengusung tema ''“Berbagi Pengetahuan dan Tulisan melalui Wikibuku”'', peserta akan belajar menulis, menyunting, dan menerbitkan karya mereka langsung melalui Wikibuku dalam bahasa Indonesia. Mereka juga akan dikenalkan dengan dasar-dasar mengunggah media berlisensi terbuka melalui Wikimedia Commons. '''Seluruh buku yang tersedia di Wikibuku dilisensikan dengan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa 3.0''', yang memungkinkan karya tersebut digunakan, disalin, dimodifikasi, dan dibagikan secara bebas dengan tetap menyebutkan nama penciptanya dan membagikan hasil turunan dengan lisensi serupa. Fokus kegiatan adalah penulisan kolaboratif karya fiksi dan nonfiksi bertema budaya serta kekayaan lokal dari berbagai wilayah. Tema yang dapat diangkat antara lain: '''Kategori Fiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri)'' # Legenda atau Mitos Lokal: Cerita rakyat atau kepercayaan masyarakat di suatu daerah. # Cerita Dongeng Anak Bernuansa Budaya Lokal: Cerita imajinatif yang memperkenalkan kearifan lokal. # Fantasi Lokal: Cerita khayalan yang terinspirasi dari alam, pusaka, atau kepercayaan tradisional. # Fabel Daerah: Kisah hewan yang menyampaikan pesan moral dalam konteks budaya lokal. # Drama Budaya: Naskah drama pendek berlatar kehidupan atau tradisi masyarakat. # Cerpen Remaja Daerah: Cerita tentang kehidupan remaja yang dibingkai dalam budaya lokal. # Puisi Naratif atau Balada Rakyat: Puisi panjang yang mengangkat tokoh, legenda, atau peristiwa bersejarah dari suatu daerah. Dapat berupa balada perjuangan tokoh lokal, kisah cinta dalam tradisi, hingga monolog tokoh berlatar sejarah atau mitos. '''Kategori Nonfiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri dan 1 sumber referensi)'' # Resep Makanan Daerah: Cara pembuatan makanan khas dari wilayah tertentu. # Sejarah Lokal atau Tokoh Daerah: Fakta sejarah atau biografi tokoh penting yang berasal dari daerah tersebut. # Wastra Daerah atau Nasional: Ulasan tentang kain tradisional beserta nilai budaya yang dikandungnya. # Objek Wisata Daerah: Ulasan edukatif mengenai tempat wisata beserta nilai budaya atau sejarahnya. # Tradisi atau Budaya Lokal: Penjelasan mengenai upacara, adat istiadat, atau praktik budaya yang masih hidup. # Materi Pembelajaran Tematik SD–Perguruan Tinggi: Konten edukatif berbasis kurikulum atau lokalitas. # Materi Kuliah atau Kajian Akademik Populer: Tulisan yang diolah dari hasil perkuliahan atau riset agar mudah dipahami masyarakat umum. # Kisah Inspiratif Lokal: Cerita nyata tentang tokoh atau komunitas yang memberikan dampak positif. # Pengasuhan Anak : Praktik pengasuhan dalam konteks nilai lokal. # Etika dan Nilai Lokal: Penjabaran tentang norma, kebiasaan, dan nilai yang dijunjung masyarakat. # Bahasa Daerah dan Upaya Pelestariannya: Penulisan tentang kosakata, puisi tradisional, atau strategi pelestarian bahasa ibu. == '''Tujuan Kegiatan:''' == # Mengenalkan WikiBuku dan Wikimedia Commons sebagai media berbagi pengetahuan terbuka. # Mendampingi peserta dalam menyunting dan menerbitkan karya mereka ke WikiBuku. # Membangun jejaring kontributor WikiBuku lintas daerah untuk memperkuat sumber belajar terbuka di Indonesia. == '''Jadwal dan Lokasi Kegiatan''' == Jadwal dan Mitra Kolaborasi WikiLatih WikiBuku di Tahun 2025: * Surabaya – 20 Juli 2025 | Mitra: Komunitas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Jember – 27 Juli 2025 | Mitra: Jember Book Party * Makassar – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Banyuwangi – 10 Agustus 2025 | Mitra: Banyuwangi Book Party * Malang – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Lombok – 6 September 2025 | Mitra: Lombok Book Party == '''Alur Kegiatan:''' == Pra-workshop (Online): * Peserta dikumpulkan dalam sesi daring untuk pengenalan awal WikiBuku dan Wikimedia Commons. * Diskusi ide awal penulisan serta perencanaan konten dan ilustrasi. Sesi Tatap Muka (Offline): * Pelatihan teknis penulisan dan penyuntingan di WikiBuku. * Penggunaan template WikiBuku dan aktivitas, serta praktik unggah ilustrasi ke Commons. * Penulisan kolaboratif fiksi dan non-fiksi sesuai tema yang tersedia. Pasca-Pelatihan: * Peserta dimasukkan ke dalam grup komunikasi (WhatsApp) untuk saling berdiskusi, berbagi pengalaman, serta mengenal lebih lanjut kegiatan penyuntingan proyek-proyek Wikimedia lainnya yang dilakukan komunitas. * Diharapkan dari sinilah terbentuk komunitas kontributor yang aktif dan berkelanjutan. == Diselenggarakan oleh == [[Berkas:Logo Komunitas Wikimedia Jawa Timur.svg|240x240px|center|frameless]] == Didukung oleh == {| class="plainlinks" style="background: transparent; margin: auto; width: 60%;" | [[Berkas:Wikimedia Foundation RGB logo with text.svg|135px|center|frameless]] | [[Berkas:Wikimedia Indonesia.svg|110px|center|frameless]] |} [[Kategori:WikiLatih WikiBuku: Berbagi Pengetahuan dan Tulisan]] i26mds57zm15qepzv6o1wu5w7yijzuh 108389 108385 2025-07-08T04:53:00Z Quraeni 37519 /* Jadwal dan Lokasi Kegiatan */ merevisi mitra 108389 wikitext text/x-wiki [[Berkas:Banner WikiBuku.png|750px]] Dalam rangka mendorong lahirnya karya pembelajaran terbuka yang inklusif dan dapat diakses oleh siapa saja, Komunitas Wikimedia Jawa Timur berkolaborasi dengan komunitas lokal menyelenggarakan WikiLatih Wikibuku di enam kota di Indonesia. Kegiatan ini merupakan bagian dari program '''''Bhumika Wiki: Wikibuku''''', yang bertujuan membangun ekosistem penulis dan kontributor konten terbuka di Indonesia. Dengan mengusung tema ''“Berbagi Pengetahuan dan Tulisan melalui Wikibuku”'', peserta akan belajar menulis, menyunting, dan menerbitkan karya mereka langsung melalui Wikibuku dalam bahasa Indonesia. Mereka juga akan dikenalkan dengan dasar-dasar mengunggah media berlisensi terbuka melalui Wikimedia Commons. '''Seluruh buku yang tersedia di Wikibuku dilisensikan dengan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa 3.0''', yang memungkinkan karya tersebut digunakan, disalin, dimodifikasi, dan dibagikan secara bebas dengan tetap menyebutkan nama penciptanya dan membagikan hasil turunan dengan lisensi serupa. Fokus kegiatan adalah penulisan kolaboratif karya fiksi dan nonfiksi bertema budaya serta kekayaan lokal dari berbagai wilayah. Tema yang dapat diangkat antara lain: '''Kategori Fiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri)'' # Legenda atau Mitos Lokal: Cerita rakyat atau kepercayaan masyarakat di suatu daerah. # Cerita Dongeng Anak Bernuansa Budaya Lokal: Cerita imajinatif yang memperkenalkan kearifan lokal. # Fantasi Lokal: Cerita khayalan yang terinspirasi dari alam, pusaka, atau kepercayaan tradisional. # Fabel Daerah: Kisah hewan yang menyampaikan pesan moral dalam konteks budaya lokal. # Drama Budaya: Naskah drama pendek berlatar kehidupan atau tradisi masyarakat. # Cerpen Remaja Daerah: Cerita tentang kehidupan remaja yang dibingkai dalam budaya lokal. # Puisi Naratif atau Balada Rakyat: Puisi panjang yang mengangkat tokoh, legenda, atau peristiwa bersejarah dari suatu daerah. Dapat berupa balada perjuangan tokoh lokal, kisah cinta dalam tradisi, hingga monolog tokoh berlatar sejarah atau mitos. '''Kategori Nonfiksi''' ''(dilengkapi minimal 1 ilustrasi/foto hasil sendiri dan 1 sumber referensi)'' # Resep Makanan Daerah: Cara pembuatan makanan khas dari wilayah tertentu. # Sejarah Lokal atau Tokoh Daerah: Fakta sejarah atau biografi tokoh penting yang berasal dari daerah tersebut. # Wastra Daerah atau Nasional: Ulasan tentang kain tradisional beserta nilai budaya yang dikandungnya. # Objek Wisata Daerah: Ulasan edukatif mengenai tempat wisata beserta nilai budaya atau sejarahnya. # Tradisi atau Budaya Lokal: Penjelasan mengenai upacara, adat istiadat, atau praktik budaya yang masih hidup. # Materi Pembelajaran Tematik SD–Perguruan Tinggi: Konten edukatif berbasis kurikulum atau lokalitas. # Materi Kuliah atau Kajian Akademik Populer: Tulisan yang diolah dari hasil perkuliahan atau riset agar mudah dipahami masyarakat umum. # Kisah Inspiratif Lokal: Cerita nyata tentang tokoh atau komunitas yang memberikan dampak positif. # Pengasuhan Anak : Praktik pengasuhan dalam konteks nilai lokal. # Etika dan Nilai Lokal: Penjabaran tentang norma, kebiasaan, dan nilai yang dijunjung masyarakat. # Bahasa Daerah dan Upaya Pelestariannya: Penulisan tentang kosakata, puisi tradisional, atau strategi pelestarian bahasa ibu. == '''Tujuan Kegiatan:''' == # Mengenalkan WikiBuku dan Wikimedia Commons sebagai media berbagi pengetahuan terbuka. # Mendampingi peserta dalam menyunting dan menerbitkan karya mereka ke WikiBuku. # Membangun jejaring kontributor WikiBuku lintas daerah untuk memperkuat sumber belajar terbuka di Indonesia. == '''Jadwal dan Lokasi Kegiatan''' == Jadwal dan Mitra Kolaborasi WikiLatih WikiBuku di Tahun 2025: * Surabaya – 20 Juli 2025 | Mitra: Kelas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Jember – 27 Juli 2025 | Mitra: Jember Book Party, Kelas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Makassar – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Banyuwangi – 10 Agustus 2025 | Mitra: Banyuwangi Book Party, Kelas Literasi Ibu Profesional (KLIP) * Malang – (Jadwal dan mitra masih dikonfirmasi) * Lombok – 6 September 2025 | Mitra: Lombok Book Party, Kelas Literasi Ibu Profesional (KLIP) == '''Alur Kegiatan:''' == Pra-workshop (Online): * Peserta dikumpulkan dalam sesi daring untuk pengenalan awal WikiBuku dan Wikimedia Commons. * Diskusi ide awal penulisan serta perencanaan konten dan ilustrasi. Sesi Tatap Muka (Offline): * Pelatihan teknis penulisan dan penyuntingan di WikiBuku. * Penggunaan template WikiBuku dan aktivitas, serta praktik unggah ilustrasi ke Commons. * Penulisan kolaboratif fiksi dan non-fiksi sesuai tema yang tersedia. Pasca-Pelatihan: * Peserta dimasukkan ke dalam grup komunikasi (WhatsApp) untuk saling berdiskusi, berbagi pengalaman, serta mengenal lebih lanjut kegiatan penyuntingan proyek-proyek Wikimedia lainnya yang dilakukan komunitas. * Diharapkan dari sinilah terbentuk komunitas kontributor yang aktif dan berkelanjutan. == Diselenggarakan oleh == [[Berkas:Logo Komunitas Wikimedia Jawa Timur.svg|240x240px|center|frameless]] == Didukung oleh == {| class="plainlinks" style="background: transparent; margin: auto; width: 60%;" | [[Berkas:Wikimedia Foundation RGB logo with text.svg|135px|center|frameless]] | [[Berkas:Wikimedia Indonesia.svg|110px|center|frameless]] |} [[Kategori:WikiLatih WikiBuku: Berbagi Pengetahuan dan Tulisan]] g18pjj6fan8j3lkulae346322nppj6t 14 25911 108387 2025-07-08T02:59:13Z Astari28 36197 ←Membuat halaman berisi 'K' 108387 wikitext text/x-wiki K jm6jnbq7mdyxwafag4hbyd3z2waioa1 108388 108387 2025-07-08T03:01:43Z Astari28 36197 108388 wikitext text/x-wiki Kategori ini memuat halaman WikiLatih WikiBuku hasil dari kegiatan "Bhumika: Wiki" yang diselenggarakan Komunitas Wikimedia Jawa Timur. q274zxjx4yblel2imwswepewjipfquq